Почему socket работает только в локальной сети? Как это исправить?
Дело в том, что пока ваши устройства в одной подсети (им выдал адреса один DHCP сервер, это обычно ваш роутер), вы, указав локальный IP другого устройства в сокете, можете создать соединение.
Но если устройства в разных локальных сетях, между которыми не настоен никакой роутинг, то устройства не смогут видеть друг друга. Их адреса будут  в разных адресных пространствах.
Это как звонить внутри отеля по внутреннему номеру телефона. Если один из абонентов окажется в другом отеле, то, даже зная его внутренний номер, вы из первого отеля не дозвонитесь ему напрямую по короткому номеру. Придётся пользоваться шлюзом. Вот шлюз - это NAT. 
Тут дальше аналогия уже поплывёт, если ещё глубже пытаться её применять.
Прочитайте что такое NAT, что такое белый IP, динамический и статический IP, что такое port-forwarding, сетевая модель OSI, что такое маска подсети и как устроен IP-адрес, как происходит маршрутизация.
Это слишком много инфы, чтобы рассказывать вам об этом в ответе на один вопрос. Вам нужно изучать это самостоятельно.
Попробуй повключать-повыключать различные интернет провайдеры и понаблюдай что показывает
ipconfig /all
я думаю вопросы отпадут сами собой.