Обработка форм не файлом, а определенной функцией?
Все равно вам нужен будет файл который бы обрабатывал ваш запрос, можно в JS передавать нужный вам экшен и потом выполнять его в обработчике:
JS:fetch('/api.php', {
    method: 'POST',
    headers: {
        'Accept': 'application/json',
        'Content-Type': 'application/json'
    },
    body: JSON.stringify({
        action: 'auth',
        payload: {
            email: ...,
            password: ...
        }
    })
});
PHP:<?php

require_once 'auth.class.php';

if ($_POST['action'] === 'auth') {
    Auth::isAuth($_POST['payload']);
}
прикрутите библиотеку роутинга, например эту