Как вручную добавить базу данных?
innodb таблицы хранятся в ibdata файле, а не в каталоге базы. Поэтому innodb вам удастся восстановить только полностью
Лучше все таки mysqldump
Скопировал полностью папку /var/lib/mysql/ 
Если просто скопировали содержимое папки, то на другом компьютере у вас должно быть всё нормально. Скорее всего вы не всё скопировали. Копировать нужно на остановленном mysql и перед подкидыванием тоже нужно останавливать. 
Если из инструментов, то лучше для полного копирования использовать xtrabackup от Перконы, а не mysqldump.