As of right now, there is no known simple formula that generates prime numbers. I am not aware of any mathematical proofs regarding whether such a formula must exist or cannot exist either. However, there are algorithms that can determine whether a number is prime. For example, one can calculate the modulo of all smaller prime numbers up to the square root of the number to be tested; if the modulo with any of those smaller numbers is equal to zero, then the number to be tested is a composite number, otherwise it is a prime number. Other, more complex algorithms exist to for example calculate Mersenne primes, which are primes that precede a power of two.

As for whether the distribution of primes is "truly random": this depends on which definition of probability you are using. Let us consider the frequentist definition of probability first. It is defined as the fraction of random experiments that satisfy a condition if an infinite number of experiments were to be conducted. Using this definition the distribution of primes is not random since a number being prime is a fixed property that does not change upon repetition. Let us now consider Bayesian probability: it is defined as the subjective confidence in a hypothesis being true. For a number whose primality has not yet been tested the primality can then be assumed to be random in the sense that while the number definitely is either prime or composite, we cannot yet say with certainty which is the case. The Bayesian probability of an unknown number being prime is proportional to the number of its digit, i.e. its logarithm. I am not aware of any pattern that emerges from the distribution of prime numbers that could be distinguished from randomness.
ณ ขณะนี้ ยังไม่มีสูตรง่ายๆ ที่สร้างจำนวนเฉพาะได้ ฉันไม่ทราบว่ามีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ว่าสูตรดังกล่าวต้องมีอยู่หรือไม่มีอยู่จริง อย่างไรก็ตาม มีอัลกอริธึมที่สามารถระบุได้ว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ตัวอย่างเช่น เราสามารถคำนวณแบบโมดูโลของจำนวนเฉพาะที่มีขนาดเล็กทั้งหมดจนถึงรากที่สองของจำนวนที่จะทดสอบ ถ้าโมดูโลที่มีจำนวนน้อยกว่านั้นเท่ากับศูนย์ จำนวนที่จะทดสอบจะเป็นจำนวนประกอบ ไม่เช่นนั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะ อัลกอริธึมอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่ามีอยู่ เช่น คำนวณจำนวนเฉพาะของ Mersenne ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะที่นำหน้ากำลังสอง สำหรับการแจกแจงจำนวนเฉพาะนั้นเป็น "แบบสุ่มอย่างแท้จริง" หรือไม่: ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของความน่าจะเป็นที่คุณใช้ ให้เราพิจารณาคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบบ่อยครั้งก่อน ถูกกำหนดให้เป็นเศษส่วนของการทดลองสุ่มที่เป็นไปตามเงื่อนไขหากต้องทำการทดลองจำนวนอนันต์ การใช้คำจำกัดความนี้ทำให้การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะไม่สุ่มเนื่องจากจำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะเป็นคุณสมบัติคงที่ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการทำซ้ำ ตอนนี้ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นแบบเบย์: มันถูกกำหนดให้เป็นความเชื่อมั่นเชิงอัตวิสัยในสมมติฐานที่เป็นความจริง สำหรับจำนวนที่ยังไม่ได้ทดสอบความเป็นอันดับหนึ่ง ความเป็นอันดับหนึ่งสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นแบบสุ่มในแง่ที่ว่าแม้ว่าจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบก็ตาม เรายังไม่สามารถระบุได้อย่างแน่นอนว่าเป็นกรณีใด ความน่าจะเป็นแบบเบย์ที่จำนวนที่ไม่รู้จักเป็นจำนวนเฉพาะนั้นเป็นสัดส่วนกับจำนวนหลัก นั่นคือลอการิทึม ฉันไม่ทราบถึงรูปแบบใดๆ ที่เกิดจากการแจกแจงของจำนวนเฉพาะที่อาจแยกความแตกต่างจากการสุ่มได้
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence