Как начать использовать React js в своих проектах?
Не стоит пихать react везде и всюду.
Мое ИМХО - либо делаем весь клиент целиком на react/angular/... либо не стоит и пытаться. Разве что какую нибудь страничку плагина для CMS можно оформить в таком виде, если ей не требуется сильно взаимодействовать в остальным интерфейсом - получаем мини приложение внутри СMS.
Зачастую достаточно простого шаблонизатора на клиенте. 
Сам использую https://github.com/deepsweet/mustache-loader работает на twitter.github.io/hogan.js
Мне получается надо у себя поставить node js, запустить create-react-app, установить babel, создать компонент cart. Сделать в нем всю логику кукую-нибудь, потом запустить bulid получившийся js файл я подключаю на странице? 
Нет, правильнее переписать весь ваш сайт на React+Redux и его уже править. Реакт стоит использовать в средних и крупных проектах, с хорошим пониманием, что такое SPA архитектура.