Как лучше синхронизировать файлы на локалке и вдс?
Jenkins, Travis, Gitlab CI/CD ....   да как угодно. Git это основа, конечно, но не инструмент деплоя, а только источник данных
Если к хосту можно подключиться по ssh, то (при наличии прав или уже установленного там гита) можно создать там репозиторий.