Как получают два вида производной, на примере сигмоида?
Производная частного равна разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.
(1/(1 + е^-х))' 
= (1' * (1 + е^-х) - 1 * (1 + е^-х)')/(1 + е^-х)^2 #по формуле производной частного
=( 0 * (...) - 1' + (е^-х)' )/(1 + е^-х)^2 #по формуле производной суммы
= (- e^-x * (-x)')/(1 + е^-х)^2 #по формуле производной экспоненты
= (e^-x)/(1 + е^-х)^2 
Дальше
f(x) = 1/(1 + е^-х)
 (e^-x)/(1 + е^-х)^2  
=  (e^-x)/(1 + е^-х) * 1/(1 + е^-х) 
= (e^-x)/(1 + е^-х) * f(x)
= (-1 + 1 + e^-x) / (1 + e^-x) * f(x)
= (-1 + (1 + e^-x)) / (1 + e^-x) * f(x)
= ((-1 / (1 + e^-x) + (1 + e^-x)/(1 + e^-x)) * f(x)
= (1 - (1/(1 + e^-x))) * f(x)
= (1 - f(x)) * f(x)
То есть это никакой не "другой способ вычисления производной в МЛ", это просто преобразования производной этой конкретной функции.
Подробнее изучить в учебнике по математике за 8-11 класс.
Это обычная производная сложной функции, почитайте вот эту статью и следующие за ней, чтобы научиться работать с производными, это вам в любом случае пригодится.
https://mathprofi.net/kak_naiti_proizvodnuju.html
Вот ответ на вторую часть вашего вопроса: 
https://towardsdatascience.com/derivative-of-the-s...
Просто эквивалентные преобразования, не более.