Как в php програмно открыть страницу и нажать на кнопку?
Открыть "страницу админки плагина market".
Нажать F12 и перейти на вкладку "Сеть".
Вручную заполнить форму и нажать заветную кнопку.
Проанализировать, POST-запрос с какими полями, заголовками и куками был отправлен на сайт.
Повторить такой запрос с нужными данными из CURL-а.

Ну, а если это все происходит на вашем же сайте - лучше посмотреть, как этот загадочный плагин пишет данные в БД и писать их аналогично - самостоятельно.
1. Сделать js функцию которая по id запускает кнопку, кликает Сохранить, обернуть if post 'save', дальше со своей странице Аяксом отправлять post 'save'.
2. Найти строку отправки на сохранение и продублировать на необходимой странице не заходя в админку.