Как отработать этот массив в цикле Bash?
Можно решить через ${VAR#*@} и ${VAR%@*}, либо ${VAR##*@} и ${VAR%%@*}
первый попавшийся символ @, либо по последний.#!/bin/bash

AAA="First_word@First_line\nSecond_word@Second_line\nThird_word@Third_line"

echo -e "${AAA}" | while read line; do
    if [ "$1" == "${line%@*}" ]; then
        echo "Second part of the line: ${line#*@}"
    fi
done
Можно и sed[guest@localhost ~]$ text="word1@line1\nword2@line2\nword3@line3\nword2@line4"
[guest@localhost ~]$ v="word2"
[guest@localhost ~]$ 
[guest@localhost ~]$ echo -e "$text"
word1@line1
word2@line2
word3@line3
word2@line4
[guest@localhost ~]$ echo -e "$text" | sed -n '/^'$v'@/ s/^.*@//p'
line2
line4
[guest@localhost ~]$