Как устроена логика работы этого повысительного преобразователя?
мне кажется на схеме разновидность блокинг-генератора 
симметричного, из двух половинок.
основным резонатором является трансформатор. емкость на выходе для спрямления напряжения.
в минимальной схеме для работы блокинг-генератора нужен только транзистор и двухобмоточная катушка.

как работает блокинг-генератор есть огромное количество статей.
Начну с того, что никакой "логики" в этой схеме нет, а есть принцип работы. Разумеется, это никакой не блокинг-генератор, потому что в нём нет конденсатора в базовой цепи, определяющего период колебаний. В старые времена автоколебательный генератор без времязадающего конденсатора носил название "L-генератор", но сейчас это название малоупотребительно (даже Гугл его не знает). 
Впервые эта схема была опубликована в "Радио" №11 за 2001 год, в варианте преобразователя 1,5 вольт в 9 вольт для питания мультиметра от элемента АА. Подробное описание есть тут и ещё много где. Интересная особенность - этот преобразователь не требует отдельного выключателя и сам прекращает генерацию при отключении нагрузки (понятно, почему - из-за обрыва базовых цепей транзисторов, они при этом запираются). Ещё одна особенность, конструктивная - весь ток нагрузки идёт через базы транзисторов, и всё выходное напряжение приложено к БЭ-переходам этих транзисторов, поэтому транзисторы в эту схему годятся не любые (я бы подчеркнул - совсем не любые).