Как хранить/выводить всю переписку почты?
Через IMAP считываешь почту, потом отправляешь на фронтенд.
на локальном сервере стоит любой почтовый сервак.
на нем же стоит сборщик почты, к примеру класический fetchmail. он собирает почту с гугла и прочих и засовывает в локальный.
на локальном уже делаешь с почтой все что угодно.
для доступа к почте на локальный сервер ставишь dovecot.