ՀԵՏԱՈՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀԱՄԱԼԻՐ Հետազոտություններ ՖՐԱԳԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐՈՒՄ Տարբեր տրամաբանական համակարգերում ապացույցների ավտոմատացման պատճառով արտանետումների բարդության ուսումնասիրությունները հատկապես կարևոր են արհեստական ​​բանականության զարգացումներում, ինչպիսիք են գաղտնագրությունը:  Ապացուցելու համար, որ դժվար է ապացուցել, այս կամ այն ​​կոմբինացիոն խնդրի պնդումները, դատողությունները կրում են կառուցողական (ինտուիցիոնիստական) բնույթ, և երբեմն դրանք սահմանափակվում են նվազագույն տրամաբանության շրջանակներում:   Այս հանգամանքների, ինչպես նաև դասական և ոչ դասական տրամաբանությունների մի շարք տարբերությունների պատճառով ոչ դասական տրամաբանություններում էքստրապոլացիաների բարդության ուսումնասիրությունը պակաս կարևոր է: Կան տրամաբանության մեջ ապացուցված որոշ արդյունքներ, որոնք չեն հանդիպում ինտուիտիվ «Նվազագույն տրամաբանության» մեջ: Համակարգի սահմանումներ:  Մենք կօգտագործենք բուլյան խորանարդը:  Ապացուցված է, որ դասական տրամաբանության որոշակի հատկություններ, ինչպիսիք են միօրինակության բացակայությունը, էապես հավասար ինքնությունների արտահայտման բարդության հնարավոր էական տարբերությունը, առկա են ինտուիցիոնիստական-մինիմալ տրամաբանություններում, բայց A v B բանաձևերի հայտնի սահմանում A և B ինքնությունների համար E (cid) է: 2924):  Դասական տրամաբանության frege (cid. 2320) համակարգերում, որտեղ A (cid. 2869), Ա (նշ. 2870) ... Ա (նշ. 2924) և B- ը բանաձեւեր են (առանց որոնց օգտագործվում են հաշվարկելի թվով տրամաբանական փոփոխականներ և որոշ տրամաբանական գործողությունների վերջավոր, ամբողջական համակարգ:  Բանաձևերը սահմանվում են ընդունված ձևով ՝ տրամաբանական փոփոխականներից, տրամաբանական գործողություններից մինչև փակագծեր:  Արտահանման կանոնները տրված են հետևյալ սխեմայով. N = 0 դեպքում արտահանման կանոնները օժանդակ սխեմաներ են): Բեռնաթափման համակարգերը անվիճելի և ամբողջական են: (խնամել 2885) (նշ. 3117), (նշ. 2885) (նշ. 3118) ..., (նշ. 2885) (նշ. 3172) (խնամել 2886) Ելքի կանոնը հայտնի modus ponens- ն է (cid): 2885), (նշ. 2885) ⊃ (նշ. 2886) (նշ. 2886) (տ.մ.) Նվազագույն տրամաբանության ML համակարգը պարունակում է ընդամենը 1-7 հինա: Նշենք Ֆրեգեի կողմից դասական տրամաբանության հետևյալ համակարգը. Արտահայտությունների սխեմաները A, B և C բանաձևերից յուրաքանչյուրի համար `1) A⊃ (cid): 4666) ԲԻԱ (նշ. 4667) 2) (նշ. 4666) A⊃B (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 4666) (նշ. 4666) A⊃ (բծ. 4666) B⊃C (նշ. 4667) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 4666) A⊃C (նշ. 4667) (նշ. 4667) 3) A⊃ (նշ. 4666) B⊃A∧B (նշ. 4667) 6) (A⊃C) ⊃ (նշ. 4666) (նշ. 4666) B⊃C (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 4666) A∨B⊃C (նշ. 4667) (նշ. 4667) 7) (նշ. 4666) A⊃B (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 4666) (նշ. 4666) A⊃ (բծ. 3411) Բ (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 3411) Ա (նշ. 4667) 8) (նշ. 3411) (նշ. 3411) Ստացվում է ինտուիցիոնիստական ​​տրամաբանության A⊃A IL համակարգը (cid. 3411) (նշ. 3411) A⊃A աջակցություն (cid. 3411) A⊃ (բծ. 4666) A⊃B (նշ. 4667) սյունով փոխարինելը. սյուններ  Ներմուծվել է ML (cid): 1635) հաստատուն (նաև կեղծ) և (cid): 3411) Ա-ի փոխարեն սովորաբար գրվում է A⊃ (cid): 1635): Նամակի մեջ բանաձևի արդյունահանումը:   Ինչպես ընդունվում է, F- ի A բանաձևի արտահայտիչը կնշվի EF A- ով:  [1] -ից հետո նշենք, որ A բանաձեւը կոչվում է ինտուիցիոնիստական ​​նյութ), եթե ⊢ (cid): 1783) (նշ. 1786) Ա (⊢ (նշ. 2897) (նշ. 2896) Ա)    Aանկացած A բանաձեւի համար A- ն արտահայտվում է CL- ով (⊢ (cid): 1777) (նշ. 1786) Ա) միայն երբ (cid. 3411) (նշ. 3411) (նշ. 1775) արտահայտվում է IL- ով (⊢ (cid. 1783) (նշ. 1786) (նշ. 3411) (նշ. 3411) (նշ. 1775), որն իր հերթին համարժեք է (cid. 4666) (նշ. 1775) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 1635) ML- ում (⊢ (նշ. 1787) (նշ. 1786) (նշ. 4666) (նշ. 1775) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667): | φ |. Ո՞վ է նշելու φ բանաձեւի երկարությունը, քանի որ դրանում առկա բոլոր տրամաբանական գործողությունները սահմանափակվում են գծային ֆունկցիայով ՝ կախված | φ | Ենթադրենք, որ Ֆ ելքային համակարգ է իր հիմքերով և ելքային կանոններով:  Տողերի վերջավոր հաջորդականությունը, երբ ցանկացած տող կա՛մ ստորակետ է, կամ Φ – ի որոշակի ելքային կանոնով ստացվում է նախորդ տողերի վերջնական հավաքածուից, Φ համակարգում (Ф- ելք) մենք կկանչենք մուտքերի քանակը վերջին գլանային գործողությունը:  Ակնհայտ է, որ բանաձևի ընդհանուր երկարությունը, որն իր մեջ ներառում է բոլոր փոփոխականների ներդրումները տրամաբանության մեջ. I- ինքնություն (նվազագույն ինքնություն ՝ M- ինքնություն և Վերը նշված երեք համակարգերում բանաձևերի ցուցիչության միջև կապը հայտնի է [1] որպես արտահայտման բարդությունը: Արտահանման բարդության տեսության մեջ արտահանման բարդության հետ հաշվի են առնվում հետևյալ հիմնական հատկությունները. բոլոր ելքային գծերի երկարությունների հանրագումարը, որտեղ կրկնվող գծերի չափը հաշվարկվում է մեկ անգամ:  F- ը արդյունահանման փուլերի քանակն է (t- բարդություն) արդյունահանման կանոնի հենարանների կիրառման քանակն է: Սահման 1. Ф- ելքի երկարությունը ((cid. 1812) -բարդություն) սահմանը հավասար է 2. Ենթադրենք, որ Ֆ ելքային համակարգ է, և φ - այդ համակարգի համակարգում թողարկվող բանաձև:  տ (սիդ. 2957) (նշ. 2982) (լ (նշ. 2957) (նշ. 2982)) կնշանակի Φ համակարգում բոլոր ցուցիչների t- բարդույթների (l- բարդույթներ) նվազագույն արժեքը: (l- բազմանդամ) համարժեք, եթե 3 հավաքածուներից մեկում տրված համակարգերից յուրաքանչյուրում t- բազմանդամի ելք կոչված երկու ելքային համակարգերը կարող են փոխարկվել նույն համակարգի բանաձևի ելքի մյուս համակարգում `համարի բազմապատկված աճով: քայլերի երկարությունը: Հետևելով Մինցին [2] և Սայադյանին և Չուբարյանին [3], եկեք հետևյալ սահմանումը տանք. Սահմանում 4. Համակարգը, որում միայն IL (ML) արտահայտված բանաձևերը, որոնք համարժեք են IL (ML) բազմապատկվում են այս բանաձևով, կոչվում է Frege System FIL (FML): Հիմնական արդյունքների սահմանում 1. FIL- ում և FML- ում էապես հավասար ինքնությունների արտահայտման բարդությունների համեմատություն: Ընդունված սահմանումներից հետո փոփոխականները և դրանց մերժումները մենք կկոչենք բառացի:  K կապը բառերի մի ամբողջություն է բառերի սահմանման 1.1-ում բառի հաշվի յուրաքանչյուր ψ բանաձևի համար (կցորդը չի կարող պարունակել այդ փոփոխականի ինչպես փոփոխականը, այնպես էլ ժխտումը): Մենք տարրական փոփոխություններից յուրաքանչյուրը կանվանենք փոխարինման կանոն, հետևելով [6] -ին, տալիս ենք հետևյալ սահմանումները. 0∧ ψ (cid): 3404) 0, ψ∧0 (cid. 3404) 0,1∧ψ (cid. 3404) ψ, ψ∧1 (cid. 3404) ψ, 0∨ψ (cid. 3404) ψ, ψ∨0 (cid. 3404) ψ, 1∨ψ (cid. 3404) 1, ψ∨1 (cid. 3404) 1,0⊃ψ (նշ. 3404) 1, ψ⊃0 (cid. 3404) (նշ. 3411) ψ, 1⊃ψ (cid. 3404) ψ, ψ⊃1 (cid. 3404) 1, (նշ. 3411) 0 (նշ. 3404) 1, (նշ. 3411) 1 (նշ. 3404) 0, (նշ. 3411) (նշ. 3411) ψ (cid) 3404) q. Որպես փոխարինման կանոն, բանաձևերի ցանկացած ենթաբանաձև, որը կարծես փոխարինման կանոնի ձախակողմյան կողմն է, կարող է փոխարինվել աջ զանգվածի համապատասխան բանաձևով: Ենթադրենք, φ- ը բառերի հաշվարկի բանաձեւն է, և P (cid): 3404) (նշ. 4668) p (նշ. 2869), p (նշ. 2870), ..., էջ (նշ. 2924) (նշ. 4669) - ը այդ բանաձևի բոլոր փոփոխականների բազմությունն է:  P ′ (սիդ. 3404) (նշ. 4668) p (նշ. 2919) (նշ. 3117), p (նշվ. 2919) (նշ. 3118), ..., էջ (նշ. 2919) (նշ. 3171) (նշ. 4669) (նշ. 4666) 1 (նշ. 3409) մ (նշ. 3409) n (cid) 4667) նշանակում է P- ի ցանկացած ենթաբազմություն: (1 կամ 0) ՝ անկախ մյուս փոփոխականների արժեքներից: Նրանք գերության մեջ կարող են զգալիորեն տարբերվել: Բարդությունների համար կա հետևյալ թեորեմը. Դրանք սարեր են, եթե φ- որոշիչ յուրաքանչյուր զուգակցումը նույնպես և որոշիչ է և հակառակը: FIL- ում և FML- ում էապես հավասար ինքնությունների արտահայտումը [11] վկայում է, որ էապես հավասար ինքնությունների սահմանման մեջ 1.3. φ և ψ դասական ինքնությունները էապես հավասարեցվում են 1.2 Հաշվի առնելով σ (cid): 3404) (նշ. 4668) σ (cid) 2869), σ (նշ. 2870), ..., σ (cid. 2922) (նշ. 4669) (E (նշ. 2924-ի համար) K (նշ. 2978) (նշ. 3404) (նշ. 4668) p (նշ. 2919) (նշ. 3117) (նշ. 2978) (նշ. 3117), p (նշվ. 2919) (նշ. 3118) (նշ. 2978) (նշ. 3118), ..., էջ (նշ. 2919) (նշ. 3171) (նշ. 2978) (նշ. 3171) (նշ. 4669) զանգահարել φ -1-որոշիչ (φ -0-որոշիչ) զուգորդիչը, եթե յուրաքանչյուր p (cid): 2919) (նշ. 3168) -in σ (cid. 2920) (նշ. 4666) 1 (նշ. 3409) ժ (նշ. 3409) մ (նշ. 4667) նշանակելուց հետո, կիրառելով փոխարինման կանոնները, մենք ստանում ենք φ- ի արժեքը φ-1- որոշիչ կապի համար և φ-0- որոշիչ կապակցիչ `φ- որոշիչի համար φ- ի համար: Ֆրեգեի դասական տրամաբանության արտահայտման բարդությունները (cid. 2320) համակարգԹեորեմ 1. Գոյություն ունեն φ (cid. 2924) (նշ. 2893) (նշ. 4666) φ (cid) 2924) (նշ. 2897) (նշ. 4667) և ψ (cid) 2924) (նշ. 2893) (նշ. 4666) ψ (cid) 2924) (նշ. 2897) (նշ. 4667) I- ինքնություններ (M- ինքնություններ), որոնք ըստ էության հավասար են, | φ (cid) 2924) (նշ. 2893) | (խնամել 3404) | ψ (cid) 2924) (նշ. 2893) | (խնամել 3397) գ (| φ (ցիդ. 2924) (նշ. 2897) | (խնամել 3404) | ψ (cid) 2924) (նշ. 2897) | (խնամել 3397) գ), բայց t (cid: 2890) (նշ. 2893) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3141) (նշ. 3409) գ (նշ. 2869), տ (նշ. 2890) (նշ. 2893) (նշ. 2896) (նշ. 2984) (նշ. 3172) (նշ. 3141) (նշ. 3410) գ (նշ. 2870) | ψ (cid) 2924) (նշ. 2893) |: (տ (նշ. 2890) (նշ. 2897) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3145) (նշ. 3409) գ (նշ. 2869), տ (նշ. 2890) (նշ. 2897) (նշ. 2896) (նշ. 2984) (նշ. 3172) (նշ. 3145) (նշ. 3410) գ (նշ. 2870) | ψ (cid) 2924) (նշ. 2897) |) լ (ցիդ. 2890) (նշ. 2893) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3141) (նշ. 3409) գ (նշ. 2871) | φ (cid) 2924) (նշ. 2893) |, լ (ցիդ. 2890) (նշ. 2893) (նշ. 2896) (նշ. 2984) (նշ. 3172) (նշ. 3141) (նշ. 3410) գ (նշ. 2872) | ψ (cid) 2924) (նշ. 2893) | (խնամել 2870) լ (cid. 2890) (նշ. 2897) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3145) (նշ. 3409) գ (նշ. 2871) | φ (cid) 2924) (նշ. 2897) |, լ (ցիդ. 2890) (նշ. 2897) (նշ. 2896) (նշ. 2984) (նշ. 3172) (նշ. 3145) (նշ. 3410) գ (նշ. 2872) | ψ (cid) 2924) (նշ. 2897) | (խնամել 2870)), որտեղ c, c (cid. 2869), գ (նշ. 2870), գ (նշ. 2871), գ (նշ. 2872) դրական հաստատուններ են: (խնամել 4666) p∨ (սիդ. 3411) p (նշ. 4667), ψ (նշ. 2924) (նշ. 2893) (նշ. 3404) (նշ. 3411) (նշ. 3411) ... (նշ. 3411) φ (cid) 2924) (նշ. 2893) (նշ. 3404) (նշ. 3411) (նշ. 4666) p∨ (սիդ. 3411) p (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 3411) (նշ. 3411) ... (նշ. 3411) (խնամել 4585) (նշ. 4589) (նշ. 4586) (նշ. 4589) (նշ. 4587) (նշ. 2870) (նշ. 3172) (խնամել 4585) (նշ. 4589) (նշ. 4586) (նշ. 4589) (նշ. 4587) (նշ. 2870) (նշ. 3172) (խնամել 4666) p∨ (սիդ. 3411) p (նշ. 4667), և FML- ի համար (cid: 4585) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4586) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4587) φ (cid) 2924) (նշ. 2897) (նշ. 3404) (նշ. 4666) (նշ. 4666)… (նշ. 4666) (նշ. 4666) p∨ (սիդ. 4666) p⊃ (սիդ. 1635) (նշ. 4667) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ... ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ⊃ (սիդ. 4666) p⊃p (սիդ. 4667), ψ (նշ. 2924) (նշ. 2897) (խնամել 2870) (նշ. 3172) (խնամել 4585) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4586) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4587) (խնամել 3404) (նշ. 4666) (նշ. 4666)… (նշ. 4666) (նշ. 4666) p∨ (սիդ. 4666) p⊃ (սիդ. 1635) (նշ. 4667) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ... ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) (խնամել 2870) (նշ. 3172) [7] ցույց է տալիս, որ FCL ψ (cid) 2924) (նշ. 2893) հետեւյալ ցածր t- ի համար (cid): 2890) (նշ. 2887) (նշ. 2896) (նշ. 2984) (նշ. 3172) (նշ. 3141) (նշ. 3410) գ (նշ. 2870) | ψ (cid) 2924) (նշ. 2893) |: և l (cid. 2890) (նշ. 2887) (նշ. 2896) (նշ. 2984) (նշ. 3172) (նշ. 3141) (նշ. 3410) գ (նշ. 2872) | ψ (cid) 2924) (նշ. 2893) | (խնամել 2870), հետևաբար դրանք հանդիպում են նաև FIL և FML ψ (cid): 2924) (նշ. 2897) բանաձևերի համար: Մյուս կողմից φ (cid. 2924) (նշ. 2893 բանաձևը) FIL- ով արտահայտվում է ֆիքսված քայլերով:  Մենք նախապատրաստում ենք (cid): 3411) (նշ. 3411) (նշ. 4666) p∨ (սիդ. 3411) p (նշ. 4667) (նշ. 4667) ինքնությունը, ապա մենք օգտագործում ենք (cid): 3411) A⊃ (բծ. 4666) A⊃B (նշ. 4667) սյունից.   FML- ում և մենք արտահայտում ենք p⊃p ինքնությունը, այնուհետև (cid): 4666) p⊃p (սիդ. 4667): φ (cid) 2924) (նշ. 2897) ստացված է սյունից φ (cid): 2924) (նշ. 2897):  Այս արդյունքի համար մատչելի են հետևյալ t- ը (cid): 2890) (նշ. 2893) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3141) (նշ. 3409) գ (նշ. 2869), (t (նշ. 2890) (նշ. 2897) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3145) (նշ. 3409) գ (նշ. 2869)) և l (cid. 2890) (նշ. 2893) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3141) (նշ. 3409) գ (նշ. 2871) | φ (cid) 2924) (նշ. 2893) |, լ (ցիդ. 2890) (նշ. 2897) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3145) (նշ. 3409) գ (նշ. 2871) | φ (cid) 2924) (նշ. 2897) |:, որն ավարտվում է Proof- ով:  Հաշվի առեք FIL- ի հետևյալ բանաձևերը. Բանաձևեր: Գնահատումներ, պայմաններ, ապացույց: 1.2 FIL և FML համակարգերի ոչ միատարրություն Սահմանում 2.1 Նույնությունը (I- ինքնություն, M- ինքնություն) կկոչվի նվազագույն, եթե այն ձեռք չի բերվում ավելի կարճ գտնվելու վայրի ինքնությունից (I- ինքնություն, M- ինքնություն): Նշանակել S (cid): 4666) φ (cid) 4667) - ը բոլոր բանաձևերի բազմությունն է, որը ձեռք է բերվում ցանկացած փոփոխության բանաձևի հետ φ- ն փոխարինելու միջոցով: Սահմանում 2.2. Φ համակարգը կոչվում է t-monotone (l-monotone), եթե φ ψ∈S (cid) ցանկացած φ ինքնության: 4666) φ (cid) 4667-ի համար) տ (նշ. 2957) (նշ. 2982) (նշ. 3409) տ (սիդ. 2957) (նշ. 2984) (լ (նշ. 2957) (նշ. 2982) (նշ. 3409) լ (ցիդ) 2957) (նշ. 2984)): [10] ցույց է տալիս, որ FCL- ը ոչ t- մոնոտոն է, ոչ l- մոնոտոն: Թեորեմ 2.2. FIL և FML համակարգերը ոչ t- մոնոտոն են, ոչ l- մոնոտոն: Ապացույց  Հաշվի առեք հետևյալ բանաձևերը q∨ψ (cid): 2924) (նշ. 2893) (q∨ψ (cid. 2924) (նշ. 2897)), որտեղ ψ (cid. 2924) (նշ. 2893) (նշ. 3404) (խնամել 4585) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4586) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4589) (նշ. 4587) (խնամել 4666) p∨ (սիդ. 3411) p (նշ. 4667) (ψ (նշ. 2924) (նշ. 2897) (նշ. 3404) (նշ. 4666) (նշ. 4666)… (նշ. 4666) (նշ. 4666) (նշ. 4666) p∨ (սիդ. 4666) p⊃ (սիդ. 1635) (նշ. 4667) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) ... ⊃ (նշ. 1635) (նշ. 4667) (նշ. 4667) 	(խնամել 3411) (նշ. 3411) ... (նշ. 3411) (խնամել 4585) (նշ. 4589) (նշ. 4586) (նշ. 4589) (նշ. 4587) (նշ. 2870) (նշ. 3172) )   Նշենք, որ (cid. 4666) p⊃p (սիդ. 4667): ψ (cid) 2924) (նշ. 2893) ((նշ. 4666) p⊃p (սիդ. 4667) ∨ψ (սիդ. 2924) (նշ. 2897)) որոշումները ստացվում են դրանք տեղադրելով:  [10] ցույց է տալիս, որ q∨ψ (cid. 2924) (նշ. 2893) ունի FCL- ի ավելի ցածր գծային t- բարդություն և պակաս գծային l- բարդություն:  Բնականաբար, նույնը պատահում է FIL- ի և FML- ի հետ:  (խնամել 4666) p⊃p (սիդ. 4667) ∨ψ (սիդ. 2924) (նշ. 2893) ((նշ. 4666) p⊃p (սիդ. 4667) ∨ψ (սիդ. 2924) (նշ. 2897) բանաձևերը կարող են արտահայտվել FIL (FML) `անընդհատ t- բարդությամբ և գծային l- բարդությամբ:   Դա անելու համար օգտագործելով A⊃ A∨B, աջակցության սխեմայից, արտահայտված (cid. 4666) p⊃p (սիդ. 4667) ⊃ (նշ. 4672) (նշ. 4666) p⊃p (սիդ. 4667) ∨ψ (սիդ. 2924) (նշ. 2893) (նշ. 4673) (նշ. 4666) (նշ. 4666) p⊃p (սիդ. 4667) ⊃ (նշ. 4666) (նշ. 4666) էջ p (cid) 4667) ∨ψ (սիդ. 2924) (նշ. 2897))) բանաձև, ապա (նշ. 4666) p⊃p (սիդ. 4667), որտեղից այն կցուցադրվի (cid. 4666) p⊃p (սիդ. 4667) ∨ψ (սիդ. 2924) (նշ. 2893) ((նշ. 4666) p⊃p (սիդ. 4667): ψ (cid) 2924) (նշ. 2897)): (խնամել 2870) (նշ. 3172) Արտահանման բարդության բարդության վերին ցուցիչի առկայության դեպքում [4] ապացուցվում է, որ. 2.3 էական տարբերությունները FCL և FIL և FML համակարգերի միջև: A. FCL- ում քառակուսի միավորներից ոչ ավելին հայտնի են յուրաքանչյուր ինքնության արտահայտման բարդության վերևից ցածր միավորներով, ուստի կամ ավելի ցածր կամ վերին գնահատականների վերաբերյալ հետազոտությունը շատ կարևոր է, որոշ արդյունքների հետ [8, 9]: FIL (FML) - ում յուրաքանչյուր I-Identity (M-Identity) պնդում Ա. Գոյություն ունեն φ (cid): 2924) բանաձևեր, որոնց համար l (cid): 2890) (նշ. 2893) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3410) 2 | (խնամել 2982) (նշ. 3172) |, տ (նշ. 2890) (նշ. 2893) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3410) 	2 | (խնամել 2982) (նշ. 3172) |: (լ (նշ. 2890) (նշ. 2897) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3410) 2 | (խնամել 2982) (նշ. 3172) |, տ (նշ. 2890) (նշ. 2897) (նշ. 2896) (նշ. 2982) (նշ. 3172) (նշ. 3410) 2 | (խնամել 2982) (նշ. 3172) |): 	Ա (cid) 2924) և B (նշ. 2924) Ա (նշ. 2924) ∨B (նշ. 2924) t- բարդությունները և FCL- ի բարդությունները զգալիորեն պակաս են, քան A (cid): 2924) և B (նշ. 2924) բանաձեւերը: Հայց Բ. Եթե FIL- ում (FML) կառուցված ելքում ոչ մի բանաձև չի կրկնվում, յուրաքանչյուր A eachB բանաձևի նման ելքը պարունակում է կամ A կամ B ելք:  Հետևյալ պնդումը ապացուցված է [5] -ում: Բ. [9] -ն ապացուցում է, որ կան համանուններ, որոնք ակնհայտորեն բխում են այս հայտարարությունից. Հայց 2.3.1. Յուրաքանչյուր A և B I ինքնությունների (M- ինքնություններ) համար FIL- ում A∨B արտահայտության t և l- բարդությունը ( FML) չի կարող պակաս լինել բանաձևերի A- ի t- բարդույթների նվազագույն արժեքներից և B- ից, համապատասխանաբար, FIL- ում (FML) l- բարդությունների նվազագույն արժեքներից: Ապացույցը կայանում է նրանում, որ t և l- բարդությունները առկա են ոչ կրկնվող բանաձևի արտահայտություններում: ՖՐԵREԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐՈՒՄ ԳԱՐԻԿԱ ԱՐՏԱԴՐԱՆՔՆԵՐԻ ՀԱՄԱԼԻՐՆԵՐԻ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՊԵՏՐՈՍԻԿԱԿԱՆ ՔՆՆՈՒԹՅՈՒՆ Հիմնաբառեր. Ֆերժային համակարգեր, արտահանման բարդության բնութագրեր, ըստ էության հավասար ինքնություններ, արտահանման համակարգ: ։

Սույն հոդվածում արտածումների բարդությունների տեսանկյունից  հետազոտվել  են  Ֆրեգեի՝  դասական,  ինտուիցիոնիստական  և  մինիմալ  տրամաբանությունների  համակարգերի որոշակի հատկությունների նմանությունները և տարբերությունները։
