Должен ли владелец сайта следить за соблюдением авторских прав?
Вы не упомянули юрисдикцию.  Что ж, будем руководствоваться старым правилом: если на марках не написана страна, значит эта страна Великобритания; если в Интернете не написано о каком праве речь, значит это право Соединенных Штатов.
IANAL, TINLA.
> 1. Обязан ли владелец сайта самолично выяснять, кто есть автор и нарушен ли закон?
Нет, конечно.
> 2. Несет ли какую либо ответственность владелец сайта за то, что без его ведома, против всех правил, некто опубликовал чужое?
Если он выполняет предписания закона, то нет.
> 3. Как решение таких ситуаций должно происходить по закону, кто и какие действия должен предпринять, какова роль владельца сайта?
Владелец сайта или сервера (далее — вы), где пользователи что-то размещают, должен обнародовать адреса, по каким он обязуется принимать и рассматривать жалобы на нарушения авторского права.
Получив официальную жалобу от правообладателя или его представителя (далее — копираста) с требованием удалить принадлежащее ему произведение из публичного доступа, вы *обязаны* его удалить, о чем и уведомить пользователя, что разместил на вашем сайте (сервере) спорное произведение,
Если пользователь подает вам официальное возражение, вы его вместе с его полными контактными данными (какие он должен не забыть указать) переправляете копирасту.  Дальнейшие действия копираста лежат уже в области судебного разбирательства.
Если в течение четырнадцати рабочих дней копираст не уведомил вас, что он намерен их начать, вы можете восстановить произведение в публичном доступе.
У владельца сайта нет ни возможностей для этого. Ни обязательств перед законом.
Дело владельца сайта:
1. В оферте, которую обязаны принять публикующие - явным образом указать что за все отвечает публикующий.
2. Выполнить предписание суда по удалению информации.
Разборки между А и Б не дело владельца сайта.
Вы тут путаете техническую возможность хостера, чтобы удалить информацию.
Эта техническая возможность не дает никаких юридических оснований.