Почему при заряде / разряде конденсатор пропускает ток?
Сначала картинка из серии "физики шутят":

С ее помощью можно запомнить, что там конденсатор пропускает, а что - нет.

Можно грубо себе это представить так - в процессе зарядки молекулы диэлектрика разворачиваются и смещаются определенным образом, чтобы сориентироваться по линиям поля. Этот процесс прекращается, когда сила химических связей между молекулами становится равна силе, с которой электрическое поле стремится их подвинуть. 
Пока эта сила меньше, заряды могут двигаться, что что по определению и есть "течение электрического тока".

Вынос из каментов:

Чем диэлектрик отличается от проводника? В проводнике есть свободные носители заряда - то есть штуковины (электроны (в металле), ионы (в жидкости)), которые могут свободно перемещаться в веществе.

В диэлектрике же эти граждане привязаны, грубо говоря, к своему месту эластичной резинкой - свалить в свободное плаванье она им не дает, но позволяет ограниченно перемещаться. Так вот, пока электрическое поле достаточно сильно, чтобы подвинуть эти носители заряда, ток вполне себе течет.

Это не может продолжаться бесконечно, потому что в какой-то момент все "резинки" натянутся (емкость зарядилась) и ток течь перестанет. Но если приложить слишком большое поле, "резинки" порвет, заряды свалят со своих мест - наступит пробой диэлектрика.
ток  не проходит через диэлектрик