Почему не выводится сумма последовательности?
Лучше так. s = 0
i = int(input())
while i != 0:
    s += i
    i = int(input())

print(s)
А то у вас с нулем сравнивается одно значение, а суммируется следующее введеное.
А еще не стоит называть переменную sum, так как это переопределяет функцию стандартной библиотеки.
Потому что две разные функции input принимают 2 разных значения. Т.е. каждое четное введенное число суммируется, а каждое нечетное - проверяется в условии.
Просто сохраняйте значение введенного числа в переменной.