Как развернуть Java приложение на сервере?
Помимо tomcat есть много других java серверов, например jetty. Но без JRE или JDK на сервере Вы их не сможете запустить.
Вам сервер каким образом доступен? Только в виде какой-то панели управления через которую Вы можете залит файлы? FTP? SSH?
Есди ssh доступен - заходите и ставьте JDK и TomCat. Потом перепишите Вашу программу в виде сервлета и разверните ее под TomCat.
.class? А JAR/WAR для кого придумали? 
Если у тебя веб-приложение, то нужен контейнер сервлетов/сервер приложений, который умеет запускать веб-приложения. Их упаковывают в war. В этом архиве должен быть дескриптор развёртывания web.xml. Если у тебя обычная программа, то пакуй в jar. 
Ну и нифига не понятно, что за "техподдержка" и что за "сервер". Ты пользуешся обычным хостингом? Нафига, 2014 на дворе. Есть же дешёвые VPS-ки. Арендуй какой-нибудь сервак и разверни на нём всё.