Как скопировать в несколько потоков?
Написал скрипт который по отдельности сжимал папки и копировал на удалённый сервер там распаковывал
Так сжимайте сразу на удаленный сервер

tar cvfz - mydirectory|ssh user@remote_server "cd target_directory;tar xvfz -"

Или даже проще будет запустить несколько экземпляров rsync в фоне через xargs или parallel
Не совсем понимаю чем мешает недостаток места на источнике.
Что делать - зависит от структуры каталогов и распределения данных в них, например сделать список каталогов 2го или 3его или Нного уровня и на каждый каталог запустить свой rsync.