Как правильно использовать bootstrap?
Вопрос задавался в разных интерпретациях тысячу раз, использовать его или нет.
Не нужны дефольные стили — используйте только сетку.
Бутстрап в чистом виде годится отлично для веб-приложения, где нужен только функционал, а дизайн заключается в выборе цвета, шрифта и картинки логотипа. 
Но его можно легко изменить, а можно все написать самому. Он как jq для js — все знают, что нативный js быстрее и легче, но не все могут написать на нем также, как на jq. Считаете, что у Вас есть силы и время писать что-то самому — не используйте бутстрап или используйте его только для админки сайта.
1. Сокращает время разработки.
2. Облегчает дальнейшую поддержку (хотя если сайт верстался толковым человеком , то и так быстро будет, если же у верстальщика руки из нижней части спины, то фреймворки не помогут).
Вопрос "Ломается сетка и 4 экрана" - надуманный. 4 диапазона разрешений, а не 4 экрана. Это большая разница, потому что эти диапазоны покрывают все разрешения. Плюс они кастомизируются (как и количество колонок макета).
Вопрос "более-менее уникальный дизайн" - неверное понимание целей фреймворка. Бутстрап дает вам не плюшки в виде сотни градиентов для одной кнопки, которые непременно нарисует ваш дизайнер, он дает вам инструменты для создания структуры страницы. Рисовать оформление придется.
"Чую подвох" - опять неверное понимание целей фреймворка. Но еще не помешает сходить на getbootstrap.com, там уж подробней некуда расписаны хелперы и js плагины, которые идут в бутстрапом. С живыми примерами все. Хотя лично я из плагинов использую в основном modal и button (для отображения надписи "загрузка" на кнопке при аякс запросах, но и другие бывают полезны).
"Киньте ссылкой" - getbootstrap.com. Судя по всему вы были где угодно, но не на родном сайте.