Как обновить информацию в php на той же странице?
Асинхронные запроса на JS к контроллеру, который капчу проверяет. XHR / Promise / JQuery.ajax
Делаешь файл
check_capcha.php
В этом файла у тебя будет проверка капчи.
Если капча введена верно, пишешь  return true если нет return false
Отправляешь капчу через ajax
https://gist.github.com/Kirill-Gorelov/cedacbb7f2d... - возьми любой пример с 27 строки по 105 любой удобный тебе.
И потом проверяешь что тебе возвращает