Нужна идея для веб-приложения на Java 7,8. Что посоветуете?
дык чего придумывать -> прийди к этим господам в контору, и напросись стажёром, на их проект.
Можешь написать сервис который принимает большой массив чисел, делит на подмассивы и считает квадраты чисел в подмассивах и кладёт в БД  с идентификатором запроса. Должна быть возможность запросить рассчитанные данные по идентификатора.
И выложи это все на гитхаб, потом пригодится.