Как найти угол между средней линией и катетом в треугольнике?
Для начала - это у вас не средняя линия, а медиана треугольника.

Из точки M опускаем перпендикуляр на сторону BC. Точку пересечения назовём M'.
Рассмотрим треугольники АВС и MM'C.
∠BCA = ∠M'CM, так как это общий угол треугольников.
∠ABC = ∠MM'C, так как эти углы прямые.
Значит эти треугольники подобны.
CM = 1/2 CA => CM' = 1/2 CB
То есть, точка M' делит CB пополам, а значит перпендикуляр MM' одновременно является и медианой треугольника BMC.
Значит треугольник BMC - равнобедренный и ∠MBC = ∠BCM = ∠BCA = atan(AB/BC).
без многобукв: гипотенуза совпадает с медианой, т.к. две гипотенузы пересекаются в своих серединах. 