Могут ли в PHP сокеты работать асинхронно?
Могут ли в PHP сокеты работать асинхронно?
Да. Это называется non blocking sockets а не "асинхронно".но не понятно как дальше с этим работать. 
socket_select.
Согласен с Сергей Протько 
От себя добавлю: вместо расширения socket используй лучше расширение stream: функции stream_socket_* и stream_select
Так же можно использовать неблокирующие библиотеки для "асинхронной" работы с сокетами: ReactPHP/Socket (сервер), ReactPHP/Socket (клиент) или IcicleIO/Socket (и клиент, и сервер)