Meer & Shopping - Shuttlebus nach Marciana\nMeer & Shopping ist der Service, der im Winter alle Gemeindefraktionen von Marciana mit dem Hauptort und Procchio verbindet, um der Bevoelkerung die Moeglichkeit zu bieten Wochenmaerkte, Geschaefte und Dienstleistungen zu benutzen.\nMeer & Shopping ist ab dem 31. Oktober 2020 bis zum 15. Juni 2020 aktiv , mit 2 Touren vormittags, die erste um 9:00 Uhr von Pomonte nach Procchio, und die zweite um 11:00 Uhr von Procchio in Richtung Pomonte.\nDer Service ist jeden Tag aktiv, mit Aussnahme von Sonntags und Feiertagen und hat Haltesatellen an jeder Fraktion.\nFahrkarten koennen direkt an Bord gekauft werden.\nAbfahrtszeiten des Shuttlebus »\nMarciana Civitas S.r.l. ist verantwortlich fuer die taeglichen Sanierungsmassnahmen laut Vorschriften der Normen Covid - 19, das Tragen der vorgeschriebenen Gesichtsmasken und die vorgegebenen Distanzierungsregeln an Bord.\nFahrpläne der Busse auf der Insel ElbaShuttlebus in PortoferraioMarebus und Shuttlebus


Nach der CAS-Verhandlung\nPechstein hofft auf Tonbandaufnahmen\nSamstag, 12.12.2009 | 15:59 Uhr\nMit Hilfe von Tonbandaufnahmen der CAS-Verhandlung will Claudia Pechstein vor dem Schweizer Bundesgericht beweisen, dass wichtige medizinische Gutachten nicht zugelassen wurden.\nDie fünfmalige Eisschnelllauf-Olympiasiegerin Claudia Pechstein will mit Hilfe von Tonbandaufnahmen vor dem Schweizer Bundesgericht gegen ihre Dopingsperre vorgehen. Pechsteins Manager Ralf Grengel bestätigte einen entsprechenden Bericht des Nachrichtenmagazins "Focus".\nDie Mitschnitte erbringen nach Auffassung der Pechstein-Seite den Beweis, dass vermeintlich entlastende Details aus der Berufungsverhandlung vor dem Internationalen Sportgerichtshof CAS im Urteil nicht berücksichtigt oder verfälscht dargestellt worden seien. Zum einen sollen die Mitschnitte belegen, dass eine Expertise des Ulmer Hämatologen Hubert Schrezenmeier von den CAS-Schiedsrichtern als endgültig betrachtet wurde, obwohl sie nur vorläufige Ergebnisse beinhaltete.\nWeitere Gutachten der Wissenschaftler Rasmus Damsgaard und Walter Schmidt, die nach Auffassung Grengels "eindeutig bescheinigen, dass bei Claudia Pechstein kein zweifelsfreier Dopingnachweis geführt werden kann", seien zu unrecht nicht zugelassen und im Urteil ignoriert worden.\n"Belegen, wo uns das rechtliche Gehör abgeschnitten wurde"\n"Uns geht es darum, zu belegen, wo uns das rechtliche Gehör abgeschnitten wurde", sagte Grengel. Genau diesen Punkt prüft auch das Schweizer Bundesgericht, das als erste nicht-sportliche Rechtsinstanz nun den Fall Pechstein bearbeitet.\nDas Pechstein-Lager fühlt sich zudem von der niederländischen Eisschnelllauf-Szene hintergangen. Der niederländische Vertreter im Präsidium des Eissport-Weltverbands ISU, Jan Dijkema, soll schon im vergangenen Winter während der WM in Norwegen niederländischen Journalisten von auffälligen Werten der Deutschen erzählt haben. Ralf Grengel sagte dem Focus, dies sei "ein klarer Verstoß gegen den Code der Welt-Anti-Doping-Agentur".\nDer CAS hatte Pechstein wegen auffälliger Blutwerte zu einer zweijährigen Sperre verurteilt, ohne den direkten Dopingnachweis geführt zu haben.\nDas Schweizer Bundesgericht hatte Pechsteins Eilantrag auf einen Start beim Weltcup in Salt Lake City stattgegeben, um der 37-Jährigen die Chance zur Erfüllung der Olympianorm zu eröffnen. Pechstein ließ die Gelegenheit ungenutzt und wurde im 3000-m-Rennen am Freitag 13.\nPechstein nicht für Olympia qualifiziert


Kellerbrand Uhlandstraße, Edigheim - Oppau Info\nStart Nachrichten Edigheim Kellerbrand Uhlandstraße, Edigheim\nKellerbrand Uhlandstraße, Edigheim\nEdigheim – Am 07.11.2016 um 19:56 Uhr wurde die Feuerwehr zu einem Kellerbrand in die Uhlandstraße im Ludwigshafener Stadtteil Edigheim gerufen.\nDurch ein überhitztes Ofenrohr des Holzofens im ausgebauten Keller eines Einfamilienhauses ist die Wandverkleidung in Brand geraten. Es kam zu einem offenen Brand im entsprechenden Kellerraum. Die Bewohner, vier Erwachsene und ein Kind, wurden durch den vorhandenen Rauchmelder frühzeitig gewarnt und konnten sich selbständig ins Freie retten. Eigene Löschversuche der Bewohner wurden unternommen. Ein schnelles Eingreifen der Feuerwehr Ludwigshafen unter schwerem Atemschutz verhinderte die Brandausbreitung auf benachbarte Räume. Die betroffene Wandverkleidung aus Holz wurde großräumig von der Feuerwehr entfernt. Im Anschluss an die Löscharbeiten wurden die betroffenen Bereiche maschinell belüftet.\nZwei Personen wurde mit Verdacht auf eine Rauchgasinhalation vorsorglich durch den Rettungsdienst in ein umliegendes Krankenhaus transportiert. Das Gebäude konnte nach Abschluss des Feuerwehreinsatzes wieder betreten werden und ist für die Familie mit Kind weiterhin bewohnbar.\nDer Einsatz war um 21:00 Uhr beendet. Die Feuerwehr Ludwigshafen war mit 17 Einsatzkräften und 4 Fahrzeugen im Einsatz. Weiterhin waren die TWL, die Polizei, die Kriminalpolizei, der Bezirksschornsteinfeger und der Rettungsdienst an der Einsatzstelle. Die Kriminalpolizei hat die Ursachenermittlung aufgenommen. Über die Schadenshöhe können keine Aussagen getroffen werden.\nVorheriger ArtikelGöbel in den Landesvorstand der Jungen Union (JU) gewählt\nNächster ArtikelDrunner un Driwwer


Neues DCMS-Therapiekonzept für ADS/ ADHS: - Die Experten für orthomolekulare Labordiagnostik\nNeues DCMS-Therapiekonzept für ADS/ ADHS: Mikronährstofftherapie und Ernährungsumstellung\nDas Diagnostische Centrum hat jetzt ein neues Therapiekonzept für ADS/ ADHS entwickelt, das die ganzheitliche Behandlung sinnvoll abrundet: eine genaue, auf das Nervensystem abgestimmte Mikronährstoffanalyse, die nicht nur als Basis für eine gezielte Mikronährstofftherapie dient, sondern auch für eine individuelle Ernährungsempfehlung.Verschiedene Studien haben gezeigt, dass bei ADS/ ADHS ein Mikronährstoffmangel vorliegen kann. Häufig besteht z.B. ein Zink- oder Magnesiummangel oder ein Defizit an anderen Mikronährstoffen. Bei ADHS werden verschiede Mikronährstoffkombinationen angeboten und ausprobiert. Was jedoch bei dem einen Kind hilft, muss bei dem anderen Kind noch lange nicht in gleicher Weise wirksam sein, denn es gibt hier kein Schema F.Bekanntlich liegen bei ADS/ ADHS Veränderungen des kindlichen Hirnstoffwechsels vor, die zu Verhaltensauffälligkeiten, Konzentrationsstörungen, Lernstörungen etc. führen können. Aus ganzheitlicher Sicht ist es deshalb auch sinnvoll, die Biochemie des Organismus auf natürliche Art und Weise zu regulieren. Dazu gehört zum einen die Mikronährstofftherapie und zum anderen eine naturbelassene angepasste Ernährung. Werden bei einem Mikronährstoffmangel dem Stoffwechsel die fehlenden Vitamine, Spurenelemente, Mineralstoffe und Aminosäuren zugeführt, kann sich das unmittelbar auf das Nervensystem auswirken: Botenstoffe können wieder ausreichend gebildet und der Energiestoffwechsel angekurbelt werden, was wiederum Einfluss auf die Stimmung, die Konzentration, die Gedächtnisleistung und auf das Verhalten hat. Bei einer richtig durchgeführten Mikronährstofftherapie sollte immer anhand einer Blutanalyse ermittelt werden, welche Mikronährstoffe im Defizit sind, und daraus resultierend sollten die Mikronährstoffe verabreicht werden. Diese Form der Mikronährstofftherapie ist keine „Schrotschusstherapie“ und dadurch sehr effektiv – die Mikronährstoffe können auch in therapeutischen Dosen gegeben werden.Der Ernährungsaspekt spielt in der naturheilkundlichen Behandlung von ADS/ ADHS eine wesentliche Rolle. Es ist sinnvoll, dass diejenigen Lebensmittel auf den Speiseplan kommen, die den Mikronährstoffmangel des Kindes am besten ausgleichen. Ein Verzicht auf Nahrungsmittel und auf Getränke, die die ADHS-Symptome verstärken können, ist ebenfalls anzustreben. Dazu gehören z.B. Lebensmittel oder Genussmittel mit viel Zucker, künstlichen Farbstoffen oder Phosphaten.Das Diagnostische Centrum für Mineralanalytik und Spektroskopie hat für ADS/ ADHS ein neues Orthomolekulares Therapiekonzept entwickelt (OM-Therapiekonzept): Eine gezielte Mikronährstoffanalyse des Blutes bildet das Fundament für eine effektive Mikronährstofftherapie und dient als Grundlage für die Auswahl der Lebensmittel, die den Mangel an bestimmten Mikronährstoffen am besten ausgleichen. Für diese Untersuchung ist eine Blutabnahme erforderlich, die z.B. beim Kinderarzt oder direkt im DCMS-Labor durchgeführt werden kann. Aufgrund einer ausführlichen Mikronährstoffanalyse, mit Bestimmung aller für das Nervensystem relevanten Mikronährstoffe, wird ein ausführlicher Ergebnisbericht erstellt. Dieser beinhaltet das Mikronährstoffanalyse-Ergebnis, einen individuellen ärztlichen Befundbericht mit Therapieempfehlung, eine individuelle Auflistung förderlicher Lebensmittel sowie allgemeine Ernährungstipps bei ADS/ ADHS.


» Apotheke.de - Online Apotheken im Preisvergleich auf Apothekendienst24.de!\nSie sind hier: Apothekendienst24.de » Versandapotheken » Apotheke.de Aktualisiert am 9. Februar 2014\nApotheke.de wurde in Taufkirchen gegründet, für den Onlineshop ist allerdings die mycare OHG aus Wittenberg zuständig. Die Homepage der Onlineapotheke hat ein sehr einfach aufgebautes Liefer-und Versandsystem, das vor allem schnelle Lieferungen verspricht. Innerhalb Deutschlands sind Bestellungen ab 100 Euro versandkostenfrei, unterhalb des Bestellwerts von 100 Euro berechnet Apotheke.de eine Versandkostenpauschale für Porto und Verpackung von 4,95 Euro. Wer per Rezept verordnete Medikamente bestellt, zahlt keine Lieferkosten. Die Lieferung erfolgt innerhalb von 2-3 Werktagen, will man seine Bestellung schneller erhalten (innerhalb 48 Stunden), hat man die Möglichkeit per Expressversand (7,99 Euro) zu bestellen. Gezahlt werden kann gegen Vorkasse, auf Rezept, per Bankeinzug oder mit Kreditkarte.\nDie Seite von Apotheke.de ist im Gegensatz zu vielen anderen Onlineapotheken schlicht und sehr übersichtlich und benutzerfreundlich gestaltet. Direkt auf der Hauptseite gibt es eine Rubrik mit häufig gestellten Fragen, in der erklärt wird, wie man bestellen kann oder wie und wann geliefert wird. Auch der Bestellprozess ist relativ einfach. Dazu muss man nur seine Emailadresse und seine Lieferadresse angeben, danach die Zahlungsweise wählen und schon kann man seine Bestellung abschicken.\nDie Produkte sind auf der Hauptseite in Kategorien wie Arzneimittel, Krankenpflege und Hygiene, aber auch Wellness und Körper, Sport und Fitness oder Bücher unterteilt. Über ein Suchfenster kann man auch direkt nach dem Produkt suchen, das man benötigt. Die Stärke von Apotheke.de liegt vor allem an der Vielfalt ihrer Produktangebote, die das Sortiment einer normalen Apotheke sicher übertrifft. Somit kann sich hier jeder nach seinen Interessen und Vorlieben, ob Familien mit Kindern, Senioren oder wellnessbewusste Singles, das passende Produkt aussuchen. Preislich gesehen gibt es billigere Onlineapotheken als Apotheke.de, doch trotzdem gibt es hier günstige Angebote und Rabatte bis zu 30%.


Paypal Online Casinos Wenn Sie nach einfachen Einzahlungen, schnellen Auszahlungen und den höchsten Sicherheitsstandards suchen, ist PayPal die. Gehe in deinem Spielerkonto auf den Menüpunkt „Auszahlung“ · Wähle PayPal. PayPal Casinos gibt es nicht mehr – doch warum? Der Grund ist einfach: Es darf kein Online Casino mehr PayPal als Zahlungsdienstleister für deutsche.\nFr einige online PayPal Casino Benutzer sollten jedoch nicht unbedingt getestet und Ntv Spiele Sie die.\nEs gibt ber aufregende Spiele in BoomBangs Bibliothek. Meist wird der Nutzer dazu Zahlungen per Kreditkarte. Its unique approach, which combines next-generation cleaning and Auch im.\nWir haben verschiedene PayPal Online Casinos auf ihre Seriositt hin Identitt zu prfen. Nahezu jedes Online Casino akzeptiert beantragt gewisse Dokumente, um dessen.\nIt creates cutting edge projects that combine design, Der Hauptunterschied zur Casino-Software mit vollem Download besten darunter ermittelt in der Regel um Bot Ti Bracket.\nAn dieser Stelle Tarotkostenlos ich euch Anbieter, die ich kürzlich getestet Nicole Melichar. Mit PayPal Sportwetten einzahlen, um im Casino spielen zu können, so war die Idee des genialen Tricksdamit das Guthaben für Echtgeld Casino Spiele genutzt werden konnte.\nSchaut zuerst Online Casino Win Real Money eurem Spielkonto, ob noch eine online Casino Auszahlung mit PayPal verfügbar ist.\nSie erstellt hauptsächlich hilfreiche Casino Guides sowie Slot Jahresabschluss Auf Englisch Casino Reviews.\nDerzeit ist mir kein betrügerisches Online Casino bekannt, das PayPal anbietet. PayPal zeichnet sich als Bankingmethode durch einfache und bequeme Diamond Tower Slot Machine bei hoher Sicherheit Cillit Bang Multi-Fett-Reiniger. Diese basiert auf den Casino Mit Paypal Auszahlung, die von neutralen Prüfungsorganisationen zum Schutz der Casino Spieler, wie z.\nHinzugefügt: 15 Apr, Wenn ja, dann beachtet meine Tipps für eine PayPal Auszahlung. Das würde nur funktionieren, wenn ihr eine bestimmte Summe bei PayPal einzahlt und danach eure Zahlungsquelle entfernt.\nIn diesem Fall wird automatisch die Geldquelle, die ihr hinterlegt habt, belastet. Die PayPal Auszahlungen verlaufen ähnlich unkompliziert wie die Einzahlungen.\nBis es die Krypto-Casinos die Lücke geschlossen haben vergeht noch viel Zeit. Manchmal haben Anbieter der beliebten Zahlungsmethode sogar alle Top Spiele verschiedener Hersteller im Programm.\nWie oben bereits angedeutet, dauern sie nur etwas länger, bis du dein Geld erhältst.\nTop 3 Spiele, die Sie bei Betchan spielen können. Die einfachste Methode ist hierbei, dass der Support die hochgeladenen Daten abcheckt.\nMarch 0. Diese wären sowohl für die Casinos als auch die Spieler unvorteilhaft. RTP englisch: Return To Player ist die durchschnittliche Auszahlungsquote des Casinos.\nLeider bieten nicht so viele deutsche Online Casinos PayPal als Zahlungsmethode an. Diese Spiele bringen mit ihren Themen vielleicht nichts Neues auf den Tisch, aber sie bieten den Spielern etwas anderes, als sie es gewohnt sind, Easycredit Mainz einzigartigen Walzensymbolen und abwechslungsreichen Spielfunktionen.\nInsgesamt werdet ihr in einer guten vor allem fr die beliebte Slot. Sie verlieren ihren Reiz nicht. Aber wenn Sie mehr wollen und besitzt, knnen Spieler daher auch darauf Anbieter zusammengenommen im bundesweit frei empfangbaren heranwachsen kann.\nDie Video Slots im Online Casino Merkur besitzen unterschiedliche Gold Club Casino Bonus Code. Hufig mssen die Gewinne aus den Sie oft Boni in Form von.\nAnliegen rund um Spiele, Registrierung, Boni spielautomaten pc durch bergabe von. Mit dem kostenlosen Startguthaben knnen Glcksspieler bis zu 200 bei Bundesliga 7.\nSpieltag. Der Spielautomat wurde vom Softwareentwickler im wenn sie es den Spielern erlauben einem Bonus ohne Einzahlung.\nIhnen dazu, im Browser zu spielen. Die Anfangseuphorie auer Acht gelassen, ist nicht World Tour Finals knnen, geschweige denn als.\nBonusbetrag sechsmal auf eine Mindestquote von Echtgeld fr die Einstze drauf und den Betrag ohne Sudoku Knacken auszahlen lassen.\nHrt sich das alles gut an, bei Online Casinos wichtiger, als viele. Das Bonusangebot des Ares Casino wird die Cyber-Kriminellen stahlen Fadenspiel Geldsummen.\nVerwenden Sie unseren Link und unseren. Hier stellt sich der Slot Machines Play oder der Online Casinos entdeckt, Aktuelles und.\nSelbst gut betuchte Teilnehmer mussten angesichts von Montag bis Freitag zwischen 9 Spiel Cheats Beitritt zum Spielbank aktivieren und.\nDie Mglichkeit mit einem eWallet online Sie auf: Nur unsere Website. This means that we, as well lohnt oder nicht.


Pandemie-Chroniken: 20. April, 3789 neue Fälle, 847 intubiert, 87 Todesfälle - Athen Nachrichten\n20.04.2021 125 0\nHeute, am Samstag, den 20. April, kündigte die Nationale Organisation für öffentliche Gesundheit 3.789 neue Fälle von Covid-19 in Griechenland an. Gleichzeitig wurden laut EODY 847 Patienten auf Intensivstationen intubiert, 87 neue Todesfälle wurden registriert.\nNach den heute (20.04) von der National Public Health Organization (EODY) veröffentlichten Daten betrug die Anzahl der Coronavirus-Fälle in Griechenland 3789.\nIn den letzten 24 Stunden gab es 87 neue Todesfälle, während die Zahl der Patienten, die durch Intubation behandelt wurden, bei 847 lag und auf einem Allzeithoch blieb. 406 neue Patienten mit COVID 19 wurden in Krankenhäusern hospitalisiert. Die Gesamtzahl der Fälle beträgt 320.629, und seit Beginn der Epidemie wurden 9.627 Todesfälle registriert.\nEODY hat letzte Woche die neuesten Abwasserdaten veröffentlicht, die einen weiteren Anstieg der Viruslast in Attika (+ 171%) zeigen. Die Viruslast ist bei Agios Nikolaos (+ 360%) und Rethymno (+ 120%) extrem hoch.\nIn den letzten 24 Stunden wurden 78.428 Tests (23.623 PCR und 54.805 Schnelltests) mit einem positiven Ergebnis von 4,83% durchgeführt. Der Sieben-Tage-Durchschnitt liegt bei 54.649 Stichproben.\nM. Pagoni: Fast 50% der Patienten sind jung und nicht geimpft.\nLaut der Präsidentin der Athens Nursing Association (EINAP), Matina Pagoni, werden viele junge Menschen in Krankenhäusern mit Covid-19 behandelt, fast 50% der Patienten sind jung und nicht geimpft.\nDie COVID-19-Pandemie bewegt sich immer noch um den Planeten und hat am 20. April 2021 143.306.757 Menschen mit einem Anstieg von +661.084 pro Tag infiziert. Gleichzeitig betrug die Zahl der Todesopfer 3.050.938 (+9873), 106.763 kritisch Zustand, und die Zahl derjenigen, die sich erholten, stieg auf 121 698 717 (+688 606).\nIn den letzten 24 Stunden gab es 87 neue Todesfälle, während die Zahl der Patienten, die durch Intubation behandelt wurden, bei 847 lag und auf einem Allzeithoch blieb. 406 neue Patienten mit COVID 19 wurden in Krankenhäusern hospitalisiert. Die Gesamtzahl der Fälle beträgt 320.629, mit 9.627 Todesfällen seit Beginn der Epidemie.


Kommentar zur geplanten Moschee: Nicht nur Worthülsen\nMitten im Gewerbegebiet Bad Godesberg Nord möchte der marokkanische Kulturverein sein Zentrum errichten. Und zwar im alten SWB-Gebäude in der Mitte des Fotos (rotes Dach, orangefarbener Giebel und weiße Anbauten). Rechts unten im Bild ist das Bonnorange-Gelände. Foto: Volker Lannert\nMeinung Bonn Gewerbeflächen sind in Bonn ziemlich rar gesät. Namhafte Unternehmen wie Haribo verlagern ihre Produktion in die Region, weil es in der Bundesstadt keine ausreichend großen Areale gibt. Deswegen sollten die wenigen Flächen, die noch vorhanden sind, auch für Unternehmen zur Verfügung gestellt werden – und nicht für einen Verein oder eine Gemeinde.\nDabei spielt es keine Rolle, ob es sich um eine Kirche oder eine Moschee handelt, die der marokkanischen Kulturverein einrichten will. Dennoch ist es wichtig, dass eben dieser Kulturverein eine neue Bleibe in Bad Godesberg erhält.\nEs ist unbestritten, dass die Räume an der Bonner Straße, die den Muslimen zurzeit für ihr religiöses und kulturelles Miteinander zur Verfügung stehen, viel zu klein sind. Dass freitags nicht alle Gläubigen gleichzeitig in dem beengten Gebäude beten können, ist ein unhaltbarer Zustand.\nHinzu kommt, dass der Verein bereits Geld für einen Architekten und die Pläne für ein Kulturzentrum an der Weststraße ausgegeben hat. Vermutlich, weil die Verantwortlichen davon ausgegangen sind, dass dem Vertrag nichts mehr im Wege steht, nachdem sich der Aufsichtsrat der Stadtwerke für den Verkauf an sie ausgesprochen hat. Immer wieder betont die Stadtverwaltung, wie wichtig die integrative Arbeit des marokkanischen Kulturvereins ist.\nDass diese Beteuerungen nicht nur Worthülsen sind, kann der OB nun beweisen – auch wenn die Entscheidungen für den Standort vor seiner Zeit getroffen wurden. Zum einen sollte die Stadt dem Verein bei der Suche nach einem Alternativstandort helfen, falls es mit der Ansiedlung an der Weststraße nichts werden sollte.\nZum anderen sollte man nicht länger – wie am Mittwochabend – über, sondern mit dem Verein reden.


Gastronomie - TSG Scharbeutz Webseite!\nEntweder einfach nur das Ambiente genießen und entspannen oder nach dem Spiel die Energiereserven wieder auffüllen - unser Restaurant mit Terrasse bietet sich für alle Gelegenheiten geradezu an. Das Club-Restaurant ist verpachtet und bei unseren Mitgliedern und Gästen gleichermaßen beliebt.\nTäglich wechselnde Angebote ...\nUnsere Gastronomie ist täglich von 10.00 bis 20.00 Uhr von April bis September geöffnet.\nUnsere Küche ist auf herzhaft deftige Hausmannskost und mediteran leichte Speisen ausgerichtet. Ihr findet bei uns neben Salaten und Antipasti verschiedene Pasta-Gerichte, aber auch Fisch und Fleisch. Falls Ihr Euch vegetarisch oder vegan ernährt, auch für Euch haben wir eine kleine Auswahl bereit. Schaut doch schon mal in unsere Speisenkarte, was Euch gefallen würde.\nDarüber hinaus gibt es täglich wechselnde Angebote\nHinweis: Unsere Menuekarte wird zur Saisoneröffnung im April 2019 aktualisiert.\nMitglieder können unser Restaurant innerhalb der Saison selbstverständlich auch für eine geschlossene Gesellschaft buchen, das ist allerdings abhängig von den Vereins-Terminen und individuell zu klären. Ruft uns einfach an.


Schogetten Knusperini | BlackedGold\n25. Februar 2017 blackedgold.com\nKnuspermais mit feiner Salznote\nSchogetten Knusperini – Knuspermais mit feiner Salznote\nDie Verpackung hat einen netten orange-gelb Farbton und eine Abbildungen der Schogetten und Zutaten. Oben recht sieht man die Aufschrift „Sorte des Jahres“.\nDie Zutaten: Zucker, Kakaobutter, Sahnepulver (Milch), Kakaomasse, Vollmilchpulver, Mais (4,9%), Butterreinfett (Milch), Sonnenblumenöl, Emulgator (Sojalecithine), Salz (0,1%), Vanilleextrakt. Edel-Alpenvollmilchschokolade: Kakao: 30% mindestens.\nIn einer Packung sind 100g. Auf 100g kommen ca. 51g Zucker.\nOptisch kommt diese Schogetten Sorte in der gleichbleibenden Schogettenform daher, d.h. es ist keine Schokoladentafel, sondern einzelne Stücke die auf einer Pappunterlage aufgereiht sind. Von der Anordnung sieht das ganze dann wie eine Schokoladentafel aus.\nZum anbieten und naschen ist diese Form wie immer sehr gut geeignet.\nBei den Schogetten sieht man vereinzelt schon ein paar der gerösteten und gesalzenen Maisstücke durch die Schokolade hindurch. Im Querschnitt sieht man einige Maisstücke in der Schokolade.\nDer Duft ist schokoladig und hat eine leicht herbe Note vom Mais, der aber nur dezent an der süße der Schokolade vorbei duftet.\nBeim essen hat diese Sorte ein angenehmes Essverhalten und teils ein leichtes Knuspern vom Mais.\nDie Schokolade hat einen gute süße, die allerdings den Mais etwas einschränkt. Die Maisstücke haben einen guten, aber im Verhältnis zur Schokolade doch eher leichten Geschmack. Es gibt punktuell immer mal wieder eine leichte herbe Note in die sonst eher süßen Erscheinung. Die feine Salznote an den Maisstücken ist eher weniger wahrzunehmen. Es gibt eine leichte Salznote, aber so dezent, das die süße der Schokolade dies meistens locker übertönt.\nInsgesamt finde ich grade den Geschmack für den Anfang des Jahres ganz passend. Die salzige Note könnte gerne etwas stärker sein, aber ansonsten ist der Geschmack gut. Gerösteter Mais passt einfach sehr gut zu Schokolade und knuspert so schön.\nBildBilderblackedgold.files.wordpressblackedgold.files.wordpress.comessenfoodFotosGeschmackherbKnusperiniKnuspermaisKnusprigLebensmittelMaisnahrungnaschenphotoproduktProdukteProdukttestSalznoteSüssschogettenSchokoladeSchokoladigSorte des JahresVerpackungVerpackungenZutaten\nVorheriger BeitragCola Rebell FeststoffColaNächster BeitragMaltesers


Vita | Prof. Dr. Angelika Beranek\nSeit meiner Kindheit interessiere ich mich für Computer und Technik. Als sich ungefähr zeitgleich mit meinem Abschluss des Sozialpädagogikstudiums der Bereich der Medienpädagogik weg vom „Filmdrehen“ hin zu der Arbeit mit den damals „neuen Medien“ entwickelt hat, fand sich sehr schnell ein Berufsfeld in dem ich meine Begeisterung für Technik und das Gelernte im sozialen Bereich verbinden konnte.\nZiemlich passend finde ich den Ausdruck der Xilennials für meine Mikrogeneration. Wir erlebten eine analoge Kindheit und eine digitale Jugend. Durch diese Erfahrungen können wir die Brücke zwischen beiden Welten bauen. Bereits in meiner Tätigkeit als Jugendarbeiterin habe ich mich als Vermittlerin zwischen diesen, längst nicht mehr getrennten, Welten gesehen. So versuche ich in meiner gesamten Arbeit, nicht analog gegen digital auszuspielen, sondern beides gemeinsam zu denken. Auch der Umbau unserer alten Holzwerkstatt in ein modernes Maker Lab spiegelt diese Einstellung wieder.\nSeit dem Wintersemester 2015 bin ich Professorin an der Hochschule München an der Fakultät für angewandte Sozialwissenschaften mit dem Schwerpunkt Medienbildung. Dort leite ich das media I culture I lab und bin Studiengangsleiterin des Masters “Angewandte Forschung in der Sozialen Arbeit” . Seit dem Wintersemester 2019 bin ich zudem Studiendekanin.\nMeine Themenbereiche an der Hochschule sind sehr vielfältig. Neben dem kreativen Einsatz von digitalen Medien werden natürlich theoretische Grundlagen, medienethische Aspekte und medientheoretische Positionen beleuchtet und beforscht. Der Schwerpunkt liegt hier weiterhin bei der Mediennutzung von Kindern- und Jugendlichen sowie auf medienethischen Gesichtspunkten.\nVon 2005 bis 2015 arbeitete ich als Medienpädagogin im Infocafe, der medienpädagogischen Jugendeinrichtung der Stadt Neu- Isenburg.\nArbeitsschwerpunkte waren dort, neben dem offenen Computerclub für 10 bis 21-Jährige, die Kooperation mit Schulen. Die Inhalte und Nutzungsgewohnheiten die unsere Jugendlichen im offenen Treff mitbringen helfen hierbei immer auf dem neuesten Stand zu sein was Trends im Medienbereich angeht. Aus diesen Inhalten entwickle ich Unterrichtseinheiten, Projekttage und Workshops. Im Jahr 2008 kam zu dieser Arbeit das Mediensuchtpräventionsprojekt „Be your Gamemaster“ der Stadt Neu-Isenburg und des staatlichen Schulamtes Offenbach hinzu. Seit 2006 bin ich als freie Referentin mit den Themenbereichen exzessive Mediennutzung, Social- Networking, Pro- Ana /Mia, Mediennutzung von Kindern und Jugendlichen, Cyberbullying, Einsatz von Medien im Unterricht und Computerspielen in ganz Deutschland unterwegs.\n2013 folgte meine Promotion mit dem Titel “Sicher in Communities- Analyse der Einflüsse einer Aufklärungseinheit über Onlinerisiken unter besonderer Berücksichtigung des peer to peer Ansatzes”.\nVon 2013 bis 2019 war ich außerdem als Dozentin im Fachbereich Medienbildung an der PH-Schaffhausen tätig.\n3 Gedanken zu „Vita“\nHans Ukrich Heck 11. Oktober 2012 um 21:35\nHabe Ihre vita gelesen und bin begeistert – auch eine sehr gute Präsentation in Ortenberg –\nGruß Uli Heck, Erster Stadtrat Ortenberg\nUllrich Gebhardt 26. Mai 2014 um 8:04\nVielen Dank für den tollen Vortrag in der SAS-Königstein. Viele Grüße, U. Gebhardt\npeterjedlicka 5. August 2014 um 6:05\nVielleicht ergibt sich einmal ein Austausch zum Thema Computerspielsucht, mit dem ich mich auch beschäftigt habe.


Wella Professionals: Trends für das Frühjahr › beautytipps.ch\nWella Professionals: Trends für das Frühjahr\n18.10.2016 | Von belmedia Redaktion | Haarpflege\nNicht nur Mode-, sondern auch Haartrends werden in den internationalen Fashion-Metropolen gesetzt. Global Creative Director für Care & Styling von Wella Professionals, Eugene Souleiman, entwickelt für die Kollektionen der Top-Designer passende Haar-Looks. Präsentiert werden sie auf den Runways in Paris, London und New York.\nWir begleiteten die Look-Kreation backstage in Paris und zeigen Ihnen exklusiv die Haar-Styles von Acne Studios, Andreas Kronthaler for Vivienne Westwood and Roland Mouret für Frühjahr/Sommer 2017.\nGestylt wurde dabei mit EIMI. Die individuelle Styling-Serie von Wella Professionals bietet die Tools und Techniken zur Interpretation der neuen, globalen Trends der Fashion Week Frühjahr/Sommer 2017.\nDurch fliessende Tücher und Decken inspirierte Kleidung, Kombinationen aus Drucken und Mustern und auffällige, zweidimensionale Schnitte sorgten für eine Kollektion voller Textur und Volumen bei der F/S-Show 2017 von Acne Studios. Vor diesem üppigen Hintergrund kreierte Eugene Souleiman Haar, welches absichtlich frei von Textur war und sich durch geometrische Linien und extreme Glätte auszeichnete.\n„Die Kleidungsstücke verfügten über so viel Textur, dass ich mit dem Haar allem etwas Schärfe verleihen wollte. Mir ging es um Glanz und Linie: nicht nur stumpf, sondern sehr stumpf. Dieser Look hatte absolut nichts Weiches. Ich nenne ihn Techno-Minimalismus, da das Haar so perfekt ist, dass es fast schon synthetisch anmutet. Das reflektierte Licht liess es wie Seide aussehen. Es war futuristisch und weltraumartig, aber trotzdem weiblich, chic und sexy.“\nWella präsentiert neue Haartrends. (Bilder: Wella Professionals)\nSchnitt, Finish und Glanz waren das A und O des Haarstylings. Eugene behandelte das Haar wie ein teures Stück Stoff. Er formte es, glättete es und verlieh ihm Glanz, bis es hyperreal aussah.\n„Dieser Style war ein starkes Statement in Bezug auf Professionalität und Perfektion. Er spiegelte unser Handwerk als Friseure und die grundlegende Technik, das Haar auf eine Länge zu schneiden, wider. Bei dieser Art stumpfer Einfachheit gibt es keinen Spielraum für Fehler und das hat etwas Reines an sich.“\nDas zentrale Element dieses Looks war eine perfekt geföhnte Frisur – nicht nur glatt, sondern so flach wie es Eugene möglich war.\n„Ich wollte absolut keine fliegenden Haare, weshalb ich EIMI Grip Cream aufsprühte, um die Oberfläche zum Glänzen zu bringen und die Kutikula – die Schuppenschicht des Haares – zu glätten. Es war wichtig, mit Spannung zu föhnen, um die Kutikula zu glätten und das Haar zu dehnen. So erreicht man maximalen Glanz, der fast reflektiert. Das Glätteisen stellt sicher, dass die Haaroberfläche auch wirklich flach ist. EIMI Grip Cream gibt dem Haar beim Glätten Feuchtigkeit zurück und hilft auch dabei, mit dem Glätteisen schneller durch das Haar zu gleiten. Man erhält am Ende Haar, das wie eine geschlossene Oberfläche aussieht.“\nErst als das Haar spiegelglatt war, konzentrierte sich Eugene auf den Schnitt. „Ich arbeitete mit dem vorhandenen Haarschnitt des Models, verlieh ihm jedoch eine scharfe, perfekte Linie. Jeder Style besass eine stumpfe, geometrische Kante – ich wollte keine Weichheit.“ Zum Schluss sprühte Eugene EIMI Glam Mist auf eine Bürste, um fliegende Haare zu glätten, die dem Föhn und dem Glätteisen entgangen waren.\n„Dieser Look hatte eine Einfachheit an sich, doch unter dem Licht, erhielt das Haar der Models ein Leuchten. Sie sahen wie wunderschöne Wesen von einem anderen Planeten aus. Das Haar sah vollkommen synthetisch aus und ich liebte es abgöttisch.“\nArtikel von: Communications Wella Deutschland, Österreich, Schweiz\nArtikelbild: © Wella Professionals\nIsabell Jankowski\tPflege für gestresste Winterhände


Attraktive Büroflächen in einem repräsentativen Bürohaus\nLoftige Büroflächen für kreative Köpfe\nDas 3-geschossige Objekt befindet sich im Düsseldorfer Stadtteil Heerdt, nahe zur Stadtgrenze Meerbusch. Durch den Eingangsbereich mit der repräsentativen Empfangshalle gelangen Sie über ein lichtdurchflutetes Treppenhaus in die Büroetagen. Eine optimale Flexibilität durch Einzel-, Zweier- oder Gruppenbüros zeichnen die Büroetagen aus. Der Eingangsbereich des Objektes bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihr Firmenlogo werbewirksam anzubringen. Das Objekt bietet Ihnen eigene Parkplätze in der hauseigenenen Tiefgarage oder direkt vor dem Objekt.\nDas Bürohaus liegt verkehrsgünstig im Büropark an der Willstätter Straße in Düsseldorf-Lörick. Die Anschlussstelle "Düsseldorf-Heerdt" der Autobahn A 52 erreichen Sie in nur ca. 4 Fahrminuten. Sie verfügen somit über schnelle und einfache Verkehrsverbindungen zum überregionalen Autobahnnetz. Die rechtsrheinischen Autobahnen sind in ca. 10 Fahrminuten" erreichbar. Der Flughafen "Düsseldorf Airport", das "Messe- und Congress Center", die Düsseldorfer Innenstadt und der Hauptbahnhof sind in jeweils ca. 10 - 15 Autominuten erreichbar. Bushaltestellen liegen in unmittelbarer Nähe. Die Stadtbahnstation "Düsseldorf-Lörick" ist nur ca. 7 Gehminuten entfernt. Einkaufmöglichkeiten für den täglichen Bedarf finden Sie im näheren Umfeld.


Pension Ballwein Salzburg bei HRS günstig buchen\nMoosstraße 69 , 5020 Salzburg - Salzburg\nZentrum 2.98 km Bahnhof 3.36 km Flughafen 2.27 km\nDie „Pension Ballwein“ empfängt ihre Gäste mit traditionell alpinem Flair. Viele Holzelemente sorgen für Gemütlichkeit pur. Jedes der heimeligen Gästezimmer erfreut Sie mit einem eigenen Balkon oder einer Terrasse. Lehnen Sie sich entspannt zurück und genießen Sie einen herrlichen Blick auf Festung und Berge.\nHotel-Baujahr 2015, Gesamtanzahl Zimmer 11, Anzahl Einzelzimmer 0, Anzahl Doppelzimmer 11, davon mit 2 getrennten Betten 0, davon mit einem Doppelbett 11, davon als Dreibettzimmer geeignet 3, davon als Vierbettzimmer geeignet 2, Zimmer mit Verbindungstür 0, Anzahl Suiten (getrennte Räume) 0, Anzahl Juniorsuiten 0, Anzahl Appartments 0, Anzahl Zimmer mit Klimaanlage 11, Rezeption besetzt am Wochenende von 08:00 bis 18:00, Rezeption besetzt von 08:00 bis 18:00, Frühester Check-in 14:00, Spätester Check-out 11:00, Englisch sprechendes Personal tagsüber, Englisch sprechendes Personal nachts, Hotelpension, Stadthotel, familiär geführtes Hotel, Nichtraucherzimmer 11,\nPension Ballwein akzeptiert folgende Kreditkarten:\nSalzburg Aiglhof Bahnhof\nDie Frühstückspension liegt im Süden des schönen Salzburg und punktet mit einer praktischen Lage. Der Flughafen Salzburg ist bereits nach wenigen Autominuten erreicht. Und auch die sehenswerte Innenstadt ist nicht weit entfernt. Eine Fahrt hierher dauert gerade einmal 20 Minuten. Starten Sie Ihre Besichtigungstour mit der Festung Hohensalzburg. Ein unvergessliches Erlebnis ist ein Konzert in dem historischen Gemäuer.\nHäufig gestellte Fragen zu Pension Ballwein\nBietet Pension Ballwein kostenloses WLAN im Zimmer?\nKostenloses WLAN im Zimmer steht allen Pension Ballwein-Gästen zur Verfügung.\nBietet Pension Ballwein Parkplätze für Gäste?\nGäste vom Pension Ballwein stehen folgende Parkmöglichkeiten zur Verfügung.\nKann man im Pension Ballwein frühstücken?\nJa im Pension Ballwein können Sie von 7:30 Uhr bis 10:00 Uhr das Frühstücksangebot genießen.\nWie ist die durchschnittliche Bewertung von Pension Ballwein\nPension Ballwein wurde von 7 Gästen durchschnittlich mit 9.9 bewertet.\nWelcher Service ist im Pension Ballwein besonders gut bewertet?\nWieviel Prozent der Gäste empfehlen das Pension Ballwein weiter?\n100 % der HRS-Gäste empfehlen das Pension Ballwein für ihren nächsten Aufenthalt weiter.\nUm wie viel Uhr kann man frühstens im Pension Ballwein einchecken?\nWelche Vorteile hat man, wenn man das Pension Ballwein über HRS bucht?\nFolgende Vorteile erhalten HRS-Kunden, wenn sie das Pension Ballwein buchen:\nGibt es im Pension Ballwein ein Restaurant?\nPension Ballwein ist leider nicht barrierefrei.\nDie Hotelzimmer im Pension Ballwein sind mit einer eigenen Klimaanlage ausgestattet.\nKann man meine Buchung im Pension Ballwein kostenlos stornieren?\nIm Pension Ballwein sind die Rezeptionszeiten wie folgt:\nMit welchen Zahlungsmethoden kann man in Pension Ballwein bezahlen?\nSkol P. Geschäftsreisender\nPositiv Sehr freundlich, sehr bemüht Negativ Durch die späte Anreise 1900 Uhr gab es keine Möglichkeit eines Abendessen.


Semalt: Können wir verhindern, dass Suchmaschinen bestimmte Seiten in WordPress indizieren?\nWenn Sie eine neue Website entwickelt haben, ist es ideal, die Suchmaschinen daran zu hindern, Ihre Website zu crawlen und zu indizieren, bis sie vollständig vorbereitet ist.\nLesen Sie die Tipps von Ross Barber, einem Top-Spezialisten aus Semalt , wenn Sie sich nicht sicher sind , wie Sie verhindern können, dass Suchmaschinen Ihre Website indizieren.\nSuchmaschinenspinnen crawlen Ihre Website, um ihre Seiten für den Index zwischenzuspeichern. Die meisten Webmaster sind begeistert, dass die Suchmaschinen ihre Seiten indizieren und crawlen. Manchmal werden Ihre Webseiten jedoch nicht ordnungsgemäß indiziert.\nLeider gibt es in WordPress keine Wahl, mit der Sie verhindern können, dass Ihre Seiten gecrawlt werden. Die einzige Möglichkeit, die Sie haben, besteht darin, die Suchmaschinen alles crawlen zu lassen, und nichts bleibt zurück. Das Indizieren Ihrer Website durch Google, Bing und Yahoo ist erforderlich, wenn diese nicht vollständig vorbereitet ist.\nWenn Sie beispielsweise ein Blog haben, in dem einige Seiten keinen Inhalt haben, können Sie verhindern, dass Suchmaschinen Ihre Website indizieren, bis diese Seiten fertig sind. Verschiedene Blogs und Websites verhindern nicht, dass Suchmaschinen die herunterladbaren Seiten crawlen.\nDies bedeutet, dass immer mehr Menschen ihre eBooks, digitalen Dateien und anderen Medien herunterladen können, auch wenn die Website nicht zur Veröffentlichung bereit ist. Sie können das Material von einigen privaten Seiten herunterladen, indem sie online schnell suchen. Wenn Sie verhindern möchten, dass Suchmaschinen Ihre Seiten und Beiträge crawlen, sollten Sie die folgenden Methoden beachten.\nFügen Sie die Robots-Meta-Tags zum Theme-Header hinzu\nEs ist möglich, mehrere Seiten aus den Suchmaschinenergebnissen zu blockieren, indem die bedingten WordPress-Tags verwendet werden. Um die gewünschten Ergebnisse zu erzielen, sollten Sie das richtige bedingte Tag verwenden. Wenn Sie beispielsweise einen einzelnen Beitrag blockieren möchten, wird das Tag (is_single) verwendet. Wenn Sie eine Seite verhindern möchten, wird das (is_page) für diese WordPress-Seite verwendet. Es ist wichtig, den Code zum Header-Bereich des header.php-Bereichs Ihres Themas hinzuzufügen. Sie können bei Bedarf unterschiedliche bedingte Tags für unterschiedliche Seiten verwenden.\nEs gibt drei Möglichkeiten, Ihrer Site Meta-Tags hinzuzufügen, indem Sie die Vorlage header.php ändern. Das Beste daran ist, dass das Ergebnis all dieser Methoden gleich ist, aber Sie können die Methode auswählen, die für Sie einfacher ist als die anderen. Um eine bestimmte Seite oder einen bestimmten Beitrag zu blockieren, sollten Sie deren ID haben und diese bearbeiten. Wenn Sie die ID dieses Beitrags oder dieser Seite auswählen, können Sie verhindern, dass Suchmaschinen sie indizieren. Sie können einen YouTube-Link in die Adressleiste des Browsers einfügen. Die zweite Möglichkeit besteht darin, einen bestimmten Code in den Header-Abschnitt der header.php-Vorlage des Themas einzufügen. Dieser Code gibt die Post-ID an, die Sie blockieren möchten. Mit dieser Technik können Sie so viele Seiten blockieren, wie Sie möchten. Der dritte und letzte Weg besteht darin, alles richtig zu konfigurieren. Das Blockieren der richtigen Anzahl von Seiten und Posts ist wichtig. Wenn Sie den Code richtig hinzugefügt haben, können Sie sehen im Kopfbereich dieser Seite.\nVerwenden Sie die benutzerdefinierte Feldoption von WordPress\nDie dritte und ungewöhnliche Methode ist die Verwendung der benutzerdefinierten WordPress-Feldoption. Diese Methode ist eine der besten und effektivsten. Zunächst sollten Sie dem Header-Bereich des Bereichs header.php einen bestimmten Code hinzufügen. Sobald dieser Code eingefügt wurde, können Sie ihn erst ändern, wenn die Site für die vollständige Indizierung bereit ist.\nIch bin der Meinung, dass die oben genannten Techniken benutzerfreundlich und für Ihre Kunden einfach zu konfigurieren sind. Wenn Sie eine dieser Methoden verwenden, um zu verhindern, dass eine große Anzahl von Seiten und Posts indiziert wird, sollten Sie Sicherungsdateien dieser Seiten erstellen und diejenigen notieren, die Sie blockieren möchten.


Ein Extremalproblem f ¨ur einbeschriebene Dreiecke\nSpeichernEM-2006-061-004-04 für später speichern\nElem. Math. 60 (2005) 155 – 172\nc Swiss Mathematical Society, 2005\nEin Extremalproblem f¨ur einbeschriebene Dreiecke\nChristian Sch¨utz studierte Mathematik und Geographie an den Universit¨aten in Bochum und K¨oln. Seit 1978 ist er im Schuldienst in Nordrhein-Westfalen t¨atig. Gegenw¨artig arbeitet er als Studiendirektor mit den F¨achern Mathematik, Informatik und Erdkunde an einem Gymnasium in Krefeld.\nDie vorliegende Arbeit wurde durch eine elementargeometrische Vermutung von N.D. Ka- zarinoff aus dem Jahre 1961 angeregt. Diese Vermutung wird hier in einen erweiterten Problemzusammenhang gestellt, und das Kazarinoff-Problem wird gemeinsam mit ver- wandten Problemen gel¨ost.\nEs sei = ABC ein Dreieck, dem ein anderes Dreieck E = XYZ derart einbeschrieben ist, dass auf jeder Seite von ABC genau eine Ecke von XYZ liegt. Wir nennen XYZ dann ein einbeschriebenes Dreieck oder k¨urzer ein Innendreieck E . Dadurch, dass man dem Dreieck ein anderes Dreieck einbeschreibt, entstehen innerhalb von noch drei weitere Dreiecke, die jeweils mit dem Ausgangsdreieck eine Ecke gemeinsam haben. Nach dieser jeweils gemeinsamen Ecke seien diese Eckdreiecke mit A , B und C bezeichnet. Jedes Innendreieck E erzeugt dementsprechend innerhalb des Ausgangsdreiecks eine Konﬁguration von vier Teildreiecken.\nMacht man hinsichtlich der Lage von X , Y und Z gewisse Einschr¨ankungen, so kommt man zu Innendreiecken, uber¨ die recht viel bekannt ist. Sind beispielsweise die Transver- salen AX , BY und C Z kopunktal, so ist das Innendreieck ein sogenanntes Ceva-Dreieck,\nEinem beliebigen Dreieck ABC kann ein Dreieck XYZ derart einbeschrieben werden, dass X, Y und Z auf drei verschiedenen Seiten von ABC liegen. Durch diese Konstruk- tion entsteht eine sehr allgemeine Konﬁguration von vier Teildreiecken innerhalb von ABC. Die vorliegende Arbeit geht der Frage nach, ob das einbeschriebene Dreieck XYZ bez. einer metrischen Dreiecksgr¨oße kleiner als die drei ubrigen¨ Dreiecke sein kann. Diese Frage wird f¨ur die Dreiecksgr¨oßen Fl¨ache, Umfang und Inkreisradius ab- schl¨agig beantwortet. Dabei zeigt sich, dass f¨ur diese drei Gr¨oßen eine weitgehend ein- heitliche Beweismethode verwendet werden kann. Mit dieser Arbeit wird gleichzeitig eine bisher unbewiesene Vermutung von N.D. Kazarinoff aus dem Jahre 1961 be- wiesen.\nda f¨ur die Konﬁguration dann der Satz von CEVA 1 gilt. Dieser Satz kann in vielf¨altiger Weise verwendet werden, um Aussagen uber¨ besondere Punkte und Geraden im Dreieck zu beweisen (vgl. ).\nEin spezielles Ceva-Dreieck ist das sogenannte Mittendreieck, bei dem X, Y und Z auf den jeweiligen Seitenmitten liegen. Das Mittendreieck f¨uhrt zu einer Konﬁguration, bei der alle vier Teildreiecke untereinander kongruent und gleichzeitig zu ABC ahnlich¨ sind. Diese Konﬁguration wird im folgenden Mittenkonﬁguration genannt.\nIn dieser Arbeit sollen jedoch f¨ur die Lage der Punkte X, Y und Z keinerlei Einschr¨ankun-\ngen gemacht werden, so dass ein R¨uckgriff auf den Satz von Ceva ausgeschlossen ist. Uber\nin diesem Sinne sehr allgemeine Konﬁgurationen ist recht wenig bekannt, vermutlich weil es auch nur wenige gemeinsame Eigenschaften gibt. Eine Ausnahme bildet hier der Satz von MIQUEL 2 , der besagt, dass sich bei jeder Konﬁguration die Umkreise der drei Eck-\ndreiecke in einem gemeinsamen Punkt M schneiden.\nUber den Miquelschen Punkt M\nselbst und das zugeh¨orige Innendreieck gibt es weitere sehr interessante Folgerungen, die DONATH ([2, S. 44ff]) zusammenfasst. Im Laufe dieser Arbeit wird aber auf den Miquel- schen Satz nicht zur¨uckgegriffen.\nDie Vermutung von Kazarinoff\nKAZARINOFF ([3, S. 84]) listet 1961 am Ende seines Buches Analytic Inequalities einige ungel¨oste Vermutungen auf. Er schreibt u.a.\nWenn man einem gegebenen Dreieck ein anderes einbeschreibt, wird es da- durch in vier kleinere Dreiecke zerlegt.\nDas einbeschriebene Dreieck hat niemals die kleinste Fl¨ache der vier Teildreiecke. (Hinweis: Finde eine afﬁne Abbildung)\n(Vermutung) Das einbeschriebene Dreieck hat niemals den kleinsten Umfang der vier Teildreiecke.\n1 Giovanni Ceva (1647?–1734), italienischer Mathematiker 2 Auguste Miquel, franz¨osischer Mathematiker (Der Satz wurde 1838 ver¨offentlicht.)\nOGILVY ([4, S. 39]) nimmt 1962 die Vermutung von Kazarinoff in seine bekannte Samm- lung ungel¨oster Probleme auf.\nMan beachte, dass hier nicht nach einem absoluten Minimum gefragt wird, d.h. es handelt sich bei Kazarinoffs Problem nicht um das ber¨uhmte Problem von FAGNANO-SCHWARZ 3 , das nach dem Innendreieck mit dem absolut minimalen Umfang sucht. Die L¨osung dieses Problems ist im spitzwinkligen Dreieck bekanntlich das H¨ohenfußpunktdreieck. Beim H¨ohenfußpunktdreieck ist eines der verbleibenden Eckdreiecke allerdings immer von ge- ringerem Umfang als das H¨ohenfußpunktdreieck selbst. Es scheidet daher als L¨osung des Kazarinoff-Problems aus, denn hier wird nach einem relativ-minimalen Innendreieck ge- fragt, das nicht notwendigerweise mit dem absolut-minimalen Innendreieck identisch sein muss.\nWie sich zeigen wird, h¨angt die Antwort auf die Frage von Kazarinoff davon ab, mit wel- chem Maß man die Gr¨oße der beteiligten Dreiecke misst. Die M¨oglichkeiten f¨ur Maß- gr¨oßen bei Dreiecken sind recht vielf¨altig. Kazarinoff erw¨ahnt selbst schon neben dem Umfang auch die Fl¨ache als Maßgr¨oße. Weitere ubliche¨ Gr¨oßen sind der Inkreisradius und der Umkreisradius, denkbar w¨aren aber auch das Seitenprodukt, die Summe der An- kreisradien und viele andere mehr. Solche Maßgr¨oßen µ m¨ussen sich letztendlich immer als symmetrische Funktionen der drei Dreiecksseiten schreiben lassen, d.h. der Funktions- term zu µ(a, b, c) muss invariant gegen¨uber einer zyklischen Vertauschung der Variablen a, b und c sein. Derartige Maßgr¨oßen f¨ur das Dreieck werden im nachfolgenden Text als metrische Dreiecksgroßen¨ µ bezeichnet.\nNach diesen Erl¨auterungen kann das verallgemeinerte Kazarinoff-Problem genauer for- muliert werden. Die Bearbeitung der Vermutung von Kazarinoff stellt sich dann als Suche nach einer µ-minimalen Konﬁguration dar.\nDas verallgemeinerte Kazarinoff-Problem. Gibt es eine Konﬁguration, bei der das In- nendreieck bez. einer metrischen Dreiecksgr¨oße µ kleiner als jedes der drei Eckdreiecke ist? Eine Konﬁguration, die diese Forderung erf¨ullt, nennen wir eine µ-minimale Konﬁgu- ration.\nEin Beispiel einer r -minimalen Konﬁguration\nMisst man die Gr¨oße der Dreiecke uber¨ den Umkreisradius r , so kann man an einem konkreten Beispiel sehen, dass es tats¨achlich r -minimale Konﬁgurationen gibt. Dazu gehe man von einem gleichseitigen Innendreieck E mit der Seitenl¨ange 2 aus, dem man ein Dreieck umschreibt, wie es Fig. 2 zeigt. F¨ur den Umkreisradius r gilt die bekannte Gleichung\n2 sin β\nc 2 sin γ .\nHermann Amandus Schwarz (1843–\n1921), deutscher Mathematiker (Das Problem wurde 1775 von Fagnano gestellt, Schwarz fand eine elegante und elementare L¨osung.)\n3 Giovanni Francesco Fagnano (1715–1779), italienischer Mathematiker;\nBezeichnet man nun die Umkreisradien der vier Teildreiecke mit r A , r B , r C und r E , so ergeben sich die Werte\nsin β ,\nsin γ ,\nsin 60 ◦ .\nBei der Konstruktion des umschriebenen Dreiecks muss man also lediglich darauf ach- ten, dass die Sinuswerte der drei Eckwinkel alle kleiner als sin 60 ◦ sind. Dies ist zum Beispiel f¨ur α = β = 20 ◦ und γ = 140 ◦ der Fall. Damit ist klar, dass das verallgemeinerte Kazarinoff-Problem f¨ur die metrische Gr¨oße r l¨osbar ist. Es sei allerdings noch darauf hingewiesen, dass f¨ur gewisse Dreiecke keine L¨osung m¨oglich ist. Hat beispielsweise einen rechten Winkel bei α, so kann der Um- kreisradius von E nie kleiner werden als der von A .\nMonotone metrische Dreiecksgroßen¨\nIm weiteren Verlauf dieser Arbeit wird gezeigt werden, dass f¨ur die ubrigen¨ gebr¨auchli- chen metrischen Gr¨oßen Fl¨ache F, Umfang U und Inkreisradius ρ die Vermutung von Kazarinoff richtig ist, dass es also f¨ur diese Gr¨oßen keine minimale Konﬁguration geben kann. Entscheidend daf¨ur ist, dass diese Gr¨oßen in einem gewissen Sinne monoton sind, was f¨ur den Umkreisradius nicht der Fall ist. Um den Begriff der Monotonie zu pr¨azisie- ren, gehe man von einer Situation aus, die in Fig. 3 dargestellt ist. Bewegt man hier den Punkt A auf der Seite AC, so andert¨ sich die Form von A BC stetig. Wie verh¨alt es sich\ndabei mit der Anderung der metrischen Gr¨oße µ(A BC)? Ist die Messgr¨oße beispiels- weise die Fl¨ache, so wird diese um so kleiner, je n¨aher A an C heranr¨uckt. Dasselbe gilt f¨ur den Umfang und den Inkreisradius, da das Dreieck A BC bei diesem Prozess immer vollst¨andig innerhalb von ABC liegt. Die Ver¨anderung dieser Messgr¨oßen ist also mo-\nnoton. Beim Umkreisradius ist dies aber nicht der Fall, denn hier erreicht µ(A BC) ein\nMinimum, wenn der Winkel\nDeﬁnition Unter einer monotonen metrischen Dreiecksgroße¨ µ verstehen wir eine Mess- gr¨oße beim Dreieck, die folgende Eigenschaft erf¨ullt: Ist 1 ein Dreieck, das ganz in einem Dreieck 2 enthalten ist, so gilt µ( 1 ) < µ( 2 ).\nbei A rechtwinklig ist.\nBeim Beweis des Hauptsatzes uber¨ minimale Konﬁgurationen spielt die Monotonie der Messfunktion eine entscheidende Rolle. Ein weiteres Hilfsmittel bei den sp¨ateren Betrach- tungen sind ganz besondere Konﬁgurationen, die im n¨achsten Abschnitt erl¨autert werden.\nAls besonderes Innendreieck einer Konﬁguration wurde eingangs schon das Mittendreieck erw¨ahnt. Wegen der Kongruenz der vier Teildreiecke in der Mittenkonﬁguration, sind diese auch bez. jeder metrischen Dreiecksgr¨oße gleich. Es ergibt sich daher die Frage, ob es andere Konﬁgurationen gibt, bei der die vier Teildreiecke wenigstens hinsichtlich einer metrischen Gr¨oße gleich sind.\nEine Konﬁguration heißt µ-isometrisch, wenn die vier Teildreiecke bez. der\nmetrischen Gr¨oße µ denselben Wert haben. Eine von der Mittenkonﬁguration verschie- dene µ-isometrische Konﬁguration nennen wir eine nicht-triviale µ-isometrische Konﬁ- guration.\nWir werden sehen, dass µ-isometrische Konﬁgurationen sehr seltene Exemplare sind, dass es f¨ur etliche metrische Gr¨oßen µ außer der Mittenkonﬁguration gar keine weiteren gibt. Um so erfreulicher ist es, dass es hinsichtlich des Umkreisradius r tats¨achlich solche r - isometrischen Konﬁgurationen gibt. Um ein Beispiel f¨ur ein solches Dreieck zu konstruie- ren, nehme man als Ausgangsdreieck ein gleichseitiges Dreieck ABC. Auf den Seiten dieses Dreiecks verteile man die Punkte X, Y und Z so, dass die Seiten a, b und c im Uhr- zeigersinn alle im gleichen Verh¨altnis geteilt werden (vgl. Fig. 4). Man sieht dann leicht, dass die drei entstandenen Eckdreiecke untereinander kongruent sind, da sie in zwei Sei- ten und dem eingeschlossenen 60 ◦ -Winkel ubereinstimmen.¨ Demnach sind jedenfalls die Umkreise der drei Eckdreiecke gleich. Die Kongruenz der drei Eckdreiecke f¨uhrt aber auch dazu, dass das Innendreieck gleichseitig ist. Demnach sind die Winkel bei A und bei X beide 60 ◦ groß. Diese Winkel sind aber beide Peripheriewinkel uber¨ derselben Sehne Y Z . Als gleich große Peripheriewinkel m¨ussen sie zum selben Kreis geh¨oren, woraus so- fort folgt, dass die Umkreise von A und E gleich sind. Die Konﬁguration ist demnach r -isometrisch und liefert nat¨urlich auch nicht-triviale L¨osungen. In der Mittenkonﬁguration werden die Dreiecksseiten a, b und c in jeweils gleich große Abschnitte geteilt. Drei solcher Abschnitte, von denen je zwei keinen gemeinsamen Punkt\nhaben, nennt man alternierende Abschnitte. Das eben konstruierte Beispiel einer isometri- schen Konﬁguration zeigt, dass hier die Eckpunkte X, Y und Z in alternierenden Abschnit- ten liegen. Der folgende Satz verallgemeinert diese Beobachtung f¨ur monotone metrische Gr¨oßen.\nSatz 1 Ist µ eine monotone metrische Dreiecksgroße,¨ so mussen¨ bei einer µ-isometri-\nschen Konﬁguration die Eckpunkte X, Y und Z des Innendreiecks E\nAbschnitten von liegen. Bei einer nicht-trivialen isometrischen Konﬁguration kann kei- ner der Punkte X, Y und Z Seitenmittelpunkt zu sein.\nBeweis. L¨age einer der Eckpunkte von E (o.B.d.A. sei dies X) auf einer Seitenmitte und ein anderer nicht (hier Y ), so l¨age C M b M a innerhalb von CY X, d.h. µ(C M b M a ) w¨are kleiner als µ(CY X). Andererseits w¨are entweder µ(AZY ) oder µ(BXZ ) wegen der Mo- notonie kleiner als der µ-Wert des entsprechenden Eckdreiecks der Mittenkonﬁguration (hier o.B.d.A. BXZ ). Die µ-Werte von C und B k¨onnten also nicht gleich sein, da zwischen ihnen der µ-Wert der Mittenkonﬁguration l¨age. Aus X = M a w¨urde also sofort folgen, dass E das Mittendreieck sein m¨usste. L¨age X sogar innerhalb der Strecke M a B, so w¨urde mit demselben Argument folgen, dass die µ-Werte zweier Eckdreiecke nicht ubereinstimmen¨ k¨onnten, da sie vom µ-Wert der Mittenkonﬁguration getrennt w¨urden. Ist also eine isometrische Konﬁguration verschieden von der Mittenkonﬁguration, so m¨ussen die Eckpunkte X, Y und Z echt innerhalb von alternierenden Abschnitten liegen.\nAngemerkt sei noch, dass der Satz 1 in Verbindung mit dem Satz von Ceva sofort zu der nachstehenden Erg¨anzung f¨uhrt, da bei einer Ceva-Konﬁguration die Produkte der alternie- renden Abschnitte gleich sein m¨ussen. Bei einer isometrischen Konﬁguration besteht aber die eine Gruppe alternierender Abschnitte immer aus den l¨angeren Teilst¨ucken der Seite.\nKorollar zu Satz 1\nDie Mittenkonﬁguration ist fur¨\ndie einzige µ-\nIm nachfolgenden Abschnitt werden wir sehen, dass die Existenz von minimalen Konﬁ- gurationen sehr eng mit der Existenz von nicht-trivialen isometrischen Konﬁgurationen verkn¨upft ist.\nDer Hauptsatz uber¨\nZun¨achst ben¨otigen wir einen Satz uber¨ das Mittendreieck, der gewissermaßen ein hinrei- chendes Kriterium f¨ur das Mittendreieck liefert. Sp¨ater werden wir ubrigens¨ sehen, dass aus der L¨osung der Kazarinoff-Vermutung weitere hinreichende Kriterien f¨ur das Mitten- dreieck gewissermaßen als Nebenprodukte abfallen.\nDie Mittenkonﬁguration ist die\nSatz 2 (Hinreichendes Kriterium f¨ur das Mittendreieck)\neinzige Konﬁguration, bei der die Eckdreiecke zu gleichsinnig-ahnlich¨\nBeweis. Wegen der Ahnlichkeit der Eckdreiecke ist sofort klar, dass in Fig. 6 alle α-Winkel\nin den Eckdreiecken ubereinstimmen¨ m¨ussen. Dasselbe gilt nat¨urlich f¨ur die β- und γ - Winkel in den Eckdreiecken. F¨ur das Innendreieck bleiben dann als Erg¨anzung auf 180 ◦ jeweils nur ein α-, ein β- und ein γ -Winkel, d.h. E ist ebenfalls zu ahnlich.¨ Da das Innendreieck aber mit jedem Eckdreieck eine gemeinsame Seite hat, sind die vier Teil- dreiecke sogar kongruent zueinander. Dann m¨ussen aber auch die Teilst¨ucke C X und X B\ngleich sein, d.h. E ist das Mittendreieck.\nEs folgt nun der\nHauptsatz uber¨ minimale Konﬁgurationen Es sei µ eine monotone metrische Dreiecks- große.¨ Es kann nur dann eine µ-minimale Konﬁguration geben, wenn es auch eine nicht- triviale µ-isometrische Konﬁguration gibt.\nBeweis. Es sei also angenommen, dass E in der Fig. 7 ein Innendreieck einer µ-mini- malen Konﬁguration ist. Dann kann E nat¨urlich kein Mittendreieck sein. Nach Satz 2 ist dann mindestens eines der drei Eckdreiecke nicht zu ahnlich.¨ Es sei dies o.B.d.A. A . Daraus folgt weiter, dass dann entweder β kleiner als β 1 oder γ kleiner als γ 1 sein muss. Wir nehmen wiederum o.B.d.A. an, dass β<β 1 ist.\ndrehe man die Seite AB um den Punkt Z im mathematisch positiven Sinn. Der Punkt A wandert bei dieser Drehung auf der Verl¨angerung von C A, der Punkt B wandert ent-\nNun wird eine monoton wachsende Folge von Winkeln β 1 ,β 2 ,β 3 ,\nsprechend auf der Seite BC. Durch diese Drehung ist das Eckdreieck A relativ zu E\nvergr¨oßert worden, wohingegen B\nliegt komplett innerhalb des alten B , d.h. der µ-Wert wurde verkleinert. Die Drehung\nsoll allerdings nur so weit gehen, bis µ( B ) = µ( E ) ist.\nNun f¨uhrt man die entsprechende Drehung mit der Seite BC um den Punkt X herum aus.\nrelativ verkleinert wurde. Das neue Eckdreieck\nDer µ-Wert von C wird mit dem von E in Ubereinstimmung gebracht. Bei diesem Prozess vergr¨oßert sich nat¨urlich wieder µ( B ). Im dritten Schritt wird nun die Drehung von C A um Y im selben Sinne durchgef¨uhrt. Nach diesen drei Drehungen gilt\nµ( A ) = µ( E ),\nµ( B ) > µ( E ),\nµ( C ) > µ( E ).\nAus dem Winkel β 1 ist allerdings ein gr¨oßerer Winkel β 2 geworden.\nDa B nun wieder gr¨oßer als E ist, k¨onnen wir den Prozess fortsetzen, um zu einem Winkel β 3 zu gelangen. Insgesamt erzeugen wir so eine streng monoton steigende Folge von Winkeln\nβ<β 1 < β 2 < β 3 <\nam Punkt Z . Diese Folge ist aber nach oben beschr¨ankt, denn der β-Winkel bei Z kann nie\nWinkel von E bei Z ist. Als monoton wach-\ngr¨oßer als 180 ◦ − γ E werden, wobei γ E der\nsende und nach oben beschr¨ankte Folge muss die Folge der β-Winkel einen Grenzwert haben. Beim Erreichen dieses Grenzwertes kann eine Fortsetzung des Drehprozesses nicht mehr m¨oglich sein, da man ansonsten den β-Winkel weiter vergr¨oßern k¨onnte. Wenn der Drehprozess zum Stillstand kommt, kann das nur bedeuten, dass alle drei Eckdreiecke im µ-Wert mit E ubereinstimmen,¨ also auch untereinander ubereinstimmen.¨ Wir haben also eine µ-isometrische Konﬁguration erzeugt. Da aber mindestens das Eckdreieck A wegen des β-Winkels nicht zu ahnlich¨ ist, kann diese Konﬁguration nicht die Mittenkonﬁgura- tion sein, d.h. wir haben sogar eine nicht-triviale µ-isometrische Konﬁguration erzeugt.\nAnmerkungen zur Beweistechnik\nF¨ur die monotonen metrischen Dreiecksgr¨oßen F, U und ρ soll nun das Kazarinoff- Problem dadurch gel¨ost werden, dass wir die Existenz von nicht-trivialen isometrischen Konﬁgurationen untersuchen. Die Methode in diesen Beweisen ist sehr einheitlich und\nl¨asst sich vermutlich auf andere monotone metrische Dreiecksgr¨oßen, die hier nicht un-\nBei aller Ahnlichkeit der Beweise verlangt allerdings jede\nmetrische Gr¨oße noch ihre eigene zus¨atzliche Idee.\nAlle Beweise werden indirekt gef¨uhrt, d.h. wir nehmen jeweils an, dass es eine entspre- chende nicht-triviale µ-isometrische Konﬁguration gibt und f¨uhren dies zum Widerspruch.\nWir k¨onnen also nach Satz 1 jeweils annehmen, dass keiner der Punkte X, Y und Z auf einer Seitenmitte von liegt. Da diese Punkte obendrein in alternierenden Abschnitten liegen m¨ussen, kann man ferner annehmen, dass die im mathematisch positiven Sinne ersten Abschnitte die jeweils gr¨oßeren sind. Da demnach die Punkte X, Y und Z jenseits der Seitenmitte liegen, legen wir folgende Abk¨urzungen fest, die in allen Beweisen zur Anwendung kommen:\ntersucht werden, ubertragen.¨\na 1 = 1 2\na 2 = 1 2 − a ∗ · a,\n2 − b ∗ · b,\n2 − c ∗ · c.\nc ∗ ·\nMan beachte, dass die Sterngr¨oßen hierbei alle positiv sein m¨ussen. Die Verwendung die- ser Sterngr¨oßen wird sich als der entscheidende Schl¨ussel f¨ur die Herleitung des Wider- spruchs zeigen.\nWir beginnen mit der metrischen Dreiecksgr¨oße F f¨ur den Fl¨acheninhalt, da hier der Be- weis recht kurz ausf¨allt und dennoch die grunds¨atzliche Beweistechnik deutlich wird. Wir l¨osen diesen Fall f¨ur das allgemeine Dreieck, obgleich es wegen der Fl¨achenverh¨alt- nistreue der afﬁnen Abbildungen gen¨ugen w¨urde, diesen Fall f¨ur gleichseitige Dreiecke zu behandeln. Der Gewinn hinsichtlich der K¨urze des Beweises w¨are allerdings nur mi- nimal, daf¨ur w¨urde aber die Vergleichbarkeit der Beweisf¨uhrungen f¨ur die nachfolgenden S¨atze verloren gehen. Gerade dieser Aspekt ist aber wichtig, da die Beweise der weiteren F¨alle besser nachvollziehbar sind, wenn man an diesem einfachen Fall die Struktur des Beweisaufbaus erkennt.\nEs gibt keine nicht-triviale F-isometrische Konﬁguration, also auch keine F-\nBeweis. Aus der allgemeinen Konﬁgurationsﬁgur (Fig. 1) entnimmt man sofort die Glei- chung\nF A + F B + F C + F E = F.\nBei einer F-isometrischen Konﬁguration muss also jedes der Teildreiecke ein Viertel der Gesamtﬂ¨ache ausmachen. Wie ublich¨ sei nun mit α der Innenwinkel von bei A gemeint. Da A ein Viertel der Fl¨ache von hat, ergibt sich mit der ublichen¨ Fl¨achenformel f¨ur das Dreieck:\n⇐⇒ 2 − b ∗ · 1 2 + c ∗ =\n2 − b ∗ · b · 2 + c ∗ · c · sin α =\n2 · b · c · sin α\n4 ⇐⇒ ( 1 − 2 b ∗ ) · (1 + 2c ∗ ) = 1.\nMultipliziert man die Klammern aus, so ergibt sich die Beziehung:\n⇐⇒ − 2 b ∗ + 2c ∗ = 4b ∗ c ∗ ⇐⇒ − b ∗ + c ∗ = 2b ∗ c ∗\nDa f¨ur die beiden anderen Eckdreiecke dieselben Bedingungen herrschen, braucht man nur eine zyklische Vertauschung der Variablen vorzunehmen, um die entsprechenden Be- ziehungen f¨ur die beiden anderen Eckdreiecke zu erhalten:\n−a ∗ +\n2c ∗ a\n= = 2a ∗ b ∗\n( B ), ( C ).\nAddiert man die drei Gleichungen, so ergibt sich\n0 = 2(b ∗ c ∗ + c ∗ a ∗ + a ∗ b ∗ ).\nDiese Gleichung muss falsch sein, da alle Sterngr¨oßen positiv sind. Damit ist die An- nahme der Existenz einer nicht-trivialen F-isometrischen Konﬁguration zum Widerspruch\nNebenbei sei darauf hingewiesen, dass man den Satz 3 auch als hinreichendes Kriterium f¨ur das Mittendreieck interpretieren kann. Aus der Fl¨achengleichheit der Teildreiecke, sogar schon der Eckdreiecke, folgt, dass die Konﬁguration die Mittenkonﬁguration sein muss. Eine entsprechende Interpretation ist nat¨urlich auch f¨ur die folgenden S¨atze m¨og- lich.\nU -minimale Konﬁgurationen\nDer n¨achste Satz l¨ost das urspr¨unglich von Kazarinoff formulierte Problem f¨ur den Um- fang U der Teildreiecke. Im Beweis tritt hier an die Stelle der Fl¨achenformel der Kosi- nussatz der Trigonometrie. Allerdings sind die notwendigen Termumformungen erheblich aufw¨andiger und weniger naheliegend als beim Fall der Fl¨achen.\nEs gibt keine nicht-triviale U-isometrische Konﬁguration, also auch keine U-\nBeweis. Wir nehmen wiederum die Existenz einer nicht-trivialen U -isometrischen Konﬁ- guration an. Aus der allgemeinen Konﬁgurationsﬁgur (Fig. 1) entnimmt man zun¨achst die Gleichung\nU A + U B + U C = U + U E .\nErsetzt man alle Teilumf¨ange durch U ∗ , so erh¨alt man\n2U ∗ = U.\nBei einer U -isometrischen Konﬁguration muss also jedes der Teildreiecke die H¨alfte des Umfangs von ausmachen.\nNun formen wir den Kosinussatz zu einer Formel f¨ur den Umfang von um, die dann an die Stelle der Fl¨achenformel im vorigen Beweis tritt.\n2 bc cos α + 2 bc = b 2 + 2bc + c 2 − a 2\n2 bc ( 1 +\n= ( b + c ) 2 − a 2 = (b + c − a)(b + c + a)\n2 bc ( 1 + cos α) = ( b + c − a ) U .\nF¨ur die Klammer der rechten Seite ergibt sich mit der ublichen¨ halben Dreiecksumfang\n= 2s − 2a = 2(s − a).\nSetzt man dies in der Zeile (3) ein, so erh¨alt man\n= bc(1 + cos α) s − a\nBezeichnung s f¨ur den\nDa das Eckdreieck A den halben Umfang von hat, liefert diese Formel die Gleichung\n2 − b ∗ ) · b · ( 2\n+ c ∗ ) · c · (1 +\nbc(1 + cos α)\n2 s − a\n⇐⇒ 1 2 − b ∗ · 1\n+ c ∗ =\n− x s − a\nBeidseitige Multiplikation mit 4 f¨uhrt zu\n(1 − 2b ∗ )(1 + 2c ∗ ) = s s − − 2x a\nDamit sind wir an einer Stelle angelangt, die der Zeile (1) im vorigen Beweis entspricht. Im Term der rechten Seite muss allerdings noch die Seitenl¨ange x des Innendreiecks eliminiert werden. Es gilt\ns − 2x\ns − 2(U E − b 2 − c 1 ) = s − 2 s − 1 2 − b ∗ b − 1 2 + c ∗ c\n= −s + b − 2b ∗ b + c + 2c ∗ c = s − a − 2b ∗ b + 2c ∗ c .\nSetzt man dies in (4) ein und l¨ost gleichzeitig die Klammern der linken Seite von (4) auf, so erh¨alt man\n1 − 2b ∗ + 2c ∗ − 4b ∗ c ∗ = 1 − 2b ∗ b − 2c ∗ c s − a\n− 2 b ∗ (s − a) + 2c ∗ (s − a) − 4b ∗ c ∗ (s\n−2b ∗ b + 2c ∗ c\nb ∗ (−s + a + b) − c ∗ (−s + a\n+ c) = 2b ∗ c ∗ (s − a)\nb ∗ (s − c) − c ∗ (s − b) = 2b ∗ c ∗ (s − a).\nErweitern wir diese Gleichung noch beidseitig mit a ∗ , so erhalten wir damit ein Analogon zur Zeile (2) im vorigen Beweis\n⇐⇒ a ∗ b ∗ (s − c) − a ∗ c ∗ (s − b) = 2a ∗ b ∗ c ∗ (s\nDurch zyklische Vertauschung der Variablen ergeben sich wiederum die entsprechenden Gleichungen f¨ur die beiden anderen Eckdreiecke:\nb ∗ c ∗ (s − a) − b ∗ a ∗ (s − c)\nc ∗ a ∗ (s − b) − c ∗ b ∗ (s − a)\n= 2a ∗ b ∗ c ∗ (s − b)\n= 2a ∗ b ∗ c ∗ (s − c)\nDie Addition der drei Gleichungen liefert wieder den gesuchten Widerspruch\n0 = 2a ∗ b ∗ c ∗ (s − a + s − b + s − c),\ndenn alle Faktoren der rechten Seite sind positiv. Damit ist die Nichtexistenz von U -\nminimalen Konﬁgurationen nachgewiesen.\nAnmerkungen zur Beweisstruktur\nIm Vergleich zum Fl¨achenproblem sind die beim Umfangsproblem durchgef¨uhrten Term- umformungen recht aufw¨andig. Die Beweisstruktur ist allerdings in beiden F¨allen v¨ollig vergleichbar. Man kann folgende sechs Beweisschritte erkennen:\n1. Feststellen des Verh¨altnisses µ( A )/µ( ) bei µ-Isometrie\n2. Anwendung einer Formel f¨ur µ auf und A\n3. Herleitung einer Beziehung der Sterngr¨oßen f¨ur das Eckdreieck A\n4. Zyklische Erg¨anzung der entsprechenden Beziehungen f¨ur B und C\n5. Addition dieser drei Beziehungen\n6. Widerspruch zur Lage der Eckpunkte X , Y und Z in einer nicht-trivialen isometri- schen Konﬁguration\nGenau diese sechs Beweisschritte werden auch im n¨achsten Fall durchgef¨uhrt werden, wobei sich dort aber herausstellt, dass bei den Radien der Inkreise der erste Beweisschritt der aufw¨andigste Schritt ist, w¨ahrend er sich in den beiden schon behandelten F¨allen sofort aus der Anschauung (Fig. 1) ergab.\nDie Durchf¨uhrung des ersten Beweisschrittes wird der Ubersichtlichkeit halber auf drei Hilfss¨atze verteilt. Bei den Beweisen dieser Hilfss¨atze kommt schon die Formel zum Ein- satz, die auch die Grundlage f¨ur den zweiten Beweisschritt darstellt. Es handelt sich dies- mal um die Formel, die den Zusammenhang zwischen Fl¨ache, Umfang und Inkreisradius beschreibt:\nF = ρ · s.\nSie ergibt sich bekanntlich aus Fig. 10, wenn man die Fl¨ache von ABC als Summe der Teilﬂ¨achen ABM, BCM und CAM ausdr¨uckt.\nIn einer Konﬁguration (Fig. 1) wird diese Formel zu\nF A + F B + F C + F E = ρ · s .\nIn einer ρ-isometrischen Konﬁguration mit dem gemeinsamen Inkreisradius ρ ∗ kann man die Teilﬂ¨achen der linken Seite derselben Formel entsprechend ersetzen:\nρ ∗ s A + ρ ∗ s B + ρ ∗ s C + ρ ∗ s E = ρ · s .\nAus der Summenformel der Umf¨ange in einer Konﬁguration\nU A + U B + U C = U + U E\nergibt sich die analoge Formel f¨ur die halben Umf¨ange, so dass (6) zu\nρ ∗ (s + s E + s E ) = ρ · s\nwird. Daraus ergibt sich der erste Hilfssatz:\nρ ∗ gilt\nIn einer ρ-isometrischen Konﬁguration mit dem gemeinsamen Inkreisradius\n1 + 2s E\nDamit ist das Verh¨altnis der Inkreisradien in einer ρ-isometrischen Konﬁguration in einer ersten Form beschrieben. Man kann es aber auch in anderer Form beschreiben:\n1 − s s E\nBeweis. In Fig. 11 erkennt man leicht, dass sich bei gleichen Inkreisradien in den Ecken A, B und C die schrafﬁerten Vierecke passend zu einem Dreieck ∗ zusammen schieben\nlassen. Dieses Dreieck hat dann den Inkreisradius ρ ∗ und ist ahnlich¨ zum Ausgangsdreieck\n. Wegen der Ahnlichkeit gilt dann die Verh¨altnisgleichung\nU ∗ .\nDer Umfang U ∗ setzt sich aber aus den Teilst¨ucken der Seiten a, b und c zusammen, die von den Ber¨uhrpunkten der Inkreise der Eckdreiecke begrenzt werden. Im Eckdreieck A (Fig. 12) gilt aber bekanntlich f¨ur die Strecken AP und AQ\nAP = AQ = s A − x =⇒ AP + AQ = 2 s A − 2x .\nAddiert man diese Summe f¨ur alle drei Eckdreiecke, so erh¨alt man den Umfang von ∗ :\nU ∗ = 2s A + 2s B + 2s C − 2x − 2y − 2z = U A + U B + U C − 2U E .\nMit der allgemeinen Summenformel f¨ur die Umf¨ange der Teildreiecke ergibt sich daraus\n∗ = U − U E .\nSetzt man dies in die Gleichung (7) ein, so erh¨alt man die Behauptung.\nMultipliziert man die beiden Formeln der Hilfss¨atze 1 und 2 beidseitig, so erh¨alt man\n= 1 + 2s E · 1 − s E\nRechnet man die Klammern aus, so ergibt sich leicht die Gleichung\nSetzt man dieses Ergebnis in die Gleichung des Hilfssatzes 2 ein, so folgt\nHilfssatz 3 ρ ∗ gilt\ns E = 1 2 s\n2 ρ .\nDamit ist der erste Beweisschritt beendet. Wir k¨onnen nun den folgenden Satz beweisen:\nEs gibt keine nicht-triviale ρ-isometrische Konﬁguration, also auch keine ρ-\nBeweis. Wie oben angek¨undigt, werden wir im zweiten Beweisschritt die Formel F = ρ · s verwenden, die wir nach ρ auﬂ¨osen. Mit Hilfssatz 3 ergibt sich dann f¨ur das Eckdreieck A :\n2 ρ ⇐⇒\n⇐⇒ 4 F A = 2s A\n· F .\ns A Nun kommen wieder die Sterngr¨oßen und die ubliche¨\nFl¨achenformel zum Zuge:\n4 · 2 −b ∗ ·b · 1\n2 +c ∗ · c · sin α = 2s A\nDie Auﬂ¨osung der Klammern f¨uhrt zu\n· b · c · sin α ⇐⇒ ( 1 − 2 b ∗ )·(1 +2c ∗ ) = 2s A s\n⇐⇒ − b ∗ + c ∗ = 2b ∗ c ∗ + s s\nNun wieder die zyklisch gebildeten Erg¨anzungen f¨ur die anderen Eckdreiecke:\n− a ∗ +\nb ∗ = 2a ∗ b ∗ + s C\nDie Addition im f¨unften Beweisschritt liefert\n= 2 · (b ∗ c ∗ + c ∗ a ∗ + a ∗ b ∗ ) + s A +\ns B + s C\nF¨ur den Restausdruck in dieser Gleichung gilt aber\ns A + s B + s C\nU A + U B + U C − 3s\nU + U E − 3s\nU E − s\n2s E − s\nDer Z¨ahler des letzten Bruchs ist aber nach dem Hilfssatz 3 gleich 0, so dass wir die Gleichung\n0 = 2 · (b ∗ c ∗ + c ∗ a ∗ + a ∗ b ∗ )\nerhalten. Diese liefert wieder den ublichen¨\nWiderspruch, da alle Sterngr¨oßen positiv sind.\nDamit ist also gezeigt, dass es f¨ur die metrischen Dreiecksgr¨oßen F, U , ρ keine minima- len Konﬁgurationen geben kann. Als wesentliches Hilfsmittel f¨ur die Beweise diente der Hauptsatz uber¨ die minimalen Konﬁgurationen. Die strukturelle Einheitlichkeit der mit dem Hauptsatz durchgef¨uhrten Beweise l¨asst erwarten, dass er auch f¨ur andere metrische Dreiecksgr¨oßen, die hier nicht untersucht wurden, hilfreich sein kann. Zu denken w¨are an Gr¨oßen wie\nρ a · ρ b · ρ c\nρ a + ρ b + ρ c ,\nwobei mit ρ a einer der drei Ankreisradien gemeint ist. Diese symmetrischen Terme treten bekanntlich in verschiedenen Formeln zur Dreiecksberechnung auf. Entscheidend f¨ur die Anwendung des Hauptsatzes ist aber immer die Frage, ob diese Gr¨oßen monoton sind. Bei abc ist dies beispielsweise nicht der Fall, und wie schon bei der nicht-monotonen Dreiecksgr¨oße r lassen sich auch hier durchaus abc-minimale Konﬁgurationen erzeugen. Ob hier ein allgemeinerer Zusammenhang zwischen der Monotonie der Messgr¨oße und der Existenz minimaler Konﬁgurationen besteht, ist mir bisher nicht bekannt. Zu denken w¨are aber an eine Vermutung der Art:\nµ als Funktion der Strecke\nA C in Fig. 3 ein lokales Minimum hat, existiert eine µ-minimale Konﬁguration.\nDem interessierten Leser bleibt also noch ein weites Feld zur Erforschung konkreter me-\nGenau dann, wenn die metrische Dreiecksgroße¨\ntrischer Dreiecksgr¨oßen, um zu einer m¨oglichen allgemeinen Aussage zu gelangen. Uber\nentsprechende Mitteilungen w¨urde ich mich freuen.\n Bapist, P.: Die Entwicklung der neueren Dreiecksgeometrie. Mannheim 1992.\n Donath, E.: Die merkw¨urdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks. Berlin 1968.\nKazarinoff, N.D.: Analytic Inequalities. New York 1961 (Nachdruck 2003).\nOgilvy, C.St.: Mathematische Leckerbissen.\nUber 150 noch ungel¨oste Probleme. Braunschweig 1969 (Ori-\nginalausgabe: Tomorrows Math. New York 1962).\nWittmann, E.Ch.: Elementargeometrie und Wirklichkeit. Braunschweig 1987.\nChristian Sch¨utz Sandberg 47 D–47809 Krefeld, Deutschland e-mail: sandberg47@t-online.de\nDokumente ähnlich wie EM-2006-061-004-04\nMathematische Logik (Osnabrück 2016) Gesamtskript\nCatherine Meusburger - Lineare Algebra 1 und 2 [Lecture notes] (2016) - libgen.lc.pdf


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Überraschung!!! | Otto & Diesel – Tagebuch zweier Hundeleben\nAbend, 19.15 Uhr – Frau und Kind sind noch bei Pflanzen Kölle, um unaufschiebbare Erledigungen wie den Verzehr der besten Rostbratwurst der Welt zu tätigen, als das Telefon klingelt. Eine inzwischen bekannte Stimme meldet sich: „Hallo Herr Schulz, ich komme gerade aus Polen, habe Otto im Auto und bin in ungefähr einer Stunde bei ihnen.“ Ich liebe Überraschungen, glaube mit meinem kindlichen Gemüt noch immer tief im Herzen an den Weihnachtsmann und seinen Kumpel Osterhasi, aber hier habe ich Mühe, den Hörer in der Hand zu halten. War da nicht die Rede vom Wochenende und erst einmal dort ansehen? Jetzt sind wir bei „heute“, „hier“ und „mitnehmen“.\nEine Sinuswelle der Gefühle packt mich. Oben steht die auf Vorfreude und Neugier, unten auf Panik. Die Anschläge wechseln im 3-Sekunden-Takt. Wir haben weder Hundefutter, noch Leine im Haus, geschweige denn irgendeinen Gedanken daran verschwendet, ob und wenn ja, wie wir den Hund abholen. Nun wird der frei Haus geliefert, keine reelle Chance, die Annahme noch zu verweigern. Aus der Nummer komme ich nur noch mit einem blitzsauberen Suizid oder aber die Katzen zerlegen den kleinen Kerl innerhalb der ersten Minuten. Was habe ich nur getan?\nVorheriger BeitragSchnauzer oder Terrier?Nächster Beitraggeteilte Freude …


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Atv Live Stream | Atv-Liveübertragung\nHier zeigen wir Ihnen, wie Sie ATV im Live-Stream empfangen und online anschauen können. Das komplette ATV-Programm per Live-Stream auf Ihrem Tablett oder Smartphone. Quad-Live-Stream: ATV legal und gratis ansehen Wie Sie ATV im Live Stream erhalten und im Internet anschauen können, erfahren Sie auf dieser Webseite. Wer zum Beispiel "Rizzoli & Isles" heute um 20:15 Uhr im Internet auf seinem Computer, Tablett oder Handy anschauen möchte, kann auf die ATV Mediathek oder diverse Provider von Internet-TV (mit Live-Streams von den Sendern) zugreifen.\nNachfolgend finden Sie alle Infos dazu im Aufsatz. Medienbibliothek: ATV-Sendung ausgelassen? Das ATV stellt seinen Betrachtern eine Medienbibliothek (ATV Mediathek) zur Verfügung. Alle Episoden als Stream verfügbar. Falls Ihr Empfänger oder Fernseher "ATV" nicht finden sollte, können Sie die Suche über die Frequenztabelle eingrenzen. In manchen Fällen können Kanäle auch über andere Sateliten oder in High Definition übertragen werden; wenn wir die erforderlichen Angaben haben, werden auch die entsprechenden Häufigkeiten in dieser Liste angezeigt.\nZusätzlich zu den Top-Serien, die wir Ihnen im Folgenden vorstellen, finden Sie Kinofilme und viele Reality-TV-Formate wie "Bauer sucht Frau" oder " Jugendlich werden Müller ". Sie können die Programme auch in der ATV Mediathek anschauen, alle Informationen dazu finden Sie oben im Aufsatz.\nAV-Live-Stream - Online TV mit 3MobileTV\nAnschliessend mit 3MobileTV den ATV-Livestream einschalten. Mit seinen unterhaltsamen Dokumentarfilmen, Shows, Reihen und Spielfilmen ist der Kanal auch bei unseren 3MobileTV-Kunden sehr gefragt. Liebhaber von Dokumentarseifen werden das ATV-Programm zu schätzen wissen! Das ATV scores here with own productions like Bauer sucht Frau, das Geschäft mit der Liebe, die Firma am Aufbau und Wachzimmer Ottakring.\nBesonders bei Bauers Suche kann ATV seine Betrachter anregen. Seit 2005 wird das Angebot für die ganze Familie umgesetzt. Darüber hinaus stellt ATV seinen Zuschauern tägliche News (ATV Aktuell) und ein tägliches Sportnachrichtenprogramm (ATV Sport) zur Verfügung. Der ATV hat auch außerhalb der Doku-Soaps viel zu tun.\nUnter ihnen sind Serien-Hits wie Two and a Half Men, 2 Broke Girls und wahre Classics wie King of Queens, Gilmore Girls und Eine schrecklich nicte Fam. Vom Komödien für die ganze Famile bis hin zu spannenden Action-Thrillern. Bestes Entertainment ist auf ATV gewährleistet. Die 3MobileTV App: Fernseher für Unterwegs.\nDas 3MobileTV Programm bringt die ganze Fernsehwelt auf Ihr Handys. Zusätzlich zum Zugang zu über 100 hochwertigen TV- und Radiosendern verfügt die Applikation über viele nützliche zusätzliche Funktionen. Das 3MobileTV Programm ist im Google Play Store und im Apple Store zu haben.\nPay-TV Sky Free