Что не так с наследованием интерфейсов?
Вы не указали, что Lol реализует интерфейс IParentpublic class Lol : IChild, IParent
А также, вероятно, вы хотели в IChild добавить свойство Family
После обновления кода:
Вы используете явную реализацию интерфейса, но у IChild нет собственного свойства Family,  только наследуемое от IParent. Как раз можно изучить ключевое слово new у свойств.
Возможно то что вы хотите посмотреть делается так:using System;


public class Test
{
	public static void Main()
	{
		Lol l = new Lol();
		Console.WriteLine(((IParent)l).Family);
		Console.WriteLine(((IChild)l).Family);
		Console.WriteLine(l.Name);
		Console.ReadLine ();
	}
}

public class IParent
{
	public string Family { get { return "suck"; } }
}

public class IChild : IParent
{
	public string Family { get { return "duck"; } }

}

public class Lol : IChild
{	
	public string Name { get { return "ross"; } }
}
// Вывод:
// suck
// duck
// ross
public class Lol : IChild,    IParent  // !!!
{
  string IParent.Family { get { return "suck"; } }
  string IChild.Family { get { return "duck"; } }
  public string Name { get { return "ross"; } }
}
Вы пытаетесь использовать свойство интерфейса не унаследовав его.
Советую выучить английский или как минимум научиться читать ошибки.