Существует ли php фреймворк или cms с возможностью подключения базы данных со своей структурой?
тут я бы смотрел в другую сторону, имхо проще написать конвертер бд который переколбасит базу в формат готовой цмс, посмотрите что из цмс примерно покрывает функционал вашего движка и пишите конвертер, думаю это гораздо проще. Написать скрипт на пыхе или пофиг чем. Сделал бэкап - загрузил на сайт скрипт - запустил конвертер - повесил цмс. Проверил - все ок - профит, не получилось - откатил )
Это противоречие.
CMS потому и CMS, то берут на себя работу по логической организации сайта, сохраняя в БД так, как им, CMS, виднее.
Не найдейтесь ни на какую автоматику, на то, что кто-то как-то сам поймет.
А вот преобразовать в вид, соостветствующий формату CMS - можно.
Или экспортировать, преобразовать, импортировать
Вопрос только в объемах.
Если объемы не очень значительны - имеет смысл вручную перебить заново все данные.
При большие - автоматизация, да.