Sự tiên_đề của toán_học , trên mô_hình các yếu_tố của Euclid , đã đạt đến cấp_độ mới của sự nghiêm_khắc và bề rộng vào cuối thế_kỷ 19 , đặc_biệt là về số học , nhờ vào lược_đồ tiên_đề của Richard_Dedekind và Charles_Sanders_Peirce , và hình_học David_Hilbert .Vào đầu thế_kỷ 20 , những nỗ_lực để cơ_sở toán_học về lý_thuyết_tập_hợp ngây_thơ đã phải chịu một thất_bại do nghịch_lý của Russell ( trên bộ tất_cả các bộ không thuộc về chính họ ) .Vấn_đề của một tiên_đề đầy_đủ của lý_thuyết_tập_hợp đã được giải_quyết ngầm định khoảng hai_mươi năm sau bởi Ernst_Zermelo và Abraham_Fraenkel .Lý_thuyết_tập_hợp ZermeloTHER_Fraenkel đã cung_cấp một loạt các nguyên_tắc cho_phép xây_dựng các bộ được sử_dụng trong thực_tiễn toán_học hàng ngày .Nhưng họ đã không loại_trừ rõ_ràng khả_năng tồn_tại của một tập_hợp thuộc về chính nó .Trong luận_án tiến_sĩ năm 1925 , von Neumann đã trình_diễn hai kỹ_thuật để loại_trừ các bộ như_vậy là tiên_đề của nền_tảng và khái_niệm về giai_cấp .
Điều gì gây ra một thất_bại trong lý_thuyết_tập_hợp ngây_thơ vào đầu thế_kỷ 20 ?
Nghịch_lý của Russell