Как сделать, чтобы программа для бота запоминала, на какие кнопки нажал пользователь?
Если вы используете обычную клавиатуру, не inline, то советую посмотреть в сторону метода register_next_step_handler() В интернете полно примеров использования, в том числе на этом ресурсе.
Но мало где описывается, что помимо объекта сообщения и объекта функции этот метод принимает аргументы, которые в эту функцию передает.
Пример такого использования можете посмотреть тут
сохранять в любом случае переменные для дальнейшего применения в других функция придется через классы.
ответ тут https://qna.habr.com/q/1163398