Как обьяснить пользователю, что его сайт морально устарел?
Здравствуйте, я думаю даже у такой консервативной дамы как ваш клиент должны быть авторитеты и приоритеты, на кого она хочет произвести впечатление, я не буду гадать как имя данной особы на вашем сайте их дофига и вам они лучше знакомы, 
скажу суть в вашем Ханты-Мансийском округе должны быть определенные (бонусы, грамоты, награды) для сотрудников МБДОУ это ваш сад, вероятно даже ваша заведущая стремиться каким то образом выделиться перед администрацией, подложите под ее стремление обновленный дизайн сайта + мотивация какие проблемы ей поможет решить и как выделит на общем фоне ее личность и сам детский сад новый дизайн, 
например самый динамичный детсад не смотря на трудности идущий в ногу с технологиями, добавьте функционал новому дизайну, какой нибудь онлайн сервис для родителей, главное чтобы в глазах вашего оппонента выглядел как офигенная фишка которая принесет пользу именно ему пусть даже не материальную,
 а моральную (вот бля у меня это круче)
Я уверен, что не надо никого не в чём переубеждать. Лучше попробуйте воспитать у людей вкус косвенным образом.
Как бы между прочим, спросите их о впечатлениях о том или ином сайте (не в ключе "вот как хорошо", а в ключе "как вы думаете?").
Таким путём - может быть что-то и вырастет. По крайней мере глазки у заказчика могут загореться.