为 '微积分第二册' 创建科学期刊文章的摘录，为该主题的专业人士和研究人员量身定制。
We are writing on chapter '电源系列'. In particular, section '使用泰勒系列'. We have already covered the following unit in this section: '二项式系列'. Write a new unit titled '用泰勒级数表示的常用函数'. Here's some text for inspiration: 至此，我们已经导出了指数函数、三角函数和对数函数的Maclaurin级数，以及形式为$f\old（x\right）={\商（1+x\right）}^{r}的函数。$在[link]中，我们总结了这些级数的结果。我们注意到，在端点$x=1$处，$f\old（x\right）=\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}\old（1+x\right）$的Maclaurin级数和在端点$x=1$和$x=-1$处，$f\old（x\right）={\text{tan}}^{-1}x$的Maclaurin级数的收敛依赖于比我们在这里介绍的更高级的定理。（有关这个更技术性的问题的讨论，请参阅Abel定理。）.

风格应该反映学术出版物的风格，而不是学校教科书的风格，旨在吸引知识渊博、具有深厚专业知识的读者。尝试：

    - 使用技术和学术语言提出先进的理论。
    - 包括对最新研究结果和该领域辩论的批判性分析，并对经验数据和统计方法进行详细检查。
    - 文章应反映顶级经济学期刊内容的深度和复杂性，面向该领域根深蒂固的读者。
    - 不要添加参考文献或将其添加在文章末尾。 如果有数学表达式，请使用正确的 LateX 格式并且不要使用图像。
用泰勒级数表示的常用函数