Существует ли система аналитики, которая может получить запросы по переходам из ПС минуя установку счетчиков этих самых ПС?
И Яндекс, и Google некоторое время назад скрыли поисковые запросы в referrer при переходах пользователей с поиска на сайты. По крайней мере для большей части трафика. На данный момент Яндекс не шифрует только поисковый трафик с мобильных устройств. Но скорее всего это ненадолго.
Отвечая на вопрос: таких систем аналитики не существует. Чтобы получить информацию о поисковых запросах, надо ставить счетчики поисковых систем.
где вы эти 60 нашли? )) их не больше 10ка сейчас, живых, ну, может, 15ти, учитывая море гуаностартапов
то, что вы просите, вычисляется из REFERER любой системой, в которой эта опция есть (ну, есть, положим, у всех 15ти), 
только вот реферер Гугл пропускает через https (возможно, только для зарегистрированных, а может уже и для всех), поэтому, кроме домена, ничего оттуда взять нельзя
примерно также ведет и яндекс
так что не в системе дело