1.Նախաբան։
   Անցնելով  տասներկուամյա  կրթական  համակարգի՝դպրոցական դասընթացում տարբեր առարկաների ծրագրերում կատարվեցինորոշակի փոփոխություններ. ավելացան նոր բաժիններ, կամ էլ եղած բաժիններում մատուցվող նյութը դարձավ առավել ընդգրկուն։
  Մասնավորապես, 11-րդդասարանի  բնագիտամաթեմատիկական  հոսքի  հանրահաշվի  դպրոցականդասընթացում  «Տրամաբանության  տարրեր»  գլխում  ավելացավ  նոր  պարագրաֆ` «Ապացուցում և հերքում։
  Ապացուցման և հերքման հիմնական մեթոդները», որում խոսվում է ապացուցման տարբեր մեթոդների՝ համադրման, հակասող  ենթադրության,  Դիրիխլեի  սկզբունքի,  բացառման, հակաօրինակի  մասին։
  Կարծում ենք՝ ցանկալի կլիներ, որ նույն պարագրաֆում խոսվեր նաև ինվարիանտի  մասին,  քանզի  մաթեմատիկայի  և  ֆիզիկայի  դպրոցական  դասընթացներում, ինչպես նաև դպրոցականների օլիմպիադաների տարբեր փուլերումհանդիպում  են  այնպիսի  խնդիրներ,  որոնց  լուծման  համար  աշակերտներիցպահանջվում է ոչ միայն տեսական նյութի իմացություն, այլև տարբեր մեթոդների և հնարքների տիրապետում։
  Այդպիսի մեթոդներից մեկն էլ ինվարիանտիկիրառման մեթոդն է։
  Վերջինս կարելի է համարել մեթոդ՝ ելնելով Պոյայի այնհայտնի դիտարկումից, որի համաձայն՝ ամեն մի հնարք, որը կիրառելի է մեկիցավել դեպքերում, կարելի է համարել մեթոդ  1  ։
 Սույն  աշխատանքը  նվիրված  է  մաթեմատիկայի  և  ֆիզիկայի  դպրոցական դասընթացներում տարբեր ոչ տիպային խնդիրների լուծման ժամանակ ինվարիանտի հնարավոր կիրառությունների վեր հանմանը։
  Ըստ էության, աշխատանքի նորույթն այն է, որ փորձել ենք հստակ առանձնացնել ինվարիանտի երկու «տարատեսակ», այն է՝ առկա ինվարիանտ և փնտրվող ինվարիանտ, որոնքհանդիպում  են  մաթեմատիկայի  և  ֆիզիկայի  տարբեր  ոչ  տիպային  խնդիրներում, ինչպես նաև առաջարկել ենք մեթոդական ցուցումներ խնդիրներում հանդիպող ինվարիանտների տարբեր տիպերի և վերջիններիս կիրառման հնարավորությունների մասին։
 Կարծում ենք՝ թեման բավական արդիական է, քանզի մաթեմատիկայի ևֆիզիկայի  հանրապետական  օլիմպիադաների  արդյունքների  վերլուծությունըվկայում  է,  որ  սովորողների  զգալի  մասը  դժվարանում  է  լուծել  տարբերինվարիանտներին առնչվող խնդիրները։
  Դա հիմնականում պայմանավորված էայն հանգամանքով, որ աշակերտները կա՛մ ամենևին ծանոթ չեն այս մեթոդին,կա՛մ էլ, առաջարկվող մեթոդին ֆորմալ առումով ծանոթ լինելով հանդերձ, չենարժևորում վերջինիս կիրառման հնարավորությունն ու արդյունավետություննև փորձում են խնդիրները լուծել առանց ինվարիանտի կիրառման։
 2.Ինվարիանտի «տարատեսակները»։
  Ինչպես գիտենք, որևէ ձևափոխության նկատմամբ ինչ-որ մեծություն կոչվում է ինվարիանտ, եթե վերջինս տվյալձևափոխության ժամանակ մնում է անփոփոխ  2 ։
 Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի տարբեր խնդիրներում երբեմն հանդիպումեն  այնպիսի  մեծություններ  (կամ  մեծությունների  այնպիսի  հատկություններ),որոնք  տվյալ  խնդրի  պայմաններում  մնում  են  անփոփոխ`  ինվարիանտ,  ընդորում, այդ մեծությունների ինվարիանտ լինելը պայմանավորված է լինում ոչ թեպահպանման որևէ օրենքով կամ ինչ-որ թեորեմի ուժով, այլ հենց տվյալ խնդրիդրվածքով  կամ  ելակետային  պայմաններով։
   Առանձին  դեպքերում  հենց  այդպիսի ինվարիանտների կիրառումն էլ դառնում է անհրաժեշտ և որոշիչ տվյալխնդիրների լուծման ժամանակ։
 Աշակերտի  համար,  որն առաջին  անգամ  է  ծանոթանում  այս  մեթոդին,առաջին  հայացքից  կարող  է  խիստ  զարմանալի  թվալ,  թե  ինչպե՛ս  կարող  էինվարիանտը դառնալ արդյունավետ և օգտակար «գործիք» տարաբնույթ բարդխնդիրների լուծման ժամանակ։
  Ըստ էության, հիմնական դժվարությունն այն է,որ  յուրաքանչյուր  կոնկրետ  խնդրում  ի  սկզբանե  ամենևին  պարզ  չէ,  նրանումկիրառելի՞  է  արդյոք  այս  մեթոդը,  թե  ոչ,  և  բացի  այդ,  այս  մեթոդի  կիրառմանցանկության դեպքում անգամ, խնդրի տեսքից ու դրվածքից ելնելով, այնքան էլհեշտ չէ կռահել, թե նրանում ի՞նչն է հանդես գալիս ինվարիանտի դերում։
  Դրահամար,  ֆորմալ  առումով  այս  մեթոդին  ծանոթանալուց  զատ,  անհրաժեշտ  էտրամաբանական  խնդիրների  լուծման  որոշակի  հմտություն,  կարողություն  ևփորձառություն։
 Ինչպես վերը նշեցինք, շատ խնդիրներում հանդիպում են այնպիսի մեծություններ  կամ  տարբեր  մեծությունների  այնպիսի  հատկություններ,  որոնք,ելնելով տվյալ խնդրի դրվածքից կամ ելակետային պայմաններից, մնում են անփոփոխ՝ ինվարիանտ։
  Ըստ այդմ, առանձնացնենք ինվարիանտի երկու «տարատեսակ», այն է՝ առկա և փնտրվող։
  Պայմանավորվենք.•  եթե  խնդրի  ելակետային  պայմաններում  բացահայտ  կամ  ոչ  բացահայտնշվում է ինչ-որ մեծության (կամ վերջինիս ինչ-որ հատկության) անփոփոխլինելու մասին, ապա տվյալ մեծությանը համարենք առկա ինվարիանտ դիտարկվող խնդրի պայմաններում,•  եթե խնդրի ելակետային պայմաններում ի սկզբանե բացակայում է որևէ անփոփոխ  մեծություն,  սակայն  որոշակի  ձևափոխություններից կամ  տրամաբանական  դատողություններից  հետո  հնարավոր  է  գտնել  այդպիսին, ապատվյալ  մեծությանը  համարենք  փնտրվող  ինվարիանտ  դիտարկվող  խնդրիպայմաններում։
 3.Մեթոդական ցուցումներ և խնդրաշարք։
  Կարծում ենք՝ առաջին անգամինվարիանտի էությանը ծանոթացող աշակերտների հետ ցանկալի է նախապեսքննարկել այնպիսի խնդիրներ, որոնցում ի սկզբանե առկա է որոշակի անփոփոխ մեծություն, որից հետո միայն քննարկել խնդիրներ, որոնցում կարիք կաինվարիանտի փնտրման։
  Ընդ որում, ավելորդ չէ նշել, որ եթե խնդրում հաջողվում  է  գտնել  ինվարիանտ  (առկա  կամ  փնտրվող),  ապա  պետք  է  փորձել  այնանմիջականորեն կիրառել տվյալ խնդրի լուծման ընթացքում։
 Այս համատեքստում քննարկենք մի քանի ոչ տիպային խնդիրներ, որոնցլուծման ժամանակ կօգտվենք կա՛մ առկա, կա՛մ փնտրվող ինվարիանտի գոյության փաստից և վերջինիս անմիջական կիրառումից։
 Խնդիր 1։
  Ճկուն հաղորդալարից պատրաստված էռակուսաձև  կոնտուր,  որի  դիմադրությունըդրված էմ կողմով քաՕմ  է։
   Կոնտուրը  տեղաՏլ ինդուկցիայով համասեռ մագնիսական դաշտում այնպես, որկոնտուրի հարթությունն ուղղահայաց է մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորին։
 Ի՞նչ  q  լիցք կհոսի կոնտուրով, եթե վերջինիս տանք հավասարակողմ եռանկյան տեսք՝ թողնելով նույն հարթության մեջ։
   3 Լուծում։
  Հեշտ է նկատել, որ տվյալ խնդրում գործ ունենք առկա (խնդրիելակետային  տվյալներից  բխող)  ինվարիանտի  հետ.  ակնհայտ  է,  որ  ճկունհաղորդալարին ինչ տեսք էլ որ տանք, վերջինիս երկարությունը կմնա հաստատուն։
  Հետևաբար, կոնտուրի ձևը փոխելուց հետո ստացված  b  կողմով կանոնավոր  եռանկյան  և  տրված a   կողմով  քառակուսու  պարագծերի  հավասարությունից  կստանանք՝ ,  որտեղից  էլ  կոնտուր  թափանցող  մագնիսականդաշտի  հոսքի  սկզբնական  և  վերջնական  արժեքների  համար  կստանանք՝ ։
  Մյուս կողմից, համաձայն Ֆարադեյի և Օհմի օրենքների, կոնտուրում մակածված ԷԼՇՈՒ-ն`, որտեղից որոԿլ։
 նելի  q  լիցքի համար կստանանք`Նկատենք, որ խնդիրը կարելի է ընդհանրացնել և դիտարկել կամայականկանոնավոր բազմանկյան կամ շրջանագծի տեսք ունեցող կոնտուրներ։
 Խնդիր  2։
   Դասարանում  բացակաների  քանակը  կազմում  է  ներկաներիքանակի  1/6-րդ  մասը։
   Այն  բանից  հետո,  երբ  դասասենյակից  մեկ  աշակերտդուրս եկավ, բացակաների քանակը կազմեց ներկաների քանակի 1/5-րդ մասը։
 Պարզել, թե քանի՝ աշակերտ է սովորում տվյալ դասարանում։
  4 Լուծում։
  Պարզ է, որ այս խնդիրը հեշտությամբ կարելի է լուծել փոփոխական ներմուծելով և վերջինիս նկատմամբ համապատասխան հավասարումկազմելով։
  Սակայն ստորև կվարվենք այլ կերպ։
 Չնայած  խնդրում  բացահայտ չի  նշվում  որևէ  մեծության անփոփոխ  լինելու մասին, սակայն հեշտ է նկատել, որ ելնելով խնդրի դրվածքից, գործ ունենքառկա (ոչ բացահայտ) ինվարիանտի հետ, այն է՝ տվյալ դասարանի աշակերտների  ընդհանուր  քանակը։
   Փորձենք  թե՛  սկզբում  և  թե՛  վերջում  ներկաների  ևբացակաների քանակները գնահատել ըստ այս առկա ինվարիանտի։
  Քանի որսկզբում բացակաների քանակը 6 անգամ փոքր էր ներկաների քանակից, կնշանակի բացակաները կազմում էին դասարանի բոլոր աշակերտների քանակի 1/7րդ մասը։
  Նույն կերպ, դասասենյակից մեկ աշակերտի դուրս գալու արդյունքումբացակաները կկազմեն դասարանի բոլոր աշակերտների քանակի 1/6-րդ մասը,կնշանակի  մեկ  աշակերտը  կազմում  է  դասարանի  ընդհանուր  աշակերտներիքանակի-րդ մասը, և ուրեմն, դասարանում սովորում է 42 աշակերտ։
 Այժմ քննարկենք խնդիրներ, որոնցում ի սկզբանե չկա խնդրի ելակետային  տվյալներից  բխող  որևէ  ինվարիանտ,  սակայն  խնդրի  վերլուծության  ևտրամաբանական  դատողություններով  հնարավոր  է  «փնտրել»  ու  գտնելայդպիսի մեծություն և վերջինիս կիրառմամբ էլ լուծել առաջադրված խնդիրը։
 h   մ բարձրությամբ հերմետիկ փակված ամանն ամբողջությամբ  լցված  է  ջրով  այնպես,  որ  նրա  հատակին  կա  օդի  երկու  միանմանպղպջակ։
  Ամանի հատակին ճնշումըՄՊա է։
  Ինչքա՞ն  կդառնա ճնշումը հատակին, եթե պղպջակներից մեկը բարձրանա վերև, իսկ մյուսը մնա ամանի հատակին։
   5 Խնդիր 3։
 Լուծում։
   Պղպջակների  սկզբնական  ծավալները  նշանակենք0V -ով,1V -ով,  իսկպրոցեսից  հետո  վեր  բարձրացած  պղպջակի  ծավալը  նշանակենք2V -ով։
  Պարզ է, որ ամանի ջուրը կարելի է պղպջակներիներքևում մնացածինը՝համար  համարել  թերմոստատ։
   Ըստ  այդմ  և՛  պրոցեսի  սկզբում  և՛  վերջումպղպջակներում  եղած  օդի  ջերմաստիճանը  նույնն  է  և  հավասար  է  ջրիջերմաստիճանին։
   Համաձայն  խնդրի  պայմանի՝  ամանը  հերմետիկորեն  փակված է, հետևաբար կարող ենք եզրակացնել, որ համակարգի ծավալն անփոփոխէ։
  Քանի որ ջուրն անսեղմելի է, ապա պետք է հաստատուն մնա նաև պղպջակների ծավալների գումարը՝։
  Փաստորեն որոնելի փնտրվող ինվարիանտը պրոցեսի վերջում պղպջակների գումարային ծավալն է։
 Եթե պրոցեսի  վերջում ամանի  հատակում հաստատված  ճնշումը  նշանակենք  P -ով,  ապա  Բոյլ-Մարիոտտի  օրենքի  համաձայն  կունենանք` 1V -ն ու2V -ը և ի նկատի ունենալով վերջիններիս գումարի ինվարիանտ լինելը՝ ի վերջոորոնելի  P  ճնշման համար կստանանք՝։
  Այս հավասարումներից արտաքսելով ՄՊա։
 Խնդիր  4։
   F հորիզոնական  ազդող  ուժըշարժման մեջ է դնում  A  սեպն ու  B ձողը։
  Սեպիթեքման անկյունը  է, սեպի և ձողի զանգվածները` m (տե՛ս նկ.1)։
  Գտնել սեպի արագացումըև  սեպի  ու  ձողի  փոխազդեցության  ուժը,  եթեշփումը բացակայում է։
   5 Լուծում։
  Հեշտ է նկատել, որ սեպի և ձողի։
  Սեպին հորիզոնական հարաբերությունը սեպի և ձողի շարժման ողջ ընթացքում ին հակազդեցության ուժի ուղղաձիգ բաղադրիչի և  gm շարժումները  փոխկապակցված  են.  ցանկացած  t ժամանակում,  եթե  սեպըտեղաշարժվի  x չափով,  ապա  ձողը  կբարձրանաչափով  և  ուրեմնվարիանտ է։
  Հետևաբար կարող ենք պնդել, որ ձողի և սեպի տեղափոխությունների հարաբերությունը ևս ժամանակի ցանկացած պահին հաստատուն մեծություն է և հավասար է  անկյան տանգենսին։
  Պարզ է, որ նման կապ գոյությունունի նաև ժամանակի ցանկացած պահին այդ մարմինների ակնթարթային արագությունների ու արագացումների միջև, այսինքն`։
  Ձողը դեպի վերBa արագացմամբ, որը պայմանավորված է սեպի կողմից նրա վրաշարժվում էազդող  N ծանրության  ուժիAa  արամոդուլի տարբերությամբ`   ուժն  ու  նրա  վրա  ազդող  N գացում  հաղորդում  են  F   ուժի  հորիզոնական։
  Լուծելով ստացված հավասարումների համաբաղադրիչը` ։
 կարգը, կստանանք՝Խնդիր 5։
  Տրված  AB  ուղղի վրա կամայական ձևով նշված են թվով  45 տարբեր կետեր, որոնք չեն պատկանում  AB  հատվածին։
   Ապացուցել, որ այդբոլոր կետերի  A  կետից ունեցած հեռավորությունների գումարը չի կարող հավասար լինել նրանց`  B   կետից ունեցած հեռավորությունների գումարին։
   6 Լուծում։
   AB   հատվածի  երկարությունը  նշանակենք  a ։
   Նկատենք,  որAB  հատվածին չպատկանող, բայց  AB  ուղղին պատկանող կամայական  M   , և ուրեմն այս խնդրի պայմաններում  MA MB կետի համար  MA MB մեծությունն ինվարիանտ է, հետևաբար տրված  45  տարբեր կետերն ինչպիսինէլ լինեն, նրանց  A  կետից ունեցած հեռավորությունների գումարի և  B  կետիցունեցած հեռավորությունների գումարի տարբերությունն իրենից կներկայացնիթվով  45  գումարելիներից կազմված այսպիսի գումար`, որը,բնականաբար,  տարբեր  է  զրոյից  և  ուրեմն,  նշված  գումարները  միմյանց  հավասար չեն։
 Նկատենք, որ խնդիրը կարելի է ընդհանրացնել և դիտարկել ուզած քանակի կենտ թվով կետեր և միևնույն երկարությամբ, ուզած քանակի կենտ թվովհատվածներ։
 Խնդիր  6։
   Հնարավո՞ր  է  արդյոք  3x3x1  չափսերի  77   հատ  աղյուսներըդասավորել  7x9x11 չափսերի արկղում։
   6 Լուծում։
   Ենթադրենք  հնարավոր  է։
   Այդ  դեպքում  դիտարկենք  արկղի7x11 նիստին առընթեր 1 հաստությամբ շերտը։
  Պարզ է, որ տրված աղյուսներիցմի քանիսը կամ ամբողջությամբ կգտնվեն այդ շերտում, այսինքն՝ այդ շերտումկզբաղեցնեն թվով ինը 1x1x1 չափսերի միավոր խորանարդիկներ, կամ էլ այդշերտից  կզբաղեցնեն  թվով  երեք  1x1x1  չափսերի  միավոր  խորանարդիկներ  ևուրեմն, ցանկացած դասավորության դեպքում նշված շերտում կլինեն 3 -ին բազմապատիկ թվով 1x1x1 չափսերի միավոր խորանարդիկներ, ինչը հնարավոր չէ,քանի որ 7 11 77 3 , հետևաբար թվով  77  հատ 3x3x1 չափսերի աղյուսներովհնարավոր չէ ամբողջությամբ լրացնել  7x9x11 չափերի արկղը։
 Հավելենք, որ հանդիպում են նաև այնպիսի խնդիրներ, որոնցում ինվարիանտ է մնում ոչ թե կոնկրետ մեծությունը կամ մեծության որևէ հատկությունը,այլ ինվարիանտ է մնում փոփոխվող մեծության փոխման դինամիկան, այսինքն՝փոփոխվող մեծությունն իր փոփոխման ընթացքում կա՛մ միշտ աճում է, կա՛մմիշտ  նվազում,  ասել  է  թե՝  փոփոխվող  մեծությունը  փոփոխվում  է  մոնոտոնձևով։
  Որպես ասվածի վառ օրինակ՝ դիտարկենք հետևյալ խնդիրը, որն առաջադրվել  է  1986թ-ի  դպրոցականների  մաթեմատիկայի  միջազգային  օլիմպիադայում։
 Խնդիր  7։
     Կանոնավոր  հնգանկյան  յուրաքանչյուր  գագաթում  գրված  էինչ-որ  ամբողջ  թիվ  այնպես,  որ  նրանցից  գոնե  մեկը  բացասական  է,  սակայնբոլորի  գումարը  դրական  է։
   Թույլատրվում  է  կատարել  հետևյալ  փոփոխությունը․ եթե որևէ երեք հարևան գագաթներում գրված են համապատասխանաy   ապա այդ թվերը կարելի է փոխարինելբար  և  z y թվերով, ընդ որում փոփոխությունըհամապատասխանաբարկատարվում է այնքան ժամանակ, քանի դեռ հնգանկյան որևէ գագաթում առկաէ  բացասական  ամբողջ  թիվ։
   Պարզել՝  այս  պրոցեսը  վերջավոր  քայլերից  հետոկարո՞ղ է ավարտվել, թե այն հնարավոր է անվերջ շարունակել։
 ;x y  և  z  թվերը, ընդ որումx y z t   և  u ամբողջ  թվերը,ընդ  որում Լուծում։
  Դիցուք սկզբում հնգանկյան գագաթներում հաջորդաբար գրված0y  ։
 են  համապատասխանաբարx y z t u  հնգյակը պետք է փոխաՀամաձայն խնդրի պայմանի՝ ամբողջ թվերիրինենք հնգյակով։
  Նկատենք, որ խնդրում ունենք առկաինվարիանտ,  այն  է՝  հնգանկյան  գագաթներում  գրված  թվերի  գումարը.  իրոք,Ներմուծենք հնգանկյան գագաթներում եղած թվերով որոշվող հետևյալ ։
 որընթացիկքայլումհնգյակով  փոխարինելիսփոփոխականը՝յուրաքանչյուրցենք,ստանումփոփոխական  այնպիսին, որ 0 F ։
  Այսպիսով, ունենք  F  փոփոխական, որը հնգյակների փոփոխման ժամանակմիշտ  ընդունում  է  դրական  ամբողջ  արժեքներ  և  պրոցեսի  ողջ  ընթացքումմոնոտոն նվազում է, հետևաբար կարող ենք եզրակացնել, որ վերը նկարագրվածպրոցեսը վերջավոր քայլերից հետո, բնականաբար, կավարտվի։
  Իրոք, հեշտ է նկատել, որ։
   Ապացուհնգյակընորենք4.Եզրակացություն։
   Ամփոփելով  կարող  ենք  ասել,  որ  ինվարիանտն  իրօգտակար  և  արդյունավետ  կիրառությունն  ունի  այնպիսի  խնդիրներում,որոնցում•  գործ  ունենք  առկա  կամ  փնտրվող  ինվարիանտ  կոնկրետ  մեծության  հետ(ինչպես, օրինակ, խնդիր 1-ում շրջանակի երկարությունը կամ խնդիր 2-ումդասարանի աշակերտների ընդհանուր քանակը),•  ինվարիանտ է մնում ոչ թե առանձին կոնկրետ մեծություն, այլ փոփոխականմեծությունների  ինչ-որ  կոմբինացիա՝  գումար,  տարբերություն,  քանորդ  ևայլն  (ինչպես,  օրինակ՝  խնդիր  3-ում  պղպջակների  ծավալների  գումարը,խնդիր 4-ում չորսուի և սեպի արագացումների մոդուլների հարաբերությունըկամ  խնդիր  5-ում  MA MB   երկարությունների  տարբերություններիմոդուլը),•  ինվարիանտ  է  մնում  փոփոխական  մեծության որևէ հատկություն՝  զույգություն,  պատիկություն  և  այլն  (ինչպես,  օրինակ՝  խնդիր  6-ում  միավորչափսերի խորանարդիկների քանակի 3-ին բազմապատիկ լինելը),•  ինվարիանտ է մնում փոփոխական մեծության փոփոխման դինամիկան․ երբխնդրում նկարագրվող պրոցեսի ողջ ընթացքում փոփոխվող որևէ մեծությունկամ միայն աճում է, կամ միայն նվազում (ինչպես, օրինակ՝ խնդիր 7-ում  F փոփոխականի նվազման փաստը)։
 Հետազոտությունն իրականացվել է ՀՀ ԿԳՆ գիտության պետականկոմիտեի տրամադրած ֆինանսավորմամբ` 18T-5C287 ծածկագրով գիտականթեմայի շրջանակներում։
 Գ ր ա կ ա ն ո ւ թ յ ո ւ ն 2.  Энциклопедический  словарь  юного  математика/Сост.  А.П.  Савин.-М.։
 3.  Ռ. Ավագյան և այլք, Ֆիզիկայի խնդիրների ժողովածու։
  Երևան։
   1996։
  123 էջ4.  Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. М.։
  «Наука». 1975. 111 с.5.  Ֆիզիկայի խնդիրներ. Օ. Յա. Սավչենկոյի խմբագրությամբ, Երևան։
  «ՏիգրանՄեծ»։
  2008։
  528 էջ։

Աշխատանքը  նվիրված  է  մաթեմատիկայի  և  ֆիզիկայի  դպրոցական  դասընթացի տարբեր ոչ տիպային խնդիրներ լուծելիս ինվարիանտի հնարավոր  կիրառությունների  վեր  հանմանը։
   Համառոտակի  նշված  է  մեթոդի  էության  մասին,  մեկնաբանված  են  ինվարիանտի  «տարատեսակները»,  ինչպես  նաև  քննարկված  են  մաթեմատիկական  և  ֆիզիկական  տարբեր  խնդիրներ,  որոնց  լուծման ընթացքում կիրառվել է առաջարկվող մոտեցումը։
