Какие основные и наиболее востребованные функции у CRM-систем?
Отвечаю как представитель разработчика CRM-системы
1. если планируете разрабатывать под конкретного заказчика - то проведите аналитику бизнес-процессов, напишите и согласуйте ТЗ и вперед. Здесь может быть любой сценарий: и склад, и дебиторка, и документооборот, и... 
2. если речь о массовом продукте, то определите целевую аудиторию, пообщайтесь с представителями этой аудитории, поймите что им нужно. Здесь также от и до. 
Если пользователи продвинутые, то им без разницы веб это решение, или десктоп.
Каждый понимает CRM как ему нужно. Нет универсального решения. Но, есть базовые вещи - база компаний и контактов, планирование звонков, встреч и т.д., учет сделок. Если сделок в компании не много - то используется ручной ввод данных, если сделок много - то проводится интеграция с внешними базами, чаще с 1С.
Отвечаю как носитель опыта менее года в вялом неудачном проекте по внедрению одного из лидеров CRM рынка:
1. "Автоматизация" процесса продаж, маркетинговых процессов и аналитика - самое популярное применение CRM систем.
2. Как и в произвольном случае с современными системами (для бизнеса) - данные попадают в нее как из других систем (например, база клиентов розничного магазина может попасть в CRM систему из системы, управляющей розничными продажами), так и вручную (Вы решили стартовать новую попытку продажи своего продукта/услуги новому или существующему клиенту).
3. Насколько мне известно - нет. Бухгалтерия - это стезя ERP. В CRM отражается процесс продажи как что-то верхнеуровневое, не знаю, как тут лучше сказать. Сами же "детали" в виде проводок денег, взаиморасчетов и т.п. - это все происходит в бухгалтерской системе, там, где финансы собственно "автоматизированы". 
4. Да, но сейчас эта грань размыта. Наверняка не ошибусь, если предположу, что у всех современных (CRM) систем для бизнеса поставляется как свой независимый клиент, так и веб-интерфейс.