Как создать грабер для сайта на .NET?
Нет никакой необходимости выполнять js, клиентская часть общается с сервером по HTTP, а js  это мишура сверху, достаточно сделать анализ (Fiddler, Wireshark, Chrome DevTools, исходный код страницы) и подделать все необходимые запросы, и какой-то из них возвращает тот ключ в том или ином виде.
Идея с "движком" браузера не плоха, есть минусы и плюсы (избавляет от необходимости имитировать каждый запрос со всеми заголовками), но это должен быть не простой "движок", а специально заточенный для этого, например, Phantom.js
Попробуйте посмотреть в сторону libcurl, такие задачи как отправка веб-формы ему вполне по силам.