Как побороть проблемы с производительностью LAMP сервера?
БД тут не при чём. Если бы отваливалась БД, то апач отдавал бы ошибку соединения с базой. Файловая система тоже ни при чём. Проблемы с ФС сразу были бы видны в логах и при старте.
Более вероятная причина в сети, к которой оба сервера подключены. Просто тупо не проходят HTTP пакеты в какой-то промежуток времени. Или с файерволлом беда. Нужно смотреть, каким путём идёт ICMP и каким TCP/IP.
Менее вероятная причина - превышение лимита подключений к апачу. Тут NGINX Вам в руки.
nginx устанавливали?