Может ли сервер установить cookie серверу?
Давайте определимся с терминами и понятиями.
Во взаимодействии по протоколу http всегда две стороны: клиент (инициатор запроса) и сервер (формирует ответ на запрос).
Куки - это просто http заголовки в запросе и ответе, которыми обмениваются клиент и сервер.
Соответственно, серверу совершенно неважно, кто на той стороне инициировал запрос - браузер, nodejs, что угодно. Он просто читает заголовки запроса и отдаёт ответ с какими-то другими заголовками. Проще говоря, сервер оперирует текстом запроса и формирует текст ответа. Что происходит с запросом до того, как он попал к нему и с ответом после отправки, сервер вообще не волнует.
Таким образом, вам просто нужно на стороне клиента (node) корректно обрабатывать то, что присылает сервер, и формировать правильные запросы, передавая туда все нужные заголовки. Именно это автоматически за нас делает браузер, например. Получается, что вам поведение браузера нужно эмулировать (не знаю есть ли в node какие-то готовые инструменты для этого).
Но всё это - буквальный ответ на ваш вопрос. Если вы более детально опишете свою задачу, может оказаться, что её можно более эффективно и правильно решить другими способами.
Вообще, если я понял, про что Вы, можно, чтобы сервер1 отправил клиенту заголовок Cookie, который бы установился для сервера2. В php у функции setcookie можно передать такой параметр.