Как сделать css фигуру «соты» и задать ей фон-картинку?
Нет, потому что красные треугольник это border раздутый до 100px 
Мне кажется лучше такое реализовать через clip-path: polygon(....);clip-path: polygon(50% 0%, 100% 25%, 100% 75%, 50% 100%, 0% 75%, 0% 25%);
По запросу "hexagon css with image" много всего есть)
jsfiddle.net/kizu/bhGn4snippet