Обязательно ли кабель должен быть проведён к роутеру через модем или использование модема необязательно?
Советую освежить свои знания о том,  что такое модем и роутер.  Эти устройства выполняют две разные функции, поэтому независимы. Использование определяется архитектурой сети
В настоящее время модем уже не нужен. Это морально-устаревшие технологии 2000х годов когда интернет пускали по сетям телефона или по коаксиальному кабелю телевидения. Вот для таких стеков и ставился модем. Более того. Такие квази-телевизорные сети работали очень хреново (у меня был максимум 25 мегабит) и еще и асимметрично. Тоесть скорость в upload была раз в 10 медленнее чем в download.

Сейчас вне нормальные провайдеры домашнего инета тянут ethernet (витая пара) до каждой квартиры. А модемы остались только у ваших бабушек.