Как назвать класс, который имеет доступ к базе данных?
Yii есть ActiveRecord, который привязан к таблице
Но он это делает через несколько абстракций... 
В самом Yii2 за работу с БД отвечает https://github.com/yiisoft/yii2/blob/master/framew... И как правильнее поступать, привязывать такие классы к сущности или к таблице?
Вы вроде правильно работаете через репозиторий
Вот хороший и популярный паттерн, решающий ваш случай:
design-pattern.ru/patterns/data-mapper.html
DAO - Data Access Object. Название говорящее. Ссылка на вики