Запись в файл данных.?
А что file_put_contents($log_file, $string, FILE_APPEND);
уже не модно?
Помимо ответов выше, стоит почитать документацию: php.net/manual/ru/function.file-exists.php
file_exists - это проверка директории или файла. А записать в папку данные невозможно. Если в "$log_file" будет путь к папке - будет ошибка.