Как деплоят веб-проекты?
В целом согласен с Дмитрием.
Вот здесь https://medium.com/@tobiashn/putting-a-laravel-app... разобран примерно ваш случай. Вот еще https://laraveldaily.com/how-to-deploy-laravel-pro...
Как и всегда, есть как минимум десяток способов сделать это, и каждый будет хвалить то, что использует. 
Когда поймете принцип, то можно и на шелле скрипт написать :-)
Так что начните с GitLab CI.
Gitlab? Используйте Gitlab CI
Недостаточно гибкости или возможностей - поднимайте Jenkins.