Как вызвать метод класса, из другого класса, не создавая при этом экземпляра класса?
Для начала задумайтесь, а зачем вы наследуете все от lk_core? Почитайте про принцип единой ответственности.
Логично передавать экземпляр класса lk_bans если он у вас отвечает за логику банов в конструктор класса, который его хочет использовать (принцип инверсии зависимостей). И да, опять же. Читаем принцип подстановки барбары Лисков. Родительский класс (lk_core) ничего не должен знать о своих потомках. Вообще ничего.
Вообще на начальных этапах старайтесь избегать наследования. Вот вообще. И почитайте про SOLID и GRASP. Сразу кучу вопросов для себя покроете.
Есть подборка того, что должен посмотреть каждый по-ха-пэшник. Там есть и про SOLID и про GRASP и зачем это все надо.
зачем?