Как мне присваивать определенный класс в зависимости от страницы?
В первом комментарии всё верно и лаконично сказали — через $rootScope — я же просто разжую.
Модуль ngRoute это просто обычный конфиг — вы в этот конфиг можете пихать всё, что вам угодно. Задайте каждой страничке уникальную айдишку или название категории странички:app.config(['$routeProvider',
  function($routeProvider) {
    $routeProvider.
      when('/main', {
        id: 'main',
        title: 'Главная',
        category: 'rootPage',
        templateUrl: 'mainPage.html',
        controller: 'MainPage',
      }).
      when('/powerSky', {
        id: 'powersky',
        title: 'Всем повер-скай, посоны',
        category: 'contentPage',
        templateUrl: 'template/powerSky.html',
        controller: 'PowerSky'
      }).      
      otherwise({
        redirectTo: '/main'
      });
  }]);
Теперь, при каждой смене странички, в основном контроллере (это который общий для всех страниц сайта) пихайте в $rootScope конфиг текущей странички (текущего роута) в параметр page:app.controller('MainController', function($rootScope) {
  $rootScope.$on('$routeChangeSuccess', function(e, current, previous) {
    var page = current.$$route;

    // присваиваем глобально
    $rootScope.page = page;
  });
});
Теперь в HTML-шаблоне вставляйте класс для BODY:<!DOCTYPE html>
<html ng-app="app">
    <head>
        <title>{{page.title}}</title>
    </head>
    <body ng-class="page.id" ng-controller="MainController">
        <main ng-view></main>
    </body>
</html>
Или, если у вас странички разбиты на некие общие категории, то не айдишку вставляем, а название категории (тогда меньше всяких классов нужно будет писать в CSS):<!DOCTYPE html>
<html ng-app="app">
    <head>
        <title>{{page.title}}</title>
    </head>
    <body ng-class="page.category" ng-controller="MainController">
        <main ng-view></main>
    </body>
</html>
Ну и в стилях будет:body {
    &.rootPage {
        background-color: #fff;
    }

    &.contentPage {
        background-color: #ddd;
    }
}
Через $rootScope?