Как передать правильно название метода?
пффф...$functionName = __FUNCTION__;
$this->client->$functionName();и всех делов.
или $this->client->{__FUNCTION__}();
Вы хотите вызвать функцию GetNewObjects из объекта client?
Для этих целей есть магические функции. В Вашем случае функция __call();public function __call($name, $args = [])
    {
        $array =  call_user_func_array([$this->client, $name], $args);

        return $array->return->Items;
    }