Как правильно организовать поддержку небольших веб-проектов: скорость реакции и биллинг мелких задач?
Я думаю, поднять сайтик для учета тикетов с формочкой, тикет с формочки попадает сразу очередь, вам может падать письмо на мыло, в телеграм или смс на телефон, что удобнее. Расписали регламент для клиента - в какой срок отвечаете и так далее. Так сделано на миллионе сервисов, ничего нового тут придумать нельзя да и не зачем.
ПыСы. Можете для успокоения клиента поставить бота умного какого, чтобы на каждый тикет отвечал: "Ваш звонок очень важен для нас, вы 7561 в очереди". Это шутка. :-)
1. Отключите мессенджеры.
2. Для учёта тикетов используйте zendesk или аналог.
3. Для биллинга используйте ставку за единицу  времени на решение новой хотелки заказчика (понятно, что баги надо исправлять бесплатно). Заодно число хотелок уменьшится=) 
4. Чтобы недоверчивый заказчик не мучился, сколько ему в итоге платить - используйте manictime или timedoctor, которые логируют время и снимают скриншоты.
5. Заведите себе регламент закрытия тикетов и прописывайте его в договоре с заказчиком ещё на этапе первоначального сотрудничества.