Почему не срабатывает условие (event.type и event.target)?
У вас сразу классическая ошибка новичка в условии:
if (event.type = "click") {
вместо оператора сравнения === вы используете оператор присвоения =
Переписал Ваш код чуть компактнее

let elem = document.getElementById('elem');
elem.addEventListener('click', function(e) { 
  if (e.target.tagName === 'UL') {
    let li = document.createElement('li');
    li.innerHTML = 'text';
    elem.appendChild(li);
  }
  if (e.target.tagName === 'LI') {
    e.target.textContent += '!';
  }
})