Как реализовывают dropdown-menu в react?
Если вы задумали написать свой компонент, то крайне рекомендую посмотреть хотя бы на API других известных реализаций. Например semantic: https://react.semantic-ui.com/modules/dropdown
Там есть и примеры. Посмотреть что происходит под капотом можно в devtools и исходниках на github - это Open Source.
А в чем проблема?
Заводите в state компонента флаг isVisible.
В методе render в зависимости от его значение рендерите или не рендерите выпадающее меню.
Если вам нужно его показывать - делаете setState({ isVisible: true }), если надо скрыть - setState({ isVisible: false })