Почему при регистрации и выходе из нее происходит ошибка?
Мои глаза... Где вы этот кошмар пишете? В застенках гестапо? Кто вас так мучает? И зачем вы мучаете нас?
написано черным по английскому: не отправляются заголовки патамучта уже начат вывод данных, который начат в dy_header.php, соответственно никакие куки setcookie(session_name(), '', time()-2592000, '/'); тут уже не запишутся. Учите ну хоть какие-то основы прежде чем писать фикалокод.
Сделайте такsession_start();
  require_once 'dy_functions.php';
  echo "<!DOCTYPE html>\n<html><head>";
а лучше напишите код с 0 без костылей, как сейчас. Он выглядит ужасно...