Как переписать данный скрипт на чистый js?
Вариант раз: самостоятельно - гуглите нативные аналоги методов jquery.

Вариант два: идёте на фриланс, платите деньги.

Вариант три: продолжаете клянчить код здесь, надеясь, что вопрос не будет закрыт по причине "это задание, а не вопрос".
window.addEventListener('DOMContentLoaded', () => {
	const links = document.querySelectorAll('a');

	links.forEach(link => {
		link.addEventListener('click', event => {
			if (link.hash !== '') {
				event.preventDefault();

				const target = document.querySelector(link.hash);
				if (target) {
					target.scrollIntoView({
						behavior: 'smooth'
					});
				}
			}
		});
	});
});

А вообще просто html { scroll-behavior: smooth; } достаточно будет.