Как в одном активити использовать android.support.v4.app.Fragment и android.app.Fragment?
Нельзя. 
AppCompatActivity порождает FragmentManager из support библиотеки, который, в свою очередь, умеет работать только с Fragment из support библиотеки. 
Обычный Activity порождает FragmentManager из SDK, который, в свою очередь, умеет работать только с Fragment из SDK.
Возьмите да попробуйте. Кто вам мешает? Используйте полное имя класса(с пакетом) во время обьявления полей/переменных,вместо импорта, для избежаний конфликтов имен.