Как решить Parsing Error в ESLint?
Полагаю, что приведение парсится криво (особенно если в этом же файле есть темплейт).

Предлагаю переписать так: 
(this.$refs.fileInput as HTMLElement).click()
jsx, полагаю, мозги парит. Не юзайте jsx с vue. Хоть это и разрешено, но jsx такое уродливое дерьмо по сравнению с нормальными vue-шаблонами...