Как контролировать версии файлов веб проекта?
Да, бывают. Называется git. Это то, что ваши программисты скорее всего использовали.
Но это их инструмент, а не ваш. Вы не знаете, что они там меняли, и изменения могут быть несовместимы с вашим дата-сетом (кэш-серверами, как редис, базой данных, .env файлом и так далее) на продакшене, поэтому откатывать какие-то изменения без участия программиста - очень опасно.
Ваша проблема в том, что программисты не пишут тесты и не тестируют сами, у вас нету тестеров и нету staging'а (сервера, на который попадают все изменения для тестировия сразу до продакшена). Вам нужно менять workflow.
Как вам уже ответили, Git это то "слово" которое вы ищете. Самая популярная распределенная система контроля версий. 
Для начала ознакомьтесь с тем, что это такое, если вам подходит, изучайте здесь.
Конкретно глава про установку на сервер:  Установка Git на сервер.Но все же рекомендую сначала полностью познать концепции VCS, в любом случае в вашей IT-жизни пригодится, или для личного использования. Удачи.