Как реализовать кроссдоменный ajax методом post?
Вам нужно отправлять дополнительные заголовки. Почитайте про CORS
А лучше используй курлы.
например вот так:function post($url, $data) {
    $ch = curl_init($url);
    curl_setopt($ch, CURLOPT_POSTFIELDS, $data);
    curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true);
    $response = curl_exec($ch);
    curl_close($ch);
    return $response;
}
$data = [
"json_string" = '{"key":"value"}';
];

post("my-second.domen/api.php", $data);
А на другой стороне уже обрабатывай как обычный $_POST["json_string"].