Git и два репозитория (public и private)?
эм, 

git remote add origin YOUR_PRIVATE_REPO
git remote add public GITHUB_REPO

git push -u origin — закомитить в приватный репозиторий и сделать его дефолтным
git push public — закомитить на гитхаб
Сделайте на гитхабе отдельный проект, в нем sh-скрипт, который сливает в какую-нибудь папку последнюю версию вашего проекта, переносит то что нужно в корень и коммитит с нужным сообщением.
Вы сможете отслеживать в логе как «обновления» версии, так и изменения самого скрипта (если его понадобится изменить).