Потеряет ли позиции сайт при удалении www?
нет
Если вытащить его из папки и убрать www из адреса, то сайт потеряет позиции?
Если вы так сделаете, то все страницы сайта начнут отдавать 404 ответ сервера и сайт полностью выпадет из выдачи со всеми последствиями. 

Если вам необходимо, настроить отображение в выдаче домена без WWW это делается через настройки:

в кабинете Яндекс Вебмастера, 
301 редиректы в файле htaccess 
указания хоста в файле robots.txt (на данный момент рекомендация считается устаревшей, но я бы не пренебрегал ею).


то сайт потеряет позиции? при настройке имени домена без WWW
Да, некоторое время сайт провалится, но затем вернет позиции. 
На сегодняшний день, судя по данным по трафику указанного вами сайта, эти "провалы" незначительно повлияют на общие тенденции.