Кто должен адаптировать сайт под разные разрешения мониторов?
Верстальщик никому ничего не должен по умолчанию просто так. Если вы готовы платить, обговорите условия, и вам все сделают. Скорее всего, в вашем случае макет попал в руки не к самому лучшему исполнителю. Не любой исполнитель может работать без макета. Но оставлять так, что при 1600 что-то не влезло в экран, это дикость.
Странный дизайн и странный верстальщик. У того же Bootstrap максимальная ширина контейнера для XXL размера - 1320 пикселей. То есть на типичном сегодня FullHD (1920х1080) он занимает центральную часть экрана, оставляя поля слева-справа. Аналогично здесь, на тостере - содержимое ограничено шириной 1440 пикселей.

Тут в общем-то главный вопрос: а как договаривались с верстальщиком? Была ли в требованиях к нему адаптивная верстка? Обсуждался ли этот вопрос вообще? Потому что если ему дали макет и сказали: "вот, делай как на макете" - верстальщик и сделал исходя из того что заказчик знает чего хочет.

Теперь о том кто должен адаптировать макет к меньшему разрешению. Зависит от того что именно должно меняться. Если там просто уменьшение ширины колонок - это одно, это может сделать и верстальщик, если вы ему четко поставите задачу что и как должно измениться. Если же там начинаются более сложные вещи, например, "вот этот блок на небольших экранах показываем не здесь, а здесь", "вот эти блоки должны быть не рядом, а друг под другом", "этот блок вообще скрываем, отображаем если пользователь нажмет на кнопку" - то это, конечно, требует полноценного макета и разрабатывать его должен дизайнер.