Можно ли в python создать скрипт, который будет управлять сторонней программой в фоновом режиме, пока я занимаюсь своими делами?
Попробуй pywinauto, он вроде умеет (в отличие от pyautogui).
Как создать скрипт, который сможет запускать и управлять сторонней программой в фоновом режиме (т.е. делать клики, писать что-то, при этом не мешая мне)?Смотря что вы понимаете под управлением.
Если делать клики это эмуляция  клавиатуры и мыши, то разумеется в фоновом режиме это делать не получится.

Если просто управлять, без кликов - запросто.