Какой микроконтроллер выбрать, чтобы отправить сигнал на пк/телефон?
Зайди в фикспрайс (озон или к тем же китайцам) и найди bluetooth кнопку, стоит копейки, для компьютера понадобится стандартный bluetooth донгл, обычно эта кнопка симулирует мультимедиа кнопку громкости (используется для сигнала на сделать фото для смартфонов)

Если подойдет провод - просто разбирай клавиатуру, вынимай от туда крохотную плату (она обычно 1х3 см) и подцепляй свою кнопку напрямую к контактам (распиновку можешь угадать по токопроводящим дорожкам на пленке под кнопками)
Можно на всем готовом - записывать клики обычной мыши, клавиатуры или джойстика. (беспроводной, проводной - без разницы).

Нужен только софт, и он в общем-то тоже есть готовый (кейлоггеры, ага).

Про блютус-кнопку уже написал rPman.
Так же можно купить ИК-приемник (или спаять, там три детальки) и посылать сигналы пультом от дедушкиного телека или кондиционера.

Если хочется именно контроллер, то в NodeMCU есть вайфай.
Подключи кнопку, напиши полстранички кода, и отправляй хоть http запросы. (Примеры кода есть в сети)