Почему прекращается работа приложения при завершении сеанса удаленного доступа?
запускать сервер при помощи nohup/screen/tmux/etc.
Putty. При закрытии останавливается процесс?
ctrl-z
bg
disown
ну или если скилла хватит - apt-get install screen; screen 
В screen запускаете сервер, деаттачитесь кнопками ctrl+a, d 
Потом можно закрывать putty, а вернуться в консоль с запущенным сервером командой screen -Rx можно от того же пользователя.