Как удалить элемент массива не зная его индекс?
Если я всё верно понял, то:
remove() {
  this.arr = this.arr.filter( button => button !== this.active)
}

а ещё круглые скобки тут вам не нужны у remove(). То есть просто remove
<button @click="remove()">Remove active button</button>
Как это не знаете его индекс?

v-for="(button, index) in arr" и сразу появился индекс

@click="remove(index)"

И не нужно придумывать странных решений.
Но если нужно не понятные решения, то на основе active вы можете сделать фильтр массива по свойству, находящимся в active

computed: {
  newArray () {
    return this.arr.filter(item => item.id === this.active.id)
  }
}
Ну или какое-то другое свойство, которое может лежать в active. Суть вы поняли