ԽՄԲԻ ՆԿԱՏՄԱՄԲ ՈՐՈՇՎԱԾ ՀԻՊԵՐԽՄԲԵՐԻ ԼՐԻՎԲԵՐՎԱԾՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆԽմբի  նկատմամբ  որոշված  կամայական  𝑀𝐻  հիպերխմբի  համար  սահմանվող  𝛷։
  𝐻 → 𝑆𝑀  հոմոմորֆիզմի  միջուկը  հանդիսանում  է  (իզոմորֆությանճշտությամբ) համապատասխան ճշգրիտ արտադրյալում 𝐻 ենթախմբի նորմալներքնամասն է։
 Որպես  հետևանք՝  խմբի  նկատմամբ  որոշված  𝑀𝐻  հիպերխումբը  լրիվբերված  է այն  և միայն  այն  դեպքում, երբ համապատասխան  ճշգրիտ արտադրյալում 𝐻 ենթախմբի նորմալ ներքնամասը տրիվիալ է։
 1.  Ներածություն  և  նախնական  տեղեկություններ  խմբի  նկատմամբորոշված հիպերխմբերի մասինԽմբի նկատմամբ որոշված հիպերխմբի հասկացությունը ներմուծվել է [1]ում,  այնուհետև  կատարելագործվել  է  [4]-ում  և  [5]-ում։
   Այս  հասկացություննընդհանրացնում  և  միավորում  է  խմբի,  դաշտի  և  դաշտի  նկատմամբ  գծայինտարածության  հասկացությունները։
   Խմբի  նկատմամբ  որոշված  հիպերխմբերն  ունեն  մի  շարք  կիրառություններ`  խմբի  ընդլայնումների  մասին  Շրայերի  թեորեմի  ընդհանրացումը  [5],  խմբերի  կոհոմոլոգիաների  վերաբերյալարդյունքներում և այլն։
 [5]-ում խմբի նկատմամբ որոշված (աջ) հիպերխմբի հասկացությունը սահմանվում  է  հետևյալ  կերպ։
   Դիցուք  𝐻-ը  կամայական  խումբ  է։
   𝐻  խմբի  նկատմամբ  որոշված  (աջ)  հիպերխումբ  կոչվում  է  𝑀  բազմությունը`  𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬) կառուցվածքային արտապատկերումների համակարգի հետ միասին, որտեղ՝•  (𝛷)    𝛷։
  𝑀 × 𝐻 → 𝑀,     𝛷(𝑎, 𝛼) ∶=   𝑎𝛼,•  (𝛹)    𝛹։
  𝑀 × 𝐻 → 𝐻,     𝛹(𝑎, 𝛼) ∶=   𝛼•  (𝛯)    𝛯։
  𝑀 × 𝐻 → 𝑀,     𝛯(𝑎, 𝑏) ∶= [𝑎, 𝑏],•  (𝛬)    𝛬։
  𝑀 × 𝐻 → 𝐻,     𝛬(𝑎, 𝑏) ∶= (𝑎, 𝑏) արտապատկերումները բավարարում են հետևյալ պայմաններին. P1) 𝛯-ն երկտեղանի գործողություն է 𝑀 բազմության վրա այնպիսին, որ(i)  կամայական  𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀  տարրերի  համար  [𝑥, 𝑎] = 𝑏  հավասարում  ունիմիակ լուծում 𝑀-ում,(ii) (𝑀, 𝛯)-ն ունի  ձախ չեզոք տարր,  այսինքն գոյություն ունի  𝑜 ∈ 𝑀  տարրայնպիսին, որ [𝑜, 𝑎] = 𝑎 կամայական 𝑎 ∈ 𝑀 տարրի համար։
 P2) 𝛷  արտապատկերումը 𝐻  խմբի  գործողություն է 𝑀  բազմության  վրա՝այսինքն(i)  (𝑎𝛼)𝛽 = 𝑎𝛼∙𝛽  կամայական 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐻 և 𝑎 ∈ 𝑀 տարրերի համար;(ii) 𝑎𝜀 = 𝑎    կամայական  𝑎 ∈ 𝑀  տարրի  համար,  որտեղ  𝜀-ը  𝐻  խմբի  չեզոքտարրն է։
 P3)  Կամայական  𝛼 ∈ 𝐻  տարրի  համար  գոյություն  ունի  𝛽 ∈ 𝐻  տարրայնպիսին, որ 𝛼 = 𝛽𝑜 ։
 P4) Տեղի ունեն հետևյալ նույնությունները.Խմբի նկատմամբ որոշված այս հիպերխումբը նշանակվում է 𝑀𝐻-ով։
  Խմբինկատմամբ  որոշված  𝑀𝐻  հիպերխումբը  դիտարկելիս  կենթադրենք,  որ  𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬)-ն նրա կառուցվածքային արտապատկերումների համակարգն է, 𝜀-ը𝐻  խմբի  չեզոք  տարրն  է,  իսկ  𝑜-ն  𝛯  երկտեղանի  գործողության  ձախ  չեզոքտարրն է։
  Կօգտագործենք նաև 𝜃 = 𝛬(𝑜, 𝑜)−1 նշանակումը։
 (Ընդգծենք, որ հանրահաշվում «հիպերխումբ» եզրույթն օգտագործվում էայլ  օբյեկտի  համար։
   Հիպերխմբի  այս  հասկացությունը  իրարից  անկախ  ներմուծել են Ֆ. Մարթին ([6]) և Հ. Ս. Ուոլլը ([9]) (տե՛ս նաև [3])։
  Սույն հոդվածումչի օգտագործվում այս հիպերխմբի հասկացությունը, հետևաբար շփոթությունչի  առաջանա,  եթե  խմբի  նկատմամբ  որոշված  𝑀𝐻  հիպերխմբերը  կրճատ  անվանենք հիպերխմբեր։
 )Սույն  հոդվածում  կօգտագործենք  հիպերխմբերի  հետևյալ  հատկությունները (տե՛ս [5] էջ 9).•  (𝐴11) (𝑎, 𝑜) = (𝜃−1)։
 Դիցուք  𝑀𝐻-ը  և  𝑀′𝐻′-ը  հիպերխմբեր  են`  համապատասխանաբար  𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬)  և  𝛺′ = (𝛷′, 𝛹′, 𝛯′, 𝛬′)  կառուցվածքային  արտապատկերումներիհամակարգերով։
  Հիպերխմբերի մորֆիզմ է կոչվում՝ 𝑓 = (𝑓0, 𝑓1)  արտապատկերումների  զույգը,  որտեղ  𝑓0 ∶ 𝐻 → 𝐻′-ը  խմբայինհոմոմորֆիզմ  է,  𝑓1 ∶ 𝑀 → 𝑀′-ը՝    բազմությունների  արտապատկերում  այնպիսիք,  որ  պահպանվում  են  կառուցվածքային  արտապատկերումները,  այսինքն բավարարվում են հետևյալ հավասարությունները.•  (𝑀𝛬)    Λ◦𝑓0 = (𝑓1 × 𝑓1)◦Λ′։
 (𝑀𝛯) պայմանը նշանակում է, որ 𝑓1-ը հոմոմորֆիզմ է (𝑀, 𝛯)-ից (𝑀′, 𝛯′)։
 Մորֆիզմի  պարզագույն օրինակ  է նույնական  մորֆիզմը. 1𝑀𝐻 = (1𝐻, 1𝑀) ∶  𝑀𝐻 → 𝑀𝐻։
  Հիպերխմբերի կամայական մորֆիզմների  համար  նրանց  համադրույթը`  𝑓◦𝑔 = (𝑓0◦𝑔0, 𝑓1◦𝑔1)    ևս  հիպերխմբերի  մորֆիզմ  է։
   𝑓 = (𝑓0, 𝑓1)  մորֆիզմը  հակադարձելի  է  (հետևաբար  իզոմորֆիզմ  է),  եթե  𝑓0  և  𝑓1  արտապատկերումները  հակադարձելի  են։
   Այդ  դեպքում 𝑓−1 = (𝑓0 −1)-ը 𝑓 = (𝑓0, 𝑓1) մորֆիզմի հակադարձ մորֆիզմն է։
 [5]-ում  (էջ  3)  նկարագրվում  է  խմբի  նկատմամբ  որոշված  հիպերխմբերիկառուցման ստանդարտ ճանապարհը հետևյալ կերպ։
  Դիցուք՝ (𝐺, 𝐻, 𝑀)-ը կամայական  եռյակ  է  բաղկացած  𝐺  խմբից,  նրա  𝐻  ենթախմբից  և  𝐺  խմբում  𝐻ենթախմբի  𝑀  (աջ)  տրանսվերսալից։
   Հիշեցնենք,  որ  𝐺  խմբում  𝐻  ենթախմբի(աջ) տրանսվերսալ է կոչվում 𝐺-ի այնպիսի 𝑀 ենթաբազմությունը, որի համար|𝑀 ∩ (𝐻 ∙ 𝑎)| = 1 կամայական 𝑎 ∈ 𝐺 տարրի համար։
 𝐺 խմբի 𝑀 ենթաբազմությունը 𝐺 խմբում 𝐻 ենթախմբի աջ տրանսվերսալէ  այն  և  միայն  այն  դեպքում,  երբ  𝑀-ը  𝐻-ի  աջ  լրացուցիչ  բազմություն  է,այսինքն  կամայական  𝑥 ∈ 𝐺  տարրի  համար  գոյություն  ունեն  միակ  𝛼 ∈ 𝐻  և𝑎 ∈ 𝑀 տարրեր այնպիսիք, որ 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝑎 (տե՛ս, օրինակ, [8] էջ 178)։
  Հետևաբար,եթե  𝑀-ը  𝐺  խմբում  𝐻  ենթախմբի  աջ  տրանսվերսալ  է,  ապա  կամայական𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀  և  𝛼 ∈ 𝐻  տարրերի  համար  𝑎 ∙ 𝛼  և  𝑎 ∙ 𝑏  տարրերը  միակ  ձևով  ներկայացվում են որպես 𝐻-ի և 𝑀-ի տարրերի արտադրյալ։
  Հետևաբար, կարելի էսահմանել  𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬  արտապատկերումները՝  համաձայն  (𝑆𝑡1)  և  (𝑆𝑡2)պայմանների.•  (𝑆𝑡2)    𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎, 𝑏) ∙ [𝑎, 𝑏] = 𝛬(𝑎, 𝑏) ∙ 𝛯(𝑎, 𝑏)։
 Այս արտապատկերումները բավարարում  են  P1)-P4) պայմաններին  (տե՛ս[5],  էջեր 3-5), և  համապատասխան  𝑀𝐻  հիպերխումբը կոչվում  է հիպերխումբ՝ստացված ստանդարտ ճանապարհով (𝐺, 𝐻, 𝑀) եռյակից։
 Ստանդարտ  ճանապարհով  կառուցումն  ունի  հետևյալ  ունիվերսալ  հատկությունը.  ցանկացած  𝑀𝐻  հիպերխումբ  իզոմորֆության  ճշտությամբ  ստացվում է ստանդարտ ճանապարհով որևէ (𝐺, 𝐻, 𝑀) եռյակից ([5], էջեր 11-12)։
  [5]ում  այդ  եռյակը  կառուցվում  է  հետևյալ  կերպ։
   Դիցուք  𝑀𝐻-ը  կամայական  հիպերխումբ  է,  դիտարկենք  𝐺  բազմությունը,  որի  տարրերը  𝛼𝑎  երկու  տառիցկազմված բառերն են, որտեղ 𝛼-ն և 𝑎-ն համապատասխանաբար 𝐻-ից և 𝑀-իցտարրեր  են։
   [5]-ում  (էջ  9)  𝐺-ի  վրա  սահմանվում  է  երկտեղանի  գործողությունհետևյալ կերպ.∙ (𝑎𝛽, 𝑏)) [𝑎𝛽, 𝑏]։
 Ապացուցվում  է  ([5],  էջեր  9-10),  որ  𝐺-ը  սահմանված  երկտեղանիգործողության հետ միասին խումբ է 𝜃𝑜 չեզոք տարրով։
 Սահմանում  1։
   𝐺  խումբը  կոչվում  է  𝐻  խմբի  և  𝑀  բազմության  ճշգրիտարտադրյալ՝ առնչված 𝑀𝐻 հիպերխմբի հետ։
 Դիտարկենք 𝐺-ի ենթաբազմությունները, ապացուցվում է ([5], էջ 11), որ 𝐻-ը 𝐺-ի ենթախումբ է,իսկ 𝑀-ը 𝐺 խմբում 𝐻 ենթախմբի տրանսվերսալ։
  Ապացուցվում է նաև ([5], էջեր11-12),  որ  (𝐺, 𝐻, 𝑀)  եռյակից  ստանդարտ  ճանապարհով  ստացված  𝑀𝐻հիպերխումբն իզոմորֆ է 𝑀𝐻 հիպերխմբին։
 2. Հիպերխմբի հետ առնչված լրիվ բերված հիպերխումբ։
 Դիցուք  𝑀𝐻-ը  կամայական  հիպերխումբ  է՝  𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬)  կառուցվածքային  արտապատկերումների  համակարգով։
   Համաձայն  հիպերխմբի  սահմանման  P2)  հատկության՝  𝛷-ն  𝐻  խմբի  (աջ)  գործողություն  է  𝑀  բազմությանվրա։
  Հայտնի է (տե՛ս, օրինակ, [8], էջ 55), որ ցանկացած խմբի գործողությունբազմության  վրա  մակածում  է  հոմոմորֆիզմ  այդ  խմբից  դեպի  այդ  բազմության սիմետրիկ խումբը հետևյալ կերպ.𝛷։
  𝐻 → 𝑆𝑀,          𝛷(𝛼)։
  𝑀 → 𝑀,          𝛷(𝛼)(𝑎) = 𝛷(𝑎, 𝛼) = 𝑎𝛼։
 Սահմանում  2։
   𝑀𝐻  հիպերխումբը  կոչվում  է  լրիվ  բերված  հիպերխումբ,եթե 𝛷 հոմոմորֆիզմի միջուկը տրիվիալ է՝𝑘𝑒𝑟𝛷 = {𝜀}։
 Քանի  որ  𝑘𝑒𝑟𝛷-ն  𝐻-ի  նորմալ  ենթախումբ  է,  ապա  կարող  ենք  դիտարկել𝐻′ = 𝐻/𝑘𝑒𝑟𝛷 քանորդ-խումբը և 𝛷′, 𝛹′, 𝛯′, 𝛬′ արտապատկերումները. 𝛷′։
  𝑀 × 𝐻′ → 𝑀,     𝛷′(𝑎, 𝛼′) ∶=   𝑎𝛼, 𝛹′։
  𝑀 × 𝐻′ → 𝐻′,     𝛹′(𝑎, 𝛼′) ∶=  𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ 𝛼 𝛯′։
  𝑀 × 𝐻′ → 𝑀,     𝛯′(𝑎, 𝑏) ∶= [𝑎, 𝑏], 𝛬′։
  𝑀 × 𝐻′ → 𝐻′,     𝛬′(𝑎, 𝑏) ∶= 𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ (𝑎, 𝑏)։
 Լեմմա 1։
  𝛷′ և 𝛹′ արտապատկերումները կոռեկտ են սահմանված։
 Ապացույց։
  𝛷′ և 𝛹′ արտապատկերումների կոռեկտությունը նշանակում է,որ  𝛷′(𝑎, 𝛼′)-ը  և  𝛹′(𝑎, 𝛼′)-ը  կախված  չեն  𝛼′  հարակից  դասի  𝛼  ներկայացուցչիընտրությունից։
   Դիցուք  𝛼, 𝛽 ∈ 𝛼′  միևնույն  հարակից  դասի  տարբեր  ներկայացուցիչներ  են։
   Այդ  դեպքում  𝛼′ = 𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ 𝛼 = 𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ 𝛽,  ուստի  գոյություն  ունի𝜅 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷  տարր  այնպիսին,  որ  𝜅 ∙ 𝛼 = 𝛽։
   Քանի  որ  𝜅 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷,  ապա  𝑎𝜅 = 𝑎կամայական 𝑎 ∈ 𝑀 տարրի համար։
 𝛷′-ի  կոռեկտությունը  ցույց  տալու  համար  անհրաժեշտ  է  ցույց  տալ,  որ𝑎𝛼 = 𝑎𝛽  կամայական 𝑎 ∈ 𝑀  տարրի համար։
   Դա  էլ կստանանք համաձայն  P2)(i) և 𝜅 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷 պայմանների՝𝑎𝛽 = 𝑎𝛼∙𝜅 = (𝑎𝛼)𝜅 = 𝑎𝛼։
 𝛹′-ի  կոռեկտությունը  ցույց  տալու  համար  անհրաժեշտ  է  ցույց  տալ,  որ𝑎   կամայական  𝑎 ∈ 𝑀  տարրի  համար։
   Դրա  համար  ցույց𝑎  կամայական 𝑎 ∈ 𝑀 տարրի համար։
  Համաձայն (𝐴1)կտանք, որ  𝛽 ∈ի և 𝜅 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷-ի՝ ուստի բավական է ցույց տալ, որ  𝜅 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷 Դա էլ նույնն է, թե 𝑏 𝜅𝜅 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷-ի և (𝐴2)-ի՝= 𝑏 կամայական 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀 տարրերի համար։
  Համաձայն կամայական 𝑎 ∈ 𝑀 տարրի համար։
 որտեղից  էլ,  համաձայն  P1)  (i)-ի՝  կստանանք  𝑏 = 𝑏 𝜅տարրերի համար։
   կամայական  𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀Թեորեմ  2։
   𝑀  բազմությունը  և  𝐻′ = 𝐻/𝑘𝑒𝑟𝛷  քանորդ-խումբը  𝛺′ = (𝛷′, 𝛹′, 𝛯′, 𝛬′)  արտապատկերումների  համակարգի  հետ  միասին  բավարարումեն(𝛷′, 𝛹′, 𝛯′, 𝛬′)  կառուցվածքային  արտապատկերումների  համակարգի  հետմիասին հիպերխումբ է՝ որոշված 𝐻′ խմբի նկատմամբ։
 պայմաններին,բազմությունըայսինքնԱպացույց։
  Դիտարկենք 𝑝0։
  𝐻 → 𝐻′ բնական էպիմորֆիզմը և 𝑝1 = 1𝑀։
  𝑀 → 𝑀 նույնական արտապատկերումը։
 Համաձայն  𝛷′, 𝛹′, 𝛯′, 𝛬′  արտապատկերումների  սահմանման՝  (𝑝0, 𝑝1)արտապատկերումների  զույգը  պահպանում  է  𝛺  = (𝛷 , 𝛹 , 𝛯 , 𝛬 )  և  𝛺′ = (𝛷′, 𝛹′, 𝛯′, 𝛬′)  արտապատկերումների  համակարգերը,  այսինքն  տեղի  ունեն (𝑀𝛷) − (𝑀𝛬) առնչությունները։
  Ապացուցվում է (տե՛ս [5], էջեր 14-15), որ այդդեպքում,  եթե  𝑝0-ն  էպիմորֆիզմ  է,  իսկ  𝑝1-ը՝  երկարկող  արտապատկերում,ապա  𝛺′  արտապատկերումների  համակարգը  բավարարում  է  P1)-P4)պայմաններին։
 Այսպիսով՝ կամայական 𝑀𝐻 հիպերխմբի հետ կանոնապես առնչվում է 𝑀𝐻′հիպերխումբը՝ որոշված 𝐻′ = 𝐻/𝑘𝑒𝑟𝛷 քանորդ-խմբի նկատմամբ (տե՛ս [2])։
 Թեորեմ 3։
  𝑀𝐻′-ը լրիվ բերված հիպերխումբ է։
 Ապացույց։
  Դիցուք՝ 𝛷′(𝑎, 𝛼′) = 𝑎 կամայական 𝑎 ∈ 𝑀 տարրի համար։
  Ցույցտանք,  որ  𝛼′ = 𝑘𝑒𝑟𝛷։
   Դիցուք՝  𝛼′ = 𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ 𝛼,  այդ  դեպքում,  համաձայն  𝛷′-իսահմանման՝ 𝛷′(𝑎, 𝛼′) = 𝑎𝛼, հետևաբար՝կամայական  𝑎 ∈ 𝑀  տարրի  համար։
   Վերջինիցս  էլ  կբխի,  որ  𝛼 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷,  ուստի𝛼′ = 𝑘𝑒𝑟𝛷։
 Սահմանում  3։
   𝑀𝐻′  հիպերխումբը  կոչվում  է  𝑀𝐻  հիպերխմբի  հետառնչված լրիվ բերված հիպերխումբ։
 Այժմ դիցուք 𝐺-ն կամայական խումբ է, 𝐻-ը նրա ենթախումբ է։
 Սահմանում  4։
   𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻) = ⋂ 𝑥−1 ∙ 𝐻 ∙ 𝑥   –ը  կոչվում  է  𝐺  խմբում  𝐻ենթախմբի նորմալ ներքնամաս։
 Հայտնի է (տե՛ս, օրինակ, [7], էջ 16), որ 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻)-ը հանդիսանում է 𝐺 խմբիայն մաքսիմալ նորմալ ենթախումբը, որը պարունակվում է 𝐻 ենթախմբում։
 Դիցուք 𝑀𝐻 հիպերխումբը ստացվել է ստանդարտ ճանապարհով (𝐺, 𝐻, 𝑀)եռյակից։
 Թեորեմ  4։
   𝛷  հոմոմորֆիզմի  միջուկը  𝐺  խմբում  𝐻  ենթախմբի  նորմալներքնամասն է, այսինքն 𝑘𝑒𝑟𝛷 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻)։
 Ապացույց։
  Համաձայն հիպերխմբերի ստանդարտ ճանապարհով կառուցման` 𝑀-ը 𝐺 խմբում 𝐻 ենթախմբի տրանսվերսալ է, հետևաբար նաև լրացուցիչբազմություն  է,  այսինքն  կամայական  𝑥 ∈ 𝐺  տարրի  համար  գոյություն  ունենմիակ 𝛼 ∈ 𝐻 և 𝑎 ∈ 𝑀 տարրեր այնպիսիք, որ 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝑎։
  Դիտարկենք 𝜌։
  𝐺 → 𝑆𝑀,          𝜌(𝑥)։
  𝑀 → 𝑀,          𝜌(𝑥)(𝑏) = [𝑏𝛼, 𝑎]արտապատկերումը։
 Լեմմա 5։
 1)  Կամայական  𝛼 ∈ 𝐻, 𝑎 ∈ 𝑀  տարրերի  համար  𝜌(𝛼 ∙ 𝑎)-ն  երկարկող  արտապատկերում է։
 2)  𝜌-ն խմբային հոմոմորֆիզմ է։
 Ապացույց։
   1)  Համաձայն  P1)  (i)-ի՝  [𝑥, 𝑎] = 𝑏  հավասարումն  ունի  միակլուծում  𝑀-ում  (կամայական  𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀  տարրերի  համար)։
   Եթե  նշանակենք  այդլուծումը  𝑏/𝑎-ով,  ապա  դժվար  չէ  տեսնել,  որ  𝑦 ↦ (𝑦/𝑎)−1  արտապատկերումըհանդիսանում  է  𝜌(𝛼 ∙ 𝑎)-ի  հակադարձ  արտապատկերումը։
   Հետևաբար  𝜌(𝛼 ∙ 𝑎)-ն երկարկող է։
 2) Դիցուք 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝑎-ն և 𝑦 = 𝛽 ∙ 𝑏-ն 𝐺-ի կամայական տարրեր են։
  Համաձայն(𝑆𝑡1)-ի, (𝑆𝑡2)-ի, P2) (i)-ի, (𝐴4)-ի և (𝐴2)-ի՝ կստանանք𝑏)(𝜌(𝛼 ∙ 𝑎)(𝑐)) = (𝜌(𝛼 ∙ 𝑎)◦𝜌(𝛽 ∙ 𝑏))(𝑐) =   (𝜌(𝑥)◦𝜌(𝑦))(𝑐)։
 կամայական 𝑐 ∈ 𝑀 տարրի համար։
 Լեմմա  6։
   𝛷  արտապատկերումը  հանդիսանում  է  𝜌-ի  սահմանափակումը𝐻 ենթախմբի վրա, այսինքն՝ 𝜌(𝛼) = 𝛷(𝛼) կամայական 𝛼 ∈ 𝐻 տարրի համար։
 Ապացույց։
   Քանի  որ  𝑀𝐻-ը  ստացվել  է  ստանդարտ  ճանապարհով,  ապա,համաձայն (𝑆𝑡2)-ի և P1) (ii)-ի՝Կրճատելով  աջից  𝑜-ով՝  կստանանք  𝑜 = (𝑜, 𝑜) = 𝜃−1։
   Այսպիսով՝  𝜀 = 𝜃 ∙ 𝑜։
 𝑜 ∙ 𝑜 = (𝑜, 𝑜) ∙ [𝑜, 𝑜] = (𝑜, 𝑜) ∙ 𝑜։
 Հետևաբար՝ համաձայն (𝐴10)-ի և P2) (i)-ի՝կամայական 𝑎 ∈ 𝑀 տարրի համար։
 Թեորեմ  4-ն  ապացուցելու  համար  ցույց  կտանք,  որ  𝑘𝑒𝑟𝜌 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻),որտեղից  էլ  կստանանք,  որ  𝑘𝑒𝑟𝜌 ⊂ 𝐻,  հետևաբար,  համաձայն  լեմմա  6-ի՝կունենանք, որ 𝑘𝑒𝑟𝛷 = 𝑘𝑒𝑟𝜌 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻)։
 Դիցուք  𝑥 = 𝛼 ∙ 𝑎 ∈ 𝐺,  և  1𝑀-ը  𝑀  բազմության  նույնական  արտապատկերումն  է։
   Այդ  դեպքում՝  համաձայն  (𝑆𝑡2)-ի  և  (𝑆𝑡1)-ի՝  տեղի  ունեն  հետևյալհամարժեքությունները.ինչն էլ, համաձայն (𝑆𝑡1) և (𝑆𝑡2) վերլուծությունների միակության՝ համարժեք էԱյսպիսով՝𝑥 ∈ 𝑏−1 ∙ 𝐻 ∙ 𝑏    ∀𝑏 ∈ 𝑀։
 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻)։
 Թեորեմն ապացուցված է։
 Դիտողություն  1։
   Թեորեմ  4-ին  շատ  մոտ  թեորեմ  կարելի  է  գտնել  նաևխմբերի տեսության մեջ (տե՛ս, օրինակ, [7], էջ 35)։
 Դիտողություն  2։
   Համաձայն  հիպերխմբերի  ստանդարտ  ճանապարհովկառուցման ունիվերսալության հատկության՝ թեորեմ 4-ը կարելի է ձևակերպելնաև կամայական 𝑀𝐻 հիպերխմբի համար.Թեորեմ  4’։
   Կամայական  𝑀𝐻  հիպերխմբի  համար 𝑘𝑒𝑟𝛷-ն  իզոմորֆ  է  𝐺 խմբում 𝐻 ենթախմբի նորմալ նեքնամասին՝𝑘𝑒𝑟𝛷 ≅ 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻)։
 Օրինակ  1։
   Դիցուք  𝑀𝐻  հիպերխմբի  𝛷  կառուցվածքային  արտապատկերումը տրիվիալ է, այսինքն կամայական 𝑎 ∈ 𝑀, 𝛼 ∈ 𝐻 տարրերի համար 𝛷(𝑎, 𝛼) = 𝑎𝛼 = 𝑎։
 Այդ  դեպքում  պարզ  է,  որ  կամայական  𝛼 ∈ 𝐻  տարրի  համար  𝛷(𝛼)-ն  𝑀բազմության նույնական արտապատկերումն է՝ 1𝑀-ը, ուստի 𝑘𝑒𝑟𝛷 = 𝐻։
  Հետևաբար՝  𝑀𝐻  հիպերխմբի  հետ  առնչված  լրիվ  բերված  հիպերխումբը  տրիվիալ{𝜀′} = {𝑘𝑒𝑟𝛷 } խմբի նկատմամբ որոշված 𝑀{𝜀′} հիպերխումբն է։
 Նկատենք,  որ  եթե  𝑀𝐻  հիպերխմբի  հետ  առնչված  լրիվ  բերված  հիպերխումբը 𝑀{𝜀′} հիպերխումբն է, ապա (𝑀, 𝛯)-ն խումբ է։
  Իրոք, ունենք, որ (𝑀, 𝛯) = (𝑀, 𝛯′),  իսկ  𝑀{𝜀′}-ի  համար  𝛯′-ը  որոշում  է  խմբային  գործողություն  𝑀  բազմության  վրա։
   Վերջինս  բխում  է  այն  հայտնի  արդյունքից,  որ  ցանկացած  զուգորդական  երկտեղանի  գործողություն,  որը  բավարարում  է  P1)  (i)  և  P2  (ii)պայմաններին,  խմբային է։
   Նկատենք,  որ  այս  դեպքում 𝛯′  երկտեղանի գործողությունը  զուգորդական  է,  քանի  որ  (𝐴4)-ում  կունենանք  𝛷′(𝑎, 𝛬′(𝑎, 𝑏)) = 𝛷′(𝑎, 𝜀′) = 𝑎։
 Հարց է ծագում. եթե (𝑀, 𝛯)-ն խումբ է, ապա արդյո՞ք 𝑀𝐻 հիպերխմբի հետառնչված  լրիվ  բերված  հիպերխումբը  որոշված  կլինի  տրիվիալ  խմբի  նկատմամբ, այսինքն կլինի 𝑀{𝜀′} հիպերխումբը։
  Պարզվում է, որ ընդհանուր դեպքումայս հարցի պատասխանը բացասական է։
 Օրինակ 2։
  Դիցուք 𝐺-ն խումբ է, 𝐻-ն ու 𝑀-ը 𝐺-ի այնպիսի ենթախմբեր են,որ  𝐺 = 𝐻 ∙ 𝑀,    𝐻 ∩ 𝑀 = {𝜀},  որտեղ  𝜀-ը  𝐺  խմբի  չեզոք  տարրն  է,  և  𝐻-ը  𝐺-ինորմալ  ենթախումբ  չէ  (որպես  այդպիսի  (𝐺, 𝐻, 𝑀)  եռյակ  կարելի  է  դիտարկել𝐺 = 𝑆3  սիմետրիկ  խումբը,  նրա  𝐻 = {(1), (12)}  և  𝑀 = {(1), (123), (132)}ենթախմբերը)։
   Դժվար  չէ  համոզվել,  որ  այս  դեպքում  𝑀-ը  կլինի  𝐺  խմբում  𝐻ենթախմբի  տրանսվերսալ։
   Դիտարկենք  (𝐺, 𝐻, 𝑀)  եռյակից  ստանդարտճանապարհով  ստացվող  𝑀𝐻  հիպերխումբը։
   Քանի  որ  𝑀-ը  𝐺-ի  ենթախումբ  է,ապա,  համաձայն  (𝑆𝑡2)-ի,  կունենանք,  որ  (𝑎, 𝑏) = 𝜀  կամայական  𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀տարրերի  համար,  հետևաբար  𝛯-ն  կհամընկնի  𝑀-ի  վրա  𝐺-ի  երկտեղանիգործողության  հետ,  ուստի  (𝑀, 𝛯)-ն  կլինի  խումբ։
   Ունենք,  որ  𝑀𝐻′-ը  𝑀𝐻  հիպերխմբի հետ առնչված լրիվ բերված հիպերխումբն է, հետևաբար՝ համաձայնթեորեմ  4-ի՝  𝐻′ = 𝐻/𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻)։
   Եթե  𝐻′-ըլինի  տրիվիալ  խումբը,  ապակստանանք,  որ  𝐻 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺(𝐻),  որտեղից  էլ  կբխի,  որ  𝐻-ը  𝐺-ի  նորմալենթախումբ է, ինչը սխալ է։
 ԳրականությունՇանթ ՆավասարդյանԽՄԲԻ ՆԿԱՏՄԱՄԲ ՈՐՈՇՎԱԾ ՀԻՊԵՐԽՄԲԵՐԻ ԼՐԻՎ ԲԵՐՎԱԾՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆԲանալի բառեր՝ խմբի նկատմամբ որոշված հիպերխումբ, լրիվ բերվածություն, նորմալներքնամաս։

Խմբի  նկատմամբ  որոշված  կամայական  𝑀𝐻  հիպերխմբի  համար  սահմանվող  𝛷։
  𝐻 → 𝑆𝑀  հոմոմորֆիզմի  միջուկը  հանդիսանում  է  (իզոմորֆության  ճշտությամբ)  համապատասխան ճշգրիտ արտադրյալում 𝐻 ենթախմբի նորմալ ներքնամասը։
   Որպես հետևանք՝ խմբի նկատմամբ որոշված 𝑀𝐻 հիպերխումբը լրիվ բերված է այն և  միայն այն դեպքում, երբ համապատասխան ճշգրիտ արտադրյալում 𝐻 ենթախմբի նորմալ  ներքնամասը տրիվիալ է։
