Где ошибка ajax?
Где ошибка ajax? Ошибка практически везде. Налицо попытка адаптировать форму которая раньше работала методом пост с перезагрузкой на аякс. Ну ладно, ничего криминального, но... понеслись по граблям!
1) аякс запрос, который выполняется по загрузке страницы, причем в произвольном месте, то есть в форме еще ничего нет. Ладно, это еще пол беды...$('#pass_edit_form').on('submit',function(e){
   e.preventDefault();
   $.ajax({
      type: "POST",
      url: "_settings.php", // оно реально в этой же папке лежит?
      dataType: 'text',
      data: $(this).serialize(),
      success: function(data) {
         console.log('Received: '+data); // для начала можно остановиться тут и посмотреть что падает в консоль.
         if(data.length > 0) {
             $('#result_pass_edit').text(data);  
          } 
          else {
              $('#result_pass_edit').text(data);
          }
      }
     });
      }			 
   });	 
});
Так это будет работать по нажатию кнопки.
Код пхп даже не буду комментировать, хватит того что там есть строка header("Location: logout.php");
1. ajax надо отправлять не сразу же, а лишь по сабмиту формы
2. ajax обработает location не так, как вам хочется. Он загрузит новую страницу внутрь div