Можно ли создать массив, который будет обновляться у всех пользователей без перезагрузки страницы не используя сервер?
Как я могу это сделать в связке React, TypeScript, Webpack.К сожалению, никак.

Нужно использовать "Ноду и сокеты". Ну и любой другой бэкенд. Этот ваш массив должен где-то храниться, подключения клиентов должны где-то обрабатываться.
Можно извернуться через webrtc
https://m.habr.com/ru/post/220767/