Можно ли сохранять на сервере изображения без расширения?
Можно, но плохо. 
Во первых - какое удобство? 
Во вторых - вы же должны как-то работать с этими файлами, например обрезать аватарку, для этого нужно знать тип файла. Без расширения вы слегка запаритесь колупать что это за файл, да и браузеры не все еще могут определить что вы им подсовываете.
В третьих - не по христиански это, плодить бардак на собственном сервере.
Сохраняйте на здоровье!
Никаких последствий кроме неудобной работы с этими файлами. 
С расширениями можно хотя бы по паттерну искать их: 
*.png