Как запустить сервер node js на хостинге?
Арендовать сервер, установить ubuntu, node, nginx, поставить pm2, который будет запускать ваш скрипт, настроить nginx на проксирование запроса с вашего домена на поднятую ноду, залить файлы проекта, сделать npm i и запускать. 

Погуглите туториалы. Тут возни на полчаса максимум. На digitalocean есть отличные гайды по сетапу всего этого. Там же и сервер можно арендовать.
Для запуска скриптов nodejs на сервере рекомендуется использовать forever
https://www.npmjs.com/package/forever

В этом случае процесс не завершиться при закрытии окна консоли, т.к. запускается в отдельном демоне.
Также forever перезапускает скрипт в случае его падения. По умолчанию делает 5 попыток запуска с интервалом в 1 сек. Но это можно настроить.