Как восстановить данные с жесткого диска?
Во время пользования компьютера перестал работать жёсткий диск
Уточните, пожалуйста, производителя/модель жёсткого диска, или хотя бы его тип.

Никаких ударов по диску не было, диск крутится
Необычных звуков точно нет? У 2.5" дисков может быть нужно приложить ухо вплотную.

Сервисных центров куча, но непонятно, какой из них работает действительно качественно
Вот универсальная инструкция по выбору центра восстановления данных.

Кто-нибудь может посоветовать, что делать в данной ситуации? ... Жесткий диск не важен, важны только данные с него
Для начала хорошо бы оценить что произошло. Пока (до уточнений от вас) всё выглядит не так плохо, вероятность восстановления представляется высокой, цена - наоборот. 

Сейчас лучше всего успокоиться, не пытаться мучать диск, не слушать советов из интернета и с Ютюба относительно всяких HDD Regenerator'ов, и тем более, самостоятельного вскрытия. 
Всем этим можно ухудшить ситуацию, или окончательно убить диск. 
В то время как у вас могут быть небольшие дефекты поверхности или нестабильная голова.

Хорошо бы вообще отложить диск в сторону и даже лишний раз не включать, не говоря уже о попытках записи.

Вы сделали правильно, не бросившись в панике судорожно пробовать всё, что только можно, а вместо этого задав вопрос тут.

Или может кто-то знает качественные сервисцентры в СПб?
Смогу посоветовать наших коллег, или (совсем бессовестно) нас, после того, как общая картина станет немного яснее.
Москва рлаб отлично работают