Как реализовать поиск товара в многостраничном сайте каталоге?
Ну ежели бэкенд у вас по каким-то причинам отсутствует (что странно для такого сайта) то можно сделать самым простым способом - "базу товаров" храните в виде json-файла и подгружайте там где надо, вытаскивайте из неё нужные данные,  делайте поиск.
Неясна задача.
Вы хотите получать данные с чужого интернет-магазина? Заключите с ним договор и обращайтесь к его API.
Если задача воровать у него данные — прокликивайте все кнопки "след страница", вызывайте свою функцию циклически и ожидайте изменения дизайна того магазина, чтобы менять свой код каждый раз, когда они что-то меняют.