Как получить данные из local storage браузера?
C# - это серверный язык, он работает на бэкенде и генерирует страницу и прочее. local storage - это локальное хранилище данных в браузере, а в последнем работает JS - в данном случае на фронтенде. Если серверу надо получить данные из хранилища, то клиентский код должен забрать их и передать серверу через форму/ajax и прочее.
"А если у меня клиентское приложение просто. Запросы через нттр рекуэтст"
В каком смысле - клиентское? Причем здесь HTTP-запросы, какое они имеют отношение к тому сайту?
У вас просто отдельное десктопное приложение, и нужно записать/считать из localstorage браузера, который установлен на том же ПК?
Тогда так и надо ставить вопрос.
Ну, как-то же на диске эти данные хранятся.
Значит, HEX-редактор... Гугель... Изучение исходников браузера... И т.д.
Я однажды копал какие-то подобные данные браузеров, для любопытства. В принципе, осилил бы. Но практического применения я не вижу, поэтому делать не стал.