Как сделать такое на vue?
Перефразирую твой вопрос, чтобы тебе самому было понятно:
Что лучше использовать для ремонта: пилу или молоток?
Во первых vue.js и web sockets разные технологии. Абсолютно.
Во вторых для решения задачи нужно использовать веб сокеты.
Ответ на вопрос почему лежит в изучении работы их механизма и простой проекции на эту задачу.