Как спарсить текст на странице сгенерированный js с помощью JS или PHP?
https://www.deepl.com/docs-api 
https://www.deepl.com/docs-api/translating-text/re...
не мучайся, для таких вещей есть апи
А их request (тот что во вкладке Network) - напрямую дернуть не пробовали ? 
Где то стоит защита от этого, гдето нет ... попробуйте