Отправка формы посредством AJAX и PHP?
Так вы сериализуете не форму, а кнопку
1. зачем <button> ? если не требуется сложное оформление (button разрешает использовать html для надписи, например <button><h1>Send me</h1></button>) то можно простой <input type="submit">
2. привязать функцию-обработчик на submit формы, а не на click кнопки
3. сериализовать форму, а не кнопку
4. при отправке письма лучше указывать ReplyTo, чтобы можно было ответить сразу пользователю
Исправленный gist с указаниями всех замечаний https://gist.github.com/pvolyntsev/b1ce3d17c5fad20bffe3