matemática en el marco\nLA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS\nEsteban Rodríguez / Gerson Rivera / Jesús Reynalte\n1.\tDefinición de la competencia según PISA 2015 .............................................................. 7\n2.\tMedición de la competencia según PISA 2015 ............................................................... 9\n2.1\tProcesos matemáticos y capacidades matemáticas subyacentes ........................... 9\n2.2\tCapacidades matemáticas fundamentales ............................................................ 14\n2.3\tConocimiento matemático específico que se utilizará\nen las preguntas de la prueba ............................................................................... 15\n2.3.1\tCambio y relaciones...................................................................................... 16\n2.3.2\tEspacio y forma............................................................................................. 16\n2.3.3\tCantidad........................................................................................................ 17\n2.3.4 Incertidumbre y datos................................................................................... 18\n2.4\tContenidos temáticos que guían la evaluación de la competencia matemática...... 19\n2.5\tLos contextos en los que se insertarán las preguntas de la prueba ...................... 21\n2.6\tEstructura de la prueba de matemática de PISA 2015 .......................................... 22\n3.\tNiveles de la competencia según PISA 2015 ................................................................ 24\n3.1\t¿En qué situación están nuestros estudiantes según el proceso\nde evaluación PISA 2012? ..................................................................................... 25\n3.2 Relación entre las capacidades fundamentales y los niveles de competencia ...... 26\n4.\tFormato de la prueba PISA 2015 para la competencia de matemática ........................ 29\n4.1\tTransición de los ítems en papel a los ítems en computadora .............................. 31\n4.2\tUso de la calculadora en la prueba ....................................................................... 35\n5.\tDiferencias y similitudes con marcos teóricos anteriores ............................................ 36\n6.\tArticulación de la competencia de matemática según PISA 2015\ncon las Rutas del Aprendizaje ....................................................................................... 37\n7.\tRecomendaciones pedagógicas para el desarrollo de la competencia\nmatemática en el marco de la evaluación PISA ............................................................ 39\nAnexo 1: Análisis de algunas preguntas liberadas de la evaluación PISA .......................... 42\nAnexo 2: Algunas preguntas liberadas en su versión electrónica ...................................... 49\nReferencias ........................................................................................................................ 56\n1. Definición de la competencia\nsegún PISA 2015\nLa definición de la competencia matemática para los propósitos de la evaluación PISA 2015 es\n¿Qué aspectos relevantes para nuestra práctica pedagógica podríamos identificar en\nLo primero que llama la atención es la ausencia de la expresión “resolución de problemas” con\nla que estamos habituados. No porque resulte irrelevante. Por el contrario, en la definición de\ncompetencia matemática de PISA, el proceso de resolver un problema es descrito con base en\ntres procesos básicos denominados formular, emplear e interpretar. Estos términos tienen\nun sentido muy preciso en este marco teórico y resulta pertinente profundizar en ellos para\ncomprender mejor este marco.\nLo segundo es que se enfatiza el uso de la matemática en una variedad de contextos.\nPrecisamente, esta será una variable fundamental al momento de elaborar las preguntas con\nlas que se evalúa en PISA. En dicho marco son cuatro los contextos escogidos para evaluar la\ncompetencia matemática: personal, profesional, social y científico.\nen distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y la utilización de\nconceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir,\nexplicar y predecir fenómenos. Ayuda a los individuos a reconocer el papel que\nlas matemáticas desempeñan en el mundo y a emitir los juicios y las decisiones\nbien fundadas que los ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos\nPara comprender mejor cómo se relacionan estas variables, PISA presenta un esquema que\nmuestra cómo la competencia matemática se desenvuelve en la práctica.\nLa figura 1 muestra cómo el concepto de competencia matemática tiene lugar en un contexto de\nEl recuadro exterior muestra los desafíos que el mundo real plantea, los mismos que pueden\nser caracterizados por dos variables o categorías, el contexto y el contenido. De esa manera\nuna persona se enfrentará a situaciones problemáticas surgidas en el mundo real que pueden\ncaracterizarse como de contexto personal, social, ocupacional y científico; cuyos contenidos\npueden categorizarse como relativos a cantidad, espacio y forma, cambio y relaciones o\nincertidumbre y datos.\nEn lo que respecta al resolutor y los recursos que debe movilizar al enfrentarse a un problema\ncontextualizado, se distinguen el uso de conceptos, conocimientos, capacidades y los tres\nprocesos mencionados anteriormente (formular, emplear e interpretar).\nEl primer proceso denominado” formular” supone la transformación de un problema del mundo\nreal a uno matemático.\nEl segundo proceso denominado “emplear” supone el uso de conceptos, capacidades y\nestrategias para la resolución del problema matemático antes formulado.\nFinalmente, el proceso denominado “interpretar” implica que los resultados matemáticos\nantes obtenidos deben interpretarse para dar respuesta al problema original. En ese sentido,\ncorresponde a una fase en la que es necesario pasar de “resultados matemáticos” a “resultados\nen contexto” que respondan al problema del mundo real que originó todo el proceso.\nFig. 1. Un modelo de competencia matemática en la práctica\nCategorías de contenidos matemáticos: cantidad; incertidumbre y datos; cambio relaciones, y\nCategoría de contexto del mundo real: personal, social, profesional y científico. (Si profesional y\ncientífico son categorías independientes)\nConceptos, conocimientos y destrezas matemáticas\nCapacidades matemáticas fundamentales: comunicación; representación; diseño de\nestrategias, matematización; razonamiento y argumentación; utilización de operaciones\ny de un lenguaje formal y técnico y utilización de herramientas matemáticas.\nProcesos: formular, emplear, interpretar/valorar.\nDesafío en el contexto del mundo real\nPensamiento y acción matemática\n2. Medición de la competencia\nPara la evaluación de la competencia matemática PISA 2015, que mantiene la definición de\ncompetencia matemática: los procesos y capacidades matemáticas, los contenidos matemáticos\ny los contextos. Es decir, cada una de las preguntas de la evaluación se ha construido de manera\nque reflejan el rango de procesos, contenidos y contextos además; hacen operativa la definición\nde competencia matemática. Este modelo se puede representar mediante el siguiente esquema:\nFig. 2. Dimensiones de la competencia\n2.1 Procesos matemáticos y capacidades matemáticas subyacentes\nLa definición de la competencia matemática hace referencia a la capacidad de las personas\npara formular, emplear e interpretar las matemáticas. Estas tres palabras proporcionan una\nestructura útil y significativa para organizar los procesos matemáticos que describen lo que hacen\nlas personas para relacionar el contexto de un problema con las matemáticas y, de este modo,\nresolverlo. Las preguntas de la evaluación de matemáticas de PISA 2015 serán asignadas tal\ncomo se hizo por primera vez en PISA 2012, a uno de dichos procesos matemáticos mencionados\nanteriormente. Ello no implica que cada pregunta esté asociada a un único proceso. Por el\ncontrario, dos o más procesos suelen concurrir en una pregunta. Sin embargo, para efectos de\ncategorizar a las preguntas se escoge aquel que más se enfatiza en cada una de ellas.\n¿Qué debemos entender por “formular”?\nLa palabra “formular” en la definición de la competencia matemática hace referencia a la\ncapacidad de las personas de reconocer e identificar oportunidades para usar matemáticas y luego\nproporcionar una estructura matemática a un problema presentado en forma contextualizada. En\nel proceso de formulación matemática de las situaciones, las personas determinan dónde pueden\nemplear las matemáticas esenciales para analizar, plantear y resolver el problema. Realizan la\ntraducción de una situación del mundo real al ámbito de las matemáticas, con lo cual dotan de una\nestructura, representación y especificidad matemática al problema de contexto real. Ejemplo:\nUna gigante rueda de la fortuna se encuentra al lado del río. Mira la foto y el\ndiagrama presentados a continuación.\nLa rueda de la fortuna tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más\nalto está a 150 metros por encima y a un lado del cauce del río Támesis. Esta gira\nen el sentido indicado por las flechas.\n¿Por qué este ítem corresponde al proceso “formular”?\nAntes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el problema anterior; si ya lo\nhizo, ignore este párrafo.\n¿Necesitó toda la información? O, por el contrario, ¿tuvo que seleccionar solo aquella que\nresultaba necesaria? ¿Qué información fue esa? ¿Cómo utilizó dicha información? ¿Utilizó el\ngráfico? ¿Modificó alguna parte del gráfico?\nAun cuando haya otros procesos involucrados este ítem corresponde a la categoría “formular”.\nEllo porque es el estudiante quien tiene que distinguir qué información del contexto requiere\nser expresada en forma matemática. Expresar algo en forma matemática no significa\nnecesariamente escribir una ecuación. El gráfico que acompaña el ítem, y que seguramente\nmodificó parcialmente para llegar a la respuesta, es una manera de expresar una situación real\nde un modo matemático. A dicha representación se denomina “modelo” matemático y al acto\nde elaborar uno a partir de un problema real se denomina “modelizar”. Una ecuación es también\nuna forma de modelización, pero no la única. Los esquemas y gráficos son modelos tan legítimos\ny útiles como las ecuaciones.\n¿Qué debemos entender por “emplear”?\ndel individuo para aplicar conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos en\nla resolución de problemas formulados matemáticamente con el fin de llegar a conclusiones\nmatemáticas. En el proceso de empleo de conceptos, datos, procedimientos y razonamientos\nmatemáticos para resolver problemas, las personas ejecutan los procedimientos matemáticos\nLa rueda de la fortuna gira a una velocidad constante. La rueda da una vuelta\ncompleta en exactamente 40 minutos.\nJuan comienza su paseo en la rueda de la fortuna en el punto de embarque, P.\n¿Dónde estará Juan después de media hora?\nA.\tEn R.\nB.\tEntre R y S.\nC.\tEn S.\nD.\tEntre S y P.\nnecesarios para obtener resultados y encontrar una solución matemática (p. ej.: realizan\ncálculos aritméticos, resuelven ecuaciones, realizan deducciones lógicas a partir de supuestos\nmatemáticos, llevan a cabo manipulaciones simbólicas, extraen información matemática de\ntablas y gráficos, representan y manipulan formas en el espacio, y analizan datos). Además, sobre un modelo de la situación del problema, establecen regularidades, identifican relaciones\nentre entidades matemáticas y elaboran argumentos matemáticos.\nElena fue en bicicleta desde su casa hasta el río que está a 4 km de distancia.\nEl viaje le tomó 9 minutos. Luego, volvió a casa montando su bicicleta por una\nruta más corta (de 3 km de longitud) que solo le tomó 6 minutos. ¿Cuál fue la\nvelocidad promedio de Elena en km/h para el trayecto de ida y vuelta a su casa?\nVelocidad promedio del trayecto: ……….km/h\n¿Por qué este ítem corresponde al proceso “emplear”?\nComo en el caso anterior, antes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el\nproblema anterior; si ya lo hizo, ignore este párrafo.\nSeguramente, usted ha debido realizar algún dibujo o esquema para comprender mejor el\nproblema. Sin embargo, el dibujo por sí mismo no permite calcular la velocidad promedio.\nEs necesario, en principio, haber construido ese concepto y, lo más importante, poder emplearlo.\n¿Qué debemos entender por “interpretar”?\nEl término “interpretar”, utilizado en la definición de competencia matemática, se centra en la\ncapacidad del individuo para reflexionar sobre soluciones, resultados o conclusiones matemáticas e\n“interpretarlas” en el contexto de los problemas de la vida real. Esto implica traducir las soluciones\nmatemáticas o razonar de nuevo sobre el contexto del problema y determinar si los resultados son\nrazonables y si tienen sentido en dicho contexto. Esta categoría de proceso matemático incluye\ntanto la flecha “interpretar” como la flecha “valorar” representadas en el modelo de competencia\nproceso pueden ser llamados a elaborar y comunicar explicaciones y argumentos en el contexto del\nproblema, reflexionando tanto en el proceso de construcción del modelo como en sus resultados.\nVillazed está considerando construir algunas estaciones de energía\neólica para producir electricidad. El Gobierno de Villazed recabó\ninformación acerca del siguiente modelo:\tModelo: E-82\nAltura de la torre: 138 metros\nNúmero de aspas del rotor: 3\nLongitud de un aspa del rotor: 40 metros\nMáxima velocidad de rotación: 20 rotaciones por minuto\nCosto de construcción: 3 200 000 zeds\nUtilidad: 0,10 zeds por kWh generado\nCosto de mantenimiento: 0,01 zeds por kWh generado\nEficiencia: opera el 97 % del año\nNota: kilowatt hora (kWh) es una medida de la energía eléctrica.\tPregunta PM922Q01\nDetermina si las siguientes afirmaciones acerca de la estación de energía eólica E-82 se\npueden deducir de la información brindada. Encierra en un círculo “Sí” o “No” en cada\n¿Se puede deducir esta afirmación\nLa construcción de 3 estaciones de energía eólica\ncostará más de 8 000 000 zeds en total.\nEl costo de mantenimiento de la estación de energía\neólica corresponde, aproximadamente, al 5 % de su\neólica depende de la cantidad de kWh generados.\nEn exactamente 97 días por año, la estación de\nenergía eólica no estará operativa.\n¿Por qué este ítem corresponde al proceso “interpretar”?\nComo en el primer caso, antes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el\nproblema presentado; si ya lo hizo, ignore este párrafo.\nSeguramente, como en el proceso “formular”, para responder a cada pregunta ha debido\nseleccionar la información pertinente. Sin embargo, lo que aquí se pretende es la tarea de evaluar,\nvalorar y argumentar determinadas afirmaciones. La tarea se convierte en una actividad donde\nla capacidad de comprender el texto y deducir conclusiones a partir de él es clave. Precisamente\npor ello, esta pregunta recae en la categoría “interpretar”. Una situación problemática con\nenunciado verbal no es el único tipo de pregunta en esta categoría. La interpretación de gráficos\nestadísticos, infografías o información expresada en cualquier otro soporte corresponde a esta\n2.2 Capacidades matemáticas fundamentales\nLas siete capacidades matemáticas fundamentales usadas en este marco son las siguientes:\nMatematización. Esta capacidad permite transformar un problema definido en el mundo real\nen una forma propiamente matemática (que puede incluir la estructuración, conceptualización,\nelaboración de suposiciones o formulación de un modelo). Es también interpretar o valorar un\nresultado o un modelo matemático con relación al problema original.\nComunicación. Esta capacidad implica la lectura, decodificación e interpretación de enunciados,\npreguntas, tareas u objetos para formar un modelo mental de la situación, que es un paso\nimportante para la comprensión, clarificación y formulación de un problema. Durante el proceso\nde solución, puede ser necesario resumir y presentar los resultados intermedios. Posteriormente,\nuna vez encontrada la solución, la persona que resuelve el problema puede presentarla a otros\ny tal vez dar una explicación o justificación.\nRepresentación. Esta capacidad implica la selección, interpretación, traducción y utilización de\ndistintas representaciones para reflejar una situación, interactuar con un problema o presentar\nel propio trabajo. Las representaciones pueden ser gráficos, tablas, diagramas, imágenes,\necuaciones, fórmulas o materiales concretos.\nRazonamiento y argumentación. Esta capacidad implica procesos de pensamiento arraigados\nen forma lógica que exploran y conectan los elementos del problema para realizar inferencias\na partir de ellos, comprobar una justificación dada o proporcionar una justificación de los\nenunciados o soluciones de los problemas.\nDiseño de estrategias para resolver problemas. Esta capacidad implica un conjunto de procesos\nde control fundamentales que guían a la persona para que reconozca, formule y resuelva\nproblemas eficazmente. Se caracteriza por la selección o diseño de un plan o estrategia cuyo\nfin es utilizar las matemáticas para resolver los problemas derivados de una tarea o contexto,\nademás de guiar su implementación. Esta capacidad puede ser requerida en cualquier etapa del\nUtilización de herramientas matemáticas1\n. Esta capacidad implica el uso de herramientas físicas,\ncomo los instrumentos de medición, además de calculadoras y herramientas informáticas, que\nson cada vez más accesibles. En esta capacidad están implicados el conocimiento y la habilidad\npara el uso de distintas herramientas que pueden favorecer la actividad matemática, así como\nel conocimiento de sus limitaciones. Asimismo, las herramientas matemática pueden jugar un\npapel crucial en la comunicación de los resultados.\nUtilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. Esta capacidad implica\nla comprensión, interpretación, manipulación y utilización de expresiones simbólicas en\nun contexto matemático (incluidas las expresiones y operaciones aritméticas) regido por\nconvenciones y reglas matemáticas. También supone la comprensión y utilización de constructos\nformales basados en definiciones, reglas y sistemas formales, así como el uso de algoritmos\ncon estas entidades. Los símbolos, las reglas y los sistemas empleados varían en función de los\nconocimientos concretos de contenido matemático que se requieren en un ejercicio específico\npara formular, resolver e interpretar las matemáticas.\n2.3 Conocimiento matemático específico que se utilizará en las\nLa comprensión de contenidos matemáticos y la capacidad para aplicar estos conocimientos\nen la resolución de problemas contextualizados son consideradas de suma importancia para el\nciudadano actual. Con estas cuatro categorías, pueden organizarse los contenidos matemáticos\nde modo que se garanticen la diversidad de preguntas de toda el área como el planteamiento de\nproblemas matemáticos ricos y desafiantes basados en situaciones reales.\nSi bien esta clasificación por categorías de contenidos es importante para la elaboración y\nselección de las preguntas y la comunicación de los resultados, hay preguntas en la prueba que\nimplican más de una categoría de contenido; por ejemplo, la pregunta LA PIZZA, planteada en\nel anexo del presente documento, implica contenidos de medición, cuantificación y cambio y\n1\tEn algunos países, las “herramientas matemáticas” pueden referirse también a los procesos matemáticos establecidos, como\nlos algoritmos. Para los propósitos del marco PISA, se refieren solamente a las herramientas físicas y digitales descritas en esta\nA continuación se describen los conocimientos de contenido matemático que caracterizan las\ncategorías Cambio y relaciones, Espacio y forma, Cantidad, e Incertidumbre y datos.\n2.3.1 Cambio y relaciones\nEl mundo natural y artificial muestran una multitud de relaciones temporales y permanentes\nentre los objetos y circunstancias, donde los cambios ocurren dentro de los sistemas de objetos\nrelacionados entre sí o en circuntancias donde los elementos se influyen mutuamente. En\nmuchos casos, estos cambios ocurren en el tiempo, y en otros casos, los cambios en un objeto\no cantidad se relacionan con los cambios en otro. Algunas de estas situaciones experimentan\ncambios discretos, otros cambian continuamente. Algunas relaciones son de naturaleza\npermanente o invariante. Ser más alfabetizados en cambio y relaciones supone comprender\nlos tipos fundamentales de cambio y reconocer cuándo se producen, con el fin de utilizar los\nmodelos matemáticos adecuados para describirlos y predecirlos. Matemáticamente, esto\nsignifica modelar el cambio y relaciones con las funciones apropiadas y las ecuaciones, así como\ncrear, interpretar y traducir entre representaciones simbólicas y gráficas de las relaciones.\nLa categoría cambio y relaciones se evidencia en diversas situaciones como el crecimiento de\nlos organismos, la música, el ciclo de estaciones, los patrones climáticos, los niveles de empleo y\nlas condiciones económicas. Aspectos de contenido matemático tradicional como las funciones\ny el álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, representaciones\ntabulares y gráficas, son fundamentales para describir, modelar e interpretar fenómenos de\nLa evaluación electrónica de matemáticas de PISA 2015 hace que sea posible presentar a los\nestudiantes imágenes dinámicas, representaciones múltiples que están conectadas en forma\ndinámica, y la oportunidad de manipular funciones. Por ejemplo, el cambio a lo largo del\ntiempo (como el crecimiento o el movimiento), puede reproducirse directamente mediante\nanimaciones y simulaciones, y representarse por medio de funciones, gráficos y tablas de\ndatos afines. El descubrimiento y la utilización de modelos matemáticos de cambio aumentan\ncuando el sujeto puede explorar y describir el cambio mediante programas informáticos que\npermitan representar funciones gráficamente, manipular parámetros, elaborar tabla de valores,\nexperimentar con relaciones geométricas, organizar y representar datos, y realizar cálculos\ncon fórmulas. La capacidad de las hojas de cálculo y las aplicaciones gráficas para trabajar con\nfórmulas y representar datos tienen especial relevancia.\n2.3.2 Espacio y forma\nEspacio y forma abarca una amplia gama de fenómenos que se encuentran en todas partes en\nnuestro mundo visual y físico: patrones, propiedades de objetos, posiciones y orientaciones,\nrepresentaciones de objetos, decodificación y codificación de la información visual, navegación\ne interacción dinámica con formas reales, así como con las representaciones. La geometría sirve\ncomo un fundamento esencial para el espacio y la forma, pero la categoría se extiende más\nallá de la geometría tradicional en contenido, significado y método, basándose en elementos\nde otras áreas matemáticas, tales como la visualización espacial, la medición y el álgebra. Por\nejemplo, las formas pueden cambiar, y un punto puede moverse a lo largo de un lugar geométrico,\nrequiriéndose, por tanto, el concepto de función. Fórmulas de medición son fundamentales\nen esta área. La manipulación y la interpretación de las formas en entornos que requieren\nherramientas que van desde el software de geometría dinámica al software del sistema de\nposicionamiento global (GPS, por sus siglas en inglés) se incluyen en esta categoría de contenido.\nPISA presupone que la comprensión de un conjunto de conceptos básicos y habilidades básicas\nes importante para la competencia matemática relativa a espacio y forma. La competencia\nmatemática en esta área de espacio y forma incluye una serie de actividades tales como la\ncomprensión de la perspectiva (por ejemplo en pinturas), la elaboración y lectura de mapas, la\ntransformación de las formas con o sin tecnología, la interpretación de vistas tridimensionales\ndesde diferentes perspectivas y la construcción de las representaciones de las formas.\nLa evaluación electrónica de PISA 2015 ofrece a los estudiantes la oportunidad de manipular\nen tres dimensiones, que prácticamente se puedan rotar para crear una imagen mental exacta.\nLos estudiantes pueden trabajar con mapas donde los zums y las rotaciones son posibles para\nconstruir la imagen mental de un lugar y utilizar estas herramientas para facilitar la planificación\nde las rutas. Pueden elegir y usar herramientas virtuales para realizar mediciones (p. ej.: de\nángulos y segmentos) sobre los planos, imágenes y modelos, y utilizar los datos en los cálculos.\nLa tecnología permite a los estudiantes integrar conocimientos de geometría con información\nvisual para construir un modelo mental preciso. Por ejemplo, para obtener el volumen de una\ntaza, una persona podría manipular la imagen para determinar que se trata de un cono truncado,\npara identificar la altura perpendicular y dónde puede medirse, y para establecer que lo que\nparecen elipses en la parte superior e inferior de una imagen bidimensional son realmente\ncírculos en el espacio tridimensional.\nLa noción de cantidad puede ser el aspecto matemático más esencial y extendido de relacionarse\ncon el funcionamiento de nuestro mundo. Incorpora la cuantificación de los atributos de los\nobjetos, las relaciones y entidades en el mundo, interpretando distintas representaciones de esas\ncuantificaciones, y juzgando interpretaciones y argumentos basados en la cantidad. Participar en\nla cuantificación supone comprender las mediciones, los cálculos, las magnitudes, las unidades,\nlos indicadores, el tamaño relativo, las tendencias y los patrones numéricos. Aspectos del\nrazonamiento cuantitativo —como el sentido del número, las múltiples representaciones de\néstos, el cálculo mental, la estimación y la evaluación de la razonabilidad de los resultados—\nconstituyen la esencia de la competencia matemática relativa a la cantidad.\nLa cuantificación es el método más importante para describir y medir un vasto conjunto de\natributos de los aspectos del mundo. Permite construir modelos de las situaciones, examinar el\ncambio y las relaciones, describir y manipular el espacio y la forma, organizar e interpretar datos\ny medir y evaluar la incertidumbre. Por tanto, la competencia matemática de cantidad aplica\nlos conocimientos del número y las operaciones numéricas a una amplia variedad de contextos.\nLa evaluación electrónica ofrece a los estudiantes la oportunidad de aprovechar la enorme\ncapacidad de cálculo de la tecnología moderna. Es importante señalar que, si bien la tecnología\npuede librar al individuo del peso de los cálculos y liberar algunos recursos cognitivos para\ncentrarse en el significado y la estrategia a la hora de resolver problemas, esto no quita que los\nindividuos matemáticamente competentes deban seguir teniendo una comprensión profunda\nde las matemáticas. Una persona que carezca de dicha comprensión puede, en el mejor de los\ncasos, utilizar la tecnología solo para tareas rutinarias, lo que no es coherente con la definición de\ncompetencia matemática de PISA 2012. Además, la integración de la tecnología en la evaluación\nelectrónica opcional permite incluir preguntas que requieren unos niveles de cálculo numérico y\nestadístico imposibles de realizar en forma escrita.\n2.3.4 Incertidumbre y datos\nEn ciencia, tecnología y la vida cotidiana, la incertidumbre es un hecho probado. Por tanto,\nla incertidumbre es un fenómeno que se encuentra en el corazón del análisis matemático de\nmuchas situaciones problemáticas, y la teoría de la probabilidad y la estadística, así como las\ntécnicas de representación y descripción de datos, se han establecido para darles respuesta a\nestas situaciones. La categoría de contenido incetidumbre y datos, incluye el reconocimiento del\nlugar de la variación en los procesos, la posesión de un sentido de cuantificación de esa variación,\nla admisión de la incertidumbre y el error en las mediciones y los conocimientos sobre el azar.\nAsimismo, comprende la elaboración, interpretación y valoración de las conclusiones extraídas\nde situaciones donde la incertidumbre es fundamental. La presentación e interpretación de\ndatos son conceptos clave en esta categoría (Moore, 1997).\nHay incertidumbre en las predicciones científicas, los resultados electorales, las predicciones\nmeteorológicas y los modelos económicos. Existe variación en los procesos de fabricación, las\npuntuaciones de los exámenes y los resultados de las encuestas y el azar es esencial en muchas\nde probabilidad y estadística ofrecen los medios formales para describir, modelar e interpretar\nuna determinada clase de fenómenos relativos a la incertidumbre y realizar inferencias. Además,\nel conocimiento del número y de aspectos del álgebra, como los gráficos y las representaciones\nsimbólicas, facilita la participación en problemas de esta categoría de contenido.\nLa evaluación electrónica proporciona a los estudiantes la oportunidad de trabajar con series\nmás grandes de datos y la capacidad de cálculo y manejo de datos que necesitan para trabajar\ncon dichas series. Asimismo, se les da la oportunidad de elegir las herramientas adecuadas\npara manipular, analizar y representar datos y tomar muestras de poblaciones de datos. Las\nrepresentaciones afines permiten a los estudiantes examinar y describir esos datos de diferentes\nmaneras. La capacidad para generar resultados aleatorios, incluidos números, permite examinar\nmediante simulaciones las situaciones probabilísticas, como la probabilidad empírica de los\nsucesos y las propiedades de las muestras.\n2.4 Contenidos temáticos que guían la evaluación\nPara comprender y resolver eficazmente problemas contextualizados que implican cambio y\nrelaciones, espacio y forma, e incertidumbre y datos, es necesario recurrir a diversos conceptos,\nprocedimientos, datos y herramientas matemáticas, pero a un nivel adecuado de profundidad\ny sofisticación. Al ser una evaluación de la competencia matemática, PISA trata de evaluar\nlos niveles y los tipos de matemáticas que son apropiadas para estudiantes de 15 años en su\ntrayectoria para convertirse en ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos, capaces\nde emitir juicios y decisiones bien fundadas. También se da el caso de que PISA, no es ni pretende\nser una evaluación de currículo, intenta reflejar las matemáticas que los estudiantes han tenido\nprobablemente la oportunidad de aprender hasta los 15 años de edad.\nCon la intención de desarrollar una evaluación que sea innovadora y que, a la vez, sea el reflejo\nde las matemáticas que los estudiantes de 15 años han tenido seguramente la oportunidad de\naprender, se analizó una muestra de estándares de aprendizaje de matemáticas de once países\ncon el fin de determinar lo que se enseña en las clases de matemáticas de todo el mundo y\ntambién lo que los países creen que es una preparación realista e importante para los estudiantes\na medida que se aproxima su incorporación al mercado laboral o su admisión en un centro de\neducación superior. Tomando como base los elementos comunes identificados en estos análisis\ny las opiniones de los expertos en matemáticas, se describe el contenido que se considera\napropiado para incluir en la evaluación de la competencia matemática de los estudiantes de 15\naños en PISA 2012.\nLas cuatro categorías de contenido —cambio y relaciones, espacio y forma, cantidad, e\nincertidumbre y datos— sirven de base para identificar esta diversidad de contenido, aunque no\nel razonamiento proporcional entra en juego en contextos tan dispares como la realización de\nconversiones de medidas, el análisis de las relaciones lineales, el cálculo de probabilidades y\nel examen de las longitudes de los lados de formas similares. El siguiente contenido pretende\nreflejar la importancia de muchos de estos conceptos para las cuatro categorías de contenido y\nreforzar la coherencia de las matemáticas como disciplina. Su intención es ilustrar los temas de\ncontenido incluidos en PISA 2015, más que ser un listado exhaustivo: Funciones: el concepto de función, enfatizando p funciones lineales (pero sin limitarse a ellas),\nsus propiedades y la variedad de sus descripciones y representaciones. Las representaciones\nutilizadas normalmente son verbales, simbólicas, tabulares y gráficas.\nExpresiones algebraicas: interpretación verbal y manejo de expresiones algebraicas que incluyen\nnúmeros, símbolos, operaciones aritméticas, potencias y raíces simples.\nEcuaciones y desigualdades: ecuaciones lineales y afines y desigualdades, ecuaciones simples\nde segundo grado y métodos de resolución analíticos y no analíticos.\nSistemas de coordenadas: representación y descripción de datos, posición y relaciones.\nRelaciones en y entre objetos geométricos en dos y tres dimensiones: relaciones estáticas\ncomo las conexiones algebraicas entre elementos de las figuras (p. ej.: el teorema de Pitágoras,\nal definir la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo), la posición\nrelativa, la semejanza y congruencia, y las relaciones dinámicas que implican la transformación\ny el movimiento de objetos, así como las correspondencias entre los objetos bidimensionales y\nMedida: cuantificación de las características de y entre las formas y objetos, como las medidas\nde los ángulos, la distancia, la longitud, el perímetro, la circunferencia, el área y el volumen.\nNúmeros y unidades: conceptos; representaciones de los números y sistemas numéricos,\nincluidas las propiedades de los números enteros y racionales; los aspectos relevantes de los\nnúmeros irracionales; así como las cantidades y unidades que hacen referencia a fenómenos\ncomo el tiempo, el dinero, el peso, la temperatura, la distancia, el área y el volumen, y las\ncantidades derivadas y su descripción numérica.\nOperaciones aritméticas: la naturaleza y propiedades de estas operaciones y las convenciones\nde notación relativas a ellas.\nPorcentajes, ratios y proporciones: descripción numérica de la magnitud relativa y aplicación de\nlas proporciones y el razonamiento proporcional en la resolución de problemas.\nPrincipios de cálculo: combinaciones y permutaciones simples.\nEstimación: aproximación de las cantidades y expresiones numéricas atendiendo a su función,\nincluidas las cifras significativas y el redondeo.\nRecogida, representación e interpretación de datos: naturaleza, génesis y recogida de distintos\ntipos de datos y las diferentes formas de representarlos e interpretarlos.\nVariabilidad y descripción de datos: conceptos como la variabilidad, distribución y tendencia\ncentral de series de datos y las formas de describirlos e interpretarlos en términos cuantitativos.\nMuestras y muestreo: conceptos de muestreo y muestreo de poblaciones de datos, incluidas las\ninferencias simples basadas en las propiedades de las muestras.\nAzar y probabilidad: noción de sucesos aleatorios, las variaciones aleatorias y su representación,\nel azar y la frecuencia de los sucesos y los aspectos básicos del concepto de probabilidad.\n2.5 Los contextos en los que se insertarán las preguntas\nLa introducción de los contextos como eje organizador del currículo es la contribución más\ninteresante, desde el punto de vista del diseño curricular, que aporta el denominado “currículo\npor compentencias” (Goñi, 2008). Es decir, hay que desarrollar las competencias matemáticas\nque sean precisas para poder integrarse de manera plena y activa en estos contextos.\nLas competencias implican la movilización e intergracion de capacidades, conocimientos y\nactitudes. Esta movilización solo es pertinente cuando está contextualizada y cada competencia\ndepende de la situación particular en la que es requerida (Perrenoud, 2004). Por ello, es\nnecesario que las actividades de evaluación recreen estos contextos particulares en los que una\ndeterminada competencia tenga sentido.\nUn aspecto importante de la competencia matemática es el uso de las matemáticas en la\nresolución de problemas planteados en un contexto determinado. El contexto es el aspecto del\nmatemáticas adecuadas depende normalmente del contexto en el que se presenta el problema.\na quien resuelve problemas (Watson y Callinghan, 2003).\nPara PISA es importante la utilización de una amplia variedad de contextos, que ofrece la\nposibilidad de conectar con una gama más amplia posible de intereses personales y el abanico\nde situaciones en el que operan los individuos del siglo XXI. Para los efectos de la evaluacion de\nmatemáticas de PISA 2015, se han definido cuatro categorías de contexto que emplean para la\nconstrucción y la clasificación de las preguntas:\nPersonal: los problemas clasificados en la categoría de contexto personal se centran en la\nactividades del propio individuo, su familias o el grupo de sus pares. Los tipos de contextos\nque pueden considerarse personales incluyen, aunque no se limitan solo a ellos, aquellos que\ninvolucran la preparacion de alimentos, las compras, los juegos, la salud personal, el transporte\npersonal, los deportes, los viajes, la planificación personal y las propias finanzas.\nOcupacional: los problemas clasificados en esta categoría se centran en el mundo laboral. Las\npreguntas clasificadas en este contexto pueden incluir, por ejemplo, aspectos como la medición,\nel cálculo de costes, el pedido de materiales para la construcción, la nómina/contabilidad,\nel control de calidad, la planificación, el inventario, el diseño, la arquitectura y la toma de\ndecisiones relacionadas con el trabajo. Los contextos profesionales pueden referirse a cualquier\ntipo de mano de obra, desde el trabajador no especializado hasta el nivel más alto del trabajador\nprofesional, aunque las preguntas de la prueba PISA deben ser accesibles a los estudiantes de\nSocial: los problemas clasificados en este contexto se centran en la propia comunidad ya sea\nlocal, nacional o mundial. Pueden incluir, aunque sin limitarse solamente a estos, aspectos\ncomo los sistemas electorales, el transporte público, gobierno, políticas públicas, demografía,\npublicidad, las estadísticas nacionales y la economía. Aunque las personas están involucradas en\nestos aspectos a título personal, en la categoría de contexto social los problemas ponen énfasis\nen la perspectiva comunitaria.\nal mundo natural y a cuestiones y temas relacionados con la ciencia y la tecnología. Determinados\ncontextos podrían incluir (aunque sin limitarse a estos) áreas como la meteorología o el clima, la\necología, la medicina, las ciencias espaciales, la genética, las mediciones y el propio mundo de las\nmatemáticas. La pregunta “BASURA” (ver anexo 1) se sitúa en el contexto científico, puesto que\nse centra en cuestiones relacionadas con el medio ambiente y, en particular, con información del\ntiempo de descomposición. Las preguntas intramatemáticas, donde todos los ítems implicados\npertenecen al mundo de las matemáticas, entran en el contexto científico.\nLos ítems de la evaluación PISA se organizan en unidades de manera que comparten el mismo\nestímulo. Entiéndase que estímulo se denomina al enunciado o la descripción del problema, los\ngráficos, tablas, imágenes, etc., o una combinación de ellos, a partir de los cuales se formula una\npregunta. Por cuanto comparten un mismo estímulo, los ítems de una unidad pertenecen a un\nmismo contexto; excepcionalmente el mismo estímulo puede examinarse desde un punto de\nvista personal en una pregunta, y desde el punto de vista social en otra.\nLa utilización de la categoría de contexto permite seleccionar distintos contextos para la\nelaboración de preguntas y garantizar que la evaluación refleje una amplia variedad de usos de\nlas matemáticas, desde los personales cotidianos hasta las exigencias científicas de los problemas\nmundiales. Además, es importante que cada categoría de contexto contenga ítems que reflejen\nuna amplia gama de dificultades. Puesto que la principal finalidad de estos contextos es retar a\nlos estudiantes, cada una de las categorías debe contribuir en forma sustancial a la medición de\nla competencia matemática. El nivel de dificultad de las preguntas de la evalución que representa\nuna categoría de contexto no debe ser sistemáticamente mayor o menor que el de otra categoría.\n2.6 Estructura de la prueba de matemática de PISA 2015\nEn PISA 2012, cuando la evaluación de la competencia matemática era el dominio principal,\nel instrumento con soporte de papel contenía un total de 270 minutos de tiempo de prueba\nde matemáticas distribuido en nueve grupos de preguntas, donde cada grupo representa 30\nminutos de prueba. De este total, tres grupos (que representan 90 minutos de tiempo de\nprueba) incluían preguntas de enlace utilizadas en anteriores evaluaciones de PISA, cuatro\ngrupos “estándar” (que representan 120 minutos de tiempo de prueba) contenían preguntas\nnuevas con distintos niveles de dificultad y dos grupos fáciles (que representan 60 minutos de\nprueba) estaban dedicados a preguntas con un nivel de dificultad más bajo.\nLa competencia matemática no será el dominio principal para el 2015 y los estudiantes tomarán\nLa evaluación de matemáticas de PISA 2015 incluye preguntas con distintos niveles de dificultad,\nequiparables a las distintas capacidades de estudiantes de 15 años. Contiene preguntas que\nconstituyen un reto para los estudiantes más capaces y hay preguntas para los estudiantes menos\ncapacitados, del conjunto de participantes en la evaluación de matemáticas. Desde una perspectiva\npsicométrica, una prueba que está diseñada para medir a una cohorte particular de individuos\nes más eficaz y eficiente cuando la dificultad de las preguntas de la evaluación coincide con la\ncapacidad de los sujetos medidos. Además, las escalas de competencia descritas, que se utilizan\ncomo parte central de la presentación de los resultados de PISA, solo pueden incluir información\nútil para todos los estudiantes, si las preguntas de las que se extraen las descripciones de la\ncompetencia abarcan el abanico de las capacidades descritas. Las escalas de la competencia están\nbasadas en niveles crecientes de activación de las capacidades matemáticas fundamentales. Los\nciclos anteriores de PISA han demostrado que, en conjunto, estas capacidades son indicadores de\nla demanda cognitiva y, por tanto, contribuyen en forma esencial a la dificultad de las preguntas\n(Turner, 2012; Turner et al., 2013). La escala para PISA 2012, que continúa para el 2015, se elaboró\ndespués de la prueba piloto PISA 2012, basado en la descripción de la activación requerida de estas\ncapacidades. Esta escala ofrece una medida empírica de la demanda cognitiva de cada pregunta. 25.\n3. Niveles de la competencia\nLos resultados de la evaluación PISA de matemáticas se presentan de distintas maneras. Se\nobtienen estimaciones de la competencia matemática global de los estudiantes seleccionados en\ncada país participante y se definen una serie de niveles de competencia. Asimismo, se elaboran\ndescripciones del grado de competencia matemática típica de los estudiantes de cada nivel.\nEn la tabla 1 se facilitan las descripciones de los seis niveles de competencia presentados para la\nescala general de matemáticas de PISA en los años 2003, 2006 y 2009, que constituyen la base\nde la escala de matemáticas de PISA 2012. La escala final de PISA 2012 se utilizará para informar\nlos resultados de PISA 2015. Puesto que la competencia matemática es un dominio menor de\nPISA 2015, se divulga solamente la escala general de la competencia.\nDescripción de la competencia matemática por niveles (2003-2009)\nNivel Descripción de la competencia\nLos estudiantes pueden conceptualizar, generalizar y utilizar información basada en sus\ninvestigaciones y el modelamiento de situaciones problemáticas complejas. Pueden vincular\ndiferentes fuentes de información y representaciones y hacer traducciones flexibles entre ellas.\nSon capaces de alcanzar el razonamiento y el pensamiento matemático avanzado. Aplican la\nintuición y comprensión acompañadas de un manejo diestro de la relaciones y operaciones\nmatemáticas en el nivel formal y simbólico para desarrollar estrategias y aproximaciones nuevas\npara manejar situaciones novedosas. Pueden comunicar y formular con precisión sus acciones\ny razonamientos considerando sus hallazgos, interpretaciones, argumentos, y la adecuación de\nestos a la situación original.\nLos estudiantes pueden desarrollar y trabajar con modelos aplicables a situaciones complejas\nidentificando restricciones y especificando presuposiciones. Pueden seleccionar, comparar\ny evaluar estrategias apropiadas de solución para tratar problemas complejos relativos a\nestos modelos. Pueden trabajar estratégicamente usando habilidades de razonamiento y de\nformales y simbólicas e intuiciones propias de las situaciones complejas. Pueden razonar sobre\nsus acciones y formular y comunicar sus interpretaciones y razonamientos.\n3.1 ¿En qué situación están nuestros estudiantes según el\nproceso de evaluación PISA 2012?\nLa descripción de estos niveles de competencia matemática es única para todos los países\nparticipantes. Ello no significa que en todos los países los estudiantes evaluados se ubiquen a\nlo largo de esos seis niveles. En nuestro país, por ejemplo, casi no hay estudiantes que puedan\nser ubicados en el nivel 4 (2,1 %) o posteriores (nivel 5: 0,5% y nivel 6: 0,0 %). Por el contrario,\nel 47 % de los estudiantes evaluados se encuentra por debajo del nivel 1.\nPrecisamente, estos resultados nos obligan a seguir nutriendo nuestra práctica pedagógica con\nenfoques que, como este, privilegien el concepto de competencia matemática; es decir, el pensar\nmatemáticamente y aplicar dicho pensamiento en contextos diversos. No es casualidad que las\ncompetencias matemáticas vigentes en las Rutas del Aprendizaje enfaticen también dicho punto.\nLos estudiantes pueden trabajar eficientemente con modelos explícitos aplicables a situaciones\nconcretas, pero complejas que pueden incluir restricciones y demandar presuposiciones.\nPueden seleccionar e integrar diferentes representaciones, incluyendo las simbólicas, para\nligarlas directamente a situaciones problemáticas del mundo real. En este nivel los estudiantes\npueden utilizar habilidades bien desarrolladas y razonamiento flexible junto con algunas\nintuiciones. Pueden construir y comunicar explicaciones y argumentaciones basadas en sus\ninterpretaciones, argumentos y acciones.\nLos estudiantes pueden ejecutar procedimientos previamente descritos incluyendo aquellos\nque requiere decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias simples de\nsolución de problemas. Pueden interpretar y usar representaciones basadas en diferentes\nfuentes de información y razonar directamente sobre ellas. Pueden desarrollar comunicaciones\ncortas informando sus interpretaciones, resultados y razonamientos.\nLos estudiantes pueden interpretar y reconocer situaciones en contextos que requieren solo\ninferencias directas. Pueden extraer información relevante de una sola fuente y hacer uso\nde un modo específico de elaborar representaciones. Pueden utilizar algoritmos básicos,\nfórmulas, procedimientos o convenciones. Pueden hacer uso del razonamiento directo y de\ninterpretaciones literales de los resultados.\nOriginal: Los estudiantes pueden responder preguntas dentro de contextos familiares en los\nque toda la información relevante está presente y las preguntas están claramente definidas.\nSon capaces de identificar información y de realizar procedimientos rutinarios siguiendo\ninstrucciones directas en situaciones explicitas. Pueden realizar actividades que son obvias y\nque se siguen inmediatamente del estímulo dado.\n3.2 Relación entre las capacidades fundamentales y los niveles\nLas capacidades matemáticas fundamentales desempeñan un papel central a la hora de definir lo\nque signfica estar en distintos niveles de las escalas de la competencia matemática. Por ejemplo,\nen la descripción de la escala de competencia correspondiente al nivel 4 (ver en la tabla 6), la\nsegunda frase subraya aspectos de la matematización y representación que son evidentes en\neste nivel. La oración final pone en relieve la comunicación, los razonamientos y los argumentos\ncaracterísticos del nivel 4, que contrastan con los breves escritos y la falta de argumentos del\nnivel 3 y la reflexión adicional del nivel 5.\nUna buena guía de la dificultad empírica de las preguntas se puede obtener analizando qué\naspectos de las capacidades matemáticas fundamentales son necesarios para aplicar y ejecutar\nuna respuesta (Turner, 2012; Turner y Adams 2012; Turner et al, 2013). Las preguntas más fáciles\nrequerirán la activación de algunas capacidades de forma relativamente sencilla, mientras que\nlas más difíciles demandarán la activación compleja de varias.\nLos siguientes apartados describen las características que hacen que la activación de las\ncapacidades sea más o menos compleja (Turner 2012)\nComunicación: son varios los factores que determinan el nivel y el alcance de la exigencia\ncomunicativa de una tarea, y la capacidad de un individuo para satisfacer estas exigencias indica\nhasta qué punto posee esta capacidad de comunicación. Por lo que respecta a los aspectos\nreceptivos de la comunicación, estos factores incluyen la longitud y complejidad del texto u\notro objeto que haya que leer o interpretar; la familiaridad de las ideas o de la información a\nlas que un texto u objeto hacen referencia; el grado en que la información requerida deber ser\ndesligada de otra infomación; la clasificación de la información y si esta se corresponde con el\norden de los procesos de pensamiento necesarios para interpretarla y utilizarla, y el grado en el\nque existen distintos elementos (texto, elementos gráficos, gráficos, tablas, planos) que deban\nser interpretados relacionándolos entre sí.\nPor lo que respecta a los factores expresivos de la comunicación, se observa un bajo nivel de\ncomplejidad en los ejercicios que exigen que se dé simplemente una respuesta numérica. A\nmedida que se exije que la respuesta sea más larga, por ejemplo, cuando se pide una explicación\no justificación verbal o escrita del resultado, la exigencia comunicativa aumenta.\nMatematización: en algunas tareas no es necesaria la matematización, pues o bien el problema\nya está en una forma suficientemente matemática, o la relación entre el modelo y la situación que\nes imprescindible cuando el sujeto que resuelve el problema tiene que interpretar o inferir\ndirectamente a partir de un modelo dado o traducir directamente una situación a términos\nmatemáticos (p.ej.: estructurar o conceptualizar la situación de forma relevante, identificar y\nseleccionar variables relevantes, recopilar mediciones relevantes o elaborar diagramas).\nLa demanda de matematización aumenta con requisitos adicionales para modificar o utilizar\nun modelo dado con el fin de reflejar las nuevas condiciones o interpretar relaciones inferidas;\npara seleccionar un modelo familiar dentro de unas restricciones limitadas y claramente\narticuladas; o crear un modelo en el que las variables, relaciones o restricciones exigidas sean\nclaras o explícitas. En un nivel aún más alto, la demanda de matematización está asociada con\nla necesidad de crear o interpretar un modelo en una situación donde deben identificarse o\ndefinirse muchos supuestos, variables, relaciones y restricciones y comprobar que el modelo\nsatisface los requisitos del ejercicio; o valorar o comparar modelos.\nRepresentación: esta capacidad matemática es necesaria en su nivel más bajo para manejar\ndirectamente una representación familiar dada, por ejemplo, para pasar directamente de texto\na números o leer directamente un valor en un gráfico o tabla. Las tareas de representación son\nmás exigentes desde un punto de vista cognitivo, cuando requieren seleccionar o interpretar una\nrepresentación estándar o familiar con relación a una situación.\ndistintas de forma conjunta con relación a una situación, incluida la modificación de una\nrepresentación; o cuando lo que se requiere idear es una representación directa de la situación.\nLa exigencia cognitiva de nivel superior se caracteriza por la necesidad de comprender y utilizar\nuna representación no estándar que requiere una notable decodificación e interpretación;\ndiseñar una representación que refleje los aspectos clave de una situación compleja; o comparar\no valorar distintas representaciones.\nRazonamiento y argumentación: en las tareas que requieren de una activación muy baja de esta\ncapacidad, el razonamiento exigido puede ser, sencillamente, seguir las instrucciones dadas.\nEn un nivel de exigencia ligeramente superior, las preguntas requieren una cierta reflexión\npara asociar distintas informaciones con el fin de realizar inferencias (p.ej.: relacionar distintos\nelementos presentes en un problema, o utilizar el razonamiento directo dentro de un aspecto\nEn un nivel superior, las tareas requieren el análisis de la información para seguir o crear un\nargumento compuesto de varios pasos o relacionar distintas variables; a razonar a partir de\nfuentes de información afines. En un nivel aún más alto de demanda, hay la necesidad de\nsintetizar y evaluar la información, utilizar o crear cadenas de razonamiento para justificar\ninferencias, o para hacer generalizaciones recurriendo a múltiples datos o combinando varios\nelementos de información de una manera sostenida y dirigida.\nDiseño de estrategias: en tareas con una demanda relativamente baja de esta capacidad, suele\nser suficiente la realización de actuaciones directas, donde la estrategia requerida está indicada o\nes obvia. En un nivel de exigencia ligeramente superior puede ser que sea necesario decidirse por\nuna estrategia adecuada que utilice la información relevante dada para llegar a una conclusión.\nLademandacognitivaseacentúaaúnmáscon lanecesidad deidear yconstruiruna estrategiaque\ntransforme la información dada para llegar a una conclusión. Incluso los ejercicios más exigentes\nrequieren el desarrollo de una estrategia elaborada para encontrar una solución exhaustiva o\nuna conclusión generalizada; o valorar o comparar diferentes estrategias posibles.\nUtilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico: la demanda para la\nactivación de esta capacidad varía enormemente de una tarea a otra. En las tareas más sencillas,\nno hay reglas matemáticas o expresiones simbólicas que deben activarse más allá de los cálculos\naritméticos fundamentales, cuando se opera con números pequeños o fácilmente manejables.\nEl trabajo con tareas más exigentes puede suponer realizar cálculos aritméticos secuenciales\no emplear en forma directa una relación funcional simple, ya sea implícita o explícita (p.ej.:\nrelaciones lineales habituales); utilizar símbolos matemáticos formales (p.ej.: mediante\nsustitución directa o cálculos aritméticos continuos con fracciones y decimales); o activar y usar\ndirectamente una definición matemática formal, convención o concepto simbólico.\nUna demanda cognitiva mayor se caracteriza por la necesidad de usar y manipular símbolos\nde forma explícita (p.ej.: la reorganización algebraica de una fórmula), y por la activación y el\nuso de reglas matemáticas, definiciones, convenciones, procedimientos o fórmulas matemáticas\nempleando una combinación de múltiples relaciones o conceptos simbólicos. Un nivel aún más\nformales que requieren múltiples pasos, el trabajo flexible con relaciones algebraicas funcionales\no complejas, o la utilización de técnicas y conocimientos matemáticos para producir resultados.\nUso de herramientas matemáticas: las tareas y actividades que impliquen un nivel de demanda\nrelativamente baja de esta capacidad puede requerir el uso directo de herramientas familiares,\ncomo los instrumentos de medición, en situaciones donde el uso de esas herramientas es\nbastante practicada. Mayores niveles de demanda surgen cuando el uso de herramientas\nimplica una secuencia de procesos, o la vinculación de diferentes informaciones utilizando la\nherramienta, y cuando la familiaridad de las herramientas en sí es menor o cuando la situación\nen la que se requiere la aplicación de la herramienta es menos familiar.\nMayor aumento de la demanda se ve cuando la herramienta se va a utilizar para procesar y\nrelacionar varios elementos de datos, cuando la aplicación de una herramienta es requerida\nen una situación muy diferente de las aplicaciones familiares, cuando la herramienta es más\ncompleja por sí misma con múltiples funcionalidades y cuando hay la necesidad de reflexionar\npara comprender y evaluar las ventajas y limitaciones de la herramienta.\n4. Formato de la prueba PISA 2015\npara la competencia de matemática\nEl cuestionario de preguntas de matemáticas de PISA está compuesto de unidades de evaluación.\nUna unidad de evaluación está compuesta por un estímulo y por una o más preguntas. El estímulo\ndescribe el contexto o la situación problemática de forma verbal y, con frecuencia, acompañado\ncon otra información como tablas, planos, gráficos o diagramas.\nLa rueda de la fortuna tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más alto\nestá a 150 metros por encima y a un lado del cauce del río Támesis. Esta gira en el\nsentido indicado por las flechas.\nPregunta 116: LA RUEDA DE LA FORTUNA\tPM934Q01 - 0 1 9\nLa letra M en el diagrama indica el centro de la rueda.\n¿A cuántos metros (m) por encima del cauce del río se encuentra el punto M?\nRespuesta: ........................... m\nPregunta 117: LA RUEDA DE LA FORTUNA\tPM934Q02\nJuan comienza su paseo en la rueda de la fortuna en el punto de embarque P.\nA\tEn R\nB\tEntre R y S\nC\tEn S\nD\tEntre S y P\nEn el caso de una unidad de evaluación con más de una pregunta, quienes redactan las preguntas\nintentan garantizar la máxima independencia posible entre ellas. Ello quiere decir, en forma\nsimple, que no es necesario responder a la primera pregunta para poder responder a la segunda.\nLas preguntas además pueden ser de tres tipos o formatos:\nDe respuesta construida abierta.\nDe respuesta construida cerrada.\nLas primeras requieren una respuesta escrita de cierta extensión por parte del estudiante.\nAsimismo, estas preguntas pueden pedirle al estudiante que indique los pasos dados o que\nexplique cómo ha obtenido la respuesta. Para estas preguntas es necesario contar con expertos\ncualificados que codifiquen manualmente las respuestas de los estudiantes.\nLas preguntas de respuesta construida cerrada ofrecen un contexto más estructurado para\npresentar las soluciones de los problemas y provocan una respuesta del estudiante que puede\nvalorarse fácilmente como correcta o incorrecta. Las respuestas construidas cerradas más\nfrecuentes son solo números. La primera pregunta de la unidad de evaluación “La rueda de la\nfortuna” corresponde a este formato.\nEn las preguntas de respuesta seleccionada es necesario elegir una o más respuestas de una\nserie de opciones. Por lo general, las respuestas a estas preguntas se pueden procesar de\nforma automática. La segunda pregunta de la unidad de evaluación “La rueda de la fortuna”\ncorresponde a este formato.\nPara elaborar los instrumentos de evaluación se ha utilizado un número aproximadamente igual\nde cada uno de estos tipos de formato de pregunta.\nPor el tipo de material empleado para la presentación de las preguntas, estas se clasifican en\npreguntas con soporte impreso y preguntas con soporte electrónico. En el caso de las primeras,\nlas preguntas de la evaluación se presentan en forma impresa y las respuestas se registran en\nforma escrita, para lo cual los estudiantes utilizan el lápiz y el papel como recurso principal. En\ncambio, las preguntas con soporte electrónico se presentan en la pantalla de la computadora y\nlas respuestas de los estudiantes se registran directamente haciendo uso de recursos sencillos\nde este sistema electrónico.\nEditor de PISA 2015\nEn ambos tipos de soporte, sea impresa o electrónica, se utilizan los mismos formatos: preguntas\nde selección de respuesta, respuesta construida abierta y respuesta construida cerrada. Para la\nformulación de respuestas a preguntas de estos últimos formatos, los estudiantes harán uso del\nCriterios de calificación de las respuestas\nAunque la mayoría de las preguntas se puntúan en forma dicotómica (es decir, con o sin\nparcial, lo que permite asignar a las respuestas una puntuación en función de los distintos grados\nde “corrección”. Para este tipo de preguntas, se proporciona una guía detallada de codificación,\nque permite asignar a cada una de estas preguntas una puntuación máxima, parcial o ninguna\npuntuación. Esta guía se facilita al personal formado para codificar las respuestas de los\nestudiantes en los distintos países participantes, con el fin de garantizar que las respuestas se\ncodifiquen en forma consistente y fiable.\n4.1 Transición de los ítems en papel a los ítems en computadora\nEl recojo de información para la evaluación PISA 2012, se realizó principalmente mediante\ninstrumentos con soporte impreso. Sin embargo, a partir de PISA 2015 se generalizará la\nevaluación con soporte electrónico y para garantizar la comparabilidad de los resultados, las\nmismas preguntas de PISA 2012 se presentarán en formato electrónico.\nLa definición de competencia matemática de PISA 2015 reconoce el importante papel de\nlas herramientas electrónicas al señalar lo que se espera de los individuos competentes en\nmatemáticas: que hagan uso de dichas herramientas en sus esfuerzos por describir, explicar y\npredecir fenómenos. En esta definición, el término “herramienta” se refiere a las calculadoras y\ncomputadoras, además de otros objetos físicos como las reglas y los transportadores utilizados\nen las mediciones y construcciones.\nUna segunda consideración es que el uso de las mejoras que ofrece la tecnología informática\nse traduce en preguntas de evaluación más atractivas para los estudiantes, con más colorido y\nmás fáciles de entender. Por ejemplo, se puede presentar a los estudiantes un estímulo móvil,\nrepresentaciones de objetos tridimensionales que se pueden rotar o un acceso más flexible a la\ninformación relevante. Los nuevos formatos de pregunta, como los que obligan a los estudiantes\na «arrastrar y soltar» información o a utilizar «zonas activas» en una imagen, están diseñados\npara atraer a los alumnos, ofrecer una mayor diversidad de tipos de respuesta y proporcionar un\npanorama más completo de la competencia matemática.\nFinalmente, las investigaciones revelan que las exigencias matemáticas en un trabajo ocurren,\ncada vez más, en presencia de la tecnología electrónica, de manera que la competencia\nmatemática y el uso de computadoras se fusionan (Hoyles et al. 2002)\nAl igual que las evaluaciones de lápiz y papel, que se basan en un conjunto de habilidades para\ntrabajar con materiales impresos, las evaluaciones basadas en computadora dependen de\nun conjunto de habilidades fundamentales de las TIC para el uso de las computadoras. Estos\nincluyen conocimientos de hardware básico (por ejemplo, teclado y ratón) y convenciones\nbásicas (por ejemplo, las flechas para moverse hacia adelante, y presionar botones específicos\npara ejecutar comandos). La intención es mantener estas habilidades a un nivel mínimo básico\nen la evaluación con computadoras.\nEn las siguientes páginas se muestran dos preguntas en versión electrónica. Tal como se puede\napreciar, para responder a la pregunta el estudiante debe estar familiarizado con determinados\nentornos informáticos y manipular adecuadamente sus elementos para desenvolverse con\ncomodidad. Asimismo, debe ser capaz de explicar sus procedimientos utilizando un soporte\nProcesos de piloteo (ensayos preliminares para contextualizar la prueba PISA a nuestra realidad)\ndan cuenta de la poca familiaridad de los estudiantes con estos entornos. Ello nos da una señal\nclara de que debemos exponer más a los estudiantes a entornos informáticos en el contexto de\nsu actividad matemática.\nPara cualquier figura, un punto (S) se\nllama punto de estrella si al unirlo con\ncualquier otro punto (P) la línea (SP) se\nqueda dentro de la figura.\nAsí se utilizan los botones PUNTO (S) y\nPincha el botón PUNTO (S) y luego\npincha una de las figuras para crear\nPincha el botón LÍNEA (SP) y luego\nuna línea entre los puntos S y P.\nPara cambiar un punto o una línea,\npincha encima y arrastra el punto o\nPara borrar un punto o una línea,\npincha el punto o la línea.\nS es un punto de estrella\nS no es un punto de estrella\nPUNTO (S) LINEA (SP) REINICIAR\nPregunta 1: PUNTOS DE ESTRELLA CM020Q01\nArriba se muestran cuatro figuras planas. En la Figura 1, el punto S es un punto de estrella\nporque, donde quiera que pongas P, la línea SP siempre queda dentro de la figura. Pero\nen la Figura 2, el punto S no es un punto de estrella porque hay algunas líneas SP, como se\nmuestra en el ejemplo, que van por fuera de la figura.\nCrea un punto de estrella para la Figura 3 y un punto que no sea un punto de estrella para\nNótese cómo la pregunta demanda en el estudiante la necesidad de manipular y construir objetos\n(líneas y puntos) que respondan a unas características dadas. En ese sentido, el estudiante debe\ncomprender y utilizar herramientas, tales como los botones PUNTO (S), LÍNEA (SP) y REINICIAR\ncomo un medio para responder a la pregunta.\nZedtec ofrece un servicio de\ncopia de CD.\nHay dos métodos para hacer\ncopias de CD: el duplicado y la\nLos gráficos y la calculadora de\nprecios muestran los precios\npara copiar distintas cantidades\nde CD usando los dos métodos.\nPuedes introducir diferentes\nvalores en la casilla “Número\nde copias” para hallar el costo\nexacto del duplicado y de la\nPrecio de la copia de CD utilizando el\nduplicado o la réplica.\nPrecio de la réplica\tTu presupuesto: réplica\nPrecio del duplicado\tTu presupuesto: duplicado\nNúmero de copias Precio de la réplica Precio del duplicado\n100 420 000 zeds 360 000 zeds\nPregunta 2: PRODUCCIÓN DE CD CM015Q03\nZedtec hace la siguiente afirmación en su anuncio: “El duplicado es más barato para\ncantidades pequeñas de copias (hasta 500 CD)”.\nExplica por qué el número citado en la afirmación anterior, 500 CD, es incorrecto\n¿Cuál es el máximo número de copias que haría que la afirmación fuese correcta?\nNúmero de copias =\nNótese cómo, en este caso, la pregunta demanda explicar la falsedad de una afirmación. El\nestudiante no solo debe entonces estar en capacidad para responder correctamente a una\nsituación problemática, sino que también debe desarrollar la habilidad de argumentar con\nclaridad las razones detrás de sus acciones.\n4.2 Uso de la calculadora en la prueba\nimpreso, tal como se utiliza normalmente en las instituciones educativas. Esto representa la\nevaluación más auténtica de lo que los estudiantes pueden lograr y proporciona la comparación\nmás instructiva del rendimiento de los sistemas educativos.\nEn el componente impreso de PISA 2012 se dio acceso a los estudiantes a una calculadora en\nlínea o a programas informáticos con una funcionalidad equivalente en el caso de preguntas\ndonde esto pudiese ser relevante.\nPISA 2015 incluirá una herramienta que permitirá a los estudiantes dar respuestas construidas\ny mecanografiadas y mostrar su trabajo como sea requerido por la competencia matemática. La\nherramienta permite introducir textos y números a los estudiantes. Ajustando los botones, los\nestudiantes pueden introducir una fracción, raíz cuadrada o exponente. Los símbolos adicionales\ncomo pi (π), mayor o igual (≥), menor o igual (≤), estarán disponibles, así como los operadores\nde multiplicación y división, etc. Un entorno similar para desarrollar la habilidad en el uso de\nestas herramientas es el ofrecido en algunos procesadores de texto como Microsoft World, que\ncuentan con un editor de ecuaciones con una lógica similar al utilizado en la evaluación PISA.\n5. Diferencias y similitudes\ncon marcos teóricos anteriores\nEl programa PISA a la fecha ha realizado cinco evaluaciones del rendimiento de los estudiantes\nde 15 años en comprensión lectora, matemática y ciencias. Esta evaluación se ha llevado a cabo\ncada tres años desde el año 2000.En cada uno de los ciclos se ha enfatizado la evaluación en una\nde las áreas, tal como se puede observar en la siguiente tabla:\nPISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009 PISA 2012 PISA 2015\nC. lectora C. lectora C. lectora C. lectora C. lectora C. lectora\nCiencias Ciencias Ciencias Ciencias Ciencias Ciencias\nÁrea evaluada con mayor énfasis\nEn los ciclos PISA 2003 y PISA 2012, el área enfatizada fue matemática, lo que ha implicado la\nevaluación de la competencia matemática con mayor profundidad, que se tradujo en la aplicación\nde mayor número de preguntas y la utilización de un marco de evaluación más amplio.\nEl marco PISA 2015 se ha actualizado para reflejar los cambios en el modo de aplicación de\ninstrumentos, incluyendo una discusión de las consideraciones de la transición de la evaluación\nde matemáticas en papel a la evaluación en computadora. Sin embargo, la definición y los\nconstructos de competencia matemática permanecen invariables y constantes con PISA 2012\n(OECD, 2013: 3).\nEl nuevo marco de evaluación de PISA ofrece continuidad al marco anterior, de manera que\nse pueda medir las tendencias entre una evaluación y otra. La comparación entre las nociones\ncentrales y entre las categorías manejadas en los marcos teóricos de PISA de 2003 y de 2012,\nderivados de la necesidad de interpretar con mayor rigor y precisión los resultados de las\nevaluaciones. Los cambios muestran una mejora derivada del análisis conceptual del estudio y\nmayor potencia de las categorías utilizadas para el análisis didáctico resultante.\n6. Articulación de la competencia de\nmatemáticas según PISA 2015\ncon las Rutas del Aprendizaje\nUn análisis comparativo de los marcos de evaluación PISA con los marcos curriculares vigentes\nevidenciados en las Rutas del Aprendizaje da cuenta de una convergencia entre ambos. Esa\nconvergencia se manifiesta en aspectos tales como:\nEl desarrollo de la competencia matemática y no solo del conocimiento matemático per se\nAsí, la competencia matemática se entiende como “la facultad de toda persona para actuar\nconscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo,\no las herramientas que tenga disponibles y considere pertinentes a la situación” (Minedu 2014,\ncitado en Rutas del Aprendizaje versión 2015).\nLa manera de categorizar las situaciones en las que surgen los fenómenos matemáticos\nde cantidad; regularidad, equivalencia y cambio; forma, movimiento y localización; gestión de\ndatos e incertidumbre. Todo ello en la misma línea en que el marco de evaluación PISA organiza\nsus propios contenidos (Cantidad, Cambio y relaciones, Incertidumbre y datos y Espacio y forma).\nEsta organización de los contenidos, como se ha indicado entre paréntesis, está fuertemente\narticulada con la propuesta en el marco de la evaluación PISA.\nEn lo relativo a las capacidades matemáticas fundamentales, la articulación también se da,\naunque las denominaciones cambian ligeramente.\nDe este modo, las siete capacidades fundamentales planteadas en el marco teórico PISA se\nencuentran reorganizadas en cuatro capacidades según las Rutas del Aprendizaje. Así tenemos:\nEn su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo a la situación que\nle dio origen. Ello correspondería a matematización.\nEs la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas, y expresarlas en forma\noral y escrita usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación con material\nconcreto, gráfico, tablas, símbolos y recursos TIC, y transitando de una representación a otra.\nEllo correspondería a comunicación, representación y utilización de operaciones y un lenguaje\nsimbólico, formal y técnico.\nEs la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos\nrecursos (entre ellos las tecnologías de información y comunicación) empleándolas de manera\nflexible y eficaz en el planteamiento y resolución de problemas, incluidos los matemáticos. Esto\nimplica ser capaz de elaborar un plan de solución, monitorear su ejecución, pudiendo incluso\nreformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de llegar a la meta. Asimismo, revisar\ntodo el proceso de resolución, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas\nde manera apropiada y óptima. Ello correspondería al diseño de estrategias y utilización de\ndiversas formas de razonamiento (deductivo, inductivo y abductivo), así como el verificarlos y\nvalidarlos usando argumentos. Esto implica partir de la exploración de situaciones vinculadas\na la matemática para establecer relaciones entre ideas, establecer conclusiones a partir de\ninferencias y deducciones que permitan generar nuevas conexiones e ideas matemáticas. Ello\ncorrespondería a razonamiento y argumentación.\nAnálisis comparativo entre las capacidades fundamentales según el marco de\nevaluación PISA y el marco curricular vigente (Rutas del Aprendizaje versión 2015)\nMARCO EVALUACIÓN PISA RUTAS DEL APRENDIZAJE\nMatematización Matematiza situaciones\nUtilización de operaciones y un lenguaje\nRazona y argumenta generando ideas\nUtilización de herramientas matemáticas.\n7. Recomendaciones pedagógicas\npara el desarrollo de la competencia\nmatemática en el marco de la\nEl enfoque basado en la resolución de problemas orienta el proceso educativo hacia la resolución\nde problemas matemáticos en situaciones de diversos contextos (Gramvemijer K., Teruel J.,\nFreudental H., 2000). Para hacer realidad este enfoque en situaciones de enseñanza es necesario\nque se planteen y resuelvan problemas de diversos contextos y que respondan a las necesidades\nUn insumo de primera calidad para el desarrollo de la competencia matemática lo proveen las\nRutas del Aprendizaje, en las que se plantean actividades de aprendizaje para el desarrollo de las\ncompetencias matemáticas de los estudiantes.\nPor otro lado, es posible abordar los ítems tipo PISA en los proceso de evaluación y de enseñanza.\nAunque en realidad, enseñar y evaluar son dos caras de la misma moneda, y se distinguen\nsolamente por la intencionalidad con que se realizan y por las decisiones que se derivan de cada\nuno de estos procesos, tal como afirman Coll y Martín (1996):\nLas prácticas de la evaluación son inseparables de las prácticas pedagógicas. No son dos cosas\ndistintas, ni siquiera dos cosas complementarias: son una sola y misma cosa vista desde dos\nperspectivas diferentes. La evaluación es inseparable de la planificación y desarrollo de la acción\ndidáctica. Cuando se toma una opción de metodología didáctica, se está tomando, aunque sea\nimplícitamente, una decisión de evaluación.\nMientras evaluamos, enseñamos; pero también cuando enseñamos, estamos evaluando.\nA continuación, algunas recomendaciones finales para el desarrollo de la competencia\n1.\tUtilice la matemática en situaciones contextualizadas reales y genuinas.\nLas competencias no son en sí mismas conocimientos, saberes o actitudes, movilizan\ne integran este tipo de recursos, y esta movilización es pertinente solo cuando está\n2.\tPlantee situaciones problemáticas de alta demanda cognitiva.\nAsimismo, las competencias implican la puesta en marcha de actividades complejas,\npor lo que no es suficiente con situar las actividades en determinado contexto,\nconviene que estas actividades sean problemáticas.\n3.\tIncluya situaciones de evaluación auténtica.\nPara el desarrollo de la competencia matemática es necesario plantear actividades\nde evaluación auténtica. Recordemos que una actividad de evaluación es auténtica\ncuando las condiciones de la prueba y la demanda cognitiva se corresponden con las\nnecesidades reales de los estudiantes en tanto ciudadanos o futuros profesionales.\nUsted puede encontrar más ejemplos de este tipo de situaciones en los siguientes\nSin embargo, es recomendable que usted mismo dedique un tiempo a crear\nactividades y evaluaciones de este tipo. El acceso a información diversa con\ncontenido matemático se ha visto enormemente facilitado con el uso de internet.\nNavegue en internet en busca de situaciones que considere de interés y que tengan\nun contenido matemático aprovechable. Algunas ideas pueden ser:\n4.\tIncorpore el uso de soportes electrónicos para la manipulación, cálculo,\njustificación y registro de procedimientos matemáticos.\nEntre ellos, editores de ecuaciones y software matemáticos de uso libre, tales como\nAsimismo en este enlace encontrará más ejemplos de preguntas de PISA en formato\n5.\tPromueva entre sus estudiantes la argumentación o explicación de sus\nUtilice en su práctica cotidiana actividades de argumentación y explicación de\nsus razonamientos. Plantee situaciones que generen debates sobre estrategias,\nprocedimientos o conclusiones lógicas para que sus estudiantes analicen la\ncorrección fundamentando claramente sus razones.\n6.\tIncentive la escritura en la clase de matemática y la comprensión de textos\nLa comprensión de los enunciados y soportes gráficos es fundamental para la\nresolución de problemas en general. Asegúrese de que sus estudiantes comprenden\nlo que leen, plantéeles preguntas al respecto, solicite que usen sus propias palabras\npara describir la situación problemática, que identifiquen qué información les\nresultará útil para responder a una pregunta o no.\n7.\tIncluya actividades de modelamiento.\nPlantee a sus estudiantes patrones diversos y contextualizados y anímelos a\ngeneralizar estos haciendo uso de variables y otro tipo de representaciones.\n8.\tAnime asusestudiantesaresolver unproblemausandodiversasestrategias\ny discuta sobre ellas.\nEl peso en la clase de matemática debe trasladarse de encontrar la respuesta a un\nproblema (muchas veces de forma irreflexiva), a una reflexión profunda sobre las\nestrategias con las que este puede ser resuelto. Otorgue una importancia clave a las\nAnálisis de algunas preguntas liberadas de la evaluación PISA\nLos nuevos CD de los grupos BTA Bailar y Caballos Desbocaos salieron a la venta\nen enero. En febrero los siguieron los CD de los grupos Amor de Nadie y Los\nMetalgaites. El siguiente gráfico muestra las ventas de CD de estos grupos desde\nenero hasta junio.\n¿Cuántos CD de la banda Metalgaites se han vendido en abril?\n¿En qué mes vendió por primera vez el grupo Amor de Nadie más CD que el\ngrupo Caballos Desbocaos?\nA.\tEn ningún mes.\nB.\tEn marzo.\nC.\tEn abril.\nD.\tEn mayo.\nVentas de CD por mes\nEl mánager de Caballos Desbocaos está preocupado porque el número de CD\nvendidos disminuyó de febrero a junio. ¿Cuál es el volumen de ventas estimado\npara julio si continúa la misma tendencia negativa?\nA.\t70 CD\nB.\t370 CD\nC.\t670 CD\nD.\t1340 CD\nLas tres preguntas de esta unidad pertenecen a la categoría de contenido incertidumbre y datos,\npues en ellas se pide a los estudiantes que lean, interpreten y utilicen datos presentados de\nforma gráfica y matemática.\nLa pregunta 1 requiere la lectura directa de los datos del gráfico para responder a una cuestión\nsobre el contexto. Los estudiantes tenían que familiarizarse con la información presentada,\nidentificar la serie de datos que representa las ventas del grupo mencionado y la barra\ncorrespondiente al mes indicado en esa serie, y leer el valor de 500 CD directamente en el eje\nPara responder a la pregunta 2, los estudiantes deben prestar atención a la relación entre dos\nseries de datos que se muestran en el gráfico de barras y tener en cuenta cómo varía esa relación\na lo largo del periodo indicado, para ver que la circunstancia especificada en la pregunta se\nprodujo por primera vez en abril.\nLa pregunta 3 es algo distinta de las dos primeras, pues se centra fundamentalmente en la\ncomprensión de una relación matemática representada en el gráfico y su extrapolación para\npredecir el valor del siguiente mes.\nLas tres preguntas están incluidas en la categoría de contexto social, pues los datos están\nrelacionados con información de carácter público sobre las ventas de la música, del tipo que\npodría encontrarse en un periódico, revista musical o internet.\nLas dos primeras preguntas son un ejemplo de la categoría de proceso “interpretación”, pues\nentrañan la interpretación de la información matemática presentada en el gráfico con relación a\nlas características contextuales presentadas; pero la tercera pregunta encaja en la categoría de\n“emplear”, pues se centra en la aplicación de conocimientos procedimentales para manipular la\nrepresentación matemática con el fin de realizar una nueva inferencia.\nEl Monte Fuji es un famoso volcán inactivo del Japón.\nLa subida al Monte Fuji solo está abierta al público desde el 1 de julio hasta el\n27 de agosto de cada año. Alrededor de unas 200 000 personas suben al Monte\nFuji durante este periodo.\nLa ruta de Gotemba, que lleva hacia la cima del Monte Fuji, tiene unos 9\nkilómetros (km) de longitud. Los caminantes tienen que de la caminata de 18\nkm a las 20:00 horas.\nToshi calcula que puede ascender la montaña caminando a 1,5 kilómetros por\nhora, como media, y descenderla al doble de velocidad. Estas velocidades tienen\nen cuenta las paradas para comer y descansar.\nSegún las velocidades estimadas por Toshi, ¿a qué hora puede, como muy tarde,\niniciar su caminata de modo que pueda estar de vuelta a las 20:00 horas?\nToshi llevó un podómetro para contar los pasos durante su recorrido por la ruta\nde Gotemba. Según el podómetro, dio 22 500 pasos en la subida.\nCalcula la longitud media del paso de Toshi en su ascención de 9 km por la ruta\nde Gotemba. Expresa tu respuesta en centímetros (cm).\nLa segunda unidad de ejemplo es la titulada “SUBIDA AL MONTE FUJI”. La primera pregunta es\nde elección múltiple sencilla y la segunda y la tercera son de respuesta construida y requieren\nuna contestación numérica.\nLa pregunta 1 requiere que se calcule el número medio de personas al día. La estrategia usual\nsupone obtener el número de días a partir de las fechas facilitadas y utilizar esa información para\ndeterminar la media.\nLa pregunta 2 implica elaborar un plan con tres partes principales. Se tiene que calcular las\nhoras que lleva ascender y descender la montaña a partir de las velocidades medias para, a\ncontinuación, calcular la hora de salida a partir de la hora de llegada y la duración de la caminata.\nEn la pregunta 3 el principal objetivo es calcular la longitud media del paso a partir de la distancia\ny el número de pasos, siendo obligatoria la conversión de las unidades.\nLas preguntas 1 y 3 pertenecen a la categoría de contenido cantidad, pues en ellas se pide a los\nalumnos que realicen cálculos utilizando fechas y medidas y que hagan conversiones.\nEl concepto clave de la pregunta 2 es la velocidad y, por tanto, se encuentra en la categoría de\ncontenido cambio y relaciones.\nTodas ellas pertenecen a la categoría de contexto social, pues los datos hacen referencia al\nacceso del público al Monte Fuji y a sus rutas.\nLas dos primeras preguntas son ejemplos de la categoría de proceso “formular”, ya que la\nprincipal exigencia de estas preguntas implica la elaboración de un modelo matemático que\npueda dar respuesta a las preguntas planteadas.\nun promedio, asegurándose de que la conversión de las unidades se realiza correctamente, de\nahí que se trabaje fundamentalmente en los detalles del problema más que en la asociación de\nesos detalles con los elementos contextuales.\nUna pizzería ofrece dos pizzas redondas del mismo grosor en diferentes tamaños.\nLa pequeña tiene 30 cm de diámetro y cuesta 30 zeds. La grande tiene 40 cm de\ndiámetro y cuesta 40 zeds.\nLa pregunta de respuesta construida abierta titulada “LA PIZZA” es simple en su forma pero rica\nen contenido e ilustra varios elementos del marco de matemáticas.\n“LA PIZZA” se inserta en el contexto personal, con el que estarían familiarizados muchos jóvenes\nde 15 años. Esto es así porque la pregunta planteada es qué pizza es la mejor opción para el\ncomprador en relación con su coste.\nLos precios se presentan en una moneda neutral denominada zed. El tamaño y el precio están\nrelacionados a través del concepto de relación calidad-precio.\nLa pregunta hace uso de diversas áreas de las matemáticas. Tiene elementos geométricos que\nnormalmente se clasifican dentro de la categoría de contenido espacio y forma. Las pizzas se\npueden modelar como cilindros finos, de modo que se necesita el área del círculo. La pregunta\ntambién incluye la categoría de contenido cantidad, con la necesidad implícita de comparar\nla cantidad de pizza con la cantidad de dinero. No obstante, la clave del problema está en la\nconceptualización de las relaciones entre las propiedades de las pizzas y en cómo las propiedades\nrelevantes cambian de la pizza pequeña a la grande. Puesto que esos aspectos constituyen la\nparte fundamental del problema, esta pregunta se clasifica dentro de la categoría de contenido\nLa pregunta pertenece a la categoría de proceso “formulación”. Un paso clave para resolver\neste problema, de hecho la mayor exigencia cognitiva, es la de formular un modelo matemático\nque refleje el concepto de relación calidad-precio. La persona que resuelve el problema debe\nreconocer que, puesto que en teoría las pizzas tienen un grosor uniforme y los grosores son\nidénticos, el análisis puede centrarse en el área de la superficie circular de la pizza en vez de\nen el volumen o la masa. De ese modo, la relación entre la cantidad de pizza y la cantidad\nde dinero queda reflejada en el concepto de relación calidad-precio bajo la forma «coste por


‘En tus manos’, de Despistaos y David Otero: letra y audio - Happyfm\n‘En tus manos’, de Despistaos y David Otero: letra y audio\nUna colaboración increíble\nDespistaos y David Otero han decidido unir fuerzas para presentarnos una nueva versión de la canción ‘En tus manos’.\nDespistaos es una de las bandas más importantes de los últimos tiempos. Pocos son los que pueden presumir que han logrado marcar a toda una generación, y ellos lo han hecho. Tienen un estilo de lo más peculiar, mágico y personal. Por ese mismo motivo, jamás han dejado de sorprendernos.\nRecientemente, los chicos de Despistaos sacaron a la luz una nueva versión de la canción titulada ‘En tus manos’. Es una de las más especiales que han sacado recientemente, qué duda cabe. Por ese mismo motivo, han querido darle un nuevo giro gracias a la magia de David Otero.\nTanto el ex integrante de ‘El canto del loco’ como Despistaos han hecho un trabajo de lo más excepcional, por ese mismo motivo hemos querido presentártelo. A continuación no solamente encontrarás el audio oficial del tema, así como la letra completa. Estamos seguros de que te encantará.\nLetra de la canción "En tus manos" de Despistaos y David Otero en español\nÉramos reflejos de un tiempo mejor\nDejando que la vida abrazara nuestra espalda,\níbamos a tientas sobre aquel colchón\nQueriendo que la magia de esa luz no se acabara\nSin motor, volábamos contra reloj\nCreíamos que nunca terminaba este verano,\nY al caer el mundo se desvaneció\nPerdiéndonos sin mapa desatamos nuestros pasos,\nOoohhhh ohhhh oohhh ohhh\nPasajeros de un instante\nTú en tus llantos, yo en mis mares\nTú tan hueso, yo tan fiel\nTu tan quiero, yo tan siento\nTú en tus manos, yo también\nTú tan fuego de éste incendio, yo ceniza en un mantel\nTú tan verso, yo tan cuento\nDescubrí mil formas de sobrevivir\nJuntando los pedazos y abriendo las alas\nDuele tanto, y aún así a veces me acuerdo de ti\nY suelo imaginarte al otro lado de la cama\nTú en tus llantos yo en mis mares\nPasajeros de un instante,\nDespistaos en Happy FM: ”Las tiendas en las que vendían nuestros disco ahora no existen”


Café Lectura: el nuevo incentivo de librería Rosario - rosariolibros.com\nLa ciudad de Rosario, cuna del idioma rioplatense, por muchos años ha sido casa de escultores, músicos y escritores reconocidos a nivel mundial tales como Julio Cortázar o el más transcendente del siglo XX, Jorge Luis Borges.\nLibrería Rosario, como empresa, nace de la necesidad de los argentinos de adentrarse en el boom latinoamericano de lectura, que se dio aproximadamente en los años 60´s y 70´s con la influencia de Gabriel García Márquez, Mario Benedetti, Mario Vargas Llosa y otros personajes vanguardistas para la época político y social que se vivía en el momento, que se caracterizaban por tener un pensamiento crítico alejado de todos los preceptos que en ese momento dominaban el mundo.\nComo es natural, los jóvenes argentinos demandaron la adquisición de escritores del viejo continente, tales como Virginia Woolf, Dante Alighieri, Julio Verne, Fyodor Dostoevsky y los que, apenas para la fecha vislumbraban sus grandes obras en los Estados Unidos como la creadora de la millonaria saga de Harry Potter.\nHoy en día, se cataloga como una de las librerías más completas de Argentina, donde puedes conseguir infinidad de autores y obras para todos los gustos y edades, además de fungir como centro cultural de la ciudad y referente histórico por su amplia trayectoria.\nEstá ubicada en pleno casco histórico de la ciudad y goza de una amplia vista de la ciudad en su cómoda terraza al aire libre, donde se organizan actividades como lecturas guiadas, grupos de lecturas para niños, y exposición de nuevas obras de artistas emergentes de nuestro país.\nComo ya hemos mencionado anteriormente, esta librería es super completa y te garantizará una amena lectura. Ofrece muchísimas categorías tales como:\nEste año, la librería albergará una de las más grandes ferias de libro que se hayan visto en la ciudad, pues vendrán nuevos exponentes de diversos géneros literarios a nuestro país a hacer la preventa de sus libros. Al igual que exponentes infantiles que buscarán inmiscuir a los más pequeños de la casa en el arte de la lectura.\nPara los jóvenes adultos habrá una gran sorpresa, pues el youtubero venezolano, Ángel David Revilla, mejor conocido como Dross, famoso por sus videos con un tinte de oscuridad y terror, vendrá a dar una conferencia donde tendrá oportunidad de interactuar con sus fanáticos y firmar libros, ya que, en el pasado, nuestra librería le abrió las puertas para la publicación y venta de estos.\nTe aconsejamos entrar en nuestra página web para que compres desde ya tu entrada y disfrutes de este espectacular evento. Para más información puedes ingresar a nuestra sección especializada o dirigirte a las instalaciones y con gusto te atenderemos.\nCon la evolución del internet y los medios digitales, muchos jóvenes y niños están perdiendo ese placer de leer un libro en papel como en los tiempos de antes. A pesar de que las encuestas hablen de una relación en la cual, de 10 personas, 6 prefieran leer en papel, pues es una experiencia más sensorial. Suponemos que este estudio está basado en un rango de edad más avanzado.\nEs por ello por lo que, junto al Ministerio de Cultura y el círculo de lectores, se creó la iniciativa del Café Lectura. Este ambicioso proyecto buscará reivindicar la lectura en nuestra ciudad y hacer más amena esta grandiosa actividad.\nDicho proyecto comenzará con la construcción de un ala especial, dotada de amplias mesas, lámparas, sillas y una gran variedad de libros que podrás usar solo en las instalaciones de este espacio, un café bar donde podrás ordenar delicatessen como alfajores, medialunas, menú de café y bebidas sin alcohol.\nAdemás, contaremos con un área donde simplemente podrás reunirte con amigos a compartir una buena charla, dentro de una atmosfera de lectura y tranquilidad.\nEl acceso a esta ala de la librería será totalmente gratis, pero tendrás que afiliarte a nuestra tarjeta “Loyalty Card”, que te permite canjear puntos por las compras en nuestras instalaciones, así garantizaremos la fidelidad de nuestros clientes que nos apoyarán en este gran proyecto.\nPara mediados del año 2021 estará terminado y listo para el goce y disfrute de la población de Rosario en general, así que no te pierdas las últimas actualizaciones de todas nuestras actividades a través de la página web.


Emergencia hídrica empresas del Litoral siguen pagando impuestos\nTECNOLOGÍA hace 19 minutos Llega "Navidad Libre": conocé las mejores ofertas y descuentos de Mercado Libre para las Fiestas\nTECNOLOGÍA hace 14 minutos Informe de mercado de PrimeXBT: cómo impacta la nueva variante del COVID en criptomonedas y acciones\nACTUALIDAD hace 38 minutos Milei cree que hay que "eliminar" el Mercosur y se pregunta por qué "los gobiernos tienen que regular las transacciones comerciales"\niProfesional | Impuestos | Sin auxilio\nLa ayuda por la sequía que nunca llegó: las empresas del Litoral siguen pagando impuestos\nJefatura de Gabinete debía precisar la lista de localidades beneficiadas por la emergencia hídrica. Nunca lo hizo y la AFIP siguió cobrando como si nada\n15.11.2021 • 18.12hs •Impuestos\nUna promesa del Gobierno que está terminando como una gran mentira es la declaración de emergencia hídrica para las zonas del país afectadas por la gran bajante de la cuenca del río Paraná durante este año.\nEl 26 de julio pasado se publicó en el Boletín Oficial el Decreto que declaró la emergencia hídrica por 180 días corridos en los territorios abarcado por la cuenca del río Paraná que afectó a las provincias de Formosa, Chaco, Corrientes, Santa Fe, Entre Ríos, Misiones y Buenos Aires, sobre los márgenes de los ríos Paraná, Paraguay e Iguazú, recordó Héctor Astrada, socio de BDO Argentina.\nSin embargo, al día de hoy la Jefatura de Gabinete no publicó el listado de localidades que se beneficiarían, entre otras cosas, de diferimientos impositivos por parte de la AFIP, aclaró Astrada.\nPor este motivo, ya pasaron 5 meses sin que se aplicaran esos diferimientos y, entre tanto, vencieron el Impuesto a las Ganancias, varios meses de IVA y de contribuciones patronales, así como del Monotributo, entre otros.\nLa emergencia hídrica fue establecida por 180 días, por lo que vence a fines de enero, y mientras tanto, nunca se aplicó.\nLa AFIP debía adoptar medidas respecto de los contribuyentes cuyo establecimiento productivo se encontrase en las localidades que determinara la Jefatura de Gabinete de Ministros.\nLas empresas debieron beneficiarse con el decreto de emergencia hídrica pero no se concretó\nLA AFIP, a la espera\nEl 21 de septiembre, la AFIP dio a conocer esas medidas, otorgando un plazo adicional de 5 meses para la presentación y/o pago de los saldos resultantes de las declaraciones juradas y –en su caso- anticipos que vencieran durante la vigencia de la emergencia, indicó Astrada.\nOtorgó los beneficios para los siguientes impuestos: Ganancias, Bienes Personales, IVA, Fondo para la educación y promoción cooperativa y las las contribuciones de la seguridad social, al régimen previsional de trabajadores autónomos y al Monotributo, explicó.\nAsimismo, suspendió hasta el 1 de febrero de 2022 las intimaciones por falta de presentación de declaraciones juradas y/o pago de obligaciones, así como la iniciación de los juicios de ejecución fiscal y la traba de embargos y otras medidas cautelares, añadió Astrada.\n"Estas facilidades, por cierto muy atractivas en los tiempos que corren, ha sido muy valoradas por los damnificados de la emergencia", afirmó.\n"Lo curioso y, a esta altura de los acontecimientos, inaudito, es que al día de la fecha aún no se ha dado a conocer el listado de localidades, al punto que, como consecuencia de ello, la AFIP ha debido modificar el plazo originalmente previsto para que los contribuyentes solicitaran el beneficio", subrayó Astrada.\nEn tal sentido, la AFIP extendió el plazo para solicitar los beneficios por la emergencia hídrica hasta el próximo 17 de diciembre.\nLos monotributistas y las empresas debían diferir 5 meses los vencimientos pero no se puso en marcha\nSin una solución\n"La extensión del plazo otorgada por la AFIP lejos está de constituir una solución. Lo sucedido hasta ahora ha desnaturalizado el alivio buscado y amenaza con tornarlo abstracto para aquellos que, al aguardo de definiciones hayan decidido no correr riesgos y afrontar las obligaciones al vencimiento original", remarcó Astrada.\nMuchas empresas presentaron la solicitud del diferimiento impositivo por diversos vencimientos, pero la AFIP no lo pudo otorgar, al no saber si esas compañías realmente están ubicadas en localidades que finalmente resultarán beneficiadas por la emergencia hídrica.\n"De poco sirve un nuevo plazo para solicitar un beneficio al que nadie sabe si tendrá derecho y que ha quedado injustificadamente sin definición en un aspecto esencial y constitutivo", opinó Astrada.\n"Dado que la vigencia de la emergencia hídrica finaliza en enero próximo, más de la mitad de los vencimientos ya se han producido y, de no mediar la inmediata publicación de las localidades, los contribuyentes presuntamente beneficiados seguirán inmersos en una situación de incertidumbre inédita", subrayó.\nY concluyó que "sería deseable que se reconsidere el escenario en su totalidad y que se extienda el lapso de la vigencia original de la emergencia hídrica, de modo tal que la AFIP habilite el beneficio a futuros nuevos vencimientos. Y, por supuesto, que alguien publique el bendito listado".\nafip impuesto ganancias bienes personales monotributo