Как использовать поле класса в SQL запросе?
Ой ёёёё.
1) Зачем Вы создаете класс для работы с базой данных который четко завязан на 1 таблицу?
Создайте общий класс для работы с базой, от него наследуйте класс модели для конкретного функционала.
Советую почитать про MVC.
Вообще сама идея передачи названия таблицы какая то странная. У Вас много таблиц в которых лежат юзеры?
2) Никогда не используйте оператор подавления ошибок "@"
Код @mysql_query("set_character_set_client='utf8'");
    @mysql_query("set_character_set_results='utf8'");
    @mysql_query("set collation_connection='utf8_unicode_ci'");абсолютно бессмысленный, он не выполняется - тут внезапно mysql, а соединения в mysql то и нет, соединение в mysqli
3) Никогда не передавайте данные в базу без обработки. Все данные должны быть как минимум обернуты в mysqli_real_escape_string. Ну или PDO используйте
<?php

class DataBase {

    private static $database_name;
    private static $mysqli;

    public function __construct($database_name = '')
  {
    $hostname_connect = 'localhost';
    $database_conntect = 'webdb';
    $username_connect = 'root';
    $password_connect = 'root';
    $this->database_name = $database_name;

    $this->mysqli = new mysqli(
      $hostname_connect,
      $username_connect,
      $password_connect,
      $database_conntect
      );



    @mysql_query("set_character_set_client='utf8'");
    @mysql_query("set_character_set_results='utf8'");
    @mysql_query("set collation_connection='utf8_unicode_ci'");
  }


  public function add_user($login='', $email='', $password=''){


   // DEBUG
    echo "INSERT INTO '$this->database_name' (login, email, password) VALUES ('$login', '$email', '$password')";
    $this->mysqli->query("INSERT INTO '$this->database_name' (login, email, password) VALUES ('$login', '$email', '$password')");
  }

  public function user_is_exist($email= ''){
    $result = $this->mysqli->query("SELECT * FROM '$this->database_name' WHERE email LIKE '$email' "); 
    $num_rows = mysqli_num_rows($result);
    if($num_rows == false) {
      return false;
    }
    else return true;
  }

  }
  
  
$a = new DataBase('test');
$a->add_user('test' , 'test' , 'test');

// INSERT INTO 'test' (login, email, password) VALUES ('test', 'test', 'test')
все работает корректно
смотрите то что выдаст вам строка echo "INSERT INTO '$this->database_name' (login, email, password) VALUES ('$login', '$email', '$password')";
а лучше покажите как используете это вы