Если вытащить не съемную батарею,будет ли работать ноутбук только от сети?
Будет работать, нет явных причин чтобы не работал. Однажды на каком-то Asus (модель не помню) пришлось выкидывать батарею, когда она вздулась и выгнула клавиатуру.
Решит ли это проблему если вытащить батарею? Вряд ли решит проблему с выключением, но раз батарея дохлая, то без неё хуже не станет. Кстати, адаптер питания проверяли? Вдруг эти проблемы с ним связаны? Например, просадка напряжения под нагрузкой - вполне себе причина и внезапного выключения и отсутствия зарядки.
Так же периодически ноут выключается сам. ... Решит ли это проблему если вытащить батарею?
Эту проблему НЕ решит.
А то, что батарея 0-я - так это не проблема.