Как перенести куки через nginx?
Это вообще-то не к nginx вопрос. Решение о том, какие куки принимать в рассмотрение и передать в запросе к тому или иному домену, принимает браузер, и он должен это делать в соответствии с RFC 6265 (не путать с устаревшими RFC 2109, 2965, там есть отличия).

Если коротко, то sub.domain.com может поставить куку как на sub.domain.com, так и просто на domain.com (в этом случае она будет также действовать на все поддомены одного уровня с sub.domain.com). Но domain.com не может поставить куку на домен com, потому что в домене должна быть минимум одна точка (такая защита).

Для экспериментов можно поиграться с куками вот в этой песочнице с субдоменами: https://scripts.cmbuckley.co.uk/cookies.php и посмотреть
Смотрите здесь:
https://qna.habr.com/q/488123