Какую базу данных выбрать для кроссплатформенного проекта?
База - любая.
Формат обмена данными - RESTfull API
Формат передачи - JSON
Формат клиента - SPA
(выше описанное справедливо для веб-сайта и для любых приложений для любых ОС)
Полагаю мобильный клиент, будучи он-лайн приложением, будет таки обмениваться данными с бэкендом, посредством API. Логично было бы для мобильного клиента подыскать готовую библиотеку, которая уже умеет обмениваться данными с API и на бэкенде API реализовать именно таким образом как надо библиотеке. Тогда головняков минимум. Полагаю это будет что-то вроде RESTful API, как и было написано в первом каменте. 
В целом же вопрос выбора БД сводится к вопросу о целях, требованиях, масштабах, квалификации и пр.
Что касается SQLite, то насколько мне известно, его используют как локальное хранилище.