Как сделать мобильную версию сайта?
Сделать отдельный поддомен и для него с нуля сверстать мобильную версию. Серверный API оставить единый.
Как вариант, заводим глобальную переменную

Vue.mixin({
    data() {
        return {
            isMobile: window.innerWidth < 768 , // поменять по своему вкусу
        }
    },
});

И дальше делаем что-то типа такого:

<div class="component">
  <ComponentDesktop v-if="!isMobile"></ComponentDesktop>
  <ComponentMobile v-else></ComponentMobile >
</div>