Ներածություն։
 Սահմանում։
  X  բազմության և Y բազմության միջև եղած այն համապատասխանությունը,  որտեղ  X  բազմության  յուրաքանչյուր  տարրին  համապատասխանեցվում է մեկ և միայն մեկ տարր Y բազմությունից, կոչվում է ֆունկցիա։
 Նկ. 1X    բազմությունը  կոչվում  է  ֆունկցիայի  որոշման  տիրույթ,  իսկ  Y  բազմությունը` նրա արժեքների տիրույթ։
 Սահմանումից հետևում է, որ ֆունկցիան տրված է, եթե`1. Տրված է նրա (X) որոշման տիրույթը։
 2. Տրված է նրա  (Y) արժեքների տիրույթը։
 3. Հայտնի է համապատասխանության կանոնը (օրենքը)։
 Ֆունկցիան կոչվում է թվային, եթե X և Y բազմության տարրերը թվեր են։
 Եթե թվային ֆունկցիան տրված է անալիտիկորեն [Y=f(x) բանաձևի տեսքով], և նշված չէ նրա որոշման տիրույթը, ապա համարվում են, որ այդ տիրույթըարգումենտի  այն  իրական  արժեքների  բազմությունն  է,  որոնց  համար  f(x)արտահայտությունն իրական թիվ է։
 ՀԱՐՑ. Իսկ արժեքների տիրույթը ինչպե՞ս որոշել։
 Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը և որոշման մի քանի մեթոդներՖունկցիայի  արժեքների  տիրույթը  գտնելու  համար  անհրաժեշտ  է  լավիմանալ տարրական ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները։
 Ֆունկցիայի  արժեքների  տիրույթը  գտնելու  խնդիրը  առավել  բարդվարժություններում հիմնված է՝ 1. գնահատման մեթոդի, 2. պարամետր ներմուծելու, 3. հակադարձ ֆունկցիայի մեթոդի, 4. ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն մեթոդի, 5. գրաֆիկական, 6. հայտնի անհավասարությունների կիրառման մեթոդի վրա։
 1) Գնահատման  եղանակը    կարելի  է    օգտագործել  հիմնականում,  երբ անկախ փոփոխականը գտնվում է մեկ արտահայտության մեջ կամ  կարելի էբերել այդ տեսքին։
  Գնահատման եղանակով ֆունկցիայի արժեքների տիրույթըգտնելու համար. 1) գրում ենք ԹԱԲ 2) ԹԱԲ-ից  սկսած,  հերթական  քայլերով  վերցնելով  համապատասխան արտահայտությունների  սահմանափակումները,  ստանում  ենք  ֆունկցիայիտեսքը՝ իր  արժեքների տիրույթով։
  Օրինակ  1։
     Տրված  է`  𝑓(𝑥) = 1+𝑥2    ֆունկցիան,  գտնել  արժեքների  տիրույթը[1]։
 Լուծում (գնահատման եղանակ)։
 Ֆուկցիայի որոշման տիրույթը`  x  ∈  𝑅։
 Պատ՝ 𝐸(𝑓) = (0,100]Օրինակ 2։
  Գտնել  𝑦 = 1 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥  ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը[5]․ 𝐸(1 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥) = [0,2]։
 Օրինակ 3։
   Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն ամբողջ արժեքը[5]։
       Պատ.՝  [0,2]Պատ.` 8։
 Օրինակ 4։
  Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն ամբողջ արժեքը[7]։
 Գտնենք 𝑔(𝑡) ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը`𝑔(𝑡) = 5𝑡, որտեղ 𝑡 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1[5>1]  և 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1=2(1-𝑐𝑜𝑠2𝑥)+5𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 1Օրինակ 5։
   Գտնել  արտահայտության փոքրագույն արժեքը[5]։
 Պատ.՝ 1250Ունենք`։
 Այսինքն՝ տրված արտահայտության փոքրագույն արժեքը 3–ն է։
 Հիմա գտնենք x-ը`Ստացված  x-ի  արժեքների  դեպքում  արտահայտությունը  որոշված  չէ,քանի որ հայտարարը հավասար է 0-ի։
  Հետևաբար տրված արտահայտությանփոքրագույն արժեքը 4–ն է։
 Պատ.՝ 4։
 Օրինակ  6։
   Գտնել  E(y)  ֆունկցիայի  արժեքների  տիրույթը`  ֆունկցիայիբարդ արգումենտները հաջորդաբար գտնելու մեթոդով[5]։
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔0,5(4 − 2 ∙ 3𝑥 + 9𝑥)։
 Ձևափոխենք ֆունկցիան`𝑦 = 𝑙𝑜𝑔0,5(5 − (1 + 2 ∙ 3𝑥 + 32𝑥)) = 𝑙𝑜𝑔0,5(5 − (1 + 3𝑥)2)։
 𝐸(3𝑥) = (0. +∞)։
 𝐸(3𝑥 + 1) = (1. +∞)։
 𝐸(−(3𝑥 + 1)2) = (−∞; −1)։
 𝐸(5 − (3𝑥 + 1)2) = (−∞; 4)։
 Նշանակենք` 5 − (3𝑥 + 1)2 = 𝑡, որտեղ 𝑡 ∈ (−∞; 4)։
 Ստացանք` 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑜,5𝑡, որտեղ     {  հետևաբար 𝑡 ∈ (0; 4)։
 (0; 4) միջակայքում ֆունկցիան անընդհատ է և նվազող𝑡 = 4 => 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔0,54 = −2։
 Ստացանք` 𝐸(𝑦) = (−2; +∞)։
 Պատ.՝ (−2; +∞)։
 Նկատենք,  որ  վարժության  լուծման  համար  անհրաժեշտ  չեղավ  գտնելնախնական ֆունկցիայի որոշման տիրույթը, սակայն օրինակի լուծման ընթացքում այդ խնդիրն ամբողջությամբ շրջանցել հնարավոր չեղավ։
 Օրինակ 7։
  Գտնել  𝑦 = 𝑐𝑜𝑠7𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը[6]։
 Լուծենք գնահատման մեթոդով։
 Քանի  որ  գումարելի  ֆունկցիաները  իրենց  մեծագույն  և    փոքրագույն արժեքներն ընդունում են նույն կետերում, ապա  𝑦 ∈ [−6; 6]։
  Պատ.` 𝑦 ∈ [−6; 6]։
 Օրինակ  8։
   Ֆունկցիայի  մեծագույն  և  փոքրագույն  արժեքները  գտնելուվերաբերյալ[5]։
  Լուծել հավասարումը՝)։
 Քննարկենք ձախ մասը՝Քննարկենք աջ մասը՝Ձախ և աջ մասերը հավասար են, երբ երկու մասերն էլ հավասար են 2-ի՝           Պատ.՝ 𝑥 = 0,42) Պարամետրական եղանակով ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը գտնելու համար ֆունկցիան դիտում ենք որպես պարամետր` b, և խնդիրը բերում պարամետրի  արժեքների  որոշմանը,  որոնց  դեպքում  f(x)=b  հավասարումը  ունիլուծում։
  Օրինակ 9։
   Տրված է 𝑓(𝑥) = 9+𝑥2  ֆունկցիան, գտնել արժեքների տիրույթը[1]։
 Լուծում (պարամետր  ներմուծելու  եղանակ)։
    Օրինակ 10։
   a պարամետրի ի՞նչ արժեքների դեպքում  √𝑥 + 5 = 𝑎(𝑥2 + 4)հավասարումն ունի միակ արմատ [-4;-1] միջակայքում[6]։
 Լուծենք ֆունկցիայի անընդհատության և մոնոտոնության օգտագործմամբ։
 Պատ.՝ [− ]։
 [-4;-1] միջակայքում 𝑦 = 𝑥2 + 4  ֆունկցիան անընդհատ է, նվազող և դրական, հետևաբար 𝑔(𝑥) = –ն  անընդհատ է և աճող  այդ միջակայքում։
 ℎ(𝑥) = √𝑥 + 5 ֆունկցիան անընդհատ է և աճող իր որոշման տիրույթում`𝐷(ℎ) = [−5; +∞)  և  մասնավորապես`  [-4;-1]  միջակայքում,  որտեղ  այն  նաևդրական է։
 Այսպիսով` 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥)  անընդհատ է և աճող [-4;-1] միջակայքում,այդ պատճառով [-4;-1] միջակայքում արժեքների տիրույթն է` [𝑓(−4); 𝑓(−1)] = [0,05; 0,4],  հետևաբար,  երբ  𝑎 ∈ [0,05; 0,4]  հավասարումը  [-4;-1]  միջակայքումունի լուծում, ընդ որում, միակը։
 Պատ.` 𝑎 ∈ [0,05; 0,4]Օրինակ 11։
  Գտնել  𝑓(x)=  ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը։
 Լուծենք պարամետր ներմուծելու մեթոդով։
 Նշանակենքա) երբ 𝑎 = 2 , ֆունկցիան դառնում է գծային`−4𝑥 − 5 = 0, որը ունի լուծում։
 բ) երբ 𝑎 ≠ 2 , ֆունկցիան քառակուսային է և լուծում ունի, երբ D≥ 0 <=> ա) և բ) լուծումների միավորումից կստանանք` E(f)= [ ]։
 Պատ.՝ [ ]։
 3) Հակադարձ ֆունկցիայի մեթոդ։
 Որպես պարամետր ներմուծելու մեթոդի անուղղակի կիրառում արժեքների տիրույթը գտնելու համար կարելի է նայել հակադարձ ֆունկցիայի մեթոդը[6]։
 Այդ դեպքում պետք է լուծել f(x)=y (x-ից կախված) հավասարումը, որտեղy-ը պարամետր է։
  Եթե այդ հավասարումն ունի միակ լուծում  x=g(y), ապա  E(f)արժեքների տիրույթը համընկնում է g(y) հակադարձ ֆունկցիայի D(g) որոշմանտիրույթին։
  Իսկ եթե  f(x)=y  ունի  մի  քանի լուծում՝  x=g1(y),   x=g2 (y)և  այլն,  ապա E(f)= g1 (y), g2(y), … որոշման տիրույթների միավորումը։
 Օրինակ 12։
       𝑦 = 5 Որոշման տիրույթը՝   D(x)։
 <=>   𝐷(𝑥) = (0,1) ∪ (25, +∞)։
 Պատ.՝ (0,1) ∪ (25, +∞)4) Ֆունկցիայի  մեծագույն  և  փոքրագույն  արժեքների  մեթոդով  կարելի  է գտնել այն ֆունկցիաների արժեքների տիրույթները, որոնց որոշման տիրույթըփակ է, և ֆունկցիան անընդհատ է այդ տիրույթում։
 Այս դեպքում հարցը բերվում է ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեք գտնելուն տրված փակ տիրույթում։
 Օրինակ 13։
  Գտնել 𝑓(𝑥) = √11 − 𝑥 + √𝑥 − 3  ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը[1]։
 Լուծում (մեծագույն, փոքրագույն գտնելու մեթոդ)։
     Քանի որ ֆունկցիայի 𝐷(𝑓) = [3,11] փակ տիրույթն է, հարցը բերվում է փակտիրույթի վրա անընդհատ ֆունկցիայի մեծագույն ու փոքրագույն գտնելուն։
 𝑓′(𝑥) = 0  ⇒ √𝑥 − 3 = √11 − 𝑥 , որտեղից 𝑥 = 7 ∈ 𝐷(𝑓)𝐸(𝑓) = [√8, 4]։
 Պատ.՝ [√8, 4]։
 5) Գրաֆիկական եղանակով որոշում ենք այն ֆունկցիաների արժեքների տիրույթը,  որոնց  գրաֆիկները  հարմար  է  կառուցել  ձևափոխությունների  կամֆունկցիայի հատկությունների հիման վրա։
 Օրինակ 4 (գրաֆիկական եղանակ)։
  Գտնել 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥 − 4| ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը[1]։
 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 = (𝑥 − 2)2 − 4         կամ             { Պատ.՝ (−∞, ∞)6) Հայտնի անհավասարությունների կիրառմամբ որոշում ենք այն ֆունկցիաների արժեքների տիրույթները, որոնցում հնարավոր է հայտնի անհավասարությունների կիրառմամբ ապահովել մեծագույն կամ փոքրագույն արժեքները։
   ֆունկցիայի  մեծագույն  և  փոքրագույն  արOրինակ  10։
   Գտնել  𝑦 = ժեքները, որտեղ 𝑎, 𝑏 > 0[4]։
 Նկատենք , որ Երբ  x<0, ապա f(x)<0Երբ  x>0, ապա f(x)>0Երբ  x=0, ապա f(x)=0Այստեղից հետևում է, որ f(x) ֆունկցիան իր մեծագույն արժեքն ընդունումէ (0;+∞) միջակայքում, իսկ փոքրագույն արժեքը` (-∞; 0) միջակայքում։
 Առաջին եղանակ։
   Ինչպես գիտենք  𝑎𝑥2 և 𝑏   թվերի  համար≥ |𝑥| ∙ √𝑎𝑏 , որտեղ հավասարությունը  տեղի ունի, երբ  𝑎𝑥2=b։
 Երբ x >0,, այստեղից ստացվում  է, որ f(x)  ֆունկցիայի  ամենամեծ  արժեքը հավասար է-ի, որն ընդունում է  𝑥 = √ 𝑏  կետում։
  Քանի որf(x) ֆունկցիան  կենտ է, ուստի նրա ամենափոքր արժեքը հավասար է −   -ի,որը f(x)  ֆունկցիան ընդունում է 𝑥 = −√ 𝑏  կետում։
 Երկրորդ  եղանակ։
   f(x)    ֆունկցիան   (0; +∞)  միջակայքում   համընկնում է    𝑔(𝑥) =     ֆունկցիային,  որտեղ  𝑎, 𝑏>  0։
   Այս  ֆունկցիան  իր  մեծագույնարժեքը  կընդունի  այն  դեպքում,  երբ  h(x)  = 𝑎𝑥 +     ֆունկցիան  ընդունում  է  իրփոքրագույն արժեքը։
 Քանի որ 𝑎𝑥 ∙ = 𝑎𝑏 հաստատուն է, ապա 𝑎𝑥 +    գումարն ընդունում է իրփոքրագույն արժեքն այն դեպքում, երբ   𝑎𝑥 = , այսինքն՝ երբ 𝑥 = √𝑏  ։
 Այսպիսով՝ ստացանք, որ  f(x) ֆունկցիան   (0;+∞) միջակայքում ամենամեծարժեքն ընդունում է  𝑥 = √𝑏   կետում, և այն հավասար է       f(x)  ֆունկցիայի  փոքրագույն  արժեքը  գտնում  ենք  առաջին  եղանակիհամանմանությամբ։
 Օրինակ 11։
  Գտնել xyz արտադրյալի մեծագույն արժեքը, եթե հայտնի է, որx, y, z > 0 և 2x +√3y+𝜋z =1[4]։
 2x +√3y+𝜋z=1 պայմանից ` կստանանք 𝑥 = , որտեղ հավասարությունը տեղի կունենա, երբ 2𝑥 = √3𝑦 = 𝜋z և օգտվելով ։
 Պատ.`  ։
 Գ Ր Ա Կ Ա Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն 1.  Մաթեմատիկայի թեստային առաջադրանքների շտեմարան Մաս1, 2։
 Երևան։
  Րաբունի։
  2015։
  286 էջ։
 2.  Գևորգյան Գ․Դ․,Սահակյան Ա․Ա․ Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 10։
  Երևան։
  «Տիգրան Մեծ» հրատ.։
  2017։
   203 էջ։
 3.  Գևորգյան Գ․Դ․, Սահակյան Ա․ Ա․ Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր 12։
  Երևան։
  Տիգրան Մեծ։
  2017։
  199 էջ։
 4.  Սեդրակյան  Ն․Մ․,  Ավոյան  Հ․  Մ․  Անհավասարությունների  ապացուցմանմեթոդներ։
  Երևան։
  Նաիրի։
  1998։
  Էջ 24-46։

Դպրոցական դասընթացում և բուհական ընդունելության քննական հարցաշարերում  բարդություն  ներկայացնող  հարցերից  է  արժեքների  տիրույթ   գտնելը։
   Անհրաժեշտություն  է  զգացվում  որոշակի  համակարգված  մեթոդների  իմացությունը  այդ  գործընթացը  առանց  լրացուցիչ  բարդությունների  իրականացնելու համար։
  Աշխատանքում ներկայացված են արժեքների տիրույթի որոշման համակարգված մեթոդներ և այդ մեթոդները կիրառված են տիպային օրինակներում։
   Դիտարկված  են  շտեմարանային  օրինակներ,  ընտրված  է  համապատասխան մեթոդը և կիրառված  կոնկրետ վարժություններում։
