Правильно ли под каждый микросервис запускать сервер базы данных?
Имеется в виду одна БД не для каждого отдельного экземпляра микросервиса, а для всех  экземпляров некоторого микросервиса. Скажем, 10 контейнеров микросервиса с одним DB connection string. Соответственно, 1 балансировщик на эту группу.
Как уже написали, база это отдельный сервис. Если нужна база, пишется сервис для общения с ней и остальные сервисы общаются через него.