MATEMATICA FINANCEIRA PARA ADMINISTRAÇÃO - PDF\nDownload "MATEMATICA FINANCEIRA PARA ADMINISTRAÇÃO"\nCássio Gorjão Fidalgo\n1 1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF: EDUARDO PICANÇO, D.Sc. MATEMATICA FINANCEIRA PARA ADMINISTRAÇÃO Autores: Eduardo Picanço Guilherme Guimaraes Haroldo Belo Luiz coelho NITERÓI\n2 2 Aula 1 - PORCENTAGEM Objetivos: Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: - Relembrar os conceitos de razão centesimal, porcentual, unitária. - Rever os conceitos envolvidos no cálculo da porcentagem. - Entender e resolver os problemas propostos. Introdução Ao entrar em um shopping center, somos bombardeados com informações do tipo: Além disso, nos telejornais diários também escutamos informações do tipo: - As mulheres constituem cerca de 53% da população brasileira; - A alta dos preços no mês de Janeiro foi de 2,5%; - O dólar baixou no mês de Janeiro cerca de 1,5%. Essas expressões envolvem uma razão especial chamada PORCENTAGEM, assunto que passaremos a estudar agora. Esse tema é usualmente encontrado nas questões de concurso público brasileiro, pois envolve fórmulas de simples resolução com questões que, quando bem elaboradas, dão trabalho ao candidato. POR ISSO, SE ESFORCE NESSA ETAPA. Razão centesimal Definição 1.1 Chamamos de razão centesimal a toda razão cujo conseqüente (denominador) seja igual a 100. Exemplos: 37 em cada 100\n3 3 19 em cada 100 Diversas outras razões não centesimais podem ser facilmente reescritas na forma centesimal. Exemplos: 3 em cada 10 = 30 em cada em cada 5 = 40 em cada em cada 4 = 25 em cada 100 Você certamente já deve ter ouvido falar dos outros nomes usados para uma razão centesimal, tais como: razão porcentual, índice ou taxa porcentual e percentil. Forma porcentual Uma razão centesimal pode ser indicada na forma porcentual, anotando-se o antecedente (numerador) da razão centesimal seguido do símbolo % (lê-se por cento). Exemplos: =12% (doze por cento) =3% (três por cento) Forma unitária Além da forma porcentual, existe uma outra forma de expressarmos uma razão a qual chamamos de forma unitária. p A forma unitária da razão é o número decimal que obtemos dividindo o valor p por\n4 4 23%=, =0,23= 6%=, =0,06= 133%=, =1,33= 0,5%=,, =0,005= Percentagem Definição 1.2 Dados dois números quaisquer, A e B, dizemos que A é igual a p % de B quando o valor A for igual a do valor B, ou seja, A é p % de B A = x B. B é a referência do cálculo percentual. Dizemos, então, que A é uma porcentagem do número B. Obs.: Todo problema de porcentagem depende, basicamente, de determinarmos um dos valores dados na expressão acima, A, B, ou p em função dos outros dois. É comum encontrarmos as expressões: lucro, rendimento, desconto, abatimento, prejuízo, etc. indicando uma porcentagem em situações específicas e a expressão principal indicando o valor de referência que corresponde a 100 %. Exemplos: 1) Calcular 20 % de 250. Solução: x 250 = 50 ou 0,20 x 250 = 50 Resposta: 20 % de 250 é 50 2) 30 é igual a 20 % de quanto? 30 Solução: 30 = p 0,20 p = = 150 0,20 Resposta: 150 3) 21 representam quanto por cento de 15? Solução: Da definição de porcentagem temos que: x é x % de = 15 x = = Resposta: 140 %\n5 5 Aumentos e reduções porcentuais Quando queremos calcular um aumento ou uma redução de p % sobre determinado valor, normalmente somos levados a calcular o resultado em duas etapas: lª - calculamos a porcentagem p % do valor dado: 2ª - adicionamos ou subtrairmos do valor original a porcentagem encontrada, para obter, respectivamente, o valor aumentado ou reduzido em p % do valor dado, conforme o caso desejado. Usando a forma unitária, poderemos calcular aumentos e reduções porcentuais de modo mais rápido, da seguinte forma: I - Para calcular um aumento de p % : Quando aumentamos em p % um valor V, ficamos com ( p)% de V. Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de ( p)% para termos o resultado desejado. A forma unitária de ( p)% é chamada de fator de correção. Exemplos: 1) Aumentar o valor 230 em 30 %. Solução: % = 130 % = = 1,30 (fator de correção) 100 ( 30) 230 x 1,30 = 299 Resposta: 299 2) Aumentar o valor 400 em 3,4 %. 103, % = 103,4 % = = 1,034 portanto, 400 x 1,034 = 413, Solução: ( 3,4) Resposta: 413,60 II Para calcular uma redução de p% Quando reduzimos em p % um valor V, ficamos com ( 100 p)% de V.\n6 6 Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de ( p) resultado desejado. 100 % para termos o Exemplos: 1) Reduzir o valor 300 em 30 %. Solução: x 0,70 = ( ) % = 70 % = = 0,70 Resposta: 210 2) Reduzir o valor 400 em 2,5 %. Solução: 97,5 400 x 0,975 = ( 100 2,5) % = 97,5 = = 0, 975 Resposta: 390 Aumentos e reduções porcentuais sucessivos I Aumentos sucessivos: Para aumentarmos um valor V sucessivamente em p 1 %, p 2 %,..., p n %, de tal forma que cada um dos aumentos, a partir do segundo, incida sobre o resultado do aumento anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de ( p 1 ) %, ( p 2 ) %,..., ( p n ) %. Exemplos: 1) Aumentar o valor sucessivamente em 10 %, 20 % e 30 % Solução: x 1,10 x 1,20 x 1,30 = Resposta: ) Se o valor sofrer três aumentos sucessivos de 5%, qual o valor resultante? Solução: x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 4.630,50 Resposta: R$ 4.630,50 II Reduções sucessivas\n7 7 Para reduzirmos um valor V sucessivamente em p 1 %, p 2 %,..., p n %, de tal forma que cada uma das reduções, a partir do segunda, incida sobre o resultado da redução anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de ( 100 p 1 ) %, ( 100 p 2 ) %,..., ( 100 p n ) %. Exemplos: 1) Reduzir o valor sucessivamente em 10%, 20% e 30%. Solução: x 0,90 x 0,80 x 0,70 = Resposta: ) Se o valor sofrer três reduções sucessivas de 5%, qual será o valor resultante? Solução: x 0,95 x 0,95 x 0,95 = 3.429,50 Resposta: 3.429,50 Exemplo 1.1: 1) Multiplicar o preço de uma mercadoria por 1,0428 equivale a dar-lhe um aumento de quantos por cento? Solução: 104,28 1,0428 = = 104,28 % = ( ,28)% 100 Resposta: 4,28 % 2) A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$ 26,00 e trazia a seguinte observação: Não incluímos os 10 % de serviço. Quanto representa, em dinheiro, os 10 % de serviço e quanto fica o total da despesa se nela incluirmos a porcentagem referente ao serviço? Solução: Serviço: 10 % de 26,00,isto é, 0,10 x 26,00 = 2,60. Total da despesa: 26,00 + 2,60 = 28,60 ou 26,00 x 1,1 = 28,60. Resposta: R$ 28,60 3) Numa pequena agência bancária, 32 % dos clientes são pessoas jurídicas e os outros são pessoas físicas. Quantos clientes, ao todo, têm esta agência?\n8 8 Solução: O total de clientes corresponde a 100 %. ( ) % = 68 % corresponde então ao porcentual de pessoas físicas, portanto corresponde então a 68 % do total, logo o total de clientes será dado por: x 100 = Resposta: clientes. 4) O preço de um produto A é 30 % maior que o de B e o preço deste é 20 % menor que o de C. Sabe-se que A, B e C custaram juntos, R$ 28,40. Qual o preço de cada um deles? Solução: Representaremos os preços de A, B e C por que: a = 1,3b b = 0,8c Logo, a = 1,3 x 0,8c, ou seja a = 1,04c. a,b Como a + b + c = 28,40, temos que: 1,04c + 0,8c + c = 28,40 Assim: 2,84c = 28,40 e, portanto, c = 28,40 2,84 e c respectivamente, portanto tem-se c = 10,00 e daí, a = 1,04 x 10,00 = 10,40 e b = 0,8 x 10,00 = 8,00 Resposta: A custa R$ 10,40, B custa R$ 8,00 e C custa R$ 10,00. 5) Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20 % sobre a venda. Qual o preço de venda desta mercadoria se o seu preço de custo foi de R$ 160,00? Solução: O termo sobre a venda, indica que o valor de referência (principal) deverá ser o preço de venda, portanto devemos fazer este preço corresponder a 100 %. Temos então que o preço de custo corresponde a ( ) % = 0,80 ou 80% do preço de venda, ou seja, 0,80 correspondem a 160,00 e daí o preço de venda será dado por 160,00 x 100 = 200, Resposta: R$ 200,00\n9 9 Resumo Você reviu os conceitos de razão centesimal, razão porcentual e razão unitária; os conceitos envolvendo o cálculo de porcentagem. EXERCÍCIO l) Expresse a fração, em porcentagem. 125 Resp. : 24,8 % 2) Vidal investiu 30 % do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de renda fixa. Após um mês, as quotas dos fundos de ações e de renda fixa haviam se valorizado 8 % e 2,40 %, respectivamente. Qual foi a rentabilidade do capital de Vidal nesse mês? Resp. : 4,08 % 3) Um lucro de 25 % sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quanto por cento se for calculado sobre o preço de venda? Resp. : 20 % 4) Um prejuízo de 50 % sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quantos por cento se for calculado sobre o preço de venda? Resp. : 100 % 5) Se um produto que custa R$ 40,00 tiver seu preço reajustado sucessivamente em 5 % e 10 %, qual será o seu preço final? Resp. : R$ 46,20 6) Se dermos dois descontos sucessivos, um de 5 % e outro de 10 %, a uma mercadoria que tem preço inicial de R$ 40,00, qual será o seu preço final? Resp. : R$ 34,20 7) Antonio ganha 30 % as mais que Beatriz e Carlos 20 % a menos que Antonio. Se a diferença entre os salários de Antonio e de Carlos é de R$ 130,00, qual é o salário de Beatriz? Resp. : R$ 500,00 8) O salário de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3 % sobre o total de vendas que exceder a R$ ,00. Estima-se\n10 10 em 10 % o porcentual de descontos diversos que incidem sobre o salário bruto. Em determinado mês o vendedor recebeu líquido, o valor de R$ 4.500,00. Quanto ele vendeu nesse mês? Resp. : R$ ,00 9) Comprei numa promoção uma calça e uma camisa. Após o término da promoção, a calça ficou 20 % mais cara e a camisa, 10 % mais cara. Se comprasse as mesmas duas peças pagando esses novos preços, eu gastaria 16 % a mais. Quanto me custou a mais a calça em relação à camisa? Resp. : 50 % 10) Um certo produto podia ser comprado há alguns meses por 20 % do seu valor atual. Qual a porcentagem de aumento sofrido pelo produto neste mesmo período? Resp. : 400 % 11) Se os preços sobem 25 % ao mês e o seu salário não se altera, em quanto diminui por mês o seu poder de compra? Resp. :20 % 12) Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50 % sobre os salários de abril, descontadas as antecipações. Sabendo-se que ela havia recebido em maio uma antecipação de 20 %, qual do aumento obtido em junho, sobre os salários de maio? Resp. : 25 % 13) Suponha que em certo bimestre a inflação foi de 5 % e 4 % ao mês, respectivamente. Qual a inflação acumulada nesse bimestre? Resp. : 9,2 % 14) Humberto, dispondo de certo capital, fez as seguintes aplicações em um trimestre: I - aplicou 20 % do capital em letra de câmbio; nesta aplicação lucrou 30 %; II - aplicou 5 2 do capital em fundo de investimento; nesta aplicação perdeu 25 %; III - aplicou o restante do capital em caderneta de poupança e seu lucro nessa aplicação foi de 10%. O que se pode dizer relativamente ao total aplicado. Houve lucro? Houve prejuízo? De quanto? Resp. : não houve lucro e nem prejuízo 15) O preço de um produto sofreu uma redução de 20 %. Algum tempo depois, ele sofreu um aumento de 20 % e, mais tarde, um novo aumento de 50 %.Se o\n11 11 comerciante deseja retornar ao preço inicial, qual o percentual de desconto a ser aplicado sobre este último preço? Resp. : 30,55 % Auto-avaliação Você resolveu todos os exercícios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, então você entendeu os conceitos envolvendo a porcentagem. Se não conseguiu, não desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos antes de começar a aula 2, procure dirimir suas dúvidas com os colegas do pólo e também com os tutores.\n12 12 Aula 2 JUROS SIMPLES Objetivos Ao final desse capítulo, você será capaz de: - Conhecer e entender o valor do dinheiro no tempo; - Conhecer e entender os termos utilizados na administração financeira; - Saber calcular as variáveis que envolvem as questões de juros simples. Introdução Imagine você estar vivendo em tempos antigos e ser o melhor artesão da cidade a fazer, por exemplo, blusas. Imagine que seus vizinhos, também artesãos, são os melhores em produzir outros bens tais como bolos, maçãs, etc. Ao se propor uma festa na cidade, certamente que cada um se aprontaria para oferecer de si o que tem de melhor. E qual o fato gerado nesses encontros que interessa ao nosso estudo? A DEMANDA. É ela que movimenta o comércio até hoje. Vamos pensar que essa demanda leva as pessoas a um espaço comum para trocar suas mercadorias. PERGUNTA-SE: Como colocar preço entre elas? Como criar uma tabela com todas as possíveis trocas? Produto A Por Produto B Troca 1 Maças Blusa Troca 2 Maças Bolo Troca 3 Maças Calça Troca 4 Maças Ovos Troca 5 Blusa Bolo Troca 6 Blusa Calça Troca 7 Blusa Ovos Troca 8 Bolo Calça Troca 9 Bolo Ovos Troca 10 Calça Ovos Quantas linhas teria essa tabela de PREÇOS se tivéssemos 50 produtos? É fácil perceber que seria mais produtivo criar um meio de conversão, um fator, ou uma referência que pudesse ser ponte entre todos os produtos: A MOEDA!\n13 13 Vejamos como ficaria a tabela de preços agora: Produto Valor Maça 1 moeda Blusa 10 moedas Bolo 5 moedas Calça 15 moedas Ovo 8 moedas Certamente, com a moeda, é muito mais fácil de se estabelecer ordem entre as trocas, conforme verificado nas 2 tabelas anteriores. Sem aprofundar nos conceitos econômicos, o fato é que em determinado momento a moeda exerceu sua supremacia de ser o único bem que tem troca universal (ou seja, troca por todos os produtos). Isso se dá porque nem sempre alguém que tem um bem A quer trocar pelo B (exemplo: eu tenho bolo, mas posso não querer camisa. Porém, quem produziu a camisa pode querer o bolo), assim, se convertermos tudo para a moeda o sistema se torna mais fácil e ágil. Dessa forma, pode ser estabelecida uma curva de liquidez (termo que significa a capacidade do bem de ser vendido e voltar a ser moeda): Vocês já devem ter experimentado essa situação, ou apenas perceber que quanto mais a direita na curva, mais difícil é de se vender o produto, logo, costuma-se se dizer que ele tem menos liquidez. Por exemplo, uma fazenda estaria muito mais a direta na curva do que um carro, pois é muito mais difícil de se negociar. Como a moeda é o bem de maior liquidez no mercado, ela acaba por ser o bem mais DEMANDADO!\n14 14 E não foi tratando dessa palavra que começamos esse texto? Pois é, a demanda por moeda faz ela ter valor, tal qual os outros bens. Note o esquema abaixo: Onde: - M é a mercadoria original - M é a mercadoria que se pretende obter - $ é a moeda - $ significa mais moeda que a $ Interessante é perceber como a moeda, ao longo dos anos, substituiu os meios de produção. Dessa forma, podemos entender a variação do dinheiro no tempo como uma compensação: - Risco pelo desgaste: um dinheiro parado por muito tempo perde poder de compra. Ou seja, ele precisa ser reajustado para continuar em condições de comprar o mesmo número de bens que comprava antes; - Risco do não pagamento: todo dinheiro emprestado pode não ser pago, assim, é prudente e ao credor cobrar um prêmio por assumir esse risco. O prêmio a que nos referimos é o JURO. Estamos acostumados com a idéia de que o valor do dinheiro muda no tempo. Afinal, sempre ouvimos alguma coisa a respeito da inflação que come nosso poder de\n15 15 compra. Isso significa que, depois de algum tempo, a quantidade de bens e serviços que determinada soma em dinheiro pode comprar diminui. Outro exemplo é o caso das viagens internacionais, em alguns momentos elas estão mais baratas, em outras, mais caras. Dessa forma, achamos natural que ao pedir algum dinheiro emprestado teremos que, em algum momento, devolver a quantia integral acrescida de um determinado valor. Mas se não houvesse inflação ou variação cambial? Ainda assim ocorreria a mesma necessidade de ajustar o valor. Quem empresta dinheiro abre mão de algo: poderia consumir imediatamente ou obter uma renda, aplicando o recurso em algum investimento. Por isso, faz jus a uma compensação. Chamaremos de capital o valor que foi emprestado ou aplicado, e juros a remuneração devida pela utilização do capital. Finalmente, entendemos que a taxa de juros é a proporção entre os juros pagos e o capital. Regimes de capitalização O comportamento do capital no tempo depende do modo como foi aplicado, ou seja, do regime de capitalização. Podemos classificar os regimes de capitalização da seguinte forma: Capitalização Contínua Descontínua Simples Composta As modalidades de capitalização mais comuns são as descontínuas: simples e composta. Na primeira, apenas o capital inicial, também chamado principal, rende juros, independentemente do número de períodos da aplicação. Na segunda, os juros são capitalizados a cada período e passam a render juros nos períodos posteriores. Como se diz: juros sobre juros. Regime de capitalização simples É o processo de capitalização no qual ao final de cada período o juro é sempre calculado sobre o capital inicial, ou seja, em cada período o juro é obtido pelo produto do capital inicial pela taxa unitária. A tabela abaixo mostra a evolução de uma aplicação de $1.000,00 por cinco anos, a uma taxa de juro simples de 10% ao ano.\n16 16 Juros Simples Período Juros Montante , , , , , , , , ,00 O gráfico abaixo mostra com mais clareza essa evolução. Montante Conforme podemos observar na tabela e no gráfico, o montante em juros simples cresce linearmente, de acordo com uma progressão aritmética cuja razão é igual ao valor dos juros, isto é, $ 100,00. Notações úteis A seguir veremos uma série de letras e símbolos comuns na matemática financeira, tais como: J Valor Pecuniário Juros (ex: $300,00) C Capital, Principal ou Capital inicial (na calculadora HP12c é PV) S - Montante (na calculadora HP12c é FV) n - Número de períodos i-taxa de juros no formato unitário ( 10% 0,1) R Prestação, Parcela ou Renda\n17 17 O período de capitalização é o prazo ao fim do qual os juros são calculados. No que se refere à periodização, representamos: a.a - ao ano; a.t - ao trimestre; a.d - ao dia; a.s - ao semestre; a.b - ao bimestre; a.q - ao quadrimestre; a.m - ao mês. O diagrama de fluxo de caixa é uma ferramenta importante para facilitar a compreensão de elementos da matemática financeira. Usualmente, as transações financeiras são representadas por diagramas, conforme o seguinte gráfico: Utilizando um diagrama de fluxo de caixa, podemos, por exemplo, representar da seguinte maneira a operação de compra de um bem no valor de $1000, para pagamento, com juros e sem entrada, em quatro prestações mensais de $ 300: Fórmula geral para juros simples Voltando a tabela anterior:\n18 18 Juros Simples Período Montante Juros Fórmula para calcular os juros , ,00 100,00 C.i 1000 x 0,1 = ,00 100,00 C.i 1000 x 0,1 = ,00 100,00 C.i 1000 x 0,1 = ,00 100,00 C.i 1000 x 0,1 = 100 TOTAL 1400,00 400,00 C.i.n 1000 x 0,1 x 4 = 400 Note que a taxa de juros (10% ou 0,1) sempre incide sobre o Capital Inicial (1000). ESSE QUE É O CONCEITO DA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES! Dessa forma, pode-se extrair a 1ª fórmula importante, a do juro total: J = C x i x n (tal qual a última linha da tabela) Ou somente J = Cin Vejamos o seguinte exemplo: - $100,00 aplicados por 5 meses a uma taxa de 10% am: Juro total J = Cin J = 100 x 0,1 x 5 = 50 Chamaremos de Montante (S) o valor obtido através do somatório entre o capital inicial e o juro gerado, assim: Chegando ao Montante (S) S = C + J S = = 150 Como J = Cin, outra maneira de se expressar o montante é: Chegando ao Montante (S), substituindo a 2ª parcela S = C + Cin S = (100 x 0,1 x 5) = = 150 Simplificando a fórmula anterior, chegamos a seguinte expressão: Fórmula Geral Colocando C em evidência na fórmula anterior S = C (1 + in) S = 100 (1 + 0,1 x 5) = 100 x 1,5 = 150\n19 19 Nos textos específicos de finanças, bem como na calculadora financeira HP12c, as variáveis S e C são descritas como FV (future value valor futuro) e PV (present value valor presente), respectivamente. Assim, a fórmula geral seria: FV = PV (1 + in) Exemplo 2.1: Existem basicamente quatro tipos de exercícios clássicos de juros simples: 1) QUERO O MONTANTE (VALOR FUTURO): Qual o montante gerado por um capital de $2000 que rende 3%am por 4 meses? Solução: S = 2000 (1 + 0,03 x 4) = ) QUERO O CAPITAL (VALOR PRESENTE): Qual o capital que gera $2240 se aplicado a 3%am por 4 meses? Solução: 2240 = C (1 + 0,03 x 4) C =, = ) QUERO O PRAZO: Em quanto tempo um capital de $2000 gera um montante de $2240 se ele rende 3%am? Solução: 2240 = 2000 (1 + 0,03 x n) = 1 + 0,03n 1,12 1 = 0,03n n =,, = 4 4) QUERO A TAXA: Qual a rentabilidade de um capital de $2000 que gera um montante de $2240 em 4 meses? Solução: 2240 = 2000 (1 + i x 4) = 1 + 4i 1,12 1 = 4i i =, = 0,03\n20 20 DICA IMPORTANTE: como esses exercícios são razoavelmente simples, as bancas de concurso público optam por tentar esconder alguma informação e fazer com que você não saiba quais as variáveis que eles apresentam na questão e/ou quais eles pedem. VEJAMOS! 5) Três capitais são colocados a juro simples: o primeiro a 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceira a 20% a.a., durante 2 anos e 4 meses. Juntos renderam um juro de Cr$ ,80. Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de: Solução: J 1 +J 2 +J 3 = C 1 i n + C 2 i n + C 3 i n = 27591,80 Sabendo que C 2 = 2C 1 e que C 3 = 3C 2 Logo C 3 = 6C 1 Passando i (taxa de juros) p/ mês: 1ª (0,25/12 meses) = 0,02083 ao mês 2ª (0,24/12 meses) = 0,02 ao mês 3ª (0,20/12 meses) = 0,0167 ao mês C 1 x 0,02083 x 48 + C 2 x 0,02 x 42 + C 3 x 0,0167 x 28 = 27591,80 C 1 x 0,02083 x C 1 x 0,02 x C 1 x 0,0167 x 28 = 27591,80 C 1 + 1,68C 1 + 2,8C 1 = 27591,80 Logo C 1 = 5035 e C 3 = 5035 x 6 = Exercício 2.1: l) Um artigo de preço à vista igual a R$ 700,00 pode ser adquirido com entrada de 20 % mais um pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8 % ao mês, qual o valor do pagamento devido? Solução: valor a vista = 700,00; entrada : 20 % de 700,00 = 140,00; valor a financiar : 700,00 140,00 = 560,00. Logo, temos que: C = 560, 00, n = 45 dias = 1,5 meses e i = 8 % Portanto, = 560,00 ( 1+ 0,08 1,5) S = 627,20 ao mês. S. Resposta: 627,20\n21 21 OBSERVAÇAO: O valor a financiar, é sempre a diferença entre o valor à vista e a entrada. 2) Qual o juro de um capital de R$ ,00 que é aplicado por 8 meses à taxa de 3% ao mes? Solução: C = ,00, i = 3 % a.m. e n = 8 meses J = ,00 0,03 8 = 2400,00 Resposta: 2400,00 3) Um título de R$ 600,00, vencido em 10/04/1999, somente foi pago em 22/06/1999. Admitindo-se que o banco cobre juros simples de 1 % ao dia, calcule o montante desembolsado pelo devedor. Solução: C = 600,00; i = 1% a.d. ; n = 10/04 a 22/06 = 73 dias. S Portanto, = 600 ( 1+ 0,01x 73) = 600 1,73= 1038,00 Resposta: 1038,00 Observação: Quando vocês aprenderem a usar a calculadora HP12c, poderão usar uma função que calcula os dias corridos entre duas datas aguardem o próximo capítulo! 4) Uma loja vende um gravador por R$ 1.500,00 a vista. A prazo, venderia por R$ 1.800,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante após um ano. Qual é a taxa anual de juros cobrada? Solução: O valor a ser financiado é o valor à vista menos o que é dado de entrada, ou seja, 1.500,00-200,00= 1.300,00. O cliente se compromete a devolver em um ano 1.600,00, logo o montante é de 1.600,00, isto é, os juros são de 300,00 e o período é de um ano, temos então que: J = C x i x n 300, = 1300,00. i 1 i = = 0, 2307 ao ano ou 23,07 % ao ano 1300,00. Resposta: 23,07 % a.a. ou 0,2307 ao ano.\n22 22 Exercícios para se testar: 1. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? R: 1728,00 2. Calcule o juro simples do capital de R$ ,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. Observação: R: 4380,00 Quando vocês aprenderem a usar a calculadora HP12c, poderão usar uma função que calcula os dias corridos entre duas datas aguardem o próximo capítulo! 3. Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos? R: 40% aa 4. A que taxa o capital de R$ ,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? Respostas R: 0,75%am 5. Um vestido é vendido por R$ 250,00 ou então por R$ 80,00 de entrada, mais uma parcela de R$ 178,50 após 40 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Exercício problema: Esse exercício normalmente gera dúvida em sala de aula! Veja a explicação: Como o valor do bem é de $250, mas $80 é dado de entrada o PV = 170 R: 3,75% a.m. Como o FV é $178,5 e o n é 40 dias ou (40/30 dias = 1,33333 meses), tente fazer a questão! 6. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital de R$ 1.500,00 a uma taxa simples de 1,4 % ao dia para produzir um montante de R$ 1.710,00? R: 10 dias\n23 23 7. Um certo tipo de aplicação a juros simples duplica em dois meses. Em quanto tempo essa aplicação renderá 700 % de juros? R: 14 meses 8. Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicações no mercado financeiro. Para tanto, aplica 60 % do capital numa alternativa de investimento que paga 34,2 % ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias. A outra parte é aplicada em uma conta de poupança por 30 dias, sendo remunerada pela taxa de 3,1 % ao mês. O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge R$ 1.562,40. Pede-se calcular o valor de todo o capital investido. Resp. : ,90 9. Um empréstimo de R$ ,00 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linear de 7 % ao mês. Em determinado momento o devedor resgata este empréstimo e contrai outro no valor de R$ ,00 pagando 5 % de juros simples ao mês por certo prazo. Após dois anos de ter contraído o primeiro empréstimo, o devedor liquida sua divida remanescente. O total dos juros pagos nos dois empréstimos tomados atinge R$ ,00. Pede-se calcular os prazos referentes a cada um dos empréstimos. Resp. : 8,5 meses e 15,5 meses respectivamente. Auto-avaliação 1. Um investidor aplicou $1000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples. Mostrar o crescimento desse capital no final de cada mês, a contar da data da aplicação dos recursos, e informar o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 6º mês, após a efetivação do último depósito. R: Mês 0 Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 5 Mês\n24 24 Aula 3 JUROS COMPOSTOS Objetivos Ao final desse capítulo, você será capaz de: - Saber calcular as variáveis que envolvem as questões de juros compostos; - Conhecer e saber utilizar a calculadora financeira HP12c. Introdução Agora que já avançamos no regime de capitalização simples, temos que apresentar o sistema composto. Cabe aqui ressaltar uma contradição interessante: Regime simples Regime composto Vantagem Desvantagem Vantagem Desvantagem Mais fácil resolução Presença certa em concurso público Normalmente não aparece em concursos Mais difícil resolução Podemos notar que a vantagem de um regime é a desvantagem do outro. Como no Brasil é usado o regime composto, muitas vezes os alunos questionam: mas porque estudar o regime simples? Resposta: Porque você vai querer passa em uma prova de concurso público! Regime composto É o regime no qual ao final de cada período de capitalização, os juros calculados são incorporados ao montante e essa soma passa a render juros no período seguinte. Vejamos como ficaria a tabela da aula anterior: Juros Compostos Período Juros Montante , , , , , , , , ,10\n25 25 O gráfico abaixo mostra com mais clareza essa evolução Vamos agora comparar as tabelas dos regimes, simples e composto? Juros Simples Juros Compostos Período Juros Montante Juros Montante , , ,00 100, , , , ,00 110, , , ,00 121, , , ,00 133, ,10 O gráfico comparativo seria alguma coisa dessa forma: Conforme podemos observar na tabela e no gráfico, o montante em juros simples cresce linearmente, de acordo com uma progressão aritmética cuja razão é igual ao valor dos juros, isto é, $ 100,00. Já em juros compostos, o crescimento é exponencial, obedecendo\n26 26 a uma progressão geométrica de razão igual a 1 (um) mais a taxa da operação (Como sabemos, 10% é igual a 0,1. Logo, a razão é igual a 1,1). Observação importante: Normalmente os alunos acham que a capitalização composta gera montantes maiores que a capitalização simples. Porém, note no gráfico que, na data n=1, os dois regimes geram o mesmo montante. Além disso, para n<1, a capitalização simples gera montantes maiores que a composta. FAÇA O TESTE VOÇÊ MESMO! Fórmula geral para juros compostos A fórmula usada para o calculo do juro mensal é a conhecida J = Cin. Porém, como o n = 1, logo J = Ci. Para chegar a fórmula geral vamos gerar o montante, período a período: Vejamos o seguinte exemplo: - $100,00 aplicados por 5 meses a uma taxa de 10% am: Montante no 1º mês S 1 = C + J S 1 = = 110 S 1 = C + Ci S 1 = (100 x 0,1) = = 110 S 1 = C (1+ i) S 1 = 100 (1 + 0,1) = 100 x 1,1 = 110 Montante no 2º mês S 2 = S 1 + J 2 S 2 = (110 x 0,1) = = 121 Note que o valor utilizado para calcular o próximo juro não foi o capital inicial e sim o montante gerado após o 1º mês. ISSO É O JUROS SOBRE JUROS. Mais do que isso: O fato de o Juros incidir sobre o montante gerado é que caracteriza a CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA! Como J 2 = S 1 x i, logo: S 2 = S 1 + (S 1 x i) colocando S 1 em evidência, logo S 2 = S 1 x (1 + i) como S 1 = C (1+ i):\n27 27 S 2 = C (1+ i) x (1 + i), ou seja, S 2 = C (1+ i) 2 Como J 3 = S 2 x i, logo: Montante no 3º mês S 3 = S 2 + J 3 S 3 = (121 x 0,1) = = 133 S 3 = S 2 + (S 2 x i) colocando S 2 em evidência, logo S 3 = S 2 x (1 + i) como S 3 = C (1+ i) 2 S 3 = C (1+ i) 2 x (1 + i), ou seja, S 3 = C (1+ i) 3 Estou certo? R: SIM! ALTO LÁ! Estou percebendo algo! Se para o montante 1 S = C (1+ i) Se para o montante 2 S = C (1+ i) 2 Se para o montante 3 S = C (1+ i) Para o montante n S = C (1+ i) n Dessa forma, para calcularmos o montante após 5 meses? S = C (1+ i) 5 S = 100 (1+ 0,1) 5 S = 100 x 1,61051 = 161,051 Exercício 3.1: Existem basicamente quatro tipos de exercícios CLÁSSICOS de juros compostos:\n28 28 1) QUERO O MONTANTE (VALOR FUTURO): Qual o montante gerado por um capital de $2000 que rende 3%am por 4 meses? Solução: S = 2000 (1 + 0,03) 4 = 2251,017 2) QUERO O CAPITAL (VALOR PRESENTE): Qual o capital que gera $2251,017 se aplicado a 3%am por 4 meses? Solução: 2251,017 = C (1 + 0,03) 4 C =, = 2000, 3) QUERO O PRAZO: Em quanto tempo um capital de $2000 gera um montante de $2251,017 se ele rende 3%am? Solução: 2251,017 = 2000 (1 + 0,03) n, = 1 + 0,03 n 1, = 1,03 n 1,03 n = 1, Uma das opções para sair dessa expressão é partir para uma calculadora científica que tenha a função LOG. Isso porque log A B = B log A OU Ln A B = B Ln A. Assim: Ln 1,03 n = Ln 1,125509* (*essa resposta a máquina dá) n Ln 1,03* = 0, (*essa 2ª resposta a máquina também dá) n x 0, = 0, n =,, = 4 Obs: achou essa saída ruim? Prepare-se para a próxima! 4) QUERO A TAXA: Qual a rentabilidade de um capital de $2000 que gera um montante de $2251,017 em 4 meses? Solução: 2251,017 = 2000 (1 + i) 4, = (1 + i) 4\n29 29 1, = (1 + i) 4 1, ,03 = 1 + i = 1 + i i = 0,03 ou 3% Como nem toda máquina tem a função você só tem 2 opões: 1ª) Lembrar que = y 1/x 2ª) Ter uma calculadora financeira do tipo HP12c Calma! Não precisa fuçar os sites de cotação de preços para buscar a mais barata, você pode baixar um simulador na internet que tem em torno de 200Kb! Só isso mesmo! Na página você poderá baixar esse simulador. ALGUMAS INFORMAÇÕES SOBRE O MANUSEIO DA MÁQUINA! Para começar não se assuste com o fato de que a máquina NÃO tem sinal de = (igual), isso faz parte do processo de cálculo dela. O importante é decorar as funções e utilizar da melhor maneira. 1) Ligando e desligando: Na tecla ON. Muitos se perguntam: por que a máquina tem. (ponto) para separar o inteiro do decimal e, (virgula) para separar os milhares? Porque é assim que se escreve (formata) nos Estados Unidos da América. Para mudar ao modelo brasileiro basta manter apertada a tecla. quando você ligar a máquina.\n30 30 2) Acionando as funções coloridas: A calculadora possui funções escritas em amarelo e azul, para acioná-los basta apertar antes as teclas f e g, respectivamente. 3) Alterando as casas decimais: Basta apertar a tecla f e, em seguida, o número de casas desejada. Exemplo: para 2 casas digite f e 2. 4) Para limpar o que está no visor: Basta apertar a tecla clx. 4) Para limpar toda a memória da máquina: Basta apertar a tecla f e depois clx. Obs: esse procedimento é importante quando você estiver fazendo os cálculos financeiros. 5) Operações comuns: Para somar faça 2 ENTER 2 + vai aparecer no visor o resultado 4. Assim para todas as outras três operações. 6) Para função exponencial: Se você quiser resolver 5 3 faça o seguinte 5 ENTER 3 y x Se você quiser resolver 1,20, lembre-se que é o mesmo que 1,20 /, logo 1,20 ENTER 5 1/x y x Se você quiser resolver 1,20 / faça o seguinte 1,20 ENTER 3 ENTER 5 y x 7) Convenção linear e convenção exponencial: No Brasil utiliza-se a convenção exponencial, mas a HP12c não está configurada para isso. Assim, você deve ajustá-la: basta apertar STO e depois EEX. Vai aparecer a letra c no canto inferior do visor, isso significa que a convenção exponencial está ativada. Obs: Cuidado, se a convenção exponencial já estiver programada em sua HP12c, quando você fizer esse procedimento, estará voltando a convenção linear e o c sairá do visor.\n31 31 Para colocar novamente o c, refaça o procedimento. MAS AFINAL, O QUE É A CONVENÇÃO LINEAR E A CONVENÇÃO EXPONENCIAL? Quando fazemos cálculos, EM JUROS COMPOSTOS, com períodos (n) não inteiros, podemos contabilizar a fração (por exemplo: em 5 meses e 15 dias a fração seria apenas os 15 dias) através de juros simples ou compostos. Na CONVENÇÃO LINEAR a contabilização dos juros da fração (no exemplo, os 15 dias) se dá através de juros simples. Isto significa que, no exemplo de um n de 5 meses e 15 dias, para um capital de $100 e com uma taxa de 10% ao mês, cálculo seria: FV = 100 (1,1) 5 = 161,051 Assim, achamos o montante ao final de 5 meses. A próxima etapa envolve achar o montante após os 15 dias (a juros simples): FV = 161,051 (1+ 0,1 x 0,5), lembrando que 15 dias = 0,5 meses FV = 169,1036 Obs: Para ter a prova, faça o seguinte cálculo na HP12c SEM o c. 100 PV 5,5 n 10 i FV = 169,1036 Na CONVENÇÃO EXPONENCIAL a contabilização dos juros da fração (no exemplo, os 15 dias) TAMBÉM se dá através de juros compostos. Isto significa que, no exemplo de um n de 5 meses e 15 dias, para um capital de $100 e com uma taxa de 10% ao mês, cálculo seria: FV = 100 (1,1) 5,5 = 168,9117 Obs: Para ter a prova, faça o seguinte cálculo na HP12c COM o c. 100 PV 5,5 n 10 i FV = 168,9117\n32 32 8) Mudando o sinal: Para passar um número positivo para o negativo, ou o inverso. Basta digitar CHS. 9) Descobrindo quantidade de dias entre 2 datas: Quando você precisar dessa informação, primeiro tem que fazer 2 ajustes na maquina: - Colocar 6 casas decimais através das teclas f e 6. - Alterar o padrão de data para o modelo brasileiro (dia, mês e ano) através das teclas g e 5. Assim, aparecerá no canto inferior do visor da máquina o sinal: D.MY Exemplo: quantos dias existem entre as datas 15/01/1990 e 27/05/1990? Digite: 15, ENTER Como se fosse um número fracionário (não se esqueça da vírgula) 27, g DYS A resposta será: 132 dias Isso teria ajudado a resolver o exercício para se testar 2 dos juros simples. Para treinar, use como data inicial o dia do seu nascimento e como data final o dia de hoje. Descubra assim QUANTOS DIAS VOCÊ TEVE DE VIDA. Funções financeiras da HP12c Abaixo do visor você verá as teclas correspondentes as variáveis financeiras, para resolver os exercícios você deve inserir as variáveis que tem, digitando sempre em seguida a tecla a que elas correspondem e deixar para última a que você quer saber. Dessa forma, ao clicar sobre a ultima aparecerá no visor a resposta. VEJAMOS: Exercícios 3.2: Repetindo os exercícios 1) QUERO O MONTANTE (VALOR FUTURO): Qual o montante gerado por um capital de $2000 que rende 3%am por 4 meses? Solução: Digite: 2000 PV\n33 33 3 i 4 n E, por fim, digite FV aparecerá no visor: -2251,017 Obs 1 : como a calculadora trabalha com a lógica de fluxo de caixa, se o PV foi informado como positivo o FV tem que ser negativo. Por isso a resposta é -2251,017. Trocando em miúdos: Se você recebeu $2000 terá que pagar $2251,017 (por isso negativo). Obs 2 : NÃO SE ESQUEÇA DE APERTAR f e depois clx AO FINAL, PARA LIMPAR TODO O REGISTRO E NÃO ATRAPALHAR A PROXIMA OPERAÇÃO. FAÇA ISSO SEMPRE! 2) QUERO O CAPITAL (VALOR PRESENTE): Qual o capital que gera $2251,017 se aplicado a 3%am por 4 meses? Solução: Digite: 2251,017 FV 3 i 4 n E, por fim, digite PV aparecerá no visor: ) QUERO O PRAZO: Em quanto tempo um capital de $2000 gera um montante de $2251,017 se ele rende 3%am? Solução: Digite: 2251,017 FV 3 i 2000 CHS PV E, por fim, digite n aparecerá no visor: 4 Mais uma vez: Se FV foi positivo o PV é negativo, por isso CHS e PV. REPARARAM QUE NÃO TEM MAIS LOG!!!! 4) QUERO A TAXA: Qual a rentabilidade de um capital de $2000 que gera um montante de $2251,017 em 4 meses?\n34 34 Solução: Digite: 2251,017 FV 4 n 2000 CHS PV E, por fim, digite i aparecerá no visor: 3 Exercícios 3.3: 1) Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 2 % ao mês pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Solução: C = 1.000,00; i = 2 % ao mês e n = 10 m S = =. ( 1+ 0,02) = , S 1.218,99 Resposta: R$ 1.218,99 Ou, na HP12c 1000 PV 2 i 10 n E, por fim, digite FV aparecerá no visor: -1218,99 2) Qual o capital que aplicado à taxa composta de 2 % ao mês durante um semestre gera montante igual a R$ ,40? Solução: S = ,40; i = 2 % a;m. ; n = 1 semestre = 6 meses; C =? , , ,40 = C ( 1+ 0,02) C = = C ,00 6 1, ( 1,02 ) Resposta: R$ ,00 Ou, na HP12c ,40 FV 2 i 6 n\n35 35 E, por fim, digite PV aparecerá no visor: ) Determinar o tempo necessário para o capital de R$ ,00 gerar um montante de R$ ,00quando aplicado à taxa composta de 5 % ao mês? Solução: C = ,00; S = ,00; i = 5 % ao mês; n =? n n ,00 n ,00 = ,00 ( 1+ 0,05) ( 1,05) = ( 1,05) = 1, ,00 log ( 1,05) log( 1,4071 ) ( ) ( ) n log 1,4071 = n = n 7. log 1,05 Resposta: 7 meses Ou, na HP12c CHS FV 5 i PV E, por fim, digite n aparecerá no visor: 7 4) A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar R$ ,00 para obtermos montante igual a R$ ,12 ao fim de um trimestre? Solução: C = ,00: S = ,12; n = l trimestre = 3 meses; i =? ,12 = i = 1,12 i = 1,12-1= 0,12 a , % ao mês ( 1+ i ) ( 1+ i) = ( 1+ i) m. ou 3 = 1, i = 3 1, Resposta: 12 % ao mês Ou, na HP12c 56197,12 FV CHS PV 3 n E, por fim, digite i aparecerá no visor: 12 Exercício 3.4:\n36 36 Exercício com fluxo de caixa: Também podem aparecer questões do tipo: 1) Resolva: 2880 a) 0 n períodos i = 5 % a Na HP12c 2880 CHS FV 5 i 2400 PV E, por fim, digite n aparecerá no visor: 4 Exercícios para você fazer: 1. Em que prazo um capital de R$ ,00 acumula um montante de R$ ,00 à taxa efetiva de 15% am? Resposta: 11 meses 2. A rentabilidade efetiva de um investimento è de 10% aa. Se os juros ganhos forem de R$27.473,00, sobre um capital investido de R$ ,00, quanto tempo o capital ficará aplicado? Resposta: 3 anos 3. Um investidor aplica um capital e obtém um montante após n períodos segundo o regime de capitalização composta. Calcule o valor de n em cada operação: 2,25C a) 0 n períodos C i = 50 % a.p Resp.: 2 períodos\n37 ,30 i = 5 % a.p. b) 0 n períodos ,40 Resp.: 3 períodos i = 10 % a.p. c) 0 n períodos 4000 Resp.: 4 períodos 2C i = 2 % a.p. d) 0 n períodos C Resp.: 35 períodos 4. Vera comprou um aparelho e vai pagá-lo em duas prestações; a l ª, de R$ 180,00, um mês após a compra e a 2 ª, de R$ 200,00, de dois meses após a compra Sabendo-se que estão sendo cobrados juros compostos de 25 % ao mês, qual era o preço à vista do aparelho? Resp. : R$ 272,00 5. Dois capitais C 1 e C 2 que estão na razão de três para cinco foram aplicados a juros compostos e a juros simples, respectivamente. Se a aplicação foi de cinco meses à taxa de 4 % ao mês. Determine a razão entre os montantes S 1 e S 2. Resp. : 0, Um capital de R$ 1.500,00 esteve aplicado durante 2 meses, produzindo R$ 315,00 de juros compostos. Qual foi a taxa efetiva mensal aplicada? Resp. : 10 % 7. Uma pessoa aplicou R$ ,00 e após um ano recebeu ,87 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal (capitalização composta) paga pela financeira onde o dinheiro foi aplicado? Resp.: 7 % a.m.\n38 38 8. Se eu quiser comprar um carro no valor de R$ ,00, quando devo aplicar hoje para daqui a dois anos possua tal valor? Considerar as seguintes taxas de aplicação (capitalização composta): a) 2,5 % a.m. R: R$ ,52 b) 10 % a.s. R: R$ ,81 c) 20 % a.a. R: R$ ,67 Auto-avaliação 1) Um investidor aplicou $1.000,00 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final de cada mês, a contar da data da aplicação dos recursos, e informar o montante que poderá ser retirado pelo investidor no final do 6º mês, após a efetivação do último depósito. Resposta Mês 0 Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 5 Mês ,5 1157, , , ,09 2) O conceito de juros e suas propriedades desempenham um papel fundamental no estudo da Matemática Financeira. Antes de prosseguir esclareça todas as suas duvidas. Procure os seus colegas no pólo, troque soluções com eles e converse sobre o que você já aprendeu.\n39 39 Aula 4 ESTUDO DAS TAXAS Objetivos Ao final desse capítulo, você será capaz de: - Entender o conceito de taxa proporcional e taxa equivalente. - Entender o conceito de taxa nominal e taxa efetiva. - Interpretar e resolver os problemas propostos. Introdução Apesar da dificuldade apresentada por alguns dos exercícios anteriores, até agora, a relação entre o período n e a taxa i sempre estava sendo mantida, ou seja, se a taxa era apresentada ao mês (por exemplo) a resposta do período era em meses, e assim ao inverso. Porém, agora vamos complicar um pouco. Apresentaremos uma série de relações em que período e taxa estarão desalinhados, precisando assim de um ajuste prévio. CHAMAREMOS ISSO DE RELAÇÕES PROPORCIONAIS OU EQUIVALENTES. Taxas Proporcionais ou Correspondentes Chamamos proporcionais ou correspondentes aquelas taxas que se equivalem no regime de capitalização simples. Como vimos anteriormente, em juros simples temos o crescimento linear do capital (progressão aritmética). A conversão de taxas em juros simples é muito fácil, não requerendo mais do que uma divisão ou multiplicação. Tomando os valores da tabela abaixo como exemplo, percebemos facilmente que, em uma aplicação trimestral, 10% a.m. é igual a 30% a.t. Para determinarmos a taxa trimestral correspondente a uma taxa mensal em juros simples basta multiplicá-la por 3. Juros Simples Período Juros Montante , , , , , , , , ,00 A taxa de 30% a.t. aplicada por um trimestre, possui, portanto, no regime de capitalização simples, o mesmo efeito de uma aplicação à taxa de 10% a.m. durante três meses.\n40 40 Se quisermos, por exemplo, determinarmos a taxa mensal correspondente a uma taxa anual de 24%, basta dividi-la por 12. Assim, 2% a.m. (=24% 12) corresponde a 24% a.a. CONCEITO: Outra forma de se garantir que duas taxas (X% e Y%), apresentadas em períodos diferentes, sejam consideradas proporcionais é aplicá-las sobre o mesmo capital pelo mesmo prazo. Para serem consideradas proporcionais elas devem produzir o mesmo Montante. Repare na tabela que 10% ao mês e 40% ao quadrimestre geram o mesmo montante de $1400. ATENÇÃO Quando desejamos transformar uma taxa anual em taxa diária, devemos estar atentos ao uso do ano civil ou do ano comercial. No primeiro caso, devemos dividir a taxa anual por 365 (ou 366 em anos bissextos), no segundo caso, dividimos por 360. CURIOSIDADE O ano comercial é uma convenção para contornar o problema da variação do número de dias que ocorre no ano civil. Exemplo: As taxas 72 % a.a., 36 % a.s., 18 % a.t são proporcionais, pois se tomarmos meses como 72 % 36 % 18 % 6 % unidade de tempo, teremos = = = Taxas equivalentes Denominamos taxas equivalentes àquelas que são fornecidas em tempos diferentes e produzem um mesmo montante ao final de um determinado prazo EM JUROS COMPOSTOS. Tomemos, o exemplo da tabela abaixo: Juros Compostos Período Juros Montante , , , , ,00\n41 , , , ,10 Observe que a aplicação por três meses, à taxa de 10% a.m., proporciona um rendimento igual a 33,1% a.t. aplicada por um trimestre. Podemos perceber que não há proporcionalidade no regime de juros compostos, pois, sendo exponencial seu crescimento, a relação entre as taxas obedece a uma operação de potência: (1 + 10%) elevado a 3, que é igual a (1 + 33,1%); em juros simples seria [1+(10% vezes 3)], que é igual a (1+30%) Podemos calcular as taxas equivalentes utilizando a seguinte regra: 1) Igualando o que você quer com o que você tem; 2) Igualando os fatores das taxas (1+i); 3) Igualando as relações exponenciais. Vejamos o exemplo: SAINDO DE UM PERÍODO MENOR PARA OUTRO MAIOR: Uma taxa de 10% ao mês equivale a quantos % ao quadrimestre? 1º passo: você quer uma taxa ao quadrimestre e tem uma ao mês: QUADRIMESTRE = MES 2º passo: igualar os fatores das taxas. Logo (1 + i) é o fator que quero descobrir e (1 + 0,1), ou melhor, (1,1) é o fator para 10% que eu tenho; (1+i) = 1,1 3º passo: igualar os expoentes. Eu sei que a relação entre quadrimestre e mês é de 4 para 1, respectivamente. Assim, em cima de (1 + i) devo escrever 1 relativo a apenas um período. Em cima de (1,1) devo escrever 4, pois 1 quadrimestre tem quatro meses. QUADRIMESTRE MÊS Relação 1 quadrimestre = 4 meses Fator (1 + i) = (1 + 0,1) Dessa forma, a expressão algébrica fica:\n42 42 Quadrimestre = Mês (1 + i) 1 = (1,1) 4 (1 + i) = 1,4641 i = 1, i = 0,4641 ou 46,41% ao quadrimestre PARA QUEM quer calcular direto na HP12c: Digite: 1,1 ENTER 4 Y x x Resposta: 46,41 Exemplo 2: SAINDO DE UM PERÍODO MAIOR PARA OUTRO MENOR: Uma taxa de 50% ao semestre equivale a quantos % ao mês? A expressão algébrica fica: QUERO TENHO Mês = Semestre (1 + i) 6 = (1,5) 1 * (1 + i) = 1,5 i = 1, i = 0, ou 6,99% ao mês * Pois 6 meses equivalem a 1 semestre. PARA QUEM quer calcular direto na HP12c: Digite: 1,5 ENTER 6 1/x Y x x Resposta: 6,99\n43 43 Exemplos: 1) Calcular a taxa anual i a de juros compostos equivalente as seguintes taxas: a) 1 % a.m. b) 2 % a.t. c) 5 % a.q. d) 10 % a.s. Solução: a) Seja: i m = 1 % ao mês (taxa mensal) e i a a taxa anual equivalente; 1 Como 1 ano = 12 meses, devemos ter ( + i ) = ( 1+ i ) 12 1 ( 1 i ) = ( 1,01) 12 1 a m i a = 1, = 0, ao ano ou i a = 12, 6825 % ao ano. Resposta: 12,6824 % ao ano + a b) Seja: i t = 2 % ao trimestre (taxa trimestral) e i a a taxa anual equivalente; 1 Como 1 ano = 4 trimestres, devemos ter ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 i a = 1 + it i a = 1, = 0, ao ano ou i a = 8, 2432 % ao ano. Resposta: 8,2432 % ao ano 1 + i a = 1,02 c) Seja: iq = 5 % ao quadrimestre (taxa quadrimestral) e i a a taxa anual equivalente; 1 Como 1 ano = 3 meses, devemos ter ( ) ( ) ( 1 i ) = ( 1,05) 3 1 i a = 1+ iq i a = 1, = 0, ao ano ou i a = 15, 7625 % ao ano. Resposta: 15,7625 % ao ano + a d) Seja: is = 10 % ao semestre (taxa semestral) ei a a taxa anual equivalente; 1 Como 1 ano = 2 semestres, devemos ter ( + i ) = ( 1+ i ) 2 1 ( 1 i ) = ( 1,1 ) 12 i a = 1,21 1 = 0,21 ao ano ou i a = 21 % ao ano. Resposta: 21 % ao ano 1 a s + a 2) Calcular as taxas equivalentes a 20 % a.a., conforme solicitado abaixo:\n44 44 a) taxa semestral b) taxa quadrimestral c) taxa trimestral d) taxa mensal Solução: a) Seja: i a = 20 % o ano (taxa anual) e i s a taxa semestral equivalente; 2 1 Como 1 ano = 2 semestres, tem-se então que ( ) ( ) 1 12 ( 1 i ) = ( 1+ 0,2) 1 + s ( 1 ) = 1, 2 1+ i s = 1+ i a + i s i s = 1, i s = 0, a.s ou i s = 9, 5445 % ao semestre Resposta: 9,5445 % ao semestre b) Seja: i a = 20 % ao ano (taxa anual) e i q a taxa quadrimestral equivalente; 3 1 Como 1 ano = 3 quadrimestres, tem-se então que ( 1 i q ) = ( 1+ i ) 1 a 13 ( 1 i ) = ( 1+ 0,2) 1 ( 1 i ) = 3 1, 2 i = 1, = 0, q + q i q = 6,2659 % quadrimestre. Resposta: 6,2659 % ao quadrimestre q + i s a.q ou c) Seja: i a = 20 % ao ano (taxa anual) e i t a taxa trimestral equivalente; 4 1 Como 1 ano = 4 trimestres, tem-se então que ( 1 i t ) = ( 1+ i ) 1 a 14 ( 1+ i ) = ( 1+ 0, 2) 1 ( 1 + i ) = 4 1, 2 i = 1, , t t i t = 4,6635 % ao trimestre. Resposta: 4,6635 % ao trimestre t + i = a.t ou d) Seja: i a = 20 % ao ano (taxa anual) e i m a taxa mensal equivalente; 12 1 Como 1 ano = 12 meses, tem-se então que ( 1 i m ) = ( 1+ i ) 1 a 112 ( 1+ i ) = ( 1+ 0, 2) 1 ( 1 + i ) = 12 1, , m ou i m = 1, 5309 % ao mês. Resposta: 1,5309 % ao mês m + i m =, i m = a.m.\n45 45 3) Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40 % ao ano. O investidor soube de um outro investimento, onde pode ganhar 9 % ao trimestre. Qual será sua escolha? Solução: Podemos comparar as duas alternativas, verificando se suas taxas são equivalentes. Pode-se calcular, por exemplo, a taxa anual equivalente a 9 % a.t., neste caso, como 1 ano = 4 trimestres tem-se que: 1 a 4 ( 1 + i ) = ( 1+ 0, 09) = 1, = 0, a.a. ou 4116, % a.a. i a Resposta: Portanto, aplicar a 9 % a.t. é melhor do que aplicar a 40 % a.a. i a 4) O preço de uma mercadoria é de R$ 2.000,00, sendo financiada até 3 meses. Caso opte por pagar a vista, a loja oferece um desconto de 10 %. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 40 % a..a., vale a pena comprar a prazo? Solução: O preço da mercadoria a vista é de R$ 1.800,00, isto é, 90 % de R$ 2.000,00. Devemos calcular a taxa a que está sendo cobrada na operação. Tem-se então que: = ( 1+ i) 1+ i = = 3 1, = 1, i = 0, ou i 3,57 % a.m. Como 1 ano = 12 meses, taxa anual i a equivalente a esta taxa mensal de 3,57 % será dada por: 1 12 ( 1 + i a ) = ( 1+ 0, 0357) i a = , 1 = 0, ao ano ou i a = 52, 338 % ao ano, logo a taxa de financiamento da loja é maior do que a taxa de juros do mercado. Resposta: É melhor comprar a vista. Taxas nominais Para iniciar a apresentação das taxas nominais, devemos destacar que elas só fazem sentido em uso de juros compostos. Chamamos taxa nominal, a taxa de juros cuja unidade de referência dos períodos não coincide com o período de capitalização, como, por exemplo, 12% a.a. capitalizados mensalmente. Observe que a taxa é anual, mas é informado que a capitalização é mensal. Exemplos de taxas nominais:\n46 46-10% ao semestre com capitalização bimestral; - 15% ao quadrimestre com capitalização trimestral; - 23% ao ano com capitalização semestral. Este é caso dos rendimentos da caderneta de poupança. Você já deve ter ouvido que a poupança rende 6% a.a., mas também deve ter ouvido que rende 0,5% a.m. Devemos expressar a taxa da caderneta de poupança em termos anuais da seguinte forma: 6% a.a. com capitalização mensal. Como pode render 0,5% ao mês, se a caderneta de poupança é capitalizada a juros compostos e 0,5% ao mês é proporcional a 6% ao ano? Não deveríamos usar a metodologia da equivalência de taxas? Na taxa NOMINAL (exemplo da poupança), as taxas devem ser divididas pelo número de períodos de capitalização (6% 12 = 0,5%), como se fosse uma taxa proporcional de juros simples apesar de serem capitalizadas por juros compostos. MUITA ATENÇÃO para o fato de que 0,5% ao mês é equivalente a 6,1678% ao ano. Chamaremos a taxa de 0,5% ao mês de taxa mensal efetivamente cobrada, ou simplesmente, taxa efetiva ao mês. Chamaremos a taxa de 6,1678% ao ano de taxa ANUAL efetivamente cobrada, ou simplesmente, taxa efetiva ao ano. Para chegar a taxa anual equivalente devemos agir conforme foi explicado em equivalência de taxas em juros compostos. QUERO TENHO Ano = Mês (1 + i) 1 = (1,005) 12 (1 + i) = 1, i = 1, i = 0, ou 6,1678% ao ano PARA QUEM quer calcular direto na HP12c: Digite: 1,005 ENTER 12 Y x\n47 x Resposta: 6,1678 Como dissemos, a resposta de 6,1678% é na realidade a taxa efetiva anual da caderneta de poupança. Mas o que é TAXA EFETIVA? Taxas efetivas São muitos os fatores que mascaram o valor efetivo das transações financeiras. Um deles, como acabamos de ver, é expressar a taxa praticada no formato nominal. Nesse caso, o custo efetivo será maior do que o expresso nominalmente. Por exemplo, qual o custo efetivo anual de uma taxa de 36% a.a. com capitalização mensal? Primeiro, dividimos por 12 para calcular quanto ela representa em termos mensais. 36% / 12 = 3% ao mês Depois, com o artifício utilizado para a determinação de taxas equivalentes, lançamos na seguinte conta: QUERO Ano = Mês TENHO (1 + i) 1 = (1,03) 12 (1 + i) = 1, i = 1, i = 0, ou 42,5761% ao ano PARA QUEM quer calcular direto na HP12c: Digite: 1,03 ENTER 12 Y x x Resposta: 42,5761 ATENÇÃO\n48 48 Você pode estar se perguntando se alguma instituição poderia cobrar de um consumidor uma taxa nominal. Sendo ela dividida pelo número de períodos de capitalização, mas computada em regime de juros compostos, resultará numa taxa maior do que é sugerido. Como consumidor, não se preocupe, pois o Código de Defesa do Consumidor (Lei nº 8078/1990) obriga, em seu art.52, que o fornecedor informe a taxa efetiva da transação. Exercício 4.1: 1) taxa nominal de 60 % ao ano com capitalização mensal. Como 1 ano = 12 meses então, a taxa efetiva mensal será de 2) taxa nominal de 60 % ao ano com capitalização bimestral. Como 1 ano = 6 bimestres então, a taxa efetiva será de 3) taxa nominal de 60 % ao ano com capitalização trimestral. Como 1 ano = 4 trimestres então, a taxa efetiva será de 60 = 5 % ao mês = 10 % ao bimestre = 15 % ao trimestre 4 4) Se aplicarmos R$ ,00 à taxa de 36 % ao ano, capitalizada mensalmente, qual o montante obtido ano final do ano? Solução: A taxa de 36 % ao ano é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é mensal; logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva da operação é proporcional a taxa dada, ou seja, 36 como 1 ano = 12 meses, então a taxa efetiva i será dada por i = = 3 % ao mês. 12 Portanto o montante S será obtido por: 12 S = S =. ( 1+ 0,03) = , , 60 Resposta: R$ ,60 Exercício 4.2: 1) Em juros simples, qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de 9 % ao quadrimestre? R: 6,75 % 2) Qual a taxa anual equivalente a taxa nominal anual de 20 % capitalizados semestralmente? R: 21 %\n49 49 3) Uma empresa aplica R$ ,00 à taxa de juros compostos de 20 % a.a., por 36 meses. Qual a taxa que mais se aproxima da taxa proporcional bimestral dessa operação? R: 4,04 % 4) Calcule a taxa equivalente, mensal, de 41,3% aa. R: 2, % am 5) Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. R: 12, % as 6) Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização bimestral. R: 4, % at 7) Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, com capitalização mensal? R: 6, % aa 8) Que taxa efetiva bimestral corresponde à taxa nominal de 9% ao trimestre, com capitalização mensal? R: 6,09% ab Auto-avaliação Se você conseguiu resolver os exercícios propostos, parabéns, caso contrário não desanime. Reveja os conceitos e os exemplos e procure sanar as dúvidas com os tutores. Não acumule dúvidas, pois muitos desse conceitos aparecerão novamente em outro contexto.\n50 50 Aula 5 OPERAÇÕES DE DESCONTO NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: - Entender o conceito de desconto; - Entender de valor nominal, valor atual e prazo de antecipação de um título; - Entender os conceitos envolvendo o desconto por dentro ou racional e o desconto por fora ou comercial na capitalização simples; - Interpretar e resolver os problemas propostos. Introdução Quando uma pessoa física ou jurídica toma uma quantia emprestada, assume uma dívida que deverá ser paga no futuro. Para que esse compromisso seja firmado, o credor recebe um documento chamado título, com o qual pode provar publicamente que é a pessoa que deve receber àquela quantia em determinada data. Os títulos mais usados em empréstimos são: a nota promissória e a duplicata. A nota promissória é um título de crédito que corresponde a uma promessa de pagamento futuro. Ela e muito usada entre pessoas físicas. A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente (pessoa física ou jurídica) para qual vende mercadoria a prazo ou prestou serviços que serão pagos no futuro. No dia a dia também costumamos usar um título nas compras, principalmente as de valores mais elevados, que são os cheques pré-datados. Muitas vezes, as empresas que recebem estes cheques optam por trocá-los com alguma instituição financeira para saldar alguma dívida momentânea. NOTA: Algumas instituições financeiras apenas pegam o cheque pré-datado como garantia de pagamento futuro. Isso quer dizer que, se o cheque não compensar, a conta da empresa que o descontou será debitada pelo banco e caberá a ela tentar receber o dinheiro do dono do cheque. Por outro lado, algumas instituições COMPRAM o cheque, assumindo para si o risco do não pagamento. Nesse caso, caberá a essa instituição tentar receber o dinheiro. CABERÁ A VOCÊ, ADMINISTRADOR, DECIDIR ENTRE AS OPÇÕES DE TROCAR OU VENDER O CHEQUE. MAS LEMBRE-SE: NA SEGUNDA OPÇÃO, O VALOR DO DESCONTO SERÁ MAIOR DO QUE A PRIMEIRA. ENTRETANTO, PARA OS CHAMADOS CHEQUES INCOBRÁVEIS, É UMA BOA OPÇÃO. Valor nominal, valor atual e prazo de antecipação: O valor nominal (valor de face) de um compromisso é quanto ele vale na data do seu vencimento, enquanto que valor atual (valor descontado ou valor líquido ou ainda valor pago) é um valor que ele adquire numa data que antecede ao seu vencimento. O intervalo de tempo entre a data em que o título é negociado e a data de vencimento do mesmo e o prazo de antecipação. Desconto\n51 51 É a diferença entre o valor nominal de um título e seu valor atual. Desconto, também, pode ser definido como o abatimento a que o devedor faz jus quando antecipa o pagamento de um título. V (valor atual) N (valor nominal) i 0 n (período) Desconto por dentro (racional ou real) É o desconto d r que determina um valor atual V que, corrigido nas condições de mercado (taxa, prazo de antecipação e capitalização), tem para montante o valor nominal N. Ou seja, d r são os juros que são incorporados ao capital V para reproduzir N. No Desconto por dentro, ou desconto racional ou desconto real, o valor de referencia para o cálculo porcentual do desconto é o valor atual ou líquido. Dessa forma, o valor do desconto será determinado pela fórmula: V = valor atual (ou PV); d = taxa utilizada (tal qual i); n = número de períodos. DESCONTO = V x d x n, onde: Note que você já sabia disso, como o desconto que estamos tirando é, na verdade os juros e o V é o PV ou C (capital). DESCONTO = V x d x n Na aula de juros simples: JUROS = C x i x n LEMBRA? Desconto por fora ou comercial O desconto por fora ou comercial d c é o juro calculado sobre o valor nominal V, à uma taxa chamada taxa de desconto, durante o tempo que decorre da data da transação até a data de vencimento do título. No desconto por fora ou comercial, a referência para o cálculo porcentual do desconto, é o valor nominal N. N = valor nominal (ou FV); d = taxa utilizada (tal qual i); n = número de períodos. DESCONTO = N x d x n, onde:\n52 52 Desenvolvendo uma fórmula geral de desconto na capitalização simples: a) Desconto por dentro racional ou real: Como o desconto racional simples utiliza-se da lógica do juros simples, onde d r = V r x i x n, já aprendemos que FV = PV (1+in), logo PV = FV (1+in). Da mesma forma: Assim, ( + i n) N = V r 1 N Vr = 1+ i n Repare que a fórmula apresentada é a mesma do juro simples (apenas substituindo as letras V e N por PV e FV, respectivamente). Como: FV = PV (1+in), logo PV = FV (1+in) Em muitos exercícios, e principalmente no dia a dia, o que queremos descobrir é o valor de Dr em relação a um valor nominal do título. Dessa forma, devemos desenvolver outra equação que elimine a incógnita V da fórmula. Nesse caso, seria: Como Dr = V x d x n, e Dr = N V, e N V = 1 + d n, então, substituindo a 2ª sentença na terceira: N Dr = N 1+ d n Simplificando: Ndn Dr = 1+ d n É claro que se você não quiser decorar uma fórmula a mais, basta lembrar que: Dr = N V E substituir o V com a fórmula V N = 1+ d n NOTA: Os livros de Matemática Financeira usam, para simbolizar a taxa de desconto, tanto a letra i quanto a letra d. Eles também usam para se referir ao valor do desconto tanto a\n53 53 letra D quanto a combinação Dr (referência ao desconto racional). A mesma diferença de simbologia também é encontrada no valor atual, que pode ser representado por V ou A, ou Vr. NESSE LIVRO, VOCÊ DEVERÁ SE ACOSTUMAR COM TODAS ESSAS NOTAÇÕES. b) Desconto por fora comercial ou bancário: Nesse caso, sabe-se que a base do desconto é valor nominal N. Considerando a taxa i e o prazo de antecipação n, temos então que o desconto d c será dado por d c = N i n. O valor atual do título descontado comercialmente equação Vc = N d, isto é, temos então que: c V c pode ser obtido através da Colocando N em evidência: V c = N N i n ( i n) V c = N 1 Da mesma forma: V N = c 1 i n Pode parecer uma nova fórmula, mas não é, você já usa o desconto comercial no seu dia a dia. Por exemplo: Ao pedir um desconto de 10% por uma camisa que custa $100, você não calcula o valor pago como sendo 0,9 de 100? Logo: V = 100 (1-0,1) = 100 x 0,9 = 90 Como o n é 1, não precisamos multiplicá-lo. OBSERVAÇÃO: Se consideradas as mesmas condições, isto é, o mesmo valor nominal N o mesmo prazo de antecipação n e a mesma taxa de desconto i, o desconto comercial d c é sempre maior do que o desconto racional d r, ou seja, o valor atual racional V r é sempre maior do que o valor atual comercial V c Exemplos\n54 54 1) Um título com valor nominal de R$ 8.800,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa 60 % a.m. Nesse caso, qual foi o valor pago pelo título? Solução: Temos que: N = 8.800,00 ( valor no min al do título ) n = dois meses ( prazo de antecipação) i = 60 % ao mês ( taxa de desconto racional simples ) Como no desconto racional simples a relação entre o valor nominal N e o valor atual V c é dada por N = V r ( 1 + i n), tem-se que 8.800, ,00 = V r ( 1+ 0,6 2) V r = Vr = 4.000, 00 2,2 Resposta: R$ 4.000,00 2) Um título, ao ser descontado racionalmente 45 dias antes do vencimento, à taxa linear de 6 % ao mês, teve valor atual igual a R$ 2.500,00. Qual o valor de face desse título? Solução: Temos que: V r = 2.500,00 ( valor atual racional do título ) n = 45 dias = 1,5 mês ( prazo de antecipação) i = 6 % ao mês ( taxa de desconto racional simples ) Como N ( + i n) = V r 1, temos que: N = 2.500,00 ( 1+ 0,06 1,5 ) = , 09 N = , 00 Resposta: R$ 2.725,00 3) Qual o desconto racional simples sofrido por um título de R$ 6.715,60 descontado a 24 % ao ano em um mês e quinze dias? Solução: Temos que: N = 6.715,60 ( valor no min al do título ) n = 1mês e quinze dias = 1,5 mês ( prazo de antecipação) i = 24 % ao ano ( taxa de desconto racional simples ) No desconto racional simples, a relação entre o valor nominal N e o valor atual V é N dada através da equação N = V r ( 1 + i n) V r =. ( 1+ i n) 6.715,60 V r = V = 6.520, ,02 1,5 r. Como d = N V r r, temos então que: d = , , 00 d = 195, r r 60 Resposta: 195,20\n55 55 4) Uma letra de valor nominal igual a R$ 2.400,00 sofre um desconto comercial simples à taxa de 6% ao mês, cem dias antes do seu vencimento. Obter o desconto e o valor descontado. Solução: Temos que: N = 2.400,00 ( valor no min al do título ) n = 100 dias ( prazo de antecipação) i = 6 % ao mês = 0,2 % ao dia ( taxa de desconto comercial simples ) Como d c = N i n, tem-se então que d c = 2.400,00 0, d c = 480, 00. Por outro lado, sabe-se que Vc = N dc, logo V c = 2.400,00 480, 00 V c = 1.920, 00. Resposta: R$ 480,00 e R$ 1920,00 CALCULANDO A TAXA EFETIVA DA OPERAÇÃO: Do ponto de vista da instituição financeira, na operação de desconto comercial simples, foi feito um investimento. Ela antecipa o pagamento do título mediante um desconto, para recebê-lo no vencimento o seu valor de face ou valor nominal. Ou seja, o desconto dado, é o juro recebido pela instituição financeira na operação. Portanto, a taxa de d juros efetiva da operação será dada por c. Esta taxa é sempre maior do que a taxa V c de desconto. 480 No exemplo anterior, a taxa linear efetiva de ganho é dada por = 0, 25 em dias ou 0,075 ao mês, ou ainda 7,5 % ao mês. Pode também determinar essa taxa, lembrando que a instituição financeira aplicou 1.920,00 em 100 dias e recebeu um montante de 2.400,00, portanto a taxa linear i dessa operação será dada por ( ) 100i = 0,25 0, ,00 = 1920,00 i i = ao dia ou i = 0, 25 % ao dia ou ainda i = 7, 5 % ao mês. 5) Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente sessenta dias antes do vencimento à taxa linear de 12 % ao mês, resultou um valor atual descontado de R$ 608,00. Solução: V c = 608,00 ( valor atual comercial do título ) n = 60 dias = 2 mês ( prazo de antecipação) i = 12 % ao mês ( taxa de desconto comercial simples )\n56 56 Sabemos que no desconto comercial simples = N ( i n) então que : V c 608,00 = N 608,00 0,76 N = Resposta: R$ 800,00 V 1 N = c, temos 1 i n ( 1 2 0,12 ) N = 800, 00 6) Uma duplicata de valor nominal de R$ ,00 foi descontada num banco dois meses antes do vencimento. A taxa de desconto comercial simples usada na operação, foi de 2,8 % ao mês. Sabe-se ainda que o banco cobra um taxa de 1,5 % sobre o valor nominal do título, para cobrir despesas administrativas, descontados e pagos integralmente no momento da liberação dos recursos. Determinar o desconto e o valor descontado e a taxa efetiva da operação. Solução: N = ,00 ( valor no min al do título ) n = 2 meses ( prazo de antecipação) i = 2,8 % ao mês ( taxa de desconto comercial simples ) Como d c = N i n, então nesse caso temos que dc = ,00 0,028 2 d c = 3.360,00. Portanto, o valor atual comercial Vc será dado por V c = , ,00 = ,00. Por outro lado, sabe-se que o banco cobra uma comissão de 1,5 % sobre o valor nominal do título, ou seja, ,00 0,015= 900,00. Logo o valor líquido recebido pelo portador da duplicata será dado por ,00 900,00 = ,00. Do ponto de vista do banco, esta foi uma operação de um empréstimo de R$ , 00 que renderá os juros simples em dois meses um montante de R$ ,00, isto é, um juros de R$ 4.260,00. Logo a taxa de juros simples mensal i dessa operação será obtida por: 4.260, ,00 = ,00 i 2 i = i = 0, ao mês, ,00 isto é, i = 3,82% ao mês. Resposta: R$ 4.260,00 R$ ,00 e 3,82 % ao mês. 7) Uma nota promissória foi descontada comercialmente a uma taxa linear de 5 % ao mês, quinze meses antes do seu vencimento. Se o desconto fosse racional simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual valor?\n57 57 Solução: i = 5 % ao mês ( taxa de desconto n = 15 meses ( prazo de antecipação) comercial simples ) Podemos supor sem perda de generalidade que N = 100, 00 e como d c = N i n, temse então que nesse caso, d c = 100,00 0,05 15 dc = 75, 00. Por outro lado, sabendo-se que no o desconto racional simples d r pode ser obtido N através da relação d r = V r i n e como V r = ( 1 + i n), então temos que = N d r i ( 1+ i n) n N i n d r = 1 + i n. Logo, supondo que d c = d r, tem-se que: ( ) 100 i 15 75,00 = 75, i = 1500 i i i = 0, 2 ou 20 % ao mês.. Resposta: 20 % ao mês. i = CALCULANDO O DESCONTO COMERCIAL EM FUNÇÃO DO RACIONAL: Sabemos que considerando as mesmas condições, isto é, taxa desconto e prazo de antecipação, o desconto comercial simples d é maior que desconto racional simples c d r, e tem-se que, d = d ( 1 + i.n c r ), onde i é a taxa de desconto e n o prazo de antecipação. De fato: Sabe-se que d = N i n, por outro lado c N dr = N V = N dr 1 + i n = N i n 1+ i n ( + i n) N i n = d r 1 Simplificando: ( + i n) d c = d r 1. Exemplo: O desconto comercial simples de um título descontado três meses antes de seu vencimento à taxa de 40 % ao ano é de R$ 550,00. Qual é o desconto racional? 550,00 Solução: d = d ( 1 + i n) 550,00 = d ( 1+ 0,4 0,25) d = = 500, 00 c r r r 1,1 Resposta: R$ 500,00 Exercícios\n58 58 1) Calcular o desconto por dentro sofrido por uma letra de R$ 8.320,00, descontada à taxa linear de 6 % ao ano, 8 meses antes do seu vencimento? Resp. : R$ 320,00 2) Determinar o valor nominal de uma letra, descontada por dentro à taxa linear de 8% ao mês, um mês e quinze dias antes de seu vencimento, e que apresentou o desconto de R$ 400,00. Resp.: R$ 3.733,33 3) Uma titulo sofreu desconto racional simples 15 dias antes do vencimento. O valor nominal e o valor atual são inversamente proporcionais a 40 e 44, respectivamente. Qual foi a taxa anual de desconto? Resp.: 2,4 ao ano. 4) Aceitei um título vencível a 1 ano, 1 mês e 10 dias. Tendo sido descontado por dentro a 9 % ao ano deu R$ 1.000,00 de desconto. Qual era o valor nominal do título? Resp.: R$ ,00 5) Numa operação de desconto por dentro, a razão entre o valor nominal e o valor atual é igual a 1,08. Se a taxa de juros simples é de 6 % ao mês, qual é o prazo de antecipação? Resp.: 40 dias 6) O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional simples, caso a antecipação seja de oito meses. Qual é o seu valor nominal se o valor de resgate é de R$ 1.740,00? Resp. : R$ 2.175,00 7) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 1.200,00 é descontada em um banco 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10 % ao mês, pede-se: a) o desconto comercial simples; Resp. : R$ 240,00 b) o desconto racional simples; Resp. : R$ 200,00 c) o valor descontado racionalmente; Resp. : R$ 1.000,00 d) a taxa efetiva desta operação, considerando, o desconto comercial simples. Resp: 25 % 8) Um título foi descontado cinco dias antes do seu vencimento, sofrendo um desconto por fora à taxa linear de 36 % a.m.. Sabendo-se que o devedor pagou R$ 2.820,00, qual o seu valor nominal? Resp. : R$ 3.000,00 9) Qual o valor nominal de uma nota promissória, a vencer em 30 de maio, que descontada por fora no dia 3 de abril do mesmo ano à taxa de 6 % a.m., produziu um desconto de R$ 1.881,00? Resp. : R$ ,00 10) Um título, descontado por fora, à taxa linear de 0,5 % ao dia, produziu o desconto equivalente a 8 1 de si mesmo. Determinar o prazo de antecipação. Resp: 25 dias.\n59 59 11) O valor atual de um título é duas vezes o valor de seu desconto comercial simples. Qual é o vencimento do título expresso em dias, sabendo-se que a taxa de desconto comercial adotada é de 60 % ao ano? Resp. : 200 dias 12) Um banco oferece empréstimos pessoais, cobrando 5 % ao mês de taxa de desconto comercial simples, mais uma comissão de 2 %. Se uma pessoa necessita de R$ 4.150,00, para pagar daqui a três meses. Qual deve ser o compromisso assumido? Resp. : R$ 5.000,00 13) Um título de valor nominal de R$ 111,11 foi descontado em um banco, à taxa de 4 % ao mês cinco meses antes do vencimento (desconto comercial simples). Qual a taxa mensal que representou para o banco esse investimento? Resp.: 5 % 14) Qual a taxa efetiva mensal de uma operação de desconto comercial simples de um título realizada à taxa de 18,4 % a.a., três meses antes do seu vencimento? Resp: 1,61 % a.m. 15) Achar a diferença entre o desconto comercial simples e o racional simples de um título de R$ 2.100,00 descontada a 3% ao mês, 50 dias antes de seu vencimento. Resp. : R$ 5,00 16) O desconto comercial simples de um título é igual a 5 6 do desconto racional simples. Calcular o prazo de antecipação do pagamento, sabendo-se que a taxa de desconto é de 10 % ao mês. Resp. : 2 meses 17) Uma empresa descontou uma duplicata em um banco que adota uma taxa de 84 % a.a. e o desconto comercial simples. O valor do desconto foi de R$ ,00. Se na operação fosse adotado o desconto racional simples, o desconto seria reduzido em R$ 1.764,00. Nessas condições, qual é o valor nominal da duplicata? Resp.: R$ ,00 18) Sabe-se que o valor do desconto racional de um título à taxa linear de 66 % ao ano e prazo de desconto de 50 dias, atinge R$ ,00. Para estas mesmas condições, determine o valor do desconto deste título, nas mesmas condições, se fosse adotado o critério de desconto comercial simples. Resp. : R$ ,94 19) O desconto de uma duplicata de valor nominal de R$ ,00 e com prazo de vencimento de 141 dias produz um valor atual de R$ ,00. Determinar a taxa linear de desconto por dentro e por fora desta operação. Resp.: 3,93 % a.m. e 3,32 % a.m. 20) Uma pessoa descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de desconto comercial, à uma taxa de juros simples de 15 % ao ano. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias, sendo que o último era de valor nominal 50 % superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois descontos somaram o valor de R$ 382,50, determine\n60 60 o valor nominal do título que produziu o maior desconto. Resp. : R$ 1.800,00 Auto-avaliação Você entendeu os conceitos de desconto, valor nominal, valor atual e prazo de antecipação de um título? Esses conceitos serão necessários na próxima aula. Conseguiu resolver todos os exercícios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, então você entendeu os conceitos envolvendo o desconto por dentro ou racional e o desconto por fora ou comercial, em particular na capitalização simples. Se não conseguiu, não desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos antes de começar a próxima aula, discuta com seus colegas do pólo a solução desses problemas.\n61 61 Aula 6 OPERAÇÕES DE DESCONTO NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: - Entender o conceito de desconto composto; - Entender os conceitos envolvendo o desconto por dentro ou racional e o desconto por fora ou comercial na capitalização composta; - Interpretar e resolver os problemas propostos. Da mesma forma que na capitalização simples, o desconto na capitalização composta é uma operação que você já faz naturalmente. Seja porque entende que o desconto racional segue a lógica dos juros compostos ou porque o desconto comercial é aquele que agente faz no dia a dia do comércio em geral. Desconto na capitalização composta a) Desconto por dentro" ou racional Nesse caso temos que ( 1 i) N = V r + Logo, podemos perceber que : V r = N ( 1+ i) n n Assim, lembrando que: dr = N V r Substituindo nessa fórmula a expressão anterior: d r = N N ( 1+ i) n Simplificando a fórmula: Logo: dr = ( ) ( ) dr = [( ) ] ( )\n62 62 Apesar de ser essa fórmula sempre apresentada nos livros de matemática financeira como sendo a fórmula do desconto racional composto, particularmente achamos ela desnecessária. Isso por que os alunos tendem a achar que se trata de uma nova formula, porem, é apenas a simplificação de uma outra que já temos consciência: d r = N N ( 1+ i) n Lembrem-se que dr = N Vr e substitua o Vr. b) Desconto por fora ou comercial Nesse caso temos que: Vc Essa é fórmula que mais nos interessa. = N 1 ( i) n E veja que ela é praticamente igual a do desconto comercial simples, onde Vc = N ( 1 in). Porém, como estamos na capitalização composta, o prazo não multiplica a taxa. Ele é apenas o fator exponencial. Podemos calcular também o valor do desconto. Como: Logo: Então: dc dc dc = N V c = N N 1 ( i) n [ ( i) n ] = N 1 1. Exemplos: 1) Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto racional composto que foi calculado com base na taxa de 4 % ao mês. Sendo R$ 5.408,00 o valor nominal do título, quanto pagarei por ele?\n63 63 Solução: N = 5.408,00 ( valor no min al do título ) n = 2 meses ( prazo de antecipação) i = 4 % ao mês ( taxa de desconto racional composto ) No desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual é dada através da equação N = ( + i) Logo, temos que V r = V r 5.408,00 ( 1+ 0, 04) n N 1 V r =. 5408,00 = 1, = ( 1+ i) n 5000,00 A r Resposta: R$ 5.000,00 2) Um título de valor nominal R$ ,00 é resgatado três meses antes do vencimento pelo critério do desconto racional composto a uma taxa de 24 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor descontado e o desconto. Solução: A taxa de 24 % ao ano é nominal, pois seu período é diferente do período de capitalização que é mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva mensal é proporcional a taxa dada, ou seja, como1 ano = 12 meses, 24 tem-se então que a taxa efetiva semestral i será dada por i = = 2 % ao mês. 12 N = ,00 ( valor no min al do título ) n = 3 meses ( prazo de antecipação) i = 2 % ao mês ( taxa de desconto racional composto ) No desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual V r é n N dada através da equação N = V r ( 1 + i) V r =. 1+ i ( ) n , ,00 Nesse caso então, temos que: V r = V = ,06 3 r Vr. 1+ 0,02 1, ( ) Lembrando que o valor do desconto é a diferença entre o valor de face do título ou valor nominal e o valor descontado ou valor atual, isto é, dr = N Vr, nesse caso então, temos que: d r = , ,06 dr = 1.441,94 Resposta: R$ ,06 e R$ 1.441,94 3) Um título de R$ 1.000,00 deve ser resgatado três meses antes do seu vencimento, pelo critério do desconto comercial composto a uma taxa de 10 % ao mês. Qual é o valor líquido?\n64 64 Solução: N = 1.000,00 ( valor no min al do título ) n = 3 meses ( prazo de antecipação) i = 10 % ao mês ( taxa de desconto comercial composto) No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual V c e o valor nominal N Vc = N 1 i, logo nesse caso temos que é dada por ( ) n Vc 3 = ,00 ( 1-010, ) V c 729, 00. Resp.: R$ 729,00 4) Um título de R$ 2.000,00 será resgatado três anos antes do vencimento pelo critério do desconto comercial composto à taxa de 20 % a.a. com capitalizações semestrais. Qual será o valor liquido? Solução: A taxa de 20 % ao ano é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de capitalização que é semestral. Logo, considerando a relação entre as unidades dessas taxas, a taxa efetiva semestral é proporcional a taxa dada, ou seja, como 1 ano = 2 semestres, tem-se então que a taxa efetiva semestral i será dada por 20 i = = 10 % ao semestre. 2 N = 2.000,00 ( valor no min al do título ) n = 3 anos = 6 meses ( prazo de antecipação) i = 10 % ao semestre ( taxa de desconto comercial composto) No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual V c e o valor nominal N é dada por Vc = N ( 1 i) n, logo nesse caso temos que Vc 6 = ,00 ( 1-010, ) V c 1062., 88. Resposta: R$ 1.062,88 Atenção para o próximo exercício: Como o desconto comercial gera um valor descontado maior que o racional, define-se como TAXA EFETIVAMENTE COBRADA aquela taxa que seria obtida através da operação de desconto racional, porém com o valor descontado na operação comercial. 5) Um título de valor R$ ,00 foi descontado cinco meses antes do vencimento à taxa de desconto comercial composto de 10 % ao mês. Qual a taxa de juros efetivamente cobrada nessa transação? Solução: N = ,00 ( valor no min al do título ) n = 5 meses ( prazo de antecipação) i = 10 % ao mês ( taxa de desconto comercial composto )\n65 65 No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual V c e o valor nominal N é dada por Vc = N ( 1 i) n, logo nesse caso temos que: 5 V c = ,00 V c c ( 1-010, ) = ,00 0, V 5.904, 90 Lembrando que o valor do desconto é a diferença entre o valor nominal de face ou valor nominal e o valor descontado ou valor atual, isto é, dc = N Vc, temos então que nesse caso, d c = , ,90 dc = 4.095,10. Do ponto de vista do banco, esta foi uma operação de um empréstimo de R$ 5.904, 90 que renderá em cinco meses um montante de R$ ,00, isto é, um juros de R$ 4.095,10. Logo a taxa de juros composto mensal i dessa operação será obtida por: ( 1+ ) ,00 = 5.904,90 i. Ou seja: Assim: , ,90 ( 1 + i) = ( 1+ i) = 1, i = 5 1, i = 1, i = 0, ao mês ou i 11,11 % ao mês. Resposta: a taxa efetiva é de 11,11 % ao mês. ATENÇÃO PARA O MACETE: Para usar sua HP12c nas resoluções de Desconto Comercial Composto faça o seguinte. - Ao invés de inserir o N como FV Use-o como PV (só não se esqueça do CHS, pois PV e FV devem ter sinais diferentes); - Ao invés de inserir o V como PV Use-o como +FV (ou seja, FV); - Ao invés de inserir o i Use i (ou seja, CHS i); - Use o n como n MESMO! Isso porque a fórmula de juros compostos é: FV = PV (1+i) n Como a fórmula de desconto comercial composto é: Vc = N 1 ( i) n\n66 66 Note que FV está no lugar de V, que PV está no lugar de N e que i está no lugar de i. Se você acha esse macete complicado: esqueça-o. Ele só serve para os alunos que já estão com um certo domínio sobre a HP12c e o desconto comercial composto. Resolvendo e exemplo 5 com o macete: Para descobrir V pela HP12c, digite: CHS PV (detalhe, vocês sabem que se trata de um FV, só inserimos assim para utilizar o macete); 5 n 10 CHS i (detalhe, vocês sabem que se trata de i, só inserimos assim para utilizar o macete); Digitem por fim FV 5904,9 A partir daí é só seguir com a questão! UMA OUTRA MANEIRA DE CHAMAR A TAXA EFETIVAMENTE COBRADA E: Dizemos que duas taxas de desconto racional e comercial composto são equivalentes se, e somente, se produzirem descontos iguais quando aplicadas a um mesmo título e por um mesmo prazo de antecipação. Nesse caso, como os descontos são iguais, então os valores atuais também são iguais e portanto: n N N ( 1- i c ) = n ( 1 - i c) ( 1 + i ) 1 ( 1 + ) r = ( 1 - i c ) ( 1 + i r ) = 1 Exemplo: i r n Determinar a taxa mensal de desconto racional equivalente à taxa de desconto comercial de 20 % ao mês. Solução: i i C r = 20 =? n ( 1 +. i ) ( 1 0, 20) r = 1 Assim: ir = ir = 0, 25 a. m. ou ir = 25 % a.m. 0, 8\n67 67 Resposta: 25 % ao mês. EXERCÍCIOS 1) Uma empresa tomou emprestada de um banco, por seis meses, a quantia de R$ ,00 à taxa de juros compostos de 19,9 % ao mês. No entanto, 1 mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10 % a.m.? Resp. : Aproximadamente R$ ,00 2) Uma empresa descontou uma duplicata de R$ ,00, dois meses antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de juros efetiva de 84 % a.a., qual será o líquido recebido pela empresa? Resp. : Aproximadamente R$ ,00 3) João irá receber R$ 6.600,00 dentro de um ano, como parte de seus direitos na venda de um barco. Contudo, necessitando de dinheiro, transfere seus direitos a um amigo que os compra, entregando-lhe uma nota promissória no valor de R$ 6.000,00 com vencimento para seis meses. João fez bom negócio, se a taxa de juros compostos do mercado for de 20 % ao ano? Resp. : Não 4) Numa operação de desconto racional, o possuidor do título recebeu R$ ,00 como valor de resgate. Sabendo-se que a antecipação fora de 6 meses e o desconto de R$ 1.401,75; qual foi a taxa de juros composta anual adotada? Resp. 30 %. 5) Guilherme tem um compromisso representado por duas promissórias: uma de R$ ,00 e outra de R$ ,00 vencíveis em quatro e seis meses, respectivamente. Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas, solicita ao banco credor substituição dos dois títulos por um único a vencer em dez meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 8 % ao mês.. Qual o valor da nova nota promissória? Resp.: R$ ,00 6) Qual é o valor do desconto racional composto de um título de um valor nominal de R$ ,00, com prazo para trinta dias para vencimento e taxa cobrada de 4 % ao mês? Resp. : R$ 769,00 7) Uma duplicata no valor de R$ ,00, com vencimento daqui a três anos, deve ser substituída por duas letras de câmbio, de mesmo valor nominal cada, com vencimentos daqui a dois anos e cinco anos respectivamente. Calcular os valores\n68 68 nominais das novas duplicatas, sabendo-se que taxa de juro composto utilizada é de 8 % ao semestre e a taxa de juro composto do desconto racional é de 10 % ao semestre. Resp. R$ ,58 9) Um título de R$ 5.000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento pelo critério de desconto comercial composto à taxa de 60 % a.a. com capitalização mensal. Qual o valor do desconto? Resp. : R$ 487,50 10) Uma duplicata de R$ 3.000,00 deverá ser descontada 3 anos do seu vencimento a uma taxa de 25 % ao ano pelo critério do desconto racional composto. Qual seria taxa anual a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto? Resp. : 20 % ao ano 11) Uma duplicata no valor de R$ 2.000,00 é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, qual é o valor do desconto e o valor descontado? Resp. : R$ 380,00 e R$ 1.620,00 12) Que taxa mensal de desconto comercial composto é equivalente a taxa mensal de 20 % de desconto racional composto? Resp.: 16,67 % 13) Um título foi descontado à taxa de. 3 % a.m. cinco meses de seu vencimento. Sabese que essa operação produziu um desconto de R$ ,00. Admitindo o conceito de desconto composto por fora, determinar o valor nominal do título. Resp. : R$ ,92 14) A taxa de desconto composto por fora do banco A é de 3,1 % ao mês para operações com prazo de 90 dias. O banco B oferece uma taxa de desconto de 2,9 % ao mês com o prazo de 120 dias. Determinar qual banco está cobrando a maior taxa efetiva mensal de juros. Resp. : Banco A = 3,19 % ao m ês; Banco B = 2,98 % ao mês 15) Uma instituição financeira deseja cobrar uma taxa efetiva de 3,1 % ao mês em suas operações de desconto composto por fora. Determinar a taxa de desconto que deve ser considerada para um prazo de antecipação de três meses. Resp. : 3,01 % ao mês.\n69 69 16) Qual a taxa de juros composto efetiva mensal de um título descontado à taxa por fora de 4,5 % ao mês 3 meses antes do vencimento? Resp. : 4,71 % ao mês. 17) Uma pessoa quer descontar hoje um título de valor nominal de R$ ,54, com vencimento para daqui a 60 dias e tem as seguintes opções: a) desconto simples racional com taxa de 3 % ao mês; Resp. : R$ 636,54e R$ ,00 b) desconto simples comercial, com taxa de 2,5 % ao mês; Resp. : R$ 562,28e R$ ,26 c) desconto composto racional, com taxa de 3 % ao mês; Resp. : R$ 645,54e R$ ,00 d) desconto composto comercial, com taxa de 2,5 % ao mês. Resp. : R$ 555,25e R$ ,29 Determine em cada caso, o valor do desconto e do valor descontado. Auto-avaliação Você conseguiu resolver todos os exercícios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, então você entendeu os conceitos expostos nesta aula. Se não conseguiu, não desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos, não deixe que suas dúvidas se acumulem.\n70 70 Aula 7 SÉRIES DE PAGAMENTOS (ANUIDADES OU RENDAS CERTAS) Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: - Classificar as diversas séries de pagamento; - Descrever o comportamento das diversas séries de pagamento; - Ensinar a calcular anuidades através da HP12C. As anuidades, também chamadas rendas certas, são séries de pagamentos ou recebimentos que objetivam a liquidação de uma dívida ou a constituição de um capital. No dia a dia, temos o costume de chamar essas séries de pagamentos ou recebimentos de PRESTAÇÃO. Simplificando, seria uma relação do tipo: - 1 pagamento e vários recebimentos; ou - 1 recebimento e vários pagamentos. Repare que, até agora, estávamos falando sempre da relação: - 1 pagamento (PV) para 1 recebimento (FV); ou - 1 recebimento (PV) para 1 pagamento (FV). Por isso usávamos as fórmulas: J. Simples: FV = PV (1+in) J. Simples: FV = PV (1+i) n Como veremos neste capítulo, existem vários tipos de anuidades. Classificação das Anuidades As anuidades diferem entre si quanto ao início do primeiro pagamento ou recebimento, à periodicidade, à duração e aos valores das séries. Dessa forma, podemos classificar: 1- Quanto ao início do primeiro pagamento ou recebimento, elas podem ser: postecipadas - os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro período; antecipadas - os fluxos começam no início do primeiro período; e diferidas - há prazo de carência antes do início do fluxo de pagamentos ou recebimentos. No nosso dia-a-dia há vários exemplos de anuidades postecipadas e antecipadas. Quando compramos um bem financiado sem entrada ocorre uma série postecipada.\n71 71 Mas se compra é com entrada, então se trata de uma série antecipada. Os diagramas de fluxo de caixa (conceito) a seguir representam graficamente as duas possibilidades. Os empreendedores muitas vezes vão se deparar com anuidades diferidas. São os casos dos financiamentos de agentes de desenvolvimento, como o BNDES e a FINEP, por exemplo. Muitos projetos exigem um tempo para maturar, isto é, leva algum tempo para surgirem os retornos. Durante esse tempo de maturação, o agente financeiro oferece um prazo de carência, possibilitando que o pagamento do principal só comece após o projeto apresentar os primeiros retornos. O exemplo a seguir ilustra uma série de pagamentos diferida:\n72 72 2- Quanto à periodicidade elas podem ser: periódicas quando os intervalos de tempo entre os pagamentos ou os recebimentos são constantes (mensal, anual, diário etc); aperiódicas se os fluxos de caixa não obedecem a um intervalo de tempo pré-determinado. 3- Quanto à duração, encontramos anuidades: finitas quando o prazo total do fluxo de pagamentos ou recebimentos é previamente conhecido; perpétuas se o prazo for indeterminado (ou infinito). Tal tipo é utilizado no cálculo de formação de fundos de pensão e na avaliação do preço das ações das empresas. 4- Quanto aos valores, teremos anuidades: constantes se os pagamentos ou recebimentos são iguais em todos os períodos; variáveis quando os pagamentos ou recebimentos mudam de valor nos diferentes períodos. Quando compramos um imóvel financiado, normalmente são solicitadas parcelas intermediárias, fazendo com que o fluxo de pagamentos seja variável.\n73 73 Formação de capital Até aqui, representamos o pagamento de dívidas, porém, o cálculo de anuidades também é útil na determinação de montantes futuros. Digamos que desejo saber quanto devo depositar periodicamente numa aplicação de forma a obter ao final de um certo tempo um determinado valor, ou seja, um capital? Esse problema pode ser representado através do seguinte diagrama de fluxo de caixa, e mais a frente, vamos resolver alguns casos concretos: As aplicações matemáticas deste fluxo específico serão apresentadas na aula 9. CALCULANDO ANUIDADES Você pode não ter percebido, mas com o conhecimento que tem até aqui já está apto a resolver problemas de anuidade. Quer ver? Repare no exercício 4 da aula 3: 4. Vera comprou um aparelho e vai pagá-lo em duas prestações; a l ª, de R$ 180,00, um mês após a compra e a 2 ª, de R$ 200,00, de dois meses após a compra Sabendo-se que estão sendo cobrados juros compostos de 25 % ao mês, qual era o preço à vista do aparelho? Como Vera comprou esse aparelho e vai pagar em 2 prestações de 30 e 60 dias, ela está submetendo-se a uma anuidade. Particularmente, percebemos tratar-se de uma\n74 74 anuidade: finita (2 meses); postecipada (pagamentos ao final dos períodos), periódica (1 pagamento a cada período) e de pagamento variável (1ª de $180 e a 2ª de $200). Para descobrir o PV (valor do bem), devemos somar os dois FVs descontados, assim: Logo: PV1 = PV2 = = = (, ) (, ) = 144 (, ) = (, ) = 128 PV total = PV1 + PV2 = = 272 Nesse sentido, criar um capitulo sobre anuidade seria inútil. Porém, imagine um caso onde o aluno tenha que fazer algum cálculo para 15 pagamentos! Dá para perceber que vai tomar muito tempo. Com a planilha do Excel ou a calculadora HP12c, esses cálculos são facilitados. Porém, existem alguns padrões de anuidades que são comuns e podem gerar fórmulas próprias de calculo que facilitam ainda mais o aluno. Nessa aula, iremos calcular a chamada anuidade padrão, mas, na aula 9, outros tipos de anuidades padronizadas serão apresentadas. ANUIDADE PADRÃO Chamamos de ANUIDADE PADRÃO aquela que, por conta de seus pagamentos ou recebimentos seja: Postecipada, periódica, finita e constante. O fluxo de caixa que representa a anuidade padrão está abaixo representado: C n R R R R R R R\n75 75 CHEGANDO A UMA FÓRMULA GERAL Fazendo uma analogia ao exercício do aparelho da Vera com suas prestações, temos: R R R R C = L+ 1 i ( 1 + i) ( 1 + i) ( 1 + i) 1 C = R n + i L+ ( 1 + i) ( 1 + i) ( 1 + i) Soma de P.G. com razão e primeiro termo iguais a 1+ i n Chamando i de v, a soma S dos termos entre colchetes será: S = v + v + v + v + L + v n S = v + v + v + v + L + v ( v) n+ 1 Sv = v + v + v + v + L + v S Sv = v v S Sv = v v n+ 1 n+ 1 n+ 1 Siv = v v Si = 1 v n n 1 v i S = ( 1 + ) 1 = = a i i( 1 + i) n n n n i Então, para cálculo da anuidade padrão temos: n ( 1 + i) 1 C = R n i( 1 + i) Porém, nos textos financeiros é comum encontrar a seguinte notação: PV PMT n ( 1+ i) i( 1+ i) = n 1 Usamos PMT (payment) para simbolizar esse pagamento constante.\n76 76 EXERCÍCIOS CLÀSSICOS Tal qual os exercícios dos capítulos anteriores, a fórmula de anuidade padrão envolve oferecer 3 incógnitas e pedir a 4ª. Assim os exercícios clássicos seriam: 1) QUERO O VALOR PRESENTE: Qual o preço à vista de uma geladeira que foi vendida em 2 prestações iguais de R$350, sem entrada, sabendo que a loja cobra juros de 2% am? Solução: PV 2 ( 1,02 ) 1 ( ) 350 0,02 1,02 = 2 PV = 679,55 2) QUERO A PRESTAÇÃO: Qual prestação cobrar por uma geladeira que custa R$679,55 à vista, e que será vendida em 2 vezes com juros de 2% am? Solução: 2 ( 1,02) 1 ( ) 679,55 PMT 0,02 1,02 = 2 PMT = 350,00 3) QUERO O PRAZO: Em quantas prestações mensais deve ser financiada uma geladeira que custa R$679,55, se for para pagar R$350,00 com uma taxa de 2%am? Solução: 679,55 n ( 1,02 ) 1 ( ) 350 0,02 1,02 = n ( ) 1, = 1,02 1 0,02( 1,02 ) n Passando o denominador da 2ª parte da igualdade para a 1ª como uma multiplicação: 0,038831(1,02) n = (1,02) n -1 Agrupando os termos com (1,02) n, temos: (1,02) n 0,038831(1,02) n = 1 Logo: 0,961169(1,02) n = 1 n\n77 77 (1,02) n = 1 / 0, (1,02) n = 1,0404 Para quem sabe que 1,0404 = 1,02 2, fica: (1,02) n = 1,02 2 Logo: n = 2 Obs: achou essa saída ruim? Prepare-se para a próxima! 4) QUERO A TAXA: Qual a taxa cobrada em um financiamento de uma geladeira que custa R$679,55, se foi paga em 2 vezes de R$350,00? Solução: 679, ( 1 + i) i( 1 + i) = 2 1 1, = (1+i) 2 1 / i (1+i) 2 1, = (1+i) 2 1 / i (1+2i+i 2 ) 1, = (1+i) 2 1 / i+2i 2 +i 3 1,941571i + 3,883143i 2 + 1,941571i 3 = (1+2i+i 2 ) 1 1,941571i + 3,883143i 2 + 1,941571i 3 = 2i+i 2 1,941571i + 3,883143i 2 + 1,941571i 3 2i i 2 = 0 1,941571i 3 + 2,883143i 2 + 0,058429i = 0 Isso é um polinômio de 3º grau, só existe uma maneira de chegar a taxa, testando: 1ª tentativa: Você SUPÕE que a taxa é 1%am: 1, = (1,01) 2 1 / 0,01 (1,01) 2 1, = (1,0201) 1 / 0,01 (1,0201) 1, = 1, INCORRETO Pela experiência, sabemos que temos que aumentar a taxa para diminuir o valor:\n78 78 2ª tentativa) Eu ACHO que a taxa é 3%am: 1, = (1,03) 2 1 / 0,03 (1,03) 2 1, = (1,0609) 1 / 0,03 (1,0609) 1, = 1, INCORRETO Pela experiência, sabemos que temos que diminuir a taxa para aumentar o valor: 3ª tentativa: Você SUPÕE que a taxa é 2%am: 1, = (1,02) 2 1 / 0,02 (1,02) 2 1, = (1,0404) 1 / 0,02 (1,0404) 1, = 1, CORRETO LOGO, PODEMOS AFIRMAR QUE A TAXA É 2%am. Certamente você já entendeu que não podemos ficar testando taxas infinitamente, assim vamos recorrer a HP12C para refazer esses cálculos: Esse é o ponto crucial que só a HP12c pode resolver. A partir daqui a calculadora cientifica não quebra mais o galho. Repetindo os exercícios 1) QUERO O VALOR PRESENTE: Qual o preço à vista de uma geladeira que foi vendida em 2 prestações iguais de R$350, sem entrada, sabendo que a loja cobra juros de 2% am? Solução: Digite: 350 PMT 2 i 2 n E, por fim, digite PV aparecerá no visor: -679,55 Obs 1 : como a calculadora trabalha com fluxo de caixa, se o PMT foi informado como positivo o PV tem que ser negativo. Por isso a resposta é -679,55.\n79 79 Obs 2 : NÃO SE ESQUEÇA DE APERTAR f e depois clx AO FINAL, PARA LIMPAR TODO O REGISTRO E NÃO ATRAPALHAR A PROXIMA OPERAÇÃO. FAÇA ISSO SEMPRE! 2) QUERO A PRESTAÇÃO: Qual prestação cobrar por uma geladeira que custa R$679,55 à vista, e que será vendida em 2 vezes com juros de 2% am? Solução: Digite: 679,55 PV 2 i 2 n E, por fim, digite PMT aparecerá no visor: ) QUERO O PRAZO: Em quantas prestações mensais deve ser financiada uma geladeira que custa R$679,55, se for para pagar R$350,00 com uma taxa de 2%am? Solução: Digite: 679,55 PV 2 i 350 CHS PMT E, por fim, digite n aparecerá no visor: 2 Mais uma vez: Se PV foi positivo o PMT é negativo, por isso CHS e PV. 4) QUERO A TAXA: Qual a taxa cobrada em um financiamento de uma geladeira que custa R$679,55, se for paga em 2 vezes de R$350,00? Solução: Digite: 350 PMT 2 n 679,55 CHS PV E, por fim, digite i aparecerá no visor: 2 MUITO MAIS FÁCIL, E SEM TESTES!!!!!!! Tabelas prontas:\n80 80 Nas lojas de departamento não é possível pagar um curso de Matemática Financeira para todos os funcionários. Assim, é comum o gestor criar tabelas de multiplicadores para que os vendedores possam calcular os valores de prestações. Existem 3 metodologias para elaborar uma tabela pronta: a racional, a prática e a ridícula. 1- Pela metodologia racional, temos que partir da fórmula: PV PMT n ( 1+ i) i( 1+ i) = n 1 Supondo que a empresa que está criando a tabela use uma taxa de financiamento de 2%am. Dessa forma, é preciso fazer os multiplicadores para todas as propostas de financiamento dela (2x, 3x, 4x,..., Nx). A decisão sobre a taxa cobrada e o prazo de pagamento é da loja e envolve aspectos relativos aos riscos de cada negócio. Supondo que a empresa trabalhe com essa taxa de 2% ao mês, para financiamentos de 2 a 10 vezes. Assim, temos que fazer o cálculo mês a mês: a) Para 2 meses: PV 2 ( 1,02 ) 1 ( ) PMT 0,02 1,02 = 2 PV = PMT x 1,9415 Nesse momento nós já temos um multiplicador, porém ele está em função de PMT e nós queremos o contrário, ACHAR PMT A PARTIR DO PV. Logo: PMT = PV x (1/1,9415) PMT = PV x 0, Dessa forma, basta o vendedor multiplicar o preço de qualquer bem por 0, que ele terá a prestação em 2 vezes para um taxa de juros de 2%am. b) Para 3 meses:\n81 81 PV 3 ( 1,02 ) 1 ( ) PMT 0,02 1,02 = 3 PV = PMT x 2, PMT = PV x (1/2,883883) PMT = PV x 0, Faça o mesmo para: 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 vezes. Respostas: 4 0, , , , , , , Assim, vocês teriam possibilidade de informar as prestações para seus clientes de forma rápida e barata. 2- Pela metodologia prática: Mas vamos supor que sua empresa trabalhe com outra taxa de juros ou que essa taxa sofra alterações ao longo do ano. Apresentamos assim a seguinte fórmula do Excel para resolver essa questão:\n82 82 Basta mudar o valor da taxa na célula B2 que toda tabela será automaticamente ajustada. Por isso chamamos de metodologia prática. 3- Pela metodologia ridícula: Costumamos chamar de metodologia ridícula, pois é uma maneira rápida e simples de se calcular o multiplicador. Para isso, vamos utilizar a calculadora HP12c da seguinte maneira: a) Para 2 meses: 1 CHS PV 2 i 2 n PMT = 0, Como usamos PV (CHS PV) a resposta já está no módulo positivo. b) Para 3 meses: 1 CHS PV\n83 83 2 i 3 n PMT = 0, Faça o mesmo para: 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 vezes. EXERCÍCIOS: 1) Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.000,00, nas hipóteses abaixo: Taxa de juros Prazo Resposta a) 1 % a.m. 24 meses R$ ,39 b) 5 % a.b. 12 bimestres R$ c) 8 % a.t.. 10 trimestres R$ 6.710,08 d) 10 % a.s. 20 semestres R$ 8.513,56 e) 30 % a.a. 30 anos R$ 3.332,06 2) Um carro está a venda por R$ ,00 de entrada mais 24 prestações mensais de R$ Como opção, a agência o vende em 36 prestações mensais de R$ 1.613,16, sendo neste caso exigida uma entrada de R$ ,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de mercado for de 3 % ao mês? Resp.: A 2ª alternativa possui menor valor atual ( R$ ,92) 3) Uma loja vende uma geladeira por R$ 2.000,00 a vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5 % ao mês. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após um mês? Resp.: R$ 151,63 4) O gerente financeiro de uma loja deseja estabelecer coeficientes de financiamento por unidade de capital emprestado. O resultado da multiplicação do coeficiente pelo valor financiado é igual a prestação mensal. Sabendo-se que a taxa de juros da loja é de 4 % a.m., quais os coeficientes nas hipóteses de prazos abaixo? a) 6 meses Resp.: 0, b) 12 meses Resp.: 0,10655 c) 18 meses Resp.: 0, d) 24 meses Resp.: 0, ) Uma motocicleta foi vendida em 4 prestações trimestrais de R$ 1.000,00, sendo a primeira na compra. Se a taxa de mercado é de 3 % ao mês, qual é o preço a vista? Resp. : R$ 3.519,04\n84 84 6) Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$ 6.000,00 à vista. Um cliente está disposto a comprá-lo por R$ 2.000,00 de entrada, mais 36 prestações mensais. De quanto serão as prestações, se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50 % ao ano? Resp.: R$ 195,35 7) Um terreno é vendido por R$ ,00 a vista ou por R$ ,00 de entrada, sendo o saldo financiado. Sabendo-se que a taxa de juros da imobiliária é de 45 % a.a., de quanto serão as prestações, caso o cliente opte por algum dos planos abaixo: a) 24 prestações mensais Resp.: R$ ,45 b) 8 prestações trimestrais Resp.: R$ ,82 c) 4 prestações semestrais Resp.: R$ ,55 8) Numa compra efetuada, o cliente teve o saldo devedor financiado em 3 prestações quadrimestrais de R$ 5.000,00. Contudo, para evitar esta concentração de desembolso, o cliente solicitou a transformação do financiamento em 12 prestações mensais. Se a taxa de juros da loja for de 2 % ao mês, qual deverá ser o valor das prestações? Resp.: R$ 1.213,12 9) Na compra de um equipamento de valor à vista igual a R$ 587,57, um cliente propôs pagar o valor da entrada no decorrer do financiamento e combinou que esse valor seria corrigido a juros compostos de 7 % ao mês. O valor financiado será pago em seis prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 100,00, com a primeira vencendo em trinta dias, e a taxa de financiamento de 60 % ao ano, capitalizados mensalmente. Qual o valor a ser pago na quinta prestação, se o valor relativo à entrada for pago nesse momento? Resp.: Aproximadamente R$ 212,00 10) Um apartamento é vendido por R$ ,00 a vista ou por 50 % de entrada e o restante em 60 meses à taxa de 12 % ao ano capitalizados mensalmente. Qual é o valor das prestações? Resp.: R$ ,22 11) O preço de um imóvel é de R$ ,00. Um comprador ofereceu R$ ,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais, mensais. A taxa de juros compostos é de 5 % ao mês. Qual o valor de cada prestação, desprezando-se os centavos? Resp.: R$ ,00 12) João pretende comprar uma mansão cujo preço à vista é de R$ ,00. A firma vendedora exige 10 % sobre o preço à vista de entrada e financia o restante à taxa de juros compostos de 6 % ao mês, em prestações iguais e sucessivas. João dispõe para pagar, mensalmente, da quantia de R$ ,01. Nessas condições, qual é o numero de prestações? Resp.: 22 meses\n85 85 13) Uma máquina tem o preço de R$ ,00, podendo ser financiada em 10 % de entrada e o restante em prestações trimestrais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a financiadora cobra juros compostos de 28 % ao ano, capitalizados trimestralmente, e que o comprador está pagando R$ ,00, quando vencerá a última prestação? Resp.: 3 anos e 6 meses 14) Um indivíduo deve R$ ,00, vencíveis de hoje a seis meses, e R$ ,00, vencíveis de hoje a doze meses. Para transformar suas dívidas em uma série uniforme de quatro pagamentos postecipados trimestrais, a partir de hoje, a juros e desconto racional compostos de 10 % ao trimestre. Qual o valor do pagamento trimestral? Resp.: R$ ,00 15) Um bem foi adquirido, através de um plano de três prestações de R$ 200,00, sem entrada, e a primeira ocorrendo a trinta dias da data de sua aquisição. A taxa negociada é de 2 % ao mês e o regime de capitalização e composta. Qual o valor do bem na data de aquisição? Resp.: R$ 576,77 16) Uma pessoa paga uma entrada no valor de R$ 23,60 na compra de um equipamento, paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas, no valor de R$ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120 % ao ano, capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações, determine o valor à vista do equipamento adquirido. Resp.: R$ ) Determinada mercadoria é vendida pro R$ 2.500,00 à vista ou por 20 % de entrada mais prestações mensais de R$ 309,00. Sendo de 2 % ao mês a taxa corrente de juros, determinar o número de prestações. Resp.: 7 meses 18) Uma geladeira, cujo preço à vista e R$ 1.000,00, deve ser vendida em cinco prestações mensais e iguais, devendo a primeira prestação vencer ao final do primeiro mês. Considerando-se uma taxa de juros compostos igual a 6 % ao mês, pergunta-se: a) Qual será o valor de cada prestação? b) Qual será o valor cobrado a título de juros? Resp.: R$ 237,40 e R$ 187,00 20) Uma loja apresenta duas propostas de venda de um produto eletrônico: a) entrada de R$ 400,00 mais 8 prestações mensais de R$ 720,00 cada; b) entrada de R$ 650,00 mais 15 prestações mensais de R$ 600,00 cada.\n86 86 Sendo de 3,5 % ao mês a taxa corrente de juros, indicar a alternativa mais atraente para o comprador. Resp.: Alternativa (a) Auto-avaliação Você conseguiu resolver todos os exercícios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, então você entendeu os conceitos envolvendo os conceitos de rendas certas ou anuidades, em particular os conceitos do modelo básico. Se não conseguiu, não desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos, não deixe que suas duvidas se acumulem.\n87 87 Aula 8 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: - Classificar as diversas séries de pagamento; - Descrever o comportamento das diversas séries de pagamento; - Ensinar a calcular anuidades através da HP12C. EXERCÍCIO RESOLVIDO Considerando as informações do anúncio abaixo, determine a prestação. TV XYZ 42 por R$1000 ou em 2x, sem entrada, com juros de 10% am PMT 2 ( 1,1 ) 1 ( ) 0,1 1,1 = = PMT 1, PMT = 576,19 Em outras palavras, uma televisão de R$1000,00 deve ser paga em duas prestações de R$576,19 se a empresa cobra juros de 10% am. Mas vamos escutar um bom papo de vendedor: Como a televisão custa R$1000 e os juros são de 10% ao mês, logo, R$100 do 1º mês com R$100 do 2º dá R$200, somado ao preço da geladeira fica R$1200. Porém, como são dois pagamentos, você terá que pagar duas de R$600. Esse papo convence, NÃO É? Porém você acaba de ver que deve pagar apenas R$576,19. Por que isso acontece? Por que o valor é menor do que o vendedor falou?\n88 88 Observe a tabela a seguir: Mês Saldo Inicial Juros Saldo Parcial Prestação Saldo final ,2 523, ,8 52,3 576,2 576,2 0,00 O que acontece é que após o 1º pagamento você não estará mais devendo R$1000 e sim R$523,8. Logo você terá que pagar 10% sobre esse valor. Em uma linguajem financeira, a dívida foi amortizada após o 1º pagamento. MAS O QUE É AMORTIZAÇÃO? Em termos genéricos, amortização é a parte da prestação que não corresponde aos juros, ou seja é parte real que a dívida diminui, neste exemplo teríamos, mês a mês. AMORTIZAÇÃO = PRESTAÇÃO - JUROS Como a dívida inicial era de R$1000 e o saldo devedor após o 1º pagamento de R$523,8, podemos dizer que essa dívida foi amortizada em R$476,2. De outra forma, basta subtrair da prestação (R$576,2) o valor do juro (R$100) que você terá os R$476,2. No 2º mês a amortização foi de R$523,8 (valor do saldo devedor), fato que levou a ZERO a dívida. Vejamos R$576,2 R$52,3 = R$523,8.\n89 89 CURIOSIDADE A Caixa Econômica Federal possui 30% do mercado nacional de cadernetas de poupança. São quase 150 anos de história, tendo, hoje, mais de vinte milhões de contas de poupança. A história da Caixa se confunde com a história da caderneta de poupança. Em 1861, Dom Pedro II decretou que "a Caixa tem por fim receber, a juro de 6%, as pequenas economias das classes menos abastadas e de assegurar, sob garantia do Governo Imperial, a fiel restituição do que pertencer a cada contribuinte, quando este o reclamar". Dez anos depois, através de Lei, foi estendido aos escravos o direito de depositar em caderneta de poupança. O longo período de tempo em que se encontra em operação faz da caderneta de poupança um dos ativos de menor risco. Uma frase famosa do ex-ministro Delfim Netto retrata bem essa qualidade: Ponho meu dinheiro em caderneta de poupança. Para quem não entende de economia, é a melhor coisa. Agora, quem entende tem outros lugares para perder. Sistemas de amortização Sistema francês ou tabela Price CURIOSIDADE No Brasil, quando é dito 12% a.a. em tabela Price, o custo efetivo anual é maior do que 12%, pois o formato dado às taxas, neste caso, é o de taxa nominal anual com capitalização mensal. O sistema de amortização francês, também conhecido como tabela Price, é aquele no qual encontramos parcelas fixas (anuidade constante), o que implica em amortizações crescentes e juros decrescentes. Vamos aproveitar o exercício do financiamento da TV XYZ 42, para construirmos, passo a passo, uma tabela que mostra os valores de amortização, juros e saldo devedor na tabela Price.\n90 90 Passo 1. No período 0, ou seja, no momento da compra, o único dado disponível é o saldo devedor da dívida ($1000,00). Período Prestação Juros Amortização Saldo ,00 Passo 2. A partir do período 1, podemos lançar o valor da prestação, $576,8 e o valor dos juros: que é igual à taxa de juros de 10% a.m. multiplicada pelo saldo devedor. Período Prestação Juros Amortização Saldo , ,2 100 Passo 3. O valor a ser amortizado, isto é, o valor destinado para redução do saldo devedor é a diferença entre o prestação e os juros. Período Prestação Juros Amortização Saldo , , ,2 523,8 Passo 4. As mesmas operações do período 1 devem ser repetidas no período 2, gerando a seguinte tabela: Período Prestação Juros Amortização Saldo , , ,2 523,8\n91 ,2 52,3 523,8 0,00 Observação: As amortizações no sistema francês crescem a mesma taxa de juros da operação, ou seja, a amortização do período 2 ($523,8) é equivalente a amortização do período 1 ($476,2) aplicadas à taxa de 10% a.m. 476,2 x 1,1 = 523,8 CURIOSIDADE Ao contrário do que muitos imaginam, o nome Tabela Price não está relacionado à palavra preço (price em inglês). Trata-se de uma homenagem ao matemático inglês Richard Price ( ) que desenvolveu, a pedido de uma seguradora inglesa, tábuas de mortalidade que serviram de base para o cálculo de seguros e aposentadorias. A partir deste estudo, as tábuas foram adaptadas, adotadas e universalizadas pelos franceses como forma de amortização de empréstimos. Por isso, chamamos sistema francês ou tabela Price o processo de amortização de dívidas com prestações iguais. ENTENDEDO UM POUCO MAIS A AMORTIZAÇÃO Vamos supor que uma pessoa pegou esses $1000 para pagar em 2x com juros de 10%am, de alguém que faz empréstimos de forma autônoma (uma pessoal física e não um banco). Vamos supor também que no 1º mês o devedor não tenha os R$576,2 para pagar, dessa forma, ele oferece um cheque de R$400. A mesma dificuldade de pagamento se apresentou no 2º mês, porém, nessa data, ele só tinha R$450 para pagar. Como será a tabela de amortização, haja vista que o pagamento estava previsto de acordo com a tabela price?\n92 92 Mês Saldo Juros Saldo Pagamento Saldo Inicial Parcial Final Ao final do 2º mês o devedor ainda está devendo R$320 ao credor. Se no próximo mês ele não tiver valor para quitar a dívida, continuará a ter obrigação com esse agente de crédito. A tabela price pode ser feita na planilha eletrônica de seu computador, basta seguir a ordem: Tudo que temos que fazer é mudar, exemplo a exemplo, o número de períodos, a taxa de juros e o saldo inicial.\n93 93 Amortização em séries uniformes usando a Hp12c Seja um empréstimo de R$1000, para ser pago em 4 prestações iguais e postecipadas a uma taxa de juros de 10%am. A fórmula de anuidade padrão nos leva a 4 prestações de R$ 315,47. A tabela de amortização desse empréstimo é: Mês Saldo Juros Saldo Pagamento Saldo Amortização Inicial Parcial Final ,47 784,53 215, ,53 78,45 862,98 315,47 547,51 237, ,51 54,75 602,26 315,47 286,79 260, ,79 28,67 315,47 315, ,79 Após fazer o cálculo da prestação na HP12c: 1000 PV 10 i 4 n PMT = 315,47 NÃO APAGUE NADA! NÃO USE AS TECLAS CLx ou f CLx A função de amortização na calculadora é denominada AMORT e está localizada na tecla n. Para o caso de séries uniformes, os valores de juros, amortização e saldo de cada período podem ser acessados, um a um, através da seguinte sequência de teclas: 1 f n X Y RCL PV Assim, ao digitarmos: 1 f AMORT APARECERÁ: -100 Esse é o valor dos juros no período 1.\n94 94 Em seguida, devemos digitar: X><Y APARECERÁ: -215,47 Que é o valor da amortização no período 1. Por fim, ao digitarmos: RCL PV APARECERÁ: 784,53 Que é o valor do saldo final no período 1. AO REPERTIRMOS A SEQUENCIA, TEREMOS OS VALORES DOS JUROS, AMORTIZAÇÃO E SALDO FINAL DO 2º PERÍODO. NA TERCEIRA REPETIÇÃO, TEREMOS OS VALORES DOS JUROS, AMORTIZAÇÃO E SALDO FINAL DO 3º PERÍODO. NA QUARTA REPETIÇÃO, TEREMOS OS VALORES DOS JUROS, AMORTIZAÇÃO E SALDO FINAL DO 4º PERÍODO. LOGO: NA ENÉSIMA REPETIÇÃO, TEREMOS OS VALORES DOS JUROS, AMORTIZAÇÃO E SALDO FINAL DO PERÍODO n QUALQUER. - Também podemos achar o valor ACUMULADO dos juros, da amortização e do saldo final em um período n qualquer. Basta, ao final do calculo da prestação: 1000 PV 10 i 4 n PMT = 315,47\n95 95 NÃO APAGUE NADA! NÃO USE AS TECLAS CLx ou f CLx Para calcular direto os juros acumulados até o 3º período: 3 f AMORT APARECERÁ: -233,20 Esse é o valor dos juros ACUMULADOS até o período , ,75 = 233,20 Ao digitarmos: X><Y APARECERÁ: -713,21 Que é o valor da amortização ACUMULADA até o período 3. Por fim, ao digitarmos: RCL PV APARECERÁ: 286,79 Que é o valor do saldo final no período 3. - Se quisermos achar o valor dos juros, a amortização e saldo final no período SUBSEQUENTE. Basta, ao final dos cálculos anteriores. Digitar: 1 f AMORT APARECERÁ: -28,67 Esse é o valor dos juros no período 4. Depois, digitar: X><Y\n96 96 APARECERÁ: -286,79 Que é o valor da amortização no período 4. Por fim, digitar: RCL PV APARECERÁ: 0 Que é o valor do saldo final no período 4. Sistema de amortizações constantes (SAC) Como o próprio nome deixa claro, no Sistema de Amortizações Constantes SAC, as amortizações durante o pagamento da dívida são iguais em todos os períodos. No SAC as prestações e os juros vão caindo ao longo do tempo. Este sistema é largamente usado em operações junto a agentes financeiros como a FINEP e o BNDES. Utilizando como exemplo uma operação de $1.000, a ser paga em 4 parcelas no SAC, a uma taxa de 5% ao período, construiremos uma tabela na qual serão discriminados os juros e as amortizações. O primeiro passo é dividir o valor do financiamento pelo número de parcelas. No caso, as amortizações terão sempre o valor constante de $250 (=$ ). Depois, vamos começar a preencher a tabela com os dados conhecidos: os valores da dívida e da amortização. Período Prestação Juros Amortização Saldo , ,00\n97 97 Como a taxa é juros é de 5% ao período, então os juros do período 1 serão iguais a $50 (taxa de juros aplicada sobre o saldo devedor). Dessa forma, a prestação será igual a $300 (soma dos valores de amortização e de juros), e o saldo devedor cai para $750 (o saldo devedor anterior menos o valor amortizado). Período Prestação Juros Amortização Saldo , ,00 50,00 250,00 750,00 Repetindo as mesmas operações nos períodos subseqüentes, obtemos a tabela completa. Período Prestação Juros Amortização Saldo , ,00 50,00 250,00 750, ,50 37,50 250,00 500, ,00 25,00 250,00 250, ,50 12,50 250,00 0,00 Observe que há uma redução de $12,50 por período sobre os juros e os valores das prestações. Tal valor pode ser calculado pela aplicação da taxa sobre o valor da amortização fixa ($12,50 = $250 x 5%). Sistema americano No sistema americano, o que permanece constante no tempo são as parcelas de juros. Se os juros permanecem constantes, então, não há variação do saldo devedor. Neste sistema, o pagamento do principal só ocorre no final da operação, não havendo amortizações nas parcelas intermediárias.\n98 98 Adotando os mesmos valores referentes aos prazos, ao capital inicial e à taxa, utilizados na construção da tabela SAC, teremos: Período Prestação Juros Amortização Saldo , ,00 50,00 0, , ,00 50,00 0, , ,00 50,00 0, , ,00 50, ,00 0,00 ATIVIDADE Utilize anúncios de bens financiados que foram publicados em jornais e revistas para determinar as taxas praticadas. Lembre-se de que são necessários, no mínimo, três dados para tais cálculos. Caso o anúncio forneça a taxa, verifique se ela corresponde àquela que você calculou. EXERCÍCIOS 1) Um estabelecimento comercializa um eletrodoméstico por R$ 3.000,00. No crediário é exigida uma entrada de 40% do valor da mercadoria. Como os juros cobrados são de 5% am, qual será o valor das prestações se o cliente optar pela liquidação da dívida em 6 parcelas mensais? 2) Uma mercadoria pode ser adquirida em 5 prestações mensais de R$ 630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 4% am, qual seria o valor dessa mercadoria? 3) Parte do pagamento de uma máquina, cujo valor à vista é de R$ ,00 é financiada em 12 prestações mensais de R$ 1.500,00. Calcular o pagamento que deve ser feito de entrada, sabendo-se que a taxa do financiamento é de 1,5% am. 4) Um aparelho que custa à vista R$ 130,00, está sendo anunciado por R$ 25,00 de entrada e mais 6 prestações mensais de R$ 22,30. Qual a taxa efetiva mensal de juros cobrada pela loja?\n99 99 5) Em uma loja há uma oferta de um balcão para pagamento em 5 parcelas mensais de R$ 350,00, sendo a primeira de entrada. Sabendo-se que a taxa cobrada pela loja é de 7% am para vendas a prazo, calcule o valor à vista do balcão. 6) Uma geladeira de R$1000,00 pode ser paga em 10x com juros de 5% AM. Monte as tabelas de amortização constante e crescente. RESPOSTAS 1) 354,63 2) 2.919,80 3) ,74 4) 7, % am 5) 1535,52 6) Constante Período Amortização Juros Prestação Saldo x 5% = x 5% = x 5% = x 5% = x 5% = x 5% = x 5% = x 5% = x 5% = x 5% = CRESCENTE Período Juros Prestação Amortização Saldo 0\n100 ,00 129,50 79,50 920, ,03 129,50 83,48 837, ,85 129,50 87,65 749, ,47 129,50 92,03 657, ,87 129,50 96,63 560, ,04 129,50 101,46 459, ,96 129,50 106,54 352, ,64 129,50 111,86 240, ,04 129,50 117,46 123, ,17 129,50 123,33 0,00 Auto-avaliação Você conseguiu resolver todos os exercícios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, então você entendeu os conceitos envolvendo os conceitos de amortização. Se não conseguiu, não desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos, não deixe que suas dúvidas se acumulem.\n101 101 Aula 9 ANUIDADES ANTECIPADAS, DIFERIADS E PERPÉTUAS Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: - Entender os conceitos envolvidos no estudo das séries não uniformes; - Entender o conceito de montante do modelo básico de uma renda uniforme; - Determinar o fator de valor futuro e montante de uma serie uniforme de pagamento;. - Interpretar e resolver os problemas propostos. O objeto de estudo da matemática financeira é a evolução do dinheiro no tempo. Esperamos que vocês já tenham compreendido que dois ou mais capitais, só podem ser comparados, quando encontrarem-se na mesma data focal. Conceitualmente, dois ou mais capitais só serão equivalentes, se e somente se, sob uma mesma taxa, produzem o mesmo resultado numa determinada data comum. Considere o seguinte diagrama: 0 E 1 E períodos S 1 S 2 Não podemos comparar os valores das entradas de caixa E 1 e E 2 com as saídas de caixa S 1 e S 2 por estarem em períodos de tempo diferentes. Isso significa que NÃO podemos comparar os valores da seguinte maneira: E 1 + E 2 são iguais ou diferentes de S 1 + S 2? Contudo, se tomarmos a data zero como a data focal, podemos transferir os valores conforme diagramado abaixo:\n102 102 E E períodos 0 S 1 S 2 Na data zero, a uma determinada taxa i, temos, em juros compostos: E 1 + E 2 = ( 1 + i) ( 1+ i) ( 1 + i) ( 1+ i) 6 S 1 + S 2 Nesse caso, a data zero escolhida transformou todas as entradas e saídas de caixa em FVs. Portanto, para compará-los tivemos que descapitalizá-los, transformando-os todos em PVs. Novamente destacamos que essa operação já é conhecida por você, não existe fórmula nova no conceito de equivalência de capitais. Para falar a verdade, o conceito de equivalência de capitais também não é novo. Você ainda não reparou nas fórmulas de Juros Simples e Juros Compostos? FV = PV (1+in) e FV = PV (1+i) n O símbolo de = identifica que o FV é equivalente ao PV capitalizado. Assim, vocês já estão preparados para resolver qualquer operação de matemática financeira. Lembrem-se do exemplo apresentado no item CALCULANDO ANUIDADES da aula 7.\n103 103 Porém, como destacamos naquele momento existem situações padronizadas que podem gerar fórmulas próprias que facilitam os cálculos. Vocês já conheceram a Anuidade padrão. VAMOS CONHECER OUTRAS? Formação de capital Quando objetivamos investir regularmente certa quantia de capital, por exemplo, na caderneta de poupança, com vistas a gerar um montante. Se esse montante for resultado de um fluxo periódico, finito e constante, teremos a chamada formação de um montante dos fluxos de uma anuidade padrão. Para a formação de um montante os fluxos das anuidades padrão é assim diagramado: n R R R R R R R S Por equivalência de capitais, na data n teremos: S = R n 1 n 2 n 3 2 ( 1 + i) + R( 1 + i) + R( 1 + i) + L + R( 1 + i) + R( 1 + i) 2 ( ) ( ) L n 2 n i i + + ( 1 + i) + ( 1 + i) [ ] S = R Somatório de P.G. de razão=(1+ i) eprimeiro termo= 1 + R Então, para cálculo de anuidade padrão temos: S = n ( 1+ i) 1 R i Podemos verificar tal relação mais facilmente pelo esquema abaixo:\n104 104 x (1+i ) n C n S R R R R R R R (1 + i) n n n C ( 1 + i) = R (1 + i) n i(1 + i) 1 Portanto: (1 + i) S = R i n 1 ou FV (1 + i) = PMT i n 1 Exemplo 9.1: Você deseja depositar na poupança (que rende em média 0,6%am) R$100 por mês durante 1 ano para realizar uma compra. Quanto terá ao final do prazo? Solução FV = 100 (, ), FV = 1240,40 Porém, essa resposta pode ser obtida através da calculadora HP12c: Digite: 100 PMT 0,6 i 12 n E, por fim, digite FV aparecerá no visor: -1240,40\n105 105 MAIS UMA VEZ não se esqueçam de que estamos trabalhando com módulo, O valor de -1240,40 é, na verdade, o montante de R$1240,40. DESSA FORMA, VOCÊ SERÁ CAPAZ DE RESOLVER TODOS OS PROBLEMAS DESSA ORDEM COM A CALCULADORA!! ANUIDADES ANTECIPADAS Chamaremos de anuidade antecipada a Anuidade padrão que, como o próprio nome sugere, apresenta contrapartidas periódicas, finitas, constantes e ANTECIPADAS. Esse esquema de pagamento é muito comum no crédito direto ao consumidor, quando o primeiro pagamento (entrada) for igual aos demais. C n R R R R R R R Como a série de pagamentos é antecipada um período, ou seja, os pagamentos são realizados no início de cada período, basta multiplicar a prestação calculada no modelo postecipado por ( 1+ i) e encontraremos a expressão geral para o esquema antecipado: C n (1 + i) 1 Ra n i(1 + i) ou = 1 PV n (1 + i) 1 PMTa n i(1 + i) = 1 Onde PMTa é a prestação antecipada. Exemplo 9.2:\n106 106 Você deseja comprar uma mercadoria de R$1000 em 4 prestações iguais e com uma entrada (em outras palavras, 5 pagamentos iguais sendo o 1º no ato da compra). Se a taxa cobrada pela empresa é de 2% am, qual o valor das prestações? Solução 1000 = PMT (, ), (, ) PMT = 208 Note bem que o valor indicado como n foi 5, referente aos 5 pagamentos! Porém, essa resposta pode ser obtida através da calculadora HP12c. Para isso, você deverá ajustar sua máquina para pagamentos antecipados. Isso se dá inserindo a função BEGIN (através das teclas g 7 ). É imprescindível aparecer a palavra BEGIN na parte inferior do visor de sua máquina: Digite: 1000 PV 2 i 5 n E, por fim, digite PMT aparecerá no visor: -208 DESSA FORMA, VOCÊ SERÁ CAPAZ DE RESOLVER TODOS OS PROBLEMAS DESSA ORDEM COM A CALCULADORA!! Não se esqueça de tirar o BEGIN após o uso: teclas g 8 Em alguns casos é possível descontar a 1ª parcela do valor do bem e tratar o fluxo de caixa como uma anuidade padrão de n-1. Por exemplo: - Um bem que custe R$1000 à vista ou em 5x com entrada de R$220; É igual a: - Um bem de R$780 à vista em 4x sem entrada de R$220. Nesse caso, ambos os fluxos devem ter a mesma taxa de juros. TESTE PARA VER!\n107 107 ANUIDADES DIFERIDAS Chamamos de diferida a anuidade que apresenta prazo de carência anterior ao primeiro pagamento ou recebimento. Para k períodos de carência, o esquema seria diagramado dessa forma: C 0 k+1 k+2 k+3 n prazo de carência R R R R Podemos calcular o capital inicial C através da seguinte expressão: n k (1 + i) 1 C = R n i(1 + i) ou PV n k (1 + i) 1 = PMT n i(1 + i) Exemplo 9.3: Sua empresa vai pegar um empréstimo de R$ para pagar em 12 vezes, sabendo que esses pagamentos têm prazo de carência de 1 ano e a taxa de juros cobrada é de 5%am (Nesse caso, a empresa fica 12 meses sem pagar. Os desembolsos iniciam-se no 13º mês e vão até o 24º) qual o valor dos pagamentos? Solução O fluxo de caixa do exemplo segue o esquema:\n108 prazo de carência R R R R Resolvendo: Repare que o prazo de carência K é (1,05) = PMT 24 0,05(1,05) PMT = ,1132 Muitos alunos colocam 13, pois é o 1º número que eles veem no fluxo após a carência. CUIDADO! Para fazer com a HP12c, o primeiro passo é achar o valor da dívida no mês 12 (ou seja, 1 mês antes de completar 1 ano). Nesse caso, podemos usar a fórmula da anuidade padrão e achar o FV: Digite: PV 5 i 12 n E, por fim, digite FV aparecerá no visor: ,163 Esse é o valor da divida 1 mês antes de iniciar os pagamentos. Para achar a prestação mensal usamos a fórmula de anuidade padrão: Digite: ,163 CHS PV 5 i 12 n E, por fim, digite PMT aparecerá no visor: ,1132 ANUIDADES PERPÉTUAS\n109 109 As perpetuidades indicam um número infinito de períodos como mostrado abaixo: C n = R R R R R R Para resolver, temos: C = n ( 1 + i ) 1 R n = i( 1 + i ) R i n ( 1 + i ) 1 R 1 = 1 ( 1 + i ) ( 1 + i ) i ( 1 + i ) n n n lim n R i 1 1 ( 1 + i ) n = R i Então, temos a seguinte expressão geral para pagamentos ou recebimentos perpétuos: R C = i ou PMT PV = i Exemplo 9.4: Um estádio de futebol para pessoas custa R$ ,00 e vai ser construído pela iniciativa privada. Sabendo que ele deve ser ocupado por 4 partidas mensais (preço do ingresso R$30) e 1 show a cada 2 meses (preço do ingresso R$100) e que a taxa de juros de mercado é de 10% aa, quantas cadeiras perpetuas ele deve ter? Solução O 1º passo é descobrir o valor do benefício anual de quem irá comprar a cadeira: - 4 partidas por mês a R$30 o ingresso dá R$1440 ao ano;\n110 110-1 show a cada 2 meses com ingresso a R$100 dá R$600 ao ano; TOTAL DO BENEFÍCIO: R$2040 ao ano. O 2º passo é descobrir o valor atual desse benefício perpétuo: PV =, PV = O 3º passo é saber quantas cadeiras perpétuas são necessárias para contrução desse estádio: Preço total / valor unitário = Número de cadeiras / = N N 2451 cadeiras EXERCÍCIOS 1) 1000 i= 5% a.m meses PMT=? R: 282,0118 2)\n111 111 PV=? i= 2% a.m meses R: 2942,5637 3) Um indivíduo deseja criar um fundo de previdência próprio. Decide depositar mensalmente 10% de seu salário durante os 35 anos que permanecer trabalhando. Considere a taxa de caderneta de poupança (0,5% a.m.) e determine o montante que será acumulado por tal aplicação. R: 14247,10% do salário ou 142,47 salários integrais 4) C=? i=10% a.m R: 538,9525 5) 1000 i = 10% a.m R R R=? R R: 363,0370\n112 112 6) Por quanto tempo poderá o indivíduo do exercício 3, fazer retiradas mensais iguais ao seu salário integral de quando estava na ativa? R: 250 meses 7) Recalcule os exercícios 3 e 6 à taxa de 0,4% a.m. R 1 : 10869,01% do salário ou 108,6901 salários integrais R 2 : 143 meses 8) C=? i=1% a.m meses R: 785,4371 9) Uma loja tem como norma facilitar os pagamentos, proporcionando aos seus clientes a possibilidade de pagar em três meses sem acréscimo. Nesse caso o preço à vista é dividido por 3 e a primeira é dada como entrada. Qual o desconto sobre o preço à vista que a loja pode conceder, se a taxa praticada pela loja for de 7,5 % ao mês? Resp.: 6,8 % Auto-avaliação Você conseguiu resolver todos os exercícios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, então você entendeu os conceitos envolvendo os conceitos de anuidades fora do padrão. Se não conseguiu, não desista volte a aula e reveja os conceitos e exemplos, não deixe que suas duvidas se acumulem.\n113 113 Aula 10 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Objetivos: Ao final da aula você será capaz de: - Apresentar as principais ferramentas de análise de investimentos; - Calcular o retorno do investimento em termos de tempo envolvido (payback) e rentabilidade (taxa interna de retorno); - Calcular a taxa interna de retorno e o valor presente líquido de investimentos através do Excel; - Interpretar e resolver os problemas propostos. Em cada decisão há uma taxa de juros a ser entendida Por Mara Luquet Valor Econômico - 27/6/2007 Sua família costuma conversar sobre taxas de juro? Quando estão reunidos na hora do jantar ou no carro nas viagens de fim de semana, vocês falam sobre taxas de juro? Não? Tem certeza? Pense um pouco. Não se trata da taxa básica de juro da economia, aquela que você tem ouvido falar que está em queda. Mas fundamentalmente da taxa de juro que você e sua família estão praticando nas suas decisões cotidianas. Quando decidem comprar uma televisão de plasma, antecipar ou adiar uma viagem, trocar de carro ou de casa, ou até o tênis novo. Tudo isso, rigorosamente tudo terá impacto na sua vida. São escolhas que você faz e para todas elas haverá um termo de troca, uma taxa de juro, que você vai pagar se tiver antecipando ou vai ganhar se tiver adiando. Diariamente, vocês utilizam uma taxa de juro, uma taxa de desconto para fazerem suas escolhas. Se não prestam a atenção devida a essas taxas podem estar cometendo erros graves nas suas escolhas. A taxa de juro é a taxa de desconto que você utiliza para fazer suas trocas intertemporais. Trata-se de um prêmio para aqueles que são pacientes e de um custo para os que têm pressa. Existe um livro, escrito por um brasileiro, o professor Eduardo Giannetti, que simplesmente não pode faltar na sua estante. Mais do que isso, o livro de Giannetti, "O Valor do Amanhã", tem que ser lido em família e depois servir de linha condutora de um debate que vai melhorar muito a forma como sua família encara receita e gastos e, principalmente, pensa e planeja o futuro. A leitura do livro de Giannetti é deliciosa, recheada de exemplos históricos, literatura e uma viagem em diversos ramos do conhecimento, da biologia às próprias finanças. Não se trata de um livro de teoria econômica, mas de filosofia, uma experiência que pode ser enriquecedora para toda família, principalmente para seu filho, que não poderá cometer muitos erros com dinheiro. Por isso, é fundamental que você o ajude a entender o conceito de taxa de juro. Como explica Giannetti, a elevada impaciência infantil ocorre porque o equipamento cerebral e mental da criança ainda não está inteiramente constituído. No entanto, coisa inteiramente distinta é o fenômeno da impaciência juvenil. O jovem, diz Giannetti, ainda que naturalmente impulsivo e entregue às demandas e apelos do\n114 114 momento, tem a faculdade da antevisão. "Ele figura em sua mente um amanhã. O futuro, entretanto, o que é? Uma abstração, um romance por ser escrito, uma película virgem a ser filmada e roteirizada com a câmera da imaginação". Estar ao lado, muito próximo do seu filho nesta fase pode ser fundamental para o sucesso dele, mais até mesmo do que qualquer ajuda financeira que você possa desembolsar. Como explica o próprio Giannetti no livro: Ocorre que sua antevisão do amanhã é tudo, menos um esforço frio e sóbrio de encarar limites, aceitar a existência de trade-offs ou fixar probabilidades minimamente objetivas. Aos olhos de um jovem - e por razões compreensíveis -, conceber o futuro, imaginar tudo o que a vida lhe promete e reserva, não é exercício de previsão - é sonho". As chances de seu filho conseguir realizar boa parte desses sonhos que alimenta na juventude têm uma correlação muito forte com o conhecimento dele sobre taxas de juro. Mais uma vez vale repetir: não apenas as taxas de juro praticadas na economia, o que também é extremamente importante, mas fundamentalmente as taxas de juro que ele vai praticar por toda a vida. 2.1 Análise de Investimentos Suponhamos que você esteja considerando a viabilidade de abrir um negócio ou mesmo ampliar um já existente. Ou, ainda, que você queira fazer as contas para saber se vale a pena substituir um equipamento antigo por um mais moderno. Nesses casos, o que está em jogo é um processo de análise de investimentos. Desde já, observe que há um forte elemento subjetivo e de risco nessa avaliação. Afinal, quem sabe com certeza como se comportarão os mercados nos próximos anos, ou mesmo, qual será a vida útil dos equipamentos adquiridos? Um empreendedor mais otimista, ou menos avesso ao risco, pode realizar um investimento que outro, mais pessimista ou avesso ao risco, não realizaria. Uma conjuntura econômica favorável pode tornar os empreendedores mais otimistas, resultando em um boom de investimentos. Apesar da subjetividade que cerca a decisão de investir, há alguns critérios que conferem um maior grau de racionalidade ao processo. O primeiro passo consiste em observar os tipos de avaliação que se pode ser feita. As avaliações estão divididas em: Apenas uma proposta quando o investidor estuda fazer ou não determinado investimento. Nesse caso, fator de comparação pode ser um outro empreendimento que ele já realiza(custo DE OPORTUNIDADE), ou o chamado investimento risk free, ou seja, aqueles em que o rendimento é certo (poupança, por exemplo); Mais de uma proposta nesse caso, podemos estar diante de duas situações. Na primeira, temos possibilidade de assumir todas as propostas e a análise se assemelha a anterior (avaliação comparativa com outros investimentos). Na segunda situação as propostas são chamadas, mutualmente exclusivas, ou seja, optar por uma significa abrir mão das outras. Dessa forma, a avaliação comparativa se faz entre as alternativas propostas.\n115 115 O segundo passo envolve o levantamento exaustivo de todas as receitas e gastos, possibilitando a elaboração do fluxo de caixa do negócio. Por exemplo, a decisão de adquirir uma máquina requer que sejam conhecidos os seguintes itens: Vida útil da máquina quanto tempo ela vai durar em termos físicos ou tecnológicos. Valor residual da máquina por quanto posso vendê-la após sua vida útil, mesmo como sucata. Receitas líquidas futuras qual será o resultado líquido por período (receitas com vendas menos os custos e as despesas) durante a sua vida útil. Vamos considerar um investimento em uma máquina no valor de $10.000, com vida útil de 5 anos, valor residual de $1.250, e cujos produtos gerarão receitas líquidas futuras anuais de $ Nesse exemplo, teremos o seguinte diagrama de fluxo de caixa: Observe que há uma saída de caixa decorrente do investimento na máquina e uma série de entradas periódicas decorrentes das vendas dos produtos, além da venda da própria máquina ao final do quinto ano. Por isso, o fluxo do ano 5 corresponde à soma da receita líquida esperada ($3.750) mais o valor residual da máquina ($1.250). O terceiro passo é utilizar algum critério de análise de investimentos. Aplicaremos ao caso em questão as seguintes ferramentas: payback, valor presente líquido e taxa interna de retorno. 2.2 Payback\n116 116 Payback é a ferramenta de análise de investimentos que determina quanto tempo é necessário para que a empresa recupere o valor investido. Este método é muito usado por pequenas empresas, devido à facilidade de cálculo e ao fato de ser bastante intuitivo. Quanto maior o payback, maior o tempo necessário para que o investimento se pague. Além disso, quanto maior o payback, maior o risco envolvido, pois o futuro é incerto. Dessa forma, por esse critério, a regra básica é: quanto menor melhor. Em nosso exemplo, o projeto abate $3.750 do investimento no primeiro ano, restando $6.250 a ser pago. No segundo ano, outros $3.750 reduzem para $2.500 o saldo do investimento ainda a ser pago. Apenas no final do terceiro ano é que o investimento estará totalmente pago. Uma forma simples, porém aproximada, de calcular o payback no caso de uma série uniforme é dividir o investimento total pela receita líquida anual ($ $3.750 = 2,67). No exemplo, o investimento estará pago após 2,67 anos (ou seja, 2 anos e 8 meses). Embora seja bastante simples o payback é muito usado. Experimente, por exemplo, verificar alguma franquia à venda. Uma das informações mais requisitadas é o tempo de retorno do investimento, ou seja, o PAYBACK, ele é o indicador do risco do negócio, pois quanto mais alto o payback, maior a vulnerabilidade as intempéries do mercado. Proposta: Faço aqui uma afirmação: Qualquer negócio com payback próximo de 10 anos não deve ser considerado bom!. Tendo como base a caderneta de poupança, você é capaz de dizer por que? RESPOSTA NO FINAL DESTE CAPÍTULO.\n117 117 QUESTIONAMENTO A essa altura do campeonato você deve estar se perguntando: eu estudei tanto sobre o valor do dinheiro no tempo; por que ele foi desconsiderado agora? De fato, o período de payback não leva em conta a valorização do dinheiro no tempo. Porém, há uma alternativa e uma explicação razoável para isso. EXPLICAÇÃO Quando estamos analisando dois ou mais investimentos pelo período de payback, se aplicarmos a mesma taxa de desconto nos dois, aquele que tem retorno mais rápido sem a descapitalização também o terá com descapitalização. É pura matemática. 10 > 5 Logo, aplicando a mesma taxa de desconto 1,1 10/1,1 > 5/1,1 Pois 9,09 > 4,54 ALTERNATIVA Usar o payback descontado. Ele não tem muita diferença do payback, mas, para calculá-lo, devemos descontar seu fluxo de caixa usando uma taxa definida pela empresa. Em nosso exemplo:\n118 118 Supondo um custo de capital de 15% ao ano, temos de descontar todos os valores futuros a essa taxa para determinar quando o investidor terá os ,00 de volta, assim: - No primeiro ano: PV = 3750 / (1,15) 1 = 3260,87 Lembre-se que esse valor está no n=1 Dessa forma, o fluxo de 3750 contribui com 3260,87 no payback descontado. Como o investimento foi de ,87 = 6739,13 é o valor que ainda deve ser restituído ao investidor. - No segundo ano: PV = 3750 / (1,15) 2 = 2835,54 Lembre-se que esse valor está no n=2 Dessa forma, o segundo fluxo de 3750 contribui com 2835,54 no payback descontado. Como o investimento foi de 6739, ,54 = 3903,59 é o valor que ainda deve ser restituído ao investidor. - No terceiro ano: PV = 3750 / (1,15) 3 = 2465,68 Lembre-se que esse valor está no n=3 Dessa forma, o terceiro fluxo de 3750 contribui com 2465,68 no payback descontado. Como o investimento foi de 3903, ,68 = 1437,70 é o valor que ainda deve ser restituído ao investidor. - PARECE QUE O PAYBACK FECHARÁ NO PRÓXIMO ANO, assim, você deve tomar o seguinte cuidado: - No quarto ano: PV = 3750 / (1,15) 4 = 2144,07 Lembre-se que esse valor está no n=4 Dessa forma, o quarto fluxo de 3750 contribui com 2144,07 no payback descontado. Como faltam 1437,70 a ser restituído ao investidor e o valor descontado é de 2144,07. LOGO: 1437,70 / 2144,07 = 0,67 do ano.\n119 119 Por regra de 3: 12 meses 1 X meses 0,67 x = aproximadamente 8 meses. Dessa forma, temos o payback em 3 anos e 8 meses. Lembre-se que, se os valores futuros foram descontados, o PAYBACK DESCONTADO será maior do que o PAYBACK! 2.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) A segunda ferramenta de análise de investimentos a ser aprendida neste curso é a taxa interna de retorno. Também largamente utilizada nos meios financeiros, ela é a taxa que iguala o valor presente do somatório das receitas líquidas futuras ao valor do investimento. Ou seja, no nosso exemplo, o somatório das receitas líquidas futuras, quando descontado a taxa interna de retorno, teria que ser igual aos $ investidos (por equivalência de capitais). Em termos matemáticos: Para expressar a TIR em termos algébricos, teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = Como estamos diante de um polinômio de 5º grau, teremos que TESTAR taxas para descobrir a qual a TIR resultante. Como já provamos em capítulos anteriores, essa metodologia é muito longa e pouco proveitosa. Dessa forma, temos que recorrer a nossos instrumentos tecnológicos novamente. Na calculadora HP12c, temos que usar as funções de fluxo de caixa (ou cash flow CF, em inglês). Elas estão disponíveis na cor azul sobre as teclas PV, PMT e FV. Não se esqueça do inglês:\n120 120 Função Equivalente à: NPV Net Present Valuer (VPL) IRR Internal Rate of Return (TIR) Devemos seguir os passos. Digite: CHS g CFo Ou seja, é o fluxo na data ZERO 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data UM 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data DOIS 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data TRÊS 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data QUATRO 5000 g CFj Ou seja, 5000 é o fluxo na data CINCO Depois, digite f IRR e irá aparecer: 27,31 Isso significa que a TIR é de 27,31%. Como esse fluxo apresenta alguma repetição, poderíamos usar a tecla Nj: Digite: CHS g CFo Ou seja, é o fluxo na data ZERO 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data UM 4 g Nj Ou seja, o fluxo se repete por 4 vezes 5000 g CFj Ou seja, 5000 é o fluxo na data CINCO Depois, digite f IRR e irá aparecer: 27,31 Outra opção seria utilizar a planilha Excel. Digite o fluxo de caixa em uma coluna, por exemplo, e procure (INSERIR FUNÇÃO FINANCERIA TIR).\n121 121 Cerque todos os valores conforme a figura. Não precisa colocar nada como estimativa. Clique em OK. A planilha retorna o valor 27,3% a.a.. Nas versões mais novas do Excel as funções matemáticas estão localizadas na ABA Fórmulas. Lá você encontrará INSERIR FUNÇÃO. De acordo com o que se espera da TIR, o investimento será aceito caso a TIR seja maior do que a taxa mínima de atratividade (risk free) ou outro investimento que o investidor já tenha (custo de oportunidade). Dessa forma, quanto maior a TIR, maior a probabilidade de um investimento ser considerado viável. No nosso exemplo, se o custo de oportunidade ou a taxa risk free tivesse valores até 27,0% a.a., esta máquina seria considerada um bom negócio! A função XTIR Em alguns casos estamos avaliando investimentos cujas datas de desembolsos e recebimentos estão estabelecidas em datas não regulares.\n122 122 Podemos estar falando de diferentes datas nos meses, ou seja, ao invés de todo o dia 03 de cada mês, os desembolsos ou recebimentos acontecerem em datas variadas. Ou acontecer de alguns meses não apresentarem saldo. Nesse caso, fica impreciso usar a ferramenta TIR haja vista que ela implica na aceitação de uma mesma data de desembolso e/ou recebimento todo período. Por exemplo: Um empréstimo que vence todo o dia 5 de cada mês é facilmente calculado através das teclas da calculadora financeira ou da planilha eletrônica. Um empréstimo que vença no 1º dia útil de cada mês terá uma variação na TIR se comparado o valor apresentado pela ferramenta XTIR (valor real). Vamos observar: No dia 5 de janeiro de 2010 um investidor realizou um empréstimo de $10.000,00 para pagar em 6 prestações de $1.000,00 e mais 6 de $1.200,00. Qual a taxa interna de retorno ao se comparar a opção onde os pagamentos se dão sempre no dia 5 com outro que vence no 1º dia útil de cada mês? PELA TIR CHS g CFo 1000 g CFj 1000 g CFj 1000 g CFj 1000 g CFj 1000 g CFj 1000 g CFj 1200 g CFj 1200 g CFj\n123 g CFj 1200 g CFj 1200 g CFj 1200 g CFj Depois, digite f IRR e irá aparecer: 4,35 Ou seja a TIR é 4,35%am PELA XTIR A primeira tarefa é levantar as datas dos pagamentos: Fevereiro de 2010: 02/02 Março de 2010: 01/03 Abril de 2010: 01/04 Maio de 2010: 03/05 Junho de 2010: 01/06 Julho de 2010: 01/07 Agosto de 2010: 02/08 Setembro de 2010: 01/09 Outubro de 2010: 01/10 Novembro de 2010: 03/11 (feriado cai na terça então consideramos o próximo dia) Dezembro de 2010: 01/12 Janeiro de 2011: 02/01 Em seguida colocamos as datas e os valores na planilha eletrônica:\n124 A função XTIR encontra-se no MENU financeiro das funções da planilha. Dessa forma, após digitar datas e valores procure (INSERIR FUNÇÃO FINANCERIA XTIR). 124\n125 125 Aparecerá a seguinte janela: Você deverá selecionar as células relativas aos valores e as datas, a estimativa pode ficar em branco. Assim, Nesse caso particular:\n126 126 O resultado aparecerá: Uma informação fundamental sobre a XTIR é que a resposta sempre estará anualizada, ou seja, a TIR é 68,636% ao ano. Neste caso, devemos descobrir a taxa equivalente ao mês.\n127 127 Queremos: Mês = Temos: Ano (1 + i) 12 = (1,68636) 1 (1 + i) = (1,68636) 1/12 (1 + i) = 1,04451 i = 1, i = 0,04451 ou 4,451% ao mês Reparem que a TIR foi de 4,35%am, enquanto que a XTIR é de 4,45%am. Pode parecer uma diferença pequena, mas para grandes projetos essa diferença pode significar a diferença entre aceitar ou rejeitar a proposta. 2.4 Valor Presente Líquido (VPL) O valor presente líquido é uma ferramenta de análise de investimentos que considera a mudança de valor do dinheiro no tempo. Nela, todos os fluxos de caixa futuros são descontados a uma determinada taxa arbitrada pelo decisor, descobrindo-se se os valores atuais desses fluxos futuros. Algebricamente: Que tal voltar a refletir sobre os argumentos do texto da Mara Luquet? No exemplo que estamos s apresentando, adotaremos arbitrariamente a taxa de 15% a.a., que será considerada a taxa mínima de atratividade. Por ora, não vamos entrar em maiores detalhes sobre a taxa a ser usada. Por enquanto, adote o seguinte raciocínio: se há aplicações sem risco (CDB s, por exemplo), qualquer negócio para valer a pena deve\n128 128 ter taxa superior a essas aplicações. Ou, se você já tem determinada rentabilidade em outro investimento essa será a Taxa Mínima de Atratividade. VPL = (, ) + (, ) + (, ) + (, ) + (, ) VPL = 13192, = 3192,05 Na calculadora: CHS g CFo Ou seja, é o fluxo na data ZERO 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data UM 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data DOIS 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data TRÊS 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data QUATRO 5000 g CFj Ou seja, 5000 é o fluxo na data CINCO Digite 15 i Depois, digite f NPV e irá aparecer: 3192,05 Isso significa que o VPL, usando uma taxa de 15% é de R$3192,05. Como esse fluxo também apresenta alguma repetição, poderíamos usar a tecla Nj: Digite: CHS g CFo Ou seja, é o fluxo na data ZERO 3750 g CFj Ou seja, 3750 é o fluxo na data UM 4 g Nj Ou seja, o fluxo se repete por 4 vezes 5000 g CFj Ou seja, 5000 é o fluxo na data CINCO Digite 15 i\n129 129 Depois, digite f NPV e irá aparecer: 3192,05 Mas não se preocupe. Você não precisará usar cinco vezes a função VP para trazer cada uma das receitas líquidas futuras para a data zero. Ainda bem, pois imagine o trabalho que daria esse procedimento em um projeto com vida útil de 25 anos. A planilha eletrônica torna bastante simples o que na verdade é um cálculo complexo: basta usar a função VPL. Para calcular o VPL proceda da seguinte forma: Digite, em seqüência (em coluna ou em linha), o conjunto do fluxo de caixa. Clicar em uma célula vazia e buscar: INSERIR FUNÇÃO FINANCEIRA VPL Informe a taxa mínima de atratividade. Para VALORES 1: Informe o conjunto das células que compõe as ENTRADAS DO FLUXO DE CAIXA. Clicar em OK.\n130 130 Note que não inserimos a célula correspondente ao desembolso de R$ Como interpretar o resultado, no valor de $13.192,05, da planilha? Simples: considerando a taxa de 15% a.a., o investimento em questão, além de reembolsar os $10.000,00 investidos, gerou uma sobra, cujo valor presente líquido é igual a $3.192,05 (repare que o conjunto de valores usado para o cálculo do VPL não incluiu o investimento). Refaça o exercício utilizando uma taxa de atratividade menor. Qual foi o efeito sobre o cálculo do VPL? De forma geral, um investimento será aceito caso apresente um VPL positivo. Ao contrário do payback, a regra é a seguinte: quanto maior, melhor. A função XVPL Da mesma forma que a função XTIR calcula a taxa interna de retorno exata em investimentos com datas de desembolso e recebimentos pré-definidas, a função XVPL tem a mesma finalidade. Voltemos ao mesmo exemplo da função XTIR apresentado: No dia 5 de janeiro de 2010 um investidor realizou um empréstimo de $10.000,00 para pagar em 6 prestações de $1.000,00 e mais 6 de $1.200,00. Qual o valor presente líquido (dada uma taxa de desconto de 4% am) ao se comparar a opção onde os pagamentos se dão sempre no dia 5 com outro que vence no 1º dia útil de cada mês? PELA VPL CHS g CFo 1000 g CFj 1000 g CFj 1000 g CFj 1000 g CFj\n131 g CFj 1000 g CFj 1200 g CFj 1200 g CFj 1200 g CFj 1200 g CFj 1200 g CFj 1200 g CFj 4 i Depois, digite f NPV e irá aparecer: 213,66 Ou seja, o VPL é $213,66 PELA XVPL A primeira tarefa também será levantar as datas dos pagamentos: Fevereiro de 2010: 02/02 Março de 2010: 01/03 Abril de 2010: 01/04 Maio de 2010: 03/05 Junho de 2010: 01/06 Julho de 2010: 01/07 Agosto de 2010: 02/08 Setembro de 2010: 01/09 Outubro de 2010: 01/10 Novembro de 2010: 03/11 (feriado cai na terça então consideramos o próximo dia) Dezembro de 2010: 01/12 Janeiro de 2011: 02/01\n132 132 Em seguida colocamos as datas e os valores na planilha eletrônica: A função XVPL encontra-se no MENU financeiro das funções da planilha. Dessa forma, após digitar datas e valores procure (INSERIR FUNÇÃO FINANCERIA XVPL).\n133 133 Aparecerá a seguinte janela: Um ajuste necessário será anualizar a taxa de atratividade. Assim: Queremos: Ano = Temos: Mês (1 + i) 1 = (1,04) 12 (1 + i) = 1,601032\n134 134 i = 1, i = 0, ou 60,1032% ao ano Inserindo essas informações na janela: O resultado aparecerá $269,26. Reparem que o VPL aproximado foi de $213,66 enquanto que o VPL real (descoberto através da função XVPL da planilha eletrônica) é de $269,26. Pode parecer uma diferença pequena, mas para grandes projetos essa diferença pode significar a diferença entre aceitar ou rejeitar a proposta. EXERCÍCIO ) Calcular o Payback (Investimento: R$ 500 / Retornos mensais: 145, 110; 100, 145, 120, 150) 2) Quem tem Payback menor A(Investimento: 230 / Retornos mensais: 80, 80, 80, 80, 80) B(Investimento:100 / Retornos mensais: 30, 30, 40, 30)\n1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA I PROF: EDUARDO PICANÇO, D.Sc. MATEMATICA FINANCEIRA PARA ADMINISTRAÇÃO Autores: Eduardo Picanço Guilherme Guimaraes