При обновлении темы «слетает» обратный звонок и чат. Как исправить?
Сделано специально))   Поинтересуйтесь с какой целью,  оно сделано, что бы отваливалось)
Судя по всему, у вас изменения внесены прямо в код темы, а делать это не надо, для такого существуют дочерние темы и плагины.
UPD: Напомнило
На стройку собирается комиссия. Прораб инструктирует рабочих:
- Что бы ни случилось, делайте вид, что так и должно быть.
Комиссия приехала, осматривает объект. Вдруг рухнула одна стена.
Рабочий радостно, посмотрев на часы:
- Десять тридцать пять. Точно по графику.
Вероятнее всего эти скрипты (чат и обр. звонок) добавлены в footer.php вашей темы. И при обновлении темы, обновляется все. После обновления необходимо скрипты из футера перенести обратно. (можно попытаться просто заменить файл footer.php темы подключившись по фтп).
Чтобы в будущем не проводить такие манипуляции рекомендую создать дочернюю тему.
Справка по дочерней теме - wpguru.ru/sozdanie-bloga/dochernyaya-tema-wordpres...