Что я не верно делаю при перезаписи state?
Контекст потерялся. Ну и не надо пытаться достучаться до элемента через querySelector - он доступен как свойство target объекта события.submitText = (e) => {
  this.setState({
    text: e.target.value,
  });
}
Контекст потерялся. Ну и не надо пытаться достучаться до элемента через querySelector - он доступен как свойство target объекта события.submitText = (e) => {
  this.setState({
    text: e.target.value,
  });
}