Ներածություն։
 Ներկա  տեխնոլոգիականզարգացումներիդարաշրջանում  անհրաժեշտություն  է  առաջանում  զարգացնելու  ևառավել  ընդլայնելու  մի  շարք  մաթեմատիկական  ապարատներիկիրառությունները։
  Զարգացման այսպիսի  ուղի է որդեգրել շղթայականկոտորակների  համակարգը,  որը  հիմնաքարային  դիրքում  է  հայտնվելհաշվողական  մաթեմատիկայում։
   Աշխարհի  տարբեր  ծայրերում,մասնավորապես  Եվրոպայում,  ներկայումս  զբաղվում  են  շղթայականկոտորակների  առավել  ակնառու  և  անհրաժեշտ  կիրառություններիորոնմամբ, զարգացմամբ և օգտագորմամբ՝ ծանր հաշվարկներն առավելպարզերով  փոխարինելու  համար։
   Այդ  պարագայում  շղթայականկոտորակներնարդյունավետկիրառություններով  դառնում  են  մաթեմատիկական  «թեժ  կետերից»,որոնք էլ կբացահայտենք աշխատանքի շրջանակներում։
 բազմասպեկտիրենցևՇղթայական կոտորակները և նրանց մի քանի հատկությունները։
 Ցանկացած      ռացիոնալ  թիվ  կարելի  է  ներկայացնել  վերջավորշղթայական կոտորակի տեսքով`որտեղթվերը վերլուծվում են անվերջ շղթայական կոտորակի [1-3, 5]։
 -  ամբողջ  թվեր  են,  իսկ  ԻռացիոնալԿամայական,  վերջավոր  կամ  անվերջ  շղթայականկոտորակի«կտրվածքը»  կոչվում  է  մերձավոր  կոտորակ։
   Նշենք  մերձավորկոտորակների մի քանի հատկություններ [1-4].Հատկություն 1։
 1 7 Կամայական-ի դեպքում մերձավոր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը որոշվում են ևռեկուրենտ բանաձևերով, ուր նախնական տվյալներն են՝Հատկություն  2։
   և  մեծություները  փոխկապակցված  ենհետևյալ կերպ.Հատկություն 3։
  Եթե  -ն որևէ դրական, ռացիոնալ թիվ է, իսկ   -ն-ի  -րդ մերձավոր կոտորակը, ապա7 Հատկությունների ապացույցները կարելի է նայել [1]-ում։
 Շղթայական  կոտորակներն  օրացույցում։
   Գրիգորյան  օրացույցը,որով առաջնորդվում ենք մենք, հիմնված է այն փաստի վրա, որ Երկիրըհավասարաչափ  պտտվում  է  իր  առանցքի  շուրջը՝  մեկ  օրումկատարելով  մեկ  պտույտ։
   Երկրի՝  Արեգակի  շուրջ  պտտման  մեկպտույտը կազմում է մեկ տարի, և այդ տարին հավասար է 365,24219878...օր։
   Ըստ  Գրիգորյան  օրացույցի՝  պարզ  և  նահանջ  տարիներիհերթագայությունը  պահպանվում  է  ըստ  հետևյալ  կանոնի. եթե տարվաթիվն ավարտվում է երկու զրոներով, իսկ մյուս երկու թվանշաններիցկազմված թիվը չի բաժանվում 4-ի, ապա այդ տարին պարզ տարի է(օրինակ  1700,1800-պարզ  են,  իսկ  2000-նահանջ  տարի  է)։
   Այդպիսիօրացույցում  տարվա  միջին  տևողությունը  կազմում  է  365  օր  5  ժամ  49րոպե 12 վայրկյան, որն ընդամենը 12 վայրկյան է ավել տարվա իրականերկարությունից[4]։
   Այսպիսի  ճշգրտությունըլիովին  ընդունելի  էպրակտիկության  տեսանկյունից,  քանի  որ  այդ  դեպքում  1  օրվասխալանք առաջ կգա 3300 տարին մեկ անգամ։
 Այժմ օրացույցի խնդրին անդրադառնանք շղթայական կոտորակներիտեսանկյունից։
   Տարվա  տևողությունն  արտահայտենք  օրերով  և  այններկայացնենք շղթայական կոտորակով.այսհաջորդականությունն է՝շղթայականկոտորակիմերձավորկոտորկներիԵթե ընտրենք  կոտորակը, ապա այդ դեպքում յուրաքանչյուրչորրորդ  տարիննահանջէ։
   Երրորդ  մերձավոր  կոտորակը՝,  ընկած  էր  իրանական  օրացույցի  հիմքում,  որը  1079թվականին  առաջարկել  է  մաթեմատիկոս,  աստղագետ  և  բանաստեղծՕմար  Խայամը։
   Այդպիսի  օրացույցը  մեկ  տարում  սխալվում  է  19վայրկյան,  և  1  օրվա  սխալանք  ստացվում  է  4500  տարին  մեկ  անգամ։
 Նրանում  բոլոր  տարիները  բաժանված  են  33-ամյա  շրջափուլի,  որիներսում  7  անգամ  նահանջ  է  համարվումյուրաքանչյուր  չորրորդտարին,  իսկ  ութերորդ  անգամ  նահանջ  է  համարվում  հինգերորդտարին։
   Եթե  վերցնենք  կոտորակը,  կստանանք  նրանհամապատասխանող  օրացույցը՝  մեծ  ճշտությամբ,  ըստ  որի՝  տարվամիջին  տևողությունը  միայն  1  վայրկյանով  է  տարբերվում  իրականից։
 Օրացույցի  այսպիսի  կառուցվածքում  անհրաժեշտ  էր  ամեն  128  տարինմեկ բաց թողնել 1 նահանջ տարի։
 Շղթայական կոտորակները ֆիզիկայում։
  Խնդիր։
   Դիցուք  ունենք  շատ  մեծ  քանակությամբ  միավորդիմադրություններ։
  Կարելի՞ է արդյոք նրանցից կազմել սխեմա, որնունենա   դիմադրություն կամ ընդհանրապես  , որտեղ  -ն և  -նտրված բնական թվեր են։
 Այս  հարցի  պատասխանը  միանշանակ  դրական  է,  քանի  որ  կոտորակի  համար  կարելի  է  նախ  զուգահեռ  միացնելցանկացածհատ  միավոր  դիմադրություններ՝  ընդհանուրում  ստանալովայնուհետև  այդ  սխեման  բազմապատկել  հատ  նույնատիպերով՝միացնելով  հաջորդաբար։
   Այս  կերպ  վարվելով՝  մեզ  տրվածընդհանուր  դիմադրությամբ  շղթան  կառուցելու  համար  մեզ  պետք  կգա միավոր դիմադրություններ (Նկ. 1)։
 Նկ.1Դրա  համար  նախ  նկատենք,  որ  ևայս  շղթայական  կոտորակի  տեսքով  ներկայացումը  կօգտագործենքանհրաժեշտ  էլեկտրական  սխեման  կառուցելու  համար՝  սկսելով«ներքևի հարկից»։
  Սկզբում  միմյանց  զուգահեռ  միացնենք3  միավոր  դիմադրություն  և  այդ  բլոկինհաջորդականմեկդիմադրություն.գումարայինկստանանք     դիմադրությամբ շղթա։
 միացնենք                            Նկ. 2Այժմ  եթե  ստացված  սխեմային  զուգահեռ  միացնենք  բլոկ,  որըկազմված  է  3  զուգահեռ  միացված  դիմադրություններից,  ապակստանանք  ընդհանուր  դիմադրությամբ  սխեմա։
   Մնացել  է  այսսխեմային  հաջորդաբար  ավելացնել  2  դիմադրություն։
   Այսպիսով  մենքկառուցեցինք  սխեմա՝  կազմված  9  միավոր  դիմադրություններից,  որիընդհանուր դիմադրությունն է (Նկ. 2)։
 Դիտարկված  օրինակը  հանգեցնում  է  հետևյալ  եզրակացությանը.ենթադրենք, որ անհրաժեշտ է կազմել   դիմադրությամբ շղթա, որտեղ  ն  և-ն  փոխադարձաբար  պարզ  թվեր  են։
   Այդ  դեպքում    թիվըներկայացնենքվերջավորշղթայականկոտորակի  տեսքով՝ ։
 Այս  ներկայացումից  և  շղթայի  կառուցման  վերը  նկարագրվածեղանակից  պարզ  է,  որ  անհրաժեշտ  շղթան  կառուցելու  համարբավարար են   դիմադրությունները։
  Հատկապես նշենքայն,  որ  տրված  դիմադրությամբ  միավոր  դիմադրություններիցէլեկտրական  շղթայի  կառուցման  այսպիսի  մեթոդը  ոչ  միշտ  է  բերումմիավոր դիմադրությունների մինիմալ անհրաժեշտության։
  Քանի որապա  կարող  ենք  կառուցել  ընդհանուր  դիմադրությամբ  անհրաժեշտսխեման՝  կազմված  երկու  հաջորդական  միացված  բլոկներից,  իսկ  թվերի շղթայական  կոտորակներիյուրաքանչյուր  բլոկ  կառուցված  ևվրա,  որոնք  տրված  են  փակագծերում  (Նկ.  3)։
   Այսպիսով,  ստացվեց  ընդհանուր դիմադրությամբ էլեկտրական սխեմա, որում օգտագործվել է8 միավոր դիմադրություններ (նախկինում օգտագործել էինք 9-ը)։
 Նկ. 3կոտորակները  պատմականորեն  առաջացանՇղթայական  կոտորակներն  ատամնանիվներում։
   Ինչպես  գիտենք,շղթայականմեծհամարիչով  և  հայտարարով  կոտորակներն  ավելի  փոքրերովփոխարինելու  անհրաժեշտությունից։
 Հյուգենսը  ատամնանիվիհավաքածուի  միջոցով  արեգակնային  համակարգի  մոդելի  կառուցմանժամանակ  հանդիպեցյուրօրինակ  դժվարության.  որպեսզի  երկուշղթայակցված  ատամնանիվների  պտտման  ժամանակներիհարաբերությունըհավասարվի  այդ  ատամնանիվներինհամապատասխանող  մոլորակների  Արեգակի  շուրջ  պտտմանժամանակների  հարաբերությանը,  անհրաժեշտ  է,  որ  նույնհարաբերությունն  ունենա  այդ  երկու  ատամնանիվների  ատամներիթվերի  հարաբերությունը։
   Սակայնհարաբերություննարտահայտվում է այնպիսի մեծ թվերով, որ տեխնիկապես հնարավոր չէկառուցել  ատամների  այդպիսի  «աստղաբաշխական»  թվով  անիվներ։
 Դրա համար անհրաժեշտություն է առաջանում այդ մոտավոր մոդելում,սահմանափակումներ  անելով,  ընտրել  ատամների  տեխնիկապեսգոյություն  ունեցող  այնպիսի  թվեր,  որ  այդ  թվերի  հարաբերությունըհնարավորություններիթվերիհարաբերությանը։
   Հենց  այստեղ  էլ  օգնության  են  գալիս  շղթայականկոտորակները։
   Դիցուք-ն  այդ  մեծ  թվերն  են,  որոնցհարաբերությունը  մենք  ուզում  ենք  մոտավորության  սկզբունքովփոխարինել  փոքր  թվերի  հարաբերությամբ.  որոշակիությանհամար ենթադրենք, որ տեխնիկական կամ այլ պայմանով  -ն չի կարողմեծ լինել 100-ից։
  Այդ դեպքում մենք   հարաբերությունը կներկայացնենքսահմանում-ն  ևայդմոտլինիմեծ  ևշղթայական  կոտորակի  տեսքով  և  կհաշվենք  հաջորդական  մերձավորկոտորակները։
   Դիցուք  այդ  դեպքում  պարզվեց,  որ,  բայց   և  ըստ։
   Այդ  դեպքում  մենք  կընդունենք,  որմերձավոր կոտորակների հատկության [հատկություն 3]՝կարող  ենք  պարզել  այն  սխալանքը,  որ  թույլ  ենք  տալիս  -ը  -ովփոխարինելիս։
 Օրինակ։
  Դիտարկենք  կոտորակը,  և  նրա  շղթայական  կոտորակիվերլուծությունը կունենա հետևյալ տեսքը՝  և եթե վերցնենք   մերձավոր կոտորակները. ապա։
 Եթե  մենք  մեր  խնդրիլուծումը  որոնեինք  տասնորդականկոտորակով  և  ոչ  թե  շղթայականով,  ապա  այդպիսի  ճշգրտությանհասնելու  համար  մենք  պետք  է  վերցնենք  ստորակետից  հետո  ոչպակաս,  քան  4  նիշով  կոտորակ,  այսինքն՝  10000  հայտարարովկոտորակ, բայց դա ոչ մի օգտակար նշանակություն չէր ունենա, քանի որմեր  ունեցած  սկզբնական  կոտորակի  հայտարարն  ավելի  փոքր  կլիներ՝946։
   Դրա  համար  այս  տիպի  խնդիրներում  շղթայական  կոտորակներիապարատը  ոչ  միայն  մեծ  առավելություն  ունի  տասնորդականկոտորակների  նկատմամբ,  այլ  շատ  դեպքերում  թույլ  է  տալիսլուծումները  փնտրել  այնտեղ,  որտեղ  տասնորդական  կոտորակներըոչինչ անելու հնարավորություն չեն տալիս։
  Բանն այն է, որ շղթայականկոտորակների  դեպքում  որպես  հայտարար  կարելի  է  վերցնելցանկացած  թիվ,  ոչ  թե  միայն  10-ի  ինչ-որ  աստիճաններ,  և  դա  տալիս  էընտրության լայն հնարավորություն։
 Անդրադառնանք  Հյուգենսի  խնդրին։
   Նա,  ըստ  հաշվարկների,տեսավ, որ ատամների թվերի հարաբերությունը հանգում է հետևյալ մեծհամարիչով և հայտարարով անկրճատելի կոտորակին՝Այսպիսի  թվերով  ատամնանիվների  կառուցումը,  ինչ  խոսք,գործնականորեն  մեծ  բարդություններ  է  առաջացնում,  անգամ  կարողենք ասել, որ անհնարին է։
  Վերևում նկարագրված ալորիթմից օգտվելով՝Հյուգենսը  փորձեց  խնդրիլուծումը  փնտրել  համապատասխանշղթայական  կոտորակի  մերձավոր  կոտորակների  մեջ։
   Նա  որպեսայդպիսի մերձավոր կոտորակ գտավ   կոտորակը։
 Շղթայականկոտորակներըսկսած՝երաժշտությունումօգտագործվումերաժշտությունում։
 Բախիժամանակներիցէհավասարաչափ  տեմպավորված  սանդղակը,  որըյուրաքանչյուրօկտավայում  պարունակում  է  12  կիսատոն  [7]։
   Եթե  երկարությամբլարն արձակում է առաջին օկտավայի «դո» հնչյունը` համապատասխան(մեկ  վայրկյանում  512  տատանում),  ապա  հաճախությամբերկարությամբ  լարն  արձակում  է  հաճախությամբ  ձայն(բնականկվինտա),  իսկ  երկարությամբլարը`  հաճախությամբձայն(օկտավա)։
  Մեր ականջը երկու հնչյունների համեմատումից որսումէ  ոչ  թե  նրանց  հաճախությունների  հարաբերությունը,  այլ  այդհարաբերության  լոգարիթմը։
   Անհրաժեշտ  է  ընդամենը  վերցնել  երկուհիմքով  լոգարիթմ,  որպեսզի  մեկ  օկտավայի  ինտերվալը  չափվի  որպեսմիավոր.Ի՞նչու  առաջացավ  օկտավայի  հենց  12  ինտերվալի  բաժանումը։
 Որպեսզի  օկտավան  և  բնական  կվինտան  հնարավորինս  ստույգտեղավորվենմեջ,  թիվը  լավանհրաժեշտ  է  օկտավան  բաժանել  այնքան  մասերի,  որմիևնույն  հավասարաչափ  տեմպավորմանմոտենա ընտրված հայտարարով կոտորակին։
 թվի մերձավոր կոտորակներն են`  և  մոտարկումների  սխալանքը  շատ  մեծ  է։
   մոտարկումըհամապատասխանում  է  Արևելքի  ժողովուրդների  մոտ  գոյությունունեցող պենտատոնիկային,  իսկ  մոտարկումն  ամենահաջողվածն  է։
 Սխալանքը`որն ականջի համար անլսելի է։
 Շղթայական կոտորակների այլ կիրառություններ։
 ●  Եթե  թղթի  ուղղանկյուն  թերթիկը  երկու  հավասար  մասերիբաժանելով ուզում ենք ստանալ կողմերի նույն հարաբերությամբ երկունոր  թերթիկներ,  ապա  սկզբնական  թերթիկի  կողմերը  պետք  է  կողմերովհարաբերեն  այնպես,  ինչպեսուղղանկյունը,  ապա  յուրաքանչյուր  կեսի  երկար  կողմը  կլինի,  իսկ։
   Իրոք,  եթե  կիսենք  ևկարճ  կողմը՝։
   Այդ  կողմերի  հարաբերությունը՝,  կրկինհավասար  է-ի։
   Հենց  այս  հատկությամբ  են  օժտվածֆորմատի  թղթերը։
   Դրանում  կհամոզվենք,  եթե  կիսենքթուղթը (Նկ. 4)։
   ֆորմատի  ֆորմատի  ստանդարտ  թղթի  չափերն  են՝մմ։
   Նրանցհարաբերությունը՝Նկ. 4  թվի  5-րդ  մերձավոր  կոտորակն  է։
   Նրանց  միջևտարբերությունն աչքի համար աննկատելի է՝Թերթիկի կողմերի արտադրյալը(մետրերով) քիչ է տարբերվում -ից.Դա  կապված  է  նրա  հետ,  որ-ը  կազմում  է  վատմանայինթերթիկի-րդ  մասը,  որի  մակերեսը    է։
   Եթե  գտնենք  բոլորֆորմատներին  համապատասխանող  շղթայական  կոտորակները,  ապալավագույն  մոտարկումն  է։
   Օրինակ՝կտեսնենք,  որ-ը-ի-ն-ի ընդամենը 4-րդ մերձավոր կոտորակն է։
 ● Դեռևս Գյոթեն ընդգծում էր բնության գալարագծային տենդենցները։
 Ծառերի տերևների պտուտակային դիրքը ճյուղերի վրա նկատել էին դեռհին  ժամանակներում։
   Գալարագիծը  նկատել  էին  նաև  արևածաղկիսերմերի  դասավորությունում,  սոճիի  կոներում,  անանասներում,կակտուսներում  և  այլն։
   Բուսաբանությունում  այս  երևույթը  հայտնի  էֆիլլոտակսիս  անվամբ։
   Բուսաբանների  և  մաթեմատիկների  համատեղաշխատանքը  լույս  սփռեց  բնության  այս  զարմանալի  երևույթների  վրա։
 Եթե  հաշվենք  յուրաքանչյուր  կողմում  ոլորվող  գալարների  քանակը,ապա  որպես  կանոն  կստանանք  Ֆիբոնաչիի  երկու  հարևան  թվեր,այսինքն՝ հետևյալ հաջորդականությանը պատկանող թվեր՝որումԱյսպես  սոճիի  կոնի  մի  կողմում  կան  3  պտտվող  գալարներ,  իսկմյուս կողմում՝ 5 գալարներ։
  Եղևնու դեպքում համապատասխանաբար 5և  8,  մայրիի  կոնը  համապատասխանաբար  ունի  8  և  13  գալարներ։
 Սարդը  սարդոստայնը  հյուսում  է  պարուրաձև։
   Փոթորիկը  պտտվում  էպարուրաձև։
   Տերևների  այսպիսի  պարուրաձև  դասավորությունըբույսերին  թույլ  է  տալիս  ստանալ  ավելի  մեծ  քանակով  արևիճառագայթներ,  որոնք  անհրաժեշտ  են  ֆոտոսինթեզի  համար։
 Ֆիբոնաչիի  հարևան  թվերի  հարաբերությունները  վերածվում  են  շատպարզ շղթայական կոտորակների, օրինակ՝Սրանք այսպես կոչված ոսկե հատման  մերձավոր կոտորակներն են.շարքեր,  որոնց  գումարներըԱյս  ամենից  զատ՝  շղթայական  կոտորակները  լայն  կիրառությունունեն  նաև  մաթեմատիկական  անալիզում,  հատկապես`շարքերիտեսությունում։
   Ինչպես  ցույց  կտանք  հետագայում,  գոյություն  ունենբազմաթիվշարքերի  տեսությանըհամապատասխան  օրենքով  հաշվելն  առավել  ժամանակատար  և  ոչճշգրիտ են ստացվում, քան երբ շարքը վերլուծվում է համապատասխանշղթայական  կոտորակի  և  հաշվվում  մերձավոր  կոտորակներիարժեքները։
  Այս դեպում թույլ տված սխալանքը հասցվում է մինիմումի։
 Այժմ քննարկենք ստորև նշված օրինակը` վերը ասվածի ճշտության մեջհամոզվելու համար։
 Դիցուք տրված է Ֆուրիեի հետևյալ շարքը [8]Աղյուսակ  1-ում  ներկայացված  են  դեպքում  Ֆուրիեիշարքի հաշվման արդյունքները։
 Ֆուրիեիգումարելիով  մասնավորտասնորդական կարգ։
   շարքը  դանդաղ  զուգամիտող  շարք  է.  միլիոն6  ճշգրիտգումարն  ապահովումէ Աղյուսակ 1. դեպքում Ֆուրիեի շարքի մասնավոր գումարներիԱղյուսակ 1.հաշվումՇարքիանդամներիթիվըՇարքի անդամներիՇարքի մասնավորարժեքներըգումարներըՍխալանքը,Աղյուսակ  2-ում  ներկայացված  է  Ֆուրիեիհամապատասխանարդյունքները։
 շղթայականկոտորակի  շարքի  գումարըհաշվմանմիջոցովՖուրիեի շարքի արժեքի հաշվումը համապատասխան շղթայականԱղյուսակ 2. կոտորակովՇղթայականկոտորակիգործակիցներիարժեքներըՄերձավորկոտորակներիարժեքներըՍխալանքը,ԿոտորակիօղակներիքանակըՇարքիանդամներիարժեքներըՀամապատասխան շղթայական կոտորակը թույլ է տալիս Ֆուրիեի  շարքի  արժեքը  հաշվել  շատ  բարձր  ճշտությամբ։
   Մասնավորգումարների  և  համապատասխան  շղթայական  կոտորակի  միջոցովՖուրիեի  շարքի  արժեքի  հաշվման  համեմատական  արդյունքներնիսկապես տպավորիչ է. շղթայական կոտորակները 256 օղակի դեպքումտալիս  են  գրեթե  300  կարգի  պակաս  սխալանք,  քան  անմիջականմասնավոր գումարների միջոցով հաշվումը։
 Այսպիսով,  կարելի  է  գալ  այն  եզրակացության,  որ  Ֆուրիեիշարքերի  զուգամիտության  արագացումը  լիովին  կարող  է  կատարվելհամապատասխան  շղթայական  կոտորակների  կառուցման  մեթոդով,քանի  որ  բերված  օրինակներից  պարզ  է  դառնում,  որ  շղթայականկոտորակների  ապարատն  ունակ  է  տալ  ավելի  ու  ավելի  մեծճշգրտություն՝ փոքր սխալանքով։

Առօրյա  կյանքում    և  գիտության  այլ  բնագավառներում  շատ  հաճախ  հանդիպում ենք երևույթների, որոնցում առկա խորը մաթեմատիկական  հիմքերի  մասին  դժվար  է  անգամ  կռահել։
   Այդպիսիք  են  մեր  լսած  երաժշտությունը,  օրացույցը,  որով  առաջնորդվում  ենք,  մեխանիզմներում օգտագործվող ատամնանիվները և այլն։
   Բերված  ներկայացմանը։
   Աշխատատանքն  ամբողջությամբ  նվիրված  է  թվերի  տեսության  բաժիններից  մեկի՝  շղթայական  կոտորակների  մի  քանի  հետաքրքիր  կիրառությունների  շղթայական  կոտորակների,  նրանց  մերձավոր  կոտորակների,  հատկությունների  կիրառություններ  ֆիզիկայի,  աստղաֆիզիկայի,  երաժշտության  և  այլ  բնագավառներում։
   Փոքր  անդրադարձ  է  կատարված  նաև  շղթայական  կոտորակների  կիրառությանը  մաթեմատիկական  անալիզի՝  շարքերի  զուգամիտության և մոտավոր արժեքների հաշվման գործընթացներում։
