Посоветуйте трекер задач
Можно попробовать Redmine:

1. Плагин для подключения функционала прочитанных/непрочитанных сообщений:
github.com/egisz/redmine_already_read

2. В качестве папок использовать Версии (добавляются на уровне проектов) либо Настраиваемые поля.
Я не видел jira, но интересно:
1) не ужели там нет сортировки по дате «обновление», те что сверху те последний раз обновлялись
2) папки? Мне всегда казалось, что у подобных задач должен быть какой то статус, говорящий о том, что они не в работе, опять же в том же redmine, можно связывать задачи, так что «дата начала» одной задачи ставиться после завершения другой, думаю и в jira должно быть что то подобное.