Существуют ли «приходящие» специалисты по организации работы отдела?
Начну с анекдота:
Одесса, консультант приехал в фирму, что бы поднять прибыль, первый совет переставить столы.
Уборщица ворчит: когда я работала в борделе, что бы увеличить прибыль, меняли проституток, а не кровати переставляли.

Есть такие люди. Консталтеры, кризисные управляющие и внедренцы. 
Посоветовать можно Крок, Открытые Системы , ИТМиВТ 

Если же серьезно то за вас никто не сделает если вы сами не понимаете своего бизнеса.

Кстати почитайте вот этого автора у него интересные статьи, хоть и едкие https://habr.com/ru/post/663572/
Люди то есть, но я сомневаюсь что госучереждение будет им платить столько, сколько они берут
Это не считая что их задолбает начальство контролем и тупыми вопросами