Как реализовать простые PUSH-уведомления на сайте?
Воть
Push работает только на смартфонах. 
А у вас на скриншоте "HTML5 Notification". Это реализуется в пару строчек JS, но работает только на загруженной в браузер странице. 
https://habrahabr.ru/post/183630/
Если есть потребность уже загруженной странице передать новое уведомление, то дополнительно придется сделать Комет-сервер (обычно сервер на Node.js , а клиентская часть на socket.io)