Какие существуют бесплатные базы данных?
Для заметок база данных не нужна.  

Я использую git для заметок и когда надо синхронизировать десктоп и ноутбук - делаю соотв pull/push.

Всё что бесплатное - либо действует 30-60 дней пробного периода. Кроме того никак не помогает вам в решение технических issues. Бесплатный пользователь облаков - это бета-тестер. Не обижайтесь если внезапно версия обновиться без вашего ведома. Чтоб не было сюрпризов вобщем.
Есть специализированное ПО для заметок. Можно выбрать по описанию, например, из этой статьи.