Будет ли сайт работать быстрее, если закрыть другие вкладки браузера?
Нет, не будет.
Закрытие других вкладок лишь освободит оперативную память.
MartaD зависит от вашего пк, если у вас условно 4 Гб ОЗУ и обычный хдд то будет быстрей, но опять же зависит и от ЦП, на слабом пк нужно все закрывать)

ну и интернет тоже влияет) если у вас там параллельно с работой торент либо еще что-то качается, и канал слабый это тоже скажется на работе

ну и собственно от сайта тоже зависит, сам сайт оптимизирован ли, местоположение сайта, так как если сайт географически от вас расположен на другом конце мира то лаги будут)