Управление устройствами IoT через веб-интерфейс (MQTT или HTTP)?
По первому вопросу ответ - да, можно. Но нужно применить технологию WebSocket, обычный AJAX работать не будет.
Потому что AJAX может обращаться только по тому же адресу откуда была прочитана страница.
Сам сайт может находится на домашнем компьютере.
Насколько видно из примера - https://randomnerdtutorials.com/esp32-websocket-se...
соединение WebSocket сделать на стороне сервера очень просто. 

По второму вопросу.  
Для MQTT нужен брокер MQTT. Брокеры типа Mosquitto могут работать на любых компьютерах.
В том числе и на том на котором находится сайт.  Сами страницы сайта должны применять клиента MQTT на JavaScript.
1. Что Вы понимаете под фразой чтобы сайт существовал независимо от плат Если вообще без оборудования, то нет конечно. Если Вы готовы выделить для сайта отдельный компьютер, то да, это реализуемо.
2. Если все равно выделять компьютер, то почему бы и нет. тот же home assistant прекрасно с MQTT работает. И да, хостингом будет компьютер, арендовать ничего не надо. Или наоборот, арендовать хостинг и не покупать компьютер.