Դիտարկենք սեւեռված l երկարությամբ անիզոտրոպ համասեռ եռաշերտ փակ շրջանային սնամեջ գլանային թաղանթ (Նկ. 1)։
   Դիտարկվում են առանցքասիմետրիկ թաղանթներ, որոնց ձեւախախտման ժամանակ կետերի տեղափոխությունները տրվում են (u(α), v(α), w(α)) վեկտորներով, որտեղ u(α)-ն, v(α)-ն եւ w(α)-ն կետերի տեղափոխության բաղադրիչներն են թաղանթների միջին մակերեւույթներին ամրացված եռաչափ կորագիծ կոորդինատական համակարգի α, β եւ γ համապատասխան ուղղություններով։
   Նշենք, որ α կոորդինատն ուղղված է թաղանթի ծնորդով, β-ն՝ թաղանթի առանքին ուղղահայաց հարթության եւ միջին մակերեւույթի հատման շրջանային աղեղով, իսկ γ-ն՝ միջին մակերեւույթի նորմալով։
  375ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Նկար 1 Նկար 2 Անիզոտրոպ համասեռ սալերի եւ թաղանթների հիմնարար հետազոտություններ կատարել է Ս. Համբարձումյանը անցյալ դարի երկրորդ կեսերին։
   Հիմնվելով թաղանթների դասական տեսության Կիրխհոֆ-Լյավի վարկածի վրա, առաձգական սիմետրիայի մեկ հարթության առկայության դեպքում թաղանթի միջին մակերեւույթի կետերի տեղափոխության վեկտորի u(α), v(α) եւ w(α) բաղադրիչների նկատմամբ ստացվում է [1] առանցքասիմետրիկ շրջանային բարակապատ գլանային թաղանթի հավասարակշռության (շարժման) հավասարումների հետեւյալ համակարգը. Հավասարումների (1) համակարգում X-ը, Y-ը եւ Z-ը արտաքին ուժերն են, որոնք կիրառված են թաղանթի արտաքին մակերեւույթի վրա եւ ուղղված են α, β եւ γ կոորդինատական առանցքներով։
   Cij-ն եւ Dij-ն թաղանթի ձգման-սեղման, սահքի, ծռման եւ ոլորման կոշտու376ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ թյան գործակիցներն են եւ միաշերտ թաղանթների դեպքում որոշվում են հետեւյալ բանաձեւերով. Bij-ն թաղանթի առաձգականության գործակիցներն են, իսկ h(α)ն՝ թաղանթի հաստությունը։
  Ենթադրվում է, որ դիտարկվող թաղանթի α = 0 եւ α = l եզրերից յուրաքանչյուրում տեղի ունեն հետեւյալ եզրային պայմաններից որեւէ մեկը. I Ազատ եզր II Հոդակապային ամրացումով եզր՝ III Կոշտ ամրացված եզր՝ IV Հոդակապային ամրացումով եւ տանգենցիալ ուղղությամբ ազատ եզր՝ Այստեղ T 1 –ը թաղանթի ներսում առաջացած (Նկ. 3) ճիգն է α–ի ուղղությամբ, M 1 -ը՝ ծռող մոմենտը, N 1 -ը՝ կտրող ուժը, իսկ S 12 –ը՝ սահքային ուժը՝ տանգենցիալ ուղղությամբ [1]։
   Այդ մեծություններն արտահայտվում են հարաբերական երկարացումների, սահքի, ծռման եւ ոլորման բաղադրիչների միջոցով. (4)ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Իսկ վերջիններս էլ արտահայտվում են տեղափոխության վեկտորի u(α), v(α) եւ w(α) բաղադրիչներով. Նկար 3 Նկար 4 Սույն հոդվածում կդիտարկենք α կոորդինատից կախված ֆունկցիայով նկարագրվող փոփոխական հաստությամբ թաղանթներ։
   Կիրառական կարեւոր նշանակություն ունեն եռաշերտ սալերը, թաղանթները։
   Դիտարկենք եռաշերտ գլանային թաղանթ, որի շերտերը բնութագրվում են հետեւյալ հատկանիշներով. թաղանթի արտաքին երկու շերտերը բավականաչափ բարակ են, յուրաքանչյուրն ունի h 1 (α) հաստություն եւ այդ շերտերն աշխատում են թաղանթների գծային առաձգական ձեւախախտման Կիրխոֆ-Լյավի դասական վարկածի պայմաններում։
   Միջին շերտը համեմատաբար հաստ է, ունի 2h 0 հաստատուն արժեք, այն չի դիմակայում թաղանթի ձեւախախտմանը եւ նախատեսված է հիմնականում որեւէ տեսակի ֆիզիկական (ջերմային, ձայնային, ռադիացիոն, ...) ազդեցության չեզոքացման համար։
   Թաղանթի հաստությունը (Նկ. 2, ներկայացված է թաղանթի առանցքին ուղղահայաց հարթության եւ թաղանթի հատույթը) տրվում է հետեւյալ բանաձեւով [2,3,4]. Այդպիսի հատկությամբ շերտերի դեպքում թաղանթի կոշտության գործակիցները որոշվում են հետեւյալ բանաձեւերով. Դիցուք, թաղանթը կատարում է ազատ տատանումներ։
   Այդ դեպքում շարժման հավասարումների (1) համակարգի աջ մասերում ար378ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ տաքին ուժերն իրենցից ներկայացնում են իներցիոն ուժեր։
   Շարժման հավասարումների այդպիսի համակարգից արտաքսելով ներդաշնակ տատանումներին համապատասխան ժամանակի պարամետրը եւ հաշվի առնելով երեք շերտերով (6) ընդհանուր հաստության կազմը, արտաքին ուժերը կներկայացվեն հետեւյալ տեսքով. Ձեւակերպենք օպտիմալ նախագծման հետեւյալ խնդիրը. Գտնել դիտարկվող թաղանթի հաստությունը բնութագրող արտաքին շերտերի այնպիսի h 1 (α) փոփոխական հաստություն, որի դեպքում թաղանթի զանգվածն ունենում է ամենափոքր արժեքը նույն դասի այն բոլոր թաղանթների համեմատ, որոնց սեփական տատանումների հիմնական արժեքը ω 0 է։
  Նույն դասի թաղանթներն այն թաղանթներն են, որոնք բավարարում են տրված միեւնույն եզրային պայմաններին ((3.1)-(3.4) պայմաններից մեկը α=0 եւ α=l եզրերից ամեն մեկում), այդ թաղանթների ֆիզիկական բոլոր հատկությունները եւ երկրաչափական պարամետրերը՝ բացի արտաքին շերտերի փնտրվող հաստությունից, նույնն են։
  Այսպիսով՝ ունենք օպտիմալ նախագծման խնդիր, որտեղ. Նպատակի ֆունկցիոնալը թաղանթի զանգվածի M ինտեգրալային արժեքն է։
  Ղեկավարման (կամ օպտիմալացման) պարամետրը թաղանթի հաստությունը նկարագրող ֆունկցիան է։
   Այդ ֆունկցիայի ընտրությամբ թաղանթների տվյալ դասում պետք է ստանալ զանգվածի ամենափոքր արժեք. Սահմանափակումներ. Պետք է բավարարվեն (1) հավասարումների համակարգը, որտեղ կոշտության գործակիցները տրվում են (7) առընչություններով, իսկ արտաքին ուժերը՝ (8) բանաձեւերով, որոնցում էլ պետք է վերցնել ω = ω 0 ։
   Տրված եզրային պայմանները կազմում են սահմանափակումների մյուս մասը։
  Ըստ էության ունենք պայմանական էքստրեմումի խնդիր, որը լուծելու համար կիրառենք Լագրանժի անորոշ բազմապատկիչների եղանակը՝ երեք համալուծ ֆունկցիաների ներմուծմամբ կազմենք նոր 379ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ընդլայնված J ֆունկցիոնալ [5]։
   Օգտվելով ֆունկցիոնալների էքստրեմումի δJ=0 վարիացիոն սկզբունքից, կստանանք օպտիմալության անհրաժեշտ պայմաններ, որոնցից արտաքսելով ներմուծված երեք համալուծ ֆունկցիաները, ձեւակերպված օպտիմալացման խնդրի համար կունենանք անհրաժեշտ պայմաններ՝ (1) հավասարումները տրված եզրային պայմաններով, (7), (8) առընչություններով եւ հետեւյալ ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումը. Եթե B 16 եւ B 26 առաձգականության գործակիցներից թեկուզ մեկը զրոյի հավասար չլինի, ապա (1), (10) համակարգում u(α), v(α), w(α) եւ h 1 (α) անհայտ ֆունկցիաները բնութագրում են անիզոտրոպ (առաձգական սիմետրիայի մեկ հարթությամբ) թաղանթներ։
   Դրանք շաղկապված են, այսինքն՝ թաղանթի ազատ տատանումները կատարվում են թաղանթի կետերի եռաչափ տեղափոխությամբ՝ անհրաժեշտաբար նույնաբար զրո չեն եւ՛ u(α), եւ՛ v(α), եւ՛ w(α) բաղադրիչները։
   Իրավիճակը փոխվում է, երբ թաղանթն օրթոտրոպ է (թաղանթի յուրաքանչյուր կետում կա առաձգական սիմետրիայի երեք հարթություն), ապա B 16 = B 26 = 0։
   Այս դեպքում կետերի տեղափոխության վեկտորի բաղադրիչները տարանջատվում են երկու բնույթի ձեւախախտումների՝ ա) զուտ ոլորում՝ u(α) = w(α) = 0, v(α) ≠ 0, բ) միայն ծռում-ձգում, առանց ոլորման՝ u(α) ≠ 0 եւ w(α) ≠ 0, v(α) = 0։
  Զուտ ոլորման խնդիրը դիտարկվել է [4,6] աշխատանքներում, որոնցից առաջինում նույնիսկ անալիտիկ լուծում է ստացվել։
  Այստեղ դիտարկենք ազատ տատանումներ կատարող օրթոտրոպ թաղանթ, այն ենթադրությամբ, որ միայն ծռման-ձգման ձեւախախտում է կատարվում։
   Դա նշանակում է, որ (1), (10) համակարգում եւ (3) եզրային պայմաններում պետք է վերցնել B 16 =B 26 =v(α) =0։
   [0,l] հատվածը տրոհենք n հավասար մասերի, ինչի արդյունքում ստացվում են x i =i·∆, ∆=l/n, i=0,1,2,...n,։
   Ստացված երեք հավասարումներում եւ եզրային պայմաններում u(α), w(α) եւ h 1 (α) ֆունկցիաների ածանց380ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ յալները ներկայացվում են վերջավոր տարբերակային բանաձեւերով, օրինակ. կամ (11ա) Այն կետերում, որոնցում (11) բանաձեւերը դուրս են գալիս [0,l] հատվածից, դրանք փոխարինվում են համապատասխան ձախակողմյան տարբերակային բանաձեւերով. (11բ) Այսպիսով՝ ստացվում են ոչ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ 3i (i=0,1,2,...,n) հատ u(i), w(i) եւ h 1 (i) անհայտների նկատմամբ. Այս համակարգին կցվում են նաեւ եզրային պայմաններից առաջացող հավասարումները։
  Համակարգը լուծվում է հաջորդական մոտարկումների թվային եղանակով. Սկզբում վերցվում է անհայտների զրոյական մակարդակի շերտը. Այնուհետեւ՝ լուծելով (12) համակարգը u(i), w(i) եւ h 1 (i) անհայտների նկատմամբ (մնացած անհայտների արժեքները վերցվում են զրոյական մակարդակի շերտից), գտնվում է առաջին մակարդակի շերտը։
  Ստուգվում է զուգամիտությունը. բոլոր կետերում հաշվվում է ստացված եւ նախորդ շերտերի արժեքների տարբերությունների քառակուսիների գումարը, եւ դա համեմատվում է ε=0.001 թվի հետ։
   Եթե զուգամիտության պայմանը տեղի ունի՝ նշված գումարը փոքր է ε-ից 381ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ խնդիրը համարվում է լուծված։
   Հակառակ դեպքում՝ նույն ձեւով կազմվում է հաջորդ մակարդակի շերտը եւ ստուգվում է զուգամիտությունը։
  Շրջափուլը շարունակվում է այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի բավարարվում զուգամիտության պայմանը։
   Հաշվարկները կատարվել են՝ օգտագործելով Wolfram Mthematica ծրագրային փաթեթը։
  h 1 (α) ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է նկար 4-ում։

Հոդվածում դիտարկվում է ազատ տատանումներ կատարող առանցքասիմետրիկ եռաշերտ սնամեջ գլանային թաղանթի զանգվածի նվազարկման օպտիմալ նախագծման խնդիր, որտեղ տատանումների հիմնական հաճախության տրված արժեքը սեւեռված է։
  Եզրային պայմանները եւս տրված են։
  Խնդիրը լուծելու համար նախ վարիացիոն սկզբունքով ստացվում է օպտիմալության անհրաժեշտ պայմանը ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարման տեսքով, որը ազատ տատանումների հավասարումների համակարգի հետ կազմում է փակ եզրային խնդիր։
  Օրթոտրոպ թաղանթների դեպքում ցույց է տրվում, որ ծռմանձգման ձեւախախտումը տարանջատվում է ոլորման ձեւախախտումից։
  Ծռման-ձգման ձեւախախտման դեպքի լուծման համար, առաջարկվում է հաջորդական մոտարկումների թվային եղանակ։
