Как отследить нажатие на кнопку php?
 При нажатии на них должна меняться переменная в php:В первую очередь, Вы должны понимать, что переменные в PHP будут переинициализированы, при каждом новом запуске скрипта и то, что все переменные и значения в PHP-скрипте существуют только в тот момент, пока этот самый скрипт выполняется.
Если Вам нужно хранить значение переменной между запросами - для этого можно использовать например сессию или базу данных, или хранилище или... Как это сделать?) С помощью отправки формы на сервер, либо с помощью AJAX-запроса, это наиболее распространённые способы.
Посерчи AJAX.
Выглядеть решение будет примерно так - при клике на кнопку идет AJAX-запрос на сервер, в data отправляешь кнопку по которой кликнул, на сервере обрабатываешь и возвращаешь в браузер.