На какой CMS лучше сделать сайт шахматного класса с возможностью оплаты занятий?
https://kassa.yandex.ru/integration/cms/
Вот список cms с оплатой из коробки яндекс кассы(как пример).
Выбор cms для такого небольшого проекта - будет признаком вкусовщины. Все примерно выдают одно и тоже. Самые простые - WP, Modx, Opencart, OctoberCMS
Зачем нужна онлайн оплата, если могут принести её на занятия? Вам будет достаточно формы обратной связи. 
Ваша задача решается буквально за 2 вечера, начинающим программистом. Включая приём онлайн оплаты.