Можно ли реализовать авторизацию без cookies?
можно.
только нужно ли.
Есть ли способ сохранять пользовательскую сессию (между рестартами браузера и уходом со страницы) без использования cookies?Есть, кривые, косые, но есть. 

Какие минусы у localStorage?Ну, например нет автоматической передачи значений стоража на сервер при обмене заголовками... 

А чем вас куки обидели?