Почему OBS прекращает работу после того как я закрываю удаленный компьютер?
Используйте консольный софт для трансляции, либо не используйте RDP.

После того как вы закрываете окно RDP - компьютер перестает отрисовывать рабочий стол и вообще всю графику, ибо выводить ее некуда, да и не нужно.
Если речь про удалённый рабочий стол (RDP) то не нужно завершать сессию, достаточно отключиться