Почему сайты не подключаются к SMTP яндекса?
Но вот на сайте подключение не работает.Во первых - чем и как вы подключаетесь, во вторых - естественно любой нормальный сервис будет блокировать халявные запросы от рандомных сайтов, ибо для них это не бесплатное удовольствие, денег они с этого не получат, а вот хапнуть гемора со спам рассылками с левых емэйлов - как нефиг делать. 

Можно попробовать налюбить систему, включить отладку в пхпмэйлере через вербоуз, посмотреть что не нарвится серверу, и попробовать что-то подшаманить, но в целом это не надежно и такое себе решение, рано или поздно айпи внесут в бан и весь ваш сервис превратится в тыкву. Свой сервер настроить и запустить гораздо проще и на порядок надежнее.
Потому что плохая идея использовать почтовые сервера Яндекса не в персональных целях. Яндекс всячески борется с попытками рассылок, подключения к сайту для отправки уведомлений и тп.

Для рассылок есть свои сервисы.
Для технических уведомлений – свои.

В крайнем случае, подними свой почтовый сервер.