Редактирование ячеек таблицы HTML и обновление базы sqlite3?
Процесс сохранения в базу имеет 2 взаимосвязанных части:

клиентская, которая обрабатывает ввод данных пользователем, сериализирует введенные данные данные (по факту - приводит к одному из стандартов, например json), после чего отправляет данные на сервер. 
Серверная часть получает данные, если нужно как-то их обрабатывает, после чего сохраняет в базу.

Судя по коду (с js`ом я, увы, на вы) при вводе символа в ячейку, ее содержимое отправляется post-запросом по определенному адресу.
Как этот запрос обрабатывается на сервере - непонятно, т.к. код вы не привели. В общем случае, это должно происходить так:

Валидируются данные
Происходит подключение к базе
Данные подставляются в запрос (подготовленные запросы, PDO (актуально для php, указанного в тегах) или orm)
Запрос выполняется
При необходимости отдается ответ клиенту

P.S. К тому же, непонятно как вы определяете, какие данные нужно изменить. Чтобы изменить запись в базе нужно указать какую именно запись вы собираетесь изменить (например с помощью id или какого-то другого уникального поля). При этом, поскольку вы отправляете только одну ячейку, сделать это невозможно, поскольку поле может содержать неуникальные значения по типу цены (абстрактный пример), которая может быть одинаковой для разных товаров.
зависит от структуры данных и того каким образом обновляются данные ячеек таблицы.
предположим каждая строка и колонка в HTML таблице соответствует запись в таблице и колонке БД, значения отображаются в <input>, тогда тебе нужно повесить обработчик на input'ы: он определяет primary key измененной строки и передает новое значение input'а на сервер вместе с идентификатором записи