Java: Как передать исключение в конструкторе singleton-класса в getInstance()?
В таком варианте — никак.
Решения
1. Используйте Spring для синглетонов (лучше всего)
2. Извращение — в кoнструкторе сделайте try{}catch{}(). Если есть эксепшн — сохраните его в еще одной статической переменной. getInstance() будет проверять — если сохранен эксепшн — его выбросит, если нет — пойдет в поле с инстансом и вернет его. Только я бы так не делал :)
3. Инициализация синглетона в начале программы. В одном месте. ТОгда можно не писать getInstance() а использовать public static поле класса

Серьезно — если конструктор синглетона может бросить эксепшн — use Spring, Luke
А чем такой код не подходит?

public class ThrowSingleton {
	static public void main(String args[]) throws Throwable {
		SingletonClass.getInstance().toString();
		
	}
}

class SingletonClass {
	public SingletonClass() throws Throwable {
		throw new Exception();
	}

	private static SingletonClass instance;
	
	public static SingletonClass getInstance() throws Throwable {
		if (instance != null) {
			instance = new SingletonClass();
		}
		
		return SingletonClass.instance;
	}
}


Не очень понял, зачем делать приватный подкласс, который держит синглтон.