Реализации статистики по кликам — JS, AJAX, PHP, MySql?
С учетом того что событие "клик по меню" будет происходить достаточно часто - это ощутимая нагрузка на базу.  Я бы попробовал подключить яндекс.метрику с опцией "Отслеживание хеша в адресной строке браузера", а клике на меню - обновлять этот хеш.
Данные из яндекс.метрики можно забрать через апи.
Вариант более сложен в реализации чем свой счетчик, но гораздо более надежен.
1. Чтобы не было перехода - Обрабатывайте событие клика:e.preventDefault();
вам в помощь.
2. Раскрывающееся меню. Тут куча решений уже готовых по типу superfish. Можете писать своё. Выбор за вами.
3. Запись статистики:
jQuery.ajax() до php-скрипта который инкрементирует какое то значение в базе. Чтобы была расширенная статистика - можно добавлять различного рода параметры ( url ссылки например ) и так же хранить их в базе.
Останется только вопрос секьюрности в плане защиты от накрутки за счет прямых обращений к скрипту и т.д. Но это уже детали.
Ну или идти более тяжелым путём и писать какой-то серверный js-апплет который будет заниматься обработкой и работой с базой. Это уже как то глобальнее.