Как сделать readinessProbe по тексту файла?
вам не нужен cat и ненужный pipe - просто
grep -q "app start" /app/log

Но вы уверены, что это нормально - просматриивать целый лог файл каждую итерацию рединесс пробы?
Может быть все-таки лучше в программу добавить дополнительный ендпоинт и проверять ее через http пробу?
Как уже написали в соседнем ответе вы можете обойтись одним только grep, однако ваша ошибка в другом.
Во-первых, вы используете возможности shell, там где его нет.  Пайп это специальная команда, которая есть в sh и bash. А хелсчек exec вызывает программы напрямую.
Во-вторых, command это массив аргументов запуска. Каждая опция, каждый аргумент должен быть отдельным элементом массива, а вы просто дописали всё во второй элемент и оно распознаётся как один большой аргумент cat.

Делайте греп и помещайте каждую опцию в отдельный элемент списка.