Что сейчас используют чаще web api или mvc (asp.net core)?
Просто апи в случае single page application, или веб сервиса без ui. 
MVC если хочется быстро сделать сайт с формами.

Но граница очень размыта, знать одно и не знать другого, практически невозможно, и вопрос становится бессмысленным. 
Это разделение было сделано когда-то просто чтобы было 2 шаблона проекта в visualstudio, так что не советую на этом концентрироваться а изучать aspnetcore в целом
Удобнее asp.net core, так как лучше продуман.