Как передать имя GameObject в функцию?
Ну и причем тут юнити-парни? Почитайте учебник по сишарпу, как параметры в метод передавать. 
P.S. тут вот как раз кто то недавно кричал что в юнити мало сишарпа... ВОт!
Вешать один обработчик на кучу кнопок это плохая практика, за исключением, если кнопки делают практически одинаковое действие, например, сохраняют в файл или бд какие то одинаковые объекты с разными данными. Второе, не знаю юнити, но в wpf или winforms, у кнопки есть свойство Tag, что бы прикрепить дополнительные данные, а в unity таких свойств нет, ну судя по докам которые посмотрел. Так что делайте несколько обработчиков.