Почему в данном случае оператор typeof() не работает?
typeof возвращает строку, а не типtypeof("s") == "string"   //true
У вас typeof(s) == String  // String - переменная??? и вообще ключевые слова лучше не юзать
тогда уж так :function f(s){
  // document.write(typeof(s)); // ! ! ! ( ( 1 ) ) ! ! !
  var m,
        String = "string"
  typeof(s) === String ? m = "String" : m = "No, this is not a string";      // ! ! ! ( ( 2 ) ) ! ! ! 
  document.write(m); 
};