Хочу парсить сайт, получаю сайт с помощью (file_get_contents), узнаю позицию уникальный код строки с помощью (strpos), но не работает?
Просто на этой странице нет строки '24261'.
Данные о погоде добавляются на страницу скриптом ykuthydromet.ru/images/pogoda02.js
А нормальных способов узнать погоду прям вот совсем нет? Тот же яндекс неплохо отдает погоду без больших танцев. 
Научитесь работать с DOM, а не со строкой. На habre полно статей, гуглите dom парсер php xpath
1) Используйте xpath для поиска тега , браузер сам предложил вот такой вариант. вы же можете ограничиться последними элементами
/html/body/table/tbody/tr[5]/td/div[@class='karta']/b/b/div[@class='nas_puk24261']
2) чтобы узнать температуру, я бы забрал строчку из первого пункта, потом сделал explode, и перебором нашел элемент с температурой. И уже его распарсил бы.
UPD, не заметил что подгрузка элементов позже происходит. 
Поэтому как написали в другом ответе, вы можете работать с файлом ykuthydromet.ru/images/pogoda02.js 
Алгоритм для этого файла:
1) делаете explode по строке 'text = '
2) ищете элемент с упоминанием нужного слова через foreach
3а) забираете по регулярке вот этот элемент '>{число, возможно с минусом}°'
3б) забираете по xpath в dom элементе. 
Советую разобраться как раз с 3б, это будет эффективнее в будущем.