Как сделать проверку открытых сайтов на js?
Как уже сказали - "написать расширение для браузера и заставить всех его установить себе". Пример такого расширения (и кода) можно увидеть у Mozilla.

Статья

Само расширение, можно подсмотреть как это реализовывается
написать расширение для браузера и заставить всех его установить себе