Material UI + React JS как запустить хоть один пример?
Если все подключили, то надо отрендерить компонент на странице. Как это делается - ищите в доках реакта. Пытаться использовать библиотеку и расширения для нее, не зная основ работы с самой библиотекой - занятие бесполезное. Учите сначала принципы самого реакта, а потом уже смотрите в сторону всевозможных расширений
// в хэндлере кнопки, которая будет переключать состояние панельки 
this.refs.leftNav.toggle();

// В render методе
<LeftNav ref="leftNav" menuItems={menuItems} />