Можно ли в Laravel 5 отправить данные методом POST без формы?
Из 4х тегов к вопросу относится только 1.
Вопрос определяет ваш уровень знаний, который почти что на нуле.
Но вы уже используете laravel.
Надеюсь это для себя а не клиента.
Вам стоило сначала просто загуглить ошибку которая происходит при ajax
Ответ сразу бы нашли. https://laravel.com/docs/5.3/csrf
Да, можно. В ajax просто передаётся необходимые данные. Html-код:<div id="test" data-test="Просто запись"></div>
Js код:var $test = $('#test').attr('data-test');

$.ajax({
    type: 'post',
    headers: {
        'X-CSRF-TOKEN': $('meta[name="csrf-token"]').attr('content')
    },
    url: 'ссылка'
    data: {
        test: $test
    },
    success: function() {
        
    }
});
В контроллере примерно так:public function test(Request  $request) {
    $test = $request->input('test'); // Это тот параметр, который передали.
}