Почему сбрасывается переменная при перезагрузке?
При каждой перезагрузке срабатывает это:localStorage.setItem("note_count", "0");
оперируй с локальным хранилещем в последнюю очередь. сначала в своей функции используй обычную переменную. а в конце уже эту переменную передавай в хранилище. типа:var count = 0;

save_button.addEventListener('click', function (e) {

    e.preventDefault();

    ++count;

    console.log(count);
})

localStorage.setItem("note_count", count);
и еще условие внутри функции клика нужно сделать. чтобы count брал из локального хранилища, а не обнуленный, когда тебе нужно будет