为大学生量身定制关于'微积分第二册'的全面而深入的教科书。
We are writing on chapter '序列和系列'. In particular, section '比率和根测试'. Write a new unit titled '比率测试'. Here's some text for inspiration: 考虑一个系列$\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}。$从我们之前的讨论和例子中，我们知道$\underset{n\to\infty}{\text{lim}}{a}_{n}=0$不是该系列收敛的充分条件。我们不仅需要${a}_{n}\to 0，$还需要${a}_{n}\to 0$足够快。例如，考虑系列$\sum_{n=1}^{\infty} 1\text{/}n$和系列$\sum_{n=1}^{\infty}1\text{n}^{2}。$我们知道1美元\text{/}n\to 0$和1美元\text{/}n}{2}\to 0。$然而，只有系列$\sum{_n=1}^{\infty}1\text{/}{n}^{2}$收敛。系列$\sum_{n=1}^{\infty} 1\text{/}n$发散，因为序列$\old\{1\text{/}n\right\}$中的项接近零的速度不够快，因为$n\to\infty。$这里我们介绍比率测试，它提供了一种测量系列项接近零的速度的方法。.

尝试做到：

    - 严谨：确保概念的详细和深入的覆盖。
    - 引人入胜：以学术且引人入胜的语气写作，引起兴趣。
    - 应用：使用具体和实际的例子。 例如，如果主题是微积分积分，请包括您正在教授的概念的方程和证明。 再举一个例子，如果主题是美国历史，请包括日期、名称和关键事件。
    如果有数学表达式，请使用正确的 LateX 格式。 请勿使用图像，并避免在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。
比率测试