Возможно ли сделать свою «платежную систему»?
На основе криптовалюты можно организовать прием оплаты.

Мне не нужна платёжная система, просто прием платежей и их проверка

Вообще то что ты хочешь называется "эквайринг".
Просто приходишь к своему банку и просишь чтобы тебе его подключили, и добавляешь форму оплаты к себе на сайт