Как здесь реализована смена языка?
Client-side написан с помощью фреймворка AngularJS. Вариантов реализации много и все они довольно просты - two way data-binding решает. 
Самый простой способ - jsfiddle.net/zhak55/319j3rdt/1
Здесь видно только фронтэнд кнопочки на ajax.
Как оно реализовано в самом сайте, вряд ли узнаем. С чего вы взяли, что это самое простое решение? Только потому, что оно быстро реагирует? Это плюс ajax, а не решения локализации.
Вопрос в том где хранятся локали - в sql/nosql базе, в конфигурационном файле, прямо в ajax - неизвестно.