Зачем хранить логи в ElasticSearch?
Это делают на любых приложениях. 
Если вам нужен:

ценрализованный logging
визуализация в реальном времени
категоризирование
агрегация
фильтрация
ну и сам поиск как таковой

может понадобиться хранить логи в ElasticSearch
В целом вам уже ответили. 
Если подробнее - в ситуациях когда 
 - есть десятки-сотни компонент и серверов,
- есть короткоживущие контейнеры / поды
- есть регуляция которая требует хранить логи апликаций, сети, и т.д.
- хочется анализировать поведение пользователей, производительность
- нужны алерты на основании логов

=> нужна система для централизованной обработки логов.
Самые популярные сегодня Splunk and Elastic stack, есть и другие.

Если у вас один сервер, то вполне можно обойтись и без.