Можно ли работать программистом, но не оценивать сроки?
1. НЕ ВЕЗДЕ сроки имеют место быть.  Ищите работу где сроки не требуются. Таких мест полно. Это как правило долгоиграющие проекты принадлежащие бизнесу, а не говеные веб-студии, штампующие на заказ. 
2. Сроки можно озвучивать, если вы пишите что-то, что вам понятно, задача прозрачна или типична. Есть задачи, когда о сроках не может быть и речи - например, поддержка/разбор чужого кода кода. На таких задачах сроках быть в принципе не может. 
3. Приехал я как-то с поломкой машины к мастеру-частнику. Говорю - вот то то не работает. Сроки? А он мне отвечает - а я не могу сказать. Откуда я знаю что там сломалось? 
Это я к тому, что даже такая в такой теме, как ремонт авто, где казалось бы все четко и все делается по наработанной схеме, сроки крайне не определены.
4. Если с вас требуют сроки, значит вы что-то делаете не так или работаете где-то не там. Про сроки можно говорит в строительстве, где укладка одной плитки СТАНДАРТНО занимает Н минут и вы должны полы покрыть 30х40 метров. Тогда сроки справедливы. В IT сроков не может быть. Т.е. не должен исполнитель думать о сроках. Это не его дело. Менеджмент должен дать время с запасом и не терзать исполнителя.
Тренируйтесь оценивать для себя в спокойном режиме. Выделили задачу, записали на бумажку оцененное время задачи, сделали задачу, сравнили. 
Навык оценки времени нарабатывается.