m81357
OpenStax是莱斯大学的非营利组织，我们的使命是改善学生接受教育的机会。我们的第一本公开许可的大学教科书于2012年出版，此后我们的图书馆已经扩大到超过35本大学和AP课程的书籍，被数十万学生使用。我们的自适应教育技术旨在通过个性化的教育途径改善学习成果，正在全国的大学课程中进行试点。通过与慈善基金会的合作以及与其他教育资源组织的联盟，OpenStax正在打破最常见的学习障碍，并赋予学生和教师成功的力量。
关于OpenStax
关于OpenStax资源
*中级代数2e*旨在满足一学期中级代数课程的范围和顺序要求。这本书的组织使得它很容易适应各种课程大纲。文本扩展了代数的基本概念，同时满足了具有不同背景和学习风格的学生的需求。每个主题都建立在以前开发的材料之上，以展示数学的凝聚力和结构。
关于*中级代数2e*
额外资源
关于作者
序言
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导言
在本节结束时，您将能够：

*查找因子，素数分解和最小公倍数
*使用变量和代数符号
*使用操作顺序简化表达式
*评估表达式
*识别和组合相似的术语
*将英语短语翻译成代数表达式
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数字2、4、6、8、10、12称为2的倍数。2的倍数可以写成2和一个计数数的乘积。
查找因子、质数分解和最小公倍数
在代数中，我们使用字母表中的一个字母来表示一个值可能改变的数字。我们称之为变量，变量常用的字母是$x， y，a，b，c。$
使用变量和代数符号
简化表达式的意思是做所有可能的数学运算。例如，为了简化4美元·2+1美元，我们首先将4美元·2美元乘以8，然后将1相加得到9。要养成的一个好习惯是在页面上工作，在前一步下面写下过程的每一步。刚刚描述的示例如下所示：
使用操作顺序简化表达式
在最后几个例子中，我们使用操作的顺序简化了表达式。现在我们将计算一些表达式——同样遵循操作的顺序。计算表达式意味着当变量被给定的数字替换时，找到表达式的值。
评估表达式
代数表达式由术语组成。术语是一个常数，或者是一个常数和一个或多个变量的乘积。
识别和组合相似的术语
我们列出了许多代数中使用的运算符号。现在，我们将使用它们将英语短语翻译成代数表达式。我们讨论过的符号和变量将帮助我们做到这一点。[链接]总结了它们。
将英语短语翻译成代数表达式
使用代数语言
在本节结束时，您将能够：

*用绝对值简化表达式
*加减整数
*乘除整数
*用整数简化表达式
*用整数评估变量表达式
*将短语翻译成带整数的表达式
*在应用程序中使用整数
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负数是小于0的数字。负数在数线上零的左边。见[链接]。
用绝对值简化表达式
到目前为止，我们只使用了计数数字和整数。
加减整数
由于乘法是重复加法的数学速记，我们的模型可以很容易地应用于显示整数的乘法。让我们看看这个具体的模型，看看我们注意到什么模式。我们将使用与加法和减法相同的示例。在这里，我们使用模型只是为了帮助我们发现模式。
整数相乘和除法
当一个表达式中有两个以上的数字时会发生什么？当包含负数时，操作顺序仍然适用。还记得请原谅我亲爱的莎莉阿姨吗？
使用整数简化表达式
请记住，计算表达式意味着用一个数字代替表达式中的变量。现在我们可以使用负数和正数。
使用整数评估变量表达式
我们早期将英语翻译成代数的工作也适用于包含正数和负数的短语。
将短语翻译成整数表达式
我们将概述一个解决应用程序的计划。如果我们不知道我们在寻找什么或者该怎么称呼它，就很难找到东西！所以当我们解决一个应用程序时，我们首先需要确定问题要求我们找到什么。然后我们将写一个短语，给出找到它的信息。我们将把短语翻译成表达式，然后简化表达式以得到答案。最后，我们用一句话总结答案，以确保它有意义。
在应用程序中使用整数
整数
在本节结束时，您将能够：

*简化分数
*乘法和除法分数
*添加和减去分数
*使用运算顺序简化分数
*用分数评估变量表达式
m81359
分数是表示整体部分的一种方式。分数$\frac{2}{3}$代表三个相等部分中的两个。见[链接]。在分数$\frac{2}{3}中，$2称为分子，3称为分母。这条线称为分数条。
简化分数
许多人发现乘除分数比加减分数更容易。
乘除分数
当我们乘以分数时，我们只是乘以分子，然后直接乘以分母。要添加或减去分数，它们必须有一个共同的分母。
加减分数
分数中的分数条充当分组符号。然后操作顺序告诉我们简化分子，然后简化分母。然后我们除以。
使用运算顺序简化分数
我们以前评估过表达式，但现在我们可以用分数评估表达式。请记住，要评估表达式，我们将变量的值代入表达式，然后进行简化。
用分数评估变量表达式
分数
在本节结束时，您将能够：

*圆数小数
*加减小数
*乘除小数
*转换小数，分数和百分比
*用平方根简化表达式
*识别整数、有理数、无理数和实数
*在数线上找到分数和小数
m81425
小数是写分数的另一种方式，其分母是10的幂。
圆小数
要添加或减去小数，我们将小数点排成一行。通过这样排列小数点，我们可以添加或减去相应的位置值。然后我们像整数一样添加或减去数字，然后将小数点放在总和中。
加减小数
当我们乘以有符号小数时，首先我们确定乘积的符号，然后乘以，就好像数字都是正的一样。我们暂时忽略小数点，然后计算因数中的小数点数，总和告诉我们乘积中的小数点位数。最后，我们用适当的符号写入乘积。
乘除小数
在我们的工作中，经常需要改变数字的形式。我们可能要把分数改成小数，或者把小数改成百分比。
转换小数，分数和百分比
请记住，当一个数字$n$乘以自身时，我们写${n}^{2}$并读为“$n$square”。结果称为数字*n*的平方。例如，${8}^{2}$读为“8的平方”，64称为8的*平方*。同样，121是11的平方，因为${11}^{2}$是121。学习识别完美平方数将很有帮助。
使用平方根简化表达式
我们已经将数字描述为*计数数字**s*、*整数**s*和*整数*。这些类型的数字有什么区别？差异可能与减法混淆。我们如何区分这些类型的数字呢？
识别整数、有理数、无理数和实数
我们现在希望在数字行中包含分数和小数。让我们从分数开始，在数字行中找到$\frac{1}{5}、-\frac{4}{5}、3、\frac{7}{4}、-\frac{9}{2}、-5$和$\frac{8}{3}$。
在数列上找到分数和小数
小数
在本节结束时，您将能够：

*使用交换和关联属性
*使用恒等、逆和零的属性
*使用分布式属性简化表达式
m81360
我们添加两个数字的顺序不会影响结果。如果我们添加8美元+9美元或9美元+8，$结果是相同的——它们都等于17。所以，8美元+9=9+8。$我们添加的顺序并不重要！
使用交换和关联属性
当我们将0添加到任何数字时会发生什么？添加0不会改变值。因此，我们将0称为加法恒等式。加法的恒等式属性指出，对于任何实数$a，a+0=a$和0$+a=a.$
使用恒等式、逆和零的属性
假设有三个朋友要去看电影，他们每人需要9.25美元，也就是9美元零1/4，他们总共需要多少钱？
使用分布式属性简化表达式
实数的性质
基金会
m81361
导言
在本节结束时，您将能够：

*使用一般策略解决线性方程
*分类方程
*解决与分数或十进制系数方程
m81362
解方程式就像发现谜题的答案，解方程式的目的是找出使其成为真陈述的变量的一个或多个值，任何使方程式为真的变量值都称为解方程式，它就是谜题的答案！
使用一般策略求解线性方程
一个方程是否为真取决于变量的值。当我们将变量*x*替换为值$-3时，方程$7x+8=-13$为真，但当我们将*x*替换为任何其他值时，方程不为真。像这样的方程称为条件方程。到目前为止，我们求解的所有方程都是条件方程。
方程分类
我们可以用一般策略来解决下一个例子。这种方法效果很好，但是当许多学生看到所有这些分数时，他们并不感到非常自信。所以，我们将展示一种用分数求解方程的替代方法。这种替代方法消除了分数。
用分数或小数系数求解方程
使用一般策略求解线性方程
在本节结束时，您将能够：

*对单词问题使用问题解决策略
*解决数字单词问题
*解决百分比申请
*解决简单兴趣申请
m81363
现在我们可以解方程了，我们准备把我们的新技能应用到单词问题上。我们将制定一个策略，我们可以用来成功解决任何单词问题。
对单词问题使用问题解决策略
我们现在将问题解决策略应用于“数字单词问题”数字单词问题给出了一些关于一个或多个数字的线索，我们用这些线索来写一个方程。数字单词问题为使用问题解决策略提供了良好的实践。
解决数字单词问题
有几种方法可以求解百分比方程。在代数中，如果我们把英语句子翻译成代数方程，然后求解方程，那是最简单的。在你在方程中使用它之前，一定要把给定的百分比改成小数。
求解百分比应用程序
利息是我们日常生活的一部分。从我们储蓄的利息到我们支付的汽车贷款或信用卡债务的利息，我们都对生活中的兴趣有一些经验。
解决简单兴趣应用程序
使用问题解决策略
在本节结束时，您将能够：

*求解特定变量的公式
*使用公式解决几何应用
m81364
在我们的数学学习中，我们可能都使用过一些几何公式。公式被用于如此多的领域，重要的是识别公式并能够轻松地操作它们。
求解特定变量的公式
在这个目标中，我们将使用一些常见的几何公式。我们将调整我们的问题解决策略，以便我们可以解决几何应用。几何公式将命名变量并给我们要求解的方程。
使用公式解决几何应用
求解特定变量的公式
在本节结束时，您将能够：

*解决硬币单词问题
*解决票和邮票单词问题
*解决混合词问题
*解决匀速运动应用
m81365
用代数来计算存钱罐里硬币和便士的数量可能看起来很傻。你可能想知道为什么我们不打开银行数一数。但是这种类型的问题向我们介绍了一些技术，这些技术将在我们推进数学研究时有用。
解决硬币单词问题
涉及票或邮票的问题很像硬币问题。每种类型的票和邮票都有一个值，就像每种类型的硬币一样。所以为了解决这些问题，我们将遵循我们用来解决硬币问题的相同步骤。
解决票和邮票字问题
现在我们将解决混合物模型的一些更一般的应用。在混合问题中，我们经常混合两个量，如葡萄干和坚果，以创建混合物，如小道混合。在我们的表格中，我们将为每个要混合的项目和最终混合物各留一行。
解决混合词问题
当你使用巡航控制器沿着州际公路行驶时，你的汽车速度保持不变——它是均匀的。我们将物体速度恒定的问题称为匀速运动应用。我们将使用距离、速率和时间公式$D=rt，$来比较两种情况，例如两辆车以不同的速率或相反的方向行驶。
解决均匀运动应用
解决混合和均匀运动应用
在本节结束时，您将能够：

*数线上的图表不平等
*解决线性不等式
*将单词翻译成不平等并解决
*解决线性不等式的应用程序
m81366
什么数字会使不平等$x>3$为真？你在想，“*x*可能是4”？没错，但是*x*也可能是6，或者37，甚至3.001。任何大于3的数字都是不平等$x>3的解决方案。$
数线上的图不等式
线性不等式很像线性方程——但是等号被不等式代替了。a**线性不等式**是一个变量中的不等式，可以写成其中一种形式，$ax+b$ax+b\le c，$$ax+b>c，$或$ax+b\ge c。$
解决线性不等式
要把英语句子翻译成不平等，我们需要认识到表示不平等的短语。有些单词很容易，比如“多于”和“少于”。但其他的就不那么明显了。[链接]展示了一些表示不平等的常见短语。
转化为不平等并解决
许多现实生活中的情况需要我们解决不等式，我们将用来解决具有线性不等式的应用程序的方法非常像我们用方程解决应用程序时使用的方法。
解决具有线性不等式的应用程序
解决线性不等式
在本节结束时，您将能够：

*用“和”解决复合不平等
*用“或”解决复合不等式
*解决复合不平等的申请
m81367
既然我们知道如何解决线性不等式，下一步就是看复合不等式。复合不等式是由两个由单词“和”或单词“或”连接的不等式组成的。例如，以下是复合不等式。
用“和”解决复合不等式
为了用“或”解决复合不等式，我们开始就像用“和”解决复合不等式一样——我们解决了两个不等式。然后我们找到所有使*任一*不等式为真的数字。
用“或”解决复合不等式
现实世界中的情况也涉及复合不等式。我们将使用与解决线性方程和不等式应用相同的问题解决策略。
解决具有复合不等式的应用程序
解决复合不等式
在本节结束时，您将能够：

*解决绝对值方程
*解决“小于”的绝对值不等式
*解决“大于”的绝对值不等式
*解决具有绝对值的应用程序
m81426
当我们准备解绝对值方程时，我们回顾了绝对值的定义。
求解绝对值方程
现在让我们看看当我们有绝对值不平等时会发生什么。我们所学到的关于解决不平等的一切仍然成立，但是我们必须考虑绝对值如何影响我们的工作。
用“小于”解决绝对值不等式
对于“大于”的绝对值不等式会发生什么？我们将再次查看绝对值的定义。一个数字的绝对值是它在数线上与零的距离。
用“大于”解决绝对值不等式
制造过程中经常使用绝对值不等式。一个项目必须以近乎完美的规格制造。通常与允许的规格差异有一定的*公差*。如果与规格的差异超过公差，该项目将被拒绝。
用绝对值求解应用程序
解决绝对值不等式
求解线性方程
m81368
导言
在本节结束时，您将能够：

*在矩形坐标系中绘制点
*通过绘制点绘制线性方程
*图形垂直线和水平线
*找到x和y截距
*使用截取绘制一条线
m81369
就像地图使用网格系统来识别位置一样，代数中使用网格系统来显示矩形坐标系中两个变量之间的关系。矩形坐标系也称为*xy*-平面或“坐标平面”。
在矩形坐标系上绘制点
有几种方法可以用来绘制线性方程。我们将使用的第一种方法称为绘图点，或点绘图法。我们找到三个坐标是方程解的点，然后在直角坐标系中绘制它们。通过将这些点连接成一条线，我们就有了线性方程的图形。
通过绘制点绘制线性方程
一些线性方程只有一个变量。它们可能只有*x*而没有*y*，或者只有*y*而没有*x*。这改变了我们制作价值表以绘制点的方式。
图垂直和水平线
每个线性方程都可以用一条唯一的线来表示，这条线显示了方程的所有解。我们已经看到，当通过绘制点来绘制一条线时，您可以使用任何三个解来绘制。这意味着两个人绘制线条可能使用不同的三个点集。
查找*x*-和*y*-截获
要通过绘制点来绘制线性方程，你需要找到三个点，它们的坐标是方程的解。你可以使用*x-*和*y-*截距作为三个点中的两个。找到截距，然后找到第三个点以确保准确性。确保点对齐——然后画线。这种方法通常是绘制直线的最快方法。
使用截距绘制线条
两个变量中的图线性方程
在本节结束时，您将能够：

*求直线的斜率
*绘制给定点和斜率的线
*图形线使用其斜率和截距
*选择最方便的方法来绘制线条
*绘制和解释斜坡截距的应用
*使用斜率来识别平行和垂直线
m81370
当你绘制线性方程时，你可能会注意到有些线从左到右向上倾斜，有些线向下倾斜。有些线非常陡峭，有些线更平坦。
求直线的斜率
到目前为止，在本章中，我们已经通过绘制点、使用截距以及识别水平线和垂直线来绘制线。
绘制给定点和斜率的线
我们通过绘制点、使用截距、识别水平线和垂直线以及使用一点和直线的斜率来绘制线性方程。一旦我们看到斜率截距形式的方程及其图形是如何相关的，我们将有另一种方法来绘制线条。
使用斜率和截距绘制直线
现在我们已经看到了几种可以用来绘制线条的方法，我们如何知道对给定方程使用哪种方法？
选择最方便的绘制线条的方法
许多现实世界的应用程序都是由线性方程建模的。我们将在这里查看一些应用程序，以便您了解以斜率截距形式编写的方程如何与现实世界的情况相关联。
边坡截距图及其解释应用
斜率相同的两条线称为平行线。平行线的陡度相同，从不相交。
使用斜率识别平行线和垂直线
直线的斜率
在本节结束时，您将能够：

*找出给定斜率和$y\text{-intercept}$的线的方程
*找出给定斜率和点的线的方程
*找到给定两点的线的方程
*找到平行于给定线的线的方程
*找到一个方程的直线垂直于给定的线
m81371
如果方程以斜率-截距形式编写，我们可以很容易地确定直线的斜率和截距，$y=mx+b。$现在我们将做相反的事情——我们将从斜率和*y*-截距开始，并使用它们来找到直线的方程。
求给定斜率和*y*-截距的直线方程
当你得到斜率和*y*-截距时，或者当你从图表上读到它们时，用方程的斜率-截距形式找到一条线的方程效果很好。但是当你有另一个点而不是*y*-截距时会发生什么呢？
给定斜率和点，求直线的方程
当收集真实世界的数据时，可以从两个数据点创建线性模型。在下一个示例中，我们将看到如何在只给出两个点时找到一条线的方程。
求给定两点的直线方程
假设我们需要找到一条穿过特定点并平行于给定线的线的方程。我们可以利用平行线具有相同斜率的事实。所以我们将有一个点和斜率——正是我们需要使用点-斜率方程的。
求平行于给定线的线的方程
现在，让我们考虑垂直线。假设我们需要找到一条穿过特定点的线，它垂直于给定的线。我们可以利用垂直线的斜率是负倒数的事实。我们将再次使用点-斜率方程，就像我们对平行线所做的那样。
求与给定直线垂直的直线的方程
求直线方程
在本节结束时，您将能够：

*验证两个变量不等式的解决方案。
*认识不等式的解与其图之间的关系。
*两个变量中的图线性不等式
*使用两个变量中的线性不等式解决应用程序
m81372
以前我们学习解决只有一个变量的不等式。我们现在将学习包含两个变量的不等式。特别是，我们将研究两个变量中的**线性不等式**，这与两个变量中的线性方程非常相似。
验证两个变量中不等式的解决方案
现在，我们来看看一个不等式的解是如何与它的图联系起来的。
认识不等式解与其图之间的关系
现在我们知道线性不等式的图形是什么样子的，以及它如何与边界方程相关，我们可以使用这些知识来绘制给定的线性不等式。
两个变量中的图线性不等式
许多领域使用线性不等式来模拟问题。虽然我们的例子可能是关于简单的情况，但它们给了我们一个机会来培养我们的技能，并感受如何使用它们。
使用两个变量中的线性不等式求解应用程序
两个变量中的图线性不等式
在本节结束时，您将能够：

*查找关系的域和范围
*确定关系是否是函数
*查找函数的值
m81373
在我们的日常生活中，我们有许多数据项或数量与我们的名字配对。我们的社会安全号码、学生证号码、电子邮件地址、电话号码和生日都与我们的名字相匹配。我们的名字和这些项目之间都有关系。
查找关系的域和范围
一种特殊类型的关系，称为函数，在数学中广泛出现。函数是一种关系，它将范围内的一个元素分配给其域中的每个元素。对于关系中的每个有序对，每个*x*-值只与一个*y*-值匹配。
确定关系是否是函数
命名一个函数非常方便，我们通常将其命名为*f*、*g*、*h*、*F*、*G*或*H*。在任何函数中，对于域中的每个*x*值，我们都会在范围内获得相应的*y*值。对于函数*f*，我们将此范围值*y*写成$f\左（x\右）。$这称为函数表示法，读取*x*的*f*或*f*在*x*处的值。在这种情况下，括号并不表示乘法。
查找函数的值
关系和功能
在本节结束时，您将能够：

*使用垂直线测试
*识别基本功能的图表
*从函数图中读取信息
m81374
在上一节中，我们学习了如何确定关系是否是函数。我们研究的关系被表示为一组有序对、映射或方程。我们现在将看看如何判断图是否是函数的图。
使用垂直线测试
我们使用方程$y=2x-3$及其图来开发垂直线检验。我们说方程$y=2x-3$定义的关系是一个函数。
识别基本函数的图
在科学和商业中，数据通常被收集起来，然后绘制成图表。分析图表，从图表中获得信息，然后经常根据数据做出预测。
从函数图中读取信息
函数图
图形和函数
m81375
导言
在本节结束时，您将能够：

*确定有序对是否是方程组的解
*通过绘图解决线性方程组
*通过替换解决方程组
*通过消除解决方程组
*选择最方便的方法来解决线性方程组
m81427
在求解线性方程组中，我们学习了如何用一个变量求解线性方程组。现在我们将处理两个或多个组合在一起的线性方程组，这被称为线性方程组。
确定有序对是否是方程组的解
在本节中，我们将使用三种方法来求解线性方程组。我们将使用的第一种方法是绘图。
通过图形求解线性方程组
我们现在将用代换法求解线性方程组。
通过代换求解方程组
我们通过图形和替换来解决线性方程组。当变量系数很小并且解具有整数值时，图形效果很好。当我们可以轻松地为其中一个变量求解一个方程并且在结果表达式中没有太多分数时，替换效果很好。
通过消除来解决方程组
当您在应用程序中求解线性方程组时，您不会被告知使用哪种方法。你需要自己做决定。所以你会想选择最容易做的方法，并最大限度地减少犯错的机会。
选择最方便的方法来求解线性方程组
具有两个变量的线性方程组的求解
在本节结束时，您将能够：

*解决直接翻译申请
*解决几何应用
*解决匀速运动应用
m81380
线性方程组对于求解应用程序非常有用。有些人发现用两个变量设置单词问题比只用一个变量设置单词问题更容易。为了解决一个应用程序，我们将首先将单词翻译成线性方程组。然后我们将决定使用最方便的方法，然后求解系统。
解决直接翻译应用
我们现在将使用线性方程组解决几何应用。我们需要在我们的列表中添加互补角和补充角，角的一些属性。
解决几何应用
当我们之前介绍匀速运动问题时，我们使用表格来组织信息。我们将在这里继续使用表格。基本方程是$D=rt$其中*D*是行驶的距离，*r*是速率，*t*是时间。
解决匀速运动应用
使用方程组解决应用程序
在本节结束时，您将能够：

*解决混合应用
*解决利息申请
*解决成本和收入函数的应用
m81381
混合应用程序涉及组合两个或多个数量。当我们之前解决硬币和门票的混合应用程序时，我们首先创建了一个表，以便我们可以组织信息。对于一个包含镍币和一角硬币的硬币示例，表格如下所示：
解决混合物应用
模拟简单利息申请的公式是$I=Prt。$Interest，*I*，是本金*P*、利率*r*和时间*t*的乘积。在我们这里的工作中，我们将计算一年内赚取的利息，所以*t*将是1。
解决兴趣申请
假设一家公司生产和销售*x*单位的产品。公司的成本是生产*x*单位的总成本。这是每个单位的制造成本乘以*x*，制造的单位数量，加上固定成本。
解决成本和收入函数的应用
使用方程组解决混合应用
在本节结束时，您将能够：

*确定有序三元组是否是具有三个变量的三个线性方程组的解
*求解具有三个变量的线性方程组
*使用具有三个变量的线性方程组解决应用程序
m81428
在本节中，我们将扩展求解线性方程组的工作。到目前为止，我们已经使用了具有两个方程和两个变量的方程组。现在我们将使用具有三个变量的三方程系统。但是首先让我们回顾一下我们已经知道的关于求解最多涉及两个变量的方程和系统的知识。
确定有序三元组是否是三变量线性方程组的解
要解一个由三个变量组成的线性方程组，我们基本上使用了与有两个变量的系统相同的技术。我们从两对方程开始，在每对方程中我们消除相同的变量。这将给我们一个只有两个变量的方程组，然后我们知道如何求解这个系统！
求解三变量线性方程组
由方程组建模的应用程序可以使用我们用来求解系统的相同技术来求解。许多应用程序只是我们之前解决的类型的三个变量的扩展。
使用具有三个变量的线性方程组求解应用程序
用三变量求解方程组
在本节结束时，您将能够：

*为方程组编写增广矩阵
*对矩阵使用行操作
*使用矩阵求解方程组
m81429
求解方程组可能是一个乏味的操作，一个简单的错误可能会对求解造成严重破坏。另一种方法使用消除的基本程序，但符号更简单。该方法涉及使用矩阵。矩阵是按行和列排列的矩形数字数组。
为方程组编写增广矩阵
一旦方程组处于其增广矩阵形式，我们将对行执行操作，这些操作将引导我们找到解。
在矩阵上使用行操作
为了用矩阵求解方程组，我们使用行运算将增广矩阵转化为行梯队形式的矩阵。对于一致且独立的方程组，当垂直线左侧，对角线上的每个条目都是1，对角线以下的所有条目都是零时，其增广矩阵是行梯队形式的。
使用矩阵求解方程组
使用矩阵求解方程组
在本节结束时，您将能够：

*评估2美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}} 2$矩阵的行列式
*评估3美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}} 3$矩阵的行列式
*使用克莱默规则来解决方程组
*使用行列式解决应用程序
m81431
如果一个矩阵具有相同数量的行数和列数，我们称之为方阵。每个方阵都有一个与之关联的实数，称为它的行列式。要找到方阵的行列式$\lew[\开始{数组}{c}a{\规则{1.5em}{0ex}}b\hfy\\c{\规则{1.5em}{0ex}}d\hfy\end{数组}\right]，$我们首先将其写成$|\开始{数组}{c}a{\规则{1.5em}{0ex}}b\hfy\c{\规则{1.5em}{0ex}}d\hfy\end{数组}|。$为了得到行列式的实数值，我们减去对角线的乘积，如图所示。
评估2美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}} 2$Matrix的行列式
要评估3美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}} 3$矩阵的行列式，我们必须能够评估行列式中条目的次要项。条目的次要项是2美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}}2$行列式，通过消除3美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}}3$行列式中包含该条目。
评估3美元{\规则{0.2em}{0ex}}×{\规则{0.2em}{0ex}} 3$Matrix的行列式
克莱默定律是一种利用行列式求解方程组的方法。它可以通过消除法求解方程组的一般形式来导出。在这里，我们将演示两个两变量方程组和三变量三方程组的规则。
用克莱默法则解方程组
一个有趣的行列式应用允许我们测试点是否共线。当且仅当下面的行列式为零时，三个点$\old（{x}_{1}、{y}_{1}\right）、$\old（{x}_{2}、{y}_{2}\right）$和$\old（{x}_{3}、{y}_{3}\right）$才是共线的。
使用行列式解决应用程序
使用行列式求解方程组
在本节结束时，您将能够：

*确定有序对是否是线性不等式系统的解
*通过绘图解决线性不等式系统
*解决不平等制度的适用问题
m81432
线性不等式系统的定义与线性方程组的定义非常相似。
确定有序对是否是线性不等式系统的解
单个线性不等式的解是边界线一侧的区域，该区域包含使不等式为真的所有点。两个线性不等式系统的解是一个包含两个不等式的解的区域。为了找到这个区域，我们将分别绘制每个不等式，然后定位它们都为真的区域。解决方案总是显示为图表。
通过图形求解线性不等式系统
解决不等式系统的应用，我们需要做的第一件事是将每个条件转化为不等式。然后我们绘制系统，就像我们上面做的那样，看看包含解决方案的区域。只有当两个变量都是正的时候，许多情况才是现实的，所以我们向系统添加不等式作为额外的要求。
解决不等式系统的应用
线性不等式的图形系统
线性方程组
m81382
导言
在本节结束时，您将能够：

*确定多项式的程度
*添加和减去多项式
*评估给定值的多项式函数
*添加和减去多项式函数
m81383
我们已经了解到*项*是一个常数或一个常数和一个或多个变量的乘积。单项是一个有一个项的代数表达式。当它的形式是$a{x}^{m}，$其中*a*是常数，*m*是整数时，它被称为一个变量中的单项。一个变量中单项的一些例子是
$2x、5y、17z、$和4美元{y}^{2}$。单项式也可以有多个变量，例如
$5abc$和$-4{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}。$
确定多项式的程度
我们已经学会了如何通过组合相似项来简化表达式。记住，相似项必须具有相同指数的相同变量。由于单项式是项，因此添加和减去单项式与组合相似项相同。如果单项式像项，我们只需通过添加或减去系数来组合它们。
加减多项式
多项式函数是由多项式定义的函数。例如，$f\lew（x\right）={x}^{2}+5x+6$和$g\lew（x\right）=3x-4$是多项式函数，因为${x}^{2}+5x+6$和$3x-4$是多项式。
计算给定值的多项式函数
正如多项式可以加减一样，多项式函数也可以加减。
加减多项式函数
加减多项式
在本节结束时，您将能够：

*使用指数的属性简化表达式
*使用负指数的定义
*使用科学记数法
m81384
请记住，指数表示相同数量的重复乘法。例如，在表达式${a}^{m}中，$指数m*告诉我们使用*基数a*作为因子的次数。
使用指数的属性简化表达式
我们看到指数的商性有两种形式，取决于指数在分子或分母中是否更大。如果我们只减去指数而不管哪个更大呢？
使用负指数的定义
使用非常大或非常小的数字可能会很尴尬。由于我们的数字系统是以10为底的，我们可以使用10的幂来重写非常大或非常小的数字，以使它们更容易处理。考虑数字4,000和0.004。
使用科学符号
指数和科学符号的性质
在本节结束时，您将能够：

*乘以单项式
*将多项式乘以单项式
*将二项式乘以二项式
*将多项式乘以多项式
*特殊产品倍增
*乘以多项式函数
m81385
我们准备好对多项式执行操作。由于单项式是代数表达式，我们可以使用指数的属性来乘以单项式。
乘以单项式
将多项式乘以单项式实际上只是应用分配性质。
将多项式乘以单项式
就像有不同的方法来表示数字的乘法一样，有几种方法可以用来将二项式乘以二项式。我们将从使用分配属性开始。
二项乘以二项
我们已经将单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，二项式乘以二项式。现在我们准备好将多项式乘以多项式。请记住，FOIL在这种情况下不起作用，但我们可以使用分配属性或垂直方法。
多项式乘以多项式
数学家喜欢寻找能让他们的工作更容易的模式。一个很好的例子是平方二项式。虽然你总是可以通过写两次二项式并将它们相乘来得到乘积，如果你学会使用模式，要做的工作就更少了。让我们从看三个例子开始，寻找一个模式。
乘法特殊产品
就像多项式可以相乘一样，多项式函数也可以相乘。
乘法多项式函数
乘多项式
在本节结束时，您将能够：

*划分单项式
*将多项式除以单项式
*使用长除法划分多项式
*使用合成除法划分多项式
*划分多项式函数
*使用余数和因子定理
m81386
我们现在熟悉指数的所有性质，并使用它们来乘以多项式。接下来，我们将使用这些属性来划分单项式和多项式。
除法单项式
现在我们知道如何将单项除以单项，下一个过程是将两个或多个项的多项式除以单项。
将多项式除以单项式
将多项式除以二项式，我们遵循一个非常类似于长数除法的过程。所以让我们仔细看看当我们将3位数875除以2位数25时所采取的步骤。
使用长除法除以多项式
正如我们之前提到的，数学家喜欢寻找模式来使他们的工作更容易。由于长除法可能很繁琐，让我们回顾一下我们在[链接]中做的长除法并寻找一些模式。我们将以此作为所谓合成除法的基础。接下来显示合成除法格式中的相同问题。
使用合成除法除以多项式
正如多项式可以划分一样，多项式函数也可以划分。
除以多项式函数
让我们看看我们刚刚处理的以余数结束的除法问题。它们总结在下面的图表中。如果我们从每个除法问题中获取红利并用它来定义一个函数，我们会得到图表中显示的函数。当除数写成$x-c时，$函数的值在$c，f\左（c\右），$与除法问题的余数相同。
使用余数和因子定理
除法多项式
多项式和多项式函数
m81438
保理简介
在本节结束时，您将能够：

*找出两个或多个表达式的最大公因数
*因子的最大公因数从一个多项式
*按分组计算
m81437
早些时候，我们将因子相乘得到一个产品。现在，我们将逆转这个过程；我们将从一个产品开始，然后将其分解为它的因子。将产品拆分为因子称为保理。
找到两个或多个表达式的最大共同点
将一个数表示为因子的乘积有时很有用，例如，12表示为2美元·6美元或3美元·4美元。$在代数中，以因子形式表示多项式也很有用。我们将从一个乘积开始，例如3美元{x}^{2}+15x，$，并以它的因子$3x\左（x+5\右）结束。$为此，我们“反向”应用分配属性。
从多项式中分解出最大的公因数
有时多项式的所有项没有公因数。当有四个项时，我们将多项式分成两部分，每部分有两个项。然后在每个部分中查找GCF。如果多项式可以分解，你会发现两个部分都出现了一个公因数。并非所有多项式都可以分解。就像有些数是质数一样，有些多项式是质数。
按分组的因素
最大公因数和分组因数
在本节结束时，您将能够：

*${x}^{2}+bx+c$形式的因子三项式
*使用试验和错误的形式$a{x}^{2}+bx+c$的因子三项式
*使用“ac”方法的$a{x}^{2}+bx+c$形式的因子三项式
*使用替代的因素
m81387
您已经学习了如何使用FOIL乘法二项式。现在您需要“撤消”此乘法。因子三项式意味着从乘积开始，以因子结束。
${x}^{2}+bx+c$形式的因子三项式
我们的下一步是分解领先系数不是1的三项式，形式为$a{x}^{2}+bx+c的三项式。$
使用试验和错误的*ax*2+*bx*+*c*形式的因子三项式
另一种分解形式为$a{x}^{2}+bx+c$的三项式的方法是“ac”方法。（“ac”方法有时称为分组方法。）“ac”方法实际上是您在上一节中使用的方法的扩展，用于分解具有前导系数1的三项式。这种方法非常结构化（即逐步），并且总是有效的！
使用“ac”方法的$a{x}^{2}+bx+c$形式的因子三项式
有时三项式似乎不是$a{x}^{2}+bx+c$形式。但是，我们通常可以进行深思熟虑的替换，使其适合$a{x}^{2}+bx+c$形式。这称为替代因式分解。使用*u*进行替换是标准的。
使用替换的因素
因子三项式
在本节结束时，您将能够：

*因子完美平方三项式
*平方的因素差异
*立方体的因子和和差异
m81388
一些三项式是完美的平方。它们是将二项式乘以自身的结果。我们在前一章中使用二项式平方模式对二项式进行平方。
因子完美平方三项式
您在上一章中看到的另一个特殊乘积是共轭乘积模式。您用它来乘以两个共轭二项式。这是一个例子：
平方的因子差异
保理还有另一种特殊的模式，我们乘以多项式时没有使用。这是立方体和差的模式。我们将先写这些公式，然后通过乘法检查它们。
立方体的因子和和差异
因子特殊产品
在本节结束时，您将能够：

*识别并使用适当的方法完全分解多项式
m81389
您现在已经熟悉了本课程中需要的所有保理方法。下图总结了我们介绍的所有保理方法，并概述了保理多项式时应使用的策略。
识别并使用适当的方法完全分解多项式
分解多项式的一般策略
在本节结束时，您将能够：

*使用零乘积属性
*通过因式分解求解二次方程
*用多项式函数求解方程
*解决由多项式方程建模的应用程序
m81390
我们将首先使用零积性质来求解一些二次方程。零积性质说，如果两个量的乘积为零，那么至少其中一个量为零。得到等于零的乘积的唯一方法是乘以零本身。
使用零乘积属性
零积性质非常适用于求解二次方程。二次方程必须被分解，零孤立在一边。所以我们必须确保从标准形式的二次方程开始，$a{x}^{2}+bx+c=0。$然后我们必须考虑左边的表达式。
通过分解求解二次方程
随着我们对多项式函数研究的继续，知道函数何时会有某个值或函数图上的哪些点通常很重要。我们对零乘积属性的研究将帮助我们找到这些答案。
用多项式函数求解方程
我们之前用于转换为线性方程的应用程序的解题策略对于转换为多项式方程的应用程序也同样有效。我们将在此处复制解题策略，以便我们可以参考它。
求解由多项式方程建模的应用程序
多项式方程
保理
m81391
导言
在本节结束时，您将能够：

*确定有理表达式未定义的值
*简化理性表达
*乘以有理表达式
*划分理性表达
*乘除有理函数
m81392
如果分母为零，则有理表达式未定义。有理表达式的分子可能是0-但不是分母。
确定Rational表达式未定义的值
如果一个分数的分子和分母中除了1之外没有其他公因数，则该分数被认为是简化的。同样，一个简化的有理表达式在其分子和分母中除了1之外没有其他公因数。
简化理性表达式
为了乘以有理表达式，我们就像用数字分数一样。我们乘以分子，乘以分母。然后，如果有任何公因数，我们删除它们以简化结果。
乘法有理表达式
就像我们对数字分数所做的那样，为了划分有理表达式，我们将第一个分数乘以第二个分数的倒数。
划分理性表达式
我们在本节开始时说明有理表达式是$\frac{p}{q}形式的表达式，$其中*p*和*q*是多项式，$q\ne 0。$类似地，我们将有理函数定义为形式为$R\lew（x\right）=\frac{p\lew（x\right）}{q\lew（x\right）}$的函数，其中$p\lew（x\right）$和$q\lew（x\right）$是多项式函数，$q\lew（x\right）$不是零。
乘除有理函数
乘除有理表达式
在本节结束时，您将能够：

*添加和减去具有公分母的有理表达式
*添加和减去分母相反的有理表达式
*找到理性表达的最小公分母
*添加和减去不同分母的有理表达式
*添加和减去有理函数
m81439
当你添加数字分数时，你采取的第一步是什么？你检查它们是否有公分母。如果有，你添加分子，并将总和放在公分母上。如果它们没有公分母，你可以在添加之前找到一个。
使用公共分母添加和减去有理表达式
当两个有理表达式的分母相反时，很容易得到一个公分母。我们只需要将其中一个分数乘以$\frac{-1}{-1}。$
添加和减去分母相反的有理表达式
当我们添加或减去具有不同分母的有理表达式时，我们需要得到公分母。如果我们回顾一下我们使用数字分数的过程，我们将知道如何处理有理表达式。
寻找有理表达式的最小公分母
现在我们有了添加或减去不同分母的有理表达式所需的所有步骤。
使用不同的分母添加和减去有理表达式
要添加或减去有理函数，我们使用与添加或减去多项式函数相同的技术。
有理函数的加减
添加和减去有理表达式
在本节结束时，您将能够：

*通过将其写成除法来简化复杂的理性表达式
*使用LCD简化复杂的有理表达式
m81440
复数是分子或分母包含分数的分数。我们以前简化了复数，如下所示：
通过将其写成除法来简化复杂的理性表达式
当我们用分数求解方程时，我们通过乘以液晶显示器来“清除”分数。我们可以在这里使用这种策略来简化复杂的有理表达式。我们将把所有有理表达式的分子和分母乘以液晶显示器。
使用LCD简化复杂的有理表达式
简化复杂的有理表达式
在本节结束时，您将能够：

*解决理性方程
*使用合理函数
*求解特定变量的有理方程
m81393
我们已经解决了包含分数的线性方程。我们找到了方程中所有分数的液晶显示器，然后将方程的两边乘以液晶显示器来“清除”分数。
解决有理方程
使用由有理表达式定义的函数通常会导致有理方程。同样，我们使用相同的技术来解决它们。
使用Rational函数
当我们解线性方程时，我们学会了如何解特定变量的公式。许多用于商业、科学、经济学和其他领域的公式使用有理方程来模拟两个或多个变量之间的关系。我们现在将看到如何求解特定变量的有理方程。
求解特定变量的有理方程
解决有理方程
在本节结束时，您将能够：

*求解比例
*解决类似的数字申请
*解决匀速运动应用
*解决工作申请
*解决直接变化问题
*解决逆变分问题
m81394
当两个有理表达式相等时，将它们联系起来的方程称为比例。
求解比例
当你在手机或平板电脑上缩小或放大一张照片，在地图上算出一个距离，或者用一个图案来建造书柜或缝制一件衣服时，你就是在用相似的数字工作。如果两个数字的形状完全相同，但大小不同，则称它们相似。一个是另一个的比例模型。它们所有对应的角度都有相同的度量，它们对应的侧面有相同的比例。
解决相似图形应用
在前面的章节中，我们已经使用公式$D=rt$解决了均匀运动问题。我们使用如下表来组织信息并引导我们找到方程。
解决均匀运动应用
每周一期的八卦杂志有一篇关于公主孩子的大报道，编辑希望杂志尽快印刷出来。她已经要求印刷商多运行一台印刷机，以更快地完成印刷。按1需要6个小时来完成这项工作，按2需要12个小时来完成这项工作。两个印刷机一起运行印刷杂志需要多长时间？
解决工作应用
当两个量按比例相关时，我们说它们彼此*成正比*，表达这种关系的另一种方式是谈论两个量的*变*，我们将在本节讨论正变和逆变。
解决直接变异问题
许多应用程序涉及两个*反比*的变量。随着一个变量的增加，另一个变量会减少。与它们相关的等式是$y=\frac{k}{x}。$
解决逆变分问题
使用有理方程解决应用程序
在本节结束时，您将能够：

*解决合理的不平等
*用有理函数解决不等式
m81441
在学习解线性方程之后，我们学会了解线性不等式。除了一个主要的例外，这些技术非常相似。当我们乘以或除以负数时，不等式符号颠倒了。
解决理性不等式
在处理有理函数时，有时知道函数何时大于或小于特定值是有用的。这导致了理性不等式。
用Rational函数解决不等式
解决理性不等式
有理表达式和函数
m81442
导言
在本节结束时，您将能够：

*使用根简化表达式
*估计和近似根
*用根简化变量表达式
m81444
在Foundations中，我们简单地看了一下平方根。记住，当实数*n*乘以自身时，我们写${n}^{2}$并读为'*n*square'。这个数称为*n*的平方，*n*称为平方根。例如，
使用根简化表达式
当我们看到一个带有部首符号的数字时，我们通常不会考虑它的数值。虽然我们可能知道$\sqrt{4}=2，$\sqrt[]{21}$或$\sqrt[3]{50}的值是多少？$在某些情况下，快速估计是有意义的，而在另一些情况下，使用十进制近似值很方便。
估计和近似根
一个数的奇数根可以是正的也可以是负的。例如，
使用根简化变量表达式
使用根简化表达式
在本节结束时，您将能够：

*使用产品属性简化部首表达式
*使用商数属性简化部首表达式
m81445
我们将以类似于简化分数的方式简化激进表达式。如果分子和分母中没有公因数，则分数被简化。为了简化分数，我们在分子和分母中寻找任何公因数。
使用Product属性简化部首表达式
每当你必须简化一个激进的表达式时，你应该采取的第一步是确定激进是否是指数的完美幂。如果不是，检查分子和分母是否有任何共同因素，并删除它们。你可能会发现一个分数，分子和分母都是指数的完美幂。
使用商属性简化自由基表达式
简化部首表达式
在本节结束时，您将能够：

*使用${a}^{\frac{1}{n}}$简化表达式
*使用${a}^{\frac{m}{n}}$简化表达式
*使用指数的属性来简化有理指数的表达式
m81396
有理指数是用部首编写表达式的另一种方式。当我们使用有理指数时，我们可以应用指数的属性来简化表达式。
使用${a}^{\frac{1}{n}}$简化表达式
我们可以用两种方式来看待${a}^{\frac{m}{n}}$。请记住，Power属性告诉我们乘以指数，因此${\old（{a}^{\frac{1}{n}}\right）}^{m}$和${\old（{a}^{m}\right)}^{{}^{\frac{1}{n}}}$都等于${a}^{\frac{m}{n}}。$如果我们以部首形式编写这些表达式，我们会得到
使用${a}^{\frac{m}{n}}$简化表达式
我们已经使用过的指数的相同属性也适用于有理指数。我们将在此处列出指数集的属性，以便在简化表达式时参考它们。
使用指数的属性来简化带有有理指数的表达式
简化理性指数
在本节结束时，您将能够：

*添加和减去部首表达式
*乘以部首表达式
*使用多项式乘法乘以根式表达式
m81397
添加具有相同索引和相同部首的部首表达式就像添加相似术语一样。我们称具有相同索引和相同部首的部首为相似部首，以提醒我们它们的工作方式与相似项相同。
添加和减去部首表达式
我们使用根的乘积性质通过去除完美平方根因子来简化平方根。我们可以使用根的乘积性质“反向”乘以平方根。记住，我们假设所有变量都大于或等于零。
乘以部首表达式
在接下来的几个示例中，我们将使用分布属性将表达式与部首相乘。首先，我们将分布，然后尽可能简化部首。
使用多项式乘法乘以自由基表达式
加、减和乘部首表达式
在本节结束时，您将能够：

*划分部首表达
*使一个术语分母合理化
*使两个术语分母合理化
m81446
我们已经使用了部首表达式的商属性来简化分数的根。我们需要使用这个属性“反向”来简化带有部首的分数。
划分部首表达式
在计算器成为日常生活的工具之前，用分母中的偏旁来近似分数的值是一个非常繁琐的过程！
合理化一个术语分母
当分数的分母是平方根的和或差时，我们使用共轭积模式来合理化分母。
使两个术语分母合理化
划分部首表达式
在本节结束时，您将能够：

*解决根式方程
*解决根式方程与两个根式
*在应用程序中使用部首
m81398
在本节中，我们将求解在根式表达式的根式中有变量的方程。这种类型的方程称为根式方程。
求解自由基方程
如果根式方程有两个根式，我们从分离其中一个开始。通常最容易的方法是先分离更复杂的根式。
用两个自由基求解自由基方程
随着你在大学课程中的进步，你会遇到许多学科中包含部首的公式。我们将稍微修改几何应用的问题解决策略，为我们提供一个使用任何学科的公式解决应用的计划。
在应用程序中使用自由基
求解自由基方程
在本节结束时，您将能够：

*评估激进功能
*找到根函数的域
*图根函数
m81447
在本节中，我们将用函数扩展我们之前的工作，以包括部首。如果一个函数是由一个部首表达式定义的，我们称之为部首函数。
评估自由基函数
为了找到根函数的域和范围，我们使用根的属性。对于具有偶数指数的根，我们说根必须大于或等于零，因为负数的偶数根不是实数。对于奇数索引，根可以是任何实数。我们在这里重申属性以供参考。
求根函数的域
在我们绘制任何根函数之前，我们首先找到函数的域。对于函数，$f\old（x\right）=\sqrt{x}，$索引是偶数，因此根必须大于或等于0。
图根函数
在函数中使用自由基
在本节结束时，您将能够：

*评估负数的平方根
*加减复数
*复数相乘
*除以复数
*简化$i$的幂
m81448
每当我们有负数的平方根时，我们就说没有实数等于平方根。例如，为了简化$\sqrt{-1}，$we正在寻找一个实数*x*以便*x*2=-1。由于所有实数的平方都是正数，因此没有实数的平方等于-1。
计算负数的平方根
我们现在准备好对复数进行加、减、乘和除的运算——就像我们对实数所做的那样。
添加或减去复数
复数相乘也很像将表达式与系数和变量相乘。我们只需要考虑一种特殊情况。我们将在接下来的两个例子中练习后看看。
复数相乘
除以复数很像使分母合理化。我们希望我们的结果是标准形式，分母中没有虚数。
除以复数
$i$的幂构成了一个有趣的模式，它将帮助我们简化*i*的较高幂。让我们评估$i$的幂以查看模式。
简化*i*的幂
使用复数系统
根与根
m81399
导言
在本节结束时，您将能够：

*使用平方根属性求解形式为${ax}^{2}=k$的二次方程
*使用平方根属性求解形式为$a{\左（x-h\右）}^{2}=k$的二次方程
m81400
我们已经通过因式分解求解了一些二次方程。让我们回顾一下我们是如何使用因式分解求解二次方程*x*2=9的。
使用平方根属性求解形式为$a{x}^{2}=k$的二次方程
我们也可以使用平方根属性来求解形式为*a*（*x*−*h*）2=*k*的方程。请注意，原始形式*ax*2=*k*中的二次项*x*被替换为（*x*−*h*）。
使用平方根属性求解形式*a*（*x*−*h*）2=*k*的二次方程
使用平方根性质求解二次方程
在本节结束时，您将能够：

*完成二项式表达式的平方
*通过完成正方形来求解形式为${x}^{2}+bx+c=0$的二次方程
*通过完成正方形来求解形式为${ax}^{2}+bx+c=0$的二次方程
m81401
在最后一节中，我们能够使用平方根属性来求解方程（*y*−7）2=12，因为左侧是一个完美的正方形。
完成二项式表达式的平方
在解方程时，我们必须总是对方程的两边做同样的事情。当然，当我们通过完成平方来求解二次方程时，这是真的。当我们在方程的一侧添加一项以形成完美的平方三项式时，我们还必须在方程的另一侧添加相同的项。
通过完成平方来求解形式*x*2+*bx*+*c*=0的二次方程
当*x*2的系数为1时，完成平方的过程效果最好，所以方程的左侧是*x*2+*bx*+*c*的形式。如果*x*2项的系数不是1，我们采取一些初步步骤使系数等于1。
通过完成平方来求解形式*ax*2+*bx*+*c*=0的二次方程
通过完成平方来求解二次方程
在本节结束时，您将能够：

*使用二次公式解决二次方程
*使用判别式预测二次方程解的数量和类型
*确定最合适的方法来解决二次方程
m81449
当我们在最后一节通过完成正方形来求解二次方程时，我们每次都采取相同的步骤。在练习集结束时，你可能会想“没有更简单的方法吗？”答案是“是的”。数学家在一遍又一遍地做事情时寻找模式，以使他们的工作更容易。在本节中，我们将推导并使用公式来找到二次方程的解。
使用二次公式求解二次方程
当我们在前面的例子中求解二次方程时，有时我们得到两个实解，一个实解，有时是两个复杂的解。有没有一种方法可以在不实际求解方程的情况下预测二次方程解的数量和类型？
用判别式预测二次方程解的个数和类型
下面我们总结了我们用来求解二次方程的四种方法。
确定用于求解二次方程的最合适方法
使用二次公式求解二次方程
在本节结束时，您将能够：

*以二次形式求解方程
m81402
有时当我们分解三项式时，三项式似乎不是*ax*2+*bx*+*c*形式。所以我们通过替换来分解，允许我们使其适合*ax*2+*bx*+*c*形式。我们使用标准的$u$进行替换。
以二次形式求解方程
以二次形式求解方程
在本节结束时，您将能够：

*解决由二次方程建模的应用程序
m81403
我们之前解决了一些由二次方程建模的应用程序，当我们必须解决它们的唯一方法是因式分解时。现在我们有了更多求解二次方程的方法，我们将再看看应用程序。
求解由二次方程建模的应用程序
二次方程的求解应用
在本节结束时，您将能够：

*识别二次函数的图
*求抛物线的对称轴和顶点
*找到抛物线的截距
*使用属性的图二次函数
*解决最大和最小应用程序
m81404
之前我们非常简单地研究了函数$f\old（x\right）={x}^{2}$，我们称之为平方函数。它是我们研究的第一批非线性函数之一。现在我们将绘制形式为$f\old（x\right）=a{x}^{2}+bx+c$if$a\ne 0.$的函数。我们称这种函数为二次函数。
二次函数图的识别
再看看[链接]。你看到我们可以把每条抛物线对折，然后一边放在另一边上面吗？“折叠线”是一条对称线。我们称之为抛物线的对称轴。
求抛物线的对称轴和顶点
当我们绘制线性方程时，我们经常使用*x*-和*y*-截距来帮助我们绘制线条。找到截距的坐标也将帮助我们绘制抛物线。
找到抛物线的截距
现在我们有了绘制二次函数所需的所有部分。我们只需要把它们放在一起。在下一个示例中，我们将看到如何做到这一点。
使用属性的图二次函数
知道抛物线的顶点是抛物线的最低点或最高点，给了我们一个确定二次函数最小值或最大值的简便方法，顶点的*y*-坐标是向上打开的抛物线的最小值，是向下打开的抛物线的最大值，参见[link]。
解决最大和最小应用程序
使用属性的图二次函数
在本节结束时，您将能够：

*形式为$f\左（x\右）={x}^{2}+k$的图二次方程
*图二次函数的形式为$f\lew（x\right）={\lew（x-h\right）}^{2}$
*图二次函数的形式为$f\old（x\right）=a{x}^{2}$
*使用变换的图二次函数
*从其图中找到一个二次函数
m81405
在上一节中，我们学习了如何使用它们的属性绘制二次函数。另一种方法涉及从$f\old（x\right）={x}^{2}$的基本图开始，并根据函数方程中给出的信息“移动”它。我们称之为使用变换绘制二次函数。
图二次函数的形式为$f\old（x\right）={x}^{2}+k$
在第一个示例中，我们通过绘制点来绘制二次函数$f\old（x\right）={x}^{2}$，然后看到向函数添加常量*k*对新函数$f\old（x\right）={x}^{2}+k的结果图的影响。$
图二次函数的形式为$f\lew（x\right）={\lew（x-h\right）}^{2}$
到目前为止，我们绘制了二次函数$f\old（x\right）={x}^{2}$，然后看到了在方程中包含常数*h*或*k*对新函数的结果图的影响。我们现在将探索系数*a*对新函数$f\old（x\right）=a{x}^{2}的结果图的影响。$
$f\old（x\right）=a{x}^{2}$形式的图二次函数
我们已经了解了函数中的常量*a*、*h*和*k*是如何影响它们的图的，首先将它们放入形式$f\old（x\right）={x}^{2}+k，{\规则{0.2em}{0ex}}f\lew（x\right）={\lew（x-h\right）}^{2}}，$和$f\lew（x\right）=a{x}^{2}$。我们现在可以把它们放在一起，通过完成正方形来绘制二次函数$f\lew（x\right）=a{x}^{2}+bx+c$。这种形式有时被称为顶点形式或标准形式。
使用变换的图二次函数
到目前为止，我们已经从一个函数开始，然后找到了它的图形。
从它的图中找到一个二次函数
使用变换的图二次函数
在本节结束时，您将能够：

*以图形方式解决二次不等式
*代数求解二次不等式
m81406
当写成*ax*2+*bx*+*c*=0时，二次方程是标准形式的。如果我们用不等式符号替换等号，我们就有标准形式的二次不等式。
以图形方式求解二次不等式
我们将使用的代数方法与我们用来解决有理不等式的方法非常相似。我们将找到不等式的临界点，这将是相关二次方程的解。记住，多项式表达式只能在表达式为零的情况下改变符号。
代数求解二次不等式
求解二次不等式
二次方程和函数
m81407
导言
在本节结束时，您将能够：

*查找和评估复合功能
*判断一个函数是否是一对一的
*求函数的逆
m81408
在介绍函数之前，我们需要看一下函数上的另一个操作，称为组合。在组合中，一个函数的输出是第二个函数的输入。对于函数$f$和$g，$组合写为$f\Circ g$，并由$\old（f\Circ g\right）\lew（x\right）=f\lew（g\lew（x\right）\right）定义。$
查找和评估复合函数
当我们第一次介绍函数时，我们说函数是一种关系，它将范围内的一个元素分配给其域中的每个元素。对于关系中的每个有序对，每个*x*-值只与一个*y*-值匹配。
确定函数是否为一对一
让我们看一个一对一的函数，$f$，由有序对$\lew\{\lew（0,5\right）、\lew（1,6\right）、\lew（2,7\right）、\lew（3,8\right）\right\}表示。$对于每个$x$-值，$f$加5以获得$y$-值。要“撤消”5的加法，我们从每个$y$-值中减去5，然后返回原始的$x$-值。我们可以称之为“取$f$的逆”并将函数命名为${f}^{-1}。$
求函数的逆
查找复合函数和反函数
在本节结束时，您将能够：

*图指数函数
*求解指数方程
*在应用程序中使用指数模型
m81409
到目前为止，我们所研究的函数并没有给我们许多自然发生的现象的模型。从人口的增长和病毒的传播到放射性衰变和复利，模型与我们迄今为止所研究的非常不同。这些模型涉及指数函数。
图指数函数
包含指数表达式${a}^{x}$的方程称为指数方程。为了求解它们，我们使用一个属性，即只要$a>0$和$a\ne 1，$如果${a}^{x}={a}^{y}$那么$x=y是真的。$换句话说，在指数方程中，如果基相等，则指数相等。
求解指数方程
指数函数模拟了许多情况。如果你拥有一个银行账户，你已经体验过指数函数的使用。有两个公式用于确定赚取利息时账户中的余额。如果本金*P*以*r*的利率投资*t*年，新的余额*A*将取决于利息复利的频率。如果利息每年复利*n*次，我们使用公式$A=P{\左（1+\frac{r}{n}\右）}^{nt}。$如果利息连续复利，我们使用公式$A=P{e}^{rt}。$这些是复利的公式。
在应用程序中使用指数模型
评估和图指数函数
在本节结束时，您将能够：

*在指数和对数形式之间转换
*评估对数函数
*图形对数函数
*解决对数方程
*在应用程序中使用对数模型
m81410
由于方程$y={\text{log}}_{a}x$和$x={a}^{y}$是等价的，我们可以在它们之间来回走动。这通常是求解一些指数和对数方程的方法。为了帮助来回转换，让我们仔细看看这些方程。见[链接]。注意指数和基数的位置。
在指数和对数形式之间转换
我们可以通过将对数方程转换为其等价指数方程的技术来求解和评估对数方程。
计算对数函数
要绘制对数函数$y={\text{log}}_{a}x，$最容易将方程转换为其指数形式，$x={a}^{y}。$通常，当我们为函数的图寻找有序对时，我们通常选择一个*x*-值，然后确定其对应的*y*-值。在这种情况下，您可能会发现选择*y*-值然后确定其对应的*x*-值更容易。
图对数函数
当我们讨论指数函数时，我们引入了数字*e*。正如*e*是指数函数的基一样，它也可以用作对数函数的基。以*e*为底的对数函数称为自然对数函数。函数$f\old（x\right）={\text{log}}_{e}x$通常写为$f\old（x\right）=\text{ln}{\规则{0.2em}{0ex}}x$，我们将其读为“el en of$x”$
求解对数方程
有许多应用程序是由对数方程建模的。我们将首先看看给出声音分贝（dB）级别的对数方程。分贝的范围从0到160，分贝几乎听不见，分贝可以使耳膜破裂。公式中的${10}^{-12}$代表几乎听不见的声音强度。
在应用程序中使用对数模型
评估和图形对数函数
在本节结束时，您将能够：

*使用对数的属性
*使用基本公式的变化
m81411
现在我们已经了解了指数和对数函数，我们可以介绍对数的一些性质。当我们继续求解指数和对数方程时，这些将非常有帮助。
使用对数的属性
要使用任何其他基数计算对数，我们可以使用基数变化公式。我们将展示这是如何导出的。
使用基数变化公式
使用对数的属性
在本节结束时，您将能够：

*使用对数的性质解决对数方程
*使用对数求解指数方程
*在应用程序中使用指数模型
m81450
在对数函数部分，我们通过将方程重写为指数形式来解决一些方程。现在我们有了对数的性质，我们有了额外的方法来解决对数方程。
使用对数的性质求解对数方程
在指数函数部分，我们通过用相同的基数编写方程的两边来解决一些方程。接下来，我们通过将指数设置为相等来编写一个新方程。
使用对数求解指数方程
在前面的部分中，我们能够解决一些用指数方程建模的应用程序。现在我们有更多的选择来解决这些方程，我们能够解决更多的应用程序。
在应用程序中使用指数模型
求解指数和对数方程
指数和对数函数
m81412
导言
在本节结束时，您将能够：

*使用距离公式
*使用中点公式
*以标准形式写出圆的方程
*绘制一个圆
m81452
我们已经使用勾股定理来求直角三角形边的长度。在这里，我们将再次使用这个定理来求直角坐标系上的距离。通过在直角坐标系上求距离，我们可以在二次曲线的几何和代数之间建立联系——这为应用开辟了一个机会的世界。
使用距离公式
能够找到线段的中点通常很有用。例如，如果你有圆直径的端点，你可能想找到圆的中心，也就是直径的中点。为了找到线段的中点，我们找到端点*x*坐标的平均值和*y*坐标的平均值。
使用中点公式
正如我们提到的，我们的目标是将二次曲线的几何与代数联系起来。通过使用坐标平面，我们能够很容易地做到这一点。
用标准形式写出圆的方程
任何形式为${\左（x-h\右）}^{2}+{\左（y-k\右）}^{2}={r}^{2}$的方程都是中心为$\左（h，k\右），$和半径为*r的圆方程的标准形式。*然后我们可以在矩形坐标系上绘制圆。
绘制一个圆
距离和中点公式；圆
在本节结束时，您将能够：

*图形垂直抛物线
*图形水平抛物线
*用抛物线解决应用
m81413
接下来我们要看的圆锥截面是抛物线，我们把抛物线定义为一个平面上所有的点，与定点和定线的距离相同，定点称为**焦点，**，定线称为抛物线的**直射**。
图垂直抛物线
到目前为止，我们的工作只涉及向上或向下开放的抛物线。我们现在来看看水平抛物线。这些抛物线向左或向右开放。如果我们交换以前抛物线方程中的*x*和*y*，我们得到向左或向右开放的抛物线方程。
图水平抛物线
许多建筑设计都包含抛物线。正如我们将在下一个示例中看到的，使用抛物线建造桥梁并不少见。
使用抛物线解决应用程序
抛物线
在本节结束时，您将能够：

*绘制中心在原点的椭圆
*找到椭圆的方程与中心在原点
*绘制中心不在原点的椭圆
*用省略号解决应用程序
m81414
我们将看到的下一个圆锥截面是椭圆。我们将椭圆定义为平面上两个固定点的距离之和为常数的所有点。每个给定的点称为椭圆的**焦点**。
绘制中心位于原点的椭圆
如果给我们一个椭圆的图，我们可以找到椭圆的方程。
求中心在原点的椭圆方程
到目前为止，我们所研究的椭圆都以原点为中心。我们现在将研究中心为$\old（h， k\right）的椭圆。$
绘制中心不在原点的椭圆
椭圆
在本节结束时，您将能够：

*绘制中心在$\左（0,0\右）$的双曲线
*绘制中心在$\old（h， k\right）$的双曲线
*通过方程识别圆锥截面
m81415
我们将看到的最后一个二次曲线部分称为双曲线。我们将看到双曲线方程看起来与椭圆方程相同，只是它是差值而不是和。虽然椭圆和双曲线的方程非常相似，但它们的图非常不同。
绘制中心位于**（0,0）**的双曲线图
双曲线并不总是以原点为中心。当双曲线以$\old（h， k\right）$为中心时，方程会发生一点变化，如表所示。
绘制中心位于$\old（h， k\right）$的双曲线图
现在我们已经完成了对二次曲线部分的研究，我们将看看不同的方程，并认识到一些通过方程识别二次曲线的方法。当我们有一个方程要绘制时，识别二次曲线是有帮助的，这样我们就知道接下来要采取什么步骤。
通过方程识别圆锥截面
双曲线
在本节结束时，您将能够：

*使用图形解决非线性方程组
*使用替换解决非线性方程组
*使用消除解决非线性方程组
*使用非线性方程组来解决应用程序
m81453
我们学习了如何通过图形、替换和消除来求解具有两个变量的线性方程组。当我们研究具有两个方程和两个变量的非线性方程组时，我们将使用这些相同的方法。**非线性方程组**是一个至少有一个方程不是线性的系统。
使用图形求解非线性方程组
当交叉点是整数并且很容易从图中读取时，绘图方法效果很好。但是更常见的是很难读取交叉点的坐标。替换法是一种代数方法，在许多情况下都能很好地工作。当很容易解决其中一个变量的方程时，它尤其有效。
使用代换求解非线性方程组
当我们研究线性方程组时，我们使用消除方法来求解系统。我们也可以用消除来求解非线性方程组。当方程的两个变量都平方时，它工作得很好。当使用消除时，我们试图使一个变量的系数相反，所以当我们把方程加在一起时，那个变量就被消除了。
用消去法求解非线性方程组
非线性方程组可用于建模和求解许多应用程序。我们将以日常几何情况为例。
使用非线性方程组求解应用程序
非线性方程组的求解
圆锥曲线
m81416
导言
在本节结束时，您将能够：

*写下序列的前几个术语
*找到序列的一般项（第n项）的公式
*使用阶乘表示法
*找到部分总和
*使用求和符号来写一个总和
m81417
让我们看一下函数$f\old（x\right）=2x$并仅针对计数数字对其进行评估。
编写序列的前几个术语
有时我们有一个序列的几个术语，知道一般术语或*n*th术语会很有帮助。为了找到一般术语，我们在术语中寻找模式。这些模式通常涉及倍数或幂。我们也在术语的符号中寻找模式。
找到序列的一般项（*n*th项）的公式
序列中的术语通常是连续整数的乘积。我们用一种叫做*阶乘表示法*的特殊表示法来表示这些乘积。例如，5美元！$，读5阶乘，表示5美元·4·3·2·1。$感叹号在这里不是标点符号；它表示阶乘表示法。
使用阶乘表示法
有时在应用程序中，不仅仅是列出术语，重要的是我们要添加序列的术语。我们可以使用求和符号，而不仅仅是用加号连接术语。
找到部分和
在最后两个例子中，我们从求和符号变成了写出和。现在我们将从一个和开始，并将其更改为求和符号。这与找到序列的一般项非常相似。我们需要查看术语并找到一个模式。这些模式通常涉及倍数或幂。
使用求和符号写一个和
序列
在本节结束时，您将能够：

*确定一个序列是否是算术的
*找到算术序列的一般项（$n$th项）
*查找算术序列的前$n$项的总和
m81418
上一节介绍了序列，现在我们将看看两种特定类型的序列，每种序列都有特殊的属性。在本节中，我们将学习算术序列，在下一节中，我们将学习几何序列。
确定序列是否为算术
正如我们找到数列通项的公式一样，我们也可以找到算术数列通项的公式。
求算术序列的一般项（*n*th Term）
与一般序列一样，求算术序列的和通常很有用。任何算术序列的前$n$项的和${S}_{n}，$写成${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+…+{a}_{n}。$仅仅通过添加所有项来求和可能很乏味。因此，我们也可以开发一个公式来使用序列的第一项和最后一项来求序列的和。
求算术序列的第一个*n*项的和
算术序列
在本节结束时，您将能够：

*确定序列是否为几何
*求几何序列的一般项（第n项）
*求几何序列的前$n$项之和
*求无限几何级数的和
*在现实世界中应用几何序列和序列
m81419
我们现在准备研究第二种特殊类型的序列，几何序列。
确定序列是否为几何
正如我们找到数列和算术数列的一般项的公式一样，我们也可以找到几何数列的一般项的公式。
求几何序列的一般项（*n*th项）
我们找到了一般序列和算术序列的和。我们现在将对几何序列做同样的事情。几何序列的第一个*n*项的和${S}_{n}，$写成${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+…+{a}_{n}。$我们可以从第一项开始写这个和，${a}_{1}，$并继续乘以*r*得到下一项：
求几何序列的前*n*项之和
如果我们取一个几何序列并加上项，我们有一个总和，称为几何级数。无穷几何级数是一个无穷和，其第一项是${a}_{1}$，公共比率是*r*，并写成
求无限几何级数的和
几何序列的一个应用与消费者支出有关。如果给每个家庭退税，对经济的影响是个人退税金额的许多倍。
在现实世界中应用几何序列和序列
几何序列和系列
在本节结束时，您将能够：

*使用帕斯卡三角形展开二项式
*评估二项式系数
*使用二项式定理展开二项式
m81420
在我们之前的工作中，我们使用FOIL或使用二项式平方模式对二项式进行平方。我们也可以说我们展开了${\old（a+b\right）}^{2}。$
使用帕斯卡三角形展开二项式
虽然帕斯卡三角形是展开二项式的一种方法，但我们还将研究另一种方法。在我们开始之前，我们需要介绍一些更多的阶乘符号。这种符号不仅用于展开二项式，还用于概率的研究和使用。
评估二项式系数
我们现在准备使用扩展二项式的替代方法。二项式定理对变量使用相同的模式，但对每个项的系数使用二项式系数。
使用二项式定理展开二项式
二项式定理
序列、级数和二项式定理