Как установить высоту div такой же как высота его background-image?
Хм... может просто добавить div элементу, тоже зависимость от разрешения?
есть вариант с JS var img = new Image();
img.onload = function(){
 $('.divclass').css('width', this.width + 'px');
};
img.src = $('.divclass').css('background-image');
Соответственно в свойстве div должен быть Background-size: 100% 100%;
Так сделать нельзя, только если вместо фона вставить картинку и задать ей стили:img {
    max-width: 100%;
    height: auto;
}