Как стилизовать video таким образом?
Что именно стилизовать? кнопку Play? делаете поверх  блок типо overlay с кнопкой в центре абсолютом.
А потом по нажатию на кнопку через JS запускаете видео и скрываете overlay.
У Video в HTML есть свои методы и свойства. Т.е. можно создать любые свои кастомные элементы - кнопки плей, стоп и т.д. и повесить на них обработчики. Вот тут подробнее