Как правильно построить структуру IT-компании?
1. Недоработка аккаунт менеджера, он должен не бояться переключать клиентов на проектного менеджера. Есть куча способов мягкого первода.
2. Введите систему тикетов (н.п. через выделенный email), н.п. у клиента появилась задача, он ее обсудил с менеджером (если требуется), менеджер помог сформулировать задачу и попросил клиента направить тикет на выделенный эмейл, если не может отправить клиента, то заводит тикет сам (что, кстати, не очень хорошо, но иногда допустимо), клиент в свою очередь получает номер тикета, по которому может отслеживать его выполнение. Куча методологий описывает подобный подход.
Вы написали, что используете Redmine, но для клиента это сложно. Ему нужна минимально простая коммуникация, а Redmine - это ваша внутренняя кухня. Вот уже прикормленных клиентов, можете втягивать в Redmine и т.п., предварительно, "продав" это клиенту.
3. Все зависит от того, как у вас устроены внутренние процессы, в целом, вам надо определить основные приоритеты для команды. н.п. 
    а. Поддержка существующих клиентов. 
    б. Поиск новых клиентов.
    в. Разработка новых продуктов.
Распределяйте приоритеты на сотрудников. Стройте процессы, которые должны соблюдаться.
Ну и конечно почитайте про ITIL :)
Да, еще есть книжка интересная, к слову, она по большей части мотивирующая, но для себя нашел пару интересных моментов, называется "Rework: Бизнес без предрассудков" авторы Джейсон Фрайд, Дэвид Хейнмейер Ханссон
Что мешает менеджеру заполнить тикет со слов клиента? Делайте только пометку по какому каналу и в какое время пришла заявка.