Вывод в консоль информации о эллементе по клику?
так как сейчас, то в clickHandler'e this это элемент на который ты кликаешь ( console.log(this) попробуй )
пишем эту строчку так, тем самым привязываем хендлер к this то есть классу Game, где это всё происходитcurrentPipe.addEventListener('click', this.emojeClickHandler.bind(this))

// или так

currentPipe.addEventListener('click', () => this.emojeClickHandler());
https://jsfiddle.net/svnp9hbk/
т.е. что, вы вот тут вот теряете контекст thiscurrentPipe.addEventListener('click', this.emojeClickHandler);там еще такая строка есть. Нужно либо обернуть ее в стрелочную функцию, либо юзать bind, либо она должна быть стрелочной функцией и.т.д.
и вот тутconsole.log( 'pipe' , 'number= ' + this.randomPipe , ':' , 'emoji= ' , '' + this.randomAnimals)вы методы randomPipe и randomAnimals забыли вызвать, нужно добавить скобки.