Как синхронизировать продакшен и локальную версию проекта?
> запушить туда продакшен
в этом месте у вас организационная ошибка. поток изменений должен идти от разработчика в продакшн, а не наоборот.

> сделать репозиторий на гитхабе
а это-то зачем? git init и вперёд по ssh, без всякого гитхаба

> Есть ли какой-то другой способ
rsync

но серьёзно, самая большая проблема — это в том, что у вас вообще есть задача перекидывать изменения из продашна в репозиторий.
Обычно синхронизация идет из репозитория на продакшен. Способ для ленивых — на сервере склониться из репозитория.