Как сохранить сообщение в sqlite после нажатия на inline кнопку?
Ссылка просто текстом отправлена?

В вашей функции query_handler вы можете получить текст оригинального сообщения (в данном случае это ссылка) через call.mesaage.text, дальше уже сохраняйте в БД
В чем проблема? Отслеживаете нажатие на кнопку, при клике сохраняете файл на компьютер, в бд записываете путь к нему.