Как переписать аутентификацию в Laravel?
Где создавать файл для дописывания этого метода? 
В контролере который должен отвечать за это действие. По умолчанию это LoginController, но это опционально, вы можете использовать любой контроллер.Поэтому как мне тогда дописать такой метод?
Чтобы авторизировать пользователя нужно использовать следующий метод:\Auth::login($user);
Где $user - это модель текущего пользователя. Проверки на существование в таблице записей и создания в случае необходимости думаю сами сделаете.
Если в качестве моделей пользователя должна выступать "таблица с полями network, id_in_network" - тогда вам еще нужно описать её в файле "config/auth.php" (ориентируйтесь на то, как это сделано для стандартной модели пользователя)
насколько я знаю с версии 5.3 контроллеры идут в коробке, и если нужно изменить условия то просто создаете authController с нужными Вам параметрами