Адреса сети, ip адреса?
Адрес подсети и адрес роутера от которого идет эта сеть - это одно и тоже?
Нет.

Адрес сети - это вообще IPадрес или это просто номер?
Это IP-адрес.

Под что уходят адреса 192.168.1.0 и 192.168.1.255 и 192.168.1.256 при маске 255.255.255.0
192.168.1.0 - адрес подсети;
192.168.1.255 - адрес бродкаста подсети;
192.168.1.256 - не существует.
Адрес роутера - это 1 конкретный адрес
Адрес подсети - несколько IP адресов исходя из маски
под "технические" нужды, например под broadcast