Можно ли пользоваться компьютером во время сварки?
 У нас стоит стабилизатор, 
Я вас удивлю, но хороший компьютерный БП работает лучше всякого стабилизатора. Вам лучше установить не стабилизатор, а источник безаварийного питания

 но свет сильно моргает.
На прежней работе у меня рядом постоянно что-то варили, но с электричеством проблем не было. Проблема не в качестве сварочного аппарата, а в качестве проводки (ждем неприятностей в виде пожара и прочей веселухи).

Можно поставить UPS и забить на соседа (и ждать пожара), а можно собрать статистику изменения напряжения с ИБП и обратится в местную электросеть с претензиями, пусть они разбираются. Дело это сложное и проблемное, но будущие ваши проблемы это совсем другая история
Можно.
Но следует понимать, что в случае резкой просадки напряжения может не хватить и компьютер выключиться, и вы потеряете данные.
Чтобы этого избежать ставят ИБП.

Стабилизатор в таких случаях вряд ли поможет, а вот хуже сделать может.