Как оставлять скрипт работать после закрытия консоли?
nohup php script.php &
Почитайте также про 
screen
tmux
disown
используйте nohup <ваша команда>
собственно при разрыве коннекта, процессу отправляется сигнал hup (исторически от типа поднял трубку, модем оборвался).
программа nohup блокирует этот сигнал, и в случае разрыва коннекта перенаправляет весь вывод, который должен был идти на экран (stdout) в файлик nohup.out (по умолчанию в том же каталоге где скрипт запускали)