Как на PHP отправить POST запрос программе через форму на сайте?
Js$(function(){
$('input[name = "order_submit"]').click(function(){
   $.ajax({
       url: "test.php",
       type: "POST",
       data: {"phone":  $('input[name = "order_phone"]').val()},
       success:  function(res){
       alert(res);
    }
   });

return false;
});
});
А в test.php телефон будет доступен в $_POST['phone'];
Сработает при наличии библиотеки JQuery
Подключить ее можно так <script src="http://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.10.2/jquery.min.js">
</script>
Номер телефона нужно проверять на валидность.
www.php.net/manual/ru/function.file-get-contents.php в функции file_get_contents есть параметр context, используя который можно отправлять из php пост-запросы. В документации и в гугле есть примеры.
Это не единственный способ, можно еще curl заюзать например.