Видит ли мобильный оператор перемещения сим-карты в Авиарежиме?
Нет и нет. 
Потому что так написано в сценарии. Почему именно так написано - это вопросы режиссуры и драматургии, а не технологий.
Также хочу заметить, что в фильмах у пистолетов бесконечное количество патронов, у огромных взрывов не бывает взрывных волн, в космосе лазерные лучи делают пиу-пиу, а все главные герои - красавчики.

В карте нет элементов питания. Если сделать карте рентген, можно убедиться, что 90% ее объема - это пластик, 5% - контакты, остальное - кремниевый чип с памятью и процессором.
скорее всего да лучше обесточить это надежнее