Какие обязанности в команде у джуна .Net?
когда джуна пускают к нормальным задачам
Когда тимлид считает, что джун к этому готов.

и пускают ли вовсе?
Зависит от компании.

Стоит ли уйти в другую компанию, где область задач и опыт будут нормальными?
Через годик, чтобы появилась возможность выбирать.
Такие же как и у остальных после задачки попроще