H Bridgestone λανσάρει 4 νέα λάστιχα μοτοσυκλέτας | moto-choice.com\nH Bridgestone λανσάρει 4 νέα λάστιχα μοτοσυκλέτας\nTα τέσσερα νέα Bridgestone που θα παρουσιαστούν τους πρώτους μήνες του 2014 είναι:\n• Battlax Racing R10 EVO: νέα κατασκευή, νέα γόμα\n• Battlax Racing V02: τελευταία τεχνολογία από το MotoGΡ, για τις superbikes\n• Battlecross X30 and X40: νέα τεχνολογία πέλματος motocross για μεσαία και σκληρά εδάφη.\nΤο Battlax Hypersport S20 ήταν ο νικητής του Motorrad στο τεστ του 2012 και 2013. Οι μηχανικοί βελτίωσαν την κατασκευή και τη γόμα με στόχο να αυξήσουν τη διάρκεια ζωής του πίσω ελαστικού και να βελτιώσουν το κράτημα - πρόσφυση στη στροφή σε μεγάλες κλίσεις. Οι δοκιμές έδειξαν ότι το Battlax Hypersport S20 EVO έχει 22% μεγαλύτερη διάρκεια ζωής από την προηγούμενη έκδοση και σημαντικά βελτιωμένη σταθερότητα στη στροφή και πρόσφυση είτε στην πίστα είτε στο δρόμο. Το Battlax Hypersport S20 EVO θα είναι αρχικά διαθέσιμο σε μια μόνο διάσταση μπροστά και τέσσερις πίσω, ενώ θα είναι διαθέσιμο από τον Μάρτιο 2014.\nBattlax Racing R10 EVO: νέα κατασκευή, νέα γόμα\nΟ σκοπός της αναβάθμισης του Battlax Racing R10 είναι να βελτιώσει τους χρόνους επιτυγχάνοντας μεγαλύτερη ταχύτητα στη στροφή από το μπροστινό τροχό και αυξάνοντας την πρόσφυση και την ομοιογένεια του πίσω. Για να το κάνει αυτό η Bridgestone βελτίωσε την κατασκευή του μπροστινού (με διάσταση 120/70R17) για να πετύχει μεγαλύτερη επιφάνεια επαφής κατά 10% που αυξάνει την πρόσφυση στον εγκάρσιο άξονα. Αυτή η επιπλέον πρόσφυση στη στροφή δίνει στον οδηγό περισσότερες επιλογές στην επιλογή γραμμής και ακόμη νωρίτερη έξοδο που έχει σαν αποτέλεσμα καλύτερες εξόδους και πιο γρήγορο στρίψιμο. Επίσης η βελτίωση της γόμας στο πίσω ελαστικό προσδίδει στο Battlax Racing R10 EVO καλύτερη εγκάρσια και διαμήκη πρόσφυση σε όλο το φάσμα θερμοκρασιών του ελαστικού, μεγαλύτερη διάρκεια ζωής και πιο συγκροτημένη απόδοση σε σχέση με το ελαστικό που αντικαθιστά.\nBattlax Racing V02: τελευταία τεχνολογία από το MotoGP, για τις superbikes\nΤο Battlax Racing V02 είναι η εξέλιξη του Battlax Racing V01, και υπόσχεται να δώσει στους οδηγούς των superbikes καλύτερους χρόνους στην πίστα και μεγαλύτερη διάρκεια ζωής του ελαστικού χάρις στην τεχνολογία της Bridgestone από το MotoGP στην κατασκευή και στην γόμα του ελαστικού. Καταρχήν η πρόσφυση και σταθερότητα για Superbike ανεβαίνουν σε άλλο επίπεδο από την νέα κατασκευή GP-Belt στο πίσω λάστιχο που βελτιώνει την επιφάνεια επαφής του ελαστικού και αυξάνει την πίεση στην επαφή άρα και την απόδοση. Ταυτόχρονα η νέα μαλακή γόμα προσθέτει περισσότερη πρόσφυση σε όλη τη ζώνη πέλματος με τη σωστή θερμοκρασία, αυξάνοντας την απόδοση στο αρχικό ζέσταμα και προσδίδοντας στους οδηγούς αίσθημα ασφάλειας και σιγουριάς. Αυτή η αυξημένη πρόσφυση σε συνδυασμό με την ομοιογένεια απόδοσης του ελαστικού κατεβάζουν κατά 1 δευτ. τους χρόνους του Racing Battlax V02 σε σχέση με το σημερινό V01 αγωνιστικό λάστιχο.\nBattlecross X30 και X40: προχωρημένη τεχνολογία πέλματος για μεσαία και σκληρά εδάφη.\nΗ Bridgestone έχει επίσης ενισχύσει τη θέση της στα ελαστικά motocross (MX) με το Battlecross X30 για μεσαία εδάφη και το Battlecross X40 για σκληρά εδάφη. Με το νέο όνομα Battlecross και τα δύο ελαστικά εκμεταλλεύονται τη διάταξη πέλματος της Bridgestone και τη σχεδίαση των τακουνιών που έχουν εξελιχθεί και δοκιμαστεί στο υψηλότερο επίπεδο των αγώνων motocross. Από το 2005 η Bridgestone έχει τερματίσει στο βάθρο 46 φορές σε όλες τις κατηγορίες των πιο φημισμένων πρωταθλημάτων: το FIM Motocross World Championship, το AMA Pro MX Championship και το JMX Championship. Τα Battlecross X30 και X40 κάνουν αυτή τη τεχνολογία διαθέσιμη στους οδηγούς κάθε επιπέδου. Tα νέα Battlecross X30 και X40 με το νέο πέλμα έχουν ασύμμετρη διάταξη τακουνιών δεξιά κι αριστερά που παρέχει υψηλή σταθερότητα κατά το φρενάρισμα κι επιτάχυνση αλλά και πρόσφυση που παρέχει σιγουριά σε όλες τις κλίσεις. Δοκιμές έδειξαν ότι και τα δύο νέα μπροστινά λάστιχα παρέχουν σημαντικά καλύτερο κράτημα σε σχέση με τα σημερινά Bridgestone M403 και M603 που αντικαθιστούν. Tα πίσω ελαστικά κατασκευάζονται με την νέα τεχνολογία της Bridgestone που λέγεται Castle Block και εισάγει τα κυρτά τακούνια. Αυτό σημαίνει καλύτερη ακμή για βελτιωμένη επιτάχυνση, στρίψιμο και χρόνους. Επίσης για; πρώτη φορά στο motocross, η Bridgestone ανέπτυξε την τεχνολογία Cooling Fin στα X30 και X40 πίσω ελαστικά η οποία ελαττώνει την θερμότητα από επαναλαμβανόμενες παραμορφώσεις του σκελετού, και βοηθά στο να διατηρηθεί η ομοιογένεια της απόδοσης. Τα Battlecross X30 για μεσαία εδάφη θα είναι διαθέσιμα στην Ευρώπη σε δύο διαστάσεις για το μπροστινό και τέσσερις για το πίσω από τον Απρίλιο του 2014. Τα Battlecross X40 για σκληρά εδάφη θα είναι διαθέσιμα με μία διάσταση για το μπροστινό και τρεις για το πίσω από τον Μάιο του 2014.


ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΕΝΑΡΙΟΓΡΑΦΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ\nΑΠ' ΤΟΝ ΠΑΡΑΔΕΙΣΟ ΑΠ' ΕΞΩ\nΚωδ. Πολιτείας: 6100-0001\n"Απ' τον Παράδεισο απ' έξω": Χαιρέτησες τον αδερφό σου, άφησες πίσω το χωριό σου, στο παραθύρι τη Μαρία, για τη δική σου ευκαιρία. Έφτασες για σπουδές στην πόλη κι εκεί σε περίμεναν όλοι: νέοι εχθροί και νέοι φίλοι, μα εσύ δεν είδες το φυτίλι. Άναψε καύτρα το τσιγάρο, και είδες μαύρο, σαν τον χάρο, καπνό να στρίβει τα όνειρά σου και να τα σέρνει μακριά σου. Έγινε ο χρόνος σαν ποτάμι που παρασέρνει τ' ασφεντάμι κι εσύ χωρίς κουπιά πιρόγα. Ψυχή που σβήνει σαν τη φλόγα. Ικέτεψες για σωτηρία και τότε ήρθε η Μαρία. Σαν άγγελος...\nΚωδ. Πολιτείας: 6100-0005\nΠολυνομία, κακονομία, ανομία, ο τίτλος του θέματος είναι μάλλον πλεοναστικός διότι στην ουσία κατά την κοινή συνείδηση πρόκειται περί του ενός και ιδίου ζητήματος, ιδομένου από διαφορετικές πλευρές, που όμως συγχέεται τόσο πολύ στα διαχωριστικά όρια σε σημείο, που όλα επικαλύπτονται και θα μπορούσαμε να περιγράψαμε την όλη κατάσταση σε απλά νεοελληνικά με την λέξη "μπάχαλο", που κατά Μπαμπινιώτη σημαίνει "κατάσταση μεγάλης σύγχυσης, ανακατωσούρα και ετυμολογικά ηχομιμητική προς ανάλογες εκφράσεις. Συνεπώς τουλάχιστον ηχητικά αλλά και ουσια...\nΟ ΒΑΡΚΑΡΗΣ ΤΗΣ ΝΗΣΗΛΙΟΣ\nΚωδ. Πολιτείας: 6100-0004\nΉταν μια μέρα σαν κι' αυτές που νοιώθει κανείς μια ευδαιμονία σαν ευλογία, όπως όταν απορροφάς τους στίχους του "Άξιον Εστί" κι' αναγαλλιάζει μαζί με το πέλαγο και το σπλάγχνο σου και η "αιωνιότητα Ψυχή", ιδίως όταν βρίσκεσαι στην Νησήλιο, - το ποιητικό και πνευματικό όνομα της αρχαίας Ωλίαρος, της σύγχρονης ηλιοφιλημένης Αντίπαρος, μες στο πέταλο του γαλαζοπράσινου κόλπου με τους αγέρωχους βράχους, που ξεπετάγονται μέσα από την θάλασσα σαν αμφίβια αλόγα. [...] (Από την έκδοση)...\nΚωδ. Πολιτείας: 6100-0000\n"Γιουτάν": Ας ήταν να ταξίδευα στη μακρινή Ασία και να 'βρισκα τα άνθη αυτά που φέρνουν ευτυχία. Απόψε τα μεσάνυχτα θα φύγω μακριά σου για να 'βρω τ' άνθη, της Γιουτάν και να χαρεί η καρδιά σου. Φτερά θα βάλω στην ψυχή κι απόψε θα πετάξω κι ως το πρωί αγάπη μου σε σένα, θε να φτάσω. Θα ψάξω, σ' όλα τα βουνά θα ψάξω, μες τα δάση μα θα τα βρω αγάπη μου ο κόσμος, να χαλάσει! Στο χρόνο μέσα θα διαβώ το θρύλο, να γνωρίσω, και ως το πρωί αγάπη μου για σε, θα ξανανθίσω. Θα γίνω, το άνθος της Γιουτάν για λίγο, πάλι εμπρός σου να έρ...\n100 ΕΤΗ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ ΣΤΟΝ ΚΙΝΗΜΑΤΟΓΡΑΦΟ - ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ\nΚωδ. Πολιτείας: 6100-0003\nΗ Ένωση Σεναριογράφων Ελλάδος, στις Εκδόσεις τους, σας προτείνει τέσσερις σειρές βιβλίων, την ΟΘΟΝΗ για τα οπτικοακουστικά έργα και κυρίως τα σενάρια, την ΘΕΩΡΙΑ για τα επιστημονικά συγγράμματα, τις διαλέξεις και τις διατριβές, την ΓΡΑΦΗ για όλα τα λογοτεχνικά είδη, από τα ποιήματα έως τα μυθιστορήματα, και την ΜΑΡΤΥΡΙΑ για τα άρθρα και τις συνεντεύξεις, τις βιογραφίες και τις αυτοβιογραφίες. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)...\nΔΑΛΙΑΝΙΔΗΣ - ΚΑΜΠΑΝΕΛΛΗΣ - ΚΟΝΤΕΛΛΗΣ - ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ - ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ\nΚωδ. Πολιτείας: 6100-0002\nΗ Ένωση Σεναριογράφων Ελλάδος τολμά, παρά την κρίση, να συστήσει εκδοτικό οίκο και να εξέλθει στην αγορά του βιβλίου προτείνοντας στο κοινό τέσσερις ειδικές σειρές. Την ΟΘΟΝΗ, για οπτικοακουστικά έργα, και κυρίως σενάρια, την ΘΕΩΡΙΑ, για επιστημονικά συγγράμματα, δοκίμια και διατριβές, την ΓΡΑΦΗ, για όλα τα λογοτεχνικά είδη όπως τα θεατρικά έργα, τα ποιήματα, τα διηγήματα κ.ά., και τέλος την ΜΑΡΤΥΡΙΑ, που αφορά άρθρα, συνεντεύξεις, βιογραφιών και αυτοβιογραφιών περιλαμβανομένων. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)...


FISH FINDER TruEcho CHIRP WITH UNIQUE FISH SIZE INDICATOR Model FCV-1900G | FURUNO\nFISH FINDER TruEcho CHIRP\nWITH UNIQUE FISH SIZE INDICATOR\nΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΟΥΣ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ ΨΑΡΙΩΝ\nFISH FINDER TruEcho CHIRP WITH UNIQUE FISH SIZE INDICATOR Model FCV-1900G\nΥψηλής ακρίβειας γράφημα μεγέθους ψαριού για αποτελεσματική και βιώσιμη αλιεία.\nΤο FCV-1900G διαθέτει έναν μοναδικό δείκτη μεγέθους ψαριού που χρησιμοποιεί την τεχνολογία TruEcho CHIRP ™ για ακριβείς εκτιμήσεις του μεγέθους των ψαριών και της κατανομής του μεγέθους σε κοπάδια αυτών.\nΚατηγορία: Ναυτιλιακός Εξοπλισμός\nΤο FCV-1900G διαθέτει έναν μοναδικό δείκτη μεγέθους ψαριού που χρησιμοποιεί την τεχνολογία TruEcho CHIRP ™ για ακριβείς εκτιμήσεις του μεγέθους των ψαριών και της κατανομής του μεγέθους σε κοπάδια αυτών. Μπορείτε να αναλύσετε με ακρίβεια τα κοπάδια ψαριών από ρηχά έως βαθιά νερά.\nΠροσδιορίζει το μέγεθος και την κατανομή με το γράφημα μεγέθους ψαριού για αυξημένη απόδοση στη θάλασσα.\nΜε μια γρήγορη ματιά στο απλό και αποτελεσματικό γράφημα, μπορείτε να λάβετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε για να προσδιορίσετε το μέγεθος και την κατανομή των ψαριών. Μόλις μάθετε το μέγεθος των ψαριών και την κατανομή του, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτές τις πληροφορίες για να εκτιμήσετε το είδος του και αν αυτό είναι βιώσιμος στόχος ή όχι. Μαζί με την τεχνολογία TruEcho CHIRP ™, το FCV-1900G σας επιτρέπει να επιλέξετε την καλύτερη θέση για να ρίξετε το δίχτυ σας. Στη συνέχεια, με βάση το γράφημα μεγέθους ψαριού, μπορείτε να επιλέξετε το ανάλογο μέγεθος πλέγματος για αποτελεσματικότερη απόδοση.\n(Συνιστάμενοι μετατροπείς: CM265LH ή CM599LH)\nΗχώ υψηλής ανάλυσης από ρηχά έως βαθιά νερά κατέστη πλέον δυνατή χάρη στην τεχνολογία TruEcho CHIRP ™.\nΑπολαύστε απίστευτη ακρίβεια ηχώ, ακόμη και σε βαθιά νερά χάρη στην τεχνολογία TruEcho CHIRP ™. Το FCV-1900G είναι κατάλληλο για μηχανότρατες όπου απαιτούνται ακριβείς και αξιόπιστες πληροφορίες σχετικά με τον πυθμένα της θάλασσας. Χρησιμοποιώντας το γράφημα μεγέθους ψαριού, η επιλογή του σωστού στόχου γίνεται απλή, επιτρέποντάς σας να μεγιστοποιήσετε τον χρόνο σας στη θάλασσα, αποφεύγοντας παράλληλα τις περιττές παρεμβάσεις.\nΕμφάνιση έως και τεσσάρων διαφορετικών συχνοτήτων.\nΕμφανίστε έως και τέσσερις διαφορετικές συχνότητες μαζί με έναν συμπαγή και εύκολο τρόπο, συνδέοντας ένα απαιτούμενο δίκτυο εύρεσης ψαριών. Επειδή δεν υπάρχει ανάγκη εγκατάστασης πρόσθετων οθονών, αυτό το σύστημα είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για μικρά σκάφη.\nΤαυτόχρονη ρύθμιση ωφέλειας για αυξημένη ορατότητα.\nΕμφάνιση δύο διαφορετικών ρυθμίσεων ωφέλειας ταυτόχρονα για αυξημένη ορατότητα στις μεταβαλλόμενες συνθήκες νερού και κατά την αλλαγή της ταχύτητας του σκάφους.\nΜηδενική απόρριψη γραμμής.\nΠαρατηρήστε καθαρούς αντηχείς μόλις 3 μέτρα κάτω από το σκάφος σας με Zero Line Rejection, επιτρέποντάς σας να αναλύσετε καλύτερα τη στήλη νερού από κοντά έως μακριά.\nΒελτιωμένη μονάδα ελέγχου για απλή λειτουργία.\nΗ μονάδα ελέγχου διαθέτει αδιάβροχη επιφάνεια αφής που λειτουργεί ακόμη και όταν φοράτε λαστιχένια γάντια. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την επιφάνεια αφής για τη ρύθμιση VRM και TLL στιγμιαία.\nSchool of fish with fish size histogram\nSchool of fish close to the sea bed\n•\tProcessor unit (FCV-1901)\n•\tControl unit (FCV-1902)\n•\tSpare parts\n•\tInstallation materials\nOptional (Προαιρετικός εξοπλισμός)\n•\tInterface unit\n•\tEthernet hub\n•\tJunction box\n•\tBooster box\n•\tTemperature sensor\n•\tAC/DC power supply unit\n•\tInstallation material\n•\tCable assembly\n•\tCable assembly (for transducer extension)\nPixel Landscape XGA（1024×768）\nΣυχνότητα 15 kHz to 200 kHz, Free Syntheziser\nΜετατροπέας 1, 2 ή 3 kW\nΕύρος Κλίμακας (Range Scale) Depth range: 5 to 3000 m\nExpansion range : 2 to 200 m\nPulselength & PRR 10 to 2700 pulses/min (5 to 3000 m range, normal mode)\nΛειτουργία Προβολής (Display Mode) Single (HF/LF), Dual-frequency, Zoom, User 1/2\nUser 1/2 available to use mixture, multi-gain, tele sounder and external sounder display\nΜετατόπιση εύρους 2000 m max.\nACCU-FISH™ 2 m depth or more, απαιτείται καθορισμένος μετατροπέας\nΔιαχωρισμός του βυθού Range : 5 to 100 m, Speed : 10 kn or less, BBDS1 απαιτείται\nΠαροχή ηλεκτρικού ρεύματος 12-24 VDC: 8.3-3.9 A\nΜέγεθος Processor Unit : 339 (H) x 280 (W) x 300 (D)\nControl Unit : 45 (H) x 310 (W) x 100 (D)\nΒάρος Processor Unit : 10.2 kg\nControl Unit : 1.1 kg


Από τον βορρά μέχρι το νότο "ταξιδεύουμε" σε 5 πανέμορφα ελληνικά ορεινά χωριά\nΑρχική Travel Από τον βορρά μέχρι το νότο “ταξιδεύουμε” σε 5 πανέμορφα ελληνικά ορεινά...\nΑπό τον βορρά μέχρι το νότο “ταξιδεύουμε” σε 5 πανέμορφα ελληνικά ορεινά χωριά\nΟι παρακάτω ελληνικοί προορισμοί είναι ιδανικοί για ένα μικρό ή μεγαλύτερο ταξίδι κάθε εποχή του χρόνου -αν μπορούσαμε να ταξιδέψουμε. Μέχρι να μπορέσουμε ας κάνουμε μια όμορφη βόλτα σε 5 πανέμορφα ελληνικά χωριά ξεκινώντας από τη Φλώρινα και φτάνοντας μέχρι την Αρκαδία…\nΔείτε τα και κάντε τα ταξιδιωτικά σας πλάνα!\nΠερίπου 60 χιλιόμετρα από την πόλη της Φλώρινας, το αρχοντικό αυτό χωριό είναι σκαρφαλωμένο σε υψόμετρο 1.350 μέτρων και οι ταξιδιωτικοί οδηγοί χαρακτηρίζουν ως ένα από τα δέκα ομορφότερα χωριά της Ευρώπης. Το δάσος οξιάς, τα λιθόστρωτα μονοπάτια, τα πέτρινα σπίτια, το τοξωτό ξύλινο γεφυράκι, η μικρή, γραφική, πλακόστρωτη πλατεία είναι μερικές μόνο από τις ομορφιές του.\nΣτον νομό Ιωαννίνων, η Βίτσα αποτελεί άλλον ένα ορεινό οικισμό στο βόρειο τμήμα του νομού, στο Κεντρικό Ζαγόρι, στην είσοδο του φαραγγιού του Βίκου. Η Βίτσα είναι ένα οικιστικό σύνολο που διακρίνεται για την ενότητα των λιθόκτιστων οικιών, εκκλησιών, δρόμων και πλατειών του, που το καθιστούν ένα από τα πιο αντιπροσωπευτικά χωριά των Ζαγοριών του Κεντρικού Ζαγορίου.\nΔιαβάστε ακόμα: Μαραθονήσι: Το μικροσκοπικό νησί του Ιονίου που μοιάζει με εξωτική όαση και έχει κατοίκους μόνο χελώνες!\nΔάση από έλατα, πλακόστρωτη πλατεία με πλατάνια, καταρράκτης και νερά να ρέουν, πέτρινα μονοπάτια, εκκλησάκια του 19ου αιώνα κι όλα αυτά σε υψόμετρο άνω των 800 μέτρων. Αυτό είναι η Αγόριανη, γνωστή και ως Επτάλοφος, στις βορειοανατολικές πλαγιές του Παρνασσού, η οποία δεν απέχει πολύ από τη δράση, αφού σε 15 χιλιόμετρα βρίσκονται τα χιονοδρομικά, για όσους αναζητούν σκι και δραστηριότητες όταν μπει ο χειμώνα.


Η Ιερά Σύνοδος ζητάει την ταυτότητα της Ν.Δ.\nΗ αξίωση για απόσυρση νομοσχεδίου κρίνει αν η Ν.Δ. θέλει να... μείνει Ευρώπη. Πόσο μάλλον που η υποδοχή στο Βατικανό ατόμου που άλλαξε φύλο δίνει το μέτρο σύγκρισης\nΗ κάθε ιεραρχία επιλέγει τον τρόπο που θα ζει μέσα στην κοινωνία. Οι ωμές πολιτικές παρεμβάσεις της όμως, ιδίως όταν φτάνουν στο σημείο να ζητούν την απόσυρση ενός νομοσχεδίου, το οποίο μάλιστα δεν άπτεται καν θεμάτων θεολογικού ενδιαφέροντος, αφορά στο σύνολο των πολιτικών δυνάμεων και όχι μόνο την κυβέρνηση, η οποία έχει τη νομοθετική πρωτοβουλία.\nΤο νομοσχέδιο για την ταυτότητα φύλου, όπως άλλωστε κάθε νόμος, έρχεται να αντιμετωπίσει μια κοινωνική πραγματικότητα και να ρυθμίσει πολύ συγκεκριμένες ανάγκες, με επιστημονικά παραδεκτό τρόπο. Η πολιτική αντιπαράθεση θα έπρεπε να εστιάζει σε αυτό το σημείο. Στο τέλος του 2017, η πολιτική και επιστημονική συζήτηση -σε μια ευρωπαϊκή χώρα τουλάχιστον- δεν είναι νοητό να γίνεται σε επίπεδο "Αδάμ και Εύα, Κάιν και Άβελ", επίπεδο στο οποίο, δυστυχώς, επιλέγει να κινηθεί η Ιερά Σύνοδος.\nΑν η Ιερά Σύνοδος έμενε εκεί, θα κρινόταν απλώς για τον τρόπο που επιλέγει να αντιμετωπίσει την κοινωνική και επιστημονική πραγματικότητα από τη σκοπιά μιας θρησκείας που θέλει να μιλά στο όνομα της αγάπης στον πλησίον. Οπότε, αναγκαστικά, θα συγκρινόταν με την παρέμβαση του Πάπα Φραγκίσκου, που πέρυσι αποκάλυψε ότι δέχτηκε στο Βατικανό μια Ισπανίδα που επέλεξε να αλλάξει φύλο και, ως άντρας πια, παντρεύτηκε. "Μου έγραψε ότι θα ήταν παρηγοριά να έρθει σε μένα. Τους δέχτηκα" αφηγήθηκε στους δημοσιογράφους ο Φραγκίσκος, στηλιτεύοντας παράλληλα τη στάση του νεότερου ενοριακού ιερέα τής γειτονιάς τους, που τους έβλεπε και φώναζε "Θα πάτε στην κόλαση!", ενώ ο γηραιότερος τους καλούσε στην εκκλησία. "Η ζωή είναι ζωή και τα πράγματα πρέπει να τα παίρνουμε όπως έρχονται. Η αμαρτία είναι αμαρτία. Οι τάσεις ή οι ορμονικές ανισορροπίες δημιουργούν τόσα προβλήματα και πρέπει να είμαστε προσεκτικοί όταν λέμε ότι όλα είναι τα ίδια: Κάθε περίπτωση πρέπει να την υποδεχόμαστε, να τη συνοδεύουμε, να τη μελετούμε, να την ξεχωρίζουμε και να την ενσωματώνουμε. Αυτό θα έκανε ο Ιησούς σήμερα" αποφάνθηκε για να καταλήξει: "Είναι ένα ανθρώπινο πρόβλημα, ηθικό. Και πρέπει να επιλυθεί όπως είναι εφικτό, πάντα με το έλεος του Θεού, με την αλήθεια, αλλά πάντα με την ανοιχτή καρδιά".\nΗ σύγκριση είναι καταλυτική. Οπότε, ας επιστρέψουμε στην πολιτική. Η αξίωση της Ιεράς Συνόδου να αποσυρθεί το νομοσχέδιο προσβάλλει το σύνολο του πολιτικού κόσμου, που δεν είχε καν θέσει τέτοιο θέμα. Στην πραγματικότητα, η Ιερά Σύνοδος δεν πιέζει την Αριστερά, την ταυτότητα της Δεξιάς, και ειδικότερα της Ν.Δ., ζητά. Μιας Ν.Δ., που καλείται να αποφασίσει αν εννοεί το "Μένουμε Ευρώπη" ή επιλέγει κάποιου είδους Exit...


dEASY - Νέα: Επένδυση 17 εκατομμυρίων δολαρίων στην ελληνικών συμφερόντων Casualy\nDeasy @ 20.05.2021\nΚεφάλαια ύψους 17 εκατομμυρίων δολαρίων σήκωσε η ελληνικών συμφερόντων Casualy στον τρίτο επενδυτικό γύρο, τρία μόλις χρόνια μετά τη δημιουργία της. Tης επενδυσης ηγήθηκε η Index Ventures, με συμμετοχή των υφιστάμενων επενδυτών Marathon Venture Capital, Pentech και EBRD.\nΗ Casualy ιδρύθηκε το 2018 με στόχο να δημιουργήσει το λειτουργικό σύστημα για την έρευνα στο χώρο της βιοϊατρικής και να βοηθήσει την ανακάλυψη γνώσης μέσα στον τεράστιο όγκο των βιοϊατρικών δεδομένων. Η συσχέτιση ασθενειών, συμπτωμάτων, θεραπειών και γενικότερα των δεδομένων που υπάρχουν σε εκατομμύρια ερευνητικές δημοσιεύσεις, έγγραφα κλινικών δοκιμών, εταιρικά δεδομένα, και ρυθμιστικά πλαίσια είναι απαραίτητη για την εύρεση καινοτόμων θεραπειών για τους ασθενείς. Παρόλα αυτά, τα διαθέσιμα εργαλεία στα χέρια των ερευνητών και φαρμακευτικών εταιρειών συχνά δεν επιτρέπουν την εύκολη πρόσβαση σε αυτές τις πληροφορίες, με αποτέλεσμα καθυστερήσεις στη δημιουργία νέων φαρμάκων και όχι μόνο.\nH Causaly διατηρεί την πλειοψηφία των εργαζομένων της στην Ελλάδα, με ομάδα επίσης στο Ηνωμένο Βασίλειο. Μέσα στους επόμενους μήνες, αναμένεται να αυξήσει σημαντικά το επιστημονικό της δυναμικό, με σκοπό να αναπτύξει περαιτέρω την επαναστατική τεχνολογία της και να υποστηρίξει τις ανάγκες των πελατών της.\nΔιάβασε περισσότερα για: CASUALY,STARTUPS,ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ,


Ανακοίνωση της Ν.Ε. ΣΥΡΙΖΑ Βοιωτίας: Απαράδεκτη, συκοφαντική και ανιστόρητη δήλωση κατά του ΣΥΡΙΖΑ από τον Δήμαρχο κ. Σταθά | ΣΥΡΙΖΑ Συνασπισμός Ριζοσπαστικής Αριστεράς\nΌπως αναφέρει στη δήλωσή της η βουλευτής κυρία Γιώτα Πούλου, η κυβέρνηση ΣΥΡΙΖΑ, ήταν η μοναδική που προχώρησε σε μια σειρά ενέργειες για το ζήτημα των γερμανικών οφειλών. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε, την ψήφιση από τη Βουλή, τον Απρίλη του 2019, του πορίσματος- έκθεσης της Διακομματικής Επιτροπής για τις γερμανικές οφειλές, την κατάργηση του παράβολου για την κατάθεση αγωγής των θυμάτων, που δυστυχώς πήρε πίσω η Νέα Δημοκρατία. Επίσης δρομολογήθηκε από τον πρώην πρόεδρο της Βουλής, κύριο Βούτση η ολοκλήρωση του «Μουσείου Θυμάτων Ναζισμού», έργο που δεσμεύτηκε να ολοκληρώσει ο νέος πρόεδρος κύριος Τασούλας.


Αχαΐα - Κορονοϊός: Ο συνοδός έσπειρε 12 κρούσματα στον "Αγ. Ανδρέα" - Pelop.gr\nΑχαΐα - Κορονοϊός: Ο συνοδός έσπειρε 12 κρούσματα στον "Αγ. Ανδρέα"\nΟπως έγραφε χθες η «Π», η πηγή της διασποράς της νόσου φέρεται να είναι συνοδός ασθενούς της Κλινικής. Μέχρι χθες είχαν νοσήσει πέντε ασθενείς της Κλινικής, ένας γιατρός και έξι νοσηλεύτριες.\nΠαρά το γεγονός ότι τα πρώτα κρούσματα διαγνώστηκαν από την περασμένη εβδομάδα, όπως ανέδειξε το Σωματείο Εργαζομένων του νοσοκομείου, φαίνεται ότι δεν ελήφθησαν άμεσα τα προβλεπόμενα μέτρα. Χρειάστηκε να παρέμβει το βράδυ της Τρίτης ο διοικητής της 6ης Υγειονομικής Περιφέρειας Γιάννης Καρβέλης μαζί με την ομάδα λοιμωξιολόγων του ΠΓΝΠ για να ληφθούν τα δέοντα μέτρα.\nΣτο πλαίσιο αυτών χθες πραγματοποιήθηκαν εκατοντάδες τεστ ράπιντ σε όλο το προσωπικό του νοσοκομείου και σήμερα θα ολοκληρωθεί ο έλεγχος. Οπως μας ανέφερε ο κ. Καρβέλης τα χθεσινά τεστ του προσωπικού βγήκαν αρνητικά κάτι που δείχνει ότι ο ιός δεν διεσπάρη σε άλλες κλινικές πέραν της Α' Παθολογικής.\nΕπίσης χθες, μετά από εντολή του κ. Καρβέλη έγινε απολύμανση όλων των χώρων της Κλινικής και πριν οι ασθενείς μεταφερθούν στους θαλάμους που απολυμάνθηκαν υποβλήθηκαν σε νέο τεστ ράπιντ ώστε να επιβεβαιωθεί ότι δεν είχαν κολλήσει.\n«Οι οδηγίες μας είναι σαφείς. Οι συνοδοί περιορίζονται μόνον στους ασθενείς που δεν είναι σε θέση να φροντίσουν τον εαυτό τους. Επίσης δεν εισέρχεται κανένας συνοδός χωρίς να υποβάλλεται σε τεστ κορονοϊού. Σε αυτό είμαστε πάρα πολύ αυστηροί. Μίλησα και ο ίδιος προσωπικά με τους συνοδούς ώστε να τους εξηγήσω πόσο σημαντικό είναι να προσέχουν και οι ίδιοι και να λαμβάνουν όλα τα μέτρα προστασίας» μας είπε ο κ. Καρβέλης εκτιμώντας ότι:\n«Με τις ενέργειες που κάναμε και όλα τα μέτρα που λάβαμε πιστεύω ότι πλέον η κατάσταση είναι υπό έλεγχο. Η κ. Μανωλοπούλου από τον ''Αγιο Ανδρέα'' είναι σε διαρκή επικοινωνία και συνεργασία με τον κ. Μαραγκό ώστε να λαμβάνονται όλα τα απαιτούμενα μέτρα και να γίνονται κάθε φορά τα βήματα που πρέπει».\nΣτην Κλινική Κορονοϊού του νοσοκομείου χθες νοσηλεύονταν 20 ασθενείς. Αντίστοιχα στην Κλινική Κορονοϊού του ΠΓΝΠ νοσηλεύονταν 12 ασθενείς και 2 στη ΜΕΘ.\nΟι περιοχές μετα περισσότερα κρούσματα είναι οι εξής:\n33 στην ΠΕ Ανατολικής Αττικής\n36 στην ΠΕ Βόρειου Τομέα Αθηνών\n22 στην ΠΕ Δυτικού Τομέα Αθηνών\n17 στην ΠΕ Δυτικής Αττικής\n69 στην ΠΕ Κεντρικού Τομέα Αθηνών\n27 στην ΠΕ Νοτιου Τομέα Αθηνών\n24 στην ΠΕ Πειραιώς\n22 στην ΠΕ Αχαΐας\n23 στην ΠΕ Λάρισας\n27 στην ΠΕ Ροδόπης\nΣυνολικά 79 ράπιντ τεστ πραγματοποιήθηκαν χθες σε εργαζόμενους στον Δήμο Δυτικής Αχαΐας από κλιμάκια του ΕΟΔΥ, στο Δημαρχείο και στο Πολιτιστικό Κέντρο Αχαγιάς, όπου όλα προέκυψαν αρνητικά. «Μας προκάλεσε ικανοποίηση αυτό το γεγονός» δήλωσε ο δήμαρχος Σπύρος Μυλωνάς και πρόσθεσε πως «είναι σημαντικό για τον Δήμο, την οικονομική και κοινωνική ζωή να παραμείνουμε μια ζώνη ασφαλής. Οι θετικές ενδείξεις δεν πρέπει να μας οδηγήσουν σε εφησυχασμό, αλλά πρέπει τα μέτρα να παραμένουν βασική προτεραιότητα όλων».


Αναλύσεις – Kapa Research\nΔείτε τα ευρήματα που ξεχώρισαν τη χρονιά που πέρασε μέσα από τις πανελλαδικές έρευνες της Κάπα Research που δημοσιεύτηκαν στον Τύπο.\nΔείτε την σχετική Ανάλυση\nΤα χαρακτηριστικά των αναποφάσιστων και η εμπειρία διερεύνησής τους\nΈνα εκατομμύριο (1.000.000) είναι οι αναποφάσιστοι για την επόμενη εθνική εκλογική αναμέτρηση. Η πιο ενδιαφέρουσα και δύσκολη ομάδα του εκλογικού σώματος αποτελείται από ψηφοφόρους με χαμηλό εισόδημα και επίπεδο εκπαίδευσης, από γυναίκες και ανέργους κυρίως.\n7 τάσεις που υπονομεύουν τις αντοχές της χώρας\nΣτο διάστημα μίας δεκαετίας οικονομία και δημοκρατία έγιναν έννοιες και μεγέθη αλληλένδετα: 25% ανεργία, 25% πτώση του ΑΕΠ, 25% πτώση της εμπιστοσύνης στους θεσμούς, 25% μείωση της συμμετοχής στις εκλογές. Διαχρονικά, όσο μεγαλύτερη είναι η…\nΤο Βήμα, η Κάπα Research και οι δημοσκοπήσεις\nΈνας παλιός στο σινάφι, όταν του ζητούν εκτίμηση για τον νικητή των εκλογών, επικαλείται τον Κωνσταντίνο Καραμανλή: «Θες να μάθεις ποια είναι η δυναμική των κομμάτων; Θα σου πω όταν προκηρυχθούν οι εκλογές και τεθεί…\nΣτοιχεία Exit Poll Σεπτεμβρίου 2015\nΣυσπειρώσεις – εισροές – διαρροές (Πίνακας 1) ΣΥΡΙΖΑ: Στο τέλος της διαδρομής ό ΣΥΡΙΖΑ κατάφερε να διατηρήσει τη συσπείρωση των οπαδών του στο ικανοποιητικό 76,3%. Οι σημαντικότερες απώλειες: – ΛΑ.Ε. 5,8%: όχι τόσο δραματική όσο θα…\nΠάσχα, Πίστη και Θρησκεία στην Ελλάδα\nΗ Ελλάδα, ως μία από τις τέσσερις χώρες με επίσημο θρήσκευμα τον Ορθόδοξο Χριστιανισμό, συνεχίζει να εορτάζει το Πάσχα με κατάνυξη, ευλάβεια και διατηρώντας τα πατροπαράδοτα έθιμα που συνδέονται με αυτό. Παρόλα αυτά, η πίστη…\nΚαπα Research: προβλέψεις με ακρίβεια\nΣτην Kαπα Research είμαστε αφοσιωμένοι στην επίτευξη της μέγιστης δυνατής ποιότητας ερευνών κοινής γνώμης. Με τα χρόνια – αρχίζοντας με το πρώτο exit poll στην Ελλάδα το 1992 – η εταιρία βελτιώνει συστηματικά τις δυνατότητές…\nΤι θα κρίνει τις εκλογές; Πριν ακόμη και από τη διαδικασία εκλογής Προέδρου της Δημοκρατίας το ερώτημα αναδείχθηκε σε «Ιερό Δισκοπότηρο» πολιτικών, αναλυτών και απλών πολιτών. Επιδίωξη του παρόντος είναι η καταγραφή κάποιων γεγονότων που…\nΤα έθνη, ως ανθρωπογενείς οντότητες, λειτουργούν πολλές φορές σαν τους ανθρώπους: όπως ένα τραγικό γεγονός αλλάζει την ζωή ενός ατόμου για πάντα, έτσι και ένα ιστορικό γεγονός αλλάζει θεμελιωδώς την πορεία ενός έθνους. Όπως καταγράφεται…\nH κρίση της μαζικής αντιπροσώπευσης\nΣτην πορεία προς τις διπλές εκλογές του Μαΐου 2014, μια πλειάδα μικρών κομμάτων έρχεται στο προσκήνιο και παίρνει θέση δίπλα σε παλαιότερους και μεγαλύτερους πολιτικούς σχηματισμούς για να διεκδικήσει τη λαϊκή ψήφο αν και, συχνά,…\nΑν έπρεπε να προσδιορίσουμε την πιο έντονη και διαρκή επιταγή της ελληνικής κοινής γνώμης κατά το μεγαλύτερο μέρος της μεταπολιτευτικής περιόδου, θα καταλήγαμε στο εξής τρίπτυχο: δημοκρατία, ελευθερία και ισότιμη αντιμετώπιση των μη προνομιούχων. Ενα…\nΗ Ευρώπη αποτελούσε πάντοτε για τους Έλληνες ένα σταθερό σημείο αναφοράς, ένα πεδίο ειρήνης, δημοκρατίας και οικονομικής ανάπτυξης που λειτουργούσε ως αντίβαρο στα εσωτερικά προβλήματα, αλλά και στην ασταθή γειτονιά της Ελλάδας. Αν και το…\nΤο πολιτικό στοίχημα του 2013\nΑπό τις εκλογές του Ιουνίου 2012 μέχρι σήμερα, το δημόσιο διάλογο μονοπωλούσε η εκταμίευση της μεγάλης δόσης του δανείου προς την Ελλάδα και η συνακόλουθη λήψη πρόσθετων μέτρων με το Μνημόνιο ΙΙΙ. Επί του ζητήματος…


Faceplate and Analog-Nub change Tutorial! - XGamers.gr\n17 Σεπτεμβρίου 2010 Άγγελος "papp0us" Παπαναγιώτου 0 Σχόλια faceplate, phat, psp, slim, tutorial, αλλαγή, οδηγός\nΣε αυτό το Tutorial θέλω να σας δείξω πως αλλάζετε την Faceplate και/η το Analog Stick (Nub) του PSP σας.Ειναι σημαντικό να έχετε τα κατάλληλα εργαλεία για το Tutorial αυτο,σας έχω βάλει και ένα link παρακάτω για να τα παραγγέλλετε άμα θέλετε μέσω Internet. Έχω βάλει και links για την παραγγελία Faceplates (τιμη απο 5-15 ευρώ) και Analog Sticks (12-30 ευρώ).\nΣτο Tutorial αυτο, πρεπει να βγάλετε το αυτοκόλλητο που βρίσκετε στην υποδοχή της μπαταριάς του PSP. Εαν το βγαλετε, χανετε την εγγύηση του!!!\nKαταρχας πρεπει να ξεβιδώσουμε ολες της βίδες.\nΞεβιδωνουμε 4 βιδες στην πισω πλευρα του PSP (η 1 απο αυτες κατω απο το αυτοκολλητο)\nΗ τελευταια βίδα βρισκετε στην κατω πλευρα του PSP\nΤΙP:Βαλτε της βιδες που βγαλατε σε μια κολλα χαρτι για να μην τις μπερδεψετε.\nΤωρα βγαζετε με πολυ προσοχη το Faceplate απο το PSP.\nBλεπετε το Analog Stick μεσα στο Faceplate.Πρεπει να ξεβιδωσετε της 2 βιδες για να το βγαλετε.\nΤωρα μπορειτε να βιδωσετε το νεο Analog Stick η να βιδοσετε το παλιο σας στην καινουργια Faceplate.Βαζετε το Faceplate παλι με προσοχη επανο στο PSP (βγαλτε πρωτα την σκονη απο το display εαν υπαρχει) και βιδωνετε της βιδες.\nΣελιδες για παραγγελεια Analog Sticks και Faceplates:\nΣελιδα για παραγγελία εργαλειων:\n← Φτιάξτε το PSP σας με Semibrick με το Recovery Flasher\nHalf Byte Loader →


70/24/2 100% nylon 6 DTY στρίψιμο νήμα από πολυαμίδιο SD υψηλή�νάιλον�σης - Κίνα 70/24/2 100% nylon 6 Προμηθευτής νημάτων DTY twist dope dyed SD high stretch polyamide νήματα,Εργοστάσιο –ZLTT\nΜε την επιφύλαξη της παραγγελίας\nΑκατέργαστο άσπρο/ακατέργαστο μαύρο/σύμφωνα με τις ανάγκες πελατών\nΠεριεκτικότητα σε λάδι:\n2-4 % / Σύμφωνα με τις ανάγκες των πελατών\n3-4.5 Cn / dtex / Σύμφωνα με τις ανάγκες των πελατών\nΝήματα για κάλτσα /καλσόν/καλσόν/καλσόν/άνευ ραφής εσώρουχα/γάντι/πλεκτό ύφασμα πουλόβερ/αθλητική ένδυση/ Σύμφωνα με τις ανάγκες των πελατών\nΕμμένουμε στην αναπτυξιακή στρατηγική της πράσινης προστασίας από χαμηλές εκπομπές διοξειδίου του άνθρακα και του περιβάλλοντος. Πάντα επιμένοντας στην «πελατοκεντρική’ επιχειρηματική φιλοσοφία, δημιουργία μιας επιχείρησης εξοικονόμησης πόρων και φιλικών προς το περιβάλλον με την πολιτική ποιότητας της «ποιότητας της προηγμένης τεχνολογίας», και ικανοποιώντας τους πελάτες συνεχώς».\nΠερισσότερο από 10 πολυετή ς εμπειρίας παραγωγής και εξυπηρέτησης. Κατέχει επαγγελματική τεχνολογία παραγωγής, ομάδα διαχείρισης ποιότητας, ειδικευμένους και σταθερούς βιομηχανικούς εργαζόμενους.\nΕίμαστε κυρίως ασχολούνται με την παραγωγή και τις πωλήσεις του (Pa6/Pa66/Pet) FDY, POY, DTY, Καλυπτόμενα νήματα, Καουτσούκ καλυμμένα νήματα, Λυκρά Καλυμμένα νήματα και παρέχουν υψηλής ποιότητας υλικά για όλους τους τύπους κλωστοϋφαντουργικών προϊόντων.\nΚορυφαίες εταιρείες σε κάλτσες και κυκλικά μηχανήματα, προωθώντας από κοινού την ανάπτυξη νέων προϊόντων, πρωτοπόρος στην αναπτυξιακή τάση του κλάδου, και έχοντας καλή φήμη στον κλάδο.\nΤο νήμα χρώματος παρακαλώ αναφερθείτε στην κάρτα χρώματος εργοστασίων μας(ΖΕΝΓΚΤΑΟ),Κάρτα χρώματος Pantone ή κάρτα χρώματος MIYAMA. Αν θέλετε άλλα χρώματα, παρακαλώ στείλετε το δείγμα χρώματος σε μας.\nΔιαφορετικές οθόνες υπολογιστών έχουν εκτροπή. Έτσι don \_ 't απλά να στείλετε μια εικόνα, δεν ξέρουμε τι χρώμα θέλετε.\nΠαρακαλώ αναφερθείτε στην κάρτα χρώματος εργοστασίων μας(ΖΕΝΓΚΤΑΟ), Κάρτα χρώματος Pantone ή κάρτα χρώματος MIYAMA. Ή στείλτε το δείγμα χρώματος σε μας άμεσα.\n1. Ε: Είστε κατασκευαστής ή εμπορική εταιρεία?\nΑ: Είμαστε εμπορική και κατασκευαστική επιχείρηση. Σας καλωσορίζουμε να επισκεφθείτε τη χώρα μας.\nΗ τοποθεσία του χάρτη GOOGLE είναι (29.607289, 120.137993)\n2. Q: Μπορούμε να πάρουμε δείγματα;\nΕΝΑ: Ναί, μπορούμε να παρέχουμε τα ελεύθερα δείγματα για το πάχος 0.5cm, το τέλος μεταφοράς καταβάλλεται από εσάς.\n(1) Μπορείτε να παρέχετε είστε a /c όπως DHL ή FEDEX ή TNT.\n(2) Μπορείς να καλέσεις τον κούριερ σου να το πάρει από το γραφείο μας.\n(3) Μπορείτε να μας πληρώσετε τη ρητή χρέωση από την Pay Pal.\n3. Q: Συσκευασία και αποστολή?\nΕΝΑ: Εσωτερικές πλαστικές σακούλες για κάθε σωλήνα, Εξωτερικά χαρτοκιβώτια, ή σύμφωνα με το αίτημά σας.\n1807575 Καουτσούκ καλυμμένα νήματα\nβαμμένα ναρκωτικά πολυεστέρα dty150d/48F\nΠολυεστέρα νήματα DTY 150D/96F Ενιαία θερμάστρα\n2018 Προμηθευτές της Κίνας Υψηλής αντοχής νήματα Spandex 4075 με συστροφή από 300 tpm έως 3000 Tpm


Τα κοσμήματα που κατασκευάστηκαν εξ ολοκλήρου από χρυσό έγιναν μόδα κατά τη διάρκεια της λιτότητας μετά Σταυροι Βαπτισης το Β Παγκόσμιο Πόλεμο, που συμπίπτει με την άνοδο της ισχυρής, ανεξάρτητης γυναίκας. Εδώ, για Φθηνοι Σταυροι Βαπτισης μια φωτογραφία Vogue του 1969, η Marisa Berenson φορούσε στρώματα χρυσών αλυσίδων και δαχτυλιδιών Bulgari.\nΔάσκαλος Οικονομικοι Σταυροι Βαπτισης του Guises\nΚατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1960 και της δεκαετίας του 1970 το εργαστήριο Λευκοχρυσοι Βαπτιστικοι Σταυροι του Παρισιού του Georges Lenfant, υπό την ηγεσία του γιου του Jacques, δημιούργησε χρυσά βραχιόλια σε περίπλοκα πρότυπα και υφές, όπως αυτή που βρίσκεται τώρα στο Hancocks, ένας έμπορος του Λονδίνου.\nΓια τους Αγώνες της Αθήνας το 2004, η ελληνική κοσμηματοποιός Έλενα Βότση δημιούργησε ένα ολυμπιακό σχέδιο μετάλλων που χρησιμοποιείται σήμερα. Τα Οικονομικοι Σταυροι σχέδια γλυπτικής κοσμήματος της, όπως το δαχτυλίδι παραπάνω, ταιριάζουν με την τρέχουσα μόδα για τα κομμάτια των δηλώσεων, και ο γυαλισμένος χρυσός είναι το υλικό της επιλογής. "Είναι σαν ένας καμβάς όπου μπορώ να πω την ιστορία μου", είπε.


Analogies 1 by ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΥ 156 views\nπεριοδικο μαθηματικη αληθεια τευχος 3 by ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΥ 313 views\nMatHistory by Γιώργος (George) ... 293 views\nAristotelis peri-methis-peri-areton... by ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΥ 182 views\nO αριθμος φ by Eleni Dimitriou 3011 views\n126045663 η-κοινωνία-του-θεάματος by ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΥ 275 views\n1. Μελίσσια 2015 Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ\n2. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Σελ. 2 Α. Επικάλυψη με κανονικά πολύγωνα Σελ. 3 Β. Επικάλυψη με τυχαία (;) πολύγωνα Σελ. 9 Γ. Κάλυψη επιπέδου με μη περιοδικούς σχηματισμούς Σελ. 12 Δ. Η συμμετρία ως σχέδιο και ως μαθηματικά Σελ. 14 Ε. Ισομετρίες ταινιών Σελ. 19 ΣΤ. Ισομετρίες επιπέδου – πλακοστρώσεις Σελ. 25 Ζ. Ισομετρίες επιπέδου στο έργο του Escher Σελ. 37 Η. Τρισδιάστατες συμμετρίες Σελ. 41 Θ. Η συμμετρία στη φύση και στην ανθρώπινη δραστηριότητα Σελ. 45 Παράθεμα Σελ. 52 Αρθρογραφία – βιβλιογραφία Σελ. 60\n3. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 2 Εισαγωγή Στην ύλη της γεωμετρίας της Α’ Λυκείου υπάρχουν κάποιες παράγραφοι σχετικά με την συμμετρία , ως προς κέντρο και ευθεία. Την παράγραφο αυτή, αν τη διδάξουμε, προσπαθούμε να την ξεπετάξουμε ως άχρηστη αφού δεν ενδείκνυται για ασκήσεις… Όμως αν προσέξουμε τη φύση γύρω μας , αν προσέξουμε τα ζώα και τους ανθρώπους θα διαπιστώσουμε πως η κανονικότητα που διέπει τη συμμετρία είναι παντού. Πρέπει να ασχοληθούμε περισσότερο μαζί της. Να παρατηρήσουμε τα διακοσμητικά πλακάκια σε κάθε κτήριο , ναό. Τα βιτρό των παραθύρων , τα σχέδια των διαφόρων κιγκλιδωμάτων, το καθρέφτισμα των δένδρων στην ήρεμη επιφάνεια των νερών , τις διατάξεις στο πέταγμα των αποδημητικών πουλιών. Να παρατηρήσουμε και να αναλογιστούμε. Το κατάλληλο εργαλείο για τη δράση αυτή τα Μαθηματικά. Να ανακαλύψουμε τη σχέση ανάμεσα στην τέχνη και στα Μαθηματικά, την σχέση ανάμεσα στη συμμετρία που μας περιβάλλει και τα Μαθηματικά. Μια τέτοια ενασχόληση μπορεί να συγκινήσει περισσότερο και τους μαθητές μας που χασμουριούνται βαριεστημένοι από την συνεχή διαδοχή θεωρημάτων αποδείξεων και ασκήσεων που συνιστούν της σχολική μαθηματική καθημερινότητα. Όπως και στον πίνακα του Escher “reptiles” πρέπει και εμείς να αφήσουμε την κανονικότητα του επιπέδου και μέσω της γνώσης να αναρριχηθούμε να συλλάβουμε την κριμένη αρμονία και να την εφαρμόσουμε στην καθημερινή μας ζωή, να ανακαλύψουμε τη φύση και μετά να αναστοχαστούμε για να συνεχίσουμε το πιο ωραίο ταξίδι αυτό των ερωτημάτων και των απαντήσεων. Ένα ταξίδι γεμάτο αφετηρίες και τερματισμούς…\n4. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 3 Α. Επικάλυψη με κανονικά πολύγωνα Όποτε βρεθείτε σε εκκλησία σας προτρέπω να εξετάσετε με επιμονή τα βιτρό στα παράθυρα ή τις πλακοστρώσεις του δαπέδου της. Παρατηρήστε τα σχέδια, που σχηματίζονται από τους διάφορους συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων. Με πόσους όμως διαφορετικούς συνδυασμούς μπορούμε να σχηματίσουμε ένα βιτρό ή μία πλακόστρωση ; Για να μπορέσουμε να δώσουμε μία μαθηματική απάντηση στο ερώτημα αυτό, ας θυμηθούμε ορισμένες βασικές γνώσεις από την Γεωμετρία. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν είναι ισόπλευρο και ισογώνιο. Σε ένα κανονικό πολύγωνο εξετάζουμε δύο χαρακτηριστικές γωνίες του. Την κεντρική γωνία νω για την οποία ισχύει ο ν 360 ω ν , όπου ν ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου και την γωνία του νφ για την οποία ισχύει ότι : ο ν νω φ 180 . Άρα για το κανονικό εξάγωνο του διπλανού σχήματος έχουμε ότι : ο ο 6 360 ω 60 6 και ο ο ο ο 6 νφ 180 ω 180 60 120 Είναι προφανές ότι ένα τετράγωνο βιτρό ή πλακάκι χρησιμοποιείται για την κάλυψη οποιασδήποτε επιφάνειας όμως : 1. Πότε ένα κανονικό πολύγωνο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μονάδα για την κάλυψη μιας επιφάνειας; 2. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά πολύγωνα για καλυφθεί πλήρως μία επιφάνεια;\n5. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 4 Για να χρησιμοποιηθεί ως μονάδα πλακόστρωσης ένα κανονικό πολύγωνο ν- πλευρών θα πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός μ ώστε ο ο ο ο ν 360 μ φ 360 μ (180 ) 360 ... μ ν 2μ 2ν ν ή παραγοντοποιώντας την τελευταία σχέση καταλήγουμε (μ 2)(ν 2) 4 δηλαδή μ 2 2 μ 2 4 μ 2 1 ή ή ν 2 2 ν 2 1 ν 2 4 Άρα μ=4 και ν=4 ή μ=6 και ν=3 ή μ=3 και ν=6 Δηλαδή μία πλήρης πλακόστρωση μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας: 4 τετράγωνα ή 6 τρίγωνα ή 3 εξάγωνα. Για να χρησιμοποιήσουμε τρία διαφορετικά κανονικά πολύγωνα για πλακόστρωση πρέπει κατά αρχή να ισχύει : ο ν μ κφ φ φ 360 , ώστε να μπορούμε να καλύψουμε πλήρως την επιφάνεια γύρω από την κοινή κορυφή τους . Αντικαθιστώντας καταλήγουμε στην συνθήκη : 1 1 1 1 ν μ κ 2 . Λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς τους φυσικούς ν, μ, κ ( η λ ύ σ η π α ρ ο υ σ ι ά ζ ε τ α ι σ τ ο π α ρ ά θ ε μ α ) καταλήγουμε στις λύσεις : (5,5,10) , (12,12,3) , (8,8,4) , (3,7,42), (3,8,24), (3,9,18), (3,10,15), (4,5,20) και (4,6,12) Με παρόμοια λογική βρίσκουμε και λύση με τέσσερα πολύγωνα (4,4,6,3), (6,6,3,3) , (3,3,4,12) αλλά και με πέντε πολύγωνα (3,3,3,4,4) και (3,3,3,3,6) Ενώ είναι λογικό (;) ότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν έξι διαφορετικά πολύγωνα για πλήρη επι κάλυψη του επιπέδου.\n6. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 5 Προσοχή όμως οι λύσεις που βρήκαμε προηγουμένως δεν είναι όλες δεκτές. Οι συνδυασμοί βρέθηκαν με προϋπόθεση να καλύπτεται πλήρως το επίπεδο γύρω από μία κορυφή. Αυτό μπορεί να ισχύει χωρίς όμως να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συνδυασμό για να καλύψουμε πλήρως το επίπεδο γύρω από οποιαδήποτε κορυφή. Για παράδειγμα ο συνδυασμός (5,5,10) δεν καλύπτει ως μονάδα κάλυψης το επίπεδο. Όμως το αποτέλεσμα τουλάχιστον καλλιτεχνικά είναι ικανοποιητικό! Παρόμοιο θεαματικό αποτέλεσμα καταλήγουμε και στην περίπτωση (24,8,3) που όπως θα παρατηρήσετε για να καλυφθεί πλήρως το δάπεδο θα πρέπει να προστεθεί στην όλη σύνθεση και ένα τετράγωνο. Θα είναι ενδιαφέρον να προσπαθήσει κάποιος να χρησιμοποιήσει τις μη δεκτές λύσεις που βρήκαμε προηγουμένως (3,10,15) , (4,5,20) , (3,7,42) , (3,9,18) , για να φτιάξουμε όμορφες πλακοστρώσεις όπου η μονάδα που χρησιμοποιείται να αλλάζει από κορυφή σε κορυφή, όπως στα δύο προηγούμενα παραδείγματα.\n7. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 6 Ας δούμε τις λύσεις σε σχήματα, γατί όπως και να το κάνουμε μία εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις, πόσο μάλλον αποδείξεις !! 1η περίπτωση : Πλακόστρωση με το ίδιο κανονικό πολύγωνο ως μονάδα κάλυψης. 2η περίπτωση : Πλακόστρωση με συνδυασμό τριών ή περισσοτέρων κανονικών πολυγώνων. 1. Δύο οκτάγωνα και ένα τετράγωνο. 2. Δωδεκάγωνο – εξάγωνο και τετράγωνο\n8. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 7 3. Δύο δωδεκάγωνα και ένα τρίγωνο 4. Δύο τετράγωνα ένα εξάγωνο και ένα τρίγωνο 5. Δύο εξάγωνα και δύο τρίγωνα 6. Δύο τρίγωνα ένα τετράγωνο και ένα δωδεκάγωνο\n9. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 8 7. Τρία τρίγωνα και δύο τετράγωνα 8. Τέσσερα τρίγωνα και ένα εξάγωνο Ενδιαφέρον από αισθητική – καλλιτεχνική άποψη είναι να πειραματιστεί κάποιος με τις παραπάνω πλακοστρώσεις διότι ο κάθε συνδυασμός μπορεί να αναπτυχθεί στο επίπεδο με διαφορετικούς τρόπους, όπως είδαμε στις περιπτώσεις (6,6,3,3) και (3,3,3,4,4). Ας σημειωθεί ότι υπάρχουν σίγουρα έξι διαφορετικοί τρόποι κάλυψης δαπέδου με τον συνδυασμό (3,3,3,4,4) , πέντε διαφορετικοί τρόποι για τον συνδυασμό (3,4,4,6) , δύο διαφορετικοί τρόποι για τον συνδυασμό (3,6,12) και δύο στον (3,12,12). Καλή προσπάθεια, το αποτέλεσμα σίγουρα θα σας δικαιώσει !\n10. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 9 Β. Επικάλυψη με τυχαία (;) πολύγωνα. Ήταν μεγάλη έκπληξη για μένα το γεγονός ότι τελικά μπορούμε να καλύψουμε ένα δάπεδο χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε τρίγωνο ή τετράπλευρο ! Παρατηρήστε τα παρακάτω σχήματα : Ο πιο παρατηρητικός μπορεί να αντιληφθεί ότι αρχικά χρησιμοποιούμε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο ή τετράπλευρο (κυρτό ή μη κυρτό ) και στρέφοντας το κατά 180 γύρω από το μέσο της κάθε πλευράς του έχουμε το αποτέλεσμα που μας εκπλήσσει. Το τι σημαίνει στροφή αλλά και άλλους μετασχηματισμούς που αφήνουν αναλλοίωτες τις αποστάσεις μεταξύ δύο σημείων αλλά και τις γωνίες μεταξύ δύο τμημάτων ( ισομετρίες) θα το μάθουμε επόμενο μέρος της εργασίας αυτής. Το 1900 ο γερμανός μαθηματικός D. Hilbert προτείνει μία λίστα από 23 άλυτα ως τότε προβλήματα. Μία απλούστερη εκδοχή ενός από αυτά είναι και το ερώτημα ποια επίπεδα σχήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κάλυψη ενός επιπέδου. Είναι προφανές ότι το πρόβλημα δεν αναφέρεται στα κανονικά πολύγωνα ή στην περίπτωση τριγώνου και τετραπλεύρου που ήδη έχουμε αναφέρει.\n11. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 10 Η λύση του προβλήματος είναι πολύπλοκη, εδώ απλώς θα αναφέρουμε τα αποτελέσματα. Με κυρτά εξάγωνα μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο μόνο αν ανήκουν σε έναν από τους παρακάτω τύπους : Τύπος εξαγώνου Σχέση μεταξύ γωνιών Σχέση μεταξύ πλευρών 1ος τύπος A+B+C=2π a=d 2ος τύπος A+B+D=2π a=d , c=e 3ος τύπος A=C=E= 2 3 a=b , c=d , e=f Με κυρτά πεντάγωνα μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο μόνο αν ανήκουν σε έναν από τους παρακάτω τύπους : Τύπος πενταγώνου Σχέση μεταξύ γωνιών Σχέση μεταξύ πλευρών 1ος τύπος A+B+C=2π 2ος τύπος A+B+D=2π a=d 3ος τύπος A=C=D= 2 3 a=b , d=c+e 4ος τύπος A=C= 1 2 a=b , c=d 5ος τύπος A= 1 3 , C= 2 3 a=b , c=d 6ος τύπος A+B+D=2π , A=2C a=b=e , c=d 7ος τύπος 2B+C=2D+A=2π a=b=c=d 8ος τύπος 2A+B=2D+C=2π a=b=c=d Ας δούμε ορισμένες εφαρμογές των παραπάνω. Πεντάγωνο τύπου 5\n12. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 11 Πεντάγωνο τύπου 4 Εξάγωνο τύπου 3 Εξάγωνο τύπου 1\n13. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 12 Γ. Κάλυψη επιπέδου με μη περιοδικούς σχηματισμούς. Ο Άγγλος Μαθηματικός και Φυσικός Roger Penrose το 1974 παρουσίασε τρόπους κάλυψης του επιπέδου που το χαρακτηριστικό τους είναι η μη περιοδικότητά τους. Δηλαδή « … ενώ οι σχηματισμοί φαίνονται να έχουν κάποιο είδος συμμετρίας, εντούτοις είναι ένα παράξενο σύμπλεγμα επιφανειακής τάξης και απρόσμενων αποκλίσεων. Μας δημιουργείται η εντύπωση ότι οι σχηματισμοί προσπαθούν να είναι περιοδικοί αλλά δεν τα καταφέρνουν . » ( Ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών Ivars Peterson ) Οι μονάδες που χρησιμοποίησε ήταν δύο σχήματα – μία σαΐτα και τον χαρταετό. Τα σχήματα αυτά τα κατασκευάζει από έναν ρόμβο πλευράς φ=1,618 … (τον γνωστό άρρητο χρυσό αριθμό 1 5 2 ) Το τελικό αποτέλεσμα σίγουρα εντυπωσιάζει, αλλά το πιο αξιοθαύμαστο είναι ότι κάθε τέτοιος σχηματισμός περιλαμβάνει ακριβώς 1,618… περισσότερους χαρταετούς από σαΐτες. Αφού ο αριθμός αυτός είναι άρρητος είναι αδύνατο να απομονώσουμε ένα μέρος του μωσαϊκού που να περιέχει ακέραιο αριθμό κάθε σχήματος.\n14. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 13 Σε μία δεύτερη μη περιοδική κάλυψη που παρουσίασε, οι μονάδες σχηματισμού του μωσαϊκού ήταν ένα ζευγάρι ρόμβων. Ένα δύσκολο πρόβλημα που ξεπηδά από τις προσπάθειες μας να κατασκευάσουμε ένα μωσαϊκό Penrose είναι ότι πάντα μπορούμε να τοποθετήσουμε τις δύο μονάδες την μία δίπλα στην άλλη, αλλά σπάνια είναι προφανής ο τρόπος με τον οποίο πρέπει να γίνει η τοποθέτηση. Έτσι μπορούμε τελικά να δημιουργήσουμε διαφορετικές εκφράσεις με το αποτέλεσμα σίγουρα να μας ικανοποιεί ευχάριστα.\n15. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 14 Δ. Η συμμετρία ως σχέδιο και ως μαθηματικά. Από το Γυμνάσιο μαθαίνουμε την έννοια της συμμετρίας. Εικόνες σαν τη διπλανή σχηματοποιούν και εγγράφουν στον νου μας την κατοπτρική συμμετρία ως το καθρέφτισμα ενός αντικειμένου στα ήρεμα νερά μιας λίμνης. Αλλά και το σχήμα μιας πεταλούδας μας διδάσκει την έννοια της συμμετρίας ως προς άξονα. Ένας πίνακας όπως το παρακάτω χαρακτικό του Escher μας προϊδεάζει για το τι θα ορίσουμε ως στροφή αντικειμένου ως προς κέντρο. Η λέξη συμμετρία προέρχεται από το συν και μέτρο και δηλώνει μία αλλαγή σε ένα αντικείμενο με διατήρηση όμως του μέτρου του. Οι αρχαίοι χρησιμοποιούσαν τον όρο συμμετρία με την έννοια της αρμονίας των αναλογιών και του ωραίου. Το ωραίο προκύπτει από την συμμετρία των μερών μεταξύ τους και προς το όλον. Στα μαθηματικά ως συμμετρία εννοούμε κάθε μετασχηματισμό ενός μαθηματικού αντικειμένου , διάνυσμα , τμήμα , επίπεδο σχήμα που αφήνει αναλλοίωτη την απόσταση – το μέτρο. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός λέγεται και ισομετρία. Υπάρχουν τέσσερεις βασικές ισομετρίες που θα ασχοληθούμε. Η παράλληλη μεταφορά (Translation) , ο καθρεφτισμός ή συμμετρία ως προς σημείο ή ευθεία (Reflection ή Mirror ) , η στροφή ( Rotation) και τέλος η μεταφορική συμμετρία , που πρόκειται για έναν συνδυασμό καθρεφτισμού και συμμετρίας (Glide reflection)\n16. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 15 Ας δούμε μερικά παραδείγματα τέτοιων μετασχηματισμών Μεταφορά προς τα δεξιά κατά ένα συγκεκριμένο διάνυσμα. Καθρέφτισμα ή συμμετρία ως προς ευθεία. Περιστροφή του αντικειμένου κατά 180ο ως προς κέντρο το μέσο του. Μεταφορική συμμετρία, (ολισθαίνων κατοπτρισμός) πρώτα έχουμε μεταφορά του αντικειμένου κατά ένα διάνυσμα και μετά το καθρέφτισμά του ως προς μία ευθεία. Τα ευχάριστα αυτά παιχνιδίσματα θα έμεναν σαν απλές εικόνες που οι μαθητές αλλά και οι καλλιτέχνες αυτοσχεδιάζουν αν δεν ασχολείτο με την έννοια ένας μεγάλος μαθηματικός ο Arthur Cayley . Ο Arthur Cayley γεννήθηκε στις 16-8-1821 , στα δεκατέσσερά του γράφεται στο King’s College school του Λονδίνου και σε ηλικία δεκαεπτά ετών εισάγεται στο κολλέγιο Trinity του Κέμπριτζ. Το 1842 σε ηλικία 21 ετών αριστεύει στις εξετάσεις των μαθηματικών . Εκλέγεται υφηγητής στο κολλέγιο Trinity .\n17. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 16 Θα μπορούσε να συνεχίσει την πανεπιστημιακή του καριέρα αν φρόντιζε να χειροτονηθεί . Η ιδέα ότι θα έπρεπε να γίνει παπάς για να μη χάσει την δουλειά του τον κάνει να τα παρατήσει όλα και να ασχοληθεί με τα νομικά . Μετά από τρία χρόνια σπουδών στην Νομική σχολή γίνεται δεκτός στο δικηγορικό σύλλογο. Το 1863 το πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ δημιούργησε μια νέα έδρα μαθηματικών , την Sadlerian και την πρόσφερε στον Cayley. Στην περίοδο 1881-1882 διδάσκει στο αμερικάνικο πανεπιστήμιο John Hopkins όπου συνεργάζεται με τον φίλο του James Joseph Sylvester. Ο Cayley συνέχισε τη δημιουργική του δραστηριότητα μέχρι τον θάνατο του το 1895. Στην μαθηματική του πορεία ασχολήθηκε με τη θεωρία των αλγεβρικών αναλλοίωτων, την θεωρία των πινάκων και με τη Γεωμετρία του χώρου των ν διαστάσεων. Ο Cayley χρησιμοποιώντας ένα νέο εργαλείο των μαθηματικών τους πίνακες μετέτρεψε την εικόνα σε άλγεβρα . Οι συμμετρίες με τη βοήθεια της άλγεβρας των πινάκων Πίνακας είναι μία διάταξη στοιχείων σε γραμμές και στήλες π.χ. ο πίνακας 1 2 3 0 . Τον συμβολίζουμε με ένα γράμμα π.χ. Α και για να δηλώσουμε το πλήθος των γραμμών και των στηλών του αντίστοιχα γράφουμε ότι ο πίνακας έχει τάξη 2Χ2. Μεταξύ των πινάκων ορίζουμε μερικές πράξεις όπως : πρόσθεση – αφαίρεση μεταξύ δύο ή περισσότερων πινάκων της ίδιας τάξης προσθέτοντας – αφαιρώντας τα αντίστοιχα στοιχεία τους. Π.χ. 1 2 2 0 3 2 1 3 1 1 0 4 τον πολλαπλασιασμό πίνακα με πραγματικό αριθμό π.χ. 1 2 2 3 6 τον πολλαπλασιασμό πινάκων όπου για να γίνει πρέπει ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου και προκύπτει πίνακας με γραμμές όσες οι γραμμές του πρώτου και στήλες όσες οι στήλες του δεύτερου. Ο τρόπος με τον οποίο γίνεται ο πολλαπλασιασμός παρουσιάζεται στο παρακάτω παράδειγμα. π.χ. 3 1 1 3 1 1 2 4 2 1 4 2 10 2 1 2 Τέλος δύο πίνακες θα είναι ίσοι όταν είναι της ίδιας τάξεως και τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.\n18. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 17 Το περίεργο με την άλγεβρα των πινάκων είναι ότι ο πολλαπλασιασμός όπως έχει ορισθεί δεν είναι πράξη αντιμεταθετική δηλαδή γενικά μεταξύ δύο πινάκων Α και Β ισχύει ότι Ας δούμε τώρα πως η άλγεβρα των πινάκων χρησιμοποιείται για να μαθηματικοποιηθεί η έννοια του μετασχηματισμού (Αντιγράφουμε από το σχολικό βιβλίο μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου ) Τα μαθηματικά ενός Γεωμετρικού Μετασχηματισμού Γνωρίζουμε ότι συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μοναδικό στοιχείο του Β. Στην περίπτωση όπου τα Α και Β συμπίπτουν με το σύνολο E των σημείων ενός καρτεσιανού επιπέδου Oxy οι συναρτήσεις θα λέγονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο επίπεδο ή, απλά, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί. Δηλαδή, γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι οποιαδήποτε συνάρτηση EE:T Ως προς τη συνάρτηση αυτή η εικόνα, )(MT , του σημείου ),( yxM θα συμβολίζεται με ),( yxM . Ένα παράδειγμα γεωμετρικού μετασχηματισμού είναι η συνάρτηση EE:T , ),(),( yxMyxM , η οποία αντιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του M ως προς τον άξονα xx . Ας θεωρήσουμε τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς που απεικονίζουν τα σημεία ),( yxM στα ),( yxM των οποίων οι συντεταγμένες δίνονται από ένα σύστημα της μορφής νδyγxy μβyαxx ή, ισοδύναμα, από μια εξίσωση της μορφής ν μ y x δγ βα y x (1) όπου να,β,γ,δ,μ, πραγματικοί αριθμοί. Αν 0μ και 0ν , τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή y x δγ βα y x (2) M΄(x΄,y΄)Τ M(x,y) O x y 2 M(x,y) M΄(x, y) C΄ C O x y 3\n19. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 18 Στην περίπτωση αυτή ο γεωμετρικός μετασχηματισμός λέγεται γραμμικός μετασχηματισμός και ο πίνακας δγ βα λέγεται πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, ο γεωμετρικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το σύστημα yxy yxx 22 37 ή, ισοδύναμα, από την εξίσωση y x y x 22 37 είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα τον 22 37 . Με αυτόν τον μετασχηματισμό το σημείο )2,1(A απεικονίζεται στο )6,13(A , ενώ το σημείο )2,1(B στο )2,1(B , δηλαδή στον εαυτό του. Ας θεωρήσουμε τώρα το γραμμικό μετασχηματισμό y x δγ βα y x T : και τα μοναδιαία διανύσματα )0,1(i  και )1,0(j  Τότε, η εικόνα A του πέρατος )0,1(A του διανύσματος i  έχει συντεταγμένες ),( γα , αφού γ α δγ βα y x 0 1 , ενώ η εικόνα B του πέρατος )1,0(B του διανύσματος j  έχει συντεταγμένες ),( δβ , αφού δ β δγ βα y x 1 0 . Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι: Oι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, 0)(1,A , του διανύσματος (1,0)i  είναι η πρώτη στήλη, ενώ οι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, 1)0,(Β , του διανύσματος j  είναι η δεύτερη στήλη του πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, ο γραμμικός μετασχηματισμός, που απεικονίζει τα πέρατα )0,1(A και )1,0(B των διανυσμάτων )0,1(i  και )1,0(j  στα σημεία )1,3(A και )2,1(B αντιστοίχως, έχει πίνακα 21 13 . (Αναλυτική παρουσίαση των τεσσάρων ισομετριών στο παράθεμα )  j  i Α΄(α,γ) Β(0,1) Α(1,0) Β΄(β,δ) O x y 4\n20. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 19 Ε. Ισομετρίες ταινιών. Στο υπέροχο βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη « ο Μέτοικος και η συμμετρία» εκδόσεις Πόλις, ο ήρωας του μυθιστορήματος ο Δημήτρης σε μικρή ηλικία παίζοντας ανακάλυψε ότι υπάρχουν επτά διαφορετικοί τρόποι να αφήνεις πατημασιές στην άμμο. Τους έδωσε και ονομασίες και είναι οι : Το κουτσό ! Το περπατητό ! Φτέρνα με φτέρνα ! Το κουτσό και γυριστό! Το φτέρνα με φτέρνα και γυριστό ! Το πηδηχτό ! Το πηδηχτό και γυριστό !\n21. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 20 Ουσιαστικά παρουσιάζει τις επτά διαφορετικές ομάδες ισομετριών ταινιών ή ομάδες συμμετρίας ζωοφόρων. Ως ζωφόρο ονομάζουμε μία συνεχή παράσταση σκηνών με ανθρώπους ή ζώα, που χρησιμοποιήθηκε για καθαρά διακοσμητικούς σκοπούς στα κλασικά χρόνια της αρχαιότητας. Κάθε τέτοιο σχέδιο επαναλαμβάνεται κατά τρόπο κανονικό κατά μήκος μιας συνεχούς και άπειρης εν δυνάμει λωρίδας. Ένας άλλος όρος που χρησιμοποιείται είναι η λέξη φρίζα ή fries που προέρχεται από την αρχαιοελληνική λέξη Φρυξ(-γός) . Ο όρος αναφέρεται στην περιοχή Φρυγία που ήταν ονομαστή για την χρυσοποίκιλτες ταινίες και ζώνες της. Οι διακοσμητικές λωρίδες εμφανίζονται και στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό σε τοιχογραφίες στα αγγεία της γεωμετρικής εποχής στα αετώματα με διάφορα σχέδια όπως μαιάνδρους, κύματα, ανθέμια κ.τ.λ. Μπορεί ο Δημήτρης να ονοματίζει τις ομάδες με βάση τα αποτυπώματα και τον τρόπο δημιουργίας τους στην άμμο, εντούτοις υπάρχει και ο επίσημος συμβολισμός ( International Two-dimensional Symbols) που ακολουθεί τους εξής κανόνες. Το πρώτο σύμβολο είναι το m αν υπάρχει κάθετος άξονας κατοπτρισμού, αλλιώς το πρώτο σύμβολο είναι το 1. Το δεύτερο σύμβολο είναι m αν υπάρχει οριζόντιος άξονας κατοπτρισμού, g αν υπάρχει συμμετρίας ολισθαίνοντος κατοπτρισμού, 2 αν υπάρχει συμμετρία ημι-στροφής ειδάλλως θέτουμε ως δεύτερο σύμβολο το 1. Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα : Η περίπτωση 11 Είναι το αποτέλεσμα μιας περιοδικής μεταφορικής επανάληψης ενός ασύμμετρου σχεδίου. Το βασικό μοτίβο καθώς επαναλαμβάνεται δίνει την εντύπωση της κίνησης, την εξέλιξη τον χρόνο. Είδος συμμετρίας Απλή μεταφορά Ολισθαίνων κατοπτρισμός Ημιστροφή Κατακόρυφος κατοπτρισμός Οριζόντιος κατοπτρισμός Κατακόρυφος - ολισθαίνων κατοπτρισμός Κατακόρυφος και οριζόντιος κατοπτρισμός\n22. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 21 Η περίπτωση m1 Χρησιμοποιήθηκε για να παρουσιαστούν λατρευτικοί χοροί. Η περίπτωση 1m Χρησιμοποιήθηκε για να παρασταθούν φυτά ακόμα και μέσα σε διακοσμητικά μοτίβα. Η περίπτωση 1g Χρησιμοποιήθηκε για να εκφραστεί μία ακολουθία στοιχείων πάνω – κάτω με διαφορετική κατεύθυνση. Η περίπτωση mg Δηλώνουν κινήσεις νερού – ήλιος πάνω και κάτω από το επίπεδο του νερού Η περίπτωση 12 Επανάληψη ενός βασικού σχεδίου σε δύο αντίθετες κατευθύνσεις. Η περίπτωση mm Κλασικό διακοσμητικό στοιχείο με κατακόρυφη και οριζόντια συμμετρία\n23. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 22 Αλλά γιατί μόνο 7 δυνατοί τρόποι ; Μία δικαιολόγηση – όχι απόδειξη μπορεί να δοθεί από το παρακάτω διάγραμμα : Η περίπτωση (m2,) ταυτίζεται με τις περιπτώσεις (m,m) και (m,g) ανάλογα ως προς το σημείο στο οποίο γίνεται η ημιστροφή, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.\n24. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 23 Ενδιαφέρον θα αποτελεί η επίσκεψη στο αρχαιολογικό Μουσείο όπου οι μαθητές θα μπορούν να συνδυάσουν την επίσκεψη τους με την ενασχόληση σε δύο διακριτά γνωστικά αντικείμενα, αυτό της ιστορίας – γεωμετρική περίοδος της τέχνης αλλά και την ανακάλυψη των συμμετριών που εμφανίζονται στα διάφορα εκθέματα και την ταυτοποίηση τους ανάλογα με τις επτά ομάδες που προαναφέραμε. Για να κάνουμε μία καλή αρχή μπορείτε να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα; Α/Α Έκθεμα Ονομασία ομάδας συμμετρίας ζωφόρου Έλεγχος της απάντησης 1. 2. 3. 4. 5.\n25. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 24 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Απαντήσεις : 1- 11 και 12 / 2- m1 / 3- 11 / 4- 1g / 5- 12 / 6- m1 / 7- 1m / 8- mg / 9- mm / 10- 12 / 11- mm / 12- 1g / 13- 1g / 14- m1 / 15- 11\n26. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 25 ΣΤ. Ισομετρίες επιπέδου – πλακοστρώσεις . Αλάμπρα, το παλάτι της συμμετρίας ! Όποιος επισκεφτεί το αριστούργημα αυτό της ισλαμικής τέχνης αισθάνεται τη δύναμη της ανθρώπινης δημιουργικότητας να φθάνει στο ύψιστο βαθμό της. Η Αλάμπρα μοιάζει σαν να είναι κτισμένη πάνω στο νερό, γιατί οι Άραβες αρχιτέκτονες εκμεταλλεύτηκαν την κατοπτρική δύναμη του νερού. Ο διάκοσμος του παλατιού είναι γεμάτος εικόνων πλήρους συμμετρίας και στροφών. Οι οροφές οι τοίχοι τα δάπεδα είναι καλυμμένα με άνθη και αστέρια μιας ποικιλόμορφης δαιδαλώδους τεχνοτροπίας. Οι τοίχοι είναι στρωμένοι με πλακίδια διαφορετικών χρωμάτων διατεταγμένα έτσι ώστε να σχηματίζουν επαναλαμβανόμενα μοτίβα. Η συμμετρία κάνει τους τοίχους να πάλλονται, δίνοντας την εντύπωση κινούμενης εικόνας. Η τεχνική αυτή αφιέρωμα στην άπειρη σοφία και μεγαλοπρέπεια του θείου. Στα ξυλόγλυπτα σχηματίζονται γραμμές οι οποίες μοιάζουν να τρέχουν η μία κάτω από την άλλη. Ξεγελιέται το μάτι, δίνοντας την αίσθηση της ύπαρξης μιας επιπλέον διάστασης.\n27. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 26 Πέρα από την καθαρά αισθητική προσέγγιση αυτής της ομορφιάς, το μαγικό είναι ότι και εδώ κρύβονται Μαθηματικά ! Όπως στην περίπτωση της ζωφόρου όπου έχουμε συγκεκριμένο αριθμό ομάδων συμμετριών έτσι και στο επίπεδο αποδεικνύεται ότι τελικά υπάρχουν δεκαεπτά (17) διαφορετικές ομάδες συμμετριών. Η διάκριση γίνεται καταρχήν με το πλέγμα που χρησιμοποιούμε και μετά από τον συνδυασμό των βασικών συμμετριών που αναπτύσσονται. Παραλληλόγραμμο πλέγμα Ορθογώνιο πλέγμα Ρομβοειδές πλέγμα Τετραγωνικό πλέγμα Εξαγωνικό πλέγμα Μέσα στο στοιχειώδες σχήμα κάθε στοιχείου του πλέγματος η γεωμετρική μορφή επαναλαμβάνεται μέσω ισομετριών και έτσι σχηματίζονται πλακοστρώσεις – ψηφιδωτά, ταπετσαρίες, ξυλόγλυπτα κ.α. Ο πίνακας των 17 ομάδων επίπεδων διακοσμήσεων είναι ο παρακάτω : Στα διπλανά σχήματα τα σύμβολα δηλώνουν το κέντρο της περιστροφής με γωνία 180 , 120 , 90 , 60 αντίστοιχα. Ενώ τα σύμβολα τους άξονες κατοπτρισμού ή ολισθαίνοντος κατοπτρισμού αντίστοιχα.\n28. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 27 1η περίπτωση : Παραλληλόγραμμο πλέγμα και απλή μεταφορά. 2η περίπτωση Παραλληλόγραμμο πλέγμα και περιστροφή 180 και μεταφορά 3η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα και οριζόντιος κατοπτρισμός και μεταφορά 4η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα και ολισθαίνων κατοπτρισμός και μεταφορά 5η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα και οριζόντιοι – κατακόρυφοι κατοπτρισμοί και στροφές 180 και μεταφορά 6η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα και οριζόντιοι κατοπτρισμοί - στροφές 180ο ολισθαίνων κατοπτρισμός και μεταφορά\n29. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 28 7η περίπτωση Ορθογώνιο πλέγμα – στροφές 180ο – ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορές 8η περίπτωση Ρομβοειδές πλέγμα – οριζόντιος κατοπτρισμός – ολισθαίνων κατοπτρισμός και μεταφορά 9η περίπτωση Ρομβοειδές πλέγμα – οριζόντιος και κατακόρυφος κατοπτρισμός – ολισθαίνων κατοπτρισμός – στροφές 180ο και μεταφορά 10η περίπτωση Τετράγωνο πλέγμα – στροφές 90ο και 180ο – μεταφορές 11η περίπτωση Τετράγωνο πλέγμα – στροφές 90ο και 180ο – οριζόντιος και κατακόρυφος κατοπτρισμός – ολισθαίνων κατοπτρισμός και μεταφορά 12η περίπτωση Τετράγωνο πλέγμα – στροφές 90ο και 180ο πλάγιοι κατοπτρισμοί – ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορά\n30. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 29 13η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 120ο – μεταφορά 14η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 120ο – κατοπτρισμοί – ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορά 15η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 120ο – πλάγιοι κατοπτρισμοί – ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορά 16η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 180ο – 120ο –60ο μεταφορές 17η περίπτωση Εξαγωνικό πλέγμα – στροφές 180ο – 120ο – 60ο – Κατοπτρισμοί – Ολισθαίνων κατοπτρισμός - μεταφορά\n31. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 30 Το πιο πιθανόν είναι η παράθεση όλων αυτών των περιπτώσεων να κούρασε… Αν αφεθούμε όμως στη δημιουργική διακοσμητική τέχνη όπως αυτή έχει αναπτυχθεί ανά τους αιώνες σίγουρα θα αποζημιωθούμε … Συμμετρία p1 - Αίγυπτος 3600 – 3200 π.χ. Συμμετρία p2 – Ουκρανία 23000 π.χ. Συμμετρία p2 – Αιγαίο – 1600 π.χ. Συμμετρία pm – Συρία – 6000 π.χ. Συμμετρία pm – Τροία – 1500 π.χ. Συμμετρία pm – Αρχαία Αίγυπτος Συμμετρία pg – Αίγυπτος – 3600-3200π.χ. Συμμετρία pmm – Ουκρανία – 120000 π.χ.\n32. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 31 Συμμετρία pmm – Μέση ανατολή Συμμετρία pgg – Ιράν – 5000 π.χ. Συμμετρία pgg – Αιγαίο 1600 π.χ. Συμμετρία cm – Συρία – 6000 π.χ. Συμμετρία cm – Παλάτι της Κνωσού Συμμετρία cm – Αίγυπτος – 2000 π.χ. Συμμετρία cmm – νεολιθική εποχή Συμμετρία p3 – Αρχαία Αίγυπτος\n33. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 32 Εξαγωνικές συμμετρίες : 1ο σχήμα P3 , Αραβικό 2ο σχήμα p31m, Κινέζικο 3ο σχήμα p3m1 Περσία Εξαγωνικές συμμετρίες p6 , από Κρήτη και Κυκλάδες Εξαγωνικές συμμετρίες p6m από Περσία – 6000 π.χ.\n34. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 33 Συμμετρίες p4 από Αρχαία Αίγυπτο Συμμετρίες p4g από Κρήτη και Αίγυπτο. Συμμετρίες p4m Νεολιθικής εποχής\n35. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 34 Θα αναρωτιέται κάποιος – μα πως είναι δυνατόν να εντοπίσω το είδος της συμμετρίας που αναπτύσσεται σε μία πλακόστρωση; Η απάντηση είναι ότι η δεξιότητα αυτή είναι μία πολύ δύσκολη διαδικασία. Για να σας παρηγορήσω αρκεί να αναφέρουμε ότι η διαπίστωση ότι στο παλάτι της Αλάμπρας υπάρχουν και οι 17 μορφές συμμετρίας επιπέδου έγινε σταδιακά. Συγκεκριμένα το 1944 η Edith Muller βρήκε 11. Το 1980 ο Grunbaum βρήκε άλλες δύο. Το 1987 ο Rafael Perez Gomez και ανεξάρτητα ο Jose Maria Montesinos ανακάλυψαν τις υπόλοιπες τέσσερις. Προς χάριν της αισθητικής τέρψης, σας παρουσιάζω τη μαγεία της ισλαμικής τέχνης και τους 17 τρόπους επίπεδης ισομετρίας όπως εμφανίζονται στο παλάτι της συμμετρίας!\n36. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 35\n37. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 36 Λέγεται ότι το 1492 καθώς ο τελευταίος μουσουλμάνος ηγεμόνας εγκατέλειπε την Γρανάδα στράφηκε για μια τελευταία στιγμή προς την Αλάμπρα και δάκρυσε. Η μητέρα του τον μάλωσε λέγοντάς του : « Μη δακρύζεις σαν γυναίκα για κάτι που δεν μπόρεσες να υπερασπιστείς σαν άνδρας »\n38. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 37 Ζ. Ισομετρίες επιπέδου στο έργο του Escher . Ο Maurits Cornelis Escher, 17 Ιουνίου 1898 – 27 Μαρτίου 1972 , ήταν Ολλανδός εικαστικός καλλιτέχνης. Εκτός από το σχέδιο και τη γραφιστική δούλεψε επίσης με τις τεχνικές της ξυλογραφίας, της λιθογραφίας και της χαλκογραφίας. Το 1922 ήταν μια σημαντική χρονιά για τον Escher , ο οποίος ταξίδεψε σε πόλεις της Ιταλίας και στην Ισπανία όπου τα περίτεχνα διακοσμητικά σχέδια στην Αλάμπρα τον επηρέασαν βαθύτατα. Χρησιμοποιώντας γεωμετρικά πλέγματα ως βάση των σχεδίων του, όπως και η Ισλαμική τέχνη στην Αλάμπρα, δημιούργησε συνθέσεις πλακοστρώσεων τις οποίες επικάλυπτε με πρόσθετα σχέδια. Έχοντας κατανοήσει την έννοια των 17 ομάδων συμμετρίας επιπέδου δημιούργησε περιοδικές επικαλύψεις με 43 χρωματιστά σχέδια διαφόρων τύπων συμμετρίας. Το 1941, συνόψισε τα συμπεράσματά του σε ένα τετράδιο, το οποίο ονόμασε «η τακτική διαίρεση τομέων σε ασύμμετρα παραλληλισμένα πολύγωνα». Με ποια τεχνική όμως εργαζόταν ο Escher ; Τα παρακάτω σχέδια προσπαθούν να δώσουν απάντηση στο ερώτημα αυτό.\n39. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 38 1ο παράδειγμα Ξεκινάμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Σχηματίζουμε μία τεθλασμένη γραμμή ΑΠΣΜ, μέχρι το μέσο Μ της ΑΒ. Στρέφουμε κατά 180ο το πολύγωνο ΑΠΣΜΑ γύρω από το Μ Στρέφουμε τις δύο περιοχές γύρω από το Α κατά 60ο . Στρέφουμε τις δύο νέες περιοχές κατά 60ο γύρω από το Γ. Χρωματίζουμε με μπλε χρώμα το σχηματιζόμενο πολύγωνο. Στρέφουμε το πολύγωνο αυτό κατά 60ο γύρω από το Γ. Την διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνουμε συνεχώς για τα εμφανιζόμενα χωρία μέχρι όσου να συμπληρωθεί η περιοχή γύρω από το Γ. Το επίπεδο μπορεί να γεμίσει με κατάλληλες στροφές ή μεταφορές των εμφανιζόμενων περιοχών. Η πλακόστρωση πραγματοποιείται σε εξαγωνικό πλέγμα με στροφές 180ο – 60ο και μεταφορές. Πρόκειται για μία πλακόστρωση τύπου p6. Η τεχνολογία μπορεί να δημιουργήσει πιο χαοτικές ισομετρίες επιπέδου!\n40. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 39 2ο παράδειγμα Ξεκινάμε από το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Σχηματίζουμε δύο τυχαίες τεθλασμένες γραμμές ΑΕΖΔ και ΑΗΘΒ. Μεταφέρουμε οριζόντια και κατακόρυφα τις τεθλασμένες κατά διανύσματα ίσα με τις πλευρές του παραλληλογράμμου. Ορίζουμε το σχηματιζόμενο χωρίο – χρώμα μπλε. Μεταφέρουμε το χωρίο αυτό οριζόντια και κατακόρυφα κατά διανύσματα ίσα με τις πλευρές του παραλληλογράμμου. Συνεχίζουμε την μεταφορά των σχηματιζόμενων χωρίων οριζόντια – κατακόρυφα κατά τα ίδια διανύσματα. Καλύπτουμε όλο το επίπεδο με τα σχήματα αυτά. Η πλακόστρωση πραγματοποιείται σε παραλληλόγραμμο πλέγμα και μεταφορές. Πρόκειται για μία πλακόστρωση τύπου p1. Μοντέρνα τέχνη; Ή απλώς μεταφορές χρησιμοποιώντας το geogebra!\n41. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 40 3ο παράδειγμα Σχηματίζουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ Βρίσκουμε τα μέσα Μ,Ν των ΑΒ και ΑΔ και το κέντρο του Ο Σχηματίζουμε τα διανύσματα και Σχηματίζουμε τυχαίο χωρίο ΑΕΖΜΑ Στρέφουμε το χωρίο κατά 90ο γύρω από το Α. Βρίσκουμε τα συμμετρικά των δύο χωρίων ως προς την ΜΝ. Σχηματίζεται το μπλε σχήμα. Στρέφουμε το σχήμα αυτό γύρω από το Ο κατά γωνίες 90ο , 180ο , 270ο . Συμπληρώνουμε την πλακόστρωση με μεταφορά των τεσσάρων χωρίων οριζόντια και κατακόρυφα κατά διανύσματα και . Η πλακόστρωση πραγματοποιείται σε τετράγωνο πλέγμα με κατοπτρισμούς – στροφές κατά 90ο , 180ο , 270ο και μεταφορές. Πρόκειται για μία πλακόστρωση τύπου p4g. Ισομετρία επιπέδου p4g από το geogebra!\n42. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 41 H. Τρισδιάστατες συμμετρίες. Το θέμα της συμμετρίας επεκτείνεται και στο χώρο – στις τρεις διαστάσεις. Από τον καιρό του Πλάτωνα ήταν γνωστό ότι υπάρχουν μόνο 5 κανονικά πολύεδρα. Δηλαδή 5 κυρτά στερεά που οριοθετούνται από ίσα κανονικά πολύγωνα. Τα στερεά αυτά είναι : Κάθε κανονικό πολύγωνο χαρακτηρίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος φυσικών αριθμών (π,ε) . Ο αριθμός π δηλώνει των αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου που έχει ως έδρα το αντίστοιχο κανονικό πολύεδρο. Ο αριθμός ε δηλώνει των αριθμών των εδρών που ενώνονται στην τυχαία κορυφή του πολυέδρου. Για παράδειγμα στο τετράεδρο ισχύει ότι π=3 αφού οι έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα και ε=3 αφού τρία ισόπλευρα τρίγωνα ενώνονται σε κάθε κορυφή για να σχηματιστεί το τετράεδρο. Άρα το τετράεδρο αντιστοιχίζεται στο ζεύγος (3,3), ο κύβος στο (4,3), το οκτάεδρο στο ζεύγος (3,4), το δωδεκάεδρο στο (5,3) και το εικοσάεδρο στο (3,5). Γιατί όμως υπάρχουν μόνο 5 κανονικά στερεά; Η απόδειξη μοιάζει με την αντίστοιχη απόδειξη του ερωτήματος πόσα κανονικά πολύγωνα χρειαζόμαστε για την κάλυψη του επιπέδου. Έστω ε το πλήθος των κανονικών πολυγώνων που χρειαζόμαστε με π πλευρές το κάθε ένα. Το άθροισμα των ε γωνιών είναι μικρότερο των 360ο άρα : 360 2 2 (180 ) 360 (1 ) 2 2 2 2 ( 2) 2( 2) 4 ( 2)( 2) 4 με , 3 Για π=3 έχουμε 6 άρα ε=3 ή 4 ή 5 οπότε έχουμε τα πολύγωνα (3,3) , (3,4) και (3,5) Για π=4 έχουμε 2( 2) 4 2 2 4 άρα ε=3 άρα έχουμε το πολύγωνο (4,3) Για π=5 έχουμε 3( 2) 4 3,33... άρα ε=3 οπότε έχουμε το πολύγωνο (5,3) Για π>5 έχουμε ότι ε<3 αδύνατο.\n43. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 42 Επιπλέον ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler (1707- 1783) είχε αποδείξει ότι ανάμεσα στον αριθμό Ε των εδρών τον αριθμό Α των ακμών και τον αριθμό Κ των κορυφών ενός στερεού ισχύει η ισότητα : Κ-Α+Ε=2 Επιπλέον για κάθε κανονικό πολύεδρο ισχύουν και οι ισότητες : εΚ=2Α =πΕ, με τη βοήθεια των τεσσάρων σχέσεων μπορούμε να καταλήξουμε στους τύπους : 4 2 4 , , 2 2 2 2 2 2 Οπότε τελικά έχουμε : Ο Πλάτων έδωσε στα στερεά αυτά μεταφυσικές διαστάσεις αντιστοιχίζοντάς τα με τη φωτιά τη γη τον αέρα το σύμπαν και το νερό αντίστοιχα Αργότερα ο Γερμανός αστρονόμος Κέπλερ τα χρησιμοποίησε ατυχώς για να περιγράψει το ηλιακό σύστημα στο βιβλίο του “ Mysterium Cosmographicum” ανακατεύοντας επιστημονικά στοιχεία με τον μυστικισμό.\n44. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 43 Ο μαθηματικός που έκανε τη διαφορά ήταν για άλλη μία φορά ο Αρχιμήδης, κατασκευάζοντας 13 ημικανονικά στερεά. Τα στερεά αυτά έχουν κανονικά πολύγωνα ως έδρες αλλά όχι όμοια. Πρόκειται για συμμετρικά στερεά, με όλες τις στερεές γωνίες τους ίσες. Η πρώτη γνωστή αναφορά στα πολύεδρα αυτά γίνεται από τον Έλληνα μαθηματικό Πάππο τον Αλεξανδρινό 4ο αιώνα π.χ. Στον διπλανό πίνακα παρουσιάζονται οι διεθνής ονομασίες των 13 ημικανονικών πολυγώνων , τα αναπτύγματά τους , ο αριθμός των ακμών και εδρών τους.\n45. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 44 Το 1809 φτιάχτηκε ένα στερεό που αποτελείται από 12 τεμνόμενα πεντάγωνα. Το περίεργο αυτό κατασκεύασμα ονομάστηκε μεγάλο δωδεκάεδρο. Αργότερα ανακαλύφθηκαν και άλλα τρία παρόμοια περίεργα στερεά. Το μεγάλο και το μικρό αστεροειδές δωδεκάεδρο και το μεγάλο εικοσάεδρο. Το ερώτημα που έμπαινε ήταν αν υπήρχαν και άλλα τέτοια περίεργα στερεά;. Η Γαλλική ακαδημία επιστημών αποφάσισε το 1811 να απονείμει βραβείο σε όποιον αποδείκνυε ότι τα πέντε πλατωνικά στερεά και τα τέσσερα νέα στερεά είναι όλα τα τρισδιάστατα αντικείμενα που μπορούμε να φτιάξουμε από πανομοιότυπα κανονικά πολύγωνα. Το βραβείο το κέρδισε ο Γάλλος μαθηματικός Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857). Δεν υπάρχουν άλλα στερεά που κατασκευάζονται από πανομοιότυπα πολύγωνα, ο αγώνας ανακάλυψης νέων περίεργων στερεών έμοιαζε ότι είχε φθάσει στο τέλος του. Έως ότου ο Richard Buckminster Fuller (1895-1983) , μαθηματικός και αρχιτέκτονας παρουσίασε τον γεωδαιτικό θόλο. Μία δομή που αποτελείται από ένα σύνθετο σύμπλεγμα 120 ισόπλευρων τρίγωνων και 60 ισοσκελών. Μία δομή που αποτελείται από 180 έδρες που διαμορφώνουν μια κατά προσέγγιση σφαιρική επιφάνεια.\n46. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 45 Ζ. Η συμμετρία στη φύση και στην ανθρώπινη δημιουργικότητα Το πρώτο κλασικό παράδειγμα συμμετρίας και πλακόστρωσης είναι αυτό του τρόπου σχηματισμού της κερήθρας από τις μέλισσες. Γιατί όμως εξάγωνο και όχι τετράγωνο ή εφαπτόμενοι κύκλοι; Αποδεικνύεται ότι από ένα άπειρο πλήθος δομών τις οποίες θα μπορούσαν να έχουν επιλέξει οι μέλισσες, τα εξάγωνα είναι τα σχήματα που απαιτούν το λιγότερο κερί για το σχηματισμό του μεγαλύτερου πλήθους κοιλοτήτων στην κερήθρα με την μεγαλύτερη χωρητικότητα. Το 1999, ο καθηγητής Tomas Hails παρείχε τη μαθηματική απόδειξη του προβλήματος που αποκάλεσε «εικασία της κερήθρας». Απέδειξε ότι τα κανονικά εξάγωνα είναι ο καλύτερος τρόπος για να καταμεριστεί ένας χώρος σε ίσα τμήματα με την ελάχιστη δομική στήριξη. Το επόμενο παράδειγμα είναι οι συμμετρικές δομές σχηματισμού των χιονονιφάδων. Πάντοτε σχηματίζονται εξαγωνικές μορφές με κάθε είδους συμμετρίας κατοπτρική – στροφές κατά 60ο , 120ο Τα κανονικά πολύεδρα με τη μορφή Ακτινόζωων, πρωτόζωα με ακτινωτή συμμετρία Η ακτινωτή συμμετρία έχει ως κέντρο ένα σημείο στο χώρο και εκτείνεται προς κάθε διεύθυνση από το κέντρο προς κάθε πιθανό σημείο.\n47. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 46 Στη κρυσταλλική κατάσταση τα μόρια αραδιάζονται σε δεκάδες ή ακόμη και εκατοντάδες χιλιάδες πανομοιότυπα μόρια σχηματίζοντας ένα σύνολο που χαρακτηρίζεται από μία εντυπωσιακή κανονικότητα. Η κανονικότητα αυτή βασίζεται σε κρυσταλλικά πλέγματα που αναπτύσσονται που επιτρέπουν στα συνιστώσα μόρια να επαναλαμβάνονται στο χώρο, όπως περίπου και μία πλακόστρωση στο επίπεδο. Η αντίστοιχη ταξινόμηση των κρυστάλλων σύμφωνα με το είδος συμμετρίας που υπάρχει περιλαμβάνει 230 πιθανές διατάξεις στο χώρο. Ο κατάλογος έγινε από τον Ρώσο κρυσταλλογράφο Jevgraf Stepanovitj Fjodorov ( 1853-1919). Στα μέσα της δεκαετίας του 1980 ανακαλύφθηκε ένα εντελώς νέο είδος υλικού με φυσική κατάσταση ενδιάμεση της κρυσταλλικής και της άμορφης. Το υλικό αυτό έμοιαζε να βασίζεται στη πενταπλή συμμετρία παραβιάζοντας θεμελιώδεις νόμους της κρυσταλλογραφίας ( όλοι οι κρύσταλλοι εμφανίζουν συμμετρία – στροφές τύπου 2-3-4-6) Το νέο υλικό ονομάστηκε Σεχτμανίτης από τον Daniel Shechtman που το ανακάλυψε (Νόμπελ 2011) . Το μοντέλο που μπορούσε να προσομοιάσει το παράξενο αυτό υλικό ήταν οι πλακοστρώσεις του Πενρόουζ οι οποίοι όπως και οι ημικρύσταλλοι διαθέτουν πενταπλή συμμετρία αλλά είναι σε θέση να καλύψουν το επίπεδο με αναρίθμητους τρόπους. Οι χημικοί συνηθίζουν να οπτικοποιούν τη διάταξη μορίων φτιάχνοντας πλαστικά μοντέλα από χρωματιστές μπαλίτσες συνδεδεμένες μεταξύ τους με μικρά ελάσματα. Τη δεκαετία του 1950 μία φαρμακευτική εταιρεία βρήκε ένα φάρμακο για την ναυτία. Το απλοποιημένο μοντέλο της χημικής ένωσης αποτελείτο από μία τετραεδική διάταξη γύρω από μία κεντρική βάση άνθρακα.\n48. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 47 Με τη λήψη όμως του φαρμάκου παρουσιάστηκαν προβλήματα. Πως ένα ασφαλές φάρμακο τελικά δημιουργούσε προβλήματα; Το πρόβλημα εντοπίστηκε στο γεγονός ότι μπορούμε να διατάξουμε με δύο τρόπους τέσσερις έγχρωμες μπάλες γύρω από ένα άτομο άνθρακα. Οι δύο αυτές διατάξεις έχουν μία κατοπτρική συμμετρία , αποτελούν δύο διακριτά μόρια διότι δεν μπορούμε να τα στρέψουμε ώστε η μία διάταξη να μοιάζει στην άλλη. Το ένα μόριο είναι καθρέφτης του άλλου. Η δεξιόστροφη εκδοχή του φαρμάκου λειτουργούσε θεραπευτικά ενώ ο αριστερόστροφος ξάδελφος του αποτελούσε καταστρεπτικός συνδυασμός με την ίδια πρωτεΐνη. Σε πολλές χημικές ενώσεις παρουσιάζονται δύο εκδοχές με διαφορετικές ιδιότητες. Η δεξιόστροφη και η αριστερόστροφη συμμετρία εμφανίζεται στα στερεοϊσομερή αλλά στα αμινοξέα και στο DNA. Ας επιμείνουμε λίγο στη Χημεία και ας εξετάσουμε τρία ακόμα στοιχεία με συμμετρίες που εκπλήσσουν. Το διαμάντι αλλά και τον γραφίτη. Το 1985 φτιάχτηκε ένα μόριο που αποτελείτο από 60 μόρια άνθρακα , το μόριο ονομάστηκε fullerenes (φουλερένιο ) και συμβολίζεται C60 . Το μοντέλο που μας βοηθά στην προσομοίωση του μορίου αυτού είναι το ημικανονικό στερεό του Αρχιμήδη που μοιάζει με μπάλα ποδοσφαίρου και που αποτελείται από κανονικά πεντάγωνα και εξάγωνα.\n49. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 48 Η ανθρώπινη δραστηριότητα που έχει επηρεαστεί περισσότερο από την έννοια της συμμετρίας είναι σίγουρα η τέχνη σε όλες της εκφάνσεις της. Αν είναι παρατηρητικός κάποιος μπορεί να αναζητήσει στη ζωγραφική στη γλυπτική στην αρχιτεκτονική θέματα που ζωντανεύουν όλες οι μορφές της συμμετρίας. Χαρακτηριστικά παραδείγματα : το «σπίτι στο θόλο» του αρχιτέκτονα Richard Buckminster Fuller η τεράστια σφαίρα στο μουσείο των επιστημών στο Parc de la Villette στο Παρίσι σχεδιασμένη από τον Ελβετό αρχιτέκτονα Bernard Tschumi. Πιο πάνω βλέπουμε τρία χαρακτηριστικές φωτογραφίες από την έκθεση : με θέμα « Η Αρχιτεκτονική συμμετρία στους δρόμους του Άμστερνταμ».\n50. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 49 Αλλά και έργα ζωγραφικής όπως : «το μυστήριο του μυστικού δείπνου» του Salvador Dali όπου η συνάντηση του Ιησού με τους μαθητές του λαμβάνει χώρα μέσα σε ένα κανονικό δωδεκάεδρο, το πλατωνικό σύμβολο του σύμπαντος. το έργο « the mud bath» του Άγγλου ζωγράφου David Garshen Bomberg (1890 – 1957) όπου μπορεί κανείς να αναζητήσει επαναλαμβανόμενο μοτίβο πλακόστρωσης. σε όλα τα έργα του Vásárhelyi Győző (1906-1997), του ζωγράφου από την Ουγγαρία πρόδρομου της οπτικής τέχνης (op art). Οι κλασικές πλακοστρώσεις παίρνουν όγκο – φουσκώνουν – κάμπτονται. Το χρώμα παίζει με τις αισθήσεις μετατρέποντας το απίθανο σε πιθανό.\n51. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 50 Μία πολύ ενδιαφέρουσα πρόταση για την ενασχόληση των μαθητών μας με τα μαθηματικά είναι το πρόγραμμα που διεθνώς έχει τον τίτλο math in the city. Τι περιλαμβάνει το πρόγραμμα αυτό; Την καταγραφή όποιων μαθηματικών δομών μπορεί η φαντασία των μαθητών μας να βρει – φωτογραφίζοντάς τα, ζωγραφίζοντάς τα ή κατασκευάζοντάς τα. Ο κατάλογος αυτός ή η έκθεση των φωτογραφιών- κατασκευών μπορεί να αποτελέσει το έναυσμα να βλέπουμε τα μαθηματικά με ένα τρόπο πιο φιλικό. Ας δούμε μερικά παραδείγματα από μαθητές που συμμετέχουν σε αντίστοιχα προγράμματα στο εξωτερικό. Τα Μαθηματικά στη Segovia : Μερικές ισομετρίες ζωφόρων που υπάρχουν σε κτήρια στη Segovia\n52. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 51 Αλλά και ισομετρίες επιπέδου Τύπος p6m Τύπος p4m Τύπος p4g Τα Μαθηματικά στoν Domus via del Gemignano, Città di Castello : Τα Μαθηματικά στoν St. Benedetto Church, Norcia Τα Μαθηματικά στον St. Agostino Church, Amelia\n53. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 52 Τα Μαθηματικά στον St. Pietro Church, Assisi Τα Μαθηματικά στο Gateway Arch in St Louis Μια ανοικτή πρόσκληση ! https://www.youtube.com/watch?v=mS40bprKtx8\n54. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 53 ΠΑΡΑΘΕΜΑ 1η αναφορά Άσκηση : Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί ,x y για τους οποίους ισχύει η ισότητα : 1 1 1 x y n όπου n ένας δοσμένος φυσικός αριθμός. Λύση : Η δοσμένη ισότητα γράφεται διαδοχικά 1 1 1 1 1 1 1 y n ny x x y n x n y x ny y n (1) Από την διαίρεση :( )ny y n καταλήγουμε ότι 2 ( )ny y n n n άρα 2 ny n n y n y n Άρα η (1) γράφεται 2 n x n y n (2) Θέτουμε y n a . επειδή 2 /n a έχουμε ότι υπάρχει b N ώστε 2 n a b (3) Οπότε (3) (2) a b x n x n b a . Άρα τελικά έχουμε : ,x n b y n a με 2 a b n Στην περίπτωση όπου αναζητάμε τρία διαφορετικά κανονικά πολύγωνα με κοινή κορυφή που καλύπτουν εξολοκλήρου το επίπεδο γύρω από το κοινό σημείο καταλήγουμε στην εξίσωση : 1 1 1 1 ν μ κ 2 Ας προσπαθήσουμε να τη λύσουμε … Αν ν=3 η ισότητα ισοδύναμα γράφεται 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 Με βάση την βασική άσκηση που λύσαμε προηγουμένως επειδή αναζητούμε τους φυσικούς α,β με 2 6 36a , καταλήγουμε στον πίνακα : μ=6+α κ=6+β α β 7 42 1 36 8 24 2 18 9 18 3 12 10 15 4 9 12 12 6 6\n55. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 54 Δηλαδή η περιοχή γύρω από ένα σημείο του επιπέδου καλύπτεται με τους εξής συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων : (3,7,42) , (3,8,24) , (3,9,18) , (3,10,15) , (3,12,12) Από τις λύσεις αυτές δεκτή είναι μόνο η (3,12,12) , όλες οι άλλες καλύπτουν την περιοχή γύρω από μία κορυφή αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μονάδα για την πλήρη κάλυψη του επιπέδου. Αυτό φαίνεται στο διπλανό σχήμα όπου έχει σχεδιαστεί η μονάδα (3,9,18). Αν ν=4 η ισότητα ισοδύναμα γράφεται 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 Με βάση την βασική άσκηση που λύσαμε προηγουμένως επειδή αναζητούμε τους φυσικούς α,β με 2 4 16a , καταλήγουμε στον πίνακα : Δηλαδή η περιοχή γύρω από ένα σημείο του επιπέδου καλύπτεται με τους εξής συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων : (4,5,20) , (4,6,12) και (4,8,8) Από τις λύσεις αυτές δεκτές είναι οι (4,6,12) και (4,8,8) Αν ν=5 η ισότητα ισοδύναμα γράφεται 1 1 1 1 1 1 3 2 5 10 . Η συγκεκριμένη εξίσωση έχει λύση την μ=5 και κ=10 , άρα παίρνουμε τον συνδυασμό (5,5,10) που όμως δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μονάδα για την κάλυψη του επιπέδου. Αν ν=6 η ισότητα ισοδύναμα γράφεται 1 1 1 1 1 1 1 2 6 3 . μ=4+α κ=4+β α β 5 20 1 16 6 12 2 8 8 8 4 4\n56. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 55 Με βάση την βασική άσκηση που λύσαμε προηγουμένως επειδή αναζητούμε τους φυσικούς α,β με 2 3 9a , καταλήγουμε στον πίνακα : Δηλαδή η περιοχή γύρω από ένα σημείο του επιπέδου καλύπτεται με τους εξής συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων : (6,4,12) , (6,12,6) Από τις λύσεις αυτές δεκτές είναι οι (4,6,12) και (4,8,8). Άρα τελικά οι περιπτώσεις που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι : (12,12,3) , (4,6,12) , (8,8,4) Δουλεύοντας με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε τους συνδυασμούς (4,4,6,3) , (6,6,3,3) , (3,3,4,12) αν χρησιμοποιούμε τέσσερα κανονικά πολύγωνα και οι περιπτώσεις : (3,3,3,4,4) και (3,3,3,3,6) αν χρησιμοποιούμε πέντε κανονικά πολύγωνα. μ=3+α κ=3+β α β 4 12 1 9 6 6 3 3\n57. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 56 2η αναφορά : Βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί 1. Συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων Καλούμε συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο ),( yxM του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του ),( yxM ως προς την αρχή των αξόνων. . 10 01 10 01 y x y x yxy yxx yy xx Άρα, η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα I 10 01 . 2α. Συμμετρία ως προς τον άξονα xx . Ισχύει: y x y x yxy yxx yy xx 10 01 10 01 . Άρα, η συμμετρία ως προς τον άξονα xx είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα 10 01 . 2β. Συμμετρία ως προς τον άξονα yy . Ισχύει: y x y x yxy yxx yy xx 10 01 10 01 . Άρα η συμμετρία ως προς τον άξονα yy είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα 10 01 . O x y 7 C΄ C Μ(x,y) Μ΄(-x,-y) O x y 9 C΄ C Μ΄(x, y) Μ(x,y) O y x 10 C΄ C Μ΄( x, y) Μ(x,y)\n58. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 57 2γ. Συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία xy . Ισχύει: y x y x yxy yxx xy yx 01 10 01 10 . Άρα, η συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία xy είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα 01 10 . 3. Στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και θ μια θετική ή αρνητική γωνία. Καλούμε στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο ),( yxM του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο πέρας ),( yxM , του διανύσματος MO που είναι η τελική θέση του OM , αν αυτό στραφεί γύρω από το Ο κατά γωνία θ. Αν φ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα OM με τον άξονα xx και ρ το μέτρο του διανύσματος OM , τότε θα ισχύει: φρy φρx ημ συν (1) και )ημ( )συν( θφρy θφρx (2). Έτσι, θα ισχύει θφρθφρy θφρθφρx θφθφρy θφθφρx ημ)συν(συν)ημ( ημ)ημ(συν)συν( )ημσυνσυνημ( )ημημσυνσυν( θyθxy θyθxx συνημ ημσυν)1( y x θθ θθ y x συνημ ημσυν . Άρα, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα θθ θθ συνημ ημσυν . O y x 11 C΄ ε C Μ΄(y,x) Μ(x,y) O x 12 Μ΄(x΄,y΄) ρ φ θ y Μ(x,y)\n59. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 58 Ειδικότερα: α) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία 2 π θ έχει πίνακα 01 10 . β) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία πθ έχει πίνακα I 10 01 και είναι η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων. γ) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία 2 3π θ έχει πίνακα 01 10 . δ) Τέλος, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία πθ 2 έχει πίνακα 10 01 και είναι η ταυτοτική απεικόνιση. ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Για να θυμόμαστε τον πίνακα των παραπάνω γραμμικών μετασχηματισμών, αρκεί να θυμόμαστε ότι η πρώτη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας του σημείου )0,1(A , ενώ η δεύτερη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας του )1,0(B . Για παράδειγμα, ο πίνακας της συμμετρίας ως προς τον άξονα xx είναι ο 10 01 που έχει για πρώτη και δεύτερη στήλη τις συντεταγμένες των συμμετρικών ως προς τον άξονα xx των σημείων )0,1(A και )1,0(B αντιστοίχως. 5. Παράλληλη μεταφορά. Έστω ),( 21 δδδ  ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου Oxy . Καλούμε παράλληλη μεταφορά κατά διάνυσμα δ  το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο ),( yxM του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείο ),( yxM που ορίζεται από την ισότητα δMM  (Σχ. 14). Επειδή ),( yyxxMM , έχουμε ),(),( 21 δδyyxxδMM  2 1 δyy δxx 2 1 δyy δxx 2 1 δ δ y x y x 2 1 10 01 δ δ y x y x .  δ  δ O y x 14Μ΄(x΄,y΄) Μ(x,y)\n60. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 59 Ένα παράδειγμα : Η περίπτωση της μεταφορικής συμμετρίας : Μεταφέρουμε το σημείο Α(x,y) κατά το διάνυσμα (1,0) στη θέση Α’(x’,y’) Ισχύει ότι ' 1 0 1 1 1 ' 0 1 0 0 x x x x y y y y Βρίσκουμε το συμμετρικό Α”(x’’,y’’) του Α’ ως προς τον άξονα χ’χ. Ισχύει ότι : '' 1 0 ' 1 0 1 1 '' 0 1 ' 0 1 x x x x y y y y\n61. ΣΥΝ-ΜΕΤΡΙΑ Από τα μαθηματικά στην τέχνη και αντιστρόφως Γ. Λαγουδάκος Σελίδα 60 Βιβλιογραφία – Αρθρογραφία 1. Ταξίδι στον κόσμο των Μαθηματικών - Ivars Peterson - Εκδόσεις : W.H.Freeman Γιαλλελής – Μανωλάκης 2. Συμμετρία , το στοιχείο της τάξης – David Wade – Εκδόσεις : Αλεξάνδρεια. 3. Κανόνας και Διαβήτης πρακτικές γεωμετρικές κατασκευές – Andrew Sutton - Εκδόσεις : Αλεξάνδρεια. 4. Γεωμετρία και Αρχιτεκτονική – Κουρνιάτης Νίκος - Εκδόσεις : Τζιόλα. 5. Θεωρία Ομάδων , ο μαθηματικός, η συμμετρία και το τέρας – Marcus du Sautoy – Εκδόσεις : Τραυλός. 6. Ο Μέτοικος και η συμμετρία – Μιχαηλίδης Τεύκρος - Εκδόσεις : Πόλις. 7. Συμμετρία : μία διαδρομή από τις απαρχές της έννοιας μέχρι τη σύγχρονη μαθηματική της διατύπωση – Διπλωματική εργασία της Μιχαλοπούλου Μεταξίας. – Ε.Κ.Π.Α. 8. Διόφαντου Αριθμητικά – η άλγεβρα των αρχαίων ελλήνων – Επιμέλεια Ευάγγελου Σταμάτη – Ο.Ε.Δ.Β. 1963. 9. Οι συμμετρίες στην Ευκλείδεια γεωμετρία του επιπέδου – Διπλωματική εργασία της Βασιλικής Παπαγιαννακοπούλου – Πανεπιστήμιο Αθηνών – Πανεπιστήμιο Κύπρου. 10.Πώς να καλύψουμε ένα επίπεδο με πολύγωνα – R.B.Kerhner - Μαθηματική Επιθεώρηση Ελληνικής μαθηματικής εταιρείας , τεύχος 9 – 1978 . 11.Κάλυψη επιπέδου με κανονικά πολύγωνα – Γιάννη Αλοίμονου - Μαθηματική Επιθεώρηση Ελληνικής μαθηματικής εταιρείας , τεύχος 9 – 1978 . 12.Βικιπαίδεια 13. Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης - Ανδρεαδάκης – Κατσαργύρης – Μέτης – Μπρουχούτα ς– Παπασταυρίδης – Πολύζος. – Ο.Ε.Δ.Β 14.Οι Μαθηματικοί – E.T.Bell – Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. 15. Ιστοσελίδα Frieze symmetries at the Ashmolean Museum http://www.mathsinthecity.com/sites/frieze-symmetries-ashmolean- museum 16. The Plane symmetry Groups : Their recognition and notation – Doris Schattschncider – American mathematical Monthly, Volume 85, Issue 6 ( Jun.-Jul. 1978), 439-450. 17. Μαθηματικά και τέχνη : Διακοσμητικά σχήματα με χρήση λογισμικού – Μπάμπη Τουμάση και Τάσου Αρβανίτη - 19ο Πανελλήνιο Συνέδριο μαθηματικής Παιδείας. 18. Βοήθεια Geogebra – εγχειρίδιο έκδοσης 4.2 19. M.C. Escher - The Graphic WorK – Μουσείο Ηρακλειδών. 20. Η Ιστορία των Μαθηματικών – Richard Mankiewicz – Εκδόσεις Αλεξάνδρεια. 21.http://weavesilk.com/


Εξάσφαιρος ο ΑΟ Τρίκαλα - ΑΟ Τρίκαλα ΠΑΕ\nΗ ομάδα του ΑΟ Τρίκαλα συνέτριψε τα Χανιά για την 32η αγωνιστική της Φούτμπολ Λιγκ και επέστρεψε στις νίκες στο πρωτάθλημα της φουτμπόλ λιγκ μετά από μια ήττα και μια ισοπαλία σε εκτός έδρας αγώνες με Ελευσίνα και Απόλλωνα Σμύρνης. «Καθάρισε» από το πρώτο μέρος όπου το σκορ ήταν 4-1 και με τελικό σκορ 6-1, πήρε το τρίποντο και την 20η νίκη της στο πρωτάθλημα.\nΠαρουσία περίπου 350-400 φιλάθλων ο αγώνας στο Δημοτικό στάδιο τρεις στροφές πριν το τέλος της φετινής αγωνιστικής περιόδου.\nΤελευταίο ματς για τον Χαβιέ Μπαλμπόα ο οποίος θα αναχωρήσει για την Ισημερινή Γουϊνέα καθώς κλήθηκε στην Εθνική της χώρας του, μέσα σε αποθέωση από τους φιλάθλους.\nΠρώτη ευκαιρία τα Χανιά στο 8΄ . Σε σέντρα του Δρίζη , ο Αποστολόπουλος με κεφαλιά έστειλε την μπάλα έξω.\nΤο 1-0 στο 9΄. Ο Αρναρέλλης σέντρα και ο Μπαλμπόα με πλασέ το γκολ για τα Τρίκαλα.\nΟι φιλοξενούμενοι με τον Σταματή στο 15΄απείλησαν αλλά ο Αθανασόπουλος μπλόκαρε την μπάλα.\nΣτο επόμενο λεπτό στο 16΄ ο Γιαννιτσάνης από καλή θέση πλάσαρε άουτ.\nΕυκαιρία για τα Τρίκαλα στο 20΄ με τον Μουμίν να δίνει στον Κουσκουνά και ο τελευταίος να στέλνει την μπάλα πάνω από την εστία.\nΤο 2-0 στο 21΄. Μακρινό σουτ από τον Ριζογιάννη, ο Γεωργίου αιφνιδιάστηκε και η μπάλα κατέληξε στα δίχτυα.\nΤο 3-0 στο 23΄. Ο Μπαλμπόα ωραία για τον Σανδραβέλη σέντρα από δεξιά και ο Αφράτης στην προσπάθεια να διώξει έστειλε την μπάλα στα δίχτυα της ομάδας του.\nΣτο 27΄ ο Αθανασόπουλος έδιωξε την μπάλα στο σουτ του Αποστολόπουλου.\nΤο 4-0 στο 34΄. Ο Γκόλιας σέντραρε και ο Γιαννιτσάνης με κεφαλιά το τέταρτο γκολ για τα Τρίκαλα στο πρώτο ημίχρονο. Ήταν το 15ο στο πρωτάθλημα για τον παίκτη του ΑΟΤ που είναι δεύτερος σκόρερ πίσω από τον Κουσκουνά.\nΤο 4-1 στο 43΄. Μείωσαν τα Χανιά λίγο πριν την ανάπαυλα. Ατομική προσπάθεια ο Σταματής κέρδισε την κόντρα και με σουτ έστειλε την μπάλα στα δίχτυα.\nΤο 5-1 στο 72΄. Το 20ο γκολ για τον Κουσκουνά στο πρωτάθλημα μετά από πάσα που του έβγαλε ο Μουμίν.\nΤο 6-1 στο 83΄. Ο Κουσκουνάς την σέντρα και ο Ριζογιάννης με σουτ στην κίνηση έστειλε την μπάλα στα δίχτυα των Χανίων για το έκτο της ομάδας και το δεύτερο προσωπικό του μέσου του ΑΟΤ.\nΣτο 90΄τα Τρίκαλα έχασαν ευκαιρία με Κουσκουνά και Καμπλιώνη να πάνε σε έβδομο γκολ αλλά ο Γεωργίου έβγαλε την μπάλα κόρνερ.\nΚαι στο 92΄ διπλή απόκρουση του Γεωργίου πάλι σε σουτ των Καμπλιώνη και Κουσκουνά.\nΑ.Ο.Τρίκαλα (Αμανατίδης): Αθανασόπουλος, Σανδραβέλης (76΄Καμπλιώνης), Γκόλιας, Σαρακατσάνος, Βέρτζος, Μουμίν, Ριζογιάννης, Αρναρέλλης, Μπαλμπόα (57΄Λαμπάκης), Κουσκουνάς, Γιαννιτσάνης (66΄Καρρίκι).\nΑ.Ο.Χανιά (Γκάτζιος): Γεωργίου, Δρίζης (46΄Κοζάκης), Βασιλείου, Ζέρης, Αφράτης, Μηλιώτης, Λάσκαρης (62΄Μουδιός), Φουρλάνος, Αποστολόπουλος, Σταμάτης, Γεωργακόπουλος (69΄Μέρο).\nΔιαιτητές:Λυμπούδης (Μακεδονίας)-Νατσιόπουλος (Μακεδονίας) – Δεμερτζής (Πέλλας)\nΚίτρινες: Φουρλάνος ( Χανιά)\nΣτην 32η αγωνιστική της φουτμπολ λιγκ σημειώθηκαν τα αποτελέσματα:\nΕλευσίνα – Καλλιθέα 1-3\nΑχαρναϊκός – Αν. Καρδίτσας 1-1\nΛαμία-Πανθρακικός 3-0 α.α.\n1.ΑΠΟΛΛΩΝ ΣΜΥΡΝΗΣ 55-14 77\n2.ΛΑΜΙΑ 54-10 77\n3.ΑΡΗΣ 53-16 71\n4.ΟΦΗ 60-19 66\n5.ΤΡΙΚΑΛΑ 63-19 65\n6.ΑΓΡΟΤΙΚΟΣ ΑΣΤΕΡΑΣ 40-35 46\n7.ΣΠΑΡΤΗ 37-39 45\n8.ΠΑΝΑΙΓΙΑΛΕΙΟΣ 29-27 41\n9.ΠΑΝΣΕΡΡΑΪΚΟΣ 34-43 40\n10.ΑΙΓΙΝΙΑΚΟΣ 40-45 38\n11.ΧΑΝΙΑ 36-54 38\n12.ΑΝΑΓ. ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ 25-36 36\n13.ΑΧΑΡΝΑΪΚΟΣ 37-47 36\n14.ΚΙΣΣΑΜΙΚΟΣ 27-37 36\n15.ΚΑΛΛΙΘΕΑ 39-47 30\n16.ΠΑΝΕΛΕΥΣΙΝΙΑΚΟΣ 21-46 28\n17.ΚΑΛΛΟΝΗ 21-69 7\n18.ΠΑΝΘΡΑΚΙΚΟΣ 7-75 -6\nΠανθρακικός-Άρης 0-3 α.α.\nΑγροτικός Αστέρας-Καλλονή 3-0 α.α.\nΟι επιλογές του Αμανατίδη για Χανιά


Το χωριό της Πελοποννήσου στο οποίο μιλούν… τσακώνικα\nΟ Πραστός είναι ένας παραδοσιακός οικισμός\nΣτην Ελλάδα υπάρχουν χωριά που μπορεί σε να μην είναι τόσο γνωστά όσο άλλα, όμως, κρύβουν εκπλήξεις και ωραίες ιστορίες να σου διηγηθούν. Ένα τέτοιο ελληνικό χωριό είναι χτισμένο στις πλαγιές του Πάρνωνα και εκτός από την ομορφιά του, έχει και ακόμη μια ιδιαιτερότητα. Κι αυτό γιατί εκεί μιλούν ακόμη τσακώνικα.\nΟ λόγος, όπως αναφέρει το exploringgreece.tv, για το χωριό Πραστός το οποίο κρύβεται μέσα σε μια γωνιά πυκνής βλάστησης στα 750 μέτρα υψόμετρο. Ο Πραστός είναι ένα καλά κρυμμένο μυστικό της Πελοποννήσου που αξίζει να βάλεις στο πρόγραμμά σου την επόμενη φορά που θα επισκεφθείς την Αρκαδία.\nΟ Πραστός είναι χτισμένος σε ένα απόκρημνο σημείο και είναι κάτι πολύ λογικό αν σκεφτεί κανείς ιστορικά γεγονότα και εξελίξεις των προηγούμενων αιώνων. Η επιλογή της θέσης για τα περισσότερα ελληνικά χωριά γινόταν με βάση αμυντικά κριτήρια. Επιλέγονταν, δηλαδή, σημεία στα οποία θα μπορούσε να υπάρξει καλύτερη προφύλαξη από τους πειρατές.\nΣτο συγκεκριμένο χωριό, στον Πραστό, εγκαταστάθηκε αρκετός τσακώνικος πληθυσμός ενώ έχει υπολογιστεί ότι κατά την περίοδο του Μεσαίωνα ζούσαν σε αυτό τον οικισμό περίπου 9.000 άνθρωποι δηλαδή εκατοντάδες οικογένειες. Από τον Μεσαίωνα μέχρι και της προεπαναστατικούς χρόνους, ο Πραστός υπήρξε η παλιά και ιστορική πρωτεύουσα της Τσακωνιάς. Αποτελούσε έναν μεγάλο και πολύ οργανωμένο οικισμό με έντονη και ισχυρή οικονομική δραστηριότητα και άνθηση του εμπορίου και της ναυσιπλοΐας. Δεν είναι τυχαίο ότι ο Πραστός τότε είχε πάνω από 30 εκκλησίες ενώ την ίδια στιγμή οι εμπορικές σχέσεις του Πραστού είχαν φθάσει μέχρι την Κωνσταντινούπολη, τη Ρωσία και ευρωπαϊκές χώρες.\nΈνα χωριό γεμάτο παράδοση…\nΣήμερα το παραδοσιακό και όμορφο αυτό χωριό δεν έχει πολλούς κατοίκους το χειμώνα αλλά το καλοκαίρι αποκτά περισσότερη και πιο έντονη ζωή. Πολλοί κάτοικοι διατηρούν σπίτια στον κοντινό οικισμό του Αγίου Ανδρέα.


Τι είναι μεταφυσική; Εκδόσεις Εκδόσεις Πατάκη Βιβλιοπωλείο Λεμόνι\n"Was ist Metaphysic?" (Πρωτότυπος τίτλος στα γερμανικά)\nΜετάφραση: · Παναγιώτης Κ. Θανασάς\nΠαναγιώτης Κ. Θανασάς\nThanasás, Panagiótis K.\nΟ Παναγιώτης Θανασάς γεννήθηκε στην Πάτρα το 1967 και είναι Επίκουρος Καθηγητής Φιλοσοφίας στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο. Στα κύρια φιλοσοφικά του ενδιαφέροντα ανήκουν η αρχαία ελληνική φιλοσοφία, ο γερμανικός ιδεαλισμός, η φιλοσοφία του Χάιντεγκερ και η φιλοσοφική ερμηνευτική. Έχει δημοσιεύσει πλειάδα άρθρων και μελετών, καθώς και βιβλία.\nΈκδοση: Δεκέμβριος 2004 από "Εκδόσεις Πατάκη"\nΣελ.:198 (21χ14), Μαλακό εξώφυλλο, ISBN: 960-378-760-4\nΘέμα: "Μεταφυσική" "Φιλοσοφία - Θεωρία" "Φιλοσοφία, Σύγχρονη"\nΤο κείμενο "Τι είναι μεταφυσική;" δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά το 1929. Γνώρισε έκτοτε δεκατέσσερις επανεκδόσεις στα γερμανικά και μεταφράστηκε σε δεκάδες γλώσσες. Την ιδιαίτερη σημασία του υπογράμμισε και ο ίδιος ο Heidegger, συμπληρώνοντάς το με έναν "Επίλογο" (1943) και προτάσσοντας μια εκτενέστατη "Εισαγωγή" (1949). Τα τρία κείμενα στην αλληλουχία τους παρέχουν μια αποκαλυπτική εικόνα της στοχαστικής διαδρομής του φιλοσόφου.\nΜε αφετηρία τον παραδοσιακό ορισμό της μεταφυσικής ως κίνησης "πέραν των όντων", το "Τι είναι μεταφυσική;" την περιγράφει ως μια πορεία υπέρβασης των όντων, με προορισμό το "Μηδέν". Το κείμενο διευρύνει αποφασιστικά την οπτική γωνία του "Είναι και χρόνος", επιτρέποντας συγχρόνως να διαφανούν τα αδιέξοδα στα οποία εντωμεταξύ είχε οδηγηθεί ο φιλόσοφος. Θα ακολουθήσει η περίφημη "στροφή" της σκέψης του, της οποίας εξαιρετικά δείγματα αποτελούν ο "Επίλογος" και η "Εισαγωγή" κείμενα που αναζητούν πλέον τη δυνατότητα μιας μη μεταφυσικής σκέψης.


Τρομοκρατία, οργανωμένο έγκλημα και ξέπλυμα μαύρου χρήματος – Σκάι Πάτρας\nAuthor 14:28 10 Απριλίου, 2014\nΗ τρομοκρατία και το οργανωμένο έγκλημα αποτελούν σήμερα δύο από τις σοβαρότερες απειλές για τη διεθνή κοινότητα, αλλά πρώτα και κύρια για τη χώρα μας. Εξελίσσονται σε πολυδιάστατες και δύσκολα ελεγχόμενες απειλές. Απειλές πάνω και πέρα από εθνικές κυβερνήσεις και εθνικά σύνορα. Το ξέπλυμα μαύρου χρήματος συνίσταται στη μετατροπή των εσόδων από εγκληματικές δραστηριότητες σε άλλη μορφή προκειμένου να μην μπορεί να ανιχνευθεί η προέλευσή τους. Αυτό πραγματοποιείται με την εισαγωγή των παράνομων εσόδων στο χρηματοπιστωτικό σύστημα είτε με το σπάσιμο μεγάλων ποσών σε μικρότερα και την κατάθεσή τους σε λογαριασμούς είτε με την αγορά χρηματοοικονομικών προϊόντων.


Αστυάνακτας: Δευτέρα 17 Ιουνίου. Συγκέντρωση του ΣΥΡΙΖΑ/ΕΚΜ στο ΣΥΝΤΑΓΜΑ\nΔευτέρα 17 Ιουνίου. Συγκέντρωση του ΣΥΡΙΖΑ/ΕΚΜ στο ΣΥΝΤΑΓΜΑ\nΑναρτήθηκε από αστυάνακτας στις 8:56 μ.μ.\nΕτικέτες ΣΥΡΙΖΑ/ Ε.Κ.Μ, Τσίπρας\n20 Ιουνίου 2013 - 4:51 μ.μ.\n23 Ιουνίου 2013 - 6:44 μ.μ.\nΨηφοφόρε του Αλέξη, καλά όλα αυτά, αλλά μαθαίνουμε πως γυροφέρνεις στην Ελβετία και μας το παίζεις υπάλληλος και εργάτης σαν όλους μες την πόλη αυτή. Μήπως μας πουλάς φούμαρα και ανώτερο οπορτουνιστικό ρεαλισμό; Μια με το ΚΚΕ, μια με το ΣΥΡΙΖΑ. Σε πήρε το μάτι μου στη Λουκέρνη. Ρώταγες για επιτόκια σε μεγάλη τράπεζα. Μήπως η ανιδιοτέλειά σου αποδεικνύεται κίβδηλη και κάτω από τον ψευδεπίγραφο αριστερισμό σου υποβόσκει λανθάνων ο πιο στείρος λαϊκισμός και πιθηκισμός; Διακατέχεσαι όντως από υλικοευδαιμονιστικές αντιλήψεις για τη ζωή. Αυτός ο φαβοριτισμός σου είναι πασίδηλος, πασιφανής, εξώφθαλμος, οφθαλμοφανής, πάνδημος. Κρίνεται σκόπιμο ότι εσείς οι παλάντζες-πουλάντζες χρειάζεστε Πολ-Ποτ. Πάτε πάντα με το συρμό, με την πεπατημένη. 600 δις φύγαν στην Ελβετία, την κρίση να πληρώσει η Γιάννα Αγγελοπούλου, η κολλητή του Αλέξη.\n25 Ιουνίου 2013 - 2:29 π.μ.\nΑ, να θυμάσαι...\nόλο το προηγούμενο ...μόνο σου το σκεφτηκες και το γραψες; απίστευτο...βρε που εχουν φτασει οι κομματικές σχολές στο ΚΚΕ;\nΥΓ: και να θυμάσαι...σε απολαμβάνω...\n25 Ιουνίου 2013 - 11:29 μ.μ.\nΑπαιτούν τη δική σου αριστεία για να σου παρέχουν τα βασικά ενώ τη δική τους τη θεωρούν δεδομένη και αρκετή για να κατέχουν τα πάντα - Το παιχνίδι είναι καλά στημένο. Οι νικητές είναι γνωστοί από πριν. Για την ακρίβεια δεν υπάρχει καν παιχνίδι. Ένα σκέτο στήσιμο υπάρχει. Οι πολύ πλούσιοι ...\n-Επί ποινή αφανισμού… - Από Ρούντι Ρινάλντι Το βράδυ των ευρωεκλογών, ο Παναγιώτης Λαφαζάνης παραιτήθηκε από την ηγεσία της ΛΑΕ. Στο κείμενο της παραίτησής του, δήλωνε πως για ...\nΗ Οδύσσεια ενός ασφαλισμένου ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟΝ Ο ΘΑΝΑΤΟΣ ΕΝΟΣ ΓΡΑΦΕΙΟΚΡΑΤΗ - Πλέοντας προς το τέλος του εργασιακού μου βίου ετοίμαζα ανυποψίαστος τις επόμενες κρίσιμες και καθοριστικές για το (οποίο) μέλλον μου κινήσεις. Βρίσκω λ...\nΠες το με ποίηση (268ο): «Ανοίγω – κλείνω»… - *Μίκης Θεοδωράκης, «Ανοίγω το στόμα μου» -Ο. Ελύτης, «Ανοίγω στο στόμα μου» Ανοίγω το στόμα μου κι αναγαλλιάζει το πέλαγος Και παίρνει τα λόγια μου στις ...\nΑριστοφάνη – Όρνιθες. - Μελανόμορφο αγγείο (οινοχόη) από την Αττική. Βρίσκεται στο British Museum του Λονδίνου. Χρονολογε...\nΤι κόμμα θέλουμε; Αλέξης Τσιπρας στην ΚΕ του ΣΥΡΙΖΑ - Θέλουμε ένα κόμμα μαζικό: Με μέλη που αριθμούν τουλάχιστον στο 10% των ψηφοφόρων. Θέλουμε ένα κόμμα νεανικό. Έχουμε 38% στις ηλικίες 17-24. Δε γίνεται να ...\nΤΟ ΑΛΚΟΟΛ ΤΩΝ ΟΥΡΑΝΩΝ - Μνήμη Γιάννη Βαρβέρη - Σπύρου Στεφανίδη Ο πατέρας μου δεν έπινε ποτέ ή για να ακριβολολογήσω, έπινε ένα ποτηράκι λευκό κρασί μόνο και μόνο για να τραγουδ...