Сборка радиоуправляемой игрушечной машинки на основе Arduino. Как?
Главный источник информации - easyelectronics.com
Одной ардуины здесь не хватит. Еще понадобятся:
-силовые модули для управления двигателями и светом
-модуль источника питания
-модуль связи
Ардуина - это только мозги, причем довольно хилые.
Вопрос совместимости моторчика с ардуиной особого смысла не несет. Дело в том, что напрямую к ардуине практически никакой моторчик подключить нельзя, она сгорит. 
Между ардуиной и моторчиком будет посредник - силовой модуль. Благодаря этому, ардуина фактически совместима с любым двигателем.
По поводу "где купить" - либо онлайн магазины, либо магазины электронных компонентов. Ищите поиском в вашем городе. В крупных городах можно купить все в одном месте, но переплатив раза в 1,5-5 по сравнению с али.
Как бы делал машинку я.
В качестве мозгов высокого уровня и модуля связи я бы взял что-то из ESP32 или ESP8266. Первая работает с bluetooth и wifi. Вторая работает только c wi-fi.
В качестве контроллера периферии сойдет и ардуина. Но! Я бы не стал городить огород из кучи плат и проводов - вероятнее всего, это не влезет в корпус машинки, а если и влезет - будет очень страшным.
Поэтому все компоненты этой конструкции я бы разместил на специально разработанной печатной плате, которую потом по моему заказу изготовит какой-нибудь Резонит.
1) Где купить сам Arduino?
Да  где угодно2) Какие двигатели совместимы будут с данным одноплатником? Нужна пара двигателей для хода машинки и так понимаю нужен шаговый двигатель для поворотов машинки.
Любые, но на прямую ни какой двигатель подключать нельзя, нужен специальный шильд управления двигателями, например, такой. Для поворотного механизма используются не шаговые двигатели, а сервоприводы. Если используется поворотный механизм, то достаточно одного двигателя. Если используете два или четыре двигателя их обороты должны быть синхронизированы3) Набор светодиодов для фар.
Светодиоды можно взять любые белые. При этом не нужно забывать, что предельный ток на вывод МК может быть 40мА (в реале больше  25мА не стоит)4) Какой язык нужен для программирования ?
Язык С, среда программирования Arduino IDE
Так же не забываем что для радиоуправления нужен радиомодуль, например, такой, но лучше такой (2шт). Разумеется пульт управления должен так же содержать Arduino (например, такой)
Используя такой модуль можно управлять машинкой по Wi-Fi с компьютера или смартфона