Как исправить RuntimeWarning: coroutine was never awaited?
Просто так асинхронный код в синхронном работать не будет. 
Плюс минус о чем и говорит ошибка, что задачу поставили, но никогда не запускали - примерный вольная трактовка
Что бы подружить надо использовать asyncqt 
ну и в целом не плохо было бы основы по питону для начала подтянуть, прежде чем писать асинхронные программы 

print, request - синхронные в вашем коде нуль смысла асихронности
перехватывать все исключения тоже не надо, может быть много побочек
self.pushButton.clicked.connect(self.working)
А ты уверен, что обработчиком нажатия кнопки может быть корутина (async-функция)?
По-моему, там должна быть обычная функция.