Как можно использовать монитор старого ноутбука полноценно?
Ничего не получится.
По поводу "цвета":
https://www.panelook.com/modelsearch.php?keyword=H...
Вам не сигнал HDMI нужен, а интерфейс видеоконтроллера, который для вашей матрицы, сюрприз-сюрприз - LVDS. Просто подружить два типа интерфейсов LVDS и eDP - уже огромная проблема (я, например, забил). А вы хотите сразу HDMI... А ещё про питание матрицы не забудьте!
Ну и до кучи. Вы уверены что вам так уж нужен 12-дюймовый "монитор" с разрешением 1366×768, отвратными углами и 6-битным цветом? И уж тем более чтобы ради этого пытаться городить такой огород... Купите за пару тысяч нормальный бу-шный. И дешевле в разы получится и качественнее.

1а. Найти цоколёвку (расположение сигналов) на разъёме "CON1 TTL-50PIN signal output" по ключевым словам PCB-800168 (возможно, будет полезно и наименование контроллера - SIXTHHD-HD1).
1б. Или найти цоколёвку "старого" 10,1" дисплея.

2. Найти цоколёвку "нового" 11,1" дисплея.
3. Сравнением цоколёвок - определить электрическую совместимость дисплеев. Возможно - понадобится перекрещивание каких-то выводов. Слово TTL в описании контроллера серьёзно умаляет вероятность, но, думаю, китайцы ошиблись и там - таки LVDS выход на ЖКИ.
4. Если совместимо - подключить простым и подходящим способом (пайка?) одно к другому. Если формат передачи пикселей совпадёт (можно проверить и на шаге 3, тогда - начать сразу с шага 1б) - заработает.

Как-то делал подобное, приращивал плату от разбитого нотбука в ЖК-монитор. Работало, но до финала не дошло.

P.S.
..... тогда отображается всякий шлак без моего экрана.
Потому, что преобразователь HDMI-LVDS, виртуально, подходит к любому ЖКИ с указанной глубиной цвета и числовм LVDS каналов.
..... что такое эти A00, A01, A03?
Аппаратные ревизии ЖКИ. Как правило - мало на что влияют.