C#. Как минимизировать функцию, в которой присутствуют суммы?
Судя по виду функции ваша задача распадается на три более простых.
Т. к. в функции есть три блока сумм и в каждом блоке сумм суммируемые значения идут в четной степени (степень = 2), то значение каждой из сумм строго положительно.
А раз так то минимизируйте каждую из сумм по отдельности.
Теперь если взять каждую из сумм по отдельности, видно что для минимизации значения коэффициентов С не важны, минимизировать нужно результат выражения в скобках.
Если взять выражение в скобках, то для него минимум будет для случая, когда
a(i)=x(i),  b(j)=x(j), d(k)=x(k), т.е. для тех  a(i),  b(j), d(k), которые попадают в диапазон  x min<=x<=x max, значение 
скобки будет минимальным и равным нулю.
По остальным значениям, функция вида (а/х)^2 не имеет экстремумов, это значит, что она принимает максимальное и минимальное значение на границе диапазона x min<=x<=x max, т.е. либо для х =x min, либо для 
х = x max.
Проанализируйте сначала вручную, затем уже забейте функции в программу. Например,
i,j,k,c1,c2,c3,a,b,d=1
Тогда F(x)->min, |x=1
Обратите внимание на сумму и на квадраты, а так же на функцию y=1/x.