Как передать данные из дочернего компонента в родительский?
NogerbekNurzhan, у вас метод geoObject слишком "умный". Нужна декомпозиция. Отдельный метод создает карту, отдельный метод манипулирует отображаемыми объектами, еще один может очищать объекты. пример: createMap(), setObjects(dateStart, dateEnd), deleteObjects()
На ивент пишете отдельный обработчик @clicked=onChangeDate в котором вызываете пересоздание объектов на существующей картеonChangeDate(dateStart, dateEnd) {
  this.deleteObjects();
  this.setObjects(dateStart, dateEnd);
}
---------------------------------
В идеале вообще вынести непосредственно карту в отдельный компонент, в который упрятать все манипуляции с картой, а то что у вас сейчас называется YandexMap - это все-таки композитный компонент, содержащий и карту и панель управления.
Тогда управление картой можно будет свести к передаче пропсов, как-то так<MyComp>
  <Navbar @clicked="onChangeDate"/>
  <YandexMap
    :date-start="dateStart"
    :date-end="dateEnd"
  />
<MyComp>
<script>
data: function(){
  return {
    dateStart: null,
    dateEnd: null,
  }
}
methods: {
  onchangeDate(d1, d2){
    this.dateStart = d1;
    this.dateEnd = d2;
  }
}
</script>
ну а в компоненте YandexMap соответственно добавить пропсы для дат, повесить слушателя на их изменение и в его обработчике очищать объекты и загружать новые.
Вообще, это антипаттерн, так даже в доках вью сказано, данные нужно хранить в состоянии приложения, хотя бы использую просто отдельный экземпляр вью