Как сделать чтоб после нажатия кнопки, запрашивал у пользователя место сохранения файла?
Чтобы показать окно с выбором места сохранения файла, используйте JFileChooser.showSaveDialog.
private void actionAdd() {
        JFrame parentFrame = new JFrame();
        JFileChooser fileChooser = new JFileChooser();
        fileChooser.setDialogTitle("Specify a file to save");
        URL verifiedUrl = verifyUrl(addTextField.getText());
        
        if (verifiedUrl != null) {
            int userSelection = fileChooser.showSaveDialog(parentFrame);
            if (userSelection == JFileChooser.APPROVE_OPTION) {


              // что здесь написать,чтобы сохранял файл куда я указал?


                tableModel.addDownload(new Download(verifiedUrl));
                addTextField.setText(""); // reset add text field
            }
            
        } else {
            JOptionPane.showMessageDialog(this,
                    "Invalid Download URL", "Error",
                    JOptionPane.ERROR_MESSAGE);
        }
    }