Бывает ли дружба между двумя сетями на 1 ПК?
Скорее всего, у вас прописаны стандартные маршруты. Если адреса нет в текущей сети, то компьютер посылает запрос в интернет. Это называется маршрутом по умолчанию. Так вот в вашем случает корпоративный адрес находится вовсе не в интернете, поэтому запрос выходит, грубо говоря, в другую дверь. 

Надо настроить маршрут до корпоративной сети через корпоративный интерфейс(адрес, карту, сеть) . 
В корпоративной сети есть, видимо, несколько подсетей, кроме той, в которой находится адрес интерфейса из этой сети. Для того, чтобы имелся доступ к узлам этих подсетей, должны существовать соответствующие маршруты через правильный адрес шлюза.

Однако, судя описанию, обе сетевые карты настроены на автоматическое получение адреса. И соответствующие DHCP-серверы не рвутся правильно анонсировать маршруты, а просто анонсируют шлюз по умолчанию.

Соответственно для нормальной работы нужно (при условии, что обе карты адресуются по DHCP): 

1. Настроить метрики интерфейсов, поставить интерфейсу в корпоративной сети более высокую метрику (бОльшее значение метрики соответствует более низкому приоритету интерфейса, и соответственно его маршрутов).

2. Выяснить адреса узлов в корп. сети, к которым тебе нужен доступ. Если доступ осуществляется по IP - то всё просто, адреса уже есть. Если же по именам, то следует отключить второй интерфейс, а потом получить соответствия имён адресам (да хоть тупым пингом) и внести эти соответствия в файл HOSTS. Ну и молиться, что эти нужные адреса - не динамические. Получив адреса (а ещё лучше - узнав у админа их подсети), прописать статические маршруты в эти подсети либо к этим адресам через анонсируемый в корпоративной сети шлюз. После чего - на карте в корп. сеть установить статические адреса DNS-серверов, и удалить из списка все серверы.

3. По-хорошему - написать скрипт, который при старте системы выключает интерфейс в корп. сеть, а затем его снова включает. Эта операция (совместно с установкой метрик) гарантирует, что будет использоваться маршрут по умолчанию именно на интернетовском интерфейсе.

Впрочем, это всё будет работать только в случае, если в корп. сети не производятся какие-то перестройки (изменения адресации). Если что-то изменится, скорее всего придётся корректировать и свои локальные настройки.