Как настроить авторизацию в MVC PHP?
Причина в том, что этот код - полная бессмыслица. 
Если просто случайным образом писать операторы РНР, и то получится лучше. 

Надо на пару лет забыть про красивые слова OOP и MVC, и поучиться просто писать код, который делает то, что требуется.
Давайте пройдемся по коду:
1. Нужно исправить метод login в классе Auth
public static function login($name, $password) {
      $db = Db::getInstance();
      $name = intval($name);
      $password = intval($password);
      $req = $db->prepare('SELECT * FROM users WHERE name = :name AND password = :password');
      $req->execute(array('name' => $name, 'password' => $password));
      $login = $req->fetch();

      //return new Auth($login['name'], $login['password']); - Зачем здесь возвращать новый инстанс этого же класса?
      return $login; // - возможно вам это нужно
    }
2. В контроллере нужно выводить полученные данные
$loginData = $login->login($name, $password);
 //отображает имя из формы а не из БД
echo $loginData->name;

Это только то что можно исправить чтобы заработало, но в остальном весь код нужно переделать:
Это уберите немедленно - $name = intval($name);
$password = intval($password);
Это тоже не нужно
<?php
  class AuthController {
    public function index() {
        require_once('views/auth.php');
    }
}
Вместо этого используйте автозагрузку (в идеале composer)
Переделайте модель авторизации, не используйте публичные свойства, вместо них private & getters