Как запустить C# код через браузер?
Нууу. Может создать какой нить проект ASP.NET WebApi, добавить в этот проект библеотеку-классов(вашу программу) и в контроллере вызывать конструктор вашей программы?
Так или иначе вам нужно выставить веб-сервис наружу. amf1k предложил один из вариантов. Можно WebAPI, можно WCF, можно и Nancy взять. Если код программы недоступен для модификации, тогда вызывайте ее из ком. строки (хотя так будет менее гибко - сложно будет получить, например, текущий статус операции с файлами).