Как автоматом менять стили ссылок в Url Hash Navigation owl carousel?
Оборачиваем ваши ссылки в блок<div id="demos-link">
  <a class="slide_button1" href="#slide1">Step1</a>
  <a class="slide_button2" href="#slide2">Step2</a>
  <a class="slide_button3" href="#slide3">Step3</a>
</div>
Добавляем в параметры инициализации карусели строкуdotsContainer: '#demos-link',
... Теперь к ссылке на активный слайд будет добавляться класс .active, его вы можете использовать для стилизации.
Способ работает если ссылки только три, если больше, то не получается.  Вот тут более приемлемый способ