Как собрать программу на C# с БД?
вообще то есть понятие connection string - строка подключения, она либо в каких то конфигах программы, либо в тексте программы. это зависит от использованного драйвера (ADO, DAO, ODBC... может даже Entity Framework или Linq to SQL)
так вот данная строка, гарантировано содержит абсолютный, или относительный (к примеру относительно профиля пользователя) путь к файлу БД
если у вас есть исходники проекта (и даже если нет) - от папки программы/проекта, выполните поиск фалов по маске *.* содержащего подстроку с именем БД, в проводнике, фаре, тотал командере... все равно.. в любом файловом инструменте, которым умеете пользоваться. такой файл обязательно найдется, дальше будет на много проще понять, как управлять ситуацией
В студии выбираете файл, затем в свойствах находите "Build Action", указываете  "Content" и "Copy to output directory" указываете "Copy Always" or "Copy if Newer" (если он меняется, будет скопирован только в случае изменения).