Как автоматически получить транскрипцию английского слова из Яндекс-переводчика?
Сразу предупреждаю: вы должны понимать, что нарушаете правила пользования сервисами Яндекса и ни в коем случае не должны использовать такие решения в коммерческих целях. Надеюсь на ваше благоразумие.
По поводу решения: лучше зайти со стороны внутреннего API, используемого на сайте.
Вот простейший вариант решения. Для парсинга Json используется библиотека Json.Net (можете переписать на парсинг стандартной библиотекой .Net, мне просто так было быстрее написать пример).const string text = "dog";
var translateUrl = "https://dictionary.yandex.net/dicservice.json/lookup?ui=ru&text="
                    + text + "&lang=en-ru&flags=23";

using (var wc = new WebClient())
{
    wc.Encoding = Encoding.UTF8;
    var resultHtml = wc.DownloadString(translateUrl);
    dynamic trsJson = JObject.Parse(resultHtml);

    var trs = trsJson.def[0].ts;
    Console.WriteLine("Транскрипция: " + trs);
}
В Документации Yandex API есть пояснение где лежит транскрипция. 
Таблица 1. Элементы XML-схемы ответа DicResult
head	Заголовок результата (не используется).
def	       Массив словарных статей. В атрибуте ts может указываться транскрипция искомого слова.
tr	        Массив переводов.
syn	       Массив синонимов.
mean	Массив значений.
ex	       Массив примеров.