Как в Twitter API сделать возможность подключаться к любому пользователю?
Вы либо используете не тот метод api, либо сделали кривую авторизацию.
Вы каждый раз логинитесь под собой за счет использования своих OAuth Access Token, OAuth Access Token Secret. Недавно как раз писал адаптер для Твиттера, можете взглянуть. Смотреть в сторону prepareAuthParams() — генерация URL, по которому должен переходить юзер для авторизации; и authenticate() — собственно, обработка того, что вернул Твиттер после одобрения авторизации. 
Либо воспользуйтесь сей библиотекой. Она очень даже хороша. Ридми и примеров должно хватить для понимания работы с ней.