Возможно ли в Android-телефоне программно перехватывать все push-уведомления?
Да, но сначала требуется изучение русского языка.
СМС можно перехватывать через BroadcastReceiver — http://www.androidcompetencycenter.com/2008/12/android-api-sms-handling/. Насколько я понимаю для push должно быть что-то подобное.