Почему не отправляются письма функцией mail()?
1) Сделайте себе отдельный домен с которого вы будете отправлять рассылки, уведомление, итд.
2) Подключите его к pdo.yandex.ru , создайте там почтовый ящик с которого будет идти рассылка.
3) Дополнительно подключите его к https://postmaster.yandex.ru/ 
4) Настройте DKIM и SPF записи help.yandex.ru/postoffice/security.xml
5) Используйте любое решение для php которое умеет отправлять почту через smtp (например swiftmailer)
В принципе вместо яндекса можно использовать любую почту по вкусу.
а в логах что пишет? раз вы настраивали почту, то в процессе настройки вы должны были указать пути для почтовых логов, хотелось бы увидеть, что там