Как сделать элементу DIV, чтобы его фон растягивался вместе с ним?
background-size: cover;
Ну и ширину блоку нужно указать 100% с высотой в 100vh
https://webref.ru/css/background-size 
background-size размер
Задаёт размер в любых доступных для CSS единицах — пикселях (px), сантиметрах (cm), em и др.проценты
Задаёт размер фоновой картинки в процентах от ширины или высоты элемента.auto
Если задано одновременно для ширины и высоты (auto auto), размеры фона остаются исходными; если только для одной стороны картинки (100px auto), то размер вычисляется автоматически исходя из пропорций картинки.cover
Масштабирует изображение с сохранением пропорций так, чтобы его ширина или высота равнялась ширине или высоте блока.contain
Масштабирует изображение с сохранением пропорций таким образом, чтобы картинка целиком поместилась внутрь блока.
Вам может подойти cover или 100%. Первое вероятнее.