Как сделать так чтобы при нажатии кнопки добавлялось значение ?sort=p.price&order=DESC в конец строки?
Как вариант:
const toggleOrder = () => {
  const params = new URLSearchParams(window.location.search);

  params.set('order', params.get('order') === 'DESC' ? 'ASC' : 'DESC');
  window.location.search = params.toString();
};
Пример. Код.
Несколько путей для развития есть. 

1 - через php смотришь GET и по переменным формируешь обратную ссылку. 
К примеру 
if( $_GET['order'] == 'ASC'){
$url = 'DESC';
}
а уже окончание подставляешь в ссылку. 

2 - формируешь 2 ссылки и по клику одну прячешь другую показываешь стилями (при условии что у тебя вывод информации идет через ajax