Как заставить работать Contact Form 7 и Easy FancyBox?
Пожалуй, я таки напишу подробно.
1. Добавить в wp-config.php (если еще не добавлено):define('WP_DEBUG', 			true);
define('WP_DEBUG_LOG', 		true);
define('WP_DEBUG_DISPLAY', 	true);
define('SCRIPT_DEBUG', 		true);
define('SAVEQUERIES', 		true);
2. Установить плагин Query Monitor
3. Октрыть в браузере консоль
4. Загрузить страницу с формой, открыть попап, засабмитить форму
5. Внимательно мониторить консоль браузера на предмет ошибок, вывод плагина Query Monitor в верхней админпанели сайта (ошибки - красное, ворнинги и нотисы - коричневое), а также смотреть debug.log в папке wp-content
И только после этого задавать вопрос, если он еще будет актуален.
Потому что в связке CSS, JS, PHP нескольких плагинов, да еще и коммуникация аяксом между js и php очень много чего может пойти не так. И без какой-либо отладочной информации решить проблему, и тем более решить ее удаленно - крайне сложно.
Сделал все, как Вы сказали. 
Выводится такая ошибка - prntscr.com/8ghjty
Uncaught SyntaxError: Unexpected token ILLEGAL
(anonymous function) @ scripts.js?ver=4.2.2:120
e.extend.each @ jquery.min.js?ver=4.3:2
$.wpcf7AjaxSuccess @ scripts.js?ver=4.2.2:120
e.fn.ajaxSubmit.t.success @ jquery.form.min.js?ver=3.51.0-2014.06.20:11
f.Callbacks.o @ jquery.min.js?ver=4.3:2
f.Callbacks.p.fireWith @ jquery.min.js?ver=4.3:2
w @ jquery.min.js?ver=4.3:4
f.support.ajax.f.ajaxTransport.c.send.d @ jquery.min.js?ver=4.3:4
Проблема, как я понимаю, в первой строке?