Есть ли версия git-а, не использующая cli?
Делать все локально - потом пушить все по фтп
Сменить хостинг
Для шаред хостингов только два варианта наверное.
1. Локальный гит + синхнозиция в ftp-клиенте.
2. Репа на гитхабе (либо другом сайте) + webhook + php скрипт на хостинге
Скрипт по хуку выкачивает репу (в bitbucket, кстати, есть api) и разархивирует на хостинге. Скрипт написать самому или поискать, вполне может быть, что кто-то уже заморочился с подобной вещью.