Как выгрузить список всех улиц по выделенной области на карте?
Нет, таких сервисов я не встречал. А OSM - это просто данные, в отличии от гуглояндексов, с их готовыми сервисами. С OSM надо разбираться, подготавливать и преобразовывать данные, визуализировать результаты и прочие реализации хотелок самому.
Ну и кстати QGIS это было верное направление. Он умеет читать сырые данные OSM. Дальше вам остаётся выбрать из данных только дороги и провести пространственное выделение.
А так вообще, кому это нужно на постоянке, а не разово на коленке, разворачивают данные в базе и делают пространственную выборку уже от туда.
Попробуйте  это решение.  Разберетесь с фиасом и у вас будет все актуальное на дату выгрузки
https://github.com/vkorotenko/FiasServer