В чем проблема с нахождением елемента формы в post?
Во первыхrequire_once 'controllers/authController.php';
require 'templates/header.php';здесь отсутствует закрывающий тег пхп, после которого идет хтмл. Подозреваю что там и открывающего нет (в коде вы его не привели).
Во вторых button type="sumbit" не является инпутом, и передаваться как значение пост не будет. 
В третьих в форме указан signup.php, а выше вы приводите "файл auth". Определитесь, или там переименуйте или тут.

Ну и первое что нужно сделать - включить вывод ошибок, или смотреть логи, а не тыкать пальцем в небо.
ini_set('error_reporting',E_ALL);
ini_set('display_errors', 1);
session_start();
...
Вместо <button type="submit"> используйте классический <input type="submit">.