Есть ли такая возможность в Git — создать архив с измененными файлами?
Такой вариант с помощью TortoiseGit вам не подойдёт:
Я вижу, что все сохранённые файлы раскидались по своим путям.update:
Кое что нашёл, как раз для linux console:
из экспериментов по документу: stackoverflow.com/questions/4541300/export-only-mo...
мой пример:
определить SHA коммита, из которого нужны файлы и делаем:
git diff-tree -r --no-commit-id --name-only --diff-filter=ACMRT fd720ceac0b856995afc02921de1615197e9eb0d | xargs tar -rf mytarfile.tar
может вам подойдет вариант деплоя phing + rsync  или сервис деплоя codeship для решения данной задачи?