Есть ли смысл устраиваться контент-менеджером, чтобы попасть в веб-разработку?
Нет. Просто наполняя сайты вы ничему не научитесь. Начните разрабатывать шаблон под WP, учите параллельно PHP, CSS, Js. Разработчики в студии не станут тратить свое время на ваше обучение. Постигните азы, пытайтесь устроиться джуниором, вот там вас уже будут натаскивать. 
Контент менеджер это тупик )
Не слушай никого.
Можно.
Я так сделал - сначала работал юристом, затем устроился контент-менеджером в геймдев-компанию, где нужно было взаимодействовать с площадками steam, sony-psn, размещать контент на сайте, немного править вёрстку в рамках обновления заголовков и т.п. мелочь.
Парарллельно проходил всякие курсы типа html-academy в свободное время, читал книжки и потом просто поменял работу на должность фронтенд-разработчика.
У каждого свой вход - кто-то из совсем другой сферы закатывает, кто-то из универа с математической специальностью, зависит от личных когнитивных особенностей и мотивации, не стоит нытиков слушать.