Организация работы с эл.почтой
IMAP вам поможет
IMAP конечно может помоч, но необходимо учитывать, что это настройка используемого почтового клиента.
Если в ThunderBird (да наверняка у любого есть эта настройка) установить локальную папку для отправленных сообщений, то на сервере ничего не появится.

Отсюда вывод — настройте свой почтовый клиент на использование IMAP и убедитесь чтобы он настроен сохранять отправленную почту на сервер в нужную вам папку.

Второй вариант (я часто использую его, так как он работает и на POP3 протоколе) — настроить клиента для автоматического добавления вашего адреса в «Bcc». Тогда вы будете получать копию своей переписки в INBOX. Ну а далее решайте что с этим делать — либо сами управляйте (удаляйте/копируйте), либо назначте автоматические правила на подобные копии (копировать в папку).