Сохраняет ли navigator.clipboard.write стиль текста?
el.innerHTML использовать

UPD. Да это у меня чувство юмора дебильное ))
Вот так попробуйте: https://nemecek.be/blog/156/how-to-copy-html-to-cl...
Спасибо Алексей Ярков, это работает для меня:
function setClipboard(text) {
    const type = "text/html";
    const blob = new Blob([text], { type });
    const data = [new ClipboardItem({ [type]: blob })];
    navigator.clipboard.write(data).then(
        function () {
            console.log('/* success */');
        },
        function (err) {
            console.log(err);
        }
    );
}