Почему при, якобы, образовавшейся задолженности за интернет — какие-то сайты открывается, а какие-то нет?
Принцип простой - пока у вас все оплачено, все работает.
Как только деньги закончились, начинается блокировка.
Провайдер блокирует доступ в интернет.
Адреса всех сайтов на уровне DNS подменяются на x.x.x.x, где x.x.x.x - адрес где расположен личный кабинет абонента на сайте  провайдера.
Доступ к другим адресам блокируется.
Из блокировки исключаются некоторые сайты - например сайты банков и платежных систем и все ресурсы необходимые для их работы, чтобы вы смогли оплатить долг картой, даже при блокировке.
При блокировке зачастую нормально работают сайты провайдера и внутренние ресурсы провайдера, но все зависит от структуры сети провайдера.

Блокировку настраивают люди, а им свойственно ошибаться.
Поэтому иногда при блокировке можно выходить в интернет, иногда можно но с ограничениями, иногда все наглухо.
В общем как повезет.
Некоторые сайты могут быть в whitelist - внутренние сайты провайдера, сайты банков через которые можно провести оплату. Может быть еще что-то у провайдера просто открыто, а что-то закешировано.

Опять же, у провайдера может блокировка быть кривовато настроена, особую логику не ищи, и на стабильность того, что какие-то сайты работают даже при блокировке - не стоит рассчитывать.

Опять же "без доступа к интернету" определяется, например доступом к www.msftncsi.com/ncsi.txt, и резолвом домена dns.msftncsi.com. Если их заблокировать, то может весь остальной интернет работать отлично, а у вас будет надпись что no internet access. В разных версиях виндовс этот детект может немного меняться.