Как написать приложение с раcписанием?
Qt.
API может быть, а может и не быть (что скорее всего) - зависит от того, предоставляет сайт его или нет. Но, признаться, я не видел ещё сайтов ВУЗов с API (возможно, плохо смотрел).
Работа с массивами - это не работа. Это как сказать: "Я знаю, как готовить пищу и в основном я завариваю Роллтон"
Ответ на второй вопрос гуглится на раз.
Третий вообще не понял.
Расписание хранится на сервере, но, для скорости и возможности оффлайна, лучше всё-таки кэшировать данные в Sqlite и обновлять их раз в сутки (если есть возможность) или по запросу.
Могу только сказать, что приложение такого рода можно написать на java, а можно и средствами web-a, смотря что вам лучше дается...