Почему после добавления нового блока слетают события со всех остальных?
После этого и срабатывает этот блок success. где отрисовывается новый блок.
document.getElementById('client-personal-note-container').innerHTML += appendNotemakrup;
Нет, это НЕ добавление нового элемента.
Это чтение разметки КАК СТРОКИ, добавление к этой СТРОКЕ новой СТРОКИ и потом преобразование под капотом в DOM элементы. Понимаете?

То есть все элементы что у Вас были - умирают и заменяются НОВЫМИ. Без добавленных на них ранее обработчиков.

Как исправить?
Основных пути 2:
1) Научиться именно добавлять элементы https://learn.javascript.ru/modifying-document
2) Освоить делигирование событий https://learn.javascript.ru/event-delegation
а ни чо что ID может быть только один? ты на новый ID вешаешь слушатель, значит со старого слушатель слетит.... это же очевидно...