Является ли верным реализация menu таким образом?
Ну во первых, <menu>  и вложенный в него<ul>,  уже не особо корректно.
Используйте просто ul > li либо menu > li.
Подробнее можете прочитать тут htmlbook.ru/html/menu
Во вторых объясните подробнее, что вы хотите делать с меню?
При наведении/клику на какой либо элемент , чтобы оно появлялось?
1. 
Если menu, то ul лишний https://webref.ru/html/menu
Если хочется ul, то nav
2. 
Чаще всего не надо 2 раза писать меню. 
Меню одно и меняется только его положение выстраивание с помощью CSS (например, flex).
Делается кнопочка, бутербродик, скрытая на десктопах, видимая на мобильных. 
На мобильных меню сначала скрыто и открывается по кнопочке.