Как реализовать «живой» поиск на базе Node и MySQL?
Если подразумевается что поиск будет производиться прямо во время набора текста в поле ввода, то довольно простая схема:

На поле набора вешается онкейап листенер, 
по событию содержимое поля отправляется аяксом на сервер, 
там делается выборка нескольких значений, удовлетворяющих поисковой строке, 
обратно присылается этот набор, либо в виде жсон и дальше парсится в хтмл, либо сразу сформированный хтмл,
данные лепятся как список ниже поисковой строчки, на кнопки вниз/вверх подсвечиваем строки из подсказки (фокус с поля надо убрать), 
по ентеру в поле вносим полную строку из подсказки и субмитим форму поиска, либо по клику тоже самое.

Нюанс: По кейап надо ставить небольшую паузу, чтобы не спамить запросами.
https://manticoresearch.com/
вот так

нода  - ну да, будешь перерисовывать 
а мускуль слаб для такого, хоть и и имеет full text индексы