Как установить куку при запуске браузера?
Простым и универсальным способом нельзя. Добавьте переменную в адрес (GET). На сервере можете проверять наличие параметра, ставить cookie и делать редирект, удалив параметр из URI.
Да, можно. Можете сделать поддомен (test.example.com), ссылающийся на 127.0.0.1. На 127.0.0.1:80 запустить  простой HTTP сервер который будет устанавливать куку на все домены, а потом редиректить на нужный домен (example.com). Сервер делается за минуты на питоне например с помощью BaseHTTPServer.
Если необходимо проделывать такое с множеством веб сайтов, то придется заморочится с DNS.