Как доказать, что сайт мой?
Не понятно, какой иск подан в суд и при чем здесь авторские права на сайт. Из вопроса получается:
1. Заказчик заключил с ВЭБ-студией договор на изготовление сайта. Студия этот сайт сделала (твоими руками и без договора с тобой). Заказчик сайт получил, работу принял, акты подписал, деньги студии заплатил. Договор закрыт. То есть - заказчику нечего предъявить ВЭБ-студии, они выполнили все работы, а заказчик их принял и оплатил. Я правильно всё понял?
2. Тебя ВЭБ-студия кинула на деньги, потому что ты "работал в веб-студии (без договора)". И при чем здесь возврат денег ВЭБ-студией заказчику, авторство на сайт и прочие разговоры, не подкрепленные документами?
3. "И как происходит все это? Мне надо куда-то топать с компом на котором все разрабатывалось?" Суду твой комп нахрен не нужен. Ему нужно экспертное заключение. А цена экспертизы, думаю, окажется сравнимой с суммой иска. И каким оно будет - ХЗ, но оплатить придется тебе независимо от результата.
4. "Он решил вернуть свои деньги из веб-студии и оплатить мне напрямую, чтобы не потерять сайт" То есть ты собираешься заблокировать/стереть/повредить сайт заказчика? У тебя есть доступ к хостингу, а у заказчика - нет? Ну лоханулся и заказчик. Но если ты это сделаешь (а ты уже не анонимный хакер, а реальное физическое лицо с ФИО и адресом) - тогда на тебя подадут в суд и заказчик, и студия, да еще могут применить неформальные меры воздействия. Оно тебе надо?
5. "Я ничего не потерял кроме времени" - вот выдохни, и успокойся. Следующий раз умнее будешь. 
6. Поговори с заказчиком, и возьми этот сайт на обслуживание за небольшие, но регулярно поступающие тебе деньги.
Ну так если у них только одна версия, а у вас есть материалы, черновики в идеале репозиторий с комитами это, насколько помню с экспресс курса об авторском праве для итшников=), выступает в роли черновика или эскизов, которые могут предоставляться суду при установлении авторства работы, так же берут во внимание дату создания, но тут ее подделать легко - так что это отпадает.