Как реализовать «Register with Facebook» аналогично Instagram на server-side?
Пользователь нажимает на кнопку, вы берёте id юзера в фейсбуке он уникальный и другую инфу, так же можете взять access_token если хотите делать какие то запросы в фейсбук.
Далее, отсылаете id юзера на сервер он уникальный помните, смотрим если есть юзер с таким id от фейсбука. Если нет, значит - можно зарегестрировать юзера, делаем юзера и привязываем этот facebook id к нему. Всё теперь юзер зарегестрирован и к нему привязан facebook id.
Если он нажимает на кнопку в приложении - вы отсылаете facebook id и юзер с таким facebook id на сервере находится, можно считать это за логин и пропустить юзера в ваше приложение.
На пятый пункт, нет пароль передавать нельзя, при регистрации или логине (лучше при логине) генерируете юзеру уже свой access_token с которым он может обращаться к вашему серверу.
Свой access_token выдавать при логине или после регистрации.
Теперь когда у юзера есть access_token от вашего сервера, он может делать запросы к вашему api серверу. Это значит, что он должен присылать этот токен с каждым обращением к вашему серверу,  как он будет это делать зависит от дизайна вашего api. У фейсбука это как параметр в URL. 
Я предпочитаю, чтобы access_token присылали в http хедерах.
Примерно, так... Одним ответом тут не отписаться( Спрашивайте ответим.
В общих чертах:
в мобильном приложении пользователь нажимает на кнопку от фейсбука: https://developers.facebook.com/docs/android
Вы регистрируете в приложении callback который получит Sesssion, в котором будет access_token.
Далее вы посылаете инфу на сервер: fbid, access token... (и может быть ещё что-нибудь понадобится, я не знаю, серверную часть API я не писал).
После сервер обрабатывает ваш access token, может например спросит права, или спросит инфу пользователя, если всё в порядке,
тогда вы делаете запись в базу данных и возвращаете "уря, ты зашёл".
Костыли: 1. если вам ВДРУГ нужны права, а такое право - email (он хорош как уникальный id пользователя), права можно проверять с объекта Session, если вдруг не дал права, удаляете все права, и перезапрашиваете их заново, так как сервер это сделать не может.
2. acess token надо обновлять, он жив помоему примерно 30 дней.
-- каким образом мы можем проделать такое на сервере?? - запрос в граф апи на /me (https://developers.facebook.com/docs/graph-api/ref... )
PS: Помоему тут можно скачать FB APi https://github.com/sciyoshi/pyfacebook/ для присмыкающегося ползунка