Как запустить несколько фреймворков одновременно?
Никак, не надо смешивать мягкое с тёплым. Если хотите сделать два интерфейса, то делаете ядро приложения с API, web-приложение и gui-приложение, использующие API ядра. И все три запускаться должны отдельно.
Технически можно запускать их в разных потоках. Но это чревато кучей других проблем, типичных для многопоточности.
Может, имеет смысл переделать приложение на PyQT так, чтобы оно само использова FastAPI как бэкэнд?