Как реализовать авторизацию посредством AJAX и PHP?
Всё-таки, совершенно необъяснима тяга пхп юзеров к написанию километров кода для каждой мизерной операции :) 
Ну ладно, по экрану кода на запрос, потому что так в документации написано. Но аж два запроса к базе-то зачем?
Я конечно понимаю, что в новой для себя области всё непонятно. Но хоть немного задуматься над своими действиями можно? Есть хоть малейший смысл в выполнении первого запроса? 
Всё что нам нужно - это получить пароль из базы и сравнить его с введенным.<?php
	
// файл с константами для подключения к бд
require_once('conn_db.php'); 
$db = new safemysql($db_config);
    
if(isset($_POST['login']) && isset($_POST['password']))
{
    // запрос на получение хэша пароля из таблицы
    $sql = "SELECT pass FROM test_table WHERE login=?s";
    $pass = $db->getOne($sql, $_POST['login']);

    // сравнение с введенным юзером паролем
    if ($pass === crypt($_POST['password'], $pass))
    {
        exit('yes');
    }
}	
echo 'no';
А чего говорит фаербаг/девконсоль?