Как правильно сохранять текст в БД и затем выводить его?
Если используете PDO - сохраняйте как есть, без каких либо изменений, если сами пишите запросы, тогда нужно экранировать кавычки. 
var_damp к БД не имеет никакого отношения, не смотрите на него.
Как один из вариантов - хранить в БД исходный текст с тегами наподобии BB-кодов, а там где надо отображать html - парсить эти коды и заменять на соответствующие html конструкции
Второй - "наоборот" в базе хранить уже готовый html, но "рядышком" в комментариях - исходные BB-коды (чтобы при редактировании пользователем сообщения не пришлось делать обратную трансформацию.
Подсмотреть реализации можно будет исходниках движков форумов типа phpBB, Invision Power Board и т.п.