Можно ли использовать одну БД при написании сайта на PHP, а android-приложение на Java?
Использовать базу где?
На Андроиде локально и на сайте? То есть фактически это будут 2 одинаковые базы?
Или одна общая база в интернете, доступная всем Андроидам?
Если про второй вариант, то правильнее делать не напрямую как finjoiler написал в своем примере.
А через реализацию API на сайте.
То есть к БД будет иметь доступ только PHP, а уже к PHP по API будет обращаться Android-приложение.
Да можно.
Представь, что бд это корзина с вещами или шкаф. Ты можешь оттуда брать и класть. Кроме тебя я могу это сделать или другой человек, у которого есть ключ от него. 
То есть, чтобы тебе это сделать ты делаешь свой сайт он общается с этой базой.
Для того чтобы еще и приложение общалось с этой базой, тебе надо сделать API, которое и будет стоять между базой и приложением.
Ты конечно можешь напрямую обращаться к базе из приожения, так же как и с сайта.
Но это небезопасно, потому что сайт у тебя работает на сервере и все конфиги с паролеми посмотреть пользователя не смогут, а в случае с мобилкой – у тебя будет прописан доступ в самом приложение. Это значит, что любой может разобрать его и посмотреть.
Посмотри в сторону REST API. 
Чтобы например сохранить какую-то запись в базу, тебе нужно будет отправить запрос на свой сервер, который примет его, обработает данные и сделает то, что нужно. Например, у тебя ест ьтакой роут(маршрут/endpoint):
POST your-site.com/item/save 
Ты уже сам на сервере определяешь как он будет работать.