Можно ли написать универсальный обработчик формы ajax+php?
Вот Вам примитивнейший пример.
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
	<meta charset="UTF-8">
	<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
	<script src="http://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.3.1/jquery.min.js"></script>
	<title>Document</title>
</head>
<body>
	<div>
		<form action="">
		   <input type="text" name="name">
		   <input type="text" name="phone">
		   <input type="hidden" name="first" value="first">
		   <input type="submit" name="first">
		</form>		
	</div>
	<div>
		<form action="">
			<input type="text" name="name">
			<input type="text" name="email">
			<input type="hidden" name="second" value="second">
			<input type="submit" name="second">
		</form>		
	</div> 
	<div>
		<form action="">
			<input type="text" name="name">
			<textarea name="textarea"></textarea>
            <input type="hidden" name="third" value="third">
			<input type="submit" name="third">
		</form>		
	</div>	
<script type="text/javascript">
	$(document).ready(function(){
		$("form").on("submit", function(e){
			e.preventDefault()
			var data = $(this).serialize()
			$.ajax({
				url: 'ajax.php',
				method: 'POST',
				data: data,
				success: function(response){
					console.log(response)
					var answer = jQuery.parseJSON(response);
					if(answer.type === 'success'){
						alert(answer.text)
					}
					if(answer.type === 'error'){
						alert(answer.text)
					}
				} 
			}) 
		})
	})
</script>	
</body>
</html>

<?php
  if(isset($_POST)){

  	if(isset($_POST['first'])){
  		if(!empty($_POST['name'])){
  			$answer = ['type' => 'success', 'text' => 'Отправлена форма First'];
  		}else{
  			$answer = ['type' => 'error', 'text' => 'Заполните поле "name" в форме First'];
  		}	
  	}
  	if(isset($_POST['second'])){
  		$answer = ['type' => 'success', 'text' => 'Отправлена форма Second'];
  	}
  	if(isset($_POST['third'])){
  		$answer = ['type' => 'success', 'text' => 'Отправлена форма Third'];
  	} 
  	echo json_encode($answer);
  }
?>
На стороне php обработчика берете массив $_POST и обходите его при помощи foreach. Внутри цикла уже формируйте письмо-уведомление с теми полями, которые пришли из вашей формы.