Верно ли я сделал расчет транзистора для включения светодиода на 2,2 вольта и током 0,02 А?
Ошибки есть, но работать - будет.
Сколько можете насчитать своих ошибок?
Коэф. ус. мин. 100.
Коэффициент усиления тока базы биполярного транзистора в ключевом режиме (насыщенном) - существенно меньше, чем в усилительном. Хорошей базой будет считать его 10-20 ед. (если нас не сильно заботит быстродействие при выключении).

12-0,8 = 11,2 В - падение напряжения на базе .
Садитесь, два. Формула такого вида определяет падение напряжения на R2, а не на "базе".

ток базы 0,02:100 = 0,0002 А.
См. п. 1. Для хорощего насыщения Q1 (при котором выполнится
(12-2.2) / 0,02 = 500 Ом
) ток базы следует принять около 1 мА.

Сопротивление коллектор-эмиттер (12-2.2) / 0,02 = 500 Ом
Садитесь, два. Не "коллектор-эмиттер", а "токоограничительный резистор в цепи светодиода" хотя-бы. Почему выбрали 500 Ом как результат расчёта, а не числа, принадлежащие к стандартным рядам номиналов?


Самый интересный вопрос - зачем? Это учебная задача или практическая? Если практическая, то, может, переключить светодиод на питание микроконтроллера и управлять им напрямую, с вывода микроконтроллера? Кстати, какое будет сопротивление резистора в этом случае?
Почти всё рассчитано верно.
Но есть нюанс, он связан с разбросом параметров транзистора - вы не учли, что коэф.усиления по току для этого транзистора не 100, а от 100 до 300. Резистор в базовой цепи остаётся 56 кОм, но базовый ток для 300 становится чрезмерным втрое и вводит транзистор в насыщение (как говорят профи, "стягивает транзисторный ключ в точку"). Так и должно быть.  Транзистор становится полностью открытым (напряжение на нём - малые доли вольта), и именно это вам и нужно.
Режим насыщения - основной для тразисторного ключа, никакого усиления в нём не происходит. Начинается он в данном конкретном случае (для коэф.усиления 100) со значения 56 кОм. При большем сопротивлении или при меньшем коэф.усиления транзистор из ключевого перейдёт в линейный режим и начнёт усиливать, т.е. менять своё сопротивление для тока через коллектор, и соответственно яркость светодиода. Если вам требуется только включать и выключать светодиод, то линейный режим вам ни к чему.
Так что, ещё раз повторю, случайно получилось всё ОК. Но правильный расчёт обязан учитывать помимо прочего и разброс параметров.