Как сделать слушатель на enter React?
Не совсем понял в чём именно проблема.
Вы не понимаете как поставить обработчик на Enter? В целом это обычный слушатель на событие keypress, например с проверкой свойства key (event.key === "Enter").

Или не ясно как в этом обработчике дальше логику строить? 

также будет имитироваться клик на кнопку которая отправляет сообщение
Вам не нужно пытаться имитировать клик по кнопке, это усложнит код. Обработкой нажатия на enter и клика по кнопке отправки должен заниматься один обработчик. Т.е. у вас есть два слушателя (на enter и на клик по кнопке), но они должны вызывать одну функцию/метод который уже и отправляет сообщение.
Вот здесь состряпал пример слушателя нажатия на кнопку. Надеюсь поможет. В реакте принцип отлавливание нажатия абсолютно идентичен.