Как реализовать рассылку писем на php?
Как вариант - шлите php скриптом через smtp. 
Почту для домена привязать в яндекс (гугл), шаблоны рассылок составить по правилам, добавить возможность отписки от базы и пожалуйста. Быстро, просто и надёжно.
CRON задачи. Запускаются с указанной периодичностью, вот и запускайте их раз в неделю с интервалом в пару минут.