Как из массива целых чисел найти все возможные комбинации (не только двух чисел, а и более) дающие искомую сумму?
Во-первых, таких комбинаций может быть до 2^n, где n - количество чисел в массиве.

Можно рекурсивно перебрать числа: функция принимает список уже выбранных чисел, их сумму и сколько первых чисел массива обработаны. Если все числа обработаны, функция сравнивает сумму с искомой и, если надо, выводит список. Потом завершается. Если еще не все числа обработанны, то функция два раза рекурсивно вызвается с параметрами: Текущее число добавлено или нет в список, обработано на одно чисел больше.

Другой вариант, через битовые маски, без рекурсии. Перебирайте число от 0 до 2^n-1. Потом смотрите на него, как на битовую маску. Так вы переберете все подмножества из n элементов. Если i-ый бит установлен, то берите i-ое число в сумму. Если сумма совпала с искомой - вы нашли вариант.

Ну и самый быстрый вариант: с использованием динамического программирования. Как в задаче о рюкзаке вам надо подсчитать F(i,j) - можно ли числами с i-ого по последнее собрать сумму равную j. Потом рекурсивый перебор оптимизируется с этой информацией. Вы текущее число берете или нет и запускаетесь рекурсивно, если оставшимеся числами можно набрать оставшуюся сумму до ответа.

В общем случае это решение будет работать все так же экспоненциально. Но, если ответ не большой, т.е. вариантов набрать нужную сумму не много, то это будет сильно быстрее первых двух решений, потому что тупиковые ветки не перебираются.
задача NP-полная = нужен полный перебор всех возможных комбинаций

Если числа точно неотрицательные, можно сразу исключить превосходящие искомую сумму.

Разбор проблемы (на англ.)