Как правильно коннектить JS с PHP?
Шта? Как PHP (серверный язык) должен работать в вашем браузере? Вы в своем уме?
Сделайте обработчик на стороне сервера и используйте AJAX запросы, чтобы выполнить какие либо действия
Никак. Тут есть 2 варианта: AJAX'ом слать запрос каждые 2 секунды, получать ответ, и производить нужные действия. Либо же, использовать веб сокеты.
Вы не понимаете то, что в этом примере...<script language=javascript>
var jsvar;

jsvar = <?php echo $phpvar;?>
</script>
...значение php переменной подставляется на этапе обработки кода php интерпретатором. Сделать то, что вы хотите не представляется возможным.
И зачем вы используете DB? Разработчики Laravel'а дали вам ORM (Пусть и не самую хорошую), так используйте модели!