Способен ли Webpack при сборке менять пути API?
Вы можете добавлять пути как параметры при билде.
В конфиге:const API = process.env.api;

module.exports = {
    ...,
    plugins: [
        ...,
        new webpack.DefinePlugin({
            API_URL: JSON.stringify(API)
        })
    ]
}
И глобальная переменная API_URL будет доступна в коде вашего проекта.
Условный конфиг для сборки в вашем package.json:{
  "scripts": {
    "build": "webpack --env.api=https://api.url/v1"
  }
}
Если надо на лету добавить:npm run build -- --env.api=https://api.url/v2
ИМХО правильно сделать так - файл, содержащий пути, добавить в .gitignore, потом на продакшене/тестовом/своем сервере делать сборку индивидуально. Ну, или не в .gitignore, а в ветку "мастер", и не переносить в эту ветку изменения этого файла при слиянии (это несколько более заморочно). Делать сборку у себя и копировать на прод - неправильно.