Правильно ли сформирован запрос на php, mysql?
Если Вы только изучаете PHP, то сразу откажитесь от использования функций mysql_*, они уже больше года в статусе deprecated. Используйте mysqli_* или PDO с параметризованными запросами.
По вопросам:
1. Точка с запятой не обязательны.
2. Для поля AUTO_INCREMENT значение указывать не надо, его автоматически генерирует сервер. Дату надо хранить в поле с типом DATE, DATETIME или TIMESTAMP, соответственно присваивать CURDATE() или NOW().
mysql_query("INSERT INTO users (user_id,user_name,user_adddate) VALUES ('',".$user_name.",".TIME().")");
Зачем вам sprintf  не совсем понятно.