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OpenStax是莱斯大学的非营利组织，我们的使命是改善学生接受教育的机会。我们的第一本公开许可的大学教科书于2012年出版，从那以后，我们的图书馆已经扩大到20多本大学和美联社课程的书籍，被数十万学生使用。我们的自适应教育技术旨在通过个性化的教育途径改善学习成果，正在全国的大学课程中进行试点。通过与慈善基金会的合作以及与其他教育资源组织的联盟，OpenStax正在打破最常见的学习障碍，并赋予学生和教师成功的权力。
关于OpenStax
关于OpenStax的资源
*微积分*是为典型的两三个学期的普通微积分课程而设计的，结合了创新的功能来增强学生的学习。这本书引导学生了解微积分的核心概念，并帮助他们理解这些概念如何应用于他们的生活和周围的世界。由于材料的综合性，为了灵活性和效率，我们将这本书分为三卷。第2卷涵盖积分、微分方程、序列和级数，以及参数方程和极坐标。
关于*微积分第2卷*
额外资源
作者简介
序言
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导言
*使用sigma（求和）表示法计算整数的和和幂。
*使用矩形面积的总和来近似曲线下的面积。
*使用黎曼和来近似面积。
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如前所述，我们将使用已知区域的形状来近似以曲线为界的不规则区域的面积。这个过程通常需要将长串数字相加。为了更容易写下这些冗长的和，我们在这里看一些新的符号，称为sigma符号（也称为求和符号）。希腊大写字母$\Sigma，$sigma，用于以紧凑的形式表示长和值。例如，如果我们想在没有sigma符号的情况下将1到20的所有整数相加，我们必须写
Sigma（求和）表示法
现在我们有了必要的符号，我们回到手头的问题：近似曲线下的面积。设$f\old（x\right）$是一个连续的非负函数，定义在闭合区间$\old[a， b\right]上。$我们想近似上面以$f\old（x\right）$为界的区域*A*，下面的*x*-轴，左边的线$x=a$，右边的线$x=b$（[link]）。
近似面积
到目前为止，我们一直使用矩形来近似曲线下的面积。这些矩形的高度是通过在子区间$\old[{x}_{i-1}，{x}_{i}\right]的右或左端点评估函数来确定的。$实际上，没有理由将函数的评估限制在这两个点中的一个。我们可以在任何点上评估函数${x}_{i}^{\*}$ 在子区间$\old[{x}_{i-1}，{x}_{i}\right]，$并使用$f\old（{x}_{i}^{\*}\）$作为矩形的高度。这给了我们表单面积的估计
形成黎曼和
近似区域
*说明定积分的定义。
*解释术语被积函数、积分极限和积分变量。
*解释函数何时可积。
*描述定积分和净面积之间的关系。
*使用几何和定积分的性质来评估它们。
*计算函数的平均值。
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定积分推广了曲线下面积的概念。我们提出了$f\左（x\右）$是连续的和非负的要求，定义定积分如下。
定义和符号
由于计算的复杂性，以这种方式评估定积分可能相当乏味。在本章后面，我们将开发在不考虑黎曼和限制的情况下评估定积分的技术。然而，目前，我们可以依赖于定积分代表曲线下的面积这一事实，我们可以通过使用几何公式来计算该面积来评估定积分。我们这样做是为了确认定积分确实代表面积，因此我们可以讨论在函数曲线低于*x*轴的情况下该怎么做。
计算定积分
当我们定义定积分时，我们取消了$f\old（x\right）$是非负的要求。但是当$f\old（x\right）$为负时，我们如何解释“曲线下的面积”呢？
面积和定积分
不定积分的性质也适用于定积分。定积分也有与积分极限相关的性质。这些性质，以及我们在本章后面讨论的积分规则，帮助我们操纵表达式来评估定积分。
定积分的性质
我们经常需要找到一组数字的平均值，例如平均考试成绩。假设你在代数课上收到了以下考试成绩：89、90、56、78、100和69。你的学期成绩是你考试成绩的平均值，你想知道你会得到什么成绩。我们可以通过将所有分数相加并除以分数数来找到平均值。在这种情况下，有六个考试分数。因此，
函数的平均值
定积分
*描述积分中值定理的含义。
*说明微积分基本定理第1部分的含义。
*使用微积分基本定理，第1部分，评估积分的导数。
*说明微积分基本定理第2部分的含义。
*使用微积分基本定理，第2部分，评估定积分。
*解释差异化和一体化之间的关系。
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积分中值定理指出，在封闭区间上的连续函数在该区间的某个点取其平均值。该定理保证，如果$f\old（x\right）$是连续的，则在区间$\old[a， b\right]$中存在一个点*c*，使得*c*处的函数值等于$f\old（x\right）$除以$\old[a，b\right]。$我们借助我们在上一节末尾提出的函数平均值公式，用数学方法陈述了这个定理。
积分的中值定理
如前所述，微积分基本定理是一个非常强大的定理，它建立了微分和积分之间的关系，并为我们提供了一种不用黎曼和或计算面积来评估定积分的方法。该定理由两部分组成，其中第一部分，微积分基本定理，第一部分，在这里陈述。第一部分建立了微分和积分之间的关系。
微积分基本定理第1部分：积分与反导数
微积分基本定理第二部分也许是微积分中最重要的定理。经过数学家大约500年的不懈努力，新技术出现了，为科学家提供了解释许多现象的必要工具。利用微积分，天文学家终于可以确定空间距离并绘制行星轨道图。计算边际成本或预测总利润等日常财务问题现在可以简单准确地处理。工程师可以计算材料的弯曲强度或物体的三维运动。微积分永远改变了我们对世界的看法。
微积分基本定理，第2部分：评估定理
微积分基本定理
*应用基本的积分公式。
*解释净变化定理的意义。
*使用净变化定理解决应用问题。
*应用奇数和偶数函数的积分。
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回想一下反导函数表中给出的积分公式和定积分的性质规则。让我们看几个如何应用这些规则的例子。
基本积分公式
净变化定理考虑a*变化率*的积分。它说，当一个量发生变化时，新值等于初始值加上该量变化率的积分。公式可以用两种方式表示。第二种更熟悉；它只是定积分。
净变化定理
净变化定理可以应用于流体的流动和消耗，如[link]所示。
应用净变化定理
我们在函数和图中看到，偶数函数是一个函数，其中$f\old（\text{−}x\right）=f\lee（x\right）$表示域中的所有*x*-也就是说，当*x*替换为−*x*时，曲线的图形保持不变。偶数函数的图关于*y*-轴是对称的。奇数函数是一个函数，其中$f\old（\text{−}x\right）=\text{−}f\lee（x\right）$表示域中的所有*x*，函数的图关于原点是对称的。
集成偶数和奇数函数
积分公式和净变化定理
*使用代换来评估不定积分。
*使用代换来评估定积分。
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设*f*、*g*、*u*和*F*如定理中规定的那样。然后
证明
代换也可以与定积分一起使用。然而，使用代换来评估定积分需要改变积分的极限。如果我们改变被积函数中的变量，积分的极限也会改变。
定积分的替换
替代
*集成涉及指数函数的函数。
*集成涉及对数函数的函数。
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就微积分运算而言，指数函数可能是最有效的函数。指数函数$y={e}^{x}，$是它自己的导数和积分。
指数函数的积分
如以下规则所示，对形式为$f\old（x\right）={x}^{-1}$的函数进行积分，得到自然对数函数的绝对值。其他对数函数的积分公式，例如$f\old（x\right）=\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}x$和$f\old（x\right）={\text{log}}_{a}x，$也包含在规则中。
涉及对数函数的积分
涉及指数和对数函数的积分
*集成函数导致反三角函数
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让我们从这三个公式开始本章的最后一节。除了这些公式，我们还使用代换来评估积分。我们证明了逆正弦积分的公式。
导致逆正弦函数的积分
有六个反三角函数。然而，在关于导致反三角函数的积分公式的规则中只提到了三个积分公式，因为剩下的三个是我们使用的积分公式的负版本。唯一的区别是被积函数是正的还是负的。如果被积函数是负的，不要再记住三个公式，只需考虑-1，并使用已经提供的公式之一来评估积分。为了结束本节，我们再检查一个公式：导致反正切函数的积分。
导致其他反三角函数的积分
导致反三角函数的积分
整合
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导言
*通过对自变量进行积分来确定两条曲线之间区域的面积。
*找到一个复合区域的面积。
*通过对因变量进行积分，确定两条曲线之间区域的面积。
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设$f\old（x\right）$和$g\old（x\right）$是间隔$\old[a， b\right]$上的连续函数，使得$f\old（x\right）\ge g\lew（x\right）$在$\lev[a，b\right]上。$我们想找到函数图之间的区域，如下图所示。
两条曲线之间区域的面积
到目前为止，我们在整个感兴趣的区间内需要$f\old（x\right）\ge g\old（x\right）$，但是如果我们想查看由相互交叉的函数图限定的区域呢？在这种情况下，我们使用绝对值函数修改我们刚刚开发的过程。
复合区域的面积
在[link]中，我们必须计算两个独立的积分来计算区域的面积。然而，还有另一种方法只需要一个积分。如果我们将曲线视为$y的函数，$而不是$x的函数会怎样？$查看[link]。请注意，左图以红色显示，由函数$y=f\old（x\right）={x}^{2}表示。$我们可以很容易地为$x$解决这个问题，并用函数$x=v\lee（y\right）=\sqrt{y}表示曲线。$（请注意，$x=\text{−}\sqrt{y}$也是函数$y=f\lee（x\right）={x}^{2}$作为$y的函数的有效表示。$然而，根据图表，很明显我们对正平方根感兴趣。）类似地，右图由函数$y=g\lew（x\right）=2-x，$表示，但也可以很容易地由函数$x=u\lew（y\right）=2-y表示。$当图表示为$y的函数时，$我们看到该区域在左侧以一个函数的图为界，在右侧以另一个函数的图为界。因此，如果我们对$y进行积分，$我们只需要计算一个积分。让我们为这种类型的积分开发一个公式。
关于*y*定义的区域
曲线之间的区域
*通过积分横截面（切片法）确定固体的体积。
*使用磁盘方法查找旋转固体的体积。
*使用垫圈方法找到带有空腔的旋转固体的体积。
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正如面积是二维区域的数值度量一样，体积也是三维实体的数值度量。我们大多数人都通过使用基本的几何公式来计算固体的体积。例如，矩形固体的体积可以通过乘以长度、宽度和高度来计算：$V=lwh。$球体体积的公式$\左（V=\frac{4}{3}{3}\pi{r}^{3}\右），$锥体$\左（V=\frac{1}{3}\pi{r}^{2}h\右），$和金字塔$\左（V=\frac{1}{3}Ah\right）$也被引入。虽然其中一些公式是仅使用几何推导出来的，但所有这些公式都可以通过积分得到。
卷和切片方法
如果一个平面中的一个区域围绕该平面中的一条线旋转，得到的固体称为旋转固体，如下图所示。
革命的固体
当我们将切片方法用于旋转固体时，它通常被称为圆盘方法，因为对于旋转固体，用于过度近似固体体积的切片是圆盘。为了看到这一点，考虑旋转函数$f\old（x\right）={\lee（x-1\right）}^{2}+1$和$x\text{-轴}$之间的区域所产生的旋转固体，该区域位于$x\text{-轴}\text{.}$周围的间隔$\左[-1,3\右]$上。函数和代表性磁盘的图表显示在[链接]（a）和（b）中。旋转区域和生成的实体显示在[链接]（c）和（d）中。
磁盘方法
一些旋转的固体在中间有空洞；它们并不是一直到旋转轴都是固体。有时，这只是旋转区域相对于旋转轴的形状的结果。在其他情况下，当旋转区域被定义为两个函数图之间的区域时，空洞就会出现。第三种可能发生的情况是选择了$x\text{-轴}$或$y\text{-轴}$以外的旋转轴。
垫圈法
通过切片确定体积
*使用圆柱壳的方法计算旋转固体的体积。
*比较计算转数的不同方法。
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同样，我们正在进行一场革命。和之前一样，我们定义了一个区域$R，$上面以函数$y=f\左（x\右）的图形为界，$下面以$x\text{-轴，}$为界，左边和右边分别以$x=a$和$x=b，$为界，如[link]（a）所示。然后我们将该区域围绕*y*-轴旋转，如[link]（b）所示。请注意，这与我们之前所做的不同。以前，根据$x$的函数定义的区域围绕$x\text{-轴}$或与其平行的线旋转。
圆柱壳的方法
我们已经研究了几种寻找旋转固体体积的方法，但是我们如何知道使用哪种方法呢？它通常归结为选择哪个积分最容易评估。[链接]描述了围绕$x\text{-轴}的旋转固体的不同方法。$由您来开发围绕$y\text{-轴}的旋转固体的类似表格。$
我们应该使用哪种方法？
革命卷：圆柱形外壳
*确定曲线的长度，$y=f\左（x\右），$在两点之间。
*确定曲线的长度，$x=g\old（y\right），$在两点之间。
*找到旋转固体的表面积。
m53644
在以前的积分应用中，我们要求函数$f\old（x\right）$是可积的，或者最多是连续的。然而，为了计算弧长，我们对$f\old（x\right）有更严格的要求。$在这里，我们要求$f\old（x\right）$是可微分的，此外，我们要求它的导数${f}^{\Prime}\lee（x\right），$是连续的。像这样具有连续导数的函数称为*平滑*。（这个属性在后面的章节中再次出现。）
曲线的弧长*y*=*f*（*x*）
我们刚刚已经看到了如何用线段来近似曲线的长度，如果我们想找到一个函数$y的图形的弧长，$我们可以重复同样的过程，只是我们划分了$y\text{-轴}$而不是$x\text{-轴}。$[link]显示了一个有代表性的线段。
曲线的弧长*x*=*g*（*y*）
我们用来求曲线弧长的概念可以推广到求一个回转曲面的表面积。表面积是物体外层的总面积。对于立方体或砖块等物体，物体的表面积是其所有面的面积之和。对于曲面，情况稍微复杂一点。设$f\old（x\right）$为区间$\old[a， b\right]上的非负平滑函数。$我们希望找到由$y=f\old（x\right）$的图形围绕$x\text{-ax}$旋转所创建的回转曲面的表面积，如下图所示。
革命表面的区域
曲线的弧长和表面积
*根据一维物体的线性密度函数确定其质量。
*根据径向密度函数确定二维圆形物体的质量。
*计算沿直线作用的可变力所做的功。
*计算将液体从一个高度泵送到另一个高度所做的功。
*求水下垂直板的静水力。
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我们可以使用积分来开发一个基于密度函数计算质量的公式。首先，我们考虑一根细杆或电线。定位杆，使其与$x\text{-轴对齐，}$杆的左端在$x=a$，杆的右端在$x=b$（[链接]）。请注意，尽管我们在图中用一定的厚度描述了杆，但出于数学目的，我们假设杆足够薄，可以被视为一维物体。
质量和密度
我们现在考虑工作。在物理学中，功与力有关，力通常被直观地定义为对物体的推或拉。当力移动物体时，我们说力确实对物体起作用。换句话说，功可以被认为是移动物体所需的能量。根据物理学，当我们有一个恒定的力时，功可以表示为力和距离的乘积。
原力完成的工作
考虑一下从水箱中抽出水（或其他液体）所做的工作。抽水问题比弹簧问题稍微复杂一点，因为许多计算取决于水箱的形状和大小。此外，我们不关心移动单个质量所做的工作，而是关注移动大量水所做的工作，从水箱底部移动水比从水箱顶部移动水需要更多的工作。
泵中完成的工作
在最后一节中，我们来看看对浸没在液体中的物体施加的力和压力。在英制中，力以磅为单位。在公制中，它以牛顿为单位。压力是每单位面积的力，所以在英制中，我们有磅每平方英尺（或者更常见的是，磅力每平方英寸，表示psi）。在公制中，我们有牛顿每平方米，也称为*pascals*。
静水力和压力
物理应用
*找出沿着一条线分布的物体的质心。
*定位薄板的质心。
*使用对称性来帮助定位薄板的形心。
*应用Pappus的体积定理。
m53649
让我们从一维背景下的质心开始。考虑一根质量微不足道的细长电线或杆，如[link]（a）所示。现在假设我们将质量为${m}_{1}$和${m}_{2}$的物体分别放置在距支点的距离${d}_{1}$和${d}_{2}$处，如[link]（b）所示。
弥撒和瞬间中心
到目前为止，我们已经研究了线和平面上的点质量系统。现在，不是让系统的质量集中在离散的点上，我们想看看系统的质量连续分布在薄片上的系统。为了我们的目的，我们假设薄片足够薄，可以像二维一样处理。这样的薄片称为薄片。接下来，我们开发技术来寻找薄片的质心。在这一节中，我们还假设薄片的密度是恒定的。
薄板质心
当我们观察矩形的形心时，我们已经说明了对称原理。对称原理在寻找对称区域的质心时会有很大帮助。考虑下面的例子。
对称原理
本节最后讨论了Pappus体积定理，它允许我们通过使用形心来找到特定种类固体的体积。（也有一个Pappus表面积定理，但它比体积定理用处小得多。）
Pappus定理
质量矩和中心
*将自然对数的定义写成积分。
*识别自然对数的导数。
*集成涉及自然对数函数的函数。
*通过整数定义数字$e$。
*识别指数函数的导数和积分。
*使用积分证明对数和指数函数的性质。
*用自然对数和指数表示一般对数和指数函数。
m53650
回想一下积分的幂法则：
作为积分的自然对数
由于我们定义自然对数的方式，由于微积分基本定理，下面的微分公式立即出现了。
自然对数的性质
现在我们已经定义了自然对数，我们可以使用该函数来定义数字$e。$
定义数字*e*
我们现在将注意力转向函数${e}^{x}。$请注意，自然对数是一对一的，因此具有反函数。现在，我们用$\text{exp}{\规则{0.2em}{0ex}}x来表示这个反函数。$然后，
指数函数
由于指数函数是根据反函数定义的，而不是根据$e的幂定义的，$我们必须验证函数${e}^{x}的通常指数定律是否成立。$
指数函数的性质
我们通过查看除$e之外的基的指数函数和对数来结束本节。$指数函数是形式为$f\old（x\right）={a}^{x}的函数。$请注意，除非$a=e，否则$我们仍然没有对无理指数的这些函数进行数学上严格的定义。让我们在这里通过定义函数$f\old（x\right）={a}^{x}$来纠正这一点，根据指数函数${e}^{x}。$然后我们检查具有$e$以外的基的对数作为指数函数的反函数。
一般对数和指数函数
积分、指数函数和对数
*在应用中使用指数增长模型，包括人口增长和复利。
*解释加倍时间的概念。
*在应用中使用指数衰变模型，包括放射性衰变和牛顿冷却定律。
*解释半衰期的概念。
m53651
许多系统表现出指数增长。这些系统遵循形式为$y={y}_{0}{e}^{kt}的模型，其中${y}_{0}$表示系统的初始状态，$k$是一个正常数，称为*增长常数*。请注意，在指数增长模型中，我们有
指数增长模型
指数函数也可以用来模拟减少的种群（例如，由于疾病），或者随着时间的推移分解的化合物。我们说这样的系统表现出指数衰减，而不是指数增长。模型几乎是一样的，只是指数中有一个负号。因此，对于一些正常数$k，$我们有$y={y}_{0}{e}^{\text{−}kt}。$
指数衰减模型
指数增长和衰减
*应用双曲函数的导数和积分公式。
*应用双曲反函数及其相关积分的导数公式。
*描述悬链线曲线的常见应用条件。
m53653
回想一下，双曲正弦和双曲余弦定义为
双曲函数的导数和积分
观察双曲函数的图，我们看到在适当的范围限制下，它们都有逆。大多数必要的范围限制可以通过仔细检查图来识别。下表总结了逆双曲函数的域和范围。
反双曲函数演算
双曲函数的一个物理应用涉及悬挂电缆。如果一根密度均匀的电缆悬挂在两个支架之间，除了自身重量之外没有任何负载，电缆就会形成一条曲线，称为悬链线。高压电力线、挂在两个柱子之间的链条和蜘蛛网的股线都形成悬链线。下图显示了挂在一排柱子上的链条。
应用
双曲函数的微积分
集成应用
m53654
导言
*识别何时使用零件集成。
*使用按部分集成公式来解决集成问题。
*对定积分使用分积分公式。
m53656
如果，$h\左（x\右）=f\左（x\右）g\左（x\右），$那么通过使用乘积规则，我们得到${h}^{\素数}\左（x\右）={f}^{\素数}\左（x\右）g\左（x\右）+{g}^{\素数}\左（x\右）f\左（x\右）。$虽然起初它可能看起来适得其反，但现在让我们整合这个等式的两边：$\int{h}^{\素数}\左（x\右）dx=\int\左（g\左（x\右）{f}^{\素数}\左（x\右）+f\左（x\右）{g}^{\素数}\左（x\右）\右）dx。$
零件积分公式
现在我们已经成功地使用零件积分来评估不定积分，我们将注意力转向定积分。积分技术实际上是一样的，只是我们在积分的上下限添加了一个步骤来评估积分。
定积分的零件积分
零件集成
*解决涉及$\text{sin}x$和$\text{cos}x的产品和功能的集成问题。$
*解决涉及$\text{tan}x$和$\text{sec}x的产品和功能的集成问题。$
*使用简化公式求解三角积分。
m53657
用于整合$\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}}x$和$\text{cos}{\规则{0.1em}{0ex}}x$的乘积和幂组合的策略背后的一个关键思想是将这些表达式重写为$\int{\text{sin}}^{j}x{\规则{0.1em}{0ex}}\text{cos}{0.1em}{0ex}}x{\规则{0.2em}{0ex}}dx$或$\int{\text{cos}}}^{j}x{\规则{0.1em}{0ex}}\text{sin}{0.1em}{0ex}}x{\规则{0.2em}{0ex}}dx。$重写这些积分后，我们使用*u*-替换来评估它们。在详细描述一般过程之前，让我们看看以下示例。
整合sin*x*和cos*x*的产品和权力
在讨论$\text{tan}{\规则{0.1em}{0ex}}x$和$\text{sec}{\规则{0.1em}{0ex}}x的积和幂的集成之前，$回忆一下涉及$\text{tan}{\规则{0.1em}{0ex}}x$和$\text{sec}{\规则{0.1em}{0ex}}x$的积分很有用，我们已经了解到：
整合tan*x*和sec*x*的乘积和幂
为$n$的值评估$\int{\text{sec}}^{n}x{\规则{0.2em}{0ex}}dx$，其中$n$是奇数，需要按部分进行积分。此外，我们还必须知道$\int{\text{sec}}}^{n-2}x{\规则{0.2em}{0ex}}dx$的值以评估$\int{\text{sec}}^{n}x{\规则{0.2em}{0ex}}dx。$\int{\text{tan}}^{n}x{\规则{0.2em}{0ex}}dx$的评估还需要能够集成$\int{\text{tan}}^{n-2}x{\规则{0.2em}{0ex}}dx。$为了使过程更容易，我们可以导出并应用以下功率降低公式。这些规则允许我们将$\text{sec}{\规则{0.1em}{0ex}}x$或$\text{tan}{\规则{0.1em}{0ex}}x$的幂的积分替换为$\text{sec}{\规则{0.1em}{0ex}}x$或$\text{tan}{\规则{0.1em}{0ex}}x$的较低幂的积分。
还原公式
三角积分
*解决涉及两个平方和或差的平方根的积分问题。
m53659
在为包含$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}的积分制定一般策略之前，$考虑积分$\int\sqrt{9-{x}^{2}}dx。$这个积分不能使用我们到目前为止讨论过的任何技术来评估。但是，如果我们进行替换$x=3{\规则{0.1em}{0ex}}\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}}\θ，$我们有$dx=3{\规则{0.1em}{0ex}}\text{0.1em}{0ex}}\theta d\theta。$代入积分后，我们有
涉及$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$的积分
对于包含$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}的积分，}$让我们首先考虑这个表达式的域。由于$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$是为$x的所有实数值定义的，$我们将我们的选择限制在那些具有所有实数范围的三角函数上。因此，我们的选择仅限于选择$x=a{\规则{0.1em}{0ex}}\text{tan}{\text{0.1em}{0ex}\theta$或$x=a{\规则{0.1em}{0ex}}\text{cot}{\规则{0.1em}{0ex}}\theta。$这些替换中的任何一个实际上都有效，但标准替换是$x={a\规则{0.1em}{0ex}}\{text tan}\{规则{0.1em}{0ex}}\theta$或等效地，$\text{tan$使用此替换，我们假设$\text{−}\old（\pi\text{/} 2\right）<\theta<\pi\text{/}2，$因此我们也有$\theta={\text{tan}}^{-1}\old（x\text{/}a\right）。$使用此替换的过程在以下问题解决策略中进行了概述。
集成涉及$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$的表达式
表达式$\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}$的域是$\old（\text{−}\infty，\text{−}a\right]\box\lee[a，\text{+}\infty\right）。$因此，$x\le\text{−}a$或$x\ge a。$因此，$\frac{x}{a}\le-1$或$\frac{x}{a}\ge 1。$由于这些间隔对应于集合$\text{sec}{\规则{0.1em}{0ex}}\theta$的范围$\text{sec}{0.1em}{0ex}}\theta$，$其中0美元\le\theta<\frac{\pi}{2}<\theta\pi><\frac{\pi}{2}，\pi\right>，$使用替换$\text{sec}{\规则{0.1em}{0 ex}{a}$或等效地，$x=a{\规则{0.1em}{0 ex}}{0 ex}}\text{0.1em}{0.1em}{0 ex}\text{2}$或$\frac{\pi}{2}<\theta\le\pi。$dx$的相应替换是$dx=a{\规则{0.1em}{0ex}}\text{sec}{$使用此替换的过程在以下问题解决策略中进行了概述。
集成涉及$\sqrt{{x}^{2}-{a}^{2}}$的表达式
三角代换
*使用部分分数的方法积分有理函数。
*识别有理函数中的简单线性因素。
*识别有理函数中重复的线性因素。
*识别有理函数中的二次因子。
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如果$Q\old（x\right）$可以分解为$\old（{a}_{1}x+{b}_{1}\right）\old（{a}_{2}x+{b}_{2}\right）\text{…}\old（{a}_{n}x+{b}_{n}\right），$其中每个线性因子不同，则可以找到常数${A}_{1}，{A}_{2}\text{，…}{\规则{0.2em}{0ex}}{A}_{n}$令人满意
非重复线性因子
对于某些应用程序，我们需要对具有重复线性因子的分母的有理表达式进行积分——也就是说，有理函数具有至少一个形式为${\old（ax+b\right）}^{n}的因子，$其中$n$是大于或等于2美元的正整数。$如果分母包含重复的线性因子${\old（ax+b\right）}^{n}，则$分解必须包含
重复线性因子
现在我们开始了解部分分数分解技术是如何工作的，让我们概述以下解题策略中的基本方法。
一般方法
现在让我们看看积分一个有理表达式，其中分母包含一个不可约的二次因子。回想一下，如果$a{x}^{2}+bx+c$没有实零，则二次$a{x}^{2}+bx+c=0$是不可约的，也就是说，如果${b}^{2}-4ac<0。$
简单二次因子
部分分数
*使用积分表来解决积分问题。
*使用计算机代数系统（CAS）解决集成问题。
m53684
如果以正确的方式使用积分表，可以成为快速评估或检查积分的便捷方法。请记住，当使用表格检查答案时，两个完全正确的解决方案可能看起来非常不同。例如，在三角替换中，我们发现，通过使用替换$x=\text{tan}{\规则{0.1em}{0ex}}\θ，$我们可以得到
积分表
如果可用，CAS是解决集成问题的表的更快替代方案。许多这样的系统广泛可用，并且通常非常易于使用。
计算机代数系统
其他整合策略
*使用中点和梯形规则近似定积分的值。
*确定使用数值积分技术的绝对和相对误差。
*使用误差界公式估计绝对和相对误差。
*识别中点和梯形规则何时超过或低估了积分的真实值。
*使用辛普森规则将定积分的值近似到给定精度。
m53685
在本文中前面，我们将函数在区间上的定积分定义为黎曼和的极限。一般来说，函数$f\old（x\right）$在区间$\old[a， b\right]$上的任何黎曼和都可以被视为${\int}_{a}^{b}f\old（x\right）dx的估计。$回想一下，函数$f\old（x\right）$在区间$\商[a，b\right]$上的黎曼和是通过选择一个分区获得的
中点规则
我们也可以通过使用梯形而不是矩形来近似定积分的值。在[link]中，曲线下方的面积用梯形而不是矩形来近似。
梯形法则
使用这些数值逼近规则的一个重要方面是计算使用它们估计定积分值时的误差。我们首先需要定义绝对误差和相对误差。
绝对和相对误差
使用中点规则，我们使用矩形估计曲线下区域的面积。从某种意义上说，我们用分段常数函数逼近曲线。使用梯形规则，我们使用分段线性函数逼近曲线。如果我们使用分段二次函数逼近曲线呢？使用辛普森规则，我们就这样做了。我们将区间划分为偶数个子区间，每个子区间宽度相等。在第一对子区间上，我们近似${\int}_{{x}_{0}}^{{x}_{2}}f\左（x\右）dx$与${\int}_{{x}_{0}}^{{x}_{2}}p\左（x\右）dx，$其中$p\左（x\右）=A{x}^{2}+Bx+C$是通过$\左（{x}_{0}，f\左（{x}_{0}\右）\右），$$\左（{x}_{1}，f\左（{x}_{1}\右）\右），$和$\左（{x}_{2}，f\左（{x}_{2}\右）\右）$（[链接]）。在下一对子区间上，我们近似${\int}_{{x}_{2}}^{{x}_{4}}f\左（x\右）dx$，另一个二次函数的积分通过$\左（{x}_{2}，f\左（{x}_{2}\右）\右），$\左（{x}_{3}，f\左（{x}_{3}\右）\右），$和$\左（{x}_{4}，f\左（{x}_{4}\右）\右）。$这个过程在每一对连续的子区间上继续。
辛普森法则
数值积分
*评估一个积分在一个无限的间隔。
*在区间内具有无限不连续的封闭区间上评估积分。
*使用比较定理确定定积分是否收敛。
m53686
我们应该如何定义类型为${\int}_{a}^{+\infty}f\old（x\right）dx的积分？$我们可以将${\int}_{a}^{t}f\old（x\right）dx$积分为任何值$t，因此当我们替换较大的值$t时，观察这个积分的行为是合理的。$[link]表明${\int}_{a}^{t}f\old（x\right）dx$可以解释为$t的各种值的面积。$换句话说，我们可以将不适当的积分定义为限制，作为积分的限制之一，不受限制地增加或减少。
在无限间隔上积分
现在让我们检查在积分发生的区间内包含无限不连续的函数的积分。考虑一个形式为${\int}的积分_{a}^{b}f\old（x\right）dx，$其中$f\商（x\right）$在$\商[a， b\right）$上是连续的，在$b处是不连续的。$由于函数$f\商（x\right）$在$\商[a，t\right]$上是连续的，满足$a的所有值，整数${\int}_{a}^{t}f\商（x\right）dx$被定义为$t的所有此类值。$因此，考虑${\int}_{a}^{t}f\old（x\right）dx$的值是有意义的，因为$t$对于$a接近$b$。也就是说，我们定义${\int}_{a}^{b}f\左（x\右）dx=\underset{t\to{b}^{-}}{\text{lim}}{\int}_{a}^{t}f\左（x\右）dx，$前提是存在此限制。[链接]说明${\int}_{a}^{t}f\左（x\右）dx$为$t$接近$b的区域。$
集成不连续积分
直接评估一个不适当的积分并不总是容易的，甚至是不可能的；然而，通过将它与另一个精心选择的积分进行比较，可能会确定它的收敛或发散。为了看到这一点，考虑两个连续函数$f\old（x\right）$和$g\lev（x\right）$满足0美元\le f\lew（x\right）\le g\lew（x\right）$对于$x\ge a$（[link]）。在这种情况下，我们可以将这些函数在$\lev[a， t\right]$形式的区间上的积分视为面积，因此我们有关系
比较定理
不当积分
集成技术
m53696
导言
*确定微分方程的阶数。
*解释微分方程的解是什么意思。
*区分微分方程的一般解和特定解。
*确定初始值问题。
*确定给定函数是微分方程的解还是初值问题。
m53697
考虑方程${y}^{\Prime}=3{x}^{2}，$这是微分方程的一个例子，因为它包含导数。变量$x$和$y\text{：}{\规则{0.2em}{0ex}}y$是$x的未知函数。$此外，方程的左侧是$y的导数。$因此，我们可以将这个方程解释如下：从某个函数$y=f\左（x\右）$开始，并取其导数。答案必须等于3美元{x}^{2}。$什么函数的导数等于3美元{x}^{2}？$一个这样的函数是$y={x}^{3}，$所以这个函数被认为是微分方程的解。
一般微分方程
我们已经注意到，微分方程${y}^{\Prime}=2x$至少有两个解：$y={x}^{2}$和$y={x}^{2}+4。$这两个解之间唯一的区别是最后一项，它是一个常数。如果最后一项是一个不同的常数呢？这个表达式还会是微分方程的解吗？事实上，任何形式为$y={x}^{2}+C的函数，$其中$C$代表任何常数，也是一个解。原因是${x}^{2}+C$的导数是$2x，$与$C的值无关。$可以证明，这个微分方程的任何解都必须是$y={x}^{2}+C的形式。$这是微分方程通解的一个例子。[link]中给出了其中一些解决方案的图表。（*注意*：在这张图中，我们使用了$C$的偶数值，范围在$-4$到$4$之间。$事实上，$C的值没有限制；$它可以是整数，也可以不是整数。）
一般和特殊解决方案
通常一个给定的微分方程有无限多的解，所以很自然地问我们想用哪一个。要选择一种解决方案，需要更多的信息。一些可能有用的特定信息是初始值，这是一个有序对，用于找到特定的解决方案。
初始值问题
微分方程基础
*绘制给定一阶微分方程的方向场。
*使用方向场绘制一阶微分方程的解曲线。
*用欧拉方法近似一阶微分方程的解。
m53701
方向场（也称为斜率场）对于研究一阶微分方程是有用的。特别是，我们考虑一阶微分方程的形式
创建方向字段
我们可以在不知道实际解的情况下使用方向场来预测微分方程解的行为。例如，[link]中的方向场可以指导微分方程$y\Prime=3x+2y-4的解的行为。$
使用方向字段
考虑初始值问题
欧拉方法
方向场和数值方法
*使用变量分离来求解微分方程。
*使用变量分离解决应用程序。
m53704
我们从一个定义和一些例子开始。
变量分离
许多有趣的问题可以用可分离方程来描述。我们说明了两类问题：溶液浓度和牛顿冷却定律。
变量分离的应用
可分离方程
*描述人口增长逻辑模型中环境承载能力的概念。
*为逻辑方程绘制方向场并解释解曲线。
*解决逻辑方程并解释结果。
m53710
要使用微分方程来模拟人口增长，我们首先需要引入一些变量和相关术语。变量$t.$将代表时间。时间单位可以是小时、天、周、月甚至年。任何给定的问题都必须指定该特定问题中使用的单位。变量$P$将代表人口。由于人口随时间变化，因此它被理解为时间的函数。因此我们使用符号$P\old（t\right）$表示人口作为时间的函数。如果$P\old（t\right）$是一个可微函数，那么一阶导数$\frac{dP}{dt}$表示人口作为时间函数的瞬时变化率。
人口增长和承载能力
逻辑微分方程是一个自治微分方程，所以我们可以使用变量分离来找到一般解，就像我们刚刚在[link]中所做的那样。
求解Logistic微分方程
逻辑方程
*以标准形式编写一阶线性微分方程。
*找到一个积分因子，并用它来求解一阶线性微分方程。
*解决涉及一阶线性微分方程的应用问题。
m53713
考虑微分方程
标准表格
我们现在开发了一种求解任何一阶线性微分方程的技术。我们从一阶线性微分方程的标准形式开始：
整合因素
我们来看一阶线性微分方程的两个不同应用。第一个涉及空气阻力，因为它与上升或下降的物体有关；第二个涉及电路。其他应用很多，但大多数都是以类似的方式解决的。
一阶线性微分方程的应用
一阶线性方程
微分方程导论
--
m53756
导言
*找到序列的一般项的公式。
*计算序列的极限（如果存在）。
*确定给定序列的收敛或发散。
m53758
为了处理这个新主题，我们需要一些新的术语和定义。首先，无限序列是表单的有序数字列表
序列术语
关于无限序列出现的一个基本问题是当$n$变大时术语的行为。由于序列是定义在正整数上的函数，因此将术语的限制讨论为$n\to\infty是有意义的。$例如，将以下四个序列及其不同的行为视为$n\to\infty$（参见[链接]）：
序列的极限
我们现在把注意力转向涉及序列的最重要的定理之一：单调收敛定理。在陈述定理之前，我们需要介绍一些术语和动机。我们首先定义序列有界意味着什么。
有界序列
序列
*解释无穷级数之和的含义。
*计算几何级数的总和。
*评估伸缩系列。
m53739
无穷级数是无穷多个项的总和，以形式写成
总和和系列
考虑系列$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\左（n+1\右）}。$我们在[link]中讨论了这个系列，通过写出前几个部分和${S}_{1}，{S}_{2}\text{，…}，{S}_{6}$来证明这个系列收敛，并注意到它们都是${S}_{k}=\frac{k}{k+1}。$这里我们使用不同的技术来证明这个系列收敛。通过使用部分分数，我们可以写
望远镜系列
无限级数
*使用散度测试来确定级数是收敛还是发散。
*使用积分检验来确定级数的收敛性。
*通过找到剩余项的界限来估计序列的值。
m53754
一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}$收敛等价于部分和序列（${S}_{k}$）收敛为$k\to\infty。$
发散测试
在上一节中，我们通过查看部分和的序列$\old\{{S}_{k}\right\}$证明调和级数发散，并显示${S}_{{2}^{k}}>1+k\text{/} 2$对于所有正整数$k。$在本节中，我们使用不同的技术来证明调和级数的发散。这种技术很重要，因为它被用来证明许多其他级数的发散或收敛。这种测试称为积分测试，将无穷和与不当积分进行比较。重要的是要注意，这种测试只能在我们考虑一个项都是正的级数时应用。
积分测试
调和级数$\sum_{n=1}^{\infty} 1\text{/}n$和级数$\sum_{n=1}^{\infty}1\text{/}{n}^{2}$都是称为*p*-级数的级数类型的示例。
*p*-系列
假设我们知道一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}$收敛，我们想估计该级数的和。当然，我们可以用任何有限和$\sum来近似该和_{n=1}^{N}{a}_{n}$其中$N$是任何正整数。我们在这里解决的问题是，对于收敛级数$\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}，$\sum的近似值有多好_{n=1}^{N}{a}_{n}\text{？}更具体地说，如果我们让
估计序列的价值
散度和积分检验
*使用比较测试来测试系列的收敛性。
*使用极限比较测试来确定级数的收敛性。
m53751
在前两节中，我们讨论了两大类级数：几何级数和*p*-级数。我们确切地知道这些级数何时收敛，何时发散。在这里，我们展示了如何使用这些级数的收敛或发散来证明其他级数的收敛或发散，使用一种称为比较测试的方法。
比较测试
如果我们能找到一个满足检验假设的可比序列，比较检验就会很好地工作。然而，有时找到一个合适的序列可能很困难。考虑序列
极限比较测试
比较测试
*使用交替级数测试来测试交替级数的收敛性。
*估计交替序列的总和。
*解释绝对收敛和条件收敛的含义。
m53743
术语在正值和负值之间交替的级数是交替级数。例如，该系列
交替系列测试
很难显式计算大多数交替级数的和，因此通常使用部分和来近似总和。这样做时，我们对近似中的误差感兴趣。考虑一个交替级数
交替级数的剩余部分
考虑一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}$和相关级数$\sum_{n=1}^{\infty}|{a}_{n}|。$这里我们讨论这两个级数收敛关系的可能性。例如，考虑交替谐波级数$\sum_{n=1}^{\infty}{\左（-1\右）}^{n+1}\text{/}n。$项为这些项绝对值的级数是谐波级数，因为$\sum_{n=1}^{\infty}|{\左（-1\右）}^{n+1}\text{/}n|=\sum_{n=1}^{\infty} 1\text{/}n。$由于交替谐波级数收敛，但谐波级数发散，我们说交替谐波级数表现出条件收敛。
绝对和条件收敛
交替系列
*使用比率测试来确定级数的绝对收敛性。
*使用根检验来确定级数的绝对收敛性。
*描述测试给定系列收敛性的策略。
m53747
考虑一个系列$\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}。$从我们之前的讨论和例子中，我们知道$\underset{n\to\infty}{\text{lim}}{a}_{n}=0$不是该系列收敛的充分条件。我们不仅需要${a}_{n}\to 0，$还需要${a}_{n}\to 0$足够快。例如，考虑系列$\sum_{n=1}^{\infty} 1\text{/}n$和系列$\sum_{n=1}^{\infty}1\text{n}^{2}。$我们知道1美元\text{/}n\to 0$和1美元\text{/}n}{2}\to 0。$然而，只有系列$\sum{_n=1}^{\infty}1\text{/}{n}^{2}$收敛。系列$\sum_{n=1}^{\infty} 1\text{/}n$发散，因为序列$\old\{1\text{/}n\right\}$中的项接近零的速度不够快，因为$n\to\infty。$这里我们介绍比率测试，它提供了一种测量系列项接近零的速度的方法。
比率测试
在这一点上，我们有一个很长的收敛测试列表。然而，并非所有测试都可以用于所有系列。当给定一个系列时，我们必须确定哪个测试是最好的。这里有一个找到要应用的最佳测试的策略。
选择收敛测试
比率和根测试
序列和系列
m53760
导言
*确定一个幂级数并提供它们的示例。
*确定幂级数的收敛半径和收敛区间。
*使用幂级数来表示函数。
m53761
一系列的形式
幂级数的形式
由于幂级数中的项涉及变量*x*，该级数可能会收敛于*x*的某些值，而发散于*x*的其他值。对于以$x=a为中心的幂级数，$x=a$处的级数值由${c}_{0}给出。$因此，幂级数总是在其中心收敛。一些幂级数仅收敛于*x*的值。然而，大多数幂级数收敛于多个*x*值。在这种情况下，幂级数要么收敛于所有实数*x*，要么在有限间隔内收敛于所有*x*。例如，几何级数$\sum_{n=0}^{\infty}{x}^{n}$对区间$\old（-1,1\right）中的所有*x*收敛，$但对该区间外的所有*x*发散。我们现在总结一下一般幂级数的这三种可能性。
幂级数的收敛性
能够用“无限多项式”来表示一个函数是一个强大的工具。多项式函数是最容易分析的函数，因为它们只涉及加、减、乘、除的基本算术运算。如果我们可以用一个无限多项式来表示一个复杂的函数，我们可以用多项式表示来微分或积分它。此外，我们可以使用多项式表达式的截断版本来近似函数的值。那么，问题是，我们什么时候可以用幂级数来表示一个函数呢？
将函数表示为幂级数
电源系列和功能
*通过加法或减法组合幂级数。
*通过乘以变量或常数的幂或通过替换创建新的幂级数。
*将两个幂级数相乘。
*逐项区分和整合幂级数。
m53762
如果我们有两个具有相同收敛区间的幂级数，我们可以添加或减去这两个级数以创建一个新的幂级数，也具有相同的收敛区间。类似地，我们可以将幂级数乘以*x*的幂，或者评估一个幂级数在${x}^{m}$为正整数*m*以创建一个新的幂级数。能够做到这一点允许我们通过使用其他函数的幂级数表示来找到某些函数的幂级数表示。例如，由于我们知道$f\old（x\right）=\frac{1}{1-x}的幂级数表示，$我们可以找到相关函数的幂级数表示，例如
组合功率系列
我们还可以通过乘以幂级数来创建新的幂级数。能够将两个幂级数相乘提供了另一种查找函数幂级数表示的方法。
幂级数的乘法
考虑一个幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}{c}_{n}{x}^{n}={c}_{0}+{c}_{1}x+{c}_{2}{x}^{2}+\text{⋯}$收敛于某个区间*I*，并让$f$是这个级数定义的函数。这里我们解决关于$f.$的两个问题。
区分和积分幂级数
幂级数的性质
*描述为函数查找给定阶的泰勒多项式的过程。
*用余数解释泰勒定理的意义和意义。
*估计给定函数的泰勒级数近似的余数。
m53817
考虑一个函数$f$，它在$x=a处具有幂级数表示。$然后序列具有形式
Taylor/Maclaurin系列概述
函数$f$在$a$处的泰勒级数的*n*个部分和称为*n*个泰勒多项式。例如，泰勒级数的第0、1、2和3个部分和由
泰勒多项式
回想一下，函数$f$at*a*的*n*个泰勒多项式是$f$at*a*的泰勒级数的*n*个部分和。因此，要确定泰勒级数是否收敛，我们需要确定泰勒多项式$\左\{p}_{n}\右\}$的序列是否收敛。然而，我们不仅想知道泰勒多项式的序列是否收敛，我们还想知道它是否收敛到$f。$为了回答这个问题，我们将余数${R}_{n}\左（x\right）$定义为
带余数的泰勒定理
我们现在讨论泰勒级数的收敛问题。我们首先展示如何为函数找到泰勒级数，以及如何找到它的收敛区间。
用Taylor和Maclaurin级数表示函数
泰勒和麦克劳林系列
*写下二项式系列的术语。
*认识到常用功能的泰勒级数扩展。
*识别并应用技术来找到函数的泰勒级数。
*用泰勒级数解微分方程。
*用泰勒级数计算非初等积分。
m53769
我们在本节中的第一个目标是为所有实数$r确定函数$f\lew（x\right）={\lew（1+x\right）}^{r}$的Maclaurin级数。$此函数的Maclaurin级数称为二项式级数。我们首先考虑最简单的情况：$r$是一个非负整数。我们记得，对于$r=0,1,2,3,4，f\lew（x\right）={\lew（1+x\right）}^{r}$可以写成
二项式系列
至此，我们已经导出了指数函数、三角函数和对数函数的Maclaurin级数，以及形式为$f\old（x\right）={\商（1+x\right）}^{r}的函数。$在[link]中，我们总结了这些级数的结果。我们注意到，在端点$x=1$处，$f\old（x\right）=\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}\old（1+x\right）$的Maclaurin级数和在端点$x=1$和$x=-1$处，$f\old（x\right）={\text{tan}}^{-1}x$的Maclaurin级数的收敛依赖于比我们在这里介绍的更高级的定理。（有关这个更技术性的问题的讨论，请参阅Abel定理。）
用泰勒级数表示的常用函数
考虑微分方程
用幂级数求解微分方程
求解微分方程是幂级数的一种常见应用。我们现在转向第二个应用。我们展示了如何使用幂级数来评估涉及函数的积分，这些函数的反导数不能用初等函数来表达。
评估非初等积分
使用泰勒系列
电源系列
m53831
导言
*绘制由参数方程描述的曲线。
*将曲线的参数方程转换为$y=f\左（x\右）的形式。$
*识别基本曲线的参数方程，例如直线和圆。
*识别摆线的参数方程。
m53834
以地球绕太阳的轨道为例。我们的一年大约持续365.25天，但在这个讨论中，我们将使用365天。每年的1月1日，地球相对于太阳的物理位置几乎相同，除了闰年，当额外的$\frac{1}{4}$日引入的滞后被内置到日历中时。我们称1月1日为一年中的“第1天”。然后，例如，第31天是1月31日，第59天是2月28日，依此类推。
参数方程及其图
为了更好地理解参数化表示的曲线的图形，将这两个方程重写为与变量*x*和*y相关的单个方程是有用的。*然后我们可以应用平面曲线方程的任何先前知识来识别曲线。例如，[链接]b中描述平面曲线的方程
消除参数
想象一下骑自行车穿越乡村。轮胎与道路保持接触，并以可预测的模式旋转。现在假设一只非常坚定的蚂蚁在漫长的一天后累了，想回家。所以他挂在轮胎的侧面，搭便车。这只蚂蚁沿着笔直的道路行驶的路径被称为摆线（[link]）。由半径*a*的圆（或自行车轮）生成的摆线由参数方程给出
摆线和其他参数曲线
参数方程
*确定参数曲线的导数和切线方程。
*查找参数曲线下的区域。
*使用参数曲线的弧长方程。
*将表面积公式应用于参数曲线生成的体积。
m53850
我们首先询问如何计算与点处参数曲线相切的直线的斜率。考虑参数方程定义的平面曲线
参数方程的导数
我们的下一个目标是看看如何取参数定义的函数的二阶导数。函数$y=f\左（x\右）$的二阶导数被定义为一阶导数的导数；也就是说，
二阶导数
现在我们已经看到了如何计算平面曲线的导数，下一个问题是：我们如何找到参数定义的曲线下的面积？回想一下方程$x\old（t\right）=t-\text{sin}{0.2em}{0ex}}t定义的摆线，{\规则{1em}{0ex}}y\左（t\右）=1-\text{cos}{\规则{0.2em}{0ex}}t。$假设我们想在下图中找到阴影区域的面积。
涉及参数方程的积分
除了寻找参数曲线下的区域，我们有时还需要寻找参数曲线的弧长。在线段的情况下，弧长与端点之间的距离相同。如果粒子沿着曲线从点*A*行进到点*B*，那么粒子行进的距离就是弧长。为了开发弧长公式，我们从线段的近似开始，如下图所示。
参数曲线的弧长
回想一下寻找旋转体积表面积的问题。在Curve Llong and Surface Area中，我们导出了一个公式，用于寻找由函数$y=f\old（x\right）$生成的体积的表面积，从$x=a$到$x=b，$围绕*x*-轴旋转：
参数曲线生成的表面积
参数曲线微积分
*使用极坐标定位平面中的点。
*在直角坐标和极坐标之间转换点。
*从给定的方程中勾勒极曲线。
*在直角坐标和极坐标之间转换方程。
*识别极曲线和方程的对称性。
m53852
要在极坐标系中找到一个点的坐标，考虑[link]。点$P$具有笛卡尔坐标$\左（x， y\右）。$连接原点到点$P$的线段测量从原点到$P$的距离，长度为$r。$正的$x$-轴和线段之间的角度测量了$\θ。$这一观察表明坐标对$\左（x，y\右）$与值$r$和$\θ之间存在自然对应关系。$这种对应关系是极坐标系的基础。请注意，笛卡尔平面中的每个点都有两个与之关联的值（因此称为术语*有序对*）。在极坐标系中，每个点也有两个与之关联的值：$r$和$\θ。$
定义极坐标
现在我们知道如何在极坐标系中绘制点，我们可以讨论如何绘制曲线。在直角坐标系中，我们可以绘制一个函数$y=f\左（x\右）$并在笛卡尔平面中创建一条曲线。以类似的方式，我们可以绘制由函数$r=f\左（\θ\右）生成的曲线。$
极地曲线
在研究直角坐标中函数的对称性时（即，形式为$y=f\左（x\right）\右），$我们讨论关于*y*-轴的对称性和关于原点的对称性。特别是，如果$f\左（\text{−}x\right）=f\左（x\right）$对于$f域中的所有$x$，$f$是一个偶数函数，它的图相对于*y*-轴是对称的。如果$f\左（\text{−}x\right）=\text{−}f\左（x\right）$对于$f域中的所有$x$，$f$是一个奇数函数，它的图相对于原点是对称的。通过确定图表现出哪些类型的对称性，我们可以了解更多关于图的形状和外观。对称性还可以揭示生成图形的函数的其他属性。极曲线中的对称性以类似的方式工作。
极坐标中的对称性
极坐标
*应用极坐标中区域面积的公式。
*确定极曲线的弧长。
m53840
我们已经研究了用直角坐标和参数定义的曲线定义的曲线下面积的公式。现在我们把注意力转向导出由极曲线界定的区域面积的公式。回想一下微积分基本定理的证明使用黎曼和的概念通过使用矩形来近似曲线下的面积。对于极曲线，我们再次使用黎曼和，但是矩形被圆的扇形代替。
极地曲线所界定的区域面积
这里我们推导出以极坐标定义的曲线的弧长公式。
极曲线中的弧长
极坐标中的面积和弧长
*确定抛物线的标准形式的方程与给定的焦点和准线。
*确定具有给定焦点的标准形式的椭圆方程。
*确定具有给定焦点的标准形式的双曲线方程。
*从其偏心值识别抛物线、椭圆或双曲线。
*写一个偏心圆锥截面的极方程$e$。
*确定二度的一般方程是抛物线、椭圆还是双曲线。
m53846
当一个平面与平行于产生线的圆锥相交时，就会产生抛物线。在这种情况下，平面只与推覆体中的一个相交。抛物线也可以用距离来定义。
抛物线
椭圆也可以用距离来定义。在椭圆的情况下，有两个焦点（焦点的复数）和两个方向（方向的复数）。我们将在本节后面更详细地介绍这些方向。
椭圆
双曲线也可以用距离来定义。在双曲线的情况下，有两个焦点和两个方向。双曲线也有两个渐近线。
双曲线
描述圆锥形截面的另一种方法包括方向、焦点和一个叫做偏心的新属性。我们将看到圆锥形截面的偏心度值可以唯一地定义圆锥形。
偏心率和Directrix
有时用极坐标形式写出或辨识圆锥曲线的方程是有用的。要做到这一点，我们需要焦点参数的概念。圆锥曲线的焦点参数*p*被定义为从焦点到最近的准线的距离。下表给出了不同类型圆锥曲线的焦点参数，其中*a*是半长轴的长度（即长轴长度的一半），*c*是从原点到焦点的距离，*e*是偏心距。在抛物线的情况下，*a*表示从顶点到焦点的距离。
二次曲线的极坐标方程
二度的一般方程可以写成
二次一般方程
圆锥截面
参数方程和极坐标
m54049
1.$\int{u}^{n}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{{u}^{n+1}}{n+1}+C， n\ne\text{−}1$
基本积分
18.$\int{\text{sin}}^{2}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{2}u-\frac{1}{4}\text{sin}{\规则{0.2em}{0ex}} 2u+C$
三角积分
42.$\int u{e}^{au}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{1}{{a}^{2}}\左（au-1\右）{e}^{au}+C$
指数积分和对数积分
49.$\int\text{sinh}{\规则{0.2em}{0ex}}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=\text{cosh}{\规则{0.2em}{0ex}}u+C$
双曲积分
59.$\int{\text{sin}}^{-1}u{\规则{0.2em}{0ex}}du=u{\规则{0.2em}{0ex}}{\text{sin}}^{-1}u+\sqrt{1-{u}^{2}}+C$
反三角积分
68.$\int\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{2}\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}\左（u+\sqrt{{a}^{2}+{u}^{2}}\右）+C$
涉及*a*2+*u*2，*a*>0的积分
77.$\int\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{u}^{2}-{a}^{2}}-\frac{a}^{2}}{2}\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}|u+\sqrt{u}^{2}-{a}^{2}}|+C$
涉及*u*2−*a*2，*a*>0的积分
85.$\int\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u}{2}\sqrt{{a}^{2}-{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{2}{\text{sin}}^{-1}\frac{u}{a}+C$
涉及*a*2−*u*2，*a*>0的积分
94.$\int\sqrt{2au-{u}^{2}}{\规则{0.2em}{0ex}}du=\frac{u-a}{2}\sqrt{2au-{u}^{2}}+\frac{a}^{2}}{\text{cos}}^{-1}\左（\frac{a-u}{a}\右）+C$
涉及2*au*−*u*2，*a*>0的积分
98.$\int\frac{u{\规则{0.2em}{0ex}}du}{a+bu}=\frac{1}{{b}^{2}}\左（a+bu-a\text{ln}{\规则{0.1em}{0ex}}|a+bu|\右）+C$
涉及*a*+*bu*，*a*≠0的积分
积分表
m54050
1.$\frac{d}{dx}\左（c\右）=0$
通用公式
9.$\frac{d}{dx}\左（\text{sin}{\规则{0.1em}{0ex}}x\right）=\text{cos}{\规则{0.1em}{0ex}}x$
三角函数
15.$\frac{d}{dx}\左（{\text{sin}}^{-1}x\right）=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$
反三角函数
21.$\frac{d}{dx}\左（{e}^{x}\右）={e}^{x}$
指数和对数函数
25.$\frac{d}{dx}\左（\text{sinh}{\规则{0.1em}{0ex}}x\right）=\text{cosh}{\规则{0.1em}{0ex}}x$
双曲函数
31.$\frac{d}{dx}\左（{\text{sinh}}^{-1}x\右）=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
逆双曲函数
衍生品表
m54053
$A=\text{Area}，$$V=\text{Volume}，{\规则{0.2em}{0ex}}\text{and}$S=\text{横向表面积}$
几何公式
代数公式
三角学的公式
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