Как делать запрос с сервера на сайт и проходить авторизацию?
С какой авторизацией?
Через basic auth так:$auth = base64_encode("username:password");
$context = stream_context_create(['http' => ['header' => "Authorization: Basic $auth"]]);
$homepage = file_get_contents("http://example.com/file", false, $context );
А для обычной (через html форму) - рекомендую воспользоваться curl. Передать POST параметры и сохранить cookie