Как правильно достать данные из многомерного массива?
Так случилось, что в JS нет многомерных массивов - это объект
бегать по нему удобнее через ключиvar keys = Object.keys(arCartElements);
keys.forEach(function(elementId) {
    var element = arCartElements[elementId];
    console.log(element);
});
для бесконечной вложности использую рекурсивный обход
Вам надо перебирать все строки таблицы и для каждой вставлять соответствующее значение. Сейчас вы каждое значение вставляете во все строки таблицы разом.$('tbody#parent>tr:gt(0)>td:nth-child(3)').each(function(index) {
  $(this).text(data['set']['items'][index]['name']);
});