Pasado por Javier Tarrío\n1 Trigonometría esférica\n1.2 Triángulo esférico\n1.3 Fórmulas fundamentales de primer orden de la trigonometría esférica\n1.4 Fórmulas fundamentales de segundo orden de la trigonometría esférica\n1.5 Triángulos esféricos singulares\n1.6 Regla del pentágono de Neper\n1.7 Resolución de triángulos esféricos\n1.8 Fórmulas diferenciales de la trigonometría esférica\n2 Forma y dimensiones de la Tierra. Coordenadas terrestres\n2.1 El geoide\n2.4 Relación entre las latitudes\n2.5 Relación entre y las latitudes\n2.6 Correcciones a las coordenadas\n3 Esfera celeste. Movimiento diurno aparente. Rotación de la Tierra\n3.1 Movimiento diurno aparente\n3.2 La esfera celeste\n3.3 Rotación terrestre\n4 Movimiento orbital de la Tierra\n4.2 Ley de Titius-Bode\n4.3 Movimiento orbital de la Tierra\n4.4 Movimiento aparente del Sol a lo largo de un año\n5 Sistemas de coordenadas astronómicas. Transformaciones de coordenadas\n5.1 Coordenadas horizontales\n5.2 Coordenadas ecuatoriales horarias\n5.3 Transformación de coordenadas horizontales a ecuatoriales horarias\n5.4 Coordenadas ecuatoriales absolutas\n5.5 Relación entre coordenadas ecuatoriales horarias y absolutas. Tiempo sidéreo\n5.6 Coordenadas eclípticas\n5.7 Transformación de coordenadas ecuatoriales absolutas a eclípticas\n5.8 Coordenadas galácticas\n5.9 Transformación de coordenadas galácticas a ecuatoriales absolutas\n6 Algunos problemas fundamentales en astronomía de posición\n6.1 Unidades de distancia\n6.2 Medida del tiempo\n6.3 Cuadrantes solares: construcción de relojes de Sol\n6.4 Movimiento geocéntrico de los planetas\nA. Transformaciones de coordenadas mediante rotaciones\nA..1 Coordenadas horizontales y horarias\nA..2 Coordenadas absolutas y eclípticas\nA..3 Coordenadas galácticas y eclípticas\nB. Ecuación del tiempo\nEstos apuntes se basan en las lecciones impartidas en la asignatura Fundamentos de Astronomía del año 2003 en la Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela, en base al temario elaborado por el doctor José Ángel Docobo a finales de los años setenta. Con los mismos dió clase en la universidad de Zaragoza y luego, desde el curso 1981-82, en la de Santiago de Compostela. A partir de los años noventa, su discípula y doctoranda Josefina Ling comenzó también a dar clase utilizando en base a dicho material.\nEn el primer tema (trigonometría esférica) se presenta la trigonometría sobre la superficie de una esfera. Para su desarrollo se presuponen conocimientos básicos en trigonometría plana, cambios en sistemas de coordenadas, cálculo algebraico y cálculo diferencial.\nEl segundo tema nos acerca a la descripción de la Tierra en cuanto a su forma y las dimensiones de ésta. A continuación se dan los conceptos de coordenadas terrestres para situar los puntos sobre la superficie de la Tierra y poder determinar unívocamente la posición desde las que hacemos las observaciones. No se requiere ningún conocimiento matemático complicado, simplemente trigonometría plana básica.\nEn los temas tres y cuatro se explican algunas generalidades sobre la Tierra, los planetas y su movimiento de traslación, pero sin entrar mucho en detalles. Tabmién se dan definiciones necesarias para el tema cinco, el más importante de este curso (y objetivo del mismo) en el que se enseñan los diferentes tipos de coordenadas estelares y cómo pasar de unos a otros. Para ello se empleará la trigonometría esférica que se aprendió en el primer tema.\nFinalmente, en el tema seis se comentan algunos problemas en astronomía de posición, como pueden ser la medida del tiempo o cuando es mejor observar los planetas. Tampoco se entra en detalle en este tema.\nLas imágenes del tema cinco están sacadas del libro Fundamentos de astronomía, de M. Seeds. Las imágenes del tema dos son retoques hechas por el autor de los apuntes a una imagen sacada de internet, al igual que la imagen del triángulo esférico que aparece en la primera página de los apuntes. El resto son hechas a mano (en realidad sobra este comentario, se nota) por el autor.\nel lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan una distancia (que llamaremos radio) de un punto llamado centro. Hay que hacer notar que aunque la esfera es un volumen tridimensional finito en el espacio euclidiano su superficie es una superficie bidimensional ilimitada. Sobre esta superficie podemos definir una geometría, la cual llamaremos geometría esférica, que difiere en varios puntos de la geometría euclidiana.\nes la intersección de un plano que pasa por el centro y la esfera. Este círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios. Cualquier plano que no pase por el centro de la esfera la interseca en un círculo menor.\nPolos de un círculo máximo:\n(o simplemente polos) son los extremos del diámetro de la esfera perpendicular a ese círculo máximo.\nCon estas definiciones podemos entonces definir la distancia esférica entre dos puntos como la medida sobre el círculo máximo que los une, entendiendo por distancia el arco más corto que los une. Esta distancia se hará en medidas angulares (i.e. radianes o grados sexagesimales). Por la propia definición la distancia de un polo a un punto cualquiera de su círculo máximo es siempre igual a un cuadrante ( ).\nFigura 1: Imagen de un triángulo esférico\nEl triángulo esférico es la porcion de superficie esférica limitada por tres círculos máximos, con la condición de que cada uno de los arcos que limita la figura es menor que una semicircunferencia. Los vértices de este triángulo se suelen denotar por letras mayúsculas y sus lados opuestos por la letra minúscula correspondiente.\nLos ángulos se definen a partir del diedro definido por los lados y el centro de la esfera, mientras que los lados se corresponden a los ángulos interiores. Tanto ángulos como radios son, por tanto, medidas angulares.\n1.2.1 Triángulo polar\nDado un triángulo esférico decimos que es triángulo polar del primero si cumple:\nCada vértice de es polo de su lado correspondiente , o .\nLos vértices correspondientes de y están en el mismo hemisferio.\nProposición 1 Si es triángulo polar de , entonces es triángulo polar de .\nPara demostrar esto (lo haremos sólo para un ángulo y su lado correspondiente) tenemos que ver que es polo de y que y están en el mismo hemisferio. La segunda parte es trivial. Para la primera parte demostraremos que y .\nComo es polo de tenemos la distancia ( ). Procedemos análogamente para . Por lo tanto y es polo de .\nProposición 2 Si es triángulo polar de entonces:\nLos vértices de uno son suplementarios de los lados del otro ( ), ( )\nLos lados de uno son suplementarios de los vértices del otro ), ( )\nFigura 2: Demostración de la proposición 2\nComo es polo de y y son arcos de círculos máximos entonces . Es obvio además que y .\nComo es polo de entonces . Análogamente . Sumando las expresiones obtenemos:\n1.2.2 Relaciones en un triángulo esférico\nEntre los lados:\nEl lado de un triángulo esférico es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia ( ).\nLa suma de los tres lados de un triángulo esférico es siempre menor que cuatro rectos ( ).\nEntre los ángulos:\nla suma de los tres ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos y menor que seis ( ).\nEntre ángulos y lados:\nSi un triángulo esférico tiene dos lados iguales sus lados opuestos también lo son ( ).\nSi un triángulo esférico tiene dos lados desiguales a mayor ángulo se opone mayor lado ( ).\nResolver un triángulo esférico es calcular tres elementos del mismo una vez que se conocen los otros tres. Para ello emplearemos las fórmulas fundamentales de la trigonometría esférica. Las de primer orden nos relacionan los ángulos y lados enteros a través de sus funciones trigonométricas. Las de segundo orden relacionan los semielementos de los triángulos esféricos a través de esas mismas funciones.\n1.3.1 Fórmulas de Bessel\nPara encontrar las relaciones entre lados y ángulos del triángulo esférico partimos de un sistema de coordenadas rectangulares.\nFigura 3: Deducción de las relaciones entre lados y ángulos\nEl punto dista del origen una unidad y tiene coordenadas . Por inspección de la figura 3(a) vemos que estas coordenadas se pueden expresar mediante:\nQue resulta ser lo mismo que un cambio a coordenadas esféricas.\nSi ahora hacemos un giro en torno al eje de amplitud (figura 3(b)) vemos que el punto sigue distando una unidad del origen, pero sus coordenadas esféricas son ahora:\nPero, como hicimos una rotación en torno a un eje fijo, las expresiones (1) y (2) están relacionadas mediante una matriz de giro:\nEsta expresión matricial parece darnos las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo esférico, pero esto es cierto siempre y cuando la nomenclatura de los ángulos en las figuras 3(a) y 3(b) sean consecuentes con un triángulo esférico. Se puede ver que esta nomenclatura coincide con la realidad en la figura 3(c). Por tanto, podemos hacer cuentas en esa expresión matricial y encontrar unas fórmulas relacionando ángulos y lados del triángulo esférico:\nEstas tres fórmulas son totalmente generales y se pueden obtener para otros ángulos mediante permutaciones cíclicas de los ángulos.\nLa primera fórmula de Bessel también recibe el nombre de teorema del coseno. La segunda fórmula de Bessel se conoce como teorema del seno.\n1.3.2 Fórmulas de Bessel para el triángulo polar\nVeamos ahora lo que ocurre cuando aplicamos estas fórmulas al triángulo polar. Si dos triángulos son polares la proposición 2 nos dice que sus ángulos y lados correspondientes son suplementarios, por tanto y . Análogamente y .\nAplicando estas relaciones a la ecuación (4) obtenemos la relación , pero si esto es válido para el triángulo polar también será válido, en general, para cualquier triángulo, de modo que:\nAplicándolo a la ecuación (6) obtenemos , que de nuevo es válido en general, por lo tanto:\nLa ecuación (5) no nos da ninguna expresión nueva al aplicarla al triángulo polar.\n1.3.3 Fórmula de la cotangente\nEsta fórmula se obtiene dividiendo la ecuación (6) por la (5) (en el término a la izquierda del signo igual se divide por mientras que el término a la derecha se divide por ):\n1.3.4 Fórmula de Cagnoli\nSi multiplicamos la ecuación (4) por y le sumamos a los dos términos obtenemos fácilmente el resultado .\nPasándolo al triángulo polar tenemos la expresión .\nEmpleando la ecuación (5) dos veces, de modo que entonces tenemos que\nSi sustituímos por el valor dado en la primera fórmula de Bessel obtenemos la llamada fórmula de Cagnoli:\n1.4.1 Fórmulas de Borda\nEstas fórmulas son seis (una para cada lado y una para cada ángulo):\nLas otras cuatro expresiones se obtienen permutando los elementos.\n1.4.2 Analogías de Delambre\nLas analogías de Delambre son doce, cuatro analogías representativas (las otras ocho se obtienen permutando elementos) son:\n1.4.3 Analogías de Neper\nEstas analogías son también doce, y se obtienen dividiendo las analogías de Delambre miembro a miembro. Cuatro ejemplos son:\nExisten dos clases de triángulos que poseen una característica especial que ayuda a que los cálculos se simplifiquen notablemente, estos dos triángulos son:\naquellos triángulos en los que uno de sus ángulos vale .\naquellos triángulos en los que uno de sus lados vale .\nQue las fórmulas se simplifican de un modo amplio es obvio, pongamos un ejemplo: si tomamos la primera fórmula de Bessel (ecuación (4)) y tenemos un triángulo rectángulo en el cual la fórmula se simplifica a .\nEsta es una regla mnemotécnica para la resolución de triángulos esféricos. Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con o un triángulo rectilátero con . En ese caso podemos construír un pentágono tal y como se indica en la figura 4.\nFigura 4: Regla de los pentágonos de Neper\nLa regla del pentágono de Neper dice que el coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vértices continuos e igual al producto de los senos de los elementos situados en vértices opuestos.\nPor ejemplo, en el caso de un triángulo rectángulo tenemos que .\nHay que hacer notar que los ángulos y lados de los triángulos esféricos se definen entre y , con lo que a la hora de resolverlos empleando arco-cosenos y arco-tangentes no se nos presenta ninguna ambigüedad, pero a la hora de emplear arco-senos no sabemos si el ángulo o lado están en el primer cuadrante o en el segundo.\nSea pues un triángulo esférico de ángulos , y y lados , y ; veamos cómo se resuelve en función de los datos conocidos:\nConocidos , y : Se calcula el lado con la primera fórmula de Bessel para y, ahora que conocemos los tres lados, calculamos los otros dos ángulos con la primera fórmula de Bessel para y .\nConocidos , y : En este caso la solución no es única. Empleando la segunda fórmula de Bessel para los datos conocidos obtenemos el valor , que nos da dos soluciones para el ángulo . Ahora hacemos dos veces (una para cada valor de ) un sistema de ecuaciones con la primera fórmula de Bessel para y y obtenemos los dos valores correspondientes de . Por último, aplicamos para cada valor de la primera fórmula de Bessel y obtenemos los dos valores del ángulo que falta.\nConocidos , y : Aplicamos la primera fórmula de Bessel para el triángulo polar para y, una vez que obtenemos el ángulo que nos faltaba por conocer, volvemos a aplicar la primera fórmula de bessel para el triángulo polar para y .\nConocidos , y : De nuevo la solución no es única. Utilizando la segunda fórmula de Bessel obtenemos los dos valores posibles de . Trabajando análogamente al segundo caso, usamos dos sistemas (uno para cada valor de ) entre las primeras fórmulas de Bessel para el triángulo polar para y y tenemos los dos valores de . Por último, con la primera fórmula de Bessel para el triángulo polar para obtenemos el correspondiente valor .\nConocidos , y : En este caso empleamos la primera fórmula de Bessel para calcular los tres ángulos.\nConocidos , y : En este caso empleamos la primera fórmula de Bessel para calcular los tres lados.\nCuando tenemos un triángulo esférico una pequeña variación en uno de sus datos provoca variaciones en los datos a calcular. En astronomía de posición conviene calcular, pues, los errores en las posiciones y las variaciones en los datos. Para ello consideramos estos fallos como infinitesimales y los representamos analíticamente como las diferenciales de los elementos, en una primera aproximación. Obtengamos, pues, las fórmulas a partir de la expresión matricial de las fórmulas de bessel (ecuación (3)), reescribámosla para hacerla más manejable:\nDiferenciamos esta expresión elemento a elemento, resultando:\nEsta expresión resulta bastante grande, así que procedemos a simplificarla. Damos aquí los pasos a realizar y el resultado final: en la matriz correspondiente a aplicamos la tercera fórmula de Bessel (ecuación (6)) en la primera fila y la fórmula de Cagnoli (ecuación (10)) en la tercera; en la matriz correspondiente a aplicamos la segunda fórmula de Bessel (ecuación (5)) tanto a la primera fila como a la segunda; en la matriz correspondiente a aplicamos la tercera fórmula de Bessel (ecuación (6)) a la primera fila y la primera fórmula de Bessel (ecuación (4)) a la tercera.\nAhora ya podemos pasar a escribir las fórmulas diferenciales de la trigonometría esférica: identificando la primera fila y dividiendo ambos miembros de la igualdad por tenemos:\nIdentificando la segunda fila y dividiendo por en el primer miembro y por en el segundo obtenemos:\nPara obtener la tercera fórmula diferencial hay que desarrollar y simplificar un poco la ecuación que se obtiene de identificar la tercera fila. En ella aparece un al que aplicaremos la ecuación (4). Después de hacer eso, agrupando términos, obtenemos:\nQue, tras dividir ambos términos de la igualdad por nos da:\nLa cuestión de la forma que presenta nuestro planeta y sus dimensiones la trata una ciencia llamada geodesia. Este estudio se lleva a cabo por medio de aproximaciones sucesivas.\nAntiguamente se le dieron formas muy diversas a la Tierra, fueron los filósofos pitagóricos los que dijeron que era una esfera (s.VI a.C.) basándose en experiencias de los navegantes al observar las estrella; la desaparición de un barco a medida que se aleja de la cosa o la forma de la sombra que proyecta la Tierra sobre la Luna en un eclipse (Aristóteles).\nUna vez admitida la hipótesis de que la Tierra es eférica habría que determinar su tamaño. Eratóstenes realizó una experiencia para obtener el radio. Sabía que en el solsticio de verano el sol no proyectaba sombra al mediodía en la antigua ciudad de Siena, sin embargo en Alejandría sí. Midiendo la distancia entre Siena y Alejandría y el tamaño de la sombra el mediodía del solsticio calculó un valor del radio , 111km menor que el radio ecuatorial actualmente admitido. Este error es debido a varios hechos que Eratóstenes dio por ciertos y no lo son: Alejandría y Siena no están en el mismo meridiano; el sol no está justo sobre Siena el día del solsticio1 y la Tierra no es exactamente esférica.\nFue Newton en el s.XVII cuando enunció su ley de la gravitación universal y estableció un postulado:\nAl combinar el efecto de las fuerzas gravitatorias terrestres y la fuerza centrífuga debida a la rotación sobre la masa elástica de la Tierra, se produce un achatamiento en los polos.\nPor lo tanto la forma de la Tierra sería la de un elipsoide de revolución según Newton. En el s.XVIII dos expediciones midieron el radio ecuatorial y polar de la Tierra para confirmar este postulado, pero se encontraron que a ángulos iguales no le corresponden arcos iguales, por lo que la forma tampoco sería esa. El error es debido a que las masas internas de la Tierra son inhomogéneas y esto Newton no lo tuvo en cuenta.\nEn general la forma de la Tierra es muy complicada y no se puede representar mediante una superficie geométrica de formulación matemática simple. Es por esto que se define el geoide.\nEl geoide es una figura definida para describir la forma de la Tierra. Su propiedad característica a la hora de definirlo es que es normal a la dirección de la gravedad en cada punto, entendiendo por gravedad la composición de la fuerza centrífuga y la fuerza de gravitación.\nEl campo gravitatorio terrestre resulta ser un campo conservativo, con lo que deriva de un potencial, lo que matemáticamente se expresa por: . De modo que si tenemos superficies equipotenciales.\nEntonces podemos definir el geoide como la superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre al nivel del mar. Es decir, la superficie en calma de los océanos prolongada al lugar ocupado por los continentes.\nEn la actualidad la geodesia (y la forma del geoide) se basa en el estudio de las órbitas de los satélites artificiales.\nSe demuestra en mecánica que el potencial terrestre se puede representar en función de los armónicos esféricos , de modo que:\nDonde los se determinan a partir de las órbitas de los satélites. Si eliminamos todos los armónicos esféricos en los que (sabiendo que ) nos queda la expresión del potencial debido a una esfera homogénea, pero los satélites no se ajustan a esta órbita. Teniendo en cuenta el siguiente término el potencial se corresponde con un elipsoide de revolución; si introducimos el siguiente armónico nos daría una figura ligeramente parecida a una pera... La forma iría evolucionando según tuviésemos en cuenta más y más potenciales armónicos.\nEn estos apuntes vamos a suponer, para simplificar las cosas, que la forma de la Tierra es un elipsoide de revolución. Esta suposición no es muy descabellada ya que la distancia máxima entre el radio del geoide y el radio del elipsoide es de 100m, diferencia despreciable en distancias planetares y estelares. A este elipsoide le llamaremos elipsoide de referencia. El eje de giro pasa por los polos y coincide con el eje menor. Las dimensiones fueron definidas en el año 1976 por la Unión de Astrónomos Internacional del siguiente modo:\nson las líneas elipsoidales determinadas por el corte entre el elipsoide y el haz de planos que define el eje menor. Se considera como meridiano cero al que pasa por el observatorio de Greenwich.\nSi tomamos un punto cualquiera del elipsoide por él pasará un meridiano y un paralelo exclusivamente. Llamamos meridiano superior de un lugar a la semielipse que parte de los polos y pasa por el lugar .\nLlamamos meridiano inferior a la semielipse que parte de los polos pero no pasa por el lugar .\nson los extremos donde el eje menor corta al elipsoide.\nel corte entre el plano perpendicular al eje menor que pasa por el centro del elipsoide y éste. Es un círculo máximo.\nel corte entre los planos paralelos al ecuador y el elipsoide de referencia. Son círculos menores. Se considera como paralelo cero al ecuador.\nVertical de un lugar:\nes la normal a la elipse por el lugar . Esta vertical define dos direcciones: hacia arriba el zénit (Z) y hacia abajo el nadir (Z').\nHorizonte del lugar:\nes el plano perpendicular a la vertical del lugar . El horizonte interseca al plano que contiene al meridiano superior en una línea llamada línea meridiana. Esta línea indica la dirección norte-sur. La perpendicular a la línea meridiana trazada sobre el horizonte del lugar indica la dirección este-oeste.\n2.3.1 Coordenadas geográficas\nFigura 5: Coordenadas terrestres geográficas\nLatitud geográfica ( ):\nángulo que forma la vertical del lugar con el plano del ecuador. Este valor varía entre y si los contamos en dirección norte y entre y si los contamos en dirección sur.\nLongitud geográfica ( ):\nángulo diedro que forma el meridiano cero con el meridiano superior del lugar. Este valor varía entre y si los contamos en dirección este y entre y si los contamos en dirección oeste2.\n2.3.2 Coordenadas geocéntricas\nFigura 6: Coordenadas terrestres geocéntricas\nes la distancia entre el centro de la Tierra y el lugar .\nLatitud geocéntrica ( ):\nángulo que forma el radio vector con el plano del ecuador. Este valor varía entre y si los contamos en dirección norte y entre y si los contamos en dirección sur.\ncoincide con la latitud geográfica ( ).\n2.3.3 Latitud reducida o excéntrica\nFigura 7: Coordenas terrestres con latitud recudida\nA veces se usa otra latitud que se denomina latitud reducida o excéntrica. Para definirla se traza una semicircunferencia de radio igual al semieje mayor y se pasa por una perpendicular al semieje mayor que corta a la semicircunferencia en . Si unimos con el centro de la elipse vemos que esta línea corta al plano del ecuador con un ángulo , que e la latitud reducida.\nHay que hacer notar que el punto pertenece a una elipse, por lo tanto verifica su ecuación: .\nPor inspección de las figuras se puede observar que . Para hayar la tangente de vemos que es la normal a la tangente a una curva por un punto, por lo que (como demuestra el cálculo diferencial) .\nRelacionando estas dos tangentes vemos enseguida que\nPor otra parteel punto pertenece a una circunferencia y cumple la ecuación . Por construcción tenemos, además, que , de modo que\nPodemos escribir la ecuación de la esfera dependiendo de la latitud reducida del modo siguiente: , . Por tanto, de esta relación y la deducida anteriormente obtenemos\nPara obtener la tercera relación entre las latitudes basta con combinar las dos relaciones obtenidas, con lo que queda:\nDe la definición de las coordenadas geocéntricas relacionamos con las coordenadas cartesianas: resulta obvio ver que e , con lo que .\nAdemás, por la definición de latitud reducida se puede ver que , y teniendo en cuenta que según la definición de excentricidad podemos llegar a que .\nPartiendo de la ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas llegamos a otra relación entre y : , por lo que .\nPor último, y como llegamos a .\nLas correcciones que se muestran a continuación se hacen necesarias debido a que el lugar de observación no se encuentra, por lo general, sobre el elipsoide que empleamos para describir la Tierra, sinó a una altitud sobre él. Esta altitud ( ) se mide sobre la vertical del lugar, de modo que podemos definir las nuevas coordenadas del lugar como:\nAhora intentaremos expresar e también como función de la latitud geográfica para tener expresiones sólo en función de ella. Se verifica que\ndonde y son dos funciones a calcular.\nSi dividimos por obtenemos:\nque, teniendo en cuenta la ecuación (18) nos queda como\nAhora, despejando de la expresión para tenemos que y despejando de la expresión para tenemos que . Elevándolas al cuadrado y sumando miembro a miembro obtenemos la expresión para :\nY despejando de la relación entre y\nPor tanto las ecuaciones para la posición de un lugar en relación al elipsoide de la Tierra, teniendo en cuenta la corrección por motivo de la altitud, son:\ncon y dadas por las ecuaciones (19) y (20).\nHemos aproximado la Tierra a un elipsoide de rotación. La Tierra tiene un movimiento de rotación en el sentido oeste-este en torno al eje menor.\nNosotros no percibimos de forma obvia este movimiento. Pero, si por ejemplo miramos hacia el sur de noche veremos a las estrellas saliendo por el este y poniéndose por el oeste trazando arcos de circunferencia. Si miramos hacia el este veremos como las estrellas salen ``inclinadas'' y hacia el oeste se ponen ocn la inclinación contraria. Si miramos hacia el norte veremos que las estrellas trazan semicircunferencias con el centro situado hacia arriba del horizonte.\nSa la impresión, por tanto, de que las estrellas se mueven. Este movimiento aparente recibe el nombre de movimiento diurno aparente. Es, como parece lógico, una consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra.\nLa esfera celeste es una esfera imaginarica concéntrica con la Tierra, de radio arbitrariamente grande y sobre la cual se encuentran proyectadas las estrellas mediante radios. La esfera celeste está dotada de un movimiento de rotación en torno al eje que llamamos eje del mundo. Es la prolongación del eje de rotación de la Tierra. Sobre esta esfera podemos definir objetos análogos a los definidos sobre la Tierra, así tenemos polo norte celeste, polo sur celeste, ecuador celeste, meridianos celestes (también llamados círculos horarios)... Sin embargo, en este caso, el sentido de rotación de la esfera es el contrario a la Tierra, es decir, este-oeste.\nFigura 8: Prolongación de la vertical de un lugar a la esfera celeste\nSobre un punto de la Tierra vimos que pasaba un meridiano y, a partir de él, teníamos definida la vertical del lugar. Si prolongamos esta vertical sobre la esfera celeste (vemos que angularmente coincide no con la latitud, sinó su ángulo complementario: el que forma el eje de rotación con la vertical) nos da el zénit y el nadir. Análogamente a la Tierra podemos definir el meridiano superior o inferior de un lugar.\nComo ya hemos dicho las estrellas se consideran fijas en la superficie de la esfera celeste y ésta rota, por tanto las estrellas estarán dibujando círculos menores, serán los paralelos celestes. Lo normal es representar la esfera celeste como en la figura 9.\nFigura 9: Representación de la esfera celeste con el zénit y los polos\nEl plano perpendicular a la verticual del lugar corta a la esfera celeste en un círculo máximo llamado horizonte. es el punto norte (el más cercano a ) y el punto sur (el más cercano a ). Sobre los paralelos celestes podemos definir cuatro puntos clave, que son los siguientes:\n1 - Orto:\npunto en el que la estrella atraviesa el horizonte para hacerse visible.\n2 - Culminación superior:\nmomento en el que la estrella atraviesa el meridiano superior del lugar.\n3 - Ocaso:\npunto en el que la estrella atraviesa el horizonte para dejar de ser visible.\n4 - Culminación inferior:\nmomento en el que la estrella atraviesa el meridiano inferior del lugar.\nAlgunas estrellas se ven siempre (y por tanto no tienen ni orto ni ocaso) y reciben el nombre de estrellas circumpolares. Otras estrellas tampoco tienen ni orto ni ocaso, pero no se ven nunca, son las estrellas anticircumpolares.\nDependiendo del lugar de observación veríamos unas estrellas u otras.\nSi el observador está en el polo norte la vertical del lugar coincide con el eje de rotación, lo que implica que el horizonte coincide con el ecuador. En este caso todas las estrellas del hemisferio norte son visibles y no lo es ninguna del hemisferio sur. Además todas las estrellas son circumpolares.\nSi el observador está en el ecuador el eje de rotación terrestre y la vertical del lugar son perpendiculares: el horizonte contiene al eje del mundo. En este caso se ven todas las estrellas de la esfera terrestre.\nSi el observador se encuentra en el hemisferio sur (no en el polo sur) es movimiento aparente es contrario al del hemisferio norte, pero los puntos cardinales mantienen la posición. Las estrellas siguen saliendo por el este y poniéndose por el oeste.\nQue la Tierra rota es actualmente aceptado por todo el mundo. Tenemos muchas evidencias de ello, pero quizás una de las más importantes sea el péndulo de Foucault, que aprovecha la propiedad pendular de mantener constante el plano de las oscilaciones para ver una variación en el ángulo de oscilación de los péndulos referiéndose al suelo del lugar donde esté oscilando y que se explica con la rotación terrestre.\nEn principio tenemos el problema de que la rotación de la Tierra no es uniforme, sin embargo podemos suponer, por aproximación, que sí lo es sin cometer mucho error.\nLas principales causas de la no uniformidad de la rotación son:\nCausas de tipo secular: la masa líquida de la Tierra frena la rotación.\nVariaciones periódicas: la velocidad de rotación oscila entre un máximo y un mínimo\nVariaciones irregulares: se producen por cambios en la estructura interna de la Tierra\nPrecesión del eje: se da un movimiento de precesión en el eje de la Tierra con un período de 430 días. La curva de precesión no es cerrada, pero está contenida en un cuadrado de 30 metros de lado.\nEsto repercute en las coordenadas de la Tierra, especialmente en las latitudes. Por eso, al hablar de latitud geográfica se distingue entre la instantánea y la media. Las longitudes también se ven afectadas, pero apenas unas centésimas de segundo de arco.\nPlaneta viene de una palabra griega que venía a significar errante. Esto es debido a que mientras las estrellas permanecían fijas en sus posiciones en la esfera celeste los planetas están situados en unas posiciones algunos días y en otras posiciones unos días después. Además se observaba que la posición de estos planetas, a veces, volvía hacia atrás, sin aparente armonía. Por estas razones se los asoció con dioses en la antigüedad, parecían tener libre albedrío. Estas ``deidades'' eran Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno.\nActualmente sabemos a qué se debe que los planetas varíen de posición en la esfera celeste, están orbitando alrededor del sol. Esto explica también el movimiento retrógado que se observa.\nEn 1781 W. Herschel descubrió de modo accidental (mientras hacía observaciones estelares) el planeta Urano. Al pirncipio creyó qu eera un cometa, pero al observarlo durante un año se vio que la órbita se acercaba mucho más a la órbita típica de los planetas, y no la de los cometas. Finalmente fue Lexell quien demostró que se trataba de un planeta.\nSe continuó observando al planeta Urano y se vieron ciertas anomalías en su órbita. Adams y Levelier (independientemente) intentaron calcular la órbita de un planeta a mayores que provocase esas anomalías y, en septiembre de 1846, los astrónomos Galle y d'Arrest encontraron el planeta Neptuno en el lugar predicho.\nDe nuevo merced a anomalías en la órbita se desubrió Plutón. Fue Tombaugh en 1930 quien lo descubrió empleando la técnica de la fotografía, debido a lo lejos que está este planeta de la Tierra.\nLos planetas se pueden clasificar en interiores (Mercurio, Venus y la Tierra) y exteriores (el resto); o bien en terrestres (Mercurio, Venus, Tierra y Marte) o jovianos (el resto).\nEsta no es una ley válida, pero durante mucho tiempo3 se creyó que era cierta pues describía de un modo bastante bueno la relación entre las distancias de los planetas al sol, para llegar a ella hagamos una sucesión cuyo primer término sea un cero, el segundo un tres y a partir de ahí cada término es el doble del anterior:\nAhora, sumémosle cuatro a todos los términos:\nY, para normalizarlo, dividamos entre diez, así nos queda la distancia Sol-Tierra (obviamente el tercer término) igual uno, que es básicamente la definición de la Unidad Astronómica:\nAhora hagamos la comparación de distancias con los planetas conocidos:\nVemos que la ley falla para Neptuno y Plutón, que se descubrieron mucho después que la ley (sin embargo coincide para Urano, descubierto algo después) esta es la razón de que fuese aceptada. Además, en el hueco que aparece a las se encontró el cinturon de asteroides, lo que parecía corroborar aún más esta regla.\nEn general, cualquier astro orbita en torno al sol describiendo una órbita con forma de curva cónica. Si la energía cinética del astro no es excesivamente alta esta curva es una elipse, es el caso de los planetas, los asteroides del cinturón de asteroides y los cometas que vuelven regularmente. El punto más cercano entre la elipse y el sol se conoce como periastro y el más lejano como apoastro. En el caso concreto de la Tierra los puntos reciben el nombre de Perihelio y afelio4.\nPor tanto la Tierra gira en torno al Sol describiendo una elipse. Esta elipse está contenida en un plano que recibe el nombre de eclíptica. Hay que hacer notar que el eje de rotación de la Tierra no está perpendicular a la eclíptica, forma un cierto ángulo conocido como oblicuidad de la eclíptica y que toma el valor .\nSi proyectamos la imagen del Sol sobre la esfera celeste (que estaba centrada en la Tierra) se ve que su posición va cambiando a lo largo de un año. Es la forma de percibir la traslación. En realidad parece (debido a que somos observadores terrestres) que lo que ocurre es que el Sol gira en torno a la Tierra recorriendo una elipse con la Tierra en un foco. Sabemos que esto no es así en absoluto, sin embargo, a nivel astronómico, lo vamos a considerar de ese modo.\nPor lo tanto tenemos la órbita eclíptica (órbita aparente del Sol alrededor de la Tierra) con dos puntos principales, el perigeo y el apogeo. A la línea que une estos dos puntos se la llama línea de los ápsides y se corresponde al eje mayor de órbita. Al trasladarlo a la esfera celeste obtenemos lo siguiente:\nFigura 10: Representación de la esfera celeste con los polos y los polos eclípticos\nes el eje perpendicular a la eclíptica, sus vértices se denotan y y se denominan polos eclípticos.\nLínea de los equinoccios:\nes la línea en la que se cortan el plano de la eclíptica y el plano del ecuador. A su vez, esta línea interseca a la esfera celeste en dos puntos:\nPunto aries () también llamado equinoccio de marzo o punto gamma. El Sol pasa por ese punto el 21 de marzo, aproximadamente.\nPunto libra () también llamado equinoccio de septiembre. El Sol pasa por ese punto el 22 de septiembre, aproximadamente.\nLínea de los solsticios:\nes la línea perpendicular a los equinoccios dibujada sobre la eclíptica. Esta línea también interseca a la esfera celeste en dos puntos:\nPunto cáncer () también llamado solsticio de junio. El Sol pasa por este punto el 21 de junio, aproximadamente.\nPunto capricornio () también llamado solsticio de diciembre. El Sol pasa por este punto el 22 de diciembre, aproximadamente.\nHay que hacer notar que ninguna de estas líneas (ápsides, equinoccios y solsticios) coinciden, de hecho la línea de solsticios y la de ápsides forman un ángulo de aproximadamente .\nPara la determinación de los puntos , , y hay que comprobar donde se proyecta el sol cada uno de los días de solsticio y equinoccio. El problema está en un efecto físico denominado precesión de los equinoccios que hae que el eje de rotación de la Tierra no esté estético, sino que describe un cono con un periodo de 26.000 años. De hecho, hoy en día el punto aries está más cerca de la constelación de piscis que de la constelación de aries, pero mantenemos, aún así, la nomenclatura.\nEl año astronómico comienza el día del equinoccio de primavera, es decir, cuando el sol pasa por el punto . En este día el sol recorre el ecuador y, con el paso de los días, irá recorriendo paralelos (en realidad es un movimiento espiral, pero se puede considerar que pasa de un paralelo a otro muy cercano) hasta llegar al punto . Después comienza a recorrer paralelos acercándose de nuevo al ecuador, por donde pasa en septiembre y llega hasta el punto , donde comienza a subir de nuevo hasta llegar al ecuador de nuevo y completar el año astronómico.\nUn observador situado en el hemisferio norte veríaque en el equinoccio de marzo el sol sale justo por el este y se pone justo por el oeste. En el solsticio de junio (cuando los días son más largos) el sol saldría por el noreste y se pondría por el noroeste. En el equinoccio de septiembre se volvería a ver al sol saliendo por el este y poniéndose por el oeste y en el solsticio de diciembre (el día más corto) se vería salir hacia el sureste y ponerse en el suroeste.\nEs necesario establecer un sistema de referencia para posicionar los astros. Esencialmente esos sistemas de referencia van a ser coordenadas polares esféricas en las que no vamos a tener en cuenta la distancia (la esfera celeste tiene radio unidad). Podemos clasificar los diferentes sistemas de acuerdo con su origen (quien ocupa el centro de la esfera celeste) en sistemas topocéntricos: el origen está ocupado por un lugar de la superficie terrestre; sistemas geocéntricos: el origen es el centro de la Tierra y sistemas heliocéntricos: el centro está ocupado por el sol.\nLos diferentes sistemas de coordenadas astronómicas van a tener unos planos fundamentales asociados. según este plano fundamental podemos clasificar los sistemas en: horizontales, ecuatoriales horarias, ecuatoriales absolutas, eclípticas o galácticas.\nFigura 11: Coordenadas horizontales\nEl plano fundamental de este sistema es el plano del horizonte. Los círculos verticales son los círculos máximos sobre la esfera celeste que pasan por el zénite y el nadir. En particular, el círculo vertical que pasa por los polos y es el meridiano del lugar (donde también se diferencia entre meridiano superior y meridiano inferior). Los círculos paralelos al horizonte se denominan almicantaraes.\nLa intersección del horizonte con el meridiano define una línea que llamamos línea meridiana. Ésta marca los sentidos norte-sur. Perpendicular a ella se traza otra línea que nos da los sentidos este-oeste. Se denomina primer vertical al que pasa por el este y el oeste.\nLas dos coordenadas horizontales son:\nes el ángulo que forma la visual del astro con el horizonte. Este valor varía entre y en dirección al zénit y entre y en dirección al nadir.\nes el ángulo diedro que forma el meridiano superior del lugar con el círculo vertical que pasa por el astro. Este valor varía entre y y se cuenta en sentido S-W-N-E.\nOtra cantidad relacionada con este sistema de coordenadas es la distancia zenital (z), que se define como y varía, por tanto, entre y contándose en el sentido zénit-nadir.\nEs obvio que este es un sistema de coordenadas local, depende del lugar de observación y del movimiento diurno. Es el utilizado por telescopios con montura altazimutal, el más empleado es el de teodolito.\nFigura 12: Coordenadas ecuatoriales horarias\nEl plano fundamental de este sistema es el plano del ecuador. A los círculos máximos que pasan por los polos norte y sur los denominaremos círculos horarios y a los planos paralelos al ecuador paralelos celestes. El círculo horario que contiene al eje y al eje es el meridiano del lugar.\nLas dos coordenadas ecuatoriales horarias son:\nDeclinación ( ):\nes el ángulo que forma la visual del astro con el ecuador. Este valor varía entre y en dirección a y entre y en dirección a .\nÁngulo horario (H):\nes el ángulo diedro que forma el meridiano superior del lugar con el círculo horario que pasa por el astro. Este valor varía entre y contándose en el sentido del movimiento diurno.\nAnálogamente a la distancia zenital se define la distancia polar (p) como . Esta distancia varía desde el valor en hasta en .\nEste es un sistema semilocal, una de las coordenadas (la declinación) no varía con el lugar de observación, sin embargo el ángulo horario sí. Es el empleado por telescopios con montura ecuatorial.\nFigura 13: Cambio entre coordenadas horarias y horizontales\nPara pasar de un sistema de coordenadas al otro observamos que están relacionadas por un ángulo que resulta ser la latitud del lugar. Al resolver el triángulo esférico que aparece ahí podemos obtener relaciones que permiten pasar de las coordenadas horizontales a las ecuatoriales horarias\nA partir de la ecuación (4):\na partir de la ecuación (5):\ny a partir de la ecuación (6):\nEstas tres expresiones son válidas en ambos hemisferios. Recíprocamente, para pasar de coordenadas horarias a horizontales obtenemos las expresiones:\nVálidas también para ambos hemisferios.\nEstas relaciones son justamente las mismas expresiones que si calculamos la relación entre las coordenadas del sistema ecuatorial horario y las coordenadas del sistema horizontal como rotaciones de un sistema cartesiano, como se demuestra en el apéndice A.\nCuando el astro se encuentra sobre el meridiano del lugar las expresiones que relacionan , y se simplifican sobremanera. Así, cuando el astro culmina entre y tenemos que . Si el astro no culmina entre el polo y el zénit se dan dos casos: si culmina en el meridiano superior , si culmina en el meridiano inferior entonces .\nFigura 14: Coordenadas ecuatoriales absolutas\nEl plano fundamental de este sistema es el plano del ecuador, al igual que en las coordenadas ecuatoriales horarias. De hecho se definen los mismos elementos sobre la esfera celeste y una de las coordenadas coincide.\nLas dos coordenadas ecuatoriales absolutas son:\nAscensión recta ( ):\nes el ángulo diedro que forma el círculo horario origen (que es el que pasa por el punto ) con el círculo horario que pasa por el astro. Este valor varía entre y contándose en el sentido contrario al movimiento diurno.\nComo se ve a partir de la definición de declinación, definición de distancia polar tampoco varía con respecto al sistema de coordenadas ecuatoriales horarias.\nEste sistema se emplea en catálogos estelares y en efemérides astronómicas. Es un sistema universal, puesto que no depende del movimiento diurno ni del lugar de observación, sin embargo presenta algunos problemas dignos de consideración.\nPor ejemplo, en el caso del sol se ve que cada día la declinación de éste varía, alcanzando un máximo en el solsticio de junio igual a la oblicuidad de la eclíptica y un mínimo en el solstiico de diciembre igual a la oblicuidad, pero con signo negativo. Esto se debe a que el Sol recorre la eclíptica.\nSe define el tiempo sidéreo como el ángulo horario del punto . Se puede ver sin ninguna complicación que , relación fundamental en astronomía de posición.\nHay que darse cuenta de que si entonces tenemos un valor para negativo, cuando lo definimos positivo. Para solucionar esto lo que hemos de hacer es sumar al ángulo horario, aunque a la hora de hacer cálculos con senos y cosenos esto no influye en el resultado.\nCuando un astro se encuentra culminando su ángulo horario vale cero, con lo que el tiempo sidéreo y la ascensión recta del astro coinciden.\nEn rigor el ángulo horario del punto aries no es constante, ni siquiera de variación uniforme debido a la falta de uniformidad por las variaciones de la rotación terrestre, sin embargo en intervalos de tiempo cortos (como las observaciones nocturnas) el tiempo sidéreo se puede considerar uniforme.\nCon este valor podemos pasar de coordenadas ecuatoriales absolutas a ecuatoriales horarias, y por tanto también a coordenadas horizontales con las expresiones de la sección 5.3.\nFigura 15: Coordenadas eclípticas\nEl plano fundamental de este sistema es el plano de la eclíptica. A los paralelos al ecuador que pasan por los puntos y se denominan trópicos, y los que pasan por y círculos polares. Los círculos máximos que pasan por y son los coluros.\nLas dos coordenadas eclípticas son:\nLatitud eclíptica ( ):\nes el ángulo que forma la visual del astro con el plano de la eclíptica. Este valor varía entre y en dirección a y entre y en dirección a .\nLongitud eclíptica ( ):\nes el ángulo diedro que forma el coluro origen (que es el que pasa por el punto ) con el coluro que pasa por el astro. Este valor varía entre y contándose en el sentido contrario al movimiento diurno.\nEl plano de la eclíptica contiene al radio vector que une al Sol con la Tierra y al vector velocidad de ésta, lo que lo hace muy útil. Sin embargo, debido a las anomalías en la rotación de la Tierra este plano no es siempre el mismo, si no que varía en cada instante. De todos modos podemos considerarlo como básicamente constante.\nFigura 16: Cambio entre coordenadas eclípticas y absolutas\nPara pasar de un sistema de coordenadas al otro observamos que están relacionadas por un ángulo que resulta ser la oblicuidad de la eclíptica. Al resolver el triángulo esférico que aparece ahí podemos obtener relaciones que permiten pasar de las coordenadas ecuatoriales a las coordenadas eclípticas :\nRecíprocamente, para pasar de coordenadas eclípticas a ecuatoriales obtenemos:\nEstos dos grupos de relaciones son válidos para ambos hemisferios. Además, son de nuevo las mismas relaciones que si se calcula un cambio de coordenadas cartesianas asociadas como rotación (ver apéndice A).\nFigura 17: Coordenadas galácticas\nEl plano fundamental de este sistema de coordenadas es el plano galáctico. Este plano galáctico se define con el ángulo diedro que forma dicho plano con el ecuador celeste (que es ) y con la ascensión recta de uno de los dos puntos donde se interseca .\nLas dos coordenadas galácticas son:\nLatitud galáctica ( ):\nes el ángulo que forma la visual del astro con el plano galáctico. Este valor varía entre y en dirección a y entre y en dirección a .\nLongitud galáctica ( ):\nes el ángulo diedro que forma el círculo máximo que pasa por y el astro con el círculo máximo que pasa por y el origen de longitud. Este origen se define como un punto situado a una distancia angular del punto recorridos en sentido del movimiento diurno aparente sobre el plano galáctico, y apunta hacia el centro de la galaxia. Este valor varía entre y contándose en el sentido contrario al movimiento diurno aparente.\nEste sistema es totalmente universal y es el que se emplea generalmente para problemas de mecánica galáctica.\nFigura 18: Cambio entre coordenadas galácticas y eclípticas\nPara pasar de un sistema de coordenadas al otro observamos que están relacionadas por un ángulo que resulta ser la declinación de . Al resolver el triángulo esférico que aparece ahí podemos obtener relaciones que permiten pasar de las coordenadas galácticas a las coordenadas eclípticas .\nNo lo calculamos aquí, pues generalmente las coordenadas galácticas no se emplean en cursos de iniciación como este, y de todos modos el método de resolución es análogo a casos anteriores.\nA la hora de expresar distancias en el espacio resulta obvio que el kilómetro se nos queda pequeño. Por esa razón se hace necesario definir nuevas unidades de distancia mayores que él. Las principales son las siguientes:\nRadio terrestre: Es el radio ecuatorial terrestre e igual a . Se emplea para referirse a satélistes artificiales, sobre todo.\nUnidad astronómica: Es, aproximadamente, el valor del semieje de la órbita de la Tierra en torno al Sol e igual a . Se usa como escala en el sistema solar.\nAño-luz: Es la distancia que recorre la luz en un año e igual a . Se emplea para medir distancias en el universo, más allá del sistema solar. Por ejemplo, el sistema triple de -centauro es el más cercano y está a .\nParsec: Ésta es una medida muy técnica y equivalente a .\n6.1.1 El parsec\nDaremos aquí, de un modo simple, la definición de parsec. Cuando tomamos al Sol, la Tierra y un astro cualquiera podemos formar un triángulo que tenga esos tres elementos como vértices. La distancia Tierra-Sol es aproximadamente una unidad astronómica y muy pequeña en relación con la distancai entre el Sol y el astro considerado. Si hacemos el dibujo podemos ver ocmo los lados Tierra-Sol y Sol-astro forman un ángulo. Como la Tierra gira en torno al Sol habrá un momento en el que ese ángulo sea recto, con lo que nos queda un triángulo rectángulo. En este triángulo rectángulo definimos el paralaje estelar como él ángulo que forman los lados astro-Tierra y astro-Sol. Hay que hacer notar que como la distancia es muy grande en comparación con la distancia que separa la Tierra del Sol (llamémosla ), este valor va a ser muy pequeño: por ejemplo, para el sistema -centauro este valor es inferior al segundo de arco.\nPues bien, el parsec5 es la distancia para la cual . Según esta definición todas las estrellas están a más de un parsec. Por tanto que, en aproximación por serie de Taylor a ángulos bajos (como es el caso), nos queda como donde se expresa en radianes. Por tanto, pasando el valor del paralaje a segundos de arco obtenemos:\nEl tiempo que definimos aquí la consideramos una variable independiente utilizada para referenciar distintos fenómenos físicos. Para su medición necesitamos un fenómeno que se reproduzca de forma periódica y, a ser posible, que esté relacionado con el sol.\nSi dividimos la esfera celeste en 24 husos (círculos máximos que pasan por el polo celeste) podemos definir una hora como el tiempo que tarda en pasar de un huso al siguiente (es decir, en recorrer un ángulo horario ). Pero hay un inconveniente, el Sol no pasa de un huso a otro en el mismo tiempo todos los días del año, esto es debido a que el Sol en su movimiento aparente alrededor de la Tierra orbita formando una elipse, y según la segunda ley de Kepler6 vemos que el tiempo en recorrer una distancia angular igual no es lineal con el tiempo ( ).\nHaciendo un poco de desarrollo vemos que con ninguna de las relaciones definidas en el tema anterior podemos conseguir una relación lineal entre el tiempo y el ángulo recorrido por el Sol alrededor de la Tierra, lo cual es un problema. Sin embargo podemos recurrir a una estratagema para conseguir nuestro objetivo. Definimos el sol medio como un punto imaginario que se mueve sobre el ecuador con velocidad constante (exactamente igual que si se moviese en una órbita circular). Entonces la posición del sol medio en ángulo horario nos viene dado por la ecuación del tiempo:\ndonde es el ángulo horario del sol y el ángulo horario del sol medio. Para conocer el valor de en cada día véase el apéndice B.\nÉsta es una función periódica a lo largo del año y vemos que tiene un máximo absoluto el 14 de noviembre con un valor y un mínimo absoluto el 11 de febrero con un valor .\nPor tanto podemos definir los siguientes tiempos, que nos llevarán finalmente a la hora local:\n: Hora solar verdadera en ángulo horario.\n: Hora solar media ó tiempo solar medio. .\n: Hora ó tiempo civil. Como cuando el sol culmina el tiempo solar medio nos da cero horas, pero es mediodía, definimos .\n: Tiempo universal. Es el tiempo civil del meridiano de Greenwich. .\n: Tiempo oficial. Hora que cada país marca como oficial respecto a la hora de Greenwich. Habitualmente es un número entero de horas respecto al tiempo universal. En españa se tiene que en horario de invierno y en horario de verano.\nUna vez definido el sol medio podemos definir el día solar medio como el intervalo de tiempo que tarda el sol medio en pasar dos veces consecutivas por un círculo máximo.\nEl día sidéreo se define de igual modo, pero con el punto , no con el sol medio. Hay que hacer notar que estos dos días no son iguales, ya que mientras el punto tarda unos 26000 años en dar una vuelta completa a la eclíptica el sol medio (por tener movimiento propio apreciable tarda un año en dar una vuelta al ecuador.\nDefinimos el año trópico como el intervalo de tiempo desde que el sol verdadero está en el punto aries hasta que vuelve a estarlo. Un año trópico son días medios y días sidéreos, puesto que al cabo de un día el punto llega antes al círculo máximo que el Sol verdadero, ya que tiene movimiento propio en el sentido contrario, este desfase que es de aproximadamente minutos al día se va acumulando, y cuando vuelven a coincidir el Sol y el punto , éste último dio una vuelta más.\nEl período sinódico es el tiempo invertido desde que dos planetas están alineados con el Sol (oposición) hasta que vuelven a estarlo. Se pude demostrar que, en el caso particular de la Tierra, ese valor cumple la igualdad , donde es el periodo de la Tierra y el periodo del otro planeta.\nUn reloj de sol es un instrumento que nos permite medir la hora solar verdadera mediante una varilla que proyecta una sombra sobre un plano. Esta varilla está orientada de un modo muy concreto: paralela al eje de rotación de la Tierra. El plano puede tener, en general, cualquier orientación, pero normalmente coincide bien con el ecuador, bien con el horizonte o bien con un vertical (una pared).\nEl reloj de sol es, pues, una aplicación entre el ángulo horario del Sol verdadero y las marcas correspondientes en el plano de proyección, veamos cómo hay que dibujar esas marcas para saber cuándo el sol avanzó una hora.\n6.3.1 Cuadrante ecuatorial\nEn este caso es muy simple, una vez determinada la marca inicial que proyecta la sombra a las 12 horas sólo hay que trazar una marca cada (que era una hora) en ambas direcciones.\n6.3.2 Cuadrante horizontal\nEn este caso para saber cada cuántos grados hay que hacer la marca se resuelve un triángulo esférico que da como solución , donde es la latitud del lugar y va tomando los valores , ... dependiendo de donde se encuentre el Sol. Hay que hacer notar que en general.\n6.3.3 Cuadrante vertical (muro declinante)\nAl resolver el triángulo esférico en este caso tenemos que . Donde es la latitud del lugar, el ángulo horario del Sol y el azimut del muro. Las marcas en este reloj son asimétricas en general. Hay un caso especial que es cuando el reloj de sol está orientado según el primer vertical ( ). En ese casto las marcas son simétricas y siguen la fórmula .\nDecimos que dos astros están en conjunción cuando, vistos desde la Tierra, o . Decimos que están en oposición cuando o . Por último, decimos que están en cuadratura cuando o .\nSi las órbitas de los planetas alrededor del Sol están en el mismo plano (lo que es bastante aproximado, excepto para Plutón y algo para Mercurio) que un planeta y el Sol estén en conjunción o en oposición implica que están alineados, ocupando la Tierra un extremo o el centro, respectivamente. Es obvio que los planetas interiores nunca pueden estar en oposición, pero sí que presentan dos tipos de conjunción: la superior (el Sol está entre la Tierra y el planeta) y la inferior (el planeta está entre la Tierra y el Sol). Los planetas exteriores presentan una conjunción y una oposición.\nObviamente, para observar un planeta exterior lo mejor es que esté en oposición, pues en ese caso el Sol está del otro lado de la Tierra, con lo que es de noche y además el planeta y la Tierra están más próximos. Los planetas interiores se ven mejor cuanto más lejos estén del Sol, y esto es cuando el ángulo que forman el Sol, la Tierra y el planeta (llamado elongación ( )) es máximo. La elongación máxima para Mercurio es aproximadamente y para Venus es . Este ángulo es el ángulo de sepaación que vemos entre el Sol y el planeta, por eso Venus y Mercurio no se pueden ver a media noche7.\nLas coordenadas cartesianas equivalentes a las coordenadas horizontales son:\ny las equivalentes a las coordenadas ecuatoriales horarias son:\nPara pasar de las coordenadas horizontales a las horarias vemos que no hay más que hacer que realizar un giro de en sentido positivo alrededor del eje , con lo cual:\nExpresión que nos lleva a las transformaciones obtenidas en la sección 5.3. Para obtener las relaciones que nos permiten calcular las coordenadas horizontales a partir de las horarias no hay que hacer más que multiplicar por la izquierda por la inversa de la matriz de giro a ambos lados de la igualdad:\nLas coordenadas cartesianas equivalentes a las coordenadas absolutas son:\ny las equivalentes a las coordenadas eclípticas son:\nPara pasar de las coordenadas ecuatoriales absolutas a las eclípticas vemos que no hay más que hacer que realizar un giro de en sentido positivo alrededor del eje , con lo cual:\nExpresión que nos lleva a las transformaciones obtenidas en la sección 5.7. Para obtener las relaciones que nos permiten calcular las coordenadas absolutas a partir de las eclípticas no hay que hacer más que multiplicar por la izquierda por la inversa de la matriz de giro a ambos lados de la igualdad:\nSabiendo las coordenas del punto podemos pasar de un sistema de coordenadas al otro mediante una rotación de tres giros: primero giramos un ángulo en torno al eje en el sentido positivo; después giramos un ángulo en torno al eje en el sentido positivo y por último giramos de nuevo en el sentido positivo del eje .\nLas coordenadas cartesianas equivalentes a las coordenadas galácticas son:\ny las equivalentes a las coordenadas absolutas son: equivalentes a las coordenadas absolutas son:\nPor tanto, para pasar de coordenadas absolutas a coordenadas galácticas empleamos la expresión matricial siguiente:\nFigura 19: Ecuación del Tiempo=\nNo proyecta sombra por causa de refracción atmosférica, tema que no se tratará en este curso\nHay que hacer notar que , de modo que , y .\nLa ley fue enunciada en 1772\nDe ap+Helium, el grupo ph evolucionó a f\nNombre que viene del inglés paralax y second\nLa ley que dice que el radiovector barre áreas iguales en tiempos iguales\nY por eso fueron llamados antiguamente como estrellas del amanecer o estrellas vespertinas, sólo se ven al amanecer y al atardecer.


Descargar Libro Antinatural [PDF / EPUB]\nAutor: J. Stuart , John Stuart Mill\nAutor: Averroes , Averroës , Josep Puig\nEsta biblia de la jardinería hidropónica, profusamente ilustrada, aumentará tus cosechas en interiores a niveles que nunca pensaste posibles. Ya sea con las raíces en agua, en el aire, en fibra de coco, o en bolitas de arcilla, la hidroponía permite cultivar plantas saludables, y cosechar frutas y vegetales durante los 365 días del año. Desde consejos de jardinería básica hasta instalaciones de tecnología puntera y conocimientos técnicos para el profesional experimentado, esta extensa guía incluye todo lo que siempre quisiste saber sobre el arte de la hidroponía. Esta nueva edición ha sido ampliada para incluir un capítulo sobre tendencias actuales, y responderá a todas tus preguntas acerca de la jardinería urbana, los muros vegetales, la bioponía, las micro-granjas sostenibles, y los cultivos de cocina. HydroScope® Direcciones y sitios web Ferias y festivales Más de 1700 contactos profesionales. « William Texier es simplemente el rey de la hidroponía. » Cañamo « Con notables ilustraciones. Siempre tengo un ejemplar a mano. » Jorge Cervantes « Un libro muy esperado. » Maximum Yield\nUn Diálogo del Sufrimiento Entre la Crucifixión Y el Holocausto\nAutor: Chapouthier, Georges


Consejos para no sabotear tu noviazgo | Teens\nEscrito el 04.09.2009 por Vicky en Amor, Consejos, Solo chicas (7 Comentarios)\nCuando tenemos poca o ninguna experiencia en relaciones amorosas, todas soñamos con encontrar a un “príncipe azul” que nos pinte el mundo “color de rosa”. Aunque ello no pase de ser una fantasía, no podemos negar que nos hacemos muchas expectativas respecto a un nuevo o primer noviazgo.\nEl problema es que las decepciones no tardan en aparecer y con ellas se desvanece nuestra confianza en los demás y en nosotras mismas. Entonces cuando aparece un nuevo candidato a la vista queremos que no nos vuelvan a lastimar, a tal punto de que muchas exageramos con nuestras precauciones y cometemos errores que pueden ocasionar el efecto contrario.\nPara evitar que estas equivocaciones nos hagan “volver a tropezar con la misma piedra” y sabotear un noviazgo que puede ser mejor que el anterior, tomemos en cuenta algunos consejos sobre las actitudes más comunes que pueden provocar otra amarga decepción.\nNo ser “el pulpo”: Cuando no queremos perder a un chico a veces caemos en el típico error de buscar satisfacerlo en todo y resolverle la vida entera para que no tenga “queja” ni motivo para dejarnos. Sin embargo, lo único que provocaremos es que se sienta hastiado y que no valore nada de lo que hacemos por él porque piense que es nuestra obligación estar pendiente de todas sus cosas.\nNo dejar pasar las cosas: Si bien en una pareja es fundamental la comunicación y la comprensión, tampoco podemos pasarle por alto a nuestro novio todas sus faltas con solo unas disculpas. Hay que sabernos dar nuestro lugar, porque “al que quiere celeste, que le cueste”.\nNo ser “uno más de sus amigos”: Por querer estrechar su relación de pareja, algunas chicas se quieren volver parte del grupo de amigos de su novio, asistiendo a todas sus reuniones y comportándose como ellos. No obstante la buena intención, el chico puede tomarlo como una falta de respeto a su espacio, generándole incomodidad y anticuerpos hacia la susodicha.\nNo tomar venganza: Las chicas que se han sentido muy decepcionadas de alguna relación anterior sienten despecho y deseos de vengarse con el sexo opuesto, de modo que muchas solo buscan un nuevo novio para hacerlo sufrir como les pasó a ellas. Pero este es el peor motivo para estar con alguien, pues cabe la posibilidad de que se enamoren y no puedan con el cargo de conciencia o que se corra la voz y no puedan tener un noviazgo que las haga felices en mucho tiempo.\nImagen: Woman’s Day\nTags Blogalaxia: Teens, Relaciones De Pareja, Sabotaje De Noviazgo.\n7 Comentarios para “Consejos para no sabotear tu noviazgo”\nmayo 23, 201112:42 am\nEs muy cierto hay qe darles su spacio…pero hay ciertos xhicos qe son de lo peor y ps ni cmo hacrle para confiar en ellos…\nfebrero 24, 201110:19 am\nno ser tan celosas ……….tips para todas……………………………………………\nfebrero 24, 201110:18 am\nmmmmmmmmm no segirlos mucho darle su tiempo\nenero 24, 20115:46 pm\nSon los consejos más tontos que he leído pff crap!!\nseptiembre 15, 20098:11 pm\nJazmin: Solo hazle caso, esta guia es general, no es para todos los chicos, todos son muy diferentes, si el quiere hacerte parte tu dejalo y si sus amigos te caen bien y todo eso comienza a juntarte con ellos, pero si no te simpatizan tu solo dile a el lo que ocurre y no hay problema. Bueno mucha suerte!! y no olvides visitar mi blog haciendo click en mi nombre!!\nseptiembre 12, 20096:53 pm\nmmmm y que hacer cuando el te quiere unir a sus amigos?\nseptiembre 5, 20091:24 am\nuhmm…un tip tmb seria .. no estar tan pendientes de lo que hacen o no.. ya que pensaran k eres muy cOntroladOra.!! x)


Uruguay: miles en las calles en defensa de la educación pública – Marcha\nHome»Sin Fronteras»América Latína y el Caribe»Uruguay: miles en las calles en defensa de la educación pública\nPor Sebastián Orrego desde Uruguay\nCon una masiva movilización por el centro de Montevideo, culminó el paro de 24 horas convocado por las y los estudiantes terciarios y universitarios a nivel nacional el miércoles pasado. Como reivindicación principal, solicitaron que el gobierno otorgue como mínimo un 6% del Producto Bruto Interno a la Administración Nacional de Educación Pública (ANEP) y a la Universidad de la República (UDELAR).\nLa lucha se da en momentos en que el gobierno se prepara para anunciar el presupuesto quinquenal que le corresponderá a cada ministerio. En las anteriores oportunidades (2005 y 2010), el reclamo no fue escuchado por el Ejecutivo.\nEl paro contó con el apoyo y adhesión de funcionarios de la educación (AFFUR), de los docentes universitarios nucleados en ADUR, como así también de la Asociación de Docentes de Secundaria en Montevideo (ADES).\nAl paro se le sumó la nutrida marcha por la capital uruguaya, que partió desde la explanada de la Universidad y pasó por el Ministerio de Economía y Finanzas. Los manifestantes denunciaron la situación al ritmo de cantos adaptados, como esta versión de la conocida cumbia: “Le encontré la solución, al problema del presupuesto, le sacamos a los milicos y le damos a los maestros”. No faltaron tampoco las canciones de color latinoamericanista, denunciando las prácticas que alimentan el imperialismo y la privatización de la educación en nuestro Cono Sur.\nDesde el escenario montado frente a la Presidencia de la Nación, en la Plaza Independencia, hablaron los representantes de la Federación de Estudiantes Universitarios del Uruguay (FEUU), los estudiantes del Instituto de Profesores de Artigas (IPA), la Asociación de Estudiantes de Educación Social, y finalizaron representantes de algunos liceos. Además de reforzar la petición del 6% para el presupuesto educativo, los reclamos giraron en torno a:\n– La superpoblación de los salones en muchas carreras de la universidad, que lleva al estudiantado a tomar clases sentados en el piso debido a la escasez en la oferta de cursos y a los límites que imponen los cupos existentes en algunos.\n– Los precarios salarios docentes: denunciaron que un docente nuevo en actividad no llega hoy al salario mínimo.\n– El sistema de becas es un nodo común en el cual tanto estudiantes universitarios como de formación docente entienden que no se corresponden con los padrones de estudiantes, en el caso del IPA las becas no llegan ni a cubrir el 1% del estudiantado.\n– La situación edilicia (sobre todo en liceos) es inadmisible, en innumerable cantidad de casos donde una simple lluvia puede repercutir en el dictado de clases o directamente en el desmoronamiento de la infraestructura. Los estudiantes plantearon como “insalubre” el hecho de que las autoridades le resten importancia a esta situación.\nLos gremios de estudiantes no sólo reclaman una suba en la partida presupuestaria, sino que además proponen de donde debería salir: aseguran que el dinero no falta y que las exoneraciones de las que gozan las zonas francas, el capital impositivo y la producción sojera llegarían a garantizar la suma solicitada para la educación pública. Ese dichoso y no caprichoso 6%. También se planteó la oposición con respecto a subsidiar la educación privada por medio de exoneraciones impositivas.\nEn un momento donde la unidad y la combatividad de los movimientos estudiantiles y sindicales comienza a incrementarse, ejerciendo una fuerte presión a los primeros lineamientos político-económicos que dará el Ministerio de Economía y Finanzas del exvicepresidente Danilo Astori, quien “le viene esquivando al bulto”. Por su parte, el Poder Ejecutivo y en particular desde el Ministerio de Educación y Cultura han expresado que tienen en cuenta el reclamo, pero aún no han dado la confirmación de que se otorgará el 6%.\nLa preocupación aumenta con el correr de los días, ya que el plazo para que el electo Ejecutivo presente los presupuestos asignados a los organismos públicos vence en agosto, cuando se cumplan los seis meses de gestión. La Federación Nacional de Profesores de Enseñanza Secundaria (Fenapes) ya anunció próximas medidas para fines de junio. ADES tampoco descarta realizar paros regionales frente a un Tabaré Vazquez que polemizó diciendo que si es necesario para cumplir las 200 jornadas de clase se decretará la esencialidad.\nLas discusiones más estructurales que enfrentan hoy en posiciones al gobierno y a los gremios giran en torno a la defensa de la educación pública ante la privatización y mercantilización. La medida de lucha de la semana pasada expresó en el grito de miles de jóvenes que la “educación del pueblo no se vende!”. Ahora el ministro de Economía tiene la palabra.\nestudiantes mas noticias Uruguay


Nuevo webinar UP sobre resiliencia - Universidad de Padres\nHome / Blog UP / Nuevo webinar UP sobre resiliencia\n¿Has oído hablar de la resiliencia? Es una de las palabras que más sentido cobran en estos días. La resiliencia es una capacidad del ser humano para afrontar y superar situaciones adversas, saliendo reforzado del proceso. Somos más adaptables y resistentes de lo que creemos y este mes es prueba de ello. Cada uno en función de sus circunstancias, con nuestros momentos mejores y peores, todos nos hemos adaptado al encierro, a la separación de seres queridos, al cambio de rutina. Algunos han tenido que afrontar pérdidas personales; muchos otros ven resentida su situación laboral y económica. Y sin embargo, aquí seguimos, luchando juntos, adelante, porque la vida sigue.\nRecursos para ayudar a las familias\nDesde la UP queremos reiterar nuestro compromiso con las familias y seguir ofreciendo nuestro apoyo de manera especial en este momento complicado. Por este motivo estamos ampliando nuestra oferta de actividades y poniendo a vuestra disposición recursos útiles y que contribuyan a sobrellevar todo de la mejor manera posible. Hemos preparado un nuevo webinar UP gratuito en el que trataremos sobre esta fortaleza.\nResiliencia: gestionando las emociones ante la adversidad e incertidumbre.\nIdentificar, comprender y regular nuestras emociones\nNecesitamos herramientas para gestionar las múltiples emociones que la situación actual nos está activando. Tenemos la oportunidad de vivir un proceso de transformación para salir finalmente fortalecidos. Todo depende de con qué actitud decidamos afrontar la realidad que estamos viviendo. La resiliencia nos aporta pistas y recursos para ayudarnos en este proceso. Y saber identificar, comprender y regular nuestras emociones es una habilidad muy importante para encarar la adversidad e incertidumbre.\n¿Cómo será el webinar?\nEl webinar tiene una parte de exposición teórica y otra más experiencial. Podremos aprender más sobre la resiliencia en el tono ameno y por momentos divertido propio de nuestro experto Fernando Tobías.\nFernando Tobías es formador y conferenciante. Profesor de Habilidades Personales en Comillas ICAI-ICADE de Madrid. Director del Centro de Mindfulness & Focusing de Auren Blc. Profesor de Mindfulness en los posgrados universitarios de Máster en Mindfulness en Universidad de Zaragoza, Máster de Relajación, Meditación y Mindfulness de la Universidad de Barcelona, y Experto de Mindfulness en Contextos Educativos de la UCJC de Madrid. Licenciado en Derecho, Terapeuta Gestalt y Trainer en Focusing.\nSi quieres empezar a leer sobre resiliencia, en nuestro blog puedes encontrar un artículo de José Antonio Marina y una recomendación de lecturas sobre este tema.\n#aprenderparaeducar / aprender / educar / enseñar / recursos / resiliencia / Webinar / Webinar UP\nCuentos y libros sobre sexualidad para niños\npor Virginia De la Rosa\nPingback: Gestionar la incertidumbre del coronavirus en familia - Universidad de Padres


Notice: Undefined index: HTTP_REFERER in /home/ieecedua/public_html/wp-blog-header.php(8) : eval()'d code(1) : eval()'d code on line 12\nCertificarse vale la pena - IEEC\nMachine Learning y Supply Chain Planning\nYou are at:Home»Certificaciones»Certificarse vale la pena\nBy Ignacio Sanchez Chiappe on\t 5 febrero, 2016 0 Comments\nA menudo me preguntan acerca las Certificaciones Profesionales en las diversas áreas de supply chain, de logística y de operaciones en particular. Es un gusto poder hablar de estos temas y especialmente de lo que hace al mundo de supply chain y de APICS.\nA lo largo de estos años me he certificado en Certified in Production and Inventory Management (CPIM), en Certified Supply Chain Professional (CSCP) y dos veces en SCOR, la primera vez con el Supply Chain Council y la segunda nuevamente con APICS cuando SCOR pasó a ser parte de APICS y se modificaron varias cosas.\nComo muchas cosas en la vida, obtener de las certificaciones marcan “un antes y un después” profesional. Y por eso las explico con interés y dedicación cuando las personas preguntan:\n¿Qué certificación es la adecuada para mí?\n¿Por qué necesito una certificación?\nEn pocas palabras, cuando la gente me pregunta cuál certificación de APICS es la adecuada, les pido que piensen en su carrera profesional y dónde se ven o quieren estar en cinco años. Para empezar, que la piensen no como un gasto, sino como una inversión en tiempo y dinero para llegar a algún lugar y posición profesional.\nSi se ven a sí mismos trabajando para ayudar a su empresa a aumentar su eficiencia dentro de las “cuatro paredes” de la empresa, entonces yo les aconsejo el CPIM. Si en cambio, se ven a sí mismos, trabajando para ayudar a su empresa a aumentar su eficiencia con los proveedores y / o clientes, es decir, fuera de las cuatro paredes de la empresa, pensando de punta a punta, entonces les aconsejo el CSCP.\n¿Por qué la gente necesita la certificación? Hay una gran variedad de razones – la mayoría de los cuales conozco por experiencia personal. En primer lugar, se hace patente que se ha logrado dominar un complejo cuerpo de conocimiento a través de un estándar globalmente reconocido y que será útil para la empresa en que trabaja o donde aspira a trabajar. En igualdad de condiciones y para elegir entre varios candidatos, las empresas suelen decir: “me inclino por el que tiene las certificaciones APICS”.\nA lo largo de estos 23 años en el IEEC hemos visto cientos de historias similares y nos alegra poder ser instrumentos para avalorar las personas y de que puedan mejorar su horizonte profesional.\nTambién, la certificación demuestra un compromiso personal con la profesión. Las empresas valoran, y mucho, a los que se destacan en el mundo del conocimiento y que ponen el tiempo y el esfuerzo para lograrlo. Las certificaciones marcan una diferencia en el mundo del trabajo y un estándar equivalente en todo el mundo.\nAdaptado de un artículo publicado por Bob Collins, Director de Capacitación y Desarrollo profesional en APICS\nPrevious ArticleUna mirada al futuro\nNext Article Logística y Supply Chain Management lejos de ser sinónimos\nBuscá el tema de tu interés Elegir categoría Academicas (2) Boletín APICS (68) Certificaciones (7) Economía y Finanzas (12) Eventos (14) Entrevistas (8) Presentaciones (3) Inventarios (1) Lean (1) Lean Hospitals (1) Logística (4) Medio Ambiente (1) Metodologías (3) Notas de Interés (41) Novedades (119) Qué está pasando (45) Organización (11) Prensa (14) Procesos de Negocios (10) Project Management (1) Recursos Humanos (9) SCOR – Supply Chain Operations Reference (3) Servicios (2) Supply Chain Management (16) Tecnología (6) Thinking Supply Chain (102) Compras y Abastecimiento (18) Estudio de la Competividad Argentina WEF (7) Industria 4.0 (7) La Supply Chain de Amazon (17) Modelamiento de la Supply Chain (7) Planificación y Análisis del Transporte (23) Pull-Push en Distribución (23) Thinking Talent (6) Transporte (5) Viajes (12) Viaje APICS 2015 (8) VIAJE APICS 2016 (4) Videoconferencias (10) Videos Informativos (1)


Vacuna del ébola podría estar lista el 2015\n"Se pueden aplicar procesos de urgencia (...) para que a lo largo del año 2015 se disponga de una vacuna que se pueda utilizar", dijo el experto de la OMS en una entrevista a la emisora Radio Francia Internacional.\nLa farmacéutica británica GlasxoSmithKlein (GSK) es el laboratorio que tiene más avanzado el desarrollo de la vacuna, que ha probado en animales "con resultados excelentes", agregó.\n"Pensamos en el mes de septiembre para iniciar los ensayos clínicos, primero en Estados Unidos y en un país africano, que es donde están los casos. Habrá que determinar que las vacunas no entrañan efectos nocivos, que la respuesta inmunológica es excelente y determinar las dosis", explicó Okwo Bélé.\nA parte de GSK, existen al menos otros cuatro o cinco laboratorios que se encuentran en pleno desarrollo de un fármaco, pero aún están en la "fase de iniciar los ensayos clínicos", indicó el director de vacunas de esa agencia.\nRespecto al suero ZMapp, aplicado de forma experimental a los dos estadounidenses infectados procedentes de Liberia, Okwo Bélé dijo que "se ha usado de manera precipitada, pero parece dar resultados excelentes".\nAdemás, lamentó que aún no haya suficiente cantidad de ese producto "para utilizarlo sobre el terreno, donde está la epidemia".\nComo se sabe, la OMS declaró ayer el brote de ébola como "una emergencia pública sanitaria internacional", ante una falta de tratamiento específico para esta enfermedad, que se transmite por contacto directo con la sangre y fluidos corporales de personas o animales infectados, causa hemorragias graves y puede tener una tasa de mortalidad del 90 %.


Ego Plant Riñón 1▷ Para que se usa Ingredientes y Beneficios\nInicio / SISTEMA ENDOCRINO / EGO PLANT\nCategoría: SISTEMA ENDOCRINO Etiquetas: como limpiar riñones, EGO PLANT, riñones con piedras, rinones dolores espalda baja, riñones inflamados, riñones poliquisticos\nLos riñones y el Ego Plant Omnilife\nEgo Plant omnilife y Los riñones. Nuestros riñones cumplen un papel esencial en nuestro cuerpo, pero en ocasiones pueden funcionar mal y desfavorece el buen funcionamiento de los riñones\nLas causas pueden operar como un enemigo silencioso y manifestarse sin que apenas nos hayamos dado cuenta.\nEgo Plant para Dolor de ¡espalda baja!\nAquí compartimos algunos de los signos para que puedas ponerte en alerta!. Algunos de estos signos pueden poner en evidencia un mal funcionamiento de los riñones.\nEntre muchos pero de los primeros son el dolor de espalda baja ¿tienes ese dolor muy frecuente? Actúa a tiempo y evita complicaciones y males mayores.\nOmnilife cuenta con el Ego Plant una fórmula dedicada al sistema renal, Aquí estamos dedicados a darte información, de cuales productos omnilife pueden definitivamente hacer la diferencia.\nEl producto Ego Plant de omnilife está dentro de los principales, pero hay otro más que nos gustaría recomendar!. Por ejemplo el Ego Frutas estos son los productos omnilife que no te pueden faltar así que entremos en tema.\nLos riñones son los encargados de filtrar los desechos de la sangre los cuales son enviados a la vejiga para ser eliminados por medio de la orina, además ayudan a regular la presión arterial y a reabsorber el agua y controlar varias funciones del organismo y regular los niveles de electrolitos.\nLos diez síntomas que debes estar pendiente\nEstos son los 10 síntomas de una posible mal funcionamiento Renal\nDe los primeros cambios está en la orina y en la frecuencia de micción, un síntoma característico de presentar problemas renales!. El cambio de la frecuencia para ir a orinar sobre todo durante la noche.\nPuede ocurrir que sientas una necesidad muy fuerte de orinar pero al momento de hacer no puedas, o también sea escasa la orina, o incluso nada de ella además debes poner atención si la orina podría tener rastros de sangre, algunas veces esta no se puede ver a simple vista hasta que te hagas un examen de orina!.\nEgo plant ¿sirve?\nEl aspecto de la orina puede presentar otro color por presencia de sangre o su olor desagradable.\nSegundo síntoma: posible son náuseas y vómitos, producidos por una acumulación de desechos en la sangre que al no encontrar una vía normal para su eliminación pueden generar intoxicación en todo el cuerpo y con eso la aparición de mareos y posibles vómitos\nEgo plant y los Riñones\nTercer síntoma: posible decaimiento general, Los riñones producen una hormona que interviene en la creación de glóbulos rojos en la sangre que son los encargados de transportar oxígeno.\nCuando esta hormona se produce a niveles bajos origina una disminución de glóbulos rojos y da lugar en ocasiones a cuadros de anemia!. El escaso o poco oxígeno presente en la célula del cuerpo se traduce en un cansancio o fatiga y es generalizado. Pueden evidenciarse mareos y problemas de concentración\n¿Para que mas sirve? el Ego Plant\nCuarto síntoma: los cambios en el sabor y aliento son una señal de que algo anda mal, con los riñones.\nTambién se puede experimentar un sabor metálico por acumulación de ácido úrico.\nO la presencia de mal aliento con un aroma de amoniaco, cuando la función renal se ve alterada puede ocasionar un aumento de los niveles de urea en sangre. Mientras tanto la salida descompone la urea en amoniaco produciendo el mal aliento característico.\nQuinto síntoma: dolor al orinar las vías del tracto urinario pueden verse afectadas por cálculos o piedras que al descender hasta la vejiga van dañando su tejido y causando un dolor intenso y muy molesto.\nSexto síntoma: dolor de espalda el tracto urinario puede desarrollar entonces una inflamación por infección que puede subir y afectar los riñones por lo que es común padecer dolores de espalda.\nSéptimo síntoma posible, es sangre en orina esta es una señal grave de enfermedad renal, si este es tu caso acude inmediatamente al médico.\nOctavo síntoma: es muy posible que sufras de hinchazón y retención de líquidos, cuando los riñones funcionan de forma deficiente el líquido que no logran filtrar es acumulado en el cuerpo por esta causa viene la retención de líquido.\nProducto Omnilife para inflamación del Hígado\nNovena causa: la hinchazón de manos, pies, piernas, tobillos y rostro además puedes experimentar frío permanente nos referimos a experimentar frío en el cuerpo cuando aún estamos en ambientes cálidos. Otros síntomas asociados son sentir escalofríos y la presencia de fiebre\nDécimo y último síntoma: posible son, erupciones cutáneas y comezón como habíamos dicho previamente los riñones se encargan de eliminar toxinas y residuos del cuerpo cuando esta función se ve perturbada por un mal funcionamiento renal.\nLas toxinas se acumulan y puede provocar picazón intenso y erupciones en la piel, entonces por esto y mucho más el Ego Plant es un producto ideal para nutrir y desintoxicar los riñones\nContáctenos para darte sugerencias de uso personalizada y poder saber cual es el mejor producto o productos recomendados para tu situación en específico. Utiliza los botones de WhatsApp.


Hoy cerramos la ampliación del período de matriculación en el Programa de Experto, Especialista y Máster en Big Data y Data Science – Aplicado a Economía y Dirección y Administración de Empresas. UNED.\nLa respuesta a esta propuesta formativa, en estas áreas de capital importancia para la economía y el mundo del trabajo actual y del inmediato futuro, ha sido extraordinaria. Se ha superado con creces el número de estudiantes estimados, lo que da pistas sobre el nivel de reflexión que se está produciendo en la sociedad española (y en toda habla hispana) acerca de la importancia de preparase para las grandes transformaciones tecnológicas que se están produciendo en el mundo.\nEsta “réplica académica” dada a las demandas planteadas por el aparato productivo y el tejido empresarial en general, por parte de la universidad pública española, intenta ser innovadora, flexible y práctica.\nEn el caso de este Programa Modular, dirigido desde la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la UNED, se buscó estructurar una titulación de Experto, Especialista y Máster que sobresaliera como una de las mejores posibilidades del momento para formarse en Big Data y Data Science, por la calidad de los contenidos y los docentes, la elasticidad horaria de las clases y al nivel de aplicabilidad de los conocimientos impartidos en cada módulo.\nDe forma, que cerrado el periodo de matrícula, damos nuevamente la cálida bienvenida a todos nuestros estudiantes. Se inicia el 1 de enero y concluimos el 31 de diciembre del 2018. El viaje por el Big Data y el Data Science comienza…


La Audiencia Provincial de Palma condena a seis años a un hombre por difundir violaciones y torturas de bebés - NOSTRATV.COM\n2 julio, 2022 5:22 am\nLa Audiencia Provincial de Palma condena a seis años a un hombre por difundir violaciones y torturas de bebés\nJun 21, 2021 Abuso, abuso infantil, abusos, abusos sexuales, España, experimentación infantil, explotación infantil, Infancia, LosNiñosNoSeTocan, Mallorca, Maltrato de menores, menores, pederasta, pederastia, Pedofilia, pedofilo, pornografia infantil\nLa Audiencia Provincial ha condenado a seis años de cárcel a un joven que desde su domicilio de Palma difundía archivos de pornografía infantil, entre ellos vídeos de violaciones y torturas a bebés de pocos meses. El acusado compartía este material «de especial carácter degradante y vejatorio», según el tribunal, en comunidades pedófilas de la internet oscura. La Policía encontró en la vivienda del procesado, de 27 años y residente en Son Gotleu, una gran cantidad de imágenes. El joven tiene una discapacidad intelectual, pero la sala considera que no está acreditado que fuera incapaz de comprender la ilegalidad de sus actos. Por ello le declara autor de un delito de corrupción de menores agravado por la «brutalidad» del material que compartía.\nEl acusado fue detenido en 2017 en el marco de una investigación abierta un año antes por la Brigada Central de Investigación Tecnológica de la Policía Nacional. Los agentes detectaron un enlace en la red TOR, conocida como la internet profunda por favorecer la privacidad y el anonimato de sus usuarios, que daba instrucciones para acceder a una comunidad pedófila. Los participantes compartían archivos a través de varias aplicaciones. El rastreo llevó a los investigadores a un domicilio de la barriada palmesana de Son Gotleu, desde donde se compartía este material.\nEl 7 de febrero de 2017, la Policía irrumpió en la vivienda y llevó a cabo un registro. Encontró multitud de dispositivos informáticos con material de pornografía infantil especialmente duro. Había, por ejemplo, vídeos y fotografías de dos bebés de pocos meses que sufrían diversas torturas y agresiones sexuales. En los soportes incautados se encontraron también pruebas de que los archivos se habían intercambiado con otros usuarios.\nEl acusado estuvo dos meses en prisión provisional y la fiscalía reclamó para él una condena de ocho años de cárcel por un delito de corrupción de menores. Durante el juicio, el joven admitió haber accedido a la comunidad de pedófilos para ver pornografía infantil, pero negó haber compartido ningún contenido e incluso dijo no haber visto nunca imágenes de violaciones y torturas a bebés. Los policías, sin embargo, declararon que había pruebas de que sí intercambió material pedófilo.\nLa sección segunda de la Audiencia Provincial ha condenado ahora al acusado a seis años de prisión por estos hechos. El tribunal destaca que el material que difundió era «especialmente degradante y vejatorio» y le impone, tras cumplir la pena de cárcel, otros seis años de libertad vigilada en los que no podrá acudir a locutorios y deberá participar en un programa formativo de educación sexual. La sentencia puede ser recurrida.\nLa discapacidad del acusado no le impedía comprender la ilegalidad\nLa sentencia de la sección segunda de la Audiencia considera probado que el joven tiene una discapacidad intelectual, con un coeficiente de inteligencia límite, pero rechaza que fuera incapaz de comprender la ilegalidad de sus actos. El fallo descarta también que la Policía vulnerara los derechos fundamentales del acusado sin autorización judicial, como sostenía la defensa para pedir la nulidad de las actuaciones.\nEl tribunal, basándose en los informes y las declaraciones de dos médicos forenses, da por cierta la discapacidad intelectual del procesado, pero sostiene que «no existe acreditación de que en el momento de los hechos tuviera afectada la capacidad cognitiva ni la volitiva para comprender la ilicitud del hecho que se investiga y actuar libremente». Por ello, las magistradas descartan aplicar las atenuantes y eximentes de alteración psíquica planteadas por el abogado defensor.\nEl letrado solicitó también que se declarasen nulas las investigaciones policiales y, por tanto, toda la causa judicial, al entender que los agentes actuaron de forma encubierta sin orden judicial para acceder a comunicaciones privadas, vulnerando así derechos fundamentales del acusado. El tribunal concluye, sin embargo, que la labor de la Policía fue de «ciberpatrullaje» y que no se produjo ningún acto ilegal ni ilícito en las pesquisas.\nDetienen en Benidorm a un presunto pederasta que había hackeado 70 cámaras domésticas\nCondenados en Zamora a un año de cárcel los acusados que estaban en busca y captura en un caso de matrimonios forzados de menores