Как обойти ограничение localStorage для расширения?
В хроме (и firefox)  есть параметр unlimitedStorage в permissions, который разрешает использовать локальное хранилище без ограничений. https://developer.chrome.com/extensions/declare_pe... 
Только используйте не localStorage а chrome.storage.local
Правильный ответ был - indexedDB.
Хотя это и мощный инструмент, но с простой задачей хранения строки тоже справляется.
Для теста сохранил 30 мегабайт - скушал.
Даже unlimitedStorage не нужен, всё и так работает.