Как в Yii2 получить дату и время пользователя на PHP без использования JavaScript?
На сервере лучше работайте с единой тайм зоной сервера (желательно UTC), а всё форматирование и перевод времени в нужную тайм зону, делайте на клиенте. Я обычно для этих целей завожу где-нибудь в глобальной области видимости JS-скрипта константу, в которой хранится смещение тайм зоны пользователя относительно UTC и эта константа используется везде, где идёт вывод даты/времени.
Как получить текущее время и дату компьютера пользователя без использования JavaScript? 
Никак. PHP серверный язык, и он никакого отношения к тому что происходит на клиентской машине не имеет. Для работы с клиентской машиной как раз и существует JavaScript. В чем проблема его использовать?