Интегралы и программирование?
Программист понятие широкое. Веб-программисту вряд ли понадобятся, программисту в каком-нибудь НИИ занимающимся хитрыми физическими процессами нужны по определению.
Если компания занимается чем-нибудь, где нужна нетривиальная математика, высок шанс, что и от программиста потребуются соответствующие знания.
Дифференциальное исчисление применяется, к примеру, во всём связанном с графикой. Также оно является основой для многих других дисциплин которые могут потребоваться в работе.
Так что определитесь сначала с желаемым профилем, а затем смотрите, где может применяться математика и какие её разделы
Смотря где. Для популярных направлений (веб-разработка, мобильные приложения, разная бухгалтерия) не надо. Применяться может в каких-нибудь приложениях для науки.