Что сделал не так?
if (h > 19 || h < 20) {...}
Перевожу на русский: если h больше девятнадцати или меньше двадцати, то...
Теперь представим, что h = 15, например. Это меньше двадцати, значит подходит под условие.
Представим, что h = 19. Это тоже меньше чем 20, значит подходит.
Представим что h = 20. Это больше чем 19, значит тоже подходит.
Представим что h = 100500  - и снова подходит, ведь 100500 больше чем 19.
Точнее подсказать как вывести "в определенное время" я затрудняюсь, так как вы не уточнили какое время считаете определенным.
jQuery(document).ready(function ($) {
var date = new Date(); // получаю дату и время
var h = date.getHours(); // получаю час
if (h > 19 && h < 20) document.getElementById("id-text").innerHTML = "Выводится текст"; // вывожу
});