Как вернуться к процессу, запущенному через ssh?
В tmux запускай. Это что-то вроде виртуальной консоли на сервере. Можно создавать несколько сеансов и всегда к ним возвращаться. Приложение будет работать 24/7 пока не завершится.
Как посоветовали tmux да (screen бородатый уже), хорошая вещь.
А ещё я пользую не putty, а conemu (ну естественно нужно ssh бинарник (я взял из приложения github для wind-ы),  настроил быстрый запуск и в один клик подключаюсь.