Как обработать запрос который приходит на клиент?
 если его присылают на клиент?
Его присылают НЕ на клиент, а на определённый урл, который наверняка указывается в настройках при подключении платёжки.



За 2 минуты нашёл инструкцию на их сайте. Как вы гуглите?
Во-первых, данным от клиента доверять нельзя.

Как только платёжка вернёт клиента к вам на страницу, вы по POST-данным получить номер заказа и у себя на бекенде через запрос в платёжную систему проверить, оплачен ли этот номер заказа.
Если номер заказа оплачен - то переадресовывать на страницу успешной оплаты, если ошибка - то на страницу ошибки.
+ не забывайте неоплаченные заказы проверять раз в сколько-то минут, чтобы исключить ситуацию, что клиент по каким-либо причинам оплатил заказ, но не вернулся на сайт.

Из JavaScript (если речь идёт только о фротенде) этого сделать нельзя. Это исключительно задача бекенда.