На чем писать back-end в связки с Vue + mongodb?
А что особенного в этой связке?) Ну, возьми Node + express, чтоб долго не выбирать. Мне кажется, самое простое решение
Если предполагается, что бэк будет сложным, в котором будет много всего, или ожидается, что в будущем бэк будет активно дописываться, изменяться, то рекомендую писать на Ruby. В этом случае можно писать код быстро, используя уже готовые проверенные временем библиотеки(гемы), при этом код будет лаконичным, ясным и легко поддерживаемым в будущем. Если rest api, то можно выбрать фреймворк Ruby on rails 5 api mode. Связка с RoR+vue+mongodb отлично стекуется.
Если бэк будет не сложным, то можно все что угодно.
Если реалтайм, то nodejs или go.