Как опубликовать приватное приложение для Android?
Есть такая вещь - alpha version и beta version. Доступ к этим версиям имеют только тестеры. Список тестеров содержится в google-группе, которую вы можете редактировать, и указываете как группу тестеров в консоли разработчиков. Тестеры могут быть какие угодно - главное-гмейл аккаунт и андроид-устройство, к которому оно привязано. Им на почту автоматом прийдет приглашение.
Как то так.
Или галку снимите "Установка только с доверенных источников" и ставьте откуда хотите со своего веб-сервера)