Как сделать раскрытие формы поиска в левую сторону?
Анимация происходит за счет увеличения ширины, поэтому чтобы визуально растягивался левый край нужно зафиксировать правый.
Для этого можно использовать, например:float: right
илиposition: absolute
right: 0
или (на родительском элементе)text-align: right;
Вы сначала прижмите форму к правому краю и, думаю, все само заработает.
Либо же прижмите к правому краю input, например добавив емуinput[type=search]{
    float: right;
}
Только не забудьте родителю overflow: hidden добавить