Какую ширину сайта делать 1366 или 1349?
Ширину всего сайта ставь любую, хоть в 2к разрешении. Основное - чтобы контентная область для всех экранов была одинаковая (в некоторых исключениях, можно делать адаптацию большие экраны).
Например, возьмем пример разных мониторов, при условии что контентная область 1170px.
1920px
1366px
1240px
Разница между мониторами будет лишь в том, что шапка, футер и др. элементы, которые имеют резиновую ширину на весь экран, будут растягиваться, а контентная область у всех будет составлять 1170px.
Пример:spoiler
Красным отмечена контентная область, элементы шапки в данном примере, растягиваются на всю ширину, и совсем не важно, в каком именно разрешении вы их отрисуете.
Поэтому при выборе разрешения экрана, руководствуйтесь своими предпочтениями, главное держите контентную область в одном размере.
1) Когда нажимаешь "Показать код" отображается 1349 пикс., но когда делаешь скрин этой страницы, то этот скрин отображается уже как 1366 пикселей. Почему?
Всё очень просто, у вас масштаб в браузере изменён. Поставьте масштаб 100%. Тогда скриншот будет совпадать с размерами в коде.

2) Когда я делаю макет в PS, какую ширину мне ставить 1349 или 1366 пикселей?
Буду благодарен за помощь!

Макеты лучше делать не в PS а в Figma. В общем-то PS никогда не был удобен для вебдизайна. До появления фигмы и подобных ей, был Macromedia FireWorks, например. Никогда не понимал эту любовь к фотошопу у заказчиков, особенно на постсоветском пространстве. Фотошоп это редактор фотографий изначально, удобнее всего в нём заниматься именно фотоманипуляциями.
В фигме, например, уже есть нужные вам размеры макетов для разных устройств.