Будет ли работать Интернет без света, если он идёт через распределительную коробку?
Был бы ваш провайдер беспроводным - так бы работало. А так - нужно запитать Ваш роутер, свитч на техэтаже (чердаке) здания, свитч на чердаке здания, куда приходит аплинк от Вашего здания и т.д. вплоть до свитча на здании провайдера (такая очень обобщенная схема).
Как видим, в схеме очень много узлов и отключение одного из них - это отвал всех, кто в структуре "ниже".
На этот вопрос может ответить эксперимент с выключением света. 
А в своей квартире - ты должен САМ обеспечить безперебойное питание для кабельных модемов и Вайфай роутеров.