Как сделать что бы после отправки письма на экране ничего не происходило?
Вам нужно поцепить событие на submit формы и при ее нажатии отправлять AJAX-запрос.
Если используете фреймворк, погуглите "<название фреймворка> AJAX формы".
В любом случае, необходимо базовое понимание JS (или в частности JQuery), тогда вы все запросто реализуете.
Подозреваю, что у вас стоит условие на отображение формы, типа такif ($mail->send()){
    header("Location: https://www.google.com/"); 
} else {
    // show html form
}
Вам нужно убрать это условие, чтобы форма отображалась всегда, или вместо редиректа вывести сообщение об успешной отправке. Либо совместить эти решения)if ($mail->send()){
   echo 'Thank! Your message has been sent!';
}

// show html form
Ну а вообще, хотелось бы увидеть чуть больше кода, чтобы понимать в чем проблема.