Отслеживает ли Яндекс Браузер действия пользователя или следит ли самый один из самых популярных браузер в РФ за пользователями?
Еще как следит. Не меньше чем расширения от яндекса. Тот же переводчик чуть ли не каждый клик на странице шлет.
Конечно, следит - а Вы что думали? 
И поисковик Яндекса пропускает весь поиск через свой редиректор.