ԳԾ ՍՏԱՆԴԱՐՏ ԽՆԴՐԻ ԵՎ ՆՐԱ ԵՐԿԱԿԻ ԽՆԴՐԻ ԹՈՒՅԼԱՏՐԵԼԻ ՏԻՐՈՒՅԹՆԵՐԻ ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸՕպտիմալ որոշումներ կայացնելու համար նախատեսված մոդելներն ուսումնասիրելիս, վերջիններիս լուծումը փնտրելիս՝ հաճախ օգտակար տեղեկություն կարող է տրամադրել այն, թե տրված խնդրիթույլատրելի տիրույթը սահմանափակ է, թե ոչ։
  Սահմանափակ և ոչ դատարկ լինելուց անմիջապես հետևում է օպտիմալ լուծման գոյությունը։
  Առավել հետաքրքրական է դիտարկել գծային ծրագրավորմանխնդիրը  և  վերջինիս  երկակի  խնդիրը  և  քննարկել  նրանց  թույլատրելի  տիրույթների  միաժամանակյասահմանափակության դեպքը։
 Դիտարկենք գծային ծրագրավորման ստանդարտ խնդիրը և նրա երկակի խնդիրը`որտեղ  A–ն  mxn  չափանի  թվային  մատրից  է,  x=(x1,x2,…xn)  կանվանենք  հիմնական  փոփոխականներ,y=(y1,y2,...ym)`  երկակի  փոփոխականներ,  s=b-Ax=(s1,s2,…sm)≥0  կանվանենք  հիմնական  խնդրի  պակասուրդային  փոփոխականներ,  իսկ  d=yA-c=(d1,d2,….dn)≥0`  երկակի  խնդրի  ավելցուկային  փոփոխականներ։
 Լեմմա 1. Ենթադրենք՝ տրված է X=({x,s},Ax+s=b,x≥0,s≥0) թույլատրելի տիրույթը, որը դատարկ չէ.այդ դեպքում որպեսզի xj փոփոխականը լինի սահմանափակ X-ում, անհրաժեշտ է և բավարար, որ գոյություն ունենա v≥0 վեկտոր այնպես, որ vA≥0,vAj>0, որտեղ Aj-ն A մատրիցի j–րդ սյունն է։
 Ապացույց.  xj-ն  սահմանափակ  X-ում  նշանակում  է,  որ  Ax+s=b,x≥0,s≥0-ից  հետևում  է`  գոյությունունի այնպիսի  K  թիվ. որ xj≤K։
  Ըստ Ֆարկաշի լեմմայի1` որպեսզի այդպիսի  հետևությունը  տեղի  ունենա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ գոյություն ունենա v վեկտոր այնպես, որ v(A,I)≥(uj,0), vb≤K, որտեղuj=(0,...1,...0) միավոր վեկտոր է` i–րդ տեղում 1 գրված, իսկ (A,I)-ն A մատրիցին I միավոր մատրիցի սյուներն ավելացնելիս ստացվող մատրիցն է։
  Եթե հետևությունը տեղի ունի որոշակի K-ի համար, այսինքն`xj-ն  սահմանափակ  է,  ապա  պահանջվող  v-ն  գոյություն  ունի։
   Մյուս  կողմից,  եթե  պահանջվող  v-նգոյություն ունի, ապա այն կարող է ձևափոխվել` բաժանելով vAj -ի վրա, որպեսզի հետևությունը տեղիունենա, և xj-ն լինի սահմանափակ։
 Լեմմա 2. Դիցուք՝ x ∊ 𝑋, այդ դեպքում որպեսզի si-ն անսահմանափակ լինի X-ում, անհրաժեշտ է ևբավարար, որ գոյություն ունենա z վեկտոր այնպես, որ Az≤0, (Az)i<0։
 Սահմանափակումների համակարգի բոլոր լուծումները կարող են գրվել հետևյալ տեսքով2`որտեղ Aξ+σ=b ξ≥0, σ≥0 և Aη+ζ=0 η≥0, ζ≥0։
  Այսպիսով, եթե si-ն անսահմանափակ է, ապա պետք է գոյություն  ունենա  (η*,  ζ*)  վեկտոր,  որում  ζi*>0,  այլապես  maxt|σi|t  կլիներ  si–ի  վերին  եզրը։
   Այժմ  ընտրենք  zփոփոխականը  որպես  η*։
   Մյուս  կողմից՝  եթե  գոյություն  ունի  այդպիսի  z  վեկտոր,  ապա  ցանկացածx∊ 𝑋 − ի համար x+θz վեկտորը բավարարում է հետևյալ պայմաններին` A(x+θz)≤b, x+θz≥0 յուրաքանչյուրθ≥0–ի համար։
  Այստեղից հետևում է, որ si=bi-(Ax)i-θ(Ay)i≥θ(-Ay)i, այսինքն` si-ն անսահմանափակ է։
 Նմանապես կիրառելով լեմմա 2-ը երկակի խնդրի համար` կստանանք, որ d–ն կլինի անսահմանափակ այն և միայն այն դեպքում, եթե գոյություն ունի v≥0 վեկտոր այնպես, որ vA≥0.(vA)j>0։
 1 Տե՛ս Fan K., On systems of linear inequalities, Princeton University Press, 1956, էջ108։
 2 Տե՛ս Goldman A., Resolution and separation theorems for polyhedral convex stes,  Linear Inequalitites and Related Systems (H.W.Kuhn and A.W. Tucker, eds.), Princeton University Press, 1956, էջ 44-45։
 Ապացույցն  անմիջապես  կստացվի`  կիրառելով  2-րդ  լեմման  հետևյալ  –AT  yT+dT=-cT,  yT≥0,d≥0  սահմանափակումների համար։
 Լեմմաներից անմիջապես հետևում է հետևյալ թեորեմը.Ենթադրենք` տրված են ԳԾ ստանդարտ խնդիրը և նրա երկակի խնդիրը, որոնց թույլատրելի տիրույթները դատարկ  չեն։
  Այդ դեպքում xj-ն  կլինի սահմանափակ X–ում այն և միայն այն դեպքում, եթեdj–ն լինի անսահմանափակ Y–ում։
  Հանգունորեն նաև երկակի խնդրի y փոփոխականների և հիմնականխնդրի s փոփոխականների համար։
 Ապացույցն անմիջապես հետևում է լեմմաներից։
  Թեորեմի արդյունքները կարող ենք ներկայացնելհետևյալ համակարգի տեսքով` որտեղ օրինակ Xան-ն անսահմանափակ x փոփոխականների քանակն է, իսկ Xս-ն` սահմանափակ։
 Այստեղից հետևում է հետևյալ թեորեմը`Տրված  ոչ  դատարկ  թույլատրելի  տիրույթ  ունեցող  ստանդարտ  խնդրում  և  իր  երկակի  խնդրումսահմանափակ փոփոխականների, ինչպես նաև անսահմանափակ փոփոխականների քանակը m+n է։
 Կիրառելով այս ամենը` կարող ենք ստանալ Կլարկի թեորեմի1 ընդհանրացումը`Տրված է ԳԾ ստանդարտ  խնդիր, որի թույլատրելի  տիրույթը դատարկ չէ։
  Այդ դեպքում նրա թույլատրելի  տիրույթը  կլինի  սահմանափակ  այն  և  միայն  այն  դեպքում,  եթե  երկակի  խնդրի  բոլոր  փոփոխականները` y և d, լինեն անսահմանափակ։
 Ապացույց։
   Եթե  խնդրի  թույլատրելի  տիրույթը  ոչ  դատարկ  է  և  սահմանափակ,  ապա  հիմնականխնդիրն ունի օպտիմալ լուծում, հետևաբար օպտիմալ լուծում ունի նաև երկակի խնդիրը, ինչպես նաևեթե  երկակի  խնդրի  թույլատրելի  տիրույթը  լինի  անսահմանափակ  (հետևաբար  նաև  ոչ  դատարկ),ապա ԳԾ խնդիրները նորից կունենան օպտիմալ լուծում։
  Այսինքն` երկու դեպքում էլ կարող ենք օգտագործել (1) համակարգը։
  Համակարգի 1-ին և 3-րդ հավասարումներից ստանում ենք, որ Xս=n և Sս=mայն և միայն այն դեպքում, երբ Dս=0 և Yս=0։
 Ապացուցենք հետևյալ պնդումը`Թեորեմ  1։
   Եթե  ԳԾ  ստանդարտ  խնդիրի  բոլոր  si  փոփոխականներն  անսահմանափակ  են,  ապաբոլոր xj փոփոխականները նույնպես անսահմանափակ են։
 Ապացույց։
   Եթե  Sս=0,  ապա  Yս=n։
   Սակայն  եթե  Yս=m,  ապա  Dան=0,  որից  էլ  հետևում  է,  որXան=m։
 Այս թեորեմից հետևում է հետևյալ ուշագրավ փաստը` տրված ստանդարտ և նրա երկակի խնդիրների համար x և y փոփոխականների թույլատրելի տիրույթները չեն կարող միաժամանակ լինել սահմանափակ, կամ միաժամանակ լինել անսահմանափակ։
 Նկատենք, որ լեմմա 2-ից և թեորեմ 1–ից հետևում է հետևյալ փաստը` x-ը X–ում կլինի սահմանափակ այն և միայն այն դեպքում, երբ ստանդարտ խնդրի սահմանափակումների համակարգին համապատասխանող  համասեռ  անհավասարումների  համակարգի`  Ax≤0  լուծում  հանդիսանա  միայն  0ական վեկտորը։
 ԳԾ խնդրի սահմանափակումների համասեռ համակարգի լուծումներն իրենցից ներկայացնում են,այսպես  կոչված,  ռեցեսսիվ  ուղղությունների  բազմությունը,  որտեղ  ռեցեսսիվ  են  համարվում  այն  ուղղությունները,  որոնցով  որքան  էլ  մեծ  քայլ  կատարենք  թույլատրելի  տիրույթի  ցանկացած  կետիցկմնանք տրված թույլատրելի տիրույթում2։
  Այսինքն` նշված արդյունքը ցույց է տալիս, որ անհավասարումների համասեռ համակարգի` միայն 0-ական լուծում ունենալուց հետևում է, որ խնդրի թույլատրելիտիրույթը  սահմանափակ  է.  դա  արտացոլում  է  այն  պարզ  փաստը,  որ  գոյություն  չունենա  այնպիսի  ոչզրոյական վեկտոր, որով անվերջ շարժվելիս դուրս չգանք թույլատրելի տիրույթից։
 Դիտարկենք այն դեպքը, երբ ԳԾ ստանդարտ խնդրի փոփոխականներից k հատը սահմանափակեն  տրված  թույլատրելի  տիրույթում,  իսկ  n-k  հատը`  անսահմանափակ։
   Այդ  դեպքում  եթե  ենթադրենք,որ A մատրիցի բոլոր տարրերը ոչ զրոյական են, ապա կունենանք, որ բոլոր s ավելցուկային փոփոխականները  կլինեն  անսահմանափակ։
   Սակայն  այդ  դեպքում  ըստ  աշխատանքում  շարադրված  տեսության` երկակի խնդրի բոլոր y հիմնական փոփոխականները կլինեն սահմանափակ իրենց թույլատրելի1 Տե՛ս Clark F., Remark on the constraint sets in linear programming, American Mathematical Monthly, 68(1961), էջ 351-352։
 2 Տե՛ս Зоркальцев Б., Киселева М., Системы линейных неравенств, Иркутск, 2007, էջ 33-35։
 տիրույթում, որից կհետևի երկակի խնդրի բոլոր d փոփոխականների սահմանափակությունը։
  Ըստ մերստացած  Կլարկի  ընդհանրացված  թեորեմի`  այդ  դեպքում  անհրաժեշտ  է  և  բավարար,  որ  բոլոր  xփոփոխականները  լինեն  անսահմանափակ,  կամ  այլ  կերպ  ասած`  ԳԾ  խնդրի  թույլատրելի  տիրույթըլինի  անսահմանափակ  ըստ  բոլոր  փոփոխականների։
   Ստացվեց  հակասություն.  փաստորեն  մեր  այնենթադրությունը, որ A մատրիցի բոլոր տարրերը ոչ զրոյական են, ճիշտ չէ։
  Այսինքն` ստացվում է, որ ոչբոլոր  փոփոխականների  սահմանափակ  լինելու  դեպքում  մատրիցի`  առնվազն  անսահմանափակ  փոփոխականների քանակին համապատասխան (n-k) տարրեր պետք է հավասար լինեն զրոյի։
 Մատրիցի  զրոյական  տարրի  առկայությունը  նշանակում  է  տվյալ  անսահմանափակ  տիրույթովգործոնի (փոփոխականի)` որոշակի գործընթաց(ներ)ում բացակայություն։
  Սա տեղի կունենա այն դեպքում,  երբ  տրված  ոչ  բոլոր  x  փոփոխականներն  ընդունեն  անսահմանափակ  արժեքներ  թույլատրելիտիրույթում։
 Այժմ դիտարկենք նվազագույն ծախսերով գծային մոդելը, այն է `γհ→minորտեղ  γi-ն  i-րդ  տեխնոլոգիայի  միավոր  կիրառման  արդյունքում  առաջացած  ծախսն  է,  իսկ  h-ը`  տեխնոլոգիայի ինտենսիվությունը, d-ն` անհրաժեշտ արտադրատեսակի մինիմալ ծավալը, իսկ A մատրիցիaij տարրը ցույց է տալիս i-րդ տեխնոլոգիայի կիրառման դեպքում j-րդ արտադրատեսակի թողարկումըկամ սպառումը։
 Վերջինիս երկակի խնդիրը կունենա հետևյալ տեսքը`Երկակի խնդրում xi-ը հանդիսանում է տրված i-րդ արտադրատեսակի վաճառքի գինը։
  Նկատենք,որ այստեղ արտադրողը կարող է որոշել նաև կարճաժամկետ հատվածում վնասով աշխատել (դա արտահայտված է Ax<γ դեպքում)։
 Այլ հավասար պայմաններում գոնե 0-ական մակարդակի արտադրությունը` ATh≥0, կարող է իրականացվել  ոչ  միայն  ուղղակի  չարտադրելով,  հետևաբար  h-ն  անսահմանափակ  է,  ուստի  դրանից  հետևում  է  վաճառքի  գնի  ընտրության  սահմանափակությունը։
   Եթե  արտադրատեսակներից  առնվազնմեկի համար մեզ զուտ անհրաժեշտ է ապահովել սպառման որոշակի մակարդակից ոչ ավել մեծություն(d-ն բացասական է), և մենք ի վիճակի չենք ապահովելու զուտ թողարկում, ապա կստացվի, որ համասեռ  անհավասարումների  համակարգի  համար  լուծում  կհանդիսանա  միայն  0-ական  վեկտորը,  այսինքն` h-ը կլինի սահմանափակ, իսկ x–ը` անսահմանափակ։
 Փաստորեն տվյալ մոդելի շրջանակներում ստանում ենք, որ կամ հնարավոր է գների ընտրությանանսահմանափակություն  (իրականում  հենց  այս  դեպքն  է  հանդիպում),  կամ  էլ  տեխնոլոգիաների  կիրառման  ինտենսիվության  (որը  նաև  ուղղակիորեն  կանդրադառնա  թողարկման  քանակի  վրա)  որոշման անսահմանափակության։
  Այս և նմանատիպ այլ մոդելներում հիմնական խնդրի կառուցվածքայինփոփոխականներն  իրենցից  ներկայացնում  են  գները  կամ  արտադրության  քանակը,  իսկ  երկակիինը`հակառակը։
   Այս  ամենից  կարող  ենք  պնդել,  որ  մրցակցային  շուկայում  գների  (այսպես  կոչված՝ստվերային  գների)  և  արտադրության  մակարդակի  որոշման  այլընտրանքները  չեն  կարող  միաժամանակ լինել սահմանափակ։
 Բնականաբար,  ստացված  արդյունքները  տնտեսական  գործոնների  անսահմանափակության  վերաբերյալ նախևառաջ պայմանավորված են տրված մոդելի էությամբ և բովանդակությամբ, իսկ տնտեսագիտական տեսանկյունից հիմնավորված նոր սահմանափակումների մուտքագրումը` նպատակ ունենալով  բոլոր  փոփոխականները  դարձնել  սահմանափակ  թույլատրելի  տիրույթում,  կբերի  նրան,  որկխախտվի երկակի խնդիրների միջև կապը, և վերջիններից մեկն արդյունքում կկորցնի իր տնտեսագիտական բովանդակությունը։
  Մյուս կողմից՝ անսահմանափակությունն այս և նմանատիպ այլ մոդելներիշրջանակներում կարող ենք դիտարկել որպես մի երևույթ, երբ տնտեսվարող սուբյեկտը տվյալ պահինկարող  է  տրված  գործոնի  վրա  չափազանց  մեծ  ազդեցություն  ունենալ`  կարճաժամկետ  հատվածումկրելով որոշակի վնասներ, կորուստներ և այլ ռիսկեր` միևնույն ժամանակ հաշվի առնելով իր` երկարաժամկետ  հատվածում  սպասվող  օգուտները,  ռազմավարական  նպատակները  և  այլն։
   Վերջիններովպայմանավորված արդյունքներն ընդգրկված չեն ուսումնասիրվող մոդելներում, և հենց այս բացակայությունն էլ առաջացնում է փոփոխականի անսահմանափակության և դրա տնտեսագիտական մեկնաբանման  միջև  եղած  հակասությունը։
   Վերջիվերջո  թույլատրելի  տիրույթն  արտահայտում  է  զուտ  այլընտրանքների  բազմություն,  որից  տնտեսվարող  սուբյեկտը  պետք  է  ընտրություն  կատարի,  իսկ,  այսպես կոչված, անսահման մեծ արժեքները հեռու են օպտիմալ լինելուց։
 Արման ԻսաջանյանԳԾ ՍՏԱՆԴԱՐՏ ԽՆԴՐԻ ԵՎ ՆՐԱ ԵՐԿԱԿԻ ԽՆԴՐԻ ԹՈՒՅԼԱՏՐԵԼԻ ՏԻՐՈՒՅԹՆԵՐԻ ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸԲանալի բառեր՝ գծային ծրագրավորում, ստանդարտ խնդիր, երկակի խնդիր, թույլատրելի տիրույթ, սահմանափակ և անսահմանափակ արժեքներ ընդունող փոփոխականներ։

Սույն աշխատանքում ուսումնասիրվում է ԳԾ ստանդարտ խնդրում թույլատրելի տիրույթի սահմանափակության հարցը, դրա կապը երկակի խնդրի թույլատրելի տիրույթի սահմանափակության հետ։
  Արդյունքում ստանում  ենք, որ երկակի խնդիրների միջև թույլատրելի տիրույթների սահմանափակության տեսանկյունից գոյություն ունի  հակադարձ  կապ։
   Աշխատանքում  ներկայացված  փոփոխականների  սահմանափակության  անհրաժեշտ  և  բավարար  պայմանները  հանդիսանում  են  օպտիմալ  լուծման  գոյության  հիմք,  իսկ  երկակի  խնդրի  միջև  եղած  կապը  թույլ է տալիս գաղափար կազմել վերջինիններիս թույլատրելի տիրույթների կառուցվածքի մասին` ուսումնասիրելով  միայն  խնդիրներից  մեկը։
   Հոդվածում  դիտարկում  ենք  նաև  նվազագույն  ծախսերով  արտադրության  գծային  մոդելը և նրա երկակի խնդիրը և հանգում գների և արտադրության քանակի որոշման միաժամանակյա անսահմանափակ այլընտրանքներ ունենալու անհնարինության։
