ԱՐՏԱԾՈՒՄՆԵՐԻ  ԲԱՐԴՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀԵՏԱԶՈՏՈՒՄԸ  ՖՐԵԳԵԻՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐՈՒՄ Ապացույցների  ավտոմատացման  մշակումների  պատճառով  տարբեր  տրամաբանական  համակարգերում  առաջացած  արտածումների  բարդության  բնութագրիչների հետազոտությունները հատկապես արդիական են արհեստական բանականության  հետ  կապված  մշակումներում,  ինչպես  նաև  գաղտնագրաբանության  տարբերխնդիրների համար։
  Դժվար ապացուցվող լինելուն հավակնող այս կամ այն կոմբինատոր խնդիրներին վերաբերող պնդումների ապացուցման ընթացքում դատողություններն ունեն կոնստրուկտիվ (ինտուիցիոնիստական) բնույթ, իսկ երբեմն էլ  սահմանափակվում  են  մինիմալ  տրամաբանության  շրջանակներով։
   Այս  հանգամանքների,ինչպես  նաև  և  դասական  ու  ոչ  դասական  տրամաբանությունների  միջև  մի  շարքէական տարբերությունների պատճառով ոչ պակաս արդիական են արտածումներիբարդությունների հետազոտությունները նաև ոչ դասական տրամաբանություններում։
 կան տրամաբանությունում ապացուցված որոշ արդյունքներ ինտուիցիոնիստական ևմինիմալ տրամաբանություններում տեղի չեն ունենում։
 Համակարգերի սահմանումները։
  Մենք կօգտագործենք Բուլյան խորանարդիՍույն  աշխատանքում  (ըստ  որոշակի  հատկությունների)  համեմատվում  ենդասական,  ինտուիցիոնիստական  և  մինիմալ  տրամաբանությունների  համար  Ֆրեգեի համակարգերը։
  Ապացուցված է, որ դասական տրամաբանության համար որոշակի  հատկությունները`  միատոնության  բացակայությունը,  էապես  հավասար  նույնաբանությունների  արտածումների  բարդությունների  հնարավոր  էական  տարբերությունը տեղի են ունենում նաև ինտուիցիոնիստական և մինիմալ տրամաբանություններում, սակայն A և B նույնաբանությունների համար A v B տիպի բանաձևերի	 դասահայտնի սահմանումը E(cid։
 2924)։
  Դասական տրամաբանության Ֆրեգեի (cid։
 2320) համակարգերում,  որտեղ A(cid։
 2869),A(cid։
 2870)...A(cid։
 2924)-ը  և B-ն  բանաձևեր  են  (առանց  նաօգտագործվում  են  հաշվելի  թվով  տրամաբանական  փոփոխականներ  և  որոշակիտրամաբանական գործողությունների վերջավոր, լրիվ համակարգ։
  Բանաձևերը սահմանվում են ընդունված եղանակով՝ տրամաբանական փոփոխականներից, տրամաբանական գործողություններից և փակագծերից։
  Արտածման կանոնները տրվում ենհետևյալ  սխեմայով՝խադրյալներ՝ n=0 դեպքում, արտածման կանոնները հենասույթների սխեմաներ են)։
 Ֆրեգեի համակարգերը անհակասելի են և լրիվ։
 (cid։
 2885)(cid։
 3117),(cid։
 2885)(cid։
 3118)...,(cid։
 2885)(cid։
 3172) (cid։
 2886) Արտածման կանոնը հանրահայտ modus ponens –ն է՝  (cid։
 2885),(cid։
 2885)⊃(cid։
 2886)(cid։
 2886)  (m.p.)։
 ML մինիմալ տրամաբանության համակարգը պարունակում է միայն 1-7 հենա  CL-ով  նշանակենք  դասական  տրամաբանության  Ֆրեգեի  հետևյալ  համակարգը՝ A,B	և	C յուրաքանչյուր բանաձևերի համար ասույթների սխեմաներն են.  1) A⊃(cid։
 4666)B⊃A(cid։
 4667)  2) (cid։
 4666)A⊃B(cid։
 4667)⊃(cid։
 4666)(cid։
 4666)A⊃(cid։
 4666)B⊃C(cid։
 4667)(cid։
 4667)⊃(cid։
 4666)A⊃C(cid։
 4667)(cid։
 4667)  3) A⊃(cid։
 4666)B⊃A∧B(cid։
 4667)  6) (A⊃C)	⊃(cid։
 4666)(cid։
 4666)B⊃C(cid։
 4667)⊃(cid։
 4666)A∨B⊃C(cid։
 4667)(cid։
 4667)  7) (cid։
 4666)A⊃B(cid։
 4667)⊃(cid։
 4666)(cid։
 4666)A⊃(cid։
 3411)B(cid։
 4667)⊃(cid։
 3411)A(cid։
 4667)  8) (cid։
 3411)(cid։
 3411)A⊃A IL ինտուիցիոնիստական տրամաբանության համակարգը ստացվում է (cid։
 3411)(cid։
 3411)A⊃Aհենասույթը (cid։
 3411)A⊃(cid։
 4666)A⊃B(cid։
 4667) հենասույթով փոխարինելով։
 սույթները։
  ML–ում ներմուծվում է (cid։
 1635) հաստատունը (նույնաբար սխալ) և (cid։
 3411)A-ի փոխարեն սովորաբար գրվում է A⊃(cid։
 1635)։
 ղում  գտնվող  բանաձևի  արտածում։
   Ինչպես  ընդունված  է, A բանաձևի  արտածմանփաստը Ф-ում կնաշանակենք ⊢Ф	A։
  Հետևելով [1]-ին նշենք, որ A բանաձևը կոչվում է ինտուիցիոնիստական նույյուն), եթե ⊢(cid։
 1783)(cid։
 1786)	A  (⊢(cid։
 2897)(cid։
 2896)A) ։
    Ցանկացած A բանաձևի համար  A-ն արտածվում է CL-ում ( ⊢(cid։
 1777)(cid։
 1786)A) միայն այնդեպքում, երբ (cid։
 3411)(cid։
 3411)(cid։
 1775)-ն արտածվում է IL-ում (⊢(cid։
 1783)(cid։
 1786)(cid։
 3411)(cid։
 3411)(cid։
 1775)), ինչը իր հերթին համարժեք է(cid։
 4666)(cid։
 1775)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)⊃(cid։
 1635)-ի ML-ում արտածվելուն (⊢(cid։
 1787)(cid։
 1786)	(cid։
 4666)(cid։
 1775)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)։
 |φ| ով կնշանակենք φ բանաձևի երկարությունը՝ որպես նրանում բոլոր տրամաբանական գործողությունները, սահմանափակված է |φ|-ից կախված գծային գործաԴիցուք, Ф-ն  որևէ արտածման համակարգ է` իր հենասույթներով և արտածմանկանոններով։
  Տողերի վերջավոր հաջորդականությունը, որտեղ ցանկացած տող կա´մհենասույթ է, կա´մ Ф-ի որոշակի արտածման կանոնով ստացվել է նախորդ տողերիվերջավոր բազմությունից, Ф համակարգում (Ф-արտածում) կանվանենք վերջին տոբանական գործողությունների մուտքերի քանակ։
  Ակնհայտ է, որ բանաձևի ընդհանուր երկարությունը, որը ներառում է բոլոր փոփոխականների մուտքերը և տրամանաբանություն`  I-նույնաբանություն  (մինիմալ  նույնաբանություն`  M-նույնաբանութ  Վերոհիշյալ  երեք համակարգերում բանաձևերի արտածելիության միջև հայտնի է փոխհարաբերությունը [1]` Արտածման բարդության բնութագրիչներ ռույթով։
 Արտածումների բարդության տեսությունում դիտարկվում են արտածման բարդության հետևյալ հիմնական բնութագրիչները։
 արտածման բոլոր տողերի երկարությունների գումարին, որտեղ կրկնվող տողերի չափերը հաշվարկվում են մեկ անգամ։
  Ф-արտածման քայլերի քանակը (t-բարդություն)հենասույթների  և արտածման կանոնի կիրառումների քանակն է։
 Սահամնում  1.  Ф-արտածման  երկարությունը  ((cid։
 1812) -բարդություն)  հավասար  էՍահամնում 2. Դիցուք,  Ф-ն արտածման համակարգ է և φ-ն այդ համակարգումարտածվող  բանաձև  է։
  t(cid։
 2957)(cid։
 2982)(l(cid։
 2957)(cid։
 2982))-ով  կնշանակենք  Ф  համակարգում φ -ի  բոլոր  արտածումների t-բարդությունների (l-բարդությունների) մինիմալ արժեքը։
 (l-բազմանդամորեն) համարժեք, եթե համակարգերից մեկում տրված յուրաքանչյուրՍահամնում 3. Երկու արտածման համակարգեր կոչվում են t-բազմանդամորենարտածում կարող է ձևափոխվել նույն բանաձևի արտածմանը մյուս համակարգում ոչավելին, քան քայլերի քանակի (երկարության) բազմանդամային աճի։
 Հետևելով Մինցին [2] և Սայադյանին ու Չուբարյանին [3], տանք հետևյալ սահմանումը։
 Սահամնում  4.    Համակարգը,  որում  արտածվում  են  միայն  այն  բանաձևերը,որոնք արտածվում են IL-ում(ML-ում) և որը բազմանդամորեն համարժեք է IL-ին (MLին), տվյալ տրամաբանության համար կոչվում է Ֆրեգեյի համակրգ FIL (FML)։
 Հիմնական արդյունքներ Սահմանում  1.  Էականորեն  հավասար  նույնաբանությունների  արտածմանբարդությունների համեմատումը FIL-ում և FML-ում։
 Հետևելով ընդունված սահամնումներին, փոփոխականները և դրանց ժխտումները կանվանենք լիտերալներ։
  K կոնյունկտն իրենից ներկայացնում է լիտերալներիՍահմանում 1.1 Ասույթային հաշվի յուրաքանչյուր ψ բանաձևի համար հետևյալբազմություն (կոնյունկտը չի կարող միաժամանակ պարունակել փոփոխականն ու այդփոփոխականի ժխտումը)։
 տարրական ձևափոխումներից յուրաքանչյուրը կանվանենք փոխարինման կանոն`Հետևելով [6]-ին, տանք հետևյալ սահմանումները`0∧ψ(cid։
 3404)0,ψ∧0(cid։
 3404)0,1∧ψ(cid։
 3404)ψ,ψ∧1(cid։
 3404)ψ,0∨ψ(cid։
 3404)ψ,ψ∨0(cid։
 3404)ψ,1∨ψ(cid։
 3404)1,ψ∨1(cid։
 3404)1,0⊃ψ(cid։
 3404)1,ψ⊃0(cid։
 3404)(cid։
 3411)ψ,1⊃ψ(cid։
 3404)ψ,ψ⊃1(cid։
 3404)1,(cid։
 3411)0(cid։
 3404)1,(cid։
 3411)1(cid։
 3404)0,(cid։
 3411)(cid։
 3411)ψ(cid։
 3404)ψ.Փոխարինման  կանոնի  միջոցով  բանաձևերում  փոխարինման  կանոնի  ձախմասի  տեսքն  ունեցող  ցանկացած  ենթաբանաձև  կարող  է  փոխարինվել  աջ  մասիտեսքն ունեցող համապատասխան բանաձևով։
 Դիցուք, φ -ն  ասույթային  հաշվի  բանաձև  է,  իսկ P(cid։
 3404)(cid։
 4668)p(cid։
 2869),p(cid։
 2870),...,p(cid։
 2924)(cid։
 4669) -ն  այդբանաձևի  բոլոր  փոփոխականների  բազմությունը։
  P′(cid։
 3404)(cid։
 4668)p(cid։
 2919)(cid։
 3117),p(cid։
 2919)(cid։
 3118),...,p(cid։
 2919)(cid։
 3171)(cid։
 4669)-ով (cid։
 4666)1(cid։
 3409)m(cid։
 3409) n(cid։
 4667) նշանակենք P–ի որևէ ենթաբազմություն։
 (1 կամ 0)՝ անկախ մնացած փոփոխականների արժեքներից։
 գերում կարող են էապես տարբերվել։
 բարդությունների համար գոյություն ունի հետևյալ թեորեմը՝ սար են, եթե յուրաքանչյուր φ-որոշիչ կոնյունկտ նաև ψ-որոշիչ է և հակառակը։
 FIL-ում  և  FML-ում  էականորեն  հավասար  նույնաբանությունների  արտածման[11]-ում  ապացուցված  է,  որ  էականորեն  հավասար  նույնաբանություններիՍահմանում  1.3. φ և ψ դասական նույնաբանություններն էականորեն հավաՍահմանում  1.2  Տրված σ(cid։
 3404)(cid։
 4668)σ(cid։
 2869),σ(cid։
 2870),...,σ(cid։
 2922)(cid։
 4669)⊂E(cid։
 2924)-ի  համար K(cid։
 2978)(cid։
 3404)(cid։
 4668)p(cid։
 2919)(cid։
 3117)(cid։
 2978)(cid։
 3117),p(cid։
 2919)(cid։
 3118)(cid։
 2978)(cid։
 3118),...,p(cid։
 2919)(cid։
 3171)(cid։
 2978)(cid։
 3171)(cid։
 4669)կոնյունկտը  կանվանենք φ -1-որոշիչ  (φ -0-որոշիչ),  եթե  ամեն p(cid։
 2919)(cid։
 3168) -ին σ(cid։
 2920)(cid։
 4666)1(cid։
 3409)j(cid։
 3409)m(cid։
 4667)վերագրելուց հետո, կիրառելով փոխարինման կանոնները, կստանանք φ-ի արժեքըφ-1-որոշիչ  կոնյունկտը  և φ-0-որոշիչ  կոնյունկտը  կանվանենք φ-որոշիչ  կամորոշիչ φ-ի համար։
 արտածման  բարդությունները  դասական  տրամաբանության  Ֆրեգեի (cid։
 2320)  համակարԹեորեմ  1.  Գոյություն  ունեն φ(cid։
 2924)(cid։
 2893)	(cid։
 4666)φ(cid։
 2924)(cid։
 2897)(cid։
 4667) և ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)	(cid։
 4666)ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897)(cid։
 4667) I-նույնաբանություններ  (M-նույնաբանություններ), որոնք էականորեն հավասար են, |φ(cid։
 2924)(cid։
 2893)|(cid։
 3404)	|ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)|(cid։
 3397)c (|φ(cid։
 2924)(cid։
 2897)|(cid։
 3404)	|ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897)|(cid։
 3397) c), սակայն t(cid։
 2890)(cid։
 2893)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3141) (cid։
 3409)	c(cid։
 2869),												t(cid։
 2890)(cid։
 2893)(cid։
 2896)(cid։
 2984)(cid։
 3172)(cid։
 3141) (cid։
 3410)	c(cid։
 2870)|ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)|     (t(cid։
 2890)(cid։
 2897)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3145) (cid։
 3409)	c(cid։
 2869),				t(cid։
 2890)(cid։
 2897)(cid։
 2896)(cid։
 2984)(cid։
 3172)(cid։
 3145) (cid։
 3410)	c(cid։
 2870)|ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897)|)l(cid։
 2890)(cid։
 2893)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3141) (cid։
 3409)	c(cid։
 2871)|φ(cid։
 2924)(cid։
 2893)|,				l(cid։
 2890)(cid։
 2893)(cid։
 2896)(cid։
 2984)(cid։
 3172)(cid։
 3141) (cid։
 3410)	c(cid։
 2872)|ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)|(cid։
 2870)  l(cid։
 2890)(cid։
 2897)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3145) (cid։
 3409)	c(cid։
 2871)|φ(cid։
 2924)(cid։
 2897)|,				l(cid։
 2890)(cid։
 2897)(cid։
 2896)(cid։
 2984)(cid։
 3172)(cid։
 3145) (cid։
 3410)	c(cid։
 2872)|ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897)|(cid։
 2870) ),  որտեղc,c(cid։
 2869),c(cid։
 2870),c(cid։
 2871),c(cid։
 2872)-ը դրական հաստատուններ են։
 (cid։
 4666)p∨(cid։
 3411)p(cid։
 4667),    ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)(cid։
 3404)	(cid։
 3411)(cid։
 3411)	...(cid։
 3411) φ(cid։
 2924)(cid։
 2893)(cid։
 3404)(cid։
 3411)(cid։
 4666)p∨(cid։
 3411)p(cid։
 4667)⊃(cid։
 3411)(cid։
 3411)	...(cid։
 3411) (cid։
 4585)(cid։
 4589)(cid։
 4586)(cid։
 4589)(cid։
 4587)(cid։
 2870)(cid։
 3172) (cid։
 4585)(cid։
 4589)(cid։
 4586)(cid։
 4589)(cid։
 4587)(cid։
 2870)(cid։
 3172) (cid։
 4666)p∨(cid։
 3411)p(cid։
 4667), իսկ FML-ի համար՝  (cid։
 4585)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4586)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4587) φ(cid։
 2924)(cid։
 2897)(cid։
 3404)(cid։
 4666)(cid։
 4666)…(cid։
 4666)(cid։
 4666)p∨(cid։
 4666)p⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)(cid։
 4667)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)...⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667) ⊃(cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667),ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897) (cid։
 2870)(cid։
 3172) (cid։
 4585)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4586)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4587) (cid։
 3404)(cid։
 4666)(cid։
 4666)…(cid։
 4666)(cid։
 4666)p∨(cid։
 4666)p⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)(cid։
 4667)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)...⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667) (cid։
 2870)(cid։
 3172) [7]  ում  ցույց  է  տրված,  որ  FCL-ում ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)  համար  տեղի  ունեն  հետևյալ  ստորինt(cid։
 2890)(cid։
 2887)(cid։
 2896)(cid։
 2984)(cid։
 3172)(cid։
 3141) (cid։
 3410)	c(cid։
 2870)|ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)|	և  l(cid։
 2890)(cid։
 2887)(cid։
 2896)(cid։
 2984)(cid։
 3172)(cid։
 3141) (cid։
 3410)	c(cid։
 2872)|ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)|(cid։
 2870), հետևաբար, դրանք տեղի ունեն նաև FIL-ում ևFML-ում ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897) բանաձևերի համար։
 Մյուս կողմից φ(cid։
 2924)(cid։
 2893)  բանաձևը արտածվում է FIL-ում հաստատուն քայլերով։
  Նախարտածում  ենք (cid։
 3411)(cid։
 3411)(cid։
 4666)p∨(cid։
 3411)p(cid։
 4667)(cid։
 4667)  նույնաբանությունը,  ապա  օգտվում  ենք (cid։
 3411)A⊃(cid։
 4666)A⊃B(cid։
 4667)հենասույթից։
   FML-ում  ևս  արտածում  ենք p⊃p նույնաբանությունը,  հետո (cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)⊃ φ(cid։
 2924)(cid։
 2897)	հենասույթից արտածվում է φ(cid։
 2924)(cid։
 2897)-ը։
  Այս արտածումների համար առկա են հետևյալt(cid։
 2890)(cid։
 2893)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3141) (cid։
 3409)	c(cid։
 2869),				 (t(cid։
 2890)(cid։
 2897)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3145) (cid։
 3409)	c(cid։
 2869) )  և l(cid։
 2890)(cid։
 2893)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3141) (cid։
 3409)	c(cid։
 2871)|φ(cid։
 2924)(cid։
 2893)|,			l(cid։
 2890)(cid։
 2897)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3145) (cid։
 3409)	c(cid։
 2871)|φ(cid։
 2924)(cid։
 2897)|	 ,  ինչը  և  ավարտում  էԱպացույց։
  Դիտարկենք FIL- համար հետևյալ բանաձևերը՝բանաձևերը։
 գնահատականները՝պայմանները՝ապացույցը։
 1.2 FIL և FML համակարգերի ոչ միաոտոնությունըՍահմանում  2.1  Նույնաբանությունը  (I-նույնաբանություն,  M-նույնաբանություն)կանվանենք մինիմալ, եթե այն չի ստացվում տեղադրությամբ ավելի կարճ նույնաբանությունից (I-նույնաբանությունից, M-նույնաբանությունից)։
 Նշանակենք S	(cid։
 4666)φ(cid։
 4667)-ով բոլոր այն բանաձևերի բազմությունը, որոնք ստացվում ենφ-ից նրա փոփոխականները որևէ բանաձևերով փոխարինելու արդյունքում։
 Սահմանում  2.2. Φ համակարգը  կոչվում  է t-միատոն  (l-միատոն),  եթե  նրացանկացած φ նույնաբանության և ψ∈S(cid։
 4666)φ(cid։
 4667)-ի համար t(cid։
 2957)(cid։
 2982)(cid։
 3409)t(cid։
 2957)(cid։
 2984) (l(cid։
 2957)(cid։
 2982)(cid։
 3409)	l(cid։
 2957)(cid։
 2984))։
 [10]-ում ցույց է տրված, որ FCL-ը ո´չ t-միատոն է, ո´չ l-միատոն։
 Թեորեմ 2.2. FIL և FML համակարգերը ո´չ t-միատոն են, ո´չ l-միատոն։
 Ապացույց։
  Դիտարկենք  հետևյալ  բանաձևերը  q∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)   (q∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897)),  որտեղ ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)(cid։
 3404) (cid։
 4585)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4586)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4589)(cid։
 4587) (cid։
 4666)p∨(cid։
 3411)p(cid։
 4667)		(ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897)(cid։
 3404)(cid։
 4666)(cid։
 4666)…(cid։
 4666)(cid։
 4666)(cid։
 4666)p∨(cid։
 4666)p⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)(cid։
 4667)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)...⊃(cid։
 1635)(cid։
 4667)(cid։
 4667) 	(cid։
 3411)(cid։
 3411)	...(cid։
 3411) (cid։
 4585)(cid։
 4589)(cid։
 4586)(cid։
 4589)(cid։
 4587)(cid։
 2870)(cid։
 3172) )։
   Նկատենք,  որ (cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)∨ ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)  ((cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897)) բանաձևերը ստացվում են նրանցից տեղադրման միջոցով։
  [10]-ումցույց  է  տրված,  որ q∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893) -ն  ունի  ստորին  գծային t -բարդություն  և  ստորինքառակուսային l-բարդություն FCL-ում։
  Բնական է, որ նույնը տեղի ունի նաև FIL-ում ևFML-ում։
  (cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)  ((cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897)) բանաձևեր կարելի է արտածել FIL-ում (FML-ում)հաստատուն t-բարդությամբ  և  գծային	l-բարդությամբ։
   Դրա  համար,  օգտվելով A⊃ A∨B,	 հենասույթի  սխեմայից,  արտածենք (cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)⊃(cid։
 4672)(cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)(cid։
 4673)			(cid։
 4666)(cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)⊃(cid։
 4666)(cid։
 4666)p⊃ p(cid։
 4667)∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897) ))  բանաձևը,  ապա (cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)-ն,  որտեղից  կարտածվի (cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)∨ψ(cid։
 2924)(cid։
 2893)	 ((cid։
 4666)p⊃p(cid։
 4667)∨ ψ(cid։
 2924)(cid։
 2897))։
 (cid։
 2870)(cid։
 3172) արտածման  բարդությունների  վերին  ցուցչային  գնահատականների  արկայությամբ[4]-ում ապացուցված է, որ`2.3  FCL և FIL  ու FML համակարգերի էական տարբերությունները։
 Ա. FCL-ում հայտնի են յուրաքանչյուր նույնաբանության արտածման բարդությունների վերին ցուցչային և ստորին ոչ ավելին, քան քառակուսային գնահատականները, հետևաբար, խիստ արդիական են կա´մ վերին գնահատականի նվազեցմանը,կա´մ  ստորինի  բարձրացմանն  ուղղված  հետազոտությոնները,  որոնց  շրջանակներում ստացվել են որոշակի արդյունքներ [8, 9]-ում։
 FIL -ում  (FML -ում)  յուրաքանչյուր  I-նույնաբանության  (M-նույնաբանության)Պնդում    Ա.  Գոյություն  ունեն φ(cid։
 2924) բանաձևեր  որոնց  համար l(cid։
 2890)(cid։
 2893)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3410)	2|(cid։
 2982)(cid։
 3172)|, t(cid։
 2890)(cid։
 2893)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172)(cid։
 3410) 	2|(cid։
 2982)(cid։
 3172)| (l(cid։
 2890)(cid։
 2897)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172) (cid։
 3410)	2|(cid։
 2982)(cid։
 3172)|, t(cid։
 2890)(cid։
 2897)(cid։
 2896)(cid։
 2982)(cid։
 3172) (cid։
 3410)	2|(cid։
 2982)(cid։
 3172)|)։
 	A(cid։
 2924)  և  B(cid։
 2924)	A(cid։
 2924)∨B(cid։
 2924) -ի  արտածման  t -բարդությունները  ևբարդությունները FCL-ում էապես ավելի փոքր են, քան 	A(cid։
 2924) և B(cid։
 2924) բանաձևերինները։
 Պնդում Բ. Եթե	FIL-ում (FML-ում) կառուցված արտածման մեջ ոչ մի բանաձև չիկրկնվում, ապա յուրաքանչյուր A∨B բանաձևի այդպիսի արտածումը  պարունակումէ  կա´մ A-ի կա´մ B-ի արտածումը։
  [5]-ում ապացուցված է հետևյալ պնդումը։
 Բ.[9]-ում  ապացուցված  է,  որ  գոյություն  ունեն  այնպիսինույնաբանություններ,  որԱյս պնդումից ակնհայտորեն բխում է հետևյալը՝Պնդում  2.3.1  Յուրաքանչյուր A և B I-նույնաբանությունների  (M-նույնաբանությունների)  համար   A∨B-ի  արտածման t և l-բարդությունները FIL-ում  (FML-ում)  չենկարող  լինել  ավելի  փոքր,  քան A և B բանաձևերի t-բարդությունների  և,  համապատասխանաբար, FIL-ում (FML-ում) l-բարդությունների մինիմալ արժեքներից։
 Ապացույցը  հետևում  է  այն  փաստից,  որ t և l-բարդությունները  հասանելի  ենչկրկնվող բանաձևերով արտածումներում։
 ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՊետրոսյան ԳարիկԱՐՏԱԾՈՒՄՆԵՐԻ ԲԱՐԴՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀԵՏԱԶՈՏՈՒՄԸ  ՖՐԵԳԵԻՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐՈՒՄԲանալի բառեր` Ֆրեգեի համակարգեր, արտածման բարդության բնութագրիչներ,էականորեն հավասար նույնաբանություններ, արտածման համակարգիմիատոնություն։

Սույն հոդվածում արտածումների բարդությունների տեսանկյունից  հետազոտվել  են  Ֆրեգեի՝  դասական,  ինտուիցիոնիստական  և  մինիմալ  տրամաբանությունների  համակարգերի որոշակի հատկությունների նմանությունները և տարբերությունները։
