Могут ли админы тонких клиентов следить за мной?
Могут.
Но тут я бы процитировал доктора Хауса: «Все врут». Они сами нажали prntscr, может, случайно.
А почему вас это так беспокоит? Что вы там на рабочем компьютере такое делаете?
Могут ли админы тонких клиентов настроить создание скриншотов с заданным интервалом и складирования их у себя? 
Мне достоверно не известно, но в таких случаях лучше принимать более худшее решение, потому что если они не могут, а Вы думаете, что могут - ничего страшного не произойдет, а вот если наоборот - могут быть проблемы. У Вас :)