DINÂMICA II - APOSTILA | Cinemática | Massa\nSalvarSalvar DINÂMICA II - APOSTILA para ler mais tarde\nProf. DSc. Valtency F. Guimares\nBibliografia B Bsica: HIBBELER, R.C. Dinmica Mecnica para Engenharia, 12 ed. Editora Pearson. 2010. BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecnica Vetorial para Engenheiros: Dinmica, 7 ed., Mc Graw Hill, 2006. MERIAM, J. L. Dinmica. 2 Edio. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonalves e Jos Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 1989. Bibliografia Complementar: SHAMES, I. H. Dinmica. Mecnica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003. GIACAGLIA, G. E. O. Mecnica Geral. Campus, 1982. KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecnica - Dinmica. 5 Edio. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2003. 496p. NORTON, Robert L. Projeto de Mquinas Uma abordagem integrada. Traduzido por Joo Batista de Aguiar et al. 2 Edio. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p. ARFKEN, George B. Fsica Matemtica: Mtodos Matemticos para Engenharia e Fsica. 2 Traduzido por Arlete Simille Marques. 1 Edio. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p.\nIntroduo - Dinmica\nCinemtica plana de corpos rgidos\n1. Introduo 2. Corpos Rgidos 2.1 - Movimento de translao 2.2 - Movimento de rotao i - breve reviso - Rotaes e Velocidade Angular i i - Acelerao Angular i i i - Rotao com Acelerao Angular Constante iv - Relao entre Velocidade e Acelerao, Lineares e Angulares 3. Atividades Introdutrias\nO fenmeno mais bvio e fundamental que observamos nossa volta o movimento. Praticamente todos os processos imaginveis tm como origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro da galxia; os eltrons, em movimento no interior dos tomos, do lugar absoro e emisso da luz e, no interior de um metal, produzem corrente eltrica; as molculas de um gs, em movimento aleatrio, do origem presso e aos processos de difuso. Nossa experincia diria nos mostra que o movimento de um corpo influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto , pelas interaes com eles. Num tubo de televiso ou no monitor de um sistema de computao, por exemplo, o feixe de eltrons deve mover-se de forma a produzir uma 4 imagem na tela.\nUm dos objetivos dos fsicos e dos engenheiros descobrir a relao existente entre os movimentos e as interaes que os produzem e dispor as coisas de modo a produzir movimentos teis. Para anlise e previso do movimento de partculas (ou de corpos rgidos) resultante de diferentes tipos de interaes, alguns conceitos primordiais como momento, fora, e energia foram criados. Estes conceitos so to importantes que raramente podemos analisar um processo sem expresslo em termos destes conceitos.\n2 - Corpos Rgidos\nA mecnica de Newton uma mecnica voltada para o estudo do movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecnica de Newton a mecnica do ponto. Mas os casos de maior interesse so aqueles em que estudamos no uma partcula (um ponto), mas um sistema de partculas, ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos puntiformes. As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rgido um sistema constitudo de partculas (tomos, por exemplo) agregadas de um modo tal que a distncia entre as vrias partes que constituem o corpo (ou o sistema) no varia com o tempo (no mudam), ou seja, as distncias entre as vrias partes que compem o corpo so 6 rigorosamente constantes.\nPode-se dizer ento que um Corpo Rgido pode ser definido como um corpo em que todos os pontos materiais conservam as distncias entre si, mesmo sob aplicao de um esforo externo. Um corpo rgido executa basicamente dois tipos de movimento: movimento de translao, quando todos os pontos percorrem trajetrias paralelas, como em (A), e movimento de rotao, quando os pontos percorrem trajetrias circulares, como em (B).\nDestaca-se, porm, que o caso mais genrico do movimento de um corpo rgido dado no exemplo (C); ou seja, uma combinao de translao e rotao.\nA figura abaixo mostra o movimento parablico do centro de massa de um objeto lanado ao ar, enquanto o objeto gira em torno do seu centro de massa.\n2.1 - Movimento de translao\nO movimento de translao pode ser analisado observando-se exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento de translao se o seu centro de massa se desloca medida que o tempo passa. Assim, o movimento de translao do corpo rgido est associado ao movimento do centro de massa. O que provoca o movimento de translao so as foras externas agindo sobre o corpo rgido. O corpo rgido se desloca de tal forma que tudo se passa como se todas as foras estivessem atuando sobre o centro de massa. Nos movimentos de translao valem as leis de Newton e a conservao da quantidade de movimento.\nSeja um corpo rgido em translao e sejam e duas partculas quaisquer no interior do corpo. Num sistema de referncia fixo, define-se: Derivando a expresso em relao ao termo, obtm-se:\nOu seja, quando um corpo rgido se encontra em translao, todos os pontos do corpo tm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a 10 mesma acelerao.\nPara um corpo que se move uma distncia s durante um intervalo de tempo t sua velocidade mdia definida como: vm = s\nA velocidade instantnea v definida como o limite para o qual tende esta razo quando t se aproxima de zero: s ds\nSe a velocidade do corpo variar v num intervalo de tempo t, ele tem uma acelerao mdia definida como: am = v2 v1 = v\nt 2 t1 t\ne a acelerao instantnea a definida como limite desta razo quando t v dv tende a zero: a = lim =\n2.2 - Movimento de rotao\nO outro movimento do corpo rgido o movimento de rotao, que se observa sempre que um torque a ele aplicado, como num pio. Por exemplo, em espetculos de patinao artstica no gelo, frequentemente se v uma patinadora girar em torno de si mesma com os braos abertos na horizontal.\nAo encolher os braos sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular aumenta consideravelmente. A distribuio de massa do corpo no espao 12 afeta a rotao.\nNo movimento de translao, quando a mesma fora aplicada a objetos de massas diferentes, observam-se aceleraes diferentes. J no movimento de rotao, quando o mesmo torque aplicado em objetos idnticos com distribuio diferente de massa, observam-se aceleraes angulares diferentes. Ento, no a massa que afeta a velocidade angular da patinadora mas a distribuio da massa do seu corpo. Essa distribuio pode ser expressa atravs de uma quantidade denominada momento de inrcia.\ni - breve reviso - Rotaes e Velocidade Angular\nVamos relembrar o movimento dos corpos extensos (corpos slidos), aqueles corpos que no podem ser tratados como tendo toda a massa concentrada em ponto. Que pode mudar tanto a sua posio quanto a sua direo. Objetos que apresentem movimento de rotao em torno de um eixo prprio. A descrio do movimento de um corpo extenso requer, em geral, trs ngulos de orientao assim como as trs coordenadas do seu centro de massa. z\nQuando um corpo slido gira em torno de um eixo prprio, as coordenadas x, y e z de cada ponto no corpo aumentam e diminuem continuamente medida que o objeto percorre uma trajetria circular.\nComo o uso de coordenadas x, y e z , em geral, uma forma sofisticada de descrever as rotaes, n z e sendo elas confinadas em um nico plano facilmente descritas por um r ngulo, isto ser considerado nesta r reviso.\nLembrando que nos familiar a utilizao de medidas envolvendo ngulos (graus e radianos). 16\nConsidere o comprimento S do segmento de um crculo contido em um ngulo , como indicado na figura (a). Se o crculo tem um raio r, o comprimento de sua circunferncia dado por C = 2r\nEnto, s = 360 2r , com em graus. Vemos que, para um dado ngulo , s e r so proporcionais. Devido ao frequente uso da relao de proporcionalidade entre r e s na dinmica das 17 rotaes, bastante conveniente definir: S = r , com em radianos.\nNa figura (b), a linha de referncia OP de um corpo em rotao faz um ngulo 1 com a linha de referncia fixa OX, em um instante t1. Num instante posterior t2 o ngulo cresceu para 2. A velocidade angular mdia ( ) do corpo, no intervalo entre t1 e t2, definida como a razo entre o deslocamento angular = 2-1 e o intervalo de tempo t = t2 - t1:\nA velocidade angular instantnea definida como o limite para o qual tende esta razo quando t aproxima de zero:\nComo o corpo rgido, a velocidade angular uma caracterstica do corpo como um todo e no somente de uma linha nele situada. Se o ngulo for medido em radianos, a unidade de velocidade angular o radiano por segundo (rad/s). Outras unidades como, por exemplo, rotaes por minuto (r.p.m.), so de uso comum.\ni i - Acelerao Angular\nSe a velocidade angular de um corpo variar, diz-se que ele tem uma acelerao. Se 1 e 2 forem as velocidades angulares instantneas, no tempo t1 e t2 a acelerao angular mdia definida como:\ne a acelerao angular instantnea definida como limite desta razo quando t tende a zero: A unidade de acelerao angular o rad/s2 = 1/s2. A velocidade angular e a acelerao angular so exatamente anlogas velocidade e acelerao lineares. Sendo = d/dt, a acelerao pode ser escrita como: 20\ni i i - Rotao com Acelerao Angular Constante\nO caso mais simples de movimento de rotao acelerado aquele no qual a acelerao constante. Neste caso, as expresses da velocidade e do deslocamento angulares so facilmente encontradas por integrao. Tem-se: Se o a velocidade angular quando t = 0, segue-se que C1 = o e podese escrever: Como = d/dt, temos: cuja soluo Ou, de outra forma:\nA Tabela mostra a analogia entre as equaes do movimento com acelerao angular constante e as do movimento com acelerao linear constante.\nMovimento com acelerao linear constante a = constante Movimento com acelerao angular constante = constante\niv - Relao entre Velocidade e Acelerao, Lineares e Angulares\nQuando um corpo rgido est animado de rotao em torno de um eixo fixo, cada ponto do corpo descreve um crculo cujo centro est sobre o eixo de rotao e cujo plano perpendicular ao eixo. Existem algumas relaes simples e teis entre a velocidade e a acelerao angulares do corpo em rotao e a velocidade e acelerao lineares dos seus pontos.\nSeja r a distncia do eixo ao um ponto P do corpo que se move sobre uma circunferncia de raio r. Quando o raio faz um ngulo com o eixo de referncia, a distncia s percorrida pelo ponto P s = r Derivando ambos os membros desta equao em relao a t e tendo em ds d v = r vista que r constante, vem: ds = rd =r\nDiferenciando a equao da velocidade em funo do tempo temos: a = dv = r d = r , onde r constante.\nA componente radial v2/r da acelerao do ponto P tambm pode ser expressa em termos da velocidade angular: 24\nIsto verdade mesmo quando e v no so constantes. As equaes radial e tangencial da acelerao de um ponto arbitrrio de um corpo em movimento de rotao so representadas na figura a seguir.\n3. Atividades Introdutrias\n1. Um corpo rgido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. possvel que a acelerao angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o equivalente linear desta situao? Ilustre ambas as situaes com exemplos. 2. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua borda. O ponto tem acelerao radial quando a roda gira com velocidade angular constante? Tem acelerao tangencial? 3. Qual a relao entre as velocidades angulares de um par de engrenagens acopladas, de raios diferentes? 26\no As variveis de Rotao 4. Uma roda gira com uma acelerao angular dada por: = 4at3 3bt2, onde t o tempo, e a e b so constantes. Se 0 a velocidade angular inicial e 0 a posio angular inicial da roda, deduza as equaes para: (a) a velocidade angular, e (b) o deslocamento angular em funo do tempo.\n5. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Est montada sobre um eixo fixo e gira razo de 2,5 rev/s. Voc pretende atirar uma flecha de 20 cm de comprimento atravs da roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto os raios sejam muito finos; veja a figura.\n(a) Qual a velocidade mnima que a flecha deve ter? (b) A localizao do ponto que voc mira, entre o eixo e a borda da roda, 28 tem importncia? Em caso afirmativo, qual a melhor localizao?\n6. Um pino rosqueado com 12 voltas/cm e dimetro 1,18 cm montado horizontalmente. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se ajustar ao pino aparafusada nele; veja a figura. A barra gira a 237 rev/min. Quanto tempo levar para a barra se mover 1,50 cm ao longo do pino?\n7. Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com acelerao angular constante at alcanar a rotao de 10 rev/s. Depois de completar 60 revolues, sua velocidade angular 15 rev/s. Calcule: (a) a acelerao angular, (b) o tempo necessrio para completar as 60 revolues; (c) o tempo necessrio para alcanar a velocidade angular de 10 rev/s; (d) o nmero de revolues desde o repouso ate a velocidade de10 rev/s.\no As variveis Lineares e Angulares 8. Uma turbina com 1,20 m de dimetro est girando a 200 rev/min. (a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? (b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda? (c) Que acelerao angular constante (rev/min2) aumentar a sua velocidade para 1000 rev/min em 60 s? (d) Quantas revolues completar durante esse intervalo de 60 s?\n9. Um mtodo antigo de se medir a velocidade da luz utiliza uma roda dentada girante. Um feixe de luz passa por uma fenda na borda da roda, como na figura, propaga-se at um espelho distante e retorna roda no tempo exato para passar atravs da fenda seguinte na roda. Uma destas rodas dentadas possui raio de 5,0 cm e 500 dentes em sua borda. Medidas tomadas quando o espelho se encontrava distncia de 500 m da roda indicaram uma velocidade de 3,0.105 Km/s.\n(a) Qual era a velocidade angular (constante) da roda? (b) Qual era o mdulo da velocidade linear em um ponto em sua borda? 32\n10. As lminas de um moinho de vento partem do repouso e giram com acelerao angular de 0,236 rad/s2. Quanto tempo passa at que um ponto da lmina assuma os mesmo valores para os mdulos da acelerao centrpeta e da acelerao tangencial?\n11. Um corpo rgido se move no plano de xy de forma que x = R.cost e y = R.sent, sendo x e y as coordenadas do objeto, t o tempo e R e constantes. (a) Elimine t entre estas equaes para encontre a equao da curva na qual o objeto se move. Que curva essa? Qual o significado da constante ? (b) Derive as equaes de x e y em relao ao tempo para encontrar as componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para encontrar o mdulo, a direo e o sentido de v.Descreva o movimento do objeto. (c) Derive vx e vy com relao ao tempo para obter o mdulo, a direo e o sentido da acelerao resultante.\nCinemtica dos Corpos Rgidos - Dinmica\nMovimento de Corpos Rgidos 1 - Movimento Absoluto 2 - Movimento Relativo: Velocidade 2.1 - Posio 2.2 Deslocamento 2.3 Velocidade 3 - Centro Instantneo de Velocidade Nula 3.1 Definio 3.2 - Localizao 4 - Movimento Relativo: Acelerao\nMovimento de Corpos Rgidos Para estudar a cinemtica dos corpos rgidos devemos estabelecer as relaes que existem entre o tempo, as posies, as velocidades e as aceleraes dos vrios pontos materiais que formam um corpo rgido. Como veremos, os diversos tipos de movimento de um corpo rgido podem ser relacionados:\n1. Translao. Diz-se que um movimento de translao quando qualquer reta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direo durante o movimento. Pode-se observar tambm que na translao todos os pontos materiais que formam o corpo deslocam-se segundo trajetrias paralelas. Se estas trajetrias so retas, diz-se que o movimento uma translao retilnea; se as trajetrias so curvas, o movimento uma translao curvilnea.\n2. Rotao em torno de um Eixo Fixo. Neste movimento, os pontos materiais que formam o corpo rgido se deslocam em planos paralelos ao longo de circunferncias, cujos centros esto sobre uma mesma reta fixa, como mostrado na figura abaixo. Se essa reta, chamada de eixo de rotao, intercepta o corpo rgido, os pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e acelerao nulas.\nNo se deve confundir o movimento de rotao com certos tipos de translao curvilnea. Por exemplo, a placa ilustrada na Figura (a) est em translao curvilnea, havendo grupos de pontos materiais deslocando-se segundo circunferncias paralelas. Enquanto a placa ilustrada na Figura (b) est em rotao, j que todos os pontos materiais descrevem circunferncias concntricas. No primeiro caso, qualquer reta da placa conserva a mesma orientao, enquanto, no segundo, o ponto O permanece fixo.\n3. Movimento Plano Geral. H outros tipos de movimento plano, isto , movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em planos paralelos. Qualquer movimento plano que no seja de rotao ao redor de um eixo fixo sem translao, considera-se como um movimento plano geral. Dois exemplos de movimento plano geral so dados na Figura abaixo.\n4. Movimento em torno de um Ponto Fixo. Este movimento tridimensional de um corpo rgido com um ponto fixo O. Um exemplo tpico o movimento de um pio sobre o solo.\n5. Movimento Geral. Qualquer movimento de um corpo rgido que no esteja includo nos tipos anteriormente mencionados denominado movimento geral.\nSer abordado o movimento de translao, a rotao de um corpo rgido em torno de um eixo fixo. Definiremos a velocidade angular e a acelerao angular do corpo e relacionaremos a velocidade e acelerao de um ponto qualquer do corpo com seu vetor de posio e as quantidades angulares mencionadas. Sero estudados mecanismos como engrenagens, barra de conexo e articulaes; bem como o mtodo de anlise das velocidades no movimento plano que se baseia no conceito de centro instantneo de rotao.\nO movimento absoluto completamente definido pelo conhecimento da rotao de uma linha fixa do corpo e do movimento de um ponto desse corpo. Uma maneira de definir esses movimentos utilizar uma coordenada de posio retilnea s para situar o ponto em sua trajetria e uma coordenada de posio angular para especificar a rotao da linha. A velocidade e a acelerao de um ponto P em movimento retilneo podem ser relacionadas com a velocidade e a acelerao angulares de uma linha pertencente ao corpo pela aplicao direta das equaes diferenciais: ds dv d d\nrelacionar o movimento de um corpo com o de outro a ele conectado; e estudar o movimento de um corpo sujeito a 42 uma rotao em torno de um eixo fixo.\nExemplo 1: A barra DC gira uniformemente em torno do eixo em D com uma velocidade angular constante. Determinar a velocidade e a acelerao da barra AB que obrigada pelas guias a se mover verticalmente.\nSoluo: Analisando o movimento vertical da barra, para sua coordenada y podemos escrever: & & && sen .& 2 ) & = v y = l cos . & = a y = l (cos . y = lsen y y\n&& = = 0; Como vAB = vy , aAB = ay , & = e Temos: v = l cos . = .l. cos a y = 2 .l.sen y\nExemplo 2: O bloco B desliza para a direita com a velocidade de 300 mm/s. Calcule as velocidades do corpo deslizante A e dos pontos C e D dos cabos.\nSoluo: Considerando os deslocamentos constantes representado podemos escrever:\n3 x A 2 x B = cte 3 2v dx A dx = 2 B vA = B 3 dt dt\nComo vB = 300 mm/s vA = 200 mm/s Para encontrar a velocidade do ponto C:\n3 x A xC = cte 3 dx A dxC = vC = 3v A dt dt\nComo vA = 200 mm/s vC = 600 mm/s Para o ponto D: dx dx x A + xD = cte A = D vD = v A dt dt Ento vD = - 200 mm/s\nAtividades 1. Uma roda de raio r rola sobre uma superfcie plana sem deslizar. Determinar (a) o movimento angular da roda, em funo do movimento linear do seu centro O e (b) a acelerao de um ponto na extremidade da roda, quando o ponto entra em contato com a superfcie sobre a qual a roda rola. R: (a) s = r.; v0 = r. ; a0 = r.; (b) ay = r.2\n2. Considerando que a mola mantm o contato entre o rolete e a superfcie de acionamento da haste mostrada na figura, determine a acelerao da haste B para = 60. A manivela AO tem uma velocidade angular de 2 rad/s e uma acelerao angular de 6 rad/s2 nessa posio. R: -37,1 mm/s2\n3. Ao ponto A fornecida uma acelerao constante a para a direita, partindo do repouso com x praticamente nulo. Determine a velocidade angular da barra de ligao AB em funo de x e de a. R: =\n2ax 4b 2 x 2\n4. O brao ranhurado AO mostrado na figura gira com uma velocidade angular constante durante um intervalo limitado de seu movimento, e move o bloco deslizante pivotado ao longo da ranhura horizontal. Escreva as expresses para a velocidade vB e para a acelerao aB do bloco deslizante em funo de . R: vB = b sec2 , aB = 2b2 sec2 tg\n5. A extremidade R da barra mostrada na figura mantm-se em contato com a came por meio de uma mola. Se a came gira em torno de um eixo pelo ponto O, com uma acelerao angular e velocidade angular , determine a velocidade e a acelerao da barra quando a came tem uma posio arbitrria .\nR: vR = -2rsen ; aR = -2r(sen + 2cos2 )\n6. Usa-se o mecanismo para converter o movimento de rotao com velocidade angular constante = 4 rad/s da barra AB, de comprimento l = 50 cm, em movimento de translao da barra CD. Determine a velocidade e a acelerao de CD para um ngulo = 45.\nR: vx = - 4,41 m/s; ax = - 5,66 m/s2\n7. A carga L iada pela combinao polia-cabo. Se o sistema parte do repouso e o cabo superior adquire uma velocidade igual a v = 4 m/s com acelerao constante quando a carga est a 6 m acima da sua posio de partida, calcular a acelerao da carga e determinar a sua velocidade neste instante. R: a = 0,0208 m/s2\nPara visualizar as componentes (translao e rotao) separadamente utiliza-se uma anlise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos de eixos coordenados:\n. o sistema x, y, z fixo; mede a posio absoluta entre dois pontos, A e B por exemplo. . outro sistema x', y', z'; com origem fixada no ponto de referncia A (que tem um movimento conhecido). Estes eixos no giram com o corpo, 54 eles podero apenas transladar em relao ao sistema fixo.\nrA: vetor posio que caracteriza a localizao do ponto de referncia A. rB/A: posio relativa que localiza B em relao A. A posio de B escrita:\nMOVIMENTO RELATIVO: Velocidade - Deslocamento Num pequeno intervalo de tempo dt, os pontos A e B se deslocam de drA e drB. Considerando o movimento plano geral por partes, pode-se inicialmente transladar o corpo como um todo de uma quantidade drA de modo que o ponto da base se move para posio final, e B se move para B'. O corpo ento gira de um ngulo d em torno de A, de modo que B' sofre um deslocamento relativo drB/A, movendo para sua posio final B.\nO deslocamento se escreve:\nTomando as velocidades como derivadas dos deslocamentos, tem-se:\nvB: velocidade absoluta do ponto B (medida em relao aos eixos fixos x, y, z). vA: velocidade absoluta do ponto A (medida em relao aos eixos fixos x, y, z). vB/A: Velocidade relativa do ponto B em relao ao ponto A. Devido a rotao em torno de A, escreve-se:\nA rotao em torno de A um movimento relativo circular, em que o mdulo da velocidade v = rB/A e sua direo perpendicular a rB/A. Uma vez que a velocidade relativa (vB/A) representa o efeito de um movimento circular em relao a A, esse termo pode ser expresso pelo produto vetorial: Ento:\nExemplo 1 Uma roda de raio r rola para a esquerda sem deslizar e, no instante considerado, o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda. Determinar a velocidade dos pontos A e C sobre a roda no instante mostrado.\nResoluo: A velocidade de A pode ser determinada usando-se O como ponto de referncia da equao: r r r onde v A / 0 = r0 v A = v0 + v A / 0 r r r r v A = v0 + rA / 0 v A = v0 + .r0\nComo a roda no desliza, o ponto C apresenta velocidade nula no instante do contato com o solo e , consequentemente, o centro instantneo de velocidade nula. 60\nExemplo 2 A conectora OB do mecanismo oscila em torno de O formando um arco limitado, o que faz com que a conectora AC passe a oscilar em torno de C. Quando o mecanismo passa pela posio mostrada com OB normal ao eixo x e CA normal ao eixo y, a velocidade angular de OB 2 rad/s no sentido horrio e constante. Para este instante, calcular as velocidades angulares de CA e AB.\nResoluo: Os movimentos das trs barras podem ser descritos, igualando-se o movimento de A, em sua trajetria circular absoluta em torno de C, ao movimento de A determinado a partir do seu movimento relativo a B. A r r r equao correspondente : v A = vB + v A / B Que pode ser escrita como: CA rA = OB rB + AB rA / B\n+ 100 jmm; rA / B = 175i jmm onde CA = CA k ; OB = 2krad / s; AB = AB k ; rA = 75imm; rB = 100 r r r r r r\nA substituio fornece:\n100 ( 175 i ) = ( 2 k + 100 j ) + AB k j) ( CA k 75i 175 AB j = 200 i j 100 AB i 75 CA\nIgualando-se os respectivos coeficientes dos termos i e j e temos: 75 CA = 175 AB 0 = 200 100 AB e Cujas solues: AB = 2 rad/s e CA = 4,67 rad/s\nComo o vetor unitrio aponta para dentro do papel na direo de z positivo, v-se que a velocidade angular de AB no sentido anti-horrio e que a de 63 CA no sentido horrio.\nAtividades 1. O cilindro rola sem deslizar sobre a superfcie de uma correia transportadora que se move a 2 m/s. Determine a velocidade do ponto A. O cilindro tem uma velocidade angular no sentido horrio = 15 rad/s no instante mostrado. R: v = 12,5 m/s\n2. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionria; a velocidade do seu centro A 1,2 m/s para a direita e sua velocidade angular igual a 8 rad/s no sentido horrio. Determine os mdulos das velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. R: vR = 2 m/s; vD = 1,7 m/s\n3. O carrinho mostrado na figura tem uma velocidade de 1,2 m/s para a direita. Determine a velocidade angular da roda de modo que o ponto A no topo de sua borda tenha uma velocidade (a) igual a 1,2 m/s para a esquerda, (b) igual a zero e (c) igual a 2,4 m/s para a direita. R: (a) 91,7 rpm, (b) 45,8 rpm, (c) 45,8 rpm\n4. O cubo da roda rola sem escorregar na superfcie horizontal. Se a velocidade de seu centro vC = 2 m/s para a direita, determine o mdulos das velocidades dos pontos A e B, mostrados na figura. R: vA = 2,84 m/s; vB = 7,37 m/s\n5. O elemento de controle de um mecanismo de aplicao especfica submetido a um movimento no plano da figura. Se, em um determinado instante, a velocidade do pino B em relao ao pino A tem um mdulo de 0,926 m/s, qual o mdulo correspondente da velocidade do pino C relativamente ao pino D? R: vC/D = 0,579 m/s\nCENTRO INSTANTNEO DE VELOCIDADE NULA\n- Definio A expresso da velocidade relativa permite calcular a velocidade de um ponto quando conhecemos a velocidade de um ponto base. Esta determinao se simplifica quando a velocidade do ponto base nula. O ponto base se torna o Centro Instantneo de velocidade nula (CI) Centro Instantneo de Rotao (C.I.R.). Ento:\nO eixo de velocidade nula perpendicular ao plano do movimento. 69 Os pontos se movem em trajetria circular em torno do CI.\nA figura mostra uma roda girando com velocidade angular . Como os pontos em contato tm a mesma velocidade, no contato com o piso v = 0, este ponto o CI e todos os outros pontos tm naquele instante uma trajetria circular em relao ao CI.\nEm geral, um novo centro instantneo CI existir para cada nova posio do corpo durante o seu movimento. O lugar geomtrico desses centros no espao conhecido como centrodo espacial, e o lugar geomtrico sobre o 70 corpo (ou prolongamento do corpo) conhecido como centrodo de corpo.\n- Localizao Em funo das grandezas conhecidas, podemos distinguir trs casos: 1. A velocidade instantnea vA e a velocidade angular so conhecidas. Ento rA/CI = vA / .\nCENTRO INSTANTNEO DE VELOCIDADE NULA - Localizao\n2. As direes das velocidades de dois pontos A e B so conhecidas. Neste caso o CI localiza-se no ponto de encontro das perpendiculares s direes das velocidades nos pontos A e B.\n- Localizao 3. Os mdulos e direo de duas velocidades paralelas so conhecidas.\nrA/CI + rB/CI = d\nrB/CI rA/CI = d\nObs.: O CI s vale para um determinado instante. No significa que a 73 acelerao nula.\nExemplo Para o mecanismo da conectora-manivela, a manivela OB tem uma velocidade angular constante, no sentido horrio, de 1200 rpm. Para o instante no qual o ngulo da manivela = 30, determinar as velocidades do pisto A e do centro de massa G da barra conectora.\nO centro instantneo de velocidade nula C de AB est localizado na interseo das normais s direes conhecidas das velocidades de dois pontos A e B sobre a barra. As distncias radiais A, G e B esto em escala. A velocidade de B em seu movimento circular em torno de O pode ser calculado: r r r (1200 ) 2\nv B = rOB OB v B = 0,2\n= 25,1m / s\nA velocidade angular de AB a mesma que a velocidade angular do tringulo CBA considerado como prolongamento do corpo rgido AB e pode ser determinada: AB = CB CB = vB CB = 25,1 = 44,4rad / s rCB 0,566 no sentido anti-horrio.\nAs velocidades lineares de A e G so, ento:\nr r r v A = rAC AB v A = (0,383).(44,4) = 17,0m / s r r r vG = rGC AB vG = (0,395).(44,4) = 17,5m / s\nAtividades 1. O disco rola sem deslizamento sobre duas chapas A e B, as quais movem-se paralelamente uma a outra, mas em direes opostas. Se vA = 2 m/s e vB = 4 m/s, posicionar o centro instantneo de velocidade nula para o disco, e determinar a velocidade do ponto D no instante representado. R: vD = 3,16 m/s\n2. O mdulo da velocidade absoluta do ponto A sobre o pneu de um automvel de 12 m/s quando ocupa a posio mostrada. Quais so as correspondentes velocidades v0 do veculo e a velocidade angular da roda? (A roda rola sem deslizar) R: 8,49 m/s, 28,3 rad/s\n3. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior estacionria; a velocidade do seu centro A 1,2 m/s para a direita. Determine as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem usando o mtodo do centro instantneo de rotao. R: vR = 2 m/s; vD = 1,7 m/s\n4. A extremidade A da barra possui uma velocidade vA = 2 m/s para baixo durante um certo intervalo de seu movimento. Para a posio em que = 30, determine, pelo mtodo do centro instantneo de rotao, a velocidade angular da barra AB e a velocidade vG do centride G da barra. R: = 11,55 rad/s vG = 1,155 m/s,\n5. O eixo do conjunto da roda mostrada na figura rola sem deslizar sobre a superfcie horizontal fixa, e o ponto O possui uma velocidade de 0,8 m/s para a direita. Utilizando o procedimento do CI, determine as velocidades dos pontos A, B, C e D. R: vA = 4,8 m/s, vB = 3,2 m/s, vC = 4,08 m/s, vD = 3,92 m/s\n6. A lmina de uma ceifadeira mecnica gira no sentido anti-horrio a uma velocidade angular de 1800 rpm. Se o centrodo de corpo um crculo com 0,75 mm de raio, calcule a velocidade vO da ceifadeira. R: 0,1414 m/s\nMOVIMENTO RELATIVO: Acelerao\nUma equao que relaciona a acelerao de dois pontos de um corpo rgido sujeito a um movimento plano geral pode ser determinada pela derivao da equao de velocidade em relao ao tempo:\ne so aceleraes coordenadas fixo.\nmedido por um observador fixo ao sistema mvel em translao. O movimento relativo tem uma trajetria circular com raio rB/A. Ento:\nVoltando expresso da acelerao relativa: Pode-se escrever: Em que os mdulos so: : com direo perpendicular a rB/A : com direo igual a BA e o sentido de B para A. Estas componentes representam um movimento circular observado num referencial em translao. Podemos escrever, utilizando a noo de produto vetorial:\nPode-se concluir que quando dois corpos so articulados: - pontos coincidentes na rtula tm a mesma acelerao. o Descrevem a mesma trajetria; - se fazem contatos mas se movem em trajetrias diferentes tero a mesma acelerao tangencial (at); porm as aceleraes totais no sero iguais pois an diferente para cada trajetria.\nExemplo No exemplo do clculo da velocidade relativa, vimos a determinao das velocidades dos pontos A e C sobre a roda de raio r que rola para a esquerda sem deslizar no instante considerado. Vamos agora determinar as aceleraes destes mesmos pontos da roda no instante considerado, lembrando que o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda.\nResoluo: A acelerao de A dada por: aA = aO + aA/O, onde o termo da acelerao relativa tem as componentes:(aA/O)n = r02, dirigida de A para O, e a componente (aA/O)t = r0 dirigida ao longo de t. A adio dos vetores d aA. A acelerao do centro instantneo de velocidade nula C, considerado um ponto sobre a roda, obtida pela expresso: aC = aO + aC/O, em que as componentes da acelerao relativa so: (aC/O)n = r2, dirigida de C para O, e (aC/O)t = r, dirigida para a direita, para levar-se em conta a acelerao angular no sentido anti-horrio de linha CO em torno de O. Os termos so adicionados conjuntamente, e tem-se que: aC = r2.\nEnto: aA = aO + aA/O aA = aO + (aA/O)t + (aA/O)n aA = aO + r0 + r02 aC = aO + aC/O a C = r 2\nAssim sendo, a acelerao de C independente de e dirigida para o centro 88 do crculo. Essa concluso um resultado til para se guardar.\nMOVIMENTO RELATIVO: Acelerao Atividades\n1. O centro da dupla engrenagem j vista em problemas anteriores tem uma velocidade de 1,2 m/s para a direita e uma acelerao de 3 m/s2 na mesma direo e sentido. Determine: (a) a acelerao angular da engrenagem; (b) as aceleraes dos pontos B, C e D da engrenagem. R: (a) = -20 rad/s2; (b) aB = 8,1 m/s2 ac = 9,6 m/s2 aD = 13 m/s2\n2. O volante mostrado na figura possui um dimetro de 600 mm e gira aumentando sua velocidade de rotao em torno de seu eixo, que coincide com a orientao z. Quando o ponto P sobre sua borda cruza o eixo y com = 90, ele possui uma acelerao dada por . Para esse instante, determine a velocidade angular e a acelerao angular do volante. R: 6 rad/s2; 4 rad/s2\n3. As duas ps de rotor com 800 mm de raio giram no sentido anti-horrio com uma velocidade angular constante 2 rad/s em torno do eixo O montado em um bloco deslizante. A acelerao do bloco aO = 3 m/s2. Determine o mdulo da acelerao da ponta A da p quando (a) = 0, (b) = 90 e (c) = 180. A velocidade de O ou o sentido de influenciam o clculo? R: (a) 0,2 m/s2, (b) 4,39 m/s2, (c) 6,2 m/s2\n4. O centro O da roda montado em um bloco deslizante que possui uma acelerao aO = 8 m/s2 para a direita. Determine os mdulos das aceleraes dos pontos A e B para o instante em que = 45, = 3 rad/s, = - 8 rad/s2. R: aA = 12,8 m/s2, aB = 3,21 m/s2\n5. Para o instante representado na figura, o vrtice C da chapa retangular possui uma acelerao de 5 m/s2 no sentido negativo do eixo y, e a placa possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido horrio que diminui de 12 rad/s a cada segundo. Determine a acelerao do vrtice A nesse instante. R: aA = 11,18 m/s2\n6. O centro O do disco possui velocidade angular = 7,5 rad/s e acelerao angular = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola sem deslizar sobre a superfcie horizontal determine o mdulo da acelerao de B para esse instante. R: aB = 16,44 m/s2\n7. A bola mostrada na figura possui 0,5 m de raio e rola sem escorregar. Determine as aceleraes vetoriais dos pontos B e A. R: aA = (20 i + 2 j) m/s2; aB = (4 i 18 j) m/s2\nCintica dos Corpos Rgidos - Dinmica\nCINTICA PLANA DE CORPOS RGIDOS\nCintica Planar de Corpos Rgidos: Fora e Acelerao\n1. Introduo 2. Momento de inrcia de uma massa 3. Equaes Cinticas Planares do Movimento 4. Equao do movimento de translao 5. Equaes do movimento de rotao em torno de um eixo fixo 6. Equaes do movimento: movimento plano geral\nA cintica de corpos rgidos trata das relaes entre as solicitaes (foras e momentos) que atuam num corpo e o correspondente movimento (translao e rotao) desse corpo. As relaes cinemticas para o movimento plano de corpos rgidos foram anteriormente desenvolvidas, sendo agora necessrias neste estudo do movimento planar de corpos rgidos. Este estudo aplicado a movimentos planares de corpos rgidos que, tal como as solicitaes aplicadas, so considerados simtricos relativamente a um plano de referncia fixo. Este plano de referncia contm o centro de massa e todas as foras e momentos que atuam no corpo podem ser projetados para esse plano de referncia. 97\nUm corpo que tenha dimenses apreciveis na direo normal ao plano de referncia pode ser tratado como possuindo movimento plano. Estas idealizaes incluem claramente um vasto nmero de movimentos de corpo rgido. Uma forma bsica de abordar a Cintica pelo isolamento do corpo ou sistema a ser analisado. Para problemas que envolvem as relaes instantneas entre fora, massa e acelerao ou quantidade de movimento, o corpo ou sistema deve ser explicitamente definido isolando-se o mesmo com o seu diagrama de corpo livre.\nQuando forem empregados os princpios do trabalho e energia, um diagrama de foras que mostra somente aquelas foras externas que realizam trabalho sobre o sistema pode ser usado no lugar do diagrama de corpo livre. Nenhuma soluo de um problema deve ser tentada sem primeiro definir o contorno externo completo do corpo ou sistema, e identificar todas as foras externas que atuam sobre ele.\n2. Momento de Inrcia\nUma vez que um corpo rgido tem uma forma e tamanho definidos, um sistema de foras aplicadas ao corpo poder no ser concorrente, provocando momentos que iro resultar numa acelerao angular do corpo. O movimento de rotao descrito por uma equao do tipo\nr r M = I . G G\nonde o termo IG a quantidade designada por momento de inrcia.\nMomento de Inrcia Por comparao, pode-se afirmar que o momento de inrcia uma medida da resistncia do corpo acelerao angular, da mesma forma que a massa uma medida da resistncia do corpo acelerao, I = m.r2\nPropriedade de um objeto em resistir s mudanas no seu movimento angular. afetado pela massa do objeto e como esta est distribuda em relao ao eixo de rotao. Cada partcula fornece alguma resistncia mudana no movimento angular. Essa resistncia igual massa da partcula vezes o quadrado da 101 distncia da partcula ao eixo de rotao:\nComo calcular o momento de inrcia? Para o corpo representado na Figura 1 abaixo, o momento de inrcia relativamente ao eixo z definido como\n2 r .dm\nA distncia r medida na perpendicular a partir do eixo z at ao elemento de massa dm.\nMomento de Inrcia No estudo da cintica planar, o eixo em torno do qual normalmente se calcula o momento de inrcia passa no centro de massa G do corpo, sendo designado por IG . A unidade mais comum desta grandeza kg.m2.\nSe o corpo for constitudo por um material de massa volmica varivel, =(x,y,z), o elemento de massa elementar dm do corpo pode ser expresso em termos do seu volume e massa volmica dm = dV Substituindo dm, o momento de inrcia do corpo pode ser calculado por integrao usando elementos de volume, I = r 2 . .dV\nNo caso de = Cte , este termo pode ser colocado fora do integral, sendo a integrao funo apenas da geometria do corpo, 103 I = r 2 .dV\nMomento de Inrcia Quando o elemento de volume escolhido para integrao tem dimenses infinitesimais nas trs direes, dV = dx.dy.dz, o momento de inrcia tem de ser determinado por integrao tripla (Figura A). Este processo de integrao pode ser simplificado se o elemento de volume utilizado tiver dimenso ou espessura diferencial apenas numa direo. Elementos de volume do tipo casca (Figura B), ou do tipo disco (Figura C) so usados com frequncia para este fim.\n- Exemplo do clculo do Momento de Inrcia\n- Teorema dos eixos paralelos\nDesde que o momento de inrcia do corpo calculado relativamente a um eixo que passa no seu centro de massa seja conhecido, ento o momento de inrcia relativamente a qualquer outro eixo paralelo pode ser determinado, usando o teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner). Este teorema pode ser deduzido considerando o corpo representado na figura:\nO eixo z passa atravs do centro de massa, enquanto o eixo paralelo z se encontra afastado a uma distncia d. Escolhendo o elemento de massa dm, localizado no ponto (x, y), e usando o teorema de Pitgoras, r2 = (d + x)2 + y2\nPodemos expressar o momento de inrcia do corpo relativamente ao eixo z como\nI = r 2 dm = (d + x') + y'2 dm = x'2 + y'2 dm + 2d x' dm + d 2 dm\nComo r2 = x2 + y2, o primeiro integral representa IG . O segundo integral nulo, uma vez que o eixo z' passa no centro de massa do corpo, isto , x' dm = x ' dm = 0 , uma vez que x' = 0.\nFinalmente, o terceiro integral representa a massa total m do corpo. Assim, o momento de inrcia relativamente ao eixo z pode ser escrito como: 2\nI = I G + md\nSendo: IG m d momento de inrcia relativamente ao eixo z que passa no centro de gravidade G. massa do corpo 109 distncia medida na perpendicular entre os dois eixos paralelos.\n- Raio de girao\nO momento de inrcia relativamente a um determinado eixo frequentemente referido em termos do raio de girao, k. Esta grandeza tem unidades de comprimento, e quando conhecida juntamente com a massa, o momento de inrcia do corpo determinado a partir da equao ou\nI = md 2\nAssim, k uma medida da distribuio da massa de um corpo em torno do eixo em questo e a sua definio anloga definio de raio de girao para o momento de inrcia de rea. Se toda a massa m pudesse ser concentrada a uma distncia k do eixo, o momento de inrcia permaneceria inalterado. 110\n- Definies Raio de girao\na distncia terica do eixo de rotao onde toda a massa do objeto deveria estar concentrada para criar a mesma resistncia mudana no movimento angular que o objeto oferece no seu formato original.\nDependendo do eixo em torno do qual um objeto gira, seu momento de inrcia varia, apesar da massa ser a mesma. O momento de inrcia sempre relativo a um eixo de rotao. A distribuio da massa de um objeto mais significativa para o momento de inrcia do que a prpria massa. Para uma mesma massa, quanto mais afastada do eixo de rotao ela estiver distribuda (ou concentrada), maior o momento de inrcia.\n- Corpos Compostos\nO momento de inrcia de massa de um corpo composto a soma dos momentos de inrcia individuais relativos ao mesmo eixo. Pode-se utilizar o teorema dos eixos paralelos para relacionar o momento de inrcia de cada uma das partes no seu centro de massa, IG , com o do momento de inrcia no centro de massa do corpo. muitas vezes conveniente tratar um corpo composto como sendo definido por volumes positivos e volumes negativos. O momento de inrcia de um elemento negativo, como o material que removido para formar um furo, deve ser considerado como uma quantidade negativa.\nA tabela apresenta algumas das frmulas mais teis para os momentos de inrcia de corpos com as formas mais comuns.\n- INTERPRETAO ANGULAR DA 1 LEI DE NEWTON Princpio da conservao do momento angular O momento angular de um objeto permanece constante a menos que um torque externo resultante seja exercido sobre ele. A 1 lei de Newton no requer que a velocidade angular seja constante, mas sim que o produto do momento de inrcia pela velocidade angular seja constante, se no houver torques externos atuando.\nmomento de inrcia velocidade angular\nmomento angular constante\n- INTERPRETAO ANGULAR DA 2 LEI DE NEWTON Mudana no momento angular Se um torque externo for exercido sobre um objeto, este ir sofrer uma acelerao angular no sentido deste torque e essa acelerao angular ser diretamente proporcional ao torque e inversamente proporcional ao momento de inrcia do objeto. =T/I ou T = I\n- aumento ou diminuio da velocidade angular - mudana na direo do eixo de rotao - mudana no momento e inrcia Obs.: A acelerao angular do objeto ou uma mudana no seu momento de inrcia no necessariamente indica a presena de um torque externo 117 resultante.\n- INTERPRETAO ANGULAR DA 3 LEI DE NEWTON Para cada torque exercido por um objeto sobre o outro, o segundo exerce sobre o primeiro um torque de igual magnitude mas no sentido oposto. Os efeitos dos torques dependem dos momentos de inrcia dos objetos.\n3. Equaes Cinticas Planares do Movimento Devemos ter sempre em mente que este estudo limitado a movimentos planares de corpos rgidos que so considerados simtricos relativamente a um plano de referncia fixo.\nNeste caso a trajetria de cada partcula uma curva plana paralela ao plano de referncia. Uma vez que o movimento do corpo pode ser visto sob o plano de referncia, todas as foras e momentos que atuam no corpo podem ser projetados para o plano de referncia.\nEquaes Cinticas Planares do Movimento\nUm exemplo do movimento dum corpo pode ser visto na figura abaixo, em que o sistema inercial de referncia x, y, z, tem a sua origem coincidente com o ponto arbitrrio P do corpo. Por definio de sistema inercial, estes eixos no rodam e, ou esto fixos, ou transladam com velocidade constante.\n4. Equao do movimento de translao\nAs foras representadas na figura anterior so foras externas, que representam o efeito de foras gravitacionais, eltricas, magnticas ou de contacto com corpos adjacentes. Uma vez que este sistema de foras foi j estudado na anlise de um sistema de partculas, a equao que da resultou pode ser aqui usada: r r F = m.a G\nSoma de todas as foras = massa do corpo externas que atuam no corpo\nx acelerao do seu centro de massa\nEquao do movimento de translao\nPara o movimento do corpo no plano x-y, a equao do movimento r r F = m . a G pode ser escrita sob a forma de duas equaes escalares independentes, uma vez que no existe nenhum movimento angular de translao do corpo; e assim, a acelerao angular igual a zero. r r M = I . G G =0 Ento as equaes do movimento que se aplicam neste caso so:\nF = m(a ) F = m(a ) M =0\nPara a translao retilnea, se a direo de x escolhida como sendo a da acelerao, ento as duas equaes escalares para as foras so:\n= m(aG )x\n= m(aG ) y = 0\nPara a translao curvilnea, utilizando-se o sistema de coordenadas n-t, as duas equaes escalares para as foras ficam: Fn = m(aG )n\n= m(aG )t\nPode-se empregar uma equao alternativa de momentos com o auxlio do diagrama cintico. Ento, para a translao retilnea tem-se M P =mad M A =0 e para translao curvilnea o diagrama cintico permite escrever M A =man d A no sentido horrio e M B =mat d B no sentido anti-horrio.\nAssim, tem-se total liberdade de escolher o ponto em relao ao qual os momentos devem ser calculados, adotando-se, portanto, aquele que for mais adequado.\n- Movimento de translao\nUma caminhonete de 1500 Kg atinge uma velocidade de 50 Km/h, a partir do repouso, em uma distncia de 60 m subindo uma ladeira com 10 % de inclinao, com acelerao constante. Calcule a fora normal exercida pela pista sobre cada par de rodas e a fora de atrito atuante nas rodas motoras na traseira. Sabe-se que o coeficiente de atrito efetivo entre os pneus e a pista de no mnimo 0,8, e que a acelerao gravitacional 9,81 m/s2.\nResoluo: Admite-se que as massas das rodas sejam desprezveis se comparadas com a massa total da caminhonete, e que esta possa ser considerada um nico corpo rgido em translao retilnea com uma acelerao de\n2 2 0 2 ( 50 / 3,6 ) + 2 a S a =\n= 1,608 m / s 2\nO diagrama de corpo livre da caminhonete completa mostra as foras normais N1 e N2, a fora de atrito F no sentido contrrio ao deslizamento das rodas motoras e o peso W representado por suas duas componentes.\nCom = tg-1 1/10 = 5,71, essas componentes so: W.cos = 1500.9,81.cos 5,71 = 14,64.103 N W.sen = 1500.9,81.sen 5,71 = 1464 N\nO diagrama cintico mostra a resultante, que passa pelo centro de massa e possui a orientao da acelerao do veculo. Seu mdulo : FR = m.a = 1500.1,608 = 2410 N Aplicando as trs equaes de movimento para as trs incgnitas, tem-se F 1464 = 2410 F = 3880 N Fx = max\n= ma y = 0 =I . = 0\nN1 + N2 14,64.103 = 0 1,5N1 + 3880.0,6 1,5N2 = 0\nResolvendo as duas ltimas equaes simultaneamente, obtm-se N1 = 6550 N N2 = 8100 N\nComentrio: Para suportar uma fora de atrito de 3880 N necessrio um coeficiente de atrito de no mnimo F/N2 = 3880/8100 = 0,48. Uma vez que o coeficiente de atrito de pelo menos 0,8, as superfcies so suficientemente rugosas para suportar o valor calculado de F. 127\n- Movimento de translao Exemplo 2\nPara que acelerao a da estrutura a barra delgada uniforme mantm a orientao mostrada na figura? Despreze o atrito e a massa dos pequenos roletes em A e B.\nResoluo: Considerando as foras que agem na barra AB representadas na figura abaixo, pode-se escrever para as equaes de movimento:\n= ma y = 0 NB = mg\n=mad N (lsen 30) - mg(l/2cos 30) = ma(l/2sen 30) A\nResolvendo a ltima expresso com as devidas substituies e simplificaes, temos: a = g3\nAtividades 1. Observa-se que, quando engrenadas ainda em repouso, as rodas traseiras de um cortador de grama giram instantaneamente ao se acelerar o cortador. Se os coeficientes de atrito entre os pneus traseiros e o gramado so e = 0,70 e d = 0,50, determinar a acelerao a do cortador para a frente. A massa do cortador com o saco preso a ele de 50 Kg com o centro de massa em G. Admita que o operador no empurre a empunhadeira, de modo que P = 0. R: a = 4,14 m/s2\n2. Um caixote homogneo de massa m montado sobre pequenas rodas, conforme mostrado na figura. Determinar a fora mxima P que pode ser aplicada sem tombar o caixote em relao (a) a seu bordo frontal mais baixo com h = b e (b) a seu bordo anterior mais baixo, com h = 0. R: (a) P = mg(c/b); (b) P = mg(c/b)\n3. O carro mostrado na figura tem 2 t e centro de massa G. Determine a acelerao do carro se as rodas traseiras, de trao, esto deslizando, e as dianteiras esto livres. Despreze as massas das rodas. O coeficiente de atrito cintico entre as rodas e o pavimento c = 0,25. R: aG = 1,59 m/s2\n4. A barra uniforme OB, de 30 Kg, fixada a uma estrutura acelerada na posio de 30 com a horizontal, atravs da rtula O e do rolete A. Se a acelerao horizontal da estrutura a = 20 m/s2, calcule a fora FA sobre o rolete e as componentes x e y da fora suportada pelo pino em O.\nR: FA = 1,11 kN; OX = 45 N; OY = 667 N\n5. Um carro esporte tem massa de 1,5 t e centro de massa em G. Determine o tempo mnimo que ele leva para atingir uma velocidade de 80 Km/h, partindo do repouso, se a trao traseira e as rodas dianteiras rolam livremente. O coeficiente de atrito esttico entre as rodas e o pavimento e = 0,2. Despreze a massa das rodas. R: 17,5 s\n6. O veculo de passeio mostrado na figura tem 1650 Kg, e seu centro de massa posicionado no ponto G. As massas das rodas so pequenas, se comparadas com a massa total do veculo. Considere o coeficiente de atrito esttico entre a pista e as rodas motoras traseiras igual a 0,8. Calcule as foras normais NA e NB entre a pista e os pares de rodas dianteiras e traseiras na condio de acelerao mxima. R: NA = 6,85 kN; NB = 9,34 kN\n7. Quando a velocidade do veculo de massa m = 1500 Kg mostrado na figura era de 9,0 m/s, aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem de girar. Observou-se que o veculo derrapou 6,0 m antes de parar. Determine o mdulo da fora de atrito em cada roda enquanto o veculo derrapava. R: FA = 3,58 kN; FB = 6,54 kN\n5. Equaes do movimento de rotao em torno de um eixo fixo\nConsidere um corpo rgido que se desloca no plano vertical, em torno de um eixo fixo que passa no ponto O, sujeito ao de foras e momentos.\nPara esse movimento verifica-se que todos os pontos do corpo descrevem trajetrias circulares em torno do eixo de rotao, e todas as linhas traadas sobre o corpo, sujeito a um movimento plano, tm a mesma 137 velocidade angular e a mesma acelerao angular .\nEquaes do movimento de rotao em torno de um eixo fixo\nAs componentes da acelerao do centro de massa para o caso do movimento circular so mais facilmente expressas em termos das coordenadas n-t, e assim tem-se an = r2 e at = r, para a rotao do corpo 138 rgido em relao ao eixo fixo que passa por O.\nOs diagramas de corpo livre e o correspondente diagrama cintico deste corpo esto representados na figura abaixo, e mostram a fora resultante F em funo de suas componentes n e t, e tambm o momento resultante MG .\nAs equaes do movimento que se aplicam neste caso so: Fn = m(aG )n = m 2 rG Ft = m(aG )t = m .rG M G =I G\nAo se aplicar a equao de momentos em relao a G deve-se considerar o momento da fora aplicada ao corpo em O, logo essa fora no deve ser omitida do diagrama de corpo livre. Para os problemas de rotao em relao a um eixo fixo, geralmente interessante aplicar uma equao de momento diretamente em relao ao eixo de rotao O. Ento, a equao resultante para os momentos pode ser escrita: M O =I O\nCom base no diagrama cintico pode-se obter a equao dos momentos das resultantes em relao a O, tomando que: M O =rG m ( aG ) t + I G\nComo (aG)t = rG., substituindo na equao anterior, obtm-se:\n2 =( I G + mrG )\nPelo teorema dos eixos paralelos, IO = IG + m rG2, conclui-se que:\n=I O .\nAssim, as equaes do movimento para o caso de rotao em torno de um eixo fixo que passe no ponto O podem-se tambm escrever da seguinte forma: F = m(a ) = m 2 r\nF = m(a ) M O =I O\n= m .rG\nObservao: Para o caso comum de rotao de um corpo rgido em torno de r r um eixo fixorquerpassa pelo seu centro de massa G, evidentemente a = r 0 e, portanto, F = 0. O resultado das foras aplicadas , ento, o momento 141 I .\n- Movimento de rotao Exemplo 1\nO bloco de concreto de 300 Kg elevado pelo mecanismo de iamento mostrado na figura, onde os cabos so enrolados sem folga em torno dos respectivos tambores. Os tambores, que so unidos e giram como um conjunto nico em torno do seu centro de massa em O, possuem uma massa combinada de 150 Kg e um raio de girao de 450 mm em relao a O. Se uma fora de trao constante P de 1800 N mantida pela unidade de potncia em A, determine a acelerao vertical do bloco.\nResoluo: Os diagramas de corpo livre e cintico dos tambores e do bloco de concreto so desenhados mostrando todas as foras atuantes, incluindo as componentes Ox e Oy da reao normal em O.\nComo neste caso a rotao se faz em torno de um eixo fixo (O) que passa pelo seu centro de massa, a resultante do sistema de foras sobre os tambores r o momento I = I O , e sendo I = r2m faz-se: 143 I = (0,450)2.150 = 30,4 Kg.m2\nO clculo dos momentos em relao ao centro de massa O da polia no sentido da acelerao angular fornece:\n1800.0,6 T.0,3 = 30,4.\nA acelerao do bloco descrita por:\nT 300.9,81 = 300.ay\nPela relao at = r, tem-se a = 0,3.. Com essa substituio, as equaes anteriores combinadas fornecem: T = 3250 N = 3,44 rad/s2 ay = 1,031 m/s2\n- Movimento de rotao\nExemplo 2 A barra uniforme de 20 Kg mostrada na figura pivotada em O, e oscila livremente no plano vertical. Se a barra liberada a partir do repouso na posio horizontal, calcule o valor inicial da fora exercida pelo mancal sobre a barra no instante imediatamente aps ela ser liberada.\nResoluo: Considerando as foras que agem sobre a barra, representadas na figura abaixo, podemos escrever as equaes do momento em relao a O M O =I O , e sendo o momento de inrcia da barra IO = 1/3ml2, temos:\n20.9,81.0,8 = 1/3.20.(1,6)2 = 9,2 rad/s2\nUtilizando a relao a = r e a expresso da fora resultante em y, calculamos R: Ft = mat = mr 20.9,81 R = 20.0,8.9,2 R = 49 N 146\n1. Cada um dos dois tambores e correspondentes cubos de 250 mm de raio possui uma massa de 100 Kg e um raio de girao em relao a seu centro de 375 mm. Calcule a acelerao angular de cada tambor. O atrito em cada mancal desprezvel. R: a = 3,20 rad/s2 ; b = 3,49 rad/s2\n2. Um disco de 80 Kg suportado pelo pino em A. Se ele solto a partir\ndo repouso na posio mostrada na figura, determine a acelerao angular adquirida pelo disco. O momento de inrcia do disco em relao ao ponto A vale. R: 4,36 rad/s2\n3. A barra uniforme AB, mostrada na figura, possui uma massa de 8 Kg e\noscila no plano vertical em torno do piv A. Se = 2 rad/s quando = 30, calcule a fora suportada pelo pino em A nesse instante. R: FA = 56,3 N\n4. A barra fina de 20 Kg mostrada na figura gira num plano vertical e,\nnum dado instante, tem velocidade angular = 5 rad/s. Determine a acelerao angular da barra e os componentes horizontal e vertical da reao no pino nesse instante. R: = 5,90 rad/s2; On = 750 N; Ot = 19 N\n5. O disco uniforme de 30 Kg mostrado na figura suportado por um pino em seu centro. Se ele parte do repouso, determine o nmero de voltas que ele deve dar para atingir uma velocidade angular de 20 rad/s. Qual a reao no pino? O disco est sob a ao de uma fora constante F = 10 N, que aplicada a uma corda enrolada na sua borda, e um momento de binrio M = 5 N.m. Despreze a massa da corda. R: = 2,73 rev; OX = 0 N; OY = 304 N\n6. A barra uniforme de 8 Kg mostrada na figura articula em relao a um eixo horizontal que passa pelo mancal O. Ela liberada da posio horizontal a partir do repouso. Determine a distncia b do centro de massa at o mancal O para a qual se tem uma acelerao angular inicial de 16 rad/s2, e obtenha a fora R exercida pelo mancal sobre a barra no mancal O no instante imediatamente aps a barra ser liberada. Adote IO = (1/12)mL2 + mb2 R: b = 53,6 mm e R = 71,6 N\n6. Equaes do movimento: movimento plano geral\nA dinmica de um corpo rgido em movimento plano geral combina movimentos de translao e rotao. Como nos casos anteriores necessrio apenas estabelecer-se equivalncia entre o sistema de foras externas, como no diagrama corpo livre, e as resultantes das foras para resolver-se o problema movimento plano. os a de de\nPodemos considerar novamente um corpo rgido que se desloca no plano vertical, em movimento plano geral, sujeito ao de foras e momentos.\nEquaes do movimento: movimento plano geral\nOs diagramas de corpo livre e diagrama cintico deste corpo esto representados nas figuras abaixo:\nPara o movimento plano geral de um corpo simtrico rgido, podem-se escrever 3 equaes escalares:\n= m(aG ) x\n= m(a G ) y\n=I G .\nPara aplicao destas equaes, deve-se sempre desenhar os diagramas de corpo livre e diagrama cintico, para o instante considerado.\nDiagrama de corpo livre Representar graficamente os termos envolvendo\nF , F ,M\nRepresentar graficamente os termos envolvendo m(aG)x, m(aG)y, IG.\nOs dois diagramas so igualados, como na figura anterior, j que as foras e momentos no diagrama de corpo livre causam o movimento acelerado indicado pelos 3 vetores mostrados no diagrama cintico.\naplica-se somente no ponto G.\n- Para outros pontos, devem-se considerar tambm os momentos cinticos provocados pelas componentes de m(aG) em relao a esse ponto e por IG.. - IG. tem as mesmas propriedades de um binrio e pode atuar em qualquer ponto no diagrama cintico. - m(aG)x e m(aG)y so tratados da mesma maneira que uma fora, isto , podem atuar em qualquer ponto das suas linhas de ao.\n- Equaes do movimento: movimento plano geral\nEspecial ateno deve ser dada a certos casos do movimento plano; casos que ocorrem com frequncia suficiente para precisarem ateno. O primeiro ocorre quando o centro de momentos O, como ponto do corpo ou da extenso deste, no tem acelerao! o A equao de momentos em relao a O torna-se M O =I O . , que satisfaz s mesmas condies que para um corpo que gira em relao a um eixo fixo em O. O ponto O no precisa necessariamente ser fixo; pode ter uma velocidade constante.\nO segundo caso de frequncia corrente existe, quando o centro de momento O escolhido de tal modo que tem uma acelerao dirigida diretamente para G, figura (a). A acelerao de G, escrita em funo da acelerao O, tem as r componentes a0, r2 e r de tal modo que a fora resultante ma tenha as componentes ma0, mr2 e mr, como mostrado na parte (b) figura.\nr r 2 M = I A soma dos momentos em relao a O torna-se P . + mr .\nA substituio de I O = I + mr 2 , d\nA figura (c) mostra o exemplo frequentemente encontrado da situao descrita, que ocorre para uma roda que gira, com o centro de massa G no centro geomtrico. O centro instantneo de rotao C tem uma acelerao dirigida para o centro de massa. Se a roda deslizasse ou se o centro de massa no fosse o centro geomtrico, ento a acelerao do ponto de contato C no passaria em G.\nObservao: Deve-se enfatizar acentuadamente a escolha do corpo a ser isolado e sua representao atravs de correto diagrama de corpo livre. Somente aps esse passo ter sido completado, pode-se avaliar adequadamente a equivalncia entre as foras externas e suas resultantes. De igual importncia na anlise do movimento plano, a compreenso da Cinemtica envolvida. Muito frequentemente as dificuldades experimentadas no estudo do movimento planar esto relacionadas diretamente com cinemtica. Deve ser reconhecido, na formulao da soluo de um problema, que as direes de certas foras ou aceleraes no sejam conhecidas no comeo; de tal modo que seja necessrio fazer hipteses iniciais cujas validades sero aprovadas ou desaprovadas, quando a soluo efetuada. 160\nessencial, entretanto, que todas as hipteses feitas sejam coerentes com o princpio da ao e reao e com quaisquer requisitos cinemticos, que tambm so chamados de condies de construo. Assim, se uma roda est girando em superfcie horizontal, seu centro est limitado a mover-se em linha horizontal. Alm do mais, se a acelerao linear desconhecida a do centro da roda suposta positiva para a direita, a acelerao angular desconhecida deve ser positiva no sentido positivo, de tal forma que a = + r, supondo-se que a roda no deslize. Deve ser notado tambm que para uma roda que gira sem deslizamento a = r, a fora de atrito F entre a roda e sua superfcie de apoio geralmente menor que o seu valor mximo, de modo que F fN. Se a roda desliza quando gira a r, embora a fora de atrito tenha atingido o seu valor limite, tem-se que F = fN. Pode ser necessrio testar a validade de uma ou outra hiptese em dado problema. problema 161\nA bobina mostrada na figura tem massa de 8 Kg e raio de girao kG = 0,35 (SI). Se as cordas de massas desprezveis esto enroladas no cilindro central e na periferia, como mostrado na figura, determine a acelerao angular da bobina.\nResoluo: Analisando as foras que agem na bobina de acordo com a figura abaixo, pode-se perceber que a fora de 100 N causa uma acelerao aG para cima. Alm disso, corresponde a um movimento de rotao no sentido horrio, pois a bobina enrola a corda em sua periferia.\nH trs incgnitas: T, aG e . O momento de inrcia da bobina em relao ao 163 seu centro de massa : IG = m.kG2= 8Kg.(0,35m)2 = 0,980 Kg.m2\nAplicando as equaes do Movimento:\n= m(aG ) y\nT + 100 78.48 = 8.aG 100.(0,2) T .0,5 = (0,980).\nUtilizando a cinemtica para relacionar as aceleraes aG com , uma vez que a bobina rola sem escorregar na corda em A: aG = 0,5.\nResolvendo o sistema de equaes, encontra-se: = 10,3 rad/s2 aG = 5,16 m/s2 T = 19,8 N\nUm aro metlico com raio r = 150 mm liberado do repouso sobre a ladeira com 20 de inclinao. Determine a acelerao angular do aro e o tempo t para que ele se mova de uma distncia de 3 m ladeira abaixo.\nResoluo: O diagrama de corpo livre mostra o peso mg, a fora normal N e a fora de atrito F atuante no ponto de contato C do aro com a ladeira. O diagrama cintico mostra a fora resultante ma que passa por G no sentido de sua acelerao e o Momento I. A acelerao angular no sentido anti-horrio requer um momento tambm no sentido anti-horrio em relao a G, logo a fora F deve ser orientada ladeira acima.\nAdmitindo que o aro rola sem deslizamento pode-se escrever a = r, e ainda que o momento de inrcia do aro I = mr2. A aplicao das componentes das foras nas direes x e y fornece: 166\nm.g.sen 20 - F = m.a N m.g.cos 20 = 0\nF.r = m.r2.\nEliminando F entre a primeira e a terceira equao e substituindo a hiptese cinemtica a = r encontra-se: a = (g/2)sen 20 = 1,678 m/s2 O tempo necessrio para o centro G do aro mover-se 3 m a partir do repouso com acelerao constante : x = a.t2 t = 1,633 s\nAtividades 1. A roda de 10 Kg com raio de girao de 180 mm em relao ao seu centro O liberada a partir do repouso sobre a rampa de 60 e desliza enquanto rola. Se o coeficiente de atrito dinmico d = 0,30, calcule a acelerao aO do centro O da roda e sua acelerao angular . R: aO = 7,02 m/s2; = 9,08 rad/s2\n2. Uma esfera homognea de massa m e raio R abandonada a partir do repouso sobre uma rampa que est inclinada de um ngulo em relao horizontal e, a partir desse instante, desce a rampa rolando sem deslizar como indica a figura. O momento de inrcia da esfera em relao a um eixo que passa pelo seu centro de massa I = (2/5)mR2. Calcule o mdulo da fora de atrito que a superfcie inclinada exerce sobre a esfera. R: fat = (2/7)m.g.sen\n3. O disco circular de massa m e raio r mostrado na figura est rolando ao longo da parte mais baixa da superfcie circular de raio R. Se o disco possui uma velocidade angular , determine a fora N exercida pela superfcie sobre o disco. R: N = m.[g + (r2.2/R r)]\n4. No sistema da figura os blocos A e B possuem massas 7,0 Kg e 5,0 Kg, respectivamente. A roldana um disco homogneo de raio r e massa 1,0 Kg e gira devido ao atrito com a corda. Considerando que o atrito entre o plano inclinado e o bloco A desprezvel, que no h deslizamento entre a corda e a roldana determine a acelerao do bloco A. Deixe claro se este bloco sobe ou desce a rampa. R: 1,177 m/s2\n5. Um disco circular com 200 mm de raio e massa de 25 Kg, com raio de girao centroidal k = 175 mm, tem uma ranhura circular concntrica de 75 mm de raio nele entalhada. Uma fora estacionria T fazendo um ngulo com a horizontal aplicada a um fio enrolado em torno da ranhura, conforme mostrado na figura. Se T = 30 N, = 0, e = 0,10 e d = 0,08, determine a acelerao angular do disco, a acelerao a do seu centro de massa G e a fora de atrito F que a superfcie exerce sobre o disco. R: 0,425 m/s2; - 2,13 rad/s2; 19,35 N\n6. Um disco circular com 200 mm de raio e massa de 25 Kg, com raio de girao centroidal k = 175 mm, tem uma ranhura circular concntrica de 75 mm de raio nele entalhada. Uma fora estacionria T fazendo um ngulo com a horizontal aplicada a um fio enrolado em torno da ranhura, conforme mostrado na figura. Se T = 50 N, = 30, e = 0,10 e d = 0,08, determine a acelerao angular do disco, a acelerao a do seu centro de massa G e a fora de atrito F que a superfcie exerce sobre o disco. R: = 0,295 rad/s2; F = 17,62 N\n7. Ao tambor A imposta uma acelerao angular constante 0= 3 rad/s2, que faz com que o carretel B de 70 Kg role sobre a superfcie horizontal. O tambor A aciona o carretel B por meio do cabo de conexo, que se enrola em volta do centro do carretel. O raio de girao k do carretel, em relao ao eixo que passa pelo seu centro de massa G, de 250 mm, e o coeficiente de atrito esttico entre o carretel e a superfcie horizontal de 0,25. Determine a fora trativa T atuante no cabo e a fora de atrito F exercida pela superfcie horizontal sobre o carretel. R: T = 154,6 N\nCintica Planar de Corpos Rgidos: Trabalho e Energia\n1. Introduo 2. Energia Cintica 3. Trabalho de uma Fora 4. Trabalho de um binrio 5. Princpio do Trabalho e Energia 6. Conservao da Energia 7. Potncia\nOs princpios de trabalho e energia so especialmente teis na descrio do movimento que resulta do efeito cumulativo de foras atuantes durante um deslocamento. Alm disso, quando as foras so conservativas podese determinar as variaes de velocidade pela anlise das condies de energia no incio e no final do intervalo do movimento. Para deslocamentos finitos, o mtodo do trabalho-energia elimina a necessidade de determinar a acelerao e a posterior integrao no intervalo de tempo para obter a variao da velocidade. Essas vantagens so obtidas ao se estender os princpios do trabalhoenergia para descrever o movimento de corpos rgidos.\n2. Energia Cintica ( T )\nPara que se possa aplicar o Mtodo do Trabalho e Energia a problemas de cintica, necessrio desenvolver uma forma de calcular a energia cintica de um corpo quando este est sujeito a translao, rotao em torno de um eixo fixo ou movimento plano geral.\nConsidere o corpo rgido mostrado na figura abaixo, que se desloca num plano de referncia x - y.\nUma partcula arbitrria de ordem i deste corpo, de massa dm , est localizada a uma distncia r do ponto arbitrrio P. Se para o instante representado a partcula i tiver velocidade vi, ento a energia cintica 1 dada por 178 Ti = dmvi2 2\nA energia cintica do corpo calculada escrevendo equaes semelhantes 1 para cada partcula do corpo e integrando os resultados, isto , Ti = dmvi2\nEsta equao pode tambm ser expressa em termos da velocidade do r ponto P. Se o corpo tiver velocidade angular , r r r vi = vP + vi / P r ( xi + (v P ) y + y vi = (vP ) x i j + k j) r + [(vP ) y + x] vi = [(vP ) x y ]i j r r 2 vi .vi = vi = [(vP ) x y ]2 + [(vP ) y + x]2\n2 2 2 2 2 vi = (vP ) 2 x 2(vP ) x y + y + (v P ) y + 2(vP ) y x + x 2 2 vi = vP 2(vP ) x y + 2(vP ) y x + 2 r 2 2\nSubstituindo na equao da energia cintica, obtm-se:\nEnergia Cintica Mas : localizao da coordenada y do centro de massa G relativamente a P : localizao da coordenada x do centro de massa G relativamente a P : Momento de inrcia relativamente a um eixo z que passa em P\nPode-se, portanto escrever:\nT= 1 2 1 mv P (v P ) x . y.m + (v P ) y .x .m + I P 2 2 2\nComo caso especial, se o ponto P coincidir com o centro de massa G do corpo, temos y = x = 0, e portanto:\nPara se aplicar o Mtodo do Trabalho e Energia a problemas de cintica necessrio calcular a energia cintica de um corpo quando este est sujeito a translao, a rotao em torno de um eixo fixo, ou movimento plano geral.\nTranslao Se um corpo rgido de massa m descrever um movimento de translao retilnea ou de translao curvilnea, a energia cintica devido rotao nula, pois = 0. Ento: T = 1 mv 2 G 2 Rotao em torno de um eixo fixo Quando um corpo rgido roda em torno de um eixo rgido que passa num ponto O, o corpo tem energia cintica de rotao: T = 1 2 I 0 2 Movimento Plano Geral Quando um corpo rgido est sujeito a um movimento plano geral o corpo tem velocidade angular e o seu centro de massa tem velocidade: 1 2 1 T = mvG + I G 2 182 2 2\n3. Trabalho de uma Fora\nSe uma fora atua num corpo rgido, o trabalho realizado medida que se desloca ao longo do caminho s definido por\nU F = F . cos .ds\nPara um sistema de foras externas a atuar num corpo rgido, o trabalho total realizado simplesmente a soma algbrica do trabalho de cada fora. 183\nTrabalho de um peso\nU W = W .( y 2 y1 )\nTrabalho da fora de uma mola elstica\n1 2 1 2 kx1 U1 2 = kx2 2 2\nForas que no realizam trabalho - Foras que atuam em pontos fixos do corpo; - Foras que atuam numa direo perpendicular s suas trajetrias de deslocamento; Exemplo de foras que no realizam trabalho: Caso de rolamento sem escorregamento\n- Peso W - Reao normal N - Fora de atrito Fr, pois atua num ponto de velocidade nula 185\n4. Trabalho de um binrio\nConsidere-se um corpo sujeito a um binrio M = F.r\nQuando o corpo est em translao, o trabalho de uma fora anula o trabalho da outra.\num deslocamento diferencial = translao + rotao\nTrabalho de um binrio\nQuando o corpo tem uma rotao diferencial d, o trabalho realizado :\ndU M = Fds + Fds r r dU M = F d + F d 2 2 dU M = Frd dU M = Md\nU M = M d\nPara um binrio constante, temos: U M = M ( 2 1)\n5. Princpio do Trabalho e Energia\nO Princpio do Trabalho e Energia aplicado a cada uma das partculas do corpo rgido, somando algebricamente obtm-se o Princpio do Trabalho e Energia para um Corpo Rgido:\nT1 + U1 2 = T2 U1 2 = T2 T1\nT1 = Energia Cintica inicial de translao e rotao T2 = Energia Cintica final de translao e rotao U12 = Soma dos Trabalhos realizados por todas as foras externas e binrios\n- Energia Potencial Energia Potencial Gravitacional\nVG = W . yG\nEnergia Potencial Elstica 1 Ve = k .x 2 2\n6. Conservao da Energia\nQuando um sistema de foras que atua num corpo rgido constitudo apenas por foras conservativas, pode tambm ser usado o Teorema da Conservao de Energia para resolver problemas que de outra forma seriam resolvidos por aplicao do Princpio do Trabalho e Energia. Este teorema frequentemente mais fcil de aplicar, j que o trabalho de uma fora conservativa independente da trajetria e depende s da posio inicial e final do corpo.\nTeorema da Conservao de Energia para um Corpo Rgido Aplicando-se o Teorema da Conservao de Energia a cada uma das partculas do corpo rgido e somando algebricamente os resultados, obtmse o Teorema da Conservao de Energia para um Corpo Rgido: T1 + V1 = T2 + V2\nT1 = Energia Cintica no instante 1 T2 = Energia Cintica no instante 2 V1 = Energia Potencial no instante 1 V2 = Energia Potencial no instante 2\nA potncia a taxa de variao temporal com a qual o trabalho realizado! Para uma fora atuante sobre o corpo rgido em movimento plano, a potncia desenvolvida pela fora em um dado instante a taxa com que ela r r est realizando trabalho dU F .dr r r\nP= dt = dt = F .v\nonde dr e v so, respectivamente, o deslocamento infinitesimal e a velocidade do ponto de aplicao da fora.\nPotncia Analogamente, para um momento (ou binrio) M atuante sobre o corpo, a potncia desenvolvida em um dado instante a taxa com que ele realiza trabalho, e expressa por\nP= dU Md = = M dt dt\nonde d e so, respectivamente, o deslocamento angular infinitesimal e a velocidade angular do corpo. Se os sentidos de M e forem os mesmos, a potncia positiva e a energia fornecida para o corpo. Ao contrrio, se M e apresentarem sentidos opostos, a potncia negativa e a energia removida do corpo. Se a fora F e o momento M atuarem simultaneamente, a potncia rr 193 instantnea total ser: P = F .v + M\nExemplo 1 A roda rola rampa acima apoiada em seu eixo sem deslizar, e puxada pela fora de 100 N aplicada ao fio enrolado ao redor da sua borda exterior. Se a roda parte do repouso, calcule a sua velocidade angular aps seu centro ter-se movido de uma distncia de 3 m rampa acima. A roda possui uma massa de 40 Kg, com centro de massa em O e um raio de girao centroidal de 150 mm. Determine a potncia fornecida pela fora de 100 N ao final do percurso de 3 m do movimento da roda.\nDas quatro foras mostradas no diagrama de corpo livre da roda, apenas a trao de 100 N e o peso de 40.9,81 = 392 N realizam trabalho. A fora de atrito no realiza qualquer trabalho enquanto a roda no desliza.\nUtilizando o conceito de centro instantneo de velocidade nula C, verifica-se que um ponto A no fio ao qual a fora de 100 N aplicada tem uma velocidade vA = .rCA e vO = .rCO, ento vA/rCA = vO /rCO Logo vA = rCA.vO /rCO, que d: vA = [(200 + 100)/100]v vA = 3v Assim o ponto A tem uma velocidade 3 vezes maior que o centro de massa da roda e se move de uma distncia tambm 3 vezes maior do que o centro de O. O trabalho realizado sobre a roda fica: 196 U1-2 = F.(sA2 - sA1) P.sen 15.(s2 - s1) = 100.9 392.sen 15.3 = 595 J\nA roda est sujeita a um movimento plano geral, de modo que a variao em sua energia cintica :\n1 1 1 1 T = mv 2 + I 2 0 T = 40(0,10 ) 2 + 40(0,15) 2 2 0 = 0,650 2 2 2 2 2\nPelo princpio do Trabalho e Energia (equao trabalho-energia), tem-se: U1-2 = T 595 = 0,6502 = 30,3 rad/s\nA potncia fornecida roda pela fora de 100 N, quando = 30,3 rad/s, igual: rr P = F .v P100 = F.r. P100 = 100.0,3.30,3 = 908 W\nObservao: Uma vez que a velocidade do centro instantneo C da roda nula, a taxa com que a fora de atrito realiza trabalho constantemente nula. Assim, F no realiza trabalho enquanto a roda no deslizar. Entretanto, se a roda estivesse rolando sobre uma plataforma mvel a fora de atrito realizaria trabalho, mesmo que no houvesse deslizamento. 198\nExemplo 2 Um corpo rola horizontalmente, sem deslizar, com velocidade v. A seguir ele rola para cima em uma rampa at a altura mxima h. Se h = 3v2/4g, que corpo deve ser esse? Resoluo: A estratgia para resolver este problema descobrir o momento de inrcia do corpo e compar-lo com o momento de inrcia de corpos conhecidos. Como um sistema conservativo, a energia total (mecnica) conservada: T1 + V1 = T2 + V2 1 mv 2 + 1 I 2 + 0 = 0 + mgh 2 2 aplicando-se a condio de rolamento v = R\n1 2 1 v 3v 2 mv + I 2 = mg 2 2 R 4g\nI 3m m+ 2 = R 2\nmR 2 I= 2\nCom este momento de inrcia o corpo pode ser um disco ou um cilindro de 199 massa m e raio R.\nExemplo 3 No mecanismo mostrado na figura, cada uma das duas rodas possui uma massa de 30 Kg e um raio de girao centroidal de 100 mm. Cada elemento de ligao OB tem uma massa de 10 Kg e pode ser tratado como uma barra esbelta. O colar de 7 Kg em B desliza sobre o eixo vertical fixo com atrito desprezvel. A mola tem uma rigidez k = 30 kN/m e entra em contato com a parte inferior do colar quando as barras alcanam a posio horizontal. Se o colar liberado a partir do repouso na posio = 45 e se o atrito suficiente para prevenir o deslizamento das rodas, determine a velocidade vB do colar quando ele encosta na mola.\nResoluo: O mecanismo executa um movimento plano e conservativo, uma vez que as perdas por atrito dinmico so desprezveis. A referncia para o clculo da energia potencial gravitacional Vg , por convenincia, considerada como passando por O, conforme indicado. Para o intervalo de = 45 at = 0, nota-se que Trodas nula, uma vez que cada roda parte do repouso e retorna ao repouso em = 0. Observa-se tambm, que para a posio mais baixa cada barra est simplesmente girando em torno de seu centro O, de modo que:\nT = [2(IO2) 0]barras + [mv2 0]colar\n1 1 2 2 vB 2 = .10.(0,375 ) + .7vB = 6,83vB T 3 0,375 2\nO colar em B desce de uma distncia de 0,375.sen 45 = 0,265 m,e assim: V = Vg = 0 2.10.9,81.(0,265/2) 7.9,81.0,265 = - 44,2 J\nA fora de atrito atuante sob cada uma das rodas no realiza trabalho, uma vez que a roda no desliza e, naturalmente, a fora normal tambm no realiza trabalho. Como o trabalho do peso do colar B foi includo no termo Vg e no existem outras foras externas realizando trabalho no sistema, pode-se dizer que U1-2 = 0. Logo: U1-2 = T + V 0 = 6,83vB2 44,2 vB = 2,54 m/s\nAtividades 1. A tora mostrada na figura suspensa pelos dois cabos paralelos de 5 m e utilizada como um arete. Com que ngulo ela deve ser liberada a partir do repouso para que atinja o objeto a ser esmagado com uma velocidade de 4 m/s? R: = 33,2\n2. A roda de 15 Kg mostrada na figura liberada a partir do repouso e rola sobre seu eixo sem deslizar. Calcule a velocidade v de seu centro O aps ter se movido de uma distncia x = 3 m rampa abaixo. O raio de girao da roda em relao ao O de 125 mm.\nR: v = 0,899 m/s\n3. Um cilindro macio de 10,4 cm de raio e massa 11,8 Kg parte do repouso e rola sem deslizar uma distncia de 6,12 m para baixo do telhado de uma casa, que inclinado de 27. Qual a velocidade angular do cilindro em torno de seu eixo, quando ele deixa o telhado?\nR: 58 rad/s\n4. As rodas representam duas condies extremas de distribuio de massa. Para o caso A, toda a massa m considerada concentrada no centro geomtrico do aro em uma barra axial de dimetro desprezvel. Para o caso B, toda a massa m admitida como concentrada na periferia. Determine a velocidade do centro de cada aro aps ele ter percorrido uma distncia x rampa abaixo a partir do repouso. Os aros rolam sem deslizar.\nR: vA = 2gxsen; vB = gxsen;\n5. A barra de 1200 mm tem uma massa de 20 Kg com centro de massa em B, e liberada a partir do repouso na posio para a qual o ngulo praticamente nulo. O ponto B confinado a se mover na guia vertical lisa, enquanto a extremidade A se move na guia horizontal lisa e comprime a mola quando a barra cai. Determine (a) a velocidade angular da barra ao passar pela posio = 30 e (b) a velocidade com que B atinge a superfcie horizontal, considerando que a rigidez da mola de 5 kN/m. R: 2,74 rad/s; (b) v = 2,15 m/s\n6. Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa m e o\nmesmo raio R, so liberados do repouso num plano inclinado. Sabendo que os momentos de inrcia I dos corpos valem respectivamente (2/5)mR2, (1/2)mR2 e mR2, utilizando o teorema do trabalho-energia represente a velocidade de cada corpo aps terem rolado uma distncia h da altura inicial.\nR: vesf = 0,8452gh; vcil = 0,8162gh; vanel = 0,7072gh\n7. Uma fora estacionria de 22 N aplicada perpendicularmente manivela do rebolo manual. A engrenagem dentro da caixa, com o eixo e a manivela a ela ligados, tem uma massa de 1,8 Kg e um raio de girao em relao a seus eixos de 72 mm. A roda de amolar, junto com seu eixo e pinho (dentro da caixa), apresenta uma massa combinada de 0,55 Kg e um raio de girao de 54 mm. Se a razo entre a engrenagem e o pinho de 4:1, calcule a velocidade de rotao N da roda de amolar aps 6 voltas completas da manivela partindo do repouso. R: N = 3220 rev/min\n8. Uma roda livre, com raio de girao de 400 mm, tem sua velocidade reduzida de 5000 para 3000 rpm durante um intervalo de 2 minutos. Calcule a potncia mdia fornecida pela roda. Expresse a resposta tanto em quilowatts quanto em hp. R: P = 140,4 kW =188 hp\nCintica Planar de Corpos Rgidos: Impulso e Quantidade de Movimento\n1. Quantidade de movimento linear e angular 2. Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento 3. Conservao da Quantidade de Movimento Linear 4. Conservao da Quantidade de Movimento Angular\n1. Quantidade de movimento linear e angular\n- Quantidade de movimento linear A quantidade de movimento linear de um corpo rgido determinada somando vetorialmente a quantidade de movimento linear de todas as r r partculas que compem o corpo, isto : L = m .v\nr r , pode-se escrever: r m . v = m v i i G\nr L = m .vG\nSegundo esta equao, a quantidade de movimento linear de um corpo uma quantidade vetorial de mdulo m.vG e direo e sentido definidos pela velocidade do centro de massa, vG. 212\nQuantidade de movimento linear e angular\n- Quantidade de movimento angular\nConsidere-se o corpo representado na figura acima, que descreve movimento plano geral. No instante representado na figura, o ponto arbitrrio P tem velocidade e o corpo tem velocidade angular . A velocidade da partcula de ordem i pode ser determinada pela expresso r r r r seguinte: vi = vP + r\nA quantidade de movimento angular da partcula i dada pelo momento da quantidade de movimento linear relativamente ao ponto P. r r Ento: ( H P ) i = r mvi\nr em funo de r e usando vetores em coordenadas Exprimindo v vP i ( xi = m ( xi + y + y + (v P ) y cartesianas: ( H P ) i k j ) [(v P ) x i j + k j )] i\nSegundo a direo z fica: ( H P ) i = mi y (v P ) x + mi x (v P ) y + mi r 2 Fazendo tender mi dm e integrando ao longo de toda a massa m do corpo, obtm-se: 2\nem que HP a quantidade de movimento angular do corpo relativamente a um 214 eixo z que passa no ponto P e perpendicular ao plano do movimento.\nH P = y.dm (v P ) x + x.dm (v P ) y + r .dm m m m\nO integral presente no 1 termo,\ny.dm , e o integral presente no 2 termo,\nso usadas para localizar a posio do centro de massa G relativamente a P, uma vez que\nO integral presente no ltimo termo,\nm 2 r dm , representa o momento de\ninrcia do corpo calculado relativamente ao eixo z que passa no ponto P, isto , I P = r 2 dm .\nObtm-se ento: H P = y m ( v P ) x + x m ( v P ) y + I P Quando P coincide com o centro de massa G, , obtendo-se uma expresso mais simples:\n- Podem-se considerar trs tipos de movimento: - Translao Quando um corpo est sujeito a um movimento de translao retilnea ou r v de translao curvilnea o seu centro de massa tem velocidade G =v r r sendo = 0 . Assim, a quantidade de movimento linear e angular dada por: L = m .vG\nSe a quantidade de movimento angular for calculada relativamente a outro ponto A , mostrado na figura acima, o momento da quantidade de movimento linear tem de ser calculada relativamente a esse ponto. Como d o brao, 218 ento de tem-se: H A = mvG d\n- Rotao em torno de um eixo fixo Quando um corpo rgido roda em torno dum eixo fixo que passa num ponto O a quantidade de movimento linear e angular relativamente a G so dadas por: L = m .vG\nH G = I G\npor vezes conveniente calcular a quantidade de movimento angular do corpo relativamente a um eixo que passa em O. Neste caso necessrio ter r r r r em conta o momento provocado por L e H Gem torno de O. ComoL (ou vG ) r sempre perpendicular a rG , temos: Esta equao pode ser simplificada, fazendo a substituio vG = rG e 219 notando que I0 = IG +m , obtendo-se ento: H = I\n- Movimento plano geral Quando um corpo rgido se desloca em movimento plano geral a quantidade de movimento linear e angular relativamente a G so dadas por: L = m .vG\nSe for conveniente calcular a quantidade de movimento angular do corpo relativamente a um eixo que passa num ponto A, necessrio ter em conta r r L H o momento provocado por e G em torno de O. Teremos ento: H = d (mv ) + I\n2. Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento\nO mtodo do Impulso e Quantidade de Movimento particularmente til soluo de problemas envolvendo tempo e velocidades. - Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear: O Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear para um corpo rgido pode ser obtido combinando a equao do movimento com a cinemtica. A equao resultante permite obter uma soluo direta para r r r dvG problemas que envolvem fora, velocidade e tempo: F = m.aG = m dt r r d r F Como a massa do corpo constante, obtm-se: = m.aG (mvG ) dt Multiplicando ambos os termos por dt e integrando com as condies: vG = vG1 para t = t1 e vG = vG2 para t = t2 , obtm-se o Princpio do t2 r r r Impulso e Quantidade de Movimento Linear: Fdt = m(v ) m(v )\nPrincpio do Impulso e Quantidade de Movimento\n- Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular: Para um corpo rgido submetido a movimento plano geral temos: d M = I = G G dt ( I G ) Multiplicando ambos os termos por dt e integrando com as condies: = 1 para t = t1 e = 2 para t = t2 , obtm-se o Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular:\ndt = I G 2 I G 1\nEm resumo, para um corpo rgido em movimento plano geral, por aplicao do Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento podem escrever-se trs equaes escalares:\nAs equaes do Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento podem tambm ser aplicadas a um sistema inteiro de corpos interligados. Desta forma elimina-se a necessidade de incluir os impulsos relativos que ocorrem nas ligaes, j que so internos ao sistema. As equaes resultantes ficariam ento:\n3. Conservao da Quantidade de Movimento Linear\nSe a soma de todos os impulsos lineares que atuam num sistema de corpos rgidos ligados zero, ento a quantidade de movimento linear constante, ou conservada. Consequentemente:\nEsta equao designada por Conservao da Quantidade de Movimento Linear. 225\nConservao da Quantidade de Movimento Linear\nA quantidade de momento angular de um sistema de corpos rgidos ligados conservada em torno de um ponto (centro de massa G ou um ponto fixo O), quando a soma de todos os impulsos angulares calculados relativamente a esse ponto pelas foras e momentos exteriores for zero. Consequentemente:\nEsta condio designada por Conservao da Quantidade de Movimento Angular.\nExemplo 1 O bloco de 6 kg mostrado na figura preso a uma corda que enrolada na periferia de um disco de 20 kg. Se o bloco inicialmente se desloca para baixo com uma velocidade de 2 m/s, determine a sua velocidade aps 3 s. Considera-se que a massa da corda pode ser desprezada.\nResoluo: Construindo os diagramas de impulso e quantidade de movimento para o bloco e o disco:\nMomento de inrcia do disco em relao ao seu eixo fixo de rotao: Velocidade angular do disco: vB = .r = .0,2;\nAplicando o Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear ao bloco:\nAplicando o Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento Angular ao disco, relativamente a A:\nExemplo 2 A fora P, que aplicada ao cabo enrolado ao redor do cubo central da roda simtrica, aumentada lentamente obedecendo a relao P = 6,5t, onde P expressa em Newtons e t o tempo em segundos aps P ter sido aplicada. Determinar a velocidade angular da roda 10 s aps a aplicao de P se a roda est se movendo para a esquerda e a velocidade de seu centro geomtrico de 0,9 m/s no tempo t = 0. A roda, que possui uma massa de 60 Kg e um raio de girao de 250 mm em relao ao seu centro, rola sem deslizar.\nResoluo: O diagrama de corpo livre da roda para uma posio qualquer no intervalo do movimento mostrado na figura abaixo. Tambm esto indicadas as quantidades de movimento linear e angular no instante inicial t = 0 e as quantidades de movimento linear e angular no instante final t = 10 s. O sentido correto da fora de atrito F oposto ao deslizamento que ocorreria caso no houvesse atrito.\nA aplicao da equao do impulso-quantidade de movimento linear e da equao do impulso-quantidade de movimento angular para todo o intervalo fornece:\nF dt =G\nGx1 (6,5t F )dt = 60[0,450 (0,9)]\n0,9 2 M dt H H F t d t [( 0 , 450 0 , 225 ( 6 , 5 )] 60 ( 0 , 250 ) = = G G2 G1 0 , 450 0 t1\nUma vez que a fora F varivel, ela deve permanecer dentro da integral. Elimina-se F entre as duas equaes multiplicando a segunda equao por 0,450 e, em seguida, somando-se primeira. Integrando e resolvendo para , obtm-se: = 2,60 rad/s; no sentido horrio\nExemplo 3 O disco de 20 lb mostrado na figura uniforme e est suportado por um pino em seu centro. Se o disco est submetido a um torque de binrio de 4 lg.ps e a uma forma de 10 lb aplicada na corda enrolada em sua periferia, determine a sua velocidade angular dois segundos aps a partida do repouso. Determine tambm quais so os componentes da fora de reao no pino.\nResoluo: O momento de inrcia do disco em relao ao seu eixo fixo de rotao :\nComo velocidade angular, fora e tempo esto envolvidos, aplicaremos os Princpios do Impulso e Quantidade de Movimento/Momento Angular.\nAtividades 1. Uma pessoa que passa atravs de uma porta giratria exerce uma fora horizontal de 90 N sobre um dos quatro paineis da porta e mantm um ngulo de 15 constante em relao linha perpendicular ao painel. Se cada painel for modelado por uma placa retangular uniforme de 60 Kg com 1,2 m de comprimento, quando visto de cima, determine a velocidade angular final da porta se a pessoa exercer a fora durante 3 segundos. A porta est, inicialmente, em repouso e o atrito pode ser desprezado. R: = 1,811 rad /s\n2. A fora constante de 40 N aplicada a um cilindro de massa 36 Kg, conforme mostrado na figura. O raio de girao centroidal do cilindro k = 200 mm, e ele rola sobre a ladeira sem deslizar. Se o cilindro est em repouso quando a fora comea a ser aplicada, determine sua velocidade angular oito segundos mais tarde. R: = 24,2 rad /s\n3. O projtil de 30 g possui uma velocidade horizontal de 500 m/s quando atinge a barra AO de 10 Kg, que suspensa de um ponto O e est inicialmente em repouso. Calcule a velocidade angular adquirida pela barra com o projtil nela alojado imediatamente aps o impacto. R: = 2,81 rad /s\n4. Imediatamente aps deixar a plataforma, o corpo do mergulhador de 80 Kg, completamente estendido, tem uma velocidade de rotao de 0,3 rev/s (voltas por segundo) em torno de um eixo perpendicular ao plano da trajetria. Estime a velocidade angular N alguns instantes mais tarde, durante o salto, quando o corpo do mergulhador estiver na posio grupada. Obs.: Elabore a hiptese de que o corpo do mergulhador pode ser considerado uma barra homognea (I = 1/12.mL2) no primeiro instante, e uma esfera (I = 2/5.mr2) no segundo instante. R: N2 = 2,04 rev/s\n5. O bloco mostrado na figura tem massa de 6 Kg e est preso a uma corda enrolada na periferia de um disco de 20 Kg cujo momento de inrcia IA = 0,40 Kg.m2. Se o bloco se desloca inicialmente para baixo a uma velocidade de 2 m/s, determine sua velocidade aps 3 s. Despreze a massa da corda. R: v2 = 13 m/s\n6. A barra delgada de 5 Kg mostrada na figura est presa por um pino em O e est inicialmente em repouso. Se uma bala de 4 g disparada contra a barra com velocidade de 400 m/s, como mostrado, determine a velocidade angular da barra imediatamente aps a bala ficar encravada nela. R: 2 = 0,623 rad/s\n- Quantidade de movimento linear e angular\nObservao: Muitos fenmenos interessantes podem entendidos usando a lei de conservao do momento angular. Considere, por exemplo, o caso de uma bailarina fazendo um movimento de rotao em torno do seu corpo.\nSe durante o movimento de rotao os seus braos esto abertos a velocidade ser menor do que quando os seus braos estiverem juntos ao corpo. Isto pode 241 ser explicado se usamos a definio de momento de inrcia I = mr2.\nclaro que quando os braos so puxados para prximo do corpo da bailarina, o eixo de rotao r reduzido, consequentemente o momento de inrcia diminuir. Desde que o momento angular permanece constante, se I decresce, ento a velocidade angular tem que crescer para manter o momento angular constante (M = I. = const. ). Se a bailarina reduz o seu momento de inrcia por fator 2, ento ela rodar com uma velocidade angular duas vezes maior. Um exemplo similar ocorre com atletas de saltos ornamentais. Eles usam deste mesmo princpio para girar mais ou menos rpido em torno do seu centro de massa. Note que para o momento angular ser conservado necessrio que o torque resultante seja zero, mas a fora resultante no necessariamente tem quer ser nula. Por exemplo, no caso da atletas de saltos ornamentais o torque igual a zero, mesmo tendo uma fora gravitacional atuando sobre ela.\nATIVIDADES GERAIS - CINTICA PLANAR DOS CORPOS RGIDOS 1. Uma caminhonete de 1500 Kg carregando uma carga de 500 Kg atinge uma velocidade de 60 Km/h, a partir do repouso, em uma distncia de 50 m subindo uma ladeira com 10 % de inclinao, com acelerao constante. Calcule a fora normal exercida pela pista sobre cada par de rodas e a fora de atrito atuante nas rodas motoras na traseira. Sabe-se que o coeficiente de atrito efetivo entre os pneus e a pista de no mnimo 0,7 e que a acelerao gravitacional 9,81 m/s2. Verifique se as superfcies so suficientemente rugosas para suportar o valor calculado da fora de atrito Fat.\n2. Calcule a acelerao a de cima para baixo do cilindro macio de 10 Kg. O tambor pode ser considerado um cilindro uniforme de momento de inrcia I = mr2, e o atrito no piv desprezvel.\n3. O cilindro macio homogneo (I = mr2) mostrado na figura liberado a partir do repouso sobre a rampa. Se = 30, determine a acelerao do centro de massa G e a fora de atrito F exercida pela rampa sobre o cilindro.\n4. Com base no exerccio anterior, sabendo que os coeficientes de atrito esttico e cintico valem respectivamente e = 0,15 e d = 0,10, verifique se com o valor de F encontrado realmente possvel que haja rolamento sem deslizamento.\n5. Em um dado instante, a velocidade do cilindro de 8 Kg de 0,3 m/s. qual sua velocidade v aps descer 1,5 m adicional? A massa do tambor de 12 Kg, seu raio de girao centroidal de k = 210 mm e o raio de seu ncleo ri = 200 mm. O trabalho do momento devido ao atrito no pode ser desprezado, valendo UM = 22,5 J.\n6. A barra esbelta AO de 15 Kg liberada a partir do repouso na posio vertical e comprime a mola de rigidez k = 20000 N/m quando passa pela posio horizontal. Determine a regulagem apropriada para a mola definindo a distncia h, que resultar em uma velocidade para a barra = 4 rad/s quando ela cruzar a posio horizontal. Discuta qual o efeito da dimenso x na dinmica desse problema. Lembre-se que o centro de massa da barra encontra-se no seu centro (300 mm) e que seu momento de inrcia em relao a esse ponto vale IG = (1/3)mL2.\n7. Uma cpsula espacial tem massa de 1200 Kg e momento de inrcia\nIG = 900 Kg.m2 em relao a um eixo que passa por G e perpendicular pgina. Se ela se desloca para a frente com velocidade vG = 800 m/s e executa uma volta graas ao de dois jatos, que fornecem um empuxo constante de 400 N, durante 0,3 s, determine a velocidade angular da cpsula depois de interrompida a ao dos jatos.\nR: 0,386 rad/s\n8. O homem puxa a corda com uma fora de 100 N, na direo mostrada\nna figura. Se a bobina tem peso de 250 N e raio de girao kG = 0,8 m em relao ao seu eixo em A, determine a velocidade angular da bobina 2 s aps ter partido do repouso. Despreze o atrito e o peso da corda removida.\nR: 15,3 rad/s\nDocumentos semelhantes a DINÂMICA II - APOSTILA


Caesa e outros\nProcesso nº:s/n - CAESA ¿ Companhia de Água e Esgoto do Amapá e Estado do Amapá.\nAssunto:Serviço de fornecimento de água potável. Precariedade no fornecimento. Quantidade insuficiente e qualidade da água imprópria para o consumo humano. Localidades do Bailique- Macapá, envolvendo as Comunidades de Arraiol, Livramento, São Pedro do Curuá, Igarapé Marinheiro, Assentamento n. 10 e Marinheiro de Fora.\nO MPAP pede ao Poder Judiciário que a CAESA e o Estado do Amapá passem a fornecer água potável de qualidade para a localidade do Bailique e às comunidades de Arraiol, Livramento, São Pedro do Curuá, Igarapé Marinheiro, assentamento n. 10 e Marinheiro de Fora, bem como que estenda o serviço a todas as comunidades pertencentes ao arquipélago de Bailique.


CAMINHO DO CARECA: Motorista alerta\nPassei algumas horas dos últimos dois dias na estrada, indo e voltando da minha cidade natal. Tirando a parte que tem muitos buracos, a estrada está muito boa, foi uma viagem sem problemas. A paisagem da estrada está bem bonita, nesta época do ano a vegetação está com um verde intenso, chove em diversos trechos, é uma época agradável para se viajar.\nViajei com os meus pais e o meu irmão. A idéia era revezar no volante, mas eu sou muito fominha de volante, dirigi a maior parte do tempo. Na verdade, acho que não sou um bom passageiro de automóvel, fico muito inquieto, não canso de olhar pela janela de lado, demoro a relaxar e sou ruim para puxar conversa com o motorista. Eu fico calado demais, demoro a pensar em alguma coisa interessante e acabo ficando calado, ou só concordando. Ou seja, estou mais para motorista mesmo, que pode ouvir o que os outros falam, mas deve se concentrar na estrada.\nA verdadeira conversa descontraída numa viagem passa, necessariamente, pelo assunto besteirol ou borracha pura. Eu costumo ser muito bom para dizer besteiras, mas em viagem de carro, sentado no banco de trás, fico muito distraído com a paisagem e deixo passar as oportunidades.\nEm família, nós acreditamos que deixar o motorista levemente irritado com gozações contribui para a qualidade da direção. É uma crença besta, mas nós levamos esse tipo de coisa muito a sério, todo mundo de casa quer colaborar, é uma coisa bonita.\nDesta vez, catei apenas um buraco na pista, uma proeza considerável se levarmos em conta o número de buracos entre algumas cidadezinhas de Goiás. Mesmo assim, recebi vaias e apupos dos passageiros. Minha mãe aproveitou para intensificar a campanha pela redução da velocidade.\n_Vá mais devagar. Você não vê os buracos porque está indo muito depressa - disse a minha mãe.\n_Mas mãe, até os fuscas estão nos ultrapassando - eu disse.\n_Os fuscas e os vemaghetis - disse o meu irmão.\n_Olha, você errou dois buracos - disse o meu pai.\n_Pai, aquele buraco era grande demais para desviar - eu disse.\n_Mas não precisava acertar as quatro rodas nele - disse o meu pai.\n_É porque ele vai rápido demais. Se ele diminuísse um pouco, não pegaria tantos buracos - disse a minha mãe.\n_Olha aí, as kombis estão passando por nós - disse o meu irmão.\n_Putz, mãe, eu já estou lento demais, até as kombis estão ultrapassando - eu disse.\n_Buraco à frente, atenção - disse o meu pai.\n_Vá mais devagar, senão você não vê os buracos - disse a minha mãe.\n_Carroça pede passagem à esquerda - disse o meu irmão.\nIsso se repetiu várias vezes na ida.\nNa volta, minha mãe queria comprar pequis.\n_Tinha pequi ali atrás, por quê você não parou? - disse o meu pai.\n_Se ele fosse mais devagar, teria visto - disse a minha mãe.\n_Pensei que era seriguela - eu disse.\n_As bicicletas estão nos ultrapassando - disse o meu irmão.\nIsso também se repetiu com algumas variações na volta. Foi uma ótima viagem.