Vue.js Как в роуте вызвать обновление компонента, вызванного в App.vue?
Сам по себе localStorage не реактивен, так что ваш computed не имеет особого смысла.
По-хорошему token просто надо хранить в рективном store(не обязательно vuex, можно просто observable), и во всех местах получать и класть его через этот store. Тогда всё будет работать из коробки.
Если же в localStorage token прилетает откуда-то сам, то придётся вам повесить событие onstorage и отлавливать изменения вручную в нужных местах.
Почему эти данные в mounted? Просто занесите их в data, в чем проблема?