Обязан ли я использовать платежную систему Гугла в данной ситуации?
Скажу так: 
1. Всё, что Вы хотите вводить и выводить - делайте ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО на своём сайте. В приложении - лишь делаете пользовательского клиента для игры/работы и т.д.
2. Используйте мобильные магазины лишь для распространения клиента для своего сайта, а баланс при логоне пользователей - указывайте в виртуальных "фантиках".
3. Не помещайте какой-либо функционал для пополнения/вывода в клиентское мобильное приложение.
Можете использовать переход в ЛК через вызов линка из приложения для открытия в обычном мобильном браузере, а вот уже там - сделать всё по-полной, т.к. браузер - это уже не приложение, и Вы не будете ничего нарушать.
На мой взгляд, у вас та же ситуация, что и с торговыми терминалами. Вы можете использовать свои платежные системы. 
Но есть один момент. Ваше описание напоминает какое-то казино, а за это уже гугл может забанить.