Есть ли хорошая библиотека или интеграция с ПС для живого поиска по большой БД?
Подобные штуки работают быстро как раз потому, что используется не бд, а кэш с уже ранее веденными фразами.
Можете покурить ElasticSearch, при тонкой настройке индексов сможете выжать не малую производительность.
1. Это не делается в 1 запрос: "нет серебряной пули"
2. Без создания системы кэширования выборок - лучше даже и не затевать это.
3. При таком поиске всегда используется связка: "водопадный спуск" по словам и расстояние Левенштейна.
4. Советую посмотреть, как работает этот инструмент.