Как указать имя сайт когда оправляется письмо в маил?
Бери уже готовую библиотеку, например swiftmailer
И смотри метод Swift_Message::setFrom() и в целом документацию.
Учись искать готовые решения.
На мой взгляд лучше использовать почту для домена от Яндекс или маил (создав там ящик). 
Затем настроить отправку через SMTP и настроить SPF и DKIM. Как итог раз и навсегда забыть о проблемах с почтой.
Там будет указан уже Ваш домен а не имя сервера хостинга