Какую программу выбрать для администрирования компьютерного класса?
Нанять сисадмина
Поднять домен
Удаленный доступ можно реализовать через MeshCentral например

Блокировка сайтов осуществляется через proxy обычно

Есть общий "комбайн" на линукс, Zentyal. Возможно он Вам подойдет
Тут смотрите.