Как сделать клик по input на другом сайте?
Это задача из разряда имитации действий пользователя - можно покопать в сторону headless браузеров на phantomjs (правда он уже устаревший, я не знаю что вместо него сейчас) или selenium
Можно воспользоваться продуктами для автоматизации и имитации действий пользователя.
Напримерnightmare js
puppeteer js
ZennoPoster