Почему не срабатывают события change и input после изменения значения value в input?
Во-первых, потому что события вообще не срабатывают - никакие и никогда. Говорить "срабатывает событие" - безграмотно. Срабатывают обработчики событий. Во-вторых, значение вы меняете посредством клика по кнопке, а не вбиваете его в input. То есть, те события, которые вы ждёте - они не происходят, нечего обрабатывать.

Хотите следить за любыми изменениями значения - используйте v-model + watch:

<input v-model="text">

watch: {
  text(newVal, oldVal) {
    console.log(newVal, oldVal);
  },
},
По событию @input необходимо Изменять значение поля text
changeInput: function(event) {
      console.log(event);
      this.text = event.target.value
    },

Или использовать v-model — он делает точно то же самое, только под капотом