Почему Сайт с www и без www работают как два разных сайта?
1. это вообще два разных домена связи между ними нет никакой.
ВВВ -раньше обозначали что это веб страницы, но сейчас по факту, знаете ли не только вебом жив интернет.
Но сейчас в этом нет необходимости поскольку как правило это и есть веб сайт.
так что это атавизм притом неудачный.
НО с точки зрения домена это обычный домен 3 уровня не больше ни меньше.
2. Для  того чтоб люди не промахивались ( да есть те кто пишут ввв в название сайта сами).
в веб сервере делаюется алиас К примеру
host = site.ru www.site.ru - ( реальная запись другая и варьируется от веб сервера)
но смысл такой что они по факту просто через пробел.
Соответственно обращение к сайту идет и так и так.
А вот к примеру редиректы у вас нас айте  уже могут работать наодном но не работать на другом.
Прямые ссылки в урлах, например многие товарищии делают вот так ="https://site.ru/logo.png"
Соответственно тут  уже будет засада.
Посмотри в инспекторе что в ошибках.
Проблема решена !
В моем случае в настройках админ панели WP нужно было указать адрес сайта без WWW  ,и обязательно почистить кеш на сайте и в браузере .
Большое всем спасибо ,что не прошли мимо и помогли решить проблему )