Можно ли реализовать личный кабинет пользователя без серверной части?
А зачем кабинет пользователю вообще?
Если делать простой вариант, то у вас форма заказа сразу отправляется на почту менеджеру магазина
Теоретически можно. 
Хранить всю инфу в браузере. Единстенный недостаток, что на другом устройсте ее уже не получить.
Еще теоретически можно воспользоваться серверной частью в чудом браузере (если есть API) - пользователя просить залогиниться, напрмер на гугль доках и хранить все там (это условно, я не знаю, есть ли у них API доступный чисто из js).
Но это все изврат и надо сделать серверную часть :)