Как вести лог запросов на сервере и при этом не уронить сервер?
С уточнениями по результатам комментариев
Логи. Именно логи пишите в syslog.
А хранение и обработка истории операций это не логи. Это аналитика. Для этого существуют отдельные инструменты в зависимости от длительности истории. Для краткосрочной подойдут key-value БД типа Redis, которые будут накапливать информацию затем она будет агрегироваться и удаляться из них.
Ну и проверьте, что все 200-300 rps вам реально нужны к базе, а не к кешу. 
Обычная практика показывает, что 1 млн пользователей в сутки создаёт нагрузку меньше 10 rps. 
И при этом позволяет содержать 3-5 серверов
логфайл
clickhouse