Как в Slim Framework реализовать роут вида /method?par1=val1&...&parn=valn?
В объявлении глобальной $app нет ничего странного и страшного, насколько я в курсе. Другого метода до нее добраться все равно нет. 

Если у вас свежий PHP, то можно делать еще как-то так

$app->get('/method', function() use ($app) {
    $app->request->params('par1');
});


Что касается Content-Type, то это решается через $app->response и это тоже нормально.
к $app можно добраться и так:
$app = \Slim\Slim::getInstance();
docs.slimframework.com/#Application-Names-and-Scopes