Как правильно встроить vue.js в «обычный» сайт?
На мой взгляд правильно. Ничего плохого в нескольких экземплярах vue я не вижу. Это моя любимая часть vue - возможность встроить ее куда угодно, не ломая прочий функционал.
По сути можно было обернуть в div с id app поставить на элемент экземпляр Вью, и после создать методы которые бы реагировали на события, v-on:click и т.д