Не до конца правильно работает добавление текста на страницу, как исправить?
Если вам надо заменить содержимое нескольких элементов с одинаковым классом, то и выбирать надо не один элемент, а несколько. Соответственно и замену надо производить циклом.
const today = String((new Date()).getDate()).padStart(2, '0');

const dayStartElements = document.querySelectorAll(".js-text");
dayStartElements.forEach((el) => { el.innerText = `${dd}` });
Может что-то не так?
В "одно место" - это какое?
В "ещё в одно место" - это какое?

Сделал Вам "2 места" в Вашем стиле:
let today = new Date();
let dd = String(today.getDate()).padStart(2, '0');
today = dd;

let dayStart = document.querySelector(".js-text");
let dayStart2 = document.querySelector(".js-text2");

dayStart.innerHTML = `${dd}`;
dayStart2.innerHTML = `${dd}`;