Куда класть логи своего приложения в Linux?
При установке пакета своего приложение, пусть создается папка /var/log/your_apps с соответствующими разрешениями, в эту папку и складывайте логи.
по-моему путь для логов, в данном случае, белее чем очевиден.
Так поступают многие приложения.
Мне нравится такая практика по умолчанию:
 — если приложение устанавливается в /usr (или другой системный каталог), то логи пишутся в /var/log (для установки в /usr нужны права рута, потому создать и настроить права для записи в /var/log проблемы быть не должно — можно открыть запись для всех, можно создать группу, в которую заносить пользователей имеющих право запуска)
 — если приложение устанавливается в ~, то логи пишутся в ~/./log

Вариант вывода логов по умолчанию в stdout для «демонообразных» приложений как-то раздражает.