Как передать значение input value в объект Vue?
v-model

При необходимости обновить значение путём записи свойства value у поля ввода, после собственно установки значения, надо будет отправить ему событие input, которое слушает v-model:

input.value = какое-то значение;
input.dispatchEvent(new Event('input'));
Значение можно просто забрать из инпута через querySelector:  element.querySelector('input').value