Sportful amplía su serie Bodyfit con más culotes y complementos ~ Ultimate Bikes Magazine\nSportful amplía su serie Bodyfit con más culotes y complementos\nlunes, abril 03, 2017 carretera, Equipamiento Sin comentarios\nLa gama más racing de la firma italiana incorpora un mono ajustado y los maillots Ultralight y Speedskin.\nSportful acaba de presentar su nueva gama de cara a la colección de verano, donde la reconocida firma italiana destaca un año más la serie BodyFit, la más racing de la gama, desarrollada gracias a la estrecha colaboración de Sportful con los profesionales del Tinfoff, en el pasado, y del TrekSegafredo y del Bahrain Merida, en la actualidad. La nueva familia de prendas BodyFit presenta gráficos, colores y diseños renovados, además de incorporar las nuevas badanas de color naranja TC Pro y BodyFit Pro.\nLa gama de maillots BodyFit cuenta con dos maillots usados habitualmente por los equipos World Tour. El BodyFit Pro Race y el BodyFit Pro Team, son dos maillots ligeros, muy transpirables y de corte ajustado, donde la principal diferencia se centra en que el primero de éstos está confeccionado con un tipo de tejido algo más ligero, algo más transpirable y más adecuado para rodar cuando hace calor, además de contar con un corte limpio en las mangas y sin costuras. El modelo Pro Team se caracteriza por usar una tejido con algo más de cuerpo, siendo más adecuado para primavera, y por tener un precio más asequible que el Race.\nLos culotes BodyFit también se basa en dos modelos de culotes, el BodyFit Classic y el BodyFit Pro Team. La principal diferencia entre ellos es que el modelo Pro Team emplea la badana TC Pro (algo más confortable) y los exclusivos tirantes LTD de tejido plano y perforado. El tipo de confección, lycra y nivel de compresión de las perneras es idéntico en ambos modelos.\nUna de las novedades de la colección es el mono Pro Road Suit, que une un culote Bodyfit con un maillot ajustado y perfectamente integrado. Cuenta con costuras e inserciones aplanadas al máximo, para otorgarle un plus de aerodinámica, tres bolsillos traseros, cremallera completa y badana TC Pro. Tiene un peso anunciado de solo 235 gramos y está disponible en dos colores: negro y negro-verde.\nOtra prenda desarrollada junto a corredores profesionales es el maillot Ultralight, con un peso anunciado de solo 99 gramos. Está realizado en Diablo Mesh, una malla multiperforada, muy fina, siendo ideal para el verano, pero que mantiene un nivel de compresión y firmeza óptimo. El cuello se ha ensanchado, lo que mejora la evacuación del sudor. Está disponible en tallas XS a XXXL y en tres colores: negro-verde, negro-rojo y verde.\nSportful también ha renovado toda la gama de accesorios de la gama BodyFit, todos usados en competición por los corredores del equipo profesional patrocinado por Sportful. Esta gama cuenta con un modelo de guantes cortos en tres colores, muy ligeros y con inserciones de gel poco voluminosas, calcetines Bodyfit, fabricados con tejido ligero y muy transpirable Meryl Skinlife y disponibles con una caña de 9 cm de alto, tres tallas y cuatro colores, y una gorra ciclista de algodón, disponible en talla única y en tres colores.


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El mundo es muy grande para evitar una despedida: 06/2009 - 07/2009\nEl mundo es muy grande para evitar una despedida\nAnálisis en la geográfia\nEl análisis en geografía del territorio, del paisaje (estudio de sus partes)\nEl paisaje es el elemento de primera fuente en la geografía, es decir, es lo primero que se ve.\nEn el análisis geográfico distinguimos tres niveles de análisis, los cuales son:\nEl paisaje se define por sus FORMAS, naturales o antrópicas. En donde todo paisaje esta compuesto por elementos que se articulan entre si.\nEstos ELEMENTOS son básicamente de tres tipos:\n-Abióticos (seres inertes),\n-bióticos (seres vivos)\n-antrópicos, que aparecen por la acción humana.\nLos elementos del paisaje se desarrollan y evolucionan con las formas.\nSe hace necesario, pues, estudiar cuales son esos cambios, en que dirección se producen, a que RITMO y cual es su UMBRAL antes de que desaparezcan.\nCon todo esto el geógrafo va construyendo un modelo de funcionamiento del paisaje. En el aparecen los contactos, las repeticiones, las irregularidades, persistencias, etc.\nEl geógrafo tratara de EXPLICAR porque el paisaje es de una determinada manera.\nIntentara explicar el paisaje, ya que en ultima instancia de esto se trata la geografía, sin explicación por lo tanto no hay geografía.\nEl siguiente trabajo consiste en observar y analizar la imagen de un lugar el cual no sabemos cual es, apoyados por el recurso tecnológico que se nos brinda (arcview) con el cual através de diferentes coberturas (shapes) podemos discriminar los diferentes elementos que conforman el paisaje con el fin de efectuar los tres\nniveles que conforman el análisis geográfico\nver en el siguiente enlace\nPublicadas por Claudia Morales a la/s 21:38 No hay comentarios.:\nSe comenzó la clase tomando como referencia el tema de la sesión anterior, los modelos. Posterior a esto, se expuso que esta ciencia comienza con la observación, método más antiguo y moderno de la recogida de datos.\nObservación ordinaria: - Percepciones casuales.\n- Hechos como se presentan espontáneamente.\n- Sin hipótesis previa.\n- No busca relaciones.\nObservación científica:- Percepciones intencionales.\n-Con hipótesis previa.\n- Busca relación.\nUna hipótesis es una información sometida a una investigación, juicio a modo de afirmación. Cuando se quiere hablar de algo o plantear un tema, siempre tiene que estar en la base de lo que se va a plantear, por lo que tiene que tener una intención, afirmación y relación. Un análisis es un proceso más complejo que la interpretación, que describe relaciones.\nFases del método observacional A) Formulación de un problema, donde existe un periodo de observación exploratorio, continuado de un periodo de observación confirmatorio. B) Recogida de datos y registro, el que se puede abordar de diferentes maneras; el que va desde una descripción que puede llegar a ser sistematizada a un territorio, por ejemplo una encuesta. C) Análisis e interpretación de los datos observados, que por lo general no aportan resultados útiles. D) Comunicación de los resultados, informar de los hallazgos, que define las evidencias que se han constatado.\nGeografía Radical (Respuesta a la Geografía cuantitativa en Estados Unidos)\nEn los 60’ en el Occidente principalmente, tensa disputa ideológica (capitalismo y socialismo). El mundo está dividido, los dos tienen una postura clara, en éste contexto surge la Geografía Radical., la cual plantea que esta disciplina no es neutral, critica la naturalidad, transformar la sociedad (Revolución) la lucha de clases, Marxismo (Socialismo) teoría científica. Producto Social (productora de relaciones sociales). “le fabure” la producción social del espacio. Modo de producción capitalista.\nGeografía Social (En Europa, piensa que el capitalismo no es la mejor ideología) y Geografía del Bienestar.\n-EEUU, Harvey, Bunge, “las primeras exp. Geográficas”.\nGeografía de Bienestar\nGeografía Postmodernista: Respuesta al igual que la Geografía Radical a la Geografía Cuantitativa.\nPostmodernismo: Corriente de pensamiento ligado a las artes y ciencias sociales, cuestiona el proyecto de la modernidad y la supuesta universalidad de los conceptos. Método de análisis “Deconstrucción”.\nPostmodernidad: Etapa que caracteriza la lógica económica, cultural y social del capitalismo tardío.\nGeografía Postmodernista: Fragmenta la realidad.\nPublicadas por Claudia Morales a la/s 13:18 No hay comentarios.:\nLa clase comenzó dando la tarea para el día lunes 04 de Mayo, con respecto al programa que se estaba trabajando en las clases anteriores (Arcview). Posterior a esto se hablo del territorio, que es materia, pero sobre todo es proyección cultual de diferentes voluntades.\nEl tema a tratar en esta sesión fue el concepto de modelo, el que según explicó el profesor tiene una definición difícil de concretar. La interpretación adoptada por la geografía para este término fue la expuesta por R.J Charley y P. Haggett en el año 1971 la que fue inspirada de la de Skilling, la que estaba llena de ambigüedades. A continuación se cita un extracto de este tema: “Un modelo puede ser una teoría, o una ley, o una hipótesis o una idea estructurada\nGeografía tenía una capacidad analítica de abordar los problemas de las comunidades.\nModelo interactivo es gráfico.\nPobres críticos: Son vulnerables y carencia física.\nPobres invariables: Resuelven sus problemas de carencia física no la vulnerabilidad social.\nPobres recientes: Gente allegada, por ejemplo, pareja joven viviendo en casa de los padres.\nEstrictamente espacial la tarea del geógrafo\nAyudantia ::Tarea hacer un escrito (ensayo) en base a un tema que le llame la atención (Ej: positivismo en la geografía, etc) máximo 5 páginas no es necesario pasarse de ello.\nIdeas al blog\nAgregar texto o fotos e interceptarlas, reflexionar desde un punto de vista geográfico.\nGeografía científica no tiene un objeto de estudio definido, y sufre un quiebre entre Geografía Humana y Geografía física en un primer congreso de Geografía.\nPublicadas por Claudia Morales a la/s 13:05 No hay comentarios.:\nEn la geografía se distingue a través de la información, que su objeto de estudio es el territorio, definido por ciertos límites entre la tierra y los significados que la sociedad le ha dado, atributos de orden absoluto o cualitativo; que es un concepto polisémico. Si a dichos atributos le agrego valor encontraremos los recursos.\nLa geografía se divide en tres formas: físico, cultural; ambas relacionadas con el paisaje, y normativa; racionalización de estado antrópicas del medio. En geografía no existe la conclusión, porque todo genera nuevas preguntas, nuevas propuestas; así como también el mundo de los significados tampoco lo tiene. Hoy en día todo proyecto geográfico esta dado para desarrollarlo más adelante, es decir con cierta anticipación a los sucesos y hechos futuros. La geografía puede desarrollar territorios pero no destruirlos.\nLos significados del territorio son dados por los relatos (breve discurso que alimenta he inunda las partes del saber), que son dados a través de las dudas como método, que dan pie a preguntas, y a su vez a las tesis e hipótesis. Es básico que no todo lo que se investigue genere un nuevo conocimiento. Pues bien como ya sabemos que el objeto de estudio en si de la geografía es el territorio, y a la vez nosotros intervenir en este para desarrollarlo, tenemos la posibilidad de generar un a anticipación, la que será la parte clara de esta disciplina, y a la vez un nuevo concepto, el que estudiaremos modelos).\nEstudios: Investigación de lo que sabemos.\n1) Manejo Vulnerable: Basta con mi experiencia o de analogías (Métodos estratégicos)\nPropuestas principalmente lógicas, con grados de asertividad, necesita gestión (coordinación) que genere resultados (modelos).\nTodo lo que se conoce en el territorio es modelo predictivo, puede estar en transporte colectivo…\nEn geografía no existe conclusión, porque todo genera nuevas preguntas, nuevas propuestas. En el mundo de los significados tampoco tiene conclusiones. Todo proyecto geográfico está dado para el futuro, como desarrollar el territorio.\nLa geografía de hoy no se caracteriza por la anticipación, pero debería.\nUn proyecto (anticipación) necesita un antecedente, cúmulo de información o diagnóstico arbitrario, que decido.\nUn antecedente como diagnóstico, un proyecto como pronóstico predecible, que se entiende mediante un antecedente.\nAntecedente Estable: Emergente.\nAntecedente Inestable: Variable, decide la información.\nLa técnica tiene que ver con la instrumentación.\nLa realidad es lo que se ve que tiene conjunto de variables.\n¿Por qué se había dejado de lado el concepto de espacio, si es la base de la geografía?\nPara responder esta interrogante tenemos que primeramente tener claro el concepto y significado de esta disciplina. La geografía es una ciencia social, donde todos los avances filosóficos llevan a ella. Además cabe mencionar que ésta sin la historia no es nada, es decir son imprescindibles, como también lo es el tiempo y el espacio.\nPublicadas por Claudia Morales a la/s 13:00 No hay comentarios.:\nclases de ayudantia\nTarea hacer un escrito (ensayo) en base a un tema que le llame la atención (Ej: positivismo en la geografía, etc) máximo 5 páginas no es necesario pasarse de ello.\nIdeas para trabajar el blog\nLa Geografía científica en algo tiene que ver con temas fríos (Humbolt), Histórico (Ritler), Ritzel, espacio vital (propulsor de la Geografía científica).\nHubieron luchas entre ellos por sus diferentes formas de pensar. La geografía sufre una crisis, pero llega un salvador, Vidal de la Blache, dice que tienen elementos en común, pero tienen que analizar la región.\nSurge la liga a las 2, Geografía regional y geografías.\nActualmente la geografía es la interacción entre la Geografía humana y la Geografía física, pero están más ligada a la geografía humana (La Geografía debe hacerse cargo de las dos disciplinas).\nLa Geografía Cuantitativa es una respuesta a la Geografía regional. Los geógrafos cuantitativos (matemáticas, física, economía) prefieren estudiar lo científico.\nDe la geografía cuantitativa surgen los Modelos, que son abstracciones de la realidad, lo que pienso de la realidad, pero no son reales.\nEl marxismo crítica la Geografía cuantitativa.\nEl espacio y la geografía van de la mano\nPersonajes importantes: Petter Hagget, David Harley, V’ Hmann.\nUna respuesta a la Geografía cuantitativa es la Geografía comportramental , dice que la percepción del espacio es un elemento esencial en el comportamiento humano y a su vez para la geografía.\nLa percepción del espacio va a determinar ciertos conductos del hombre.\nGeografía comportramental , topofilia\nPublicadas por Claudia Morales a la/s 18:39 No hay comentarios.:\nPara entender la geografía como una ciencia social, todos los avances de corrientes filosóficas llevan a la geografía, como: Materialismo histórico, Estructuralismo, Racionalismo, Positivismo, Socialismo, Existencialismo (Dos grandes procesos: Modernidad y Postmodernidad).\nMilton Santos dice que el geógrafo es la vívala del espacio.\nEl tiempo y el espacio están unidos. Antes el espacio no tenía importancia.\nEs el estudio de las relaciones del territorio.\nPlanificación del territorio. Primer elemento que estudio es el hombre. Busca entender el hombre en su especialidad. La geografía es un producto social, ejemplo: Estudia el Volcán Chaitén para su reubicación, también por la ubicación humana que vive allí.\n“Edward Soja es importante” (Capítulo postmoderna). Trata sobre cómo nosotros percibimos nuestro espacio, percibido, concebido y vivido (más complejo, agrupa éstas 2 ideas que supera estos espacios fragmentados). Aquel espacio que es tal cual es y que nosotros vemos.\nHenry Lefevre inspirador de Soja, que habla sobre la producción del espacio, y hace 3 divisiones:\n-Prácticas espaciales: Son convencionales ubicadas en las lógicas del poder establecido.\n-Representación de espacios: Como se entiende lo objetivo para representarlo.\n-Espacios de Resistencia.Lo más importante es que la Geografía es que estudia los estados que están en movimiento, con dinámica.\nCategorías de análisis: Ayudan la complejidad de la realidad, acompaña el estudio de la Geografía.\n-Región y Territorio (están enlazadas).\n-Relación con la economía.\n-Connotación política (relación de poder y espacio).\nLa geografía busca el análisis multiescalar, su principal herramienta. A partir del lugar (cultural) y territorio se hacen los primeros análisis.\nInvestigar los No lugares.\nMore Auge es Antropólogo.\nGeografía, algunos dicen que es ciencia, otros disciplina que ayuda a entender al hombre.\nEspacio Geográfico: La geografía lo era todo, los griegos fueron los primeros en estudiar el espacio.\nCartografía: Es la principal ciencia relacionada a la geografía.\nEn el siglo XIX comienza el camino para lo que es la geografía hoy en día.\nGeografía: Es el arte de expresar al hombre en su especialidad, los principales pensamientos y observaciones hacia la geografía, no son hechas por geógrafos.\nEn Grecia hay 4 personajes importantes:\nHerodoto: Decía que la Tierra lo era todo. Ocurrió el espacio geográfico relacionado con su creencia. Matemática, Filosofía y Astronomía.\nEcuneme: Lo habitable.\nAnecuneme: Lo no habitable.\nPtolomeo: Aportes Cartográficos:.\nColón utiliza sus mapas por lo que cree llega a la india\nEratstenes: Mide la Tierra con exactitud.\nD.C: En el siglo X – XV (Medievo) No evolucionan los pensamientos, se mantienen los griegos.\nSe retoma la senda geográfica a través de la escolástica, que conecta la biblia con los pensamientos de los griegos.\nla modernidad del hombre se lq quiere adquirir conocimiento\nPublicadas por Claudia Morales a la/s 18:32 No hay comentarios.:\nCLASE DE 13 DE ABRIL DE 2009\nclasificado en tres grandes areas:\n.Reglas: Condición de orden del medio natural, otro antrópico normativo.\nComponentes del territorio, obliga a la geografía a separarse en 3 grandes temas:\n-Geografía Física (Natural) -----En Geografía física es difícil romper la inercia de los dos discursos, se sobreponen, lo que no cambia es entender que todo territorio subyace una lógica de entendimiento, que es la racionalidad del territorio.\n- Geografía humana (Antrópico)\n- Geografía de planificación (Normativo, estado de nación), partió siendo geografía administrativa o política y de allí apareció la Geografía Regional.\nPublicadas por Claudia Morales a la/s 18:02 No hay comentarios.:\nTrabajo de terreno\nsub utilizacion de espacios\nLa clase comenzó dando la tarea para el día lunes ...\nEstudiante de la PUCV\nREVISTA DE GEO\nGeografia en la PUCV


Conceptos basicos de geometria plana by yolandasarmiento 41187 views\nTaller movimiento en linea recta by Laura Devia Ochoa 540 views\nConceptos basicos de geometria by Michelle Vargas 3296 views\nANGULOS, CLASES Y CONSTRUCCION by Maribeth Rosado 2471 views\nLa totalmente necesaria by Laura Devia Ochoa 597 views\nAxiomas y postulados by Sharon Cáceres 42380 views\n, Profesor de Educación Matemática at Universidad Pedagógica Experimental Libertador\n1. 372.7 And. Geometría: conceptos y construcciones elementales Federación Internacional Fe y Alegría, 2006 32 p.; 21,5 x 19 cm. ISBN: 980-6418-86-7 Matemáticas, Geometría 2\n2. “Para aprender permanentemente y ser capaz de investigar las situacio- nes y problemas, el educador debe asumirse como investigador en su acción y desde su acción. Esta tarea implica un cambio profundo para el educador que debe asumirse tam- bién como educando y aprendiz, que construye propuestas novedo- sas, duda y aprende de ellas.” Documento del XXVII Congreso Internacional Cochabamba (Bolivia) 3\n3. EQUIPO EDITORIAL Beatriz Borjas y Carlos Guédez Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático Cuaderno N° 12 Geometría: Conceptos y construcciones Autor: Martín Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la práctica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores Populares desarrollado por la Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001. Diseño y Diagramación: Moira Olivar Ilustraciones: Corina Álvarez Concepto gráﬁco: Juan Bravo Corrección de textos: Carlos Guédez y Martín Andonegui Edita y distribuye: Federación Internacional de Fe y Alegría. Esquina de Luneta. Edif. Centro Valores, piso 7 Altagracia, Caracas 1010-A, Venezuela. Teléfonos: (58) (212)5631776 / 5632048 / 5647423. Fax: (58) (212) 5645096 www.feyalegria.org © Federación Internacional Fe y Alegría Depósito legal: lf 603 2006 510 3664 Caracas, abril 2006 Publicación realizada con el apoyo de: Centro Magis - Instituto internacional para la educación superior en América Latina y el Caribe (IESALC) - Corporación Andina de Fomento (CAF) 4\n4. introducción A modo de introducción..., nuestro recordatorio L a sugerencia que proponíamos en el Cuaderno No 1 y que siempre presidirá los demás Cuadernos: Vamos a nuestro trabajo docente. De esta forma, in- tegrar nuestra práctica docente en nuestro estudio. estudiar matemática, pero no lo vamos a hacer como si fuéramos simplemente unos • Como complemento a lo anterior, cons- alumnos que posteriormente van a ser eva- truir el conocer de cada tópico matemático luados, y ya. No. Nosotros somos docentes pensando en cómo lo podemos llevar al –docentes de matemática en su momento- aula. Para ello, tomar conciencia del pro- y este rasgo debe caracterizar la forma de ceso que seguimos para su construcción, construir nuestro pensamiento matemático. paso a paso, así como de los elementos ¿Qué signiﬁca esto? –cognitivos, actitudinales, emocionales...- que se presenten en dicho proceso. Porque • La presencia constante de la meta última a partir de esta experiencia reﬂexiva como de nuestro estudio: alcanzar unos niveles estudiantes, podremos entender y evaluar de conocimiento tecnológico y reﬂexivo, lo mejor el desempeño de nuestros alumnos cual debe abrir ese estudio hacia la búsque- –a su nivel- ante los mismos temas. da de aplicaciones de lo aprendido, hacia el análisis de los sistemas que dan forma • En deﬁnitiva, entender que la matemática a nuestra vida y utilizan ese conocimiento es la base de su didáctica: la forma en que matemático, y hacia criterios sociales y éti- se construye el conocimiento matemático cos para juzgarlos. es una fuente imprescindible a la hora de planiﬁcar y desarrollar su enseñanza. • Construir el conocer de cada tópico ma- temático pensando en cómo lo enseñamos Y ahora, vamos al tema de este Cuaderno, en el aula, además de reﬂexionar acerca de la geometría. cómo nuestro conocer limita y condiciona 5\n5. 1. ¿Qué es la Geometría? Para acercarnos a lo que es la geome- eventos tría, vamos a remontarnos unas cuantas • La forma de los objetos y de sus I ndudablemente, tenemos que empe- zar por hacernos esa pregunta. De entrada, todos tenemos cierta idea de las preguntas más atrás: ¿Dónde encontramos esos objetos “geométricos”? ¿Quién y des- de cuándo les puso esos nombres con los representaciones • El cambio presente en los fenó- menos y en las cosas cosas de las que trata la geometría: del que ahora se presentan? En particular, ¿qué espacio y del plano; de puntos, rectas, signiﬁca la palabra “geometría”? ¿Por qué y Y en este panorama, ¿por dónde apare- segmentos, ángulos; de ﬁguras tales como para qué se estudia? cen los objetos geométricos que mencioná- los triángulos, los cuadrados, las circun- bamos antes? Fundamentalmente, a partir ferencias..., con todos sus elementos; de Estas interrogantes nos regresan a la que de la percepción de la dimensión y de la cuerpos tales como la esfera, el cono, las nos formulamos en el Cuaderno 2 (El siste- forma de los objetos y de sus representa- pirámides...; de relaciones tales como el ma numérico decimal): ¿Por qué la mate- ciones (Senechal, 1998). La naturaleza es paralelismo y la perpendicularidad de rec- mática? Recordamos lo que allí escribíamos la primera surtidora de tales objetos. No tas y segmentos, la simetría y la semejanza (pp. 6 s.): debe costarnos mucho percibirlo, ni darnos de ﬁguras; de la medida de la longitud de cuenta de las regularidades que se presen- un segmento, de la amplitud de un ángulo, ¿Y de dónde salió la matemática? tan en muchos seres y elementos naturales, del área de un polígono, del volumen de ¿Qué elementos, qué “cosas” del entor- regularidades que sugieren determinadas un sólido; etc. Por lo que se ve, un amplio no y del convivir diario pudieron aglu- formas en una, dos o tres dimensiones, así campo de entornos, de objetos, relaciones tinarse para constituir esta disciplina como ciertas propiedades y relaciones, ta- y propiedades. Todos ellos –y otros más- se singular y universal, en la que hoy día les como semejanzas, paralelismos y per- estudian en esta área de la matemática que podemos descubrir campos particulares, pendicularidades, simetrías, etc. denominamos geometría. tales como la aritmética, la geometría, el álgebra, el análisis, la probabilidad y la Por ejemplo, es fácil percibir que hay Pudiéramos, pues, limitarnos a decir estadística, y otras más sutiles? objetos “redondos”: ciertos frutos y semi- que la geometría es la rama de la matemá- llas, algunas piedras, etc. Esos objetos, que tica que estudia todos esos objetos, con Lynn A. Steen (1998) viene a respon- pueden estar hechos de distintas sustancias sus elementos constitutivos, relaciones y der a la pregunta anterior, justamente en y tener distintos tamaños, pesos, olores y propiedades. Pero, ¿es eso todo lo que se términos referidos a la experiencia de las colores comparten, sin embargo, una “regu- puede decir de lo que es la geometría? Más personas ante la naturaleza y la propia laridad”: la de ser redondos. Pues bien, esa aún, ¿es eso lo primero que se puede decir convivencia humana. ¿Cuáles son, pues, regularidad, abierta a cualquier sustancia, acerca de lo que es? las “cosas” que se aglutinaron para con- tamaño, peso, olor y color, puede destacar- formar, con el paso del tiempo y con el se en sí misma y convertirse en objeto de esfuerzo perceptivo y reﬂexivo humano, atención, de modo que pueda ser recono- las matemáticas? He aquí su respuesta: cida en cualquier objeto nuevo que tenga • Las dimensiones de los objetos y forma redonda (posteriormente, alguien lla- de sus representaciones mará esfera a esa forma redonda...). Lo mis- • La cantidad presente en las co- mo sucede con otras formas: cilindros (los sas, en los fenómenos y en sus propieda- troncos de los árboles, los tallos de bambú, des la parte central de ciertos huesos...), conos • La incertidumbre de algunos (algunos volcanes, ciertos árboles, los api- 6\n6. lamientos de tierra que construyen las hor- propios de nuestra cultura que representan tenían antes de las inundaciones. Este era migas...), etc. objetos geométricos en una, dos o tres di- un problema de formas y medidas, es decir, mensiones, así como relaciones geométri- geométrico. De igual forma puede hablarse de cier- cas, tales como paralelismo, perpendicula- tas relaciones entre líneas: paralelismo (en- ridad, semejanza de ﬁguras, simetrías, etc. Pero, ¿cuál era el trasfondo de todo tre los troncos rectos de árboles cercanos, esto? El pago de los impuestos que los pro- entre las dos orillas de un río...), perpendi- Michel Serres, en su libro “Los oríge- pietarios de las tierras debían efectuar, pago cularidad (entre el tronco de un árbol o el nes de la geometría” (1996), habla de los proporcional al tamaño de sus campos. tallo de una planta y el suelo...). O de rela- orígenes naturalistas y culturalistas de la Aquí entran en juego el poder, las leyes, el ciones dentro de una misma ﬁgura, como geometría. Para referirse a los primeros, Derecho. Este sería el origen culturalista de la simetría (en algunas hojas, ﬂores y frutos; se ubica en las crecidas periódicas del río la geometría. en la forma externa de los peces, pájaros, Nilo en Egipto, que inundaban las tierras mariposas...). O de relaciones entre cuerpos de labranza, reduciendo sus dimensiones. De este modo y según Serres, la geome- o ﬁguras, como la semejanza (entre obje- Con el descenso de las aguas se presenta- tría no reproduce la tierra ni el cielo, sino tos grandes y pequeños de la misma espe- ba el problema de restituir a los propieta- que pone en comunicación la naturaleza y cie...). rios sus campos, en las dimensiones que la cultura. Pero la naturaleza no es la única fuente de estos objetos geométricos. También lo es la cultura de todos los pueblos. Las formas geométricas están presentes en muchos de 2. ¿Cómo son los objetos geométricos? los artefactos que se presentan en todas las culturas, desde sus comienzos y a lo largo de su evolución histórica hasta nuestros días: Artefactos como los ediﬁcios, vivien- P ero la percepción de esas regularidades llamadas formas o relaciones geométricas, así como su manipulación y repre- sentación, no constituyen, sin más, la geometría. El ﬁlósofo Edmund das, vehículos de transporte, puentes y vías Husserl, en su obra “El origen de la geometría” (Husserl, 2000), de- de comunicación; o como los utensilios do- nomina como “mundo pregeométrico” este mundo de cosas corpó- mésticos, los utilizados para la caza y pes- reas (bien sean objetos naturales o artefactos culturales), dotadas de ca, y para los diversos oﬁcios productivos; formas espaciales que se maniﬁestan mediante cualidades materiales o como la ropa y tantos otros... Sin olvidar tales como el tamaño, color, peso, dureza, etc. el inmenso y deslumbrante mundo del arte, en el que las formas y relaciones geométri- A partir de ellas debe comenzar un proceso de “abstracción”. Por ejemplo, de un ob- cas tienen una presencia inmemorial en la jeto plano (o que se ve plano) y de forma redonda (una rueda, una ﬂor, la sección de un arquitectura, en la escultura, en la elabora- tronco cortado, la cara de la luna...) se puede pasar a la idea de línea plana “redonda”. ción de instrumentos musicales, en la pin- Pero el tránsito no termina aquí. Aún hay un paso más, que es llegar a la idea de circun- tura sobre piedra, arcilla, madera, telas, etc. ferencia, desligada de los objetos de los que proviene: la circunferencia es un objeto En todo este universo cultural aparecen for- “ideal”, una línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado (el centro de mas geométricas, así como relaciones entre la circunferencia); o bien, es la línea que mantiene una curvatura constante (para entender ellas: paralelismo, simetría, semejanza... esto último, si se “tuerce” el volante de un carro y se le deja con ese giro ﬁjo, el carro, al Mencione algunos objetos naturales o moverse, traza una circunferencia, ya que constantemente está dando “la misma curva”). 7\n7. De esta forma, Husserl establece que idea, un concepto (una “idealidad”, en gulo podemos construir –sin necesidad los auténticos objetos geométricos son las términos de Husserl), como la de circunfe- de buscarlas entre los objetos naturales o idealidades geométricas, modelos de los rencia: línea formada por todos los puntos entre los artefactos culturales- las ideas de objetos de los que surgen. Y que la Geome- que equidistan de uno dado (el centro de los diversos tipos de triángulos que se pue- tría es la disciplina que estudia estas ideali- la circunferencia), o bien, línea que mantie- den considerar, si se toma como criterio de dades, esos modelos ideales. ne una curvatura constante en su recorrido. diferenciación las relaciones entre las lon- Cualquier circunferencia trazada sobre la gitudes de sus lados. Podemos pensar en Probablemente vamos percibiendo que arena, la pizarra o un papel, es una repre- que los tres lados tengan la misma longitud la abstracción es una de las características sentación de esa idea; en otras palabras, (triángulo equilátero), que sólo dos de ellos de la matemática como ciencia. El número esa circunferencia trazada es como la ima- la tengan (triángulo isósceles), o que los tres –objeto de estudio de la aritmética, sobre la gen sensible, visible, del “lugar” que ocupa- tengan longitudes diferentes (triángulo esca- cual han versado los diez cuadernos ante- ría una circunferencia ideal, y nos remite a leno). No hay más casos posibles. Recalca- riores- es producto de un proceso de abs- esa idea. mos que esta diferenciación puede hacerse tracción. Así, el número 5 tuvo su primer a nivel mental, sin necesidad de buscar ta- sentido en una situación concreta, al contar En Matemática, pues, trabajamos con les triángulos en objetos de la realidad. cinco objetos, por ejemplo, cinco árboles, las representaciones de los objetos mate- o cinco dedos. La “pérdida” de los denomi- máticos: 5, una circunferencia trazada... De hecho, este proceso de abstracción nadores (árboles, dedos) permitió extender Pero esto no signiﬁca “menospreciar” a ta- e idealización no es nuevo. Para ubicar su (abstraer) la idea de “cinco” como medida les representaciones, como si tuvieran una origen en la historia, basta observar los común de la cantidad de elemen- categoría inferior a la de las ideas. De he- nombres que utilizamos para designar los tos de todos los conjuntos que cho, toda idea o concepto necesita de ellas, objetos geométricos. Algunos de ellos se poseyeran, justamente, cinco se descubre en ellas, no tiene sentido sin derivan directamente del latín (triángulo = elementos. El símbolo que uti- ellas. En otras palabras, las ideas sólo pue- tres ángulos; equilátero = lados iguales...), lizamos, 5, remite siempre den manifestarse, comunicarse y estudiarse pero las raíces primigenias se encuentran en a esa medida común: de- a través de sus representaciones. la lengua griega (geometría = geo [tierra] + cimos que “representa” metron [medida] = medida de la tierra; po- la idea, el concepto de Y tampoco signiﬁca menospreciar el lígono = polus [mucho] + gonia [ángulo] “cinco”. El símbolo, mundo de la realidad, natural o cultural, en = muchos ángulos; isósceles = iso [igual] como tal, ya es una la que están los objetos, pues aquí está la + skelos [pierna] = piernas iguales [no nos abstracción. fuente primigenia de esa aventura humana sorprendamos por esta última expresión: que conocemos como la construcción del si una persona se yergue sobre sus piernas Algo similar conocimiento matemático. abiertas y si éstas son iguales, la forma que ocurre con presenta el conjunto de ambas piernas con los objetos Ubicados en el terreno de las idealidades el suelo es, precisamente, la de un triángulo geomé- geométricas, podemos elaborar ciencia, en “piernas iguales”, es decir, isósceles]; esca- tricos. el sentido de construir nuevas idealidades, leno = skalenos = oblicuo...). Hay basándonos en las anteriores. Entramos en una un proceso permanente de formación pro- Los griegos son los primeros que “su- gresiva de idealidades geométricas. ben” los objetos geométricos al nivel de la Así, por ejemplo, sobre la idea de trián- idealidad, abstracción que les permite desa- 8\n8. rrollar los conocimientos geométricos hasta cotas nunca alcanzadas antes, precisamente por haberse “liberado” de depender de los 3. ¿Por qué y para qué estudiar geometría? objetos de la realidad. Nada tiene de extra- ño que el libro de los Elementos, escrito por Euclides hacia el año 300 a. C. y que recoge una buena parte de estos conocimientos, se convierta en el texto más leído, hasta el si- M iguel de Guzmán nos recuerda que el objetivo principal de este estudio debe ser el de desarrollar el pensamiento geométrico, entendido éste como algo “básico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la matemática que provienen de y glo XX, después de la Biblia. tratan de estimular la capacidad del hombre de explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la ﬁgura, la forma básica” (Guzmán, 1988, p. 135). Así, pues, en los griegos encontramos la intención de “construir” la geometría en Explorar racionalmente signiﬁca ir más allá de la mera visualización o manipulación. el sentido de ir formando progresivas idea- Además de ver, la actividad geométrica nos tiene que llevar a deﬁnir, deducir, resolver lidades geométricas, apoyándose en las problemas y aplicar los conocimientos sobre los objetos geométricos, sus propiedades y anteriores por la vía de la deducción. Pero relaciones entre ellos (Pérez Gómez, 2002). no basta con esa preocupación originaria, sentida hace más de veinte siglos. Porque a Ahora bien, ¿qué se consigue con esta exploración y este estudio racional de los ob- esa intención inicial hay que agregarle, in- jetos geométricos? ¿Qué ofrece de especial la geometría, dentro de la matemática? En eludiblemente, la de garantizar su auténtica primer lugar, sumergirse en el estudio de la geometría ayuda al desarrollo de la intuición transmisión cultural a lo largo de los tiem- espacial, a la construcción del pensamiento espacial. Al respecto, recordemos que el pos (Husserl, 2000). Es decir, tenemos que hemisferio derecho de nuestro cerebro, centro de la creatividad y de la intuición, procesa garantizar que los colectivos culturales y las la información basándose en imágenes espaciales y visuales, y se comunica a su vez por personas sepan “construir” la geometría, medio de acciones e imágenes. El estudio de la geometría propicia el desarrollo de estas dotar de sentido a sus objetos, propiedades potencialidades, muchas veces relegadas frente a las de carácter exclusivamente lógico- y relaciones. Esto nos lleva a hablar del es- abstracto. tudio de la geometría. Por otro lado y como nos lo recuerda Miguel de Guzmán, la geometría es “la fuente más importante que por muchos siglos ha tenido la matemática de verdaderos problemas y resultados interesantes, abordables con un número pequeño de herramientas fácilmen- te asimilables” (Guzmán, 1988, p. 135). A esto hay que agregar cierto aire de juego que con frecuencia presentan las tareas geométricas. En resumen, podemos decir que el estudio de la geometría, además de desa- rrollar la intuición espacial, trata de integrar la visualización con la conceptua- lización; la manipulación y experimentación con la deducción; y todo ello, con la resolución de problemas y la aplicación de los conocimientos geométricos. 9\n9. logramo. Y lo distinguen, por ejemplo, del 4. El avance en el aprendizaje de la geometría rombo, otra clase de paralelogramo cuya propiedad característica es que los cuatro lados son de igual longitud. H ace algunas décadas y basados en sus investigaciones acerca del aprendizaje y de la enseñanza de la geometría, los esposos Pierre y Dina van Hiele presentaron un modelo de cómo se avanza, por etapas, en el desarrollo del razonamiento geométrico. Saber clasiﬁcar los paralelogramos es saber precisar las características que son He aquí, resumidos, los rasgos fundamentales de los niveles progresivos de tal desarrollo comunes a todos ellos (cuadriláteros o po- (van Hiele, 1986): lígonos de cuatro lados, que poseen dos pares de lados paralelos) y, simultánea- • Nivel 1 (Reconocimiento): Las personas reconocen las ﬁguras geométricas sólo por mente, las que son peculiares de cada tipo su forma, por su apariencia física, globalmente. No reconocen sus partes, ni sus propie- de paralelogramo. Por eso, por ejemplo, dades. Sin embargo, pueden reproducir una copia de algunas ﬁguras en particular. se descubre que el cuadrado es, simultá- neamente, un rectángulo (sus lados forman Por ejemplo, se encuentran en este nivel los individuos que saben reconocer la forma cuatro ángulos rectos) y un rombo (los cua- rectangular al ver una hoja de un cuaderno, el tablero de una mesa, una ventana, etc., tro lados son de igual longitud). Y que, por pero sin percatarse de las partes (lados, ángulos, diagonales...) del rectángulo, o de sus consiguiente, el cuadrado puede deﬁnirse propiedades. como “un rectángulo que tiene sus cuatro lados iguales”, o como “un rombo que tie- • Nivel 2 (Análisis): Ahora las personas pueden reconocer que las ﬁguras tienen par- ne sus ángulos rectos”. tes o elementos, incluso las ﬁguras pueden ser reconocidas por sus partes, aunque no se identiﬁcan las relaciones existentes entre ellas. Las propiedades de las ﬁguras se estable- • Nivel 4 (Deducción formal): Llegados cen experimentalmente. a este nivel, las personas están en capaci- dad de desarrollar demostraciones, es de- Siguiendo con el ejemplo anterior, en este nivel los individuos ya perciben (contando cir, de formar una secuencia deductiva de y midiendo segmentos y ángulos) que un rectángulo posee 4 lados paralelos dos a dos, argumentaciones para ir obteniendo nue- 4 ángulos rectos, y dos diagonales iguales, pero no son capaces de percibir por qué esos vos resultados a partir de los anteriores. elementos y propiedades están relacionados entre sí. Por ejemplo, no establecen un vín- culo entre el hecho de que las dos diagonales sean iguales, con el hecho de que los lados En el texto del Cuaderno construiremos opuestos sean paralelos y de que los lados contiguos sean perpendiculares. algunas demostraciones sencillas. • Nivel 3 (Clasiﬁcación): En este nivel, las ﬁguras se determinan por sus propiedades. ¿Por qué presentamos esta secuencia de Los objetos geométricos pueden ser deﬁnidos –incluso de más de una manera- a partir de niveles [por razones prácticas hemos omi- las propiedades que relacionan a sus elementos. Esto permite diferenciar unos objetos de tido el quinto nivel 5 (rigor)] de desarrollo otros a partir de sus semejanzas y diferencias, es decir, clasiﬁcarlos. del razonamiento geométrico? Porque, en primer lugar, debemos estar conscientes de Si continuamos con el ejemplo del rectángulo, ahora los individuos captan que el que la actividad geométrica no se reduce al rectángulo es un paralelogramo (cuadrilátero o polígono de cuatro lados, que posee dos primer nivel (reconocer ﬁguras), o a los dos pares de lados paralelos), que se particulariza por el hecho de que sus lados forman primeros (reconocer ﬁguras y los elementos cuatro ángulos rectos. De esta forma, deﬁnen el rectángulo como una clase de parale- que las componen), sino que tenemos que 10\n10. “comprender” las ﬁguras (entender sus propiedades y cómo las ﬁguras se determinan y Ahora bien, si observamos, por ejemplo, deﬁnen a partir de éstas, como se indica en el nivel 3) y, además, ser capaces de razonar una de esas cajas, percibimos que su con- a partir de estas deﬁniciones y propiedades, con el ﬁn de llegar a nuevos conocimientos torno superﬁcial exterior está formado por geométricos (saber construir algunas deducciones, como se apunta en el nivel 4), así zonas o caras que caliﬁcamos como planas. como a saber aplicarlos y resolver problemas. La misma impresión recibimos cuando ob- Es decir, de alguna manera, la presencia de estos niveles marca el camino y la meta servamos la parte superior de una mesa, o de lo que podemos y debemos ir alcanzando en nuestro aprendizaje geométrico, no sólo un piso bien pulido: si están en perfecta en este curso, sino en nuestra formación permanente como docentes. Y, por esta misma posición horizontal, cualquier objeto que razón, nos pueden ayudar a evaluar el progreso de nuestro aprendizaje en el campo de se desplace sobre una de esas zonas, en la geometría. cualquier dirección, no experimenta altiba- jos en su recorrido, siempre se mantiene a la misma altura. 5. Nuestra propuesta para el aprendizaje de La idea presente en estos ejemplos es la geometría la de plano que, como concepto geométri- E n éste y en los cuatro Cuadernos que siguen, vamos a transitar por el campo de la geometría. Hablaremos primero de los conceptos y construcciones elementales (Cuaderno No 12); y luego, de los polígonos (No 13 y No 14), de la circunferencia y el co, se considera sin espesor e ilimitado en todas sus direcciones. Si tenemos algunas ﬁguras cerradas representadas en un plano círculo (No 15), y de los cuerpos geométricos (No 16). y pudiéramos meterlas ajustadamente en Nuestro proceso de presentación y trabajo va a intentar seguir un recorrido de avance sendos rectángulos, de manera que cada en los niveles propuestos por van Hiele, niveles que acaban de describirse. Habrá, pues, ﬁgura tocara por dentro los cuatro lados del actividades de reconocimiento de los objetos geométricos y de sus componentes, activi- rectángulo en que está metida, sin sobresa- dades que surgirán a partir de la construcción de tales objetos. También, actividades de lir, nos daríamos cuenta de que sólo podría- deﬁnición de los objetos a partir de las propiedades de sus elementos y de las relaciones mos obtener, de tales ﬁguras, dos medidas entre ellos. Finalmente y en lo posible, plantearemos actividades de deducción de nuevos de longitud diferentes: su largura y su an- conocimientos geométricos a partir de los ya aprendidos. chura (o altura). Es decir, todo plano tiene dos dimensiones, al igual que las ﬁguras cerradas que podamos representar en él. 6. Conceptos geométricos elementales: Evidentemente, no hay “cosas” en nues- Espacio, plano, línea y punto tro entorno real que sean planos en el senti- do geométrico estricto, pues todas las cosas E n nuestro derredor encontramos objetos naturales o elaborados por personas; por ejemplo, una roca, una pelota de fútbol, una casa. Si pudiéramos meterlos ajustada- mente en sendas cajas, de manera que cada objeto citado tocara por dentro todas las caras reales tienen tres dimensiones. Pero sí po- demos encontrar imágenes o representacio- nes de un plano: la parte superior de una de la caja en que está metida, sin deformarlas, nos daríamos cuenta de que podríamos mesa, un piso o una pared bien pulidos, obtener, de tales objetos, tres medidas de longitud diferentes: su largura, su anchura (pro- una hoja de papel bien tensa, la superﬁcie fundidad) y su altura. Es decir, los objetos que ocupan un lugar en el espacio físico tienen de una laguna en la que no se observa nin- tres dimensiones. También tiene tres dimensiones el espacio geométrico, representado gún movimiento, etc. por el espacio físico. 11\n11. Por otro lado, sobre los objetos y par- podemos referirnos a la huella que sobre un segmento, porción de recta que une los dos ticularmente sobre los planos, podemos papel puede dejarse con el toque de la pun- puntos. Con segmentos situados en rectas trazar líneas valiéndonos de punzones, ta de un lápiz, o a la perforación que puede diferentes, y concatenados por sus extre- lápices, tizas, etc. Algunas de estas líneas hacerse con la punta de una aguja, o a los mos, se construyen líneas quebradas o po- pueden ser “derechitas”, rectas; otras pue- vértices de una caja... ligonales. Cuando estas líneas quebradas se den ser “torcidas”, curvadas; otras pueden “cierran” sin haberse cruzado entre ellas, se presentar trazos rectos combinados con En resumen, podemos establecer el forman polígonos. algunos curvados, etc. La idea presente en siguiente cuadro que relaciona los ám- estos ejemplos es la de línea que, como bitos en los que pueden encontrarse los También podemos hablar de líneas concepto geométrico, se considera sin es- objetos geométricos, con el número de curvas (y de segmentos curvos), que son pesor. Si consideramos diversas líneas y las dimensiones correspondientes: aquellas que van variando su dirección en “enderezamos”, nos daríamos cuenta de cada punto. Entre algunas de las más cono- Ámbito de los No. de dimensio- que sólo podríamos obtener una medida de objetos geomé- nes cidas podemos mencionar la circunferen- ellas: su largura o longitud. Es decir, toda tricos cia (el borde de una ﬁgura plana redonda) línea tiene una dimensión. o la catenaria, que es la línea formada por Espacio 3 una cadena (eliminando su espesor) cuan- También aquí es evidente que no hay Plano 2 do cuelga libremente de sus dos extremos. “cosas” en nuestro entorno real que sean lí- Como se ve, también las líneas curvas pue- neas en el sentido geométrico estricto, pues Línea 1 den ser “cerradas” o pueden dejar libres sus todas las cosas reales tienen, como se ha Punto 0 extremos. Finalmente, hablamos de líneas dicho, tres dimensiones. Pero sí podemos mixtas para referirnos a las que “mezclan” encontrar imágenes, representaciones de lí- Volvamos ahora a los diferentes tipos unas partes rectas con otras curvas. neas: los bordes de los objetos (por ejemplo, de línea que se pueden trazar sobre un pla- si volvemos a las cajas mencionadas ante- no. En primer lugar, la línea recta. Como Antes de seguir adelante tengamos riormente, descubrimos que poseen aristas, objeto geométrico, la línea recta es la que presente que: que son las partes en que se “topan” dos mantiene la misma dirección en todos sus caras contiguas, es decir, las líneas en que puntos y se considera ilimitada por ambos • Dos puntos bastan para determinar terminan y coinciden ambas caras), o los extremos. La línea recta puede recorrerse una recta bordes de las ﬁguras dibujadas en un plano, en dos sentidos opuestos (no es correcto o un trozo extendido de hilo de coser... hablar de dos direcciones opuestas...). Se • Tres puntos no alineados bastan considera que una recta está formada por para determinar un plano Antes de abordar los diferentes tipos inﬁnitos puntos. de líneas, debemos mencionar otro obje- • Un plano queda perfectamente to geométrico básico. Es el que se obtiene También podemos hablar de la semi- determinado mediante dos rectas que se como corte o intersección de dos líneas: el rrecta, porción de recta que tiene como cortan en un punto punto. Como objeto geométrico, el punto origen un punto y se extiende ilimitada- no tiene dimensión alguna. Toda línea se mente en un sentido. Como puede verse, Todos estos objetos geométricos bá- considera formada por puntos y, por esa todo punto sobre una recta determina dos sicos tienen su representación: razón, la línea no tiene “espesor”. Como semirrectas en ella. Finalmente, si ﬁjamos imágenes o representaciones de un punto dos puntos sobre una recta, tendremos un 12\n12. h) ¿En cuántos semiespacios divide Objeto geométrico Representación un plano al espacio? Punto Con una letra mayúscula A. i) ¿En cuántos semiplanos divide una recta al plano que la contiene? Con sendas puntas de ﬂecha en los extremos. Se marcan dos j) Si marcamos dos puntos en una puntos sobre la recta; o con una letra minúscula recta, ¿cuántas semirrectas diferentes Recta B quedan determinadas? ¿Y si marcamos A r tres puntos diferentes? k) ¿Cuántas rectas contiene un pla- Con una punta de ﬂecha en el extremo “abierto” no? Se marca el punto origen y otro punto; o con una letra minús- l) ¿Cuántos puntos contiene un pla- cula no? Semirrecta N m) ¿Cuántos planos contiene el es- M s pacio? n) Si estamos en el espacio, ¿cuántos Se marcan los dos puntos extremos planos pueden contener a una misma Segmento recta? P Q ñ) Y si tres rectas pasan por un mismo punto, ¿se determina un solo plano que 1. Indique, señalando sus puntos extremos, cuántos segmentos aparecen dibujados contiene al punto y a las tres rectas? en la siguiente ﬁgura: o) Si marcamos dos puntos en una A B C recta, ¿cuántos segmentos diferentes quedan determinados? ¿Y si marcamos D E F tres puntos diferentes? ¿Y si son cuatro? Veamos las respuestas: a) Inﬁnitos puntos en ambos casos G H I b) Tiene inﬁnitos puntos, cualquiera que sea su tamaño He aquí algunas preguntas que ya podemos responder. Trate de visualizar cada c) Inﬁnitas rectas. Conforman los que situación antes de dar una respuesta. se llama un “haz de rectas” a) ¿Cuántos puntos tiene una recta? ¿Y una semirrecta? d) Que en realidad no se trata de dos b) ¿Cuántos puntos tiene un segmento? ¿Depende de su tamaño? rectas, sino de una sola recta; ambas co- c) ¿Cuántas rectas pueden pasar por un punto de un plano? inciden no sólo en esos tres puntos, sino d) ¿Qué pasa si dos rectas tienen tres puntos en común? en todos sus puntos e) ¿Cuántas rectas diferentes se pueden determinar con tres puntos no alineados de e) Tres rectas un plano, es decir, si no hay ninguna recta que contiene a los tres puntos? f) Seis rectas f) ¿Y si se trata de cuatro puntos con las mismas condiciones, es decir, que no hay g) Diez rectas ninguna terna de puntos contenidos en una misma recta? h) En dos semiespacios g) ¿Y si ahora se trata de cinco puntos con las mismas condiciones? 13\n13. i) En dos semiplanos j) Cuatro: de cada punto salen dos, una en cada sentido. Seis, por la misma razón k) Inﬁnitas rectas l) Inﬁnitos puntos m) Inﬁnitos planos n) Inﬁnitos planos. Puede ayudarnos la imagen de un libro suspendido en el aire al agarrarlo por una de sus hojas: el libro se abre y todas las hojas (imagen de los planos) coinciden en el canto del libro (imagen de la recta común). Se habla entonces de un “haz de planos”. ñ) En general, no. Pensemos en una habitación, en el punto en que se unen el piso y dos paredes contiguas. Las tres “rectas” que se forman entre esos tres planos (hay que imaginarlas ilimitadas...) pasan por el mismo punto y, sin embargo, se necesita más de un plano para contener el punto y las tres rectas. o) Un solo segmento. Tres segmentos. Seis segmentos. Fig. 1: Herramientas geométricas 7. Construir y medir objetos geométricos: herramientas 8. Actividades referidas a segmentos I ndudablemente, podemos imaginar- nos los objetos geométricos. Pero tam- bién podemos “construirlos” o representar- Herramientas geométricas Funciones básicas 8.1. Construir el segmento que une dos los con el ﬁn, por ejemplo, de estudiarlos Trazar segmentos puntos dados mejor. En particular, podemos representar Regla y Medir la longitud de Se coloca la regla de forma que su en un plano los objetos y ﬁguras de hasta escuadra segmentos (aproxima- borde “toque” simultáneamente a los dos dos dimensiones (y de alguna manera los damente) puntos y se traza la porción de línea recta de tres dimensiones, dibujándolos como si correspondiente. fueran “transparentes”...). Y una vez dibuja- Conservar distancias dos, también podemos medir sus elementos Compás Al girar sobre un ex- 8.2. Medir la distancia existente entre o componentes: longitud (de segmentos), tremo ﬁjo, trazar arcos dos puntos P y Q, o la longitud del seg- amplitud (de ángulos), superﬁcie (de ﬁguras de circunferencias mento PQ: Se coloca la regla de forma que planas cerradas). su borde toque simultáneamente a los dos Transportador o Construir ángulos puntos, o que coincida con el segmento ya Para facilitarnos esta tarea de representar arco graduado Medir la amplitud de dado. Se coloca el 0 de la regla en uno de y medir contamos con ciertas herramientas un ángulo (aproxima- los puntos o en uno de los extremos del que hemos de aprender a manejar adecua- damente) segmento, y se lee (con la mayor precisión damente. He aquí las fundamentales: posible) el número correspondiente al otro punto o al otro extremo del segmento. Si 14\n14. no se parte del 0 de la regla, hay que restar de ser la misma en que se halla el segmento el primero de los segmentos dados. A partir del número leído al ﬁnal, el número inicial. original), a partir de un punto y en el senti- del punto extremo Q del primer segmen- Observe que la distancia entre los puntos P do que se indique. to, se traslada el segundo segmento. Y así, y Q es la misma que entre los puntos Q y progresivamente, hasta trasladar todos los P; y que la longitud del segmento PQ es la 8.4. Veriﬁcar la relación existente en- segmentos. El segmento que va desde P misma que la del segmento QP. tre las longitudes de dos segmentos hasta el extremo libre del último segmen- Dado uno de los dos segmentos, se tras- to trasladado es el segmento suma de los 8.3. Construir un segmento de longi- lada el otro sobre la recta en que se halla segmentos dados. Observe que el orden en tud dada, a partir de un punto P sobre una el primero, de modo que se superpongan y que se trasladan los segmentos no afecta al recta dada y en el sentido que se indique coincidan sendos extremos. La observación resultado ﬁnal. Determinar sobre los números de la re- de los extremos libres determina si los seg- gla (preferiblemente desde el 0), la longitud mentos son iguales o cuál de ellos es mayor t dada. Si es posible, abarcarla con el com- o menor. r s pás. Colocar sobre el punto P el extremo puntiagudo del compás y, con el otro ex- La anterior es una forma de realizar la tremo orientado hacia el sentido deseado, actividad sin recurrir a las medidas de los r s t marcar el punto Q sobre la recta: PQ es el segmentos. Lógicamente, también se pue- segmento solicitado. Si la longitud dada no den medir ambas longitudes y comparar P Q H L se abarca con el compás, se procede con la las cantidades correspondientes. De esta Fig. 3: Segmento suma de otros dados misma regla. manera se puede tener una cuantiﬁcación de la comparación de la longitud de ambos 8.7. Construir un segmento que sea la La actividad anterior también se puede segmentos. diferencia de dos segmentos dados entender como trasladar un segmento, es Con ayuda del compás se traslada uno decir, colocarlo sobre una recta dada (pue- 8.5. Dibujar puntos equidistantes (a de los segmentos sobre el otro, de modo una distancia dada) sobre un segmento, a que se superpongan y coincidan sendos partir de un punto dado P extremos. Con el compás se abarca el seg- Marcada la distancia sobre la regla, mento constituido ahora por los dos extre- abarcarla con el compás. Ubicarse en el mos no coincidentes de ambos segmentos. punto P y, en el sentido deseado, marcar Este nuevo segmento puede trasladarse al el punto siguiente Q. Luego, sobre Q, repe- lugar que se desee. (ver ﬁgura 4) tir la acción. Y así progresivamente con los nuevos puntos el número de veces que se 8.8. Veriﬁcar si un segmento es la requiera. Si no se puede abarcar la longitud suma (o la diferencia) de otros segmentos dada con el compás, se procede de manera dados análoga con la misma regla. Para determinar si un segmento AB es la suma de varios segmentos dados, primero 8.6. Construir un segmento que sea la se construye el segmento suma CD de estos suma de otros dados últimos (actividad 8.6.) y luego se veriﬁca la Se traza una recta y sobre ella se deter- relación existente entre los segmentos AB y Fig. 2: Construir un segmento de longitud dada mina un punto P. Se traslada, a partir de P, CD (actividad 8.4.). 15\n15. Análogamente, para determinar si un Vamos a detenernos ahora en el estudio segmento AB es la diferencia de dos seg- de los ángulos planos (de los ángulos sóli- mentos dados, primero se construye el seg- dos hablaremos en el Cuaderno n° 16). mento diferencia CD (actividad 8.7.) y luego se veriﬁca la relación existente entre los seg- Hay varias formas de considerar un án- mentos AB y CD (actividad 8.4.). También gulo (Vasco, 1999). Desde una perspectiva puede construirse el segmento suma de AB dinámica, podemos entenderlo como un y el menor de los dos segmentos dados y giro que hace una semirrecta que mantie- veriﬁcar si el nuevo segmento es igual al ne ﬁjo su punto de origen. Como este mo- mayor de los dos dados. vimiento puede ser más o menos amplio, hablamos de amplitud del giro. Incluso, Fig. 4: Segmento diferencia de dos segmentos esta amplitud puede ser mayor que una dados vuelta completa. En este caso interesa saber en qué “sen- tido” se mueve la semirrecta; es decir, la 9. Actividades referidas a ángulos orientación del giro. Si tomamos como referencia un reloj, suele decirse que un H e aquí un par de situaciones muy frecuentes en nuestra vida diaria: una puerta que se abre y un reloj de agujas funcionando. Vamos a destacar en ambas una ﬁgura matemática muy interesante. giro en el sentido de las agujas de un re- loj se considera como negativo, mientras que un giro en el sentido contrario al de las agujas de un reloj se considera como po- En la primera de ellas vemos que la puerta se va separando de la pared en que se en- sitivo. ¿La razón de esta asignación? Pues cuentra, de una manera particular. Desde el punto de vista matemático, podemos pensar en sencillamente, que se supone la semirrecta el plano de la hoja de la puerta que se separa del plano de la pared, mientras ambos planos “durmiendo” en una recta horizontal y ex- comparten el eje donde se hallan las bisagras. La ﬁgura idealizada que aparece es la de dos tendiéndose hacia la derecha de su punto porciones de planos que comparten o se cortan en un segmento; o en términos más genera- de origen (como la aguja horaria de un reloj les, dos planos que comparten o se cortan en una recta. El objeto matemático formado por a las 3 en punto); así, su movimiento natu- todos esos elementos se denomina ángulo sólido (a pesar de que más bien se presenta como ral cuando se despierta y se “levanta” sin “vacío”, como “hueco”...) o ángulo en el espacio. mover su punto de origen, es hacia arriba, justo en sentido contrario al de las agujas Si ahora observamos las dos agujas de un reloj, vemos que también ellas se acercan o de un reloj... alejan una de la otra. Desde el punto de vista matemático, podemos pensar en el segmento de una de las agujas que se mueve con respecto al segmento de la otra aguja, mientras ambos Todavía desde una perspectiva dinámi- comparten su extremo en el centro del reloj. La ﬁgura idealizada que aparece es la de dos ca, puede considerarse un ángulo como un segmentos que comparten uno de sus extremos; o en términos más generales, dos semirrec- movimiento de barrido que hace una se- tas que parten del mismo punto. El objeto matemático formado por todos esos elementos se mirrecta que mantiene ﬁjo su punto ori- denomina ángulo plano. Otra situación en la que aparece un ángulo plano es la que forman, gen. Es una idea muy similar a la de giro, sobre el plano del piso, la línea inferior de la puerta que se abre y la de la pared en que se halla sólo que ahora la semirrecta, al moverse, va la puerta. O cuando abrimos las dos patas de un compás, en el plano formado por ellas. marcando su huella en el plano. Las ideas 16\n16. de amplitud y de orientación ca con un pequeño arco de lado a lado: ). del barrido se mantienen. La otra región se denomina externa. Ahora bien, medir signiﬁca comparar con una unidad de la misma especie, lo que Desde una pers- Los ángulos se representan con tres le- nos obliga a determinar cuál es la unidad de pectiva estática, tras seguidas, precedidas de un pequeño medida de los ángulos. Hay varias. Puede un ángulo puede símbolo “<”; las letras representan, en este ser: ser considerado orden, un punto de un lado, el vértice, y una vuelta completa, como la región un punto del segundo lado; por ejemplo, el un cuadrante (la cuarta parte de una del plano limi- ángulo <POQ. También suelen representar- vuelta), tada por dos se- se con alguna letra del alfabeto griego; por un sextante (la sexta parte de una mirrectas con un ejemplo, < α. O, incluso, con cualquier otra vuelta), origen común. Es letra o dígito. un octante (la mitad de un cuadran- decir, como si fuera te), el resultado del barrido En resumen, las ideas básicas para deﬁ- un grado sexagesimal (la amplitud del que se hablaba antes. También desde nir un ángulo son variadas: un giro, un ba- de un ángulo obtenido como resulta- la misma perspectiva, un ángulo puede ser rrido, una región del plano, la unión de dos do de dividir una vuelta en 360 partes considerado como la unión de dos semi- semirrectas... Nos encontramos, pues, con iguales), rrectas con un origen común. En ambos la diversidad en la “deﬁnición” de lo que es un grado centesimal (la amplitud de casos se mantiene el concepto de amplitud un ángulo. Claro que todas estas deﬁnicio- un ángulo obtenido como resultado de angular, pero no suele tomarse en cuenta nes están relacionadas unas con otras, pero dividir una vuelta en 400 partes igua- la orientación del giro, a no ser que se diga cada una de ellas hace énfasis en un aspec- les). explícitamente cuál de las dos semirrectas to particular. se considera como “primera” con respecto Hay otras unidades, como el radián, a la otra. Y este énfasis puede tener su repercu- cuya explicación omitimos por ahora. Ha- sión a la hora de entender qué signiﬁca me- bitualmente, se utiliza el grado sexagesimal, Al hablar de ángulos, conviene advertir dir un ángulo. Porque podemos caer en el herencia de la cultura babilónica. La medi- que todo lo que se ha dicho en términos error de pensar en medir la longitud de sus da de un ángulo se indica con el número de de semirrectas puede extenderse también a lados, o el área de la región interna, como grados (se entiende que son sexagesimales, segmentos. Para incluir ambos casos posi- lo pueden sugerir las visiones estáticas del si no se indica otra cosa), acompañados del bles, se habla de los lados de un ángulo. ángulo. Pero no es así: Medir un ángulo símbolo ⁰; por ejemplo, 90⁰. Cada grado se Por su parte, el punto de origen de la se- signiﬁca medir su amplitud; es decir, desde divide en 60 minutos (60’) y cada minuto mirrecta que gira, o el punto común de las una perspectiva dinámica, la amplitud del en 60 segundos (60”). dos semirrectas que se unen, se denomina giro dado. vértice del ángulo. 2. ¿Cuántos grados sexagesimales tiene Por consiguiente, aﬁrmar que un ángu- un giro de una vuelta completa? Nótese, además, que cuando se trazan lo es mayor que otro, no signiﬁca que los 3. ¿Cuántos grados tiene un ángulo lla- dos semirrectas con un origen común, se lados del primero son más largos que los no, es decir, el ángulo formado por un giro determinan dos regiones en el plano. La del segundo, o que la región interna del de una media vuelta? que corresponde al giro dado, se denomina primero es aparentemente mayor que la del 4. ¿Cuántos grados tiene un ángulo rec- región interna del ángulo, y a veces se mar- segundo, sino que su amplitud es mayor. to, es decir, el ángulo formado por un giro 17\n17. de un cuadrante? 10. ¿Qué ángulo se obtiene al unir los • el arco (semicircunferencia) graduado 5. ¿Cuántos grados tiene el ángulo for- ángulos complementario y suplementario desde 0° hasta 180°; o desde 0 a 360° si mado por un giro de un octante? de un ángulo de 45°? el transportador abarca la circunferencia 6. Un ángulo agudo es aquel cuya me- 11. ¿Qué ángulo se obtiene al restar los completa dida es menor que la de un ángulo recto. ángulos suplementario y complementario ¿Entre qué valores se halla la medida de un de cualquier ángulo agudo? Para medir un ángulo menor que un ángulo agudo? 12. Dado un ángulo de 30°, ¿cuánto ángulo llano con el transportador graduado 7. Un ángulo obtuso es aquel cuya me- mide el ángulo suplementario de su com- de 0 a 180°, lo colocamos sobre el ángulo, dida es mayor que la de un ángulo recto. plementario? ¿Y si el ángulo mide 45°? ¿Y de manera que: ¿Cuántos grados tiene un ángulo obtuso? si mide 80°? 8. ¿Qué efecto produce un giro de 13. A partir de los resultados del ejer- • el trazo recto del aparato coincida 450°? cicio anterior, ¿qué relación existe entre el con un lado del ángulo, y el punto medio 9. ¿Y un giro de 1.000°? ángulo inicial y el que se obtiene al ﬁnal, en de ese trazo recto coincida con el vértice los tres casos? ¿Se puede generalizar este del ángulo ¿Por qué esos nombres dados a los resultado a cualquier ángulo agudo? • el otro lado del ángulo quede hacia ángulos? Podemos “ver” lo de ángulo lla- 14. Si un ángulo α y un ángulo β son la parte del transportador que tiene el arco no y recto. Para justiﬁcar lo de “agudo” congruentes, cada uno, con un ángulo δ, graduado y “obtuso”, pensemos en una punta de ¿qué relación existe entre los ángulos α y ﬂecha. Si el perﬁl de la punta presen- β? Aplicado el transportador de la manera ta un ángulo menor de 90°, puede ser 15. ¿Qué relación existe entre dos ángu- indicada, se observa sobre el arco gradua- considerada una buena punta, “aguda”, los que tienen el mismo suplemento (mismo do el número que corresponde al punto en apta para penetrar en el blanco. Pero si ángulo suplementario)? ¿Y si tienen el mis- que el otro lado (o su prolongación, si el es mayor de 90°, es una punta práctica- mo complemento? lado resulta pequeño para el modelo de mente ineﬁciente, que no penetra en el 16. ¿Qué relación existe entre un án- transportador) corta al arco. A partir de blanco por ser poco aguda, demasiado gulo obtuso y uno agudo, si el suplemento ese número hay que deducir la medida del aplastada, chata, roma, “obtusa”... del primero es igual al complemento del ángulo (no siempre el número leído da la segundo? medida, ya que a veces los aparatos tienen Entre los ángulos también se establecen su forma particular de llevar la secuencia de ciertas relaciones en función de sus medi- Vamos ahora con algunas actividades los grados...). das. Por ejemplo, de dos ángulos que tienen referidas a la construcción y medida de án- igual medida se dice que son congruentes. gulos. Por otro lado, dos ángulos se llaman com- plementarios cuando la suma de sus me- 9.1. Medir un ángulo didas es 90°; por ejemplo, dos ángulos de Para medir la amplitud de un ángulo 30° y 60°, respectivamente; o los ángulos utilizamos el transportador. Los hay de di- de 24° 15’ 36” y 65° 44’ 24” (verifíquelo). Y versos tipos, pero los elementos claves del se llaman suplementarios cuando la suma transportador son: de sus medidas es 180°; por ejemplo, dos ángulos de 30° y 150°, respectivamente; o • el segmento o trazo recto, cuyo punto dos ángulos de 139° 49’ 53” y 40° 10’ 07”. medio debe estar claramente marcado Fig. 5: Medida de un ángulo menor que un ángulo llano 18\n18. Si el ángulo a medir es mayor que un nuevo vértice en un punto A sobre la rec- 9.5. Girar un ángulo en torno ángulo llano, puede medirse la amplitud de ta que contiene a uno de los lados. Con la a su vértice la región externa de ese ángulo (que será ayuda del transportador se construye un Para ello se necesita saber cuál es la menor que 180), y luego restar de 360º el nuevo ángulo de la misma medida. amplitud del giro que se quiere aplicar a resultado de la medida anterior (¿por qué?). todo el ángulo. Si designamos con g a esta Si el transportador abarca la circunferencia Pero también es posible efectuar la ac- amplitud, hay que construir un ángulo de completa, el proceso es similar y aplicable tividad sólo con el compás. Para ello, ha- amplitud g sobre cada uno de los dos lados a cualquier tipo de ángulo. ciendo centro con el compás en el vérti- del ángulo original (y con la misma orien- ce O del ángulo original, se traza un arco tación). Los dos nuevos lados constituyen 9.2. Construir un ángulo de lado a lado; llamemos M y N a los dos el nuevo ángulo girado, congruente con el de medida dada puntos extremos de ese arco. Con la mis- inicial. Sobre una recta se marca un punto A, ma abertura del compás, haciendo ahora que será el vértice del ángulo. Se aplica el centro en A, se traza un arco abierto, de En la ﬁgura 7 se presenta el giro de 90º, transportador de manera que el trazo rec- mayor amplitud que el anterior y que parta en sentido positivo, del < QOP. Obsérvese to del aparato coincida con esa recta, y el desde la recta; llamemos R a este punto de que el lado OP gira 90º hasta OR (medida punto medio de ese trazo coincida con A. la recta del cual arranca el arco (OM = AR). < POR = 90º) y que el lado OQ gira 90º Si la medida dada es menor que 180º y el Volviendo al ángulo original, se toma con el hasta OS (medida < QOS = 90º). Después transportador tiene un arco graduado hasta compás la distancia MN. Y manteniendo la del giro de 90º en torno a su vértice O obte- 180º, se marca un punto B en la parte ex- misma abertura, se hace centro en el punto nemos el <SOR, congruente con el < QOP terior del arco graduado, de tal forma que R y se corta el arco abierto trazado ante- inicial. la medida desde el origen coincida con la riormente, lo que determinará un punto S. R medida dada. Después se traza el otro lado Al unir A con S se tiene el segundo lado del S del ángulo, haciéndolo pasar por A y B. nuevo ángulo. Si la medida dada es mayor que 180º y el transportador tiene un arco graduado Q hasta 180º, se dibuja un ángulo llano con su vértice y, sobre el ángulo, se construye un ángulo de medida igual a la diferencia de P O la medida dada menos 180º, y se procede como antes. Después se marca con un arco Fig. 7: Giro de un ángulo en torno a su vértice la región interna del ángulo pedido, para evitar confusiones. 9.6. Trasladar un ángulo a otra región del plano 9.3. Construir un ángulo recto Si se da el nuevo vértice y una de las se- Es un caso particular del anterior, para mirrectas, el problema consiste en construir una medida de 90º. aquí un ángulo de la misma medida. Pue- 9.4. Trasladar un ángulo, corriendo el den servir de orientación los procedimien- vértice sobre uno de sus lados Fig.6: Traslación de un ángulo sobre la misma tos señalados en 9.4. (uso del transportador Se mide el ángulo dado. Se ubica el recta o del compás). 19\n19. 9.7. Veriﬁcar la relación existente entre tación con la que β se anexó a α. El ángu- Se construye el ángulo unión (o diferen- las medidas de dos ángulos lo “total”, formado por las dos semirrectas cia) de los dos ángulos (actividades 9.8. ó Se puede trasladar uno de los ángulos más externas, es el ángulo pedido. Observe 9.9.). Y se veriﬁca la relación entre el án- “sobre” el otro, es decir, de tal forma que que el orden en que vaya “agregando” los gulo dado y el que se acaba de construir coincidan los vértices, uno de los lados, y ángulos no afecta al resultado ﬁnal. (actividad 9.7.). la orientación de ambos ángulos. La ob- servación determina si son iguales o cuál 9.11. Estimar la medida de un ángulo de ellos es mayor o menor. Lógicamente, Para esto no se necesitan herramientas, también se pueden medir ambos ángulos y pero sí una vista “educada”... Resulta muy comparar las cantidades correspondientes. práctico acostumbrarse a las medidas de De esta manera se puede tener una cuanti- ciertos ángulos (30º, 45º, 60º, 90º, 120º, ﬁcación de la comparación de la amplitud 135º, 150º...) con el ﬁn de tenerlas como re- de ambos ángulos. En la ﬁgura 8 se observa ferentes a la hora de estimar cuánto puede que el < POQ es mayor que el < MHL. medir un ángulo en particular (dibujado o de la vida real), o a la hora de dibujar un M P L ángulo de medida dada. H O Q 10. Actividades P referidas a rectas y M Fig. 9: Construcción de un ángulo unión de varios ángulos segmentos 9.9. Construir un ángulo que sea la perpendiculares O=H Q=L diferencia de dos ángulos dados Fig. 8: Comparación entre las medidas de dos ángulos Sean, por ejemplo, los ángulos α, β. Su- pongamos que α es mayor que β. En el lugar que se indique, se construye el ángulo α. D os rectas o dos segmentos son per- pendiculares (del latín: per [preﬁjo intensivo] + pendere [colgar]) cuando al 9.8. Construir un ángulo que sea la Sobre uno de sus lados y compartiendo el intersectarse forman un ángulo recto (en unión de varios ángulos dados vértice y ese lado, se traslada el ángulo β realidad, las rectas forman entonces cuatro Sean, por ejemplo, los ángulos α, β, δ. hacia la región interna de α. El ángulo que ángulos rectos...). La perpendicularidad es En el lugar que se indique, se construye el “quede” entre las dos semirrectas no coin- una relación perceptible con mucha fre- ángulo α. Sobre uno de sus lados y com- cidentes de los dos ángulos, es el ángulo cuencia en la naturaleza y en muchísimos partiendo el vértice y ese lado, se traslada pedido. Por ejemplo, en la ﬁgura 8, el < artefactos elaborados por los hombres. Es el ángulo β hacia la región externa de α. POM es la diferencia de los ángulos < POQ muy importante no sólo detectar si dos seg- Y ahora, sobre el lado que el ángulo β no y < MHL. mentos son perpendiculares (basta veriﬁcar compartió con α, pero haciendo coincidir si el ángulo que forman es recto), sino tam- el vértice, se traslada el ángulo δ hacia la 9.10. Veriﬁcar si un ángulo es la unión bién saber construir un segmento (una rec- región externa de β, con la misma orien- (o la diferencia) de dos ángulos ta) que sea perpendicular a otro(a) dado(a). 20\n20. 17. ¿Cómo se construye la mediatriz de una recta, o la de una semirrecta? 10.2. Hallar el punto medio de un segmento El punto medio de un segmento forma parte también de la mediatriz del mismo. Por consiguiente, para hallarlo se sigue el mismo procedimiento que para construir la mediatriz. Sólo que, en lugar de trazar la recta MN, basta con marcar el punto P en que esta recta corta al segmento AB. 10.3. Descubrir la relación existente entre los puntos de la mediatriz de un segmento y los puntos extremos de éste Partiendo de la construcción de la actividad 10.1., el punto M es un punto de la media- triz. Como hemos visto, se obtiene al cortarse los dos arcos trazados desde los extremos A En este contexto hay una situación muy y B del segmento. Es muy importante observar que todos los puntos de un arco están a la peculiar: construir una perpendicular a un misma distancia del punto desde el cual se traza el arco (el centro del arco). Ahora bien, segmento, justamente en el punto medio de como ambos arcos se han trazado con la misma abertura del compás, el punto M está a éste. La recta perpendicular a un segmento la misma distancia de A y de B. Por consiguiente, todos los puntos de la mediatriz de un en su punto medio se denomina mediatriz segmento equidistan de los extremos del segmento. En la ﬁgura 11, ML es la mediatriz de del segmento. AB. Por consiguiente, MA = MB y LA = LB. Pero no necesariamente MA = LA. 10.1. Construir la mediatriz de un M Esta relación es tan importante que pue- segmento de deﬁnirse la mediatriz de un segmento Dado un segmento AB, tomamos un A B como la recta cuyos puntos equidistan de compás y lo abrimos con una amplitud que los extremos del segmento. Más todavía, si sea algo mayor que la mitad del segmento. dos puntos de una recta equidistan de los Haciendo centro en A, trazamos un arco extremos de un segmento (las distancias con esa abertura, por “encima” y por “de- desde un punto no tienen por qué ser igua- bajo” del segmento. Repetimos la acción les a las distancias desde el otro), esa recta haciendo centro en B. Los dos arcos por es la mediatriz del segmento. encima del segmento se cortan en un punto M e, igualmente, los dos arcos por debajo L 10.4. Veriﬁcar si un punto pertenece a del segmento lo hacen en un punto N. Al la mediatriz de un segmento trazar la recta que pasa por M y N, hemos Fig. 11: Los puntos de la mediatriz de un No hay por qué construir la mediatriz: construido la mediatriz del segmento AB. segmento equidistan de sus extremos bastará con veriﬁcar si la distancia del pun- 21\n21. to a los extremos del segmento es la misma. 10.6. Construir la perpendicular a Pues bien, esta distancia viene dada por Esto puede hacerse con la regla o con el una recta que pase por un punto de la la longitud del segmento que parte de P compás. misma y es perpendicular a la recta m. Ahora se Ahora, sea P un punto de una recta m. ve claro el camino para hallar la distancia 10.5. Construir la perpendicular a Con el compás hacemos centro en P y tra- solicitada: se traza la perpendicular desde una recta desde un punto exterior a la zamos un arco que corte a la recta m en dos P (actividad 10.5.) y se mide el segmento misma puntos, A y B, a cada lado de P. Ahora cons- correspondiente hasta el pie de esa perpen- Sea P un punto exterior a una recta m. truimos la mediatriz de este segmento AB. dicular. Con el compás hacemos centro en P y tra- zamos un arco que corte a la recta m en dos puntos, A y B. Por pertenecer al mismo arco, A y B equidistan de P; por consiguien- 11. Actividades referi- te, P pertenece a la mediatriz del segmento que acabamos de construir, AB. Ahora bien, das a rectas y segmen- si sólo conocemos un punto de la mediatriz, tos paralelos no podemos trazar ésta. Esto nos obliga a hallar el punto medio M del segmento AB (actividad 10.2.). Esta mediatriz es la per- pendicular a la recta m desde el punto P. El D os rectas o dos segmentos se con- sideran paralelos (para [al lado] + allelon = [unos de otros]) cuando señalan punto M de encuentro de la perpendicular y o mantienen la misma dirección. Otra for- la recta original se denomina pie de la per- ma de caracterizar a dos rectas paralelas pendicular. es aﬁrmar que nunca se encuentran, que nunca se cortan en un punto (en el caso de segmentos, serán paralelos si las rectas Fig. 13: Perpendicular a una recta desde un sobre las que descansan son paralelas). Dos punto de la misma rectas que se cortan se denominan secan- tes; por ejemplo, dos rectas perpendicula- 10.7. Calcular la distancia entre res son secantes. un punto y una recta Evidentemente, suponemos que el pun- Jaimito piensa que dos rectas parale- to P es exterior a la recta m (si el punto las, por muy separadas que estén, siem- está sobre la misma recta, la distancia es pre se encuentran en un punto si éste es 0). La distancia de P a la recta no es sino suﬁcientemente “gordo”. En la geome- la longitud de un segmento que vaya desde tría de Jaimito, este resultado se conoce P hasta otro punto de la recta. En seguida como “teorema del punto gordo”... percibimos que hay inﬁnidad de segmentos que se pueden trazar desde P hasta la recta. El paralelismo es otra relación también La clave está, pues, en decidir cuál de estos perceptible con frecuencia en la naturaleza Fig. 12: Perpendicular a una recta desde un segmentos sirve para determinar la distan- y en muchísimos artefactos elaborados por punto exterior a la misma cia del punto a la recta. los hombres. Es muy importante no sólo 22\n22. detectar si dos rectas son paralelas, sino 11.3. Construir una paralela a una rec- también saber construir una recta que sea ta dada, que pase por un punto exterior paralela a otra dada. a la recta 12. Construcciones Sea m la recta y P el punto exterior. Se 11.1. Determinar si dos rectas son calcula la distancia existente entre P y m (ac- alternativas con regla y paralelas Se toman dos puntos de una de las rec- tividad 10.7.) y se conserva con el compás. Ahora se marca un punto A sobre m (que escuadra tas y se mide la distancia desde cada uno de ellos hasta la otra recta (actividad 10.7.). Si la distancia es la misma, las rectas son no sea el pie de la perpendicular de P a m). Se construye una perpendicular a m por A (actividad 10.6.) y, sobre esta perpendicular P ara realizar las activida- des anteriores nos hemos referido a la utilización del com- paralelas. y haciendo centro en A, se marca con el pás, de la regla y del transporta- compás un punto Q en el mismo semiplano dor. Sin embargo, algunas de las 11.2. Construir rectas paralelas de P y a la distancia requerida. La recta que construcciones señaladas pueden a una dada pasa por P y Q es la paralela solicitada. ser llevadas a cabo mediante el Dada una recta m, se marcan dos pun- uso combinado de la regla y de tos, A y B. Se trazan sendas rectas perpen- la escuadra (o de dos escuadras). diculares a m por A y B (actividad 10.6.). Aunque en algunos casos el pro- Se abre el compás con la amplitud corres- cedimiento parece más sencillo, pondiente a la distancia a la que se desea siempre se pierde algo de pre- construir la recta paralela. Sobre las dos cisión. He aquí algunos de esos rectas perpendiculares y haciendo centro, procedimientos: respectivamente, en A y en B, se marcan sendos puntos M y N, respectivamente, en 12.1. Construir un ángulo el mismo semiplano y a la distancia deter- recto (actividad 9.3.) minada por la abertura del compás. La rec- ta que pasa por M y N es la paralela a m Basta con trazar a lápiz sen- solicitada. dos segmentos pegados a los bordes de los dos catetos (lados que forman el ángulo recto) de la Fig.15: Construcción de una paralela a una escuadra, desde el vértice del án- recta dada, por un punto exterior a la recta gulo recto. 11.4. Calcular la distancia entre dos 12.2. Hallar el punto medio de un rectas paralelas segmento (actividad 10.2.) Se selecciona un punto A de una de las rectas y se calcula la distancia de A hasta la Simplemente, se mide el segmento otra recta (actividad 10.7.). completo con la regla, se obtiene la mitad de esta medida y se marca el punto medio M a esa distancia de cualquiera de los ex- Fig. 14: Construcción de una recta paralela tremos. a una dada 23\n23. 12.3. Construir la mediatriz de un seg- mento (actividad 10.1.) Se coloca el borde de la regla sobre el segmento dado. El borde de uno de los ca- tetos se desliza pegado a la regla, hasta que el vértice del ángulo recto coincida con M, el punto medio del segmento. Apoyando el lápiz sobre el borde del otro cateto, se traza la recta correspondiente. Fig. 17: Construcción de una perpendicular a Fig. 18: Construcción de rectas paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma, una dada, utilizando regla y escuadra utilizando regla y escuadra 12.5. Construir la perpendicular a una 12.8. Construir una paralela a una rec- recta que pase por un punto de la mis- ta dada, que pase por un punto exterior ma (actividad 10.6.) a la recta (actividad 11.3.) El caso es similar a la actividad 12.3. Es también un caso particular de la ac- tividad 12.6. 12.6. Construir rectas paralelas a una dada (actividad 11.2.) 12.9. Trasladar un ángulo, corriendo el Dada una recta r, se coloca la regla de vértice sobre uno de sus lados (activi- Fig. 16: Construcción de la mediatriz de un tal manera que al deslizar pegado a ella el dad 9.4.) segmento utilizando la escuadra borde de uno de los catetos de la escuadra, Es un caso similar al 12.6. Si r es la rec- el borde del otro cateto coincida con la rec- ta sobre la que se va a desplazar el vértice 12.4. Construir la perpendicular a una ta r. Hecho este ajuste, basta con deslizar hasta un punto A, se coloca la regla de tal recta desde un punto exterior a la mis- la escuadra sobre la regla e ir trazando las manera que al deslizar pegado a ella el bor- ma (actividad 10.5.) paralelas que se deseen. de de uno de los catetos de la escuadra, el Sea P el punto exterior a la recta. Se co- borde del otro cateto coincida con el lado loca el borde de la regla sobre el segmento 12.7. Determinar si dos rectas son pa- del ángulo que no descansa sobre la recta dado. El borde de uno de los catetos se des- ralelas (actividad 11.1.) r. Hecho este ajuste, basta con deslizar la liza pegado a la regla, hasta que P quede en Es un caso particular de la actividad escuadra sobre la regla y trazar la paralela a el borde del otro cateto. Entonces, apoyan- 12.6. este último lado, que pase por A. do el lápiz sobre el borde del otro cateto, se traza la recta correspondiente. 24\nTaller movimiento en linea recta\nLa totalmente necesaria


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Armando Refrigeracion - Capital Federal\nArmando Refrigeracion Armando Refrigeracion\nInformación sobre Armando Refrigeracion\nArmando refrigeracion es una empresa familiar que se dedica a la reparacion de heladeras familiares y comerciales. Aire acondcionado residencial y comercial. Ventas de equipamientos.\nUn cliente conforme son 10 clientes mas en el futuro. Un cliente desconforme son 20 clientes menos en el futuro.\nEs una empresa familiar que nacio con la reparacion de heladeras familiares y comerciales. Luego de un tiempo incorporamos la reparacion de aires acondicionado , instalacion y ventas.\nTenemos experiencia en la reparacion de heladeras familiares, comerciales, camaras y murales de frio. En aire acondicionado en reparacion e instalacion de split, equipos centrales . Realizamos varios trabajos de reparacion en grandes supermercado tales como dia coto norte eki. Tambien obras de aire acondicionado. En la actualidad atendemos a laboratorios del hospital italiano.\nUn promedio 300 trabajos. Cobramos la revisacion si no se realiza el trabajo.\nEn todos los que tenga que ver con la refrigeracion y aire acondicionado.\nConfianza y reaponsabilidad. Por lo general trabajamos por recomendación.\nGarantia por escrito. Mi negocio es que no me llamen por reclamo. Pero si para realizar otro trabajo.\nEfectivo y mercado pago.\nJuan carlos Gomez 75, C1282, Capital Federal, Capital Federal\nZonas de servicio de Armando Refrigeracion (Capital Federal)


Cómo tomar unas vacaciones con presupuesto - Libre de Obsolescencia Programada\nNunca ha habido un mejor momento para ahorrar dinero en sus vacaciones que ahora. La economía ha puesto la presión sobre el gasto de los hogares y ha obligado a la mayoría de las compañías en la industria de viajes a ofrecer ahorros significativos en coches de alquiler, vuelos, hoteles y paquetes de viaje. No es difícil guardar un paquete en su próximo viaje siguiendo estos sencillos pasos:\nViaje fuera de temporada: Obviamente, hacer un viaje a Disney World en Pascua será más caro que ir en septiembre cuando los niños regresen a la escuela. Averigüe cuáles son las temporadas alta y baja para su destino deseado y viaje lo más cerca posible de la temporada baja para obtener las mejores ofertas.\nTrae un grupo: A menudo, planear un viaje a algún lugar exótico lejano puede ser barato o incluso gratuito para ti si traes un grupo. Muchas compañías te darán el décimo viaje gratis si reservas 9. Así que, llama a tus amigos, planea un viaje en grupo y ahorra.\nComa en grandes cantidades en el almuerzo: Haga del almuerzo su gran comida y coma un bocadillo para la cena, esto puede ahorrarle cientos de dólares durante todo el viaje, ya que la mayoría de los restaurantes ofrecen un menú de almuerzo mucho más barato.\nRegístrese con aerolíneas y compañías de viajes: Obtener en la lista de correo electrónico de la mayoría de las aerolíneas y compañías de viajes le proporcionará acceso a todos sus descuentos y cupones. Estos descuentos y cupones le ofrecerán algunas de las mejores ofertas en viajes.\nEmpaque ligero: La mayoría de las aerolíneas le están cobrando por facturar su equipaje. Estos cargos pueden ser tan altos como $50 por bolsa. Verifique la política de equipaje de la aerolínea por adelantado y asegúrese de que está considerando estos cargos no sólo al reservar su vuelo, sino también al hacer las maletas para su viaje. A menudo, un bolso de mano es suficiente.\nReserve su viaje con mucha antelación o en el último minuto: Para la personalidad de planificación, reserve su viaje con 6 meses o más de anticipación para obtener una muy buena tarifa en su viaje y aún así tener el 100% de control sobre la ubicación, horarios, días, y así sucesivamente. Sin embargo, si realmente desea las mejores ofertas de viajes y está dispuesto a ser flexible, reserve su viaje en el último minuto. La mayoría de las compañías de viajes prácticamente regalarán viajes para llenar asientos y habitaciones. Necesitarás ser un poco aventurero y mantener una mente abierta ya que tus opciones serán más limitadas cuando hagas tu reservación de último minuto.\nLo más importante es trabajar con un agente de viajes de buena reputación: Aunque las ofertas en línea pueden ser buenas a veces, los estudios han demostrado que un agente de viajes puede ofrecer o incluso superar esas mismas ofertas. Además, usted obtiene conocimiento experto en viajes, reservaciones, y quizás hasta en la aerolínea u hotel que esté considerando. Este conocimiento puede ser invaluable para usted. También hay un experto listo para responder cualquier pregunta o ayudarle si tiene un problema. Más información, mejor servicio, a un precio más barato – ¡ahora eso es lo que usted puede llamar valor!


ESTEROIDES DAÑARÍAN LA CAPACIDAD DE BOMBEO DEL CORAZÓN, NOTICIA\nEl uso a largo plazo de esteroides anabólicos debilita el corazón más de lo que se pensaba, según un nuevo estudio de levantadores de pesas.\n“Han habido suposiciones mezcladas, pero muy pocos estudios científico directo, sobre lo que le sucede al corazón cuando es expuesto a un esteroide anabólico, y nada sobre lo que sucede con el uso crónico”, apuntó Baggish.\n“El mito común es que los esteroides hacen que el corazón se agrande mucho”, dijo Baggish. “Eso no fue lo que vimos”.\n“El número de personas en el estudio era pequeño, y hay que estudiar el tema en ensayos de mayor tamaño, pero los datos de este estudio piloto sugieren que el uso de esteroides predispone a las personas a la insuficiencia cardiaca”, aseguró Baggish.\nSin embargo, a partir de este estudio no está claro cuánto tiempo se debe usar esteroides para que causen ese daño cardiaco, apuntó Baggish. “Varios estudios pequeños de duración más corta encontraron daño sólo en la relajación del corazón, pero no en la contracción”, dijo. “A medida que continúa el uso, se desarrolla toxicidad”.\nY anotó que han habido “muchos informes de casos de horribles eventos vasculares por el uso a corto plazo”.\nBaggish comentó que espera repetir el estudio con un grupo mayor de participantes para confirmar los hallazgos. Mientras tanto, aseguró, “cuando se considera en conjunto todos los sistemas orgánicos para los cuales los esteroides resultan nocivos, y el corazón es apenas un órgano importante, la recomendación lógica es que el uso de esteroides es totalmente negativo, para propósitos cosméticos o atléticos”.