为大学生量身定制关于'大学物理第三卷'的全面而深入的教科书。
We are writing on chapter '现代物理学'. In particular, section '波函数' of '量子力学' part. We have already covered the following units in this section: '使用波函数', '波函数的一种解释', '复共轭'. Write a new unit titled '期望值'. Here's some text for inspiration: 在经典力学中，运动方程的解是一个可测量量的函数，例如*x*（*t*），其中*x*是位置，*t*是时间。请注意，粒子在任何时间*t*都有一个位置值。然而，在量子力学中，运动方程的解是波函数，$\text{}\左（x， t\right）。$粒子在任何时间*t*都有许多位置值，只有找到粒子的概率密度，$|\text{}\左（x，t\right）{|}^{2}$，可以知道。具有相同波函数的大量粒子的位置平均值预计为.

尝试做到：

    - 严谨：确保概念的详细和深入的覆盖。
    - 引人入胜：以学术且引人入胜的语气写作，引起兴趣。
    - 应用：使用具体和实际的例子。 例如，如果主题是微积分积分，请包括您正在教授的概念的方程和证明。 再举一个例子，如果主题是美国历史，请包括日期、名称和关键事件。
    如果有数学表达式，请使用正确的 LateX 格式。 请勿使用图像，并避免在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。
期望值