为大学生量身定制关于'微积分第一卷'的全面而深入的教科书。
We are writing on chapter '函数和图形'. In particular, section '指数和对数函数'. We have already covered the following unit in this section: '指数函数'. We have already covered the following units in this section: '指数函数', '数字*e*'. We have already covered the following units in this section: '指数函数', '数字*e*', '对数函数'. Write a new unit titled '双曲函数'. Here's some text for inspiration: 双曲函数是根据${e}^{x}$和${e}^{\text{−}x}的某些组合来定义的。$这些函数在各种工程和物理应用中自然出现，包括对水波和弹性膜振动的研究。双曲函数的另一个常见用途是表示悬挂的链条或电缆，也称为悬链线（[link]）。如果我们引入一个坐标系，使链条的低点位于$y$-轴上，我们可以用双曲函数来描述链条的高度。首先，我们定义双曲函数。.

尝试做到：

    - 严谨：确保概念的详细和深入的覆盖。
    - 引人入胜：以学术且引人入胜的语气写作，引起兴趣。
    - 应用：使用具体和实际的例子。 例如，如果主题是微积分积分，请包括您正在教授的概念的方程和证明。 再举一个例子，如果主题是美国历史，请包括日期、名称和关键事件。
    如果有数学表达式，请使用正确的 LateX 格式。 请勿使用图像，并避免在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。
双曲函数