Как называется род программ для сайта, которые типа такого чата в углу (типа «живосайт» и пр) — типа «чем могу помочь»?
Так и называется. "Чат для сайта".
У Jivosite есть вроде апи, чтобы агент поддержки мог из телеги писать.
Talk-me позволяет подключить джаббер. 
А через джаббер, как известно, вообще все что угодно можно подключить ;)