Как сделать, так, чтобы форма обратной связи отправлялась на почту, только после прохождения валидации?
Клиент может отредактировать скрипт в браузере и обойдя валидацию отправить в форме любые данные.
Валидацию или фильтрацию на стороне сервера нужно делать обязательно.
А зачем вы 2 раза обрабатываете submit?
у вас
$('#form1').on('submit',...
после preventDefault сразу идет ajax запрос
поставьте перед ajax запросом вызов валидации и условие которое по true запустит ajax