Делает ли Front-end разработчик обработчики кнопок?
Переход на другую страницу - это не кнопка, а ссылка.
Ссылка может быть оформлена в виде кнопки по внешнему виду.
В этом случае обработчика, как такового, нет. Хотя в ссылке могут быть параметры, которые обрабатываются при формировании страницы на сервере. В этом случае можно сказать, что условный обработчик находится на сервере, то есть делает Back-end разработчик.
Однако часть логики может быть сделана на клиенте. Например, перед отправкой формы (кнопка + переход на дргую страницу) на всякий случай может быть проверка введенных данных. Конечно, на сервере эти данные нужно перепроверить, но чтобы честные пользователи не ждали долго, пока данные гоняются туда-сюда, гораздо быстрее проверить их перед отправкой и сразу выдать ответ. В этом случае обработчик делает Front-end разработчик.
Ну по идеи, если мы говорим именно про фронтенд разработчика, а не простого верстальщика - то да, он делает обработку. Чаще всего это делается в SPA приложениях VueJS, react, angular
Но и при обычной вёрстке тоже бывает обработка, например при Ajax добавлении товара в корзину, или подгрузку при скролле и ещё много где.
Иногда получается гибрид, что-то обрабатывается с фронтенд, что-то на бекенде