Как показать закрытое видео youtube на своем web сайте?
нет у ютуба нет такой возможности.
То что Вам нужно есть у https://boomstream.com/ru/, но в отличии от youtube там придется денежку платить. Но я так понимаю, Вы планируете монетизировать показы - тогда вкладываете то что берет boomstream в стоимость и дело в шляпе.
На youtube есть три типа видео: открытое и доступное поисковикам; открытое, но нигде не индексируемое (so-called, non-listed) и полностью закрытое видео, доступ к которому осуществляется по приглашениям.
Так что ставьте non-listed и распространяете ссылку.