Сохраняется ли переменная на время выполнения скрипта?
Сохраняется
Пользовательские переменные хранят значение до тех пор, пока не завершится выполнение сценария.

Каждый раз при запуске скрипта, вывод команды - "curl 'https://экзампл.ком/api/json' 2>/dev/null" будет назначен переменной - output, и это значение будет использоваться пока скрипт не завершит свою работу.