Хочу сделать API, с чего начать?
Следует начать с проектирования API. Возмите https://swagger.io/ и набросайте все, что нужно.
Swagger вам позволяет объединить роутинг, документацию и примеры вызовов в единое целое.
Кроме этого он позволяет сгенерировать заглушки для разных языков программирования и фреймворков.
В принципе вы можете найти значительное количество интеграций для разных фреймоворков.
В целом API лучше делать с помощью фреймворков, поскольку в них уже реализованы тривиальные моменты по безопасности, аутентификации и авторизации. Вы можете использовать микрофреймворки, например тот же Slim. Вы даже можете сгенерировать роутинг для него используя генератор от Swagger. 
В REST есть 6 принципов, прекрасно изложенных в Wiki. В REST нет ничего сложного и особенного. Это просто надстройка над стандартным протоколом HTTP. Именно поэтому нет никаких особенных уроков. Изучите работу HTTP и вы поймете как работает веб в целом и REST в частности.
По поводу отдельного сервера для API. Есть множество разных подходов. В последнее время все более актуальными становятся Serverless-приложения.  Serverless архитектура идеально вписывается в REST. Но думаю для вас это пока рановато и сложновато. Слишком много для начала.
Логичнее всего держать проект в моно-репозитарии, если он не будет большим. Если вы точно не знаете насколько большим он будет, то можно разбить проект на компоненты и использовать Composer для управления зависимостями (советую полность прочитать эту страницу от корки до корки).
По поводу best practices есть очень хороший ресурс https://12factor.net/ru/
Он в целом применяется для всех приложений.
Запомните: первый блин всегда комом. Прочитайте все ресурсы, которые я привел для вас. В них много ссылок на другие, походите по ним, присмотритесь. Напишите первую версию API так, как вам кажется удобно. Постарайтесь применить практики из статей. 
Вам нужен опыт и вы его не наберетесь, пока не сделаете что-то сами. Вы можете потратить год на чтение, но останетесь на том же месте, с которого начали. А другой человек напишет на коленке API за неделю, а потом перепишет его 20 раз за год и он вам расскажет в 10 раз больше, чем то, что вы изучили за год.
Дерзайте!
Судя по Вашему вопросу, Вам ещё далеко до создания API, если цель коммерческая, лучше обратиться к профессионалам.
Если для себя, то конечно нужно для начала освоить какой-то фреймворк, при чем, любой из основных предложит не плохое решение для API.
" надо выделять отдельный сервер для апи, или просто папочку в проекте назвать api, и туда все файлы связанные с ним положить?"... Вот честно, ещё рано, паттерн Фронт Контроллер в крови у каждого веб девелопера.