Какие есть способы организовать «общение» android-приложения с сервером?
json в теле post, и в ответе get. Не используй HttpUrlConnection, бери Retrofit+OkHttp + какой-нибудь из сериализаторов(Moshi, Gson, Jackson).
Отправлять джейсоны через POST - норм. Большая часть, наверное, так и делает.
Еще можно дедовский, проверенный SOAP использовать, или молодежные, стильные вэбсокеты.