Может ли веб-дизайнер потребовать указать его авторство на дизайне сайта?
Может ли веб-дизайнер потребовать указать его авторство на дизайне сайта?Нет.
Точнее - потребовать то конечно может, любой может выставлять бессмысленные тербования. Только вот пошлют с такими требованиями куда подальше и все. Никто не обязан их исполнять.

Вы создали дизайн в рамках договора, и в рамках этого же договора передали исключительные права на дизайн заказчику.
Вы являетесь автором - авторское право не отчуждаемо. Это факт.

Заказчик вам должен оплатить указанную в договоре сумму и все. Более он вам ничего не должен.
Например не должен выполнять различные ваши пожелания, вроде указания каких-то данных на его сайте.

Согласно закону получается, раз на сайте автор не указан, то автор может запретить использовать его произведение без указания его имени.Право использования сайта у заказчика есть - вы работали по договору, и соответственно передали ему все исключительные права.
В итоге заказчик вправе использовать этот дизайн, и вправе распоряжаться им, в том числе запрещать использовать его.
Автор не может распоряжаться дизайном без разрешения правообладателя.
У автора есть только авторские права и только.

Поскольку у правообладателя нет авторских прав - он не может заявлять о том что он автор. Только и всего. А автор может.
может

достаточно вписать в договор что "посылать и быть посланным - неотъемлемое право кажой стороны"