Почему скрипт не срабатывает с первого клика?
Это неправильный подход. Сделайте свойство showDocs, которое будет отвечать за видимость элемента, а на сам элемент добавьте v-show="showDocs". Обработка клика станет выглядеть так: @click="showDocs = !showDocs".

Ну а почему ваш код не работает как надо - так это потому, что дефолтное значение style.display вовсе не none, а пустая строка (скорее всего - вы ведь элемент через css изначально скрываете, да?).

UPD. Вынесено из комментариев:

Так не получиться, так как вывожу элементы в цикле v-for.
Получится. Задайте каждому из перебираемых объектов отдельное свойство, отвечающее за его видимость, как-то так. Или сделайте компонент для отображения отдельного элемента, который будет содержать в себе свойство, управляющее видимостью.
Значит при первом клике event.currentTarget.nextElementSibling.style.display не равно 'none'