Как проверить существование класса?
1) это где такие лабораторные дают, что необходимо фреймворк написать?))
2) а вы уверены, что вам нужна рефлексия и динамика вообще? Почему вы считаете, что использование неймспейсов это проблема? 
По PSR-4 неймспейсы как раз используются для автозагрузки классов, потому что неймспейс по сути должен повторять путь до класса. У вас какой-то не универсальный автолоад, как же файлы в других папках? Как вы будете подгружать классы из папок внутри папки controllers?
Правильный подход - получать полное имя класса (с неймспейсом) и при автолоаде просто заменять слэши на прямые, чтобы получить путь до файла. 
Свой автолоад это обязательное условие? можно просто воспользоваться композером. Обязательно автолоад делать через устаревший __autoload(), а не через общепринятый spl_autoload_register()?
Создать объект класса используя его название в строке можно просто используя переменную:$classname = "app\\controllers\\MainController";
$methodname = "actionIndex";
$controller = new $classname(); // тут сработает автолоад

$controller->{$methodname}();
При этом вы можете (и должны) обеспечить безопасность, так чтобы никто не мог передать через GET и имя класса и имя метода, и вызвать любой метод. Делается это очень легко.
Во-первых путь из GET к нам приходит имя класса без неймспейса, ну логично. Неймспейс мы потом прицепим к нему. Так никто не сможет случайно создать объект любого класса, а только объект класса из папки с контроллером. Это не возбраняется.
Во-вторых, если кто-то передал абра-кадабру, то надо не падать с ошибкой Class not found, логично. Для этого, перед созданием класса просто смотрим на то какие файлы есть в папке с контроллерами. Если там нет файла с тами же именем что и класс - то показываем 404.
Потом, перед тем как вызвать метод, проверяем что он существует функцией method_exists($obj, $method_name), опять же - метода нет -- идите-ка вы на 404.
И это нормально, что рефлексия и проверка существования класса требуют полное имя класса. Это ваш подход неверный - с самого начала вы должны прицепить к имени класса неймспейсом и работать только с полным именем.
 $parts = explode('\\', $class);
Можно (new ReflectionClass($class))->getShortName(), но и так тоже сойдет.Или все правильно и так и должно быть? 
Да