Каким образом можно сохранить instance объекта между запросами?
Никак. Можешь во время выполнения записывают текущий процесс в "файл". И уже из файла взять готовые данные.
Я так понимаю в данном месте  Artisan::call('youtrack:sync', [], $buffer);
вы вызываете свое какое то консольное приложение. А "youtrack:sync" это какая то команда. Вот там внутри и нужно процесс записывать в файл.
Для такой задачи отлично подойдет старый добрый Gearman.
При выполнении задачи в очереди можно писать статус выполнения в процентном/количественном соотношении, к примеру sendStatus(10, 100) - выполнено 10%. И из любого места приложения получить этот статус по job id.
php.net/manual/en/gearmanclient.jobstatus.php
php.net/manual/en/gearmanjob.sendstatus.php
Ну и вообще иметь вот это в контроллере - очень плохая практика) Для этого есть очереди как быset_time_limit(600);
Artisan::call('youtrack:sync', [], $buffer);