Можно ли сохранять в git папку vendor после composer update?
> другие должны как то об этом узнать, чтобы обновится у себя
ну, ты же гитом пользуешься, да? прям пользуешься-пользуешься?
git fetch origin
git diff --name-only ..origin/ -- composer.json или как он там
vendor лучше не загружать в гит. Зачем собой тащить не сколько mb.
1. Он же разработчик пусть смотрит на коммит и composer.json
2. Не всегда так. Например я один раз поставил и забыл, остальные разработки через гит.
3. Git и Composer это стандарт в области веб-разработки, желательно его должны знать. 
4. Делай на тестовым сервере vps.
Убери папку vendor из gitignore. Это очень плохая практика.