Может ли выполнение одной программы разными пользователями повлиять на ее работу?
Ну для сферической программы в вакууме - да, может. .NET тут ни при чем. Простой пример - у программы есть файл настроек. Неизвестно как в него настройки пишутся - может файл на запись открывается один раз при старте программы - тогда другие инстансы просто не получат к нему доступа. В общем - варианты возможны.
При работе программы с общими ресурсами будут сыпать ошибки доступа к файлам, если этого не предусмотреть самому.