Как сбросить фильтр?
Теряете контекст в обработчике click (Home.vue), так что search там у вас - вовсе не свойство компонента. Сделайте функцию стрелочной (это чтобы вот прям сейчас заработало, а реально - весь этот шлак в mounted надо переписывать, откройте документацию vue, и разберитесь, как назначать обработчики событий, добавлять/удалять классы и т.д.).
Первое, и самое важное - не привязывайтесь к событиям DOM! Используйте обработчики событий Vue. Зачем с реактивными фреймворками типа Vue, React, Angular работать в стиле jQuery?
Уберите все из mounted(), кроме вызова dispatch.
Сделайте нормальную обработку событий.
В противном случае вся реактивность убивается.
И классы тоже надо выводить через computed свойства (на крайний случай через data), а не вставлять императивным методом.<template>
   ...
   <button id="s" class="toggle-search" v-on:click="clear"></button>
   ...
</template>


export default {
  // ...,
  methods: {
    clear() {
      this.search = '';
    },
  },
  // ...,
};
Еще в store надо завести флаг статуса (не готов, готов, загружается, загружено...), чтобы соответствующим образом отображать всякие лоадеры, спиннеры и пр.. Думайте о пользователе сразу!
И советую подробно ознакомиться с документацией по Vue - она на понятном русском языке!