m82630
OpenStax是莱斯大学的非营利组织，我们的使命是改善学生接受教育的机会。我们的第一本公开许可的大学教科书于2012年出版，此后我们的图书馆已经扩大到超过35本大学和AP课程的书籍，被数十万学生使用。我们的低成本个性化学习工具OpenStax导师正在全国各地的大学课程中进行试点。通过与慈善基金会的合作以及与其他教育资源组织的联盟，OpenStax正在打破最常见的学习障碍，并赋予学生和教师成功的力量。
关于OpenStax
关于OpenStax资源
*初等代数2e*旨在满足一学期初等代数课程的范围和顺序要求。这本书的组织使得它很容易适应各种课程大纲。文本扩展了代数的基本概念，同时满足了具有不同背景和学习风格的学生的需求。每个主题都建立在以前开发的材料之上，以展示数学的凝聚力和结构。
关于*初等代数*
额外资源
关于作者
序言
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导言
在本节结束时，您将能够：

*使用整数的位置值
*确定倍数并应用可分性测试
*寻找素数分解和最小公倍数
m82452
代数中使用的最基本的数字是我们用来计算我们世界中对象的数字：1、2、3、4，等等。这些被称为计数数**s**。计数数也称为*自然数*。如果我们在计数数上加上零，我们就得到了整数**s**的集合。
将位值与整数一起使用
数字2、4、6、8、10和12称为2的倍数。2的倍数可以写成2和一个计数数的乘积。
识别倍数并应用可分解性测试
在数学中，谈论相同的想法通常有几种方式。到目前为止，我们已经看到，如果*m*是*n*的倍数，我们可以说*m*可以被*n*整除。例如，由于72是8的倍数，我们说72可以被8整除。由于72是9的倍数，我们说72可以被9整除。我们可以用另一种方式表达这一点。
寻找素数分解和最小公倍数
整数简介
在本节结束时，您将能够：

*使用变量和代数符号
*使用操作顺序简化表达式
*评估表达式
*识别和组合相似的术语
*将英语短语翻译成代数表达式
m82453
假设今年格雷格20岁，亚历克斯23岁。你知道亚历克斯比格雷格大3岁。格雷格12岁时，亚历克斯15岁。格雷格35岁时，亚历克斯将38岁。无论格雷格的年龄是多少，亚历克斯的年龄总是会多3岁，对吗？在代数的语言中，我们说格雷格的年龄和亚历克斯的年龄是可变的**s**，3是常数。年龄会变化（“变化”），但它们之间的3年总是保持不变（“常数”）。由于格雷格的年龄和亚历克斯的年龄总是会相差3岁，所以3是*常数*。
使用变量和代数符号
简化表达式的意思是做所有可能的数学运算。例如，为了简化4美元·2+1美元，我们首先将4美元·2美元乘以8，然后将1相加得到9。要养成的一个好习惯是在页面上工作，在前一步下面写下过程的每一步。刚刚描述的示例如下所示：
使用操作顺序简化表达式
在最后几个例子中，我们使用操作的顺序简化了表达式。现在我们将计算一些表达式——同样遵循操作的顺序。**计算表达式**意味着当变量被给定的数字替换时，找到表达式的值。
评估表达式
代数表达式由项组成。**项**是一个常数，或者是一个常数和一个或多个变量的乘积。
识别和组合相似的术语
在上一节中，我们列出了代数中使用的许多运算符号，然后我们将表达式和方程翻译成英语短语和句子。现在我们将逆转这个过程。我们将把英语短语翻译成代数表达式。我们已经讨论过的符号和变量将帮助我们做到这一点。[链接]总结了它们。
将英语短语翻译成代数表达式
使用代数语言
在本节结束时，您将能够：

*使用底片和对立面
*简化：具有绝对值的表达式
*添加整数
*减去整数
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到目前为止，我们的工作只包括计数数字和整数。但是如果你曾经经历过零度以下的温度或不小心透支了你的支票账户，你已经熟悉负数了。**负数**是小于0美元的数字。$负数在数字行的零的左边。见[链接]。
使用底片和对立面
我们看到像2美元{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}}-2$这样的数字是对立的，因为它们与数字线上的0距离相同。它们都是0的两个单位。0与数字线上任何数字之间的距离称为该数字的**绝对值**。
简化：具有绝对值的表达式
大多数学生对正数的加减法事实很满意。但是用正数和负数做加减法可能更具挑战性。
添加整数
我们将继续使用计数器来模拟减法。记住，蓝色计数器代表正数，红色计数器代表负数。
减去整数
加减整数
在本节结束时，您将能够：

*乘以整数
*除以整数
*用整数简化表达式
*用整数评估变量表达式
*翻译英语短语代数表达式
*在应用程序中使用整数
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由于乘法是重复加法的数学速记，我们的模型可以很容易地应用于显示整数的乘法。让我们看看这个具体的模型，看看我们注意到什么模式。我们将使用与加减法相同的示例。在这里，我们将使用模型只是为了帮助我们发现模式。
乘整数
除法呢？除法是乘法的逆运算。所以，15美元×3=5美元，因为5美元·3=15。$换句话说，这个表达式说15可以分成三组，每组五个，因为五加三次得到15。看一些整数乘法的例子，找出整数除法的规则。
整数除法
当一个表达式中有两个以上的数字时会发生什么？当包括负数时，操作顺序仍然适用。还记得我亲爱的莎莉阿姨吗？
使用整数简化表达式
请记住，计算表达式意味着用一个数字代替表达式中的变量。现在我们可以使用负数和正数。
使用整数评估变量表达式
我们早期将英语翻译成代数的工作也适用于包含正数和负数的短语。
将短语翻译成整数表达式
我们将概述一个解决应用程序的计划。如果我们不知道我们在寻找什么或者该怎么称呼它，就很难找到东西！所以当我们解决一个应用程序时，我们首先需要确定问题要求我们找到什么。然后我们将写一个短语，给出找到它的信息。我们将把短语翻译成表达式，然后简化表达式以得到答案。最后，我们用一句话总结答案，以确保它有意义。
在应用程序中使用整数
整数相乘和除法
在本节结束时，您将能够：

*找到等价的分数
*简化分数
*乘以分数
*除以分数
*用分数栏简化表达式
*翻译短语与分数表达式
m82456
**分数**是表示整体部分的一种方式。分数$\frac{1}{3}$表示一个整体被分成3个相等的部分，每个部分是三个相等部分中的一个。见[链接]。分数$\frac{2}{3}$代表三个相等部分中的两个。在分数$\frac{2}{3}中，$2称为分子，3称为分母。
求等价分数
如果分子和分母中除了1之外没有其他公因数，则分数被认为是**简化的**。
简化分数
许多人发现乘除分数比加减分数更容易。所以我们将从分数乘法开始。
乘法分数
现在我们知道如何乘以分数，我们几乎准备好除法了。在我们这样做之前，我们需要一些词汇。
除法分数
在分数中分隔分子和分母的线称为分数条。分数条充当分组符号。然后操作顺序告诉我们简化分子，然后是分母。然后我们除以。
使用分数条简化表达式
现在我们已经对分数做了一些工作，我们准备好翻译会导致分数表达式的短语。
将短语翻译成带分数的表达式
可视化分数
在本节结束时，您将能够：

*添加或减去分数与公分母
*添加或减去不同分母的分数
*使用运算顺序简化复杂分数
*用分数评估变量表达式
m82457
当我们乘以分数时，我们只是乘以分子，然后直接乘以分母。要添加或减去分数，它们必须有一个共同的分母。
使用公共分母添加或减去分数
正如我们所看到的，要加或减分数，它们的分母必须相同，两个分数的最小公分母（LCD）是可以作为分数公分母的最小数字，两个分数的LCD是它们分母的最小公倍数（LCM）。
添加或减去具有不同分母的分数
我们已经看到复数分数是分子或分母包含分数的分数。分数栏表示除法。我们通过将$\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$除以$\frac{3}{4}$来简化复数分数$\frac{5}{8}。$
使用运算顺序简化复杂分数
我们以前评估过表达式，但现在我们可以用分数评估表达式。请记住，要评估表达式，我们将变量的值代入表达式，然后进行简化。
用分数评估变量表达式
加减分数
在本节结束时，您将能够：

*命名和写小数
*圆数小数
*加减小数
*乘除小数
*转换小数，分数和百分比
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**小数**是另一种书写分数的方式，其分母是10的幂。
命名和写入小数
舍入小数很像舍入整数。我们将使用基于我们用来舍入整数的方法来舍入小数。
圆小数
要添加或减去小数，我们将小数点排成一行。通过这样排列小数点，我们可以添加或减去相应的位置值。然后我们像整数一样添加或减去数字，然后将小数点放在总和中。
加减小数
乘以小数很像乘以整数——我们只需要确定小数点的位置。如果我们先将小数转换为分数，然后再乘以，乘以小数的过程将是有意义的。
乘除小数
我们通过确定最后一个（最右边）数字的位值将小数转换为分数。在小数0.03中，3在百分之一的位置，所以100是相当于0.03的分数的分母。
转换小数，分数和百分比
小数
在本节结束时，您将能够：

*用平方根简化表达式
*识别整数、有理数、无理数和实数
*在数线上找到分数
*在数线上找到小数
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请记住，当一个数字*n*乘以自身时，我们写${n}^{2}$并读为“n的平方”结果称为*n*的平方。例如，
使用平方根简化表达式
我们已经将数字描述为*计数数字**s*、*整数**s*和*整数*。这些类型的数字有什么区别？
识别整数、有理数、无理数和实数
上次我们看数线时，上面只有正整数和负整数。我们现在想在上面包含分数和小数。
在数线上找到分数
由于小数是分数的形式，在数线上定位小数类似于在数线上定位分数。
在数列上找到小数
真实数字
在本节结束时，您将能够：

*使用交换和关联属性
*使用加法和乘法的恒等式和逆属性
*使用零的属性
*使用分配属性简化表达式
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考虑添加两个数字，比如5和3。我们添加它们的顺序不会影响结果，是吗？
使用交换和关联属性
当我们给任何数字加0时会发生什么？加0不会改变值。因此，我们将0称为加法恒等式。
使用加法和乘法的恒等式和逆性质
加法的恒等式是说，当我们把0加到任何数字上时，结果是相同的数字。当我们把一个数字乘以0时会发生什么？乘以0使乘积等于零。
使用零的属性
假设有三个朋友要去看电影，他们每人需要9.25美元，也就是9美元零1/4，他们总共需要多少钱？
使用分布式属性简化表达式
实数的性质
在本节结束时，您将能够：

*在美国系统中进行单位转换
*在美国系统中使用混合计量单位
*在公制中进行单位转换
*在公制中使用混合计量单位
*美国和公制计量系统之间的转换
*在华氏温度和摄氏温度之间转换
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世界范围内普遍使用的测量系统有两种，大多数国家使用公制，美国使用不同的测量系统，通常称为美国系统，我们先看看美国的系统。
在美国系统中进行单位转换
我们经常在日常情况下使用混合测量单位。假设乔身高5英尺10英寸，工作7小时45分钟，然后晚餐吃一块1磅2盎司的牛排——所有这些测量都有混合单位。
在美国系统中使用混合计量单位
在公制中，单位是以10的幂相联系的。它们名字的词根反映了这种关系。例如，测量长度的基本单位是一米。一公里是1000米；前缀*kg o*表示*千*。一厘米是一米的$\frac{1}{100}$，就像一美分是一美元的$\frac{1}{100}$。
在公制中进行单位转换
在公制中使用混合度量单位对度量进行算术运算需要我们在美国系统中使用的相同小心。但是由于单位与10的幂的关系，这可能更容易。确保添加或减去类似的单位。
在公制中使用混合计量单位
在美国，许多测量是以公制单位进行的。我们的苏打水可能装在2升的瓶子里，我们的钙可能装在500毫克的胶囊里，我们可能会进行5K竞赛。为了在两个系统中轻松工作，我们需要能够在两个系统之间进行转换。
美国与公制计量体系之间的转换
你曾经在外国听过天气预报吗？如果预报是22美元\text{°}\text{C}，$是什么意思？
在华氏温度和摄氏温度之间转换
测量系统
基金会
m82462
导言
在本节结束时，您将能够：

*验证方程的解
*使用等式的减法和加法属性求解方程
*解决需要简化的方程
*翻译成方程并求解
*翻译和解决应用程序
m82463
解方程就像发现谜题的答案。解方程的目的是找到使方程两边相同的变量的一个或多个值——这样我们就得到了一个真实的陈述。使方程为真的变量的任何值都称为方程的解。这就是谜题的答案！
验证方程的解
我们将使用一个模型来阐明求解方程的过程。信封代表变量——因为它的内容未知——每个计数器代表一个。我们将在工作区设置一个信封和一些计数器，如[链接]所示。工作区的两边都有相同数量的计数器，但是有些计数器被“隐藏”在信封里。你能告诉信封里有多少个计数器吗？
使用等式的减法和加法性质求解方程
在前面的例子中，我们只需要一个操作就可以隔离变量。我们在代数中遇到的大多数方程都需要更多的步骤来求解。通常，在使用等式的减法或加法属性之前，我们需要简化方程的一侧或两侧。
求解需要简化的方程
为了解决代数应用，我们将从英语句子翻译成方程开始。我们的第一步是寻找可以翻译成等号的单词。[链接]向我们展示了一些常用的单词。
翻译成方程并求解
大多数时候，一个需要代数解的问题来自现实生活中的问题。首先，这个问题是用英语（或提问者的语言）问的，而不是用数学符号。正因为如此，能够将日常情况翻译成代数语言是一项重要的技能。
翻译和解决应用程序
使用等式的减法和加法性质求解方程
在本节结束时，您将能够：

*使用等式的除法和乘法属性求解方程
*解决需要简化的方程
*翻译成方程并求解
*翻译和解决应用程序
m82464
你可能已经注意到，到目前为止，我们求解的所有方程都是$x+a=b$或$x-a=b$的形式。我们能够通过在方程的一侧加上或减去变量的常数项来隔离变量。现在我们将看到如何解变量乘以常数的方程，因此需要除法来隔离变量。
使用等式的除法和乘法性质求解方程
许多方程开始时比我们一直在研究的方程更复杂。
求解需要简化的方程
在接下来的几个例子中，我们将把句子翻译成方程，然后求解方程。你可能想回顾一下上一章中的翻译表。
翻译成方程并求解
要使用等式的除法和乘法性质来解决应用程序，我们将遵循我们在上一节中使用的相同步骤。我们将用一句话重述问题，分配一个变量，然后将句子翻译成一个方程来求解。
翻译和解决应用程序
使用等式的除法和乘法性质求解方程
在本节结束时，您将能够：

*求解两边都有常数的方程
*求解两边都有变量的方程
*求解两边都有变量和常数的方程
m82465
到目前为止，在我们求解的所有方程中，所有的变量项都只在方程的一边，常数在另一边。这并不总是发生——所以现在我们将学习求解变量项或常数项或两者都在方程两侧的方程。
求解两边都有常数的方程
如果方程两边都有变量怎么办？对于这样的方程，像我们上面做的那样开始——选择“变量”一边和“常数”一边，然后使用等式的减法和加法属性来收集一侧的所有变量和另一侧的所有常数。
求解两边都有变量的方程
下一个例子将是第一个在方程两边都有变量和常数的例子。解决这个方程可能需要几个步骤，所以我们需要一个清晰和有组织的策略。
求解两边都有变量和常数的方程
求解两边都有变量和常数的方程
在本节结束时，您将能够：

*使用一般策略解决方程
*分类方程
m82467
到目前为止，我们已经处理了求解线性方程的一种特定形式。现在是时候制定一个可以用来求解任何线性方程的总体策略了。我们解的一些方程不需要所有这些步骤来求解，但许多方程会。
使用一般策略求解方程
考虑我们在最后一节开头求解的方程，$7x+8=-13$。我们找到的解决方案是$x=-3$。这意味着当我们用值$-3$替换变量*x*时，方程$7x+8=-13$是正确的。当我们检查解决方案$x=-3$并为$x=-3$评估$7x+8=-13$时，我们展示了这一点。
方程分类
使用一般策略求解线性方程
在本节结束时，您将能够：

*解决方程与分数系数
*解决方程与十进制系数
m82468
让我们使用前面介绍的解线性方程的一般策略来解方程，$\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
用分数系数求解方程
有些方程中有小数。当我们解决处理金钱或百分比的问题时，会出现这种方程。但是小数也可以表示为分数。例如，0.3美元=\frac{3}{10}$和0.17美元=\frac{17}{100}$。因此，对于一个有小数的方程，我们可以使用我们用来清除分数的相同方法——将方程的两边乘以最小公分母。
用十进制系数求解方程
用分数或小数求解方程
在本节结束时，您将能够：

*使用距离、速率和时间公式
*求解特定变量的公式
m82469
在代数和日常生活中，你会经常使用的一个公式是物体以恒定速率移动的距离公式。速率是“速度”的等效词。你可能已经熟悉了速率的基本概念。如果你以每小时60英里的稳定速度行驶2小时，你知道你行驶了多远吗？（如果你在高速公路上驾驶时使用汽车的巡航控制系统，这可能会发生。）如果你说120英里，你已经知道如何使用这个公式了！
使用距离、速率和时间公式
你可能熟悉一些几何公式。公式是对变量之间关系的数学描述。公式也用于科学，如化学、物理和生物学。在医学中，它们用于计算配药或确定体重指数。电子表格程序依靠公式进行计算。熟悉公式并能够轻松操作它们是很重要的。
求解特定变量的公式
求解特定变量的公式
在本节结束时，您将能够：

*数线上的图表不平等
*使用不等式的减法和加法属性解决不等式
*利用不平等的除法和乘法性质解决不平等问题
*解决需要简化的不平等问题
*翻译成不平等并解决
m82470
你还记得数字是方程的解意味着什么吗？方程的解是一个变量的值，当被代入方程时，它会给出一个真实的陈述。
数线上的图不等式
等式的减法和加法性质指出，如果两个量相等，当我们从两个量中添加或减去相同的量时，结果将相等。
使用不等式的减法和加法性质求解不等式
等式的除法和乘法性质指出，如果两个量相等，当我们将两个量除以或乘以相同的量时，结果也将相等（前提是我们不除以0）。
利用不等式的除法和乘法性质求解不等式
大多数不等式需要不止一步来解决。我们遵循我们在求解线性方程的一般策略中使用的相同步骤，但是在乘法或除法时一定要密切注意。
解决需要简化的不等式
要把英语句子翻译成不平等，我们需要认识到表示不平等的短语。有些词很容易，比如“多于”和“少于”。但是其他的就不那么明显了。
转化为不平等并解决
解决线性不等式
求解线性方程和不等式
m82471
导言
在本节结束时，您将能够：

*以积极的态度处理单词问题
*对单词问题使用问题解决策略
*解决数字问题
m82472
“如果你认为你能…或者认为你不能…你是对的。”亨利·福特
以积极的态度处理单词问题
我们回顾了将英语短语翻译成代数表达式，使用一些基本的数学词汇和符号。我们还将英语句子翻译成代数方程，并解决了一些单词问题。单词问题将数学应用于日常情况。我们用一句话重申了情况，分配了一个变量，然后写了一个方程来解决问题。只要情况熟悉，数学不太复杂，这种方法就有效。
对单词问题使用问题解决策略
现在我们有了一个解决问题的策略，我们将在几种不同类型的单词问题上使用它。我们将处理的第一种类型是“数字问题”。数字问题给出了一个或多个数字的一些线索。我们用这些线索写一个方程。数字问题通常不会每天都出现，但是它们为练习上面概述的解决问题的策略提供了一个很好的介绍。
解决数字问题
使用解决问题的策略
在本节结束时，您将能够：

*翻译和解决基本的百分比方程
*解决百分比申请
*查找百分比增加和百分比减少
*解决简单兴趣申请
*以折扣或加价解决申请
m82473
我们将使用我们用来求解分数或小数方程的方法来求解百分比方程。如果没有代数工具，解决百分比问题的最佳方法是将它们设置为比例。现在作为代数学生，你可以把英语句子翻译成代数方程，然后求解方程。
翻译和求解基本百分比方程
许多百分比的应用——如小费、销售税、折扣和利息——发生在我们的日常生活中。为了解决这些应用，我们将翻译成一个基本的百分比方程，就像我们在前面的例子中解决的那样。一旦我们把句子翻译成百分比方程，我们就知道如何解决它。
求解百分比的应用
媒体上的人经常谈论一个金额在一段时间内增加或减少了多少。他们通常用百分比来表示这种增加或减少。
查找百分比增加和百分比减少
你知道银行付钱让你留着你的钱吗？客户放在银行的钱叫做本金，*P*，银行支付给客户的钱叫做利息。利息按本金的一定百分比计算；称为利率，*r*。我们通常将利率表示为每年的百分比，我们使用百分比的小数等值来计算它。变量*t*，（代表*time*）表示钱在账户中的年数。
解决简单兴趣应用程序
折扣的应用在零售环境中非常常见。当你购买打折商品时，原价已经打折了一些美元。折扣率通常以百分比表示，用于确定折扣金额。为了确定折扣金额，我们将折扣率乘以原价。
使用折扣或标记解决应用程序
求解百分比应用程序
在本节结束时，您将能够：

*解决硬币单词问题
*解决票和邮票单词问题
*解决混合词问题
*使用混合模型使用简单兴趣解决投资问题
m82475
在混合问题中，我们将有两个或多个具有不同值的项目组合在一起。杂货店和调酒师使用混合模型来确保他们为销售的产品设定公平的价格。许多其他专业人士，如化学家、投资银行家和园林设计师也使用混合模型。
解决硬币单词问题
涉及票或邮票的问题很像硬币问题。每种类型的票和邮票都有一个值，就像每种类型的硬币一样。所以为了解决这些问题，我们将遵循我们用来解决硬币问题的相同步骤。
解决票和邮票字问题
现在我们将解决混合模型的一些更一般的应用。杂货店和调酒师使用混合模型为混合两种或多种成分制成的产品设定公平的价格。理财规划师在各种账户上投资并希望找到整体利率时使用混合模型。当景观设计师有各种各样的植物和固定的预算时，他们使用混合模型，活动协调员在为宴会选择开胃菜和主菜时也会这样做。
解决混合词问题
解决混合物应用
在本节结束时，您将能够：

*使用三角形的属性解决应用程序
*使用勾股定理
*使用矩形属性解决应用程序
m82476
在本节中，我们将使用一些常见的几何公式。我们将调整我们的问题解决策略，以便我们可以解决几何应用程序。几何公式将命名变量并给我们求解的方程。此外，由于这些应用程序都将涉及某种形状，大多数人发现绘制图形并用给定信息标记它很有帮助。我们将在几何应用程序问题解决策略的第一步中包含这一点。
使用三角形的属性解决应用程序
我们已经学习了三角形的角的度量是如何相互关联的。现在，我们将学习边的长度是如何相互关联的。描述直角三角形三条边的长度之间关系的一个重要属性叫做勾股定理。这个定理自古以来就在世界各地使用。它是以希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯的名字命名的，毕达哥拉斯生活在公元前500年左右。
使用勾股定理
您可能已经熟悉矩形的属性。矩形有四个边和四个右$\old（90\text{°}\right）$角。矩形的相对边长度相同。我们将矩形的一边称为长度*L*，将其相邻的一边称为宽度*W*。
使用矩形属性解决应用程序
解决几何应用：三角形、矩形和勾股定理
在本节结束时，您将能够：

*解决匀速运动应用
m82477
在计划公路旅行时，了解到达目的地需要多长时间或每天旅行多远通常会有所帮助。我们将使用距离、速率和时间公式，$D=rt，$我们已经看到了。
解决均匀运动应用
解决均匀运动应用
在本节结束时，您将能够：

*解决线性不等式的应用程序
m82478
许多现实生活中的情况需要我们解决不平等问题。事实上，不平等应用如此普遍，以至于我们往往甚至没有意识到自己在做代数。例如，20美元可以在车里放多少加仑汽油？公寓的租金是否负担得起？课前是否有足够的时间去吃午饭，吃了它，然后回来？在不超出预算的情况下，每个家庭成员的节日礼物应该花多少钱？
解决具有线性不等式的应用程序
解决具有线性不等式的应用程序
数学模型
m82479
导言
在本节结束时，您将能够：

*在矩形坐标系中绘制点
*验证两个变量方程的解
*完成一个线性方程的解表
*在两个变量中找到线性方程的解
m82480
就像地图使用网格系统来识别位置一样，代数中使用网格系统来显示矩形坐标系中两个变量之间的关系。矩形坐标系也称为*xy*-平面或“坐标平面”。
在矩形坐标系上绘制点
到目前为止，你求解的所有方程都是只有一个变量的方程。几乎在每种情况下，当你求解方程时，你只得到一个解。求解方程的过程以$x=4$这样的语句结束。（然后，您通过替换回方程来检查解。）
验证两个变量中方程的解
在上面的例子中，我们替换给定有序对的*x*-和*y*-值来确定它是否是线性方程的解。但是如果没有给出有序对，你如何找到它们呢？这比你想象的要容易——你可以选择一个$x$的值，然后求解$y$的方程。或者，选择一个$y$的值，然后求解$x$。
完成两个变量的线性方程的解表
为了找到线性方程的解，你真的可以选择*任何*数字来代替$x$或$y。但是因为你需要用这个数字来求解另一个变量，所以选择一个容易使用的数字是个好主意。
寻找线性方程的解
使用矩形坐标系
在本节结束时，您将能够：

*认识方程解与其图之间的关系
*通过绘制点绘制线性方程
*图形垂直线和水平线
m82481
在上一节中，我们找到了方程$3x+2y=6$的几个解。它们列在[链接]中。因此，有序对$\左（0,3\右）$、$\左（2,0\右）$和$\左（1，\frac{3}{2}\右）$是方程$3x+2y=6$的一些解。我们可以在矩形坐标系中绘制这些解，如[链接]所示。
认识方程解与其图之间的关系
有几种方法可以用来绘制线性方程。我们用来绘制$3x+2y=6$的方法称为绘制点，或点绘图法。
通过绘制点绘制线性方程
我们能画出一个只有一个变量的方程吗？只有$x$没有$y$，或者只有$y$没有$x$？我们将如何制作一个值表来绘制点？
图垂直和水平线
两个变量中的图线性方程
在本节结束时，您将能够：

*识别图上的x和y截距
*从直线方程中找出x和y截距
*使用截取绘制一条线
m82482
每个线性方程都可以用一条唯一的线来表示，这条线显示了方程的所有解。我们已经看到，当通过绘制点来绘制一条线时，您可以使用任何三个解来绘制。这意味着两个人绘制线条可能使用不同的三个点集。
识别图上的*x*-和*y*-截距
认识到*x*-截距发生在*y*为零时，*y*-截距发生在*x*为零时，为我们提供了一种从方程中找到直线截距的方法。要找到*x*-截距，让$y=0$并求解*x*。要找到*y*-截距，让$x=0$并求解*y*。
求直线方程的*x*-和*y*-截距
要通过绘制点来绘制线性方程，你需要找到三个点，它们的坐标是方程的解。你可以使用*x*-和*y*-截距作为三个点中的两个。找到截距，然后找到第三个点以确保准确性。确保点对齐——然后画线。这种方法通常是绘制直线的最快方法。
使用截距绘制线条
带截距的图
在本节结束时，您将能够：

*使用地理板对斜坡进行建模
*使用$m=\frac{rose}{run}$从其图形中查找直线的斜率
*求水平线和垂直线的斜率
*使用斜率公式求两点之间直线的斜率
*绘制给定点和斜率的线
*解决斜坡应用
m82483
地理板是一块上面有钉网格的板。在地理板上使用橡皮筋为我们提供了一种在坐标网格上建模线的具体方法。通过在地理板上的两个钉子之间拉伸橡皮筋，我们可以发现如何找到一条线的斜率。
使用地理板对斜坡进行建模
现在，我们将查看$xy$-坐标平面上的一些图形，看看如何找到它们的斜率。该方法将非常类似于我们刚刚在地理板上建模的方法。
使用$m=\frac{\text{rose}}{\text{run}}$从其图中查找线的斜率
你还记得水平线和垂直线的特别之处吗？他们的方程只有一个变量。
求水平线和垂直线的斜率
有时，当我们没有图表来计算上升和运行时，我们需要找到两点之间的直线的斜率。我们可以在网格纸上绘制点，然后计算上升和运行，但是正如我们将看到的，有一种方法可以在不绘图的情况下找到斜率。在我们开始之前，我们需要介绍一些代数符号。
使用斜率公式找出两点之间的直线的斜率
到目前为止，在本章中，我们已经通过绘制点、使用截距以及识别水平线和垂直线来绘制线。
绘制给定点和斜率的线
在本节的开头，我们说斜坡在现实世界中有很多应用。我们现在来看几个。
解决斜坡应用
了解直线的斜率
在本节结束时，您将能够：

*认识图与直线方程的斜率截距形式之间的关系
*确定直线方程的斜率和y截距形式
*图形线使用其斜率和截距
*选择最方便的方法来绘制线条
*绘制和解释斜坡截距的应用
*使用斜率来识别平行线
*使用斜率来识别垂直线
m82485
我们通过绘制点、使用截距、识别水平线和垂直线以及使用点斜率法来绘制线性方程。一旦我们看到斜率截距形式的方程及其图形是如何相关的，我们将有另一种方法来绘制线条。
认识图与线方程斜率截距形式的关系
在理解直线的斜率中，我们用斜率和一个点绘制一条直线。当我们得到一个斜率截距形式的方程时，我们可以用*y*-截距作为点，然后从那里算出斜率。让我们练习从直线方程中求出斜率和*y*-截距的值。
从直线方程中识别斜率和*y*-截距
现在我们知道如何从方程中找到一条线的斜率和*y*-截距，我们可以通过绘制*y*-截距来绘制这条线，然后用斜率来找到另一个点。
使用斜率和截距绘制直线
现在我们已经看到了几种可以用来绘制线条的方法，我们如何知道对给定方程使用哪种方法？
选择最方便的绘制线条的方法
许多现实世界的应用程序都是由线性方程建模的。我们将在这里查看一些应用程序，以便您了解以斜率截距形式编写的方程如何与现实世界的情况相关联。
边坡截距图及其解释应用
一条线的斜率表示这条线有多陡，以及我们从左到右读它时它是上升还是下降。具有相同斜率的两条线称为平行线。平行线从不相交。
使用斜率识别平行线
让我们看一下方程为$y=\frac{1}{4}x-1$和$y=-4x+2$的行，如[link]所示。
使用斜率识别垂直线
使用直线方程的斜率截距形式
在本节结束时，您将能够：

*找出给定斜率和$y$-截距的线的方程
*找出给定斜率和点的线的方程
*找到给定两点的线的方程
*找到平行于给定线的线的方程
*找到一个方程的直线垂直于给定的线
m82486
如果方程以斜率-截距形式编写，我们可以很容易地确定直线的斜率和截距，$y=mx+b。$现在，我们将做相反的事情——我们将从斜率和*y*-截距开始，并使用它们来找到直线的方程。
求给定斜率和*y*-截距的直线方程
当你得到斜率和*y*-截距时，或者当你从图表上读到它们时，用方程的斜率-截距形式找到一条线的方程效果很好。但是当你有另一个点而不是*y*-截距时会发生什么呢？
给定斜率和点，求直线的方程
当收集真实世界的数据时，可以从两个数据点创建线性模型。在下一个示例中，我们将看到如何在只给出两个点时找到一条线的方程。
求给定两点的直线方程
假设我们需要找到一条穿过特定点并平行于给定线的线的方程。我们可以利用平行线具有相同斜率的事实。所以我们将有一个点和斜率——正是我们需要使用点-斜率方程的。
求平行于给定线的线的方程
现在，让我们考虑垂直线。假设我们需要找到一条穿过特定点的线，它垂直于给定的线。我们可以利用垂直线的斜率是负倒数的事实。我们将再次使用点-斜率方程，就像我们对平行线所做的那样。
求与给定直线垂直的直线的方程
求直线方程
在本节结束时，您将能够：

*验证两个变量不等式的解决方案
*认识不等式的解与其图之间的关系
*图线性不等式
m82488
我们已经学会了如何解决一个变量中的不等式。现在，我们将看看两个变量中的不等式。两个变量中的不等式有很多应用。例如，如果你经营一家企业，你会希望你的收入大于成本——这样你的企业就会盈利。
验证两个变量中不等式的解决方案
现在，我们来看看一个不等式的解是如何与它的图联系起来的。
认识不等式解与其图之间的关系
现在，我们准备好把所有这些放在一起来绘制线性不等式。
图线性不等式
线性不等式图
图形
m82489
导言
在本节结束时，您将能够：

*确定有序对是否是方程组的解
*通过绘图解决线性方程组
*确定线性系统解的个数
*通过图形解决方程组的应用
m82490
在求解线性方程和不等式中，我们学习了如何用一个变量求解线性方程。记住，方程的解是变量的值，当被替换到方程中时，变量会产生真实的陈述。
确定有序对是否是方程组的解
在本章中，我们将使用三种方法来求解线性方程组。我们将使用的第一种方法是绘图。
通过图形求解线性方程组
有时候我们会想知道线性方程组有多少解，但我们可能实际上不必找到解决方案。在没有图表的情况下确定这一点会很有帮助。
确定线性系统的解数
我们将使用我们在数学模型中使用的相同问题解决策略来建立和解决线性方程组的应用程序。我们将在这里稍微修改策略，使其适用于方程组。
通过图形求解方程组的应用
通过图形求解方程组
在本节结束时，您将能够：

*通过替换解决方程组
*通过替换解决方程组的应用
m82494
我们将使用我们最初用于绘图的相同系统。
通过代换求解方程组
我们将在这里复制我们在通过图形求解方程组部分中用于求解方程组的问题解决策略。现在我们知道如何通过替换来求解系统，这就是我们将在第5步中做的。
用代换法求解方程组的应用
用代换法求解方程组
在本节结束时，您将能够：

*通过消除解决方程组
*通过消除解决方程组的应用
*选择最方便的方法来解决线性方程组
m82495
消去法是基于等式的加法性质，等式的加法性质说，当你在一个方程的两边加同样的量时，你仍然是等式的，我们将等式的加法性质引申说，当你在一个方程的两边加等量时，结果是相等的。
通过消除来解决方程组
一些应用程序问题直接转化为标准形式的方程，因此我们将使用消除方法来解决它们。和以前一样，我们使用问题解决策略来帮助我们保持专注和有条理。
用消除法解决方程组的应用
当你必须在以后的数学课上求解线性方程组时，你通常不会被告知使用哪种方法。你需要自己做决定。所以你会想选择最容易做的方法，最大限度地减少犯错的机会。
选择最方便的方法来求解线性方程组
用消除法求解方程组
在本节结束时，您将能够：

*翻译成方程组
*解决直接翻译申请
*解决几何应用
*解决匀速运动应用
m82497
我们在早期应用中解决的许多问题都与两个量有关。以下是数学模型一章中的两个示例。
翻译成方程组
我们在[link]和[link]中设置了方程组，但没有求解。现在我们将把一个情况转化为一个方程组，然后求解它。
解决直接翻译应用
当我们学习数学模型时，我们使用三角形和矩形的属性来解决几何应用。现在我们将在列表中添加一些角度的属性。
解决几何应用
当我们之前介绍匀速运动问题时，我们使用表格来组织信息。我们将在这里继续使用表格。基本方程是*D*=*rt*其中*D*是行进的距离，*r*是速率，*t*是时间。
解决均匀运动应用
使用方程组解决应用程序
在本节结束时，您将能够：

*解决混合应用
*解决利息申请
m82498
当我们之前解决硬币和门票的混合应用程序时，我们首先创建了一个表，以便我们可以组织信息。对于一个包含镍币和一角硬币的硬币示例，该表如下所示：
解决混合物应用
利息申请模型的公式是*I*=*Prt*。利息*I*是本金*P*、利率*r*和时间*t*的乘积。在我们这里的工作中，我们将计算一年内赚取的利息，所以*t*将是1。
解决兴趣申请
使用方程组解决混合应用
在本节结束时，您将能够：

*确定有序对是否是线性不等式系统的解
*通过绘图解决线性不等式系统
*解决不平等制度的适用问题
m82499
线性不等式系统的定义与线性方程组的定义非常相似。
确定有序对是否是线性不等式系统的解
单个线性不等式的解是边界线一侧的区域，该区域包含使不等式为真的所有点。两个线性不等式系统的解是一个包含两个不等式的解的区域。为了找到这个区域，我们将分别绘制每个不等式，然后定位它们都为真的区域。解决方案总是显示为图表。
通过图形求解线性不等式系统
要解决不等式系统的应用，我们需要做的第一件事是将每个条件转化为不等式。然后我们像上面一样绘制系统以查看包含解决方案的区域。只有当两个变量都是正的时，许多情况才是现实的，所以他们的图表只会显示象限I。
解决不等式系统的应用
线性不等式的图形系统
线性方程组
m82500
导言
在本节结束时，您将能够：

*识别多项式、单项式、二项式和三项式
*确定多项式的程度
*添加和减去单项式
*添加和减去多项式
*评估给定值的多项式
m82501
您已经了解到*项*是常量或常量与一个或多个变量的乘积。当它的形式为$a{x}^{m}$时，其中$a$是常量，$m$是整数，它称为单项式。单项式的一些例子是8美元，-2{x}^{2}，4{y}^{3}，{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}} 11{z}^{7}$。
识别多项式、单项式、二项式和三项式
多项式的度及其项的度由变量的指数决定。
确定多项式的程度
您已经学会了如何通过组合相似项来简化表达式。记住，相似项必须具有相同指数的相同变量。由于单项式是项，因此添加和减去单项式与组合相似项相同。如果单项式像项，我们只需通过添加或减去系数来组合它们。
加减单项式
我们可以把加和减多项式想象成只是加和减一系列单数。寻找相似的术语——那些具有相同变量和相同指数的术语。交换属性允许我们重新排列术语，把相似的术语放在一起。
加减多项式
我们已经学习了如何计算表达式。由于多项式是表达式，我们将遵循相同的过程来计算多项式。我们将用给定值代替变量，然后使用操作顺序进行简化。
评估给定值的多项式
加减多项式
在本节结束时，您将能够：

*用指数简化表达式
*使用指数的产品属性简化表达式
*使用指数的功率属性简化表达式
*使用产品简化表达式到Power属性
*通过应用多个属性简化表达式
*乘以单项式
m82504
请记住，指数表示相同数量的重复乘法。例如，${2}^{4}$表示将2本身乘以4次，因此${2}^{4}$表示2美元·2·2·2$。
用指数简化表达式
你已经看到，当你通过加减法组合相似的术语时，你需要有相同的基数和相同的指数。但是当你乘除时，指数可能不同，有时基数也可能不同。
使用指数的乘积属性简化表达式
现在让我们看一个指数表达式，它包含一个幂的幂。看看你是否能发现一个通用的属性。
使用指数的幂属性简化表达式
我们现在来看一个包含乘积的表达式，它被提升到幂。你能找到这种模式吗？
使用乘积将表达式简化为Power属性
我们现在有三个属性用于将表达式与指数相乘。让我们总结一下，然后我们将做一些使用多个属性的示例。
通过应用多个属性简化表达式
由于单项式是代数表达式，我们可以使用指数的性质来乘以单项式。
乘以单项式
使用指数的乘法性质
在本节结束时，您将能够：

*将多项式乘以单项式
*将二项式乘以二项式
*将三项式乘以二项式
m82507
我们使用分配属性简化了2美元\左（x-3\右）$等表达式。您将括号中的$x{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}} 3$乘以2，得到$2x-6$。使用本章的新词汇，您可以说您正在将二项式$x-3$乘以单项式2。
将多项式乘以单项式
就像有不同的方法来表示数字的乘法一样，有几种方法可以用来将二项式乘以二项式。我们将从使用分配属性开始。
二项乘以二项
我们已经将单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，二项式乘以二项式。现在我们准备好将三项式乘以二项式。请记住，FOIL在这种情况下不起作用，但我们可以使用分配属性或垂直方法。我们首先看一个使用分配属性的示例。
将三项式乘以二项式
乘多项式
在本节结束时，您将能够：

*使用二项式平方模式平方二项式
*使用共轭图案的乘积乘以共轭
*识别并使用适当的特殊产品模式
m82508
数学家喜欢寻找能让他们的工作更容易的模式。一个很好的例子是平方二项式。虽然你总是可以通过写两次二项式并使用最后一节的方法来得到产品，如果你学会使用模式，要做的工作就更少了。
使用二项式平方模式平方二项式
我们刚刚看到了一个二项式平方的模式，我们可以用它来使一些二项式相乘更容易。同样，二项式的另一个乘积也有一个模式。但是在我们开始之前，我们需要介绍一些词汇。
使用共轭模式的乘积乘以共轭
我们刚刚为二项式平方和共轭积开发了特殊的乘积模式。乘积看起来很相似，所以认识到什么时候使用这些模式是合适的，并注意它们是如何不同的是很重要的。把这两种模式放在一起看，注意它们的相似之处和不同之处。
识别和使用合适的特殊产品模式
特殊产品
在本节结束时，您将能够：

*使用指数的商数属性简化表达式
*用零指数简化表达式
*使用幂属性的商简化表达式
*通过应用多个属性简化表达式
*除以单项式
m82509
在本章前面，我们开发了乘法指数的属性。我们将这些属性总结如下。
使用指数的商属性简化表达式
商数属性的一个特殊情况是分子和分母的指数相等，例如像$\frac{{a}^{m}}{a}^{m}}$这样的表达式。从您之前对分数的研究中，您知道：
简化指数为零的表达式
现在我们来看一个例子，它将引导我们得到幂属性的商。
使用幂属性的商简化表达式
我们现在将总结指数的所有属性，以便在我们使用几个属性简化表达式时一起引用它们。请注意，它们现在是为整数指数定义的。
通过应用多个属性简化表达式
您现在已经了解了指数的所有属性，并使用它们来简化表达式。接下来，您将看到如何使用这些属性来划分单项式。稍后，您将使用它们来划分多项式。
除以单项式
除以单项式
在本节结束时，您将能够：

*将多项式除以单项式
*将多项式除以二项式
m82513
在上一节中，您学习了如何将单项除以单项。随着您继续积累多项式的知识，下一个过程是将两个或多个项的多项式除以单项式。
将多项式除以单项式
要将多项式除以二项式，我们遵循与长数除法非常相似的过程。所以让我们仔细看看当我们将3位数875除以2位数25时所采取的步骤。
将多项式除以二项式
除以多项式
在本节结束时，您将能够：

*使用负指数的定义
*使用整数指数简化表达式
*从十进制记数法转换为科学记数法
*将科学符号转换为十进制形式
*使用科学记数法乘除
m82514
我们看到本章前面介绍的指数的商数性质有两种形式，这取决于指数在分子或分母中是否更大。
使用负指数的定义
我们在本章前面开发的所有带有整数指数的指数属性也适用于整数指数。我们在这里重申它们以供参考。
使用整数指数简化表达式
还记得处理整数和小数的位值吗？我们的数字系统基于10的幂。我们使用十、百、千等。我们的十进制数字也基于十分之一、百分之一、千分之一等的幂。考虑数字4,000和0.004美元。我们知道4,000意味着4美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}} 1,000美元，0.004意味着4美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}}\frac{1}{1,000}$。
从十进制符号转换为科学符号
我们如何从科学记数法转换为十进制形式？让我们看看用科学记数法写的两个数字，看看。
将科学符号转换为十进制形式
天文学家用非常大的数字来描述宇宙中的距离以及恒星和行星的年龄。化学家用非常小的数字来描述原子的大小或电子上的电荷。当科学家用非常大或非常小的数字进行计算时，他们使用科学记数法。科学记数法提供了一种不用写很多零就能完成计算的方法。我们将看到指数的性质如何在科学记数法中用于乘除数字。
使用科学符号乘除
整数指数和科学符号
多项式
m82561
导言
在本节结束时，您将能够：

*找出两个或多个表达式的最大公因数
*因子的最大公因数从一个多项式
*按分组计算
m82564
早些时候，我们将因子相乘得到一个产品。现在，我们将颠倒这个过程；我们将从一个产品开始，然后将其分解为它的因子。将产品拆分为因子称为保理。
找到两个或多个表达式的最大共同点
就像在算术中，有时用分解形式表示一个数字是有用的（例如，12为2美元·6{\规则{0.2em}{0ex}}\text{或}{\规则{0.2em}{0ex}} 3·4\right），在代数中，用分解形式表示多项式是有用的。一种方法是找到所有术语的GCF。记住，我们将多项式乘以单项式，如下所示：
从多项式中分解出最大的公因数
当多项式的所有项都没有公因数时，只在其中的一些项中寻找公因数。当有四个项时，一个好的开始方法是将多项式分成两部分，每部分有两个项。然后在每个部分中寻找GCF。如果多项式可以分解，你会发现两个部分都出现了一个公因数。
按分组的因素
最大公因数和分组因数
在本节结束时，您将能够：

*${x}^{2}+bx+c$形式的因子三项式
*${x}^{2}+bxy+c{y}^{2}$形式的因子三项式
m82566
您已经学会了如何使用FOIL乘法二项式。现在您需要“撤消”这个乘法——从乘积开始，以因子结束。让我们看一个乘法二项式来刷新您的记忆的例子。
形式的因子三项式*x*2+*bx*+*c*
有时您需要用两个变量分解${x}^{2}+bxy+c{y}^{2}$形式的三项式，例如${x}^{2}+12xy+36{y}^{2}。$第一项${x}^{2}$是二项式因子的第一项$x·x$的乘积。最后一项中的${y}^{2}$意味着二项式因子的第二项必须分别包含*y*。要获得系数*b*和*c*，您可以使用前面目标中总结的相同过程。
*x*2+*bxy*+*cy*2形式的因子三项式
x2+bx+c形式的因子三项式
在本节结束时，您将能够：

*认识到完全因子多项式的初步策略
*具有GCF的$a{x}^{2}+bx+c$形式的因子三项式
*使用试验和错误的因素三项式
*使用“ac”方法的因子三项式
m82527
让我们总结一下因式分解多项式到目前为止的进展。在本章的前两节中，我们使用了三种因式分解方法：因式分解GCF、分组因式分解和通过“撤消”FOIL因式分解三项式。随着本章的继续，以及以后的代数学习，将会有更多的方法。
认识保理的初步策略
现在我们已经组织了到目前为止所涵盖的内容，我们准备好分解领先系数不是1的三项式，形式为$a{x}^{2}+bx+c$的三项式。
带有GCF的*ax*2+*bx*+*c*形式的因子三项式
当先导系数不是1并且没有GCF时会发生什么？有几种方法可以用来分解这些三项式。首先，我们将使用试错法。
使用试验和错误的因素三项式
另一种分解形式为$a{x}^{2}+bx+c$的三项式的方法是“ac”方法。（“ac”方法有时称为分组方法。）“ac”方法实际上是您在上一节中使用的方法的扩展，用于分解具有前导系数1的三项式。这种方法非常结构化（即逐步），并且总是有效的！
使用“ac”方法的因子三项式
ax2+bx+c形式的因子三项式
在本节结束时，您将能够：

*因子完美平方三项式
*平方的因素差异
*立方体的因子和和差异
*选择完全分解多项式的方法
m82528
一些三项式是完美的平方。它们是将二项乘以自身的结果。您可以使用FOIL对二项式进行平方，但使用您在上一章中看到的二项式平方模式可以节省一步。让我们通过使用FOIL对二项式进行平方来回顾二项式平方模式。
因子完美平方三项式
您在上一章中看到的另一个特殊乘积是共轭乘积模式。您用它来乘以两个共轭二项式。这是一个例子：
平方的因子差异
保理还有另一种特殊的模式，我们乘以多项式时没有使用。这是立方体和差的模式。我们将先写这些公式，然后通过乘法检查它们。
立方体的因子和和差异
因子特殊产品
在本节结束时，您将能够：

*识别并使用适当的方法完全分解多项式
m82529
您现在已经熟悉了本课程中需要的所有因式分解方法。（在您的下一门代数课程中，更多的方法将被添加到您的曲目中。）下图总结了我们所涵盖的所有因式分解方法。[链接]概述了您在分解多项式时应该使用的策略。
识别并使用适当的方法完全分解多项式
分解多项式的一般策略
在本节结束时，您将能够：

*使用零乘积属性求解二次方程
*求解二次方程分解
*解决由二次方程建模的应用程序
m82530
我们将首先使用零积性质来求解一些二次方程。零积性质说，如果两个量的乘积为零，那么必须至少有一个量为零。得到等于零的乘积的唯一方法是乘以零本身。
使用零积性质求解二次方程
到目前为止，我们在本节中求解的每个方程都有一个因子形式的边。为了使用零乘积属性，二次方程必须被因子化，一边是零。所以我们必须确保从标准形式的二次方程开始，$a{x}^{2}+bx+c=0$。然后我们可以分解左边的表达式。
通过分解求解二次方程
我们之前用于转换为线性方程的应用程序的问题解决策略对于转换为二次方程的应用程序也同样有效。我们将在这里复制问题解决策略，以便我们可以参考它。
求解由二次方程建模的应用程序
二次方程
保理
m82531
导言
在本节结束时，您将能够：

*确定有理表达式未定义的值
*评估理性表达
*简化理性表达
*用相反的因素简化理性表达
m82532
当我们处理数字分数时，很容易避免除以零，因为我们可以在分母中看到数字。为了避免在有理表达式中除以零，我们不能允许变量的值使分母为零。
确定Rational表达式未定义的值
为了计算有理表达式，我们将变量的值替换到表达式中并进行简化，就像我们在本书中对许多其他表达式所做的那样。
评估理性表达式
就像如果一个分数的分子和分母中没有除1之外的公因数，则该分数被认为是简化的一样，如果一个有理表达式在其分子和分母中没有除1之外的公因数，则该表达式是*简化的*。
简化理性表达式
现在我们将看到如何简化一个分子和分母具有相反因子的有理表达式。让我们从一个数字分数开始，比如$\frac{7}{-7}$。我们知道这个分数简化为$-1$。我们也认识到分子和分母是对立的。
使用相反的因素简化有理表达式
简化理性表达式
在本节结束时，您将能够：

*乘以有理表达式
*划分理性表达
m82533
为了乘以有理表达式，我们就像用数字分数一样。我们乘以分子，乘以分母。然后，如果有任何公因数，我们删除它们以简化结果。
乘法有理表达式
为了划分有理表达式，我们将第一个分数乘以第二个分数的倒数，就像我们对数字分数所做的那样。
划分理性表达式
乘除有理表达式
在本节结束时，您将能够：

*添加具有公分母的理性表达
*减去具有公分母的有理表达式
*添加和减去分母相反的有理表达式
m82534
当你添加数字分数时，你采取的第一步是什么？你检查它们是否有公分母。如果有，你添加分子，并将总和放在公分母上。如果它们没有公分母，你可以在添加之前找到一个。
使用公共分母添加Rational表达式
要减去有理表达式，它们还必须有一个公分母。当分母相同时，减去分子，然后将差异放在公分母上。
用公共分母减去有理表达式
当两个有理表达式的分母相反时，很容易得到一个公分母。我们只需要将其中一个分数乘以$\frac{-1}{-1}$。
添加和减去分母相反的有理表达式
使用公共分母添加和减去有理表达式
在本节结束时，您将能够：

*找到理性表达的最小公分母
*找到等价的有理表达式
*添加不同分母的有理表达式
*减去不同分母的有理表达式
m82535
当我们用不同的分母添加或减去有理表达式时，我们需要得到公分母。如果我们回顾一下我们用数字分数的过程，我们就会知道如何处理有理表达式。
寻找有理表达式的最小公分母
当我们添加数字分数时，一旦我们找到LCD，我们将每个分数重写为LCD的等效分数。
寻找等价的有理表达式
现在我们有了添加不同分母的有理表达式所需的所有步骤。正如我们之前所做的，我们将首先做一个添加数字分数的示例。
添加具有不同分母的有理表达式
我们用来减去具有不同分母的有理表达式的过程与加法相同。我们只需要在减去分子时非常小心符号。
用不同的分母减去有理表达式
使用不同的分母添加和减去有理表达式
在本节结束时，您将能够：

*通过将其写成除法来简化复杂的理性表达式
*使用LCD简化复杂的有理表达式
m82537
我们在本章前面已经看到了这种复杂的理性表达。
通过将其写成除法来简化复杂的理性表达式
当我们用分数求解方程时，我们通过乘以液晶显示器来“清除”分数。我们可以在这里使用这种策略来简化复杂的有理表达式。我们将把所有有理表达式的分子和分母乘以液晶显示器。
使用LCD简化复杂的有理表达式
简化复杂的有理表达式
在本节结束时，您将能够：

*解决理性方程
*求解特定变量的有理方程
m82538
我们已经解决了包含分数的线性方程。我们找到了方程中所有分数的液晶显示器，然后将方程的两边乘以液晶显示器来“清除”分数。
解决有理方程
当我们解线性方程时，我们学会了如何解特定变量的公式。许多用于商业、科学、经济学和其他领域的公式使用有理方程来模拟两个或多个变量之间的关系。我们现在将看到如何求解特定变量的有理方程。
求解特定变量的有理方程
解决有理方程
在本节结束时，您将能够：

*求解比例
*解决类似的数字申请
m82539
当两个有理表达式相等时，它们之间的方程称为*比例*。
求解比例
当你在手机或平板电脑上缩小或放大照片，在地图上算出距离，或者用图案建造书柜或缝制连衣裙时，你就是在使用相似的人物。如果两个人物的形状完全相同，但大小不同，则称它们为*相似。*一个是另一个的比例模型。它们所有对应的角度都有相同的度量，它们对应的侧面也有相同的比例。
解决类似的图形应用
求解比例和相似图形应用程序
在本节结束时，您将能够：

*解决匀速运动应用
*解决工作申请
m82543
在前面的章节中，我们已经使用公式$D=rt$解决了均匀运动问题。我们使用如下表来组织信息并引导我们找到方程。
解决均匀运动应用
假设Pete可以在10小时内粉刷一个房间。如果他以稳定的速度工作，1小时内他会粉刷房间的$\frac{1}{10}$。如果Alicia需要8小时来粉刷同一个房间，那么1小时内她会粉刷房间的$\frac{1}{8}$。如果Pete和Alicia一起工作（并且不干扰彼此的进度），需要多长时间来粉刷房间？
解决工作应用
解决均匀运动和工作应用
在本节结束时，您将能够：

*解决直接变化问题
*解决逆变分问题
m82560
Lindsay的工资是每小时15美元，如果我们以她的工资为单位，以她工作的小时数为单位，我们可以用这个等式来模拟这种情况
解决直接变异问题
许多应用程序涉及两个*反比*的变量。随着一个变量的增加，另一个变量会减少。与它们相关的等式是$y=\frac{k}{x}$。
解决逆变分问题
使用直接和反向变化
有理表达式和方程
m82544
导言
在本节结束时，您将能够：

*用平方根简化表达式
*估计平方根
*近似平方根
*用平方根简化变量表达式
m82545
请记住，当一个数字$n$乘以自身时，我们写${n}^{2}$并读为“n的平方”例如，${15}^{2}$读作“15的平方”，225称为15的平方，因为${15}^{2}=225$。
使用平方根简化表达式
到目前为止，我们只考虑了完全平方数的平方根。其他数字的平方根不是整数。看下面的[链接]。
估计平方根
有近似平方根的数学方法，但现在大多数人使用计算器来查找它们。在计算器上找到$\sqrt{x}$键。您将使用此键来近似平方根。
近似平方根
如果我们必须找到带有变量的表达式的平方根怎么办？考虑$\sqrt{9{x}^{2}}$。你能想到一个平方为9美元{x}^{2}$的表达式吗？
使用平方根简化变量表达式
简化和使用平方根
在本节结束时，您将能够：

*使用产品属性简化平方根
*使用商数属性简化平方根
m82546
我们将用于简化具有平方根的表达式的属性类似于指数的属性。我们知道${\old（ab\right）}^{m}={a}^{m}{b}^{m}$。平方根的相应属性表示$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$。
使用Product属性简化平方根
每当你必须简化平方根时，你应该采取的第一步是确定根是否是完美平方。*完美平方分数*是分子和分母都是完美平方的分数。
使用商属性简化平方根
简化平方根
在本节结束时，您将能够：

*像平方根一样加减
*加减需要简化的平方根
m82547
考虑在接下来的几个例子中添加带有变量的相似项。当你有喜欢的词根时，你只需添加或减去系数。当词根不喜欢时，您不能组合术语。
像平方根一样加减
记住，我们总是通过去除最大的完美平方因子来简化平方根。有时当我们必须添加或减去看起来没有像偏旁的平方根时，我们在简化平方根后发现像偏旁。
添加和减去需要简化的平方根
加减平方根
在本节结束时，您将能够：

*乘以平方根
*使用多项式乘法乘以平方根
m82548
我们使用平方根的乘积属性通过去除完美平方根因子来简化平方根。平方根的乘积属性说
乘以平方根
在接下来的几个示例中，我们将使用分布属性将表达式与平方根相乘。
使用多项式乘法乘以平方根
乘以平方根
在本节结束时，您将能够：

*除以平方根
*使一词分母合理化
*使两个任期的分母合理化
m82550
我们知道我们通过去除分子和分母共有的因子来简化分数。当我们有一个分子有平方根的分数时，我们首先简化平方根。然后我们可以寻找共同的因素。
平方根
在计算器成为日常生活工具之前，平方根表被用来求平方根的近似值。[链接]显示了平方根和平方根表的一部分。平方根在这个表中近似于小数点后五位。
合理化一个术语分母
当分数的分母是平方根的和或差时，我们使用共轭积模式来合理化分母。
使两个术语分母合理化
平方根
在本节结束时，您将能够：

*解决根式方程
*在应用程序中使用平方根
m82551
在本节中，我们将求解具有平方根变量的方程。这种类型的方程称为根式方程。
求解自由基方程
当你完成大学课程时，你会遇到许多学科中包含平方根的公式。我们已经使用公式来解决几何应用。
在应用程序中使用平方根
用平方根求解方程
在本节结束时，您将能够：

*使用更高的根简化表达式
*使用Product属性简化具有更高根的表达式
*使用商数属性简化具有更高根的表达式
*添加和减去更高的根
m82552
到目前为止，在本章中，我们已经使用了平方和平方根。我们现在将扩展我们的工作，包括更高的幂和更高的根。
使用更高的根简化表达式
我们将以与简化平方根表达式大致相同的方式简化具有更高根的表达式。如果*n*th根没有${m}^{n}$的因子，则认为它是简化的。
使用Product属性简化具有更高根的表达式
我们可以像简化平方根一样用商简化更高的根。首先，我们简化根部内的任何分数。
使用商属性简化具有较高根的表达式
我们可以像加减平方根一样加减更高的根。首先，我们提供相似部首的正式定义。
添加和减去更高的根
更高的根
在本节结束时，您将能够：

*使用${a}^{\frac{1}{n}}$简化表达式
*使用${a}^{\frac{m}{n}}$简化表达式
*使用指数定律来简单地表达有理指数
m82553
有理指数是用部首编写表达式的另一种方式。当我们使用有理指数时，我们可以应用指数的属性来简化表达式。
使用${a}^{\frac{1}{n}}$简化表达式
让我们更多地使用指数的幂属性。
使用${a}^{\frac{m}{n}}$简化表达式
我们已经使用的指数定律也适用于有理指数。我们将在此处列出指数属性，以便在简化表达式时参考它们。
使用指数定律用有理指数简化表达式
理性指数
根与根
m82554
导言
在本节结束时，您将能够：

*使用平方根属性求解形式为$a{x}^{2}=k$的二次方程
*使用平方根属性求解形式为$a{\左（x-h\右）}^{2}=k$的二次方程
m82555
我们已经通过因式分解求解了一些二次方程。让我们回顾一下我们是如何使用因式分解求解二次方程${x}^{2}=9$的。
使用平方根属性求解形式*ax*2=*k*的二次方程
我们也可以使用平方根属性来求解像${\old（x-3\right）}^{2}=16$这样的方程。我们将把整个二项式$\old（x-3\right）$视为二次项。
使用平方根属性求解形式*a*（*x*−*h*）2=*k*的二次方程
使用平方根性质求解二次方程
在本节结束时，您将能够：

*完成二项式表达式的平方
*通过完成正方形来求解形式为${x}^{2}+bx+c=0$的二次方程
*通过完成正方形来求解形式为$a{x}^{2}+bx+c=0$的二次方程
m82556
在上一节中，我们能够使用平方根属性来求解方程${\old（y-7\right）}^{2}=12$，因为左侧是一个完美的正方形。
完成二项式表达式的平方
在解方程时，我们必须总是对方程的两边做同样的事情。当然，当我们通过完成平方来求解二次方程时，这也是真的。当我们在方程的一侧添加一项以形成完美的平方三项式时，我们还必须在方程的另一侧添加相同的项。
通过完成平方来求解形式*x*2+*bx*+*c*=0的二次方程
当前导系数为1时，完成平方的过程效果最好，所以方程的左侧是${x}^{2}+bx+c$的形式。如果${x}^{2}$项有一个系数，我们采取一些初步步骤使系数等于1。
通过完成平方来求解形式*ax*2+*bx*+*c*=0的二次方程
通过完成平方来求解二次方程
在本节结束时，您将能够：

*使用二次公式求解二次方程
*使用判别式预测二次方程解的个数
*确定最合适的方法来解决二次方程
m82557
当我们在前面的例子中求解二次方程时，有时我们得到两个解，有时一个解，有时没有真正的解。有没有一种方法可以在不实际求解方程的情况下预测二次方程的解的数量？
用判别式预测二次方程解的个数
我们使用了四种方法来求解二次方程：
确定用于求解二次方程的最合适方法
使用二次公式求解二次方程
在本节结束时，您将能够：

*解决由二次方程建模的应用程序
m82558
我们之前解决了一些由二次方程建模的应用程序，当时我们必须解决它们的唯一方法是因式分解。现在我们有了更多解决二次方程的方法，我们将再看看应用程序。为了开始，我们将在这里复制我们通常的问题解决策略，以便我们可以按照步骤进行操作。
二次公式的求解应用
求解由二次方程建模的应用程序
在本节结束时，您将能够：

*识别两个变量中的二次方程图
*求抛物线的对称轴和顶点
*找到抛物线的截距
*两个变量中的图二次方程
*解决最大和最小应用程序
m82559
我们有形式为$Ax+By=C$的图形方程。我们称这种方程为线性方程，因为它们的图形是直线。
二次方程在两个变量中的图的识别
再看看[链接]。你看到我们可以把每条抛物线对折，一边放在另一边上面吗？“折叠线”是一条对称线。我们称之为抛物线的对称轴。
求抛物线的对称轴和顶点
当我们绘制线性方程时，我们经常使用*x*-和*y*-截距来帮助我们绘制线条。找到截距的坐标也将帮助我们绘制抛物线。
找到抛物线的截距
现在，我们有了在两个变量中绘制二次方程所需的所有部分。我们只需要把它们放在一起。在下一个例子中，我们将看到如何做到这一点。
两个变量中的图二次方程
知道抛物线的顶点是抛物线的最低点或最高点，给了我们一个简单的方法来确定二次方程的最小值或最大值。顶点的*y*-坐标是向上打开的抛物线的最小*y*-值。它是向下打开的抛物线的最大*y*-值。见[链接]。
解决最大和最小应用程序
在两个变量中绘制二次方程
二次方程