Если синхронизировать данные с удаленного сервера, где правильно запускать rsync, на сервере или на клиенте?
Не сильно же удален ваш сервер, если они в одной подсети.
И вообще-то backup пишется иначе.
Я обычно запускаю бэкап с той машины, на которой он хранится. 
Во-первых, обратной связи сплошь и рядом просто не бывает (реально удаленный сервер не дотянется до локального за NAT), 
Во-вторых, это же бэкап. Вы его делаете - на случай факапа. И вот на этот крайний случай логично настраивать все так, чтобы та машина, на которой ожидаются проблемы, не имела доступа к бэкапу и не могла его испортить ни при каком сценарии.
без разницы, рсинк двухсторонний.
там где удобнее и нужнее запускать рсинк там его и запускай