Может ли ссылка на файл работать без указания полного пути?
Как правильно написали @voiddancer и @nazarpc абсолютно не важно где у вас лежит файл на диске. Это html. Он разбирается браузером на стороне клиента. Он знает url по которому запросили страницу и больше не знает ничего.
Ссылки с "/" в начале загружаются от имени домена.
Ссылки без - от текущего пути.
Т.е если у Вас url страницы mysite.ru/partners
то "/css/all.css" будет искаться mysite.ru/css/all.css
а  "css/all.css" - mysite.ru/partners/css/all.css
Собственно это все можно легко посмотреть в консоли браузера.
Если у Вас есть точное понимание что сайт всегда будет жить на отдельном домене - пишите ссылки вида "/css/all.css".
Если такого понимания нет - заведите переменную $basepath = 'http://mysite.ru' в конфиге сайта и в php генерите абсолютные ссылки: $basepath . '/css/all.css'
Использовать тег base я бы не рекомендовал, т.к во первых мне кажется неправильным правка html макетов при смене домена, а во вторых я многократно сталкивался с его странным поведением в различных браузерах.
относительные ссылки в веб-коде работают немного иначе, чем в файловой системе любой оси. тут ссылки стартуют с имени домена, оно просто подставляется к любой относительной ссылке.