Как работает клиентская авторизация vk api?
Читаем про OAuth2
Я не понимаю самого принципа как вк авторизовывает пользователя на чужом сайте чтобы другой сайт мог как-то оперировать с информацией пользователя. 
Давай возьмем логинзу, в пример. При регистрации на сайте сервис вк отдает личные данные и идентификатор уникальный, авторизация тоже через него происходит. вы кукой у вк запрашиваете логин, куча маршрутов, и все прилетает в виджет логинзы на сайт, который уже обрабатывает это по своему. как то так.