Как создать глобальный объект для всех элементов проекта?
Объявление вектора tasks должно присутствовать в соответствующем cpp файле (технически, в любой другой единице трансляции) помимо extern в h файле на скриншоте. А вообще говоря, есть паттерн "синглтон", он дя этой ситуации куда более феншуен
Вообще, вам стоит почитать про синглтоны в C++, но если лень, самый безопасный вариант - синглтон Майерса:#include <string>

// Синглтон Майерса. Переменная str будет создана один раз при первом вызове getPrefix, начиная с c++11 это ещё и потокобезопастно.
const std::string& getPrefix(){ 
    static std::string str  {"pref::"}; // Инициализация должна быть в конструкторе. 
    return str;
}

// Его использование.
std::string addPrefix(const std::string& str){
    return getPrefix() + str; 
}