Есть ли программа для отправки диагностической информации по hot key для windows?
AutoHotKey справится. Да и обычный ярлык на PowerShell скрипт тоже.

Только без продуманных процессов, без ответственности пользователей толку не будет. Будут слать всякую фигню тоннами.
И без домена будет сложно.
Смастерите сами.
Напишите скрипт (хоть на Поверщели, хоть на Пистоне), запакуйте в exe. В скрипте, понятно, код для делания скрина, сбора информации и отправки куда угодно.
Кидаете exe куда хотите, выводите для него ярлык (тоже куда хотите). В свойствах ярлыка прописываете комбинацию клавиш для запуска. Всё.