Как записывать в файл?
Хороший вопрос, кстати. Сначала ответим на вопрос из заголовка

file_put_contents($filemame, $somecontent, FILE_APPEND);

ВСЁ. Это весь код, который нужен, чтобы записать в файл. Одна единственная строчка, без всех этих танцев с саблями.

А по поводу кода из мануала - это чудовищный, идиотский рудимент из прошлого века, который остался в мануале по недосмотру. Так писать нельзя. Не нужно писать проверки на каждый чих - пхп сам прекрасно сообщит об ошибке. Не нужно заменять четкое и однозначное сообщение об ошибке изложением в свободной форме. И тем более не надо вываливать эти изложения на пользователя сайта. Ему совершенно не интересно читать что у тебя какой то файл не прочитался
что значит восклицательный знак перед переменной!$handle в этой строке
Восклицательный знак, как и в большинстве си подобных языках означает отрицание. Пхп имеет возможность присвоение значения в переменной, а дальше по приоритету, отрицание относится к переменной. Аналогом бы служило
$handle = fopen($filename, 'a');
if (!$handle) {
         echo "Не могу открыть файл ($filename)";
         exit;
    }

и почему здесь происходит запись в файл, если написано просто условие, что нужно вывести "Не могу произвести запись в файл ($filename)"
Здесь похоже. Функция fwrite() проводит запись в файл. В случае ошибки она возвращает false . То есть, функция в условии выполняется, возвращает значение, а дальше проверяется.