Как логировать поля на сайте?
если текущий массив который составила функция, равен тому, что сейчас в localStorage, то не стоит его перезаписывать
А зачем? Оптимизация ради оптимизации?
Ну если прям вот очень надо, то собираете все в массив и делаете JSON.stringify(arrayData) === localStorage.getItem('arrayData')
Это если быстро и примитивно.
Можно вешать событие на onchange/keypress всех элементов, которое бы устанавливало флаг того, что поле изменено. Ну и по этому флагу уже инициировать сбор данных и сохранение в сторадж