Стоит ли изучать программирование веб-дизайнеру?
Я закончил художественну школу и всю жизнь был связан с дизайном. Работал в бригаде отделочников советского времени, когда дизайн придумывали мы сами. Работал художником оформителем в разных организациях. Потом начал работать с компьютером. Стал дизайнеров в одной студии (полиграфия). Открытки, этикетки так сказать. Но если честно я ни когда не чувствовал себя как дома. Мне нравилось, но так как я никогда не делал ни чего другого, я думал что так и должно быть. 
Мой основной мотив, заниматся этим, была возможность самореализации. Это то чего мне всегда было нужно. Даже на гитаре научился играть между делом и закончил муз училище уже будучи взрослым.
Но в какой то момент, я решил попробовать программировать. Я начал изучать PHP.  Ну с ним естественно MySQL, HTML, CSS, JS. 
О как я был слеп. Войдя в мир программированя, я понял, почему будучи художником, и еще стал учится музыке. Мне не хватало. Я чувствовал голод. Но погрузившить в программирование, я "нашел мир своей душе" (только Бог может дать истинный мир). Я насытился. Я получил все что надо. 
Я всегда думал что я гуманитарий и точные науки, я не потяну. Даже в институт из за этого не пошел. Но оказалось, что я просто был обманут тем фактом что в 10 лет был отдан в Художественную школу что и сформировало следующие 22 года моей жизни. 
Писать код, это как писать картину, только вместо того что бы на нее смотреть, она может делать, то что тебе надо. Это  как рисовать в 3х измерениях. Возможностей для само реализации столько, что просто не видно конца. Как человек творческий, меня более чем удовлетворила эта сфера деятельности. Я до сих пор смотрю на код как на мои работы, мой арт. Архитектура алгоритма это как композиция. Надо все раставить красиво и гармонично. Чистота кода, это как техника штриха. И конечно же для хорошей картины важны мелкие детали, хорошо прорисованые и продуманые. 
И в момент когда ты запускаешь код над которым трудился как скульптор над гранитом, и он делает то и как ты хочешь, ты как будто родил дитя.Короче
Коротко ответ на вопрос. Может и у вас скрытый талант и любовь к этому. Может попробовав вы уже не сможете от этого отказаться. А может и нет. 
Ни знаю стоит ли изучать програмирование дизайрену, но уверен что попробовать уж точно стоит.
Программировать стоит для получения опыта, хотя бы просто понимать 1 или 2 языка. Почему дизайнеру стоит знать тот же JS? Для воплощения своих идей. Дизайн сейчас это не просто картинка из фотошопа. Это интерактивные интерфейсы (material design как пример). Мало красиво рисовать, нужно еще представлять как это будет работать, а еще лучше реализовывать самостоятельно.