Как сделать в Laravel аутентификацию по паре криптографических ключей?
Готовых решений не знаю, но это все можно сделать и самостоятельно переписав логику. Для этого достаточно в контроллере LoginController, переопределить все методы из AuthenticatesUsers и дописать в RegisterController методы create и validator. Тем самым вы сможете исключить проверку логина пароля и написать свою логику авторизации по токену.
К примеру: https://tighten.co/blog/creating-a-password-less-m...
Вы хотите реализовать алгоритм подобный ssh?
Сделайте примерно так: добавьте middleware, которая будет проверять наличие cookie key и проводить необходимые манипуляции - доставать публичный ключ из базы данных, проводить проверку, решать, авторизован пользователь или нет.
Однако не рекомендую так делать, лучше воспользуйтесь авторизацией на основе JWT токенов.