Выбор реле или транзисторного ключа для Arduino?
Посмотрите, к плюсу или к земле подключена кнопка.
На основе этого сделаете выбор в сторону npn или pnp транзистора.
Транзистор — в вашем случае абсолютно любой биполярный. Даже отечественный КТ315 или КТ361 подойдет. Или 2N2222. 
Подключение — резистор в базу 1-10КОм



Может не работать, из за падения напряжения на переходе, надо пробовать. 

P.S. Пишите в личку, разберемся
Пытался найти схему на плату, так и не нашел, но думаю что с кнопки сигнал идет напрямую на контроллер, и тогда возможно обойтись без транзисторного ключа или реле и подключить вывод ардуины. Но лучше все же уточнить логические уровни в контроллере. Хотя судя по Вашей схеме питание модуля 3.3в, а вы подаете 5в и все работает, то рискну предположить что лигика контроллера модуля терпима к 5в ттл. А может не стоит питать модуль 5в, там рядом 3.3 есть?