Метод copy и присваивание одной переменной значения другой. Что не так?
Так все верно. Здесь var2 = var1 вы получили ссылку на ту же область памяти, что и var1.
А здесь var2 = "Новая переменная" уже на другую. При этом ссылка в var1 не изменилась.
Почитайте уже про типы данных в Python. 
А конкретно про изменяемые (mutable) и неизменяемые (unmutable) типы.