Как понять комплексные числа?
Может быть я буду неправ с точки зрения прошаренного математика, но я представляю комплексные числа, как двумерные числа. Грубо говоря, для обычных чисел мы можем нарисовать прямую, где то, что слева - меньше того, что справа. А вот для комплексных чисел нужна уже плоскость, и там привычные больше/меньше не работают. Нужно вводить новые определения для нового "больше", и нового "меньше".
Зачем это все надо? В них проще тригонометрия и всякие там хитрые штуки считать. На бумажке быстрее. Как научить комлюхтер и языки программирования это дело воспринимать -- не знаю. Возможно, это лишь абстракция, и никаких ускорений в вычислениях нет, только визуально приятнее тем людям, кто в комплексных числах привык считать. 
Есть еще большая жесть, где число вида a + bi + cj, ну или, для особых эстетов, когда число есть сумма из неограниченных итых, житых, катых, и прочих -тых.
Все очень просто