Как отправить интернет другу по локальной сети провайдера?
Самый простой способ: Ставите proxy (Squin Hginx), настраиваете - а сосед указывает IP-адрес и порт этого proxy в своём браузере.
Недостаток: работает только в браузере. Ну и ещё в некоторых программах, которые умеют через proxy. Настроить proxy на роутере м.б. немного проблематично.

Если Вы с ним в одном сегменте, то сосед может указать Ваш компьютер/роутер в качестве шлюза (т.е. Вас, а не провайдера). А Вы запускаете у себя NAT.

Если Вы с ним в разных сегментах - то надо настроить VPN, а дальше снова NAT.

Если Вы близко от него - то можете просто кинуть кабель от Вашего роутера к нему в квартиру ("близко" как раз и определяется возможностью прямого соединения). Это совсем "чистый" способ.

Есть некоторая сложность с "авторизируемся по логину и паролю" - непонятно, какое устройство это делает.

Никакое "дополнительное устройство на linux'e в lan порт роутера" не нужно - всё можно сделать силами роутера. Благо в роутерах практически всегда linux и есть.

PS: Вопрос нормальный.
Подключаете ОДИН инет. 
И дальше протяните кабель к соседу. 
Скиньтесь на инет. 
Профит