Как организовать процесс постоянной доработки сайтов компании?
В вашем случае хорошо будет объединить поддержку и Kanban. Процесс при этом может выглядеть следующим образом:
1. Через поддержку клиенты оставляют заявки, где описывают что им нужно.
2. Менеджер разгребает эти заявки, уточняет их (добавляет нужную информацию) и может как-то классифицировать, например, Сайт или Инфраструктура или еще как-то. Менеджер может оценивать сложность заявок по шкале X, L, M, S.
3. Члены команды берут по мере возможности себе те задачи, которые подходят им по классу и по оценке сложности. Выполняют работу и перетаскивают карточку в состояние "Выполнено".
4. Менеджер принимает выполненную работу и отмечает заявку как завершенную, либо отклоняет ее на доделку/переделку. Заказчику уходит письмо о том, что его заявка выполнена, ну и дальше он смотрит, отклоняет или принимает ее решение.
В этом процессе минимум взаимодействия, все видно на Kanban-доске. Видно где затык, кто сидит ковыряет в носу и т.д. В качестве инструмента, в котором такой процесс можно организовать, могу посоветовать devopsboard.ru
JIRA вас спасет
всякие CI  - вряд ли освоите, но систематизации научитесь