Как навесить правильно onClick на details?
Показ/скрытие содержимого details при клике - это поведение по умолчанию, видимо, оно конфликтует с вашими попытками управлять состоянием details. Отменяйте действие по умолчанию при клике:toggleDetails = (e) => {
  e.preventDefault();
  this.setState({ details: !this.state.details });
}
Вот так работает как надоtoggleDetails = () => {
    this.setState({
      details: !this.state.details
    });
  };

<details open={this.state.details} onClick={() => this.toggleDetails}>
    <summary>Заголовок</summary>
     Вложение details
</details>