Хочу сделать сайт для игры в шахматы, django на бекенд подойдет?
django подойдёт.
С ним в комплекте вы получите админку, регистрацию, авторизацию.
Нетрудно найти готовые хорошие модули для джанго с чатом на веб-сокетах.
Есть готовые джанговские модули OAuth и всякие интеграции в соцсеточки.
Звучит очень неадекватно. Простительно новичку... наверное.

Django — фреймворк на Python. Шарп (C#) — язык (поправьте меня, если кто знает такой фрейм). Разница как между солнцем и козюлей в носу.

Если же брать необходимость только базы + авторизации, я бы рекомендовал Flask + библиотеки типа Flask-Login (тоже фреймворк на Python). Скорость расчетов особая не нужна, ты же не написал, что собираешься ИИ делать. Так что сойдет.

А вот на счет 2.5 месяца... Ну если ты достаточно гениален, то у тебя все получится. В остальном с никаким знанием у тебя за такой короткий срок врядли выйдет что-то работающее и не подпертое костылями с тостера и стака.

Да и тебе скорее всего веб-сокеты потребуются. Или писать постоянные запросы для обновления данных для доски. Это не считая разработки самой морды (доски).