Как отсортировать элементы строчного массива, чтобы элементы выводились по возрастанию?
А стандартная сортировка их не хочет сортировать?
Если нет, то сделайте свой IComparer и передайте его стандартной сортировке.class StringComparer : IComparer<string>
    {
        public int Compare(string str1, string str2)
        {
            for (int i = 0; i < str1.Count; ++i)
            {
                if (str1[i] > str2[i])
                {
                    return 1;
                }
                if (str1[i] < str2[i])
                {
                    return -1;
                }
            }
            return 0;
        }
    }
Как-то так он будет выглядеть. Там еще надо прописать на случай разной длины строк и т.п., но я надеюсь вы справитесь
И да, гугл в помощь
Откройте для себя LINQ:using System;
using System.Linq;
					
public class Program
{
	public static void Main()
	{
		string[] __sa = {"a", "abc", "ab"};
		Console.WriteLine(String.Join(" ", __sa.OrderBy(x => x.Length).ToArray()));
	}
}
https://dotnetfiddle.net/ORcFLn
И да - обычная сортировка работает.