Минимальный linux дистрибутив для использования office и skype?
Из личного опыта могу порекомендовать Xubuntu..
Мало просит..
Дружелюбен к юзеру..
Мануалов / туториалов - вагон и маленькая тележка..)
Понятие "старый" у всех разное. Уточните - старый это на intel i3-2310, на atom d525, или реально древний с 64МБ оперативки, на котором win98 была?
Если есть пара гигов оперативки и хотя бы 2 ядра (или HT). то в принципе - любой линукс. Я на компе где-то 2008-2010 гг выпуска ставил Mageia 2 на КДЕ, и очень быстро летало (2 ядра, 2 гига). Но потом ставил и Mageia 7 - тоже нормально, и на новом и на старом компе. 
Из очень быстрых - Puppy, и ещё какие-то (забыл уже), да даже Linux Mint весьма неплох (хоть и ругают часто, ибо багов там тоже хватает).