Как устранись ошибку с вложенными спецификаторами имени?
Шаблонные типы нужно определять полностью в хэдере.
name specifier 'Vector3<V>::' for declaration does not refer into a class
Компилятор прав. У тебя нет такого типа. Есть тип Vector3, с двумя параметрами в шаблоне.
Можно написать так:template <class V, typename T>
Vector3<V> &Vector3<V, T>::operator+=(const Vector3<V> &addVector) {
    this->x += addVector.x;
    this->y += addVector.y;
    this->z += addVector.z;
    return *this;
}