Почему не перерисовывается компонент App при изменении его состояния?
Во первых вы мутируете состояния обоих компоненов:this.setState(prevState => {
  prevState.fruitList.push("Мандаринка");
  return {
    fruitList: prevState.fruitList
  };
});
Что противоречит идеологии react.
Во-вторых пишите props в state в FruitsList только в конструкторе.
Ну и передаете несуществующий обработчик в onClick.Исправленный вариант.
Изучайте, делайте выводы.
Всем спасибо, оказывается я протупил. Вместо addFruit написал add.