为大学生量身定制关于'微积分第三册'的全面而深入的教科书。
We are writing on chapter '多重集成'. In particular, section '多积分中变量的变化'. Write a new unit titled '平面变换'. Here's some text for inspiration: 平面变换$T$是一个函数，它通过变量的变化将一个平面中的区域$G$转换为另一个平面中的区域$R$。$G$和$R$都是 ${ℝ}^{2}的子集。$例如，[link]显示了一个区域$G$在$uv\text{-平面}$中通过变量的变化转换为$xy\text{-平面}$中的区域$R$$x=g\左（u，v\right）$和$y=h\左（u，v\right），$或者有时我们写$x=x\左（u，v\right）$和$y=y\左（u，v\right）。$我们通常假设这些函数中的每一个都有连续的第一偏导数，这意味着${g}_{u}，{g}_{v}，{h}_{u}，$和${h}_{v}$存在并且也是连续的。这一要求的必要性很快就会变得清晰。.

尝试做到：

    - 严谨：确保概念的详细和深入的覆盖。
    - 引人入胜：以学术且引人入胜的语气写作，引起兴趣。
    - 应用：使用具体和实际的例子。 例如，如果主题是微积分积分，请包括您正在教授的概念的方程和证明。 再举一个例子，如果主题是美国历史，请包括日期、名称和关键事件。
    如果有数学表达式，请使用正确的 LateX 格式。 请勿使用图像，并避免在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。
平面变换