Как добавить новый контакт в телефон через сайт?
Никак. У браузера нет доступа к api платформы для создания контактов. Сделано это разработчиками с той целью, чтоб такие вот гении не забивали контактную книжку своими ненужными контактами.
https://yandex.ru/support/webmaster/hcard/general.html
Еще есть https://www.w3.org/TR/contacts-api/
Собственно по одной из ссылок, скорее всего по первой, будет удовлетворяющий ответ. Все упрется в поддержку браузером, но на это уже никак не повлиять.
Что-то близкое и пару вариантов есть для более быстрого добавления в "книгу контактов" чем через vcf.  vcf не всегда удобен для добавления на телефонах. https://stackoverflow.com/questions/8669912/add-a-...