Можно ли переписать код с JS на PHP?
примерно так. примитивный способ
<?php
$book = json_decode(file_get_contents('http://adventsent.pp.ua/rst.json'));

$arr = [];
foreach ($book->Books as $item) {
    foreach ($item->Chapters as $val) {
        foreach ($val->Verses as $v) {
            $arr[] = $v;
        }
    }
}

$key = array_rand($arr);
var_dump($arr[$key]->Text);
запрос через file_get_contents
json_decode вместо JSON.parse
встроенный random_int  вместо самодельной функции random

вывод в html сами осилите?