В какую директорию положить файл обработчик mail.php в wordpress?
Без точки и в корневую. Проверьте в консоле разработчика, вкладка network что бы скрипт действительно делал запрос.
1. Для пути лучше используйте абсолютный URL, надежнее будет.
2. А вот это:if (isset($_POST['name'])) {$name = $_POST['name'];}
    if (isset($_POST['phone'])) {$phone = $_POST['phone'];}
    if (isset($_POST['formData'])) {$formData = $_POST['formData'];}
вместе с вот этим:$message = "$formData<br> <b>Имя пославшего:</b> $name <br><b>Телефон:</b> $phone";
вообще круто. Вы же слышали хоть что-то про санитизацию входящих данных? А то пишете подобное, а потом клиенты ко мне приходят со слезами на глазах "наш сайт взломали, сколько будет стоить почистить сайт от вирусов"... Я ж не резиновый, на всех не хватит. Почитывайте хоть иногда про безопасность.