Разбить проект на несколько файлов?
возможно ли вынести некие методы и переменные в отдельные файлы? К примеру, у меня есть методы gameInit() и gameDraw(), <...>. Могу ли я вынесли эти методы в отдельные файлы<...>?
Partial класс это что надо для вашего запроса.

Можно создать 2 файла: Program.Main.cs и Program.Game.cs (названия могут быть любыми) а внутри разместить partial-класс:

Program.Main:

static partial class Program
{
    static void Main() 
    {
        GameInit();
        GameDraw();
    }
}


Program.Game:

static partial class Program
{
    static void GameInit()
    {
        // Game init here
    }
    static void GameDraw()
    {
        // Game draw here
    }
}


а переменную сделать глобальной
Самая глобальная! :)

static partial class Program
{
    public static String Username;
}


Обращаться к ней можно откуда угодно как:

var username = Program.Username;

Глобальных переменных и методов в c# нет. Можете сделать статический (или обычный) класс и разместить в нём статическое поле(свойство) и статические методы. Получится примерно то что нужно.

Партиал всего лишь позволяет разместить описание класса в нескольких файлах для удобства.

Вообще в c# все классы, ничего вне класса (структуры) создать нельзя. Т.е. глобальных переменных и методов нет. Но статический метод и статическое поле (свойство) это примерно то, что вам нужно.