Можно ли перенести сайт с сохранением данных с Битрикс на фреймворк?
"из-за ограниченного бюджета" сразу откажитесь от использования 1C:Битрикс
Все зависит от исполнения переноса.
Вам нужно поменять формулировку с вопроса на утверждение и на другой ресурс, типа Фрилансим.
Вопрос только цены.