Почему не добавляются стили к JavaScript?
Ну так наверное надо стили элементу задавать, а не строкам: p.style.color = colors[i].
var str = 'Текст, текст, текст, текст, текст, текст';
var p = document.querySelector('p');
var str_arr = str.split(',');
var i = 0;
var colors = ['red', 'green', 'black', 'yellow', 'green', 'orange', 'gray']; //массив цветов
p.innerHTML = str_arr[0]; 
setInterval(function(){ 
  p.style.color = colors[i];
  i = (i+1)%colors.length;
}, 1000);