Как задать траекторию движения для материальной точки в двумерном пространстве?
1. Кусочно : сплайнами по 4-5- и т.д. точкам. Идея заключается в том чтобы в точках "сшива" совпали не только значения самой функции, но и значения ее первой производной, тогда сшивка происходит незаметно. (А для этого простыми словами приходится для задания отрезка кривой например между двумя точками, "захватывать" в расчеты еще по одной точке слева и справа, чтобы выровнять еще и производную).
2. Сразу на весь путь : от параметра t в двух осях : x=X(t) и y=Y(t), где X(t) и Y(t) - полиномы нужной Вам степени. Их коэффициенты Вы можете найти решая систему по N известным точкам. В отличие от кусочного задания, метод немасштабируемый, то есть добавление следующих точек пути заставляет Вас пересчитывать оба полинома целиком, при этом нет гарантии, что результат не окажется совсем другим на первоначальном участке.
Собственно вариант 1 - усеченный, но более удобный на практике случай варианта 2.
3. Любую функцию от времени Вы можете разложить в ряд по базисным функциям. Например, Фурье. Соответственно у Вас получится два ряда Фурье ФХ(t) и ФY(t) - для функций движения по X и по Y.
Кривая Безье хорошо подходит для этого.