Можно-ли улучшить этот код?
1. выкинуть все локейшены с ошибками. это дикость, ни один нормальный сайт так не делает. ошибки надо показывать либо сразу, либо через сессию. локейшены с ошибками встречаются только у дебилов, которые делают видео на ютубе для других дебилов. не надо так палиться сразу.
2. выкинуть домен из ссылок. ты серьёзно собираешься переписывать все ссылки, когда у тебя сайт с временного домена переедет на постоянный? а потом обратно - когда надо будет потестить локально? header('Location: /AUTH-2/Sign_In/'); достаточно для единственного локейшена, который нужен в этом коде
3. убрать всю эту лестницу иф-ов, делать все проверки на одном уровне. ошибки собирать в массив. перед вставкой в БД проверить массив на пустоту.
4. if ($row->Email != $email) - масло масляное. ты УЖЕ проверил емейл в базе, зачем еще раз проверять?
5. else if($row->Email == $email) { - это уже какой-то совсем адок. Ты УЖЕ проверил, что емейл не совпадает. причем два раза. В else мы попадём, если емейлы совпдают. Ещё раз проверять не надо. Два алкоголика садятся на трамвай, один спрашивает водителя - я этом номере до вокзала доеду? Водитель - нет. Второй алкаш - а я?
6. внизу у тебя ссылка на password_verify, но хэшируешь ты все равно кривым алгоритмом. Не осилил?
7. все эти куличики в песочнице с $client_Code $server_Code - это какой-то адок с точки зрения безопасности. Любой школьник, который не тупее дауна, поломает все твои "сессии" за 5 минут.
8. setcookie("PHPSESSID", $_COOKIE['PHPSESSID'], 0, '/', '.tsecret.net'); - опять совершенно бессмысленная строчка. К чему она? Зачем? Что ты хотел тут сказать? И кому?
9. Разбей это простыню хотя бы на функции. Никакой солид у тебя конечно не получится, как и у Георгий Котов  который сам не понимает что это значит. Но хотя бы разделить проверки, запись в бд, и отправку емейла можно.

В целом - из плюсов только нормальная работа с БД, в остальном на троечку, и местами - кол (за дыры в безопасности и отсутствие логики)
С беглого просмотра: у тебя email чувствителен к регистру, сначала нужно и то что пришло с базы (или записывать в базу ), и то что тебе прилетело заделать в нижний регистр