Как организовать доработку большого сайта после запуска?
Поделитесь опытом, пожалуйста
Так ведь поделились уже — просто погуглите книжки или туториалы по Git, заюзайте github для практики — основные команды займут 20 минут изучения максимум. А если юзать внутри IDE с поддержкой git, то вообще не нужно будет думать об этих командах (ну почти :)).

Это же происходит на боевом сервере?
Нет, есть такие штуки как тестовые сервера. alpha, beta, stage — по разному называют их. В поднятии таких штук может помочь Vagrant.

 Как отслеживать изменеия в структуре бд?
С помощью миграций (тут нужны знания от программиста или желание изучить).

Как переносить изменения из рабочего файла в боевой?
бесплатно: rsync, git pull
платно и профессиональнее: beanstalkapp.com/ (и аналоги)
1. Создать сервер для разработки, можно локальный — полную копию боевого.
2. Настроить систему управлениями версиями кода (gi, svn, mercurial — на выбор)
3. Для БД есть свои системы управления версиями, однако у нас таких изменений немного и мы в комментарии к тикету при коммите дописываем SQL-код изменений.
4. Коммит — это запоминание изменений в коде, пуш — это выгрузка всех своих изменений в основной репозиторий, пул — выгрузка оттуда.
5. Система разработки нового функционала такая: пулл (на локальном) — коммит — пуш, пулл (на боевом).