Как в WebClient на C# прочитать куку?
Никак, потому что вы не работаете с ответом сервера, метод DownloadFileAsync скрывает его от вас, для полноценной поддержки HTTP переходите на HttpWebRequest или RestSharp, между прочим WebClient внутри тоже не идеален, вроде бы файлы недокачивал, а переписал на HttpWebRequest, и все пошло.
google webclient cookies
Можно и достаточно легко.