Как ускорить старый сайт?
Хотели бы ускорить сайт
А вам для каких целей его ускорять? Сначала определитесь с целями и задачами и исходите уже из них.

Команда разработки с которой работаем по нашему сайту предложила переписать сайт полностью и перенести на 1С Битрикс. Смущает цена, сумма близкая к миллиону, во многом из за объёма сайта.
 Сайт работает? Работает. Трафик идет? Идет. А если они его переделают, будет ли сайт работать и будет ли трафик идти? Вот тут уже не факт. Есть еще такая штука, как СЕО и реклама, которые тоже очень сильно влияют на трафик и конверсию. Как говорится "работает? не трогай". По предложению могу сказать что да, цена несколько завышена, но надо смотреть что конкретно они предлагают там.

Есть ли какие-либо более простые и бюджетные решения для получения более высоких показателей скорости?
Да, для этого достаточно найти одного грамотного веб-разработчика, который умеет правильно оптимизировать сайты и у него есть опыт работы с WP. В целом, могу сказать что дизайн у сайта вполне нормальный и скорость загрузки и работы приемлемая. Из того, что можно сделать для оптимизации (например раз, два):

Обновить и сжать графику - несколько мегабайт картинок можно сократить в десяток раз
Сделать ленивую загрузку графики - т.е. сначала загрузить и показать саму страницу, а потом уже грузить оставшуюся за кадром или невидимую графику
Использовать сжатие
Выкинуть неиспользуемые ресурсы
Настроить кэширование
Оптимизировать сторонние ресурсы с CDN
Упростить верстку по возможности

Ну и плюс проверить, что там и как на сервере - достаточно ли производительный сервер, правильно ли настроен, есть ли кэширование и прочее.
1. Если сайт оптимизировать нормально, то это практически переписать половину бэкенда сайта. Либо как сделают некоторые оптимизаторы, будут ухищрениями оптимизировать под Pagespeed, скрывая от гугла скрипты, чтобы он их не увидел при загрузке. 
2. Переписать сайт можно на том же WP, без использования конструктора и 34 плагинов (даже не представляю зачем столько понадобилось и сколько это дыр в безопасности сайта). Сколько работаю с WP всегда удивлялся как делают так через одно место сайты на заказ, абсолютно не интересуясь как потом расширять/оптимизировать. В варианте переписать сайт заново главный плюс что сайт будет проще в поддержке + если требуется сразу можно поправить дизайн если что то не устраивает. Но цена близкая к миллиону похоже на обычный развод (как и переписать его на битрикс), сайт не настолько крупный и сложный и даже близко не стоит столько.