Как создать git репозиторий на хостинге beget?
но это уже не круто в 2017г
Не круто - это слушать разную ересь, а не думать своей головой. (есть вопрос удобства/привычек и целесообразности, но никак не моды)
Не круто - это не уметь использовать гуглояндексы.  (в которых можно найти 100500 рецептов и манов, где всё описано и разжевано)
Дам только наводку в нужную сторону.Битбакет или Гитхаб - Вебхуки (webhooks)
Также нужно уточнить, есть ли установленный гит на хостинге.
Так как не каждый хостер дает такую возможность.
Хостинг - это не VPS, где "можно всё".
Там ограничены ресурсы желанием провайдера.