在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖

【6】一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺.你怎样测出球的半径？方法很多，看看谁的比较巧妙
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在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖

【6】一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺.你怎样测出球的半径？方法很多，看看谁的比较巧妙
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这个问题有很多种解法，先看第一种：

要想让新放的硬币不与原先的硬币重叠，两个硬币的圆心距必须大于直径。也就是说，对于桌面上任意一点，到最近的圆心的距离都小于2，所以，整个桌面可以用$$n$$个半径为2的硬币覆盖。把桌面和硬币的尺度都缩小一倍，那么，长、宽各是原桌面一半的小桌面，就可以用$$n$$个半径为1的硬币覆盖。那么，把原来的桌子分割成相等的4块小桌子，那么每块小桌子都可以用$$n$$个半径为1的硬币覆盖，因此，整个桌面就可以用$$4n$$个半径为1的硬币覆盖。

除此之外也可以这样考虑，桌面内每个相邻硬币之间的最短距离小于硬币直径$$2r$$，但这是一个必要不充分条件，充分条件应该是每两个硬币间距离进一步小于$$2 \times \sqrt{2r-r}$$，最外面的硬币边缘与桌面边缘的距离应小于 $$\sqrt{2r-r}$$。
如此我们认为每个硬币周围的空白地区小于以 $$\sqrt{2r-r}$$宽度的一个圆环。那么实际上只要覆盖全部$$n$$个 $\sqrt{2}$ 为半径的圆就可以了。
接下来看，4个$$r$$半径的圆能覆盖的面积。取他们内部最大的正方形，其边长正好为 $$\sqrt{2r}$$，也就是说四个拼在一起可以组成个边长为$$2 \times 21 \div 2r$$的正方形，可以覆盖上面直径半径为 $$\sqrt{2r}$$ 的圆。一个可以，$$4N$$个也可以。