ОС где только веб браузер?
Всё делается достаточно просто. Уже делал для других нужд. Запускаются иксы, но не запускается оконное окружение. Надо выключить загрузку окружения, как сейчас это делается надо смотреть в конкретном дистрибутиве. Или поставить ubuntu command line и установить только иксы.
Затем в rc.local или подобном прописываем запуск firefox и специальной программы по типу watch dog (можно cron) - проверять раз в 10 секунд запущен ли firefox, если нет - перезапускать.
Ещё можете погуглить на тему Kiosk Mode.
 Есть ли на белом свете решение под ключ под наши нужды?
Нечто подобное называется Web kiosk. Пример.
В свое время необходимо было решить схожую задачу, остановились на тюнинге шедшего в комплекте к оборудованию Windows XP Embedded.