Khái_niệm hiện_đại của một nhóm trừu_tượng được phát_triển từ một_số lĩnh_vực toán_học .Động_lực ban_đầu cho lý_thuyết nhóm là tìm_kiếm các giải_pháp của các phương_trình đa_thức có mức_độ cao hơn 4 .Nhà toán_học người Pháp thế_kỷ 19 Phương_trình đa_thức theo nhóm đối_xứng của rễ ( các giải_pháp ) .Các yếu_tố của một nhóm galois như_vậy tương_ứng với một_số hoán_vị nhất_định của rễ .Lúc đầu , các ý_tưởng của Galois đã bị từ_chối bởi những người đương_thời của ông , và chỉ xuất_bản sau đó .Các nhóm hoán_vị chung hơn đã được điều_tra đặc_biệt bởi Augustin_Louis_Cauchy .Arthur_Cayley về lý_thuyết của các nhóm , vì tuỳ_thuộc vào phương_trình tượng_trưng θn = 1 ( 1854 ) đưa ra định_nghĩa trừu_tượng đầu_tiên về một nhóm hữu_hạn .
Ai đã phát_triển một lý_thuyết đưa ra định_nghĩa trừu_tượng đầu_tiên về một nhóm hữu_hạn ?
Arthur_Cayley