Precalculus面向大学水平的Precalculus学生。由于Precalculus课程因机构而异，我们试图满足尽可能广泛的受众需求，包括任何特定课程可能涵盖的所有内容。其结果是一本全面的书，涵盖的内容比教师在典型的一两个学期课程中可能涵盖的内容还要多；但教师应该几乎毫无疑问地发现，他们希望在教学大纲中包含的主题都包含在课文中。Openstax Precalculus的许多章节适用于其他大一和大二数学课程，如大学代数和三角学；然而，这些课程的教师可能需要补充或调整材料。Openstax还将发布针对这些课程的特定范围、顺序和教学法量身定制的大学代数和三角学标题。
m50919
额外资源
关于作者
序言
m49299
功能简介
在本节中，您将：

*确定关系是否代表函数。
*查找函数的值。
*确定一个函数是否是一对一的。
*使用垂直线测试来识别功能。
*绘制函数库中列出的函数。
m49301
关系是一组有序对。每个有序对的第一个分量的集合称为**域**，每个有序对的第二个分量的集合称为**范围**。考虑以下一组有序对。每对中的第一个数字是前五个自然数。每对中的第二个数字是第一个数字的两倍。
确定关系是否表示函数
当我们知道一个输入值，想要为函数确定对应的产出值时，我们就*评估*函数，评估总是会产生一个结果，因为函数的每个输入值正好对应一个产出值。
查找函数的输入和输出值
有些函数有一个给定的产出值对应于两个或多个输入值，例如，在本章开头的图中所示的股票图表中，股票价格在五个不同的日期为1000美元，这意味着有五个不同的输入值都导致了相同的产出值1000美元。
确定函数是否是一对一的
正如我们在上面的一些例子中看到的，我们可以用图形来表示一个函数。图形在一个小空间里显示了大量的输入-输出对。它们提供的视觉信息通常使关系更容易理解。按照惯例，图形通常是由沿水平轴的输入值和沿垂直轴的输出值构成的。
使用垂直线测试
一旦我们确定了一个图定义了一个函数，确定它是否是一对一函数的一个简单方法是使用水平线测试。通过图绘制水平线。如果任何水平线与图相交不止一次，那么图不代表一对一的函数。
使用水平线测试
在本文中，我们将探索函数——它们的图形形状、它们的独特特征、它们的代数公式，以及如何用它们解决问题。学习阅读时，我们从字母表开始。学习算术时，我们从数字开始。在处理函数时，拥有一组基本的构建块元素同样很有帮助。我们将这些称为我们的“工具包函数”，它们形成了一组基本的命名函数，我们知道它们的图形、公式和特殊属性。其中一些函数被编程到许多计算器上的单个按钮上。对于这些定义，我们将使用$x$作为输入变量，使用$y=f\左（x\右）$作为输出变量。
识别基本工具包函数
函数和函数符号
在本节中，您将：

*查找由方程定义的函数的域。
*图分段定义的函数。
m49304
在函数和函数表示法中，我们被介绍了域和范围的概念。在本节中，我们将练习确定特定函数的域和范围。请记住，在确定域和范围时，我们需要考虑在现实世界的例子中什么是物理上可能或有意义的，例如上面恐怖电影示例中的门票销售和年份。我们还需要考虑数学上允许的内容。例如，如果域和范围由实数组成，我们不能包含任何导致我们取负数的偶数根的输入值。或者在以公式表示的函数中，我们不能在域中包含任何导致我们除以0的输入值。
求由方程定义的函数的域
在前面的示例中，我们使用不等式和列表来描述函数的域。我们还可以使用不等式或其他可能定义值或数据集的语句来描述设置构建器表示法中变量的行为。例如，$\old\{x|10\le x<30\right\}$描述了$x$在设置构建器表示法中的行为。大括号$\lee\{\right\}$被读作“the set of”，竖条|被读作“so that”，因此我们将$\old\{x|10\le x<30\right\}$读作“使得10小于或等于$x，$和$x$小于30的*x*值集”。
使用符号指定域和范围
识别函数的域和范围的另一种方法是使用图。因为域指的是一组可能的输入值，所以图的域由*x*-轴上显示的所有输入值组成。范围是一组可能的输出值，它们显示在*y*-轴上。请记住，如果图继续超出我们可以看到的图的部分，域和范围可能大于可见值。见[链接]。
从图中查找域和范围
我们现在将返回我们的工具包函数集来确定每个函数的域和范围。
查找Toolkit函数的域和范围
有时，我们会遇到一个函数需要多个公式才能获得给定的输出。例如，在工具包函数中，我们引入了绝对值函数$f\old（x\right）=|x|。$对于所有实数的域和大于或等于0的值范围，绝对值可以定义为实数值的大小或模数，而不管符号如何。它是数线上与0的距离。所有这些定义都要求输出大于或等于0。
绘制分段定义函数
域和范围
在本节中，您将：

*求函数的平均变化率。
*使用图表来确定函数在哪里增加、减少或保持不变。
*使用图形定位局部最大值和局部最小值。
*使用图表定位绝对最大值和绝对最小值。
m49306
每年的价格变化是一个变化率，因为它描述了产出数量相对于投入数量的变化是如何变化的。我们可以看到[链接]中汽油价格每年的变化量并不相同，所以变化率不是恒定的。如果我们只使用开始和结束的数据，我们将找到指定时间段内的平均变化率。为了找到平均变化率，我们将产出值的变化除以投入值的变化。
求函数的平均变化率
作为探索函数如何变化的一部分，我们可以识别函数以特定方式变化的区间。我们说，如果函数值在该区间内随着输入值的增加而增加，则函数在该区间上增加。类似地，如果函数值随着输入值在该区间上的增加而减少，则函数在该区间上减少。递增函数的平均变化率为正，递减函数的平均变化率为负。[链接]显示了函数上增加和减少间隔的示例。
使用图确定函数在哪里增加、减少或恒定
我们现在将返回我们的工具包函数并在[link]、[link]和[link]中讨论它们的图形行为。
分析Toolkit函数以增加或减少间隔
在围绕开放区间（局部）的区域中定位图上的最高点和最低点与为整个域定位图上的最高点和最低点是有区别的，位于最高点和最低点的$y\text{-}$坐标（输出）分别称为**绝对最大值**和**绝对最小值**。
使用图定位绝对最大值和绝对最小值
图的变化率和行为
在本节中，您将：

*使用代数运算组合函数。
*通过组合函数创建新函数。
*评估复合功能。
*查找复合函数的域。
*将复合函数分解为其组件函数。
m49308
函数组合只是组合现有函数的一种方法。另一种方法是对函数进行通常的代数运算，如加法、减法、乘法和除法。我们通过对函数输出执行操作来做到这一点，将结果定义为新函数的输出。
使用代数运算组合函数
对函数执行代数运算将它们组合成一个新函数，但我们也可以通过组合函数来创建函数。当我们想计算一年中某一天的供暖成本时，我们创建了一个新函数，该函数将一天作为输入，并产生一个成本作为输出。组合函数以使一个函数的输出成为另一个函数的输入的过程称为函数组合**. ** 结果函数称为**复合函数**。我们用以下符号表示这种组合：
通过组合函数创建函数
一旦我们从两个现有函数组成一个新函数，我们需要能够为其域中的任何输入评估它。我们将使用表示为表格、图形和公式的函数的特定数字输入来做到这一点，并将变量作为表示为公式的函数的输入。在每种情况下，我们使用起始输入评估内部函数，然后使用内部函数的输出作为外部函数的输入。
评估复合函数
正如我们之前讨论的，复合函数（如$f\Circ g$）的域依赖于$g$的域和$f的域。$重要的是要知道什么时候我们可以应用复合函数，什么时候我们不能，即知道函数（如$f\Circ g）的域。$让我们假设我们分别知道函数$f$和$g$的域。如果我们将输入$x$的复合函数编写为$f\old（g\lee（x\right）\right），$我们可以立即看到$x$必须是$g$域的成员才能使表达式有意义，因为否则我们无法完成内部函数求值。但是，我们也看到$g\old（x\right）$必须是$f域的成员，$否则$f\old（g\lee（x\right）\right）$中的第二个函数求值无法完成，表达式仍然未定义。因此，$f\Circ g$的域仅由$g$域中的那些输入组成，这些输入从属于$f域的$g$产生输出。$注意，由$g$组成的$f$域是所有$x$的集合，因此$x$在$g$的域中，而$g\old（x\right）$在$f的域中。$
寻找复合函数的域
在某些情况下，分解一个复杂的函数是必要的，换句话说，我们可以把它写成两个更简单的函数的组合。分解一个复合函数的方法可能不止一种，所以我们可能会选择看起来最权宜之计的分解。
将复合函数分解为其组件函数
功能组成
在本节中，您将：

*使用垂直和水平移动的图形函数。
*使用关于$x$-轴和$y$-轴的反射的图函数。
*从其图形中确定函数是偶数、奇数还是两者都不是。
*使用压缩和拉伸的图形函数。
*结合转换。
m49312
通常，当给定一个问题时，我们会尝试使用数学以单词、表格、图表的形式对场景进行建模，和方程。我们可以采用的一种方法是调整工具包函数的基本图表，为给定的场景构建新模型。有系统的方法可以改变函数，为我们试图解决的问题构建适当的模型。
使用垂直和水平移位绘制函数
另一个可以应用于函数的转换是*x*-或*y*-轴上的反射。**垂直反射**在*x*-轴上垂直反射图形，而**水平反射**在*y*-轴上水平反射图形。反射如[link]所示。
使用关于轴的反射绘制函数
一些函数表现出对称性，因此反射会产生原始图。例如，水平反射工具包函数$f\lew（x\right）={x}^{2}$或$f\lew（x\right）=|x|$将产生原始图。我们说这些类型的图关于*y*-轴是对称的。图关于*y*-轴是对称的函数称为**偶数函数。**
确定偶数和奇数函数
向函数的输入或输出添加常数会改变图相对于轴的位置，但它不会影响图的形状。我们现在探索将输入或输出乘以某个数量的效果。
使用拉伸和压缩绘制函数
在组合变换时，考虑变换的顺序非常重要。例如，垂直移动3然后垂直拉伸2不会创建与垂直拉伸2然后垂直移动3相同的图，因为当我们首先移位时，原始函数和移位都被拉伸，而当我们首先拉伸时，只有原始函数被拉伸。
执行一系列转换
功能转换
在本节中，您将：
*绘制绝对值函数。
*求解绝对值方程。
*解决绝对值不等式。
m49314
回想一下，基本形式为$f\old（x\right）=|x|，$绝对值函数，是我们的工具包函数之一。绝对值函数通常被认为是提供数字行上数字与零的距离。代数上，无论输入值是什么，输出都是不考虑符号的值。
理解绝对值
绝对值图最显著的特征是图改变方向的拐点。该点显示在[link]的原点。
绘制绝对值函数
现在我们可以绘制一个绝对值函数，我们将学习如何求解一个绝对值方程。要解一个方程，比如8美元=|2x-6|，$我们注意到，如果绝对值内部的数量是8或-8，绝对值将等于8。这导致我们可以独立求解两个不同的方程。
求解绝对值方程
绝对值方程可能并不总是涉及等式。相反，我们可能需要在一个值范围内求解一个方程。我们将使用绝对值不等式来求解这样一个方程。绝对值不等式是形式的方程
解决绝对值不等式
绝对值函数
在本节中，您将：

*验证反函数。
*确定反函数的域和范围，并限制函数的域使其一对一。
*查找或评估函数的逆。
*使用一对一函数的图形在同一轴上绘制其逆函数。
m49320
贝蒂要去米兰参加一场时装秀，她想知道气温会是多少。她不熟悉摄氏度。为了了解温度测量是如何相关的，贝蒂想使用公式将75华氏度转换为摄氏度
验证两个函数是反函数
函数$f$的输出是${f}^{-1}的输入，$因此$f$的范围也是${f}^{-1}的域。$同样，因为$f$的输入是${f}^{-1}的输出，$f$的域是${f}^{-1}的范围。$我们可以像[link]一样可视化情况。
求反函数的域和范围
一旦我们有了一对一的函数，我们就可以在特定的逆函数输入处评估它的逆，或者在许多情况下构造逆函数的完整表示。
查找和评估反函数
现在我们可以找到函数的逆，我们将探索函数图及其逆。让我们回到二次函数$f\old（x\right）={x}^{2}$仅限于域$\old[0，\infty\right）\text{，}$，该函数在其上是一对一的，并将其绘制为[link]。
寻找反函数及其图
反函数
函数
m49321
线性函数简介
在本节中，您将：

*表示线性函数。
*确定线性函数是增加、减少还是不变。
*计算和解释斜率。
*写出方程的点-斜率形式。
*编写和解释线性函数。
m49324
描述火车运动的函数是**线性函数**，定义为变化率恒定的函数，即1次的多项式。表示线性函数有几种方法，包括词形、函数符号、表格形式和图形形式。我们将使用每种方法将火车的运动描述为一个函数。
表示线性函数
我们在前面两个例子中使用的线性函数随着时间的推移而增加，但并不是每个线性函数都增加。线性函数可以是增加的、减少的或恒定的。对于增加的函数，如训练示例，输出值随着输入值的增加而增加。增加函数的图形具有正斜率。斜率为正的线从左向右倾斜，如[link]**（a）**。对于递减函数，斜率为负。输出值随着输入值的增加而减少。斜率为负的线从左向右倾斜，如[link]**（b）**。如果函数是常数，则所有输入值的输出值都是相同的，因此斜率为零。斜率为零的线是水平的，如[link]**（c）**。
确定线性函数是增加、减少还是恒定
在我们目前看到的例子中，我们已经为我们提供了斜率。然而，我们经常需要在给定输入和输出值的情况下计算斜率。给定输入的两个值，${x}_{1}$和${x}_{2}，$和输出的两个对应值，${y}_{1}$
${y}_{2}$-可以用一组点表示，
我们可以计算斜率$m，$
如下
计算和解释斜坡
到目前为止，我们一直使用线性方程的斜率截距形式来描述线性函数。在这里，我们将学习另一种编写线性函数的方法，点斜率形式。
线性方程的点-斜率形式的写法
现在我们已经编写了斜率截距形式和点斜率形式的线性函数方程，我们可以根据给出的信息选择使用哪种方法。该信息可能以图形、点和斜率、两点等形式提供。看看[link]中函数$f$的图表。
编写和解释线性函数的方程
在现实世界中，问题并不总是用函数来明确表述或用图表来表示。幸运的是，我们可以通过首先将问题表示为线性函数，然后解释函数的组成部分来分析问题。只要我们知道或能够弄清楚线性函数的初始值和变化率，我们就可以解决许多不同类型的现实世界问题。
使用线性函数对现实世界的问题进行建模
线性函数
在本节中，您将：

*图线性函数。
*从线图中写出线性函数的方程。
*给定两条线的方程，确定它们的图形是平行的还是垂直的。
*写出与给定直线平行或垂直的直线的方程。
*求解线性方程组。
m50389
在线性函数中，我们看到线性函数的图形是一条直线。我们还能够从图表中看到函数的点以及初始值。通过绘制两个函数的图形，我们可以更容易地比较它们的特性。
绘制线性函数
回想一下，在线性函数中，我们从图中编写了线性函数的方程。现在我们可以扩展我们对绘制线性函数的了解，以便更仔细地分析图。从查看[链接]开始。我们可以立即看到图在某一点上穿过*y*-轴，所以这是*y*-截距。
从线图写出函数的方程
到目前为止，我们一直在寻找函数的*y-*截距：函数的图形与*y*-轴交叉的点。一个函数也可能有一个***x****-截距，**是函数的图形与*x*-轴交叉的点的*x*-坐标。换句话说，它是产出值为零时的输入值。
查找直线的*x*-截距
图形上有两种特殊情况的线——水平线和垂直线。**水平线**表示常数输出，或*y*-值。在[link]中，我们看到每个输入值的输出值为2。因此，任意两点之间的输出变化为0。在斜率公式中，分子为0，因此斜率为0。如果我们在方程$f\old（x\right）=mx+b中使用$m=0$，则$方程简化为$f\old（x\right）=b。$换句话说，函数的值是一个常数。此图表示函数$f\old（x\right）=2。$
描述水平线和垂直线
[link]中的两条线是**平行的****线**：它们永远不会相交。请注意，它们具有完全相同的陡度，这意味着它们的斜率是相同的。两条线之间唯一的区别是*y*-截距。如果我们将一条线垂直移动到另一条线的*y*-截距，它们将成为同一条线。
确定线是平行的还是垂直的
如果我们知道一条线的方程，我们可以用我们对斜率的了解来写出一条平行或垂直于给定线的线的方程。
书写与给定线平行或垂直的线的方程
线性方程组包括两个或多个线性方程组。两条线的图形如果不平行，将在单点相交。两条平行线如果重合也可以相交，这意味着它们是同一条线，它们在每个点都相交。对于两条不平行的线，单点相交将满足两个方程，因此代表系统的解。
使用图求解线性方程组
线性函数图
在本节中，您将：

*确定建模和求解的步骤。
*从口头描述建立线性模型。
*建立线性模型系统。
m49326
当使用线性函数建模场景并解决涉及具有恒定变化率的量的问题时，我们通常遵循与任何类型的函数相同的问题策略。让我们简要回顾一下：
确定建模和解决问题的步骤
现在让我们看看西雅图的学生。在Elan的情况下，有两个变化的数量：时间和金钱。他们度假时剩下的钱取决于他们呆了多长时间。我们可以使用这些信息来定义我们的变量，包括单位。
构建线性模型
包含两个或多个线性函数的真实情况可以用线性方程组建模。记住，当求解线性方程组时，我们要寻找两条线的共同点。通常，有三种可能的答案，如[链接]所示。
线性模型的构建系统
使用线性函数建模
在本节中，您将：

*绘制和解释散点图。
*找到最合适的线。
*区分线性和非线性关系。
*使用线性模型进行预测。
m49327
散点图是可以显示两组数据之间关系的点图。如果关系来自线性模型，或者接近线性的模型，教授可以利用他对线性函数的知识得出结论。[链接]显示样本散点图。
绘制和解释散点图
一旦我们认识到需要线性函数来模拟数据，自然的后续问题是“线性函数是什么？”近似线性函数的一种方法是绘制似乎最适合数据的线。然后我们可以延长线，直到我们可以验证*y*-截距。我们可以通过延长线来近似斜率，直到我们可以估计$\frac{\text{rose}}{\text{run}}。$
寻找最合适的产品线
正如我们在上面的蟋蟀啁啾模型中看到的，一些数据表现出很强的线性趋势，但其他数据，如按年龄绘制的期末考试分数，显然是非线性的。大多数计算器和计算机软件也可以为我们提供**相关系数**，这是线与数据拟合程度的度量。许多图形计算器要求用户打开“诊断”选项来找到相关系数，数学家将其标记为$r。$相关系数提供了一种简单的方法来了解数据离直线有多近。
区分线性和非线性模型
一旦我们使用相关系数确定一组数据是线性的，我们就可以使用回归线进行预测。正如我们上面学到的，回归线是最接近散点图中数据的线，这意味着只有一条这样的线最适合数据。
用回归线预测
将线性模型拟合到数据
线性函数
m49334
多项式和有理函数简介
在本节中，您将：

*将负数的平方根表示为$i$的倍数。
*在复数平面上绘制复数。
*添加和减去复数。
*乘除复数。
m49335
我们知道如何求任何正实数的平方根，用类似的方法，我们可以求负数的平方根，不同的是根不是实数，如果根中的值为负，则称根为虚数**. ** 虚数$i$定义为负1的平方根。
将负数的平方根表示为*i*的倍数
我们不能像绘制实数那样在数线上绘制复数。然而，我们仍然可以用图形来表示它们。为了表示复数，我们需要解决数字的两个组成部分。我们使用复数平面，这是一个坐标系，其中横轴表示实分量，纵轴表示虚分量。复数是平面上的点，表示为有序对$\左（a， b\右），$其中$a$表示水平轴的坐标，$b$表示垂直轴的坐标。
在复平面上绘制复数
就像实数一样，我们可以对复数进行算术运算。要添加或减去复数，我们将实部和虚部结合起来。
添加和减去复数
复数相乘很像二项式相乘。主要区别在于我们分别使用实部和虚部。
复数相乘
两个复数的除法比加法、减法和乘法更复杂，因为我们不能除以虚数，这意味着任何分数都必须有实数分母。我们需要找到一个术语，通过它我们可以将分子和分母相乘，从而消除分母的虚部，从而最终得到一个实数作为分母。这个术语被称为分母的复共轭，它是通过改变复数虚部的符号来找到的。换句话说，$a+bi$的复共轭是$a-bi。$
除法复数
$i$的幂是循环的。让我们看看当我们把$i$提高到增加的幂时会发生什么。
简化*i*的幂
复数
在本节中，您将：

*识别抛物线的特征。
*了解抛物线的图形如何与其二次函数相关。
*确定二次函数的最小值或最大值。
*解决涉及二次函数的最小值或最大值的问题。
m49337
二次函数的图是一条被称为抛物线的U形曲线。图的一个重要特征是它有一个极值点，称为顶点。如果抛物线打开，顶点代表图上的最低点，或二次函数的最小值。如果抛物线打开，顶点代表图上的最高点，或最大值。在任何一种情况下，顶点都是图上的转折点。图也是对称的，有一条通过顶点绘制的垂直线，称为对称轴。这些特征在[link]中进行了说明。
认识抛物线的特征
二次函数**的一般形式**表示形式中的函数
了解抛物线图如何与其二次函数相关
任何数字都可以是二次函数的输入值。因此，任何二次函数的域都是实数。因为抛物线有一个最大值或最小值点，所以范围受到限制。由于抛物线的顶点要么是最大值，要么是最小值，因此范围将由大于或等于转折点处的*y*-坐标或小于或等于转折点处的*y*-坐标的所有*y*-值组成，这取决于抛物线是向上还是向下打开。
求二次函数的域和范围
二次函数在顶点的输出是函数的最大值或最小值，取决于抛物线的方向，我们可以在[link]中看到最大值和最小值。
确定二次函数的最大值和最小值
二次函数
在本节中，您将：

*确定功率函数。
*识别幂函数的最终行为。
*识别多项式函数。
*识别多项式函数的度和领先系数。
m49346
为了更好地理解鸟的问题，我们需要了解一种特定类型的函数。**幂函数**是一个具有单个项的函数，它是实数、**系数、**和一个升到固定实数的变量的乘积。（将升到指数的变量相乘的数字称为系数。）
识别幂函数
[link]显示了$f\old（x\right）={x}^{2}、{\规则{0.5em}{0ex}}g\old（x\right）={x}^{4}$和$\text{和}{\规则{0.5em}{0ex}}h\old（x\right）={x}^{6}，$这些都是具有偶数正整数幂的幂函数。请注意，这些图具有相似的形状，非常类似于工具包中的二次函数。然而，随着幂的增加，图在原点附近变平，远离原点变得更陡。
识别幂函数的端行为
墨西哥湾的一条输油管道破裂，导致浮油呈大致圆形。浮油目前半径为24英里，但半径每周增加8英里。我们想通过结合两个函数来编写浮油覆盖区域的公式。半径$r$
的泄漏取决于周数$w$
已经过去了。这种关系是线性的。
识别多项式函数
由于多项式函数的形式，我们可以看到项的数量和变量的幂的无限变化。虽然多项式函数中项的顺序对于执行操作并不重要，但我们通常以幂的降序排列项，或者以一般形式排列。多项式的度是多项式中出现的变量的最高幂；如果函数是一般形式，它是第一个变量的幂。前导项是包含变量最高幂的项，或者是度数最高的项。前导系数是前导项的系数。
多项式函数的度和超前系数的辨识
幂函数和多项式函数
在本节中，您将：

*识别多项式函数图的特征。
*使用因式分解来查找多项式函数的零。
*确定零及其多重性。
*确定结束行为。
*了解度与转折点之间的关系。
*图多项式函数。
*使用中值定理。
m49347
2次或以上的多项式函数有没有尖角的图；回想一下，这些类型的图被称为平滑曲线。多项式函数也显示没有中断的图。没有中断的曲线被称为连续的。[链接]显示了一个表示多项式函数的图和一个表示非多项式函数的图。
多项式函数图的识别特征
回想一下，如果${\规则{0.5em}{0ex}}f{\规则{0.5em}{0ex}}$是多项式函数，则${\规则{0.5em}{0ex}}x{\规则{0.5em}{0ex}}$的值${\规则{0.5em}{0ex}}f\左（x\右）=0{\规则{0.5em}{0ex}}$称为${\规则{0.5em}{0ex}}f.{\规则{0.5em}{0ex}}$如果多项式函数的方程可以分解，我们可以将每个因子设置为零并求解零***。
用因式分解求多项式函数的零点
图表在各种$x\text{-}$截距下的行为不同。有时，图表会在截距处跨越横轴。其他时候，图表会接触横轴并反弹。
识别零及其多重性
正如我们已经学到的，形式的多项式函数图的行为
确定最终行为
除了结束行为，回想一下我们可以分析多项式函数的局部行为。它可能有一个转折点，图形从增加到减少（上升到下降）或减少到增加（下降到上升）。看看多项式函数的图形$f\左（x\右）={x}^{4}-{x}^{3}-4{x}^{2}+4x$
在[链接]。这张图有三个转折点。
了解度与转折点的关系
我们可以利用我们所学到的关于多重性、结束行为、和转折点来绘制多项式函数的图表。让我们把这些放在一起，看看绘制多项式函数所需的步骤。
图形多项式函数
在某些情况下，我们可能知道图上的两个点，但不知道零。如果这两个点在*x*-轴的相对两侧，我们可以确认它们之间有一个零。考虑一个多项式函数$f$
其图是平滑和连续的。**中值定理**指出，对于两个数字$a$
和$b$
在$f的域中，$if$a
和$f\嘴（a\right）\ne f\嘴（b\right），$然后是函数$f$
接受$f\old（a\right）$之间的每个值
和$f\左（b\右）。$

我们可以将此定理应用于绘制多项式函数的特殊情况。如果连续函数$f$图上的一个点
at$x=a$
位于$x\text{-}$轴上方，另一个点位于$x=b$
位于$x\text{-}$轴下方，$x=a$之间必须存在第三个点
和$x=b$
图形穿过$x\text{-}$轴的位置。将此点称为$\左（c，{\规则{0.5em}{0ex}}f\左（c\右）\右）。$
这意味着我们确信有一个解决方案$c$
其中$f\左（c\右）=0.$
使用中值定理
多项式函数图
在本节中，您将：

*使用长除法划分多项式。
*使用合成除法划分多项式。
m49348
我们熟悉普通算术的长除法算法。我们从除以具有最大位置值的股息数字开始。我们除法、乘法、减法，将数字包含在下一个位置值位置，然后重复。例如，让我们用长除法将178除以3。
用长除法除以多项式
正如我们所看到的，多项式的长除法可能涉及许多步骤，并且相当繁琐。**合成除法**是除以领先系数为1的线性因子的特殊情况下的多项式的速记方法。
用合成除法除以多项式
多项式除法可用于解决涉及面积和体积表达式的各种应用程序问题。我们在本节开头查看了一个应用程序。现在我们将在以下示例中解决该问题。
使用多项式除法解决应用问题
除法多项式
在本节中，您将：

*使用剩余定理评估多项式。
*使用因子定理求解多项式方程。
*使用有理零定理找到有理零。
*查找多项式函数的零。
*使用线性分解定理查找给定零的多项式。
*使用笛卡尔的符号法则。
*解决多项式方程的实际应用。
m49349
在上一节中，我们学习了如何划分多项式。我们现在可以使用多项式除法使用剩余定理来评估多项式。如果多项式除以$x-k，$余数可以通过评估$k处的多项式函数来快速找到，$即$f\左（k\右）$让我们来看看定理的证明。
使用剩余定理评估多项式
**因子定理**是另一个帮助我们分析多项式方程的定理。它告诉我们多项式的零是如何与因子相关的。回想一下除法算法告诉我们
用因子定理求解多项式方程
余数定理的另一个用途是测试一个有理数是否是给定多项式的零。但是首先我们需要一个有理数池来测试。有理数零定理帮助我们利用多项式常数项的因子和领先系数的因子的比率来缩小可能有理数零的数量
使用有理零定理寻找有理零
有理零定理帮助我们缩小多项式函数的可能有理零列表。一旦我们这样做了，我们就可以重复使用合成除法来确定多项式函数的所有零。
求多项式函数的零点
现在我们可以找到多项式函数的有理零了，我们来看一个讨论多项式函数复零个数的定理。代数**基本定理**告诉我们，每个多项式函数至少有一个复零。这个定理构成了求解多项式方程的基础。
使用代数基本定理
如上所述，代数基本定理的一个重要含义是，n次的多项式函数
如果我们允许多重性，复数集中将有$n$个零。这意味着我们可以将多项式函数分解为$n$个因子。线性分解定理告诉我们，多项式函数将具有与其度相同数量的因子，并且每个因子将采用$\左（x-c\右）的形式，$其中$c$是复数。
用线性分解定理求给定零的多项式
有一个简单的方法可以确定任何多项式函数的正负实零的可能数量。如果多项式是按降序写的，**笛卡尔的符号规则**告诉我们$f\old（x\right）$中符号变化的数量与正实零的数量之间的关系。例如，下面的多项式函数有一个符号变化。
使用笛卡尔的符号法则
我们现在已经介绍了求解多项式方程的各种工具。让我们从本节开始使用这些工具来解决面包店问题。
解决实际应用
多项式函数的零点
在本节中，您将：

*使用箭头符号。
*解决涉及理性函数的应用问题。
*找到有理函数的域。
*识别垂直渐近线。
*识别水平渐近线。
*图有理函数。
m49351
我们已经从工具包函数的研究中看到了基本倒数函数和平方倒数函数的图表。检查这些图表，如[链接]所示，并注意到它们的一些特征。
使用箭头符号
在[link]中，我们以一种方式移动了一个工具包函数，从而产生了函数$f\old（x\right）=\frac{3x+7}{x+2}。$这是一个有理函数的例子。一个**有理函数**是一个可以写成两个多项式函数的商的函数。许多现实世界的问题需要我们找到两个多项式函数的比率。涉及速率和浓度的问题通常涉及有理函数。
解决涉及有理函数的应用问题
垂直渐近线表示有理函数未定义的值，所以值不在函数的域中。倒数函数的域中不能有导致分母等于零的值。一般来说，要找到有理函数的域，我们需要确定哪些输入会导致除以零。
寻找理性函数的领域
通过查看有理函数的图，我们可以调查它的局部行为，并轻松查看是否有渐近线。我们甚至可以近似它们的位置。然而，即使没有图，我们仍然可以确定给定的有理函数是否有任何渐近线，并计算它们的位置。
识别有理函数的垂直渐近
垂直渐近线描述了当*输出*变得非常大或非常小时图的行为，而水平渐近线有助于描述当*输入*变得非常大或非常小时图的行为。回想一下，多项式的结束行为将反映前导项的行为。同样，有理函数的结束行为将反映分子和分母函数的前导项的比率。
识别有理函数的水平渐近
在[link]中，我们看到有理函数的分子揭示了图的*x*-截距，而分母揭示了图的垂直渐近线。与多项式一样，分子的因子可能具有大于1的整数幂。幸运的是，在这些截距处对图形状的影响与我们在多项式中看到的相同。
绘制有理函数
现在我们已经分析了有理函数的方程以及它们与函数图的关系，我们可以使用图给出的信息来编写函数。以因子形式编写的有理函数将有一个*x*-截距，其中分子的每个因子都等于零。（在可移除不连续性的情况下会出现异常。）因此，我们可以通过引入一组相应的因子来形成一个函数的分子，其图将通过一组*x*-截距。同样，因为函数将有一个垂直渐近线，其中分母的每个因子都等于零，我们可以通过引入一组相应的因子来形成一个分母，该分母将产生垂直渐近线。
编写理性函数
理性函数
在本节中，您将：

*求多项式函数的逆。
*限制域以查找多项式函数的逆。
m49352
两个函数$f$和$g$是逆函数，如果对于$f中的每个坐标对，{\规则{0.5em}{0ex}}\左（a，{\规则{0.5em}{0ex}}b\右），$在逆函数中存在对应的坐标对，$g，\左（b，{\规则{0.5em}{0ex}}a\右）。$换句话说，逆函数的坐标对的输入和输出互换。
求多项式函数的逆
到目前为止，我们已经能够找到三次函数的反函数，而不必限制它们的域。然而，正如我们所知，并非所有的三次多项式都是一对一的。一些不是一对一的函数可能会限制它们的域，以便它们是一对一的，但只在该域上。然后，受限域上的函数将有一个反函数。由于二次函数不是一对一的，我们必须限制它们的域才能找到它们的反函数。
限制域求多项式函数的逆
逆函数和自由基函数
在本节中，您将：

*解决直接变化问题。
*解决逆变分问题。
*解决涉及关节变异的问题。
m49353
在上面的例子中，妮可的收入可以通过将她的销售额乘以她的佣金来找到。公式$e=0.16s$告诉我们她的收入，$e，$来自0.16的乘积，她的佣金，和车辆的销售价格。如果我们创建一个表格，我们观察到随着销售价格的增加，收入也会增加，这应该是直观的。见[链接]。
解决直接变分问题
海洋中的水温与水深成反比。在250英尺到500英尺的深度之间，公式$T=\frac{14,000}{d}$给出了地球表面以下英尺深度的温度，以华氏度为单位。考虑覆盖地球表面22%的大西洋。在某个位置，在500英尺的深度，温度可能是28华氏度。
解决逆变分问题
许多情况比基本的直接变异或逆变异模型更复杂。一个变量通常取决于多个其他变量。当一个变量依赖于两个或多个变量的乘积或商时，这称为联合变异。例如，每次学校旅行为学生提供校车的费用因参加的学生人数和与学校的距离而异。变量$c，$成本，与学生人数，$n，$和距离，$d.$共同变化。
解决涉及关节变差的问题
使用变量建模
多项式和有理函数
m49356
指数和对数函数简介
在本节中，您将：

*评估指数函数。
*求指数函数的方程。
*使用复利公式。
*使用基数$e$评估指数函数。
m49361
在探索线性增长时，我们观察到一个恒定的变化率——一个恒定的数字，每增加一个单位的输入，输出就会增加。例如，在方程$f\左（x\右）=3x+4中，$斜率告诉我们，每次输入增加1，输出就会增加3。印度人口示例中的情况不同，因为我们的人数每单位时间有*%的变化（而不是恒定的变化）。
识别指数函数
回想一下，指数函数的基数必须是除1美元之外的正实数。$为什么我们将基数$b$限制为正值？以确保输出将是实数。观察如果基数不是正的会发生什么：
评估指数函数
在前面的例子中，我们得到了一个指数函数，然后我们对给定的输入进行了评估。有时，我们在不明确知道函数的情况下得到了关于指数函数的信息。我们必须使用这些信息首先编写函数的形式，然后确定常量$a$和$b，$并评估函数。
寻找指数函数的方程
收益持续再投资的储蓄工具，如共同基金和退休账户，使用复利。术语*复利*指的是不仅从原始价值上获得的利息，而且从账户的累积价值上获得的利息。
复利公式的应用
正如我们之前看到的，一个账户的收入随着复利频率的增加而增加。[链接]显示，从年复利到半年复利的增长大于从月复利到日复利的增长。这可能会让我们问这种模式是否会继续下去。
使用Base*e*评估函数
到目前为止，我们已经使用了指数函数的有理基础。然而，对于大多数现实世界的现象，*e*被用作指数函数的基础。以$e$为基础的指数模型被称为*连续增长或衰减模型*。我们在金融、计算机科学和大多数科学中看到了这些模型，如物理学、毒理学和流体动力学。
研究持续增长
指数函数
*图指数函数。
*使用转换绘制指数函数。
m49362
在我们开始绘图之前，回顾一下指数增长的行为是有帮助的。回想一下基数大于1的函数$f\lew（x\right）={b}^{x}$的值表。我们将使用函数$f\lew（x\right）={2}^{x}。$观察[link]中的输出值如何随着输入增加1美元而变化。$
绘制指数函数
指数图的变换与其他函数的变换行为相似。就像其他父函数一样，我们可以将四种类型的变换——移位、反射、拉伸和压缩——应用于父函数$f\old（x\right）={b}^{x}$而不会丢失形状。例如，正如二次函数在移位、反射、拉伸或压缩时保持其抛物线形状一样，无论应用何种变换，指数函数也保持其一般形状。
指数函数的图形变换
指数函数图
在本节中，您将：

*从对数转换为指数形式。
*从指数形式转换为对数形式。
*评估对数。
*使用常用对数。
*使用自然对数。
m49363
为了分析地震的震级或比较两个不同地震的震级，我们需要能够在对数和指数形式之间进行转换。例如，假设一个地震释放的能量是另一个地震释放的能量的500倍。我们想计算震级的差异。代表这个问题的等式是${10}^{x}=500，$其中$x$代表里氏震级的差异。我们如何解决$x？$
从对数到指数形式的转换
要从指数转换为对数，我们遵循相反的相同步骤。我们识别基数$b、$指数$x、$并输出$y。$然后我们写$x={\matrm{log}}_{b}\左（y\右）。$
从指数形式转换为对数形式
知道数字的平方、立方体和根可以让我们在心理上计算许多对数。例如，考虑${\matrm{log}}_{2} 8。$我们问，“2美元$必须提高到什么指数才能得到8？”因为我们已经知道${2}^{3}=8，$它遵循${\matrm{log}}}_{2}8=3。$
计算对数
有时你可能会看到一个没有基数的对数。当你看到一个这样写的时候，你需要在评估它之前看看表达式。可能你使用的基数并不重要。如果你在计算机科学中找到它，它通常意味着${\matrm{log}}}_{2}\左（x\右）$。然而，在数学中，它几乎总是意味着10的常见对数。换句话说，表达式$\matrm{log}\左（x\右）$通常意味着${\matrm{log}}_{10}\左（x\右）。$
使用公共对数
最常用的对数基数是$e，$的值约为2.71828美元$。基数$e$对数在微积分和一些科学应用中很重要；它们被称为**自然对数**。基数$e$对数，${\matrm{log}}_{e}\左（x\right），$有自己的符号，$\matrm{ln}\左（x\right）。$
使用自然对数
对数函数
在本节中，您将：

*识别对数函数的域。
*图对数函数。
m49364
在处理图形之前，我们将查看定义对数函数的域（输入值集）。
求对数函数的域
现在我们已经了解了定义对数函数的一组值，我们继续绘制对数函数。对数函数族包括父函数$y={\matrm{log}}_{b}\左（x\右）$及其所有转换：移位、拉伸、压缩和反射。
对数函数的图形化
正如我们在本节开头提到的，对数图的变换的行为类似于其他父函数的变换。我们可以移位、拉伸、压缩和反映父函数$y={\matrm{log}}_{b}\左（x\右）$而不会丢失形状。
对数函数的图形变换
对数函数图
在本节中，您将：

*对数使用乘积规则。
*对数使用商规则。
*对数使用幂规则。
*展开对数表达式。
*压缩对数表达式。
*对数使用基数变化公式。
m49365
回想一下，对数函数和指数函数是相互“撤消”的，这意味着对数与指数具有相似的性质，这里给出了对数的一些重要性质，首先，以下性质很容易证明。
使用对数的乘积规则
对于商数，我们有一个类似的对数规则。回想一下，我们使用指数的*商数规则*通过减去来组合指数的商数：$\frac{{x}^{a}}{x}^{b}}={x}^{a-b}。$对数的**商数规则**说商的对数等于对数的差。就像乘积规则一样，我们可以使用逆属性来导出商数规则。
使用对数的商规则
我们已经探索了乘积规则和商规则，但是我们如何取幂的对数，例如${x}^{2}？$一种方法如下：
使用对数的幂法则
总而言之，乘积法则、商法则和幂法则通常被称为“对数法则”。有时我们应用多个规则来简化表达式。例如：
扩展对数表达式
我们可以使用我们刚刚学习的对数规则将和、差和具有相同基数的乘积浓缩为单个对数。重要的是要记住，对数必须具有相同的基数才能组合。我们稍后将学习如何在浓缩之前改变任何对数的基数。
压缩对数表达式
大多数计算器只能计算普通和自然对数。为了计算除10或$e之外的基数的对数，$我们使用基数变化公式将对数重写为任何其他基数的对数的商；当使用计算器时，我们会将它们更改为普通或自然对数。
使用对数的基数变化公式
对数性质
在本节中，您将：

*使用类似的基地来解决指数方程。
*使用对数求解指数方程。
*使用对数的定义来求解对数方程。
*使用对数的一对一性质来求解对数方程。
*解决涉及指数和对数方程的应用问题。
m49366
第一种技术涉及两个具有相似基数的函数。回想一下，指数函数的一对一属性告诉我们，对于任何实数$b、$$S、$和$T，$其中$b>0，{\规则{0.5em}{0ex}}\text{}b\ne 1，$${b}^{S}={b}^{T}$当且仅当$S=T.$
用相似基求解指数方程
有时指数方程的项不能用公共基数重写。在这些情况下，我们通过取每边的对数来求解。回想一下，由于$\matrm{log}\old（a\right）=\matrm{log}\lee（b\right）$等价于$a=b，$我们可以在指数方程的两边应用具有相同基数的对数。
使用对数求解指数方程
我们已经看到，每个对数方程${\matrm{log}}_{b}\左（x\右）=y$等价于指数方程${b}^{y}=x.$我们可以利用这一事实以及对数规则来求解参数是代数表达式的对数方程。
用对数的定义求解对数方程
与指数方程一样，我们可以使用一对一的性质来求解对数方程。对数函数的一对一性质告诉我们，对于任何实数$x>0，$$S>0，$$T>0$和任何正实数$b，$其中$b\ne 1，$
利用对数的一对一性质求解对数方程
在前几节中，我们学习了指数函数和对数函数的性质和规则。我们已经看到任何指数函数都可以写成对数函数，反之亦然。我们已经使用指数来求解对数方程，对数来求解指数方程。我们现在准备结合我们的技能来求解模拟现实世界情况的方程，无论未知是在指数中还是在对数的参数中。
使用指数和对数方程求解应用问题
指数和对数方程
在本节中，您将：

*模型指数增长和衰减。
*利用牛顿冷却定律。
*使用物流增长模型。
*为数据选择适当的模型。
*以$e$为底表示指数模型。
m49367
在现实世界的应用中，我们需要对函数的行为进行建模。在数学建模中，我们选择一个熟悉的通用函数，其属性表明它将对我们希望分析的现实世界现象进行建模。在快速增长的情况下，我们可能会选择指数增长函数：
指数增长和衰减建模
指数衰减也可以应用于温度。当一个热物体被留在温度较低的周围空气中时，物体的温度会呈指数下降，当它接近周围空气的温度时会趋于平稳。在温度函数的图表上，水平下降将对应于周围空气温度的水平渐近线。除非室温为零，否则这将对应于通用指数衰减函数的垂直位移。这种翻译导致牛顿冷却定律，温度作为时间函数的科学公式与环境温度相等
利用牛顿冷却定律
指数增长不可能永远持续下去。指数模型虽然在短期内可能有用，但持续的时间越长，往往就会分崩离析。以一位有抱负的作家为例，她在第一天写了一行，并计划在一个月内每天写的行数增加一倍。到月底，她必须写170亿行，即5亿页。任何人在这么短的时间内写那么多是不切实际的，如果不是不可能的话。最终，指数模型必须开始接近某个极限值，然后增长被迫放缓。因此，使用有上限的模型而不是指数增长模型通常更好，尽管指数增长模型在接近极限值之前在短期内仍然有用。
使用逻辑增长模型
现在我们已经讨论了各种数学模型，我们需要学习如何为我们拥有的原始数据选择合适的模型。许多因素影响数学模型的选择，其中包括经验、科学定律和数据本身的模式。并非所有数据都可以用初等函数来描述。有时，选择一个函数来近似给定区间内的数据。例如，假设收集了1960年至2013年在美国购买的房屋数量的数据。在散点图中绘制这些数据后，我们注意到2000年至2013年数据的形状遵循对数曲线。我们可以限制2000年至2010年的间隔，使用对数模型应用回归分析，并用它来预测2015年的购房者数量。
为数据选择合适的模型
虽然任何基数的幂和对数都可以用于建模，但两个最常见的基数是10美元和$e。$在科学和数学中，基数$e$通常是首选。我们可以使用指数定律和对数定律将任何基数更改为基数$e。$
用基$e$表示指数模型
指数和对数模型
在本节中，您将：

*从数据构建指数模型。
*从数据构建对数模型。
*从数据构建物流模型。
m49368
正如我们所了解的，有许多情况可以用指数函数来建模，比如投资增长，放射性衰变，大气压变化，和冷却物体的温度。这些现象有什么共同点？首先，所有的模型要么随着时间的推移而增加，要么随着时间的推移而减少。但这不是故事的全部。是*way*数据增加或减少，帮助我们确定它是否最好用指数方程建模。了解指数函数的一般行为可以让我们认识到何时使用指数回归，所以让我们回顾一下指数增长和衰减。
从数据构建指数模型
就像指数函数一样，对数函数在现实世界中有许多应用：声音强度、溶液的酸碱度、化学反应的产量、商品的生产和婴儿的生长。与指数模型一样，对数函数建模的数据要么随着时间的推移而始终增加，要么始终减少。同样，它们增加或减少的方式有助于我们确定对数模型是否最好。
从数据构建对数模型
像指数和对数增长一样，逻辑增长随着时间的推移而增加。与逻辑增长模型最显着的区别之一是，在某一点上，增长稳步放缓，函数接近上限或*极限值*。正因为如此，逻辑回归最适合建模扩张受限的现象，例如生存空间或营养物质的可用性。
从数据构建逻辑模型
将指数模型拟合到数据
指数和对数函数
m49369
三角函数简介
在本节中，您将：

*在标准位置绘制角度。
*在度数和弧度之间转换。
*查找共端角度。
*求圆弧的长度。
*使用线性和角速度来描述圆形路径上的运动。
m49371
正确定义角度首先需要我们定义一条射线。一条射线由一条线上的一个点和从该点向一个方向延伸的所有点组成。第一个点称为射线的端点。我们可以通过陈述它的端点和上面的任何其他点来引用特定的射线。[link]中的射线可以命名为ray EF，或者以符号形式$\stackrel{\to}{EF}。$
标准位置的绘图角度
将圆分成360个部分是一个任意的选择，尽管它创建了熟悉的度量。我们可以选择其他方法来划分圆。要找到另一个单元，想想画圆的过程。想象一下，你在圆完成之前停下来。你画的部分被称为弧线。弧线可以是一个完整的圆、一个完整的圆或多于一个完整的圆的一部分，由不止一个完整的旋转表示。围绕整个圆的弧线长度称为该圆的周长。
在度数和弧度之间转换
角度和弧度之间的转换可以使在某些应用中处理角度变得更容易。对于其他应用，我们可能需要另一种类型的转换。负角度和大于全转的角度比0°到360°范围内的角度更难处理，或者0到2美元\pi。$用单转范围内的相应角度替换那些超出范围的角度会很方便。
寻找共端角
回想一下，角度的弧度度量$\θ$被定义为圆弧的弧长$s$与圆的半径$r$的比率，$\theta=\frac{s}{r}。$从这个关系中，我们可以在给定角度的情况下找到沿圆的弧长。
确定弧长
除了弧长，我们还可以使用角度来查找圆扇区的面积。扇区是由两个半径和截取的弧线限定的圆区域，就像一片披萨或馅饼。回想一下，半径为$r$的圆的面积可以使用公式$A=\pi{r}^{2}来找到。$如果两个半径形成一个角度$\θ，$以弧度为单位，那么$\frac{\θ}{2\pi}$是角度度量与全旋转度量的比率，因此也是扇区面积与圆面积的比率。因此，扇区的面积是分数$\frac{\θ}{2\pi}$
乘以整个面积。（请记住，此公式仅适用于$\theta$以弧度为单位的情况。）
求圆的扇形的面积
除了找到扇形的面积，我们还可以用角度来描述移动物体的速度。在圆形路径上行进的物体有两种速度。**线性速度**是沿直线路径的速度，可以由它在给定时间间隔内移动的距离（位移）来确定。例如，如果半径为5英寸的轮子每秒旋转一次，轮子边缘的一个点每秒移动一次等于圆周的距离，或10美元\pi$英寸。所以该点的线性速度是10美元\pi$in./s。线性速度的等式如下，其中$v$是线性速度，$s$是位移，$t$
是时间。
使用线性和角速度来描述圆形路径上的运动
角度
在本节中，您将：

*查找和的正弦和余弦的函数值
*确定正弦和余弦函数的域和范围。
*使用参考角来评估三角函数。
m49372
为了定义我们的三角函数，我们首先画一个单位圆，一个以半径为1的原点为中心的圆，如[link]所示。$t$截取的角度（以弧度为单位）形成一个长度为$s的弧线。$使用公式$s=rt，$并知道$r=1，$我们看到对于一个单位圆，$s=t。$
查找正弦和余弦的函数值
我们已经学习了特殊角的一些性质，例如弧度到度的转换。我们还可以使用毕达哥拉斯恒等式和三角形知识计算特殊角的正弦和余弦。
求特殊角度的正弦和余弦
现在我们可以找到一个角的正弦和余弦，我们需要讨论它们的域和范围。正弦和余弦函数的域是什么？也就是说，可以作为函数输入的最小和最大的数字是什么？因为小于0的角和大于2美元的角\pi$仍然可以在单位圆上绘制，并且具有$x、y、$和$r的实值，$可以作为正弦和余弦函数输入的角度没有下限或上限。正弦和余弦函数的输入是从正*x*-轴旋转，这可能是任何实数。
识别正弦和余弦函数的域和范围
我们已经讨论过寻找第一象限中角度的正弦和余弦，但是如果我们的角度在另一个象限中呢？对于第一象限中的任何给定角度，第二象限中有一个角度具有相同的正弦值。因为正弦值是单位圆上的*y*-坐标，所以具有相同正弦值的另一个角度将共享相同的*y*-值，但具有相反的*x*-值。因此，它的余弦值将与第一个角度的余弦值相反。
寻找参考角度
现在让我们花点时间重新考虑本节开头介绍的摩天轮。假设一个骑手在离地面20英尺的地方停下来拍照。然后骑手绕着圆圈旋转了四分之三。骑手的新仰角是多少？为了回答这样的问题，我们需要在大于90度的角度或负角度下评估正弦或余弦函数。参考角使得评估第一象限以外的角度的三角函数成为可能。它们也可以用来找到这些角度的$\左（x， y\右）$坐标。我们将使用旋转角度的参考角与角度终端侧所在的象限相结合。
使用参考角度
单位圆：正弦和余弦函数
在本节中，您将：

*查找$\frac{\pi}{3}、$\frac{\pi}{4}、$和$\frac{\pi}{6}的三角函数正割、余割、正切和余切的精确值。$
*使用参考角来评估三角函数正割、余割、正切和余切。
*使用偶数和奇数三角函数的属性。
*识别和使用基本身份。
*使用计算器评估三角函数。
m49374
为了定义剩余的函数，我们将再次绘制一个单位圆，其点$\old（x， y\right）$对应于$t的角度，$如[link]所示。与正弦和余弦一样，我们可以使用$\old（x，y\right）$坐标来查找其他函数。
求三角函数正割、余割、正切和余切的精确值
我们可以使用参考角来评估第一象限外的角的三角函数，就像我们已经对正弦和余弦函数所做的那样。过程是相同的：找到给定角的终端侧与水平轴形成的参考角。原始角的三角函数值将与参考角的三角函数值相同，除了正号或负号，正号或负号由原始象限中的*x*-和*y*-值确定。[链接]显示在哪个象限中哪些函数是正的。
使用参考角评估正切、正割、余切和余切
为了能够在正负角输入下自由使用我们的六个三角函数，我们应该检查每个函数如何处理负输入。事实证明，在这方面，函数之间存在重要差异。
使用偶数和奇数三角函数
我们已经探索了三角函数的一些性质。现在，我们可以把关系更进一步，并推导出一些基本的恒等式。恒等式是对定义它们的输入的所有值都成立的语句。通常，身份可以从我们已经知道的定义和关系中推导出来。例如，我们之前学习的毕达哥拉斯恒等式是从毕达哥拉斯定理和正弦和余弦的定义中推导出来的。
识别和使用基本身份
我们已经学会了如何评估常见的第一象限角的六个三角函数，并将它们用作其他象限角的参考角。为了评估其他角度的三角函数，我们使用科学或图形计算器或计算机软件。如果计算器有度数模式和弧度模式，在进行计算之前确认选择了正确的模式。
使用计算器评估三角函数
其他三角函数
在本节中，您将：

*使用直角三角形来评估三角函数。
*查找30美元°\左（\frac{\pi}{6}\right）、45美元°\左（\frac{\pi}{4}\right）、$和60美元°\左（\frac{\pi}{3}\right）的函数值。$
*使用互补角的协函数。
*使用任何角度的三角函数的定义。
*使用直角三角形来解决应用问题。
m49384
在前面的部分中，我们使用一个单位圆来定义三角函数。在本节中，我们将扩展这些定义，以便我们可以将它们应用于直角三角形。$t$的正弦或余弦函数的值是它在$t$弧度处的值。首先，我们需要创建我们的直角三角形。[link]显示半径为1的单位圆上的一个点。如果我们从点$\左（x， y\右）$到*x*-轴下降一个垂直线段，我们有一个直角三角形，它的垂直边长度为$y$，水平边长度为$x。$我们可以使用这个直角三角形重新定义正弦、余弦和其他三角函数作为直角三角形边的比率。
使用直角三角形评估三角函数
直角三角形
三角函数
m49386
周期函数简介
在本节中，您将：

*$y=\text{sin}\old（x\right）$和$y=\text{cos}\old（x\right）$的图形变体。
*使用正弦和余弦曲线的相移。
m49387
回想一下，正弦和余弦函数将实数值与单位圆上一点的*x*-和*y*-坐标联系起来。那么它们在坐标平面上的图形上是什么样子的呢？让我们从正弦函数开始。我们可以创建一个值表，并使用它们来绘制图形。[链接]列出了单位圆上正弦函数的一些值。
绘制正弦和余弦函数
正如我们所看到的，正弦和余弦函数有一个规则的周期和范围。如果我们观察海浪或池塘上的涟漪，我们会看到它们类似于正弦或余弦函数。然而，它们不一定相同。有些比其他的高或长。与正弦或余弦函数具有相同一般形状的函数被称为正弦函数。正弦函数的一般形式是
研究正弦函数
现在我们了解了$A$和$B$如何与正弦和余弦函数的一般形式方程相关，我们将探索变量$C$和$D$回想一下一般形式：
分析*y*=sin*x*和*y*=cos*x*的变差图
在本节中，我们已经了解了正弦和余弦函数的变化类型，并利用这些信息从图表中编写方程。现在我们可以使用相同的信息从方程中创建图表。
*y*=sin*x*和*y*=cos*x*的图形变化
我们可以在许多应用中使用正弦和余弦函数的变换。正如本章开头提到的，圆周运动可以使用正弦或余弦函数建模。
使用正弦和余弦函数的变换
正弦和余弦函数图
在本节中，您将：

*分析y=tan x的图形。
*y的图形变化=tan x。
*分析y=sec x和y=csc x的图形。
*y=sec x和y=csc x的图变体。
*分析y=cot x的图形。
*y的图形变化=cot x。
m49389
我们将从正切函数的图形开始，像我们对正弦和余弦函数所做的那样绘制点。回想一下
分析*y*=tan*x*的图
与正弦和余弦函数一样，正切函数可以用一般方程来描述。
*y*=tan*x*的图形变化
正割由倒数恒等式$\matrm{sec}{\规则{0.3em}{0ex}}x=\frac{1}{\matrm{cos}{\规则{0.3em}{0ex}}x}定义。$请注意，当余弦为0时，函数未定义，导致$\frac{\pi}{2}、$\frac{3\pi}{2}、$等处的垂直渐近线。因为余弦绝对值永远不会超过1，正割作为倒数，绝对值永远不会小于1。
分析*y*=sec*x*和*y*=csc*x*的图
对于正割和余切函数的移位、压缩和/或拉伸版本，我们可以遵循与正切和余切相似的方法。也就是说，我们定位垂直渐近线，并评估几个点的函数（特别是局部极值）。如果我们只想绘制单个周期，我们可以以多种方式选择周期的间隔。正割的过程非常相似，因为协函数恒等式意味着正割图与向左移动半个周期的余切图相同。垂直和相移可以以与正割和其他函数相同的方式应用于余切函数。方程如下所示。
*y*=sec*x*和*y*=csc*x*的图形变化
我们需要探索的最后一个三角函数是余切。余切由倒数恒等式$\matrm{cot}{\规则{0.3em}{0ex}}x=\frac{1}{\matrm{tan}{\规则{0.3em}{0ex}}x}定义。$请注意，当正切函数为0时，该函数未定义，导致图中的垂直渐近线为0美元、\pi、$等。由于正切函数的输出都是实数，因此余切函数的输出也都是实数。
分析*y*=cot*x*的图
我们可以像变换切线一样变换余切图。等式如下。
*y*=cot*x*的图形变化
许多现实世界的场景表示周期函数，可能用三角函数来建模。作为一个例子，让我们从剖面打开器回到场景。你有没有观察过消防车上旋转的光形成的光束，并想知道光束本身穿过墙壁的运动？光线照射的距离作为时间函数的周期性行为是显而易见的，但是我们如何确定距离呢？我们可以使用正切函数。
使用三角函数图解决实际问题
其他三角函数图
在本节中，您将：

*理解和使用逆正弦、余弦和正切函数。
*查找涉及逆正弦、余弦和正切函数的表达式的精确值。
*使用计算器评估反三角函数。
*查找具有反三角函数的复合函数的精确值。
m49390
为了使用反三角函数，我们需要理解反三角函数“撤消”了原始三角函数“做”的事情，就像任何其他函数及其逆函数一样。换句话说，反函数的域是原始函数的范围，反之亦然，如[链接]所述。
理解和使用逆正弦、余弦和正切函数
现在我们可以识别逆函数了，我们将学习评估它们。对于它们域中的大多数值，我们必须通过使用计算器、从表格中插值或使用其他一些数值技术来评估逆三角函数。就像我们对原始三角函数所做的那样，当我们使用特殊角度时，我们可以给出逆函数的精确值，特别是$\frac{\pi}{6}$（30°）、$\frac{\pi}{4}$（45°）和$\frac{\pi}{3}$（60°），以及它们对其他象限的反射。
求包含负正弦、余弦和正切函数的表达式的精确值
为了评估不涉及前面讨论的特殊角度的反三角函数，我们需要使用计算器或其他类型的技术。大多数科学计算器和计算器模拟应用程序都有反正弦、余弦和正切函数的特定键或按钮。这些可能被标记为，例如，**SIN**
${\text{}}^{-1}$、**ARCSIN**或**ASIN**。
使用计算器评估反三角函数
有时我们需要用反三角函数组合三角函数。在这些情况下，我们通常可以找到结果表达式的精确值，而无需求助于计算器。即使复合函数的输入是变量或表达式，我们也经常可以找到输出的表达式。为了帮助整理不同的情况，让$f\old（x\right）$和$g\lee（x\right）$是两个不同的三角函数，属于集合$\old\{\matrm{sin}\lee（x\right），\matrm{cos}\lee（x\right），\matrm{tan}\old（x\right）\right\}$和让${f}^{-1}\左（y\right）$和${g}^{-1}\左（y\right）$是它们的逆。
用反三角函数求复合函数的精确值
反三角函数
周期函数
m49392
三角恒等式和方程简介
在本节中，您将：

*验证基本三角恒等式。
*使用代数和恒等式简化三角表达式。
m49393
恒等式使我们能够简化复杂的表达式。它们是三角学用于求解三角方程的基本工具，就像因式分解一样，寻找公分母，使用特殊公式是求解代数方程的基本工具。事实上，我们不断使用代数技术来简化三角表达式。代数的基本性质和公式，如平方公式的差分和完美平方公式，将简化三角表达式和方程所涉及的工作。我们已经知道所有的三角函数都是相关的，因为它们都是根据单位圆定义的。因此，任何三角恒等式都可以用多种方式书写。
验证基本三角恒等式
我们已经看到代数在验证三角恒等式方面非常重要，但在求解之前简化三角表达式同样重要。熟悉代数的基本性质和公式，如平方公式的差分、完美平方公式或替换，将简化三角表达式和方程所涉及的工作。
用代数简化三角表达式
用恒等式求解三角方程
在本节中，您将：

*余弦使用和和和差公式。
*使用正弦的和和差公式。
*对切线使用求和和差分公式。
*对协函数使用和和差公式。
*使用和和差公式来验证身份。
m49395
如果我们可以根据已知三角值的两个角度重写给定角度，则找到角度的正弦、余弦或正切的精确值通常更容易。我们可以使用特殊角度，我们可以在[链接]中显示的单位圆中查看这些角度。
使用余弦的求和和差分公式
正弦的和和差公式可以用与余弦相同的方式导出，它们类似于余弦公式。
使用正弦的求和和差分公式
找到两个角度的和或差的正切的精确值有点复杂，但同样，这是一个识别模式的问题。
使用求和和差分公式的切线
现在我们可以找到角的和和差的正弦、余弦和正切函数，我们可以用它们来计算它们的协函数。你可能还记得直角三角法，如果两个正角的总和是$\frac{\pi}{2}，$这两个角是补码，直角三角形中两个锐角的总和是$\frac{\pi}{2}，$所以它们也是补码。在[链接]中，请注意，如果其中一个锐角标记为$\θ，$则另一个锐角必须标记为$\左（\frac{\pi}{2}-\θ\right）。$
对协函数使用求和和差分公式
验证恒等式意味着证明该方程适用于变量的所有值。在处理问题时，非常熟悉恒等式或有一个可访问的恒等式列表会有所帮助。回顾用恒等式求解三角方程的一般规则可能有助于简化验证恒等式的过程。
使用求和和差分公式验证身份
求和和差分恒等式
在本节中，您将：

*使用双角公式查找精确值。
*使用双角公式验证身份。
*使用简化公式来简化表达式。
*使用半角公式找到精确的值。
m49396
在上一节中，我们使用了三角函数的加法和减法公式。现在，我们再看看这些相同的公式。双角公式是求和公式的一种特殊情况，其中$\alpha=\beta。$推导正弦的双角公式从求和公式开始，
使用双角公式寻找精确值
使用双角公式建立恒等式的步骤与我们用来推导和和差公式的步骤相同。选择方程中更复杂的一侧并重写它，直到它与另一侧匹配。
使用双角公式验证身份
双角公式可以用来推导简化公式，这是我们可以用来降低给定表达式的幂的公式，涉及正弦或余弦的偶数幂。它们允许我们根据余弦的一次幂重写正弦或余弦的偶数幂。这些公式在更高级别的数学课程中尤其重要，尤其是微积分。也被称为减幂公式，包括三个恒等式，很容易从双角公式中导出。
使用简化公式简化表达式
下一组恒等式是半角公式，它可以从简化公式中导出，当我们有一个特殊角度一半大的角度时，我们可以使用它。如果我们用$\frac{\alpha}{2}替换$\theta$，$正弦的半角公式是通过简化方程并求解$\matrm{sin}\左（\frac{\alpha}{2}\右）找到的。$注意半角公式前面有一个$±$符号。这并不意味着正表达式和负表达式都是有效的。相反，它取决于$\frac{\alpha}{2}$终止的象限。
使用半角公式寻找精确值
双角、半角和减速公式
在本节中，您将：

*将产品表示为总和。
*将金额表示为产品。
m49397
我们已经学习了一些对扩展或简化三角表达式有用的公式，但是有时我们可能需要将余弦和正弦的乘积表示为和。我们可以使用积到和公式，它将三角函数的乘积表示为和。让我们先研究余弦恒等式，然后再研究正弦恒等式。
将产品表示为总和
有些问题需要我们刚刚使用的过程相反。和到乘积公式允许我们将正弦或余弦的和表示为乘积。这些公式可以从乘积到和的恒等式中导出。例如，通过一些替换，我们可以导出正弦的和到乘积恒等式。让$\frac{u+v}{2}=\alpha$和$\frac{u-v}{2}=\beta。$
将总和表示为产品
和乘积和乘积和公式
在本节中，您将：

*求解正弦和余弦的线性三角方程。
*解决涉及单个三角函数的方程。
*使用计算器求解三角方程。
*解决二次形式的三角方程。
*解决三角方程使用基本恒等式。
*解决多角度三角方程。
*解决直角三角形问题。
m49398
顾名思义，三角方程是涉及三角函数的方程。在许多方面类似于求解多项式方程或有理方程，只有变量的特定值才会是解，如果有解的话。通常我们会在指定的间隔内求解三角方程。然而，同样常见的是，我们会被要求找到所有可能的解，由于三角函数是周期性的，解在每个周期内重复。换句话说，三角方程可能有无限多的解。此外，像有理方程一样，在我们假设任何解都是有效的之前，必须考虑函数的域。正弦函数和余弦函数的周期都是2美元\pi。$换句话说，每2美元\pi$单位，*y-*值重复。如果我们需要找到所有可能的解决方案，那么我们必须在初始解决方案中添加2美元\pi k，$其中$k$是整数。回想一下给出周期为2美元的函数的所有可能解决方案的格式的规则\pi：$
用正弦和余弦求解线性三角方程
当我们给出只涉及六个三角函数之一的方程时，它们的解涉及使用代数技术和单位圆（见[链接]）。当方程涉及正弦和余弦以外的三角函数时，我们需要做几个考虑。涉及主要三角函数倒数的问题需要从代数的角度来看待。换句话说，我们将编写倒数函数，并使用该函数求解角度。此外，涉及正切函数的方程与包含正弦或余弦函数的方程略有不同。首先，正如我们所知，正切的周期是$\pi，$而不是2美元\pi。$此外，正切的域都是实数，除了$\frac{\pi}{2}的奇整数倍，$当然，除非问题对域施加了自己的限制。
求解涉及单个三角函数的方程
并非所有函数都可以仅使用单位圆精确求解。当我们必须求解一个涉及特殊角度以外的角度的方程时，我们需要使用计算器。确保它设置为正确的模式，度数或弧度，取决于给定问题的标准。
使用计算器求解三角方程
求解二次方程可能更复杂，但是再一次，我们可以像使用任何二次方程一样使用代数。看看方程的模式。方程中的三角函数是不止一个，还是只有一个？哪个三角函数是平方的？如果只有一个函数表示，其中一个项是平方的，想想二次方程的标准形式。用变量替换三角函数，如$x$或$u。$如果替换使方程看起来像二次方程，那么我们可以使用求解二次方程的相同方法来求解三角方程。
二次型三角方程的求解
虽然代数可以用来求解许多三角方程，我们也可以使用基本恒等式，因为它们使求解方程变得更简单。请记住，我们用于求解的技术与验证身份的技术不同。代数的基本规则在这里适用，而不是重写恒等式的一边以匹配另一边。在下一个示例中，我们使用两个身份来简化方程。
使用基本恒等式求解三角方程
有时不可能解决具有多个角度的恒等式的三角方程，例如$\matrm{sin}\左（2x\right）$或$\matrm{cos}\左（3x\right）。$当面对这些方程时，请记住$y=\matrm{sin}\左（2x\right）$是函数$y=\matrm{sin}{\规则{0.3em}{0ex}}x的2倍的水平压缩。$在2美元\pi的间隔上，$我们可以绘制两个周期的$y=\matrm{sin}\左（2x\right），$而不是一个周期的$y=\matrm{sin}{\规则{0.3em}{0ex}}x。$对图形的压缩使我们相信，与$\matrm{sin}\左（2x\right）=0$相比，$\matrm{sin}{0.3em}{0$这些信息将帮助我们解决这个方程。
多角度三角方程的求解
我们现在可以使用我们学到的所有方法来解决涉及应用直角三角形和勾股定理的问题。我们从熟悉的勾股定理开始，${a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}，$并为方程建模以适应情况。
解决直角三角形问题
求解三角方程
在本节中，您将：

*确定正弦函数的幅度和周期。
*模型方程和图形正弦函数。
*模拟周期性行为。
*模型谐波运动功能。
m49399
任何在固定时间周期内重复的运动都被认为是周期性运动，可以用正弦函数来建模。正弦函数的振幅是从中线到最大值的距离，或者从中线到最小值的距离。中线是平均值。正弦函数在中线上下振荡，是周期性的，在设定的周期内重复值。回想一下正弦和余弦函数图，正弦函数和余弦函数的周期是2美元\pi。$换句话说，对于$x的任何值，$
确定正弦函数的振幅和周期
绘制正弦函数的一种方法是找到五个关键点。这些点将对应于代表周期的$\frac{1}{4}$的等长间隔。关键点将指示最大值和最小值的位置。如果没有垂直移位，它们还将指示*x*-截距。例如，假设我们要绘制函数$y=\matrm{cos}{\规则{0.3em}{0ex}}\θ。$我们知道周期是2美元\pi，$所以我们找到关键点之间的间隔如下。
查找方程和绘制正弦函数
我们现在将把这些想法应用于涉及周期性行为的问题。
建模周期性行为
谐波运动是周期运动的一种形式，但是有一些因素需要考虑来区分这两种类型。虽然一般的周期运动应用在没有外部干扰的情况下循环，谐波运动需要恢复力。谐波运动的例子包括弹簧、引力和磁力。
谐波运动函数建模
使用三角函数建模
三角恒等式和方程
m49402
三角学的进一步应用简介
在本节中，您将：

*使用正弦定律求解斜三角形。
*使用正弦函数查找倾斜三角形的面积。
*使用正弦定律解决应用问题。
m49404
在任何三角形中，我们都可以画一个高度，一条从一个顶点到另一边的垂直线，形成两个直角三角形。然而，最好有一些方法可以直接应用于非直角三角形，而不必首先创建直角三角形。
用正弦定律求解斜三角形
我们可以使用正弦定律来求解任何倾斜三角形，但有些解可能并不简单。在某些情况下，多个三角形可能满足给定的标准，我们将其描述为模棱两可的情况。被归类为SSA的三角形，我们知道两条边的长度和给定边相对的角度的测量，可能会导致一两个解，甚至没有解。
用正弦定律求解SSA三角形
现在我们可以解决缺失值的三角形，我们可以使用其中一些值和正弦函数来查找斜三角形的面积。回想一下，三角形的面积公式是作为$\text{Area}=\frac{1}{2}bh给出的，$其中$b$是基数，$h$是高度。对于斜三角形，我们必须先找到$h$，然后才能使用面积公式。观察[link]中的两个三角形，一个锐角，一个钝角，我们可以删除一个垂线来表示高度，然后应用三角函数属性$\matrm{sin}{0.3em}{0ex}}\alpha=\frac{\text{相反}}{\text{斜边}}$来编写斜三角形面积的方程。在锐角三角形中，我们有$\matrm{sin}{\规则{0.3em}{0ex}}\alpha=\frac{h}{c}$或$c\matrm{sin}{\规则{0.3em}{0ex}}\alpha=h。$然而，在钝角三角形中，我们将垂线放在三角形之外，并将底边$b$延伸以形成直角三角形。计算中使用的角度是${\alpha}^{\Prime}，$或180美元-\alpha。$
用正弦函数求斜三角形的面积
我们对三角函数的应用研究得越多，就越发现它的应用数不胜数。有些是平面的、图表式的情况，但微积分、工程和物理中的许多应用涉及三维和运动。
用正弦定律解决应用问题
非直角三角形：正弦定律
在本节中，您将：

*使用余弦定律求解斜三角形。
*使用余弦定律解决应用问题。
*使用Heron公式找出三角形的面积。
m49405
我们需要解决船与港口距离问题的工具是余弦**定律，它定义了斜三角形中角度测量和边长之间的关系。三个公式组成了余弦定律。乍一看，公式可能会显得复杂，因为它们包含了许多变量。然而，一旦理解了模式，余弦定律比这个数学水平上的大多数公式更容易使用。
用余弦定律求解斜三角形
正如正弦定律为解决许多应用提供了适当的方程一样，余弦定律也适用于给定数据符合余弦模型的情况。我们可以在导航、测量、天文学和几何领域看到这些，仅举几例。
用余弦定律解决应用问题
我们已经学会了当我们知道两条边和一个角时，如何找到斜三角形的面积。我们也知道用底边和高度找到三角形面积的公式。然而，当我们知道三条边时，我们可以用赫伦的公式来代替寻找高度。亚历山大的赫伦是一位生活在公元一世纪的几何学家。他发现了一个公式，当三条边已知时，可以找到斜三角形的面积。
用Heron公式求三角形的面积
非直角三角形：余弦定律
在本节中，您将：

*使用极坐标绘制点。
*从极坐标转换为直角坐标。
*从直角坐标转换为极坐标。
*在极性和矩形形式之间转换方程。
*通过转换为矩形方程来识别和绘制极性方程。
m49406
当我们考虑在平面中绘制点时，我们通常会想到笛卡尔坐标平面中的直角坐标$\old（x， y\right）$。然而，还有其他方法可以编写坐标对和其他类型的网格系统。在本节中，我们介绍极坐标，即标记为$\old（r，\θ\right）$并绘制在极网格上的点。极网格表示为一系列从极辐射出去的同心圆，或坐标平面的原点。
使用极坐标绘制点
当给定一组极坐标时，我们可能需要将它们转换为直角坐标。为此，我们可以回忆变量$x、{\规则{0.5em}{0ex}}y、{\规则{0.5em}{0ex}}r、$和$\theta之间存在的关系。$
从极坐标转换为矩形坐标
要将直角坐标转换为极坐标，我们将使用另外两个熟悉的关系。然而，通过这种转换，我们需要意识到一组直角坐标将产生不止一个极点。
从矩形坐标到极坐标的转换
我们现在可以在极坐标和矩形坐标之间进行转换。转换方程可能更困难，但是能够在两种形式之间转换是有益的。由于有许多极坐标方程不能以笛卡尔形式清晰地表达，反之亦然，我们可以使用我们用来在坐标系之间转换点的相同程序。然后，我们可以使用图形计算器来绘制方程的矩形形式或极坐标形式。
极性和矩形形式之间的变换方程
我们已经学会了如何将直角坐标转换为极坐标，我们已经看到点确实是一样的。我们还将极方程转换为矩形方程，反之亦然。现在我们将演示他们的图表，虽然画在不同的网格上，是相同的。
通过转换为矩形方程来识别和绘制极性方程
极坐标
在本节中，您将：

*测试极方程的对称性。
*通过绘制点绘制极坐标方程。
m49407
正如像$y={x}^{2}$这样的矩形方程描述了笛卡尔网格上$x$和$y$之间的关系一样，**极坐标方程**描述了极地网格上$r$和$\θ$之间的关系。回想一下，坐标对$\away（r，\θ\right）$表示我们从极轴（正*x*-轴）逆时针移动$\θ角，$并从极（原点）$r$单位向$\θ方向延伸一条射线。$所有满足极方程的点都在图上。
测试极性方程的对称性
为了在直角坐标系中绘制，我们构造了一个包含$x$和$y$值的表。为了在极坐标系中绘制，我们构造了一个包含$\theta$和$r$值的表。我们输入$\theta$的值
然而，使用对称性的性质并找到$\θ$和$r$的键值意味着需要更少的计算。
通过绘制点绘制极性方程
在本节中，我们探索了一些看似复杂的极曲线。[链接]和[链接]总结了每条曲线的图表和方程。
曲线总结
极坐标：图表
在本节中，您将：

*在复数平面中绘制复数。
*求复数的绝对值。
*用极性形式写出复数。
*将复数从极性转换为矩形形式。
*查找极性形式的复数乘积。
*查找极性形式的复数商。
*找到极性形式的复数幂。
*查找极性形式的复数的根。
m49408
绘制复数$a+bi$类似于绘制实数，不同之处在于横轴代表数字的实部，$a，$，纵轴代表数字的虚部，$bi。
在复平面中绘制复数
处理极性形式的复数的第一步是找到绝对值。复数的绝对值与其大小相同，或$|z|。$它测量从原点到平面中一点的距离。例如，$z=2+4i的图形，$in[link]，显示$|z|.$
求复数的绝对值
复数的极性形式用角度$\θ$和它与原点$r的距离来表示一个数字。给定一个矩形形式的复数，表示为$z=x+yi，$我们使用与三角形式的数字相同的转换公式：
用极性形式书写复数
将复数从极性形式转换为矩形形式是一个评估给定内容并使用分配性质的问题。换句话说，给定$z=r\old（\matrm{cos}{\规则{0.3em}{0ex}}\theta+i\matrm{sin}{\规则{0.3em}{0ex}}\theta\right），$首先计算三角函数$\matrm{cos}{\规则{0.3em}{0ex}}\theta$和$\matrm{sin}{\规则{0.3em}{0ex}}\theta。$然后，乘以$r。$
将复数从极性转换为矩形形式
现在我们可以将复数转换为极性形式，我们将学习如何对极性形式的复数进行运算。在本节的其余部分，我们将使用法国数学家Abraham De Moivre（1667-1754）开发的公式。这些公式使处理复数的乘积、商、幂和根比看起来简单得多。这些规则基于乘以模和添加参数。
求极性形式的复数乘积
极性形式的两个复数的商是两个模的商和两个参数的差。
求极性形式复数的商
De Moivre定理极大地简化了求复数幂的方法，指出对于正整数$n，{z}^{n}$是通过将模提高到$n\text{th}$幂并将参数乘以$n来求出的。这是现代数学中使用的标准方法。
极性形式复数的求幂
为了找到极性形式复数的*n*th根，我们使用$n\text{th}$根定理或De Moivre定理，并将复数提高到有理指数的幂。有几种方法可以表示求极性形式复数的${\规则{0.3em}{0ex}}n\text{th}$根的公式。
在极性形式中寻找复数的根
复数的极性形式
在本节中，您将：

*参数化曲线。
*消除参数。
*找到参数定义的曲线的矩形方程。
*查找由矩形方程定义的曲线的参数方程。
m49409
当一个物体在给定的方向和时间内沿着曲线或曲线路径移动时，物体在平面中的位置由*x-*坐标和*y-*坐标给出。然而，$x$和$y$
随时间变化，时间函数也是如此。出于这个原因，我们添加了另一个变量，参数，$x$和$y$都是依赖函数。在节打开器的示例中，参数是时间，$t。$月亮在时间的$x$位置，$t，$表示为函数$x\左（t\右），$和月亮在时间的$y$位置，$t，$表示为函数$y\左（t\右）。$x\左（t\右）$和$y\左（t\右）$一起称为参数方程，并生成有序对$\左（x\左（t\右），{\规则{0.3em}{0ex}}y\左（t\右）\右）。$参数方程主要描述运动和方向。
参数化曲线
在许多情况下，我们可能有一对参数方程，但发现如果方程只涉及两个变量，例如$x$和$y，绘制曲线会更简单。$消除参数是一种可能使绘制一些曲线变得更容易的方法。然而，如果我们关心方程根据时间的映射，那么也有必要指出曲线的方向。从一组参数方程中消除参数$t$有各种方法；不是每种方法都适用于每种类型的方程。在这里，我们将回顾最常见类型方程的方法。
消除参数
当我们给定一组参数方程，需要找到一个等价的笛卡尔方程时，我们本质上是在“消除参数”。然而，我们可以使用各种方法将一组参数方程重写为笛卡尔方程。最简单的方法是设置一个方程等于参数，例如$x\old（t\right）=t。$在这种情况下，$y\old（t\right）$可以是任何表达式。例如，考虑以下一对方程。
从参数定义的曲线中寻找笛卡尔方程
虽然我们刚刚展示了只有一种方法可以将一组参数方程解释为矩形方程，有多种方法可以将矩形方程解释为一组参数方程。我们可以用来找到参数方程的任何策略，如果它产生等价性，都是有效的。换句话说，如果我们选择一个表达式来表示$x，$然后将其替换为$y$方程，它在与矩形方程相同的域上产生相同的图，那么参数方程组是有效的。如果域在参数方程组中受到限制，并且函数不允许$x$的值与矩形方程的域相同，那么图就会不同。
求由矩形方程定义的曲线的参数方程
参数方程
在本节中，您将：

*通过绘制点的参数方程描述的图形平面曲线。
*图形参数方程。
m49411
代替图形计算器或计算机图形程序，绘制点来表示方程的图形是标准方法。只要我们在计算值时小心，点绘图是高度可靠的。
通过绘图点绘制参数方程
当应用于解决现实世界的问题时，参数方程的许多优点变得显而易见。尽管*x*和*y*中的矩形方程给出了物体路径的整体画面，但它们并没有揭示物体在特定时间的位置。然而，参数方程说明了*x*和*y*的值是如何根据*t*变化的，作为移动物体在特定时间的位置。
参数方程的应用
参数方程：图表
在本节中，您将：

*查看几何向量。
*找到大小和方向。
*执行向量加法和标量乘法。
*找到向量的组成形式。
*找到$v$方向的单位向量。
*使用$i$和$j$的向量执行操作。
*求两个向量的点积。
m49412
向量是作为一端有箭头的线段绘制的特定数量。它有一个初始点，它从哪里开始，一个终结点，它在哪里结束。向量由它的大小或线的长度和方向定义，由端点的箭头指示。因此，向量是有向线段。有各种符号将向量与其他量区分开来：
向量的几何视图
为了处理一个向量，我们需要能够找到它的大小和方向。我们用勾股定理或距离公式找到它的大小，我们用反正切函数找到它的方向。
寻找幅度和方向
现在我们了解了向量的属性，我们可以执行涉及它们的操作。虽然很容易将向量**$u$** $=〈x，y$想象成从原点到点$\左（x，y\右）的箭头或有向线段，但$向量可以位于平面中的任何位置。两个向量***u***和***v***的总和，或向量加法，产生第三个向量***u***+ ***v***，结果向量。
执行向量加法和标量乘法
虽然加减向量给了我们一个不同大小和方向的新向量，向量乘以标量的过程，一个常数，只改变向量的大小或线的长度。标量乘法对方向没有影响，除非标量是负的，在这种情况下，结果向量的方向与原始向量的方向相反。
乘以标量
在一些涉及向量的应用程序中，能够将向量分解为其分量对我们很有帮助。向量由两个分量组成：水平分量是$x$方向，垂直分量是$y$方向。例如，我们可以在[link]中的图表中看到位置向量$2,3$来自将向量***v***1和***v***2相加。我们有**v**1，初始点$\左（0,0\右）$和终端点$\左（2,0\右）$。
查找组件表单
除了找到向量的分量，在解决问题时，找到一个与给定向量方向相同但大小为1的向量也很有用。我们将大小为1的向量称为单位向量。然后，我们可以在简化计算的同时保留原始向量的方向。
求*v*方向的单位向量
到目前为止，我们已经研究了向量的基础知识：大小和方向、向量加减法、标量乘法、向量的分量以及向量的几何表示。现在我们已经熟悉了处理向量时使用的一般策略，我们将用***i***和***j***在矩形坐标中表示向量。
使用*i*和*j*的向量执行操作
当向量以**$i$**和**$j、$**编写时，我们可以通过对相应的组件执行操作来执行加法、减法和标量乘法。
根据*i*和*j*对向量执行操作
我们已经看到了如何根据初始点和终端点绘制向量，以及如何找到位置向量。我们还检查了使用$i{\规则{0.3em}{0ex}\text{和}{\规则{0.3em}{0ex}}j在笛卡尔坐标平面上专门绘制的向量的符号。$对于这些向量中的任何一个，我们都可以计算大小。现在，我们想结合关键点，进一步研究大小和方向的想法。
计算向量的分量形式：方向
正如我们在本节前面讨论的，标量乘法涉及将向量乘以标量，结果是向量。正如我们所看到的，将向量乘以数字称为标量乘法。如果我们将向量乘以向量，则有两种可能性：*点积*和*向量积*。我们这里只考察点积；你可能会在更高级的数学课程中遇到向量积。
求两个向量的点积
向量
三角学的进一步应用
m49418
方程组和不等式导论
在本节中，您将：

*通过绘图解决方程组。
*通过替换解决方程组。
*通过加法解决方程组。
*识别包含两个变量的不一致方程组。
*表达包含两个变量的依赖方程组的解。
m49420
为了调查诸如滑板制造商的情况，我们需要认识到我们正在处理不止一个变量，并且可能不止一个方程。线性方程组由两个或多个线性方程组组成，这些线性方程组由两个或多个变量组成，使得系统中的所有方程同时被考虑。为了找到线性方程组的唯一解，我们必须为系统中的每个变量找到一个数值，该数值将同时满足系统中的所有方程。一些线性系统可能没有解，而另一些可能有无限数量的解。为了使线性系统具有唯一解，必须至少有与变量一样多的方程。即便如此，这并不能保证唯一解。
方程组导论
求解线性方程组有多种方法。对于两个变量的线性方程组，我们可以通过在同一组轴上绘制方程组来确定系统的类型和解。
通过图形求解方程组
当解由整数值组成时，通过绘图求解两个变量中的线性系统效果很好，但是如果我们的解包含小数或分数，它不是最精确的方法。我们将考虑另外两种比绘图更精确的线性方程组求解方法。一种这样的方法是通过代换法求解方程组，其中我们用一个变量求解其中一个方程，然后将结果代入第二个方程来求解第二个变量。回想一下，我们一次只能求解一个变量，这就是代换法既有价值又实用的原因。
用代换法求解方程组
求解线性方程组的第三种方法是加法。在这种方法中，我们用相同的变量添加两个项，但系数相反，所以总和为零。当然，并非所有系统都建立在一个变量的两个项具有相反系数的情况下。通常我们必须通过乘法调整一个或两个方程，这样一个变量就会被加法消除。
用加法法求解两变量方程组
现在我们有了求解方程组的几种方法，我们可以使用这些方法来识别不一致的系统。回想一下，不一致的系统由具有相同斜率但不同$y$-截距的平行线组成。它们永远不会相交。当搜索不一致系统的解决方案时，我们会得到一个错误的陈述，例如12美元=0.$
识别包含两个变量的不一致方程组
回想一下，两个变量的依赖方程组是两个方程组代表同一条线的系统。依赖系统有无限多的解，因为一条线上的所有点也在另一条线上。使用替换或加法后，得到的方程将是一个恒等式，例如0美元=0美元。$
包含两个变量的相依方程组的解的表示
利用我们对方程组的了解，我们可以回到本节开头的滑板制造问题。滑板制造商的收入函数是用于计算进入业务的金额的函数。它可以用等式$R=xp表示，$其中$x=$数量和$p=$价格。收入函数在[link]中以橙色显示。
使用方程组调查利润
线性方程组：两个变量
在本节中，您将：

*在三个变量中求解三个方程的系统。
*识别包含三个变量的不一致方程组。
*表达包含三个变量的依赖方程组的解。
m49419
为了求解三变量方程组，即三乘三系统，我们将使用的主要工具是高斯消去法，以多产的德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名。虽然没有明确的操作顺序，但有具体的指导方针来说明可以进行什么类型的移动。我们可以对方程组进行编号，以跟踪我们应用的步骤。目标是一次消除一个变量，以实现上三角形形式，这是三乘三系统的理想形式，因为它允许直接的反向替换来找到解$\old（x， y，z\right），我们称之为有序三元组。上三角形形式的系统如下所示：
三变量三方程的求解系统
就像两个变量中的方程组一样，我们可能会遇到三个变量中不一致的方程组，这意味着它没有满足所有三个方程的解。这些方程可以代表三个平行平面，两个平行平面和一个相交平面，或者三个平面相交，但不在同一个位置。消除的过程会导致错误的陈述，比如3美元=7美元
或者其他一些矛盾。
识别包含三个变量的不一致方程组
我们从两个变量的方程组中知道，一个依赖的方程组有无限多的解。三个变量的依赖方程组也是如此。无限多的解可以由几种情况产生。三个平面可能是相同的，所以一个方程的解将是另外两个方程的解。所有三个方程都可能不同，但它们在一条线上相交，这条线有无限的解。或者其中两个方程可能是相同的，并在一条线上与第三个方程相交。
表示含三个变量的相依方程组的解
线性方程组：三个变量
在本节中，您将：

*使用替换解决非线性方程组。
*使用消除解决非线性方程组。
*图非线性不等式。
*绘制非线性不等式系统。
m49431
非线性方程组是由两个或多个变量中的两个或多个方程组组成的系统，其中至少包含一个非线性方程。回想一下，线性方程可以采用$Ax+By+C=0的形式。$任何不能以这种形式写成非线性的方程。我们用于线性系统的替代方法与我们将用于非线性系统的方法相同。我们用一个方程求解一个变量，然后将结果代入第二个方程求解另一个变量，依此类推。然而，可能的结果有所不同。
使用代换求解非线性方程组
我们已经看到，当一个方程组包括一个线性方程和一个非线性方程时，替换通常是首选的方法。然而，当系统中的两个方程组都有相似的二度变量时，使用加法消除法求解它们通常比替换法容易得多。通常，当系统只涉及两个变量中的两个方程（一个二乘二的系统）时，消除法是一种简单得多的方法，而不是一个三乘三的系统，因为步骤更少。作为一个例子，我们将研究在求解一个表示圆和椭圆的方程组时可能的解类型。
用消去法求解非线性方程组
到目前为止，我们遇到的系统中的所有方程都涉及等式，但是我们也可能遇到涉及不等式的系统。我们已经学会了通过绘制相应的方程来绘制线性不等式，然后对不等式符号表示的区域进行阴影处理。现在，我们将按照类似的步骤绘制非线性不等式，这样我们就可以学习求解非线性不等式系统。非线性不等式是包含非线性表达式的不等式。绘制非线性不等式很像绘制线性不等式。
绘制非线性不等式
现在我们已经学会了绘制非线性不等式，我们可以学习如何绘制非线性不等式系统。非线性不等式系统是两个或多个变量中的两个或多个不等式的系统，其中至少包含一个非线性不等式。绘制非线性不等式系统类似于绘制线性不等式系统。不同之处在于，我们的图可能会产生比我们在线性不等式系统中发现的更多代表解的阴影区域。非线性不等式系统的解是图中每个不等式的图的阴影区域重叠的区域，或者区域相交的地方，称为可行区域。
绘制非线性不等式系统
非线性方程组和不等式：两个变量
在本节中，您将：

*分解$\frac{P\old（x\right）}{Q\商（x\right）}$，其中$Q\商（x\right）$只有不重复的线性因子。
*分解$\frac{P\左（x\右）}{Q\左（x\右）}$，其中$Q\左（x\右）$具有重复的线性因子。
*分解$\frac{P\lew（x\right）}{Q\lew（x\right）}$，其中$Q\lew（x\right）$具有非重复不可约二次因子。
*分解$\frac{P\lew（x\right）}{Q\lew（x\right）}$，其中$Q\lew（x\right）$具有重复的不可约二次因子。
m49432
回想一下关于有理表达式加减法的代数。这些操作依赖于找到一个公分母，这样我们就可以把和或差写成一个单一的，简化的有理表达式。在本节中，我们将看看部分分数分解，这是添加或减去有理表达式的过程的撤销。换句话说，它是从单个简化有理表达式到原始表达式的返回，称为部分分数。
分解${\规则{0.5em}{0ex}}\frac{P\左（x\右）}{Q\左（x\右）}{\规则{0.5em}{0ex}}$其中*Q（x）*只有非重复线性因子
我们可能遇到的一些分数是特殊情况，我们可以用重复的线性因子分解成部分分数。我们必须记住，我们通过将每个因子写成递增幂来解释重复因子。
分解${\规则{0.5em}{0ex}}\frac{P\左（x\右）}{Q\左（x\右）}{\规则{0.5em}{0ex}}$其中*Q（x）*具有重复的线性因子
到目前为止，我们已经使用分母中具有线性因子的表达式执行了部分分数分解，我们应用分子${\规则{0.5em}{0ex}}A，B，{\规则{0.5em}{0ex}}$或${\规则{0.5em}{0ex}}$表示常量。现在我们将看一个例子，其中分母中的一个因子是不因子的二次表达式。这被称为不可约二次因子。在这种情况下，我们使用线性分子，例如${\规则{0.5em}{0ex}}Ax+B、Bx+C、{\{规则0.5em}{0ex}}$等。
分解${\规则{0.5em}{0ex}}\frac{P\左（x\右）}{Q\左（x\右）}，{\规则{0.5em}{0ex}}$其中*Q（x）*具有非重复不可约二次因子
现在我们可以用不可约二次因子分解一个简化的有理表达式，当简化的有理表达式具有重复的不可约二次因子时，我们将学习如何进行部分分数分解。分解将由在每个不可约二次因子上带有线性分子的部分分数组成，每个不可约二次因子以递增幂表示。
分解${\规则{0.5em}{0ex}}\frac{P\左（x\右）}{Q\左（x\右）}{\规则{0.5em}{0ex}}$当*Q（x）*具有重复的不可约二次因子
部分分数
在本节中，您将：

*求两个矩阵的和和差。
*查找矩阵的标量倍数。
*找到两个矩阵的乘积。
m49433
为了解决类似于为足球队描述的问题，我们可以使用矩阵，它是一个矩形的数字数组。矩阵中的一行是一组水平对齐的数字。矩阵中的一列是一组垂直对齐的数字。每个数字都是矩阵的一个条目，有时也称为元素。矩阵（复数）包含在[]或（）中，通常用大写字母命名。例如，下面显示了三个名为$A、B、$和$C$的矩阵。
求两个矩阵的和和差
除了加减整个矩阵，在许多情况下，我们需要将矩阵乘以一个叫做标量的常数。回想一下，标量是一个实数量，它有大小，但没有方向。例如，时间、温度和距离是标量。标量乘法的过程包括将矩阵中的每个条目乘以标量。标量倍数是由标量乘法产生的矩阵的任何条目。
求矩阵的标量倍数
除了将一个矩阵乘以一个标量之外，我们还可以将两个矩阵相乘。只有当内部维度相同时，才能找到两个矩阵的乘积，这意味着第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。如果$A$是$\text{}m×r$矩阵，$B$是$\text{}r×n$矩阵，那么乘积矩阵$AB$是$\text{}m×n$矩阵。例如，乘积$AB$是可能的，因为$A$中的列数与$B中的行数相同。$如果内部维度不匹配，则不定义乘积。
求两个矩阵的乘积
矩阵和矩阵运算
在本节中，您将：

*编写方程组的增广矩阵。
*从增广矩阵写入方程组。
*对矩阵执行行操作。
*使用矩阵求解线性方程组。
m49434
矩阵可以作为表示和求解方程组的装置。为了以矩阵形式表达一个系统，我们提取变量和常数的系数，这些成为矩阵的条目。我们用一条垂直线将系数条目与常数分开，本质上是替换等号。当一个系统以这种形式编写时，我们称之为增广矩阵。
编写方程组的增广矩阵
我们可以使用增广矩阵来帮助我们求解方程组，因为当系统不受变量阻碍时，它们简化了操作。然而，重要的是要了解如何在格式之间来回移动，以使寻找解决方案更流畅、更直观。在这里，我们将使用增广矩阵中的信息以标准形式编写方程组。
从增广矩阵编写方程组
现在我们可以用增广矩阵形式编写方程组，我们将检查可以对矩阵执行的各种行操作，例如加法、乘以常数和交换行。
在矩阵上执行行操作
我们已经看到了如何用增广矩阵编写方程组，然后如何使用行运算和反向替换来获得行梯队形式。现在，我们将进一步利用行梯队形式来求解一个3乘3的线性方程组。一般的想法是使用行运算消除除了一个变量之外的所有变量，然后反向替换来求解其他变量。
用矩阵求解线性方程组
高斯消元求解系统
在本节中，您将：

*求矩阵的逆。
*使用逆矩阵求解线性方程组。
m49435
我们知道实数$a$的乘法逆是${a}^{-1}，$和$a{a}^{-1}={a}^{-1}a=\左（\frac{1}{a}\右）a=1。$例如，${2}^{-1}=\frac{1}{2}$和$\左（\frac{1}{2}\右）2=1。$矩阵的乘法逆在概念上是相似的，只是矩阵$A$和它的逆${A}^{-1}$的乘积等于单位矩阵。单位矩阵是一个方阵，包含主对角线上的1和其他地方的零。我们通过${I}_{n}$来识别单位矩阵，其中$n$代表矩阵的维数。观察以下方程。
求矩阵的逆
使用矩阵的逆求解线性方程组需要定义两个新矩阵：$X$是表示系统变量的矩阵，$B$是表示常数的矩阵。使用矩阵乘法，我们可以定义一个方程组，其方程数与变量数相同
用矩阵的逆解线性方程组
带逆的求解系统
在本节中，您将：

*评估2×2决定因素。
*使用克莱默规则求解两个变量的方程组。
*评估3×3个决定因素。
*使用克莱默规则解决三个变量中的三个方程的系统。
*了解决定因素的性质。
m49436
行列式是一个实数，在数学中非常有用，因为它有多种应用，例如计算面积、体积和其他数量。在这里，我们将使用行列式来揭示矩阵是否可逆，通过使用方阵的条目来确定方程组是否有解。然而，也许更有趣的应用之一是它们在密码学中的应用。安全信号或消息有时以矩阵编码发送。数据只能用可逆矩阵和行列式解密。出于我们的目的，我们将重点放在行列式上，作为矩阵可逆性的指示。计算矩阵的行列式涉及遵循本节中概述的特定模式。
2×2矩阵行列式的求值
我们现在将介绍一种求解使用行列式的方程组的最终方法。这种技术被称为克莱默法则，可以追溯到18世纪中叶，并以其创新者瑞士数学家加布里埃尔·克莱默（Gabriel Cramer，1704-1752）的名字命名，他于1750年在介绍l'Analyse des lignes Courbes algébriques中介绍了它。克莱默法则是一种可行且有效的方法，用于寻找具有任意数量未知数的系统的解，前提是我们有与未知数相同数量的方程。
用Cramer法则求解两变量两方程组
求2×2矩阵的行列式很简单，但求3×3矩阵的行列式就比较复杂了。一种方法是用前两列的重复来扩充3×3矩阵，得到一个3×5矩阵。然后我们计算三个对角线（左上到右下角）中每个条目的乘积之和，减去三个对角线（左下到右上）中每个条目的乘积。这用一个视觉和一个例子更容易理解。
3×3矩阵行列式的求值
现在我们可以找到3×3矩阵的行列式，我们可以应用克莱默规则来求解三个变量中的三个方程系统。克莱默规则很简单，遵循与2×2矩阵的克莱默规则一致的模式。然而，随着矩阵的阶数增加到3×3，需要更多的计算。
用Cramer法则求解三变量三方程组
行列式有许多性质。这里列出了一些可能有助于计算矩阵行列式的属性。
了解决定因素的性质
用克莱默法则求解系统
方程组和不等式
m49437
解析几何概论
在本节中，您将：

*编写标准形式的椭圆方程。
*以原点为中心的图形椭圆。
*图形椭圆不在原点居中。
*解决涉及椭圆的应用问题。
m49438
圆锥截面或圆锥是由右圆锥与平面相交而产生的形状。平面与圆锥相交的角度决定了形状，如[link]所示。
用标准格式写出椭圆方程
就像我们可以在给定图形的情况下为椭圆编写方程一样，我们也可以在给定方程的情况下为椭圆绘制图形。为了绘制以原点为中心的椭圆，我们使用标准形式$\frac{{x}^{2}}{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}=1，{\规则{0.5em}{0ex}}\text{}a>b$表示水平椭圆，$\frac{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{a}^{2}}=1，{\规则{0.5em}{0ex}}\text{}a>b$表示垂直椭圆。
以原点为中心绘制椭圆
当椭圆不在原点居中时，我们仍然可以使用标准形式来查找图形的关键特征。当椭圆在某个点居中时，$\左（h， k\右），$我们使用标准形式$\frac{{\左（x-h\右）}^{2}}{a}^{2}}+\frac{{\左（y-k\右）}^{2}}{{{b}^{2}}=1，{\规则{0.5em}{0ex}}\text{}a>b$表示水平椭圆，$\frac{{\左（x-h\right）}^{2}}{b}^{2}}}+\frac{\左（y-k\right）}{2}}{{a}^{2}}}=1，{\规则{0.5em}{0ex}}\text{}a>b$表示垂直椭圆。从这些标准方程中，我们可以很容易地确定中心、顶点、共顶点
绘制不以原点为中心的椭圆
许多现实世界的情况都可以用椭圆来表示，包括行星、卫星、卫星和彗星的轨道，以及船龙骨、方向舵和一些飞机机翼的形状。一种叫做碎石机的医疗设备使用椭圆反射器通过产生声波来分解肾结石。一些被称为窃窃私语室的建筑设计有椭圆圆顶，这样一个人在一个焦点窃窃私语时很容易被站在另一个焦点的人听到。这是因为椭圆的声学特性。当声波起源于窃窃私语室的一个焦点时，声波会从椭圆圆顶反射回来，回到另一个焦点。见[链接]。在芝加哥科学与工业博物馆的窃窃私语室中，站在焦点处的两个人——相距约43英尺——可以听到彼此的窃窃私语。当这些房间被放置在意想不到的地方时，比如休斯顿布什国际机场和纽约中央车站内的房间，它们会引起旅行者的惊讶反应。
解决涉及椭圆的应用问题
椭圆
在本节中，您将：

*定位双曲线的顶点和焦点。
*以标准形式编写双曲线方程。
*以原点为中心的图双曲线。
*图双曲线不在原点居中。
*解决涉及双曲线的应用问题。
m49439
在解析几何中，双曲线是由右圆锥与平面以一定角度相交而形成的圆锥截面，使得圆锥的两半相交。这种交集产生两条独立的无界曲线，它们是彼此的镜像。见[链接]。
双曲线顶点和焦点的定位
就像椭圆一样，用标准形式编写双曲线方程可以让我们计算关键特征：它的中心、顶点、共顶点、焦点、渐近线，以及横轴和共轭轴的长度和位置。相反，可以根据双曲线的关键特征找到双曲线方程。我们首先找到以原点为中心的双曲线的标准方程。然后我们将把注意力转向寻找以原点以外的某个点为中心的双曲线的标准方程。
用标准格式写出双曲线方程
当我们有一个以原点为中心的双曲线的标准形式方程时，我们可以解释它的部分来识别其图的关键特征：中心、顶点、共顶点、渐近线、焦点以及横轴和共轭轴的长度和位置。为了绘制以原点为中心的双曲线，我们使用标准形式$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}=1$表示水平双曲线，使用标准形式$\frac{{y}^{2}}{a}^{2}}-\frac{x}^{2}}{b}^2}}{2}}=1$表示垂直双曲线。
以起源为中心的双曲线图形
以原点以外的点$\old（h， k\right）$为中心绘制双曲线类似于以原点以外的点为中心绘制椭圆。我们使用标准形式$\frac{{\左（x-h\right）}^{2}}{a}^{2}}-\frac{{\左（y-k\right）}^{2}}{{b}^{2}}=1$表示水平双曲线，$\frac{{\左（y-k\right）}^{2}}{a}^{2}}-\frac{{\左（x-h\right）}{{2}}{{2}}=1$表示垂直双曲线。从这些标准形式方程中，我们可以很容易地计算和绘制图的关键特征：其中心、顶点、共顶点和焦点的坐标；其渐近线方程；以及横轴和共轭轴的位置。
绘制不以原点为中心的双曲线
正如我们在本节开头所讨论的那样，双曲线在许多领域都有现实世界的应用，例如天文学、物理学、工程和建筑。双曲线冷却塔的设计效率特别有趣。冷却塔被用来将废热传递到大气中，并且经常被吹捧为能够高效发电。由于它们的双曲线形式，这些结构能够承受极端的风，同时比其尺寸和强度的任何其他形式需要更少的材料。参见[链接]。例如，一座500英尺的塔可以由仅6或8英寸宽的钢筋混凝土外壳制成！
解决涉及双曲线的应用问题
双曲线
在本节中，您将：

*原点有顶点的图形抛物线。
*写抛物线方程的标准形式。
*顶点不在原点的图形抛物线。
*解决涉及抛物线的应用问题。
m49440
在The Ellipse中，我们看到当一个平面穿过一个右圆锥时就形成了一个椭圆，如果这个平面平行于圆锥的边缘，就形成了一条无界曲线，这条曲线就是一条抛物线参见[link]。
在原点绘制带有顶点的抛物线
在前面的例子中，我们使用抛物线的标准形式方程来计算其关键特征的位置。当给定抛物线的关键特征时，我们也可以使用反向计算来编写方程。
用标准形式写出抛物线方程
像我们使用过的其他图形一样，抛物线的图形可以被平移。如果抛物线水平平移$h$单位，垂直平移$k$单位，顶点将是$\old（h， k\right）。$这种平移导致了我们之前看到的方程的标准形式，$x$被$\old（x-h\right）$替换，$y$被$\lee（y-k\right）替换。$
用不在原点的顶点绘制抛物线
正如我们在本节开头提到的，抛物线被用来设计我们每天使用的许多物体，例如望远镜、吊桥、麦克风和雷达设备。抛物面镜，例如用来点燃奥运火炬的那个，具有非常独特的反射特性。当平行于抛物线对称轴的光线指向镜子的任何表面时，光线被直接反射到焦点上。见[链接]。这就是为什么当奥运火炬被举在抛物面镜的焦点上时会被点燃。
解决涉及抛物线的应用问题
抛物线
在本节中，您将：

*确定非简并二次曲线部分给定它们的一般形式方程。
*使用轴的旋转公式。
*编写标准形式的旋转二次曲线方程。
*识别没有旋转轴的二次曲线。
m49441
在本章的前几节中，我们重点讨论了非退化圆锥截面的标准形式方程。在本节中，我们将把重点转移到一般形式方程上，它可以用于任何二次曲线。一般形式设置为零，项和系数按特定顺序给出，如下所示。
一般形式的非退化二次曲线识别
现在我们可以在给定旋转角度时找到二次曲线的标准形式，我们将学习如何通过旋转轴将形式为$A{x}^{2}+Bxy+C{y}^{2}+Dx+Ey+F=0$的二次曲线方程转换为标准形式。为此，我们将通过旋转轴将一般形式重写为${x}^{\Prime}$和${y}^{\Prime}$坐标系中的方程，没有${x}^{\Prime}{y}^{\Prime}$项，通过旋转轴满足$\θ$的度量
标准型旋转二次曲线方程的写法
现在我们已经走了一圈。我们如何识别方程描述的二次曲线的类型？当轴旋转时会发生什么？回想一下，二次曲线的一般形式是
识别没有旋转轴的圆锥
轴的旋转
在本节中，您将：

*确定极性形式的二次曲线。
*绘制二次曲线的极性方程。
*根据焦点和准线定义二次曲线。
m49442
任何二次曲线都可以由三个特征决定：一个焦点，一条称为准线的固定线，以及每个点与图上一点的距离比。考虑[link]中显示的抛物线$x=2+{y}^{2}$。
识别极性形式的二次曲线
在笛卡尔坐标下绘图时，每个圆锥截面都有一个唯一的方程。在极坐标下绘图时情况并非如此。我们必须使用圆锥截面的偏心率来确定要绘制哪种类型的曲线，然后确定其具体特征。第一步是像我们在前面的示例中所做的那样，以标准形式重写圆锥曲线。换句话说，我们需要重写方程，使分母以1开头。这使我们能够确定$e$，因此，确定曲线的形状。下一步是将值替换为$\theta$并求解$r$以绘制几个关键点。将$\theta$设置为等于0美元，\frac{\pi}{2}，\pi，$和$\frac{3\pi}{2}$提供顶点，以便我们可以创建图表的粗略草图。
绘制二次曲线的极地方程
到目前为止，我们一直使用二次曲线的极方程来描述和绘制曲线。现在我们将反过来工作；我们将使用关于原点、偏心和直角的信息来确定极方程。
根据焦点和Directrix定义圆锥曲线
极坐标中的圆锥截面
解析几何
m49443
序列、概率和计数理论导论
在本节中，您将：

*编写由显式公式定义的序列的术语。
*编写由递归公式定义的序列的术语。
*使用阶乘表示法。
m49444
描述有序数字列表的一种方法是作为序列序列是域是计数数字子集的函数网站上命中视频数建立的序列是
编写由显式公式定义的序列的术语
鹦鹉螺壳、松果、树枝和许多其他自然结构的生长模式中自然出现序列。我们可以看到叶子或树枝排列的序列、花朵的花瓣数量或鹦鹉螺壳中腔室的模式。它们的生长遵循斐波那契数列，这是一个著名的数列，其中每一项都可以通过添加前两项来找到。数列中的数字是1、1、2、3、5、8、13、21、34……自然界中表现出斐波那契数列的其他例子有马蹄莲，它只有一个花瓣，黑眼苏珊有13个花瓣，以及不同品种的雏菊，可能有21或34个花瓣。
编写由递归公式定义的序列的术语
一些序列的公式包括连续正整数的乘积。**$n$阶乘**，写成$n！，$是从1到$n的正整数的乘积。$例如，
使用阶乘表示法
序列及其符号
在本节中，您将：

*找出算术序列的共同区别。
*编写算术序列的术语。
*对算术序列使用递归公式。
*对算术序列使用显式公式。
m49445
示例中卡车的值据说形成一个**算术序列**，因为它们每年以恒定的数量变化。每个项增加或减少相同的常量，称为序列的**公差**。对于这个序列，公差是-3,400。
寻找共同差异
现在我们可以识别算术序列了，如果给我们第一个术语和共同的区别，我们会找到术语。这些术语可以从第一个术语开始，反复添加公共差异来找到。此外，任何术语也可以通过将$n$和$d$的值插入下面的公式来找到。
编写算术序列术语
一些算术序列是根据前一项使用递归公式定义的。该公式提供了确定序列项的代数规则。递归公式允许我们使用前一项的函数找到算术序列的任何项。每个项是前一项和公差的总和。例如，如果公差为5，则每个项是前一项加5。与任何递归公式一样，必须给出第一项。
对算术序列使用递归公式
我们可以认为算术序列是自然数域上的函数；它是一个线性函数，因为它有一个恒定的变化率。共同的区别是不变的变化率，或者函数的斜率。如果我们知道斜率和纵截距，我们就可以构造线性函数。
对算术序列使用显式公式
算术序列
在本节中，您将：

*找到几何序列的公共比率。
*列出几何序列的术语。
*对几何序列使用递归公式。
*对几何序列使用显式公式。
m49446
所描述的年薪值形成一个**几何序列**，因为它们每年按一个常数因子变化。几何序列的每个术语增加或减少一个称为**公共比率**的常数因子。下面的序列是几何序列的示例，因为每个术语增加一个常数因子6。将序列的任何术语乘以公共比率6生成后续术语。
寻找共同比率
现在我们可以识别一个几何序列，如果给我们第一项和公共比率，我们将学习如何找到几何序列的项。几何序列的项可以从第一项开始，反复乘以公共比率来找到。例如，如果几何序列的第一项是${a}_{1}=-2$，公共比率是$r=4，$我们可以通过乘以$-2\cdot 4$得到$-8$，然后乘以结果$-8\cdot 4$得到$-32$来找到后续项，依此类推。
编写几何序列术语
递归公式允许我们通过使用前一项来找到几何序列的任何一项。每个项都是公共比率和前一项的乘积。例如，假设公共比率是9。然后每项是前一项的九倍。与任何递归公式一样，必须给出初始项。
使用几何序列的递归公式
因为几何序列是一个指数函数，其域是正整数的集合，公共比率是函数的基础，所以我们可以编写明确的公式来找到特定的项。
使用几何序列的显式公式
在涉及几何序列的实际场景中，我们可能需要使用初始项${a}_{0}$而不是${a}_{1}。$在这些问题中，我们可以使用以下公式稍微改变显式公式：
使用几何序列解决应用问题
几何序列
在本节中，您将：

*使用求和符号。
*使用算术序列前n项之和的公式。
*使用几何级数的前n项之和的公式。
*使用无穷几何级数之和的公式。
*解决年金问题。
m49447
为了找到大学基金中的总金额和存入金额的总和，我们需要加上每月存入的金额和每月赚取的金额。序列条款的总和称为序列。例如，考虑以下系列。
使用求和符号
就像我们研究特殊类型的序列一样，我们将研究特殊类型的序列。回想一下，算术序列是一个序列，其中任何两个连续项之间的差是公共差，$d。$算术序列项的和称为**算术序列**。我们可以将算术序列的前$n$项的和写成：
使用算术级数的公式
正如算术序列的项之和称为算术级数一样，几何序列中的项之和称为**几何级数**。回想一下，几何序列是一个序列，其中任意两个连续项的比率是公共比率，$r。$我们可以将几何序列的前$n$项之和写成
使用几何级数的公式
到目前为止，我们只研究了有限级数。然而，有时我们感兴趣的是无穷序列项的总和，而不仅仅是前$n$项的总和。无穷级数是无穷序列项的总和。无穷级数的一个例子是2美元+4+6+8+…$
无穷几何级数求和公式的应用
在本节开始时，我们研究了一个问题，其中父母每月向大学基金投资一定数量的钱，为期六年。年金是一种投资，购买者在其中进行一系列周期性的、相等的付款。要找到年金的金额，我们需要找到所有付款的总和和和赚取的利息。在示例中，父母每月投资50美元。这是初始存款的价值。该账户支付6%的年利率，按月复利。要找到每个付款期的利率，我们需要将6%的年百分比利率（APR）除以12。因此月利率为0.5%。我们可以将每月账户中的金额乘以100.5%，以找到添加利息后账户的价值。
解决年金问题
系列及其符号
在本节中，您将：

*使用加法原理解决计数问题。
*使用乘法原理解决计数问题。
*使用涉及n个不同对象的排列解决计数问题。
*使用组合解决计数问题。
*查找给定集合的子集数。
*使用涉及n个非不同对象的排列解决计数问题。
m49448
销售可定制外壳的公司提供平板电脑和智能手机的外壳。有3种支持的平板电脑型号和5种支持的智能手机型号。**加法原理**告诉我们，我们可以将平板电脑选项的数量添加到智能手机选项的数量中，以找到选项的总数。通过加法原理，总共有8个选项，正如我们在[链接]中看到的。
使用加法原理
**乘法原则**适用于我们进行多个选择。假设我们选择开胃菜、主菜和甜点。如果固定价格的晚餐菜单上有2个开胃菜选项、3个主菜选项和2个甜点选项，那么总共有12个可能的选择，每个选择一个，如[链接]中的树形图所示。
使用乘法原理
乘法原理可用于解决各种类型的问题。一类问题涉及按顺序排列对象。我们将字母排列成单词，将数字排列成数字，排队拍照，装饰房间等等。对象的排序称为排列。
查找*n*不同对象的排列数
到目前为止，我们已经研究了要求我们按顺序排列对象的问题。有许多问题，我们想从一组对象中选择几个对象，但我们不关心顺序。当我们选择对象并且顺序无关紧要时，我们正在处理组合。从一组$n$对象中选择$r$对象，其中顺序无关紧要，可以写成$C\左（n， r\右）。$与排列一样，$\text{C}\左（n，r\右）$也可以写成${\规则{0.5em}{0ex}}}_{n}{C}_{r}。$在这种情况下，一般公式如下。
使用公式查找组合数
我们只研究了我们选择$r$对象的组合问题。在某些问题中，我们希望考虑选择所有可能数量的对象。例如，考虑一家提供5种配料的比萨饼餐厅。可以订购任意数量的配料。有多少种不同的比萨饼是可能的？
查找集合的子集数
我们研究了所有涉及的物体都是不同的排列。如果一些物体无法区分会发生什么？例如，假设有一张12张贴纸。如果所有的贴纸都是不同的，就会有12美元！$订购贴纸的方法。然而，其中4个贴纸是相同的星星，3个是相同的月亮。因为所有的物体都不清楚，所以我们计算的12美元中的许多！$排列是重复的。这种情况的一般公式如下。
查找*n*非区分对象的排列数
计数原则
在本节中，您将：

*应用二项式定理。
m49449
在计数原理中，我们研究了组合。在查找${\old（x+y\right）}^{n}的快捷方式中，$我们需要使用组合来查找将出现在二项式展开中的系数。在这种情况下，我们使用符号$\old（\开始{数组}{c}n\\r\end{数组}\right）$而不是$C\old（n， r\right），$但它可以用同样的方法计算。所以

$\左（\开始{数组}{c}n\\r\end{数组}\right）=C\左（n， r\right）=\frac{n！}{r！\左（n-r\右）！}$
识别二项式系数
当我们通过乘法展开${\old（x+y\right）}^{n}$时，结果称为二项式展开，它包括二项式系数。如果我们想展开${\old（x+y\right）}^{52}，$我们可以将$\old（x+y\right）$本身乘以52次。这可能需要几个小时！如果我们检查一些简单的二项式展开，我们可以找到模式，这些模式将引导我们找到找到更复杂的二项式展开的捷径。
使用二项式定理
扩展具有高指数的二项式，例如${\old（x+2y\right）}^{16}$可能是一个漫长的过程。
使用二项式定理寻找单项
二项式定理
在本节中，您将：

*构建概率模型。
*计算同样可能的结果的概率。
*计算两个事件合并的概率。
*使用补码规则查找概率。
*使用计数理论计算概率。
m49450
假设我们滚动一个六面数字立方体。滚动一个数字立方体是一个实验的例子，或者是一个具有可观察结果的活动。立方体上的数字是这个实验的可能结果或结果。一个实验的所有可能结果的集合称为实验的样本空间。这个实验的样本空间是$\old\{1,2,3,4,5,6\right\}。$一个事件是样本空间的任何子集。
构建概率模型
假设$S$是一个实验的样本空间。当研究概率时，一个事件是$S的任何子集。当一个实验的结果都相等时，我们可以通过将事件中的结果数除以$S中的结果总数来找到事件的概率。假设一个数字立方体被滚动，我们有兴趣找到事件“滚动小于或等于4的数字”的概率。事件中有4个可能的结果，$S中有6个可能的结果，所以事件的概率是$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}。$
计算同等可能结果的概率
我们经常对寻找多个事件中的一个发生的概率感兴趣。假设我们正在玩纸牌游戏，如果下一张抽的牌是红心或国王，我们就会赢。我们有兴趣找出下一张牌是红心或国王的概率。两个事件的结合是当其中一个或两个事件发生时发生的事件。
两个事件并集概率的计算
假设[link]中的旋转器再次旋转，但这次我们感兴趣的是旋转橙色或$d的概率。$没有既是橙色又包含$d的扇区，$所以这两个事件没有共同的结果。当事件没有共同的结果时，它们被称为互斥事件。因为没有重叠，所以没有什么可以减去的，所以一般公式是
互斥事件概率的计算
我们已经讨论了如何计算一个事件将发生的概率。有时，我们感兴趣的是找到一个事件将*不*发生的概率。一个事件的**补码**$E，$表示${E}^{\Prime}，$是样本空间中不在$E中的结果集。例如，假设我们对一匹马输掉一场比赛的概率感兴趣。如果事件$W$是赢得比赛的马，那么事件$W$的补码就是输掉比赛的马。
使用补码规则计算概率
许多有趣的概率问题涉及计数原理、排列和组合。在这些问题中，我们将使用排列和组合来查找事件和样本空间中的元素数量。这些问题可能很复杂，但通过将它们分解为更小的计数问题可以使它们变得更容易。
使用计数理论计算概率
概率
序列、概率和计数理论
m49451
微积分导论
在本节中，您将：

*了解极限表示法。
*使用图表找到极限。
*使用表格查找限制。
m49452
我们已经看到了一个序列是如何有一个极限的，随着术语数量的增加，术语序列向这个值移动。例如，序列的术语
了解极限表示法
为了直观地确定当$x$接近$a时是否存在极限，$我们观察当$x$非常接近$x=a时函数的图。$在[link]中，我们观察$a两边的图的行为。$
使用图查找极限
创建表是一种使用数字信息确定限制的方法。我们创建一个值表，其中$x$的输入值从两边接近$a$。然后我们确定输出值是否越来越接近某个真实值，极限$L.$
使用表查找限制
寻找极限：数值和图形方法
在本节中，您将：

*求和、差和乘积的极限。
*求多项式的极限。
*找到幂或根的极限。
*求一个商的极限。
m49453
绘制函数图或探索值表以确定极限可能既麻烦又耗时。如果可能，使用极限的属性更有效，这是寻找极限的定理集合。
求和、差和积的极限
并非所有函数或其极限都涉及简单的加法、减法或乘法。有些可能包括多项式。回想一下，多项式是由两个或多个项的总和组成的表达式，每个项都由一个常数和一个提高到非负整数幂的变量组成。为了找到多项式函数的极限，我们可以找到函数各个项的极限，然后把它们加在一起。此外，当$x$接近$a$时，多项式函数的极限等价于简单地为$a$求值。
求多项式的极限
当极限包含幂或根时，我们需要另一个属性来帮助我们评估它。函数极限的平方等于函数平方的极限；高幂也是如此。同样，函数极限的平方根等于函数平方根的极限；高根也是如此。
找到权力或根的极限
寻找以商表示的函数的极限可能更复杂。在应用极限的属性之前，我们经常需要代数重写函数。如果当我们直接应用极限的属性时，分母的计算结果为0，我们必须以不同的形式重写商。一种方法是以因式形式编写商并进行简化。
求商的极限
寻找极限：极限的属性
在本节中，您将：

*确定一个函数是否在一个数字上连续。
*确定函数不连续的数字。
*确定一个函数是否连续。
m49454
让我们考虑一个关于日期和地点的温度的具体例子，例如2013年6月27日，亚利桑那州凤凰城。[链接]中的图表显示，凌晨2点，温度为${96}^{\Circ}\text{F}$。到下午2点，温度上升到${116}^{\Circ}\text{F，}$，到下午4点，温度上升到${118}^{\Circ}\text{F}\text{.}$凌晨2点到下午4点之间的某个时间，外面的温度一定正好是${110.5}^{\Circ}\text{F}\text{.}$事实上，${96}^{\Circ}\text{F}$和${118}^{\Circ}\text{F}$之间的任何温度都发生在那天的某个时候。这意味着${96}^{\Circ}\text{F}$和${118}^{\Circ}\text{F}$之间的输出中的所有实数都是由函数根据中间值定理在某个时候生成的，
确定函数在一个数字处是否连续
我们在前面章节中遇到的许多函数在任何地方都是连续的。它们从来没有一个洞，也从来没有从一个值跳到下一个值。对于所有这些函数，当$x$接近$a$时，$f\old（x\right）$的限制与$x=a时$f\old（x\right）$的值相同。$所以$\underset{x\to a}{\matrm{lim}}f\old（x\right）=f\lee（a\right）。$有些函数在任何地方都是连续的，有些函数只在它们的域上定义的地方是连续的，因为它们不是为所有实数定义的。
识别连续和不连续的实数函数
现在我们可以识别连续函数、跳跃不连续性和可移动不连续性，我们将研究更复杂的函数来寻找不连续性。在这里，我们将分析一个分段函数，以确定函数不连续的地方是否存在任何实数。分段函数可能在函数的边界点以及组成它的函数中具有不连续性。
确定函数不连续的输入值
要确定一个分段函数是连续的还是不连续的，除了检查边界点之外，我们还必须检查组成分段函数的每个函数是否是连续的。
确定函数是否连续
连续性
在本节中，您将：

*求函数的导数。
*查找瞬时变化率。
*找到一个方程的切线的一个函数的图形在一个点。
*求粒子的瞬时速度。
m49455
描述上述示例的函数涉及随时间的变化。变化除以时间是速率的一个例子。前面例子中的变化率各不相同。换句话说，有些变化比其他变化得更快。如果我们要绘制函数图，我们可以通过确定图的斜率来比较速率。
求函数的平均变化率
现在我们可以找到平均变化率，假设我们在[link]中使$h$越来越小。然后$a+h$将随着$h$变小而接近$a$，越来越接近0。同样，第二个点$\old（a+h，f\old（a+h\right）\right）$将接近第一个点，$\old（a，f\old（a\right）\right）。$因此，两点之间的连接线，称为割线，将越来越接近于$x=a处的函数的切线，$割线的斜率将越来越接近于$x=a处的切线斜率。$见[link]。
了解瞬时变化率
导数的许多应用涉及确定具有自变量时间的函数在给定瞬间的变化率——这就是为什么使用术语*瞬时*。考虑一个初始速度为每秒64英尺的向上投掷的球的高度，给定$s\左（t\右）=-16{t}^{2}+64t+6，其中$t$以秒为单位，$s\左（t\右）$以英尺为单位。我们知道路径是抛物线。导数将告诉我们高度在任何给定时间点是如何变化的。球的高度在[link]中显示为时间的函数。在物理学中，我们称之为“*s*-*t*图”
寻找瞬时变化率
在$x=a$处，函数$f\old（x\right）$的曲线的切线方程来自直线的点斜率形式，$y=m\old（x-{x}_{1}\right）+{y}_{1}。$线的斜率是在$x=a$处曲线的斜率，因此等于${f}^{\Prime}\左（a\right），$f\左（x\right）$在$x=a$处的导数。$x=a$处的直线上的点的坐标对是$\左（a， f\左（a\right）\右）。$
求与函数图切线的方程
如果一个函数测量位置与时间的关系，导数测量位移与时间的关系，或者物体的速度。相对于时间变化的速度或方向的变化称为*速度*。给定瞬间的速度称为**瞬时速度**。
寻找粒子的瞬时速度
衍生品
微积分导论
m50414
父函数的图
三角函数图
三角恒等式
基本功能和恒等式