Forma tu biblioteca. Cuida Tus libros\nEste libro ha sido elaborado por el Gobierno de la República y se entrega gratuitamente a todos los maestros de educación primaria del país. Forma parte del proyecto general de mejoramiento de la calidad en la educación básica y tiene el propósito de apoyar al maestro en el desempeño de su práctica docente.\nEl libro no está sujeto a ninguna disposición de resguardo, es para el uso personal del maestro que lo recibe, quien podrá conservarlo indefinidamente y usarlo en el ciclo escolar siguiente, en caso de continuar atendiendo el mismo grado. Si cambia de grado, deberá recibir los materiales para el maestro que correspondan. Al paso del tiempo, y con cada dotación, el maestro podrá ir formando una biblioteca básica sobre la enseñanza de los contenidos correspondientes a la educación primaria.\nLos juicios y opiniones de los maestros son indispensables para mejorar la calidad de este libro. Sus comentarios pueden ser enviados a la siguiente dirección:\nAvenida Cuauhtémoc 1230, octavo piso, Santa Cruz\nAtoyac, 03310, Benito Juárez, México, D.F.\nEl Libro para el maestro. Matemáticas. Segundo grado fue elaborado en la Dirección General de Materiales y Métodos\nEducativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública\nde la Subsecretaría de Educación Básica y Normal\nRodolfo Ramírez Raymundo\nMartha Dávila Vega\nDavid Francisco Block Sevilla\nIrma Rosa Fuenlabrada Velázquez\nRenato Rosas Rodríguez\nMaría de los Ángeles Olivera Bustamante\nIrma Griselda Pasos Orellana\nJosé Agustín Escamilla Viveros\nLourdes Escobedo Muñoz\nAlejandro Portilla de Buen\nDiseño: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,\ncon la colaboración de Luis Almeida\nIlustración: Matemáticas. Segundo grado, México, SEP, 1994.\nMarcador maya del juego de pelota, 55 cm de diámetro, 591 d.C.\nCultura maya, periodo clásico, Chinkultic, Chiapas.\nMuseo Nacional de Antropología, México, D.F.\ny el Consejo Nacional para la Cultura y las Artes\nTercera edición, 2002\nSegunda reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005)\nD.R. © Ilustración de portada\nRecomendaciones didácticas generales\nRecomendaciones didácticas por eje\nSugerencias bibliográficas para el maestro\nEn el año escolar 1993-1994 se aplicó la primera etapa de la reforma de los planes y programas de estudio de la educación primaria. En esa etapa el nuevo currículo entró en vigor en los grados primero, tercero y quinto, y a partir del año escolar 1994-1995 se aplica también en los grados segundo, cuarto y sexto.\nAl mismo tiempo que se reformaron los planes y programas de estudio se inició la renovación de los libros de texto gratuitos que el gobierno de la República entrega a todos los alumnos de las escuelas primarias del país.\nCon objeto de asegurar el conocimiento preciso del nuevo currículo se ha enviado a todos los maestros y directivos escolares un ejemplar del libro Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria. En este documento se describen los propósitos y contenidos de la enseñanza de cada asignatura y grado, y del ciclo en su conjunto.\nLa reforma del currículo y los nuevos libros de texto tiene como propósito que los niños mexicanos adquieran una formación cultural más sólida y desarrollen su capacidad para aprender permanentemente y con independencia. Para que esta finalidad se cumpla, es indispensable que cada maestro lleve a la practica las orientaciones del plan y los programas y utilice los nuevos materiales educativos en forma sistemática, creativa y flexible.\nTradicionalmente la Secretaría de Educación Pública distribuye los libros para el maestro como un apoyo al trabajo profesional que se realiza en nuestras escuelas primarias. La forma de organización y presentación de estos libros ha sido modificada. En el pasado se integraban en un solo volumen las recomendaciones didácticas correspondientes a todas las áreas o asignaturas de un grado. A partir de esta etapa hay libros de menor volumen para cada asignatura de un grado o, excepcionalmente, para una pareja de asignaturas interrelacionadas estrechamente.\nEsta nueva organización del Libro para el maestro tiene como propósito facilitar su manejo, actualización y mejoramiento, así como proporcionar el material de estudio adecuado para los maestros que deseen profundizar en la enseñanza de una asignatura, a lo largo de todo el ciclo de la educación primaria.\nLa nueva presentación integra abundantes propuestas para la enseñanza de los contenidos y la utilización del libro de texto, así como de otros materiales educativos de cada asignatura y grado escolar. Adicionalmente, los maestros recibirán el Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Segundo grado y el Avance Programático. Segundo grado. Educación básica. Primaria, como un recurso auxiliar para planear y organizar la secuencia, dosificación y articulación de los contenidos y las actividades de enseñanza.\nEste Libro para el maestro. Matemáticas. Segundo grado no tiene una finalidad directiva ni es su pretensión indicar a los profesores, de manera rígida e inflexible, lo que tienen que hacer en cada clase o en el desarrollo de cada tema. El contenido de este libro y su presentación parten de reconocer la creatividad del maestro y la existencia de múltiples métodos y estilos de trabajo docente. Por esta razón, las propuestas didácticas son abiertas y ofrecen amplias posibilidades de adaptación a las formas de trabajo del maestro, a las condiciones específicas en las que realiza su labor y a los intereses, necesidades y dificultades de aprendizaje de los niños.\nEl Libro para el maestro, además de ser un recurso práctico para apoyar el trabajo en el aula, se ha concebido como un medio para estimular y orientar el análisis colectivo de los maestros sobre su materia de trabajo, ya sea que se realice de manera informal o como actividad del Consejo Técnico. Igualmente, el libro será material básico de actividades y cursos de actualización profesional.\nLos planes y programas de estudio, los libros de texto gratuitos,los ficheros de actividades didácticas y los libros para el maestro son instrumentos educativos que deben ser corregidos y mejorados con frecuencia y sistemáticamente, a la luz de los resultados que se obtienen al utilizarlos en la práctica. Es por ello que la Secretaría de Educación Pública reitera la atenta invitación hecha a los profesores de educación primaria para que envíen a esta dependencia sus opiniones y recomendaciones relativas al mejoramiento de los instrumentos educativos mencionados y en particular del presente libro.\nEn la vida cotidiana los niños se enfrentan a diversas situaciones en las que las matemáticas están presentes: en el mercado ven y usan números y términos matemáticos ($ 3, kg, $ 4, 100 g), observan cómo pesan y cómo miden diversas magnitudes; en la calle, en los medios de transporte, en los diferentes medios de comunicación ven números que tienen diferentes significados (números de las casas, números telefónicos, números de las placas de los carros, cantidades que aparecen en la publicidad comercial, en los billetes de lotería, etcétera), y en las conversaciones de los adultos y en sus juegos, continuamente se plantean diversos problemas que hacen necesario el uso de operaciones. Asimismo, en todos estos contextos los niños observan y manipulan diversas formas geométricas.\nA través de estas experiencias y de los conocimientos adquiridos en el primer grado de la escuela primaria, los niños avanzan en la construcción de sus conocimientos y de sus ideas sobre algunos aspectos de las matemáticas, que constituyen la base sobre la que desarrollarán conocimientos más formales en la materia.\nSe busca, a través de las actividades que se propongan en la escuela, que los conocimientos matemáticos sean una herramienta flexible y adaptable para enfrentar situaciones problemáticas. Al principio los niños resolverán dichas situaciones con procedimientos desarrollados a partir de los conocimientos que poseen, apoyándose en la percepción visual, en la manipulación de objetos, en la observación de las formas de su entorno, etcétera. Estos procedimientos iniciales son los que darán significado a los conocimientos más formales que la escuela proporciona.\nPara que los alumnos manejen y comprendan los conocimientos escolares es necesario relacionar los procedimientos desarrollados por los alumnos con los procedimientos que usualmente se enseñan en la escuela, por ejemplo, el algoritmo convencional de la multiplicación. De esta manera los alumnos comprenderán que los algoritmos convencionales son herramientas que les permiten resolver de una forma más económica, es decir, con más facilidad y rapidez, los mismos problemas que resolvían con estrategias largas y muchas veces más complicadas.\nUno de los aspectos fundamentales que favorece la adquisición de los conocimientos es el desarrollo de la expresión oral. Se pretende que los alumnos desarrollen la habilidad para expresar sus ideas, explicar a sus compañeros cómo logran resolver las situaciones problemáticas y, asimismo, que aprendan a defender sus formas de solución y a reconocer sus errores.\nEl hecho de que los alumnos expresen sus ideas permite al maestro entender el razonamiento que los niños siguen en la resolución de un problema y así poder determinar las actividades que refuercen algún contenido o proponer situaciones que favorezcan la adquisición de conocimientos. Por ello, es fundamental que el desarrollo de la expresión oral se trabaje de manera sistemática a lo largo de la escuela primaria.\nSi bien antes de terminar la primaria los alumnos conocerán los procedimientos convencionales para resolver las operaciones, las fórmulas y definiciones propias de las matemáticas, la forma que se propone para llegar a ellos toma en cuenta el desarrollo intelectual de los alumnos, los procesos que siguen y las dificultades que enfrentan para adquirirlos.\nLa escuela primaria está concebida en tres ciclos. Cada ciclo contempla dos grados. Por esta razón en el segundo grado, si bien se trabajan los mismos contenidos que se proponen en primero, a excepción de la multiplicación de dígitos, éstos se amplían y profundizan a través del planteamiento de situaciones problemáticas más complejas.\nPropósitos generales del grado\nDe acuerdo con el enfoque planteado se espera que los alumnos:\nUtilicen y comprendan el significado de los números naturales, hasta de tres cifras, en diversos contextos.\nResuelvan problemas de suma y de resta con números naturales hasta de tres cifras, utilizando el procedimiento convencional.\nResuelvan problemas de multiplicación, problemas de reparto de colecciones y problemas en los que hay que averiguar cuántas veces cabe una cantidad en otra (tasativos), mediante procedimientos no convencionales y utilizando cantidades menores que 100.\nExpresen las relaciones multiplicativas de los dígitos con la representación convencional (2 x 4 = 8).\nDesarrollen la habilidad para realizar estimaciones y cálculos mentales de sumas y restas, con números hasta de dos cifras.\nDesarrollen la habilidad para estimar, medir, comparar y ordenar, longitudes, superficies, la capacidad de recipientes y el peso de objetos mediante la utilización de unidades arbitrarias de medida.\nReconozcan algunas propiedades geométricas que hacen que los triángulos, cuadriláteros y polígonos se parezcan o diferencien entre sí.\nIdentifiquen, por su forma y nombre, figuras como cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos, trapecios, rombos, romboides, pentágonos y hexágonos.\nDesarrollen la habilidad para ubicarse en el plano al recorrer trayectos, representarlos gráficamente e interpretarlos.\nDesarrollen la habilidad para buscar, analizar y seleccionar información contenida en su libro u otras fuentes, en ilustraciones, en tablas y gráficas de barra sencillas para resolver e inventar problemas.\nCon el propósito de adecuar al proceso de aprendizaje de los alumnos los contenidos matemáticos que se estudian en la educación primaria, éstos se han organizado de tal forma que se introducen en el momento en que los alumnos tienen las posibilidades para abordarlos.\nPor lo anterior, los contenidos matemáticos propuestos en el Plan y programas de estudio 1993. Educación básica. Primaria, para el segundo grado están organizados en cuatro ejes temáticos:\nLos números, sus relaciones y sus operaciones\nLos ejes "La predicción y el azar" y "Procesos de cambio" no se trabajan en este grado.\nA través de las actividades con las que se desarrollan los contenidos de este eje, los alumnos aprenderán a usar los números hasta de tres cifras, en forma oral y escrita, para comparar y cuantificar colecciones y para ordenar los elementos de una colección e identificar objetos.\nAgruparán colecciones en decenas y centenas, y representarán gráficamente los resultados obtenidos, primero de manera no convencional y después con los símbolos numéricos convencionales. Comprenderán que para escribir cualquier número, en particular los de tres cifras, se necesitan únicamente diez símbolos (del 0 al 9) y, en consecuencia, estarán en posibilidad de comprender que éstos adquieren valores diferentes según el lugar que ocupan en un número.\nAsimismo, desarrollarán la habilidad para estimar y calcular mentalmente el resultado de problemas de suma y de resta mediante diversos procedimientos (redondeo, descomposición de números en centenas, decenas y unidades, etcétera).\nTambién seguirán resolviendo problemas que implican sumar o restar con distintos significados (agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante), utilizando primero procedimientos no convencionales (uso de material concreto, dibujos, conteo por agrupamientos) y después utilizando el algoritmo convencional de la suma y de la resta.\nEn cuanto a los problemas multiplicativos, éstos se han venido trabajando desde primer grado. En segundo se realiza un trabajo más sistemático hasta llegar al empleo de la representación convencional de la multiplicación de dígitos. Respecto de los problemas multiplicativos relacionados con la división se continúa trabajando con los de reparto y se incorporan problemas más complejos que incluyen algunos problemas tasativos, es decir, problemas en los que se tiene que averiguar cuántas veces cabe una cantidad en otra, por ejemplo: tengo 38 naranjas y quiero hacer montones de 6 naranjas cada uno. ¿Cuántos montones puedo formar? Los alumnos resolverán estos problemas con procedimientos no convencionales (uso de material concreto para hacer agrupamientos, dibujos, conteo, suma iterada, etcétera).\nA lo largo del año, los alumnos continuarán desarrollando las nociones de longitud, superficie, capacidad, peso y tiempo.\nTradicionalmente, el estudio de estas nociones ha estado relacionado, casi de manera exclusiva, con el uso de algunos instrumentos de medición y con el aprendizaje de los sistemas convencionales de medida, poniendo énfasis en la solución de problemas que sólo implican el cálculo numérico. Por estas razones, en los programas anteriores de la escuela primaria, los contenidos vinculados con estos temas estaban incluidos en grados posteriores, pues se esperaba que los alumnos desarrollaran las habilidades numéricas y de lectoescritura necesarias para trabajar dichos temas cuantitativamente.\nSin embargo, se ha comprobado la factibilidad de iniciar desde los primeros grados el desarrollo conceptual de estas nociones, primero haciendo comparaciones de longitudes, superficies, capacidades y pesos, de manera directa o utilizando un objeto como intermediario.\nEn segundo grado pueden seguir haciendo comparaciones utilizando unidades arbitrarias de medida. De esta manera se desarrolla el concepto de medición y consecuentemente el de unidad de medida. A través de estas actividades los alumnos comprenderán que para realizar comparaciones o mediciones en cada una de estas magnitudes necesitan utilizar "unidades" con características determinadas. Por ejemplo, se darán cuenta de que para comparar o medir superficies no podrán usar una vara, sino una superficie y, en todo caso, podrán utilizar la vara para medir longitudes.\nEstas actividades favorecen que los alumnos comprendan que medir significa tomar una unidad y ver cuántas veces cabe en la magnitud que se quiere medir sin llegar a utilizar los sistemas convencionales de medida.\nSaber cuáles son las características de los objetos que sirven para medir las diferentes magnitudes y utilizarlos facilitará a los alumnos, en grados posteriores, la adecuada comprensión de diferentes sistemas de medición y el uso de las unidades de medida convencionales.\nLos alumnos realizarán diversas actividades con cuerpos geométricos que les permitirán identificar las partes que los constituyen, distinguiendo sus formas, su extensión, la unión de cada una de las formas (aristas), así como sus vértices (puntas o esquinas).\nEn cuanto a las figuras, podrán reconocerlas por su nombre y clasificarlas tomando en cuenta algunas de sus propiedades geométricas. Asimismo, realizarán actividades que permitirán la construcción y transformación de figuras para favorecer, de otra manera, su reconocimiento y el de algunas de sus propiedades geométricas.\nLos alumnos desarrollarán también la habilidad para ubicarse en el plano, al recorrer trayectos y al representarlos e interpretarlos gráficamente. Al mismo tiempo aprenderán a expresar adecuadamente su propia ubicación en relación con su entorno, la de seres u objetos en relación con ellos y la de los objetos entre sí.\nPor medio de las actividades que se proponen, los alumnos continúan desarrollando la habilidad para analizar la información contenida en textos, tablas y gráficas de barras sencillas, así como en ilustraciones de su libro de texto u otras fuentes. Además aprenderán a seleccionar la información necesaria que les permita inventar y resolver problemas.\nLa actividad central del maestro en la enseñanza de las matemáticas va mucho más allá de la transmisión de conocimientos, definiciones y algoritmos matemáticos:\nBusca o diseña situaciones problemáticas para propiciar el aprendizaje de los distintos contenidos.\nElige actividades y las gradúa de acuerdo con el nivel del grupo, propiciando que los alumnos pongan en juego los conocimientos matemáticos que poseen.\nPropone situaciones que contradigan las ideas "erróneas" de los alumnos, favoreciendo la reflexión y la búsqueda de nuevas explicaciones.\nFavorece la evolución de los procedimientos utilizados inicialmente por los alumnos para aproximarlos hacia los procedimientos convencionales de las matemáticas.\nPromueve el diálogo y la interacción de los alumnos y coordina la discusión sobre las ideas que tienen acerca de las situaciones planteadas, mediante preguntas que les permitan conocer el porqué de sus respuestas.\nEl maestro debe tomar en cuenta que su papel no se limita a ser un facilitador de la actividad. Si bien debe respetar la actividad y creatividad de los alumnos, también debe intervenir con sus orientaciones, explicaciones y ejemplos ilustrativos cuando así se requiera. Éste es uno de los momentos más difíciles de su quehacer profesional, ya que, con base en su experiencia, debe seleccionar el momento oportuno de su intervención, de tal manera que ésta no sustituya el trabajo de los alumnos ni obstaculice su proceso de aprendizaje.\nTradicionalmente, los problemas se han utilizado en la escuela para que los alumnos apliquen los conocimientos que les han enseñado previamente, sin embargo, la experiencia ha mostrado que a pesar de que se dedican muchas horas de trabajo con este propósito, la mayoría de los alumnos presenta serias dificultades para aplicar dichos conocimientos en la resolución de problemas.\nUna de las principales causas de estas dificultades reside en que los contenidos se han trabajado de manera aislada, es decir, fuera de un contexto que le permita al alumno descubrir su significado, sentido y utilidad.\nAdemás, con frecuencia, la manera en que se plantean los problemas no permite que los alumnos se enfrenten realmente a ellos. Se les dice cómo resolverlos o se les proponen problemas modelo en los que deben aplicar el conocimiento que se ha enseñado previamente (por ejemplo, el algoritmo de la suma). Es decir, no se promueve la búsqueda personal de soluciones, anulando la posibilidad de los alumnos para crear procedimientos propios.\nPara que la resolución de problemas promueva el aprendizaje matemático y el desarrollo de la capacidad de razonamiento de los alumnos es necesario invertir el orden en el que tradicionalmente se ha procedido; esto es, enfrentar a los alumnos desde el principio a la resolución de problemas para que los resuelvan con sus propios recursos, lo que les permitirá construir nuevos conocimientos y, más tarde, encontrar la solución de problemas cada vez más complejos, utilizando los procedimientos de solución convencionales.\nCuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un problema, por lo general encuentran, al menos, una forma de aproximarse a la solución. Esto, a su vez, puede generar en el grupo una valiosa diversidad de procedimientos.\nEs de gran utilidad promover que los alumnos conozcan y analicen las formas de solución que siguieron sus compañeros. Conocer los diferentes procedimientos que se encontraron para resolver un mismo problema tiene un gran valor didáctico, pues permite que los alumnos se den cuenta que para resolverlo existen varios caminos, algunos más largos y complicados que otros, pero que lo importante es acercarse a la solución. Les permite, también, percatarse de sus errores, así como reconocer y valorar sus estrategias y sus resultados.\nCuando los alumnos logran comprender los procedimientos que otros siguieron para resolver algún problema, pueden utilizarlos en otras situaciones. Probar, equivocarse, volver a probar hasta lograr la solución, propicia que los niños avancen en su aprendizaje, adquieran confianza en el manejo de sus conocimientos, reconozcan su validez y los utilicen para resolver las diversas situaciones a las que se enfrentan.\nLa resolución de problemas y la adquisición de conocimientos significativos y duraderos son procesos que deben avanzar en estrecha relación.\nPara favorecer el aprendizaje de los procedimientos de solución convencionales, a partir de las estrategias utilizadas por los alumnos, es necesario:\na) Aumentar el grado de complejidad de la situación, es decir, aumentar el rango de los números o cambiar la estructura del problema.\nb) Obstaculizar el procedimiento encontrado para que los alumnos busquen otras maneras de resolverlo. Por ejemplo, pedirles que no utilicen material concreto o que no hagan dibujos.\nLos problemas se utilizan con los siguientes propósitos:\nPara que los alumnos construyan sus conocimientos a través de buscar estrategias convencionales y no convencionales que los resuelvan.\nPara que apliquen y profundicen los conocimientos adquiridos.\nPara que las situaciones problemáticas favorezcan la construcción de conocimientos y centren el interés de los alumnos en la búsqueda de su solución, deben cumplir con dos condiciones: presentar un reto, es decir, evitar el planteamiento de situaciones que los alumnos sepan de antemano cómo resolver y que las situaciones que se presenten puedan ser abordadas por los alumnos con los conocimientos que poseen.\nUna misma situación, con poca variación, seguirá siendo interesante para los niños mientras no hayan encontrado una forma sistemática de resolverla. Cuando la han encontrado deja de ser un problema para construir conocimientos, convirtiéndose en un problema que permite a los alumnos mostrar lo que han aprendido y reforzar sus conocimientos.\nA fin de que los alumnos desarrollen su capacidad para explorar y comprender las relaciones entre los datos de un problema, se propone programar actividades en las que los alumnos resuelvan problemas de suma, de resta, de multiplicación o de reparto. Esta forma de trabajo permitirá a los alumnos construir los diferentes significados de las operaciones al relacionarlas con las acciones que realizan para resolverlos.\nAdemás, es conveniente cambiar la estructura de los problemas, es decir, proponer problemas en los que las operaciones adquieran significados diferentes. En el cuadro 1 aparecen los significados de las operaciones que se manejan en este grado.\nEn cuanto a los problemas que sirven para aplicar y reforzar conocimientos es conveniente que el maestro continúe planteando problemas en diversos contextos, como "La tiendita", "El banco", juegos con dados, canicas, estampas, animales, etcétera; o pedir a los alumnos que sean ellos los que inventen problemas a partir de un texto, de los datos de una ilustración, de una operación dada o a partir de dos números. Por ejemplo, pedir que inventen un problema con los números 25 y 4.\nLos errores en la resolución de problemas\nCuando se resuelven problemas matemáticos en la escuela, los alumnos tienden a depender de la aprobación del maestro para saber si la forma en que los resolvieron es o no la correcta, sin embargo, es conveniente que sean ellos mismos quienes reconozcan si el procedimiento que emplearon los llevó a la solución del problema, verifiquen sus resultados y localicen el error, si es que lo hay.\nLos intentos fallidos, o los errores de los alumnos al resolver un problema, forman parte de su proceso de aprendizaje y deben ser aprovechados para que, a partir de ellos, avancen en sus conocimientos.\nSe sugiere al maestro que favorezca la socialización de los procedimientos generados por los alumnos, así como la búsqueda de errores. El uso de material concreto para verificar sus respuestas y la confrontación de ideas, permite que sean los mismos alumnos quienes las validen o invaliden (véase, por ejemplo,la lección 45, p. 69).\n¿Qué tipo de problemas conviene plantear en la escuela?\nEs común escuchar que en la enseñanza de las matemáticas se debe recurrir a problemas de la vida real, con el fin de despertar el interés del niño y llegar a conocimientos relevantes. Si bien esto es cierto, no hay que olvidar que existen situaciones divertidas e interesantes que también se pueden aprovechar para que los alumnos construyan y avancen en sus conocimientos, por ejemplo, los juegos matemáticos, situaciones problemáticas asociadas a la fantasía, a los animales y mascotas, a la literatura infantil, así como los problemas puramente numéricos o geométricos.\nTradicionalmente los problemas se plantean a través de un texto que contiene los datos numéricos necesarios para resolverlos. Con el propósito de que los alumnos aprendan a resolver problemas planteados de distintas formas, a buscar la información necesaria para resolverlos y a descartar la que no les sea útil es conveniente también variar la presentación de los problemas.\nPueden mostrarse ilustraciones a partir de las cuales el maestro hace preguntas (véase, por ejemplo,la lección 66, p. 100); algunas veces, el problema puede consistir en que los alumnos sean quienes elaboren preguntas que puedan resolverse con la información contenida en un texto o en una ilustración (véase, por ejemplo, la lección 63, p. 96); otras veces el problema puede consistir en que los alumnos sean quienes formulen problemas que se resuelvan con una operación planteada, o bien, en realizar ciertas acciones sobre un material concreto a partir de determinadas consignas (véase, por ejemplo, la lección 73, p. 110).\nSe recomienda que el maestro proponga también problemas que tengan diferentes respuestas correctas, con el propósito de que los alumnos no piensen, como ha sucedido con la enseñanza tradicional, que todos los problemas tienen solamente una solución. Por ejemplo, en algunas lecciones del libro de texto se hacen preguntas como: ¿qué puedo comprar en la tienda con 50 pesos? Todas las respuestas que den los alumnos pueden ser correctas si no rebasan la cantidad fijada.\nFunción del libro de texto\nEn los primeros grados de la educación primaria, la mayor parte de las situaciones problemáticas que los alumnos pueden enfrentar son actividades que se realizan con distintos materiales concretos.\nPara que los alumnos puedan comprender y resolver las lecciones del libro es necesario, en la mayoría de los casos, que previamente se realicen actividades con material concreto, como las que se sugieren en el apartado de "Recomendaciones didácticas por eje" y en las fichas de actividades didácticas de este grado. Esto se menciona por que el libro de texto enfrenta a los niños a la interpretación y uso de representaciones gráficas, que corresponden a un momento posterior a las actividades realizadas fuera del libro con material concreto.\nPor lo tanto es necesario utilizar el libro de texto como uno de los recursos didácticos que favorece fundamentalmente la interacción de los niños con representaciones gráficas de los conocimientos matemáticos.\nConsiderando que los alumnos de segundo grado son más hábiles para leer, su libro contiene mayor cantidad de texto que el de primero. Sin embargo, es conveniente recordar que cuando los alumnos ingresan a segundo grado de primaria, en general, no tienen aún la capacidad de leer un texto con suficiente fluidez, de tal manera que les permita comprender la idea planteada en él. Por esta razón, se recomienda que una vez que los alumnos han terminado de leer solos cada lección, el maestro repita la lectura en voz alta y se asegure de que todos los niños han comprendido de qué se trata la actividad.\nAlgunas de las lecciones del libro de texto plantean situaciones que introducen a los alumnos en algunos conocimientos. Por ejemplo, con la lección 17, p. 29, se inicia el trabajo de agrupamiento de colecciones en centenas, decenas y unidades y se propone el uso de material concreto, en este caso, tres tipos de tarjetas llamadas "Los mangos", que representan a cada uno de los agrupamientos. Después de haber trabajado esta lección, los alumnos deben realizar numerosas actividades que les permitan comprender por qué cada tipo de tarjeta adquiere un valor determinado, por qué pueden cambiar una tarjeta que representa a 100 mangos por 10 tarjetas que representan 10, y por qué pueden cambiar una tarjeta que representa a 10 mangos por 10 tarjetas que representan a un mango.\nOtras lecciones ofrecen situaciones para afirmar conocimientos, por ejemplo, en la lección 34, p. 54, se introduce el uso de la tabla de centenas, decenas y unidades como un recurso para aproximarse a la representación convencional de las cantidades, que favorece la comprensión del valor que adquieren las cifras de un número según el lugar que ocupan. Realizar actividades previas, independientes del libro, permitirá a los alumnos familiarizarse con el uso de este recurso, de tal modo que en el momento que trabajen en la lección puedan resolverla con éxito.\nLas fichas de actividades didácticas\nAdemás de las actividades que el maestro diseñe a partir de su experiencia y de las recomendaciones didácticas planteadas para cada uno de los ejes, se cuenta también con el Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Segundo grado en el que podrá encontrar una amplia gama de situaciones que favorecen la introducción, profundización y afirmación de los contenidos y, por ende, el aprendizaje de los alumnos.\nPor esto es importante que el maestro revise y seleccione las actividades planteadas en el fichero para ponerlas en práctica con sus alumnos. Si es necesario, pueden ser modificadas o rediseñadas (sin perder de vista el propósito de la actividad), de acuerdo con el criterio y la experiencia del maestro, para adaptarlas a las condiciones del grupo con el que trabaja.\nCon el propósito de que el maestro tenga una idea de cómo utilizar las fichas de actividades y el libro de texto, en el Avance programático. Segundo grado. Educación básica. Primaria se sugiere cómo alternar estos dos recursos didácticos.\nAlgunas de las actividades del fichero están señaladas como actividades rutinarias y se caracterizan porque pueden realizarse diariamente, en cinco o diez minutos, al principio o al final de la clase de matemáticas. Además de ser divertidas, favorecen que los alumnos desarrollen la habilidad para leer y escribir números con los símbolos convencionales, reflexionen acerca del orden de los números, utilicen oralmente los números ordinales y desarrollen su capacidad para hacer estimaciones y cálculos mentales. Es recomendable que el maestro alterne las actividades rutinarias que se proponen en el desarrollo de cada bloque.\nEn la mayoría de las fichas se sugiere dos o tres versiones de la misma actividad. El maestro deberá seleccionar la versión que considere más adecuada, en función de los conocimientos que poseen sus alumnos hasta ese momento.\nImportancia del material concreto en el aprendizaje de las matemáticas\nEn los primeros grados de la primaria, la mayor parte de los contenidos matemáticos se empieza a trabajar con actividades en las que es necesario usar material concreto. La forma en que los alumnos utilizan este material determina, en gran medida, la posibilidad de comprender el contenido que se trabaja. Si bien es importante que en un primer momento se permita a los alumnos manipular los materiales para que se familiaricen con ellos, es necesario plantear situaciones problemáticas en las que el uso del material tenga sentido.\nSi el maestro entrega el material a los alumnos y les indica cómo deben utilizarlo para resolver la problemática que se les plantea, ellos aprenderán a seguir instrucciones, pero probablemente no comprenderán por qué tuvieron que realizar dichas acciones con el material. En cambio, si plantea el problema a los alumnos, les entrega el material y les da libertad de usarlo como ellos consideren conveniente para encontrar la solución, los niños pondrán en juego sus conocimientos sobre la situación planteada, echarán mano de experiencias anteriores y utilizarán el material como un recurso que les ayude a resolver el problema.\nAsí, los alumnos comprenderán la clase de acciones que realizan con el material para resolver el problema y descubrirán propiedades y características del material que con sólo manipularlo (siguiendo indicaciones) quizás hubieran pasado inadvertidas.\nConforme los alumnos avancen en el proceso de aprendizaje, se puede retirar progresivamente el uso del material y entregarlo sólo para verificar los resultados.\nHay en cambio otras situaciones problemáticas en las que el material es una parte misma del problema y no sólo un apoyo, por ejemplo, las situaciones en las que se trabaja con la geometría. En estos casos el material es un recurso indispensable; necesitan manipularlo, compararlo y observar sus características para resolver la situación planteada.\nDada la importancia que tiene el uso de material concreto en este grado, se ha incorporado en el libro recortable una gran parte de los materiales didácticos necesarios para llevar a cabo las situaciones que se proponen en el Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Segundo grado y en el libro de texto.\nComo puede observarse, en la parte inferior de cada material recortable aparece su nombre, un logo y las instrucciones de recorte. Los materiales señalados con el (dibujo de tijeras verticales y botellita de pegamento) 1 y con el (dibujo de tijeras verticales y botellita de pegamento) 2 son los únicos que los niños recortarán y pegarán en las lecciones 63 y 65 pp. 96 y 98. Los materiales marcados con (el dibujo de tijeras verticales) y con (el dibujo de tijera horizontales) serán utlizados frecuentemente a lo largo del año, por lo que no deberán pegarse ni en el libro de texto ni en los cuadernos de los alumnos. Por ejemplo, el material "Cuadritos de colores" se utiliza para resolver las lecciones 72, 85 y 116, pp. 108, 132 y 174, y los "Triángulos amarillos" se usan en diferentes sesiones de clase para realizar actividades como las que se sugieren en la ficha 30.\nPara el mejor uso del material recortable que se utilizará en el transcurso del año, conviene que durante los primeros días de clase, el maestro, con ayuda de los padres de familia, lo pegue en cartoncillo antes de recortarlo. Esto ayudará a que este material tenga una mayor durabilidad. Posteriormente deberán recortarlo y guardarlo en sobres, anotando en cada uno el nombre del material que contiene. No es conveniente que los niños recorten este material, ya que si esto no se hace con precisión, se corre el riesgo de inutilizarlo y no cumpla su función.\nOtro tipo de materiales a utilizar durante el año son de desecho y resultarán fáciles de conseguir, por ejemplo: palos de escoba, varitas de diferentes tamaños, alambre delgado, semillas grandes, clavos, tuercas, tornillos, piedras, tapas de frascos, cajas y envases de diferentes formas y tamaños, mecates o cordones, tierra, arena o aserrín, plastilina, masa o barro.\nEn caso de que se presente alguna dificultad para conseguir los materiales que se sugieren, el maestro puede sustituirlos por otros objetos que tengan más o menos las mismas características.\nCon el propósito de que los alumnos tengan acceso a los materiales que se utilizarán en el transcurso del año escolar, se sugiere que el maestro organice, junto con sus alumnos, el Rincón de las matemáticas en algún espacio del salón de clases. En este lugar deberán concentrarse, de manera organizada, todos los materiales mencionados en el rubro anterior (véase la página 8 del libro de texto).\nEs importante para la formación de los alumnos que participen en la organización del Rincón de las matemáticas y en el cuidado de los materiales. Por lo anterior se sugiere que cada semana se asigne a un equipo de niños la responsabilidad de mantener ordenado el Rincón, de repartir el material que se va a utilizar en cada clase y de recogerlo cuando ésta termine.\nCon el propósito de que el material recortable no se pierda, se recomienda que al término de la clase cada alumno verifique que tiene completo su material, lo guarde en su sobre y lo entregue a los responsables del Rincón.\nEn caso de que la escuela opere con doble turno es conveniente que los maestros se pongan de acuerdo, de manera que optimicen los espacios.\nLos juegos matemáticos\nEl juego es una parte importante en la vida de los niños y debe aprovecharse para favorecer el aprendizaje. Todos los juegos exigen a los participantes, por una parte, conocer las reglas y, por otra, construir estrategias para ganar sistemáticamente.\nCada vez que los niños participan en un mismo juego perfeccionan sus estrategias. Al final saben si ganaron o perdieron; incluso, con el tiempo, pueden darse cuenta en qué parte del juego pudieron haber hecho otra jugada en lugar de la que hicieron.\nPor esta razón, en el libro de texto se incorporan juegos matemáticos como "La papa caliente" (p. 37), "Un paseo por la selva" (p. 68), "El manotazo" (p. 72), "Adivinanzas geométricas" (p.116), "Adivinanzas numéricas" (p. 135), "La figura escondida" (p. 146) y "Submarinos" (p. 175). Algunos de estos juegos favorecen el desarrollo de habilidades y destrezas y otros propician que los alumnos construyan conocimientos matemáticos o que profundicen en ellos.\nOtros juegos matemáticos propuestos en las lecciones del libro de texto son adaptaciones de los juegos planteados en el libro Juega y aprende matemáticas. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula, México, SEP, 1991 (Libros del Rincón).\nPor ejemplo, la lección 9, p. 18, es una adaptación de juego "Atínale"; la lección 22, p. 34, corresponde a la primera versión del juego "Basta numérico"; la lección 25, p. 38, es una adaptación de la primera versión del juego "El cajero"; las lecciones 30 y 110, p. 47 y 167, son una adaptación de la segunda y tercera versiones del juego denominado "Rompecabezas"; la lección 71, p. 107, corresponde a la tercera versión del juego "Guerra de cartas".\nEn el libro Juega y aprende matemáticas. Propuestas para divertirse y trabajar en el aula se cuenta con otros juegos que no han sido incluidos en el libro de texto pero que pueden proponerse a los alumnos de este grado, por ejemplo: la primera versión del juego "Cuadrados mágicos"; la primera y segunda versiones de los juegos "Al verde", "Dilo con una cuenta ","La pulga y las trampas" y "Carrera a 20". También el maestro puede proponer las tres primeras versiones del juego "¿Quién adivina el número?"\nEl uso de la calculadora se ha restringido en la escuela primaria, entre otras razones por el temor de maestros y padres de familia de que este instrumento evite que los niños aprendan a efectuar (sin calculadora) las operaciones básicas. Sin embargo, numerosas experiencias en el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas han podido constatar que el uso controlado de la calculadora en ciertas actividades específicas, lejos de obstaculizar el aprendizaje lo favorece. Por ejemplo permite:\nPlantear problemas cuya finalidad es que los alumnos establezcan relaciones adecuadas entre los datos y seleccionen, de manera autónoma, la o las operaciones con las que pueden resolverse.\nVerificar resultados obtenidos mediante el cálculo mental o escrito\nInferir los procesos que sigue la calculadora a partir del análisis de las teclas que se oprimen y de los resultados que arroja.\nResolver problemas que requieren efectuar muchos cálculos u operaciones numéricas engorrosas.\nPor estas razones, en el libro de texto y en el fichero de actividades didácticas, de este grado, se incorporaron en las fichas 3 y 29 actividades en las que se sugiere utilizar la calculadora. Algunas permiten indagar los conocimientos previos de los alumnos acerca de los números, favorecen el aprendizaje de la serie numérica y de las operaciones de suma y resta. Otras desarrollan en los alumnos la habilidad para estimar y calcular mentalmente resultados de problemas y operaciones, mismos que se verifican con el auxilio de la calculadora.\n¿Cómo trabajar las actividades con calculadora?\nEs conveniente que antes de aplicar las actividades, el maestro las experimente con diferentes tipos de calculadoras sencillas, sobre todo las que se proponen en las fichas 3 y 29, en tanto no todas las calculadoras funcionan de la misma manera.\nPor ejemplo, con cualquier calculadora es posible construir sucesiones numéricas de 1 en 1, de 2 en 2, etcétera. Sin embargo, no siempre se procede de la misma forma. Si tiene a la mano dos o tres calculadoras sencillas de diferente modelo y marca, probablemente encontrará distintos resultados al ejecutar, en cada una, las siguientes instrucciones:\n1. Encienda la calculadora (en la pantalla aparece el 0).\n2. Oprima las teclas 17 + 3 (en la pantalla aparece primero el 17 y luego el 3).\n3. Oprima tantas veces como desee la tecla = y observe cada vez el número que aparece en la pantalla.\nEs probable que en alguna de las calculadoras obtenga la siguiente sucesión de números al oprimir repetidamente la tecla =: 20, 23, 26, 29, 32, 35,... En otra tal vez los resultados sean: 20, 37, 54, 71, 88, 105,... Otra quizás arroje los siguientes resultados: 20, 20, 20,...\nPuede observarse que en el primer caso (20, 23, 26, 29, 32, 35,...), al oprimir consecutivamente la tecla = la calculadora suma de manera constante el segundo sumando que se introdujo (17 + 3). En el segundo caso (20, 37, 54, 71, 88, 105,...), se observa que la calculadora toma como constante el primer sumando (17 + 3) y en el tercer caso (20, 20, 20,...), no se modifica el primer resultado.\nPara construir sucesiones numéricas con estas últimas calculadoras, tal vez se requiera oprimir dos veces seguidas el signo + (17 + + 3 = = = ...).\nConocer cómo funcionan las calculadoras que usan los alumnos permitirá al maestro coordinar con éxito las actividades propuestas.\nEn algunas lecciones del libro Matemáticas. Segundo grado se propone que los alumnos utilicen la calculadora para verificar resultados. En este caso es importante que los alumnos resuelvan primero las actividades mediante el cálculo mental o con lápiz y papel, y después usen la calculadora para verificar el resultado que obtuvieron.\nNo todos los niños que ingresan a segundo grado tienen los mismos conocimientos. En general, todos ya saben contar, pero probablemente no todos se saben la serie numérica completa del 1 al 100 y tal vez algunos niños aún tienen dificultad para interpretar y representar los números con los símbolos convencionales. La mayoría de los alumnos podrá resolver problemas de suma y de resta con números menores que 100, utilizando material, dibujos, conteo u otros procedimientos; otros niños, tal vez, ya lo puedan hacer utilizando los procedimientos convencionales.\nCon el propósito de que todos los alumnos alcancen más o menos el mismo nivel de conocimientos, se propone, a manera de repaso, que durante el desarrollo del primer bloque los alumnos realicen actividades en las que es necesario el uso de los números del 1 al 100 para resolverlas (véanse, por ejemplo, las lecciones 3, 5 y 16, pp. 11, 14 y 28). Al mismo tiempo se plantean situaciones que implican sumar o restar, ya sea mentalmente, con la ayuda de material o mediante el uso del algoritmo convencional de estas operaciones (véanse, por ejemplo, las lecciones 6, 8 y 11, pp. 15, 17 y 20).\nPara que los alumnos de segundo grado avancen en el conocimiento del sistema decimal de numeración es conveniente que continúen realizando actividades de comparación, ordenación y comunicación de cantidades, que les permitan comprender la necesidad y las ventajas de agrupar los objetos de una colección en centenas, decenas y unidades (véanse, por ejemplo, las lecciones 25 y 28, pp. 38 y 44).\nEn estas actividades los alumnos cuentan tres tipos de "objetos": las centenas, las decenas y los objetos sueltos que quedan sin agrupar. Es importante que los alumnos en un primer momento expresen verbalmente los resultados del conteo para que aprendan a distinguir los tres tipos de objetos que cuentan y después lo expresen por escrito, utilizando en un principio representaciones no convencionales, hasta que finalmente lleguen a la representación numérica convencional (véanse, por ejemplo, las lecciones 49 y 54, pp. 75 y 84).\nExiste una gran variedad de situaciones que para resolverse exigen el uso de números, en su aspecto cardinal, de manera oral o mediante representaciones gráficas. Estas situaciones básicas implican:\nComparar colecciones para saber cuál tiene más.\nIgualar dos colecciones para que ambas tengan la misma cantidad de objetos.\nConstruir una colección con la misma cantidad de objetos que otra.\nComunicar a alguien la cantidad de objetos que tiene una colección para que forme otra con la misma cantidad.\nEsta última tarea, la de comunicar, es de una gran riqueza didáctica, porque implica en realidad cuatro acciones:\nCuantificar la colección que se tiene.\nRepresentar dicha cantidad oralmente o por escrito para enviar el mensaje.\nInterpretar el mensaje para crear la colección que le corresponde.\nComparar la colección original con la colección creada para verificar que tienen el mismo número de objetos.\nAl realizar estas acciones, los niños se apropian poco a poco de la representación simbólica de los números y de su significado.\nA continuación se recomienda la siguiente secuencia didáctica para avanzar en el conocimiento del sistema decimal de numeración.\n1. Aprendizaje de la serie oral de 100 en 100, de 10 en 10 hasta el 1000, para cuantificar, comparar y ordenar colecciones agrupadas o para comunicar cantidades (véanse, por ejemplo, las lecciones 7 y 47, pp. 16 y 72).\n2. Agrupamiento y desagrupamiento de centenas, decenas y unidades con material concreto (véase la página 39 de este libro). Estas actividades amplían el conocimiento sobre las reglas de cambio del sistema decimal de numeración (véanse, por ejemplo, las lecciones 25 y 28, pp. 38 y 44).\n3. Representación simbólica de la serie de 10 en 10 y de 100 en 100 hasta el 1000 (véanse, por ejemplo, las lecciones 7 y 42, pp. 16 y 66, y la actividad que se presenta en la página 40 de este libro).\n4. Resolución de problemas de sumas, de restas y de problemas multiplicativos utilizando material concreto. Es recomendable que cuando los alumnos realicen estas actividades tengan a la vista la serie de números con la que se esté trabajando.\n5. Relación entre el nombre de los números y los agrupamientos que conforman ese número. Un recurso didáctico que favorece la comprensión de esta relación es la tabla de cantidades que se muestra abajo. En esta tabla los alumnos señalan la cantidad de unidades que hay en varias centenas y decenas (véase, por ejemplo, la lección 43, p. 67). Al decir la cantidad de unidades que hay en cada grupo surge, de manera natural, el nombre de los números que les falta conocer. Por ejemplo, si se tienen 8 centenas, 4 decenas y 9 unidades, la cantidad de objetos agrupados en las centenas son 800, en las decenas 40 y 9 unidades sueltas: "ochocientos cuarenta y nueve".\n6. Aproximación a la representación numérica convencional de los números de tres cifras. Se recomienda que en diversas actividades de cuantificación y comunicación de colecciones se utilice una tabla de centenas, decenas y unidades en la que registren el número de grupos de cada valor que contiene una colección (véanse, por ejemplo, las lecciones 49 y 54, pp. 75 y 84).\nUna vez que los niños empiezan a representar números sin tabla deben continuar realizando múltiples actividades de cuantificación, comunicación, comparación y orden de colecciones para profundizar y afirmar la comprensión del sistema decimal de numeración y su representación simbólica.\nAsimismo es recomendable plantear situaciones problemáticas que favorezcan la comprensión del valor posicional de las cifras, por ejemplo: formar y comparar colecciones de objetos que correspondan a números con cifras iguales pero en distinto orden (358 y 583); representar esas cantidades con diversos materiales que equivalgan a centenas, decenas y unidades; formar números diferentes con sólo 3 dígitos o descomponer una misma cantidad, de distintas maneras, en dos o tres sumandos (véanse, por ejemplo, las lecciones 17, 20, 28, 49 y 71, pp. 29, 32, 44, 75 y 107).\nEsta progresión de las representaciones (verbal, con material concreto, con la tabla de cantidades y con la tabla de centenas, decenas y unidades) debe darse siempre a lo largo de actividades que impliquen el uso del número para comparar, igualar, ordenar colecciones y, sobre todo, para comunicar el número de objetos que tiene una colección (véase, por ejemplo, la lección 12, p. 22).\nA la vez que los alumnos conocen y utilizan los números para cuantificar el total de objetos de las colecciones (aspecto cardinal), es conveniente que utilicen también los primeros 20 números para ordenar los objetos de distintas colecciones, para señalar el lugar que ocupan personas u objetos (véase, por ejemplo, la lección 21, p. 33) o para determinar el resultado de una competencia (aspecto ordinal).\nTambién se sugiere que los alumnos realicen actividades en las que observen los diferentes usos y significados de los números. Pueden identificar, por ejemplo, su número de lista, el de la casa donde viven, reconocer los números telefónicos de algunas personas o de algún lugar en especial, numerar a los integrantes de los equipos o identificar a los jugadores de un equipo deportivo por el número de su camiseta o a un camión o un coche por el de su placa, etcétera.\nSe sugiere que, paralelamente al aprendizaje de la serie numérica oral y escrita, los alumnos se enfrenten a la resolución de numerosos problemas de suma, de resta o problemas multiplicativos planteados de tal manera que, para resolverlos, tengan la necesidad de buscar, analizar y seleccionar la información necesaria en el texto del problema, en tablas y gráficas elaboradas por ellos o en las ilustraciones de su libro de texto u otras fuentes (véanse por ejemplo, las lecciones 27, 44 y 58, pp. 42, 68 y 89 y página 41 de este libro).\nEs importante plantear problemas con diferentes estructuras para que al analizar el problema los alumnos diferencien las acciones que deben realizar para resolverlos (véanse por ejemplo, las lecciones 16 y 35, pp. 28 y 56).\nDespués de que han resuelto numerosos problemas utilizando sus propios procedimientos (dibujo, uso de material, etcétera), el maestro puede imponer ciertas restricciones con el propósito de que busquen otras formas de solución. Por ejemplo, puede restringir la elaboración de dibujos o sólo dejar que se use el material para verificar resultados.\nAlgoritmo convencional de la suma y de la resta\nHay que recordar que antes de que los alumnos se enfrenten al algoritmo convencional de la suma y de la resta es necesario que resuelvan numerosos problemas que impliquen estas operaciones, mediante el agrupamiento y desagrupamiento de unidades, decenas y centenas representadas con material concreto (fichas de colores, monedas, etcétera).\nQue los alumnos resuelvan los problemas con material favorece la comprensión de las reglas del algoritmo convencional de estas operaciones. Por ejemplo, ayuda a entender por qué en la suma 343+189, cuando se suman las unidades (9 + 3) sólo se tiene que anotar el 2 como resultado abajo de la columna correspondiente y llevar 1 a la columna de las decenas; o por qué en la resta 343-189, "se tiene que pedir uno" a las decenas y por qué "el 3 se convierte en 13" y no en cuatro.\nDespués de que los alumnos han resuelto muchas situaciones problemáticas de suma y resta con material es necesario que el maestro les ayude a relacionar las acciones realizadas sobre el material con el algoritmo convencional de la suma y de la resta, y presentar estos algoritmos como otra forma de resolver los problemas.\nProbablemente algunos alumnos continuarán utilizando diversos procedimientos para resolver problemas de suma y de resta, aunque ya se les haya enseñado el algoritmo convencional. En estos casos se sugiere que el maestro lo permita y después de haberlo resuelto les recuerde que ese problema también puede resolverse con el procedimiento convencional de la suma o de la resta. Asimismo se sugiere que los alumnos verifiquen si obtienen el mismo resultado con los procedimientos utilizados y con el convencional.\nPoco a poco, en la medida que los alumnos comprendan los algoritmos convencionales de la suma y de la resta y se den cuenta que también sirven para resolver estos problemas, irán abandonando sus procedimientos y utilizarán las operaciones convencionales de la suma y de la resta para resolverlos (véase la página 42 de este libro).\nLa manera en la que los alumnos empiezan a trabajar con los problemas multiplicativos es la misma que se propone en primer grado para trabajar con los problemas de suma y resta: enfrentar a los alumnos a la resolución de situaciones problemáticas sencillas relacionadas con la multiplicación antes de enseñarla formalmente (véanse, por ejemplo, las lecciones 11 y 16, pp. 20 y 28).\nEn segundo grado se propone trabajar con más profundidad los problemas de multiplicación hasta llegar a la representación convencional de la multiplicación de dígitos y a la construcción del cuadro de multiplicaciones que los alumnos utilizarán como herramienta para resolver nuevos problemas de manera más rápida.\nConviene que los alumnos cuenten con materiales como cajitas, tapaderas y objetos pequeños que les serán útiles para resolver los problemas o para verificar sus resultados.\nAl principio, para resolver problemas relacionados con la multiplicación, los alumnos utilizarán diferentes procedimientos, como dibujar rayitas o bolitas, utilizar material concreto, contar con sus dedos, sumar por escrito o mentalmente (véanse, por ejemplo, las lecciones 51 y 74, pp. 78 y 112).\nMientras los alumnos resuelven los problemas, el maestro deberá observar atentamente cómo lo hacen y cuando terminen pedirá a un alumno de cada equipo que explique y muestre al resto del grupo cómo llegaron a la solución. Al principio, el maestro debe ayudarles a explicar los procedimientos que siguieron hasta que aprendan a hacerlo y a defenderlos por sí mismos.\nConocer las diferentes formas de solución encontradas por sus compañeros favorece que los alumnos se den cuenta de que estos problemas también pueden resolverse de diferentes maneras; que algunas son más complicadas que otras, pero que lo importante es llegar a la solución. Lo fundamental es que los alumnos estarán en posibilidad de utilizar algunos de los procedimientos de sus compañeros en la medida en que los comprendan.\nPermitir y propiciar el uso de procedimientos no convencionales favorece que los alumnos comprendan el significado de la multiplicación. Con la práctica encontrarán procedimientos más eficaces, como usar el cuadro de multiplicaciones para resolverlos.\nPara acercarse a la representación convencional de la multiplicación se propone que los alumnos construyan, con la misma cantidad de objetos, colecciones formadas por grupos más pequeños, y que también elaboren mensajes para que otros compañeros construyan una colección igual a la de ellos (véase la ilustración anterior).\nPosteriormente, los alumnos tendrán que comparar la colección construida con la original, y verificar que ambas tengan en total el mismo número de objetos. Más adelante, el maestro podrá proponer a los alumnos que intenten elaborar mensajes más cortos. Es probable que los alumnos realicen mensajes como el siguiente.\nCuando los alumnos logren hacer mensajes más cortos, el maestro podrá proponer usar la representación convencional de la multiplicación de dígitos (3 x 4) como una manera más corta para comunicar el número de grupos y el número de objetos que contiene cada grupo (véase, por ejemplo, la lección 77, p. 118).\nSe recomienda que el maestro elabore un cuadro de multiplicaciones en un pliego de papel grande y lo pegue en la pared para que, poco a poco, los alumnos registren en él los resultados de los problemas de multiplicación que vayan resolviendo (véase, por ejemplo, la lección 81, p. 126).\nTener a la vista el cuadro de multiplicaciones favorece que los alumnos lo utilicen para resolver los problemas. Sin embargo, es posible que durante un tiempo continúen usando la suma para resolverlos. En estos casos también se sugiere que el maestro lo permita y después les haga notar que el resultado del problema ya estaba registrado en el cuadro de multiplicaciones (véase, por ejemplo, la lección 86, p. 133).\nAl final del año se propone trabajar con situaciones multiplicativas apoyándose en arreglos rectangulares, con el fin de propiciar que los alumnos, de manera implícita, trabajen con la propiedad conmutativa de la multiplicación (véanse, por ejemplo, las lecciones 99 y 107, pp. 150 y 162). Además, este tipo de situaciones constituye un trabajo importante, previo a la comprensión del algoritmo convencional de la multiplicación que se formalizará en tercer grado.\nCon el propósito de que los alumnos aprendan a seleccionar la operación adecuada que resuelve cierto tipo de problemas, cabe recordar la importancia de plantear constantemente, y de manera alternada, problemas de suma, de resta y de multiplicación (véanse, por ejemplo, las lecciones 15, 66 y 83, pp. 26, 100 y 130).\nOtros problemas y actividades que implican procesos multiplicativos\nDesde primer año se ha propuesto plantear a los alumnos la resolución de situaciones de reparto de colecciones en las que no hay sobrante para que las resuelvan con procedimientos no convencionales (uso de material, dibujos, conteo, etcétera).\nEn segundo grado se propone que el maestro continúe planteando situaciones de reparto de colecciones, con y sin sobrante, para que los alumnos enriquezcan el significado de la multiplicación, ya que en esos problemas subyace la búsqueda de uno de los factores de la multiplicación. Por ejemplo:\nOtro tipo de problemas en los que también se busca uno de los factores de una multiplicación son los de división, en los que hay que averiguar cuántas veces cabe una cantidad en otra (tasativos). Por ejemplo:\nQue los alumnos resuelvan este tipo de problemas motiva que inicien implícitamente un trabajo de reflexión sobre la división, misma que se formalizará en tercer grado (véase, por ejemplo, la lección 51, p. 78).\nTambién en segundo grado, desde el inicio del año escolar los niños deben verbalizar y registrar series numéricas de 2 en 2, de 3 en 3, etcétera, que se construyen sumando cada vez una misma cantidad. Esto será de utilidad cuando, posteriormente, avancen en el conocimiento de la multiplicación y reconozcan la regularidad de los resultados de multiplicaciones que tienen un factor común (véanse por ejemplo, las lecciones 24, 57 y 72, pp. 37, 88 y 108).\nLa estimación de resultados es otro aspecto importante que se continúa desarrollando en este grado; con este fin se recomienda que antes de que los alumnos resuelvan los problemas, el maestro les plantee preguntas para que den una primera aproximación del resultado. Por ejemplo, para el problema: Pedro compró una piñata de 18 pesos y otra de 15 pesos, ¿cuánto dinero pagó Pedro por las piñatas? El maestro puede preguntarles: ¿cuánto dinero creen que pagó? ¿Menos de 28 pesos? ¿Más de 28 pesos? (véase, por ejemplo, la lección 11, p. 20).\nEl planteamiento de estas preguntas ayuda a los niños a comprender el problema, a establecer las relaciones entre los datos, a tener una idea del tamaño del resultado y a valorar con más bases si el resultado que obtuvieron mediante procedimientos informales o convencionales es razonable, posible o imposible.\nPropiciar el desarrollo de la habilidad del cálculo mental para resolver problemas favorece que los alumnos pongan en juego estrategias como sumar primero las centenas, después las decenas y por último las unidades (descomposición de números).\nPor ejemplo, para resolver mentalmente el problema: el papá de Víctor tiene 373 pesos ahorrados y su mamá tiene 125 pesos, ¿cuánto dinero tienen si juntan todo lo que han ahorrado? Puede hacerse lo siguiente:\n125 = 100 + 20 + 5 373 = 300 + 70 + 3\n100 + 300 = 400 20 + 70 = 90 5 + 3 = 8\n400 + 90 + 8 = 498\n125 + 373 = 498\nPara que este procedimiento sea eficaz, los niños deben realizar previamente otras actividades de suma y resta de centenas y decenas, y resolver muchos problemas como éste. De esta manera desarrollarán la habilidad para sumar mentalmente, con facilidad, centenas, decenas y unidades.\nLos niños, en sus juegos o en otras actividades realizadas fuera o dentro de la escuela, han determinado, a simple vista y por medio de la comparación directa, cuándo un objeto es más largo o pesa más que otro, cuándo una figura es más grande que otra. Identifican, por ejemplo, a qué bolsa le cabe más dulces. De manera implícita han empezado a desarrollar sus primeras nociones de longitud, superficie, capacidad y peso.\nEn segundo grado los alumnos continuarán realizando este tipo de actividades, al utilizar sistemáticamente unidades arbitrarias de medida, para que con la cuantificación de las unidades utilizadas comparen y ordenen las diferentes magnitudes de los objetos. A través de estas actividades los alumnos profundizan su conocimiento sobre el concepto de longitud, superficie, capacidad y peso, y sobre los procesos de medición y la noción de unidad de medida.\nPara iniciar el trabajo sobre medición de longitudes se recomienda que, en las primeras sesiones dedicadas a este tema, el maestro retome algunas de las actividades de comparación directa de longitudes que se proponen para el primer grado, con el propósito de que los alumnos que en el año anterior no llevaron a cabo estas actividades puedan realizarlas como un primer acercamiento para el desarrollo de esta noción.\nMás adelante conviene aumentar la dificultad de las actividades. Por ejemplo, comparar distancias semejantes en longitud, es decir, cuya diferencia no sea muy notoria, y comparar las longitudes de objetos que no puedan colocarse uno junto al otro, por ejemplo: ¿qué es más largo, el pizarrón o la ventana?\nDespués de que el maestro proponga a sus alumnos actividades como las anteriores deberá darles tiempo suficiente para buscar la manera de comparar las longitudes. Es probable que recurran al uso de un objeto que sirva de intermediario: un palo, un cordón, etcétera. Si a los alumnos no se les ocurre cómo hacerlo, el maestro puede sugerírselos. Los objetos que se utilicen como intermediarios deben ser más largos que las longitudes a comparar para que puedan trasladarla longitud total de uno de los objetos sobre la otra longitud (véase, por ejemplo, la lección 32, p. 50).\nMás adelante, para comparar las longitudes también pueden recurrir al uso de unidades arbitrarias de medida, como contar cuántos pasos pueden dar a lo largo de una distancia señalada, cubrirla con la "cuarta de su mano", con lápices, varas, etcétera.\nEn estos casos el maestro deberá propiciar una discusión entre los alumnos, en la que traten de explicar, con sus propios argumentos, por qué cada vez que se mide el largo de un objeto o una distancia con diferentes unidades de medida los resultados varían.\nSi los alumnos no logran captar que los resultados difieren porque los objetos que utilizaron para medir no tienen la misma longitud, el maestro lo deberá hacer notar.\nPosteriormente, se sugiere que el maestro enfrente a los alumnos a situaciones de medición y reproducción de distancias equivalentes y a situaciones en las que primero estimen la medida (como cuántas veces creen que cabe una unidad arbitraria de medida en caminos rectos y curvos) y después verifiquen sus estimaciones, midiendo directamente con la unidad preestablecida (véanse, por ejemplo, las lecciones 9, 13 y 19, pp. 18, 24 y 31).\nLa introducción de situaciones de medición de longitudes curvas favorece que los alumnos empiecen a reflexionar sobre la necesidad de utilizar unidades arbitrarias de medida más adecuadas para medir este tipo de longitudes. Por ejemplo, un pedazo de cordón, de mecate, etcétera.\nOtras situaciones de medición necesarias para favorecer el desarrollo de las nociones de longitud y de unidad de medida son aquéllas en las que los alumnos estiman la longitud de un objeto, tomando en cuenta el tamaño de la unidad con la que se va a medir. Por ejemplo: corten un pedazo de cordón que mida 6 lápices como éste (sólo se muestra el lápiz). Después, miden el pedazo de cordón que cortaron, con el lápiz mostrado, para ver si estimaron bien la longitud.\nEn segundo grado también se propone el planteamiento de actividades de medición del contorno de figuras, mediante el conteo de las unidades arbitrarias de medida con las que están formadas (véase, por ejemplo, la lección 41, p. 65). El propósito de estas actividades es que los alumnos inicien un trabajo de reflexión sobre la noción de perímetro, que se trabajará de manera formal en grados posteriores.\nAdemás, con el propósito de que los alumnos se familiaricen con los instrumentos de medición convencionales (la regla graduada) y comprendan las ventajas de utilizar una unidad de medida graduada con unidades más chicas para aproximarse mejor a la medida de una longitud, se propone que en este grado los alumnos construyan una "regla" con dos unidades arbitrarias de medida y que la utilicen para medir longitudes (véase, por ejemplo, la lección 98, p. 149).\nProbablemente, en las primeras situaciones de medición que se propongan los alumnos tendrán dificultad para realizarlas, sin embargo, es importante que las lleven a cabo para desarrollar la noción de longitud y de unidad de medida, así como para desarrollar la habilidad para estimar la medida de longitudes (véase la página 55 de este libro).\nEs necesario que el maestro tome en cuenta que, por lo general, los alumnos de este grado todavía no son conservadores de área, es decir, consideran que el tamaño de una superficie aumenta o disminuye cuando ésta cambia de forma o se corta. Por ejemplo: si se construyen dos rectángulos diferentes, como los que se muestran abajo, con una misma cantidad de figuras iguales, los alumnos pueden pensar que la superficie del rectángulo A es más grande porque es más ancho y que la superficie del rectángulo B es más chica porque es más "flaquito".\nSi a dos niños (A y B) se les entrega un "pastel", representado por una hoja de papel, igual en forma y tamaño, y B corta el suyo en varios pedazos, algunos niños pueden pensar que B tiene más pastel que A, porque B tiene más pedazos o que A tiene más "pastel" que B, porque su pastel no se ha cortado.\nEs importante que el maestro tome en cuenta que las respuestas "erróneas" que manifiestan los alumnos frente a las experiencias de comparación de superficies corresponden a la etapa de su desarrollo y no a "falta de atención". Con el tiempo y la experiencia, los alumnos comprenderán que el tamaño de una superficie no se modifica si ésta únicamente se corta o cambia de forma.\nLos niños logran ser conservadores de área a lo largo de la primaria. Sin embargo, en la escuela deben proponerse actividades que enfrenten a los niños, desde los primeros grados, a experiencias que les sean útiles para avanzar en su desarrollo.\nSe sugiere que las primeras situaciones con las que se trabaje la noción de superficie sean actividades de comparación directa, mediante la superposición de figuras, como las que se proponen para el primer grado.\nComo los alumnos de este grado todavía tienen dificultades para comparar superficies mediante el recorte y la compensación es recomendable que las figuras que se comparen se contengan entre sí, es decir, que una figura quepa totalmente en la otra (véase, por ejemplo, la lección 14, p. 25).\nFinalmente, se sugiere que los alumnos empiecen a recurrir al uso de unidades arbitrarias de medida para comparar superficies a través de la medición. Es decir, tendrán que construir o recubrir superficies con figuras iguales en forma y tamaño, contar cuántas figuras ocuparon para construirlas o para cubrirlas y así poder determinar cuál es más grande, a través de la comparación de los resultados de la cuantificación (véanse, por ejemplo, las lecciones 37 y 92, pp. 58 y 140).\nPara enriquecer el aprendizaje de las nociones de longitud y de superficie se propone realizar actividades que permitan que el alumno empiece a reflexionar sobre si existe o no alguna relación entre el tamaño del contorno de las figuras (perímetro) y la medida de su superficie (área) (véase, por ejemplo, la lección 41, p. 65).\nPor ejemplo, en las figuras A, B y C se observa que el rectángulo A y el cuadrado B tienen el mismo perímetro pero la medida de sus superficies son diferentes, en cambio, el cuadrado B y el rectángulo C tienen la misma medida de superficie y sus perímetros son diferentes.\nA través de estas actividades se pretende que los alumnos profundicen su conocimiento sobre las nociones de superficie, de medida y de unidad de medida de superficie. Todos estos conocimientos se formalizarán en años posteriores.\nMedición de la capacidad de recipientes\nLa noción de capacidad está estrechamente relacionada con la noción de volumen, por lo tanto es necesario que el maestro tome en cuenta que, en general, los alumnos de este grado no son conservadores de volumen, es decir, consideran, por ejemplo, que una misma cantidad de líquido es mayor si se vierte en un recipiente angosto y menor si se vierte en un recipiente más ancho, porque el nivel del líquido sube más en uno que en otro.\nTambién en este caso el maestro deberá tomar en cuenta que las respuestas "erróneas" que manifiestan los alumnos de este grado frente a las experiencias de comparación de la capacidad de recipientes, no se deben a "falta de atención", simplemente corresponden a su etapa de desarrollo.\nEn segundo grado, al igual que en primero, se propone que los alumnos continúen desarrollando actividades que les permitan seguir reflexionando sobre las ideas que tienen acerca de la capacidad de los recipientes.\nEl maestro deberá proveerse con anticipación de frascos, envases, botellas, etcétera, con formas y tamaños diferentes. Con estos materiales el maestro podrá plantear situaciones en las que los alumnos anticipen a cuál de ellos creen que le cabe más arena, tierra o agua y posteriormente verifiquen sus anticipaciones utilizando unidades arbitrarias de medida (véase, por ejemplo, la lección 52, p. 80).\nTambién puede plantearse esta misma actividad a la inversa. Mostrar dos o tres frascos llenos de arena y preguntar a los alumnos cuál de los dos o tres frascos creen que tiene más arena. Posteriormente, los alumnos deberán verificar sus anticipaciones midiendo la cantidad de arena que contiene cada frasco con una misma unidad arbitraria de medida.\nOtra actividad que favorece la reflexión sobre la noción de capacidad es en la que los alumnos vierten una misma cantidad de arena en recipientes con formas diferentes, y posteriormente se les pide que expresen verbalmente si en todos esos recipientes hay o no la misma cantidad de arena.\nProbablemente algunos alumnos continúen pensando que tienen más arena los recipientes más angostos, dado que en éstos el nivel de arena sube más que en los anchos; tal vez otros alumnos digan que todos tienen la misma cantidad, porque a todos les pusieron lo mismo (el mismo número de unidades arbitrarias de medida llenas de arena). Si esto último sucede, el maestro deberá invitar a los alumnos a buscar una manera de mostrar a sus compañeros que lo que dicen es cierto o falso. Si en la discusión no logran convencerse, no se preocupe, con el tiempo y a través de muchas actividades como éstas lo lograrán.\nMedición del peso de objetos\nEs importante que en las primeras actividades los alumnos comparen directamente el peso de los objetos al sopesarlos, es decir, al tomar un objeto en cada mano, para determinar "cuál de los dos es más pesado".\nDespués de que los alumnos han realizado numerosas actividades de comparación directa del peso de pares de objetos deberán enfrentarse a situaciones en las que al sopesarlos no sea fácil determinar cuál de los dos objetos pesa más. En estos casos será necesario utilizar un instrumento más sensible que les permita determinar cuál es más pesado. Para ello se introduce el uso de la balanza casera, construida por los propios alumnos con ayuda de su maestro.\nEl trabajo con la balanza favorece el planteamiento y resolución de diversos problemas, como serían: explicar el modo en que la balanza indica que un objeto pesa más que otro, anticipar hacia qué lado se inclinará la balanza o si ésta quedará en equilibrio al colocar un par de objetos en ella.\nPuede suceder que al sopesar dos objetos los alumnos consideren que uno es más pesado que el otro y, al verificar su peso colocándolos en la balanza observen que el platillo en el que colocaron el objeto considerado más pesado queda más arriba. Es probable, también, que los alumnos traten de explicar este hecho argumentando que al ponerlo en la balanza pesa más que cuando está fuera de ella, que ese platillo es más pesado que el otro, que la balanza no sirve o simplemente pueden declarar no saber lo que sucede.\nEn este momento no debe esperarse que los alumnos den explicaciones "correctas" ni precisas; sólo se trata de que expresen lo que piensan y de que fundamenten sus ideas.\nMás adelante, se propone iniciar el trabajo de reflexión sobre lo que significa medir el peso de los objetos y sobre la noción de unidad de medida de peso, mediante situaciones en las que los alumnos equilibren la balanza colocando en uno de sus platillos un objeto y en el otro unidades arbitrarias de medida como tuercas, tornillos, clavos, u otros objetos pequeños iguales en forma y tamaño (véase, por ejemplo, la lección 102, p. 155).\nDespués, el maestro deberá continuar planteando comparaciones del peso de objetos en la balanza y buscar situaciones interesantes, como comparar el peso de objetos grandes que pesen menos que objetos pequeños, objetos del mismo tamaño y de la misma forma cuyo peso sea diferente (cajas iguales rellenas con diferentes materiales), etcétera. Esto ayudará a que los alumnos avancen en la elaboración de sus argumentaciones y, por ende, en sus conocimientos.\nCuando los niños ingresan a segundo grado han desarrollado un poco más su noción de tiempo, dado que empezaron a tener un contacto más estrecho con el paso del tiempo desde que están en la escuela. Saben que a partir de que inicia el año escolar deben llegar puntuales a la escuela, que van de lunes a viernes y que el sábado y domingo no van; que en la escuela tienen media hora de recreo y que este tiempo lo deben distribuir para jugar, comer su torta, ir al baño; saben también que cada determinado tiempo van a tener clase de educación física y que después de unos meses estarán de nuevo de vacaciones.\nSin embargo, estas percepciones no son suficientes para que se percaten de cuánto tiempo pasa entre un evento y otro. Para favorecer el desarrollo de la noción de tiempo en los niños de segundo grado se sugiere que el maestro organice actividades en las cuales:\nReconozcan los días de la semana. Por ejemplo, registren todas las actividades realizadas durante el día y al término de la semana redacten un texto en el que digan qué actividad de las que realizaron cada día les gustó más.\nOrdenen sucesos temporalmente. Por ejemplo, recorte y pegado de dibujos que tengan una secuencia temporal; ordenen textos a partir de la lectura de oraciones sueltas.\nInventen historias a partir de actividades redactadas de manera aislada o de imágenes.\nReconozcan los meses del año mediante actividades como buscar en el calendario las fechas de diferentes celebraciones, por ejemplo, los cumpleaños de cada niño del grupo.\nRegistren e identifiquen sucesos recurrentes. Por ejemplo, contar cuántos días pasan de lunes a lunes, de una clase de educación física a otra; observar la regularidad entre los días que van a la escuela y los que no van; buscar en el calendario días festivos que se celebran una vez al año, como en qué día y en qué mes cae el Día de la Bandera, el Día del Trabajo, el Día de las Madres, el Día del Padre, etcétera (véanse, por ejemplo, las lecciones 40 y 65, pp. 64 y 98).\nEn síntesis, el conjunto de las actividades sobre medición que se sugieren favorece que los alumnos desarrollen sus nociones de las distintas magnitudes y propicia la comprensión de que para cada magnitud se requieren unidades de medida diferentes (véase, por ejemplo, la lección 109, p. 166).\nEn la propuesta actual, el estudio de la geometría va más allá del coloreado y reconocimiento del nombre de las figuras trazadas en el libro y de los cuerpos geométricos. Presentar las figuras geométricas siempre sobre papel y en una misma posición provoca en muchos casos que los alumnos consideren que una figura se convierte en otra con sólo girarla. Por ejemplo, la mayoría de los niños, incluso en los grados superiores, identifican al cuadrado cuando éste se apoya en uno de sus lados y creen que se convierte en rombo cuando se gira y se presenta apoyado en uno de sus vértices.\nUno de los propósitos del primer ciclo de la escuela primaria es que los alumnos realicen, por un lado, experiencias que les permitan ubicarse en el espacio a partir de sí mismo y con relación a otros seres u objetos. Por otro lado, que aprendan a ubicar figuras en un plano y a la vez que avancen en el conocimiento de las figuras geométricas reconociéndolas, no sólo por su nombre, sino a través de la reflexión sistemática sobre algunas de sus propiedades geométricas, a partir de la observación y el análisis de las formas de su entorno y de las formas que constituyen a los diversos cuerpos geométricos.\nUbicación en el plano y en el espacio\nEn segundo grado, el desarrollo de la ubicación espacial del alumno en relación con su entorno y con otros seres u objetos, así como la ubicación de los seres y objetos entre sí, sigue siendo un aspecto importante de la geometría que se debe seguir trabajando.\nEn general los niños de este grado utilizan cotidianamente y de manera más adecuada las relaciones espaciales como arriba de, abajo de, delante de, detrás de, entre, sobre, entre otras, para ubicar objetos y personas en su entorno. Sin embargo, hay cuestiones para los niños de esta edad que siguen siendo difíciles de entender, como la diferencia entre a la derecha de o a la izquierda de, así como el carácter relativo de las relaciones espaciales antes mencionadas.\nAl realizar actividades relacionadas con estas nociones espaciales, el alumno utilizará de manera más adecuada estas expresiones e iniciará un trabajo de representación gráfica de su entorno, poniendo más atención a la relación espacial que existe en un momento determinado entre otros seres u objetos. Para ello, se sugiere realizar actividades como las siguientes:\nDescripción oral de la ubicación de objetos y personas. Los alumnos participarán en juegos en los que seguirán instrucciones para colocarse o para colocar objetos en un lugar determinado, así como actividades en las que tengan necesidad de referir el lugar en el que se encuentran algunos objetos dentro del salón de clases (véase, por ejemplo, la lección 10, p. 19).\nEn segundo grado se trabaja de manera más sistemática la lateralidad del alumno y la de algunos objetos, mediante actividades que le permitan reconocer su derecha y su izquierda. Por ejemplo, describir oralmente la posición de personas y objetos en relación con ellos mismos y con otros objetos: a mi derecha se sienta Juan; Susana está sentada a mi izquierda; a la derecha de la muñeca..., a la izquierda de la silla está Vicente, etcétera (véase, por ejemplo, la lección 46, p. 70)\nEs importante destacar que las relaciones de lateralidad (derecha, izquierda) existen sólo en función de los objetos que tienen frente, como una silla, una muñeca, una casa, etcétera. En cambio, objetos como un lápiz, un borrador, una mesa, no tienen derecha ni izquierda.\nEjecución e interpretación de trayectos. Los alumnos de este grado realizarán actividades en las que se desplacen de un lugar a otro a partir de consignas dadas por el maestro o por otros compañeros e interpretarán desplazamientos en un plano y los reproducirán en retículas cuadriculadas (hojas cuadriculadas) a partir de un modelo (véase, por ejemplo, la lección 60, p. 92 y la página 56 de este libro).\nCon respecto a la ubicación en el plano y al trabajo sobre figuras geométricas, en el primer ciclo se propone, fundamentalmente, desarrollar la percepción geométrica de los alumnos mediante la interacción sistemática con las figuras geométricas. Para ello, se sugiere llevar a cabo actividades como las que se describen:\nConstrucción de configuraciones geométricas con el tangram. En segundo grado se continúa trabajando con rompecabezas. Sin embargo, no aparecen los rompecabezas clásicos, pero se continúa reproduciendo imágenes con las piezas del tangram (5 triángulos, un romboide y un cuadrado). A diferencia de los modelos de rompecabezas trabajados en primer grado, los de segundo no muestran en dónde se ubican todas las piezas del tangram y el color del modelo no hace referencia a los colores de las piezas (véase, por ejemplo, la lección 1, p. 9). Además, se trabaja de manera más sistemática la transformación de un modelo en otro, moviendo una o dos piezas (véase, por ejemplo, la lección 110, p. 167).\nConstrucción y transformación de figuras. Otras actividades que se proponen para favorecer la observación de algunas propiedades de las figuras geométricas consisten en la construcción y transformación de figuras con el tangram y con tiras de cartón "mecano" (véanse, por ejemplo, las lecciones 82 y 110, pp. 128 y 167).\nReproducción de imágenes con una figura de dos colores diferentes. En primer grado se propone que los alumnos realicen este tipo de actividades utilizando cuadrados bicolores. En segundo grado sólo se cambia la forma de las piezas con las que se trabaja. Se sugiere que los alumnos usen una figura que represente a una "gallina" con la cual reproduzcan diversas configuraciones geométricas a través de la ubicación en el plano, colocándola en diferentes posiciones (véanse, por ejemplo, las lecciones 23 y 48, pp. 36 y 74).\nReproducción de mosaicos. También se favorece el desarrollo de la percepción geométrica con actividades en las que los alumnos visualizan y construyen figuras geométricas que se forman con triángulos (véanse, por ejemplo, las lecciones 18 y 56, pp. 30 y 87).\nReproducción de figuras en retículas (cuadriculadas o punteadas). Desde primer grado se han propuesto actividades en las que los alumnos deben reproducir una imagen hecha con líneas horizontales y verticales en una retícula. Para ayudarlos en la ubicación se mostraba el inicio del trazo en la retícula en la que se iba a reproducir el dibujo. En segundo grado se espera que los alumnos ya puedan ubicar por dónde pueden empezar a trazar el dibujo, sin embargo, es probable que para algunos niños no sea fácil. En estos casos, el maestro puede ayudarlos cuestionándolos sobre el número de cuadritos que no se utilizan a partir de una de las esquinas de la retícula en la que está el modelo (véase, por ejemplo, la lección 56, p. 87).\nEn segundo grado estas actividades se hacen más complejas al utilizar en el dibujo, además de las líneas horizontales y verticales, el trazo de líneas inclinadas. Otra dificultad a la que se enfrentan los niños de segundo consiste en que la retícula en la que se va a reproducir el modelo tiene más cuadritos que la original (véase, por ejemplo, la lección 87, p. 134).\nLas figuras en relación con los cuerpos geométricos. En segundo grado se continuará con actividades que propicien la observación de las figuras que conforman a los cuerpos geométricos. Se propone que identifiquen y reproduzcan las caras de diferentes cuerpos, que las recorten y que determinen cuáles figuras pertenecen a cada uno de los cuerpos geométricos (véase, por ejemplo, la lección 33, p. 52 ). Otro tipo de actividades con el mismo propósito son aquéllas en las que los alumnos construyen de diversas maneras el "forro" de un cuerpo y actividades en las que tienen que identificar cuál de los forros le corresponde a un cuerpo geométrico determinado (véanse, por ejemplo, las lecciones 89 y 105, pp. 136 y 160).\nClasificación de figuras y de cuerpos geométricos. Es fundamental que los alumnos continúen con la clasificación de los cuerpos geométricos a partir de la forma de sus caras, así como identificando las figuras a partir de sus propiedades geométricas.\nMediante la comparación de los cuerpos, los alumnos descubrirán que algunos tienen aristas (bordes) y vértices (picos); que otros cuerpos, como las pelotas, no los tienen, y que otros sólo tienen bordes pero no vértices, como el cilindro. Descubrirán también que algunos cuerpos tienen caras planas y otros caras curvas.\nSe recomienda que el maestro, al referirse a la forma de las caras de los cuerpos, utilice desde un principio el nombre de las figuras, sin exigir que los alumnos lo hagan; poco a poco las reconocerán por su forma y nombre. También es importante que ayude a los alumnos a identificar las "caras planas y caras curvas" de los cuerpos.\nLos alumnos de este grado, continúan clasificando figuras por tamaños, por el número de lados, por el número de vértices, separando las que tienen todos sus lados rectos de las que tienen lados curvos, las que se parecen y las que no se parecen.\nAunque los niños llamen puntas o esquinas a los vértices de las figuras, conviene que el maestro utilice, de manera natural, el término correcto, señalando que estas puntas o esquinas también se llaman vértices. Con el tiempo los niños irán utilizando este término adecuadamente (véase la página 57 de este libro).\nEjemplos de actividades en las que se trabajan algunas propiedades geométricas de las figuras se encuentran en las lecciones 4, 69 y 76, pp. 12, 104 y 116.\nEl desarrollo de los contenidos de este eje se subordina al trabajo de los otros tres ejes correspondientes al segundo grado, en el sentido de que desarrollan la capacidad de los niños para descifrar la información contenida en ilustraciones, registros y pictogramas; o bien, la resolución e invención de problemas a partir de la información que aporta una ilustración hacen funcionar de manera prioritaria los contenidos que competen a "Los números, sus relaciones y operaciones", a la "Medición" y a la "Geometría".\nPor esta razón, en 90 por ciento de las lecciones del libro de texto las imágenes enfrentan al alumno a la necesidad de interactuar con ellas, observarlas y analizarlas, con el objeto de seleccionar la información pertinente que le permita resolver tanto situaciones de medición como geométricas y aritméticas.\nOtras actividades, como la elaboración e interpretación de gráficas de barras y la elaboración de tablas sencillas (véanse, por ejemplo, las lecciones 20 y 22, pp. 32 y 34) que se han planteado desde el primer grado, inician a los alumnos en un trabajo que permite organizar y analizar información de manera más eficaz para la resolución de cierto tipo de problemas, como organizar la información obtenida en encuestas sobre preferencias por algunos colores o alimentos, o sobre otras cuestiones como la edad de sus compañeros, el número de hermanos que tiene cada uno, etcétera (véanse, por ejemplo, las lecciones 27 y 108, pp. 42 y 164). Estos recursos se irán formalizando paulatinamente a lo largo de la primaria.\nUna de las ideas conceptuales que subyace en la propuesta actual para la enseñanza es que el proceso de aprendizaje de los niños es evolutivo, es decir, no todos los niños construyen los conocimientos que se están trabajando al mismo tiempo. Por lo tanto, es conveniente que el maestro realice evaluaciones con grupos pequeños de alumnos (8 o 10) para apreciar con más profundidad y detalle, de manera individual, los logros y las dificultades que se les presentan al desarrollar las actividades. El resto del grupo, mientras tanto, puede ocuparse en otra actividad o en alguno de los juegos matemáticos que se sugieren.\nEs recomendable que al evaluar a sus alumnos, el maestro considere cuestiones como las que se plantean a continuación:\nLas actividades que el maestro proponga para evaluar deben ser semejantes a las que haya realizado a lo largo de cada bloque.\nAdemás de observar permanentemente la participación de los alumnos durante el desarrollo de cada bloque y de revisar sus libros y cuadernos es importante que periódicamente, el maestro lleve a cabo evaluaciones orales y escritas al término de cada bloque. Estas evaluaciones permiten al maestro percatarse de manera más precisa sobre los conocimientos adquiridos por sus alumnos y pueden servir de parámetro para observar el grado de avance entre una evaluación y otra.\nEn la evaluación oral, el maestro puede plantear situaciones que se resuelvan a través de la manipulación del material, conteo, cálculo mental, estimaciones y verificación de resultados. Con estas actividades, el maestro podrá darse cuenta si los alumnos han avanzado en su conocimiento sobre las reglas de cambio del sistema decimal de numeración, si se saben la serie numérica oral, hasta qué número pueden contar con facilidad y si pueden resolver mentalmente problemas sencillos de suma, de resta y de multiplicación de dígitos.\nEn la evaluación escrita, el maestro puede proponer situaciones en las que los alumnos tengan la necesidad de escribir números para comunicar cantidades menores que 1000, resolver problemas de suma, resta y multiplicación de dígitos, seguir secuencias numéricas, etcétera. De este modo, el maestro podrá observar hasta qué número saben escribir los alumnos con facilidad, qué números se les dificultan, si pueden interpretar y utilizar los signos y símbolos numéricos adecuadamente y qué avances han tenido en los procedimientos que utilizan para resolver problemas.\nOtro aspecto importante que el maestro debe considerar es que algunos de los contenidos que se trabajan a lo largo del curso no pueden incluirse en la evaluación final de cada bloque, porque a veces no es posible realizar, en una sola sesión, todas las actividades necesarias para evaluarlos o porque el avance de los alumnos sobre estos contenidos sólo puede apreciarse después de un tiempo mayor, es decir, después de haberlos trabajado durante dos o tres bloques.\nEn particular, las actividades del eje "Tratamiento de la información", así como las de ubicación en el plano y en el espacio del eje "Geometría" deberán evaluarse durante su desarrollo, tomando en cuenta la participación del alumno, el tipo de reflexiones que expresa en la clase y el progreso que muestra a lo largo de las actividades.\nAlarcón, Jesús, Silvestre Cárdenas, Blanca Parra, Juan José Rivaud, María Guadalupe, Lucio y Alba Rojo, Matemáticas 1, México, SEP-FCE,1991.\nÁvila, Alicia, Los niños también cuentan, México, SEP, 1994 (Libros del Rincón).\nBaldor, Aurelio, Aritmética teórico práctica, 8a ed. México, Publicaciones Cultural, 1993.\nBlock, David, “Validación empírica del conocimiento en clase de matemáticas en la primaria", en Cero en Conducta (25) , México, 1991.\nBlock, David, Irma Fuenlabrada y Hugo Balbuena, "Matemáticas", en Dialogar y descubrir. Manual del instructor comunitario. Nivel I y II (Elsie Rockwell, coord.), México, SEP/Conafe/DIE/Cinvestav, 1992.\nBlock, David, Irma Fuenlabrada, Alicia Carvajal y Patricia Martínez, Los números y su representación, México, 1991. (Libros del Rincón).\nCarraher, Teresinha, En la vida diez, en la escuela cero, México, Siglo XXI, 1991.\nCarrión Miranda, Vicente, "Un recurso para la enseñanza de la geometría", en Educación Matemática (1), vol. 5, México, 1993.\nEducación y Cambio, A.C., Cero en Conducta (4), México, 1986.\nFuenlabrada, Irma, David Block, Hugo Balbuena y Alicia Carvajal, Juega y aprende matemáticas. 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Segundo grado, México, SEP, 1992.\n___, Propuesta curricular del proyecto Dialogar y descubrir para el sistema de cursos comunitarios dependientes de Conafe/DIE/Cinvestav, México, SEP, 1992.\nLibro para el maestro. Matemáticas.\nSe imprimió por encargo de la\nComisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,\nen el 45º aniversario de su creación,\nen los talleres de Grupo Gráfico Editorial, S.A. de C.V.\ncon domicilio en Calle B núm. 8, Parque Industrial Puebla 2000\nC.P. 72220, Puebla, Pue.,\nel mes de junio de 2004.\nEl tiraje fue de 36,400 ejemplares


Dos ‘finales’ adelantadas | Deportes\nDos ‘finales’ adelantadas\nAssociated Press | Así quedaron las llaves de cuartos de final de la Liga de Campeones\nNyon, Suiza— Real Madrid enfrentará a Bayern Munich y Barcelona se topará con la Juventus en unos cuartos de final de la Liga de Campeones entre cuatro equipos que suman 23 títulos europeos.\nPor su parte, Atlético de Madrid jugará contra la gran sorpresa del torneo, Leicester, y Mónaco chocará con Borussia Dortmund, según determinó el sorteo realizado ayer.\nAncelotti busca convertirse en el primer técnico que gana la Copa de Europa con tres clubes diferentes. Además del Madrid, la conquistó dos veces con el Milán.\n“Somos maestro-alumno. Es una buena persona, estuve con él como segundo y sabemos lo que ha hecho aquí”, comentó el timonel del Madrid, Zinedine Zidane, quien se desempeñó como asistente de Ancelotti en el club merengue. “Nos conocemos bien los dos y en un partido puede pasar de todo. Lo más importante no es el dibujo, sino la actitud y la admiración”.\n“Es un equipo muy fuerte que lo está haciendo bien. Va a ser un partido bonito para el mundo del futbol y para los aficionados”, agregó Zidane. “La eliminatoria está al 50%, siempre es así y más con este partido. Normalmente se dice que es mejor jugar la ida fuera pero no tengo preferencia. Sabemos que tenemos que ir allí a hacer gol y luego tenemos el partido de vuelta”.\n“Será una eliminatoria difícil y muy bonita. Nos enfrentaremos a un grandísimo equipo y con muy buenos jugadores. Nos exigirá hacer dos grandes partidos para estar en la siguiente ronda”, afirmó el volante del Barcelona, Andrés Iniesta.\nAmbos equipos, al igual que Bayern, tienen posibilidades de lograr tripletes esta temporada. Bayern y la Juve son líderes en sus ligas, mientras que Barsa marcha segundo en España, y además siguen en pie en las etapas finales de sus respectivas copas domésticas.\nLa final será el 3 de junio en Cardiff, Gales.