Как нарисовать внутри input кнопку с иконкой?
Это не внутри, а рядышком.Как вариант так.
1. Делаешь так, чтобы кнопочка появилась ровно правее поля ввода
2. для кнопки можно задать position:relative;left:-50px; она сместится относительно своего положения, но вообще инпут и кнопку в один див засунуть с position:relative, а для кнопки абсолютное позиционирование и right:0; (ну или чуть побольше)