Как в Quasar можно использовать файлы .env?
https://github.com/quasarframework/app-extension-dotenv я бы советовал использовать это.
Потом в коде можете вызывать так 
process.env.API_BACK_END
Только при каждом изменении ENV надо перезагрузать дев сервер.
Если нужна помощь по quasar, можете спрашивать в телеграм чате. https://t.me/quasar_ru
Все вы делаете верно по сути, кроме одного пункта.
Во vue переменные окружения нужно правильно называть, чтобы они подцепились при сборке.
VUE_APP_BACKEND_API_CARS_URL
Т.е. обязательно добавляйте префикс  VUE_APP_
https://cli.vuejs.org/ru/guide/mode-and-env.html#%...