Как запустить проект который написан на QT windows в Linux?
Ставьте Linux с пакетами qt, включая qt-creator и ничего не придется качать через vpn. И да, собрать программу под Linux на Windows будет затруднительно.
в подавляющем большинстве случаев приложения windows, написанные с помощью opensource библиотек и слабо завязанные на майкрософтовские (т.е. только то что идет в поставке с ос, максимум нужна правильная версия visual studio redistributable), могут работать в windows с помощью wine, либо напрямую готовый бинарник либо собираться с ее помощью

К тому же фреймворк qt - кроссплатформенный, должен собираться везде, и дальше вопрос больше в том какие у тебя проблемы с этим возникают.

p.s. при использовании linux, а точнее адекватные дистрибутивы типа debian/ubuntu/... с поддерживаемыми репозитариями пакетов, уже содержат в своей поставке несколько версий qt и всего ее окружения, не понятно что у тебя там от куда не скачивается