Как подключить jquery в vue компонент?
Не нужен вам jQuery, тянуть столько ненужного кода. 
Вроде как должно работатьlet searchBar       = document.querySelector('.search'),
    searchInput     = searchBar.querySelector('input'),
    searchToggleBtn = document.querySelector('.search-toggle'),
    searchParent    = document.querySelector('.header_content');

searchInput.addEventListener('focus', function (event) {
    searchBar.classList.add('expanded');
});
searchInput.addEventListener('blur', function (event) {
    searchInput.value || searchBar.classList.remove('expanded');
});
searchToggleBtn.addEventListener('click', function (event) {
    searchToggleBtn.classList.toggle('active');
    searchParent.classList.toggle('search');
    searchBar.classList.toggle('visible');
    searchInput.focus();
});
Как вариант, так: import JQuery from 'jquery'
let $ = JQuery
А вообще это довольно избыточно, тащить еще и jquery. Советую переписать код на ecma, он даже по размеру такой же будет, а работать это все будет гораздо быстрее.