Как разместить сервер в интернете?
Арендовать(или найти бесплатный, например у амазона) у любого хостера VPS/VDS, установить ос и запустить на ней сервер чата. При желании докупить домен и привязать его к вашему серверу.
Если у вас на самом деле не "сервер для чата", а Java-приложение, которое разворачивается под управлением существующего сервера приложений, то можете почитать тут: Как развернуть Tomcat на сервере?