"Домен в подарок" это просто бесплатная регистрация?
Да. При чем чаще всего надо платить за продление больше, чем стоимость домена у некоторых партнеров. То есть, например у партнера стоит домен 90 рублей в год, то есть за два года 180 рублей. А у хостера первый год бесплатный, но второй год продление, например, стоит 360 рублей.
Есть и другие минусы, например, безопасность.
Это прям подарок, при выполнении неких условий, которые обычно там же и написаны. (купить хостинг например)
Регистрируется на ваше имя и принадлежит Вам.
Обычно это подарок на 1 год, все следующие года придется платить.
Стоимость зависит от регистратора, точнее от той скидки которую он вам предоставляет.
В зоне ru и рф от Вас потребуется скан паспорта. (положено по закону)
Если вам дорого продлевать домен у одного регистратора, вы можете "переехать" к другому. 
Аккредитованных регистраторов порядка 40, все остальные реселлеры.