Какие «велосипеды» написать на JavaScript для освоения языка?
Лучше сразу переходите на nodejs мой вам совет.
Напишите любую игрушку, пусть даже крестики нолики, даже в них есть практически все что вам понадобится в реальной разработке. 
И до кучи последуйте совету @lxfr и напишите ее по клиент - серверной технологии, используя ajax на стороне клиента и противника на стороне сервера, так вы сразу большой стек технологий использующих javascript  покроете.