Почему после отправки POST — запроса через AJAX идет перенаправление на localhost:8000/?
исходный адрес локального серва - localhost:8000, после отправки запроса меняется на - localhost:8000/?. Почему это происходит? По всей видимости из за этой строки:return redirect('/')Можно ли использовать AJAX без формы Можно, повесьте на кнопку обработчик нажатия и внутри отправляйте ajax запрос. Вы собственно так и делаете, поэтому форму можно просто удалить из разметки.
$('#add').click(function()
    {
      text = $('#task_text').val();

      $.ajax(
      {
        url: '/test/',
        type: 'POST',
        data: {task_text: text}, 
        success: function(text){
          console.log(text)
        },

        return false;
 
      });
    });
И лучше вешать слушатель на форму и слушать submit
По сопутсвующему - можно.