Как выставлять счета ООО?
1)Как угодно, точнее как договоритесь. Порядок расчетов обычно уточняется в договоре а там выбираете так, чтобы вам было удобно и вашему контрагенту. В этом случае нет понятия правильно, нужно делать как удобно.
2)У самозанятого ненужно открывать расчетный счет. Там обычные доходы физлица. Но поскольку дело это достаточно новое - могут возникнуть проблемы с оплатой от некоторых организаций. Тут опять же вопрос удобства.
Иногда организации выгоднее заплатить дороже, но без лишних телодвижений. Тут уже надо смотреть по ситуации, и решать проблемы по мере их поступления.Не понятно как вообще будут выглядеть эти реквизиты?Как обычные реквизиты - номер счета, и реквизиты банка.И где будут храниться деньги?Если платят наличкой - деньги хранятся в кошельке, или в кармане пиджака.
Если платят безналом - деньги хранятся в банке.
Сейчас придется открывать юр лицо, 
Вы хотите открыть ООО и выставлять счета другому ООО? или:
1) Вы про ИП говорите. 
по вопросу - в некоторых ООО, действительно, могут платить в определённые дни. Сразу уточните. А ещё лучше укажите в договоре даты платежей и пени за просрочку. Тогда эти дни и будут "определёнными". Количество счетов не лимитируется.
2) про самозанятого. Обязанности открывать расчетный счет нет. Но платить наличными организация вряд ли будет. Уточните у них.
Расчетный счет - зайдите в любой  банк, они Вам всё расскажут. А если счет откроете, то  распечатают реквизиты на листочке. А то насколько я понял нужно будет открыть обычную дебетовую карту в банке и сообщить, что на нее идут поступления с которых нужно снимать налог. В таком случае мне ООО предоставить только номер карты? 
не карту, а счет.  В ООО предоставите реквизиты. В договоре надо будет указать, что самозанятый.  
ООО не удерживает налоги с самозанятого. Налоговая выставит