Как называется аналог карт Google maps с бесплатным определением расстояний до объектов на карте?
Бесплатно в OpensStreetMap только данные и часть ПО по работе с ним. Сервисы, которые вы хотите использовать, кто-то должен поднять и обслуживать, а это деньги. А те, что есть бесплатны существуют только для демонстрации возможностей на деньги энтузиастов. Поэтому как кто-то создаёт существенную нагрузку их банят.
Вы или платите условному MapBox-у или разворачиваете их сами на своей инфраструктуре.
Аналог движка карт - легкий , быстрый , бесплатный. 
https://leafletjs.com/

Плагины  leafletjs для построения маршрутов
https://leafletjs.com/plugins.html#routing

Построение маршрутов openstreetmap
https://wiki.openstreetmap.org/wiki/RU:Навигация