Как скрывать выпадающий список при выборе какого-либо его пункта?
Метод openClick - кто вас такой мерзости научил? Срочно читаем документацию, как правильно работать с классами.

data: () => ({
  show: false,
  items: [ 'в сети', 'занят', 'отсутствую', 'в самолете', 'в пути' ],
  status: 'статус',
}),
methods: {
  selectStatus(status) {
    this.status = status;
    this.show = false;
  },
},
<div
  @click="show = !show"
  v-text="status"
></div>
<ul v-show="show">
  <li
    v-for="n in items"
    v-text="n"
    @click="selectStatus(n)"
  ></li>
</ul>
https://jsfiddle.net/e29th1vm/1/
<template>
    <div class="sidebar">
        <button class="sidebar__button sidebar__button_info">данные о контакте</button>
        <div class="sidebar__button_status" :class="{'open-list': show}" @click="show = !show">
            {{ status}}
        </div>
        <ul class="sidebar__button_list_item">
            <li class="sidebar__button sidebar__button_list"
                v-for="item in items"
                :key="item"
                @click="status = item">
                {{item}}
            </li>
        </ul>
    </div>
</template>

<script>
const items = ['в сети', 'занят', 'отсутсвую', 'в самолете', 'в пути'];
export default {
  name: 'sidebar',
  data () {
    return {
      show: false, // для реактивности
      items,
      status: 'статус'
    }
  }
}
</script>