Как интегрировать visa/mastercard в свой сайт?
Вам нужна услуга эквайринга. Это либо банки, либо агрегаторы платежей. Если вы не оч крупная организация - рекомендую агрегатора. Например Робокасса
Самое простое - Яндекс.Деньги. 
Без Юр. лица или ИП можно принимать оплату Яндекс.Деньгами и пластиковыми картами. Кошель до 15000 рублей. https://money.yandex.ru/get/?for=private
Кнопку можно свою сделать, чтобы вообще не было ассоциаций с Яндекс. Можно получать post-уведомления (о пополнении кошелька), в которых будут приходить ID заказов(сделанных на вашем сайте).