На каких стадиях находится разработка ядерного реактивного двигателя?
Ядерный ракетный двигатель разработан уже достаточно давно. Существуют два рабочих прототипа: американский двигатель NERVA, и советский РД-0410. Безусловно, эти двигатели смогут сократить время полета до Марса, но даже с ними полет займет больше чем один месяц. Почему эти двигатели не используются? Скорее всего, потому что человечество практически не выбирается за пределы орбиты Земли, а использовать ядерный двигатель для вывода космического корабля на орбиту вредно для экологии из за его радиоактивного выхлопа. Возможно если бы мы регулярно летали хотя бы до Луны, то на ядерные двигатели появился бы спрос, а налаживать серийное производство таких двигателей ради одной планируемой в отдаленном будущем миссии никто не станет.
Была гонка держав с начала 60-х. В СССР финансирование было скромнее, так как правительство рассматривало эти технологии только в плане политического использования для давления на США. Но испытания проводились, и очень даже успешно. Говорят Курчатов в итоге был против, поскольку массовое применение таких двигателей означало бы загрязнение атмосферы. Технической проблемой был поиск материалов и конструкций, способных выдержать перепад температур в ~3000 градусов. Но и наши КБ и за океаном нашли решения, правда тут началась перестройка, и всё это оказалось ненужным. 
Опасность представляет авария корабля в атмосфере Земли, если он оснащён подобным двигателем. Возможны радиоактивные осадки, да и остаточная радиация долго может давать знать.
Насчёт скорости перелёта, думаю более важна полезная нагрузка, а чем больше её, тем меньше шансов, что полёт будет "молниеносным". Неплохая статья по ЯРД тут.