Что происходит с током в момент замыкания цепи?
Это слишком большая кроличья нора для того, чтобы в нее просто так погружаться.

1. Нужно различать реально существующую цепь и ее математическую модель. В реально существующей цепи нет идеальных резисторов и проводов - у резистора будет, например, паразитная индуктивность, ключ, который мы замыкаем в начале эксперимента, будет замыкаться не сразу, а давать дребезг в виде нескольких импульсов тока и так далее.

Но влияние всех этих эффектов либо чрезвычайно кратковременно, либо мало по величине - поэтому его не учитывают. 

Начертив схему только из резисторов и ключа, вы сразу делаете предположения, что резисторы идеальны (не имеют паразитной индуктивности), что вся конструкция идеальна (нет так называемой "емкости" монтажа), что ключ включается моментально, и переходного процесса просто нет.

Если же нужно учесть все отброшенное выше, у вас фактически получится другая схема (добавятся емкости и индуктивности), и анализировать вы будете не постоянных ток, а переходный процесс, что потребует составляения векторных уравнений для комплексного тока.

Почему у резисторов суммируются сопротивления - если коротко, то потому, что на основании проведенных учеными наблюдений установлено (Георгом Омом в частности), что вещества ведут себя вот так вот. Для электротехнических расчетов нет большого смысла углубляться в молекулярную физику происходящего, но если очень хочется:

 можно представить себе резистор как трамай РВЗ-6, у которого одна дверь в начале кузова и одна дверь в конце. Носителям заряда очень сильно нужно пробежать трамвай строго от одной двери до другой (в тиктоке новый челлендж). Количество носителей заряда, пробежавших через трамвай в единицу времени - это прямо по определению сила тока в цепи - прямо пропорционально свойству "забитость трамвая пассажирами" - чем больше пассажиров, тем меньше бегунов-зарядов в единицу времени может через себя пропустить трамвай. Таким образом, ставя подряд несколько трамваев и проводя челлендж, можно установить закон скорости пробегания тиктокеров через трамфай, который будет по форме идентичен закону Ома.

Более того, трамвайная модель также позволяет попутно воспроизвести закон Джоуля-Ленца - пихающиеся тиктокеры будут все больше бесить публику в трамвае - вырабатывая хейт (а резистор вырабатывает тепло - heat). И при большом потоке тиктокеров трамвай взбесится (а резистор - перегорит)
Вот здесь наглядно
https://www.youtube.com/watch?v=6Hv2GLtnf2c