Как сделать переадресацию в файле HOSTS не для всего IP, а для конкретной ссылки?
Никак. Файл hosts - это часть подсистемы DNS. Он работает только с доменными именами, а не ссылками.
Можно попробовать использовать запись типа
127.0.0.1 log.site.ru

На самом WEB сервере добавить rewrite на log.site.ru/log