ASP.NET WebAPI. Как сделать обертку для ControllerBase.BadRequest без внедрения зависимостей?
Добавьте Exception Filter в конвейер вызова. И бросайте Custom Exception, который фильтр перехватит и вернет нужный вам результат
Но в таком случае легко опечататься и потом искать, почему фронт не отображает ошибку. Поэтому хочу сделать обертку, знаю что можно вот так:

public static class CBExt
{
    public static BadRequestObjectResult BadRequestWithMessage(this Controller ctr, string message)
    {
       return ctr.BadRequest(new { errMessage =  message  });
    }
}

Вот это точно не верное понимание и использование наследования. Вот если вы поменяете на 
public class CustomControllerBase: ControllerBase
    {
        public new IActionResult BadRequest(string[] message)
        {
            return base.BadRequest(new { errMessage =  message  });
        }
    }
и будете все свои контроллеры наследовать от CustomControllerBase то будет норм