Как в Yii2 после добавления данных очистить форму и вывести flash сообщение на той же странице без повторной отправки?
Нужно сделать редирект после записи формы, чтобы скинуть post. А в сессии останется flash сообщение.
Если вам не нужно делать редирект на другую страницу — можно перезагрузить страницу используя $this->refresh(). Страница перезагрузится, форма очистится, flash сообщения будут отображены. После чего можно снова заполнять форму новыми данными. 
Из вашего кода пропадут лишние строки:public function actionAdd()
{
    $model = new News();

    if ($model->load(Yii::$app->request->post()) && $model->save()) {
        Yii::$app->session->setFlash('success', 'Удача: Новость добавлена!');
        return $this->refresh();
    } else {
        Yii::$app->session->setFlash('error', 'Ошибка: Не удалось добавить новость!');
    }

    return $this->render('add', compact('model'));
}