Забить нулями твердотельный накопитель с помощью dd — получится ли?
То он затрется также как и обычный HDD и информация исчезнет?
Да.Не будет ли это потом опасно для него (не снизится ли производительность)? 
Будет опасно (и дело даже не только в производительности). Если только сразу же за этим не сделать TRIM (AKA DISCARD) при помощи blkdiscard. Так как для SSD вообще довольно вредно быть полностью заполненным, а он оказывается таковым в момент между завершением dd и началом blkdiscard.
Но можно одной командой сделать обе операции: секьюрно затереть все содержимое и TRIM-нуть всю "поверхность". При этом диск ни в какой момент не оказывается полностью заполненным, так как стирание и TRIM выполняются вместе. Советую прочесть  в манах об этой команде: blkdiscard -s -z /dev/sda.
Вообще, если мне память не изменяет, на SSD эффективнее делать стирание путём сброса ключа, которым шифруются данные в памяти.