Как сделать фильтр на Checkbox'ах?
К React, надо сказать, ваш вопрос имеет самое посредственное отношение.

Реализовать фильтрацию массива объектов по нескольким ключам можно примерно вот так:

function filter(array = [], filters = {}) {
    const keys = Object.keys(filters).filter(key => filters.hasOwnProperty(key));
    return array.filter(elem => {
        const commonKeys = keys.filter(key => elem.hasOwnProperty(key));
        return commonKeys.reduce((flag, key) => (flag && filters[key].includes(elem[key])), true);
    });
}
В filters кладёте допустимые значения по соответствующим ключам. Например:

const products = [
    {country: 'Russia', img: 'link.img', genre: 'Comedy', name: 'Вишнёвый сад'},
    {country: 'France', img: 'link.img', genre: 'Novel', name: 'Oberman'},
    {country: 'Italy', img: 'link.img', genre: 'Adventures', name: 'Il cimitero di Praga'},
    {country: 'USA', img: 'link.img', genre: 'Comedy', name: 'The Ransom of Red Chief'}
];

const filters = {
    country: ['Russia', 'Italy', 'France'],
    genre: ['Comedy', 'Novel']
};

const filteredProducts = filter(products, filters);
Используй .filter

Например
products.filter(product => product.country === "Russia" && product.country === "Italy")

P.S код от балды но суть такая