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OpenStax是莱斯大学的非营利组织，我们的使命是改善学生接受教育的机会。我们的第一本公开许可的大学教科书于2012年出版，此后我们的图书馆已经扩大到超过25本大学和美联社®课程的书籍，被数十万学生使用。我们的低成本个性化学习工具OpenStax导师正在全国各地的大学课程中使用。通过与慈善基金会的合作以及与其他教育资源组织的联盟，OpenStax正在打破最常见的学习障碍，并赋予学生和教师成功的力量。
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微积分是为典型的两三个学期的普通微积分课程设计的，结合了创新的功能来提高学生的学习能力。这本书引导学生了解微积分的核心概念，并帮助他们理解这些概念如何应用于他们的生活和周围的世界。由于材料的全面性，为了灵活性和效率，我们将这本书分为三卷。第一卷涵盖函数、极限、导数和集成。
关于*微积分第1卷*
追加资源
关于作者
序言
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导言
*使用函数符号来评估函数。
*确定函数的域和范围。
*绘制函数的图形。
*查找函数的零。
*从值表中识别函数。
*从两个或多个给定函数创建新函数。
*描述函数的对称性。
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给定两个集合$A$和$B，$一个具有有序元素对的集合$\左（x， y\右），$其中$x$是$A$的元素，$y$是$B的元素，$是从$A$到$B的关系。$A$到$B$的关系定义了这两个集合之间的关系。函数是一种特殊类型的关系，其中第一个集合的每个元素都与第二个集合的一个元素相关。第一个集合的元素称为*输入*；第二个集合的元素称为*输出*。数学中一直使用函数来描述两个集合之间的关系。对于任何函数，当我们知道输入时，输出就确定了，所以我们说输出是输入的函数。例如，正方形的面积是由它的边长决定的，所以我们说面积（输出）是它的边长（输入）的函数。在空中投掷的球的速度可以描述为球在空中的时间量的函数。邮寄包裹的费用是包裹重量的函数。既然函数有这么多用途，有精确的定义和术语来研究它们是很重要的。
函数
通常，使用以下一个或多个工具来表示函数：
表示函数
现在我们已经回顾了函数的基本特征，我们可以看到当我们以不同的方式组合函数时，这些属性会发生什么，使用基本的数学运算来创建新函数。例如，如果一家公司制造$x$项目的成本由函数$C\左（x\右）$描述，而销售$x$项目所创造的收入由函数$R\左（x\右）描述，那么$x$项目的制造和销售利润定义为$P\左（x\右）=R\左（x\右）-C\左（x\右）。$利用两个函数之间的差异，我们创建了一个新函数。
组合功能
某些函数的图具有对称性，有助于我们理解函数及其图的形状。例如，考虑[link]（a）中所示的函数$f\old（x\right）={x}^{4}-2{x}^{2}-3$。如果我们将位于*y*-轴右侧的曲线部分翻转到*y*-轴上，它正好位于*y*-轴左侧的曲线顶部。在这种情况下，我们说函数具有关于*y*-轴的对称性。另一方面，考虑[link]（b）中所示的函数$f\old（x\right）={x}^{3}-4x$。如果我们将图旋转180美元\text°{}$关于原点，新图将看起来完全相同。在这种情况下，我们说函数对原点具有对称性。
函数的对称性
功能回顾
*计算线性函数的斜率并解释其含义。
*识别多项式的程度。
*求二次多项式的根。
*描述基本奇数和偶数多项式函数的图形。
*确定一个合理的函数。
*描述幂函数和根函数的图表。
*解释代数函数和超越函数之间的区别。
*绘制分段定义的函数。
*绘制已从其初始图形位置移动、拉伸或反射的函数的图形。
m53478
最容易考虑的函数类型是线性函数。线性函数的形式为$f\old（x\right）=ax+b，$其中$a$和$b$是常量。在[link]中，我们看到了当$a$为正、负和零时线性函数的示例。请注意，如果$a>0，$线的图形会随着$x$的增加而上升。换句话说，$f\old（x\right）=ax+b$在$\text上增加{(−∞, ∞)}. $ 如果$a<0，$线的图形会随着$x$的增加而下降。在这种情况下，$f\old（x\right）=ax+b$在$\text上减少{(−∞, ∞)}. $ 如果$a=0，$线是水平的。
线性函数和斜率
线性函数是更一般的一类函数的特殊类型：多项式。多项式函数是可以写成形式的任何函数
多项式
通过允许多项式函数中的商和分数幂，我们创建了一个更大的函数类。代数函数是涉及加、减、乘、除、有理幂和根的函数。两种类型的代数函数是有理函数和根函数。
代数函数
到目前为止，我们已经讨论了代数函数。然而，有些函数不能用基本的代数运算来描述。这些函数被称为超越函数，因为它们被称为“超越”或超越代数。最常见的超越函数是三角函数、指数函数和对数函数。*三角函数*涉及直角三角形两条边的比率。它们是$\matrm{sin}x，\matrm{cos}x，\matrm{tan}x，\matrm{sec}x，\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}}\matrm{csc}x。$（我们将在本章后面讨论三角函数。）指数函数是形式为$f\old（x\right）={b}^{x}的函数，$其中基数$b>0，b\ne 1。$对数函数是形式为$f\old（x\right）={\matrm{log}}}_{b}\old（x\right）$对于某个常量$b>0， b\ne 1，$其中${\matrm{log}}}_{b}\old（x\right）=y$if且仅当${b}^{y}=x.$（我们还将在本章后面讨论指数和对数函数。）
超越函数
有时一个函数在其域的不同部分由不同的公式定义。具有此属性的函数称为分段定义函数。绝对值函数是分段定义函数的一个示例，因为公式随$x\text{：}$的符号而更改。
分段定义函数
我们已经看到了一些例子，其中我们添加、减去或乘以常量以形成简单函数的变体。例如，在前面的示例中，我们从函数$y={x}^{2}$的参数中减去2，得到函数$f\lew（x\right）={\lew（x-2\right）}^{2}。$此减法表示函数$y={x}^{2}$向右移动两个单位。水平或垂直移动是函数的一种转换。其他转换包括水平和垂直缩放，以及关于轴的反射。
函数转换
函数的基本类
*转换角度度量之间的角度和弧度。
*认识基本三角函数的三角形和圆形定义。
*写出基本的三角恒等式。
*确定三角函数的图形和周期。
*描述正弦或余弦图从函数方程的移位。
m53479
要使用三角函数，我们首先必须了解如何测量角度。虽然我们可以同时使用弧度和度数，但弧度是一种更自然的测量，因为它们与单位圆直接相关，半径为1的圆。角度的弧度度量定义如下。给定一个角度$\θ，$让$s$是单位圆（[link]）上相应弧线的长度。我们说长度为1的弧线对应的角度具有弧度度量1。
弧度测量
三角函数允许我们使用角度度量，以弧度或度数为单位，找到任何圆上一点的坐标——不仅仅是单位圆上的坐标——或者找到圆上给定点的角度。它们还定义了三角形的边和角之间的关系。
六个基本三角函数
三角恒等式是一个涉及三角函数的方程，它适用于定义函数的所有角度$\θ$。我们可以使用恒等式来帮助我们求解或简化方程。接下来列出了主要的三角恒等式。
三角恒等式
我们已经看到，当我们绕着单位圆移动时，三角函数的值会重复。我们可以在函数的图表中看到这种模式。设$P=\old（x， y\right）$为单位圆上的一个点，设$\theta$为相应的角$。$由于角$\theta$和$\theta+2\pi$对应于同一点$P，$\theta$和$\theta+2\pi$处的三角函数的值是相同的。因此，三角函数是周期函数。函数$f$的周期被定义为最小的正值$p$，使得$f域中所有值$x$的$f\左（x+p\right）=f\左（x\right）$。$正弦、余弦、正割和余割函数的周期为2美元\pi。$由于正切和余切函数在长度为$\pi的间隔上重复，$它们的周期是$\pi$（[link]）。
三角函数的图和周期
三角函数
*确定函数具有逆时的条件。
*使用水平线测试来识别函数何时是一对一的。
*求给定函数的逆。
*绘制反函数的图形。
*评估反三角函数。
m53480
我们从一个例子开始。给定一个函数$f$和一个输出$y=f\左（x\右），$我们通常有兴趣找出$x$被$f映射到$y$的一个或多个值。$例如，考虑函数$f\左（x\右）={x}^{3}+4。$由于任何输出$y={x}^{3}+4，$我们可以为$x$解这个方程，发现输入是$x=\sqrt[3]{y-4}。$这个方程将$x$定义为$y的函数。$将此函数表示为${f}^{-1}，$并写入$x={f}^{-1}\左（y\右）=\sqrt[3]{y-4}，$我们看到对于$f域中的任何$x$，{f}^{-1}\左（f\左（x\右）\右）={f}^{-1}\左（{x}^{3}+4\右）=x。$因此，这个新函数，${f}^{-1}，$“撤销”了原始函数$f$所做的事情。具有此属性的函数称为原始函数的反函数。
反函数的存在
我们现在可以考虑一对一的函数，并展示如何找到它们的逆函数。回想一下，一个函数将$f$域中的元素映射到$f范围内的元素。$反函数将$f$范围内的每个元素映射回其来自$f域的对应元素。$因此，要找到一对一函数$f的反函数，$给定$f范围内的任何$y$，$我们需要确定$f$域中的哪一个$x$满足$f\old（x\right）=y。$由于$f$是一对一的，因此正好有一个这样的值$x。$我们可以通过为$x解方程$f\左（x\right）=y$来找到值$x$。$这样做，我们可以将$x$写成$y$的函数，其中这个函数的域是$f$的范围，这个新函数的范围是$f的域。$因此，这个函数是$f，$的逆函数，我们写$x={f}^{-1}\左（y\右）。$由于我们通常使用变量$x$来表示自变量，$y$来表示因变量，我们经常交换$x$和$y的角色，$并写$y={f}^{-1}\左（x\右）。$当我们在同一轴上绘制函数$f$和它的逆${f}^{-1}$时，以这种方式表示反函数也很有帮助。
查找函数的逆
六个基本三角函数是周期性的，因此它们不是一对一的。但是，如果我们将三角函数的域限制在它是一对一的区间内，我们可以定义它的逆。考虑正弦函数（[link]）。正弦函数在无限数量的区间上是一对一的，但标准约定是将域限制在区间$\old[-\frac{\pi}{2}，\frac{\pi}{2}\right]。$通过这样做，我们在域$\old[-1,1\right]$上定义了逆正弦函数，使得对于区间$\old[-1,1\right]中的任何$x$，$逆正弦函数告诉我们区间$\θ$中的哪个角$\θ$满足$\text{sin}{\pi}{2}，\frac{\pi}{2}\right]$满足$\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}}\θ=x。$类似地，我们可以限制其他三角函数的域来定义逆三角函数，这些函数告诉我们某个区间中的哪个角具有指定的三角值。
反三角函数
反函数
*确定指数函数的形式。
*解释${x}^{b}$和${b}^{x}的图表之间的区别。$
*认识到数字$e.$的重要性
*确定对数函数的形式。
*解释指数函数和对数函数之间的关系。
*描述如何计算不同基数的对数。
*确定双曲函数、它们的图和基本恒等式。
m53481
指数函数出现在许多应用中。一个常见的例子是人口增长。
指数函数
一种特殊类型的指数函数经常出现在现实世界的应用中。为了描述它，考虑以下指数增长的例子，它来自储蓄账户的复利。假设一个人在一个储蓄账户上投资了P美元，年利率为r美元，每年复利。一年后的金额是
数字*e*
利用我们对指数函数的理解，我们可以讨论它们的逆，也就是对数函数。当我们需要考虑在广泛的值范围内变化的任何现象时，这些会派上用场，比如化学中的pH值或声级中的分贝。
对数函数
双曲函数是根据${e}^{x}$和${e}^{\text{−}x}的某些组合来定义的。$这些函数在各种工程和物理应用中自然出现，包括对水波和弹性膜振动的研究。双曲函数的另一个常见用途是表示悬挂的链条或电缆，也称为悬链线（[link]）。如果我们引入一个坐标系，使链条的低点位于$y$-轴上，我们可以用双曲函数来描述链条的高度。首先，我们定义双曲函数。
双曲函数
指数和对数函数
函数和图形
m53483
导言
*描述切线问题以及它如何导致导数的想法。
*解释极限的概念如何涉及解决切线问题。
*将某一点的曲线切线识别为割线的极限。
*确定瞬时速度为小时间间隔内平均速度的极限。
*描述面积问题以及积分是如何解决的。
*解释极限的概念是如何涉及到解决面积问题。
*认识极限、导数和积分的概念如何导致无穷级数和多变量微积分的研究。
m53485
变化率是微积分中最关键的概念之一。我们通过查看[链接]中显示的三行图形$f\左（x\右）=-2x-3，g\左（x\右）=\frac{1}{2}x+1，$和$h\左（x\右）=2，$来开始我们对变化率的研究。
切线问题与微积分
我们现在把注意力转向微积分中的一个经典问题。物理学中的许多量——例如，功的量——可以解释为曲线下的面积。这就引出了一个问题：我们如何在一个区间（[链接]）上找到函数图和*x*轴之间的面积？
面积问题与积分
到目前为止，我们只研究了一个变量的函数。这些函数可以用二维图形直观地表示；然而，没有充分的理由将我们的研究限制在二维。例如，假设我们不确定沿坐标轴移动的物体的速度，而是要确定弹射器在给定时间发射的岩石的速度，或者在三维中移动的飞机的速度。我们可能想要绘制两个变量的实值函数或确定[link]中所示类型的固体体积。这些只是可以使用多变量微积分提出和回答的问题类型中的一小部分。非正式地，多变量微积分可以被描述为对两个或多个变量的函数微积分的研究。然而，在探索这些和其他想法之前，我们必须首先通过探索极限的概念为研究一个变量中的微积分奠定基础。
微积分的其他方面
微积分预览
*使用正确的符号，描述函数的限制。
*使用数值表来估计函数的限制或识别限制何时不存在。
*使用图表来估计函数的限制或识别限制何时不存在。
*定义片面限制并提供示例。
*解释单边和双边限制之间的关系。
*使用正确的符号，描述一个无限的限制。
*定义垂直渐近线。
m53491
让我们首先仔细看看函数$f\old（x\right）=\lew（{x}^{2}-4\right）\text{/}\lew（x-2\right）$在[link]中的行为如何围绕$x=2$。当*x*的值从2的任一侧接近2时，$y=f\lew（x\right）$的值接近4。从数学上讲，我们说$f\lew（x\right）$as*x*接近2的极限是4。从符号上讲，我们将此限制表示为
限制的直观定义
当我们在下一个示例中考虑限制时，请记住，要使函数的限制存在于某一点，函数值必须在该点接近单个实数值。如果函数值不接近单个值，则限制不存在。
极限的存在
有时表明函数的限制在某一点上不存在并不能为我们提供关于该特定点上函数行为的足够信息。为了看到这一点，我们现在重新审视本节开头引入的函数$g\old（x\right）=|x-2|\text{/}\lee（x-2\right）$（参见[link]（b））。当我们选择接近2的*x*值时，$g\old（x\right）$不会接近单个值，因此*x*接近2时的限制不存在——即$\underset{x\to 2}{\text{lim}}g\old（x\right）$DNE。然而，仅此语句并不能为我们提供围绕*x*-value 2的函数行为的完整画面。为了提供更准确的描述，我们引入了单边限制的想法。对于2左边的所有值（或*2的负边），$g\old（x\right）=-1。$因此，当*x*从左边接近2时，$g\old（x\right）$接近−1。从数学上讲，我们说*x*从左边接近2时的极限是−1。象征性地，我们将这个想法表达为
单面极限
在一点上评估函数的极限或在一点上从右到左评估函数的极限有助于我们描述函数在给定值周围的行为。正如我们将看到的，我们也可以描述没有有限限制的函数的行为。
无限极限
函数的极限
*认识基本限制法。
*使用极限定律来评估函数的极限。
*通过因式分解评估函数的极限。
*使用极限定律来评估多项式或有理函数的极限。
*通过因式分解或使用共轭来评估函数的极限。
*使用挤压定理评估函数的极限。
m53492
前两个极限定律在[link]中陈述，我们在这里重复它们。这些基本结果，连同其他极限定律，使我们能够评估许多代数函数的极限。
使用极限法评估极限
到目前为止，您可能已经注意到，在前面的每个示例中，$\underset{x\to a}{\text{lim}}f\away（x\right）=f\lee（a\right）的情况。$这并不总是正确的，但它确实适用于任何选择*a*的所有多项式以及定义有理函数的*a*的所有值的所有有理函数。
多项式和有理函数的极限
正如我们所看到的，我们可以通过直接替换轻松地评估多项式的极限和一些（但不是全部）有理函数的极限。然而，正如我们在关于限制的介绍部分中看到的，当$f\old（a\right）$未定义时，$\underset{x\to a}{\text{lim}}f\right（x\right）$肯定有可能存在。以下观察使我们能够评估这种类型的许多限制：
附加极限评估技术
到目前为止，我们开发的技术对代数函数非常有效，但我们仍然无法评估非常基本的三角函数的极限。下一个定理，称为挤压定理，被证明对建立基本三角函数极限非常有用。这个定理允许我们通过“挤压”一个函数来计算极限，该函数的极限位于未知的点*a*，两个函数在*a*有一个共同的已知极限。[链接]说明了这个想法。
挤压定理
限制法
*解释一个点上连续性的三个条件。
*描述三种不连续性。
*在间隔上定义连续性。
*说明复合函数极限的定理。
*提供一个中间值定理的例子。
m53489
在我们看一个函数在一个点上连续意味着什么的正式定义之前，让我们考虑各种函数，它们不符合我们对在一个点上连续意味着什么的直观概念。然后，我们创建一个防止此类故障的条件列表。
点上的连续性
正如我们在[link]和[link]中看到的，不连续性呈现出几种不同的外观。我们将迄今为止看到的不连续性类型分类为可移动不连续性、无限不连续性或跳跃不连续性。直观地说，可移动不连续性是图中有一个洞的不连续性，跳跃不连续性是函数部分不满足的非无限不连续性，无限不连续性是位于垂直渐近线上的不连续性。[link]说明了这些类型的不连续性的差异。尽管这些术语提供了一种描述三种常见不连续性类型的便捷方法，但请记住，并非所有不连续性都完全符合这些类别。
不连续性的类型
现在我们已经探索了一点连续性的概念，我们将这个想法扩展到一个区间的连续性。当我们为不同类型的区间开发这个想法时，记住一个函数在一个区间内是连续的这个直观想法可能会很有用，如果我们可以用铅笔在不把铅笔从纸上拿起来的情况下跟踪区间中任何两点之间的函数。为了准备在区间上定义连续性，我们首先看看函数在一点上从右边连续和在一点上从左边连续的定义。
间隔上的连续性
我们首先证明$\text{cos}{\规则{0.1em}{0ex}}x$在每个实数上是连续的。为此，我们必须为*a*的所有值显示$\underset{x\to a}{\text{lim}}\text{cos}{0.1em}{0ex}}x=\text{}{\规则{0.1em}{0ex}}a$。
证明
在形式为$\old[a， b\right]的区间上连续的函数，其中*a*和*b*是实数，表现出许多有用的性质。在我们对微积分的研究中，我们会遇到许多关于此类函数的强大定理。其中第一个定理是中值定理。
中值定理
连续性
*描述极限的ε-delta定义。
*应用ε-delta定义来查找函数的极限。
*描述单边极限和无限极限的ε-delta定义。
*使用ε-delta定义来证明极限定律。
m53493
在说明极限的正式定义之前，我们必须介绍一些初步的想法。回想一下，数线上两点*a*和*b*之间的距离由$|a-b|给出。$
量化亲密度
我们现在演示如何使用极限的ε-delta定义来构造极限定律之一的严格证明。三角形不等式用于证明的关键点，因此我们首先回顾绝对值的这个关键性质。
证明极限法
正如我们首先获得了对极限的直观理解，然后转向更严格的极限定义一样，我们现在重新审视单边极限。为了做到这一点，我们修改了极限的ε-delta定义，给出了一个点从右到左的极限的正式ε-delta定义。这些定义只需要对极限的定义稍作修改。在从右开始的极限定义中，不等式0美元替换了0美元<|x-a|<\delta，$确保我们只考虑大于（在）*a*右侧的*x*的值。类似地，在从左开始的极限定义中，不等式$-\delta替换了0美元<|x-a|<\delta，$确保我们只考虑小于（在）*a*左侧的*x*的值。
单面和无限极限
限制的精确定义
极限
m53494
导言
*认识曲线在某一点的切线的含义。
*计算切线的斜率。
*确定导数作为差商的极限。
*计算给定函数在某一点的导数。
*将速度描述为变化率。
*解释平均速度和瞬时速度之间的差异。
*从数值表中估计导数。
m53495
我们通过重温正割线和切线的概念来开始微积分的研究。回想一下，我们使用正割线对点$\old（a， f\old（a\right）\right）$处的函数的斜率来估计变化率，或者一个变量相对于另一个变量的变化率。我们可以通过在$a$附近选择一个值$x$并通过点$\old（a，f\old（a\right）\right）$和$\old（x，f\old（x\right）\right），$来获得正割线的斜率，如[link]所示。这条线的斜率由差商形式的方程给出：
切线
我们为了找出与某一点相切的函数线的斜率而计算的极限类型出现在许多学科的许多应用中。这些应用包括物理学中的速度和加速度、商业中的边际利润函数和生物学中的增长率。这个极限出现得如此频繁，以至于我们给这个值起了一个特殊的名字：导数。寻找导数的过程称为微分。
函数在点上的导数
现在我们可以计算导数，我们可以在速度应用中使用它。回想一下，如果$s\old（t\right）$是沿坐标轴移动的物体的位置，如果$t>a$或$\old[t， a\right]$如果$t由差商给出，则物体在一段时间内的平均速度$\old[a，t\right]$
变化的速度和速度
定义衍生产品
*定义给定函数的导数函数。
*从给定函数的图中绘制导数函数。
*说明衍生工具和连续性之间的联系。
*描述函数没有导数时的三个条件。
*解释高阶导数的含义。
m53573
导数函数给出了定义导数的原始函数域中每个点的函数的导数。我们可以如下正式定义导数函数。
导数函数
我们已经讨论了如何绘制一个函数，所以给定一个函数的方程或一个导数函数的方程，我们可以绘制它。考虑到两者，我们希望看到这两个函数的图之间的对应关系，因为${f}^{\Prime}\old（x\right）$给出了函数$f\old（x\right）$的变化率（或切线到$f\old（x\right）\right的斜率）。$
绘制导数
现在我们可以画出导数了，让我们来看看图的行为。首先，我们考虑可微性和连续性之间的关系。我们将看到，如果一个函数在一点上是可微的，它必须在那里是连续的；然而，一个函数在一点上是连续的，在那一点上不一定是可微的。事实上，一个函数可能在一点上是连续的，但由于以下几个原因之一，它在这一点上是不可微的。
衍生工具和连续性
函数的导数本身就是一个函数，因此我们可以求出导数的导数。例如，位置函数的导数是位置的变化率，或速度。速度的导数是速度的变化率，也就是加速度。通过微分导数得到的新函数称为二阶导数。更进一步，我们可以继续取导数，得到三阶导数、四阶导数等。这些统称为高阶导数。$y=f\左（x\右）$的高阶导数的符号可以用以下任何形式表示：
高阶导数
导数作为函数
*说明常数、常数倍数和幂规则。
*应用和和差规则来组合衍生品。
*使用乘积规则来寻找函数乘积的导数。
*使用商规则求函数商的导数。
*将幂规则扩展到具有负指数的函数。
*结合微分规则找到多项式或有理函数的导数。
m53575
其中$n$为正整数的函数$f\左（x\右）=c$和$g\左（x\右）={x}^{n}$是构造所有多项式和有理函数的构建块。为了有效地找到多项式和有理函数的导数，而不诉诸导数的极限定义，我们必须首先开发微分这些基本函数的公式。
基本规则
我们已经证明了这一点
权力法则
我们通过观察求和、差分和函数常数倍数的导数来找到下一个微分规则。就像我们处理函数一样，有一些规则可以更容易地找到我们加、减的函数的导数，或者乘以一个常数。这些规则总结在下面的定理中。
和、差和常数多重规则
现在我们已经研究了基本规则，我们可以开始研究一些更高级的规则。第一个检查了两个函数乘积的导数。尽管假设乘积的导数是导数的乘积可能很诱人，类似于和和差规则，但乘积规则不遵循这种模式。要了解为什么我们不能使用这种模式，请考虑函数$f\old（x\right）={x}^{2}，$的导数是${f}^{\Prime}\左（x\right）=2x$而不是$\frac{d}{dx}\左（x\right）·\frac{d}{dx}\左（x\right）=1·1=1。$
产品规则
在发展和实践了乘积法则之后，我们现在考虑微分函数的商。正如我们在下面的定理中看到的，商的导数不是导数的商；相反，它是分子中函数的导数乘以分母中函数的导数减去分母中函数的导数乘以分子中函数的导数，全部除以分母中函数的平方。为了更好地理解为什么我们不能简单地取导数的商，请记住
商法则
正如我们在本节的整个示例中看到的，很少有人要求我们只应用一个微分规则来寻找给定函数的导数。此时，通过组合微分规则，我们可以找到任何多项式或有理函数的导数。稍后我们将遇到更复杂的微分规则组合。在应用多个规则时，一个很好的经验法则是以与我们评估函数的顺序相反的顺序应用规则。
组合微分规则
区分规则
*从旧值和变化量中确定一个数量的新值。
*计算平均变化率，并解释它与瞬时变化率有何不同。
*将变化率应用于沿直线移动的物体的位移、速度和加速度。
*从现值和人口增长率预测未来人口。
*使用衍生品计算商业情况下的边际成本和收入。
m53576
导数的一种应用是通过使用函数在某个给定点的已知值及其在给定点的变化率来估计函数在某个点的未知值。如果$f\old（x\right）$是在区间$\old[a， a+h\right]上定义的函数，则$f\old（x\right）$在区间上的变化量是该区间上函数的$y$值的变化，并由
变化量公式
导数的另一个用途是分析沿着一条线的运动。我们把速度描述为位置的变化率。如果我们取速度的导数，我们可以找到加速度，或者速度的变化率。引入速度的概念也很重要，即速度的大小。因此，我们可以陈述以下数学定义。
沿直线运动
除了分析速度、速度、加速度和位置，我们还可以使用导数来分析各种类型的种群，包括细菌群落和城市等多样化的种群。我们可以使用当前人口以及增长率来估计未来人口的规模。人口增长率是人口的变化率，因此可以用人口规模的导数来表示。
人口变化
除了分析沿一条线的运动和人口增长，导数在分析成本、收入和利润的变化方面也很有用。边际函数的概念在商业和经济学领域很常见，暗示了导数的使用。边际成本是代价函数的导数。边际收入是收入函数的导数。边际利润是利润函数的导数，它基于代价函数和收入函数。
成本和收入的变化
衍生品作为变化率
*求正弦和余弦函数的导数。
*求标准三角函数的导数。
*计算正弦和余弦的高阶导数。
m53578
我们通过使用公式对正弦函数的导数进行合理的猜测来开始探索它的导数。回想一下，对于函数$f\old（x\right），$
正弦和余弦函数的导数
由于其余四个三角函数可以表示为涉及正弦、余弦或两者的商，我们可以使用商规则来找到它们导数的公式。
其他三角函数的导数
$\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}}x$和$\text{cos}{\规则{0.1em}{0ex}}x$的高阶导数遵循重复模式。通过遵循该模式，我们可以找到$\text{sin}{0.1em}{0ex}}x$和$\text{cos}{\规则{0.1em}{0ex}}x$的任何高阶导数。$
高阶导数
三角函数的导数
*说明组成两个函数的链式规则。
*将链式规则与幂规则一起应用。
*必要时，正确结合应用链式规则和乘积/商规则。
*识别三个或更多功能组合的链式规则。
*描述链式规则的证明。
m53581
当我们有一个由两个或多个函数组成的函数时，我们可以使用我们已经学会的所有技术来区分它。然而，使用所有这些技术将函数分解成我们能够区分的更简单的部分可能会变得很麻烦。相反，我们使用链式法则，它指出复合函数的导数是在内部函数处计算的外部函数的导数乘以内部函数的导数。
推导链式法则
我们现在可以将链式规则应用于复合函数，但请注意，我们经常需要将其与其他规则一起使用。例如，要找到形式为$h\old（x\right）={\lee（g\lee（x\right）\right）}^{n}的函数的导数，$我们需要将链式规则与幂规则结合使用。为此，我们可以将$h\old（x\right）={\lew（g\lew（x\right）\right）}^{n}$视为$f\lew（g\lew（x\right）\right）$其中$f\lew（x\right）={x}^{n}。$然后${f}^{\Prime}\lew（x\right）=n{x}^{n-1}。$因此，${f}^{\Prime}\lew（g\lew（x\right）\right）=n{\lew（g\lew（x\right）\right）}^{n-1}。$这将我们引向使用链式规则的幂函数的导数，
链和权力规则相结合
现在我们可以结合链式法则和幂法则，我们研究如何将链式法则与我们学到的其他规则结合起来。特别是，我们可以将它与三角函数导数的公式或乘积法则一起使用。
将链式规则与其他规则相结合
我们现在可以将链式规则与其他规则结合起来区分函数，但是当我们区分三个或更多函数的组成时，我们需要多次应用链式规则。如果我们笼统地看待这种情况，我们可以生成一个公式，但我们不需要记住它，因为我们可以简单地多次应用链式规则。
三种或多种功能的复合材料
正如我们已经看到的其他导数一样，我们可以使用莱布尼茨符号来表达链式法则。这种链式法则的符号在物理应用中被大量使用。
使用莱布尼茨符号的链式法则
链式法则
*计算反函数的导数。
*识别标准反三角函数的导数。
m53584
我们首先考虑一个函数及其逆函数。如果$f\old（x\right）$既是可逆的又是可微的，那么$f\old（x\right）$的逆也是可微的，这似乎是合理的。[链接]显示了函数$f\old（x\right）$和它的逆${f}^{-1}\左（x\right）之间的关系。$看${f}^{-1}\左（a\right）\右）$的图上的点$\左（a，{f}^{-1}\左（x\right）$有一条斜率为${\左（{f}^{-1}\右）}^{\素数}\左（a\right）=\frac{p}{q}。$这个点对应于$f\左（x\右）$图上的一个点$\左（{f}^{-1}\左（a\右）， a\右）$具有斜率为${f}^{\素数}\左（{f}^{-1}\左（a\右）\右）=\frac{q}{p}的切线。$因此，如果${f}^{-1}\左（x\右）$在$a处是可微分的，$那么一定是这样的情况
反函数的导数
我们现在把注意力转向寻找反三角函数的导数。这些导数将在本文后面的积分研究中证明是无价的。反三角函数的导数令人惊讶，因为它们的导数实际上是代数函数。以前，代数函数的导数已被证明是代数函数，三角函数的导数已被证明是三角函数。在这里，我们第一次看到函数的导数不必与原始函数属于同一类型。
反三角函数的导数
反函数导数
*通过使用隐式微分找到复杂函数的导数。
*使用隐式微分来确定切线的方程。
m53585
在大多数数学讨论中，如果因变量$y$是自变量$x的函数，$we用$x表示*y*。$如果是这种情况，我们说$y$是$x的显式函数。$例如，当我们写方程$y={x}^{2}+1时，$我们用$x显式定义*y*。$另一方面，如果函数$y$和变量$x$之间的关系由一个方程表示，其中$y$不完全用$x表示，$我们说该方程用$x隐式定义*y*。$例如，方程$y-{x}^{2}=1$隐式定义函数$y={x}^2}+1$。
内隐微分
既然我们已经看到了隐式微分的技术，我们可以把它应用到寻找方程描述的曲线的切线方程的问题上。
隐式查找切线
内隐微分
*求指数函数的导数。
*求对数函数的导数。
*使用对数微分来确定函数的导数。
m53586
就像我们找到其他函数的导数时，我们可以使用公式找到指数和对数函数的导数。当我们开发这些公式时，我们需要做出某些基本假设。这些假设所持有的证明超出了本课程的范围。
指数函数的导数
现在我们有了自然指数函数的导数，我们可以用隐式微分来求它的逆导数，自然对数函数。
对数函数的导数
在这一点上，我们可以接受形式为$y={\lew（g\lew（x\right）\right）}^{n}$的函数的导数，以及形式为$y={b}^{g\lew（x\right）}，$其中$b>0$和$b\ne 1的函数。$不幸的是，我们仍然不知道函数的导数，例如$y={x}^{x}$或$y={x}^{\pi}。$这些函数需要一种称为对数微分的技术，它允许我们微分形式为$h\lew（x\right）=g{\lew（x\right）}^{f\lew（x\right）}的任何函数。$它也可以用来将一个非常复杂的微分问题转换成一个更简单的问题，例如找到$y=\frac{x\sqrt{2x+1}}{e}^{x}{\text{sin}}^{3}x}的导数。$我们在以下解决问题的策略中概述了这种技术。
对数微分
指数和对数函数的导数
衍生品
m53602
导言
*用衍生品表示变化的数量。
*在给定问题中查找衍生工具之间的关系。
*使用链式法则找出一个数量的变化率取决于其他数量的变化率。
m53604
在许多现实世界的应用中，相关量相对于时间是变化的。例如，如果我们再次考虑气球的例子，我们可以说体积的变化率，$V，$与半径的变化率相关，$r。在这种情况下，我们说$\frac{dV}{dt}$和$\frac{dr}{dt}$是相关的速率，因为*V*与*r*相关。在这里，我们研究了几个相对于时间变化的相关量的例子，我们看看如何在给定另一个变化率的情况下计算一个变化率。
设置相关费率问题
现在让我们实现刚才描述的策略来解决几个相关的速率问题。第一个例子涉及一架从头顶飞过的飞机。我们正在研究的关系是飞机的速度和飞机和地面上的人之间距离变化的速率之间的关系。
流程示例
相关费率
*描述一个点上函数的线性近似。
*编写给定函数的线性化。
*绘制一个图表，说明使用微分来近似数量的变化。
*使用微分近似计算相对误差和百分误差。
m53605
考虑一个在点$x=a处可微的函数$f$。$回想一下，$f$在$a$处的图的切线由方程给出
点函数的线性逼近
我们已经看到线性近似可以用来估计函数值。它们也可以用来估计函数值由于输入的微小变化而改变的量。为了更正式地讨论这个问题，我们定义了一个相关的概念：微分。微分为我们提供了一种估计函数由于输入值的微小变化而改变的量的方法。
微分
任何类型的测量都容易产生一定的误差。在许多应用中，某些数量是基于测量计算的。例如，圆的面积是通过测量圆的半径来计算的。半径测量中的误差导致面积计算值的误差。在这里，我们检查这种类型的误差，并研究如何使用微分来估计误差。
计算错误量
线性近似和微分
*定义绝对极值。
*定义局部极值。
*解释如何在封闭区间内找到函数的临界点。
*描述如何使用临界点来定位闭合间隔上的绝对极值。
m53611
考虑函数$f\old（x\right）={x}^{2}+1$在间隔$\old（\text{−}\infty，\infty\right）上。$As$x\to\text{±}\infty，$$f\old（x\right）\to\infty。$因此，函数没有最大值。然而，由于${x}^{2}+1\ge 1$对于所有实数$x$和${x}^{2}+1=1$当$x=0时，$函数有一个最小值，1，当$x=0时。$我们说1是$f\old（x\right）={x}^{2}+1$的绝对最小值，它发生在$x=0。$我们说$f\old（x\right）={x}^{2}+1$没有绝对最大值（见下图）。
绝对极限
考虑[link]中显示的函数$f$。该图可以被描述为两座山，中间有一个山谷。函数的绝对最大值出现在较高的峰值，在$x=2处。$然而，$x=0$也是一个有趣的点。虽然$f\old（0\right）$不是$f的最大值，但对于所有靠近0的$x$，$f\old（0\right）$的值大于$f\old（x\right）$。我们说$f$在$x=0处有一个局部最大值。$类似地，函数$f$没有绝对最小值，但它确实在$x=1$处有一个局部最小值，因为$x$在1附近的$f\old（1\right）$小于$f\old（x\right）$。
局部极值和临界点
极值定理指出，封闭有界区间上的连续函数有绝对最大值和绝对最小值。如[link]所示，这些绝对极值中的一个或两个可能出现在端点。然而，如果绝对极值没有出现在端点，它必须出现在内点，在这种情况下，绝对极值是局部极值。因此，通过[link]，局部极值出现的点$c$必须是临界点。我们在下面的定理中总结了这个结果。
定位绝对极值
Maxima和Minima
*解释罗尔定理的含义。
*描述中值定理的意义。
*说明中值定理的三个重要后果。
m53612
非正式地，Rolle定理指出，如果可微函数$f$的输出在区间的端点相等，那么必须有一个内部点$c$，其中$f\Prime\old（c\right）=0。$[link]说明了这个定理。
罗尔定理
罗尔定理是中值定理的一个特例。在罗尔定理中，我们考虑定义在闭区间$\old[a， b\right]$上的可微函数$f$，其中$f\lev（a\right）=f\lev（b\right）$。中值定理通过考虑在端点不一定具有相等值的函数来推广罗尔定理。因此，我们可以将中值定理视为罗尔定理（[链接]）的倾斜版本。均值定理指出，如果$f$在封闭区间$\old[a， b\right]$上是连续的，并且在开放区间$\old（a，b\right）$上是可微分的，则$在\old（a，b\right）$中存在一个点$c\in\，使得$f$在$c$处的图的切线平行于连接$\old（a，f\old（a\right）\right）$和$\old（b，f\old（b\right）\right）$的正割线。$
中值定理及其意义
现在让我们看看均值定理的三个推论。这些结果具有重要的后果，我们将在接下来的部分中使用。
中值定理的推论
中值定理
*解释一阶导数的符号如何影响函数图的形状。
*说明临界点的一阶导数测试。
*使用凹形和拐点来解释二阶导数的符号如何影响函数图的形状。
*解释函数在开放间隔上的凹陷测试。
*解释函数与其第一导数和第二导数之间的关系。
*说明局部极值的二阶导数测试。
m53613
中值定理的推论3$$表明，如果函数的导数在区间$I$上是正的，那么函数在$I$上增加。另一方面，如果函数的导数在区间$I上是负的，那么函数在$I$上减少，如下图所示。
第一次导数测试
我们现在知道如何确定函数在哪里增加或减少。然而，关于函数图的形状，还有一个问题需要考虑。如果图形弯曲，它是向上弯曲还是向下弯曲？这个概念被称为函数的凹面。
凹陷和拐点
一阶导数检验提供了一种寻找局部极值的分析工具，但二阶导数也可以用来定位极值。使用二阶导数有时可以是比使用一阶导数更简单的方法。
第二次导数检验
导数和图的形状
*计算函数的极限为$x$无限制地增加或减少。
*识别函数图上的水平渐近线。
*估计函数的最终行为为$x$无界增加或减少。
*识别函数图上的倾斜渐近线。
*分析函数及其导数以绘制其图形。
m53596
我们首先研究一个函数在无穷远处有一个有限的极限意味着什么。然后我们研究一个函数在无穷远处有一个无限极限的想法。回到函数和图形简介，我们研究了垂直渐近线；在本节中，我们将讨论水平和倾斜渐近线。
无限极限
函数作为$x\to\text{±}\infty$的行为称为函数的结束行为。在函数的每个末端，函数可以表现出以下类型的行为之一：
结束行为
我们现在有足够的分析工具来绘制各种代数和超越函数的图。在展示如何绘制特定函数之前，让我们看看绘制任何函数时使用的一般策略。
绘制函数图的指南
无穷大极限和渐近极限
*设置和解决几个应用领域的优化问题。
m53614
接下来的优化问题的基本思想是一样的。我们有一个特定的量，我们有兴趣最大化或最小化。但是，我们也有一些需要满足的辅助条件。例如，在[link]中，我们有兴趣最大化矩形花园的面积。当然，如果我们不断地使花园的边长变大，面积会继续变大。但是，如果我们对周长可以使用多少围栏有一些限制呢？在这种情况下，我们不能让花园像我们喜欢的那样大。让我们看看如何在周长受到一些约束的情况下最大化矩形的面积。
解决封闭、有界区间上的优化问题
在前面的例子中，我们考虑了封闭有界域上的函数。因此，通过极值定理，我们保证函数具有绝对极值。现在让我们考虑域既不是封闭的也不是有界的函数。
区间不闭合或无界时求解优化问题
应用优化问题
*认识到何时适用L'Hôpital的规则。
*确定由商、乘积、减法和幂产生的不确定形式，并在每种情况下应用L'Hôpital规则。
*说明职能的相对增长率。
m53619
L'Hôpital法则可用于评估涉及两个函数商的极限。考虑
应用L'Hôpital规则
L'Hôpital的规则对于评估涉及不确定形式$\frac{0}{0}$和$\infty\text{/}\infty的限制非常有用。$然而，我们也可以使用L'Hôpital的规则来帮助评估涉及在评估限制时出现的其他不确定形式的限制。表达式0$·\infty、$$\infty-\infty、$${1}^{\infty },$ ${\infty}^{0}、$和${0}^{0}$都被认为是不确定形式。这些表达式不是实数。相反，它们代表了试图评估某些限制时出现的形式。接下来，我们意识到为什么这些是不确定形式，然后了解如何在这些情况下使用L'Hôpital的规则。关键思想是我们必须重写不确定形式，以便我们得到不确定形式$\frac{0}{0}$或$\infty\text{/}\infty。$
其他不定形式
假设函数$f$和$g$都以$x\to\infty的形式接近无穷大。$尽管随着$x$的值变得足够大，两个函数的值都变得任意大，但有时一个函数的增长速度比另一个快。例如，$f\old（x\right）={x}^{2}$和$g\old（x\right）={x}^{3}$都以$x\to\infty的形式接近无穷大。$但是，如下表所示，${x}^{3}$的值增长速度远远快于${x}^{2}的值。$
函数增长率
L'Hôpital法则
*描述牛顿方法的步骤。
*解释迭代过程是什么意思。
*识别牛顿的方法何时不起作用。
*将迭代过程应用于各种情况。
m53620
考虑寻找$f\old（x\right）=0的解的任务。$如果$f$是一次多项式$f\old（x\right）=ax+b，$则$f\商（x\right）=0$的解由公式$x=-\frac{b}{a}给出。$如果$f$是二次多项式$f\商（x\right）=a{x}^{2}+bx+c，$f\商（x\right）=0$的解可以通过二次公式找到。然而，对于3次$或更多的多项式，寻找$f$的根变得更加复杂。虽然对于三度和四度多项式存在公式，但它们相当复杂。此外，如果$f$是5次$或更大的多项式，则已知不存在这样的公式。例如，考虑函数
描述牛顿方法
通常，牛顿方法用于相当快地找到根。然而，事情可能会出错。牛顿方法可能失败的一些原因包括：
牛顿方法的失败
如前所述，牛顿方法是一种迭代过程。我们现在看一个不同类型迭代过程的例子。
其他迭代过程
牛顿方法
*求给定函数的一般反导数。
*解释用于不定积分的术语和符号。
*说明积分的幂规则。
*使用反微分解决简单的初始值问题。
m53621
在这一点上，我们知道如何找到各种函数的导数。我们现在问相反的问题。给定一个函数$f，$我们如何找到一个具有导数$f的函数？$如果我们能找到一个带有导数$f的函数$F，$我们称$F为$f的反导数。$
分化的逆
我们现在看看用于表示反导数的形式符号，并检查它们的一些属性。这些属性使我们能够找到更复杂函数的反导数。给定一个函数$f，$我们使用符号${f}^{\Prime}\左（x\right）$或$\frac{df}{dx}$来表示$f的导数。$这里我们介绍反导数的符号。如果$F$是$f的反导数，$我们说$F\左（x\右）+C$是$f$最通用的反导数，并写
不定积分
在后面的文章中，我们将研究如何集成涉及乘积、商和组合的各种函数。在这里，我们转向在许多应用中经常出现的反导数的一个常见用途：求解微分方程。
初始值问题
反衍生物
衍生品的应用
m53623
导言
*使用sigma（求和）表示法计算整数的和和幂。
*使用矩形面积的总和来近似曲线下的面积。
*使用黎曼和来近似面积。
m53624
如前所述，我们将使用已知区域的形状来近似以曲线为界的不规则区域的面积。这个过程通常需要将长串数字相加。为了更容易写下这些冗长的和，我们在这里看一些新的符号，称为sigma符号（也称为求和符号）。希腊大写字母$\Sigma，$sigma，用于以紧凑的形式表示长和值。例如，如果我们想在没有sigma符号的情况下将1到20的所有整数相加，我们必须写
Sigma（求和）表示法
现在我们有了必要的符号，我们回到手头的问题：近似曲线下的面积。设$f\old（x\right）$是一个连续的非负函数，定义在闭合区间$\old[a， b\right]上。$我们想近似上面以$f\old（x\right）$为界的区域*A*，下面的*x*-轴，左边的线$x=a$，右边的线$x=b$（[link]）。
近似面积
到目前为止，我们一直使用矩形来近似曲线下的面积。这些矩形的高度是通过在子区间$\old[{x}_{i-1}，{x}_{i}\right]的右或左端点评估函数来确定的。$实际上，没有理由将函数的评估限制在这两个点中的一个。我们可以在任何点上评估函数${x}_{i}^{\*}$ 在子区间$\old[{x}_{i-1}，{x}_{i}\right]，$并使用$f\old（{x}_{i}^{\*}\）$作为矩形的高度。这给了我们表单面积的估计
形成黎曼和
近似区域
*说明定积分的定义。
*解释术语被积函数、积分极限和积分变量。
*解释函数何时可积。
*描述定积分和净面积之间的关系。
*使用几何和定积分的性质来评估它们。
*计算函数的平均值。
m53631
定积分推广了曲线下面积的概念。我们提出了$f\左（x\右）$是连续的和非负的要求，定义定积分如下。
定义和符号
由于计算的复杂性，以这种方式评估定积分可能相当乏味。在本章后面，我们将开发在不考虑黎曼和限制的情况下评估定积分的技术。然而，目前，我们可以依赖于定积分代表曲线下的面积这一事实，我们可以通过使用几何公式来计算该面积来评估定积分。我们这样做是为了确认定积分确实代表面积，因此我们可以讨论在函数曲线低于*x*轴的情况下该怎么做。
计算定积分
当我们定义定积分时，我们取消了$f\old（x\right）$是非负的要求。但是当$f\old（x\right）$为负时，我们如何解释“曲线下的面积”呢？
面积和定积分
不定积分的性质也适用于定积分。定积分也有与积分极限相关的性质。这些性质，以及我们在本章后面讨论的积分规则，帮助我们操纵表达式来评估定积分。
定积分的性质
我们经常需要找到一组数字的平均值，例如平均考试成绩。假设你在代数课上收到了以下考试成绩：89、90、56、78、100和69。你的学期成绩是你考试成绩的平均值，你想知道你会得到什么成绩。我们可以通过将所有分数相加并除以分数数来找到平均值。在这种情况下，有六个考试分数。因此，
函数的平均值
定积分
*描述积分中值定理的含义。
*说明微积分基本定理第1部分的含义。
*使用微积分基本定理，第1部分，评估积分的导数。
*说明微积分基本定理第2部分的含义。
*使用微积分基本定理，第2部分，评估定积分。
*解释差异化和一体化之间的关系。
m53632
积分中值定理指出，在封闭区间上的连续函数在该区间的某个点取其平均值。该定理保证，如果$f\old（x\right）$是连续的，则在区间$\old[a， b\right]$中存在一个点*c*，使得*c*处的函数值等于$f\old（x\right）$除以$\old[a，b\right]。$我们借助我们在上一节末尾提出的函数平均值公式，用数学方法陈述了这个定理。
积分的中值定理
如前所述，微积分基本定理是一个非常强大的定理，它建立了微分和积分之间的关系，并为我们提供了一种不用黎曼和或计算面积来评估定积分的方法。该定理由两部分组成，其中第一部分，微积分基本定理，第一部分，在这里陈述。第一部分建立了微分和积分之间的关系。
微积分基本定理第1部分：积分与反导数
微积分基本定理第二部分也许是微积分中最重要的定理。经过数学家大约500年的不懈努力，新技术出现了，为科学家提供了解释许多现象的必要工具。利用微积分，天文学家终于可以确定空间距离并绘制行星轨道图。计算边际成本或预测总利润等日常财务问题现在可以简单准确地处理。工程师可以计算材料的弯曲强度或物体的三维运动。微积分永远改变了我们对世界的看法。
微积分基本定理，第2部分：评估定理
微积分基本定理
*应用基本的积分公式。
*解释净变化定理的意义。
*使用净变化定理解决应用问题。
*应用奇数和偶数函数的积分。
m53633
回想一下反导函数表中给出的积分公式和定积分的性质规则。让我们看几个如何应用这些规则的例子。
基本积分公式
净变化定理考虑a*变化率*的积分。它说，当一个量发生变化时，新值等于初始值加上该量变化率的积分。公式可以用两种方式表示。第二种更熟悉；它只是定积分。
净变化定理
净变化定理可以应用于流体的流动和消耗，如[link]所示。
应用净变化定理
我们在函数和图中看到，偶数函数是一个函数，其中$f\old（\text{−}x\right）=f\lee（x\right）$表示域中的所有*x*-也就是说，当*x*替换为−*x*时，曲线的图形保持不变。偶数函数的图关于*y*-轴是对称的。奇数函数是一个函数，其中$f\old（\text{−}x\right）=\text{−}f\lee（x\right）$表示域中的所有*x*，函数的图关于原点是对称的。
集成偶数和奇数函数
积分公式和净变化定理
*使用代换来评估不定积分。
*使用代换来评估定积分。
m53634
设*f*、*g*、*u*和*F*如定理中规定的那样。然后
证明
代换也可以与定积分一起使用。然而，使用代换来评估定积分需要改变积分的极限。如果我们改变被积函数中的变量，积分的极限也会改变。
定积分的替换
替代
*集成涉及指数函数的函数。
*集成涉及对数函数的函数。
m53635
就微积分运算而言，指数函数可能是最有效的函数。指数函数$y={e}^{x}，$是它自己的导数和积分。
指数函数的积分
如以下规则所示，对形式为$f\old（x\right）={x}^{-1}$的函数进行积分，得到自然对数函数的绝对值。其他对数函数的积分公式，例如$f\old（x\right）=\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}x$和$f\old（x\right）={\text{log}}_{a}x，$也包含在规则中。
涉及对数函数的积分
涉及指数和对数函数的积分
*集成函数导致反三角函数
m53636
让我们从这三个公式开始本章的最后一节。除了这些公式，我们还使用代换来评估积分。我们证明了逆正弦积分的公式。
导致逆正弦函数的积分
有六个反三角函数。然而，在关于导致反三角函数的积分公式的规则中只提到了三个积分公式，因为剩下的三个是我们使用的积分公式的负版本。唯一的区别是被积函数是正的还是负的。如果被积函数是负的，不要再记住三个公式，只需考虑-1，并使用已经提供的公式之一来评估积分。为了结束本节，我们再检查一个公式：导致反正切函数的积分。
导致其他反三角函数的积分
导致反三角函数的积分
整合
m53638
导言
*通过对自变量进行积分来确定两条曲线之间区域的面积。
*找到一个复合区域的面积。
*通过对因变量进行积分，确定两条曲线之间区域的面积。
m53640
设$f\old（x\right）$和$g\old（x\right）$是间隔$\old[a， b\right]$上的连续函数，使得$f\old（x\right）\ge g\lew（x\right）$在$\lev[a，b\right]上。$我们想找到函数图之间的区域，如下图所示。
两条曲线之间区域的面积
到目前为止，我们在整个感兴趣的区间内需要$f\old（x\right）\ge g\old（x\right）$，但是如果我们想查看由相互交叉的函数图限定的区域呢？在这种情况下，我们使用绝对值函数修改我们刚刚开发的过程。
复合区域的面积
在[link]中，我们必须计算两个独立的积分来计算区域的面积。然而，还有另一种方法只需要一个积分。如果我们将曲线视为$y的函数，$而不是$x的函数会怎样？$查看[link]。请注意，左图以红色显示，由函数$y=f\old（x\right）={x}^{2}表示。$我们可以很容易地为$x$解决这个问题，并用函数$x=v\lee（y\right）=\sqrt{y}表示曲线。$（请注意，$x=\text{−}\sqrt{y}$也是函数$y=f\lee（x\right）={x}^{2}$作为$y的函数的有效表示。$然而，根据图表，很明显我们对正平方根感兴趣。）类似地，右图由函数$y=g\lew（x\right）=2-x，$表示，但也可以很容易地由函数$x=u\lew（y\right）=2-y表示。$当图表示为$y的函数时，$我们看到该区域在左侧以一个函数的图为界，在右侧以另一个函数的图为界。因此，如果我们对$y进行积分，$我们只需要计算一个积分。让我们为这种类型的积分开发一个公式。
关于*y*定义的区域
曲线之间的区域
*通过积分横截面（切片法）确定固体的体积。
*使用磁盘方法查找旋转固体的体积。
*使用垫圈方法找到带有空腔的旋转固体的体积。
m53642
正如面积是二维区域的数值度量一样，体积也是三维实体的数值度量。我们大多数人都通过使用基本的几何公式来计算固体的体积。例如，矩形固体的体积可以通过乘以长度、宽度和高度来计算：$V=lwh。$球体体积的公式$\左（V=\frac{4}{3}{3}\pi{r}^{3}\右），$锥体$\左（V=\frac{1}{3}\pi{r}^{2}h\右），$和金字塔$\左（V=\frac{1}{3}Ah\right）$也被引入。虽然其中一些公式是仅使用几何推导出来的，但所有这些公式都可以通过积分得到。
卷和切片方法
如果一个平面中的一个区域围绕该平面中的一条线旋转，得到的固体称为旋转固体，如下图所示。
革命的固体
当我们将切片方法用于旋转固体时，它通常被称为圆盘方法，因为对于旋转固体，用于过度近似固体体积的切片是圆盘。为了看到这一点，考虑旋转函数$f\old（x\right）={\lee（x-1\right）}^{2}+1$和$x\text{-轴}$之间的区域所产生的旋转固体，该区域位于$x\text{-轴}\text{.}$周围的间隔$\左[-1,3\右]$上。函数和代表性磁盘的图表显示在[链接]（a）和（b）中。旋转区域和生成的实体显示在[链接]（c）和（d）中。
磁盘方法
一些旋转的固体在中间有空洞；它们并不是一直到旋转轴都是固体。有时，这只是旋转区域相对于旋转轴的形状的结果。在其他情况下，当旋转区域被定义为两个函数图之间的区域时，空洞就会出现。第三种可能发生的情况是选择了$x\text{-轴}$或$y\text{-轴}$以外的旋转轴。
垫圈法
通过切片确定体积
*使用圆柱壳的方法计算旋转固体的体积。
*比较计算转数的不同方法。
m53643
同样，我们正在进行一场革命。和之前一样，我们定义了一个区域$R，$上面以函数$y=f\左（x\右）的图形为界，$下面以$x\text{-轴，}$为界，左边和右边分别以$x=a$和$x=b，$为界，如[link]（a）所示。然后我们将该区域围绕*y*-轴旋转，如[link]（b）所示。请注意，这与我们之前所做的不同。以前，根据$x$的函数定义的区域围绕$x\text{-轴}$或与其平行的线旋转。
圆柱壳的方法
我们已经研究了几种寻找旋转固体体积的方法，但是我们如何知道使用哪种方法呢？它通常归结为选择哪个积分最容易评估。[链接]描述了围绕$x\text{-轴}的旋转固体的不同方法。$由您来开发围绕$y\text{-轴}的旋转固体的类似表格。$
我们应该使用哪种方法？
革命卷：圆柱形外壳
*确定曲线的长度，$y=f\左（x\右），$在两点之间。
*确定曲线的长度，$x=g\old（y\right），$在两点之间。
*找到旋转固体的表面积。
m53644
在以前的积分应用中，我们要求函数$f\old（x\right）$是可积的，或者最多是连续的。然而，为了计算弧长，我们对$f\old（x\right）有更严格的要求。$在这里，我们要求$f\old（x\right）$是可微分的，此外，我们要求它的导数${f}^{\Prime}\lee（x\right），$是连续的。像这样具有连续导数的函数称为*平滑*。（这个属性在后面的章节中再次出现。）
曲线的弧长*y*=*f*（*x*）
我们刚刚已经看到了如何用线段来近似曲线的长度，如果我们想找到一个函数$y的图形的弧长，$我们可以重复同样的过程，只是我们划分了$y\text{-轴}$而不是$x\text{-轴}。$[link]显示了一个有代表性的线段。
曲线的弧长*x*=*g*（*y*）
我们用来求曲线弧长的概念可以推广到求一个回转曲面的表面积。表面积是物体外层的总面积。对于立方体或砖块等物体，物体的表面积是其所有面的面积之和。对于曲面，情况稍微复杂一点。设$f\old（x\right）$为区间$\old[a， b\right]上的非负平滑函数。$我们希望找到由$y=f\old（x\right）$的图形围绕$x\text{-ax}$旋转所创建的回转曲面的表面积，如下图所示。
革命表面的区域
曲线的弧长和表面积
*根据一维物体的线性密度函数确定其质量。
*根据径向密度函数确定二维圆形物体的质量。
*计算沿直线作用的可变力所做的功。
*计算将液体从一个高度泵送到另一个高度所做的功。
*求水下垂直板的静水力。
m53648
我们可以使用积分来开发一个基于密度函数计算质量的公式。首先，我们考虑一根细杆或电线。定位杆，使其与$x\text{-轴对齐，}$杆的左端在$x=a$，杆的右端在$x=b$（[链接]）。请注意，尽管我们在图中用一定的厚度描述了杆，但出于数学目的，我们假设杆足够薄，可以被视为一维物体。
质量和密度
我们现在考虑工作。在物理学中，功与力有关，力通常被直观地定义为对物体的推或拉。当力移动物体时，我们说力确实对物体起作用。换句话说，功可以被认为是移动物体所需的能量。根据物理学，当我们有一个恒定的力时，功可以表示为力和距离的乘积。
原力完成的工作
考虑一下从水箱中抽出水（或其他液体）所做的工作。抽水问题比弹簧问题稍微复杂一点，因为许多计算取决于水箱的形状和大小。此外，我们不关心移动单个质量所做的工作，而是关注移动大量水所做的工作，从水箱底部移动水比从水箱顶部移动水需要更多的工作。
泵中完成的工作
在最后一节中，我们来看看对浸没在液体中的物体施加的力和压力。在英制中，力以磅为单位。在公制中，它以牛顿为单位。压力是每单位面积的力，所以在英制中，我们有磅每平方英尺（或者更常见的是，磅力每平方英寸，表示psi）。在公制中，我们有牛顿每平方米，也称为*pascals*。
静水力和压力
物理应用
*找出沿着一条线分布的物体的质心。
*定位薄板的质心。
*使用对称性来帮助定位薄板的形心。
*应用Pappus的体积定理。
m53649
让我们从一维背景下的质心开始。考虑一根质量微不足道的细长电线或杆，如[link]（a）所示。现在假设我们将质量为${m}_{1}$和${m}_{2}$的物体分别放置在距支点的距离${d}_{1}$和${d}_{2}$处，如[link]（b）所示。
弥撒和瞬间中心
到目前为止，我们已经研究了线和平面上的点质量系统。现在，不是让系统的质量集中在离散的点上，我们想看看系统的质量连续分布在薄片上的系统。为了我们的目的，我们假设薄片足够薄，可以像二维一样处理。这样的薄片称为薄片。接下来，我们开发技术来寻找薄片的质心。在这一节中，我们还假设薄片的密度是恒定的。
薄板质心
当我们观察矩形的形心时，我们已经说明了对称原理。对称原理在寻找对称区域的质心时会有很大帮助。考虑下面的例子。
对称原理
本节最后讨论了Pappus体积定理，它允许我们通过使用形心来找到特定种类固体的体积。（也有一个Pappus表面积定理，但它比体积定理用处小得多。）
Pappus定理
质量矩和中心
*将自然对数的定义写成积分。
*识别自然对数的导数。
*集成涉及自然对数函数的函数。
*通过整数定义数字$e$。
*识别指数函数的导数和积分。
*使用积分证明对数和指数函数的性质。
*用自然对数和指数表示一般对数和指数函数。
m53650
回想一下积分的幂法则：
作为积分的自然对数
由于我们定义自然对数的方式，由于微积分基本定理，下面的微分公式立即出现了。
自然对数的性质
现在我们已经定义了自然对数，我们可以使用该函数来定义数字$e。$
定义数字*e*
我们现在将注意力转向函数${e}^{x}。$请注意，自然对数是一对一的，因此具有反函数。现在，我们用$\text{exp}{\规则{0.2em}{0ex}}x来表示这个反函数。$然后，
指数函数
由于指数函数是根据反函数定义的，而不是根据$e的幂定义的，$我们必须验证函数${e}^{x}的通常指数定律是否成立。$
指数函数的性质
我们通过查看除$e之外的基的指数函数和对数来结束本节。$指数函数是形式为$f\old（x\right）={a}^{x}的函数。$请注意，除非$a=e，否则$我们仍然没有对无理指数的这些函数进行数学上严格的定义。让我们在这里通过定义函数$f\old（x\right）={a}^{x}$来纠正这一点，根据指数函数${e}^{x}。$然后我们检查具有$e$以外的基的对数作为指数函数的反函数。
一般对数和指数函数
积分、指数函数和对数
*在应用中使用指数增长模型，包括人口增长和复利。
*解释加倍时间的概念。
*在应用中使用指数衰变模型，包括放射性衰变和牛顿冷却定律。
*解释半衰期的概念。
m53651
许多系统表现出指数增长。这些系统遵循形式为$y={y}_{0}{e}^{kt}的模型，其中${y}_{0}$表示系统的初始状态，$k$是一个正常数，称为*增长常数*。请注意，在指数增长模型中，我们有
指数增长模型
指数函数也可以用来模拟减少的种群（例如，由于疾病），或者随着时间的推移分解的化合物。我们说这样的系统表现出指数衰减，而不是指数增长。模型几乎是一样的，只是指数中有一个负号。因此，对于一些正常数$k，$我们有$y={y}_{0}{e}^{\text{−}kt}。$
指数衰减模型
指数增长和衰减
*应用双曲函数的导数和积分公式。
*应用双曲反函数及其相关积分的导数公式。
*描述悬链线曲线的常见应用条件。
m53653
回想一下，双曲正弦和双曲余弦定义为
双曲函数的导数和积分
观察双曲函数的图，我们看到在适当的范围限制下，它们都有逆。大多数必要的范围限制可以通过仔细检查图来识别。下表总结了逆双曲函数的域和范围。
反双曲函数演算
双曲函数的一个物理应用涉及悬挂电缆。如果一根密度均匀的电缆悬挂在两个支架之间，除了自身重量之外没有任何负载，电缆就会形成一条曲线，称为悬链线。高压电力线、挂在两个柱子之间的链条和蜘蛛网的股线都形成悬链线。下图显示了挂在一排柱子上的链条。
应用
双曲函数的微积分
集成应用
m54049
1.$\int{u}^{n}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{{u}^{n+1}}{n+1}+C， n\ne\text{−}1$
基本积分
18.$\int{\text{sin}}^{2}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{2}u-\frac{1}{4}\text{sin}{\规则{0.2em}{0ex}} 2u+C$
三角积分
42.$\int u{e}^{au}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{{a}^{2}}\左（au-1\右）{e}^{au}+C$
指数积分和对数积分
49.$\int\text{sinh}{\规则{0.2em}{0ex}}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=\text{cosh}{\规则{0.2em}{0ex}}u+C$
双曲积分
59.$\int{\text{sin}}^{-1}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=u{\规则{0.2em}{0ex}}{\text{sin}}^{-1}u+\sqrt{1-{u}^{2}}+C$
反三角积分
68.$\int\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{2}\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}\左（u+\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}\右）+C$
涉及*a*2+*u*2，*a*>0的积分
77.$\int\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}-\frac{a}^{2}}{2}\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}|u+\sqrt{u}^{2}-{a}^{2}}|+C$
涉及*u*2−*a*2，*a*>0的积分
85.$\int\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{2}{\text{sin}}^{-1}\frac{u}{a}+C$
涉及*a*2−*u*2，*a*>0的积分
94.$\int\sqrt{2au-{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u-a}{2}\sqrt{2au-{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{\text{cos}}^{-1}\左（\frac{a-u}{a}\右）+C$
涉及2*au*−*u*2，*a*>0的积分
98.$\int\frac{u{\规则{0.2em}{0ex}}du}{a+bu}=\frac{1}{{b}^{2}}\左（a+bu-a\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}|a+bu|\右）+C$
涉及*a*+*bu*，*a*≠0的积分
积分表
m54050
1.$\frac{d}{dx}\左（c\右）=0$
通用公式
9.$\frac{d}{dx}\左（\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}}x\right）=\text{cos}{\规则{0.1em}{0ex}}x$
三角函数
15.$\frac{d}{dx}\左（{\text{sin}}^{-1}x\right）=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$
反三角函数
21.$\frac{d}{dx}\左（{e}^{x}\右）={e}^{x}$
指数和对数函数
25.$\frac{d}{dx}\左（\text{sinh}{\规则{0.1em}{0ex}}x\right）=\text{cosh}{\规则{0.1em}{0ex}}x$
双曲函数
31.$\frac{d}{dx}\左（{\text{sinh}}^{-1}x\右）=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
逆双曲函数
衍生品表
m54053
$A=\text{Area}，$$V=\text{Volume}，{\规则{0.2em}{0ex}}\text{and}$S=\text{横向表面积}$
几何公式
代数公式
三角学的公式
预微积分复习