Как выполнить скрипт PHP не перезагружая страницу?
Вы наверное немного не понимаете технологию. Сервер принимает запрос, обрабатывает его и отдает ответ. В вашем случаи я бы написал js код, который отправляет AJAX запрос с периодичностью скажем раз в 10 секунд, принимает ответ и выводит его на экран.
Websocket
HTTP Streaming
Long polling
Polling
Выбирайте.