Как можно хранить отсчет времени на клиенте?
https://learn.javascript.ru/localstorage
Направляю:  есть такой объект Date. Пользователь пушит в localstorage такой объект с заданной датой (через указанное количество дней), при загрузке страницы создаётся новый объект Date с текущей датой и сверяется с той, что в localstorage.
Пользователь вводит количество дней в инпут .Это число прибавляется к текущей дате, и полученная дата сохраняется в локальном хранилище. По мере необходимости ту дату сравнивают с текущей; возможно, вычитают одну из другой.

Отдельный вопрос - когда меняется дата. Есть варианты:
в полночь;
в момент, когда Пользователь ввёл число в инпут.
