Как создать сервер, для создания файла на нем?
как организовать сервер на php
Сервер не надо организовывать на PHP. Лучше использовать Nginx или Apache.для получения данных (get или post) с другого сайта
Принципиальной разницы, откуда получать - нет.после чего создание папки и файла с этими данными (с функциями создания папок и файла проблем нет).
Лучше разберитесь как работать с базой данных (почитайте про PDO).Хочу сделать что то типа виджета для сайта с формой, который можно добавить на любой сайт, и отправить данные на мой сервер. Но проблема в том, что я не знаю как организовать сервер для этого.
Сервер вам организует любой платный или бесплатный хостинг под PHP. Вам нужно написать скрипт.Есть идея сделать проект, например, на denwer, как обычной сайт. И в форме, В action, прописывать путь до файла обработчика, например, server/accept/index.php, в нем добавить условие, if ($_GET) {...}, но проблема в том, что на эту страницу могут заходить все кто захочет, да и мне кажется что, будет как то неправильно. 
То есть вы хотите, чтобы скрипт был одновременно всем доступен и всем недоступен? Или чего вы хотите?
Вы можете написать простой скрипт на php, который будет создавать папку, если передать get и post? 
Пишите js файл, который будет подключаться к другому сайту, ну и форма там тоже, которая посылает эти данные. 
Так вот, вам нужно сделать защиту, можно сделать регистрацию в которой будут указываться домены и ключи, которые прописываются в форме у клиента. Вы проверяете эти данные и если все верно то работает ваш скрипт создания файла.