ՊՈՊՈՒԼՅԱՑԻԱՅԻ ԹՎԱՔԱՆԱԿԻ ՓՈՓՈԽՈՒԹՅԱՆ ՖԵՐՀՅՈՒԼՍՏԻՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼԸՄեզ շրջապատող աշխարհի տարբեր իրեր և երևույթներ նկարագրելու համարհաճախ օգտագործում են մաթեմատիկական մոդելներ։
  Մոդելավորման մեթոդը բաղկացած է հետազոտվող օբյեկտի, գործընթացի կամ երևույթի համար մոդելի կառուցումից, ուսումնասիրությունից և իրական օբյեկտի վրա դրա համար ստացված արդյունքների տեղափոխումից։
  Մաթեմատիկական մոդելները լայն կիրառություն ունենտեխնիկայում, բնագիտության, տնտեսագիտության, սոցիալական երևույթների ճանաչողության մեջ և այլուր։
 Մաթեմատիկական մոդելի վերլուծությունը հետազոտողին հնարավորություն էտալիս տրամաբանական ճանապարհով կանխատեսել այլընտրանքային գործողությունների հետևանքները՝ ցույց տալով, թե դրանցից որ մեկին պետք է առավելությունտալ։
  Մոդելի վերլուծությունը հեշտ է, արագ և մեծ ծախսեր չի պահանջում։
 Աշխատանքում  կխոսվի  պոպուլյացիայի  թվաքանակի  փոփոխության  մոդելավորման և, մասնավորապես՝ Ֆերհյուլստի մոդելի մասին։
  Մոդելը կարող է կիրառվելնաև տարբեր հիվանդությունների, համաճարակների կանխարգելման, գյուղատնտեսության և այլ ոլորտներում։
 Դիցուք, ունենք որևէ պոպուլյացիա, որի թվաքանակը փոփոխվում է ծնելիության  և  մահացածության  հետևանքով։
   Նշված  պոպուլյացիայի  թվաքանակի  փոփոխության համար ամենապարզ մոդելը Թոմաս Ռոբերտ Մալթուսի (1766-1834 թթ.)հավասարումն է, որը ներկայացվել է 1798 թ.։
  Համաձայն այս մոդելի պոպուլյացիայիթվաքանակի աճի գործակիցը հաստատուն է և թվաքանակն անվերջ էքսպոնենտային աճում է.(cid։
 2914)(cid։
 2898)(cid։
 4666)(cid։
 2930)(cid։
 4667)(cid։
 2914)(cid։
 2930) (cid։
 3404)μN(cid։
 4666)t(cid։
 4667),  N(cid։
 4666)t(cid։
 4667)(cid։
 3404)N(cid։
 4666)0(cid։
 4667)exp	(cid։
 4666)t(cid։
 4667),որտեղ N(cid։
 4666)t(cid։
 4667)-ն պոպուլյացիայի թվաքանակն է ժամանակի t պահին, իսկ μ(cid։
 3404)const՝աճի գործակիցը պոպուլյացիայի 1 ներկայացուցչի հաշվով [1]։
  Այսպիսի գրաֆիկներըկոչվում  են  J-աձև  գրաֆիկներ։
   Եթե  աճի  գործակիցը  դրական  է,  պոպուլյացիանաճում  է,  եթե  զրո  է,  ապա  պահպանում  է  իր  թվաքանակը,  եթե  բացասական  է՝կրճատվում է և վերանում։
 Իհարկե գոյություն ունեն շատ գործոններ, որոնք խոչընդոտում են, որ պոպուլյացիայի թվաքանակն անվերջ չաճի՝ ռեսուրսների պակաս, մրցակցություն տեսակիներսում և այլ տեսակների հետ, գիշատիչներ, բնական աղետներ, հիվանդություններ, մակաբուծություն և այլն։
 Մալթուսը գտնում էր, որ Երկրի բնակչության էքսպոնենտային աճը գերազանցելու է սննդի արդյունաբերության թվաբանական աճը և հանգեցնելու է սովի։
  Նապնդում էր, որ պետք է սահմանափակում մտցվի ծնելիության հարցում։
  Այդ կերպնա դեմ էր 19-րդ դարի վերջի մարդասերների` ապագայի վերաբերյալ օպտիմիստական  տեսակետներին։
   Այս  մոդելի  համաձայն  բնակչության  թվաքանակը  որոշակիարժեքի հասնելուց հետո կտրուկ պիտի նվազի բավականին մեծ չափով, ապա սկսիկրկին  աճել։
   Քանի  որ  ռեսուրսները  չեն  հասցնի  վերականգնվել  նախկին  չափով,ապա նոր աճի պարագայում նույն սցենարը մինչև կայուն արժեքի հասնելը կկրկնվիավելի փոքր արժեքի հասնելու դեպքում [2]։
 1838 թ. Պիեռ Ֆրանսուա Ֆերհյուլստն (1804-1849 թթ.) առաջարկեց լոգիստիկաճի մոդելը, որի համաձայն աճի գործակիցը կախված է պոպուլյացիայի թվաքանակից։
  Հետագայում այն զարգացրել է Ռեյմոնդ Պիրլին (1879-1940), և գիտականգրականության մեջ երբեմն հանդիպում է նաև «Ֆերհյուլստ-Պիրլի մոդել» անվամբ։
 Այստեղից հետևում է, որ ցանկացած պոպուլյացիայի թվաքանակը սահմանափակէ։
 որտեղ K(cid։
 3398) ն պոպուլյացիայի  թվաքանակի  մաքսիմալ  արժեքն  է  (հզորություն,μ(cid։
 4666)N(cid։
 4667)(cid։
 3404)μ(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 2895) , տարողունակություն)։
 dN(cid։
 4666)t(cid։
 4667)dt (cid։
 3404)μN(cid։
 4666)t(cid։
 4667)(cid։
 3398)μKN(cid։
 2870)(cid։
 4666)t(cid։
 4667)(cid։
 3404)μN(cid։
 4666)t(cid։
 4667)(cid։
 4666)1(cid։
 3398)N(cid։
 4666)t(cid։
 4667)K (cid։
 4667)K (cid։
 2914)(cid։
 2898)(cid։
 2898)(cid։
 4666)(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 4667)(cid։
 3404)μdt, (cid։
 4672)(cid։
 2869)(cid։
 2898)(cid։
 3397) (cid։
 2869)(cid։
 4666)(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 4667)(cid։
 4673)dN(cid։
 3404)μdtlnN(cid։
 3398)ln(cid։
 4666)K(cid։
 3398)N(cid։
 4667)(cid։
 3404)μt(cid։
 3397)C′, ln (cid։
 2898)|(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)|(cid։
 3404)μt(cid։
 3397)C′(cid։
 2898)|(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)|(cid։
 3404) (cid։
 2898)(cid։
 3116) (cid։
 2898)|(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)|(cid։
 3404)Ce(cid։
 2972)(cid։
 2930), C(cid։
 3404) (cid։
 2898)(cid։
 3116) |(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3116)|e(cid։
 2972)(cid։
 2930)|(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3116)|,Այստեղից հետևում է, որ սկզբում ռեսուրսները շատ են և պոպուլյացիան արագորեն աճում է, այնուհետև առաջանում է ռեսուրսների պակաս և մրցակցություն,ինչի հետևանքով աճի տեմպը նվազում է և, ի վերջո, հասնում է հավասարակշռության իրավիճակի, երբ բոլոր ռեսուրսներն օգտագործվում են և պոպուլյացիայի հետագա աճը դառնում է անհնար [2]։
 Ժամանակից կախված՝ պոպուլյացիայի թվաքանակի հավասարումը կունենահետևյալ տեսքը․N(cid։
 4666)t(cid։
 4667)(cid։
 3404) (cid։
 2895)(cid։
 2898)(cid։
 3116) (cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 2878)(cid։
 4666)(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 4667)(cid։
 2915)(cid։
 3127)(cid։
 3220)(cid։
 4666)(cid։
 3178)(cid։
 3127)(cid։
 3178)(cid։
 3116)(cid։
 4667), որտեղ N(cid։
 4666)t(cid։
 2868)(cid։
 4667)(cid։
 3404)N(cid։
 2868)։
 limt→∞ N(cid։
 4666)t(cid։
 4667)(cid։
 3404)lim(cid։
 2930)→(cid։
 2998) (cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 2878)(cid։
 4666)(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 4667)(cid։
 2915)(cid։
 3127)(cid։
 3220)(cid։
 4666)(cid։
 3178)(cid։
 3127)(cid։
 3178)(cid։
 3116)(cid։
 4667)(cid։
 3404)K։
 (cid։
 2895)(cid։
 2898)(cid։
 3116) dt(cid։
 2870) (cid։
 3404)μ(cid։
 4678)1(cid։
 3398)2N(cid։
 4666)t(cid։
 4667)K (cid։
 4679)dN(cid։
 4666)t(cid։
 4667)dt Հետազոտենք գրաֆիկը։
   dN(cid։
 2870)(cid։
 4666)t(cid։
 4667) Երբ N(cid։
 4666)t(cid։
 4667)(cid։
 3407)K2⁄ , գրաֆիկն ուռուցիկ է, իսկ աճն՝ էքսպոնենտային. ՖերհյուլստիN(cid։
 4666)t(cid։
 4667)(cid։
 3408)K2⁄ , գրաֆիկը գոգավորություն ունի և աճը դանդաղում է՝ ձգտելով ասիմպոՆշենք, որ եթե N(cid։
 2868)(cid։
 3408)K, ապա պոպուլյացիայի թվաքանակը նվազում է և կրկինտոտիկ K արժեքին։
  Այսպիսի գրաֆիկները կոչվում են S-աձև գրաֆիկներ։
 ձգտում K  արժեքին։
 մոդելի  արդյունքները  համընկնում  են  Մալթուսի  մոդելի  արդյունքների  հետ։
   ԵրբԱճի  գործակցի  փոքր  արժեքների  դեպքում  պոպուլյացիայի  թվաքանակըսահուն կերպով աճում է և դանդաղորեն հասնում մաքսիմալ արժեքին։
  Ավելի մեծարժեքների դեպքում շատ կարճ ժամանակահատվածում այն հասնում է իր մաքսիմալ արժեքին, տատանվում նրա փոքր շրջակայքում և աստիճանաբար կայունանում։
 Իսկ √6(cid։
 3406)2,449 արժեքի դեպքում առաջանում են  կայունացման 2 արժեքներ և թվաքանակը կրկնապատկվում է	μ– ի աճին զուգընթաց. դրանց քանակը որոշվում է բիքանակը պարբերականորեն տատանվում է դրանց միջև։
  Կայունացման արժեքներիֆուրկացիայի կորով [3]։
 Հ/ՀԿայունացմանկետերի քանակՊոպուլյացիայի վարքըՎերացումՍահուն աճ մաքսիմալ արժեքինՓոքր տատանում մաքսիմալարժեքի շուրջՊարբերական տատանումներՊարբերական տատանումներՊարբերական տատանումներՊարբերական տատանումներՊարբերական տատանումներիցդեպի քաոսՔաոսարժեքիցԱղյուսակ 1. Ֆերհյուլստի մոդելի արդյունքների կախվածությունը աճի գործակցի μ– ի  փոփոխման տիրույթը, որի դեպքում պոպուլյացիայի թվաքանակի տատանումը տեղի է ունենում նույն քանակով արժեքների միջև, փոքրանում է μ– ի աճմանՆկարներ  1-4-ում  բերվել  են  պոպուլյացիայի  թվաքանակի  աճի  կորերը μ– իհետ։
  Դրանց հարաբերությունը ձգտում է Ֆեյգենբաումի հաստատունին՝  δ ≈ 4.669...,և նկարագրվածը բիֆուրկացիայի կասկադի տիպիկ օրինակ է։
 տարբեր արժեքների դեպքում, մասշտաբը՝ K=1։
 Նկ. 1   μ∈(cid։
 4666)0;1(cid։
 4667) Նկ. 2   μ∈(cid։
 4666)1;2(cid։
 4667)Նկ. 3   μ∈(cid։
 4666)2,449;2,544(cid։
 4667) Նկ. 4   μ(cid։
 3408)2,56994Աշխատանքում  բերված  է  նշված  մոդելի  կիրառությամբ  Երկրի  բնակչությանթվաքանակի 2010-2100 թթ. 10-ամյա պարբերականությամբ կանխատեսման հաշվարկները՝ հիմնվելով նախորդ տասնամյակների` 1980, 1990 և 2000 թվականներիբնակչության թվաքանակների վրա։
 Իրականում ՓոփոխականՀ/Հ  Թվական N(cid։
 2868)N(cid։
 2869)N(cid։
 2870)N(cid։
 2921)խան բանաձևերի մեջ՝Մեզ հայտնի 3 տարեթվերի թվաքանակները տեղադրում ենք համապատասKN(cid։
 2868) N(cid։
 2921)(cid։
 3404) N(cid։
 2868)(cid։
 3397)(cid։
 4666)K(cid։
 3398)N(cid։
 2868)(cid։
 4667)e(cid։
 2879)(cid։
 2869)(cid։
 2868)(cid։
 2921)(cid։
 2972)(cid։
 4688)N(cid։
 2869)(cid։
 3404) (cid։
 2895)(cid։
 2898)(cid։
 3116) (cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 2878)(cid։
 4666)(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 4667)(cid։
 2915)(cid։
 3127)(cid։
 3117)(cid։
 3116)(cid։
 3220) N(cid։
 2870)(cid։
 3404) (cid։
 2895)(cid։
 2898)(cid։
 3116) (cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 2878)(cid։
 4666)(cid։
 2895)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 4667)(cid։
 2915)(cid։
 3127)(cid։
 3118)(cid։
 3116)(cid։
 3220)  ,(cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 4666)(cid։
 2898)(cid։
 3117)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3118)(cid։
 4667), K(cid։
 3404)(cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 2898)(cid։
 3117)(cid։
 4666)(cid։
 2915)(cid։
 3117)(cid։
 3116)(cid։
 3220)(cid։
 2879)(cid։
 2869)(cid։
 4667) որտեղից ստանում ենք. μ(cid։
 3404) (cid։
 2869)(cid։
 2869)(cid։
 2868)ln(cid։
 2898)(cid։
 3118)(cid։
 4666)(cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3117)(cid։
 4667) (cid։
 2898)(cid։
 3116)(cid։
 2915)(cid։
 3117)(cid։
 3116)(cid։
 3220)(cid։
 2879)(cid։
 2898)(cid։
 3117) ,μ(cid։
 3406)0,029, K(cid։
 3406)11776։
 μ– ի և K-ի արժեքները տեղադրելով բանաձի մեջ` կստանանք Երկրի բնակչության թվաքանակի կանխատեսումը։
 Աճի գործակիցը փոքր է 1-ից, հետևաբար բնակչության թվաքանակը սահունկաճի մինչև մաքսիմալ արժեքը (մոտավորապես 11 մլրդ 776 միլիոն)` ի տարբերություն [4]-րդ աշխատանքում ստացված 15 մլրդ 610 մլն արժեքի։
  Սա նշանակում է, որԵրկրի բնակչության թվաքանակը 1990-ական թթ. վերջից սկսել է ավելի դանդաղաճել և գնում է դեպի հագեցում, որը, ինչպես երևում է Աղյուսակ 2-ից, տեղի կունենա2100 թ. ոչ շատ ուշ։
 Հ/Հ  Թվական  ԻրականումԿանխատեսում ըստ1970 թ., 1980 թ., 1990Կանխատեսում ըստ1980 թ., 1990 թ., 2000թ. տվյալների [4]թ. տվյալներիԱղյուսակ 2. Երկրի բնակչության թվաքանակի կանխատեսումը մինչև 2100 թ.1970, 1980 և 1990 թվականների տվյալների հիման վրա կատարված հաշվարկների համեմատությունը ցույց է տալիս, որ ավելի ուշ շրջանի տվյալների հիման վրաստացված արդյունքներն ավելի մոտ են իրական արժեքներին։
 2000, 2010 և 2017 թվականների համար ստացված արդյունքերը շատ մոտ ենիրական թվաքանակներին։
 Մոդելի  կիրառությունը  տարբեր  պետությունների  բնակչության  թվաքանակիհաշվման ժամանակ ցույց է տվել, որ այն լավ արդյունքներ է տալիս մի քանի տասնամյակ ժամանակահատվածով կանխատեսումներ կատարելու համար [5] և ավելինպատակահարմար  է  կիրառել  կարճաժամկետ  կանխատեսումներ  կատարելունպատակով։
 ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ[1]  Միքայելյան Գ., Միքայելյան Զ., Մաթեմատիկական մեթոդներ բնագիտության մեջ, Երևան, 2011 թ., էջ 96-101։
 ной экологии, Томск, 2014, сց. 74-116.[3]  Logistic  Map,  http։
 //mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html  (Հասանելի  էր05.11.2017 թ. դրությամբ)։
 [4]  Միքայելյան Գ., Ազիզյան Լ., Երկրագնդի բնակչության թվի սպասվելիք փոփոխությունների  մաթեմատիկական  մոդել,  «Աշխարհագրական  գիտությունըՀայաստանում», Երևան, 2006թ., էջ 260-265։
 Ալավերդյան ՍլավիկՊՈՊՈՒԼՅԱՑԻԱՅԻ ԹՎԱՔԱՆԱԿԻ ՓՈՓՈԽՈՒԹՅԱՆ ՖԵՐՀՅՈՒԼՍՏԻՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼԸԲանալի բառեր՝ պոպուլյացիա, Ֆերհյուլստի մոդել, լոգիստիկ աճ, բնակչությանթվաքանակի կանխատեսում։

Ներկայացված է պոպուլյացիայի թվաքանակի փոփոխության մոդելավորման  մեթոդաբանությունը. Մալթուսի էքսպոնենտային աճի և Ֆերհյուլստի լոգիստիկ աճի  մոդելների  տարբերությունը,  Ֆերհյուլստի  մոդելի  արդյունքների  կախվածությունը  աճի  գործակցի  արժեքից  և  դրա  կիրառելիության  տիրույթները։
   Կանխատեսվել  է  Երկրի  բնակչության  թվաքանակը  մինչև  2100  թ.-ը՝  հիմնվելով  1980,  1990,  2000  թվականների տվյալների վրա, և համեմատություն է արվել նախկինում այլ թվականների տվյալների հիման վրա կատարված հաշվարկների արդյունքների հետ։
