Как с помощью js (jQuery) запомнить класс элемента при переходе на другую страницу?
Не стоит писать его в Куки. 
Используйте sessionStorage или localStorage
https://developer.mozilla.org/ru/docs/Web/API/Wind...
https://developer.mozilla.org/ru/docs/Web/API/Wind...
Запишите его в куки на пример. Пример.