С чего начать создание простого календаря с возможностью записи на приём с проверкой на доступность выбранного термина?
с проектирования 
неважно, будет это простой календарь или же высоконагруженный проект, нужно на берегу обдумать: что будет, как реализовывать, чем пользоваться
так вам не придется кучу раз всего переделывать
проанализируйте, как реализован тот или иной функционал в похожих проектах, это сэкономит вам время на изобретении велосипедов 
далее уже приступайте к работе: дизайн, фронт, бек
В моем представлении надо:
1) продумать, какие сущности нужны - пациент, доктор, прием (если это поликлиника, к примеру), создать ER-диаграмму
2) продумать ограничения - доктор принимает в опреленные часы, доктор принимает только одного пациента за раз, пациент может быть только у одного врача, прием может длится только N минут и т.д. 
3) сделать на фронтенде страницу, где пациент сможет выбирать запись в календаре, но при этом календарь сгенерирован с бекенда с всеми ограничениями из пункта 2. Готовые компоненты для календарей на js существуют, на jquery вроде есть