Почему не выполняется условие в JavaScript?
Так напишите  console.log(result == "username-error");,   и увидите результат этой проверки. И лучше делать    console.dir(result);,    тогда будет видна настоящая структура result, может там вообще массив сидит...
Не понимаю, что сложного в том, чтобы зайти в документацию. И увидеть там
dataType
Type: String
The type of data expected from the server. Default: Intelligent Guess (xml, json, script, text, html).

То есть мало того что у нас древнее и никому не нужное жквери, так оно ещё и играет в угадайку. 

Вместо которой надо явно написать, в каком формате мы данные ожидаем. 

Плюс из пхп лучше не плеваться непонятными словами, а отправлять в нормальном формате, например json.

Ну и PHP код - это конечно, ужас.