Перенос файлов между серверами без моего участия?
команда screen запустит автономную сессию, от которой можно отключиться и потом подключиться снова.

В сессии screen, уже не боясь оставить/отключиться, вместо scp, может, удобнее воспользоваться rsync — он зипует, что может ускорить передачу:
rsync -avz /var/www/projectOldName  user@newserver.example.com://var/www/projectNewName
И нажать Ctrl + A,   D — чтобы покинуть работающий вирт. терминал и спокойно отключиться от SSH. Позже, когда снова зайдете, командой screen -r снова подключитесь к оставленной сессии.
rcyns или rclone 
в конец команды добавьте & и можете отключить путти

Да, закрывая путти Вы закрываете сессию юзера, поэтому вся активность прекращается