Как отправить SMS без отправки формы?
Сами же сказали, что есть библиотека.
Ее и используйте https://smsc.ru/api/code/libraries/http_smtp/php/#menu

Есть там же и пример формы отправки sms
https://smsc.ru/api/code/examples/formsms/#menu
Пыталась ещё с curl разобраться, наверное туда и нужно копать?да, туда и нужно. Смотрите примеры работы с курл, их много, легко гуглится. Можно тупо подключить их библиотеку, как советует Сергей delphinpro, что дает сразу готовые функции по всем основным действиям с апи сервиса. 

Вообще запросы к апи на 90% выполняются в формате сервер-сервер, крайне редко клиент-сторонний сервер...
В вашем случае должно быть что-то вроде: аяксом запрашиваете со своего сервера данные, ваш сервер создает запрос к апи сервиса, получает данные и возвращает в ответе аякса. Все ключи / логины / пароли передаются только от сервера к серверу, на фронте никоим образом не должна светиться подобная инфа.