Можно ли обойтись без предохранителя в апарратуре?
Предохранитель сам по себе не сгорает(по крайней мере в 99% случаев). Сгорает он тогда, когда некая делать "пробита" или КЗ на плате. В вашем же случае КЗ. Так вот, нужно было подпаять к выводам предохранителя обычную лампу накаливания(около 60Вт). Если она не загорится(или на секунду моргнет) - значит все ок(по крайней мере нет КЗ). Если лампа горит - значит на плате КЗ. Без лампы или предохранителя крайне не рекомендую включать электронику в сеть. Ещё лучше, если есть мультиметр с прозвонкой...
Обойтись можно, но...

Давай обратимся к столь ненавистной мне физике.

Сила тока - это количество электричества (заряженных частиц - носителей заряда) прошедшая через сечение проводника. Чем больше там носителей и чем меньше сечение, тем выше тепловое действие тока, обусловленное столкновениями носителей с узлами кристаллической решетки проводника и в какой-то момент оно становится настолько высоким, что проводник плавится.

Предохранитель - это тонкий проводок, рассчитанный на плавление при силе тока выше номинала, обозначенного на нем. То есть, если ток в цепи, в которую он включен, превышает номинал - он просто плавится ("перегорает") иногда выгорая в буквальном смысле - при резком броске, защищая таким образом от выгорания элементы схемы. Включение устройства без предохранителя может привести к тому, что оно загорится в совершенно буквальном смысле - с огнем и дымом.