Будет ли ИБП работать в случае нагрузки меньше той минимальной, что указано в его спецификации?
Тысячник для одного роутера - это из пушки по воробьям. Для роутера хватит и 300.
А в идеале, если там будет только роутер, то брать не ИБП а ББП (блок бесперебойного питания) от сигнализации - они какраз рассчитаны на долгую жизнь от батареи, тогда как ИБП на "корректно завершить работу компа"

Касательно вопроса - работать сможет, но это не расчетный режим, т.е. могут быть проблемы со стабилизацией тока/напряжения. Либо может самоотключаться, т.к. некоторые ИБП завершают свою работу при выключении питаемого оборудования.
в спецификации не увидел минимума, это в калькуляторе apc есть.
по факту работать будет конечно, тока не сможет нормально рантайм на основе калибровки выставить из-за маленькой нагрузки. в остальном проблем не вижу. 

так то упс даже на "холостом ходу" при вытаскивании из розетки исправно переключается на батареи.