Как указать нужные поля в relations?
Распространенная проблема. Решается добавлением ключа в список select:$list = $query->with(array('source' => function ($query) {
    $query->select(['id', 'url', 'name', 'key_field']);
}))->select(['id', 'image_url', 'published', 'added', 'header']);
Где key_field - это поле которое у вас связывает таблицы News и Source. Например news_id, или как оно у вас там называется.
У вас небольшая ошибка в первом варианте, в select не нужно передавать массив, а просто поля через запятую