При какой посещаемости сайта веб-сервер может сбоить?
Ну а в случае с VPS хостингом, сколько запросов может обрабатывать БД в секунду, и от чего это зависит?
От 1 до 1 000 000.
Вы же не указали, что за VPS.
И зависит от мощностей VPS, да.
Вам советую не переживать, ваш проект не переплюнет ограничения (вот не в обиду ни разу), если уж совсем дешманский хостинг не брать.
 Ну а в случае с VPS хостингом, сколько запросов может обрабатывать БД в секунду, и от чего это зависит? 
Зависит от разных вещей. Например сколько ваш сайт делает обращений в базу на каждую активность пользователей, используется ли кеширование, насколько тяжелые запросы.
Ну а так - вы когда VPS заказываете, характеристики видно - сколько ядер, сколько оперативки, какая дисковая система используется (ssd?)
P.S. Обычно, среднестатистический VPS не слабее shared хостинга.