Почему не сохраняется содержимое localStorage сайтов после закрытия окна броузера?
Если проблема проявляется в нескольких браузерах - то возможно, стоит программа наподобие антивируса или какого-нибудь клинера, и она настроена так, чтобы удалять при выходе следы за браузерами.
А Вы использовали window?window.localStorage.setItem('key', 'item value')
window.localStorage.getItem('key')
Всё работает даже на jsfiddle: jsfiddle.net/oqt86mz6
Проблема где-то у Вас.