Как составить routes в Laravel 5 для get form?
Параметры запроса не являются частью роута, так что роут тут будет просто search, а уже в самом контроллере можно будет вызвать $req->q (или $req->input('q')), чтобы достать нужные данные. Так как и ответ на форму, и вывод этой формы идут через GET-запрос, то в любом случае придется оба случая обрабатывать одним методом контроллера.
Это не верно. Для поиска вообще надо юзать post запросы. Нужно понимать четкие границы между get'ом и post'ом.