Как дать права cron на запись и на чтение?
crontab выполняет задачи от имени пользователя, под которым эти задачи были заданы. А у веб-сервера, например apache - уже свой пользователь (например www-data) , и у этого пользователя уже свои права и группа. Так что вам нужно смотреть в сторону группы и прав пользователя, под которыми вы запускаете крон-задачи.
Добавьте пользователя cron в группу которая имеет доступ на запись и чтение в данной папке.
Это можно сделать командой usermod -G