Как программисты хранят частоиспользуемые куски кода, чтобы каждый раз не вспоминать заново?
Программисты такое не забывают, чтобы где-то хранить. Забыть можно названия функций, коих 100500 в различных API. Но синтаксис и стандарты языка - это как бы алфавит. Вот вы часто забываете алфавит? Сможете сейчас его воспроизвести: "а", "б", "в"... ? А если другой язык: "a", "b", "c"... ? Также и (настоящие) программисты помнят подобное, как основы основ.

Частоиспользуемый код оформляется в виде функций, и пропадает необходимость в копировании/переписывании. Многие такие простые функции входят в стандартную библиотеку, и названия таких функций практически не меняются от языка к языку. Поэтому даже если в языке не оказалось одной из таких функций, то она создаётся с заранее известным названием, которое программисты помнят хорошо. А если функция специфична для проекта, то таких функций не много, и их тоже легко помнить (на время работы с проектом).
Когда кодил на VB6 в школе - сохранял значимые куски кода, которые можно переиспользовать в модули и складировал в папки, которые были более-менее структурированные.
Сейчас складирую сниппеты на свой github. Из соображения что оно лежит в облаке.