Как с помощью скрипта кликнуть по кнопке?
Нажатие на кнопку - это обычный GET/POST запрос.
Откройте инспектор, изучите что там происходит в нужный момент, сформируйте запрос и отправьте его. 
https://www.php.net/manual/ru/function.file-get-co...
https://www.php.net/manual/ru/book.curl.php
Можно идентифицировать кнопку по id, если нет возможности её найти по id, то id добавить к объекту в котором она находится и искать по классу, внутри этого объекта и т.д. а после использовать click для dom обьекта