Есть ли возможность отправить письмо из php, чтобы оно было доступно в папке отправленных в ящике?
Копать в сторону IMAP.
Update:
Судя по уточняющим вопросам, нужно таки немного разжевать. 
SMTP, как, впрочем, и PHP, тут совершенно сбоку. Функционал "отправленные" реализуется либо мэйлером (локально), либо провайдером. Во втором случае это просто папка на сервере. Как конкретно в нее попадает копия, одному провайдеру известно. В любом случае, по SMTP нельзя получить доступ к папкам - можно просто сбросить письмо, и надеяться, что оно будет доставлено.
Совсем другое дело IMAP. По IMAP можно получить доступ к папкам и, например, самостоятельно откладывать копию в соотв. папку, после того, как письмо успешно ушло по SMTP. 
SMTP к этой истории имеет лишь то отношение, что он обычно осуществляет (если осуществляет) авторизацию пользователя.
по средствам php mail() никак. Только с аутентификацией через smtp, imap. Тоесть, сервис smtp должен отправить письмо а не дескриптор php, только тогда письмо попадет в папку юзера как отправленное и будет видно из мейлклиента как отправленное.