Как обработать ошибку mysql подключения в PHP 8.1?
Ни в коем случае не надо совершать ни одно из телодвижений, предложенных Rsa97 
Режим выброса исключений специально сделан, чтобы не писали этот говнокод из прошлого века.
Если в коде написано if($mysqli->connect_errno) {, это означает что никакой нормальной обработки ошибок там всё равно не было.  И надо просто убрать этот бесполезный мусор. Поскольку вариант с исключением в сто раз информативнее и удобнее для обработки. 
И у запросов тоже, кстати, надо поубирать всю тупизну с if($mysqli->error) или, того хуже, or die()

Если же интересует, как в принципе обрабатывать ошибки в РНР, то это другой вопрос. 
Для локальной системы ничего менять не надо. Для боевой - включить логирование ошибок, выключить показ в браузер и в случае ошибки выводить стандартную страницу о временной недоступности сайта.

Тот редкий случай, когда действительно требуется именно обработка ошибки соединения, а не "die('что-то пошло не так')" мы здесь не рассматриваем, поскольку к моменту, когда программисту такое может понадобиться, он уже владеет базовыми приемами программирования и вполне разберётся сам.
В PHP 8.1 режим ошибок MySQLi изменён с silent на exception.
https://www.php.net/manual/en/migration81.incompat...
Надо либо переключить режим явно через mysqli_report(MYSQLI_REPORT_OFF);, либо, что более правильно, использовать try ... catch.
https://www.php.net/manual/en/mysqli-driver.report...