ДНС компьютера и роутера должны совпадать или нет?
Не обязательно они должны совпадать. И DNS не используется в маршрутизации.
Какой где прописал - такой и используешь. Роутер использует гугло, комп - яндекс. Только пров все равно их перехватывает и моинторит :)