Как подключить базу данных к Telegram боту?
Лучший вариант - пишете бота, которому можно написать адрес. Бот делает запрос в БД и выдает информацию по этому адресу. Вопросы?
Согласен с предыдущим комментарием. Просто взять и подключить)
Для ответа на ваш вопрос тут слишком мало информации.
Какой язык программирования используете?
Какая база (msSQL, mySQL, postgres и т.д.)?
Возможно вы имеете ввиду какую-то публичную базу данных, к такой  базе обычно подключают через API.
Обычно зная какой язык и какая база достаточно в google ввести эти два слова и найти ответ)