Как работает телеграм бот скачивания видео с ютуба?
Скачивание видео с ютуба - обычная операция. Её реализует, например, проект youtube-dl (который фактически уже загнулся) и его форк yt-dlp (живее всех живых). Они могут работать как отдельный скрипт, так и как модуль к python.

А так как ботов часто пишут именно на python, то это ещё и достаточно просто реализовать. Получив ссылку, бот вызывает функцию модуля yt_dlp, затем скачанное видео отправляет запросившему.

Бот также может помнить, какие видео у него уже есть, и отправлять их сразу по file_id. Если у бота большая аудитория, то популярные видео он может отправлять довольно быстро, если их уже хоть кто-то запрашивал.

Теоретически, бот может также делать предзагрузку популярных видео из трендов или у очень популярных поставщиков контента, но это только для прям уж очень популырного бота может иметь хоть какой-то смысл, тем более что места потребуется много, а полученные файлы не факт что кто-то вообще скачает.

Также следует отметить, что у хостинга бота может быть доступ в интернет гораздо лучше, чем у обычного пользователя дома.
Всю "телеграмщину" обычно делают на Python. Есть библиотека (дополнение, если простыми словами) которая позволяет парсить ютуб, в том числе и скачивать видео. Скорее всего бот на ней и работает. 

На счет скорости - не знаю. Скорее всего на хостинге бота очень быстрый интернет. Или видео из ютуба не скачивается на сервер, а сразу передается пользователю