В чем разница между ps axu и ps cax?
Вообще-то, это лучше делать через systemd

PS: Недолгое гугление показывает, что выяснить, работает ли процесс с данным pid можно командой 
ps -p $bot_pid -o comm=

0 - работает (возвращает команду), 1 - такого процесса нет
man ps
неужели так сложно поискать что делает опция c и u?
одна выводит команду целиком, другая user-oriented

Но вообще если у вас уже есть PID файл, то лучше 
ps -p $(cat /home/vladimir/bot_dir/pid.txt)
if [ $? == 0 ]; then echo "Bot is working"
elif [ $? == 1 ]; then echo "Bot is dead"
fi