Un cas PEL de la conjecture de Kottwitz
Kieu Hieu Nguyen

	
	
	

	





Un cas PEL de la conjecture de Kottwitz
    NGUYEN Kieu Hieu
    March 26, 2019
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*RsumRsum
	
		La conjecture de Kottwitz dcrit la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink basiques  l'aide des correspondances de Langlands locales. Dans cet article, par voie globale via l'tude de la gomtrie de certaines varits de Shimura de type Kottwitz, on prouve cette conjecture pour des espaces de Rapoport-Zink de type PEL unitaires non ramifis simples basiques de signature (1, n-1).   
	
*AbstractAbstract

	The Kottwitz conjecture describes the cohomology of basic Rapoport-Zink spaces using local Langlands correspondences. In this paper, via geometrical studies of some Kottwitz-type Shimura varieties, we prove this conjecture for basic simple unramified unitary PEL type Rapoport-Zink spaces of signature (1, n-1).	





fancy

[L]Classification mathmatique par sujet (2010) 11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08
	

	

	

	
	
	

§ INTRODUCTION

	Les varits de Shimura jouent un rle important dans le programme de Langlands global qui prdit un lien entre reprsentations automorphes des groupes linaires et reprsentations galoisiennes. Rapoport et Zink ont introduit des analogues p-adiques dfinis comme des espaces de modules de groupes p-divisibles munis de structures additionnelles  (<cit.>). La cohomologie ℓ-adique (ℓ≠ p) de ces espaces devrait fournir l'incarnation locale des correspondances de Langlands, c'est le sujet de la conjecture de Kottwitz <cit.>.
	
	Selon la terminologie de <cit.>, les cas abords jusqu' prsent sont tous de type EL : le cas Lubin-Tate a t entirement trait dans <cit.>, <cit.> et <cit.>; par dualit <cit.> <cit.> <cit.>, on obtient aussi le cas de Drinfeld et le cas EL gnral est dmontr par <cit.>, <cit.>.
	
	Dans cet article on traite un cas PEL unitaire non ramifi simple basique o une donne de Rapoport-Zink est un uplet 𝒟__p = (F_p, *, V, ⟨· | ·⟩, G, μ, b) auquel on associe un groupe p-divisible muni de structures additionnelles. On suppose de plus
	
		
  ∙ [F_p : _p] = 2d avec d impair,
		
  ∙ _F_p V = n impair et μ = (1, n-1), (0, n), ⋯, (0, n).
	
	
	Via la notion de structure de niveau,  𝒟__p est associe une tour d'espaces rigides (ℳ_K_p)_K_p indexe par les sous-groupes compacts ouverts de G(_p). Le groupe J_b(_p) des quasi-isognies du groupe p-divisible avec structures additionnelles est, dans le cas o b est basique, une forme intrieure du groupe unitaire quasi-dploy p-adique G. La tour (ℳ_K_p)_K_p est alors munie d'une action de J_b(_p) × G(_p) et pour ℓ≠ p 
	
	
    H^i_c (ℳ, _ℓ) := lim_K_p H^i_c (ℳ_K_p, _ℓ)

	est une _ℓ-reprsentation de G(_p) × J_b(_p) × W_E_p, o W_E_p est le groupe de Weil du corps de dfinition E_p de μ[Le corps de dfinition du cocaractre μ = (1, n-1), (0, n), ⋯, (0, n) est F_p.]. Pour l'expliciter, on utilise les paramtres de Langlands discrets φ : W__p× SU(2) ⟶ LG.
	
	Pour un tel φ on note Π_φ(G(_p)) (respectivement Π_φ(J_b(_p))) le paquet de reprsentations de G(_p) (respectivement de J_b(_p)) associ (cf <ref> et <ref>). Les lments de Π_φ(G(_p)) sont en bijection avec l'ensemble Irr (S^♮_φ, χ) des caractres de S^♮_φ dont le tir en arrire via Z(G^Gal(_p / E_p)) ↪ S_φ↠ S^♮_φ induit le caractre χ (o S_φ est le centralisateur de φ dans G et χ est le caractre de Z(G^Gal(_p / E_p)) associ  G(_p)). Contrairement au cas EL, ces paquets ne sont pas en gnral des singletons ce qui sera  la source des difficults techniques nouvelles de cet article. Rappelons que φ est dit cuspidal s'il est trivial sur le facteur SU(2)  auquel cas le paquet Π_φ(G(_p)) ne contient que des reprsentations supercuspidales (cf. <ref>).
	
	D'aprs <cit.>,  μ est associ une reprsentation r_μ de G⋊ W_E_p et on note r_μ∘φ_E_p la reprsentation de S_φ× W_E_p dfinie par la formule 
	
    (s, w) ∈ S_φ× W_E_p⟼ r_μ(s ·φ(w))
 
	*ConjecConjecture
	(Kottwitz) 
		Fixons un L-paramtre φ cuspidal. Soit π_p' ⊗π_p ⊗σ une reprsentation irrductible de G(_p) × J_b(_p) × W_E_p qui contribue de manire non triviale dans H^*_c(ℳ, _ℓ). Alors π_p' appartient au L-paquet Π_φ (G(_p)) si et seulement si π_p appartient au L-paquet Π_φ (J_b(_p)).
		
		De plus la contribution (au signe prs) du L-paquet associ  φ est donne par la formule suivante :
		
    ∑_(π_p', π_p) ∈Π_φ (G(_p)) ×Π_φ (J_b(_p)) π_p' ⊗π^∨_p ⊗_S_φ( τ_π_p'⊗τ_π_p ,r_μ∘φ_E_p )

		o τ_π_p' et τ_π_p sont respectivement des reprsentations de S_φ correspondant  π_p' et π_p  et o π^∨_p signifie la reprsentation contragrdiente.
		
	
	
	*remarquRemarque
	
		Puisque n est impair on a G(_p) = _b(_p).
	
	Pour π_p une reprsentation irrductible supercuspidale de J_b(_p), on crit
	
    lim_K_p__b(_p)( H^i_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), π_p )_cusp   = ∑_π_p'π_p' ⊗σ^i_π_p, π_p'
 
	o π_p' parcourt l'ensemble des classes d'quivalences de reprsentations supercuspidales de G(_p). On note galement σ_π_p, π_p' = σ^n-1_π_p, π_p'.
	
	Considrons un paramtre de Langlands cuspidal φ : W__p⟶ LG. La restriction de φ sur W_E_p se dcompose en une somme de reprsentations irrductibles : φ_E_p = φ^n_1_1 ⊕⋯⊕φ^n_r_r. On a donc S_φ = S_φ^♮ = ( / 2)^r (cf. <ref>). Parmi les 2^r-1 lments de Irr (S^♮_φ, χ), il y a r lments {τ_1, ⋯, τ_r } (cf. <ref>) qui jouent un rle privilgi. Le thorme suivant est alors une version explicite de la conjecture de Kottwitz dans le cas considr. 
	
	*thorme*Thorme A
	 
		text : thmThorme A
		Pour [F_p : _p] = 2, n impair et μ = (1, n-1), soit φ un paramtre de Langlands cuspidal et π_p' ∈Π_φ(G(_p))[On rappelle que φ tant cuspidal alors π_p' est ncessairement supercuspidale]. Alors pour π_p supercuspidale, la reprsentation σ^i_π_p, π_p' est nulle dans chacun des cas suivants
		
			
  i)  i ≠ n-1,
			
  ii) π_p ∉Π_φ(_b(_p))
			
  iii) Pour π_p ∈Π_φ(_b(_p)) = Π_φ(G(_p)) (puisque G(_p) = _b(_p)) et τ_π_p·τ_π_p'∉{τ_1, ⋯, τ_r }. 
		
		De plus pour π_p ∈Π_φ(_b(_p)) et τ_π_p·τ_π_p' = τ_i, on a
		
    σ_π_p, π_p' = ( r_μ_i∘φ^n_i_i) ⊗ |·|^ - n-1/2.

		
		o μ_i = (1, φ^n_i_i - 1) pour 1 ≤ i ≤ r.
	
	
	*Remarque*Remarque
	
		
			
  ∙ Les reprsentations du groupe de Weil ci-dessus sont Frobenius semi-simples. 
			
  ∙ Pour chaque 1 ≤ i ≤ r, il y a 2^r-1 couples (π_p, π_p') ∈Π_φ(_b(_p)) ×Π_φ(G(_p)) de sorte que τ_π_p·τ_π_p' = τ_i pour lesquels on a σ_π_p, π_p' = ( r_μ_i∘φ^n_i_i) ⊗ |·|^ - n-1/2.
			
  ∙ Il y a r2^r-1 couples (π_p, π_p') parmi (2^r-1)^2 couples pour lesquels σ_π_p, π_p'≠ 0.  
			
	
	Le principe de la dmonstration repose sur l'tude des varits de Shimura _ / E dfinies sur leur corps reflex E = F o F est quadratique imaginaire et plus particulirement sur la gomtrie de la fibre spciale en une place p inerte dans E d'un modle _/ 𝒪_p o 𝒪_p est l'anneau des entiers de E_p. 
	
	Dans un premier temps, on considre une varit de Shimura non compacte  associe  un groupe algbrique ∙G unitaire quasi-dploy en toutes les places finies avec ∙G(_p) = G(_p) et o la signature associe est de la forme (1, n-1). On note aussi I la forme intrieure de ∙G qui est quasi-dploy en toutes les places finies et o la signature associe est (0, n). D'aprs <cit.>, on a une uniformisation du lieu basique de  par des ℳ_K avec une suite spectrale :
	
    E_2^tq = | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π_∞ = ρ̆( lim_K_p^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), Π_p ) ) ⊗ (Π^p)

	dont l'aboutissement est 
	
    lim_K H^t+q(()_K^an(basic), ℒ_ρ^an).

	
	Lorsqu'on considre la partie G(_p)-supercuspidale, d'aprs <cit.>, <cit.>, <cit.> on a :
	
    H^t+q(()(basic), ℒ_ρ)_p-cusp = H^t+q((), ℒ_ρ)_p-cusp.

	
	En outre lorsque Π_p est J_b(_p)-supercuspidale, on a : 
	
    ^i__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), Π_p ) = 0

	ds que i > 0.
	
	La suite spectrale ci-dessus dgnre donc
	
    | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π_∞ = ρ̆( lim_K__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), Π_p )_cusp) ⊗ (Π^∞, p) = ( H^q(, ℒ_ρ) )_p-cusp.

	
	Par un argument de globalisation, on en dduit que 
	
    ∑_π_p ∈Π_φ(J_b(_p))σ_π_p, π_p' = ( r_μ∘φ_E_p)  ⊗ | · |^-n-1/2 = ∑_i = 1^r ( r_μ_i∘φ^n_i_i)  ⊗ | · |^-n-1/2. ⋆

	
	
	
	Dans le but d'identifier chacun des termes de la somme  gauche de (<ref>) avec l'un des termes dans la somme  droite, on devra considrer des formes automorphes provenant d'un groupe endoscopique de ∙G. Afin de mener  bien cette stratgie, on utilise la formule de multiplicit pour les groupes unitaires <cit.> pour construire des formes automorphes satisfaisant des proprits particulires ainsi que les rsultats de <cit.> pour obtenir des informations plus fines sur la cohomologie de varits de Shimura.
	
		Un ingrdient important de la dmonstration est le thorme 7.2.2 de <cit.> sur la composante isotypique dans la cohomologie d'intersection de varits de Shimura de type PEL unitaires non compactes sur un corps CM F. Dans cet article l'auteur a suppos F^+ = et c'est la raison pour laquelle on suppose d = 1. Toutefois si on disposait d'une formule analogue  <cit.> 7.2.2, notre mthode permettrait d'obtenir le thorme prcdent pour d quelconque.
		
		Il est en revanche possible, en utilisant les varits de type Kottwitz-Harris-Taylor, de prouver la formule (<ref>), cf. appendice <ref>, thorme <ref>. 
	 
	*remerciements*Remerciements
	
		Je remercie profondment Pascal Boyer et Laurent Fargues tant pour leur aide mathmatique dterminante que pour leurs constants encouragements. Je remercie chaleureusement Sophie Morel, Colette Moeglin, Tasho Kaletha et Sug Woo Shin de m'avoir expliqu leurs travaux.	
	
	

§ DONNES GOMTRIQUES

	

 §.§ Espaces de Rapoport-Zink d'aprs <cit.>

	Fixons un nombre premier p. Soit _p := _p^nr = FracW(_p) le complt de l'extension maximale non ramifie de _p et σ l'automorphisme de Frobenius gomtrique de _p / _p.
	
		tant donn un groupe rductif G dfini sur _p, deux lments b_1, b_2 sont dits σ-conjugus s'il existe g ∈ G(_p) tel que b_1 = gb_2g^-σ. On note B(G) l'ensemble des classes de σ-conjugaisons dans G(_p).
	
	
		D'aprs Kottwitz <cit.> section 6.2, on s'intressera dans la suite  un sous-ensemble B(G, μ) de B(G) associ  un cocaractre minuscule μ : _m/_p⟶ G__p (un cocaractre qui ne possde que des poids 0 et 1). Il existe un ordre partiel sur B(G, μ).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	  Une donne de Rapoport-Zink de type PEL unitaire non ramifie simple (F_p, *, V, ⟨· | ·⟩, GU, μ, b) consiste en la donne:
		
			
  - d'une extension F_p de degr 2d de _p non ramifie munie d'une involution non triviale *,
			
  - d'un F_p-espace vectoriel de dimension finie V,
			
  - d'un produit hermitien symplectique ⟨· | ·⟩ : V × V ⟶_p pour lequel il existe un rseau auto-dual Λ,  
			
  - d'une classe de conjugaison de cocaractres minuscules μ : _m / _p⟶ GU__p o GU est le groupe des similitudes unitaires dfini sur  par
			
    GU(R) = { g ∈ GL(V ⊗ R) | <gv, gw> = ν (g) <v,w>,  v,w ∈ V ⊗ R }
 
			pour toute -algbre R et ν(g) ∈ R^×.
			
  - d'une classe de σ-conjugaison b ∈ B(GU, μ). On suppose de plus que c ∘μ(z) = z o c est le facteur de similitude. Avec ces hypothses, un tel μ est dtermin par des couples (p_τ, q_τ)_τ∈Φ⨿Φ^* o (p_τ, q_τ) = (q_τ*, p_τ*) et o Φ est un type CM p-adique de F_p / _p.		
		
	
	
	
	
	A une telle donne, on associe  l'isocristal N = ( V ⊗__p_p, b ∘ ( Id ⊗σ)) muni d'une action ι: 𝒪_F_p⟶ End(N)  et une forme alterne non dgnre ⟨· | ·⟩ : N × N ⟶_p(n) o n = val_p(c(b)). Par la thorie de Dieudonn, l'isocristal N correspond  un groupe p-divisible (𝕏, ι, λ) dfini sur _p muni d'une action de 𝒪_F_p et d'une polarisation λ.
	
	 (<cit.>, theo. 3.25)
		Soit ℳ le foncteur qui associe  chaque 𝒪__p-schma S sur lequel p est localement nilpotent l'ensemble des couples (X, ρ) o :
		
			
  - X est un groupe p-divisible sur S muni d'une polarisation p-principale λ_X et d'une action ι_X telles que l'involution de Rosati induite par λ_X induit * sur 𝒪_F_p. 
			
  - Une quasi-isognie 𝒪_E_p-linaire ρ : X ×_S S⟶𝕏×_Spec(_p)S telle que ρ^V∘λ_X ∘ρ est un _p-multiple de λ_X dans Hom_𝒪_E_p(X, X^V)⊗_. (Ici, S est la rduction modulo p de S).	
		
		
		On demande galement que (X, ι_X) satisfasse la condition de dterminant de Kottwitz. Plus prcisment, sous l'action de F_p, on a une dcomposition: (X) = ⊕_τ(X)_τ alors (X)_τ est localement libre de rang p_τ. Ce foncteur est alors reprsent par un schma formel ℳ(μ, b) dfini sur (𝒪__p). 
	
	
		Dans <cit.>, les auteurs considrent galement les espaces de Rapoport-Zink de type EL. Les lecteurs intresss pourront consulter loc. cit. pour plus de dtails.
	
	
	
	
	
		On pose C_0 = { g ∈ G(_p)  | gΛ = Λ}, un sous-groupe compact maximal de G(_p).
	
	
	Afin d'introduire les structures de niveau usuelles comme dans le cas GL(2) on travaille avec les espaces analytiques ℳ^an de ℳ sur _p.
	
	
		Soit 𝒯 / ℳ^an le systme local dfini par le module de Tate p-adique du groupe p-divisible universel sur ℳ. Pour K ⊂ C_0 on dfinit ℳ_K comme le revtement tale de ℳ^an qui classifie les 𝒪_F_p trivialisations modulo K de 𝒯 par Λ. Dans le cas PEL on demande de plus que les trivialisations prservent la forme alterne  _p^× prs. 
	
	
	On a ℳ^an = ℳ_C_0. D'autre part il y a une tour (ℳ_K_p)_K_p d'espaces analytiques sur _p munis de morphismes de transition tales finis pour K_p^'⊂ K_p :
	
    Φ_K_p^', K_p :  ℳ_K^'_p ⟶ ℳ_K_p

	d'oubli de la structure de niveau. Le morphisme Φ_K_p^', K_p est galoisien de groupe de Galois K_p / K_p^' si K_p^' est normal dans K_p.
	
	 (<cit.> p.16)
		La dimension d_K_p de ℳ_K_p est donne par la formule d_K_p = 1/2∑_τ∈ I_F p_τq_τ.
		
		
		
		
	
	
	
		Soit J(_p) le groupe des quasi-isognies 𝒪_F_p-linaires g de  telles que λ∘ g est une ^×-multiple de g^∨∘λ. Le groupe J(_p) agit  gauche sur ℳ (dans le cas EL et PEL) par la formule
		
    ∀ g ∈ J(_p)  ∀ (X, ρ) ∈ ℳ   (X, ρ) · g = (X, ρ∘ g^-1).

	
	
	 
		Une donne de Rapoport-Zink non ramifie simple (F_p, *, V, ⟨· | ·⟩, G, μ, b) est basique si le groupe J(_p) associ est une forme intrieure de G. La donne ci-dessus est basique si et seulement si b est l'lment minimal dans B(G, μ). Dans ce cas, on dit galement que b est basique.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Soit ℓ≠ p un nombre premier.
	
		Soit K_p ⊂ C_0 un niveau. On pose:
		
    H_c^∙(ℳ_K_p, _ℓ) := lim_V( lim_n H_c^∙(V ⊗__p_p,  / ℓ^n  ) ⊗_ℓ)
 
		o V parcourt les ouverts relativement compacts de ℳ_K_p.
	
	
	Le groupe _b(_p) agit sur ℳ_C_0 et cette action s'tend  ℳ_K_p de sorte que _b(_p) agit sur les H_c^∙(ℳ_K_p, _ℓ). On peut aussi dfinir une action du groupe de Weil W_E_p sur ces groupes de cohomologie grce  la donne de descente de Rapoport-Zink dfinie comme suit. 
	
	Soit σ_E_p : _p _p l'automorphisme de Frobenius relatif au corps de dfinition E_p de μ (o _p = E_p^nr). On note σ_E_p le morphisme de Frobenius induit sur _p. Pour 𝕏 un groupe p-divisible dfini sur _p, on note F_E_p : 𝕏⟶σ_E_p^*𝕏 le morphisme de Frobenius relatif. On construit un isomorphisme de foncteurs : α : ℳ⟶σ_E_p^*ℳ comme suit.
	
	Pour S un 𝒪__p-schma sur lequel p est nilpotent ainsi qu'un point (X, ρ) ∈ℳ(S), le point (X^α, ρ^α) associ dans σ_E_p^*ℳ(S) est dfini de la manire suivante:
	
		
  - X^α := X avec l'action de ι_X^α := ι_X (et avec la polarisation λ_X^α := λ_X dans le cas PEL)
		
  - ρ^α := ρ∘ F_E_p^-1.
	
	
	L'isomorphisme de foncteurs α : ℳ⟶σ_E_p^*ℳ est la donne de descente de Rapoport-Zink associe  ℳ. tant donn que la donne de descente commute  l'action de _b(_p), les groupes H_c^∙(ℳ_K_p, _ℓ) sont munis d'une action de _b(_p) × W_E_p. De plus, lorsque K_p varie, le systme (H_c^∙(ℳ_K_p, _ℓ))_K_p est muni d'une action de G(_p) ×_b(_p) × W_E_p.
	
	 (<cit.> theorem 8) 
		Soit ρ une reprsentation ℓ-adique admissible de _b(_p). 
		
			
  - Les groupes 
    H^i,j(ℳ^∞)_ρ := lim_K^j__b(_p)(H^i(ℳ_K, _ℓ(d_K)), ρ)
 sont nuls pour presque tous i,j ≥ 0.
			
  - Les reprsentations H^i,j(ℳ^∞)_ρ sont admissibles.
		
	
	

 §.§ Varits de Shimura de type PEL unitaire
 
	
	On considre la donne de Shimura de type PEL simple suivante:  𝒟 = (F, B, *, V, ⟨· | ·⟩ , G, Λ, h ) o:
	
		
  - F est un corps CM non ramifi au-dessus de p.
		
  - B est une algbre semi-simple sur F, dploye en toutes les places de F au-dessus de p. 
		
  - * est une involution positive sur B : ∀ b ∈ B  tr(bb^*) > 0. 
		
  - ( V, ⟨· | ·⟩) est un B-module hermitien o ⟨· | ·⟩ est une -forme alterne telle que ⟨ xv, w ⟩ = ⟨ v, x^*w ⟩ pour tous v, w ∈ V et x ∈ B.
		
  - G est le groupe algbrique dfini sur  par 
		
    G(R) = { g ∈ GL_B⊗_ R  (V ⊗_ R) |⟨ gv, gw ⟩ = c(g)⟨ v, w ⟩; c(g) ∈ R^* }

		On suppose de plus que G_ est isomorphe au groupe des similitudes unitaires de signature (1, n-1), (0,n), ⋯, (0,n) o n = [B : F]^1/2rg_BV.
		
  - Λ est un 𝒪_F_p rseau 𝒪_B-invariant dans V ⊗__p tel que la forme ⟨· | ·⟩ induit une _p forme non dgnre sur Λ. On pose galement C_0 = Stab_G(_p)(Λ) = { g ∈ G(_p)  | g Λ = Λ}.
		
  - Enfin, h est un morphisme de groupes algbriques
		
    h : Res_ / (_m, ) ⟶ G_
 
		qui dfinit une -structure de Hodge V = V_0 ⊕ V_1.
		
		On lui associe un morphisme
		
    μ_h : _m, ↪∏_Gal( / )_m,  = (Res_ / (_m, ))_ G_.

	
	
	
		Soit E le corps reflex de cette donne de type PEL,  savoir le corps de dfinition de la classe de conjugaison de μ_h. Lorsque n > 2 on a F = E.
	
	
	Fixons Φ⊂(E, ) un type CM de E. Chaque lment τ∈Φ fournit un plongement ν∘τ : E ↪_p o ν est un isomorphisme abstrait entre  et _p. Soient (w_i)_i ∈ I, (w_j)_j ∈ J les places de E divisant p associes  tous ces plongements et o on suppose que ∀ i ∈ I  w_i ≠ w_i^c et ∀ j ∈ J  w_j = w_j^c. On a alors :
	
		
  - G__p≃∏_i ∈ I GL_n(E_w_i) × G ( ∏_j ∈ J GU(E_w_j, n) )
		o le G devant le produit signifie que l'on prend le sous-groupe du produit form des uplets ayant le mme facteur de similitude.
		
  - B__p≃∏_i ( M_d(E_w_i) × M_d(E_w_i)^opp) ×∏_j M_d(E_w_j).
	
	
	L'quivalence de Morita permet de supposer qu'en chaque place on est dans l'un des cas suivant :
	
		
  * Cas EL
		
			
  - B__p = E_w_i× E_w_i,   𝒪_B__p = 𝒪_E_w_i×𝒪_E_w_i et (x, y)^* = (y, x).
			
  - V__p = V_i ⊕ V_i^∨ o V_i^∨ est l'espace dual de V_i.
			
  - ⟨ x ⊕ϕ, x' ⊕ϕ'⟩ = ϕ'(x) - ϕ (x').
		
		
			Pour chaque b ∈ B(GL_n(E_w_i), μ__p), on obtient une donne de Rapoport-Zink simple de type EL de la forme { E_w_i, *, V_i, μ__p, b }.
		
		
  * Cas PEL
		
			
  - B__p = E_w_j, 𝒪_B__p = 𝒪_E_w_j et l'involution * est gale  σ^[E_w_j / _p] / 2 o σ est le morphisme de Frobenius de l'extension non ramifie E_w_j / _p.
			
  - V est un E_w_j-espace vectoriel de dimension n.
			
  - Dans une base convenable de V, la forme ⟨· | ·⟩ est donne par la formule:
			
    ∀ X,Y ∈ V   ⟨ X,Y ⟩ = _E_w_j/_p (α ^tX^*JY)

			o α∈ E_w_j est tel que σ(α) = - α, et
			
    J = ( [     0 I_n/2; I_n/2     0 ])

			si n est pair et
			
    J = ( [         0         0 I_(n-1)/2;         0         1         0; I_(n-1)/2         0         0 ])

			si n est impair.
		 
		
			Pour chaque b ∈ B(GU(E_w_j, n), μ__p), on obtient une donne de Rapoport-Zink simple de type PEL de la forme { E_w_j, *, V, ⟨· | ·⟩, μ__p, b }.
		
		
	
	
	
	Soit K un sous-groupe compact ouvert suffisamment petit de G(_f) et soit _K le foncteur qui associe  chaque F-schma S l'ensemble des quadruplets (A, λ, ι, κ) o 
	
		
  - A est un S-schma ablien  isognie prs.
		
  - λ est une polarisation ^×-homogne de A.
		
  - ι: B ⟶(A)_ est un morphisme d'algbres tel que * correspond  l'involution de Rosati associe  λ.
		
  - κ : V⊗_f ⟶ H_1(A, _f) est un morphisme de B ⊗_f-modules symplectiques dfinissant une structure de niveau K sur le module de Tate de A.
		
  - On suppose de plus la condition suivante:
		
    ∀ b ∈ B (b, (A)) =  (b, V_0)

	
	
	 (<cit.> sec.5, sec. 8)
		Le foncteur (_K) est reprsent par une varit quasi-projective lisse dfinie sur F. De plus la tour de varits (_K)_K est munie d'une action  de G(_f) par action sur la structure de niveau.	
	
	
	
	Maintenant on s'intresse aux modles entiers des varits de Shimura.
	
	Considrons un sous-groupe compact ouvert K^p de G(𝔸_f^p). Soit S_K^p le foncteur qui associe  un 𝒪_E_p-schma S, l'ensemble des couples (A, λ, ι, κ), o:
	
		
  - A est une varit ablienne sur S de dimension n.
		
  - λ est une ^×-classe de polarisations p-principales.
		
  - ι : 𝒪_B⟶ End(A) ⊗__(p) est tel que l'involution de Rosati dfinie par λ sur End(A) ⊗__(p) induit l'involution * sur 𝒪_B. On suppose de plus que A satisfait la condition de signature de Kottwitz.
		
  - κ : H_1(A, 𝔸_f^p) ⟶ V ⊗_𝔸_f^p est une K^p-structure de niveau.
	
	
	
	
	 (<cit.> sec.5) 
		Le problme de module S_K^p est reprsent par un 𝒪_E_p schma lisse, quasi-projectif. Le groupe G(_f^p) opre sur la tour (S_K^p)_K^p par action sur la structure de niveau.
		
		Soit C_0 = Stab_G(_p)(Λ) le sous-groupe compact hyperspcial associ. Il y a alors des isomorphismes compatibles pour K^p variable:
		
    S_K^p⊗_𝒪_E_p E_p _C_0K^p⊗_E E_p.
	
	
	
	
	
	
	Supposons que la varit de Shimura est compacte. On rappelle quelques constructions de modles entiers de varits de Shimura avec niveau en p (cf <cit.> section 6).
	
	Pour K^p ⊂ G(_f^p), on dfinit pour tout m ⩾ 0
	
    K^p(m) = K^p × V_m ⊂ G(_f)
 o V_m = { g ∈ G(_p)  | g(Λ) = Λ,  c(g) ∈_p^× g_|Λ≡ 1  p^m Λ}. On remarque que V_0 = G(_p).
	
	Lorsque K^p et m varient, les K^p(m) forment un systme direct de sous-groupes compacts ouverts suffisamment petits de G(_f), cofinal au systme de tous les sous-groupes compacts ouverts. Pour tout niveau K^p, d'aprs <ref>, on dispose d'un 𝒪_E_p-schma S_K^p(0) classifiant des varits abliennes avec structures additionnelles. Soit 𝒢 := 𝒜[p^∞] le groupe p-divisible muni de structures additionnelles associ  la varit ablienne universelle de S_K^p(0). Pour m > 0, on dfinit le foncteur S_K^p(m) qui associe  un S_K^p(0)-schma T l'ensemble des morphismes de groupes 
	
    α : p^-mΛ / Λ⟶𝒢[p^m](T)

	satisfaisant les conditions 
	
		
  - {α(x) | x ∈ p^-mΛ / Λ} est un << full set of sections >> de 𝒢[p^m]_T / T,
		
  - α est 𝒪_B__p-quivariant, 
		
  - α envoie ⟨· | ·⟩ sur l'accouplement de Weil de 𝒢[p^m](T),  un facteur dans ( / p^m )^× prs.
	
	 (<cit.>  proposition 15)
		Le foncteur S_K^p(m) est reprsentable par un S_K^p(0)-schma fini.
	
	
	Lorsque K^p et m varient, les schmas S_K^p(m) forment un systme projectif muni d'une action de G(^p_f) × V_0 ⊂ G(_f). En gnral, on ne peut pas tendre cette action en une action de G(_f), faute de bon modles entiers en p. Afin de contourner cette difficult, Mantovan considre une classe plus grande de modles entiers de varits de Shimura telle que l'action de G(^p_f) × V_0 s'tend en une action d'un sous-monode G(_f)^+ vrifiant G(_f) = ⟨ G(_f)^+, p ⟩. 
	
		Dans le cas o la varit de Shimura n'est plus compacte, les modles entiers avec niveau en p existent encore grce au travail de Kai Wen Lan et Benot Stroh. Pour K un niveau, pas forcment maximal en p, il existe un modle entier S_K ⟶Spec(𝒪_E_p) comme dans le cas (Nm) de 2.1 de <cit.> (consulter galement la section 6 de <cit.>). Lorsque le niveau K varie, les schmas S_K forment un systme projectif muni d'une action de G(_f). (Consulter <cit.> page 33-34 pour plus de dtails). 	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 toute _ℓ-reprsentation algbrique irrductible de dimension finie ξ de G, on associe, cf <cit.> p.96, un systme local ℒ_ξ sur la tour de varits de Shimura (_K)_K. En particulier, lorsque ξ = 1, on retrouve le systme local _ℓ.
	
	Nous allons utiliser la stratification de Newton afin de calculer la cohomologie de la varit de Shimura. Nous ne considrons que la signature μ = (1, n-1), (0, n), ⋯, (0,n). Dans ce cas, B(G, μ) = { b_0, b_1, ⋯, b_[n/2]} et de plus b_0 ≺⋯≺ b_[n/2] o b_0 est l'unique classe basique. Rappelons que l'on associe  μ un polygone de Hodge et  chaque b ∈ B(G, μ) un polygone de Newton, en particulier le polygone de Newton correspondant  b_[n/2] concide avec le polygone de Hodge. Remarquons que tous les polygones de Newton non basiques touchent le polygone de Hodge en dehors des points extrmaux. On a un diagramme des polygones avec n = 5.
	

		[scale = 0.75]
			(0,0) node [above] O node∙;	
			(2,0) node [below] A_1 node∙;
			(4,1) node [below] A_2 node∙;
			(6,2) node [below] A_3 node∙;
			(8,3) node [below] A_4 node∙;
			(10,5) node [below] A_5 node∙;
			[dashed] (-1,1) – (11,1);
			[dashed] (-1,5) – (11,5);
			[dashed] (-1,2) – (11,2);
			[dashed] (-1,3) – (11,3);
			[dashed] (-1,4) – (11,4);
			[dashed] (1,0) – (1,5);
			[dashed] (2,0) – (2,5);
			[dashed] (3,0) – (3,5);
			[dashed] (4,0) – (4,5);
			[dashed] (5,0) – (5,5);
			[dashed] (6,0) – (6,5);
			[dashed] (7,0) – (7,5);
			[dashed] (8,0) – (8,5);
			[dashed] (9,0) – (9,5);
			[dashed] (10,0) – (10,5);
			[dashed] (11,0) – (11,5);
			[dashed] (-1,0) – (-1,5);
			[-] (-1,0) – (11,0);
			[-] (0,0) – (0,5);
			[-] (0,0) – (4,1);
			[-] (6,2) – (10,5);
			[very thick] (0,0) – (2,0);
			[very thick] (2,0) – (8,3);
			[very thick] (8,3) – (10,5);
			[-] (0,0) – (10,5);
			[->] (12,3.5) – (8.7,3.5);
			(12,3.5) node [above, right] b_2 - polygone de Hodge;
			[->] (8.5,6) – (8.5,4.4);
			(8.5,6) node [above, right] b_0 - basique;
			[->] (7.2,6) – (7.2,3.05);
			(7.2,6) node [above] b_1;
		
	

	
		Pour tout entier i ≥ 0 on notera
		
    H^i_c(, ℒ_ξ) = lim_K H^i_c(_K ×_E_pE_p, ℒ_ξ).

		C'est un _ℓ-espace vectoriel muni d'une action linaire de G(_f) × W_E_p. En notant Ψ_η le foncteur cycles proches on a
		
    H^i_c( , RΨ_η (ℒ_ξ)) := lim_K^p, m H^i RΓ_c( S_K^p(m), RΨ_η(ℒ_ξ)).

		Pour b ∈ B(G, μ) on notera
		
    H^i_c((b), RΨ_η (ℒ_ξ)) := lim_K^p, m H^i RΓ_c( S_K^p(m)(b), RΨ_η(ℒ_ξ)_|S_K^p(m)(b)  ).

	
	
	
	 (<cit.>, <cit.>, <cit.>) 
		On a une suite spectrale G(_f) × W_E_p-quivariante
		
    E_1^p,q = H_c^p+q((b_p), RΨ_η (ℒ_ξ)) ⟹ H_c^p+q(, ℒ_ξ).

	
	
		On ne suppose pas que la varit de Shimura soit compacte.
	
	
		La stratification de Newton de la fibre spciale de la varit de Shimura induit une suite spectrale G(_f) × W_E_p-quivariante (<cit.>, theo. 22; <cit.>, theo. 3.1 dans le cas o la varit de Shimura est compacte et <cit.>, theo. 6.32 lorsque la varit de Shimura n'est pas compacte) :
		
    E_1^p,q = H_c^p+q((b_p), RΨ_η (ℒ_ξ)) ⟹ H_c^p+q(, RΨ_η (ℒ_ξ)).
   
		
		Or on a un isomorphisme G(_f) × W_E_p-quivariant suivant
		
    RΓ_c(, ℒ_ξ) ≃ RΓ_c(, RΨ_η (ℒ_ξ)).

		
		Lorsque la varit de Shimura est compacte, c'est un fait standard de la thorie de cycles proches; lorsque la varit de Shimura n'est plus compacte, c'est le corollaire 5.20 de <cit.>.
		
		Finalement on a une suite spectrale G(_f) × W_E_p-quivariante :
		
    E_1^p,q = H_c^p+q((b_p), RΨ_η (ℒ_ξ)) ⟹ H_c^p+q(, ℒ_ξ).

	
	
	
	
	
	 <cit.>, <cit.>, <cit.> <cit.>, <cit.>. 
		On suppose que b est une strate non basique telle que son polygone de Newton touche son polygone de Hodge  un point de rupture du polygone de Newton en dehors des points extrmaux. Alors les groupes de cohomologie ∑ _i (-1)^i H^i_c((b), RΨ_η (ℒ_ξ)) ne contiennent pas de reprsentation automorphe dont la composante en p est une reprsentation supercuspidale de G(_p).
	
	
		Tout d'abord on exprime la cohomologie de la strate b en fonction de celle de la varit d'Igusa et de l'espace de Rapoport-Zink associ :
		
    ∑_i (-1)^i H^i_c((b), RΨ_η (ℒ_ξ)) = ∑_t,s,r (-1)^t+s+rlim_K_J_b(_p)^t (H_c^s(ℳ_K, _ℓ(D_K)),H_c^r(Ig(b) )).
	
		
		Lorsque la varit de Shimura est compacte, cette formule est dmontre dans <cit.> (thorme 13 et page 28) et <cit.> (thorme 3.2). Lorsque la varit de Shimura n'est pas compacte, la formule est le thorme 6.26 de <cit.>.
		
		La deuxime tape consiste  montrer que les reprsentations
		
    lim_K_J_b(_p)^t (H_c^s(ℳ_K, _ℓ(D_K)),H_c^r(Ig(b) ))

		sont des induites paraboliques (<cit.>  et <cit.>).	
	
	
		Pour H un groupe rductif p-adique et V un H-module. On dfinit la partie supercuspidale de V par la formule V_cusp = ⊕_e e · V o e parcourt les idempotents du centre de Bernstein de H associs aux classes d'quivalences inertielles des reprsentations supercuspidales de H.
	
	Dans la suite, on notera H^i_c((b_0), RΨ_η (ℒ_ξ))_p-cusp et H^i_c(, ℒ_ξ)_p-cusp pour les parties G(_p)-supercuspidales de la cohomologie. Le corollaire suivant est une consquence du thorme <ref> et du thorme <ref>. 
	 
		On a des isomorphismes :
		
    H^i_c((b_0), RΨ_η(ℒ_ξ))_p-cusp≃ H^i_c(, ℒ_ξ)_p-cusp
	  
		o b_0 dsigne la classe basique.
	
	
	

 §.§ Uniformisation rigide
 
	
	Soit S_K^p = S_K^p×_Spec(𝒪_E_p)_p^2 la fibre spciale de S_K^p. Le schma S_K^p est alors stratifi par le polygone de Newton du cristal muni de structures additionnelles. Plus prcisment, pour chaque point x = (A_0, λ_0, ι_0, η_0) dans S_K^p(_p), on note (X_x, ι, λ) le groupe p-divisible muni d'une action de 𝒪_E et d'une polarisation p-principale, associ  x ainsi que (N_x, ι, ⟨· | ·⟩) l'isocristal associ. Si b ∈ B(G__p, μ__p) on pose alors: 
	
    S_K^p(b) = { x ∈S_K^p(_p) | (N_x, ι, ⟨· | ·⟩) ≃ (V__p⊗__p_p, b⊗σ, ⟨· | ·⟩ ) }

	
	On a la stratification: 
    S_K^p = ∐_b ∈ B(G__p, μ__p) S_K^p(b)
 et si y ∈ B(G__p, μ__p) est fix alors
	∐_ b ≺ y S_K^p(b)  est un ferm dans S_K^p.
	
	Soient maintenant y = (A_y, λ_y, ι_y, η_y ) un point gomtrique dans la strate basique (cf <ref>) ainsi que (𝕏, ι, λ) le groupe p-divisible muni d'une action de 𝒪_E et d'une polarisation p-principale associ.
	
	Nous notons ℳ le problme de module associ au groupe p-divisible (𝕏, ι, λ). Par dfinition, le groupe J(_p) := J_b_y(_p) agit  gauche sur ℳ.
	
	On pose ϕ la classe d'isognie du triplet (A_y, λ_y, ι_y) et  I^ϕ = (A_y, λ_y, ι_y)  le groupe rductif sur  associ. Le groupe I^ϕ() agit par quasi-isognies sur le groupe p-divisible (A_y[p^∞], λ, ι), ce qui donne une injection I^ϕ() ↪ J(_p), en particulier, I^ϕ() agit sur ℳ. De plus, l'action de I^ϕ() sur le module de Tate H_1(A_y, _f^p) donne une injection I^ϕ() ↪ G(_f^p). 
	
	A ϕ est associ l'ensemble
	S̃(ϕ)(_p) = { z ∈S(b)(_p) | la  classe  d'isognie  de   (A_z, λ_z, ι_z) ∈ϕ}. On peut munir S̃(ϕ)(_p) d'une structure de sous-schma ferm rduit.
	
	(6.23 de <cit.>)
		Il y a une uniformisation de schmas formels sur (𝒪__p)
		
    I^ϕ() ∖ ( ℳ× G(_f^p) / K^p )      (S_K^p⊗_𝒪_E_p𝒪__p ) /_S̃(ϕ)

		
		Lorsque K^p varie les diffrents isomorphismes d'uniformisation sont compatibles et commutent  l'action de G(_f).	
	
	
	
	En suivant <cit.>, on travaille avec les espaces rigides ds qu'on n'est plus en niveau maximal. Pour chaque K^p ⊂ G(_f^p) on note:
	
		
  - S_K^p^∧ le complt p-adique du schma S_K^p⊗_𝒪_E_p𝒪__p ainsi que (S^∧_K^p)^an l'espace analytique associ.
		
  - ^an_C_0K^p l'espace analytique sur _p associ  la varit algbrique _C_0K^p⊗_p.
	
	
	
		Nous noterons
		_C_0K^p^an(ϕ) = ((S_K^p)^∧_/ S̃(ϕ))^an
		la fibre  gnrique du schma formel complt de S le long de S̃(ϕ).
		
		Si K_p ⊂ C_0,  K = K_pK^p nous noterons
		_K^an(ϕ) =  Θ^-1_C_0K^p, K(_C_0K^p^an(ϕ))
		(un ouvert analytique de (_K)^an) o Θ_C_0K^p, K est le morphisme de changement de niveau.
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		Pour K = K_p K^p variable il y a des isomorphismes compatibles d'espaces analytiques sur _p:
		
    I^ϕ() ∖ (ℳ_K_p× G(_f^p)/ K^p ) _K^an(ϕ).

		
		Remarquons que la varit de Shimura n'est pas ncessairement compacte.
	
	
	
	
	Soit comme prcdemment b_0 la classe basique dans B(G__p, μ__p). Pour chaque classe d'isognie ϕ = du triplet (A_y, λ_y, ι_y), on note b(ϕ) l'unique lment dans B(G__p, μ__p) correspondant  la classe d'isognie du groupe p-divisible avec structures additionnelles de (A_y, λ_y, ι_y). Rappelons les faits suivants (cf <cit.>, (6.34)): 
	
		
  - l'ensemble {ϕ | b(ϕ) = b_0 } est fini,
		
  - ∀ϕ tel que b(ϕ) = b_0, I^ϕ est une forme intrieure de G, plus prcisment 
		
			
  - I^ϕ(_p) = J_b(_p) et ∀ l ≠ p on a I^ϕ(_ℓ) = G(_ℓ),
			
  - I^ϕ() est la forme intrieure compacte modulo le centre de G(). 
		
	 
	
	Notons 𝒜(I^ϕ) l'espace des reprsentations automorphes de I^ϕ (on tient compte des multiplicits) ainsi que 𝒜_ξ^ϕ l'espace des formes automorphes sur I^ϕ de type ξ̆'  l'infini au sens o 
	
    𝒜_ξ^ϕ = _I^ϕ() (ξ̆' ,𝒜(I^ϕ))

	o ξ' : I^ϕ() ↪ I^ϕ() = G()  GL(V).
	
	Supposons maintenant que ξ est irrductible. Le groupe de Lie I^ϕ() tant anisotrope modulo son centre, pour un sous-groupe compact ouvert K^p de G(_f^p) on a
	
    (𝒜_ξ^ϕ)^K^p = ⊕_Π∈𝒜(I^ϕ) 
    Π_∞ = ξ̆Π_p ⊗ (Π^p)^K^p

	
	 <cit.> 
		Il y a une suite spectrale G(_f) × W_E_p-quivariante
		
    E_2^tq = | ^1 (, G) | ∑_Π∈𝒜(I^ϕ) 
    Π_∞ = ξ̆( lim_K^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(D)), Π_p )  )_p-cusp⊗ (Π^p)
 
		dont l'aboutissement est ( H^t+q_c(, ℒ_ξ) )_p-cusp et o D est la dimension de la varit de Shimura. 
	
	
		Tout d'abord on a un isomorphisme pour tous t et q (<cit.> page 75)
		
    ^t__b(_p) (H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ), (𝒜_ξ^ϕ)^K^p) ≃∑_Π∈𝒜(I^ϕ) 
    Π_∞ = ξ̆^t__b(_p) (H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ), Π_p) ⊗ (Π^p)^K^p.

		
		D'aprs le corollaire 4.3.15 de <cit.>, on a la suite spectrale G(_f) × W_E_p-quivariante
		
    E_2^tq = | ^1 (, G) | ∑_Π∈𝒜(I^ϕ) 
    Π_∞ = ξ̆( lim_K^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(D)), Π_p ) ) ⊗ (Π^p)

		dont l'aboutissement est lim_K H^t+q(_K^an(b_0), ℒ_ξ^an).
		
		D'autre part la strate basique est propre, en utilisant la proposition 6.9.4 de <cit.> on a une galit de groupes de cohomologie
		
    lim_K H^t+q(_K^an(b_0), ℒ_ξ^an) = lim_K H^t+q_c(S_K(b_0), RΨ(ℒ_ξ)) = H^t+q_c((b_0), ℒ_ξ).

		
		Or le corollaire <ref> donne une galit H^t+q_c((b_0), ℒ_ξ)_p-cusp = H^t+q_c(, ℒ_ξ)_p-cusp. On en dduit alors la suite spectrale voulue.
	
	
	

§ CLASSIFICATION DES REPRSENTATIONS AUTOMORPHES POUR LES GROUPES UNITAIRES

	Le but de cette section est de rappeler, dans le cas des groupes unitaires, les formules de multiplicit locales et globales dans <cit.> et <cit.>, c.f. les thormes <ref> et <ref>. Nous nous intresserons aux paquets cuspidaux lesquels sont classifis dans <cit.>. 
	Notons que pour passer des groupes unitaires aux groupes de similitudes unitaires, on devra supposer que n est impair. Le rsultat nouveau de cette section est la proposition <ref> qui sera utilise dans la preuve du thorme principal dans la section <ref>.
	
	
	

 §.§ Groupes unitaires et leurs formes intrieures

	Soit F un corps local ou global de caractristique 0 et F une clture algbrique. On note Γ le groupe de Galois de F / F. On se donne un groupe rductif G dfini sur F.
	
	Une forme intrieure de G est un groupe rductif G_1 dfini sur F et muni d'un isomorphisme ϱ : G ×F⟶ G_1 ×F tel que pour tout σ∈Γ, l'automorphisme ϱ^-1σ (ϱ) = ϱ^-1∘σ∘ϱ∘σ^-1 est intrieur. 
	L'application ϱ⟼ϱ^-1σ(ϱ) tablit un isomorphisme entre l'ensemble des classes d'isomorphismes des formes intrieures de G avec H^1(Γ, G_ad) o G_ad = G/Z et Z est le centre de G.	
	
	
	Soit E/F une extension quadratique de corps, notons U_E/F(n) le groupe unitaire quasi-dploy en n variables associ. On a :
	
		
  - Lorsque F est un corps p-adique alors
		H^1(Γ, U_E/F(n)_ad) =  / δ o δ = 1 si n est impair et δ = 2 si n est pair
		
  - Lorsque F = alors
		H^1(Γ, U_E/F(n)_ad) = {{p,q} | 0 ≤ p,q ≤ n,  p+q = n }
	
	
	Une forme intrieure pure est un couple (ϱ, z) : G ⟶ G_1 o ϱ : G ⟶ G_1 est une forme intrieure et z est un cocycle dans Z^1(Γ, G) tels que ϱ^-1σ(ϱ) = Ad(z_σ). 
	L'application (ϱ, z) ⟼ z tablit alors une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphismes de formes intrieures pures et H^1(Γ, G).
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	On aura besoin de la notion de forme intrieure tendue. La dfinition tant technique, on donne seulement une description explicite dans le cas qui nous intresse. En fait, dans <cit.>, Kottwitz a construit un ensemble B(F, G) pour F un corps local ou global ainsi qu'un sous-ensemble B(F, G)_bs contenant les lments basiques. Les classes d'isomorphisme des formes intrieures tendues de G sont en bijection avec B(F,G)_bs (<cit.> page 16, ligne 23). Par la suite, on essaie de caractriser B(F,G)_bs.
	
	Pour F un corps local il y a une application canonique :
	
    κ_G : B(F, G)_bs⟶ X^*(Z(G)^Γ)

	qui est une bijection si F est un corps p-adique.
	
	Lorsque F est un corps global, pour chaque place v de F, il y a un morphisme de localisation B(F, G) ⟶ B(F_v, G) qui prserve le caractre d'tre basique.
	
	Si l'on choisit une place de F sur chaque place de F, les morphismes de localisation donnent un morphisme :
	
    B(F, G)_bs⟶∏_v B(F_v, G)_bs

	o ∏ dsigne l'ensemble des lments dans le produit direct dont les composantes  presque toutes les places v sont gales  l'lment neutre de B(F_v, G)_bs. On peut montrer que le noyau de (<ref>) est en bijection avec ^1 (F, G). De plus, l'image de (<ref>) est gale au noyau de la composition suivante :
	
    ∏_v  B(F_v, G)_bs⊕_v X^*(Z(G)^Γ_v)  X^*(Z(G)^Γ).

	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	  (<cit.> sec. 0.3.3) Formes intrieures tendues de groupes unitaires
		
		Pour U_E/F(n) un groupe unitaire en n variables on a : X^*(Z(U_E/F(n))^Γ) ≃ / 2.
		
		On suppose tout d'abord que F est un corps local et dans ce cas-l on a une bijection  
		
    H^1(Γ, U_E/F(n)) ⟶ B(F, U_E/F(n))_bs.

		
			
  ∙ Lorsque F est p-adique on a :
			
    H^1(Γ, U_E/F(n)) ≃ B(F, U_E/F(n))_bs≃ / 2

			
  ∙ Lorsque F =, on a H^1(Γ, U_/ (n)) = { (p,q) | 0 ≤ p,q ≤ n,  p+q = n } et H^1(Γ, U_ / (n)_ad) est le quotient de cet ensemble par la relation (p, q) ∼ (q, p). Le morphisme (<ref>) est donn par H^1(Γ, U_/ (n)) ⟶ / 2, (p, q) ⟼ ([n/2] + q)  mod 2.
		
		
		De plus pour le groupe linaire gnral, l'application (<ref>) devient un isomorphisme 
		
    B(F, GL_n)_bs.

		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		Pour E un corps de nombres CM dont F est le sous-corps totalement rel, on peut donc montrer que (<ref>) est injectif (<cit.>, page 18 ligne 2). L'ensemble B(F, U_E/F(n))_bs s'identifie avec le noyau de (<ref>). D'aprs la discussion pour les groupes linaires et unitaires locaux, on a la description suivante. 
		
		Pour chaque place v de F, on note Ξ_v la classe d'isomorphisme des formes intrieures tendues de U_E/F(n) dont a_v est l'invariant. On a alors
		a_v ∈  si v est finie et dcompose ;
		a_v ∈ / 2 si v est finie et inerte ;
		a_v ∈ / 2 si v est relle.
		  (<cit.> section 0.3.3)
			La collection (Ξ_v)_v est dans l'image de (<ref>), i.e la localisation d'une forme intrieure tendue globale si et seulement si a_v = 0 pour presque tout v et la somme des images de a_v mod 2 est gale  0 mod 2.
			
	
	
	
	

 §.§ Formalisme des paramtres
 
	
	On commence par considrer le cas d'un corps local F. Considrons le groupe de Langlands local L_F := W_F si F est archimdien et W_F × SU(2) dans le cas non archimdien. On pose galement LG = G⋊ W_F comme un groupe topologique o G est le groupe dual de Langlands de G.
	
		Un L-paramtre local pour un groupe rductif connexe G dfini sur F, est un morphisme continu ϕ : L_F ⟶LG qui commute avec les projections canoniques de L_F et LG sur W_F et tel que ϕ envoie les lments semisimples sur des lments semisimples.
	
	Deux L-paramtres sont quivalents s'ils sont conjugus par un lment de G. On note Φ(G) l'ensemble des classes d'quivalences de L-paramtres.
	
		Soit ϕ∈Φ(G) un L-paramtre.
		
			
  - ϕ est born si son image dans ^LG se projette dans un sous-ensemble relativement compact de G.
			
  - ϕ est discret (ou de carr intgrable) si son image n'est contenue dans aucun sous-groupe parabolique propre de ^LG.
		
	 
	On note Φ_bdd(G) (resp. Φ_2(G)) le sous-ensemble des L-paramtres borns (resp. discrets). On considrera aussi l'ensemble Φ_2, bdd := Φ_bdd(G) ∩Φ_2(G). On note  Π_temp(G) (resp. Π_2(G)) l'ensemble des reprsentations tempres (resp. essentiellement de carr intgrable) de G(F). De manire similaire on pose Π_2, temp := Π_2 (G) ∩Π_temp (G) l'ensemble des reprsentations de carr intgrable.
	
	On aura besoin de la notion de A-paramtres qui joueront le rle des composantes locales dans la classification globale.
	
	
		Un A-paramtre local pour un groupe rductif connexe G dfini sur F est un morphisme continu ψ : L_F × SU(2) ⟶LG tel que ψ |_L_F est un L-paramtre born.  
	   
	Comme pour les L-paramtres, la condition d'quivalence entre les A-paramtres est dfinie par G-conjugaison. On note Ψ(G) l'ensemble des classes d'quivalences de A-paramtres. On note galement Ψ^+(G) l'ensemble des classes d'quivalences de morphismes continus ψ comme ci-avant mais o ψ |_L_F n'est pas ncessairement born. Un A-paramtre ψ (ou ψ∈Ψ^+(G)) est gnrique si ψ |_SU(2) est trivial. 
	
	
	Donnons une description plus en dtails de ces notions pour G = GL(n). Afin d'allger les notations, on notera Φ (n) := Φ(GL(n)), Π (n) := Π(GL(n)) et de mme pour les autres ensembles de reprsentations. On posera Φ_sim(n) := Φ_2(n). La correspondance de Langlands locale peut s'crire de manire informelle comme suit.
	 <cit.> <cit.>, <cit.>
		Il y a une unique bijection <<arithmtique>> ϕ⟼π de Φ(n) dans Π (n) dite de Langlands locale qui respecte en particulier les sous-ensembles suivants
		
    Φ_sim,bdd (n)   ⊂  Φ_bdd (n)   ⊂  Φ (n)
 
		
    Π_2, temp (n)   ⊂  Π_temp(n)   ⊂  Π (n)

	   
	
		<<Arithmtique>> signifie respecter facteurs L et ϵ de paires. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Pour les groupes unitaires, les L-paramtres et A-paramtres dans le cas quasi-dploy U_E/F (n) sont relis  ceux du groupe GL(n) via un morphisme de changement de base. 
	
	Pour chaque κ∈{± 1 }, on peut dfinir un ensemble 𝒵_E^κ (cf <cit.> p.8, (2.1.5), (2.1.6)). Choisissons χ_κ∈𝒵_E^κ, on a un morphisme de changement de base (cf <cit.> p.9) : 
	
    η_χ_κ : LU_E/F(n)⟶LG_E/F(n)

	
	
	
	o G_E/F(n) = _E/F(GL_E(n)).
	
	On obtient donc une application :
	
    η_χ_κ, * : Φ (U_E/F(n))    ⟶Φ(G_E/F(n)) = Φ_E (n) 
    ϕ   ⟼η_χ_κ∘ϕ

	et de mme pour les A-paramtres
	
    η_χ_κ, * :  Ψ (U_E/F(n))    ⟶Ψ(G_E/F(n)) = Ψ_E (n) 
    ψ   ⟼η_χ_κ∘ψ.

	
	Pour ϕ∈Φ (U_E/F(n)), le L-paramtre dans Φ_E (n) qui correspond  η_χ_κ∘ϕ, est ϕ_| L_E⊗χ_κ. En particulier, si κ = 1 et χ_κ = 1 alors η_χ_κ∘ϕ est juste la restriction de ϕ sur L_E.
	
	Les applications η_χ_κ, * ci-dessus sont injectives et on cherche  dcrire leurs images. Soit c un morphisme dans W_F relevant le morphisme non trivial de Gal(E/F). Il y a une inclusion W_F ↪ L_F et on peut faire agir c sur L_E par conjugaison. On dfinit ρ^c(g) := ρ (cgc^-1) et de plus on pose ρ^* := (ρ^c)^∨ pour toute reprsentation ρ : L_E ⟶ GL(n, ).
	
		Un paramtre ψ∈Ψ_E(n) est appel conjugu auto-dual si ψ = ψ^*. Les ensembles des paramtres conjugus auto-duaux dans Φ_E(n) et Ψ_E(n) sont nots Φ_E(n) et Ψ_E(n) respectivement. 
	 
	Dsormais nous notons simplement Φ(n) au lieu de Φ_E(n) (et similairement pour les autres ensembles de paramtres) lorsque le contexte est clair.
	
	
	
	
	
	
	
		Un paramtre auto-dual ρ est de parit η o η = ± 1 s'il existe une forme bilinaire non dgnre B ⟨· | ·⟩ sur V de sorte que B⟨ρ^c(g)x, ρ(g)y ⟩ = B ⟨ x, y ⟩ et que B ⟨ x,y ⟩ = η B ⟨ y, ρ(c^2)x ⟩.
	
	Il est clair que les images des applications η_χ_κ, * consistent en des paramtres conjugus auto-duaux. 
	
	 (<cit.> lemme 1.2.5) 
		Les applications η_χ_κ, * induisent une bijection entre la pr image de Φ_sim(n) (resp. de Ψ_sim (n)) et l'ensemble des paramtres conjugus auto-duaux avec parit (-1)^n-1κ dans Φ_sim (n) (resp. dans Ψ_sim (n)).
	 
	
		On pose Φ_sim(U_E/F(n)) := η_χ_κ *^-1 (Φ_sim(n)) (resp.Ψ_sim(U_E/F(n)) := η_χ_κ *^-1 (Ψ_sim(n))), l'ensemble des L-paramtres simples (resp. l'ensemble des A-paramtres simples).
	
	Pour chaque A-paramtre ψ∈Ψ^+(G) on dfinit des groupes centralisateurs comme ci-dessous, qui jouent un rle important dans la classification locale et globale:
	
    S_ψ := Cent(Imψ, G),   S_ψ := S_ψ / Z(G)^Γ,   𝒮_ψ := π_0 (S_ψ),
  
	
    𝒮_ψ := π_0 (S_ψ),    S_ψ^rad := (S_ψ∩G_der)^0,    S_ψ^♮ := S_ψ / S_ψ^rad.

	
	On va maintenant donner une description explicite du centralisateur S_ψ pour ψ∈Ψ^+(U_E/F(n)). Posons ψ^n := η_χ_κ, * (ψ) qui s'crit sous la forme
	
    ψ^n = ⊕_k ∈ Kℓ_k ψ_k^n_k

	o les ψ_k^n_k sont des reprsentations irrductibles deux  deux non isomorphes de L_E. Puisque ψ^n est auto-dual, il y a une involution * de K telle que ψ_k^*^n_k^* = (ψ_k^n_k)^*. Alors ψ^n s'crit sous la forme :
	
    ψ^n = ( ⊕_i ∈ I_ψ^nℓ_i ψ_i^n_i) ⊕( ⊕_j ∈ J_ψ^nℓ_j(ψ_j^n_j⊕ (ψ_j ^n_j)^* ) ).

	o I_ψ^n est l'ensemble des points fixes dans K de l'involution *. On voit alors que : 
	
    S_ψ = ∏_i ∈ I^+_ψ^n O(ℓ_i, ) ×∏_i ∈ I^-_ψ^n Sp( ℓ_i,  ) ×∏_j ∈ J_ψ^n GL (ℓ_j, )

	o i ∈ I_ψ^n appartient  I^+_ψ^n si la parit de ψ_i est gale  κ (-1)^n-1 et  I^-_ψ^n sinon.
	
	D'autre part le groupe Z(G)^Γ = {± 1 } est envoy diagonalement dans le membre de droite ci-dessus de sorte que: 
	
    𝒮_ψ≃ S_ψ^♮≃ ( / 2 )^| I^+_ψ^n |  et  𝒮_ψ≃{[       ( / 2 )^| I^+_ψ^n | si ∀ i ∈ I^+_ψ^n 2 | ℓ_i,;   ( / 2 )^| I^+_ψ^n | - 1                    sinon. ].

	
	
	
	Dans le cas o F =, E =, L_ = W_ = ^×, rappelons la description des paramtres discrets. Comme prcdemment on a un morphisme de changement de base 
	
    η_χ_κ : LU_ /  (n) ⟶LG_ /  (n)

	via lequel on associe  ϕ∈Φ(U_ / (n)) un paramtre ϕ^n = η_χ_κ *ϕ : L_⟶ GL_n().
	
	Soit ϕ∈Φ_2(U_ / (n)) alors ϕ^n s'crit sous la forme 
	ϕ^n = η_1 ⊕⋯⊕η_n
	o les η_i sont des caractres auto-duaux deux  deux disjoints de ^×. En gnral, un tel caractre est de la forme η : z ⟼ (z / z)^a avec a ∈1/2. Si η_i(z) = (z/ z)^a_i alors on introduit le n-tuple 
	μ_ϕ^n := (a_1, ⋯ a_n)
	appel le caractre infinitsimal de ϕ^n. Si χ_κ(z) = (z / z)^c alors le caractre infinitsimal de ϕ est donn par la formule
	μ_ϕ := (b_1, ⋯ b_n)
	o b_i = a_i - c.
	 
		Notons d(μ_ϕ) = min{min_i(b_i), min_i ≠ j(| b_i - b_j |) } et de mme pour μ_ϕ^n. Le caractre infinitsimal de ϕ est suffisamment rgulier si d(μ_ϕ) > 0.
	 
	
	Supposons dsormais que F est un corps de nombres et E une extension quadratique de F. On va dfinir de manire formelle les notions de L-paramtre pour le groupe unitaire quasi dploy U_E/F(n) en partant des reprsentations cuspidales des groupes linaires gnraux.
	
	
	On commence par dfinir Ψ_glb,sim(n) comme l'ensemble des produits tensoriels formels π⊠ν o π est une reprsentation automorphe cuspidale de GL_m(𝔸_E) et ν une reprsentation algbrique de SL_2() de dimension d et on demande de plus que n = m · d. Plus gnralement on dfinit Ψ_glb(n) comme l'ensemble des objets sous forme d'une somme directe formelle non ordonne 
	
    π = l_1 (π_1 ⊠ν_1) ⊞⋯⊞ l_r (π_r ⊠ν_r)

	o l_i ≥ 1 est un entier, les π_i ⊠ν_i ∈Ψ_glb,sim(n_i) sont deux  deux distincts et n = l_1 · n_1 + ⋯ + l_r · n_r.  
	
	Un paramtre global sera dit gnrique si pour chaque facteur simple π_i ⊠ν_i, le facteur ν_i est la reprsentation triviale de SL_2(). On note Φ_glb (n) l'ensemble des paramtres globaux gnriques. 
	
	
	Soit π une reprsentation automorphe cuspidale de GL_m(𝔸_E), on pose π^* := (π^c)^∨ o π^c := π∘ c avec c le morphisme de conjugaison de Galois de E sur F et (π^c)^∨ est la contragrdiente de π^c. Plus gnralement, si π = π_1 ⊠ν_1 ∈Ψ_glb,sim (n) alors on pose (π)^* := π_1^*⊠ν_1 et un π∈Ψ_glb,sim (n) est dit autodual si π = (π)^*.
	
	Maintenant si π = (l_1 π_1 ⊠ν_1) ⊞⋯⊞ (l_r π_r ⊠ν_r) ∈Ψ_glb (n), on dit que π est autodual s'il existe une involution i ⟼ i^* de { 1, ⋯ , r } telle que (π_i ⊠ν_i)^* = π_i^*⊠ν_i^* et l_i = l_i^*.
	
	L'ensemble des paramtres autoduaux (resp. autoduaux simples) de Ψ_glb(n) (resp Ψ_glb, sim(n)) sera not   Ψ_glb(n) (resp Ψ_glb,sim(n)). 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	On a besoin de la construction suivante qui nous servira de substitution au groupe de Langlands global: pour la construction dtaille, voir <cit.> (p.22-23) et <cit.> (p.68).
	 <cit.>, <cit.>
		Soit ψ∈Ψ_glb(n) comme ci-dessus, il existe un groupe ℒ_ψ et un morphisme[On rappelle que G_E/F(n) = _E/F(GL_E(n)).] :
		
    ψ : ℒ_ψ× SL_2() ⟶LG_E/F(n).

	 
	
		On dfinit l'ensemble des paramtres Ψ (U_E/F(n), η_χ_κ ) comme l'ensemble des couples (ψ^n, ψ) o ψ^n ∈Ψ_glb(n) et ψ : ℒ_ψ^n× SL_2() ⟶L(U_E/F(n)) est un morphisme tel que ψ^n = η_χ_κ∘ψ. Un paramtre ψ = (ψ^n, ψ) est gnrique si ψ^n l'est.	   
	
	Notons que ψ est entirement dtermin par η_χ_κ et ψ^n. 
	
	Comme auparavant on peut dfinir le centralisateur et ses variantes pour un paramtre ψ = (ψ^n, ψ). On note ϵ_ψ le caractre d'Arthur de 𝒮_ψ, cf <cit.> p.15.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Afin de dcrire ces groupes en dtails, on considre la dcomposition de ψ^n sous la forme
	
    ψ^n = (_i ∈ I^+_ψ^n l_i ψ^n_i_i ) ⊞(_i ∈ I^-_ψ^n l_i ψ^n_i_i ) ⊞( _j ∈ J_ψ^n l_j(ψ^n_j_j ⊞ψ^n_j^*_j^* ) )

	o i ∈ I_ψ^n appartient  I^+_ψ^n ou  I^-_ψ^n selon la parit de ψ^n_i_i (ce qui est li  sa fonction L d'Asai). (<cit.> p.69). 
	
	On a alors :
	
	
    S_ψ = ∏_i ∈ I^+_ψ^n O(l_i, ) ×∏_i ∈ I^-_ψ^n Sp( l_i,  ) ×∏_j ∈ J_ψ^n GL (l_j, ).

	
	D'autre part le groupe Z(G)^Γ = {± 1 } est envoy diagonalement dans le membre de droite ci-dessus. Alors on voit que (<cit.> page 69)
	
    𝒮_ψ≃ S_ψ^♮≃ ( / 2 )^| I^+_ψ |  et  𝒮_ψ≃{[       ( / 2 )^| I^+_ψ^n | si ∀ i ∈ I^+_ψ^n 2 | l_i,;   ( / 2 )^| I^+_ψ^n | - 1                    sinon. ].

	
		On pose Ψ_2 (U_E/F(n), η_χ_κ ) le sous-ensemble des paramtres discrets, i.e de la forme ψ = (ψ^n, ψ) o ∀ i ∈ I^+_ψ^n, l_i = 1 et ∀ j ∈ I^-_ψ^n⋃ J_ψ^n, l_j = 0 (cf (<ref>)).
	
	Localisation d'un paramtre global  

	∙ On commence avec les groupes GL(n). Considrons une reprsentation automorphe cuspidale π de GL(n) et v une place de F. La correspondance de Langlands local associe  π_v un A-paramtre gnrique ψ_π_v∈Ψ^+ (GL(n, F_v)). Ce processus nous permet de dfinir une application de localisation 
	
	
    [                                    Ψ_glb (n)                                            ⟶                                    Ψ^+_v (n);              l_1(π_1 ⊠ν_1) ⊞⋯⊞ l_r(π_r ⊠ν_r)                                            ⟼ l_1 (ψ_(π_1)_v⊠ν_1) ⊞⋯⊞ l_r (ψ_(π_r)_v⊠ν_r). ]

	∙ Considrons maintenant les groupes U_E/F(n). Fixons κ∈{± 1 } avec un caractre χ_+∈𝒵_E^+ et χ_-∈𝒵_E^-. Soit ψ = (ψ^n, ψ) ∈Ψ(U_E/F(n), η_χ_κ) un paramtre global.
	
	
	
	
	 <cit.> prop 1.3.3.
		Pour chaque ψ∈Ψ(U_E/F(n), η_χ_κ), il existe un paramtre local ψ_v ∈Ψ^+(U_E_v / F_v(n)) tel que ψ^n_v = η_χ_κ∘ψ_v
		
    ψ^n_v =  L_F_v× SU(2) LU_E_v / F_v(n) LG_E_v / F_v (n).

		Le paramtre local ψ_v est unique  isomorphisme prs.
	 
	
	On peut utiliser cette proposition pour dfinir le diagramme commutatif suivant
	

		[scale = 1]
			(-1,0) node L_F_v× SU(2);
			(3,0) node LU_E_v/F_v(n);
			(7,0) node LG_E_v/F_v(n);
			(11,0) node W_F_v;
			(-1,-1.5) node ℒ_ψ× SL(2, );
			(3,-1.5) node LU_E/F(n);
			(7,-1.5) node LG_E/F(n);
			(11,-1.5) node W_F;
			[->] (-1,-0.4) – (-1,-1.15);
			[->] (3, -0.4) – (3,-1.15);
			[->] (7, -0.4) – (7,-1.15);
			[->] (11, -0.4) – (11,-1.15);
			[->] (4.2, 0) – (6,0)node [midway, above]η_χ_κ;
			[->] (4.2, -1.5) – (6,-1.5)node [midway, above]η_χ_κ;
			[->] (8.2, 0) – (10.3,0);
			[->] (8.2, -1.5) – (10.3,-1.5);
			[->] (0.2,0) – (2,0) node [midway, above]ψ_v;
			[->] (0.2, -1.5) – (2, -1.5) node [midway, above]ψ;
			[->] [domain=-1:7] plot (, -0.05 * * + 6 * 0.05 *+ 7*0.05 + 0.5 );
			(3, 1.6) node ψ^n_v;
			[->] [domain=-1:7] plot (, 0.05 * * - 6 * 0.05 *- 7*0.05 - 2 );
			(3, -2.4) node ψ^n;
		
	

	
	Le diagramme commutatif ci-dessus nous permet de dfinir les morphismes de localisation pour les centralisateurs. Le second morphisme vertical envoie (ψ_v) dans (ψ) induisant alors 
	
    S_ψ⟶ S_ψ_v,       𝒮_ψ⟶𝒮_ψ_v,        S_ψ^♮⟶ S_ψ_v^♮.

	
	 
		
			
  ∙ Si ψ∈Ψ(U_E/F(n), η_χ_κ) est un paramtre global gnrique alors les paramtres locaux ψ_v le sont pour toute place v.
			
  ∙ Les deux premiers morphismes de localisation sont injectifs.
		
	
	
	

 §.§ Formules de multiplicit pour les groupes unitaires
 
	Soient F un corps local et E/F une extension quadratique. On a un unique groupe unitaire quasi-dploy U^* := U_E/F (n). Considrons une forme intrieure tendue (ϱ, z) : U^*  ⟶ U. La donne (ϱ, z) dfinit un caractre χ_z ∈ X^*(Z(U)^Γ) via (<ref>). Considrons un paramtre ψ∈Ψ(U^*) et les centralisateurs associs 
	
    Z(U)^Γ↪ S_ψ↠ S^♮_ψ
  
	
	On note Irr (S^♮_ψ, χ_z) l'ensemble des caractres de S^♮_ψ dont le tir en arrire via (<ref>) induit le caractre χ_z. Rappelons galement que Π_unit (U) (resp. Π_temp (U), resp. Π_2, temp (U)) est l'ensemble des reprsentations unitaires (resp. tempres, resp. de carr intgrable).
	
	 (<cit.> thorme 1.6.1) 
		
			
  * Soit ψ∈Ψ (U^*). Il existe un ensemble fini Π_ψ(U,ϱ) muni d'un morphisme vers Π_unit(U). L'ensemble Π_ψ(U,ϱ) ne dpend pas de z et est muni d'une application
			
    Π_ψ(U,ϱ) ⟶Irr(S_ψ^♮, χ_z),     π↦⟨π, - ⟩_ϱ, z

			L'ensemble Π_ψ(U,ϱ) ainsi que ⟨-| -⟩_ϱ ,z dpendent seulement de la classe d'quivalence Ξ de (ϱ, z). Pour ψ un paramtre gnrique (i.e ψ∈Φ_bdd(U^*)), l'ensemble Π_ψ(U,ϱ) est non vide si et seulement si ψ est (U, ϱ)-relevant.
			
  * Supposons que ψ∈Φ_bdd(U^*), i.e ψ est gnrique, alors le morphisme Π_ψ(U,Ξ) ⟶Π_unit(U) est injectif et d'image contenue dans Π_temp(U). Si F est non archimdien alors l'application Π_ψ(U,Ξ) ⟶Irr(S_ψ^♮, χ_z) est une bijection.   
			
  * On a 
			
    Π_temp(U) = ∐_ψ∈Φ_bdd(U^*)Π_ψ(U,Ξ)     et    Π_2,temp(U) = ∐_ψ∈Φ_2,bdd(U^*)Π_ψ(U,Ξ).
 
		
	
	Intressons nous  prsent 
	classification globale. Soient E/F une extension quadratique d'un corps global F et (U, ϱ) une forme intrieure du groupe unitaire quasi-dploy U^* := U_E/F(n). On peut choisir z tel que (U, ϱ, z) est une forme intrieure tendue. On aimerait associer des paquets globaux Π_ψ(U, ϱ)  chaque paramtre ψ∈Ψ (U^*, η_χ_κ). Il existe un morphisme de localisation ψ⟼ψ_v de Ψ (U^*, η_χ_κ)  Ψ^+_unit (U^*_v). D'aprs le thorme <ref>, pour chaque ψ_v ∈Ψ(U^*_v), on a un paquet Π_ψ_v(U_v, ϱ_v) muni d'une application
	
    Π_ψ_v(U_v,ϱ_v) ⟶Irr(S_ψ_v^♮, χ_z),     π_v ↦⟨π_v, - ⟩_ϱ_v, z_v.
  
	
	Pour un A-paramtre ψ_v ∈Ψ^+_unit (U^*_v) ∖Ψ(U^*_v), on peut dfinir un paquet Π_ψ_v  (U_v, ϱ_v). L'ide de la construction consiste  descendre  un sous-groupe de Levi M_v de U_v de sorte que (ψ_v)_M_v appartienne  Ψ(M^*_v) (pas seulement  Ψ^+(M^*_v)) et on applique le thorme <ref> pour M_v et (ψ_v)_M_v∈Ψ(M^*_v). Pour plus de dtails, voir <cit.> page 32, 33 ou <cit.> section 1.6.4. 
	 
		
			
  ∙ Lorsque ψ_v n'est pas (U_v, ϱ_v)-relevant alors le paquet Π_ψ_v  (U_v, ϱ_v) est vide.
			
  ∙ Lorsque (U_v, ϱ_v) = (U_v^*, 1) est quasi-dploy alors ψ_v est toujours (U_v, ϱ_v)-relevant. Si de plus ψ_v est gnrique alors le paquet Π_ψ_v  (U_v, ϱ_v) est non vide.
		
	
	
	On pose
	
    Π_ψ(U, ϱ) := {⊗_v π_v : π_v ∈Π_ψ_v(U_v,ϱ_v), ⟨π_v, - ⟩_ϱ_v, z_v = 1   pour presque tout  v } .

	
		L'ensemble Π_ψ(U, ϱ) peut tre vide, notamment lorsque U n'est pas quasi-dploy et ψ n'est pas gnrique.
	
	Pour chaque π = ⊗_v π_v ∈Π_ψ(U, ϱ), on lui associe un caractre de S_ψ^♮ par la formule
	
    ⟨π,s ⟩_ϱ := ∏_v ⟨π_v, s_v ⟩_ϱ_v, z_v,    s ∈ S_ψ^♮

	o s_v dsigne l'image de s par le morphisme naturel S_ψ^♮⟶ S_ψ_v^♮.
	
	
	 
		Pour s ∈ Z(U^*)^Γ, on a ⟨π, s ⟩_ϱ = 1 (<cit.>, p. 89, premier paragraphe).
	
	
	 
		Soit Π_ψ(U, ϱ, ϵ_ψ) := {π∈Π_ψ ( U, ϱ ) : ⟨π , - ⟩_ϱ = ϵ_ψ} o ϵ_ψ est le caractre d'Arthur. Pour ψ un paramtre gnrique, ϵ_ψ≡ 1. 
	 
	 (<cit.> thorme 1.7.1) 
		Soient E/F une extension quadratique d'un corps global F et κ∈{± 1 } ainsi que χ_κ∈𝒵_E^κ. Soit (U, ϱ) une forme intrieure pure de U^*. Il existe un isomorphisme de U(𝔸_F)-modules
		
    L^2_disc(U(F) ∖ U(𝔸_F) ) ≃⊕_ψ∈Ψ(U^*, η_χ_κ) L^2_disc, ψ (U(F) ∖ U(𝔸_F) ).

		
		Si ψ = ϕ est gnrique alors 
		
			
  ∙ L^2_disc, ϕ (U(F) ∖ U(𝔸_F) ) = 0 si ψ∉Ψ_2(U^*, η_χ_κ).
			
  ∙ L^2_disc, ϕ (U(F) ∖ U(𝔸_F) ) ≃⊕_π∈Π_ϕ (U, ϱ, ϵ_ψ)π si ψ∈Ψ_2(U^*, η_χ_κ).
			
		En particulier si π est une reprsentation automorphe du groupe unitaire (U, ϱ) appartenant  un paquet global gnrique alors m_π = 1. 
	
	
		Ce thorme est le rsultat global principal de <cit.>. Pour la premire dcomposition consulter page 151 et pour la deuxime dcomposition, consulter page 205-206 de loc.cit. 
	
	
	
	
	
	Rsumons  prsent les rsultats principaux de Moeglin dans <cit.>, en particulier la classification des reprsentations supercuspidales des groupes unitaires p-adiques.
	
	Soit ψ un homomorphisme de W_E × SL_2() dans GL_n(). On suppose que ψ est semi-simple born sur W_E et continu. On suppose qu'il se dcompose en une somme de reprsentations irrductibles
	
	ψ = ⊕_ρ , aρ⊗σ_a
	
	o ρ est une reprsentation irrductible de W_E et σ_a est l'unique reprsentation irrductible de SL_2() de dimension a. 
	
	On dit que ψ est θ-discret s'il est sans multiplicit et pour toute ρ, la classe de conjugaison de ρ est invariante sous l'action de g ⟼_ρtg^-1_ρ^-1 o _ρ est la matrice antidiagonale de taille d_ρ = ρ avec  la place i l'lment (-1)^(i+1). On dit que ψ est stable si elle se prolonge en un homomorphisme de W_F × SL_2() dans le groupe dual de U_E/F(n).
	
	En fait, le morphisme η_χ_κ, * (voir <ref>) ralise une bijection entre Φ_2, bdd (U_E/F(n)) et l'ensemble des morphismes θ-discrets stables. De plus, si on note ψ = η_χ_κ, *^-1(ψ) alors on a S_ψ^♮ = (_GL_n()ψ)^θ. On a la classification suivante des sries discrtes des groupes unitaires p-adiques.
	 (5.7 de <cit.>)
		Il y a une bijection entre l'ensemble des paquets stables de sries discrtes de U_E/F(n) et l'ensemble des classes de conjugaison des morphismes θ-discrets et stables de W_E × SL_2() dans GL_n().
	 
	
	Ensuite on voudrait dterminer quels paquets contiennent des reprsentations supercuspidales. On aura donc besoin de la notion d'un morphisme sans trou et la construction d'un sous-groupe A(ψ) de (_GL_n()ψ)^θ.
	
	Soit ψ un morphisme θ-discret et stable. On note ψ[a] la composante isotypique de la reprsentation ψ, vue comme une reprsentation de SL_2(), pour la reprsentation irrductible de SL_2() de dimension a. Pour tout a, ψ[a] est une reprsentation de W_E. On dit que ψ est sans trou si pour tout a > 2, ψ[a] est une sous-reprsentation de ψ[a-2] en tant que reprsentation de W_E. 
	
	On dcompose ψ en reprsentations irrductibles et on considre un couple (ρ, a) de sorte que ρ⊗σ_a soit une sous-reprsentation de ψ. On suppose qu'il existe 0 ≤ b < a tel que b = 0 si a est pair et si b ≠ 0, ρ⊗σ_b soit aussi une sous-reprsentation de ψ. On note alors a_- le plus grand b vrifiant cette proprit. On note z_ρ ,a l'lment du centralisateur de ψ dans GL_n() dont les valeurs propres -1 ont exactement pour espace propre la somme ρ⊗σ_a ⊕ρ⊗σ_a_-. On note A(ψ) le sous-groupe du centralisateur de ψ engendr par ces lments z_ρ ,a.
	
	 (8.4.4 de <cit.>).
		Le paquet stable correspondant  ψ contient une reprsentation supercuspidale si et seulement si ψ est sans trou. Lorsque ψ est sans trou alors il existe un unique caractre ϵ_alt de A(ψ) tel que le nombre de reprsentations supercuspidales est le cardinal de l'ensemble des caractres de (_GL_n()ψ)^θ/ {, - } dont la restriction  A(ψ) vaut ϵ_alt. 
	
	
	Enfin, lorsque ψ : W_E × SL_2() ⟶ GL_n() est trivial sur SL_2(), on voit que ψ est une somme de reprsentations de la forme ρ⊗σ_1, en particulier A(ψ) est trivial. On en dduit le rsultat suivant qui nous sera utile pour la suite.
	  (C.Moeglin)
		Soit ϕ : W_F × SL_2() ⟶LU_E/F(n) un L-paramtre discret trivial sur SL_2(), alors le L-paquet Π_ϕ(U_E/F)(n) ne contient que des reprsentations supercuspidales.
	
	

 §.§ Une application  la globalisation des reprsentations locales
 Dans ce paragraphe, tous les groupes et paramtres globaux sont nots par un point ∙ au dessus. On suppose n impair. Le but est de montrer l'existence de reprsentations automorphes satisfaisant des proprits particulires. 
	
	
	Dcrivons tout d'abord le passage du groupe unitaire au groupe de similitudes unitaires. Soit F un corps totalement rel ainsi que E/F une extension quadratique. Supposons que V est un espace hermitien de dimension n relatif  l'extension E/F. Considrons ∙G = GU(V) le groupe de similitudes unitaires dfini sur  par
	
    ∙G(R) = { g ∈ GL(V ⊗ R) | <gv, gw> = ν (g) <v,w>,  v,w ∈ V ⊗ R }
 
	pour toute -algbre R et ν(g) ∈ R^×. Notons ∙U = U(V) le groupe unitaire associ.
	
	 (<cit.>). 
		Supposons que n est impair. Soit π une reprsentation automorphe irrductible de ∙G() dont la restriction  ∙U() contient une reprsentation automorphe irrductible σ. Si σ apparat avec multiplicit 1 dans le spectre discret de ∙U alors π apparat avec multiplicit 1 dans le spectre discret de ∙G. De plus, si χ est le caractre central de π alors π est la seule reprsentation automorphe de ∙G() contenant σ avec le caractre central χ.
	
	
	Soit G un groupe de similitudes unitaires non ramifi en n = 2k + 1 variables dfini sur _p et U ⊂ G le groupe unitaire noyau du facteur de similitudes. Soit K/_p l'extension quadratique non ramifie. On a une inclusion K^×↪ Z_G. 
	 
		On a une bijection entre les reprsentations irrductibles de G(_p) et les couples (π, χ) o π est une reprsentation irrductible du groupe unitaire U(_p) et χ un caractre de K^× tel que ω_π | K^×⋂ U(_p) = χ_| K^×⋂ U(_p). 
	
	Soit U^*_p le groupe unitaire p-adique quasi-dploy en n variables associ  l'extension quadratique E_p / _p puis ϕ_p ∈Φ_2(U_p^*) un L-paramtre discret.
	 (<cit.> prop. 4.4.1) 
		Supposons qu'il existe un corps CM de la forme ∙E = F^+𝒦 o 𝒦 est un corps quadratique imaginaire et 
		tel que ∙E_p = E_p. Alors il existe une place inerte w et un paramtre global ∙ϕ∈Φ_2(∙U^*) du groupe unitaire quasi-dploy ∙U^* en n variables associ  ∙E / F^+ tels que :
		 
			
  (i) ∙ϕ_p = ϕ_p et ∙ϕ_w ∈Φ_bdd (U_w^*)
			
  (ii) ∙ϕ_u est un paramtre discret pour toute u infinie.
			
  (iii) Les morphismes canoniques 
			S_∙ϕ⟶ S_∙ϕ_p et
			S_∙ϕ⟶ S_∙ϕ_w
			sont des isomorphismes.
			
	
	On utilise la mme construction que celle dcrite dans la proposition 4.4.1 de <cit.>. Dans la proposition 4.4.1 et 4.3.1 de loc.cit, les auteurs globalisent galement les groupes unitaires rels et ils supposent donc que le corps global possde au moins deux places infinies. Dans notre cas cette hypothse n'est pas ncessaire. 
	 On donne seulement les tapes principales.
		
		crivons η_χ_κ *ϕ_p = ϕ_p^n sous la forme d'une somme de paramtres simples de groupes linaires gnraux ϕ_p^n = ϕ^n_1_1,p⊕⋯⊕ϕ^n_r_r,p.
		
		 chaque ϕ^n_i_i, p on peut associer un groupe global ∙U(n_i) et un morphisme ∙η_χ_κ_i avec un unique signe κ_i de sorte que ϕ^n_i_i, p provient d'un L-paramtre ϕ_i,p dans Φ_2, bdd(∙U_p(n_i)) via le morphisme (∙η_χ_κ_i)_p. 
		
		Fixons une place inerte w et des paramtres simples deux  deux distincts ϕ_1, w, ⋯, ϕ_r, w de sorte que ϕ_i, w =ϕ_i,p.
		
		D'aprs le lemme 4.3.1 de loc.cit, pour chaque i ∈{ 1, ⋯, r } il existe un paramtre global simple ∙ϕ_i de sorte que
		
			
  ∙ (∙ϕ_i)_p = ϕ_i,p et (∙ϕ_i)_w = ϕ_i, w,
			
  ∙ (∙ϕ_i)_u est un paramtre discret rgulier et suffisamment rgulier dans le sens de <ref> si u est une place infinie.  
		 
		
		Construisons ensuite un L-paramtre global de GL(n) de la manire suivante
		
    ∙ ϕ^n = ∙  ϕ^n_1_1⊞⋯⊞∙  ϕ^n_r_r.
 	
		
		On montre que ∙ ϕ^n s'tend en un L-paramtre ∙ϕ dans Φ_2(∙U^*) en utilisant la compatibilit des signes κ_i avec la parit des ∙ϕ_i. On dmontre enfin les proprits (i), (ii) et (iii) par le mme argument que celui de la proposition 4.4.1 de <cit.>. Remarquons enfin que la condition impose sur les places infinies assure que le paramtre global est gnrique.
	
	
	Soit π_p une reprsentation de carr intgrable d'un groupe unitaire U_p p-adique[On rappelle que n tant impair alors U_p est quasi-dploy.] et π_p une reprsentation du groupe de similitudes unitaires correspondant telle que (π_p)_| U_p≃π_p. Supposons que ∙U est une forme intrieure de ∙U^* tel que ∙U_p = U_p et ∙U est quasi-dploy en toutes les places finies. tendons ∙U en une forme intrieure pure. D'aprs la proposition <ref>, il suffit d'tendre les groupes unitaires locaux en formes intrieures pures satisfaisant une certaine condition de parit.
	
	Comme n est impair, d'aprs l'exemple <ref>, pour chaque place v il y a deux manires d'tendre le groupe unitaire local en une forme intrieure pure. Pour v une place infinie de ∙F^+, si le groupe ∙U_v est de signature (i, n-i) avec i < n-i, on choisit a_v = ([n/2] + (n-i) )  mod 2. Si v est une place finie diffrente de p, on choisit a_v = 0 ∈ / 2 et finalement, on choisit a_p l'unique lment de / 2 de sorte que la somme des a_v s'annule.     
	 
		Il existe alors une reprsentation automorphe Π de ∙U telle que Π_p ≃π_p. De plus s'il existe une reprsentation automorphe Π' de ∙U satisfaisant (Π')^p ≃ (Π)^p alors Π≃Π'. On a le mme rsultat pour les groupes de similitudes unitaires,  un caractre non ramifi prs. Plus prcisment, il existe une reprsentation automorphe Π de ∙G telle que Π_p ≃π_p ⊗ (ω∘ c) o c : G(_p) ⟶_p^× est le caractre de similitudes et ω est un caractre non ramifi de _p^×. De plus s'il existe une reprsentation automorphe Π' de ∙G satisfaisant (Π')^p ≃ (Π)^p alors Π≃Π'. 
	
	
		
		Le cas des groupes de similitudes unitaires se dduit de celui pour les groupes unitaires auquel on se ramne donc.	Montrons l'existence de Π.
		
		On suppose que π_p appartient  Π_ϕ_p(U^*_p, ϱ) pour un paramtre discret ϕ_p. On note alors ∙ϕ∈Φ_2(∙U^*) le paramtre global qui existe d'aprs le lemme <ref>. En particulier, il existe une place inerte w telle que ∙ϕ_w ∈Φ_bdd (U_w^*) et les morphismes canoniques 
		S_∙ϕ⟶ S_∙ϕ_p et
		S_∙ϕ⟶ S_∙ϕ_w
		sont des isomorphismes. 
		
		On montre que les paquets Π_∙ϕ_v(∙U^*_v, ϱ) sont non vides. En effet, si v = p, Π_∙ϕ_v(∙U^*_v, ϱ) contient π_p. D'autre part, comme ∙ϕ_u est un paramtre discret si u est une place infinie, on en dduit qu'il existe toujours une reprsentation dans le paquet correspondant. 
		
		Considrons une place finie v ≠ p. Comme ∙ϕ est gnrique, le paramtre localis ∙ϕ_v l'est galement (remarque <ref>). Comme ∙U est quasi-dploy en v alors Π_∙ϕ_v(∙U^*_v, ϱ) est non vide d'aprs la remarque <ref>.  
		
		Pour chaque v ∉{ p, w }, choisissons une reprsentation π_v ∈Π_∙ϕ_v(∙U^*_v, ϱ). On va choisir une reprsentation π_w ∈Π_∙ϕ_w(∙U^*_q, ϱ) de sorte que la reprsentation ⊗_v π_v soit automorphe. D'aprs le thorme <ref> il faut donc choisir π_w satisfaisant la relation :
		
    ⟨π,s ⟩_ϱ := ∏_v ⟨π_v, s_v ⟩_ϱ_v, z_v = 1,   ∀ s ∈ S_∙ϕ^♮

		
		Comme S_∙ϕ≃ S_∙ϕ_w≃ S^♮_∙ϕ_w (le dernier isomorphisme rsulte du fait que ∙ϕ_w est un paramtre discret) et d'autre part les caractres ⟨ s_v, π_v ⟩ sont fixs (pour v ≠ w) , il existe un unique caractre dans Irr(S_ϕ_w^♮, χ_z_w) satisfaisant l'galit au-dessus. Le point 2 de <ref> affirme l'existence d'une reprsentation π_w satisfaisant (<ref>). 

		
		Supposons maintenant qu'on a une reprsentation Π' telle que (Π')^p ≃ (Π)^p. Montrons que Π et Π' sont dans le mme paquet. Supposons que Π' ∈Π_∙ϕ'(∙U, ϱ, ϵ_ϕ) et on veut montrer que ∙ϕ' = ∙ϕ.
		
		
		
		 presque toutes les places finies non ramifies v o π_v est non ramifie, les localisations ∙ϕ_v et ∙ϕ'_v sont gales. En effet, notre hypothse suffisamment rgulire implique que ces paramtres sont gnriques. D'aprs <cit.>, ces paramtres locaux sont factoriss via LM o M est le sous-groupe de Levi minimal de U_v et correspondent au mme paramtre sphrique de M. Cela implique que ∙ϕ^n et (∙ϕ')^n ont la mme "Hecke string". Alors, par <cit.>, <cit.> on voit que ∙ϕ et ∙ϕ' sont gaux.
		
		Comme Π et Π' sont des reprsentations automorphes, on a les galits suivantes :
		
    ⟨Π,s ⟩_ϱ = ∏_v ⟨Π_v, s_v ⟩_ϱ_v, z_v = ⟨Π_p, s_p ⟩_ϱ_p, z_p∏_v ≠ p⟨Π_v, s_v ⟩_ϱ_v, z_v = 1,   ∀ s ∈ S_∙ϕ^♮,

		et	
		
    ⟨Π',s ⟩_ϱ = ∏_v ⟨Π'_v, s_v ⟩_ϱ_v, z_v = ⟨Π'_p, s_p ⟩_ϱ_p, z_p∏_v ≠ p⟨Π_v, s_v ⟩_ϱ_v, z_v = 1,   ∀ s ∈ S_∙ϕ^♮.

		On en dduit donc que :
		
    ⟨Π_p, s_p ⟩_ϱ_p, z_p = ⟨Π'_p, s_p ⟩_ϱ_p, z_p  ∀ s ∈ S_∙ϕ^♮.

		
		D'autre part, le morphisme S_∙ϕ⟶ S_∙ϕ_p est un isomorphisme et on a
		
    ⟨Π_p, s_p ⟩_ϱ_p, z_p = ⟨Π'_p, s_p ⟩_ϱ_p, z_p  ∀ s ∈ S_∙ϕ_p^♮.

		Le point 2 de <ref> implique que Π_p ≃Π'_p, autrement dit on a Π≃Π'.
		
		Considrons le cas des groupes de similitudes unitaires. Par le lemme 4.1.2 de <cit.>, nous pouvons tendre Π  une reprsentation automorphe cuspidale algbrique Π de ∙G(). De plus, nous pouvons supposer que Π est cohomologique puisque Π l'est.
		
		Considrons la suite exacte
		
    1 ⟶∙U⟶∙G⟶ 1

		
		Comme (Π_p)_| ∙U(_p)≃ (π_p)_| ∙U(_p), il existe donc un caractre λ : ^×_p →^× tel que Π_p ⊗ (λ∘ c) ≃π_p.
		
		Il y a un isomorphisme de groupes topologiques
		
    ^××_> 0×∏_v^×   ⟶() 
    
    			(r, t, (u_v))    ⟼ (rt, ru_2, ru_3, ⋯).

		
		D'o il y a un caractre Λ de ^××_> 0×∏_v^× tel que Λ est trivial sur ^××_> 0, Λ_| _p^×≡λ_ | _p^× et Λ (-1, 1, (-1)) = 1. Ce caractre descend en un caractre de Hecke Λ de () \() tel que Λ_p = λ⊗ω o ω: ^×_p ⟶^× est un caractre non ramifi et Λ_∞ est trivial. En particulier si on note Π: = Π⊗ (Λ∘ c) alors il est galement cohomologique (puisque Π l'est) et Π_p ≃π_p ⊗ (ω∘ c).
		
		Grce  la proposition <ref>, la dernire assertion se dduit de celui pour les groupes unitaires.
	
	
	

§ UN CAS PEL DE LA CONJECTURE DE KOTTWITZ
 
	
	

 §.§ Notations
 
	Dans cette section, nous prcisons les notations du <ref> de l'introduction, concernant r_μ puis les τ_i. En vue du thorme <ref> de l'appendice, on ne suppose pas pour l'instant que d = 1.
	
	Rappelons que 𝒟__p = (F_p, *, V, ⟨· | ·⟩, μ, b) est une donne de Rapoport-Zink basique de type PEL unitaire non ramifie simple de signature (1, n-1), (0, n), ⋯ (0, n). On note G le groupe de similitudes unitaires p-adique quasi-dploy (en n variables) associ ainsi que (ℳ_K_p)_K_p la tour d'espaces de Rapoport-Zink. La cohomologie de cet espace est munie d'une action de G(_p) × J_b(_p) × W_E_p[Puisque b est basique et n est impair, on a G(_p) = _b(_p)] o on rappelle que F_p est aussi le corps de dfinition de μ, autrement dit E_p = F_p.
	
	La reprsentation r_μ de LG = G⋊ W_F_p a une action triviale de W_F_p, et r_μ |_G est donne par la formule
	
    r_μ |_G  = ⊗_τ∈Φ( p_τ⋀ St_n )^* ⊗ (St_1)^-1 = (St_n)^* ⊗ (St_1)^-1

	o St_i dsigne la reprsentation standard de dimension i. En particulier, on notera que r_μ = n.
	
	Notons U_p le groupe unitaire dfini sur _p noyau du facteur de similitude. Le groupe de Langlands dual est LU_p = ( ∏_τ∈Φ GL_n() ) ⋊ W__p. On a galement un morphisme de L-groupes
	
    LG_p = ( ∏_τ∈Φ GL_n() ×^×) ⋊ W__p⟶( ∏_τ∈Φ GL_n() ) ⋊ W__p = LU_p

	
	tant donn un L-paramtre discret φ : W__p⟶( ∏_τ∈Φ GL(V) ×^×) ⋊ W__p o V ≃^n, on obtient un L-paramtre discret φ : W__p⟶( ∏_τ∈Φ GL(V) ) ⋊ W__p de U_p. 
	
	Puisque U_p = _F^+_p/_p (U_F_p / F^+_p) (o F_p^+ est le sous-corps de F_p fix par l'involution *) le lemme de Shapiro
	
    H^1(W__p, ∏_τ∈Φ GL(V)) ≃ H^1 (W_F_p^+, GL(V))

	nous donne un L-paramtre de U_F_p / F^+_p :
	
    φ_F_p^+ : W_F_p^+⟶  GL(V) ⋊ W_F^+_p = LU_F_p / F_p^+.
 
	
	D'aprs la proposition <ref>, le L-paquet Π_φ(G(_p)) est un paquet cuspidal. Comme dans la section prcdente, pour chaque κ∈{± 1 } et χ_κ∈𝒵^κ_F_p, il y a un morphisme de changement de base (cf <cit.>, p.9)
	
    η_χ_κ, * : Φ (U_F_p/F_p^+)    ⟶Φ (GL_F_p(n)) 
    ϕ   ⟼η_χ_κ∘ϕ

	de plus, si κ = 1 et χ_κ = 1 alors η_χ_κ∘ϕ est juste la restriction de ϕ sur L_F_p = W_F_p× SU(2).
	
	La restriction de φ_F_p^+ sur W_F_p se dcompose donc en une somme de L-paramtres discrets simples de groupes linaires gnraux φ_F_p^+ | F_p = φ^n_1_1⊕⋯⊕φ^n_r_r. 
	
	On a alors une dcomposition de W_F_p^+ | F_p-reprsentations V = ⊕_i=1^r V_i o V_i correspond  φ_i^n_i.
	
	Cela implique une dcomposition
	
    r_μ∘φ_F_p = ⊕_ i = 1^r r_μ_i∘φ^n_i_i

	o μ_i = (1, n_i - 1), (0, n_i), ⋯, (0, n_i).
	
	D'autre part, on a
	
    S_φ≃ S_φ_F_p^+≊∏_i = 1^r O(1, ) = ∏_i = 1^r / 2≊ S^♮_φ_F_p^+.

	
	 
		Pour 1 ≤ i ≤ r, on dfinit un caractre τ_i de S_φ par la formule
		
    τ_i ( 1, ⋯, 1, -1_j, 1, ⋯, 1) = {[            -1            si           i=j;             1            si 1 ≤ i ≠ j ≤ r ].
	
	
	L'action de S_φ sur V_i se factorise par le caractre τ_i, on en dduit que r_μ_i∘φ^n_i_i = _ S_φ( τ_i, r_μ∘φ_F_p) et donc
	
	
    r_μ∘φ_F_p = ⊕_i = 1^r _S_φ (τ_i, r_μ∘φ_F_p).

	
	Au niveau du groupe de similitudes unitaires, puisque ^× est ablien, on a une dcomposition de W_F_p-module
	
    r_μ∘φ_F_p = ⊕_i = 1^r _S_φ (τ_i, r_μ∘φ_F_p) = ⊕_i = 1^r  r_μ_i∘φ^n_i_i, F_p.

	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	

 §.§ Cohomologie d'intersection des varits de Shimura d'aprs <cit.>

	Dans ce paragraphe, on va utiliser des rsultats dans <cit.>. La lettre G dsigne un groupe de similitudes unitaires en n variables associ  une forme hermitienne dfinie sur une extension quadratique imaginaire ∙F /.
	
	
	
	Pour tout K ⊂ G(_f) un sous-groupe compact ouvert suffisamment petit, on a une varit _K. Lorsque G n'est pas anisotrope modulo son centre, _K n'est pas compacte. Dans ce cas, on a la compactification minimale (ou de Satake-Baily-Borel) de _K
	
    j : _K ⟶_K^*
  
	telle que _K^* est une varit projective normale dont _K est un ouvert dense. En gnral _K^* n'est pas lisse et on utilise la cohomologie d'intersection telle qu'elle est tudie notamment dans <cit.>.
	
	Rappelons les relations entre la cohomologie tale ( support compact ou non), la cohomologie L^2 et la cohomologie d'intersection.    
	
	Comme auparavant, pour ξ une reprsentation algbrique irrductible de dimension finie de G, on peut dfinir un systme local ℒ_ξ sur _K ainsi qu'un faisceau d'intersection ℐ𝒞_ξ sur _K^*. On dispose donc des groupes de cohomologie tale H^i_c(_K, ℒ_ξ), de L^2-cohomologie H^i_(2)(_K, ℒ_ξ) et de cohomologie d'intersection IH^i(_K, ℐ𝒞_ξ). En prenant la limite inductive sur les sous-groupes compacts ouverts suffisamment petits K, on dispose des groupes de cohomologie tale (resp. de L^2-cohomologie, resp. de cohomologie d'intersection)  niveau infini H^i_c(, ℒ_ξ) (resp. H^i_(2)(, ℒ_ξ), resp. IH^i(, ℐ𝒞_ξ)).
	
	
	
	Il y a un diagramme commutatif entre ces groupes de cohomologie.
	
 
		
		
		[scale = 1]
			(-1,0) node H_c^i(, ℒ_ξ);
			(4,0) node IH^i(, ℐ𝒞_ξ);
			(4,-1.5) node H^i_(2)(, ℒ_ξ);
			[->] (4, -0.4) – (4,-1.15)node[midway, right]≈;
			[->] (0.2,0) – (2.75,0) node [midway, above](1);
			[->] (-0.8, -0.4) – (2.75, -1.5) node [midway, above](2);
		
	

	
	Ces morphismes sont G(_f)-quivariants et le morphisme (1) est de plus Γ-quivariant (o ∙E est le corps de dfinition et Γ = Gal(∙E/∙E) ). D'aprs la conjecture de Zucker (dmontre par Looijenga <cit.>, Looijenga-Rapoport <cit.> et Saper-Stein <cit.>), le morphisme vertical est en fait un isomorphisme. 
	
	On exploitera le morphisme (2) afin de comparer H_c^i(, ℒ_ξ) et IH^i(, ℐ𝒞_ξ).
	 
		Supposons maintenant ξ rgulier. Soit Π = Π_∞⊗Π_f une reprsentation automorphe cuspidale de G() qui est ξ-cohomologique et que Π_v est supercuspidale pour une place finie v, alors H^i(, ℒ_ξ) est concentr en degr moiti et
		
    H^d_c(, ℒ_ξ) [Π_f] ≈ H^d_(2)(, ℒ_ξ)[Π_f].

		
		Puisque le morphisme (1) est Γ-quivariant, on en dduit qu'il y a un isomorphisme Γ-quivariant 
		
    H^d_c(, ℒ_ξ) [Π_f] ≈ IH^d(, ℐ𝒞_ξ)[Π_f]

		o d est la dimension de la varit de Shimura.
	 
	Dans <cit.> proposition 1, Mokrane et Tilouine ont montr ce rsultat pour les groupes de similitudes symplectiques mais leur dmonstration s'adapte au cas des groupes de similitudes unitaires. On va rappeler brivement leur argument.
	
	
		Notons 𝒞^∞(G_∖ G(),  ) l'espace des fonctions localement constantes et 𝒞^∞_c(G_∖ G(),  ) son sous-espace des fonctions  support compact. On note aussi L^2(G_∖ G(),  ) l'espace des fonctions de carr intgrable et L^2_0(G_∖ G(),  ) son sous-espace consistant des fonctions cuspidales ainsi que 𝒞^∞_cusp = 𝒞^∞_c⋂ L^2_0 et 𝒞^∞_(2) = 𝒞^∞⋂ L^2.
		
		L'inclusion d'espaces
		
    𝒞^∞_cusp(G_ G(),  ) ⊂𝒞^∞_c(G_ G(),  ) ⊂𝒞^∞_(2)(G_ G(),  ) ⊂𝒞^∞(G_ G(),  )

		implique une application
		
    H^∙_cusp(, ℒ_ξ) ⟶ H^∙_c(, ℒ_ξ) ⟶ H^∙_(2)(, ℒ_ξ) ⟶ H^∙(, ℒ_ξ)
	
		qui est une injection d'aprs <cit.>.
		
		D'autre part on a 
		
    H^∙_cusp(, ℒ_ξ) = ⊕_ππ_f ⊗ H^∙ ( G(), K_∞, π_∞^K_∞⊗ℒ_ξ ),

		o π = π_f ⊗π_∞ varie dans l'ensemble des classes d'isomorphisme de reprsentations cuspidales.
		
		Et de plus, on a
		
    H^∙_(2)(, ℒ_ξ) = ⊕_ππ_f ⊗ H^∙ ( G(), K_∞, π_∞^K_∞⊗ℒ_ξ )

		o π varie dans le spectre discret de L^2(Z_G_ G_, ω) et ω est le caractre central de ξ^∨.
		
		Comme ξ est rgulier alors π_∞ est une srie discrte de caractre infinitsimal ξ, en particulier π_∞ est tempre. 
		
		
		
		
		
		Puisque la composante en v de Π_f est supercuspidale, on en dduit que si π_∞⊗Π_f est une reprsentation automorphe, elle est cuspidale. On a alors l'galit
		
    H^d_cusp(, ℒ_ξ) [Π_f] ≈ H^d_c(, ℒ_ξ) [Π_f] ≈ IH^d(, ℐ𝒞_ξ)[Π_f].

		
		
		
		
		
		
	
	
	
	
	
		Pour n_1, ⋯, n_r ∈, notons 
		
    H = G ( U^*(n_1) ×⋯× U^*(n_r) ) = { (g_1, ⋯, g_r) ∈ G^*(n_1) ×⋯× G^*(n_r) | c(g_1) = ⋯ = c(g_r) },

		o G^*(n_i) dsigne le groupe de similitudes unitaires quasi-dploy en n_i variables. De plus on a 
		
    H = ^×× GL_n_1() ×⋯× GL_n_r().

	
	Tout d'abord, on voudrait donner une description des triplets endoscopiques elliptiques (H_1, s, η) de H au sens de <cit.> 7.3, 7.4.
	
	  (<cit.> prop 2.3.1)
		Pour i ∈{ 1, ⋯, r }, soient n_i^+, n_i^-∈ tels que n_i =  n_i^+ + n_i^-. Supposons que n_1^- + ⋯ + n_r^- est pair. Posons
		
    s = (1, (1,⋯,1_n_1^+, -1, ⋯, -1_n_1^-), ⋯, (1,⋯,1_n_r^+, -1, ⋯, -1_n_r^-) ) ∈H
 	
		
    H_1 = G ( U^*(n_1^+) × U^*(n_1^-) ×⋯× U^*(n_r^+) × U^*(n_r^-) )

		et dfinissons 
		
    η : H_1 = ^×× GL_n_1^+() × GL_n_1^-() ×⋯× GL_n_r^+() × GL_n_r^-() ⟶H = ^×× GL_n_1() ×⋯× GL_n_r()

		par la formule
		
    η((λ, g_1^+,g_1^-, ⋯,g_r^+, g_r^-)) = ( λ, (g_1^+, g_1^-), ⋯, (g_r^+, g_r^-) ).

		
		Alors (H_1, s, η) est un triplet endoscopique elliptique pour H. De plus, les triplets endoscopiques elliptiques de H dfinis par ((n_1^+, n_1^-), ⋯, (n_r^+, n_r^-) ) et ((m_1^+, m_1^-), ⋯, (m_r^+, m_r^-) ) sont isomorphes si et seulement si pour tout i ∈{1, ⋯, r }, (n_i^+, n_i^-) = (m_i^+, m_i^-) ou (n_i^+, n_i^-) = (m_i^-, m_i^+). Inversement, tout triplet endoscopique elliptique pour H est isomorphe  un des triplets dfinis ci-dessus. 
	
	
		Posons ℰ^0(G) l'ensemble des triplets endoscopiques elliptiques (H, s, η_0) pour G tels que H n'est pas une forme intrieure de G. Pour tout (H, s, η_0) ∈ℰ^0(G), fixons un L-morphisme η : LH⟶LG tendant η_0. On dfinit de mme l'ensemble ℰ^0(H) pour H = G(U^*(n_1) ×⋯ U^*(n_r)). Posons ℱ_G l'ensemble des suites (e_1, ⋯, e_r) avec r ∈^* o e_1 = (H_1, s_1, η_1, 0) ∈ℰ^0(G) et pour i ∈{ 2, ⋯, r }, e_i = (H_i, s_i, η_i, 0) ∈ℰ^0(H_i-1).
		
		Finalement, on pose 
		
    η_ = η_1 ∘⋯∘η_r : LH_⟶LG

		le morphisme de L-groupes correspondant.
	 
	
	Considrons () = (e_1, ⋯, e_r) ∈ℱ_G. Supposons ensuite que (e_1) = (H_1, s_1, η_1) est le triplet endoscopique elliptique dfini par un couple (n^+, n^-) avec n^- pair. On crit
	
    H_ = G (U^*(n_1^+) ×⋯× U^*(n_r^+) × U^*(n_1^-) ×⋯× U^*(n_s^-) )

	o l'identification est faite de sorte que η_2 ∘⋯∘η_r envoie U^*(n_1^+)×⋯×U^*(n_r^+) (resp. U^*(n_1^-)×⋯×U^*(n_s^-)) dans U^*(n^+) (resp. U^*(n^-)).
	
	Maintenant pour p_1^+, ⋯, p_r^+, p_1^-, ⋯, p_s^- ∈ tels que 1 ≤ p_i^+ ≤ n_i^+ et 1 ≤ p_i^- ≤ n_i^-, on dfinit un cocaractre de H_ par la formule
	
    μ = (μ_p_1^+×⋯×μ_p_r^+×μ_p_1^-×⋯×μ_p_s^-) : _m, ⟶ H_, .

	o μ_p_i^* est le cocaractre de signature (p_i^*, n_i^* - p_i^*).
	
		Supposons G de signature (p,n-p)  l'infini. Pour chaque () on note M_ l'ensemble des cocaractres μ = μ_p_1^+, ⋯, p_r^+, p_1^-, ⋯, p_s^- de sorte que p = p_1^+ + ⋯ + p_r^+ + p_1^- + ⋯ + p_s^-. Pour un tel cocaractre on note galement s(μ) = (-1)^p_1^- + ⋯ + p_s^-.
	
	
	Pour chaque (), on peut dfinir les constantes l(), ι() ainsi que ι'(). Ces constantes apparatront dans le thorme <ref> ci-dessus mais pour notre but, nous n'aurons pas besoin de les calculer explicitement. Pour une dfinition prcise, le lecteur pourra consulter <cit.> - p.108.   
	
		Soit π_f = ⊗_p' π_p une reprsentation irrductible de G(_f) de sorte que π_f^K≠ 0 pour K ⊂ G(_f) un niveau et soit ∈ℱ_G. Notons R_(π_f) pour l'ensemble des classes d'quivalences de reprsentations irrductibles π_ ,f = ⊗_p' π_ ,f de H_(_f) telles que pour presque tout p o π_f et π_, p sont non ramifies, le morphisme η_ : LH_⟶LG envoie un paramtre de Langlands de π_ ,p sur celui de π_p.
	
	
	tant donns () et f ∈ C_c^∞(G(_v)), on note f^ = (((f^H_1)^H_2)⋯)^H_r∈ C_c^∞(H_(_v)) un transfert endoscopique. Si f ∈ C_c^∞(G(_f)) on notera de mme f^∈ C_c^∞(H_(_f)). 

	
	Soient ξ une reprsentation algbrique de G ainsi que K ⊂ G(_f) un niveau. Posons ℋ_K = ℋ_K(G(_f), K). Considrons les groupes de cohomologie suivant (i ≥ 0)
	
    W_i = H^i(_K^*, ℐ𝒞_ξ).
 
	
	Ce sont des L-espaces vectoriels  ( o L est une extension finie de _ℓ, ℓ≠ p) de dimension finie qui possdent une action de ℋ_K × Gal(∙E) o ∙E est le corps reflex de la varit de Shimura. Soit ι : L ⟶ une immersion. Dans la suite, par abus de langage, on note galement W_i la reprsentation ι_*(W_i). Dans le cas qui nous intresse, la signature  l'infini du groupe G est (1, n-1) avec n > 2, donc le corps reflex ∙E est gale  ∙F. Comme W_i s'annule si i est assez grand, on dfinit alors
	
    W = ∑_i ≥ 0 (-1)^iW_i
 
	un objet dans le groupe de Grothendieck des reprsentations de ℋ_K × Gal(∙F). On a une dcomposition isotypique de W comme ℋ_K-module
	
    W = ∑_π_f W(π_f) ⊗π_f^K,

	o la somme est prise sur l'ensemble des classes d'isomorphismes de reprsentations irrductibles π_f de G(_f) telles que π_f^K ≠ 0 et o W(π_f) est une -reprsentation virtuelle de dimension finie de Gal(∙F). 
	
	Pour ξ une reprsentation algbrique fixe de G et pour π_f une reprsentation irrductible de G(_f), on peut dfinir une constante c_G(π_f) laquelle est lie aux multiplicits des reprsentations automorphes (c_G(π_f) dpend ventuellement de ξ). De mme, il y a une constante c_(π_, f) associe  π_, f dont la dfinition est lie aux multiplicits des reprsentations automorphes.
	
	Pour p un nombre premier non ramifi, on pose η_, p := η_ | H_⋊ W__p. On crit (η_, p)_simple : LH_⟶LG pour le L-morphisme dfini dans <cit.>, page 109 troisime paragraphe. On note galement χ_, p le caractre dfini dans le mme paragraphe de loc.cit. 
	
	Considrons un nombre premier p ainsi que 𝒫 une place de ∙F au-dessus de p. Notons _𝒫 un relvement du Frobenius arithmtique. Le thorme suivant, d  Sophie Morel, nous permet de calculer la trace de _𝒫 sur W(π_f) lorsque p est assez grand. 
	
	  (Thorme 7.2.2 de <cit.>)
		Soit π_f une reprsentation irrductible admissible de G(𝔸_f) telle que π_f^K≠ 0. Il existe alors une fonction f^∞∈ C_c^∞(G(𝔸_f)) de sorte que pour presque tout nombre p premier et pour tout m ∈,
		
    (^m_𝒫, W(π_f)) =    (N 𝒫)^-m(n-1)/2 c_G(π_f) (π_f^K)  (r_μ_G∘φ_π_p(^m_𝒫)) 
       + (N𝒫)^md/2∑_e∈ℱ_G (-1)^l(e)ι(e) ∑_π_, f∈ R_(π_f) c_ (π_, f) (π_, f)((f^∞)^) 
                     ∑_μ∈ M_ (1 - (-1)^s(μ)·ι'()ι())  (r_μ∘φ_π_ ,p⊗χ_, p (^m_𝒫) ) ⋆

		o la somme est prise pour π_ ,f telle que π_ ,p⊗χ_, p est non ramifie.
	
	 
		Les nombres premiers p tels que la formule (<ref>) du thorme <ref> est vrifie, sont ceux pour lesquels il existe un ensemble p ∉ T avec f = h_Tg^T o
		
			
  ∙ T ⊃{ q  |  G_q est ramifi, K_q n'est pas maximal}.
			
  ∙ h ∈ℋ(G(_f), K) est une fonction de la forme h = h_T 1_K^T satisfaisant les proprits dcrites dans les lignes 14, 15, p.111 de <cit.> (i.e. h spare les reprsentations dans R' de loc. cit.).
			
  ∙ g^T ∈ℋ(G(_f^T), K^T) est une fonction satisfaisant les proprits dcrites dans les lignes 25 - 28, p.111 de loc. cit. (i.e. g^T spare les reprsentations dans R'_ de loc.cit.).
			
  ∙ g_p^T = 1_G(_p).
		
	
	

 §.§ Dtermination de W(π_f)_𝒫 dans un cas particulier

	Le but de ce paragraphe est de montrer un corollaire du thorme <ref>.
	
		Soit p un nombre premier tel que K_p est hyper-spcial et G, π sont non ramifis en p, alors il existe f^∞ telle que la formule (<ref>) est vraie pour p. 
		
	
	
		Tout d'abord, considrons l'ensemble R' des reprsentations irrductibles admissibles π_f' de G(_f) satisfaisant les conditions suivantes
		
			
  ∙ π_f' π_f,
			
  ∙ (π_f')^K ≠ 0,
			
  ∙ W_λ(π_f') ≠ 0 ou c_G(π_f') ≠ 0.
		
		
		Comme R' est fini et π_p est non ramifie, on peut choisir h ∈ H(G(_f, K)) telle que h_p = 1_G(_p) et
		
			
  ∙ (π_f(h)) = (π_f(1_K)).
			
  ∙ (π_f'(h)) = 0 pour π_f' ∈ R'.
		
		
		Maintenant, il existe un ensemble T_0 de nombres premiers ne contenant pas p mais qui satisfait toutes les conditions dcrites dans lignes 16-20 p.111 de <cit.>.	
		
		Ensuite, pour chaque ∈ℱ_G, on dfinit un ensemble R_' comme dans le paragraphe 5, page 111 de loc. cit. Posons T = T_0 ∪{ p }, le mme argument que dans la page 111 de loc.cit. montre qu'il existe une fonction g^T ∈ℋ(G(_f^T), K^T) qui spare les reprsentations dans R_'.
		
		Considrons f^∞ = h_T_0 g^T_0 o g^T_0 = 1_G(_p) g^T, on voit que T_0 et f^∞ satisfont  les trois premires proprits dans la remarque <ref> ainsi que g^T_0_p = 1_G(_p). On en dduit que la formule (<ref>) est vrifie pour f^∞ et p.   
	
	
	 
		Supposons n impair et G quasi-dploy en toutes les places finies et de signature (1, n-1)  l'infini. Considrons une reprsentation automorphe π = π_∞⊗⊗_p' π_p de G() satisfaisant les conditions suivantes
		
			
  (i) Le L-paramtre de π est de la forme = (^n, ) o ^n = ^n_1_1 ⊞^n_2_2 tel que ^n_i_i sont des paramtres globaux de dimension n_i correspondant  des reprsentations cuspidales de GL_n_i(𝔸_F) (avec i = 1,2).
			
  (ii) π_∞ est une srie discrte de poids rgulier.
			
  (iii) Il existe une place q de  qui est dcompose dans le corps quadratique imaginaire ∙F de sorte que π_q est non ramifie et son L-paramtre local ϕ_q est de la forme ϕ^n_q = χ_1 ⊕χ_2 ⊕⋯⊕χ_n o les χ_j sont deux  deux distincts. 
		
		
		Notons ρ := W(π_f) la reprsentation de Gal(∙F) associe  π_f dans la cohomologie de la varit de Shimura correspondant  G. Si ρ = ^n_i_i = n_i (i = 1 ou i = 2) alors pour tout nombre premier p et toute place 𝒫 de ∙F au-dessus de p, on a
		
    ρ_𝒫 =  (r_μ_i∘ (^n_i_i)_p)_| W_𝒫⊗ | · |^-n-1/2.

		o μ_i = (1, n_i - 1) et W_𝒫 est le groupe de Weil de ∙F_𝒫.
	
	
		On applique le thorme <ref> pour π_f. Choisissons tout d'abord un sous-groupe compact suffisamment petit K de G(_f) de sorte que π_f^K ≠ 0, en particulier on peut choisir K tel que K_q = G(_q) car π_q est non ramifie.
		
		Comme le L-paramtre global  de π satisfait ^n = ^n_1_1 ⊞^n_2_2 l'ensemble des ∈ℱ_G tels que R_(π_f) soit non nul contient un seul lment = (e_1) o e_1 est le triplet endoscopique correspondant  G(U^*(n_1) × U^*(n_2)).
		
		Par construction de R_(π_f), pour un nombre premier p non ramifi on a (η_, p)_simple∘φ_π_ ,p⊗χ_, p = φ_(π_f)_p (consulter les paragraphes avant le thorme <ref> pour la dfinition de η_, p)_simple) et de plus le changement de base quadratique de φ_(π_f)_p s'crit φ_(π_f)_p^n = (^n_1_1)_p ⊕ (^n_2_2)_p. D'autre part, la signature  l'infini μ_G est (1, n-1) on voit alors que l'ensemble M_ contient exactement deux lments μ_1 = (1, n_1 - 1) × (0, n_2) et μ_2 = (0, n_1) × (1, n_2 - 1). On en dduit que  	
		
    r_μ∘φ_π_ ,p⊗χ_, p = {[               r_μ_1∘ (^n_1_1)_p si  μ = (1, n_1 - 1) × (0, n_2);               r_μ_2∘ (^n_2_2)_p si  μ = (0, n_1) × (1, n_2 - 1) ].

		o μ_1 = (1, n_1 - 1) et μ_2 = (1, n_2 - 1).
		
		D'aprs la description des reprsentations r_μ_G, r_μ_1, r_μ_2 dans la section <ref>, on a l'identit suivante :
		
    r_μ_G∘φ_π_p = r_μ_1∘ (^n_1_1)_p ⊕ r_μ_2∘ (^n_2_2)_p.

		
		D'autre part, on a
		
    (N 𝒫)^- m(n-1)/2 (r_μ_G∘φ_π_p(^m_𝒫)) =  ( |·|^-n-1/2⊗ r_μ_G∘φ_π_p (^m_𝒫)) ).

		
		Finalement le thorme <ref> induit l'identit suivante pour presque tout p o π_p est non ramifie.
		
    (^m_𝒫, W(π_f)) = α_p · ( |·|^-n-1/2⊗ r_μ_1∘ (^n_1_1)_p (^m_𝒫) ) + β_p · ( |·|^-n-1/2⊗ r_μ_2∘ (^n_2_2)_p (^m_𝒫)).

		
		Montrons ensuite que pour presque tous p_1 et p_2 deux nombres premiers tels que π_p_1 et π_p_2 sont non ramifies, on a α_p_1 = α_p_2 et β_p_1 = β_p_2.
		
		En effet, pour notre reprsentation π_f, on a
		
    α_p_i = c_G(π_f ) (π_f^K)  +  (-1)^l(e_1)·ι_(e_1)· (1 - (-1)^s(μ_1)·ι'(e_1)ι(e_1)) ∑_π_e_1, f∈ R_e_1(π_f) c_e_1 (π_e_1, f) (π_e_1, f)((f^∞)^e_1),

		o la somme est prise pour π_e_1 ,f telle que π_e_1 ,p_i⊗χ_e_1, p_i est non ramifie.	
		
		Or lorsque π_e_1 ,p_i⊗χ_e_1, p_i est ramifie, (π_e_1, f)((f^∞)^e_1) s'annule, on peut rcrire la formule calculant α_p_i sous forme 
		
    α_p_i = c_G(π_f ) (π_f^K)  +  (-1)^l(e_1)·ι_(e_1)· (1 - (-1)^s(μ_1)·ι'(e_1)ι(e_1)) ∑_π_e_1, f∈ R_e_1(π_f) c_e_1 (π_e_1, f) (π_e_1, f)((f^∞)^e_1)

		o la somme est prise pour toute π_e_1 ,f. En particulier la formule calculant α_p_i ne dpend pas de p_i. On en dduit que α_p_1 = α_p_2.
		
		Par le mme argument, on a β_p_1 = β_p_2 en utilisant
		
    β_p_i = c_G(π_f ) (π_f^K)  +  (-1)^l(e_1)·ι_(e_1)· (1 - (-1)^s(μ_2)·ι'(e_1)ι(e_1)) ∑_π_e_1, f∈ R_e_1(π_f) c_e_1 (π_e_1, f) (π_e_1, f)((f^∞)^e_1).

		
		Considrons maintenant le premier q dcompos. Puisque π_∞ est une srie discrte de plus haut poids rgulier, la cohomologie de la varit de Shimura se concentre en degr moiti, en particulier W(π_f) est une vraie reprsentation ( signe prs). 
		D'aprs le lemme prcdent appliqu en q, la condition (iii) implique que r_μ_1∘ (^n_1_1)_q ⊕ r_μ_2∘ (^n_2_2)_q est sans multiplicit, ce qui implique que α_q et β_q sont de mme signe. On peut supposer qu'ils sont positifs.
		
		Supposons que α_q et β_q sont strictement positifs. Cela implique donc que ρ≥^n_1_1 + ^n_2_2 = n ce qui contredit l'hypothse ρ = ^n_i_i. Il y a alors exactement un coefficient non nul. 
		
		Maintenant, le fait que n est impair coupl avec l'hypothse ρ = ^n_i_i implique alors que β = 0 si i = 1 et α = 0 si i = 2. Autrement dit, on a 
		
    (^m_𝒫, W(π_f)) =  ( |·|^-n-1/2⊗ r_μ_i∘ (^n_i_i)_p (^m_𝒫) ).

		(ici i = 1 si ρ = ^n_1_1 et i = 2 si ρ = ^n_2_2).
		
		
		
		
		
		Comme l'galit ci-dessus est vraie pour presque toute place 𝒫 de ∙F, le thorme de densit de Chebotarev implique que 
		
    ρ_𝒫 =  (r_μ_i∘ (^n_i_i)_p)_| W_𝒫⊗ | · |^-n-1/2

		pour toute place 𝒫.
																										 
	
	
	
	
	 
		Le corollaire est encore valable lorsque  est un paramtre simple gnrique (ce qui quivaut  dire que ^n_1_1 = 0 ou ^n_2_2 = 0).
	
	
	
	

 §.§ Preuve du thorme principal

	Le but de ce paragraphe est de prouver le thorme principal de l'introduction. D'aprs le thorme <ref>, on a une suite spectrale reliant la partie supercuspidale des espaces de Rapoport-Zink  celle de la strate basique _∞(basic) des varits de Shimura _∞ du <ref> laquelle est dtermine par le corollaire <ref>. Afin d'identifier les σ_π_p, π_p' avec les r_μ∘φ_i, F_p, nous avons besoin d'une part de l'hypothse ρ = _i dans <ref> et d'autre part de calculer σ_π_p, π_p'. Dans les deux cas, ce calcul repose sur un problme de comptage de caractres du groupe centralisateur des L-paramtres  l'infini. Plus prcisment, la preuve est dcoupe en 4 tapes.
	
		
  ∙ Dans la premire tape, on montre les points (i) et (ii) du thorme et on obtient des contraintes sur la dimension de σ_π_p, π_p'.
		
  ∙ Dans la deuxime tape, on tablit une relation entre σ_π_p, π_p' et une reprsentation galoisienne bien choisie de la varit de Shimura puis on ramne le problme du calcul de la dimension de la reprsentation au problme de comptage des caractres du groupe centralisateur  l'infini.
		
  ∙ Ensuite, on utilise des contraintes sur la dimension de σ_π_p, π_p' obtenues avant pour calculer les caractres du groupe centralisateur  l'infini.
		
  ∙ Enfin on utilise le corollaire <ref> afin de calculer σ_π_p, π_p'.
	
	
	
	Rappelons tout d'abord la construction des donnes globales  partir des donnes locales.
	(<cit.>) 
		Soit une donne locale 𝒟__p = (F_p, *, V, ⟨· | ·⟩, μ, b) de type PEL non ramifie simple sur une extension finie de _p. Supposons que [F_p : _p] = 2d n'est pas un multiple de 4, alors:
		
			
  ∙ il existe un corps CM de la forme ∙F = K 𝒦 avec 𝒦 un corps quadratique imaginaire de sorte que p reste inerte dans ∙F et ∙F_p = F_p.
			
  ∙ il existe une donne globale 𝒟 = ( ∙F, B, *, V, ⟨· | ·⟩, h, ∙G) de type PEL, un plongement ν : ↪_p tels que via ν, 𝒟 induise la donne locale 𝒟__p.
		  
		De plus  
		
			
  - Pour tout n, on peut imposer que  _B(V) est une algbre  division qui est en toute place finie soit dploye, soit une algbre  division. 
			
  - Pour n impair ou n ≡ 2 modulo 4, on peut imposer que _B(V) est une algbre simple qui est dploye en toutes places finies.
		
	
	
		On raisonne comme dans la proposition 10.1.3 de <cit.>. Grce  la proposition 10.1.1 dans loc. cit
		
		on peut supposer que _B(V) satisfait les conditions annonces ci-dessus. 
	
	
	  
		Soit Π_p une reprsentation supercuspidale de _b(_p). Alors pour tout t > 0 on a
		
    ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), Π_p ) = 0

	
	
	
		
		On pose Δ = _(X^*(G)__p, ). Comme b est basique, _b(_p) est une forme intrieure de G(_p), tout χ∈ X^*(G)__p se transfre  _b(_p) en un χ̃∈ X^*(_b (_p) )__p. 
		
		Notons _b^1 (_p) = ⋂_χ∈ X^*(G)__p ker |χ̃| o |χ̃| : _b (_p)  ⟶, x ⟼ v_p(χ̃(x))
		
		
		
		
		
		
		; en particulier, _b^1 (_p) a un centre compact.
		
		Il y a une application π_2 : ℳ⟶Δ qui est essentiellement la hauteur de la rigidification ρ (<cit.>, 3.52). On note encore Δ' ⊂Δ l'image de π_2. On a donc une dcomposition: ℳ_K_p = ∐_i ∈Δ'ℳ_K_p^(i) o ℳ_K_p^(i) = π_2^-1(i). On en dduit
		
    H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)) = ∑_i∈Δ' / _b (_p)  c-_^1_b (_p) ^_b(_p)(H_c^q (ℳ_K_p^(i), _ℓ(n-1))).

		
		En utilisant la dualit de Frobenius, on dispose alors d'un isomorphisme de foncteurs:
		
    __b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), ∙) ≃∑_i∈Δ' / _b (_p)_^1_b( H^q_c(ℳ^(i)_K_p, _ℓ(n-1)), __b^1(_p)^_b (_p) ∙).

		
		Il en rsulte des isomorphismes:
		
    ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), Π_p ) ≃∑_i∈Δ' / _b (_p)^t_^1_b (_p)( H^q_c(ℳ^(i)_K_p, _ℓ(n-1)), __b^1(_p)^_b (_p)Π_p ).

		
		D'autre part la reprsentation Π_p est cuspidale, donc __b^1 (_p) ^_b (_p) Π_p est une reprsentation finie (les coefficients matriciels sont des fonctions  support compact), donc __b^1 (_p) ^_b (_p) Π_p est un objet projectif dans la catgorie des reprsentations lisse de ^1_b (_p). On obtient alors que pour tout t > 0
		
    ^t__b (_p) ( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), Π_p ) = 0.

	
	
	Soit c: G(_p) ⟶_p^× le caractre du facteur de similitudes. Pour b non basique, le groupe _b (_p) est une forme intrieure d'un sous-groupe de Levi M_b (_p) de G(_p). Ensuite, le caractre du facteur de similitudes c restreint  M_b(_p) peut tre transfr  _b(_p). Donc par abus de langage, on note aussi c le caractre correspondant de _b(_p). Le lemme suivant nous permet de comprendre le comportement de la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink lorsque la reprsentation π est tordue par un caractre non ramifi :
	
	 
		Soit (F_p, *, V, ⟨· | ·⟩, μ, b) une donne de Rapoport-Zink PEL unitaire non ramifie, supposons que ω: _p^×⟶^×_ℓ est un caractre non ramifi et π est une reprsentation irrductible de _b(_p). On a alors un isomorphisme dans Groth (G(_p) × W_E_p) entre
		
    ∑_t,q (-1)^t+qlim_K_p^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), π⊗ (ω∘ c) )

		et 
		
    ∑_t,q (-1)^t+qlim_K_p^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)),π) ⊗ (ω∘ c) ⊗ (ω∘ Art^- 1_E_p)

		o E_p est le corps de dfinition de μ.
	
	
	
		Ce lemme est un analogue de <cit.> et la mme preuve s'applique dans notre situation. Nous donnons donc brivement une ide de la preuve.
		
		Dfinissons un caractre χ de _b (_p) × G (_p) × W_E_p par
		
    χ: = (ω∘ c) ⊗ (ω∘ c) ⊗ (ω∘ Art^- 1_E_p).

		
		Ensuite, nous prouvons qu'il existe un isomorphisme de _ℓ-espaces vectoriels
		
    H_c^j (ℳ_K_p, _ℓ) ≃ H_c^j (ℳ_K_p, _ℓ) ⊗χ

		compatible avec l'action de _b(_p) × (K_p \ G (_p) / K_p) × W_E_p.
		
		Notons qu'il y a une application π_2 : ℳ_ K_p⟶Δ et de plus il existe une manire naturelle de dfinir une action de _b(_p) × G(_p) × W_E_p sur Δ telle que l'application π_2 soit quivariante par rapport  _b(_p) × (K_p \ G(_p) / K_p) × W_E_p (<cit.>).
		
		On peut prouver le lemme en utilisant le fait que χ agit trivialement sur (_b(_p) × (K_p \ G(_p) / K_p) × W_E_p)^1 et
		
    lim_K_p H_c^j (ℳ_K_p, _ℓ) ≃ c-^_b (_p) × (K_p \ G(_p) / K_p) × W_E_p_(_b(_p) × (K_p \ G(_p) / K_p ) × W_E_p)^1(lim_K_p H_c^j(ℳ^(0)_K_p, _ℓ) )

		o ℳ^(0)_K_p est l'image inverse de 0 par π_2 et (_b (_p) × (K_p \ G (_p ) / K_p) × W_E_p)^1 est le sous-groupe de _b (_p) × (K_p \ G (_p) / K_p) × W_E_p qui agit trivialement sur Δ.
		
	
	
	
		Soit 𝒟 = ( ∙F, B, *, V, ⟨· | ·⟩, h, ∙G) une donne globale de type PEL globalisant la donne locale de sorte que _B(V) est une algbre simple qui est dploye en toutes places finies comme dans la proposition <ref>. Soit  la varit de Shimura associe: le groupe ∙G(_p) = G(_p) est le groupe des similitudes unitaires quasi-dploy en n variables. En particulier,  est de signature (1, n-1)  l'infini. 
		
		On note ℳ (𝒟__p, b) l'espace de Rapoport-Zink associ  la donne locale.
		
		Soit ϕ une classe d'isognie intervenant dans la strate basique et I := (I^ϕ) le groupe rductif associ. On sait que I() est la forme compacte modulo le centre de ∙G(), que I(_p) = _b(_p) et que I(_f^p) = ∙G(_f^p). D'aprs la proposition <ref> il y a une suite spectrale ∙G(_f) × W_F_p quivariante:
		
    E_2^tq = | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π_∞ = ξ̆( ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ), Π_p )_cusp) ⊗ (Π^∞, p) ⟹( H^t+q_c(, ℒ_ξ) )_p-cusp
	
		o on a not ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ), Π_p ) := lim_K^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), Π_p ) pour allger les notations et o p-cusp signifie que la composante en p est supercuspidale.
		
		On choisit une reprsentation ξ de dimension finie de I() qui est de poids rgulier et suffisamment rgulier au sens de <ref>. Soit Π_(ξ)(∙G()) le L-paquet de sries discrtes de ∙G() cohomologiques pour ξ.
		
		Considrons φ : W__p× SL_2() ⟶LG un paramtre discret qui est trivial sur SL_2(). D'aprs la proposition <ref>, le paquet Π_φ(G(_p)) ne contient que des reprsentations supercuspidales. On peut exprimer la restriction de φ sur W_F_p sous la forme
		
    φ_F_p = φ^n_1_1 ⊕φ^n_2_2 ⊕⋯⊕φ^n_r_r,

		o les φ^n_i_i sont des paramtres simples de GL_n_i(F_p). 
		
		Puisqu'on utilisera dans la suite le thorme de classification des reprsentations automorphes pour I et ∙G (c.f <ref>), il faut tendre I et ∙G en des formes intrieures pures. Pour ce faire, utilisons la proposition <ref>.
		
		Comme ∙G() est de signature (1, n-1), son invariant est alors a^G_∞ = [ n2] + (n-1)  (mod 2). De mme I() est de signature (0,n), son invariant est a^I_∞ = [ n2] + n  (mod 2).
		
		De plus pour v ≠ p, ∙G(_v) est quasi-dploy. Or n tant impair, il y a donc deux manires d'tendre ∙G(_v) en une forme intrieure pure et on choisit alors la manire dont l'invariant vrifie a_v = 0  mod 2. De mme, il y a deux manires d'tendre ∙G(_p) = G(_p) en une forme intrieure pure et on choisit alors l'unique manire de sorte que a^G_p + [ n2] + (n-1) = 0  (mod 2).   
		
		Pour I on procde de mme et en particulier on tend _b(_p) en une forme intrieure de sorte que a^I_p + [ n2] + n = 0  (mod 2).
		 
			On a a^I_p + a^G_p = a^I_∞ + a^G_∞ = 1  mod 2. 
		
		
		tape 1 : Obtenir des contraintes sur σ_π_p, π_p'.
		
		Considrons une reprsentation supercuspidale π_p dans Π_φ(_b(_p)). D'aprs <cit.>, il existe une reprsentation automorphe Π de I() telle que Π_∞ = ξ̆ et Π_w_0 est supercuspidale pour une place w_0 dcompose et que Π_p = π_p (Plus prcisment Π_p et π_p sont dans la mme classe d'quivalence d'inertie; pourtant, grce au lemme <ref>, il suffit de considrer une reprsentation dans chaque classe d'quivalence d'inertie. Nous pouvons donc supposer que Π_p = π_p). En particulier, le A-paramtre  de Π est simple et on obtient son groupe centralisateur
		
    S^♮_ = /2 .
 
		
		Par la suite, on va essayer d'appliquer <ref> et <ref> pour . En prenant la partie Π^∞, p-isotypique de la suite spectrale (<ref>) on a une suite spectrale G(_p) × W_F_p-quivariante (remarquons que comme Π_∞ = ξ̆, la condition Π_∞ = ξ̆ est une consquence de la condition Π^p = (Π)^p)
		
    E_2^tq = | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π^p = (Π)^p( ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ), Π_p )_cusp) ⟹( H^t+q_c(, ℒ_ξ) )_p-cusp[Π^∞, p].

		
		Puisque le paquet Π_φ(_b(_p)) ne contient que des reprsentations supercuspidales, le lemme <ref> implique que ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_K_p, _ℓ(n-1)), Π_p ) = 0 si t > 0 et la suite spectrale ci-dessus  dgnre en E_2. On obtient donc des isomorphismes:
		
    | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π^p = (Π)^p(  __b(_p)( H^i_c(ℳ), Π_p )_cusp) = ( H^i_c(, ℒ_ξ) )_p-cusp[Π^∞, p].

		
		D'autre part, la proposition <ref> couple avec la formule de Matsushima pour la L^2-cohomologie, gnralise par Borel et Casselman (<cit.>), nous donne une dcomposition:
		
    H^n-1_c(, ℒ_ξ)_p-cusp[Π^∞, p]    = | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(∙G)_ξ
    Π_p  supercuspidale
    Π^∞, p = Π^∞, pΠ_p ⊗ρ (Π^∞). 
    
    			H^i_c(, ℒ_ξ)_p-cusp[Π^∞, p]    = 0      (i ≠ n-1) .

		o ρ (Π^∞) est une reprsentation continue de dimension finie de Gal(∙F/ ∙F ) et 𝒜(∙G)_ξ est l'ensemble des reprsentations automorphes de ∙G cohomologiques pour ξ. De plus on a 
		
    ρ (Π^∞)  = ∑_π_∞ m(π_∞⊗Π^∞)  H^n-1 (∙G(), K, π_∞⊗ξ)

		o π_∞ varie dans le paquet cohomologique Π_(ξ)(∙G()).
		
		Puisque ξ est de poids rgulier et ∙G() est le groupe de similitudes unitaires de signature (1, n-1), d'aprs le corollaire VI.2.7 de <cit.>, on en dduit qu'il y a exactement n reprsentations π_j (j ∈{1, ⋯, n }) cohomologiques pour ξ. On a galement :
		
    H^n-1 (∙G(), K, π_j ⊗ξ) = 1.

		
		On en dduit que σ_π_p, π_p'^i = 0 si i ≠ n-1 de sorte que
		
    ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π^p = Π^p(__b(_p)( H^n-1_c(ℳ), Π_p )_p-cusp) = ∑_Π' ∈𝒜(∙G) 
     (Π')^∞, p = Π^∞, pΠ'_p ⊗ρ((Π')^∞)_p

		
		En crivant  
		__b(_p)( H^n-1_c(ℳ), Π_p )_cusp   = ∑_Π_p'Π_p' ⊗σ_Π_p, Π_p'	o Π_p' parcourt l'ensemble des classes d'quivalences de reprsentations supercuspidales de G(_p), l'galit ci-dessus s'crit sous la forme
		
    ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π^p = Π^p( ∑_Π_p'Π_p' ⊗σ_Π_p, Π_p') = ∑_Π' ∈𝒜(∙G) 
     (Π')^∞, p = Π^∞, pΠ'_p ⊗ρ((Π')^∞)_p

		
		Or si Π' ∈𝒜(∙G) et (Π')^∞, p = Π^∞,p, on en dduit que Π'_p et Π_p sont dans le mme paquet,  savoir le paquet Π_φ(G(_p)). De mme on voit que Π_p ∈Π_φ(_b(_p)). On en dduit que σ_Π_p, Π_p' = 0 si Π_p' ∉Π_φ (G(_p)). 
		
		Or, le groupe centralisateur global S_^♮ est / 2, en particulier S_^♮≃ Z(∙U^*)^Γ o Γ est le groupe de Galois, ∙U est le groupe unitaire noyau du facteur de similitude de ∙G et ∙U^* est sa forme intrieure quasi-dploye. On en dduit que Π_ (I, ϱ, ϵ)  = Π_(I, ϱ) car la condition sur ϵ disparat (consulter <ref> et <ref>). D'aprs le thorme <ref>, on voit que ξ̆⊗π_p ⊗Π^∞, p est toujours une forme automorphe lorsque π_p varie dans Π_φ(_b(_p)). L'galit (<ref>) se rcrit donc sous la forme
		
		
    ∑_π_p ∈Π_φ(_b(_p))∑_π_p' ∈Π_φ(G(_p))π_p' ⊗σ_π_p, π_p' = ∑_π_p' ∈Π_φ(G(_p))π_p' ⊗ρ(π_p' ⊗Π^∞, p)_p.

		
		En particulier pour π_p' ∈Π_φ(G(_p)) fixe, on a 
		
    ∑_π_p ∈Π_φ(_b(_p))σ_π_p, π_p' = ρ(π_p' ⊗Π^∞, p)_p.

		
		D'aprs le rsultat de multiplicit 1 (thorme <ref> et proposition <ref>), on voit que m(π_j ⊗π_p' ⊗Π^∞, p) est soit nulle soit gale  1. 
		Comme au-dessus, le thorme <ref> implique que π_i ⊗π_p' ⊗Π^∞, p est toujours une forme automorphe lorsque π_p' varie dans Π_φ(G(_p)) et i varie dans { 1, ⋯, n }.
		
		Cela implique que ρ(π_p' ⊗Π^∞, p) = n. D'aprs le corollaire <ref> et la remarque <ref>, on a alors
		
    ρ(π_p' ⊗Π^∞, p)_p = ( r_μ∘φ_|F_p)  ⊗ | · |^-n-1/2.

		
		Autrement dit on a
		
    ∑_π_p ∈Π_φ(J_b(_p))σ_π_p, π_p' = ( r_μ∘φ_|F_p)  ⊗ | · |^-n-1/2.

	
	
	tape 2 : Ramener au problme de comptage  l'infini.
	
	Fixons une reprsentation π_p ∈Π_φ(_b(_p)) et  appliquons la proposition <ref> pour I et la reprsentation π_p, on trouve un L-paramtre global discret gnrique Ω dont le L-paquet contient une reprsentation automorphe Π∈𝒜(I()) telle que 
	
		
  - Π_p et π_p sont dans la mme classe d'quivalence d'inertie,
		
  - Π_∞ = ξ̆,
		
  - Π≅Π' ds lors que (Π)^p ≅ (Π')^p.
		 
	
	De plus, grce au lemme <ref>, nous pouvons supposer Π_p = π_p,.
	
	En prenant la partie Π^∞, p-isotypique de la suite spectrale (<ref>) on a : 
	
    E_2^tq = | ^1 (, ∙G) |(^t__b(_p)( H^q_c(ℳ), π_p )_cusp) ⟹( H^t+q_c(, ℒ_ξ) )_p-cusp[Π^∞, p]

	
	Comme dans la premire partie, le lemme <ref> simplifie la suite spectrale, on obtient donc l'galit
	
    ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π^p = Π^p(__b(_p)( H^n-1_c(ℳ), Π_p )_cusp) = ∑_Π∈𝒜(∙G) 
    Π^∞, p = Π^∞, pΠ_p ⊗ρ(Π^∞)_p

	
	Or Π≅Π' ds lors que (Π)^p ≅ (Π')^p, l'galit au-dessus se rcrit donc sous la forme
	
    ∑_π_p' ∈Π_φ(G(_p))π_p' ⊗σ_π_p, π_p' = ∑_π_p' ∈Π_φ(G(_p))π_p' ⊗ρ(π_p' ⊗Π^∞, p)_p.

	
	En prenant la partie [π_p']-isotypique, on en dduit en particulier que π_p' ⊗σ_π_p, π_p' = π_p' ⊗ρ(π_p' ⊗Π^∞, p)_p et donc que ρ (π_p' ⊗Π^∞, p) = σ_π_p, π_p'.
	
	D'aprs (<ref>) et (<ref>), on a ρ (π_p' ⊗Π^∞, p) = ∑_i =1^n m(π_i ⊗π_p' ⊗Π^∞, p). La formule de multiplicit (thorme <ref> et <ref>) implique alors que σ_π_p, π_p' est gale au nombre de reprsentations π_i telles que π_i ⊗π_p' ⊗Π^∞, p est une forme automorphe. D'aprs le thorme <ref> cela quivaut  demander l'galit suivante :
	
    ⟨π_i, s_∞⟩_ϱ_∞, z_∞·⟨π_p', s_p ⟩_ϱ_v, z_v∏_v ≠∞, p⟨Π_v, s_v ⟩_ϱ_v, z_v = 1,   ∀ s ∈ S_Ω^♮

	
	Or ξ̆⊗π_p ⊗Π^∞, p tant une forme automorphe dans 𝒜(I()), on a l'galit suivante :
	
    ⟨ξ̆, s_∞⟩_ϱ_∞, z_∞·⟨π_p, s_p ⟩_ϱ_v, z_v∏_v ≠∞, p⟨Π_v, s_v ⟩_ϱ_v, z_v = 1,   ∀ s ∈ S_Ω^♮.

	
	On en dduit que π_i ⊗π_p' ⊗Π^∞, p est une forme automorphe si et seulement si
	
    ⟨π_i, s_∞⟩_ϱ_∞, z_∞·⟨π_p', s_p ⟩_ϱ_v, z_v·⟨ξ̆, s_∞⟩_ϱ_∞, z_∞·⟨π_p, s_p ⟩_ϱ_v, z_v = 1,   ∀ s ∈ S_Ω^♮.

	
	Donc, afin de calculer la dimension des reprsentations galoisiennes, on doit calculer les caractres du groupe centralisateur  l'infini.
	
	tape 3 : Calcul de caractres  l'infini
	
	Considrons les  L-paquets Π_(ξ)(I()) et Π_(ξ)(∙G()). Comme ξ est un L-paramtre discret, on peut crire ξ^n := η_χ_κ *ξ sous la forme ξ^n = ξ_1 ⊕⋯⊕ξ_n o les ξ_i sont deux  deux distincts. Le groupe centralisateur est donn par 
	
    S_ξ^♮≅∏_i = 1^n O(1, )  ≅∏_i = 1^n ( / 2).

	
	Le groupe Z(G)^Γ = {± 1 } est envoy diagonalement dans S_ξ^♮.
	
	Le L-paquet Π_(ξ)(∙G()) est constitu par n reprsentations π_i qui correspondent  n caractres τ_π_i de S_ξ^♮ dont la restriction sur Z(G)^Γ est un caractre de Z(G)^Γ calcul en fonction de a^G_∞. De mme le L-paquet Π_(ξ)(I()) est constitu par la reprsentation ξ̆ qui correspondent  un caractre τ_ξ̆ de S_ξ^♮ dont la restriction sur Z(G)^Γ est calcul par a^I_∞. On va calculer les n caractres τ_ξ̆·τ_π_i o i ∈{ 1, ⋯ n }. 
	
	 
		Puisque a^G_∞ + a^I_∞≡ 1  mod  2, la restriction de τ_ξ̆·τ_π_i sur Z(G)^Γ est le caractre non trivial. On en dduit que pour tout i, on a
		
    ∏_j = 1^nτ_ξ̆·τ_π_i( 1, ⋯,1, -1_j, 1, ⋯, 1 ) = τ_ξ̆·τ_π_i( -1, ⋯, -1 ) = -1.

	
	
	Choisissons un L-paramtre supercuspidal ψ de G(_p) de sorte que η_χ_κ *ψ = ψ_F_p = ψ^n_1_1 ⊕ψ^n_2_2 avec ψ^n_1_1 = 1 et ψ^n_2_2 = n-1. On a 
	
    S_ψ≅∏_i = 1^2 O(1, )  ≅∏_i = 1^2 ( / 2) ≅ S_ψ^♮.
	
	
	Fixons une reprsentation π_p ∈Π_ψ(_b(_p)) et choisissons une reprsentation π_p' ∈Π_ψ(G(_p)) de sorte que le caractre τ_π_p·τ_π_p' de S^♮_ψ est donn par
	
    τ_π_p·τ_π_p' (-1,1) = -1       τ_π_p·τ_π_p' (1,-1) = 1.

	
	En utilisant la mme construction que celle dans la proposition <ref> (et aussi le lemme <ref>), il existe, pour tout i_0 fix, un paramtre global discret gnrique Φ(i_0) de la forme Φ(i_0)^n = Φ^n_1_1(i_0) ⊞Φ^n_2_2(i_0) de sorte que
	
		
  ∙ Φ^n_j_j(i_0) est un L-paramtre global discret gnrique pour j = 1, 2,
		
  ∙ (Φ(i_0))_∞ = ξ et (Φ^n_1_1(i_0))_∞ = ξ_i_0,
		
  ∙ (Φ^n_1_1(i_0))_p = ψ^n_1_1 et (Φ^n_2_2(i_0))_p = ψ^n_2_2,
		
  ∙ Le morphisme canonique 
		
    S^♮_Φ(i_0)⟶ S^♮_ψ
 
		
		
		
		est un isomorphisme.
	
	
	
	
	
	Dtaillons maintenant les groupe centralisateurs ainsi que les morphismes de localisation 
	
    S_Φ(i_0)≅∏_i = 1^2 O(1, )  ≅∏_i = 1^2 ( / 2) ≅ S_Φ(i_0)^♮.

	
	Les morphismes de localisation S_Φ(i_0)⟶ S_ψ et S_Φ(i_0)⟶ S_ξ sont donns par les formules ci-dessous
	
	
    S_Φ(i_0)^♮       ⟶     S_ψ^♮    S_Φ(i_0)^♮       ⟶       S^♮_ξ   
    
    		(x_1, x_2)      ⟼  (x_1, x_2)     (x_1, x_2)      ⟼  (x_2, ⋯ x_2_i_0-1, x_1, x_2 ⋯ x_2_n - i_0)

	
	
		Si on a une reprsentation irrductible τ de S_ψ^♮ ou de S_ξ^♮, on note τ^i_0 la reprsentation induite sur S^♮_Φ(i_0) par les morphismes de localisation.	
	
	
	Utilisons la proposition <ref> et le lemme <ref> pour I et la reprsentation π_p et le L-paramtre Φ(i_0), on trouve une reprsentation automorphe Π(i_0) ∈Π_Φ(i_0)(I()) telle que 
	
		
  - Π(i_0)_p = π_p,  Π(i_0)_∞ = ξ̆, 
		
  - Π(i_0) ≅Π' ds lors que (Π(i_0))^p ≅ (Π')^p.
		
	
	En prenant la partie Π(i_0)^∞, p-isotypique de la suite spectrale (<ref>) on a : 
	
    E_2^tq = | ^1 (, ∙G) |( ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ), π_p )_cusp) ⟹( H^t+q_c(, ℒ_ξ) )_p-cusp[Π(i_0)^∞, p]

	
	Comme dans l'tape 2, on obtient l'galit π_p' ⊗σ_π_p, π_p' = π_p' ⊗ρ(π_p' ⊗Π(i_0)^∞, p)_p et donc ρ (π_p' ⊗Π(i_0)^∞, p) = σ_π_p, π_p'.
	
	D'une part, l'galit (<ref>) couple avec le fait que ψ_F_p = ψ^n_1_1 ⊕ψ^n_2_2 avec ψ^n_1_1 = 1 et ψ^n_2_2 = n-1 implique que σ_π_p, π_p'∈{ 0, 1, n-1, n }.
	
	De plus ρ (π_p' ⊗Π(i_0)^∞, p) = ∑_i =1^n m(π_i ⊗π_p' ⊗Π(i_0)^∞, p). Comme dans la fin de l'tape 2, la formule de multiplicit implique que σ_π_p, π_p' est gale au nombre de reprsentations π_i telles que  τ^i_0_ξ̆·τ^i_0_π_i = τ^i_0_π_p·τ^i_0_π_p'.
	
	Montrons que σ_π_p, π_p' = 1. Supposons le contraire, il y a 3 possibilits.
	
	Cas 1 : σ_π_p, π_p' = 0.
	
	Dans ce cas on a τ^i_0_ξ̆·τ^i_0_π_i≠τ^i_0_π_p·τ^i_0_π_p' pour tout i. La description des morphismes de localisation implique que pour tout i ∈{ 1, ⋯, n } on a 
	
    τ_ξ̆·τ_π_i(1,⋯,1, -1_i_0, 1, ⋯, 1 ) = 1.
 
	
	En faisant varier i_0, on en dduit que tous les τ_ξ̆·τ_π_i concident, contradiction.
	
	Cas 2 : σ_π_p, π_p' = n.
	
	La description des morphismes de localisation implique que pour tout i ∈{ 1, ⋯, n } on a 
	
    τ_ξ̆·τ_π_i(1,⋯,1, -1_i_0, 1, ⋯, 1 ) = -1.
 
	
	Comme prcdemment en faisant varier i_0 , on en dduit que les τ_ξ̆·τ_π_i sont gaux pour tout i, contradiction.
	
	Cas 3 : σ_π_p, π_p' = n-1.
	
	La description des morphismes de localisation implique qu'il y a exactement n-1 indices i ∈{ 1, ⋯, n } tels que 
	
    τ_ξ̆·τ_π_i(1,⋯,1, -1_i_0, 1, ⋯, 1 ) = -1.
 
	
	Comme i_0 est arbitraire, on en dduit que 
	
    ∏_i_0=1^n∏_i = 1^nτ_ξ̆·τ_π_i( 1, ⋯, 1, -1_i_0, 1, ⋯,1 ) = (-1)^(n-1) · n = 1.

	
	Or d'aprs la remarque <ref> et le fait que n est impair, on en dduit que
	
    ∏_i_0=1^n∏_i = 1^nτ_ξ̆·τ_π_i( 1, ⋯, 1, -1_i_0, 1, ⋯,1 ) = ∏_i = 1^nτ_ξ̆·τ_π_i( -1, ⋯, -1 ) = (-1)^n = (-1).

	
	Ceci est une contradiction. 
	
	On en dduit que σ_π_p, π_p' = 1, autrement dit pour tout i_0, il y a exactement un indice i ∈{ 1, ⋯, n } tel que 
	
    τ_ξ̆·τ_π_i(1,⋯,1, -1_i_0, 1, ⋯, 1 ) = -1.

	
	En utilisant la remarque <ref>, on vrifie aisment que les n caractres τ_ξ̆·τ_π_i de ( / 2)^n avec i ∈{ 1, ⋯, n } sont les caractres λ_i o
	
    λ_i (1, ⋯, -1_j, ⋯, 1) = {[             -1             si            i=j;              1             si 1 ≤ i ≠ j ≤ n. ].

	
	tape 4 : Fin de la dmonstration
	
	
	
		Il existe un paramtre global gnrique  = (^n, ) o ^n = ^n_1_1 ⊞^n_2_2 avec _i^n_i des paramtres simples gnriques de sorte que
		
			
  i) (^n_1_1)_p = φ^n_1_1
			
  ii) (^n_2_2)_p = φ^n_2_2 ⊕⋯⊕φ^n_r_r.
			
  iii) Il y a une place q de  dcompose dans le corps quadratique imaginaire ∙F telle que 
			
    (^n_1_1)_q = χ_1 ⊕⋯⊕χ_n_1       (^n_2_2)_q = χ_n_1 + 1⊕⋯⊕χ_n

			o les χ_i sont non ramifies et deux  deux distincts.
			
  iv) _∞ = ξ. 
		
	
	
		On utilise la mme construction que celle dans la proposition <ref>.
	  
	
	
	
	On fixe une reprsentation π_p ∈Π_φ(_b(_p)). Comme dans la dmonstration de la proposition <ref> (et aussi le lemme <ref>), il existe une reprsentation automorphe Π de I() dans le paquet Π_(I) de sorte que Π_p = π_p et Π_∞ = ξ̆ (mais Π^p = Π^p n'implique pas forcment Π = Π). 
	
	Prenons la partie [Π^∞,p] de la suite spectrale (<ref>). Grce au lemme <ref>, la suite spectrale dgnre, on obtient donc des isomorphismes
	
    | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π^p = Π^p( __b(_p)( H^q_c(ℳ), Π_p )_cusp) ⊗ [Π^∞, p] = ( H^q_c(, ℒ_ξ) )_p-cusp[Π^∞, p].
 
	
	
	En utilisant la formule de Matsushima couple avec la proposition <ref>, on en dduit que 
	
	
	
	
	
	
	
	
    ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π^p = Π^p(__b(_p)( H^q_c(ℳ), Π_p )_cusp) = ∑_Π∈𝒜(∙G) 
    Π^∞, p = Π^∞, pΠ_p ⊗ρ(Π)_p.

	
	D'aprs le calcul dans la section <ref>, on a
	
    S_≅∏_i = 1^2 O(1, )  ≅∏_i = 1^2 ( / 2) ≅ S_^♮.

	
    S_φ≅∏_i = 1^r O(1, )  ≅∏_i = 1^r ( / 2) ≅ S_φ^♮     S__∞≅∏_i = 1^n O(1, )  ≅∏_i = 1^n ( / 2) ≅ S__∞^♮.

	
	Les morphismes de localisation S_⟶ S_φ et S_⟶ S__∞ sont donns comme ci-dessous
	
	
    S_^♮       ⟶     S_φ^♮    S_^♮       ⟶       S__∞   
    
    		(x_1, x_2)      ⟼  (x_1, x_2, ⋯, x_2_r-1)     (x_1, x_2)      ⟼  (x_1, ⋯ x_1_n_1, x_2, ⋯, x_2_n_2)

	
	Si on a une reprsentation irrductible τ de S_φ^♮ ou de S__∞^♮, on note τ la reprsentation induite sur S^♮_ par les morphismes de localisation. 
	
	Pour 1 ≤ i ≤ r, on note τ_i le caractre de S^♮_φ dfini par <ref>.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Le groupe Z(G)^Γ = {± 1 } est envoy diagonalement dans S_φ^♮. Les reprsentations dans le paquet Π_φ(_b(_p)) sont paramtres par les lments de Irr(S_ψ^♮, χ_I) o χ_I est calcul en fonction de a_p^I (voir <ref> et exemple <ref>) et celles dans le paquet Π_φ(G(_p)) sont paramtres par les lments de Irr(S_ψ^♮, χ_G) o χ_G est calcul en fonction de a_p^G. 
	
	Puisque les rles des τ_i pour 1 ≤ i ≤ r sont identiques, il suffit de montrer que σ_π_p, π_p' = r_μ_1∘ (φ^n_1_1) ⊗ | · |^-n-1/2 pour τ_π_p·τ_π_p' = τ_1.
	
	Choisissons π_p' ∈Π_φ(G(_p)) de sorte que τ_π_p·τ_π_p' = τ_1. D'aprs (<ref>) et la description explicite des caractres τ_ξ̆·τ_π_i dans (<ref>), on en dduit que σ_π_p, π_p' = n_1.	
	
	Comme Π est une reprsentation automorphe de I(), on en dduit que π_i ⊗π_p' ⊗Π^∞, p est une reprsentation automorphe de ∙G() si et seulement si 
	
	
    τ_π_i·τ_π_p' = τ_ξ̆·τ_π_p.
 
	
	Puisque τ_π_p·τ_π_p' = τ_1, l'galit ci-dessus quivaut   
	
    τ_ξ̆·τ_π_i = τ_1.

	
	D'aprs l'tape 3, on a τ_ξ̆·τ_π_i = λ_i, donc π_i ⊗π_p' ⊗Π^∞, p est une reprsentation automorphe de ∙G() si et seulement si λ_i = τ_1. En utilisant la description des morphismes de localisation ainsi que la dfinition de τ_1 (c.f. <ref>) et de λ_i (c.f. <ref>), on voit que λ_i = τ_1 si et seulement si i ∈{ 1, ⋯ n_1 }. On en dduit que ρ(π_p' ⊗Π^∞, p) = n_1. Le corollaire <ref> implique que  
	
    ρ(π_p' ⊗Π^∞, p)_p =r_μ_1∘ (φ^n_1_1) ⊗ | · |^-n-1/2.

	
	Maintenant en prenant la partie [π_p']-isotypique dans (<ref>), on voit que
	
    ∑_π_p ∈Π_φ(_b(_p)) 
    π_p ⊗Π^p ∈𝒜(I) σ_π_p, π_p'⊗π_p' = π_p' ⊗ r_μ_1∘ (φ^n_1_1) ⊗ | · |^-n-1/2 
    	.

	
	Comme σ_π_p, π_p' = n_1 =  r_μ_1∘ (φ^n_1_1), on en dduit que
	
    σ_π_p, π_p' = r_μ_1∘ (φ^n_1_1) ⊗ | · |^-n-1/2.

	
	

§ APPENDICE
 
	Dans cet appendice on dmontre un analogue plus faible du <ref> pour F^+ un corps totalement rel de degr impair strictement plus grand que 1. Le principe de la dmonstration repose sur l'tude des varits de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor _ / ∙E dfinies sur leur corps reflex ∙E = ∙F o ∙F = 𝒦 F^+ avec 𝒦 un corps quadratique imaginaire et plus particulirement sur la gomtrie de la fibre spciale en une place p inerte dans ∙F d'un modle _/ 𝒪_p o 𝒪_p est l'anneau des entiers de ∙F_p.
	 
		Soit φ : W__p⟶( ∏_τ∈Φ GL_n() ×^×) ⋊ W__p un L-paramtre discret de G(_p). Notons Π_φ(G(_p)) et Π_φ(J_b(_p)) le L-paquet (supercuspidal) respectivement de G(_p) et de J_b(_p) correspondant  φ. Alors pour π_p' une reprsentation cuspidale dans Π_φ(G(_p)) on a
		
			
  i) σ^i_π_p, π_p' = 0 si i ≠ n-1.
			
  ii) σ_π_p, π_p' = 0 si π_p ∉Π_φ(_b(_p)),
			
  iii) 
			
    σ_π_p, π_p' = _S_φ( τ_π_p'⊗τ_π_p ,r_μ∘φ_F_p ) ⊗ | · |^-n-1/2.

		
		
	
	 
		Soit 𝒟 = ( ∙F, B, *, V, ⟨· | ·⟩, h, ∙G) une donne globale de type PEL globalisant la donne locale de sorte que _B(V) est une algbre simple qui est dploye en toutes places finies comme dans la proposition <ref>. Soit  la varit de Shimura associe, le groupe ∙G(_p) = G(_p) est le groupe des similitudes unitaires quasi-dploy en n variables. En particulier  est de signature (1, n-1), (0, n), ⋯, (0, n)  l'infini et  est donc compacte.
		
		On note ℳ (𝒟__p, b) l'espace de Rapoport-Zink associ  la donne locale.
		
		Soit ϕ une classe d'isognie intervenant dans la strate basique et I := (I^ϕ) le groupe rductif associ. On sait que I() est la forme compacte modulo le centre de ∙G(), que I(_p) = _b(_p) et que I(_f^p) = ∙G(_f^p). D'aprs la proposition <ref> il y a une suite spectrale ∙G(_f) × W_F_p-quivariante:
		
    E_2^tq = | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I) 
    Π_∞ = ξ̆( ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ), Π_p )_cusp) ⊗ (Π^∞, p) ⟹( H^t+q(, ℒ_ξ) )_p-cusp.
	
		
		Fixons une reprsentation π_p ∈Π_φ(_b(_p)) et  appliquons la proposition <ref> (et aussi le lemme <ref>) pour I et la reprsentation π_p; on trouve une reprsentation automorphe Π∈𝒜(I()) telle que 
		
			
  - Π_p = π_p,  Π_∞ = ξ̆, 
			
  - Π≅Π' ds lors que (Π)^p ≅ (Π')^p.
			
		
		En utilisant le mme argument que dans l'tape 2 de la dmonstration du thorme principal on en dduit que 
		
    ρ (π_p' ⊗Π^∞, p) = σ_π_p, π_p',

		o ρ (π_p' ⊗Π^∞, p) est la partie [π_p' ⊗Π^∞, p]-isotypique dans la cohomologie de .
		
		D'autre part on a
		
    ρ (π_p' ⊗Π^∞, p) = ∑_i =1^n m(π_i ⊗π_p' ⊗Π^∞, p).

		
		La formule de multiplicit <ref> couple avec <ref> implique alors que m(π_i ⊗π_p' ⊗Π^∞, p) est soit nulle soit gale  1. On en dduit donc que σ_π_p, π_p' est gale au nombre de reprsentations π_i telle que τ_ξ̆·τ_π_i = τ_π_p·τ_π_p'. Nous utilisons le calcul fait dans l'tape 3 de la dmonstration du thorme principal pour conclure.
	
	 
		Soit φ : W__p⟶( ∏_τ∈Φ GL_n() ×^×) ⋊ W__p un L-paramtre discret de G(_p). Notons Π_φ(G(_p)) et Π_φ(J_b(_p)) le L-paquet (supercuspidal) respectivement de G(_p) et de J_b(_p) correspondant  φ. Alors pour π_p' une reprsentation cuspidale dans Π_φ(G(_p)) on a 
		
    ∑_π_p ∈Π_φ(J_b(_p))σ_π_p, π_p' = ( r_μ∘φ_F_p)  ⊗ | · |^-n-1/2.
 
	
	  
		
		Soit 𝒟 une donne globale de type PEL globalisant la donne locale comme dans la proposition <ref> de sorte que _B(V) est une algbre  division qui est en toute place finie soit dploye, soit une algbre  division. Soit  la varit associe, le groupe ∙G(_p) = GU^*(n) est le groupe de similitudes unitaires quasi-dploy en n variables. En particulier  est de signature (1, n-1), (0, n) ⋯ (0, n)  l'infini et  est compacte car _B(V) est une algbre  division. 
		
		On note ℳ (𝒟__p, b) l'espace de Rapoport-Zink associ  la donne locale.
		
		Soit ϕ une classe d'isognie intervenant dans la strate basique et I^ϕ le groupe rductif associ. On sait que I^ϕ() est la forme compacte modulo le centre de ∙G(), que I^ϕ(_p) = _b(_p) et que I^ϕ(_f^p) = ∙G(_f^p). D'aprs la proposition <ref>, il y a une suite spectrale ∙G(_f) × W_F_p-quivariante
		
    E_2^tq = | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I^ϕ) 
    Π_∞ = ξ̆( ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ), Π_p )_cusp) ⊗ (Π^∞, p) ⟹( H^t+q(, ℒ_ξ) )_p-cusp
		
		
		On choisit une reprsentation ξ de dimension finie de I^ϕ(). Soit Π(ξ) le L-paquet des reprsentations de sries discrtes de ∙G() cohomologiques pour ξ.
		
		Considrons une reprsentation supercuspidale π_p dans Π_φ(G(_p)). D'aprs <cit.>, il existe une reprsentation automorphe Π de ∙G telle que Π_p = π_p et Π_∞∈Π(ξ) et que Π_w_0 est supercuspidale pour une place w_0 inerte. On peut supposer de plus que pour toute place finie dcompose v telle que _B(V) est une algbre  division, la composante Π_v et JL(Π_v) soient supercuspidales, o JL est l'application de Jacquet-Langlands. 
		
		Maintenant, en appliquant le cas (A) du thorme 3.1.6  de <cit.> pour les groupes de similitudes unitaires globaux ∙G et I^ϕ, on obtient une reprsentation automorphe Π^* de I^ϕ telle que (Π^*)_w = (Π)_w pour toute place finie w ≠ p et (Π^*)_∞ = ξ.
		
		En prenant la partie Π^∞, p-isotypique de la suite spectrale (<ref>), on a 
		
    E_2^tq = | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I^ϕ) 
    Π^p = (Π^*)^p(^t__b(_p)( H^q_c(ℳ), Π_p )_cusp) ⟹( H^t+q(, ℒ_ξ) )_p-cusp[Π^∞, p]

		 
			Soit Π∈𝒜(I^ϕ) telle que Π^p = (Π^*)^p alors Π_p est dans le paquet Π_φ(J_b(_p)).
		
		
			On pose S_0 l'ensemble des places finies dcomposes telles que End_B(V) est une algbre  division et S = S_0 ∪{ w_0 } o w_0 est la place inerte qu'on fixe auparavant. On peut supposer que |S_0| ≥ 2.
			
			D'aprs la proposition 10.1.1 de <cit.>, il existe un groupe de similitudes unitaires global GU^1 tel que (GU^1)_v est quasi-dploy si v est dcompose et (GU^1)_w = (I^ϕ)_w pour toute w ∉ S. 
			
			D'aprs le cas (B) du thorme 3.1.6 de <cit.>, il existe une reprsentation automorphe Π_1 de GU^1() telle que (Π_1)_w = Π_w pour toute w ∉ S. On obtient en particulier (Π_1)_p = Π_p.
			
			Par le mme argument, on obtient un groupe de similitudes unitaires GU^2 tel que (GU^2)_v est quasi-dploy si v est dcompose et (GU^2)_w = (∙G)_w pour toute w ∉ S ainsi qu'une reprsentation automorphe Π_2 de GU^2() satisfaisant (Π_2)_w = Π_w pour toute w ∉ S. En particulier on a (Π_2)_p = π_p et (Π_2)_w = (Π_1)_w pour presque toute w.
			
			Puisque GU^1 et GU^2 sont des formes intrieures pures, le thorme <ref> implique que le L-paramtre global Ψ_1 de Π_1 et le L-paramtre global Ψ_2 de Π_2 sont identiques. Comme (Π_2)_p = π_p est dans le paquet Π_φ(G(_p)), on en dduit alors que la reprsentation (Π_1)_p = Π_p est dans le paquet Π_φ(J_b(_p)).	
		
		
		Puisque le paquet Π_φ(J_b(_p)) ne contient que des reprsentations supercuspidales, d'aprs le lemme <ref> on voit que Π_p est supercuspidale ds que Π^p = (Π^*)^p. D'autre part, le lemme <ref> implique que ^t__b(_p)( H^q_c(ℳ_U_p, _ℓ(n-1)), Π_p ) = 0 si t > 0. Donc la suite spectrale ci-dessus  dgnre. On obtient donc des isomorphismes:
		
    | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(I^ϕ) 
    Π^p = (Π^*)^p(  __b(_p)( H^i_c(ℳ), Π_p )_cusp) = ( H^i(, ℒ_ξ) )_p-cusp[Π^∞, p].
 
		
		D'autre part, la formule de Matsushima nous donne une dcomposition:
		
    H^i(, ℒ_ξ)_p-cusp = | ^1 (, ∙G) | ∑_Π∈𝒜(∙G)_ξ
    Π_p supercuspidaleΠ^∞⊗ρ_i(Π^∞),

		o ρ_i(Π^∞) est une reprsentation continue de dimension finie de Gal(∙F/∙F) et 𝒜(∙G)_ξ est l'ensemble des reprsentations automorphes de ∙G cohomologiques pour ξ.
		
		Puisque l'application η_χ_κ, * est injective (voir <ref>) et Π_v est supercuspidale, le mme argument que celui dans A.7.8 de <cit.> montre le rsultat suivant :
		
    ρ_i (π'_p ⊗Π^∞, p) = {[                               0                              si                       i ≠ n-1 =; ( r_μ∘φ_F_p)^m(Π)⊗ | · |^-n-1/2                              si                        i = n-1. ].

		
		En comparant les galits (<ref>) et (<ref>) avec le calcul de ρ_i (π'_p ⊗Π^∞, p), on en dduit que :
		
    ∑_π_p ∈Π_φ(J_b(_p))(__b(_p)( H^n-1_c(ℳ), π_p )_cusp)^a_I^ϕ(π_p) = ∑_π'_p ∈Π_φ(G(_p))π'_p ⊗( r_μ∘φ_F_p)^a_∙G(π_p')⊗ | · |^-n-1/2,

		
		
		
		
		o a_I^ϕ(π_p) est la multiplicit de ξ̆⊗π_p ⊗Π^∞, p dans l'espace des formes automorphes de I^ϕ et a_∙G(π_p') est la multiplicit de π_ξ⊗π_p' ⊗Π^∞, p dans l'espace des formes automorphes de ∙G (d'aprs le thorme 3.1.7 de <cit.>, la multiplicit a_∙G(π_p') ne dpend pas de π_ξ∈Π (ρ)).
		
		Pour π_p la reprsentation supercuspidale dans Π_φ(G(_p)) fixe, on a en particulier l'galit :
		
    ∑_π_p ∈Π_φ(J_b(_p)) (σ_π_p, π_p')^a_I^ϕ(π_p) = ( r_μ∘φ_F_p)^a_∙G(π_p)⊗ | · |^-n-1/2.

		
		De plus comme φ est un paramtre discret et μ est de signature (1, n-1), (0, n), ⋯ ,(0, n) on en dduit que (r_μ∘φ_ F_p) est une reprsentation de dimension n et est une somme (sans multiplicit) des reprsentations irrductibles deux  deux non isomorphes. D'autre part on a a_∙G(π_p) > 0 et d'aprs la proposition <ref> on a 
		∑_π_p ∈ (Π_φ(_b(_p)))σ_π_p, π_p' = n,	
		ce qui implique	
		
    ∑_π_p ∈Π_φ(J_b(_p))σ_π_p, π_p' = ( r_μ∘φ_F_p)  ⊗ | · |^-n-1/2.
 
	
	
	alpha
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
