Как указать контекст (или обойтись без него) при вызове метода в паблик классе (не активити)?
Использовать getApplicationContext
Получать его как говорили в конструкторе или как синглтон из application сделать. Application живет дольше вьюх,  поэтому уменьшается риск утечек памяти.
Таск вызывается из активити? Тогда перегружай конструктор и передавай в нём контекст. Иначе, либо инжекти контекст дагером, либо, что плохо, объявляй статик в классе приложения и используй его.