Какую информацию банкомат считывает о карте, выпущенной сторонним банком?
Если читается только магнитная полоса то на первой полосе. если не ошибаюсь, только номер карты, срок действительности и имя/фамилия обладателя карты. На второй дорожке номер карты, срок действительности и техническая информация, плюс код валидации пин кода (PVV). Так что зависит какие технические возможности у банкомата.
Если банкомат читает чип то информации намного больше. Присутствует код страны банка, который выпустил карту, лимиты для обслуживания без связи с банком и тд. Большая часть относится к безопасности (сертификаты, агоритмы верификации обладателя карты, и тд).
Названия банка не обязательно, эту информацию банк получит в ответе на авторизацию когда запрос на снятие будет в начале переправлен в визу/мастеркард, а потом в банк выпустивший карту. Так же в ответе будет номер счета, к которому привязана карта и возможно остаток на счету.
ФИ, разумеется
есть операции по стиранию такового с магнитной ленты, но это, конечно, стрем, 
потому обычно стремятся сразу использовать карты без имени