Как правильно работать с двумя массивами одновременно?
Ну во-первых, querySelectorAll возвращает коллекцию NodeList а не массив, это важно понимать.
Во-вторых, у NodeList нет сеттера onclick в отличии от элементов, а следовательно Ваше присваивание туда функции просто не сработает.
В-третьих, не стоит пользоваться сеттерами вида oneventname, так как это чревато проблемами, используйте метод addEventListener
В-четвертых, querySelectorAll можно использовать не только на document, но и на элементах
В-пятых, в обработчик события приходит объект события в качестве аргумента, в котором есть свойство target - элемент на котором событие произошло

По-итогу:function listener(event) {
  const target = event.target.closest('.app__item');
  target.querySelectorAll('.equalizer').forEach(
    elem => elem.style.display = 'block'
  );
  // так как дальнейшие клики будут гонять бесполезный цикл, то лучше отписаться
  target.removeEventListener('click', listener);
}
document.querySelectorAll('.app__item').forEach(
  item => item.addEventListener('click', listener)
);
Как сказал Дмитрий Беляев, ваш код с ошибками, для перебора с назначением обработчика нужен следующий код:

document.querySelectorAll(".app__item").map(item => {
    item.onclick = function() {
        document.querySelectorAll(".equalizer").map(children => {
              children.style.display = 'block';
        });
    }
});