Как поменять значение атрибута «а» при клике?
// Записываем объекты в переменные
var $listPoints = $('.city_select_list').find('a');
var $search     = $('.search');

$listPoints.on('click', function() {
    // Сохраняем выбранную дату в переменную, возможно нужны будут манипуляции
    var newData = $(this).data('big');
    // Добавляем title="Киров"
    $search
        .find('a')
        .attr('title', newData);
     // Добавляем для наглядности в документ 
     // Можно удалить
    $search.find('a').html(newData)
});
jsfiddle.net/9p8kwwe5/2
Попробуйте так