Почему при подключении трейта в два класса, один из этих классов программа перестает видеть?
Столкнулся с необходимостью применения трейтов PHP, и тут проблема.
Трейты действительно нужны в очень специфических кейсах, 146% что это не ваш кейс.
У вас код и так даже не комочками, не стоит его разводить до более жидкого состояния.

Конструктор в трейте - это, не нахожу подходящего цензурного слова, пусть будет табу.

Что касается непосредственно вашей ошибки - смотрите в сторону автолодинга.

https://github.com/index0h/php-conventions почитайте на досуге
А где объявлен класс MY_CLASS?

class MY_CLASS_2 extends MY_CLASS_1{

должно быть так

Ну и да, про кодстайл уже сказали.