Какой php фрейморк использовать для написания апи сервера?
На каком php фрейморке писать апи серверНи на каком.
На фреймворках не пишут! Пишут на языке программирования, а фреймворки используют.
Что такое " апи сервер" не совсем понятно. Объясните подробней.И как лучше хранить файлы?На ленте.
На любом, просто у вас вместо вывода в представление будет вывод например в JSON. 
Вон к примеру реалиазация на Yii
www.yiiframework.com/doc-2.0/guide-rest-quick-star...