Почему web-сервисы стали называть API или какая между ними разница?
1) олдскульные (SOAP/XML) веб-сервисы называли так, потому что есть группа стандартов от W3С, и там используется именно понятие "web service" (https://www.w3.org/TR/ws-arch/#id2260892);
2) поэтому REST API называются так, чтобы побольше отличаться от веб-сервисов, и заодно подчеркнуть, что в таком взаимодействии единственный стандарт "для всех" - это HTTP. Все остальное - форматы запросов/ответов, степень соответствия архитектуре REST - определяется конкретным сервисом, и поэтому хотелось некий "легковесный" термин, который бы говорил о таких контрактах взаимодействия, которые работают поверх HTTP и соответствуют архитектуре REST. Поэтому и REST API/Web API , что переводится как "контракт, работающий поверх HTTP в соответствии с архитектурой Web".
У web-сервиса есть API. Мода тут не причем, в каком-то контексте удобнее говорить API, в другом web-сервис.