Какие данные передает компьютер и роутер на сайты?
Открой в браузере инструменты разработчика и посмотри в панели Сеть(Network) все запросы: как входящие так и исходящие
Никаких.
Современный сайт, это страница со скриптами.
Вы загружаете страницу и скрипты расположенные на этой странице выполняются - вот что разработчик скриптами соберет, то и его.
Роутер  никак не влияет на передаваемую на сайт информацию, он на другом уровне работает.
Мoдем вообще с информацией никак не работает.