Где лучше всего инициализировать библиотеку в Laravel?
use Illuminate\Support\ServiceProvider;

class ApiClientServiceProvider extends ServiceProvider 
{
    /** @var boolean  Отложенный, потому не при каждом запросе нам нужно дергать это апи */
    public $deffered = true;

    public function register ( ) 
    {
        
        $this->app->singleton(VeryUsefulApi::class, function($app) {
             // Не очень хорошо дергать env из провайдера, поэтому поместим-ка настройки в конфиг
            // А уж из конфига будем дергать env
            new VeryUsefulApi([$app['config']['services.verify_user']); 
        });

        $this->app->singleton(ApiClient::class); // Ну это если нужен именно синглтон
    }

     /** @return array | string[]  Сообщаем контейнеру, что если вдруг нужны эти ключи, то они тут */
    public function provides() {
        return [VeryUsefulApi::class, ApiClient::class];
    }
}class ApiClient 
{
    /** @var VeryUsefulApi */
    protected $api;

    public function __construct (VeryUsefulApi $api)  
    {
        $this->api = $api;
    }
    #...
}class SomeController {

    /** @var ApiClient */
    protected $client;

    public fuction __construct(ApiClient  $client)
    {
          $this->clien = $client;
    }
}
Ну это если буквально то, что вы просили.
С другой стороны, не очень  понятно зачем вообще нужна эта обертка. 
Почему бы не дергать VeryUsefulApi напрямую, минуя обертку ApiClient. 
Ну это так, мысли вслух... "Вам из колодца виднее"(с) )
Примерно так и делается. Только VeryUsefulApi лучше так же внедрять в адаптер через DI, иначе ApiClient получается жестко связан с VeryUsefulApi. Но, я предполагаю, что есть причины почему так сделано. 
Если причин нет, то вот тут посмотри как это делается: Laravel's Dependency Injection Container in Depth.