Связана ли адаптивная верстка с дизайном?
Адаптивный дизайн - подразумевает собой оформления веб-страницы таким образом что элементы могут перемещаться, сдвигаться и убираться не нарушая целостность композиции.Адаптивная верстка - это уже техническая составляющая. HTML и CSS разметка сделана таким образом что элементы имеют "плавность" и легок адаптируются по размер браузера, так же оптимизировано под загрузку мобильных устройств.
Сжатие html, css, javascript и оптимизация изображений, как правило для дисплеев retina добавляются специальные правила, что бы на современных телефонах отображались более качественно.Кроссбраузерность
Корректность работы зависит от программиста, если он хороший то этой проблемы не будет, так как опытный человек изначально создает кроссбраузерную верстку. (это на уровне подсознания)Связана ли адаптивная верстка с дизайном?
Да! Если дизайн не подразумевает собой возможность "плавать" (визуально оставаться целостным), то возникают проблемы.
Дизайн на выходе дает PSD, верстка - рабочий HTML.
Кроссбраузерность существовала задолго до адаптивного дизайна.