La intuición detrás de la homología es que nos permite identificar agujeros en una variedad topológica, y clasificarlas en términos de cuántos agujeros tienen. La homología es un concepto fundamental en la topología algebraica y en la geometría algebraica.

Los complejos de cadenas proporcionan una forma natural de definir la homología. Un complejo de cadenas es una secuencia de espacios vectoriales (o módulos) y morfismos lineales (o homomorfismos) entre ellos. La homología se define como el cociente de dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial, y se construye a partir de los grupos de cadenas.

Los grupos de cadenas son los grupos que se forman a partir de las k-cadenas en una variedad topológica, que son simplemente combinaciones lineales formales de k-símplices, es decir, objetos geométricos de k dimensiones. La homología se define como el cociente del grupo de k-ciclos (las k-cadenas que son el borde de alguna (k+1)-cadena) y el grupo de k-bordes (las k-cadenas que son el borde de alguna k+1-cadena). La homología es un invariante topológico, lo que significa que es independiente de la forma en que se realiza la triangulación de una variedad, y es muy útil para la clasificación de variedades.

Hay otras formas de construir invariantes topológicos además de la homología, como la cohomología y la teoría de K. Cada una de estas teorías tiene su propia intuición y aplicación, y se utilizan para diferentes propósitos en la geometría y la topología algebraica.
สัญชาตญาณเบื้องหลังความคล้ายคลึงกันคือช่วยให้เราสามารถระบุรูในทอพอโลยีต่างๆ และจำแนกพวกมันตามจำนวนรูที่พวกมันมี ความคล้ายคลึงกันเป็นแนวคิดพื้นฐานในโทโพโลยีพีชคณิตและเรขาคณิตพีชคณิต คอมเพล็กซ์โซ่เป็นวิธีธรรมชาติในการนิยามความคล้ายคลึงกัน คอมเพล็กซ์ลูกโซ่คือลำดับของปริภูมิเวกเตอร์ (หรือโมดูล) และมอร์ฟิซึ่มเชิงเส้น (หรือโฮโมมอร์ฟิซึม) ระหว่างพวกมัน ความคล้ายคลึงกันถูกกำหนดให้เป็นผลหารของสเปซย่อยเวกเตอร์สองตัวของปริภูมิเวกเตอร์ และถูกสร้างขึ้นจากกลุ่มของสายโซ่ กลุ่มลูกโซ่คือกลุ่มที่เกิดจาก k-สตริงบนท่อร่วมทอพอโลยี ซึ่งเป็นเพียงผลรวมเชิงเส้นอย่างเป็นทางการของ k-simlices กล่าวคือ วัตถุเรขาคณิต k-มิติ ความคล้ายคลึงกันถูกกำหนดให้เป็นผลหารของกลุ่มของ k-cycles (k-strings ที่เป็นขอบของบางเส้น (k+1)-chain) และกลุ่มของ k-edges (k-strings ที่เป็นขอบของเส้นบางเส้นบางเส้น) k+1-สตริง) ความคล้ายคลึงกันคือค่าคงที่ทอพอโลยี ซึ่งหมายความว่ามันไม่ขึ้นอยู่กับวิธีดำเนินการสามเหลี่ยมของท่อร่วม และมีประโยชน์มากสำหรับการจำแนกประเภทท่อร่วม มีวิธีอื่นๆ ในการสร้างค่าคงที่ทอพอโลยีนอกเหนือจากความคล้ายคลึงกัน เช่น โคโฮโมวิทยา และทฤษฎี K แต่ละทฤษฎีเหล่านี้มีสัญชาตญาณและการประยุกต์เป็นของตัวเอง
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence