Как организовать работу с git без клонирования сайта на локальный компьютер?
Не, ну конечно можно прямо на гитхабе редактировать файлы, и делать коммиты, но это дичь полная.
По-моему, лучше сделать так:
1. Делаете репозиторий приватным, создаете в нем ветку dev
2. Проверенному человеку даете доступ через collaborators
3. Человек редактирует код в ветке dev и делает пулл реквест (редактируя через клон или сразу на гитхабе, как сам решит)
4. После тестов CI в workflow вы этот пулл реквест мёржите в ветку master/main
5.  После мёржа запускается workflow CD и деплоится на продакшн на ваш VPS.

В целом, такая концепция распространена))
Почитайте что такое devops и CI/CD. Также поищите в инете что значит stage enviroment.

Gitlabs, в прочем как и Github имееют для CI/CD pipelines

Так же я бы рекомендовал,  внедрить Git Branching Model.  Это когда продакшен код и код который пушит разработчик находится в разных ветках. Код из ветки разработки переносится в продакшен только во время релиза, когда все оттестировано и работает. Какой- нибудь нерадивый разраб с умыслом или без может одним коммитом угробить весь продакшен.

В 2-х словах так не описать. В целом процесс выглядит  Разработчик делает push в репозиторий. По этому событию запускается pipeline которая строит версию сайта из этого репозитория и выкатывает ее на stage окружение. Если пойти дальше - можно настроить автоматической тестирование перед тем как версия выкатывается на stage окружение.