Как отфильтровать данные по нескольким запросам в Laravel?
Нужно name поставить что то вроде name="univer[]" , тогда в $request->univer будет массив выбранных checkbox'овЧто то похожее на stackoverflow
<input type="checkbox" name="vuz[{{ $item->name }}]" value="{{ $item->id }}">
<input type="checkbox" name="napravlenie[{{ $value->alias }}]" value="{{ $value->id }}">
от этого и пляшите. Прям вот код писать за вас мне лень.