Как калькуляторы считают корни?
Погуглил за вас: https://thequestion.ru/questions/147403/kak-kalkul...Реалистичнее всего в условиях крайне ограниченного объема вычислительной мощности калькулятора – использование метода Ньютона. Для квадратного корня он, если коротко и просто, заключается в следующем.
Пусть, например, ищется корень числа 13. Берем в качестве ответа любое число. Например, единицу. Считаем полусумму значений этого возможного ответа и исходного числа, делённого на этот «ответ»: 
(1 + 13/1) / 2 = 7
Теперь вероятным ответом будет 7. Повторяем приём ещё несколько раз:
(7 + 13/7) / 2 = 4,4286
(4,4286 + 13/4,4286) / 2 = 3,682
(3,682 + 13/3,682) / 2 = 3,606
И так далее. Уже сейчас ошибка очень маленькая: если проверить и возвести 3,606 в квадрат, получится 13,0057. Калькулятору очень легко делать сложения и чуть сложнее деления, но цепочку таких операций он может провести довольно быстро.
Скорее всего раскладывают в ряд Тейлора
Вообще "методом подбора" (он называется "Метод половинного деления") решают уравнения (ЕМНИП мат. аппарат не позволяет (в общем виде) решать уравнения степени выше 5 "нормальным" способом).
А вообще ваш вопрос -  это матан с первого курса института.