Как сменить стандартный class в wordpress?
https://codex.wordpress.org/get_search_form
Создайте в теме файл searchform.php и создайте свою форму на основе существующей. 
Вся инфа есть по ссылке
Форма поиска, по сути тот же template_part. Следовательно, в файле searchform.php ты волен задавать любые классы стилей. <?php get_search_form(); ?> просто вставит searchform.php в нужное место шаблона.