Как изменить другой компонент при изменение пути(vue-router)?
Если app-header опирается именно но роутер и только на роутер (то есть другие компоненты не будут непосредственно влиять на показ каких-то элементов), то можно сделать очень красиво и изящно через computed, что-то типа такого:computed: {
    headerTab() { return this.$route.path === '/result'; }
}
Если предполагается что-то более сложное, то можно аналогичным образом воспользоваться полем this.$route.meta (подробнее)
Если же переменная должна зависеть от каких-то плохо предсказуемых внутренних состояний компонентов, то либо использовать подход с событиями, либо уже переходить к тяжёлой артиллерии - брать vuex и опираться на state. Но если вы думаете, что этот способ подходит для данной задачи, то я почти уверен, что вы делаете что-то не так :)
Покурите вот это: https://ru.vuejs.org/v2/guide/components.html#Комм...