Как проверить, создают ли линии замкнутую геометрическую фигуру?
Объясню грубо
1. Если линии пересекаются, то нужно найти точки их пересечения. Затем(отталкиваясь от одной точки) проверить пересекаются ли между собой линии пересекающие первые две, принадлежащие нашей точке
2. Раз у нас есть координаты вершин, мы можем рассчитать углы данной фигуры. Три угла или два противоположных = 90, значит прямоугольник + одинаковая длина рёбер - квадрат
По углам можно любую фигуру определить
Обращайтесь, если нужна помощь)
Если под словом "линия" имеется в виду именно бесконечной длины прямая линия, и при этом все линии не параллельны, то не вижу особой проблемы в вопросе №1. Любые две непараллельные прямые обязательно пересекаются. Множество точек попарного пересечения имеющихся прямых обязательно можно пронумеровать, ибо их конечное количество.
Для целей построения многоугольника на этих точках - можно, например, посчитать центр масс всех этих точек пересечения, поставить в него начало полярной системы координат и пронумеровать их против(по) часовой стрелки. Так мы получим последовательность непересекающихся отрезков, составляющих многоугольник. И да, эта ломаная линия будет замкнута. Вопрос совпадения углов для какого-то набора точек решается проверкой, регулирокой точности вычислений или смещением начала полярной СК. Вопрос принадлежности более чем двух точек одной прямой - решается проверками и не имеет принципиального значения.
Правда, гарантировать при всем этом, что полученный многоугольник будет выпуклым - можно только для случая трех прямых.