Как получать данные со стороннего сайта имея API?
В документации к АPI которое вы собираетесь использовать все есть.  Универсального рецепта нет
Обращаетесь к апи. 
Получаете данные, 
в php оборачиваете в шаблон. 
К шаблону применяете стили.