Какой механизм использовать для поднятия и опускания штырей?
Соленоид
Кулачковый механизм, типа такого: https://www.youtube.com/watch?v=qmABJ5lbnhc
Необязательно на целый оборот, можно сделать многозаходный, на 1/2-1/4 оборота. Весь механизм будет максимально плоским, а привод, вращающий нижний кулачок, можно разместить либо сбоку (мотор +червячный редуктор), либо, если есть место, внутри.