设 $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} ， a_1=1$ ，
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$,
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n}\left(a_n-\sqrt{2 n}\right)}{\ln n}$
user
设 $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} ， a_1=1$ ，
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$,
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n}\left(a_n-\sqrt{2 n}\right)}{\ln n}$
assistant
首先， $$\\{a_n\\}$$ 单调递增，但并不收敛。若其不然，设 $$a_n\to L<+\infty,$$ 则将有$$L=L+\frac{1}{L},$$ 矛盾。于是， $$a_n\to+\infty.$$

进而 $$a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2}\to2,\\\$$ 再依 $$\text{Cesaro-Stolz}$$ 定理$$\frac{a_ {n+1}^2-1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(a_{k+1}^2-a_k^2)\to 2,\\\$$这表明了 $$a_n\sim \sqrt{2n}.\\\$$ 由此，即得 $$a_{n+1}^2-a_n^2-2=\frac{1}{a_n^2}\sim\frac{1}{2n}.\\\$$ 所以 $$\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}^2-a_k^2-2)\sim\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k}\sim \frac{1}{2}\ln n,\\\$$ 于是 $$a_n^2-2n\sim\frac{1}{2}\ln n.\\\$$ 所以 $$\begin{align*} a_n&=\sqrt{2n+\frac{\ln n}{2}+o(\lnn)}\\\ &=\sqrt{2n}\sqrt{1+\frac{\ln n}{4n}+o\left(\frac{\ln n}{n}\right)}\\\&=\sqrt{2n}\left(1+\frac{\ln n}{8n}+o\left(\frac{\ln n}{n}\right)\right)\\\&=\sqrt{2n}+\frac{\ln n}{4\sqrt{2n}}+o\left(\frac{\ln n}{\sqrt{n}}\right).\end{align*}\\\$$ 所以 $$\lim_{n \to\infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2},~~~~~~~~~~~\lim_{n \to\infty}\frac{\sqrt{n}(a_n-\sqrt{2n})}{\ln n}=\frac{1}{4\sqrt{2}}.\\\$$