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OpenStax是莱斯大学的非营利组织，我们的使命是改善学生接受教育的机会。我们的第一本公开许可的大学教科书于2012年出版，此后我们的图书馆已经扩大到超过35本大学和美联社®课程的书籍，被数十万学生使用。我们的低成本个性化学习工具OpenStax导师正在全国各地的大学课程中进行试点。通过与慈善基金会的合作以及与其他教育资源组织的联盟，OpenStax正在打破最常见的学习障碍，并赋予学生和教师成功的权力。
关于OpenStax
关于OpenStax资源
*预代数2e*旨在满足一学期预代数课程的范围和顺序要求。课文介绍了代数的基本概念，同时满足了具有不同背景和学习风格的学生的需求。每个主题都建立在以前开发的材料之上，以展示数学的凝聚力和结构。
关于*Prealgebra 2e*
*Prealgebra 2e*在介绍内容时采用了学生支持的方法。特别是，开头是一系列小步骤，以便学生对自己在课程中取得成功的能力充满信心。主题的顺序经过精心规划，以强调整个课程的逻辑进展，并促进对每个概念的透彻理解。随着新想法的提出，它们与以前的主题明确相关。
覆盖范围和范围
*Prealgebra 2e*修订侧重于数学清晰度和准确性。每个示例、尝试、部分练习、复习练习和实践测试项目都由多名教师专家审查，然后由作者验证。这种密集的努力导致了对文本、问题语言、答案、教师解决方案和图形的数百次更改。
第二版的变化
教学基础和特点
额外资源
关于作者
序言
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导言
在本节结束时，您将能够：

*识别计数数字和整数
*模型整数
*识别数字的位值
*使用位置值命名整数
*使用位置值写入整数
*整数
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学习代数类似于学习一门语言。你从一个基本词汇开始，然后随着时间的推移增加。你需要经常练习，直到词汇对你来说变得容易。你使用的词汇越多，它就变得越熟悉。
识别计数数字和整数
我们的数字系统被称为位值系统，因为数字的值取决于它在数字中的位置。数字537美元与数字735美元的值不同。$即使他们使用相同的数字，它们的价值也不同，因为7美元和5美元的位置不同。$
型号编号
通过查看货币和$\text{base-10}$块，我们发现数字中的每个位置都有不同的值。位置值图表是总结这些信息的有用方法。位置值分为三组，称为周期。周期是*1、数千、数百万、数十亿、万亿*，依此类推。在书面数字中，逗号分隔周期。
识别数字的位置值
当你写支票时，你用单词和数字写出数字。要用单词写数字，请在每个句点写数字，后跟句点的名称，末尾没有“s”。从左边的数字开始，它有最大的位置值。逗号分隔句点，所以数字中有逗号的地方，在单词之间写逗号。位置值最小的句点没有命名。
使用位值命名整数
我们现在将反转这个过程并将一个以单词形式给出的数字写成数字。
使用位值写入整数
2013年美元，$美国人口普查局报告纽约州人口为$19,651,127$人。说人口大约为$2,000万可能就足够了。*大约*这个词的意思是2000万美元不是确切的人口，但接近确切的值。
整数
整数简介
在本节结束时，您将能够：

*使用加法符号
*整数的模型加法
*添加没有模型的整数
*将单词短语翻译成数学符号
*在应用程序中添加整数
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一个大学生有一份兼职工作，上周他周一工作3美元$小时，周五工作4美元$小时，为了求出他上周工作的总小时数，他加了3美元$和4美元$。
使用加法符号
加法实际上只是计数。我们将使用$\text{base-10}$块对加法进行建模。记住，一个块代表1美元$，一个杆代表10美元。$让我们从建模我们刚刚考虑的加法表达式开始，3美元+4。$
整数的模型加法
现在我们已经使用模型来添加数字，我们可以继续在没有模型的情况下添加。在我们这样做之前，确保您知道所有一位数的加法事实。当您添加更大的数字时，您将需要使用这些数字事实。
添加没有模型的整数
在本节的前面，我们将数学符号翻译成单词。现在我们将逆转这个过程。我们将把单词短语翻译成数学符号。[链接]中列出了一些表示加法的单词短语。
将单词短语翻译成数学符号
现在我们已经练习了加整数，让我们用我们学到的知识来解决现实世界的问题。我们将从概述一个计划开始。首先，我们需要阅读问题来确定我们要找什么。然后我们写一个单词短语，给出找到它的信息。接下来，我们将单词短语翻译成数学符号，然后简化。最后，我们写一个句子来回答这个问题。
在应用程序中添加整数
添加整数
在本节结束时，您将能够：

*使用减法符号
*整数的模型减法
*减去整数
*将单词短语翻译成数学符号
*减去申请中的整数
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假设一个碗里有七个香蕉。埃拉娜用其中的三个做冰沙。碗里还剩多少香蕉？为了回答这个问题，我们从七减去三。当我们减去时，我们把一个数字从另一个数字中减去以找到差异。我们用来从7美元中减去3美元的符号是
使用减法符号
模型可以帮助我们可视化减法过程，就像加法一样。同样，我们将使用$\text{base-10}$块。记住一个块代表1，一个棒代表10。让我们从建模我们刚刚考虑的减法表达式开始，7美元-3美元。$
整数的模型减法
加法和减法是逆运算。加法撤消减法，减法撤消加法。
减去整数
与加法一样，单词短语可以告诉我们使用减法对两个数字进行操作。为了从单词短语翻译成数学符号，我们寻找表示减法的关键词。[链接]中列出了一些表示减法的单词。
将单词短语翻译成数学符号
为了解决减法应用程序，我们将使用与加法相同的计划。首先，我们需要确定我们被要求寻找什么。然后我们写一个短语，给出找到它的信息。我们将短语翻译成数学符号，然后简化以得到答案。最后，我们用适当的单位写一个句子来回答这个问题。
在应用程序中减去整数
减去整数
在本节结束时，您将能够：

*使用乘法符号
*整数的模型乘法
*乘以整数
*将单词短语翻译成数学符号
*在应用程序中乘以整数
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假设你被要求数[链接]中显示的所有这些便士。
使用乘法符号
有很多方法可以对乘法进行建模。与前几节我们使用$\text{base-10}$块不同，这里我们将使用计数器来帮助我们理解乘法的含义。计数器是任何可以用于计数的对象。我们将使用圆形蓝色计数器。
整数的模型乘法
为了在不使用模型的情况下进行乘法，您需要知道所有一位数的乘法事实。在继续本节之前，请确保您流利地了解它们。
整数相乘
在本节的前面，我们将数学符号翻译成单词。现在我们将反转这个过程，将单词短语翻译成数学符号。[链接]中给出了一些表示乘法的单词。
将单词短语翻译成数学符号
我们将使用与以前相同的策略来解决乘法的应用。首先，我们需要确定我们在寻找什么。然后我们写一个短语，给出找到它的信息。然后我们将短语翻译成数学符号并简化以获得答案。最后，我们写一个句子来回答这个问题。
在应用程序中乘以整数
整数相乘
在本节结束时，您将能够：

*使用除法表示法
*整数的模型划分
*除以整数
*将单词短语翻译成数学符号
*在应用程序中划分整数
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到目前为止，我们已经探索了加法、减法和乘法。现在让我们考虑除法。假设你在[链接]里有12美元的饼干，想把它们装在袋子里，每个袋子里有4美元的饼干。我们需要多少袋？
使用除法符号
就像我们对乘法所做的那样，我们将使用计数器对除法进行建模。除法的操作有助于我们将项目组织成相等的组，因为我们从被除数中的项目数开始，反复减去除数中的数字。
整数的模型划分
我们说加减法是逆运算，因为一个撤消另一个。同样，除法是乘法的逆运算。我们知道12美元ance4=3美元，因为3美元·4=12。在做除法时，了解所有乘法数字事实非常重要。
除以整数
在本节的前面，我们将除法的数学符号翻译成单词。现在我们将把单词短语翻译成数学符号。[链接]中给出了一些表示除法的单词。
将单词短语翻译成数学符号
我们将使用与前几节相同的策略来解决应用程序。首先，我们确定我们要找什么。然后我们写一个短语，给出找到它的信息。然后我们将短语翻译成数学符号并简化它以获得答案。最后，我们写一个句子来回答这个问题。
在应用程序中划分整数
除以整数
整数
--
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代数语言导论
在本节结束时，您将能够：

*使用变量和代数符号
*识别表达式和方程
*用指数简化表达式
*使用操作顺序简化表达式
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格雷格和亚历克斯同一天生日，但他们出生在不同的年份。今年格雷格20美元$岁，亚历克斯23美元，所以亚历克斯比格雷格大3美元$岁。当格雷格12美元时，亚历克斯15美元。当格雷格35美元时，亚历克斯将是38美元。不管格雷格的年龄是多少，亚历克斯的年龄总是多3美元美元，对吗？
使用变量和代数符号
短语和句子在英语中有什么区别？短语表达的是一个单独的想法，它本身是不完整的，但句子是完整的陈述。“跑得很快”是一个短语，但“足球运动员跑得很快”是一个句子。句子有主语和动词。
识别表达式和方程
简化数值表达式意味着做所有可能的数学运算。例如，为了简化4美元·2+1$，我们首先将4美元·2$乘以8美元，然后将1美元$相加得到9美元。$要养成的一个好习惯是在页面上往下写，在前一步下面写下过程的每一步。刚刚描述的例子如下所示：
用指数简化表达式
我们已经介绍了代数中使用的大多数符号和符号，但是现在我们需要澄清操作的顺序。否则，表达式可能有不同的含义，它们可能会导致不同的值。
使用操作顺序简化表达式
使用代数语言
在本节结束时，您将能够：

*评估代数表达式
*识别术语、系数和类似术语
*通过组合相似的术语来简化表达式
*翻译单词短语代数表达式
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在上一节中，我们使用操作顺序简化了表达式。在本节中，我们将按照操作顺序计算表达式。
计算代数表达式
代数表达式由*项*组成。项是常量或常量与一个或多个变量的乘积。术语的一些示例是7美元、y、5{x}^{2}、9a、\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}} 13xy。$
识别术语、系数和类似术语
我们可以通过组合类似的术语来简化表达式。你认为$3x+6x$会简化成什么？如果你认为$9x，$你是对的！
通过组合相似术语来简化表达式
在上一节中，我们列出了许多代数中使用的运算符号，然后我们将表达式和方程翻译成单词短语和句子。现在我们将反转这个过程，将单词短语翻译成代数表达式。我们讨论过的符号和变量将帮助我们做到这一点。它们在[link]中进行了总结。
将单词翻译成代数表达式
评估、简化和翻译表达式
在本节结束时，您将能够：

*确定一个数字是否是方程的解
*对等式的减法性质进行建模
*使用等式的减法属性求解方程式
*使用等式的加法属性求解方程式
*翻译单词短语代数方程
*翻译成方程并求解
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解方程就像发现谜题的答案。代数方程表示两个代数表达式相等。解方程就是确定使方程成为真实陈述的变量的值。任何使方程为真的数字都称为方程的解。它是谜题的答案！
确定一个数是否是方程的解
我们将使用一个模型来帮助您理解求解方程的过程是如何像解决难题一样的。信封代表变量——因为它的内容未知——每个计数器代表一个。
等式减法性质的建模
我们的谜题让我们知道我们需要做什么来解一个方程。目标是在方程的一边孤立变量。在前面的例子中，我们使用了等式的减法属性，它指出，当我们从方程的两边减去相同的数量时，我们仍然有相等。
使用等式的减法性质求解方程
在我们目前解决的所有方程中，一个数字被添加到方程一侧的变量中。我们使用减法来“撤消”加法以隔离变量。
使用等式的加法性质求解方程
记住，一个方程在两个代数表达式之间有一个等号。所以如果我们有一个句子告诉我们两个短语相等，我们可以把它翻译成一个方程。我们寻找表示*等于*的线索词。一些翻译成等号的单词是：
将单词短语翻译成代数方程
现在让我们练习将句子翻译成代数方程，然后求解它们。我们将使用等式的减法和加法性质来求解方程。
翻译成方程并求解
利用等式的减法和加法性质求解方程
在本节结束时，您将能够：

*确定数字的倍数
*使用常见的可分性测试
*找到一个数字的所有因素
*确定素数和合数
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安妮正在数她衣柜里的鞋子。鞋子是成双搭配的，所以她不必数每双。她按2数：2,4,6,8,10,12美元。$她衣柜里有12美元的鞋子。
识别数字的倍数
另一种说375美元$是5美元$的倍数的方法是说375美元$可以被5美元整除。$事实上，375美元ance5美元是75美元，$所以375美元$是5美元\cdot 75。$请注意[链接]中的$10,519$不是$3的倍数。$当我们将$10,519$除以$3$时，我们没有得到计数数，所以$10,519$不能被$3整除。$
使用常见的可分解性测试
谈论同一个想法通常有几种方式。所以
到目前为止，我们已经看到，如果$m$是$n的倍数，$我们可以说$m$可以被$n整除。$我们知道72美元$是8美元$和9美元的乘积，$所以我们可以说72美元$是8美元的倍数$，72美元$是9美元的倍数。$我们也可以说72美元$可以被8美元$和9美元整除。$另一种说法是说8美元$和9美元$是72美元的因数。$当我们写72美元=8\cdot 9$时，我们可以说我们已经考虑了72美元。$
查找数字的所有因子
有些数字，比如72美元，$有很多因数。其他数字，比如7美元，$只有两个因数：1美元和数字。只有两个因数的数字称为素数。有两个以上因数的数字称为合数。数字1美元$既不是素数也不是合数。它只有一个因素，本身。
识别素数和复合数
查找倍数和因子
在本节结束时，您将能够：

*找到一个复合数的素数分解
*找到两个数字的最小公倍数（LCM）
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在上一节中，我们找到了一个数的因子。素数只有两个因子，数字1美元$和素数本身。复合数有两个以上的因子，每个复合数都可以写成素数的唯一乘积。这叫做一个数的素数因式分解。当我们写一个数的素数因式分解时，我们正在把这个数改写为素数的乘积。找到一个复合数的素数因式分解将在本课程的后面对你有所帮助。
求一个复数的质因数分解
我们研究倍数和素数的原因之一是使用这些技术来找到两个数的最小公倍数。当我们添加和减去具有不同分母的分数时，这将很有用。
求两个数的最小公倍数（LCM）
素数因式分解和最小公倍数
代数的语言
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整数简介
在本节结束时，您将能够：

*定位数字线上的正数和负数
*订购正数和负数
*找到对立面
*用绝对值简化表达式
*翻译单词短语与整数表达式
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你住在一个冬天非常寒冷的地方吗？你经历过零度以下的温度吗？如果有，你已经熟悉负数了。负数是一个小于0美元的数字。$非常寒冷的温度是以零度以下的度数来衡量的，可以用负数来描述。例如，$-1\text{°F}$（读作“负一华氏度”）是1美元{\规则{0.2em}{0ex}}\text{度}$低于0美元。$一个数字前显示一个减号，表示它是负数。[链接]显示$-20\text{°F}，$这是20美元{\规则{0.2em}{0ex}\text{度}$低于0美元。$
在数字线上定位正数和负数
我们可以用数线来比较和排序正数和负数。从左到右，数字的价值增加。从右到左，数字的价值减少。见[链接]。
正数和负数的顺序
在数线上，负数是中间为零的正数的镜像，因为数字2美元$和$-2$与零的距离相同，所以称为对立面，2美元$的反面是$-2，$-2的反面是[链接]（a）所示的2美元，同理，3美元$和$-3$是[链接]（b）所示的对立面。
找到对立面
我们看到像5美元$和$-5$这样的数字是对立的，因为它们与数线上的0美元$距离相同。它们都是0美元的五个单位。$0美元$与数线上任何数字之间的距离称为该数字的绝对值。因为距离永远不是负数，所以任何数字的绝对值永远不是负数。
用绝对值简化表达式
现在我们可以将单词短语翻译成整数表达式。寻找表示负号的单词。例如，“负20”中的单词*负*表示$-20。$“20美元\text{.”中的单词*相反*也是如此。}$
将单词短语翻译成整数表达式
整数简介
在本节结束时，您将能够：

*整数的模型加法
*用整数简化表达式
*用整数评估变量表达式
*翻译单词短语代数表达式
*在应用程序中添加整数
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现在我们已经在数线上定位了正数和负数，是时候讨论整数的算术运算了。
整数的模型加法
现在您已经对添加小的正整数和负整数进行了建模，您可以在脑海中可视化模型以简化任何整数的表达式。
使用整数简化表达式
请记住，计算表达式意味着用一个数字代替表达式中的变量。现在我们可以在计算表达式时使用负数和正数。
使用整数评估变量表达式
我们早期将单词短语翻译成代数的所有工作也适用于包含正数和负数的表达式。记住，短语*the sum*表示加法。
将单词短语翻译成代数表达式
回想一下，我们在日常生活中被介绍过一些使用正数和负数的情况，比如温度、银行和运动。例如，$\text{5}$的债务可以表示为$\text{−5。}$让我们练习翻译和解决一些应用程序。
在应用程序中添加整数
添加整数
在本节结束时，您将能够：

*整数的模型减法
*用整数简化表达式
*用整数评估变量表达式
*翻译单词短语代数表达式
*减去应用程序中的整数
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还记得上一节关于蹒跚学步的孩子和饼干的故事吗？孩子们通过日常经历学习如何减去数字。现实生活中的经历可以作为减去正数的模型，在某些情况下，比如温度，可以添加负数和正数。但是很难将减去负数与常见的生活经历联系起来。当涉及到负数时，大多数人对减法没有直观的理解。数学老师使用几种不同的模型来解释减去负数。
整数的模型减法
你看到模式了吗？你准备好在没有计数器的情况下减去整数了吗？让我们再做两个减法。我们将考虑如何用计数器对这些进行建模，但我们实际上不会使用计数器。
使用整数简化表达式
现在我们将练习计算表达式，包括减去负数和正数。
使用整数评估变量表达式
当我们第一次介绍操作符号时，我们看到表达式$a-b$可以通过多种方式读取，如下所示。
将单词短语翻译成代数表达式
如果我们不知道我们在找什么或者叫什么，就很难找到东西。所以当我们解决一个应用程序问题时，我们首先需要确定我们被要求找到什么。然后我们可以写一个短语，给出找到它的信息。我们将把短语翻译成表达式，然后简化表达式以得到答案。最后，我们用一句话总结答案，以确保它有意义。
在应用程序中减去整数
减去整数
在本节结束时，您将能够：

*乘以整数
*除以整数
*用整数简化表达式
*用整数评估变量表达式
*翻译单词短语代数表达式
m81278
由于乘法是重复加法的数学速记，我们的计数器模型可以很容易地应用于显示整数的乘法。让我们看看这个具体的模型，看看我们注意到什么模式。我们将使用与加法和减法相同的示例。
乘整数
除法是乘法的逆运算。所以，15美元3=5美元，因为5美元3=15美元。换句话说，这个表达式说$\mathbf{\text{15}}$可以分成$\mathbf{\text{3}}$组，每个组$\mathbf{\text{5}}$，因为加五次得到$\mathbf{\text{15}}。$如果我们看一些乘以整数的例子，我们可能会找出整数除法的规则。
整数除法
现在我们将用整数简化使用所有四种运算——加、减、乘和除——的表达式。记住遵循操作的顺序。
使用整数简化表达式
现在我们可以计算包含整数乘法和除法的表达式。记住，要计算表达式，用数字代替变量，然后简化。
使用整数评估变量表达式
同样，我们之前将单词翻译成代数的所有工作都转移到包括乘法和除法整数的短语中。记住乘法的关键词是*乘积*，除法的关键词是*商*。
将单词短语翻译成代数表达式
整数相乘和除法
在本节结束时，您将能够：

*判断整数是否是方程的解
*使用等式的加法和减法属性解决整数方程
*模拟平等的划分属性
*使用平等的分割属性解决方程式
*翻译成方程并求解
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在具有等式的减法和加法性质的求解方程中，我们看到方程的解是一个变量的值，当被代入该方程时，该变量会产生一个真实的陈述。在那一节中，我们找到了整数的解。现在我们已经处理了整数，我们将找到方程的整数解。
确定一个数是否是方程的解
在使用等式的减法和加法性质求解方程中，我们使用等式的减法和加法性质求解类似于这里显示的两个方程。现在我们可以再次将它们用于整数。
利用等式的加减性质求解整数方程
到目前为止，我们求解的所有方程都是$x+a=b$或$x-a=b.$的形式。我们能够通过添加或减去常数项来分离变量。现在我们将看到如何解涉及除法的方程。
模拟平等的划分属性
前面的例子引出了等式的除法性质。当您将方程的两边除以任何非零数时，您仍然具有相等性。
使用等式的除法性质求解方程
在过去的几个例子中，我们得到了一个包含变量的方程。在接下来的几个例子中，我们必须首先将单词句子翻译成带有变量的方程，然后我们将求解方程。
翻译成方程并求解
用整数解方程；等式的除法性质
整数
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分数简介
在本节结束时，您将能够：

*了解分数的含义
*模型不当的分数和混合数
*转换不适当的分数和混合数
*模型等效分数
*找到等价的分数
*找到分数和混合数字在数字行
*顺序分数和混合数
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安迪和鲍比喜欢比萨饼。周一晚上，他们平均分享一个比萨饼。每个人得到多少比萨饼？你是说每个男孩得到一半比萨饼吗？那就对了。有一个完整的比萨饼，均匀地分成两部分，所以每个男孩得到两个相等部分中的一个。
了解分数的含义
在[link]（b）中，你有八个相等的第五个片段。你用其中的五个组成一个整体，你还剩下五分之三。让我们用分数表示法来表示发生了什么。你有八个片段，每个片段五分之一，$\frac{1}{5}，$所以总共有五分之八，我们可以写成$\frac{8}{5}。$\frac{8}{5}$是一个整体，1美元，$加上五分之三，$\frac{3}{5}，$或1美元\frac{3}{5}，$读作*一和五分之三*。
模型不正确的分数和混合数
在[link]中，我们使用分数圈将不适当的分数$\frac{11}{6}$转换为混合数1美元\frac{5}{6}$。我们通过将六分之一组合在一起形成一个整体来做到这一点；然后我们查看11美元中还剩下多少个。我们看到$\frac{11}{6}$组成了一个完整的六分之一组，外加五个六分之一，显示$\frac{11}{6}=1\frac{5}{6}。$
在不适当的分数和混合数之间转换
让我们再想想安迪和鲍比以及他们最喜欢的食物。如果安迪吃了$\frac{1}{2}$的比萨饼，鲍比吃了$\frac{2}{4}$的比萨饼，他们吃了同样数量的比萨饼吗？换句话说，$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}？$我们可以用分数瓷砖来找出安迪和鲍比是否吃了*等量*部分的比萨饼。
模型当量分数
我们使用分数块来表明有许多分数等价于$\frac{1}{2}。$例如，$\frac{2}{4}、\frac{3}{6}、$和$\frac{4}{8}$都等价于$\frac{1}{2}。$当我们排列分数块时，$\frac{1}{8}$块中的四个需要与$\frac{1}{2}$块的长度相同。这表明$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}。$见[链接]。
求等价分数
现在我们准备在数线上绘制分数。这将帮助我们可视化分数并理解它们的值。
在数列上找到分数和混合数
我们可以使用不等式符号来排序分数。记住$a>b$意味着$a$在数线上$b$的右边。当我们在数线上从左到右移动时，值会增加。
阶分数和混合数
可视化分数
在本节结束时，您将能够：

*简化分数
*乘以分数
*寻找互惠
*除以分数
m81286
在使用等价分数时，您看到有许多方法可以写出具有相同值的分数，或者代表整体的相同部分。你怎么知道该用哪一个？通常，我们将使用*简化*形式的分数。
简化分数
模型可以帮助您理解分数的乘法。我们将使用分数块对$\frac{1}{2}·\frac{3}{4}进行建模。$要将$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{4}相乘，$认为$\frac{1}{2}$of$\frac{3}{4}。$
乘法分数
分数$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{2}$以一种特殊的方式相互关联。$-\frac{10}{7}$和$-\frac{7}{10}也是如此。$你看到了吗？除了看起来像彼此的倒置版本之外，如果我们将这对分数相乘，乘积将是1美元。$
寻找互惠
为什么是12美元ance3=4？$我们之前用计数器模拟了这个。一组12美元的计数器可以组成多少组3美元的计数器？
除法分数
乘除分数
在本节结束时，您将能够：

*乘除混合数
*翻译短语与分数表达式
*简化复杂的分数
*用分数栏简化表达式
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在上一节中，您学习了如何乘除分数。那里的所有示例都使用了正确或不正确的分数。当您被要求乘除混合数时会发生什么？请记住，我们可以将混合数转换为不正确的分数。您在可视化分数中学习了如何做到这一点。
乘除混合数
*商*和*比*常用于描述分数。在减去整数中，我们将商定义为除法的结果。$a$和$b$的商是您将$a$除以$b、$或$\frac{a}{b}得到的结果。$让我们练习使用这些术语将一些短语翻译成代数表达式。
将短语翻译成带分数的表达式
到目前为止，我们对分数的研究包括正确的分数、不正确的分数和混合数。另一种分数叫做复数分数，它是分子或分母包含分数的分数。
简化复杂分数
分数中的负号在哪里？通常，负号放在分数的前面，但是你有时会看到一个分子或分母为负的分数。记住分数代表除法。分数$-\frac{1}{3}$可能是将$\frac{-1}{3}，$a负除以正的结果，或者将$\frac{1}{-3}，$a正除以负的结果。当分子和分母有不同的符号时，商是负的。
使用分数条简化表达式
乘除混合数和复数
在本节结束时，您将能够：

*模型分数添加
*添加分数与公分母
*模型分数减法
*用公分母减去分数
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照片上有多少个25美分？四分之一加2美元25美分等于3美元25美分。
模型分数加法
[链接]显示要添加相同大小的碎片——这意味着分数具有相同的分母——我们只需添加碎片的数量。
使用公共分母添加分数
用公分母减去两个分数很像加分数。想象一个被切成12美元一片的比萨饼。假设晚餐吃了五块。这意味着，晚餐后，盒子里还剩七块（或$\frac{7}{12}$比萨饼）。如果莱昂纳多吃了这些剩余碎片中的2美元（或$\frac{2}{12}$比萨饼），还剩多少？还剩5美元（或$\frac{5}{12}$比萨饼）。
模型分数减法
我们用公分母减去分数，就像用公分母加分数一样。
用公共分母减去分数
用常用分母加减分数
在本节结束时，您将能够：

*找到最小公分母（LCD）
*使用LCD将分数转换为等效分数
*添加和减去不同分母的分数
*识别和使用分数操作
*使用运算顺序简化复杂分数
*用分数评估变量表达式
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在上一节中，我们解释了如何添加和减去具有公分母的分数。但是我们如何添加和减去具有不同分母的分数呢？
找到最小公分母
早些时候，我们使用分数瓷砖来查看$\frac{1}{4}$当$\frac{1}{6}$为12美元时的LCD。$我们看到三个$\frac{1}{12}$完全覆盖了$\frac{1}{4}$和两个$\frac{1}{12}$完全覆盖了$\frac{1}{6}，$所以
使用LCD将分数转换为等效分数
一旦我们将两个分数转换成具有公分母的等价形式，我们就可以通过添加或减去分子来添加或减去它们。
用不同的分母加减分数
到目前为止，在本章中，您已经练习了乘法、除法、加法和减法分数。下表总结了这四个分数操作。记住：您需要一个公分母来添加或减去分数，但不是乘法或除法分数
识别和使用分数运算
在乘除混合数和复数中，我们看到复数分数是分子或分母包含分数的分数。我们通过将复杂分数重写为除法问题来简化它们。例如，
使用运算顺序简化复杂分数
我们以前计算过表达式，但现在我们也可以用分数计算表达式。请记住，要计算表达式，我们将变量的值代入表达式，然后进行简化。
用分数评估变量表达式
用不同的分母加减分数
在本节结束时，您将能够：

*添加具有共同分母的混合数字的模型
*添加具有公分母的混合数字
*混合数字的模型减法
*用公分母减去混合数字
*添加和减去不同分母的混合数字
m81290
到目前为止，我们已经添加和减去了适当和不适当的分数，但没有混合数字。让我们从考虑使用金钱添加混合数字开始。
具有公共分母的混合数的模型加法
使用分数圆建模有助于说明添加混合数的过程：我们添加整数并添加分数，然后如果可能的话，我们简化结果。
添加混合数字
让我们再想想比萨饼，用公分母模拟混合数字的减法。假设你刚刚烤了一整块比萨饼，想给你哥哥一半的比萨饼。你必须对比萨饼做什么才能给他一半？你必须把它切成至少两块。然后你可以给他一半。
混合数的模型减法
现在我们将在不使用模型的情况下减去混合数字。但是当你阅读步骤时，它可能有助于在你的脑海中描绘模型。
用公共分母减去混合数
要添加或减去具有不同分母的混合数，我们首先使用LCD将分数转换为等效分数。然后我们可以按照上面使用的所有步骤添加或减去具有相似分母的分数。
添加和减去具有不同分母的混合数
添加和减去混合数字
在本节结束时，您将能够：

*确定分数是否是方程的解
*使用等式的加法、减法和除法属性解决分数方程
*使用等式的乘法属性求解方程
*翻译句子方程和解决
m81291
正如我们在使用等式的减法和加法性质求解方程和使用整数求解方程中看到的那样；等式的除法性质，方程的解是一个值，当替换方程中的变量时，它会做出真实的陈述。在这些部分中，我们找到了方程的整数和整数解。现在我们已经研究了分数，我们准备好找到方程的分数解了。
确定分数是否是方程的解
在使用等式的减法和加法性质求解方程和使用整数求解方程中；等式的除法性质，我们使用等式的加法、减法和除法性质求解方程。我们将使用这些相同的属性来求解分数方程。
使用等式的加法、减法和除法性质求解分数方程
考虑等式$\frac{x}{4}=3。$我们想知道除以4美元的数字$得到3美元。$所以要“撤销”除法，我们需要乘以4美元。$*相等乘法属性*将允许我们这样做。这个属性说，如果我们从两个相等的数量开始，然后将两者乘以相同的数字，结果是相等的。
利用等式的乘法性质求解分数方程
现在我们已经介绍了等式的所有四个性质——减法、加法、除法和乘法。我们将在这里一起列出它们，以便于参考。
将句子翻译成方程并求解
用分数求解方程
分数
m81292
小数导论
在本节结束时，您将能够：

*名称小数
*写小数
*将小数转换为分数或混合数
*在数线上找到小数
*顺序小数
*圆数小数
m81293
根据你对金钱的经验，你可能已经对小数有了相当多的了解。假设你午餐买了一个三明治和一瓶水。如果三明治的价格是$\text{3.45}$，一瓶水的价格是$\text{1.25}$，总销售税是$\text{0.33}$，那么你午餐的总成本是多少？
名称小数
现在我们将把十进制数的名称翻译成十进制表示法。我们将颠倒我们刚刚使用的程序。
写小数
我们经常需要将小数重写为分数或混合数。让我们回到我们的午餐订单，看看如何将小数转换为分数。我们知道$\text{5.03}$表示5美元$和3美元$美分。由于一美元中有100美元$美分，3美元$美分表示一美元的$\frac{3}{100}$，因此0.03美元=\frac{3}{100}。$
将小数转换为分数或混合数
由于小数是分数的形式，在数线上定位小数类似于在数线上定位分数。
在数列上找到小数
哪个更大，0.04美元还是0.4美元？美元
小数点
在美国，汽油价格通常用小数部分写成美元的千分之一。例如，加油站可能会公布无铅汽油的价格为每加仑$\text{3.279}美元。但是如果你以这个价格正好购买一加仑汽油，你将支付$\text{3.28}$，因为最终价格将四舍五入到最接近的美分。在Whole Numbers中，我们看到我们对数字进行四舍五入以获得不需要精确值时的近似值。假设我们想将$\text{2.72}$四舍五入到最接近的美元。它更接近$\text{2}$还是$\text{3}？$如果我们想将$\text{2.72}$四舍五入到最接近的10美分；它更接近$\text{2.70}$还是$\text{2.80}？$[link]中的数字行可以帮助我们回答这些问题。
圆小数
小数
在本节结束时，您将能够：

*加减小数
*乘以小数
*除以小数
*在货币应用程序中使用小数
m81295
让我们再看一下从小数开始的午餐顺序，这次注意数字是如何加在一起的。
加减小数
乘以小数很像乘以整数——我们只需要确定小数点的位置。如果我们先复习乘法分数，乘法小数的过程就有意义了。
乘以小数
就像乘法一样，小数的除法非常像整数的除法。我们只需要弄清楚小数点必须放在哪里。
除以小数
我们经常在现实生活中应用小数，大多数应用都涉及到金钱。我们在代数语言中使用的应用策略给了我们一个计划来帮助找到答案。现在花点时间回顾一下这个策略。
在货币应用中使用小数
十进制运算
在本节结束时，您将能够：

*将分数转换为小数
*顺序小数和分数
*使用操作顺序简化表达式
*求圆的周长和面积
m81298
在小数中，我们学会了将小数转换为分数。现在我们将做相反的操作——将分数转换为小数。记住分数栏表示除法。所以$\frac{4}{5}$可以写成4美元ance5美元或5美元\overline{）4}。$这意味着我们可以通过将分数视为除法问题来将其转换为小数。
将分数转换为小数
在小数中，我们比较两个小数并确定哪个更大。要将小数与分数进行比较，我们将首先将分数转换为小数，然后比较小数。
小数和分数
《使用代数语言》中介绍的运算顺序也适用于小数。你还记得“请原谅我亲爱的莎莉阿姨”这句话代表什么吗？
使用操作顺序简化表达式
圆的性质已经被研究了2000多美元。所有的圆都有完全相同的形状，但是它们的大小受半径长度的影响，从中心到圆上任何一点的线段。穿过圆心连接圆上两点的线段称为直径。直径是半径的两倍长。见[链接]。
求圆的周长和面积
小数和分数
在本节结束时，您将能够：

*确定小数是否是方程的解
*解决方程与小数
*翻译成方程并求解
m81300
用小数解方程在我们的日常生活中很重要，因为钱通常是用小数写的。当应用程序涉及到钱时，比如为自己购物、制定家庭预算，或者规划你企业的未来，你将用小数解方程。
确定小数是否是方程的解
在前面的章节中，我们使用等式的性质来求解方程。我们将使用这些相同的属性来求解带有小数的方程。
用小数求解方程
现在我们已经用小数求解了方程，我们准备好将单词句子翻译成方程并求解。记住寻找指示要使用的操作的单词和短语。
翻译成方程并求解
用小数求解方程
在本节结束时，您将能够：

*计算一组数字的平均值
*求一组数字的中位数
*查找一组数字的模式
*应用概率的基本定义
m81302
平均值通常被称为算术平均值。它是通过将值的总和除以值的数量来计算的。学生们想知道他们考试成绩的平均值。气候学家报告说，平均温度已经或没有改变。城市规划者对平均家庭规模感兴趣。
计算一组数字的平均值
当安、比安卡、朵拉、夏娃和弗朗辛在舞台上一起唱歌时，他们按身高顺序排队。他们的身高，以英寸为单位，显示在[链接]中。
求一组数字的中位数
*平均值*是一组数字中的一个数字，在某种程度上是整组数字的典型。平均值和中位数通常都被称为平均值。是的，当平均值这个词指的是两个不同的数字时，它可能会令人困惑，平均值和中位数！事实上，还有第三个数字也是平均值。这个平均值是模式。一组数字的模式是出现最多的数字。频率，是一个数字出现的次数。所以一组数字的模式是频率最高的数字。
识别一组数字的模式
一个事件的概率告诉我们该事件发生的可能性有多大。我们通常把概率写成分数或小数。
使用概率的基本定义
平均值和概率
在本节结束时，您将能够：

*写一个比率作为分数
*写一个率作为分数
*查找单位价格
*查找单价
*翻译短语与分数表达式
m81303
当你申请抵押贷款时，信贷员会将你的总债务与总收入进行比较，以决定你是否有资格获得贷款。这种比较称为债务与收入比率。比率比较用相同单位测量的两个数量。如果我们比较$a$和$b$，比率写成$a{\规则{0.2em}{0ex}}\text{to}{\规则{0.2em}{0ex}}\frac{a}{b}，{\规则{0.2em}{0ex}}\text{或}{\规则{0.2em}{0ex}}{0.2em}{0ex}}\text{
将比率写成分数
我们经常想比较两种不同类型的测量值，例如英里到加仑。为了进行这种比较，我们使用一个费率。费率的例子是2美元小时120美元英里，4美元分钟160美元单词，$\text{5}$$每64美元盎司。
将比率写成分数
在最后一个例子中，我们计算了Bob以$\frac{\text{175英里}}{\text{3小时}}的速度行驶。$这告诉我们，每三个小时，Bob将行驶175美元$英里。这是正确的，但不是很有用。我们通常希望费率反映一小时内的里程数。分母为1美元$单位的费率称为单位费率。
查找单位价格
有时我们会“批量”购买普通的家庭用品，即几件物品包装在一起，以一个价格出售。要比较不同尺寸包装的价格，我们需要找到单价。要找到单价，请将总价除以物品数量。单价是一件物品的单价。
查找单价
你有没有注意到本节中的例子使用了比较词*比率of、to、per、in、for、on*和*from*？当你翻译包含这些词的短语时，你应该考虑比率或比率。如果单位测量相同的数量（长度、时间等），你就有一个比率。如果单位不同，你就有一个比率。在这两种情况下，你都写一个分数。
将短语翻译成带分数的表达式
比率和费率
在本节结束时，您将能够：

*用平方根简化表达式
*估计平方根
*近似平方根
*用平方根简化变量表达式
*在应用程序中使用平方根
m81304
为了开始这一节，我们需要复习一些重要的词汇和符号。
使用平方根简化表达式
到目前为止，我们只研究了完美平方根。其他数字的平方根不是整数。
估计平方根
有数学方法来近似平方根，但是使用计算器来查找平方根要方便得多。在计算器上找到$\sqrt{}$或$\sqrt{x}$键。您将使用此键来近似平方根。当您使用计算器查找不是完美平方的数字的平方根时，您看到的答案不是确切的数字。它是计算器显示屏上显示的位数的近似值。近似值的符号是$\约$，读作*约*。
带计算器的近似平方根
到目前为止，我们已经看到的具有平方根的表达式没有任何变量。当我们必须找到变量表达式的平方根时会发生什么？
使用平方根简化变量表达式
当你完成大学课程时，你会遇到几个平方根的应用。再一次，如果我们使用我们的应用策略，它会给我们一个找到答案的计划！
在应用程序中使用平方根
简化和使用平方根
小数
m81305
百分比简介
在本节结束时，您将能够：

*使用百分比的定义
*将百分比转换为分数和小数
*将小数和分数转换为百分比
m81306
一美元有多少美分？一美元有100美元美元美分。一个世纪有多少年？一个世纪有100美元美元年。这是否让你对“百分比”这个词的意思有所了解？它实际上是两个词，“百分比”，意思是每一百个。百分比是一个比率，其分母是100美元。$我们使用百分比符号$\text{%，}$来显示百分比。
使用百分比的定义
由于百分比是比率，它们可以很容易地表示为分数。记住百分比意味着每100美元，所以分数的分母是100美元。$
将百分比转换为分数和小数
要将小数转换为百分比，请记住百分比表示每一百。如果我们将小数更改为分母为100美元的分数，$很容易将该分数更改为百分比。
将小数和分数转换为百分比
了解百分比
在本节结束时，您将能够：

*翻译和解决基本的百分比方程
*解决百分比的应用
*查找百分比增加和百分比减少
m81313
我们将使用我们用来解分数或小数方程的方法来解百分比方程。在过去，你可能通过将百分比问题设置为比例来解决它们。当你没有代数工具时，这是最好的方法。现在作为一名代数预科学生，你可以将单词句子翻译成代数方程，然后求解方程。
翻译和求解基本百分比方程
百分比的许多应用发生在我们的日常生活中，例如小费、销售税、折扣和利息。为了解决这些应用，我们将转换为一个基本的百分比方程，就像我们在本节前面的例子中解决的那样。一旦你把句子翻译成百分比方程，你就知道如何解决它了。
求解百分比的应用
媒体上的人经常谈论一个金额在一段时间内增加或减少了多少。他们通常用百分比来表示这种增加或减少。
查找百分比增加和百分比减少
求解百分比的一般应用
在本节结束时，您将能够：

*解决销售税申请
*解决佣金申请
*解决折扣申请
*解决加价申请
m81307
销售税和佣金是我们日常生活中百分比的应用。为了解决这些应用，我们将遵循我们在小数运算部分中使用的相同策略。我们在这里再次展示它以便于参考。
解决销售税申请
销售人员经常收到佣金，或总销售额的百分比。他们的收入可能只是他们赚取的佣金，也可能是他们的佣金加上他们的小时工资或工资。他们赚取的佣金是按他们销售的每件商品价格的一定百分比计算的。这个百分比被称为**佣金率**。
解决佣金申请
折扣的应用在零售环境中非常常见[链接]。当你购买打折商品时，该商品的**原价**已经降低了一些美元金额。**折扣率**，通常以百分比形式给出，用于确定折扣金额。为了确定折扣**的**金额，我们将折扣率乘以原价。我们在下面的框中总结了折扣模型。
解决折扣申请
加价的应用在零售环境中非常普遍。零售商为一件商品支付的价格称为**批发价**。然后，零售商在批发价上添加一个**加价**，以获得**标价**，即他出售该商品的价格。加价通常以批发价的百分比计算。百分比称为**加价率**。要确定加价的金额，请将加价率乘以批发价。我们在下面的框中总结了加价模型。
解决标记应用程序
解决销售税、佣金和折扣申请
在本节结束时，您将能够：

*使用简单利息公式
*解决简单兴趣申请
m81308
你知道银行付钱给你让他们留着你的钱吗？你存入银行的钱叫做**本金**，$P，$，银行付给你**利息**，$I.$利息按本金的一定百分比计算；称为**利率**，$r.$利率通常以每年的百分比表示，并使用百分比的十进制等值计算。时间变量$t，$代表钱留在账户中的年数。
使用简单利息公式
具有简单利息的应用程序通常涉及投资或借钱。为了解决这些应用程序，我们继续对本章前面使用的应用程序使用相同的策略。唯一的区别是，我们可以使用简单利息公式来代替翻译得到方程。
解决简单兴趣应用程序
解决简单兴趣应用程序
在本节结束时，您将能够：

*使用比例的定义
*求解比例
*使用比例解决应用程序
*编写百分比方程作为比例
*翻译和解决百分比比例
m81311
在比率和比率部分，我们看到了它们在日常生活中的一些使用方式。当两个比率或比率相等时，与它们相关的方程称为比例。
使用比例的定义
要求解包含变量的比例，我们记住比例是一个方程。到目前为止，我们用来解方程的所有技术仍然适用。在下一个示例中，我们将使用等式乘法属性乘以最小公分母（LCD）来求解比例。
求解比例
我们在本章前面使用的解决应用程序的策略也适用于比例，因为比例是方程。当我们设置比例时，我们必须确保单位是正确的——分子中的单位匹配，分母中的单位匹配。
使用比例解决应用程序
以前，我们通过应用等式的性质来解决百分比方程，我们在本文中使用等式来解决方程。有些人更喜欢用比例法来解决百分比方程。解决百分比问题的比例法涉及百分比比例。**百分比比例**是一个方程，其中百分比等于等效比例。
编写百分比方程作为比例
现在我们已经写出了百分比方程作为比例，我们准备好解方程了。
翻译和求解百分比比例
求解比例及其应用
百分比
m81314
实数的性质介绍
在本节结束时，您将能够：

*识别有理数和无理数
*分类不同类型的实数
m81315
恭喜你！你已经完成了本书的前六章！是时候回顾一下到目前为止你在这门课中所做的事情，想想未来会发生什么。你已经学会了如何加、减、乘和除整数、分数、整数和小数。你已经熟悉了代数的语言和符号，并简化和评估了代数表达式。你已经解决了许多不同类型的应用。你已经建立了一个良好的坚实基础，这样你就可以在代数方面取得成功。
识别有理数和无理数
我们已经看到所有的计数数都是整数，所有的整数都是整数，所有的整数都是有理数。无理数是它们自己的一个单独类别。当我们把有理数和无理数放在一起时，我们得到了实数的集合。
实数分类
有理数和无理数
在本节结束时，您将能够：

*使用交换和关联属性
*使用交换和关联属性评估表达式
*使用交换和关联属性简化表达式
m81316
想想加两个数字，比如5美元$和3美元。$
使用交换和关联属性
交换和结合属性可以使计算一些代数表达式变得更容易。由于在添加或乘以三个或更多项时顺序并不重要，我们可以重新排列和重新分组项以使我们的工作更容易，如下几个示例所示。
使用交换和关联属性评估表达式
当我们必须简化代数表达式时，我们通常可以通过首先应用交换或关联属性来简化工作，而不是自动遵循操作顺序。请注意，在[链接]部分比部分更容易简化因为对立面相邻，它们的总和是0美元。$同样，部分在[链接]中更容易，倒数组合在一起，因为它们的乘积是1美元。$在接下来的几个例子中，我们将使用数字感觉来寻找应用这些属性的方法，以使我们的工作更容易。
使用交换和关联属性简化表达式
交换和关联属性
在本节结束时，您将能够：

*使用分配属性简化表达式
*使用分布属性评估表达式
m81317
假设三个朋友要去看电影。他们每人需要$\text{9.25}；$即9美元$和1美元$四分之一。他们总共需要多少钱？你可以把美元和25美分分开考虑。
使用分布式属性简化表达式
一些学生需要确信分配属性总是有效的。
使用分布属性评估表达式
分配属性
在本节结束时，您将能够：

*认识加法和乘法的同一性
*使用加法和乘法的逆属性
*使用零的属性
*使用恒等、逆和零的属性简化表达式
m81318
当我们给任何数字加零时会发生什么？加零不会改变值。出于这个原因，我们称0美元为加法恒等式。
认识加法和乘法的同一性
请注意，在每种情况下，缺失的数字都是与数字相反的。
使用加法和乘法的逆性质
我们已经知道零是加法恒等式，因为它可以在不改变数字恒等式的情况下添加到任何数字上。但是零在乘除方面也有一些特殊的性质。
使用零的属性
我们现在将练习使用恒等式、逆和零的属性来简化表达式。
使用标识、反转和零的属性简化表达式
恒等、逆和零的属性
在本节结束时，您将能够：

*在美国系统中进行单位转换
*在美国系统中使用混合计量单位
*在公制中进行单位转换
*在公制中使用混合计量单位
*美国和公制计量系统之间的转换
*在华氏温度和摄氏温度之间转换
m81330
世界范围内普遍使用的测量系统有两种，大多数国家使用公制，美国使用不同的测量系统，通常称为美国系统，我们先看看美国系统。
在美国系统中进行单位转换
对混合度量单位的度量执行算术运算需要小心。一定要添加或减去类似的单位。
在美国系统中使用混合计量单位
在公制中，单位以10美元的幂相关联。$它们名字的词根反映了这种关系。例如，测量长度的基本单位是一米。一公里是1000美元$米；前缀*kg-*表示一千。一厘米是$\frac{1}{100}$一米，因为前缀*cm-*表示百分之一（就像1美分是$\frac{1}{100}$一美元）。
在公制中进行单位转换
在公制中使用混合度量单位对度量进行算术运算需要我们在美国系统中使用的相同小心。但是由于单位与10美元的幂的关系，这可能更容易。我们仍然必须确保添加或减去类似的单位。
在公制中使用混合计量单位
在美国，许多测量都是以公制单位进行的。一杯饮料可能装在$\text{2升}$瓶中，钙可能装在$\text{500-mg}$胶囊中，我们可能会运行$\text{5-K}$竞赛。为了在两个系统中轻松工作，我们需要能够在两个系统之间进行转换。
美国和公制计量系统之间的转换
你曾经在外国听过天气预报吗？如果预报是22美元\text{°C}.$这是什么意思？
在华氏温度和摄氏温度之间转换
测量系统
实数的性质
m81319
线性方程求解简介
在本节结束时，您将能够：

*使用等式的减法和加法属性求解方程
*求解需要简化的方程
*翻译方程并求解
*翻译和解决应用程序
m81320
我们在前面的章节中开始解方程。我们已经有一段时间没有看到方程了，所以在我们进一步讨论之前，我们将回顾一些关键概念。
使用等式的减法和加法性质求解方程
在到目前为止的例子中，我们已经能够只用一个操作来隔离变量。我们在代数中遇到的许多方程将需要更多的步骤来求解。通常，在使用等式的减法或加法属性之前，我们需要简化方程的一侧或两侧。在尝试隔离变量之前，您应该始终尽可能简化。
求解需要简化的方程
在前面的章节中，我们将单词句子翻译成方程。第一步是寻找翻译成等号的单词。[链接]让我们想起了一些翻译成等号的单词。
翻译方程并求解
在我们之前解决的大多数应用问题中，我们能够通过简化代数表达式来找到我们正在寻找的数量。现在我们将使用方程来解决应用问题。我们将从用一句话重申问题开始，分配一个变量，然后将句子翻译成方程来求解。分配变量时，选择一个能提醒你正在寻找什么的字母。
翻译和解决应用程序
使用等式的减法和加法性质求解方程
在本节结束时，您将能够：

*使用等式的除法和乘法属性求解方程
*求解需要简化的方程
m81321
我们介绍了用整数求解方程中等式的乘除性质；等式的除法性质和用分数求解方程。我们用信封和计数器模拟了这些性质是如何工作的，然后将它们应用于求解方程（见用整数求解方程；等式的除法性质）。当我们准备再次使用这些性质时，我们在这里再次重申它们。
使用等式的除法和乘法性质求解方程
许多方程开始时比我们刚刚解的要复杂。首先，我们需要尽可能简化等式的两边
求解需要简化的方程
使用等式的除法和乘法性质求解方程
在本节结束时，您将能够：

*求解两边都有常数的方程
*求解两边都有变量的方程
*求解两边都有变量和常数的方程
*使用一般策略解决方程
m81322
你可能已经注意到，在我们迄今为止求解的所有方程中，所有的变量项都只在方程的一边，常数在另一边。这并不总是发生——所以现在我们将看到如何求解变量项和/或常数项在方程两边的方程。
求解两边都有常数的方程
如果等式两边都有变量怎么办？我们将像上面一样开始——选择一个变量边和一个常数边，然后使用等式的减法和加法属性收集一侧的所有变量和另一侧的所有常数。记住，你对等式的左边做什么，你也必须对右边做什么。
求解两边都有变量的方程
下一个示例将是第一个在等式两边都有变量*和*常量的示例。就像我们之前所做的那样，我们将把变量项收集到一边，把常量收集到另一边。
求解两边都有变量和常数的方程
本章的前几节都讨论了求解线性方程的一种特定形式。现在是时候制定一个可以用来求解*任何*线性方程的总体策略了。我们称之为*一般策略*。有些方程不需要所有的步骤来求解，但许多方程会。首先尽可能简化方程的每一边，这样剩下的步骤就更容易了。
使用一般策略求解方程
求解两边都有变量和常数的方程
在本节结束时，您将能够：

*解决方程与分数系数
*解决方程与十进制系数
m81323
让我们使用前面介绍的求解线性方程的一般策略来求解方程$\frac{1}{8}{\规则{0.1em}{0ex}}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}。$
用分数系数求解方程
有些方程中有小数。当我们解决处理金钱和百分比的问题时，就会出现这种方程。但是小数实际上是表示分数的另一种方式。例如，0.3美元=\frac{3}{10}$和0.17美元=\frac{17}{100}。$因此，当我们有一个带有小数的方程时，我们可以使用我们用来清除分数的相同过程——将方程的两边乘以最小公分母。
用十进制系数求解方程
用分数或小数系数求解方程
求解线性方程
m81331
导言
在本节结束时，您将能够：

*以积极的态度处理单词问题
*对单词问题使用问题解决策略
*解决数字问题
m81324
这个世界充满了文字问题。我需要多少钱给汽车加油？我应该给餐馆的服务员多少小费？我应该打包多少袜子去度假？感恩节晚餐我需要买多大的火鸡，我需要什么时候把它放进烤箱？如果我和姐姐给妈妈买礼物，我们每个人会付多少钱？
以积极的态度处理单词问题
在前面的章节中，你使用一些基本的数学词汇和符号将单词短语翻译成代数表达式。从那以后，随着你了解更多的代数过程，你增加了数学词汇量，你有更多的练习从单词翻译成代数。
对单词问题使用问题解决策略
现在我们将翻译和解决数字问题。在数字问题中，你会得到一些关于一个或多个数字的线索，你用这些线索来建立一个方程。数字问题通常不会每天出现，但它们为练习问题解决策略提供了一个很好的介绍。记得寻找线索词，如*差异*、*of*和*和*。
解决数字问题
使用问题解决策略
在本节结束时，您将能够：

*解决硬币单词问题
*解决票和邮票单词问题
m81325
想象一下，从口袋或钱包里拿出一把硬币，放在桌子上。你会如何确定那堆硬币的价值？
解决硬币单词问题
我们用于硬币问题的策略也可以很容易地应用于其他类型的问题。例如，涉及票或邮票的问题与硬币问题非常相似。像硬币一样，票和邮票有不同的值；所以我们可以像处理硬币问题一样组织表格中的信息。
解决票和邮票字问题
解决货币申请
在本节结束时，您将能够：

*使用角度的属性
*使用三角形的属性
*使用勾股定理
m81326
你熟悉'do a 180$\text这个短语{’?} $ 它的意思是转弯使你面向相反的方向。它来源于这样一个事实，即构成一条直线的角度的度量是180美元$度。见[链接]。
使用角度的属性
关于三角形，你已经知道了什么？三角形有三条边和三个角。三角形由它们的顶点命名。[link]中的三角形称为$\text{Δ}ABC，$read'三角形$\text{ABC}$'。我们用小写字母标记每条边，以匹配相反顶点的大写字母。
使用三角形的属性
勾股定理是直角三角形的一个特殊性质，自古以来就被使用。它是以希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯的名字命名的，毕达哥拉斯生活在公元前500美元左右。
使用勾股定理
角度、三角形和勾股定理的使用属性
在本节结束时，您将能够：

*了解线性、平方和立方度量
*使用矩形的属性
*使用三角形的属性
*梯形的使用属性
m81332
当你测量你的身高或花园软管的长度时，你用尺子或卷尺（[链接]）。卷尺可能会让你想起一条线——你用它来测量长度。英寸、英尺、码、英里、厘米和米是线性度量单位。
了解线性、平方和立方度量
矩形有四个边和四个直角。矩形的相对边长度相同。我们将矩形的一边称为长度，$L，$，相邻的一边称为宽度，$W。$见[链接]。
使用矩形的属性
我们现在知道如何找到矩形的面积。我们可以利用这个事实来帮助我们可视化三角形面积的公式。在[link]中的矩形中，我们标记了长度$b$和宽度$h，$所以它的面积是$bh。$
使用三角形的属性
梯形是四边形，一个*四边形*，有两条边平行，两条边不平行。平行的边被称为底座。我们称较小底座的长度为$b，$，较大底座的长度为$B。梯形的高度，$h，$是两个底座之间的距离，如[link]所示。
使用梯形的属性
矩形、三角形和梯形的使用属性
在本节结束时，您将能够：

*使用圆的属性
*查找不规则图形的面积
m81327
你还记得小数和分数中圆的属性吗？我们将在这里再次展示它们，以便在我们使用它们求解应用程序时参考。
使用圆的属性
到目前为止，我们已经找到了矩形、三角形、梯形和圆形的面积。不规则图形不是标准几何图形。它的面积不能用任何标准面积公式计算。但是一些不规则图形是由两个或更多标准几何形态组成的。为了找到这些不规则图形之一的面积，我们可以把它分成我们知道公式的图形，然后加上图形的面积。
查找不规则图形的面积
解决几何应用：圆和不规则图形
在本节结束时，您将能够：

*查找矩形固体的体积和表面积
*查找球体的体积和表面积
*查找气缸的体积和表面积
*查找锥体的体积
m81328
一名啦啦队教练正在让队员们在木箱上涂上学校的颜色，以便在比赛中站立。（见[链接]）。覆盖每个盒子外部所需的油漆量是表面积，是所有侧面总面积的平方。板条箱内的空间量是体积，立方测量。
求矩形固体的体积和表面积
球体是篮球的形状，就像一个三维的圆。就像一个圆一样，球体的大小是由它的半径决定的，半径是从球体的中心到其表面任何一点的距离。下面给出了球体体积和表面积的公式。
查找球体的体积和表面积
如果你见过一罐苏打水，你就知道圆柱体是什么样子的。圆柱体是一个实心图形，顶部和底部有两个相同大小的平行圆。圆柱体的顶部和底部称为底座。圆柱体的高度$h$是两个底座之间的距离。对于我们将在这里使用的所有圆柱体，侧面和高度$h$将垂直于底座。
求圆柱体的体积和表面积
当我们听到“甜筒”这个词时，我们许多人的第一个形象是冰淇淋甜筒。甜筒还有许多其他应用（但大多数不如冰淇淋甜筒好吃）。在这一节中，我们将看到如何找到甜筒的体积。
找到圆锥体的体积
以下图表总结了本章涵盖的所有公式。
几何公式总结
解决几何应用：体积和表面积
在本节结束时，您将能够：

*使用距离、速率和时间公式
*求解特定变量的公式
m81329
在代数和日常生活中，你会经常使用的一个公式是一个物体以恒定速度移动的距离公式。这个基本概念你可能已经很熟悉了。如果你以每小时60美元的稳定速度驾驶2美元，你知道你要走多远吗？（如果你在州际公路上驾驶时使用汽车的巡航控制系统，这可能会发生。）如果你说120美元英里，你已经知道如何使用这个公式了！
使用距离、速率和时间公式
在本章中，您熟悉了几何学中使用的一些公式。公式在科学和社会科学领域也非常有用——如化学、物理、生物学、心理学、社会学和刑事司法。医疗保健工作者也使用公式，即使是像配药这样的日常工作。广泛使用的电子表格程序Microsoft ExcelTM依靠公式进行计算。许多教师使用电子表格来应用公式来计算学生成绩。熟悉公式并能够轻松操作它们很重要。
求解特定变量的公式
求解特定变量的公式
数学模型和几何
m81333
多项式简介
在本节结束时，您将能够：

*识别多项式、单项式、二项式和三项式
*确定多项式的程度
*添加和减去单项式
*添加和减去多项式
*评估给定值的多项式
m81334
在评估、简化和翻译表达式中，您了解到术语是常数或常数与一个或多个变量的乘积。当它的形式为$a{x}^{m}，$a$是常数，$m$是整数时，称为单项式。单项式或单项式的和和/或差称为多项式。
识别多项式、单项式、二项式和三项式
在本节中，我们将使用每个项中只有一个变量的多项式。多项式的度及其项的度由变量的指数决定。
确定多项式的程度
在代数语言中，你通过组合相似项来简化表达式。加减单项式与组合相似项相同。相似项必须具有相同的变量和相同的指数。回想一下，当组合相似项时，只有系数被组合，而不是指数。
加减单项式
添加和减去多项式可以被认为只是添加和减去相似的术语。寻找相似的术语——那些具有相同变量和相同指数的术语。交换属性允许我们重新排列术语以将相似的术语放在一起。下划线、圆圈或框状术语也可能很有帮助。
加减多项式
在代数语言中，我们计算了表达式。由于多项式是表达式，我们将遵循相同的程序来计算多项式-将变量的给定值替换为多项式，然后简化。
评估给定值的多项式
加减多项式
在本节结束时，您将能够：

*用指数简化表达式
*使用指数的乘积属性简化表达式
*使用指数的幂属性简化表达式
*使用产品简化表达式到Power属性
*通过应用多个属性简化表达式
*乘以单项式
m81335
请记住，指数表示相同数量的重复乘法。例如，${2}^{4}$表示乘以2美元的四个因子，$所以${2}^{4}$表示2美元·2·2·2。$这种格式称为指数表示法。
用指数简化表达式
你已经看到，当你通过加减法组合相似的术语时，你需要有相同的基数和相同的指数。但是当你乘除时，指数可能不同，有时基数也可能不同。我们将通过在几个例子中寻找模式来推导指数的属性。所有的指数属性对任何实数都适用，但是现在我们只使用整数指数。
使用指数的乘积属性简化表达式
现在让我们看一个指数表达式，它包含一个幂的幂。看看你是否能发现一个通用的属性。
使用指数的幂属性简化表达式
我们现在来看一个包含乘积的表达式，该乘积被提升到幂。寻找一个模式。
使用乘积将表达式简化为Power属性
我们现在有三个属性用于将表达式与指数相乘。让我们总结一下，然后我们将做一些使用多个属性的示例。
通过应用多个属性简化表达式
由于单项式是代数表达式，我们可以使用带有指数的简化表达式的属性来乘以单项式。
乘以单项式
使用指数的乘法性质
在本节结束时，您将能够：

*将多项式乘以单项式
*将二项式乘以二项式
*将三项式乘以二项式
m81336
在分配属性中，您学会了使用分配属性来简化表达式，例如2美元\左（x-3\右）。$您将括号中的两个术语相乘，$x{\规则{0.2em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.2em}{0ex}} 3，$乘2美元，$得到$2x-6。$使用本章的新词汇，您可以说您正在乘以二项式，$x-3，$乘以单项式，2美元。$将二项式乘以单项式对您来说并不新鲜！
将多项式乘以单项式
就像有不同的方法来表示数字的乘法一样，有几种方法可以用来将二项式乘以二项式。
二项乘以二项
我们已经将单项式乘以单项式，将单项式乘以多项式，将二项式乘以二项式。现在我们准备好将三项式乘以二项式。请记住，FOIL方法在这种情况下不起作用，但我们可以使用分配属性或垂直方法。我们首先看一个使用分配属性的示例。
将三项式乘以二项式
乘多项式
在本节结束时，您将能够：

*使用指数的商数属性简化表达式
*用零指数简化表达式
*使用幂属性的商数简化表达式
*通过应用多个属性简化表达式
*除以单项式
m81337
在本章前面，我们开发了乘法指数的属性。我们在这里总结了这些属性。
使用指数的商属性简化表达式
商数属性的一个特殊情况是分子和分母的指数相等，例如像$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m}}这样的表达式。$从早期的分数工作中，我们知道
用零指数简化表达式
现在我们来看一个例子，它将引导我们得到幂属性的商。
使用幂属性的商简化表达式
我们现在将总结指数的所有属性，以便在我们使用几个属性简化表达式时一起引用它们。请注意，它们现在是为整数指数定义的。
通过应用多个属性简化表达式
我们现在已经看到了指数的所有性质。我们将使用它们来划分单项式。稍后，您将使用它们来划分多项式。
除以单项式
除以单项式
在本节结束时，您将能够：

*使用负指数的定义
*使用整数指数简化表达式
*从十进制记数法转换为科学记数法
*将科学符号转换为十进制形式
*使用科学记数法乘除
m81342
指数的商性质，在除数单项式中引入，有两种形式，这取决于分子或分母中的指数是否更大。
使用负指数的定义
我们在本章前面开发的所有带有整数指数的指数属性也适用于整数指数。我们在这里重申它们以供参考。
使用整数指数简化表达式
还记得处理整数和小数的位值吗？我们的数字系统基于10美元的幂。$我们使用几十、几百、几千等。我们的十进制数字也基于十分之一、百分之一、千分之一等的幂。
从十进制符号转换为科学符号
我们如何从科学记数法转换为十进制形式？让我们看看用科学记数法写的两个数字，看看。
将科学符号转换为十进制形式
我们使用指数的性质来乘除科学记数法中的数字。
使用科学符号乘除
整数指数和科学符号
在本节结束时，您将能够：

*找出两个或多个表达式的最大公因数
*因子的最大公因数从一个多项式
m81347
早些时候，我们将因子相乘得到一个产品。现在，我们将颠倒这个过程；我们将从一个产品开始，然后将其分解为它的因子。将产品拆分为因子称为保理。
找到两个或多个表达式的最大共同点
就像在算术中，有时用分解形式表示一个数字很有用（例如，12美元$为2美元·6{\规则{0.2em}{0ex}}\text{或}{\规则{0.2em}{0ex}} 3·4\text{），}$在代数中，用分解形式表示多项式很有用。一种方法是找到所有术语的最大公因数。请记住，您可以将多项式乘以单项式，如下所示：
从多项式中分解出最大的公因数
分解多项式简介
多项式
m81338
图形
在本节结束时，您将能够：

*在直角坐标系上绘制点
*识别图表上的点
*验证两个变量方程的解
*完成一个线性方程的解表
*在两个变量中找到线性方程的解
m81340
许多地图，如[链接]中显示的校园地图，使用网格系统来识别位置。你看到地图顶部和底部的数字$1,2,3，$和$4$以及侧面的字母A、B、C和D了吗？地图上的每个位置都可以用数字和字母来识别。
在矩形坐标系上绘制点
在代数中，能够识别图上显示的点的坐标与能够绘制点一样重要。要识别图上点的*x*-坐标，请读取点正上方或下方*x*-轴上的数字。要识别点的*y*-坐标，请直接读取点左侧或右侧*y*-轴上的数字。记住，使用正确的顺序$\old（x， y\right）写入有序对。$
识别图上的点
到目前为止，我们求解的所有方程都是一个变量的方程。几乎在每种情况下，当我们求解方程时，我们都得到了一个解。求解方程的过程以$x=4这样的语句结束。$然后我们通过代入方程来检查解。
验证两个变量中方程的解
在前面的例子中，我们替换了给定有序对的$x\text{-和}{\规则{0.2em}{0ex}}y\text{-值}$来确定它是否是线性方程的解。但是如果没有给出有序对，我们如何找到它们呢？一种方法是选择$x$的值，然后求解$y的方程。$或者，选择$y$的值，然后求解$x。$
完成一个线性方程的解表
为了找到线性方程的解，我们可以选择任何我们想替换为$x$或$y的数字。$我们可以选择$1,100,1,000，$或任何其他我们想要的值。但是选择一个易于使用的数字是个好主意。我们通常会选择$0$作为我们的价值观之一。
寻找两个变量中线性方程的解
使用矩形坐标系
在本节结束时，您将能够：

*认识方程解与其图之间的关系
*通过绘制点绘制线性方程
*图形垂直线和水平线
m81345
在使用矩形坐标系中，我们找到了方程$3x+2y=6$的一些解。它们列在下表中。因此，有序对$\左（0,3\右）$、$\左（2,0\右）$、$\左（1，\frac{3}{2}\右）$、$\左（4，-3\右）$是方程$3x+2y=6$的一些解。我们可以在矩形坐标系中绘制这些解，如右图所示。
认识方程解与其图的关系
有几种方法可以用来绘制线性方程。我们在本节开始时使用的绘制方法称为绘制点，或点绘图法。
通过绘制点绘制线性方程
我们能画出一个只有一个变量的方程吗？只有$x$没有$y，$还是只有$y$没有$x？$我们将如何制作一个值表来绘制点？
图垂直和水平线
绘制线性方程
在本节结束时，您将能够：

*识别图表上的截获
*从一条线的方程中找到截距
*使用截取绘制一条线
*选择最方便的方法来绘制线条
m81350
每个线性方程都有一条唯一的线，代表方程的所有解。当通过绘制点来绘制线条时，每个绘制线条的人可以选择任何三个点，所以两个人绘制线条可能会使用不同的点集。
识别图上的截距
认识到$x\text{-intercept}$发生在$y$为零时，而$y\text{-intercept}$发生在$x$为零时，为我们提供了一种从方程中查找线的截距的方法。要找到$x\text{-intercept，}$let$y=0$并求解$x。$要找到$y\text{-intercept}，$let$x=0$并求解$y。$
求直线方程的截距
要通过绘制点来绘制线性方程，您可以将截距用作三个点中的两个。找到两个截距，然后找到第三个点以确保准确性，并画线。这种方法通常是绘制线条的最快方法。
使用截距绘制线条
虽然我们可以通过绘制点来绘制任何线性方程，但它可能并不总是最方便的方法。此表显示了我们在本章中绘制的六个方程，以及我们用来绘制它们的方法。
选择最方便的绘制线条的方法
使用截距绘图
m81354
在本节中，我们将探讨斜率的概念。
使用地理板对斜坡进行建模
现在我们将看一些坐标网格上的图表来找到它们的斜率。该方法将非常类似于我们刚刚在地理板上建模的方法。
从图中找出直线的斜率
你还记得水平线和垂直线的特别之处吗？他们的方程只有一个变量。
求水平线和垂直线的斜率
有时我们需要找到两点之间直线的斜率，但我们可能没有图表来计算上升和运行。我们可以在网格纸上绘制点，然后计算上升和运行，但是有一种方法可以不用绘图就能找到斜率。
使用斜率公式找出两点之间的直线的斜率
在本章中，我们通过绘制点、使用截距以及识别水平线和垂直线来绘制线条。
绘制给定点和斜率的线
在本节的开头，我们说斜坡在现实世界中有很多应用。我们现在来看几个。
解决斜坡应用
了解直线的斜率
图形
m56252
累积审查
m56244
权力和根表
m56248
几何公式