Как создать кнопку для сайта, при нажатии которой изображение автоматически загружается/сохраняется на компьютер пользователя?
Именно сразу сохранить на диск не получится. Но можно сделать обычную ссылку, после нажатия на которую автоматически начнётся обычное скачивание файла штатными средствами браузера, не зависимо от того, какой тип файла (хоть html). Для этого нужно в заголовки ответа добавить заголовок Content-Disposition: attachment. Добавить этот заголовок можно через php-скрипт (как указал dzedzinskiy), можно через настройку веб-сервера. Во втором случае удобнее расположить все файлы для скачивания в отдельную папку, специально для этого предназначенную, и повесить в настройках веб-сервера форсированно отдавать файлы из папки (если апач, то можно в .htaccess этой папки указать).
Доступ к файловой системе пользователя только с его щелчка т.е разршения. Иначе я вам дам ссыку и заражу вас трояном моментально.
Это возможно только с помощью расширений для браузеров.
Так... а...  вы просите чтобы по шелчку шел запрос на скачку всегда?
www.abeautifulsite.net/blog/2007/07/forcing-file-d...
По щелчку аяксом шлете на сервер, id картинки, там тот скрипт который по ссылке выше и усе.