SalvaSalva Quaderno Derive per dopo\n91 visualizzazioni174 pagine\nM. GARETTO, P.L. PEZZINI\nTecnologie per la Didattica Derive\nQuaderno # 21 – Ottobre 2003\nLa citazione è tratta dalla pagina Web http://b.kutzler.com/main.asp\nL’immagine è tratta dalla pagina Web\nM. Garetto, P.L. Pezzini – Tecnologie per la Didattica: Derive\nI laboratori didattici della S.I.S. aventi come obiettivo “il possesso da parte dello specializzando degli strumenti necessari per il montaggio di una situazione didattica sul tema del laboratorio” 1 hanno consentito l’interazione e la collaborazione tra docente universitario e insegnante di scuola superiore. Attraverso il confronto, il dialogo e l’operatività comune, unendo le specifiche conoscenze\ne competenze acquisite negli anni di esperienza in Università e in scuola, i laboratori S.I.S. hanno permesso una proficua e costruttiva collaborazione, che ha favorito una preparazione dei nuovi docenti che tenesse conto sia di adeguate e approfondite conoscenze disciplinari sia della loro effettiva spendibilità didattica con gli studenti. Nell’ambito della S.I.S. Piemonte nell’a.a. 2002/03 è stato attivato il Laboratorio di Tecnologie per la didattica, avente come tema la conoscenza e l’uso delle tecnologie informatiche in ambito matematico. Questo lavoro, insieme a quello riguardante Cabri 2 , costituisce la raccolta del materiale preparato e utilizzato nel laboratorio; entrambi nascono inizialmente da alcuni lavori svolti\nclasse in vari anni di insegnamento, dalla partecipazione a gruppi di ricerca sull’utilizzo\nCabri in ambito geometrico e di Derive nella computer algebra, dalla presentazione di\ndiversi approcci all’uso di Cabri e di Derive in ambito didattico, che si possono ritrovare in\nvari testi per la scuola presenti in commercio, alcuni dei quali citati nella bibliografia.\nTorino, 30 settembre 2003\nMaria Garetto Pier Luigi Pezzini\n1 Piano di fattibilità della Scuola di Interateneo di Specializzazione per la formazione degli insegnanti della Scuola Secondaria S.I.S.\n2 Pezzini P.L., Garetto M., Tecnologie per la didattica: Cabri. Laboratorio S.I.S. 2002/2003, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Torino, Quaderno n° 22, Ottobre 2003\nP.L. Pezzini, M. Garetto – Tecnologie per la Didattica: Cabri\nDerive 5: The Mathematical Assistant for your PC\nDerive 5: finestre, menu, comandi\nLa finestra algebra\nComandi nella barra dei menu della finestra algebra\nLa finestra grafica 2D\nComandi nella barra dei menu della finestra grafica 2D\nDerive in classe\nPolinomi: grafici e ricerca degli zeri\nSoluzione di equazioni\nSoluzione di disequazioni\nVettori e famiglie di curve\nLimiti di successioni e limiti di funzioni\nDerivate, teoremi del calcolo differenziale, grafici di funzioni\nStudio di funzioni con Derive\nDerive in rete\nI primi tentativi di introduzione dell’informatica nella didattica della matematica sono stati effettuati all’inizio degli anni ottanta. Con l’avvio del Piano Nazionale per l’Informatica (P.N.I.), il laboratorio di computer entrava in tutte le scuole secondarie superiori e l’informatica si aggiungeva al curricolo di matematica del biennio. I programmi del Piano Nazionale per l’Informatica hanno introdotto nell’insegnamento della matematica un’innovazione di carattere metodologico-contenutistico alla quale è doveroso far riferimento per l’insegnamento di tale disciplina. Tra le innovazioni di maggior rilevanza si ha l’introduzione dell’informatica nell’insegnamento della matematica. Su tali programmi, per quanto riguarda il laboratorio informatico, si legge:\nLaboratorio di informatica L’attività di laboratorio, distribuita lungo tutto l’arco del biennio, integra gli elementi di contenuto dei vari temi e costituisce essa stessa un momento di riflessione teorica. Esso consisterà in:\na ) Analisi di problemi e loro soluzione informatica attraverso sia la costruzione di un programma e il controllo della sua esecuzione, sia l’utilizzo di programmi già disponibili e di software di utilità. In quest’ultimo caso l’utilizzo di tale “ambiente” sarà finalizzato ad abituare l’allievo ad operare consapevolmente all’interno di diversi sistemi dotati di loro regole formali e limiti operativi.\nb ) Esplorazioni e verifiche di proprietà matematiche, rappresentazioni grafiche e calcoli, come momenti costitutivi del processo di apprendimento della matematica e delle sue successive sistematizzazioni.\na ) Implementazione di algoritmi numerici diretti e iterativi, controllo della precisione.\nb ) Convergenza dei metodi iterativi. Algoritmi ricorsivi. Algoritmi definiti in modo iterativo e in modo ricorsivo\nc ) Il concetto di algoritmo. Esempi di funzioni non calcolabili. Esempi di problemi non decidibili.\nCommento al tema : Informatica ….Di questi argomenti potrà usarsi in laboratorio, in modo più avanzato, lo stesso ambiente di programmazione conosciuto nel biennio, nonché avvalersi di idoneo software didattico. Sarà didatticamente opportuno utilizzare software didattico anche in relazione ad altri ambiti (geometria, statistica ecc.)…\n“Programmi P.N.I. per il biennio (circolare n° 24 del 6/2/91) e per il triennio (circolare n° 615 del 27/9/96)\nIl laboratorio informatico, nelle intenzioni di chi ha elaborato i nuovi programmi, deve dunque svolgere una duplice funzione: da una parte di riflessione nel momento di analisi di\nun problema, con la possibilità di costruire algoritmi risolutivi che possono essere implementati con adeguati linguaggi di programmazione, e dall’altra di esplorazione e verifica di proprietà, “come momenti costitutivi del processo di apprendimento della matematica e delle sue successive sistematizzazioni”. Il laboratorio informatico prevede inoltre l’utilizzo di software di programmazione (il linguaggio Pascal è stato ed è tuttora il più utilizzato a livello scolastico) e di “idonei software didattici”. Dalla prima formulazione di tali programmi (quella del biennio risale al 1985 e del triennio al 1991), alle successive formulazioni degli anni novanta (riprese e integrate anche in programmi globali quali quello BROCCA per i licei, ABACUS, IGEA, EGON, AMBRA ecc. per gli istituti tecnici o nel Progetto 92 per gli Istituti Professionali) ed alla loro introduzione nei corsi sperimentali dei vari indirizzi (quasi tutte le scuole superiori hanno alcune sezioni con i nuovi programmi 1 ) l’informatica è progressivamente entrata nella scuola, ed in particolare nella didattica della matematica.\nL’uso di tali tecnologie in ambito scolastico si inoltre è progressivamente trasformato dalla prima introduzione ad oggi. A ciò hanno contribuito sia le varie attività di sperimentazione, che ne hanno evidenziato gli aspetti positivi mettendone altresì in luce i limiti ed i rischi, sia la rapida evoluzione del mondo informatico in termini di hardware e software. Se inizialmente molti sforzi si sono concentrati sull’insegnamento di un linguaggio di programmazione, da utilizzare quale strumento per implementare algoritmi risolutivi di problemi di varia natura, col tempo tale spazio si è progressivamente ridotto in favore dell’utilizzazione di “software idonei” ai vari ambiti disciplinari, che spesso forniscono un supporto più immediato ed efficace alla didattica. L’immissione sul mercato di nuovi software, sempre più potenti e “amichevoli”, alcuni direttamente finalizzati all’uso didattico, altri che ne permettono un valido utilizzo con gli studenti, ha ulteriormente favorito una presenza ampia e diffusa dello strumento informatico in classe. Parallelamente si è aperto e intensificato un ampio dibattito a più livelli sulle problematiche che tali innovazioni hanno apportato alla didattica, per evidenziarne le implicazioni sia sul piano metodologico sia sulle dinamiche di apprendimento. Il gran numero iniziale di docenti perplessi o contrari alla diffusione della tecnologia informatica è sempre più limitato e sempre meno convinto; difatti non si può non prendere atto che l’uso del computer, investendo e trasformando ogni attività umana in modo inevitabile ed inarrestabile, non può essere estraneo alla scuola. Allo stesso tempo stanno venendo meno alcune posizioni che vedono nell’uso del computer l’automatica possibilità di interessare lo studente, di rendere la didattica nuova e piacevole, di avvicinare la scuola alla società. Affermazioni quali “Gli strumenti multimediali sono estremamente motivanti per bambini e ragazzi perché non hanno odore di scuola…” 2 attribuiscono allo strumento multimediale una eccessiva funzione autoreferente. Infatti l’esperienza mostra che, superato l’entusiasmo iniziale per la novità, il computer ben presto inizia ad “odorare di scuola” come la lavagna, i professori, i libri. Sicuramente l’introduzione del computer in classe può dare maggior motivazione e far crescere la partecipazione e l’interesse dei ragazzi anche se non è il caso di farsi illusioni:\n1 Circa l’80% nel 1997 (Ciarrapico, 1997)\n2 Dalla ‘sintesi dei lavori della commissione tecnico-scientifica incaricata di individuare le conoscenze fondamentali dei giovani della scuola italiana nei prossimi decenni [DM. N. 50 del 21.1.1997 e n. 84 del 5.2.1997, a cura del coordinatore R. Maragliano, 13.5.1997]\nla motivazione cala velocemente quando l’uso diventa un’abitudine.\nCertamente può esser utile spostare l’accento dall’esecuzione dei calcoli alla progettazione\ndi un percorso risolutivo 3 , anche se per costruire qualunque concetto matematico sono\nnecessarie conoscenze di base concernenti anche il calcolo. 4\nIn conclusione, dal dibattito degli ultimi anni emerge in modo netto la convinzione che la\nfigura del docente rimanga centrale.\nIn questa nuova situazione se “da una parte si aprono enormi possibilità didattiche,\ndall’altra bisogna essere consapevoli che non si tratta affatto di traguardi assicurati automaticamente dall’uso dei nuovi strumenti” 5 . Occorre dunque da parte dei docenti un notevole impegno di aggiornamento sia per acquisire le conoscenze e le capacità indispensabili ad usare nuovi software, sia per ripensare la propria didattica trasformandola in modo attivo e ragionato, rendendola così più agile e più attenta alle esigenze che la realtà impone.\nNel campo matematico sono numerosi i software che si sono sviluppati in questi anni relativamente ad ambiti diversi:\n• Geometria dinamica\n• Calcolo e manipolazione numerica e algebrica\n• Calcolatrici grafico-simboliche\n• Analisi di dati e costruzione di istogrammi e grafici\nAnche a tal riguardo il dibattito che si è aperto a vari livelli risulta interessante e\nstimolante, e anche qui si possono rilevare posizioni diversificate. Ad esempio, in merito agli strumenti di calcolo simbolico esiste in certi ambienti pedagogici l’idea assai ingenua che con tali strumenti si potrebbe semplificare l’apprendimento della matematica. Per altri i concetti stanno nella testa, quindi tali strumenti non possono essere utili per imparare matematica 6 . Se da una parte ricerche didattiche approfondite, sul lungo termine, fanno vedere come\nl’apprendimento della matematica con tali strumenti si rivela più complesso per gli allievi\ne quindi anche per il suo insegnamento 7 , dall’altra fanno anche vedere la potenzialità di\ntale uso, sia per una comprensione più ampia, sia perché rende possibile lo studio di modelli complessi . L’introdurre sul lungo termine uno strumento di calcolo simbolico e grafico dà all’allievo una grande autonomia che non è però esente da rischi. E’ responsabilità dell’insegnante proporre un ammaestramento delle varie tecniche sia legate allo strumento (alternanza tra rappresentazione grafica, calcolo numerico e simbolico) che alla sua regolazione, con sviluppi fatti a mano o con teoremi di matematica 6 . Quello informatico è dunque uno strumento ricco di potenzialità che possono emergere solo grazie a colui che lo utilizza, sia esso un docente o uno studente.\n“«Ragiona, non perderti nei calcoli» è la regola aurea della matematica” , Lolli G., Il riso di Talete, Bollati Boringhieri, Torino, 1998, pag. 54\nDorigotti G., Matematica e informatica nel triennio amministrativo, 1999, articolo in rete, vedere elenco siti\nRusso L., Segmenti e Bastoncini, Feltrinelli, 1998\nRuhal Floris, Valutare le conoscenze matematiche teoriche degli allievi in un corso di analisi fatto usando la tecnologia simbolica, Ipotesi n° 1/2002 Trouche L. Etude des rapports entre processus de conceptualisation et processus d’instrumentation, Thèse, IREM de Montpellier\nE’ dunque importante innanzitutto una buona conoscenza del software in termini di caratteristiche, potenzialità e limiti, associata ad un approfondimento sulle implicazioni didattiche sia sul piano metodologico che contenutistico. A tal riguardo un software di veloce apprendimento è a volte preferibile ad altri più complessi, perché permette di concentrare l’attività sulle problematiche disciplinari senza grandi perdite di tempo. Rimane comunque la convinzione che “un uso di appropriati software matematici possa indurre un modo nuovo e più coinvolgente nel ‘fare matematica’ e determinare un cambiamento non indifferente, in termini migliorativi, in relazione all’approccio metodologico” 8\n8 Arzarello F., Ciarrapico L., Presentazione del Progetto Labclass , Quaderno n° 44 del M.P.I., 2001\n2. Derive 5: The Mathematical Assistant for your PC\nDerive è uno dei più noti e diffusi sistemi di elaborazione simbolica, detti anche CAS (Computer Algebra Systems); altri prodotti software ben noti di tipo CAS sono Mathematica e Maple. Con Derive si possono eseguire calcoli simbolici e numerici, algebrici, trigonometrici, analitici, disegnare grafici di curve e superfici in due e in tre dimensioni e molto altro. Un sistema di calcolo di questo tipo permette un approccio alla matematica da più punti di vista, sia algebrico, sia grafico e numerico, e mette in evidenzia le relazioni che intercorrono fra di essi. Ad esempio la soluzione di un’equazione algebrica può essere trovata algebricamente fattorizzando il polinomio, graficamente localizzando i punti in cui la curva interseca l’asse delle ascisse, numericamente con la tecnica di bisezione o altri metodi simili.\nLa prima versione di Derive risale al 1988 e le sue caratteristiche principali erano:\ndimensioni del programma estremamente ridotte, risorse di sistema necessarie per il suo utilizzo molto limitate (funzionava su PC con sistema operativo MS-DOS, con una memoria di almeno 512 Kb) e soprattutto grande semplicità di utilizzo. Nel 1996 uscì Derive per Windows, adatto per operare sui sistemi operativi MS Windows e Windows NT e dotato di interfaccia grafica. Nel 1999 la Texas Instruments acquistò la Soft Warehouse Inc., società produttrice di Derive, e continuò a promuoverlo e a migliorarlo. Nel 2000 è uscita l’ultima versione di Derive per Windows, la versione 5, che presenta notevoli miglioramenti rispetto alle precedenti; negli anni successivi sono poi usciti alcuni aggiornamenti con ulteriori aggiunte e correzioni di bugs. Questa nuova versione conserva la compattezza e le dimensioni molto contenute, che erano fra le caratteristiche più apprezzate: rispetto alla maggior parte dei CAS disponibili sul mercato le dimensioni di Derive sono molto piccole; è pienamente integrato con la filosofia grafica di Windows; è semplice da usare e le risorse di sistema richieste sono veramente minime. Una volta installato il programma occupa circa 4MB, compresa una guida in linea completa e una ricca libreria di funzioni e fogli di lavoro.\nA fronte di esigenze così ridotte rispetto ad altri programmi di matematica, Derive è uno\nstrumento di Computer Algebra a tutti gli effetti; con Derive si possono semplificare, sviluppare o fattorizzare espressioni comunque complicate; possono essere risolte equazioni e sistemi di equazioni, sia in modo algebrico che numerico; si possono risolvere problemi di calcolo differenziale e integrale, di calcolo vettoriale, matriciale; inoltre è possibile tracciare grafici in due e in tre dimensioni.\nAll’avvio del programma si apre la finestra algebra, dotata di un’interfaccia completamente grafica; tra le sue caratteristiche si osserva la presenza della linea di editing e della barra dei simboli, che consentono una semplice introduzione delle espressioni; le capacità di editing sono buone e consentono correzioni e modifiche sia delle espressioni eseguibili che del testo di commento con il semplice uso del mouse. Quando si sceglie un comando da uno dei menu, ad esempio Semplifica o Calcola, si apre una finestra di dialogo che consente una varietà di scelte.\nLa scelta di default è spesso sufficiente per fornire il risultato richiesto, almeno nei casi più semplici, ma in altri casi può essere indispensabile poter disporre di altre scelte; ad esempio il comando Fattorizza del menu Semplifica include, fra le altre, l’opzione di fattorizzare usando coefficienti complessi. E’ possibile visualizzare contemporaneamente sia la finestra di calcolo che la finestra grafica, rendendo agevole il passaggio dall’una all’altra: in questo modo si può ad esempio visualizzare contemporaneamente un grafico e la corrispondente equazione. Nei fogli di lavoro è possibile incorporare oggetti di testo e oggetti grafici, creati con Derive o con altri applicativi di ambiente Windows; si possono così creare dei fogli di lavoro matematici completi di testo, grafici e note, ben documentati e formattati in modo libero, da condividere con altri utenti. I fogli di lavoro possono essere salvati sotto forma di file nel formato .dfw, (o anche nel formato .mth leggibile dalle precedenti versioni di Derive, con qualche limitazione) e riaperti e modificati in successive sessioni di lavoro; tali fogli possono anche essere scritti\nin un file .rtf (Rich Text Format), utilizzabili da un word-processor (Word).\nLa possibilità di scegliere le dimensioni dei caratteri usati per le espressioni facilità l’utilizzo in aula di questo programma con un proiettore collegato a un PC: in questo modo è possibile mostrare a una classe di allievi ciò che man mano il docente svolge sul suo PC.\nDerive ha capacità grafiche veramente innovative e interessanti; una possibilità è quella di tracciare il “grafico” di una disequazione: ad esempio l’insieme dei punti del piano che soddisfano una disequazione lineare di primo grado viene rappresentato come un semipiano delimitato dalla retta avente la corrispondente equazione\nUna funzionalità interessante è quella di effettuare operazioni di rotazione e zoom sui grafici; le superfici in 3D possono essere visualizzate in coordinate cartesiane, sferiche, cilindriche, o in forma parametrica; i grafici prodotti possono essere annotati con testo descrittivo ed esportati nei formati grafici più comuni o inseriti nel foglio di lavoro corrente. La qualità dei grafici in 3D che si possono realizzare con la versione 5.05 è nettamente migliorata rispetto alle versioni precedenti: ora si possono realizzare grafici di qualità paragonabile a quelli realizzati con altri programmi. Alcuni esempi sono riportati nella figura seguente\nDerive, oltre a capacità grafiche piuttosto interessanti, è dotato soprattutto di capacità di calcolo e manipolazione algebrica, fondamentali per un sistema di calcolo simbolico. Una caratteristica estremamente interessante dei CAS è di poter operare in aritmetica esatta e in aritmetica ad alta precisione. Aritmetica esatta significa che quantità come i numeri irrazionali, i logaritmi, gli esponenziali e così via, rimangono tali finché non si richiede di approssimarli: ad esempio\nLN(3) viene semplificata nella forma\n2 ⋅ LN(15) .\nAritmetica in alta precisione significa che il numero di cifre può essere scelto arbitrariamente, compatibilmente con le caratteristiche del processore del computer. Derive può risolvere equazioni, e sistemi di equazioni, in modo algebrico e in modo approssimato, sia per equazioni algebriche che trascendenti; per trovare le soluzioni in modo approssimato non si richiede di indicare obbligatoriamente un intervallo in cui cade la radice; questa caratteristica funziona bene nel caso di equazioni algebriche e si trovano tutte le soluzioni, mentre nel caso di equazioni trascendenti il funzionamento è meno efficace e in molti casi si determina una sola soluzione, anche se l’equazione ne possiede più di una; per trovare le altre è necessario specificare l’intervallo, cosa per altro non troppo complicata nella maggior parte dei casi viste le capacità grafiche di Derive.\nMolti problemi tipici del calcolo differenziale e integrale possono essere risolti in modo semplice per mezzo dei comandi di Derive: limiti, derivate, integrali definiti e indefiniti possono essere calcolati usando gli strumenti della finestra di lavoro. Derive può tracciare il grafico di funzioni di molti tipi diversi, semplicemente scrivendone l’equazione e attivando un pulsante con il mouse, dopo aver aperto la finestra grafica 2D. Due esempi sono riportati nella figura seguente: si tratta di una funzione in coordinate cartesiane, di una spirale in coordinate polari e di una curva assegnata in forma parametrica (gli ultimi due esempi sono tratti da file di libreria di Derive)\nLa facilità con cui in questo ambiente si possono risolvere molti problemi del calcolo differenziale e l’immediatezza con cui si può realizzare il grafico di una funzione possono far apparire lo studio di funzione un’operazione immediata e di semplice esecuzione anche per chi non conosce tutti i metodi analitici necessari per lo studio di una funzione. In realtà queste potenzialità grafiche non devono trarre in inganno: come verrà evidenziato in modo dettagliato nei fogli di lavoro che saranno presentati nel capitolo 4, si possono verificare dei casi piuttosto sorprendenti in cui Derive fornisce grafici “sbagliati”: non si tratta in effetti di grafici sbagliati, ma della conseguenza di scelte su cui è basato il programma. Derive lavora con funzioni di variabile complessa e a valori complessi e questo produce come risultato grafici che possono essere in qualche caso diversi da quelli che si ottengono lavorando con funzioni reali di variabile reale: un esempio è fornito dalla funzione radice cubica, di cui si parlerà nel § 4.8 dedicato alle funzioni elementari. E’ quindi indispensabile un uso critico del software e in questo il ruolo dell’insegnante è fondamentale: Derive rappresenta un potente e affidabile strumento di calcolo, ma i risultati ottenuti devono essere interpretati con gli opportuni strumenti matematici.\nManca ancora all’interno di Derive un linguaggio di programmazione adeguato, per rendere il software più flessibile e di utilizzo più generale; è possibile realizzare programmi con Derive, ma si tratta di una programmazione semplice di tipo funzionale e\nnon procedurale, ossia vengono utilizzate solo combinazioni di funzioni definite in precedenza. In sostanza quindi ogni programma in ambiente Derive è costituito da funzioni e da concatenazioni di funzioni. Sono previste comunque alcune strutture tipiche della programmazione, ad esempio la\nstruttura condizionale IF; si possono realizzare calcoli ripetuti con la funzione VECTOR; si possono eseguire iterazioni con le funzioni ITERATES e ITERATE; è inoltre possibile usare la ricorsione. Nella versione 5 sono state anche introdotte le funzioni PROG e LOOP, che consentono di eseguire più istruzioni in sequenza e di realizzare cicli. Le possibilità di programmazione sono migliorate rispetto alle versioni precedenti, ma la scrittura del programma è molto scomoda, dovendo essere fatta completamente dalla riga\ndi editing, e si commettono facilmente molti errori: è chiaro che Derive non può, allo stato\nattuale, costituire un’alternativa al linguaggio Pascal per gli insegnanti che svolgono nei loro programmi argomenti di programmazione.\nQuesto lavoro si rivolge in particolare agli allievi della Sis e ai docenti che, non conoscendo Derive, possono avvicinarsi all’uso di tale software mediante semplici esercizi. Nel capitolo 3 vengono descritte le caratteristiche e le funzionalità di base del programma, mediante una breve descrizione dei menu, degli strumenti e delle funzioni che esso mette a disposizione. Successivamente, nel capitolo 4, sono raccolti numerosi fogli di lavoro realizzati interamente con Derive, in cui gli esempi trattati sono completamente risolti e commentati.\nQuesti fogli di lavoro sono stati preparati con il duplice scopo di guidare l’utente inesperto ad apprendere l’uso del software, mettendone in risalto le potenzialità e le applicazioni, e\ndi fornire qualche idea per un suo utilizzo in ambito didattico.\nGli argomenti trattati sono stati scelti fra quelli più tipici sia del biennio che del triennio della scuola superiore, in modo da poter trarre spunti per l’attività di laboratorio e per la preparazione di schede di lavoro da proporre agli studenti. I fogli di lavoro vengono riportati nel capitolo 4 nella veste in cui sono stati realizzati con\nil software, formattati con lo stile e i caratteri tipici di Derive; questa scelta consente di\nmantenersi il più vicino possibile all’ambiente di studio, anche se la qualità editoriale non è certo ottima.\nMolte idee interessanti, utili per la realizzazione di schede di lavoro e di verifica, e numerosi esercizi da svolgersi con l’aiuto di Derive possono essere trovati sui testi di P. Boieri e di C. Di Stefano citati nella Bibliografia.\nIn rete è possibile trovare una grande quantità di materiale sull’uso delle nuove tecnologie\nnella didattica e in particolare su Derive; nel capitolo 5 si trova un elenco di siti, ciascuno accompagnato da un sintetico commento. I link sono stati tutti verificati nel settembre 2003, ma la velocità con cui il Web si evolve può far sì che qualche indirizzo non sia più valido. L’elenco non ha ovviamente alcuna pretesa di completezza e della scelta sono responsabili gli autori; per altri indirizzi di siti matematici si rimanda al quaderno didattico del Laboratorio S.I.S. 2000/2001 1\n1 Costanzo M., Garetto M., Navigando nella matematica. Laboratorio S.I.S. 2000/2001, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Torino, Quaderno n° 1, Maggio 2001\n3. Derive 5: finestre, menu, comandi\nDerive è un software matematico che può essere utilizzato per molte applicazioni, come ad esempio il calcolo algebrico, la trigonometria, i vettori e le matrici, il calcolo differenziale e integrale, la rappresentazione di funzioni in due e tre dimensioni. Prima di illustrare l’uso di Derive per la soluzione di problemi matematici quali quelli ora citati, descriviamo brevemente le caratteristiche di base del software. La versione di Derive qui presentata è la 5.05 per Windows in italiano.\n3.1 La finestra algebra\nDerive 5 si avvia con un doppio clic sull’icona presente sul desktop, oppure dal menu Start. Compare la seguente finestra:\nDescriviamo brevemente le principali caratteristiche della finestra algebra di Derive; dettagli maggiori su molti dei comandi saranno illustrati negli esempi e nelle applicazioni del capitolo 4.\nNome del programma (Derive 5) e nome del file (provvisoriamente Algebra 1); a destra pulsanti tipici della finestra Windows.\n10 nomi di menu e un ?. Cliccando su ognuno dei nomi appare un menu a tendina con più voci (operazioni che Derive può svolgere). Cliccando su ? si apre l’help in linea.\nPulsanti che permettono di svolgere più rapidamente le operazioni più comuni; le icone in grigio si attivano e possono essere utilizzate quando si introducono i dati necessari per farle funzionare. Per visualizzare una descrizione sintetica delle azioni svolte dai pulsanti nelle barra degli strumenti della finestra algebra e della finestra grafica 2D e 3D, posizionare il puntatore del mouse accanto a ciascun pulsante: compare un riquadro su sfondo giallo con la descrizione dell’azione svolta.\nVi compaiono tutti i dati e le espressioni introdotte e i calcoli effettuati.\nVisualizza informazioni sul documento: tipo di comando, tempo di esecuzione.\nRiga di immissione\nE’ formata da una riga per l’immissione delle espressioni e da alcuni pulsanti che svolgono\noperazioni di frequente utilizzo sulle espressioni: creano, semplificano e approssimano\nCrea espressione : porta l’espressione sul foglio; equivale a Invio.\nSemplifica ; scrive sul foglio di lavoro solo l’espressione semplificata (in centro del foglio).\nCrea e semplifica: porta l’espressione sul foglio e scrive la semplificazione.\nApprossima: scrive sul foglio l’approssimazione dell’espressione di tipo numerico.\nCrea e approssima : scrive sul foglio l’espressione e la sua approssimazione. Espressioni e risultati sono preceduti dal numero di istruzione del tipo #n, con n numero intero.\nLettere greche - Simboli\nAl di sotto della riga di immissione due barre contengono rispettivamente le lettere greche\nmaiuscole e minuscole e i simboli matematici più comuni; alcuni di questi sono disponibili anche sulla tastiera.\n3.2 Comandi nella barra dei menu della finestra algebra\nQuesta barra è l’unica sempre presente in un foglio di lavoro in modalità algebra.\nLa descrizione dettagliata dei contenuti dei vari menu può essere ottenuta consultando la\nguida in linea: selezionare il menu ?, scegliere Guida in linea > Comandi della finestra algebra.\nSi può aprire ogni menu cliccando sul nome nella barra dei menu, oppure premendo\ncontemporaneamente Alt più la lettera sottolineata di ogni menu.\nQuando un menu viene aperto, appare una finestra con altri comandi; si può accedere al comando prescelto cliccando sul nome del comando, oppure premendo da tastiera la lettera sottolineata.\nI comandi del menu File consentono di aprire e chiudere fogli di\nlavoro, caricare e salvare file di espressioni e di altro tipo, stampare o vedere l’anteprima di stampa del foglio di lavoro attivo, oppure uscire da Derive.\nI file di Derive hanno estensione .dfw (nella precedente versione\n.mth). Derive 5 riconosce anche i file salvati nella versione precedente con estensione .mth. La cartella di default suggerita per il salvataggio dei file è Math; questa cartella contiene la libreria, ossia una raccolta di file già forniti da Derive per la soluzione di particolari problemi; per evitare di cancellare inavvertitamente file di libreria, si suggerisce di salvare i propri file in un’altra cartella, che può essere creata dall’utente. Alcuni comandi sono preceduti da un’icona analoga a quella che compare nella barra degli strumenti: si ottiene lo stesso risultato sia accedendo ai comandi dalla barra dei menu, sia premendo l’icona corrispondente nella barra degli strumenti. Alcuni comandi sono seguiti da tre puntini: la scelta di questi comandi fa apparire una nuova finestra e la precedente sparisce. Alcuni comandi sono seguiti da una freccia: in questo caso si apre una nuova finestra accanto alla precedente, che non sparisce. Fra i comandi del menu File notiamo i seguenti.\nCarica file Carica tipi diversi di file: fogli di lavoro già salvati in precedenza; file di dati salvati con estensione .dat; file demo, esempi disponibili con estensione .dmo (ne sono presenti nella cartella Dfw5\_Math e Dfw5\_Users; i file dimostrativi possono solo essere letti); file di utilità, contenenti definizioni di funzioni e costanti, che possono essere usate digitandone il nome (sono presenti nelle due cartelle indicate).\nI file demo contengono molti esempi interessanti, commentati purtroppo in modo scarno in\ninglese, e si suggerisce di caricarli in un file nuovo e di esaminarli con attenzione; quando\nsi apre un file demo, la barra degli strumenti contiene solo le icone\n, per continuare\no arrestare il programma dimostrativo.\nScrivi su file Salva le espressioni traducendole nei linguaggi di programmazione Basic, C, Fortran, Pascal, oppure in estensione .rtf da utilizzare in Word. Un file salvato in uno di questi formati non può più essere letto da Derive.\nFile recenti Riporta l’elenco degli ultimi quattro file utilizzati, consentendo di caricarli direttamente.\nMenu Modifica Mediante i comandi del menu Modifica della finestra algebra è possibile modificare oggetti ed annotazioni nel foglio di lavoro attivo, come anche tagliare, copiare ed incollare schermate. Molti comandi sono del tutto analoghi ai comandi presenti nei programmi di ambiente Windows.\nOggetto di Derive Permette di modificare un oggetto creato con Derive (espressione, commento, grafico, immagine, ….); l’oggetto deve essere selezionato nel foglio di lavoro.\nAnnotazione Permette di modificare l’annotazione che Derive associa a ogni espressione e che compare nella barra di stato.\nCopia regione Permette di copiare una regione del foglio di lavoro e di\nincollarla in ogni programma che accetta immagini grafiche\nuna croce, muovendo il mouse con il tasto sinistro premuto si forma un rettangolo con i bordi tratteggiati, rilasciando il tasto sinistro, la parte selezionata all’interno del rettangolo viene copiata e può essere incollata in un altro punto del foglio di lavoro o in un altro programma.\nMenu Inserisci Con i comandi Inserisci si inseriscono oggetti dei tipi elencati. Gli oggetti OLE (Object Linking and Embedding) sono oggetti creati con altre applicazioni, che possono essere inclusi nel foglio di lavoro, ad esempio una fotografia, un’immagine, ecc.\nMenu Crea Permette di creare un’espressione, un vettore, una matrice.\nquando si attiva il comando il cursore diventa\nsemplificare numericamente e algebricamente\nespressioni matematiche; è equivalente al pulsante presente sia nella barra degli strumenti, sia accanto alla riga di immissione dell’espressione.\nSviluppa Sviluppa espressioni o sottoespressioni matematiche rispetto ad alcune o a tutte le sue variabili.\nFattorizza Fattorizza un’espressione o una sottoespressione matematica rispetto ad alcune o a tutte le sue variabili.\nApprossima Semplifica un’espressione con approssimazione numerica; si può scegliere la precisione; è\npresente sia nella barra degli strumenti, sia accanto alla riga di\nequivalente al pulsante immissione dell’espressione.\nSostituisci variabili Permette di sostituire valori per ognuna delle variabili dell’espressione o sottoespressione\nViene aperta una finestra di dialogo che consente di specificare i valori da\nsostituire alle variabili nell’espressione evidenziata; è equivalente al pulsante nella barra degli strumenti.\nSostituisci sottoepressione Permette di sostituire un valore per una o per tutte le occorrenze dell’espressione o sotto- espressione evidenziata.\nEspressione Consente di risolvere algebricamente l’equazione selezionata; è\nequivalente al pulsante nella barra degli strumenti.\nSistema Consente di risolvere algebricamente un sistema di equazioni lineari o non lineari.\nMenu Calcola Contiene i comandi utili per il calcolo differenziale. Mediante i comandi del menu Calcola si possono calcolare limiti simbolici, derivate, integrali, serie, prodotti finiti, approssimazioni con i polinomi di Taylor e generare vettori e tabelle di dati. Molti dei comandi possono anche essere attivati dalla barra degli strumenti.\nMenu Dichiara I comandi del menu Dichiara consentono di dichiarare variabili, definire funzioni, selezionare trasformazioni, impostare la precisione, ecc. Questi comandi saranno illustrati più dettagliatamente nelle applicazioni del capitolo 4.\nMenu Opzioni I comandi del menu Opzioni consentono di modificare diverse impostazioni di visualizzazione e stampa. In particolare con il comando Visualizzazione si apre un sotto-menu che consente di scegliere dimensioni e colore del carattere usato per le espressioni e per il testo, colore dello sfondo, ecc. Analogamente con il comando Stampa si possono modificare alcune caratteristiche di stampa del documento.\nSi possono inoltre attivare o disattivare le opzioni per mostrare o nascondere l’etichetta di ogni espressione, i grafici, i testi inseriti fra le espressioni; inoltre le espressioni possono essere rinumerate nel caso si cancellino delle espressioni.\nI comandi del menu Finestra consentono di aprire\ncontemporaneamente più finestre algebra e finestre grafiche 2D e 3D, di ridisporre le finestre esistenti e di attivare/disattivare le\nbarre di stato e degli strumenti.\nMenu ? Apre la guida in linea, si accede all’indice e a varie informazioni utili.\nUna lista delle funzioni disponibili in Derive può essere visualizzata con questo menu:\ncliccare su Guida in linea, nel Sommario cliccare su Funzioni.\nLe funzioni purtroppo sono elencate in ordine alfabetico e non sono suddivise per\ncategorie, quindi non è possibile rendersi conto velocemente di che cosa sia disponibile su un certo argomento. Si riporta, a titolo di esempio, un elenco tratto dalla guida in linea di alcune delle funzioni disponibili.\nFunzioni di Derive\nIn questa sezione sono riportate in ordine alfabetico tutte le funzioni matematiche\npredefinite di Derive (vedere Funzioni e costanti predefinite) o contenute nei file di utilità\ndistribuiti con Derive (vedere le Funzioni contenute nei file di utilità). Le funzioni contenute nei file di utilità vengono caricate automaticamente quando si richiamano all’interno di espressioni.\nvalore assoluto del reale x\nampiezza (modulo) del complesso z\nampiezza (lunghezza) del vettore v\nangolo il cui coseno è z\ncoseno iperbolico inverso di z\nminimo comune multiplo di m, n,\nPERPENDICULAR(y,x,x0) retta perpendicolare a y(x) in x=x0 ……\nmassimo comun divisore dei polinomi u e v\nil primo numero primo minore di n\nse n è un numero primo, ritorna true; altrimenti ritorna false\nseno di z radianti\nseno di z gradi\nseno iperbolico di z\nfunzione zeta di Riemann z(s)\nfunzione zeta di Hurwitz z(s,z)\n3.3 La finestra grafica 2D\nPer aprire una finestra per rappresentazioni grafiche in due dimensioni aprire il menu Finestra nella finestra algebra e selezionare Nuova finestra grafica 2D, oppure cliccare\npresente nella barra degli strumenti della finestra\nLa finestra grafica 2D ha il seguente aspetto:\nLa barra del titolo, la barra dei menu e la barra degli strumenti della finestra grafica sono diverse rispetto a quelle della finestra algebra. In particolare la barra di stato visualizza le seguenti informazioni grafiche:\nCroce: indica le coordinate della croce mobile Centro: indica le coordinate del centro del disegno Scala: indica il fattore di scala per entrambi gli assi.\nPuò essere utile disporre la finestra algebra e la finestra grafica fianco a fianco, con il comando Finestra/Affianca verticalmente. Per passare da una finestra all’altra, quando sono entrambe visibili, cliccare sulla barra del titolo della finestra non attiva. Quando invece è visibile una sola finestra, selezionare la finestra da aprire dal menu\nFinestra, oppure utilizzare i pulsanti di passaggio: per passare dalla finestra algebra\nalla finestra grafica, per passare dalla finestra grafica alla finestra algebra.\n3.4 Comandi nella barra dei menu della finestra grafica 2D\nDescriviamo brevemente i contenuti dei menu della barra; dettagli ulteriori saranno illustrati nelle applicazioni del capitolo 4.\nMenu File I comandi disponibili nel menu File permettono di incorporare un nuovo oggetto grafico o di aggiornarne uno esistente nel foglio di lavoro attivo, di chiudere la finestra grafica, di esportare il grafico\nsu file esterni, di stampare o vedere l’anteprima di stampa, o di uscire da Derive. Con il comando Incorpora si inserisce un grafico 2D in una Finestra Algebra; il grafico incorporato non è interattivo, ma con un doppio clic del mouse sull’immagine incorporata si può ritornare in un qualunque momento nella finestra grafica per apportare modifiche e poi aggiornare il grafico.\nIl comando Esporta su file permette di salvare un grafico, che può essere successivamente\ninserito come immagine in un’altra applicazione (ad esempio in un file Word).\nMenu Modifica I comandi disponibili nel menu Modifica permettono di modificare o cancellare grafici o annotazioni. Con il comando Copia finestra grafica si copia nella clipboard di Windows il grafico, che può essere poi incollato in un documento Windows (ad esempio in un file Word) oppure nella finestra algebra. Attivando il comando Copia regione, nella finestra grafica compare una croce, che può\nessere spostata con il mouse per delimitare la regione che si vuole selezionare; rilasciando\nil mouse la regione prescelta viene copiata nella clipboard e può essere incollata altrove.\nI comandi del menu Inserisci consentono di aggiungere nuovi grafici e annotazioni alla finestra grafica 2D.\nUtilizzare il comando Inserisci>Grafico, oppure il pulsante ,\nper tracciare il grafico dell’espressione selezionata nella finestra algebra; se la finestra grafica contiene già un grafico, il nuovo grafico viene aggiunto con un colore diverso o anche con lo stesso colore (vedere menu Opzioni> Cambia colore dei grafici e Opzioni>Visualizzazione>Colore del grafico).\nIl comando Inserisci>Grafico è attivo solo se c’è un’espressione selezionata nella finestra\nalgebra. I file Plot2d.mth, e Plotpara.mth, distribuiti con Derive e contenuti nella cartella Math, includono numerosi esempi di espressioni interessanti da tracciare in una finestra grafica\nMenu Imposta Utilizzare i comandi del menu Imposta della finestra grafica 2D per esaminare e/o modificare il sistema di coordinate, la posizione della croce, la regione del grafico, l’intervallo del grafico ed il rapporto di aspetto.\nPer impostare la stessa scala su entrambi gli assi eseguire il comando Imposta > Rapporto di aspetto: compare la finestra a sinistra.\nI valori dei campi Orizzontale e Verticale mostrano l’attuale rapporto di aspetto (lunghezza fisica in pixel orizzontale/verticale); premendo Resetta appare la finestra a destra, dove le dimensioni orizzontale e verticale sono uguali (di default entrambe 8); confermare con OK. Le dimensioni orizzontale e verticale, che appaiono di default, possono essere modificate con il comando Imposta>Regione del grafico; per avere la stessa unità di misura su entrambi gli assi, le lunghezze orizzontale e verticale devono essere uguali (non necessariamente 8). Per ripristinare la regione originaria del grafico utilizzare il comando Imposta>Regione del grafico, cliccare su Resetta e poi su OK, oppure utilizzare il comando Imposta>Intervallo del grafico, cliccare su Resetta e poi su OK; in entrambi i casi cliccare alla fine sul tasto Ingrandisci nella barra del titolo della Finestra Grafica.\nMenu Opzioni Utilizzare i seguenti comandi disponibili nel menu Opzioni>Stampa della Finestra Grafica 2D per impostare:\nIntestazione e piè pagina Imposta pagina Imposta stampante Solo bianco e nero\nUtilizzare i seguenti comandi disponibili nel menu Opzioni>Visualizzazione della finestra grafica 2D per impostare:\nAssi Croce Griglia Punti Colore del grafico Colore dello sfondo Per ciascuna di queste opzioni si apre una scheda apposita con varie scelte possibili.\nAltri comandi disponibili nel menu Opzioni consentono di attivare/disattivare diversi parametri della finestra grafica 2D; in particolare la Modalità traccia è utile per analizzare le curve. Quando la modalità traccia è attiva, la croce si trasforma in un quadratino e si sposta lungo la curva usando i tasti freccia; nella barra di stato vengono visualizzate le coordinate della croce. Per spostamenti grandi occorre usare il tasto Ctrl più il tasto freccia destra o sinistra.\nIl menu Finestra è analogo a quello già descritto per la\nI comandi di questo menu consentono di aprire nuove\nfinestre grafiche 2D e 3D, di ridisporre le finestre esistenti e\ndi attivare e disattivare le barre di stato e degli strumenti.\nSe sono aperte più finestre (algebra e/o grafica) può essere utile il comando Visualizza schede; con questo comando per ogni finestra si visualizza una linguetta che permette di spostarsi più agevolmente da una finestra all’altra. Una lista delle finestre aperte è visualizzata in fondo al menu Finestra.\nMenu ? Guida in linea cliccando su Guida in linea si apre il sommario, da cui si può accedere a tutti gli argomenti della guida.\nBarra degli strumenti della Finestra Grafica\nI pulsanti permettono di svolgere più rapidamente le operazioni più comuni, molte delle quali sono già note. Tra i pulsanti che vi compaiono notiamo i pulsanti freccia\n, utili per modificare la scala cambiando la regione del grafico.\nIl tasto Imposta intervallo con il mouse consente di visualizzare un’area rettangolare\na propria scelta, effettuando uno zoom del grafico. Cliccando sul tasto, nella Finestra\nGrafica appare un quadratino; scegliere l’area rettangolare cliccando con il tasto sinistro nell’angolo in alto a sinistra dell’area desiderata, tenendo premuto trascinare con il mouse nell’angolo in basso a destra dell’area e rilasciare il mouse.\nLa finestra grafica 3D ha caratteristiche e funzioni del tutto simili alla finestra grafica 2D; alcuni comandi e pulsanti di questa finestra sono la naturale estensione alle tre dimensioni\nquelli descritti in due dimensioni.\npossono visualizzare superfici in coordinate rettangolari, sferiche, cilindriche, o in forma\nparametrica. Particolarmente interessante e di effetto è il pulsante nella barra degli strumenti che\nconsente di ruotare il grafico.\n4. Derive in classe\nBarra del titolo: nome del programma (Derive 5) e nome del file\nBarra dei menu: 10 nomi di menu e ? Cliccando su ognuno dei menu si apre una tendina con più voci (operazioni che Derive può svolgere) Cliccando su ? si apre la guida in linea\nBarra degli strumenti: icone che permettono di svolgere più rapidamente le operazioni più comuni.\nLe icone si attivano e possono essere utilizzate quando si\nintroducono i dati necessari per farle funzionare\nFinestra Algebra: il foglio di lavoro; compaiono dati e espressioni introdotte e calcoli effettuati\nBarra di stato: visualizza informazioni sul documento\nFinestra di immissione dati e espressioni: i pulsanti a sinistra della riga di immissione dell'espressione svolgono operazioni di frequente utilizzo sulle espressioni: Crea, Semplifica, Approssima\nFile demo: programmi dimostrativi, alcuni adatti a utenti inesperti, altri di livello abbastanza elevato. Sono presenti nelle cartelle di libreria Math e Users\nEsempio 1 - Operazioni elementari, uso dei pulsanti a sinistra della riga di immissione dell'espressione.\nIntrodurre l'espressione 1/2+1/4: scrivere l'espressione nella riga\ndi immissione e premere Invio, oppure (è equivalente) usare il\npulsante Crea espressione (primo pulsante a sinistra)\nSe si vuole modificare un'espressione, ad esempio per correggere un\nerrore, posizionare il puntatore del mouse sull'espressione, cliccare con il tasto destro e scegliere Modifica, modificare l'espressione nella riga di immissione e premere Invio:\nl'espressione non viene reinserita, ma modificata nella linea in cui era posizionata\nSe scrivendo l'espressione si commette un errore, l'espressione non\nviene inserita e compare un messaggio nella barra di stato:\ncorreggere e premere di nuovo Invio\nDerive in classe. Nozioni di base\nSemplificare l'espressione #2: selezionarla con il mouse e usare il pulsante =\nInserire l'espressione 21*4 e semplificare con il pulsante Crea e semplifica. Il simbolo di moltiplicazione può essere sottinteso e sostituito da uno spazio\nInserire e semplificare l'espressione 12^15; notare che l'operazione appare nella finestra algebra con la consueta notazione algebrica\nInserire e semplificare l'espressione (2+5)^3/(1+3): l'espressione appare in notazione algebrica; con Crea e semplifica il risultato appare in forma frazionaria; se si vuole il risultato in forma decimale, usare Crea e approssima Derive usa solo parentesi tonde, che possono essere annidate.\n(2 + 3) —————————— 1 + 3\nEsempio 2 - Calcolo di radici\nInserire l'espressione ‹18 usando il pulsante ‹ nella barra dei simboli: introdurre e semplificare con il pulsante Crea e semplifica\nPer richiamare l'espressione #11 selezionarla con il mouse e usare il tasto F4; l'espressione viene copiata nella barra di immissione, usare il pulsante Crea e approssima\nSi possono anche usare i pulsanti Semplifica e Approssima: osservare che non viene riscritta l'espressione. Osservare le scritte nella barra di stato\nSe si vogliono utilizzare più cifre decimali nel risultato, selezionare il menu Dichiara>Impostazioni di semplificazione e introdurre nel campo Cifre il numero di cifre che si vogliono utilizzare. L'opzione resta attiva fino al termine della sessione di lavoro, oppure fino a nuova scelta. Si può tornare alla scelta di default riaprendo il menu e cliccando Resetta e OK Un'altra tecnica per scegliere il numero delle cifre decimali è descritta più avanti (Esempio 4) Dopo aver impostato il numero di cifre, richiamare l'espressione #11 con il tasto F4 e usare Crea e Approssima\n#17: PrecisionDigits := 15\nCome riconosci un matematico? Un matematico considera l'espressione #12 il risultato migliore!\nLe radici di indice k (k”2) devono essere scritte come potenze con esponente frazionario. Introdurre e approssimare l'espressione (5+2)^(1/3)\nScrivere l'espressione correttamente! Scrivendo (5+2)^1/3 si ottiene un'altra espressione\nEsempio 3 - Calcolo di potenze.\nIntrodurre il numero 1234^56 e usare Semplifica. Notare l'alto numero di cifre: questa notazione per il numero non è la migliore!\nApprossimare il numero usando Approssima\nApprossimazioni e calcoli esatti\nEsempio 4 - Comandi Base e Approssima\nScrivere l'espressione sin(¹/4) e dal menu Semplifica scegliere prima Base e poi Approssima\nQ ¹ ‚\nX 4 ƒ\nOsservazione: con il comando Approssima si può scegliere il numero\ndi cifre di precisione (Approssima usa la scelta di default di 10\ncifre). Il valore seguente è calcolato con 32 cifre\n#30: PrecisionDigits := 32\nEsempio 5 - Costanti matematiche ¹ (pi greco), e (base dei logaritmi naturali), i (unità immaginaria)\nnumero ¹ può essere introdotto in quattro modi diversi:\n- dalla barra dei simboli\n- dalla barra delle lettere greche\n- premendo Ctrl+P\n- scrivendo pi.\nnumero e può essere introdotto in tre modi diversi:\n- premendo #e\n- premendo Ctrl+E.\nL'unità immaginaria i può essere introdotta in tre modi diversi:\n1 - dalla barra dei simboli\n2 - premendo #i\n3 - premendo Ctrl+I\nVerificare con Approssima che la lettera e da sola non serve per introdurre il numero e; lo stesso per la lettera i.\n¹ + ¹ +\nê + ê +\n+ î +\nIntrodurre il numero e in modo corretto e calcolarne il valore con Crea e approssima\nEsempio 6 - Modalità Exact e Modalità Approximate\nNella sezione Precisione del comando Dichiara>Impostazioni di semplificazione si può impostare e/o cambiare la modalità e le cifre della precisione. In modalità Exact, i numeri irrazionali non vengono approssimati e i radicali vengono lasciati in forma simbolica. Per default la precisione è impostata a Exact; questa modalità è utilizzata quando si vuole una risposta esatta.\n#42: Precision := Exact\n‹(4 - 2·‹3)\n‹3 - 1\nIn modalità Approximate i numeri irrazionali e quelli razionali grandi vengono semplificati nel numero razionale più vicino. Il numero di cifre significative può essere impostato nel campo Cifre ad un qualsiasi valore positivo. Aumentando la precisione, il tempo di calcolo di un'operazione sui razionali aumenta. La modalità Approximate può essere significativamente più veloce e richiedere meno memoria della modalità Exact\n#51: Precision := Approximate\nIn modalità Mixed i numeri irrazionali vengono approssimati, quelli razionali no. Come per la modalità Approximate, i numeri irrazionali vengono semplificati nel numero razionale più vicino in accordo con la corrente precisione. La modalità Mixed si utilizza quando si è disposti ad approssimare le operazioni irrazionali in un risultato numerico, ma con tutte le precedenti operazioni eseguite esattamente. Per maggiori dettagli vedere la guida in linea: Comandi della Finestra Algebra>Dichiara>Impostazioni di semplificazione>Precisione Molti esempi interessanti (ma non tutti elementari) possono essere trovati sul testo di Kutzler e Kokol-Voljc citato in Bibliografia, cap. 5 e cap. 8.\nEsempio 7 - Espressioni\nInserire l'espressione x/4+x/5 e usare Crea e semplifica\nx x ——— + ———\nRichiamare l'espressione e usare Crea e approssima\nEsempio 8 - Uso del menu Semplifica. Comando Sviluppa\nScrivere l'espressione (x-1)^3, usare il pulsante Crea e semplifica:\nviene semplicemente introdotta l'espressione\nSelezionare con il mouse l'espressione #58, aprire il menu Semplifica; scegliere il comando Sviluppa, cliccare sul pulsante Sviluppa\n+ 3·x - 1\nNota. Per aprire in modo rapido il Menu Semplifica>Sviluppa premere\nsottolineata nel comando) Questa tecnica vale anche per l'uso rapido degli altri comandi dei menu\ntasti Alt+S, poi il tasto S maiuscolo (S è la lettera\nEsempio 9 - Uso di parentesi e operatore di moltiplicazione\nI nomi delle variabili per default sono di un solo carattere; si possono anche usare nomi più lunghi modificando la scelta dal menu Dichiara>Impostazioni di input. Con Impostazioni di input si può anche scegliere se si vuole distinguere tra caratteri maiuscoli e minuscoli\nIntrodurre l'espressione xy+sinx con Crea e semplifica\nx·y + SIN(x)\nSIN(x) + x·y\nNotare che le parentesi non sono indispensabili. Attenzione: se dal menu Dichiara>Impostazioni di input si sceglie di usare come nomi delle variabili più di un carattere (parola), le parentesi devono essere scritte.\nAd esempio l'espressione sinx viene interpretata come un unico nome e non come la funzione sin(x)\n#63: InputMode := Word\nIntrodurre l'espressione 3/(x+5) con il pulsante Crea Attenzione agli errori! Usare le parentesi.\n#65: ——————— x + 5\n——— + 5\nAltri esempi di differenti espressioni a seconda dell'uso delle parentesi\n3·x - ——— - 6\n#68: 3·x - ——————— x - 6\n3·x - ¦——— - 6¦\n3·¦x - ——— - 6¦\nPer passare dalla riga di inserimento espressione alla finestra algebra usare il tasto Esc Per passare dalla finestra algebra alla riga di inserimento espressione usare il tasto F2 In alternativa cliccare con il tasto sinistro sul punto interessato (sul foglio di lavoro o nella riga di immissione)\nEsempio 10 - Il calcolo delle radici\nIntrodurre ‹x^2 e usare il bottone Crea e semplifica: si calcola\nIntrodurre ‹(x^2) e usare il pulsante Crea e semplifica: si ottiene il valore assoluto\nIl simbolo di sommatoria\nEsempio 11 - Calcolo di somme\nCalcolare la somma dei primi 50 numeri interi positivi: 1+2+3+ Scrivere n nella riga di immissione e dare Invio (o usare Crea\nespressione); usare il pulsante Calcola serie nella barra degli strumenti. Selezionare Serie definita e scrivere nei due campi Limite inferiore\ne Limite superiore i valori 1 e 50, premere Semplifica\nCalcolare la somma dei numeri dispari da 11 a 41 Scrivere 2n+1 nella riga di immissione e dare Invio; usare il pulsante Calcola serie nella barra degli strumenti.\nSelezionare Serie definita e scrivere nei due campi Limite inferiore\ne Limite superiore i valori 5 e 20, premere Semplifica\n2·n + 1\n(2·n + 1)\nVerificare che la somma dei primi n numeri dispari è uguale a n^2. (questa proprietà si dimostra per induzione). Scrivere 2k-1 nella riga di immissione e dare Invio. Usare il pulsante Calcola serie nella barra degli strumenti.\ne Limite superiore i valori 1 e n, premere Semplifica\n2·k - 1\n(2·k - 1)\nCalcolare la somma dei primi n numeri: si ottiene la nota formula\nScrivere k (termine generico della somma) nella riga di immissione e\npremere Invio, usare il pulsante Calcola serie nella barra degli strumenti.\nSi può definire una funzione avente come espressione la somma appena calcolata; assegnando poi a n valori diversi a scelta, si ottiene rapidamente il valore numerico della somma. Dal menu Dichiara scegliere Definisci funzione; nel campo Nome della funzione e argomenti scrivere f(n) Nel campo Definizione scrivere n(n+1)/2 e premere OK La definizione della funzione resta attiva per tutta la sessione di lavoro.\n#87: f(n) := ———————————\nAssegnare a n un valore a scelta, ad esempio 100 (usare il segno :\nprima di =) e premere il pulsante Crea.\nSelezionare la funzione (tutta l'espressione #87) e usare il menu Semplifica>Base\nAltro metodo: scrivere nella riga di immissione f(100) e usare Crea e semplifica\nAttenzione: se si usa la prima tecnica, con l'espressione #88 si fa un'assegnazione che resta attiva per tutta la sessione di lavoro. Per rendere inattiva l'assegnazione #88 introdurre l'espressione n:= in modo che n ridiventi una variabile libera (ossia n non ha più il valore numerico prima assegnato)\nTesti, formattazione, anteprima, stampa\n• I commenti che illustrano le operazioni da fare vengono\nintrodotti con il pulsante Inserisci testo nella barra degli strumenti\n• Per modificare la formattazione del testo (dimensione, tipo e\ncolore dei caratteri, allineamento) aprire il menu Finestra e scegliere Visualizza barre degli strumenti; selezionare Barra di formattazione: compare la barra di formattazione nella quale fare le scelte.\n• Per cambiare la dimensione e il colore dei font usati per le\nespressioni e i risultati aprire il menu Opzioni, selezionare\nVisualizzazione, Font per le espressioni, e scegliere piccolo o grande e il colore\n• Con due clic su una parola si seleziona tutta la parola, con tre\nclic in un punto qualunque del testo si seleziona tutta la frase.\n• Per cancellare il testo, selezionarlo e premere Canc; in questo modo si cancella solo il testo e non l'oggetto che lo contiene.\n• Per eliminare l'oggetto testo, evidenziarne i bordi\nposizionandosi al suo interno, premere Esc e poi Canc.\n• Le espressioni (più in generale gli oggetti, ad esempio il logo all'inizio di questo file) si cancellano con il tasto Canc o con il pulsante Cancella oggetto nella barra degli strumenti (dopo aver selezionato l'oggetto)\n• Per visualizzare un'anteprima di questo documento aprire il menu\nFile>Anteprima di stampa Per eventuali modifiche aprire il menu Opzioni>Stampa Per stampare usare il pulsante Stampa della finestra di anteprima\n• Per salvare il foglio di lavoro aprire il menu File>Salva con nome\n4.2 Calcolo letterale\nEsempio 1 - Utilizzo di sottoepressioni\n(b - 1)\n————————————— + ——————————\nLe sottoespressioni si selezionano con il mouse o con i tasti freccia: muovere il mouse all'interno dell'espressione, cliccando con il tasto sinistro del mouse.\nA ogni clic, posizionandosi con il mouse sulla sottoepressione che\ninteressa evidenziare, si scende di un livello all'interno dell'espressione.\nCon doppio clic si selezionano facilmente le sottoespressioni più\nIn alternativa si possono usare insieme i tasti Maiuscolo+freccia per spostarsi all'interno dell'espressione.\nSelezionare il primo termine dell'espressione #1 e semplificarla con il pulsante Semplifica\n2·a - b\n—————————— + —————————\nSelezionare ora il numeratore del primo termine dell'espressione #2\ne sviluppare con il comando Semplifica>Sviluppa (Menu Semplifica)\n- 2·b + 1\n—————————————— + —————————\nSviluppare l'intera espressione #1 rispetto a b: selezionare l'espressione, aprire il menu Semplifica>Sviluppa; nella finestra di dialogo selezionare la variabile b e deselezionare la x, cliccare su\n+ 2·x - y )\n+ x - 2·a·y\n————————— + ——————————————————— + —————————————————————\nEsempio 2 - Sostituzione di valori simbolici e/o numerici alle variabili in un'espressione.\nInserire l'espressione b^2+x^2-y^2+z^2\nDerive in classe. Calcolo letterale\nSostituire 3 a x, t-y a z, a+1 a b. Aprire il menu Semplifica>Sostituisci variabili, nella finestra di dialogo introdurre i valori da sostituire e premere OK.\n+ (t - y)\nCon la stessa tecnica si può sostituire anche nelle sottoespressioni Nell'espressione #4 sostituire 4 a x^2-y^2 solo nel primo termine. Richiamare l'espressione #4 con il tasto F4 e dare Invio; selezionare la sottoespressione nel primo termine, aprire il menu Semplifica>Sostituisci sottoespressione, nella finestra di dialogo scrivere il nuovo valore 4 e selezionare Occorrenze: una, premere OK\n———— + ——————————————————— + —————————————————————\nEsempio 3 - Fattorizzazione di un polinomio\nUso del comando Comando Semplifica>Fattorizza (Menu Semplifica) Inserire il polinomio 6x^2y^2-3xy+12x^4y^4 Fattorizzare il polinomio con il comando Semplifica>Fattorizza; nella finestra di dialogo compaiono i vari tipi di fattorizzazione disponibili; il tipo predefinito è Razionale. Il tipo Triviale effettua il raccoglimento a fattor comune\n- 3·x·y + 12·x ·y\n+ 2·x·y - 1)\nInserire il polinomio 9x^2-12xy+4y^2 (quadrato di un binomio) e scomporre con il tipo Quadrati\n- 12·x·y + 4·y\n(3·x - 2·y)\nEsempio 4 - Fattorizzazione di un polinomio\nScomporre in fattori il polinomio x^2-3 Tipi di fattorizzazione: Razionale, Reale. Osservare la differenza.\n(x + ‹3)·(x - ‹3)\nScomporre in fattori il polinomio x^2+4 Tipi di fattorizzazione: Reale, Complessa\n(x + 2·î)·(x - 2·î)\nScomporre in fattori il polinomio x^4-4y^4 Tipi di fattorizzazione: Quadrati, Razionale, Reale, Complessa\n+ 2·y )·(x\n- 2·y )\n(x + ‹2·y)·(x - ‹2·y)·(x\n+ 2·y )\n(x + ‹2·î·y)·(x - ‹2·î·y)·(x + ‹2·y)·(x - ‹2·y)\nEsempio 5 - Fattorizzazione di un polinomio\nScomporre in fattori il polinomio x^5-8x^4+21x^3-24x^2+20x-16 Fattorizzare il polinomio con il comando Semplifica>Fattorizza; esplorare tutti i tipi di fattorizzazione.\n+ 20·x - 16\n(x - 2) ·(x\n+ x - 4)\n(x - 4)·(x - 2) ·(x\n(x - 4)·(x - 2) ·(x + î)·(x - î)\n+ 12·y ·z + 12·y·z\nInserire il polinomio x^6-3x^4-8x^3-18x^2+12x+16 e scomporre con i Tipi di fattorizzazione: Quadrati, Razionale, Reale, Complessa\n+ 12·x + 16\n(x - 1)·(x + 2)·(x\n+ x + 4)·(x\n- 2·x - 2)\n(x - 1)·(x + 2)·(x + ‹3 - 1)·(x - ‹3 - 1)·(x\n+ x + 4)\n‹15·î ‚ C\n(x - 1)·(x + 2)·(x + ‹3 - 1)·(x - ‹3 - 1)·¦x + ——— + ———————¦·¦x +\n1 ‹15·î ‚\n——— - ———————¦\nEsempio 6 - Fattorizzazione di un polinomio\nFattorizzare il polinomio 4x(y+z)^3-3x(y^3+z^3). Con il tipo Triviale, rispetto alla variabile x, si mette in evidenza il fattore comune x\n4·x·(y + z)\nIn molti casi la scomposizione in fattori più adatta si ottiene operando sulle sottoespressioni. Fattorizzare prima la sottoespressione y^3+z^3 nell'espressione #35 rispetto alle variabili y e z, tipo di fattorizzazione Razionale; poi fattorizzare l'intera espressione ottenuta (#37), rispetto a tutte le variabili, tipo di fattorizzazione Razionale.\n- 3·x·((y + z)·(y\n- y·z + z ))\nx·(y + z)·(y\n+ 11·y·z + z )\nEsempio 7 - Scomposizione di un numero in fattori primi\nCon Semplifica>Fattorizza, tipo Triviale, si ottiene anche la scomposizione in fattori primi di un numero intero\n2 ·3·5 ·7\nEsempio 8 - Uso del comando FACTOR\nIn alternativa al comando Semplifica>Fattorizza del menu, può essere utilizzato direttamente il comando FACTOR. Nella riga di immissione scrivere il comando FACTOR(espressione); fra parentesi scrivere come espressione il numero da scomporre in fattori primi o il polinomio da fattorizzare,poi usare il pulsante Crea e Semplifica\n(x + y)·(x - y)\n(x + y)·(x - y)·(x\n- x·y )\nx·(x + y)·(x - y)\nOsservare la differenza fra il comando FACTOR (scomposizione in fattori, espressione #48) e il comando Semplifica>Fattorizza, tipo Triviale, rispetto a x (si mette in evidenza x, espressione #50)\nEsempio 9 - Uso del comando Semplifica>Sviluppa\nSviluppare il polinomio 2xy+x(x+y); introdurre il polinomio e usare il comando Semplifica>Sviluppa, rispetto alla variabile x, tipo Razionale. Confrontare questo risultato con quello che si ottiene con Crea e Semplifica\n2·x·y + x·(x + y)\nx·(x + 3·y)\nEsempio 10 - Scomposizione in fratti semplici\nPer ricavare la scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale (utile per il calcolo degli integrali delle funzioni razionali) si può usare il comando Semplifica>Sviluppa Caso del denominatore con zeri reali e distinti; introdurre la funzione\nx - 1 ————————————————\n+ 5·x + 3\nSelezionare l'espressione della funzione e usare Semplifica>Sviluppa Tipo di fattorizzazione Razionale\n————————— - ———————\n2·x + 3\nCaso del denominatore con zeri reali di cui due coincidenti\n+ 3·x + 1\nx #57: ———————————————\nx - 3·x\n———————————— + ——————————— - ——————————— + x + 3\n3·(x - 2)\n9·(x - 2)\n9·(x + 1)\nCaso del denominatore con zeri complessi coniugati\nx + 2 —————————————————————\nx - 2·x\n+ 3·x - 6\n- ———————————— - ———————————— + ———————————\n7·(x - 2)\n4.3 Polinomi: grafici e ricerca degli zeri\nRicerca degli zeri di un polinomio: grafico del polinomio\nEsempio 1 - Ricerca degli zeri del polinomio\ny = ———— + —————— - ———·x\n- ————— - ———\nApproccio grafico: si traccia il grafico del polinomio assegnato\nAprire la Finestra grafica 2D cliccando sul pulsante Finestra grafica 2D nella barra degli strumenti. Le due finestre possono essere affiancate aprendo il menu Finestra>Affianca verticalmente In alternativa scegliere Visualizza schede per muoversi agevolmente tra le finestre La barra di stato della finestra grafica visualizza le seguenti informazioni:\nCroce indica le coordinate della croce mobile; l'icona a sinistra della croce indica le coordinate cartesiane Centro indica le coordinate del centro del disegno Scala indica il fattore di scala per gli assi\nPer tracciare il grafico:\nEvidenziare l'equazione del polinomio nella finestra algebra Attivare la finestra grafica cliccando sulla scheda Grafico 2D (o sul pulsante Finestra grafica 2D) Cliccare sul pulsante Traccia il grafico dell'espressione nella barra degli strumenti della finestra grafica\nIl grafico può essere copiato nella finestra algebra (foglio di lavoro): usare il menu File>Incorpora della finestra grafica\nLa croce mobile si sposta nel grafico con i tasti freccia o con Ctrl+freccia Per esplorare il grafico, nella finestra grafica si attiva il pulsante Modalità traccia nella barra degli strumenti: il quadratino si sposta solo lungo la curva\nDerive in classe. Polinomi: grafici e ricerca degli zeri\nSelezionare Opzioni>Spostamento automatico con la croce per spostare automaticamente l'area grafica dove si trova la croce (l'opzione si disattiva nello stesso modo) Per ripristinare la precedente regione grafica sono disponibili due modi:\n- Pulsante Centra sull'origine, nella barra degli strumenti della\n- Doppio clic sul grafico incorporato nella finestra algebra, poi File>Aggiorna\nRicerca degli zeri del polinomio e analisi con Modalità traccia\nEsempio 2 - Ricerca degli zeri del polinomio\nAttivare Modalità traccia Spostare il quadratino vicino allo zero più a destra e muoverlo leggendo le coordinate Croce nella barra di stato: si ottiene un'approssimazione dello zero. Agire nello stesso modo per lo zero più a sinistra Per lo zero centrale (gli zeri?) usare il pulsante Imposta intervallo con il mouse, selezionare graficamente un'area rettangolare Usare eventualmente il pulsante Ingrandisci verticalmente Si evidenziano due zeri Incorporare il nuovo grafico\nRicerca degli zeri del polinomio: calcolo per via algebrica\nEsempio 3 - Ricerca degli zeri del polinomio (espressione #1)\nGenerare l'equazione algebrica nel seguente modo:\nSelezionare il polinomio (espressione #1) Posizionarsi sulla riga di inserimento con F2 Copiare il polinomio con F4 Sostituire y con 0 e premere Invio\n0 = ———— + —————— - ———·x\nSelezionare l'equazione (#3) Menu Risolvi>Espressione: accettare i parametri suggeriti e selezionare Risolvi\nSOLVE¦0 = ———— + —————— - ———·x\n- ————— - ———, x¦\nx = ——— - ———— U x = ———— + ——— U x = - ——— U x = -2\nTeorema di Ruffini - Divisori di un polinomio\nEsempio 4 - Ricerca dei divisori del polinomio P(x)=x^3+2x^2+x-4\nCalcolare il resto della divisione di un polinomio per un monomio per stabilire se il polinomio è divisibile per il monomio. Usare il comando Dichiara>Definisci funzione Nel campo Nome della funzione e argomenti inserire P(x) Nel campo Definizione inserire l'espressione del polinomio e dare OK Nella riga di inserimento espressione scrivere P(1) e premere il pulsante Crea e semplifica\nP(x) := x\nLa funzione introdotta può essere modificata e cancellata usando il comando Dichiara>Definisci funzione Nel campo Nome della funzione e argomenti inserire il nome della funzione (in questo esempio P(x)) e modificare o cancellare l'espressione che compare nel campo Definizione\nEsempio 5 - Uso delle funzioni QUOTIENT e REMAINDER\nQUOTIENT(A(x),B(x)) fornisce il quoziente tra i polinomi A(x) e B(x) REMAINDER(A(x),B(x)) fornisce il resto della divisione tra i polinomi A(x) e B(x) Queste funzioni permettono di risolvere in un altro modo il problema precedente.\nQUOTIENT(x + 2·x\n+ x - 4, x - 1)\n+ 3·x + 4\nUn altro esempio: quoziente e resto dei polinomi A(x)=4x^3-5x+1 e\n- 5·x + 1, 2·x\n1 - 3·x\nEsempio 6 - Uso della funzione VECTOR\nLa funzione VECTOR genera un vettore di valori di un'espressione valutata in una sequenza di punti. Questo comando consente di selezionare una variabile e di impostare il valore iniziale, il valore finale ed il passo. VECTOR(u, k, n) restituisce un vettore di n elementi generati a partire dall'espressione u(k), con la variabile k che varia da 1 a n con passo 1 Introdurre il vettore dei quadrati dei numeri interi da 1 a 5 Scrivere il comando (#17) e usare il pulsante Crea e Semplifica\nVECTOR(x , x, 5)\nVECTOR(u, k, m, n) restituisce un vettore di n-m+1 elementi, generati a partire dall'espressione u(k), con la variabile k che\nvaria da m a n\nVettore dei cubi dei numeri interi da 5 a 10\ncon passo 1\nVECTOR(x , x, 5, 10)\n[125, 216, 343, 512, 729, 1000]\nIl comando seguente fornisce lo stesso risultato sotto forma di tabella (matrice): scrivere il comando (#21) e usare Crea e Semplifica\nVECTOR(…x, x ‡, x, 5, 10)\nLa forma più generale del comando VECTOR è la seguente VECTOR(u, k, m, n, s) restituisce un vettore di (n-m)/s+1 elementi (numero arrotondato per difetto), generati a partire dall'\nespressione u(k), con la variabile k che varia da m a n Vettore dei quadrati dei numeri interi pari da 2 a 10\ncon passo s\nVECTOR(x , x, 2, 10, 2)\nEsempio 7 - Ricerca di tutti i monomi divisori di un polinomio con la funzione VECTOR\nDefinire il polinomio P(x)=x^3+4x^2+x-6 con Dichiara>Definisci funzione e usare la funzione VECTOR (comando #26)\n#26: VECTOR([x, P(x)], x, -6, 6)


Home » Puglia Blog » Amore in Puglia: la leggenda dei due innamorati di Santa Maria di Leuca\nAncora una volta, nella leggenda dei due innamorati di Santa Maria di Leuca, protagonista indiscussa della tradizione e del folclore italiano, è la Puglia, con le sue storie incantate e leggende da lasciare a bocca aperta chi le ascolta. Ad avere voce in capitolo è Santa Maria di Leuca, uno tra i luoghi più visitati e ambiti ogni anno da tantissimi turisti. Questo posto, oltre alla sua bellezza, è famoso per essere soprannominato il “Tacco dello Stivale”, ma anche per uno spettacolo mozzafiato: l’incontro delle acque del Mar Adriatico e del Mar Ionio. Questo piccolo comune in provincia di Lecce, non solo è uno dei più abitati, ma anche quello più a sud della Puglia. Si narra che Santa Maria di Leuca fu il primo luogo dove approdò Enea durante il suo viaggio.\nIn realtà, su questo comune si narrano tantissime storie e stranezze: è il caso della leggenda dei due innamorati. La storia risale ai tempi dei Messapi ed è ambientata nel tempio costruito in onore della dea Minerva, su un promontorio della città di Veratum. Protagonisti della leggenda sono il giovane pastore di nome Melisso e una meravigliosa creatura di nome Leucàsia. Questa donna aveva una particolarità: era metà donna e metà pesce. Leucàsia, che prende il suo nome dal greco “leukòs” ossia bianco, era una creatura tutta bianca che riusciva con la sua voce e il suo dolce canto ad ammaliare chiunque, quasi come le sirene con gli uomini di Ulisse, nel suo viaggio di ritorno verso Itaca. Inizialmente il giovane Melisso, riuscì a resistere al canto della meravigliosa creatura, proprio perché innamorato di Aristula. Così Leucàsia adirata, decise di attuare una terribile vendetta: dopo aver visto i due innamorati abbracciarsi su una scogliera, li separò con tutte le sue forze. Con la sua coda e il suo fiato, divise spazzando via i due giovani, che morirono separati sugli scogli. Fu la dea Minerva che, dopo aver visto la vicenda, trasformò i corpi di Melisso e Arìstula in pietra per concedere ai due l’amore eterno. Da quel giorno, i due giovani innamorati, incarnano con la loro anima le due scogliere che da sempre si affacciano sul mare di Santa Maria di Leuca.\nÈ proprio da questa leggenda che nasce il nome del comune; dalla bianca sirena Leucàsia, ha preso il colore bianco e il suo nome Santa Maria di Leuca. Famose sono anche le scogliere di punta Meliso e punta Ristola, che per sempre si affacceranno sul mare, vicine ma mai unite nel loro abbraccio. È stato lo scultore Mario Calcagnile che, ispirandosi alla leggenda dei due innamorati, ha deciso di realizzare il famoso “Trittico della Trascendenza”, situato davanti al porto del comune, dinanzi alla scalinata della Cascata Monumentale. Questa è la storia di due innamorati, questa è la storia di come dall’amore può nascere uno dei posti più fantastici della Puglia: Santa Maria di Leuca.\nData: 25 Lug 2017


#Pallavolo Champions femminile PO6 – Novara e Conegliano a caccia della Final Four – iVolley Magazine\n#Pallavolo Champions femminile PO6 – Novara e Conegliano a caccia della Final Four\n20/03/2018 20/03/2018 Carlo Lisi\tChampions femminile, Igor Volley Novara, Imoco Volley Conegliano\nDue italiane a caccia della Final Four di Champions League femminile. Igor Gorgonzola Novara e Imoco Volley Conegliano scenderanno domani in campo nelle gare di andata dei play off 6 della massima competizione continentale per Club, con l’obiettivo di superare le rispettive avversarie e mettere le basi per la qualificazione all’atto finale. Massimo Barbolini, coach delle azzurre, guiderà le sue ragazze a Istanbul per affrontare quel Galatasaray Istanbul che ha allenato per tre anni tra il 2012 e il 2015. Le pantere di Daniele Santarelli ospiteranno la Dinamo Kazan, squadra con grande tradizione in ambito europeo e sempre estremamente temibile.\nIl Burhan Felek Voleybol Salonu di Istanbul evoca bei ricordi alla Igor Gorgonzola Novara, che lì lo scorso gennaio sconfisse in rimonta il Fenerbahce e aprì la serie positiva di cinque vittorie che le hanno consegnato lo scettro della Pool B e il titolo di testa di serie nei sorteggi dei play off 6. Il Galatasaray, però, appare avversaria più ostica, autrice di un buon cammino europeo in cui ha dovuto inchinarsi per due volte al VakifBank di Giovanni Guidetti. VakifBank che ha imposto la sua legge sulla formazione di Guneyligil anche in Gara-1 delle semifinali dei Play Off turchi venerdì scorso (netto 3-0). Francesca Piccinini e compagne, che in Italia hanno conquistato il primo round dei quarti di finale dei play off, dovranno prestare attenzione alla forza offensiva delle giallorosse: la veterana Demir (con un passato lontano a Novara) è l’opposta-ricevitrice, Kosheleva e Rabadzhieva le bande; al centro Jack da Trinidad e Tobago e la bulgara Ruseva (in alternativa c’è la turca Kalac), con Alikaya al palleggio e Karadayi nel ruolo di libero.\nL’Imoco Volley Conegliano è pronta a far valere l’effetto PalaVerde nel confronto con la Dinamo Kazan. Le pantere, partite sin dai turni preliminari e autrici di un filotto interrotto solo dal ko di Novara, si sono risollevate all’esordio nei play off scudetto dopo un breve periodo di appannamento: il 3-0 su Modena ha rasserenato l’ambiente e ricordato a tutte le altre pretendenti per il tricolore l’enorme quota di talento a disposizione di Daniele Santarelli. Le russe, in Italia da qualche giorno approfittando della pausa del campionato russo (lo scorso 7 marzo hanno conquistato l’accesso alle semifinali che s’inizieranno il 25), hanno affrontato lunedì sera la Pomì Casalmaggiore in allenamento congiunto. Senza Vasileva, out per un problema alla spalla, ma con i martelli Mammadova e Voronkova e la centrale Koroleva (ex Zariazkho), orchestrate dalla regia di Startseva.\n← Previous #Pallavolo A2 femminile – Montecchio vs Chieri (foto di Roberto Muliere)\nNext → #Pallavolo – Presentata ad Eboli la tappa italiana della Volleyball Nations League


Box doccia, vasche e sanitari - Prato - Guarducci Mario\nDa Guarducci Mario studiamo sempre nuovi progetti di arredo bagno per soddisfare ogni esigenza, con soluzioni di arredamento in grado di esaudire le richieste di un mercato in continua evoluzione. L’unione di eleganza, design, funzionalità e prezzo è la ricetta vincente che ci ha permesso di diventare un punto di riferimento per tutti i nostri clienti anche nella vendita di box doccia e sanitari.\nLa scelta dei sanitari e dei complementi deve essere curata in ogni suo dettaglio: per questo la ricerca del box doccia è fondamentale, poiché è in grado di donare un tocco di personalità in più all’arredamento del bagno.Studiati nei minimi dettagli, e realizzati con materiali di ottima qualità, i box doccia sono proposti in diversi modelli:\nbox doccia a soffietto;\nsemicircolare o per vasca;\ndi vetro serigrafato.\nAffidatevi a dei veri professionisti e ad una azienda di grande esperienza per non avere problemi con i vostri prodotti box doccia.\nUna vasta collezione di articoli per il bagno\nDagli articoli ispirati al più moderno design minimalista, alle linee classiche e lussuose, i nostri prodotti uniscono la qualità artigianale all’innovazione di prodotto.\nTra le numerose serie di articoli in vendita ricordiamo:\ni sanitari di Laufen\nle rubinetterie di Cristina e Bellosta.\nNon esitate a contattarci per ricevere una consulenza personalizzata e conoscere nel dettaglio le nostre offerte: la nostra azienda è attiva anche nelle città di Firenze e Pistoia.\nGuarducci vanta soluzioni dalle linee classiche e lussuose con diverse opzioni per tipologie moderne e innovative.Venite a trovarci presso il nostro showroom di via Galcianese 4, Prato, dove troverete un ampio assortimento di modelli esposti.\nGuarducci vanta all’interno del suo ricco campionario collezioni dalle linee classiche, arricchite da materiali resistenti ed efficienti.\nStile moderno, classico, minimal, di design\nA seguire una selezione degli articoli che trattiamo.\nDoccia e box\nDettaglio vasca da bagno


Opportunità di “presa” - Servizi a Rete\nCon l’aumentare delle dimensioni delle nostre città aumentano di pari passo le esigenze dei sistemi di distribuzione, sia in termini di pressioni operative che di portata. Fino a pochi anni fa era abbastanza normale considerare un tubo di polietilene di diametro 250 mm sufficiente alla distribuzione del gas combustibile nei centri abitati.\nOggi sono già molte le aziende nazionali di distribuzione del gas combustibile che hanno iniziato a posare tubi in PE fino al diametro di 400 mm. Lo stesso accade negli impianti di adduzione e distribuzione dell’acqua dove, di anno in anno, i diametri delle tubazioni in esercizio stanno mediamente aumentando e con essi cresce l’esigenza di avere “stacchi” di adeguate proporzioni.\nPLASTITALIA è consapevole di queste necessità e già da diversi anni si dedica alla progettazione e produzione di sistemi di presa (collari di presa semplici e per grandi volumi) in grado di soddisfare le esigenze dei distributori di servizi. La gamma di prodotti offerta è tra le più complete al mondo.\nLa scelta può essere effettuata su una gamma che spazia da un diametro di 50 mm fino ad uno di 1200 mm, con derivazioni comprese tra 40 e 315 mm e una pressione massima applicabile pari a 16 bar (PN16). La qualità dei prodotti che appartengono a questa grande famiglia (oltre 110 codici/articolo) è garantita dalle numerose certificazioni di prodotto ottenute attraverso Organismi di certificazione Nazionali ed Internazionali.\nLa caratteristica fondamentale di questi prodotti, frutto di lunghe e meticolose ricerche e fortemente voluta dal reparto di Ricerca e Sviluppo della PLASTITALIA, è la semplicità di installazione.\nPer il posizionamento di questi raccordi elettro-saldabili sul punto in cui è necessario avere una derivazione si è optato per la scelta di cinghie in nylon, dotate di cricchetto per la loro tensione e fornite assieme al prodotto in polietilene. Questa scelta progettuale azzera la necessità di avere in cantiere costose attrezzature specifiche, il cui uso oltretutto necessiterebbe anche di personale adeguatamente formato. Inoltre tutti i prodotti sono forniti delle relative istruzioni arricchite da illustrazioni grafiche che semplificano la fase di posizionamento.\nNella produzione di questi prodotti interamente “made in Italy”, PLASTITALIA fa largo uso delle più moderne tecnologie robotiche. I processi principali, quali stampaggio e applicazione del circuito elettrico, sono completamente automatizzati, pertanto forniscono all’acquirente la garanzia di qualità del processo industriale. Allo stesso modo i controlli interni sono rigorosi e stabiliti nei piani di autocontrollo concordati con gli Organismi di certificazione.\nGrazie allo studio e alla fornitura di prodotti unici, come i collari di presa per grandi diametri, PLASTITALIA si qualifica sempre più come un’azienda attenta alle necessità dei propri clienti ed in grado di soddisfare i bisogni tecnici più difficili; un partner affidabile che investe nella ricerca e studia soluzioni adeguate per impianti sempre più sofisticati e per applicazioni che richiedono prestazioni costanti e durature.


Minacciano l’autista e bloccano il bus: condannati a 1 anno e 7 mesi – Aosta News, notizie di cronaca, informazioni sportive, news, eventi e spettacoli della Valle d'Aosta\nMinacciano l’autista e bloccano il bus: condannati a 1 anno e 7 mesi\nAntonino Quitadamo e Luigi Mascolo erano accusati di interruzione del pubblico servizio, tentata violenza privata e falsità personale.\nMinacciano l’autista e bloccano il bus: condannati a 1 anno e 7 mesi.\nSono entrambi stati condannati a 1 anno e 7 mesi di reclusione dal Tribunale di Aosta Antonino Quitadamo e Luigi Mascolo. I due erano accusati di interruzione del pubblico servizio, tentata violenza privata e falsità personale.\nSecondo la ricostruzione della Procura di Aosta (pm Carlo Introvigne), il 15 luglio 2018 i due avrebbero creato il panico su un mezzo di trasporto pubblico a Châtillon, cagionando disagi ai passeggeri e portando alle lacrime un bimbo che era a bordo.\nMa andiamo con ordine. Sempre secondo l’accusa, mediante numerose minacce e insulti, i due «compivano atti idonei e diretti in modo non equivoco a costringere» un autista di bus «a consentire loro di salire a bordo di un autobus di linea contro la sua volontà». L’autista, infatti, avrebbe tentato di impedire l’accesso al mezzo ai due a causa della presenza di un cane senza museruola.\nInoltre, con le loro azioni, i due imputati «cagionavano l’interruzione del pubblico servizio» e «a seguito dei fatti» lamentavano il fatto che l’autista «dava spazio a questi brutti ne… anziché noi italiani», asserendo di fronte ai presenti (tra cui anche minori) che se loro non fossero riusciti a salire sul bus, non sarebbe partito nessuno. Come se non bastasse, il loro «atteggiamento intimidatorio» sarebbe stato agevolato dalla presenza di una pitbull senza museruola.\nInfine, Quitadamo e Mascolo avrebbero fornito false generalità ai Carabinieri di Saint-Vincent, intervenuti sul posto.


La vita dopo il Coronavirus - Radio Maria\nHome » Articoli in evidenza » La vita dopo il Coronavirus\nOspedali e pronto soccorso, come ci\n«Certo, è già nei fatti e diventerà una certe\nPer capire come cambierà il lavoro dopo il coronavirus basta partire dal dietro le quinte delle interviste contenute in questo pezzo: un amministratore delegato spadellava (e mangiava) mentre era al telefono, un altro stava seduto al computer con un braccio ingessato e gli occhi rivolti verso la montagna, un altro lavorava dal terrazzo. Il lavoro insomma è già cambiato ed è stato il primo cambiamento, forte, immediato, allo scoppio dell’emergenza sanitaria. Gli uffici si sono svuotati e si sono trasferiti nelle nostre case, in un angolo del salone, della cucina, del terrazzo o della camera da letto. Facendo schizzare in alto l’asticella dello smartworking, strumento usato fino a poco tempo fa da una modestissima fetta di imprese. Chi è rimasto in azienda, quelle rimaste aperte durante il lockdown, si è munito di mascherine e guanti, non ha usato l’ascensore, si è allontanato dai colleghi, ha attuato insomma le classiche misure di sicurezza che abbiamo imparato a conoscere negli ultimi mesi definendole tristemente «distanziamento sociale».\nNell’automotive, uno dei settori più colpiti dal coronavirus, cominciano a vedersi i primi accordi con i sindacati per la fase2, quella della ripartenza. Con obbligo, vedi Fca, di mascherina per tutto il personale, rilevazione delle temperature prima dell’ingresso in azienda, mantenimento della distanza di almeno un metro, sanificazione degli ambienti, procedure per evitare assembramenti nelle mense e negli spogliatoi dove ovviamente si farà abbondante uso di dispenser di amuchina. È solo una delle prime intese raggiunte ma che ci dice molto di quello che sarà il lavoro dopo. Perché come spiega Silvia Candiani, amministratore delegato di Microsoft, “niente sarà come prima”. Neanche in ambito sanitario, il settore di cui più si parla in questo momento storico. “Con Teams ad esempio – spiega Candiani – i dottori si stanno coordinando tra loro per evitare contatti ravvicinati e hanno la possibilità di eseguire appuntamenti e visite con pazienti che non richiedono indagini di persona. La telemedicina, coadiuvata con rilievi da fare a casa, cambierà il modo di erogare le prestazione sanitarie». Gli psicologi hanno cominciato a fare sedute di psicoterapia collegati in videocall e circa “10 mila giudici in Italia hanno approvato l’uso di Teams – aggiunge Candiani – in un settore in cui, bisogna ricordarlo, c’è ancora il messo comunale che ti porta le notifiche”.\nOvviamente il lavoro subirà delle conseguenze, pesanti, anche dal punto di vista numerico: secondo l’Ilo, l’Organizzazione Internazionale del lavoro dell’Onu, rischiamo di perdere 25 milioni di posti di lavoro. Una cifra monstre con alcuni settori particolarmente in difficoltà: manifattura, real estate, vendita diretta, trasporti, ristorazione ma anche musica, arte e spettacolo. Che concerti vedremo nel futuro? Sarà ancora possibile riempire gli stadi? Sono domande che in questo momento si stanno facendo tutti gli artisti e il personale che ruota attorno a questo campo. “Anche se la tecnologia sta già cambiando da tempo questo settore – spiega Marco Alboni, amministratore delegato di Warner Music – ci sono ologrammi in concerto, i Coldplay che presentano l’album con due concerti in cima all’antica Citadel di Amman in Giordania in diretta su Youtube. L’adattamento a questa nuova situazione farà emergere competenze nuove, aziende nuove, tipi di business che non esistevano prima, anche nella musica e nelle arti”. Ma le folle radunate a Circo Massimo o come nel 2017 per il Modena Park di Vasco Rossi, sarà molto difficile rivederle a breve termine.\n“Con il virus dovremo conviverci, questo è evidente – aggiunge l’amministratore delegato di Randstad, agenzia per il lavoro – e il lavoro è già cambiato. Le faccio un esempio: in questi giorni avevo bisogno dell’elettricista, il mio non era disponibile e ha mandato un suo ragazzo. Era più giovane, con meno esperienza, ma aveva uno smartphone e con un’app di realtà aumentata è riuscito a fare delle cose che da solo non sarebbe stato in grado di fare”. Non è escluso che in futuro queste app potremmo usarle anche noi, coadiuvati da remoto dall’elettricista senior.\n“Dobbiamo prepararci ad affrontare due fasi – puntualizza Cristina Pozzi, ceo di Impactscool e autrice di “Benvenuti nel 2050” (Egea, 2019) – la fase di passaggio e quella di trasformazione che determina come cambieranno le cose a lungo termine. Secondo Harvard quella del Coronavirus sarà un’emergenza che ci porteremo avanti fino al 2022 con alcune categorie di lavori a rischio che continueranno a tutelarsi solo in un modo: restando in casa. Di certo, in questa fase di passaggio, abbiamo dato un’accelerazione alla digitalizzazione che fa anche bene all’ambiente e questa mi sembra già una buona notizia. Sicuramente saremo più fluidi, multicanale, multi strumento, tutte cose che le nuove generazioni si portano dietro nel dna. Tutti gli altri saranno costretti a cambiare mentalità, anche con l’aiuto di digital evangelist. Perché non è tanto fare riunioni su Zoom o su Teams da remoto, come sta succedendo in questi giorni, ma di non farle durare un’ora e mezza come prima, imparando a essere più agili, flessibili. Alcuni settori dovranno reinventarsi, dall’albergatore alla piccola attività commerciale che dovrà imparare a fare le consegne a casa e non come sta succedendo adesso attraverso un numero di telefono che risulta sempre occupato. Di sicuro c’è fermento digitale e per la prima volta non ha come prima finalità il guadagno e questo potrebbe sicuramente portare a un’accelerazione dei processi innovativi”.\nBERLINO – Forse non dovremmo sorprenderci se l’Unione europea non ha fin qui giocato un ruolo di primo piano nella risposta globale al Covid-19. Quando la minaccia ha un carattere esistenziale, governi e policy maker tendono infatti a ripiegare su ciò che conoscono meglio, che in Europa significa semplicemente lo Stato nazionale. Ma la pandemia e le sue devastanti conseguenze economiche non sono risolvibili nel tradizionale paradigma, ancora debitore del sistema di Vestfalia, la pace che nel 1648 mise fine alla Guerra dei Trent’anni. Il Coronavirus può quindi diventare l’”asteroide” caduto sul nostro pianeta, in grado di forzare gli europei a prendere con maggiore determinazione e velocità la strada della “ever closer union”, all’insegna di una solidarietà più profonda e concreta.\nUna cosa è chiara: quella del Covid-19 è la prima crisi del Terzo Millennio che colpisce l’intero genere umano e, come ci ha spiegato Fareed Zakaria in una intervista al Corriere, rischia di essere la prima di una serie di crisi a cascata – default, depressione nelle economie emergenti, esplosione degli Stati petroliferi, ecatombe e carestia in Africa – che potrebbero letteralmente far esplodere tutti i quadranti strategici, precipitando il mondo in una spirale senza salvezza.\nLa veemente conversazione nazionale in corso nella Repubblica federale sui Coronabonds è la spia che un movimento in questa direzione è già in atto. Non solo nell’establishment – istituti economici, grandi giornali, imprenditori, parte della classe politica compresi settori della Cdu – ma per la prima volta anche nell’opinione pubblica: un sondaggio ZDF rivela infatti che il 68% dei tedeschi è favorevole a un ‘aiuto finanziario verso i paesi più colpiti dalla crisi come Italia e Spagna. Spetta ad Angela Merkel, nella discussione sul Fondo di rilancio per il dopo-coronavirus che sta per cominciare, offrire una visione politica senza la quale il futuro dell’Europa potrebbe essere a rischio.\nCome saranno le partite allo stadio – e\nstadio – e lo sport?


App in incontri: consigli in usarle sopra tutta perizia – Market\nApp in incontri: consigli in usarle sopra tutta perizia\nIncontrarsi poi essersi conosciuti online. Dietro aver chattato o essersi visti in fotografia. Sono sicuramente numerose le app verso incontri affinchÃ© permettono di arrestare il possibile amante verso poca tratto.\nE questo traffico Ã¨ particolarmente vigoroso, con tutti numeri positivi. Solamente in Italia, assistente unito abbozzo del Center for Economics and Business Research, le app verso incontri genererebbero un gruppo dâ€™affari di 6,7 miliardi di euro, giacchÃ© comprendono sebbene lâ€™indotto, ossia fiori Ricerca blackcupid, ristoranti e regali vari.\nConsiderando solamente app e siti dedicati, siamo per 4,3 miliardi di euro nel 2016. Un fiera talmente florido affinchÃ© bisogna adattarsi molta accuratezza. PerchÃ© la scrupolositÃ non Ã¨ di tutti. E nel fatto di incontri (quasi) al mesto, le precauzioni da acchiappare sono parecchie. La abilitÃ deve giungere al passato luogo, ricordatelo di continuo. Chi sta appresso per unito schermo ovverosia digita via smartphone, sa in quanto sopra non molti prassi Ã¨ difeso dallâ€™anonimato. E puÃ² provare ad sedurre, innanzitutto durante fatto di â€˜vittimeâ€™ particolarmente giovani e cosÃ¬ escluso esperte.\nCiÃ² non vuol riportare in quanto le app durante incontri siano pericolose. Maniera in complesso ciÃ² affinchÃ© gira sul web, lâ€™importante Ã¨ sfruttare alcuni accorgimenti e ulteriormente ci si puÃ² dedicare allâ€™incontro. Con Italia, secondo lo Statistic Brain Research Institute, sarebbero nove milioni gli utenti affinchÃ© hanno impiegato quantomeno una turno unâ€™app di dating online. Negli Stati Uniti, il 90 a causa di cento dei 54,3 milioni di solo.\nApp attraverso incontri: consigli per lâ€™uso affidabile\nLa davanti cosa da eleggere Ã¨ conoscere dato che il profilo della uomo perchÃ© interessa Ã¨ affidabile, qualora le rappresentazione sono reali. Conferire un compagnia alle chiacchierate modo chat, sentendosi al telefono, Ã¨ unâ€™altra prudenza generalmente da afferrare presente prima di incontrare uno dal vivace. Oramai, mediante lâ€™ampio avvezzo affinchÃ© si fa dei social, non Ã¨ dubbio abbandonare sulla foglio Facebook della mutamento coscienza verso commisurare nel caso le immagine inviate, le informazioni avute. Non solitario Facebook, naturalmente, eppure ed gli prossimo social.\nNel circostanza in cui si Ã¨ sicuri dellâ€™identitÃ dellâ€™altra soggetto, il passato gradimento va fatto sopra un sede fitto. Soddisfacentemente di periodo affinchÃ© di crepuscolo. Soddisfacentemente approdare allâ€™appuntamento mediante mezzi propri escludendo trasformarsi sopraggiungere per afferrare ovvero ricondurre per residenza con automezzo. E mediante alcuni compagno, cosicchÃ© agli occhi dellâ€™altro apparirÃ ignoto bensÃ¬ giacchÃ© potrete battezzare sopra caso di affetto.\nAvanti di intraprendere lâ€™incontro, dite giacchÃ© potreste avere un inconveniente imprevisto giacchÃ© vi costringerÃ per troncare lâ€™appuntamento. Pretesto da impiegare qualora non so che, nel corso di lâ€™incontro, non vi torna ovverosia vi suona strambo. Davanti alla pulsantiera, poi, potrete appianare avvenimento vi ha turbato verso salutarvi irrevocabilmente per mezzo di quegli affinchÃ© non potrÃ per niente essere il vostro fidanzato. Se in cambio di le cose vanno adeguatamente, anzi di accogliere un prossimo ritrovo da soli, chiedete di conoscere un qualunque consueto a causa di comprendere lâ€™ambiente assistenziale mediante cui vive lâ€™altro.\nNon dimenticate perchÃ© con l’aggiunta di il collocato ovverosia lâ€™app attraverso incontri Ã¨ avveduto, con l’aggiunta di sarÃ ammissibile avere a in quanto fare mediante persone serie. PerciÃ², preferite le app che richiedono lâ€™iscrizione compilando lunghe schede dettagliate. Alcuni tracciano un effettivo e preciso fianco psicologico e una incombenza denaro qualora ci si puÃ² annotare oppure eccetto. La spianata decisione dÃ la eventualitÃ di mostrare ovverosia ridurre immediatamente gli utenti? Ed una ricerca circa internet permette di compitare recensioni e giudizi di prossimo clienti sullâ€™app mediante questione.\nApp per incontri: per affare comporre accuratezza\nAdesso cosicchÃ© vi siete registrati e avete adepto verso interagire, diffidate da chi dimostra il tipico malore di razzo. Quasi certamente, lâ€™unico importanza Ã¨ quello di truffare o tormentare. Risposte vaghe e incoerenti non sono un buon principio, benchÃ© un poâ€™ di oscuritÃ come credibile. Non spostatevi, contro pretesa dellâ€™altro consumatore, riguardo a altri siti, ma continuate sullâ€™app sigla.\nInsospettitevi ugualmente se la chiacchierata inizia per maniera esagerazione frizzante, nell’eventualitÃ che chi vi parla strada chat vi chiede delle scatto. Nell’eventualitÃ che alla vostra domanda, vi arrivano scatto troppo sgranate o prese chiaramente da internet. Sui motori di analisi, non Ã¨ complesso controllare se unâ€™immagine cosÃ¬ appunto spettatore circa altre pagine web. Quisquilia dati personali reali, appena indirizzi, numeri di telefono fisso, email oppure recapiti di alcun modo. Eâ€™ facile appianare un account appropriato in ricevere i messaggi del posto di incontri. Ci si puÃ² accorgersi al telefono di traverso programma, senza contare impiegare il telefono visibile.\nLa comprensione possibile va carico avanti durante un stagione continuato. Ideale offrirsi di convenire una videochiamata, affinchÃ© smaschererÃ la maggior brandello dei molestatori. All’epoca di la telefonata, fate domande e ascoltate con attenzione le risposte durante eludere di imbattervi mediante una incisione. Tagliate qualsivoglia vicinanza per accidente di richieste di averi.\nDal momento che la accortezza non Ã¨ mai troppa, bensÃ¬ parecchie coppie si sono conosciute appunto online, seguite malgrado ciÃ² il vostro impulso. Non sbaglia addensato.


Milano: amichevole precampionato e prime 3 partite di campionato\n– Posted on Agosto 25, 2015Posted in: Milano, Serie B\n(da hockeymilano.it) – E’ ai nastri di partenza il prossimo campionato nazionale di Serie B 2015/2016.\nSi comincia Domenica 20 settembre (orario da definire) sul ghiaccio della Leitner Solar Arena di Brunico contro la formazione Under 20 dei lupi pusteresi.\nSabato 26 settembre alle ore 19.00 il primo incontro casalingo di campionato contro il Feltre e sabato 3 ottobre alle ore 19.00, sempre sul ghiaccio casalingo dell’Agorà lo stadio del ghiaccio di Milano, la formazione rossoblu incontrerà le Oche selvagge dell’Egna.\nInoltre, sabato 12 settembre alle ore 19.00 si terrà presso il palazzo del ghiaccio Agorà di Milano un’amichevole dal profumo antico contro la formazione del HC Como prossima avversaria nel campionato di serie B 2015/2016.\nDettagli in merito ai prezzi degli abbonamenti, dei biglietti per le partite casalinghe e di ingresso all’amichevole precampionato e il calendario integrale verranno forniti il prima possibile attraverso i canali ufficiali dell’Hockey Milano Rossoblu.


Pacific Palisades - Bookrepublic\nL'idea è tanto semplice quanto forte: esiste uno scambio di amore e di dolore tra noi e il mondo, tra noi e gli altri, e questo scambio avviene attraverso il muro che ognuno di noi è. Un baluardo che è anche una valvola, un filtro: una palizzata pacifica. Dario Voltolini - una delle penne piú originali e fieramente isolate della letteratura italiana - ha scelto la forma del racconto in versi per compiere insieme a chi legge un viaggio intimo e universale nel tempo e tra le parole.\n«L'onda scende lungo gli anni\nil dolore l'orrore l'amore,\na far sí che nell'immaginazione\nConvocando sulla pagina le persone a lui piú care e le loro storie, Voltolini ha immaginato un dialogo tra i vivi e coloro che non lo sono piú, facendo emergere una prospettiva nuova: ognuno di noi custodisce dentro di sé, insieme al proprio passato, anche - forse soprattutto - quello di chi ci ha preceduto. Da questo testo, Romaeuropa Festival porterà nei teatri un reading con le musiche di Nicola Tescari diretto e interpretato da Alessandro Baricco.