Как записать индексы i из цикла в 1 массив?
Лол, надо замкнуть arr жеlet arr = [];
getCurrentSlide() {
        for (let i = 0; i < this._slides.length; i++) {
            arr.push(i);
            console.log(arr);
        }
Ваша ошибка заключается в том, что вы в каждой итерации создавали новый массив.
Можно еще так:const arr = this._slides.map((_, i) => i) //Если _slides массив.
console.log(arr)
// -------------
const arr = Array.prototype.map.call(this._slides, (_, i) => i)
console.log(arr)