Как telegra.ph понимает, что я — это я?
Там используются HttpOnly cookie.  То есть сами cookie есть, но в браузере не видны, также к ним нельзя получить доступ из клиентского кода. 
В запросе /check можно увидеть, что в response headers они устанавливаются.
Set-Cookie: tph_uuid=<token>; expires=Wed, 08 Feb 2023 05:42:55 GMT; path=/; secure; HttpOnly
У них комплектом идет бот - @telegraph
Через него можна авторизоваться на сайте и персонализировать статьи.
Это позволяет работать со своими статьями с разных мест без дополнительных плясок с куками.