Возможно как-то «приклеить» элементы верстки к картинке?
Реально ли, на любом устройстве сохранять правильное, "приклеенное" положение кружочков на картинке?

Да)
Можно воспользоваться SVG и любым векторным редактором
Или использовать  html тег map