Можно ли настроить Apache на работу с процессом php, который будет постоянно весить работающим?
Апач настроить так нельзя. Но можно сделать так, чтобы из браузера запустился процесс и стал демоном. 
Пример тут
это основополагающая парадигма пхп, запустился - отработал - упал.
ответ - нельзя.
а если хочешь то смотри на phalcon но оно тебе тоже врядли поможет.