Как реализовать подбор по критериям?
хотелось бы реализовать идею на сайте и "идти" дальше. Проще - сразу "идти" дальше.

Ответ на вопрос
Фильтр: json в base64 (для URL) и его отправляем через ajax на сервер для получения нужного результата фильтра.
У вас задача по большей части зависит от sql и реализации api. Как уже выше сказали черкз аякс делаете запрос и в ответ получаете результат.
По самой логике: в js соберите нужные чекбоксы отправьте серверу, а сервер сделав соответствующий запрос в бд вернет вам оттуда результаты