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Kurse | School of Love Berlin, Mentoring für Liebesaktivisten\nLive-Online-Kurs mit Elke und Sven *Kostenlos!\nRollenverständnis & Kompetenzhierarchien\nWir haben die Lockdown-Abende mit euch lieben gelernt, darum wollen wir euch diese 3 Abende als Kurs schenken!\nWir haben lange gebraucht zu verstehen, dass viele unserer Konflikte und manchmal unerbittlichen Kämpfe daher rührten, dass wir uns nicht bewusst waren, welche Rollen wir in der Ehe oder Partnerschaft haben.\nJeder machte irgendwie, was gerade anstand, wir hatten beide immer gefühlt den Hut auf, es gab keine klare Kommunikation, was Verantwortungen anging, und wir lavierten zwischen unausgesprochenen Erwartungen, Annahmen und Ansprüchen.\nAls wir uns näher mit dem Thema der Rollen und Verantwortung auseinandersetzten, ging uns nach und nach ein Licht auf. Hier lag die Lösung vieler unserer Probleme und wenn wir mit anderen Paaren darüber sprechen, geht es den meisten genauso wie uns: Wir hatten keine Ahnung.\nDamit diese Ahnungslosigkeit, die uns so viele unnötigen Konflikte kostet, endlich ein Ende hat, haben wir auf Nachfrage diesen Live Kurs zu diesem Thema entwickelt.\nAn 3 Abenden werden wir live in der Gruppe alle Aspekte zum Thema Rollen erhellen. Mit Zeit für Aufgaben und Gesprächen für euch als Paar, so dass ihr nach jedem Abend schon mit mehr Klarheit und jeder Menge Erkenntnisse herausgeht.\nZeit: Immer um 20.30 -21.30 Uhr, die nächsten Abende kommen bald.\nKosten: Geschenkt, weil wir an euch glauben.\nWas haben wir davon? Manche Paare kommen in unsere Masterclass.\nTeilnehmer: Max. 30 Paare. Einfach den Newsletter bestellen. Link kommt.\nWenn ihr endlich das Gefühl haben wollt, dass eure Arbeit in der Partnerschaft und Familie gesehen, anerkannt und wertgeschätzt wird.\nWenn ihr euch (vor allem als junge Mütter) überlastet und ungesehen fühlt.\nWenn ihr lernen wollt, endlich mehr Kontrolle abzugeben.\nWenn ihr noch unter den Rollenerwartungen und Einfluss eurer Familien leidet.\nWenn ihr endlich Klarheit darüber wollt, wer welche Aufgabe übernimmt, und ihr auch beruflich Klarheit und Unterstützung braucht.\nWenn ihr das Gefühl haben wollt, dass der andere seine Rolle verlässlich ausfüllt und keiner die Autorität des anderen untergräbt.\nWenn ihr euren Kindern gute Rollenvorbilder sein wollt.\nUnd wenn ihr endlich zusammen weiterkommen wollt, statt ständig über das Gleiche zu streiten.\nIn unserem Kurs lernt ihr:\nEuch von mitgebrachten Familienrollen zu lösen und unausgesprochene Rollenerwartungen ans Licht zu bringen.\nEigene Rollen und gesunde Kompetenzhierarchien zu finden, wer für was wie lange den Hut aufhat, wie man leitet und unterstützt und sich nicht gegenseitig reinredet.\nWelche Geschlechterrollen Mann & Frau von Natur aus haben und welche nicht.\nWie der persönliche Rollenwechsel besser funktioniert, z.B. von Businessfrau zu Mutter und Partnerin, oder von Versorger zu Umwerber und Begehrer der eigenen Frau.\nWie ihr ein gutes Team werdet, ein Paar, das nichts zwischen sich lässt und bei bester Unterschiedlichkeit immer stark zusammen ist.\nWir arbeiten mit euch positiv, praktisch und transformativ. Das heisst, ihr spürt und bemerkt sehr schnell gute Veränderungen bei euch nach jedem Abend.


Die Parfumherstellung gilt als hohe Kunst, bei der pflanzliche, tierische und chemische Aromen zu einem vielschichtigen Duft gemischt werden, der im Idealfall den Charakter seines Trägers optimal unterstreicht. Um Parfums wie Chanel N°5 ranken sich Legenden und es scheint unmöglich ein solches Gesamtkunstwerk selbst herzustellen. Tatsächlich ist es für den Laien kaum möglich an ausgefallene Aromen zu gelangen. Doch auch mit ätherischen Ölen allein lassen sich individuelle Parfums selber machen, die durch ihre Einzigartigkeit bestechen.\nEin einzigartiges Parfum selbst machen ist leichter als gedacht.\nBevor Sie beginnen Parfum selber zu machen, sollten Sie sich intensiv mit ätherischen Ölen beschäftigen, um einen Überblick über die kaum überschaubare Auswahl zu bekommen. Hochwertige ätherische Öle erhalten Sie in Apotheken, Reformhäusern und Fachgeschäften für Naturkosmetik.\nBesonders harmonisch wirkt Ihr Parfum, wenn Sie bei der Auswahl der ätherischen Öle bestimmten Duftfamilien treu bleiben: zitronig (z.B. Zitrone, Grapefruit, Limette, Orange), orientalisch (z.B. Gewürze, Zimt, Weihrauch, Vanille), blumig (z.B. Rose, Maiglöckchen, Veilchen).\nÜberlegen Sie sich, welche Wirkung Ihr Parfum erzielen soll. Zitronige Düfte sind leicht und dynamisch, orientalische dagegen schwer und sinnlich, während blumige Düfte mädchenhaft und verspielt wirken können. Die Kombinationsmöglichkeiten sind unbeschränkt, beachten sollten Sie allerdings die hohen Preise der ätherischen Öle.\nWenn Sie ein bestimmtes Aroma besonders lieben, spricht nichts dagegen nur ein ätherisches Öl zu verwenden, um Parfum selber zu machen. Raffinierter wird es mit mindestens drei verschiedenen Ölen, die als Kopf-, Herz- und Basisnote den Duft abrunden. Der Basisnote kommt der größte Anteil ätherischer Öle zu.\nFür ein Eau de Toilette mischen Sie etwa 10% ätherische Öle mit 90% kosmetischem Basiswasser oder hochprozentigem Alkohol aus der Apotheke. Für 30 ml Eau de Toilette benötigen Sie also 3 ml ätherisches Öl. Für ein Parfum nehmen Sie die doppelte Menge Öl auf die gleiche Menge Alkohol. Mischung in einen Parfumflakon abfüllen, gut schütteln und innerhalb weniger Monate aufbrauchen.\nEin Parfum umhüllt einen mit einer ganz besonderen Note. Es kann Sinnlichkeit, Jugend …\nWenn Sie sich unsicher bei der Kombination verschiedener ätherischer Öle oder unzufrieden mit Ihrem Duftergebnis sind, nutzen Sie das große Angebot an Literatur zur Parfumherstellung. Darin enthalten sind immer auch bewährte Parfumrezepte, die für Anfänger leicht nachzumachen sind.


57-Jähriger wird bei Unfall auf Autobahn leicht verletzt\nBei einem Unfall auf der Autobahn 8 bei Hohenstadt wurde ein Mann leicht verletzt. (Foto: Weihrauch)\nEin 57-jähriger Autofahrer ist am Montagmorgen bei einem Unfall bei Hohenstadt leicht verletzt worden. Gegen 6.30 Uhr fuhr ein Lastwagen auf der Autobahn 8 in Richtung Stuttgart. Zwischen den Anschlussstellen Merklingen und Hohenstadt wechselte der Fahrer laut Polizei auf den linken Fahrstreifen. Dort war ein 57-Jähriger in seinem Mercedes unterwegs. Der 62-jährige Lastwagenfahrer übersah laut Mitteilung der Polizei den Mercedes. Es kam zu einem Zusammenstoß. Dabei wurde der Autofahrer leicht verletzt. Rettungskräfte brachten den Mann in ein Krankenhaus. Das Auto war nicht mehr fahrbereit. Es wurde abgeschleppt. Den Sachschaden an beiden Fahrzeugen schätzt die Polizei auf insgesamt 8000 Euro.


L 1036: Sanierungsarbeiten der Fahrbahn im Brückenbereich bei Neuenstein (Landkreis Hohenlohe)\nVollsperrung von Montag, 19. Juli 2021, bis voraussichtlich Mittwoch, 21. Juli 2021\nDas Regierungspräsidium Stuttgart beginnt am Montag, 19. Juli 2021, um 7:30 Uhr mit Sanierungsarbeiten der L 1036 im Bereich zweier Brücken bei Neuenstein. Aufgrund von Rissen und Verdrückungen im Fahrbahnbereich wird der Fahrbahnbelag erneuert. Während der Arbeiten ist aus Gründen des Arbeitsschutzes und der Verkehrssicherheit eine Vollsperrung des Streckenabschnitts notwendig. Diese dauert voraussichtlich bis Mittwoch, 21. Juli 2021, an.\nAuf dem entsprechenden Streckenabschnitt ist die Geschwindigkeitsbegrenzung aufgrund der Fahrbahnschäden aktuell von 100 km/h auf 50 km/h reduziert. Um den Verkehr wieder ohne Einschränkungen freigeben zu können, werden bei den Arbeiten die abgenutzten Flächen ausgefräst und die Asphaltdeckschicht erneuert.\nDie ausgeschilderte Umleitung in Fahrtrichtung B 19 erfolgt über die L 1051 durch Neuenstein und über die K 2356 Hallerstraße. Anschließend gelangt der Verkehr wieder auf die L 1036. Die Umleitung in Gegenrichtung nach Öhringen erfolgt analog.\nDas Land investiert mit der Maßnahme rund 16.000 Euro in den Erhalt der Infrastruktur.


Startseite » Katze » KingKratzbaum - Kratzbäume nach Maß » King-Kratzbaum-Modelle\nKratzbaum-Modelle von KingKratzbaum.\nEgal ob individuell geplant oder einfach etwas abgeändert - Kratzbäume und Kratzbaum-Modelle von KingKratzbaum sind immer eine gute Wahl.\nKingKratzbaum steht ja für Individualität, Maßfertigung und persönlicher Beratung. Und daran soll sich auch in Zukunft nichts ändern. Um Ihre Phantasie etwas zu beflügeln haben wir weiter unten ein paar Modellvorschläge eingefügt.Hierbei handelt es sich um Modelle, die wir bereits für andere Kunden umgesetzt haben. Sie können jedes Kratzbaum-Modell frei bewegen und es sich so aus jeder Richtung anschauen.Nun ist der richtige Zeitpunkt um hier anzurufen. Wir planen dann ganz unverbindlich den neuen Kratzbaum. Weitere Infos finden Sie auch hier: Live-Planung.\nFür all diejenigen unter Ihnen, die es eilig haben oder einfach die Kreativ-Phase überspringen möchten haben wir ganz oben ein paar Fertig-Modelle eingefügt. Sie sind sofort verfügbar und können doch noch in alle Richtungen verändert werden.\nBitte wählen Plüschbezogen, 36 x 26 cm Sisalbezogen, 36 x 26 cm + 10,00 EUR Buche-Multiplex, 40 x 30 cm + 30,00 EUR\nBitte wählen Plüschbezogen Sisalbezogen + 10,00 EUR Buche-Multiplex und Vorwerk-Teppich + 36,00 EUR


Früher war nicht alles besser, aber das Sparverhalten der Oma eben doch!\nIch bilde mir ein bereits neulich betont zu haben, dass ich kein Fan davon bin, dass „früher alles besser“ war. Diese Meinung vertrete ich auch weiterhin. Trotzdem muss ich heute wieder einmal zum Rundumschlag ausholen, denn ganz ehrlich: WAS IST MIT EUREM SPARVERHALTEN PASSIERT???\nUnd nein, natürlich möchte ich hier nie eine Person persönlich kritisieren, aber wenn sich einer von euch dort draußen im Folgenden wiedererkennt, dann darf er sich gerne angesprochen fühlen! Mir scheint es, dass sich heutzutage gekauft wird, wonach gerade der Sinn steht. Schlicht weg nach Lust und Laune wird gekauft. Ob man sich das leisten kann? Wen juckt´s?? Schließlich lässt sich doch heutzutage eh alles finanzieren und zurückzahlen muss man manch einmal sogar schon weniger als man sich geliehen hat. Im Gegensatz dazu hat meine Oma mir immer gelehrt Dinge immer erst zu kaufen, wenn ich sie mir leisten kann. Direkt bar auf die Kralle des Verkäufers muss ich fähig sein das Geld aufzubringen. Keine fünffach um die Ecke gedachten Finanzierungen und „Finanzierungsmodelle für ein besseres Leben“ müssen dahinter stehen. Nein, früher wurde – zumindest in meiner Familie – gekauft, wenn das Geld dafür da war. Und eine Sache sage ich gleich, meine lieben Leser: Wenn jetzt einer um die Ecke kommt und sagt „Deine Großeltern haben bestimmt gut verdient – die konnten das ja so machen“, dann kann ich nur entgegnen „Stimmt bedingt!“, denn meine Großeltern waren sicherlich finanziell nicht schlecht gestellt, das für den eigenen Geldbeutel langfristig positive Kaufverhalten besaßen sie jedoch nicht aus diesem Grund, sondern aufgrund ihres Moneymindsets!\nOkay, gimme some more! „Zeiten haben sich geändert“, ja? Stimmt. Zeiten ändern sich immer. Wäre traurig, wenn nicht. Aber das ist doch keine Erklärung dafür, dass du dir dein Auto finanzieren, dein Zweitwagen leasen, eine Handyversicherung abschließen, für die neue Waschmaschine einen Privatkredit aufnehmen und für den Urlaub auf Ibiza Geld von deiner Oma leihen musst! NEIN! Geliehenes Geld für reinen Konsum macht keinen Sinn – es sei denn du möchtest langfristig finanziell abhängig werden. Lass mich dir mal erklären, warum dies so ist. Denn schließlich wirst du nun als Argument anbringen, dass häufig ja weniger Geld zurückgezahlt werden muss als sich geliehen wurde. Ja, aber es muss zurückgezahlt werden. Das heißt, dass der Zeitpunkt, an dem du das Geld blechen musst, lediglich auf der Zeitachse in die Zukunft geschoben wird. Das heißt jedoch noch lange nicht, dass du in Zukunft fähig sein wirst das Geld aufzubringen, das du jetzt nicht fähig bist aufzubringen! Stimmt´s? Stimmt. Keiner garantiert dir, dass du in einem Jahr 1000€ hast, um die Schulden bei deiner Bank abzubezahlen! Keiner garantiert dir das! Auf der anderen Seite gehst du aber sicher davon aus, denn schließlich leihst du dir das Geld ja aus und gibst es für eine Sache aus, die dir das Geld nie wieder einbringen wird. Futsch, weg ist es. Und ja, es ist geil Geld auszugeben für Konsum. Mega ist das! Eigenes Geld für den eigenen Konsum auszugeben, weil man weiß, dass man es sich verdient hat.\nUnd weißt du wie der Zeitpunkt definiert ist, bei dem du es dir verdient hast 1000€ auszugeben? Das ist genau der Moment, bei dem du auf deinem Girokonto 1000€ oder mehr als SALDO siehst. Und sonst NIE! Und das ist der Grund warum deine Oma eine bessere Investorin war als du es warst. Sie hat ihr Geld vielleicht nicht in Aktien, Rohstoffe, Immobilien et cetera investiert, wie man dies zu einem gewissen Teil tun sollte, aber sie hat immerhin diesen Moment abgewartet als sie die 1000€ auf ihrem Girokonto sehen konnte. Und DANN hat sie diese ausgegeben. Sie hat nicht nach fadenscheinigen Ausreden gesucht, wie „Ja ich arbeite ja auch so hart, da darf ich mir ja auch einmal etwas gönnen“ und damit gemeint, dass sie sich gleich das neue Phone per monatlichem 50€-Vertrag holen wird. Und ja, auch das ist Leben auf Pump! Teure Handys per Vertrag zu „kaufen“.\nAm Ende trifft sich alles dort oben in deinem Kopf wieder. Dort treffen sich all die Momente, in denen du dich entschieden hast das teurere Angebot, die teurere Dienstleistung zu wählen und mehr auszugeben als du besitzt, wieder und einer von ihnen wird sagen: „Naja also das haben wir ja jetzt schon immer so gemacht, also können wir das doch jetzt so weitermachen – nicht wahr?“ Und all die anderen Momente werden sagen: „Ja genau, da hast du Recht“. Und kein Moment wird existieren und sagen: „Nein wartet mal, wir könnten doch jetzt erst einmal Geld zur Seite legen, sodass wir nicht immer abhängig von den Rückzahlraten sind“. Kein Moment wird sagen: „Wenn wir jetzt das Geld sparen, trainieren wir uns damit Selbstdisziplin. Wir werden lernen nachhaltiger und vernünftiger mit Geld umzugehen. Wir werden es mehr bewusst genießen Geld auszugeben. Wir werden den wahren Wert der Dinge wieder mehr zu schätzen wissen.“. Keiner wird das sagen. Und du bist dafür verantwortlich, weil du in deinem Leben solche Momente nie kreiert hast. Du warst nicht der Schöpfer für dein Wunschleben!\nAber bitte, jedem das Seine sage ich immer. Was ich mir für diese Welt jedoch mehr wünsche, ist: Dass Menschen ehrlicher zu SICH SELBST sind. Dass Menschen einmal inne halten und sich fragen, was sie eigentlich wirklich wollen. Und dass Menschen nicht nach schnellen und einfachen Lösungen suchen. Ich wünsche mir, dass Menschen darauf vertrauen, dass sich langfristige Taten immer auszahlen. Das ist mein Wunschleben. Was ist Deines?\nP.S.: Sich Geld zu leihen ist generell nichts Verkehrtes. Jedes korrekt geführte Unternehmen tut dies. Aber immer nur dann, wenn es weiß, dass es dadurch einen „Return on Invest“ erhält, also mit hoher Wahrscheinlichkeit eine verbundene „Rückzahlung“ plus „Zinsen“ bekommt. Und jetzt mal ganz ehrlich: Glaubst du dein geleastes Auto zahlt dir mehr Geld zurück als das Zugticket?


Fanatic - Anna Day - Buch kaufen | Ex Libris\nquot;Eine geniale Idee, brillant umgesetzt. Ich muss "Fanatic" einfach jedem empfehlen! Louise O'NeillNur weil du e... Weiterlesen\nquot;Eine geniale Idee, brillant umgesetzt. Ich muss "Fanatic" einfach jedem empfehlen! Louise O'Neill\nNur weil du eine Geschichte liebst, musst du nicht für sie sterben! Violet liebt "Galgentanz". Sie liebt das Buch, sie liebt den Film, sie wäre gerne wie Hauptfigur Rose und an Willow, den männlichen Hauptdarsteller, hat sie ihr Herz verloren. Und plötzlich steckt sie mittendrin. In ihrer Lieblingsgeschichte! Doch nicht nur das - hier ist nichts so, wie sie es zu kennen glaubt. Denn Rose ist tot und Willow ist zwar attraktiv, aber der geheimnisvolle Ash ist viel interessanter. Jetzt muss Violet alles daran setzen, dass "Galgentanz" das richtige Ende findet. Wie soll sie sonst jemals in die Realität zurückkehren? Für alle, die schon immer in ihrer Lieblingsserie mitspielen wollten. //In genau einer Woche werde ich gehängt. Ich werde für meine Freunde, meine Familie und vor allem für die Liebe gehängt. Ein Gedanke, der überraschend wenig Trost spendet, wenn ich mir vorstelle, wie sich die Schlinge um meinen Hals zieht, meine Füße nach festem Boden suchen, meine Beine strampeln ... in der Luft tanzen. Heute Morgen war ich noch völlig ahnungslos. Heute Morgen war ich bei der Comic-Con, habe den Geruch von Hotdogs, Schweiß und Parfüm aufgesogen und die leuchtend bunten Kostüme, das Blitzlichtgewitter, die Basstrommeln und Geigen auf mich wirken lassen. Und gestern war ich noch in der Schule, war gestresst wegen eines blöden Englisch-Referats und habe mir gewünscht, in einer anderen Welt zu sein. Man sollte mit seinen Wünschen vorsichtig sein. Sie könnten in Erfüllung gehen. Und dann kann es wirklich ätzend werden.//\nViolet liebt »Galgentanz«. Sie liebt das Buch, sie liebt den Film, sie wäre gerne wie Hauptfigur Rose und an Willow, den männlichen Hauptdarsteller, hat sie ihr Herz verloren. Und plötzlich steckt sie mittendrin. In ihrer Lieblingsgeschichte! Doch nicht nur das - hier ist nichts so, wie sie es zu kennen glaubt. Denn Rose ist tot und Willow ist zwar attraktiv, aber der geheimnisvolle Ash ist viel interessanter. Jetzt muss Violet alles daran setzen, dass »Galgentanz« das richtige Ende findet. Wie soll sie sonst jemals in die Realität zurückkehren?\nquot;Das Buch ist sehr spannend, es gibt immer wieder Überraschungen", Badische Zeitung, Sophie Bürger, 14.08.2018\nHerausgeber: Carlsen Chicken House\nGröße: H211mm x B162mm x T48mm


ᐅ Hart wie Stahl - Der Werkstoff und seine Verwendung in der Automobilindustrie - www.mein-werkstattwagen.de\nZahnräder aus Stahl im Getriebe sind hohen Belastungen ausgesetzt und müssen entsprechend gehärtet werden Pexels / Pixabay\nDie metallische Legierung ist nicht nur beim Werkzeug im Werkstattwagen von großer Bedeutung. Stahl wird für die Herstellung verschiedener Motorteile und Karosseriebau verwendet. Die verbauten Stahlelemente sehen sich oft hohen Belastungen ausgesetzt. Durch Druck- und Zugkräfte, die beispielsweise in Federungen oder Bremsanlagen wirken, ist ein sehr hoher Härtegrad gefordert.\nDas Automobil wird in der Regel täglich genutzt und ist dadurch unterschiedlichen Witterungsbedingungen ausgesetzt. Dieser Faktor und der damit verbundene Verschleiß führen im ungünstigsten Fall zum Bruch. Automobilhersteller sind also dazu angehalten, Stahlteile so anzubringen, dass Sie vor Wettereinflüssen geschützt sind. Nur so kann eine langlebige Funktionsfähigkeit gewährleistet werden.\nWerden Stahlbauteile offen Witterungsbedingungen wie Regen oder hoher Luftfeuchtigkeit ausgesetzt, ist Korrosion die Folge. Rost macht sich breit und die gewünschte Funktionsfähigkeit kann massiv eingeschränkt werden. Auch ein chemischer Korrosionsschutz wirkt nur für eine begrenzte Dauer.\nWie kann Stahl bestmöglich für die Verwendung vorbereitet werden?\nUm den benannten Problemfaktoren entgegenzuwirken, wird der Stahl vor der Nutzung gehärtet. Hierbei wendet man hauptsächlich zwei unterschiedliche Verfahren an. Die chemische Härtung oder die elektronische Härtung (Induktionshärtung). Beide Verfahren verändern die Eigenschaften des Stahls und lassen sich individuell an das jeweilige Einsatzgebiet anpassen. Grundsätzlich wird der Stahl in beiden Verfahren erhitzt. Je nach Anforderung, erfolgt das Erhitzen in einem flüssigen Medium. Nach der Behandlung hat das Bauelement die Eigenschaft besonders zäh, biegsam oder spröde zu sein. Danach kann es für den bestimmten Verwendungszweck eingesetzt werden.\nWelche Verfahren zur Härtung von Stahl gibt es?\nDas Nitrieren ist eines der häufigsten Verfahren, die zur Härtung von Stahl genutzt werden. Hierbei wird der Stahl auf ca. 500°C erhitzt. Anschließend werden Stick- bzw. Kohlenstoff hinzugeführt. Der Stahl ändert dadurch seine Stoffeigenschaften und wird besonders hart.\nHäufig wird auch das Induktionshärten auf Stahl angewandt. Dieses Verfahren hat den Vorteil, dass auch partielle Bereiche gehärtet werden können. Der Stahl wird durch Induktionsstrom präzise erhitzt und im Anschluss mithilfe von Wasser abgeschreckt. Die Härterei Härtetechnik Hagen setzt seit Jahren auf dieses Verfahren.\nAls traditionsreiche Härterei hat sie sich auf die Wärmebehandlung von Stahl mittels des Induktionsverfahren spezialisiert und gilt als kompetenter Ansprechpartner.\nVorheriger Artikel Protecto – Gefahrstoffe sicher lagern\nNächster Artikel Auto für den Autoverkauf vorbereiten\nStartseite » Wissen » Hart wie Stahl – Der Werkstoff und seine Verwendung in der Automobilindustrie


Cupcakes and Nailpolish: Dshini\nKennt ihr schon Dshini?\nDshini ist eine Seite, auf der man Geld verdienen, für wohltätige Zwecke Geld sammeln und sich Produktwünsche erfüllen kann.\nDas ganze kostet nichts und läuft nach einem einfachen Prinzip. Mit verschiedenen Tätigkeiten auf der Seite, wie z.B. Spiele spielen, Videos anschauen oder auf Mitgliedsprofilen surfen, verdient man sog. "Dshins".\nDiese sammelt man auf einem Konto und können, bei entsprechendem "Kontostand" gegen Produkte oder Geld eingetauscht werden. Die Dshins können aber nur in bestimmten Shops eingelöst werden, dazu zählen u.a. Amazon, Zoeva, Douglas und einige mehr.\nDas ganze ist wirklich kostenslos, da Dshini sich durch Werbung finanziert.\nZu Dshini kommt ihr hier: Dshini\nIch bin schon eine ganze Zeit angemeldet und habe wie verrück Dshins gesammelt.\nMein 1. Wunsch wurde nun gerade erfüllt und kam bei mir an :)\nAusgesucht habe ich mir das "Mini Bamboo Pinselset" von Zoeva\nDas Set beinhaltet 5 Pinsel die echt wahnsinnig weich und fluffig sind! Genaueres kann ich leider noch nicht sagen, da es meine ersten Pinsel von Zoeva sind und ich sie noch nicht getestet habe.\nDabei war noch eine Pinseltasche aus Leinen. Finde ich super, da habe ich wenigstens alle Pinsel mal beisammen.\nGanz am Schluss will nun doch noch etwas Werbung machen.\nMit einem einfachen Klick auf den Link helft ihr, mich bei meinem nächsten Wunsch zu unterstützen.\nIch bin wirklich für jeden Klick sehr dankbar <3\nEingestellt von Gebäck um 09:30\nLabels: Dshini, Zoeva\nJess ♥ 22. Juni 2012 um 18:33\nHab mal für dich geklickt ;)\nBeim ersten Mal habe ich das Gel dünn aufgetragen, aber als ich mir dann meine Nägel nochmal komplett neu gemacht hab, habe ich es dick aufgetragen, sodass es unter der UV-Lampe leicht heiß geworden ist. Ich denke schon, dass ich die Spitzen richtig ummantelt habe.. Werde ich mal tun, danke für deinen Tipp ;)\neasy 23. Juni 2012 um 17:51\ntolles Set...bei Gelegenheit kannst du uns ja bereichten...wie gut die Pinsel so sind...lg,easy


Kostengünstige hohe Drücke messen - :K - Kompetenz für Konstrukteure\nKostengünstige hohe Drücke messen\nDünnschicht-Messzelle für automotive Anwendungen\nBild 1: Kostengünstige hohe Drücke messen\nDie von Sensor Technik Wiedemann neu vorgestellte Dünnschicht-Messzelle vom Typ OPTI ermöglicht die kostengünstige Messung hoher Drücke.\nDie Messzelle ist komplett in Edelstahl (1.4548) gefertigt und arbeitet ohne eine Ölfüllung. Dadurch ist die Messzelle äußerst robust und damit ideal sowohl für industrielle, als auch für automotive Anwendungen geeignet. Die Druckbereiche liegen in verschiedenen Abstufungen im Bereich von 50 bar bis 800 bar.\nDie Linearitätsabweichung der Messzelle liegt typ. bei nur 0,2% FS. Dabei sind Medientemperaturen im Bereich von -40 ... +150° zulässig. Standardmäßig ist die Messzelle für eine Isolationsspannung von 500 VDC ausgelegt.\nDer Anwender hat sowohl die Möglichkeit, die Messzelle für eigene Anwendungen ohne Vorsatzteil und elektrischer Kontaktierung zu beziehen, als auch die komplett aufgeschweißte und kontaktierte Messzelle problemlos in eigene Anwendungen zu integrieren.\nSondervarianten sind bei entsprechender Stückzahl kurzfristig und kostengünstig lieferbar. Auch für höhere Einsatztemperaturen oder höhere Druckbereiche stehen Sondervarianten in kundenspezifischen Ausführungen zur Verfügung.


„LET`S GET LOUD TOGETHER!“ – Ein Musik-Workshop für junge Geflüchtete – KulturLeben Berlin – Schlüssel zur Kultur e.V. – Deutsch\n„LET`S GET LOUD TOGETHER!“ – Ein Musik-Workshop für junge Geflüchtete\nVon August bis Oktober 2017 lädt KulturLeben Berlin junge Geflüchtete zur Teilnahme am Musikprojekt „Let`s get loud together!“ ein. Musik ist eine Sprache, die weltweit verstanden wird und über sprachliche Grenzen hinweg Brücken bauen kann.\nDie fünftägigen Percussion-Workshops finden in Einrichtungen der Flüchtlingshilfe statt und werden von dem professionellen syrischen Musiker Elias Aboud angeleitet. Teilnehmen können maximal 10 Personen pro Workshop. Musikalische Vorkenntnisse sind keine Voraussetzung.\nDie Projektbeschreibung mit allen Informationen zum Inhalt und zu den Teilnahmeformalitäten finden Sie hier in deutscher Version und in englischer Version. Unseren Flyer laden Sie hier herunter.


Kanonische Bewegungsgleichungen. Hamilton-Jacobische Integrationstheorie\nNächste Seite: Literatur Aufwärts: am_main Vorherige Seite: Anhang über Variationsrechnung Inhalt\nKanonischer Impuls. Kanonische Bewegungsgleichungen\nDie physikalische Bedeutung der Hamiltonfunktion\nDie Hamiltonfunktion für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld\nDas Eulersche Theorem für homogene Formen\nDarstellung im Phasenraum für Vielteilchensysteme\nAnwendung in der Physik der Teilchenbeschleuniger\nZyklische Variable und Integrale der Bewegung\nDifferentialinvarianten kanonischer Transformationen. Bedingungen\nfür kanonische Transformationen. Lagrange- und Poissonklammern.\nBedingungen aus der erzeugenden Funktion\nPoisson-Klammern für Zeitableitungen dynamischer Größen\nIntegralinvarianten kanonischer Transformationen.\nDie Hamilton-Jacobische Differentialgleichung.\nGewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Unterschiede in der Lösungsmannigfaltigkeit\nPartielle Differentialgleichungen: Allgemeine Lösung und vollständiges Integral\nDie Hamilton-Jacobische Differentialgleichung für die verkürzte Wirkungsfunktion\nSeparable Systeme. Mehrfach periodische Bewegung\nLösung der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung durch Separation\nPeriodische und mehrfach periodische Bewegung. Wirkungs- und Winkelvariable.\nDas Zentral- und das Keplerproblem\nIn diesem Kapitel wird noch ein neuer Typ von Bewegungsgleichungen, die kanonischen Bewegungsgleichungen, abgeleitet werden. Diese eignen sich besonders zu allgemeinen Untersuchungen über die allgemeine Struktur der Mechanik. Die wichtigste Methode zur Lösung dieser Bewegungsgleichungen ist die der kanonischen Transformationen die es gestatten, mittels bekannter Integrale der Bewegung die Ordnung des Differentialgleichungssystems zu erniedrigen. Die Hamilton-Jacobische Theorie gibt ein allgemeines Verfahren zum Auffinden von solchen kanonischen Transformationen, die es im Prinzip gestatten, die Bewegungsgleichungen vollständig zu lösen.\nDie Newtonschen Bewegungsgleichungen sind am Anfang in kartesischen Koordinaten angegeben worden. Die Geometrie des Kraftfeldes oder das Bestehen von Nebenbedingungen, die die Bewegungsfreiheit der Massenpunkte einschränken, legen oft die Verwendung von krummlinigen Koordinaten nahe. Diese Transformationen der abhängigen Variablen\ndie das mechanische System beschreiben, heißen Punkttransformationen. Die zugehörigen Bewegungsgleichungen sind die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art, Gl. (11.38). Für die Einführung eines neuen Typs von Bewegungsgleichungen, der kanonischen Bewegungsgleichungen, sprechen gewisse Gründe mathematischer Symmetrie. Die Newtonschen Bewegungsgleichungen und die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art betreffen immer zweite Ableitungen der Teilchenkoordinaten, die Beschleunigungen, während der mechanische Zustand der Systems durch die Koordinaten und Geschwindigkeiten vollständig beschrieben wird. Die neuen Gleichungen werden direkt die zeitliche Änderung der Koordinaten und Impulse beschreiben.\nEin weiterer Grund betrifft die Lösungsmöglichkeiten: Will man bekannte Integrale der Bewegung zur Lösung der Bewegungsgleichungen bzw. zur Verringerung deren Grades benützen, so reichen die Transformationen (12.1) nicht aus. Denn diese Integrale der Bewegung, wie z.B. Drehimpuls oder Gesamtenergie, hängen auch von den Geschwindigkeiten oder Impulsen ab. Transformationen für solche Größen müssen daher allgemeiner sein als die obigen Koordinatentransformationen (12.1). Diese allgemeineren Transformationen, die auch die Impulse erfassen, heißen kanonische oder Kontaktransformationen. Diese werden auf die kanonischen Bewegungsgleichungen angewendet.\nDie kanonischen Bewegungsgleichungen werden aus dem Hamiltonschen Prinzip (Gl. (11.81))\nabgeleitet. Dieses Variationsprinzip wird gemäß einem allgemeinen Verfahren auf kanonische Form gebracht. Dazu werden in Gl. (12.2) die verallgemeinerten Geschwindigkeiten, , durch neue Variable, , ausgedrückt mittels der folgenden Substitution (Legendretransformation):\nWenn die in das Hamiltonschen Prinzip (12.2) eingeführt werden, muß der obige Zusammenhang zwischen und den verallgemeinerten Geschwindigkeiten durch Nebenbedingungen berücksichtigt werden\nDie Nebenbedingungen werden mittels Lagrangescher Multiplikatoren in das Variationsprinzip aufgenommen (vgl. in Kapitel 11 im Anhang A Gln. (A.16) bis (A.18)):\nDie Eulerschen Gleichungen für dieses Variationsprinzip sind:\nVon diesen wird zunächst nur der mittlere (unterstrichene) Satz herausgegriffen:\nDie Lagrangefunktion für ein konservatives mechanisches Problem bzw. für eines mit verallgemeinertem Potential für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld ist\nGemäß Gleichungen (12.4) wird nun als Definition des kanonischen Impulses eingeführt:\nheißt kanonisch konjugiert zu . , bilden ein kanonisch konjugiertes Variablenpaar. Die Gln. (12.9) bilden ein lineares Gleichungssystem in den ; dieses hat eine eindeutige Lösung, wenn die Funktionaldeterminante\nDer Fall, wo diese Determinante Null ist, heißt ausgeartet und ist unwichtig. Die Lösungen von (12.9) werden benützt, um die im Variationsprinzip (12.3) durch und auszudrücken. Ebenso werden für die kanonischen Impulse (12.9) eingesetzt.\nFührt man in die letzte Gleichung die folgende Funktion (Hamiltonfunktion) ein\nentsteht dabei ein zu Gl. (12.2) für die Zwecke der Mechanik äquivalentes Variationsprinzip in kanonischer Form\nDies ist die einfachste Form, die ein solches Variationsprinzip annehmen kann. Es treten nur die Ableitungen der einen Reihe von Variablen auf, auch diese nur linear. Die Eulerschen Gleichungen dieses Variationsprinzips\nsind die Hamiltonschen oder kanonischen Bewegungsgleichungen:\nDie vorhergehende Ableitung wird nochmals in Form eines Kochrezepts zusammengefaßt: Aus der Lagrangefunktion\nwerden die kanonischen Impulse gem. Definition (12.9) gebildet und nach den verallgemeinerten Geschwindigkeiten aufgelöst. Letztere werden in die Definition der Hamiltonfunktion (E.: Hamiltonian) (12.11) eingesetzt:\nDie Größe (12.9) wird als kanonischer Impuls bezeichnet, weil in einfachen Fällen, z.B. in\nder kanonische Impuls gleich dem gewöhnlichen linearen mechanischen Impuls (3.17) ist. Dies ist aber nicht immer so. Z.B. für das Zentralkraftproblem in Kugelkoordinaten ergibt sich\nund haben nicht mehr die Dimension von Impulsen. Die Hamiltonfunktion\nist gleich der Gesamtenergie . In §12.1.1 wird gezeigt, daß dies ziemlich allgemein gilt. Die Hamiltonschen Gleichungen sind:\nMit ihrer Lösung werden wir uns erst später beschäftigen.\nWir betrachten eine Lagrangefunktion mit gewöhnlichem mechanischem Potential:\nGemäß Gl. (12.8) ist die kinetische Energie eine homogene quadratische Form in den . Nach dem Eulerschen Satz für homogene Formen (s. §12.1.3) gilt daher:\nWegen (12.15) gilt weiter:\nSetzt man obige Resultate in die Definition der Hamiltonfunktion Gl. (12.11) ein, so folgt\nWenn die Terme der Hamiltonfunktion die in Gln. (12.8) aufgelisteten Eigenschafen haben, dann ist Hamiltonfunktion gleich der Gesamtenergie des Systems, ausgedrückt durch die verallgemeinerten Koordinaten und kanonisch konjugierten Impulse. Ein Gegenbeispiel: In rotierenden Bezugssystemen ist die Hamiltonfunktion von der Gesamtenergie verschieden.\nDie Lagrangefunktion für dieses Problem ist (s. Gl. 11.46)\nGemäß (12.8) ist die kinetische Energie eine homogene quadratische Form in den ;\nist eine lineare homogene Form in den . Das mechanische Potential und das elektrische Potential sind von den unabhängig. Nach dem Eulerschen Satz für homogene Formen (s. §12.1.3) gilt:\nDamit geht man in die Definition der Hamiltonfunktion\nAuch hier ist die Hamiltonfunktion gleich der Gesamtenergie. Die potentielle Energie enthält das mechanische Potential und das skalare elektrische Potential multipliziert mit der Ladung .\nIn kartesischen Koordinaten ist die Lagrangefunktion für ein Teilchen in einem elektromagnetischen Feld gegeben durch:\nDamit erhält man für den kanonischen Impuls und die Geschwindigkeit:\nHier unterscheidet sich der kanonische Impuls vom linearen sogar um einen zusätzlichen Term ! Mit den obigen Ausdrücken geht man in die Gl. (12.11) ein und erhält für die Hamiltonfunktion:\nDie Hamiltonfunktion für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld ist also:\nEine Funktion mehrerer Variabler heißt eine homogene Form, wenn sie nachfolgende Bedingung erfüllt:\nZ.B. ist das folgende Polynom\neine homogene quadratische Form (oder eine homogene Form vom Grade 2);\neine homogene Form vom Grade . Der Ausdruck muß also kein Polynom, nicht einmal eine rationale Funktion sein.\nDer Satz von Euler lautet: Eine homogene Form vom Grade erfüllt folgende Beziehung:\nDer Beweis ist einfach: Man setzt und bildet die totale Ableitung nach der Variablen unter Benutzung der Kettenregel der Differentiation:\nSetzt man abschließend in den unterstrichenen Teilen , ergibt sich die obige Formel.\nDer Phasenraum (E. phase space) ist der reelle -dimensionale Raum der Koordinaten . In diesem entspricht der Bewegung eines Systems eine Raumkurve dargestellt durch die Funktionen\ndie Lösungen der das System bschreibenden Bewegungsgleichungen zu den vorgeschriebenen Anfangsbedingungen. Diese Raumkurve heißt die Phasenbahn (E. phase trajectory). Durchlaufen die Anfangsbedingungen alle für das System zuläßigen Werte, überstreicht die entstehende Kurvenschar den ganzen Phasenraum. Für ein ungebundenes System von Teilchen im dreidimensionalen Ortsraum ist der Phasenraum -dimensional.\nSchreibt man die kanonischen Gleichungen (12.13) als Differenzengleichungen, so bekommt man:\nDie Inkremente geben den Zuwachs der Phasenkurve, weisen also auf die nächste Zukunft des Systems. In diesen Gleichungen werden die Inkremente der Variablen, die den Zustand des Systems beschreiben, durch Funktionen eben dieser Variablen ausgedrückt. Der augenblickliche Zustand eines Teilchens oder eines Systems ist durch die Anfangsbedingungen, also durch die Lage und die Geschwindigkeit ( Impuls) festgelegt. Die kanonischen Bewegungsgleichungen geben die Änderungen dieser Größen und benötigen keine weiteren. Daher sind die kanonischen Bewegungsgleichungen symmetrischer als die Newtonschen Bewegungsgleichungen, die die Beschleunigung, also noch eine weitere Größe, benötigen.\nDer Phasenraum gestattet oft einen Überblick über die verschiedenen Typen von Bewegungen eines Systems. Er ist daher für viele dynamische Untersuchungen von Teilchenbewegungen in Beschleunigern, in der Astronautik und in der statistischen Mechanik sehr zweckmäßig. Die Tatsache, daß unsere Vorstellung auf den dreidimensionalen Raum beschränkt ist, ist ein Handikap (bei 2 Freiheitsgraden ist der Phasenraum bereits vierdimensional!). Doch genügen für viele Zwecke Projektionen des Phasenraums auf eine zweidimensionale Ebene. Diese Verwendung des Phsenraums soll an einigen Beispielen vorgeführt werden.\nAus der Lagrangefunktion erhält man den kanonischen Impuls. Damit bildet man die Hamiltonfunktion\nAus den Hamiltonschen Gleichungen\nerhält man durch Elimination von wieder die Schwingungsgleichung mit der allgemeinen Lösung:\ngehört folgende Phasenbahn:\nAbbildung 12.1: Die Phasenbahnen des eindimensionalen Harmonischen Oszillators.\nDiese ist in der -Ebene eine Ellipse, auf der der den augenblicklichen Zustand des Systems beschreibende Phasenpunkt während einer vollen Periode einmal herumläuft (Abb. 12.1). Jedem Energiewert entspricht eine mit den anderen konzentrische Ellipse mit den Halbachsen und . Da in vielen Fällen nur die Phasenbahn als ganzes, nicht aber der zeitliche Ablauf interessiert, ist es nicht nötig, die Bewegungsgleichungen zu lösen; denn die Phasenkurve selbst folgt bereits aus dem Energiesatz (12.21).\nDie Energie ist erhalten. Dies ist der Grund, daß die Phasenbahn nur einen eindimensionalen Teilraum der zweidimensionalen Phasenebene, die eben erwähnte Ellipse ausfüllt. Wäre die Energie nicht erhalten, sondern ginge sie ständig verloren, dann würden die Halbachsen der Phasenellipse ständig schrumpfen. Die Phasenbahn würde dann das Innere der zum Anfangswert gehörigen Ellipse spiralig ausfüllen.\nDie kinetische Energie, die potentielle Energie (hier ist aber die z-Achse parallel zur Erdbeschleunigung gerichtet, s. Abb. 12.2) und die Lagrangefunktion sind unten angegeben. Daraus folgen der kanonische Impuls und die Hamiltonfunktion . Die Lagekoordinate ist .\nAus der Hamiltonfunktion (= der Gesamtenergie E) können die verschiedenen Phasenbahnen gefunden werden. In der Tabelle sind diese aufgelistet und in Abb. 12.2 eingezeichnet. ist der kleinstmögliche Energiewert; das Pendel ist in Ruhe. Diesem Zustand entspricht der Mittelpunkt des Diagramms ( ); er heißt das Librationszentrum. Für schwingt das Pendel. Die Phasenbahnen sind geschlossene Kurven, die vom Phasepunkt in der angegebenen Richtung durchlaufen werden. Dieser Bewegungstyp heißt Libration. Für reicht der mögliche Variationsbereich der Lagekoordinate von der Vertikalen ( ) bis wieder zur Vertikalen. Die Schwingungsdauer ist aber unendlich. Deswegen durchläuft der Phasenpunkt in Abb. 12.2 nur einen Teil des oberen oder des unteren Asts der durch und gehenden Phasenbahn. Diese Limitationsbewegung trennt die Schwingungen von den Rotationen des Pendels, die für eintreten. Letzteren entsprechen die wellenförmigen Kurven ausserhalb der Separatrix im Phasenraumdiagramm, Abb. 12.2. Dieser Bewegungstyp heißt Nutation. Vom Standpunkt der Schwingungen kann man die Librationsbewegung als stabil betrachten, die Nutation als instabil. Die der Limitationsbewegung entsprechende Phasenkurve trennt das stabile Gebiet vom instabilen und heißt daher die Separatrix.\nAbbildung 12.2: Die Phasenbahnen des mathematischen Pendels. Notebook: K12WPlot.nb.\nDie Typen der Bewegung des mathematischen Pendels\nWir betrachten ein Teilchen im Feld einer anziehenden Zentralkraft. Wir benützen Polarkoordinaten in der Bahnebene. Die zugehörige Hamiltonfunktion findet man aus der für Kugelkoordinaten (Beispiel am Ende von §12.1) mittels der Spezialisierung :\nDer Drehimpuls ist konstant, = const., die Bewegung ist eben. Man kann die Betrachtung im Ortsraum auf die Bahnebene beschränken. Der Phasenraum ist vierdimensional. Einen Überblick über die verschiedenen Bewegungstypen erhält man, wenn man für fixen Drehimpuls das Potential und das Zentrifugalpotential , deren Summe zum Pseudopotential zusammengefaßt wird, aufträgt (Abb. 12.3(a)). Für halten sich Fliehkraft und anziehende Kraft das Gleichgewicht, die Bahn ist ein Kreis vom Radius . Diesem entspricht im Phasenraum das Librationszentrum.\nAbbildung: Phasenraumprojektion und Bahnkurve im Ortsraum für das Zentralkraftproblem (vgl. auch Abb. 5.1).\nFür ist die Bewegung auf einen Kreisring beschränkt, dessen Grenzen und aus dem obigen Ausdruck für die Gesamtenergie für folgen. entspricht ungebundener Bewegung . Bei der Projektion des vierdimensionalen Phasenraumes auf die -Ebene (Abb. 12.4) erhält man geschlossene Kurven (Librationsbewegung) für . Die Separatrix für erstreckt sich bis ins Unendliche, ebenso alle Phasenbahnen mit . In der -Ebene (Abb. 12.3(c)) sieht man die wahre Bahn. Doch kann man diese nur für einen festen Energiewert aufzeichnen. Außerdem erfordert dies die Lösung der Bewegungsgleichungen. Dagegen kann man die Diagramme, Abb. 12.3(a) und 12.3(b), direkt aus dem Energiesatz ableiten und in ihnen für alle Energien die wesentlichen Eigenschaften der Bahn einzeichnen.\nWichtige praktische Anwendungen derartiger Betrachtungen im Phasenraum liegen in der Astronautik. Ein Raumschiff, das vom Mond zur Erde zurückkehrt, darf nicht zu langsam und nicht zu flach auf den terrestrischen Luftmantel auftreffen, sonst wird es auf Niewiederkehr in den Weltraum reflektiert. Wenn es zu schnell oder zu steil auftrifft, wird die Luftreibung es mehr als zulässig erhitzen. Das sind im Phasenraum Bedingungen für minimale und maximale Geschwindigkeit und Auftreffwinkel, die ein ''Fenster'' vorschreiben, durch das die Phasenbahn des rückkehrenden Raumschiffes geführt werden muß.\nDie kanonischen Koordinaten der gleichen Teilchen eines Systems werden geschrieben als:\nist der mechanische Freiheitsgrad jedes Teilchens. Der zugehörige Phasenraum hat die Dimension und heißt -Raum. In ihm wird der momentane Zustand des gesamten Systems von Teilchen durch einen Phasenpunkt gegeben, der längs der Phasenkurve läuft. Eine derartige Darstellung ist fast immer derart kompliziert, daß sie praktisch selten angewendet wird. Üben die (gleichen) Teilchen eines Systems keine Kräfte aufeinander aus oder werden diese vernachläßigt, dann bewegt sich jedes Teilchen unabhängig von den anderen in seinem 2f-dimensionalen Teilraum des gesamten Phasenraumes. Die Hamiltonfunktion des Gesamtsystems ist eine Summe aus separierten Termen:\nin der jeder Summand nur von den Koordinaten eines Teilchens abhängt. Man kann dann alle diese -dimensionalen Teilräume des Phasenraumes in einen einzigen 2f-dimensionalen Phasenraum ( -Raum) projizieren, in dem jetzt Phasenpunkte auf Phasenbahnen den momentanen Zustand des Systems darstellen; s. Abb. 12.4. Jeder diese Phasenpunkte bewegt sich unabhängig von den anderen.\nVergleich des -Raums mit dem -Raum für ein System\nvon Teilchen mit je Freiheitsgraden\nPhasenpunkte Phasenbahnen Dimension\n-Raum 1 1 2Nf\n-Raum N N 2f\nAbbildung: Die Projektion der Teilräume des -Raumes in den -Raum für ein System von 5 eindimensionalen Harmonischen Oszillatoren. Das Bild ist nur insofern nicht stimmig, als die Teilräume orthogonal sind.\nAbbildung: -Raum für ein System vieler eindimensionaler Harmonischer Oszillatoren. a) Links: Diese schwingen unabhängig voneinander mit fast gleicher Energie, aber mit statistisch verteilten Phasen. b) Rechts: Diese schwingen mit fast gleicher Energie und nahezu gleicher Phase (kohärent).\nZ.B. ein System von eindimensionlen Oszillatoren kann dargestellt werden wie in Abb. 12.4. In Abb. 12.5(a) haben die Oszillatoren nahezu gleiche Gesamtenergie , aber ihre momentanen Lagen sind über alle Möglichkeiten statistisch verteilt. In Abb. 12.5(b) haben die Oszillatoren nicht nur gleiche Energie, sondern sie schwingen auch nahezu kohärent (Modell für Laser).\nDie statistische Mechanik benützt diese Beschreibung; sie liefert gewissermaßen eine ''Hydromechanik der Flüssigkeit der Phasenpunkte'' im -Raum.\nWird nachgetragen !\nDie Hamiltonfunktion eines Systems ist gleich dessen Gesamtenergie (vgl. § 12.1.1 und §12.1.2). Ist das System konservativ, dann ist die Hamiltonfunktion zeitlich konstant. Hängen das mechanische Potential (Gl. (12.5)) und das Potential des elektromagnetischen Feldes (Gl. (12.6)) nicht explizit von der Zeit ab, dann folgt aus der Definition der Hamiltonfunktion, Gl. (12.11),\nDie totale Zeitableitung der Hamiltonfunktion ist:\nDie partielle Ableitung ist Null gemäß Gl. (12.24); die Summe verschwindet nach Einsetzen der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (12.13). Integration ergibt den Energiesatz:\nTritt eine Variable, z.B. , die das System beschreibt, in der Lagrangefunktion nicht auf, heißt sie zyklisch.\nZum Beispiel im Zentralkraftproblem\nist die Variable zyklisch. Wegen des periodischen Charakters von bei gebundenen Zuständen ist der Name zyklisch zutreffend; davon wird er mit der neuen Bedeutung auf den allgemeinen Fall (12.27) übertragen, selbst wenn die Bewegung nicht mehr periodisch ist.\nAus der Lagrangeschen Gleichung 2. Art für , Gl. (11.38), und aus der Definition des kanonischen Impulses, Gl. (12.9), folgt, daß der zur zyklischen Variablen , konjugierte Impuls , zeitlich konstant, also ein Integral der Bewegung, ist:\nDie verallgemeinerte Geschwindigkeit, , muß aber in der Lagrangefunktion vorkommen, sonst ist die Variable sinnlos. Aus der vorhergehenden Gleichung folgt, daß auch in der Hamiltonfunktion nicht vorkommt:\nZusammenfassend: Jede zyklische Koordinate ist in der Hamiltonfunktion nicht enthalten, wohl aber ihr konjugierter Impuls. Dieser ist zeitlich konstant, ist ein Integral der Bewegung. Daher ist es nicht mehr nötig, die kanonischen Bewegungsgleichungen für dieses Paar zu lösen, die Ordnung des Problems verringert sich um 2.\nAuch der Energiesatz (§12.3) läßt sich unter diesem allgemeinen Fall subsummieren. Die zyklische Variable ist die Zeit , der hiezu konjugierte Impuls ist die negative Gesamtenergie .\nEin Integral der Bewegung ist im allgemeinen eine Funktion , die von der Zeit unabhängig wird, wenn man für und die Lösungen der kanonischen Bewegungsgleichungen einsetzt. Diese Eigenschaft kann auch ohne Kenntnis dieser Lösungen festgestellt werden. In die totale Zeitableitung des Ausdruckes werden die kanonischen Bewegungsgleichungen eingesetzt:\nFür ein Integral der Bewegung eines Problems, das durch die Hamiltonfunktion beschrieben wird, muß\nherauskommen, wenn in der vorhergehenden Gleichung und eingesetzt werden.\nBei der Lösung eines vorgegebenen mechanischen Problems wird man alle Integrale der Bewegung, die man kennt, heranziehen, um die Ordnung des Systems von Bewegungsgleichungen zu erniedrigen. Dazu muß man diese in die Bewegungsgleichungen einführen. Dies geschieht mittels der kanonischen Transformationen. Besonders erstrebenswert ist es, eine solche kanonische Transformation aufzufinden, daß in der neuen Hamiltonfunktion alle Variablen zyklisch sind. Dann gilt:\nDamit ist das Problem vollständig gelöst. Ein Verfahren zum Auffinden solcher günstiger kanonischer Transformationen bietet die Hamilton-Jacobische Integrationstheorie.\nEin mechanisches System ist durch eine Hamiltonfunktion beschrieben, die Bewegung erfolgt gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Man geht zu neuen kanonisch konjugierten Variablen über, für die man auch eine neue Hamiltonfunktion erhält. Es werden nur solche Transformationen zugelassen, daß auch in den neuen Variablen die Bewegungsgleichungen kanonische Form haben.\nDie kanonischen Transformationen sind die nichtsingulären Transformationen\nIn den alten Variablen , wird die Bewegung durch das Hamiltonsche Prinzip, z.B. in kanonischer Form (12.35), festgelegt:\nWenn in den neuen Variablen das Hamiltonsche Prinzip die äquivalente Form hat\ndann geben die Eulerschen Gleichungen dieses Variationsproblems die Bewegungsgleichungen in der Form\nEs ist nicht verlangt, daß die beiden Integrale in den Variationsprinzipien (12.34) und (12.35) identisch werden, sondern nur, daß sie gleichzeitig ihr Extremum annehmen: Wenn das Integral (12.34) für die Funktion , sein Extremum annimmt, so soll es das Integral (12.35) für die Funktionen , tun, die aus den , mittels der Transformationen(12.33) hervorgehen. Dafür ist notwendig und hinreichend, daß sich die beiden Integranden nur um die totale Zeitableitung einer willkürlichen Funktion unterscheiden\nDenn das Integral dieser Funktion ist konstant; dessen Variation ist Null, daher ist (12.35) Null, wenn (12.34) Null ist.\nGl. (12.37) und die Funktion sind äußerst wichtig für die praktische Durchführung kanonischer Transformationen. F heißt die erzeugende Funktion der kanonischen Transformation. In Gl. (12.38) wurden alle abhängigen Variablen , , , als Argumente angegeben. Wegen der Beziehungen (12.33) sind aber nur dieser Variablen unabhängig; die übrigen Variablen können mittels Gln. (12.33) durch die ersten ausgedrückt werden. Es ist für die weiteren Anwendungen notwendig, daß die erzeugende Funktion bekannt ist und, daß sie von der alten und von der neuen Variablen abhängt. Z.B. kann angenommen werden, daß nur von den und abhängt und dieses wird in Gl. (12.37) eingesetzt. Der resultierende Ausdruck wird anschließend umgestellt.\nAlle und sind voneinander unabhängig, ebenso deren Zeitableitungen. Die obige Identität kann nur bestehen, indem die Koeffizienten aller und aller , damit auch die rechte Seite Null sind. Dies führt zu folgender Vorgangsweise:\nBei der Ausrechnung der kanonischen Transformation werden im ersten Schritt die Gln. (12.40c) nach den aufgelöst; dies gibt die als Funktionen der neuen Variablen. Im zweiten Schritt werden die erhaltenen Funktionen der neuen Variablen und in die Gln. (12.40a) eingesetzt. Dies gibt die als Funktion der neuen Variablen, dritter Schritt; im vierten Schritt werden die so erhaltenen Ausdrücke für und in Gl. (12.40e) eingesetzt; damit bekommt man die neue Hamiltonfunktion als Funktion der neuen Variablen. Gln. (12.40) lassen verstehen, warum erzeugende Funktion genannt wird.\nAls Beispiel wird am eindimensionalen harmonischen Oszillator die kanonische Transformation durchgeführt, die von der folgenden Funktion erzeugt wird:\nDie Variable ist zyklisch, daher ist der neue Impuls konstant.\nVergleich mit den Lösungen in Gl. (12.23) zeigt, daß obige Lösungen mit den ersteren für übereinstimmen. Aus Gl. (12.41e) ersieht man, daß proportional der Gesamtenergie ist. Diese ist ein Integral der Bewegung, daher muß die kanonisch konjugierte Variable zyklisch sein. Die durch die Funktion erzeugte kanonische Transformation gestattet, die Energie zur Lösung des Problems einzuführen. Aus Gln. (12.41a) und (12.41b) errechnet man\nist ein Winkel, der die momentane Lage des Phasenpunktes auf der elliptischen Phasenbahn angibt.\nEin anderer Typ einer kanonischen Transformation ergibt sich, wenn man annimmt, daß die erzeugende Funktion nur von den alten Koordinaten und den neuen Impulsen abhängt. Es ist dann zweckmäßig, Gl. (12.37) durch Hinzufügen und Abziehen der Summe umzuschreiben:\nDie Zeitableitung wird ausgeführt, der resultierende Ausdruck umgeschrieben. Wegen der Unabhängigkeit der und sowie deren Zeitableitungen erhält man wie in Gln. (12.39) und (12.40) :\nMan kann auch erzeugende Funktionen und benützen und in ähnlicher Weise wie in den obigen Gleichungen vorgehen, um die Transformation auszurechnen. Diese 4 Typen werden in der nachfolgenden Aufstellung zusammengefaßt:\nDer neue Ausdruck für die Hamiltonfunktion ist in allen Fällen der gleiche:\nHängt die kanonische Transformation nicht explizit von der Zeit ab (kanonische Transformation im engeren Sinn), dann gilt\nDie obige Aufzählung gibt noch nicht den allgemeinsten Typ einer kanonischen Transformation. Denn es sind noch beliebige ''gemischte'' Typen zulässig, bei denen die erzeugende Funktion von je der neuen Variablen , und je der alten Variablen , abhängt. Dabei ist die Auswahl beliebig mit der einzigen Einschränkung, daß nicht eine Variable zusammen mit ihrer kanonisch konjugierten in vorkommen darf.\nMan bildet die neue erzeugende Funktion:\nGl. (12.37) wird in geeigneter Weise umgestellt und entsprechend ergänzt, es werden die obige erzeugende Funktion und ihre Zeitableitung eingesetzt:\nDie unsterstrichenen Terme kürzen sich; die verbleibenden werden umgeordnet zu:\nWegen der Unabhängigkeit der folgt dann:\nDer Zusammenhang zwischen der alten und der neuen Hamiltonfunktion ist der gleiche wie oben nach Gl. (12.48).\nEs sind sehr viele verschiedenartige kanonische Transformationen möglich. Diese hängen nicht von der Hamiltonfunktion ab, sondern nur vom Freiheitsgrad. Eine gegebene kanonische Transformation kann auf alle Hamiltonfunktionen mit entsprechendem Freiheitsgrad angewendet werden. Da man aber mit einer kanonischen Transformation immer einen bestimmten Zweck verfolgt, nämlich die Reduktion der Ordnung des Systems von Bewegungsgleichungen durch Einführung der bekannten Integrale der Bewegung des Systems, muß man in jedem Fall die entsprechende kanonische Transformation zu eben diesem Zweck aufsuchen.\nVom mathematischen Standpunkt interessieren bei einer Transformation (hier bei einer kanonischen) immer die Größen, die bei diesen Transformationen unverändert, d.h. invariant, bleiben. Aus der Anwendung kommt andererseits der Wunsch, bei vorgegebenen Transformationen (12.33) feststellen zu können, ob diese kanonisch sind. Beide Probleme hängen zusammen und werden hier behandelt.\nWir beschränken uns bei den Untersuchungen dieses Paragraphen auf kanonische Transformationen im engeren Sinn, in denen also die Zeit nicht explizit auftritt:\n- Die Bedingungen, die abgeleitet werden, gelten auch für kanonische Transformationen im weiteren Sinn, Gln. (12.33), in denen auch die Zeit explizit auftritt, doch sind dann die Beweise ungleich komplizierter. - Die erzeugende Funktion der Transformation hängt nicht explizit von der Zeit ab. Gemäß (12.51) sind daher alte und neue Hamiltonfunktion gleich\nWir nehmen nun an, daß die erzeugende Funktion in Gl. (12.37) so umgeformt worden ist, daß sie nur von der neuen Variablen und abhängt. Die eben erwähnte Gleichung nimmt dann folgende Gestalt an:121\nIn dieser Gleichung wird berücksichtigt, daß (damit auch ) eine Funktion der und ist. Zuerst wird die Ableitung ausgerechnet; der resultierende Ausdruck wird in die obige Gleichung eingesetzt; diese wird dann umgeordnet:\nWegen der Unabhängigkeit der und folgt\nWir setzen voraus, daß die erzeugende Funktion stetige zweite Ableitungen besitzt; dann muß das Resultat von zwei Differentiationen unabhängig von der Reihenfolge der Operationen sein. Damit folgt aus Gln. (12.55):\nAus den zwei äußeren Kolonnen ergeben sich die Terme in den anschließenden inneren Kolonnen, indem für die jeweils zweite Ableitung der ensprechende Ausdruck aus den Gln. (12.55) eingesetzt wird. In den beiden inneren Kolonnen werden die Differentiationen ausgeführt. Dann kürzen sich Terme. Die verbleibenden können dann in folgender symmetrischer Form angeordnet werden:\nDas Kroneckersymbol folgt aus . Die linke Seite jeder der obigen Gleichungen besteht aus 2f Termen, weil über den Index k von 1 bis f zu summieren ist.\nDie obigen Bedingungen, Gln. (12.57), sind notwendig und hinreichend für eine kanonische Transformation. Aus der Existenz einer zweimal differenzierbaren erzeugenden Funktion folgen diese Gleichungen. Umgekehrt, sind diese erfüllt, kann man den obigen Weg rückwärts gehen und die Gln. (12.56) sind die Integrabilitätsbedingungen, die die Existenz einer zu diesen Gleichungen gehörigen Funktion gewährleisten.\nDie Ausdrücke in den Gln. (12.57) heißen Lagrange-Klammern und werden durch das folgende Symbol bezeichnet:\nDamit lauten die Bedingungen (12.57) :\nDa auch die Umkehrfunktion einer kanonischen Transformation kanonisch ist, gilt auch:\nZur Vereinfachung der weiteren Untersuchungen führen wir eine neue Schreibweise ein und fassen die kanonischen Variablen unter einem einheitlichen Symbol zusammen:\nAußerdem definieren wir die folgende schiefsymmetrische und orthogonale Matrix :\nist die f x f-Nullmatrix, die f x f-Einheitsmatrix. Damit schreibt man die Lagrange-Klammern (12.58) 122\nund die Bedingungen (12.59) bzw. (12.60) für kanonische Transformationen lauten:\nGln. (12.65) lauten in Matrixschreibweise:\nEin weiterer Typ solcher Differentialausdrücke sind die Poisson-Klammern :\nSie hängen mit den Lagrangeklammern zusammen gemäß\nMittels (12.68) kann man aus (12.59) bzw. (12.60) Bedingungen für kanonische Transformationen in Poisson-Klammern ausdrücken:\nSchreibt man nämlich Gl. (12.68) für die neuen Variablen an und setzt man (12.65) ein, gibt dies\nZum Beispiel ist die Transformation (vgl. (12.41))\nkanonisch, wenn und zueinander kanonisch konjugiert sind. Die Poissonklammern (12.70) für bzw. allein sind trivialerweise erfüllt, da ; für die letzte gilt\nAuch die totale Zeitableitung einer beliebigen Größe läßt sich durch Poissonklammern ausdrücken. Dabei wird zuerst die Kettenregel angewendet; danach werden die kanonischen Bewegungsgleichungen eingesetzt.\nIst Erhaltungsgröße dann muß deren totale Zeitableitung Null sein.\nHängt nicht explizit von der Zeit ab, dann gilt für solch eine Erhaltungsgröße :\nDie Hamiltonschen Gleichungen lauten in dieser Schreibweise:\nNeben den Lagrange- und Poissonklammern, Gln. (12.58) und (12.67), die Differentialinvarianten kanonischer Transformationen sind, gibt es auch Integralinvarianten. Unter diesen betrachten wir nur eine, das Volumen des Phasenraumes. Das Gebiet des Phasenraumes gehe bei einer kanonischen Transformation in das Gebiet über. Der Satz von Liouville behauptet, daß die Volumina bzw dieser Gebiete gleich sind. Z.B stellt man sich vor, daß die Phasenpunkte eines Systems von Teilchen ohne Wechselwirkung das Gebiet erfüllen. Bei der zeitlichen Entwicklung sind diese in das Gebiet gewandert (auch der zeitliche Ablauf eines Systems kann durch eine kanonische Transformation beschrieben werden):\nNach dem Satz von Liouville kann dabei das von den Darstellungspunkten erfüllte Volumen seine Gestalt, nicht aber seinen Volumsinhalt ändern; ''Die Flüssigkeit der Phasenpunkte ist inkompressibel''. Dieser Satz bildet die Grundlage der Statistischen Mechanik.\nDie Inhalte der Gebiete G und G' sind:\nDer Satz von Liouville ist bewiesen, wenn gezeigt worden ist, daß die Jacobische Funktionaldeterminante:\nden Wert 1 hat. Jeder Eintrag in der obigen Determinate representiert eine quadratische Untermatrix aus Zeilen und Spalten, da und unabhängig voneinander von 1 bis laufen. Diese Matrix wird nun durch Kombinationen von Zeilen derart umgeformt, daß der Block in der linken unteren Ecke zur Nullmatrix wird. Es wird angenommen, daß die kanonische Transformation, die die Variablensätze , , , verbindet, von einer Funktion erzeugt wird.\nDie Funktionaldeterminante (12.76) wird umgeformt, indem die ersten Zeilen jeweils mit multipliziert und zur -ten Zeile addiert werden (es gilt das Summationsübereinkommen):\ndet det qed (1278)\nDie oben benützten Relationen folgen aus (12.77):\nFür die Relationen II wird als Funktion der und betrachtet:\nWir suchen eine kanonische Transformation\nderart, daß die neue Hamiltonfunktion\nNull ist. Dann ist das mechanische Problem vollständig gelöst:\nDie und sind ein vollständiger Satz von Integralen der Bewegung. Die zur Transformation (12.79) gehörige erzeugende Funktion\nheißt die Wirkungsfunktion. Setzt man für aus (12.83) in die Forderung (12.80) ein, ergibt sich die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung\nzur Bestimmung der Wirkungsfunktion.\nZum Beispiel für ein konservatives System mit Potential sind Hamiltonfunktion und Hamilton-Jacobische Differentialgleichung\nDie Hamilton-Jacobische Differentialgleichung ist eine partielle Differentialgleichung für die Variablen und . Die sind gemäß Gl. (12.81) Konstante. Die Differentialgleichung ist nicht linear und es ist daher aussichtslos, eine allgemeine Lösung (die von willkürlichen Funktionen abhängt) aufsuchen zu wollen. Doch wird eine solche gar nicht benötigt. Es genügt ein vollständiges Integral, dies ist eine Funktion, die von allen , von und zusätzlich noch von f willkürlichen Integrationskonstanten abhängt, die Differentialgleichung befriedigt und noch der folgenden Bedingung genügt:\nconst. det (1285)\nAußer den genannten Bedingungen ist das vollständige Integral beliebig. Nach dem Satz von Jacobi erhält man damit die Lösung der ursprünglichen Bewegungsgleichungen\nindem man die willkürlichen Konstanten mit den konstanten identifiziert, für die konstanten ebenfalls willkürliche Integrationskonstanten festlegt und gemäß Gl. (12.83) setzt\nAus Gl. (12.89) berechnet man . Diese in Gl. (12.88) eingesetzt, ergeben . Zum Beweis des Jacobischen Satzes zeigen wir, daß diese Lösungen tatsächlich Gln. (12.86) und (12.87) erfüllen. Differenzieren wir Gl. (12.89) nach und Gl. (12.85) nach den .\nWegen (12.85) folgt daraus, daß Gln. (12.87) erfüllt sind. Differenziert man Gl. (12.88) nach und (12.85) nach den , bekommt man die nachfolgenden Gleichungen, aus denen Gln. (12.86) folgen.\nDie physikalische Deutung der Wirkungsfunktion findet man, indem man Gl. (12.88) und (12.85) in die folgende Zeitableitung einsetzt:\nDie Wirkungsfunktion ist das Zeitintegral über die Lagrangefunktion. Daher kann das Hamiltonsche Prinzip, Gl. (12.2), geschrieben werden als:\nIndem man vom gegebenen Anfangspunkt zum gegebenen Endpunkt längs der eindeutig durch die beiden Punkte bestimmten Extremalen integriert, so gilt für diese Wirkungsfunktion auch Eikonal oder geodätischer Abstand der beiden Punkte genannt, die Differentialgleichung (12.84), wobei als Funktion der Koordinaten des Endpunktes aufgefasst wird. Daraus ergibt sich auch, daß die Flächen const. geodätisch äquidistant sind, d.h., daß, wenn man das Integral längs einer zu den Flächen const. transversalen Extremale von (12.91) integriert (es wird in dieser Theorie gezeigt, daß gerade die Flächen const. Transversalflächen zu einer Extremalenschar von (12.91) sind), erhält man für das zwischen zwei Flächen erstreckte Integral unabhängig von der einzelnen Extremale denselben Wert.\nbeschreibt eine den für die Bewegung in Frage kommenden Phasenraum schlicht überdeckende Schar von Transversalflächen für die Extremalen von (12.91), also für die möglichen Bahnkurven, vgl. Abbn. 12.7 und 12.8. Allerdings werden durch eine einzige Flächenschar mit dem Parameter nicht alle möglichen Bahnkurven erfaßt, denn zu dem vollständigen Integral von (12.85) gehört eine durch (12.89) implizit bestimmte 2 -parametrige Schar von Bahnkurven. Vor allem sieht man daraus auch sofort, daß die Funktion nicht eine bestimmte Bewegung festlegen kann, denn diese wird durch die 2 Parameter bestimmt, während nur von Parametern abhängt. Es gehört also zu dem vollständigen Integral noch eine f-fache Mannigfaltigkeit von Transversalflächen.\nLeider gibt es kein allgemein verwendbares Verfahren zum Auffinden eines vollständigen Integrals einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung; man muß ein solches durch Probieren zu erraten suchen. Wenn die Lösung der zugehörigen Newtonschen Bewegungsgleichung bekannt ist, gibt diese über Gl. (12.88) einen Hinweis über das Aussehen der Wirkungsfunktion\nAls Beispiel zur Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung wird zunächst der Harmonische Oszillator betrachtet:\nDa der zweite und dritte Term der obigen Gleichungen die Zeit nicht explizit enthalten, schließt man durch Vergleich der ersten Terme auf\nFür die noch unbestimmte Funktion W(q) ergibt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung\nZusammenfassung der beiden vorhergehenden Gleichungen gibt die Lösung für die Wirkungsfunktion . Die eine willkürliche Konstante ist hier die Gesamtenergie . Der neue (konstante) Impuls muß von ihr abhängen. Wie sich in §12.7 zeigen wird, ist es zweckmäßig, zu setzen. Man verifiziert leicht, daß die neue Hamiltonfunktion K Null ist:\nDie Bewegung wird gemäß Gln. (12.88) und (12.89) beschrieben durch\nMan sieht, ist die Phasenkonstante des Oszillators.\nAls zweites Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Teilchens in einem räumlich homogenen, zeitlich linear anwachsenden Feld; die Newtonsche Bewegungsgleichung und ihre Lösung sind\nDie letzte Gleichung (vgl. (12.88)) legt folgenden Ansatz nahe:\nDieser wird in die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung (12.85) eingesetzt und gibt\nDie Bewegung berechnet man aus gemäß (12.88), (12.97) und (12.89) :\nDie Konstanten , können mit Anfangsimpuls und -lage identifiziert werden.\nBei einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. bzw. 2. Ordnung, z.B.\nbesteht das System der Lösungen aus ein ( ) bzw. zwei ( ) Fundamentallösungen. Die Gestalt der Funktionsoperatoren wird durch die Differentialgleichung festgelegt. Die allgemeine Lösung hat dann die Form:\nDie zunächst willkürlichen Konstanten werden durch die Anfangs-, eventuell Randbedingungen, festgelegt.\nAls Beispiel einer partiellen Differentialgleichung wird zunächst die Wellengleichung betrachtet:\nDie d'Alembertsche Lösungsmethode führt auf folgende Gestalt der allgemeinen Lösung:\nDie Funktionsoperatoren in (b) sind vollständig willkürlich; sie müssen nur zweimal differenzierbar sein. Man überzeugt sich leicht durch Einsetzen von (b) in (a), daß (b) eine Lösung ist, ganz gleich wie die beschaffen sind. Die partielle Differentiagleichung legt also nur fest, von welchen Kombinationen der unabhängigen Variablen die Lösungen abhängen müssen; in obigem Beispiel sind das die in (c) angegebenen Funktionen und . Eine partielle Differentialgleichung läßt also den Lösungen unendlich mehr Freiheit als eine gewöhnliche. Erst die Anfangsbedingungen längs einer Kurve legen die Funktionsoperatoren fest.\nBeispiele solcher Funktionen sind in Abb. 12.6 dargestellt.\nAbbildung: Beispiele von Lösungen der Wellengleichung: a) Ein Puls mit unendlich steilen Flanken. b) Ein Puls mit glatten Flanken. c) Ein Puls einer harmonischen Schwingung.\nDie Differentiagleichung (a) besagt nur, daß sich eine Störung mit der Geschwindigkeit längs der -Achse, (z.B. längs eines Drahtes oder einer Saite) ausbreitet. Die Gestalt des Signals hängt von der Anregung am Anfang ab. Ein Puls mit unendlich steilen Flanken ist zwar dort nicht differenzierbar, im übrigen ist er ein Lösung.\nDie charakteristischen Lösungen (wie im Beispiel (c)) werden durch die charakteristischen Gleichungen der partiellen Differentialgleichung festgelegt; diese sind ein System von gewöhnlichen Differentialgeichungen. Bei der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung sind dies die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.\nBei einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung ist es sehr schwierig, oft sogar unmöglich, die allgemeine Lösung anzugeben. Für die Anwendung in der Hamilton-Jacobischen Integrationstheorie wird aber eine solche gar nicht benötigt. Sondern es genügt ein vollständiges Integral. Ein solches ist eine gegebene Funktion der Variablen , die auch noch von Integrationkonstanten abhängt\nund die partielle Differentialgleichung erfüllt.\nMeist wird zum Auffinden eines solchen vollständigen Integrals die Methode der Separation der Variablen (§12.8) herangezogen, wenn diese anwendbar ist.\nWenn die Lagrangefunktion, damit auch die Hamiltonfunktion, nicht explizit von der Zeit abhängen, ist die Hamiltonfunktion zeitlich konstant\nDann kann man folgenden Ansatz für die Wirkungsfunktion machen\nund die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung (12.85) wird\nheißt die verkürzte Wirkungsfunktion oder Hamiltonsche charakteristische Funktion. Auch hier genügt für unsere Zwecke ein vollständiges Integral,\ndas außer von noch von weiteren willkürlichen Integrationskonstanten in nichttrivialer Weise abhängt. Meist ist die Hamiltonfunktion gleich der Gesamtenergie , so daß nach (12.102) gilt;\nDann wird aus der Wirkungsfunktion (12.101) und der Hamilton-Jacobi-Gleichung (12.102):\nDie letzte Gleichung läßt sich auch in folgender Form schreiben:\nDer zeitunabhängige Anteil der Wirkungsfunktion kann auch als eine selbständige Erzeugende einer kanonischen Transformation im engeren Sinn, Gln. (12.52) und (12.53) betrachtet werden:\nWir fordern, daß die durch erzeugte kanonische Transformation eine neue Hamiltonfunktion liefert, die in allen neuen Koordinaten zyklisch ist. Dann sind alle neuen Impulse zeitlich konstant; deswegen sind auch die neue Hamiltonfunktion und deren partielle Ableitungen zeitlich konstant. , sind willkürliche Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Aus = const. folgt durch Einsetzen von wieder die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung (12.102) für die verkürzte Wirkungsfunktion; womit gezeigt ist, daß diese Differentialgleichung die Erzeugende der gewünschten kanonischen Transformation bestimmt.\nWird nun wieder die Gesamtenergie mit einer der willkürlichen Integrationskonstanten, z.B. mit identifiziert, dann gilt (vgl. Gl. (12.105))\nDie physikalische Bedeutung der verkürzten Wirkungsfunktion ersieht man aus der folgenden Zeitableitung (wobei Gl. (12.102) benützt wird):\nDie letzte Gleichsetzung gilt aber nur, wenn in der Lagrange- oder Hamiltonfunktion keine geschwindigkeitsabhängigen Potentiale auftreten und eine quadratische Form der ist (vgl. § 12.1.1 und §12.1.2). Dann ist die Wirkungsfunktion proportional dem Integral über die kinetische Energie.\nUm die Bedeutung von und deutlich zu machen, wird Gl. (12.102) noch genauer untersucht. Die Flächen = const. bilden im der eine raumfeste Flächenschar. Zur Zeit = 0 fallen sie mit den Flächen = const. zusammen; im Laufe der Zeit wandern die Flächen = const. über die Flächen = const. hinweg. Wegen (12.88) bzw. (12.102) gilt, daß der Vektor senkrecht zu den Flächen = const. steht, in diesem Falle also auch senkrecht auf den Flächen = const. steht. Wenn man der Einfachheit halber die Bewegung eines Teilchens in kartesischen Koordinaten betrachtet, so fällt der kanonische Impuls mit dem gewöhnlichen zusammen und die Bahnkurven durchsetzen die Flächen = const. senkrecht. Orthogonalität und Transversalität fallen zusammen. Die Flächen konstanter Wirkung wandern durch den Raum; dies bedeutet eine Ähnlichkeit mit der Optik, wo die Wellenflächen ebenfalls durch den Raum wandern und die Lichtstrahlen orthogonale Trajektorien sind (s. Abbn. 12.7 und 12.8).\nAbbildung: Der schräge Wurf im Schwerefeld. Die strichlierten Kurven geben Wurfparablen zum gleichen Wert der Gesamtenergie und des transversalen Impulses const. Die ausgezogenen Kurven entsprechen den Flächen = const. Die Flächen, hier Kurven = const. haben die gleiche Gestalt; sie streichen aber im Laufe der Zeit über die Kurven = const. hinweg.\nAbbildung: Die strichlierten Kurve ist eine Wurfparabel; die Punkte geben die Lagen des Massenpunktes für gleiche Zeitintervalle. Die Kurven durch die Punkte geben die Kurven = const. Eine Simulation des Vorganges findet sich im Notebook: K12WPlot.nb.\nIn §12.7 wurde ein vollständiges Integral der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung für gewisse eindimensionale Probleme durch Raten gefunden. Diese Vorgangsweise wird umso schwieriger, je größer die Zahl der Variablen, d.h. je größer der Freiheitsgrad ist. Ein in gewissen Fällen verwendbares Verfahren zum Auffinden eines vollständigen Integrales der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung (12.102\nist Separation. Es wird angenommen, daß das vollständige Integral die folgende Form hat:\ndarf nur von der einzigen Variablen abhängen. Wenn es gelingt, durch einen derartigen Ansatz die partielle Differentialgleichung (12.112) in f gewöhnliche Differentialgleichungen der Form\naufzuspalten, dann heißt das betreffende System separabel. Die Separierbarkeit der Differentialgleichung (12.112) hängt vom physikalischen System (also von der Hamiltonfunktion) und von der Wahl der (krummlinigen) Kooridnaten ab. Z.B. ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung für ein konservatives System mit sphärischem Potential in Kugelkoordinaten separabel, im allgem. aber nicht in anderen, z.B. in Kartesischen. Ein System heißt separabel, wenn es irgendwelche Koordinaten gibt, in denen die eben beschriebene Separation der Hamilton-Jacobi-Gleichung möglich ist.\nDann können die Gln. (12.114) nach der einzigen auftretenden Ableitung aufgelöst und integriert werden.\nInsbesondere ist ein System separabel, wenn alle Variablen bis auf eine, z.B. , zyklisch sind:\nDie Anteile für die Variablen der verkürzten Wirkungsfunktion sind damit bekannt; für den Summanden der nichtzyklischen Variablen erhält man eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, nach deren Integration die gesamte verkürzte Wirkungsfunktion gefunden ist:\nEin Beispiel für diesen Fall ist das ebene Zentralkraftproblem, in dem die Variable zyklisch ist.\nDie verkürzte Wirkungsfunktion ist:\nDer zu gehörige Anteil genügt der Differentialgleichung\nWir werden die Integration nicht ausführen, sondern schreiben nur\nDamit findet man gemäß Gl. (12.107) das Endresultat\nDie erste Gleichung gibt die Zeit als Funktion des Radius , nach der Inversion den Radius als Funktion der Zeit. Die zweite Gleichung gibt . Beide Lösungen hängen von den Integrationskonstanten , , und ab.\nZuerst betrachten wir die Bewegung eines konservativen Systems mit einem Freiheitsgrad, = 1. Der Zustand wird durch das Paar kanonisch konjugierter Variablen und beschrieben. Ein System heißt periodisch, wenn es nach einer endlichen Zeitdauer wieder im gleichen Zustand ist.\nDiese allgemeine Bedingung folgt bereits aus dem Fall mit n = 1:\nDenn jeder andere Wert von n kann durch fortgesetzte Anwendung von (12.122) erreicht werden. Bei einer periodischen Bewegung ist die Bewegung auf einen endlichen Bereich im Ortsraum beschränkt. Doch müssen die Variablen, die die Bewegung beschreiben, nicht endlich bleiben. Aus der Theorie des mathematischen Pendels, §12.2.2, Abb. 12.2, kann man dies ersehen. Bei rotiert das Pendel, die Koordinaten , sind zwar endlich, , ; jedoch der Winkel wächst von bis (oder umgekehrt). Abgesehen von der Limitationsbewegung, sind zwei Fälle möglich: Libration bzw. Nutation. Bei Libration gehorchen beide Variablen und den Bedingungen (12.122); bei Nutation weist eine Periode auf. Zieht man diese heraus, so erfüllt der Rest von und wieder (12.122), s. Abb. 12.9.\nAbbildung 12.9: a) Libration (Oszillation) b) Nutation (Rotation)\nFür ein konservatives System, das den Periodizitätsbedingungen (12.122) genügt, wird nun ein vollständiges Integral der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung (12.102) aufgesucht. Dies liefert die erzeugende Funktion , Gl. (12.103), einer kanonischen Transformation\nderart, daß für die neuen Variablen und gilt:\nDurch diese Vorgangsweise sind und noch nicht völlig eindeutig bestimmt. Es gibt ein kanonisch konjugiertes Variablenpaar, das besonders zweckmäßig ist, die Wirkungsvariablen J und die Winkelvariable w. Letztere ist so normiert, daß die Periodizitätsbedingungen lauten\ndie Periode also den Wert 1 hat. Z.B. beim Harmonischen Oszillator, Gl. (12.95) und (12.96), kann man setzen:\nFür und lauten die kanonischen Gleichungen (12.107):\nBei Zutreffen der Bedingung (12.125) kann man die Grundfrequenz des Systems sofort aus der neuen Hamiltonfunktion bestimmen\nIn Fällen, wo man sich nur für die Grundfrequenz des Systems, nicht so sehr für Details der Bewegung interessiert, ist dieses Verfahren sehr bequem.\nBeweis der Gl. (12.127): Die periodische Form aus (12.125) läßt sich in eine Fourierreihe entwickeln:\nAndererseits kann man eine periodische Funktion mit der Grundfrequenz in folgende Fourierreihe entwickeln:\nVergleich von (12.128) mit (12.129) gibt unter Beachtung von (12.126):\nOben ist die Wirkungsvariable als die zur zyklischen, auf die Periode 1 normierten Winkelvariable kanonisch konjugierte Variable definiert worden. Eine für die praktische Berechnung bequemere Definition ist die durch das Phasenintegral:\nDarin erstreckt sich das Integral über eine vollständige Periode des Systems. Die Äquivalenz dieser Definition des Paares , mit der vorhergehenden wird bewiesen, indem gezeigt wird, daß w um 1 zunimmt, wenn das System eine volle Periode durchläuft. Aus der erzeugenden Funktion folgt:\nBetrachtet man gemäß (12.131) als Funktion von und , gilt für das Differential:\nDa gemäß Gl. (12.126) const. ist, gilt für jede Phasenbahn . Danach wird noch Gl. (12.131b) eingesetzt. Die totale Änderung von für den Umlauf des Systems um eine Periode ist 1, wenn für das Phasenintegral (12.130) eingesetzt wird:\nZum Schluß das Ganze als einfaches Rezept zusammengefaßt: Aus der Hamiltonfunktion berechnet man den Impuls als Funktion von und ; damit das Phasenintegral als Funktion von . Inversion gibt als Funktion von , damit die neue Hamiltonfunktion . Die Grundfrequenz ist die Ableitung von nach .\nz.B. beim Harmonischen Oszillator ist die Hamiltonfunktion\nDas Phasenintegral entspricht der Fläche, die von der zum Wert gehörigen elliptischen Phasenbahn (Abb. 12.1) eingeschlossen wird.\nEin System von mehreren Freiheitsgraden, 1, ist im allgemeinen nicht periodisch, selbst wenn jedes der kanonisch konjugierten Paare für sich periodisch ist:\nZ.B. Für einen zweidimensionalen Harmonischen Oszillator, der in der x-Richtung die Frequenz , in der y-Richtung die Frequenz aufweist, lautet eine partikuläre Lösung:\nIst das Verhältnis : eine rationale Zahl (`` und sind kommensurabel''), dann gibt es eine Superperiode , nach der das System wieder seinen Ausgangszustand erreicht. Die Bahn ist eine LISSAJOUS-Kurve (Abb. 4.12(a)). Sind und (damit auch und ) inkommensurabel, dann nimmt ein System einen einmal durchlaufenen Zustand nie wieder an. Im Ortsraum füllt die Bahn das Rechteck , allmählich vollständig aus, (Abb. 4.12(b)); ebenso wird im Phasenraum ein Parallelelepiped von der Phasenbahn vollständig erfüllt.\nGanz allgemein ist bei mehreren Freiheitsgraden eine Bewegung nur dann periodisch, wenn die Perioden , ,..., der einzelnen Bewegungsrichtungen paarweise kommensurabel sind. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, dann kehrt das System nie zu irgendeinem in der Vergangenheit angenommenen Zustand zurück, obwohl es in jedem Variablenpaar , für sich periodisch ist. Ein solches System heißt mehrfach periodisch oder fastperiodisch. Wieder können die Koordinaten in eine -fache Fourierreihe entwickelt werden ( )\nIst das System separabel, dann kann man ein vollständiges Integral\nder Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung (12.102) finden; dieses ist die Erzeugende einer kanonischen Transformation, die das System , in ein zyklisches ( , ) überführt. Wir normieren alle wieder auf Periode 1, so daß wir einen Satz von Winkelvariablen und Wirkungsvariablen erhalten\nDie letzte Gleichung impliziert wieder:\nWieder folgt aus dem Vergleich von (12.134) mit (12.136) unter Beachtung von (12.135), daß die Grundfrequenzen des Systems aus der Hamiltonfunktion berechnet werden können:\nDie Wirkungsvariablen können auch durch das Phasenintegral\ndefiniert werden. Das Integral ist über eine volle Periode der Variablen zu erstrecken. Wir zeigen, daß die zugehörige Winkelvariable\neinen Zuwachs von 1 erfährt, wenn eine Periode durchläuft; während sich nicht ändert, wenn eine volle Periode durchläuft. Einer Änderung von (bei fixen , ) entspricht folgendes Inkrement von\nFür eine volle Periode beträgt die Änderung von\nAls Anwendung der in §12.8 entwickelten Theorie wird die Lösung des Zentralkraft- und des Keplerproblems durch Separation der zugehörigen Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung für die verkürzte Wirkungsfunktion vorgeführt. In Kugelkoordinaten lautet diese:\nWir machen den Separationsansatz:\nund schreiben damit Gl. (12.140) um\nDie linke Seite dieser Gleichung hängt nur von und von ab, die rechte nur von . Die beiden Seiten können nur identisch sein, wenn jede gleich einer (noch unbestimmten) Konstanten ist, die genannt wird. Die Differentialgleichung für kann sofort gelöst werden\nDie linke Seite von Gl. (12.142) wird wieder in zwei Teile gespalten\ndie linke (rechte) Seite hängt nur von ab; jede muß für sich gleich einer Konstanten sein\nDie Separation ist damit vollständig durchgeführt. Das obige Integral (12.145) könnte elementar als unbestimmtes Integral ausgeführt werden; ebenso (12.145) für das Coulomb- ( ) oder Oszillatorpotential ( ). Dies ist langwierig. Darum beschränken wir uns hier auf die Phasenintegrale, die als bestimmte Integrale mit komplexen Methoden berechnet werden können. Hier geben wir nur die Resultate an.\nSobald das letzte Integral ausgeführt worden ist, kann der resultierende Ausdruck nach der Gesamtenergie aufgelöst werden. Damit erhalten wir diese und damit die Hamiltonfunktion als Funktion der Wirkungsvariablen:\nFür die Frequenzen des Systems folgt gemäß Formel (12.137)\nDie Gleichheit ergibt sich, weil der Integrand von (12.147c) nur von der Summe abhängt. Das System hat daher höchstens zwei verschiedene Eigenfrequenzen und , es ist entartet. Diese Entartung hängt zusammen mit der Ebenheit der Bahn im Zentralfeld.\nDie Auswertung von (12.147c) für ein Coulombpotential ergibt:\nAuflösen nach gibt:\nFür das Coulomb- oder Newtonpotential hängt die neue Hamiltonfunktion nur von der Summe ab, daher ist . Es gibt nur eine einzige Eigenfrequenz des Systems (zweifache Entartung).\nObige Resultate werden benützt für die Quantisierung mittels der BOHR-SOMMERFELDSCHEN Phasenintegralmethode:\nDie Quantenzahlen , , werden zusammengefaßt zur Hauptquantenzahl\nDamit ergibt sich für die Energieeigenwerte des Einelektronenproblems:\nEs ist eine bekannte Schwierigkeit der BOHR-SOMMERFELDSCHEN Theorie, daß nicht aus ersten Prinzipien angegeben werden kann, welche Wertemengen für die Quantenzahlen , , zugelassen werden, sondern daß dies aus den experimentellen Daten erschlossen werden muß. Diese Schwierigkeit fällt in der Quantenmechanik fort.\nWer nähere Details zur Berechnung der Phasenintegrale (12.147) erfahren möchte, kann sich direkt an den Vortragenden (B. S.) wenden.