Почему не работает код в angular?
Потому, что вы обнулили объект:this.newUser = {};
Объекты в JS копируются по ссылке — если вы в одном месте что-то поменяли, то и в других местах объект изменится. Перед тем как вставлять объект в массив users нужно его клонировать.
(P.S. В table не должно быть нетабличных элементов — неправильно делать form внутри tbody. )
В самом начале контроллера сохраняйте ссылку на this:var vm = this;
Затем в обработчиках используйте эту переменную:app.controller('formController',function(){
    var vm = this;
    vm.newUser = {};
    vm.addNewUser = function(){
      console.log(vm.newUser);
      dataJSON.users.push(vm.newUser);
      vm.newUser = {};
    };
  });