Как выполнить код после завершения действия?
Читаем документацию внимательнее:

Первое, что нужно знать — store.dispatch может обрабатывать Promise, возвращаемый обработчиком действия, и также возвращает Promise
Возвращаете из своего действия промис - then - вызываете что там вам надо.
0xD34F прав на все 100%.
А уж если разжёвывать, то в вашем случае это можно или так:this.$store.dispatch('administration/setEditNewGroup', this.formGroupData).then(() => {
// Здесь вставить код, что всё ок
}).catch((error) => {
// Обработка ошибки
})
Или через асинки:async handleSaveGroup(){
try {
      await this.$store.dispatch('administration/setEditNewGroup', this.formGroupData);
// Здесь вставить код, что всё ок
}
catch (error) {
// Обработка ошибки
}
    }