Почему не работает условие elif?
Потому что если число больше 18, оно также больше 10.
Вот программа которая точно работает. 
Я уже разобрался в коде и исправил баг. 
name = input("Введите своё имя >>> ")
age = int(input("Введите свой возраст >>> "))

print("Привет, "+ name)
if age >= 18:
   print("Поздравляю ты уже взрослый!") 
elif age >= 10 < 18:
   print("Поздравляю ты подросток!")
else:
   print("Ты ещё ребенок!")