Что представляет из себя директория /proc, /tmp?
1) Если /proc не хранит информация не на диске, не в рам - то где вообще? Не понимаю(
/proc это вообще абстракция. Ядро системы знает какие процессы сейчас запущены и хранит это в памяти. А в /proc визуализирует это, предоставляя некий интерфейс в виде "все есть файл". Просто нужно понимать, что это не ext2/ext3/ext4 эмулируемый в памяти, это именно procfs
2) Например я в bash. Возможно ли как-то получить мой вывод, смотря в папку /proc процесса bash?
да, можете подключиться к вашему stdout, который собственно/proc/<PID>/fd/1
можно посмотреть как вы подключились и куда смотрит ваш /proc/<PID>/fd/1 (скорее всего в какой-нить /dev/pts/0) и оттуда тоже смотреть.
3) Если папка /tmp хранится в ОЗУ, могу ли я там хранить свои временные файлы для мгновенного доступа?
Да. Только нужно помнить, что tmpfs не ограничен, то есть чем больше туда кладешь, тем меньше свободного ОЗУ остается
4) Как можно реализовать подобное: Есть файл, в который постоянно пишется информация, чтобы он не занимал много места, я ставлю условный лимит в 10000кб, когда файл начинает весить больше, то разница будет стёрта из начала файла. 
Нужно понимать, что стереть 10 байт из начала файла нельзя, потому что нужно сдвинуть содержимое всего файла. Другими словами - файл целиком придется перезаписать.
Поэтому применяют другой способ - log rotate - когда идет запись в файл, проверяется его размер. Если он превысил значение, файл переименовывается (например в file.log.1) и открывается новый файл file.log
Можно контролировать сколько файлов может быть в списке и не забывать переименовываьт все файлы, чтобы они соответствовали порядку. Но этим нужно заниматься тому, кто пишет в файл.
1)в озу tmpfs
2)не понял вопроса
3)можешь,если есть права
4)а вот это не знаю/не умею ,будет срать в  в своп,и если винт не ssd то будут тормоза
у меня /tmp и кеш браузера смонтирован в оперативку