Как объяснить клиенту, что дизайн необходимо оплатить, если он даже не понравился?
Вы ничего обьяснять не должны, у вас условия все прописаны в договоре, в том числе за что и когда он должен платить (сомневаюсь что там указанно типа не плачу пока не понравиться)
Если это взрослый человек который живет в этом мире, он наоборот вам не сможет обьяснить и привести примеров где это бы работало таким образом -> типа ты заказываешь услугу, после ее выполнения, говоришь что тебе "не понравилось" и не платишь. Где интересно он вообще мог встретится с такими условиями? так мир не функционирует. 
Ну если это малолетний идиот, то таким бесполезно что-то доказывать, только время потратишь.
П. С. 
по поводу оплата за принятый проект -> если заказчик не принимает проект, то он должен написать мотивированный (обоснованный) отказ. 
Варианты типа не понравилось не являются таким обоснованием, это должно быть именно описание нарушений например условий договора.
Надо договор смотреть. Имхо по дизайну в договоре надо прописывать либо часы, либо такое понятие как "вариант". Вариант готов - оплачивайте. За дизайн предоплату, конечно, надо брать.