При sql запросе писать с кавычками или без?
Безопаснее и правильнее использовать PDO или MySQLi вместо устаревших mysql_ - функций.
Ну, и с обоими вариантами нужно использовать подготовленные запросы вместо того, чтобы писать их вручную.

Получится что-то вроде этого:
$host = '127.0.0.1';
$db   = 'test';
$user = 'root';
$pass = '';
$charset = 'utf8';

$dsn = "mysql:host=$host;dbname=$db;charset=$charset";
$opt = [
    PDO::ATTR_ERRMODE            => PDO::ERRMODE_EXCEPTION,
    PDO::ATTR_DEFAULT_FETCH_MODE => PDO::FETCH_ASSOC,
    PDO::ATTR_EMULATE_PREPARES   => false,
];
$pdo = new PDO($dsn, $user, $pass, $opt)

$stmt = $pdo->prepare("SELECT last_name FROM first_table WHERE name=?");
$stmt->execute([$name]);
$last_name = $stmt->fetchColumn();
1) безопаснее с кавычками - так говорит препод по бд (почему не спрашивал, преподает уже больше 10 лет)
2) писать с кавычками - вы же сравниваете атрибут таблицы с определенными именами, а не другим атрибутом