Как объединить две сети с одинаковыми IP с третьей сетью?
Полноценной маршрутизации разумеется сделать невозможно, но трафик гонять между сетями можно.
Обычный маскарадинг.
Маршрут делаете на другую сеть.
Например у вас там за NAT"ом  сеть 192.168.1.0/24 и вам нужно достучаться до нее из сети 192.168.1.0/24 - делаете маршрут на сеть скажем 192.168.30.0/24 чтобы трафик ушел на маршрутизатор за которым эта сеть, а уж на нем обычная трансляция адресов с маскарадингом - подменяете адрес назначения на нужный. Так же и в обратную сторону.

можно ли с помощью D-Link DGS-1100-24 подключить к третьей сети (10.1.*.*)?  DGS-1100-24 это банальный коммутатор от него ничего не зависит. Маршрутизацию то вы будете настраивать на маршрутизаторах.
D-Link DGS-1100-24, насколько я вижу - это L2-коммутатор. Если в ваших сетях перед ним не стоит ничего, умеющего L3, то глобально побороться не получится.

В целом, я бы для 192.168 сделал NATы "1 в 1" в незанятые диапазоны аналогичных размеров. Скажем, первую сеть в 10.2.1.0/24, вторую в 10.2.2.0/24. Тогда все маршруты вида 10.что.то.там будут работать.