Как обновлять данные axios после изменения?
Таски "active" и "ready", вероятно, ничем не отличаются по структуре. Поэтому можно их отдавать с бэка единой кучкой. Добавить каждому флаг isDone (true / false).

Раскидать их по панелям дашборда можно уже на фронте.

При изменений флага на фронте, таск мгновенно-реактивно пропадёт из одной и попадёт в другую панельку. Остаётся уведомить бэк о новостях – отправить запрос, ответ на который в данном случае даже можно игнорировать.

Как реализовать это во Vue — решать вам. Можно прикрутить Vuex и разобраться с глобальным стейтом и мутациями.  Можно просто держать массив всех тасков в общем корневом компоненте, в нём же фильтровать активные / готовые и раздавать в дочерние через пропсы. Как из дочерних менять состояние родителей — распространённый вопрос и есть несколько решений. Удачных поисков!

Если же состояние тасков меняется откуда-то ещё на бэке, т.е. инициатива изменений не в вашем фронте, а на бэке — придётся либо прикручивать сокеты, либо раз в секунду справшивать бэк «есть ли новости?», но это очень плохое решение. Лучше сокеты.
Думаю вам нужны сокеты