Не работает условие Python, SQLite как решить и почему?
chat_verification = {message.chat.id}
check = cursor.execute(f"SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id ='{chat_verification}' AND verification = 1
Вооружайтесь принтами и смотрите что вы наговнокодили в этих двух строчках. 
Примерно каждый второй вопрос в SQLite сводится к ответу не используйте f строки в SQL запросах
И вы вообще осознаете какой тип данных у chat_verification?

В целом если 10 строчек кода требуют двух вопросов на хабре берите за привычку разбираться какими данными и типами данных вы манипулируете. Не работает - запускаете отладчик или принтуете и смотрите соответствуют ли данные и типы данных вашим ожиданиям.
1. chat_verification = {message.chat.id}
chat_verification - это множество из одного элемента, вместо простого значения. Зачем?
2.cursor.execute(f"SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id ='{chat_verification}' AND verification = 1")
Никогда не используй f-строки. С целыми числами прокатит, со строками - очень рискованно. Используй подстановку параметров.
cursor.execute("SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id = ? AND verification = 1", (message.chat.id, ))
3. check = cursor.execute(...
if check is True:
execute() вернёт ссылку на всё тот же cursor, независимо от запроса. Тебе нужно выбрать строку из этого курсора с помощью метода fetchone(). Метод вернёт или кортеж с одним значением chat_id, или None, если ни одна строка не удовлетворяет условию.
cursor.execute("SELECT chat_id FROM chat_id_table WHERE chat_id = ? AND verification = 1", (message.chat.id, ))
result = cursor.fetchone()
if result is None:
    print('Нет такой строки')
else:
    chat_id = result[0]
    print('есть результат:', chat_id)