Как изменить id элементов на странице?
Ну, можно добавить вызов функцииfunction sortItemIds() {
   $('[class^=general_block_]').each(function (ind) {
      ind += 1;
      $(this).attr('class', 'general_block_' + ind).attr('id', ind);
      $(this).next('[class^=close-button_]').attr('class', 'close-button_' + ind);
   });
}
Но учитывайте, id элементов не должен начинаться с цифры, там тоже правила именования. Сделайте хотя бы gb1, gb2 и.т.д.
UPD: как правильно заметил Даниил Попов в each первый аргумент это индекс. 
Ваш код кстати не рабочий, т.к. вы id берете с close-button, а его там нет.
Вот готовый пример https://jsfiddle.net/0op64a5m/
$("body").on("click",  ".close-button", function () {
  const index = $(this).attr('id');
  $('.general_block_' + index).remove();
  $('.close-button').each(function( index ) {
    $(this).parent('div').attr('id', index);
  });
}
Но лучше так не завязывать хардкорно :) можно сделать иначе:<div class="general_block" id="1"><div align="center"></div><div class="close-button"></div></div>
<div class="general_block" id="2"><div align="center"></div><div class="close-button"></div></div>
<div class="general_block" id="3"><div align="center"></div><div class="close-button"></div></div>
<div class="general_block" id="4"><div align="center"></div><div class="close-button"></div></div>$("body").on("click",  ".close-button", function () {
  var closeButton = $(this);
  var generalBlock = closeButton.parents('.general_block');
  var alignedElement = generalBlock.find('.center');

  // тут уже можете делать, что хотите..
  generalBlock.remove();
}