Как разобраться в видах технологий ASP.NET?
Предпочитаю web api(не важно core или full framework) + js framework, тобишь моя специализация - SPA приложения. 
Недостатком SPA является, то что прийдется заморочиться, что бы нормально просходило СЕО, но обычно с таким разработчики .Net сталкиваются не часто, в связи с тем, что что .Net - это преимущественно Enterprise.
Недостатоком ASP.NET MVC(не важно core или full framework) приложения яляется то, что как только появляется много созависимых UI контролов на странице поддерживать приложение становится адом.
Теперь про ASP.NET(full framework) vs ASP.NET Core:
1) Для первого разработана куча решений, которые пока еще не портированы на .NET Core.
2) Из ASP.NET Core выкинули много лишнего он устроен чище и логичнее (все есть Middleware, которые подключаются в билдере консольного приложения).
3) Если Core не правильно приготовить (читай натянуть зависимостей лишних) то можете выхватывать в рантайме весёлое исплючение (PlatformNotSupported exception).
Я боюсь, здесь от вас требуется скорее просто понимание, что такое WebAPI и MVC
И то и другое не привязано к .NET миру