Как запаковать tar архив только с содержимым папки с подпапками и файлами, без полного пути?
Попробуйте так:
tar \
  -cvzf ../var/www/html/site.ru/site-$(date +%Y%m%d).tar.gz \
  -C /var/www/html \
  siteОпция -C значит "change directory".
tar начнёт действовать в папке /var/www/html, считая её корнем. И добавит в архив единственную папку /site.
сделать соответствующий cd в нужную директорию и оттуда подать команду на архивирование, используя относительные пути