Մաթեմատիկայի  դպրոցական  դասընթացում  բավական  խորությամբուսումնասիրվում  է  պրոգրեսիա  թեման,  որի  շրջանակում  քննարկվում  և  արտածվում են նաև թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիաների վերջավորթվով  հաջորդական  անդամների  գումարների  հաշվման  բանաձևերը։
 Սակայն  հանրահաշվի  դպրոցական  դասընթացում,  ինչպես  նաև  տարբերխնդրագրքերում քննարկվում են այնպիսիվերջավոր գումարներ, որոնց  անդամները թվաբանական կամ երկրաչափական պրոգրեսիաների հաջորդական անդամներ չեն։
 1;234;5nnS211iԱռհասարակ,գումարների  հաշվման  համար տարրական  մաթեմատիկայում կիրառվող հայտնի եղանակներից մեկը, այսպես կոչված, «տարբերությունների» եղանակն է, որի համաձայն՝ փորձ է արվում գտնել մի այնպիսի  ֆունկցիա,  որ  գումարի  յուրաքանչյուրգումարելու  համար  տեղիունենաներկայացումը։
  Եթե հաջողվում է գտնել այդպիսի ֆունկցիա, ապա գումարի համար ներկայացման դեպքում կստանանք`։
 Սույն աշխատանքը նվիրված է բոլոր այն  գումարների հաշվմանը,որոնց  անդամներն  ըստ-ի  իրական  գործակիցներով  բազմանդամներ  են։
 Ստորև  նախ  կձևակերպենք  և  կապացուցենք  մի  քանի  թեորեմներ,  որից  հետովերջիններիս կիրառմամբ կառաջարկենք նոր մոտեցումներ բոլոր այնգումարների հաշվման համար, որոնց ընդհանուր անդամները որոշվում են կարգահամարից կախված իրական գործակիցներով բազմանդամների միջոցով։
 Թեորեմ  1։
   Գոյություն  ունի  ռացիոնալ  գործակիցներով  բազմանդամ այնպիսին, որ և։
 Ապացույց։
   Հեշտ  է  նկատել,  որ  եթե  -ն  իրական  գործակիցներովկամայական բազմանդամ է, ապա և բազմանդամները կունենանմիևնույն  ավագ  անդամը,  հետևաբար-ից  կարող  ենք  պնդել,  որ  որոնելի  բազմանդամը  երկրորդ  աստիճանի  է։
   Այն  փնտրենք  հետևյալ  անորոշգործակիցներով. դիցուք։
  Ունենք` Մյուսկողմիցունենք`։
   Այսպիսով՝ստացանք`16xf1kkfkfk12xf1221321                                    11nSfffffnfnfnf31ii11Px100P111PxPxx4Px1PxPx41Px21  ;;PxaxbxcabcR2211111  PxPxaxbxcaxbxcx21112 21;0 ; ։
 2222xxaxabxaababPxc100  0Pcև, իրոք,Թեորեմն ապացուցված է։
 Թեորեմ 2։
  Ցանկացած։
  բնական թվի համար գոյություն ունի ռացիոնալգործակիցներով բազմանդամ այնպիսին, որ տեղի ունիհավասարությունը, ընդ որում։
 Ապացույց։
   Դիտարկենք  անդրադարձ  առնչություններով  որոշվողհետևյալ ռացիոնալ գործակիցներով բազմանդամները`-ից ունենք`,  որտեղից կստանանք`։
 Համաձայն-ի՝ ունենք`, որում տեղադրելով և ի նկատի ունենալով, որկստանանք`։
 Այժմ մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով ապացուցենք, որ և անդրադարձ առնչություններով որոշվող  բազմանդամները բավարարում են թեորեմ 2-ի պայմանները։
 Երբ,  նկատենք,  որ  բազմանդամը  բավարարում  էթեորեմ  2-ի  պայմանները.  այն  ռացիոնալ  գործակիցներով  է,  և2122xxPx22111112222xxxxPxPxxmmPx11mmmmxPxPxP500mP21111;2211;  00 ։
 iiiixxPxPxiPxdxPPxPiN677100  kPkN00kxPxdx871111kkPxkPxdx111kPPx0x110P10111kkxPkPxdx967mPx1m2122xxPx100P  ։
 Ենթադրենք, որ դեպքում-ով որոշվող ռացիոնալ գործակիցներով բազմանդամը բավարարում է թեորեմ 2-ի պայմանները,այսինքն`  և։
 Ապացուցենք, որ դեպքում ևս-ով որոշվող բազմանդամը կբավարարի թեորեմ 2-ի պայմանները, այսինքն`  և։
 Ունենք`։
   Ինտեգրելով  այս  հավասարության երկու մասերն ըստ-ի՝ կունենանք` որտեղ-ն ինտեգրման հաստատունն է։
 տի ունենալով-ն ու-ը՝ կստանանք`  -ում տեղադրելով և ի նկա։
 -ից,  ի  նկատի  ունենալով,  որ,  կունենանք`, որտեղից, ի նկատի ունենալով-ն ու -ը, կստանանք`,  մյուս  կողմից,  համաձայն-ի,։
   Այսպիսով,  ապացուցեցինք,  որբանաձևերով  որոշվողբազմանդամը  ևս  բավարարում  է  թեորեմ  2-ի  պայմանները։
   Թեորեմն  ապացուցված է։
 Թեորեմ 3։
  Իրական գործակիցներով ցանկացած  բազմանդամի համար գոյություն ունի իրական գործակիցներով բազմանդամ և իրական թիվ այնպիսին, որ տեղիունի 21111112xPxPxP2211122222xxxx mkkN6,7kPx11kkkkxPxPxP00kP1mk6,71kPx111111kkkkxPxPxP100kP11kkkkxPxPxPx1111kkkkxPxPxdxPxck10c100x891111kcPk111011111xPxPxP1111111kkkkxkPxPxdxPPxPx11111111kkkPckPxdxPPxkPxdx111kPPxkc711111111kkkkxPxPxP7100kP71kPx1110nnnnQxaxaxaxaPx0p01QxPxPxp12հավասարությունը։
 Ապացույց։
  Համաձայն թեորեմ 2-ի՝ ունենք ևբանաձևերով որոշվող  բազմանդամներ,  որոնք  բավարարում  են  հավասարությունը,հետևաբար, համաձայն-ի, տրված բազմանդամի համար կունենանք`, որում կատարելով նշանակումը,  տրված  բազմանդամի  համար  կունենանք  ներկայացումը։
  Նկատենք, որ համաձայն-ի-ն իրական թիվ է, իսկ-ը` իրական գործակիցներով բազմանդամ։
  Թեորեմն ապացուցված է։
 Այժմ, օգտվելով վերը նշած թեորեմներից, փորձենք հաշվել բոլոր այնգումարները,  որոնցում  -ին  որոշվում  է  ըստ-ի  իրական  գործակիցներովբազմանդամի միջոցով։
 Դիցուքբազմանդամ  է  և   իրական  գործակից-ներով։
   Հաշվենք  գումարը։
   Համաձայնթեորեմ 3-ի՝ գոյություն ունեն բանաձևերով որոշվող բազմանդամ և իրական թիվ այնպիսին, որ տրված բազմանդամի համար տեղի ունի ներկայացումը, հետևաբար գումարի համար կունենանք` Այժմ, օգտվելով վերը նշածից, հաշվենք մի քանի վերջավոր գումարներ։
 Նախապես,  համաձայնև  բանաձևերի,  որոշենք  և  բազմանդամները։
 Ունենք` 67mPx55Qx011nniiiiiiQxaxaPx00111111nnniiiiiiiiiiiPxPaaPxaPxaaP0011;   1nniiiiiiPxaPxpaaP13Qx12130pPx1ii1110nnnnQxaxaxaxa  iQiiN1nniiS13Px0pQx12100002132    111։
 nSPPpPPpPnPnpPnPnp14672Px3Px2211100;21PPxPxdxPPx                                           ։
  դասագրքում, ինչպես նաև և խնդրագրքերում հանդիպում ենք այսպիսի  խնդիրների.  մաթեմատիկական  ինդուկցիայի  մեթոդով  ապացուցել,  որցանկացած բնական թվի համար տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները. ա/բ/գ/։
 Ստորև  փորձենք  այս  գումարները  հաշվել  վերը  նշած  թեորեմներիկիրառմամբ։
 Խնդիր 1։
  Հաշվել գումարը։
 Լուծում։
 Ունենք`, հետևաբար, ի նկատի ունենալով-ը և-ը, համաձայն-ի,  կունենանք`   ևգումարի համար կստանանք`,  հետևաբար,  համաձայն-ի,  որոնելիԽնդիր 2։
  ՀաշվելԼուծում։
  Ունենք`Պատ.`։
  գումարը։
 հետևաբար, ի նկատի ունենալով-ը և-ը, համաձայն-ի, կունենանք` 32232xxPx153322100;31PPxPxdxPPx43234244xxxxPx16345n22224113213nnn321225311nnnn4222123121321134nnnnnn52221321nSn22221441441iiiiQxxx0121; 4; 4aaa615131122PxaPxaPx324423xxx0011225113paaPaP14nS2324144514121423333nnnSnnnn2413nnnS122531nSnn223133iiiiiQxxx00;a121; 3aa61513 և ,  հետևաբար, համաձայն  -ի, որոնելիգումարի համար կստանանք`Խնդիր 3։
  ՀաշվելԼուծում։
  Ունենք` Պատ.`։
  գումարը։
 ,  հետևաբար, ի  նկատի ունենալով-ը,-ը  և-ը,համաձայն-ի,կունենանք`   ևհետևաբար,  համաձայն-ի,  որոնելի  գումարի  համար  կստանանք`Պատ.` ։
 Կարծում  ենք,  թե  աշխատանքը  կհետաքրքրի  ինչպես  աշակերտներին,այնպես էլ մաթեմատիկայի ուսուցիչներին, և այն կարելի է օգտագործել ավագդպրոցի մաթեմատիկայի արտադասարանական պարապմունքների ժամանակ։
 Գ ր ա կ ա ն ո ւ թ յ ո ւ ն 1.  Միքայելյան Հ., «Հանրահաշիվ-9», Եր., «Էդիթ Պրինտ», 2008, 304 էջ։
 2.  Նիկոլսկի Ս.Մ., Պոտապով Մ.Կ., Ռեշետնիկով Ն.Ն., Շևկին Ա.Վ., «Հանրահաշիվ 9-րդ դասարանի դասագիրք», Եր., «Անտարես», 2012, 280 էջ։
 3.  Գևորգյան Գ.Գ., Սահակյան Ա.Ա., «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր», Ավագ դպրոցի 11-րդ դասարանի դասագիրք բնագիտամաթեմատիկական հոսքի համար, Եր., «Տիգրան Մեծ», 2010, 208 էջ։
 4.  Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад, М.։
  Наука. 1975. 111 с.гебре, М.։
 , «Просвещение», 1973. 351с.Տեղեկություններ հեղինակների մասինՆիկողոսյան Գագիկ Սերյոժայի – ֆիզմաթ. գիտ. թեկնածու, ՀՊՏՀ Գյումրու մասնաճյուղ, E-mail։
 gagonik@mail.ruՄանուկյան Վարդան Ֆրանցի – ֆիզմաթ. գիտ. թեկնածու, դոցենտ, Գյումրու պետական մանկավարժական ինստիտուտ, E-mail։

Աշխատանքը  նվիրված  է  բոլոր  այն  վերջավոր  գումարների  հաշվմանը,  որոնց  ընդհանուր  անդամը  որոշվում  է  կարգահամարից  կախված  իրական  գործակիցներով բազմանդամի միջոցով։
  Ձևակերպված և ապացուցված են երեք  թեորեմներ, որոնց կիրառմամբ առաջարկվում է նոր մոտեցում նշված վերջավոր  գումարների  հաշվման  համար։
   Քննարկված  են  նաև  մի  քանի  ոչ  տիպային  խնդիրներ, որոնց լուծման ընթացքում կիրառվել են ձևակերպված թեորեմները։
