Что происходит «под капотом», когда выполняется chmod?
В файловой системе стандарта POSIX (стандарт для всех *nix), есть аттрибуты файла в виде rwxrwxrwx, плюс еще два-три специальных бита.
Собственно этот аттрибут и правится. Внутри файла ничего не меняется.
Можете нагуглить права доступа в POSIX системах.
Этот флаг говорит системе, что файл - исполняемый. Но как его исполнят, система смотрит по заголовку файла.
Для скриптовых файлов, там обычно указан путь к интерпретатору. Для бинарных - соответствующий заголовок.
В отличие от Windows, расширение в *nix не значит ничего.
В дополнение ко всем ответам поясню, что права доступа является атрибутом файла.
Помимо прав атрибутами так же являются имя файла, владелец, группа, временные отметки доступа. Атрибуты не влияют на содержимое файла. Например, при переименовывании содержимое файла сохраняется.
Атрибуты не являются чем-то универсальным, их поддержка зависит от файловой системы. Например FAT32 не поддерживает стандартные POSIX-атрибуты доступа. В свою очередь,  EXT4 не поддерживает атрибут скрытности (скрытые файлы и папки в Windows).
При копировании файла из одной файловой системы в другую, ОС пытается сохранить так же атрибуты.
Архиватор tar умеет сохранять атрибуты заархивированых файлов и восстанавливать их при распаковке.
При пересылке файла, например через почту, все атрибуты, за исключением имени, будут потеряны.