Sure! The Modularity Theorem, which was proved by mathematicians Andrew Wiles and Richard Taylor, showed that every elliptic curve over the rational numbers is "modular" in a certain technical sense. This meant that elliptic curves could be described using modular forms, which are complex functions that can be thought of as symmetrical shapes.

This result was significant because it allowed Wiles to show that if Fermat's Last Theorem were false, then it would imply the existence of a specific type of elliptic curve that is not modular. However, the Modularity Theorem states that all elliptic curves are modular, so if Fermat's Last Theorem were false, it would contradict the Modularity Theorem.

By showing that Fermat's Last Theorem could not be false without violating the Modularity Theorem, Wiles was able to narrow down the possible ways to prove Fermat's Last Theorem to just a few specific approaches. He then spent several years developing a proof based on these approaches, which ultimately led to the proof of Fermat's Last Theorem.

In other words, the Modularity Theorem provided a crucial piece of the puzzle in the proof of Fermat's Last Theorem, by showing that elliptic curves are modular and helping Wiles to eliminate certain approaches to the problem.
แน่นอน! ทฤษฎีบทโมดูลาร์ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ แอนดรูว์ ไวล์ส และริชาร์ด เทย์เลอร์ แสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งวงรีทุกเส้นที่อยู่เหนือจำนวนตรรกยะนั้นเป็น "โมดูลาร์" ในความหมายทางเทคนิคบางประการ ซึ่งหมายความว่าเส้นโค้งวงรีสามารถอธิบายได้โดยใช้รูปแบบโมดูลาร์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งถือได้ว่าเป็นรูปร่างสมมาตร ผลลัพธ์นี้มีนัยสำคัญเนื่องจากทำให้ไวล์สสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นเท็จ ก็จะบอกเป็นนัยถึงการมีอยู่ของเส้นโค้งวงรีประเภทใดประเภทหนึ่งที่ไม่ได้เป็นโมดูลาร์ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทโมดูลาร์ระบุว่าเส้นโค้งวงรีทั้งหมดเป็นแบบแยกส่วน ดังนั้นหากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นเท็จ ก็จะขัดแย้งกับทฤษฎีบทโมดูลาร์ ด้วยการแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่สามารถเป็นเท็จได้โดยไม่ละเมิดทฤษฎีบทโมดูลาร์ Wiles สามารถจำกัดวิธีที่เป็นไปได้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ให้เหลือเพียงแนวทางเฉพาะบางประการ จากนั้นเขาใช้เวลาหลายปีในการพัฒนาข้อพิสูจน์ตามแนวทางเหล่านี้ ซึ่งท้ายที่สุดก็นำไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทโมดูลาร์ถือเป็นชิ้นส่วนสำคัญของปริศนาในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ โดยแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งรูปวงรีเป็นแบบโมดูลาร์และช่วยให้ไวล์สกำจัดแนวทางบางอย่างในการแก้ปัญหา
spam fails_task lang_mismatch pii not_appropriate hate_speech sexual_content quality toxicity humor helpfulness creativity violence