如何求矩形对角线的长度
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如何求矩形对角线的长度
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对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。一个矩形有两条对角线，它们长度相等。如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。

## 使用长和宽

**1. 列出勾股定理的公式。**该公式是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，其中$a$和$b$是直角三角形直角边的边长，而$c$是直角三角形的斜边长度。
由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

**2. 将长和宽代入到公式中。**长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是$a$和$b$。
例如，如果矩形的宽是3 cm，而长是4 cm，代入公式后得到如下等式：$3^{2}+4^{2}=c^{2}$。

**3. 算出长和宽的平方，然后相加求和。**记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
例如：$3^{2}+4^{2}=c^{2}$
$
$9+16=c^{2}$
$25=c^{2}$

**4. 将等式两边开平方。**最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出$c$的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
例如：$25=c^{2}$
${\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}$
$5=c$因此，宽为3 cm，而长为4 cm的矩形，其对角线的长度是5 cm。

## 使用面积和周长

**1. 列出矩形的面积公式。**该公式是$A=lw$，其中$A$为矩形的面积，$l$为矩形的长，而$w$为矩形的宽。

**2. 将矩形的面积代入到公式中。**确保你代入的是变量$A$。
例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：$35=lw$。

**3. 变换等式，使之变成$w$的表达式。**等式两边都除以$l$。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。
例如：$35=lw$
${\frac {35}{l}}=w$。

**4. 列出矩形的周长公式。**该公式是$P=2(w+l)$，其中$w$为矩形的宽，而$l$为矩形的长。

**5. 将周长的值代入到公式中。**确保你代入的是变量$P$。
例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式：$24=2(w+l)$。

**6. 等式两边都除以2。**这样就算出了$w+l$的值。
例如：$24=2(w+l)$
${\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}$
$12=w+l$。

**7. 将$w$的表达式代入到等式中。**使用你变换面积公式得到的表达式。
例如，如果使用你变换而得的表达式${\frac {35}{l}}=w$，把它代入周长公式中的$w$：$12=w+l$
$12={\frac {35}{l}}+l$

**8. 去掉等式中的分母。**等式两边都乘以$l$。
例如：$12={\frac {35}{l}}+l$
$12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)$
$12l=35+l^{2}$

**9. 使等式一边等于0。**等式两边都减去一次项。
例如：$12l=35+l^{2}$
$12l-12l=35+l^{2}-12l$
$0=35+l^{2}-12l$

**10. 按项次对等式重新排序。**这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。
例如，$0=35+l^{2}-12l$变成了$0=l^{2}-12l+35$。

**11. 将二次方程因式分解。**关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
例如，方程$0=l^{2}-12l+35$可因式分解成$0=(l-7)(l-5)$。

**12. 求$l$的值。**令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。
例如：$0=(l-7)$
$7=l$及$0=(l-5)$
$5=l$。因此，矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。

**13. 列出勾股定理的公式。**该公式是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，其中$a$和$b$是直角三角形直角边的边长，而$c$是直角三角形斜边的边长。
由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

**14. 将宽和长代入到公式中。**此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：$5^{2}+7^{2}=c^{2}$。

**15. 算出宽和长的平方，然后相加求和。**记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
例如：$5^{2}+7^{2}=c^{2}$
$25+49=c^{2}$
$74=c^{2}$

**16. 将等式两边开平方。**最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出$c$的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
例如：$74=c^{2}$
${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
$8.6024=c$因此，面积为$35cm^{2}$而周长为24 cm的矩形，其对角线长度约等于8.6 cm。

## 使用面积和边长的相对关系

**1. 写下能够说明两条边边长之间关系的等式。**你可以将之写成长($l$)或宽($w$)的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。
例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm，你可以列出$w$的表达式：$w=l+2$。

**2. 列出矩形的面积公式。**该公式是$A=lw$，其中$A$为矩形的面积，$l$为矩形的长，而$w$为矩形的宽。
如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是$P=2(w+l)$，其中$w$为矩形的宽，而$l$为矩形的长。

**3. 将矩形的面积代入到公式中。**确保你代入的是变量$A$。
例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：$35=lw$。

**4. 将长或宽的关系表达式代入公式中。**由于你面对的是一个矩形，所以求$l$或$w$变量的值都可以。
例如，如果你知道$w=l+2$，可以将这个表达式代入面积公式中的$w$：$35=lw$
$35=l(l+2)$

**5. 列出二次方程。**用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。
例如：$35=l(l+2)$
$35=l^{2}+2l$
$0=l^{2}+2l-35$

**6. 将二次方程因式分解。**关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
例如，方程$0=l^{2}+2l-35$可因式分解成$0=(l+7)(l-5)$。

**7. 求$l$的值。**令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。
例如：$0=(l+7)$
$-7=l$及$0=(l-5)$
$5=l$。在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5 cm。

**8. 将长或宽的值代入到关系表达式中。**这样就算出了矩形另一条边的边长。
例如，如果你知道矩形的长为5 cm，	且边长之间的关系为$w=l+2$，可以将长的值5代入到表达式中：$w=l+2$
$w=5+2$
$w=7$

**9. 列出勾股定理的公式。**该公式是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，其中$a$和$b$是直角三角形直角边的边长，而$c$是直角三角形斜边的边长。
由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。

**10. 将宽和长代入到公式中。**此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：$5^{2}+7^{2}=c^{2}$。

**11. 算出宽和长的平方，然后相加求和。**记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
例如：$5^{2}+7^{2}=c^{2}$
$25+49=c^{2}$
$74=c^{2}$

**12. 将等式两边开平方。**最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出$c$的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
例如：$74=c^{2}$
${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
$8.6024=c$因此，宽比长要长2 cm，且面积为$35cm^{2}$的矩形，其对角线的长度约等于8.6 cm。