Ներածություն։
  Գծային հավասարումների համակարգերի լուծումըմաթեմատիկային  հարակից  մի  շարք  գիտություններում  ամենահաճախհանդիպող  խնդիրներից  է։
   Քանի  որ  գծային  ֆունկցիաներն  ամենալավուսումնասիրվածներնկախվածությանամենատարածված  մոդելները  հանդիսանում  են  գծային  մոդելները,որոնք  իրենց  հերթին  հանգեցվում  են  գծային  հավասարումներիհամակարգերիլուծմանը։
   Ուստի  արդիական  է  դառնում  գծայինհավասարումների  համակարգերի  արագ  լուծումը  գիտության  տարբերճյուղերի  զանազան  խնդիրներ  ուսումնասիրելիս։
   Իսկ  դրանց  լուծմանարագությունը կարելի է ապահովել թվային մեթոդների օգնությամբ։
 են,  ապա  ֆունկցիոնալԳծայինհավասարումներիհամակարգերիլուծմանուղիղմեթոդներ։
 Գաուսի (փոփոխականների արտաքսման) մեթոդ։
  Դիտարկենքանհայտի նկատմամբ հատ գծային հավասարումների համակարգ. գծային(1)  տեսքիՈւսումնասիրենքհավասարումներիհամակարգերի լուծման ամենալայն կիրառություն ունեցող մեթոդներիցմեկը`  Գաուսի  մեթոդը,  որին  անվանում  են  նաև  փոփոխականներիարտաքսման  մեթոդ  [1-3]։
   Գաուսի  մեթոդի  օգնությամբ  հաշվարկներըկատարվում  են  2  հիմնական  փուլերով,  որոնք  կոչվում  են  ուղիղ ևհակադարձ  քայլեր։
   Գաուսի  մեթոդի  ուղիղ  քայլ  փուլի  էությունըկայանումհերթականարտաքսման  մեջ,  որի  արդյունքում  ստացվում  է  ելակետայինհամակարգին  համարժեք  համակարգ`  համապատասխան  վերինեռանկյունային  մատրիցով։
   Փոփոխականների  որոշումը  կատարվում  է հակադարձ քայլ փուլում։
 համակարգից  փոփոխականներիէՈւղիղ  քայլը  բաղկացած  է  արտաքսման  քայլերից։
 Մասնավորապես. 1-ին քայլ։
  Այս քայլի նպատակըգծային  հավասարումների  համակարգիԵնթադրենք, որ փոփոխականի արտաքսումն է  հավասարումներից։
  Նրան կանվանենք 1-ին  քայլի գլխավոր տարր։
 Գտնենք  մեծությունները,  որոնք  կոչվում  են  1-ինքայլի արտադրիչներ։
  (1) գծային հավասարումների  համակարգի  2-րդ,3-րդ,…, -րդ1-ինհավասարումը`  մտովի  բազմապատկած  համապատասխանաբարհավասարումներիցհերթականորենհանենքմեծություններով։
   Սաթույլկտագծայինհավասարումներիհամակարգիբացառությամբ  1-ինի,  արտաքսելկստանանքհամակարգը.հավասարումներից,  փոփոխականը։
   Արդյունքում(1)  ելակետային  համակարգին  համարժեք  հետևյալբոլորsmsmsssmmmmbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa............33221122323222121113132121111m1xsi,...,3,2011asiaaii,...,3,21111s11312...,,,s1x1131321212123123212211313212111............smsmssmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxaxaորտեղ  և    մեծությունները  որոշվումեն բանաձևերով։
 Համանմանորեն    կատարվում  են  մյուս  քայլերը։
   Նկարագրենքհերթական   -րդ քայլը։
 -րդ քայլ։
  Այս քայլի նպատակըգծային հավասարումների համակարգիԴիցուք, որտեղ  փոփոխականի արտաքսումն է հավասարումներից։
  գործակիցը կոչվում է  -րդ քայլի գլխավորտարր։
   Գտնենք-րդ  քայլիարտադրիչները։
 Նախորդ  քայլի  ընթացքում  ստացված  գծային  հավասարումներիհամակարգի-րդհավասարումը`  մտովի  բազմապատկած  համապատասխանաբար հավասարումներիցհանենքրդ  մեծություններով,  իսկ  1-ին,  2-րդ,  …,-րդհավասարումները  թողնենք  անփոփոխ։
   Սա  թույլ  կտա  համակարգիբոլոր  հավասարումներից,  բացառությամբ  1-ին,  2-րդ,  …,-րդհավասարումների, արտաքսելշարունակելով`-րդ  արտաքսման  ժամանակընդհանուր  դեպքում  կստանանք  գծային  հավասարումների  հետևյալհամակարգը. փոփոխականը։
 Այսպես  հատ  հավասարումԻնչպես  տեսնում  ենք,  ստացված(3)  համակարգն  արդենպարունակում  է,  քանի  որ  կատարվածձևափոխությունների  արդյունքում  որոշ  հավասարումներ  հնարավոր  էդեն են նետվել՝ դառնալով նույնություններ։
  Ընդ որում՝ նաև ենթադրվումէ, որ կատարված ձևափոխությունների ընթացքում չի ստացվել այնպիսիհավասարում, որի ձախ մասի գործակիցները 0 են, իսկ աջ մասում 0-իցտարբեր  թիվ  է,  քանի  որ  այդ  դեպքում  ստացված  համակարգը,  ինչպեսնաև  նրան  համարժեք  (1)  ելակետային  գծային  հավասարումներիհամակարգը,  կլինեին  անհամատեղելի։
   Իսկ  քննարկվող  դեպքում  (3),ինչպես  նաև  (1)  ելակետային  գծային  հավասարումների  համակարգը1ija1ibmjsi,...,3,2,...,,3,2jiijijaaa111111bbbiiikkkxski,...,101kkka1kkkakk11kkkkikikaaski,...,1sk,...,1kskkkkk,...,,,2,11k1kkx1m11112123123212211313212111............mtmmtmtmttmmmmbxaxabxaxaxabxaxaxaxatstկլինեն համատեղելի։
  Ընդ որում՝ եթեեթե , ապա` անորոշ։
 Օրինակ 1։
  [4], ապա այն կլինի որոշակի, իսկՀամակարգը որոշակի է և ունի միակ լուծում՝ Օրինակ 2։
  [4]։
 Համակարգը  համատեղելի  է  և  ունի  անթիվ  բազմությամբլուծումներ։
 Օրինակ 3։
  [4]Համակարգն անհամատեղելի է։
 Գաուսի մեթոդը միակության բաժանման սխեմայի և համակարգինհամապատասխան մատրիցի LU վերլուծության դեպքում։
  Այժմ Գաուսիմեթոդը  կդիտարկենք  առավել  ընդհանուր  դիրքերից,  ինչը  թույլ  կտա  ոչմիայն  առավել  խորն  ընկալել  ու  հասկանալ  մեթոդը,  այլև  ստեղծել  նրաիրականացման  բարձր  արդյունավետություն  ունեցող  մեքենայականալգորիթմներ, ինչպես նաև ուսումնասիրել այլ ճշգրիտ մեթոդներ [5, 6]։
 Դիցուք  տրված  էհատ  գծայինհավասարումների  համակարգ,  որը  մատրիցային  հավասարմանմիջոցով կունենա հետևյալ տեսքը.փոփոխականի  նկատմամբ010122001518300561003421~00000000000561003421~0560342~4324321xxxxxxx6560334~423421xxxxxx272543~113214xxxxxx43212523223124321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx43112121152322311112~34220713301977011112~191000052200001977011112~19105220197712~444324321xxxxxxxxxmm, որտեղ։
                        (4)Ինչպես  տեսանք,  Գաուսի  մեթոդի  1-ին  ուղիղ  քայլի  հաշվումներիկատարման  արդյունքում  մատրիցային  տեսքով  գրված  (4)  գծայինհավասարումների համակարգը բերվում է հետևյալ տեսքի., որտեղ։
                         (5)Մյուս կողմից ներմուծենք հետևյալ մատրիցը.։
                                                                                   (6)Հեշտ  է  ստուգել,  որ  ճշմարիտ  են  մատրիցայինհավասարությունները,  այսինքն՝հավասարումներիհամակարգի  ձևափոխումը  (5)  տեսքի  համարժեք  է  համակարգի  աջ  ևձախ  մասերին  համապատասխան  մատրիցների    բազմապատկմանըներմուծվածմատրիցի հետ։
 գծայինԳաուսի  մեթոդի  ուղիղ  քայլը  եզրափակող-րդ  քայլիհաշվումների կատարման արդյունքում նախավերջին քայլում ստացվածգծային հավասարումների համակարգը բերվում է հետևյալ տեսքի.։
                   (7)bAxmmmmmmaaaaaaaaaA212222111211.........mxxxxx...321mbbbbb...32111bxA11312131331321212312211312111...0......0...0...mmmmmmmaaaaaaaaaaaaaA1131211...mbbbbb1...00...0...100...010...001113121mMbMbAMA1111,1M1m11mmbxA1232331213212213121111...000......00...0...mmmmmmmaaaaaaaaaaA1231211...mmmbbbbbՄյուս կողմից ներմուծենք հետևյալ մատրիցը.Այստեղ նույնպես ճշմարիտ ենմատրիցային  հավասարությունները,  այսինքն՝  նախավերջին  քայլումստացված  գծային  հավասարումների  համակարգի  ձևափոխումը  (7)տեսքիմասերինհամապատասխան  մատրիցների    բազմապատկմանը  ներմուծվածհամակարգի  աջձախհամարժեքէևմատրիցի հետ։
 Այսպիսով, կարող ենք փաստել, որմատրիցի՝բազմապատկումից`փաստել, որառնչությունը.Հեշտ է ստանալ, որ։
 մատրիցներիհետ մատրիցը ստացվում է հաջորդական։
   Համանմանորեն  կարելի  է-ից  բխում  է  հետևյալ։
 Կատարենք նշանակումները։
  Որոշելովմատրիցը` կտեսնենք, որ այն ունի հետևյալ տեսքը.  ։
 Այդ  դեպքում  կստանանք.  մատրիցի։
   Հենց  սա  էլ  իրենիցներկայացնում  էմատրիցի այն ներկայացումը, որը ստացվում է ստորին եռանկյունային-վերլուծությունը,  այսինքն՝1...00001...000...00...01000...0011,1mmmM211211,mmmmmmbMbAMA1mM1mAA121,...,,mMMMAMMMAmm1211...bMMMbmm1211...AMMMAmm1211...1111211...mmAMMMA1...00...0...100...010...0011131211mM1...00...0...100...0100...00122312mM1...00001...000...00...01000...0011,11mmmM1112111...,mmMMMLAUL1......0...10...010...001321231312mmmLLUAALUA և վերին եռանկյունային  մատրիցների արտադրյալից։
   Գաուսիմեթոդի  ուղիղ  քայլն  այս  կերպ  կարելի  է  դիտարկել  որպես  գծայինհավասարումների համակարգին համապատասխանվերլուծության հաշվման գործընթաց, որի   –րդ քայլում որոշվում ենմատրիցի  -րդ սյան ևմատրիցի  -րդ տողի տարրերը։
  մատրիցիՕրինակ 4։
  [5]։
 որոշվածսիմետրիկՀամակարգը որոշակի է և ունի միակ լուծում՝ Գծային  հավասարումների  համակարգերիլուծման  Խոլեցկումեթոդը  (քառակուսի արմատների մեթոդ)։
  Դիցուք պահանջվում է լուծելդրականորենգծայինհանրահաշվական  հավասարումների(4)  համակարգը։
   Այդ  տիպիգծային  համակարգերի  լուծման  համար  հաճախ  օգտագործվում  էԽոլեցկու մեթոդը,  որին  անվանում  են  նաև  քառակուսի արմատներիմեթոդ [5,  6]։
   Մեթոդի  հիմքում  ընկած  էվերլուծության  կառուցման  ալգորիթմը,  որի  արդյունքում  այն  բերվում  է-ի  տրանսպոնացված  մատրիցն  է։
  մատրիցն արդենՆշված վերլուծության մեջ ստորին եռանկյունային   մատրիցի`  հատուկտեսքին,  որտեղ  մատրիցով-նLUALUkLkUk222625374258261043243214321321xxxxxxxxxxxxxx222602115374215802610~05.00004.44.54.40034320802610~05.04.44.54.4343282610~443432321xxxxxxxxx0101~4321xxxx,15.230016.13.00015.00001L,5.00004.54.400432002610U,2,2,7,8b,385.07112212bbb,4.083.02113313bbb,2802114414bbb։
 2,4.0,3,81b,4.436.14.012231323bbb,1133212241424bbb։
 11,4.4,3,82b,04.45.21123342434bbb։
 0,4.4,3,83b)0,1,0,1(AALUTLLATLLLպարտադիր չէ, որ գլխավոր անկյունագծի վրա պարունակի միայն 1-եր,ինչպես  Գաուսի  մեթոդում  էր։
   Միայն  պահանջվում  է,  որ    մատրիցիանկյունագծային տարրերը լինեն դրական.Եթե վերլուծությունն արդեն ստացվել է, ապա (4) գծայինհավասարումների  համակարգի  լուծումը  հանգեցվում  է  եռանկյունայինմատրիցներով հետևյալ համակարգերի հաջորդական լուծմանը.Նախ  գտնենք    մատրիցի  տարրերը։
   Դրա  համար  որոշենքմատրիցի  տարրերը,  և  դրանք  հավասարեցնենքհամապատասխանԱրդյունքումհավասարումների հետևյալ համակարգը.տարրերին։
   մատրիցիկստանանքԼուծելով (11) համակարգը`հաջորդաբար կգտնենք.Ստացված  (12)  բանաձևերով  որոշելով  մատրիցի  տարրերը՝կլուծենք նախ (10)-ի առաջին համակարգը, այնուհետև՝ երկրորդը, ինչիարդյունքում  կստանանք  ելակետային  (4)  գծային  հավասարումներիLiil։
 ......0...0...021221211mmmmllllllLTLLA։
 ,yxLbyLTLTLLAmmmmmmkikkkikikikkkkkkiiiiialllmkiallklllalllmiallllallmiallal22221221122221222212122222212111111211......,...,1,...,......,...,4,3,,,...,3,2,,։
 ......,,,...,1,...,...,...,,...,4,3,,,,...,3,2,,21,22211,1,221121,22212221122212222211111111mmmmmmmmkkkkkikikikikikkkkkkkkiiiiilllalmkilllllllallllalmilllallalmilalalLքառակուսի  արմատներիհամակարգիլուծումը։
   Նկատենք,  որ  անկյունագծային  տարրերիորոշման  համար  օգտագործվում  է  քառակուսի  արմատ  հանելուգործողությունը։
   Այդ  պատճառով  էլ  Խոլեցկու  մեթոդը  նաև  անվանումենքորհամապատասխան  արմատատակ  արտահայտությունների  դրականլինելը  մատրիցի  դրականորեն  որոշված  լինելու  հետևանքն  է։
 Խոլեցկու  մեթոդն  օժտված  է  մի  շարք  հետաքրքիր  հատկություններով,որոնց շնորհիվ էլ դրականորեն որոշված և սիմետրիկ մատրիցով գծայինհանրահաշվական  հավասարումների  համակարգերի  լուծման  դեպքումայն ավելի նախընտրելի է, քան Գաուսի մեթոդը։
 մեթոդ։
   Ապացուցվածէ,Օրինակ 5։
  [5]։
 Գծային  հավասարումների  համակարգերիլուծման  թվայինմեթոդներ։
   Ինչպես  տեսանք,  գծային  հավասարումների  համակարգերիլուծման  Գաուսի  մեթոդի  ալգորիթմը  կարող  ենք  ներկայացնել  հետևյալտեսքով.Ներկայացված  ալգորիթմին  համապատասխան  ծրագիրը  PASCALծրագրավորման լեզվում կունենա հետևյալ տեսքը.Var n,i,j,k։
 integer;tmp։
 real;       b,x։
 array [1..100] of real;       a։
 array [1..100,1..100] of real;     For i։
 =1 to n do     For j։
 =1 to n do read (a[i,j]);     For i։
 =1 to n do read (b[i]);     For k։
 =1 to n do     For j։
 =k+1 to n do           tmp։
 = a[j,k]/a[k,k];           For i։
 =k to n do           a[j,i]։
 =a[j,i]- tmp*a[k,i];           b[j]։
 =b[j]-tmp*b[k];   For k։
 =n downto 1 do         tmp։
 =0;         For j։
 =k+1 to n do tmp։
 =tmp+a[k,j]*x[j];         x[k]։
 =(b[k]-tmp)/a[k,k];    For i։
 =1 to n do writeln(x[i]։
 0։
 5)Ներկայացվածծրագիրըծրագրիմիջավայրում՝  կարող  ենք  3-4  վայրկյանների  ընթացքումլուծելքննարկված  այն  օրինակները,  որտեղ  անհայտների  թիվը  հավասար  էհավասարումների թվին։
 մուտքագրելովՕրինակ 1։
 ,)1()1()(kkkkkjkkjaaa,)1()1()(kkkkkkkabb,)()1()1()(kkjkikkijkijaaaa,)()1()1()(kkkikkikibaab;,1,;,1nkjink,nnnnabx,1nijjijiixabx։
 1,1niՕրինակ 4։
 Օրինակ 5։
 օրինակներիներկայացվածԻնչպես  տեսնում  ենք,  PASCAL  ծրագրավորման  լեզվով  գրվածծրագրի  արդյունքումդեպքումպատասխանը  համընկնում  է  ուղիղ  մեթոդով  լուծված  արդյունքի  հետ։
 Սակայն  նշենք,  որ  գրված  ծրագիրը  հնարավորություն  չի  տալիս  լուծելայն գծային հավասարումների համակարգերը, որոնց անհայտների թիվըչի  համընկնում  հավասարումների  թվի  հետ։
   Նշված  դեպքի  համարալգորիթմի ստացումը և ծրագրի կազմումը կապված է բավականին մեծդժվարությունների  հետ  և  կարող  է  լուծվել  համապատասխան  նեղոլորտի մասնագետների՝ ծրագրավորողների կողմից լուրջ աշխատանքիդեպքում։
 լուծմանհամար,բարդմասնավորապես,Սակայն  վերջին  տարիներին  համապատասխան  մասնագետներիկողմից  ստեղծվել  են  համակարգչային  մաթեմատիկական  փաթեթներ,որոնք  հզոր  գործիք  են  հանդիսանում  զանազան  մաթեմատիկականխնդիրներիգծայինհավասարումների համակարգերի լուծման համար [15-18]։
   Նմանատիպփաթեթներից  են  MAPLE,  MATHEMATICA,  MATLAB,  MACSYMA  և  այլհամակարգչային  փաթեթները,  որոնք  հնարավորություն  են  ընձեռումլուծելչխորանալովծրագրավորման  նրբությունների  մեջ։
   Մենք  կկիրառենք  Mathematicaփաթեթը։
   Տարբեր  բնույթի  մաթեմատիկական  խնդիրների  լուծումըհանգում է տարբեր տիպի հավասարումների արմատների որոշման կամհավասարումների  համակարգերի  լուծման  [15-18]։
   Այդ  նպատակովփաթեթում  նախատեսված  են  բավական  արդյունավետ  միջոցներ,որոնցից  տվյալ  պարագայում  կարելի  է  նշել  Solve, Reduce, Eliminateմաթեմատիկականխնդիրներ՝օպերատորները։
   Նշված օպերատորների  կիրառմամբ  լուծենք  ուղիղմեթոդներովլուծված  գծային  հավասարումների  համակարգերը՝համեմատական վերլուծություն կատարելու նպատակով։
 Օրինակ 1։
 Օրինակ 2։
 Օրինակ 3։
 Օրինակ 4։
 Օրինակ 5։
 Ինչպես  տեսնում  ենք,  երկուօպերատորների  կիրառմանարդյունքում  բոլոր  օրինակների  դեպքում  պատասխանը  ստացվում  էակնթարթորեն  ևլուծվածարդյունքի հետ։
 լիովին  համընկնում  է  ուղիղ  մեթոդովԳծային հավասարումների համակարգերի լուծման  արդյունքներիհամեմատական  վերլուծություն։
   Ներկայացնենք  դիտարկված  գծայինհավասարումների  համակարգերի  լուծման  ուղիղ  և  թվային  մեթոդներիկիրառման  արդյունքում  ստացվածլուծումների  համեմատականվերլուծությունը (Աղյուսակ 1)։
 Կատարված վերլուծության արդյունքում կարող ենք փաստել, որ.1.  Գծային  հավասարումների  համակարգերի  լուծման  ուղիղ  և  թվայինլիովինստացված  արդյունքներըմեթոդներիհամընկնում են միմյանց հետ։
 կիրառմամբ2.  Գծային  հավասարումների  համակարգերիլուծման  թվայինմեթոդների  ամենաառաջնային  առավելությունն  ուղիղ  մեթոդներինկատմամբ  ժամանակի  խնայողությունն  է։
   Իհարկե,  PASCALծրագրավորման  լեզվով  գծային  հավասարումների  համակարգերիլուծման  համար  անհրաժեշտ  է  նախապես  գրել  ծրագիրը,  բայցունենալով  այն՝  4-5  վայրկյանների  ընթացքում  կարելի  է  լուծելցանկացած  համակարգ,  իհարկե,  երբ  անհայտների  թիվը  հավասարէ  հավասարումների  թվին։
   Իսկ  MATHEMATICA  համակարգչայինփաթեթի  դեպքում  ուղղակի  համապատասխան  օպերատորիներմուծմամբ ակնթարթորեն հնարավոր է լուծել կամայական տեսքիգծային հավասարումների համակարգ։
 3.  PASCAL  ծրագրավորմանլեզվի  նկատմամբ  MATHEMATICAհամակարգչային փաթեթի առավելությունը կայանում է նրանում, որվերջինիս օգնությամբ հնարավոր է լուծել ցանկացած տեսքի գծայինհավասարումների համակարգ, իսկ PASCAL ծրագրավորման լեզվովգրված  ծրագրի  միջոցով  հնարավոր  եղավ  լուծել  միայն  այն  գծայինհավասարումների  համակարգերը,  որտեղ  անհայտների  թիվըհավասար էր հավասարումների թվին։

Հոդվածում  ուսումնասիրված  են  գծային  հավասարումների  համակարգերի  լուծման  ուղիղ  և  թվային  մեթոդները,  ներկայացված  են  այդ  մեթոդներով  կոնկրետ  գծային  հավասարումների  համակարգերի ստացված  արդյունքների  լուծումները  համեմատական  և  վերլուծությունը։
