Какой MV* JS фреймворк стоит начать изучать?
Хочется что-то похожее на Yii, но в контексте JS
Боже упаси.
Ionic+angular для старта более чем. Есть еще famo.us для красивого UI и т.д. Как правило юзают Angular но можно и на React + Flux все делать, но под Angular банально больше готовых решений, во всяком случае на данный момент. Единственный ощутимый минус Angular - он порочный. То есть он клевый и няшный, но, как и Yii, провоцирует разработчиков использовать не очень красивые решения. Скажем можно соблазниться решить проблему в лоб и убить производительность фреймворка жирным дип-ватчем в контроллере.изучать вторую версию или первую?
Вторая еще не вышла. Достаточно взять первую, вооружиться  ES6/7 через babel.js и пытаться перенимать практики из второго для первого (сервисный слой к примеру можно будет перенести просто так, скопипастив почти, больше мороки будет с директивами, но опять же есть советы как лучше писать директивы что бы потом можно было легко это дело во второй версии юзать).общаться с API с помощью RESTful.
Большинство фреймворков предложат вам только относительно низкоуровневое API для работы с сетью. Есть так же Ember.data, есть так же js-data хотя думаю для начала для вас это будет оверхэд. А может и нет.
Посмотрите вот в эту сторону:
 - touchstonejs.io
 - https://facebook.github.io/react-native/
 - https://www.nativescript.org