Как передать значение переменной из App.vue в main.js?
Сделайте код хонём.
Выносите авторизацию в отдельный компонент, как все нормальные люди. И хранилище vuex, для данных авторизации, тоже, кстати.
Используйте общий js модуль для сохранения и извлечения ключа и пропишите в нём сохранение (извлечение) в/из localstorage.