Как получить объект соседнего активити?
Это худшее, что можно было сделать.
Если у вас возникает необходимость из одной Activity вызывать методы другой - это уже "запашок" от кода. В идеале Activity должна отвечать лишь за визуальное представление приложения в рамках себя и только себя, а не дергать остальные Activity. В один момент времени есть лишь одна "живая" Activity и как нибудь управлять другими - очень плохая идея.
Есть возможность создать логику похожую на ту которую вы описали выше с помощью фрагментов. В таком случае будет одна Activity (аналог вашего Application) которая будет содержать в себе фрагменты в виде обычных переменных (не статических!), тоесть методы которых вы можете вызывать без всяких угрызений совести. 
Фрагменты это вообще очень полезный и мощный инструмент, вряд ли вас возьмут даже Junior-ом если вы не будете уметь ими пользоваться. Можете считать это пинком в том направлении куда надо гуглить