Возможно ли перенаправить с домена на домен через файл hosts в Linux?
то что вы описываете называется DNS суффикс - указывате суффикс net пингуете e_e а система пингует e_e.net
в linux за работу с DNS отвечает resolv.conf
Файл hosts создавался тогда, когда подобная переадресация не смогла бы сработать - не было DNS-серверов (потому его и создали). А потом оказалось, что он очень неудобен - и его оставили только для совместимости.
Я не понял, как "на роутере в настройках ДНС указано что e_e это скажем 22.22.22.22". Я вижу массу вариантов, как это можно сделать.
Те компьютеры, которые не резолвят это имя - возможно, вообще используют другой DNS-сервер, не роутер. Программы nslookup и dig Вам помогут в диагностике.
Совет про "суффикс net" - годный. Но не во всех случаях.