Первая работа по специальности?
1. Тип договора, имхо, не ваша головная боль. Какой предложит компания (и какой будет подходить из них вам), тот и берите. Главное прочитайте его перед подписанием;)
2. А вам это зачем? ЧСВ потешить? Тогда попросите записать так, как хочется именно вам. Будущих работодателей название должности врядли впечатлит. «О! Смотри, парень работал ведущим специалистом по работе с сайтом! Всё, берём сразу же!» Логично, что их интересует, что вы реально умеете и с чем вы на самом деле работали.
3. Всё зависит от ваших обязанностей.
Насчет трудовой, лучше будет, если напишут то, что будет у Вас в димпоме после Вуза. Разумеется, если собираетесь работать по специальности.