Почему некорректно работает ajax?
Надо добавить e.preventDefault() чтоб форма не отправлялась.$('#form').submit(function(e){
  e.preventDefault();
  $.ajax({
    type: "POST",
    url : "mail.php",
    data: $(this).serialize()
  }).done(function(){
    alert('success');
  })
});
<form id="form">
замените на <form id="form" method="POST">