m00134
OpenStax是莱斯大学的一部分，莱斯大学是一家501（c）（3）非营利慈善公司。作为一项教育倡议，我们的使命是改变学习，让教育为每个学生服务。通过我们与慈善组织的合作以及与其他教育资源公司的联盟，我们正在打破最常见的学习障碍。因为我们相信每个人都应该并且可以获得知识。
关于OpenStax
关于OpenStax资源
*当代数学*旨在满足文科数学课程的要求。教科书涵盖了文科课程中通常出现的一系列主题，以及将数学与我们周围的世界联系起来的一些主题。文本提供了独立的部分，重点是展示特征的相关性以及示例、练习和阐述。
关于*当代数学*
教育基金会
关于作者
额外资源
序言
m00010
导言
m00011
回想一下你的厨房组织。如果抽屉是套装，那么叉子和刀子就是套装中的元素。套装可以用许多不同的方式来描述：通过花名册，通过集合生成器符号，通过间隔符号，通过在数字线上绘图，以及通过维恩图。套装通常用大写字母表示。表示只有几个成员的套装的最简单方法是**花名册**（或*列表*）**方法**，其中列出了套装中的元素，用花括号括起来，用逗号分隔。例如，如果$F$代表我们的餐具套装，我们可以通过使用花名册方法使用以下集合符号来表示$F$：
集合和表示它们的方法
大多数人在纯数学之外使用的几乎所有集合都是有限集。对于这些集合，集合的基数值或基数是集合中元素的数量。对于有限集$A$，基数象征性地表示为$n\左（A\右）$。例如，包含四个元素的集合的基数为4。
计算集合的基数值
在说话或写作时，我们倾向于互换使用相等和等价，但它们的含义之间有一个重要的区别。考虑一辆新的福特Escape混合动力车和一辆新的丰田Rav4混合动力车。这两款车都是混合动力电动运动型多功能车；从这个意义上说，它们是等价的。它们都将以相对省油的方式让你从一个地方到另一个地方。在这个例子中，我们将单成员集{丰田Rav4混合动力车}与单成员集{福特Escape混合动力车}进行比较。由于这两个集合具有相同数量的元素，它们在数学上也是等价的，这意味着它们具有相同的基数。但它们并不相等，因为这两款车具有不同的外观和特征，甚至可能处理方式不同。每个制造商都会强调他们车辆的独特功能来说服你购买它；如果越野车真的是平等的，就没有理由选择一个而不是另一个。
等价集与等价集
基本集合概念
m00012
到目前为止，我们已经通过列出它们来计算出有限集中存在多少个子集。回想一下，在[link]中，当我们列出三元素集$L=\old\{\matrm{报纸、杂志、书籍}\right\}$的所有子集时，我们看到有八个子集。在你的回合1.11中，我们发现二元素子集有四个子集，$S=\old\{\matrm{头，尾}\right\}$。一个一元素集有两个子集，空集和它自己。空集的唯一子集是空集本身。但是我们如何在一个非常大的有限集中轻松地计算出子集的数量呢？事实证明，子集的数量可以通过将2提高到集合中的元素数来找到，使用指数表示法来表示重复乘法。例如，集合$L=\old\{\matrm{报纸、杂志、书籍}\right\}$的子集数等于${2}^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$。指数表示法用于表示重复乘法，${b}^{n}=b\cdot b\cdot b\cdot\dots\cdot b$，其中$b$显示为因子$n$次。
指数表示法
17世纪初，著名天文学家伽利略·伽利略发现自然数集合和由平方数集合${n}^{2}$组成的自然数子集是等价的。在做出这一发现时，他推测小于、大于和等于的概念不适用于无限集合。
等价子集
子集
m00013
文氏图是我们用来可视化和理解集合之间关系的图形工具或图片。文氏图是以数学家约翰·文恩的名字命名的，他在19世纪80年代首次推广了它们的使用。当我们使用文氏图来可视化集合之间的关系时，整个被考虑的数据集被绘制成一个矩形，这个集合的子集被绘制成完全包含在矩形内的圆圈。被考虑的整个数据集被称为通用集。
解释文氏图
文氏图的主要目的是帮助您可视化集合之间的关系。因此，有必要能够从集合之间关系的书面或符号描述中绘制文氏图。
创建文氏图
回想一下，如果set$A$是set$U$的一个适当子集，即通用集（象征性地写成$A\subset U$），那么set$U$中至少有一个元素不在set$A$中。通用集$U$中不在子集$A$中的所有元素的集合称为set$A$，$A\text{'}$的补码。在集合构建器符号中，这象征性地写成：$A\text{'}=\lee\{x\in U|x\notin A\right\}。$中的符号$\用来表示短语，“是的成员”，符号$\notin$用来表示短语，“不是的成员”。在下面的维恩图中，集合$A$的补码是位于圆形之外和矩形内部的区域。通用集合$U$包括集合$A$中的所有元素和集合$A$补码中的所有元素，仅此而已。
集合的补语
了解文氏图
m00014
两个集合共同共享的成员包含在两个集合的交集中。要在两个集合的交集中，一个元素必须同时在第一个集合和第二个集合中。这样，两个集合的交集是一个逻辑AND语句。象征性地，$A$交集$B$写成：$A\capB$。$A$交集$B$用集合生成器表示法写成：$A\capB=\左\{x|x\in A{\规则{0.28em}{0ex}}\text{和}{\规则{0.28em}{0ex}}x\in B\right\}$。
两个集合的交集
用两套设置操作
m00015
下面是两个交叉集的维恩图，它将通用集分成四个不同的区域。
三组维恩图
一般来说，当从涉及通用集的三个子集的数据创建维恩图时，策略是从里到外工作。从三个集合的交集开始，然后解决涉及两个集合交集的区域。接下来，完成涉及单个集合的区域，最后解决通用集中不与三个集合中任何一个相交的区域。这种方法可以扩展到任意数量的集合。关键是从涉及最多重叠的区域开始，从中心向外工作。
创建具有三个集合的文氏图
集合操作一次应用于两个集合之间。括号表示应该先执行哪个操作。与数字一样，最里面的括号首先应用。接下来，找到任何集合的补码，然后执行任何剩余的并集或交集。
将集合运算应用于三个集合
为了使用维恩图证明集合相等，策略是绘制一个维恩图来表示相等的每一边，然后查看结果图以查看考虑的区域是否相同。
用维恩图证明集合的相等性
用三套设置操作
集
m00016
导言
m00017
带有假真值的逻辑陈述的一个例子是，“All roses are red。”它是一个逻辑陈述，因为它具有完整句子的形式，并提出了一个可以确定为真或假的主张。它是一个错误陈述，因为并非所有玫瑰都是红色的：有些玫瑰是红色的，但也有玫瑰是粉红色、黄色和白色的。请求、问题或指令可能是完整的句子，但它们不是逻辑陈述，因为它们无法确定为真或假。例如，假设有人对你说：“请，在那边坐下来。”这个请求不提出主张，也无法确定为真或假；因此，它不是一个逻辑陈述。
识别逻辑语句
当分析由多个逻辑语句组成的逻辑参数时，符号形式用于减少所涉及的写作量。符号形式还有助于以更简洁的方式可视化语句之间的关系，以确定参数的强度或有效性。每个逻辑语句都象征性地表示为一个小写字母，通常以字母$p$开头。
以符号形式表示语句
想想之前介绍的错误陈述，“所有的玫瑰都是红的。”如果有人对你说，“所有的玫瑰都是红的”，你可能会回答，“有些玫瑰不是红的。”然后你可以通过提供额外的陈述来加强你的论点，比如，“还有白玫瑰、黄玫瑰和粉红玫瑰，举几个例子。”
否定语句
在逻辑中，否定或不否定的符号是波浪号~。因此，not$p$表示为$~p$。要象征性地否定语句，请删除或添加波浪号。not（not$p$）的否定是$p$。象征性地，这个等式是$~\左（~p\右）=p。$
符号否定逻辑语句
为了分析逻辑参数，能够在逻辑语句的符号形式和书面形式之间进行转换非常重要。
词语和符号之间的否定翻译
量词是表示两个集合或类别之间的数值关系的术语。例如，所有的正方形也是矩形，但只有一些矩形是正方形，没有正方形是圆形。在这个例子中，*all、一些、*和*无*是量词。在逻辑论证中，为支持论证而做出的逻辑陈述称为前提，基于前提做出的判断称为结论。以特定前提开头并试图得出更一般结论的逻辑论证称为归纳论证。
使用全部、部分或无量词表示语句
回想一下，一个陈述的否定将具有与原始陈述相反的真值。带有量词的逻辑陈述有四种基本形式。
包含量词的否定语句
语句和量词
m00018
理解以下逻辑连接词及其属性、符号和名称，将是应用本章介绍的主题的关键。本章将更详细地讨论这里介绍的每个连接词。
通用逻辑连接
为了将复合语句翻译成符号形式，我们采取以下步骤。
将复合语句翻译成符号形式
当括号写在逻辑参数中时，它们将复合语句组合在一起，就像计算数字或代数表达式一样。括号中的任何语句都应被视为表达式的单个组件。如果存在多个括号，请先使用最里面的括号。
带括号的符号形式复合语句翻译成单词
处理代数和算术表达式的操作顺序提供了一组允许一致结果的规则。例如，如果你看到问题1美元+3×2美元，你不熟悉操作顺序，你可能会假设你从左到右计算问题。如果你这样做了，你会加1和3得到4，然后把这个答案乘以2得到8，导致答案不正确。试着把这个表达式输入科学计算器。如果你这样做了，计算器应该返回一个值7，而不是8。
连接的优势
复合语句
m00019
声明的否定将具有与原始声明相反的真值。当$p$为真时，$~p$为假，当$p$为假时，$~p$为真。
解释和应用否定、连词和析取
回想一下语句和问题，语句的否定总是与原始语句的真值相反；如果语句$p$为假，则其否定$~p$为真，如果语句$p$为真，则其否定$~p$为假。要为语句$p$的否定创建真值表，请添加一个标题为$~p$的列，并为每一行输入真值，真值与$p$列中列出的值相反，如下表所示。
构建真值表以分析所有可能的结果
如果逻辑语句总是true，而不管其组成部分的真值如何，则该语句有效。要测试复合语句的有效性，请构建一个真值表来分析所有可能的结果。如果代表完整语句的最后一列仅包含真值，则该语句有效。
确定复合陈述的真值表的有效性
构建真值表
m00020
条件是形式的逻辑语句，如果$p$，那么$q$。逻辑中的条件语句是承诺或合同。条件$p\to q，$唯一为假的时候是合同或承诺被破坏的时候。
使用和应用条件构造真值表
双条件，$p↔q$，是双向契约；它等价于语句$\lew（p\to q\right）\wedge\lew（q\to p\right）。$一个双条件语句，$p↔q，$每当假设的真值与结论的真值匹配时为真，否则为假。
使用和应用双条件构造真值表
条件和双条件的真值表
m00021
当$p$和$q$是一个有效的参数，或者当真值表的最后一列只包含真值时，两个语句$p$和$q$在逻辑上是等价的。当一个逻辑语句始终为真时，它被称为重言式。要确定两个语句$p$和$q$在逻辑上是否等价，为$p↔q$构造一个真值表，并确定它是否有效。如果最后一列全部为真，则该参数是重言式，它是有效的，并且$p$在逻辑上等价于$q$；否则，$p$在逻辑上不等价于$q$。
确定逻辑等价
逆向、逆向和逆向是条件语句$p\to q的变体。$

*逆为if$q$然后$p$，由假设和结论互换而成，逆在逻辑上等价于逆。
*逆是if$~p$然后$~q$，它是通过否定假设和结论而形成的。逆在逻辑上等同于逆。
*对立面是if$~q$然后$~p$，它是通过交换和否定假设和结论而形成的。对立面在逻辑上等价于条件。
组成条件语句的逆向、逆向和逆向
等价语句
m00022
在第一章中，[link]用维恩图证明了集补除以并的德摩根定律。因为集的补类似于否定，并类似于*或*语句，所以逻辑上有等价的德摩根定律。
合与析取的否定
任何陈述的否定都有与原始陈述相反的真值。条件**, $~\的**否定（p\to q\right）$，是$p$而不是$q$的连词，$p\text{}\wedge~q.$考虑下面的真值表对条件的否定。
条件语句的否定
在第一章中，你了解到你可以用文氏图证明德摩根定律的有效性。真值表也可以用来证明两个陈述在逻辑上是等价的。如果两个陈述在逻辑上是等价的，你可以在构建逻辑论点时使用更清晰或更有说服力的陈述形式。
用真理表评价德摩根定律
德摩根定律
m00023
分离定律是条件论证的有效形式，它断言如果条件$p\to q$和假设$p$都为真，那么结论$q$也必须为真。分离定律也被称为肯定假设（或先行词）和modus ponens。象征性地，它具有$\左（\左（p\to q\right）\楔子p\右）\to q$的形式。
超然法则
有效条件论证的另一种形式称为否定结果定律，或modus tollen。回想一下，条件语句$p\to q$在逻辑上等价于对立面，$~q\to\text{}~p$。因此，如果条件语句为真，那么对立面语句也为真。根据分离定律，如果$~q$也是真，那么$~p$也必须是真。象征性地，它的形式为$\左（\左（p\to q\right）\wedge~q\right）\to\text{}~p$。
否定结果定律
条件参数的链式规则是有效条件参数的另一种形式。它也被称为假设三段论或蕴涵的传递性。回想一下，条件语句$p\to q$也可以理解为$p$暗示$q$。这就是蕴涵的名称*传递性*的来源。数字的传递性属性指出，如果3美元<4美元和4美元<5，则$随后是3美元<5。$链式规则将此属性扩展到条件语句。如果参数的前提由两个条件语句组成，形式为“$p\to q$”和“$q\to r，$”，则后面是$p\to r。$符号上，它的形式为$\lew（\lew（p\to q\right）\wedge\lew（q\to r\right）\right）\to\lew（p\to r\right）$。
条件参数的链式规则
逻辑参数
逻辑
m00030
导言
m00041
应用可分割规则
有时候，一个自然数只有两个唯一因子，1和它本身。例如，7和19是素数。换句话说，没有办法把一个素数分成事物数量相等的组，除非只有一个组，或者这些组每组有一个项目。其他自然数有两个以上的唯一因子，例如4或26。这些数字被称为复合数。数字1是特殊的；它既不是素数也不是复合数。
素数和复合数
在我们开始素数分解之前，让我们提醒自己分解一个数字意味着什么。我们通过识别两个（或更多）数字来分解一个数字，当它们相乘时，会产生原始数字。例如，3和24相乘时，得到72。所以，72可以分解成3美元×24美元。请注意，我们可以用不同的方式分解72美元，比如72美元=6×12美元，或者72美元=2×36美元，甚至72美元=3×4×6美元。
求复数的质因式分解
除了1之外，每个自然数都可以用一种方式表达，除了排列，作为素数的乘积。
算术基本定理
两个数通常有一个以上的公约数（所有自然数对都有公约数1）。列出公约数时，通常会出现最大的情况。这个除数被称为最大公约数，表示为**GCD**。它有时也被称为最大公因数（GCF）。
寻找最大公约数
最大公约数的用途与其他数学相关（减少分数），但也适用于日常应用。我们将看两个这样的应用程序，它们具有非常相似的底层结构。在每种情况下，必须有东西将组或测量等分。
最大公约数的应用
数字除数的反面是数字的倍数。例如，5是45的除数，所以45是5的倍数。更一般地说，如果数字$a$除以数字$b$，那么$b$是$a$的倍数。
寻找最小公倍数
LCM的一些应用涉及以固定间隔重复的事件，例如访问某个位置。其他应用涉及在使用不同尺寸的零件时使事物具有相同的大小（例如，参见[链接]）。在每种情况下，我们都可能希望确定两个进程何时“对齐”
最小公倍数的应用
素数和复合数
m00042
扩展计数数以包括负数，零形成整数。任何其他不能写成$\old\{\dots-3，-2，-1,1,2,3，\dots\right\}$的数字都不是整数。
定义和识别整数
整数通常被想象成沿着一条路径前进的步骤。你从0开始，向左走是向后走，或者向负方向走，而向右走是向前走，或者向正方向走。数线（[链接]）有助于想象整数。这也意味着整数给出大小（大小）和方向（正的在右边，负的在左边）。在数线上绘制整数意味着在数线上的整数处放置一个实心点。
在数线上绘制整数
当确定一个数量或大小是否比另一个大时，我们知道这意味着正在讨论的任何东西都更多。就正整数而言，我们可以想象较大的整数在数线的右侧更远。这个想法也适用于负整数。这意味着当$a$在数线上$b$的右侧时，$\mathbit{a}$大于$\mathbit{b}$。我们写$a>b$。当$a$大于$b$时，我们也可以说$\mathbit{b}$小于$\mathbit{a}$。在数线上，$b$将在$a$的左侧。我们写$b。
整数比较
当谈到在数线上绘制整数时，一种解释认为这就像沿着一条路走。负的是0的左边，正的是右边。如果你向右走30步，你离0还有30步。另一方面，当你向左走30步时，你离0还有30步。所以，在某种程度上，即使一个是负的，另一个是正的，这两个数字，30和−30，是相等的，因为两者都离0有30步之遥。整数$n$的绝对值是从$n$到0的距离，不管方向如何。整数$n$绝对值的表示法是$|n|$。
整数的绝对值
你可能还记得在你的学术生涯的早期，你曾经使用数线来加减整数。添加一个正整数会导致在数线上向右移动。添加一个负整数会导致向左移动。减去一个正整数会导致在数线上向左移动。但是减去一个负整数会导致向右移动。
加减整数
与加法和减法类似，整数的符号会影响整数乘除时的结果。规则相当简单，但同样依赖于数线上的方向。只有两条规则。
整数的乘除
整数
m00043
执行数学运算的顺序是一种约定，使任何人都更容易正确计算。它们遵循首字母缩略词EMDAS：
使用操作顺序简化表达式
我们已经研究了如何使用由EMDAS表示的操作顺序来正确计算表达式。但是，可能存在这样的表达式，即乘法应该发生在指数之前，或者减法应该发生在除法之前。为了指示操作应该乱序执行，操作放在括号内。当括号存在时，括号内的操作首先执行。将括号添加到我们的列表中，我们现在有了PEMDAS，如下所示。
使用涉及分组符号的操作顺序
操作顺序
m00044
有理数（称为有理数，因为它是比率）只是分子为整数而分母为非零整数的分数。如此简单，它们可以用多种方式表示。这里应该注意的是，任何整数都是有理数。一个整数$n$写成两个整数的分数是$\frac{n}{1}$。
定义和识别理性的数字
有理数是表示两个整数除法的一种方法。因此，可能有多种方法可以用不同的有理数来表示相同的值。例如，$\frac{4}{5}$和$\frac{12}{15}$是相同的值。如果我们将它们输入计算器，它们都等于0.8。理解这一点的另一种方法是考虑当两个分数相等时，图中的情况。
简化有理数并用最低条件表示
添加或减去有理数可以用计算器来完成，计算器通常返回十进制表示，或者通过找到添加或减去的有理数的公分母来完成。
有理数的加减法
将分数可视化的一种方法是将其视为整体的一部分，例如比萨饼的$\frac{5}{12}$。但是当分子大于分母时，例如在$\frac{23}{12}$中，那么整体的一部分的想法似乎没有意义。这样的分数是**不恰当的分数。**这种分数可以写成整数加分数，这是一个**混合数**。改写为混合数的分数$\frac{23}{12}$将是1美元\frac{11}{12}$。算术上，1美元\frac{11}{12}$相当于1美元+\frac{11}{12}$，读作“1和11/12”。
不适当的分数和混合数之间的转换
在处理数字的小数形式与其**十进制形式**之间的转换之前，需要了解小数代表什么，或者用**十进制表示法**写入数字。十进制数4.557等于4美元\frac{557}{1,000}$。十进制部分.557是557除以1,000。要写入表示为终止十进制的数字的任何十进制部分，请将十进制数除以10，得到等于十进制位数的幂。由于4.557中有三个十进制数字，我们将557除以${10}^{3}=1000$。
在十进制和分数形式之间转换有理数
有理数相乘没有有理数相加或相减那么复杂，因为不需要找到公分母。要乘以有理数，乘以分子，然后乘以分母，并写出分子乘以分母乘积。象征性地，$\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{a×c}{b×d}$。和往常一样，有理数应该减少到最低项。
有理数的乘法和除法
有理数的运算顺序与整数相同，如运算顺序中所述。运算顺序使任何人都更容易正确计算和表示。该顺序遵循众所周知的首字母缩略词PEMDAS：
应用操作顺序简化表达式
在任何两个有理数之间，都有另一个有理数。这被称为有理数的**密度性质**。
应用有理数的密度性质
有理数在许多情况下使用，有时用于表示整体的一部分，其他时候作为两个量之间比率的表达式。对于科学来说，单位之间的转换是使用有理数完成的，就像在加仑和立方英寸之间转换一样。在化学中，将溶液与给定浓度的每单位体积化学物质混合可以用有理数来解决。在人口统计学中，有理数用于描述人口的分布。在营养学中，有理数用于表示要包含在食谱中的给定成分的适量。如前所述，有理数的应用跨越许多学科。
解决涉及有理数的问题
分数的一个常见应用称为**单位转换**，或**转换单位**，这是从测量中使用的单位更改为不同测量单位的过程。
使用分数在单位之间转换
a**百分比**是一个特定的有理数，字面意思是每100个。$n$百分比，表示为$n$%，是分数$\frac{n}{100}$。
定义和应用百分比
在媒体、研究和随意的谈话中，百分比经常被用来表示比例。了解如何使用百分比对于消费媒体和理解数字至关重要。使用百分比解决问题归结为确定你得到的百分比的三个组成部分中的哪一个，总数，百分比，或者总数的百分比。如果你有其中两个组件，你可以使用前面概述的方法找到第三个。
使用百分比解决问题
有理数
m00045
我们在最后一节将有理数定义为可以表示为两个整数的分数的数字。**无理数**是不能表示为两个整数的分数的数字。回想一下，有理数可以被识别为那些十进制表示终止（结束）或在某个时候具有重复模式的数字。因此，无理数必须是那些十进制表示不终止或成为重复模式的数字。
定义和识别不合理的数字
**简化平方根**意味着我们将平方根改写为有理数乘以没有完美平方根的数的平方根。将平方根变为这种形式的行为是简化平方根。
简化平方根并用最低的术语表达它们
就像我们使用过的任何其他数字一样，无理数可以加减。使用计算器时，输入操作，将给出十进制表示。然而，有时可能会在没有计算器的情况下添加或减去两个无理数。只有当无理数的无理数部分相同时，才会发生这种情况。
添加和减去无理数
就像我们使用过的任何其他数字一样，无理数可以乘除。使用计算器时，输入操作，将给出十进制表示。然而，有时您可能希望保留无理数的形式，将其作为有理部分乘以无理部分。这个过程类似于在无理数处于这种形式时加减无理数。我们不需要非理性部分来匹配。即使它们不需要匹配，它们也需要相似，比如两个无理部分都是平方根，或者两个无理部分都是π的倍数。此外，如果无理部分是平方根，我们可能需要将得到的平方根减少到最低项。
乘除无理数
分数通常表示某个数量被平均分成若干部分。但是要以这种方式概念化分数，分母需要是整数。分母中的无理数会干扰对分数的解释。分母只是整数平方根的分数可以通过称为分母**合理化的过程改变为具有整数分母的分数。该过程依赖于平方根的以下属性：$\sqrt{a}×\sqrt{a}=a$和分数的以下属性：$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$对于任何非零数$c$。
用无理分母合理化分数
无理数
m00046
实数是有理数和无理数的组合。实数代表所有存在的物理距离的集合，以及0和这些物理距离的负数。例如，如果您测量三个单位，并将该距离分成八（8）个相等的长度，则您形成的距离为$\frac{3}{8}$单位。此外，如果您绘制一个直角三角形（一个角度等于90度的三角形），一条边长为1，另一条边长为3，三角形的长边将有长度$\sqrt{10}$单位，如[链接]所示。
定义和识别实数
实数是由整数、有理数和无理数组成的。因此，实数已经命名了子集，如下表所示。
识别实数子集
实数的行为非常有规律。这些行为被称为实数的属性。了解这些属性有助于评估公式、处理方程或执行代数。熟悉这些属性在所有使用和操纵数字的环境中都很有帮助。例如，当乘以4美元×13×25美元时，您可以先乘以4和25。如果你知道乘积是100，它会使乘法更容易。
实数的识别性质
实数
m00047
当我们做算术时，数字会变得越来越大。但是当我们处理时间，特别是时钟时，数字会自行循环。永远不会是49点。一旦到了12点，我们回到1，重复数字。如果现在是上午11点，有人说“四小时后见”，你知道上午11点加4小时是下午3点，而不是上午15点（暂时忽略军事时间）。数学研究时钟，数字在超过12点后重新开始，这被称为时钟算术。
使用时钟算法进行加法、减法和乘法
时钟算术过程可以应用于一周中的几天。一周中的一天每7天重复一次，就像时钟上的时间每12小时重复一次一样。唯一的区别是我们使用除以7后的余数。在技术术语中，这被称为模7。更一般地说，让$n$是一个正整数。然后$n$模7，写为$n$mod 7，是当$n$除以7时的余数。如果该值是$x$，我们可以写$n=x$（mod 7）。
使用时钟算法计算实际应用程序
时钟算法
m00048
平方一个数字就是把它自己乘以，之所以有这个名字，是因为它是边长为正方形的面积。立方一个数字就是找到一个边长为5的立方体的体积。这就是为什么我们把${5}^{2}$称为5的平方，或者${10}^{3}$称为10的立方体。指数代表乘法。
应用指数规则简化表达式
指数
m00049
当我们说一个数字用科学记数法时，我们是在指定这个数字的书写形式。这种形式以一个绝对值在1到9之间的整数开始，然后可能是小数点，然后是更多的数字。然后乘以10，提高到一定的幂。当数字只有一个非零数字时，科学记数法的形式是数字乘以10，提高到指数。当数字有一个以上的非零数字时，科学记数法的形式是一个单一的数字，然后是一个小数，然后是其余的数字，然后乘以10的幂。
用标准或科学符号形式书写数字
在上一节中，探讨了将数字从标准形式转换为科学记数法。现在，我们探索从科学记数法转换回标准形式。这样做涉及根据10的幂移动小数。小数移动的步数等于10的指数。如前所述，当10的指数为负时，小数向左移动，当10的指数为正时，小数向右移动。
将数字从科学符号转换为标准形式
要在科学记数法中添加或减去数字，数字首先需要具有10的相同指数。由于10的幂匹配，因此可以添加以下内容：
4.5美元×{10}^{4}+3.15×{10}^{4}=7.65×{10}^{4}$
科学符号中数字的加减法
用科学记数法乘除数字比加减要容易一些，因为10的指数不必匹配。然而，结果更有可能不是科学记数法，所以最后必须调整。一般来说，我们将两个值的数字部分相乘或相除，然后将指数规则应用于提高到幂的10。
科学符号中的乘除数
除以科学记数法中的两个数字：
用科学符号划分数字
正如本节开头所指出的，当一个数字的标准表示笨拙或不切实际时，科学记数法很有用，当使用的数字非常大或非常小时就会发生这种情况。例如，金星离太阳67,667,000英里。在科学记数法中，这是6.7667美元×{10}^{7}$。行星和星系距离是一组更容易用科学记数法表达的数字。
在计算实际应用程序中使用科学符号
人们不禁要问，我们所代表的数字何时变得太大或太小，以至于无法考虑。也许下面的例子限制了什么是有意义的。已知宇宙中的粒子数量估计为4美元×{10}^{80}$粒子。已经测量的最小距离是1美元×{10}^{-18}{\规则{0.28em}{0ex}}\matrm{m}$，尽管理论上最小的可测量值是1美元×{10}^{-35}{\规则{0.28em}{0ex}}\matrm{m}$。横跨宇宙的距离是4.4美元×{10}^{26}{\规则{0.28em}{0ex}}\matrm{m}$。考虑到这些数字所代表的，极端最大和极端最小，它们可能是限制我们应该合理预期处理的数字。
哪些数字可以被认为“太大”或“太小”？
科学符号
m00050
数字序列就是这样，按顺序排列的数字列表。它可以是一个简短的列表，例如一个类中每个作业获得的分数，例如{10,10,8,9,10,6,10}。或者它可以是一个更长的列表，甚至无限长，比如素数列表。例如，这里有一个数字序列，具体来说，前12个自然数的平方。
识别算术序列
有时我们想确定有限算术序列的数字之和。这个公式相当简单。
求有限算术序列的和
算术序列的应用发生在任何时候，一些数量在每一步增加一个固定的数量。例如，假设某人每周练习国际象棋，并增加他们每周学习的时间。第一周，这个人练习3个小时，并发誓每周再练习30分钟。由于练习的时间每周增加一个固定的数字，这将符合算术序列的条件。
使用算术序列解决实际应用程序
算术序列
m00051
我们知道什么是序列，但是是什么使序列成为几何序列呢？在算术序列中，每个项都是前一项加上常数差。因此，您可以在每一步添加一个（可能是负数）数字。然而，在几何序列中，每个项都是前一项乘以相同的指定值，称为公共比率。在序列$\le3,6,12,24,48,96,192,384,728,1456\right\}$中，公共比率为2。要查看算术序列和几何序列之间的区别，请检查这两个序列（图3.52和3.53）。
识别几何序列
与算术序列一样，可以添加几何序列的项。像算术序列一样，几何序列项的有限和的公式有一个简单的公式。
求有限几何序列的和
几何序列有许多应用，其中之一是复利。复利是指存入账户的钱发生的事情，无论是储蓄还是个人退休账户，或者个人退休账户。账户上的利息会定期计算并添加到账户中。这意味着后来赚取的利息会获得自己的利息。这使得钱增长得更快。如果利息每个月都增加，我们说它是每月复利的。如果利息每天增加，那么我们说它是每天复利的。存入账户的金额称为本金，并表示为$P$。账户从本金中赚钱。它赚的金额是账户中资金的百分比。以十进制表示的利率表示为$r$。
使用几何序列解决实际应用
几何序列
实数系统与数论
m00031
导言
m00052
大多数现代数字系统依赖于位置值，其中表示的数量不仅取决于数字，但也取决于数字在数字中的位置。位置值是某个特定数字的幂，这意味着大多数编号系统实际上是指数表达式。指数表达式是任何包含指数的数学表达式。因此，评估这样的表达式意味着执行计算。在本章中，我们将使用正整数值的指数。在我们这样做之前，让我们提醒自己指数和它们代表什么。假设你想乘以一个数字。让我们给这个数字贴上$a$的标签，它本身有一些次数。让我们给次数贴上$b$的标签。我们将其表示为${a}^{b}$。我们说$a$，或者**基**，提高到$b$的第1次方，或者**指数**。例如，如果我们将13乘以8次，我们写${13}^{8}$，说13的8次方。
计算指数表达式
当你看到数字738，然后大声说出这个数字，你会说什么？你可能会说“738”，同时想知道问这个问题能说明什么。你没有说的是“7、3、8”学前班的学生可能会这么说。这应该会让你想知道，为什么？
将印度教-阿拉伯数字转换为扩展形式
从扩展形式转换回印度教-阿拉伯数字是扩展数字的反向过程，相当于评估指数表达式。
将扩展形式的数字转换为印度-阿拉伯数字
印度-阿拉伯定位系统
m00053
巴比伦人使用数字加法系统和数字位置系统的混合。加法系统是一种数字系统，其中符号重复实例的值与符号出现的次数相加。位置系统是一种数字系统，它根据“数字”的位置将“数字”乘以一个幂。
理解巴比伦数字并将其转换为印度-阿拉伯数字
玛雅人使用了一个位置系统，就像我们和巴比伦人一样，但是他们的位置值基于20的幂，他们有一个专门的零符号。与巴比伦人相似，玛雅人会重复符号来表示某些值。一个点是1，两个点是2，最多四个点。然后一个5是一个单杠。单杠可以使用三次，因为第四个单杠会变成20，这是数字中的一个新位置。0是一个特殊的图片，看起来像一只躺在背上的乌龟。然后外壳会是“空的”，所以可能这就是符号是0的原因。完整的列表在[链接]中提供。玛雅数字的另一个特点是它们是垂直书写的。20的幂从下到上增加。
理解玛雅数字并将其转换为印度-阿拉伯数字
玛雅和巴比伦体系共有两个特征，一个是我们熟悉的（位置值），一个是我们不使用的（重复符号）。**罗马数字系统**使用了重复符号，但没有使用位置值。它也缺少一个0。罗马系统建立在[链接]中的以下符号之上。
理解和转换罗马数字和印度-阿拉伯数字
早期计数系统
m00054
我们在印度-阿拉伯定位系统中看到，我们的印度-阿拉伯系统使用以10为基数的数字，这是一种使用依赖于10的幂的数字位值的系统（或者，基于10的幂）。我们已经使用了以10为基数的以外的基数：巴比伦系统是以60为基数，而玛雅系统是以20为基数。
将另一个碱基转换为碱基10和其他碱基
从基数10转换为另一个基数使用重复除法，在每一步记录余数。然后，新基数中的数字是从找到的最后一个余数开始的余数。为了准确地说，我们需要提醒自己一些与除法相关的术语。当整数被除以时，被除以的是被除数，除以被除数的是除数。商是最大的自然数，可以乘以乘积小于被除数的除数。
将基数10转换为另一个基数
将印度教-阿拉伯数字转换为玛雅数字涉及两个不同的过程。首先，必须使用前面描述和演示的过程将数字转换为以20为底的数字。接下来，必须使用玛雅数字书写以20为底的数字。作为参考，玛雅数字及其值如下所示。
从印度教-阿拉伯数字转换为玛雅数字
在碱基之间转换时会出现一些常见错误。通常，这归结为在新碱基中使用“非法”符号。
在基础之间转换的错误
使用基本系统进行转换
m00055
现在我们明白了用10以外的基数表示数字意味着什么，我们可以看看使用其他基数的算术，从加法开始。当你回想起你第一次学习加法的时候，很可能你学会了加法表。一旦你知道了加法表，你就开始添加超过一位数的数字。同样的过程也适用于其他基数的加法。我们从加法表开始，然后继续添加两位或两位以上的数字。
基数10以外的基数加法
除基数10之外的基数减法遵循与基数10减法相同的过程，但是，与加法一样，使用基数加法表。
除基数10以外的基数减法
以10以外的基数计算时的错误通常涉及将基数10规则或符号应用于基数10以外的基数中的算术问题。第一种错误是使用不在基数符号集中的符号。例如，如果在以7为基数工作时出现9，您知道发生了错误，因为9不是以7为基数的合法符号。
在基数10以外的基数中加减时的错误
基本系统中的加减法
m00056
乘法是一种表示重复加法的方式，无论使用什么基数。然而，不同的碱基有不同的加法规则。为了为10以外的基数创建乘法表，我们需要依赖加法和基数的加法表。让我们看看基数6中的乘法。
除10以外的基数乘法
就像其他操作一样，在10以外的基数中除法，在10以外的基数中除法的过程与在基数10中工作时的过程相同。例如，72美元ance9=8美元，因为我们知道9美元×8=72美元。所以，对于许多除法问题，我们只是看乘法表来识别合适的乘法规则。
10个以外基地的分部
在基数10以外的基数中乘除时遇到的错误类型与加减时相同。它们通常涉及将基数10规则或符号应用于基数10以外的基数中的算术问题。第一类错误是使用不在基数符号集中的符号。
基10以外的基的乘除误差
基本系统中的乘除
数字表示和计算
m00032
导言
m00098
泽维尔和亚塞尼亚同一天生日，但出生年份不同，今年泽维尔20岁，亚塞尼亚23岁，所以亚塞尼亚比泽维尔大三岁，泽维尔15岁时，亚塞尼亚18岁；泽维尔将33岁时，亚塞尼亚36岁，无论泽维尔的年龄如何，亚塞尼亚的年龄永远多3岁。
代数表达式和方程
简化表达式意味着做所有可能的数学运算。例如，要简化4美元•2+1$，我们将首先乘以4美元•2$得到8，然后加1得到9。我们已经介绍了代数中使用的大部分符号和符号，但现在我们需要澄清运算的顺序。否则，表达式可能有不同的含义，它们可能会导致不同的值。考虑2美元+7•3美元。你是先加还是先乘？你会得到不同的答案吗？
简化和评估代数表达式
代数表达式由术语组成。术语是一个常数或一个常数和一个或多个变量的乘积。术语的例子有7、$y$、5${x}^{2}$、9$a$和${b}^{5}$。乘以变量的常数称为系数。把系数想象成变量前面的数字。考虑代数表达式5${x}^{2}$，它的系数为5,9$a$，它的系数为9。如果变量前面没有列出数字，则系数为1，因为$x=1•x$。
代数表达式的运算
代数表达式
m00099
解决任何方程就像发现谜题的答案。解决方程的目的是找到使方程成为真实陈述的变量的一个或多个值。使方程为真的变量的任何值都称为方程的解。它是谜题的答案！我们将学习解决许多类型的方程。在本节中，我们将重点讨论线性方程，它是一个变量中的方程，可以写成
线性方程及其应用
到目前为止，我们求解的每一个线性方程都给了我们一个数值解。现在我们将看看没有解或无限多解的线性方程。
无解或无穷多解的线性方程
你可能熟悉一些几何公式。公式是对变量之间关系的数学描述。公式也用于科学，如化学、物理和生物学。在医学中，它们用于计算配药或确定体重指数。电子表格程序依靠公式进行计算。能够操纵公式并求解特定变量是很重要的。
求解给定变量的公式
一元线性方程及其应用
m00100
在代数表达式中，我们介绍了等式和$=$符号。在本节中，我们将研究不等式和符号 $<$, $>$, $\le$和$\ge$。下表总结了符号及其含义。


|象征|意义|
| --- | --- |
| $<$ | 小于|
| $>$ | 大于|
|$\le$|小于或等于|
|$\ge$|大于或等于|
在数线上绘制不等式
a**线性不等式**很像线性方程-但是等号被不等式符号代替。线性不等式是一个变量中的不等式，可以写成$ax+b或$ax+b>c的形式之一，其中$a$、$b$和$c$都是实数。
求解线性不等式
许多现实生活中的情况需要我们解决不等式。我们将用来解决具有线性不等式的应用程序的方法非常像我们用方程解决应用程序时使用的方法。我们将阅读问题并确保所有单词都被理解。接下来，我们将识别我们正在寻找的内容并分配一个变量来表示它。我们将用一句话重述问题，以使其易于翻译成不等式。然后，我们将解决不等式。
求解具有线性不等式的应用程序
一个变量中的线性不等式及其应用
m00101
请注意，比率有三种不同的写法，这是两个数字的比较，可以写成：$a$到$b$或$a： b$或分数$a/b$。您使用哪种方法通常取决于情况。在大多数情况下，我们希望使用分数符号来编写比率。请注意，虽然所有比率都是分数，但并非所有分数都是比率。比率进行部分对部分、部分对整体和整体对部分的比较。分数仅进行部分对整体的比较。
构造比率来表达两个量的比较
使用比例来解决问题是一种非常有用的方法。它通常用于当你知道比例的三个部分，而有一部分是未知的。比例通常通过设置类似的比率来解决。如果$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$是两个比率，例如$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}，则称分数为**比例**。此外，两个分数$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$成比例$\左（\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\right）$当且仅当$a×d=b×c$。
使用和应用比例关系解决问题
在最后一个例子中，我们假设2美元\frac{1}{4}$杯面粉可以做60个饼干；然后我们计算出38美元\frac{1}{4}$杯面粉可以做1020个饼干，用27杯面粉可以做720个饼干。这三个比率中的每一个都写为下面的分数（分数转换为小数）。如果你把分子除以分母会发生什么？
确定和应用比例常数
比例和比例用于解决涉及**比例**的问题。你看到比例的一个常见地方是在地图上（如[链接]所示）。在这张图片中，1英寸等于200英里。这是比例。这意味着地图上的1英寸对应于地球表面的200英里。另一个使用比例的地方是模型：模型汽车、卡车、飞机、火车等。模型汽车的常见比例是1:24——这意味着模型汽车上的1英寸长度等于实际汽车上的24英寸（2英尺）。虽然这是使用比例的两个常见地方，但它也以各种其他方式使用。
使用比例解决缩放问题
比例和比例
m00104
就像地图使用网格系统来识别位置一样，代数中使用网格系统来显示矩形坐标系中两个变量之间的关系。矩形坐标系也称为$x$$y$-平面或“坐标平面”。
在矩形坐标系上绘制点
到目前为止，你解的所有方程都是只有一个变量的方程。几乎在每种情况下，当你解这个方程时，你只得到一个解。但是方程可以有不止一个变量。有两个变量的方程可能是$Ax+By=C$的形式。这种形式的方程，其中$A$和$B$都不是零，称为两个变量**中的**线性方程。这里有一个两个变量的线性方程的例子，$x$和$y$。


$\开始{数组}{l}\mathbit{A}x+\mathbit{B}y=\mathbit{C}\\mathbit{A}+\mathbf{4}y=\mathbf{8}\\\mathbit{A}\mathbf{=}\mathbf{1}，\mathbit{B}\mathbf{=}\mathbf{4}，\mathbit{C}\mathbf{=}\mathbf{8}\end{数组}$
在两个变量中绘制线性方程
许多领域使用线性等式来建模问题。虽然我们的例子可能是关于简单的情况，但它们给我们一个机会来培养我们的技能，并感受如何使用它们。
使用两个变量中的线性方程求解应用程序
以前我们学习只解决一个变量的不等式。我们现在将学习包含两个变量的不等式，这些变量可以写成以下形式之一：$Ax+By\ge C$、$Ax+By>C$、$Ax+By\le C$和$Ax+By其中$A$和$B$不都是零。我们将研究两个变量中的**线性不等式，**这与两个变量中的线性方程非常相似。
绘制线性不等式
许多领域使用线性不等式来模拟问题。虽然我们的例子可能是关于简单的情况，但它们给了我们一个机会来培养我们的技能，并感受如何使用它们。
使用两个变量中的线性不等式求解应用程序
绘制线性方程和不等式
m00102
您已经了解到术语是一个常数，或者是一个常数和一个或多个变量的乘积。当它的形式为$a{x}^{m}$时，其中$a$是常数，${x}^{m}$是正整数，它被称为单项式。单项式的一些例子是8、$-2{x}^{2}$、$4{y}^{3}$和$11z$。
识别多项式、单项式、二项式和三项式
回想一下从代数表达式中乘以代数表达式。在本节中，我们将继续这项工作并将二项式相乘。我们可以使用面积模型进行乘法。
相乘二项式
我们刚刚介绍了如何乘以二项式。现在你需要“撤消”这个乘法——从乘积开始，到因数结束。让我们回顾一个乘以二项式的例子来刷新你的记忆。
分解三项式
我们已经在图解线性方程和不等式中求解并绘制了线性方程，方程的形式为$Ax+By=C$。在线性方程中，变量没有指数。二次方程是变量平方的方程。以下是二次方程的一些例子：
通过图形求解二次方程
求解二次方程的另一种方法是因式分解。我们将使用零乘积性质，即如果两个量的乘积为零，则必须至少有一个量为零。得到等于零的乘积的唯一方法是乘以零本身。
通过分解求解二次方程
我们刚刚通过因式分解求解了一些二次方程。让我们使用因式分解来求解二次方程${x}^{2}=9$。
使用平方根性质求解二次方程
我们将看到的最后一种求解二次方程的方法是二次公式。这种方法适用于所有二次方程，即使是我们无法考虑的二次方程！为了使用二次公式，我们将$a$、$b$和$c$的值替换到公式右侧的表达式中。然后，我们做所有的数学运算来简化表达式。结果给出了二次方程的解。
使用二次公式求解二次方程
有一些问题解决策略可以很好地适用于转换为二次方程的应用程序。以下是解决单词问题的问题解决策略：
求解由二次方程建模的实际应用
具有两个变量的二次方程及其应用
m00103
命名函数非常方便；大多数函数被命名为$f$、$g$、$h$、$F$、$G$或$H$。在任何函数中，对于域中的每个$x$值，我们都会在范围内获得相应的$y$值。在函数$f$中，我们将这个范围值$y$写成$f$（$x$）。这种符号$f$（$x$）称为函数符号，读作“f of$x$”或“f at$x$的值”。在这种情况下，括号并不表示乘法。
使用函数表示法
我们可以通过识别输入和输出值来确定一个关系是否是一个函数，如果每个输入值只导致一个产出值，则将该关系分类为一个函数；如果任何输入值导致两个或多个输出，则不要将该关系分类为一个函数。
确定关系是否是具有不同表示的函数
我们回顾了如何确定关系是否是函数。我们研究的关系表示为一组有序对、映射或方程。我们现在将介绍如何判断图是否是函数的图。
应用垂直线测试
对于函数$y=f\old（x\right），x$是自变量，因为它可以是域中的任何值，$y$是因变量，因为它的值取决于$x$。对于函数$y=f\old（x\right）$，$x$的值构成域，$y$的值构成范围。
确定函数的域和范围
函数
m00105
每个线性方程都可以用一条唯一的线来表示，这条线显示了方程的所有解。我们已经看到，当通过绘制点来绘制一条线时，您可以使用任何三个解来绘制。这意味着两个人绘制这条线可能使用不同的三个点集。乍一看，他们的两条线可能看起来不一样，因为他们会标记不同的点。但是如果所有的工作都做得正确，这些线应该是完全一样的。认识到它们确实是同一条线的一种方法是看这条线穿过$x$-轴和$y$-轴的位置。这些点被称为一条线的截距。让我们回顾一下[link]中线条的图表。
使用截距绘制函数
在绘制线性方程组时，您可能会注意到有些线在从左到右的过程中向上倾斜，有些线向下倾斜。有些线非常陡峭，有些线更平坦。在数学中，测量一条线的陡峭程度称为线的斜率。为了找到一条线的斜率，我们在坐标为整数的线上定位两个点。然后我们绘制一个直角三角形，其中两点是三角形的顶点，一边是水平的，一边是垂直的。接下来，我们测量或计算沿三角形垂直和水平两侧的距离。垂直距离称为上升，水平距离称为运行。
计算斜率
我们通过绘制点和使用截距来绘制线性方程。一旦我们看到斜率截距形式的方程及其图形是如何相关的，我们将有另一种方法可以用来绘制线。查看[link]中方程$y=\frac{1}{2}x+3$的图形，并找到它的斜率和$y$-截距。
使用斜率和$y$-Intercept绘制函数
一些线性方程只有一个变量。它们可能只有$x$而没有$y$，或者只有$y$而没有$x$。这改变了我们制作价值表以获得要绘制的点的方式。让我们考虑等式$x=-3$。这个等式只有一个变量，$x$。等式说$x$总是等于$-3$，所以它的值不依赖于$y$。不管$y$的值是多少，$x$的值总是$-3$。要制作一个值表，请为所有$x$-值写入$-3$。然后为$y$选择任何值。由于$x$不依赖于$y$，您可以选择任何您喜欢的数字。但是为了适应坐标图上的点，我们将在下表中使用1、2和3作为$y$-坐标。
绘制水平线和垂直线
代数中一个重要但经常被忽视的领域是解释图表。在数学课上，学生经常被赋予数学函数，并可以制作图表来表示它们。但是解释图表是一项更适用于现实世界的技能。能够“阅读”图形——理解它的域和范围、截距的含义以及斜率（或曲线）的含义——这是一项现实世界的技能。
解释函数图
许多现实世界的应用程序是由线性方程建模的。我们将在这里回顾一些应用程序，以便您了解以斜率截距形式编写的方程如何与现实世界的情况相关联。通常，当线性方程模型使用现实世界的数据时，变量使用不同的字母，而不是只使用$x$和$y$。变量名称经常提醒我们正在测量的数量。此外，我们经常需要将直角坐标系中的轴扩展到更大的正数和负数，以适应应用程序中的数据。
使用斜率和$y$-Intercept对应用程序进行建模
图形功能
m00106
当我们用应用解决一个变量中的线性方程组和一个变量中的线性不等式时，我们学习了如何用一个变量解决线性方程组。现在我们将处理两个或多个组合在一起的线性方程组，这被称为线性方程组**系统。
确定有序对是否是方程组的解
我们将使用三种方法来求解线性方程组。我们将使用的第一种方法是绘图。线性方程的图形是一条线。线上的每个点都是方程的解。对于一个由两个方程组成的系统，我们将绘制两条线。然后我们可以看到每个方程的解的所有点。通过找到这些线的共同点，我们将找到系统的解。
用图解法求解线性方程组
我们现在将通过替换方法求解线性方程组。我们将使用与绘图相同的系统。
用代换法求解线性方程组
我们通过图形和替换来解决线性方程组。当变量系数很小，并且解具有整数值时，图形效果很好。当我们可以轻松地为其中一个变量求解一个方程，并且在结果表达式中没有太多分数时，替换效果很好。
用消去法求解线性方程组
到目前为止，在所有的线性方程组中，线相交，解是一点。在[链接]和[链接]中，我们将看到一个没有解的方程组和一个有无限个解的方程组。
识别无解或无限多解的系统
线性方程组对于解决应用程序非常有用。有些人发现用两个变量设置单词问题比只用一个变量设置单词问题更容易。为了解决一个应用程序，我们将首先将单词翻译成线性方程组。然后我们将决定使用最方便的方法，然后求解系统。
线性方程组的求解应用
两变量线性方程组
m00107
线性不等式系统的定义类似于线性方程组的定义。线性不等式系统看起来像线性方程组，但它有不等式而不是方程。这里显示了一个由两个线性不等式组成的系统。
确定有序对是否是线性不等式系统的解
单个线性不等式的解是边界线一侧的区域，该区域包含使不等式为真的所有点。两个线性不等式系统的解是一个包含两个不等式的解的区域。我们将回顾线性不等式的图，并从其图中求解线性不等式。
用图解法求解线性不等式系统
我们了解到，两个线性不等式系统的解是一个包含两个不等式的解的区域。为了通过绘图找到这个区域，我们将分别绘制每个不等式，然后定位它们都为真的区域。解决方案总是显示为图表。
线性不等式的图形系统
在解决不等式系统的应用时，首先将每个条件转化为不等式。然后像我们上面所做的那样，绘制系统，以查看包含解决方案的区域。只有当两个变量都是正的时，许多情况才是现实的，所以向系统添加不等式作为额外的要求。
线性不等式的解释和求解应用
两个变量中的线性不等式系统
m00108
**目标函数**是两个或多个变量中的线性函数，用于描述需要最大化或最小化的数量。
编写要最小化或最大化的目标函数
对于我们关于利润和生产的两个例子，在一个理想的世界里，一个人的利润和/或一个公司生产的产品数量是没有限制的。毕竟，谁不想拥有不受限制的利润？然而在现实中，情况并非如此；通常有几个变量可以限制一个人能赚多少利润或一个公司能生产多少产品。这些限制被称为约束。
组成表示系统应用程序的不等式
使用线性规划解决问题时需要完成四个步骤。它们如下：
应用线性规划解决应用问题
线性规划
代数
m00033
导言
m00057
百分比这个词来自拉丁语短语百分比，意思是“百分”。所以任何百分比都是一个除以100的数字。将百分比更改为分数就是将百分比写成小数形式。在小数形式中写入$n$%就是将百分比写成小数$\frac{n}{100}$。
定义和计算百分比
当要进行任何百分比计算时，必须将百分比的形式更改为分数形式或**小数形式**。我们可以通过将百分比除以100并将结果表示为小数来将百分比更改为小数形式。
在百分比、十进制和分数值之间进行转换
单词“of”用于表示使用分数的乘法，如“56的四分之一”。为了找到“56的四分之一”，我们将56乘以四分之一。我们可以将百分比视为具有特定分母的分数——100。因此，为了计算“52的25%”，我们将52乘以25%。但是，首先我们需要将百分比转换为分数形式（25/100）或十进制形式。使用25%的十进制形式，我们有0.25×52，等于13。
计算总计、百分比或部分
百分比经常用于金融、研究、科学实验，甚至是随意的谈话。例如，理解这些类型的价值观有助于消费媒体或讨论财务。有效地处理和解释数字和百分比将帮助您成为这些信息的知情消费者。
解决涉及百分比的应用程序问题
了解百分比和折扣
m00058
零售商经常举行销售以帮助移动商品。销售价格几乎总是表示为原价的一些金额。这些是折扣，某物价格的降低。折扣后的价格有时被称为降价或销售价格。
计算折扣
在应用题中，使用已经学过的术语，如折扣、原价、百分比折扣和销售价格，确定给出了什么和要找到什么。一旦你确定了这些，使用适当的公式来找到解决方案。
解决涉及折扣的应用问题
当零售商购买商品进行销售时，他们支付一定的价格，称为**成本**。然后零售商对商品收取超过该金额的费用。这种增加被称为**标记**。这个售价，或**零售价**，是零售商向消费者收取的费用，目的是支付自己的成本并获得利润。标记，然后与折扣非常相似，除了我们添加标记，而我们减去折扣。
计算标记
和以前一样，在处理应用程序问题时，一定要寻找给定的内容并确定要找到的内容。评估问题后，使用适当的公式找到解决方案。这些应用程序问题解决标记。
解决涉及标记的应用程序问题
销售税适用于美国某些商品和服务的销售或租赁，但不是由联邦政府决定的。它通常由各州、县、教区和市政当局设定、征收和支出。这些销售税收入都不归联邦政府所有。
计算销售税
解决涉及销售税的问题遵循与解决加价问题相同的想法和步骤。但在这里我们将使用以下公式：
解决涉及销售税的申请问题
折扣、加价和销售税
m00059
让我们了解一些术语。借款人要支付的利息通常以年百分比表示，这是每借一年作为利息支付的本金的百分比。这意味着借的越多，必须偿还的就越多。有时，要偿还的利息是简单利息，这意味着利息只根据借入的金额计算。
计算简单兴趣
钱可以在特定的时间内投资，并在投资时获得简单的利息。术语和计算与我们已经看到的相同。然而，投资者感兴趣的不是要偿还的总额，而是加上利息后投资的总价值。这叫做投资的**未来价值**。
了解和计算未来价值
在上面的每个例子中，贷款有一次付款，或者投资有一次提款。然而，对于许多贷款（房子、汽车、地下游泳池），贷款将分两次或多次偿还。这样的付款被称为**部分付款**，因为他们只偿还了部分贷款。
用部分付款支付简单利息贷款
当找到投资的未来价值时，我们知道存了多少钱，但我们不知道这笔钱将来值多少钱。如果我们为未来设定目标，知道现在存多少钱会很有用，这样账户就可以达到目标。现在需要存入以实现未来目标的金额称为**现值**。
理解和计算简单利息投资的现值
简单利息
m00060
正如我们在单利中看到的，支付单利的账户只根据原始本金和贷款期限进行支付，提供复利的账户定期支付利息，每隔一段时间后，利息加到原始本金上，以后在原始本金加上之前已经添加的利息上计算利息。
理解和计算复利
人们很自然地会问，复利会有很大的不同吗？为了找到答案，我们重温了阿贝纳的光盘。
确定简单计算和复合计算之间的兴趣差异
想象一下，投资30年，每个月复利。使用上述方法，将有360个周期来计算利息。这不是一个合理的方法。幸运的是，有一个公式可以找到赚取复利的投资的未来价值。
了解和计算未来价值
投资时，往往会有一个要达到的目标，比如“20年后，我希望账户值10万美元。”这种情况下要回答的问题是“现在必须投入多少钱才能达到目标？”与简单利息一样，这被称为现值。
了解和计算现值
正如我们所看到的，季度复利每年或每3个月支付4次利息；每月复利每年支付12次；每日复利每天支付利息，依此类推。有效年收益率允许通过将复利转换为等效的简单利率来直接比较单利和复利。我们甚至可以直接比较不同的复利情况。这提供了可以用来从收益率角度识别最佳投资的信息。
计算和解释有效年产量
复利
m00061
您应该将创建**预算**视为帮助您实现长期目标的财务工具。预算是对一段时间内收入和支出的估计。您将能够跟踪您的进度，这将有助于您通过做出明智的投资决策为未来做准备。
创建预算
制定个人预算
m00062
至少有三种类型的储蓄账户。传统储蓄账户、存单（CD）和货币市场账户是三种主要的储蓄账户工具。
区分各种基本形式的储蓄计划
用于计算普通年金未来价值的公式很有用，找出账户中的最终金额是多少。然而，计划不是这样运作的。为了计划，我们需要知道每个复利期要投入多少普通年金才能达到目标。幸运的是，这个公式是存在的。
计算支付以达到财务目标
储蓄方法
m00063
债券、股票和共同基金倾向于提供更高的回报，但在不同程度上伴随着更高的风险。股票和共同基金的收入也各不相同。它们预测的投资回报率没有保证，而是基于市场趋势和历史表现的有根据的猜测。
区分投资的基本形式
与储蓄方法一样，投资回报公式是$\text{ROI}=\frac{FV-P}{P}$。如前所述，该公式不考虑投资达到当前价值所需的时间。它只取决于初始值$P$和投资结束时的值$FV$。
投入产出比
与储蓄方法一样，确定实现财务目标所需的支付使用普通年金的支付公式，$pmt=\frac{FV×\左（r/n\right）}{\左（1+r/n\right）}^{n×t}-1}$。如果处理共同基金或股票，将使用假设的复合年利率。这个值通常是通过研究和知情猜测确定的。
计算支付以达到财务目标
最后，我们将研究三种主要的退休储蓄账户形式：传统个人退休账户、罗斯退休账户和401（k）账户。每一种都有适合不同投资者需求的独特特征。
退休储蓄计划
投资
m00064
即使你想要一辆新车，因为你需要一辆，或者如果你需要一台新电脑，因为你现在的电脑不再像你想要的那样运行得那么快或平稳，或者你需要一个新烟囱，因为你房子上的烟囱正在摇摇欲坠，很可能你没有现金成本。那些是非常大的购买。如果你没有现金，你怎么买呢？

你借钱。
贷款原因
有许多单词和首字母缩略词用于贷款。下面是一些。
贷款术语
贷款付款由两部分组成。一个组成部分是付款期间应计的利息。另一个组成部分是本金的一部分。这应该提醒你简单利息的部分付款。
计算贷款支付
**摊销表**或摊销时间表是一个表格，它提供了贷款定期付款的详细信息，其中付款适用于本金和利息。贷款本金在贷款期限内支付。通常，每个时期的付款是相等的。重要的是，其中一列将显示每笔付款中有多少用于利息，另一列显示有多少用于未偿本金，另一列显示剩余本金或余额[链接]。
阅读摊销表
除了支付的利息之外，通常还有与贷款相关的成本。贷款的**融资成本**是贷款期限内支付的所有成本、费用、利息和其他费用的总和。
融资成本
贷款基础
m00065
所有大学生都有资格申请贷款，无论他们的财务状况或信用等级如何。联邦学生贷款不需要共同签署人或信用检查。大多数学生在开始上大学时没有信用记录，联邦政府也意识到了这一点。然而，私人贷款通常需要共同签署人以及信用检查。如果学生不能支付贷款，共同签署人将承担偿还贷款的责任。
获得学生贷款
一旦收到学费账单，并分析了所有适用于大学费用的非贷款奖励（如奖学金和助学金），上大学可能仍然会有相当多的费用。大学费用（包括学费、食宿、书籍、电脑）和收到的非贷款奖励之间的差异就是**大学资金缺口。**
学生贷款的类型和特点
如前所述，学生每年和总共可以借多少钱是有限制的。下表显示了联邦政府和私人贷款人将贷款金额的总体细分。金额基于需求水平以及学生是受抚养学生还是独立学生。独立学生包括至少24岁、已婚、专业人士、研究生、退伍军人、武装部队成员、被解放的未成年人或孤儿。显示的金额截至2022年撰写本文时。
学生贷款限制
学生贷款首先是贷款。学生将偿还贷款并支付利息。2022年秋季，联邦学生贷款利率为4.99%。私人学生贷款利率在3.22%到13.95%之间。找到你能帮助支付的最低利率，尤其是在贷款没有联邦补贴的情况下。记住，如果贷款没有联邦补贴，学生就会因为贷款积累的利息而陷入困境。
学生贷款利率
学生贷款的利息从贷款发放（支付给借款人）开始。当贷款由联邦政府补贴时，政府为学生支付利息。这意味着3,000美元的补贴贷款贷款在学生毕业时仍然是3,000美元的贷款。但是，如果贷款没有联邦政府补贴，学生应对贷款产生的利息负责。由于增加了利息，大学一年级的3,000美元贷款现在是一笔更多的贷款。该贷款的利息在学生上大学时增加了。贷款余额增长的公式与复利公式相同，$A=P{\old（1+\frac{r}n}\right）}^{nt}$。
应计利息
有各种可用的还款计划。最有可能申请学生贷款的是**标准还款***计划，**每个人都可以使用。借款人每月支付固定金额，因此贷款将在10年内全额支付。本节稍后讨论的合并贷款也有资格享受标准还款计划，并可能允许回收期从10年到30年不等。直接补贴和非补贴贷款、PLUS贷款和联邦斯塔福德贷款都有资格。
标准还款计划
当学生毕业时，他们可能有多个不同的学生贷款。跟踪它们并分别偿还它们可能是一种负担。相反，这些贷款可以合并成一笔贷款。如果它们是联邦贷款，组合称为**联邦合并。**合并私人贷款通常被称为**再融资。**再融资，或**私人合并，**可用于合并私人和联邦学生贷款。请注意，合并的联邦贷款可能仍然受制于管理补贴贷款的规则和保护。再融资贷款，私人或联邦，不再受制于这些规则和指导方针。查看这篇关于合并和再融资的益百利文章，了解更多详细信息。
学生贷款合并
学生还有各种其他还款计划。标准还款计划以外的计划通常要求学生满足某些标准。以下计划独立于学生收入，但可能会使提前付款更容易。
其他还款计划
付款延迟的第一天，账户就变成了**拖欠**。90天后，这种拖欠被报告给征信机构，并进入**违约***. * 这很严重，因为现在信用评分受到影响，这意味着买车、买房、获得信用卡或手机将更加困难。甚至租房也可能是一项不容易完成的任务。没有完成学位的学生的违约率是完成学位的学生的三倍。
学生贷款违约及后果
了解学生贷款
m00066
信用卡基本上有三种类型：银行发行的信用卡、商店发行的信用卡和旅行/娱乐信用卡。我们将研究这三种信用卡，并解释每种信用卡的优缺点。
信用卡类型
也许使用最广泛的信用卡类型是**银行发行的信用卡**，如Visa或MasterCard（甚至美国运通公司和Discover卡）。这些类型的卡是循环信用的一个例子，这意味着在支付之前的余额之前会延长额外的信用额度——但仅限于指定的信用额度。银行发行的卡被认为是最方便的，因为它们可以用来购买任何东西，包括服装、家具、杂货、汽车燃料、膳食、酒店账单等，就像用现金支付一样。银行发行的信用卡的利率通常低于我们将讨论的其他信用卡，信用额度通常更高。目前，银行发行的卡的平均年利率为20.09%。
银行发行的信用卡
**商店发行的信用卡**是由零售商发行的。如今，如果你申请商店信用卡，你很难走进商店而不被提供购买折扣。这些卡只能在发行该卡的商店或商店家族中使用。但是，如果商店信用卡与维萨、万事达或美国运通公司相关联，那么该卡的使用方式可能与银行发行的卡相同。这称为联名。银行发行的卡的标志将出现在商店卡上。许多商店提供这两种类型。像其他信用卡一样，它们可能会收取年费。
商店发行的信用卡
这是第三种信用卡。**旅行和娱乐卡，**也称为**收费卡，**首先提供非常高的限额或无限制的信用，但它们必须每月全额支付。他们通常收取高额年费，如果付款晚了，会处以昂贵的罚款。另一方面，他们通常有更长的宽限期，并提供各种各样的奖励。
旅行/娱乐卡或充值卡
持卡人通常会收到月结单，并有21天的时间支付最低到期金额。这些报表逐项列出并总结了该报表计费期内信用卡上的活动。信用卡的计费期通常为一个月，但通常不会在一个月的第一天和最后一天开始和结束。该报表将包括当前余额、利率、最低到期付款和到期日。请注意，不同的公司会产生不同的报表。不过，这些信息会被明确标记。
信用卡对账单
计算所有这些值取决于理解和计算信用卡的平均每日余额。一旦知道了，就可以找到利息、到期余额和最低付款额。
计算利息，余额到期，和最低付款到期的信用卡
大多数信用卡公司使用**平均每日余额**方法计算利息。
平均每日余额
信用卡收取的利息基于卡的每日利率、计费周期中的天数以及卡上的平均每日余额。
计算信用卡利息
信用卡上的**余额，**或有时到期余额，是以前的余额，加上所有费用，减去所有付款和信用，加上卡上的利息。如前所述，如果卡已还清，则无需支付利息。
计算信用卡余额
到期最低还款额是信用卡上为避免滞纳金和罚金（如利率上升）而需支付的最小金额。每张卡的计算方法可能不同。它们也取决于信用卡的余额。到期最低还款额的一般准则是：
最低付款到期
信用卡
m00067
购车前你会回答的最大问题是，你想要什么，你需要什么？
购车基础
无论你是买新车还是二手车，如果你为购买提供资金，你就是在贷款。二手卡的利率通常高于新车。就付款而言，这些贷款支付的方式与其他贷款完全相同。支付功能来自贷款基础。为新车融资和二手车融资的区别在于，为新车融资通常伴随着较低的利率和较长的二手车融资期限。
购买付款和利息
租赁汽车是购买汽车的另一种选择。它仍然是一种贷款，在许多方面都像贷款一样。它们通常持续24个月或36个月，尽管还有其他条款。租约也有里程限制，通常是每年10,000、12,000或15,000英里。租约结束后，汽车将归还给经销商。届时可能需要支付费用，例如汽车损坏或超过限制的额外里程。
租赁汽车的基础知识
租赁付款类似于定期贷款付款，但还有一些其他细节。计算租赁付款涉及知道以下值：
租赁付款
在决定购买或租赁汽车时，应仔细评估两种选择之间的差异。以下是两者之间的比较点列表。
比较购买和租赁
汽车保险旨在涵盖与涉及汽车的事故相关的费用。大多数州（除了新罕布什尔州和弗吉尼亚州）都要求一些保险。如果没有保险，该州可能不会让你获得汽车执照或注册汽车。你所在州的要求可能很难遵循。幸运的是，保险公司和经纪人会确保你的保险对你所在的州来说是足够的，如果你试图不符合要求，他们会警告你。当然，他们可能会提供超过足够的，所以确定你想要多少保险是你的责任，只要满足最低保险要求。在评估购买或租赁汽车的负担能力时，应该考虑保险费用。
汽车保险
汽车不是买完就忘的东西。它们需要保养，这增加了拥有汽车的成本。轮胎、刹车和雨刷需要更换。奥利变化，检查，除了汽油还有很多东西。下面是汽车的一些维护要求列表，以及成本和大致的发生频率。
保养汽车
购买或租赁汽车
m00068
租房时，你可能会签署一份租约，这是租房者和房东之间的合同。房东是拥有出租财产的人或公司。租约将详细说明您在租期内的责任、活动限制、押金、费用、维护、维修和租金。它还定义了您在占用房产时房东可以和不能对房产做什么。
租房的利弊
买房的好处反映了租房的坏处，而自有住房的坏处反映了租房的好处。
买房的优势
有些人会用现金购买房屋或公寓，但大多数人会申请抵押贷款。抵押贷款是长期贷款，房产本身就是担保。银行决定最低首付（根据你的投入）、付款时间表、贷款期限、贷款是否可以由另一方承担以及逾期付款的处罚。房屋的所有权属于银行。
抵押贷款
计算您每月本金和利息支付的公式使用APR作为年利率。
每月抵押贷款支付
摊销表在《贷款基础》中有所论述。它们是分析抵押贷款时最常遇到的。
阅读和解释摊销表
最后几个例子着眼于抵押贷款支付，包括本金和利息。然而，当你申请抵押贷款时，付款有时会高得多。这是因为你的抵押贷款公司也让你存入一个**托管账户**，这是抵押贷款公司维护的储蓄账户。
托管付款
租房和房屋所有权
m00133
你的收入决定了你纳税的多少。你挣得越多，你可能支付的就越多。但是你的收入并不是全部。当你把你从工作、自由职业、储蓄利息和其他来源中赚的所有钱加起来，你就有了你的总收入。如果你是一名雇员，你的工作收入将在W-2上报告，该表格由你的雇主发给你。自由职业的收入将在1099-MISC表格上报告，并由支付你的公司发送。利息收入在1099-INT表格上报告，并来自支付利息的实体。
毛额、调整后毛额和应税收入
税收难题的另一部分是税收抵免。这是从你所欠的税款中扣除的钱。
税收抵免
FICA代表1935年《联邦保险缴款法》。FICA税仅用于资助社会保障和医疗保险，与联邦所得税分开。它相当于你总工资的7.65%，自动从你的工资中扣除。你的雇主必须匹配7.65%的金额。在7.65%中，6.2%用于社会保障（SSI），1.45%用于医疗保险。
计算FICA税
你的所得税账单和所得税率是基于你的应税收入。美国的税收制度是累进的，这意味着税率是边际的，所以你的应税收入越高，你支付的税率就越高。应税收入分为括号或收入范围。每个括号都有不同的税率。截至2022年，单一申报者的税级和税率如下：
计算您的所得税
所得税
资金管理
m00034
导言
m00085
计数学生在学校学习的第一个组合捷径之一与矩形区域有关。如果我们有一组可以物理排列成矩形的对象要计数，那么我们可以使用乘法来为我们计数。考虑这组对象（[链接]）：
乘法作为组合捷径
计数的乘法规则
m00086
在游泳决赛的例子中，长度3的一个可能排列是奖牌获得者名单（第一、第二和第三名）。长度8的排列是完成的完整顺序（第一名到第八名）。让我们使用乘法规则来计算这些排列中有多少个。
应用乘法规则对排列进行计数
我们在[link]中看到的模式非常普遍，以至于我们为它起了一个名字：阶乘。
对于任何正整数$n$，我们定义$n$的阶乘（表示为$n！$并阅读“$n$阶乘”）是小于或等于$n$的每个整数的乘积。我们还定义0！等于1。我们将在几个不同的上下文中使用阶乘，所以让我们练习用它们进行计算。
阶乘
正如我们所看到的，当我们计算排列时，阶乘会弹出。事实上，我们可以用一个公式来明确这种联系。让我们先定义一些符号。如果我们有一个$n$对象的集合，并且我们希望创建一个$r$对象的有序列表（其中1美元\le r\le n$），我们将这些排列的数量称为${}_{n}{P}_{r}$（阅读“一次取$r$的$n$对象的排列数量”）。我们将下面用于计算排列的公式形式化。
排列
排列
m00087
在对象列表的顺序无关紧要的情况下，列表不再是排列。相反，我们称之为组合。
组合：当顺序不重要时
排列和组合肯定是相关的，因为它们都涉及选择一个大组的子集。让我们探索这种联系，这样我们就可以弄清楚如何利用我们对排列的了解来帮助我们计算组合。我们将举一个基本的例子。我们有多少种方法可以从组A、B、C、D和E中选择3个字母？如果顺序很重要，这个数字是${}_{5}{P}_{3}=60$。这足够小，我们可以在下表中列出它们。
计数组合
组合
m00088
当我们谈论组合学或概率时，“实验”一词的含义与它在科学中的含义略有不同。实验可以从非常简单（“抛硬币”）到非常复杂（“计算给定大小样本中在一小时内发生核裂变的铀原子数量”）。实验有未知的结果，通常依赖于随机的东西，因此如果实验被重复（或复制），结果可能会有所不同。然而，不管实验是什么，对实验的分析通常从确定其样本空间开始。
单阶段实验
一些实验有更复杂的样本空间，因为它们分阶段发生。这些阶段可以连续发生（如一次抽一张牌）或同时发生（掷骰子）。随着实验复杂性的增加，样本空间变得更加复杂，因此选择一种系统的方法来识别所有可能的结果非常重要。我们将讨论的第一种方法是表格。
多阶段实验
树形图、表格和结果
m00089
几乎从定义上来说，不确定性是一个模糊的概念。为了给它施加足够的约束，以便我们能够从数学上研究它，我们将严格地在实验的背景下关注不确定性。回想一下，实验是结果未知的过程；实验的样本空间是所有这些可能结果的集合。当我们想谈论特定结果的可能性时，我们有时会将结果组合在一起；例如，在本节开头的*垄断*示例中，我们感兴趣的是2个骰子的滚动，可能是4、5或7。我们感兴趣的一组结果称为事件。换句话说，事件是实验样本空间的子集；它通常由实验者感兴趣的结果组成。
引入概率
确定或不可能的事件的概率很容易分配；它们分别只有1或0。对于可能发生或可能不发生的事件，我们该怎么做？有三种方法可以选择分配概率。我们将在这里按可靠性顺序讨论它们。
分配概率的三种方法
本章其余部分的目标之一是学习如何将复杂的概率计算分解为更简单的概率计算。在本节中，我们将看到我们可以用来实现这一目标的第一个工具；其余的将在后面介绍。
旧的新概率：补语
概率的基本概念
m00090
回想一下，我们可以使用排列来计算有多少种方法可以将列表中的多个项目按顺序排列。如果我们正在看一个样本空间看起来像有序列表的实验，那么排列可以帮助我们找到正确的概率。
使用排列计算概率
如果我们实验的样本空间是一个顺序无关紧要的样本空间，那么我们可以使用组合来查找该样本空间中的结果数量。
计算机概率的组合
具有排列和组合的概率
m00091
事件$E$中同等可能的结果数与事件$E\Prime$中同等可能的结果数*not*的比率称为事件的赔率（或胜算）。相反的比率（不在事件中的结果数与事件$E\Prime$中的结果数与事件$E$中的结果数的比率称为事件的赔率。
计算赔率
我们也可以把赔率想象成概率的比率。再考虑一下开局游戏中的即时获胜游戏，总共2,000,000张彩票中有500,000张中奖。如果一个玩家买了一张彩票，获胜的概率是$\frac{500,000}{2,000,000}=\frac{1}{4}$，失败的概率是1美元-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。请注意，获胜概率与失败概率的比率是$\frac{1}{4}：\frac{3}{4}=1:3$，这与获胜的赔率相匹配。
赔率作为概率比
几率有多大？
m00092
在我们开始本节的关键技术之前，我们必须首先介绍一些新的术语。假设你正在从标准一副牌中抽牌。我们将考虑3个事件：$H$是事件“这张牌是 $♡$,” $T$是事件“这张牌是10”，$S$是事件“这张牌是♠”。如果抽到的牌是$\text{J}♠$，那么$H$和$T$没有出现，但是$S$出现了。如果抽到的牌是10美元♠$，那么$H$没有出现，但是$T$和$S$都出现了。
相互排他性
如果两个事件相互排斥，那么我们可以使用加法来找到一个或另一个事件发生的概率。
互斥事件的加法规则
让我们回到我们用来探索加法规则的例子：我们即将从一个包含A、A、B、E、E、E、R、S、S、U的袋子中绘制一个*拼字游戏*图块。考虑这些事件：$J$是“画一个元音”，$K$是“画一个字母表中L后面的字母”。因为有6个元音，$P\old（J\right）=\frac{6}{10}$。有4个图块的字母按字母顺序排在L后面，所以$P\old（K\right）=\frac{4}{10}$。什么是$P\old（J\text{或}K\right）$？如果我们盲目地应用加法规则，我们得到$\frac{6}{10}+\frac{4}{10}=1$，这意味着复合事件$J$或$K$是确定的。但是，可以画一个B，在这种情况下，$J$和$K$都不会发生。错误在哪里？
发现事件不是互斥的概率
概率的加法规则
m00093
当我们分析具有多个阶段的实验时，我们经常根据其中一个或多个初始阶段的结果更新可能的最终结果或实验后期的概率，这些更新的概率被称为条件概率。
条件概率
对于多阶段实验，整个实验的结果通常根据各个阶段的结果来陈述。通常，这些陈述与“和”连接。例如，在上面的袜子抽屉示例中，一个结果可能是“左袜子是黑色的，右袜子是蓝色的”与“或”复合事件一样，这些概率可以用基本算术计算出来。
使用“和”和乘法规则的复合事件
条件概率和乘法规则
m00094
本节的工具适用于满足一些非常具体标准的多阶段实验。在我们继续分析之前，我们需要介绍和解释这些标准，以便我们能够识别属于这一类别的实验。满足这些标准的实验称为二项式实验。二项式实验是具有固定数量的重复独立二项式试验的实验，其中每个试验都有相同的成功概率。
二项式实验
如果我们掷100次硬币，你可能会期望头的数量在50左右，但是如果实际的头部数量是47或52，你可能不会感到惊讶。头部数量正好是50的概率是多少？还是落在45到55之间？我们似乎不太可能得到超过70个头。这到底有多不可能？
二项式公式
如果我们对二项式实验中不止一个结果的可能性感兴趣，将二项式公式视为一个函数是有帮助的，它的输入是成功的数量，它的输出是观察到这么多成功的概率。一般来说，对于少量试验，我们将以表格的形式给出该函数，在一列中列出可能结果的完整列表，在另一列中列出概率。
二项分布
二项分布
m00097
许多实验都有与结果相关的数字。有些很容易定义；如果你掷两个骰子，显示的数字之和就是一个很好的例子。在一些纸牌游戏中，纸牌有不同的点值；例如，在某些形式的游戏拉米中，王牌值15分；10、杰克、皇后和国王值10；所有其他纸牌值5。赌场和彩票游戏的结果都与输赢金额相关。这些结果值用于找到实验的期望值：我们将在大量重复实验中观察到的与结果相关的值的平均值。（有关手段的更多信息，请参阅条件概率和乘法规则。）
期望值
正如我们所指出的，实验的期望值是如果我们重复实验大量次，我们将观察到的值的平均值。（这种解释是由于概率论中的一个重要定理，称为大数定律。）让我们用它来解释前面例子的结果。
解释期望值
现在我们知道如何找到和解释期望值，我们可以把注意力转向使用它们。假设有人提出和你一起玩游戏。如果你掷骰子得到6，你得到10美元。然而，如果你得到5或以下，你就输了1美元。这是你想玩的游戏吗？让我们看看期望值：获胜的概率是$\frac{1}{6}$，失败的概率是$\frac{5}{6}$，所以期望值是10美元×\frac{1}{6}+\左（-1\右）×\frac{5}{6}=\frac{5}{6}\大约0.83美元。这意味着，平均而言，每次你玩这个游戏都会领先大约83美分。这是一笔很大的交易！另一方面，如果滚动6的奖金下降到\3美元，期望值变为3美元×\frac{1}{6}+\左（-1\右）×\frac{5}{6}=-\frac{1}{3}\约-0.33美元，这意味着您每次玩游戏平均应该损失约33美分。玩那个游戏不是一个好主意！一般来说，赌场和彩票公司就是这样赚钱的：每场游戏对玩家来说都有一个负期望值。
使用期望值
期望值
概率
m00001
导言
m00002
《文摘》的失败凸显了现在被认为是最重要的抽样标准的必要性：随机性。这种随机性可以通过多种方式实现。这里我们介绍一些最常见的。
采样和收集数据
一旦收集到数据，我们就把注意力转向分析。然而，在我们分析之前，将数据重新组织成一种使分析更容易的格式是有用的。例如，如果我们的数据是通过纸质调查收集的，我们的*原始数据*都是按受访者（由个人回复表表示）细分的。要对单个问题的所有回答进行分析，我们需要首先将每个问题的所有回答组合在一起。我们组织数据的方式取决于我们收集的数据类型。
组织数据
收集和组织数据
m00003
如果我们正在可视化的数据是分类的，那么我们需要一种快速的方法来以图形方式表示每个类别中的单位的相对数量。当我们在最后一节中创建频率分布时，我们所做的只是计算每个类别中的单位数量并记录该数字（这是该类别的*频率*）。当我们组织和汇总数据时，频率很好；它们很容易计算，而且总是整数。但是对于一个被介绍给你数据的局外人来说，它们可能很难理解。
可视化分类数据
有几种很好的方法可以可视化定量数据。在本节中，我们将讨论两种类型：茎叶图和直方图。
可视化定量数据
数据的图形表示可以通过故意误导读者的方式进行操作。有两种主要方法可以做到这一点：通过操纵轴上的刻度和通过操纵或歪曲条形图的区域。让我们看一些例子。
误导图
可视化数据
m00004
在我们关于平均高度的讨论中，我们提供的第一个可能的定义是比其他任何人都多的人共享的高度。这是模式，或者说最常出现的值。如果有两种模式，则数据是双峰的。
模式
让我们回顾一下我们试图识别“普通人”身高的例子。如果我们按身高将每个人按顺序排列，并在中间找到这个人，这个人的身高被称为中位数，或者大于不超过一半和小于不超过一半的值。
中位数
回想一下我们的例子，我们可以确定一个人的“平均”身高。我们讨论的最后一种方法也是最复杂的。它涉及一个游戏，玩家猜测一个高度，然后计算出这个猜测与每个人的身高有多远。这些差异被平方并加在一起得到分数。我们的下一个中心性度量给出了可能的最低分数：在游戏中没有其他猜测能打败它。给定一个包含*n*总值的数据集，数据集的平均值是所有数据值的总和，除以*n*。
中庸
如果模式、中位数和均值都声称测量同样的东西（中心性），为什么我们需要这三个？答案很复杂，因为每种测量都有自己的优势和劣势。模式计算起来很简单，但可能不止一个。此外，如果没有数据值出现不止一次，模式完全没有帮助。至于均值和中位数，这两种测量之间的主要区别在于它们如何受到极值的影响。
哪个更好：模式、中位数还是平均值？
均值、中位数和模态
m00005
我们对离散度的第一个度量是**范围**，或集合中最大值和最小值之间的差值。这是我们在上面的标准化测试示例中使用的度量。
山脉
均方差是一种离散度，可以解释为每个数据值距平均值的近似平均距离。（这个距平均值的距离是均方差中的偏差。）
标准偏差
范围和标准偏差
m00006
还有一些与“百分位数”相关的术语，你可以从它们的词根推断出它们的含义。请记住，*百分比*这个词的意思是“每一百个”。这反映了百分位数将我们的数据分成100个部分。四分位数这个词有一个词根，意思是“四个”。因此，如果一个数据值位于数据集的第一个分位数，这意味着如果你将数据分成四个部分（因为*四分位数-*），这个数据值位于这四个部分中的第一个部分之后。换句话说，它大于数据的25%，因此它位于第25个百分位数。五分位数的词根意思是“五”，因此第三个五分位数的数据值大于集合中数据的五分之三。这将使它位于第60个百分位数。这些的通用术语是分位数（根*quant*-表示“数字”）。
查找百分位数
百分位数
m00007
让我们看一下部分打开器中数据集的直方图：
走向常态
在上面的硬币翻转例子中，10,000次试验的头部数量分布接近完美对称和钟形：


！[标题为100次翻转的结果的组合图。组合图包括直方图和正态分布曲线。横轴表示头部数量从30到70，增量为10。纵轴表示频率从0到800，增量为200。直方图显示不同高度的柱形。横跨柱形高度绘制正态分布曲线，它推断出以下数据。曲线从（30,0）开始，峰值在（48,780），结束于（70,0）。]（…/./media/CS_Figure_08_06_068. jpg）
正态分布
正态分布最重要的性质与其均方差有关。如果一个数据集是完全正态分布的，那么68%的数据值将落在均值的均方差内。例如，假设我们有一组数据遵循正态分布，均值为400和均方差100。这意味着68%的数据将落在300（均方差*低于*平均值：400美元-100=300美元）和500（均方差*高于*平均值：400美元+100=500美元）之间。看下面的直方图，阴影区域代表图下和轴上总面积的68%：
正态分布的性质：68-95-99.7法则
当我们想应用68-95-99.7规则时，我们必须首先计算出我们的数据高于或低于均值的标准差有多少。这种计算很常见，以至于它有自己的名字：标准化分数。高于均值的值有正的标准化分数，而低于均值的值有负的标准化分数。由于通常使用字母$z$来表示标准分数，这个值也通常被称为$\mathbit{z}$**-mark**。
标准化分数
当我们处理整数$z$-分数时，68-95-99.7规则非常好。但是，如果$z$-分数不是整数，则该规则对我们没有帮助。幸运的是，我们可以使用技术来帮助我们。我们将在这里讨论Google表格中的内置功能，但其他工具的工作方式类似。
使用Google表格查找正常百分比
正态分布
m00008
有两种很好的方法来比较来自不同组的两个数据值：使用$z$-分数和使用百分位数。这两种方法总是会给出一致的结果（这意味着我们不会发现，例如，第一个值使用$z$-分数更好，但第二个值使用百分位数更好），所以使用哪个方法对你来说更舒服。
大学入学考试
在《正态分布》的开篇中，我们看到当我们抛硬币100次时，我们得到的头部数量是正态分布的。可以证明，如果$n$是翻转次数，那么该分布的平均值是$\frac{n}{2}$，均方差是$\frac{\sqrt{n}}{2}$（只要$n\ge 20$）。所以，对于100次翻转，分布的平均值是50，均方差是5。
在这个开场的例子中，我们早期的一次运行在100次翻转中给了我们70个头，我们注意到这似乎不寻常。使用正态分布，我们可以准确地识别出这到底有多不寻常。使用谷歌表格，公式“=NORM. DIST（70,50,5，TRUE）”给我们0.999968，这是99.997个百分位数！这有什么用？假设你需要测试一枚硬币是否公平，所以你把它翻转了100次。虽然如果我们从100次翻转中得到70个头，我们可能会怀疑，但我们现在有一个数字衡量这有多不寻常：如果硬币是公平的，我们预计会看到70个头（或更多）只有100美元-99.9968=0.0032%$的时间。那真的不太可能！像这样的分析与*假设检验*有关，这是统计学在科学和社会科学中的重要应用。
硬币翻转
每当我们处理具有对称和钟形分布的数据集时，我们都可以使用与正态分布相关的技术来分析数据。
分析正态分布的数据
正态分布的应用
m00009
在我们评估两个数据集之间的关系之前，我们必须首先决定我们是否认为一个数据集可能依赖于另一个数据集。在我们的考试示例中，可以说期末考试的分数取决于期中考试的分数，而不是相反：如果期中考试取决于期末考试，那么我们需要先知道最终分数，这没有意义。
定量数据集之间的关系
我们分析两个数据集之间关系的最后一步是找到并使用回归线方程。对于给定的一组解释和响应数据，回归线（也称为**最小二乘线**或最佳拟合线）是最能近似数据的线。
线性回归
回归技术的一个非常常见的误用涉及外推，这涉及对不属于数据集的东西进行预测。
外推法
关于统计学最常见的谬误之一与两个数据集之间的关系有关。在数据集“公共”中，我们发现第75百分位数的数学SAT分数和第75百分位数的口头SAT分数之间的相关系数是0.92，这非常强。从数学分数预测口头分数的回归线斜率是0.729，我们可以这样解释：“如果第75百分位数的数学SAT分数上升了10分，我们预计相应的口头SAT分数上升了7分多一点。”
相关性并不意味着因果关系
散点图、相关和回归线
统计学
m00035
导言
m00069
测量单位提供了共同的标准，因此无论在何处或何时测量物体或物质，结果都是一致的。测量距离时，测量单位可能是英尺、米或英里。重量可以用磅或克表示。体积或容量可以用加仑或升来衡量。理解公制度量单位之间的关系对于理解公制至关重要：
公制中的计量单位
与美国习惯测量系统不同，在美国习惯测量系统中，12英寸等于1英尺，3英尺等于1码，公制的结构使得系统中的单位以10的幂变大或变小。例如，一厘米是${10}^{-2}$，或比一米小100倍，而公里是103，或比一米大1000倍。
公制前缀
想象一下，你在网上订购了一本教科书，发货详情显示这本书的重量为1公斤。通过将字母“k”附加到克（g）的基本单位上，用于表示度量的单位是${10}^{3}$或大于一克的1000倍。一公斤相当于1000克。
转换公制度量单位
公制
m00070
因为面积是由两个长度相乘决定的，所以不同平方单位之间的差异是指数级的。换句话说，当一米的长度是一厘米的100倍时，一平方米$\左（{\text{m}}^{\text{2}}\right）$是100美元×100，\matrm{或} 10,000$比一平方厘米$\左（{\text{cm}}^{\text{2}}\right）$的面积大10,000$倍。基准公制面积单位之间的关系如下表所示。
合理的面积值
就像转换距离的度量单位一样，您可以转换面积的度量单位。但是，转换因子，或用于乘以或除以从一个面积单位转换为另一个面积单位的数字，与度量距离单位的转换因子不同。回想一下，面积的转换因子相对于距离的转换因子是指数级的。最常用的转换因子如[链接]所示。
换算面积度量单位
虽然解决面积问题似乎就像乘以两个数字一样简单，但确定面积通常需要更复杂的计算。例如，在测量表面面积时，您可能需要考虑与您的计算无关的表面部分。
解决涉及区域的应用问题
测量区域
m00071
因为体积是由乘以三个长度决定的，所以不同立方单位之间的差异是指数级的。换句话说，虽然一米的长度是一厘米的100倍，但一立方米，m3，是100美元×100×100，\matrm{or} 1,000,000美元的面积是一立方厘米的1倍，cm3。基准公制体积单位之间的这种关系如下表所示。
音量的合理值
就像转换距离的度量单位一样，您可以转换体积的度量单位。然而，转换因子，用于乘以或除以从一个体积单位转换为另一个体积单位的数字，不同于公制距离单位的转换因子。回想一下，体积的转换因子与距离的转换因子呈指数关系。最常用的转换因子如[链接]所示。
转换体积度量单位
你最后一次购买一瓶苏打水是什么时候？瓶子的体积是用立方厘米还是升表示的？升（L）是公制容量单位，通常用于表示液体的体积。一升的体积等于1立方分米。一毫升的体积等于1立方厘米。所以，当医生要求给病人注射10毫升（立方厘米）盐水时，他们指的是10毫升盐水。
了解其他体积单位
知道一个物体的体积可以让你知道这个物体能容纳多少。在制作一碗潘趣酒时，你可能想知道一个潘趣酒碗能容纳的液体总量。知道汽车油箱能容纳多少升汽油有助于确定一辆汽车在满油箱下能行驶多少英里。无论应用如何，了解体积对于许多日常和专业任务都是必不可少的。
解决涉及体积的应用程序问题
测量体积
m00072
要对公制重量有基本的了解，你必须能够确定重量的合理值。在测试合理性时，你应该同时评估单位和单位值。只有通过检查两者，你才能确定给定的重量是否适合这种情况。
合理的重量值
就像转换距离的度量单位一样，您可以将度量单位转换为权重。[链接]中说明了公制权重最常用的转换因子。
重量度量单位的转换
从儿童的安全到正确烹饪馅饼，知道如何解决涉及体重的问题对日常生活至关重要。让我们回顾一下知道如何处理公制体重可以促进重要决策和美味饮食的一些方法。
解决涉及重量的应用问题
测量重量
m00073
理解如何在华氏温度和摄氏温度之间转换是理解公制温度的一项基本技能。你可能知道低于32华氏度意味着冻结温度，也许0摄氏度也是如此。虽然很难回忆起水在212华氏度沸腾，但知道它在100摄氏度沸腾是一件相当容易记住的事情。
华氏温度和摄氏温度之间的转换
虽然在大多数情况下知道确切的温度很重要，但有时近似值就可以了。当试图评估温度值的合理性时，有一种更快的方法可以使用心算将温度转换为近似值。这些更简单的公式列在[链接]中。
温度的合理值
无论是出国旅行还是在临床实验室工作，知道如何解决涉及温度的问题都是一项重要的技能。许多食品标签都以盎司和克表示尺寸。大多数尺子和卷尺是双面的，一边用英寸和英尺标记，另一边用厘米和米标记。虽然许多温度计都有华氏和摄氏刻度，但在烹饪使用公制单位的食谱时，拿出温度计真的不实用。让我们回顾一下知道如何流利地使用摄氏刻度有助于解决问题的几个例子。
解决涉及温度的应用问题
测量温度
公制测量
m00036
导言
m00125
欧几里得写的第一个定义是点。他将点定义为“没有部分的东西”。后来，它被扩展为“一个不可分割的位置，没有宽度、长度或宽度。”以下是五个假设中的前两个，因为它们适用于第一个主题：
点与线
**平行线**是位于同一平面并向同一方向移动但从不相交的线。为了表示线${l}_{1}$和线${l}_{2}$是平行的，我们经常使用符号${l}_{1}\平行{l}_{2}。$平行线之间的距离$d$保持不变，因为线在两个方向上无限延伸。参见[链接]。
平行线
以${90}^{\Circ}$角相交的两条线是垂直线，用$\perp$表示。如果${l}_{1}$和${l}_{2}$垂直，我们写${l}_{1}\perp{l}_{2}。$当两条线形成直角时，一个${90}^{\Circ}$角，我们用一个小正方形$\square来表示它。$见[链接]。
垂直线
集合的并和交是集合论中的一个主题，通常与点和线相关联。所以，在这里介绍一个集合论的迷你版本似乎是合适的。首先，**set**是由一些常见标准连接的对象的集合。我们通常用大写字母命名集合。例如，0到10之间的奇数整数集看起来像这样：$A=\old\{1,3,5,7,9\right\}。$当它涉及到线、线段或点的集合时，我们通常指的是set的**并**或**交**。
定义集合的并和交集
**平面，根据欧几里得的定义，**是“与自身直线均匀分布的表面”。平面是具有无限长度和宽度且没有厚度的二维表面。我们还通过三个非共线点来识别平面，或者不位于同一条线上的点。想象一张纸，但它有无限长度、无限宽度和没有厚度。然而，并非所有平面都必须无限延伸。有时平面的面积有限。
飞机
点、线和平面
m00126
角度以弧度或度为单位测量。例如，测量$\pi$弧度或3.14159弧度的角度等于测量${180}^{\Circ}的角度。$测量$\frac{\pi}{2}$弧度或1.570796弧度的角度测量${90}^{\Circ}。$为了将度数转换为弧度，我们将度数乘以$\frac{\pi}{180}。$例如，要以弧度编写${45}^{\Circ}$


${45}^{\Circ}\左（\frac{\pi}{180}\右）=\frac{\pi}{4}=0.785398{\规则{0.28em}{0ex}}\text{弧度。}$
分类角度
可以通过几种方式命名角度。我们可以用三个点来命名角度，每条边上的一个点和中间的顶点，或者我们可以单独用顶点来命名它。此外，我们可以在点之前使用符号$\angle$或$\测量悬挂$。当我们引用角度的度量时，我们使用符号$m\测量悬挂$。见[链接]。
记谱法
具有相同起点或顶点和一个公共边的两个角称为相邻角。在[link]中，角$\angleDBC$与$\angleCBA$相邻。请注意，我们指定角的方式是在它的两条边各有一个点，顶点在中间。
邻角
如果两个角的度量之和等于${180}^{\Circ}，则两个角是**补充**。$在[链接]中，我们得到$m\测量悬挂FBE={35}^{\Circ}，$那么$m\测量悬挂ABE是什么？$这些是补充角度。因此，因为$m\测量悬挂ABF={180}^{\Circ}$，并且作为${180}^{\Circ}-{35}^{\Circ}={145}^{\Circ}，$我们有$m\测量悬挂ABE={145}{\Circ}。$
补充角度
如果两个角的度量之和等于${90}^{\Circ}，则两个角是**互补的**。$在[链接]中，我们有$m\测量悬挂ABC={30}^{\Circ}，$和$m\测量悬挂ABD={90}^{\Circ}。$什么是$m\测量悬挂CBD？$这些是互补的角度。因此，因为${90}^{\Circ}-{30}^{\Circ}={60}^{\Circ}，$\测量悬挂CBD={60}^{°}. $
互补角
当两条线相交时，相反的角称为垂直角，垂直角的度量相等。例如，[link]显示两条相互交叉的直线。一组相反的角显示角度标记；这些角有相同的度量。另外两个相反的角也有相同的度量。
垂直角度
当两条平行线被一条直线或**横向**交叉时，形成八个角，包括交替内角、交替外角、对应角、垂直角和补充角。见[链接]。角度1、2、7、8称为外角，角度3、4、5、6称为内角。
横断面
交替内角是横向相对两侧的内角。这两个角具有相同的度量。例如，$\测量悬挂3$和$\测量悬挂6$是交替内角，具有相等的度量；$\测量悬挂4$和$\测量悬挂5$是交替内角，也具有相等的度量。见[链接]。
交替的内部角度
交替外角是横向相对两侧的外角，并且具有相同的度量。例如，在[link]中，$\测量悬挂2$和$\测量悬挂7$是交替外角，并且具有相等的度量；$\测量悬挂1$和$\测量悬挂8$是交替外角，并且具有相等的度量。
交替的外部角度
对应角是指与横断面同侧的一个外角和一个内角，它们具有相等的度量。在[link]中，$\测量悬挂1$和$\测量悬挂5$是对应角，具有相等的度量；$\测量悬挂3$和$\测量悬挂7$是对应角，具有相等的度量；$\测量悬挂2$和$\测量悬挂6$是对应角，具有相等的度量；$\测量悬挂4$和$\测量悬挂8$是对应角，也具有相等的度量。
对应角度
角度
m00127
将任意三个非共线点与线段连接会产生一个三角形。例如，给定点$A$、$B$和$C$，由线段$\overline{AB}、\overline{BC、}$和$\overline{AC}连接，$我们有一个三角形，如[link]所示。
识别三角形
如果两个三角形的角度相等，边长相等，则三角形全等。换句话说，如果你能拿起一个三角形，放在另一个三角形的上面，它们重合了，即使你必须旋转一个，它们也是全等的。
同余
以下定理是您可以用来证明两个三角形是全等的工具。我们使用符号$\cong$来定义同余。例如，$\text{Δ}ABC\cong\text{Δ}DEF$。
同余定理
如果两个三角形具有相同的角度测量，形状相同但大小不同，则两个三角形相似。一个三角形的边的长度将与第二个三角形的相应边成正比。请注意，单个分数$\frac{a}{b}$称为比例，但两个彼此相等的分数称为比例，例如$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}。$
相似度
三角形
m00128
多边形是一个封闭的二维形状，按直线边的数量分类。一些例子见[链接]。我们只展示了多达八个边的多边形，但是还有很多很多。
识别多边形
周长是指以线性单位给出的某个区域或区域的外部测量值。例如，为了找出你需要多少围栏来包围你的后院，你需要周长。**周长**的一般定义是封闭区域两侧长度的总和。对于一些几何形态，如矩形和圆形，我们有公式。对于其他形状，这只是把边长加起来的问题。
周长
为了求正多边形内角的度量之和，我们有以下公式。
内外角之和
圆的周长称为**周长**。为了找到周长，我们使用公式$C=\pi d，$其中$d$是直径，穿过中心的距离，或者$C=2\pi r，$其中$r$是半径。
圆与周长
多边形、周长和周长
m00129
规则镶嵌意味着图案由全等的规则多边形组成，大小和形状相同，包括*某种类型的运动*；即某种类型的变换或对称。这里我们考虑平移、旋转、反射或滑动反射的刚性运动。镶嵌平面具有以下属性：


*模式重复并填充平面。
*没有间隙或重叠。形状必须完美地结合在一起。（埃舍尔确定一个合适的镶嵌可以没有间隙和重叠。）
*使用转换组合形状。
*所有形状都在一个顶点连接。换句话说，如果你要在一个顶点周围画一个圆，它将包括在该顶点接触的每个形状的一个角。
*对于正则全等多边形的镶嵌，在一个顶点相遇的内角的度量之和等于${360}^{\Circ}。$
镶嵌属性和转换
一个镶嵌的内角之和是${360}^{\Circ}$。在[link]中，镶嵌由六个三角形组成，形成六边形的形状。三角形内的每个角等于${60}^{\Circ}$，六个顶点满足这些内角之和，6美元\左（{60}^{°}\右）={360}^{°}$.
内部角度
我们可能会认为所有规则的多边形都会自己镶嵌平面。我们已经看到正方形和六边形是这样做的。[链接]中的正方形图案是水平和垂直形状的平移。[链接]中的六边形图案是水平平移的，然后在对角线上平移，向右或向左。这种特殊的图案也可以通过旋转形成。两种镶嵌都是由全等的形状组成的，随着图案的重复，每种形状都非常吻合。
镶嵌形状
镶嵌
m00130
三角形面积的公式如下。
三角形面积
四边形是有四个顶点的四边多边形。一些四边形有一组或两组平行的边。四边形的集合包括正方形、矩形、平行四边形、梯形和菱形。最常见的四边形是正方形和矩形。
四边形面积
类似地，矩形的面积是通过将长度乘以宽度来找到的。[link]中的矩形宽度等于5英寸，长度等于12英寸。面积为$A=5\左（12\右）=60{\规则{0.28em}{0ex}}{\text{in}}^{2}。$
矩形
平行四边形的面积可以用三角形的面积公式来求。请注意，在[link]中，如果我们在平行四边形上从一个顶点到另一个顶点切割一条对角线，我们有两个三角形。如果我们将三角形的面积乘以2，我们就有了平行四边形的面积：


$\开始{数组}{ccc}\h签字A&\h签字=\h签字&2\左（\frac{1}{2}bh\右）\h签字\\h签字A&\h签字=\h签字&bh\h签字\end{数组}$
平行四边形
另一个四边形是梯形。梯形有一组平行的边或基。这里给出了具有平行底座$a$和$b$和高度$h$的梯形的面积公式。
梯形
要找到正多边形的面积，我们需要了解更多的元素。首先，正多边形的边心距$a$是从中心开始并垂直于侧面的线段。正多边形的半径$r$也是从中心开始但延伸到顶点的线段。见[链接]。
多边形面积
正如圆的周长包括数字$\pi一样，$的圆面积公式也是如此。回想一下，$\pi$是一个非终止的、不重复的十进制数：$\pi=3.14159\dots$。它表示周长与直径的比率，因此它是计算周长和面积的临界数。
圆面积
假设你想在你的后院露台上安装一个圆形热水浴缸。你会如何计算热水浴缸所需的空间？或者，假设你想购买一张新的餐桌，但你不确定你是否有足够的空间放它。这些是人们每天面临的常见问题。那么，让我们来看看我们是如何解决这些问题的。
区域内区域
面积
m00131
在几何学中，三维物体被称为几何实体。表面积是指环绕固体的平面，以正方形单位测量。体积是指固体内部的空间，以立方单位测量。想象一下，你有一个正方形的平面，有宽度和长度。添加第三个维度会增加深度或高度，这取决于你的观点，现在你有了一个盒子。查看这个概念的一种方法是在笛卡尔坐标三维空间中。正如您所料，$x$-轴和$y$-轴是二维的，适合绘制二维图形和形状。添加$z$-轴，它通过垂直于$xy$-平面的原点拍摄，我们就有了第三个维度。参见[链接]。
三维物体
右棱镜是一种特殊类型的三维物体。它有一个多边形的底座和一个全等的、规则的多边形顶部，它们由其侧边的高度连接，如[link]所示。侧边与底座和顶部形成直角。有矩形棱镜、六边形棱镜、八边形棱镜、三角形棱镜等。
右棱镜
棱镜和圆柱体有相似之处。棱镜的顶部和底部是平行的全等多边形，而右圆柱体是一个三维物体，顶部和底部是全等圆。右棱镜的侧边与多边形底部成${90}^{\Circ}$角，圆柱体的侧面展开为矩形，与圆形底部成${90}^{\Circ}$角。
右气缸
以下只是表面积和体积是关键因素的一小部分应用类型。稍微考虑一下，您将意识到这些程序的更多实际用途。
表面积和体积的应用
涉及优化的问题是在某些给定条件下寻找最佳解决方案的问题。通常，人们希望微积分来解决这些问题。然而，许多几何应用可以用本节学习的工具来解决。假设你想为你的沙发做一些抱枕，但是你的布料数量有限。你想用你拥有的布料做最大的枕头，所以你需要弄清楚符合这些标准的枕头的尺寸。另一种情况可能是你想在后院用栅栏围起来建一个花园。你有有限的围栏，但是你希望花园尽可能大。你将如何确定花园的形状和大小？也许你正在寻找最大体积或最小表面积。最小成本也是优化的一个流行应用。让我们探索几个例子。
优化
体积和表面积
m00132
勾股定理用于寻找直角三角形的未知边，该定理指出，直角三角形两条腿的平方和等于斜边（直角三角形最长边）的平方。
勾股定理
勾股定理的应用数不胜数，但一个特别有用的应用是距离。事实上，距离公式直接源于定理。它是这样工作的：
距离
在几何中，就像在所有数学领域一样，对于特殊情况总是有特殊的规则。一个例子是代数中的*完美平方*规则。当展开像${\old（2x+5y\right）}^{2}这样的表达式时，$we不必将其展开很长时间：


$\开始{数组}{ccc}\hfy{\左（2x+5y\right）}^{2}&\hfy=\hfy&\左（2x+5y\right）\左（2x+5y\right）\hfy\\hfy&\hfix=\hfix&{\左（2x\right）}^{2}+10xy+10xy+{\左（5y\right）}^{2}\hfy&\hfy=\hfy&4{x}^{2}+20xy+25{y}^{2}\hfy\end{数组}$
${30}^{\Circ}\text{-}{60}^{\Circ}\text{-}{90}^{\Circ}$三角形
${45}^{\Circ}\text{-}{45}^{\Circ}\text{-}{90}^{\Circ}$三角形是另一个*特殊*三角形，这样我们就可以找到所有边的尺寸。与${90}^{\Circ}$角相邻的两个角相等，每个角测量${45}^{\Circ}。$如果两个角相等，则它们的相对边也相等。边之间的比率为1美元： 1：\sqrt{2}，$或$x：x\sqrt{2}，$如[链接]所示。
4美元{5}^{\Circ}\text{-} 4{5}^{\Circ}\text{-}9{0}^{\Circ}$三角形
三角学是在公元前200年左右发展起来的，当时在天文学和测量领域需要确定距离和计算角度的度量。三角学是关于角度测量与主要是直角三角形中边长的关系（或比率）。然而，三角学在计算其他三角形中缺失的边长和角度以及许多应用中很有用。
三角函数
涉及三角函数的其他问题包括计算仰角和俯角。这些是日常生活中非常常见的应用。仰角是水平线和视线从观察者到较高水平的某个物体形成的角度。俯角是水平线和视线从观察者到较低水平的物体形成的角度。
仰角和俯角
直角三角形
几何
m00024
导言
m00025
当选举只涉及两个选项时，简单多数是确定获胜者的合理方法。多数是一个等于总数一半以上或50%以上的数字。
多数对多数投票
你的家人曾经争论过晚餐吃什么吗？假设你的家人正在决定一家餐馆，正好一半人想吃比萨饼，但另一半人想吃汉堡。你如何决定结果何时是平局？你需要一个决胜局！
决选投票
为了通过多数或当多数选举进行决选时确定获胜者，我们采取以下三个步骤：
通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤
在[链接]和轮到你11.4中，你会得到一个列表，对每个选民的偏好进行排序。这种顺序称为偏好排名。要求选民对其偏好进行排序的投票是排名投票，任何选民使用排名投票的投票系统都称为排名投票。
排名选择投票
为了确定排名选择投票时的获胜者，我们采取以下三个步骤：
通过排名选择投票确定获胜者的步骤
排序投票是一种基于排序选票模拟多次决选的排序投票。另一种排序投票是**Borda计数法**，它使用排序选票，根据每张选票上排名较低的候选人人数奖励候选人积分。
博尔达计票
到目前为止，我们已经讨论了两种排序投票方法：排序选择和博尔达计数。第三种排序投票方法是**成对比较法**，在这种方法中，候选人在一对一选举中击败的每个候选人都会获得一分，他们会为每个候选人获得半分。如果一个候选人比其他候选人获得更多的分数，那么该候选人就赢了。这种方法是几种**孔多塞投票方法**中的一种，这种方法是候选人被排序，然后成对比较，候选人必须击败所有其他人才能获胜。这些方法对候选人的评分方式各不相同，并不总是有明确的获胜者。赢得每种可能配对的候选人被称为**孔多塞候选人**。这些术语是以法国哲学家和数学家孔多塞侯爵的名字命名的，他更喜欢成对比较法而不是野兔法，并公开发表了支持它的论点。
成对比较和孔多塞投票
为了在使用成对比较方法时确定获胜者，我们采取以下三个步骤：
使用矩阵的成对比较方法确定获胜者的步骤
在您决定是否要对Imaginarian选举使用成对比较方法之前，让我们考虑三个可能影响您的决定的问题。
三个关键问题
你将考虑的最后一种类型的投票制度是批准投票制度。在这个系统中，每个选民可以批准任意数量的候选人，而不考虑排名或对另一个候选人的偏好（在被批准的候选人中），大多数选民认可的候选人获胜。
这种投票制度与多数投票和孔多塞投票方法有共同之处，但它有区别于两者的特点。批准投票选票列出了候选人，并提供了批准或不批准每个候选人的选项。
批准投票
哇！我们已经讨论了很多投票方法的选择。现在，你需要决定哪一个最适合想象。想象主义者可能认为某些投票系统的特征是可取的，而另一些是不可取的。在某些情况下，选民可能认为这些不受欢迎的特征是投票系统中的缺陷，这些缺陷足以激励他们拒绝该系统。如果你对这个决定感到有点不知所措，也许阅读其他面临类似问题的人的经历会有所帮助。
比较和对比投票方法以识别缺陷
投票方法
m00026
投票中最基本的概念之一是大多数选民应该支持候选人获胜的想法，没有多数人的支持，候选人不应该获胜。这个概念被称为多数标准。
多数标准
在为Imaginaria选择投票方法时，您必须考虑的另一个公平标准是孔多塞标准，也称为头对头标准。只要孔多塞候选人存在，只要孔多塞候选人赢得选举，选举方法就满足孔多塞标准。孔多塞方法是任何满足孔多塞标准的投票方法。
头对头标准
Imaginaria的市民可能会惊讶地发现，选民有可能通过将候选人在选票上的排名提高来导致该候选人失败。这公平吗？大多数选民会说，“绝对不行！！”这是一个违反被称为**单调性标准**的公平标准的例子，该标准在没有候选人因排名上升而受到伤害或因排名下降而得到帮助的情况下得到满足，前提是所有其他选票保持不变。
单调性判据
我们已经讨论了很多关于投票公平的问题，但是还有一个公平标准，你和其他想象主义者应该知道。想想这个著名的轶事，它有时被认为是美国哲学家西德尼·摩根贝瑟的：
无关替代标准
投票方法的公平性
m00027
在意象主义的新民主制国家中，有四个州：虚构镇、普莱登斯特德、伊卢森汉姆和米斯伯里。每个州都将在意象主义立法机构中拥有代表。你现在可能会就你的公民将使用哪种投票方式来选举代表达成一致。然而，在这个过程开始之前，你必须决定每个州将获得多少代表。这个决定将带来自己的挑战。
分配问题
美国国会有两院：参议院和众议院。每个州有两名参议员，但众议员的人数取决于该州的人口。美国众议院的代表席位数目前法律规定为435个。为了将席位公平地分配给每个州，必须计算美国人口与代表席位数的比率。总人口与房屋面积的比率称为标准除数，它是一个席位所代表的总人口中的成员人数。
标准除数
一旦计算出想象力立法机构的标准除数，下一个任务就是确定每个州应该获得的席位数量，这被称为州的标准配额。除非所有州的人口相同，否则每个州将获得不同数量的席位，因为数量将与州人口成比例。为了确定这些数量，我们将使用我们之前学到的一个想法。回想一下，当项目$A$的单位数量与项目$B$的单位数量成比例时，我们有：$\text{{\规则{0.28em}{0ex}}A=\frac{\text{单位}{0.28em}{0ex}}B}{\text{比例{0.28em}{0 ex}}B\text{'s to}{\规则{0.28em}{0ex}}A\text{'s}}$
标准配额
标准除数、标准配额和分摊问题
m00028
在标准除数、标准配额和分配问题中，我们计算了标准除数和各种分配场景中的标准配额。这些计算的结果通常会导致单位的分数和小数。然而，众议院的席位、教室里的笔记本电脑或各种其他资源是不可分割的，这意味着它们不能被分成小数部分。这留下了一个需要做出的决定。例如，如果分配给教室的笔记本电脑数量的标准配额是12.44个单位，我们如何处理0.44的小数部分？目前尚不清楚教室是否应该获得12个单位、13个单位或其他一些值。让我们尝试传统的四舍五入到最接近的整数值。
仔细看看分摊问题
用传统的四舍五入方法将标准配额转化为整数时遇到的一个问题是，值的总和可能大于可用席位的数量。避免这种情况的一个合理方法是总是四舍五入，即使小数点后第一位是5位或更大。例如，12.33的标准配额和12.99的标准配额都会四舍五入到12。这就是所谓的较低配额。
哈密尔顿分摊法
应用汉密尔顿分摊法时，我们遵循五个步骤：
汉密尔顿分摊法的步骤
被认为是有利的分配的一个特征是，最终配额值都是从标准配额中四舍五入或四舍五入产生的。四舍五入产生的值称为较低配额，四舍五入产生的值称为上限配额。
配额规则
处理标准配额的小数部分的另一种方法是修改标准因子，使由此产生的修改后的较低配额的总数是必要的席位数。这是杰斐逊使用的方法。
杰斐逊的分摊方法
我们采取四个步骤来应用杰斐逊的分摊方法：
杰斐逊分摊方法的步骤
亚当斯的分摊方法是另一种基于修正除数的分摊方法。然而，亚当斯没有像杰斐逊那样将变化基于较低配额的总和，而是使用了较高配额。
亚当斯分摊法
韦伯斯特的分摊方法是另一种基于修正除数的分摊方法。然而，韦伯斯特没有像杰斐逊那样根据较低配额的总和或亚当斯那样根据较高配额的总和来进行变化，而是使用了传统的四舍五入。
韦氏分摊法
回想一下，本章讨论的四种分摊方法在两个主要方面有所不同：
比较分摊方法
正如我们所看到的，不同的分配方法在某些情况下可能会产生相同的结果，但在其他情况下会产生不同的结果。使用特定分配方法获得较少席位的州的公民会认为分配方法有缺陷，并支持不同的方法。这不可避免地会引发关于使用一种方法而不是另一种方法的争论。有利于较大国家的方法可能会受到较小国家的挑战，有利于较小国家的方法可能会受到较大国家的挑战，违反配额规则的方法可能会受到任何规模的国家的挑战，具体取决于具体情况。
分摊方法的缺陷
分摊方法
m00029
Imaginaria的市民希望分配方法尽可能公平。他们合理地期望从公平分配中获得某些特征。
分摊悖论
1880年美国人口普查时，汉密尔顿分配法取代了杰斐逊法。众议院的席位数量并不是固定的。为了实现尽可能公平的分配，选择了房屋大小，这样汉密尔顿和韦伯斯特方法就会产生相同的分配。人口普查局的首席职员计算了275到350间房屋大小的分配。有一个令人惊讶的结果被称为阿拉巴马悖论，据说当房屋大小的增加减少了一个州的配额时，就会发生这种情况。阿拉巴马州将获得8个房屋大小为299的席位，但如果房屋大小增加到300个，则只能获得7个席位。（迈克尔·考尔菲尔德（Michael J. Caulfield）（甘农大学），“在美国国会中分配代表——分配悖论”，*收敛*（2010年11月），DOI：10.4169/loci003163）
阿拉巴马悖论
对于Imaginaria的创始人来说，记住各州的人口随着时间的推移而变化是很重要的。一些人口增长，一些人口减少。一些人口大量增加，而另一些人口则少量增加。这些变化可能需要重新分配席位，或者由于人口的变化而重新计算州配额。对Imaginaria来说，期望人口增长超过其他州的州将在其他州之前获得席位是合理的。同样，汉密尔顿分配方法并不总是如此。一个州的人口增长率是人口变化与人口原始规模的比率，通常用百分比表示。如果人口增加，这个值是正的，如果人口减少，这个值是负的。人口悖论发生在人口增加的州失去席位，而人口减少的州要么保留席位，要么获得席位。更一般地说，人口悖论发生在人口增长率较高的州失去席位，而人口增长率较低的州保留或获得席位。
人口悖论
作为Imaginaria的创始人，您可能还会考虑Imaginaria可以兼并附近的土地并增加州的数量的可能性。这种情况在美国发生过几次，例如1907年俄克拉荷马州成为一个州时。众议院的规模从386增加到391，以容纳俄克拉荷马州的五个席位配额。当使用汉密尔顿的方法重新分配席位时，纽约失去了一个席位给缅因州，尽管他们的人口没有变化。这是新州悖论的一个例子，当一个新州的增加伴随着席位的增加以维持人口与席位的标准比例，但现有的一个州在由此产生的重新分配中失去了一个席位时，就会发生这种情况。
新国家悖论
理想的分摊方法应同时满足以下四个公平标准。
寻找完美的分摊方法
分摊方法的公平性
表决和分配
m00037
导言
m00109
在图中，对象用点表示，它们的连接用[link]中的线表示。[link]显示一个标记为*G*的简单图和一个标记为*H*的多重图。这些点被称为顶点；单个点是一个**顶点**，它是一组对象的一个对象，其中一些对象可能是相连的。我们经常用字母标记顶点。例如，图*G*有顶点*a、b、c*和*d*，Multigraph*H*有顶点，*e、f、g*和*h*。连接两个顶点的每个线段或连接称为边。*H*被认为是一个多重图，因为它在*f*和*h*之间有一个双边，在*h*和*g*之间有一个双边。*H*被称为多重图的另一个原因是它有一个将顶点*e*连接到自身的循环；循环是将顶点连接到自身的边。简单图中不允许循环和双边。
图的部分
当图形用于建模和分析现实世界的应用程序时，在特定顶点相遇的边的数量很重要。例如，图可以表示特定机场的直飞航班连接，如[link]。用图而不是地图表示连接会将焦点从机场连接的相对位置和方向转移。在[link]中，顶点是机场，边缘是直飞路径。特定机场和其他南佛罗里达机场之间的航班连接数量是在特定顶点相遇的边的数量。例如，基韦斯特有直飞航班到图上五个机场中的三个。在图形理论中，我们会说顶点FYW有3度。顶点的度是连接到该顶点的边的数量。
用图形分析地理地图
地理地图只是图表可以描述的许多现实世界场景之一。任何对象相互连接的场景都可以用图表表示，并且连接不一定是物理的。想想你通过社交媒体与世界各地的人建立的所有联系！谁在你的推特粉丝网络中？你连接到谁的Snapchat网络？
社交互动图
图形基础
m00110
科学家研究这些网络的一个原因是确定当网络中的节点和连接出现故障时，网络内的通信继续成功的程度。图表可以用来研究这些网络的弹性。（Mikey Taylor，《神经科学中的图论和机器学习》，Medium.com，2020年6月24日）
顶点度的重要性
在[link]和你的TURN 12.6中将图形理论应用于神经科学和社会学中，顶点的度数和网络的弹性之间存在相关性。许多领域的研究人员也观察到图中边的数量和顶点的度数之间存在直接关系。要开始理解这种关系，请考虑[link]中五个顶点和零边的图。
边数与顶点度数的关系
假设一个房间里有五个陌生人，*A*、*B*、*C*、*D*和*E*，每个人都将被介绍给其他人。需要多少介绍？开始回答这个问题的一种方法是画一个图表，每个顶点代表房间里的一个人，每个边代表一个介绍，如[link]。
完备性
有时图表是更大图表的一部分。例如，来自[链接]的南佛罗里达机场图表是包括佛罗里达中部奥兰多国际机场在内的更大图表的一部分，如[链接]所示
子图
当你想到日常生活中的循环时，你可能会想到以同样的方式开始和结束的事情。例如，水循环（[链接]）始于湖泊或海洋中的水，蒸发成水蒸气，凝结成云，然后以雨或其他形式的降水返回地球，沉降成湖泊或海洋。图形理论中的循环相似之处在于它以相同的方式开始和结束：它是一系列连接的边，在同一顶点开始和结束，但在其他方面永远不会重复任何顶点。
识别和命名循环
当循环作为子图出现在更大的图中时，它们被称为**循环子图**。循环子图通过按顺序列出顶点来命名。您开始的顶点并不重要。[link]中的图*K*有两个三角形循环（*g*，*h*，*j*）和（*h*，*i*，*j*），以及一个四边形循环（*g*，*h*，*i*，*j*）。
循环子图和团
正如完全图有可预测的边数量一样，完全图也有可预测的循环子图数量。让我们看看[link]中显示的具有多达六个顶点的完整图中的三个圈。
完全图中的三圈
图结构
m00111
在算术中，当两个数字具有相同的值时，我们说它们相等，就像½=0.5。虽然½和0.5看起来不同，但它们具有相同的值，因为它们在实数线上被分配了相同的位置。我们什么时候说两个图相等？
什么时候两个图真的是同一个图？
验证两个图是否同构可能是一个具有挑战性的过程，尤其是对于较大的图。检查图可能不同的任何明显方式是有意义的，这样我们就不会花时间试图验证图是否同构。如果两个图有[链接]中显示的任何差异，那么它们就不可能是同构的。
两个图什么时候真正不同？
尽管具有相同的底层结构，但表示相同连接模式的同构图看起来可能非常不同。边缘可以拉伸和扭曲。图表可以旋转或翻转。例如，在[link]中，每个图表都代表相同的连接模式。
同构图的识别
当两个图是同构的，这意味着它们具有相同的结构时，它们的顶点之间存在对应关系，可以通过列出相应的顶点对来命名。这种对应顶点对的列表，使得一个图中的任何相邻对对应于另一个图中的相邻对，称为**同构**。考虑[link]中的同构图。在[link]中，我们可以将标签Graph*F*替换为Graph*A*中的标签，并具有相同的图，如[link]。
识别和命名同构
假设你是沃贝根营地的营地辅导员，你正在举办一个有四个项目的营地奥运会。露营者已经报名参加了这些活动。你在[链接]中画了一个图表来帮助你想象哪些项目有露营者的共同点。
互补图
比较图
m00117
假设[link]是一个你想解决的迷宫。你想从开始到结束。
步行
游走是导航图形的最基本方式，因为它除了停留在图形上之外没有任何限制。当我们可以访问哪些顶点或边有限制时，我们会用不同的名称来称呼游走。例如，如果我们想找到一条避免两次在同一边旅行的游走，我们会说我们想找到一条小径（或有向小径）。如果我们想找到一条避免两次访问同一顶点的游走，我们会说，我们想找到一条路径（或有向路径）。
路径和步道
在图形理论的许多应用中，例如创建高效的交付路线，在同一位置开始和结束是一个要求。当一个步行、路径或小径在它们开始的同一位置或顶点结束时，我们称之为闭合。否则，我们称之为开放（不在同一位置或顶点开始和结束）。下表给出了一些封闭步行、封闭小径和封闭路径的例子。
电路
到目前为止，在本节中，我们已经了解了如何以不跳过任何顶点的顺序从一个顶点到另一个顶点来导航图形，但是在某些应用程序中，我们可能希望跳过顶点。还记得比较图表中的Woeengone营地奥运会吗？你计划了一个有四个项目的营地奥运会。露营者报名参加了这些活动。你画了一个图表来帮助你可视化哪些项目有露营者的共同点。[link]中Graph*E*的顶点代表事件，相邻的顶点表示有露营者参加这两个项目。
图形着色
让我们看看这些事实如何帮助我们为[link]中的图表着色。
创建颜色来解决问题
给图上色解决问题的想法，灵感来自于数学中最著名的问题之一“四色问题”。这个想法是，不管一张地图有多复杂，只需要给地图上色四种颜色，这样两个共享边界的区域就不会有相同的颜色。多年来，每个人都怀疑这是真的，因为没有人能创造出一张需要超过四种颜色的地图，但他们无法证明这是普遍的。最后，图形被用来解决这个问题！
四色问题
导航图
m00119
在我们讨论寻找最佳送货路线之前，我们必须确保有一条路线。例如，假设你的任务是乘飞机访问[链接]图中的每个机场。你能完成这项任务，只在图中列出的机场之间选择直飞航线吗？换句话说，所有机场都有路径连接吗？还是一些机场与其他机场断开连接？
连通性
柯尼斯堡市，即今天的俄罗斯加里宁格勒，有分隔城市的水道。在18世纪，这座城市有七座横跨不同水道的桥梁。这些桥梁的地图显示在[链接]中。关于是否有可能找到一条穿过每座桥一次并返回起点的路线的问题被称为柯尼斯堡桥问题。1735年，有史以来最有影响力的数学家之一伦纳德·欧拉用他自己创造的数学领域图形理论解决了这个问题！
欧拉电路的起源
在沃贝根营地，露营者乘坐独木舟在水路上旅行。作为沃贝根营地奥运会的一部分，你们将举行一场独木舟比赛。你们在11条不同的溪流中的每条溪流上都设置了一个检查站。比赛要求每支队伍穿越每条溪流，以任何顺序通过检查站，然后回到起跑线，如[链接]所示。
中国邮递员问题
解决中国邮递员问题需要通过任何访问每个边的图或多图找到一个最短的电路。在欧拉图的情况下，这意味着找到一个欧拉电路。我们将使用的方法是找到图中的任何电路，然后从第一个电路的顶点开始找到第二个电路，该电路只使用第一个电路中没有的边，然后从前两个电路中的任何一个电路的顶点开始找到第三个电路，该电路只使用前两个电路中没有的边，然后继续这个过程，直到所有的边都被使用。最后，你将能够将所有的电路连接在一起成为一个大的欧拉电路。
识别欧拉电路
中国邮递员问题不仅适用于欧拉图。回想一下需要将邮件投递到细分街道的每个街区的邮政送货员。我们使用[link]中的地图来创建[link]中的图形。
欧拉化
欧拉电路
m00120
如果我们需要一条遍历图中每条边的轨迹，这将被称为欧拉轨迹。因为轨迹是不重复边的行走，欧拉轨迹只访问每条边一次。
欧拉小径
正如欧拉确定只有具有偶数度顶点的图才有欧拉回路一样，他也意识到具有欧拉轨迹的图中唯一的奇数度顶点是开始顶点和结束顶点。例如，在[link]中，图*H*正好有两个奇数度顶点，顶点*g*和顶点*e*。注意我们在[link]的Excercise 3中看到的欧拉轨迹从顶点*g*开始，到顶点*e*结束。
五个房间拼图
现在我们知道哪些图有欧拉轨迹，让我们研究一种找到它们的方法。我们将使用的方法涉及识别图中的桥梁。桥梁是一条边，如果删除，它会增加图中组件的数量。桥梁通常被称为切边。在[link]中，有几个桥梁的例子。请注意，不属于循环的边始终是桥梁，而属于循环的边永远不是桥梁。
桥梁和地方桥梁
现在我们已经熟悉了桥，我们可以使用一种叫做弗勒里算法的技术，它是一系列步骤或算法，用于在任何图中找到欧拉轨迹，该轨迹恰好有两个奇数度的顶点。
用Fleury算法寻找欧拉轨迹
欧拉小径
m00121
在我们看汉密尔顿难题的解决方案之前，让我们回顾一下我们在[link]中使用的一些词汇。记住有向循环是一种不重复任何边或顶点的电路会很有帮助。
汉密尔顿之谜
让我们练习命名和识别哈密顿循环，以及将它们与欧拉电路区分开来。重要的是要记住，欧拉电路访问所有边而不重复，而哈密顿循环访问所有顶点而不重复。哈密顿循环像所有电路一样由它们的顶点命名。[链接]中给出了一个例子。
汉密尔顿循环vs.欧拉电路
在许多数学领域，我们必须计算像7美元\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$或11美元\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$这样的乘积，这些乘积涉及将特定数字中的所有计数数乘以1。想象一下，该乘积碰巧是从100到1的所有数字。这是很多文字！数学家们没有把所有这些都写出来，而是想出了一种速记符号。例如，我们写7美元！$，而不是7美元\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$，这是“7阶乘”。换句话说，从$n$到1的所有计数数的乘积称为$n$阶乘，它写为$n！$
阶乘
现在，让我们回到回答完整图中有多少汉密尔顿循环的问题。在[link]中，我们已经绘制了一个有四个顶点的完整图中的所有四个循环。记住，循环可以从循环中的任何顶点开始命名，但我们会从顶点$a$开始命名它们。
计算完整图中的Hamilton循环
假设美国空军中一名驻扎在范登堡空军基地的军官在返回范登堡之前必须开车去参观另外三个加州空军基地，该军官需要参观每个基地一次，[link]中图表中的顶点代表四个美国空军基地，范登堡、爱德华兹、洛杉矶和比尔。边缘用每对城市之间的行车距离标记。
加权图
汉密尔顿循环
m00122
正如只访问一次图中每个顶点的电路被称为Hamilton循环（或Hamilton电路），只访问一次图中每个顶点的路径被称为Hamilton路径。当我们探索Hamilton路径时，您可能会发现通过查看[link]来刷新您对步行、路径和路径之间关系的记忆是有帮助的。我们知道路径是不重复任何顶点或边的步行。因此，Hamilton路径访问每个顶点而不重复任何顶点或边。[link]显示了从顶点*A*到顶点*E*的路径和从顶点*A*到顶点*E*的Hamilton路径。
汉密尔顿路径
事实证明，在[link]的Graph*G*中，顶点*A*和*E*之间不存在Hamilton路径。为了理解为什么，让我们想象在一座桥的一边有一棵红苹果树，在桥的另一边有一棵绿苹果树。现在假设有人让你捡起每棵树下所有掉落的苹果，而不要过一次以上的桥，并确保你捡起的第一个苹果和最后一个苹果都是红色的。你会说，那是不可能的！要想让第一个和最后一个苹果都是红色的，要么需要把青苹果留在地上，要么需要两次过桥。
汉密尔顿路径的存在
我们在欧拉轨迹中了解到，欧拉轨迹只访问每个边一次，而汉密尔顿路径只访问每个顶点一次。让我们练习区分两者。
汉密尔顿小径还是欧拉小径？
汉密尔顿路径
m00123
算法是可用于解决特定问题的一系列步骤。我们在本章中解决了许多问题，我们使用的程序是不同类型的算法。在本节中，我们将使用两种常见类型的算法，蛮力算法和贪心算法。蛮力算法首先列出每一个可能的解决方案，并应用每一个解决方案，直到找到最佳解决方案。贪心算法分阶段处理问题，在每个阶段做出明显的最佳选择，然后将选择连接在一起，形成一个可能是或可能不是最佳解决方案的整体解决方案。
蛮力和贪婪算法
现在让我们将注意力集中在称为旅行销售人员问题（TSP）的图形理论应用程序上，在该应用程序中，我们必须找到最短路线来访问多个地点并返回起点。
旅行销售人员问题
请注意，当我们解决范登堡警官的TSP时，我们列出了所有的汉密尔顿循环，并找到了它们的权重。这是你需要练习的技能。为了确保你不会错过任何一个，你可以计算完整图中可能的汉密尔顿循环的数量。知道完整图中一半的有向循环是反向的相同循环也很有帮助，所以，你只需要计算一半可能权重的数量，其余的都是重复的。
在完全图中寻找所有Hamilton循环的权重
我们一直使用的寻找完整图中权重最小的Hamilton循环的方法是蛮力算法，因此称为蛮力法，蛮力法中的步骤有：
蛮力法
当蛮力法对于解决旅行销售人员问题不切实际时，另一种选择是一种称为最近邻法的贪婪算法，它总是首先访问最近或成本最低的地方。这种方法在一个完整的图中找到一个权重相对较低的哈密顿循环，其中，在每个阶段，通过比较当前顶点和其余顶点之间的边来选择下一个顶点，以找到最低的权重。由于最近邻法是一种贪婪算法，它通常不会给出最佳解决方案，但它通常会给出一个“足够好”的解决方案。最重要的是，步数将是顶点的数量。没错！一个有10个顶点的问题需要10个步骤，而不是362,880个。让我们看一个例子来看看它是如何工作的。
最近邻方法
旅行销售员问题
m00124
无论我们谈论的是家谱还是森林中的树，没有一个分支会绕回来重新加入树干。这意味着一棵树没有循环子图，或者是非循环的。一棵树也只有一个组件。所以，一棵树是一个连接的非循环图。这里有一些具有相同特征的图。[link]中的每个图都是一棵树。
什么是树？
数学家们在命名树或包含树的图时玩得很开心。例如，[link]中的图不是树，但它包含两个组件，一个包含顶点*a*到*d*，另一个包含顶点*e*到*g*，每个顶点都是一棵树。这种结构被称为森林。对于具有某些特征的树也有有趣的名字。
树木的种类
当我们研究树时，熟悉它们的一些特征是有帮助的。例如，如果您在任意两个现有顶点之间的树图中添加一条边，您将创建一个循环，并且生成的图不再是树。[link]中显示了一些示例。将edge*bj*添加到Graph*T*会创建循环（*b*，*c*，*i*，*j*）。将edge*rt*添加到Graph*P*会创建循环（*r*，*s*，*t*）。将edge*tv*添加到Graph*S*会创建循环（*t*，*u*，*v*）。
树木的特征
假设您计划用四个设备建立自己的计算机网络。一种选择是使用像[link]中那样的“网状拓扑”，其中每个设备直接连接到网络中的所有其他设备。
跨越树
假设您想在图中找到生成树。一种方法是在图中找到路径。您可以从任何顶点开始，向任何方向移动，并创建一条通过图的路径，仅在您无法继续而不回溯时停止，如[link]所示。
使用路径构建生成树
在连通图中查找生成树的另一种方法涉及删除不需要的边以显示生成树。考虑[link]中的Graph*D*。
揭示跨越树
在生成树的许多应用中，图是加权的，我们希望找到权重最小的生成树。例如，图可能表示计算机网络，权重可能表示连接两个设备所涉及的成本。因此，找到总权重最低的生成树或最小生成树意味着省钱！我们将用来找到加权图的最小生成树的方法称为Kruskal算法。Kruskal算法的步骤是：
克鲁斯卡尔算法
树木
图论
m00038
导言
m00112
黄金比例，也被称为黄金比例，是一种比例方面，可以在从自然到人体解剖学的美丽中找到，也可以在建筑结构中常见的黄金矩形中找到。黄金比例在自然界中从植物到海星、蜜蜂、贝壳等生物中表达。它通常用希腊字母**（发音为“费”）来表示。$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，十进制值约等于1.618。
黄金比例
斐波那契数列可以自然地出现在我们环境中的各种元素中，从玫瑰花的花瓣数量到松果上的螺旋，再到莴苣上的刺等等。斐波那契数列可以在自然的艺术渲染中找到，以开发美观和逼真的艺术创作，如雕塑、绘画、风景、建筑设计等。它是以1、1开头的数字序列，每个后续项都是序列中前两个项的总和（1、1、2、3、5、8、13……）。
斐波那契数列及其在自然界中的应用
数学家多年来一直在探索我们周围世界的模式和应用，今天还在继续这样做。一种这样的模式可以在斐波那契数列的两个相邻项的比率中找到。
黄金比率和斐波那契序列关系
将我们的注意力转向人造元素，黄金比例可以在建筑和艺术品中找到，可以追溯到埃及的古代金字塔（[链接]）和现代建筑，如联合国总部。古希腊人使用黄金矩形——任何长宽比为黄金比例的矩形——来创造美观和坚固的结构，黄金矩形的例子经常在同一座建筑中多次使用，如帕台农神庙，如[链接]。黄金矩形也可以在20世纪的建筑中找到，如华盛顿纪念碑。
黄金矩形
数学与艺术
m00113
我们对水的使用是影响气候变化的一个因素。获得清洁的饮用水不仅对我们的健康至关重要，对我们生态系统的健康也至关重要。地球上大约十分之一的人不容易获得清洁的饮用水。当我们每个人都节约用水时，我们延长了湖泊和河流淡水的寿命，也减少了对我们社区下水道系统和排水系统的影响。此外，当我们节约用水时，我们也节约了用于将水带到家中和家中的电力。那么，我们能做些什么来帮助节约用水呢？
对气候变化产生积极影响-用水
19世纪中期，威洛比·史密斯发现硒具有光导响应性。此后不久，威廉·格里尔斯·亚当斯和理查德·埃文斯·戴发现硒暴露在阳光下可以发电，这是一项重大突破。不到10年后，查尔斯·弗里茨发明了第一个使用硒的太阳能电池。仅仅100年后，美国贝尔实验室在20世纪50年代中期生产了第一个实用的光伏电池，并在同一十年开发了用于为卫星供电的版本。
太阳能的历史
千瓦是1000瓦特（W）。千瓦时（kWh）是能源使用的度量，即1000瓦特设备运行一小时所用的能量。使用千瓦时的定义，计算消耗1千瓦时的电力需要多长时间，我们用设备的使用除以1000瓦特。
常见家用设备的计算能力需求
今天，太阳能可以为我们提供多种优势，包括减少温室气体和二氧化碳排放、为车辆供电、减少水污染、减少化石燃料等其他电力选择的有限供应压力。我们将进一步研究减少温室气体和二氧化碳排放。
太阳能优势
数学与环境
m00114
考虑任何药物，推荐的剂量会根据年龄、体重和疾病程度等几个因素而变化。医院和医疗药房并不储存所有可能需要的药物浓度。特别是静脉注射（IV）方法的液体药物可以很容易地调整以满足患者的需求。无论是手术前实施麻醉还是接种疫苗，都需要计算药物浓度以确保交付所需的药物量。
药物的浓度和剂量
开发一种新疫苗并能够向公众提供的过程通常需要10到15年。在美国，该系统通常涉及公共和私人参与一个过程。在20世纪，几种疫苗被成功开发出来，包括以下几种： 20世纪50年代的脊髓灰质炎疫苗和20世纪90年代的水痘疫苗。这两种疫苗都花了数年时间才被开发、测试和向公众提供。知道疫苗从开发到给药的典型时间表，一些人想知道新冠肺炎疫苗是如何在不到一年的时间内发布的也就不足为奇了。
验证新疫苗的有效性
随着大量人接受新冠肺炎疫苗，此时的问题是如何创造一种负担得起的疫苗，让全世界的人都能接种。如果找不到全球性的解决方案，那些无法获得疫苗的人将成为可能对现有疫苗产生耐药性的变种的孵化器。
跟踪疫苗传播的数学建模
数学与医学
m00115
每一种声音都是由振动的物体产生的，这些振动以波的形式传播，被我们的耳朵捕获。有些振动我们可能能看到，比如弹拨的吉他弦在移动，而其他振动我们可能看不到，比如当我们不小心把手机掉在坚硬的地板上时屏住呼吸时产生的声音。我们看不到手机撞击地板的振动；然而，秋天产生的任何声音都是声波形式振动的结果，这可以被想象成类似于海浪在海洋中移动。
与声音相关的频率基础
当考虑到人耳能听到的各种声音水平时，耳朵从频率水平和声音的音高来感知声音。声音的质量被称为音高、声音的音调质量以及音调的高低。高频的声音有高音调，如900赫兹，低音调的声音有低频，如50赫兹。
音高基础
*“音符不超过五个，但这五个音符的组合产生了前所未有的旋律。”*
音符值、半步、全步和八度音阶
相距一个八度的音符具有相同的名称，并且在频率值上是相关的。给定任何音符的频率，同一个音符高一个八度的频率会加倍，当你在键盘或任何其他乐器上上下移动音符时，这种模式会继续下去。歌曲作者和歌手利用这种知识来上下改变音符的音高，以与一个人的音域保持一致。无论演奏或演唱哪个C，音高都是相同的，频率之间的关系是一两个幂。
八度音阶的频率
数学与音乐
m00116
分析当今世界积累的大量数据以寻找模式并预测未来结果，为许多大学的数据分析创造了一个学位领域，这在可能会让你大吃一惊的地方需求量很大。其中一个地方是体育界，能够分析关于你的球队球员、潜在新兵、对手球队策略和对手球员的可用数据对你的球队的成功至关重要。
数据分析（统计）对推进团队的成功至关重要
一种常见的锦标赛风格是单循环锦标赛（[链接]），每个队或对手与其他队或对手比赛，冠军由赢得最多比赛的队决定。平局是可能的，并根据联赛规则解决。
单循环赛
当需要一种更有效的比赛方式来决定冠军时，一种选择是单淘汰赛（[link]），在这种比赛中，球队配对，获胜者进入下一轮比赛。失败的球队被锦标赛击败，不会在锦标赛中晋级，尽管有些联赛提供安慰赛。
单淘汰赛
数学与体育
数学和…
m00118
短语**非负整数**指的是包含0、1、2、3、…等等的集合。在表达式${10}^{5}$中，10称为**base**，5称为**指数**，或**幂**。指数5告诉我们将基数10乘以本身5倍。所以，${10}^{5}=10×10×10×10×10=100,000美元。根据定义，任何提高到0次方的数字都是1。所以，${10}^{0}=1$。
10的非负整数幂
一个数字的**倒数**是1除以该数字。例如，10的倒数是$\frac{1}{10}$。我们使用负指数来表示倒数。例如，${10}^{-1}=\frac{1}{{10}^{1}}=\frac{1}{10}$。同样，任何带有负指数的表达式都可以通过取倒数来写成正指数。下表中简化了10的几个负幂。你注意到每个分数的分母（底部）中的零数是多少？
10的负整数幂
你知道太阳到地球的距离超过9000万英里吗？这个值可以表示为90,000,000，或者我们可以把它写成乘积：9$×10,000,000=9×{10}^{7}$，这实际上是一种更紧凑的写法9000万。请注意，7的幂反映了9000万中零的个数。下面的表格中给出了几个正整数和10的幂的乘积。请注意，除了一种情况之外，零的个数与指数相同。
整数乘以10的正幂
正如我们所看到的，10的负幂是小数。下表给出了几个正整数和10的幂的乘积。请注意，将整数乘以10提高到负整数幂会导致比开始时更小的数字。此外，小数点右侧的小数位数与指数相同，除了一种情况。
乘以10的负幂
当一个数字乘以10的幂时，一个有用的捷径是“移动小数点”。下表显示了10的几个幂，包括正数和负数。将小数点在原始数字中的位置与小数点在产品中的位置进行比较。它是如何改变的？
移动小数位
Co-Req附录：10的整数幂