China Gran decoración del hogar Globo de corcho de viajeros del mundo Fabricantes\nNingbo Holly Arts & Crafts Co.,Ltd. [Zhejiang,China] Tipo de Negocio:Distribuidor / mayorista , Fabricante , Compañía de comercio , Detallista Principales Mercados: Américas , Asia , Europa del este , Europa , norte de Europa , Oceanía , Europa occidental Exportador:71% - 80% certs:BSCI, ISO9001, CE, EMC, REACH, RoHS, UL, VDE Descripción:Globo de corcho de decoración,Decoración del hogar Globo del mundo,Globo de corcho para decoración del hogar\nHome > Lista de Productos > Globo de escritorio > Globo de corcho > Gran decoración del hogar Globo de corcho de viajeros del mundo\nMapa del mundo de viajeros Globo de corcho con alfileres Contactar ahora\nDecoración Mini globo terráqueo de corcho con mapamundi Contactar ahora\nGlobo de mapa del mundo de corcho de decoración de escritorio grande Contactar ahora\nGran decoración del hogar Globo de corcho de viajeros del mundo Contactar ahora\nGlobo pequeño de corcho con alfileres Amazon Good Selling Contactar ahora\nColor blanco de bricolaje en globo de corcho Contactar ahora\nPlanifique aventuras futuras o trace sus lugares favoritos en este globo de escritorio único. Con su diseño simple y elegante. Este Globo de Decoración es un gran adorno para su hogar y el regalo ideal para niños y adultos por igual.\nGlobo terráqueo de alta calidad con base de metal. La rotación suave permite una fácil instrucción y explicación.\nViene con una caja de regalo resistente y alfileres incluidos.\nDimensiones: Ancho 25cm * Largo 25cm * Alto 30cm\nEl hermoso y colorido Desktop Globe es una maravillosa adición a la decoración de su hogar, aula y sala de juegos. Ayude a sus hijos a comprender las ideas del mundo, los continentes, los países y las ciudades con un globo interactivo bien diseñado.\nPRODUCTOS POR GRUPO : Globo de escritorio > Globo de corcho


Vibraciones mecánicas | Singiresu S. Rao; ricardo Rodríguez Figueroa; Rodolfo Navarro Salas; gabriela del Valle díaz Muñoz; Singiresu S. Rao; David Sepúlveda García | download\nMain Vibraciones mecánicas\nSingiresu S. Rao, ricardo Rodríguez Figueroa, Rodolfo Navarro Salas, gabriela del Valle díaz Muñoz, Singiresu S. Rao, David Sepúlveda García\n750 / 1024\nDownload (pdf, 64.75 MB)\nen la figura898\nse muestra en652\nmuestra en la645\nde un sistema612\nDon Wycliff, David Krashna\nFB2 , 23.31 MB\nS I N G I R E S U\nDavid Sepúlveda García\nInstituto Tecnológico de Coacalco\nFormato 20 × 25.5 cm\nAuthorized translation from the English language edition entitled Mechanical Vibrations, 5th Edition, by Singiresu S. Rao, published by\nPearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright © 2011. All rights reserved.\nTraducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Mechanical Vibrations, 5ª edición, por Singiresu S. Rao, publicada por\nPearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright © 2011. Todos los derechos reservados.\nReservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o tra; nsmitirse, por un sistema\nde recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.\nISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-0952-6\nISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-0953-3\nISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0954-0\nA Lord Sri Venkateswara\nBreve historia del estudio de la vibración\nOrígenes del estudio de la vibración\nDe Galileo a Rayleigh\nImportancia del estudio de la vibración\nde sistemas vibratorios\nCantidad de grados de libertad\nVibración libre y forzada\nVibración lineal y no lineal\nVibración determinística y aleatoria\nProcedimiento del análisis de la vibración\nResortes no lineales\nLinealización de un resorte no lineal\nde elementos elásticos\nCombinación de resortes\nConstante de resorte asociada\ncon la fuerza de restauración\nproducida por la gravedad\nElementos de masa o inercia\nElementos de amortiguamiento\nConstrucción de amortiguadores\nLinealización de un amortiguador\nCombinación de amortiguadores\nRepresentación vectorial del movimiento\nRepresentación por medio\ndel movimiento armónico\nOperaciones con funciones armónicas\nExpansión de la serie de Fourier\nRepresentaciones en el dominio\ndel tiempo y la frecuencia\nFunciones par e impar\nExpansiones de medio rango\nCálculo numérico de coeficientes\nEjemplos resueltos utilizando MATLAB\nLiteratura acerca de la vibración\nVibración libre de sistemas\nde un solo grado de libertad\nVibración libre de un sistema traslacional\nEcuación de movimiento basada en la segunda\nEcuación de movimiento utilizando otros\nEcuación del movimiento de un sistema\nde resorte-masa en posición vertical\nVibración libre de un sistema torsional\nRespuesta de sistemas de primer orden\ny constante de tiempo\nMétodo de la energía de Rayleigh\nen amortiguamiento viscoso\ncon amortiguamiento viscoso\nRepresentación gráfica de raíces características\ny soluciones correspondientes\nRepresentación gráfica de raíces\nVariaciones de parámetros y representaciones\ndel lugar geométrico de las raíces\nInterpretaciones de vn, vd, z y t\nen el plano s\ny variaciones de parámetro\ncon amortiguamiento de Coulomb\nVibración armónicamente excitada 240\nRespuesta de un sistema no amortiguado sometido\na una fuerza armónica\nFenómeno de batido\nRespuesta de un sistema amortiguado sometido\nFactor de calidad y ancho de banda\nRespuesta de un sistema amortiguado\nsometido a F(t) = F0eiVt\nsometido al movimiento armónico de la base\na desbalance rotatorio\nMovimiento forzado con otros tipos\nAutoexcitación y análisis de estabilidad\nInestabilidad dinámica provocada\npor el flujo de un fluido\nMétodo de la función de transferencia\nSoluciones obtenidas utilizando transformadas\nFunciones de transferencia de frecuencia\nRelación entre la función de transferencia\ngeneral T(s) y la función de transferencia\nde frecuencia T(iv)\nRepresentación de las características\nde respuesta de frecuencia\nVibración en condiciones forzadas 330\nRespuesta bajo una fuerza periódica general\nRespuesta bajo una fuerza periódica\nRespuesta bajo una fuerza no periódica\nRespuesta a una condición forzada\nRespuesta a excitación de la base\nEspectro de respuesta para excitación\nEspectros de respuesta a sismos\nDiseño bajo un ambiente de choque\ny de estado estable\nRespuesta a una fuerza gradual\nAnálisis de la respuesta escalonada\nDescripción de una respuesta\nforzadas irregulares obtenida\naplicando métodos numéricos\npara vibración forzada\nAnálisis de vibración libre de un sistema\ny coordenadas principales\nAnálisis de vibración forzada\nAutoexcitación y análisis\nSoluciones obtenidas aplicando\nSoluciones obtenidas utilizando funciones\nde transferencia de frecuencia\nSistemas de varios grados de libertad 508\nSistemas de dos grados de libertad 430\ncomo sistemas de varios grados de libertad\nUso de la segunda ley de Newton para derivar\nCoeficientes de influencia de rigidez\nCoeficientes de influencia de inercia\nExpresiones de energía potencial\ny cinética en forma matricial\ny fuerzas generalizadas\nUso de las ecuaciones de Lagrange\npara derivar ecuaciones de movimiento\nEcuaciones de movimiento de sistemas\nno amortiguados en forma matricial\nProblema de valor eigen\nde valor eigen\nde los modos normales\nValores eigen repetidos\nTeorema de expansión\nSistemas no restringidos\nde sistemas no amortiguados\nVibración forzada de sistemas no amortiguados\nmediante análisis modal\nVibración forzada de sistemas viscosamente\nDeterminación de frecuencias\ny modos naturales 602\nFórmula de Dunkerley\nPropiedades del cociente\nde Rayleigh 607\nCálculo de la frecuencia natural\nFrecuencia fundamental de vigas\nMétodo de Holzer 613\nSistemas de resorte-masa\nMétodo de iteración matricial\nConvergencia a la frecuencia\nnatural más alta\nCálculo de frecuencias naturales\nProblema de valor eigen estándar\nDescomposición de Choleski\nOtros métodos de solución\nNomógrafo de vibración\ny criterios de vibración\nReducción de la vibración en la fuente\nBalanceo de máquinas rotatorias\nBalanceo en dos planos\nRemolineo de flechas rotatorias\nBalanceo de motores reciprocantes\nFuerzas desbalanceadas debido\na fluctuaciones en la presión de gas\nFuerzas desbalanceadas debido a inercia\nde las partes móviles\nControl de frecuencias naturales\nIntroducción al amortiguamiento\ncon cimiento rígido\ncon movimiento de la base\ncon cimiento flexible\ncon cimiento parcialmente flexible\nAislamiento contra choques\nControl de vibración activo\nAbsorbedor de vibración dinámico no\nAbsorbedor de vibración dinámico\nLos capítulos 9 al 12 y apéndices se encuentran\n(en español) en el sitio web de este libro.\nVibración transversal de una cuerda o cable\nCondiciones iniciales y límite\nVibración libre de una cuerda uniforme\nVibración libre de una cuerda con dos\nSolución de la onda viajera\nVibración longitudinal de una barra o varilla\nOrtogonalidad de funciones normales\nVibración torsional de una flecha o varilla\nVibración lateral de vigas\nEfecto de una fuerza axial\nEfectos de inercia rotatoria\ny deformación por cortante\nVibración de membranas\nMétodo de Rayleigh-Ritz\nMedición de vibración y aplicaciones\nTransductores de resistencia variable\n10.2.2 Transductores piezoeléctricos\n10.2.3 Transductores electrodinámicos\nTransductor de transformador diferencial\nInstrumentos de medición de frecuencia\nExcitadores de vibración\n10.5.1 Excitadores mecánicos\n10.5.2 Agitador electrodinámico\n10.6.2 Filtro pasabanda\nAnalizadores de ancho de banda\nde porcentaje constante y de ancho de banda\nPrueba dinámica de máquinas y estructuras 10-28\nUso de las mediciones operacionales\nUso de una prueba modal\nAnálisis modal experimental 10-29\nDeterminación de datos modales a partir\nde picos observados\nDeterminación de los datos modales\ncon la gráfica de Nyquist\nMedición de modos\nMonitoreo y diagnóstico de la condición de una\nCriterios de severidad de vibración\nTécnicas de monitoreo de la condición\nTécnicas de monitoreo de vibración\nSelección del parámetro de monitoreo\nMétodos de integración numérica\nen el análisis de vibración 11-1\nMétodo de diferencia finita\nMétodo de diferencia central para sistemas\nMétodo de Runge-Kutta para sistemas\nde varios grados de libertad\nMétodo de diferencia finita para sistemas\nVibración longitudinal de barras\nVibración transversal de vigas\nMétodo de Houbolt\ny propiedades de materiales\nDeflexión de vigas y placas\nEcuaciones de movimiento de un elemento\nMatriz de masa, matriz de rigidez y vector\nElemento de una barra\n12.3.2 Elemento de torsión\nElemento de una viga\nTransformación de matrices y vectores\nEcuaciones de movimiento del sistema completo\nde elementos finitos\nIncorporación de condiciones límite\nMatrices de masa consistente\ny de masa concentrada\nMatriz de masa concentrada para un elemento\nde una barra\nMatrices de masa concentrada en comparación\ncon matrices de masa consistente\nEste libro presenta el tema de ingeniería de vibraciones a nivel de licenciatura. Las reacciones favorables de profesores y\nestudiantes a la cuarta edición me motivaron a preparar esta quinta edición. Conservé el estilo de las ediciones anteriores\nen la presentación de la teoría, los aspectos de cálculo y la aplicación de la vibración de la manera más sencilla posible,\ncon especial énfasis en las técnicas de análisis por computadora. Se ofrecen amplias explicaciones de los fundamentos en\nlas que se recalca la importancia y la interpretación física que acrecientan las experiencias adquiridas en cursos previos de\nmecánica y se utilizan numerosos ejemplos y problemas para ilustrar principios y conceptos.\nEn esta edición se modificaron algunos temas y se volvieron a escribir otros, se agregaron muchos más y se introdujeron nuevas características. La mayoría de esas adiciones y modificaciones fueron a sugerencia de los usuarios y revisores\ndel texto. Entre los cambios importantes destacan los siguientes:\n1. Al principio de cada capítulo se presenta un esquema y los objetivos de aprendizaje.\n2. Al final de cada capítulo se ofrece un resumen de repaso.\n3. La presentación de algunos temas se ha modificado para ofrecer una mayor cobertura y mejor claridad. Estos temas\nincluyen los componentes básicos de la vibración: elementos de resorte, elementos de amortiguación y elementos\nde masa o inercia, así como aislamiento y control activo de la vibración.\n4. Muchos temas nuevos se presentan con detalles y ejemplos ilustrativos, entre ellos la respuesta de sistemas de\nprimer orden y la constante de tiempo; representación gráfica de las raíces y soluciones características; variaciones\nde parámetros y la representación del lugar geométrico de las raíces; la estabilidad de los sistemas; el método de\nfunción de transferencia para problemas de vibración forzada; el método de la transformada de Laplace para solucionar problemas de vibración libre y forzada; el método de la función de transferencia de frecuencia; el diagrama\nde Bode para sistemas de un solo grado de libertad; la respuesta gradual y la descripción de la respuesta transitoria,\ny los impactos elásticos y no elásticos.\n5. Se agregaron 128 ejemplos, 160 problemas, 70 preguntas de repaso y 107 ilustraciones.\n6. Se eliminaron los ejemplos y problemas basados en los programas C++ y Fortran, que en la edición anterior se\npresentaban al final de cada capítulo.\nCaracterísticas sobresalientes del libro\nCada tema de este libro es independiente; todos los conceptos se explican perfectamente y las derivaciones se presentan\nA lo largo del texto se recalcan los aspectos de cálculo asistidos por computadora. En la última sección de cada capítulo encontrará ejemplos basados en MATLAB, así como varios programas MATLAB de uso general con ejemplos ilustrativos.\nAlgunos temas se presentan de una forma un tanto no convencional; en particular en los capítulos 8, 10 y 11. La mayoría de los libros de texto abordan los puntos de los aisladores, los absorbedores y el balanceo en capítulos diferentes.\nSin embargo, dado que uno de los objetivos principales del estudio de las vibraciones es controlar la respuesta a éstas,\ntodos los temas relacionados con el control de la vibración se presentan en el capítulo 8. Los instrumentos de medición\nde vibración, junto con los excitadores de vibración, el procedimiento de análisis modal experimental y el monitoreo de\nla condición de máquinas, están juntos en el capítulo 10 (en el sitio web). Asimismo, todos los métodos de integración\nnumérica aplicables a sistemas de uno y varios grados de libertad, al igual que los sistemas continuos, se encuentran en\nel capítulo 11 (en el sitio web).\nOtras características sobresalientes son las siguientes:\nMás de 980 preguntas de repaso para que los estudiantes revisen y prueben su comprensión del texto. Estas preguntas son de diferentes tipos: de opción múltiple, con respuestas breves, de verdadero o falso; de correspondencia de\ndescripciones, y de completar espacios en blanco.\nCada capítulo ofrece un extenso conjunto de problemas (más de 1150 en todo el libro) que resaltan varias aplicaciones del material explicado en el texto. (Las respuestas se proporcionan en el de soluciones para el profesor).\nAl final de algunos capítulos se presentan problemas del tipo proyecto de diseño (más de 30 a lo largo del texto),\nmuchos sin solución única.\nMás de 25 programas MATLAB para ayudar a los estudiantes en la implementación numérica de los métodos estudiados en el texto.\nInformación biográfica (al inicio de cada capítulo y en los apéndices) de alrededor de 20 científicos e ingenieros que\ncontribuyeron al desarrollo de la teoría de vibraciones.\nLos programas MATLAB y las respuestas a los problemas y a las preguntas de repaso que se presentan en el texto se\nencuentran disponibles para los profesores en el sitio web de este libro en www.pearsoneducacion.net/rao.\nEl Manual de soluciones de todos los problemas y sugerencias para diseñar proyectos está disponible para los profesores que adopten este libro como texto en sus cursos. Consulte a su representante de Pearson.\nEn los ejemplos y problemas de este libro hemos utilizado tanto unidades del Sistema Internacional (SI) como del Sistema\nInglés. Después de los Reconocimientos aparece una lista de símbolos junto con las unidades asociadas en estos sistemas. En el Apéndice E se analiza brevemente la aplicación de las unidades SI en el campo de las vibraciones. Hemos utilizado flechas sobre los símbolos para indicar los vectores de columna y paréntesis rectangulares (corchetes) para indicar\nEste libro está organizado en 8 capítulos. Adicionalmente en el sitio web encontrará material en español sobre temas avanzados de vibraciones mecánicas (capítulos 9 a 12) y apéndices (también en español), así como un par de capítulos en inglés\n(13 y 14). Se asume que el lector tiene conocimientos básicos sobre estática, dinámica, resistencia de materiales y ecuaciones\ndiferenciales. Aun cuando es deseable un cierto conocimiento de la teoría de matrices y la transformada de Laplace, en los\napéndices C y D (en el sitio web) se hace un repaso general de estos temas.\nEl capítulo 1 inicia con una breve semblanza de la historia e importancia de las vibraciones, y aborda el modelado de\nsistemas prácticos para el análisis de la vibración junto con los diversos pasos implicados. Se describen las partes elementales de un sistema sometido a vibración, como son rigidez, amortiguamiento y masa (inercia). Se presentan los conceptos básicos y la terminología que se utiliza en el análisis de vibraciones. El capítulo 2 aborda la vibración libre de sistemas de un\nsolo grado de libertad sometidos a traslación y torsión viscosamente amortiguados y no amortiguados. Se analiza, además,\nla representación gráfica de las raíces características y las soluciones correspondientes, las variaciones de parámetro y las\nrepresentaciones del lugar geométrico de las raíces. Aun cuando el método del lugar geométrico de las raíces se utiliza en\nsistemas de control, su uso en la vibración se ilustra en este capítulo. También se considera la respuesta bajo amortiguación\nhisterética y de Coulomb. En el capítulo 3 se estudian las respuestas amortiguada y no amortiguada de sistemas de un solo\ngrado de libertad a excitaciones armónicas. Se delinean los conceptos de fuerza y transmisibilidades de desplazamiento y\nsu aplicación en sistemas prácticos. También se presenta el método de función de transferencia, la solución mediante la\ntransformada de Laplace de problemas de vibración forzada, la respuesta de frecuencia y el diagrama de Bode.\nEl capítulo 4 se ocupa de la respuesta de un sistema de un solo grado de libertad bajo una función forzada general. Los\nroles de la expansión de la serie de Fourier de una función periódica, la integral de convolución, la transformada de Laplace\ny los métodos numéricos se describen con ejemplos ilustrativos. También se analiza la especificación de la respuesta de un\nsistema subamortiguado en función de tiempo pico, tiempo de elevación y tiempo de asentamiento. En el capítulo 5 se\nconsidera la vibración libre y forzada de sistemas de dos grados de libertad. Se analiza la vibración autoexcitada y la estabilidad del sistema. El método de la función de transferencia y la solución por medio de la transformada de Laplace también\nse presentan con ejemplos ilustrativos. En el capítulo 6 veremos la vibración de sistemas de varios grados de libertad y los\nmétodos de análisis matriciales que se utilizan para presentar la teoría. En este mismo capítulo se describe el procedimiento\nde análisis modal para la solución de problemas de vibración forzada. Los diversos métodos para determinar frecuencias\nnaturales y formas de modo de sistemas discretos se delinean en el capítulo 7. Los métodos de Dunkerley, Rayleigh, Holzer, Jacobi e iteraciones matriciales se explican aportando ejemplos numéricos. El capítulo 8 aborda los diversos aspectos\nde control de vibración, entre ellos los problemas de eliminación, aislamiento y absorción. El nomógrafo de vibración y los\ncriterios de vibración, los cuales indican los niveles aceptables de vibración, también se presentan aquí. El balanceo de máquinas rotatorias y reciprocantes y la formación de remolinos de flechas se consideran. También se describen las técnicas\nde control activas para controlar la respuesta de sistemas vibratorios.\nMaterial en español en el sitio web\nMientras que las ecuaciones de movimiento de sistemas discretos aparecen en la forma de ecuaciones diferenciales ordinarias, las de los sistemas continuos y distribuidos aparecen en la forma de ecuaciones diferenciales parciales. El análisis\nde la vibración de sistemas continuos, como cuerdas, barras, flechas, vigas y membranas, se presenta en el capítulo 9. El\nmétodo de separación de variables se presenta para la solución de ecuaciones diferenciales parciales asociadas con sistemas\ncontinuos. Los métodos de Rayleigh y Rayleigh-Ritz para encontrar las frecuencias naturales aproximadas también se describen con ejemplos. Los métodos experimentales que se utilizan para medir la respuesta de la vibración se consideran en\nel capítulo 10, y se describen técnicas de análisis de señales y el equipo de medición de vibración. También se presentan\ntécnicas de monitoreo y diagnóstico de la condición de máquinas.\nEl capítulo 11 presenta varias técnicas de integración numéricas para determinar la respuesta dinámica de sistemas\ndiscretos y continuos. Se analizan e ilustran los métodos de diferencia central, los de Runge-Kutta, Houbolt, Wilson y\nNewmark. El análisis de elementos finitos, con aplicaciones que implican elementos unidimensionales, se aborda en el\ncapítulo 12. Se utilizan elementos de barra, varilla y viga para el análisis estático y dinámico de armaduras, varillas sometidas a torsión y vigas. En este capítulo también se aborda el uso de matrices de masa concentrada y de masa consistente\nen el análisis de vibración. Los problemas de vibración no lineal regidos por ecuaciones diferenciales no lineales presentan\nfenómenos que no aparecen en los problemas linealizados correspondientes.\nLos apéndices A y B se enfocan en las relaciones matemáticas y en la deflexión de vigas y placas. Los fundamentos\nde la teoría de matrices, la transformada de Laplace y las unidades SI se tratan en los apéndices C, D y E. Por último, el\napéndice F ofrece una introducción a la programación con MATLAB.\nMaterial en inglés en el sitio web\nEn el capítulo 13 se proporciona un tratamiento introductorio de vibración no lineal, con un análisis de oscilaciones subarmónicas y superarmónicas, ciclos límite, sistemas con coeficientes dependientes del tiempo y caos. La vibración aleatoria\nde sistemas de vibración lineal se considera en el capítulo 14. En este capítulo también se aplican los conceptos de proceso\naleatorio, proceso estacionario, densidad espectral de potencia, así como autocorrelación y procesos de banda ancha y angosta, sin dejar de considerar la respuesta de vibración aleatoria de sistemas de uno y varios grados de libertad.\nEl libro proporciona opciones flexibles para diferentes tipos de cursos sobre vibración. Los capítulos 1 a 5, el capítulo 8, y\npartes del 6, constituyen un curso básico de vibración mecánica. Puede darse diferente énfasis y orientación al curso si se\nhace una cobertura adicional de diferentes capítulos como se indica a continuación:\nEl capítulo 9 para sistemas continuos o distribuidos.\nLos capítulos 7 y 11 para soluciones numéricas.\nEl capítulo 12 para análisis de elementos finitos.\nEl material que se presenta en el texto ayuda a lograr algunos de los resultados especificados por la\nCapacidad de aplicar el conocimiento de matemáticas, ciencia e ingeniería:\nEl tema de vibración, tal como se presenta en el libro, aplica conocimientos de matemáticas\n(ecuaciones diferenciales, álgebra matricial, métodos vectoriales y números complejos) y ciencia (estática y dinámica) para resolver problemas de vibración de ingeniería.\nCapacidad de identificar, formular y resolver problemas de ingeniería:\nNumerosos problemas ilustrativos, problemas de práctica y proyectos de diseño ayudan al estudiante a identificar varios tipos de problemas de vibración prácticos y a desarrollar, analizar y\nresolver modelos matemáticos para hallar la respuesta e interpretar los resultados.\nCapacidad de utilizar las técnicas, habilidades y herramientas modernas necesarias para la práctica de ingeniería.\nLa última sección de cada capítulo ilustra la aplicación del moderno software, MATLAB, para\nla solución de problemas de vibración. Los fundamentos de programación MATLAB se resumen en el apéndice F.\nEl uso de la moderna técnica de análisis, el método del elemento finito, para la solución de problemas de vibración se aborda en un capítulo aparte (capítulo 12). El método de los elementos\nfinitos es una técnica de amplio uso en la industria del modelado, análisis y solución de sistemas\nCapacidad de diseñar y realizar experimentos, así como de analizar e interpretar datos:\nLos métodos experimentales y el análisis de datos relacionados con la vibración se presentan\nen el capítulo 10. También se analiza el equipo que se utiliza en la realización de experimentos\nde vibración, y se aborda el análisis de señales e identificación de los parámetros del sistema\na partir de los datos.\nQuisiera expresar mi agradecimiento a los muchos estudiantes, investigadores y profesores cuyos comentarios me han\nayudado a mejorar el libro. Me siento sumamente agradecido con las siguientes personas por sus comentarios, sugerencias\nAra Arabyan, University of Arizona; Daniel Granger, Polytechnic School of Montreal, Canadá; K.M. Rao, V.R.S.\nEngineering College Vijayawada, India; K. S. Shivakumar Aradhya, Gas Turbine Research Establishment, Bangalore,\nIndia; Donald G. Grant, University of Maine; Tom Thornton, Analista de Esfuerzo: Alejandro J. Rivas, Arizona State\nUniversity; Qing Guo, University of Washington; James M. Widmann. California Polytechnic State University; G. Q. Cai,\nFlorida Atlantic University; Richard Alexander, Texas A & M University; C. W. Bert, University of Oklahoma; Raymond\nM. Brach, University of Notre Dame; Alfonso Diaz-Jimenez, Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”, Colombia;\nGeorge Doyle, University of Dayton; Hamid Hamidzadeh, South Dakota State University; H. N. Hashemi, Northeastern\nUniversity; Zhikun Hou, Worchester Polytechnic Institute; J. Richard Houghton, Tennessee Technological University;\nFaryar Jabbari, University of California, Irvine; Robert Jeffers, University of Connecticut; Richard Keltie, North Carolina\nState University; J. S. Lamancusa, Pennsylvania State University; Harry Law, Clemson University; Robert Leonard, Virginia Polytechnic Institute and State University; James Li, Columbia University; Sameer Madanshetty, Boston University;\nMasoud Mojtahed, Purdue University, Calumet; Faissal A. Moslehy, University of Central Florida; M. G. Prasad, Stevens\nInstitute of Technology; Mohan D. Rao, Michigan Tech; Amir G. Rezaei, California State Polytechnic University; F. P. J.\nRimrott, University of Toronto; Subhash Sinha, Auburn University; Daniel Stutts, University of Missouri-Rolla; Massoud\nTavakoli, Georgia Institute of Technology; Theodore Terry, Lehigh University; David F. Thompson, University of Cincinnati;\nChung Tsui, University of Maryland, College Park; Alexander Vakakis, University of Illinois, Urbana, Champaign; Chuck\nVan Karsen, Michigan Technological University; Aleksandra Vinogradov, Montana State University; K. W. Wang, Pennsylvania State University; Gloria J. Wiens, University of Florida, y William Webster, GMI Engineering and Management\nQuiero dar las gracias a la Universidad de Purdue por permitirme utilizar el Boilermaker Special en el problema 2.104.\nMis sinceras gracias al Dr. Qing Liu por ayudarme a escribir algunos de los programas MATLAB. Por último, deseo darle\nlas gracias a mi esposa, Kamala, sin cuya paciencia, motivación y apoyo esta edición nunca se hubiera podido terminar.\na, a0, a1, a2, Á\nA, A0, A1, Á\nb, b1, b2, Á\nB,! B1, B2, Á\nc, c0, c1, c2, Á\nC, C1, C2, C1œ , C2œ\ncoeficiente de flexibilidad\ncoeficiente de amortiguación viscosa\nconstante de amortiguación viscosa crítica\nconstante de amortiguación del amortiguador i-ésimo\nmatriz de amortiguación\nbase de logaritmos naturales\nvectores unitarios paralelos a las direcciones x y y\namplitud de fuerza F(t)\nN # s/m\nJ, J0, J1, J2, Á\nMt, Mt1, Mt2, Á\nfuerza que actúa en la masa i-ésima\nconstante de amortiguación de histéresis\nfunción de respuesta de frecuencia\nparte imaginaria de ()\nconstante de resorte del resorte i-ésimo\nconstante de resorte torsional\ncoeficiente de masa\nmatriz de masa\namplitud de Mt(t)\ntotal de escalones de tiempo\nfunción de densidad de probabilidad de x\ncoordenada generalizada j-ésima\nvector de desplazamientos generalizados\nvector de velocidades generalizadas\nfuerza generalizada j-ésima\nrelación de frecuencia ⫽ v/vn\nparte real de ( )\ncociente de Rayleigh\nraíz de ecuación, variable de Laplace\naceleración, desplazamiento, espectro de velocidad\nespectro de x\nestación de tiempo i-ésimo\nenergía cinética de la masa i-ésima\ndesplazamiento, transmisibilidad de fuerza\nun elemento de matriz [U]\nenergía potencial del resorte i-ésimo\nvalor de w cuando t ⫽ 0\nmodo enésimo de vibración\nvalor de W cuando t ⫽ ti\nuna función de x\ncoordenadas cartesianas, desplazamientos\nvalor de x cuando t ⫽ 0\ndesplazamiento de la masa j-ésima\nvalor de x cuando t ⫽ tj\nparte homogénea de x(t)\nparte particular de x(t)\nvalor de cuando t ⫽ ti\nvalor de x# cuando t ⫽ ti\nvalor de x cuando t ⫽ ti\nN # m/s\nd1, d2, Á\namplitud de x(t)\namplitud de xj(t)\nvector modal i-ésimo\ncomponente i-ésimo de modo j-ésimo\naproximación r-ésima a un modo\ndesplazamiento de base\namplitud de y(t)\ndesplazamiento relativo, x – y\namplitud de z(t)\nconstante de amortiguamiento de histéresis\nincremento de F\nincremento de x\nincremento del tiempo t\nenergía disipada en un ciclo\nrelación de amortiguamiento\nconstante, desplazamiento angular\ndesplazamiento angular i-ésimo\nvalor de u cuando t ⫽ 0\namplitud de u (t)\namplitud de ui(t)\nvalor eigen ⫽ 1/v2\ndesviación estándar de x\nperiodo de oscilación, tiempo, constante de tiempo\nkg/m # s\nángulo, ángulo de fase\nángulo de fase en el modo i-ésimo\nfrecuencia natural i-ésima\nfrecuencia de vibración amortiguada\ncorrespondiente a la frecuencia natural\nvalor específico o de referencia\nvector columna ( )\ninversa de [ ]\ntranspuesta de [ ]\nincremento de ( )\ntransformada de Laplace de ( )\ntransformada inversa de Laplace ( )\nEste astrónomo italiano, filósofo y profesor de matemáticas en las universidades de\nPisa y Padua, fue, en 1609, el primer hombre que apuntó un telescopio hacia el cielo.\nEn 1590, escribió el primer tratado de dinámica moderna. Sus obras respecto a las\noscilaciones de un péndulo simple y la vibración de las cuerdas son de importancia\nfundamental en la teoría de las vibraciones. [Cortesía de Dirk J. Struik, A Concise\nHistory of Mathematics (2a. ed. rev.), Dover Publications, Inc., Nueva York, 1948].\nComentarios preliminares 3\nBreve historia del estudio de la vibración 4\nImportancia del estudio de la vibración 10\nConceptos básicos de la vibración 13\nClasificación de la vibración 16\nProcedimiento del análisis de la vibración 17\nElementos de resorte 21\nElementos de masa o inercia 37\nElementos de amortiguamiento 42\nMovimiento armónico 51\nAnálisis armónico 61\nEjemplos resueltos utilizando MATLAB 72\nLiteratura acerca de la vibración 75\nResumen del capítulo 76\nPreguntas de repaso 78\nProyectos de diseño 111\nEste capítulo presenta el tema de las vibraciones en una forma relativamente sencilla. Empieza\ncon una breve historia del tema y luego presenta un examen de la importancia de la vibración.\nLos conceptos básicos de grados de libertad y de sistemas continuos y discretos se ofrecen junto\ncon una descripción de las partes elementales de los sistemas vibratorios. Se indican las diversas\nclasificaciones de vibración, a saber: vibración libre y forzada; vibración no amortiguada y amortiguada; vibración lineal y no lineal, y vibración determinística y aleatoria. Se delinean y presentan\nasimismo las definiciones y los conceptos esenciales de vibración.\nSe describe el concepto de movimiento armónico y su representación por medio de vectores y\nnúmeros complejos. Se aportan las definiciones y terminología básicas como ciclo, amplitud, periodo, frecuencia, ángulo de fase y frecuencia natural, relacionadas con el movimiento armónico. Al\nfinal se describe el análisis armónico, que tiene que ver con la representación de cualquier función\nperiódica en términos de funciones armónicas, utilizando la serie de Fourier. Asimismo, se analizan en detalle los conceptos de espectro de frecuencia, representaciones en el dominio del tiempo\ny frecuencia de funciones periódicas, así como las expansiones de mediano intervalo y el cálculo\nnumérico de coeficientes de Fourier.\nAl terminar este capítulo, usted deberá ser capaz de realizar lo siguiente:\nDescribir brevemente la historia de la vibración.\nIndicar la importancia del estudio de la vibración.\nProporcionar varias clasificaciones de la vibración.\nEnunciar los pasos implicados en el análisis de la vibración.\nCalcular los valores de constantes de resorte, masas y constantes de amortiguamiento.\nDefinir el movimiento armónico y diferentes posibles representaciones de movimiento armónico.\nSumar y restar movimientos armónicos.\nRealizar la expansión de la serie de Fourier de funciones periódicas dadas.\nDeterminar los coeficientes de Fourier numéricamente, aplicando el programa MATLAB.\nEl tema de la vibración se presenta aquí en una forma relativamente sencilla. El capítulo empieza\ncon una breve historia de la vibración y continúa con un examen de su importancia. Se perfilan los\ndiversos pasos que intervienen en el análisis de la vibración de un sistema de ingeniería y se presentan\nlas definiciones y conceptos esenciales de la vibración. Aquí aprendemos que todos los sistemas mecánicos y estructurales se pueden modelar como sistemas de masa-resorte-amortiguador. En algunos\nsistemas, como en un automóvil, la masa, el resorte y el amortiguador se pueden identificar como\ncomponentes separados (la masa en la forma del cuerpo, el resorte en la suspensión y el amortiguador\nen la forma de los amortiguadores). En algunos casos, la masa, el resorte y el amortiguador no aparecen como componentes distintos, pues son inherentes e integrales al sistema. Por ejemplo, en el ala de\nun avión, la masa está distribuida en toda el ala. Incluso, debido a su elasticidad, el ala experimenta\nuna notable deformación durante el vuelo, de modo que puede modelarse como un resorte. Además, la\ndeflexión del ala introduce un efecto de amortiguamiento producido por el movimiento relativo entre\ncomponentes como juntas, conexiones y soportes, al igual que la fricción interna producida por defectos microestructurales del material. En el capítulo se describe el modelado de elementos de resorte,\nmasa y amortiguamiento, sus características y la combinación de varios resortes, masas o elementos\nde amortiguamiento que aparecen en un sistema. De allí se deriva una presentación del concepto de\nanálisis armónico, el cual puede utilizarse para el análisis de movimientos periódicos generales. En\neste capítulo no se pretende agotar los temas; los capítulos siguientes desarrollarán con más detalle\nmuchas de las ideas.\nEl interés en la vibración surge cuando se crean los primeros instrumentos musicales, probablemente silbatos o tambores. Desde entonces, tanto músicos como filósofos han buscado las reglas y\nlas leyes de la producción del sonido, las han utilizado para mejorar los instrumentos musicales,\ny las han pasado de generación en generación. Ya en el año 4000 a.C. [1.1], la música había alcanzado un alto nivel de desarrollo y era muy apreciada por chinos, hindúes, japoneses y, quizá, los\negipcios. Estos pueblos antiguos observaron ciertas reglas definidas que de alguna manera estaban\nrelacionadas con el arte de la música, aunque su conocimiento no llegó a nivel de ciencia.\nEs probable que los instrumentos musicales de cuerda se hayan originado en el arco del cazador,\narma favorecida por los ejércitos del antiguo Egipto. Uno de los instrumentos de cuerda más primitivos, la nanga, se parece a un arpa de tres o cuatro cuerdas, y cada cuerda produce sólo una nota; en\nel Museo Británico se encuentra un ejemplar que data de 1500 años a.C. Ahí mismo se exhibe un\narpa de 11 cuerdas, decorada en oro y con caja de resonancia en forma de cabeza de toro, la cual\nse encontró en Ur en una tumba real que data de aproximadamente 2600 años a.C. En los muros\nde tumbas egipcias con una antigüedad de 3000 años a.C. se hallaron pinturas de instrumentos de\ncuerda semejantes a arpas.\nNuestro sistema musical actual tiene sus bases en la civilización griega antigua. Se considera\nque el filósofo y matemático griego Pitágoras (582-507 a.C.) fue la primera persona que investigó\nel sonido musical con una base científica (figura 1.1). Entre otras cosas, Pitágoras realizó experimentos con una sola cuerda por medio de un aparato sencillo llamado monocordio. En el ejemplo\nque se muestra en la figura 1.2, los puentes de madera 1 y 3 están fijos. El puente 2 es movible en\ntanto que la tensión en la cuerda se mantiene constante mediante el peso colgante. Pitágoras observó que si se someten a la misma tensión dos cuerdas similares de diferentes longitudes, la más corta\nemite una nota más alta; además, si la cuerda más corta es de la mitad de la longitud de la más larga,\nla más corta emitirá una nota una octava arriba de la otra. Pitágoras no dejó ningún documento de su\nFigura 1.1 Pitágoras. (Reimpreso con permiso de I.E. Navia,\nPitágoras: An Annotated Bibliography, Garland Publishing,\nInc., Nueva York, 1990).\nFigura 1.2 Monocordio.\ntrabajo (figura 1.3), pero ha sido descrito por otros. Aunque en el tiempo de Pitágoras se desarrolló\nel concepto de tono, la relación entre el tono y la frecuencia no se entendió sino hasta el tiempo de\nGalileo, en el siglo xvi.\nHacia 350 a.C, Aristóteles escribió tratados sobre música y sonido e hizo observaciones como\n“La voz es más dulce que el sonido de los instrumentos”, y “El sonido de la flauta es más dulce\nque el de la lira”. En 320 a.C., Aristógenes, alumno de Aristóteles y músico, escribió una obra en\ntres volúmenes titulada Elementos de armonía. Estos libros son quizá los más antiguos de que se\ndisponga sobre la música y escritos por los investigadores mismos. Alrededor de 300 a.C., en un\nlibro llamado Introducción a la armonía, Euclides escribió brevemente sobre la música pero sin\nhacer referencia alguna a la naturaleza física del sonido. Los griegos no lograron más avances en el\nconocimiento científico del sonido.\nParece que los romanos recibieron todo su conocimiento musical por parte de los griegos, excepto Vitruvio, famoso arquitecto romano que escribió alrededor del año 20 a.C. sobre las propiedades\nacústicas de los teatros. Su tratado De Architectura Libri Decem (Diez libros sobre arquitectura),\nestuvo perdido durante muchos años, y se habría de redescubrir sólo hasta el siglo xv. Al parecer,\ndurante casi 16 siglos no hubo después del trabajo de Vitruvio ningún desarrollo en las teorías del\nsonido y la vibración.\nFigura 1.3 Pitágoras como músico. (Reimpreso con permiso de D.E. Smith, History of Mathematics, Vol. I, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1958).\nEn la antigüedad, China experimentaba muchos sismos. Zhang Heng, que se desempeñó como\nhistoriador y astrónomo en el siglo ii, percibió la necesidad de desarrollar un instrumento para medir\nlos sismos con precisión. En el año 132 inventó el primer sismógrafo del mundo [1.3, 1.4], el cual\nestaba hecho de fino bronce fundido, con un diámetro de ocho chi (un chi equivale a 0.237 metros)\ny tenía la forma de una jarra de vino (figura 1.4). Dentro de la jarra había un mecanismo que consistía en un péndulo rodeado por un grupo de ocho palancas que apuntaban en ocho direcciones. En\nla parte externa del sismógrafo había ocho figuras de dragón, cada una con una bola de bronce\nen las fauces. Debajo de cada dragón había una rana con la boca abierta hacia arriba. Un sismo\nfuerte en cualquier dirección inclinaría el péndulo en esa dirección y activaría la palanca en la cabeza del dragón. Esto abría la boca del d ragón y la bola de bronce se soltaba y caía en la boca de la\nrana con un sonido metálico. Así, el sismógrafo permitía al personal de vigilancia saber tanto el\ntiempo como la dirección de la ocurrencia del sismo.\nFigura 1.4 El primer sismógrafo del mundo inventado\nen China en el año 132 de nuestra era. (Reimpreso con\npermiso de R. Taton (ed.), History of Science, Basic\nBooks, Inc., Nueva York, 1957).\nDe Galileo a\nSe considera que Galileo Galilei (1564-1642) es el fundador de la ciencia experimental moderna.\nDe hecho, a menudo al siglo xvii se le considera como el “siglo del genio” puesto que los cimientos\nde la filosofía y la ciencia modernas se sentaron durante ese periodo. Lo que motivó a Galileo a estudiar el comportamiento de un péndulo simple fue la observación de los movimientos de vaivén de\nuna lámpara en una iglesia de Pisa. Un día, mientras se aburría durante un sermón, Galileo miraba\nhacia el techo de la iglesia. Una lámpara oscilante captó su atención. Comenzó a medir el periodo\nde los movimientos de péndulo de la lámpara con su pulso, y para su sorpresa se dio cuenta de que\nel tiempo era independiente de la amplitud de las oscilaciones. Esto lo llevó a realizar más experimentos con el péndulo simple. En su obra Discorsi e dimostrazione matematiche in torno a due\nnuove scienze (Diálogos sobre dos nuevas ciencias), publicada en 1638, Galileo analizó los cuerpos\nvibratorios. Describió la dependencia de la frecuencia de la vibración en la longitud de un péndulo simple, junto con el fenómeno de vibraciones simpáticas (resonancia). Los escritos de Galileo\ntambién indican que entendía con claridad la relación entre la frecuencia, la longitud, la tensión y\nla densidad de una cuerda vibratoria tensa [1.5]. Sin embargo, el primer informe correcto publicado\nde la vibración de cuerdas lo proporcionó el matemático y teólogo francés Mario Mersenne (15881648) en su libro Harmonie universelle (Armonía universal), publicado en 1636. Mersenne también\nmidió, por primera vez, la frecuencia de vibración de una cuerda larga y a partir de ello pronosticó la\nfrecuencia de una cuerda más corta de la misma densidad y tensión. Muchos consideran a Mersenne\ncomo el padre la acústica. A menudo se le acredita el descubrimiento de las leyes de las cuerdas\nvibratorias porque publicó los resultados en 1636, dos años antes que Galileo. Sin embargo, el\ncrédito le pertenece a Galileo, puesto que escribió las leyes muchos años atrás y su publicación fue\nprohibida por órdenes del Inquisidor de Roma hasta 1638.\nInspirada en el trabajo de Galileo, en 1657 se fundó la Academia del Cimento en Florencia; a\nésta le siguieron las formaciones de la Royal Society of London en 1662, y la Paris Academie des\nSciences en 1666. Más tarde, Robert Hooke (1635-1703) también realizó experimentos para\ndeterminar una relación entre el tono y la frecuencia de vibración de una cuerda. Sin embargo,\nJoseph Sauveur (1653-1716) investigó a fondo estos experimentos y acuñó la palabra “acústica”\npara la ciencia del sonido [1.6]. Sauveur en Francia y John Wallis (1616-1703) en Inglaterra observaron, de manera independiente, el fenómeno de las formas de modo, y encontraron que una cuerda\ntensa que vibra puede no tener movimiento en ciertos puntos, y un movimiento violento en puntos\nintermedios. Sauveur llamó nodos a los primeros puntos y bucles a los segundos. Se encontró que\ntales vibraciones tenían frecuencias más altas que la asociada con la vibración simple de la cuerda\nsin nodos. De hecho, se encontró que las altas frecuencias son múltiplos integrales de la frecuencia\nde vibración simple, y Sauveur llamó armónicos a las altas frecuencias y frecuencia fundamental\na la frecuencia de una vibración simple. Sauveur también encontró que una cuerda puede vibrar\nsin varios de sus armónicos presentes al mismo tiempo. Además, observó el fenómeno del pulso\ncuando dos tubos de órgano de tonos levemente diferentes se hacen sonar juntos. En 1700, Sauveur\ncalculó, mediante un método un tanto dudoso, la frecuencia de una cuerda tensada a partir de la\ncomba medida de su punto medio.\nSir Isaac Newton (1642-1727) publicó en 1686 su obra monumental Philosophiae Naturalis\nPrincipia Mathematica (Principios matemáticos de filosofía natural), que describe la ley de la\ngravitación universal, así como las tres leyes del movimiento y otros descubrimientos. La segunda\nley del movimiento de Newton es un lugar común en libros sobre vibraciones para derivar las ecuaciones de movimiento de un cuerpo que vibra. Brook Taylor (1685-1731), matemático inglés, halló\nen 1713 la solución teórica (dinámica) del problema de la cuerda vibratoria, y a su vez presentó el\nfamoso teorema de Taylor sobre una serie infinita. La frecuencia natural de la vibración obtenida\ncon la ecuación de movimiento derivada por Taylor concuerda con los valores experimentales observados por Galileo y Mersenne. El procedimiento adoptado por Taylor fue perfeccionado con la\nintroducción de derivadas parciales en las ecuaciones de movimiento por Daniel Bernoulli (17001782), Jean D’Alembert (1717-1783) y Leonard Euler (1707-1783).\nLa posibilidad de que una cuerda vibre con varios de sus armónicos presentes al mismo tiempo\n(si el desplazamiento de cualquier punto en cualquier instante es igual a la suma algebraica de los\ndesplazamientos de cada armónico) se comprobó con las ecuaciones dinámicas de Daniel Bernoulli\nen sus memorias, publicadas por la Academia Berlinesa en 1755 [1.7]. Esta característica se conoce\ncomo el principio de la coexistencia de pequeñas oscilaciones lo cual, en terminología actual, es el\nprincipio de superposición. Se comprobó que este principio es más valioso en el desarrollo de la\nteoría de vibraciones y condujo a la posibilidad de expresar cualquier función arbitraria (es decir,\ncualquier forma inicial de la cuerda) utilizando una serie infinita de senos y cosenos. Debido a esta\nimplicación, D’Alembert y Euler dudaron de la validez de este principio. Sin embargo, J. B. J.\nFourier (1768-1830) en su obra Analytical Theory of Heat en 1822 comprobó la validez de este tipo\nJoseph Lagrange (1736-1813) presentó la solución analítica de la cuerda vibratoria en sus memorias publicadas por la Academia de Turín en 1759. En su estudio, Lagrange supuso que la cuerda\nse componía de una infinidad de partículas de masa idéntica equidistantes, y estableció la existencia\nde varias frecuencias independientes iguales a la cantidad de partículas de masa. Cuando se permitió que la cantidad de partículas fuera infinita se encontró que las frecuencias resultantes eran\nlas mismas que las frecuencias armónicas de la cuerda tensa. El método de establecer la ecuación\ndiferencial del movimiento de una cuerda (llamada ecuación de onda), presentado en la mayoría\nde los libros actuales sobre teoría de la vibración, lo desarrolló por primera vez D’Alembert en sus\nmemorias publicadas por la Academia de Berlín en 1750. La vibración de vigas delgadas apoyadas\ny sujetas de diferentes maneras fue un estudio hecho por primera vez por Euler en 1744 y Daniel\nBernoulli en 1751. Su método se conoce como teoría de vigas delgadas o de Euler-Bernoulli.\nCharles Coulomb realizó estudios tanto teóricos como experimentales en 1784 sobre las oscilaciones torsionales de un cilindro de metal suspendido de un cable (figura 1.5). Al suponer que el par\nde torsión resistente del alambre torcido es proporcional al ángulo de torsión, dedujo la ecuación de\nmovimiento para la vibración torsional del cilindro suspendido. Integrando la ecuación de movimiento, encontró que el periodo de oscilación es independiente del ángulo de torsión.\nHay un interesante relato en cuanto al desarrollo de la teoría de vibración de placas [1.8]. En\n1802, el científico alemán E. F. F. Chladni (1756-1824) desarrolló el método de colocar arena sobre una placa vibratoria para hallar sus formas de modo y observó la belleza y complejidad de los\npatrones modales de las placas vibratorias. En 1809 la Academia Francesa invitó a Chladni a que\nhiciera una demostración de estos experimentos. Napoleón Bonaparte, quien asistió a la reunión,\nse impresionó muchísimo y donó 3 000 francos a la academia para que se otorgaran a la primera\npersona que elaborara una teoría matemática satisfactoria de la vibración de placas. Cerca de la fecha\nlímite de la competencia, en octubre de 1811, sólo un candidato, Sophie Germain, había entrado al\nconcurso. Pero Lagrange, que era uno de los jueces, descubrió un error en la derivación de su ecuación diferencial de movimiento. La academia abrió de nuevo la competencia, con una nueva fecha\nlímite para octubre de 1813. Sophie Germain entró de nuevo al concurso y presentó la forma correcta de la ecuación diferencial. Sin embargo, la academia no le otorgó el premio porque el juez\ndeseaba una justificación física de las suposiciones hechas en su derivación. La competencia se abrió\nuna vez más. En 1815, en su tercer intento, Sophie Germain obtuvo por fin el premio aun cuando\nlos jueces no se sintieran del todo satisfechos con su teoría. De hecho, más tarde se encontró que la\necuación diferencial era correcta pero las condiciones límite eran erróneas. En 1850, G. R. Kirchhoff\n(1824-1887) dio las condiciones límite correctas para la vibración de las placas.\nMientras tanto, el problema de vibración de una membrana flexible rectangular, lo cual es importante para entender el sonido emitido por tambores, fue resuelto por primera vez por Simeon\nPoisson (1781-1840). La vibración de una membrana circular fue estudiada en 1862 por R. F. A.\nClebsch (1833-1872). Después de esto, se realizaron estudios de vibración en varios sistemas\nFigura 1.5 Dispositivo de Coulomb para pruebas de vibración torsional. (Reimpreso con permiso de S.P. Timoshenko,\nHistory of Strength of Materials, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1953).\nmecánicos y estructurales prácticos. En 1877 Lord Baron Rayleigh publicó su libro sobre la teoría\ndel sonido [1.9], obra considerada un clásico en materia de sonido y vibración incluso en la actualidad. Notable entre las muchas contribuciones de Rayleigh es el método de encontrar la frecuencia\nde vibración fundamental de un sistema conservador al aplicar el principio de conservación de la\nenergía, ahora conocido como método de Rayleigh. Este método resultó ser una técnica útil para\nla solución de problemas de vibración difíciles. Una extensión del método, la cual puede utilizarse\npara descubrir múltiples frecuencias naturales, se conoce como método de Rayleigh-Ritz.\nEn 1902, Frahm investigó la importancia del estudio de la vibración torsional en el diseño de flechas de hélice de buques de vapor. El absorbedor de vibración dinámica, el cual implica la adición\nde un sistema de resorte y masa secundario para eliminar las vibraciones de un sistema principal,\ntambién fue propuesto por Frahm en 1909. Entre los contribuyentes modernos a la teoría de vibraciones, los nombres de Stodola, De Laval, Timoshenko y Mindlin son notables. Aurel Stodola\n(1859-1943) contribuyó al estudio de vibración de vigas, placas y membranas. Desarrolló un método para analizar vigas vibratorias que también es aplicable a aspas de turbina. Dándose cuenta de\nque todos los propulsores principales producen problemas de vibración, C. G. P. De Laval (18451913) presentó una solución práctica al problema de la vibración de un disco rotatorio desbalanceado. Después de observar las fallas de las flechas de acero en turbinas de alta velocidad utilizó\nuna caña de pescar de bambú como flecha para montar el rotor. Observó que este sistema no sólo\neliminaba la vibración del rotor desbalanceado sino que también sobrevivía a velocidades hasta\nde 100 000 rpm [1.10].\nStephen Timoshenko (1878-1972), al considerar los efectos de la deformación producida por\ninercia y cortante rotatorios, presentó una teoría mejorada de vibración de vigas, la cual se conoce\ncomo teoría de Timoshenko, o de vigas gruesas. R. D. Mindlin presentó una teoría parecida para\nanalizar la vibración de placas gruesas, incluidos los efectos de deformación por inercia y cortante\nSe sabe desde hace mucho tiempo que los problemas básicos de mecánica, entre ellos los\nde las vibraciones, son no lineales. Aun cuando los tratamientos lineales adoptados son bastante\nsatisfactorios en la mayoría de los casos, no son adecuados en todos. En sistemas no lineales pueden\nocurrir fenómenos que son teóricamente imposibles en sistemas lineales. La teoría matemática de\nvibraciones no lineales comenzó a desarrollarse en los trabajos de Poincaré y Lyapunov a fines\ndel siglo xix. Poincaré desarrolló el método de perturbación en 1892 en relación con la solución\naproximada de problemas de mecánica celestial no lineales. En 1892, Lyapunov sentó los cimientos\nde la teoría de estabilidad moderna, la cual es aplicable a todos los tipos de sistemas dinámicos.\nDespués de 1920, los estudios emprendidos por Duffing y van der Pol presentaron las primeras\nsoluciones definidas a la teoría de vibraciones no lineales y señalaron su importancia en el campo\nde la ingeniería. En los últimos 40 años, autores como Minorsky y Stoker se han esforzado por\nreunir en monografías los resultados más importantes en relación con las vibraciones no lineales.\nLa mayoría de las aplicaciones prácticas de la vibración no lineal implicaban el uso de algún tipo\nde método de teoría de la perturbación. Nayfeh investigó los métodos modernos de la teoría de la\nEn diversos fenómenos como sismos, vientos, transporte de mercancías sobre vehículos de ruedas y el ruido producido por cohetes y motores de reacción, se presentan características aleatorias. Se\nhizo necesario idear conceptos y métodos de análisis de vibración de estos efectos aleatorios. Aunque\nen 1905 Einstein consideró el movimiento browniano, un tipo particular de vibración aleatoria, ninguna aplicación se investigó sino hasta 1930. La introducción de la función de correlación por Taylor\nen 1920, y la densidad espectral por Wiener y Khinchin a principios de la década de 1930, permitieron el avance de esta teoría. Artículos de Lin y Rice, publicados entre 1943 y 1945, allanaron el\nFigura 1.6 Idealización del elemento finito de la carrocería de un autobús. (Reimpresa con permiso de © 1974 Society\nof Automotive Engineers, Inc.).\ncamino para la aplicación de vibraciones aleatorias a problemas prácticos de ingeniería. Las monografías de Crandall y Mark, así como de Robson, sistematizaron el conocimiento existente de la\nteoría de vibraciones aleatorias [1.12, 1.13].\nHasta hace aproximadamente 40 años, los estudios de vibración, incluso los que tienen que ver\ncon sistemas de ingeniería complejos, se realizaron utilizando modelos brutos, con sólo unos cuantos\ngrados de libertad. Sin embargo, el advenimiento de computadoras de alta velocidad en la década de\n1950 hicieron posible tratar sistemas moderadamente complejos y generar soluciones aproximadas\nen forma semidefinida, con métodos de solución clásicos y la evaluación numérica de ciertos términos que pueden expresarse en forma cerrada. El desarrollo simultáneo del método del elemento\nfinito permitió a los ingenieros utilizar computadoras digitales para realizar el análisis de vibración\nnuméricamente detallado de sistemas mecánicos, vehiculares y estructurales que despliegan miles\nde grados de libertad [1.14]. Aun cuando el método del elemento finito no fue nombrado así hasta\nhace poco, el concepto se ha utilizado desde hace siglos. Por ejemplo, los matemáticos antiguos\nencontraron la circunferencia de un círculo aproximándolo como un polígono, donde cada lado de\néste, en notación actual, puede llamarse elemento finito. El método del elemento finito tal como se\nle conoce en la actualidad fue presentado por Turner, Clough, Martin y Topp en conexión con el\nanálisis de estructuras de avión [1.15]. La figura 1.6 muestra la idealización del elemento finito de\nla carrocería de un autobús [1.16].\nLa mayoría de las actividades humanas implican vibración en una u otra forma. Por ejemplo, oímos\nporque nuestros tímpanos vibran y vemos porque las ondas luminosas vibran. La respiración está\nasociada con la vibración de los pulmones y el caminar implica el movimiento oscilatorio (periódico)\nde piernas y manos. El habla humana requiere el movimiento oscilatorio de la laringe (y la lengua)\n[1.17]. Los eruditos antiguos en el campo de la vibración concentraron sus esfuerzos en la comprensión de los fenómenos naturales y el desarrollo de las teorías matemáticas para describir la vibración\nde sistemas físicos. En años recientes, muchas aplicaciones de la vibración en el campo de la ingeniería han motivado a los investigadores, entre ellas el diseño de máquinas, cimientos, estructuras,\nmotores, turbinas y sistemas de control.\nLa mayoría de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios debido al desequilibrio inherente en los motores. El desequilibrio puede deberse al diseño defectuoso o a una\nfabricación deficiente. El desequilibrio en motores diesel, por ejemplo, puede provocar ondas terrestres suficientemente poderosas como para provocar molestias en áreas urbanas. Las ruedas de\nalgunas locomotoras pueden alzarse más de un centímetro de la vía a altas velocidades debido al\ndesequilibrio. En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecánicas espectaculares. Los ingenieros aún no han sido capaces de evitar las fallas a consecuencia de las vibraciones de aspas y discos\nen turbinas. Naturalmente, las estructuras diseñadas para soportar máquinas centrífugas pesadas\ncomo motores y turbinas, o máquinas reciprocantes como motores de vapor y de gasolina, también\nse ven sometidas a vibración. En todas estas situaciones, el componente de la estructura o máquina\nsometido a vibración puede fallar debido a fatiga del material producida por la variación cíclica\ndel esfuerzo inducido. Además, la vibración provoca un desgaste más rápido de las partes de la\nmáquina como cojinetes y engranes e incluso produce ruido excesivo. En máquinas, la vibración\npuede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En procesos de corte de metal, la vibración puede\nprovocar rechinidos, lo cual conduce a un acabado deficiente de la superficie.\nSiempre que la frecuencia natural de la vibración de una máquina o de una estructura coincide\ncon la frecuencia de la excitación externa se presenta un fenómeno conocido como resonancia, el\ncual conduce a deflexiones y fallas excesivas. La literatura abunda en relatos de fallas de sistemas\nprovocadas por resonancia y vibración excesiva de los componentes y sistemas (vea la figura 1.7).\nDebido a los devastadores efectos que las vibraciones pueden tener en máquinas y estructuras, las\npruebas de vibración [1.18] se volvieron un procedimiento estándar en el diseño y desarrollo de la\nmayoría de los sistemas de ingeniería (vea la figura 1.8).\nEn muchos sistemas de ingeniería, un ser humano actúa como una parte integral del sistema. La transmisión de vibraciones a los seres humanos provoca molestias y pérdida de eficiencia.\nFigura 1.7 El puente Tacoma Narrows durante la vibración inducida por el viento. El puente se inauguró\nel 1 de julio de 1940 y colapsó el 7 de noviembre del mismo año. (Fotografía de Farquharson, de la Historical Photography Collection, University of Washington Libraries).\nFigura 1.8 Prueba de vibración del transbordador espacial Enterprise.\n(Cortesía de la NASA).\nLa vibración y el ruido generados por motores molestan a las personas, y en ocasiones producen daños a las propiedades. La vibración de los tableros de instrumentos puede provocar su mal funcionamiento o dificultad para leer los medidores [1.19]. Por lo tanto, uno de los propósitos importantes\ndel estudio de la vibración es reducirla mediante el diseño apropiado de máquinas y sus montajes.\nEn este sentido, el ingeniero mecánico trata de diseñar el motor o máquina de modo que se reduzca\nel desequilibrio, mientras que el ingeniero estructural trata de diseñar la estructura de soporte de\nmodo que el efecto del desequilibrio no sea dañino [1.20].\nA pesar de los efectos perjudiciales, la vibración puede utilizarse con provecho en varias aplicaciones industriales y comerciales. De hecho, las aplicaciones de equipo vibratorio se han incrementado considerablemente en años recientes [1.21]. Por ejemplo, la vibración se pone a trabajar en\ntransportadoras vibratorias, tolvas, tamices, compactadoras, lavadoras, cepillos de dientes eléctricos,\ntaladros de dentista, relojes y unidades de masaje eléctricas. La vibración también se utiliza en el\nhincado de pilotes, pruebas vibratorias de materiales, proceso de acabado vibratorio y circuitos electrónicos para filtrar las frecuencias indeseables (vea la figura 1.9). Se ha visto que la vibración mejora\nla eficiencia de ciertos procesos de maquinado, fundición, forja y soldadura. Se emplea para simular\nsismos en la investigación geológica y también para estudiar el diseño de reactores nucleares.\nFigura 1.9 Proceso de acabado vibratorio. (Reimpreso por cortesía de Manufacturing Engineers, © 1964\nThe Tool and Manufacturing Engineer).\nCualquier movimiento que se repite después de un intervalo de tiempo se llama vibración u oscilación. El vaivén de un péndulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de\nvibración. La teoría de la vibración tiene que ver con el estudio de los movimientos oscilatorios\nde los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos.\nPor lo común un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energía potencial (resorte o\nelasticidad), un medio para conservar energía cinética (masa o inercia) y un medio por el cual la\nenergía se pierde gradualmente (amortiguador).\nLa vibración de un sistema implica la transformación de su energía potencial en energía cinética y de ésta en energía potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su\nenergía se disipa en cada ciclo de vibración y se le debe reemplazar por una fuente externa para que\nse mantenga un estado de vibración estable.\nComo un ejemplo, consideremos la vibración del péndulo simple que se muestra en la figura\n1.10. Soltemos la lenteja de masa m después de desplazarla un ángulo u. En la posición 1 la velocidad de la lenteja y por consiguiente su energía cinética es cero. Pero tiene una energía potencial de\nmagnitud mgl(1 2 cos u) con respecto a la posición de referencia 2. Como la fuerza de la gravedad\nmg induce un par de torsión mgl sen u con respecto al punto O, la lenteja comienza a oscilar hacia\nla izquierda de la posición 1. Esto imparte a la lenteja una cierta aceleración angular en el sentido\nde las manecillas del reloj y en el momento en que llega a la posición 2 toda su energía potencial se\nconvierte en energía cinética. De ahí que la lenteja no se detenga en la posición 2 sino que continuará\noscilando a la posición 3. Sin embargo, al pasar por la posición media 2, un par de torsión en sentido\ncontrario al de las manecillas del reloj debido a la gravedad que actúa en la lenteja la desacelera. La\nvelocidad de la lenteja se reduce a cero en la posición extrema izquierda. En este momento, toda\nla energía cinética de la lenteja se convierte en energía potencial. De nueva cuenta, debido al par\nde torsión producido por la gravedad, la lenteja adquiere velocidad en sentido contrario al de las\nmanecillas del reloj. Por consiguiente, la lenteja comienza a oscilar de regreso con una velocidad progresivamente creciente y de nuevo pasa por la posición media. Este proceso continúa repitiéndose,\nel péndulo tendrá movimiento oscilatorio. Sin embargo, en la práctica, la magnitud de la oscilación\n(u) se reduce gradualmente y por fin el péndulo se detiene debido a la resistencia (amortiguamiento)\nofrecida por el medio circundante (aire). Esto quiere decir que una parte de la energía se disipa en\ncada ciclo de vibración debido a la acción de amortiguamiento del aire.\nl (1  cos .)\nFigura 1.10 Un péndulo simple.\nde grados de\nEl mínimo de coordenadas independientes requerido para determinar por completo todas las partes\nde un sistema en cualquier instante de tiempo define la cantidad de grados de libertad del sistema. El péndulo simple que se muestra en la figura 1.10, así como cada uno de los sistemas de\nla figura 1.11, representa un sistema de un solo grado de libertad. Por ejemplo, el movimiento\ndel péndulo simple (figura 1.10) se puede formular o en función del ángulo u o en función de las\ncoordenadas cartesianas x y y. Si se utilizan las coordenadas x y y para describir el movimiento,\ndebe reconocerse que estas coordenadas no son independientes. Están relacionadas entre sí mediante la relación x2 1 y2 5 l 2, donde l es la longitud constante del péndulo. Por lo tanto cualquier\ncoordenada puede describir el movimiento del péndulo. En este caso vemos que la selección de u\ncomo coordenada independiente será más conveniente que la selección de x o de y. Para la corredera que se muestra en la figura 1.11(a) puede usarse tanto la coordenada angular u como la coordenada x para describir el movimiento. En la figura 1.11(b) se puede usar la coordenada lineal x para\nespecificar el movimiento. Para el sistema torsional (barra larga con un pesado disco en el extremo)\nque se muestra en la figura 1.11(c), se puede utilizar la coordenada u para describir el movimiento.\nAlgunos ejemplos de sistemas de dos y tres grados de libertad se muestran en la figuras 1.12\ny 1.13, respectivamente. La figura 1.12(a) muestra un sistema de dos masas y dos resortes descrito\npor las dos coordenadas lineales x1 y x2. La figura 1.12(b) indica un sistema de dos rotores cuyo\nmovimiento puede especificarse en función de u1 y u2. El movimiento del sistema que se muestra\nen la figura 1.12(c) puede describirse por completo con X o u, o con x, y y X. En el segundo caso,\nx y y están restringidas como x2 1 y2 5 l 2 donde l es una constante.\nPara los sistemas que se muestran en las figuras 1.13(a) y 1.13(c), se pueden utilizar las coordenadas xi(i 5 1, 2, 3) y ui (i 5 1, 2, 3), respectivamente, para describir el movimiento. En el caso\ndel sistema que se muestra en la figura 1.13(b), ui (i 5 1, 2, 3) especifica las posiciones de las masas\n(a) Mecanismo de manivela\ncorrediza y resorte\n(b) Sistema de resorte y masa\n(c) Sistema torsional\nFigura 1.11 Sistemas de un grado de libertad.\nFigura 1.12 Sistema de dos grados de libertad.\nFigura 1.13 Sistema de tres grados de libertad.\nmi (i 5 1, 2, 3). Un método alterno de describir este sistema es en función de xi y yi (i 5 1, 2, 3);\npero en este caso se tienen que considerar las restricciones x2i + y2i = l2i (i 5 1, 2, 3).\nLas coordenadas necesarias para describir el movimiento de un sistema constituyen un conjunto de coordenadas generalizadas. Éstas se suelen indicar como q1, q2,... y pueden representarse\ncomo coordenadas cartesianas y/o no cartesianas.\nPor medio de una cantidad finita de grados de libertad se puede describir un buen número de sistemas prácticos, como los sistemas simples que se muestran en las figuras 1.10 a 1.13. Algunos\nsistemas, sobre todo los que implican miembros elásticos continuos, tienen una infinitud de grados de\nlibertad. Como un ejemplo simple, consideremos la viga en voladizo de la figura 1.14. Como la\nviga tiene una infinitud de puntos de masa, necesitamos una infinitud de coordenadas para especificar su configuración de deflexión. La infinitud de coordenadas define la curva de deflexión. Así\nentonces, la viga en voladizo tiene una infinitud de grados de libertad. La mayoría de los sistemas\nde estructuras y máquinas tienen miembros deformables (elásticos) y por consiguiente tienen una\ninfinitud de grados de libertad.\nLos sistemas con una cantidad finita de grados de libertad se conocen como sistemas discretos\no de parámetro concentrado, y los que cuentan con una infinitud de grados de libertad se conocen\ncomo sistemas continuos o distribuidos.\nLa mayor parte del tiempo, los sistemas continuos se representan de forma aproximada como\nsistemas discretos y las soluciones se obtienen de una manera simple. Aun cuando el tratamiento de\nFigura 1.14 Una viga en voladizo (sistema de una infinitud\nde grados de libertad).\nun sistema como continuo da resultados exactos, el método analítico disponible para ocuparse de\nlos sistemas continuos se limita a una escasa selección de problemas como vigas uniformes, variables esbeltas y placas delgadas. De ahí que la mayoría de los sistemas prácticos se estudian\ntratándolos como masas concentradas finitas, resortes y amortiguadores. Por lo común se obtienen\nresultados más precisos aumentando la cantidad de masas, resortes y amortiguadores, es decir,\naumentando la cantidad de grados de libertad.\nLa vibración se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las clasificaciones importantes son\nVibración libre. Si se deja que un sistema vibre por sí mismo después de una perturbación inicial,\nla vibración resultante se conoce como vibracion libre. Ninguna fuerza externa actúa en el sistema.\nVibración forzada. Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva),\nla vibración resultante se conoce como vibración forzada. La oscilación que aparece en máquinas\ncomo motores diesel es un ejemplo de vibración forzada.\nSi la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema,\nocurre una condición conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente\ngrandes. Las fallas de estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avión se han asociado\na la ocurrencia de resonancia.\nSi no se pierde o disipa energía por fricción u otra resistencia durante la oscilación, la vibración se\nconoce como vibración no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energía se llama vibración\namortiguada. En muchos sistemas físicos, la cantidad de amortiguamiento es tan pequeña que puede ser ignorada en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. Sin embargo, la consideración del\namortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios próximos\na la resonancia.\nSi todos los componentes básicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa y el amortiguador, se\ncomportan linealmente, la vibración resultante se conoce como vibración lineal. Pero si cualquiera\nde los componentes básicos se comporta de manera no lineal, la vibración se conoce como vibración no lineal. Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de sistemas vibratorios\nlineales o no lineales son asimismo lineales o no lineales, respectivamente. Si la vibración es lineal\nel principio de superposición es válido y las técnicas matemáticas de análisis están bien desarrolladas. Para vibración no lineal, el principio de superposición no es válido y las técnicas de análisis\nson menos conocidas. Como los sistemas vibratorios tienden a comportarse no linealmente con\namplitud de oscilación creciente, es deseable un conocimiento de la vibración no lineal cuando se\ntrate con sistemas vibratorios.\nSi el valor o magnitud de la excitación (fuerza o movimiento) que actúa en un sistema vibratorio se\nconoce en cualquier tiempo dado, la excitación se llama determinística. La vibración resultante\nse conoce como vibración determinística.\nEn algunos casos la excitación es no determinística o aleatoria; el valor de la excitación en un\nmomento dado no se puede pronosticar. En estos casos, una recopilación de registros de la excitación puede presentar cierta regularidad estadística. Es posible estimar promedios como los valores\n(a) Excitación determinística (periódica)\n(b) Excitación aleatoria\nFigura 1.15 Excitaciones determinística y aleatoria.\nmedios o medios al cuadrado de la excitación. Ejemplos de excitaciones aleatorias son la velocidad\ndel viento, la aspereza del camino y el movimiento de tierra durante sismos. Si la excitación es\naleatoria, la vibración resultante se llama vibración aleatoria. En este caso la respuesta vibratoria\ndel sistema también es aleatoria; se puede describir sólo en función de cantidades estadísticas. La\nfigura 1.15 muestra ejemplos de excitaciones determinísticas y aleatorias.\nUn sistema vibratorio es dinámico si variables como las excitaciones (entradas) y respuestas (salidas) dependen del tiempo. La respuesta de un sistema vibratorio suele depender tanto de las condiciones iniciales como de las excitaciones externas. La mayoría de los sistemas vibratorios prácticos\nson muy complejos, y es imposible considerar todos los detalles para un análisis matemático. En el\nanálisis sólo se consideran los detalles más importantes para predecir el comportamiento del sistema en condiciones de entrada específicas. A menudo se puede determinar el comportamiento total\ndel sistema por medio de un modelo simple del sistema físico complejo. Por lo que el análisis de un\nsistema vibratorio suele implicar el modelado matemático, la derivación de las ecuaciones rectoras,\nla solución de las ecuaciones y la interpretación de los resultados.\nPaso 1: Modelado matemático. El propósito del modelado matemático es representar todos los\ndetalles importantes del sistema con el objeto de derivar las ecuaciones matemáticas (o analíticas)\nque rigen el comportamiento del sistema. El modelo matemático puede ser lineal o no lineal, según el comportamiento de los componentes del sistema. Los modelos lineales permiten soluciones\nrápidas y son sencillos de manejar, sin embargo, los modelos no lineales a veces revelan ciertas\ncaracterísticas del sistema que no pueden ser pronosticadas siguiendo modelos lineales. Por lo\ntanto se requiere un gran criterio de ingeniería para producir un modelo matemático adecuado de\nun sistema vibratorio.\nA veces el modelo matemático se mejora gradualmente para obtener resultados más precisos.\nEn este método primero se utiliza un modelo muy rústico o elemental para tener una idea del comportamiento total del sistema. Luego se refina el modelo con la inclusión de más componentes o\ndetalles, de modo que se pueda observar más de cerca el comportamiento del sistema. Para ilustrar\nel procedimiento de refinamiento utilizado en el modelado matemático, consideremos el martillo\nde forja de la figura 1.16(a). Se compone de un marco, un peso que cae, conocido como mazo, un\nyunque y un bloque de cimentación. El yunque es un bloque de acero macizo sobre el cual se forja\nel material a la forma deseada por medio de los repetidos golpes del mazo. Por lo común el yunque\nse monta sobre una almohadilla elástica para reducir la transmisión de la vibración al bloque de\ncimentación y marco [1.22]. Para una primera aproximación, el marco, el yunque, la almohadilla elástica, el bloque de cimentación y el suelo, se modelan como un sistema de un solo grado\nde libertad como se muestra en la figura 1.16(b). Para una aproximación refinada, los pesos del\nmarco, yunque y bloque de cimentación se representan por separado con un modelo de dos grados\nde libertad, como se muestra en la figura 1.16(c). El modelo se puede refinar aún más considerando\nlos impactos excéntricos del mazo, los cuales hacen que cada una de las masas que se presentan en\nla figura 1.16(c) asuman movimientos tanto verticales como de bamboleo (rotaciones) en el plano\nYunque y bloque\nAmortiguamiento del suelo\nde la almohadilla elástica\nRigidez de la almohadilla elástica\nFigura 1.16 Modelado de un martillo de forja.\nPaso 2: Derivación de las ecuaciones rectoras. Una vez que el modelo matemático está disponible, utilizamos el principio de dinámica y obtenemos las ecuaciones que describen la vibración\ndel sistema. Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar de una forma adecuada trazando\nlos diagramas de cuerpo libre de todas las masas que intervienen. El diagrama de cuerpo libre de\nuna masa se obtiene aislándola e indicando todas las fuerzas externamente aplicadas, las fuerzas\nreactivas y las fuerzas de inercia. Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio suelen\nser un conjunto de ecuaciones diferenciales comunes para un sistema discreto y de ecuaciones diferenciales parciales para un sistema continuo. Las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales\nsegún el comportamiento de los componentes del sistema. Por lo común se utilizan varios métodos\npara derivar las ecuaciones rectoras. Entre ellos están la segunda ley del movimiento de Newton, el\nprincipio de D’Alembert y el principio de conservación de la energía.\nPaso 3: Solución de las ecuaciones rectoras. Las ecuaciones de movimiento deben resolverse\npara hallar la respuesta del sistema vibratorio. Dependiendo de la naturaleza del problema, podemos utilizar una de las siguientes técnicas para determinar la solución: métodos estándar de\nsolución de ecuaciones diferenciales, métodos de transformada de Laplace, métodos matriciales1 y\nmétodos numéricos. Si las ecuaciones rectoras son no lineales, rara vez pueden resolverse en forma cerrada. Además, la solución de ecuaciones diferenciales parciales es mucho más complicada\nque la de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se pueden utilizar métodos numéricos que implican\ncomputadoras para resolver las ecuaciones. Sin embargo, es difícil sacar conclusiones generales\nsobre el comportamiento del sistema con resultados obtenidos con computadora.\nPaso 4: Interpretación de los resultados. La solución de las ecuaciones rectoras proporciona los\ndesplazamientos, velocidades y aceleraciones de las diversas masas del sistema. Estos resultados deben interpretarse con una clara visión del objetivo del análisis y de las posibles implicaciones\nde diseño de los resultados.\nModelo matemático de una motocicleta\nLa figura 1.17(a) muestra una motocicleta con un motociclista. Desarrolle una secuencia de tres modelos matemáticos del sistema para investigar la vibración en la dirección vertical. Considere la elasticidad de las llantas\ny el amortiguamiento de los amortiguadores (en dirección vertical), las masas de las ruedas y la elasticidad,\namortiguamiento y masa del motociclista.\nSolución: Comenzamos con el modelo más simple y lo refinamos gradualmente. Cuando se utilizan los valores equivalentes de la masa, rigidez y amortiguamiento del sistema, obtenemos un modelo de un solo grado de\nlibertad de la motocicleta con un motociclista como se indica en la figura 1.17(b). En este modelo, la rigidez\nequivalente (keq) incluye la rigidez de las llantas, amortiguadores y motociclista. La constante de amortiguamiento equivalente (ceq) incluye el amortiguamiento de los amortiguadores y el motociclista. La masa\nequivalente incluye las masas de las ruedas, el cuerpo del vehículo y al motociclista. Este modelo se puede\nrefinar representando las masas de las ruedas, la elasticidad de las llantas y la elasticidad y amortiguamiento\nde los amortiguadores por separado, como se muestra en la figura 1.17(c). En este modelo, la masa del cuerpo del\nvehículo (mv) y la masa del motociclista (mr) se muestran como una sola masa mv 1 mr. Cuando se considera\nla elasticidad (como constante de resorte kr) y el amortiguamiento (como constante de amortiguamiento cr) del\nmotociclista, se obtiene el modelo refinado que se muestra en la figura 1.17(d).\n1 Las definiciones y operaciones básicas de la teoría de matrices puede encontrarlas en los apéndices de este libro, en el\nObserve que los modelos de las figuras 1.17(b) a (d) no son únicos. Por ejemplo, si se combinan las constantes de resorte de ambas llantas, las masas de las dos ruedas y las constantes de resorte y amortiguamiento\nde los dos amortiguadores como cantidades únicas, se obtiene el modelo que se muestra en la figura 1.17(e)\nen lugar del de la figura 1.17(c).\nt : llanta\nw : rueda\nv : vehículo\nr : motociclista\ns : amortiguador eq : equivalente\nFigura 1.17 Motocicleta con motociclista, lo cual comprende un sistema\nfísico y un modelo matemático.\nUn resorte es un tipo de eslabón mecánico, el cual en la mayoría de las aplicaciones se supone que\ntiene masa y amortiguamiento insignificantes. El tipo de resorte más común es el resorte helicoidal\nutilizado en lapiceros y plumas retráctiles, engrapadoras y suspensiones de camiones de carga y\notros vehículos. Se pueden identificar varios otros tipos en aplicaciones de ingeniería. De hecho,\ncualquier cuerpo o miembro deformable, cable, barra, viga, flecha o placa, puede considerarse\ncomo un resorte. Un resorte se suele representar como se muestra en la figura 1.18(a). Si la longitud del resorte, sin que actúe ninguna fuerza, se indica con l, cuando se aplica una fuerza axial\ncambia la longitud. Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza de tensión F en su extremo libre 2,\nel resorte experimenta un alargamiento x como se muestra en la figura 1.18(b), mientras que una\nfuerza de compresión F aplicada en el extremo libre 2 reduce la longitud x como se muestra en la\nSe dice que un resorte es lineal si el alargamiento o acortamiento de longitud x está relacionado\ncon la fuerza aplicada como\nF 5 kx\ndonde k es una constante, conocida como la constante de resorte, rigidez de resorte o tasa de\nresorte. La constante de resorte k siempre es positiva e indica la fuerza (positiva o negativa) requerida para producir una deflexión unitaria (alargamiento o reducción de la longitud) en el resorte.\nCuando el resorte se alarga (o comprime) con una fuerza de tensión (o compresión), de acuerdo\ncon la tercera ley del movimiento de Newton, se desarrolla una fuerza de restauración de magnitud\n2 F (o 1 F) opuesta a la fuerza aplicada. Esta fuerza de restauración trata de regresar el resorte\nalargado (o comprimido) a su longitud original no alargada o libre como se muestra en la figura\n1.18(b) (o 1.18(c)). Si trazamos la gráfica entre F y x, el resultado es una línea recta de acuerdo con\nla ecuación (1.1). El trabajo realizado (U) al deformar un resorte se almacena como deformación o\nenergía potencial en el resorte, y está dado por\nFigura 1.18 Deformación de un resorte.\nLa mayoría de los resortes que se utilizan en sistemas prácticos presentan una relación fuerzadeflexión no lineal, en particular cuando las deflexiones son grandes. Si un resorte no lineal experimenta deflexiones pequeñas puede ser reemplazado por un resorte lineal con el procedimiento\nexplicado en la sección 1.7.2. En el análisis de vibración, comúnmente se utilizan resortes no lineales cuyas relaciones de fuerza-deflexión están dadas por\nF 5 ax 1 bx3,\nEn la ecuación (1.3), a indica la constante asociada con la parte lineal y b indica la constante asociada con la de no linealidad (cúbica). Se dice que el resorte es duro si b . 0, lineal si b 5 0, y\nsuave si b , 0. En la figura 1.19 se muestran las relaciones de fuerza-deflexión correspondientes a\nvarios valores de b.\nFuerza (F )\nResorte lineal (b ⫽ 0)\nResorte suave (b ⬍ 0)\nResorte duro (b ⬎ 0)\nFigura 1.19 Resortes no lineales y lineales.\nFuerza de resorte (F)\nk2(x ⫺ c2)\nk1(x ⫺ c1)\nFigura 1.20 Relación fuerza-desplazamiento de\nun resorte no lineal.\nAlgunos sistemas, con dos o más resortes, pueden presentar una relación fuerza-desplazamiento\nno lineal aunque los resortes individuales sean lineales. Algunos ejemplos de dichos sistemas se\nmuestran en las figuras 1.20 y 1.21. En la figura 1.20(a), el peso (o fuerza) W se desplaza libremente a\ntravés de los espacios libres c1 y c2 del sistema. Una vez que el peso se pone en contacto con un resorte particular después de pasar por el espacio libre correspondiente, la fuerza de resorte se incrementa\nen proporción a la constante del resorte particular (vea la figura 1.20(b)). Se puede ver que la relación\nresultante de fuerza-desplazamiento, aunque es lineal parte por parte, indica una relación no lineal.\nEn la figura 1.21(a), los dos resortes, rigideces k1 y k2, tienen diferentes longitudes. Observe\nque, por sencillez, el resorte con rigidez k1 se muestra en la forma de dos resortes paralelos, cada uno\ncon una rigidez de k1/2. Los modelos de sistemas de resortes de este tipo se pueden utilizar en el análisis de vibración de paquetes y suspensiones que se utilizan en los trenes de aterrizaje de aviones.\nCuando el resorte k1 se deforma en una cantidad x 5 c, el segundo resorte entra en acción y\nproporciona rigidez adicional k2 al sistema. La relación fuerza-desplazamiento no lineal se muestra\nen la figura 1.21(b).\nF ⫽ k1x\nF ⫽ k1x ⫹ k2(x ⫺ c)\nx ⫽ 0 corresponde a la posición\nde la barra sin fuerza\nFigura 1.21 Relación fuerza-desplazamiento de un resorte no lineal.\nLos resortes reales son no lineales y obedecen la ecuación (1.1) sólo hasta determinada deformación. Más allá de un cierto valor de deformación (después del punto A en la figura 1.22), el esfuerzo\nexcede el punto cedente o de deformación del material y la relación entre fuerza y deformación se\nhace no lineal [1.23, 1.24]. En muchas aplicaciones prácticas suponemos que las deflexiones son\npequeñas y utilizamos la relación lineal de la ecuación (1.1). Inclusive, si la relación de fuerzadeflexión de un resorte es no lineal, como se muestra en la figura 1.23, a menudo la aproximamos\ncomo lineal por medio de un proceso de linealización [1.24, 1.25]. Para ilustrar el proceso de linealización, sea F la carga estática que actúa en el resorte y que provoca una deflexión de x*. Si se\nagrega una fuerza incremental DF a F, el resorte se deforma en una cantidad adicional Dx. La nueva\nfuerza de resorte F 1 DF se expresa mediante la expansión de la serie de Taylor con respecto a la\nposición de equilibrio estático x* como\nF + ¢F = F(x* + ¢x)\n= F(x*) +\n` (¢x) +\n` (¢x)2 + Á\n2! dx2 x*\nx ⫽ x1 ⫺ x2\nFigura 1.22 Límite de no linealidad más allá del límite de proporcionalidad.\nF ⫽ F(x)\nF ⫹ ⌬F ⫽ F(x * ⫹ ⌬x)\nF ⫽ F(x *)\ndx x *\nx * ⫹ ⌬x\nFigura 1.23 Proceso de linealización.\nPara valores pequeños de Dx,


Home » Cine » Críticas de cine » Crítica: “Guerra Mundial Z”: Poder y no querer\nPublicado por: Héctor Pintado en Críticas de cine 6 agosto, 2013\t0 3,427 Visitas\nAhora que desde hace unos años los muertos vivientes se han puesto tan de moda (ya sea a través de medios audiovisuales o tinta mediante), ya estaba tardando Hollywood en generar una gran superproducción sobre el género en cuestión. Un blockbuster sin mayor pretensión que reventar las taquillas, con zombies y explosiones a mansalva y con una estrella de renombre a la cabeza del reparto. Eso es “Guerra Mundial Z” (Marc Forster, 2013) obra basada en el libro de mismo nombre, mayormente conocido por su peculiar forma de narrar el tan trillado apocalipsis zombie: un periodista va realizando entrevistas a…\nResumen : Crítica de la película "Guerra Mundial Z".\n2013 acción adaptación análisis Brad Pitt crítica Guerra Mundial Z libro opinión película Terror\t2013-08-06\nEtiqueta: 2013 acción adaptación análisis Brad Pitt crítica Guerra Mundial Z libro opinión película Terror\nAnterior: Las mejor pagadas de Hollywood: porque ellas lo valen\nSiguiente: Insidious 2: nuevo tráiler y póster oficial


El CAU Valencia luchará por el ascenso a División de Honor - Superdeporte\nEl CAU Valencia luchará por el ascenso a División de Honor\nLos valencianos se enfrentarán al Ciencias Cajasol de Sevilla en la final\nEFE 16.05.2016 | 10:09\nEl CAU se llevó el duelo ante el Aparejadores Burgos. SD\nEl CAU Valencia y el Ciencias Fundación Cajasol de Sevilla se jugarán, en un play-off a doble vuelta a disputar los dos próximos fines de semana, la única plaza de ascenso directo a División de Honor, tras eliminar hoy, dominfgo, al Liceo Francés y al Aparejadores de Burgos, respectivamente.\nLos dos finalistas decantaron sus semifinales en la vuelta, después de los resultados ajustados de la pasada semana, un empate a 23 en casa en el caso de los valencianos y un corto triunfo, 12-16, para de los andaluces en Madrid.\nEn los partidos jugados hoy, el CAU aprovechó el despiste de los burgaleses en la primera mitad para posar mediante Guillermo Vicente, Domingo y Rama los tres ensayos con los que cobró una enorme ventaja (0-24) que administró con tranquilidad hasta el final (17-27).\nPor su parte, el Ciencias Fundación Cajasol se apoyó en una magnífica defensa y en el acierto de su apertura en los lanzamientos a palos, una serie de cinco aciertos sin error firmó el joven Rafa Rivero, para contener a un Liceo Francés que sólo pudo anotar muy al principio del partido, por medio de Alexandre Bazzoli (23-7).\nEl ganador de la final, cuyo partido de vuelta se celebrará en Sevilla debido a la mejor puntuación del Ciencias en la fase regular, ascenderá a División de Honor, mientras que el perdedor disputará una eliminatoria de promoción frente al Bizkaia Gernika, penúltimo clasificado de la máxima categoría.\nLos valencianos quedaron terceros de su grupo con siete derrotas y se metieron en semifinales gracias a una decisión del Comité de Competición, que descalificó por alineación indebida a La Vila, que los había batido en los cuartos de final.\nEl Ciencias Fundación Cajasol, por su parte, descendido hace dos años e histórico club que cuenta con dos títulos de Liga y tres de Copa en su palmarés, es el gran favorito para la final, ya que ganó sus veintidós partidos de la liga regular con un asombroso resultado medio de 53,6 puntos a favor y 8,8 en contra.\nAparejadores Rugby Burgos\nCiencias Cajasol de Sevilla\nCiencias Fundación Cajasol de Sevilla\nEl Valencia ha tomado una decisión con Andreas Pereira\nEl Ibiza de Salvo ficha a un exvalencianista\nPjaca, el delantero que encaja en el modelo de Marcelino\nPablo Aimar se olvida de Rafa Benítez y Héctor Cúper\nAtentos a Darmian y los descartes de Mourinho en el Manchester\n¿Qué piensa el agente de Kondogbia del interés del Real Madrid?\nLos jugadores que sigue el Valencia\nAsí es el Sporting de Baraja que asombra en segunda división\n¿Reconoces a este exjugador de LaLiga?\nLa última encuesta chorra de Estudio Estadio\n¿Cómo seguir en directo las carreras del Mundial de F1?\nUna víctima más (y van muchas) de la plaga de lesiones\nLerma: Así está su futuro\nVlad Iordachescu no pitará un partido en Pau por estar cerca de España\nNuevo capítulo en la moda de agredir a Ricky Rubio en la NBA


Vodafone expande a otras tres CCAA su programa escolar de formación digital - elEconomista.es\nVodafone expande a otras tres CCAA su programa escolar de formación digital\nEn este nuevo curso académico también se sumarán cinco instituciones nuevas en la Comunidad de Madrid\n2/09/2021 - 9:06\nLa Fundación Vodafone España ha ampliado su programación de formación escolar en competencias digitales, DigiCraft, a tres nuevas comunidades autónomas, Aragón, Islas Baleares y Castilla y León.\n'DigiCraft' estaba hasta ahora operativo en 300 colegios de Galicia, Andalucía y Madrid y ahora llega a 160 centros de tres regiones más.\nDe esta forma, el programa Digicraft, que facilita a profesores y niños de Primaria diferentes itinerarios y actividades educativas para aprender competencias digitales utilizando como vehículo la tecnología, beneficiará en el nuevo curso académico a 42.200 alumnos.\n'DigiCraft en tu cole' basa su metodología en tres pilares: la formación periódica al profesorado en competencias digitales para que puedan desarrollarlas en el aula con su alumnado, la adquisición de las competencias digitales más importantes por parte de los alumnos y la dotación de materiales y actividades en formato itinerario para que se lleven a cabo a lo largo de todo el curso escolar. De esta manera, la Fundación Vodafone asegura que todos los contenidos del programa se adaptan al marco de competencia digital docente europeo e impulsa la colaboración entre los profesores de cada centro, un aspecto fundamental para DigiCraft.\nAdemás, en este nuevo curso académico también se sumarán cinco instituciones nuevas en la Comunidad de Madrid y hasta 50 en Galicia gracias a la ampliación de los acuerdos firmados con las Consejerías de Educación de ambas Comunidades Autónomas.\n"En un escenario como el actual reforzamos nuestro compromiso con la formación al profesorado, adaptándonos a las nuevas necesidades y con el firme propósito de que el alumnado pueda adquirir esas competencias digitales que van a ser clave en su desarrollo curricular", explica Remedios Orrantia, presidenta de la Fundación Vodafone España.