Почему пинг влияет на наличие интернета?
Проблема на всех компьютерах подключенных к роутеру или только на одном? По симптомам похоже, что одно из устройств не обновляет ARP таблицу автоматически и просто по таймауту "забывает" о наличии другого, а пинг принудительно заставляет устройство записать арпу.
На компьютере не работает интернет, до тех пор, пока не запустишь команду "ping 192.168.5.16". Затем через какое-то время, минут 15, снова пропадает. Тут спасает только "ping 192.168.5.16 -t". Одна из возможных причин - наличие в L2-домене хоста с IP-адресом, совпадающим с вашим или целенаправленная подделка arp-ответов. Стоит пронаблюдать состояние arp-таблицы на маршрутизаторе. Кроме того, можно самостоятельно (hping, scapy) послать arp-запрос с вашим ipv4-адресом в качестве искомого, посмотреть, кто откликнется.