Как вывести переменную за пределы функции AJAX?
alert выполняется раньше, чем придет ответ от php/get_special_count.php. Особенность асинхронности ajax запросов. Дождитесь ответа потом выводите результат..done(function(data) {
  special_geted_count = parseInt(data);
  alert(special_geted_count);
});
Достаточно в ajax запрос добавить параметр async: false, тогда алерт выполнится после того, как отработает запрос.