Как инициаизировать пустую переменную?
Ну так у вас в переменной лежит либо какой-то тип, либо юнион из этого типа и undefined. Инициализируйте сразу значением. Если это невозможно, то придётся делать проверки, на то она и строгая статическая типизация.
let client
// ....
client = ...
client будет того типа что в него присвоили.
Но судя по всему у вас client это свойство класса - для него надо либо инициализировать в конструкторе, или писать  | undefined, потому что там и правда может быть undefined
Если вы стопудово уверены что до любого использования в классе client будет инициализирован то client!: sheets_v4.Sheets
тут вы берете ответственность на себя и если все развалится и упадет потому что там будет undefined - тайпскрипт не виноват.