Не могу получить через python скрипт JSON ответ от сайта?
Когда вы открываете url в браузере, RoundCube понимает, что вы авторизованы глядя на заголовки запроса (я не знаю, что использует конкретно RoundCube, возможно, cookie или параметр в URL).
Если вам необходимо открыть url из Python, то скорее всего, сначала надо выполнить запрос аутентификации или передавать в запросе API key (опять же, надо смотреть документацию по RoundCube).
Еще стоит убедиться, что все заголовки запроса из Python совпадают с заголовками, передаваемыми браузером (например, заголовок Accept).
print(responseData.text)
там все написано должно быть