Ներածություն  Գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը մաթեմատիկայի հետ կապված մի շարք գիտությունների ամենատարածված խնդիրներից մեկն է:   Քանի որ գծային ֆունկցիաները ամենալավ ուսումնասիրված մոդելներն են, կախվածության ամենատարածված մոդելները գծային մոդելներն են, որոնք իրենց հերթին հանգեցնում են գծային հավասարումների համակարգերի լուծմանը:   Ուստի գծային հավասարումների համակարգերի արագ լուծումը արդիական է դառնում գիտության տարբեր ճյուղերում տարբեր խնդիրներ ուսումնասիրելիս:   Եվ դրանց արագությունը կարելի է լուծել թվային մեթոդների միջոցով: ապա ֆունկցիոնալ գծային հավասարումների համակարգերի լուծման պարզ մեթոդներ: Գաուսի մեթոդ (փոփոխականների վտարում):  Դիտարկենք անհայտի համար գծային հավասարումների համակարգ: Եկեք դիտարկենք հավասարումների համակարգերի լուծման ամենատարածված մեթոդներից մեկը ՝ Գաուսյան մեթոդը, որը կոչվում է նաև փոփոխական արտաքսման մեթոդ [1-3]:   Գաուսյան մեթոդի միջոցով հաշվարկները կատարվում են 2 հիմնական փուլերում, որոնք կոչվում են ուղիղ-հակառակ քայլեր:   Գաուսի քայլ առ քայլ մեթոդի էությունը կայանում է հաջորդական տեղահանման մեջ, որի արդյունքում ելակետային համակարգին համարժեք համակարգ է ՝ համապատասխան վերին անկյունային մատրիցով:   Փոփոխականների որոշումը կատարվում է հակառակ քայլով: Ուղղակի քայլը բաղկացած է վտարման քայլերից: Մասնավորապես. Քայլ 1  Այս քայլի նպատակն է փոփոխականը բացառել հավասարումներից:  Եկեք այն անվանենք առաջին քայլի հիմնական տարրը: Գտեք մեծությունները, որոնք կոչվում են 1-քայլանոց արտադրողներ:  (1) Գծային հավասարումների համակարգի 2, 3,…, -1 հավասարումները ՝ համապատասխան հավասարումներից մեծությունները մտովի բազմապատկած քանակներից հանելով:   Բացառությամբ Սատուրնի գծային հավասարումների համակարգը, մենք համակարգը դուրս կմղենք հավասարումների, փոփոխականի միջև:   Արդյունքում, (1) համարժեք է ելակետային համակարգին և բոլոր smsmsssmmmmbxaxaxaxaxxaxaxaxaxaxxaxaxaxaxaxa ............ 33221122323222121113132121111 m1xsi, ..., 3,2011asiaaii, ..., 3,21111s11312 ... ,,, s1x Sm 31131321212123123212211313212111 ............ smsmssmmmmbxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa որտեղ և մեծությունները որոշվում են բանաձևերով: Մյուս քայլերն արվում են նույն կերպ:   Նկարագրեք հաջորդ քայլը: Քայլ  Այս քայլի նպատակը գծային հավասարումների համակարգն է, որտեղ փոփոխականը դուրս է մղվում հավասարումներից:  Գործակիցը կոչվում է-րդ քայլի հիմնական տարր:   Գտեք քայլ արտադրողներին: Նախորդ քայլի ընթացքում ստացված գծային հավասարումների համակարգի համակարգային հավասարումը `հանել հավասարումներից` բազմապատկելով դրանք իրենց մեծություններով և թողնելով 1, 2,…, հավասարումները `անփոփոխ:   Դա թույլ կտա համակարգի բոլոր հավասարումները, բացառությամբ 1-ին, 2-րդ,…, - հավասարությունների, շարունակելով արտաքսումը - արտաքսման ընդհանուր դեպքում - մենք կստանանք հետևյալ համակարգը գծային հավասարումների հետ: փոփոխական Նման հավասարում Ինչպես տեսնում ենք, արդյունքում ստացված համակարգն (3) արդեն պարունակում է, քանի որ փոփոխությունների արդյունքում որոշ հավասարումներ կարող են նետվել այնտեղ ՝ դառնալով ինքնություններ:  Ավելին, ենթադրվում է, որ հերթափոխի ընթացքում չի ստացվել ոչ մի հավասարություն, որի գործակիցները ձախից են 0 և աջից, քանի որ այդ դեպքում ստացված համակարգը, ինչպիսին է գծային հավասարումների մեկնարկի համարժեք (1) համակարգը, անհամատեղելի կլիներ   Եվ քննարկվող դեպքում (3), ինչպես eline1 ija1ibmjsi բազային գծային հավասարումների համակարգում, ..., 3,2, ... ,, 3,2jiijijaaa111  111bbbiiikkkxski, ..., 101kkka1kkkakk11kkkkikikikaikaski, ..., 1, Sk, ..., 1kskkkkk, ... ,,, 2,11k1kkxx1m  111112123123212211313212111 ............ mtmmtmtmttmmmmbxaxabxaxaxabxaxaxaxatst կլինի համատեղելի  Ավելին, եթե, ուրեմն, անորոշ է: Օրինակ 1.  [4], ապա այն կլինի որոշակի, և համակարգը որոշակի է և ունի միայն մեկ լուծում. Օրինակ 2.  [4] Համակարգը համատեղելի է և ունի անթիվ բազմաբնույթ լուծումներ: Օրինակ 3.  [4] Համակարգն անհամատեղելի է: Գաուսյան մեթոդը միավորի բաժանման սխեմայի համակարգին համապատասխան մատրիցի LU վերլուծության դեպքում:  Այժմ մենք կանդրադառնանք Գաուսիմեթ մեթոդին ավելի ընդհանուր տեսանկյունից, ինչը թույլ կտա ոչ միայն ավելի խորը ընկալել մեթոդը, այլև ստեղծել բարձր արդյունավետ մեխանիկական ալգորիթմներ, ինչպես նաև ուսումնասիրել այլ ճշգրիտ մեթոդներ [5, 6]: Ենթադրենք գծային հավասարումների տվյալ համակարգ, որը մատրիցային հավասարման միջոցով կունենա հետևյալ տեսքը. 010122001518300561003421 variable փոփոխականի նկատմամբ  0000000000000561003421  50560342 4324321xxxxxxx 6560334 ~ 423421xxxxxx 272543 ~ 113214xxxxxxx43212523223124321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx  3143112121152322311112 ~ 234220713301977011112 ~ ~ 100191000052200001977011112 1019105220197712 444324321xxxxxxxxxxxmm, որտեղ:                        (4) Ինչպես տեսանք, Գաուսյան մեթոդի առաջին ուղիղ քայլի հաշվարկման արդյունքում մատրիցայի տեսքով գրված (4) գծային հավասարումների համակարգը կրճատվում է հետևյալ ձևով, որտեղ:                         (5) Մյուս կողմից, ներմուծեք հետևյալ մատրիցը:                                                                                   (6) Հեշտ է ստուգել, ​​որ մատրիցի հավասարումները ճշմարիտ են, այսինքն ՝ հավասարումների համակարգի վերափոխումը (5) արտաքին տեսքով համարժեք է մատրիցայի աջից ձախ մասերին համապատասխան մատրիցների բազմապատկմանը , Նախավերջին քայլում ստացված գծային հավասարումների համակարգը կատարվում է գծային Գաուսյան մեթոդի ուղիղ քայլի ուղիղ հաշվարկների կատարման արդյունքում:                   (7) bAxmmmmmmaaaaaaaaA212222111211 ......... xxmxxxxx .. .321 mbbbbb ... 32111bxA: 11312131331321212312211312111 ... 0 ...... 0 ... 0 ... mmmmmmmaaaaaaaaaaaAA  1131211 ... mbbbbb1 ... 00 .. .0 ... 100 ... 010 ... 001113121mM bMbAMA1111, 1M1m11mmbxA 31232331213212213121111 ... 000 ...... 00 ... 0 ... mmmmmmmaaaaaaaaaA 31231211 ... mmmbbbbb Մյուս կողմից, եկեք ներկայացնենք հետևյալ մատրիցան: Այստեղ նույնպես կան իրական մատրիցային հավասարումներ, այսինքն ՝ նախավերջին քայլից ստացված գծային հավասարումների համակարգի վերափոխում (7) Մասերի տեսքին համապատասխան մատրիցների բազմապատկումը հավասար է աջի մատրիցին ներդրված համակարգը: Այսպիսով, մենք կարող ենք ապացուցել, որ մատրիցայի բազմապատկմամբ մենք կարող ենք ապացուցել, որ դա այդպես է: Դա հեշտ է ստանալ: մատրիցներով մատրիցը ստացվում է հաջորդաբար:   Նմանապես, կարելի է ածանցյալից-: Մենք նշանակումները կկատարենք:  Որոշելով մատրիցը ՝ կտեսնենք, որ այն ունի հետեւյալ տեսքը. , Այդ դեպքում մենք կստանանք: մատրիցա   Սա ստորին եռանկյուն վերլուծության արդյունքում ստացված մատրիցի ներկայացումն է, այսինքն 1 ... 00001 ... 000. ..00 ... 01000 ... 0011,1mmmM211211, mmmmmmbMbAMA1mM1mAA121, ... ,, MmMMM AMMMAmm1211 ... bMMMbmm1211 ... AMMMAmm1211 ... 1111211 ... mmAMMMA 1 ... 00 ... 0 ... 100 ... 010 ... 0011131211mM: 1 ... 00 ... 0 ... 100 ... 0100 ... 00122312mM1 ... 00001: .. 000 ... 00 ... 01000 ... 0011,11mmmM1112111 ..., mmMMMLAUL 1 ...... 0 ... 10 ... 010 ... 001321231312mmmmLLUAALUA ից վերին եռանկյուն մատրիցների արտադրանքից:   Գաուսյան մեթոդի ուղիղ քայլը, այսպիսով, կարելի է համարել որպես գծային հավասարումների համակարգի համաձայն վերլուծության հաշվարկման գործընթաց, որի առաջին փուլում որոշվում են մատրիցային գծի սյունակի տարրերը:  մատրից Օրինակ 4.  [5] որոշված ​​սիմետրիկ Համակարգը որոշակի է և ունի միայն մեկ լուծում. Գծային հավասարումների համակարգված վերլուծության մեթոդը (Հոլեցկումետի մեթոդ):  Ենթադրենք, որ լուծում-հանրահաշվական հանրահաշվական հավասարումների համակարգ է պահանջվում (4):   Խոլեցկի մեթոդը հաճախ օգտագործվում է այդ տպագրական համակարգերը լուծելու համար, որը կոչվում է քառակուսի արմատի մեթոդ [5, 6]:   Մեթոդի հիմքում ընկած ալգորիթմը վերլուծության կառուցումն է, որի արդյունքում ստացվում է փոխադրված մատրիցը:  Ստորին եռանկյուն մատրիցի վերլուծության մեջ մատրիցան արդեն նշվում է, որտեղ մատրիցն է LUALUkLkUk222625374258261043243214321321xxxxxxxxxxxxxxxxx  2222602115374215802610 ~ 505.00004.44.54.40034320802610 ~ ~ 05.04.44.54.4343282610 ~ 443432321xxxxxxxxx 100101 ~ 4321xxxx, 15.230016.13.00015.00001L, 5.00004.54.400432002610 U, 2,2,7,8b, 385.07112212bbb, 4.083.02113313 bbb , 2802114414bbb: 2,4.0,3,81b, 4.436.14.012231323bbb, 1133212241424bbb : 11,4.4,3,82b, 04.45.21123342434bbb. 0,4,4,3,83b) 0,1,0,1 (ALAALUTLLATLLL- ը պարտադիր չէ, որ հիմնական անկյունագծի վրա պարունակի միայն 1-ներ, ինչպես Գաուսի մեթոդով:   Միայն պահանջվում է, որ մատրիցայի անկյունագծային տարրերը լինեն դրական: Եթե ​​վերլուծությունն արդեն ստացվել է, ապա (4) գծային հավասարումների համակարգի լուծումը հանգեցնում է հետևյալ համակարգերի հաջորդական լուծմանը եռանկյուն մատրիցներով: Նախ գտեք մատրիցայի տարրերը:   Դա անելու համար մենք որոշում ենք մատրիցայի տարրերը և, համապատասխանաբար, հավասարեցնում դրանք հավասարեցումների համապատասխան համակարգին:   Լուծելով մատրիցը Համակարգը լուծելով (11) մենք կգտնենք հետևյալը. Ստացված բանաձևերով որոշելով մատրիցայի տարրերը (12), մենք նախ կլուծենք (10) -ի առաջին համակարգը, ապա երկրորդը, որի արդյունքում մենք կստանա նախնական (4) գծային հավասարումների Liil- ը: ...... 0 ... 0 ... 021221211mmmmllllllLTLLA: , yxLbyLTLTLLAmmmmmmkikkkikikikkkkkkkiiiiialllmkiallklllalllmiallllallmiallal22221221122221222212122222212111111211 ..... ., ..., 1, ..., ......, ..., 4,3 ,,, ..., 3,2 ,,: ...... ,,, ..., 1, ..., ..., ... ,, ..., 4,3 ,,,, ..., 3,2 ,, 21, Քառակուսի արմատային համակարգ.   Նշենք, որ անկյունագծային տարրերը որոշելու համար օգտագործվում է քառակուսի արմատների արդյունահանման գործողությունը:   Այդ պատճառով մենք Խոլեցկի մեթոդ ենք անվանում համապատասխան արմատային արտահայտությունների դրականությունը մատրիցայի դրական որոշման արդյունք է: Խոլեցկի մեթոդը ունի մի շարք հետաքրքիր հատկություններ, որոնց շնորհիվ այն ավելի նախընտրելի է, քան Գաուսյան մեթոդը `դրականորեն որոշված ​​սիմետրիկ մատրիցով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման դեպքում: մեթոդ   Ապացուցված, օրինակ 5:  [5] Գծային հավասարումների համակարգված վերլուծության թվային մեթոդներ:   Ինչպես տեսանք, գծային հավասարումների համակարգված վերլուծության Գաուսյան ալգորիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ. PASCAL ծրագրավորման լեզվով ներկայացված ալգորիթմին համապատասխանող ծրագիրը կունենա հետևյալ ձևը ՝ Var n, i, j, k: ամբողջ թիվ; tmp իրական; բ, x զանգված [1..100] իրական; ա զանգված (1..100,1..100) իրական; Համար i. = 1-ից n անել j- ի համար. = 1-ից n կարդում ենք (a [i, j]); Համար i. = 1-ից n կարդում ենք (b [i]); K- ի համար. = 1-ից n անել j- ի համար. = k + 1-ից n անել tmp: = a [j, k] / a [k, k]; Համար i. = k to n անել a [j, i]: = a [j, i] - tmp * a [k, i]; b [j] = b [j] -tmp * b [k]; K- ի համար. = n 1-ից մինչև tmp: = 0; J- ի համար. = k + 1-ից n անել tmp: = tmp + a [k, j] * x [j]; x [k] = (b [k] -tmp) / a [k, k]; Համար i. = 1-ից n անել գրավոր (x [i]: 0 5) environmentրագրի միջավայրում ներկայացված ծրագիրը, մենք կարող ենք լուծել քննարկված օրինակները 3-4 վայրկյանում, երբ անհայտների քանակը հավասար է հավասարումների թվին: մուտքագրելով Օրինակ 1: ,) 1 () 1 () (kkkkkjkkjaaa,) 1 () 1 () (kkkkkkkkabb,) () 1 () 1 () (kkjkikkijkijaaaa,) () 1 () 1 () (kkkikkikibaaba ;, 1,;, 1nkjink, nnnnabx, 1nijjijiixabx. 1,1ni Օրինակ 4: Օրինակ 5. Ինչպես տեսնում ենք, PASCAL ծրագրավորման լեզվով գրված ծրագրի արդյունքում պատասխանը համընկնում է ուղղակի մեթոդով լուծված արդյունքի հետ: Այնուամենայնիվ, նշենք, որ գրավոր ծրագիրը թույլ չի տալիս լուծելի գծային հավասարումների համակարգեր, որոնց անհայտների քանակը համընկնում է հավասարումների քանակի հետ:   Նշված գործի ալգորիթմի ստացումը և ծրագրի ձևավորումը կապված են բավականին մեծ դժվարությունների հետ և կարող են լուծվել համապատասխան ոլորտի մասնագետների `ծրագրավորողների կողմից լուրջ աշխատանքի դեպքում: Այնուամենայնիվ, վերջին տարիներին համապատասխան մասնագետների կողմից մշակվել են համակարգչային մաթեմատիկայի հավաքածուներ, որոնք հզոր գործիք են տարբեր մաթեմատիկական խնդիրների գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար [15-18]:   Նման փաթեթներն են MAPLE, MATHEMATICA, MATLAB, MACSYMA և այլ համակարգչային փաթեթներ, որոնք թույլ են տալիս լուծել առանց խորանալու ծրագրավորման նրբությունների մեջ:   Մենք կօգտագործենք Mathematica փաթեթը:   Տարբեր բնույթի մաթեմատիկական խնդիրների լուծումը հանգեցնում է տարբեր լուծումների արմատների կամ հավասարումների որոշման համակարգերի լուծմանը [15-18]:   Այդ նպատակով փաթեթը տրամադրում է բավականին արդյունավետ միջոցներ, որոնցից այս դեպքում կարող ենք նշել լուծել, նվազեցնել, վերացնել մաթեմատիկական խնդիրները `օպերատորներ:   Օգտագործելով նշված օպերատորները, եկեք լուծենք համեմատական ​​վերլուծության նպատակով ուղղակի մեթոդներով լուծված գծային հավասարումների համակարգերը: Օրինակ 1. Օրինակ 2. Օրինակ 3. Օրինակ 4. Օրինակ 5. Ինչպես տեսնում ենք, երկու օպերատորների կողմից օգտագործված բոլոր օրինակների դեպքում էլ պատասխանը ստացվում է ակնթարթորեն `Լուծված արդյունքի հետ: Լիովին համընկնում է ուղիղ մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման արդյունքների համեմատական ​​վերլուծությանը:   Ներկայացնենք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ուղղակի և թվային մեթոդների կիրառման արդյունքում ստացված լուծումների համեմատական ​​վերլուծությունը (աղյուսակ 1): Վերլուծության արդյունքում կարող ենք արձանագրել, որ .1. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ուղղակի և թվայնորեն ստացված արդյունքները համընկնում են մեթոդների հետ: օգտագործելով 2. Գծային հավասարումների համակարգերի վերլուծության համար թվային մեթոդների առաջնային առավելությունը ժամանակի խնայողությունն է `կիրառելով ուղիղ մեթոդներ:   Իհարկե, PASCAL ծրագրավորման լեզվով գծային հավասարումների համակարգերը լուծելու համար անհրաժեշտ է նախօրոք գրել ծրագիրը, բայց ունենալով այն, ցանկացած համակարգ կարող է լուծվել 4-5 վայրկյանում, իհարկե, երբ անհայտների թիվը հավասար է հավասարումների թվին:   Իսկ MATHEMATICA համակարգչային փաթեթի պարագայում հնարավոր է լուծել կամայական գծային հավասարումների համակարգ ՝ ուղղակի ներմուծելով համապատասխան օպերատոր: 3. PATCAL ծրագրավորման լեզվի նկատմամբ MATHEMATICA համակարգչային փաթեթի առավելությունն այն է, որ վերջինիս միջոցով հնարավոր է լուծել ցանկացած տեսակի գծային հավասարումների համակարգ, իսկ PASCAL ծրագրավորման լեզվի միջոցով հնարավոր էր լուծել միայն գծային հավասարումներ, երբ անհայտների թիվը հավասար էր հավասարումների թվին: ։

Հոդվածում  ուսումնասիրված  են  գծային  հավասարումների  համակարգերի  լուծման  ուղիղ  և  թվային  մեթոդները,  ներկայացված  են  այդ  մեթոդներով  կոնկրետ  գծային  հավասարումների  համակարգերի ստացված  արդյունքների  լուծումները  համեմատական  և  վերլուծությունը։
