Почему watcher не реактивен при создании компонента?
1. Всё работает: snippet
2. Лучше писать так: watch(
  seachCityName,
  (value) => {
    localStorage.setItem("seachNameFromLS", value); 
    // ...
  },
  { immediate: true }
);
3. Оборачивайте код в <code></code>, когда задаёте вопрос. Это нормы приличия.
watch вообще не отрабатывает? А покажите кусок шаблона, где используете seachCityName