Используются ли в программировании дифференциальное и интегральное исчисления?
То, о чем вы спрашиваете, называется математическое моделирование, получившее мощнейший толчок в 50хх годах XX века при реализации Атомного проекта. Сейчас без моделирования не обходится ни создание мостов (прочностный анализ), ни самолетов с двигателями (газодинамика), ни разработка месторождений (подземная гидрогазодинамика). Почитайте, например, области применения пакетов вроде Ansys. Очень актуальны также тренажеры для различных отраслей, весь математический аппарат которых основан на решении диффуров в частных производных. Та же нефтянка сегодня одна из самых наукоемких отраслей, где востребованы прикладные математики, умеющие реализовывать численные методы.
В программировании не используется. Используется в конкретных приложениях, для которых используется также и программирование. Программисту, в общем, всё равно, что программировать, решение дифф.уравнения или подсчёт какой-нибудь статистики - были бы формулы. Дифференциальное и интегральное исчисления используются на два шага выше - когда происходит формализация конкретной практической задачи и выбор математической модели (ещё даже не алгоритмов!) для неё.
  Иногда, правда, соответствующие подходы используются уже при поиске алгоритмов для других задач. Скажем, один из алгоритмов решения полиномиальных систем (метод гомотопий) можно свести к решению хитрого дифференциального уравнения. Но, в любом случае, это не программирование, а алгоритмистика.