Почему при отправке отправке формы функция console.log() срабатывает, а потом сразу же пропадает?
Потому что страница меняется.
В настройках девтулс включи persistant log.
Ну как бы при отправке формы идёт переход на другую страницу, а консоль привязана к странице. Не хотите переходить отправляйте форму аяксом