Какой Линукс пойдет на слабый ноутбук?
Ставь Семерочку и не лезь в то, в чем не разбираешься, пока не соберешься разобраться.
на ноутбуке хочу разместить хостинг мини программы(потребление не менее 3-х % ОЗУ и ядра) минимальная конфигурация linux (для deb пакетных менеджеров, это debian/ubuntu/mint/...) можно установить с помощью debootstrap, собственно им пользуется и штатный установщик, но он добавляет 100500 дополнительного софта, а так минимальный конфиг занимает на диске примерно 200мб и в оперативной памяти после загрузки где то десяток другой мб ram

порядок установки:
* загружаешься в другой linux (любой, но той же архитектуры что и целевая), можно из виртуалки все делать, если пробросить целевой диск внутрь
* разбить диск на нужные разделы, если будет использоваться стандартная файловая система ext/btrfs/.. и legacy mbr bios то хватит одного корневого раздела, если есть efi то понадобится еще один раздел fat для efi, если нестандартные файловые системы или конфиг к примеру с raid или шифрованием, то понадобится еще /boot, если используется gpt диск (не mbr) то еще понадобится biosboot раздел на 1мб
* примонтировать корневой и /boot разделы
* запустить debootstrap с указанием ос и этого каталога
* установить grub-install /dev/диск_установки --root-directory=/каталог_с_установкой
* chroot /каталог_с_установкой
* настроить пароль для passwd root и /etc/fstab

этого достаточно чтобы загрузиться в систему и дальше уже из нее настраивать (сеть например, можно вручную а можно установить networkmanager, настроить языковые локали, время, шрифты для консоли и т.п.)

desktop environment с gui для задач хостинга даже не требуется, если что можно поставить что-нибудь максимально простое awesome, openbox, icewm, eEnlightenment, lxde, xfce,... мало того, по умолчанию с xserver должен ставиться совсем уж минималистичный twm, в оперативной памяти эти вещи будут занимать от силы пару сотен мегабайт (на gentoo я настраивал awesome с последними версиями системы на 50мб ram, на машине с 1гб ram запускал современный браузер) 

если тебе нужна графика чтобы только настраивать но для работы не требуется, то можно подключаться к машине удаленно, используя локально установленные DE (например с windows машины в сети установив cygwin xwinserver), это штатный режим работы xserver (в локальной сети можно даже игры запускать)