Почему пропадают элементы страницы при сохранении ее из браузера?
Потому что у этих ссылок изображения сделаны как фон со своим url, а они не сбрасываются на диск вместе со всеми.
Если они очень нужны, то их следует скачать вручную. Посмотреть в дебугере как они называются на сохранённой странице. Их сразу видно. И скачать с оригинального сайта.
Потому, что сайт стоит на сервере, а там уже может быть подкючено много чего. Допустим алгоритмы PHP не будут работать без сервера. Попробуй Open Server, и на нем запусти сайт. А для парса сайтов можешь использовать WGet