Как поднять свой хост для сайта на своей машине Linux LTS?
Ставишь веб сервер. 
Апач или nginx
Ставишь БД, при необходимости

Пилишь сайт, указываешь его в конфиге веб сервера
Для начала нужно понять, для чего этот сайт? Если только для разработки и доступ из интернета, не планируется, переходим к пукту 2. Если нужен полноценный сайт, доступный пользователям всемирной паутины, читаем сначала.
1) Возможно ли сделать сайт, доступный интернет-пользователям в принципе? Для доступа к сайту у сервера должен быть прямой IP адрес. При этом не обязательно, чтоб сетевая карта сервера получала прямой IP, он может быть и на маршрутизаторе, главное чтоб по кабелю от провайдера приходил внешний IP-адрес. Чтоб это проверить, заходим в настройки роутера и ищем WAN IP. Далее заходим на 2ip.ru и смотрим IP оттуда. Если 2 этих адреса совпадают, то сайт будет доступен из интернета. Всё что осталось, так это пробросить порты: 80 и 443 на хост или настроить DMZ.
2) Настроить Web-сервер. Для этого надо скачать apache или nginx. Можно поднять прямой http сервер на node.js, но это для продвинутых пользователей, так что я рекомендую nginx. После установки и настройки сервера надо положить файлы сайта в папку, которая является корневой папкой сайта.
3) Протестировать работу сайта.
P.S: Если нужна более подробная инструкция, напишите в комментарии к ответу, свяжем лично.