Какая лучше ОС для игрового сервера?
>нет опыта защиты от инъекций и брутфорса.
От этого должна быть защита на уровне приложения, а не в ОС.
>На какой лучше ОС Linux лучше поднимать игровой сервер (производительность и т.д.)?
На той, которую лучше знает команда, у которой есть подходящий LTS релиз, подходящие родные сборки софта, поддержка у хостера и так далее. 
Производительность от железа в первую очередь зависит (правильно настроить можно любую из популярных ОС).
То есть без учёта вашего специфичного контекста ОС отличаются только названиями.
Ставь centOS и грамотно настроенный iptables(если сложно, какой нибудь ufw firewall). А от ddosa и иньекций( понял о чем вы ) настроить nginx в качестве прокси.  Единственное в чем не уверен, есть ли дистрибутивы под linux, раньше насколько я помню они были только под windows системы.