Нужно ли кэшировать DOM элементы?
Кэшировать? Это называется сохранить ссылку на элемент по идентификатору.
Сами подумайте что быстрее, поиск при каждом запросе или обращение напрямую.
Другое дело, что такой поиск происходит достаточно быстро, если у вас страница не на миллионы элементов.
Возьми да проверь. 
https://jsfiddle.net/6k2bxsz7/2/