Как открыть Navigation Drawer свайпом с середины экрана?
В вк можно было так делать когда они не использовали Navigation Drawer а использовали самопальную слайд панель. На сколько я знаю такого фунционала в самом Navigation Drawer нет. По опыту могу сказать что так делать не стоит и в дальнейшем только огребете.
Но если сильно хочется то
1. Делайте на контенте определение жестов и движение пальцев (onTouch и SimpleGustureListener)
2. используйте самопальные решения типа https://github.com/jfeinstein10/SlidingMenu
да, там жестко  в самих классах прописана дистанция.
можно , по идее через рефлекции сделать, 
SO 
напимер, такое решение даетDrawerLayout mDrawerLayout = (DrawerLayout) findViewById(R.id.drawer_layout);
Field mDragger = mDrawerLayout.getClass().getDeclaredField(
        "mLeftDragger");//mRightDragger for right obviously
mDragger.setAccessible(true);
ViewDragHelper draggerObj = (ViewDragHelper) mDragger
        .get(mDrawerLayout);

Field mEdgeSize = draggerObj.getClass().getDeclaredField(
        "mEdgeSize");
mEdgeSize.setAccessible(true);
int edge = mEdgeSize.getInt(draggerObj);

mEdgeSize.setInt(draggerObj, edge * 5); // вот тут меняем размер.