Как организовать доступ к сообщениям VK в веб-приложении?
Можно, но вам необходимо:

1. Создать в своем личном аккаунте ВКонтакте приложение, получить ключ
2. Используя ключ, ID и ключ приложения, а так же информацию о ID вашей страницы, логин пароль получить Access Token
3. Запрашивать методы ВКонтакте, которые удовлетворяют полученным правам доступа, используя Access Token

У меня есть реализация класса на PHP для API ВКонтакте 2.0: pastebin.com/5yyCjASu
Можете пользоваться.
сделать можно, но тогда придётся просить пользователя скопировать содержимое адресной строки (если при авторизации указать данные десктопного приложения) и вставить в поле на сайте. иначе никак