Может ли приложение в ВК просматривать сообщения пользователя?
Может, если получит правильные разрешения. См., например, метод messages.getHistory() – сверху пишут, с какими разрешениями его можно вызывать.

Методы работы с сообщениями доступны для Standalone приложений, авторизованных через Implicit flow – это если нужны диалоги с др. пользователями.

Для работы с сообщениями вашего Сообщества достаточно ключа доступа Сообщества.
Без ключа от ВК - нет.
https://vk.com/dev/messages_api