Как решить задача связанную с такой арифметической прогрессией?
Значение на i-том месте (начиная счет с единицы) равно 2i(i-1). Если надо найти индекс значения, то необходимо решить квадратное уравнение вида 2i(i-1)=A, где i-переменная.
Да простят меня математики, но где тут арифметическая прогрессия?
У вас рекурсивная функция. 
Fn = F(n-1) + 4n. где F от нуля = 0.
Пример на phpfunction a($n) {
    return (!$n) ? 0 : a($n - 1) + 4 * $n;
}

// a(40) === 3280