如何求3X3矩阵的行列式
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如何求3X3矩阵的行列式
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矩阵的行列式常用于微积分、线性代数和高等几何。求一个矩阵的行列式一开始可能会让人困惑，但只要做过几次后，你就会觉得并不是那么难。

## 求行列式

**1. 写出3×3矩阵。**我们从3x3矩阵A开始，试着找出它的行列式|A|。下面是我们将使用的一般矩阵表示法，以及示例矩阵：
$M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$

**2. 选择单行或单列。**这将是引用行或列。不管你选哪一行或列，结果都是一样的。现在，只选择第一行。稍后，我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。
我们选择示例矩阵A的第一行，圈出1 5 3。一般来说，圈出11 a12 a13。

**3. 划掉第一个元素的行和列。**查看圈出的行或列，并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。

在本例中，引用行是1 5 3。第一个元素在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵：

~~1 5 3~~
~~2~~
4 1
~~4~~ 6 2

**4. 求出2x2矩阵的行列式。**记住，这个矩阵${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$有展开式为ad - bc的行列式。你可以通过在2×2矩阵上画一个X来学习这种方法。将X中\连接的两个数字相乘，然后减去/连接的两个数字的乘积。用这个公式计算你刚找出的矩阵的行列式。

在本例中，矩阵的行列式为${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34。
这个行列式叫做原始矩阵中所选的元素的余子式。在本例中，我们刚找出了a11的余子式。

**5. 将结果乘以你选择的元素。**记住，当你决定划去哪一行和哪一列时，是从引用行（或列）中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。
在本例中，我们选择了a11，值为1。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），得到1*-34 = -34。

**6. 确定答案的正负号。**接下来，将答案乘以1或-1来得到所选元素的代数余子式。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，哪个元素是负：

+ - +- + -+ - +
由于我们选择了a11，用a +标记，将结果乘以1。（也就是说，不用管它）。答案还是-34。
或者，你可以用公式(-1)i+j来计算正负号，其中i和j是该元素的行数和列数。

**7. 对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。**返回到初始的3x3矩阵，包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程：

划掉这个元素所在的行和列。在本例中，选择元素a12（值为5）。划掉第一行（1 5 3）和第二列${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$。

将剩余元素当作一个2x2矩阵。在本例中，矩阵为${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$

求出这个2x2矩阵的行列式。使用ad - bc公式。（2*2 - 7*4 = -24）

乘以3x3矩阵中选定的元素。 -24 * 5 = -120

确定是否乘以-1。使用正负号表或(-1)ij公式。我们选择了元素a12，在正负号表中为负。因此要将更改结果的正负号：(-1)*(-120) = 120。

**8. 对于三个元素重复这个操作。**你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中，下面是计算a13余子式的简要描述：

划掉第1行和第3列，得到${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$

它的行列式为2*6 - 4*4 = -4。
乘以元素a13：-4 * 3 = -12。
元素a13在正负号表中为正，所以结果是-12。

**9. 将三个结果加起来。**这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式，每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来，你就得到了3x3矩阵的行列式。
在本例中，行列式为-34 + 120 + -12 = 74。

## 简化问题

**1. 选择0最多的引用行或列。**记住，你可以选择任意行或列作为引用。不管你选哪一个，结果都是一样的。如果你选择一个带有零的行或列，只需要计算非零元素的代数余子式。原因如下：

假设你选择第2行，包含元素a21、a22和23。要解决这个问题，我们要看三个不同的2x2矩阵。我们把它们叫做A21、A22和A23。
3x3矩阵的行列式是a21|A21| - a22|A22| + a23|A23|。
如果a22和a23都为0，公式就变成a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。

**2. 利用行加法使矩阵更简单。**如果你把一行的值加到另一行，矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作，或者在加之前将值乘以一个常数，从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。

例如，假设你有一个3×3的矩阵：${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$

为了消掉a11上的9，我们可以把第二行乘以-3然后把结果加到第一行。新的第一行就变成[9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]。
新矩阵就变成${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$。尝试对列使用同样的方法，将a12也变成0。

**3. 学习三角矩阵的快捷方法。**在这些特殊情况下，行列式就是主对角线上的元素的乘积，从左上角的a11到右下角的a33。我们讨论的仍然是3x3矩阵，但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式：

上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。下面全部是0。
下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。
对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。（上述矩阵的一个子集）

**小贴士**

- 如果有一行或列的所有元素都是0，那么这个矩阵的行列式就是0。
- 这种方法可以扩展到任何大小的方阵。例如，如果将这种方法用于4x4矩阵，“划掉”后将得到一个3x3矩阵，你可以按照上面的描述计算行列式。但是提醒一句，手动计算非常繁琐！