Как в слайдер сделать переключение слайдов после окончания проигрывания?
Включите autoplay по умолчанию, после инициализации слайдера вызывайте slickPause, после видео вызывайте slickPlay
Ну что-то типа такого:
$('video').on('ended', function(){
    $('.slick-slider').slickNext();
});