Влияет ли перенос сайта на другой хостинг на SEO-результаты/раскрутку?
Нет, так как к seo имеет отношение доменное имя, а не хостинг. Если хостинг хуже — может повлиять апосредованно, например, сайт может быть не доступен во время посещения сайта пауком. Скорость загрузки страниц может тоже определенным образом влиять, но это домыслы.
Одним из факторов ранжирования сайта является скорость работы этого сайта. Если переносите на более быстрый хостинг, то это будет плюсом, особенно для Гугла. 
Переносите сайт так, чтобы он не был недоступен для поисковых систем или с минимальным потерей времени.