Как перенести сайт на другой хостинг, чтобы не полетела почта?
Да, всё так - но конструкция в целом с использованием ns-серверов хостера ущербна.

Минимум 4 часа пока не обновятся зоны у Вас ничего работать не будет.

Правильно делать так:

Использовать два (Primary и Secondary) dns-хостинга. Прописываете там что надо. В дальнейшем при смене хостера меняете только ip в A записи домена и всё начнёт работать максимум минут через 15. А почта (учитывая что у Вас через gmail и соотвественно ничего менять не надо) как работала так и будет работать.
Точно ли все верно?Нет. Нужно уточнить, где сейчас находится NS, отвечающий за ваш домен. Вариантов несколько:
1. у регистратора домена;
2. на старом хостинге;
3. на отдельном DNS-хостинге (вряд ли это ваш случай);
4. на вашем собственном сервере (вряд ли);
Заново настраивать MX потребуется в случае (2), если вы также будете переносить NS на новый хостинг (при этом вы без изменений скопируете MX-запись со старого NS). В остальных случаях NS остается на своём месте, и MX на нём остаётся без изменений. Но A-запись для сайта вы меняете в любом случае.

P.S. в случае (2) вам еще поменять делегирование у регистратора домена.