Можно ли начинать разработку проекта на ASP.NET Core?
Да, можно и нужно начинать! Проблем с ним нет, используем .NET Core 2.0 в продакшне. Работает быстро, проблем нет. Многое уже есть из коробки. Это будущее .NET.
В принципе использовать можно, надо надо быть готовым что иногда вылазят проблемы которых ты не ожидал бы работая с .нет фреймворком.  Для того-же серверлесса на амазоновских лямбдах можно пока использовать только .нет кор 1.1, а он под линуксом в некоторых ситуациях дико течет. в 2.0 проблему пофиксили, но официальный ответ амазоновского суппорта по поводу миграции на 2.0 - "в роад мапе нету, ничем не можем пока помочь". Причем докер контейнера с окружением который крутится в амазоновской лямбде нету только под .нет кор, для остальных языков можно спокойно его скачать и потестировать у себя локально.  В итоге ждем ре:инвент в декабре, есть надежда что таки будет анонс.  Опять таки, анализ дампов .нет кор приложения которое работает на линуксе - gdb/lldb в зубы и вперед. Никаких привычных инструментов.