Как ВКонтакте определяет, что я поменял браузер, при том, что браузер абсолютно идентичный при импорте кукисов?
Это очень смешно, но это так :) Вопрос решен, не доглядел я, как чувствовал.

Никаких сетевых моментов нет, ВКонтакте устанавливает при авторизации дополнительные 3 кукиса на домен login.vk.com, а когда IP меняется, он эти кукисы смотрит через редирект. Импорт и экспорт плагина работал только по домену m.vk.com, для текущей вкладки. Поэтому авторизация не работала, потому что для ВК это выглядело так, словно пользователь даже не входил на сайт.

То есть экспорт еще надо было делать отдельно на вкладке с доменом login.vk.com, тогда все хорошо работает.
Ответ содержится в вашем вопросе. Что отличается когда вы подключаетесь не напрямую, а через VPN? Правильно,  ваш IP-адрес, который видят сайты. Видимо ВКонтакте авторизует сессию не только по кукам, но и по IP.