Как сделать не закрываемый экран? React Native и/или Android?
Как при звонке в Телеграм.
у телеграмовского клиента под андроид исходники открыты. Пилите, Шура!
гуглите kiosk mode android
первое что вы должны понимать в react native нет ни какой магии - открываем папочку android и там все как обычно 
по вашей задачи важно знать под какие платформы вам нужно делать в старших версиях  android kiosk mode есть в sdk в младших приходилось извращаться или делать приложение лаунчером