SMS уведомления клиенту после заполнения формы на сайте?
использовать api сервисов рассылок sms 
в общем все сводится к отправки запроса на api сервиса, с ним передается что отправить, кому отправить и какой-нибудь токен. Из js слать не очень хорошая идея, так как Ваш токен могут банально спереть. Так что обычно js шлет на сервер, там допустим php через curl шлет запрос к api. Некоторые сервисы предоставляют php sdk и тогда у Вас вообще все в две строчки еода решается. Так что первое, что надо сделать выбрать сервис и прочитать его документацию.
Как самый плюшевый вариант (который предлагает сервис), завести аккаунт на smsc.ru, воспользоваться документацией и отправлять СМС без участия АПИ, а отсылать запрос на отправку сервису на почту с указанием своего логина, пароля, телефона тому, кому нужно отправить СМС и текстом, иными словами, при отработке формы Вы должны будете отправить не одно письму - себе, администратору, но еще и письмо на мыло сервиса.
Минус - никакого логирования, никаких ошибок и исключений, дошло, не дошло, видно будет только в личном кабинете самого сервиса