Можно ли программно нажимать кнопки активного приложения в Android?
Да, можно.
Гуглите accessibility settings если без рута.
С рутом есть другие способы.
Из обсуждения рядом:
Такие трояны есть, например Android.GPLoader.1.origin
Спокойно сам открывает гугл плей, покупает там приложения и скачивает их на телефон без ведома пользователя (понятное дело, если он не смотрит на экран в этот момент)
если бы было можно то делали бы трояны которые открывают ваш мобильный банкинг и переводят деньги, попутно забирая код подтверждения из смс. 
в обычном режиме такого нет, вопрос только можно ли это в рут режиме.