Возможно ли хостить ASP.NET WebAPI приложение на Linux?
Для начала - возможно все!
Другой вопрос на сколько это будет эфективно.
ASP.NET технология Майкрософт и лучше использовать весь комплект Майкрософт для ее поддержания: Win Server + IIS + NET и т.п. Давно я работал с их стеком...
По сабжу - можно, но это изврат, имхо. Если очень сильно хочется - гугли по слову Mono - это порт NET Framework на Linux.
WebAPI можно т.к. он уже на OWIN (нет зависимости от system.web), по остальным смотри зависимость от system.web если таковая есть то нельзя.