Приведите пример задачи на JavaScript, в которой не обойтись без использования паттерна?
Паттерны это не про решение задачи. Это про решение задачи типовым и понятным другим программистом методом. Паттерны решают проблемы не типа «сделать кнопочки», а типа «сделать так, чтоб через год не хотелось убить себя об стену и не надо было переделывать все с нуля».
Сложно поставить такую задачу, в том контексте в котором ты её хочешь увидеть. Паттерны - это "стандартное" и часто эффективное решение какой-то насущной задачи. Под "стандартным" я подразумеваю, что другие программисты понимают о чем ты говоришь, просто услышав название паттерна. Тем не менее, любой паттерн, можно заменить произвольным кодом решающим ту же задачу, но такой код будет сложнее воспринимать другим людям, и в большинстве случаев, сложнее поддерживать.
Ну, навскидку, рассмотри этот редактор для комментариев и ответов. У него есть кнопки. Вот задача: сделать единый интерфейс для работы с кнопками. Конечно, можно наговнокодить тут многое, а можно сделать фабрику.
В общем, нет таких задач которые решаются исключительно паттернами.