Как лучше копировать файлы с умирающего диска?
сохранить базу складского учета с полумертвого диска
С учётом этой информации, боюсь, что вы стоите на грани катастрофы.

крайне низкой скорости его работы (вплоть до того, что папки открывались по 1-2 минуты, с шансом к полному зависанию) и копирования (до 400кб/с 
Судя по описанию, диск явно умирает. Сколько он ещё протянет - предсказать невозможно. Самый лучший вариант - отключить его как можно быстрее, и не трогать вообще (даже не включать).

 Существуют ли какие-то программы, способные временно реанимировать диск?
Есть программы, которые за красивыми (но лживыми) словами скрывают абьюз внутренних систем накопителя, приписывая результаты этого как свои достижения. 
В вашем случае различные HDD Regenerator'ы и подобная дрянь категорически противопоказана, т.к. вам нужно спасти данные.

John Smith прав. С учётом того, что данные не ваши, а принадлежат компании, и особенно из-за того, что нужна база данных, а не, например, фотографии, вам однозначно нужно обращаться к специалистам. 
Базы данных, видео, и подобное - наиболее проблемный контент с точки зрения сохранения целостности (исправности / работоспособности). У диска либо начинаются (или уже начались) проблемы с поверхностью, либо проблемы с головками. Может быть и то, и другое. 

Перед тем, как начинать играть в русскую рулетку самостоятельно, выберите фирму, занимающуюся восстановлением данных и сходите туда на бесплатную диагностику. Так у вас хотя бы появится понимание с какого масштаба проблемой вы имеете дело. 
А лучше сдавайте диск им в работу. Пока он ещё как-то жив, есть шанс вычитать нужную вам базу без замены блока головок. Т.е. как не упустить возможность решить проблему вообще, так и сделать это по весьма доступной цене (даже для частного лица, не говоря о фирме со складом, где нужен учёт). 

Вы можете пробовать сделать образ диска, например в gddrescue (GNU ddrescue), но это неоправданный риск. Вы будете читать неизвестно что, при этом не имея достаточной возможности контролировать состояние головок и читаемой поверхности, и хотя бы, делать своевременные корректные пропуски. 
После этого всё может пойти под откос - сначала непростые работы по восстановлению данных (получение нужных файлов), затем - вполне вероятно, что работы по их "ремонту", т.к. сильно повысится вероятность того, что на 100% полную копию сделать не получится.
Я для этих целей использовал загрузочный LiveCD с Linux, снимал образ диска через dd-rescue, потом подрубал образ этого диска в нормальной системе, делал chkdsk и вытягивал то, что можно вытянуть. Рекомендую.