Cargado por Jesús Contorsionismo\nEl resultado de la investigación sobre el proceso de aprendizaje de la multiplicación en un alumno con distrofia muscular progresiva. El aprendizaje de este objeto matemático, implica un proceso complejo que se debe seguir para lograr que un alumno complete el procedimiento formal\nEL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN COMO OBJETO MATEMÁTICO A\nTRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN UN ALUMNO CON\nPRESENTA: HEBER DE JESÚS JIMÉNEZ FLORES\nASESOR: M.C. EUSEBIO VELÁZQUEZ URIÓSTEGUI\nCULIACÁN ROSALES, SINALOA, JUNIO DE 2009\nPARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN ESPECIAL\nEN EL ÁREA DE ATENCIÓN MOTRIZ\nEl presente documento titulado “El aprendizaje de la multiplicación como\nobjeto matemático a través de la resolución de problemas en un alumno con distrofia\nmuscular progresiva” se ha elaborado con el propósito de cumplir con los requisitos\nestablecidos por el plan 2004 de la licenciatura en educación especial para obtener el\ntítulo de Licenciado en Educación Especial en el Área de Atención Motriz.\nEste ensayo científico se encuentra dividido en tres partes, en la primera de\nestas se describen los aspectos introductorios del tema, esbozando las hipótesis que\nplantea y las teorías que retoma.\nLa segunda parte se encuentra desarrollado el tema de estudio, defendiendo y\nargumentando los planteamientos que se mencionan en la introducción, haciendo un\nanálisis y triangulación entre las teorías establecidas, las suposiciones propuestas y\nlo obtenido durante la práctica.\nEn la tercera y última parte se exponen las variables que dan conclusión al\ndocumento, resaltando las ideas finales al proceso de elaboración del documento.\nse ocupa un lugar en el . ¿qué conocimiento matemático no es funcional en nuestra vida?. ¿cómo es posible que cualquier situación en el universo pueda relacionarse matemáticamente? Una respuesta muy sencilla podría ser que por el sólo hecho de existir. aún cuando no seamos ingenieros e incluso no hayamos pasado por un proceso de escolarización. la matemática estará presente en nuestras vidas desde el momento de la concepción e incluso antes. y es que. La multiplicación constituye uno de los saberes matemáticos con mayor uso en la vida cotidiana. Podemos decir que cualquier cosa existente en el universo puede establecer una relación matemática. y a su vez. es base de muchos otros más complejos hablando de matemáticas. sin embargo.” Vergnaud Dentro de la tradición escolar. ser un objeto. es el fin mismo de su enseñanza. o bien. que si bien. hasta nuestra muerte y más allá de ella. sino la fuente misma de los conocimientos. no significa sea el medio más conveniente por el cual los alumnos deban iniciarse en el aprendizaje de un contenido tan importante y substancial en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. el saber multiplicar está dictaminado por el aprendizaje de las tablas y la utilización del procedimiento experto para resolver problemas de este tipo.INTRODUCCIÓN “Los problemas no son sólo el lugar en que se aplican los conocimientos matemáticos.\nconlleva un gran número de aspectos que se pretenderán desarrollar dentro del mismo. Al leer este documento. los cuales. puede consolidar el aprendizaje de la multiplicación a través de la correcta aplicación del enfoque de resolución de problemas. gracias a las matemáticas es posible medir. los cuales se categorizan en tres vertientes que encaminarán los temas hacia la comprensión de cómo es que los niños aprenden a multiplicar bajo todos los supuestos que plantean:  El enfoque de resolución de problemas en el aprendizaje de los objetos matemáticos. Así pues. no cabe duda que los conocimientos matemáticos estarán presentes a lo largo de toda nuestra vida y formarán parte importante de ella y el reconocer las matemáticas y en específico la multiplicación como importante.2 espacio y tiempo. se pretende que se llegue a entender cómo es que un alumno que presenta Necesidades Educativas Especiales (NEE) asociadas a una distrofia muscular progresiva. que forman en sí un contenido abstracto del que .  La multiplicación como objeto matemático. orientado a los objetos matemáticos.  El impacto de la Distrofia Muscular en el aprendizaje. nos lleva a reconocer también la importancia de su aprendizaje y por ende su enseñanza. “El aprendizaje de la multiplicación como objeto matemático a través de la resolución de problemas en un alumno con distrofia muscular progresiva” como título de este ensayo.\ncaracterísticas y las cualidades que lo hacen presentarse como una forma muy eficaz para que los alumnos las aprendan. puede acceder al aprendizaje de uno de los objetos matemáticos. Como respuesta a la necesidad del correcto aprendizaje de los objetos matemáticos. este problema surge de la reflexión de la actividad matemática que actualmente se sigue en muchas de las aulas mexicanas. analizaremos sus planteamientos.3 hablaremos con detenimiento e intentaremos analizar en torno a las propiedades que la multiplicación presenta por formar parte de ellos. tanto la naturaleza de los mismos como lo que implica para un alumno el apropiarse de ellos. donde la multiplicación y otros objetos matemáticos no son adquiridos por los niños porque son transmitidos como saberes establecidos y no como objetos matemáticos que tienen sus propias propiedades que deben ser adquiridas en su totalidad para que pueda considerarse como conocimiento interiorizado. sus propósitos. En este ensayo también será importante explicar ampliamente lo que representan los objetos matemáticos. destacando cómo es que el enfoque . Abordaremos el supuesto de que un alumno que presenta NEE que no ha sido instruido en su proceso de escolarización en el verdadero enfoque de resolución de problemas. analizaremos el enfoque de resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas. Ya que los objetos matemáticos son saberes que requieren de un nivel de abstracción para ser comprendidos. el que llamamos multiplicación.\nque en este caso son de tipo multiplicativo. Dentro del proceso que se persiguió para concluir este documento participaron un gran número de sujetos y algunas teorías que pudieron ser puestas en prueba durante el diseño. y que son necesarias para que un alumno adquiera completamente la noción de multiplicar. tal como se pretende en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. y a su vez encontraremos la una respuesta al porqué ha sido privado de este aprendizaje.4 de resolución de problemas influye directamente este proceso. y pertenecen a personas como Charnay. y el papel que juega la enseñanza tradicional basada en la repetición de ejercicios memorísticos privilegiando el cálculo y la práctica de las operaciones matemáticas. . Será importante también que comprendamos lo que la multiplicación representa al ser un objeto matemático. sino como una habilidad que le permita resolver problemas en la vida diaria. estas teorías explican la enseñanza de las matemáticas mediante el enfoque de resolución de problemas. por lo que será pertinente que se describan las propiedades que la caracterizan. y no sólo como procedimiento. Explicaremos el proceso por que persigue un alumno al aprender un contenido que no ha adquirido de forma funcional en el tercer ciclo de la educación primaria. aplicación y evaluación de la propuesta didáctica que se elaboró con el fin de responder a las NEE. Vergnaud y Rosa María torres respecto a las matemáticas y a los ya conocidos Jean Piaget y David Ausubel respecto a los procesos de enseñanza y aprendizaje.\nEn resumen, la elaboración de este documento está centrada en la atención a\nalumnos con NEE integrados en escuelas regulares, particularmente en el proceso\nde aprendizaje, es por ello que este ensayo se encuentra dentro de la primera línea\ntemática, “Procesos de enseñanza y de aprendizaje en los servicios de educación\nEn concreto, la realización del documento está basada en la experiencia\nretomada en el séptimo y octavo semestres de la licenciatura en educación especial,\nen el área de atención motriz. Dicha atención fue concebida dentro de una escuela\nregular bajo el programa de integración educativa, que cuenta con un equipo de\napoyo perteneciente a la USAER (Unidad de Servicios de Apoyo a la Educación\nRegular), que corresponden a los servicios de apoyo que se brindan a las escuelas\nregulares con el fin de facilitar el acceso al currículo de educación básica a todos\naquellos alumnos que presentan NEE, priorizando a las derivadas de una\ndiscapacidad. Pero para adentrarnos en el tema es necesario que desarrollemos las\ncaracterísticas tanto de la USAER como de la Escuela Primaria donde se encuentra\nel sujeto de estudio, que de ahora en adelante conoceremos con César Alexis.\nCésar Alexis se encuentra integrado en la “Escuela Primaria Agustina\nRamírez”, ubicada en la Ciudad de Culiacán en avenida Álvaro Obregón Número\n2463 Colonia Tierra Blanca pertenece a la Zona 021 de educación, y tiene como\nclave 25EPR0141D. Atiende a un total de 255 niños inscritos en lista de edades\nentre los 6 y 14 años, en su turno matutino, que comprende a una jornada escolar\ndesde las 8:00 hasta las 12:30 horas.\nLa institución se encuentra ubicada en una de las principales avenidas de\nCuliacán y en una colonia relativamente muy cerca del centro de la ciudad, por lo que\nes un lugar muy transitado tanto por personas como por vehículos, y por ello, el sitio\ncuenta con todos los servicios públicos y privados disponibles en la ciudad\n(Electricidad, agua potable, alcantarillado, línea telefónica, televisión por cable, por\nmencionar algunos). Al mismo tiempo, al encontrarse en un lugar muy accesible, y\nestar sobre una de las avenidas más transitadas se puede llegar a la escuela por\ndistintos medios; automóvil, motocicleta, bicicleta, a pié y una gran cantidad de rutas\nde transporte público, como algunos ejemplos: Istesssin, Lomita-Cañadas, La Lima,\nLoma de Rodriguera, entre otros.\nEn general, la escuela está muy deteriorada en su aspecto físico, debido a su\nantigua construcción e instalaciones de electricidad y agua, no obstante cuenta con\ntodos los servicios que ofrecen las escuelas públicas, existen aulas para cada grupo,\nlugares de recreación, sanitarios, y aulas de computación, apoyo psicopedagógico y\nbiblioteca. Debido a que la escuela es de organización completa tiene un maestro\nfrente a cada grupo, reuniendo 11 en aula regular y 9 de apoyos externos, donde se\nencuentran: 3 de educación física, 2 de apoyo psicopedagógico, 1 de tecnología, 1\nde artística, 1 de inglés y 1 de computación, además por supuesto del personal que\nno está frente a grupo y que pertenecen a las áreas de: dirección, intendencia,\npsicología, trabajo social y administración.\nPara dar una imagen mental se\nproporcionará a continuación un croquis con las instalaciones de la escuela:\nEn particular, el grupo de 5° A, que es donde César se encuentra integrado,\ncorresponde a la maestra Norma Patricia, quien debo decir, se caracteriza por ser\nEl aula en su aspecto general. quien tiene su propia mesa solicitada por la maestra del grupo para la mejor comodidad del alumno en el trabajo diario. 2°. por lo que su organización física no siempre es la misma. tiene 4 ventanales elevados aproximadamente a 1. pero sobre todo dándoles seguridad a sus alumnos en las situaciones didácticas que se desarrollan dentro de la jornada escolar. exceptuando a César. La profesora ha sido anteriormente la titular del actual grupo por 3 años. es de color verde. siendo afectiva y estricta cuando la situación lo amerita. ya que se desplaza en silla de ruedas. Hay un pupitre para cada niño del salón. por lo que los alumnos se identifican en gran medida con la forma de trabajo de la maestra y le han formado un gran cariño. limpia y ordenada. .8 una persona muy responsable que responde efectivamente a lo que el grupo requiere para desarrollar al máximo las competencias que se establecen en cada ciclo escolar. uno oscuro a base de aceite por la parte de abajo y uno más claro a base de agua por la de arriba. 3° y ahora en 5°. 1°. se observa cuidada. consecuente del trato que la profesora ha sabido darle a sus alumnos. La maestra siempre intenta buscar constantemente una nueva forma de organizar los muebles con los que cuenta. separados por una cenefa. por lo que evita la distracción de los niños al no poder observar lo que sucede en el patio.50 metros del piso. El salón es muy espacioso al igual que todos las demás aulas debido a su construcción estilo antiguo de techo alto.\nen específico. La siguiente imagen muestra un ejemplo de la organización del aula: En lo que respecta a las situaciones didácticas. otro más con puertas para material de papelería como hojas. no tiene un lugar fijo. y otro donde se colocan las guías. efemérides. papel de baño. y a un costado de éste. plumones. existe uno para el rincón de lecturas. como todo el mobiliario movible del aula. por mencionar algunos. y a un costado de éste. Finalmente. el escritorio de la maestra. también se encuentran instalados en paredes contrarias el pintarrón y el equipo de enciclomedia. Resaltando fechas importantes como cumpleaños. la maestra Norma Patricia. el enfriador de agua. la maestra coloca un pequeño periódico mural de grupo. otro estante para material diverso. eventos. el libro comercial que se utiliza normalmente como de tareas. tomando en cuenta las . Por otro lado. y cambia de posición constantemente. procura siempre variar sus actividades durante todo el día.9 Existen algunos estantes donde se guardan distintos tipos de material.\nquien debo decir. Es por ello. La atención de las NEE de César Alexis han sido planteadas e intervenidas por el servicio de educación especial que se encuentra en la escuela. . y llevan una relación muy estrecha entre todos. y al igual que en toda la escuela. algún cuestionario u otra actividad en equipos. en éste. los alumnos han tenido este tipo de convivencia. y aunque es muy común encontrar subgrupos dentro del mismo grupo. luego continuar con una clase en el pintarrón y después alguna otra donde los niños se formen en equipo y realicen alguna actividad manual como un cartel. que en mi experiencia como estudiante de la licenciatura en educación especial al transcurso de mi formación. porque desde que llegaron a primer grado. que los niños no están en el mismo lugar todo el día y cambian de orientación sus sillas hacia el pintarrón o al equipo de enciclomedia. algo que le ha sido muy favorable para la integración de Cesar Alexis. el grupo está constituido por niños de nivel medio-bajo. que se respetan entre sí mismos.10 asignaturas que se establecieron en un horario. Es un grupo muy calmado. En promedio. vienen de la periferia de las comunidades al norte de Culiacán. la he considerado como uno de los que llevan a cabo los propósitos y preceptos en la atención a los alumnos con NEE integrados en las aulas. no son muy notorias las subdivisiones. sin distinciones de unos entre otros. el servicio corresponde a la USAER # 16. pero es frecuente que empiece su clase con algo de enciclomedia.\nel niño se desplaza por medio de una silla de ruedas. que es la que avanza con mayor rapidez. emocional. A su edad de 11 años. tanto a corto como a largo plazo. César cuenta con muchas capacidades que le permiten apropiarse de conocimientos de distintas índoles. sea cuestión de . social. como el nivel de competencia curricular e información relacionada con el entorno inmediato del alumno. retiene muy bien la información que se le da. Para determinar las NEE del alumno se realizó una evaluación psicopedagógica rescatando tanto el estatus de las áreas intelectual. se caracteriza por la pérdida paulatina de la movilidad del cuerpo. e incluso semanas. Tiene una memoria excelente para trabajar.11 César Alexis es un niño que tiene Distrofia Muscular Tipo Duchenne. y comunicativo lingüístico. por un problema muscular de origen genético. que describiremos más ampliamente en la segunda parte de este documento. pero también después de días. y presenta un claro retraso en la adquisición de contenidos correspondientes al grado que cursa. ya que constantemente pierde el interés hacia la actividad en curso y desvía su atención en otras cosas como dibujar en su libreta. en comparación con sus compañeros de grupo. y puede recordarla después de algunos minutos. Se encontró que en el área intelectual. que conforman los contextos familiar y escolar. y aunque en ocasiones. Su problema se encuentra en la atención a las actividades que se realizan en la jornada escolar. siempre y cuando haya prestado la atención debida cuando sucedió la situación de aprendizaje.\nama de casa. su padre. donde hay valores. Es una familia integrada. cuando llega a la escuela. simplemente no lo hace. y que cuando no quiere hacer algo. El niño es el primogénito de 2 hijos.12 que las actividades no son de temas que le interesen. El impacto negativo que esto produce. lo que quiere decir que están establecidos los roles para cada uno de los integrantes. Es por ello. La familia ha vivido cada etapa de la enfermedad afrontando los retos que a ésta conlleva. se le dificulta apropiarse de las reglas que se deben acatar dentro del salón de clases. el niño ha vivido toda su vida con la mayor atención posible. lo que nos lleva a hablar de su contexto familiar. operador de tráiler. al querer hacer sólo lo que él quiere o le parezca. que actualmente. algo que ha favorecido para el desarrollo de César. su madre de 32 años. puesto que parte del motivo por el que el alumno no trabaja es por algunas conductas que ha adquirido durante su formación en la familia. . que intenta seguir adelante con el problema de su hijo. por la evolución de la discapacidad. mostrando mayormente una actitud voluntariosa. de 33 años. pues los padres conocen la fase terminal de la enfermedad y desean brindarle a su hijo una vida feliz y plena a sus 11 años de edad. y una comunicación estrecha entre los mismos. es que el alumno. Se le da un trato especial y se le cumple la mayoría de sus peticiones. de parte de sus padres y otros familiares. son demasiadas las ocasiones en las que se distrae. su hermana menor de 4 años y él. conforman una familia joven.\nrecae en el poco trabajo que realiza dentro y fuera de la escuela. El principal problema de Alexis. pero también está ligado a un estilo de aprendizaje más lento que el de sus compañeros. En español muestra un buen nivel de conocimientos adquiridos. español y matemáticas. y un mayor tiempo para realizar las actividades y para apropiarse de los contenidos que éstas pretenden desarrollar. es muy comunicativo y manifiesta libremente sus opiniones. sentimientos . Así pues podemos decir. con los padres del niño quienes hoy en día cooperan un poco más en el control de la conducta de César al no querer realizar los trabajos que se elaboran dentro de las situaciones didácticas. ofrece e interpreta los mensajes de acuerdo con la situación de comunicación y dentro de una conversación. que el retraso de la adquisición de contenidos del alumno comparado con algún otro alumno de quinto grado. usa saludos y despedidas. se rescataron as dos asignaturas con mayor peso dentro del programa. el alumno es muy competente comunicándose oralmente. necesitando que el tema sea más concreto y la forma de explicar sea más clara. se debe a su ritmo y estilo de aprendizaje más calmado y al problema conductual en el que se encuentra debido al trato especial que se le ha dado dentro del núcleo familiar y algunos otros contextos donde se desenvuelve.13 La maestra de grupo ha sabido llevar la situación prudentemente. en general. Conoce y utiliza las palabras para marcar el inicio y el final de una interacción. En el nivel de competencia curricular.\nEn la asignatura de matemáticas. Entre las limitaciones más significativas en la asignatura de español se encuentra que el alumno presenta un gran rechazo a las actividades de escritura y lectura. Y del texto menor: títulos. cuento. Conoce la coma. admirativas e interrogativas. etc. subtítulos y párrafos. mensaje. Sabe que los nombres de personas y ciudades se inician con mayúsculas y lo utiliza. Suma y resta con el algoritmo convencional con números de 5 dígitos e incluso más. Conoce las partes básicas de la oración: sujeto y predicado. Conoce cabalmente las fracciones con denominador 10. contraportada. el puto y aparte y el punto y seguido para separar ideas. maneja números de 5 dígitos. el alumno demuestra un menor grado de apropiación de conocimientos. negativas. Es capaz de narrar cuentos o relatos que le sean de su interés. Identifica la relación que existe entre una imagen y un texto dentro de los cuentos e historietas. o bien hasta la decena de millar. Identifica los participantes de una situación comunicativa: hablante y oyente. historieta. tiene el gusto de contar pequeñas historias que le han ocurrido aunque en ocasiones relata con un tinte algo fantástico. Reconoce algunas de las partes del texto mayor: portada. Distingue los relatos fantasiosos de los reales. capítulos. Utiliza correctamente las oraciones afirmativas. mostrando un desagrado hacia ellas. Usa las palabras conectoras en sus discursos orales y escritos. 100 y . aún así. índice. el guión y los signos de admiración e interrogación. Da uso pertinente a la concordancia de género. número. Conoce parcialmente los tipos de texto y sus funciones: noticia. Usa el punto final de un texto. artículo. persona y tiempo en las oraciones.14 y emociones.\naunque en pequeños momentos puede responder alguna de las tablas de multiplicar. Es capaz de interpretar información proveniente de una tabla y de organizar la información de un texto en tablas o gráficas de barras. es de gran importancia que el alumno lo adquiera. o cuadros no completos. Todos los datos anteriormente mencionados. Conoce a la perfección la ubicación de las fracciones en la recta numérica. como los cálculos de áreas y la aplicación de algunas fórmulas físicas y químicas hablando de la escuela secundaria.15 1000. Reconoce y describe la ubicación de un lugar utilizando pequeños croquis. propiciarán en el alumno. la necesidad de que el alumno consolide los contenidos de multiplicación. Usa el calendario y reloj digital. Es capaz de realizar comparaciones e inclusive pequeñas sumas con fracciones con el mismo denominador pero de manera arbitraria. marcados como uno de los principales objetivos de la escuela primaria. y necesarios para el ingreso a la escuela secundaria. que al mismo tiempo. Calcula el perímetro y área de figuras no muy grandes utilizando la cuadrícula y tomando en cuenta las mitades. el alumno aún no ha aprendido a multiplicar de manera formal. fueron arrojados al aplicarse el documento de evaluación y atención psicopedagógica. Utiliza las unidades de metro y centímetro en la solución de situaciones problemáticas. pero sólo de forma no significativa y de un modo casi mecánico. Para ser un contenido tan importante. dando como resultado. ya que forma base de muchos conocimientos que intervienen en grados superiores. sin utilizar el procedimiento formal. A pesar de contar con todos estos conocimientos. un desarrollo de competencias intelectuales mayormente eficaces en la resolución de .\ny busca que el alumno adquiera las nociones de la multiplicación como objeto matemático a través de una actividad guiada por la solución de situaciones problemáticas. sino también de la vida diaria. que llevan una relación muy estrecha que abordaremos en el desarrollo de este documento. Las 5 unidades didácticas tienen un propósito que llevan paulatinamente al desarrollo del algoritmo formal.16 problemas no solo matemáticos. algo que está claro es lo más conveniente al trabajar matemáticas. sino el comprender el significado de las operaciones y los procesos que se realizan cuando se multiplican cantidades. a su vez. estas unidades se titulan de la siguiente forma y tienen como propósito: . La propuesta didáctica diseñada y aplicada lleva por nombre: “Propuesta didáctica para desarrollar el algoritmo formal de la multiplicación a través de la resolución de problemas en un alumno con distrofia muscular duchenne”. Es por eso que se ha decidido elaborar una propuesta didáctica que pretende no solo la utilización del algoritmo convencional de la multiplicación. Se dividió en 5 unidades didácticas que siguen un proceso de aprendizaje basado en el reconocimiento de la multiplicación como objeto matemático y no como un procedimiento o algoritmo que se tiene que transmitir. la propuesta está centrada en los planteamientos de el aprendizaje significativo de Ausubel y el enfoque de resolución de problemas.\nNombre Propósito Plantear y resolver problemas pequeños de multiplicación. llegando a formar las categorías residuales que concluyen este ensayo. convencional que lo lleven al conocimiento de más procedimientos con los que se puede resolver un problema de multiplicación. agrupamientos de colecciones de objetos y el descubrimiento paulatino de la forma usual para la representación de la multiplicación. Plantear y resolver problemas diversos de multiplicación para que el alumno descubra el procedimiento formal para multiplicar. las categorías son 6 y se muestran en la siguiente lista: . introducidos mediante los primeros números. El algoritmo formal para multiplicar. 1 privilegiando el uso de La multiplicación con procedimientos informales. arreglos rectangulares y números terminados en cero. tales como 4 5 Descomposición de la multiplicación. resuelven con la multiplicación sin utilizar aún el procedimiento experto para multiplicar. Plantear y resolver problemas de multiplicación de números de dos cifras mediante la descomposición. resultó un proceso de aprendizaje de la multiplicación significativamente. Al aplicar las 5 unidades didácticas. Plantear y resolver problemas con el propósito 2 Los problemas de que el alumno reconozca aquellos que se multiplicar. este proceso está conformado en 6 etapas y claramente se vincula con la propuesta didáctica.17 No. Plantear y resolver problemas de multiplicación que sin la exigencia de la utilización del algoritmo 3 Multiplicaciones especiales.\n18  Noción de número. Es importante aclarar que durante el proceso de elaboración de este ensayo se encontraron un conjunto de situaciones que influyeron tanto de forma positiva como negativa la redacción de este documento.  La multiplicación en conjuntos y repartos de objetos.  El reconocimiento de los problemas de tipo multiplicativo.  El hallazgo de las multiplicaciones especiales. sin embargo. y a su vez nos permitirán reflexionar acerca de lo que significa enseñar matemáticas.  El descubrimiento de la forma usual para representar una multiplicación. la orientación de la escuela y del servicio de educación especial hacia la realidad de los conocimientos que las escuelas normales no ofrecen .  El procedimiento o algoritmo experto para multiplicar. Primeramente. Las categorías antes mencionadas guiarán el resultado de la hipótesis de por qué y cómo los niños con NEE asociadas a una distrofia muscular progresiva pueden aprender a resolver problemas multiplicativos en una ambiente basado en los planteamientos de la resolución de problemas. las que lo favorecieron se presentaron en mayor grado.\nAl hacer esta valoración es necesario también ahondar en las situaciones que mostraron algunos inconvenientes. . y a su vez la falta de bibliografía conocida para escribir este ensayo. mostrando siempre una visión orientada a la formación de profesionales con valores y actitudes que deben estar siempre presentes en la educación de niños y jóvenes con NEE.19 a sus estudiantes fue pieza clave al final de mi proceso de formación como docente. Entre estas destacan la insuficiente información acerca de las teorías de aprendizaje que son base para la práctica docente. en tanto que asumió sus responsabilidades como institución formadora de docentes. La escuela normal también formó parte esencial del proceso. pero también las facilidades otorgadas contribuyeron positivamente en la intervención que se realizó con el alumno en cuestión.\nque puede ser comparada con una caja de pandora. y es que la matemática. la resolución de problemas. considerada también como reina y sirvienta de la ciencia. Así pues. que si son fáciles o difíciles. que si son inaplicables o aplicables. la matemática. las matemáticas siempre han sido un tema que como dice Joan Gómez en su obra “De la enseñanza al aprendizaje de las matemáticas”. repleto de un cúmulo de saberes para el cual. inútiles. es un mundo fascinante. que si son aburridas o divertidas. en fin. encierra en sí misma tantos enigmas y misterios. pero sólo uno nos lleva a su entendimiento y apreciación. o como una gran ciudad prehispánica la cual encierra numerosos secretos que espera pacientemente ser encontrada por algún explorador extraviado.20 DESARROLLO El Aprendizaje de la Multiplicación Como Objeto Matemático a Través de la Resolución de Problemas en un Alumno Con Distrofia Muscular Progresiva Generalmente. La matemática es una ciencia tan amplia que es prácticamente imposible que exista un individuo que maneje la totalidad de los conocimientos matemáticos. cuando de matemáticas se habla. suele levantar pasiones. lo . suelen surgir un sinfín de opiniones encaminadas hacia todas direcciones. tediosas. pueden existir muchos caminos.\nel que nos lleva a los planteamientos epistemológicos de ella. y en general todo conocimiento matemático. apuntan a que los conocimientos matemáticos. no están preestablecidos. algoritmos. el origen del conocimiento matemático. es preciso que expliquemos más ampliamente las hipótesis de la segunda corriente. son saberes que existen desde siempre. Por otra parte. operaciones. pero al hablar de matemáticas. ya que las dos ofrecen argumentos muy atractivos y verdaderamente coherentes. Al pensar detenidamente en las hipótesis que nos presentan las dos corrientes. dichos conocimientos se originan en el momento en el que el hombre. incluso es posible que cambiemos muchas veces de postura. que están establecidos ya por las leyes de la naturaleza. y sólo hasta ese momento es cuando se puede decir que un saber matemático existe. entonces no podemos evitar uno de los más grandes cuestionamientos de la ciencia matemática. hay quienes afirman. o bien. podremos darnos cuenta de que es difícil elegir cuál postura adoptar. hay quienes contrariamente a los anteriores. y en concreto de un proceso de enseñanza o aprendizaje de ésta. pero a fin de adentrarnos en nuestro tema de estudio. Se dice mucho sobre el origen de los conocimientos matemáticos. derivado por una necesidad. los construye dentro de su mente.21 mismo sucede con este documento donde hablaremos del proceso de aprendizaje de la multiplicación. todas las fórmulas. . que éstos. ha estado sujeto al descubrimiento del hombre. por el contrario. es decir. según esta teoría.\ne igualmente el centímetro. sino una de las representaciones de éste. etc. aparecieron en el momento en el que el primer hombre en la tierra necesito contar. económica.22 Para esta corriente. Ahora tal vez podemos reflexionar. estos conocimientos. los 8 planetas no son el número 8. en el momento en el que una persona los construye. que si por el simple hecho de ser un objeto o de pertenecer al universo. pero. por la necesidad que fuere. existe mucho antes de la aparición del primer hombre en la tierra. y son imperceptibles ante los sentidos. se necesita que una mente establezca la relación matemática para que se originen los que en adelante nos referiremos como Objetos Matemáticos. quién dice que son 8. y las matemáticas. que son objetos matemáticos. . por lo tanto. y si. y el afirmar lo contrario sería comparado con un insulto al intelecto humano. los conocimientos matemáticos se dan. la esfera. Así. el círculo. pero veámoslo así: El sistema solar. independientemente de que los atributos existan. se ocupa un lugar en el espacio y tiempo. entonces ¿por qué las matemáticas nacieron con el hombre? Es indiscutible que existieron infinidad de entes antes de la aparición del hombre. son sólo construcciones mentales que se originan en el momento en que establecemos una relación entre el objeto matemático con una situación u objeto real. como ya mencionamos. ya que éstos no tienen forma física. tiene 8 planetas. social. sin el hombre. y que además el universo ha existido desde hace millones de años antes de la aparición del hombre. y que gracias a las matemáticas podemos medir esos atributos. política.\nhace un extenso análisis sobre los objetos matemáticos que nos es conveniente abordar para llegar al completo entendimiento de lo que significa enseñar matemáticas. La primera condición nos apunta que jamás hay que confundir los conceptos y propiedades de los objetos matemáticos entre las representaciones que se utilizan en matemática. y la segunda es que reconozca al objeto matemático en todas las representaciones. y al ser impalpables e imperceptibles. Charnay retoma algunas de las aportaciones de Duval en torno a dos condiciones que nos revelan cuando un alumno se ha apropiado de un objeto matemático: La primera condición es que el alumno no confunda el objeto matemático con su representación.” (Charnay 1998. una de las miles de representaciones que tiene un objeto matemático.23 En su libro “Aprender (por medio de) la resolución de problemas” Charnay. ya que como se mencionó anteriormente. siendo que éstas son el único medio que proporciona el acceso a los saberes u objetos matemáticos. 34). sin embargo. los objetos matemáticos no son perceptibles a través de los sentidos. como nos dice Charnay “Se trata de una condición específicamente difícil de cumplir al trabajar en matemática. el único medio para percibir los las propiedades de los objetos matemáticos son sus representaciones. el enseñar los objetos matemáticos sin confundirlos con sus representaciones. en virtud de que. dentro de sus planteamientos. pág. Lo anterior tal tez se presente como una idea ambigua o confusa que se contradiga a sí misma. las representaciones son sólo eso. como ya señalamos. .\nasí el niño sabrá que puede contar objetos incluso sin ninguna similitud en su apariencia física. Cualquier objeto es susceptible a ser representado por un número. Para que los niños se apropien de todas propiedades del número. Cada número tiene un numeral que los representa. Podemos ejemplificarlo cuando los niños adquieren el concepto de número. así. así por ejemplo el numeral  del uno es 1. Ésta es una tarea que se inicia en los primeros años de escolarización. En la adquisición de este concepto los alumnos tienen que apropiarse de todas las propiedades del número y entre ellas podemos mencionar las siguientes:  Un número representa una cantidad. porque si al niño se le enseñara sólo el conteo de manzanas. es necesario que el maestro utilice distintas representaciones de éste. aprendería . así del 1 sigue el 2. en tanto que la respuesta a esta disyuntiva se encuentra dentro de ella misma. del 2 sigue el 3. por dar una ejemplificación. será posible organizar las situaciones didácticas de manera que siempre se estén utilizando distintas representaciones del objeto matemático al enseñarlo.24 En realidad esto no tiene por qué ser confuso. Los números tienen un orden. y como todo objeto matemático es un conocimiento abstracto en tanto a que es un concepto mental que los niños tienen que aprender a construir dentro de sus mentes. del 3 sigue  el 4 y así sucesivamente. el 3 es menor que el 4 y al mismo  tiempo es mayor que 2. y es que al tenerla presente.\npor ejemplo tendrá que saber que el número cuatro se representa de distintas maneras.25 un procedimiento o representación del número y no el objeto matemático con todas sus propiedades. por mencionar algunos. Ahora que hemos analizado lo que es un objeto matemático. los profesores de que están a cargo de enseñar el concepto de número utilizan muchas estrategias que les permiten a sus alumnos aprenderlo. en consecuencia. 4. ¿cuál es la mejor método para enseñar las . cuando se define un número mayor o menor. ¿qué tan será difícil aprender matemáticas?. un alumno que ya ha adquirido totalmente el concepto de número. y lo que implica para un alumno apropiarse de él. 16/4. cuando se copian planas de números o cuando se utiliza el conteo. Al hacerlo se puede decir que el alumno ha aprendido ya el objeto matemático. podrá identificarlo en todas sus manifestaciones. y ésta segunda condición se cumple en medida que la primera sea ejecutada. 2+2. podemos llegar a imaginarnos realmente lo que involucra el aprender matemáticas. Como sabemos. Esto nos da como resultado que los alumnos se apropien de todas las propiedades del concepto de número y puedan consecuentemente aprender este objeto matemático. y tal vez surjan cuantiosas preguntas. 12-8. y como muestra están las actividades dónde se tiene que identificar el antecesor y sucesor de un número. el niño sólo podría contar manzanas y la única propiedad que conseguiría adquirir es el orden. como ejemplo. En la segunda condición manifiesta que el alumno debe reconocer al objeto matemático en cada una de las representaciones.\nprocedimientos o técnicas para la enseñanza de las matemáticas. así que sólo se transmitían exactamente como eran. ¿pueden los niños con NEE aprender matemáticas?. Chevallard señala dos de los tres enfoques de enseñanza de las matemáticas. Este modo casi sagrado de ver a las matemáticas. los cuales dependen básicamente de la evolución en la forma de concebir a las matemáticas. las hacía algo inaccesible y digamos un tanto intocable. métodos. pero es posible agrupar a todos ellos en tres enfoques. relegando el uso de la reflexión y el análisis. y algunos autores como Resnik y Ford hablan de la transición entre el segundo y el tercero. por ello lo nombraremos Artístico. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje”. esto ha dado como resultado la creación de un gran número de teorías. Durante este periodo. el saber matemático era percibido como un privilegio o como algo estrictamente dirigido a la clase social alta. Cronológicamente. el primer enfoque se encuentra cuando las matemáticas eran consideradas como un arte. lo que hacía fuera casi imposible cuestionar la veracidad de los conocimientos matemáticos. Chevallard menciona como el resultado de este enfoque que “el aprendizaje . al mismo tiempo han surgido quienes han buscado las respuestas.26 matemáticas?. ¿es posible que nuestros alumnos encuentren agradable estudiar matemáticas? Éstos y otros numerosos planteamientos que hondan respecto a la enseñanza o aprendizaje de las matemáticas han existido desde tiempos lejanos y elementalmente. En su libro “Estudiar matemáticas.\nestaba capacitado al mismo tiempo para transmitir ese conocimiento a los que merecían aprender matemáticas. dando eventualmente la posibilidad al análisis y reflexión. transformó esa visión artística de las matemáticas en ahora parte de la ciencia. de la voluntad y la capacidad de los propios alumnos para dejarse modelar por el artista. Podemos ver que ésta visión carece de muchas variables que pueden tanto favorecer o delimitar el aprendizaje de los alumnos. pero mientras las matemáticas formaran parte de las artes.27 de los alumnos dependía sólo del grado en que el profesor dominase dicho arte y. Más tarde. su enseñanza estaría confinada a la transmisión de un saber establecido y sin ninguna posibilidad de análisis. a este enfoque Chevallard lo denominó Clásico. y no cubre con muchos de los preceptos que hoy consideramos importantes en un proceso de enseñanza o de aprendizaje. llevó también a cambiar la forma en que se enseñaban las matemáticas. la necesidad del ser humano por comprender e investigar los fenómenos naturales. El inhibir la cuestión irrefutable de los conocimientos matemáticos. pág. mientras un profesor manejara a la perfección las fórmulas y procedimientos. y según éste. lo que permitía analizar y cuestionar los saberes matemáticos y buscar nuevas soluciones y procedimientos que resultaran más eficaces. en cierto sentido. 71).” (Chevallard 2000. Así pues. “el aprendizaje era considerado como un proceso psico-cognitivo fuertemente influenciado por factores motivacionales y actitudinales del alumno-aprendiz. 71) Como podemos ver.” (Chevallard 2000. pág. ahora se incluyen algunas variantes .\nes cierto que el enfoque Clásico promueve eventualmente el análisis y la reflexión. 128) Con lo que hemos analizado. así que mientras más se practicaban los ejercicios y las cuentas. las planas y el constante ejercicio de las operaciones. es posible observar que los objetos matemáticos no están nada cerca de ser un conjunto de datos y procedimientos no relacionados. y nos queda claro que el aprendizaje ya no solo depende del dominio del profesor. mientras las matemáticas siguieran siendo vistas como un saber hecho que se transmite mediante la práctica. . en éste enfoque. 133) por lo tanto. pág. sino que se reconocen factores motivacionales y actitudinales. los hemos considerado como un conocimiento abstracto que requiere de ciertos requisitos para ser comprendido totalmente. son habituales el uso de los cuadernos de ejercicios. su enseñanza estaría delimitada por ésta.” (Resnik y Ford 2000. las tarjetas con fórmulas y procedimientos. seguían siendo muy parecidos a los anteriores. y tal como los mismos Resnik y Ford nos exponen que “cualquier matemático sabe que las matemáticas forman un sistema unificado de conceptos y operaciones que explican algunos patrones y relaciones que existen en el universo.28 al proceso de enseñanza de las matemáticas. porque según Resnik y Ford. “creían que los niños llegarían a entender las matemáticas como un conjunto de datos y de procedimientos que no se relacionaban entre sí” (Resnik y Ford 2000. al contrario. ya que la visión de aprender matemáticas se encontraba dirigida hacia la utilización precisa de los procedimientos formales. Ahora bien. pero los métodos que se utilizaron para la enseñanza. pág. mayor indicios habría de que se estaba aprendiendo matemáticas.\npor lo tanto. al. y es necesario entonces que comprendamos lo que por éste se entiende. 1994. hemos mencionado en varias ocasiones al procedimiento experto. ya que encontramos que un problema puede ser resuelto de manera formal e informal con un resultado correcto en ambos procedimientos. sin embargo. un procedimiento experto se puede explicar como aquel que da la solución más rápida y con menor posibilidad de error hacia algún problema o tipos de problemas. simplemente el procedimiento formal es el más apto para resolver un problema. pero como algo casi impropio de la enseñanza. los problemas se utilizaban como medio de evaluación. más bien. Debemos entender que el atributo de informal o formal no se refiera a que uno sea correcto y otro incorrecto. Durante este documento. 15). Un procedimiento se define como “un conjunto de acciones ordenadas a la consecución de una meta” (Pozo et. el procedimiento o algoritmo informal o inexperto. así entonces se pensaba que los alumnos primero deberían aprender matemáticas y después aplicar éstos conocimientos en la vida diaria. y . al hacer esto.29 El enfoque Clásico también incluyó la utilización de situaciones problemáticas. se relaciona directamente al aprendizaje de las matemáticas con la utilización del procedimiento experto. es aquel que ofrece en cierto grado menor fiabilidad y rapidez en la solución de un problema o tipo de problemas. y por lo tanto a la exactitud en los resultados de las operaciones. y también podemos referirnos a ellos como procedimiento o algoritmo formal o experto. pág. Al contrario.\nUna vez explicado el tema del procedimiento formal. Estos sucesos fueron los que vieron nacer el enfoque de . el procedimiento formal es la multiplicación. sin embargo. podemos continuar con nuestra breve reseña de la historia de la enseñanza de las matemáticas. ya que su centro principal pasaba de ser de las exigencias de las matemáticas como disciplina o ciencia a los procesos psicológicos de los alumnos. como ejemplo tenemos que para un problema aditivo. y no fue hasta que las matemáticas comenzaron a ser consideradas más bien como una habilidad. ya que al ser una habilidad. Al mismo tiempo. Así mismo. cuando inició el gran vuelco en su enfoque de enseñanza. Según Resnik y Ford. la suma se convierte en un procedimiento informal al solucionar un problema multiplicativo. teorías como la del aprendizaje significativo propuesto por Ausubel (1968). el gran revuelo sucedido entre los años 50 ocasionado por las nuevas investigaciones de los pedagogos y psicólogos de esa época. o la del aprendizaje por descubrimiento por Piaget (1941/1952) ofrecían un enfoque más conceptual que de cálculo. Al considerar como prioridad la utilización del procedimiento formal. el procedimiento formal o experto es obviamente la suma. es posible obtener el mismo resultado mediante el conteo. podemos explicar la importancia de la práctica de los algoritmos y procedimientos formales en la enseñanza de las matemáticas. ésta debe ser usada y aplicada en nuestra vida diaria. recordando que analizábamos el segundo enfoque denominado Clásico. apuntaban a un gran cambio en la forma de enseñar.30 que un procedimiento formal para un problema puede ser informal para otro. ya que para éste.\nen ésta. la adopción del enfoque de Resolución de problemas a los currículos de educación básica de muchos países se debió a en gran parte a una serie de conferencias donde se evaluaron los currículos actuales en ese periodo. de hecho. hasta el Plan y Programas de Estudio de Educación Primaria de 1993. mientras que en la otra. propusieron conclusiones muy similares. En éstas se reunieron psicólogos. Resnik y Ford nos señalan que dos fueron las conferencias donde su tema principal eran las matemáticas. entre éstas. los temas que debatieron hondaban entorno al contenido matemático que debía estar dentro de los currículos. el cuál es vigente en la mayor parte de las escuelas primarias del país. como la novedosa forma en que se debía enseñar las matemáticas. físicos y matemáticos. éste enfoque es claramente visible dentro de los programas de estudios. en México. de la conferencia en Woods Hole esbozaba la adaptación e incluso la eliminación de los ejercicios de operaciones del currículo de matemáticas. celebrada en Cambridge (Massachusetts) en 1963. Pero al igual que en nuestro país. los temas estaban centrados en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y otras ciencias.31 Resolución de problemas. ha sido integrado en muchos de los currículos a lo largo de todo el mundo. La Resolución de problemas no es un enfoque relativamente nuevo. pedagogos. Tanto la primera como la segunda conferencia. desde las nuevas reformas de preescolar y secundaria. La primera fue en Woods Hole (Massachusetts) en 1959. y nos propone lo siguiente: .\npero esta vez estuvieron dirigidos en la constitución del currículo de matemáticas. pudieran comprenderlos. cambiaría totalmente la forma en que los alumnos ven las matemáticas. (Resnik y Ford 2000. la anterior cita nos marca no sólo la idea de que los alumnos deberían ser quienes descubrieran por sí mismos. debería existir una razón por la cual fue incluida en éste. en Cambridge plantearon cambios muy significativos. 130) Siendo breves. (Resnik y Ford 2000. 131) En análisis. en cambio. y que se estableciese o se rechazase la validez de cada concepto refiriéndose a supuestos ya probados. hasta desarrollar un goce en la actividad matemática. permitiéndoles así gozar del aprendizaje y participar en algunos de los procesos creadores con los que han disfrutado los matemáticos a lo largo de los siglos. pág. y de forma que las interrelaciones entre conceptos se pudiesen demostrar.32 Se debían utilizar. De igual forma que en la conferencia de Woods Hole. . sino que con esto. los procedimientos formales y así. pág. métodos de enseñanza que permitiesen a los niños descubrir por sí mismos ciertas generalizaciones y principios. y tercero que la elección de los contenidos estuviera sometida a un proceso donde imperaran teorías ya establecidas. primero que para cada contenido que se estableciera dentro de los currículos. lo anterior nos plantea tres ideas. segundo que fuera sencillo el encontrar las relaciones entre los conceptos que fueran a formar parte del currículo. los participantes de esta conferencia nos apuntaron lo siguiente: Se enseñaría de forma que cada afirmación o procedimiento tuvieran una razón de ser.\nadoptando los nuevos enfoques de la educación y las nuevas teorías de enseñanza. que son reconocidas por la WCEFA como “Conocimientos.” (Torres 1998. plantearon reformas radicales en la constitución de las matemáticas del currículo de educación básica. que como en su libro “Qué y cómo aprender” Rosa María Torres nos indica que “puso de manifiesto una renovada conciencia y compromiso internacional respecto a la importancia y urgencia de acrecentar los esfuerzos e impulsar nuevas políticas y estrategias en materia de educación. esta conferencia sirve como detonante para la reestructuración del currículo de educación básica mexicano.33 Como pudimos constatar. capacidades. pero sobre todo nos señala que la enseñanza deberá estar gobernada por las Necesidades Básicas de Aprendizaje (NeBA). pág. así pues. mejoren su calidad de vida y sigan aprendiendo” (Torres 1998. se formó la Conferencia Mundial sobre Educación para Todos (World Conference on Education For All WCEFA) en Jomtiem. llevaron al currículo a ser reestructurado totalmente. Como principal idea. De aquí. del 5 al 9 de marzo de 1990. sino todo el currículo en general. y de igual forma. deberán ir . para ello. parte la idea de que las matemáticas y todas las asignaturas de la educación primaria. 26). 11) De este modo. tanto las conferencias de Wood Hole y Cambridge. no sólo las matemáticas debían ser replanteadas. la necesidad de implementar las aportaciones de las nuevas investigaciones. actitudes y valores necesarios para que las personas sobrevivan. la educación básica deberá satisfacer las NeBA de los alumnos y no centrarse en ofrecer y ofrecer saberes que tal vez no necesiten. pág.\ntanto Rosa María Torres. era como si quisiéramos copiar un archivo exactamente igual de una computadora a las otras. En otras palabras. era como si entrenaran un equipo de . en el primer enfoque que llamamos Artístico. Hasta aquí hemos expuesto una breve reseña de la evolución del enfoque de la enseñanza de las matemáticas. el procedimiento experto para multiplicar se transmitía como si fuera una fecha. o un dato cualquiera. porque creían que los niños deberían aprender matemáticas para después aplicarlas. era asimilado directamente sin ofrecer actividades previas de preparación para la inclusión de éste procedimiento. podemos compararla e imaginarnos los procedimientos y métodos que se utilizaron en los distintos enfoques en la enseñanza de cualquier objeto matemático hasta antes de la llegada de la Resolución de problemas.34 encaminadas hacia un aprendizaje significativo que pueda ser utilizado en su vida diaria. el algoritmo formal se explicaba desde el primer momento. y aún cuando no somos reconocidos filósofos o pensadores importantes. Así vemos que por ejemplo dentro de la multiplicación. En el enfoque Clásico que estaba basado en el cálculo. solo que ahora se agregaron los problemas al final del proceso de enseñanza aprendizaje. fue donde se daba prioridad a la práctica. Como respuesta a todo esto. y el modo en que se presentaba este objeto matemático era exactamente igual al anterior. como el programa de educación primaria de 1993 apuntan al aprendizaje de las matemáticas mediante el enfoque de Resolución de problemas. sin analizarse ni ponerse a discusión ante los alumnos.\npero debemos entender que la resolución de problemas involucra más acciones que la de sólo responder un cuestionamiento como pasa con los ejercicios. ya que éste nos presenta muchas características que son provechosas para la enseñanza de las matemáticas. Es necesario ahora que extendamos la explicación del enfoque de Resolución de problemas. introduciendo el algoritmo formal mediante el descubrimiento y aplicándolo en situaciones reales incluso en los algoritmos informales. por lo que es posible confundirla con un simple ejercicio. pero debe quedar claro que la resolución de problemas se extiende más allá de las matemáticas.35 básquetbol dentro de un gimnasio por mucho tiempo y luego lo sacaran para que se enfrentaran a otro equipo sin ningún partido de preparación. Si cuestionamos a nuestros alumnos sobre lo que piensan cuando se menciona la resolución de problemas más de uno pensará en las matemáticas (que para muchos representa en sí el problema). antes de adquirir el formal. La resolución de problemas tiene como esencia el planteamiento de situaciones problemáticas. éste debe representar un reto que comprometa la búsqueda . ofrece resanar los agujeros que dejaban los anteriores enfoques. en virtud de que ésta es una habilidad que se puede aplicar a cualquier campo y circunstancia. y es que al tratarse de un problema. El enfoque de Resolución de problemas por su parte.\nEl tercer requisito está dirigido a que las situaciones problemáticas no deben de presentarse exactamente iguales. Esto nos lleva a que los problemas deben tener características específicas para que sirvan como elemento de enseñanza y no se conviertan en un simple ejercicio que nos lleven al enfoque Clásico de la enseñanza de las matemáticas. y para lo cual debamos pasar por un proceso donde reflexionemos para tomar una serie de decisiones que nos llevarán hasta encontrar la solución al problema que nos ha sido planteado. donde el cálculo y la práctica constituían la acción de aprender. En consecuencia.     Asertivo Reflexivo Versátil Persuasivo El primer requisito está relacionado con la idea de que un problema no debe ser tan fácil. siempre debe agregarse una variable distinta que cambie la estructura del problema. que no pueda ser resuelto. que no represente un reto para el alumno. lo que nos lleva a definir el segundo requisito.36 de un procedimiento del que no dispongamos. y no nos . ya que el carácter reflexivo se refiere a que los problemas deberán ser diseñados pensando en que los alumnos deban reflexionar para encontrar un procedimiento que los lleve a resolver el problema utilizando las nociones matemáticas que posee. Por ello debemos establecer los requisitos que debe tener un problema para percibirse como parte del enfoque de Resolución de problemas. pero tampoco debe ser tan difícil. un problema debe tomar en cuenta los conocimientos previos que el alumno posee.\nel propósito del que sea presentado después no vendrá siendo otro más que el de repasar un contenido que ya haya sido visto. ¿Cuántas ruedas necesita? En contraste con el primer par de problemas. ¿Cuántas canicas tiene en total? Pedro necesita cambiar las ruedas de 7 bicicletas. Para dar ejemplo podemos encontrar que los dos siguientes problemas presentan un desafío distinto: Jesús tiene 3 cajas con 5 canicas en cada una.37 referimos a que sencillamente se cambien los datos del problema. ¿Cuántas canicas tiene en total? Las muñecas de María tienen 2 trajes. pero hay que considerar que no estamos diciendo que una vez que se haya planteado un tipo de problemas. ¿Cuántos trajes para sus muñecas tiene en total? Al presentar estos dos problemas. quede estrictamente prohibido plantearlo de nuevo. si María tiene 8 muñecas. el segundo muestra una variable . la idea consiste en que el presentarlos en una misma situación didáctica con el mismo propósito sería comparable con dictar una serie de operaciones. como sucedería si se presentaran los dos siguientes problemas: Jesús tiene 3 cajas con 5 canicas en cada una.\ndistinta que implica un cuestionamiento más implícito dentro del problema, ¿Cuántas\nruedas tiene una bicicleta? Asimismo, esta variable puede conducirnos al cuarto\nrequisito que es la persuasión, ya que podemos aprovecharla dándole un tinte de\nmisterio a las situaciones problemáticas y así involucrar a los alumnos en el\nproblema de tal forma que les surja la necesidad propia de resolverlo, esto hará que\nbusquen con más entusiasmo la solución, y una vez que la encuentren, les dará un\ncierto grado de satisfacción personal llevándolos a que paulatinamente puedan\napreciar las matemáticas.\nIndependientemente si el problema cumple o no con los requisitos, al\nresolverlo el alumno se enfrenta a una tarea que implica la transición de 4 etapas\npropuestas por Polya, las cuales podemos encontrar en el libro “La solución de\nproblemas” de Juan Ignacio Pozo y otros autores. Para comprender estas etapas es\nnecesario que las vinculemos con la teoría del aprendizaje significativo de David\nPrimeramente, aprendizaje significativo es aquel donde “el alumno relaciona\nde manera no arbitraria y sustancial la nueva información con los conocimientos y\nexperiencias previas y familiares que ya posee en su estructura de conocimientos o\ncognitiva.” (Díaz-Barriga 2001, pág. 38) Entendamos entonces que el aprendizaje\nsignificativo se da cuando hay una organizada y congruente relación entre el\nconocimiento que presenta el problema y los conocimientos que el alumno ya ha\nÉsta idea parte de que al relacionar intencionalmente el nuevo y el\nantiguo conocimiento, el alumno se inmiscuya en un proceso que le lleve a comparar\ny analizar los dos conocimientos y llegue a la conclusión de que el nuevo\nconocimiento es más eficaz que el anterior, por ello es que las situaciones\nproblemáticas deben incluir en su diseño esta idea.\nLa primera etapa para la resolución de un problema consiste en la\ncomprensión del mismo problema, ya que sería imposible resolver una tarea que no\nhaya sido comprendida totalmente, sin embargo debemos saber que no solo conlleva\nque el alumno deba entender el significado de las palabras que conforman el\nproblema, por así decirlo, por ello Poyla nos señala que “comprender un problema no\nsólo significa entender las palabras, el lenguaje o los símbolos en los que está\nplanteado, sino también asumir la situación como tal problema y adquirir una\ndisposición de búsqueda de esa solución.” (como se cita en Pozo et al. 1994, pág.\n25). Cuando esto ocurre, el alumno ha entrado ya en un proceso donde le es posible\npercibir las dificultades que tendrá que sobrepasar para resolver el problema, y\ndeberá organizar sus experiencias previas para determinar cuáles le son útiles para\nsolucionar la tarea que se le ha encomendado, lo cual corresponde al primer\nrequisito que se analizó con anterioridad, la reflexión y da pauta para continuar con la\nLa segunda etapa es la concepción de un plan, donde el alumno debe tener\nmuy claro la distancia que hay entre la situación actual que presenta y lo que plantea\nel problema y qué procedimientos son más eficaces para disminuir o eliminar esa\ndistancia. En esta etapa el alumno deberá encargarse de diseñar las estrategias que\nle permitan resolver el problema o bien, utilizar sus conocimientos previos para crear\nuna solución que dé respuesta a la necesidad que plantea.\nComo el alumno aún no ha adquirido el nuevo conocimiento, que en este caso\nsería el procedimiento experto, tendrá que resolverlo mediante un procedimiento\nEste procedimiento informal se inclina hacia la importancia de los\nconocimientos previos en el aprendizaje significativo, que deben ser el punto de\npartida para los nuevos aprendizajes y al diseñar el plan que se utilizará para\nresolver el problema, Frida Díaz-Barriga nos dice que “Se realiza un juicio de\npertinencia para decidir cuáles de las ideas que ya existen en la estructura cognitiva\ndel aprendiz son las más relacionadas con las nuevas ideas o contenidos por\naprender.” (Díaz-Barriga 2001, pág. 40) es decir que el alumno tendrá que hacer una\norganización de todos los saberes que ha adquirido a lo largo de su vida y\nseleccionar aquellos que puedan servirle para solucionar el problema que se le\nplantea, por esto es que el docente siempre debe tener en claro cuál es el\nconocimiento que actualmente poseen sus alumnos, para que al diseñar las\nsituaciones problemáticas siempre tenga la visión de que deben atender al requisito\nde la acertividad para lograr que sus alumnos puedan en verdad resolver el problema\nmediante sus propios medios.\nLa tercera etapa consiste en la ejecución del plan, donde el alumno pondrá en\nmarcha el procedimiento que ha concebido para dar solución al problema planteado,\npor tanto. desde el punto de vista didáctico. 40). pág. la persona que soluciona problemas evalúa si ha alcanzado o no la meta y si debe.41 esta etapa suele ser la más rápida ya que el alumno sólo tendrá que utilizar el procedimiento que ha diseñado con sus conocimientos previos. y aquí es donde el docente deberá introducir el procedimiento formal que está establecido ya por las matemáticas y bajo este planteamiento. 31) En estos dos objetivos. puede servir para ayudar al alumno a hacerse consciente de las estrategias y reglas empleadas y. la información nueva vuelve a reformularse para poderse asimilar en la estructura del sujeto. revisar su procedimiento. Por otro. La cuarta etapa es la visión retrospectiva. Así es como el alumno deberá . lo que lo lleva nuevamente a diseñar un nuevo plan. comparando y analizando todos los procedimientos que se utilizaron o pudieron haber utilizado para resolver el problema. en ésta Polya nos menciona que tiene dos objetivos: Por un lado. ya que el alumno debe llegar a reflexionar si el procedimiento que utilizó es el más eficaz para resolver el problema. 1994. mejorar su capacidad heurística. donde el alumno verificará si el resultado obtenido es el correcto. En ocasiones el alumno suele percatarse durante la ejecución del plan que el procedimiento que había formulado no es el indicado. Con base al procesamiento anterior. (como se cita en Pozo et al.” (Díaz-Barriga 2001. contradicciones y similitudes entre las ideas nuevas y las previas. de esta forma. se incluyen las ideas del aprendizaje significativo en el sentido de que “Se determinan las discrepancias. pág. es donde se encuentra en sí la acción de aprender.\npara que lo adopte ya en su estructura cognitiva. éste se convierte en una oportunidad de reflexión.42 comparar ahora el procedimiento formal y el informal para llegar a la conclusión de cuál es el procedimiento que él utilizará cuando se le presenten problemas de éste tipo. que llevará a que paulatinamente el alumno llegue a las conceptualizaciones propias de las matemáticas. Claramente podemos observar que en la resolución de problemas no es tan necesaria la respuesta correcta. lo que se busca es que el alumno reflexione acerca de los procedimientos que está utilizando para resolver los problemas. más bien. así el error no es considerado como un fallo. incluso es posible que una actividad matemática en el aula regular orientada por la resolución de problemas bien fundamentada y aplicada. la resolución de problemas ofrece muchos aspectos positivos para los alumnos con Necesidades Educativas Especiales. no obstante. y más allá del cuál. permitieron reunir un conjunto de pruebas que pueden afirmar la anterior hipótesis. la estancia dentro de un servicio de educación especial durante un ciclo escolar y la aplicación de una propuesta didáctica. pueda satisfacer e incluso eliminar las NEE de menor grado. En particular. para desarrollarla necesitamos primero tratar algunos puntos que nos permitirán percibir . por el contrario. llegará a entender porqué ese procedimiento le puede brindar una mínima posibilidad de fallo y una mayor rapidez. o en otras palabras al descubrimiento del algoritmo convencional o procedimiento formal y al compartir algunas de las hipótesis con el aprendizaje significativo.\nEs hereditaria. (Fitzergerald 2004. Existen varios tipos de distrofia. ya que no presenta características particulares a esa edad.43 más claramente la situación. Iniciemos retomando el caso que se analizó durante el ciclo escolar 20082009. cuando se comienzan a distinguir las características del padecimiento. La Distrofia Muscular Duchenne. que pertenece a la categoría de Discapacidad Motriz. pero podemos distinguir dentro de ella algunas características:    Es una enfermedad de origen genético. histológicas y bioquímicas propias. Una . Recordemos que el alumno tiene por nombre César Alexis. Es causada por una anormalidad en el gen de la distrofina. se da solo en los varones. está en 5° de primaria y desde los 5 años fue diagnosticado con Distrofia Muscular Duchenne (DMD). pero ésta en específico cuenta con la siguiente definición propuesta por Fitzgerald: La DMD es una patología genética hereditaria de los músculos con características clínicas. causada por una anormalidad del gen de la distrofina. 243) Esta definición nos describe la Distrofia Muscular Duchenne de un modo un tanto médico. No es hasta que los niños inician con un ligero retraso en el desarrollo motor. pág. y normalmente no es diagnosticado en el nacimiento. que genera la ausencia total de distrofina en los músculos además de otros tejidos productores. una proteína asociada con la membrana.\nde 8 a 12 años y de 12 en adelante. de 4 a 8 años. César Alexis se encuentra en la tercera etapa de la enfermedad. durante este periodo. que evolucionaran causando a su vez la disminución progresiva de la función pulmonar. Dentro de la DMD se puedes distinguir 4 etapas que se clasifican por edades: De 0 a 4 años. donde los trastornos musculares aumentan a tal grado que surgen un conjunto de alteraciones secundarias: escoliosis y lordosis que acrecientan la curvatura de la columna vertebral. los pacientes deben utilizar una silla de ruedas permanentemente para desplazarse. los niños se fatigan con facilidad y pierden la capacidad de mantenerse en pie y caminar por sí solos. es por ello que se le nombre en ocasiones Distrofia Muscular Progresiva Duchenne. algunos niños afectados también pueden presentar problemas gastrointestinales asociados a la falta de distrofina en el músculo liso del . presentan también una posición equina del pie. remplazando el músculo funcional por tejido fibroadiposo llevando a la persona a la pérdida paulatina de las capacidades motrices y un conjunto de complicaciones que más tarde provocarán el deceso del individuo que la padece. porque va degradando el aparato muscular del cuerpo. lo que dificulta el uso de calzado y para esta edad.44 característica más de esta distrofia es la progresividad. Por su edad de 11 años. debido al bajo tono muscular de los cuadriceps. Al alumno le resta un año para entrar la última etapa de la enfermedad. estas etapas muestran notoriamente una serie de características que se van agravando tal como lo explica Fitzgerald en su obra Ortopedia.\nEl artículo hace un extenso análisis sobre las capacidades intelectuales de los niños con Distrofia Muscular Duchenne que debemos retomar. entre los 16 y 21 años. Finalmente. debido a que ratifica muchas de . no existe cura para esa enfermedad.45 intestino. Asociación de Distrofia Muscular de los Estados Unidos de América. La capacidad vital del niño irá empeorando a menudo que la debilidad muscular progresa y con ésta las complicaciones antes mencionadas. y podemos imaginarnos el gran golpe emocional que llegan a sufrir los padres al conocer el desenlace del padecimiento. por Margaret Wahl (1997). lo que lleva a un desinterés en la cantidad y calidad de los aprendizajes escolares. causando un bajo aprovechamiento escolar. las personas con DMD fallecen por infecciones pulmonares que no pueden superar por su insuficiencia respiratoria progresiva. dentro de ellas. Desafortunadamente. están las exigencias de que implica cualquier proceso de escolarización. esto en parte ha provocado un gran sentimiento de los padres hacia complacer a César y tratar de brindarle la mayor cantidad de felicidad que puedan a su vida. La capacidad intelectual de los niños con Distrofia Muscular Duchenne es una interrogante aún turbia que no ha conseguido una clara respuesta. pero existen algunos documentos que debaten este tema y entre ellos destaca un artículo electrónico nombrado “El Cerebro en la Distrofia Muscular Duchenne” publicado por la Muscular Distrophy Association (MDA) de EUA o bien. evitando todas aquellas experiencias que puedan propiciarle un conflicto de cualquier tipo. un tema de debate en el que es necesario inmiscuirnos.\nque parte de esto es causado por la misma enfermedad o es causado por una privación escolar. y de ser así. o también una actitud un poco fatalista por parte de padres y maestros sobre la idea de que el aprender no es .46 las características que se han observado en el alumno. Algunos propusieron que esto podría deberse a que la distrofina también podría tener alguna repercusión dentro del cerebro. lo que causó una gran confusión entre los investigadores. tales como un desequilibrio emocional del niño y su familia causado por progreso de la enfermedad. Otros señalaban que no en realidad no existía disminución alguna en el CI de los niños. sino que reflejaban una serie de situaciones que el alumno debía haber vivido en su desarrollo. que se considera normal o que está dentro de la media. pero no sabían cual. En primer lugar se hicieron evaluaciones de Coeficiente Intelectual encontrando que la mayoría de los niños con DMD tienen un CI dentro del rango de los 80 puntos. Nos menciona que los problemas de aprendizaje en niños con DMD han sido percibidos desde que se definió la enfermedad misma. estrés emocional proveniente de la pérdida de las capacidades motoras. la falta de movilidad y pocas experiencias de aprendizaje en la vida. o por factores ambientales. y tampoco podían explicarse cómo era que variaba tanto la puntuación entro los niños casi de igual forma que variaba el deterioro muscular en ellos. por ello se realizaron una serie de pruebas entre las décadas de 1960 y 1970 para determinar que tanto de los niños con DMD presentan una disminución en el Coeficiente Intelectual (CI). y sólo unos pocos obtuvieron un CI por debajo de este rango y otros tantos alcanzaron un CI muy alto.\nlo que indicó que claramente hay algo más que el impacto social como causa de los problemas cognitivos en los niños con DMD. no se sintetiza distrofina normal. quien está implicado en la causa de la DMD. o bien. la proteína resultante es de mala calidad y no es útil para la célula. Haciendo una analogía los genes son como recetas que llevan los ingredientes y procedimientos para la creación de las proteínas. a inicios de 1990. aunque . La respuesta que obtuvieron los investigadores sobre la segunda propuesta surgió cuando se llevaron a cabo estudios en niños con DMD y con Atrofia Muscular Espinal que tienen un grado similar de discapacidad física y por consiguiente comparten algunas circunstancias en su desarrollo emocional. Los investigadores llegaron a encontrar también respuesta a la hipótesis que se había planteado en un inicio sobre las repercusiones de la ausencia de la distrofina en el cerebro.47 importante que un alumno con DMD debido a que no vivirán los suficiente para aplicar los conocimientos o estudiar una licenciatura. o simplemente se desintegra. Se encontró que los niños con Atrofia Muscular Espinal tienen un CI normal. cuando la receta contiene datos erróneos. en 1986 investigadores de la MDA se descubrió el gen que resguarda la información para la creación de la proteína que más tarde se le conoció como distrofina. finalmente se pudo probar la existencia de una forma cerebral de la distrofina creada por el mismo gen que la muscular. El artículo señala que más tarde.\nya que para empezar. profesor de neurología y neurociencia del Colegio de Medicina Albert Einstein en Nueva York. quien nos dice que la vasta mayoría de los niños con Duchenne no tienen un clásico deterioro intelectual. Actualmente ésta teoría ha sido adoptada por los científicos y médicos. los investigadores se atreven a especular que si esa proteína cerebral fuera defectuosa en la DMD. y el hecho de que las personas tienen distintos defectos en el mismo gen.48 un poco diferente. también existen las realizadas por Mark Mehler. podría entonces explicar la variabilidad encontrada en estos problemas. las evaluaciones de CI se centran en la entrada y salida de información del cerebro al medir la inteligencia. nos apunta que conjuntamente a las anteriores investigaciones. la evaluación del niño se verá afectada por éste. esto podría explicar los problemas cognitivos observados. en ellos se ha percatado que tienen problemas en tres áreas:  Atención y concentración. lo que ellos presentan es una incapacidad al comunicar su saber e interactuar con el mundo exterior. Una prueba de esto se encuentra en los niños que ha evaluado el mismo Mehler. Mehler piensa que los resultados de las evaluaciones de CI se deben a una clara dificultad para concentrarse que presentan los pacientes con DMD que ha examinado. aunque no restan valor a la importancia de los factores emocionales y sociales en las capacidades intelectuales de los niños con DMD. . Aunque aún no haya concluido el estudio de la proteína en el cerebro. El mismo artículo que analizamos. y al tener problema en la percepción.\nya que tiende a cambiar con frecuencia su centro de atención. ya que un niño con estas características puede encontrar una cosa un objeto lo más interesante del mundo. se han observado estas conductas propuestas por Mehler. pero no se puede corroborar el Déficit de Atención como problema genético porque no hay un estudio que lo avale. sin embargo. En el área de aprendizaje verbal y memoria. y un segundo más tarde comienzan a hacer otras siete cosas más. y al cabo de tres segundos. cómo su cuerpo va perdiendo la fuerza . es afectada en virtud de que el niño pasa por un proceso de degradación que le lleva algunos problemas emocionales y de falta de autoestima. y hablando de memoria también ha sido aclarada su funcionalidad. Particularmente en el caso de Cesar Alexis. la comunicación y transmisión de ideas es uno de las áreas que más se aprovechan para el aprendizaje del alumno. Para iniciar Mehler encuentra que los niños con Duchenne muestran una gran tendencia a la falta de concentración siendo Déficit de Atención la mayor causa. César Alexis no presenta dificultades en ésta ya que como se ha descrito en la introducción de éste documento. Interacción Emocional. han olvidado por completo el primer objeto. su falta de concentración y priorización de las tareas que realiza es notoriamente clara cuando se trabaja con él. al observar él mismo. La tercer área de Interacción emocional.49   Aprendizaje Verbal y memoria.\nhaciéndole ver siempre que él es muy importante para la vida de ellos y de los demás. aunque en ocasiones ha mostrado cierta tristeza por no poder llevar a cabo algunas acciones que sus compañeros de clase pueden. en particular en el segundo grado se pensó la inacreditación del alumno al tercer grado. y lo externa lamentándose o recordando cuando el podía por ejemplo caminar. y sintiendo que acciones que podía realizar fácilmente. César Alexis no ha sido tan afectado en esta área debido a que sus padres han sabido manejar la situación. y posteriormente le serán imposibles realizar.50 y el tono muscular. con el propósito que los padres perseguían. este tema fue punto de un acalorado debate entre los docentes de educación regular y especial que actualmente atienden al alumno. Esto puede afectar en gran parte el comportamiento y el concepto que el niño tiene de sí mismo. Por un tiempo. por la baja calidad de los aprendizajes escolares. y lo han llevado a tal grado que les es indiferente si el alumno aprende o no en la escuela. se vuelven cada vez más difíciles de lograr. que su hijo llevara su vida tan feliz como ellos y ahora sus maestros pudieran proporcionarle. pero después de un tiempo de charlas y entrevistas con un tinte algo sensible se llegó a la conclusión de que el alumno cursaría la escuela primaria dando baja prioridad a la adquisición de conocimientos. También es necesario destacar que los padres han sobrepasado los límites de la condescendencia con su hijo. para ellos lo más importante es que su hijo sea feliz y que tenga todo lo que necesite. .\nComo hemos expuesto ya. uno de los contenidos más importantes en la asignatura de matemáticas dentro de la Educación Primaria. pero en matemáticas presenta un claro retraso en comparación con las otras asignaturas. es hallar un número llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que del multiplicador es respecto de la unidad.” (Chávez y León 2003. y es notable que en ocasiones pueda responder alguna tabla de multiplicar. sin darle significación alguna. presentaremos primero la definición de la multiplicación según “La biblia de las matemáticas” Carmen Chávez y Adriana León “La multiplicación es una composición cuyo objeto. Debido a los resultados obtenidos mediante la evaluación psicopedagógica y al claro hecho de que en un tiempo determinado el alumno tendrá que ingresar a la escuela secundaria.51 Desde ese momento el niño cursó la primaria sólo con ese objetivo. se planteó la necesidad de que el alumno adquiriera las nociones de la multiplicación. 48) . recordemos que la multiplicación es un objeto matemático. Para ello se creó una propuesta didáctica para el aprendizaje de la multiplicación a través de la resolución de problemas. pero de forma casi inconsciente o como si fuera una frase. un tema que hemos abordado ya desde el inicio. dados los números llamados multiplicando y multiplicador. pág. y es que ha arrivado al quinto grado sin llegar a la comprensión de la multiplicación. y su aprendizaje en todas las materias ha sido desigual a la de sus compañeros de aula. pero para entrar en el tema.\nSabemos que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero.” (como se cita en SEP 1988. La multiplicación tiene una propiedad llamada conmutativa. por ello debemos de establecer las propiedades de la multiplicación que han sido rescatadas de los libros “Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir” SEP (1994). las matemáticas y la realidad. el elemento que. ya que sus experiencias con las sumas y las restas. dos cantidades son de un cierto tipo y el resto son medidas de otro tipo. lo convierte en sí mismo. La multiplicación es una relación cuaternaria entre cuatro cantidades. “¿Qué es la multiplicación?” Delia Lerner (como se cita en SEP. es decir.52 De acuerdo a la idea de los objetos matemáticos que anteriormente analizamos. al combinarse con cualquier otro. La multiplicación se utiliza para obtener el resultado de un conjunto de un   mismo número de objetos. es . es una simple descripción del procedimiento formal para multiplicar. pero para los niños es difícil comprenderlo en un principio. La primera propiedad habla de la función del cero en la multiplicación. 1988) y “El niño.    En la multiplicación. y ya sabemos lo que sucede cuando se confunde a un objeto matemático con una de sus representaciones. pág. quien nos dice: “En la multiplicación el cero es el elemento absorbente. el cero es un elemento absorbente. El uno es el elemento neutro de la multiplicación. ésta definición de la multiplicación. Problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria” Vergnaud (1991). les han enseñado que el cero es un elemento que no representa transformación. y es planteada por Delia Lerner. 129).\nEs decir que el 1 es el elemento neutro de la multiplicación y cumple la misma función que cumple el cero en el caso de la suma. y por lo tanto el número resultante es la primera cantidad. ¿Cuántas pelotas tiene en total? . en resultado. el resultado será el número que se haya multiplicado. En el problema de multiplicación: “Julio tiene 3 cajas con 0 pelotas ¿Cuántas pelotas tiene en total?” nos muestra que el niño tiene un total de 3 cajas. ya que el uno nos está diciendo que se repetirá la cantidad una sola vez. pág. 129) En palabras más simples. pero dentro de ellas no tiene ninguna pelota.” (como se cita en SEP 1988. La segunda propiedad la señala la misma Delia nos dice: “Al multiplicar por 1 cualquier número natural. se obtiene este último número. al multiplicar cualquier número por 1. Como ejemplo se presenta la siguiente imagen que ilustra el problema: “Patricia tiene 3 cajas con 1 pelota.53 decir que mantiene igual la cantidad inicial. Julio no tiene ninguna pelota (véase la ilustración con la ejemplificación del problema).\nEsta propiedad corresponde al sustrato de que la multiplicación es una suma abreviada. pág 17) es decir que los niños deben aprender que la multiplicación puede utilizarse para calcular el total objetos en un determinado número de colecciones que pertenecen a la misma clase.” (SEP 1994. donde nos apunta que “La multiplicación permite expresar el total de objetos que se obtienen al reunir colecciones que tienen la misma cantidad.54 La tercera propiedad se encuentra en el libro "Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir”. y recordando también lo que hablamos de los procedimientos informales. por ejemplo: 5 paquetes con 3 pelotas son 5 colecciones que pertenecen a la clase del número 3 (Véase en la ilustración que se presenta a continuación). .\ny no es necesario explicarla tan a fondo. una de cajas y otra de pelotas (véase la ilustración que se presenta a continuación).55 la suma no es el procedimiento formal para la multiplicación. intervienen dos clases de objetos. el producto no cambia.” (SEP 1994. siempre que han sumado pelotas con pelotas o manzanas con manzanas. es totalmente válido que los alumnos la utilicen siempre y cuando lo decidan ellos. . La cuarta es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación. retomando el ejemplo de las 5 cajas con 3 pelotas. 46) Estaremos seguros que todos hemos oído esa frase anteriormente. el resultado de las dos operaciones es 20. la quinta propiedad es propuesta por Vergnaud es un poco complicada en virtud de que los niños hasta esa edad están acostumbrados a realizar operaciones donde sólo interviene una sola clase. pág. sin embargo. que nos narra lo siguiente: “Cuando en una multiplicación se cambia el orden de los factores. y en efecto. es decir. Finalmente. el orden de los factores no altera el producto se dirige a que resulta la misma cantidad multiplicar 5 x 4 que 4 x 5. podemos observar claramente las clases. en ésta operación.\nque no presenta ningún tipo de dificultad para los niños y que muestra muy claramente que son cuatro las cantidades puestas en relación: x designa la cantidad buscada. Vergnaud nos dice que “todos pueden ser representados por un esquema análogo.56 Sobre los problemas de este tipo.” (Vergnaud 1991. 198) En el siguiente esquema hemos adaptado los datos del problema que estamos analizando en correspondencia con el propuesto por Vergnaud: . pág.\nse encontró lo siguiente: En la primera propiedad con respecto al cero. se le presentó al alumno la operación 10 x 3. pero en realidad. el cuadro se presenta en la siguiente ilustración. aunque más tarde en la aplicación de . aunque también influyó que esta evaluación se realizó en los primeros días cuando aún no había una relación más cercana al alumno. operación que ni siquiera intentó solucionar porque argumentó que no sabía. y que aísla sólo a 4 cantidades particulares que son las que se utilizan para la resolución del problema de multiplicación.57 El autor nos dice que este esquema es una tabla de correspondencia entre los dos tipos de cantidades que representa el problema. En la segunda propiedad referida a la función del número 1. donde se han resaltado las 4 cantidades señaladas Al evaluar al sujeto de estudio en todas las propiedades de la multiplicación que mencionamos. este cuadro proviene de uno más completo al que pertenecen. el alumno respondió correctamente a la operación 1 x 7.\nCésar se debía de iniciar un proceso donde se buscara que el . Al analizar todos los datos se llegó a la conclusión de que el alumno no había adquirido totalmente ninguna de las propiedades de la multiplicación. producto de la constante exposición a la actividad de repetición en clase. se presentó ante el alumno un dibujo con cuatro colecciones de 3 objetos. que corresponde a la conmutativa. La quinta y última propiedad que corresponde al algoritmo formal de la multiplicación se evaluó con una operación que corresponde a 43 x 265. al evaluar esta propiedad. que no sabía cómo resolverla. por lo tanto. porque después de presentarle el mismo dibujo se le dio ahora uno con tres colecciones con 4 objetos. En la cuarta propiedad. por lo que podemos concluir que aún no había descubierto la funcionalidad de la multiplicación. y que sólo conocía algunas tablas de multiplicar de manera mecánica sin ninguna significatividad. se descubrió que tampoco estaba adquirida. En la tercera propiedad que se relaciona con la funcionalidad o el uso del procedimiento formal. realizó un conteo.58 algunas actividades se pudo concluir que lo había hecho satisfactoriamente porque respondió mediante la tabla de multiplicar del número 1. y se le cuestionó el total. al resolverlo. obteniendo la misma respuesta que en la primera. y volvió a contar los objetos dando sólo el resultado sin hacer otro comentario comparativo entre el anterior problema.\npero encontré propuestas no muy diferentes a las ya planteadas por el plan 1993 en cuanto a la metodología y el enfoque didáctico. conocemos también los planteamientos del enfoque de resolución de problemas. generada por una actividad matemática reflexiva y un tanto entretenida dentro del aula. La solución de problemas sigue siendo el enfoque de enseñanza. . ya conocemos el caso del alumno con Distrofia Muscular Duchenne que se abordó. contenidos y enfoque didáctico seguidos pertenecen al plan de 1993. Hemos analizado ya las propiedades de la multiplicación. los propósitos. y sabemos los requisitos que se necesitan para que un alumno adquiera o conceptualice los objetos matemáticos. Para elaborar la propuesta. pero por motivo de que plan vigente en la escuela donde el alumno está integrado. Ahora es tiempo de que expliquemos el proceso de intervención que se persiguió con la propuesta didáctica que se diseñó y aplicó durante el séptimo y octavo semestres. es importante destacar que también se tomó en cuenta la revisión del nuevo Plan de Estudios. Educación Básica. se tomaron los planteamientos que indican el Plan y Programas de Estudio de Educación Primaria de 1993.59 alumno adquiriera todas las bases para que finalmente pudiera utilizar el procedimiento experto para multiplicar. pero el nuevo plan ahora incluye elementos motivacionales como una llamada actitud positiva hacia el estudio de las matemáticas. Primaria SEP (2008).\ntengan que utilizar los procedimientos informales. las 6 etapas forman parte también de las categorías residuales de este ensayo y se pueden titular de la siguiente forma:  Noción de número. comparen sus resultados y sus formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las conceptualizaciones propias de las matemáticas. pág.60 El enfoque que se maneja dentro del plan de 1993 consiste en: …brindar situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas y que. . a partir de soluciones iniciales. Los alumnos deberán aprender así las matemáticas de forma significativa y de forma que puedan utilizar la habilidad para resolver problemas en su vida diaria. surgieron algunos elementos que permitieron constituir la forma en que los niños aprenden a multiplicar. y es posible organizar este proceso a través de 6 etapas que los niños deben completar para llegar a la apreciación de la multiplicación como objeto matemático. donde en un principio. algo que siempre estuvo presente en la aplicación de la propuesta didáctica. para después encaminarlos poco a poco al descubrimiento del algoritmo formal mediante un análisis comparativo y reflexivo entre los procedimientos que se pueden utilizar para la resolución de un mismo problema. (SEP 1993. Análisis de resultados Conforme al proceso de intervención de la propuesta didáctica. el enfoque parte de la idea de que los alumnos deberán aprender matemáticas a través de situaciones problemáticas. 53) En resumen.\nel alumno debe haber concretado primero el concepto de número. se dice que el individuo debe descubrir los siguientes 6 principios.  El reconocimiento de los problemas de tipo multiplicativo.  El descubrimiento de la forma usual para representar una multiplicación. pág. Al mencionar la apropiación del número.  El hallazgo de las multiplicaciones especiales. Como la multiplicación forma parte de la aritmética. Para iniciar el proceso de multiplicación. el libro “Guía para el maestro” nos señala lo siguiente: “Los niños se valen de los conocimientos numéricos que han adquirido a partir de sus experiencias cotidianas para interpretar las nociones aritméticas elementales que se enseñan formalmente en la escuela” (SEP 1992. el alumno antes de iniciarse en el proceso del aprendizaje de la multiplicación había adquirido ya la noción del número con todas sus propiedades.  El procedimiento o algoritmo experto para multiplicar. considerándolo como los conocimientos previos del aprendizaje significativo.15).61  La multiplicación en conjuntos y repartos de objetos. por ello se presenta como primera etapa. A esto. los cuales se plantean en el libro mencionado con anterioridad: . En este caso. es necesario entonces una apropiación del sistema de numeración.\nEl primero.  Principio de correspondencia.62  Principio de orden estable.  Principio de valor cardinal. estableciendo que del uno seguía el dos.  Principio de irrelevancia del orden. El segundo se observaba al contar un conjunto de objetos. y por el contrario de no haberse . al contar siempre le daba el orden. eso demuestra que el alumno conocía que cada etiqueta numérica debe ser irrepetible y única para cada elemento contado. ya que no repetía ningún número en la serie. ya que al terminar de contar asignaba el último número al conjunto. El cuarto principio se observaba cuando se le pedía que contara distintos objetos y lo hacía correctamente.  Principio de abstracción. Al observar la forma en que el alumno maneja el sistema de numeración. se determinó que había asimilado ya estos 6 principios. El tercer principio se demostraba cuando también realizaba un conteo. pág. 24). debido a que César daba el mismo orden a los números. dando a cada elemento una sola etiqueta y asegurándose de no contar dos veces el mismo objeto ni dejar de contar ninguno. es decir. lo que aclaraba que el niño ya había descubierto que “las diferencias físicas de los objetos nos son una limitante para poderlos contar” (SEP 1992. El quinto principio referido al valor cardinal se observó cuando se le pedía al alumno que dijera el número total de un conjunto. del dos seguía el tres y así sucesivamente.  Principio de unicidad.\nutilizando diversos procedimientos” (SEP 1993. Los niños inician desde esta perspectiva viendo a la multiplicación casi como un juego. es decir que para un conjunto de 4 elementos. 58).63 apropiado de esta propiedad. 2. 4 sin asignarle directamente el 4 al conjunto. quedó en claro que el alumno aún no realizaba operaciones mentales para establecer la construcción de la multiplicación mentalmente como se puede observar a . 3. ya que los problemas de repartos de objetos y conjuntos son situaciones didácticas en las que los niños tienen que manipular objetos. el alumno comienza a resolver problemas multiplicativos pero sin conceptualizar aún la multiplicación. al cuestionarle el total el alumno respondería contando 1. y en particular en la primera unidad didáctica se presentaron estos tipos de problemas y al inicio de esta. 3. cada vez que se le preguntara el número del conjunto el alumno contaría los objetos de nuevo. en el contenido: “Introducción de la multiplicación mediante resolución de problemas que impliquen agrupamientos y arreglos rectangulares. 2. entonces al iniciarse en la multiplicación en conjuntos y repartos de objetos. 4 y al volverle a cuestionar volvería a contar y señalar los elementos de la misma manera: 1. Para entrar en la segunda etapa significa que el alumno debe haber completado la primera. En la propuesta didáctica aplicada. pág. este proceso se inicia en segundo grado. contar y establecer sus propias conjeturas si llegar a ningún algoritmo para resolverlos.\nDe sobrantes 0 No. y en menos de un minuto formó los conjuntos de 3 botones y después contó el número de grupos que fueron 7. Se prosiguió pidiendo al alumno que investigara cuantos grupos de 3 botones se podían hacer con el conjunto que se le había entregado. Una vez comprendida la instrucción. Total de objetos 21 El alumno registró los datos obtenidos en la tabla con una explicación sencilla de lo que correspondía en cada columna. César los contó rápidamente y dijo que en total había 21 botones. De grupos formados 7 No. Una vez que se obtuvo el total de botones. esta actividad no le tomó mucho tiempo a César Alexis. se le pidió que lo anotara en una hoja porque después necesitaría ese dato.64 continuación: Se inició pidiendo al alumno que contara el total de botones que se le habían proporcionado. se le pidió que jugara con la primera columna de datos. Después de registrar los datos. tabla como la que se presenta a continuación: No. se le obsequió una hoja con una tabla donde el alumno iba a registrar los resultados obtenidos. asignándole un número al azahar y calculando el resto de las columnas a . De botones por grupo 3 No.\nlo que nos lleva a reflexionar acerca del pensamiento preoperacional.65 partir del primer dato que es el número de botones por grupo. En la segunda actividad se mostró un avance en virtud de que la misma propició que el alumno construyera las imágenes mentales. aunque aún el pensamiento no es conceptual (no puede formar verdaderos conceptos). de inmediato preguntó que eran. entonces se le explicó que dentro de las 6 bolsitas había el mismo contenido. donde la teoría de Piaget nos dice que: “Aparece la capacidad de representar una cosa por otra (pensamiento representativo).” (como se cita en Mandolini 1988. 133). pág. Destacamos que el alumno no asignara el número del conjunto de objetos por medio del pensamiento a que aún se fía más de realizar una actividad con material que pueda manipular físicamente. El alumno de inmediato comenzó a realizar la tarea. pero sorprendió que para asignarle un número a la columna tomara con los ojos cerrados o tapados un puñado de botones con su mano derecha y el número que resultaba sería el número que colocaría como el total de botones por grupo. y se abrió una para percatarse de que eran 3 botones. a crear imágenes mentales. Se indicó entonces que por sus . Esta actividad se describe en seguida: Se inició colocando en la mesa donde estaba el alumno 6 bolsitas con un contenido de 3 botones desconocido para el alumno. en la solución de situaciones problemáticas.\nhizo un conteo de los objetos que representó en el dibujo. y respondió que el total eran 18. eran 18 botones los que se encontraban dentro de las 6 bolsitas. dibujos o lo que él quisiera. decidió realizar la representación gráfica de las cuatro bolsitas con los 3 botones que se presenta adelante: Una vez que el alumno dibujó las bolsitas con los botones. se permite que el alumno manipule el material concreto como apoyo para realizar la organización de los conjuntos en los . cuentas. Continuando se prosiguió con la situación didáctica. y para corroborar los datos que el alumno había encontrado en la solución del problema. se abrieron todas las bolsas y se sacaron los botones. Durante toda esta etapa. aclarando que podría utilizar cualquier método.66 propios medios respondiera cuántos botones había en total dentro de las 6 bolsas. El alumno utilizó la forma que más le pareció. César Alexis los contó y comprobó que en efecto.\ny aunque no la reconozca como tabla. también sirven para que el alumno vaya reconociendo las tablas de multiplicar. y a medida que van haciendo abstracciones. No obstante. Dentro de esta etapa es importante que se lleve siempre el registro de los resultados de las operaciones en tablas.” (SEP 1993. es posible observar la tabla de multiplicar del número 3. 136) “el pensamiento preoperacional tiende a operar con imágenes concretas y estáticas de la realidad y no con signos abstractos. la actividad continuó con el registro de los datos del problema en una tabla con las columnas siguientes: Número de cajitas con 3 botones 1 2 3 4 5 6 Total de botones 3 6 9 12 15 18 Una vez que la tabla ha sido llenada. Paulatinamente. Esto corresponde también lo que señala Flavell (como se cita en Mandolini 1988. pág. pág. 51). le sirve al alumno para que vaya . pueden prescindir de los objetos físicos. que más tarde el alumno reconocerá como las de variación proporcional.67 problemas. Así. es decir que el alumno debe iniciarse en actividades donde pueda manipular físicamente los datos del problema. los niños también parten de experiencias concretas.” Por ello es que aún no se habla en las actividades de la multiplicación. ya que así es como lo muestra el plan de estudios de primaria: “En la construcción de conocimientos matemáticos.\ncuando el niño deja las acciones físicas y las transforma en pensamiento pudiendo hacer mentalmente operaciones como contar o agrupar objetos. 141) “Ahora. deberá referirse a los problemas como multiplicativos.68 percatándose de que la multiplicación es una suma abreviada. y desde ahora en adelante. en uno se encuentran las bolsitas y en el otro los botones. donde según Ferreiro (como se cita en Mandolini 1988. 1 Bolsita 1 Botón El paquete de las bolsitas contiene tarjetas donde indica un número determinado de cajas del 5 al 8.” Es decir. el niño puede operar mentalmente y reemplazar hechos y acciones reales por un sistema de acciones virtuales que garantizan la conservación de ciertas invariantes. pero sólo hasta que el alumno ha reconocido la representación 3 x 4 por mencionar un ejemplo. dentro de esta actividad ocurrió lo siguiente: Se le entrega al alumno dos paquetes de 4 tarjetas. Cuando esto sucede. La transición a la tercera etapa se da en el momento en que el alumno descubre la forma en que se representa la multiplicación. La tercera etapa se comenzó a esclarecer para el alumno cuando se vio obligado a registrar de una forma más corta los resultados de los conjuntos que organizaba. mientras que el paquete de botones contiene la . pág. el alumno pasará ahora hasta el subperiodo de operaciones concretas de Piaget.\n69 misma serie de números pero en botones. y donde se jugó sacando una tarjeta al azahar de cada paquete para formar oraciones como la siguiente: En tres bolsitas con cuatro botones en cada una hay doce botones. En este momento es cuando se introduce la forma usual para representar la multiplicación. Esta actividad es continuación de la anterior donde se le da al alumno los paquetes pero con las series del 1 al 4. y al tener una respuesta negativa se sugirió la expresión 4 x 3 = 12. pero ahora se le pide que busque otra manera por la cual pueda ahorrar palabras. el alumno buscó y resolvió la incógnita que planteaba el problema con sus propios medios. donde una vez analizados los datos que obtuvo al realizar el ejercicio de sacar una tarjeta de cada montón por 8 veces y registrarlo en el cuaderno. pero era necesario saber qué tanto el . Al iniciar esta actividad se le recordó al alumno esta expresión que se utilizó para registrar los datos. así que a pesar de que existiera una forma más corta que es la multiplicación 4 x 3 = 12. no se le comentó nada al alumno hasta que hubo terminado de resolver el problema en la revisión de resultados. Se le cuestionó si no conocía otra forma más corta para registrar los datos que se obtienen. Como es parte del enfoque de resolución de problemas. El alumno sugirió la siguiente oración: 3 bolsitas con 4 botones = 12 botones. escribiéndola en el pizarrón.\nbasada en la memorización de datos. ya puede referirse ahora a los problemas como multiplicaciones. 51) Desde el momento en que al alumno se le presenta la forma usual para representar la multiplicación. a partir de sus soluciones iniciales. y que. comparen sus resultados y sus formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las conceptualizaciones propias de las matemáticas. los signos que la representan y es también donde se inicia la gran preocupación por los profesores. En la tercera etapa surge comúnmente en el tercer grado de la educación primaria. Enseguida el alumno respondió que eran las tablas de multiplicar. que se denomina el descubrimiento de la forma usual para representar una multiplicación. Las tablas de multiplicar forman parte de muchos tabúes dentro de la educación. (SEP 1993. y desde aquí comienza la tercera etapa. y es donde el alumno reconoce ya que es una multiplicación. que los alumnos aprendan las tablas de multiplicar. el alumno debe aprenderse . ha estado expuesto a la multiplicación a través de sus compañeros de aula y toda esta actividad matemática corresponde al siguiente planteamiento del programa de matemáticas de primaria: Se considera que una de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas. pág. lo que demuestra que el alumno a pesar de no realizar ejercicios de multiplicación muy constantemente. Desde esta perspectiva.70 alumno conocía la multiplicación. debido a que representan la forma clásica de la enseñanza. así que se le preguntó si sabía cómo se llamaba lo que había escrito en el pizarrón.\nel inconveniente es la forma en que se introduce o forma parte de las actividades que se llevan a cabo dentro del aula. Las tablas al igual que todo contenido de matemáticas. es decir que el alumno deberá empezar a solucionar las situaciones problemáticas mediante la aritmética. por ello es que debe ser construido por el propio alumno.71 memorísticamente y sin ninguna relación con la realidad las tablas. porque en efecto. quien además debe empezar a abandonar la intuición para solucionar los problemas. forman parte indispensable dentro del procedimiento formal. por esto se realizaron actividades dentro de la propuesta donde el alumno primero construyera el mismo las tablas por medio del cuadro de multiplicaciones como se presenta en la actividad que precede: Primero se debe presentar como apoyo visual el cuadro de multiplicaciones en tamaño grande para centrar la atención del alumno y asegurar que vaya siguiendo el . y como nos dice Piaget (como se cita en Mandolini 1988. 152): “el pensamiento se convierte en lógico por la organización de sistemas operacionales”. Es por ello que la multiplicación se convierte desde ese momento en algo tedioso y sin ningún otro objetivo a no ser el de pasar algún examen o evaluación. Para responder a los requerimientos del enfoque de resolución de problemas la introducción de las tablas de multiplicación debe ser todo un proceso que se lleve de una forma que no se sea absorbente la necesidad de la memorización. pág. lleva un aspecto de abstracción. El problema no son tablas de multiplicar.\nSe escribió en el pizarrón entonces la multiplicación 3 x 4 = 12. . un día con los números del 1 al 5 y otro día del 6 al 10. mientras que el número de botones los representa la hilera horizontal. Para responder el cuadro. y se recordó al niño que en esta multiplicación. se le brindó a César Alexis los botones con los que se ha estado trabando y se le explica que en la tabla los números que se encuentran en la hilera vertical representan el número de cajitas. el 12 es el total de botones de 3 bolsitas que tienen 4 botones cada una.72 proceso él mismo. por lo que se colocó en tamaño de una cartulina lo siguiente: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 El llenado del cuadro para el alumno con NEE puede ser una tarea muy tardada. por lo que puede dividirse en dos partes. Se indicó al alumno.\nDurante esta etapa es conveniente que el profesor no centre su atención en que el alumno responda los problemas de multiplicación. En la intervención de la propuesta didáctica. esta etapa formó parte muy importante en el aprendizaje de los problemas de tipo multiplicativo. y al mismo tiempo. el alumno formó los conjuntos y anotó los resultados de la primera mitad. y precisamente en el cuadrito donde se encuentran los dos dedos escribimos el 12. sino que más bien en que el alumno reconozca cuál es el que puede solucionarse multiplicando. que es la cuarta etapa en el aprendizaje de la multiplicación. y contiguamente forma parte esencial en el aprendizaje de cualquier persona hablando del mismo objeto matemático. Esto se lleva a cabo básicamente exponiendo al alumno a distintos problemas de multiplicación en los que tenga que comparar y analizar los datos que presentan para que pueda identificar al final de la etapa aquellos que se resuelven por medio de la multiplicación. Para continuar. colocamos un dedo de la otra mano en el 4 que está en el primer renglón de arriba y los movemos hacia abajo. Una vez que el alumno reconoce la forma usual para multiplicar es tiempo de que ahora reconozca los problemas de tipo multiplicativo. que el resultado de esa multiplicación se localiza de la siguiente manera: Colocamos un dedo en el 3 que está en la primera columna de la izquierda y lo movemos hacia la derecha. al mismo tiempo que dictaba los resultados que se obtuvieron para que los anotara en el cuadro grande del pizarrón. .73 usando el Cuadro de Multiplicaciones.\ny esto en sí es lo que determina el algoritmo que se deba utilizar. suma. Este planteamiento hizo que durante la propuesta didáctica se realizaron algunas actividades que conllevaran estos procesos. los problemas contienen los mismos datos. multiplicación y hasta la misma división. pero el resultado es diferente debido a la relación que hay entre ellos por lo que son dos objetos matemáticos distintos (recordemos que los objetos matemáticos son .74 Para que César Alexis reconociera la multiplicación como procedimiento que le permita resolver un cierto tipo de problemas primero debe comprender la relación de los datos que harán que el procedimiento formal sea la multiplicación. resta. ¿Cuántos carritos tiene en total? Como es posible observar. tanto resolviendo como planteando problemas. el 3 y el 4. Una de estas actividades se describe a continuación: Durante la actividad se plantearon los siguientes problemas: Julio tiene 3 carritos y maría tiene 4. a esto no hay otra forma más que la constante exposición a los problemas aritméticos de todo tipo. ¿Cuántos carritos tienen en total? Mario tiene 3 cajas con 4 carritos en cada caja. ya que un problema puede tener los mismos datos. mas no las mismas relaciones. haciendo que el alumno compare los datos y los reconozca.\nmientras que en la segunda la relación es de tipo multiplicativa. y el resto son medidas de otro tipo” (Vergnaud 1991. significa un proceso que no se da de un momento a otro rápidamente. Para comprender mejor la relación que existe entre las cantidades del problema.75 las relaciones o construcciones mentales entre un determinado número de datos). mientras que la segunda “es una relación cuaternaria entre cuatro cantidades. De acuerdo con esto. Vergnaud nos expone las diferencias entre estos dos tipos de relaciones. se puede observar el siguiente esquema: Que el alumno diferencie estas dos relaciones. sino que tiene que llevar muchos momentos de reflexión y de comparación. por lo que en ocasiones el alumno encontró las divergencias entre una y otra operación. 197). En este caso se le pidió a César Alexis que solucionara los problemas utilizando si quería botones o haciendo dibujos o cuentas (se debe mencionar cuentas porque el alumno debe ser quien defina qué tipo de operación debe realizar). y que en ocasiones las confundió. siendo que en la primera es ternaria donde dos medidas se componen para dar lugar a otra medida. pág. . En la primera es una relación aditiva. dos cantidades son medidas de un cierto tipo.\nsi estableció bien las relaciones entre los números de las dos operaciones aunque el resultado sea incorrecto. tal como se ejemplifica en la actividad que precede: Se le entregó al alumno una hoja con los siguientes datos: 12 + 8 _________________________ _________________________ 7x5 _________________________ _________________________ . además el alumno debe reconocerlas al plantear los problemas. pero esto se lleva a cabo hasta que se ha expuesto al alumno a distintas situaciones donde tenga que reconocer problemas ya planteados.76 El alumno respondió correctamente a los problemas. La propuesta didáctica también incluyó estos planteamientos dentro de su diseño y aplicación. ya que aún cuando no haya resuelto el problema de forma correcta. esto significa inmiscuir al alumno en situaciones donde tenga que relacionar los datos del problema pero desde la perspectiva del planteamiento de los problemas. lo que en realidad no es el fin de la operación. es posible notar que el alumno ha reflexionado correctamente sobre la relación entre las cantidades. Otro aspecto importante en esta etapa es que el alumno no solo reconozca las relaciones entre las cantidades al resolver problemas.\ny perdió 4. ¿Cuánto dinero le quedo? . sino también de resignificar en situaciones nuevas. esto sugiere invertir el proceso que hasta ese entonces el alumno ha seguido. de adaptar.77 16 – 4 _________________________ _________________________ 2x3 _________________________ _________________________ Se le explicó a César Alexis que debería escribir en los renglones un problema que se responda con la operación que se presenta. reflexionó unos segundos y redactó los siguientes problemas: Yo tengo 12 canicas y si mi tío me regala 8. de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas. César Alexis no comprendía la tarea que tenía que realizar. pág.” (Charnay 1998. respondiendo así al planteamiento de que “El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer. ¿Cuántos botones tengo? Sergio tenía 16 pesos. se le intentó explicar con palabras más sencillas. 53) En un inicio. ¿Cuántas tengo? Tengo 7 bolsitas con 5 botones.\npara que él tome las decisiones que lo lleven a adoptar el algoritmo formal. para hallar una vez más el punto de partida” (como se cita en Mandolini 1988. . le permitirán descubrir algunas de las propiedades como la conmutación. una serie de transformaciones de una cosa percibida. en el pensamiento . pero esta actividad en general.) y luego hacer el camino inverso. etc. Por esto es que esta actividad concluyó la cuarta etapa. hizo que comenzara a diferenciar entre los de tipo aditivo y los de tipo multiplicativo. se relaciona directamente con el concepto de reversibilidad de Piaget. ofrecerle al alumno una reflexión sobre la gran cantidad de procedimientos informales que existen.78 Adriana tiene 2 cajas con 3 perritos. En esta etapa el alumno deberá descubrir procedimientos que si bien aún no son el procedimiento formal. dentro de ella el alumno está ya a sólo un paso de adquirir el algoritmo convencional para multiplicar. porque ahora el alumno es capaz de distinguir los problemas que se resuelven multiplicando. que en síntesis debe dirigirse a realizar mentalmente una operación inversa que se caracteriza por “recorrer una camino cognoscitivo (seguir una serie de razonamientos. por lo que es de vital importancia ahora. pág. 60). La quinta etapa se denomina el hallazgo de las multiplicaciones especiales. ¿Cuántos perritos tiene? Para César Alexis el haber sido expuesto a los diferentes tipos de problemas en actividades anteriores.\nsino que debe ser el alumno quien decida qué procedimiento utilizará.79 Dentro de estos procedimientos. pág. por ello es importante que la situación didáctica en este caso. encontramos que el alumno debe iniciarse en la utilización de los arreglos rectangulares. El libro ”Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir” nos apunta que: “Un arreglo rectangular es una colección de elementos colocados en renglones o columnas del mismo tamaño. el alumno contó cuadrito por cuadrito y llegó a la conclusión de que eran 55. 42) Como en todo proceso de aprendizaje de un objeto matemático. la introducción de un procedimiento debe ser guiado por la resolución de problemas. esté bien diseñada en tanto que el alumno sea obligado por las circunstancias y no por las exigencias del profesor para utilizar el procedimiento. como la respuesta . y la actividad que continúa da un ejemplo de esto: Se le entregó primero a César una hoja con un arreglo rectangular de 8 por 7 y enseguida se pidió que dijera el total de cuadritos que hay en el arreglo. que son fundamentalmente un cálculo del área de un rectángulo.” (SEP 1994. y es importante que esto no se realice mediante la transmisión-recepción.\n80 correcta es 56. al hacer esto entonces escribió una suma de siete veces el ocho. el contarlos uno por uno no ofrece un resultado muy exacto. ya que es probable que al contarlos. expresadas en un lenguaje cualquiera (de las palabras. y finalmente el resultado que obtuvo fue el correcto. y aún cuando no utilizó el procedimiento formal. Debido a que son muchos los cuadritos que forman el arreglo rectangular. y esta vez fue 58. después de unos momentos de observar el arreglo decidió contar los cuadritos primero de forma horizontal. una simple distracción puede hacernos perder la serie. volvamos a contar u omitamos algunos cuadritos.) (como se cita en Mandolini 1988. es decir que las operaciones lógicas comienzan a ser transportadas del plano de la manipulación concreta al plano de las ideas puras. donde …el pensamiento formal se hace posible. porque el alumno está dejando de prescindir de los objetos físicos y está entrando ya al periodo de las operaciones formales de Piaget. y después de forma vertical. . Esto significa ya un avance. pág 162) En alumno comienza entonces a realizar operaciones con un nivel de abstracción mayor. se invitó al alumno a que buscara otra forma más exacta de solucionar el problema. Al ver esto. y esto no quiere decir que haya un retraso en cuanto al concepto de número. de los símbolos matemáticos. se observa un gran avance en el pensamiento matemático. etc. se le indicó que nuevamente contara los cuadros para verificar el resultado. simplemente es un problema que se presenta en función de que al ser tantos elementos. 56 cuadritos en total.\nEnseguida se presenta una actividad donde se expone cómo un alumno adquiere significativamente la propiedad conmutativa de la . sino el problema en sí. vaya adoptando la multiplicación al resolver situaciones problemáticas. deben continuar otras más actividades donde el alumno ponga en juego este conocimiento de una forma que atienda al requisito de la variabilidad. y continuando con la actividad es tiempo ahora de abordarlo. El descubrir la conmutación puede ser algo tan sencillo como decirle al alumno que 2 x 4 da el mismo resultado que 4 x 2. Una de estas actividades condujo a la adquisición de la propiedad conmutativa. que responde a la idea de que multiplicar 4 x 8 es lo mismo que 8 x 4. Hacer esto sirve para dos cosas. en tanto a que llevan al enfoque clásico. Se le explicó al alumno que una forma más rápida conseguir el total de cuadritos es buscar el resultado en el cuadro de multiplicaciones (por ello es que la multiplicación debe estar en el cuadro). primero para que el alumno reconozca el procedimiento formal y segundo para que al presentarse la solución de una manera más fácil. es decir que debe haber siempre una variable que cambie no solo los datos del problema.81 Como hablamos entonces. Una vez que se ha introducido el procedimiento de arreglos rectangulares. pero el enfoque que abordamos reconoce este procedimiento como algo impropio en el aprendizaje de las matemáticas. seleccionando el número de la base y el de la altura y buscándolo en el cuadro de multiplicaciones. introducir el procedimiento de los arreglos rectangulares debe ser un proceso de reflexión.\nentonces se dio cuenta que el resultado era el mismo y lo externó diciéndolo en voz alta. Se pasó entonces a descubrir los rectángulos quitándoles el papel. Se inicia entregándole al alumno una hoja con dos rectángulos. se le explicó que ahí había dos rectángulos. Después de unos segundos en que el alumno observó la hoja. . uno de 5 por 7 cuadritos y otro de 7 por 5 cuadritos con sólo una hilera horizontal y vertical descubierta.82 multiplicación. los cuadros restantes deberán ser tapados con una hoja de papel. se contó el número de cuadritos manualmente y se verificó que efectivamente el resultado era 35 y se le cuestionó entonces cómo era que los dos rectángulos tuvieran el mismo número de cuadritos. uno con 7 cuadritos en la base y 5 en lo alto y otro con 5 en la base y 7 en lo alto y se le hizo la pregunta ¿Cuál crees que tenga más cuadritos? César Alexis respondió la interrogante después de que realizó la búsqueda de los resultados en el cuadro de multiplicaciones.\npor esto se le comunicó al alumno que lo que se había visto en la actividad formaba parte de una regla al multiplicar. para darle formalidad al conocimiento que el alumno ya ha adoptado. explicándole también que los factores eran los datos del problema y los productos se refería a los resultados. La sexta y última etapa se lleva a cabo mediante una serie de procesos donde el algoritmo formal de la multiplicación debe aprenderse mediante un proceso de análisis. y en tanto el alumno siga experimentando un gran número de procedimientos. el orden de los factores no altera los productos.83 el alumno observó por unos segundos los dos cuadros y de nuevo mostró una expresión de asombro y dijo que los dos rectángulos eran iguales y que sólo estaban volteados. es posible ya declarar la propiedad conmutativa de la multiplicación. Dentro de la propuesta didáctica. . se incluyó la siguiente actividad que culmina con el proceso para la adquisición del algoritmo convencional. la que dice que al hacerlo. En este momento. integrará dentro de sus estructuras cognitivas una mayor cantidad de conocimientos previos que son la base para el aprendizaje significativo que se traducirá en el algoritmo formal para multiplicar. y comparación como se ha seguido hasta entonces. En esta parte de la quita etapa se denota ya un cierto grado de formalidad en las actividades.\ndespués se explica que se colocan los datos como se muestran en el esquema y se suman para dar el resultado de las dos .84 Para iniciar se escribió la multiplicación 8 x 24 en forma del algoritmo convencional. la solución que encontró fue hacer un gran arreglo rectangular que dividió en operaciones menores de 10. Esta operación se toma como referencia para presentarle al alumno la siguiente solución: El esquema explica el procedimiento que se debe utilizar de la siguiente forma: El alumno ha estudiado y sabe solucionar problemas de multiplicación de números terminados en ceros y aquellos que se encuentran en el cuadro de multiplicaciones. Se le pidió al alumno que resuelva la operación con sus propios medios. que después buscó en el cuadro de multiplicaciones y sumó los resultados tal como se hacía en actividades anteriores. o sea 8 x 4 y 8 x 20. por eso es que se debe dividir el rectángulo en operaciones que el alumno pueda solucionar.\n74) Entonces al realizar esta actividad. se asegura que el alumno comprenda el algoritmo experto y no sólo lo sepa utilizar o aplicar. pero esencialmente al agregar las variables el procedimiento conserva los planteamientos que aquí hemos expuesto. el cual tiene algunas pequeñas modificaciones cuando se agregan punto decimal u otras variables que no pudieron ser abordadas porque la meta que se planteó en la propuesta es a corto plazo. (SEP 1994. podemos decir que el alumno ya está dentro del procedimiento experto. . a que sólo mecanicen un procedimiento que es difícil de comprender. Aunque el proceso de la multiplicación no termina aquí.85 multiplicaciones. pág. Esto lo asume el libro “Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir” cuando nos dice que: Hoy en día es más importante que en la escuela los alumnos puedan multiplicar con un procedimiento que comprendan bien que ellos mismos hayan construido en parte. Cuando el alumno comprende los datos que conllevan este esquema se da cuenda de lo que significa utilizar el procedimiento formal para multiplicar.\ndentro de un proceso de enseñanza o aprendizaje debemos tener siempre claro que son los alumnos quienes están encargados de originar los objetos matemáticos en su mente. pero debido a la naturaleza abstracta de los conocimientos matemáticos.86 CONCLUSIONES En conclusión. Cuando se trabaja con alumnos con NEE. pero en raras ocasiones se les pide que aprendan a multiplicar. pero hemos visto que lo más conveniente al trabajar en esta asignatura es descubrir mediante nuestros propios medios la convencionalidad de los procedimientos que se utilizan en las matemáticas. Muchos de nosotros vemos el aprendizaje de las matemáticas como algo mecánico que transmite mediante la práctica y la memorización de los algoritmos. comúnmente se les plantea que adquieran el concepto de número o que realicen operaciones aditivas. pero ahora sabemos que no es así. y esto es porque se considera que la multiplicación es un contenido para el cual su aprendizaje requiere forzosamente la memorización de las tablas. Trabajando con la resolución de problemas se asegura que los objetos . al trabajar matemáticas nos encontramos con muchos aspectos que pueden ser utilizados de buena o mala forma.\nporque gracias a él he vinculado los aprendizajes prácticos y conceptuales a lo largo de mis 4 años de formación dentro de la ENEES. como docentes innovadores y con el claro interés de proporcionar a nuestros alumnos con NEE las experiencias que les permitan realmente acceder al currículo de educación básica y satisfacer sus necesidades básicas de aprendizaje. Es pertinente que también hablemos de lo que este documento me ha dejado como futuro docente. En este documento claramente observamos cómo un alumno que ha sido parte de una serie de situaciones que no le habían permitido apropiarse del algoritmo convencional para resolver problemas multiplicativos ha logrado hacerlo poniendo en juego sus propios conocimientos. debemos plantearnos el reto. Así pues. pero más que nada el gusto de enseñar matemáticas de tal forma que nuestros alumnos se sientan atraídos y motivados a realizar operaciones matemáticas. porque al final. lo que les permitirá llevar una vida con mayores oportunidades dentro de la sociedad actual.87 matemáticos no sólo sean memorizados. sino que también sean comprendidos y adoptados por los alumnos. la cual estuvo llena de muchas experiencias gratificantes que han forjado en mí muchos valores y principios que estoy seguro aplicaré en esta noble labor. que le han permitido llegar a la conceptualización de la multiplicación como objeto matemático. ellos son los que deberán utilizar y aplicar estos contenidos a su vida. .\ny es esencial que dejemos de ver a esta ciencia como algo cerrado. para así transmitirle una actitud positiva hacia el estudio de las matemáticas a nuestros alumnos y por consiguiente que lleguen a valorar lo que esta ciencia representa en nuestras vidas. no debemos privar a los alumnos que presentan NEE a su aprendizaje. o tediosa. pero sobre todo a su apreciación. inaplicable. . aún cuando estos conocimientos se caractericen por un alto nivel de abstracción.88 Finalmente. porque la matemática puede ser tan fácil o tan difícil como nosotros queramos verla.\nArgentina: Editorial Médica Panamericana. Domínguez Jesús. Madrid: Santillana. La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. La psicología evolutiva de Piaget con una introducción a la epistemología genética. Barcelona: Hosori. Mandolini. Resnik Lauren B. Bosch Marianna y Gascón Josep. (2002).89 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Charnay. Kaufer Maltian.F. Del Puy Pérez María. Quintanar Adriana. Chávez Reyes. Ortopedia. (2004). Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. D. Estudiar matemáticas. Argentina: Editorial Ciordia S. Buenos Aires: Paidós. (2000). México: Trillas. Chevallard Yves. Guardo Ricardo G. (1988). Gómez Miguel Ángel y Postigo Yolanda.: McGraw-Hill Interamericana. Acevo Frida. La solución de problemas. México. Aportes y reflexiones. (1998). y Ford Wendy W. Fitzergerald. Buenos Aires. (2000). Carmen y León. Roland. (2003). La biblia de las matemáticas. (1994). Barcelona: Paidos.A. Díaz-Barriga. Pozo Juan Ignacio. . Buenos Aires. Didáctica de matemáticas. Programa educativo visual.\nD.html . México: Trillas. Educación Básica. (1988). Plan de Estudios. D. Secretaría de Educación Pública. Torres. (1993). D. The brain in duchenne dystrophy [DMD] are learning disabilities part of the picture? [El cerebro en la distrofia de duchenne [DMD] ¿Son las inhabilidades de aprendizaje parte del cuadro?].F. (1998). (1994).: Autor. México.mda.: Autor. Plan y programas de estudio de educación primaria. Qué y cómo aprender. Margaret. Primaria. (1997. Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir.F. las matemáticas y la realidad. Problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.F. Fuentes de Internet Mahl. Primer grado. D. (2008).: Autor. (1992). México. El niño. (1991).F. Secretaría de Educación Pública. Recuperado el 19 de febrero de 2009. Rosa María.: Autor. Gérard. México. Educación primaria. 1 de enero). México.90 Secretaría de Educación Pública. Secretaría de Educación Pública. Necesidades básicas de aprendizaje y contenidos curriculares.org/publications/Quest/q41braindmd. Secretaría de Educación Pública. D. de http://www. La matemática en la escuela III.: Autor.: SEP.F. Vergnaud. México. Guía para el maestro.F. D. México.\nDocumentos similares a Ensayo El aprendizaje de la Multiplicación a través de la Resolución de Problemas en un Alumno con Distrofia Muscular Progresiva\nSanchez & Garcia Barcelona 2009\nModelo de Diptico Kioto Educa