Где правильнее включить DHCP?
Правильно ли было отключать его именно на роутере, а не на модеме?
даСейчас провод от модема и провод к одному из компьютером подключены к чёрным портам, 
правильно подключено.в чём могла быть проблема и зависела ли она от этой опции?
Проблема была в том, что модем раздавал правильные настройки, а роутер - неправильные, если коротко. Устройства могли подхватывать или те, или другие, и соответственно либо видели Инет, либо нет. Вы выключили источник проблем.
уточняющий вопрос: модем подключен к WAN интерфейсу роутера?
если да и роутер настроен на автоматическое получение адреса на WAN порт - то отключать DHCP на модеме нельзя
если нет - то:
Правильно ли я сделал, что отключил на одном из устройств DHCP?
- да
Правильно ли было отключать его именно на роутере, а не на модеме?
- оставить DHCP стоит на более производительном устройстве