1.Ներածություն։
  Հանրահաշվական կամ տրանսցենդենտ հավասարումների  լուծումը  կիրառական  անալիզի  կարևորագույն  բաժիններից  մեկն  է,  որիհսկայական նշանակությունը ի հայտ է գալիս ֆիզիկայի, մեխանիկայի, բնագիտության,  տեխնիկայի, հումանիտար ոլորտի  բազմապիսի  խնդիրների  ուսումնասիրման ժամանակ։
 Բազմապիսի դեպքերում անհրաժեշտություն է առաջանում մոտավոր լուծելու   հանրահաշվական կամ տրանսցենդենտ հավասարումները։
  Պետք է նշել,որ ներկայումս մշակված են մեթոդներ, որոնց օգնությամբ հնարավոր է ստանալայդ հավասարումների մոտավոր լուծումները որոշակի ճշտությամբ։
 Ելնելով  այն  հանգամանքից,  որ  հանրահաշվական  կամ  տրանսցենդենտհավասարման  լուծման  մոտավոր  մեթոդների  իրականացումը  պահանջում  էհսկայածավալ հաշվումներ, հետևաբար նման խնդիրների դիտարկման ժամանակ  համակարգչի  կիրառումը  դառնում  է  պարտադիր։
   Դրա  համար  անհրաժեշտ է ծրագրավորման արդի լեզուների տիրապետում, խնդիրների ալգորիթմների  ծրագրավորում  (ու  բլոկսխեմաների  կառուցում)  և  համակարգչով  դրաիրականացում։
 Այս մեթոդական աշխատանքում մանրամասնորեն մեկնաբանվում է հանրահաշվական և տրանսցենդենտ հավասարումների արմատների որոշման հաջորդական մոտարկումների մեթոդը։
  Այդ ալգորիթմի համար մշակվել է ծրագիրիր  բլոկսխեմայով։
   Կոնկրետ  օրինակներով  ցուցադրվում  են  մշակված  ալգորիթմների կիրառումը և ծրագրերի (բլոկսխեմաների)  միջոցով նրանց իրականացումը համակարգչով։
 Աշխատանքում հստակ դիտարկվում են նաև պրակտիկ հաշվումների համար ներկայումս լայնորեն կիրառվող մաթեմատիկական ծրագրային փաթեթների  (Mathematica,  MathCad,  Matlab,  Maple,  Exel  և  այլն)  օգտագործման  անհրաժեշտ գործնական հարցեր։
 2. Հանրահաշվական  կամ  տրանսցենդենտ  հավասարումների  լուծման հաջորդական մոտարկումների (իտերացիոն) մեթոդը։
 Դիցուք տրված էհավասարումը, որտեղ 𝑓(𝑥)-ը անընդհատ ֆունկցիա է մի որոշ [𝑎, 𝑏] հատվածիվրա։
  Հեշտությամբ կարելի է (1) հավասարումը փոխարինել իրեն հավասարազոր հավասարումով,  որտեղ  φ(x)–ը  անընդհատ  ֆունկցիա  է  նույն  [a,b]  հատվածիվրա։
 Որևէ կերպ ընտրենք x–ի մի 𝑥0 արժեք՝ համարելով, որ այն այս կամ այնիմաստով մոտ է (2) հավասարման  ξ արմատին, և այդ  𝑥0 արժեքը տեղադրենք(2) հավասարման աջ կողմում։
  Այդ դեպքում կստանանք որևէ թիվ՝ 𝑥1Այժմ 𝑥1 արժեքը տեղադրենք (2)–ի աջ կողմում, կստանանք նոր թիվ`𝑥2Այս պրոցեսը շարունակենք։
  n–րդ քայլում կստանանք Եթե  ստացված    𝑥 1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, …   հաջորդականությունը  լինի  զուգամետ,այսինքն՝ նրա համար գոյություն ունենա սահմանային արժեք՝այդ  դեպքում,  (5)  հավասարության  մեջ  անցնելով  սահմանի,  երբ  𝑛 → ∞ , կունենանքԱյստեղ  աջ  կողմում  ներկայացումը  կապված  է  φ(x)  ֆունկցիայի  անընդհատ լինելու հետ։
  Եվ այսպես կունենանքԱյսինքն՝  կառուցած   𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, …   հաջորդականության  սահմանայինարժեքը՝ (6) հավասարման արմատն է։
 Մեզ մնում է φ(x)  անընդհատ ֆունկցիայի վրա դնել այնպիսի պայմաններ,որ  կառուցած   𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, …    հաջորդականությունը  լինի  զուգամետ։
   Ճիշտ  էհետևյալ թեորեմը.Թեորեմ։
   Դիցուք  φ(x)  ֆունկցիան  որոշված  և  դիֆերենցելի  (ածանցելի) ֆունկցիա  է  [𝑎, 𝑏]  հատվածի  վրա,  ընդ  որում  φ(x)  ֆունկցիայի  արժեքները` 𝜑(𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏]։
  Եթե գոյություն ունի այնպիսի q դրական՝ մեկից փոքր (q<1) արժեք,այնպիսին, որ|𝜑′(𝑥)| ≤ 𝑞 < 1,երբ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,ապա1. 𝑥𝑛 = 𝜑(𝑥𝑛−1)(𝑛 = 1,2, … )  պրոցեսը,  անկախ  𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]   սկզբնականարժեքի ընտրությունից, զուգամիտում է,( 𝑥𝑛)  սահմանային արժեքը կհանդիսանա(2)հավասարման միակ արմատը [𝑎, 𝑏]–ի վրա։
 Ապացույց։
   Դիտարկենք  կառուցված  𝑥𝑛 հաջորդականության  իրարհաջորդող երկու անդամներ՝ 𝑥𝑛+1  և  𝑥𝑛, կունենանք𝑥𝑛 = 𝜑(𝑥𝑛−1)   և   𝑥𝑛+1 = 𝜑(𝑥𝑛)Այստեղից կարող ենք գրել𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 =  𝜑(𝑥𝑛) −  𝜑(𝑥𝑛−1 )։
 Այս առնչության աջ կողմում կանգնած տարբերության համար կիրառենքԼանգրանժի վերջավոր աճի բանաձևը, կստանանքորտեղ𝑥𝑛̅̅̅ ∈(𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛)։
 Օգտվելով  բերված  թեորեմի  (9)  պայմանից՝  (11)-ից  կարող  ենք  ստանալհետևյալ անհավասարությունը՝ Այժմ այստեղ n–ին տանք արժեքներ՝ n=1,2,3,…,   կունենանքԴիտարկենք հետևյալ շարքը՝որի համար (n+1)–րդ մասնավոր գումարը կլինի՝(13) անհավասարությունների ուժով, (14) շարքի անդամները բացարձակ մեծությամբ փոքր են երկրաչափական պրոգրեսիայի բնույթի շարքի համապատասխան  անդամներից,  որտեղ  հայտարարը՝  0<q<1,  հետևաբար  անալիզի  հայտնիթեորեմի ուժով (14) շարքը զուգամիտում է, այն էլ բացարձակ։
  Հետևաբար, եթեսահմանի անցնենք, (15) հավասարության մեջ կունենանքորտեղ   lim 𝑆𝑛+1 գոյություն ունի և վերջավոր է, հետևաբար գոյություն ունի նաև𝑥𝑛   սահմանը, որը վերջավոր է։
 Եթե այդ սահմանը նշանակենք ՝𝑥𝑛 = , որտեղ    ∈   [a, b],                                                  (17)ապա (10)  հավասարություններից որևէ մեկում  անցնելով սահմանի, երբ n→ ∞կստանանք (տե՛ս (6)-(8))այսինքն՝ -ն՝  (2) հավասարության արմատն է։
 (2) հավասարումը [𝑎, 𝑏] հատվածում  այլ արմատ չունի։
 Իրոք,  ենթադրենք,  որ  -ից  տարբեր՝  ̅–ն  էլ  (2)  հավասարման  համարարմատ է, որը պատկանում է [𝑎, 𝑏]–ին, այսինքն՝Այդ դեպքում կարող ենք գրել̅–  =  φ(̅) −  φ()։
 Կիրառելով Լանգրանժի վերջավոր աճի բանաձևը՝ կստանանքՈրտեղ c∈ [, ̅]։
  Քանի որ ըստ թեորեմի պայմանի՝ [1-𝜑′(𝑐)] հավասար չէզրոյի (|(𝜑′(𝑐)| ≤ 𝑞 < 1),  ուրեմն՝ ̅–  = 0 , այսինքն՝ ̅ = ,  իսկ սա էլ նշանակումէ, որ մեր գտած  արմատը միակն է։
 Դիտողություն 1։
   Եթե  (𝑎, 𝑏)միջակայքը՝  (-∞, +∞) ողջ  թվային  ուղիղն   է ,ապա թեորեմը ճիշտ է նաև այս դեպքում, եթե թեորեմի (9) պայմանը ճիշտ է x∈ (−∞, +∞) –ի համար։
 Դիտողություն 2։
   Ինչպես  նկատեցինք,  իտերացիոն  սկզբունքով  կառուցված  {𝑥𝑛}  հաջորդականությունը  զուգամիտում  է  𝑥0–ի  ցանկացած  ընտրությանդեպքում։
 Այժմ տանք 𝑛-րդ մոտավորության գնահատականը։
  Կարող ենք գրելորտեղից  կունենանք |𝑥1 − 𝑥0|։
 Եթե  այս  անհավասարության  մեջ  անցնենք  սահմանի,  երբ  p→ ∞, ապավերջնականապես կստանանք|x1 − x0|։
 Ինչպես տեսնում ենք ստացված գնահատականից, ինչքան փոքր լինի q–ն,այնքան իտերացիոն պրոցեսը արագ կմոտենա իր սահմանային արժեքին։
 𝑥 = 𝜑(𝑥)  հավասարման  արմատի  որոշման  հաջորդական  մոտավորությունների մեթոդի ալգորիթմը  Mathlab միջավայրի ծրագրով  բերված է ստորև,իսկ բլոկսխեման բերված է նկար 1-ում։
 Նկար 1.Օրինակ1։
   Գտնել  հետևյալ  հավասարման՝  𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0,25  իրական արմատը 𝜀 = 10−4 ճշտությամբ։
 Լուծում։
  Կոպիտ գնահատումով կամ գրաֆիկական  մեթոդով  կարող ենքստանալ  հավասարման  արմատի  մոտավոր  արժեքը՝  x0 = 1.2,  ընդ  որումակնհայտ է, որ  < x0։
  Տրված հավասարումը կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով՝Վերցնելով  որպես  հիմնական  միջակայք  (1.1; 1.3),  (որը  հիմնավորվում  էգրաֆիկորեն) և նշանակելով կունենանք՝|𝜑′(𝑥)| ≤ 𝑐𝑜𝑠520 ≈ 0.62 = 𝑞 < 1։
 Կարող ենք գրելԸնտրելով  x0 = 1.2 և տալով  ըստ խնդրի պայմանի՝ 𝜀 = 10−4, կառուցենք  xn հաջորդական մոտարկումները այնքան, մինչև երկու հարևան  xn−1և xnմոտարկումների տարբերությունը բավարարի այդ ճշտությունը։
 Կստանանք՝𝑥8 = 𝑠𝑖𝑛1.1712 + 0.25 = 0.9212 + 0.25 = 1.1712։
 Ինչպես տեսնում ենք, տվյալ ճշտությամբ արմատի արժեքն է՝Այժմ բերված ծրագրում ներմուծենք այս հավասարման համապատասխանտվյալները՝կստանանք՝Օրինակ2։
  Գտնել հետևյալ հավասարման 𝑥3 + 𝑥 = 1000  ամենամեծ դրական արմատը 𝜀 = 10−4 ճշտությամբ։
 Լուծում։
  Կոպիտ  գնահատումով  կարող ենք ստանալ հավասարման արմատի մոտավոր արժեքը՝ x0 = 10, ընդ որում ակնհայտ է, որ  < x0։
  Տրված հավասարումը կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով՝կամտեսքով։
 Վերցնելով որպես հիմնական միջակայք (9,10) և նշանակելովկունենանք՝= 𝑞 < 1։
 Այս օրինակի դեպքում կարող ենք գրել։
  Եթե  ներմուծենք հավասարման համապատասխան տվյալները՝ապա կստանանք՝3. Համակարգչային Mathcad համակարգի օգտագործումը։
 Հանրահաշվական և տրանսցենդենտ հավասարումների արմատների մոտավոր որոշման խնդիրներում համակարգչային մաթեմատիկա համակարգերիօգտագործումը  հնարավորություն  է  տալիս  մաթեմատիկական  հաշվումներիտաժանակիր  հաշվարկները  ավտոմատացնելու,  որի  արդյունքում  էապես  կարելի է շահել  ժամանակի  ծախսման իմաստով։
  Շատ արդյունավետ է  նաև  այսհամակարգերի գրաֆիկական հնարավորությունների օգտագործումը։
    Ստորև  մենք  կբերենք  MathCad  համակարգչային  համակարգի  օգտագործման համար անհրաժեշտ  գործողությունները (այս կապակցությամբ տե՛սնաև [6]աշխատանքը)։
  Դրա համար պետք է կիրառել MathCad-ի root ֆունկցիան։
 Օրինակ։
  Գտնել 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0,25 հավասարման արմատը root ֆունկցիայի օգնությամբ անհրաժեշտ ճշտությամբ։
          Տվյալ դեպքում ստեղնաշարի օգնությամբ պետք է հավաքել (տե՛ս նկար 2)՝Հաշվման ճշտությունը վերցնում ենք համապատասխան սանդղակից (𝜀 = 10−4)։
  Հավաքելով «=» նշանը՝ ստանում ենք արմատի արժեքը՝   = 1.1712։
 Նկար 2.4.Եզրակացություն։
   Աշխատանքը  մեթոդական  ուղղվածության  է,  որում հայերենով շարադրվում է հանրահաշվական և տրանսցենդենտ հավասարումների արմատների մոտավոր որոշման հաջորդական մոտավորությունների մեթոդը։
   Մշակվում  է  այդ  իտերացիոն  ալգորիթմի  ծրագիրը  իր  բլոկսխեմայով  ևկոնկրետ օրինակներով այն իրականացվում է անհատական համակարգչի միջոցով։
  Ցուցում է տրվում նաև հանրահաշվական կամ տրանսցենդենտ հավասարումների  արմատների  մոտավոր  որոշման  համակարգչային  մաթեմատիկայի հնարավորությունների   կիրառման վերաբերյալ։
 Գ Ր Ա Կ Ա Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն 6.  Հայրապետյան  Գ.Ս.,  Սարգսյան  Ս.Հ.  Հանրահաշվական  հավասարումներիլուծման թվային մեթոդները և համակարգչային մաթեմատիկայի հնարավորությունների օգտագործումը //ՇՊՀ Գիտական տեղեկագիր։
  2016. N1.Պրակ Բ.էջ 106-128։

Աշխատանքում մեթոդական մոտեցմամբ մանրամասնորեն շարադրվում  է  հանրահաշվական  կամ  տրանսցենդենտ  հավասարումների  արմատների  որոշման  հաջորդական  մոտարկումների  մեթոդը։
   Համակարգչով  այդ  ալգորիթմը  իրագործելու  համար  մշակվում  է  ծրագիր  իր  բլոկսխեմայով։
   Կոնկրետ  օրինակների  վրա  կազմված  ծրագրերը  իրականացվում  են  համակարգչով։
   Տրվում  են  ցուցումներ  նաև  համակարգչային  մաթեմատիկայի  հնարավորությունների կիրառման մասին։
