Не выполняется проверка логина. В чём ошибка?
mysqli::query
Возвращает false в случае неудачи. В случае успешного выполнения запросов SELECT, SHOW, DESCRIBE или EXPLAIN mysqli_query() вернёт объект mysqli_result.
Соответственно, возвращается объект mysqli_result (результат из нуля строк - это тоже корректный результат и вернётся объект), в строке if ($row) приводится к true, условие выполняется, клиенту возвращается "true". 
А вообще логика крайне странная. Сначала вы пытаетесь найти логин в базе данных, а затем проверяете его регуляркой. Логично наоборот, хотя бы с точки зрения времени выполнения.
Ну и приучите себя использовать подготовленные выражения с плейсхолдерами, это лучшая защита от SQL-инъекций.
Отправка AJAX запроса идет на checkRegLog.php, а сам код проверки в checkReg.php