Можно ли с помощью JavaScript использовать базу данных подключенный в С#?
кагбе это норм. 
только надо лезть не js'ом в базу, а попросить asp вернуть нужные данные.
Из JavaScript делай HTTP-запрос к серверу на C#, а в ответ на запрос сервер пусть возвращает нужную информацию из БД