Как построить бесшовный переход между точками доступа в интернет?
никак.
Это можно решить на уровне собственной автономной системы и полноценной bgp маршрутизации. Но это совсем другие деньги, знания, оборудование.

Разместите сервер на колокейшене в большом ДЦ с несколькими каналами. и тогда это будет не ваша проблема.
Вам стоит понимать что когда будет происходить переключение между провайдерами то соединения - в первую очередь tcp они всеравно будут разорваны и установлены заново, так как у вашего сервера смениться ип адрес и маршрут, как на это будут реагирывать программы/сервисы работающие на вашем сервере - вам виднее.

Обычно бесперебойный доступ в интенет решается установкой сервера в датацентр с соответствующим уровнем резервирываниея всего, начиная от двух сетевых карт собраных в бонд на сервере, потом на стойке два свича в стеке и так далее....

Так как вы не указали ОС на сервере то нет возможноти вам советывать реализацию переключения между провайдерами.