Доказывают ли изначально аксиомы, чтобы потом принимать их на веру?
Аксиома - это то, на чем строится дальнейшая теория. Аксиома потому и аксиома, что берется без доказательства.
Евклид сказал: параллельные прямые не пересекаются. И дальше строит на это свою геометрию.
Лобачевский (если не ошибаюсь на счет фамилии) сказал что параллельные прямые пересекаются и строил на этом уже свою геометрию.
Т.е. аксиома - это как фундамент для чего-то.
Нет. Чтобы что-то доказать - нужно всегда основываться на чем-то. Либо на других доказанных теоремах, либо, в конце-концов - на аксиомах.
Цитата из вики:Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные.