Как реализована авторизация и регистрация на одной страничке как у Вконтакте и Facebook?
Оба способа "правильные", применяйте тот, который удобнее.
Подсказка: у формы есть еще атрибут action.
Правильного варианта нет по сути. Более проще делать обычной формой с методом post, так как обычно при авторизации клиента бросает в личный кабинет.
Главное сделать двумя разными формами а не форма в форме