Как на Vue.js сделать вывод дополнительного списка при нажатии определенного пункта существующего списка в другом компоненте?
Все слишком громоздко, ступор.
А знаете почему? Причина номер раз - козлиные имена переменных, свойств объектов и т.д. Например, если у вас в группах содержатся проекты, то и назвали бы соответствующее свойство projects, а не arr. В проектах содержатся задачи - ну так пусть их список называется tasks, а не arr. А так у вас два разных arr - и ни про один сходу не скажешь, что это такое. Уже достаточно, чтобы запутаться.

Выбранные группа/проект - вместо индексов лучше хранить ссылку на сам объект, в случае проекта его же и передавать в компонент - так будет доступен список уже существующих задач и ваша проблема с их выводом решится сама собой.

При добавлении новых задач перетираете их список - зачем?

Немного подправил ваш код, типа вот. Похоже на то, к чему вы стремились?
Причина номер раз - козлиные имена переменных, свойств объектов и т.д. 
Лютый плюс.pr_title ? taskname ? showPro ?
Eще вариант, без компонента.