Как выбрать из базы текущую дату + 5 дней в SQL?
Ну так условие-то, если его более тщательно выразить словами, должно звучать как 
"находящиеся между текущей датой и датой на 5 дней больше"
то есть как минимум два сравнения или between 
p/s/ обычно удобнее оперировать чем-либо типа datediff - есть разницей в днях и там более явно видно что надо "от нуля до 5 дней"
Ну всё же правильно делаете)) Но не до конца.
CURDATE+5 больше, чем date_of_appointment
Это значит date_of_appointment меньше чем CURDATE+ 5.
А как же отсечь прошедшие дни? Нужно ещё date_of_appointment  >  CURDATE