Как передать управление сайтом заказчику?
любая CMS. да, для них можно делать свой дизайн. 
разумеется, придется в это вникать.
Вам нужно открыть для себя понятие "хостинг".
Это то, где размещается сайт.
Есть и бесплатные хостинги, но проще купить самый простой тариф в районе 100-200р/месяц и иметь нормальный хостинг. К нему же можно подключить и домен.

Сайт = файлы, лежащие на хостинге и открывающиеся с домена.
Передать сайт заказчику = передать ему доступы к хостингу. В идеале - изначально хостинг должен быть оформлен на заказчика и оплачен им.