Как решить эту задачу без «подбора» значений?
Легко. Но для этого на циферблат надо посмотреть под разными углами.
Сперва давай поглядим на него как на арифметическую прогрессию. А1 == 1; А12 == 12; D == 1.
Формула суммы прогрессии: S = (A1 + An) * n / 2;
Вычисляем сумму нашего ряда, она равна 78. И дальше все становится очень просто.
Теперь давай посмотрим на циферблат как на циферблат. У него 12 значений, связанных в кольцо.
Проведя линию и поделив циферблат на две части, мы как бы создаем две области арифметических прогрессий.
При чем сумма сумм этих прогрессий будет равна той сумме, что мы уже посчитали.
Стало быть, нам достаточно найти такой участок на циферблате, сумма чисел которого была бы равна ровно 39 - половине уже рассчитанной сверху суммы. Иначе условие задачи не выполнить.
Выходит так, что элементов в искомой последовательности у нас становится не 12, а 6. D тот же, а вот A1 и A6 у нас неизвестные. Найти их можно через все ту же формулу суммы.
39 == (A1 + A6) * 6/2
13 == A1 + A6
A6 == A1 + D*5
13 == 2*A1 + 5
8 == 2*A1
A1 == 4
A6 == 4 + 5 == 9
Всё. Первая группа - это [4..9], вторая - это [1..3,10..12], суммы обеих последовательностей будут равны 39, а вместе - 78.UPD:
Почему именно 6 элементов... Смотрим.
Для множества циферблата сумма такова:
78 == ( 1 + 12 ) * 12 / 2
Для подмножества должна выполняться такая сумма:
39 == ( 2A1 + N - 1 ) * N / 2
Определим N из тожественного равенства двух сумм с поправкой что от первой нам надо только половину.
( 1 + 12 ) * 12 / 4 == ( 2A1 + N - 1 ) * N / 2
Замечаем тождественность составляющих выражения и теперь рассмотрим это равенство как систему уравнений:
1 + 12 == 2A1 + N - 1
12 / 4 == N / 2
Вуаля!
N == 6; а из первого равенства очень легко вывести A1, который равен 4.
Для произвольного циферблата : 
 1 2 3 4…K : получаем арифметическую прогрессию. В которой K – максимальное число на циферблате.
1.	Надо убедиться, что сумму арифметической прогрессии можно разделить на 2 части 
Сумма арифметической прогрессии : (1+K)*K/2. 
Сумма её части(половина) – (1+K)*K/4 – должна быть целым числом.
Из этого следует вывод, что K=4N или K=4N-1 где N – любое число.
2.	У нас есть условие, что мы делим циферблат прямой линией. Это значит, что в одной из половин остается часть прогрессии от члена под номером X(в нашем случае член под номером X равен X) до члена Y.
3.	Из доказательства формулы суммы арифметической прогрессии (сумма первого члена с последним равна сумме второго члена с предпоследним и т.д.) мы видим, что для поиска решения(нужной суммы) нам надо отсечь p членов с начала и с конца прогрессии.
Для 4N первый член X=1+p, последний Y=4N-p
Для 4N-1 добавим (в прогрессию, не на циферблат) цифру 0. Первый член нужной прогрессии соответственно X=0+p, последний : 4N-1-p
Для 4N:
Сумма необходимой нам последовательности от X до Y :  (1+p+4N-p)(4N-2p)/2
Половина суммы от 1 до 4N :4N*(4N+1)/4
4N*(4N+1)/4=(1+p+4N-p)(4N-2p)/2
4N*(4N+1)/2=(4N+1)*(4N-2p)
2N=4N-2p
2p=2N. p=N количество членов последовательности равно 2N
Соответственно первый член для 4N: N+1, последний : 4N-N
Аналогично считаются члены и для 4N-1