Как сделать, чтобы при клике на option у селекта не скрывалось всплывающее меню?
Это невозможно. Выпадающее меню будет скрываться в любом случае.
Вам нужно сделать «свой селект», если хотите оставить выпадающее меню раскрытым.
Попробуйте использовать не выпадающий селект, а с зафиксированным размером (size). Если нужно именно выпадение с фиксацией, тогда придётся вручную его анимировать или писать целиком «свой селкет».