Есть ли какой-нибудь аналог юниксовых screen или tmux, но на Windows Server?
1. Так запускайте игровой сервер как сервис, а не как десктопное приложение.

2. Не выполняйте логау-т из RDP сессии, выполняйте отключение
Нужно просто почитать как правильно оставлять RDP сессию, чтобы отключались без логаута.
А зачем? Сессия и так не завершается, если не настроено иначе. Но лучше сервер оформить в виде службы, что бы перезапускался сам в случае падения.