Как отсортировать массив php внутри js кода?
Или загружайте в JS все данные в виде JSON (можно через AJAX), и сортируйте как вздумается. Либо на каждый щелчёк делайте переход на другую страницу, с нужной сортировкой.
Рисуете все как рисовали. Добавляете к каждой карточке data атрибут. Например для терапевтов data-type="terapevt" для отропедов data-type="ortoped". Потом вешаете на кнопки события клика и при клике на кнопку с терапевт скрываете всех кроме тех у кого data-type="terapevt".  Примерно так. Можно например плагин использовать для этого, например  https://isotope.metafizzy.co/filtering.html.