Как добавить переменную к классу сlass N extends $n?
Никак, иерархия классов строится до этапа исполнения
Единственный способ это сделать, использовать eval:<?php
class A{}
$class_name = 'A';

$code = <<<CODE
class B extends $class_name{}
CODE;
eval($code);

if(new B() instanceof A){
    echo 'Ok';
}
Но решение это не очень, и я бы советовал вам посмотреть в сторону структурных шаблонов проектирования, таких как адаптер и декоратор