Как правильно редактировать сайт с с помощью git?
Могу предложить такие варианты:

Сделать так, чтобы не приходилось проверять так тщательно после обновления на удалённом сервере. Настройте свое локальное окружение для лучшего соответствия. 
Заведите на сервер поддомен, типа dev.mysite.org и проверяйте все там как удобно, прежде чем обновлять прод
Не используйте git на prod. Версионирование нужно для кода, а не сервера. Туда можно хоть архивом лить.


Ну и как комбо вариант, начать использовать ci/cd, тот же Travis. Обновилась ветка с подготовлены релизом - автоматом вылился на сервер по scp/sftp с адресом-поддоменом. Все устроило? Мердж в мастер и автоматом(на самом деле, лучше вручную или с ограничением по git tag) поехало на прод.
Вячеслав Климов  продолжу тут, в виде ответа.
Я понял ваши варианты по бекапам и причинам редактирования основного сайта...

С некоторых пор, я люблю использовать "копию продакшен окружения".
В вашем случае это может быть поддомен основного сайта или просто тестовый домен из бесплатного пула.
Вот на нем все править, добивать ся работоспособности, а после всех тестов и апрувов - лить на основной.
Дмитрий Шицков , советует правильные мысли, попробуйте такой вариант.
Если же вы фанат локальной разработки - то поднимите 1-2 докер контейнера, создайте в них свое окружение и используйте в работе (для удобства разработки код может быть в томах :) )