Как прикрутить на сайт форму «вопрос-ответ» в виде онлайн чата?
Такие модули сегодня модно покупать у сторонних компаний. Очень много предложений на рынке.
Но если все же хотите сами, то для такого "чата" достаточно AJAX,  никаких веб-сокетов не нужно, так как существует большой лаг между вопросом пользователя и ответа оператора. Достаточно раз в 30 секунд запрашивать сервер на наличие ответа по таймеру и всё.
Чтобы сделать это на Ajax вам будет проще всего воспользоваться jQuery и его Ajax API
Для работы с web сокетами вам нужен комет сервер. Но так как вы не хотите поднимать его самостоятельно то можете воспользоватся готовым saas комет сервером. Он будет обеспечивать быструю доставку сообщений и снимать с вас проблемы поддержания серверной инфраструктуры. И в тоже время вся переписка может хранится у вас.
Это что то среднее между писать всё с нуля или использовать готовый продукт.