Как правильно сменить место работы?
Новый работодатель должен понимать что если вы киданёте старого то в следующий раз и их так же киданёте. А если вы заботитесь о старом работодателе и хотите что бы там было всё хорошо, то это лишь даёт вам дополнительные очки. Если новый работодатель этого не понимает то я бы у него не работал.
Если новому горит. Можно втягиваться в новую работу вечерами, удалённо. Можно заезжать в офис на новую работу вечерком после старой или в выходные что бы в курс дела войти. Да на старой можно сократить рабочий день если договорится. Вариантов много.
Уже обсуждалось, вот  почитай.