Как разобраться в деплое?
Первое.
Библиотек много, в том числе бывают и дев зависимости, которые нужны только для разработки.
Вы можете так же почитать о CI/CD и автоматизированный процесс деплоя с гита вам на сервер.
Правильным будет композером на сервере скачать библитеку в папку проекта или заливать на гитхаб все файлы, включая библиотеку? 
Первое. Но в репозитории стоит хранить composer.json, чтобы устанавливать библиотеку определённой версии с которой ваш проект точно работает.
И потом нужно будет периодически подтягивать версию библиотеки до актульной и проверять, что всё работает на своей машине или на тестовом сервере.