m60029
OpenStax是莱斯大学的非营利组织，我们的使命是改善学生接受教育的机会。我们的第一本公开许可的大学教科书于2012年出版，此后我们的图书馆已经扩大到超过25本大学和美联社®课程的书籍，被数十万学生使用。我们的低成本个性化学习工具OpenStax导师正在全国各地的大学课程中使用。通过与慈善基金会的合作以及与其他教育资源组织的联盟，OpenStax正在打破最常见的学习障碍，并赋予学生和教师成功的力量。
关于OpenStax
关于OpenStax的资源
*微积分*是为典型的两三个学期的普通微积分课程而设计的，结合了创新的功能来增强学生的学习。这本书引导学生了解微积分的核心概念，并帮助他们理解这些概念如何应用于他们的生活和他们周围的世界。由于材料的综合性，为了灵活性和效率，我们将这本书分为三卷。第3卷涵盖参数方程和极坐标、向量、几个变量的函数、多重积分和二阶微分方程。
关于*微积分第3卷*
追加资源
关于作者
序言
m53831
导言
*绘制由参数方程描述的曲线。
*将曲线的参数方程转换为$y=f\左（x\右）的形式。$
*识别基本曲线的参数方程，例如直线和圆。
*识别摆线的参数方程。
m53834
以地球绕太阳的轨道为例。我们的一年大约持续365.25天，但在这个讨论中，我们将使用365天。每年的1月1日，地球相对于太阳的物理位置几乎相同，除了闰年，当额外的$\frac{1}{4}$日引入的滞后被内置到日历中时。我们称1月1日为一年中的“第1天”。然后，例如，第31天是1月31日，第59天是2月28日，依此类推。
参数方程及其图
为了更好地理解参数化表示的曲线的图形，将这两个方程重写为与变量*x*和*y相关的单个方程是有用的。*然后我们可以应用平面曲线方程的任何先前知识来识别曲线。例如，[链接]b中描述平面曲线的方程
消除参数
想象一下骑自行车穿越乡村。轮胎与道路保持接触，并以可预测的模式旋转。现在假设一只非常坚定的蚂蚁在漫长的一天后累了，想回家。所以他挂在轮胎的侧面，搭便车。这只蚂蚁沿着笔直的道路行驶的路径被称为摆线（[link]）。由半径*a*的圆（或自行车轮）生成的摆线由参数方程给出
摆线和其他参数曲线
参数方程
*确定参数曲线的导数和切线方程。
*查找参数曲线下的区域。
*使用参数曲线的弧长方程。
*将表面积公式应用于参数曲线生成的体积。
m53850
我们首先询问如何计算与点处参数曲线相切的直线的斜率。考虑参数方程定义的平面曲线
参数方程的导数
我们的下一个目标是看看如何取参数定义的函数的二阶导数。函数$y=f\左（x\右）$的二阶导数被定义为一阶导数的导数；也就是说，
二阶导数
现在我们已经看到了如何计算平面曲线的导数，下一个问题是：我们如何找到参数定义的曲线下的面积？回想一下方程$x\old（t\right）=t-\text{sin}{0.2em}{0ex}}t定义的摆线，{\规则{1em}{0ex}}y\左（t\右）=1-\text{cos}{\规则{0.2em}{0ex}}t。$假设我们想在下图中找到阴影区域的面积。
涉及参数方程的积分
除了寻找参数曲线下的区域，我们有时还需要寻找参数曲线的弧长。在线段的情况下，弧长与端点之间的距离相同。如果粒子沿着曲线从点*A*行进到点*B*，那么粒子行进的距离就是弧长。为了开发弧长公式，我们从线段的近似开始，如下图所示。
参数曲线的弧长
回想一下寻找旋转体积表面积的问题。在Curve Llong and Surface Area中，我们导出了一个公式，用于寻找由函数$y=f\old（x\right）$生成的体积的表面积，从$x=a$到$x=b，$围绕*x*-轴旋转：
参数曲线生成的表面积
参数曲线微积分
*使用极坐标定位平面中的点。
*在直角坐标和极坐标之间转换点。
*从给定的方程中勾勒极曲线。
*在直角坐标和极坐标之间转换方程。
*识别极曲线和方程的对称性。
m53852
要在极坐标系中找到一个点的坐标，考虑[link]。点$P$具有笛卡尔坐标$\左（x， y\右）。$连接原点到点$P$的线段测量从原点到$P$的距离，长度为$r。$正的$x$-轴和线段之间的角度测量了$\θ。$这一观察表明坐标对$\左（x，y\右）$与值$r$和$\θ之间存在自然对应关系。$这种对应关系是极坐标系的基础。请注意，笛卡尔平面中的每个点都有两个与之关联的值（因此称为术语*有序对*）。在极坐标系中，每个点也有两个与之关联的值：$r$和$\θ。$
定义极坐标
现在我们知道如何在极坐标系中绘制点，我们可以讨论如何绘制曲线。在直角坐标系中，我们可以绘制一个函数$y=f\左（x\右）$并在笛卡尔平面中创建一条曲线。以类似的方式，我们可以绘制由函数$r=f\左（\θ\右）生成的曲线。$
极地曲线
在研究直角坐标中函数的对称性时（即，形式为$y=f\左（x\right）\右），$我们讨论关于*y*-轴的对称性和关于原点的对称性。特别是，如果$f\左（\text{−}x\right）=f\左（x\right）$对于$f域中的所有$x$，$f$是一个偶数函数，它的图相对于*y*-轴是对称的。如果$f\左（\text{−}x\right）=\text{−}f\左（x\right）$对于$f域中的所有$x$，$f$是一个奇数函数，它的图相对于原点是对称的。通过确定图表现出哪些类型的对称性，我们可以了解更多关于图的形状和外观。对称性还可以揭示生成图形的函数的其他属性。极曲线中的对称性以类似的方式工作。
极坐标中的对称性
极坐标
*应用极坐标中区域面积的公式。
*确定极曲线的弧长。
m53840
我们已经研究了用直角坐标和参数定义的曲线定义的曲线下面积的公式。现在我们把注意力转向导出由极曲线界定的区域面积的公式。回想一下微积分基本定理的证明使用黎曼和的概念通过使用矩形来近似曲线下的面积。对于极曲线，我们再次使用黎曼和，但是矩形被圆的扇形代替。
极地曲线所界定的区域面积
这里我们推导出以极坐标定义的曲线的弧长公式。
极曲线中的弧长
极坐标中的面积和弧长
*确定抛物线的标准形式的方程与给定的焦点和准线。
*确定具有给定焦点的标准形式的椭圆方程。
*确定具有给定焦点的标准形式的双曲线方程。
*从其偏心值识别抛物线、椭圆或双曲线。
*写一个偏心圆锥截面的极方程$e$。
*确定二度的一般方程是抛物线、椭圆还是双曲线。
m53846
当一个平面与平行于产生线的圆锥相交时，就会产生抛物线。在这种情况下，平面只与推覆体中的一个相交。抛物线也可以用距离来定义。
抛物线
椭圆也可以用距离来定义。在椭圆的情况下，有两个焦点（焦点的复数）和两个方向（方向的复数）。我们将在本节后面更详细地介绍这些方向。
椭圆
双曲线也可以用距离来定义。在双曲线的情况下，有两个焦点和两个方向。双曲线也有两个渐近线。
双曲线
描述圆锥形截面的另一种方法包括方向、焦点和一个叫做偏心的新属性。我们将看到圆锥形截面的偏心度值可以唯一地定义圆锥形。
偏心率和Directrix
有时用极坐标形式写出或辨识圆锥曲线的方程是有用的。要做到这一点，我们需要焦点参数的概念。圆锥曲线的焦点参数*p*被定义为从焦点到最近的准线的距离。下表给出了不同类型圆锥曲线的焦点参数，其中*a*是半长轴的长度（即长轴长度的一半），*c*是从原点到焦点的距离，*e*是偏心距。在抛物线的情况下，*a*表示从顶点到焦点的距离。
二次曲线的极坐标方程
二度的一般方程可以写成
二次一般方程
圆锥截面
参数方程和极坐标
m53906
导言
*使用正确的符号描述平面向量。
*执行基本的向量运算（标量乘法、加法、减法）。
*以组件形式表达向量。
*解释向量大小的公式。
*用单位向量表示向量。
*给出两个向量量的例子。
m53900
平面中的向量由有向线段（箭头）表示，线段的端点称为向量的起始点和终止点。从起始点到终止点的箭头表示向量的方向。线段的长度表示其大小。我们使用符号$😍\text{v}😍$来表示向量$\text{v}的大小。$初始点和终止点相同的向量称为零向量，表示为0美元。$零向量是唯一没有方向的向量，按照惯例可以认为有任何方便手头问题的方向。
向量表示
矢量有许多现实生活中的应用，包括涉及力或速度的情况。例如，考虑作用在渡河船上的力。船的马达在一个方向产生力，河流的水流在另一个方向产生力。这两种力都是矢量。如果我们想知道船将去哪里，我们必须同时考虑每个力的大小和方向。
组合向量
当我们在坐标系中工作时，在平面中处理向量更容易。当向量的初始点和终端点以笛卡尔坐标给出时，计算变得简单明了。
矢量组件
单位向量是一个大小为1美元的向量。$对于任何非零向量$\text{v}，$我们可以使用标量乘法来找到一个与$\text{v}方向相同的单位向量$\text{u}$。$为此，我们将向量乘以其大小的倒数：
单位向量
因为向量既有方向又有大小，它们是解决涉及运动和力等应用的问题的宝贵工具。回想一下我们之前描述的船的例子和四分卫的例子。这里我们详细看另外两个例子。
向量的应用
飞机中的矢量
*用数学描述三维空间。
*使用坐标定位空间中的点。
*以三维形式编写距离公式。
*编写简单平面和球体的方程。
*在 ${ℝ}^{3}中执行向量操作。$
m53897
我们已经了解到，二维直角坐标系包含两个垂直的轴：水平*x*-轴和垂直*y*-轴。我们可以添加一个第三维度，即*z*-轴，它垂直于*x*-轴和*y*-轴。我们称这个系统为三维直角坐标系。它代表了我们在现实生活中遇到的三个维度。
三维坐标系
现在我们可以表示空间中的点并找到它们之间的距离，我们可以学习如何在 ${ℝ}^{3}中编写几何对象的方程，例如线、平面和曲面。$首先，我们从一个简单的方程开始。比较方程$x=0$在 $ℝ,{ℝ}^{2}，{\规则{0.2em}{0ex}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}}{ℝ}^{3}$（[link]）的图表。从这些图表中，我们可以看到相同的方程可以描述一个点、一条线或一个平面。
在3中编写方程
就像二维向量一样，三维向量是既有大小又有方向的量，用有向的线段（箭头）表示；有了三维向量，我们用三维箭头表示。
使用向量3
三维矢量
*计算两个给定向量的点积。
*确定两个给定向量是否垂直。
*求给定向量的方向余弦。
*解释一个向量到另一个向量的向量投影是什么意思，并描述如何计算它。
*计算给定力所做的功。
m53902
我们已经学习了如何加减向量。在本章中，我们将研究两种类型的向量乘法。第一种向量乘法称为点积，基于我们使用的符号，它定义如下：
点积及其性质
当两个非零向量被放置在标准位置时，无论是在二维还是三维，它们之间形成一个角度（[链接]）。点积提供了一种方法来找到这个角度的度量。这个属性是因为我们可以用两个向量形成的角度的余弦来表达点积。
用点积求两个向量之间的夹角
正如我们所看到的，加法结合了两个向量来创建一个合成向量。但是如果给我们一个向量，我们需要找到它的组成部分呢？我们使用向量投影来执行相反的过程；他们可以将一个向量分解为它的组成部分。向量投影的大小是标量投影。例如，如果一个孩子以55°的角度拉着一辆马车的把手，我们可以使用投影来确定把手上的力有多少实际上是在向前移动马车（[link]）。我们回到这个例子，在我们看到如何计算投影之后学习如何解决它。
预测
现在我们了解了点积，我们可以看看如何将它们应用到现实生活中。两个向量的点积最常见的应用是在功的计算中。
工作
点产品
*计算两个给定向量的向量积。
*使用行列式计算向量积。
*找到一个与两个给定向量正交的向量。
*使用向量积确定面积和体积。
*计算给定力和位置矢量的扭矩。
m53903
点积是两个向量的乘法，结果是标量。在本节中，我们介绍两个向量的乘积，它产生与前两个向量正交的第三个向量。考虑我们如何找到这样一个向量。让$\text{u}={u}_{1}，{u}_{2}，{u}_{3}$
和$\text{v}={v}_{1}，{v}_{2}，{v}_{3}$
是非零向量。我们想找到一个向量$\text{w}={w}_{1}，{w}_{2}，{w}_{3}$与$\text{u}$和$\text{v}$正交-也就是说，我们想找到$\text{w}$使得$\text{u}·\text{w}=0$和$\text{v}·\text{w}=0。$因此，${w}_{1}，$${w}_{2}，$和${w}_{3}$必须满足
叉积及其性质
使用[link]求两个向量的向量积很简单，它以有用的分量形式呈现向量积。然而，公式复杂且难以记住。幸运的是，我们有一个替代方案。我们可以使用行列式表示法计算两个向量的向量积。
决定因素和交叉积
向量积对于几种类型的计算非常有用，包括找到与两个给定向量正交的向量，计算三角形和平行四边形的面积，甚至确定由称为*平行六面体*的平行四边形制成的三维几何图形的体积。下面的例子说明了这些计算。
使用交叉积
因为两个向量积是向量，所以可以将点积和向量积结合起来，一个向量的点积和另外两个向量的向量积称为三重标量积，因为结果是标量。
三重标量积
向量积出现在数学、物理和工程的许多实际应用中。让我们在这里检查其中的一些应用，包括扭矩的概念，我们开始这一节。其他应用出现在后面的章节中，特别是在我们对向量场的研究中，如引力场和电磁场（向量微积分简介）。
交叉积的应用
交叉产品
*编写一条线在给定方向上通过给定点的矢量、参数和对称方程，以及一条线通过两个给定点的方程。
*求点到给定线的距离。
*写出通过给定法线的给定点的平面的矢量和标量方程。
*求点到给定平面的距离。
*求两个平面之间的角度。
m53870
让我们首先探索两个向量平行意味着什么。回想一下，平行向量必须具有相同或相反的方向。如果两个非零向量，$\text{u}$和$\text{v}，$是平行的，我们声称必须有一个标量，$k，$使得$\text{u}=k\text{v}。$如果$\text{u}$和$\text{v}$方向相同，只需选择$k=\frac{u}\text{u}}}{\text{v}‖}. $ 如果$\text{u}$和$\text{v}$方向相反，请选择$k=-\frac{\text{u}}}{\text{v}‖}. $ 注意反过来也成立。如果$\text{u}=k\text{v}$对于某些标量$\text{k}，$则$\text{u}$和$\text{v}$具有相同的方向$\左（k>0\右）$或相反的方向$\左（k<0\右），$so$\text{u}$和$\text{v}$是平行的。因此，当且仅当$\text{u}=k\text{v}$对于某些标量$\text{k}时，两个非零向量$\text{u}$和$\text{v}$是平行的。$按照惯例，零向量0美元$被认为与所有向量平行。
空间中线的方程
我们已经知道如何计算空间中两点之间的距离。我们现在扩展这个定义来描述空间中一点和一条线之间的距离。当能够计算这些距离很重要时，存在几个现实世界的背景。例如，在建造房屋时，建筑商必须考虑“挫折”要求，即结构或固定装置必须与财产线保持一定距离。航空旅行提供了另一个例子。航空公司担心人口稠密地区和拟议飞行路线之间的距离。
点与线之间的距离
给定二维平面中的两条线，这些线相等，它们平行但不相等，或者它们在一个点上相交。在三维中，第四种情况是可能的。如果空间中的两条线不平行，但不相交，那么这些线就被称为歪斜线（[链接]）。
线之间的关系
我们知道一条线是由两点决定的。换句话说，对于任何两个不同的点，正好有一条线穿过这些点，无论是二维还是三维。同样，给定任何三个不都在同一条线上的点，有一个唯一的平面穿过这些点。正如一条线由两个点决定一样，一个平面由三个点决定。
平面方程
我们讨论了二维和三维中两条线之间的各种可能关系，当我们描述空间中两个平面之间的关系时，我们只有两种可能性：两个截然不同的平面平行或者它们相交；当两个平面平行时，它们的法向量平行；当两个平面相交时，相交是一条线（[link]）。
平行平面和相交平面
空间中的线与平面方程
*将圆柱体识别为一种三维表面。
*认识椭球、抛物面和双曲面的主要特征。
*使用轨迹绘制二次曲面与坐标平面的交叉点。
m53874
我们要研究的第一个表面是圆柱体。虽然大多数人听到*圆柱体*这个词时会立即想到空心管或汽水吸管，但这里我们使用这个术语的广义数学含义。正如我们所看到的，圆柱体表面不一定是圆形的。矩形加热管是圆柱体，卷起的瑜伽垫也是如此，它的横截面是螺旋形状。
钢瓶识别
我们已经学习了由一阶方程描述的三维曲面；这些是平面。其他一些常见类型的曲面可以用二阶方程描述。我们可以将这些曲面视为我们之前讨论的圆锥截面的三维扩展：椭圆、抛物线和双曲线。我们称这些图为二次曲面。
二次曲面
二次曲面
*从柱面坐标转换为直角坐标。
*从直角坐标转换为圆柱坐标。
*从球面坐标转换为矩形坐标。
*从矩形坐标转换为球面坐标。
m53875
当我们将传统的笛卡尔坐标系从二维扩展到三维时，我们只是简单地添加了一个新的轴来模拟第三维。从极坐标开始，我们可以按照同样的过程创建一个新的三维坐标系，称为柱面坐标系。这样，柱面坐标提供了极坐标到三维的自然扩展。
圆柱坐标
在笛卡尔坐标系中，点在空间中的位置使用有序三元组来描述，其中每个坐标代表一个距离。在柱面坐标系中，点在空间中的位置使用两个距离$\old（r{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}}z\right）$和一个角度度量$\old（\θ\right）来描述。$在球面坐标系中，我们再次使用有序三元组来描述点在空间中的位置。在这种情况下，三元组描述一个距离和两个角度。球面坐标使描述球体变得简单，就像柱面坐标使描述柱面变得容易一样。球面坐标的网格线基于角度度量，就像极坐标的网格线一样。
球坐标
圆柱坐标系和球面坐标系
空间中的向量
m53907
导言
*以分量形式和单位向量形式编写向量值函数的一般方程。
*识别空间曲线的参数方程。
*描述螺旋的形状并写出其方程。
*定义向量值函数的极限。
m53913
研究向量值函数微积分的第一步是定义向量值函数到底是什么。然后，我们可以查看向量值函数的图形，了解它们如何定义二维和三维曲线。
向量值函数的定义
回想一下，平面向量由两个量组成：方向和大小。给定平面中的任何一点（*初始点*），如果我们在特定方向上移动特定距离，我们到达第二个点。这表示向量的*终端点*。我们通过从终端点的坐标中减去初始点的坐标来计算向量的分量。
向量值函数的图形化
我们现在来看看向量值函数的极限。这对于研究向量值函数的微积分很重要。
向量值函数的极限和连续性
向量值函数和空间曲线
*为向量值函数的导数编写表达式。
*求给定位置向量的点处的切向量。
*找到给定位置向量的点处的单位切线向量并解释其意义。
*计算向量值函数的定积分。
m53916
既然我们已经看到了向量值函数是什么以及如何取其极限，下一步就是学习如何微分向量值函数。向量值函数导数的定义与一个变量的实值函数的定义几乎相同。然而，因为向量值函数的范围由向量组成，向量值函数导数的范围也是如此。
向量值函数的导数
回想一下导数简介，一个点的导数可以解释为该点图形切线的斜率。在向量值函数的情况下，导数为函数表示的曲线提供切线向量。考虑向量值函数$\text{r}\old（t\right）=\text{}{\规则{0.1em}{0ex}}t{\规则{0.1em}{0ex}}\text{i}+\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}}}t{\规则{0.1em}{0ex}}\text{j}。$该函数的导数是${r}^{\Prime}\左（t\right）=-\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}{\规则{0.1em}{0ex}\text i}+\{text cos}\规则{0.1em}{0ex}}t{\规则{0.1em}{0ex}}\text{j}$如果我们将值$t=\pi\text{/} 6$替换为两个函数，我们会得到
切线向量和单位切线向量
我们在反导数中引入了实值函数的反导数，在定积分中引入了实值函数的定积分。这些概念中的每一个都可以扩展到向量值函数。此外，正如我们可以通过分别微分分量函数来计算向量值函数的导数一样，我们也可以用同样的方式计算反导数。此外，微积分基本定理也适用于向量值函数。
向量值函数的积分
向量值函数演算
*使用弧长函数确定粒子在空间中的路径长度。
*解释空间曲线曲率的含义并说明其公式。
*描述空间曲线的法向量和副法线向量的含义。
m53919
我们已经看到向量值函数如何在二维或三维中描述曲线。回想一下[link]，它指出由参数函数$x=x\old（t\right）， y=y\lee（t\right），{t}_{1}\le t\le{t}_{2}$给出的曲线弧长公式
向量函数的弧长
我们现在有了一个由向量值函数定义的曲线弧长的公式。让我们更进一步，检查什么是弧长函数。
弧长参数化
与弧长相关的一个重要课题是曲率。曲率的概念提供了一种测量平滑曲线转弯程度的方法。圆具有恒定的曲率。圆的半径越小，曲率越大。
曲率
我们已经看到向量值函数的导数${r}^{\素数}\左（t\right）$是由$\text{r}\左（t\right）定义的曲线的正切向量，$和单位正切向量$\text{T}\左（t\right）$可以通过将${r}^{\素数}\左（t\right）$除以其幅值来计算。当研究三维运动时，另外两个向量有助于描述粒子沿空间路径的运动：主单位法向量和副法线向量。
正态向量和双正态向量
弧长和曲率
*描述粒子在空间中运动的速度和加速度矢量。
*解释加速度的切向和法向分量。
*说明开普勒行星运动定律。
m53930
我们的出发点是使用向量值函数将物体的位置表示为时间函数。以下所有材料都可以应用于平面中的曲线或空间曲线。例如，当我们观察行星的轨道时，定义这些轨道的曲线都位于一个平面中，因为它们是椭圆的。然而，沿着螺旋运动的粒子在三维曲线上移动。
平面和空间中的运动矢量
我们可以将弧长和曲率中讨论的一些概念与加速度向量结合起来，以更深入地理解这个向量如何与平面和空间中的运动相关联。回想一下，单位正切向量**T**和单位法向量**N**在向量值函数$\text{r}\lee（t\right）定义的曲线上的任何点*P*处形成密切平面。$以下定理表明，加速度向量$\text{a}\lee（t\right）$位于密切平面内，可以写成单位正切和单位法向量的线性组合。
加速度矢量的组成部分
现在让我们看看向量函数的应用。特别是，让我们考虑重力对物体在空气中传播时运动的影响，以及它如何决定该物体的最终轨迹。在下面，我们忽略空气阻力的影响。这种情况，物体以初始速度移动，但除了重力之外没有其他力作用于它，被称为射弹运动。它描述了物体从高尔夫球到棒球，从箭头到炮弹的运动。
弹丸运动
在17世纪早期，约翰尼斯·开普勒能够利用他的导师第谷·布拉赫惊人精确的数据来制定他的行星运动三定律，现在被称为开普勒行星运动定律。这些定律也适用于太阳系中围绕太阳轨道的其他物体，如彗星（如哈雷彗星）和小行星。这些定律的变体适用于环绕地球轨道的卫星。
开普勒定律
空间运动
向量值函数
m53929
导言
*识别两个变量的函数并识别其域和范围。
*绘制两个变量的函数图。
*绘制两个变量的函数的几条轨迹或水平曲线。
*识别三个或更多变量的函数并识别其水平曲面。
m53946
两个变量的函数的定义与一个变量的函数的定义非常相似。主要区别在于，我们不是将一个变量的值映射到另一个变量的值，而是将有序的变量对映射到另一个变量。
两个变量的函数
假设我们希望绘制函数$z=\lew（x， y\right）。$这个函数有两个自变量$\lew（x{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}}y\right）$和一个因变量$\lew（z\right）。$当绘制一个变量的函数$y=f\lew（x\right）$时，我们使用笛卡尔平面。我们能够绘制平面中的任何有序对$\lew（x，y\right）$，平面中的每个点都有一个与之关联的有序对$\lew（x，y\right）$。使用两个变量的函数，函数域中的每个有序对$\lew（x，y\right）$都映射到一个实数$z。$因此，函数$f$的图由有序三元组$\lew（x，y，z\right）组成。$两个变量的函数$z=\away（x， y\right）$的图称为曲面。
两个变量的图形函数
如果徒步旅行者沿着崎岖的小径行走，他们可能会使用显示小径变化程度的地形图。地形图包含称为*等高线*的曲线。每条等高线对应于地图上海拔相等的点（[link]）。两个变量$f\old（x， y\right）$的函数的水平曲线完全类似于地形图上的等高线。
水平曲线
到目前为止，我们只研究了两个变量的函数。但是，简要了解两个以上变量的函数很有用。两个这样的例子是
两个以上变量的函数
几个变量的函数
*计算两个变量的函数的极限。
*了解两个变量的函数如何在边界点接近不同的值，具体取决于接近的路径。
*说明两个变量的函数连续的条件。
*验证一个点上两个变量的函数的连续性。
*计算三个或更多变量的函数的极限，并验证函数在某一点上的连续性。
m53933
回想一下函数的极限中一个变量的函数极限的定义：
两个变量函数的极限
要研究两个或多个变量的函数的连续性和可微性，我们首先需要学习一些新的术语。
内点和边界点
在连续性中，我们定义了一个变量的函数的连续性，并了解了它如何依赖于一个变量的函数的极限。特别是，$f\old（x\right）$在点$x=a\text{：}$处连续需要三个条件。
两变量函数的连续性
三个或更多变量的函数的极限在应用中很容易出现。例如，假设我们有一个函数$f\old（x， y，z\right）$，它在三维中给出了物理位置$\old（x，y，z\right）$的温度。或者一个函数$g\old（x，y，z\right）$可以指示时间$t时$\old（x，y，z\right）$位置的气压。$我们如何在 ${ℝ}^{3}中的一个点上进行极限？$在四维中的一个点上连续是什么意思？
三个或更多变量的函数
极限和连续性
*计算两个变量的函数的偏导数。
*计算两个以上变量的函数的偏导数。
*确定两个变量的函数的高阶导数。
*解释偏微分方程的含义并举例说明。
m53934
当研究一个变量的函数的导数时，我们发现导数的一种解释是$y$作为$x的函数的瞬时变化率。导数的$莱布尼茨表示法是$dy\text{/}dx，$这意味着$y$是因变量，$x$是自变量。对于两个变量的函数$z=f\old（x， y\right）$，$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。这立即提出了两个问题：我们如何将莱布尼茨表示法应用于两个变量的函数？此外，什么是导数的解释？答案在于偏导数。
两个变量函数的导数
假设我们有一个由三个变量组成的函数，例如$w=f\old（x， y，z\right）。$我们可以计算$w$关于任何自变量的偏导数，简单地作为两个变量函数的偏导数定义的扩展。
两个以上变量的函数
考虑功能
高阶部分导数
在微分方程导论中，我们研究了未知函数有一个自变量的微分方程。偏微分方程是一个方程，它涉及一个以上自变量的未知函数及其一个或多个偏导数。偏微分方程的例子是
偏微分方程
部分衍生品
*确定与给定曲面相切的平面方程。
*使用切平面来近似一个点上两个变量的函数。
*解释两个变量的函数何时可微。
*使用总微分来近似两个变量的函数的变化。
m53937
直观地说，在一个平面中，只有一条线可以在一点上与曲线相切。然而，在三维空间中，许多线可以与给定的点相切。如果这些线位于同一平面中，它们决定了该点的切面。一个规则点的切面包含与该点相切的所有线。思考切面的更直观的方法是假设该点的表面是光滑的（没有角）。然后，在任何方向上，该点的表面切线都不会有任何斜率的突然变化，因为方向变化平滑。
切线平面
回想一下线性近似和微分，函数$f\左（x\右）$在点$x=a$处的线性近似公式由
线性近似
当使用一个变量的函数$y=f\左（x\右）$时，如果${f}^{\Prime}\左（a\右）$存在，则该函数在点$x=a$处是可微分的。此外，如果一个变量的函数在某一点上是可微分的，则该图在该点上是“光滑的”（即不存在角），并且在该点上明确定义了切线。
可微分性
在线性近似和微分中，我们首先研究了微分的概念。$y的微分，$写为$dy，$定义为${f}^{\Prime}\左（x\right）dx。$微分用于近似$\text{Δ}y=f\左（x+\text{Δ}x\right）-f\左（x\right），$其中$\text{Δ}x=dx。$将这个想法扩展到两个变量函数在点$\左（{x}_{0}，{y}_{0}\right）$的线性近似，得到了两个变量函数的总微分公式。
微分
前面所有关于两变量函数可微性的结果都可以推广到三变量函数。首先，定义：
三变量函数的可微分性
切线平面和线性逼近
*说明一个或两个自变量的链规则。
*使用树形图作为帮助理解几个独立和中间变量的链式规则。
*执行两个或多个变量的函数的隐式微分。
m53938
回想一下，两个函数复合的导数的链式规则可以写成
一个或两个自变量的链规则
现在我们已经了解了如何将原始链规则扩展到两个变量的函数，很自然地会问：我们可以将规则扩展到两个以上的变量吗？答案是肯定的，正如广义链规则所述。
广义链法则
回想一下隐式微分，当$y$隐式定义为$x的函数时，隐式微分提供了一种查找$dy\text{/}dx$的方法。$该方法包括微分方程的两边，定义函数关于$x，$然后求解$dy\text{/}dx。$偏导数提供了这种方法的替代方案。
内隐微分
链式法则
*确定两个变量的函数在给定方向上的方向导数。
*确定给定实值函数的梯度向量。
*解释梯度向量对沿曲面变化方向的重要性。
*使用梯度找到给定函数的水平曲线的切线。
*计算三维方向导数和梯度。
m53940
我们从方程$z=f\左（x， y\right）定义的曲面图开始。$给定$f域中的一点$\左（a，b\右）$，$我们选择从该点行进的方向。我们使用角度$\θ测量方向，$在*x*，*y*-平面中逆时针测量，从正*x*-轴（[link]）的零开始。我们行进的距离是$h$，我们行进的方向由单位向量$u=\左（\text{cos}{\规则{0.2em}{0ex}}\theta\right）i+\左（\text{sin}{\规则{0.2em}{0ex}}}\θ\right）j。$因此，图上第二点的*z*-坐标由$z=f\左（a+h{\规则{0.2em}{0ex}}\text{cos}{\规则{0.2em}{0ex}}\theta，b+h{\规则{0.2em}{0ex}}\text{sin}{0.2em}{0ex}}\theta\right）给出。$
定向衍生工具
[link]的右侧等于${f}_{x}\左（x， y\right）\text{cos}{\规则{0.2em}{0ex}}\theta+{f}_{y}\左（x，y\right）\text{sin}{\规则{0.2em}{0ex}}\theta，$可以写成两个向量的点积。定义第一个向量为$\nabla f\左（x，y\right）={f}_{x}\左（x，y\right）\text{i}+{f}_{y}\左（x，y\right）\text{j}$第二个向量为$u=\左（\text{cos}{\规则{0.2em}{0ex}}\theta\right）i+\左（\text sin}{\规则0.2em}{0ex}}\theta\right）j。$然后等式的右侧可以写成点
梯度
回想一下，如果一条曲线是由函数对$\old（x\old（t\right）， y\old（t\right）\right）参数定义的，那么向量${x}^{\Prime}\lew（t\right）i+{y}^{\Prime}\lew（t\right）j$与域中$t$的每个值的曲线相切。现在让我们假设$z=f\lew（x，y\right）$是$x{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}}y，$和$\lew（{x}_{0}，{y}_{0}\right）$在它的域中。让我们进一步假设${x}_{0}=x\lew（{t}_{0}\right）$和${y}{_0}=y\lew（{t}_{0}\right）$对于$t的某个值，并考虑水平曲线$f$在水平曲线上定义$g\old（t\right）=f\old（x\lew（t\right）， y\lew（t\right）\right）$并计算${g}^{\Prime}\lew（t\right）$。通过链规则，
梯度和水平曲线
梯度的定义可以扩展到两个以上变量的函数。
三维梯度和方向导数
方向导数和梯度
*使用偏导数来定位两个变量函数的临界点。
*应用二阶导数检验将临界点识别为两个变量函数的局部最大值、局部最小值或鞍点。
*检查临界点和边界点，以找到两个变量的函数的绝对最大值和最小值。
m53942
对于单个变量的函数，我们将临界点定义为导数等于零或不存在时函数的值。对于两个或多个变量的函数，概念基本相同，除了我们现在使用偏导数。
关键点
考虑函数$f\old（x\right）={x}^{3}。$这个函数的临界点在$x=0，$因为$f\Prime\lew（0\right）=3{\lew（0\right）}^{2}=0。$但是，$f$在$x=0处没有极值。$因此，在$x={x}_{0}$处存在临界值并不能保证在$x={x}_{0}处有局部极值。$对于两个或多个变量的函数也是如此。这种情况可能发生的一种方式是在鞍点。鞍点的示例如下图所示。
第二导数检验
当在一个封闭区间上找到一个变量的函数的全局极值时，我们首先检查该区间上的临界值，然后在区间的端点评估函数。当使用两个变量的函数时，封闭区间被一个封闭的有界集代替。如果该集合中的所有点都可以包含在一个有限半径的球（或圆盘）内，则该集合是*有界的。首先，我们需要找到集合内部的临界点并计算相应的临界值。然后，有必要在集合的边界上找到函数的最大值和最小值。当我们有所有这些值时，最大的函数值对应于全局最大值，最小的函数值对应于绝对最小值。然而，首先，我们需要确保这样的值存在。下面的定理就是这样做的。
绝对极大和最小值
最大/最小问题
*使用拉格朗日乘子的方法解决一个约束的优化问题。
*使用拉格朗日乘子的方法解决具有两个约束的优化问题。
m53943
[link]是一种涉及利润函数最大化的应用情况，但受某些约束。在该示例中，约束涉及每月1美元可以生产和销售的高尔夫球的最大数量$\左（x\右），$和每月可以购买的最大广告小时数$\左（y\右）。$假设这些被合并成预算约束，例如$20x+4y\le 216，$考虑了生产高尔夫球的成本和每月购买的广告小时数。目标仍然是利润最大化，但现在对$x$和$y的值有不同类型的约束。$这个约束，当与利润函数$f\old（x， y\right）=48x+96y-{x}^{2}-2xy-9{y}^{2}结合时，$是一个最佳化问题的例子，函数$f\old（x，y\right）$称为目标函数。函数$f\old（x，y\right）$的各种水平曲线图如下。
拉格朗日乘法器
拉格朗日乘数方法可以应用于具有多个约束的问题。在这种情况下，优化函数$w$是三个变量的函数：
两个约束的问题
拉格朗日乘法器
几个变量函数的微分
m53961
导言
*识别两个变量的函数何时在矩形区域上可积。
*识别和使用二重积分的一些性质。
*通过将矩形区域写入迭代积分来评估二重积分。
*使用二重积分来计算区域的面积、表面下的体积或平面区域上函数的平均值。
m53949
我们首先考虑矩形区域*R*上方的空间。考虑在闭合矩形*R*上定义的两个变量的连续函数$f\old（x， y\right）\ge 0$：
体积和双积分
二重积分的性质在计算它们或以其他方式处理它们时非常有帮助。我们在这里列出了二重积分的六个性质。属性1和2被称为积分的线性，属性3是积分的可加性，属性4是积分的单调性，属性5用于寻找积分的边界。如果$f\lew（x， y\right）$是两个函数$g\lew（x\right）$和$h\lew（y\right）$的乘积，则使用属性6。$
二重积分的性质
到目前为止，我们已经看到了如何建立一个二重积分，以及如何获得它的近似值。我们也可以想象，如果我们为$m$和$n选择更大的值，用定义来评估二重积分可能是一个非常漫长的过程。$因此，我们需要一种实用方便的计算二重积分的技术。换句话说，我们需要学习如何在不使用使用极限和二重和的定义的情况下计算二重积分。
迭代积分
双积分对于寻找由函数曲线限定的区域的面积非常有用。我们将在下一节中更详细地描述这种情况。然而，如果该区域是矩形形状，我们可以通过对区域$R上的常数函数$f\old（x， y\right）=1$进行积分来找到它的面积。
双积分的应用
矩形区域上的双积分
*识别两个变量的函数何时可以在一般区域上积。
*通过计算以两条垂直线和两个函数$x、$或两条水平线和两个函数$y为界的区域上的迭代积分来评估二重积分。$
*通过改变积分的顺序来简化迭代积分的计算。
*使用双积分计算两个表面之间区域的体积或平面区域的面积。
*解决涉及双重不当积分的问题。
m53963
[link]显示了平面上一般有界区域$D$的示例。由于$D$在平面上有界，因此在包围区域$D的同一平面上必须存在一个矩形区域$R$，即存在一个矩形区域$R$，使得$D$是$R\左（D\subseteq R\右）的子集。$
一般集成区域
为了发展在一般非矩形区域上评估二重积分的概念和工具，我们需要首先理解该区域，并能够将其表示为I型或II型或两者的组合。如果不理解这些区域，我们将无法决定二重积分的积分极限。作为第一步，让我们看看下面的定理。
非矩形区域上的双积分
正如我们在评估迭代积分时已经看到的，有时一个积分阶导致的计算明显比另一个积分阶简单。有时集成的顺序并不重要，但重要的是学会识别顺序的变化何时会简化我们的工作。
改变整合顺序
我们可以使用一般区域上的双积分来计算体积、面积和平均值。这些方法与矩形区域上的双积分方法相同，但没有矩形区域的限制，我们现在可以解决更广泛的问题。
计算体积、面积和平均值
不适当的二重积分是一个整数$\underset{D}{\iint}f{\规则{0.2em}{0ex}}dA$，其中$D$是无界区域或$f$是无界函数。例如，$D=\lee\{\lee（x， y\right）||x-y|\ge 2\right\}$是一个无界区域，函数$f\lee（x，y\right）=1\text{/}\lee（1-{x}^{2}-2{y}^{2}\right）$在椭圆${x}^{2}+2{y}^{2}\le 1$上是一个无界函数。因此，以下两个积分都是不适当的积分：
不适当的双积分
一般区域上的双积分
*认识极地矩形区域上二重积分的格式。
*使用迭代积分评估极坐标中的二重积分。
*认识一般极区上二重积分的格式。
*使用极坐标中的双积分计算面积和体积。
m53966
当我们在直角坐标中定义连续函数的二重积分时——例如，在$xy$-平面中的区域$R$上的$g$——我们将$R$划分为边平行于坐标轴的子矩形。这些边有恒定的$x$-值和/或恒定的$y$-值。在极坐标中，我们使用的形状是一个极矩形，其边有恒定的$r$-值和/或恒定的$\theta$-值。这意味着我们可以在[link]（a）中描述一个极矩形，其中$R=\左\{\左（r，\theta\右）|a\le r\le b，\alpha\le\theta\le\beta\right\}$。
极地矩形积分区域
为了用一般极区上的迭代积分来计算连续函数的二重积分，我们考虑了两种类型的区域，类似于一般区域上双积分中矩形坐标中讨论的类型I和类型II。将极方程写成$r=f\左（\theta\right）$比$\theta=f\左（r\right）更常见，$因此我们将一般极区描述为$D=\左\{\左（r，\theta\right）|\alpha\le\θ\leβ，{h}_{1}\左（\theta\right）\le r\le{h}_{2}\左（\theta\right）\右\}$（见下图）。
一般极地整合区
如在直角坐标中，如果固体$S$被曲面$z=f\左（r，\θ\右），$以及曲面$r=a，r=b，\θ=\alpha，$和$\theta=\beta，$我们可以通过二重积分找到$S$的体积$V$
极地地区和体积
极坐标中的双积分
*识别三个变量的函数何时可积在矩形框上。
*通过将三重积分表示为迭代积分来评估三重积分。
*识别三个变量的函数何时可以在封闭和有界区域上积分。
*通过改变三重积分的积分顺序来简化计算。
*计算三个变量的函数的平均值。
m53965
我们可以在 ${ℝ}^{3}$中定义一个矩形框$B$为$B=\lew\{\lew（x， y，z\right）|a\le x\le b，c\le y\le d，e\le z\le f\right\}。$我们遵循类似于在矩形区域上的双积分中所做的过程。我们将区间$\old[a， b\right]$划分为$l$子区间$\左[{x}_{i-1}，{x}_{i}\right]$等长$\text{Δ}x=\frac{b-a}{l}，$将区间$\lee[c，d\right]$划分为$m$子区间$\左[{y}_{j-1}，{y}_{j}\right]$等长$\text{Δ}y=\frac{d-c}{m}，$并将区间$\old[e，f\right]$划分为$n$子区间$\左[{z}_{k-1}，{z}_{k}\right]$等长$\text{Δ}z=\frac{f-e}{n}。$然后矩形框$B$被细分为$lmn$子框${B}_{ijk}=\左[{x}_{i-1}，{x}_{i}\右]{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}}\左[{y}_{j-1}，{y}_{j}\右]{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}}\左[{z}_{k-1}，{z}_{k}\右]，$如[链接]所示。
三变量的可积函数
我们现在扩展三重积分的定义，以计算 ${ℝ}^{3}中更一般的有界区域$E$上的三重积分。我们将考虑的一般有界区域有三种类型。首先，假设$D$是$E$投影到$xy$平面上的有界区域。假设 ${ℝ}^{3}$中的区域$E$具有形式
一般有界区域上的三重积分
正如我们已经在一般有界区域上的双积分中看到的，为了简化计算，经常改变积分的顺序。对于矩形框上的三重积分，积分的顺序不会改变计算的难度。然而，对于一般有界区域上的三重积分，选择适当的积分顺序可以大大简化计算。有时更改极坐标也很有帮助。我们在这里演示两个例子。
改变整合顺序
回想一下，我们通过评估平面上一个区域的二重积分，然后除以该区域的面积，找到了两个变量函数的平均值。类似地，我们可以通过评估固体区域上的三重积分，然后除以固体的体积，找到三个变量函数的平均值。
三变量函数的平均值
三重积分
*通过更改为柱坐标来评估三重积分。
*通过更改为球坐标来评估三重积分。
m53967
正如我们之前看到的，在二维空间 ${ℝ}^{2}中，一个具有矩形坐标$\左（x，y\right）$的点可以用极坐标中的$\左（r，\theta\right）$标识，反之亦然，其中$x=r{\规则{0.2em}{0ex}}{0ex}}\θ，$y=r{\规则{0.2em}{0ex}}\text{sin}{\规则{0.2em}{0ex}}\θ，${r}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$和$\text{tan}{0.2em}{\{规则0.2em}{0ex}}\theta=\左（\frac{y}{x}\right）$是变量之间的关系。
圆柱坐标综述
用圆柱坐标代替直角坐标通常可以更容易地计算三重积分。[链接]中列出了直角坐标下的一些常见曲面方程以及相应的圆柱坐标方程。当我们继续使用三重积分求解问题时，这些方程将变得很方便。
圆柱坐标积分
在球面坐标系 ${ℝ}^{3}$的三维空间中，我们指定一个点$P$，通过它与原点的距离$\rho$，与正$x\text{-轴}$的极角$\θ$（与圆柱坐标系相同），以及与正$z\text{-轴}$和线$OP$（[链接]）的角度$\phi$。注意$\rho\ge 0$和0$\le\phi\le\pi.$（参考圆柱坐标和球面坐标进行回顾。）球面坐标对于相对于原点对称的区域上的三重积分很有用。
球坐标综述
我们现在在球面坐标系中建立一个三重积分，就像我们之前在柱面坐标系中所做的那样。让函数$f\old（\rho，\theta，\phi\right）$在一个有界球面框中连续，$B=\左\{\左（\rho，\theta，\phi\right）|a\le\rho\le b，\alpha\le\theta\le\beta，\gamma\le\phi\le\psi\right\}。$然后我们将每个区间分成$l， m{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}}n$细分，使得$\text{Δ}\rho=\frac{b-a}{l}，\text{}\theta=\frac{\beta-\alpha}{m}，\text{Δ}\phi=\frac{\psi-\gamma}{n}。$
球面坐标积分
圆柱和球面坐标系下的三积分
*使用双积分来定位二维物体的质心。
*用二重积分求二维物体的转动惯量。
*使用三重积分来定位三维物体的质心。
m53971
如果物体处于均匀引力场中，质心也被称为重心。如果物体具有均匀的密度，质心就是物体的几何中心，称为形心。[链接]显示一个点$P$作为薄板的质心。薄板围绕其质心完美平衡。
二维质心
为了清楚地理解如何使用双积分计算惯性矩，我们需要回到第一卷第6.6节中矩和质心的一般定义。质量为$m$的粒子绕轴的惯性矩为$m{r}^{2}，$其中$r$是粒子与轴的距离。我们可以从[link]中看到，子矩形${R}_{ij}$关于$x\text{-轴}$的转动惯量为${\左（{y}_{ij}^{\*}\右）}^{2}\rho\左（{x}_{ij}^{\*},{y}_{ij}^{\*}\）\text{Δ}A.$类似地，子矩形${R}_{ij}$关于$y\text{-轴}$的转动惯量为${\左（{x}_{ij}^{\*}\右）}^{2}\rho\左（{x}_{ij}^{\*},{y}{ij}^{\*}\）\text{Δ}A.$转动惯量与质量的旋转有关；具体来说，它测量质量抵抗绕轴旋转运动变化的趋势。
惯性矩
目前讨论的所有二重积分表达式都可以修改为三重积分。
三维质量中心和惯量矩
计算质量中心和惯性矩
*确定给定变量变换下的区域图像。
*计算给定变换的Jacobian。
*使用变量的变化来评估二重积分。
*使用变量的变化评估三重积分。
m53970
平面变换$T$是一个函数，它通过变量的变化将一个平面中的区域$G$转换为另一个平面中的区域$R$。$G$和$R$都是 ${ℝ}^{2}的子集。$例如，[link]显示了一个区域$G$在$uv\text{-平面}$中通过变量的变化转换为$xy\text{-平面}$中的区域$R$$x=g\左（u，v\right）$和$y=h\左（u，v\right），$或者有时我们写$x=x\左（u，v\right）$和$y=y\左（u，v\right）。$我们通常假设这些函数中的每一个都有连续的第一偏导数，这意味着${g}_{u}，{g}_{v}，{h}_{u}，$和${h}_{v}$存在并且也是连续的。这一要求的必要性很快就会变得清晰。
平面变换
回想一下，我们在本节开头附近提到，每个分量函数都必须具有连续的第一偏导数，这意味着${g}_{u}，{g}_{v}，{h}_{u}，$和${h}_{v}$存在并且也是连续的。具有此属性的转换称为${C}^{1}$转换（这里$C$表示连续）。设$T\old（u，v\right）=\lew（g\lew（u，v\right），h\lew（u，v\right）\right），$其中$x=g\lew（u，v\right）$和$y=h\lew（u，v\right），$是一对一的${C}^{1}$转换。我们想看看它如何将$uv\text{-平面}$中的一个小矩形区域$S，$$\text{Δ}u$单元转换为$\text{Δ}v$单元（见下图）。
雅可比学派
我们已经看到，在变量$T\old（u， v\right）=\old（x，y\right）$的变化下，其中$x=g\old（u，v\right）$和$y=h\old（u，v\right），$xy\text{-平面}$中的$\text{Δ}A$与$uv\text{-平面}$中的乘积$\text{Δ}u\text{Δ}v$形成的区域通过近似值
双积分变量的变化
三重积分中的变量变化以完全相同的方式工作。圆柱坐标和球坐标置换是这种方法的特例，我们在这里演示。
三积分变量的变化
多积分中变量的变化
多重集成
m54017
导言
*识别平面或空间中的向量场。
*从给定方程绘制向量场。
*确定保守场及其相关的潜在函数。
m53989
我们如何模拟多个天文物体施加的引力？我们如何模拟河流表面水粒子的速度？[链接]给出了这些现象的视觉表示。
向量场示例
我们现在可以根据函数或单位向量的组成部分来表示向量场，但是通过草图来直观地表示它更复杂，因为向量场的域在 ${ℝ}^{2}，$是范围。因此， ${ℝ}^{2}$中向量场的“图”存在于四维空间中。由于我们不能直观地表示四维空间，因此我们改为在平面本身的 ${ℝ}^{2}$中绘制向量场。为此，请在平面中的某一点绘制与给定点相关联的向量。例如，假设与点$\左（4，-1\右）$相关联的向量是$3,1.$然后，我们将在点$\左（4，-1\右）绘制向量$3,1$。$
绘制矢量场
在本节中，我们研究一种特殊的向量场，称为梯度场或保守场。这些向量场在物理学中非常重要，因为它们可以用来模拟能量守恒的物理系统。与静电荷相关的引力场和电场是梯度场的例子。
梯度场
矢量场
*计算沿曲线的标量线积分。
*计算沿空间定向曲线的矢量线积分。
*使用线积分来计算在向量场中沿曲线移动物体所做的功。
*描述向量场的通量和循环。
m54012
线积分使我们能够在平面或空间的任意曲线上积分多变量函数和向量场。线积分有两种类型：标量线积分和向量线积分。标量线积分是平面或空间曲线上标量函数的积分。矢量线积分是平面或空间曲线上矢量场的积分。我们先看看标量线积分。
标量线积分
第二种线积分是向量线积分，其中我们通过向量场沿着曲线积分。例如，让
矢量线积分
标量线积分有许多应用。它们可以用来计算电线的长度或质量，给定高度的薄片的表面积，或者给定线性电荷密度的带电电线的电势。矢量线积分在物理学中非常有用。它们可以用来计算粒子在力场中移动时所做的功，或者流体穿过曲线的流速。在这里，我们使用标量线积分计算电线的质量，使用矢量线积分计算力所做的功。
线积分的应用
我们通过讨论与线积分相关的两个关键概念来结束本节：平面曲线上的通量和沿平面曲线的循环。通量用于计算曲线上的流体流动，循环的概念对于用线积分来表征保守梯度场很重要。这两个概念在本章的其余部分都被大量使用。通量的概念对格林定理尤其重要，在更高的维度上对斯托克斯定理和散度定理尤其重要。
通量和循环
线积分
*描述简单和封闭的曲线；定义连接和简单连接的区域。
*解释如何找到保守向量场的势函数。
*使用线积分的基本定理来评估向量场中的线积分。
*解释如何测试向量场以确定它是否保守。
m53987
在继续研究保守向量场之前，我们需要一些几何定义。后续章节中的定理都依赖于对某些曲线和区域的积分，所以我们在这里发展这些曲线和区域的定义。
曲线和区域
现在我们已经了解了一些基本的曲线和区域，让我们把微积分的基本定理推广到线积分。回想一下，微积分的基本定理说，如果函数$f$有一个反导数*F*，那么$f$从*a*到*b*的积分只取决于*F*在*a*和*b*的值-也就是说，
线积分的基本定理
正如我们已经了解到的，线积分的基本定理说，如果**F**是保守的，那么计算${\int}_{C}\text{F}·dr$有两个步骤：首先，为**F**找到一个潜在函数$f$，其次，计算$f\左（{P}_{1}\right）-f\左（{P}_{0}\right），$其中${P}_{1}$是*C*的端点，${P}_{0}$是起点。要将这个定理用于保守域**F**，我们必须能够为**F**找到一个潜在函数$f$。因此，我们必须回答以下问题：给定一个保守向量域**F**，我们如何找到一个函数$f$使得$\text{}f=\text{F}？$在给出寻找潜在函数的一般方法之前，让我们用一个例子来激励这个方法。
保守向量场和势函数
到目前为止，我们已经使用了我们知道是保守的向量场，但是如果我们没有被告知向量场是保守的，我们需要能够测试它是否是保守的。回想一下，如果**F**是保守的，那么**F**具有交叉部分属性（参见[链接]）。也就是说，如果$\text{F}=P，Q，R$是保守的，那么${P}_{y}={Q}_{x}，{P}_{z}={R}_{x}，$和${Q}_{z}={R}_{y}。$所以，如果**F**具有交叉部分属性，那么**F**是保守的吗？如果**F**的域是开放的并且是简单连接的，那么答案是肯定的。
测试向量场
保守向量场
*应用格林定理的循环形式。
*应用格林定理的通量形式。
*计算更一般区域的环流和通量。
m53982
记得微积分基本定理说过
微积分基本定理的扩展
我们研究的格林定理的第一种形式是循环形式。这种形式的定理将简单封闭平面曲线*C*上的向量线积分与*C*所包围区域上的二重积分联系起来。因此，沿着简单封闭曲线的向量场的循环可以转化为二重积分，反之亦然。
格林定理的循环形式
格林定理的循环形式将区域*D*上的二重积分与线积分${\oint}_{C}\text{F}·\text{T}ds，$其中*C*是*D*的边界。格林定理的通量形式将区域*D*上的二重积分与边界*C*上的通量联系起来。使用通量线积分很难计算流体在曲线上的通量。这种形式的格林定理允许我们将困难的通量积分转化为通常更容易计算的二重积分。
格林定理的通量形式
格林定理，如前所述，只适用于简单连接的区域——也就是说，格林定理到目前为止还不能处理有洞的区域。在这里，我们扩展格林定理，使其确实适用于有有限多洞的区域（[链接]）。
一般区域上的格林定理
格林定理
*从给定向量场的公式中确定散度。
*根据给定向量场的公式确定旋度。
*使用旋度和散度的性质来确定向量场是否是保守的。
m53986
散度是对向量场的一种操作，它告诉我们场是如何朝向或远离一个点的。在局部，向量场**F**在 ${ℝ}^{2}$或 ${ℝ}^{3}$在特定点*P*的散度是向量场在*P*处“流出度”的度量。如果**F**代表流体的速度，那么**F**在*P*处的散度度量的是相对于流出*P*的流体量的时间的净变化率（流体“流出”*P*的趋势）。特别是，如果流入*P*的流体量与流出的流体量相同，那么*P*处的散度为零。
发散
我们检查的向量场上的第二个操作是旋度，它测量场围绕一个点的旋转程度。假设**F**代表流体的速度场。然后，点*P*处**F**的旋度是一个向量，它测量靠近*P*的粒子围绕指向该向量方向的轴旋转的趋势。*P*处旋度向量的大小测量粒子围绕该轴旋转的速度。换句话说，点的旋度是向量场在该点的“旋转”的度量。视觉上，想象将桨轮放入*P*处的流体中，桨轮的轴与旋度向量对齐（[链接]）。旋度测量桨轮旋转的趋势。
卷曲
现在我们了解了散度和旋度的基本概念，我们可以讨论它们的性质并建立它们与保守向量场之间的关系。
使用发散和卷曲
发散和卷曲
*查找圆柱体、圆锥体和球体的参数表示。
*描述参数曲面上标量值函数的曲面积分。
*使用曲面积分计算给定曲面的面积。
*解释定向曲面的含义，举个例子。
*描述向量场的曲面积分。
*使用表面积分解决应用问题。
m54004
曲面积分类似于线积分，只是积分是在曲面上而不是在路径上进行的。从这个意义上说，曲面积分扩展了我们对线积分的研究。就像线积分一样，有两种曲面积分：标量值函数的曲面积分和向量场的曲面积分。
参数曲面
我们的目标是定义一个曲面积分，作为第一步，我们研究了如何参数化曲面。第二步是定义参数曲面的表面积。发展这个定义所需的符号在本章的其余部分中使用。
参数曲面的表面积
现在我们可以参数化曲面并计算它们的表面积，我们可以定义曲面积分了。首先，让我们看看标量值函数的曲面积分。非正式地说，标量值函数的曲面积分是在更高维度上的标量线积分的模拟。标量线积分的积分域是参数化曲线（一维物体）；标量曲面积分的积分域是参数化曲面（二维物体）。因此，曲面积分的定义与线积分的定义非常接近。对于标量线积分，我们将域曲线切成小块，在每块中选择一个点，计算该点的函数，并取相应黎曼和的极限。对于标量表面积分，我们将域*区域*（不再是曲线）切成小块并以相同的方式进行。
标量值函数的曲面积分
回想一下，当我们定义标量线积分时，我们不需要担心积分曲线的方向。标量曲面积分也是如此：我们不需要担心积分曲面的“方向”。
曲面的方向
有了可定向表面的想法，我们现在准备定义向量场的表面积分。该定义类似于沿平面曲线的向量场通量的定义。回想一下，如果**F**是二维向量场，*C*是平面曲线，那么**F**沿*C*的通量定义涉及将*C*切成小块，在每块中选择一个点，并在该点计算$\text{F}·\text{N}$（其中**N**是该点的单位法向量）。向量场的曲面积分的定义以同样的方式进行，除了现在我们将曲面*S*切成小块，在小块（二维）中选择一个点，并在该点计算$\text{F}·\text{N}$。
向量场的表面积分
曲面积分
*解释斯托克斯定理的含义。
*使用Stokes定理计算线积分。
*使用Stokes定理计算曲面积分。
*使用Stokes定理计算旋度。
m54009
Stokes定理说，我们可以通过只知道沿*S*边界的**F**值的信息来计算曲面*S*上的旋度**F**通量。相反，我们可以通过转换为**F**在*S*上的旋度的二重积分来计算沿曲面*S*边界的向量场**F**的线积分。
斯托克斯定理
斯托克斯定理将表面*S*的通量积分转换为*S*边界周围的线积分。因此，该定理允许我们通过将线积分转换为表面积分来计算通常相当困难的表面积分或线积分。我们现在研究每种翻译的一些例子。
应用斯托克斯定理
除了线积分和通量积分之间的转换之外，斯托克斯定理还可以用来证明我们所学的旋度的物理解释。在这里，我们研究旋度和环流之间的关系，我们使用斯托克斯定理来陈述法拉第定律——电磁场中的一个重要定律，它将电场的旋度与磁场的变化率联系起来。
Curl的解释
斯托克斯定理
*解释散度定理的含义。
*使用散度定理计算向量场的通量。
*将散度定理应用于静电场。
m54001
在研究散度定理之前，首先概述一下我们讨论过的微积分基本定理的版本是有帮助的：
定理概述
散度定理遵循这些其他定理的一般模式。如果我们认为散度是一种导数，那么散度定理将固体上导数div**F**的三重积分与固体边界上**F**的通量积分联系起来。更具体地说，散度定理将封闭表面*S*上向量场**F**的通量积分与*S*包围的固体上**F**散度的三重积分联系起来。
陈述散度定理
散度定理在封闭表面*S*的通量积分和*S*包围的固体上的三重积分之间转换。因此，该定理允许我们通过将通量积分转换为三重积分来计算通常难以计算的通量积分或三重积分，反之亦然。
使用散度定理
散度定理在物理学和工程学中有许多应用。它允许我们以积分形式和微分形式编写许多物理定律（就像斯托克斯定理允许我们在法拉第定律的积分形式和微分形式之间进行转换一样）。流体动力学、电磁学和量子力学等研究领域都有描述质量、动量或能量守恒的方程，散度定理允许我们以积分形式和微分形式给出这些方程。
静电场应用
散度定理
向量微积分
m54039
导言
*识别齐次和非齐次线性微分方程。
*确定齐次线性方程的特征方程。
*使用特征方程的根来寻找齐次线性方程的解。
*解决涉及线性微分方程的初始值和边值问题。
m54040
考虑二阶微分方程
齐次线性方程
现在我们对线性微分方程有了更好的感觉，我们将专注于求解形式的二阶方程
常系数二阶方程
到目前为止，我们一直在寻找微分方程的一般解。然而，微分方程通常用于描述物理系统，研究该物理系统的人通常知道该系统在一个或多个时间点的状态。例如，如果一个常系数微分方程代表摩托车减震器被压缩的程度，我们可能知道骑手在比赛开始时静止地坐在摩托车上，时间$t={t}_{0}。$这意味着系统处于平衡状态，因此$y\左（{t}_{0}\右）=0，$减震器的压缩没有改变，因此${y}^{\Prime}\左（{t}_{0}\右）=0。$通过这两个初始条件和微分方程的通解，我们可以找到满足两个初始条件的微分方程的*特定*解。这个过程被称为*求解初值问题*。（回想一下，我们在微分方程导论中讨论过初值问题。）请注意，二阶方程在通解中有两个任意常数，因此我们需要两个初始条件来找到初值问题的解。
初值问题和边值问题
二阶线性方程
*写出非齐次微分方程的通解。
*用待定系数法求解非齐次微分方程。
*用变参数法求解非齐次微分方程。
m54047
考虑非齐次线性微分方程
一类非齐次线性方程的通解
待定系数的方法包括根据$r\old（x\text{).} $ 的形式对特定解的形式进行有根据的猜测。当我们取多项式、指数函数、正弦和余弦的导数时，我们得到多项式、指数函数、正弦和余弦。所以当$r\old（x\right）$具有这些形式之一时，非齐次微分方程的解可能采用相同的形式。让我们看一些例子来看看这是如何工作的。
未定系数
有时，$r\away（x\right）$不是多项式、指数或正弦和余弦的组合，在这种情况下，待定系数的方法不起作用，我们不得不使用另一种方法来找到微分方程的特定解。我们使用一种称为参数变化法的方法。
参数变化
非齐次线性方程
*求解表示简单谐波运动的二阶微分方程。
*求解表示阻尼简谐运动的二阶微分方程。
*求解表示强迫简单谐波运动的二阶微分方程。
*求解表示RLC串联电路中电荷和电流的二阶微分方程。
m54044
考虑一个悬挂在刚性支撑上的弹簧上的质量。（这通常被称为弹簧-质量系统。）重力将质量向下拉，弹簧的恢复力将质量向上拉。如[link]所示，当这两个力相等时，质量被称为处于平衡位置。如果质量从平衡位置位移，它会上下振荡。这种行为可以用二阶常系数微分方程来建模。
简谐运动
在刚刚描述的模型中，质量的运动无限期地持续下去。显然，这在现实世界中不会发生。在现实世界中，系统中几乎总是有一些摩擦，这导致振荡慢慢消失——这种效应称为*阻尼*。现在让我们看看如何将阻尼力纳入我们的微分方程。
阻尼振动
我们考虑的最后一种情况是当外力作用在系统上时。例如，在摩托车悬架系统的情况下，道路上的颠簸充当作用在系统上的外力。另一个例子是悬挂在支架上的弹簧；如果支架处于运动状态，该运动将被视为系统上的外力。我们用非齐次微分方程对这些受力系统进行建模
强迫振动
考虑一个包含电阻器、电感器和电容器的电路，如[link]所示。这种电路称为*RLC*串联电路。*RLC*电路用于许多电子系统，最著名的是作为AM/FM无线电的调谐器。调谐旋钮改变电容器的电容，电容器反过来调谐收音机。这种电路可以用二阶常系数微分方程来建模。
*RLC*系列电路
应用
*使用幂级数求解一阶和二阶微分方程。
m54046
微分方程的级数解
二阶微分方程
m54049
1.$\int{u}^{n}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{{u}^{n+1}}{n+1}+C， n\ne\text{−}1$
基本积分
18.$\int{\text{sin}}^{2}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{2}u-\frac{1}{4}\text{sin}{\规则{0.2em}{0ex}} 2u+C$
三角积分
42.$\int u{e}^{au}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{{a}^{2}}\左（au-1\右）{e}^{au}+C$
指数积分和对数积分
49.$\int\text{sinh}{\规则{0.2em}{0ex}}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=\text{cosh}{\规则{0.2em}{0ex}}u+C$
双曲积分
59.$\int{\text{sin}}^{-1}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=u{\规则{0.2em}{0ex}}{\text{sin}}^{-1}u+\sqrt{1-{u}^{2}}+C$
反三角积分
68.$\int\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{2}\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}\左（u+\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}\右）+C$
涉及*a*2+*u*2，*a*>0的积分
77.$\int\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}-\frac{a}^{2}}{2}\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}|u+\sqrt{u}^{2}-{a}^{2}}|+C$
涉及*u*2−*a*2，*a*>0的积分
85.$\int\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{2}{\text{sin}}^{-1}\frac{u}{a}+C$
涉及*a*2−*u*2，*a*>0的积分
94.$\int\sqrt{2au-{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u-a}{2}\sqrt{2au-{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{\text{cos}}^{-1}\左（\frac{a-u}{a}\右）+C$
涉及2*au*−*u*2，*a*>0的积分
98.$\int\frac{u{\规则{0.2em}{0ex}}du}{a+bu}=\frac{1}{{b}^{2}}\左（a+bu-a\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}|a+bu|\右）+C$
涉及*a*+*bu*，*a*≠0的积分
积分表
m54050
1.$\frac{d}{dx}\左（c\右）=0$
通用公式
9.$\frac{d}{dx}\左（\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}}x\right）=\text{cos}{\规则{0.1em}{0ex}}x$
三角函数
15.$\frac{d}{dx}\左（{\text{sin}}^{-1}x\right）=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$
反三角函数
21.$\frac{d}{dx}\左（{e}^{x}\右）={e}^{x}$
指数和对数函数
25.$\frac{d}{dx}\左（\text{sinh}{\规则{0.1em}{0ex}}x\right）=\text{cosh}{\规则{0.1em}{0ex}}x$
双曲函数
31.$\frac{d}{dx}\左（{\text{sinh}}^{-1}x\右）=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
逆双曲函数
衍生品表
m54053
$A=\text{Area}，$$V=\text{Volume}，{\规则{0.2em}{0ex}}\text{and}$S=\text{横向表面积}$
几何公式
代数公式
三角学的公式
预微积分复习