Что написать после изучения основ Java?
Напишите программу
Если дословно ответить на ваш вопрос, то любую учётную систему, например, телефонный справочник. Данные хранить в файле (или не хранить вовсе).
Если хотите совет, то:
Выучить java core обучаясь с 8 до 17:00 -- это месяц максимум. Если хотите стать профессионалом (то есть получать зарплату за написание программ на java) и вы молоды -- то чуть чуть почитайте о вопросах на собеседовании и устраивайтесь на работу джуном. Если вам больше 30 то:
1. java -- это знание английского на уровне читаю без словаря -- обязательно. Пишу и устно общаюсь на английском крайне желательно. Не знаете -- учите.
2. java -- это серверный софт для учётных систем. Например программа в банке. Пока вы не можете начать мыслить как написать приложение, которое не упадёт никогда, а если упадёт, то из логов будет сразу понятно что не так -- вам путь дальнейшего изучения закрыт.  То есть в обычном телефонном справочнике при добавлении записи в БД можно предусмотреть всё. Начиная от того, что база упала, заканчивая тем, что они посадили 100 человек и сутками вводят вам некорректные значения.
зы
ну и совсем не по теме, но вы наверное знаете. Java core узкие знания по сути не нужные никому. Нужны фреймворки, например, hibernate и десятки их.