Почему мощность резистора R10 выбрана 0.5, а не 0.125 Вт? А так же что можно сделать, чтобы применить резистор на 0.125 вместо 0.5 Вт?
Почему мощность резистора R10 выбрана 0.5, а не 0.125 Вт?Чтобы резистор не сгорел. Когда светят 8 светодиодов, через них проходит ток в 8 раз больше, чем через один светодиод (при условии одинаковой яркости). В 8 раз больший ток через резистор приводит к выделению в 8 раз большего количества тепла. Номинальная мощность резистора есть максимальная рассеиваемая (в виде тепла) мощность, при которой резистор не перегорит, а может работать длительное время (годы).

что можно сделать, чтобы применить резистор на 0.125 вместо 0.5 Вт?поставить по одному резистору 0.125 Вт после каждого из светодиодов HL6..HL13. По схеме нетрудно предположить, что сопротивление каждого из этих восьми резисторов должно быть 330 Ом (смотрим на R1..R5). Но по хорошему нужен рассчёт, о котором говорит Виктор.
Вы предоставили почти всю просимую мною инфу, кроме напряжения питания. В дальнейших прикидках буду исходить из того, что Uпит=5 вольт, диоды желтые (Uпр~2 вольта) и светятся все разом, кроме одного. Получается суммарный ток примерно 60 мА, мощность на R10 около 170 мВт. Это действительно превышает 0,125 Вт, но для применения полуваттного резистора причины нет, достаточно 0,25 Вт.
Тем не менее резистор 0,125 применить можно, если использовать в качестве светодиодов современные сверхяркие - они отлично светятся от тока вдесятеро меньшего, чем те старинные, что стоят у вас (то, что там именно такие, видно по излишне большому току).
Итак, вот мой  совет - ставьте в схему сверхяркие диоды, и это позволит применить R10 мощностью 125 мВт и сопротивлением 330...680 Ом.