Как объединить эти события?
Самый простой способ и без JS - это задать родительский элемент label для изображения и input-а<label>
  <img src="image.jpg">
  <input type="checkbox">
</label>
активируем чекбокс$('input[type="checkbox"]').prop('checked' , true);update
попробуйте добавьте на сайт в данный блок кода новые строчки$('.cars-item').click(function() {
        $('.cars-item').removeClass("active");
        $(this).addClass("active");
        // новый код
        $('.cars-item').find('.element-checkbox').prop('checked' , false);
        $(this).find('.element-checkbox').prop('checked' , true);
    });