Можно ли изменить дизайн апач авторизации?
Окно системное, его изменить нельзя.
Но можно сделать модальное окно на JS+CSS, а затем с помощью PHP проверить доступ. Но в таком случае уже намного проще сделать реализацию на том же MySQL.
В любом случае это уже не будет штатное средство авторизации.
Возможно если ты знаком с php например, отправляешь запрос ajax'ом и авторизуешься curl'ом