Как получить доступ к неизвестному элементу многомерного массива?
$qty = array_map(function($a){
    return array_sum(array_column($a['size'], 'qty'));
}, $array['cart']);

print_r($qty);

echo(array_sum($qty));
Т.к.  у тебя наверняка в массиве size может содержаться несколько размеров (а раз так то и кол-во под каждый размер разное), то в колбек функции я возвращаю сразу сумму "qty" по каждой из позиции, а потом уже получаю общую сумму
P.S. Функция array_column доступна в пхп >= 5.5.0 
Здесь php.net/manual/en/function.array-column.php в комментариях можно найти "самопис" этой функции
Можно пройтись рекурсивно по массиву и собирать нужные элементы во временный массив. Потом значения этого массива сложить и все.