m62204
OpenStax是莱斯大学的非营利组织，我们的使命是改善学生接受教育的机会。我们的第一本公开许可的大学教科书于2012年出版，此后我们的图书馆已经扩大到超过25本书，被全球数十万学生使用。我们的低成本个性化学习工具OpenStax导师正在全国各地的大学课程中使用。OpenStax的使命是通过慈善基金会的慷慨支持实现的。通过这些合作伙伴关系，并在我们OpenStax合作伙伴的额外低成本资源的帮助下，OpenStax正在打破最常见的学习障碍，并赋予学生和教师成功的能力。
关于OpenStax
关于OpenStax的资源
*大学物理*是为两到三个学期的微积分为基础的物理课程而设计的。该文本的开发符合大多数大学物理课程的范围和顺序，并为数学、科学或工程职业生涯提供了基础。这本书为学生学习物理的核心概念以及了解这些概念如何应用于他们的生活和他们周围的世界提供了一个重要的机会。
关于*大学物理*
追加资源
关于作者
序言
m58268
导言
在本节结束时，您将能够：

*描述物理学的范围。
*计算数量的数量级。
*定量比较可测量的长度、质量和时间尺度。
*描述模型、理论和法律之间的关系。
m58269
再看一下开篇图片。漩涡星系包含数十亿颗独立的恒星以及巨大的气体和尘埃云。它的同伴星系在右边也可见。这对星系位于我们自己的星系（被称为*银河系*）$\左（1.4{\规则{0.2em}{0ex}}}×{\规则{0.2em}{0ex}}{10}^{21}\text{mi}\right）$$的地方。组成漩涡星系的恒星和行星似乎离大多数人的日常生活最远，但漩涡是思考将宇宙维系在一起的力量的一个很好的起点。导致漩涡星系如此运作的力量被认为是我们在地球上与之抗衡的力量，不管我们是计划向太空发射火箭，还是仅仅计划为一个新家竖起墙壁。导致漩涡星系恒星旋转和旋转的重力被认为与导致地球上水坝上的水流相同。当你仰望星星时，意识到外面的力量和地球上的力量是一样的。通过物理学研究，你可能会对我们在这个宇宙中看到和知道的一切的相互联系有更好的理解。
物理学的范围
从目前的讨论中，应该清楚的是，要在自然科学和工程的各个领域实现你的目标，必须彻底了解物理定律。原因很简单，物理定律在所有可测量的长度、质量和时间尺度上支配着可观测宇宙中的一切。现在，这说起来很容易，但要理解它的真正含义，我们需要得到一点定量。所以，在调查物理学允许我们探索的各种尺度之前，让我们先看看“数量级”的概念，我们用它来处理我们在本文中考虑的广泛的长度、质量和时间范围（[链接]）。
物理学的尺度
我们是如何认识支配自然现象的法则的？我们所指的自然法则是对我们周围宇宙的简明描述。它们是人类对所有自然过程所遵循的基本法则或规则的陈述。这样的法则是宇宙固有的；人类没有创造它们，也不能改变它们。我们只能发现和理解它们。它们的发现是一项非常人类的努力，任何创造性努力都包含神秘、想象、斗争、胜利和失望的所有元素（[链接]）。发现自然法则的基石是观察；科学家必须描述宇宙的本来面目，而不是我们想象的那样。
建筑模型
物理学的范围和尺度
在本节结束时，您将能够：

*描述如何定义SI基本单元。
*描述如何从基本单元创建派生单元。
*使用公制前缀以SI单位表示数量。
m58270
在任何单位系统中，某些物理量的单位必须通过测量过程来定义。这些被称为该系统的基本量，它们的单位是系统的基本单位**s**。然后，所有其他物理量都可以表示为基本量的代数组合。这些物理量中的每一个都被称为派生量，每个单位被称为**派生单位**。基本量的选择有些任意，只要它们彼此独立，所有其他量都可以从它们派生出来。通常，目标是选择可以精确测量到高精度的物理量作为基本量。原因很简单。由于导出的单元可以表示为基本单元的代数组合，因此它们只能与导出它们的基本单元一样精确。
SI单位：基本单位和派生单位
这本教科书的第一章是关于力学、流体和波的。在这些科目中，所有相关的物理量都可以用长度、质量和时间的基本单位来表示。因此，我们现在讨论这三个基本单位，其他的留到以后需要时再讨论。
时间、长度和质量单位：秒、米和千克
SI单位是公制的一部分，便于科学和工程计算，因为单位按10的因数分类。[link]列出了用于表示SI单位中10的各种因数的度量前缀和符号。例如，一厘米是百分之一米（在符号中，1厘米=10-2 m），一公里是一千米（1公里=103 m）。类似地，一个兆克是一百万克（1 Mg=106克），一纳秒是十亿分之一秒（1 ns=10-9秒），一个太米是一万亿米（1 Tm=1012 m）。
公制前缀
单位和标准
在本节结束时，您将能够：

*使用换算系数以不同单位表示给定数量的价值。
m58271
单位换算
在本节结束时，您将能够：

*找出涉及物理量的数学表达式的尺寸。
*确定涉及物理量的方程在尺寸上是否一致。
m58272
量纲分析
在本节结束时，您将能够：

*估计物理量的值。
m58273
估计和费米计算
在本节结束时，您将能够：

*确定计算结果的有效数字的正确数量。
*描述准确性、精确性、不确定性和差异概念之间的关系。
*计算测量的百分比不确定度，给定其值和不确定度。
*确定涉及给定不确定性的数量的计算结果的不确定性。
m58274
科学是建立在观察和实验的基础上的——也就是说，建立在测量的基础上。**精度**是一个测量值与该测量的公认参考值的接近程度。例如，假设我们想测量标准打印纸的长度。我们购买纸张的包装上写着它是11.0英寸。长。然后，我们测量纸张的长度三次，并获得以下测量值：11.1英寸。、11.2英寸。和10.9英寸。这些测量非常准确，因为它们非常接近11.0英寸的参考值。相比之下，如果我们获得了12英寸的测量值，我们的测量就不会非常准确。请注意，精度的概念要求给出一个公认的参考值。
测量的准确性和精密度
测量系统的精确度与测量的不确定性有关，而精确度与与公认参考值的差异有关。不确定性是测量值彼此偏离程度的定量测量。计算不确定性有许多不同的方法，每种方法都适用于不同的情况。一些例子包括取范围（即最大减去最小）或找到测量的均方差。差异（或“测量误差”）是测量值与给定标准或预期值之间的差异。如果测量不是非常精确，那么值的不确定性就很高。如果测量不是非常准确，那么值的差异就很大。
准确性、精确度、不确定性和差异
测量精度的一个重要因素涉及测量工具的精度。一般来说，精确的测量工具是可以以非常小的增量测量值的工具。例如，标准尺子可以测量最接近毫米的长度，而卡尺可以测量最接近0.01毫米的长度。卡尺是一种更精确的测量工具，因为它可以测量极小的长度差异。测量工具越精确，测量就越精确。
测量工具的精度和重要数字
重要数字
在本节结束时，您将能够：

*描述制定解决问题战略的过程。
*解释如何找到问题的数值解决方案。
*总结评估问题数值解决方案重要性的过程。
m58275
策略是解决问题的开始阶段。这个想法是弄清楚问题是什么，然后制定解决问题的策略。这个阶段的一些一般建议如下：
战略
解题阶段是你做数学的时候。*将已知值（及其单位）替换成适当的方程，并获得用单位完成的数值解*。也就是说，做代数、微积分、几何或算术，从已知值中找到未知值，并确保在计算中携带单位。这一步显然很重要，因为它产生了数字答案及其单位。然而，请注意，这一阶段只是整个问题解决过程的三分之一。
解
在解决问题的解决阶段完成数学后，很容易认为你已经完成了。但是，永远记住物理不是数学。相反，在做物理时，我们使用数学作为帮助我们理解自然的工具。所以，在你得到一个数字答案后，你应该始终评估它的意义：
意义
解决物理问题
单位和测量
m58276
导言
在本节结束时，您将能够：

*描述向量量和标量量之间的区别。
*确定矢量的大小和方向。
*解释向量量乘以标量的效果。
*描述如何添加或减去一维向量量。
*解释平面中向量的加法或减法的几何结构。
*区分向量方程和标量方程。
m58277
向量可以乘以标量，添加到其他向量，或从其他向量中减去。我们可以使用[link]中看到的钓鱼之旅示例来说明这些向量概念。
一维向量代数
当向量位于一个平面中时——即当它们处于二维时——它们可以与标量相乘，与其他向量相加，或者根据[link]、[link]、[link]和[link]所表达的一般规律从其他向量中减去。然而，平面中两个向量的加法规则变得比一维中向量加法的规则更复杂。我们必须使用几何定律来构造结果向量，然后是三角学来找到向量的大小和方向。这种几何方法通常用于导航（[link]）。在这一节中，我们需要手头有两把尺子，一个三角形，一个量角器，一支铅笔和一块橡皮擦，用于通过几何结构将向量绘制成比例。
二维向量代数
标量和向量
在本节结束时，您将能够：

*使用沿轴的单位向量，根据其分量描述二维和三维向量。
*区分向量的向量分量和向量的标量分量。
*解释如何根据向量的分量定义向量的大小。
*确定平面中矢量的方向角。
*解释平面中极坐标和笛卡尔坐标之间的联系。
m58278
为了描述点或向量在平面中的位置，我们需要两个正交的方向。在笛卡尔坐标系中，这些方向由单位向量$\stackrel{^}{i}$和$\stackrel{^}{j}$分别沿着*x*-轴和*y*-轴给出。笛卡尔坐标系在描述物体的位移和速度以及作用在它们上的力时非常方便。但是，当我们需要描述物体的旋转时，它变得很麻烦。在描述旋转时，我们通常在极坐标系中工作。
极坐标
要指定点在空间中的位置，我们需要三个坐标（*x*、*y*、*z*），其中坐标*x*和*y*指定平面中的位置，坐标*z*给出平面上方或下方的垂直位置。三维空间有三个正交方向，因此我们需要的不是两个而是*三个*单位向量来定义三维坐标系。在笛卡尔坐标系中，前两个单位向量是*x*-轴$\stackrel{^}{i}$的单位向量和*y*-轴$\stackrel{^}{j}$的单位向量。第三个单位向量$\stackrel{^}{k}$是*z*-轴的方向（[link]）。轴被标记的顺序，也就是三个单位向量出现的顺序，很重要，因为它定义了坐标系的方向。顺序*x*-*y*-*z*，相当于顺序$\stackrel{^}{i}$ - $\stackrel{^}{j}$ - $\stackrel{^}{k}$，定义了标准的右手坐标系（正方向）。请注意，虽然以前*y*-轴用于向上方向，但在三维中，我们通常选择*z*来表示垂直方向。一个右手坐标系，*z*向上，剩余的一个轴指向右边，另一个轴指向页面之外，必须有*y*-轴指向右边，*x*指向页面之外，如这里所示。
三维矢量
坐标系和向量的分量
在本节结束时，您将能够：

*应用向量代数的解析方法来寻找合成向量并求解未知向量的向量方程。
*根据向量表达式解释物理情况。
m58279
向量代数
在本节结束时，您将能够：

*解释两个向量的标量积和向量积之间的区别。
*确定两个向量的标量积。
*确定两个向量的向量积。
*描述向量的乘积如何在物理学中使用。
m58280
两个向量的标量乘法产生一个标量积。
两个向量的标量积（点积）
两个向量的向量相乘产生向量乘积。
两个向量的向量积（叉积）
向量乘积
向量
m58281
导言
在本节结束时，您将能够：

*定义位置、位移和行驶距离。
*计算总位移给定的位置作为时间的函数。
*确定行驶的总距离。
*计算给定位移和经过时间的平均速度。
m58282
要描述一个物体的运动，你必须首先能够描述它的位置（*x*）：*它在任何特定时间的位置*。更准确地说，我们需要指定它相对于一个方便的参照系的位置。参照系是一组任意的轴，从这些轴可以描述一个物体的位置和运动。地球经常被用作参照系，我们经常描述一个物体的位置，因为它与地球上静止的物体有关。例如，火箭发射可以用火箭相对于整个地球的位置来描述，而骑自行车的人的位置可以用她相对于她经过的建筑物的位置来描述[链接]。在其他情况下，我们使用的参照系不是静止的，而是相对于地球运动的。例如，为了描述一个人在飞机中的位置，我们使用飞机而不是地球作为参考帧。为了描述一个物体进行一维运动的位置，我们经常使用变量*x*。在本章后面，在讨论自由落体时，我们使用变量*y*。
职位
如果一个物体相对于参照系移动——例如，如果教授相对于白板[链接]向右移动——那么物体的位置就会改变。这种位置的变化称为位移。*位移*这个词意味着一个物体已经移动或已经位移。虽然位置是沿着物体可能所在的直线的*x*的数值，但位移给出了沿着这条直线的*变化*位置。由于位移表示方向，它是一个向量，可以是正的也可以是负的，这取决于对正方向的选择。此外，对运动的分析可以嵌入许多位移。如果右是正的，一个物体向右移动2 m，那么4 m向左，单个位移分别为2 m和-4美元。
位移
为了计算运动学中的其他物理量，我们必须引入时间变量。时间变量不仅允许我们说明物体在运动过程中的位置，还允许我们说明它移动的速度。物体移动的速度由位置随时间变化的速率给出。
平均速度
位置、位移和平均速度
在本节结束时，您将能够：

*解释平均速度和瞬时速度之间的差异。
*描述速度和速度之间的区别。
*计算瞬时速度给定的位置的数学方程。
*计算给定瞬时速度的速度。
m58283
告诉我们一个物体沿着它的路径在任何地方移动有多快的量是瞬时速度，通常简称为*速度*。它是在两个事件之间的时间（以及因此的位移）接近零的极限内路径上两点之间的平均速度。为了从数学上说明这个想法，我们需要将位置*x*表示为*t*的连续函数，由*x*（*t*）表示。使用这种表示法的两点之间平均速度的表达式是$\stackrel{\text{-}}{v}=\frac{x\左（{t}_{2}\right）-x\左（{t}_{1}\right）}{{t}_{2}-{t}_{1}}$。为了找到任何位置的瞬时速度，我们让${t}_{1}=t$和${t}_{2}=t+\text{Δ}t$。将这些表达式插入平均速度方程并将极限为$\text{Δ}t\到0$后，我们找到瞬时速度的表达式：
瞬时速度
在日常语言中，大多数人交替使用*速度*和*速度*。然而，在物理学中，它们的含义不同，是不同的概念。一个主要区别是速度没有方向；也就是说，速度是一个标量。
速度
在计算瞬时速度时，我们需要指定位置函数$x\old（t\right）$的显式形式。如果$x\old（t\right）$方程中的每个项都具有$A{t}^{n}$的形式，其中$A$是常数，$n$是整数，则可以使用幂规则区分：
计算瞬时速度
瞬时速度和速度
在本节结束时，您将能够：

*计算两个时间点之间的平均加速度。
*计算瞬时加速度给定的速度的函数形式。
*解释瞬时加速度和速度的矢量性质。
*解释平均加速度和瞬时加速度之间的区别。
*在速度与时间的曲线图上找到指定时间的瞬时加速度。
m58284
加速度的正式定义与刚刚描述的这些概念一致，但更具包容性。
平均加速度
瞬时加速度*a*，或*在特定时刻的加速度*，是使用对瞬时速度讨论的相同过程获得的。也就是说，我们计算由$\text{Δ}t$分隔的两个时间点之间的平均加速度，并让$\text{Δ}t$接近零。结果是速度函数*v*（*t*）的导数，这是瞬时加速度，并在数学上表示为
瞬时加速度
你可能已经习惯了当你走进电梯或在车里踩油门时体验加速度。然而，加速度正在发生在我们宇宙中许多其他我们没有直接接触的物体上。[链接]呈现了各种物体的加速度。我们可以看到加速度的大小扩展到许多数量级。
感受加速
平均和瞬时加速度
在本节结束时，您将能够：

*确定哪些运动方程将用于求解未知数。
*使用适当的运动方程来解决双体追踪问题。
m58285
首先，让我们在符号上做一些简化。将初始时间取为零，就像用秒表测量时间一样，是一个很大的简化。由于经过的时间是$\text{Δ}t={t}_{\text{f}}-{t}_{0}$，取${t}_{0}=0$表示$\text{Δ}t={t}_{\text{f}}$，秒表上的最终时间。当初始时间取为零时，我们用下标0表示位置和速度的初始值。即${x}_{0}$*是初始位置*，${v}_{0}$*是初始速度*。我们在最终值上不下标。即*t是最终时间*，*x是最终位置*，*v是最终速度*。这给出了一个更简单的经过时间表达式，$\text{Δ}t=t$。它还简化了*x*位移的表达式，现在是$\text{Δ}x=x-{x}_{0}$。此外，它还简化了速度变化的表达式，现在是$\text{Δ}v=v-{v}_{0}$。总而言之，使用简化的表示法，初始时间为零，
记谱法
为了得到我们的前两个方程，我们从平均速度的定义开始：
位移和位置从速度
我们可以通过操纵加速度的定义导出另一个有用的方程：
从加速度和时间求解最终速度
我们可以结合前面的方程找到第三个方程，它允许我们计算一个物体经历恒定加速度的最终位置。我们从
用恒定加速度求解最终位置
第四个有用的方程可以从前面方程的另一个代数操作中得到。如果我们在$for*t*解$v={v}_{0}+，我们得到
由距离和加速度求解最终速度
在下面的例子中，我们继续探索一维运动，但在需要更多代数操作的情况下。这些例子还提供了解决问题的技巧。下面的注释是为了便于参考所需的方程。请注意，这些方程不是独立的。在许多情况下，我们有两个未知数，需要集合中的两个方程来求解未知数。我们需要尽可能多的未知数来解决给定的情况。
把方程式放在一起
到目前为止，我们已经研究了涉及单个物体的运动示例。即使对于两辆车以及在潮湿和干燥道路上的停车距离的问题，我们也将这个问题分成两个独立的问题来寻找答案。在两体追踪问题中，物体的运动是耦合的——也就是说，我们寻找的未知取决于两个物体的运动。为了解决这些问题，我们为每个物体编写运动方程，然后同时求解它们以找到未知。这在[链接]中进行了说明。
二体追寻问题
恒定加速度运动
在本节结束时，您将能够：

*使用带有变量y和g的运动学方程来分析自由落体运动。
*描述自由落体过程中位置、速度和加速度的值如何变化。
*解决的位置，速度和加速度作为时间的函数时，一个物体在自由落体。
m58286
关于坠落物体最显着和意想不到的事实是，如果空气阻力和摩擦力可以忽略不计，那么在给定的位置，所有物体都以*相同的恒定加速度*向地球中心坠落，*与它们的质量无关*。这个由实验确定的事实是意想不到的，因为我们已经如此习惯于空气阻力和摩擦力的影响，以至于我们期望轻物体比重物体坠落得更慢。直到伽利略·伽利略（1564—1642）证明并非如此，人们认为较重的物体在自由落体中具有更大的加速度。我们现在知道事实并非如此。在没有空气阻力的情况下，当从相同高度坠落时，重物与较轻的物体同时到达地面[链接]。
引力
了解涉及重力的运动的基本特征的最好方法是从最简单的情况开始，然后发展到更复杂的情况。因此，我们首先考虑没有空气阻力或摩擦力的直线上下运动。这些假设意味着速度（如果有的话）是垂直的。如果一个物体被丢弃，我们知道自由落体时的初始速度为零。当物体与持有或投掷它的任何东西保持接触时，物体处于自由落体状态。当物体被投掷时，它在自由落体时的初始速度与释放前相同。当物体与地面或任何其他物体接触时，它不再处于自由落体状态，其*g*的加速度不再有效。在这种情况下，运动是一维的，并且具有*g*量级的恒定加速度。我们用符号*y*表示垂直位移。
涉及重力的一维运动
自由落体
在本节结束时，您将能够：

*使用积分推导出恒定加速度的运动学方程。
*在分析运动时使用运动学方程的积分公式。
*找到给定加速度函数的速度与时间的函数形式。
*找到给定速度函数的位置与时间的函数形式。
m58287
让我们从加速度*a*（t）的粒子开始，这是一个已知的时间函数。由于速度函数的时间导数是加速度，
积分运动方程
从加速度中寻找速度和位移
沿直线运动
m58288
导言
在本节结束时，您将能够：

*计算多维位移问题中的位置向量。
*求解二维或三维位移。
*计算给定位置矢量作为时间函数的速度矢量。
*计算多维的平均速度。
m58289
要描述二维和三维的运动，我们必须首先建立坐标系和轴的约定。我们通常使用坐标*x*、*y*和*z*在三维中定位粒子在点*P*（*x*、*y*、*z*）。如果粒子在运动，变量*x*、*y*和*z*是时间（*t*）的函数：
位移矢量
在上一章中，我们通过计算位置函数对时间的导数来找到瞬时速度。我们可以在二维和三维上做同样的操作，但是我们使用向量。瞬时速度矢量现在是
速度矢量
当我们观察用单位矢量表示法[link]和[link]写成的位置和速度的三维方程时，我们看到这些方程的组成部分是独立的、独特的时间函数，它们不相互依赖。沿*x*方向的运动没有沿*y*和*z*方向的运动，其他两个坐标轴也是如此。因此，物体在二维或三维中的运动可以被划分为沿着运动发生的坐标系的垂直轴的独立运动。
垂直运动的独立性
位移和速度矢量
在本节结束时，您将能够：

*在单位向量表示法中给定速度函数计算加速度向量。
*描述一个粒子在三维中以恒定加速度的运动。
*使用沿垂直轴的一维运动方程来解决具有恒定加速度的二维或三维问题。
*用单位向量表示加速度。
m58290
除了获得运动中物体的位移和速度矢量之外，我们经常想知道它在沿其轨迹的任何时间点的加速度矢量。这个加速度矢量是瞬时加速度，它可以从速度函数相对于时间的导数中获得，正如我们在上一章中看到的。二维或三维的唯一区别是这些现在是矢量量。取关于时间的导数$\stackrel{\to}{v}\old（t\right），$we发现
瞬时加速度
对于一维运动，具有恒定加速度的多维运动可以像上一章所示的那样处理。早些时候，我们展示了三维运动等价于三个一维运动，每个运动都沿着垂直于其他运动的轴。为了发展每个方向的相关方程，让我们考虑一个粒子在*xy*平面上以恒定加速度运动的二维问题，暂时忽略*z*分量。加速度矢量是
恒定加速度
加速度矢量
在本节结束时，您将能够：

*使用垂直方向的一维运动来分析弹丸运动。
*计算发射并撞击平坦水平表面的射弹的射程、飞行时间和最大高度。
*找出与发射高度不同的射弹的飞行时间和撞击速度。
*计算射弹的弹道。
m58291
感兴趣的是在平坦的水平表面发射并撞击同一表面的射弹的飞行时间、轨迹和射程。在这种情况下，运动学方程给出了这些量的有用表达式，这些表达式将在以下部分导出。
飞行时间、轨迹和射程
弹丸运动
在本节结束时，您将能够：

*求解在圆形路径上运动的物体的向心加速度。
*使用圆周运动方程来查找执行圆周运动的粒子的位置、速度和加速度。
*解释由非均匀圆周运动产生的向心加速度和切向加速度之间的差异。
*评估非均匀圆周运动中的向心加速度和切向加速度，并找到总加速度矢量。
m58292
在一维运动学中，具有恒定速度的物体的加速度为零。然而，在二维和三维运动学中，即使速度是恒定的，粒子如果沿着圆形等弯曲轨迹移动，也会有加速度。在这种情况下，速度矢量正在变化，或$d\stackrel{\to}{v}\text{/}dt\ne 0。$这显示在[link]中。当粒子在圆形路径上沿时间逆时针方向$\text{Δ}t$移动时，其位置矢量从$\stackrel{\移动到}{r}\左（t\right）$到$\stackrel{\}到{r}\左（t+\text{Δ}t\right）。$速度矢量具有恒定的大小，并且当它从$\stackrel{\到}{v}\old（t\right）$到$\stackrel{\to}{v}\old（t+\text{Δ}t\right）时与路径相切，$仅改变其方向。由于速度矢量$\stackrel{\to}{v}\old（t\right）$垂直于位置矢量$\stackrel{\to}{r}\old（t\right），$由位置矢量和$\text{Δ}\stackrel{\to}{r}形成的三角形，$和速度矢量和$\text{Δ}\stackrel{\to}{v}$是相似的。此外，由于$|\stackrel{\to}{r}\左（t\right）|=|\stackrel{\to}{r}\左（t+\text{Δ}t\right）|$和$|\stackrel{\to}{v}\左（t\right）|=|\stackrel{\to}{v}\左（t+\text{Δ}t\right）|，$两个三角形是等腰的。从这些事实中我们可以断言
向心加速度
执行圆周运动的粒子可以用它的位置向量$\stackrel{\to}{r}\old（t\right）来描述。$[link]显示了一个粒子在逆时针方向上执行圆周运动。当粒子在圆上移动时，它的位置向量扫除了与*x-*轴的角度$\θ$。向量$\stackrel{\to}{r}\lee（t\right）$使与*x-*轴的角度$\theta$与*x-*轴的角度显示了它的分量沿*x*-和*y*-轴。位置向量的大小是$A=|\stackrel{\}{r}\old（t\right）|$，也是圆的半径，因此就其分量而言，
均匀圆周运动的运动方程
圆周运动不一定要以恒定的速度。粒子可以绕着圆圈运动，加速或减速，显示出运动方向的加速度。
非均匀圆周运动
均匀圆周运动
在本节结束时，您将能够：

*解释参考框架的概念。
*编写相对运动的位置和速度矢量方程。
*绘制相对运动的位置和速度矢量。
*使用位置和速度矢量方程分析一维和二维相对运动问题。
m58293
为了讨论一维或多维的相对运动，我们首先引入参考帧的概念。当我们说一个物体有一定的速度时，我们必须说明它相对于给定参考帧有一个速度。在我们迄今为止研究的大多数例子中，这个参考帧是地球。如果你说一个人坐在一列向东移动10 m/s的火车上，那么你暗示火车上的人正以这个速度相对于地球表面移动，地球是参考帧。我们可以扩展我们对火车上的人运动的看法，说地球在围绕太阳的轨道上旋转，在这种情况下，运动变得更加复杂。在这种情况下，太阳系是参考帧。总之，所有关于相对运动的讨论都必须定义所涉及的参考帧。我们现在开发了一种方法来引用相对运动中的参照系。这种方法在光速附近进行近似分解，需要更精确的方法或狭义相对论，但对于日常速度（相对论）非常准确。
参考框架
我们首先在一维中引入相对运动，因为速度矢量简化为只有两个可能的方向。以坐在向东行驶的火车上的人为例。如果我们选择东方作为正方向，地球作为参考帧，那么我们可以将火车相对于地球的速度写成${\stackrel{\to}{v}}_{\text{TE}}=10{\规则{0.2em}{0ex}}\text{m}\text{/}\text{s}{\规则{0.2em}{0ex}}\stackrel{^}{i}$东，其中下标TE指火车和地球。现在假设这个人从座位上站起来，以2 m/s的速度走向火车后部。这告诉我们她有一个相对于火车参考帧的速度。由于这个人向西走，方向是负的，我们将她相对于火车的速度写成${\stackrel{\to}{v}}_{\text{PT}}=-2{\规则{0.2em}{0ex}}\text{/}\text{s}{\规则{0.2em}{0ex}}\stackrel{^}{i}\text{.}$我们可以添加两个速度向量来求出这个人相对于地球的速度。这个相对速度写成
一维相对运动
我们现在可以将这些概念应用于描述二维运动。考虑一个粒子*P*和参考帧*S*和${S}^{\Prime}，$如[link]所示。${S}^{\Prime}$在*S*中测量的原点位置是${\stackrel{\to}{r}}_{S}^{\Prime}S}，$在${S}^{\Prime}$中测量的*P*的位置是${\stackrel{\to}{r}}_{P{S}^{\Prime}}，$在*S*中测量的*P*的位置是${\stackrel{\to}{r}}_{PS}$。
二维相对速度
一维和二维中的相对运动
二维和三维运动
m58294
导言
在本节结束时，您将能够：

*区分运动学和动力学
*了解武力的定义
*识别简单的自由体图
*定义SI力的单位，牛顿
*将力描述为向量
m58295
动力学是对导致物体和系统移动的力的研究。为了理解这一点，我们需要一个有效的力定义。力的直观定义——即推或拉——是一个很好的起点。我们知道推或拉既有大小又有方向（因此，它是一个向量），因此我们可以将力定义为对具有特定大小和方向的物体的推或拉。力可以用向量表示，也可以表示为标准力的倍数。
力的工作定义
力的定量定义可以基于一些标准力，就像距离是以相对于标准长度的单位来衡量的一样。一种可能性是将弹簧拉伸一定的固定距离（[链接]），并使用它施加的力将自己拉回放松的形状——称为*恢复力*——作为标准。所有其他力的大小都可以被认为是这个标准力单位的倍数。标准力存在许多其他可能性。本章后面将给出一些力的替代定义。
原力概念的发展
如前所述，力是一个向量；它有大小和方向。SI力的单位称为牛顿（缩写为N），1 N是以1美元的速度加速质量为1公斤的物体所需的力{\规则{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}}^{2}$： 1美元{\规则{0.2em}{0ex}}\text{N}=1{\规则{0.2em}{0ex}}\text{kg}·{\text{m/s}}^{2}。$记住牛顿大小的一个简单方法是想象拿着一个小苹果；它的重量约为1N。
力的向量表示法
部队
在本节结束时，您将能够：

*描述牛顿第一运动定律
*认识到摩擦是一种外力
*定义惯性
*识别惯性参照系
*计算系统的均衡
m58296
无论物体的规模如何，无论是分子还是亚原子粒子，有两个性质仍然有效，因此对物理学很感兴趣：引力和惯性。两者都与质量有关。粗略地说，*质量*是衡量某物中物质数量的标准。*引力*是一个质量对另一个质量的吸引力，例如你和地球之间的吸引力，它使你的脚保持在地板上。这种吸引力的大小是你的重量，它是一种力。
引力和惯性
早些时候，我们把牛顿的第一定律说成“静止的物体保持静止，或者，如果在运动，除非受到净外力的作用，否则保持恒定速度的运动。”它也可以说成“每个物体都保持直线匀速运动状态，除非它被迫通过作用在它身上的力来改变这种状态。”对牛顿来说，“直线匀速运动”意味着恒定速度，包括零速度或静止的情况。因此，第一定律说，如果一个物体上的净力为零，它的速度保持不变。
惯性参考系
牛顿第一定律告诉我们系统的平衡，这是系统上的力平衡的状态。回到[link]中的力和滑冰者，我们知道力${\stackrel{\to}{F}}_{1}$和${\stackrel{\to}{F}}_{2}$结合形成合力，或净外力：${\stackrel{\to}{F}}_{\text{R}}={\stackrel{\to}{F}}_{\text{net}}={\stackrel{\to}{F}}_{1}+{\stackrel{\to}{F}}{_2}。$为了创造平衡，我们需要一个平衡力，它将产生零的净力。这个力必须大小相等，但方向与${\stackrel{\to}{F}}_{\text{R}}，$这意味着向量必须是$\text{−}{\stackrel{\to}{F}}_{\text{R}}。$提到滑冰者，我们发现${\stackrel{\to}{F}}_{\text{R}}$是30美元\stackrel{^}{i}+40.0\stackrel{^}{j}{\规则{0.2em}{0ex}}\text{N}$，我们可以通过简单地找到$\text{}{\stackrel{\to}{F}}}_{\text{R}}=-30.0\stackrel{^}i}-40.0\stackrel{^}j}{\规则{0.2em}{0ex}}\text{N}。$见[链接]（b）中的自由体图。
牛顿第一定律与均衡
牛顿第一定律
在本节结束时，您将能够：

*区分外部和内部力量
*描述牛顿第二运动定律
*解释加速度对净力和质量的依赖性
m58297
首先，我们所说的运动变化是什么意思？答案是运动的变化相当于速度的变化。根据定义，速度的变化意味着有加速度。牛顿第一定律说，净外力导致运动的变化；因此，我们看到*净外力导致非零加速度*。
力与加速度
我们发展了牛顿第二定律，并在[link]中将其呈现为向量方程。这个向量方程可以写成三分量方程：
牛顿第二定律的成分形式
牛顿实际上用动量陈述了他的第二定律：“物体动量变化的瞬时速率等于作用在物体上的净力。”（“瞬时速率”暗示涉及导数。）这可以由向量方程给出
牛顿第二定律和动量
牛顿第二定律
在本节结束时，您将能够：

*解释质量和重量的区别
*解释为什么从空中坠落的物体永远不会真正自由落体
*描述失重的概念
m58298
公式${F}_{\text{net}}=ma$用于定义质量、长度和时间的净力。如前所述，SI力单位是牛顿。由于${F}_{\text{net}}=ma，$
部队单位
当一个物体被抛出时，它会向地球中心加速。牛顿第二定律指出，物体上的净力是其加速度的原因。如果空气阻力可以忽略不计，那么下落物体上的净力就是引力，通常称为它的重量$\stackrel{\to}{w}$，或者它由于重力作用在质量为*m*的物体上而产生的力。重量可以表示为向量，因为它有一个方向；根据定义，*down*是重力的方向，因此，重量是向下的力。重量的大小表示为*w*。伽利略有助于表明，在没有空气阻力的情况下，所有物体都以相同的加速度下降*g*。利用伽利略的结果和牛顿第二定律，我们可以导出重量方程。
重量和引力
质量和重量
在本节结束时，您将能够：

牛顿第三运动定律
*确定不同情况下的行动和反应部队
*应用牛顿第三定律来定义系统并解决运动问题
m58299
牛顿第三定律
在本节结束时，您将能够：

*定义正常力和张力
*区分真实和虚构的力量
*应用牛顿运动定律解决涉及各种力的问题
m58300
当我们解决涉及力和运动的各种问题时，力的曲库将是有用的参考。这些力包括法向力、张力、摩擦力和弹簧力。
力的目录：法向力、张力和其他力的例子
力之间还有另一个区别：一些力是真实的，而另一些则不是。*真实的力*有一些物理来源，比如引力。相反，*虚构的力*仅仅是因为观察者处于加速或非惯性参照系中，比如旋转（像旋转木马）或经历线性加速（像汽车减速）。例如，如果一颗卫星在地球北半球正北方飞行，那么对地球上的观察者来说，它似乎会经历一个没有物理来源的向西的力。相反，地球向东旋转，在卫星下向东移动。在地球的框架中，这看起来像是卫星向西的力，或者可以解释为违反牛顿第一定律（惯性定律）。我们可以通过问这样一个问题来识别一个虚构的力：“什么是反作用力？”如果我们不能说出反作用力的名字，那么我们正在考虑的力就是虚构的。在卫星的例子中，反作用力必须是地球上向东的力。回想一下，惯性参照系中所有的力都是真实的，同样，牛顿定律具有本章给出的简单形式。
实力场和惯性系
共同力量
在本节结束时，您将能够：

*解释绘制自由体图的规则
*为不同情况构建自由体图
m58301
绘制自由体图
牛顿运动定律
m58302
导言
在本节结束时，您将能够：

*应用解决问题的技术来解决更复杂的力量系统中的数量
*利用运动学中的概念，利用牛顿运动定律解决问题
*解决更复杂的均衡问题
*解决更复杂的加速问题
*将微积分应用于更高级的动力学问题
m58303
我们在这里遵循本文前面介绍的解决问题的基础知识，但我们强调在应用牛顿运动定律时有用的具体策略。一旦你确定了问题中涉及的物理原理并确定它们包括牛顿运动定律，你就可以应用这些步骤来找到解决方案。这些技术还强化了在许多其他物理领域有用的概念。许多解决问题的策略在工作示例中得到了直接陈述，因此以下技术应该加强你已经开始发展的技能。
问题解决策略
回想一下，处于平衡状态的粒子是外力平衡的粒子。静态平衡涉及静止的物体，动态平衡涉及没有加速度的运动物体，但重要的是要记住这些条件是相对的。例如，当从我们的参照系观察时，一个物体可能处于静止状态，但当以恒定速度运动的人观察时，同一物体似乎处于运动状态。我们现在利用牛顿运动定律中获得的关于不同类型力的知识和自由体图的使用来解决粒子平衡中的其他问题。
粒子平衡
我们已经给出了平衡粒子的各种例子。我们现在把注意力转向粒子加速问题，这是非零净力的结果。再次参考本节开头给出的步骤，并注意它们是如何应用于以下示例的。
粒子加速
当物理学应用于涉及不仅仅是一套狭窄的物理原理的一般情况时，它是最有趣和最强大的。牛顿的运动定律也可以与本文前面讨论过的其他概念相结合，以解决运动问题。例如，力产生加速度，这是运动学的一个主题，因此与前面章节的相关性有关。
牛顿运动定律和运动学
用牛顿定律解决问题
在本节结束时，您将能够：

*描述摩擦的一般特征
*列出各种类型的摩擦
*计算静摩擦力和动摩擦力的大小，并在涉及牛顿运动定律的问题中使用它们
m58304
摩擦力的基本定义比较简单。
静态和动态摩擦
摩擦起明显作用的一种情况是斜坡上的物体。它可能是一个板条箱被推上坡道到装货码头，也可能是一个滑板运动员下山滑行，但基本物理是一样的。我们通常概括倾斜的表面，称之为斜面，但然后假装表面是平的。让我们看一个分析有摩擦的倾斜平面上运动的例子。
摩擦和倾斜平面
到目前为止，摩擦的较简单方面是其宏观（大规模）特征。在过去的几十年里，摩擦的原子尺度解释取得了长足的进步。研究人员发现，摩擦的原子性质似乎有几个基本特征。这些特征不仅解释了摩擦的一些更简单的方面，还为开发几乎无摩擦的环境提供了潜力，这些环境可以节省数千亿美元的能源，这些能源目前正在（不必要地）转化为热量。
摩擦力的原子尺度解释
摩擦力
在本节结束时，您将能够：

*解释向心加速度方程
*应用牛顿第二定律建立向心力方程
*在解决涉及牛顿运动定律的问题时使用圆周运动概念
m58305
现在让我们考虑倾斜弯道**s**，其中道路的坡度帮助您通过弯道（[链接]）。角度$\θ$越大，您可以越快地通过弯道。例如，自行车和汽车的赛道通常都有陡峭的倾斜弯道。在“理想倾斜弯道”中，角度$\θ$是这样的，您可以在轮胎和道路之间没有摩擦力的情况下以一定的速度通过弯道。我们将导出理想倾斜弯道的$\θ$表达式，并考虑一个与之相关的例子。
倾斜曲线
乘坐喷气式飞机起飞、汽车转弯、旋转木马和热带气旋的圆周运动有什么共同点？每一个都表现出惯性力——这些虚构的力似乎只是来自运动，因为观察者的参照系正在加速或旋转。当乘坐喷气式飞机起飞时，大多数人会同意，当飞机在跑道上加速时，你感觉好像被推回到座位上。然而物理学家会说，当*座位*向前推你时，*你*倾向于保持静止。更常见的经历发生在你在车里做一个急转弯时——比如说，向右（[链接]）。你觉得自己好像被抛出（也就是说，*被迫*）相对于汽车向左。再说一次，物理学家会说，你走的是一条直线（回想牛顿第一定律），但是汽车向右移动，而不是你正在经历来自左边的力。
惯性力和非惯性（加速）框架：科里奥利力
向心力
在本节结束时，您将能够：

*以数学方式表达阻力
*描述阻力的应用
*定义终端速度
*根据物体的质量确定物体的最终速度
m58306
像摩擦力一样，阻力总是与物体的运动相反。与简单的摩擦力不同，阻力与物体在流体中的速度的某种函数成正比。这种功能很复杂，取决于物体的形状、大小、速度和它所处的流体。对于大多数大型物体，如骑自行车的人、汽车和棒球运动不太慢，阻力的大小${F}_{\text{D}}$与物体速度的平方成正比。我们可以在数学上把这个关系写成${F}_{\text{D}}\proto{v}^{2}。$当考虑到其他因素时，这个关系变成
阻力
当考虑拖拽力对移动物体的影响时，会出现一些与牛顿第二定律相关的有趣情况。例如，考虑一个跳伞运动员在重力的影响下从空中坠落。作用在他身上的两种力是重力和拖拽力（忽略小的浮力）。无论这个人移动的速度如何，重力的向下力都保持不变。然而，随着人的速度增加，拖拽力的大小增加，直到拖拽力的大小等于重力，从而产生零的净力。零净力意味着没有加速度，如牛顿第二定律所示。在这一点上，人的速度保持不变，我们说这个人已经达到了他的终端速度$\左（{v}_{\text T}}\right）。$由于${F}_{\text{D}}$与速度的平方成正比，一个较重的跳伞运动员必须以${F}_{\text{D}}$的速度更快才能等于他的体重。让我们看看这是如何更定量地计算出来的。
终端速度
当物体在表面上滑动时，其上的摩擦力近似恒定，由${\mu}_{\text{k}}N.$不幸的是，穿过液体或气体的物体上的摩擦力表现得并不那么简单。这种阻力通常是物体速度的复杂函数。然而，对于以中等速度在液体（如水）中直线运动的物体，摩擦力通常可以近似为
速度相关摩擦力的微积分
阻力和终端速度
牛顿定律的应用
m58307
导言
在本节结束时，您将能够：

*代表任何部队所做的工作
*评价为各部队所做的工作
m58719
评估最简单的工作是由大小和方向不变的力完成的。在这种情况下，我们可以分解出力；剩下的积分只是总位移，它只取决于端点*A*和*B*，而不取决于它们之间的路径：
常力和接触力的作用
一般来说，力在空间中的点可能在大小和方向上有所不同，两点之间的路径可能是弯曲的。可变力所做的无穷小功可以用力的分量和沿路径的位移来表示，
不同力量所做的工作
工作
在本节结束时，您将能够：

*计算一个粒子的动能给定其质量和速度或动量
*相对于不同的参照系评估物体的动能
m58308
动能
在本节结束时，您将能够：

*应用功能定理来寻找关于粒子运动的信息，给定作用在粒子上的力
*使用功能定理寻找关于作用在粒子上的力的信息，给定关于粒子运动的信息
m58309
功能定理
在本节结束时，您将能够：

*将在一段时间内完成的工作与交付的功率联系起来
*找出作用在移动物体上的力所消耗的能量
m58310
权力
功与动能
m58311
导言
在本节结束时，您将能够：

*在没有摩擦或空气阻力的情况下，将势能的差异与粒子上的功联系起来
*解释系统势能函数零点的含义
*计算和应用地球表面附近物体的重力势能和质量-弹簧系统的弹性势能
m58312
在《二维和三维运动》中，我们分析了弹丸的运动，就像在[link]中踢足球一样。对于这个例子，让我们忽略摩擦和空气阻力，并在踢完球后立即开始分析，在球的弹丸运动开始时。随着足球的上升，重力对足球所做的功是负的，因为球的垂直位移是正的，重力引起的力在垂直方向是负的。我们还注意到球变慢了，直到它到达运动的最高点，从而降低了球的动能。这种动能的损失转化为足球-地球系统的重力势能的增加。
势能基础
一般来说，一个感兴趣的系统可能由几个粒子组成。系统势能的差异是重力或弹性力所做功的负值，正如我们将在下一节中看到的，这是保守力。势能差异仅取决于粒子的初始和最终位置，以及表征相互作用的一些参数（如重力质量或胡克定律力的弹簧常数）。
多粒子体系
对于系统中存在的每种类型的相互作用，您可以标记相应类型的势能。系统的总势能是所有类型势能的总和。（这来自所做功表达式中点积的加法性质。）让我们看一些在工作中讨论的势能类型的具体例子。首先，我们在单独作用时考虑这些力中的每一个，然后在两者一起作用时考虑。
势能的类型
系统的势能
在本节结束时，您将能够：

*以几种不同的方式描述保守力
*指定守恒力及其分量必须满足的数学条件
*将系统粒子之间的守恒力与系统的势能联系起来
*计算各种情况下守恒力的分量
m58313
保守和非保守势力
在本节结束时，您将能够：

*制定机械能守恒原理，不论是否存在非保守力
*利用机械能守恒计算简单系统的各种性质
m58314
我们首先考虑一个带有单个粒子或物体的系统。回到我们对[link]的发展，回想一下，我们首先将作用在一个粒子上的所有力分成保守和非保守类型，并将每种类型的力所做的功写成功能定理中的单独项。然后我们用粒子势能的变化代替保守力所做的功，将其与粒子动能的变化结合起来得到[link]。现在，我们写出这个没有中间步的方程，并定义动能和势能之和，$K+U=E；$为粒子的机械能。
具有单个粒子或物体的系统
系统通常由一个以上的粒子或物体组成。然而，机械能守恒，以[link]或[link]中的一种形式，是物理学的基本定律，适用于任何系统。你只需要包括所有粒子的动能和势能，以及作用在它们上的所有非保守力所做的功。在你了解更多关于由许多粒子组成的系统的动力学之前，在线性动量和碰撞、固定轴旋转和角动量中，最好推迟到那时讨论能量守恒的应用。
具有多个粒子或物体的系统
能量守恒
在本节结束时，您将能够：

*创建和解释势能图
*解释稳定性和势能之间的联系
m58315
势能图和稳定性
在本节结束时，您将能够：

*概括描述能源转换和转换
*解释可再生或不可再生能源的含义
m58661
能源的来源
势能与能量守恒
m58317
导言
在本节结束时，您将能够：

*从物理上解释动量是什么
*计算移动物体的动量
m58318
线性动量
在本节结束时，您将能够：

*解释什么是冲动，身体上
*描述冲动的作用
*将脉冲与碰撞联系起来
*应用脉冲动量定理解决问题
m58319
由于冲量是作用一段时间的力，它会导致物体的运动发生变化。召回[链接]：
冲动效应
在[link]中，我们获得了一个重要的关系：
动量与力
脉冲和碰撞
在本节结束时，您将能够：

*解释“动量守恒”的含义
*正确识别系统是否关闭
*定义一个动量守恒的系统
*用数学表达给定系统的动量守恒
*使用动量守恒计算未知量
m58320
然而，有一个复杂的问题。一个系统必须满足两个要求才能守恒其动量：
动量守恒要求
系统（机械）是您感兴趣的运动（运动学和动力学）对象的集合。如果您正在分析球在地面上的弹跳，您可能只对球的运动感兴趣，而对地球不感兴趣；因此，球就是您的系统。如果您正在分析车祸，两辆车一起组成您的系统（[链接]）。
“系统”的含义
线性动量守恒
在本节结束时，您将能够：

*确定碰撞类型
*正确标记碰撞为弹性或非弹性
*使用动能以及动量和冲量来分析碰撞
m58321
第一种可能性是单个物体可能分裂成两个或更多的碎片。例如鞭炮、弓箭或火箭。如果碰撞后碎片的数量超过大约三四个，这些可能很难分析；但是，爆炸前后系统的总动量是相同的。
爆炸
第二种可能性是相反的：两个或多个物体相互碰撞并粘在一起，从而（在碰撞后）形成一个单一的复合物体。这个复合物体的总质量是原始物体质量的总和，新的单个物体以动量守恒所决定的速度移动。然而，事实再次证明，尽管物体系统的总动量保持不变，但动能不是；但这一次，动能下降了。这种类型的碰撞称为非弹性碰撞。
非弹性的
另一端的极端情况是，如果两个或多个物体相互接近、碰撞并相互反弹，以相同的相对速度彼此远离。在这种情况下，系统的总动能是守恒的。这种相互作用称为弹性。
弹性的
动量守恒对于我们理解原子和亚原子粒子至关重要，因为我们对这些粒子的大部分了解来自碰撞实验。
亚原子碰撞和动量
碰撞类型
在本节结束时，您将能够：

*将动量表示为二维向量
*以分量形式编写动量守恒方程
*计算二维动量，作为矢量量
m58322
多维碰撞
在本节结束时，您将能够：

*解释质心概念的含义和有用性
*计算给定系统的质心
*在二维和三维中应用质心概念
*计算质心的速度和加速度
m58323
假设我们有一个质量为*M*的扩展对象，由*N*相互作用的粒子组成。让我们将它们的质量标记为${m}_{j}$，其中$j=1,2,3，\text{…}， N$。注意
内外部力量
请记住，我们的实际目标是确定整个物体（整个粒子系统）的运动方程。为此，让我们定义：
力量与动量
我们的下一个任务是确定扩展对象的哪一部分（如果有的话）服从[link]。
弥撒中心
如果所讨论的物体的质量在空间中均匀分布，而不是作为离散粒子的集合，则${m}_{j}\到dm$，并且求和成为积分：
连续物体的质心
这一切与动量守恒有什么联系？
质量中心和动量守恒
弥撒中心
在本节结束时，您将能够：

*描述质量随时间变化时动量守恒的应用，以及速度
*在给定初始条件的情况下，计算火箭在真空中的速度
*在给定初始条件的情况下，计算火箭在地球重力场中的速度
m58324
这是对发生了什么的描述，这样你就可以感受到所涉及的物理学。
物理分析
现在让我们从地球表面分析火箭在发射阶段的速度变化。为了保持数学可控，我们将把注意力限制在重力引起的加速度可以被视为常数*g*的距离上。
引力场中的火箭
火箭推进
线性动量和碰撞
m58325
导言
在本节结束时，您将能够：

*描述应用于固定轴旋转的旋转变量的物理含义
*解释角速度与切向速度的关系
*在给定角位置函数的情况下计算瞬时角速度
*求旋转系统中的角速度和角加速度
*计算角速度变化时的平均角加速度
*在给定角速度函数的情况下计算瞬时角加速度
m58326
均匀圆周运动（前面在《二维和三维运动》中讨论过）是在恒定速度下的圆周运动。虽然这是旋转运动最简单的情况，但它对许多情况非常有用，我们在这里用它来介绍旋转变量。
角速度
我们刚刚讨论了匀速圆周运动的角速度，但并不是所有的运动都是均匀的。想象一个滑冰运动员伸展双臂旋转——当他向内拉双臂时，他的角速度会增加。或者想想随着角速度的降低，计算机硬盘变慢到停止。稍后我们将探讨这些情况，但我们已经可以看到需要定义角加速度来描述$\omega$变化的情况。$\omega$变化越快，角加速度就越大。我们将瞬时角加速度$\alpha$定义为角速度相对于时间的导数：
角加速度
旋转变量
在本节结束时，您将能够：

*推导具有恒定角加速度的旋转运动的运动学方程
*从具有恒定角加速度的旋转运动的运动学方程中选择适当的方程来求解在进行固定轴旋转的系统分析中的未知数
*使用运动学方程找到的解来验证恒定角加速度下固定轴旋转的图形分析
m58327
利用我们的直觉，我们可以开始看到旋转量$\theta、$$\omega、$$\alpha$和*t*是如何相互关联的。例如，我们在上一节中看到，如果飞轮具有与其角速度矢量相同方向的角加速度，则其角速度随时间增加，角位移也随之增加。相反，如果角加速度与角速度矢量相反，则其角速度随时间减少。我们可以在恒定角加速度下用一组一致的旋转运动学方程来描述这些物理情况和许多其他情况。以这种方式研究旋转运动的方法称为旋转运动运动学。
旋转运动的运动学
现在我们可以将旋转运动的关键运动学关系应用到一些简单的例子中，以了解这些方程如何应用于日常情况。
应用旋转运动方程
恒定角加速度旋转
在本节结束时，您将能够：

*给定线性运动学方程，写出相应的旋转运动学方程
*在给定角速度和加速度的情况下，计算旋转系统上点的线性距离、速度和加速度
m58328
在旋转变量中，我们引入了角变量。如果我们将旋转定义与直线运动和二维和三维运动中的线性运动学变量的定义进行比较，我们发现线性变量与旋转变量之间存在映射。线性位置、速度和加速度都有它们的旋转对应物，当我们把它们并排写出来时，我们可以看到：
角度与线性变量
我们可以看看旋转运动和平移运动之间的两种关系。
旋转运动与平移运动的关系
角度和平移量的关系
在本节结束时，您将能够：

*描述旋转动能和平移动能之间的差异
*根据旋转轴的质量分布定义转动惯量的物理概念
*解释刚体的转动惯量如何影响其旋转动能
*使用机械能守恒来分析旋转和平移的系统
*当非保守力造成能量损失时，计算旋转系统的角速度
m58329
任何运动的物体都有动能。我们知道如何计算一个正在进行平移运动的物体的动能，但是对于一个正在进行旋转的刚体呢？这可能看起来很复杂，因为刚体上的每个点都有不同的速度。然而，我们可以利用角速度——对整个刚体来说都是一样的——来表达旋转物体的动能。[link]展示了一个非常有能量的旋转物体的例子：由电机推动的电动磨刀石。火花飞舞，磨刀石工作时产生噪音和振动。这个系统有相当大的能量，其中一些能量以热、光、声音和振动的形式存在。然而，这种能量大部分是旋转动能的形式。
旋转动能
如果我们将[link]与我们在功和动能中编写动能的方式进行比较，$\old（\frac{1}{2}m{v}^{2}\right）$，这表明我们有一个新的旋转变量要添加到旋转变量和平移变量之间的关系列表中。数量$\sum_{j}{m}_{j}{r}_{j}^{2}$是旋转动能方程中质量的对应物。这是旋转运动的一个重要新术语。这个量称为转动惯量*I*，单位为$\text{kg}·{\text{m}}^{2}$：
惯性矩
现在让我们应用旋转动能和转动惯量表的概念来感受与几个旋转物体相关的能量。下面的例子也将帮助你熟悉使用这些方程。首先，让我们看看旋转能的一般解题策略。
应用旋转动能
转动惯量与转动动能
在本节结束时，您将能够：

*计算均匀形状的刚体的转动惯量
*应用平行轴定理来寻找与已知轴平行的任何轴的转动惯量
*计算复合物体的转动惯量
m58330
我们定义一个物体的转动惯量*I*为$I=\sum_{i}{m}_{i}{r}_{i}^{2}$对于组成物体的所有点质量。因为*r*是组成物体的每一块质量到旋转轴的距离，所以任何物体的转动惯量取决于所选的轴。为了看到这一点，让我们举一个简单的例子，在一个无质量（可以忽略不计的小质量）杆（[link]）的末端有两个质量，并计算关于两个不同轴的转动惯量。在这种情况下，质量的总和很简单，因为杠铃末端的两个质量可以近似为点质量，因此总和只有两个项。
惯性矩
求出杆绕中间轴线的转动惯量和绕末端轴线的转动惯量的过程之间的相似之处是惊人的，这表明可能有一种更简单的方法来确定杆绕任何平行于通过质心的轴的转动惯量。这样的轴称为平行轴。对此有一个定理，称为平行轴定理，我们在这里说明，但没有在本文中导出。
平行轴定理
计算惯性矩
在本节结束时，您将能够：

*描述扭矩的大小如何取决于杠杆臂的大小以及力矢量与杠杆臂的角度
*使用右手法则确定扭矩的符号（正或负）
*计算围绕公共轴的单个扭矩并求和以找到净扭矩
m58331
到目前为止，我们已经定义了许多变量，它们是旋转等价于平移对应物。让我们考虑力的对应物必须是什么。由于力改变物体的平移运动，旋转对应物必须与改变物体绕轴的旋转运动有关。我们称之为旋转对应扭矩。
定义扭矩
在下面的例子中，我们计算扭矩抽象和应用于刚体。
固定轴上刚体的净扭矩计算
扭矩
在本节结束时，您将能够：

*计算围绕固定轴旋转系统的扭矩，以找到角加速度
*解释旋转系统转动惯量的变化如何影响施加固定扭矩的角加速度
m58332
到目前为止，我们已经发现了许多与本文中使用的平移术语相对应的术语，最近的是扭矩，即力的旋转模拟。这就提出了一个问题：牛顿第二定律$\Sigma\stackrel{\to}{F}=m\stackrel{\to}{a}$是否有类似的方程，其中涉及扭矩和旋转运动？为了研究这个问题，我们从牛顿第二定律开始，研究单个粒子绕轴旋转并执行圆周运动。让我们在距离枢轴点（[链接]）*r*的点质量*m*上施加力$\stackrel{\to}{F}$。粒子被限制在固定半径的圆形路径上移动，力与圆相切。我们应用牛顿第二定律来确定加速度的大小*$a=F\text{/}m$*在$\stackrel{\to}{F}$方向上。回想一下，切向加速度的大小与角加速度的大小成正比$a=r\alpha$。将此表达式代入牛顿第二定律，我们得到
牛顿旋转第二定律
和以前一样，当我们找到角加速度时，我们也可能找到扭矩向量。第二定律$\Sigma\stackrel{\to}{F}=m\stackrel{\to}{a}$告诉我们净力和如何改变物体的平移运动之间的关系。我们有这个方程的矢量旋转等价物，可以通过使用[link]和[link]找到。[link]将角加速度与位置和切向加速度向量联系起来：
推导牛顿矢量旋转第二定律
在我们将旋转动力学方程应用于一些日常情况之前，让我们回顾一下用于此类问题的一般问题解决策略。
应用旋转动力学方程
牛顿旋转第二定律
在本节结束时，您将能够：

*利用功能定理分析旋转，找出系统绕固定轴旋转有限角位移时所做的功
*利用功能定理求解旋转刚体的角速度
*在给定转矩和角速度的情况下，找到传递给旋转刚体的功率
*总结旋转变量和方程，并将它们与平移对应物联系起来
m58333
现在我们已经确定了如何计算旋转刚体的动能，我们可以继续讨论围绕固定轴旋转的刚体所做的功。[link]显示了一个刚体，它在力$\stackrel{\to}{F}$的影响下，从*A*到*B*旋转了一个角度$d\θ$。外力$\stackrel{\to}{F}$作用于点*P*，其位置是$\stackrel{\to}{r}$，刚体被限制围绕垂直于页面并通过*O*的固定轴旋转。旋转轴是固定的，因此向量$\stackrel{\to}{r}$在半径*r*的圆中移动，向量$\stackrel{\to}{s}$垂直于$\stackrel{\}{r}。$
为旋转运动工作
功率总是出现在工程和物理应用的讨论中。旋转运动的功率与线性运动中的功率同等重要，当力为常数时，可以以与线性运动相似的方式导出。当力为常数时，线性功率为$P=\stackrel{\to}{F}·\stackrel{\to}{v}$。如果净扭矩在角位移上是恒定的，[链接]简化，净扭矩可以从积分中取出。在下面的讨论中，我们假设净扭矩是恒定的。我们可以将功率中导出的功率定义应用于旋转运动。从功和动能，瞬时功率（或只是功率）被定义为做功的速率，
旋转运动功率
旋转量和它们的线性模拟归纳在三个表中。[link]总结了围绕固定轴的圆周运动的旋转变量及其线性类似物和连接方程，除了向心加速度，它是独立的。[link]总结了旋转和平移运动方程。[link]总结了旋转动力学方程及其线性类似物。
旋转和平移关系总结
旋转运动的功和功率
固定轴旋转
m58334
导言
在本节结束时，您将能够：

*描述不打滑的滚动运动物理
*解释线性变量如何与角度变量相关的情况下滚动运动不打滑
*寻找直线加速度和角加速度在滚动运动与不打滑
*计算与滚动运动相关的静摩擦力而不打滑
*使用能量守恒来分析滚动运动
m58335
自从车轮发明以来，人们已经观察到滚动运动而不打滑。例如，我们可以观察汽车轮胎和路面的相互作用。如果司机将油门踩在地板上，使得轮胎在汽车不前进的情况下旋转，车轮和路面之间一定有动力摩擦。如果司机慢慢踩下油门，导致汽车向前移动，那么轮胎滚动而不打滑。对大多数人来说，令人惊讶的是，事实上，车轮的底部相对于地面是静止的，这表明轮胎和路面之间一定有静摩擦。在[link]中，自行车在骑手保持直立的情况下运动。轮胎与路面接触，即使滚动，轮胎底部也会轻微变形，不会打滑，相对于路面静止一段可测量的时间。轮胎和路面之间必须有静摩擦才能做到这一点。
滚动运动不打滑
在滑动的滚动运动中，我们必须使用动摩擦系数，由于静摩擦不存在，动摩擦系数产生动摩擦力。情况如[link]所示。在滑动的情况下，${v}_{\text{CM}}-R\omega\ne 0$，因为车轮上的点*P*不在表面静止，${v}_{P}\ne 0$。因此，$\omega\ne\frac{{v}_{\text{CM}}{R}，\alpha\ne\frac{{a}_{\text{CM}}}{R}$。
滑动滚动运动
在上一章中，我们介绍了旋转动能。任何滚动的物体都携带旋转动能，如果系统需要，还携带平移动能和势能。包括重力势能在内，物体滚动的总机械能是
滚动运动中的机械能守恒
滚动运动
在本节结束时，您将能够：

*描述角动量的矢量性质
*求粒子系统指定原点的总角动量和转矩
*计算刚体绕固定轴旋转的角动量
*计算围绕固定轴旋转的刚体上的扭矩
*在分析改变旋转速率的物体时使用角动量守恒
m58336
[link]显示了一个粒子在$\stackrel{\to}{r}$的位置，相对于原点具有线性动量$\stackrel{\to}{p}=m\stackrel{\to}{v}$。即使粒子没有绕原点旋转，我们仍然可以根据位置向量和线性动量定义角动量。
单粒子的角动量
粒子系统的角动量在许多科学学科中都很重要，其中之一就是天文学。考虑一个螺旋星系，一个像我们银河系一样旋转的恒星岛。单个恒星可以被视为点粒子，每个点粒子都有自己的角动量。单个角动量的矢量和给出了星系的总角动量。在本节中，我们开发了可以计算粒子系统总角动量的工具。
粒子系的角动量
我们已经研究了单个粒子的角动量，我们将其推广到粒子系统。现在我们可以使用上一节讨论的原理来发展刚体角动量的概念。行星等天体由于其自旋和围绕恒星的轨道而具有角动量。在工程中，任何绕轴旋转的东西都带有角动量，例如飞轮、螺旋桨和发动机中的旋转部件。了解这些物体的角动量对于设计它们所属的系统至关重要。
刚体角动量
角动量
在本节结束时，您将能够：

*应用角动量守恒来确定转动惯量变化的旋转系统的角速度
*解释当系统转动惯量和角速度都发生变化时，旋转动能如何变化
m58337
角动量守恒
在本节结束时，您将能够：

*描述进动现象背后的物理过程
*计算陀螺仪的进动角速度
m58338
陀螺仪的进动
角动量
m58339
导言
在本节结束时，您将能够：

*确定静态平衡的物理条件。
*为力作用的刚体绘制自由体图。
*解释平衡条件如何允许我们解决静力学问题。
m58340
静态平衡的条件
在本节结束时，您将能够：

*识别和分析静态平衡情况
*为静态平衡中的扩展对象设置自由体图
*建立和解决物体在各种物理平衡情况下的静态平衡条件
m58341
静态平衡的例子
在本节结束时，您将能够：

*解释描述材料弹性变形的应力和应变概念
*描述物体和材料的弹性变形类型
m58342
当两个大小相等的反平行力只沿着物体的一个维度作用在物体上时，就会发生张力或压缩，使得物体不会移动。[link]中说明了设想这种情况的一种方法。杆段被一对沿其长度和垂直于其横截面的力拉伸或挤压。这种力的净效应是杆的长度从力出现之前的原始长度${L}_{0}$改变为在力的作用下的新长度*L*。这种长度变化$\text{Δ}L=L-{L}_{0}$可能是伸长（当*L*大于原始长度${L}_{0}\right）$或收缩（当*L*小于原始长度${L}_{0}\right）。$拉伸应力和应变发生在力拉伸物体时，导致其伸长，长度变化$\text{Δ}L$为正。压缩应力和应变发生在力收缩物体时，导致其缩短，长度变化$\text{Δ}L$为负。
拉伸或压缩应力、应变和杨氏模量
当你潜入水中时，你会感觉到一股力量从四面八方挤压着你身体的每一部分。这时你所经历的是体积应力，或者换句话说，压力。体积应力总是倾向于减少被淹没物体表面包围的体积。这种“挤压”的力总是垂直于淹没的表面[链接]。这些力的效果是在没有体积应力的情况下，与物体的体积${V}_{0}$相比，淹没物体的体积减少了$\text{Δ}V$。这种变形称为体积应变，由相对于原始体积的体积变化来描述：
体应力、应变和模量
剪应力和应变的概念只涉及固体物体或材料。建筑物和构造板是可能受到剪应力的物体的例子。一般来说，这些概念不适用于流体。
剪切应力、应变和模量
应力、应变和弹性模量
在本节结束时，您将能够：

*解释材料变形是弹性的极限
*描述材料表现出塑性行为的范围
*在应力应变图上分析弹性和塑性
m58343
弹性与塑性
静态平衡和弹性
m58344
导言
在本节结束时，您将能够：

*列出引力历史上的重要里程碑
*计算两点质量之间的引力
*估计质量集合之间的引力
m58345
最早的哲学家想知道为什么物体自然倾向于向地面坠落。亚里士多德（公元前384-322年）认为寻找地球是岩石的本性，寻找天堂是火的本性。婆罗门经（公元前598~665年）假设地球是一个球体，物体对它有一种天然的亲和力，从它们所在的任何地方向中心坠落。
引力的历史
牛顿指出，地球表面的物体（因此离地球中心的距离为${R}_{\text{E}}$）的加速度为*g*，但月球在距离约60美元的{\text{0.2em}{0ex}}{R}_{\text{E}}$的向心加速度约为${\左（60\右）}^{2}$比*g*小一倍。他可以通过假设任何两个物体之间存在力来解释这一点，其大小由两个质量的乘积除以它们之间距离的平方给出。我们现在知道这个平方反比定律在自然界中无处不在，这是点源几何形状的函数。距离*r*处任何源的强度分布在以质量为中心的球体表面上。该球体的表面积与${r}^{2}$成正比。在后面的章节中，我们在电磁力中看到了同样的形式。
牛顿万有引力定律
牛顿发表万有引力定律一个世纪后，亨利·卡文迪许通过进行艰苦的实验确定了比例常数*G*。他构建了一个类似于[link]中所示的装置，其中小质量被悬挂在一根电线上。一旦达到平衡，两个固定的、较大的质量被对称地放置在较小的质量附近。引力在支撑电线上产生了可以测量的扭转（扭曲）。
卡文迪许实验
牛顿万有引力定律
在本节结束时，您将能够：

*解释常量$G$和$g$之间的联系
*根据天体表面的自由落体加速度确定天体的质量
*描述$g$的值如何因位置和地球自转而变化
m58346
回想一下，自由落体在地球表面附近的加速度大约是$g=9.80{\规则{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}^{2}$。引起这种加速度的力称为物体的重量，从牛顿第二定律来看，它的值是*mg*。无论物体是否处于自由落体状态，这个重量都存在。我们现在知道这个力是物体和地球之间的引力。如果我们用*mg*代替${\stackrel{\到}{F}}_牛顿万有引力定律中的{12}$，*m*代表${m}_{1}$，${M}_{\text{E}}$代表${m}_{2}$，我们得到标量方程
重量
[link]是一个标量方程，给出重力加速度的大小作为离导致加速度的质心距离的函数。但是我们可以在[link]中保留重力的矢量形式，并将加速度写成矢量形式
引力场
正如我们在牛顿定律的应用中看到的，在圆圈中以恒定速度移动的物体有一个指向圆心的向心力加速度，这意味着必须有一个指向圆心的净向心力。由于地球表面上的所有物体每24小时穿过一个圆圈，每个物体都必须有一个指向圆心的净向心力。
表观重量：考虑地球自转
在两极，${a}_{\text{c}}\到0$和${F}_{\text{s}}=mg$，就像没有旋转的情况一样。在任何其他纬度$\lambda$，情况更加复杂。向心加速度指向图中的点*P*，半径变成$r={R}_{\text{E}}\text{cos}\lambda$。权重的*向量*和${\stackrel{\to}{F}}_{\text{s}}$必须指向点*P*，因此${\stackrel{\to}{F}}}_{\text{s}}$不再指向地球中心。（差异很小，在图中被夸大了。）铅锤将始终指向这个偏离的方向。所有建筑物都是沿着这个偏离的方向对齐的，而不是沿着穿过地球中心的半径建造的。对于最高的建筑，这代表顶部有几英尺的偏差。
远离赤道的结果
早些时候，我们在没有证据的情况下说明万有引力定律适用于球形对称的物体，其中每个物体的质量就像它在物体的中心一样。由于[link]源自[link]，它也适用于对称的质量分布，但这两个方程只适用于$r\ge{R}_{\text{E}}$的值。正如我们在[link]中看到的，在国际空间站轨道运行的地球表面以上400公里处，*g*的值为8.67美元{\规则{0.2em}{0ex}}{\text{m/s}}}^{2}$。（稍后我们将看到这也是国际空间站的向心加速度。）
远离表面的重力
近地表面引力
在本节结束时，您将能够：

*确定长距离重力势能的变化
*应用能量守恒来确定逃逸速度
*确定天体是否受到引力束缚
m58347
我们在功和动能、势能和能量守恒中定义了功和势能。这些定义的有用性是我们可以很容易地用能量守恒来解决许多问题。势能对于随位置变化的力特别有用，就像引力在大距离上一样。在势能和能量守恒中，我们证明了地球表面附近重力势能的变化是$\text{Δ}U=mg\左（{y}_{2}-{y}_{1}\右）$。如果*g*在${y}_{1}$和${y}_{2}$之间没有显著变化，这将非常有效。我们回到功和势能的定义，导出一个在大距离上正确的表达式。
地球以外的引力势能
在势能和能量守恒中，我们描述了如何将能量守恒应用于保守力系统。我们能够更简单地使用能量守恒来解决许多问题，特别是那些涉及重力的问题。这些原则和解决问题的策略在这里同样适用。唯一的变化是将势能的新表达式放入能量守恒方程中，$E={K}_{1}+{U}_{1}={K}_{2}+{U}_{2}$。
能量守恒
重力势能和总能量
在本节结束时，您将能够：

*描述圆形轨道的机制
*查找卫星的轨道周期和速度
*确定物体是否受到引力约束
m58348
正如本章开头所指出的，尼古拉斯·哥白尼首先提出地球和所有其他行星围绕太阳旋转。他进一步指出，轨道周期随着离太阳的距离而增加。开普勒后来的分析表明，这些轨道实际上是椭圆形的，但太阳系大多数行星的轨道接近圆形。地球与太阳的轨道距离变化只有2%。水星的偏心轨道是个例外，它的轨道距离变化近40%。
圆轨道
在引力势能和总能量中，我们认为如果物体的总能量是负的，它们就会受到引力的束缚。这个论点是基于一个简单的情况，即速度直接远离或朝向行星。我们现在检查圆形轨道的总能量，并证明总能量确实是负的。正如我们之前所做的，我们从应用于圆形轨道的牛顿第二定律开始，
圆形轨道中的能量
卫星轨道与能量
在本节结束时，您将能够：

*描述圆锥截面及其与轨道运动的关系
*说明轨道速度与角动量守恒之间的关系
*确定椭圆轨道从其长轴开始的周期
m58350
开普勒时代的主流观点是所有行星轨道都是圆形的。火星的数据对这一观点提出了最大的挑战，最终鼓励开普勒放弃了这一流行观点。开普勒第一定律指出，每颗行星都沿着椭圆运动，太阳位于椭圆的焦点。椭圆被定义为所有点的集合，这样每个点到两个焦点的距离之和就是一个常数。[链接]显示了一个椭圆，并描述了创建它的简单方法。
开普勒第一定律
自从太阳系的其他行星被发现以来，人们一直在想象去它们旅行。但是我们如何才能最好地做到这一点呢？沃尔特·霍曼在1925年发现了最有效的方法，灵感来自当时的一部流行科幻小说。这种方法现在被称为霍曼转移。对于在两个圆形轨道之间旅行的情况，转移是沿着一个“转移”椭圆完美地拦截了椭圆的远日点和近日点的轨道。[链接]展示了从地球轨道到火星轨道旅行的情况。和以前一样，太阳是椭圆的焦点。
轨道转移
开普勒第二定律指出，一颗行星在相等的时间内扫除相等的区域，也就是说，被时间划分的区域，称为面速度，是恒定的。考虑[链接]。一颗行星从位置*A*移动到*B*，扫除区域${A}_{1}$所花费的时间，正是从位置*C*移动到*D*，扫除区域${A}_{2}$，从*E*移动到*F*，扫除区域${A}_{3}$所花费的时间。这些区域是相同的：${A}_{1}={A}_{2}={A}_{3}$。
开普勒第二定律
开普勒第三定律指出，周期的平方与轨道半长轴的立方体成正比。在《卫星轨道与能量》中，我们推导出了圆形轨道特殊情况下的开普勒第三定律。[链接]给我们一个半径为*r*的圆形轨道的周期：
开普勒第三定律
开普勒行星运动定律
在本节结束时，您将能够：

*解释地球海洋潮汐的起源
*描述小潮和跳潮有何不同
*描述潮汐力如何影响双星系统
m58351
如果你生活在世界上任何一个地方的海岸上，你每天都能观察到海平面的上升和下降大约两次。这是由地球绕轴自转和月球和太阳的引力共同造成的。
月潮
除了月球对地球海洋的潮汐力之外，太阳也施加潮汐力。太阳对地球上任何物体的引力几乎是月球的200倍。然而，正如我们稍后在一个例子中展示的，太阳的潮汐效应小于月球，但仍然是一个显著的影响。根据月球和太阳相对于地球的位置，净潮汐效应可以放大或减弱。
太阳对潮汐的影响
有了月球和太阳位置的精确数据，地球上大多数地方的最大和最小潮汐时间就可以准确预测。
潮汐的幅度
潮汐力存在于任何两个物体之间。这种效应使物体沿着它们中心之间的线伸展。尽管地球海洋上的潮汐效应每天都能观察到，但长期后果却不那么容易观察到。一个后果是由于物体本身弯曲时的摩擦而导致旋转能量的耗散。随着潮汐力将旋转能量转化为热量，地球的旋转速率正在减慢。另一个与角动量的耗散和守恒有关的效应被称为“锁定”或潮汐同步。我们太阳系中的大多数卫星已经发生了这种情况，包括地球的月球。月球保持单面朝向地球——它的旋转速率已经锁定在围绕地球的轨道速率中。同样的过程也发生在地球上，最终它将保持单面朝向月球。如果这真的发生了，我们将不再看到潮汐，因为潮汐凸起将保持在地球上的同一个地方，地球上一半的人将永远看不到月球。然而，这种锁定需要数十亿年，也许不会在我们的太阳灭亡之前。
其他潮汐效应
潮汐力
在本节结束时，您将能够：

*描述广义相对论如何接近引力
*解释对等原则
*计算对象的史瓦西半径
*总结黑洞的证据
m58352
1905年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了他的狭义相对论。这个理论在相对论中有非常详细的讨论，所以我们在这里只说几句话。在这个理论中，没有任何运动可以超过光速——这是宇宙的速度极限。这个简单的事实已经在无数的实验中得到验证。然而，它有令人难以置信的后果——空间和时间不再是绝对的。两个相对于彼此移动的人在物体的长度或时间的流逝上不一致。你在前面章节中学到的几乎所有力学，尽管即使在每秒数千英里的速度下也非常准确，但在接近光速时开始失败。
透视革命
爱因斯坦得出他的一般理论的部分原因是想知道为什么一个自由落体的人感觉不到自己的重量。事实上，人们经常说绕地球运行的宇航员是失重的，尽管事实上地球的引力在那里仍然相当强。在爱因斯坦的一般理论中，自由落体和失重之间没有区别。这被称为等效原理。同样令人惊讶的推论是，在没有重力的情况下，均匀引力场和均匀加速度之间没有区别。让我们把注意力集中在最后一个陈述上。虽然完全均匀的引力场不可行，但我们可以很好地近似它。
等价原则
欧几里得几何假设了一个“平面”空间，其中，在最常见的属性中，直线是两点之间的最短距离，所有三角形的角之和必须是180度，平行线永远不会相交。非欧几里得几何直到19世纪才被认真研究，因此欧几里得空间在所有牛顿定律中都被固有地假设也就不足为奇了。
重力的几何理论
爱因斯坦的引力理论用一个看似简单的张量方程（张量是标量和向量的推广）来表达，该方程表达了质量如何决定其周围时空的曲率。该方程的解产生了最迷人的预测之一：黑洞。该预测是，如果一个物体密度足够大，它会自行坍塌，并被一个没有任何东西可以逃脱的事件视界包围。“黑洞”这个名字是由天文学家约翰·惠勒在1969年创造的，指的是光无法逃脱这样一个物体的事实。卡尔·施瓦茨柴尔德是1916年第一个注意到这一现象的人，但在当时，它主要被认为是一种数学好奇心。
黑洞
爱因斯坦的引力理论
引力
m58624
导言
在本节结束时，您将能够：

*说明事项的不同阶段
*在分子或原子水平上描述物质相的特征
*区分可压缩和不可压缩材料
*定义密度及其相关的SI单位
*比较和对比各种物质的密度
*定义压力及其相关的SI单位
*解释压力与力的关系
*计算给定压力和面积的力
m58353
固体是刚性的，具有特定的形状和特定的体积。固体中的原子或分子彼此非常接近，这些分子之间存在明显的力。固体将采取由分子之间这些力的性质决定的形式。尽管真正的固体不是不可压缩的，但它仍然需要很大的力来改变固体的形状。在某些情况下，分子之间的力会导致分子组织成晶格，如[link]所示。这种三维晶格的结构表现为由刚性键（模拟为刚性弹簧）连接的分子，这允许有限的运动自由。即使是很大的力也只在晶格的原子或分子中产生很小的位移，固体保持其形状。固体也能抵抗剪切力。（剪切力是切向表面施加的力，如静态平衡和弹性中所述。）
固体的特性
液体和气体是
被认为是流体，因为它们会屈服于剪切力，而固体会抵抗剪切力。像固体一样，液体中的分子与相邻的分子结合，但拥有的这些键要少得多。液体中的分子没有锁定在适当的位置，可以相对于彼此移动。分子之间的距离与固体中的距离相似，因此液体有一定的体积，但是液体的形状会改变，这取决于它的容器的形状。气体不与相邻的原子结合，分子之间可能有很大的分离。气体既没有特定的形状，也没有确定的体积，因为它们的分子移动来填充它们所在的容器（[链接]）。
流体特性
假设一块黄铜和一块木块的质量完全相同。如果两块都掉在水箱里，为什么木头会漂浮，黄铜会下沉（[链接]）？这是因为黄铜的密度比水大，而木头的密度比水低。
密度
毫无疑问，你听说过“压力”这个词与血液（高血压或低血压）和天气（高压和低压天气系统）有关。这只是流体中压力的众多例子中的两个。（回想一下，我们在静态平衡和弹性中引入了压力的概念，在体积应力和应变的背景下。）
压力
流体、密度和压力
在本节结束时，您将能够：

*定义表压和绝对压力
*解释测量压力的各种方法
*了解明管气压计的工作
*详细描述压力计和气压计如何工作
m58354
假设一个满水肺水箱上的压力表读数为3000 psi，大约是207个大气压。当阀门打开时，空气开始逸出，因为水箱内的压力大于水箱外的大气压。空气继续从油箱中逸出，直到油箱内的压力等于油箱外大气的压力。此时，油箱上的压力表读数为零，即使油箱内的压力实际上是1个大气压——与油箱外的气压相同。
仪表压力与绝对压力
许多设备用于测量压力，从轮胎压力表到血压计。许多其他类型的压力表通常用于测试流体的压力，例如机械压力表。我们将在本节中探讨其中的一些。
测量压力
测量压力
在本节结束时，您将能够：

*国家帕斯卡原则
*描述帕斯卡原理的应用
*推导液压系统中力之间的关系
m58355
帕斯卡原理（也称为帕斯卡定律）指出，当对封闭流体施加压力时，压力的变化不受减弱地传递到流体的所有部分及其容器壁。在封闭流体中，由于流体的原子可以自由移动，它们将压力传递到流体的所有部分*和*容器壁。任何压力的变化都没有减弱地传递。
帕斯卡原理
液压系统用于操作汽车制动器、液压千斤顶和许多其他机械系统（[link]）。
帕斯卡原理与液压系统的应用
帕斯卡原理与水力学
在本节结束时，您将能够：

*定义浮力
*陈述阿基米德原则
*描述密度和阿基米德原理之间的关系
m58356
浮力到底有多大？为了回答这个问题，想想当一个被淹没的物体从液体中移除时会发生什么，就像[link]中一样。如果物体不在液体中，物体占据的空间将被重量为${w}_{\text{fl}}的液体填充。$这个重量由周围的液体支撑，所以浮力必须等于${w}_{\text{fl}}，$物体位移的液体的重量。
阿基米德原理
如果你把一块粘土扔进水里，它会下沉。但是如果你把同一块粘土塑造成船的形状，它就会漂浮起来。由于它的形状，粘土船比肿块排水量更大，浮力也更大，尽管它的质量是一样的。钢铁船也是如此。
密度与阿基米德原理
确定密度的最常用技术之一如[link]所示。
测量密度
阿基米德原理与浮力
在本节结束时，您将能够：

*描述流量的特点
*计算流量
*描述流量和速度之间的关系
*解释连续性方程对质量守恒的影响
m58357
速度矢量通常用于说明气象学等应用中的流体运动。例如，风——大气中空气的流体运动——可以用指示地图上任何给定点的风速和风向的矢量来表示。[链接]显示了描述2014年亚瑟飓风期间风的速度矢量。
流量特性
在一段时间内通过给定位置通过一个区域的流体体积称为流速*Q*，或者更准确地说，体积流速。在符号中，这写为
流量及其与速度的关系
流体的流速也可以用*质量流速*或质量流速来描述。这是流体质量移动过一点的速率。再次参考[link]，但这次考虑阴影体积中的质量。质量可以从密度和体积中确定：
大规模保护
流体动力学
在本节结束时，您将能够：

*解释伯努利方程中的术语
*解释伯努利方程如何与能量守恒有关
*描述如何从伯努利方程推导伯努利原理
*使用伯努利原理进行计算
*描述伯努利原则的一些应用
m58358
将能量守恒原理应用于无摩擦层流导致了流体中压力和流速之间非常有用的关系。这种关系被称为伯努利方程，以丹尼尔·伯努利（1700-1782）命名，丹尼尔·伯努利在他的书《流体动力学》（1738）中发表了他对流体运动的研究。
能量守恒与伯努利方程
根据伯努利方程，如果我们沿着小体积流体的路径，总和中的各种量可能会改变，但总数保持不变。事实上，伯努利方程只是一个方便的陈述，说明了在没有摩擦的情况下不可压缩流体的能量守恒。
分析伯努利方程
流体以一定高度流动的许多装置和情况都可以用伯努利原理进行分析。
伯努利原理的应用
伯努利方程
在本节结束时，您将能够：

*解释什么是粘度
*用泊素叶定律计算流量和阻力
*解释压力如何因阻力而下降
*计算通过流体移动的物体的雷诺数
*使用系统的雷诺数来确定它是层流还是湍流
*描述物体具有终端速度的条件
m58359
当你给自己倒一杯果汁时，液体会自由快速地流动。但是如果你把枫糖浆倒在煎饼上，液体会缓慢流动并粘在水罐上。区别在于流体本身以及流体与其周围环境之间的流体摩擦。我们称之为流体的这种特性*粘度*。果汁粘度低，而糖浆粘度高。
粘度和层流
是什么导致了流动？答案，毫不奇怪，是压差。事实上，水平流动和压力之间有一个非常简单的关系。流量*Q*是在从高压到低压的方向上。两点之间的压差越大，流量就越大。这种关系可以表述为
受限于管内的层流：泊苏叶定律
在用水量大的时候，例如炎热的夏天，家庭的水压有时会低于正常水平。压力下降发生在水管到达个人家庭之前。让我们考虑[链接]中所示的通过水管的流量。我们可以通过重新排列流速方程来理解为什么家庭的压力${p}_{1}$在用水量大的时候会下降：
流量和阻力是压降的原因
一个叫做雷诺数${N}_{\text{R}}$的指标可以揭示流动是层流还是湍流。对于直径均匀的管中的流动，雷诺数定义为
测量湍流
粘度和湍流
流体力学
力学
m58360
导言
在本节结束时，您将能够：

*定义术语周期和频率
*列出简单谐波运动的特点
*解释相移的概念
*写的运动方程，系统的质量和弹簧进行简单的谐波运动
*描述质量在垂直弹簧上摆动的运动
m58361
在没有摩擦的情况下，完成一次振荡的时间保持不变，称为周期（*T*）。它的单位通常是秒，但也可以是任何方便的时间单位。“周期”一词指的是某个事件的时间，无论是否重复，但在本章中，我们将主要讨论周期运动，根据定义，周期运动是重复的。
振荡中的周期和频率
一种非常常见的周期运动称为简谐运动（SHM）。与SHM振荡的系统称为简谐振荡器。
简谐运动的特性
考虑一个附在无摩擦工作台上的弹簧上的块（[link]）。平衡位置（弹簧既不被拉伸也不被压缩的位置）标记为$x=0$。在平衡位置，净力为零。
SHM方程
总之，弹簧上块体的振荡运动可以用以下运动方程建模：
SHM运动方程总结
附着在弹簧上的物体的SHM的一个有趣特征是角频率，因此运动的周期和频率，只取决于质量和力常数，而不取决于运动的幅度等其他因素。我们可以使用运动方程和牛顿第二定律$\左（{\stackrel{\to}{F}}_{\text{net}}=m\stackrel{\to}{a}\right）$来找到角频率、频率和周期的方程。
质量在弹簧上的周期和频率
当弹簧垂直悬挂，块被连接并运动时，块在SHM中振荡。在这种情况下，没有法向力，重力的净效应是改变平衡位置。考虑[链接]。两种力作用在块上：重量和弹簧的力。重量是恒定的，弹簧的力随着弹簧长度的变化而变化。
垂直运动和水平弹簧
简谐运动
在本节结束时，您将能够：

*描述质量和弹簧系统的能量守恒
*解释稳定和不稳定平衡点的概念
m58362
为了研究简单谐振子的能量，我们需要考虑所有形式的能量。考虑一个附在弹簧上的块的例子，放置在无摩擦表面上，在SHM中振荡。弹簧变形中存储的势能是
能量和简谐振荡器
我们刚刚考虑了SHM的能量作为时间的函数。关于简单谐振子的另一个有趣的观点是考虑能量作为位置的函数。[链接]显示了经历SHM的系统的能量与位置的关系图。
关于平衡位置的振荡
回到[link]中的块和弹簧系统，一旦块从静止状态中释放出来，它就开始向负方向向平衡位置移动。势能减小，速度和动能的大小增加。在时间$t=T\text{/} 4$，块到达平衡位置$x=0.00{\规则{0.2em}{0ex}}\text{m，}$，其中块上的力和势能为零。在平衡位置，块达到负速度，其大小等于最大速度$v=\text{−}A\omega$。动能最大，等于$K=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{A}^{2}{\omega}{2}=\frac{1}{2}k{A}{2}{2}。$在这一点上，块上的力为零，但动量携带块，它继续向负方向朝着$x=\text{−}A$。随着块继续移动，对它的力在正方向作用，速度和动能的大小减小。势能随着弹簧压缩而增加。在时间$t=T\text{/} 2$，块达到$x=\text{−}A$。这里速度和动能等于零。块上的力为$F=+kA$，弹簧中存储的势能为$U=\frac{1}{2}k{A}^{2}$。在振荡期间，总能量是恒定的，等于势能和系统动能的总和，
速度和能量守恒
简谐运动中的能量
在本节结束时，您将能够：

*描述正弦和余弦函数与圆周运动概念的关系
*描述简谐运动和圆周运动之间的联系
m58363
简谐运动和圆周运动的比较
在本节结束时，您将能够：

*说明在简单钟摆上作用的力
*根据摆的长度和重力加速度确定简单摆的角频率、频率和周期
*定义物理钟摆的周期
*定义扭转摆的周期
m58364
简单的摆被定义为具有点质量，也称为摆锤，它悬挂在长度*L*且质量可忽略不计的弦上（[链接]）。在这里，作用在摆锤上的唯一力是重力（即摆锤的重量）和来自弦的张力。与摆锤的质量相比，弦的质量被假定为可以忽略不计。
简单的钟摆
任何物体都可以像钟摆一样摆动。考虑一个挂在储藏室挂钩上的咖啡杯。如果杯子被敲了，它会像钟摆一样来回摆动，直到摆动消失。我们已经把简单的钟摆描述为点质量和弦。物理钟摆是任何振动与简单钟摆相似的物体，但不能建模为弦上的点质量，质量分布必须包含在运动方程中。
物理摆
扭转摆由一个由轻质电线或弹簧（[link]）悬挂的刚体组成。当身体被扭曲一些小的最大角度$\左（\text{θ}\right）$并从静止状态中释放时，身体在$\左（\theta=+\text{θ}\right）$和$\左（\theta=\text{−}{\规则{0.2em}{0ex}}\text{θ}\right）$之间摆动。恢复扭矩由绳子或电线的剪切提供。
扭摆
钟摆
在本节结束时，您将能够：

*描述阻尼谐波运动的运动
*写阻尼谐波振荡的运动方程
*描述驱动或强制阻尼谐波运动的运动
*写运动方程的强迫，阻尼谐波运动
m58365
阻尼振荡
在本节结束时，您将能够：

*定义强迫振荡
*列出与强迫振荡相关的运动方程
*解释共振的概念及其对振荡器振幅的影响
*列出系统共振振荡的特性
m58366
强迫振荡
振荡
m58367
导言
在本节结束时，您将能够：

*描述波动的基本特征
*定义术语波长、幅度、周期、频率和波速
*解释纵波和横波的区别，并举例说明每种类型
*列出不同类型的波浪
m58368
波是一种从它产生的地方传播或移动的扰动。波有三种基本类型：机械波、电磁波和物质波。
波的类型
机械波具有所有波共有的特性，如振幅、波长、周期、频率和能量。所有的波特性都可以用一小组基本原理来描述。
机械波
我们已经看到，一个简单的机械波由一种周期性的扰动组成，这种扰动通过一种介质从一个地方传播到另一个地方。在[link]（a）中，波在水平方向传播，而介质在垂直方向受到扰动。这样的波被称为横波。在横波中，波可以向任何方向传播，但介质的扰动与传播方向垂直。相比之下，在纵波或纵波中，扰动与传播方向平行。[link]（b）显示了一个纵波的例子。扰动的大小是它的振幅*A*，与传播速度*v*完全无关。
横波和纵波
行波
在本节结束时，您将能够：

*模型波，移动一个恒定的波速，与数学表达式
*计算介质的速度和加速度
*显示介质的速度如何不同于波速（传播速度）
m58369
脉冲可以被描述为由以恒定幅度穿过介质的单个扰动组成的波。脉冲以恒定波速传播时保持其形状的模式移动。因为波速是恒定的，脉冲在时间内移动的距离$\text{Δ}t$等于$\text{Δ}x=v\text{Δ}t$（[link]）。
脉冲
考虑一个保持恒定张力的弦${F}_{T}$，其中一端固定，自由端通过机械装置以恒定频率在$y=\text{+}A$和$y=\text{−}A$之间摆动。[链接]显示了周期八分之一间隔的波快照，从一个周期$\左（t=T\右）开始。$
使用波函数对一维正弦波进行建模
如[link]所示，波速是恒定的，代表波在介质中传播时的速度，而不是构成介质的粒子的速度。当波在介质中传播时，介质的粒子围绕平衡位置振荡。在横波在*x*-方向传播的情况下，粒子在*y*-方向上下振荡，垂直于波的运动。介质粒子的速度不是恒定的，这意味着有加速度。介质的速度，垂直于横波中的波速，可以通过取位置方程相对于时间的偏导数来找到。偏导数是通过取函数的导数来找到的，将所有变量视为常数，除了有问题的变量。在关于时间*t*的偏导数的情况下，位置*x*被视为常数。虽然如果你以前没见过，这听起来可能很奇怪，但这个练习的目的是找到一个点的横向速度，所以从这个意义上说，*x*-位置没有改变。我们有
介质的速度和加速度
我们刚刚通过取位置*y*相对于时间的偏导数来确定位置*x*处介质的速度。对于横波，这个速度垂直于波的传播方向。我们通过取速度相对于时间的偏导数来找到加速度，这是位置的二阶时间导数：
线性波动方程
波的数学
在本节结束时，您将能够：

*确定影响弦上波浪速度的因素
*为字符串上的波浪速度编写数学表达式，并将这些概念推广到其他媒体
m58370
要了解波浪在弦上的速度是如何取决于张力和线性密度的，请考虑从绷紧的弦上发出的脉冲（[链接]）。当绷紧的弦在平衡位置静止时，弦上的张力${F}_{T}$是恒定的。考虑质量等于$\text{Δ}m=\mu\text{Δ}x的弦中的一个小元素。$质量元素处于静止和平衡状态，质量元素两边的拉力是相等和相反的。
张力下弦上的波速
波浪在弦上的速度取决于张力的平方根除以每长度的质量，线性密度。一般来说，波浪通过介质的速度取决于介质的弹性和惯性。
流体中压缩波的速度
拉伸弦上的波速
在本节结束时，您将能够：

*解释能量如何通过脉冲或波传播
*用数学表达式描述波中的能量如何取决于波的振幅
m58371
波浪中的能量大小与其振幅和频率有关。大振幅地震会产生大的地面位移。响亮的声音具有高压振幅，来自比柔和声音更大振幅的震源振动。大型海洋破碎机比小型破碎机更能搅动海岸。考虑本章前面海鸥和水波的例子（[链接]）。随着海鸥向上移动，改变其势能，波浪对海鸥进行了功。振幅越大，海鸥被波浪抬起的高度越高，势能的变化也越大。
波浪中的能量
考虑由弦振动器产生的弦上的正弦波，如[link]所示。弦振动器是一种使杆上下振动的装置。一根均匀线性质量密度的弦附着在杆上，杆使弦振荡，产生正弦波。杆确实对弦起作用，产生沿弦传播的能量。考虑质量为$\text{Δ}m$的弦的质量元素，如[link]所示。当能量沿弦传播时，弦的每个质量元素都以与波相同的频率上下驱动。弦的每个质量元素都可以建模为一个简单的谐波振荡器。由于字符串具有恒定的线性密度$\mu=\frac{\text{Δ}m}{\text{Δ}x}，因此字符串的每个质量元素的质量$\text{Δ}m=\mu\text{Δ}x。$
波浪中的力量
波的能量和力量
在本节结束时，您将能够：

*解释机械波如何在介质边界反射和传输
*定义术语干扰和叠加
*找出两个相同的正弦波的合成波，它们仅相差一个相移
m58372
当波通过介质传播时，当它遇到介质的边界时，它会反射。在撞击边界之前的波被称为入射波。遇到边界后的波被称为反射波。波在介质边界处如何反射取决于边界条件；如果介质的边界被固定在原地或自由移动（[链接]），波会有不同的反应。当边界处的介质被固定在原地，因此它不能移动时，就存在固定的边界条件。当边界处的介质自由移动时，就存在自由的边界条件。
反射与透射
大多数波看起来不是很简单。复杂的波更有趣，甚至很漂亮，但它们看起来很可怕。大多数有趣的机械波是由在同一介质中传播的两个或多个行波的组合组成的。叠加原理可以用来分析波的组合。
叠加与干扰
物理学中的许多例子由两个正弦波组成，它们在幅度、波数和角频率上相同，但相差一个相移：
相移不同的正弦波的叠加
波的干扰
在本节结束时，您将能够：

*描述驻波并解释它们是如何产生的
*描述字符串上驻波的模式
*提供字符串上的波之外的驻波示例
m58373
有时波浪似乎并没有移动；相反，它们只是在原地振动。例如，您可以在冰箱中的一杯牛奶表面看到静止的波浪。冰箱电机的振动在牛奶上产生上下振荡的波浪，但似乎不会在表面上移动。[链接]展示了一个您可以在家里尝试的实验。拿一碗牛奶，放在一个普通的箱式风扇上。风扇的振动会在牛奶中产生圆形驻波。由于灯的反射，这些波在照片中可见。这些波是由两个或多个行波叠加形成的，例如[链接]中所示的两个相同的波以相反的方向移动。波相互穿过，随着它们的经过，它们的扰动会增加。如果两个波具有相同的振幅和波长，那么它们在相长干涉和相消干涉之间交替。结果看起来像一个驻在原地的波，因此被称为驻波。
驻波
驻波与共振
波浪
m58374
导言
在本节结束时，您将能够：

*解释声音和听觉的区别
*将声音描述为波
*列出用于模拟声波的方程
*描述与声音相关的压缩和稀疏
m58375
声波
在本节结束时，您将能够：

*解释声音的波长和频率之间的关系
*确定不同媒体中的音速
*导出空气中声速的方程
*确定给定温度下空气中的声速
m58376
[链接]表明声速在不同的介质中变化很大。介质中的声速取决于振动能以多快的速度通过介质传递。因此，介质中声速的推导取决于介质和介质的状态。一般来说，介质中机械波速度的方程取决于恢复力的平方根，或弹性性质，除以惯性性质，
各种媒体中的音速
如前所述，介质中的声速取决于介质和介质的状态。空气中声速方程的推导从流体力学中讨论的质量流速和连续性方程开始。
空气中声速的推导
音速
在本节结束时，您将能够：

*定义强度一词
*解释声强级的概念
*描述人耳如何翻译声音
m58377
如本章前面所述，听觉是对声音的感知。听觉机制涉及一些有趣的物理学。撞击我们耳朵的声波是压力波。耳朵是一个传感器，它将声波转换成神经电脉冲，其方式比麦克风复杂得多，但类似于麦克风。[链接]显示了耳朵的解剖结构。
人类听力和声强水平
人类的耳朵具有巨大的范围和灵敏度。它可以给我们大量简单的信息——比如音高、响度和方向。
听力和音高
声强
在本节结束时，您将能够：

*解释降音耳机背后的机制
*描述一端封闭，另一端开放的管道中的共振
*描述两端开口的管子中的共振
m58378
在Waves中，我们讨论了仅在相移中不同的波函数的干扰。我们发现由${y}_{1}\左（x，t\右）=A{\规则{0.2em}{0ex}}\text{sin}\左（kx-\omega t+\varphi\right）$和${y}_{2}\左（x，t\right）=A{\规则{0.2em}{0ex}}\text{sin}\左（kx-\omega t\right）$is
声波干扰
[link]展示了巧妙地利用声音干扰来消除噪声。在商用飞机的整个客舱中，已经提出了通过破坏性干扰主动降噪的更大规模的应用。为了获得破坏性干扰，进行快速的电子分析，并引入了第二个声音180美元\text{°}$与原声异相，其最大值和最小值与传入的噪声正好相反。流体中的声波是压力波，与帕斯卡原理一致；即来自两个不同来源的压力像简单的数字一样加减。因此，正负表压增加到更小的压力，产生更低强度的声音。虽然只有在最简单的条件下才有可能完全破坏性干扰，但使用这种技术可以将噪声水平降低30 dB或更多。
通过破坏性干扰降低噪声
正如我们在Waves中讨论的，*驻波*是由两个向相反方向移动的波形成的。当两个相同的正弦波向相反方向移动时，波可以建模为
一端封闭的管道中的共振
驻波的另一个来源是两端开口的管子。在这种情况下，边界条件是对称的：两端都有一个天线。两端开口的管子的共振可以用与一端封闭的管子非常相似的方式来分析。两端开口的管子中的空气柱在两端有最大的空气位移（[链接]）。驻波形成如图所示。
两端开口的管子中的共振
驻存声波的正常模式
在本节结束时，您将能够：

*描述可以模拟为具有对称边界条件的管的仪器中的谐振频率
*描述可以模拟为具有反对称边界条件的管的仪器中的谐振频率
m58379
共振发生在许多不同的系统中，包括弦、气柱和原子。正如我们在前面的章节中讨论的，共振是系统在其固有频率下的驱动或强迫振荡。在共振时，能量迅速转移到振荡系统，其振荡的幅度增长，直到系统不再能被胡克定律描述。这方面的一个例子是某些类型的摇滚乐中故意产生的扭曲声音。
共振
音乐声音的来源
在本节结束时，您将能够：

*确定频率不同的两种声波产生的拍频
*描述乐器如何产生节拍
m58380
节拍
在本节结束时，您将能够：

*解释移动声源接近或离开静止观察者时观察到的频率变化
*解释观察者接近或远离静止声源时观察到的频率变化
m58381
考虑[link]中的两个静止观察者*X*和*Y*，位于静止源的两侧。每个观察者听到相同的频率，该频率是静止源产生的频率。
由多普勒频移引起的观测频率的推导
多普勒效应
在本节结束时，您将能够：

*解释音爆背后的机制
*描述音爆和冲击波的区别
*描述弓唤醒
m58382
移动声源（如喷气式飞机）产生的接近甚至超过音速的声音会发生什么变化？这个问题的答案不仅适用于声音，也适用于所有其他波。假设一架喷气式飞机几乎直着向你飞来，发出频率为${f}_{\text{s}}的声音。$飞机速度越大${v}_{\text{s}}，$多普勒频移越大，观察到的${f}_{\text{o}}$（[链接]）的值也越大。
多普勒效应和高速
如果声源超过音速，观察者在声源经过之前不会收到任何声音，因此当后退时，来自接近声源的声音与来自它的声音混合。这种混合看起来很混乱，但有趣的事情发生了——冲击波被创造出来（[链接]）。
冲击波和音爆
冲击波
声音
波浪与声学
m58777
单位
m58615
转换因子
m58616
基本常数
m58617
天文数据
m58618
数学公式
m58619
化学
m58620
希腊字母