Как сделать сохранение введенных данных?
Два варианта: 
1. сохранять прямо в браузере, в localStorage
Недостатки: невозможно будет увидеть этот список войдя с другого устройства или через другой браузер.
2. сохранять на сервере. В базу данных.
Недостатки: придется узнать что такое базы данных, и как ими пользоваться.
Одного только Vue будет мало.
LocalStorage
Но мой вам совет — научитесь работать с nodejs/express и какой-нибудь БД типа Mongo или MySQL. Это совсем несложно, но даст вам 100 очков дополнительно, если захотите стать разработчиком.