Как переустановить Ubuntu Server без потери данных?
Gitlab хранит проекты там где вы указали в конфиге.
Там лежат просто bare репы, которые можно скопипастить.
Вопрос в другом - что значит "перестал запускаться"? Ошибки?
Убить линух проблематично, ну и на будущее - не забываем бесперебойник подключать USB кабелем :)
вариат в лоб - сдампить весь диск как есть, если данные жутко важные.
нужен винт с большим свободным местом и загрузочный сидюк убунту.
подключаем енто к серверу, загружаемся с сидюка, монтируем новый диск и бекапим все на него разделы "старого" винта как есть. т.е.dd /dev/sda1 bs=1M | bzip2 > /mnt/%новый диск%/back11/sda1.bzip2
и так для каждого раздела старого винта (я предполагаю что он подключился как /dev/sda).
не помешает проверить архивы на целостность.bzip2 -tv /mnt/%новый диск%/back11/*.bzip2
так что имеем бекап всех важных данных и можем исправлять диск.
пытаемся проверить диcк на ошибки исправить ихfsck -p /dev/sda1
для каждого раздела (-p = исправлять ошибки) и пытаемся перезагрузиться. с 80% вероятностью диск оживет. ежели нет, есть  полные бекапы всех данных на винте.
Если данные не столь важны, можно попробовать не дампить все, а сразу гнать тесты раздела.
на ожившем диске настроить бекап в облако