На линукс системах кэш браузеров и пр. чистится сам перед выключением?
Нет, не чистится. Кеш браузеров по умолчанию хранится в юзердире.
Ваш знакомый линуксоид услышал звон, но не знает где он. Речь идёт о /tmp, в которую действительно на большинстве современных дистрибутивах монтируется tmpfs (файловая система в оперативке). И все ее содержимое теряется при перезагрузке. Но браузеры там не хранят свои кэши.
Можно настроить, но ето не поведение ОС, а поведение браузера
/tmp очищается перед загрузкой https://serverfault.com/a/377349/128728