Из научного сотрудника института математики в программисты или какую другую востребованную профессию реально можно освоить?
Математиком-теоретиком больше быть не хочу. может тогда математиком практиком? 
Алгоритмистика, скажем, скорее часть математики. Большинство действующих, квалицированных программистов не придумывают алгоритмов(а многие даже и не знают). Серьезные вычислительные задачи, например в нефтянке, требуют глубокого анализа перед рутинным кодированием. Data science, big data,  artificial neural network - это же все больше про математику чем про программирование. Криптография опять же - мало кто из кодеров представляет отчетливо что же такое умножение на эллиптических кривых. Биржевые стратегии, оптимизация инвестиционного портфеля.
Реально ли стать программистом в моем возрасте?
Дело не в возрасте, а в способностях, наличии времени и готовности не один год осваивать новую профессию, а потом не один год (а если не станете в итоге хорошим программистом, то и всю оставшуюся жихнь) работать "за еду".