Можно гит прямо к сайту подключить при разработке?
можно

другое дело что на боевом сайте никакую разработку обычно не ведут, и гит на нем тоже держать нежелательно
если же речь о локальном сервере, то разумеется можно. собственно, гит к сайтам никакого отношения не имеет, он работает с кодом. Как говорил поручик Ржевский, "Код есть? Значит можно".
Технически это сработает.
Но указать в вебсервере путь прямо к папке с гитом - довольно опасный путь, потому есть риск, что через браузер будут видны файлы гита, с конфигами, паролями, и прочими кишками, которые лучше не светить.

Самый простой способ встроенный прямо в гит - bare репозиторий или делать git archive, и распаковывать его в папку вебсервера.

Но гораздо лучше использовать системы деплоя, вроде хитхабоского или deployer.

Типичный простой сценарий - при появлении нового коммита в мастере происходит выкачивание кода в новую папку, прогрев кеша, применение миграций к БД, и если всё прошло гладко - переключение вебсервера на эту новую папку.
При этом остается возможность мгновенно вернуться на предыдущую версию.

Есть множество статей про CI/CD где подробно расписывается как это сделать не прострелив себе ногу.