Почему не перерисовывается компонент?
Потому что конструктор вызывается только при создании компонента, а не при его перерисовке. Вам не нужно в message переводить props в state, какой в этом смысл, если он все равно приходит от родителя и меняется в другом компоненте?
При рендеринге просто пишите<p className="message__text">{this.props.text}</p>
Дмитрий всё верно написал. Добавлю лишь, что если по какой-то причине вам нужно держать text в state компонента Message, то для того, что бы он ререндерился после изменения пропсов изменяйте state в componentWillRecieveProps или можете добавить ключ этому компоненту:<Message 
key={text}
text={ text }
 />