为大学生量身定制关于'微积分第三册'的全面而深入的教科书。
We are writing on chapter '几个变量函数的微分'. In particular, section '方向导数和梯度'. We have already covered the following unit in this section: '定向衍生工具'. We have already covered the following units in this section: '定向衍生工具', '梯度'. Write a new unit titled '梯度和水平曲线'. Here's some text for inspiration: 回想一下，如果一条曲线是由函数对$\old（x\old（t\right）， y\old（t\right）\right）参数定义的，那么向量${x}^{\Prime}\lew（t\right）i+{y}^{\Prime}\lew（t\right）j$与域中$t$的每个值的曲线相切。现在让我们假设$z=f\lew（x，y\right）$是$x{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}}y，$和$\lew（{x}_{0}，{y}_{0}\right）$在它的域中。让我们进一步假设${x}_{0}=x\lew（{t}_{0}\right）$和${y}{_0}=y\lew（{t}_{0}\right）$对于$t的某个值，并考虑水平曲线$f$在水平曲线上定义$g\old（t\right）=f\old（x\lew（t\right）， y\lew（t\right）\right）$并计算${g}^{\Prime}\lew（t\right）$。通过链规则，.

尝试做到：

    - 严谨：确保概念的详细和深入的覆盖。
    - 引人入胜：以学术且引人入胜的语气写作，引起兴趣。
    - 应用：使用具体和实际的例子。 例如，如果主题是微积分积分，请包括您正在教授的概念的方程和证明。 再举一个例子，如果主题是美国历史，请包括日期、名称和关键事件。
    如果有数学表达式，请使用正确的 LateX 格式。 请勿使用图像，并避免在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。
梯度和水平曲线