Почему данные пользователя не добавляются в базу данных?
Как нужно действовать (в принципе всегда):
1) Проверить что форма срабатывает и делает запрос: открываем консоль разработчика в браузере - нетворк, субмитим форму - смотрим что форма сделала запрос к серверу. Если не сделала - разбираемся в консоли какие ошибки со скриптами и все чиним.
2) В отсылаемом запросе смотрим данные, которые отправляет скрипт, а так же ответ сервера, на предмет ошибок. Если есть ошибки - исправляем. 
3) Проверяем данные которые пришли на сервер, делаем var_dump($_POST), смотрим - то ли пришло на сервер. Если что-то не пришло - возвращаемся на фронт и ищем ошибку в хтмл разметке и форме.
4) Правильные данные сначала вставляем в отдельную переменную как строку запроса, а потом передаем ее на выполнение в $mysql->query(). Таким образом перед выполнением запроса можно тем же  var_dump() вывести запрос и проверить его визуально на правильность, ну или вставить руками в бд через phpmyadmin или другой инструмент работы с бд. Посмотреть ошибки - исправить.
5) Во всех случаях нужно использовать подготовленные выражения. Код станет на 3 строчки длиннее, но на 90% качественнее.
Профит.
Как нужно действовать (в принципе всегда):
1) Проверить что форма срабатывает и делает запрос: открываем консоль разработчика в браузере - нетворк, субмитим форму - смотрим что форма сделала запрос к серверу. Если не сделала - разбираемся в консоли какие ошибки со скриптами и все чиним.
2) В отсылаемом запросе смотрим данные, которые отправляет скрипт, а так же ответ сервера, на предмет ошибок. Если есть ошибки - исправляем. 
3) Проверяем данные которые пришли на сервер, делаем var_dump($_POST), смотрим - то ли пришло на сервер. Если что-то не пришло - возвращаемся на фронт и ищем ошибку в хтмл разметке и форме.
4) Правильные данные сначала вставляем в отдельную переменную как строку запроса, а потом передаем ее на выполнение в $mysql->query(). Таким образом перед выполнением запроса можно тем же  var_dump() вывести запрос и проверить его визуально на правильность, ну или вставить руками в бд через phpmyadmin или другой инструмент работы с бд. Посмотреть ошибки - исправить.
5) Во всех случаях нужно использовать подготовленные выражения. Код станет на 3 строчки длиннее, но на 90% качественнее.
Профит.