Можно ли установить во внешний жесткий диск операционную систему?
Если биос позволяет загружать, то конечно можно.
Если внешний диск будете подключать через USB 3.0, то можно SSD взять. А так спорно, что на много лучше будет, хотя обращение к мелким файлам будет летать, по сравнению HDD.
И не проще ли на флешку записать live CD и запускать где угодно? 
Тут конечно все от задачи зависит.
Можно ли установить во внешний жесткий диск операционную систему?Можно, но сложно.
Но надо понимать что работать будет заметно медленней чем по SATA.