Как переключать стили разным компонентам?
Подход с display: none в React разработке использовать не принято.

Условный рендеринг
Подъем состояния
в NewsBigScreen абсолютно бесполезно display/setDisplay/useStateconst NewsElement = (props) =>{
  ...
  return(
    ...
      <NewsBigScreen display={display} setDisplay={setDisplay} />
    ...
  )
}

const NewsBigScreen = ({ display, setDisplay }) =>{
  const closeBigScreen = () =>{
      setDisplay('none')
  }

  return(
    <div className='newsBigScreenWrap' style={{display: display}}>
      <div className='blackBackground'>
      </div>
      <div className='NewsBigScreen' >
        <input type='submit' onClick={closeBigScreen}/>
      </div>
    </div>
  )
}