Почему webpack Can't resolve 'babel-loader'?
Вот все проблемы:
1. Терминал атома мешал установке модулей
2. Конфигурация вебпака должна быть следующей:module.exports = {
  entry: './main.js',
  output: {
    filename: 'build.js'
  },
  module: {
    rules: [{
      test: /\.js$/,
      use: {
        loader: 'babel-loader',
        options: {
          presets: ['es2015', 'react']
        }
      }
    }]
  },
  resolve: {
    modules: ['node_modules'],
    extensions: [".js", ".json", ".jsx", ".css"]
  }
}
Судя по package.json это последняя версия webpack, и в их документации немного по-другому все это дело указывается. Может проблема в этом,  попробуйте как указано в документации: 
module: {
  rules: [
    {
      test: /\.js$/,
      use: {
        loader: 'babel-loader',
        options: {
          presets: ['env']
        }
      }
    }
  ]
}