Как заставить babel отслеживать изменения?
https://babeljs.io/docs/usage/cli/#babel-compile-files
запускайте с флагом --watch
как вариант<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/babel-standalone/6.25.0/babel.min.js"></script>

<script type="text/babel">
/*сюда пишим код*/
</script>
только успевай f5 тыкать)