Достать данные из LocalStorage и отправить их на сервер возможно?
Да
Достаем, устанавливаем, удаляемlocalStorage.setItem('chat', 'test');
var data = localStorage.getItem('chat');
localStorage.removeItem('chat');

sessionStorage.setItem('chat', 'test');
var data = sessionStorage.getItem('chat');
sessionStorage.removeItem('chat');
Только сессия будет клиентская, а не серверная.
Отправляем их на сервер с помощью AJAX, например, в качестве параметров в теле запроса.