Почему функция y=x^x начинает возрастать, начиная с аргумента 1/e?
Потому что точка (1/e, f(1/e)), это критическая точка. Критическая точкой называется точки где функция либо не дифференцируема, либо производная функции равна нулю. 
Соответственно наша функция, y = x^x, ее производная будет x^x*(ln(x) + 1).   далее приравниваем производную к нулю x^x*(ln(x) + 1) = 0 и решаем для x. Решением данного уравнения будет 1/e Подставляем 1/e в исходное функцию и получаем это вы уже нашли округленно 0.692.  (1/e,0.692) - Критическая точка. А в критических точках функция меняет свое направление, то есть если до этого шла на убавление проходя через критическую точку она пойдет на возрастание и наоборот. 
И так ответ Потому что (1/e, f(1/e)) Является критической точкой. 
Также далее посредством тестов можно найти является ли критическая точка локальным минимумом или максимум в нашем случае глобальным потому что она одна. В данном случае тест легко покажет что это точка глобальный минимум. А минимум слева убывает проходит через критическую точку и начинает возрастать.
ДОПОЛНЕНИЕ К ответу.
Выходит, что до 1/e функция убывает, а после - возрастает. Откуда берется такая связь?
Здесь дело в том что данная критическая точка как указал выше является минимумом в контексте вашего вопроса даже не важно глобальным или локальным. Что бы критическая точка называлась минимум производная функции должна быть отрицательной слева от критической точки и положительной справа от критической точки если подставим в производную (ее я привел в самом начале) число не много меньшее чем критическая точка то мы получим отрицательное значение (что значит функция убывает) а если не много большее то положительное значит (функция возрастает). Поскольку функция убывает слева от критической точки и возрастает после нее это и есть определение минимума. Мы сейчас математическим методом нашли минимум. То есть ваша функция убывает до критической точки и возрастает после нее. Потому что точка является минимумом (в данном случае глобальным). Так будет не много точнее.
В смысле почему? Почему y=x^2 имеет минимум в 0, почему синус имеет период в 2 пи? Ну вот просто такое свойство у данной функции. Так получилось. Это свойство можно вывести, например, посчитав производную заданной функции.

Хочется какую-то интуицию? При маленьких x вы маленькое число возводите в маленькую степень при увеличении x вы увеличиваете и основание и степень. Увеличивая основание, вы увеличиваете результат. Ведь если большее число возвести в ту же степень, то результат увеличится. С другой стороны, основание-то меньше 1. Если увеличивать степень, то вы больше домножаете на маленькое число и результат должен уменьшатся. Для каких-то чисел основание перевешивает степень и результат при изменении x увеличивается. Для каких-то - наоборот.