Можно ли изменить значение переменной php при клике на кнопку без перезагрузки страницы?
Поступил запрос от браузера -> запущен php-скрипт -> скрипт отработал -> выдал ответ браузеру -> выполнение скрипта завершилось
Вот жизненный цикл любого php-скрипта. После завершения выполнения скрипта все переменные (и их значения) уничтожаются. Т.е. между запросами не сохраняется ничего - нечего увеличивать. 
Однако, Вы можете, при загрузке страницы, забирать значение $kol ява-скриптом, по нажатии на кнопку, ява-скриптом же, увеличивать сохраненное значение, передавать в функцию на php (или сразу считать ява-скриптом же эту функцию, если возможно) и в html ява-скриптом, опять же, вывести результат.
Да, jquery ajax, например, можно использовать.<input type="button" id="magicbtn" />
<div id="magichtml"></div>
<script>
$(document).on("click", "#magicbtn", function() {

$.ajax({
  url: "/ajax/magic.php"
}).done(function(result) {
  $( "#magichtml").html(result);
});
});
В magic.php любой код, в т.ч изменение переменной,