Как SQLite встроить в сайт?
Не использовать SQLite. Для этого есть куча причин и первая он для этого не предназначен!!!
На сервере сделайте контроллер который отдаёт json c результатами запроса к нормальной БД, если только чтение то можно использовать SQLite но опять же с опаской
Почитать что такое формы в HTML и как получать данные на сервере. В форме указать необходимый диапазон дат. Сервером обратиться с SQLite и получить данные за указанный период, сформировать и вернуть ответ HTML для графиков.
чтобы эти данные автоматически обновлялись в сайтеСамый примитивный способ, хотя и недружелюбный к пользователю, это meta тег с http-equiv refresh. Позволяет обойтись без дополнительного кода на JS. В форме при этом указать method GET. Ну а графики (charts) можно выводить любой библиотекой , хоть Google Charts.