Как превратить строку в массив в C#?
Никак, надо писать свой парсер таких строк. Найти две скобки, разбить на группы кавычек, убедится, что между ними стоит по запятой, собрать это в массив строк.
Либо согласится, что это что-то похожее на json и парсить это как json каким-нибудь NewtonSoft.Json
регулярками
String re = ("\"(.+?)\"");
  MatchCollection match = Regex.Matches(text, @re);
  string[] IDs = new string[match.Count];
  for (int i = 0; i < match.Length; i++) {
    IDs[i] = match[i].Groups[1].Value; 
  }