Есть проблема с реализацией PHP с HTML, неообходимо, чтобы сайт оставался написанным на HTML и обработчик PHP был отдельным файлом?
Переименуйте index.php в index.html, а обработчик вынесите в файл user.php и затем, пишите в форме в html-файле:<form action="user.php" method="POST">
А если не передан какой-то из POST-параметров, то что добавляем?
И почитайте про sql-инъекции
Можно делать так, только что набросал. Можно добавлять код php внутри html, и это нормально:<?php
if($_SERVER['REQUEST_METHOD'] == 'POST') {
  if(!empty($_POST['r_name'])) {
    $r_username = $_POST['r_username']
  } else {
    $error[] = 'Заполните имя';
  }

  if(!empty($_POST['r_username'])) {
    $r_username = $_POST['r_username']
  } else {
    $error[] = 'Заполните логин';
  }

  if(!empty($_POST['r_username'])) {
    $r_username = $_POST['r_password']
  } else {
    $error[] = 'Заполните пароль';
  }

  if(empty($error)) {
    $result = mysql_query(...);
  }
}
?>

<!DOCTYPE>
<body>
<?php if(!empty($error)): ?>
  <ul>
  <?php foreach($error as $value): ?>
    <li>Ошибка - <?=$value?>
  <?php endforeach ?>
  </ul>
<?php endif ?>

<?php if($result): ?>
  успешно зпрегистрировались, всё хорошо
<?php else: ?>
  <form...>
<?php endif ?>