Как следить за статусом контейнеров?
Если без внешних инструментов с бесплатным триалом и деньжищами за использование,
можно через Docker API получать живой стрим событий.  Отфильтровать в нём только интересующие, например, container=<string> когда имя интересующего контейнера известно и постоянно.

Но вообще присмотритесь подробнее к опции restart – пусть контейнер перезапускается автоматом после падения. И может, при запуске как-то куда-то отправляет «Доброе утро, админ!»
https://www.site24x7.com/ умеет и мониторить URLs, есть и агент, которым можно мониторить процессы и контейнеры.