Как изменить каждый элемент массива, что бы он начинался с заглавной буквы?
let result = arr.map(upPer);
function upPer(value) {
     return value[0].toUpperCase() + value.substr(1);
}
Читать сюда: Array.prototype.map()
***1***
Здесь проходимся встроенным методом всех массивов map по полученному массиву слов. В качестве аргумента этот метод принимает функцию, которая, в свою очередь, принимает аргументы (текущий_элемент, индекс_элемента, исходный_массив). В данном примере мы используем только первый аргумент – текущий_элемент (word)

***2***
Здесь в переменную newWord назначаем строку, которая состоит:
- из первой буквы исходного слова, приведенной к верхнему регистру ( word[0].toUpperCase() )
- из остальной части слова, которая получается методом slice, которому в качестве аргумента передаётся начальный индекс, с которого происходит "вырезание"

***3***
Возвращаем полученное новое слово newWord, которое в новом массиве становится на место исходного слова.

function newResult() {
  let arr = [];
  while(true) {
    let word = prompt('Введите слово', '');
    if (word === '' || word === null || isFinite(word)) break;
    arr.push(word);
  }
  alert(`Введено: ${arr}`);
  let result = arr.map(word => { // ***1***
    const newWord = word[0].toUpperCase() + word.slice(1); // ***2***
    return newWord; // ***3***
  });
  
  alert(`Результат: ${result}`);
}
newResult();