Как перевести jQuery в чистый JS?
А что, сделать один запрос вместо отдельных для каждого элемента - нет, было никак? Свойство Documents, оно же массив, можно сразу всё передать.

document.querySelector('.allstatus-btn').addEventListener('click', () => {
  const items = Object.fromEntries(Array.from(
    document.querySelectorAll('.number-all'),
    n => [ n.innerText, n ]
  ));

  fetch('https://api.novaposhta.ua/v2.0/json/', {
    method: 'POST',
    body: JSON.stringify({
      modelName: 'TrackingDocument',
      calledMethod: 'getStatusDocuments',
      methodProperties: {
        Documents: Object.keys(items).map(n => ({
          DocumentNumber: n,
          Phone: '',
        })),
      },
      apiKey: '',
    }),
  })
    .then(r => r.json())
    .then(r => r.data.forEach(n => items[n.Number].innerHTML += n.Status));
});
Пробуй(те).var button = document.getElementsByClassName('allstatus-btn')[0], // предположим, что он единственный
    numbersAll = document.getElementsByClassName('number-all');

button.onclick = function (event) {
    for (var i = 0; i < numbersAll.length; i++) {
        (function (i) {
            var _this = numbersAll[i],
                id = _this.textContent;

            fetch(
                    'https://api.novaposhta.ua/v2.0/json/', {
                        method: 'POST',
                        headers: {
                            'Content-Type': 'application/json'
                        },
                        body: JSON.stringify({
                            "modelName": "TrackingDocument",
                            "calledMethod": "getStatusDocuments",
                            "methodProperties": {
                                "Documents": [{
                                    "DocumentNumber": id,
                                    "Phone": ""
                                }]
                            },
                            "apiKey": ""
                        })
                    }
                )
                .then(response => response.json())
                .then(result => {
                    console.log(result)
                    result.data.forEach(function (item, i, arr) {
                        _this.insertAdjacentHTML('beforeend', item.Status);
                    });
                })
        })(i);

    }
}
ПыСы: рано ещё для фетчь