Capítulo 3Leyes de conservación\nRetroceso Ley de conservación del impulso\nMovimiento de propulsión a chorro\nMovimiento propulsado por la fuerza de gravedad\n¿En qué unidades se miden el trabajo y la energía?\nPotencia y rendimiento de las máquinas\nIncluso quien no estuvo en la guerra sabe que, al disparar, el cañón bruscamente desplaza hacia atrás. Al disparar con un fusil, éste retrocede sobre el hombro. Pero, sin recurrir a las armas de fuego, también se puede observar el efecto del retroceso. Echen agua en una probeta, ciérrenla con un corcho y cuélguenla sobre dos hilos en posición horizontal (fig. 3.1). Acerquen ahora un mechero al cristal: el agua comenzará a hervir y dentro de unos dos minutos el corcho volará con estrépito hacia un lado, la probeta se desplazará en dirección contraria.La fuerza que expulsó el corcho de la probeta, es la presión del vapor. La fuerza que desplazó la probeta, también es la presión del vapor. Ambos movimientos se crearon gracias a la acción de una misma fuerza. Lo mismo ocurre con el disparo, sólo que aquí actúa no el vapor, sino los gases de la pólvora.El fenómeno del retroceso necesariamente se deduce de la regla de igualdad de la acción y reacción. Si el vapor actúa sobre el corcho, el corcho actúa sobre el vapor en dirección contraria y el vapor transmite esta reacción a la probeta.\nPero, puede ser que nos venga a la cabeza una objeción: ¿es que puede una misma fuerza conducir a tan diversas consecuencias? El fusil sólo desplaza un poco hacia atrás, mientras que la bala vuela lejos. Sin embargo, creemos que al lector no se le ocurrirá hacer tal objeción. Claro que fuerzas iguales pueden conducir a consecuencias diversa: pues, la aceleración que obtiene el cuerpo (esto es consecuencia de la acción de la fuerza) es inversamente proporcional a la masa de este cuerpo. La aceleración de uno de estos cuerpos (el proyectil, la bala, el corcho) la tenemos que escribir de la ferina a1 = F/m1; la aceleración del cuerpo que experimenta el retroceso (el cañón, el fusil, la probeta) será a2 = F/m2. Como la fuerza es una misma, llegamos a la siguiente conclusión: las aceleraciones obtenidas durante la acción mutua de dos cuerpos que toman parte en el «disparo», son inversamente proporcionales a sus masas:\na1 / a2 = m2/m1Esto significa que la aceleración que obtiene el cañón al retroceder, es tantas veces menor que la aceleración del proyectil, cuantas veces pesa más el cañón que el proyectil.La aceleración de la bala, y también del fusil, durante el retroceso, continúa mientras la bala se mueve por el cañón del fusil. Indiquemos este tiempo con la letra t. Dentro de este intervalo de tiempo, el movimiento acelerado se transforma en uniforme. Para mayor facilidad supondremos que la aceleración no se varía. Entonces, la velocidad con que sale la bala del cañón del fusil es: v1 = a1t, y la velocidad de retroceso, v2 = a2t. Como el tiempo de la acción de aceleración es el mismo, se tiene:\nv1 / v2 = a1/a2\nv1 / v2 = m2/m1\nLas velocidades con que se separan los cuerpos después de su acción mutua, son inversamente proporcionales a sus masas.Si recordamos el carácter vectorial de la velocidad, podemos escribir la última relación así: m1v1 = —m2v2; el signo menos señala que las velocidades v1 y v2 tienen direcciones opuestas.Finalmente, escribamos de nuevo la igualdad; traslademos a un miembro de la igualdad los productos de las masas por las velocidades:\n2. Ley de conservación del impulso\nEl producto de la masa de un cuerpo por su velocidad se llama impulso (otra denominación es, cantidad de movimiento). Como la velocidad es un vector, el impulso es una cantidad vectorial. Sin duda, la dirección del impulso coincide con la dirección de la velocidad del cuerpo.Mediante esto nuevo concepto, la ley de Newton F = ma, se puede expresar de otro modo. Como a = (v2 – v1)/tse tiene,\nF = (mv2 —mv1)/tO sea, Ft = mv2 —mv1\nEl producto de la fuerza por el tiempo de su acción es igual a la variación del impulso del cuerpo. Volvamos al fenómeno de retroceso.El resultado de la consideración del retroceso del cañón, se puede ahora formular más abreviadamente: la suma de los impulsos del cañón y del proyectil después del disparo, se mantiene igual a cero. Es evidente que igual a cero era también antes del disparo, cuando el cañón y el proyectil estaban en estado de reposo.Las velocidades que toman parte en la ecuación m1v1 + m2v2 = 0son las velocidades inmediatas después del disparo. Durante el movimiento ulterior del proyectil y del cañón, comienzan a actuar sobre éstos la fuerza de gravedad, la resistencia del aire, y sobre el cañón, además, la fuerza de rozamiento sobre la tierra. Si el disparo se produjese en el vacío, con un cañón suspenso en el espacio, entonces, el movimiento con las velocidades v1 y v2 se prolongaría tanto cuanto se desease. El cañón se movería hacía un lado y el proyectil hacia el lado opuesto.Actualmente, en la artillería se utilizan, en gran escala, cañones situados en plataformas, que disparan en marcha. ¿Cómo hay que cambiar la ecuación deducida, para que se pueda emplear para el disparo de uno de estos cañones? Podemos escribir:\nen donde u1 y u2 son las velocidades del proyectil y del cañón con respecto a la plataforma en movimiento. Si la velocidad de la plataforma es V, las velocidades del cañón y del proyectil, con respecto al observador en reposo, serán:\nv1 = u1 + V, y v2 = u2 + VSustituyendo los valores u1 y u2 en la última ecuación, obtenemos:\n(m1 + m2) V = m1v1 + m2v2En el segundo miembro de esta igualdad figura la suma de los impulsos del proyectil y del cañón después del disparo. ¿Y, en el primer miembro? El cañón y el proyectil, que tienen una masa total de m1 + m2, se movían antes de disparar con una velocidad igual a V. Por consiguiente, en el primer miembro de la igualdad figura el impulso total del proyectil y del cañón, pero, antes del disparo.Hemos demostrado una ley muy importante de la naturaleza, llamada ley de conservación del impulso. Hemos demostrado esta ley para dos cuerpos, pero es fácil demostrar que este resultado subsiste también para un número cualquiera de cuerpos. ¿Cuál es el contenido de esta ley? Según ésta, la suma de los impulsos de unos cuantos cuerpos que se encuentran en acción mutua, no se altera como resultado de esta acción.Está claro, que la ley de conservación del impulso será válida solamente cuando sobre el grupo de cuerpos considerados no actúan fuerzas exteriores. En física, tal grupo de cuerpos se llama cerrado.Durante el disparo, el fusil y la bala se comportan como un grupo cerrado de dos cuerpos, a pesar de que sufren la acción de la fuerza de atracción terrestre. El peso de la bala es pequeño con respecto a la fuerza de los gases de la pólvora, y el efecto de repercusión ocurrirá según las mismas leyes, independientemente de donde se efectúe el disparo, en la Tierra o en un cohete que vuele por el espacio interplanetario.La ley de conservación del impulso permite resolver con facilidad diversos problemas relacionados con el choque de los cuerpos. Probemos golpear con una bolita de barro a otra; éstas se pegan y continúan el movimiento juntas. Si se dispara con un fusil sobre una bola de madera, ésta echa a rodar junto con la bala que se quedó introducida en ella Una vagoneta quieta se pone en movimiento si un hombre salta corriendo sobre ella. Desde el punto de vista de la física, todos los ejemplos expuestos son muy parecidos. La regla que liga las velocidades de los cuerpos en los choques de este tipo, se obtiene inmediatamente de la ley de conservación del impulso.\nLos impulsos de los cuerpos antes del encuentro eran m1v1 y m2v2; después del choque los cuerpos se unieron y su masa total se hizo igual a m1 + m2.\nDesignando con V la velocidad de los cuerpos unidos, se tiene\nV = (m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)\nRecordemos el carácter vectorial de la ley de conservación del impulso. Los impulsos mv que figuran en el numerador de la fórmula, se deben sumar como vectores.El choque «conjunto» al encontrarse los cuerpos que se mueven formando un ángulo entre sí, se muestra en la fig. 3.2. Para hallar la magnitud de la velocidad, hay que dividir la longitud de la diagonal del paralelogramo construido sobre los vectores de los impulsos de los cuerpos que chocan, por la suma de sus masas.\n3. Movimiento de propulsión a chorroEl hombre se mueve empujándose de en tierra; la lancha navega porque los remeros se empujan del agua con los remos; la motonave también se empuja del agua, pero no con los remos, sino con la hélice. También se empuja de la tierra el tren que va por los raíles y el automóvil; recuerden lo difícil que lo es arrancar a un automóvil sobre el hielo.Así pues, parece como si el empuje sobre el apoyo fuese la condición necesaria para el movimiento; hasta el avión se mueve empujándose del aire con la hélice.Sin embargo, ¿es esto así? ¿Es que no existe algún artificio para poder moverse sin empujarse de nada? Si andamos en patines podemos convencernos nosotros mismos que tal movimiento es posible. Cojamos un palo pesado y parémonos sobre el hielo. Tiremos el palo hacia adelante: ¿qué ocurrirá? Pues, que patinaremos hacia atrás, a pesar de que no pensábamos empujarse del hielo con el pie.El efecto de retroceso que acabamos de estudiar nos proporciona una llave para la realización del movimiento sin apoyo, del movimiento sin empuje. El retroceso ofrece la posibilidad de acelerar el movimiento en el vacío, en donde no hay absolutamente nada del que puede empujarse.El retroceso producido por un chorro de vapor expulsado de un recipiente (reacción del churro), se utilizaba ya en la antigüedad para confeccionar juguetes curiosos. En la fig. 3.3 está representada una turbina de vapor antigua, inventada en el segundo siglo, antes de nuestra era. La caldera esférica se apoyaba en un eje vertical. El vapor, saliendo de la caldera por los tubos acodados, empujaba a estos tubos en dirección contraria y la esfera giraba.En nuestros tiempos, la utilización del movimiento de reacción no se limita ya a crear juguetes o a recopilar observaciones interesantes, ha ido ya mucho más lejos A veces, llaman el siglo veinte, siglo de la energía atómica, pero, no con menos razón, se le puede llamar siglo del movimiento de propulsión a chorro (o de reacción), puesto que es difícil sobreestimar los grandes alcances a que conducirá el empleo de potentes motores a reacción. Esto, no sólo es una revolución en la construcción de aviones, es el comienzo de la vinculación del hombre con el Universo.\nFigura 3.3<El principio del movimiento de propulsión a chorro (o de reacción) ha permitido crear aviones que se mueven con velocidades de unos cuantos miles de kilómetros por hora, proyectiles a reacción que se levantan a la altura de cientos de kilómetros sobre la Tierra, satélites artificiales de la Tierra y cohetes cósmicos que efectúan viajes interplanetarios.El motor a reacción es una máquina de la que, con gran fuerza, se despiden los gases que se originan al quemarse el combustible. El cohete se mueve en dirección contraria a la del flujo del gas.¿A qué es igual el empuje del chorro que lleva el cohete al espacio? Sabemos que la fuerza es igual a la variación del impulso en una unidad de tiempo. Según la ley de conservación, el impulso del cohete varía en la magnitud del impulso mv del gas despedido.Esta ley de la naturaleza da la posibilidad de calcular, por ejemplo, la relación entre el empuje a reacción y el gasto necesario de combustible. Además, hay que determinar la magnitud de la velocidad de salida de los productos de combustión. Si, por ejemplo, cada segundo se despiden 10 toneladas de gas a la velocidad de 2000 m/s, el empuje a reacción será igual, aproximadamente, a 2 x 1012 dinas, o sea, en cifras redondas, a 2000 toneladas.Determinemos la variación de la velocidad en un cohete que se mueve por el espacio interplanetario.El impulso de la masa de gas ΔM, despedida con la velocidad u. es igual a u x ΔM. Con esto, el impulso del cohete de masa M crece en la magnitud M x ΔV. Según la ley de conservación, estas dos magnitudes son iguales entre sí:\nu x ΔM – M x ΔV\no sea, ΔV = u (ΔM/M)\nSin embargo, si quisiéramos calcular la velocidad del cohete al despedir masas comparables con la masa del cohete, la fórmula deducida resultaría errónea. Es que, en ella, se supone que la masa del cohete es constante. No obstante, se mantiene inalterable el siguiente resultado importante: siendo iguales las variaciones relativas de la masa, la velocidad aumenta en una misma magnitud. El lector que conoce el cálculo integral, obtiene inmediatamente una fórmula exacta de siguiente forma:\nV = u ln (Mini/M) = 2,4 u lg (Mini/M)\nAplicando la regla de cálculo podemos determinar que, al disminuir la masa del cohete en dos veces, la velocidad alcanza 0,7u.Para que la velocidad del cohete llegue a 3u, hay que quemar una masa de substancia igual a m = (19/20) M.Esto significa que, si queremos que la velocidad llegue a 3u, o sea, a 6 a 8 km/s, tenernos que conservar solamente 1/20 parte de la masa del cohete.Para alcanzar la velocidad de 7u, la masa del cohete, durante el aceleramiento, tiene que disminuir en 1000 veces.Estos cálculos muestran que no hay que apresurarse en aumentar la masa de combustible que se pueda llevar en el cohete. Cuanto más combustible se lleve, tanto más habrá que quemar. Con la velocidad dada de expulsión de los gases, es muy difícil conseguir un aumento de la velocidad del cohete.Lo principal, para conseguir velocidades grandes de los cohetes, es el aumento de la velocidad de expulsión de los gases. En lo que a esto se refiere, en los cohetes tiene que jugar un papel decisivo el empleo de los motores que trabajan con un combustible nuevo, llamado nuclear. Empleando cohetes de etapas múltiples se obtienen ventajas en la velocidad, sin tener necesidad de aumentar la velocidad de despedida de los gases y consumiendo la misma masa de combustible. En el cohete de una etapa, la masa de combustible disminuye y los depósitos vacíos continúan en movimiento con el cohete. Para el aceleramiento de la masa de los depósitos inútiles de combustible se necesita una energía complementaria. Una vez consumido el combustible, es conveniente desprenderse de los depósitos. En los cohetes múltiples modernos, no sólo se abandonan los depósitos y las tuberías, sino también los motores de los cohetes usados.Naturalmente que mejor sería despedir continuamente la masa innecesaria del cohete. Por ahora, no existe tal construcción. El peso inicial de un cohete de tres etapas, de una «altitud» igual a la de un cohete de una etapa, se puede hacer 6 veces menor. En este sentido el cohete «continuo» es más ventajoso en un 15%.\n4. Movimiento propulsado por la fuerza de gravedadHagamos rodar una carretilla no muy grande por dos planos inclinados bien pulidos. Tomando una tabla mucho más corta que la otra, las colocamos sobre un mismo apoyo. Entonces, uno de los planos inclinados estará más empinado, el otro tendrá un pequeño declive. Las partes superiores de ambas tablas, que son los puntos de partida de la carretilla, estarán a la misma altura. ¿Qué les parece Vds., por qué plano obtendrá la carretilla mayor velocidad al rodar? Muchos creerán que por el plano más inclinado.El experimento mostrará que éstos se equivocan, pues la carretilla alcanzará una velocidad igual. Mientras el cuerpo se mueve por el plano inclinado, sobre él actúa una fuerza constante, precisamente, la componente de la fuerza de gravedad que está dirigida a lo largo del movimiento (fig. 3.4.). La velocidad v que alcanza un cuerpo en el trayecto S, al moverse con la aceleración a, es, como sabemos, igual a\nv = √(2aS).\n¿De dónde se ve que esta magnitud no depende del ángulo de inclinación del plano? Figura 3.4\nEn la fig. 3.4 se ven dos triángulos. Uno de ellos representa un plano inclinado. El cateto pequeño de este triángulo, designado con la letra h, es la altura desde la que comienza el movimiento; la hipotenusa S, es el camino recorrido por el cuerpo en el movimiento acelerado. El triángulo pequeño de las fuerzas, con el cateto ma y con la hipotenusa mg, es semejante al mayor, puesto que son rectángulos y sus ángulos son iguales, como ángulos cuyos lados son perpendiculares entre sí. Por consiguiente, la razón de los catetos tiene que ser igual a la razón de las hipotenusas, o sea,\nh/ma = S/mg<o sea aS = gh\nHemos demostrado que el producto aS y, por lo tanto, la velocidad final del cuerpo que ha rodado por el plano inclinado, no depende del ángulo de inclinación, sino que depende solamente de la altura de la que comenzó el movimiento hacia abajo. La velocidad v = √(2gh) es la misma para todos los planos inclinados, con la única condición de que el movimiento comience desde una misma altura h. Esta velocidad resulta sor igual a la velocidad de la calda libre desde la altura h.Midamos la velocidad del cuerpo en dos lugares del plano inclinado, en las alturas h1 y h2. Indiquemos con v1 la velocidad del cuerpo en el instante en que pasa por el primer punto y, con v2, la velocidad en el instante en que pasa por el segundo punto.Si h es la altura desde la que comienza el movimiento, el cuadrado de la velocidad del cuerpo en el primer punto es v12 = 2g (h – h1) y, en el segundo punto, v22 = 2g (h – h1)Restando la primera de la segunda, hallamos cómo están relacionadas las velocidades del cuerpo al comienzo y al fin de cualquier trozo del plano inclinado con las alturas de estos puntos:\nv22 – v12 = 2g(h1 – h2)La diferencia de cuadrados de las velocidades depende solamente de la diferencia de las alturas. Obsérvase que la igualdad obtenida vale lo mismo para los movimientos hacia arriba que para los movimientos hacia abajo. Si la primera altura es menor que la segunda (ascenso), la segunda velocidad es menor que la primera.Esta .fórmula puede ser escrita de siguiente manera:\nv12/2 + gh1 = v22/2lo que muestra que la suma de la mitad del cuadrado de la velocidad y de la altura multiplicada por g, es igual para cualquier punto del plano inclinado. Se puede decir, que la cantidad v2/2 + gh se conserva durante el movimiento.Lo más admirable es que la ley hallada se verifica para un movimiento sin rozamiento por cualquier montículo y, en general, por cualquier camino compuesto de ascensos y descensos, que se alternan con diversos declives. Esto es debido a que, cualquier camino se puede dividir en segmentos rectos. Cuanto menores se tomen los segmentos, tanto más cerca se aproximará la línea quebrada a la curva. Cada segmento de éstos se puede considerar como una parte de un plano inclinado y se le puede aplicar la regla obtenida.Por lo tanto, la suma v2/2 + gh es igual en cualquier punto de la trayectoria y, por consiguiente, la variación del cuadrado de la velocidad rin depende de la forma y de la longitud del camino por el que se mueve el cuerpo, y se determina solamente por la diferencia de las alturas del punto inicial y del punto final del movimiento.Al lector le puede parecer que nuestra conclusión no coincide con la experiencia cotidiana: en un camino largo y de poco declive, el cuerpo no aumenta su velocidad y, al fin y al cabo, se para. Esto es cierto, pero, es que en nuestros razonamientos no contábamos con la fuerza de rozamiento. La igualdad escrita anteriormente tiene valor para un movimiento en el campo de gravedad de la Tierra, propulsado sólo por la fuerza de gravedad. Si las fuerzas de rozamiento son pequeñas, la ley deducida se cumplirá bastante bien. Los trineos con patines metálicos se deslizan por los montes resbaladizos de hielo con muy poco rozamiento. Se pueden hacer caminos largos de hielo, que comiencen con un descenso muy empinado, en los que se alcanza una velocidad muy grande y que, después, extravagantemente serpenteen hacia arriba y hacia abajo. Si no hubiese roce en absoluto, en tales montes se efectuaría el fin del viaje (cuando el trineo se para por sí mismo) a una altura igual a la inicial. Pero, como no se puede evitar el rozamiento, el punto del comienzo del movimiento del trineo estará más alto que el lugar donde se para.La ley, según la cual, en el movimiento propulsado por la fuerza de gravedad, la velocidad final no depende de la forma del camino, se puede emplear para la resolución de diversos problemas interesantes.Muchas veces muestran en el circo como un número emocionante, «el rizo» vertical. Un ciclista o una carretilla con un acróbata se establecen en un andamio alto. Después de realizar una descensión acelerada viene una ascensión. Ya tenemos al acróbata con la cabeza hacia abajo, otro descenso más y ya está descrito el rizo. Veamos el problema que tiene que resolver el ingeniero del circo. ¿A qué altura hay que hacer el andamio, del que .se comienza el descenso, para que no se caiga el acróbata desde el punto superior del rizo? La condición es conocida: la fuerza centrífuga que aprisiona al acróbata hacia el andamio tiene que equilibrar a la fuerza de gravedad, que está dirigida en dirección contraria.\nFigura 3.5Por lo tanto, mg ≤ mv2/r, donde r es el radio del rizo y v es la velocidad del movimiento en el punto superior del rizo. Para alcanzar esta velocidad, hay que comenzar el movimiento desde un lugar que esté más alto que el punto superior del rizo en cierta magnitud h. La velocidad inicial del acróbata es igual a cero, por eso, en el punto superior del rizo, v2 = 2gh. Pero, por otra parte, v2 ≥ gr. Por consiguiente, entre la altura h y el radio r del rizo subsiste la relación h ≥ r/2. El andamio tiene que estar levantado sobre el punto superior del rizo en una cantidad no menor que la mitad de su radio. Claro que, teniendo en cuenta la fuerza inevitable de rozamiento, habrá que tomar cierta reserva de altura.He aquí otro problema. Consideremos una cúpula, bien pulimentada, para que el rozamiento sea mínimo. Coloquemos sobre el vértice un objeto no muy grande y, dándole un pequeño golpe, hagámosle resbalar sobre la cúpula. Pronto o tarde, el objeto que resbala se desprenderá de la cúpula y comenzará a caer. Fácilmente podemos calcular cuándo se desprenderá el objeto de la superficie de la cúpula; en el instante del desprendimiento, la fuerza centrifuga tiene que ser igual a la componente del peso sobre la dirección del radio en esto instante, el cuerpo acabará de presionar sobre la cúpula: éste es, precisamente, el instante del desprendimiento). En la fig. 3.5 se observan dos triángulos semejantes; está representado el instante del desprendimiento. En el triángulo de las fuerzas, hallamos la razón del cateto a la hipotenusa y la igualamos a la razón correspondiente de los lados del otro triángulo:\nAquí, r es el radio de la cúpula esférica, y h, la diferencia de alturas al comienzo y al fin del deslizamiento. Apliquemos ahora la ley de la independencia de la velocidad final de la forma del camino. Como se supone que la velocidad inicial del cuerpo es igual a cero se tiene: v2 = 2gh. Sustituyendo este valor en la proporción escrita anteriormente y efectuando transformaciones aritméticas, hallamos: h =r/3. Por lo tanto, el cuerpo se desprenderá de la cúpula a una altura situada de 1/3 de radio más abajo del vértice de la cúpula.\n5. Ley de conservación de la energía mecánicaEn los ejemplos que acabamos de examinar, nos hemos convencido de que es conveniente conocer la cantidad que no varía (que conserva) su valor numérico durante el movimiento.Por ahora, conocemos tal cantidad sólo para un cuerpo. ¿Y si en el campo de gravedad se mueven unos cuantos cuerpos ligados entre sí? Claro que no se debe creer que para cada uno de ellos se mantiene constante la expresión v2/2 + gh, puesto que cada uno de los cuerpos no sólo está propulsado por la fuerza de gravedad, sino también por los cuerpos contiguos. ¿Puedo ser que se conserve la suma de tales expresiones, tomada para todo el grupo de cuerpos a examinar?Ahora demostraremos que no es válida esta suposición. Existe una cantidad que se conserva durante el movimiento de varios cuerpos, pero no es igual a la sumasino que es igual a la suma de expresiones semejantes, multiplicadas por las masas de los cuerpos correspondientes; o sea, que se conserva la suma\nPara demostrar esta importante ley de la mecánica, veamos el ejemplo siguiente.De una polea están suspendidas dos cargas, una masa grande M y una masa pequeña m. La carga grande tira de la pequeña y este grupo de dos cuerpos se mueve con velocidad creciente.La fuerza motriz es la diferencia en peso de estos cuerpos, Mg - mg. Como en el movimiento acelerado participa la masa de ambos cuerpos, la ley de Newton se escribirá, para esto caso, así:\n(M — m)g = (M + m)aExaminemos dos instantes del movimiento y demostremos que la suma de las expresiones v2/2+ gh, multiplicadas por las masas correspondientes, se mantiene, verdaderamente, constante. Así pues, se necesita demostrar la igualdad:\nSe han señalado con letras mayúsculas las cantidades físicas que caracterizan la carga grande. Los subíndices 1 y 2 se refieren aquí las magnitudes a los dos instantes considerados del movimiento.Como las cargas están ligadas mediante la cuerda, se tiene v1 = V1 y v2 = V2, Aprovechando estas simplificaciones y trasladando al segundo miembro todos los términos que contienen alturas y, al primer miembro, los que contienen velocidades, obtenemos:\nClaro está que las diferencias de alturas de las cargas son iguales (pero con signo contrario, puesto que una carga se eleva y otra desciende). Por lo tanto,\ndonde S es el camino recorrido.En páginas anteriores se vio que la diferencia de cuadrados de las velocidades v22 – v12, al comienzo y al fin del segmento S del trayecto recorrido con la aceleración a, es igual a\nv22 – v12 = 2aSSustituyendo esta expresión en la última igualdad, hallamos:\n(m + M) a = (m – M) g.Pero ésta es la fórmula de Newton, escrita anteriormente para nuestro ejemplo. De este modo, queda demostrado lo que se pedía: para dos cuerpos, la suma de expresiones v2/2 + gh, multiplicadas por las masas correspondientes, se mantiene constante durante el movimiento, o como suele decirse, se conserva, es decir,\nPara el caso de un cuerpo, esta relación se convierte en la demostrada anteriormente:\nv2/2 + gh = const.\nLa mitad del producto de la masa por el cuadrado de la velocidad se llama energía cinética K:2/2\nEl producto del peso del cuerpo por la altura se llama energía potencial U de gravitación del cuerpo respecto a la Tierra:U = mgh\nHemos demostrado, que durante el movimiento de un sistema de dos cuerpos (lo mismo se puede demostrar para un sistema que se compone de muchos cuerpos), la suma de las energías cinética y potencial de los cuerpos se mantiene constante.En otras palabras, un aumento de la energía cinética de un grupo de cuerpos se puede efectuar solamente a causa de una disminución de la energía potencial de este sistema, y recíprocamente.La ley demostrada se llama ley de conservación de la energía mecánica.La ley de conservación de la energía mecánica es una ley muy importante de la naturaleza. Todavía no hemos apreciado por completo su valor. Más adelante, cuando estudiemos el movimiento de las moléculas, se verá su universalidad, su aplicación a todos los fenómenos de la naturaleza.\n6. TrabajoComo resultado de empujar o de tirar de un cuerpo, sin encontrar ningún obstáculo, se obtiene la aceleración del mismo. El incremento producido de energía cinética se llama trabajo A de la fuerza:\nSegún la ley de Newton, la aceleración y, por consiguiente, el aumento de la energía cinética, se determina mediante la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo. Por lo tanto, en el caso de muchas fuerzas la fórmula anterior representa el trabajo de la fuerza resultante. Expresemos el trabajo A mediante la magnitud de la fuerza.Para mayor sencillez, nos limitaremos al caso cuando el movimiento es posible sólo en una dirección, es decir cuando empujamos o arrastramos una carretilla de masa m situada sobre raíles (fig. 3.6).\nFigura 3.6Según la fórmula general del movimiento uniformemente acelerado, se tiene:\nPor eso, el trabajo de todas las fuerzas en el camino S, es:\nEl producto ma es igual a la componente de la fuerza total que lleva la dirección del movimiento. Por lo tanto,\nA = flong SEl trabajo de la fuerza se mide por el producto del camino recorrido por la componente de la fuerza que va a lo largo de la dirección del camino.La fórmula del trabajo es justa para fuerzas de cualquier procedencia y para movimientos de cualesquiera trayectorias.Señalemos que el trabajo puede ser igual a cero, a pesar de que sobre el cuerpo actúen fuerzas.Por ejemplo, el trabajo de la fuerza de Coriolis es igual a cero. Es que esta fuerza es perpendicular a la dirección del movimiento. Como no tiene componente longitudinal, el trabajo es igual a cero.No se necesita efectuar un trabajo para cualquier curvatura de la trayectoria que no vaya acompañada de una alteración de la velocidad, pues la energía cinética no varía.¿Puede ser negativo el trabajo? Claro que sí, pues, si la fuerza forma un ángulo obtuso con la dirección del movimiento, ésta no ayuda, sino que obstaculiza el movimiento. La componente longitudinal de la fuerza sobre la dirección será negativa. En este caso, se dirá que la fuerza efectúa un trabajo negativo. La fuerza de rozamiento siempre retarda el movimiento, o sea, efectúa un trabajo negativo.Por el incremento de la energía cinética se puede juzgar sobre el trabajo de la fuerza resultante.El trabajo de cada una de las fuerzas se tiene que calcular como el producto A = flong SEn el caso del movimiento uniforme de un automóvil por la carretera, no hay aumento de energía cinética y, por consiguiente, el trabajo de la fuerza resultante es igual a cero. Pero, sin duda, el trabajo del motor no es igual a cero, pues es igual al producto del empuje por el camino recorrido, y se compensa por completo con el trabajo negativo de las fuerzas de resistencia y de rozamiento.Valiéndose del concepto de «trabajo», se pueden describir más abreviadamente y con mayor claridad las propiedades tan interesantes de la fuerza de gravedad que acabamos de conocer. Si un cuerpo, propulsado por la fuerza de gravedad, se traslada de un sitio a otro, la energía cinética se cambia. Esta variación de la energía cinética es igual al trabajo A. Pero, por la ley de la conservación de la energía, ya sabemos que el aumento de la energía cinética se efectúa a cuenta de la disminución de la energía potencial.De esta manera, el trabajo de la fuerza de gravedad es igual a la disminución de la energía potencial:\nA = U1 –U2Es evidente, que la disminución (o el aumento) de la energía potencial y. por consiguiente, el aumento (o la disminución) de la energía cinética, son los mismos, independientemente del camino por el que se mueva el cuerpo. Esto significa que el trabajo de la fuerza de gravedad no depende de la forma del camino. Si el cuerpo se ha trasladado del primer punto al segundo aumentando la energía cinética, éste se trasladará del segundo punto al primero disminuyendo la energía cinética en una misma cantidad, exactamente. Y, además, es indiferente si la forma del camino «de ida» coincide con la forma del camino «de regreso». Por lo tanto, los trabajos «de ida» y «de regreso», son iguales. Pero si el cuerpo hace un recorrido grande y si el fin del camino coincide con el comienzo, el trabajo será igual a cero.Figúrense que por un canal, de la forma más extravagante que se quiera, resbala sin rozamiento un cuerpo. Pongámoslo en camino desde el punto más alto. El cuerpo se deslizará hacia abajo tomando velocidad. A cuenta de la energía cinética obtenida, el cuerpo vencerá el ascenso y, por fin, volverá a la estación de partida. ¿Con qué velocidad? Es natural que con la misma que tenía al partir de la estación. La energía potencial volverá a tomar su valor anterior. Siendo esto así, la energía cinética no puede disminuir ni aumentar. Por eso, el trabajo es igual a cero.El trabajo en un camino en forma de anillo (los físicos suelen decir, en un camino cerrado) no es igual a cero para todas las fuerzas. No hay necesidad de demostrar que el trabajo de las fuerzas de rozamiento siempre será tanto mayor, cuanto más largo sea el camino.\n7. ¿En qué unidades se miden el trabajo y la energía?\nComo el trabajo es igual a la variación de la energía, el trabajo y la energía (claro que tanto la potencial como la cinética) se miden en las mismas unidades. El trabajo es igual al producto de la fuerza por el camino. El trabajo de la fuerza de una dina en el camino de un centímetro se llama ergio:1 ergio = 1 dina x cm\nEste trabajo es muy pequeño. Tal trabajo lo puede realizar un mosquito venciendo la fuerza de gravedad al volar del dedo pulgar de la mano al dedo índice. El julio (joule es una unidad más grande de trabajo y energía. Este es 10 millones de veces mayor que el ergio:\n1 julio = 10 millones de ergios = 10.000.000 ergiosCon bastante frecuencia se emplea la unidad de trabajo de 1 kilográmetro (1 kgm es igual al trabajo realizado por una fuerza de 1 kgf en el camino de 1 m). Este trabajo realiza, aproximadamente, una pesa de un kilogramo al caer de la mesa al suelo.Como ya se sabe, la fuerza de 1 kgf es igual a 981 000 dinas, 1 m es igual a 100 cm. Por lo tanto, 1 kgm de trabajo es igual a 98 100 000 ergios, o sea, a 9,81 julios: Por el contrario, 1 julio es igual a 0,102 kgm.El nuevo sistema de unidades (SI), del que ya se habló y del que todavía seguiremos hablando, utiliza el julio como unidad de trabajo y de energía, y determina a éste como el trabajo de la fuerza de 1 newton en el camino de 1 metro. Viendo la simplicidad con que se determina en este caso la fuerza, es fácil darse cuenta en qué consisten las ventajas del nuevo sistema de unidades.\n8. Potencia y rendimiento de las máquinas\nPara formar la idea sobre la capacidad de una máquina de realizar el trabajo, así como sobre el consumo de energía se utiliza el concepto de potencia. La potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo.Existe gran cantidad de diferentes unidades de potencia. Al sistema C.G.S. le corresponde la unidad de potencia ergio por segundo (ergio/s). Pero 1 ergio/s es una potencia infinitamente pequeña, por cuya razón dicha unidad no es conveniente para la práctica. Incomparablemente más está difundida otra unidad de potencia que se obtiene dividiendo el julio por segundo. Esta unidad se denomina vatio (W):\n1 W = 1 J/s = 107 ergios/s.Cuando incluso esta unidad resulta ser pequeña se la multiplica por mil con lo que aparece el kilovatio (kW).La época anterior nos dejó en herencia la unidad de potencia llamada caballo de vapor. En otros tiempos, en los albores del desarrollo de la técnica esta denominación encerraba un profundo sentido. Una máquina cuya potencia es de 10 caballos de vapor sustituye diez caballos; así razonaba el comprador incluso en el caso de que no tenía noción sobre las unidades de potencia.Por supuesto, hay caballos y caballos. El autor de la primera unidad de potencia suponía, a todas luces, que un caballo «medio» es capaz de realizar en un segundo 75 kgf x m de trabajo. Precisamente tal unidad está adoptada: 1 CV = 75 kgf x m/s.Los caballos de tiro pesado son capaces de realizar mayor trabajo, especialmente en el momento de arranque. Sin embargo, la potencia de un caballo medio es más bien próxima a la mitad de caballo de vapor.Al convertir los caballos de vapor a kilovatios, obtenemos: 1 CV = 0,735 kW.En la vida cotidiana y en la técnica tenemos que ver con los motores de las más variadas potencias. La potencia del motor de un tocadiscos es de 10 W, la del automóvil «Volga» es de 100 CV, o sea, de 73 kW y la de los motores del avión de línea IL-18 es igual a 10 000 CV.Una pequeña central eléctrica de un koljoz tiene la potencia de 100 kW. Y la Central Hidroeléctrica de Krasnoyarsk que, en este sentido, estableció un récord es de 5000000 kW de potencia.Las unidades de potencia que hemos conocido nos sugieren otra unidad de energía de común conocimiento en todos los lugares donde se tienen instaladas los contadores de energía eléctrica: se trata, precisamente, del kilovatio-hora (kWh). 1 kWh es el trabajo realizado por la potencia de 1 kilovatio durante 1 hora. Es fácil convertir esta nueva unidad en otras ya conocidas:\n1 kWh = 3,6 x 106 J = 367 000 kgf x m.\nEl lector puede preguntar: ¿acaso resultó necesaria una unidad de energía más? ¡Por si antes las teníamos pocas! Sin embargo, hay que tener presente que el concepto de energía penetra los distintos campos de la física, y los físicos, pensando en la conveniencia para una rama concreta, introducían cada vez nuevas unidades de energía. Una cosa análoga tenía lugar en lo que concernía a otras magnitudes físicas. Todo ello, al fin y al cabo, lleva a la conclusión de que es necesario introducir el sistema de unidades SI único para todos los apartados de la física (véase al inicio de este libro). Sin embargo, transcurrirá un buen lapso antes de que las unidades «viejas» cedan su puesto al elegido afortunado y ésta es la razón de que, por ahora, el kilovatio-hora no es todavía la última unidad de energía con la cual debemos trabar conocimiento en el curso del estudio de la física.Empleando diferentes máquinas se puede obligar a las fuentes de energía a realizar distintos trabajos: elevar cargas, poner en funcionamiento las máquinas-herramientas y transportar cargas y personas. Se puede calcular la cantidad de energía aportada a la máquina y el valor del trabajo obtenido de ésta. En todos los casos la cifra a la salida resultará menor que a la entrada, porque una parte de energía se pierde en la máquina.La parte de energía utilizada en la máquina totalmente para los fines que necesitamos se denomina rendimiento de la máquina. Los valores del rendimiento se suelen expresar en tantos por ciento.Si el rendimiento es igual a 90%, esto significa que la máquina pierde tan sólo un 10% de energía. El rendimiento igual a 10% señala que la máquina aprovecha únicamente un 10% de la energía suministrada a ésta.Si la máquina transforma en trabajo la energía mecánica, su rendimiento, de principio, puede llevarse a valores muy grandes. En este caso el aumento del rendimiento se logra luchando contra la inevitable fricción. Mejorar el engrase, introducir cojinetes más perfectos, disminuir la resistencia por parte del medio en que transcurre el movimiento. Éstas son las medidas para hacer aproximarse el rendimiento a la unidad (o sea, al 100%).Habitualmente, en el proceso de transformación de la energía mecánica en trabajo en calidad de etapa intermedia (como en las centrales hidroeléctricas) se utiliza la transmisión eléctrica.Se sobreentiende que este procedimiento también está relacionado con pérdidas complementarias. Sin embargo, no son grandes, de modo que las pérdidas durante la transformación de la energía mecánica en trabajo, en el caso de hacer uso de la transmisión eléctrica, pueden reducirse a un pequeño porcentaje.\n9. Disminución de la energía\nProbablemente, el lector se habrá dado cuenta de que en las ilustraciones de la ley de conservación de la energía mecánica, repetíamos constantemente: «no habiendo rozamiento, si no hubiese rozamiento...». Sin embargo, el rozamiento inevitablemente acompaña a cualquier movimiento. ¿Qué valor tiene una ley que no tiene en cuenta una circunstancia práctica tan importante? La respuesta a esta pregunta la aplazamos; veamos ahora a qué conduce el rozamiento.Las fuerzas de rozamiento tienen dirección contraria al movimiento y, por lo tanto, efectúan un trabajo negativo. Esto da lugar a una pérdida forzosa de energía mecánica.¿Conducirá esta pérdida inevitable de energía mecánica a la interrupción del movimiento? Es fácil convencerse de que el rozamiento no puede detener cualquier movimiento.Figuremos un sistema cerrado, compuesto de unos cuantos cuerpos en acción mutua. Como ya sabemos, respecto a tal sistema cerrado se verifica la ley de conservación del impulso. Un sistema cerrado no puede variar su impulso, por eso, su movimiento es rectilíneo y uniforme. El rozamiento dentro de tal sistema puede detener el movimiento relativo de las partes del sistema, pero, no influye en la velocidad y en la dirección de todo el sistema, entero.Existe también una ley de la naturaleza, llamada ley de conservación del momento de rotación (que veremos más adelante), que no permite al rozamiento acabar con la rotación uniforme de todo el sistema cerrado.Por lo tanto, en un sistema cerrado de cuerpos, la existencia de rozamiento conduce al cese de todos los movimientos y no representa un obstáculo solamente para el movimiento uniforme rectilíneo y para el movimiento uniforme de revolución de todo este sistema en su conjunto.Y, la causa de que el globo terrestre altere un poco la velocidad de su rotación, no estriba en el rozamiento mutuo de los cuerpos terrestres, sino en que la Tierra no es un sistema aislado.En lo que se refiere a los movimientos de los cuerpos en la Tierra, todos ellos están sometidos al rozamiento y pierden su energía mecánica. Por eso, el movimiento siempre cesa, si no se mantiene desde fuera.Esta es una ley de la naturaleza. ¿Y si se consiguiese engañar a la naturaleza? Entonces... entonces, se podría realizar el perpetuum mobile, que significa «movimiento perpetuo».\nBertold, el héroe de la obra de Pushkin, «Escenas de los tiempos caballerescos», soñaba con la realización del perpetuum mobile. «¿Qué es el perpetuum mobile?», le preguntaban en una conversación. «Es el movimiento perpetuo, contestaba Bertold. Si yo hallase el movimiento perpetuo, no vería confín a la creación del hombre. Hacer oro, es un problema seductor, el descubrimiento puede ser curioso, lucrativo, pero, hallar la solución del perpetuum mobile...»El perpetuum mobile ó móvil perpetuo es una máquina que trabaja, no sólo a pesar de la ley de la disminución de la energía mecánica, sino infringiendo la ley de la conservación de la energía mecánica, que, como ya sabernos, se verifica solamente en condiciones ideales, inexistentes, libres de rozamiento. El móvil perpetuo, una vez construido, tendría que comenzar a trabajar «por sí solo», por ejemplo, girar una rueda o levantar pesos de abajo a arriba. El trabajo tendría que realizarse eterna y continuamente, y el motor no tendría que necesitar ni combustible, ni la mano del hombre, ni la energía del salto del agua, es decir, nada tomado del exterior.El primer documento fidedigno conocido hasta ahora sobre la «realización» de la idea del móvil perpetuo pertenece al siglo XIII. Es curioso que, después de seis siglos, en el año 1910, en una de las instituciones científicas de Moscú, fue sometido a «examen» un «proyecto» exactamente igual.\nFigura 3.7El proyecto de este móvil perpetuo está representado en la fig. 3.7. Al girar la rueda, las pesas sobrecaen y, según la idea del inventor, mantienen el movimiento, puesto que las pesas caídas presionan con más fuerza, ya que actúan a mayor distancia del eje. Construyendo tal «máquina» que, por cierto, no es tan complicada, el inventor llega a convencerse de que después de dar una o dos vueltas por inercia, la rueda se para. Pero esto no le desanima. ¡Se ha cometido un error!; las barras hay que hacerlas más largas, hay que cambiar la forma de los dientes. Y el trabajo inútil, al que muchos de los inventores primitivos dedicaron su vida, continúa, claro que con el mismo éxito.\nFigura 3.8En general, no se propusieron muchas variantes de móviles perpetuos: diversas ruedas automotores, que de principio no se diferenciaban mucho de la descrita, motores hidráulicos como el que se muestra en la fig. 3.8, inventado en el año 1634; motores que utilizan los sifones o los vasos capilares (fig. 3.9); la pérdida de peso en el agua (fig. 3.10); la atracción de los cuerpos férreos por los imanes. No siempre se puede acertar a cuenta de qué pensaba el inventor realizar el movimiento perpetuo.Ya antes de haberse establecido la ley de la conservación de la energía, la afirmación de la imposibilidad del perpetuum mobile la encontrarnos en la disposición oficial hecha por la Academia francesa en el año 1775, cuando ésta decidió no someter más, a examen y a prueba, ningún proyecto de móvil perpetuo.\nFiguras 3.9 y 3.10 Muchos mecánicos de los siglos XVII y XVIII se basaban ya en sus demostraciones en el axioma de la imposibilidad del perpetuum mobile, a pesar de que el concepto de energía y la ley de conservación de le energía aparecieron en la ciencia mucho más tarde.Actualmente, está claro que los inventores que procuran crear el móvil perpetuo, no sólo entran en contradicción con el experimento, sino que también cometen un error de lógica elemental. En efecto, la imposibilidad del perpetuum mobile, es una consecuencia de las leyes de la mecánica, de las que ellos mismos parten citando argumentaban su «invento».Es posible que, a pesar de su esterilidad, la búsqueda del móvil perpetuo haya jugado algún papel útil, puesto que, al fin y al cabo, condujo al descubrimiento de la ley de conservación de la energía.\nCualquiera que sea el choque de dos cuerpos, siempre se conserva el impulso. En cuanto a la energía, ésta, como acabamos de ver, forzosamente disminuye, a causa de diversas clases de rozamientos.Sin embargo, si los cuerpos que chocan son de un material elástico, por ejemplo, de marfil o de acero, la pérdida de energía es insignificante.Tales choques, en los que las sumas de las energías cinéticas antes y después del choque son iguales, se llaman perfectamente elásticos.Incluso cuando chocan los materiales más elásticos, se efectúa una pequeña pérdida de energía cinética; por ejemplo, en el caso de las bolas de marfil de un billar, ésta alcanza de 3 a 4%.La conservación de la energía cinética en el choque elástico da la posibilidad de resolver una serie de problemas.Examinemos, por ejemplo, el choque frontal de bolas de distinta masa. La ecuación del impulso tiene la forma (suponemos que la bola N° 2 estaba en reposo antes del choque)\nm1v1 = m1u1 + m2u2\ny la de la energía es\nm1v12/2 = m1u12/2 + m1u12/2\ndonde v1 es la velocidad de la primera bola antes del choque, y u1 y u2, las velocidades de las bolas después del choque.Como el movimiento se efectúa a lo largo de una línea recta (que pasa por los centros de las bolas; precisamente, esto significa que el choque es frontal), se han suprimido las flechas vectoriales sobre las letras.De la primera ecuación, se tiene:\nu2 = (m1/m2)(v1 – u1)\nSustituyendo esta expresión para u, en la ecuación de la energía, obtenemos:\nUna de las soluciones de esta ecuación es u1 = v1 = 0. Pero, este resultado no nos interesa, puesto que la igualdad u1 = v1, y u2 = 0 significa que las bolas no chocan. Por eso, buscamos otra solución de la ecuación. Simplificando por m1(v1 - u1), obtenemos:\nm2v1 + m2u1 = m1v1 – m1u1\n(m1 – m2)v1 = (m1 + m2)u1\nque da el siguiente valor para la velocidad de la primera bola después del choque:\nEn el choque frontal contra la bola inmóvil, la bola chocante rebota de vuelta (u1 es negativo), si su masa es menor. Si m1 es mayor que m2, ambas bolas continúan el movimiento en dirección del choque.Al jugar al billar, en el caso de un choque frontal exacto, frecuentemente se observa el cuadro siguiente: la bola chocante se para bruscamente, mientras que la bola chocada se dirige a la tronera. Esto se explica por la ecuación que acabamos de hallar. Las masas de las bolas son iguales, y la ecuación da u1 = 0, y, por consiguiente, u2 = v1. La bola chocante se para, mientras que la segunda bola comienza el movimiento con la velocidad de la chocante. Parece como si las bolas intercambiaran sus velocidades.\nVeamos otro ejemplo de choque de cuerpos que también está sometido a la ley del choque elástico: el choque oblicuo de cuerpos de igual masa (fig. 3.11). Antes del choque, el segundo cuerpo estaba en reposo; por eso, las leyes de conservación del impulso y de la energía tienen la forma:\nmv1 = mu1 + mu2\nmv12/2 = mu12/2 + mu12/2\nSimplificando por la masa, obtenemos:\nv1 = u1 + u2\nv12/2 = u12/2 + u12/2\nEl vector v1 es la suma vectorial de u1 y u2. Pero esto significa que las longitudes de los vectores velocidades forman un triángulo.¿Qué triángulo es éste? Recordemos el teorema de Pitágoras. Nuestra segunda ecuación lo expresa. Esto significa, que el triángulo de las velocidades tiene que ser rectángulo con la hipotenusa v1 y con los catetos u1 y u2. Por consiguiente, u1 y u2 forman entre sí un ángulo recto. Este interesante resultado muestra que cualquiera que sea al choque elástico oblicuo, los cuerpos de igual masa rebotan formando un ángulo recto.\nNotas:  Claro que con la misma razón se puede multiplicar la expresión v2/2 + gh por 2m o por m/2 y, en general, por cualquier coeficiente. Se ha convenido obrar de la manera más sencilla, o sea, multiplicar simplemente por m.\n Se emplea también el caballo de vapor inglés llamado horse power (HP) que equivale a 0,745 kW (N. del T.)