Почему в bash не отображается переменная внутри echo при запуске из-под Cron?
При запуске через Cron всегда в $RESULT пусто.
Почему? 
Скорее всего потому что не удаётся запустить /usr/local/bin/wp. Для разнообразия можно сделать так:
RESULT=$(/usr/local/bin/wp core verify-checksums --allow-root --path=/var/www/web/ 2>&1 )
чтобы посмотреть на полный вывод команды.
А кроме того, команды обычно устанавливают статус выхода в зависимости от успеха/неуспеха. Его можно достать из $?. И если /usr/local/bin/wp всё делает правильно, то часть с IS_OK можно переписать так:
IS_OK=$?
if [ $IS_OK == 0 ]; then
$RESULT переменная живет в рамках сессии root которую запускает cron, после выполнения удаляется. Попробуй-те запустить TMUX, присвой переменную TEST=1, потом создайте новое окно CTRL+b,c и проверьте переменную echo $TEST - нифига не будет.