Как распарсить строку в виде массива внутри json?
console.log(JSON.parse(req.array)) // Не работает
Конечно, просто так берёт и "не работает" - выходной у него наверное...

Этот код должен выдавать ошибку. Ошибку пробовал читать?

'[{num: 1}, {num: 2}, {num: 3}]'
если бы это был JSON, то работало бы. Но это не JSON

в формате JSON названия полей должны быть в двойных кавычках:
'[{"num": 1}, {"num": 2}, {"num": 3}]'
Меня конечно закидают ссаными тряпками, но можно сделать так :D
const req = {array: '[{num: 1}, {num: 2}, {num: 3}]'};
const array = eval(req.array);
console.log(array);