Какой купить микроконтроллер домой?
4. Arduino Uno оригинал от китайских отличается обычно микрухой для связи с ПК (надо будет лишь поставить драйвер), разъемами USB и др мелочами, не влияющими на работу. По функционалу они одинаковы.
3. Насчет паяльника не знаю, а вот беспаечная макетная плата (лучше большую), мультиметр, рассыпуха (диоды, резисторы, сервоприводы, I2C - модули, сдвиговые регистры и прочее содержимое Arduino Kit'ов будет весьма полезно) + блок питания будут не лишними, скорее всего.
Причем с ценами Китая можно и мегу сразу взять за ~400-500 руб.
Также весьма полезен будет логический анализатор для анализа того, что на ножках Ваших устройств происходит.Может быть провода.
Как надоест Arduino перейдете на её программирование на C, asm или чем-либо еще, прямо на этой же плате.
Как вариант что-то простое и быстрое из STM. Я вот сейчас STM32F103C8T6 балуюсь (140р) + ST-LINK (190 р.). 32 разрядные вычисления и возможность компенсировать кривизну рук задиранием частоты вплоть до 72 МГц. :)
Ну или поискать DISCOVERY, у неё изначально уже много плюшек на плате есть. 
Правда по STMкам уже меньше информации, чем по Arduino. Также из возможных минусов 3.3 В логика. Правда есть и преобразователи уровней, довольно недорогие.
Если брать Kit'ы, то возможно что-то будет лишнее и нафиг не нужное, с другой стороны очень удобно, когда у тебя есть с чем начать обучение. По крайней мере таже серва, индикаторы, резисторы и т.п. , а не осознать, что мне нужно это и это, но теперь ждать еще месяц посылку.
А с бюджетом 100$ можно купить практически всё вышеперечисленное на Ali.
______________
UPD
5. 
По ардуине есть на сайте амперки видеоуроки от Джереми Блума (вроде так)
Там же простенькие проекты, которые помогут освоить железки
https://www.youtube.com/watch?v=bO_jN0Lpz3Q&list=P...
Последнее, что использовал по STMке вот отсюда:
https://www.youtube.com/channel/UCG6ukCIfzURcjdq4T...
ну и это еще немного
https://www.youtube.com/user/Sappise/playlists
ОФФТОП: Насчет осциллографа - посмотрите на oscill.ru для ваших задач самое то. Сам таким пользуюсь уже давно, для дома устраивает на 90%