4. Dinamika klasikoaren oinarriak\nAtal honetan gorputzen mugimenduaren sorburua aztertuko da batetik, eta gorputz batzuek beste batzuen mugimenduan zer eta nolako eragina duten, bestetik. Gorputzak zatikitzat hartuko dira. Bestalde, mugimendua zehazten duten ekuazioak zehatz-mehatz aztertuko dira.\nLehenengo lege esperimentala\nDemagun bi zatiki daudela, eta , Unibertsoko gainerako zatikietatik oso urrun. Bi zatiki horien arteko elkar eragina dela-eta, elkar lotzen dituen lerro zuzenaren norabidea eta kontrako noranzkoa duten azelerazioak dituzte bi zatikiek (4-1 irud.). Bedi zatikiaren azelerazioa, zatikiak eragina dena eta lehen mailako\n4.1 : Bi zatikiren arteko elkar eragina dela-eta (bi zatiki horiek Unibertsoko gainerako zatikietatik oso urrun daudenean), bi zatiki horiek elkar lotzen dituen lerro zuzenaren norabidea eta kontrako noranzkoa duten azelerazioak izango dituzte\ninertzia sistema baten barruan dagoena, eta bedi zatikiaren azelerazioa, zatikiak eragina. Esperientziaz frogatu ahal izan da azelerazio horiek sortzen dituzten egoera fisikoak edozein direla ere (grabitazio erakarpena, erakarpen edo aldaratze elektrikoa, etab.), ondoko hau gertatzen dela beti,\nnon konstante eskalar positibo bat baita; konstante hori, bestalde, ez da bi zatikien posizio erlatiboaren, lastertasun erlatiboaren (zatikien lastertasunak txikiak direla argiaren lastertasunaren aldean hartuko da oinarri), denboraren eta posizioaren mendeko. Minus zeinuak zatiki baten eta bestearen azelerazioek kontrako noranzkoa dutela adierazten du. Konstanteak aditzera ematen du zatiki guztiek dutela tasun mekanikoren bat. Hori da, hain zuzen, lehenengo lege esperimentalaren adierazpena.\nBigarren lege esperimentala. Masaren definizioa\nkonstantea interpretatzeko hirugarren zatiki bat, , hartuko da, lehenbizi zatikian eragingo duena eta ondoren zatikian. Orduan bi adierazpen, elkarren antzeko, lortuko dira :\neta hiru konstanteak elkarren mendeko ez direla onar daiteke, baina esperientziaz frogatu ahal izan da konstante horien artean harreman hau dagoela:\nBerdintza horren lehenengo osagaia ez da zatikiaren mendeko; horrek adierazten du k konstanteak konstante horien magnitudeen arteko harremanak direla.\nadierazpenaren bigarren berdintzan berdintza ordezkatuz gero, beste hau lortzen da:\nHarreman horren arabera, baldin eta zatikia eredutzat (standard) hartzen bada, edozein zatikiri lotu ahal izango zaio konstante bat; konstante horren balioak ez du zatikiaren mendeko izan behar. konstanteari horrela esaten zaio: l zatikiaren masa zatikiari buruz, edo l zatikiaren masa, besterik gabe. eta eginez gero -berdintza horietan ez da 0 azpi indizea aipatu, hala komeni baita-, azken adierazpen hori beste adierazpen hau bilakatuko da:\nAdierazpen hori da bigarren lege esperimentala\nHirugarren lege esperimentala. Indarraren definizioa\nHar dezagun berriz ere berdintza. Hipotesiaren arabera, masa eta azelerazioaren arteko biderkadura zatikien posizio erlatiboen, lastertasun erlatiboen eta denboraren mendekoa da. Mendekotasun funtzional hori beste bektore funtzio baten bidez adierazten da: hain zuzen. Funtzio horretan, berdintzak adierazten du zatikiaren posizio bektorea zatikiari buruz. Behin hori eginda, berdintza hau idatz daiteke:\nfuntzioa horrela defini daiteke: zatikiari eragiten dion indarra zatikiaren arabera. Berdin-berdin egin daiteke zatikiarekin:\nharremanak adierazten du\nbetetzen dela, hau da: zatikiaren eraginez zatikiari eragiten dion indarra eta zatikiaren eraginez zatikiari eragiten dion indarra berdinak dira, baina kontrako norabidea dute. Indarra bektore bat da eta azelerazioaren norabide eta noranzko ditu. adierazpena dagokio hirugarren lege esperimentalari.\nekuazioa beste era hauetara idatz daiteke:\nEkuazio horietan ontzat hartu da m konstante bat dela . Azken adierazpen horri dinamikaren oinarrizko ekuazioa esaten zaio ; indarra masaren eta azelerazioaren arteko biderkaduraren berdina dela adierazten du . Ekuazio hori oinarrizkoa da mugimenduaren inguruko problemak ebazteko\nLaugarren lege esperimentala. Gainkatzearen printzipioa.\nBedi zatikizaren azelerazioa zatikiek lehenengo zatikian batera eragiten dutenean. Baldin eta -k adierazten badu zatikiaren azelerazioa, zatikia etab. daudenean bakarrik, hau frogatzen da:\nhau da, zenbait zatikiren eraginaren mende dagoen zatiki baten azelerazioa eta zatiki guztiak batera arituko balira sortuko luketen azelerazioen bektore batuketa berdinak dira (gainkatzearen printzipioa). Beste era barera esanda: zatikien arteko eraginek sortzen dituzten azelerazioak askeak dira.\nAurreko ekuazioa bider m l egiten bada, emaitza indarren arabera zehatz daiteke. Emaitza hau da:\nAdierazpen horren bidez indarren gainkatzearen legea azaltzen da ; indarrak askeak direla frogatzen du adierazpen horrek . Azken adierazpen horrek, bestalde, laugarren lege esperimentala azaltzen du\nNewtonen mugimenduaren legeak\nLau lege esperimental horien oinarrizko edukia eta Newtonen mugimenduaren hiru legeak baliokideak dira. Newtonen legeak honela azaltzen dira:\nI. Kanpoko eraginik ez duen zatikiak geldi irauten du edo (erro zuzen bat eratuz egiten duen mugimenduari eusten dio, harik eta kanpoko indar batek egoera hori aldarazten duen arte (inertziaren legea).\nII. Zatiki baten azelerazioa zatiki baten gainean egiten den indarraren proportzionala da, eta indarra egiten den norabide berean mugitzen da (dinamikaren oinarrizko legea).\nIII. Bi zatikik elkarri eragiten diotenean, zatiki baten gainean egiten den indarra beste zatikiaren gainean egiten den indarraren berdina eta kontrakoa da (akzioaren eta erreakzioaren berdintasun legea).\nInertziaren legeak materiaren oinarrizko ezaugarrietako bat azaltzen du. Zatiki batek indar baten eraginik ez badu, alegia F=0 bada, zatikia edo geldirik dago edo lastertasun konstanteaz mugitzen da . F=O denean zatiki batek egiten duen mugimenduari inertzia mugimendua esaten zaio. Mugimendu horretan zatikiaren azelerazioa baliogabea izaten da (a=0).\nInertzia legea betetzen duen erreferentzia sistemari inertzia sistema esaten zaio.\nBigarren legea, lehenengoa bezalaxe, inertzia sistema batentzat bakarrik hartzen da ontzat. Lege horretatik ondorio hau ateratzenda: materia puntu baten inertzia neurria puntu horren masak adierazten du.\n(4.9) berdintzaren bidez masa neur daiteke. Esperientziaren arabera, grabitatearen indarraren eraginpean, W, zatiki guztiak libre erortzen direnean, azelerazio berdina dute, g, grabitatearen azelerazioa alegia. Beraz, (4.9) ekuazioaren arabera, hau lortuko da:\nBeraz, gorputz baten masa gorputzaren pisua zati grabitatearen azelerazioaren berdina da.\nHirugarren legeak bi materia zatikiren arteko elkar eragin mekanikoaren izaera zehazten du. Materia puntu askeen arteko eragin indarrek ez dute oreka sistema bat osatzen, izan ere, indarrek gorputz desberdinei eragiten baitiete\nMagnitude mekanikoak neurtzeko hiru neurri banako behar dira. Luzeraren eta denboraren banakoak zinematikan azaltzen dira. Oinarrizko hirugarren banakotzat masa edo indarra hartzen dira. Dena dela, bi banako horiek ezin daitezkeenez arbitrarioak izan, elkarri lotuta egon behar baitute (4.9) berdintasunaren bidez, oinarrizko banakoen bi sistema erabili ahal izango dira.\nLehenengo banako sistema\nSistema mota hauetan oinarrizko banakotzat luzera, masa eta denbora banakoak hartzen dira. Indarraren banakoa, beraz, banako eratorria da. Sistema mota hauetako bat Nazioarteko Banako Sistema (NBS) da. Sistema horretan, oinarrizko banakoak hauek dira: metroa (m), kilogramo masa (kg) eta segundoa (s). Indar banakoa newtona da (N): kilo bat masari azelerazioa eragiten dion indarra.\nCGS sisteman oinarrizko banakoak zentimetroa (cm), gramo masa (g) eta segundoa (s) dira. Sistema horretan indarra dinatan neurtzen da (dyn). Newtonaren eta dinaren artean harreman hau dago:\nBigarren banako sistema\nSistema mota hauetan oinarrizko banakotzat hartzen dira luzera, indarra eta denbora. Masaren banakoa sistema hauetan banako eratorria da. Sistema mota hauen barruan daude: metroa, kilogramo indarra, segundoa. Sistema hauetan masa banakoa kg da, hau da, kilogramo bateko indarrak\nMekanika klasikoaren mugak\nNewtonek azaldu zituen mekanika klasikoaren legeak, ordea, zenbaitetan ez dira egokiak izaten; beraz, aldatu egin behar dira zatikiak argiaren lastertasunaren inguruko lastertasunaz mugitzen direnean, eta eskala txikiko gertakariak azaltzeko erabiltzen direnean, esate baterako fisika atomikoan eta nuklearrean izaten diren gertakariak azaltzeko. Lehenengo kasuan mekanika klasikoaren ordez mekanika erlatibista erabiltzen da, eta bigarrenean, berriz, quantumen mekanika. Hala ere, mekanika erlatibistak eta quantumen mekanikak Newtonen mekanika onartzen dute mugamugan. Dena dela, mekanika klasikoak gertakari fisikoen deskripzio egokia egiten du.\nNewtonen legeak, lehen esan bezala, erreferentzia sistema inertzial batean erabil daitezke. Koordenatu sistema ez inertzialetan, ordea, Newtonen legeak aldatu egin behar dira.\nDemagun inertziala ez den O'x'y'z' sistema bat azelerazio konstanteaz mugitzen dela Oxyz erreferentzia sistema inertzialari buruz (4.2 Irud.). Bedi gorputz baten azelerazioa errefentzia sistema ez inertzialari buruz eta a gorputz horren azelerazioa erreferentzia sistema inertzialean. Orduan, berdintzatik berdintza ateratzen da. Hortaz:\ninertzia indarra den. Beraz, gorputzaren masa eta erreferentzia sistema ez-inertzialaren arteko biderkaduraren berdina eta kontrako norabidekoa da inertzia indarra. Inertzia indarrak ez direnez beste gorputzekin izandako eraginen ondorio, erreferentzia sistemako osagai azeleratuaren ondorio baizik, indar horiek ez dute Newtonen hirugarren legea betetzen. Inertzia indarren adierazpena erreferentzia sistema ez inertzialaren mugimenduaren arabera aldatuko da (lerro zuzena, zirkularra, etab.).\nAdibidea. Tren bagoi baten sabaitik m masako gorputz bat zintzilikatzen da hari batetik, 4.3 irudian ikusten den bezala. Bagoia eskuinerantz azeleratzen denean, hariak angeluko desbideratzea jasaten du. Zehaztu bagoiaren azelerazioa: a) lurrari buruzko koordenatu sistema finko bat erabiliz eta b) koordenatu sistema azeleratu bat erabiliz.\nEbazpena: a) Lurrari dagokion koordenatu sistema finko bat erabiltzen denean m masa bi indarren eraginpean dago: hariaren T tentsioa eta mg pisua. Beraz,\nHorrenbestez, bagoiaren azelerazioa da.\nb) Bagoiari dagokion koordenatu sistema finko bat erabiltzen denean, berriz, m masa geldik dago. Kasu honetan sistemari hariaren T tentsioak, mg pisuak eta inertziak eragiten diotenez:\nhau da, berriro\nDemagun P materia puntu batean indar bat egiten dela, puntuak espazioan duen posizioaren funtzioaF=F (xyz) dela; bedi dr puntuak izan duen leku aldatzea (4.4 irud). F eta arteko biderkadura eskalarrari esaten zaio dr leku aldatzeari dagokion F indarraren oinarrizko lana, ( -ren ordez sinboloa erabiltzen da adierazteko ez dela diferentzial zehatza), hau da:\n4. 4. F indarraren eta indar horren aplikazio puntuaren dr oinarrizko leku aldatzearen arteko biderkaketa eskalarra eginez gero, indarrak egindako oinarrizko lana lortzen da .\nBaldin eta, ds laburduraren bidez adierazten bada kurban neurtutako arkua eta berdintzaren bidez bektore tangente bateratzailea P puntuan, orduan:\nBaina denez gero, non den F eta bektoreek osatzen duten angelua, beste ekuazio hau ere lor daiteke:\nLeku aldatzea indarren norabide eta noranzko berean gertatzen bada, orduan, denez gero, hau lortuko da:\neta F indarra dr leku aldatzeari buruz zuta bada, orduan, denez gero, berdintza hau lortzen da:\nHau da, indarrak ez du lanik egiten. Azkenik, F eta dr bektoreek angelu zorrotza eratzen badute, lana positiboa izango da, eta angelu kamutsa eratzen badu, berriz, lana negatiboa izango da.\nleku aldatze infinitu txikia dt denboran egiten bada, puntu horrek lekuz aldatzean hartzen duen lastertasuna izango da, eta oinarrizko lanarentzat adierazpen hau lortzen da:\nizan ere, indarrak eta lastertasunak eratzen duten angelua eta indarrak eta leku aldatzeak eratzen dutena berdinak dira\nLana kurba batean\nZatikiak C kurba bat eratzen badu espazioan, leku aldatze osoa oinarrizko leku aldatze infinituen emaitza bezala har daiteke eta F indarraren lan osoa oinarrizko lan guztien batuketa bezala, hau da:\nW limitea F indarraren lan osoa da; eta C kurban F indarraren kurba integral baten bidez adierazten da:\nKoordenatu kartesiar lauki zuzenetan lan osoa honela adierazten da:\n4.5: Indar batek kurba batean egiten duen indarra eta kurba horretan hartutako Oinarrizko lanaren integrala berdinak dira\nnon indarren proiekzioak baitira, eta dx, dy, dz, berriz, dr leku aldatze bektorearen proiekzioak. C jartzen denean integralaren behealdean, integrazioaren bidea adierazten da.\nHelize formako malguki baten luzapenean egindako lana\nEsperientziaren arabera malguki bat x luzeraraino luzatzeko behar den F indarra leku aldaketaren proportzionala da (Hookeren legea), non k proportzionaltasun konstante bat baita. Horrenbestez:\nnon eta malgukiaren hasierako eta amaierako luzerak diren, hurrenez hurren. 4.6 irudian lan hori trapezioaren gainaldearen areak adierazten du. Baldin eta eta , orduan:\nC kurba parametro ekuazioen bidez definitzen bada:\nnon t, esate baterako, denbora baita, orduan (4.25) ekuazioa era honetara idazten da:\nAdibidea. Zatiki bat kurban zehar mugitzen da indarraren eraginpean. Zehaztu indar horrek t = 1, t = 2 tartean egindako lana. (4.7 irudia)\nEbazpena. (4.27) ekuazioa erabiliz ondoko adierazpena ateratzen da:\nNazioarteko Banako Sisteman lanaren unitatea Newton-metroa da (N-m). Joule esaten zaio ( j ):\nCGS sisteman lanaren unitatea dina-zentimetroa da. Ergio esaten zaio (erg):\nJoulearen eta ergioaren arteko elazioa hau da:\nTeknikan, kilogrametroa ere erabiltzen da (kg-m). Kilogrametro bat hau da: kilogramo bateko indarrak, indarraren aplikazio puntua lekuz metro batez aldatzen denean, egiten duen lana. Baina, lkg=981 000 dyn eta lm = 100 cm denez gero:\nIndar baten lana definitzen denean, ez da kontuan hartzen lan hori egiteko behar den denbora. Hala ere, oinarrizkoa izaten da jakitea F indar batek denbora unitate batean zenbat lan egiten duen.\nBaldin eta zeinuak adierazten badu F indarrak dt denboran egiten duen lana, potentzia honela lortzen da:\noinarrizko indarren ordez jarriz gero, hau lortzen da:\nnon F aplikazio puntuaren lastertasuna edo indar egiten den zatikiaren lastertasuna baita Beraz, potentzia F eta v bektoreen biderkadura eskalarrak neurtzen du eta, oinarrizko lana bezala, positiboa, negatiboa edo baliogabea izan daiteke, F eta dr bektoreek angelu zorrotza, kamutsa edo zuzena osatzen duten\n4.8: F indarraren eta indarra aplikatzen den puntuaren v lastertasunaren arteko biderkadura eskalarrak ahalmena ematen du\nSI sisteman potentzia unitatea Joule da. Watt esaten zaio:\nCGS sisteman, potentzia unitatea ergio s da\nTeknikan, kilowatt da gehien erabiltzen den banakoa. Zaldiak ere asko erabiltzen dira (CV):\nKilowatt orduko. Ordubetean kilowatt bateko potentiza duen motor batek egiten duen lanari kilowatt orduko esaten zaio (kWh):\nDemagun zatiki batean eragiten duen indarra puntuaren posizioaren funtzioa dela, hau da, . Orduan, indar eremua sortzen da. Indarrak egiten duen lana, edozein C ibilbidean puntu bat -tik r-ra mugitzen denean, hau da:\nOro har, puntuak tik r-ra mugitzeko egiten duen ibilbidearen araberakoa da lan hori. Hala ere, zenbaitetan, F indar eremua hainbestekoa da non integralaren balioa ez baita ibilbidearen mendekoa. Eremu horiei kontserbatzaile esaten zaie, ere, geroago ikusiko dugun bezala, horietan energia mekanikoa kontserbatu egiten baita.\nIndar eremu bat kontserbatzailea da, V(r) =V(x, y, z) funtzio eskalar bat bada berdintza hau betetzen duena:\nHalakoetan, F indarrak eta r(x, y, z) puntuen artean egindako lana eta V(x, y, z) funtzioaren muturreko bi puntu horien arteko gutxitzea berdinak dira. Hori hala denean, lanaren balioa ez da integrazioan egindako bidearen mendekoa. Funtzio horri puntuaren potentzial energia F indar eremuan esaten zaio. Lana baliogabea da baldin eta C kurba itxia bada, izan ere, halakoetan baita, eta orduan:\nEkuazio horren arabera, puntutik r puntura joateko egindakolana ez da ibilbidearen mendekoa. Esate baterako, demagun etar puntuen artean bi ibilbide daudela, I eta 11, orduan (4.9. irud)aurreko ekuazioaren arabera:\nhau da, egindako lana ez da integrazioan egindako ibilbidearen mendeko.\n4.9 . A eta B puntuen arteko integrazioa egiteko bi bide desberdin . Indar eremu kontserbatzailean egindako lana ez da integrazioan egindako ibilbidearen mendekoa\nAdibidea. Kalkulatu indarrak (0,0) puntutik (1,1) puntura bitartean egindako lana ondoko kasu hauetan: a) indarraren aplikazio puntuak egindako ibilbidea y = x lerro zuzena denean; b) indarraren aplikazio puntuak egindako ibilbidea parabola denean, eta c) indarraren aplikazio puntuak egindako ibilbidea x = 0 puntutik x = 1 puntura bitarteko x-en ardatza, eta x= 1 lerroa y = 0 puntutik -v = 1 puntura denean (4.10 irud.).\nEbazpena: Bedi ibilbidearen puntu bat, edozein. F = 0 eta dz = 0 denez, orduan da.\na) y = x ibilbidean zehar dy = dx da. Beraz:\nc) y = 0 lerroan zehar dy = 0 da, eta x = 1 lerroan zehar dx = 0. Beraz:\nIkusten denez indarrak egindako lana independentea da hasierako puntutik amaierako puntura joateko egindako ibilbideari buruz.\nIndar eremu kontserbatzaileak\nindar eremu kontserbatzailearen adibide arruntena grabitazio eremua da. Grabitatea bada zatikiari eragiten dion indar bakarra, eta z ardatza bertikala eta goranzko norabidekoa bada (4.11 irud.), orduan:\nBeraz, 4.41 ekuazioaren arabera, hau lortuko da.\n4. 11 : Grabitate indarraren lana indarraren modulua bider indarraren aplikazio puntuaren goitik beherako leku aldaketa da\nnon V ahalmen energia zero dela hartu baita abiapuntutzat, z=0 bete dadin. Beraz, materia puntu batek grabitazio eremuan duen energia potentziala, konstante arbitrario gehigarri bat salbu, z-ren mendeko baizik ez da, eta ekuazio honen bidez adierazten da:\nKontuan hartzekoa da edozein indar konstanteren (F=c=cte) eremua kontserbatzailea dela.\nIndar zentral baten eremua\nBada beste eremu kontserbatzaile garrantzi handiko bat, indarzentralarena hain zuzen, hau da, O puntu finko batetik -indar zentroa- igarotzen den eragin lerroaren indar eremua, zeinaren magnitudea P aplikazio puntuen eta 0 zentroaren arteko distantziaren mendeko baizik ez den (4.12 irud.). Koordenatuen sorburutzat 0 puntua hartuz gero:\nnon bektore bateratzailea baita. Kontuan hartu behar da ez dela hipotesirik egiten F(r) formari buruz, F-k eta r-k noranzko bera dutelakoa salbu. F eta r noranzko berekoak badira, F indarrak koordenatuen sorburutik, O, eragiten den aldaratzea adierazten (tu; F eta r kontrako noranzkoak badira, aldiz, indarra erakarpenezkoa izango da, eta O erakarpenaren zentroa.\n4.12: Beti puntu finko batetik -indar zentroa- igarotzen den eragin lerroa dagokion indar baten eremua eremu kontserbatzailea da\na) betetzen bada, hau da, indar zentrala r distantziaren proportzionala bada, malguki bati lotutako materia puntu batean gertatzen den bezala, orduan:\nnon r=O-ren lekuan jarri den.\nb) bada, hau da, indarra distantziaren koadroari buruzko alderantziz proportzionala bada, orduan:\nnon berdintzarako ontzat hartu den V ahalmen energia zero dela.\nekuazioan eginez gero, grabitazio indarra ate- ratzen n da, eta eginez gero, berriz, Coulomben legea lortzen da\nMateria puntuaren dinamika\nDagikunez, m masa duen zatiki baten mugimenduaren ekuazioa hau da:\nnon F letraren bidez zatikiaren gainean eta bere a azelerazioan eragiten duen indar osoa edo ondoriozko indarra adierazten baita. Ekuazio horren bektore ekuazioa azalduz gero koordenatu angelu zuzenez osatutako sistema batean ekuazio horrek dituen osagaien arabera, hiru ekuazio eskalar hauek lortuko dira:\nDinamikaren inguruko arazoak\nDinamikan bi arazo mota izaten da, bata bestearen alderantzizkoa: batetik, materia puntu baten mugimendu legea ezagututa, zerk eragiten duen indarra zehaztea; bestetik, egindako indarra ezagututa, puntuaren mugimendua zehaztea. Lehenengo arazoa deribatuarekin konpontzen da. Bigarren arazoa konpontzen zailagoa da, eta arazo horixe da hain zuzen, puntuaren dinamikan oinarrizko arazoa . Atal honetan bigarren arazo hori aztertuko da.\nDemagun m masa duen P puntu mugikor batean F indarrak eragiten duela. Oro har, indar hori bere posizioaren, lastertasunaren eta denboraren funtzioa izango da, hau da:\nPuntuaren mugimenduaren ekuazioak dinamikaren oinarrizko ekuazioa bete behar duenez gero:\nBigarren mailako ekuazio diferentzial hori integratuz gero, r aterako da t-ren arabera. Ekuazio horren emaitza orokorrak bi integrazio bektore konstante ditu (edo sei integrazio konstante eskalar: . Arazo bakoitzean, bi bektore konstante arbitrario horiek mugimenduaren hasierako baldintzen arabera zehaztu daitezke, hau da, puntu mugikorrak unean dituen posiziotik eta lastertasunetik abiatuta (oro har, t=0 aukeratzen d.a)\nIbilbidea ezagutzen denean, hau da, s t-ren arabera ezagutzen denean, m zatikian egiten den F indarra hiru indarretan banatzea komeni izaten da: Hiru indar horiek F indarraren proiekzioak diren ukitzailean, normal nagusian eta binormalean, hurrenez hurren:\nbeti positiboa eta beti baliogabea direnez gero, indarrak alde ahurraren ibilbidearen plano oskulatzailean egon behar du (4.13 irud).\nF indarra ibilbideari buruz normala eta konstantea bada, , lastertasuna konstantea izango da eta indarra makurduraren erradioaren alderantzizko arrazoiaren arabera aldatuko da.\nF indarra ibilbideari buruz tangentea eta konstantea bada, orduan:\neta v ez denez gero baliogabea, p infinitua da eta ibilbidea lerro zuzena. Mugimendua plano batean egiten denean, orduan mugimenduaren planoa plano oskulatzailea da, eta tangentea eta normala plano horretan egongo dira.\nLuzera l duen hari baten muturrean lotuta dagoen m masako zatiki batek r erradioko ibilbide zirkularra egiten du plano horizontal batean zenbakizko v lastertasun konstantean, eta hariak kono baten gainaldea irudikatzen du (pendulu konikoa). Zehaztu hariak bertikalarekin eratzen duen f angelua.\nEbazpena: Zatikiari indar hauek eragiten diote: bere pisuak, W = mg eta hariaren T tentsioak (4.14 irud.). Baldin eta F bada ondoriozko indarra,\nF = W + T izango da.\nBaina, zatikia plano horizontal batean higitzen denez, z konstantea da eta\nBeraz, z ardatzean zehar formularen emaitza zero da. Orduan,\nGainera, v lastertasuna konstantea denez,\nHorrela, beraz, ondoriozko indarrak konstanteki normala izan behar du ibilbideari buruz. Horrenbestez:\n(a) eta (c) ekuazioetatik beste ekuazio hau ateratzen da:\nPuntuaren dinamikaren teorema orokorrak\nDinamikaren inguruko arazoak konpontzeko, batzuetan, mugimenduaren ekuazioak integratu ordez, egokiagoa izaten da teorema orokorrak erabiltzea; teorema horiek dinamikaren oinarrizko legearen dedukzioz atereak dira. Teorema horiei esker, bestalde, gertakari jakin batek berezkoak dituen zenbait alderdi aztertu daitezke gertakari osoa ikertu gabe. Horrez gainera, teorema horiek, askotan, arazo askoren konponketa prozesua sinplifikatzen dute.\nIntegrala indarraren denborarekiko. Bultzadaren teorema\nmugimenduaren ekuazio difentzialaren integrazioa egiteko bi sistema erabiltzen dira. Lehenengoan, indarra denboraz biderkatzen da, eta bigarrenean, indarraren eta puntuaren leku aldatzearen arteko biderkadura eskalarra egiten da. Ondoren lehenengo sistema aztertuko da.\nmugimenduaren ekuazioa bider dt egiten bada, hau lortzen da:\nEkuazio horren lehenengo osagaia limiteen artean integratuz gero, eta bigarren osagaia limiteen artean, hau gelditzen da:\np = mv bektoreari (v lastertasun bektorearen eta m puntuaren masaren arteko biderkadura) momentu lineala edo mugimendu kurua esaten zaio, eta indarraren denborari buruzko integralari, indarraren bultzada.\nMomentu lineala magnitude bektoriala da; momentu horren norabidea eta noranzkoa zatikiaren lastertasunarekin bat datoz. Fisikan garrantzi handiko kontzeptua da momentu lineala; zatiki baten egoera dinamikoaren ezaugarri diren bi osagaiak, masa eta lastertasuna, lotzen ditu.\n(4.62) ekuazioak adierazten du indar baten bultzada eta momentu linealaren gorabehera berdinak direla (bultzadaren teorema).\nF ez badago denboraren mende, bultzada eta indarraren eta denboraren arteko biderkadura berdinak dira. Bultzada berdina izandaiteke denbora luzez irauten duen indar txiki batentzat eta denbora laburreko indar handi batentzat. Beraz, bultzadak indar baten eraginkortasuna neurtzen du. Bultzadaren eta momentu linealaren banakoak berdinak dira. -tan, eta CGS sisteman dinatan edo g cm -tan.\nMugimenduaren ekuazioa integratzeko metodo hau indarra konstantea denean edo denboraren funtzio ezaguna denean erabiltzen da.\n(4.62) ekuazioanp-ren ordez mv jartzen bada, badago ekuazio hori berriz ere integratzea. Hala egiten denean, zatikiaren lastertasuna denboraren arabera lortuko da:\neta v= dr/dt denez gero, beste integrazio baten bidez, zatikiaren posizioa zehatz daiteke, edozein unetan:\nnon zatikiaren posizio bektorea baita unean, eta r posizio bektorea t unean\nAdibidea. m = 3 kg masako zatikia lastertasunean mugitzen da x ardatzaren norabide positiboan. Aurkitu zatiki horri indarrak bi segundoz eraginez gero zatikiak bi segundoak igaro ondoren izango duen lastertasuna.\nEbazpena: Indarraren bultzadari ekuazio hau dagokio:\nt = 0 denean zatikiaren lastertasuna bada eta t = 2 segundotan v bada, orduan:\nBeraz, (4.62) ekuazioaren arabera\nIndarraren integrala leku aldatzeari buruz. Energia zinetikoa\nmugimenduaren ekuazioaren integrazioa egiteko aipatu den bigarren metodoa era honetan da: ekuazio horren bi aldeen eta leku aldatzearen arteko biderkadura eskalarra eginez:\ndenez gero, hau ateratzen da:\nedo bestela, m konstantea dela onartu denez gero:\nC kurba batean -tik r-ra era finituan lekuz aldetzeko, indarrak egiten duen lana hau izango da:\nnon zatikiak amaierako puntuan duen lastertasuna baita eta zatikiak hasierako puntuan duen lastertasuna.\neskalarrari zatikiaren energia zinetikoa esaten zaio; energia zinetikoa T letraz adierazten da. Azken ekuazio horren arabera, F indarraren forma funtzionala eta zatikiaren ibilbidearen forma edozein direla ere, indarrak egiten duen lana eta zatikiaren energia zinetikoak izaten duen aldaketa berdinak dira (energia zinetikoaren aldaketaren teorema).\nF konstantea edo r posizio bektorearen funtzio ezaguna denean erabiltzen da mugimenduaren ekuazioaren integrazio metodo hori. Oro har, energia zinetikoa unetik unera aldatu egiten da, ez da inoiz negatiboa izaten, eta baliogabetu egiten da gorputza geldi dagoenean.\nEnergia zinetikoa neurtzeko lana neurtzeko erabiltzen diren banako berberak erabiltzen dira.\nZatiki baten energia mekanikoaren kontserbazio printzipioa\nZatiki bati eragiten dion indarra kontserbatzailea denean, (4 .41) eta (4 .70) ekuazioak elkar daitezke . Orduan hau ateratzen da :\nEkuazio horren lehenengo atala bi energien arteko batura da, energia zinetikoaren eta energia potentzialaren artekoa, alegia. Energia zinetikoa zatikiaren mugimenduari dagokio; potentziala, berriz, posizioari. Ekuazio hori marruskadurarik ez dagoenean aplika daiteke bakarrik; bestalde, energiaren kontserbazioari buruzko legearen kasu berezia da. Gorputz eremu batek funtzio potentziala badu, mugitzen den zatiki baten energia zinetikoaren eta potentzialaren batura konstantea izango da. Energia zinetikoaren eta potentzialaren batuketak energia mekanikoa ematen duenez gero, aurreko esapide horri energia mekanikoaren kontserbazio printzipioa esaten zaio. Eta horregatik esaten da funtzio potentziala duen ndar eremu bat kontserbatzailea dela\nEnergia potentziala koordenatu bakar baten mende baldin badago, x koordenatuaren mende, esate baterako, orduan azken ekuazio hori beste era honetara idazten da:\nnon, E, energia osoa, konstante bat baita.\nMugimendu lerro zuzenerako lastertasunaren balioa v = dx/dt denez gero, ekuazio horrek balio du x lortzeko t-ren arabera, hau da, zatiki baten mugimendu lerro zuzenaren problema ebazteko.\nOharra. ekuazioa, energia zinetikoa ematen duena batetik, eta W = VO-V ekuazioa, energia potentziala ematen duena bestetik, konparatzen badira, ikus daiteke lehenengo ekuazioa, oro har, erabil claitekeela F indarra edozein izanda ere; bigarrena, aldiz, F indarrak ekuazioa betetzen duenean baizik ezin da baliatu, hau da, indarra V potentzial batetik datorrenean baizik ez.\n1. Grabitate eremuan higitzen den puntu material askea\nArdatz bertikal gisa goranzko z ardatza hartzen bada, orduan:\nEnergia mekanikoaren kontserbazio printzipioaren arabera:\n2. Distantziaren proportzionala den indar batek puntu finko batera erakarritako puntu materiala\nF(r) = - kr eta denez, energiaren kontserbazio printzipioaren arabera ondoko adierazpen hau ateratzen da:\n3. Distanziaren koadroari buruz alderantziz proportzionala den indar batek puntu fmko batera erakarritako puntu materiala\ndenez, energiaren kontserbazio printzipioaren arabera:\nSistema bakartu batean, hau da, kanpoko indarren eraginik ez duen sistema batean, energia zinetikoaren eta energia potentzialaren arteko T + V baturak ez du derrigorrez konstantea izan behar, izan ere, badira hori hautsi denik, ezezaguna den energia modu berri bat sortu dela baizik. Energiaren kontserbazio printzipioaren interpretazio horren adibide argia da neutrinoarena Q desintegrazio teoriaren barruan.\nZatiki baten momentu angeluarra\nZenbaitetan, materia puntu baten mugimendua aztertzean, mv momentu linealaren bektorea zehaztu beharrean egokiagoa izaten da bektore horren momentu aldaketa zehaztea. mv bektorearen momentua eta indar baten momentua berdin-berdin kalkulatzen dira. Demagun m masa duen zatiki bat eta O puntu finko bat daudela (4.15 irud). Momentu angeluarra O puntuari buruz esaten zaio honela definitutako bektoreari:\nnon r eta v-k zatikiaren posizioaren bektorea eta bere lastertasuna O puntuari buruz adierazten duten, hurrenez hurren.\nMomentu angeluarra "zatikiaren errotazioaren" neurria da.\nm dr/dt zatikiaren momentu lineala denez gero (mugimendu kopurua), momentu angeluarrari momentuaren momentua ere esaten zaio (momentu angeluarra esapidea ez da, agian, egokia zatikia lerro zuzenean mugitzen denean ez baita zero izaten, lerro hori O puntutik igarotzen ez bada behintzat).\nAdibidea. Zatiki baten momentu angeluarra da zatikia (3, 2, -1) puntutik igarotzen denean. Zehaztu zatiki horren momentu angeluarra koordenatuen sorburuari buruz.\nEbazpena: eta denez:\nMomentu angeluarraren teorema\nDemagun zatiki bati F indar aldakor batek eragiten diola (4.16 irud). Orduan, mugimenduaren ekuazioa hau izango da:\nAurreko adierazpenaren eta r-ren arteko bektore biderkaketa eginez gero, ekuazio hau lortzen da:\nDena dela, bektore identitatea dela eta,\neta kontuan hartuta horretan dela, bektore horiekparaleloak baitira, hortaz:\nr x F = r x d/dt (mv) ekuazioan azken ekuazio hori ordezkatzen bada, hau lortzen da:\nr x F biderkadurak adierazten duenez F indarraren momentua O puntuari buruz, eta r x mv zatikiaren momentu angeluarra\npuntu horri herari buruz, aurreko ekuazioa beste era honetan ere idatz daiteke:\nhau da, zatiki baten O puntuari buruzko momentu angeluarrarekiko deribatua eta zatiki horretan eragiten duen indarraren O puntu horri buruzko momentua berdinak dira (momentu angeluarraren teorema) . Ondoren ikusiko denez teorema horrek mugimendu ekuazioen lehen mailako integrala ematen du M o baliogabea denean\nZatikia indar zentral baten ekintzaren mende baldin badago, hau da, O puntu finko batetik etengabe igarotzen den norabidea duen indar baten mende baldin badago, orduan puntu hori momentuen zentro bezala hartzen bada, indarraren momentua puntu horri buruz beti zero izango da eta azken ekuazioa beste hau bihurtzen da:\nEta ekuazio hori integratuz gero:\nhau da, zatiki bati eragiten dion momentua zero bada, momentu angeluarra kontserbatu egingo da (momentu angeluarraren kontserbazioaren teorema). Zatikiaren ibilbidea O puntutik igarotzen den plano batean dago. Ondoko ekuazioa honen,\nnon bektore konstantea den c, eta r-ren arteko biderkaketa eskalarra eginez gero, hau lortzen da:\neta ekuazio horren lehenengo atala baliogabea denez (bi faktore berdin dituen bitariko biderkadura), hau lortzen da:\nAdierazpen horrek O puntutik igarotzen den bektore ekuazioa adierazten du, eta zuta da c-ri buruz. Plano hori v-ren eta r-ren lehenengo balioen bidez zehazten da, hau da, eta balioen bidez. Beraz, indar zentral baten eraginpean mugitzen den zatiki oro planoa da.\nAdibidea. m masa duen Lurraren satelite batek elipse formako ibilbidea egiten du (4.17 irud.). Satelitetik Lurraren zentrorako gehieneko eta gutxieneko distantziak dira, hurrenez hurren. Zehaztu satelitearen gutxieneko lastertasuna gehieneko lastertasuna denean.\nEbazpena. Satelitea indar zentral baten eraginpean mugitzen denez (grabitatea), satelitearen momentu angeluarra konstantea da. Horrenbestez, r txikitzean lastertasuna igo egiten da. Elipse formako orbita batean v lastertasuna r-ren elkarzuta denez, (4.82) ekuazioa erabiliz ondoko adierazpen hau ateratzen da:\nr x dr/dt bektore biderkaduraren interpretazio geometrikoa oso erraza da. Bedi dt denbora bitarte txikia; bitarte horretan zatikiak dr = vdt bidea egiten du (4.18 irud). Bektore erradioak mugituz dt denboran zehar eratzen duten dA area (alderdi iluna), honen berdina da zenbakiz:\n4.18: Indar zentro baten eraginpean dagoen zatiki bat bektore erradioak balio bereko denbora tartean balio bereko areak irudikatzen dituela higitzen da (areen teorema)\nnon r eta v bektoreek osatzen duten angelua den. Beraz, arearen lastertasuna dA/dt adierazpenaren bidez definitzen bada,\nekuazioak adierazten du arearen lastertasuna, edozein indar zentralarentzat, konstantea dela. Azalpen hori Kepler-en bigarren legearekin bat dator; areen teorema esaten zaio\nMugimendu lerro zuzena\nDemagun m masa duen zatikia F indar batek eraginda mugitzen dela lerro zuzen baten gainean (ardatz bezala x hartuko da) (4.19 irud). Zatiki horren mugimenduaren ekuazio bakarra hau izango da:\nnon, oro har, F indarra x, t eta v lastertasunaren funtzioa den, hau da, F=F (t,x,v). Bigarren mailako ekuazio diferentzial horri esker, baldin eta ebatz badaiteke, x kalkulatu ahal izango da t-ren arabera. Ekuazio horren emaitzak, , bi konstante arbitrario edukiko ditu gehienetan.\nDemagun F indarra konstantea dela. Orduan, mugimenduaren ekuazioa honela adieraziko da:\nEkuazio horren bi atalak bider dt egin eta integratuz gero, hau lortzen da:\neta berriz integratuz gero:\nDena dela, oro har, errazagoa da beste era honetara egitea\nizan ere, ekuazioan ordezkatuz gero eta denborari buruz integratuz gero, hau ateratzen da:\n(4.90), (4.91) eta (4.93) ekuazioen bidez, azelerazio konstantean eta lerro zuzenean egindako mugimenduari buruzko edozer kalkula daiteke. A, B eta C konstanteak hasierako baldintzen arabera zehazten dira. t = 0 berdintzarako eta bada, orduan aurreko ekuazioek hau ematen dute:\nAdibidea. Mugimendu mota honen adibiderik garrantzizkoena Lurraren gainaldetik hurbil grabitatearen eraginpean libre eta airearen erresistentzia eta Lurraren errotazio mugimendu txikia kontuan hartu gabe erortzen den zatikiarena da. Kasu horretan F aldagaiak zatikiaren pisua adierazten du, mg aldagaiaren berdina da, eta mugimendu ekuazio hau dagokio:\nIndarra posizioaren funtzio gisa\nIndarra posizioaren funtzio denean, mugimenduaren ekuazioa hau izango da:\nnon F(x) den x-en funtzioa bakarrik. Ekuazio hori ebazteko bi atalak x-z biderkatu behar dira. Biderkaketa horretatik lortzen da:\nAurreko adierazpenetik deduzitzen da:\nekuazioak adierazten du mugimenduan zehar, energia zinetikoaren, , eta potentzialaren, V(x), arteko batuketak konstante irauten cluela. E konstanteak emaitza osoa adierazten du.\nx-erako (4.100) ekuazioa ebatziz gero:\nEkuazio hori integratzeko aldagaiak banandu egiten dira, hau da,ekuazioaren atal batean x aldagaia jarrita eta bestean t aldagaia.Hori eginda hau lortuko da:\neta integrazioa eginez gero:\nMugimenduaren ekuazioaren emaitzan diren bi konstante arbitrarioak hauek dira: E energia osoa eta . Sistemako E energia osoa ezagutzea ez (la mugimenduaren ezaugarri guztiak deduzitzeko nahikoa, izan ere, horrez gainera ezagutu behar baita. V(Y) ezagutzen bada, azken ekuazio horren bidez x-en balioa kalkula daiteke edozein unetan\nEnergiaren kontserbazioaren printzipioaren bidez informazio asko lor daiteke zatiki baten mugimenduaren ingurukoa, baita (4.104) ekuazioaren laguntzarik gabe ere. Hasierako posizioa eta lastertasuna ezagutzen badira h' konstatea kalkula daiteke. Orduan,\naclierazpenaren bidez, zatikiaren lastertasuna (zeinurik gabea) lor daiteke edozein x posiziorako.\nEnergia zinetikoa, oinarrian magnitude positiboa denez gero, E energia osoa mugimenduan zehar energia potentziala baino handiagoa izango da beti, hau da, mugimendua V(v) <F_ betetzen den guneetara mugatuko (la. V(x) energia potentzialax leku aldatzearen arabera adierazten bada, hainbat kurba mota lor daitezke. (4.20) irudian erakusten den adibidean, energia potentzialak gutxieneko\nbakarra du. Grafiko horretan E energia osoari dagokion lerro zuzena marrazten bada, berehala bereiziko dira mugimenduaren mugak. Adibide horretan, mugimendua AB eremuan gerta daiteke hakar bakarrik. Adibide horretan, V(x) = E betetzen duten puntuek jartzen dituzte mugimenduaren mugak. Puntu horieigeldiune puntuuk esaten zaie, x lastertasuna zero baita horietan. Esate baterako, zatikia geldialditik abiatzen bada, eskuinerantz mugituko da, lastertasuna handituz lehenbizi eta txikituz ondoren, harik eta puntura iristen den arte. Une horretatik aurrera, zatikiak kontrako mugimendua egiten du. Beraz, zatikiak mugimendu oszilatzailea egiten du AB potentzial puntzuan, eta puntuen artean. Baina zatikiak -etik -ra joateko behar duen denbora tik x-ra joateko behar duenaren berdina denez gero, oszilazio denbora (T), hau da, zatikiak -etik -ra eta -tik -ra joateko behar duena, distantzia egiteko behar duen denboraren bikoitza da. Beraz, (4.103) ekuazioaren arabera,\nIntegrazioaren mugak ekuazio erroak dira E balioarentzat. Ekuazio horrek edozein oszilazio mugimenduaren periodoa zehazten du zatikiaren E energia osoaren arabera.\nOszi latzaiile armoniko linealaEman dezagun malguki baten bidez O puntu finko bati lotuta dagoen m masa bat dugula (4.21 irud.). Zatikiaren posizioa. koordenatuak zehazten du eta haren oreka egonkorreko posizioaz = 0 puntuan gertatzen da. Kasu honi m masaren mugimenduaren ekuazio hau dagokio:\nnon aldagaiak x aldagaiaren denborari buruzko bigarren deribatua adierazten baitu, F aldagaia indar berreskuratzailea baita, -kx, x- en leku aldaketaren proportzionala, eta k konstante elastikoa baita (cm - ' indarra). k konstantea malgukiaren «indar» neurri bat da.\n(a) ekuazioan azaltzen den sistemari oszilatzaile armoniko lineal izena ematen zaio eta mugimendu periodikoaren kasu erraz eta garrantzizkoena da, fisika klasikoko eta fisika kuantikoko problema askoren eredu zehatza, edo gutxi gorabeherakoa, baita.\n(a) ekuazio diferentziala ebazteko osagai bakoitza bider zatikiaren x egiten (la. Beraz, orduan:\nAdierazpen hori integratuz\nateratzen da, non E integrazio konstanteak zatikiaren energia osoa adierazten baitu, aldagaiak energia zinetikoa eta aldagaiak energia potentziala. Beraz, (c) adierazpena, mugimenduaren ekuazioaren lehen integrala, energiaren ekuazioa (la [ikus 139. orrialdeko (b) ekuazioa]. E konstantea hasierako baldintzen arabera zehazten da. Eman dezagun denean dela, beraz:\nBigarren mailako (a) ekuazio diferentzialaren ordez lehen mailako ekuazio diferentziala dugu orain. (d) ekuaziotik beste hau ateratzen da:\nnon baita. Aurreko adierazpenaren bidez zatikiaren x lastertasuna kalkula daiteke oreka posizioaren x Teku aldaketaren arabera, hasierako baldintzak lehen emandako berberak direnean. (e) ekuazioan aldagaiak bakartuz emaitza hau lortzen da:\nErroaren zeinu negatiboa hartzen bada, integratzean emaiza hau ateratzen da:\nnon d integrazio konstante berri bat baita; konstante horren balioa hasierako leku aldatzearen balioa emango duen hasierako bigarren baldintzatik abiatuta kalkulatzen cia. Eman dezagun t = 0 denean x = 0 (lela, orduan eta t = 0 denean x = x o balitz, orduan\nOharra. Erroaren zeinu positiboa hartu Baliz, emaitza heste hau litzateke:\n(h) eta (i) ekuazioek d = 0 denean adierazten dituzten mugimenduen espazio-denborari dagozkion grafikoak 4.22 irudian agertzen elira. I kurba sinu funtzioari dagokio eta 11 kurba, herriz, kosinu funtzioari. Noski, hi kurbek bat egiten clute denboraren ardatzari buruzko leku aldatze erlatibo batean.\n4.22: Denboraren araberako leku aldaketaren grafikak mugimendu armoniko sinplean . I kurba sinu ntzioari dagokio eta II kurba kosinu funtzioari\nEnergia diagramak. Oszilatzaile armoniko batean, energia potentziala adierazten duen kurba, parabola bat cia, eta E energia osoa adierazten duena, berriz, lerro horizontal bat (4.23 irud.). Zatikiaren mugimendua lerro horizontalak parabola ebakitzen duen puntuen artean dauden x aldagaiaren balioetara murrizten da, (4. 100) ekuazioaren arabera denean energia zinetikoa negatiboa baitlitzateke eta hori ezinezkoa baita. Goitik beherako lerro bat irudikatzen bada, energia potentzialaren eta tarteko edozein x posiziori buruzko V energia potentziala kurbaren ordenatuak emango du eta energia zinetikoa, T = E - V, parabolaren eta E altura duen zuzen horizontalaren arteko distantziak. Beraz, muturretan energia guztia potentziala da, eta erdiko posizioan, berriz, zinetikoa.\n4.23 : E energia osoaren, V energia potentzialaren eta T energia zinetikoaren adierazpena mugimendu armonika sinplea egiten duen zatiki batentzat.\nIndarra lastertasunaren funtzio\nDemagun F indarra v lastertasunaren funtzioa dela bakarrik, hau da, F=F(v) dela. Orduan:\nAdierazpen hori integratuz gero:\nnonv=v o berdintza gertatzeko behar den denbora t=to den . Baina, dx=v dt denez gero, m dv/dt = F(v) ekuazioan ordezkatuta, hau lortzen da:\neta integratuz gero:\nHor ikusten da bai x [(4.110) ekuazioa] bai t [(4.108) ekuazioa] v aldagai auxiliarraren arabera -zatikiaren lastertasuna- adierazten direla. (4.108) eta (4.110) ekuazioetan v kenduz gero, ateratzen da.\nMugimendua gorputzei erresistentzia egiten dien ingurune batean\nGorputz bat airean edo uretan mugitzen denean inguruneak erresistentzia egiten dio gorputzaren mugimenduari. Lastertasun txikiak direnean formula erabil daiteke R ingurunearen gutxi gorabeherako erresistentzia adierazteko, non ingurunearen eta gorputzaren neurriaren eta formaren araberako konstante bat, eta ez masaren araberakoa, baita. (Lastertasun handietarako, erabiltzen da).\nKoordenatuen O sorburua zatikiaren hasierako posizioa bera bada, eta x ardatzaren norabide positiboa gorputzaren mugimenduaren norabidearekin bat badator, mugimenduaren ekuazio diferentziala hau izango da:\nAldagaiak bakartu ondoren gelditzen den ekuaziotik beste adierazpen hau lortzen da:\neta t = 0 denean denez, orduan:\n(c) formula integratuz zatikiak ibilitako espazioa eta denbora lotzen dituen ekuazioa lortzen da:\nOharra. Ibilitako espazioa lastertasunaren arabera zehazteko, komenigarria da berriro (a) ekuaziotik abiatzea, ekuazio hori era honetara jarrita:\nAdierazpen hori zati v egiten, aldagaiak bakartzen eta x = 0 denean dela kontuan hartzen bada, emaitza hau ateratzen da:\nv = 0 egiten bada izango da, eta zatikiak mugitzen hasten denetik gelditzen den arte ibilitako espazioa emango du adierazpen horrek\nIndarra denboraren funtzio gisa 5. Bi zatikiz osaturiko sistema baten dinamika\nDemagun indarra denboraren mendekoa dela, hau da, F=F(t) dela. Mugimenduaren ekuazio hau, orduan, erraz ebatz daiteke.\nLehenengo integralak hau ematen du denborari buruz:\nnon dx/dt-ren balioa den -rako. egiten bada, hau lortuko da:\nBeste integrazio bat eginez gero, hau idatz daiteke:\nnon x-en balioa den betetzen denerako. egiten bada, azkenik hau lortuko da:\n(4.111) ekuazioan adierazitako zatikiaren mugimendua ematen du adierazpen horrek.\nAdibidea. m masa duen zatiki bat F indarraren eraginpean mugitzen da lerro zuzen batean zehar eta indarraren magnitudea handitu egiten da denboraren proportzioan, F = kt ekuazioaren arabera. Zehaztu mugimenduaren legea, hasiera unean zatikia geldik dagoela.\nEbazpena. Koordenatuen sorburutzat zatikiaren hasierako posizioa hartzen bada eta x ardatza mugimenduaren norabidetzat, adierazpen hau ateratzen da:\nBerdintza horretako bi osagaiak bider dt eginez honela gelditzen da:\nFormula hori integratuz:\nBaina t = 0 denean denez, izango da. Beraz:\nBerriro integratzen da eta ekuazio hau ateratzen da:\neta t = 0 baliorako x = 0 denez, orduan, azkenik:\nZatikiak ibilitako espazioa handitu egiten da, beraz, denboraren kuboaren proportzioan\n5. Bi zatikiz osaturiko sistema baten dinamika\nIndar baten mende dagoen zatiki baten mugimendua aztertu da aurreko atalean, indar hori bere kokalekuaren, lastertasunaren edo denboraren funtzio besterik ez zela. Dinamikaren oinarrizko ekuazioaren eta zatikiaren hasierako baldintzen arabera erabat zehaztuta geratzen zen zatikiaren mugimendua. Atal honetan, ordea, elkarri eragiten dioten bi zatikiz osaturiko sistema bakartu baten mugimendua aztertuko dugu.\nBarne eta kanpo indarrak\nBedi sistema bat, bi zatikiz osatua: eta dira zatikien masa, eta eta berriz, hautatu den koordenatu sistema bateko puntuak, hots, zatikien kokalekua (ikus 5.1 irudia). Baldin zatikian indarrak eragiten badu, eta zatikian -k, hauek izango dira zatiki horien mugimendu ekuazioak:\n5 .1 : Kanpo eta barne indarrak bi zatikiz osaturiko sistema bati eragiten.\nNolanahi ere, eta indarrak bi eratakoak izan daitezke: kanpo indarrak -sistemari kanpotik eragiten diotenak- eta barne indarrak -sistemaren barruko bi zatikien artekoak-. Eremu elektriko batean dabiltzan bi zatiki kargadun, batetik, edo Lurra eta Marte, Eguzkiaren grabitate eremuan higituz, bestetik, izan daitezke horren adibide,\nHonela adieraziko da, heraz, zatikiaren mugimenduaren ekuazioa:\nnon zatikiari eragiten dioten kanpo indarren ondoriozko indarra baita eta -ren eraginez zatikiari eragiten dion barneindarra, berriz, . Era berean, hau aterako litzateke zatikiaren kasuan:\nEta eta , zatikien mugimendu ekuazioak batuz gero, hau aterako litzateke:\nBaina, Newtonen hirugarren legearen arabera, eta barne indarrak berdinak dira, eta kontrako noranzkoa dute. Hala heraz, izango da, eta bi zatiki horiek osatzen duten sistemaren mugimenduaren ekuazioa, berriz:\nnon, eta kanpo indarren ondoriozko indarra baita F.\nMasa zentroko mugimendua\nAurreko ekuazio hori, baina, bakunagoa bihur daiteke, posizio bektorea txertatuz gero; sorburutik bi zatikien masa zentrora doa bektorea, eta, lehenago adierazi den bezala, ekuazio honen bidez definitzen da:\nekuazioak sistemaren masa osoa adierazten baitu (ikus 5.3 irudia). Gero, hartu adierazpena, eta bi aldiz deribatzen badugu denborari buruz, eta ekuazioan ordezten badugu, hauxe lortzen da:\nalegia: bi zatikiz osaturiko sistema baten masa, batetik, eta sistema osoarena adinako masa masa zentroan bilduta duen eta kanpo indar guztien ondoriozko indar baten eraginpean dagoen zatiki batena, bestetik, berdin-berdinak dira. Baldin konstantea bada F (zatikiak grabitate eremuan daudenean, adibidez, F = mg), azelarazio konstantez higitzen da orduan masa zentroa. Bistan denez, barne indarren masa zentroaren mugimenduan ez du eraginik batere.\n5 .3: Bi zatikiz osaturiko sistema baten masa zentroaren mugimendua\nSistema bakartua. Masa zentroaren kontserbazioaren teorema.\nGorabehera handiko kasu bitxi bat gertatzen da sistemari barne indarrak besterik eragiten ez diotenean, kanpo indarrik ez clenean, alegia. Sistema horri sistema bakartu esaten zaio. Orduan, F = 0 denez:\nHau da, sistema bakartu baten masa zentroaren mugimendua lerrozuzena eta uniformea da.\nBaina ekuazioak zatikiaren momentu lineala adierazten duenez, eta ekuazioak, berriz, m, zatikiaren momentu lineala, beste honetara ere adierazi ahal izango da goraxeagoko ekuazio hori:\nMasa zentroan dagoen eta masa osoa m duen masa puntual baten mugimendu lineala adierazten du hor ekuazioak. Beraz, bi zatikiz osaturiko sistema bakartu baten momentu lineal osoa mugimenduaren bektore konstante bat da (momentu linealaren kontserbazioaren teorema).\nBedi bektore bat, zatikiak zatikiari buruz hartzen duen leku erlatiboa adierazten duena. Orduan, eta 5.4 irudiaren arabera:\nSistema bakartua dagoela onartzen bada, hau ondorioztatzen da (5.2) eta (5.3) ekuazioetatik, (5.12) kontuan hartuz betiere:\n5.4: Elkarri eragiten dioten bi zatikien mugimendu erlatiboa indar zentral baten eraginpean dagoen masa murriztuko zatiki bakar baten mugimenduaren berdina da\nBeste magnitude bat txertatuko dugu orain, magnitudea hain zuzen, masa murriztua deitua, eta ekuazio honen bidez definitua.\n(5.13) ekuazioa beste honetara aldatzen da orduan:\nElkarri eragiten dioten bi zatikien mugimenduaren arazoa, beraz, beste bakunago honetara laburtzen da, alegia, masa duen eta indar zentral baten eraginpean dagoen zatiki baten mugimendura.\nBaldin denboraren arabera ezagutzen baditugu eta (5.6) eta (5.11) ekuazioak ebatziz lortuko dira eta zatikien kokalekuak:\nMasa murriztuaren adierazpena moduetako batean idatziz,\nmasa murriztua eta masak baino txikiagoa dela ikusten da (horregatik esaten zaio masa murriztua).\nIkus daitekeenez, zatikietako baten masa bestearena baino askoz handiagoa denean - , esate baterako-, orduan, masa murriztua masa arinena bezalakoa da gutxi gorabehera, hau da: , eta bi masak berdinak direnean,\nAdibidea. Zehaztu elektroi-protoi sistemaren masa murriztua hidrogeno atomo batean. Nukleoraren masa, gutxi gorabehera, elektroi masa bider 1840 da.\nEbazpena. Izan bitez eta hidrogeno atomoko elektroiaren eta nukleoaren masak. Hara zer ateratzen den\n(5.8) eta (5.15) adierazpenek eta r bektoreen arabera ematen dituzte mugimendu ekuazioak. Zehaztu dezagun orain, bi zatikiz osaturiko sistema baten momentu angeluarra O puntu finko bati buruz eta r bektoreen arabera.\nIzan bitez zatikien momentu angeluarrak O puntu finkoari buruz. Horren arabera,\nEta (5.16) ekuazioen arabera, berriz:\nBaina aise ikusten denez, deuseztu egiten dira, eta beste honetara aldatzen da aurreko adierazpen hori:\nBi zatikiz osaturiko sistema baten energia zinetikoa zatiki horietako bakoitzaren energia zinetikoen batura da. Hortaz:\nBaina denborari buruz deribatuz gero (5.16) ekuazioak, hau lortuko da:\nekuazioan ordeztu, eta eraldatze erraz batzuk egin ondoren, hau atertzen da:\nBeraz, bi zatikiz osaturiko sistema baten energia zinetikoa bi terminozko batuketa gisa adieraz daiteke. Lehenengo terminoa, , mugimendu erlatiboaren energia zinetikoa da; bigarrena, berriz, (165), bere masa zentroaren mugimenduaren energia zinetikoa; hau da, masa duen eta masa zentroaren lastertasunaz mugitzen den zatiki baten energia zinetikoa. adierazpenari sistemaren barne energia esaten zaio, eta (165) adierazpenari, berriz, traslazioko energia zinetikoa.\nMasa zentroko erreferentzia sistema\nLehenago ikusi dugun bezala, sistema bakartu batean, kanpo indarren eraginik batere gabe, lastertasun konstantean mugitzen da masa zentroa eta zatiki soil baten antzekoa da sistemaren mugimendua. Hori dela eta, hobe da masa zentroa geldi dagoen erreferentzia sistema batean aztertzea eta zatikien mugimendua. Eta sistema horri masa zentroko sistema esaten zaio. Hemendik aurrera izartxo batez (*) adieraziko dira sistema horri dagozkion magnitudeak.\nIzan bedi, beraz, erreferentzia sistema bat, bere ardatzek -sistema finko baten ardatzen paralelo- beren sorburua masa zentroan\n5.5. Bi zatikiren posizio bektoreak masa zentroko erreferentzia sisteman eta erreferentzia sistema finkoan\ndutena (ikus 5.5 irudia). Beraz, masa zentroko sistemari buruzko bi zatikien posizio bektoreak baldin badira:\nOrobat ere, eta masa zentroaren definizioaren arabera,\nalegia, norabide bera eta kontrako noranzkoa dute bektoreek.\nEta (5.26) ekuaziotik ondorioztatzen denez,\nHauxe ateratzen da, beraz, goiko ekuazio hori (5.25) ekuazioan ordeztean:\nHorrelaxe lortzen da ere:\nBaldin denborari buruz deribatzen badugu (5.27) ekuazioa, eta kontuan hartzen (5.14), (5.28) eta (5.29) ere, hauxe lortzen da:\nEkuazio horretan, eta zatikien masa zentroko erreferentzia sistemako lastertasuna adierazten dute eta -ri buruz hartzen duen lastertasuna erlatiboa adierazten du, berriz, v-k; eta zatikiak masa zentroarekiko duen momentu erlatiboa edo «barne» momentua adierazten du, azkenik,\nBeraz, masa zentroko erreferentzia sisteman bi zatikien momentu linealak berdinak direla eta elkarren kontrako norabidea dutela adierazten du (5.30) ekuazioak.\n5.6 irudian, bi zatikik osatzen duten sistema baten masa zentroaren mugimendua adierazi da, laboratorioko erreferentzia sistema batean, geldi dagoenean, eta, berriz, -ra hurbiltzen. Irudian ikusten denez, masa zentroa zuzen mugitzen da lastertasun konstantean laboratorioko erreferentzia sistemari buruz.\nZatikiaren mugimendua deskribatzeko laboratorioan erabiltzen den koordenatu sistema finkoari esaten zaio laboratorioko erreferentzia sistema.\nOrain, berriz, momentu linealaren balioak, momentu angeluarrarenak eta energia zinetikoarenak zehaztu behar ditugu erreferentzia sistema finko batean, edozeinetan, masa zentroko erreferentzia sisteman dagozkien balioen arabera.\nBedi bi zatikien masa zentroaren lastertasuna erreferentzia sistema finkoan. Orduan, (5.24) ekuazioen arabera, hauek izango dira bi zatikien lastertasunak:\nEta kontuan harturik (5.30), hau ateratzen da:\nHona, beraz, momentu angeluar osoa eta energia zinetikoa, (5.20) eta (5.22) ekuazioen arabera, masa zentroko sisteman:\nHala beraz, beste edozein erreferentzia sistema finkorentzat, hauxe beteko da: alegia,\nBeraz, edozein erreferentzia sistema finkotan masa zentroko sisteman dagozkion balioetatik abiaturik eta T lortzeko, aski da balio horiei masa zentroan dagoen m masako zatiki baten ekarria eranstea.\nEdozein zatiki kopururako orokortu daitezke aurreko emaitza horiek\nBi zatikiren talka elastikoa\nDituen erabilerak direla eta, oso gauza jakingarria da bi zatikien arteko talka, fisika atomikoarentzat eta nuklearrarentzat batez ere . Esperimentu bidez aztertzen denean, erreferentzia sistema finkoa erabiltzen da laboratorioan ; sistema horretan, zatikietako bat geldi dagoen bitartean, harengana hurbiltzen da bestea, lastertasun jakin batean . Hala ere, talkak errazago aztertzen dira masa zentroa erreferentziatzat duen koordenatu sistema batean\nBi zatikik talka egiten dutenean eta energia zinetikoa galtzen ez denean, hau da, sistemaren energia zinetiko osoa talka baino lehen eta talkaren ondoren berdina denean, talka elastikoa dela esaten da.\nEman dezagun masa zentroko erreferentzia sisteman eta direla, hurrenez hurren, zatikien lastertasunak. Momentu lineala kontserbatzeko teoremaren arabera, talka baino lehen eta talkaren ondoren, berdinak eta kontrako norabidea izan behar dute zatiki bien momentuak.\nnon zatikien talka ondorengo momentua adierazten baitute eta aldagaiek. Zatikietako bakoitza, beraz, angelu bera desbideratzen da (ikus 5.7 irudia). Hala ere, talka elastikoa denez, eta (5.34) ekuazioaren arabera:\nHau da, talka elastiko batean, masa zentroko erreferentzia sisteman dauden bi zatikien momentuen moduluak ez dira aldatzen. Laboratoriko erreferentzia sisteman, zatikia geldi dago hasieran. Orduan, talka baino lehen denez, zatiki horren momentua zero izango da: alegia, . Bedi zatiki jotzailearen momentua, eta berriz, eta -ren momentuak talka egin ondoren.\n5.7 Talka elastikoa masa zentroko erreferentzia sisteman.\n5 .8: Talka elastikoa loabaratoriako erreferentzia sisteman\nBaldin eta desbideratze angelua eta atzeranzko angelua badira hurrenez hurren (rkus 5.8 irudia), eta dela kontuan izanik, hauxe ateratzen ola (5.32) ekuazioan ordeztuz gero:\nEta (5.32) ekuazioaren arabera, eta (5.41) kontuan hartuz, hauek izango dira bi zatikien momentuak talkaren ondoren:\nHurrengo irudiko bektore diagraman (ikzts 5.9 irudia) (5.42) eta (5.43) bektore ekuazioak eta laboraturiko sisteman momentua kontserbatzeko ekuazioa irudikatu dira. Momentuen, energien eta angeluen arteko erlazio oro zehaztu daiteke diagrama hori oinarri harturik.\nEkuazio hauen bidez ematen dira atzeranzko angelua eta momentuaren modulua, masa zentroko sisteman neurtuak:\nHau da, beraz, laboratoriko erreferentzia sisteman geldi dagoen zatikiari erantsitako energia zinetikoa:\neta sistema horretan, zatiki jotzailearen energia zinetikoa da, hain justu, energia zinetiko osoa; (5.42) ekuazioaren arabera, balio hau du zatikiaren energia zinetikoak:\nGarrantzi handikoa ola halaber desbideratze angeluen artean dagoen erlazioa bai laboraturiko erreferentzia sisteman bai masa zentroko erreferentzia sisteman. Eta 5.9 irudiaren arabera:\nErlazio hori ez olago bi zatikien momentuen mende, masen arteko erlazioaren mende baizik.\nNukleo zatikien talka laboratorio sisteman\nEman dezagun masako alfa zatiki bat ON ibilbide zuzen batean zehar mugitzen dela eta geldi dagoen masako atomo nukleo batekin talka egiten duela (5.10 irudia). Talkaren ondoren, alfa zatikia NA norabidean mugitzen da eta nukleoa NB norabidean, eta direla desbideratze eta atzerako angeluak.\n5.10:: Bi nukleo zatikiren talka elastikoa .\nIzan bitez alfa zatikiaren hasierako lastertasuna eta talkaren ondorengo lastertasuna, eta nukleoarenak herriz, 0 eta , hurrenez hurren.\nNola ez dagoen sistemaren gaineko inolako indarrik momentu linealak lehenean jarraitzen du. Beraz:\nBektore ekuazio hau ondoko bi ekuazio eskalarren balio berekoada:\nLehen ekuazioak mugimencluaren hasierako norabidean momentuak lehenean jarraitzen duela adierazten du eta bigarrenak, hasierako mugimenduaren norabide zutean momentuak lehenean jarraitzen duela. Bi ekuazio horiek ez dira nahikoa, ordea, eta ezezagunak ebazteko. Energiaren kontserbazio legeak beste ekuazio bat eskaintzen digu:\n(b) eta (c) ekuazioek bide ematen digute, ezabatuta, ren funtzioan adierazteko:\nEra berean, ezabatzen badugu ekuazio berberetatik, lortuko dugu ren funtzioan:\nAzkenik, (e) eta (f), (d)n ordeztuta, lastertasunak ezabatuko ditugu eta lortzen den ekuazioan masa erlazioa soilik eta angeluen funtzioan egongo da:\nOndokoa idazten badugu:\neta kontuan hartzen badugu\nazkenean zera lortzen da:\nEmaitza honek, eta ç neurtu besterik gabe, alfa zatikiaren eta atomo nukleoaren masen arteko erlazioa zehaztea ahalbidetzen digu.\nAlfa zatikiak talkaz jotzen duen nukleoa helio nukleoa baldin bada, orduan eta (5.11 irudia). Eta baldin bada, orduan, (h)ren arabera, izan behar du, eta beraz, alfa zatikia geldi geratzen da,\n6. Uhin mugimendua\nUhin mugimendua fisikaren hainbat alorretan agertzen den gertaera da. Horren adibide dira, besteak beste, uraren gainaldeko uhinak, soinu uhinak eta uhin elektromagnetikoak. Uraren uhinek eta soinu uhinek ingurune material jakinak, ura eta airea hain zuzen, behar dituzte espazioan hedatzeko; uhin elektromagnetikoek (irratia, infragorriak, argi ikusgarria, X izpiak eta izpiak) eta mugitzen ari den atomo zatiki bati dagozkion uhin materialek, aldiz, ez dute inolako ingurune materialik behar hedatzeko.\nUhin bat oreka egoera batean sortzen den perturbazio bat da, denborarekin espazioan zehar hedatzen dena.\nBi uhin mota nagusi daude: luzetarakoak eta zeharretarakoak. Luzetarako uhinetan, uhinak hedatzen diren noranzko berean oszilatzen dute inguruneko zatikiek, eta zeharretarakoetan, aldiz, uhinen hedapen noranzkoari buruz perpedikularrean oszilatzen dute.\n6.1 irudian luzetarako uhin bat ikusten da, hodi baten barneko gasa hodiaren mutur batean dagoen pistoi bat txandaka mugitzen denean sorturiko uhina, hain zuzen ere. Kasu honetan gas molekulak hodiaren ardatzaren norabide berean mugitzen dira. Luzetarako uhinak eratzen dira, halaber, metalezko ziri baten mutur bat jotzen denean (6.2 irudia). Kasu honetan uhin elastiko bat sortzen da eta ziri guztian zehar hedatzen da uhin hori. Ziriaren materialaren zatikiak ez dira gune batetik bestera aldatzen; uhin elastikoa da zirian zehar hedatzen dena. Irudian gune batzuk besteak baino ilunago ikusten dira; gune horiek batez besteko dentsitatea baino dentsitate handiagoa dutela esan nahi du horrek.\n61 : Gas bat duen hodi batean hodiaren muturretako batean dagoen pistoia mugitzean eratzen duen luzetarako uhina.\nZeharretarako uhinei dagokienez, zeharretarako uhinak eratzen dira, esaterako, soka tenkatu batean, sokaren mutur bati zeharretarako mugimendu batek eragiten dionean (6.3 irudia).\n62: Metalezko ziri batean ziroaren mutur bat jotzean eratzen den luzetarako uhina\n63: Soka tenkatu batean sokaren mutur bati zeharretarako mugimendu batek eragiten dionean eratzen den zeharretarako uhina.\nSokaren zatikiak sokaren norabideari buruz perpendikularrean mugitzen dira beti, eta ez dute sokaren norabidearen paraleloan inolako mugimendurik egiten\nUhin baten deskribapen matematikoa dimentsio batean\nGauza jakina denez, puntu baten mugimendua deskribatzeko ezinbestekoa da puntu hori une bakoitzean non dagoen jakitea. Adibidez, deskribatu nahi den puntua x ardatzean zehar mugitzen bada, x = f(t) ekuazioa ebatzi behar da; ekuazio horretan, puntuaren mugimendu motaren araberakoa izango da f funtzioa. Deskribatu nahi den mugimendua uhin mugimendua denean ordea, puntu guztiek une bakoitzean duten kokaera ezagutu behar da, hau da, u uhin perturbazioax abzisaren eta t denboraren funtzioa da, hots, u = f (x, t). Ekuazio honetan x eta t aldagaiak aldagai askeak dira, hau da, edozein balio har dezakete; x eta t aldagaien balio bakoitzari u uhin perturbazioaren balio jakin bat dagokio. Aldiz, x = f(t) ekuazioan, x eta t aldagaiak ez dira aldagai askeak.\nUhin perturbazio bati t = 0 unean dagokion kurba 6.4 irudian agertzen dena bada, orduan:\nPerturbazioa v lastertasun konstatean mugitzen bada eta mugimendu horretan forma aldatzen ez bazaio, t denbora tartean vt distantzia beteko du. Baina, 6.4 irudiak x' = x - vt betetzen dela erakusten duenez, eta kontuan harturik u(x, 0) = f (x) eta u (x, t) = f(x) direla, perturbazioaren forma ez baita aldatzen, ondoko adierazpena betetzen da:\n6.4 : Uhin beraren bi une adierazteko funtzio bakar bat erabil daiteke, elkarretatik vt distantziara dauden bi koordenatu sistema harturik funtzio bakar horrentzat\nAdierazpen horri uhinaren ekuazioa esaten zaio. magnitudea uhinaren fasea da. Fasea konstantea bada, u(x, t) ere konstantea izango da. Eta.x - vt konstantea denez, berdintza dt beteko da. Beraz, perturbazioaren hedapen lastertasuna fasearen lastertasunaren berdina da.\nBaldin eta (6.2) ekuazioan ondoko aldaketa egiten bada:\norduan, uhinaren deskribapen matematikoaren beste adierazpen bat aterako da, aurrekoaren baliokidea:\nIkusten denez, t = 0 unean f(x') funtzioak adierazten cluen uhinari f (x - vt) funtzioa dagokio t = t unean, hasierako funtzioan x' aldagaiaren ordez (x - vt) jartzen bada. x ardatzaren norabide positiboan, forma aldatu gabe, hedatzen den uhin bati dagokio f(x - vt) funtzioa, soilik x eta t aldagaiak (x - vt) konbinazioan agertzen diren kasuetan, adibidez, A cos(wt - bx), , etab.\nAdibidea. t = 0 uneko uhin perturbazioari adierazpena dagokio. Baldin eta perturbazio hori v lastertasunean leku aldatzen bada, aurkitu t uneari dagokion uhinaren forma. Adierazi uhinaren forma t = 1 eta t = 2 uneetan.\nEbazpena. Uhinaren forma lortzeko u(x, 0) adierazpenean x aldagaiaren ordez x - vt jartzen da, hau da, . 6.5 irudian uhinari t = 1 eta t, = 2 uneetan dagokion forma agertzen da.\n(6.2) ekuazioan vt aldagaiak luzera jakin bat adierazten clu. Beraz, perturbazio bat neurtzen ari diren bi behatzailek -t = 0 uneko perturbazioa neurtzen badu batek, eta t unekoa besteak- emaitza bera lor dezaten, behatzaile baten eta bestearen arteko distantziak vt izan behar du. (6.4) adierazpenean,.x/v zatikiak denbora ematen du aditzera. Beraz, x puntuko perturbazioa neurtzen ari den behatzaile batek jatorrian unean zegoen perturbazio bera aterako du emaitza.\n(6.2) adierazpena baliagarria cla x ardatzaren noranzko positiboan heclatzen den uhin batentzat. Zeinu negatiboak x koordenatuaren balioaren aurretik claudenak dira. Uhina x ardatzaren noranzkonegatiboan hedatzen denean, beraz, alderantzizko zeinua jarri behar zaio x - vt konbinazioari. Kasu horretan, uhinaren ekuazioa hau izango da:\nKasu aipagarria da u(x, t) perturbazioa ondoren adierazten den tankerako sinu funtzioa edo funtzio armonikoa denean gertatzen dena:\nnon uhinaren anplitudea baita A, hau da, perturbazioaren balio handiena, eta w maiztasun zirkularra. Kosinuaren argumentua, w(t - x/v), fasea da 6.6 irudian u uhinaren grafikoa azaltzen da x ardatzari buruz eta t une jakin baterako. Bi C puntuei, u funtzioak gehieneko balioa duen puntuei, gailur esaten zaie, eta V puntuak, u funtzioak gutxieneko balioa duen puntuak, hondoak dira. Balio horiek A anplitudearekin bat datoz.\nBaldin eta x ardatzean zehar fase bereko eta ondoz ondoko bi puntu, eta hartzen badira une jakin batean, orduan:\nizan ere, betetzen da, eta horrenbestez:\nnon uhin luzera baita, fase bereko bi puntu bereizten dituen gutxieneko distantzia alegia, T periodoa eta v maiztasuna. Gauza jakina denez betetzen dela, ondoko adierazpen hau dagttkiox positiboetarantz v lastertasun konstantean mugitzen den uhin armoniko bati:\nkopuruak distantzian dauden uhin luzeren kopurua ematen du aditzera, hau da uhin kopurua. (6.11) ekuazioa erabiliko da aurrerantzean.\n6.7 irudian u(x, t) funtzioa irudikatu da x ardatzaren arabera eta tdenboraren zenbait baliori buruz. t = ta = 0 betetzen denean,emaitza hau da:\ndenean, da eta\nAzkenik, denean, da eta\nUhin horietako baten gailurrari, P puntu gisa adierazi den puntuari adibidez, erreparatzen bazaio, ikusten da denboraren balioa zenbat eta handiagoa izan, orduan eta ezkerrerago dagoela gailurra, P kasu honetan.\ndenboran ondoko forma hau du uhin armoniko sinpleak:\nAdierazpen horretan u eta x aldagaien balioa zentimetrotan adierazten dira eta t aldagaiarena segundotan. Uhinaren lastertasuna 50 cm da eta x ardatzaren norabide positiboan hedatzen da. Zehaztu t = 3 segundori dagokion uhinaren ekuazioa.\nUhin armonikoen ekuazioa (6.11) ekuazioak ematen duenez, orduan:\nBaina, kontuan harturik\nt = 3 segundorentzat,\n2. Zehaztu ekuazioak definitzen duen uhinari edozein unetan dagokion forma.\nEbazpena. t = T egiten bada, adibidez, orduan, une horretan izango da.\n6.8 irudian ekuazio horri dagokion grafikoa agertzen da eta harturiko unean ondoz ondoko zatikien leku aldatzea adierazten du.\nObarra. Zatiki bati edozein unetan dagokion oszilazioa kalkulatzeko x = 0 egiten da, adibidez. Horrela ateratzen da. Beraz, uhin bat irudikatzeko bi kurba lau behar dira.


Home / Gure ekoizpenak / Gaztekin\nGaztekin Aiaraldeko Gazte Mugimenduaren ahotsa islatzera dator. Eskualdeko Gazte Asanbladetako kideak, astero, mikro eta kaskoak jarri eta Aiaraldeko gazte errealitateari errepasoa egingo diote, ordu erdiz.\nAlbisteak, elkarrizketak, eskualdeko taldeen abestiak eta Gazte Asanbladetako beste kideen kolaborazioak dira, besteak beste, irratsaioa osatzen duten atalak. Ez dago esateko beste ezer. Itzali telebista eta piztu Aiaraldea!


Green tea for weight loss: gozo, lurrintsu, eraginkortasunez\nGreen tea pisua galtzea luze finkatu gisa tresna eraginkor bat aurkako borrokan obesitatea eta hipertentsioa, bihurtu zen laguntzaile bat normalizatzeko metabolismoa. Kontsumitzen edan behar da maiz, eta kantitate handietan, eta, ondoren, ikusiko duzu emaitza. Gaur aztertuko ditugu ekintza-mekanismoak, te berdea gorputza, eta moduak aldatu egiten da zaporea.\nZein da te berdea onurak\nBerezia propietate onuragarriak diren ezaugarriak, mineral-konposizioa sendagai:\nguztiak bitaminak b, C, K;\nfluorra duen baita;\nFormula laguntzen poliki-poliki kendu zepak eta toxinak, aktibatu digestioa eta lasai gosea.\nGarrantzitsua! Edari bat bezala hartuko da dinamizatzailea pisua galtzea, hala ere, emaitza positiboa beharrezkoa da behatzeko oinarrizko arauak osasuntsu jateko.\nBerezitasunak pisu galera belar tea\nEpelak zaporea eta argi bat atsegina usaina lagunduko aurkako borrokan gehiegizko pisua:\nerrazagoa izango da pisua galtzen bada, jaten maiz eta edari beroa;\nizango da arintzeko hantura eta desagerrarazi gehiegizko off hazbeteko zure gerrian;\nlagunduko behera hautsi elikagai eta ariketa gantz;\ndenborarik onena edan, jan aurretik 30 minutu eta 40 minutu ondoren;\nohiturei jateko gogoa;\ngutxieneko tasa - 3 handi cups egun bat.\nGarrantzitsua! Aldapatsuak hostoak jarraibideen arabera, erabilera zeramikazko edo beirazko.\nZein da te berdea aukeratu?\nHandi bat barietate asko ohiko arrazoiak erosleak izan lotsatzen. Zure arreta gomendioak nola aukeratu eta erosi onena moduko sendatzeko edan:\nhartu handi bat xafla, beraz, aukera duzu, ez edan hondakin landarea;\nontziratutako bertsioa ez lan egingo du, baita salbuespen - piramide bat, hosto handi, baina bere kostua nahiko altua da, eta oso gutxitan gertatzen;\ngainera, fruitu lehorrak eta zestoan - ona.\nZenbat edan behar pisua galtzen?\nPrestazioa edari hau da, ukaezina da, baina betetzeak arau eta dieta orekatu bat eragiten azken emaitza. Hona hemen zenbait aholku eta bere erabilera:\nKopa bat edan aurretik eta ondoren bazkariak;\nordezkatu goizean kafea;\nedan ordez, egun osoan zehar ura;\nedaten ito iruzurrekin gosea (baina gabe gozokiak edo azukrea).\nNola brew Green tea?\n"Magikoa" garbiketa ekintza araberakoa nola brew te berdea. Askotan pakete bat dauka dosia. Baina gomendio Orokorrak honako hauek dira:\ntenperatura baldintzak: ez bota ur cool (normala 80 gradu);\nura izan behar du, kalitate handiko, hobeto tratatu;\nbehin bota ur lehen, ihesa da, berak garbitu egingo du, hosto, zikinkeria eta hautsa;\nberriro bota tea ura irakiten eta utzi 3-4 minutu.\nEraginkorra errezeta green tea for weight loss\nZure arreta etxeko errezetak tea, zein konbinazio dieta laguntzen pisua galtzen goxoa.\nErrezeta eztia pisua galtzea\nErrezeta eztia guztiak gozoa hortza. Borroka pisua, balitz bezala, hori ez da nahi izan, esan errefusa txarra karbohidrato eta natural honey egiten zoragarri bat sweetener. Green tea ezti - konbinazio perfektua zapore. Da quenches egarria eta tonu gorputza. Bakarrik hartzen du 1 koilara txiki natural honey. Ezaugarri bat edan honako hauek dira:\nbesteak beste, kopuru txiki bat eztia ez pisua irabazten, baina asko ditu bitaminak eta mineralak;\neztia ezin toleratzeko prozesatzeko tenperatura, beraz, gehitu du dagoeneko itsaso epel-kaioak;\neztia da aktibatzen erabilera edan.\nBrew edari hau oso sinplea da:\nirabiatu hostoak teapot, bete ur eta ihesa;\nbete arroan ura irakiten bigarren aldiz;\nutzi 3-5 minutu;\nsartu pour edalontziak, gehitu eztia.\nNatural bat edan limoi pisua galtzea abantaila asko ditu:\ngaztetu eta biziberritzen;\nhausten behera gantzak;\nEgiteko eredu bera izan, gehituz pot bat limoi-xerra batzuk. Gozatzeko eztia zuzenean Kopa.\nErrezeta lurrintsu jengibrea\nGreen tea jengibrea pisu galera erremedio, ezaguna mundu honetan. Green tea, jengibrea eta limoi, aldatu ahal izango duzu, eta gehitu dastatzeko natural honey. Ginger salda eragin positiboa du gorputza: hostoak tea - antioxidatzaileak eta jengibrea, aminoazidoak eta bitaminak, eta bat da eraginkorra hasiera gantz erregailuak.\nBrewing ekoizteko, hala nola, simple algoritmoa:\ndeskargatu lehorrak - gehitu hostoak, pour ura irakiten baino gehiago eta utzi stand;\nfresko - grate erro fina grater, eta koilarakada bat gehitu gruel batean pot hosto, eman da.\nGogoratu freskoa jengibrea da zorrotz, eta, beraz, ez overdo kantitatea. Gutxi gorabehera, 1 tbsp batean 500-700 ml ur. Be re-brewed.\nErrezeta tea, esnea, bere onurak eta kalteak\nGreen tea, esnea pisua galtzea izan daiteke, ez bakarrik gozoak, baina ere erabilgarria, gaia oinarrizko arauak elikadura ona.\nOnurak green tea, esnea:\nrids gorputza toxinak metatu;\nematen arintasuna eta ongizatea;\nhobetzen garunaren funtzionamendua, arreta eta erreakzio;\nnormalizes prozesu metaboliko;\neragozten gorputza gantz;\nkonpontzen arazo kardiobaskularrak sistema;\narautzen maila azukre;\nkentzen gehiegizko fluidoa;\nErabili sendatzeko edan ez zuen ekarri kalte, jarraitu gomendio batzuk:\nbakarrik aplikatzen gaingabetuak esnea;\narreta kalitatea esnekiak;\nedan gutxienez 3 aldiz, egun bat, eta gero nahastu zaporea, apur bat gehitu koilarakada ezti;\ngehitu 60-70 g esnea Kopa bat brewed tea.\nKontuz ibili, zeren batzuek alergia esnea eta ez dira arazoak urdaileko.\nHauts da grayish-kolore horia da lortutako aqueous-alkoholdunak erauzketa. Ondorioz, kontzentratzeko bihurtu da, hauts bihurtu eta saldu kapsulak hartu dira 3 aldiz, egun bat pisua galtzen nahi eta lortu osasuntsuago. Da, horrek esan nahi du, besterik gabe, kapsula bat (400mg) dauka:\ngrinded tea hostoak 120 mg;\nhauts berdea tea atera - 160 mg;\nmicrocrystalline zelulosa, 100 mg.


Munduak pornografia maite du. Baita zuk ere – Kaixomaitia.eus | Bloga |Saltsa badago!\nMunduak pornografia maite du.Â Baita zukÂ ere\nEgunean, 40 milioi bisitekin, pornografia kontsumitzea egunerokotasuneko zerbait dela frogatu du PornHub-ek, Â bideo erotikoak eskaintzen dituen mundu mailako bigarren webgune bisitatuenak. Euskal Herrian, egunero 7.000 ordu pasatzen ditugu pornografÃa online ikusten, urtean 2.5 milioi ordutik gora!\nEl Confidencial egunkariak dioen bezala, orain dela gutxi arte oso zaila zen pornografiari eta joera sexualei buruzko ikerketa soziologiko sendo / zintzoak burutzea. Tabu-ak ziren horiek eta azterketen emaitzak ez ziren bat ere zehatzak, jendea ez bait zegoen prest euren intimitatearen alderdi horiÂ partekatzeko.\nInterneten hazkundearekin batera eta horrekÂ ematen duen (ustezko?) pribatutasunari esker, sexua edota harremanen inguruan eskuragarri dagoen informazioa asko hedatu da; fenomeno horren eta pornografia eskaintzen duten webguneen arrakastaren ondorioz,Â orain arteanÂ soziologoek jaso ezin zutenÂ informazio oso baliagarria biltzen ari dira.\nHorrela egin du hasieran aipaturiko PornHub-ek, zeinek mundu mailakoÂ joera pornografikoak aztertzen dituzten txostenakÂ zabaldu dituen, horienÂ artean, EspainiarÂ eta Frantziar estatuetakoak. Gainera, emakumearen nazioarteko hilabetea zela eta, Bustle aldizkariarekin elkarlanean, emakumezkoen interes eta jokaerak ere aztertu dituzte espreski.\nWebgune honen datuen arabera, guztira, 4.400 miloi bisita jaso zituen 2015.Â urtean, egunean 40 milioi bisita; horietakoÂ %24a emakumezkoenak. El Conficencial-en datuen arabera, atariak 5.000 terabyte transmititzen ditu egunero bideoetan, Blu Ray formatuan Â 200.000 pelikula adina (estimazioa da). Facebook-ek egunero 600Â terabyte erabiltzen ditu.\nBestetik, aipaturiko 4.400 milioi bisita horietatik %2a Estatu Espainiarretik datozela baieztatu dute. Horrek esan nahi du 800.000 pertsona sartzen direla egunero pornografia kontsumitzera, 192.000 emakumezko eta 608.000 gizonezko. Frantziar estatutik egindako bisita kopuru absolutoaren daturik ez dugu topatu.\nPornHub–eko bisiten rankingean Frantzia 5. postuan etaÂ EspainiaÂ 10.ean kokatzen dira.\nMundu mailan, Estatu Batuak, Britania Handia eta Kanada dira webguneaÂ gustokoenÂ duten lurraldeak (gehien bisitatzen dutenak); Frantzia eta Espainia ere mailaketa horretako postu altuenetan kokatzen dira, Â 5. eta 10. postuetan, urrenez urren.\nAstelehenetan, 21:00etatik 00:00etara:Â kanpaia eta tinbrea jotzeko* ordua!\nPornHub–en datuen arabera, bai Frantziar Estatuan, bai Estatu Espainiarrean ere astelehena omen da webgunea gehien bisitatzen den eguna, asteko lehenengo lanegunarekin bat eginez; asteburuetan, ordea, pornografiak ez du horrenbesteko arrakastarik (bi kasuetan larunbatetan jaisten da saio kopurua).\nHilabeteei dagokionez, maiatza da eskaera gehien dagoen hilabetea.Â Gutxiengoa, aldiz, abuztua da Estatu Espainiarraren kasuan eta azaroa Frantziararenean.\nOrdutegiari dagokionez, gauean pizten daÂ pornografiaren kontsumoa; 21:00etatik hasita 00:00-ak arte. Bitxia da, era berean, arratsaldeko 16:00etan jotzen duela gaina; PornHub-ek aipatu bezala, lanorduetanÂ sartzen direnakÂ dira horiek, agian, deskantsu edota distrakzio bila. Siesta orduaren falta somatzenÂ dutenek agian?\nAzpimarragarria, era berean, bai Estatu Espainiarrean, bai Frantziarrean ere, jai egunetan bisitak nabarmenki jaisten direla, batez ere, urte zaharra bezalako ospakizunetan. PornHub-en iritziz, Estatu Espainiarraren kasuan, joeraÂ hau (munduko beste lurraldeetan ematen ez dena) erlijioak duen indarraren eraginez gertatzen da, Espainiako urteko jai egun gehienak katolikoak bait dira.\nDatuen arabera, FrantziarrekÂ 9 minutukoÂ minutuko iraupeneko bisitak egiten dituzte PornHub webgunera; Espainiarrek, ordea, 8 minutukoak.Â Bestalde, Frantziarren 9 minutuko bisita horretan 8,5Â orrialde ikusten direla baieztatu dute; Espainiar Estatuaren kasuan, 7,2 orrialde, Irlandak bezala. Hortaz, esan daiteke, helburu zehatz batekin bisitatzen dela webgunea eta denbora motz horretan jendeak bideo bat baino gehiago ikusten dituela.\nEta Euskal HerrianÂ zer?\nPornHub-ek eskainitako ikerketak Estatu Espainiarreko datuak lurraldeka ere ezagutarazi ditu. Euskal Herriari dagokionez, EAE eta Nafarroako kontsumo datuak baditugu, baina, Iparraldekoak, zoritxarrez, ez daude eskuragarri.\nBataz beste, EAEn 07:55 minutuko bisitak egiten ditugu webgunera eta, guztira, 7,24 orrialde ikusten ditugu saioÂ bakoitzean. Nafarroaren kasuan, iraupena 8 minutukoa da eta 7,25 orrialde bisitatzen dira. Arestian aipatu datuak estrapolatuz, Euskal Herritik guztira 55.000 bisita jasoko lituzke webguneak, horietatik 40.000 gizonezkoek eginakÂ eta 15.000 emakumezkoekÂ ggb. Honek esan nahi du, egunean 7.000 ordutik gora pornografÃa kontsumitzen dugula Euskal Herrian, 2.5 milloi ordutik gora urtean!\nEmakumeek pornografia lesbikoa maite dute\nLehen aipaturiko BustleÂ atariak emakumearen pornografiaren kontsumoari buruz hitz egiten duÂ PornHub-ek egindako azterketan oinarrituta eta baieztatzen du egun emakumeek asko ikusten dituztela bideo erotikoak.\nAzterketa hori emakumezkoan bakarrik oinarriturik egin da eta ez normalean egiten den bezala, gizonezkoen ohiturekiko konparatuz, alegia. Izan ere, Bustle-ek dioen bezala, emakumezkoek joera propioak dituzte eta modu indibidualean aztertu beharra dago euren kontsumo mota.\nArestian esan bezala, pornografia atariaren eguneko bisiten %24a emakumeena da eta, bataz beste, saio bakoitzeko iraupena 10:33 minutukoa da. Filipinako erabiltzaileek pasatzen dute denbora gehien webgunean, 14:20 minutuko saioekin; Ukraniakoek, aldiz, denbora gutxien, 6:45 minutu.\nHitz gako bilatuenei dagokionez, hurrengo irudian ikus daitekeen bezala,Â Lesbian da mundu mailan (Frantzia eta Espainia barne) pornografia bilatzeko hitz erabiliena emakumeen artean; emakumeek pornografia lesbikoa maite dute, Bustlek dioen bezela.\nGainontzeko lurraldeetan, Errusian, adibidez, AnalÂ terminoa da arrakastatsuena,Â Ebony Afrikan eta Afganistanen, Txinak edota MongoliakÂ Hentai nahiago duten bitartean.\nGainera, azken datuak osatzeko, kategoria bisitatuenak aztertu dituzte eta euren arrakasta lurraldeen arteanÂ konparatu. Adibidez,Â mature kategoria arrakastatsuagoa da Espainiarren (%297+) eta Frantziarren (%91+) artean batazbestekoarekiko (Honek ez du esan nahi termino hauek bilatuenak direnik, baizik eta beste herriekin konparatuz proportzioan zenbat gehiago bilatzen diren). Hemen konparatiba guztiak:\nPrimizia: Kaixomaitia.eus-eko #KM_Sexuinkesta-ren arabera…\n#KM_Sexuinkesta gogoratzen duzu? Bai, emaitzak laster jarriko ditugu eskuragarri, datuen azterketa eta ustiaketarekin ari gara lanean. Baina, pornografia gaia gora eta behera gabiltzala…. zuen erantzunetatik tira egitea erabaki dugu eta hara zer topatu dugun!: %60,6ak pornografia kontsumitu duela aitortzen du (Inkesta erantzun dutenenÂ artean, datu gordinak, estrapolatu gabeak.)\nZalantzarik gabeÂ porn is in the air,Â Euskal Herrian ere. HemenÂ #KM_Sexuinkesta-ren emaitzen aurrerapen bat:\n* Tinbrea jo: Xabier Mendiguren (@xme64)Â lagunari galdetu genion “kanpaia jo” esamoldea emakumezkoen kasuan nola esaten den, emakumezkoaren masturbatze ekintzari alegia, berak “tinbrea jo” proposatu zigun eta Twitterren eztabaida sortu zen…\nEta zuk, nola bizi duzu pornografia? Uste al duzu gizartean normalizatua dagoen zerbait dela? Alde positibo edota negatiborik? Gustoko duzu?Â Nola esaten diozu emakumezkoaren maturbazio ekintzari?\nEAE Erreportaia estatistikak Euskadi Euskal Herria Grafikak harremanak ikerketa Iparralde Kaixomaitia kanpaia jo KM_Sexuinkesta masturbazioa Mundua Nafarroa online PornHub Pornografia sexua Soziologia tinbrea jo txipiroia garbitu


Ana Oregi alkateordeak eta Ingurugiro Gaietarako Ikastegiko arduraduna « Prentsa oharrak\nGasteizek azaldu du zertan den hiri-plangintza berrian genero-ikuspegia sartzeko bere eredua\nKategoriak: Prentsa oharrak — Etiketak: Ana Oregi alkateordeak eta Ingurugiro Gaietarako Ikastegiko arduraduna, Hiri Antolamenduko Plan Orokorra — Komunikazio Zerbitzua / Servicio de Comunicación — 29 apirila 2021 13:34\nGaur, Ana Oregi alkateordeak parte hartu du “Ciudades Sostenibles, un reto para el liderazgo femenino en demanda de instituciones sólidas” topaketan, zeina Pontevedrako Diputazioak antolatu baitu.\nGaur, alkateorde eta Lurraldea eta Klimaren aldeko Ekintza Saileko zinegotzi Ana Oregik azaldu du zertan den Gasteizko udalerriko hiri- eta lurralde-estrategietan genero-ikuspegia sartzeko eredua, “La Agenda 2030 y el papel de las mujeres en la administración pública del futuro” izeneko jardunaldien esparruan. Zehazki, “Ciudades sostenibles: un reto para el liderazgo femenino en el mundo local en la procura de instituciones sólidas” topaketan, zeina Pontevedrako Diputazioak antolatu baitu.\nAna Oregik azaldu du zer lan egin den Hiri Antolamenduko Plan Orokor berriaren aurrerapenarekin batera. Horretan, aztertu da HAPOren zein proposamen eta ekintza diren berdintasunaren aldeko eta esplizitatu eta aintzatetsi beharrekoak; genero-ikuspuntutiko hobekuntzak jaso ditu aurrerapeneko neurri eta konponbideetarako; jasota ez zeuden eta txertatu beharko liratekeen proposamenak eta ideiak proposatzen ditu; plangintzaren osagarri diren politikak identifikatzen ditu, eta beste hiri batzuetako adibideak aztertzen ditu. Lan hori guztia “Hiri Antolaketarako Plan Orokor berrian genero-ikuspegia sartzea” dokumentuan jaso da, eta hura orain batzorde txostengilea berrikusten ari den plangintzaren dokumentazioaren eta izapidetzearen parte dira.\n“Gasteiz bizitzeko hiri eroso eta erraza izan da, berdinzale samarra, eta gizarte-laguntza sendoak eta zerbitzu eta ekipamendu onak zituen, baina eredu hori aldatu da, edo zenbait joerak gainditu dute. Horietako batzuk espontaneoak dira; beste batzuk, berriz, kohesio hura hautsi duten erabaki publikoen ondorio dira: hiri berria pribatizatuagoa da, lurraldean zabalagoa, gizarte-taldetan eta auzotan zatituagoa, eta bidea eskatzen duten eragile berriak ere baditu: gazteak, etorkinak, emakumeak, adineko pertsonak, dibertsitate funtzionala duten pertsonak, LGTB+ biztanleria… eta horiek guztiek auzitan jartzen dute aurreko eredua hain kohesionatu eta bidezkoa zenik. Funtsezko deritzogun dilema honen aurrean, genero-ikuspegia interesgarria da haren muin-muinean baitago: galdetzen du nola eskaini segurtasuna eta berdintasuna biztanle guztiei gero eta banakakoagoa den gizarte batean taldeen eta gizabanakoen ezberdintasuna eta emantzipazioa sakrifikatu gabe”, azaldu du Ana Oregik.\nIldo horretan, alkateordeak nabarmendu duenez, dokumentuan “ongizatearen kontzeptu berri bat eskatu, eta proposatzen da: gizarte-taldeen artean ondasunak eta zerbitzuak banatu ez ezik, hura egiteko orduan, pertsona gehiagoren hautatzeko eta asebetetzeko aukerak handitu daitezen moduan egitea. Hala, etxebizitza-politika ez da izango etxebizitzak arrazoizko prezioan eskaintze hutsa, baizik eta, horretaz gain, tipologia-, erabilera-, jabetza- eta sarbide-aniztasuneko baldintzetan eskaintzea, oraindik ezagutzen ez ditugun beste bizikidetza- eta familia-era batzuk posible izan daitezen. Eta, gainera, kontuan hartuko da zer eragin izango duten auzoen konplexutasunean eta errenten eta adinen nahasketan, eta saihestuko da eremu batzuk hobetzeak beste eremu batzuk hustea ekartzea, eta abar. Gauza bera esan liteke mugikortasunari, espazio publikoari, ekologiari eta ekonomiari buruz: kontua ez da esparru neutral edo huts bat eskaintzea, baizik eta taldeen eta lurraldeen arteko oinarrizko berdintasunari eutsiko dion, baina aldi berean barne-bereizketa eta asmaketa sozialeko ahalmena sustatuko dituen asmo handiko proposamen bat egitea”.\n“Plan Orokor batek ilusioa pizten duen etorkizunerako proiektua behar du izan, eta askotariko itxaropen eta interesak batu, irudi komun baten inguruan. HAPOa ez dokumentu “tekniko” hutsa; aitzitik, hiriaren eredu baterako proposamen politiko baten isla teknikoa da. Generotiko ikuspuntua aplikatzean, ezinbesteko irizten diogu lehentasunak eta hiri-ereduaren helburuak aldatzeari, eta hori, izan ere, inplizitu dago plangintza berriaren proposamenean”, amaitu du Ana Oregik.\n“Hiri Antolaketarako Plan Orokor berrian genero-ikuspegia sartzea”\nKategoriak: Prentsa oharrak — Etiketak: Ana Oregi alkateordeak eta Ingurugiro Gaietarako Ikastegiko arduraduna, ICLEIko batzorde betearazlea, Iraunkortasunaren aldeko Gobernu Lokalen Mundu-biltzarra — Komunikazio Zerbitzua / Servicio de Comunicación — 14 apirila 2021 13:23


Internet bidezko hipotekak | Consumer\nInternet bidezko hipotekak\nInternet bidezko hipoteka-maileguen kontratazioak, erosotasunaz eta azkartasunaz gain, banketxeek ematen dituzten maileguen antzeko baldintza ekonomikoak ditu, eta batzuetan hobeak ere bai.\nGaur egun, banku guztiek eskaintzen dituzte beren produktu gehienak Internet bidez, hipotekak barne. Baina badira Sarearen bidez soilik aurkezten diren eskaintzak, etxetik atera gabe nabigatzen eta kudeaketak egiten ohituta dauden pertsonentzat.\nOrdenagailuaren terminaletik horrelako produktuak kontratatzeko, urrats hauek egin behar dira:\n– Mailegu-eskaera: Bulego batean bezala, mailegua kontratatzeko interesa dutenek erakundearen eskaera-inprimakian jasoko dituzte hipotekatuko duten etxebizitzaren eta datu pertsonalak, eskatzen duten maileguaren zenbatekoa eta epea, bai eta haien diru-sarreren eta ondarearen datuak ere.\nDatuak sartu ondoren, sistema informatikoak baldintzak betetzen dituzten ala ez aztertuko du, eta bi egunetan interesdunek erantzuna jasoko dute, finantza-erakundeak emandako posta elektronikoko mezu baten bidez, edo hark komertzial bati bidaliko dio.\nEgia da Interneten ez dagoela sukurtsal batean egon daitekeen malgutasunik, non eskatzaileak baldintza jakin bat betetzen ez badu, baliteke mailegua ematea beste baldintza batzuk aise gainditzen baditu. Badira, halaber, Sarearen bidez kreditua soilik ematen duten erakundeak, baldin eta eskatzailea sinadura horren bezeroa bada; beste batzuetan, berriz, kreditua telefonoz eskatzen da, eta hainbat formulario jaso ondoren, faxez edo erakundearen beraren mezulari bidez bidaliko dira, bezeroari kosturik gabe.\n– Egiaztapena: Dokumentazioa zuzena bada, eskatzaileak betetako dokumentazioa egiaztatuko du sukurtsalak. Urratsak bulegoetan kontratatutako maileguen antzekoak dira. Higiezinaren tasazioari eta sortzen dituen gastuei aurre egiteko funtsen hornidura eskatuko dute. Horren ondoren, bidezkoa da eskaintza loteslea eta kontua irekitzeko betebeharra igortzea.\n-Maileguaren eskrituren sinadura: Normalean, kreditu-erakundeak izendatuko du notarioa bezeroaren bizileku-eremuan.\nAzken finean, horrelako maileguak kontratatzea erosoagoa da, batez ere eremu jendegabeetan bizi diren eta banku-eskaintza txikia duten pertsonentzat. Kostuak eta izapidetze-denbora sukurtsalean egindakoen antzekoak dira.\nekonomia hipoteca-eu Internet-eu


Buru Osasunaren Nazioarteko Egunak suizidioaren prebentzioa izango du ardatz | AGIFES\nBuru Osasunaren Nazioarteko Egunak suizidioaren prebentzioa izango du ardatz\nBuru nahasmendua duten pertsonen eskubideak aldarrikatzeko helburua duen Buru Osasunaren Nazioarteko Egunean, urriaren 10ean, suizidioaren prebentzioa eta dolua izango dira ardatz. ‘Bizitzarekin bat egin’ lelopean, errealitate horien inguruan sentsibilizatzeko ekintzak burutuko dira Gipuzkoan, Euskadin eta Estatu osoan, senideak eta buruko osasun arazoak dituzten pertsonak bateratzen dituzten elkarteen eskutik.\nMunduko Osasun Elkartearen datuen arabera, urtean 800.000 pertsonek baina gehiagok egiten dute bere buruaz beste; 40 segundoro, pertsona batek. Datu larriak dira, eta azken 60 urteotan, %50 hazi da kopurua. Gainera, 2020. urtean milioi eta erdira heltzeko aurreikuspena dago.\nEspainian, heriotza ez naturalaren lehen eragilea da suizidioa: egunean 10 pertsonak egiten du bere buruaz beste. Euskadin, aldiz, 2017. urtean 187 buru-hiltze egon ziren. Horrek esan nahi du bi egunetik behin pertsona bat suizidatzen dela. Agerikoa da suizidioaren eta buru osasun arazoen arteko erlazioa eta, hortaz, buru osasun arazoak dituzten pertsonen eta senideen kolektiboak egoera horri aurre egiteko neurri eraginkorren aldarrikapena egin du. Izan ere, estimatzen da suizidio kasuen %90ean buru osasun arazoak zeudela tarteko; eta horien artean, %70k ez zuela buru gaixotasun historiarik.\nUrriaren 10ean, Fedeafesek, buru osasunaren aldeko euskal elkarteak batzen dituen federazioak, ekitaldi instituzional eta aldarrikatzailea gauzatuko du Laudion, ordezkari politikoen eta elkarteetako kideen parte hartzearekin.\nBuru Osasunaren Nazioarteko Egunaren harira, Agifesek hainbat jarduera antolatu ditu, osasun mentaleko arazoak ikusarazi eta depresioaren eta suizidioaren inguruko sentsibilizazioa lantzeko xedez.\nPasa den irailaren 24an, doako zineforuma izan zen Arrasaten. Bertaratutakoek ‘Gente Corriente’ pelikula ikusteko aukera eduki zuten, baita psikologo batek zuzendutako mahai-inguru batean parte hartzeko ere. Dolua, sufrimendu psikologikoa eta buru-hiltzearen saiakera izan ziren landutako gaiak.\nDatorren astelehenean, urriak 14, aldiz, Donostiako Koldo Mitxelena Kultur Etxeko areto nagusian, Ados Teatroa konpainiaren eta Acrónica Producciones-en ‘Que nadie camine por mi mente con los pies sucios’ antzezlana proiektatuko da. Antzezlan horretan buru osasun arazoak dituzten aktoreek hartu dute parte. Proiekzioaz gain, hainbat aktore eta talde artistikoko kide protagonista izango dituen mahai-ingurua ere egingo da. Sarrera librea izango da aretoa bete arte.\nAzkenik, depresioaren inguruko bigarren jardunaldia urriaren 28an eta 30ean izango da Donostiako Udaletxean. Bertan, profesionalen eta sufrimendu psikikoa pairatu duten pertsonen testigantzak eskainiko dira. Nahiz eta sarrera doakoa izan, aurre inskripzioa egitea gomendatzen da.