Как запустить Task после его выполнения?
Я немного не понял, вам надо запускать задачи последовательно или параллельно? А если параллельно - то обрабатывать результаты сразу или вместе?
1. Последовательный запуск:private async void OnlyLike()
{
    for (var i=0; i<5; i++)
        TextBox.Text += await VK.NakrytkaLike(KeyAntigateTextBox.Text);
}
2. Параллельный запуск, обработка всех результатов вместеprivate async void OnlyLike()
{
    var tasks = Enumerable.Range(0, 5).Select(i => VK.NakrytkaLike(KeyAntigateTextBox.Text));
    foreach (var result in await Task.WhenAll(tasks))
        TextBox.Text += result;
}
3. Параллельный запуск, обработка результатов сразу же:private async void OnlyLike()
{
    TextBox.Text += await VK.NakrytkaLike(KeyAntigateTextBox.Text);
}

private void StartButton_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
{
    for (var i=0; i<5; i++)
        OnlyLike();
}
Выбирайте что нравится. И не бойтесь использовать async/await - оно создано для упрощения кода, а не для усложнения :)
UPD
Последовательный запуск на фреймворке 4.0:public void OnlyLike()
{
    var scheduler = TaskScheduler.Current ?? TaskScheduler.FromCurrentSynchronizationContext();
    Task task = TaskEx.FromResult(false);
    var text = KeyAntigateTextBox.Text;
    for (var i=0; i<5; i++) {
        task = task.ContinueWith(_ => {
            var LikeTurbo = VK.NakrytkaLike(text);
            LikeTurbo.ContinueWith(_ => {
                 TextBox.Text += LikeTurbo.Result;
            }, scheduler);
            return LikeTurbo;
        }, TaskContinuationOptions.ExecuteSynchronously).Unwrap();
    }
}

...

public static class TaskEx {
    public static Task<T> FromResult<T> (T result) {
        var tcs = new TaskCompletionSource<T>();
        tcs.SetResult(result);
        return tcs.Task;
    }

    public static Task<T> Unwrap<T>(this Task<Task<T>> task) {
        var tcs = new TaskCompletionSource<T>();
        task.ContinueWith(_ => {
            if (task.IsCanceled) tcs.SetCancelled();
            else if (task.IsFaulted) tcs.SetException(task.Exception);
            else task.Result.ContinueWith(innerTask => {
                if (innerTask.IsCanceled) tcs.SetCancelled();
                else if (innerTask.IsFaulted) tcs.SetException(task.Exception);
                else tcs.SetResult(innerTask.Result);
            }, TaskContinuationOptions.ExecuteSynchronously);
        }, TaskContinuationOptions.ExecuteSynchronously);
        return tcs.Task;
    }
}
Выглядит многословно, но на самом деле - ничего сложного. В цикле задачи ставятся в очередь одна за другой при помощи конструкции task = task.ContinueWith(...).Unwrap(). Здесь Unwrap() - это функция, позволяющая дождаться выполнения дочерней задачи, фактически простой распаковщик монады Task Task T -> Task T.
Внутри такого цикла находится, фактически, старый код метода OnlyLike() - за тем исключением, что теперь он еще и возвращает ту задачу, которую создал (это нужно, чтобы дождаться ее выполнения). Здесь я позволил себе небольшое ускорение - поскольку я написал return LikeTurbo - каждая следующая итерация цикла будет ждать лишь предыдущей задачи VK.NakrytkaLike - но не будет ждать вывода на экран предыдущих результатов. Если важно именно дождаться вывода результатов - то надо возвращать не LikeTurbo, а результат ContinueWith.
Также тут очень важно расположение вызова TaskScheduler.FromCurrentSynchronizationContext(); Поскольку в момент исполнения прошлой задачи мы можем находиться в любом контексте - то ориентироваться на текущий контекст нельзя. Нужный нам планировщик задач следует сохранить при входе в метод (на будущее: его нужно _всегда_ сохранять _только_ при входе в метод!)
Проблема тут скорее архитектурная, если требуется подобное, значит чтото здесь не так, ну а вообще ничего не мешает обернуть это все в отдельный Task или Thread и в нем последовательно вызывать таски столько раз сколько захочется.