Как отправить ответ на AJAX запрос раньше окончания выполнения скрипта PHP?
Можете использовать fastcgi_finish_request, если на сервере у вас стоит php-fpm. Его суть в том, что скрипт висит еще некоторое время (пока не выполнятся все операции) после ответа клиенту. Но это неправильный путь. Вреное решение будет примерно такое: вы присылаете аякс, валидируете данные, добавляете в очередь сообщений (я люблю gearman, но вы можете использовать любую другую) запись, что надо отправить письмо. Как только в очередь добавляется запись обработчик хватает его и отправляет.
curl
А вообще комментарий выше правильный.