Как обратится к свойству потомка из родителя?
Это называется позднее статическое связывание. вместо parent:: или self:: используйте static::. Тут подробнее.
А если в родительском классе принимать нужный параметр?
что-то вроде этого$data = parent::getItemsById($array, $this->tableName);
или вообще, не создавая $tableName, передать вторым параметром строку с именем таблицы...