Неадекватная работа блока input, как исправить?
Так все input с одинаковым name будут принимать значение измененного:$(document).on('focusout', 'input', function(){
  var name = $(this).attr('name');
  var value = $(this).val();

  $('input[name=' + name + ']').val(value);
});Демо.
Вы не смотрите в инспекторе на атрибут value, используйте его только для установки начального значения при генерации страницы. 
Для изменения используйте .val() для изменения значения у текстового поля и .prop() для чекбоксов.
Если у вас несколько одинаковых полей перебирайте их с помощью .each() и для каждого вызывайте val
Прочитайте тут api.jquery.com/prop пункт Attributes vs. Properties там есть строка The same is true for other dynamic attributes, such as selected and value.