Возможно ли создать чат для сайта используя Telegram API?
Telegram не открыт на 100%, это маркетинговый миф. 
Исходный код сервера закрыт, открыты всего лишь спецификации протокола и исходный код клиентов.
https://tlgrm.ru/faq#могу-ли-я-использовать-свой-сервер
https://tlgrm.ru/sources
PS Т.к серверная часть закрыта - все разговоры про мега-защищенность - не более чем дешевый популизм. Абсолютно никто не мешает владельцам сервера читать всю переписку своих пользователей.
Вполне можно написать такой чат используя API телеграма. А ежели не хочется писать свой клиент, то можно вообще воспользоваться tg-cli как бекенд для вашего чата на сайте.