为大学生量身定制关于'微积分第二册'的全面而深入的教科书。
We are writing on chapter '电源系列'. In particular, section '使用泰勒系列'. We have already covered the following unit in this section: '二项式系列'. Write a new unit titled '用泰勒级数表示的常用函数'. Here's some text for inspiration: 至此，我们已经导出了指数函数、三角函数和对数函数的Maclaurin级数，以及形式为$f\old（x\right）={\商（1+x\right）}^{r}的函数。$在[link]中，我们总结了这些级数的结果。我们注意到，在端点$x=1$处，$f\old（x\right）=\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}\old（1+x\right）$的Maclaurin级数和在端点$x=1$和$x=-1$处，$f\old（x\right）={\text{tan}}^{-1}x$的Maclaurin级数的收敛依赖于比我们在这里介绍的更高级的定理。（有关这个更技术性的问题的讨论，请参阅Abel定理。）.

尝试做到：

    - 严谨：确保概念的详细和深入的覆盖。
    - 引人入胜：以学术且引人入胜的语气写作，引起兴趣。
    - 应用：使用具体和实际的例子。 例如，如果主题是微积分积分，请包括您正在教授的概念的方程和证明。 再举一个例子，如果主题是美国历史，请包括日期、名称和关键事件。
    如果有数学表达式，请使用正确的 LateX 格式。 请勿使用图像，并避免在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。
用泰勒级数表示的常用函数