Как сделать чтобы после logina оставаться залогиненым на любых вкладках?
Во-первых, хранить в куках email для подтверждения авторизованности пользователя - глупо. Обычно там хранят какой-нибудь уникальный MD5, который ещё и в базе залогиненных пользователей хранится. А так можно взять известный email известного пользователя, засунуть его в cookie - и вуаля, я авторизован под этим пользователем.

Во-вторых, cookie можно выставлять с самого сервера во время AJAX-запроса, и это будет правильнее. Нельзя такой функционал делегировать JS, который виден и выполняется на стороне пользователя.

P.S. В области безопасности игнорирование устоявшихся стандартов и изобретение своих хитрозакрученных "велосипедов" может очень больно спустить на землю.
Читать до посинения