Какой фреймворк на c/c++ выбрать для реализации REST API?
EDIT: на сегодняшний день рекомендую Boost.Beast - одно из наиболее зрелых решений в плюсах.

Старый ответ:
Попробуйте C++ Network Library (на гитхабе) - проект достаточно молодой, но имеет очень интересный функционал и массу удобных абстракций, есть реализации URI, HTTP-клиента и сервера. Фактически это обертка над boost.asio, позволяющая не писать веб-сервер и клиент с нуля. Требует С++11.

Кроме того, если есть требования по надежности/нагрузке, то лучше иметь дело с проверенным веб-сервером, и тогда стоит посмотреть в сторону FastCGI - тогда в инет будет смотреть какой-нибудь nginx или апач, а ваше приложение будет получать по FastCGI запросы от веб-сервера. Библиотеки для С++ имеются.
Если не боитесь можно попробовать Microsoft REST SDK. Клиент у них хороший, а вот сервер был в бэте, может уже нормальный.
А так, ручками boots.asio