Почему не запускаются MVC Controllers в Web API приложении?
MVC контроллеры нужно добавлять в RouteTable.Routes (RouteTable.RouteCollection) , а не в GlobalConfiguration.Configuration.Routes (HttpConfiguration.HttpRouteCollection). Это разные роуты.
А вот там уже будетMapRoute(
                name: "Default",
                url: "{controller}/{action}/{id}",
                defaults: new { controller = "Home", action = "Index", id = UrlParameter.Optional }
            );
Всё. Осилил наконец. 
Кроме того что необходимо использовать RouteTable.Routes вместо GlobalConfiguration.Configuration.Routes, необходимо так же использовать метод  MapRoute() вместо MapHttpRoute().namespace StopSalesApi
{
    public class WebApiApplication : System.Web.HttpApplication
    {
        protected void Application_Start()
        {
            AreaRegistration.RegisterAllAreas();

            RouteTable.Routes.MapRoute(
                name: "Default",
                url: "{controller}/{action}",
                defaults: new { controller = "Home", action = "Index" });

            GlobalConfiguration.Configure(WebApiConfig.Register);
        }
    }
}