Почему не работает AJAX при отправке POST?
что бы был ответ, вероятно его надо отправить, хотя бы:echo $msg_box;
Ваш код ничего не выводит, ничего не возвращает, вообще ничего не делает. Отправляет почту и создает в пустоту переменные.
Есть подозрение что у вас форма (которую в коде вы не вставили) просто отправляет данные, перезагружая страницу, так как отсутствует preventDefault() по клику на кнопку субмит.