Почему данные не передаются из формы, например $_POST['name']?
Вы пытаетесь сериализовать this но в текущем контексте this это кнопка, по которой происходит клик. Сериализовывать нужно поля из формы - var form_data = $('#feedback').serialize();
Вот рабочий вариант$('#form_sendMail').on("click", function () {
	var name = $('#form_name').val();
	var email = $('#form_email').val();
	var number = $('#form_number').val();
	var message = $('#form_message').val();

	$.ajax({
		url: 'ajax/mail.php',
		type: 'POST',
		cache: false,
		data: { 'name': name, 'email': email, 'number': number, 'message': message },
		dataType: 'html',
                beforeSend: function() {
			$('#form_sendMail').prop("disabled", true);
		},
		success: function(data) {
			if (!data)
				alert("При отправке возникли ошибки, попробуйте позже.");
			else
				$('#mainForm').trigger("reset");
			$('#form_sendMail').prop("disabled", false);
		}
	})
})