Есть ли смысл для увеличения производительности использовать несколько подключений к одной БД?
Нет, там уже используется пул соединений.
Можно указать количество ожидающих (IDLE) соединений db.SetMaxIdleConns и максимальное количество одновременно открытых соединений через db.SetMaxOpenConns
Есть ли смысл для увеличения производительности использовать несколько подключений к одной БД? Обычно СУБД самое медленное звено. Даже так - в подавляющем числе архитектурных решений СУБД самое медленное звено. 
Второй случай будет не только не самый производительный, но и не самый безопасный. В нём идёт обращение в двум разным базам данных db и db1.  Поэтому встаёт проблема синхронизации данных между базами, а то одна может начать отдавать одни данные, а другая иные на один и тот же запрос. Синхронизация данных процесс не всегда быстрый. И пока данные не синхронизируются, придётся ждать ответа. Иначе вылезет split brain.