Нужно часть проекта перевести на Ajax — выбрать jQuery или Vue?
Ну, если на сайте уже используется jQuery, то определенно стоит рассмотреть Vue. Если знания JS в норме, то Vue освоится за пару вечеров. Размеры сжатых минифицированных файлов Vue и jQuery плюс-минус равны.
Что именно вы будете делать с формами? У вас будут какие-то сложные модификации дом? Есть необходимость в реактивном фреймворка? Если нет, если вы просто хотите отправить данные на сервер то используйте встроенный в браузере fetch ()