Как правильно работать с json?
А что мешает распарсить json на сервере (json_decode php) в массив после извлечения из базы, удалить элемент массива correct, запаковать json(json_encode) и отдать на клиент?
Вообще хранить json в БД не лучшая идея, а json с одинарными кавычками невалидный.
Но, если уж надо, то распарсить его можно примерно так:SELECT 
	@correct_answer_position := LOCATE("'correct'", `text`),
	@comma_position := LOCATE(",", `text`, @correct_answer_position),
	@length := @comma_position - @correct_answer_position,
	SUBSTRING(`text`,  @correct_answer_position, @length) AS 'correct_answer'
FROM `test`.`test`
... или в одну строку:SELECT 
    SUBSTRING(`text`,  LOCATE("'correct'", `text`), LOCATE(",", `text`, LOCATE("'correct'", `text`)) - LOCATE("'correct'", `text`)) 
    AS 'correct_answer' 
FROM `test`.`test`