Как извлечь данные из БД с помощью ajax + laravel?
AJAX ничем от обычного запроса не отличается.
Создайте метод в контроллере, который будет получать нужные данные и отдавать их в JSON формате. Создайте get роут для этого метода.
Делаете AJAX запрос по созданному роуту, в ответ получаете лайки.
$like = DB::table('like')
            ->join('news', 'news.id', '=', 'like.news')
            ->first();
Серьезно? Ужасный подход.
Прочитайте про Relations. Вам подойдет hasOne.