Как сделать обработку post запроса с json на c#?
Использовать HttpClient и NewtonsoftJson библиотеку. Как-то так https://stackoverflow.com/questions/6117101/postin...
Роман оформил)

Можешь попробовать так, но лучше использовать Task\await место getAwaiter  
string str = Request.Content.ReadAsStringAsync().GetAwaiter().GetResult();

и лучше использовать класс место value
[HttpPost]
[Route("some/my/route")]
public string TestMethod(SomeClassModel model)
{

      return "Hello from http post web api controller: " + model.Value;
}


public class SomeClassModel
{
     public string Value { get; set; }
}

В боди запроса положить 
Value : someCoolText

И добавь в классы роуты, там пример оставил.