Какое backend решение выбрать для проектов на Vue.js?
Берите Laravel
1. Популярный фрейм у которого весьма не маленькое общество
2. Хороша документация, много как русских так и английских видео на ютубе 
3. В Laravel уже встроен vue.js по дефолту и на https://laracasts.com/ есть бесплтный курс по использованию лары и vue + на этом же сайте очень доходчиво объясняется работа с Ларой
4. Много добротных дополнений на гите по Ларе
К примеру написать какой-то CRUD без наворотов не составит проблем, код получается не большим. 
Почитайте, попробуйте, может понравится
Wordpress + Advanced Custom Fields плагин + Wordpress REST API - посмотрите на такую связку.