Не доходит до меня тема коллекций, что я не так решаю?
Если задача на хешмепы, то с помощью них и надо решать. Проходите по данному хешмепу, для каждого имени из него прибавляете 1 к значению в другом хешмепе, ключомв которым и будет имя. Далее проходите по новому хешмепу и если значение у него > 1 то из старого удаляете элементы со значением равным текущему ключу.
Решил: public static void removeTheFirstNameDuplicates(HashMap<String,String>map){
			 HashMap<String, String> copy1 = new HashMap<String, String>(map);
		        HashMap<String, String> copy2 = new HashMap<String, String>(map);
		        for (Map.Entry<String, String> pair1: copy1.entrySet())
		        {
		            int count = 0;
		            for (Map.Entry<String, String> pair2: copy2.entrySet()) {
		                if (pair1.getValue().equals(pair2.getValue())) {
		                    count++;
		                }
		            }
		            if (count > 1) {
		                removeItemFromMapByValue(map, pair1.getValue());
		            }
		        }
		    }