Почему запросы к «Балабоба» возвращают 403? И как сделать правильно?
Выкидываем requests и используем urllib.request
Рабочий вариант, python 3.8-3.9:

import json
import urllib.request

headers = {
    'Content-Type': 'application/json',
    'User-Agent': 'Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 11_4) AppleWebKit/605.1.15 '
                  '(KHTML, like Gecko) Version/14.1.1 Safari/605.1.15',
    'Origin': 'https://yandex.ru',
    'Referer': 'https://yandex.ru/',
}


API_URL = 'https://zeapi.yandex.net/lab/api/yalm/text3'
payload = {"query": "Ура Хабр", "intro": 0, "filter": 1}
params = json.dumps(payload).encode('utf8')
req = urllib.request.Request(API_URL, data=params, headers=headers)
response = urllib.request.urlopen(req)
print(response.read().decode('utf8'))
import requests
import json

url = "https://zeapi.yandex.net/lab/api/yalm/text3"

payload = json.dumps({
  "filter": 1,
  "into": 0,
  "query": "Тест был"
})
headers = {
  'Content-Type': 'application/json'
}

response = requests.request("POST", url, headers=headers, data=payload)

print(response.text)