Как отключить логирование в yii2?
Чтобы отключить совсем, попробуйте убрать строчку в конфиге
'bootstrap' => ['log']
В других ответах так делать не советуют, но можно отключить на время, чтобы оценить, действительно ли проблема в нем.
Во первых если у Вас сайт сильно толстеет от логов - значит с Вашим сайтом что-то не то: либо у Вас не правильно настроено логирование для продакшена (traceLevel и т.п.), либо у Вас на сайте куча ошибок возникает. В любом случае Вам нужно анализировать логи и понимать причину столь интенсивной записи в них. 
Во вторых логирование на продакшене отключать не стоит. Всегда может пригодиться информация о возникших ошибках. 
Итог: логи ведутся не просто так, они нужны что бы вовремя обнаружить ошибки и причины их выполнения, и этим должен заниматься человек который поддерживает сайт.