Онлайн-консультант для общения с посетителями чье соглашение необходимо?
Больше бумаги - чище задница (с)
Давайте ссылку и туда и туда.
Ибо претензии в случае чего будут всё равно к Вам.
1. Сайт Ваш - данные собираете Вы. 
2. Данные с Вашего сайта уходят на сторону той же чатры - вы уже оператор персональных данных + передаете данные на третью сторону, значит, во-первых, нужна регистрация в РКН как оператора, а во-вторых - разрешение от пользователя на передачу его данных той же условной чатре.
3. "Проблема провайдера чата" - нихрена не работает. 
Итог: сайт Ваш - проблемы Ваши.