Força elástica 2 a by Cristiane Tavolaro 15636 views\nTrabalho e Energia Slide by Vlamir Gama Rocha 21151 views\nForça e movimento e força gravitaci... by Luise Moura 12654 views\nPaulo Henrique Passos , Cb Polícia Militar na Poliícia Militar da Bahia at Poliícia Militar da Bahia\nMuito bom, mas não tem as RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS, então se vossa senhoria pudesse COLOCAR AS RESPOSTAS, eu ficaria MUITO GRATO, assim como outras pessoas também ficariam. Desde já, deixo aqui, meus agradecimentos...\nvinicius at vinicius\nCamilla Matias , Aluno na EREM Aura Sampaio Parente Muniz\nDemitrio Pio , Student at Instituto Industrial E Comercial Da Beira at Instituto Industrial E Comercial Da Beira\n1. Alessandra Bosquilha Márcio Pelegrini 2a Edição\n2. EXPEDIENTE Editor Responsável Italo Amadio Coordenadora de Produção Editorial Katia F. Amadio Assistente Editorial Edna Emiko Nomura Autora Alessandra Bosquilha Márcio Pelegrini Projeto Gráfico e Diagramação EXATA Editoração Ilustrações Fabiana Fernandes Capa Antonio Carlos Ventura Revisão Ariadne Escobar Branco da Silva Kimie Imai Sérgio Torres Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Bosquilha, Alessandra Minimanual compacto de física : teoria e prática / Alessandra Bosquilha, Márcio Pelegrini. — 2. ed. rev. — São Paulo : Rideel, 2003. ISBN 85-339-0587-4 1. Física - Estudo e ensino I. Pelegrini, Márcio. II. Título. 03-4708 CDD-530.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Física : Estudo e ensino 530.7 © Copyright – todos os direitos reservados à: Al. Afonso Schmidt, 879 – Santa Terezinha Cep 02450-001 – São Paulo – SP www.rideel.com.br – e-mail: sac@rideel.com.br Proibida qualquer reprodução, seja mecânica ou eletrônica, total ou parcial, sem a permissão expressa do editor. 2 4 6 8 9 7 5 3 1 903\n3. Apresentação Estudar Física é conhecer a própria natureza que nos cerca. Para atender a esse propósito, desenvolvemos o Minimanual Compacto de Física — Teoria e Prática, de maneira contextualizada e interdisciplinar, para que o leitor possa ter uma visão ampla de suas aplicações, e de como o conhecimento da Física nos auxilia a entender melhor o nosso mundo, bem como a compreender o de- senvolvimento de avanços tecnológicos, cujas ramificações vão desde o seu emprego na engenharia civil até na medicina. Ele traz o conteúdo de Física contemplado no Ensino Mé- dio, e vai desde a introdução à Física, passando pela mecânica, calor, óptica, acústica, eletricidade e finalizando com magnetismo. Cada capítulo fornece um conteúdo teórico bem como exer- cícios resolvidos, que mostram como utilizar na prática os concei- tos estudados. Além disso, oferece uma grande quantidade de exer- cícios, incluindo os de vestibulares de todo o país e Enem, para que você avalie sua compreensão dos conceitos e possa se prepa- rar para o vestibular. O livro também traz um encarte colorido de 32 páginas, espe- cialmente desenvolvido para fornecer a você, leitor, algumas idéias do emprego da Física em áreas cotidianas, explicando, por exemplo, porque ocorre o fenômeno da Inversão Térmica tão comum em gran- des metrópoles, como e porque ocorrem as marés, os eclipses solar e lunar, entre outros fenômenos que indicarão o caminho para que você desenvolva seu senso crítico e estenda sua compreensão a respeito do mundo que o cerca. Esperamos que este livro atenda os seus objetivos e o con- duza de forma agradável pelos fascinantes caminhos da Física. O Editor\n4. Sumário CAPÍTULO 1 – Introdução .................................................................... 11 1. Grandezas físicas e unidades ........................................................ 12 2. Algarismos significativos ................................................................ 13 3. Notação científica ........................................................................... 14 4. Grandezas escalares e vetoriais .................................................... 15 CAPÍTULO 2 – Cinemática ................................................................... 19 1. Introdução ...................................................................................... 19 2. Ponto material, movimento e repouso............................................ 19 3. Espaço e variação do espaço ........................................................ 21 4. Velocidade média e velocidade instantânea .................................. 23 5. Movimento uniforme (MU) .............................................................. 27 CAPÍTULO 3 – Movimentos variados e uniformemente variados ......... 35 1. Movimento Variado ......................................................................... 35 2. Movimento Uniformemente Variado (MUV) .................................... 37 3. Equação de Torricelli ...................................................................... 41 4. Aceleração da gravidade................................................................ 42 CAPÍTULO 4 – Cinemática vetorial ....................................................... 47 1. Introdução ...................................................................................... 47 2. Movimento balístico ....................................................................... 47 CAPÍTULO 5 – Dinâmica ...................................................................... 55 1. Introdução ...................................................................................... 55 2. Grandezas da dinâmica ................................................................. 55 3. Lei de Hooke .................................................................................. 56 4. Leis de Newton .............................................................................. 58 5. Referenciais inerciais ..................................................................... 61 6. Descrição de forças ....................................................................... 63 CAPÍTULO 6 – Movimentos Curvilíneo, Periódico e Circular Uniforme ....... 73 1. Movimento curvilíneo ..................................................................... 73 2. Movimento periódico ...................................................................... 78 3. Movimento Circular Uniforme (MCU) ............................................. 81\n5. CAPÍTULO 7 – Gravitação e Movimento dos Astros ............................. 89 1. Introdução ...................................................................................... 89 2. Lei da Gravitação Universal ........................................................... 90 3. Leis de Kepler ................................................................................ 91 CAPÍTULO 8 – Energia Mecânica ......................................................... 97 1. Introdução ...................................................................................... 97 2. Trabalho de uma força constante ................................................... 97 3. Trabalho de uma força qualquer ..................................................... 99 4. Trabalho de uma força elástica..................................................... 101 5. Potência ....................................................................................... 102 6. Energia ......................................................................................... 104 7. Conservação da energia .............................................................. 104 8. Energia cinética ............................................................................ 105 9. Forças conservativas ................................................................... 107 10. Energia potencial ....................................................................... 107 11. Sistemas conservativos ............................................................. 109 CAPÍTULO 9 – Quantidade e Movimento ........................................... 114 1. Definição ...................................................................................... 114 2. Impulso de uma força constante .................................................. 114 3. Teorema do impulso ..................................................................... 115 4. Aplicação das fórmulas para movimentos retilíneos .................... 115 5. Quantidade de movimento de um sistema................................... 117 6. Conservação da quantidade de movimento................................. 118 7. Quantidade de movimento nos choques...................................... 119 8. Choques elásticos e inelásticos ................................................... 119 9. Coeficiente de restituição ............................................................. 120 CAPÍTULO 10 – Equilíbrio dos Sólidos ............................................... 127 1. Introdução .................................................................................... 127 2. Centro de massa de um corpo ..................................................... 127 3. Equilíbrio de um ponto material ................................................... 129 4. Momento (torque) de uma força ................................................... 130 5. Equilíbrio de um corpo extenso.................................................... 131 CAPÍTULO 11 – Equilíbrio dos Fluidos ............................................... 136 1. Fluidos .......................................................................................... 136 2. Pressão ........................................................................................ 136\n6. 3. Densidade .................................................................................... 138 4. Lei de Stevin ................................................................................ 140 5. Princípio de Pascal ...................................................................... 142 6. Experiência de Torricelli – outras unidades de pressão ............... 145 7. Princípio de Arquimedes .............................................................. 146 CAPÍTULO 12 – Escalas de Temperatura – Comportamento Térmico da Matéria ............................................... 154 1. Temperatura ................................................................................. 154 2. Estados de agregação da matéria ............................................... 158 3. Comportamento térmico dos corpos sólidos ............................... 158 4. Comportamento térmico dos líquidos .......................................... 162 5. Comportamento térmico dos gases ............................................. 165 CAPÍTULO 13 – Calor ......................................................................... 170 1. Introdução .................................................................................... 170 2. Fonte térmica ............................................................................... 170 3. Propagação de calor .................................................................... 172 4. Calor sensível e calor latente ....................................................... 175 5. Capacidade térmica e calor específico ........................................ 180 6. Calorimetria – Trocas de calor ..................................................... 185 CAPÍTULO 14 – Óptica ....................................................................... 190 1. Introdução .................................................................................... 190 2. Fontes de luz e velocidade da luz ................................................ 190 3. Cores ............................................................................................ 192 4. Meios de propagação ................................................................... 192 5. Princípios da óptica ...................................................................... 193 6. Sombra e penumbra .................................................................... 193 7. Reflexão, refração e absorção ..................................................... 194 8. Estudo da reflexão da luz ............................................................. 195 9. Espelho plano .............................................................................. 197 10. Espelhos esféricos ..................................................................... 199 11. Estudo da refração da luz .......................................................... 212 12. Lentes esféricas ......................................................................... 224 CAPÍTULO 15 – Ondas ....................................................................... 243 1. Movimento Harmônico Simples (MHS) ........................................ 243 2. Movimento ondulatório ................................................................. 248\n7. 3. Reflexão de ondas ....................................................................... 259 4. Refração de ondas ....................................................................... 262 5. Interferência ................................................................................. 266 6. Ondas estacionárias .................................................................... 267 7. Difração ........................................................................................ 268 8. As ondas sonoras ........................................................................ 272 9. Reflexão do som – reforço, reverberação e eco........................... 277 10. Refração ..................................................................................... 279 11. Efeito Doppler ............................................................................ 279 CAPÍTULO 16 – Eletricidade ............................................................... 285 1. Carga elétrica ............................................................................... 285 2.. Lei de Coulomb ........................................................................... 292 3. Campo elétrico ............................................................................. 299 4. Potencial elétrico .......................................................................... 304 5. Capacidade de um condutor ........................................................ 313 6. Corrente elétrica........................................................................... 315 7. Potência elétrica ........................................................................... 319 8. Energia elétrica ............................................................................ 321 CAPÍTULO 17 – Magnetismo .............................................................. 325 1. Introdução .................................................................................... 325 2. Propriedade de inseparabilidade dos pólos ................................. 326 3. Comportamento magnético das substâncias ............................... 326 4. Campo magnético ........................................................................ 327 5. Classificação das substâncias magnéticas .................................. 328 6. Imantações permanente e transitória .......................................... 329 7. A experiência de Oersted ............................................................. 329 8. Lei de Biot-Savart ......................................................................... 331 9. Campo elétrico em uma espira circular........................................ 333 10. Campo magnético em um solenóide.......................................... 335 11. Força sobre uma carga em movimento em um campo magnético .................................................................................. 341 12. Força magnética em um condutor retilíneo................................ 347 13. Força magnética entre dois condutores paralelos ..................... 349 CAPÍTULO 18 – Ondulatória ............................................................... 354 1. Ondas eletromagnéticas .............................................................. 354 Gabarito ........................................................................................... 362\n8. INTRODUÇÃO O homem sempre se sentiu atraído pela diversidade de fe- nômenos naturais que observa. Procurando ordenar esses fe- nômenos, criou uma série de sistemas, como a religião, a arte e a ciência, que são conjuntos de conhecimentos organizados de maneira particular e racional. A Física é a ciência das coisas naturais. Ao mergulhar sua atenção na Física, você deve saber que está entrando em con- tato com a própria natureza que o cerca. Estudar Física é ob- servar e entender melhor os fenômenos da natureza, que fa- zem parte do nosso dia-a-dia. Este livro aborda, basicamente, o que chamamos de Física Clássica, englobando a mecânica, a óptica, o calor, a acústi- ca, a eletricidade e o magnetismo, temas esses conhecidos pela ciência desde o final do século XIX. As teorias quântica e da relatividade só foram elaboradas a partir do início do século XX, originando a chamada Física Moderna. As leis da Física são generalizações de observações e de re- sultados experimentais. As leis de Newton sobre a gravitação universal, por exemplo, tiveram como base diversas observa- ções: a trajetória dos planetas no sistema solar, o movimento de corpos próximos à superfície da Terra, as variações diárias e sa- zonais das marés e outros fenômenos cotidianos. 11 Capítulo 1\n9. Usualmente, expressam-se as leis da Física por meio de equações matemáticas. Por isso, para compreender a Física é necessário empregar procedimentos matemáticos, que o leitor deve dominar como ferramenta imprescindível. 1. Grandezas físicas e unidades Grandeza física é um conceito primitivo relacionado à possibilidade de medida, como comprimento, tempo, massa, velocidade e temperatura, entre outras unidades . As leis da Física exprimem relações entre grandezas. Me- dir uma grandeza envolve compará-la com algum valor unitá- rio padrão. Por exemplo, para medir a distância entre dois pontos quaisquer, é necessário utilizar uma unidade padrão, como uma régua de um metro. Quando dizemos que uma dis- tância é de 10 metros, estamos dizendo que essa distância é igual a dez vezes o tamanho da régua, isto é, que a régua cabe 10 vezes nessa distância. Se disséssemos apenas que a distância é igual a 10, não seríamos compreendidos. Desde 1960 foi adotado o Sistema Internacional de unidades (SI), que estabeleceu unidades padrão para todas as grandezas importantes, uniformizando seu emprego em nível internacional. As unidades fundamentais do SI estão relacionadas na ta- bela a seguir: Grandeza física Unidade de medida Comprimento metro (m) Massa quilograma (kg) Tempo segundo (s) Corrente elétrica ampère (A) Temperatura termodinâmida Kelvin (K) Quantidade de matéria mol (mol) Intensidade luminosa candela (cd) As unidades derivadas das fundamentais serão apresenta- das no decorrer do livro. 12 Capítulo 1\n10. 2. Algarismos significativos Ao medir o comprimento de uma barra com uma régua di- vidida em milímetros, podemos escrever essa medida da se- guinte maneira: 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 L 4,05 L 4,50 duvidoso duvidoso A medida apresenta três algarismos significativos, sendo o úl- timo chamado algarismo duvidoso. Observe que o algarismo du- vidoso diz respeito à precisão do instrumento de medição utili- zado, no caso, a régua. A precisão para a régua vai até o milíme- tro. Assim, o décimo de milímetro é chamado “duvidoso”. Exemplos de operação: Qualquer operação que envolva um algarismo duvidoso tem resultado duvidoso. Os algarismos duvidosos estão destacados: 3,67 3,8 7,47 Como os dois últimos algarismos são duvidosos, a respos- ta correta é: 7,4 (dois algarismos significativos). Uma medida nunca deve ser apresentada com mais de um algarismo duvidoso. E x e mp l o 3,672 2,44 Solução O resultado será 6,112, mas como uma medida não pode ter mais de um algarismo duvidoso, a resposta correta é 6,11. 13 Capítulo 1\n11. 1. Efetue as operações a seguir, expressando os resultados em algaris- mos significativos. a) 4,567 4,87609 c) 476 76,2 b) 2 3,213 d) 21,4 376,2 3. Notação científica Para expressar mais facilmente números muito grandes ou muito pequenos, utiliza-se o recurso das potências de 10. 10 2 100, 10 0 1, 10 3 0,001 Desta maneira, o número 3.450.000 pode ser assim ex- presso: 3,45 10 6. Fator pelo qual a unidade Prefixo Símbolo é multiplicada exa E 10 18 peta P 10 15 tera T 10 12 giga G 10 9 mega M 10 6 quilo k 10 3 hecto h 10 2 deca da 10 deci d 10 1 centi c 10 2 mili m 10 3 micro m 10 6 nano n 10 9 pico p 10 12 femto f 10 15 atto a 10 18 14 Capítulo 1\n12. Utilizando a notação científica , é possível expressar os números sempre com a quantidade correta de algarismos significativos. Na notação científica, deve-se usar um número entre 1 e 10 como multiplicador da potência de 10. No exemplo cita- do, usou-se 3,45 (que está entre 1 e 10). 4. Grandezas escalares e vetoriais As grandezas escalares são aquelas definidas por um valor numérico e por uma unidade e as grandezas vetoriais são aquelas que, para serem definidas, necessitam de um valor numérico, de unidade, de direção e de sentido. Por exemplo: para definir o deslocamento de um automó- vel em uma determinada situação, dizemos o seguinte: deslo- cou-se 200 km na direção São Paulo–Rio de Janeiro, no senti- do Rio de Janeiro. Para simplificar as operações envolvendo grandezas vetoriais, utiliza-se a entidade geométrica denominada vetor . O vetor se caracteriza por possuir módulo, direção e senti- do, e é representado geometricamente por um segmento de reta orientado. o módul Representamos graficamen- te um vetor por uma letra, so- direção bre a qual colocamos uma seta: → sentido A (lê-se vetor A ) O módulo do vetor representa seu valor numérico e é indi- cado utilizando-se barras verticais: → A (lê-se módulo do vetor A ) → A A Na representação gráfica, o comprimento do segmento orientado em uma determinada escala corresponde ao módulo do vetor. 15 Capítulo 1\n13. Vetores iguais devem ter módulo, direção e sentido iguais. Vetores opostos têm mesmo módulo, direção e sen- tidos contrários: Vetores com a mesma Vetores com a mesma Vetores com direção e mesmo sentido direção e sentidos opostos direções diferentes 4.1. Decomposição de um vetor Y Consideremos um vetor e um sis- → → vY v tema cartesiano ortogonal. Podemos decompor o vetor, projetando-o so- bre os eixos x e y, gerando as com- ponentes do vetor em relação a estes → eixos. 0 vX X Pode-se calcular as componentes vetoriais utilizando as operações trigonométricas relacionadas ao ângulo de inclina- ção do vetor. Y → → v vY → 0 vX X Em relação a esse gráfico, podemos afirmar que: cateto oposto vy sen ⇒ vy v sen hipotenusa v cateto adjacente vx cos ⇒ vx v cos hipotenusa v 16 Capítulo 1\n14. E x e mp l o s Y a) Decomponha o vetor representado → ao lado, nos eixos x e y. v 0 X Solução Y → → v vY → vX X b) Determine as componentes horizontais e verticais dos vetores abaixo. Dados sen 30° 0,5, sen 45° 0,707, cos 30° 0,866 e cos 45° 0,707. 1) Y 2) Y → v → v 2,00 v v 3,00 45° 30° X X Solução b.1) v x v cos 45° ⇒ v x 2 0,707 ⇒ v x 1,41 vy v sen 45° ⇒ v y 2 0,707 ⇒ v y 1,41 b.2) v x v cos 30° ⇒ v x 3 0,866 ⇒ v x 2,59 vy v sen 30° ⇒ v y 3 0,500 ⇒ v y 1,50 17 Capítulo 1\n15. 2. Um barqueiro precisa atravessar o rio com seu barco. Ele decide fazê-lo de modo que sua trajetória seja perpendicular à corrente- za. Sabendo-se que os módulos da velocidade do barco e da correnteza são m vB 6 e s VC 4 m , s determine o módulo de velocidade resultante. 3. Determine, dado o esquema abaixo, os módulos das componen- → tes do vetor ( v ) nos eixos x e y, respectivamente. y Dados: sen 30° = 0,5, 3 cos 30° = e → 2 → v → vy v 10 u . 30° 0 → x vx a) 5 e 3 c) 5 e 5 3 e) 10 3 e 5 b) 5 3 e 5 d) 10 e 3 2 18 Capítulo 1\n16. CINEMÁTICA 1. Introdução A cinemática é a parte da Física que estuda os movimentos dos corpos. As grandezas básicas usadas na cinemática são o comprimento e o tempo, relacionados com as unidades metro (m) e segundo (s) do SI. 2. Ponto material, movimento e repouso Um corpo é considerado ponto material quando suas di- mensões físicas podem ser desprezadas para o estudo de seu movimento em uma determinada situação. As dimensões de um avião cargueiro, por exemplo, não podem ser desprezadas se o que estiver sendo estudado for o movimento desse avião ao fazer manobras na pista do aeropor- to; se, entretanto, esse mesmo avião estiver sendo estudado em algum ponto da rota de vôo Brasil–Japão, suas dimensões po- dem ser desprezadas, podendo a aeronave ser considerada um ponto material. A posição de um ponto material em um determinado siste- ma é definida por meio de coordenadas em relação a um referencial. Vamos considerar, por exemplo, um ônibus que se aproxima de uma pessoa que está à espera no ponto: para essa pessoa, o ônibus está em movimento, pois se aproxima 19 Capítulo 2\n17. dela; porém, para um passageiro que está sentado dentro do ônibus, o veículo está em repouso , pois não se afasta nem se aproxima dele. Portanto, o estudo do movimento depende sempre do referencial adotado. Com isso, conclui-se que um corpo está em movimento quando sua posição em relação a um referencial muda ao lon- go do tempo. Se a posição não muda, dizemos que o corpo está em repouso. Considerando um ponto material em movimento, denomi- namos trajetória ao conjunto de posições ocupadas por esse ponto ao longo do tempo. A figura a seguir mostra a trajetória de um projétil lançado por um canhão. Para definir a posição de um ponto material em uma situa- ção qualquer, precisamos de um sistema de coordenadas cartesianas com três dimensões. Nos casos estudados neste capítulo, teremos um ponto se locomovendo ao longo de uma trajetória conhecida; assim, bastará medir apenas uma coor- denada sobre a trajetória para definir a posição, conforme pode ser visto na figura a seguir. Posição definida Posição definida por uma por três coordenadas coordenada sobre uma trajetória 20 Capítulo 2\n18. No caso do movimento de um carro ao longo de uma es- trada, a trajetória é previamente conhecida: é a própria estra- da. A este tipo de estudo chamamos cinemática escalar . 3. Espaço e variação do espaço Espaço é uma grandeza que caracteriza a posição de um ponto material sobre uma trajetória. Para que possamos medir o espaço, temos que adotar um sentido positivo para a trajetória e um referencial, chamado origem dos espaços . Representado por S, o espaço correspondente a um deter- minado ponto é a medida algébrica (com sinal positivo ou ne- gativo) do segmento da trajetória que vai da origem até o pon- to. A posição do ponto definido como origem corresponde ao espaço igual a zero (S 0). Veja a figura a seguir: A partir de agora, a grandeza tempo será representada por t. Considere um ponto material P em movimento: no instan- te t 1, sua posição é dada pelo espaço S 1; no instante t 2 – poste- rior a t 1 – pelo espaço S 2 . No intervalo de tempo entre estes dois instantes ocorreu uma variação de espaço . Esta variação pode ser determinada pela diferença entre S1 e S 2. A letra grega delta ( ) é usada para representar diferenças, desta maneira: Intervalo de tempo: t t2 t1 Variação de espaço: S S2 S1 21 Capítulo 2\n19. O intervalo de tempo é sempre positivo, uma vez que con- sideramos a contagem do tempo a partir de uma origem em t 0. A variação do espaço, como pode ser visto na figura a seguir, pode ser positiva ou negativa, dependendo do sentido do movimento em uma determinada trajetória. S 0 (S 2 S 1) S 0 (S 2 S 1) E x e mp l o Um automóvel parte da origem A. Após 2 h, ele está na posição B; após mais 5 h, na posição C, conforme a figura a seguir. Consideran- do o sentido de A para B como positivo, determinar a variação do es- paço e seus respectivos intervalos de tempo nas situações abaixo: a) A para B; b) B para C; c) A para C. Solução: a) tA t2 t1 2 0⇒ tA 2h SA S2 S1 180 0⇒ SA 180 km b) tB t2 t1 5 0⇒ tB 5h SB S2 S1 ( 270) (180) ⇒ SB 450 km c) tC tA tB 2 5⇒ tC 7h SC SA SB 180 450 ⇒ SC 270 km 22 Capítulo 2\n20. 1. O mapa abaixo mostra um trecho de uma rodovia. Os números representam os marcos em quilômetros e o sentido positivo é para leste. a) Tomando a cidade A como origem, determine os espaços cor- respondentes entre a origem e B, C, D e E. b) Um automóvel parte de A às 14 h e chega a B às 18 h. Qual foi a variação do espaço e o intervalo de tempo? c) Um automóvel parte de C a 0 h e chega a E às 4 h. Qual foi a variação do espaço e o intervalo de tempo? d) Qual a variação do espaço sofrida por um ônibus que vai de E para B? e) Qual a variação do espaço sofrida por uma motocicleta que vai de D para B? 4. Velocidade média e velocidade instantânea É muito comum, ao assistirmos a uma corrida de automó- veis, ouvirmos o locutor dizer qual foi a velocidade média dos carros em uma determinada volta ou mesmo em toda a corri- da. Isto não significa, porém, que aquela tenha sido a veloci- dade do carro em todo o percurso. Define-se velocidade média de um móvel como o quociente entre a variação do espaço e o intervalo de tempo gasto. S vm = t 23 Capítulo 2\n21. Alguns valores de velocidades médias ⎛ em km ⎞ ⎝ h ⎠ 9 Deriva dos continentes 3,6 10 Uma pessoa caminhando 5 Velocidade máxima permitida 100 nas estradas brasileiras Velocidade do som no ar 1.200 Velocidade de rotação da 1.650 Terra no Equador Luz no vácuo 1,08 10 9 E x e mp l o Um automóvel passou pelo marco 100 km de uma estrada às 13 h. Às 15 h, ele estava no marco 260 km. Qual foi a velocidade média do automóvel neste trecho de estrada? Solução S S2 S1 260 100 160 km vm ⇒ vm 80 t t2 t1 15 13 2 h A velocidade instantânea (v) de um móvel é a velocidade média medida em um intervalo de tempo muito pequeno, ten- dendo a zero. Podemos defini-la, matematicamente, como a operação limite: S v lim t →0 t 24 Capítulo 2\n22. Quando vemos a medida determinada pelo velocímetro de um automóvel em um determinado instante, o que estamos vendo na realidade é a medida da velocidade instantânea, uma vez que o velocímetro indica a velocidade do carro a cada instante. A unidade de velocidade média e de velocidade instantâ- nea no SI é o metro por segundo ⎛ m ⎞ . ⎝ s ⎠ ⎛ km ⎞ No Brasil, usamos o quilômetro por hora como ⎝ h ⎠ unidade de velocidade. A relação entre o quilômetro por hora e o metro por segundo pode ser facilmente descrita: km 1 m m km 1 ⇒ 1 3, 6 h 3, 6 s s h E x e mp l o s a) Um carro de Fórmula 1 descreve um movimento em que sua velo- km cidade instantânea é de 288 . Determine o valor da velocida- h m de em . s Solução km 288 m m v 288 ⇒ v 80 h 3, 6 s s m b) Um projétil é lançado a 25 . Calcule a velocidade do projétil s km em . h Solução m km km v 25 25 3,6 ⇒ v 90 s h h km m Para converter em , basta dividir o valor em km/h pelo h s fator de conversão 3,6. Para a transformação inversa – converter m km m em – basta multiplicar o valor em por 3,6. s h s 25 Capítulo 2\n23. 2. (Fuvest-SP) Um barco é erguido 24 m no interior de um eclusa, num intervalo de tempo de 40 min. Sua velocidade média de ascensão é: m m a) 18 c) 5 10 3 s s m m m b) 2,5 10 3 d) 10 2 e) 7,2 10 3 s s s 3. Às 8h20min, um automóvel se encontrava no marco 210 km de uma rodovia. Às 9h01min40s, o mesmo automóvel estava no marco 260 km. Determine: a) a variação de espaço realizada pelo automóvel; b) o intervalo de tempo decorrido; m km c) a velocidade média em e em . s h 4. A figura abaixo mostra um trecho de uma ferrovia. Um trem sai da estação A às 12 h, passando por B às 12h30min e chegando a C às 17h30min. Quais os intervalos de tempo para cada parte do percur- so e suas respectivas velocidades médias, bem como a velocidade média total para o trajeto completo? 5. Na trajetória ao lado, um ponto material vai de A para C e volta pa- ra B. Adotando t 0 s na partida, ele chega a C em t 5 s e retorna a B em t 10 s. Determine: a) os espaços percorridos de A para C e de C para B; b) a velocidade média do ponto material entre t 0 s e t 5 s, entre t 5 s e t 10 s e entre t 0 s e t 10 s. 26 Capítulo 2\n24. 6. Na figura ao lado, demons- tramos o trajeto de um mó- vel que vai do ponto A para B em linha reta e depois retorna para A pelo cami- nho indicado. Consideran- do a velocidade média de A km para B, 5 e o tempo h de retorno 7 h, determine: a) o tempo gasto no trecho de A para B; b) a velocidade média de B para A. 7. Um trem de carga, com 180 m de comprimento, entra em um tú- nel e, 30 s depois, a extremidade de seu último vagão sai desse túnel. Sabendo que o trem mantém uma velocidade média de m 25 , determine o comprimento do túnel. s 5. Movimento Uniforme (MU) O movimento uniforme pode ser definido como aquele em que um móvel tem velocidade instantânea constante e igual à velocidade média para qualquer intervalo de tempo. No MU, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. Se a trajetória for retilínea, o movimento é chamado movimento retilíneo e uniforme (MRU). Por exemplo: se um corpo for impulsionado no espaço e nada existir que se oponha ao seu movimento, ele entrará em MRU. 5.1. Função horária do MU Um móvel em movimento uniforme sobre sua própria tra- jetória, tem sua distância alterada ao longo do tempo em rela- ção a um referencial em repouso. A equação matemática que relaciona a variação do espaço com o tempo é chamada de função horária . 27 Capítulo 2\n25. No instante t 0 0 s, o espaço é S 0 (espaço inicial); no ins- tante t, o espaço é S. Então, temos: S S0 v t Quando a velocidade instantânea de um móvel é positiva, ou seja, quando ele está se deslocando a favor do sentido escolhido como positivo na trajetória, seu movimento é cha- mado progressivo; quando ele está se deslocando em sentido contrário ao determinado como positivo, tem velocidade ins- tantânea negativa e seu movimento é denominado retrógrado. E x e mp l o s a) O espaço de um móvel em MU varia conforme a equação S 40 20t (unidades do SI). Determine o espaço inicial e a ve- locidade do móvel. Solução O espaço inicial correspondente a t 0 0 s é S 0 40 km. A velo- cidade é o multiplicador do tempo t na equação, portanto m temos: v 20 . s b) Um móvel está em MU, obedecendo a equação S 3 30t (SI). Determine: 1. O espaço inicial; 2. a velocidade; 3. o espaço percorrido após 20 s; 4. o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços. Solução b.1) S 0 3m m b.2) v 30 s b.3) S 3 30 20 ⇒ S 597 m b.4) 0 3 30t ⇒ t 0,1 s c) Duas cidades distam 250 km entre si. Da cidade A parte um cami- nhão em direção a B, e da cidade B parte um caminhão em direção a A. Considerando que um dos móveis tem velocidade constante igual 28 Capítulo 2\n26. km km a 40 e o outro 60 , em quanto tempo os caminhões irão se h h encontrar e a que distância da cidade A será o ponto de encontro? Solução SA 0 40t e S B 250 60t No ponto de encontro S A S B, logo: 40t 250 60t 250 t ⇒ t 2,5 h tempo de encontro. 100 SA 40 2,5 ⇒ S A 100 km Distância do ponto de encontro da cidade A. 5.2. Representação gráfica no MU É muito comum representar graficamente a equação horá- ria do MU. A seguir temos alguns exemplos. E x e mp l o s O enunciado abaixo vale para os exemplos a , b e c . A posição de um móvel varia conforme os gráficos a seguir. Determi- ne sua equação horária. a) Solução 6 2 m v 1 4 0 s ⇒ S 2 t movimento progressivo. 29 Capítulo 2\n27. b) Solução 0 10 m v 0, 5 20 0 s S 10 0,5t movimento retrógrado c) Solução Como S 0, o móvel está em repouso v ⎛ m⎞, 0 ⎝ s ⎠ logo: S 5 0 t ou S 5 d) Sobre uma trajetória retilínea, um móvel se movimenta de acordo com o gráfico abaixo. Determine o tipo de movimento em cada trecho indicado no gráfico e a velocidade média entre 0 e 10 s. Solução de 0 a 4 s → movimento progressivo de 4 a 8 s → movimento retrógrado de 8 a 10 s → repouso S 6 0 6 m vm ⇒ vm 0 ,6 . t 10 0 10 s 30 Capítulo 2\n28. O falso paradoxo de Aquiles e a tartaruga Paradoxo: “Aquiles vai disputar uma corrida com uma tar- taruga, sendo que esta partirá com a vantagem de R metros, porém Aquiles atinge a velocidade igual ao dobro da que a tartaruga alcança”. No século V, quando este paradoxo foi formulado, ainda não se compreendia muito bem o fato de que a soma de in- finitos termos de uma progressão geométrica, cujos termos tendem a zero, resulta em um valor, e por esse motivo con- cluíram que Aquiles nunca poderia alcançar a tartaruga, pois, quando este chegasse ao ponto em que a tartaruga es- tava, esta estaria a sua frente e assim sucessivamente. Se sintetizarmos as informações desse problema em um gráfico, colocando o tempo no eixo horizontal e a distân- cia no eixo vertical, podemos demonstrar a “falsidade do paradoxo”. Aquiles distância Tartaruga Nesse ponto, Aquiles alcançará a tartaruga R tempo t t t 1 2 3 Adaptado de http://ime.usp.br 31 Capítulo 2\n29. 8. Um avião está em MU. O espaço percorrido em t 0 h é 2.500 km. No instante t 1,6 h, o espaço percorrido é 3.620 km. a) Determine a velocidade do avião. b) Escreva a equação horária do movimento. c) Em que posição o avião se encontra em t 4,5 h? d) Em que instante o avião atinge a posição igual a 7.400 km? 9. (UFMG) Marcelo Negrão, numa partida de vôlei, deu uma corta- km da na qual a bola partiu com uma velocidade de 126 h ⎛ m⎞ 35 . Sua mão golpeou a bola a 3,0 m de altura, sobre a ⎝ s ⎠ rede, e ela tocou o chão do adversário a 4,0 m da base da rede, como mostra a figura. Nessa situação pode-se considerar, com boa aproximação, que o movimento da bola é retilíneo e uniforme. Considerando essa aproximação, pode-se afirmar que o tempo decorrido entre o gol- pe do jogador e o toque da bola no chão é de: 2 3 4 5 a) 1,7 s b) s c) s d) s e) s 63 35 35 35 10. Para cada função horária abaixo, determine o valor do espaço inicial e da velocidade (SI). a) S 2t c) S 10 4t b) S 10 t d) S 2t 1 32 Capítulo 2\n30. 11. Determine a função horária dos diagramas a seguir. a) b) c) d) 12. Construa o diagrama do espaço pelo tempo para cada função abaixo (SI). a) S 10t c) S 2 3t e) S 4 3t b) S 7 5t d) S 2 10t 13. (UFBA) Dois barcos, A e B, desenvolvem, em águas paradas, velo- m m cidades v A 6 e vB 5 . Eles partem no mesmo instante s s de uma plataforma, subindo um rio cuja correnteza tem velocidade m constante v 3 . O barco A passa sob uma ponte e, 8min20s s depois, passa o barco B. Determine, em km, a distância entre a ponte e a plataforma. 33 Capítulo 2\n31. m 14. Um móvel em movimento uniforme tem velocidade de 5 . No s instante t 0 s, ele se encontra a 20 m da origem da trajetória, conforme mostra a figura. Para um movimento retrógrado, a fun- ção horária que o caracteriza é dada por: a) S 20 5t c) S 20 5t e) S 20 5t b) S 5 20t d) S 20 5t 15. Duas partículas A e B se movimentam sobre uma mesma trajetória retilínea segundo o gráfico a seguir. Podemos afirmar que suas equações horárias são, respectivamente: a) S A 50 20t; S B 20 14t b) S A 20 50t; S B 10 20t c) S A 20 20t; S B 50 14t d) S A 20 20t; S B 10 50t e) S A 20 50t; S B 50 14t 16. (UFES) Um atirador ouve o ruído de uma bala atingindo um alvo m 3 s após dispará-la com velocidade de 680 . Sabendo que a s m velocidade do som é de 340 , a distância entre o atirador e o s alvo é, em metros: a) 340 c) 1.020 e) 2.040 b) 680 d) 1.530 34 Capítulo 2\n32. MOVIMENTOS VARIADOS E UNIFORMEMENTE VARIADOS 1. Movimento Variado Denomina-se movimento variado qualquer movimento no qual a velocidade varie ao longo do tempo. Para descrever de que maneira a velocidade varia, utilizamos a grandeza física chamada aceleração . Considere um ponto material em movimento variado. No instante t 1, a velocidade desse ponto material é v1; no instan- te t 2, sua velocidade é v 2. A variação da velocidade v e o in- tervalo de tempo correspondente t são: v v2 v1 e t t2 t1 Define-se aceleração média como o quociente entre a va- riação da velocidade e o intervalo de tempo correspondente: v αm t A unidade de aceleração no SI é m . s2 A aceleraçäo instantânea pode ser entendida como uma ace- leração média para um intervalo de tempo muito pequeno, ten- dendo a zero. Isto corresponde à operação matemática limite: 35 Capítulo 3\n33. lim v α t→0 t Em uma corrida de Fórmula 1, por exemplo, vemos o auto- móvel, em uma única volta, frear e acelerar muitas vezes. Durante a largada, percebemos que a velocidade aumenta ao longo do tempo, ao passo que durante a freagem a velocidade diminui com o passar do tempo. Estas duas situações definem o que chamamos de movimento acelerado e movimento retar- dado . O sinal matemático da velocidade tem relação com o sen- tido do movimento em uma determinada trajetória. Os sinais matemáticos da velocidade e da aceleração para os diferentes movimentos estão relacionados abaixo: Velocidade Aceleração Movimento acelerado positiva positiva Movimento acelerado negativa negativa Movimento retardado positiva negativa Movimento retardado negativa positiva Para facilitar a memorização, podemos dizer que: • No movimento acelerado, o valor absoluto da velocida- de aumenta ao longo do tempo. Os sinais da velocidade e da aceleração são iguais. • No movimento retardado , o valor absoluto da velocida- de diminui ao longo do tempo. Os sinais da velocidade e da aceleração são contrários. E x e mp l o s a) Um móvel passa por um ponto A no instante t 1 0 s, com a velo- m cidade de 5 . Ao passar por B, no instante t 2 3 s, sua veloci- s 36 Capítulo 3\n34. m dade é de 20 . Determine a aceleração média e descreva o mo- s vimento. Solução v v2 v1 20 5 m αm ⇒ αm 5 t t2 t1 3 0 s2 O movimento é acelerado. b) Considere o mesmo enunciado do exemplo a, mudando os valores m m da velocidade: 10 para o ponto A e 4 para o ponto B. s s Solução v 4 10 m αm ⇒ αm 2 t 3 0 s2 O movimento é retardado. 2. Movimento Uniformemente Variado (MUV) Chamamos Movimento Uniformemente Variado (MUV) o movimento em que a velocidade varia de modo uniforme ao longo do tempo, isto é, aquele em que ocorrem variações de velocidade iguais em intervalos de tempo iguais. A aceleração instantânea, neste movimento, é sempre a mesma e igual à aceleração média. Se a trajetória é retilínea, o movimento é denominado Re- tilíneo Uniformemente Variado (MRUV). 2.1. Função horária do MUV A exemplo da equação horária do MU vista no Capítulo 2, a equação horária para o MUV é: v v0 α t em que v é a velocidade no instante t, v 0 é a velocidade no instante t 0 (velocidade inicial) e α é a aceleração. 37 Capítulo 3\n35. E x e mp l o s a) Um móvel se locomove obedecendo a equação v 4 5t (SI). Qual é a velocidade inicial do móvel, a aceleração e o tipo de movimento? Solução Analisando a equação horária dada, temos: a velocidade inicial m m do móvel é v 0 4 e a aceleração vale 5 2 . Quando a s s velocidade assume o mesmo sinal da aceleração, temos um mo- vimento acelerado; quando estes sinais são contrários, o movimento é retardado. Na equação dada, o movimento se caracteriza como acelerado quando t 0,8 s e como retardado para 0 t 0,8 s, pois α é sempre negativo; v, por sua vez, é positivo até t 0,8 s e negativo a partir desse instante. Observação: O instante em que a velocidade é nula, ou seja, quando t 0,8 s, marca a transição entre o movimento retardado e o acelerado. km b) Um móvel se desloca com uma velocidade de 5 . Em um deter- m h minado instante, passa a acelerar 2 . Qual será sua equação min 2 horária e sua velocidade após 1 h? Solução km Sua velocidade inicial é v 0 5 . Após t 0, sua aceleração h m km passa a ser α 2 2 ou α 7,2 2 . min h A equação horária pode ser escrita como: v 7,2t ⎛ km ⎞ 5 ⎝ h ⎠ A velocidade do móvel após 1 h do instante inicial vale: km v 5 7,2 1 ⇒ v 12,2 h 2.2. Função do espaço no MUV À medida que um móvel descreve um MUV, sua posição varia sobre a trajetória. No instante t 0, o móvel ocupa uma posição dada pelo espaço inicial S 0; no instante posterior t, a 38 Capítulo 3\n36. posição do móvel corresponde ao espaço S. Pode-se provar que o espaço S se relaciona com o tempo, no MUV, pela se- guinte fórmula: t2 S S0 v0 t 2 E x e mp l o a) Um móvel realiza um MUV obedecendo a equação S 10 9t + 2t 2 (SI). Determine o espaço e a velocidade iniciais, a aceleração do movimento, a função horária da velocidade, o instante em que o móvel muda de sentido e aquele em que o móvel passa pela ori- gem da trajetória. Solução O espaço inicial vale S 0 10 m, a velocidade inicial, m m v0 9 , e a aceleração do movimento, α 4 2 . A função s s horária da velocidade v v0 α t, pode ser escrita como v 9 4t. No instante em que o móvel muda de sentido, a velocidade é nula. Logo: 9 0 9 4t ⇒ t ⇒ t 2,25 s 4 No instante em que o móvel passa pela origem, o valor do espaço S é nulo. Logo: 2t 2 9t 10 0 Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos como resposta dois instantes em que o móvel passa pela origem: t1 2,5 s e t2 2,0 s. m 1. Um móvel parte do repouso e, após 10 s, sua velocidade é de 6 . s Sabendo-se que a aceleração do móvel é constante, qual a equa- ção horária da velocidade deste móvel e sua velocidade após 8 s? 2. Determine o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração dados pelas equações abaixo (unidades SI): a) S 30 2t 5t 2 c) S 5t 2t 2 b) S 10t 2 d) S 4 t 0,5t 2 39 Capítulo 3\n37. 3. Para cada equação do exercício anterior, descreva a equação da velocidade e calcule a velocidade após 2 s. km 4. Um ônibus se move com velocidade de 50 . Quando ele pas- h sa pelo marco 100 km de uma rodovia, começa a acelerar e, em 1 h, passará pelo marco 180 km. Qual será a aceleração do ôni- bus e sua velocidade aproximada quando atingir o marco 120 km? 2.3. Representação gráfica no MUV A representação gráfica da equação da velocidade no MUV será uma reta de inclinação não-nula. Chamamos coe- ficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo da velocidade e coeficiente angular a tangente do ângulo for- mado entre a reta e o eixo dos tempos. E x e mp l o s O enunciado a seguir vale para os exemplos a e b . a) A posição de um móvel varia conforme o gráfico abaixo. Determi- ne sua equação horária. Solução O coeficiente linear da reta é igual ao valor numérico de v0. Logo, m v 0 25 . s O coeficiente angular da reta é numericamente igual ao valor da aceleração. Logo: 20 0 m m tg θ 4 2 ⇒ α 4 2 5 1 s s A equação horária pode ser escrita como v 5 4t 40 Capítulo 3\n38. b) Solução m 25 0 m m v0 25 , tg θ 5 ⇒α 5 s 0 5 s2 s2 A equação horária pode ser escrita como v 25 5t 3. Equação de Torricelli* A partir das funções horárias do espaço e da velocidade do movimento uniformemente variado, obtemos a equação que relaciona diretamente o espaço com a velocidade. v2 v 02 2α(S S 0) Esta equação é conhecida como equação de Torricelli. E x e mp l o s m a) Um corpo tem velocidade inicial de 4 , variando uniformemen- s m te para 10 após um percurso de 7 m. Determine a aceleração s desse corpo. Solução m m v0 4 , v 10 , S 7 m, S 0 0 s s m v2 v 02 2α(S S 0) ⇒ 10 2 4 2 2α(7 0) ⇒ α 6 s2 * Evangelista Torricelli (1608-1647) Físico e matemático italiano, discípulo de Galileu. Uma de suas invenções mais importantes foi o barômetro, aparelho destinado à medição da pressão atmosférica. 41 Capítulo 3\n39. b) Um trem trafega com velocidade de 80 km , quando o maquinista h recebe um aviso de parada de emergência. Determine a aceleração que deve ser imposta para a parada total em 100 m. Solução km v0 80 ,S 100 m 0,1 km, v 0, S 0 0 h m v2 v 02 2α(S S 0) ⇒ 0 22,2 2 2α100 ⇒ s m 493 m / s 2 m 0 493 2α ⇒ α ⇒ α 2, 5 2 s 200 m s 4. Aceleração da gravidade Todos os corpos exercem, uns sobre os outros, uma atra- ção denominada gravitacional . Quando um corpo é abandonado de uma determinada al- tura, ele cai, devido à ação da atração gravitacional (gravida- de local). Seu movimento é chamado queda livre . Nos lançamentos verticais e na queda livre, o movimento do corpo será uniformemente variado, pois esse corpo sofrerá a mesma aceleração, devido ao efeito da gravidade. Essa acelera- ção é chamada aceleração da gravidade. O valor da aceleração m da gravidade e da Terra no nível do mar é g 9,8 2 . s E x e mp l o s a) Um corpo é abandonado de cima de uma ponte e chega ao solo em 2 s. Determine a altura da ponte e a velocidade do corpo ao atingir o chão. Solução m α 10 , t 2 s, v 0 0 ⇒ v v 0 αt ⇒ v 10 2 ⇒ 2 s m ⇒v 20 (velocidade do corpo ao atingir o chão) s αt 2 10 22 40 ⇒S S 0 v 0t ⇒S ⇒ 2 2 2 ⇒ S 20 m (altura da ponte) 42 Capítulo 3\n40. b) Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade de m 40 . Determine o tempo que esse corpo leva para chegar até a s altura máxima e o valor desta altura. Solução m m v0 40 ,α 10 2 s s A altura máxima será atingida quando v 0, logo: 40 v v0 αt ⇒ t ⇒ t 4s 10 A altura máxima será: αt 2 ⇒ S 10 4 2 S S0 v 0t 40 4 ⇒ S 80 m 2 2 5. (UFSE) Uma partícula tem velocidade escalar variável dada pela equação v 3 6t. Sabe-se que no instante t 0 s, a partícula es- tava num ponto situado a 6 m do ponto de referência zero, por onde a partícula ainda vai passar. Considere que as unidades representa- das na equação são do SI. A equação horária para a partícula é: a) e 6 3t 6t 2 d) e 6 3t 3t 2 b) e 6 3t 3t 2 e) e 6 3t 6t 2 c) e 6 3t 3t 2 6. (UFAC) Um corpo cai livremente de uma altura de 80 m. O tempo gasto para chegar ao solo é de: a) 4 s b) 6 s c) 8 s d) 12 s e) 16 s 7. (UFSC) O gráfico ao la- do representa as acele- rações de um corpo mó- vel que percorre uma tra- jetória retilínea, em um mesmo sentido. Assinale as afirmativas cor- retas: 43 Capítulo 3\n41. a) No trecho AB , o corpo encontra-se obrigatoriamente parado, ou em repouso na origem. b) No trecho BC , o corpo inicia seu movimento com aceleração positiva e velocidade constante. c) No trecho CD , o corpo possui um movimento retilíneo, unifor- memente acelerado. d) No trecho DE , a aceleração varia com o tempo, e o movimen- to não é mais retilíneo e uniformemente acelerado. e) No trecho FG , o corpo diminui sua aceleração até anulá-la. O movimento então é uniformemente retardado. Enunciado para as questões 8 e 9. (UFAM) O gráfico a seguir representa a velocidade de um animal em corrida, desde o instante da partida (t 0 s) até a chegada final (t 80 s). A aceleração no trecho I é o dobro da aceleração no trecho III. 8. A velocidade no instante da chegada é: m m a) 5 b) 7,5 s s m m c) 10 d) 15 s s 9. A distância total percorrida é igual a: a) 400 m b) 425 m c) 450 m d) 475 m 10. (UFPA) Dados os dois gráficos espaço–tempo ao lado para dois carros que se movem segundo trajetórias retilíneas, podemos concluir que: 44 Capítulo 3\n42. a) o carro B possui maior aceleração; b) o carro A possui maior aceleração; c) os carros andam sempre juntos; d) os dois carros possuem velocidades iguais em cada instante; e) a velocidade do carro A é sempre menor que a do B, em cada instante. 11. (UFPR) Dois corpos de pesos diferentes são abandonados no mesmo instante e da mesma altura. Não levando em conta a resistência do ar: a) os dois corpos caem com a mesma velocidade em cada instan- te, mas com acelerações diferentes; b) o corpo de menor volume chegará antes no solo; c) o corpo mais pesado chegará antes no solo. d) o corpo mais pesado chegará ao solo depois do outro; e) os dois corpos caem com a mesma velocidade em cada instan- te e com a mesma aceleração. 12. (Enem–MEC) Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir: Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade do corredor é aproximadamente constante? 45 Capítulo 3\n43. Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade do corredor é aproximadamente constante? a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos. b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 12 e 15 segundos. c) Entre 5 e 8 segundos. 13. (Enem–MEC) Em que intervalo de tempo o corredor apresenta aceleração máxima? a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos. b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 9 e 15 segundos. c) Entre 5 e 8 segundo. 46 Capítulo 3\n44. CINEMÁTICA VETORIAL 1. Introdução A cinemática vetorial pode descrever quaisquer movimentos, independentemente de conhecer-se previamente as trajetórias. As grandezas vetoriais não podem ser confundidas com as escalares, que possuem conotação distinta. Devemos fazer um esforço para visualizar as questões propostas a seguir de maneira “espacial”, para que, com a adição das ferramentas matemáticas, o entendimento seja completo. 2. Movimento balístico Neste tipo de movimento, podemos analisar lançamentos oblíquos e horizontais de corpos sob a ação da gravidade. Consideremos, inicialmente, o lançamento oblíquo a seguir: 47 Capítulo 4\n45. No gráfico, vemos um corpo P, lançado com velocidade ini- → cial v 0 , que faz com a horizontal um ângulo θ, chamado ângu- lo de tiro. Para facilitar o estudo do movimento de P ao longo da trajetória, utilizamos a análise das projeções do movimento nos eixos x e y, sendo desprezada a resistência do ar. → O ponto P sofre a ação da aceleração da gravidade g . No → eixo x, a projeção de g é nula; logo, o movimento de P no eixo x é Retilíneo e Uniforme (MRU). No eixo y temos a ação → de g , que é g (usando convencionalmente a orientação do eixo y para cima); assim, o movimento de P é Retilíneo Uni- formemente Variado (MRUV). g t2 x v 0x t e y v 0y t 2 Para calcular a velocidade em qualquer instante, devemos considerar que a componente horizontal da velocidade do ponto P é constante e vale: vx v 0 cos θ A componente vertical da velocidade do ponto P varia com o tempo, conforme a equação: vy v 0y g t Podemos também escrever a equação de Torricelli para o movimento de P no eixo y: vy2 v 0y2 2g y Das fórmulas anteriores, obtém-se a equação da trajetória, que é: g y tg θ x x2 2v 02 cos 2 θ 48 Capítulo 4\n46. A equação da trajetória é de segundo grau em x e, portan- to, a trajetória é uma parábola. A velocidade em um ponto qualquer é obtida com a apli- cação do teorema de Pitágoras: v2 v2 x v2 y O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decor- rido desde o instante do lançamento até o instante em que o móvel atinge o vértice da parábola. Neste instante, a compo- nente vertical da velocidade é nula; logo, podemos concluir: 0 v 0 sen θ g t Portanto: v 0 sen θ ts g O tempo de descida é igual ao de subida; assim, o tempo total é: 2v 0 sen θ tT g 49 Capítulo 4\n47. A altura máxima h é obtida por meio da equação de Torricelli aplicada ao movi- mento vertical de P, e permite calcular h admitindo-se v y 0 quando y igual a h. Assim: 0 v 0y2 2g h ⇒ 2 2 v 02 sen2 ⇒ v0 sen θ 2g h ⇒ h 2g O alcance horizontal é obtido pela função horária do movi- mento horizontal de P, quando o tempo é igual ao tempo total: v 02 sen 2 a g O alcance máximo é obtido sabendo-se que o ângulo de tiro máximo é θ 45°. Então, o alcance máximo é dado por: v 02 a máx g Nessas condições, a altura máxima atingida é obtida por: v 02 a máx h ou h 4g 4 No caso do lançamento horizontal, o ângulo de tiro é nulo e, portanto, v 0x v 0 e v 0y 0. Orientando o eixo y para baixo, temos: 50 Capítulo 4\n48. x v0 t g t2 y 2 vy g t E x e mp l o s a) Um avião voa horizontalmente m com velocidade de 110 a s 1.500 m de altitude. Num certo instante, o piloto lança um paco- te de alimentos e remédios. Dado m g 10 2 , determine: s 1) o instante, a partir do lança- mento, em que o pacote atinge o solo; 2) a que distância da vertical em que o pacote foi lançado ele atinge o solo; 3) a velocidade com que o pacote atinge o solo. Solução a.1) No instante em que o pacote atinge o solo, y 1.500 m. y 1 gt 2 ⇒ 1.500 5t 2 ⇒ t 17,32 s 2 a.2) x v0 t ⇒ x 110 17,32 ⇒ x 1.905,3 m a.3) Ao atingir o solo a velocidade resultante é v 0 110 m/s e a velocidade vertical v y: m v y g t ⇒ v y 10 17,32 173,2 s 2 2 2 2 2 2 m v v0 vy ⇒ v 110 173,2 ⇒ v 205,2 s 51 Capítulo 4\n49. b) Um corpo é lançado obliquamente no vácuo, com velocidade ini- m cial de módulo 50 . O ângulo de tiro é de 60°. Considerando s m g 10 2 , determine: s 1) as componentes vertical e horizontal da velocidade inicial e o módulo da velocidade; 2) as funções horárias do movimento na horizontal e na vertical; 3) a equação da trajetória; 4) a altura máxima e o alcance horizontal; 5) o tempo total até o corpo atingir o solo. Solução m b.1) v x v 0 cos θ ⇒ v x 50 0,5 ⇒ v x 25 s m vy v 0 sen θ ⇒ v y 50 0,866 ⇒ v y 43,3 s v2 25 2 43,3 2 ⇒ v 2 625 1.874,9 ⇒ m ⇒ v2 2.499,9 ⇒ v 50 s b.2) Na horizontal o movimento é uniforme, logo: x vx t ⇒ x 25t Na vertical temos MUV, logo: 1 2 y v 0y t αt ⇒ y 43,3t 5t 2 2 b.3) Eliminaremos t das equações horárias do item anterior para obter a equação da trajetória, logo: 2 x x ⎛ x ⎞ x2 t ; y 43, 3 5 ⇒ y 1,73x 25 25 ⎝ 25 ⎠ 125 b.4) Altura máxima: v 02 sen 2 θ 50 2 0 , 75 h ⇒ h ⇒ h 93,7 m 2g 20 52 Capítulo 4\n50. Alcance horizontal: v 02 sen 2θ 50 2 0 , 866 a ⇒ a ⇒ a = 216,5 m g 10 2v 0 sen θ 2 50 0 , 866 b.5) t T g ⇒ tT ⇒ tT 8,66 s 10 1. (Unesp-SP) A escada rolante que liga a plataforma de uma estação subterrânea de metrô ao nível da rua move-se com velocidade m constante de 0,80 . s a) Sabendo-se que a escada tem uma inclinação de 30 o em rela- ção à horizontal, determine, com o auxílio dos dados abaixo, a componente vertical de sua velocidade. Dados: sen 30 o 0,50, sen 60o 0,867, cos 30 o 0,867 e cos 60 o 0,500. b) Sabendo-se que o tempo necessário para que um passageiro seja transportado pela escada do nível da plataforma ao nível da rua é de 30 segundos, determine a que profundidade se en- contra o nível da plataforma em relação ao nível da rua. 2. (UECE) Aline anda 40 m para o leste e certa distância X para o norte, de tal forma que fica afastada 50 m do ponto de partida. A distância percorrida para o norte foi de: a) 20 m b) 30 m c) 35 m d) 40 m 3. (UF Uberaba-MG) Uma bola é chutada segundo uma direção que forma um ângulo de 45 o com a horizontal. Desprezando-se a re- sistência do ar, no ponto mais alto que a bola atinge, a intensida- de de: a) sua velocidade é zero; b) sua aceleração é zero; c) sua velocidade é mínima, mas diferente de zero; d) sua aceleração é mínima, mas diferente de zero; e) n.d.a. 53 Capítulo 4\n51. 4. (UFGO) Uma esfera rola sobre uma mesa horizontal, abandona-a com velocidade inicial V 0 e toca o solo após 1 s. Sabendo-se que a distância horizontal percorrida pela bola é igual à altura da m mesa, a velocidade V 0, considerando-se g 10 2 , é de: s m m m a) 1,25 c) 20,00 e) 2,50 s s s m m b) 10,00 d) 5,00 s s 5. Quais das figuras propostas representa a trajetória percorrida pela bola depois de deixar a mesa? a) d) b) e) c) m 6. (Fuvest-SP) Adote g 10 . Uma pessoa sentada num trem, s2 m que se desloca numa trajetória retilínea a 20 , lança uma s bola verticalmente para cima e a pega de volta no mesmo nível do lançamento. A bola atinge uma altura máxima de 0,80 m em relação a este nível. Ache: a) o valor da velocidade da bola, em relação ao solo, quando ela atinge a altura máxima; b) o tempo durante o qual a bola permance no ar. 54 Capítulo 4\n52. DINÂMICA 1. Introdução A dinâmica é a parte da mecânica que estuda as causas que produzem e/ou modificam os movimentos dos corpos. Devemos a Galileu Galilei* o estudo científico do movimen- to dos corpos, introduzindo métodos experimentais na Física, ou seja, a observação, a medição e o estabelecimento de leis físicas que regem os fenômenos. Tomando como ponto de partida os trabalhos de Galilei e de Johannes Kepler, Isaac Newton estabeleceu três princípios. A partir desses princípios, ele desenvolveu a primeira teoria consistente sobre os movimentos dos corpos, que foi denomi- nada Mecânica Clássica. Estes princípios são chamados de “Leis de Newton” ou “Leis da Dinâmica”. 2. Grandezas da dinâmica A grandeza que mede a intensidade da interação entre os corpos é chamada força . O resultado dessa interação é a va- riação da velocidade, a aceleração, que será maior ou menor em função da massa (quantidade de matéria agregada) dos corpos envolvidos. * Galileu Galilei (1564-1642) Nascido em Pisa, na Itália, é considerado um dos maiores cientistas de todos os tempos. 55 Capítulo 5\n53. Em resumo, as grandezas básicas da dinâmica são a força , a massa e a aceleração . A força e a aceleração são grandezas vetoriais; a massa, uma grandeza escalar. A soma das forças totais que agem so- bre um corpo denomina-se força resultante. Caso a força re- sultante seja nula, diz-se que o corpo está em equilíbrio. No SI utilizam-se as seguintes unidades: • aceleração – m ; s2 • massa – quilograma (kg); • força – newton (N). A unidade newton é, por definição, a força que, aplicada a um corpo de 1 kg, provoca a aceleração de 1 m . s2 3. Lei de Hooke Quando aplicamos uma força em um ponto material, o único efeito que observamos é a aceleração. Quando o corpo é extensível, podemos observar outro efeito além da acelera- ção: a deformação do corpo. Há vários fenômenos nos quais o efeito mais importante é a deformação, como no caso das molas. Robert Hooke experimen- tou a aplicação de forças em molas e verificou que a defor- mação sofrida pela mola (dimi- nuição ou aumento de seu comprimento inicial) era dire- tamente proporcional à força aplicada, até um certo limite. F k x , onde F é a força aplicada, x é o valor da defor- mação sofrida e k é a constante elástica da mola. 56 Capítulo 5\n54. A constante da mola depende de suas características físi- cas, de ser mais ou menos rígida. A unidade dessa constante é o newton por metro ⎛ N ⎞ . ⎝ m⎠ A partir da utilização desses conhecimentos fo- ram construídos aparelhos de laboratório para me- dir força, chamados dinamômetros . O dinamômetro é composto por uma mola de constante elástica conhecida, destinada a sofrer a aplicação de uma força desconhecida. O valor da força aplicada pode ser lido sobre uma escala que está relacionada à deformação no comprimento original da mola. E x e mp l o s a) Qual é a força aplicada a uma mola que está estendida em 3 cm de seu comprimento original, sabendo-se que a constante da mola é N k 500 ? m Solução F k x⇒F 500 0,03 ⇒ F 15 N b) Na mesma mola do exemplo anterior, aplicou-se uma força de compressão de 50 N. Qual foi a deformação sofrida pela mola? Solução F 50 x ⇒x ⇒x 0,1 m ⇒ x 10 cm k 500 c) Qual é a constante da mola que será usada em um amortecedor, que pode ser comprimido no máximo 5 cm quando acionado por uma força de 1.500 N? Solução F 1.500 N k ⇒k ⇒ k 30.000 x 0 , 05 m 57 Capítulo 5\n55. 4. Leis de Newton 4.1. Primeira Lei de Newton* Um corpo livre da ação de forças ou está em repouso ou realiza movimento retilíneo e uniforme. A tendência que um corpo possui de permanecer em re- pouso ou em MRU, quando em equilíbrio, é uma propriedade denominada inércia . Quanto maior a massa de um corpo, maior sua inércia e mais difícil a ação de tirá-lo do repouso ou do MRU. E x e mp l o s a) Quando um trem parte, o passageiro sente seu corpo atirado para trás em relação ao sentido do movimento, pois sua tendência é permanecer em repouso em relação ao solo. Ao segurar-se, ele re- cebe uma força que o acelera juntamente com a composição. b) Quando estamos nos locomovendo em um determinado veículo e freamos, sentimos que nosso corpo é arremessado para a frente, ou seja, tendemos a continuar o movimento por inércia. c) Se um corpo estiver no vácuo, livre da atração gravitacional e de outras forças, ao sofrer a ação de uma força instantânea ou impul- so, este corpo entrará indefinidamente em movimento retilíneo e uniforme. 4.2. Segunda Lei de Newton A resultante das forças sobre um corpo produz uma → → aceleração de tal modo que F m → , onde F é a força a → aplicada, m é a massa do corpo e a é a aceleração. * Isaac Newton (1642-1727) Físico e matemático inglês, foi responsável pela criação do cálculo. Considerado o pai da Física Clássica, estabeleceu as bases da Física até o século XX. 58 Capítulo 5\n56. A força e a aceleração têm a mesma direção e o mesmo sentido, conforme pode ser observado a seguir: → → a a → → → → F V F V → e → têm o mesmo sentido: a v → e → têm sentidos opostos: v a movimento acelerado. movimento retardado. 4.3. Peso de um corpo A força exercida pela Terra sobre os corpos é chamada → → → peso , o qual pode ser expresso por P m a , onde P é o → peso do corpo, m, a massa, e a , a aceleração da gravidade. O sistema técnico de unidades utiliza o quilograma-força (kgf) para medir a intensidade da força. Esta unidade é defini- da pelo peso de um corpo de massa 1 kg em um local de ace- m leração da gravidade g 9,800665 2 . Logo: s 1 kgf 9,80665 N Ou seja, um corpo de massa 1 kg pesa 1 kgf; outro de mas- sa 2 kg pesa 2 kgf e assim por diante. ~ O b s er v a c a o : É muito comum dizermos que alguém pesa ` um determinado valor em quilogramas. Na verdade, esse modo de expressão não é correto, pois o peso é uma grande- za vetorial, uma força . Estará correto se dissermos o valor em quilograma-força (kgf). Quando usamos quilograma, estamos nos referindo a uma grandeza escalar que é a mas- sa , ou seja, a medida quantitativa da resistência à acelera- ção, a inércia. 59 Capítulo 5\n57. A aceleração da gravidade em outros planetas A tabela a seguir nos fornece os valores aproximados das acelerações da gravidade, em m , nos planetas do sistema 2 solar, além de no Sol e na Lua. s Mercúrio 3,6 Saturno 11,3 Vênus 8,6 Urano 11,4 Terra 9,8 Netuno 11,5 Marte 3,7 Sol 274 Júpiter 25,8 Lua 1,67 Então, uma pessoa que possui massa 50 kg na Terra, pesaria em Mercúrio → 180 N Lua → 83,5 N Júpiter → 1.290 N Sol → 13.700 N 4.4. Terceira Lei de Newton A toda ação corresponde uma reação, de mesmo mó- dulo, mesma direção e sentido oposto. E x e mp l o s a) A Terra atrai os corpos com uma força, que é o peso do corpo (ação). Por este princípio, vemos que o corpo atrai a Terra com força de mesma intensidade e direção, mas com sentido oposto (reação). b) Quando chutamos uma bola, aplicamos uma força (ação) sobre ela que é correspondida com outra força (reação), aplicada sobre nos- so pé. Observe que, se chutarmos uma bola com peso elevado, sentiremos esse efeito de maneira mais aguda em nosso pé. 60 Capítulo 5\n58. 5. Referenciais inerciais Denominamos referencial inercial a um referencial para o qual a Primeira Lei de Newton é sempre válida. Tomando um ponto para o qual um corpo em “equilíbrio” está em repouso ou em MRU, este ponto é um referencial inercial. Por exemplo: uma árvore plantada próxima a um ponto de ônibus. Esta árvore pode ser usada como referencial inercial em relação aos móveis que trafegam em sua proximidade. Uma bola solta dentro de um vagão de trem que não esteja em repouso ou MRU não pode ser adotada como referencial inercial, pois ela estará sofrendo aceleração devido ao movimento do trem. Em função do movimento de rotação, a Terra não pode ser adotada como referencial inercial. Nos problemas em que o tempo de duração é bem inferior a 24 h, podemos desprezar esse movimento e adotar a Terra como referencial inercial. E x e mp l o s a) Um corpo está em MRU. Podemos afirmar que o corpo está rece- bendo ação de: 1) forças responsáveis por seu movimento; 2) forças que, somadas, são nulas; 3) uma aceleração constante. Solução Para um corpo em MRU, temos aceleração nula; por conseguinte, a ação resultante de forças sobre o corpo também é nula. Assim, a alternativa correta é a 2. b) Uma força constante é aplicada em um objeto apoiado sobre um plano perfeitamente liso e horizontal, imprimindo-lhe determinada aceleração. No momento em que esta força é retirada, o corpo: 1) pára após diminuição gradual da velocidade; 2) adquire aceleração negativa até parar; 3) adquire movimento acelerado; 4) continua movimentando-se com velocidade igual à do momen- to em que a força foi retirada. 61 Capítulo 5\n59. Solução Pela Primeira Lei de Newton, quando a força é retirada, não ha- vendo outra força envolvida, o corpo se movimenta em MRU. En- tão, a alternativa correta é a 4. c) Um corpo de massa 5 kg, inicialmente em repouso, é submetido à ação de uma força de 30 N. Qual é a aceleração que o corpo ad- quire, desprezando-se outras interações? Solução 30 F m a⇒a ⇒ a 6 m 5 s2 d) Um corpo de 5 kg, em re- → F1 30 N pouso, é submetido ao es- quema de forças mostrado na figura ao lado. Qual será 90° sua velocidade após 5 s, desprezando-se outras inte- rações quaisquer? → F2 40 N Solução → 2 → 2 → 2 → 2 FR F1 F2 ⇒ FR 30 2 40 2 → ⇒ FR 50 N 50 m a 10 ⇒v v0 at ⇒ 5 s2 m v 10 5 ⇒ v 50 s e) A massa de uma pessoa é 65 kg. Determine seu peso na Terra e na Lua, sabendo que a aceleração da gravidade na Terra é de 9,8 m m . s2 e na Lua, de 1,6 s2 62 Capítulo 5\n60. Solução P m g P TERRA 65 9,8 ⇒ P TERRA 637 N P LUA 65 1,6 ⇒ P LUA 104 N f) Uma pedra está apoiada sobre uma mesa. A Terra aplica-lhe uma força a que chamamos peso da pedra . A superfície da mesa reage sobre a pedra com força: 1) de mesma intensidade, direção e sentido; 2) de mesma intensidade, direção e sentido oposto; 3) com a intensidade do peso multiplicado por g. Solução Pela lei da ação e reação, a mesa aplicará sobre a pedra uma for- ça de mesma intensidade e direção, com sentido contrário. As- sim, 2 é a alternativa correta. g) Um corpo de 1,5 kg está em MUV com aceleração 10 m . Qual é a resultante das forças que atuam sobre esse corpo? s2 Solução F m a⇒ F 1,5 10 ⇒ F 15 N 6. Descrição de forças 6.1. Força de tração em um fio Um fio tenso aplica, sobre o ponto em que está preso, uma força que denominamos tração . A força de tração tem a mes- ma direção que o fio e o sentido de uma extremidade a outra. Caso o fio seja uniforme (ideal), as trações nas duas extremi- dades terão o mesmo módulo. 63 Capítulo 5\n61. 6.2. Força normal e força de atrito → Considere um corpo de peso P em repouso sobre uma su- → perfície horizontal. Aplicando ao corpo uma força F , que tende a deslocá-lo na direção horizontal, observaremos que uma força tenderá a dificultar-lhe o movimento devido à rugosidade entre as superfícies. → → F F → → → P P Fat → N → R → → → R N Fat → N : reação normal → Fat : força de atrito devido a irregularidade entre as superfícies de contato. As forças que agem sobre o corpo devido à interação com → a superfície têm uma resultante R que pode ser decomposta → → → em N e Fat. → vetor N é→ reação normal à superfície e equili- O a bra o peso P . O vetor Fat é denominado força de atrito e seu sentido é sempre contrário ao do movimento ou à tendência de movimento do corpo em relação à superfície. O atrito é denominado estático quando inexiste movimen- to do corpo em relação à superfície. Quando há movimento, o atrito é chamado dinâmico . A força de atrito estático varia com a intensidade da força aplicada ao corpo e é máxima na iminência do início do movi- mento desse corpo. Para que o corpo entre em movimento é pre- ciso vencer a ação da força de atrito estático máxima. Uma vez iniciado o movimento, a força de atrito terá intensidade constan- te e será denominada força de atrito dinâmico. Esta força tem in- tensidade menor que a força de atrito estático máxima. 64 Capítulo 5\nCURSO DE GEOMETRIA À DISTÂNCIA PARA PROFESSORES\nREORIENTAÇÃO CURRICULAR - EQUIPE UFRJ


Lucro do benéfico: os negócios de impacto social - LabJuntos - Medium\nLucro do benéfico: os negócios de impacto social\nLucro não é sucesso. Sucesso é impacto social\nEmpresas focadas apenas no lucro são empresas que não terão uma vida longa. Segundo Gabriela Valente, gestora da área de educação e treinamento empresarial do Sistema B Brasil e Colídedo Rio+B, a redefinição do conceito de sucesso é importante para garantir a sustentabilidade da economia. “Vivemos uma crise de valores, não é uma crise econômica. É uma crise já anunciada. Construímos o progresso em pilares insustentáveis. Produzimos uma vez e meia a mais do que a capacidade de renovação dos recursos naturais”, afirma.\nPorém as empresas já estão se conscientizando sobre seu papel no mundo. Os consumidores estão questionando a cadeia de produção e cada vez mais consciente do que querem consumir. “As pequenas empresas estão nascendo já em novos modelos de negócios e buscam a certificação do Sistema B muito mais conscientes. As médias empresas estão em busca de melhorias de gestão. Porém o grande desafio está nas grandes empresas que nasceram calcadas em conceitos que o sucesso é simplesmente focado no lucro. Mas a mudança está atingindo as grandes também. A Natura se certificou no Sistema B e foi uma grande revolução no mercado brasileiro. Agora, a Danone mundial está em busca da certificação. Isso é um sinal de que o impacto está acontecendo e não é por amor e, sim, pela dor”, revela Gabriela.\nO Sistema B é um movimento que pretende disseminar um desenvolvimento sustentável e equitativo através da certificação de empresas no âmbito global que possuem como objetivo solucionar problemas socioambientais. O primeiro passo é conscientizar as empresas para que busquem conhecer o seu impacto socioambiental. “A partir do levantamento do impacto socioambiental, a empresa começa a pensar na gestão do negócio, na eficiência e na transformação de postura em busca do lucro aliado a um impacto positivo”, explica a gestora do Sistema B.\nTamboro — um exemplo de impacto social\nImpactada com a necessidade de entender o terceiro setor e partir para um mercado voltado à responsabilidade social, a jornalista Maíra Pimentel buscou estudar sobre educação, política pública, tecnologia, entre outros temas. Ela começou sua carreira de jornalista em um momento que a Internet começava a mudar o mundo. Ao invés do tradicional jornal, ela ingressou no mercado de conteúdo para web. A tecnologia passou a ser parte da sua vida. Mas a gravidez trouxe outra questão para sua vida. A participação em um grupo de estudos com pesquisadores de diversas áreas, incluindo sua sócia Samara Werner, fez com que Maíra tomasse a decisão de investir em um projeto com o foco na inovação para a educação em larga escala.\nAtravés de pesquisas, desenvolvimento de ferramentas de tecnologia e estudos no Brasil e no exterior, olhando para o ensino tradicional, mas também para outras áreas como Artes e Ciências, foi criada a Tamboro Educacional, uma empresa que oferece cursos, treinamentos, jogos através de uma tecnologia que é capaz de analisar e criar estratégias específicas para cada necessidade. O projeto iniciou com a educação infanto-juvenil, expandiu para universidades e empresas. Atualmente 50 mil alunos utilizam a plataforma da Tamboro para desenvolver suas habilidades pessoais, estudantis, profissionais com metodologia que tem como objetivo fazer a diferença individual para todos que passam pelos treinamentos. “Independentemente de ser criança ou adulto, temos como foco o desenvolvimento de habilidades pessoais em um mundo que não para de mudar”, explica.\n“A Tamboro nasceu com a missão de impactar muitas pessoas por isso utilizamos a internet que não tem fronteiras, nem limites. Mas como empresa, precisamos gerar resultados e este é o nosso desafio. Como gerar resultados financeiros e ainda termos impacto social? Estamos o tempo todo olhando para os dois resultados. Queremos entregar uma proposta de valor diferenciada para quem utiliza nossa plataforma e através do aprendizado colaborativo, atingir um grande universo e garantir realmente um impacto social na pessoa e na sua comunidade”, explica Maíra.\nO futuro da Tamboro é oferecer a plataforma para todos através de cursos, desafios e campeonatos que premiem os participantes até com uma vaga de emprego. “Estamos desenvolvendo uma ferramenta B2C para que todos possam participar e que ainda sejam premiados”, conta.\nPara Maíra, a educação tradicional não tende a desaparecer, ela deve ser hibrida — parte tecnologia e a outra parte a interação. “É necessário mesclar o presencial com o digital. Uma complementará a outra. As atividades colaborativas terão que estar presentes nos dois mundos. Discutimos hoje o formato da educação tradicional, da escola e do modelo aplicado hoje, mas não acredito na formação do indivíduo sem a troca e a presença”, concluiu co-fundadora e sócia da Tamboro Educacional.\nGabriela e Maíra estarão, dia 27 de setembro, na LabJuntos, trocando experiências sobre como ser uma empresa com impacto socioambiental relevante, transformar a economia e fazer a diferença para a sociedade.\nGabriela Valente (à esquerda) e Maíra Pimentel, palestrantes do #LabJuntos #8\nLABJUNTOS #8 | Lucro do benéfico: os negócios de impacto social\nLocal: Agencia Juntos


Evelyn Souza Blog ✿: Resenha: Beleza Surpreendente - Editora Central Gospel\nResenha: Beleza Surpreendente - Editora Central Gospel\nHoje vim falar um pouco melhor sobre o livro Beleza Surpreendente, que é um dos livros que recebi em parceria com a editora central gospel.\nEsse livro conta uma história real de restauração de Heather Gemmen após ter sofrido um estupro em sua própria casa. Ela descreve tudo que estava acontecendo em sua vida antes do ocorrido e o depois também.\nSeu casamento não é um dos piores, mas também não está nos seus melhores dias. Heather e Steve, seu esposo, moram num bairro onde a maioria das pessoas são negras e pobres, mas para ela isso a ajuda a não ser preconceituosa, eles sentem vontade de sair daquele lugar, mas não conseguem vender a casa para fazer isso, e assim eles acreditam que isso é um sinal de que Deus quer que eles continuem ali por algum motivo.\nEles são cristãos e acreditam que estão naquele bairro para ajudar aquelas pessoas de alguma forma e por esse motivo aguentam certas situações difíceis com a vizinhança, tentam lutar contra o preconceito e mostrar que amam as pessoas de igual forma, sendo eles brancos ou negros.\nEm meio aos conflitos conjugais e os problemas sociais em que Heather vivencia, ela se vê tendo que superar um estupro que ocorreu em sua própria casa e por um homem negro.\nEsse acontecimento faz com que a vida dela e de todos ao seu redor mude, pois em meio a essa situação difícil ela tem que lidar com algo ainda maior que está prestes a descobrir.\nO modo como ela lida com tudo com certeza fez com que eu refletisse como eu reajo às situações difíceis da minha vida.\nAlgo que pra muitas pessoas seria uma maldição, para ela se torna uma lição onde ela conseguiu tirar os olhos dela mesma e passou a pensar na vida de quem fez isso a ela. O quanto esse homem sofria, o que ele havia passado para fazer aquilo, etc.\nEm vez dela se fechar e se fazer de coitada, ela fez diferente, olhou para situação com os olhos da fé, da esperança e da confiança em Deus.\nO livro traz grandes aprendizados, percebemos que muitas vezes falamos que não somos preconceituosos e nossas atitudes dizem o contrário, essa história nos faz pensar em como temos reagido a determinadas situações, se estamos colocando nossa fé em Deus, ou se estamos nos desesperando e murmurando pelos cantos.\nSem contar no que acontece quase no final do livro, o estupro já era algo que ela teria que ter forças para superar, mas o que veio mais a frente foi para testar sua integridade e confiança em Deus.\nNão vou dizer o que foi, mas você já deve imaginar, então recomendo a leitura para que você assim como eu, traga grandes lições para sua vida!\nSe você prefere ver a resenha em Vídeo, clique aqui abaixo e assista!\nAproveita e deixa um like e se inscreve no canal!\nMarcadores: Editora Central Gospel, Livros, Parceria, Resenhas, Vídeos


Como montar um sindicato - Ensaios Universitários - 1113 Palavras\nPágina Inicial Ensaios Como montar um sindicato\nPáginas: 5 (1113 palavras) Publicado: 27 de março de 2013\nComo montar e registrar um sindicato\nPrimeiro tens que ver se no teu estado não há nenhum sindicato de base estadual que represente os trabalhadores de empresas daquela atividade.\nSegundo, em não havendo, tens que colocar um edital SIMULTANEAMENTE, em jornal de grande circulação no Estado, no Município ou região da pretendida base territorial e no Diário Oficial do Estado, convocando acategoria/empregados para uma assembleia de fundação do sindicato, no edital tem que constar local e hora da assembleia.\nA assembleia, em optando pela fundação do sindicato, elegerá uma diretoria provisória, que encaminhará os trâmites legais, para o primeiro processo eleitoral que elegerá a diretoria efetiva para o próximo período.\nAprovada a fundação do Sindicato e seus Estatutos, especificadaa categoria e a base territorial, deverá ocorrer o registro no Cartório de Títulos e Documentos.\nApós a aprovação do Estatuto, conforme dito anteriormente, deve ser feito, igual a qualquer pessoa jurídica de direito privado, o registro no respectivo instrumento no cartório competente para o registro das pessoas jurídicas, conferindo assim o efeito de publicidade da fundação e criação daentidade perante terceiros.\nEntretanto, até esse momento, não há reconhecimento da entidade sindical perante o Estado, o que, entedemos, ser o mais importante para o sindicato, porque apenas com o reconhecimento do aparato estatal é que a entidade de classe pode ter garantidos os seus direitos de representação, adquirindo a permissão para a cobrança da contribuiçãosindical e a validade para anegociação coletiva.\nAssim, necessário se faz o requerimento para o Pedido de Registro Sindical, perante o Secretário de Relações de Trabalho do Ministério do Trabalho (Brasília), tirarás uma cópia autenticada e enviarás para o ministério do trabalho e emprego, ou na delegacia do trabalho mais próxima, e também darás entrada na receita federal e na junta comercial para tirar o CNPJ e a inscriçãoestadual.\nAssim, o registro no cartório serve para conferir à entidade sindical a existência legal da pessoa jurídica nos termos do art. 45 da Código Civil de 2002 e a respectiva publicidade, inerente aos serviços registrais, conforme a Lei 6.015/73, tendo aquele, apenas efeitos limitados.\nA efetivação da personalidade sindical se volta ao órgão competente para reconhecer a validade da fundação dosindicato e conferir o respectivo registro tratado no inciso I do art. 8º que, com base na Súmula 677 do STF é o Ministério do Trabalho e Emprego.\nAtualmente, divide-se o "nascimento" da entidade sindical em duas partes:\n- e registro\nSendo o primeiro realizado nos termos dos artigos 511 e seguintes e 515 e seguintes da CLT combinados com os artigos do Título II do CódigoCivil Brasileiro de 2002 (CCB), e o segundo feito nos termos dos artigos 518 e seguintes da CLT.\nRegistro Sindical é regida pela Portaria MTE nº. 186/08 e é realizada por meio de formulário eletrônico.\n"É lícita a associação para fins de estudo, defesa ecoordenação dos seus interesses econômicos ou profissionais de todos os que, como empregadores, empregados, agentes ou trabalhadores autônomos, ou profissionais liberais, exerçam, respectivamente, a mesma atividade e profissão ou atividades ou profissões similares ou conexas."\nA CLT enuncia o conceito de categorias a partir da "solidariedade de interesseseconômicos dos que empreendem atividades idênticas, similares ou conexas, constitui o vínculo social básico que se denomina categoria econômica" (CLT, art. 511, § 1º.). Categoria profissional, relativa aos trabalhadores, decorre da "similitude de condições de vida oriunda da profissão ou trabalho em comum, em situação de emprego na mesma atividade econômica ou em atividades econômicas similares ou...


Festa do Natal das crianças é sucesso no Arapuá - ArapuaNews - Notícias de Três Lagoas, Mato Grosso do Sul, Brasil e região\n24 de dezembro de 2021, 20:48\nO significado do Natal é o Nascimento de Jesus Cristo e sua comemoração anual acontece há mais de 1600 anos no dia 25 de dezembro. A palavra “Natal” significa “Nascimento”.\nComo as crianças do Distrito de Arapuá que foram bons este ano, o Papai Noel antecipou sua visita aos pequenos, e estacionou suas renas no dia 23 de dezembro, no Centro Comunitário de Arapuá, do Município de Três Lagoas/MS.\nRosilda Barretos e ASA – Associação de Moradores, tomaram a iniciativa, indo atrás de padrinhos, que aceitaram adotar uma criança.\nEm união, organizaram o evento, e dezenas de crianças foram visitadas pelo Papai Noel, que veio mais cedo, junto com os presentes, foi servido lanches, doces, bolos e refrigerantes.\nRosilda Barretos, disse que adorou a festinha, saiu tudo conforme o planejado, venho agradecer todos pela colaboração da comunidade e a associação de moradores com mais uma festa do Natal das crianças.\nComente abaixodestaqueFesta do Natal das crianças é sucesso no Arapuá


Calendário online do Doodle ajuda na marcação de encontros em horários mutualmente combinados | Doodle\nCalendário online do Doodle ajuda na marcação de encontros em horários mutualmente combinados\nCom a função doodle de calendários online você pode desfrutar da organização integrada de forma simples. Rapidamente e sem dificuldades crie eventos ou marque reuniões e convide seus amigos e colegas de trabalho para encontrar em um horário que seja adequado para todos. Incluindo um simples e resumido calendário, para que você tenha controle do sua agenda sempre ocupada.\nSe o que deseja é ter um calendário online compartido entre você e seus colegas de trabalho e familiares, você pode facilmente usar as funções doodle de compartilhamento de calendário. Isso significa que seus afazeres do dia podem ser diminuído através do uso desse recurso que automatiza o processo de envio de e-mail para convidados e permite a visualização do seu tempo livre caso alguém queira encontrar com você.\nVantagens de ter um calendário online com Doodle\nTrabalhar de forma eficiente, significa anotar todos os afazeres do dia, criar metas e dar prazos para conclusão. Mantendo um diário do dia com listas, de coisas para fazer e tarefas completa, é um ótimo começo. Entretanto a melhor forma de se lidar com listas de tarefas repetitivas é o uso da função automatizada que um calendário e agendas eletrônicas oferecem. E para melhor salvar e visualizar seu calendário são os calendários online.\nDoodle tem esta mesma visão, e vai além, com a função de compartilhamento de calendário. As vantagens de ter um calendário online compartilhado são as seguintes.\nPessoas que queiram marcar um horário com você podem simplesmente escolher um espaço livre no seu calendário online e enviar uma solicitação de agendamento. Economizando tempo entre trocas de e-mails e telefonemas\nNa criação de eventos e marcação de reuniões no sistema de votação do Doodle, seu calendário online já está atualizado no sistema sem haver a necessidade de referir-se a um outro calendário.\nCalendários online como as do Outlook ou Google têm funções especificas, com Doodle você pode integrar todos seus calendários, profissionais e pessoais, em um único lugar\nExperimente Doodle hoje mesmo! A forma mais eficaz de marcar horário com amigos e colegas de trabalho, fazer um evento com listas de presença e divisão de trabalho ou coisas para trazer. E o melhor de tudo; sem nenhum custo, e para funções mais simples, sem haver a necessidade de cadastro. Aumente ainda mais sua experiência das funções Doodle fazendo seu próprio calendário online.


Joinville – Paróquia Santo Antônio- 02/09/2013 – A juventude e a Palavra de Deus | Inspetoria Salesiana\nJoinville – Paróquia Santo Antônio- 02/09/2013 – A juventude e a Palavra de Deus\nPor Kauane Mello\nA juventude e a Palavra de Deus\n“Quando encontrei tuas palavras, alimentei-me; elas se tornaram para mim uma delícia e a alegria do coração, o modo como invocar teu nome sobre mim, Senhor Deus dos exércitos” (Jr 15,16). Este foi o versículo que instigou Caroline dos Santos, 17 anos, a ler a bíblia.\nCarol, como é chamada pelas amigas, anda de skate, tem piercing no nariz e adora batata frita. Sempre gostou de ler romances, mas não os muito extensos. Livros com muitos números de páginas, lhe assustavam. A estudante, que sonha em ser uma estilista famosa, teve seu primeiro contato com a bíblia aos nove anos, quando entrou na catequese em preparação a primeira Eucaristia. “Me lembro da catequista sempre nos pedindo para ler a Palavra de Deus, mas só de olhar para ele, me dava preguiça. Então eu sempre fugia”, revela a garota.\nEm uma tarde de domingo, quando navegava pela internet, Carol descobriu que a bíblia guardava as mais belas frases e mudou de opinião. “ Depois de ler algumas frases na internet, peguei a bíblia e fui conferir se realmente elas teriam saído dali, e fiquei pasma com tanta beleza”, afirma Carol. “Com a correria do dia-a-dia, principalmente nós jovens que estudamos e trabalhamos, temos pouco tempo livre. E este tempo usamos para descansar, sair com os amigos e acabamos esquecendo o essencial que é alimentar a nossa alma”, observa.\nSegundo aponta o site leiaolivro.com.br, a Bíblia Sagrada no final do ano passado, permanecia como o livro mais vendido do mundo. A marca de mais de três bilhões de publicações vendidas também foram alcançadas graças a tantos jovens, como Carol, que se aproximam da Palavra de Deus, e a mantém como caminho de encontro com o Senhor.\nConfira mais testemunhos de jovens sobre a bíblia:\n“A bíblia é uma carta de amor escrita por Deus para cada um de nós e temos que estar de coração aberto para ver o que ela tem para nós falar. Como está escrito na página 24 do Youcat: A Sagrada Escritura não é algo que pertence ao passado, o Senhor não fala do passado, mas no presente; Ele fala conosco hoje, dá-nos a luz, mostra o caminho da vida, concede-nos a comunhão e assim, prepara-nos e abre-nos para a paz.\nLer a Sagrada Escritura significa pedir o conselho de Cristo”. Aline Fistarol, 21 anos.\n“Na minha opinião, a Bíblia funciona como um manual que define regras que nos orienta no caminhar pela vida. Ela conta a saga de um povo santo e pecador, escolhido pelo Próprio Deus. Eu busco viver uma “nova geração do povo de Deus”, uma geração que tem um manual menos difícil de compreender, a Bíblia; que com suas inúmeras histórias nos ensina tudo que precisamos aprender. Como ser um bom filho, amigo, aluno. Um bom namorado, esposo, pai. Um bom homem, um bom cidadão e o que mais nosso coração for capaz de enxergar. Eu vivo buscando seguir os caminhos traçados lá. Às vezes acontecem erros e desvios porque nem sempre o caminho certo é o mais fácil. Mais só de buscar já da pra sentir a vida com mais prazer, sucesso e alegria duradoura”. Edson Vaz Lopes- 28 anos\n“Ler a Palavra de Deus me traz paz interior, além do conhecimento e a possibilidade de descobrir mais sobre Deus e o seu modo de pensar e agir”. Roger Nicolodi, 17 anos.