Как видеть рабочий стол через локальную сеть с вин 10 на вин 7?
VNC. Там можно настроить вывод уведомлений.
На Windows 10 ставите VNC-сервер, у себя - VNC-клиент.
Важно, чтоб в трее не висело никаких программ
Втихушку хотите наблюдать, да? Я бы сначала о законности подумал, а уже потом о технической стороне. Бьют не по паспорту :)
Если с той стороны чайник - можно, как уже указали -VNC (или другую программу) и скрыть значок. Правда работает это ну только против совсем уж чайников с преогромными свистками.
Если не греете голову копирайтами - можно найти радмин (у них есть специальное издание, без значка в трее) или DameWare (у него есть штатная возможность так делать)