1.  Ներածություն.  Ուսումնասիրելով  հիպերբոլական  և  հակադարձ  հիպերտանքում  ներկայացվում  են  հիպերբոլական  և  հակադարձ  հիպերբոլականֆունկցիաների հատկությունները, դրանց, ինչպես նաև տարրական այլ ֆունկցիաների  միջև  առնչությունները  և  մի  շարք կիրառություններ։
   Նախ  սահմանվում են հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաները, տրվումեն առնչություններ հիպերբոլական ֆունկցիաների, հիպերբոլական և եռանկյունաչափական  ֆունկցիաների  միջև,  ինչպես  նաև  լոգարիթմական,  հակադարձեռանկյունաչափական  և  հակադարձ  հիպերբոլական  ֆունկցիաների  միջև։
 Տրվում են հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցման  և  ինտեգրման  կանոնները։
   Այնուհետև  ներկայացվում  են  նշված  ֆունկցիաների կիրառությունները ֆունկցիաների և դիֆերենցիալ հավասարումներիինտեգրման տեսանկյունից։
  Դիտարկվում են նաև հետաքրքրություն ներկայացնող մի շարք առաջադրանքներ` մանրամասն լուծումներով։
 Աշխատանքը մեթոդական մեծ նշանակություն ունի և կարող է կիրառվելբուհական ուսումնական պրոցեսում, ինչպես նաև կարող է նպաստել գիտականուսումնասիրություններ  կատարող  գիտական  աշխատողների  գործունեությանը։
 2.  Հիպերբոլական ֆունկցիաների սահմանումներն ու հատկությունները։
  Մաթեմատիկայում բացի առանձին ցուցչային ֆունկցիաներից, լայն կիրառությունունեն ցուցչային ֆունկցիաների համակցությունները։
  Դրանց շարքում կարևորրակագծային համակցություններ, որոնք կոչվում են հիպերբոլական ֆունկցիաներ։
  Հիպերբոլական ֆունկցիաները թվով վեցն են, որոնց համար օգտագործվումեն հատուկ անուններ և նշանակումներ.տեղ են գրավում (cid։
 1857)(cid։
 3051) և (cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051) ցուցչային ֆունկցիաների որոշակի գծային և կոտոsh(cid։
 1876)=(cid։
 1857)(cid։
 3051)−(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051) 															հիպերբոլական	սինուս																															(1)	 ch(cid։
 1876)=(cid։
 1857)(cid։
 3051)+(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051) 															հիպերբոլական	կոսինուս																										(2)	 th(cid։
 1876)=(cid։
 1857)(cid։
 3051)−(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051) (cid։
 1857)(cid։
 3051)+(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051)															հիպերբոլական	տանգես																													(3)	 cthx=(cid։
 1857)(cid։
 3051)+(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051) (cid։
 1857)(cid։
 3051)−(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051)														հիպերբոլական	կոտանգես																									(4)	 (cid։
 1857)(cid։
 3051)+(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051)													հիպերբոլական	սեկանս																															(5)	 sch(cid։
 1876)= csch(cid։
 1876)= (cid։
 1857)(cid։
 3051)−(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3051)												հիպերբոլական	կոսեկանս																										(6)	 Հիպերբոլական  ֆունկցիաների  անունները  պայմանավորված  են  նրանով, որ վերջիններս միավոր կիսառանցքով հավասարակողմ հիպերբոլի կետերի կոորդինատների հետ կապված են նույն կերպ, ինչ որ եռանկյունաչափականֆունկցիաները` միավոր շառավղով շրջանագծի կետերի կոորդինատների հետ։
 Միևնույն արգումենտից կախված տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ կապված են բազմաթիվ հայտնի առնչություններով։
  Համանման առնչություններ են գործում նաև հիպերբոլական ֆունկցիաների միջև։
 Օրինակ՝ եռանկյունաչափությունից հայտնի հետևյալ sin(cid։
 2870)(cid։
 1876)+cos(cid։
 2870)(cid։
 1876)=1միջև  գործող  հետևյալ  նույնությունը` ch(cid։
 2870)(cid։
 1876)	−sh(cid։
 2870)(cid։
 1876)	=1։
   Վերջինս  հետևում  էնույնությանը  համապատասխանում  է  հիպերբոլական  սինուսի  և  կոսինուսիհիպերբոլական սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների սահմանումներից։
 ցիաների սահմանումներից և նշված նույնությունից.Մի  շարք  կարևոր  նույնություններ  են  հետևում  հիպերբոլական  ֆունկsh(cid։
 1876)	 ch(cid։
 1876)	 ch(cid։
 1876)	=th(cid։
 1876), sh(cid։
 1876)	=cth(cid։
 1876), 1ch(cid։
 1876)	=sch(cid։
 1876), 1−th(cid։
 2870)(cid։
 1876)=sch(cid։
 2870)(cid։
 1876), 1sh(cid։
 1876)	=csch(cid։
 1876)		th(cid։
 1876)	∙cth(cid։
 1876)	=1cth(cid։
 2870)(cid։
 1876)−1=csch(cid։
 2870)(cid։
 1876)																																		(7)Եռանկյունաչափությունից  հայտնի  բանաձևերի  համանմանությամբ  կարելի է ստանալ բանաձևեր նաև հիպերբոլական ֆունկցիաների արգումենտներիգումարի  և  տարբերության,  կրկնակի  և  կես  արգումենտի,  ինչպես  նաևհիպերբոլական  ֆունկցիաների  գումարի,  տարբերության  և  արտադրյալիհամար։
 Ցուցչային, եռանկյունաչափական և հիպերբոլական ֆունկցիաների գաղափարները կարելի է սահմանել նաև արգումենտի կոմպլեքս, մասնավորապեսկեղծ  արժեքների  համար,  ինչը  հնարավորություն  կտա  կապ  հաստատելուվերջիններիս միջև։
 Օգտվելով կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսությունից հայտնիԷյլերի բանաձևերից և հիպերբոլական ֆունկցիաների սահմանումներից՝ կարելի է կապ հաստատել նաև եռանկյունաչափական և հիպերբոլական ֆունկցիաների միջև.1(cid։
 1861)ctg(cid։
 1878)=cth(cid։
 1861)(cid։
 1878)cos(cid։
 1878)=ch(cid։
 1861)(cid։
 1878), 1(cid։
 1861)cth(cid։
 1878)=ctg(cid։
 1861)(cid։
 1878)									(8)ch(cid։
 1878)=cos(cid։
 1861)(cid։
 1878), Եթե (8)  բանաձևերում  տեղադրենք (cid։
 1878)=(cid։
 1861)(cid։
 1876),  որտեղ (cid։
 1876)-ը  իրական  թիվ  է,ctg(cid։
 1861)(cid։
 1876)=−(cid։
 1861)cth(cid։
 1876)cos(cid։
 1861)(cid։
 1876)=ch(cid։
 1876), 	ch(cid։
 1861)(cid։
 1876)=cos(cid։
 1876), cth(cid։
 1861)(cid։
 1876)=−(cid։
 1861)ctg(cid։
 1876)															(9)այսինքն՝ արգումենտը վերցնենք զուտ կեղծ թիվ, ապա կստանանք. (cid։
 1861)sin(cid։
 1878)=sh(cid։
 1861)(cid։
 1878), (cid։
 1861)sh(cid։
 1878)=sin(cid։
 1861)(cid։
 1878), sin(cid։
 1861)(cid։
 1876)=(cid։
 1861)sh(cid։
 1876), sh(cid։
 1861)(cid։
 1876)=(cid։
 1861)sin(cid։
 1876), (cid։
 1861)tg(cid։
 1878)=th(cid։
 1861)(cid։
 1878), (cid։
 1861)th(cid։
 1878)=tg(cid։
 1861)(cid։
 1878), tg(cid։
 1861)(cid։
 1876)=(cid։
 1861)th(cid։
 1876), th(cid։
 1861)(cid։
 1876)=(cid։
 1861)tg(cid։
 1876), Ստացված բանաձևերը հնարավորություն են տալիս անցում կատարելուեռանկյունաչափական  ֆունկցիաներից  հիպերբոլական  ֆունկցիաներին  ևհակառակը, ինչպես նաև` կեղծ արգումենտը փոխարինել իրականով։
 Համանմանորեն կարելի է ստանալ հիպերբոլական ֆունկցիաների մյուսբանաձևերը, այդ թվում  նաև՝  հիպերբոլական  ֆունկցիաների արգումենտներիգումարի և տարբերության, կրկնակի և կես անկյան և այլ բանաձևեր։
  Այսպիսով,սովորական  եռանկյունաչափությունից  կարելի  է  ստանալ,  այսպես  կոչված,«հիպերբոլական եռանկյունաչափություն»։
 Հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցման և ինտեգրման բանաձևերը ևսհետևում են այդ ֆունկցիաների սահմանումներից.(sh(cid։
 1876))(cid։
 4593)=ch(cid։
 1876), (th(cid։
 1876))(cid։
 4593)= 1ch(cid։
 2870)(cid։
 1876), 												(cid։
 3505)ch(cid։
 1876)(cid։
 1856)(cid։
 1876)=sh(cid։
 1876)+(cid։
 1829), (cid։
 3505) (cid։
 1856)(cid։
 1876)ch(cid։
 2870)(cid։
 1876)=th(cid։
 1876)+(cid։
 1829), (ch(cid։
 1876))(cid։
 4593)=sh(cid։
 1876),(cth(cid։
 1876))(cid։
 4593)=− 1sh(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 3505)sh(cid։
 1876)(cid։
 1856)(cid։
 1876)=ch(cid։
 1876)+(cid։
 1829)		(cid։
 3505) (cid։
 1856)(cid։
 1876)sh(cid։
 2870)(cid։
 1876)=−cth(cid։
 1876)+(cid։
 1829)																								(10)(cid։
 2780).	  Հակադարձ  հիպերբոլական  ֆունկցիաներ։
   Եթե (cid։
 1876)=sh(cid։
 1877),  ապա  կարելի  էայստեղից (cid։
 1877)-ն  արտահայտել (cid։
 1876)-ով,  որը  կլինի  հիպերբոլական  սինուս  ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան։
  Այն նշանակում են հետևյալ կերպ` (cid։
 1877)=Arsh(cid։
 1876), ևկարդացվում է հիպերբոլական արեասինուս։
  Նույն կերպ են սահմանվում նաևմյուս հիպերբոլական ֆունկցիաների հակադարձ ֆունկցիաները.(cid։
 1876)=(cid։
 1855)h(cid։
 1877)					⇔			(cid։
 1877)=Arch(cid։
 1876)     (հիպերբոլական արեակոսինուս),(cid։
 1876)=th(cid։
 1877)					⇔			(cid։
 1877)=Arth(cid։
 1876)      (հիպերբոլական արեատանգես),(cid։
 1876)=cth(cid։
 1877)			⇔			(cid։
 1877)=Arcth(cid։
 1876)    (հիպերբոլական արեակոտանգես),(cid։
 1876)=sch(cid։
 1877)			⇔			(cid։
 1877)=Arsch(cid։
 1876)    (հիպերբոլական արեասեկանս),(cid։
 1876)=csch(cid։
 1877)	⇔			(cid։
 1877)=Arcsch(cid։
 1876)  (հիպերբոլական արեակոսեկանս)։
 Ինչպես որ հիպերբոլական ֆունկցիաներն են արտահայտվում ցուցչայինֆունկցիաներով, այնպես էլ հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաները կարելիէ  արտահայտել  հակադարձ  ցուցչային,  այսինքն՝  լոգարիթմական,  ֆունկցիաներով։
  Տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը`Arsh(cid։
 1876)=ln((cid։
 1876)+(cid։
 3493)(cid։
 1876)(cid։
 2870)+1)																																																												(11)	 Arch(cid։
 1876)=ln((cid։
 1876)±√(cid։
 1876)(cid։
 2870)−1)    ((cid։
 1876)≥1)																																										(12)	 Arth(cid։
 1876)=12ln(cid։
 3436)1+(cid։
 1876) (|(cid։
 1876)|<1)																																									(13)1−(cid։
 1876)(cid։
 3440), Arcth(cid։
 1876)=12ln(cid։
 3436)(cid։
 1876)+1 (|(cid։
 1876)|>1)																																							(14)(cid։
 1876)−1(cid։
 3440), Arsch(cid։
 1876)=±ln(cid։
 4684)1(cid։
 1876)+(cid։
 3496)1(cid։
 1876)(cid։
 2870)−1(cid։
 4685),							(0<(cid։
 1876)<1)																				(15)Arcsch(cid։
 1876)=ln(cid։
 4684)1(cid։
 1876)+(cid։
 3496)1(cid։
 1876)(cid։
 2870)+1(cid։
 4685)																																																						(16)(12)  բանաձևի  արտածման  համար  դիտարկենք`	(cid։
 1877)=Arch(cid։
 1876)  հիպերբոլական արեակոսինուս ֆունկցիան։
  Այս դեպքում (cid։
 1876)=ch(cid։
 1877), և, ինչպես հայտնի է,ցիաների միջոցով, հետևյալ կերպ`ch(cid։
 1877)=(cid։
 3032)(cid։
 3300)(cid։
 2878)(cid։
 3032)(cid։
 3127)(cid։
 3300)(cid։
 2870) (cid։
 1876)=(cid։
 1857)(cid։
 3052)+(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3052) 			⇔				(cid։
 1857)(cid։
 2870)(cid։
 3052)−2(cid։
 1876)(cid։
 1857)(cid։
 3052)+1=0Լուծելով  այն՝  կստանանք` (cid։
 1857)(cid։
 3052)=(cid։
 1876)±√(cid։
 1876)(cid։
 2870)−1։
   Լոգարիթմելով  ստացվածհավասարման երկու մասերը՝ կստանանք` (cid։
 1877)=ln((cid։
 1876)±√(cid։
 1876)(cid։
 2870)−1)։
  Մյուս կողմից`(cid։
 1877)=Ar(cid։
 1855)h(cid։
 1876), ուստի կստանանք (12) բանաձևը։
 1√(cid։
 1876)(cid։
 2870)−11√1+(cid։
 1876)(cid։
 2870), (Arch(cid։
 1876))(cid։
 4593)= (Arsh(cid։
 1876))(cid։
 4593)= (Arcth(cid։
 1876))(cid։
 4593)=− 1(cid։
 1876)(cid։
 2870)−1(Arth(cid։
 1876))(cid։
 4593)= 11−(cid։
 1876)(cid։
 2870), հիպերբոլական կոսինուս ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել ցուցչային ֆունկ կամ որ նույնն է`Հակադարձ  հիպերբոլական  ֆունկցիաների  ածանցման  և  ինտեգրմանբանաձևերն են.4. Ինտեգրալների հաշվումը հիպերբոլական ֆունկցիաներով տեղադրումներիդասընթացիցմիջոցով։
   ԻնչպեսինտեգրալայինհայտնիհաշվիէԱռաջին չորս բանաձևերն ապացուցելու համար կարելի է օգտվել հակա(cid։
 1877)(cid։
 3051)(cid։
 4593)=(Arsh(cid։
 1876))(cid։
 4593)= 1(cid։
 1876)(cid։
 3052)′= 1ch(cid։
 1877)= (cid։
 3505) (cid։
 1856)(cid։
 1876)√(cid։
 1876)(cid։
 2870)+(cid։
 1853)=ln(cid։
 4672)(cid։
 1876)+(cid։
 3493)(cid։
 1876)(cid։
 2870)+(cid։
 1853)(cid։
 4673)+(cid։
 1829)=(cid։
 3422)Arsh(cid։
 1876)√(cid։
 1853)+(cid։
 1829),				երբ			(cid։
 1853)>0 Arch (cid։
 1876)√−(cid։
 1853)+(cid։
 1829),			երբ		(cid։
 1853)<0	(cid։
 3505) (cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 1876)(cid։
 2870)−(cid։
 1853)(cid։
 2870)=12(cid։
 1853)ln(cid։
 4698)(cid։
 1876)−(cid։
 1853) (cid։
 1876)+(cid։
 1853)(cid։
 4698)+(cid։
 1829)==(cid։
 3422)−1(cid։
 1853)Arth(cid։
 1876)(cid։
 1853)+(cid։
 1829),				երբ			|(cid։
 1876)|<(cid։
 1853) −1(cid։
 1853)Arcth(cid։
 1876)(cid։
 1853)+(cid։
 1829),			երբ		|(cid։
 1876)|>(cid։
 1853)																(17)դարձ  ֆունկցիաների  ածանցման  կանոնից՝ (cid։
 1877)(cid։
 3051)(cid։
 4593)= (cid։
 2869)(cid։
 3051)(cid։
 3300)(cid։
 4593)։
   Օրինակ,  երբ (cid։
 1877)=Arsh(cid։
 1876),ապա (cid։
 1876)=sh(cid։
 1877)։
  Վերջինս ածանցենք ըստ (cid։
 1877)-ի, կստանանք (cid։
 1876)(cid։
 3052)(cid։
 4593)=ch(cid։
 1877)։
  Հետևաբար`1√1+(cid։
 1876)(cid։
 2870)1(cid։
 3493)1+sh(cid։
 2870)(cid։
 1877)= ∫(cid։
 1844)(cid։
 3435)(cid։
 1876),√(cid։
 1853)(cid։
 1876)(cid։
 2870)+(cid։
 1854)(cid։
 1876)+(cid։
 1855)(cid։
 3439)(cid։
 1856)(cid։
 1876) ինտեգրալը, որտեղ (cid։
 1844)-ը ռացիոնալ ֆունկցիայի նշանն է,այսինքն՝ (cid։
 1876)  արգումենտը  փոխարինվում  է  նոր (cid։
 1872)  պարամետրի  եռանկյունա∫(cid։
 1844)(cid։
 3435)(cid։
 1876),√(cid։
 1853)(cid։
 1876)(cid։
 2870)+(cid։
 1854)(cid։
 1876)+(cid։
 1855)(cid։
 3439)(cid։
 1856)(cid։
 1876)  տեսքի  ինտեգրալները  հաշվել`  կիրառելով  հիպերբո    Խնդիր 1։
   Ինտեգրել հիպերբոլական ֆունկցիաների տեղադրման միջոցով [4].(cid։
 2165)=(cid։
 3505)(cid։
 2206)(cid։
 3493)(cid։
 2206)(cid։
 2779)+(cid։
 2206)+(cid։
 2778)(cid։
 2186)(cid։
 2206)	(cid։
 1876)+(cid։
 2869)(cid։
 2870)=√(cid։
 2871)(cid։
 2870)sh(cid։
 1872),  այս(cid։
 1872)=Arsh(cid։
 3436)(cid։
 2870)√(cid։
 2871)(cid։
 4672)(cid։
 1876)+(cid։
 2869)(cid։
 2870)(cid։
 4673)(cid։
 3440),	(cid։
 1856)(cid։
 1876)=√(cid։
 2871)(cid։
 2870)ch(cid։
 1872)(cid։
 1856)(cid։
 1872)։
  Հետևաբար(cid։
 1835)=(cid։
 3505)(cid։
 1876)(cid։
 3496)(cid։
 3436)(cid։
 1876)+12(cid։
 3440)(cid։
 2870)+34(cid։
 1856)(cid։
 1876)=√34(cid։
 3505)ch(cid։
 1872)(cid։
 3435)√3sh(cid։
 1872)−1(cid։
 3439)(cid։
 3496)34sh(cid։
 2870)(cid։
 1872)+34(cid։
 1856)(cid։
 1872)==38(cid։
 3505)ch(cid։
 2870)(cid։
 1872)(cid։
 3435)√3sh(cid։
 1872)−1(cid։
 3439)(cid։
 1856)(cid։
 1872)=3√38 (cid։
 3505)ch(cid։
 2870)(cid։
 1872)sh(cid։
 1872)(cid։
 1856)(cid։
 1872)−38(cid։
 3505)ch(cid։
 2870)(cid։
 1872)(cid։
 1856)(cid։
 1872)==3√38 (cid։
 3505)ch(cid։
 2870)(cid։
 1872)(cid։
 1856)(ch(cid։
 1872))−316(cid։
 3505)(ch2(cid։
 1872)+1)(cid։
 1856)(cid։
 1872)==√38ch(cid։
 2871)(cid։
 1872)−332sh2(cid։
 1872)−316(cid։
 1872)+(cid։
 1829)=չափական ֆունկցիայով։
  Հաճախ եռանկյունա- չափական տեղադրումները կարող են հանգեցնել առավել բարդ արդյունքների, հատկապես այն ժամանակ, երբներմուծում  ենք  սեկանս  կամ  կոսեկանս։
   Այս  պարագայում  կարելի  է=124(4(cid։
 1876)(cid։
 2870)+4(cid։
 1876)+2)(cid։
 2871)(cid։
 2870)−2(cid։
 1876)+116 (cid։
 3493)4(cid։
 1876)(cid։
 2870)+4(cid։
 1876)+2−կարելի է հաշվել, այսպես կոչված, եռանկյունաչափական տեղադրման միջոցով,լական տեղադրումներ։
 Լուծում։
 Տեղադրենքդեպքումկստանան                                   −316ln(cid։
 3436)(cid։
 1876)+12+(cid։
 3493)4(cid։
 1876)(cid։
 2870)+4(cid։
 1876)+2(cid։
 3440)+(cid։
 1829)̅որտեղ (cid։
 1829)̅=(cid։
 1829)+ (cid։
 2871)(cid։
 2869)(cid։
 2874)ln√3Եվ կիրառենք երկրորդ եզրային պայմանը, կստանանք.5.  Դիֆերենցիալ  հավասարումների  ինտեգրումը։
   Հիպերբոլական  ֆունկցիաները կիրառվում են նաև մի շարք դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրմանժամանակ։
  Ինտեգրման ընթացքում հնարավոր է, որ ստացվեն այնպիսի արտահայտություններ,  որոնք  առավել  հեշտ  կլինի  հաշվել  հիպերբոլական  տեղադրման միջոցով։
 Դիտարկենք դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մի քանի օրինակ(cid։
 2260)(cid։
 2779)(cid։
 2230)(cid։
 2260)(cid։
 2206)(cid։
 2779)+(cid։
 2260)(cid։
 2779)(cid։
 2230)(cid։
 2260)(cid։
 2207)(cid։
 2779)=(cid։
 2777) հավասարման այն մասնավորներ, որոնք հետաքրքրություն են ներկայացնում։
 Խնդիր 2։
  Գտնել Լապլասինույնությունը.լուծումը, որը բավարարում է հետևյալ եզրային պայմանները`Տեղադրենք  դրանք  Լապլասի  հավասարման  մեջ,  կստանանք  հետևյալԼուծում։
   Օգտվելով  առաջին  եզրային  պայմանից՝  մասնավոր  լուծումը(cid։
 2260)(cid։
 2230)(cid։
 2260)(cid։
 2207)(cid։
 3628)(cid։
 2207)(cid։
 2880)(cid։
 2879)(cid։
 2190)=(cid։
 2777)(cid։
 2230)((cid։
 2206),(cid։
 2207))|(cid։
 2207)(cid։
 2880)(cid։
 2777)=(cid։
 2183)(cid։
 1803)(cid։
 1815)(cid։
 1819)((cid։
 2195)(cid։
 2206)−(cid։
 2196)(cid։
 2202)), որտեղ (cid։
 2183),(cid։
 2195),(cid։
 2196),(cid։
 2202)−ն պարամետրեր են [(cid։
 2781)]։
 կփնտրենք հետևյալ տեսքով. (cid։
 2004)((cid։
 1876),(cid։
 1877))=cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))(cid։
 1851)((cid։
 1877))որտեղ (cid։
 1851)((cid։
 1877))−ը անհայտ ֆունկցիա է` կախված միայն (cid։
 1877)−ից և (cid։
 1851)(0)=(cid։
 1853)։
 Հաշվենք (cid։
 2004)((cid։
 1876),(cid։
 1877)) ֆունկցիայի երկրորդ կարգի մասնական ածանցյալները.(cid։
 2034)(cid։
 2870)(cid։
 2004)(cid։
 2034)(cid։
 1877)(cid։
 2870)=cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))(cid։
 1851)′′((cid։
 1877))(cid։
 2034)(cid։
 2870)(cid։
 2004)(cid։
 2034)(cid։
 1876)(cid։
 2870)=−(cid։
 1865)(cid։
 2870)cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))(cid։
 1851)((cid։
 1877)), cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))[(cid։
 1851)(cid։
 4593)(cid։
 4593)((cid։
 1877))−(cid։
 1865)(cid։
 2870)(cid։
 1851)((cid։
 1877))]≡0Քանի որ cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))≠0, ուստի կստանանք հաստատուն գործակիցնե(cid։
 1851)(cid։
 4593)(cid։
 4593)((cid։
 1877))−(cid։
 1865)(cid։
 2870)(cid։
 1851)((cid։
 1877))=0որի ընդհանուր լուծումն է. (cid։
 1851)((cid։
 1877))=(cid։
 1829)(cid։
 2869)ch(cid։
 1865)(cid։
 1877)+(cid։
 1829)(cid։
 2870)sh(cid։
 1865)(cid։
 1877)Գտնենք (cid։
 1851)(0)=(cid։
 1853) պայմանին բավարարող մասնավոր լուծումը.(cid։
 1853)=(cid։
 1829)(cid։
 2869)ch0+(cid։
 1829)(cid։
 2870)sh0Հետևաբար (cid։
 1829)(cid։
 2869)=(cid։
 1853) և մասնավոր լուծումը կլինի.(cid։
 1851)((cid։
 1877))=(cid։
 1853)ch(cid։
 1865)(cid։
 1877)+(cid։
 1829)(cid։
 2870)sh(cid։
 1865)(cid։
 1877)Այսպիսով՝ (cid։
 2004)((cid։
 1876),(cid։
 1877))=cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))((cid։
 1853)ch(cid։
 1865)(cid։
 1877)+(cid։
 1829)(cid։
 2870)sh(cid։
 1865)(cid։
 1877))																													(18)(cid։
 3105)(cid։
 3075)(cid։
 3105)(cid։
 3052) մասնական ածանցյալը.(cid։
 2034)(cid։
 2004)(cid։
 2034)(cid։
 1877)=(cid։
 1865)cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))((cid։
 1853)sh(cid։
 1865)(cid։
 1877)+(cid։
 1829)(cid։
 2870)ch(cid։
 1865)(cid։
 1877))րով, գծային համասեռ դիֆերենցիալ հավասարում.Այժմ գտնենքջին հավասարումը գրենք հետևյալ տեսքով.(cid։
 1853)(cid։
 1829)(cid։
 2870)=sh(cid։
 1865)ℎ ch(cid։
 1865)ℎԱյս  խնդիրը  շատ  հաճախ  հանդիպում  է  հիդրոդինամիկայում,  ուղղահաշվելիս։
 Խնդիր 3։
   Գտնել  հետևյալ  հաստատուն  գործակիցներով,  անհամասեռԼուծում։
   Օգտվելով  հիպերբոլական  սինուսի  սահմանումից՝  այս  դիֆերենցիալ հավասարումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով.(cid։
 1865)cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))(−(cid։
 1853)sh(cid։
 1865)ℎ+(cid։
 1829)(cid։
 2870)ch(cid։
 1865)ℎ)=0Քանի որ (cid։
 1865)cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))≠0, հետևաբար −(cid։
 1853)sh(cid։
 1865)ℎ+(cid։
 1829)(cid։
 2870)ch(cid։
 1865)ℎ=0։
  ՎերՏեղադրենք այն	(18) հավասարման մեջ, կստանանք.(cid։
 2004)((cid։
 1876),(cid։
 1877))=(cid։
 1853)cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))(cid։
 3436)ch(cid։
 1865)(cid։
 1877)+sh(cid։
 1865)ℎ ch(cid։
 1865)ℎsh(cid։
 1865)(cid։
 1877)(cid։
 3440)Հաշվի առնելով, որ ch(cid։
 1865)(cid։
 1877)ch(cid։
 1865)ℎ+sh(cid։
 1865)(cid։
 1877)sh(cid։
 1865)ℎ=ch(cid։
 1865)((cid։
 1877)+ℎ), կստանանք(cid։
 2004)((cid։
 1876),(cid։
 1877))=(cid։
 1829)cos((cid։
 1865)(cid։
 1876)−(cid։
 1866)(cid։
 1872))ch(cid։
 1865)((cid։
 1877)+ℎ), որտեղ  (cid։
 1829)= (cid։
 3028)(cid։
 2913)(cid։
 2918)(cid։
 3040)(cid։
 3035)։
 հայաց պատերով և ℎ խորությամբ ջրամբարի ալիքի արագության պոտենցիալըդիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը`   (cid։
 2207)(cid։
 4593)(cid։
 4593)−(cid։
 2183)(cid։
 2779)(cid։
 2207)=(cid։
 2184)(cid։
 1819)(cid։
 1808)(cid։
 2183)(cid։
 2206) [(cid։
 2781)]։
 հետևյալ տեսքը` (cid։
 1877)(cid։
 2868)=(cid։
 1829)(cid։
 2869)ch(cid։
 1853)(cid։
 1876)+(cid։
 1829)(cid։
 2870)sh(cid։
 1853)(cid։
 1876), որտեղ (cid։
 1829)(cid։
 2869)=(cid։
 1829)(cid։
 2869)∗+(cid։
 1829)(cid։
 2870)∗,(cid։
 1829)(cid։
 2870)=(cid։
 1829)(cid։
 2869)∗−(cid։
 1829)(cid։
 2870)∗։
 կլինի (cid։
 1851)=(cid։
 1877)(cid։
 2868)+(cid։
 1877)(cid։
 2869)+(cid։
 1877)(cid։
 2870)։
   Նախ  գտնենք (cid։
 1877)(cid։
 2869)  լուծումը (cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 4593)−(cid։
 1853)(cid։
 2870)(cid։
 1877)=(cid։
 3029)(cid։
 3032)(cid։
 3276)(cid։
 3299)(cid։
 2870)   հավասարումից։
   Քանի  որ (cid։
 1853)−ն  բնութագրիչ հավասարման լուծում  է,  ուստի  վերջինիսլուծումը կունենա հետևյալ ընդհանուր տեսքը` (cid։
 1877)(cid։
 2869)=(cid։
 1827)(cid։
 1876)(cid։
 1857)(cid։
 3028)(cid։
 3051)։
  (cid։
 1827) անորոշ գործակիսարմանը,  կստանանք`	(cid։
 1827)= (cid։
 3029)(cid։
 2872)(cid։
 3028)  և  հետևաբար (cid։
 1877)(cid։
 2869)=(cid։
 3029)(cid։
 3051)(cid։
 3032)(cid։
 3276)(cid։
 3299)(cid։
 2872)(cid։
 3028) ։
  −(cid։
 1853)−ն  ևս  բնութագրիչհավասարման  լուծումն  է,  ուստի (cid։
 1877)(cid։
 2870)  լուծումը,  որը  կորոշենք (cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 4593)−(cid։
 1853)(cid։
 2870)(cid։
 1877)=(cid։
 3029)(cid։
 3032)(cid։
 3127)(cid։
 3276)(cid։
 3299)(cid։
 2870) հավասարումից,  կունենա (cid։
 1877)(cid։
 2870)=(cid։
 1828)(cid։
 1876)(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3028)(cid։
 3051)  տեսքը։
   Բավարարելով  դիֆերենցիալհավասարմանը` կստանանք. (cid։
 1828)= (cid։
 3029)(cid։
 2872)(cid։
 3028), հետևաբար (cid։
 1877)(cid։
 2870)=(cid։
 3029)(cid։
 3051)(cid։
 3032)(cid։
 3127)(cid։
 3276)(cid։
 3299) (cid։
 2872)(cid։
 3028) ։
  Այսպիսով՝ տրված=(cid։
 1829)(cid։
 2869)ch(cid։
 1853)(cid։
 1876)+(cid։
 1829)(cid։
 2870)sh(cid։
 1853)(cid։
 1876)+(cid։
 1854)(cid։
 1876)2(cid։
 1853)ch(cid։
 1853)(cid։
 1876)(cid։
 1851)=(cid։
 1877)(cid։
 2868)+(cid։
 1877)(cid։
 2869)+(cid։
 1877)(cid։
 2870)=(cid։
 1829)(cid։
 2869)ch(cid։
 1853)(cid։
 1876)+(cid։
 1829)(cid։
 2870)sh(cid։
 1853)(cid։
 1876)+(cid։
 1854)(cid։
 1876)(cid։
 1857)(cid։
 3028)(cid։
 3051)4(cid։
 1853) +(cid։
 1854)(cid։
 1876)(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3028)(cid։
 3051)4(cid։
 1853) = (cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 4593)−(cid։
 1853)(cid։
 2870)(cid։
 1877)=(cid։
 1854)(cid։
 1857)(cid։
 3028)(cid։
 3051)2 −(cid։
 1854)(cid։
 1857)(cid։
 2879)(cid։
 3028)(cid։
 3051)2 ցը  որոշելու  համար  լուծումը  բավարարենք  վերջին  դիֆերենցիալ  հավաՀամապատասխան  համասեռ  հավասարման  ընդհանուր  լուծումն  ունիՏրված  անհամասեռ  դիֆերենցիալ  հավասարման  ընդհանուր  լուծումըանհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը կլինի.հավասար է`ցիկ  աբսցիսներին  համապատասխան  օրգրաֆիկը կոչվում է շղթայագիծ։
  Այս անվանումը կապված է այն հանգամանքիհետ, որ երկու ծայրերից ինչ-որ եղանակովամրացված  շղթան  ընդունում  է  այս  կորիտեսքը։
   Շղթայագիծն  ունի  բազմաթիվկարևոր հատկություններ։
 6.  Երկրաչափական  կիրառություններ։
  (cid։
 1877)=(cid։
 1853)ch(cid։
 3051)(cid։
 3028)  հիպերբոլական  ֆունկցիայի   ա) (cid։
 1877)=(cid։
 1853)ch(cid։
 3051)(cid։
 3028)  շղթայագծով,  կոորդինատական (cid։
 1841)(cid։
 1876) առանցքով և (cid։
 1876)=0 ու (cid։
 1876) ընթադինատներով  սահմանափակված  (cid։
 1841)(cid։
 1827)(cid։
 1839)(cid։
 1842)կորագիծ  սեղանի  (նկ.  1) (cid։
 1843)  մակերեսը=(cid։
 1853)(cid։
 2870)sh(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 4698)(cid։
 2868)(cid։
 3051)=(cid։
 1853)(cid։
 2870)sh(cid։
 1876)(cid։
 1853)=(cid։
 1853)(cid։
 3495)(cid։
 1853)(cid։
 2870)ch(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 1853)−(cid։
 1853)(cid։
 2870)=(cid։
 1853)(cid։
 3493)(cid։
 1877)(cid։
 2870)−(cid։
 1853)(cid։
 2870)=(cid։
 1853)(cid։
 3505)ch(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3051) (cid։
 3051) (cid։
 1843)=(cid։
 3505)(cid։
 1877)(cid։
 1856)(cid։
 1876) բ)  Շղթայագծի (cid։
 1827)(0,(cid։
 1853))  գագաթով  և  ընթացիկ (cid։
 1839)((cid։
 1876),(cid։
 1877))  կետով  սահմանա(cid։
 2868) (cid։
 2868) փակված աղեղի (cid։
 1871) երկարությունը հավասար է.=(cid։
 1853)sh(cid։
 1876)(cid։
 1853) =(cid։
 3505)ch(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3051) (cid։
 3051) (cid։
 1871)=(cid։
 3505)(cid։
 3495)1+(cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 2870)(cid։
 1856)(cid։
 1876) =(cid։
 3495)(cid։
 1853)(cid։
 2870)ch(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 1853)−(cid։
 1853)(cid։
 2870)=(cid։
 3493)(cid։
 1877)(cid։
 2870)−(cid։
 1853)(cid։
 2870)(cid։
 2868) (cid։
 2868) գ) Կատենոիդ։
  (cid։
 1877)=(cid։
 1853)ch(cid։
 3051)(cid։
 3028)  շղթայագիծը   (cid։
 1841)(cid։
 1876)պտտման  մակերևույթը  կոչվում  է  կատենոիդ  (նկ.  2)։
   Հաշվենք  այն  մարմնի (cid։
 1848)ծավալը,  որը  սահմանափակված  է  կատենոիդով,  (cid։
 1877)(cid։
 1841)(cid։
 1878)  կոորդինատականհարթությամբ և այդ հարթությանը զուգահեռ ու նրանից (cid։
 1876) հեռավորության վրա=(cid։
 2024)(cid։
 1853)2((cid։
 1853)(cid։
 1876)+(cid։
 1871)(cid։
 1877))Կատենոիդի  մակերեևույթի (cid։
 1843)  մակերեսը  կարելի  է  հաշվել  հետևյալ=(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 4672)(cid։
 1876)+(cid։
 1853)sh(cid։
 1876)(cid։
 1853)ch(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 4673) (cid։
 3046) (cid։
 1843)=2(cid։
 2024)(cid։
 3505)(cid։
 1877)(cid։
 1856)(cid։
 1871) (cid։
 2868) (cid։
 3051) (cid։
 1848)=(cid։
 2024)(cid։
 3505)(cid։
 1877)(cid։
 2870)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 2868) (cid։
 3051) =2(cid։
 2024)(cid։
 3505)(cid։
 1877)(cid։
 3495)1+(cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 2870)(cid։
 1856)(cid։
 1876) =(cid։
 2024)((cid։
 1853)(cid։
 1876)+(cid։
 1871)(cid։
 1877))(cid։
 2868) =(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 2870)(cid։
 3505)ch(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3051) (cid։
 2868) =2(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 3505)ch(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3051) (cid։
 2868) գտնվող հարթությամբ։
  Կստանանք`բանաձևի միջոցով.նկ. 2առանցքիշուրջը  պտտելիսստացվածրը՝ կստանանք հետևյալ առնչությունը` (cid։
 1848)=(cid։
 3028)(cid։
 2870)(cid։
 1843)։
 Համեմատելով կատենոիդի ծավալի և մակերևույթի մակերեսի բանաձևեԱյժմ  դիտարկենք  մի  քանիխնդիրներ, որոնց լուծումը բերվում էշղթայագծի կամ կապված է շղթայագծի հետ։
 նկ.3Խնդիր 4. Ճկուն, համասեռ, չձգվողրերն  ամրացված  են  միևնույն  բարձրության  վրա  գտնվող  երկու  կետերում,  որոնց  միջև  եղած  հեռավորու(cid։
 2779)(cid։
 2201) երկարությամբ մետաղալարի ծայթյունը  հավասար  է (cid։
 2779)(cid։
 2194)	((cid։
 2194)<(cid։
 1871))։
   Այնազդեցության տակ։
  Գտնել մետաղալարի կախման կորի հավասարումը[(cid։
 2781)]։
 Լուծում.  Կոորդինատական  առանցքներն  ընտրենք  հետևյալ  կերպ. (cid։
 1841)(cid։
 1876)առանցքը տեղադրենք հորիզոնական ուղղությամբ, իսկ (cid։
 1841)(cid։
 1877) առանցքն անցկացնենք (cid։
 1839)(cid։
 2869)(cid։
 1839)(cid։
 2870) հատվածի միջնակետով։
  Այս դեպքում (cid։
 1839)(cid։
 2869) և (cid։
 1839)(cid։
 2870) կետերի աբսցիսներըհավասար կլինեն –(cid։
 1864)−ի և (cid։
 1864)−ի։
  Բարակ թելի կախման խնդրից հայտնի է [4], որորոնելի կորը կլինի (cid։
 1877)=(cid։
 1853)ch(cid։
 3051)(cid։
 3028) շղթայագիծը։
  Բայց այն դեպքում (cid։
 1853) պարամետրըհայտնի էր և (cid։
 1853)=(cid։
 3009)(cid։
 3044)	։
  Այս դեպքում խնդիրը բերվում է (cid։
 1853) պարամետրի որոշմանը,կախված  է  իր  սեփական  զանգվածիորը  հավասար  է  կոորդինատական  սկզբնակետի  և  շղթայագծի  գագաթի  միջևեղած հեռավորությանը (նկ. 3)։
 Կորի աղեղի երկարության հաշվման համար ունենք հետևյալ բանաձևը.=2(cid։
 3505)(cid։
 3495)1+sh(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) =2(cid։
 3505)ch(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) =2(cid։
 1853)sh(cid։
 1864)(cid։
 1853)(cid։
 3039) (cid։
 3039) (cid։
 3039) (cid։
 1871)=(cid։
 3505)(cid։
 3495)1+(cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 2870)(cid։
 1856)(cid։
 1876) Վերլուծենք sh(cid։
 3039)(cid։
 3028) ֆունկցիան ըստ աստիճանային շարքի.(cid։
 2868) (cid։
 2879)(cid։
 3039) (cid։
 2868) sh(cid։
 1864)(cid։
 1853)=(cid։
 1871)(cid։
 1853)=(cid։
 1864)(cid։
 1853)(cid։
 4680)1+13!(cid։
 3436)(cid։
 1864)(cid։
 1853)(cid։
 3440)(cid։
 2870)+15!(cid։
 3436)(cid։
 1864)(cid։
 1853)(cid։
 3440)(cid։
 2872)+⋯(cid։
 4681)(cid։
 3039) =(cid։
 1873),				(cid։
 4672)(cid։
 3039)(cid։
 3028)(cid։
 4673)(cid։
 2870)=(cid։
 1878),  այդ  դեպքում(cid։
 2871)!((cid։
 3046)(cid։
 2879)(cid։
 3039)) (cid։
 1873)=(cid։
 1878)+3!5!(cid։
 1878)(cid։
 2870)+3!7!(cid։
 1878)(cid։
 2871)+⋯=(cid։
 2030)((cid։
 1878))Կատարենք  հետևյալ  նշանակումները`վերջին հավասարությունը կընդունի հետևյալ տեսքը`Այսպիսով՝ կստանանք.Ստանանք այս շարքի հակադարձը, այսինքն՝ (cid։
 1878)−ը՝ որպես (cid։
 1873)−ի ֆունկցիա։
  Այս դեպքում հնարավոր կլինի հաշվել (cid։
 1853)= (cid։
 3039)√(cid։
 3053) պարամետրը։
  Այդ նպատակով (cid։
 1878)=(cid։
 1858)((cid։
 1873)) ֆունկցիայի համար կազմենք Մակլորենի շարքը.(cid։
 1878)=(cid։
 1858)(0)+(cid։
 1858)(cid։
 4593)(0)1! (cid։
 1873)+(cid։
 1858)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(0)2! (cid։
 1873)(cid։
 2870)+⋯+(cid։
 1858)((cid։
 3041))(0)(cid։
 1866)! (cid։
 1873)(cid։
 3041)+⋯Անմիջապես (cid։
 1873)−ի  սահմանումից  հետևում  է,  որ (cid։
 1858)(0)=0,  իսկ (cid։
 1878)−ի  ոչբացասական լինելուց հետևում է, որ (cid։
 1878)=0, երբ (cid։
 1873)=0։
 (cid։
 1858)((cid։
 1873)) ֆունկցիայի ածանցյալների համար ունենք.(cid։
 1858)(cid։
 4593)(cid։
 4593)((cid։
 1873))=− (cid։
 2030)(cid։
 4593)(cid։
 4593)((cid։
 1878)) (cid։
 1858)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(cid։
 4593)((cid։
 1873))=[3[(cid։
 2030)(cid։
 4593)(cid։
 4593)((cid։
 1878))](cid։
 2870)−(cid։
 2030)(cid։
 4593)((cid։
 1878))(cid։
 2030)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(cid։
 4593)((cid։
 1878))] (cid։
 1858)(cid։
 4593)((cid։
 1873))= 1(cid։
 2030)(cid։
 4593)((cid։
 1878)), [(cid։
 2030)(cid։
 4593)((cid։
 1878))](cid։
 2871), [(cid։
 2030)(cid։
 4593)((cid։
 1878))](cid։
 2873) Այս հավասարումներում տեղադրելով (cid։
 1878)=0` կարելի է գտնել (cid։
 1858)(cid։
 4593)(0),(cid։
 1858)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(0), (cid։
 1858)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(0),… արժեքները.(cid։
 1858)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(0)=3∙2∙3! (cid։
 1858)(cid։
 4593)(cid։
 4593)(0)=−3!∙25! (cid։
 1858)(cid։
 4593)(0)=1, (cid։
 1878)=(cid։
 1873)−120(cid։
 1873)(cid։
 2870)+ 2525(cid։
 1873)(cid։
 2871)+⋯Հետևաբար  խնդիրը  լուծված  է։
   Մնում  է  որոշել (cid։
 1853)  պարամետրը (cid։
 1853)= (cid։
 3039)√(cid։
 3053)Եթե  պահանջվում  է  որոշել (cid։
 1856)=(cid։
 1827)(cid։
 1828)  մեծությունը,  այսինքն՝ (cid։
 1839)(cid։
 2869)(cid։
 1839)(cid։
 2870)  հատվածի (cid։
 1828)  միջնակետի  հեռավորությունը  շղթայագծի (cid։
 1827)  գագաթից,  ապա  պետք  էօգտվել  հետևյալ  տարբերությունից` (cid։
 1856)=(cid։
 1853)ch(cid։
 3039)(cid։
 3028)−(cid։
 1853)= =(cid։
 1853)(cid։
 3435)ch√(cid։
 1878)−1(cid։
 3439)։
   Վերջինիմեջ տեղադրելով ch√(cid։
 1878) աստիճանային շարքի վերլուծությունը՝ կստանանք`(cid։
 1856)=(cid։
 1853)(cid։
 4678)(cid։
 1878)2!+(cid։
 1878)(cid։
 2870)4!+(cid։
 1878)(cid։
 2871)6!+⋯(cid։
 4679)(cid։
 3039)√(cid։
 3053)−ով։
  (cid։
 1878)−ը  փոխարինելով  նրա  վերլուծուՄնում  է (cid։
 1853)−ն  փոխարինելթյունով ըստ (cid։
 1873)−ի և պահպանելով երկուսից փոքր կարգ ունեցող անդամները՝(cid։
 2870)(cid։
 2868)(cid։
 2869)(cid։
 2874)(cid։
 2868)(cid։
 2868)(cid։
 1873)(cid։
 2870)(cid։
 4673), որտեղ (cid։
 1873)=(cid։
 2874)((cid։
 3046)(cid։
 2879)(cid։
 3039)) կստանանք` (cid։
 1856)=(cid։
 3039)(cid։
 2870)√(cid։
 1873)(cid։
 4672)1+ (cid։
 2875)(cid։
 2869)(cid։
 2870)(cid։
 2868)(cid։
 1873)− (cid։
 2871)(cid։
 2875)(cid։
 2877) (cid։
 1856)  մեծության  հաշվման  բանաձևը  կիրառվում  է,  օրինակ,  հեռախոսա(cid։
 3039) հավասարման միջոցով։
 գծերի մետաղալարերի կախումն ուսումնասիրելիս։
 փակված    կորագիծ  սեղանի  մակերեսըԼուծում.  Ենթադրենք  այդ  կորը(cid։
 1839)(cid։
 2868)(cid։
 1839)(cid։
 3571)=(cid։
 1871)=(cid։
 3505)(cid։
 3495)1+(cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 2870)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3051) =(cid։
 1853)(cid։
 3505)(cid։
 3495)1+(cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 2870)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3051)(cid։
 3116) նրանով  սահմանափակված  պատկերիմակերեսի  համար  ունենք  հետևյալբանաձևերը.Խնդիր 5. Գտնել կորը՝ իմանալով, որ այդ կորի (cid։
 2169)(cid։
 2777)(cid։
 2169)(cid։
 3571)  աղեղով, (cid։
 2171)(cid։
 2206) առանցքով, (cid։
 2172)(cid։
 2777)(cid։
 2169)(cid։
 2777)  հաստատուն  և (cid։
 2172)(cid։
 2169)  փոփոխական  օրդինատներով  սահմանահամեմատական է այդ կորի (cid։
 2169)(cid։
 2777)(cid։
 2169)(cid։
 3571)  աղեղիերկարությանը [(cid։
 2781)]։
 գտել  ենք,  և  դրա  հավասարումն  է (cid։
 1877)= (cid։
 1858)((cid։
 1876))։
   Կորի  աղեղի  երկարության  և(cid։
 3051) ,							(cid։
 1843)(cid։
 3017)(cid։
 3017)(cid։
 3116)(cid։
 3014)(cid։
 3116)(cid։
 3014)=(cid։
 3505)(cid։
 1877)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3051)(cid։
 3116) (cid։
 3051) (cid։
 3051)(cid։
 3116) (cid։
 3051) Համաձայն խնդրի պայմանի` (cid։
 3505)(cid։
 1877)(cid։
 1856)(cid։
 1876) որտեղ (cid։
 1853)−ն  համեմատականության  գործակիցն  է։
   Դիֆերենցելով  վերջինս՝ (cid։
 3051)(cid։
 3116) կստանանք` (cid։
 1877)=(cid։
 1853)(cid։
 3495)1+(cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 2870)։
  Սա առաջին կարգի, գծային դիֆերենցիալ հավասարում է, որը ինտեգրելու համար կատարենք (cid։
 1877)(cid։
 4593)=sh(cid։
 1878)  նշանակում, հետևաբարկստանանք   (cid։
 1877)=(cid։
 1853)ch(cid։
 1878),  վերջինիս  ածանցյալը  հավասար  է` (cid։
 1877)(cid։
 4593)=(cid։
 1853)(cid։
 1878)(cid։
 4593)sh(cid։
 1878),  բայցմյուս կողմից ունենք, որ (cid։
 1877)(cid։
 4593)=sh(cid։
 1878)։
  Այսպիսով՝ կստանանք`(cid։
 1853)(cid։
 1878)(cid։
 4593)sh(cid։
 1878)=sh(cid։
 1878)			կամ						(cid։
 1878)(cid։
 4593)=1(cid։
 1853), հետևաբար		(cid։
 1878)=(cid։
 1876)+(cid։
 1829)(cid։
 1853) 	Վերադառնալով (cid։
 1877)(cid։
 4593)=sh(cid։
 1878)	 նշանակմանը՝ կստանանք`հետևաբար				(cid։
 1877)=(cid։
 1853)ch(cid։
 1876)+(cid։
 1829)(cid։
 1853) +(cid։
 1829)(cid։
 2869)(cid։
 1877)(cid։
 4593)=sh(cid։
 1876)+(cid։
 1829)(cid։
 1853) Խնդիր 6. Հաշվել (cid։
 2207)=(cid։
 2183)(cid։
 1803)(cid։
 1808)(cid։
 2206)(cid։
 2183) շղթայագծի (cid։
 2206)=−(cid։
 2184) ու (cid։
 2206)=(cid։
 2184) սահմաններումեն ա) աբսցիսների առանցքի շուրջը,  բ) օրդինատների առանցքի շուրջը [(cid։
 2781)]։
 Լուծում։
  ա) (cid։
 1845)(cid։
 3051)=2(cid։
 2024)∫ (cid։
 1877)(cid։
 3495)1+(cid։
 1877)(cid։
 4593)(cid։
 2870)(cid։
 1856)(cid։
 1876) ։
  Այս դեպքում (cid։
 1877)(cid։
 4593)=sh(cid։
 3051)(cid։
 3028), հետևաբար(cid։
 3029)(cid։
 2879)(cid։
 3029) =2(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 3505)(cid։
 3436)ch2(cid։
 1876)(cid։
 1853)+1(cid։
 3440)(cid։
 1856)(cid։
 1876) =4(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 3505)ch(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 1845)(cid։
 3051)=4(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 3505)ch(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 3495)1+sh(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3029) (cid։
 3029) =(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 3436)2(cid։
 1854)+(cid։
 1853)sh2(cid։
 1854)(cid։
 1853)(cid։
 3440)(cid։
 2868) (cid։
 2868) կստանանք`(cid։
 3029) (cid։
 2868) ընկած աղեղի պտտումից առաջացած մակերևույթի մակերեսը, եթե այն պտտելբ)  Օրդինատների  առանցքի  շուրջը  պտտելիս  ստացված  մակերևույթիմակերեսը  հաշվելու  համար  կօգտվենք  մաթեմատիկական  անալիզից  հայտնիհետևյալ բանաձևից` (cid։
 1845)(cid։
 3052)=2(cid։
 2024)∫ (cid։
 1876)(cid։
 3495)1+(cid։
 1877)(cid։
 3051)(cid։
 4593)(cid։
 2870)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3029)(cid։
 2868) =2(cid։
 2024)(cid։
 3505)(cid։
 1876)ch(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 1845)(cid։
 3052)=2(cid։
 2024)(cid։
 3505)(cid։
 1876)(cid։
 3495)1+sh(cid։
 2870)(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3029) (cid։
 3029) (cid։
 2868) (cid։
 2868) (cid։
 4687)=2(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 4674)(cid։
 1876)sh(cid։
 1876)(cid։
 1853)−(cid։
 1853)ch(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 4675)(cid։
 4698)(cid։
 2868)(cid։
 3029)=2(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 3428)(cid։
 1854)sh(cid։
 1854)(cid։
 1853)−(cid։
 1853)ch(cid։
 1854)(cid։
 1853)+(cid։
 1853)(cid։
 3432)=2(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 4686)(cid։
 1876)sh(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 4698)(cid։
 2868)(cid։
 3029)−(cid։
 3505)sh(cid։
 1876)(cid։
 1853)(cid։
 1856)(cid։
 1876) (cid։
 3029) (cid։
 2868) =2(cid։
 2024)(cid։
 1853)(cid։
 3505)(cid։
 1876)(cid։
 1856)sh(cid։
 1876)(cid։
 1853) (cid։
 3029) (cid։
 2868) ։
  Կստանանք`7. Եզրակացություն։
  Այսպիսով՝ ուսումնասիրությունը ամփոփ մեթոդական  աշխատանք  է  հիպերբոլական  և  հակադարձ  հիպերբոլական  ֆունկցիաների վերաբերյալ։
  Այստեղ ներկայացվում են հիպերբոլական և հակադարձհիպերբոլական  ֆունկցիաների  հատկությունները  և  անհրաժեշտ  տեսականհիմքերը,  տրվում  են  բազմաթիվ  առնչություններ։
   Այս  ամենը  ներկայացվում էընթերցողի և ուսանողի համար մատչելի կերպով։
 Դիտարկված  են  հիպերբոլական  և  հակադարձ  հիպերբոլական  ֆունկցիաները  նաև  կիրառական  տեսանկյունից։
   Հատկապես  հետաքրքրություն  եններկայացնում  դիֆերենցիալ  հավասարումներն  ինտեգրման  տեսանկյունից։
 Բոլոր  խնդիրները  տրվում  են  համապատասխան  լուծումներով`  մանրամասննկարագրությամբ։
 Գ ր ա կ ա ն ո ւ թ յ ո ւ ն 6.  Վիգոդսկի Մ.Յ., Բարձրագույն մաթեմատիկայի տեղեկագիրք։
  Երևան։
   «Լույս»հրատարակչություն։
  1973։
   948 էջ։
 Functions։
   with  Configuration  Theorems  and  Equivalent  ant  EquidecomposableՏեղեկություններ հեղինակների մասինՍարգսյան Արմենուհի Հակոբի- ՇՊՀ,   Բարձրագույն մաթեմատիկայի և մաթեմատիկայիդասավանդման ամբիոնի դոցենտ,  ֆիզմաթ գիտ. թեկն., E-mail։
  armenuhis@mail.ruՄելքոնյան Գայանե Մխիթարի-  ՇՊՀ, մագիստրանտ, E-mail։

Աշխատանքում ներկայացվում են հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական  ֆունկցիաների  մի  շարք  հատկություններ  և  կիրառություններ։
   Դիտարկվում են հետաքրքրություն ներկայացնող որոշ խնդիրներ։
