Empty tag doesn't work in some browsers (Vue, Jetbrains)?
Это из-за того что тег не закрытый, в вашем случае: <textarea v-model="data.value" />
можно заменить на:<textarea v-model="data.value"></textarea>
и предупреждение исчезнет.
Но так вы не будете пользоваться классной возможностью Vue файлов, которая позволяет делать теги пустыми.
Обходной путь для PHPStrom / WebStrom: 1) Откройте это меню (например, Ctrl + A и там в вкладке All введите сообщение ошибки)2) Справа, там где select для Severity (строгость), выберите такой вариант: 
Скорее всего ругается на некорректный атрибут v-model="data.value" 
Обычно обращение к данным компонента происходит через объект $data
Данные компонента дублируются как свойства самого компонента и обращаться к ним обычно this.value вместо this.$data.value, в html шаблона this обычно не пишут.
Должно быть как то так: <textarea v-model="value"></textarea>