Как влиять на props дочернего компонента из родителя?
Через $emit из первого селекта выбрасывать некоторое значение и передавать его во второй. Способ передачи и что передавать - дело ваше. По сути единственный способ передать значение "на верх" это $emit
Реализуем поддержку директивы v-model компонентом f-select - он должен принимать параметр value, который будет определять значение элемента <select> внутри компонента, а при выборе пользователем какого-то пункта выбранное значение должно отправляться родителю:

<select
  :value="value"
  @input="$emit('input', $event.target.value)"
  ...
Добавим в родительский компонент свойство country, и свяжем его c экземпляром компонента, который ответственен за выбор страны:

<f-select
  v-model="country"
  ...
Теперь для экземпляра компонента, ответственного за выбор города, можно значение параметра disabled поставить в зависимость от выбора страны:

<f-select
  :disabled="!country"
  ...
jsfiddle.net/4ugta2v5