Как вызвать метод основного класса из другого класса?
Вы снова не изучив базу C++ и документацию по Qt стараетесь решить поставленную задачу с наскока. Язык программирования C++ это не тот язык, где можно использовать такой подход. Вы либо твёрдо знаете основы, либо не знаете совсем ничего.
Вам необходимо воспользоваться обменом данными между классами. Это можно сделать различными способами: геттеры-сеттеры, двойное наследование, передача указателя, система сигналов-слотов, общий класс для обмена данными, статические методы и т. д.
Примеров в интернете можно найти множество:
easy-qt.blogspot.ru/2012/10/1.html
www.cyberforum.ru/qt/thread548059.html
fkn.ktu10.com/?q=node/3021
www.prog.org.ru/topic_19557_0.html
И ещё у вас достаточно странный подход. Форма должна опрашивать логический класс, а не наоборот. То есть ваш не_GUI-класс ничего не должен содержать и дёргать Qt'шного. Вдруг его придётся выносить в отдельную библиотеку, никак не относящуюся к GUI и Qt?
Настоятельно рекомендую посмотреть примеры приложений, идущие с Qt. Там вы найдёте все ответы на свои вопросы и методы построения правильной архитектуры приложения.
Class.h:class Class
{
public:
    void mathod();
}
include "Class.h"
Class2.h:class Class2
{
public:
    void method2()
    {
        Class class1;
        class1.method();
    };
}
main.cpp:#include "Class2.h"

int main()
{
    Class2 class2;
    class2.method2();
    return 0;
}
Конечно, несколько утрировано, т.к. нет конструкторов и диструкторов. Но по идее вроде должно работать.
Или вы что имели ввиду?