Как в perl найти одну строку в тексте и сравнить?
На мой взгляд было бы красивее так:#!/usr/bin/perl -w

use strict;

open(F1, "<","test.txt") || die $!;
while(<F1>)
{
        chomp;
        /^\bValue\b\s+:\s+([A-Z0-9]+)$/g;
next unless $1;
    if ($1 eq "A1")
    {
        print "$_\n" and exit 0;
    }

}
close(F1);
Это во-первых не потребует полного чтения файла (после того как мы нашли значение - выходим из программы), во-вторых меньший расход памяти (вы сперва читаете файл в массив - что не надо, лучше построчное чтение через while())
Надо брать в кавычки
$1 eq "A1"
А так я создал файл text.txt с таким содержимым:uihkjh
dsfkljsdklf 
Value : A1
dfdsuse strict;
use warnings;
use utf8;

open( F1, "text.txt" );
my @raw = <F1>;
chomp (@raw);
foreach my $line (@raw) {
    my ($val) = $line =~ m/^\bValue\b\s+:\s+([A-Z0-9]+)$/o;
    next unless $val;
    if ( $val eq "A1"  ) {
        print "$line \n";
    }

}
close(F1);
Немного изменил ваш код. 
Результат:
Value : A1