Может ли Gmail быть клиентом чужой почты по IMAP, или есть другое решение?
Я так понимаю вас это интересует? 

Если конкретно сбор, то переходите в «Настройки->Аккаунты и импорт->Проверить почту из других аккаунтов (с помощью POP3)» и по инструкции настраивайте доступ к другому ящику по IMAP (не обращайте внимание на POP3).
А чем десктопный клиент не устроил? Может этот устроит