Можно ли такое реализовать с помощью Wordprss?
WP-Recall плагин позволяет выводить профиль +кучу полей. Регистрация на нем тоже есть
Почитайте в 1-й главе книги я писал о его возможностях
Но ниодин плагин не даст вам из коробки 100% как вы хотите. Тут -
или вы принимаете как устроено в плагине; 
или пользуясь темплейтами, фильтрами и хуками допиливаете под себя - но все равно могут быть ограничения;
или вы пишете свое решение с ноля - зато так как вы это видите
Вообще для WP очень много плагинов, для форм обычно используют Contact Form 7 (для регистрации лично я ее никогда не использовала за ненадобностью, но думаю можно сделать). На WP можно такое сделать, но он больше заточен для ведения блогов. По всему остальному - Вам все равно прийдется много гуглить и разбираться в верстке / JS / PHP.