Куда поместить картинки в приложении реакт и как к ним достучаться?
Кладите картинки либо в src и импортируйте их через import. 

Либо в паблик и обращайтесь напрямую, но без public. То есть, если картинка лежит в /public/images/cat.jpg, то обращаться к ней нужно через /images/cat.jpg
Если собираете на Webpack, и картинка в src/img/image.svg
А выходная папка dist/

webpack.config в modules 
{
    test: /\.(png|svg|jpg|gif)$/,
        use: [{
    loader: 'file-loader',
    options: {
        name: f => {
            let dirNameInsideAssets = path.relative(path.join(__dirname, 'src'), path.dirname(f));
            return `${dirNameInsideAssets}/[name].[ext]`;
        }
    }
}],
},

 index.js 
import "./img/image.svg";

В верстке 
<img src="img/image.svg" alt=""/>