Как сделать Facebook like button на моем сайте?
Я подобные вещи видел только в виде собственных приложений, которые запрашивают все требуемые разрешения, а потом сами от имени пользователя делают всё, что требуется. Так, по крайней мере, у Dropbox на время проведения акции
Возможно вам поможет like-gate — создается tab application, в его шапке как раз и будет кнопка «Мне нравится»
А для получения информации о лайке (есть/нету) юзается signed_request, тогда вы будете наверняка знать что пользователь лайкнул страницу и соотв. лайкнул всю группу. 

Для получения инфы по лайкнувшему вам поможет только FB.login. Инфа о пользователях выдается только приложениям и только после авторизации

Есть также простенький видео-курс по Facebook API, лежит на рутрекере, там в довольно доходчивой форме объясняется Facebook API