Как решить проблему с назначением свойств css через JS?
Тут вообще js не нужен, можно обойтись css.refresher{
    visibility:hidden;
}

.our_path:hover .refresher{
    visibility:visible;
}jsfiddle.net/podvzbzdnul/wNKC3
$(document).ready(function(){
	$(".our_path").on('mouseenter', function(){
		$(".refresher").css({display: "inline-block", opacity: 1});
	});
	$(".our_path").on('mouseleave', function(){
	        $(".refresher").css("display", "none");
	});
});
Так должно помочь. Основные изменения:
* `mouseover/mouseout заменил на mouseenter/mouseleave - они срабатывают однократно при вхождении/выхождении курсора в область элемента
* если вы хотите установить одновременно несколько свойств CSS, нужно их передавать в виде объекта, а не набора строк.