Как удалить элементы из массива по определенному значению?
$array = array_filter($array, function($element) { 
    return $element['name'] !== "Иванов";
});
Также хочу отметить, что:
1. Массив из которого мы удаляем - не ассоциативный
2. Крайне желательно после подобной фильтрации сделать ключи массива последовательными, например так: $array = array_values($array). Это поможет избежать неожиданностей при json_encode, например ;)
Проходитесь по массиву, если находите ученика(доктора) с фамилией Иванов, удаляете его из массива по индексу.foreach ($array as $i => $doctor){
    if ($doctor['name']==='Иванов'){
        unset($array[$i]);
    }
}
var_dump($array);