Как отправить сообщение на telegram с моего сайта, просто по нажатию на кнопку?
Можно. Создаете бота, подписываетесь на него.
Когда пользователь на сайте нажимает кнопку - шлете с сайта запрос в апи телеграма, чтобы бот отправил Вам сообщение.
https://core.telegram.org/botsUPD
метод https://core.telegram.org/bots/api#sendmessage
chat_id - это ваш личный id в телеграме.
Узнать его можно очень просто - получаем от бота сообщения которые ему пишут юзеры, как это сделать написано https://core.telegram.org/bots/api#getting-updates
В сообщении видно chat_id автора. Соответственно пишите боту что нибудь, видите свой chat_id, хардкодите его в коде.
Да, можете, но надо чтобы с ним начали беседу. В sendmessage указывается chatid и сообщение. При нажатии на кнопку реализуйте это и все.