Как вывести уведомление после отправки формы?
С использованием ajax и jquery это выглядит симпатичнее. Нет перезагрузки страницы и не надо морочиться с куками.
Например в Symfony для таких задач существуют Flash сообщения, они живут всего один запрос и можно при обновлении страницы (обработки формы) можно выводить любые сообщения во время следующего запроса. 
Есть отдельные библиотеки для создания таких сообщений, например: https://mikeeverhart.net/php-flash-messages/
Также, можно формы отправлять используя AJAX, тогда вообще не придётся страницу обновлять :)