Как отображать в результатах Google свой сайт с поиском?
Гуглить "микроразметка" и "сниппеты гугл".
Я делал по этой инструкции Sitelinks Search Box Markup
И посмотрите еще тут Другой источник
PS. И сделайте редиректы принудительные на HTTPS. У вас в индексе и HTTP и HTTPS версии сайта. Хотя посмотрел, это не у Вас а у тех кого вы для примера взяли =)