Как называется договор, по которому можно долгое время проводить работы?
Как у вас всё сложно:
Приходится еще один договор составлять, прописывать новые. 
Все договора делайте бессрочными или на год/три.
Все "допхотелки" оформляйте в рамках Заявка № 001 к договору № 002, Заявка № 002 к договору № 002.
Счет на оплату выставляется на основании заявки, а оплачивается на основании акта выполненных работ.
Договор оказания услуг. Обговариваются сроки и объём работ. В отдельном разделе упоминается пролонгация договора и условия оплаты и закрытия задач. В принципе на поддержку можно открыть отдельный договор, но это лучше обсуждать с бухгалтерами. Общая практика такая что открывается один договор и допами закрывают всю текучку после что бы не согласовывать все по новой