Как хранить наследуемые модели Laravel в БД?
Не надо БД и модели рассматривать как что-то совместное. Это нормальная ситуация, когда несколько моделей ссылаются на одни и те же таблицы и их колонки в зависимости от контекста поведение может быть разным. martinfowler.com/bliki/BoundedContext.html 
При этом модели не обязательно должны (но могут) наследоваться друг от друга, лучшим заменять наследование композицией, тоесть у  Admin/Person/Organization будет метод который возвращает User. С учётом Eloquent самый простой и топорный способ, это связь 1-1, что-то вродеAdmin/Person/Organization {
      function user() {  return $this->hasOne('User', 'id', 'id'); }
}
Для чего использовать разные модели?
Для этой цели нужно использовать механизм ролей.
А для механизма ролей можно использовать https://github.com/Zizaco/entrust
Городить отдельные модели под каждую роль нет смысла.