Как доказать количество общих точек касательной и параболой?
пусть касательная в точке (x0, ax0^2+bx0+c);
уравнение касательной: y -  ax0^2+bx0+c = (2ax0+b)(x-x0)
надо доказать что система // y = ax^2 + bx + c  и  y -  ax0^2+bx0+c = (2ax0+b)(x-x0) имеет ед. решение (x0, ax0^2+bx0+c) 
подставим y во второе уравнение, приведем подобные: x^2-2xx0+x0^2=0 то есть x=x0 ед решение
y(x) = a·x2+b·x+c
Возьмём некую точку x0 и построим в ней касательную. Она будет иметь вид:
yk(x) = y'(x0)·x+d = 2·a·x0·x+b·x+d
Найдём значения в точке x0:
y(x0) = a·x02+b·x0+c
yk(x0) = 2·a·x02+b·x0+d
Теперь добавим произвольную положительную величину Δ и найдём значения функций в точке x0+Δ:
y(x0+Δ) = a·x02+2·a·x0·Δ+a·Δ2+b·x0+b·Δ+c = y(x0)+2·a·x0·Δ+a·Δ2+b·Δ
yk(x0+Δ) = 2·a·x02+2·a·x0·Δ+b·x0+b·Δ+d = yk(x0)+2·a·x0·Δ+b·Δ
Учитывая, что y(x0) = yk(x0) найдём разность:
y(x0+Δ)-yk(x0+Δ) = y(x0)+2·a·x0·Δ+a·Δ2+b·Δ-yk(x0)-2·a·x0·Δ-b·Δ = a·Δ2
Таким образом, знак разности не зависит от знака величины Δ, значит обе части параболы относительно x0 будут лежать по одну сторону (с какой именно стороны - определяется знаком коэффициента a) от касательной в  этой точке, значит пересечения нет. При ненулевых a и Δ разность не может равняться нулю, а значит касательная и парабола кроме точки x0 нигде не соприкасаются.