Ошибка Cannot read property 'setState' of undefined?
А еще можно записать в конструкторе App.this.handleSearch = this.handleSearch.bind(this);
В Open-Source библиотеках которые я видел, используется именно такой метод.
А вообще, дам совет, если у вас что-то не получается, идем в Google и пишем "reactjs + функция которая не работает + es6" именно по вашей проблеме есть уже несколько решенных вопросов.
Попробуйте вот так написать<SearchBar onSearch={this.handleSearch.bind(this)}/>