Что лучше использовать для корзины покупок?
Но есть люди которые запрещают их использование путем установок некоторых расширении в браузеры.  это их проблемы

корзина будет работать для абсолютно любых пользователей, авторизованных и просто гостейна почитай. 
в статье рассматривается пример с накоплением статистики просмотренных товаром анонимного пользователя, который впоследствии регистрируется и эта статистика привязывается к его аккаунту. идеально подходит под твою задачу - аноним добавляет товары в корзину, во временном хранилище в БД хранишь UID пользователя и товары, при обработке формы делаешь скрытую регистрацию. будут вопросы - спрашивай.
Localstorage или храните корзину на сервере.