1.Ներածություն։
   Թվային և ֆունկցիոնալ շարքերը մեծ դեր են խաղում ինչպես  տեսական,  այնպես  էլ  կիրառական  մաթեմատիկայում`  կազմելով  մաթեմատիկական և ֆիզիկատեխնիկական մասնագիտությամբ ուսումնական հաստատությունների մաթեմատիկական անալիզի և բարձրագույն մաթեմատիկայիկուրսի կարևոր կոմպոնենտներից մեկը [1]։
 Թվային և ֆունկցիոնալ շարքերը մեծ կիրառություն ունեն մոտավոր հաշվումներում` ֆունկցիաների արժեքների հաշվման, ինտեգրալների հաշվման ևայլ խնդիրներում[1,2]։
 Թվային մեթոդներն այժմ բավական մեծ տարածում ունեն և ապահովումեն ժամանակակից գիտությունների արագ զարգացումը։
 Mathematica-ն միշտ դիտվել է որպես համաշխարհային առաջատար համակարգչային մաթեմատիկայի համակարգում։
  Այն ապահովում է բազմաթիվ,բազմաոլորտ խնդիրների լուծում երկխոսական ռեժիմում` միաժամանակ հանդիսանալով ժամանակակից բարձր մակարդակի ծրագրավորման լեզու[3-7]։
 Սրանով  հանդերձ,  այն  կիրառելով  որպես  ծրագրավորման  միջավայր,կազմվել են հաշվարկային ծրագրեր, որոնք թույլ են տալիս հաշվել ֆունկցիաների  արժեքներ  տրված  կետերում,  որոշել  որոշյալ  ինտեգրալների  արժեքներ,ինչպես նաև լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներ։
 Կատարված են թվային հաշվումներ, իրականացված է  հետազոտությունզուգամիտության տեսակետից։
  Արդյունքում մեթոդների արդյունավետությունըներկայացվում է նաև Mathematica միջավայրի գրաֆիկական տարրերի կիրառմամբ` դարձնելով դրանք առավել  դիտողական։
 Այս  խնդիրների  լուծումը  Mathematica  միջավայրի  ծրագրավորման  հնարավորությունների  կիրառմամբ  ակտուալ  է  և  արժեքավոր  թե'  գիտական,  թե'մեթոդական տեսանկյունից։
 2. Ֆունկցիաների արժեքների հաշվումը աստիճանային շարքերի միջոցով։
 Հաշվարկային ծրագրերը Mathematica միջավայրում։
  Տրված կետում ֆունկցիայիարժեքի որոշման հիմքում ընկած է ֆունկցիան՝ ըստ Թեյլորի շարքի վերլուծության[1]։
  Դիցուք տրված է 𝑦 = 𝑓(𝑥) ֆունկցիան և անհրաժեշտ է որոշել վերջինիսարժեքը 𝑥 = 𝑐 կետում։
  Ենթադրենք, որ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ֆունկցիան 𝑥 = 𝑎 կետի մի որոշշրջակայքում  (որը  պարունակում  է  𝑐-ն)  բավարարում  է  Թեյլորի  շարքով  վերլուծության պայմաններին [1], արդյունքում ունենք՝Ֆունկցիայի  (1)  շարքով  վերլուծությունը  շատ  դեպքերում  թույլ  է  տալիսմեծ ճշտությամբ հաշվարկել այդ ֆունկցիաների արժեքները։
 Այժմ  ներկայացնենք  հաշվարկային  ծրագիրը  Mathematica  միջավայրում,որը  թույլ  է  տալիս  հաշվել  ֆունկցիաների  արժեքները  ցանկացած  կետում`օգտվելով Թեյլորի շարքով վերլուծությունից։
  Այն ունի հետևյալ տեսքը՝Ծրագրի  առաջին  տողն  ապահովում  է  տվյալների  մուտքային  մասը։
 𝑓(𝑥) −ը ֆունկցիան է, 𝑐 −ն այն կետն է, որում հաշվվում է ֆունկցիայի արժեքը,𝑎 −ն  կետն  է,  որի  շուրջը  վերլուծվում  է  ֆունկցիան՝  ըստ  Թեյլորի  շարքի,  իսկ𝑘 −ն  շարքի  պահվող  անդամների  քանակն  է  հաշվման  պրոցեսում։
   Երկրորդտողն  ապահովում  է  բուն  հաշվարկային  պրոցեսը։
   Ծրագրի  վերջին  տողնապահովում է համապատասխան  տվյալների ելքը։
 Ծրագիրը ներկայացված է այն դեպքի համար, երբ 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥, 𝑎 = 2,  𝑐 = 2.1, 𝑘 = 5,  որը  թույլ  է  տալիս  հաշվել  𝑒2.1-ը  վեց  նիշի  ճշտությամբ։
   Ծրագրի  իրականացման արդյունքում կստանանք`Այստեղ 𝑛 −ը Թեյլորի շարքում անդամների քանակն է, իսկ 𝑆[𝑛] −ը դրանհամապատասխան  արդյունքը։
  Այժմ  ստացված արդյունքները  վիզուալացնենքգրաֆիկորեն։
   Գրաֆիկական  ներկայացման  ենթածրագիրն  ունի  հետևյալտեսքը՝>{Text["S[1]", {1.0005,8.13}], Text["S[2]", {1.0017,8.165}], Text["ճշգրիտարժեք", {1.005,8.1720537}]}, AxesLabel->{ ,"S[n]"}, Ticks->{None, Automatic}]Ծրագրի իրականացման արդյունքում կստանանք նկ.1-ը։
 Նկար 1Ներկայացված է ճշգրիտ արժեքը, ինչպես նաև որոշ մոտավոր արժեքներ։
 Ինչպես երևում է արդեն 𝑛 = 4-ի դեպքում ունենք լուծումը վեց նիշի ճշտությամբ։
 Մեթոդը բավական արդյունավետ է զուգամիտության տեսանկյունից։
 Ներկայացնենք հաշվարկային ծրագիրն այն դեպքում, երբ 𝒇(𝒙) = 𝑺𝒊𝒏(𝒙),𝒂 = 𝟏,   𝒄 = 𝟏. 𝟏,   𝒌 = 𝟓,  որը  թույլ  է  տալիս  հաշվել  𝑺𝒊𝒏(𝟏. 𝟏)-ը  յոթ  նիշիճշտությամբ։
 𝒇[𝒙_]։
  = 𝑺𝒊𝒏[𝒙]; 𝒌 = 𝟓; 𝒄 = 𝟏. 𝟏; 𝒂 = 𝟏;Ծրագրի իրականացման արդյունքում կստանանք`Ստացված արդյունքները վիզուալացնենք գրաֆիկորեն (նկ. 2)։
  Արդեն 𝑛 = 4-ի դեպքում ունենք լուծումը յոթ նիշի ճշտությամբ։
 Նկար 2Ներկայացնենք հաշվարկային ծրագիրն այն դեպքում, երբ 𝒇(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔(𝒙),𝒂 = 𝟏,   𝒄 = 𝟏. 𝟏,    𝒌 = 𝟓,  որը  թույլ  է  տալիս  հաշվել  𝑪𝒐𝒔(𝟏. 𝟏)-ը  յոթ  նիշիճշտությամբ։
 𝒇[𝒙_]։
  = 𝑪𝒐𝒔[𝒙]; 𝒌 = 𝟓; 𝒄 = 𝟏. 𝟏; 𝒂 = 𝟏;Ծրագրի իրականացման արդյունքում կստանանք`Ստացված արդյունքները  վիզուալացնենք  գրաֆիկորեն  (նկ. 3)։
  Այս  դեպքում արդեն 𝑛 = 4-ի դեպքում ունենք լուծումը յոթ նիշի ճշտությամբ։
 Նկար  3Այսպիսով,  դիտարկվող  մեթոդը  բավական  արդյունավետ  է,  կազմվածծրագիրը  հեշտ  է  կիրառման  տեսանկյունից,  իսկ  արդյունքների  գրաֆիկականներկայացումը մեծ կարևորություն ունի դիտողական տեսանկյունից։
 3. Որոշյալ  ինտեգրալների  հաշվումը  աստիճանային  շարքերի  օգնությամբ։
  Հաշվարկային ծրագրերը Mathematica միջավայրում։
 Դիցուք պահանջվում էորոշյալ ինտեգրալը։
 Ընդ որում 𝑓(𝑥)  ֆունկցիան հնարավոր է վերլուծել ըստ Թեյլորի շարքի։
 Անդամ առ անդամ ինտեգրելով՝ կստանանք.Բերենք մի քանի օրինակներ.Oրինակ 1.Հաշվելինտեգրալը։
  √𝑥 = 𝑦  նշանակումն այդ ինտեգրալը բերում է հետևյալ տեսքի.որտեղիցԻնտեգրալի  նշանի  տակ  կանգնած  շարքը  զուգամիտում  է  ցանկացած  𝑦-իդեպքում, այդ պատճառովև  վերջապես+ ⋯ )։
 Աստիճանային  շարքի  այսպիսի  արդյունքն  ընդունված  է  անվանել  ընդհանրացված աստիճանային շարք։
  Երբեմն ֆունկցիան ավելի հարմար է ներկայացնել ընդհանրացված աստիճանային շարքի, քան սովորական  աստիճանային շարքի տեսքով։
 Ներկայացնենք հաշվարկային ծրագիրը, որը թույլ է տալիս  հաշվել ցանկացած որոշյալ ինտեգրալի արժեքը՝ ըստ ներկայացված մեթոդի[7]`Ծրագրի  առաջին  տողն  ապահովում  է  տվյալների  մուտքային  մասը։
 𝑓(𝑥) −ը ընդինտեգրալ ֆունկցիան է, 𝑎 −ն այն կետն է, որի շուրջը վերլուծվում էֆունկցիան՝ ըստ Թեյլորի շարքի, 𝑘 −ն շարքի պահվող անդամների քանակն էհաշվման պրոցեսում, 𝐴 −ն որոշյալ ինտեգրալի ստորին սահմանն է, իսկ 𝐵 −ն`վերին սահմանը։
  Երկրորդ և երրորդ տողերն ապահովում են բուն հաշվարկայինպրոցեսը։
  Ծրագրի վերջին տողն ապահովում է համապատասխան  տվյալներիելքը։
 Ծրագիրը ներկայացված է այն դեպքի համար, երբ  𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥, 𝑎 = 2, 𝑘 = 8,𝐴 = 2, 𝐵 = 3 որը թույլ է տալիս հաշվել ∫ 𝑒 𝑥𝑑𝑥 իրականացման արդյունքում կստանանք`-ը վեց նիշի ճշտությամբ։
  ԾրագրիԱյստեղ 𝑛 −ը Թեյլորի շարքում անդամների քանակն է, իսկ 𝑆[𝑛] −ը դրանհամապատասխան  արդյունքը։
  Այժմ  ստացված արդյունքները  վիզուալացնենքգրաֆիկորեն (նկ. 4)։
  Ներկայացված է ճշգրիտ արժեքը, ինչպես նաև որոշ մոտավոր արժեքներ։
  Ինչպես երևում է արդեն 𝑛 = 7-ի դեպքում ունենք լուծումը վեցնիշի  ճշտությամբ։
   Մեթոդը  բավական  արդյունավետ  է  զուգամիտության  տեսանկյունից։
 Ներկայացնենք հաշվարկային ծրագիրն այն դեպքում, երբ 𝒇(𝒙) = Նկար  4  որը  թույլ  է  տալիս  հաշվել  ∫ -ը  վեց  նիշիճշտությամբ։
 𝒇[𝒙_]։
  = 𝑺𝒊𝒏[𝒙]/𝒙; 𝒌 = 𝟏𝟏; 𝒂 = 𝟐; 𝑨 = 𝟎; 𝑩 = 𝟐;Ծրագրի իրականացման արդյունքում կստանանք`Ստացված  արդյունքները  վիզուալացնենք  գրաֆիկորեն  (նկ.  5)։
   Ինչպեսերևում է, արդեն 𝑛 = 9-ի դեպքում ունենք լուծումը վեց նիշի ճշտությամբ։
 Նկար 5Ներկայացնենք հաշվարկային ծրագիրն այն դեպքում, երբ 𝒇(𝒙) = 𝟐,  𝒌 = 𝟕,  𝑨 = 𝟎, 𝑩 = 𝟏  որը  թույլ  է  տալիս  հաշվել  ∫ -ը  յոթ  նիշիճշտությամբ։
 𝑓[𝑥_]։
  = Իրականացման արդյունքում կստանանք`Այժմ ստացված արդյունքները վիզուալացնենք գրաֆիկորեն (նկ. 6)։
  Արդեն 𝑛 =25 դեպքում ունենք բավական ճշգրիտ լուծում։
 Նկար  64. Դիֆերենցիալ հավասարումների մոտավոր ինտեգրում աստիճանային շարքերի օգնությամբ։
  Հաշվարկային ծրագրերը Mathematica միջավայրում։
 Այժմ դիցուք ունենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումը.որի նկատմամբ առաջադրված են նախնական  պայմանները,  որտեղ  𝐴, 𝐵, 𝑐, 𝑑-ն  տրված  թվեր  են։
   𝑓(𝑥)-ը  մի  որոշանընդհատ ֆունկցիա է։
  Ենթադրենք, որ լուծումը ներկայացված է աստիճանային շարքի տեսքով`Որոշենք 𝑦′-ը և 𝑦′′-ը, կստանանքԱյնուհետև 𝑓(𝑥) ֆունկցիան վերլուծենք Թեյլորի շարքով`Տեղադրենք (6) − (9) -ը (4) դիֆերենցիալ հավասարման մեջ, կստանանքՀավասարեցնելով  𝑥-ի  համապատասխան  աստիճանի  գործակիցները`կստանանքկամԱյնուհետև  (5) նախնական պայմաններից կստանանք`Ֆունկցիաների  աստիճանային  շարքերի  վերլուծությամբ  կարելի  է  մոտավորինտեգրել տարբեր դիֆերենցիալ հավասարումներ։
 Ներկայացնենք  հաշվարկային  ծրագիրը   Mathematica  միջավայրում,  որըթույլ է տալիս  լուծել դրված եզրային խնդիրը.Ծրագրի  առաջին  տողն  ապահովում  է  տվյալների  մուտքային  մասը։
 𝑓(𝑥) −ը անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման աջ մասն է, 𝑛 −ը շարքի պահվող անդամների քանակն է հաշվման պրոցեսում։
  Երկրորդ տողն ապահովում էբուն հաշվարկային պրոցեսը։
  Ծրագրի վերջին տողն ապահովում է համապատասխան  ֆունկցիայի ելքը։
 Այժմ  դիտարկենք  օրինակը,  որի  լուծումը  ներկայացված  է  բերված  ծրագրում։
  Դիցուք եզրային խնդիրն ունի հետևյալ տեսքը.Ծրագրի  իրականացման  համար  հարկավոր  է  նկատի  ունենալ  հետևյալնշանակումները., 𝑑 = 1, 𝐴 = −2, 𝐵 = 0։
 Ծրագիրն իրականացված է 𝑛 = 10-ի համար և արդյունքում կստանանք`Այնուհետև, 𝑛-ին տալով տարբեր արժեքներ, օրինակ` 2, 4, 6,8, կստանանքհետևյալ շարքերը.Դրված  եզրային  խնդիրը  կարելի  է  լուծել  նաև  ճշգրիտ  մեթոդներով,  որիարդյունքում ստանում ենք.Այժմ  ստացված արդյունքները վիզուալացնենք գրաֆիկորեն (նկ. 7).Նկար 7Տեսնում ենք, որ այս դեպքում էլ կիրառված մեթոդն արդյունավետ է զուգամիտության տեսանկյունից։
  Արդեն  𝑛 = 10  դեպքում ունենք բավական ճշգրիտլուծում։
 Դիտարկենք նաև հետևյալ եզրային խնդիրը.Ծրագրի  իրականացման  համար  հարկավոր  է  նկատի  ունենալ  հետևյալնշանակումները., 𝑑 = 1, 𝐴 = −2, 𝐵 = 0։
 Ծրագիրն իրականացնենք 𝑛 = 10-ի համար և արդյունքում կստանանք`Այնուհետև, 𝑛-ին տալով տարբեր արժեքներ, օրինակ` 2,4, 6, 8, կստանանքհետևյալ ֆունկցիաները.Դրված  եզրային  խնդիրը  կարելի  է  լուծել  նաև  ճշգրիտ  մեթոդներով,  որիարդյունքում ստանում ենք.Ստացված արդյունքների գրաֆիկական վիզուալացումը տրվում է նկ. 8-ում։
 Նկար  8Տեսնում ենք, որ այս դեպքում էլ կիրառված մեթոդն արդյունավետ է զուգամիտության տեսանկյունից։
  Արդեն  𝑛 = 10  դեպքում ունենք բավական ճշգրիտլուծում։
 5.Եզրակացություն։
   Այսպես.  աշխատանքում  նախ  ձևակերպվում  են  աստիճանային շարքերին վերաբերող տեսական հիմքերը։
  Այնուհետև անդրադարձէ  կատարվում  աստիճանային  շարքերի  կիրառմամբ  մոտավոր  հաշվումներին։
 Ներկայացված  են  աստիճանային  շարքերի  երեք  կիրառություններ`  1)  ֆունկցիայի արժեքի հաշվում կետում, 2) որոշյալ ինտեգրալների հաշվում  և  3)  դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում։
 Յուրաքանչյուր  դեպքում մանրամասն բնութագրվում են մեթոդն ու հաշվարկային  ալգորիթմը։
   Այնուհետև  բնութագրված  ալգորիթմների  հիման  վրակազմված են հաշվարկային ծրագրեր Mathematica միջավայրում։
 Ֆունկցիաների  արժեքների  հաշվման  համար  կազմված  հաշվարկայինծրագիրը  թույլ  է  տալիս  հաշվել  Թեյլորի  շարքով  վերլուծվելու  պայմաններինբավարարող ցանկացած ֆունկցիայի արժեքը տրված կետում։
 Որոշյալ ինտեգրալի հաշվման համար կազմված հաշվարկային ծրագիրըթույլ է տալիս հաշվել տրված որոշյալ ինտեգրալը` պայմանով, որ ընդինտեգրալֆունկցիան բավարարում է Թեյլորի շարքով վերլուծության պայմանները։
 Դիֆերենցիալ հավասարումների դեպքում անդրադարձ է կատարված երկրորդ  կարգի  հաստատուն  գործակիցներով  անհամասեռ  դիֆերենցիալ  հավասարումների լուծմանը։
  Կազմված է հաշվարկային ծրագիրն այս դեպքի համար։
 Այս բոլոր հաշվարկային ծրագրերն իրականացված են կոնկրետ օրինակների  համար  և  ուսումնասիրություն  է  իրականացված  զուգամիտության  տեսանկյունից։
  Կիրառված են նաև Mathematica միջավայրի գրաֆիկական միջոցները`  դրանով  իսկ  արդյունքների  ներկայացումը  դարձնելով  առավել  դիտողական։
 Արդյունքում հիմնավորվում է կիրառվող մեթոդների արդյունավետությունը։
 Աշխատանքը մեծ նշանակություն ունի մեթոդական տեսանկյունից և կարողէ  կիրառվել  աստիճանային  շարքերը  բարձրագույն  ուսումնական  հաստատություններում դասավանդելիս։
 Power Series Application to the Approximate Calculations։
 Գ Ր Ա Կ Ա Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն 6.  Սարգսյան  Ա.  Հ.  Mathematica  փաթեթի  գրաֆիկական  տարրերը  և  դրանցդասավանդումը։
  Մեթոդական աշխատանք։
  Գյումրի։
  Հեղ. հրատ.։
  2014։
  88 էջ։
 7.  Սարգսյան Ա.Հ., Սարգսյան Ն.Հ. Աստիճանային շարքերի կիրառումը որոշյալև  անիսկական  ինտեգրալների  հաշվման  համար։
   Հաշվարկային  ծրագրերը Mathematica միջավայրում//ԳՊՄԻ գիտական տեղեկագիր։
 2015։
 N1։
  էջ128-136։

Սույն աշխատանքում դիտարկվում է աստիճանային շարքերի կիրառումը   ֆունկցիաների  արժեքների  հաշվման,  որոշյալ  ինտեգրալների  հաշվման  և  դիֆերենցիալ  հավասարումների  լուծման  ժամանակ։
   Լուծման  մեթոդին  համապատասխան՝ Mathematica միջավայրում կազմված են հաշվարկային ծրագրեր,  իրականացված  է  ուսումնասիրություն  զուգամիտության  տեսանկյունից։
   Արդյունքները  ներկայացված  են  դիտողական  կերպով՝  կիրառելով  Mathematica  միջավայրի գրաֆիկական տարրերը։
