Խմբի կողմից որոշված ​​գերշահույթների լրացման մասին խմբի համար որոշված ​​կամայական «ենթախմբի համար սահմանված»:  Οմ → ոմ հոմոմորֆիզմի միջուկը (isomorphic ճշգրտությամբ) համապատասխան ճշգրիտ արտադրանքի մեջ է ենթախմբի նորմալ ենթախումբն է: Որպես արդյունք, խմբին նշանակված «հիպերխումբը» լրացվում է միայն այն դեպքում, եթե ենթախմբի նորմալ ենթախումբը չնչին է համապատասխան ճշգրիտ արտադրանքի մեջ: 1. Ներածություն և նախնական տեղեկատվություն խմբային հիպերխմբերի մասին Խմբի կողմից սահմանված հիպերխմբի հայեցակարգը ներկայացվել է [1] -ում, այնուհետև բարելավվել է [4] և [5]:   Այս հայեցակարգը ընդհանրացնում և միավորում է խմբային տարածություն հասկացությունները, դաշտը դաշտ առ դաշտ:   Խմբավորված հիպերխմբերը ունեն մի շարք կիրառություններ. Խրայերի թեորեմի ընդհանրացում խմբային ընդլայնումների վերաբերյալ [5], արդյունքներ խմբային կոհոմոլոգիաների վերաբերյալ և այլն: [5] -ում խմբի կողմից սահմանված (աջ) գերխմբի հասկացությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ.   Եկեք կամայական խումբ լինենք:   Խմբին նշանակված (աջ) հիպերախումբը կոչվում է 𝑀 բազմություն 𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬) `կառուցվածքային ներկայացուցչությունների համակարգի հետ միասին, որտեղ` • (𝛷):  𝑀 × 𝐻 → 𝑀, 𝛷 (𝑎, 𝛼) ∶ = 𝑎𝛼, • (𝛹):  𝑀 × 𝐻 → 𝐻, 𝛹 (𝑎, 𝛼) ∶ = 𝛼 • (𝛯):  𝑀 × 𝐻 → 𝑀, 𝛯 (𝑎, 𝑏) ∶ = [𝑎, 𝑏], • (𝛬):  Արտ × 𝐻 → 𝐻, 𝛬 (𝑎, 𝑏) ∶ = (𝑎, 𝑏) արտահայտությունները բավարարում են հետևյալ պայմանները. P1) է կրկնակի գործողություն է 𝑀 մի բազմության վրա, որը (i) կամայական 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀 [𝑥, 𝑎] հավասարման մեջ տարրեր ում, (ii) (𝑀, 𝛯) հավասարության մեջ թողել է չեզոք տարր, այսինքն ՝ գոյություն ունի 𝑜 ∈ 𝑀 տարրական, այնպես որ [𝑜, 𝑎] = 𝑎 համար կամայական 𝑎 ∈ 𝑀 տարր: P2) 𝛷 քարտեզագրումը group խմբային գործողություն է set բազմության վրա, այսինքն (i) (𝑎𝛼) 𝛽 = 𝑎𝛼 ∙ 𝛽 կամայական 𝛼, 𝛽 ∈ և 𝑎 ∈ 𝑀 համար. տարրեր; (ii) 𝑎𝜀 = arbit կամայական ∈ ∈, տարր; որտեղ ը the խմբի չեզոքն է: P3) the ∈ գոյական կամայական տարրի համար գոյություն ունի element ∈ պիս տարր, որն 𝛼 = է: P4) Առաջանում են հետևյալ ինքնությունները. Խմբին նշանակված այս ենթախումբը նշվում է.  Խմբավորման միջոցով որոշված ​​per հիպեր խումբը դիտարկելիս ենթադրենք, որ 𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬) իր կառուցվածքային ներկայացուցչությունների համակարգն է, 𝐻 𝐻 խմբի չեզոք տարրն է, իսկ 𝛯 ձախը կրկնակի գործողության ձախ չեզոք տարրն է:  Մենք կօգտագործենք նշանակումը և 𝜃 = 𝛬 (𝑜, 𝑜) −1: (Ուշադրություն դարձրեք, որ հանրահաշվի մեջ «հիպեր խումբ» տերմինը օգտագործվում է մեկ այլ օբյեկտի համար:   Գերխմբի այս հասկացությունը ինքնուրույն ներմուծվեց Ֆ. Մարտինի ([6]) և Հ. Ս. Պատ ([9]) (տե՛ս նաև [3]):  Այս հոդվածում օգտագործված այս հիպերխմբի հասկացությունը շփոթեցնող կլինի, եթե խմբի համար սահմանված հիպերխմբերը կոչենք հիպերխմբեր: Այս հոդվածում մենք կօգտագործենք հիպերխմբերի հետևյալ հատկությունները (տե՛ս [5] էջ 9): • (𝐴11) (𝑎, 𝑜) = (𝜃 - 1): Ենթադրենք և և են հիպերխմբերը, համապատասխանաբար 𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬) և 𝛺 ′ = (𝛷 ′, 𝛹 ′, 𝛯 ′, 𝛬 ′) կառուցվածքային քարտեզագրման համակարգերով:  Գերխմբերի մորֆիզմը կոչվում է զույգ ներկայացում 𝑓 = (𝑓0, 𝑓1), որտեղ 𝑓0 ∶ 𝐻 → է խմբային հոմոմորֆիզմ է, 𝑓1 ∶ 𝑀 𝑀 ′ ՝ բազմություն ներկայացումների մեջ, այսինքն ՝ կառուցվածքային ներկայացուցչություններ: պահպանվում են, այսինքն ՝ հետևյալ հավասարումները. • (𝑀𝛬) Λ◦𝑓0 = (𝑓1 × 𝑓1) Λ: Պայմանը (𝑀𝛯) նշանակում է, որ 𝑓1-ը հոմոմորֆիզմ է (𝑀, 𝛯) -ից (𝑀 ′, ′ ′): Ձևաբանության ամենապարզ օրինակը նույնական մորֆիզմն է: 1𝑀𝐻 = (1𝐻, 1𝑀) ∶:  → 𝑀𝐻  Գերխմբերի կամայական մորֆիզմների համար դրանց combination = (𝑓0𝑓0, 𝑓1◦𝑔1) և համադրությունը հիպերխմբերի մորֆիզմ է:   𝑓 = (𝑓0, 𝑓1) մորֆիզմը շրջվում է (հետևաբար `իզոմորֆիզմ), եթե 𝑓0 𝑓 𝑓1 արտահայտությունները շրջվում են:   Այդ դեպքում - - 1 = (𝑓0 −1) 𝑓 = (𝑓0, 𝑓1) մորֆիզմի հակադարձ մորֆիզմն է: [5] (էջ 3) նկարագրում է խմբի համար սահմանված հիպերխմբի կազմավորման ստանդարտ ուղին հետևյալ կերպ.  Ենթադրենք (𝐺, 𝐻, Ո) կամայական եռյակ է, որը բաղկացած է 𝐺 խմբից, նրա 𝐻 ենթախմբից 𝐺 𝐺 խմբից 𝐻 ենթախմբից աջ (աջ) լայնակի:   Հիշեցնենք, որ 𝐺 խմբում the ենթախմբի (աջից) ենթախումբը կոչվում է 𝑀 ենթախումբ, որի համար | 𝑀 ∩ (𝐻 ∙ 𝑎) | = 1 ցանկացած կամայական տարրի համար: . 𝐺 խումբ 𝑀 ենթաբազմություն group խաչմերուկի աջ կողմում գտնվող խմբի աջ ենթախմբում և միայն այն դեպքում, եթե է set-ի աջ կողմում լրացուցիչ հավաքածու, այսինքն կամայական 𝐺 𝐺 տարրի համար գոյություն ունեն միայն 𝛼 ∈ 𝐻 և𝑎 ∈ ∈ տարրեր, ինչպիսիք են որ 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑎 (տե՛ս, օրինակ, [8] էջ 178):  Հետևաբար, եթե 𝐺 խմբում աջը ախ ենթախմբի ճիշտ լայնակն է, ապա կամայական 𝑏, 𝑀 և 𝛼 ∈ 𝐻 տարրերի 𝑎 ∙ 𝛼 և 𝑎 𝑎 միակ տարրերը ներկայացված են մեկ ձվով որպես արտադրանք ի և և – ի տարրերը:  Հետևաբար, 𝛷, 𝛹, 𝛯, կարելի է արտահայտությունները կարող են սահմանվել ըստ պայմանների (𝑆𝑡1) և (𝑆𝑡2): • (𝑆𝑡2) 𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎, 𝑏) ∙ [𝑎, 𝑏] = 𝛬 (𝑎, 𝑏) ∙ 𝛯 (𝑎, 𝑏): Այս ներկայացուցչությունները բավարարում են պայմանները P1) -P4) (տե՛ս [5], էջ 3-5) և համապատասխան իպ հիպերխումբը կոչվում է ստանդարտ (𝐺, 𝐻, 𝑀) տրիադից ստացված գերխումբ: Ստանդարտ եղանակով շինարարությունը ունի հետևյալ ունիվերսալ առանձնահատկությունը: իզոմորֆ ճշգրտությամբ ցանկացած per hypergroup ստացվում է ստանդարտ ձևով եռապատիկներից մեկից (𝐺, 𝐻, 𝑀) ([5], էջ 11-12):  [5] որում եռյակը կառուցված է հետևյալ կերպ.   Ենթադրենք, որ կամայական հիպերխումբ է, հաշվի առեք այն հավաքածուն, որի տարրերը letter երկու տառով բառեր են, որտեղ ն և են տարրերը համապատասխանաբար տարրեր են `սկսածից և համապատասխան:   [5] -ում (էջ 9) վրա սահմանվում է կրկնակի գործողություն հետևյալ կերպ. ∙ (𝑎𝛽, 𝑏)) [𝑎𝛽, 𝑏]: Ապացուցված է ([5], էջ 9-10), որ հետ սահմանված կրկնակի գործողության հետ միասին խումբ է 𝜃𝑜 չեզոք տարրով: Սահմանում 1.   𝐺 խումբը կոչվում է 𝐻 խմբի exact ճշգրիտ արտադրանք ՝ կապված 𝑀𝐻 հիպերխմբի հետ: Հաշվի առնելով «ենթաբազմությունները» ՝ ապացուցվում է ([5], էջ 11), որ է – ը ենթախմբի է, և ում – ը ենթախմբի հատում է in խմբում:  Ապացուցված է նաև ([5], էջ 11-12), որ «հիպերխումբը» եռյակից (𝐺, 𝐻, 𝑀) իզոմորֆիկ կերպով ստացված «հիպերխմբից» իզոմորֆ է: 2. Հիպերխմբի հետ կապված ամբողջական հիպեր խումբ: Ենթադրենք, որ դա կամայական հիպերխումբ է `կառուցվածքային ներկայացուցչությունների համակարգով 𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, Ո):   Համաձայն P2 հիպերխմբի սահմանման ՝ ն n 𝐻 խմբի գործողություն է (աջ) a բազմության վրա:  Հայտնի է (տե՛ս, օրինակ, [8], էջ 55), որ ցանկացած խմբային գործողություն այդ խմբից հետևյալ ձևով կատարում է հոմոմորֆիզմ այդ բազմության սիմետրիկ խմբին:  𝐻 → 𝑆𝑀, 𝛷 (𝛼):  𝑀 → 𝑀, 𝛷 (𝛼) (𝑎) = 𝛷 (𝑎, 𝛼) =: Սահմանում 2.   𝑀𝐻 Գերխումբը կոչվում է ամբողջական հիպերխումբ, եթե միջասեռության միջուկը չնչին է ՝ 𝑘𝑒𝑟𝛷 = {𝜀}: Քանի որ է – ը 𝐻 – ի նորմալ ենթախումբ է, մենք կարող ենք դիտարկել 𝐻 ′ = 𝐻 / 𝑘𝑒𝑟𝛷 որդ, ′ ′, ′ ′, 𝛬 expressions արտահայտությունները: ′  𝑀 × 𝐻 ′ → 𝑀, 𝛷 ′ (𝑎, 𝛼 ′) ∶ = 𝑎𝛼, 𝛹:  𝑀 × 𝐻 ′ → 𝐻 ′, 𝛹 ′ (𝑎, 𝛼 ′) ∶ = 𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ 𝛼 𝛯:  𝑀 × 𝐻 ′ → 𝑀, 𝛯 ′ (𝑎, 𝑏) ∶ = [𝑎, 𝑏], 𝛬:  𝑀 × 𝐻 ′ → 𝐻 ′, 𝛬 ′ (𝑎, 𝑏) ∶ = 𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ (𝑎, 𝑏): Լեմա 1:  ′ Եվ ′ ′ -ի ներկայացումները ճիշտ են դրված: Ապացույց  Եվ և 𝛹 ներկայացուցչությունների ճշգրտությունը նշանակում է, որ ′ (𝑎, 𝛼 ′) և ′ ′ (𝑎, 𝛼 ′) կախված չեն ′ հարակից դասի 𝛼 ներկայացուցչի ընտրությունից:   Ենթադրենք, որ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝛼 տարբեր տարբերակները նույն հարակից դասի տարբեր ներկայացուցիչներ են:   Այդ դեպքում 𝛼 ′ = 𝛽 ∙ 𝛼 = 𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ 𝛽, ուրեմն գոյություն ունի element ∈ այն էլեմենտ, որն 𝜅 ∙ 𝛼 = է:   Քանի որ 𝜅 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷, ապա 𝑎𝜅 = utհեղինակ 𝑀 the համար էլեմենտի համար: Է – ի ճշգրտությունը ցույց տալու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ 𝑎𝛼 = համար կամայական 𝑎 րի տարրի համար:   Այն կստանանք ըստ P2) (i) և 𝜅 the պայմանների ՝ 𝑎𝛽 = 𝑎𝛼 ∙ 𝜅 = (𝑎𝛼) 𝜅 = the պայմանների: Անհրաժեշտի ճշգրտությունը ցույց տալու համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ 𝑎 կամայական 𝑀 տարրի համար:   Դրա համար ցույց տվեք 𝑎 կամայական 𝑎 𝑀 𝑀 տարրի համար:  Մենք կտանք (𝐴1) այդ ∈ ∈i և 𝜅 ՝ ՝, ուստի բավական է ցույց տալ, որ ∈ ∈ Սա նույնն է, ինչ 𝑀 𝐴 𝐴 (𝐴2) = = 𝑏 կամայական 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀 տարրերի համար:  Ըստ կամայական տարրի ∈. որտեղ, համաձայն P1) (i) - ի, տարրերի համար ստանում ենք 𝑏 = 𝑏 𝜅:   կամայական 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀Թեորեմ 2:   𝑀 սահմանել և 𝐻 ′ = 𝐻 / 𝑘𝑒𝑟𝛷 համարների խումբ 𝛺 ′ = (′ ′, ′ ′, ′ ′, 𝛬 ′) ներկայացուցչությունների համակարգի հետ միասին բավարարում են (𝛷 ′, ′ ′, ′ ′, ′ ′) խմբի կառուցվածքային ներկայացուցչությունների համակարգի հիպերխումբ: պայմաններին ՝ բազմությունն ապացույց է:  Հաշվի առեք 𝑝0:  Ep → 𝐻 ′ բնական էպիմորֆիզմ և 𝑝1 = 1𝑀:  →: 𝑀 Նույնական ներկայացուցչություն: 𝛷 ′, 𝛹 ′, ′ ′, 𝛬 ′ արտահայտությունների (𝑝0, 𝑝1) սահմանման համաձայն արտահայտության զույգը պահում է 𝛺 = (𝛷, 𝛹, 𝛯, 𝛬) և ′ ′ = (′ ′, ′ ′, ′ ′, 𝛬 ′) արտահայտման համակարգեր, այսինքն (() - (𝑀𝛬) հարաբերությունները տեղի են ունենում:  Ապացուցված է (տե՛ս [5], էջ 14-15), որ այդ դեպքում, եթե 𝑝0-ը էպիմորֆիզմ է, և 𝑝1-ը երկայնական ներկայացում է, ապա 𝛺 համակարգը ներկայացուցչական համակարգը բավարարում է P1 պայմանները) -P4): Այսպիսով, կամայական 𝑀𝐻 հիպերխումբը պարբերաբար զուգորդվում է 𝑀𝐻′հիպերխմբի հետ, որը որոշվում է խմբի ′ = 𝑘𝑒𝑟𝛷 / 𝑘𝑒𝑟𝛷 գործակիցների խմբի նկատմամբ (տե՛ս [2]): Թեորեմ 3:  Է լիակատար հիպերխումբ: Ապացույց  Ենթադրենք համար ′ (𝑎, 𝛼 ′) = համար կամայական տարրի համար 𝑎 ∈ :.  Եկեք ցույց տանք, որ ′ =:   Ենթադրենք 𝛼 ′ = 𝑘𝑒𝑟𝛷 ∙ 𝛼, այդ դեպքում, ըստ 𝛷 ′ սահմանման, 𝛷 ′ (𝑎, 𝛼 ′) = 𝑎𝛼, ապա կամայական 𝑎 ∈ 𝑀 տարրի համար:   Վերջինից հետեւելու է, որ 𝛼 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝛷, հետեւաբար ՝ 𝛼 ′ =: Սահմանում 3.   ′ ′ Hypergroup- ը կոչվում է լրիվ hypergroup ՝ կապված ամբողջ բերված hypergroup- ի հետ: Ենթադրենք, որ է-ը կամայական խումբ է, նրա-ը նրա ենթախումբն է: Սահմանում 4:   𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻) = ⋂ 𝑥 - 1 ∙ 𝐻 ∙ 𝑥:   Խմբում կոչվում է Centgroup- ի նորմալ ենթախումբ: Հայտնի է (տե՛ս, օրինակ, [7], էջ 16), որ 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻) ենթախմբում պարունակվող առավելագույն նորմալ խմբի ենթախումբն է: Ենթադրենք ՝ 𝑀𝐻 հիպեր խումբը ստանդարտ եղանակով ստացվում է եռյակից (𝐺, 𝐻,): Թեորեմ 4:   Մ խմբի է ոմ հոմոմորֆիզմի միջուկը ենթախմբի նորմալ ենթախումբն է, այսինքն ՝ 𝑘𝑒𝑟𝛷 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻): Ապացույց  Հիպերխմբերի կառուցման ստանդարտ ձևի համաձայն, ումը 𝐻 խմբի 𝐻 ենթախմբի հատում է, ուստի այն լրացուցիչ հավաքածու է, այսինքն ՝ գոյություն ունեցող կամայական տարրի համար գոյություն ունեն միայն 𝛼 կամ և և ∈ 𝑀 այնպիսի տարրեր, ինչպիսիք են = 𝛼 𝑎 𝑎:  Հաշվի առեք:  𝐺 → 𝑆𝑀, 𝜌 (𝑥):  Արտ → 𝑀, 𝜌 (𝑥) (𝑏) = [𝑏𝛼,] քարտեզագրում: Լեմա 5: 1) կամայական տարրերի համար 𝛼 ∈ 𝐻, 𝑎 ∈ 𝑀 𝜌 (𝛼 ∙ 𝑎) ընդլայնում է: 2) J խմբային հոմոմորֆիզմ է: Ապացույց   1) Համաձայն P1) (i), [𝑥, 𝑎] հավասարումը ունի մեկ լուծում ((կամայական տարրերի համար 𝑎, 𝑏 ∈)):   Եթե ​​լուծումը նշանակում ենք 𝑏 /, դժվար չէ տեսնել, որ 𝑦 𝑦 (𝑦 / 𝑎) −1 արտահայտությունը 𝜌-ի հակադարձն է (𝛼 ∙ 𝑎):   Հետեւաբար 𝜌 (∙ ∙: 𝑎) ընդլայնում է: 2) Ենթադրենք `𝑥 = 𝛼 ն և և 𝑦 = 𝛽 ն կամայական տարրեր են:  Համաձայն (𝑆𝑡1), (𝑆𝑡2), P2) (i), (𝐴4) և (𝐴2) մենք ստանում ենք 𝑏) (𝜌 (𝛼 ∙ 𝑎) (𝑐)) = (𝜌 (𝛼 ∙ 𝑎) ◦𝜌 ( ∙ 𝑏)) (𝑐) = (𝜌 (𝑥) ◦𝜌 (𝑦)) (𝑐): կամայական համար ∈ 𝑀 տարր: Լեմա 6.   𝛷 քարտեզագրումը ենթախմբի վրա ազդելու սահմանափակումն է, այսինքն ՝ 𝜌 (𝛼) = 𝛷 (𝛼) կամայական 𝛼 րի տարրի համար: Ապացույց   Քանի որ է ստացվում է ստանդարտ եղանակով, ապա, ըստ (𝑆𝑡2) և P1) (ii), աջից t հանելով, մենք ստանում ենք 𝑜 = (𝑜, 𝑜) = 𝜃 - 1:   Այսպիսով = 𝜃 ∙ 𝑜: 𝑜 ∙ 𝑜 = (𝑜, 𝑜) ∙ [𝑜, 𝑜] = (𝑜, 𝑜): Հետևաբար, ըստ (𝐴10) և P2) (i) ցանկացած կամայական տարրի համար: . 4-րդ թեորեմն ապացուցելու համար մենք ցույց կտանք, որ 𝑘𝑒𝑟𝜌 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻), որից կստացվի այդ 𝑘𝑒𝑟𝜌 ⊂ 𝐻, հետևաբար, ըստ Լեմա 6-ի, մենք կունենանք այդ 𝑘𝑒𝑟𝛷 = 𝑘𝑒𝑟𝜌 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻): Ենթադրենք 𝑥 =. ∙ 𝑎 ∈ 𝐺, և 1𝑀 𝑀 բազմության նույնական արտահայտությունն է:   Այս դեպքում, համաձայն (𝑆𝑡2) և (𝑆𝑡1), տեղի են ունենում հետևյալ համարժեքությունները: Ինչը, ըստ (𝑆𝑡1) և (𝑆𝑡2) վերլուծության միասնության, համարժեք է: Այսպիսով ՝ ՝ ∈ 𝑏 - 1 ∙ ∙ 𝑏 ∀𝑏 ∈: = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻): Թեորեմն ապացուցված է: Նշում 1:   4-րդ թեորեմին շատ մոտ գտնվող թեորեմը կարելի է գտնել պրեկուրսորների տեսության մեջ (տե՛ս, օրինակ, [7], էջ 35): Նշում 2.   Ըստ գերխմբերի կառուցման ստանդարտ ձևի համընդհանուրության, 4 թեորեմը կարող է ձևակերպվել ցանկացած կամայական հիպերխմբի համար: Թեորեմ 4 ':   Կամայական per hypergroup- ը is isomorphic է 𝐺 խմբում նորմալ է g ≅ 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻) ենթախմբի նորմալ ենթախմբի նկատմամբ: Օրինակ 1.   Ենթադրենք, որ 𝑀𝐻 հիպերխմբի կառուցվածքային ներկայացուցչությունը տրիվիալ է, այսինքն ՝ կամայական 𝑎 ∈ 𝑀, 𝛼 𝐻 𝐻 տարրեր 𝛷 (𝑎, 𝛼) = 𝑎𝛼 = 𝑎: Այս պարագայում պարզ է, որ կամայական 𝛼 𝛼 𝐻 տարրի համար 𝛷 (𝛼) նույնն է բազմության նույնական արտահայտությունը, 1𝑀, ուստի 𝑘𝑒𝑟𝛷 =:  Հետևաբար, 𝑀𝐻 հիպերխմբի հետ կապված ամբողջական հիպերխումբը 𝑀 {𝜀 ′ եր երևույթով գերխումբն է, որը որոշվում է տրիվիալ {𝜀 ′} = {𝑘𝑒𝑟𝛷} խմբի նկատմամբ: Ուշադրություն դարձրեք, որ եթե խերի գերխմբի հետ կապված լրիվ տրված հիպերխումբը 𝑀 {𝜀 ′ եր հիպերխումբ է, ապա (𝑀, 𝛯) խումբ է:  Իսկապես, մենք ունենք այդ (𝑀, 𝛯) = (𝑀, 𝛯 ′), իսկ 𝑀 -ի համար {𝜀 ′ 𝛯 ′ որոշում է action բազմության վրա գործողությունների գործողություն:   Վերջինս հայտնի արդյունքից բխում է, որ P1) (i) և P2 (ii) պայմանները բավարարող ուժի ցանկացած կրկնակի գործողություն խմբային գործողություն է:   Նկատենք, որ այս դեպքում կրկնակի գործողությունը action է զուգահեռ է, քանի որ (𝐴4) -ում կունենանք ′ ′ (𝑎, 𝛬 ′ (𝑎, 𝑏)) = 𝛷 ′ (𝑎, 𝜀 ′) =: Հարց է առաջանում. Եթե ​​(𝑀, 𝛯) խումբ է, որոշվելու է իպ հիպերխմբի հետ կապված ամբողջությամբ ստացված հիպերխումբը չնչին խմբի նկատմամբ, այսինքն ՝ կլինի 𝑀 {}}} հիպերխումբ:  Ստացվում է, որ ընդհանուր դեպքում այս հարցի պատասխանը բացասական է: Օրինակ 2.  Ենթադրենք, որ է-ը խումբ է, ու-ն և ը ենթախմբեր են, ինչպիսիք են 𝐺 = 𝐻 ∙ 𝑀, 𝐻 𝑀 𝑀 = {𝜀}, որտեղ 𝐺 խմբի չեզոք տարրն է, և ը նորմալ ենթախումբ չէ (ինչպես այդպիսի (𝐺, 𝐻, 𝑀) եռյակ կարելի է համարել 𝐺 = 𝑆3 սիմետրիկ խումբ, դրա 𝐻 = {(1), (12)} և 𝑀 = {(1), (123), (132)} ենթախմբեր):   Դժվար չէ վստահ լինել, որ այս դեպքում դա կլինի Gent խմբի անցումը trans խմբում:   Դիտարկենք տրիոյից ստացված 𝑀𝐻 հիպեր խումբը (𝐺, 𝐻, 𝑀) ստանդարտ ձևով:   Քանի որ է – ն ենթաբազմություն է, ապա, ըստ (𝑆𝑡2) –ի, մենք կունենանք, որ (𝑎, 𝑏) = arbit կամայական, 𝑏 ∈ համար տարրերի համար, ապա կհամընկնի 𝑀 վրա ի կրկնակի գործողության, այնպես որ (𝑀, 𝛯) կլինի խումբ:   Մենք ունենք, որ եր-ի գերխմբի հետ կապված լիակատար հիպերխումբ է, ուստի, ըստ 4 թեորեմի, 𝐻 ′ = 𝐻 / 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻):   Եթե ​​ը տրիվիալ խումբ է, նշենք, որ 𝐻 = 𝐶𝑜𝑟𝑒𝐺 (𝐻), հետևաբար, որ է է – ը նորմալ ենթախումբ է, ինչը սխալ է: Գրականություն Շանթ Նավասարդյան Խմբի դեմ որոշված ​​հիպերտենզների լիարժեք ներկայացման մասին Հիմնաբառեր. Խմբի նկատմամբ որոշված ​​գերխումբ, լրիվ եկամտաբերություն, նորմալ ստորաբաժանում: ։

Խմբի  նկատմամբ  որոշված  կամայական  𝑀𝐻  հիպերխմբի  համար  սահմանվող  𝛷։
  𝐻 → 𝑆𝑀  հոմոմորֆիզմի  միջուկը  հանդիսանում  է  (իզոմորֆության  ճշտությամբ)  համապատասխան ճշգրիտ արտադրյալում 𝐻 ենթախմբի նորմալ ներքնամասը։
   Որպես հետևանք՝ խմբի նկատմամբ որոշված 𝑀𝐻 հիպերխումբը լրիվ բերված է այն և  միայն այն դեպքում, երբ համապատասխան ճշգրիտ արտադրյալում 𝐻 ենթախմբի նորմալ  ներքնամասը տրիվիալ է։
