Как синхронизировать локальные файлы с удалённым репозиторием?
Если вы будете использовать URL репозитория для ssh протокола, то вам необходимо сначала создать пару ключей и прописать открытый ключ в вашем аккаунте гитхаба. И проверить, чтобы в репозитории был открыт доступ для вашего аккаунта.

Но проще использовать ссылку https, чтобы не возиться с ключами.

git init # инициализировать репозиторий в папке тестового проекта
git remote add origin <URL> # указать адрес вышестоящего репозитория
git fetch # скачать вышестоящий репозиторий
git reset origin/master # установить указатель на ветку master
# существующие локальные файлы в рабочем каталоге измениться не должны
git branch --set-upstream-to=origin/master master 
# связать master с origin/master

Вы делаете почти правильно
git fetch origin
-- ошибок не выводит, но и результата никакого не даёт
Потому что вы ранее уже сделали pull, который включает в себя fetch
Если ничего не выводит, значит ошибок нет и изменений в origin тоже нет.

fatal: 'origin/master' does not appear to be a git repository
Гит говорит, что origin/master не является корректным адресом репозитория.
Правильный синтаксис: git pull origin master

И не называйте пожалуйста GitHub гитом.
не нужно локально делать git init.
сделайте клонирование удаленного репо, тогда всё уже будет настроено. Так проще.

в пустой папке проекта

git clone git@github.com:username/reponame.git .

Самый простой вариант, конечно, удалить тестовую директорию и просто сделать git clone , но тогда придётся по новой связь с тестовой БД устанавливать и FTP настраивать и т.д.
А, не заметил...

Ну ловите лайв-хак.
весь код копируете в левую папку.
очищаете папку проекта.
в папке проекта клонируете репу.
накатываете файлы из левой папки в папку проекта с перезаписью.
Получите актуальную копию удаленного репозитория со всеми локальными изменениями, если они были.