Как копировать текст через JS?
Отследить изменения можно при помощи MutationObserver, например.
Ну и скопировать потом, можно и так, как у вас сейчас сделано.
Отличный способ у Stalker_RED 
Jquery вариант с интервалами, не лучший вариант, но имеет место быть:var copyInterval;

copyInterval = setInterval(function () {
	$('.div2').html($('.div1').html());
}, 100);