Как заставить Mikrotik давать использовать любой DNS сервер?
Эмммм, ничего он по-умолчанию не режет, чего вы наговариваете! 
Режет ваша конфигурация, делать она это может в нескольких местах, самые очевидные:
ip/firewall/filter rules
ip/firewall/mangle
ip/firewall/nat
ip/route
Проверьте всё что касается 53 порта UDP \ Any.
Смотрите настройки ip/firewall/nat связанные с 53 портом