Как избавиться от жалоб DMCA на музыкальный сайт?
Как избавиться от жалоб DMCA на музыкальный сайт?Гарантированно -  никак. Жаловаться имеет право каждый. На что угодно.

Но если вы уберете видео с сайта - жалобы с большой вероятностью прекратятся.

И надо понимать что такого рода жалобы пишет не человек, а бот.
Он там не разбирается в тонкостях законодательства и прочих неинтересных вещах. Там все проще - бот определил по некоторым признакам наличие видео на сайте - отправил жалобу по шаблону, и пошел дальше.

Действительно ли я нарушил чьи то права?Мало данных, но если вы разместили видео не получив разрешения от правообладателя - значит нарушили права этого самого правообладателя.
Законно ли размещать чужие музыкальные видео с Youtube у себя на сайте?При наличии разрешения от правообладателя - законно, иначе незаконно.
Если я ничего не нарушил, что нужно написать что бы страницы сайта восстановили в поиске и сняли с них ограничения?Зависит от того кто ограничил? Гугл - попробуйте им написать. Может поможет, а может и нет. Тут никто никому ничего не обязан. Может и не восстановить.
убрать музыкальный сайт

Действительно ли я нарушил чьи то права?
да
Законно ли размещать чужие музыкальные видео с Youtube у себя на сайте?

нет, как и любые видео
И самое главное:

попробуйте мимкрировать под  DMCA related сайт, но, конечно, ни о каком API и ифрейме не будет и речи - хранить придется самим и объясняться тоже