Почему, конфигурируя свой nginx, не вижу того, чего хочу видеть?
Зачем?? Почему api.127.0.0.1? Что употребляли?
не услышите того, что ожидаете. или не того Вы ожидаете, что надо.
127.0.0.1 это ip адрес. хоть и это и loopback интерфейс. А Вы пытаетесь сделать под-домен, у которого в качестве домена верхнего адреса используется ip адрес.
Я думаю, то что Вам надо:
nginx config:
server_name myserver;
...
server_name api.myserver;
и в /etc/hosts:
127.0.0.1 myserver
127.0.0.1 api.myserver
и потом в браузере myserver или api.myserver