Отправятся ли письма если сайт не открывался(запустился)?
кроном отправлять
Это делается с помощью крон. На хостинге, в панели управления практически всегда есть расписание крон задач. Если даже нет, Вы сами можете их писать, если не заблокированно сервером. Только нужно учитывать, что часто есть ограничение на кол-во отправляемых писем в день