Как реализовать удалённую БД с подключением через C#?
1. Лучше бы не давать прямой доступ к СУБД для клиентов.
2. Раз уже решил, что ты будешь делать именно SQL запросы, то выбирай из реляционных СУБД, с какими умеешь работать. Желательно ещё определиться с тем, какие именно данные ты будешь хранить, и какие операции с ними будешь производить.
3. Чтобы узнать, как сделать запрос - обращайся к документации конкретно той библиотеки, с помощью которой ты подключаешься к СУБД.

Если нужно минимум абстракций, то есть ADO .NET и соответствующие библиотеки:
Microsoft.Data.Sqlite для sqlite
Pomelo что-то там для MySQL
Npgsql для Postgresql
Microsoft.Data.Sqlserver для mssql
Ну и оракловая либа (не помню название) для оракла.

Всё можно найти на nuget.org по ключевым словам.

Если нужен более высокий уровень абстракции, то смотри на ORM-ки:
Entity Framework Core или Dapper.
Держать удалённую БД имеет смысл только если ей пользуется много людей одновременно. Если для себя - ну поставь SQLite или Express на ноутбук и живи себе припевающи.

Раз в недельку делай backup на свой удаленный диск чтоб не потерять.