Внешний HDD перестал работать. Как подключить его к SATA и вообще к ПК напрямую?
как его можно напрямую подключить к ПК, чтобы проверить рабочий ли он без платы?
Я уже отвечал здесь на подобный вопрос. Повторю вкратце - если сдохла часть, отвечающая за SATA, то сделать ничего нельзя. Но если неисправен конвертор SATA<->USB, то можно. Для этого надо найти на плате контроллера 5 точек: +Rx, -Rx, +Tx, -Tx и общий минус, и вывести проводами эти выводы на обычный разъём SATA в соответствии с его распиновкой. Найти эти точки не так уж сложно (см. фото по моей ссылке), поскольку SATA-линии имеют характерный узнаваемый вид. Посмотрев на ваше фото платы контроллера, я их уже нашёл.
как его можно напрямую подключить к ПК, чтобы проверить рабочий ли он без платы? 
У вас два варианта: 
 "Адаптировать" под вашу "банку" плату от такого же SATA-диска (внутреннего);
Подпаяться к нужным выводам на имеющейся плате, если она жива, либо заменить её и сделать то же на живой.
Первый для новичка и домашних условий сложноват. По второму у нас нет гайда именно для Toshiba, но вот пример замены USB-платы на SATA для жёсткого диска Samsung, а вот переделка ЮСБ-платы в САТА для диска WD. Вариант c ВД совсем хардкорный, там даже паяльник специалисту не дают :)

Может кабели какие есть, переходники 
Переходник вам не подойдёт, "переходник" (мост) у вас был на ЮСБ. А сейчас как раз нужно получить прямое соединение по САТА.

прежде чем отдать его на диагностику в сервис, где с меня три шкуры сдерут
Какая у вас задача? Получить рабочий диск (здесь лучше всего гарантия, но может быть сложновато после вскрытия), или восстановить с него информацию?

Если второе, то в нормальных компаниях по восстановлению данных диагностика бесплатна. Более того, судя по вашему описанию, сейчас цена восстановления с высокой вероятностью будет вполне приемлемой. 
Главное - не добейте диск сами и не ходите в разные "сервис-центры", "ремонты ноутбуков" и подобные места. Вам нужна фирма, занимающаяся только восстановлением данных и ничем больше. Краткая универсальная памятка по выбору есть вот тут: https://восстановление-данных.рф/