ՄԱՐՏԻՆԳԱԼԱՅԻՆ ՊՐՈՑԵՍՆԵՐԻՆ ՀԱՄԱՊԱՏԱՍԽԱՆՈՂՔՎԱՆՏԻԼԱՅԻՆ ՊՐՈՑԵՍՆԵՐԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸՆերածությունԱշխատանքում  դիտարկված  է  մարտինգալային  պրոցեսներին  համապատասխանող  քվանտիլային  պրոցեսներ։
   Մասնավորապես,  դիտարկվում  է  0կետի  նկատմամբ  համաչափ  բաշխում  ունեցող  մարտինգալային  պրոցեսներ։
 Ցույց  է  տրվում,  որ  մարտինգալների  քվանտիլները  ինչ-որ  մակարդակիցսկսած, ըստ ժամանակի աճող են։
 Նմանատիպ  արդյունք  հեշտությամբ  կարելի  է  ստանալ  վերջավոր  կրիչունեցող մարտինգալային պրոցեսների համար (այսինքն՝ այն մարտինգալներիհամար,  որոնց  կրիչը  ժամանակի  յուրաքանչյուր  պահին  ներկայացնում  է  իրենից  կոմպակտ տիրույթ)։
   Անվերջ կրիչ ունեցող մարտինգալների համար այսխնդիրը  լուծելու  դեպքում  պահանջվում  են  լրացուցիչ  սահմանափակումներ։
 Որպես  նախնական  լրացուցիչ  սահմանափակում  վերցվում  է  բաշխումների համաչափությունը    0    կետի  նկատմամբ  և  միամոդալությունը  (մեկ  մոդ  ունենալը)։
 Մարտինգալային պրոցեսներին համապատասխանող քվանտիլային պրոցեսների համար այսպիսի հատկությունը հատկապես հետաքրքիր է քվանտիլային ռեգրեսիաների և քվանտիլային ավտոռեգրեսիաների պարագայում, ինչպես նաև քվանտիլային կորելյացիոն մոդելներում (տես [1])։
  Վերջիններս փորձում  են  բացատրել  (հիմնականում  գծայնորեն)  պայմանական  քվանտիլներըպայման հանդիսացող պատահական մեծությունով (տես [2], [3])։
   Որպես թեքվածության գործակից այդ դեպքերում հաճախ ստանում են նույն մակարդակիքվանտիլների համար ժամանակից կախված աճող գործակիցներ (տես [2])։
 Մարտինգալային պրոցեսների համար նմանատիպ ռեգրեսիաներ կատարելու  համար  ինչ-որ  իմաստով  չկան  բավարար  տվյալներ։
   Որոշ  պրոցեսներիհամար  նմանատիպ  ռեգրեսիաների  նշանակալիությունը  կհանգեցնի  տվյալստոխաստիկ  պրոցեսի  գծայնությանը  ըստ  ժամանակի։
   Սակայն  մարտինգալային պրոցեսների դեպքում չկա նույնիսկ ֆունկցիոնալ կախվածություն։
 Հիմնական արդյունքըԿդիտարկվեն միայն անընդհատ բաշխում ունեցող մարտինգալային պրոցեսները։
  Այսինքն՝ եթե {𝑋𝑡}𝑡𝜖[0,𝑇]  պրոցեսը մատրինգալ է, ապա յուրաքանչյուր𝑋𝑡-ն  կունենա  անընդհատ  բաշխում։
   Այդպիսի  պրոցեսներին  համապատասխանող քվանտիլային պրոցեսների համար օգտագործվում է 𝑄𝛼,𝑠 նշանակումը,որտեղ  α-ն՝ քվանտիլի մակարդակն է, իսկ s-ը՝ ժամանակի պահը։
  𝑄𝛼,𝑠 պրոցեսըբավարարում է   𝑃(𝑋𝑠 ≤ 𝑄𝛼,𝑠) =  𝛼  պայմանը։
 Պնդում։
   Դիցուք  ունենք  ժամանակի  վերջավոր    [0,T]  միջակայք  և  այդմիջակայքի վրա սահմանված որոշակի մարտինգալ ըստ բնական σ–հանրահաշիվների  հոսքի  (այսինքն՝  𝐸(𝑋𝑡|𝑋𝑠) =   𝑋𝑠,  ցանկացած  𝑡 ≥ 𝑠)։
   Ենթադրենք  նաև,որ  𝑋𝑡–երը  բոլոր  𝑡 ∈ [0, 𝑇]–երի  համար  ունեն  0  կետի  նկատմամբ  համաչափմիամոդալ բաշխումներ։
  Դիցուք, բացի այդ, տեղի ունի ներկայացումը, որտեղ ℎ′′(𝑢) < 𝑓′′(𝑢) (այստեղ 𝑓𝑡|𝑠(𝑢|𝑥)-ը՝ պայմանական բաշխման  խտությունն  է)։
   Այդ  դեպքում  գոյություն  ունի  𝛼 >   այնպիսին,  որ  𝑄𝛼,𝑡 > 𝑄𝛼,𝑠 բոլոր  0 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑇  համար ։
 Դիտողություն։
  Նախ պետք է նշել, որ վերը նշված պայմանին բավարարողմարտինգալ  պրոցեսը  միշտ  գոյություն  ունի։
   Օրինակ՝  Լապլասի  բաշխումովպրոցեսը։
  Կարելի է համոզվել, որ այդ պրոցեսի համար վերը նշված պնդումըճիշտ  է։
   Պնդումը  ճիշտ  է  նաև  տրիվիալ  մարտինգալների  համար,  միայն  ≥ նշանով քվանտիլների միջև։
 Ապացույց։
   Ապացույցի  համար,  նախ  փաստենք,  որ  𝑄1   ։
   Այստեղ  պետք  է  օգտվել  այն  հանգամանքից,  որ  0  կետինկատմամբ  համաչափ  բաշխման  համար  մաթ.  սպասումը  և  մեդիանը  նույննեն։
   Մյուս  կողմից  էլ  մարտինգալային  պրոցեսի  միջինը  նույնն  է    ժամանակիցանկացած պահի համար։
 Վերաձևակերպելով այս ամենը՝  կարելի է գրել ։
 Մյուս  կողմից,  օգտվելով  միամոդալությունից,  կարելի  է    պնդել,  որ    երբ,𝑡  և 𝑋𝑠 ≥ 𝑄1 ,𝑠 , 𝑓𝑡(𝑥),   𝑓𝑠(𝑥) –ը՝ նվազող են։
 Եթե    𝑓𝑡 (𝑄1 ,𝑠)  ,  ապա  գոյություն  ունի    𝑦 > 𝑄1 ,𝑠    այնպիսին,  որ𝑓𝑡(𝑦) = 𝑓𝑠(𝑦)  (հակառակ  դեպքում      𝑓𝑡(𝑥) < 𝑓𝑠(𝑥)    միշտ  կլինի  մեծ  և  վերընշվածը տեղի չի ունենա)։
  Ակնհայտ է,  որ ,𝑠 ≤ 𝑋𝑠 ≤ 𝑦)։
 Մնում է ցույց տալ,  որ 𝑓𝑡 (𝑄1 ,𝑠)։
  Դրա համար օգտվում ենք մարտինգալության պայմանից։
 Նկատենք,  որ   𝑃(𝑋𝑡 ≤ 𝑦) < 𝑃(𝑋𝑠 ≤ 𝑦)։
  Այսինքն՝ եթե մենք որպես y-ը վերց,𝑡)  հետո  առաջին  այն  կետը,  որտեղ  𝑓𝑡(𝑦) = 𝑓𝑠(𝑦),նենք    𝑄1   -  ից  (𝑄1 բավարար կլինի ցույց տալ, որ  որևէ 𝑥 ∈ [𝑄1 , 𝑦]-ի  համար    𝑓𝑡(𝑥) < 𝑓𝑠(𝑥)։
 {𝑋𝑡} - ի  մարտինգալության պայմանից հետևում է, որ ։
 Այս պայմանը կարելի է գրել նաև հետևյալ կերպ՝ ։
 Իրականում  այս  պայմանը  տեղի  ունի  ցանկացած  միջակայքում։
   Նկատենք, որ= 𝑥 ։
 Մասնավորապես՝  վերը  նշված  ինտեգրալ  օպերատորը  կարող  է  ունենալանվերջ  քանակությամբ  կորիզներ  (𝑓𝑡|𝑠(𝑢|𝑥))։
   Այնուամենայնիվ,  օգտվելովենթադրությունից կարելի է ստանալ՝որտեղից, նշանակելով՝կունենանք` 𝑔𝑡,𝑠(𝑥) = 𝑎𝑡,𝑠𝑥  ∶Օգտվելով պայմանից՝  կստանանքԱյժմ հիշենք,  որ   𝑓𝑡(𝑢) - ն՝  նվազող է, երբ 𝑢 > 𝑄1  ։
  Հետևաբար՝ այդպսինէ նաև  ℎ𝑡,𝑠(𝑢) -ն։
 Ավելին ՝ 𝑓𝑡(𝑢) = ℎ𝑡,𝑠(𝑢)։
  Օգտվելով այն փաստից, որ h(u) - ն ավելիդանդաղ է նվազում, քան 𝑓𝑠(𝑢)–ն,  պնդումը ապացուցվեց։
 ԳրականությունՎարդան ԲարդախչյանՄԱՐՏԻՆԳԱԼԱՅԻՆ ՊՐՈՑԵՍԻՆԵՐԻ ՀԱՄԱՊԱՏԱՍԽԱՆՈՂ ՔՎԱՆՏԻԼԱՅԻՆՊՐՈՑԵՍՆԵՐԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸԲանալի բառեր՝ սիմետրիկ  մարտինգալներ, քվանտիլներ, քվանտիլային ռեգրեսիա,ունիմոդալ բաշխումԱմփոփում։

Այստեղ  մարտինգալների  մի  շատ  փոքր  խմբի  համար  ցույց  է  տրվում  է իրենց  համապատասխանող քվանտիլային պրոցեսների համար, ինչ-որ տեղից ըստ ժամանակի չնվազող  լինելը։
   Մարտինգալային  պրոցեսներում  կախվածության  ֆունկցիոնալ  բնույթը  հայտնի  չէ։
   Այդ  պատճառով  այս  տիպի  պրոցեսների  համար,  քվանտիլային  ռեգրեսիայի  արդյունքները  կարող  են  նշանակալի  չլինել։
   Այնուամենայնիվ  ունիմոդալ  սիմետրիկ  բաշխումներով  մարտինգալային պրոցեսների համար ճիշտ է այն, որ սկսած ինչ-որ վստահության մակարդակից  քվանտիլները չեն նվազում։
