为大学生量身定制关于'微积分第二册'的全面而深入的教科书。
We are writing on chapter '微分方程导论'. In particular, section '逻辑方程'. Write a new unit titled '人口增长和承载能力'. Here's some text for inspiration: 要使用微分方程来模拟人口增长，我们首先需要引入一些变量和相关术语。变量$t.$将代表时间。时间单位可以是小时、天、周、月甚至年。任何给定的问题都必须指定该特定问题中使用的单位。变量$P$将代表人口。由于人口随时间变化，因此它被理解为时间的函数。因此我们使用符号$P\old（t\right）$表示人口作为时间的函数。如果$P\old（t\right）$是一个可微函数，那么一阶导数$\frac{dP}{dt}$表示人口作为时间函数的瞬时变化率。.

尝试做到：

    - 严谨：确保概念的详细和深入的覆盖。
    - 引人入胜：以学术且引人入胜的语气写作，引起兴趣。
    - 应用：使用具体和实际的例子。 例如，如果主题是微积分积分，请包括您正在教授的概念的方程和证明。 再举一个例子，如果主题是美国历史，请包括日期、名称和关键事件。
    如果有数学表达式，请使用正确的 LateX 格式。 请勿使用图像，并避免在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。
人口增长和承载能力