Возможно ли взаимодействовать с сайтами у которых нет API?
Да. Кнопка это запрос. Post или Get, так что по сути все сводится к отправке запроса. Для этого есть в php - curl. А для парсинга есть библиотека simplehtmldom, или другие или просто регулярные выражения.
Максим Тимофеев уже ответил, что возможно, но я хотел бы уточнить Если разработчики сайта позаботились о безопасности, то они могли добавить токены в каждую форму, которые обновляются у простых пользователей каждый раз, в каждый запрос к серверу (csrf). В таком случае Вам будет сложнее отправлять форму через свой скрипт и необходимо будет находить решение этой проблемы.