Что такое vue.js, насколько он мейнстримен и насколько эффективен?
Что этоVue (произносится /vjuː/, примерно как view) — это...для чего его разработали? Чтобы не думать над DOM, а думать над структурой данных и их изменением.Сложилось впечетление, что это некое хипстерское неэффективное поделие. Это ведь не так?  нет, работает вполне эффективно и быстроЕго ведь используют в каких-нибудь крупных проектах?https://github.com/vuejs/awesome-vue#appswebsites Кстати, aliexpress на нем работает. Ну и евроньюс.Насколько он упрощает разработку?
По сравнению с purejs и jquery - очень сильно, по сравнению с другими (react/angular) меньше преимущество, но (ИМХО) оно все равно естьНасколько быстро он работает? 
Оверхед малозаметенРазработчики предлагают использовать его в паре с Node.JS, но что насчет более мейнстримного в веб-разработке PHP? 
Я использую в связке с laravel, например для создания взаимосвязанных элементов форм. Вполне удобно, но очень хочется все сделать spa (потому как очень удобно все делать в одном месте). А тут уже получается требование server side рендеринга для поисковых ботов, что невозможно без nodejs.Стоит ли им пользоваться, если да, то в каких типовых задачах можно раскрыть как можно больше его потенциала? 
Стоит. Любая задача, где отображаемые данные зависят от ввода пользователя. Даже корзина интернет магазина с кнопками изменения количества и удаления - даже если каждая из них шлет данные на сервер по ajax. Формы из нескольких этапов, всякие калькуляторы и прочее и прочее.
Это jquery нужна была чтобы кросс-браузерно работать с dom. Vue же - полноценный фреимворк. Нужен для четкой структуры и архитектуры приложения. Решает базовые задачи, такие как синхронизация интерфейса с данными, рутинг. Вносит модульность, что дает легкое повторное использование и инкапсуляцию данных, стилей, разметки. 
Нода нужна для vue как среда разработки и для ssr, но это фронтендеры запарятся. На чем делать бекенд api вообще все равно т.к это отдельное приложение. Ssr на php так же нельзя сделать, как и yii2 запустить на js.
Vue существует с 2014 года, стремительно набирает популярность. Гитлаб и алиэкспрес на нем работают.
Подходит для любых задач, где есть аякс и нужно динамически менять интерфейс. Начиная с корзины, фильтров и до любых spa.
Есть сравнение с react и angular, но это чисто для фронтендеров.  
https://www.youtube.com/watch?v=FFZfmIQ9I44
https://www.youtube.com/watch?v=kuHSJNxNFQw
Ну и для первого приложения vue лучше всего подходит, тут даже думать нечего.