Các nhóm cũng được áp_dụng trong nhiều lĩnh_vực toán_học khác .Các đối_tượng toán_học thường được kiểm_tra bằng cách liên_kết các nhóm với chúng và nghiên_cứu các thuộc_tính của các nhóm tương_ứng .Ví_dụ , Henri_Poincaré thành_lập cái mà ngày_nay được gọi là cấu_trúc liên_kết đại_số bằng cách giới_thiệu nhóm cơ_bản .Bằng cách kết_nối này , các thuộc_tính tôpô như sự gần_gũi và tính liên_tục chuyển thành các thuộc_tính của các nhóm.I [ › ] Ví_dụ , các yếu_tố của nhóm cơ_bản được thể_hiện bằng các vòng lặp .Hình_ảnh thứ hai ở bên phải cho thấy một_số vòng lặp trong một_mặt phẳng trừ đi một điểm .Vòng màu xanh được coi là homotopic null ( và do_đó không liên_quan ) , bởi_vì nó có_thể liên_tục bị thu_hẹp đến một điểm .Sự hiện_diện của lỗ ngăn không cho vòng màu cam bị thu_hẹp xuống một điểm .Nhóm cơ_bản của mặt_phẳng với một điểm bị xoá hoá_ra là vô_hạn theo chu_kỳ , được tạo ra bởi vòng lặp màu cam ( hoặc bất_kỳ vòng lặp vòng nào khác một lần quanh lỗ ) .Bằng cách này , nhóm cơ_bản phát_hiện lỗ_hổng .
Những gì đại_diện cho các yếu_tố của nhóm cơ_bản ?
vòng lặp