На каком языке лучше всего сделать бэкэнд для API?
Пишите на том, который лучше знаете. В высоких нагрузках значение имеет не язык, а архитектура.
 PHP (наиболее простой для нас), 
вот на нем и пишите.

API к базе данных волонтерского проекта по пристройству животных из приютов.
сколько запросов в секунду вы ожидаете первые два года жизни проекта?
мне кажется с такой темой вы до высоконагруженности дойдете лет через 10, если вообще дойдете. К тому моменту систему сто раз переделаете, на чем бы вы ее не писали. 
вам не нужна супер архитектура, просто делайте "не говно" - этого будет более чем достаточно.