入门统计学旨在为非数学或工程专业的学生提供一学期的统计学入门课程。它侧重于对统计结果的解释，尤其是在现实世界的环境中，并假设学生对中级代数有所了解。除了部分结束练习和家庭作业集之外，每个主题的示例都在整个文本中逐步解释，然后是一个try It问题，该问题被设计为学生的额外练习。这本书还包括协作练习和统计实验室，旨在让学生有机会一起工作并探索关键概念。虽然这本书的构建是为了让每一章都建立在之前的基础上，但它可以重新排列以适应任何教师的特殊需求。
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OpenStax是莱斯大学的非营利组织，我们的使命是改善学生接受教育的机会。我们的第一本公开许可的大学教科书于2012年出版，此后我们的图书馆已经扩大到超过25本大学和美联社®课程的书籍，被数十万学生使用。我们的低成本个性化学习工具OpenStax导师正在全国各地的大学课程中使用。通过与慈善基金会的合作以及与其他教育资源组织的联盟，OpenStax正在打破最常见的学习障碍，并赋予学生和教师成功的力量。
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*入门商业统计2e*旨在满足商业、经济和相关专业一学期统计课程的范围和顺序要求。核心统计概念和技能已经通过实际的商业例子、情景和练习得到了增强。结果是对该学科有意义的理解，这将为学生的商业生涯和现实世界的经历服务。
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追加资源
关于作者
序言
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导言
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概率是一种用于研究随机性的数学工具。它处理事件发生的几率（可能性）。例如，如果你把一枚**公平的**硬币扔了四次，结果可能不是两个正面和两个反面。但是，如果你把同一枚硬币扔了4000次，结果将接近半正面和半反面。任何一次投掷中正面的预期理论概率是$\frac{1}{2}$或0.5。即使几次重复的结果是不确定的，但当有许多次重复时，结果是有规律的。在阅读了英国统计学家卡尔·皮尔逊的故事后，他把一枚硬币扔了24000次，结果是12012个正面，其中一位作者把一枚硬币扔了2000次。结果是996个正面。分数$\frac{996}{2000}$等于0.498，非常接近预期概率0.5。
概率
在统计学中，我们通常想研究一个总体。你可以把总体想象成被研究的人、事物或物体的集合。为了研究总体，我们选择一个样本。抽样的想法是选择较大总体中的一部分（或子集），并研究该部分（样本）以获得有关总体的信息。数据是从总体中抽样的结果。
关键术语
统计、概率和关键术语的定义
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下面是比较德安扎学院和山麓学院最近春季入学的非全日制和全日制学生人数的表格。这些表格显示计数（频率）和百分比或比例（相对频率）。百分比列使比较大学中相同的类别变得更容易。在数字中显示百分比通常很有帮助，但在比较总数不相同的数据集时尤其重要，例如本例中两所大学的总入学人数。请注意山麓学院的非全日制学生比例与德安扎学院相比有多大。
定性数据讨论
收集整个人群的信息通常成本太高，或者实际上是不可能的。相反，我们使用人群样本。**样本应该与其所代表的人群具有相同的特征。**大多数统计学家使用各种随机抽样方法试图实现这一目标。本节将描述一些最常见的方法。随机抽样有几种不同的方法。在每种形式的随机抽样中，人群中的每个成员最初都有相等的机会被选入样本。每种方法都有优点和缺点。描述最简单的方法称为**简单随机样本**。如果使用简单随机抽样技术，任何一组*n*个体都有同等的可能性被选为任何其他一组*n*个体。换句话说，每个相同大小的样本被选中的机会相等。
抽样
任何一组数据都存在差异。例如，16盎司罐装饮料可能含有多于或少于16盎司的液体。在一项研究中，测量了8个16盎司罐装饮料，并生产了以下数量（盎司）的饮料：
数据变化
之前提到过，来自同一人群的两个或多个样本，随机抽取，并且具有接近相同的人群特征，很可能彼此不同。假设多琳和荣格都决定研究学生每晚在大学睡觉的平均时间。多琳和荣格各自抽取500名学生的样本。多琳使用系统抽样，荣格使用整群抽样。多琳的样本将不同于荣格的样本。即使多琳和荣格使用相同的抽样方法，他们的样本也很可能不同。然而，两者都不会错。
样本的变化
数据、采样以及数据和采样的变化
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测量一组数据的方式称为其测量水平。正确的统计程序取决于研究人员熟悉测量水平。不是每种统计操作都可以用于每组数据。数据可以分为四个测量水平。它们是（从最低到最高）：
测量水平
20名学生被问及他们每天工作多少小时。他们的回答（以小时为单位）如下：56332475235654435253。
频率
测量水平
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实验设计与伦理
抽样和数据
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导言
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一个简单的图，**茎叶图**或**st😍t**，来自探索性数据分析领域。当数据集较小时，它是一个很好的选择。要创建图，将每个数据观察分成一个茎和一个叶。叶由一个**最终有效数字**组成。例如，23有茎二和叶三。数字432有茎43和叶二。同样，数字5432有茎543和叶二。十进制9.3有茎九和叶三。将茎从最小到最大写在一条垂直线上。在茎的右边画一条垂直线。然后在相应的茎旁边按增加的顺序写下叶子。
茎叶图（St😍ts）、线图和条图
对于本书中您所做的大部分工作，您将使用直方图来显示数据。直方图的一个优点是它可以很容易地显示大型数据集。经验法则是当数据集包含100个或更多值时使用直方图。
直方图、频率多边形和时间序列图
时间序列图是统计学各种应用中的重要工具。当记录同一变量在一段较长时间内的值时，有时很难辨别任何趋势或模式。然而，一旦以图形方式显示相同的数据点，一些特征就会跳出来。时间序列图使趋势易于发现。
时间序列图的使用
重要的是要记住，我们开发各种呈现数据的方法的真正原因是为了深入了解观察结果所代表的主题。我们希望获得对数据的“感觉”。这些观察结果是非常相似，还是分布在广泛的值中，它们是聚集在光谱的一端，还是均匀分布，等等。我们试图获得数字数据的视觉画面。不久我们将开发数据的正式数学度量，但我们的视觉图形呈现可以说明很多问题。不幸的是，它也可以说明很多分散注意力、令人困惑的问题，并且就视觉留下的印象而言是错误的。许多年前，达雷尔·赫夫写了《如何与统计数据撒谎》一书。它已经印刷了25多次，售出了150多万册。他的观点很苛刻，并使用了许多旨在误导的实际例子。他想让人们意识到这种欺骗，但也许更重要的是教育，这样其他人就不会在无意中犯同样的错误。
如何不与统计撒谎
显示数据
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如果你做一点研究，你会发现几个计算第k个百分位数的公式。这是其中之一。
求第k个百分位数的公式
在数据集中查找值百分比的公式
百分位数表示数据按从小到大的数字顺序排序时数据值的相对地位。数据值的百分比小于或等于第p个百分位数。例如，15%的数据值小于或等于第15个百分位数。
解释百分位数、四分位数和中位数
数据位置的度量
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当只有分组数据可用时，您不知道单个数据值（我们只知道间隔和间隔频率）；因此，您无法计算数据集的精确平均值。我们必须做的是通过计算频率表的平均值来估计实际平均值。频率表是一种数据表示，其中分组数据与相应的频率一起显示。要从分组频率表中计算平均值，我们可以应用平均值的基本定义：*平均值*=我们只需要修改定义以适应频率表的限制。
分组频率表算术平均值的计算
数据中心的措施
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Sigma表示法和算术平均值的计算
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几何平均数
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偏度和平均值、中位数和模态
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均方差
回想一下，对于分组数据，我们不知道单个数据值，因此我们无法精确地描述数据的典型值。换句话说，我们无法找到确切的平均值、中位数或模式。但是，我们可以通过以下公式找到分组数据的平均值来确定中心度量的最佳估计：


其中$f=$间隔频率和*m*=间隔中点。
分组频率表的标准差
当比较来自不同数据集的数据值时，均方差很有用。如果数据集有不同的均值和标准差，那么直接比较数据值可能会产生误导。
比较来自不同数据集的值
除了简单比较均值或标准差之外，比较分布的另一个有用方法是调整被测量数据规模的差异。很简单，均值大的数据的大变化不同于均值小的数据的相同变化。为了调整基础数据的规模，开发了变异系数（CV）。数学上：
变异系数
数据传播的衡量标准
描述性统计
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导言
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术语
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如果以下之一为真，则两个事件是独立的：
独立活动
*A*和*B*如果不能同时发生，则是互斥事件。换句话说，如果*A*发生，则*B*不能发生，反之亦然。这意味着*A*和*B*不共享任何结果，$P\左（A\Cap B\右）=0$。
互斥事件
独立和互斥事件
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如果*A*和*B*是在样本空间上定义的两个事件，则：
$P\lew（A\capB\right）=P\lew（B\right）P\lew（A|B\right）$。我们可以认为交叉点符号是“和”这个词的替代品。
乘法法则
如果*A*和*B*在样本空间上定义，则：$P\左（A\杯B\右）=P\左（A\右）+P\左（B\右）-P\左（A\帽B\右）$。

我们可以考虑用联合符号代替单词“或”。我们减去*A*和*B*的交集的原因是为了防止重复计算*A*和*B*中的元素。
加法规则
概率的两条基本规则
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列联表提供了一种描述数据的方法，可以促进计算概率。该表有助于非常容易地确定条件概率。该表显示了与两个不同变量相关的样本值，这两个变量可能相互依赖或相互依赖。稍后，我们将再次使用列联表，但以另一种方式。
应急表
有时，当概率问题很复杂时，绘制情况图会很有帮助。树形图可以用来可视化和解决条件概率。
树形图
应急表和概率树
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文氏图
概率主题
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大写字母*X*表示随机变量。*x*或*y*等小写字母表示随机变量的值。如果***X*是随机变量，则*X*用单词写成，*x*以数字形式给出。**
随机变量表示法
概率密度函数或概率分布函数具有两个特征：
随机变量的概率密度函数（PDF）
重复一遍，事件A的概率，P（A），只是实验将导致A的方式的数量，相对于实验可能结果的总数。
计数公式和组合公式
导言
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超几何分布
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$b\左（x\右）=\左（\开始{数组}{c}n\\x\结束{数组}\右）{p}^{x}{q}^{n-x}$
二项式公式
二项分布
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将此理解为“*X*是具有几何分布的随机变量。”参数为*p*；*p*=每次试验成功的概率。
几何表示法：G=几何概率分布函数
几何分布
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*X*~*P*（*μ*）
泊松表示法：P=泊松概率分布函数
我们之前发现二项式分布提供了超几何分布的近似值。现在我们发现泊松分布可以提供二项式的近似值。我们说二项式分布接近泊松。二项式分布接近泊松分布是当*n*变大，*p*变小，使得*np*成为一个常数值。当人们可以说他们将使用泊松来估计二项式时，有几个经验法则。一个建议*np*，二项式的平均值，应该小于25。另一位作者建议它应该小于7。另一个注意到泊松的均值和方差都是一样的，建议*np*和*npq*，二项式的均值和方差，应该大于5。对于何时可以使用泊松估计二项式，没有一个被广泛接受的经验法则。
用泊松分布估计二项式分布
泊松分布
离散随机变量
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导言
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连续概率密度函数的性质
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均匀分布
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回想一下，前面讨论的邮政职员在客户之间的时间是指数分布的，平均为两分钟。假设距离上一个客户到达已经过去了五分钟。由于现在已经过去了异常长的时间，客户似乎更有可能在下一分钟内到达。在指数分布下，情况并非如此——等待下一个客户所花费的额外时间不取决于自上一个客户以来已经过去了多少时间。这被称为**无记忆属性**。指数和几何概率密度函数是唯一具有无记忆属性的概率函数。具体来说，**无记忆属性**表示
指数分布的无记忆性
指数分布和泊松分布之间有一个有趣的关系。假设两个连续事件之间经过的时间遵循指数分布，平均时间单位为*μ*。还假设这些时间是独立的，这意味着事件之间的时间不受先前事件之间时间的影响。如果这些假设成立，那么每单位时间的事件数量遵循平均*μ*的泊松分布。回想一下，如果*X*具有平均*μ*的泊松分布，那么$P\左（X=x\右）=\frac{\mu}^{x}{e}^{-\mu}}{x！}$。
泊松与指数分布的关系
指数分布
连续随机变量
m54495
导言
m54496
如果*X*是正态分布的随机变量，*X*~*N(μ, σ)*, 则特定*x*的*z*-分数为：
*Z*-分数
标准正态分布
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为了找到具有连续随机变量的概率密度函数的概率，我们需要计算函数下我们感兴趣的X值的面积。对于正态分布，考虑到公式的复杂性，这似乎是一项艰巨的任务。然而，有一个简单的方法可以得到我们想要的。下面是正态分布的公式：
概率计算
使用正态分布
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用正态分布估计二项式
正态分布
m54530
导言
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样本均值的中心极限定理
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大数定律说，如果你从任何总体中获取越来越大的样本，那么抽样分布的均值，${\mu}_{\stackrel{-}{x}}$倾向于越来越接近真实总体均值, *μ*. 从中心极限定理，我们知道随着*n*越来越大，样本均值遵循正态分布。*n*越大，抽样分布的均方差越小。（请记住，$\stackrel{-}{X}$的抽样分布的方差均为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。）这意味着随着*n*的增加，样本均值$\stackrel{-}{x}$必须更接近总体均值*μ*。我们可以说*μ*是当*n*变大时样本意味着接近的值。中心极限定理说明了大数定律。
大数定律
使用中心极限定理
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比例的中心极限定理
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有限总体修正因子
中心极限定理
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导言
m55461
考虑在讨论中心极限定理时提出的抽样分布的标准化公式：
计算置信区间
这里是一个公式，一个未知总体的可信区间意味着假设我们知道总体均方差：
更改置信度级别或样本量
给出了单一总体均值、已知均方差、正态分布可信区间的一般形式
$\overline{X}-{Z}_{\alpha}\左（\sigma}{\sqrt{n}}\right）\le\mu\le\overline{X}+{Z}_{\alpha}\左（\sigma}{\sqrt{n}}\right）$当已知总体方差时使用此公式。
公式回顾
已知总体标准偏差或大样本量时的置信区间
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群体标准偏差未知且样本量小时的置信区间
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人口比例的置信区间
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计算样本量n：连续和二元随机变量
置信区间
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导言
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零假设和替代假设
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结果和I型和II型错误
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当您使用正态分布（通常称为z检验）对单个总体均值*μ*进行假设检验时，您从总体中抽取一个简单的随机样本。您正在测试的总体是正态分布的，或者您的样本量足够大。您知道总体均方差的值，但实际上很少知道。
假设
回到标准化公式，我们可以推导出检验假设的检验统计量。
均值假设检验
假设零假设为真，可以通过计算找到样本均值的概率来开发另一种决策规则，该样本均值将给出大于从当前样本数据中找到的测试统计量的测试统计量。在这里，“可能”和“不太可能”的概念定义为从假设均值大于或小于样本数据中找到的均值的总体中抽取样本均值的概率。简单地说，p值方法将期望的显著性水平α与p值进行比较，p值是从假设值比实际样本均值更远的样本均值抽取样本均值的概率。从数据中计算出的大*p*值表明我们不应该拒绝零假设。*p*-值越小，结果越不可能，反对零假设的证据越强。如果证据强烈反对零假设，我们会拒绝它。比较计算的测试统计数据Zc和临界值Zα的决策规则与使用*p*-值之间的关系可以在[link]中看到。
P值法
关于[链接]-[链接]的讨论是基于[链接]中提出的零和替代假设。这被称为双尾检验，因为替代假设允许平均值可能来自一个大于或小于零假设中假设平均值的群体。在这个例子中，这可以通过替代假设的陈述来看出。
一个和双尾测试
在开发样本均值的置信区间时，我们发现通常我们不会有总体均方差σ。如果样本量小于30，我们可以简单地用点估计代替σ，样本均方差，s，并使用学生的*t*-分布来纠正这种信息的缺乏。
样本量对测试统计量的影响
假设检验的系统方法遵循以下步骤并按此顺序进行。此模板将适用于您将测试的所有假设。
检验假设的系统方法
假设检验所需的概率分布
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手段测试
正如比例有置信区间，或者更正式地说，二项式分布的总体参数*p*一样，有能力检验关于*p*的假设。
比例假设检验
完整假设测试示例
一个样本的假设检验
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导言
m55671
比较两种独立人口均值
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科恩的小、中、大效果尺寸标准
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均值差异检验：假设人口差异相等
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比较两个独立人口比例
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两个已知标准偏差的总体均值
m55674
匹配或配对样品
使用两个样本进行假设检验
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导言
m55693
关于卡方分布的事实
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单方差检验
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拟合优度测试
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独立的考验
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同质性测试
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卡方检验的比较
卡方分布
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导言
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两个方差检验
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零假设只是所有的群体总体均值都是相同的。替代假设是至少有一对均值是不同的。例如，如果有*k*组：
零假设和替代假设
单向方差分析
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*F*分布的表示法是*F*~*F**df*（*num*），*df*（*denom*）
记谱法
F分布和F比
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关于F分布的事实
F分布和单向方差分析
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导言
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相关系数r
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得出结论关于假设的决策有两种方法。检验该假设的检验统计量是：
进行假设检验
检验相关系数的意义
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对于线性方程*y*=*a*+*bx*，*b*=斜率和*a*=*y*-截距。从代数中可以看出，斜率是描述直线陡峭程度的数字，*y*-截距是直线穿过*y*-轴的点（0，*a*）的*y*坐标。从微积分来看，斜率是函数的一阶导数。对于线性函数，斜率是*dy*/*dx*=*b*，我们可以将数学表达式解读为“*y*（*dy*）的变化，它是由*x*（*dx*）=*b*\**dx*的变化引起的”。
线性方程的斜率和*Y*-截距
线性方程
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这些假设中的每一个都需要更多的解释。如果其中一个假设不成立，那么它将对估计的质量产生影响。这些假设的一些失败可以被修复，而另一些则导致估计根本无法洞察模型试图回答的问题，或者更糟糕的是，给出有偏见的估计。

1.自变量${x}_{i}$都是无误差测量的，是独立于误差项的固定数字。这个假设实际上是说Y是确定性的，是固定分量“X”和随机误差分量“😍”的结果
2.误差项是一个随机变量，均值为零，方差为常数。这意味着自变量的方差与变量的值无关。考虑个人收入和购买商品的数量之间的关系，作为方差取决于自变量收入值的例子。随着收入的增加，购买数量周围的变化也会增加，这似乎是合理的，仅仅是因为更高水平的收入提供了灵活性。该假设是关于自变量大小的恒定方差，称为同方差。如果假设失败，则称为异方差。[链接]显示了同方差的情况，其中所有三个分布都在Y的预测值周围具有相同的方差，而不管X的大小。
3.误差项应该是正态分布的。这可以在[link]中通过放置在Y的相关值的期望值处的预测线上的分布形状来看出。
4.自变量独立于Y，但也假设独立于其他X变量。该模型旨在根据提出的理论估计自变量对某些因变量的影响。一些或多个自变量相互关联的情况并不罕见。自变量之间可能没有因果关系，但它们仍然一起移动。以简单供应曲线为例，供应数量理论上与产品价格和投入价格相关。随着时间的推移，可能会有多个投入从一般通货膨胀压力中一起移动。因此，投入价格将违反回归分析的这一假设。这种情况称为多重共线性，稍后将详细讨论。
5.误差项彼此不相关。这种情况是由一个误差项对另一个误差项的影响引起的。虽然不完全是时间序列问题，但我们最常在这里看到这种情况。第一个时间段的X变量对Y变量有影响，但这种影响在下一个时间段会产生影响。这种影响导致误差项之间的关系。这种情况称为自相关，“自相关”。误差项现在不是相互独立的，而是对后续误差项有自己的影响。
普通最小二乘回归模型的假设
残差图可用于帮助确定一组（*x*，*y*）数据是否线性相关。对于用于创建相关线的每个数据点，可以计算残差*y*-*y*，其中y是响应变量的观察值，*y*是相关线预测的值。这些值之间的差异称为残差。残差图在水平轴上显示解释变量*x*，在垂直轴上显示该值的残差。残差图通常与数据的散点图一起显示。虽然数据的散点图应该类似于直线，但残差图应该看起来是随机的，没有模式，也没有异常值。它还应该显示恒定的误差方差，这意味着残差不应该随着解释变量*x*的增加而持续增加（或减少）。
剩余地块
回归分析的全部目标是检验因变量Y实际上依赖于一些基础理论断言的自变量值的假设，例如消费函数示例。查看[link]下的估计方程，我们看到这相当于确定b0和b1的值。请注意，我们再次使用希腊字母表示总体参数，罗马字母表示估计值。
测试线路的参数
我们之前的讨论表明，像所有统计模型一样，OLS回归模型也有重要的假设。每个假设，如果违反，都会对模型提供有用和有意义的估计的能力产生影响。高斯-马尔科夫定理向我们保证，OLS估计是无偏的和最小方差的，但这只在模型的假设下是正确的。在这里，我们将看看如果自变量相关，对OLS估计的影响。计量经济学课程中讨论了其他假设以及在发现违反时减轻它们带来的困难的方法。我们采用多重共线性是因为它在经济模型中非常普遍，并且经常导致令人沮丧的结果。
多重共线性
在最后一节中，我们关注的是检验因变量确实依赖于假设的一个或多个自变量的假设。我们可能会发现一个对因变量有一些影响的自变量，但它可能不是唯一的一个，甚至可能不是最重要的一个。请记住，误差项被放置在模型中以捕获任何缺失的自变量的影响。因此，误差项可以用来测量在解释因变量的变化时作为一个整体的方程的“拟合优度”。
等式有多好？
到目前为止，对OLS回归技术的分析假设测试模型中的自变量是连续随机变量。然而，回归模型对二进制自变量没有限制。这打开了回归模型，用于测试关于分类变量的假设，如性别、种族、国家地区、特定数据之前、特定日期之后和无数其他数据。这些分类变量只取两个值，1和0，成功或失败，来自二项式概率分布。
方程的形式变成：
虚拟变量
回归方程
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普通最小二乘估计通常假设变量之间的总体关系是线性的，因此是回归方程中提出的形式。在这种形式中，系数的解释如上所述；非常简单的是，系数提供了以Y为单位测量的X中的一个单位变化对Y的影响的估计。人们希望沿着这条线在哪里进行测量并不重要，因为它是一条斜率恒定的直线，因此每单位变化的估计影响水平恒定。然而，分析师可能希望估计的不是简单的单位测量对Y变量的影响，而是X变量中一个单位变化对Y的百分比影响的大小。这种情况下，一个单位的经验变化，比如说一年，如何影响的不是工人工资的绝对金额，而是对工人工资的百分比影响。或者，可能是问的问题是单位测量的X的特定百分比增长对Y的影响。一个例子可能是“如果公司在广告上多花X%，销售额会增加多少美元？”第三种可能性是上面讨论的弹性情况。在这里，我们感兴趣的是给定百分比变化的价格或收入或替代商品的价格对需求数量的百分比影响。所有这三种情况都可以通过在运行回归之前将数据转换为对数来估计。然后，生成的系数将提供相关变量的百分比变化测量。
数据的对数变换
回归系数的解释：弹性和对数变换
m56649
用回归方程预测
m55852
下面是一个使用Excel程序对特定情况进行回归的例子：估计对玫瑰的需求。我们试图估计一条需求曲线，根据经济理论，我们预计某些变量会影响我们购买多少商品。商品价格和需求量之间的关系就是需求曲线。除此之外，我们还有需求函数，其中包括其他相关变量：一个人的收入、替代商品的价格，也许还有其他变量，如一年中的季节或赠品的价格。需求量将是我们的Y变量，玫瑰价格、康乃馨价格和收入将是我们的自变量，即X变量。
估计对玫瑰的需求
如何使用Microsoft Excel®进行回归分析
线性回归和相关
m56641
*F*分布
标准正态概率分布：*Z*表
对于选定的概率，*a*，
表显示了值*t**v，a*使得*P*（*t**v*>*t**v， a*）=*a*，其中*t**v*是学生的*t*
具有*v*自由度的随机变量。对于
例如，一个学生的概率是0.10
具有10个自由度的随机变量超过1.372。
学生的*t*分布
χ2概率分布
数据集
统计表
m56640
用数学书写的英语短语
符号及其意义
公式
数学短语、符号和公式