Насколько важен ТИЦ для продвижения сайта в топ?
Важен, но уже не на столько сильно, как скажем год назад.Важен только для Яндекс, для Google важен косвенно, как показатель количества ссылок, аналогичный page rank.Яндекс взял курс (по собственным заявлениям яндекса на конференциях) на придание большего веса при ранжировании поведенческим факторам.С поведенческими пока у яши получается так себе, так как доля яндекс - броузера ничтожно мала и яндекс метрика стоит далеко не на всех сайтах рунета.Для продажи ссылок ТИЦ по прежнему важен (собственно только он и PR и важны).Яндекс, как многие паникёры от SEO утверждают, вовсе не отменил ссылочное ранжирование, ТИЦ по прежнему является важным фактором ранжирования, однако, выехать на нем одном в топ уже давно не возможно.
Резюме: ТИЦ важен, только как один из основных факторов ранжирования, в составе группы факторов к которым относятся: ТИЦ, поведенческие факторы, социальные факторы, качество контента, регион сайта, частота обновлений контента. 
Все это надо качать комплексно и не напирать только на один фактор.
Использование H1 - H6 относится к группе факторов "Качество контента" и так же как ТИЦ для общего ранжирования является одним из основных факторов, но только для своей группы. 
Точно так же как и c ТИЦ не надо напирать в контенте только на заголовки, важен и качественный текст, и качественные иллюстрации к тексту!, и прозрачная структура, как отдельного текста, так и навигации сайта, использование микроразметки, а также внутренней перелинковки то же очень хорошо помогают прокачке качества контента.
важен, насколько - Яндекс знает
h1 h6 важны, но лепить все на страницу, где нет текста, не нужно, h1 h3 достаточно