Как сохранить из файла .ai только выделенный объект в svg?
Обёртываешь каждую иконку в свой артборд. Алгоритм:
1) Убедись, что каждая иконка является группой (все элементы сгруппированы - CTRL+G) или составной формой (compound shape - CTRL+8)
2) Включи artboard tool (SHIFT+O), натяни на иконку арборд "на глазок" (принцип тот же, как у выделения)
3) Теперь, чтобы точно обернуть артборд по краям иконки - щелкни по ней два раза.
4) Проделай это для всех иконок
5) Save as -> SVG, поставь галку "use artboards"
всё.
Во-первых, чтобы сохранять слайсы надо сначала их разместить т.к. вы выделили объекты, а не слайсы. Во-вторых, через slices нельзя сохранять в svg. В-третьих, в svg проще сохранять либо поотдельности (т.е. в новый документ/артборд скопировать иконку и сохранить как svg), либо через asset export (меню - view - asset export), либо с помощью сторонних скриптов/плагинов.