Какая связка технологий (если основа это Java/C#) аналогична ActionScript3 + Flash?
знаете возможно я не правильно понял список требований вашего начальства и все не так критично .... 
я бы советовал хорошо продуманное rest api   на стороне сервера 
в браузере отрисовывать каким то js фреймворком используя api (например angularjs хотя встречал решения на почти на одном чистом js довольно таки быстрые и в плане работы и разработки) 
на стороне клиента все не так радужно, если бы не стоял вопрос про нестандартные интерфейсы я бы посоветовал xmarin, главное ни в коем случае не юзайте phonegap и подобные вещи ─ быстродействие AS на их фоне вас порадует, а юзеры сделают вашу куклу вуду  и будут правы  ))
на стороне   сервера используйте что больше нравится с# и java в равной степени подходят для этих задач
зы неделя для изучение это .... сильно оптимистично.
Ну JavaFX можно назвать неким аналогом Flash, для платформы Java. Для C# знаю действительно только сильверлайт, который непонятно жив или умер. Про java-апплеты вам правильно сказали забыть. Почему? Хотя бы потому, что они требуют jre на стороне клиента.