Не получается реализовать в классе записи и чтения в/из файла. Какие действия посоветуете?
Так, как вы написали в комментариях - не прокатит для сложных объектов, вроде Sport.
Во-первых, вы записываете и читаете txt-файл в двоичном формате. Вы представляете вообще, как должен выглядеть файл, содержащий данные вашего типа?
Во-вторых, у вас внутри объекта есть динамические члены (способные изменять свои размеры) - vector и string. Благодаря этому объект имеет многомерное представление в памяти и вам необходимо придумать, как спроецировать его на "плоскую" память, записать его почленно. Если с char, int, float все очевидно (их размеры известены на этапе компиляции: sizeof(char), sizeof(int), sizeof(float)), то для string, например, нужно сначала сохранить его размер (чтобы потом знать, сколько читать из файла), а потом записать содержимое. С vector - аналогично, за тем исключением, что это тот же Sport и вам нужно вызвать функцию сохранения для каждого ребенка текущего объекта (и для их детей, т.е. рекуррентно обойти дерево владения). 
Чтение производить в обратном порядке.
Тыц#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <fstream>

using std::ofstream;
using std::vector;
using std::string;
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;

class Sport
{
  vector<Sport> Sp;
  char     team;
  double   bal;
  unsigned mesto;
  string   name;
public:
  Sport(string   _name  = {}, char _team = {}, double _bal = {},
        unsigned _mesto = {}, vector<Sport> sp = {})
      : name {_name}, team{_team}, bal{_bal},
        mesto{_mesto},  Sp{sp} {}

private:
  friend ofstream& operator<<(ofstream& ofs, Sport& sp);
};

ofstream& operator<<(ofstream& ofs, Sport& sp)
{
  ofs << sp.name  << ' ';
  ofs << sp.team  << ' ';
  ofs << sp.mesto << ' ';
  ofs << sp.bal   << ' ';
  ofs << endl;
  for(auto& p : sp.Sp)
  {
    ofs << p;
  }
  return ofs;
}

void writeSportsTo(const char* filename, Sport& sp)
{
  ofstream of(filename);
  if(of)
  {
    of << sp;
    of.close();
  }
}

int main()
{
    constexpr char* filename = "C:\\sports.txt";
    Sport sp;
    writeSportsTo(filename, sp);
    return 0;
}
Чтение аналогично.