Как сделать деплой сайта с помощью данной связки [localhost+bitbucket+боевой сервер]*?
Можно взять capistrano.
Только WordPress не особо дружит с симлинками, поэтому лучше настроить копирование shared файлов (то, чего нет в репе) при деплое.
Задачу на обновление базы через него так же можно сделать. Можно как самому, так и взять что-то вроде https://github.com/Mixd/wp-deploy
в bitbacket есть pipelines для автодеплоя, почему их не используете ?