Какие есть популярные виды обмена и хранения данных для сайта?
Чтобы избежать тумана в голове, нужно говорить не про абстрактные базы, а про конкретный проект.

Если вы начинаете работать с БД, то просто с mysql хотя бы разберитесь до уверенного использования. Есть множество проектов, которым mysql с головой хватает.

Нет смысла бегать галопом по европам, не освоив хотя бы один инструмент. Все SQL базы для новичка более-менее похожи.
Nosql базы нужны для других типов данных.
На стороне сервера используйте MySQL, на стороне клиента IndexDB.