Как сделать что бы putty не отключался?
Используйте на сервере screen или tmux. Тогда любой отрыв соединения будет вам грозить, в худшем случае, реконнектом.
Есть еще вот такая штука - Mosh
mosh круче всех.
даже на плохом интернете - нет раздражающей задумчивости, как в классическом SSH (к которому относится и putty).
у меня на mosh сайты висят месяцами на связи.