Возможно ли найти работу в вебе, если тебе 14 и ты понимаешь JavaScript ( как клиентский, так и серверный )?
На этот вопрос невозможно дать однозначный ответ: вы можете быть гением JS и знать его на уровне нативного кода, а можете не знать, что такое "бабблинг" и как написать функцию add(1)(2), которая возвращает 3. 
Законодательство на этот счет говорит (поправьте, если что-нибудь изменилось), что трудовой контракт с вами оформить можно лишь при соблюдении двух условий:
1. Работа легкая
2. Работа осуществляется в свободное от учебы время и не мешает ей
Алсо, есть ограничение по часам, но точных цифр не вспомню.
На практике, мало кто пойдет на составление трудового договора с несовершенолетним, поскольку никому не нужны вероятно-временно-работающие-полупрограммисты-на-20-часов-в-неделю, это невыгодно для работодателя.
i.e. рабоатть на фултайме в Вебе - крайне маловероятно.
Если рассматривать возможность фриланса, то тут уже все будет зависеть от другого сета навыков - комуникабельность, способность правильно продать свои наывки, способность к убеждению и т.д.
Если можешь писать грамотно код и знания действительно присутствуют, то:
1. Будь ты пингвином с ластами
2. Будь ты возраста в 1 день
3. Будь ты хоть кодом с ИИ невероятной сложности
Если ты сможешь выполнить поставленную задачу - ты всегда сможешь найти работу и заработать денег.
Всё остальное - это просто незнание инструмента или нежелание работать.