Каким образом можно отслеживать что пользователь вводит в строку поиска на сайте?
Через Google Analytics или Яндекс.Метрику.
Ну вы же выдаете им результаты поиска? Вот в том методе/странице, где вы обрабатываете поиск у себя на сервере пропишите логирование поисковых запросов.