Как заставить работать linux в двух DNS зонах?
Нужен резолвер поумнее стандартного. BIND например а в нем что то типа такого:
zone "." IN {
    type forward;
    forward only;
    forwarders {internet;};
};

zone "private-lan.corp" IN {
    type forward;
    forward only;
    forwarders {private;};
};
Похожее есть и в других, к примеру точно есть в adguard home.
Так же есть такая фича в systemd-resolved. Читал но не пробовал лично.
В частном DNS сервере настраиваете forwarder всех неизвестных доменов на DNS сервер в интернет и используете для резольвинга только частный.
Более того, он по умолчанию по root hints должен это делать.