Как вывести информацию в нужный фрагмент?
Ваш адаптер первым параметром требует Context. Вам следовало бы знать что Fragment  в отличии от Activity не является предком Context-а. Поэтому в адаптер можно передавать Activity, в которой находится данный фрагмент. Получить ее из фрагмента можно вот так:getActivity();
Дальше уже сами догадаетесь
UPD: а вылетает потому что не правильно создаете адаптер. В ArrayAdapter надо передавать id текстового поля, а не понятно чего (R.id.liiiiiiiiiiiiiiiist). 
Читайте гайд, возвращайтесь когда его освоите.
А под fragment здесь что имеется в виду? Единственное значение, которое принимает адаптер это просто GetActivity(), программа запускается, но при создании адаптера вылетает.ArrayAdapterItem mArrayAdapterItem = new ArrayAdapterItem(getActivity(), R.id.liiiiiiiiiiiiiiiist,productCollection);
Спасибо, прочитал статью, переделал все как надо, работает