Как перезагрузить страницу actionIndex из виджета Yii2?
1. Главный вопрос зачем? Это не есть правильно. Опишите полную задачу, может быть есть другой выход.
2. Если посмотреть метод контроллера refresh, то увидим:public function refresh($anchor = '')
    {
        return Yii::$app->getResponse()->redirect(Yii::$app->getRequest()->getUrl() . $anchor);
    }
А значит не так уж и нужен refresh(), который из виджета не доступен.
Не в тему, но на будущее:
$this в виджете экземпляр виджета
$this->getView()  в виджете экземпляр View
$this->getView()->context  некоторые данные из контроллера, например публичные переменные
Не делайте так, как вы хотите. Рефреш нужно делать в контроллере, не в виджете, не в модели.
Но если вам очень-очень хочется, то пожалуйста:Yii::$app->getResponse()->redirect( $url )->send(); # Укажите ссылку
Yii::$app->end();