Как реализовать возможность сохранения контактов с сайта прямо в телефон?
Посмотрите в сторону генерации vCard. Их, кажется, все платформы понимают и умеют обрабатывать.
Если на свой смартфон Андроид: по API добавляйте в свои Гугл-контакты, а телефон их сам синхронизирует.
Если в чужой телефон, то скачивайте контакт в формате vCard или CSV, а потом на телефоне надо будет его импортировать.