Почему массив POST пустой?
1) <?php namespace App\Http\Controllers;

use App\Http\Controllers\Controller;
use Illuminate\Http\Request;

class AjaxController extends Controller {
  public function request(Request $request) {
  	if($request->ajax()){
  		$param = $request->input('param');
  		echo json_encode($param);
  	}
   }
}
2)Route::post('ajax/request', 'AjaxController@request');
3)jQuery.ajax({
  url: location.origin + '/ajax/request',
  async: false,
  type: 'POST',
  data: {'param': '32'},
  dataType: 'json',
  success: function(data) {
  	alert(data);
  },
  error: function() {
  	alert('Ошибка');
  }
});
Итак, проблема была в отсутствующем в запросе параметре "X-XSRF-TOKEN" (причем, именно так, а не "X-CSRF-TOKEN", как можно было подумать). Это одна. Вторая - в шифровании этого параметра, но ее до конца понять не удалось.
С каждым POST-запросом этот параметр должен передаваться на сервер, поэтому, на jQuery будет такой код:jQuery.ajaxSetup({
    headers: {'X-XSRF-TOKEN': jQuery('meta[name="csrf-token"]').attr('content')}
});
Здесь мы получаем значение параметра "csrf-token" из мета-тегов страницы. А записываем их туда, например, в основном файле представления:<meta name="csrf-token" content="{{ csrf_token() }}"/>
Но даже если все это сделать, сервер все равно будет умирать с сообщением "DecryptException". Информацию об этой проблеме нашел вот здесь. Правда, в итоге сделал вторым способом, так как в первом необходимость добавлять параметр каждому контроллеру показалась страшной.
То есть, я открыл файл "app/Http/Middleware/VerifyCsrfToken.php" и добавил в него такой код:use Symfony\Component\Security\Core\Util\StringUtils;
...
protected function tokensMatch($request) {
	$token = $request->session()->token();
	$header = $request->header('X-XSRF-TOKEN');
	return StringUtils::equals($token, $request->input('_token')) ||
		($header && StringUtils::equals($token, $header));
}
Функцию, конечно же, внутрь класса.
Хотелось бы в комментариях увидеть ваше мнение. Бабы говорят, что второй вариант может нести какие-то уязвимости, но я пока не очень силен в этих вопросах, поэтому буду рад любому совету по этой теме.