Как очистить localStorage после закрытия всех вкладок с сайтом?
Так это нужен session а не local, это у него такое поведение
Каждые 5 секунд обновляйте авторизационные даненые в хранилище, а все записи старше 15 секунд считаете недействительными. Соответственно, если пользователь закрыл все вкладки, то авторизационные данные перестали обновляться и быстро устарели.

P. S. Это лишь один из способов. Также вы можете использовать sessionStorage.