Бесплатные сервисы баз данных?
У heroku.com была возможность поднять БД, я точно поднимал PostgreSQL для себя.
UPD. https://data.heroku.com
Если для ваших тестов вам подойдёт mongoDB, то можно воспользоваться https://mlab.com/ . Сам как-то использовал для этих же целей.