Почему не срабатывает вызов $router.push( )?
Экземпляр компонента не пересоздаётся при смене страницы, так что хук created не вызывается, метод loadCustomers соответственно, тоже.

Надо установить слежение за изменениями страницы, например так:

watch: {
  '$route.query.page'() {
    this.loadCustomers();
  },
},
Или так (в этом случае вызывать в created метод loadCustomers не надо):

watch: {
  '$route.query.page': {
    immediate: true,
    handler: 'loadCustomers',
  },
},
Может быть так?:
.push({path:'/customers?page=' + number});