Անցնելով տասներկուամյա կրթական համակարգի՝ դպրոցական դասընթացում՝ տարբեր առարկաների ծրագրերում, կատարվեցին փոփոխություններ.ավելացան նոր բաժիններ, կամ էլ եղած բաժիններում մատուցվող նյութը դարձավ  ավելի  ընդգրկուն։
   Մասնավորապես,  11-րդ  դասարանի  բնագիտամաթեմատիկական հոսքի հանրահաշվի դպրոցական դասընթացում «Տրամաբանության տարրեր»  գլխում ավելացավ  նոր պարագրաֆ`  «Ապացուցում  և  հերքում։
 Ապացուցման  և  հերքման  հիմնական  մեթոդները»[1]։
   Սույն  պարագրաֆում,  իթիվս  ապացուցման  այլ  մեթոդների,  օրինակների  միջոցով  հակիրճ  խոսվում  էնաև  Դիրիխլեի  սկզբունքի  մասին,  առաջարկվում  են  նաև  մի  քանի  տիպայինխնդիրներ` այս սկզբունքին վերաբերող։
 Հայտնի է, թե որքան լայն կիրառություն ունի Դիրիխլեի սկզբունքը մաթեմատիկայի  դպրոցական  դասընթացում։
   Դպրոցականների  մաթեմատիկականօլիմպիադաներում  հանդիպող  ապացուցման  վերաբերյալ  շատ  խնդիրներիլուծման հիմքում ընկած է հենց այս սկզբունքի կիրառումը։
 Սույն  աշխատանքը  նվիրված  է  Դիրիխլեի  սկզբունքի  որոշ  հնարավորկիրառությունների քննարկմանը։
 Սովորաբար մաթեմատիկական գրականությունում գերմանացի հայտնիմաթեմատիկոս Պետեր Հուստավ Լեժեն Դիրիխլեի սկզբունքը տրվում է ճագարների և վանդակների օրինակով [2], այն է՝ եթե հատ վանդակներում գտնվումթվով  ճագարներ,  ընդ  որումեն,  ապա  կգտնվի  այնպիսի  վանդակ,որում  կլինեն  մեկից  ավել  ճագարներ։
   Այս  սկզբունքի  ճշմարտացիության  մեջհեշտությամբ կարելի է համոզվել հակասող ենթադրության մեթոդով։
 Տարբեր  խնդիրներում  կիրառվում  է  նաև  Դիրիխլեի  ընդհանրացվածսկզբունքը[2], որի համաձայն, եթեճագարներ, ընդ որում հատ վանդակներում գտնվում են թվով, ապա կգտնվի այնպիսի վանդակ, որում կլինենառնվազն ճագարներ։
 Նշենք, որ Դիրիխլեի սկզբունքը պնդում է հավելորդով, երբ ճագարներիքանակն  ավելին  է,  քան  վանդակների  քանակը։
   Համանման  պնդում  կարելի  էձևակերպել նաև պակասորդով, երբ ճագարների քանակը պակաս է վանդակների քանակից, այն է՝ եթեընդ որում հատ վանդակներում գտնվում են թվով ճագարներ,, ապա կգտնվի այնպիսի վանդակ, որում ճագարներ չեն լինի։
 Մաթեմատիկական գրականությունում հանդիպում ենք Դիրիխլեի  սկզբունքին  համանման  հանրահաշվական  և  երկրաչափական  տարբերպնդումների։
   Ստորև  թեորեմների  տեսքով  կձևակերպենք  և  կապացուցենքԴիրիխլեի սկզբունքից բխող մի քանի պնդումներ, որոնք այնուհետև կկիրառենքտարբեր ոչ տիպային խնդիրներ լուծելիս։
 Թեորեմ 1։
  Ցանկացած հատ բնական թվերի մեջ միշտկգտնվեն այնպիսի երկուսը, որոնց տարբերությունը բաժանվում է-ի։
 Ապացույց։
  Ինչպես գիտենք, կամայական բնական թիվ տրվածթվի  վրա  բաժանելիս  ստացվող  մնացորդը  կարող  է  լինել բնական  կամ,  այսինքն՝  առաջացած  մնացորդը  կարող  է  ընդունելժեքներ։
  Այժմ ենթադրենք՝ ունենք հատ ճագարներ ևՎանդակները  համարակալենք  համապատասխանաբար  հնարավոր  ար հատ վանդակներ։
   ևթվերով,  իսկ  ճագարներից  յուրաքանչյուրին  փոխմիարժեք  համապատասխանության  մեջ  դնենք  տրված  բնական  թվերից  որևէ  մեկը,մասնավորաբար-րդ ճագարին համապատասխանության մեջ դնենք տրվածnNNnnNNkn1knNNn2;3;51n121; ; ; naaann0, 1, , n21nn1nn0, 1, , n21n121; ; ; naaakբնական  թիվը։
   Պայմանավորվենք  յուրաքանչյուրբնականթվին համապատասխանող ճագարը տեղավորել այն վանդակում, որի համարըհավասար  է  բնական  թիվը-ի  վրա  բաժանելիս  առաջացած  մնացորդին։
 Արդյունքում կունենանք հատ ճագարներ, որոնց տեղավորել ենքհատ  վանդակներում,  ընդ  որում,  հետևաբար,  համաձայն  Դիրիխլեիսկզբունքի,  կգտնվի  այնպիսի  վանդակ,  որում  կլինեն  մեկից  ավել  ճագարներ։
 Ուրեմն այդ վանդակի ճագարներից որևէ երկուսին համապատասխանող և թվերը -ի վրա բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը,հետևաբար ։
 Թեորեմն ապացուցված է։
  Թեորեմ 2։
  Եթե տրված մակերեսով պատկերի մեջ տեղադրված ենմի քանի պատկերներ, որոնց մակերեսների գումարը.ա) փոքր է-ից, ապա կգտնվի պատկերին պատկանող գոնե մեկ կետ,որը տրված և ոչ մի պատկերի չի պատկանի,բ) մեծ է-ից, ապա կգտնվի տրված պատկերին պատկանող գոնե մեկկետ,  որը  պատկանում  է  նաևերկուսին։
   պատկերներից  առնվազնԱպացույց։
  Նախ ապացուցենք թեորեմի «ա» կետը։
  Սկզբում քննարկենքայն դեպքը, երբ տեղադրված պատկերները փոխադարձաբար չեն հատվում։
 Այս  դեպքում  պատկերի  մակերեսը  հավասար  կլինի  պատկերների  մակերեսների  գումարին  և,  համաձայն  խնդրիպայմանի, փոքր կլինի պատկերի մակերեսից, հետևաբար կարող ենք պնդել, պատկերը, և ուրեմն կգտնվի տրվածոր պատկերով հնարավոր չէ ծածկել  պատկերին  պատկանող  առնվազն  մեկ  կետ,  որըպատկերին չի պատկանում։
  Այս դեպքում թեորեմի «ա» կետն ապացուցված է։
  Այժմ  ենթադրենք՝  տեղադրված  պատկերներից  մի  քանիսը  փոխադարձաբար հատվում են։
  Տրված պատկերներից կազմենք միմյանց հետ փոխադարձաբար  չհատվող  պատկերների  մի  նոր  համախումբհետևյալ սկզբունքով. թող, եթե-ը և-ն ընդհանուր կետեր չունեն,ապա  կընդունենք,  հակառակ  դեպքում  որպես  կընտրենք  այնկետերի բազմությունը, որոնք պատկանում են-ին, բայց չեն պատկանումka1;1knkakan1NnnNniajanijaanS12, , , nSiS12, , , ni12  n12, , , n12  nii12, , , n111222221-ին` ։
  Նկատենք, որ այս դեպքում և-ն ու-ն ընդհանուր կետեր չունեն (կպայմանավորվենք-ով նշանակել  պատկերի մակերեսը)։
  Համանման կերպով որպես կընտրենք այն կետերի բազմությունը, որոնք պատկանում են-ին, բայց չեն պատկանումին  և-ին,  այսինքն`։
   Նույն  սկզբունքով  կընտրենք  նաև պատկերները (մասնավորաբար)։
 Արդյունքում  կունենանք  միմյանց  հետ  փոխադարձաբար  չհատվող  պատկերների  մի  նոր  համախումբ,  այնպիսին,  որև հետևաբար,  ըստ  վերը  ապացուցածի,  կգտնվի  տրված  պատկերին  պատկանող  առնվազն  մեկ  կետ,  որը,  կամ  որ  նույնն  է  պատկերին  չի  պատկանի։
   Թեորեմի  <<ա>>  կետնապացուցված է։
 Այժմ  ապացուցենք  թեորեմի  <<բ>>  կետը։
   Քանի  որպատկերները  տեղադրված  են  պատկերի  մեջ,  ուրեմն  ակնհայտ  է,  որ  Կատարենք  հակասող  ենթադրություն.  ենթադրենքպատկերները  փոխադարձաբար  չեն  հատվում,  կնշանակինրանց  մակերեսների  գումարը  հավասար  է  պատկերիմակերեսին և ուրեմնորը հակասում էթեորեմի  պայմանին,  այն  է`  տեղադրվածմակերեսների գումարը մեծ է  պատկերների-ից։
  Ստացված հակասությունը հետևանք է մերենթադրության, ըստ որի՝ պատկերները փոխադարձաբար չենհատվում։
   Եվ  ուրեմն  պատկերներից  առնվազն  երկուսըհատվում են, ու նրանց հատման կետն էլ այն որոնելի կետն է, որը պատկանումէ նաև տրված պատկերին։
 Թեորեմն ապացուցված է։
 221\1211212;  SS12ST33123312\45, , , n121\nnn12, , , n1212nn1212 ,nSSSS12n12  n12, , , n12։
 nSSS12, , , n12n1212,nnSSSSSS12, , , nS12, , , n12, , , nՆկատենք, որ թեորեմ 2-ն, ըստ էության, պնդում է երկչափ տիրույթում։
 Հայտնի  են  նաև  համանման  պնդումներ  միաչափ  և  եռաչափ  տիրույթներում։
 Այժմ քննարկենք տարբեր ոչ տիպային խնդիրներ, որոնց լուծման ընթացքում կօտվենք վերը նշված թեորեմներից։
  խնդրագրքում հանդիպում ենք այսպիսի խնդրի. ապացուցել, որ գոյություն ունիապացուցենք ավելի ընդհանրական պնդում։
 -ով վերջացող բնական թիվ, որը բաժանվում է 1971-ի։
  ՍտորևԽնդիր 1։
  Ապացուցել, որբնական  թվի դեպքում  գոյություն  ունի-ի հետ փոխադարձաբար պարզ ցանկացած-ով  վերջացող այնպիսի  բնականթիվ, որը բաժանվում է-ի։
 Լուծում։
  Դիցուք-ն-անիշ բնական թիվ է։
  Դիտարկենք թվով հատհետևյալ բնական թվերը`  Համաձայն թեորեմ 1-ի՝ այս թվերիմեջ կգտնվեն այնպիսի երկուսը, որոնց տարբերությունը բաժանվում է-ի, այսինքն՝ գոյություն ունեն և բնական թվեր այնպիսիք,որ,  բայց  քանի  որ-ն  և-ըփոխադարձ պարզ են, ուրեմն։
   խնդրագրքում  հանդիպում  ենք  այսպիսի  խնդրի.  գոյություն  ունի՞արդյոքՁևակերպենք և ապացուցենք առավել ընդհանրական պնդում։
 -ի  բնական  ցուցիչով  որևէ  աստիճան,  որը  վերջանում  է-ով։
  Խնդիր  2։
   Ապացուցել,  որբնական թվի համար գոյություն ունի-ի  հետ  փոխադարձ  պարզ  ցանկացած-ի բնական ցուցիչով այնպիսի աստիճան,որը վերջանում է-ով (որտեղ-ն կամայական բնական թիվ է)։
  Լուծում։
   Դիտարկենք  թվով  հատ  հետևյալ  բնական  թվերը`։
  Համաձայն թեորեմ 1-ի՝ այս թվերի մեջ կգտնվեն այնպիսիերկուսը,  որոնց  տարբերությունը  բաժանվում  է-ի,  այսինքն՝  գոյությունունեն այնպիսի a և b բնական թվեր որբայց քանի որ 3;5;641972101kk1kkpk ; ; ; ...։
 kkkkkkkÑ³ï k1k1nkabab ...bkkkÑ³ï  ......101paabakkkkkkkÑ³ïÑ³ï10pa1k ...1bakkkkÑ³ï43000110nnk 0001Ñ³ïk1101k1123101; ; ; ; knnnn110k1101,kab1110 ,baabaknnnn1;101  ;101aknnուրեմն հետևաբար-ով։
   և  ուրեմն-ը  վերջանում  է  խնդրագրքում  հանդիպում  ենք  այսպիսի  խնդրի.  ապացուցել,  որգոյություն  ունի  11…100…0  տեսքի  բնական  թիվ,  որը  բաժանվում  է  1998-ի։
 Ձևակերպենք և ապացուցենք առավել ընդհանրական պնդում։
 Խնդիր  3։
   Ապացուցել,  որ  ցանկացած  և  բնական  թվերի  դեպքումգոյություն ունի տեսքի բնական թիվ, որը բաժանվում է-ի։
  Լուծում։
   Դիտարկենք  թվով  հատ  հետևյալ  բնական  թվերը`։
   Համաձայն  թեորեմ  1-ի՝  այս  բնական  թվերի  մեջկգտնվեն այնպիսի երկուսը, որոնց տարբերությունը բաժանվում է  -ի։
  Հեշտ էնկատել,  որ  այս  թվերից  ցանկացած  երկուսի  տարբերությունն  էլ  հենց տեսքի բնական թիվ է։
  խնդրագրքում հանդիպում ենք այսպիսի խնդրի. միավոր մակերեսովքառակուսու  ներսում  տեղադրված  են  1975  հատ  պատկերներ,  որոնցմակերեսների գումարը մեծ է -ից։
  Ապացուցել, որ գոյություն ունի գոնե մեկկետ, որը պատկանում է բոլոր հատ պատկերներին։
  Քննարկենք առավելընդհանրական խնդիր։
 Խնդիր 4։
  մակերեսով պատկերի ներսում տեղադրված ենհատ  պատկերներ,  որոնց  մակերեսների  գումարը  մեծ  էԱպացուցել, որ գոյություն ունի գոնե մեկ կետ, որը պատկանում է բոլորպատկերներին։
   -ից։
  հատԼուծում։
  Տրված պատկերի ներսում տեղադրված  հատ պատկերներընշանակենք, իսկ այդ պատկերներից յուրաքանչյուրը մինչևպատկերլրացնող  պատկերները  նշանակենք  համապատասխանաբար։
  Ակնհայտ է, որ պատկերի տիրույթում գտնվող յուրաքանչյուրկետ կպատկանի և պատկերներից միայն մեկին։
  Դիցուք-ը և-ը համապատասխանաբար և պատկերների մակերեսներն են1110 ,bakn11110      101bakbaknttNntbank 0001Ñ³ï5nk000kkkn1nn+1 ; ; ; ; ...kkkkkkkkkkÑ³ïn000kkk5197419750S  nnN01nSnn12; ; ; n12; ; ; nii1;niiSiSii1; ։
 inԸստ  խնդրի  պայմանի`հետևաբար  կունենանք`Այսպիսով,  մակերեսով  պատկերի  ներսում  ունենք  հատ  պատկերներ,  որոնց  մակերեսների  գումարը  փոքր  է-ից,հետևաբար, ըստ թեորեմ 2-ի «ա» կետի, պատկերի ներսում կգտնվի կետ, որըայդ պատկերներից և ոչ մեկին չի պատկանի, իսկ դա կնշանակի,որ  այդ  որոնելի  կետը  կպատկանի  տրված  պատկերներիցյուրաքանչյուրին։
 Խնդիր 5։
  Միավոր կողմով քառակուսու ներսում գտնվում են երկարությամբ  հատ  տարբեր  հատվածներ։
   Ապացուցել,  որ  կգտնվեն  այդ  հատվածներից որևէ երկուսին պատկանող M և N կետեր, այնպիսիք, որ։
 Լուծում։
   Ապացուցենք  առավել  խիստպնդում, այն է`։
  Տրված ամենմի  հատվածի  համար  դիտարկենք  այնկետերի  երկրաչափական  տեղը,  որոնցիցյուրաքանչյուրի  ունեցած  հեռավորությունըայդ  հատվածին  պատկանող  ամենամոտկետից  չի  գերազանցում-ը։
   Հեշտ  էնկատել,  որ  այն  կներկայացնի  մի  պատկեր,կազմված չափսերով ուղղանկյունուց ևերկու  հատշառավիղով  կիսաշրջաններից/տե՛ս նկ.1/։
 Այդ պատկերի մակերեսը հավասար կլինի`Յուրաքանչյուր  հատվածի  համար  կառուցելով այդպիսի պատկեր՝ մենք կունենանք 9 հատմիատեսակ  պատկերներ,  որոնցՆկ. 1 Նկ.21201,nSSSnS12nSSS010200120()nnSSSSSSnSSSSnS001nSS0Sn12; ; ; n0S12; ; ; n12; ; ; n12914MN610,2484MN0,124r0,5x0,1240,124220,523,140,172։
 rrrr129, , , rrrr12raմակերեսների  գումարը  գերազանցում  է-ը։
   Պարզ  է,  որ  այսպատկերների  առանձին  մասեր  կարող  են  դուրս  գալ  տրված  միավոր  կողմովքառակուսուց, բայց ակնհայտ է, որ նրանք բոլորն էլ կգտնվեն նկ. 2-ում պատկերված տիրույթում, որը կազմված է տրված չափսերիքառակուսուց,  չորս  հատ  չափսերով  ուղղանկյուններից  և  չորս  հատ շառավիղով քառորդ շրջաններից։
  Այս պատկերի մակերեսը հավասարկլինի`        ։
 Այսպիսով,  ունենք  պատկեր՝  մակերեսով,  որի  մեջ  տեղակայված  ենպատկերներ  այնպիսիք,  որ  նրանց  մակերեսներիգումարը մեծ էկետի, կգտնվի պատկերի մակերեսից, հետևաբար, համաձայն թեորեմ 2-ի «բ» պատկերին պատկանող այնպիսի կետ, որը պատկանում էնաև պատկերներից առնվազն երկուսին, դիցուք-ին և-ին։
 Համաձայն պատկերների կառուցման՝ կարող ենք պնդել, որ կետի ունեցած հեռավորությունը  պատկերին համապատասխանող հատվածի ամենամոտ կետից չի գերազանցում-ը, ճիշտ նույն կերպ,  կետի ունեցածհեռավորությունը պատկերին համապատասխանող հատվածի ամենամոտ  կետիցչի  գերազանցում-ը։
   Փաստորեն  և,  հետևաբար,  համաձայնեռանկյան  անհավասարության,, որտեղ-ը և-ը տրված հատվածներից որևէերկուսին պատկանող կետեր են։
 Խնդիր  6։
   չափսերի  ուղղանկյան  մեջ  տեղադրված  են  հատմիավոր շառավղով շրջաններ։
  Ապացուցել, որ տրված ուղղանկյան մեջ կարելիէ տեղադրել ևս մեկ միավոր շառավղով շրջանայնպես, որ վերջինս նշված շրջանների հետ ոչմի ընդհանուր կետ չունենա։
 Լուծում։
  Որպեսզի միավոր շառավղովլինիշրջանն  ամբողջովին  տեղակայված  չափսերի  ուղղանկյան  մեջ,  անհրաժեշտ  է  և  բավարար,  որ  վերջինիս  կենտրոնըգտնվի  տրված  ուղղանկյան  ներսում,  նրակողմերից  առնվազն  հեռավորության  վրա,Նկ. 390,1721,5481; 0,124ar1x11x0,1240,1242211410,12440,124140,1243,150,1241,5454S1,545S129, , , P129, , , 12iP1M0,124rP2N0,124r0,124PM0,124PN10,2484MNPMPNMN10x12810x121  1 1  1 1MNPQայսինքն՝ որոնելի շրջանագծի կենտրոնը պետք է գտնվիչափսերիուղղանկյան տիրույթում /տե՛ս նկ. 3/։
  Մյուս կողմից՝ որպեսզի միավոր շառավղով  որոնելի  շրջանը  տրված  ութ  շրջանների  հետ  ընդհանուր  կետեր  չունենա,անհրաժեշտ  է  և  բավարար,  որ  նրա  կենտրոնի  հեռավորությունը  տրված  ութշրջաններից  ամեն  մեկի  կենտրոնից  մեծ  լինի-ից։
   Տրված  ութ  շրջաններիցյուրաքանչյուրը  շրջապատելով  միավոր  շառավղով  գոտիով՝  արդյունքումկունենանք  շառավղով  ութ  շրջաններ,  որոնցից  դուրսպետք է գտնվի որոնելի շրջանագծի կենտրոնը։
 Այժմ  դիտարկենք  ուղղանկյան  գագաթները։
   Պարզ  է,  որ  եթենրանցից  որևէ  մեկը  չի  պատկանում  շրջաններից  և  ոչ  մեկին,ապա հենց այդ գագաթն էլ կարելի է ընտրել որպես որոնելի շրջանի կենտրոն։
 Իսկ եթե ուղղանկյան ամեն մի գագաթ պատկանում է որևէշրջանի, ապա  պարզ է, որ այդ շրջանի ինչ որ  մի  մաս  դուրս  կմնա  ուղղանկյանտիրույթից։
   Փորձենք  գնահատել  այդ  դուրսմնացած մասի մակերեսը /տե՛ս նկ. 4/։
  Հեշտ էնկատել, որՆկ. 4     Փաստորեն,  ունենքքառ.  միավոր  մակերեսով  ուղղանկյուն, որում տեղակայված շառավղով շրջանների կամնրանց  առանձին  մասերի  մակերեսների  գումարըչի  գերազանցում  քառ.  միավորը,  հետևաբար,  ըստթեորեմ 2-ի «ա» կետի, ուղղանկյան տիրույթում կգտնվի կետ, որը այդ  շրջաններից  և  ոչ  մեկին  չի  պատկանի,  և  հենց  այդ  կետն  էլկհանդիսանա որոնելի իններորդ միավոր շառավղով շրջանի կենտրոնը։
 Ինչպես  տեսնում  ենք,  թե՛  Դիրիխլեի  սկզբունքը  (հավելորդով  և  պակասորդով) և թե՛ այդ սկզբունքից բխող կամ նրան համանման վերը նշած թեորեմներն իրենց արդյունավետ և լայն կիրառությունը կարող են ունենալ մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում` տարբեր ոչ տիպային խնդիրներ լուծելիս։
 9x11MNPQ22r128; ; ; MNPQ128; ; ; MNPQ 1;8iiiMNPQ0S202KOEEOLKONNOLrSSSSS221sinsin2,28։
 22rrONr91199MNPQ2r128; ; ; 2208483,1542,2891,6899rSrMNPQ128; ; ; NEKLO2rГ.С. Никогосян, В.Ф. МанукянԳ ր ա կ ա ն ո ւ թ յ ո ւ ն 1.  Գևորգյան Գ.Գ., Սահակյան Ա.Ա., Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի  տարրեր։
   Ավագ  դպրոցի  11-րդ  դասարանի  դասագիրք  (բնագիտամաթեմատիկական հոսքի համար). Եր., «Տիգրան Մեծ» հրատ., 2010, 208 էջ։
 2.  Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин. М.։
  Педаго4.  Бабинская И.Л.Задачи математических олимпиад. Изд. “Наука”.М.։
  1975. 111 с.5.  Н.В. Горбачев Сборник олимпиадных задач по математике. М.։
  МЦНМО, 2004.6.  Агаханов Н.Х. и др., Всероссийские олимпиады школьников по математике, М.։
 Տեղեկություններ հեղինակների մասինԳագիկ Սերյոժայի Նիկողոսյան - ֆիզմաթ. գիտ. թեկնածու, ՀՊՏՀ Գյումրու մասնաճյուղ, E-mail։
  gagonik@mail.ruՎարդան Ֆրանցի Մանուկյան - ֆիզմաթ. գիտ. թեկնածու, ԳՊՄԻ,E-mail։

Աշխատանքը  նվիրված  է  տարբեր  խնդիրներում  Դիրիխլեի  սկզբունքի  որոշ  հնարավոր  կիրառությունների  քննարկմանը։
   Թեորեմների  տեսքով  ձևակերպված և ապացուցված են Դիրիխլեի սկզբունքից բխող կամ այդ սկզբունքին  համանման  մի  քանի  կարևոր  պնդումներ։
   Քննարկված  են  նաև  տարբեր  ոչ  տիպային  խնդիրներ,  որոնց  լուծման  ընթացքում  կիրառվել  են  ձևակերպված  թեորեմները։
