Умеет ли nginx «запоминать» пользователя?
Куки ставьте
Тут вопрос касается не столько работы Nginx, сколько протокола HTTP. HTTP не "запоминает" клиента. Nginx лишь может записать реферера, отсюда у вас есть информация о том, откуда пришёл клиент. Дальше на сайте клиент делает новый запрос, который никак не связывается с предыдущим. Поэтому, как верно подсказывают, реализацию вашей задачи надо выполнять на уровне приложения.
От себя добавлю, что перекладывать часть функционала приложения на веб-сервер это не очень хорошая идея.

HTTP не сохраняет своего состояния. Это означает отсутствие сохранения промежуточного состояния между парами «запрос-ответ».
Тык, тык.