Как скачать видео частями?
youtube-dl  — библиотека для скачивания видео с YouTube
Вот нашёл обертку под C# 
YoutubeDLSharp

var res = await ytdl.RunVideoPlaylistDownload(
    "https://www.youtube.com/playlist?list=PLPfak9ofGSn9sWgKrHrXrxQXXxwhCblaT",
    start: 52, end: 76
);
1. Либо формат видео позволяет рассчитать с какого байта надо скачать, чтобы воспроизводить с нужной секунды, а веб серверу ты просто указываешь с какой позиции файл качать.
2. Либо API сервиса позволяет указать временной интервал и оно там само подготавливает видеофрагмент.