Как вывести название города полученный через ajax?
let data = JSON.parse(xhr.response);
console.log(data.response.GeoObjectCollection.featureMember[0].GeoObject.name); // (description)
Я привёл пример с нулевым городом ( [0] ), их там не 1, а четыре в вышеприведённом респонсе, смотрите сами, что вам нужно: первый или вообще все.
Логично далее распарсенные данные передать в обработчик, который извлечёт значение (из того, что приходит - строка, объект, массив) и вставит в нужный вам элемент.
Пример смог бы написать, если можно было увидеть респонс.