Le problème inverse de Galois sur les corps des fractions tordus à indéterminée centrale
Bruno Deschamps François Legrand



Le Problème Inverse de Galois sur les corps des fractions tordus à indéterminée centrale


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Bruno DESCHAMPS et François LEGRAND
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Abstract.— In this article, we show that the Inverse Galois Problem over a skew field H of finite dimension over its center k is equivalent to a variant of the Inverse Galois Problem over k involving a polynomial constraint. As an application, we show that if k contains an ample field, then the Inverse Galois Problem has a positive answer over the skew field H(t) of rational fractions with central indeterminate.

Résumé.— Dans cet article, nous montrons que le Problème Inverse de Galois sur un corps gauche H de dimension finie sur son centre k est équivalent à une variante du Problème Inverse de Galois sur k faisant intervenir une contrainte polynomiale. En application de ce résultat nous montrons que, si k contient un corps ample, alors le Problème Inverse de Galois admet une réponse positive sur le corps H(t) des fractions rationnelles tordu à indéterminée centrale.



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Le problème inverse de la théorie de Galois sur un corps K s'énonce de la manière suivante :
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PIG_K (Problème Inverse de Galois sur K) : Tout groupe fini G est-il le groupe de Galois d'une extension galoisienne L/K ?
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Etant donnée une extension de corps commutatifs H/k, il est clair que, de manière générale, l'implication PIG_H⟹ PIG_k est fausse, même lorsque H/k est finie. On peut, par exemple, penser au cas du corps k=ℚ^ tr des nombres algébriques totalement réels, corps sur lequel seuls les groupes finis engendrés par des involutions sont groupes et Galois (voir <cit.>) et H=ℚ^ tr(√(-1)) dont le groupe de Galois absolu est prolibre (voir, par exemple, <cit.>). L'étude de la réciproque PIG_k⟹ PIG_H est plus commode : si l'on se donne une extension galoisienne L/k de groupe fini G telle que l'algèbre M=L⊗_k H soit un corps, alors un argument classique de théorie de Galois montre que M/H est une extension galoisienne de groupe G. Comme L/k est une extension algébrique, la condition "L⊗_k H est un corps" équivaut juste au fait que les extensions L/k et H/k sont linéairement disjointes sur k. Si l'on suppose l'extension H/k finie alors la linéaire disjonction peut s'interpréter de la manière suivante : on considère (e_1,… ,e_n), une k-base de H et l'on considère la forme

    P_H (x_1,… ,x_n)=N_H/k(x_1e_1+⋯ +x_ne_n)∈ k[x_1,… ,x_n]

où N_H/k désigne la norme de l'extension H/k. Les extensions H/k et L/k sont alors linéairement disjointes sur k si et seulement si la forme P_H ne possède que le zéro trivial sur L. On peut donc considérer une variante du Problème Inverse de Galois :
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PIGFC_k (Problème Inverse de Galois à F-contrainte) : Pour la k-forme F donnée, tout groupe fini G est-il le groupe de Galois d'une extension galoisienne L/k telle que F ne possède que le zéro trivial sur L ?
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Pour le choix de F=P_H, on voit donc que PIGFC_k⟹ PIG_H. En fait, un argument classique montre que, pour ce choix de F, on a PIGFC_k⟺ PIG_k[Notons n le nombre de corps intermédiaires de H/k. Pour un groupes G donné on considère une extension galoisienne L/k de groupe G^n+1 et l'on considère le corps L_i des invariants de L par le sous-groupe de  G^n+1 obtenu en retirant le i-ème facteur direct. Les extensions L_i/k sont alors galoisiennes de groupe G et elles sont linéairement disjointes deux à deux sur k. Puisqu'elles sont au nombre de n+1, au moins l'une d'entre elle est d'intersection avec H réduite à k, c'est-à-dire linéairement disjointe de H sur k.], mais c'est la formulation PIGFC_k qui va nous intéresser dans cet article.
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Traditionnellement, les arithméticiens considèrent le(s) problème(s) inverse(s) de Galois pour des corps commutatifs. Nonobstant, la théorie de Galois possède une généralisation au cas non commutatif et il est donc possible de regarder le Problème Inverse de Galois dans le cas des corps gauches. La définition la plus générale d'extension galoisienne est celle donnée par Artin : une extension L/k est dite galoisienne si le corps des invariants de L sous l'action de Aut(L/k) est égal à k. C'est avec cette définition que s'entend la théorie de Galois des corps gauches. Le résultat central de cet article est le
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Théorème A.— Soient k un corps commutatif et H un corps de dimension finie sur son centre k. Si F désigne la k-forme associée à la norme réduite de l'extension H/k relativement au choix d'une k-base de H, alors on a l'équivalence

    PIGFC_k⟺ PIG_H

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Ainsi, en jouant sur les analogues "norme/norme réduite" pour la forme F et "commutatif/gauche de centre k" pour le corps H, on voit que l'on a toujours

    PIGFC_k⟹ PIG_H

mais, chose surprenante, l'implication PIG_H⟹ PIGFC_k n'est vraie en toute généralité que dans le cas non commutatif, comme nous l'avons illustré tout à l'heure. 
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La première partie de cet article est consacrée à la preuve du théorème A. Nous commençons cette partie par un bref rappel des éléments fondamentaux de la généralisation de la théorie de Galois au cas des corps gauches afin de faciliter la compréhension de ce texte aux arithméticiens non familiarisés à cette situation. 
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La deuxième partie de cet article s'intéresse plus particulièrement au cas de certains corps de fractions rationnelles tordus. Rappelons que, si H désigne un corps (commutatif ou non), on définit l'anneau  des polynômes tordu H[t] à indéterminée centrale et à coefficients dans H comme le H-espace vectoriel de base {t^n}_n≥ 0 sur lequel on considère le produit qui vérifie at=ta pour tout a∈ H. Il s'agit en fait, pour la construction de Ore (voir <cit.>), de l'anneau de polynômes tordu K[t,α,δ] obtenu en prenant pour δ la dérivation nulle et pour α l'endomorphisme identité. Cet anneau est un anneau de Ore et, en particulier, il possède un unique corps de fractions que l'on note H(t) et que l'on appelle le corps des fractions rationnelles tordu à indéterminée centrale et à coefficients dans H. En tant que corps des fractions d'un anneau de Ore, le corps H(t) jouit d'une propriété très forte : tous ses éléments peuvent s'écrire sous la forme p(t)q(t)^-1 avec p(t),   q(t)∈ H[t]. Lorsque H est commutatif, le corps H(t) obtenu est alors le classique corps des fractions rationnelles à coefficients dans H. Le théorème A montre alors que PIGFC_k(t)⟺ PIG_H(t) pour le choix de la forme F associée à la norme réduite de l'extension H/k. 
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Il existe une famille importante de corps commutatifs k pour lesquels le PIGFC_k(t) admet une réponse positive pour toute k-forme F ne possèdant pas de zéro sur le corps k(t) : c'est celle des corps amples. Il s'agit d'une propriété introduite par Pop dans <cit.> et qui joue un rôle majeur en théorie inverse de Galois. Un corps commutatif k est dit ample si toute courbe lisse définie sur k et géométriquement irréductible possède une infinité de points k-rationnels dès qu'elle en possède au moins un. Parmi ces corps, on trouve les corps PAC[Un corps k est dit Pseudo Algébriquement Clos (PAC) si toute k-variété non vide et géométriquement irréductible a un ensemble Zariski dense de points k-rationnels.] (e.g. les corps séparablement clos, le corps ℚ^ tr(√(-1))), les corps valués complets (e.g. ℝ, ℚ_p, κ((x))), le corps ℚ^ tp des nombres algébriques totalement p-adiques, le corps ℚ^ tr des nombres algébriques totalement réels (voir les articles de survol <cit.>, <cit.> et <cit.> pour plus de détails). Dans cette deuxième partie nous détaillons certains liens qui existent entre cette propriété d'amplitude et notre problématique. Ceci nous permet finalement de montrer le
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Théorème B.— Si k désigne un corps commutatif contenant un corps ample, alors le PIG_H(t) admet une réponse positive pour tout corps H de dimension finie sur son centre k 
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Une première application de ce résultat, sans doute la plus simple, s'obtient en considérant k=ℝ : tout groupe fini est groupe de Galois sur ℍ(t), où ℍ désigne le corps des quaternions d'Hamilton. Mais le théorème B s'applique aussi à des corps ayant des gros groupes de Brauer (e.g. ℚ^ tr, k_0(x_1,… ,x_n)), ce qui montre l'étendue du champ d'application. 
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1.— Preuve du théorème A.
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1.1.— Descente galoisienne.
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Nous rappelons ici les résultats fondamentaux de la théorie de Galois. Dans le cas non commutatif, la présence d'automorphismes intérieurs perturbe un peu les choses. Cette perturbation se mesure de la manière suivante : si L est un corps de centre C et si L/K désigne une extension galoisienne de groupe G telle que l'une des dimensions de L en tant que K-espace vectoriel droite ou gauche soit finie, alors 
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1/ Les dimensions droite et gauche de L en tant que K-espace vectoriel sont égales (et l'on peut donc parler du degré [L:K] de l'extension sans se soucier de quel coté l'on considère le K-espace vectoriel L).
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2/ L'ensemble A={a∈ L^* | I(a)∈ G}∪{0} est un corps (ici I(a) désigne l'automorphisme de conjugaison intérieur associé à l'élément a∈ L^*). L'ensemble A est en fait le commutant du corps K dans L.
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3/ Si l'on considère G_0={I(a) | a∈ A} le sous-groupe de G composé des automorphismes intérieurs, alors on a 

    [L:K]=[G:G_0][A:C]

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On voit qu'il peut donc exister des situations où [L:K] est fini et où G est infini (c'est par exemple le cas lorsque que l'on considère un corps L de dimension finie sur son centre K), on peut même trouver des exemples où G est fini mais où |G|>[L:K] (voir <cit.>). Pour autant, une conséquence de la propriété 3/ est que l'on a [L:K]=|G|, dès que G_0=1 (ou de manière équivalente dès que le commutant A de K dans L est égal au centre C=Z(L)). Dans cette situation, on dit que l'extension L/K est extérieure. Dans la situation opposée où G=G_0, on dit que L/K est intérieure.
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Venons-en maintenant aux correspondances galoisiennes. Pour les étudier nous allons avoir besoin de la notion de N-groupe. Un groupe G d'automorphismes d'un corps K est appelé N-groupe si l'ensemble

    A(G,K)={x∈ K^*/ I(x)∈ G}∪{0}

est un corps. Un sous-groupe S d'un N-groupe G sera dit N-invariant dans G, si le sous-N-groupe de G engendré par le normalisateur N_G(S) de S dans G est égal à G tout entier. Si L/K désigne une extension galoisienne de degré fini alors 
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a) Les correspondances galoisiennes opèrent une bijection réciproque l'une de l'autre entre les sous-N-groupes de G= Gal(L/K) et les extensions intermédiaires de L/K.
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b) Si, par les correspondances galoisiennes, le sous-N-groupe S correspond à l'extension intermédiaire L_0, alors L/L_0 est galoisienne de groupe S. De plus, le groupe Aut(L_0/K) s'identifie au groupe quotient N_G(S)/S et l'extension L_0/K est galoisienne si et seulement si S est N-invariant dans G= Gal(L/K).
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On pourra trouver dans <cit.> un exposé complet de la théorie de Galois dans le cas non commutatif et le détail des preuves des propriétés que nous venons d'énoncer. On remarquera pour finir ce paragraphe de rappels, que dans le cas où les corps sont commutatifs, on retrouve exactement les théorèmes fondamentaux de la théorie de Galois usuelle.
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Si l'on considère une extension galoisienne de degré fini M/K de groupe de Galois Γ et que l'on note Γ_0 l'ensemble des éléments de Γ qui sont des automorphismes intérieurs, alors Γ_0 est un sous-N-groupe de Γ qui est N-invariant (en fait normal). En posant L=M^Γ_0, on obtient alors la tour

    @!0 @R=5pc @C=5pc M
    
    L @-[u]^-*[@] to 3pt intérieure_Γ_0
    
    K @-[u]^-*[@] to 3pt extérieure_Γ/Γ_0

Ainsi, on peut toujours "découper" une extension galoisienne de degré fini M/K en une partie M/L intérieure et une partie L/K extérieure. Le théorème suivant s'intéresse à la situation duale :
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Théorème On suppose avoir une tour d'extensions de corps M/L/K telle que M/L soit galoisienne extérieure de groupe fini G et L/K soit galoisienne intérieure de degré fini. Si K désigne le bicommutant de K dans M, alors l'extension K/K est une extension galoisienne extérieure de groupe G.
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Preuve : On pose G_0= Gal(L/K), Γ= Aut(M/K) et l'on considère Γ_0⊂Γ le sous-groupe des éléments de Γ qui sont des automorphismes intérieurs. On a donc

    Γ_0={I(a)/ a∈K^*}≃K^*/Z(M)^*

(où, pour un sous-corps K_0⊂ M donné, la notation K_0 désigne le commutant de K_0 dans M).
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1er point. Puisque M/L est extérieure, on a L⊂ Z(M) et donc Z(M)=L.
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2ème point. L'extension M/K est galoisienne. En effet, le groupe G_0 se relève naturellement dans Γ_0 et l'on voit immédiatement que M^<G_0,G>=K.
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3ème point. <Γ_0,G>=Γ. Puisque M^<Γ_0,G>=K, pour montrer que <Γ_0,G>=Γ il suffit de montrer que <Γ_0,G> est un N-groupe, c'est-à-dire de montrer que l'ensemble

    A={a∈ M^*/ I(a)∈ <Γ_0,G>}∪{0}

est un corps. Mais, par définition même de Γ_0, on a que I(a)∈ <Γ_0,G>⊂Γ si et seulement si I(a)∈Γ_0 et donc

    A={a∈ M^*/ I(a)∈Γ_0}∪{0}=K

qui est bien un corps.
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4ème point. Γ_0◃Γ et <Γ_0,G>=Γ_0⋊ G. En effet, si σ∈Γ et I(a)∈Γ_0, on a σ∘ I(a)∘σ^-1=I(σ(a))∈Γ_0. Par ailleurs, si σ=I(a)∈Γ_0∩ G alors, pour tout x∈ L, on a σ (x)=axa^-1=x et donc a∈L. D'après le point 1, on a Z(M)=L et l'on en déduit que σ= Id. L'action de G sur Γ_0 dans le produit semi-direct Γ_0⋊ G se décrit en identifiant Γ_0 au groupe quotient K^*/Z(M)^* : pour tout σ∈ G et α∈K^*/Z(M)^*, α^σ=σ(α).
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Conclusion.  Le groupe Γ_0 est donc un sous-N-groupe N-invariant de Γ et la théorie de Galois assure alors que M^Γ_0/K est galoisienne de groupe Γ/Γ_0=(Γ_0⋊ G)/Γ_0≃ G, d'après le point 4. Le dernier point consiste à remarquer que

    x∈ M^Γ_0⟺∀ a∈K, ax=xa⟺ x∈K

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Corollaire (Descente galoisienne) Soit H un corps de dimension finie sur son centre k. Si M/H désigne une extension galoisienne de groupe fini G, alors l'extension (commutative) Z(M)/k est galoisienne de groupe G. Par ailleurs, le corps M est alors isomorphe au produit tensoriel H⊗_k Z(M).
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Preuve : Commençons par montrer que l'extension M/H est extérieure en supposant par l'absurde le contraire. Comme M/H est de groupe fini, d'après <cit.>, le centre C de M est un corps fini. Or, M est un corps de dimension (droite ou gauche) finie sur le corps commutatif k et donc, M est aussi de dimension finie sur son centre C (voir par exemple <cit.>). Ainsi, M est lui-même un corps fini, et donc l'extension M/H est commutative et, par suite, extérieure.
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On peut donc appliquer le théorème <ref>, en posant K=k et L=H. L'extension k/k est alors galoisienne de groupe G. Puisque Z(H)=k, on a H⊂k et donc k⊂H=Z(M) (la dernière égalité vient du fait que M/H est extérieure). En reprenant les notations de la preuve du théorème, on a k=M^Γ_0. Comme Γ_0 est composé uniquement d'automorphismes intérieurs, on voit que Z(M)⊂ M^Γ_0, ce qui prouve finalement que k=Z(M).
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On se retrouve avec les extensions suivantes

    @!0 @C=3pc @R=3pc   M   
    
    H@-[ur]^n_G      Z(M)@-[ul]_m^2
       k@-[ur]^G_n@-[ul]^m^2

On considère une k-base e_1,⋯,e_m^2 de H⊂ M que l'on ordonne de sorte e_1,⋯ ,e_i soit une famille Z(M)-libre (i.e. linéairement indépendante sur Z(M)) maximale pour un certain indice i. Si i m^2, alors il existe λ_1,⋯ ,λ_i∈ Z(M) tel que e_i+1=λ_1e_1+⋯ +λ_i e_i. Puisque tous les e_j sont dans H, on a pour tout σ∈ G,

    e_i+1=σ(λ_1)e_1+⋯ +σ(λ_i) e_i

Par nature même du centre d'un corps, tout automorphisme de M induit un automorphisme de Z(M) et comme e_1,⋯ ,e_i est Z(M)-libre, on en déduit finalement que pour tout j=1,⋯ ,i on a 

    ∀σ∈ G, σ(λ_j)=λ_j

Ceci prouve que λ_j∈ k pour tout j=1,⋯ ,i, ce qui constitue une absurdité, car e_1,⋯ ,e_i+1 est k-libre. Ainsi, la famille e_1,⋯,e_m^2 est une Z(M)-base de M. Par ailleurs, les tenseurs e_1⊗ 1,⋯,e_m^2⊗ 1 forment aussi une Z(M)-base de H⊗_k Z(M). L'application H⊗_k Z(M)⟶ M obtenue par propriété universelle du produit tensoriel est donc un isomorphisme de Z(M)-algèbres. Ceci prouve bien que H⊗_k Z(M) est un corps, isomorphe à M.
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Une conséquence de ce qui précède est alors :
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Corollaire Pour tout corps H de dimension finie sur son centre k, on a PIG_H⟹ PIG_k.
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1.2.— Extension des scalaires.
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On s'intéresse dans cette partie à une réciproque du corollaire <ref>. On se donne donc un corps H de dimension finie sur son centre k et l'on considère L/k, une extension galoisienne de corps commutatifs de groupe fini G. Le corollaire <ref> assure que s'il existe une extension galoisienne M/H de groupe fini telle que L=Z(M), alors on a nécéssairement M=H⊗_k L. On va donc étudier ce genre de produits tensoriels, mais pour bien les comprendre, nous allons commencer par rappeler quelques propriétés sur l'extension des scalaires d'une algèbre simple centrale :
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On se donne un corps commutatif infini k et une k-algèbre simple centrale 𝒜. On note n^2=[𝒜:k] et l'on se donne, une fois pour toute, une k-base (e_1,⋯ ,e_n^2) de 𝒜. Si L/k désigne une extension de corps commutatifs (sans hypothèse de finitude ni même d'algébricité), l'algèbre obtenue de 𝒜 par extension des scalaires à L est par définition la k-algèbre tensorisée Ω=𝒜⊗_k L. On peut plonger L dans Ω en l'identifiant à k⊗_k L. Il est alors clair que L est inclus dans le centre, Z(Ω), de Ω de sorte que l'algèbre Ω peut être considérée comme une L-algèbre. Si l'on note ẽ_̃ĩ=e_i⊗ 1 pour tout i=1,⋯ ,n^2, on voit que (ẽ_̃1̃,⋯ ,ẽ_̃ñ^̃2̃) est une L-base de Ω. On a en particulier [Ω:L]=[𝒜:k]=n^2. Il est facile de voir qu'en fait, Ω est une L-algèbre simple centrale : le produit tensoriel d'une k-algèbre simple centrale par une k-algèbre simple est une k-algèbre simple (voir par exemple <cit.>) et le centre d'un produit tensoriel de k-algèbres est le produit tensoriel des centres (voir par exemple <cit.>). 
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Rappelons que la norme réduite de 𝒜/k est définie de la manière suivante : on commence par se donner un corps neutralisant D de la k-algèbre 𝒜. Par définition, il existe un isomorphisme φ : 𝒜⊗_k D⟶ℳ_n(D). La norme réduite Nrd_𝒜/k est alors la composée des applications :

    Nrd_𝒜/k:𝒜[r]^-a↦ a⊗ 1   𝒜⊗_k D[r]^-φ   ℳ_n(D)[r]^- det   D

Cette application ne dépend, ni du corps neutralisant D, ni de l'isomorphisme φ et elle est en fait à valeurs dans k. Une propriété importante de la norme réduite est qu'un élément x∈𝒜 est inversible si et seulement si Nrd_𝒜/k(x) 0 (toutes ces propriétés sont présentées dans <cit.>). L'application F_𝒜(x_1,⋯ ,x_n^2)∈ k[x_1,⋯ ,x_n^2] définie pour tout (x_1,⋯ ,x_n^2)∈ k^n^2, par

    F_𝒜(x_1,⋯ ,x_n^2)= Nrd_𝒜/k(x_1e_1+⋯+x_n^2e_n^2)

est une k-forme de degré n que l'on appellera la forme associée à la norme réduite Nrd_𝒜/k relativement au choix de la k-base (e_1,⋯ ,e_n^2) de 𝒜. 
Par exemple, si 𝒜=ℍ_k désigne l'algèbre des quaternions à coefficients dans le corps k, alors la norme réduite d'un élément x=a+bu+cv+dw (où u^2=v^2=w^2=uvw=-1) vaut la traditionnelle norme des quaternions q(x)=a^2+b^2+c^2+d^2, de sorte que, pour la choix de la k-base {1,u,v,w} de ℍ_k, on a

    F_ℍ_k(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2

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Une des propriétés importantes que nous allons exploiter dans la suite est donnée par le
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Lemme Avec les notations précédentes (on a notamment posé Ω=𝒜⊗_k L), les formes F_𝒜 et F_Ω sont égales.
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Preuve : On considère la clôture algébrique L de L. Il existe un k-isomorphisme 

    φ :Ω⊗_L L=(𝒜⊗_k L)⊗_LL⟶𝒜⊗_k L

que l'on peut choisir avec la propriété que φ((a⊗ 1)⊗ 1)=a⊗ 1. Le corps L est un corps neutralisant de la k-algèbre 𝒜 et de la L-algèbre Ω, si bien qu'il existe un isomorphisme ψ: 𝒜⊗_k L⟶ℳ_n(L). Le diagramme suivant

    𝒜[r]^-f_-a↦ a⊗ 1[d]^-θ_-a↦ a⊗ 1   𝒜⊗_k L[r]^-ψ   ℳ_n(L)[r]^- det   L
    𝒜⊗_k L[r]^-g_-x↦ x⊗ 1   (𝒜⊗_k L)⊗_L L[u]^-φ[ru]_-ψ∘φ

est alors commutatif. Comme Nrd_𝒜/k= det∘ψ∘ f et Nrd_Ω/L= det∘ (ψ∘φ) ∘ g, on en déduit que

    Nrd_𝒜/k= Nrd_Ω/L∘θ

Pour tout (x_1,⋯ ,x_n^2)∈ k^n^2, on a θ(x_1e_1+⋯ +x_n^2e_n^2)=x_1ẽ_̃1̃+⋯ +x_n^2ẽ_̃ñ^̃2̃ et donc 

    F_𝒜(x_1,⋯ ,x_n^2)= F_Ω(x_1,⋯ ,x_n^2)

Puisque le corps k est infini, on en conclut que F_𝒜= F_Ω, par Zariski-densité.
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Dans le cas où 𝒜=H désigne un corps, le lemme <ref> permet alors de caractériser arithmétiquement le cas où H⊗_k L est un corps :
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Proposition Soient H un corps de dimension finie sur son centre k, F_H la forme associée à la norme réduite de H/k relativement au choix d'une k-base et L/k une extension de corps commutatifs. On a l'équivalence 

    H⊗_k L  est un corps⟺ la forme F_H ne possède que le zéro trivial sur L

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Preuve : Comme rappelé au début de ce paragraphe, l'algèbre M=H⊗_k L est une L-algèbre simple centrale et un élément x∈ M est inversible si et seulement si on a Nrd_M/L(x) 0. Puisque d'après le lemme <ref> on a F_M= F_H, l'égalité Nrd_M/L(x)= 0 a lieu pour x 0 si et seulement si F_H possède un zéro non trivial sur L.
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Revenons maintenant à la réciproque du corollaire <ref>.
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Proposition (Extension galoisienne des scalaires) Soit H un corps de dimension finie sur son centre k et L/k une extension galoisienne de corps commutatifs de groupe fini G. Si M=H⊗_k L est un corps, alors l'extension M/H est galoisienne extérieure de groupe G.
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Preuve : On note Γ= Aut(M/H). Puisque [M:L]=[H:k]=n^2, on a

    @!   M   
    
    H@-[ur]^Γ      L@-[ul]_n^2
       k@-[ur]_G@-[ul]_n^2

Pour σ∈ Gal(L/k), on considère l'application 
σ̃:H⊗_k L⟶ H⊗_k L définie sur les tenseurs x⊗ t par

    σ̃(x⊗ t)=x⊗σ(t)

Puisque σ est un k-automorphisme de L, on voit que σ̃∈Γ. L'application σ⟼σ̃ est visiblement un morphisme de groupes et, comme L s'identifie à k⊗_k L dans H⊗_k L, on voit que σ̃= Id seulement si σ= Id. Ainsi, G se plonge dans Γ. Il est clair que le sous-corps des éléments invariants de M par l'action de l'image de G dans Γ est égal à H⊗_k k=H. Il s'ensuit que l'extension M/H est bien galoisienne. 
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Il reste à montrer que Γ n'est pas un groupe plus gros que l'image de G. Puisque [M :L]=[H:k], par transivité des degrés (ici droites ou gauches indistinctement, puisque l'extension M/H est galoisienne) on a que [M:H]=[L:k]. Le commutant de H=H⊗_k k dans M=H⊗_k L est égal à k⊗_k L=L=Z(M) (le commutant d'un produit tensoriel est égal au produit tensoriel des commutants, voir par exemple <cit.>). Il résulte de ce dernier fait que l'extension M/H est extérieure et, en vertu des propriétés générales de la théorie de Galois des corps gauches rappelées dans le 1.1., on a donc

    |Γ|=[M:H]=[L:k]=|G|

Puisque G se plonge dans Γ, on en déduit finalement que Γ=G. 
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On voit donc que réaliser G sur H revient juste à réaliser G par une extension de corps commutatifs L/k de sorte que H⊗_k L soit un corps. Par exemple, si l'on reprend l'algèbre de quaternions ℍ_k, alors la proposition <ref> montre que ℍ_k⊗_kL est un corps, si et seulement si L est de niveau[Rappelons que le niveau, ν(L), d'un corps commutatif L est, +∞ si -1 n'est pas une somme de carrées dans L (la théorie d'Artin-Schreier montre que cette propriété équivaut au fait d'être ordonnable pour L, voir <cit.>), et dans le cas contraire, le niveau est le plus petit entier n tel que -1 soit la somme de n carrés dans L.] ν(L)≥ 4. En effet, dire que la forme F_ℍ_k(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 possède un zéro non trivial sur L équivaut à dire que -1 est somme de trois carrés dans L. On voit, en particulier, que ℍ_k⊗_kL est un corps dès que L est ordonnable. Puisque k=ℝ est un corps réel clos on en déduit que le corps des quaternion d'Hamilton ℍ=ℍ_ℝ ne possède aucun extension galoisienne finie non triviale (en fait ℍ ne possède aucune extension finie non triviale, voir <cit.>).
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En application du corollaire <ref> et des propositions <ref> et <ref>, on déduit le
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Théorème Soient H un corps de dimension finie sur son centre k, F_H la forme associée à la norme réduite de H/k relativement au choix d'une k-base de H et G un groupe fini. Pour qu'il existe une extension galoisienne M/H de groupe G il faut et il suffit qu'il existe une extension galoisienne L/k de groupe G telle que F_H ne possède que le zéro trivial sur L. Dans ces conditions, on a alors Z(M)=L et M=H⊗_k L.
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d'où découle le théorème A énoncé dans l'introduction.
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2.— Applications aux corps des fractions tordus.
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On souhaite maintenant appliquer ce qui précède au cas des corps de fractions rationnelles tordus à indéterminée centrale et à coefficients dans H lorsque H est un corps de dimension finie sur son centre k. Ce cas rentre parfaitement dans le cadre d'étude du paragraphe 1 puisque, comme nous allons le voir plus bas, H(t) est une k(t)-algèbre simple centrale. Etablissons préalablement un lemme utile pour la suite de ce texte :
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Lemme Soient k un corps commutatif et F une forme à coefficients dans k. Si F ne possède que le zéro trivial sur k, alors il en est de même sur le corps k((t)) des séries de Laurent à coefficients dans k.
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Preuve : Supposons que F∈ k[x_1,⋯ ,x_d] possède un zéro non trivial (r_1(t),… ,r_d(t))∈ k((t))^d. Quitte à factoriser par la puissance de t correspondant à la plus petite des valuations des séries r_i(t), on peut supposer que (r_1(t),… ,r_d(t))∈ k[[t]]^d et qu'au moins un des r_i(t) est de valuation nulle. En posant t=0, on voit que (r_1(0),… ,r_d(0))∈ k^d est alors un zéro non trivial de F.
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Proposition L'algèbre H⊗_k k(t) est un corps, isomorphe au corps H(t) des fractions rationnelles tordu à indéterminée centrale.
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Preuve : On reprend les notations du 1.2. L'algèbre H⊗_k k(t) est une k(t)-algèbre simple centrale et le lemme <ref> assure que l'on a F_H⊗_k k(t)= F_H. Puisque H est un corps, la forme F_H ne possède que le zéro trivial sur k et le lemme <ref> prouve qu'il en est alors de même sur k(t). Il découle alors de la proposition <ref> que l'algèbre H⊗_k k(t) est bien un corps. 
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Par propriété universelle du produit tensoriel, l'application 

    (a,r(t))∈ H× k(t)⟼ a.r(t)∈ H(t)

définit un morphisme de k-espaces vectoriels ψ:H⊗_k k(t)⟶ H(t). Par définition, dans H(t), on a a.r(t)=r(t).a et l'on voit donc que ψ est un morphisme de k-algèbres. Ce dernier est alors injectif puisque H⊗_k k(t) est un corps. Il est clair que ψ identifie les anneaux H⊗_k k[t] et H[t]. Comme déjà rappelé dans l'introduction, les éléments de H(t) s'écrivent sous la forme p(t)q(t)^-1 avec p(t),q(t)∈ H[t]. Puisque H⊗_k k(t) est un corps, on en déduit finalement que ψ est aussi surjectif.
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Avec les notations précédentes, on a donc ℱ_H(t)=ℱ_H et, par application du théorème A, on en déduit que PIGℱ_HC_k(t)⟺ PIG_H(t). Le lemme <ref> montre que, pour toute k-forme ℱ ne possédant que le zéro trivial sur k, on a l'implication

    (1)   PIGFR_k⟹PIGℱC_k(t)

où PIGFR_k désigne la variante du PIG_k(t) suivante :
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PIGFR_k (Problème Inverse de Galois Fortement Régulier) : tout groupe fini G est-il groupe de Galois d'une extension galoisienne L/k(t) telle que L se plonge dans le corps k((t)) ?
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D'un point de vue géométrique, le PIGFR_k équivaut à savoir si, pour tout groupe fini G, il existe un revêtement galoisien X⟶ℙ^1 de groupe G, défini sur k et tel que la courbe X soit géométriquement irréductible et possède un point k-rationnel non ramifié. Lorsque k est ample, pour X⟶ℙ^1 donné, l'existence d'un point k-rationnel non ramifié est en fait équivalente à l'existence d'au moins un point k-rationnel. Si l'on retire à cette formulation géométrique du PIGFR_k l'hypothèse d'existence d'un point k-rationnel, on retombe sur le classique
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PIGR_k (Problème Inverse de Galois Régulier) : tout groupe fini est-il groupe de Galois d'une extension galoisienne L/k(t) telle que L ∩k=k ?
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et l'on a donc l'implication 

    (2)   PIGFR_k ⟹PIGR_k

ce qui justifie la terminologie "fortement régulier" pour le PIGFR. Il est conjecturé que le PIGR admet une réponse positive pour tout corps mais personne ne s'est encore aventuré à conjecturer qu'il en était de même pour le PIGFR. La littérature ne contient, à l'heure actuelle, aucun exemple de corps commutatif ayant une réponse négative à ce problème.
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Proposition Pour toute extension de corps commutatifs L/k, on a l'implication

    PIGFR_k⟹PIGFR_L

En particulier, si le corps k contient un corps ample alors le PIGFR_k admet une réponse positive.
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Preuve : Fixons un groupe fini G et un élément transcendant t sur L. Par hypothèse, il existe une extension galoisienne M/k(t) de groupe G telle que M se plonge dans k((t))⊂ L((t)). Cette dernière condition entraîne M ∩k=k. L'extension galoisienne ML/L(t) est alors galoisienne de groupe G, même si L/k n'est pas nécessairement algébrique (voir, par exemple, <cit.> ou <cit.>), et l'on a ML ⊆ L((t)).
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Le fait que le PIGFR_k admette alors une réponse positive lorsque k est ample fut démontré par Pop dans <cit.> (voir aussi <cit.>). Ce résultat prouve la fin de la proposition.
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Le théorème B de l'introduction découle finalement de tous ces résultats : si le corps k contient un corps ample, alors la proposition <ref> assure que le PIGFR_k admet une réponse positive et l'implication (1) montre qu'il en est de même du PIGℱ_HC_k(t). Le théorème A permet alors de conclure.
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Pour compléter les liens implicatifs que nous avons établis, notons le résultat suivant (qui est trivial dans le cas des corps commutatifs) :
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Proposition Si H désigne un corps gauche de dimension finie sur son centre k alors PIG_H ⟹PIG_H(t).
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Preuve : Considérons une k-forme ℱ ne possédant que le zéro trivial sur k et un groupe fini G. S'il existe une extension galoisienne L/k de groupe G telle que ℱ ne possède que le zéro trivial sur L alors l'extension L(t)/k(t) est galoisienne de groupe G et le lemme <ref> montre que ℱ ne possède que le zéro trivial sur L(t). On a donc l'implication 

    (3)   PIGℱC_k⟹PIGℱC_k(t)

La proposition découle alors du théorème A en exploitant l'implication ci-dessus pour le choix de ℱ=ℱ_H=ℱ_H(t).
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Le diagramme d'implications suivant résume les résultats établis dans ce texte :
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    @!0 @R=6.5pc @C=8.5pc         PIGFC_k
     cas a (resp. cas b)@=>[dl]_-(3)@=>[d]^*[@] to 2pt (Th.A)@=>[rd]@/_5mm/@<=[d]_*[@] to 9pt cas b   
          PIGFC_k(t)
     cas a (resp. cas b)@/_7mm/@<=[dr]_*[@] to 3pt cas b@=>[dr]^*[@] to 2pt (Th.A)_*[@] to 3pt cas a et b     PIG_H
     cas a (resp. cas b)@=>[d]^*[@] to 2pt (Prop.<ref>)@=>[r]^- (Coro.<ref>)_- cas b    PIG_k@/_5mm/@=>[ul]_ cas a
    k contient un
     corps ample  @=>[r]^-( Prop.<ref>)    PIGFR_k@=>[rd]@=>[ru]^-(1)@=>[rd]^-(2)        PIG_H(t)
     cas a (resp. cas b)   
           PIGR_k@=>[ru]_*[@] to 0pt cas a

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Cas a (resp. Cas b) : H est un corps commutatif (resp. gauche) de dimension finie sur k (resp. sur son centre k) et F désigne la forme associée à la norme (resp. la norme réduite) de H/k relativement au choix d'une k-base de H.
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Nous donnons enfin quelques exemples de groupes finis se réalisant comme groupes de Galois sur H(t) sans supposer que le centre de H ne contienne de corps ample :
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Proposition  Soient G un groupe fini et H un corps de dimension finie sur son centre k. Dans chacun des cas suivants, G est le groupe de Galois d'une extension galoisienne de H(t) : 
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1/ G est abélien,
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2/ G=S_n (n ≥ 3) et k est infini,
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3/ G=A_n (n ≥ 4) et k est de caractéristique nulle,
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4/ G est résoluble et k est de caractéristique strictement positive.
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Preuve : Il suffit, dans chaque cas, de trouver un sous-corps k_0 de k et une extension galoisienne L/k_0(t) de groupe G telle que L se plonge dans le corps k_0((t)). L'extension Lk/k(t) est alors une galoisienne de groupe G qui se plonge dans k((t)). Cette hypothèse de plongement permet alors, grâce au lemme <ref>, d'appliquer le théorème <ref> au corps H(t).
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1/ Si G est abélien, cette propriété est vraie sur le corps k, en tant que conséquence bien connue du twisting lemma (voir <cit.> et <cit.>) et de l'existence d'une extension galoisienne L/k(t) de groupe G telle que l'idéal ⟨ t ⟩ de k[t] ne se ramifie pas dans l'extension Lk/k(t) (voir <cit.>).
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2/ Puisque k est infini, il possède un sous-corps k_0 qui est soit ample, soit hilbertien. En effet, si k est de caractéristique nulle, on peut prendre k_0=ℚ. Si k est de caractéristique p>0 il est alors, soit extension algébrique infinie du corps 𝔽_p et donc k_0=k est un corps PAC (voir <cit.>), soit une extension du corps de fractions rationnelles k_0=𝔽_p(x) qui est hilbertien. Le cas ample ayant déjà été traité de manière plus générale, on  suppose désormais que k_0 est hilbertien. On se donne alors un polynôme unitaire séparable P_0(x) ∈ k_0[x] de degré n et dont toutes les racines sont dans k_0, et un polynôme unitaire P_1(x) ∈ k_0[x] de degré n et de groupe de Galois S_n sur k_0 (un tel polynôme existe par <cit.>). Par interpolation polynomiale, il existe un polynôme unitaire P(t,x) ∈ k_0[t][x] de degré n tel que P(0,x)=P_0(x) et P(1,x) = P_1(x). Notons L le corps de décomposition sur k_0(t) de P(t,x). Puisque P(0,x) est séparable et a toutes ses racines dans k_0, le corps L se plonge dans k_0((t)). Enfin, puisque P(1,x) possède S_n comme groupe de Galois sur k_0, le groupe de Galois de L/k_0(t) vaut également S_n.
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3/ Ici k=k_0 convient. En effet, fixons un polynôme unitaire séparable P(x)∈ k[x] de degré n et dont toutes les racines sont dans k. Par <cit.>, il existe un polynôme unitaire P(t,x)∈ k[t][x] tel que, si L est le corps de décomposition sur k(t) de P(t,x), alors Gal(L/k(t))=A_n et le corps de décomposition sur k de P(0,x) est égal à celui de P(x), c'est-à-dire à k. Comme P(x) est séparable, cela entraîne que L se plonge dans k((t)).
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4/ La propriété est vraie pour k_0 égal au sous-corps premier de k, en tant que conséquence de <cit.>.
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Pour conclure cet article, soulignons que si PIG est tout à fait légitime pour les corps gauches, le problème régulier et toutes les autres variantes que nous avons introduites dans ce texte n'ont pas de sens a priori. Il faut avoir à l'esprit que les notions d'éléments algébriques et de clôture algébrique n'ont rien de naturel pour un corps gauche. Ce point rend beaucoup plus délicat l'approche au cas non commutatif de la théorie de Galois. A titre d'exemple, il est ainsi montré dans <cit.> que les extensions finies d'un corps algébriquement clos k de caractéristique 0 sont toutes de degré 2 et qu'il en existe une infinité non isomorphes deux à deux. Dans cette situation, si l'on plonge deux telles extensions dans un corps, alors le compositum est nécessairement de degré infini sur k.

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alpha
8mm
Bruno Deschamps

Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139

Université de Caen - Normandie

BP 5186, 14032 Caen Cedex - France
-1.5mm
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-1.5mm
Département de Mathématiques — Le Mans Université

Avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9 - France

E-mail : Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr
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François Legrand

Institut für Algebra, Fachrichtung Mathematik

TU Dresden, 01062 Dresden, Germany

E-mail : francois.legrand@tu-dresden.de





