Можно ли и как обработать ajax в js?
Ajax, как я понял, существует для передачи данных на сервер и обработки ответа от него. Важное уточнение - без перезагрузки страницы. То есть как раз поведение противоположное тому что вам надо.

Знаю, что можно сохранять их, например, в локальном хранилище или куках, но... Выглядит это не особо профессионально :D.Зависит от целей и задач передачи. Если данные чисто информационного характера, не влияющие на функционал серверной части, то хранение в куках или локалстораже оправдано (например некоторая кастомизация внешнего вида станиц на основе жс и переменных из локального хранилища). Защищенные данные обычно хранят на стороне сервера, например в сессии. 

А для передачи пользовательских данных обычно используются формы (пример - логин или регистрация), которые передают от одной страницы в другую зашифрованные данные либо как параметры урл (метод гет), либо через заголовки и тело запроса (метод пост).
Для передачи данных с одной страницы на другую не обязательны ajax и localStorage.  На первой странице достаточно ссылки такого типа:
<a href="http://site.com?id=1&name=vasya">Передать</a>
а на второй странице должен быть такой принимающий JS-код:
let result = new URL(location.href).searchParams.get("id");  // или get("name");
console.log(result);