Как с помощью AJAX jQuery и php сделать отправку данных(комментарии) формы в БД и вернуть их без перезагрузки страницы?
Вам нужно создать файл php который будет обрабатывать данный запрос. Например ajax-form-comment.php. В нём вы описываите на php всю логику получения данных. Просто берёте всё из массива post. С помощью AJAX вы формируете запрос, файл php получает запрос от ajax, обрабатывает там, в БД добавляет комент и с помощью echo выводит ответ, например текст "Всё круто, записали коммент!" или в формате JSON. В функцию callback success или done (смотря какую вы будите использовать) придут эти данные как раз. И в ней вы опишите логику, например отрисовку данного добавленного комента (вам нужно лишь от сервера получить подтверждение что коммент попал в базу, а данные использовать теже что и отправляли AJAX-ом ранее на сервер). Если нужен код, то могу написать js часть.$('form').on('submit',function(){//используйте id лучше
  e.pereventDefault();//блокируем действия по умолчанию, чтобы не перезагружать страницу
  var data;//записываем сюда данные которые хотим передать
  $.ajax({
    url:'file.php',
    data:data,//наши данные которые передадим
    method:'POST',//метод
    dataType:'text/plain',
  }).done(function(data){//допустим сервер будет возвращять JSON {isError="true",message="Всё записалось"}
    //описываем действия по получению ответа сервера
    if(data.isError==true){
      //коммент записался
      page.render(data);//отрисовываем наш комент с переданными рание данными
    }
  }).fail(function(err){
    //обрабатываем ошибку ajax
    
  });
});
В php всё ещё проще, просто массив разбераите, работаите с базой и echo возвращаите данные обратно)
Как-то так:$('form').on('submit', function(e){
  e.preventDefault(); //подавляем отправку данных формы и перезагрузку старницы
  var data = this.serialize();
  $.post("test1.php", data, function(json){
    $('.commentbox').append('<div><span>' + json.author + '</span><p>' + json.comment + '</p></div>'); 
  });
);
});
Это в простейшем виде. На самом деле зависит от разметки, требований и реализации на сервере.
UPD: Если с jQuery на Вы, то реализовать самому все это будет трудно.