Как передать данные методом $_POST в WordPress или есть родные аналоги?
WordPress прекрасно работает с $_POST.

Сначала разберитесь что такое роутинг и ЧПУ в целом. Потом разберитесь с тем, как WordPress работает внутри, как он обрабатывает запросы. А потом разберитесь что такое хуки и как с ними работать.

ЗЫ: В какой именно index.php вы ставите этот код? Какой к нему путь?
1) Wordpress ничего не запрещает, запрещать может вебсервер, но тут не этот случай
2) роутинг в вордпрессе это тема сложнее чем "кинул код в index.php", редактировать файлы ядра нельзя, а форму нужно размещать внутри темы. Index.php там не один, их несколько в разных папках
3) <form action="" method="post">
Почему тут нет form action? Вы уверены, что обработчик сработает на уровне любого роута?
4) попап на странице может ниочем не говорить, говорит правду вкладка networks в chrome dev tools - какие данные послали, на какой урл-роут, что ответил этот урл.
Почитайте от корки до корки пару туториалов по добавлению формы в вордпрессе, о том как он устроен и как отслеживать в нем данные