Как перейти с mysql на elasticsearch?
Никак. "перейти" с базы данных на поисковый движок нельзя.
Можно сделать поисковый сервис, который будет индексировать информацию, взятую из бд

На основе этого сервиса сделать полнотекстовый и фасетный поиск.
А текущую базу данных оставить как есть. Только запросы оптимизировать, чтобы "скорость работы не понижалась"
Хранить в elasticsearch важные данные в качестве основной бд не желательно, хотя и возможно, думаю. Я бы вам порекомендовал во-первых пытаться оптимизировать mysql, а там где тяжёлые запросы, к примеру много join-ов, группировок, сортировок и т.п. индексировать в es и там уже осуществлять поиск. В любом случае вам придется делать эти тормозные запросы в mysql, но вы их будете делать только на этапе индексирования es