Как в Git переименовать ветку?
старый мастер назвать old-master и текущую ветку, переименовать в master
git branch -M master old-master # переимоновать старый мастер
git branch -M master # переименовать текущую ветку в master
Но зачем всё это? old-master будет по-прежнему связан с origin\master.
Если хочется обновить и эти связи, то используется push
git push --set-upstream origin old-master # перенаправить на новую ветку
git push -u --force origin master # пересоздать внешний master
Если origin и VPS это разные места, то VPS не увидит этих ваших переименований. 
Там тоже придётся связи перенастраивать. 
Например через git pull --rebase на VPS и на компьютерах всех коллег, если вы работаете в команде.

Снова повторю вопрос: зачем вам эти сложности?

git remote rename - но это для переименования удаленных веток (как я понял)
Нет, это для переименования remotes — ссылок на внешние репо.
Не надо ничего переименовывать, пусть мастер остается мастером.
Я бы поступил так:

ответвляем от master новую ветку old-master 
рабочую ветку сливаем через merge или rebase с веткой master.
PROFIT
