На чём сделать сайт с чатом + мобильное приложение?
абсолютно фиолетово. особенно, с такой постановкой вопроса. 

сейчас любой боль-мень популярный язык умеет в веб-сокеты. это про бэк. 

а на фронте такой зоопарк, что проще выбрать монеткой или костями, чем привести абсолютно аргументированный довод.
Ультимативный вариант 

1. NET core  + Xamarin + VUE
2. NET core  + Framework7 + VUE

PS андроид  маркет стоит 25 долларов навсегда, яблоко 100 баксов на год