Վերջին տարիներին շատ մասնագետներ կենտրոնացել են տարբեր տեսակի օպերատորների հանրահաշիվային կառույցների վրա, որոնք զուգորդվում են անշրջելի էներգահամակարգերի հետ:   Խմբային խաչմերուկի հայտնի հասկացությունը, որն անթերի է գործում հակադարձ պարագայում, չի կարող ուղղակիորեն փոխանցել կիսախմբային համակարգերի ենթատեքստը:   Դժվարությունները հաղթահարելու համար, 384 ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ-ն տարբեր տեսանկյուններից է մոտենում խնդրին, մշակում է նոր մեթոդներ, խմբերի համար առանձնացնում է հարմար դասեր `յուրաքանչյուրն իր ընդհանրացման մակարդակով:  Դրանք ներառում են չափելի կամ տոպոլոգիական էնդոմորֆիզմներ (տե՛ս, օրինակ, [5, 4, 8, 18]) կամ պոլիմորֆիզմներ, այսինքն բազմաբնույթ ներկայացուցչությունների դինամիկ համակարգեր (տես, օրինակ, [1, 4]: , 8, 19]), անդառնալի ներկայացումներ (օրինակ [5, 10, 13]), փոխազդեցություններ (տե՛ս, օրինակ [11, 12]), իզոմետրիկ գործիչներ (իզոմետրիաներ, օրինակ [6, 7, 9, 16, 17], և, վերջապես, մեծ թվով աշխատանքներ նվիրված են հատուկ կառուցվածքավորված ենթախմբերին (տե՛ս մանրամասն աշխատանք վերջին բազմաթիվ մեջբերումներով [15]):  Նոր հեռանկարները բացում են աստիճանական համակարգի ներառումը և, համապատասխանաբար, աստիճանական հանրահաշվի գաղափարների ներառումը (տե՛ս [14, 2, 3]):  Հոդվածում քննարկվում է ընդհանուր համակարգը, որտեղ քննարկվող խմբի ենթաբազմությունից հանրահաշվական կառուցվածք չի պահանջվում:   Իհարկե, խմբի ենթաբազմություն լինելն ինքնին սահմանափակում է:   Քննարկվում են այդպիսի մի շարք (կամ ավելի ճիշտ ՝ դրան ուղեկցող հատուկ խումբ) համապատասխանող օպերատորի հանրահաշվի (այսպես կոչված C * հանրահաշիվ) կառուցվածքն ու հատկությունները:   Ներկայացված են նաև որոշ օրինակներ:  1. Սահմանումներ և տարրական հատկություններ: Ենթադրենք ՝ C- ն աբելյանական խումբ է:   Կամայական γ א Γ համար համարեք l 2 (Γ) Հիլբերտյան տարածքի ճիշտ տեղաշարժման օպերատոր ՝ ࣯ γ:   լ 2 (Γ)? l 2 (Γ), որոշված ​​սովորական բազայից {e α; α א Γ գործող տարրերի վրա ࣯ γ e α = e γ + α գործողության հետ:   Ենթադրենք, որ է Ե խմբի ենթաբազմություն:  Թող J նշի Հիլբերտի տարածքի ներդրումը l 2 (Γ) տարածության մեջ.   լ 2 (झ)? l 2 (Γ), իսկ կամայական γ- ի համար Գ-ից սահմանել T γ- ից:   լ 2 (झ)? l 2 (झ) օպերատոր ՝ T γ = J * ࣯ γ J.   Այս օպերատորը գործում է `T γ e α = e γ + α, եթե γ + α א झ, և T γ e α = 0, եթե γ + α ב:  385 ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Թվարկենք այս տիպի օպերատորների որոշ հատկություններ ՝ նախ հիշելով կարգավորման գաղափարը մասնակի իզոմետրիկ օպերատորների դասում: V ط W եթե, և միայն եթե VV * W = V.  Հայց 1. Գ – ից կամայական α, β – ի համար առաջանում են հետևյալ հարաբերությունները. Ա) Օպերատոր T α – ը մասնակի իզոմետրիկ օպերատոր է. = T - α գ) T α T β ط T α + β, T α + β * T α T β ط T α + β * T α + β, T α T β T α + β * ط T α + β T α + β * դ) T օպերատոր T α operator 0 այն և միայն եթե α + झ: ) ≠ ׎ ե) եթե α + β झ, ապա T α T β T β * = T α + β T β *, և T α * T α T β = T α * T α + β:  Ապացույց Առաջին երեք հատկությունները անմիջապես ստուգվում են:  Հաշվի առեք հետևյալը:   Եթե ​​T α = 0, ապա կամայական β –ից մենք ունենք ՝ որտեղ α + झ: झ =:   Հակառակը ակնհայտ է:  Ինչ վերաբերում է վերջին հատկությանը, բերենք միայն առաջին կապի արդյունքը: Այժմ աշխատանքի հիմնական հայեցակարգի մասին ՝ C խումբ, որը համապատասխանում է C խմբի կամայական ենթաբազմությանը:  Հայց 2. ՝ ՝ Γ- ը Աբելյան խմբի ենթաբազմություն է, իսկ Γ- ը ՝ այն խմբի տարրերի բազմություն, որի համար γ + झ: ≠ ׎  Այդ Γ झ բազմությունը համադրելի խումբ է, այսինքն ՝ γ א Γ S այն, և միայն եթե - γ א Γ:  Ապացույց Ի սկզբանե նշենք, որ C չէ խումբը դատարկ չէ, քանի որ, ակնհայտորեն, 0 א Γ:   Եկեք, հիմա, γ א Γ:   Հետո գոյություն ունի s א such, այնպես որ γ + s = t झ:   Այսպիսով, - γ + t = s, ինչը նշանակում է - γ א Γ:  386 ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Ենթադրենք, որ C r * (झ) - ը հավասարապես փակ հանրահաշիվ l 2 (2) է Հիլբերտի տարածության վերջավոր գծային օպերատորների դասում, որը ծնվում է T α բոլոր գործիչների համար Γ from -ից:  Հայց 3. Հանրահաշիվ C r * (झ) չի նշվում և պարունակում է l տարածության նույնական օպերատոր:  Ապացույց Ակնհայտ է, որ J * J օպերատորը այդ հանրահաշվի նույնական օպերատորն է:   Եթե ​​e α- ն և e β- ը բազային տարրեր են, և γ = β - α, ապա հանրահաշվի C r * (झ) ածանցյալները տարբերվում են l 2 (झ) Hilbert տարածության բազային տարրերից, ինչը նշանակում է, որ հանրահաշիվը չի բերվել  2. Կառուցվածք: Հետևյալ տարրի տիպը. W = T α1 T α2 · · · T αn- ը կոչվում է միավոր, և այդպիսի W միավորի (ինդեքս) ինդեքսը, ինդ W- ը, սահմանվում է որպես Հայց. 4. Ենթադրենք ՝ Γ- ը ենթաբազմություն է Աբելյան խումբը: ,   Հետո ա) Mon (Mon) monomials բազմությունը հակադարձ կիսախումբ է. b) կամայական W א Mon (झ) ind ինդեքսը պատկանում է Գ գ գ խմբին), եթե W 1, W 2 א Mon (झ) և այնպիսին, որ W 1 W 2 ≠ 0, ապա ind Proof. Հաստատումը բխում է նրանից, որ WW * օպերատորը պրոյեկտոր է: WW * e β = e β, եթե W * e β ≠ 0, և WW * e β = 0, եթե W * e β = 0:  Հիշեք (տե՛ս, օրինակ, [2, 14]), որ C * հանրահաշիվը տրված H խմբի նկատմամբ կոչվում է H, եթե դա H- ով համարակալված Բանախի տարածությունների միության փակումն է, որի խաչմերուկը խումբը չեզոք տարր է, և C հանրահաշվից կա պայմանական ակնկալիք կենտրոնական մասի վրա (այսինքն համապատասխանում է խմբի չեզոք տարրին ՝ 387 ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ) Բանախյան ենթատարածքը (որն, ի դեպ, C * հանրահաշիվ է):  Հետևյալ արդյունքը նշանակում է, որ հանրահաշիվը C r * (झ) այսպիսին է:  Հայց 5. Ենթադրենք `C- ն ընդհատվող աբելյանական խումբ է, J- ը դրա ենթախումբ է, և C համապատասխանը` համապատասխան խումբ:  Եկեք ࣛ γ- ը γ unit Γ վի միավորից ծնված փակ գծային բազմանդամ լինի ՝ հաշվի առնելով C r * (झ) հանրահաշիվը:   Հետո ա) C է խմբի տարբեր տարրերով ծնված ենթատարածքների հատումը չեզոք տարր է. ࣛ α ࣛ β = {0}, α ≠ β א Γ झ բ) թվաբանություն C r * (झ) Բանախյան ࣛ γ տարածքների միության փակումն է, C r * (झ) = փակումը {ْ γ א Γ झ ࣛ γ } գ) C r * (झ) հանրահաշվից պայմանական ակնկալիք կա the 0 հանրահաշվի վրա:  3. Օրինակներ Մենք ներկայացնում ենք մի քանի օրինակներ, որոնք դիտարկվող գաղափարներն ավելի թափանցիկ են դարձնում և ցույց են տալիս հատկությունների կախվածությունը խմբի ենթախմբի ընտրությունից: ա झ = {1; 2; 3} ؿ Ժ, որտեղ ՝ ամբողջ թվերի հավելյալ խումբ է:  Համապատասխան Ժ խումբն ունի झ झ = {- 2, 1, 0, 1, 2 ,, ձև, իսկ հանրահաշիվը C r * (झ) isomorphic է ࣧ 3 (ԧ), բարդ մատրիցների ամբողջական հանրահաշիվ:   Նկարագրեք համակցված հանրահաշվի համապատասխան վերլուծությունը (մասշտաբավորումը): ࣧ 3 (ԧ) = ْ ࣝ ࣽ, ࣽ א झ झ:  Այստեղ ࣝ 0-ը անկյունագծային C * ենթաբաժին է: ࣝ 1-ը կարծես սա է. ࣝ 2-ը, համապատասխանաբար, հետևյալն է. 388 ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Վերջապես, ࣝ բացասական for-ի ասական մատրիցների ամբողջություն է: Եկեք झ = {5; 8; 9 ؿ Ժ.   Հետո Ժ झ = {-4, - 3, - 1, 0, 1, 3, 4}, և հանրահաշիվը C r * (झ) նորից իզոմորֆ է մատրիցների ࣧ 3 (ԧ) ամբողջական հանրահաշվի նկատմամբ:  Նկարագրեք հանրահաշվի համակցված աստիճանականացումը: ࣧ 3 (ԧ) = ْ ࣞ ࣽ, ࣽ א झ झ:  Այստեղ կրկին ࣞ 0-ը անկյունագծային ենթահանրահաշիվ է, ࣞ 1-ը նման է տես 3-ի, համապատասխանաբար, հետևյալին: և ࣞ 4 կարծես նախորդ օրինակն է, կամայական ࣻ ࣻ տարածքը բարդ մատրից է բացասականի համար ՝ ࣞ - ࣻ = ࣞ ࣻ *, ࣻ = 1, 3, 4:  Այս օրինակները ցույց են տալիս, որ կախված հավաքածուի ընտրությունից, նույն հանրահաշիվը գնահատվում է տարբեր ձևերով:  , ։

Աշխատանքում ներկայացված է Աբելյան ընդհատ խմբի ենթաբազմությանը համապատասխանող օպերատորային հանրահաշվի կառուցում։
  Նման տեսակի կառույցներ, որոնք կոչված են փոխարինել հակադարձելի դեպքում իրենց գերազանց դրսեւորված խաչաձեւ արտադյալի գաղափարը, այսօր գտնվում են բազմաթիվ մասնագետների ուշադրության կենտրոնում։
  Սովորաբար, ուժաբանական համակարգի վրա դրվում են որոշակի լրացուցիչ պայմաններ, որոնք ինչ որ չափով փոխհատուցում են խմբի կարեւորագույն հատկության՝ հակադարձելիության բացակայությունը։
  Առաջարկվող մոտեցմանը բնորոշ է նշված բազմության վրա սահմանափակումների ամբողջական բացակայությունը։
  Նման ընդհանրության պայմաններում անհրաժեշտորեն աղքատանում է զուգորդված օպերատորային հանրահաշվի կառուցվածքի մասին տեղեկատվությունները։
  Որպես փոխհատուցում՝ լայնանում է բազմաթիվ օրինակներ կառուցելու հնարավորությունը, որոնցից մի քանիսը ներկայացված են աշխատության մեջ։
