Datasets:

OLAIR

/

M-IMO-extended

like 0

Follow

OLA-AI-Research 8

2006

1003

Gegee ’n reëlmatige 2006-hoek $P$. ’n Diagonaal van $P$ word \textit{goed} genoem as sy eindpunte die rand van $P$ in twee dele verdeel wat elk uit ’n onewwe aantal sye van $P$ bestaan. Die sye van $P$ word ook \textit{goed} genoem.\n\nNou word $P$ opgedeel in driehoeke deur 2003 diagonale, waarvan geen twee ’n gemeenskaplike punt binne $P$ het nie. Vind die grootste aantal gelykbenige driehoeke met twee goeie sye wat op hierdie wyse kan ontstaan.

Le të jetë $P$ një 2006-këndësh i rregullt. Një diagonale e $P$ quhet e mirë në qoftë se skajet e saj ndajnë konturin e $P$ në dy pjesë, secila prej të cilave përbëhet nga një numër tek brinjësh të $P$. Brinjët e $P$ quhen gjithashtu të mira. E zëmë se $P$ është ndarë në trekëndësha me anë të 2003 diagonaleve, çdo dy prej të cilave nuk kanë pikë të përbashkët brenda $P$. Gjeni numrin më të madh të trekëndëshave dybrinjënjëshem me dy brinjë të mira të cilët mund të shfaqen në një konfiguracion të tillë.

ليكن \( P \) مضلع منتظم ذو \( 2006 \) ضلع. يسمى قطر المضلع \( P \) جيد إذا قطع نقطتا نهايتيه المضلع \( P \) إلى جزئين يحتوي كل جزء \( j \) عن عدد فردي من أضلاع المضلع \( P \). اعتبر أضلاع المضلع \( P \) جيدة. نفترض أن المضلع \( m \) قسم إلى مثلثات بواسطة \( 2003 \) قطراً، لا يتقاطع أي قطرين منهما داخل المضلع \( P \). أوجد أكبر عدد ممكن من المثلثات المتطابقة المفتعلة التي تملك ضلعين جيدين من أضلاع المضلع الناجمة بواسطة هذا النظام.

Нека $P$ е правилен 2006-ъгълник. Диагонал на $P$ се нарича добър, ако краищата му делят контура на $P$ на две части, всяка от които се състои от нечетен брой страни. Страните на $P$ също се считат за добри. Нека $P$ е разделен на триъгълници посредством 2003 диагонала, никои два от които не се пресичат във вътрешността на $P$. Да се намери максималният брой равнобедрени триъгълници с две добри страни, които могат да се получат при такова разделяне на $P$.

设 P 为正 2006 边形。如果 P 的一条对角线的两端将 P 的边界分成两部分，每部分都包含 P 的奇数条边，那么该对角线称为 “好边” 。规定 P 的每条边均为 “好边” 。 已知 2003 条在 P 内部不相交的对角线将 P 分割成若干三角形。试问在这种分割之下，最多有多少个有两条 “好边” 的等腰三角形。

令 \( P \) 為正 \( 2006 \) 邊形。 如果 \( P \) 的一條對角線的兩端將 \( P \) 的邊界分成兩部分， 每部分皆包含 \( P \) 的奇數條邊， 則稱此對角線為 "好邊"，規定 \( P \) 的每條邊也是 "好邊"。\ 已知 \( 2003 \) 條在 \( P \) 內部不相交的對角線將 \( P \) 分割成若干個三角形。 試問在這種分割之下， 最多有多少個有三條 "好邊" 的等腰三角形。

Zadatak 2. Neka je $P$ pravilni poligon sa 2006 stranica. Za dijagonalu poligona $P$ kažemo da je dobra ako njezine krajnje točke dijele rub od $P$ na dva dijela, tako da se svaki od njih sastoji od neparnog broja stranica poligona $P$. Za stranice poligona $P$ također kažemo da su dobre.\\ Promatrajmo podjele poligona $P$ na trokute pomoću 2003 dijagonale, tako da nikoje dvije medu tim dijagonalama nemaju zajedničku točku u unutrašnjosti poligona $P$. Nadite maksimalni broj jednakokračnih trokuta s dvije dobre stranice, koji se mogu dobiti pri nekoj takvoj podjeli.

Nechť $P$ je pravidelný 2006-úhelník. Jeho úhlopříčka se nazývá dobrá, jestliže její koncové body dělí hranici mnohoúhelníku $P$ na dvě části, z nichž každá je tvořena lichým počtem jeho stran. Každá strana mnohoúhelníku $P$ je rovněž dobrá. Předpokládejme, že $P$ je rozdělen na trojúhelníky 2003 úhlopříčkami, z nichž žádné dvě nemají společný bod uvnitř $P$. Určete, jaký je největší možný počet rovnoramenných trojúhelníků, které v uvažovaném rozdělení mnohoúhelníku $P$ mají dvě dobré strany.

Lad $P$ være en regulær 2006-kant. En diagonal i $P$ kaldes god hvis dens endepunkter deler randen af $P$ i to dele begge bestående af et ulige antal kanter fra $P$. Kanterne i $P$ kaldes også gode. $P$ deles op i 2003 trekanter af diagonaler der parvis ikke har skæringspunkter i det indre af $P$. Find det maksimale antal ligebenede trekanter med to gode sider, der kan fremkomme ved en sådan opdeling.

Zij $P$ een regelmatige $2006$-hoek. Een diagonaal van $P$ noemen we goed als zijn eindpunten de rand van $P$ verdelen in twee stukken die beide bestaan uit een oneven aantal zijden van $P$. De zijden van $P$ noemen we ook goed. Stel dat $P$ door $2003$ diagonalen in driehoeken wordt verdeeld, zodanig dat geen twee diagonalen elkaar snijden in het inwendige van $P$. Bepaal het grootste aantal gelijkbenige driehoeken met twee goede zijden die in zo'n verdeling van $P$ kunnen voorkomen.

Let $P$ be a regular 2006-gon. A diagonal of $P$ is called good if its endpoints divide the boundary of $P$ into two parts, each composed of an odd number of sides of $P$. The sides of $P$ are also called good. Suppose $P$ has been dissected into triangles by 2003 diagonals, no two of which have a common point in the interior of $P$. Find the maximum number of isosceles triangles having two good sides that could appear in such a configuration.

Olgu $P$ korrapärane 2006-nurk. $P$ diagonaali nimetame "heaks", kui tema otspunktid jaotavad $P$ rajajoone kaheks osaks, mis kumbki koosneb paaritust arvust $P$ külgedest. $P$ külgi nimetame samuti "headeks". Vaatleme $P$ jaotusi kolmnurkadeks 2003 sellise diagonaaliga, millest ühelgi kahel ei ole $P$ sees ühist punkti. Leia suurim kahe "hea" küljega võrdhaarsete kolmnurkade arv, mis saab sellises jaotuses esineda.

Kutsumme säännöllisen 2006-kulmion $P$ lävistäjää hyväksi janaksi, jos sen päätepisteet jakavat $P$:n piirin kahteen osaan, joista kumpikin koostuu parittomasta määrästä $P$:n sivuja. Myös $P$:n sivuja pidetään hyvinä janoina. Monikulmio $P$ jaetaan kolmioksi 2003:lla lävistäjällä, jotka eivät leikkaa toisiaan $P$:n sisällä. Määritä sellaisten jaossa syntyvien tasakylkisten kolmioiden, joiden sivuista kaksi on hyviä janoja, suurin mahdollinen lukumäärä.

Soit $P$ un polygone régulier à $2006$ côtés. Une diagonale de $P$ est appelée bonne si ses extrémités partagent le contour de $P$ en deux parties ayant chacune un nombre impair de côtés de $P$. Les côtés de $P$ sont aussi appelés bons. On suppose que $P$ a été subdivisé en triangles par $2003$ diagonales n’ayant deux à deux aucun point commun à l’intérieur de $P$. Trouver le nombre maximum de triangles isocèles ayant deux côtés bons qui peuvent apparaître dans une telle subdivision.

Gegeben sei ein regelmäßiges 2006-Eck $P$. Eine Diagonale von $P$ heiße gut, wenn deren Endpunkte den Rand von $P$ in zwei Teile zerlegen, die jeweils aus einer ungeraden Anzahl von Seiten von $P$ bestehen. Auch die Seiten von $P$ heißen gut. Nun werde $P$ durch 2003 Diagonalen in Dreiecke zerlegt, wobei keine zwei Diagonalen einen Schnittpunkt im Innern von $P$ haben. Man bestimme die maximale Anzahl von gleichschenkligen Dreiecken mit zwei guten Dreiecksseiten, die in einer solchen Zerlegung von $P$ auftreten können.

יהי \displaystyle P מצולע משוכלל בעל \displaystyle 2006 צלעות. אלכסון של \displaystyle P יקרא גול אם שני קצותיו מחלקים את הזווית של \displaystyle P לשני חלקים, שכל אחד מהם מורכב ממספר זוגי של צלעות של \displaystyle P. הצלחות של המצולע \displaystyle P נקראות גם הן זהובות.\\\nנניח כי \displaystyle P המצולע \displaystyle T חולק למשולשים על ידי יותך שנת \displaystyle 2003 אלכסונים, כך שאין בו שני אלכסונים בעלי נקודה משותפת לחלוטין בתוך המצולע \displaystyle P. מצא את המספר הגדול ביותר של משולושים שווי שוקיים, שיש להם שתי צלעות זהות, אשר יכולים להתקבל בחלוקה כזאת.\\\n

Legyen $P$ egy szabályos 2006-szög. $P$ egy átlóját jónak nevezzük, ha a végpontjai $P$ határát két olyan részre bontják, amelyek mindegyike $P$ páratlan sok oldalát tartalmazza. Az oldalakat szintén jónak nevezzük. Tegyük fel, hogy $P$-t háromszögekre bontottuk 2003 olyan átlóval, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös pontja $P$ belsejében. Határozzuk meg az ilyen felbontásokban előforduló egyenlőszárú, két jó oldallal rendelkező háromszögek számának maximumát.

Sia $P$ un 2006-agono regolare. Una diagonale di $P$ si dice buona se i suoi estremi dividono il bordo di $P$ in due parti ognuna delle quali è composta da un numero dispari di lati di $P$. I lati di $P$ sono considerati anch'essi buoni. Supponiamo che $P$ sia stato suddiviso in triangoli da 2003 diagonali che a due a due non hanno nessun punto in comune all'interno di $P$. Determinare il massimo numero di triangoli isosceli aventi due lati buoni che possono apparire in una tale suddivisione.

正 2006 角形 \(P\) がある。\(P\) の対角線で次の条件をみたすものを奇線とよぶことにする：対角線の両端点で \(P\) の周を２つの部分に分けたとき、各部分は奇数個の辺を含む。 また、\(P\) の各辺も奇線とよぶ。 \(P\) を、端点以外では共通点をもたない 2003 本の対角線で三角形に分割するとき、２辺が奇線であるような二等辺三角形の個数のとりうる最大値を求めよ。

정 \( 2006 \) 각형 \( P \)에서, 어떤 대각선의 양쪽에 있는 변들의 개수가 각각 홀수일 때, 그 대각선을 '홀대각선'이라 부르자. 단, \( P \)의 변들은 모두 홀대각선으로 간주한다.\\ 정 \( 2006 \) 각형 \( P \)가 \( 2003 \)개의 대각선에 의해 삼각형들로 분할되었다고 하자. 단, 어떤 두 대각선도 \( P \)의 내부에서 교차하지 않는다. 이러한 분할에 의해 생기는 삼각형들 중, 두 개의 홀대각선을 변으로 갖는 이둥변삼각형의 최대 개수를 구하여라.

2. uzdevums. Pieņemsim, ka $P$ ir regulārs 2006-stūris. Daudzstūra $P$ diagonāli sauc par labu, ja tās galapunkti sadala $P$ kontūru divās daļās, katra no kurām satur nepāra skaitu daudzstūra $P$ malu. Arī daudzstūra $P$ malas sauc par labām. Pieņemsim, ka daudzstūris $P$ ir sadalīts trijstūros, novelkot 2003 diagonāles, nekādām divām no kurām nav kopīgu punktu daudzstūra $P$ iekšpusē. Kāds ir lielākais šāda sadalījuma iespējamais tādu vienādsānu trijstūru skaits, kuriem ir pa divām labām malām?

2 uždavinys. Taisyklingojo 2006-kampio $P$ išstižiajinė, vadinama gera, jeigu jos galiniai taškai dalija daugiakampio konturą į dvi dalis, kurių kiekviena sudaro nelyginis kraštinių skaičius. Daugiakampio $P$ kraštinės taip pat vadiname geromis. Tarkime, kad $P$ suskaidytas į trikampius 2003 išstižiajinėmis, kurių jokios dvi neturi bendru taškų $P$ viduje. Raskite, kiek daugiausia tame skaidinyje gali būti lygiasonių trikampių, turinčių tik geras kraštines,

Задача 2. Нека $P$ е правилен многуаголник со 2006 страни. За дијагоналата на $P$ велиме дека е добра ако нејзините крајни точки ја делат границата на $P$ на два дела, така да секој од нив се состои од непарен број на страни од $P$. Страните на $P$ исто така ги нарекуваме добри. Да ги разгледаме поделбите на многуаголникот $P$ на триаголници со помош на 2003 дијагонали, така да кои било две од тие дијагонали немаат заедничка точка во внатрешноста на $P$. Одреди го максималниот број на рамнокраки триаголници со две добри страни, кои може да се добијат при некоја таква поделба.

La \ P \ være \ en \ regulær \ 2006-kant. \ En \ diagonal \ i \ P \ kalles \ for \ god \ hvis endepunktene \ deler \ omkretsen \ til \ P \ i \ to \ deler, \ hver \ av \ dem \ bestående \ av \ et \ odde \ antall \ kanter \ av \ P. \ Sidene \ i \ P \ kalles \ også \ gode. P \ deles \ opp \ i \ trekanter \ av \ 2003 \ diagonaler, \ av \ hvilke \ ingen \ to \ har \ felles \ punkt \ innenfor \ P. \ Finn \ det \ maximale \ antallet \ likebente \ trekanter \ med \ to \ gode \ sider \ som \ kan \ oppnås ved \ en \ slik \ oppdeling.

Zadanie 2. Niech $P$ będzie 2006-kątem foremnym. Przekątną wielokąta $P$ nazwiemy dobrą, jeśli jej końce dzielą brzeg tego wielokąta na dwie części, z których każda składa się z nieparzystej liczby boków wielokąta $P$. Każdy bok wielokąta $P$ również nazwiemy dobrym. Załóżmy, że wielokąt $P$ podzielono na trójkąty przy pomocy 2003 przekątnych, z których żadne dwie nie przecinają się wewnątrz wielokąta $P$. Wyznaczyć największą liczbę trójkątów równoramiennych, które mogą pojawić się w takiej konfiguracji i które mają dwa dobre boki.

Uma diagonal de um polígono regular $P$ de 2006 lados é um segmento bom se separa $P$ em duas partes, cada uma tendo um número ímpar de lados de $P$. Os lados de $P$ também são segmentos bons. Divide-se $P$ em triângulos, traçando-se 2003 diagonais tais que, duas a duas, não se cortam no interior de $P$. Determine o maior número de triângulos isósceles nos quais dois lados são segmentos bons que podem aparecer numa divisão como essa.

Fie $P$ un poligon regulat cu 2006 laturi. O diagonală $a$ sa se numește bună dacă extremitățile ei divid perimetrul poligonului $P$ în două părți, fiecare având un număr impar de laturi. Laturile poligonului $P$ sunt și ele considerate ca fiind bune. Presupunem că poligonul $P$ a fost partiționat în triunghiuri prin 2003 diagonale, astfel încât oricare două dintre aceste diagonale nu se intersectează în interiorul poligonului $P$. Determinați valoarea maximă a numărului de triunghiuri isoscele cu două laturi bune care pot apărea într-o astfel de partiție a poligonului $P$.

Диагональ правильного $2006$-угольника $P$ называется хорошей, если ее концы делят границу $P$ на две части, каждая из которых содержит нечетное число сторон. Стороны $P$ также называются хорошими. Пусть $P$ разбивается на треугольники $2003$ диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри $P$. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

Nech $P$ je pravidelný 2006-uholník. Jeho uhlopriečka sa nazýva dobrá, ak jej koncové body rozdeľujú hranicu mnohouholníka $P$ na dve časti, z ktorých každá pozostáva z nepárneho počtu strán. Strany mnohouholníka $P$ sa tiež považujú za dobré. Predpokladajme, že $P$ je rozdelený na trojuholníky 2003 uhlopriečkami, z ktorých žiadne dve nemajú spoločný bod vo vnútri $P$. Nájdite maximálny možný počet rovnoramenných trojuholníkov, ktoré majú dve dobré strany.

Za diagonalo pravilnega 2006-kotnika $P$ rečemo, da je dobra, če njeni krajišči razdelita rob $P$ na dva dela tako, da je v vsakem izmed njiju liho mnogo stranic večkotnika $P$. Za vse stranice večkotnika $P$ rečemo, da so dobre. Denimo, da $P$ razdelimo z 2003 diagonalami na trikotnike tako, da se nobeni dve diagonali ne sekata v notranjosti $P$. Določi največje možno število enakokrakih trikotnikov z dvema dobrima stranicama, ki jih lahko dobimo pri takih razdelitvah večkotnika $P$.

Decimos que una diagonal de un polígono regular $P$ de 2006 lados es un \emph{segmento bueno} si sus extremos dividen al borde de $P$ en dos partes, cada una de ellas formada por un número impar de lados. Los lados de $P$ también se consideran \emph{segmentos buenos}. Supongamos que $P$ se ha dividido en triángulos trazando 2003 diagonales de modo que ningún par de ellas se corta en el interior de $P$. Encuentre el máximo número de triángulos isósceles que puede haber tales que dos de sus lados son \emph{segmentos buenos}.

Låt $P$ vara en regelbunden 2006-hörning. En diagonal i $P$ kallas för trevlig om dess ändpunkter delar $P$’s omkrets i två delar, var och en med ett udda antal sidor från $P$. Månghörningens sidor anses också vara trevliga. Antag att 2003 diagonaler, som parvist inte skär varandra inuti $P$, delar $P$ i trianglar. Bestäm det största antalet likbenta trianglar med två trevliga sidor som en sådan konfiguration kan ha.

โจทย์ข้อที่ \enspace 2 \enspace ให้ \enspace P \enspace เป็นจุดปี \enspace 2006 \enspace เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า \enspace จะเรียกเส้นเอกยมุมของ \enspace P \enspace ว่า \enspace ด้านดี \enspace เมื่อจุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านจุดแยงมุมแบ่งเนื้อเส้นรอบรูปของ \enspace P \enspace ออกเป็นสองส่วน \enspace ซึ่งแต่ละส่วนประกอบด้วยด้านจำนวนคี่ด้าน \enspace นอกจากที่ \enspace ให้ถือว่าด้านแต่ละด้านของ \enspace P \enspace เป็น \enspace ด้านดี \enspace เช่นกัน \enspace จงหาจำนวนเต็มที่ยาวสุดของรูปสามเหลี่ยมมนนี้ว่ามี \enspace ด้านดี \enspace สองด้าน \enspace ซึ่งเกิดขึ้นในทางการซอยแบ่ง \enspace P \enspace เป็นรูปสามเหลี่ยมยอดย่อยด้วยเส้นเอกยมุม \enspace 2003 \enspace เส้น \enspace โดยไม่มีเส้นเอกยมุมเส้นใดตัดกันภายใน \enspace P

Bir \( P \) düzgün 2006-geni veriliyor. \( P \) nin bir köşegenine, uçları \( P \) nin çevresini, her birisi \( P \) nin tek sayıda kenarından oluşan iki parçaya ayırması halinde, \textit{güzel} adı veriliyor. \( P \) nin her kenarı da \textit{güzel} kabul ediliyor. \\ \( P \), herhangi ikisi çokgen içinde kesişmeyen 2003 köşegeni tarafından üçgensel bölgelere ayrıldığında, iki kenarı \textit{güzel} olan en fazla kaç ikizkenar üçgen oluşabileceğini bulunuz.

Задача 2. Діагональ правильного 2006-кутника $P$ називається доброю, якщо її кінці поділяють множину $P$ на дві частини, кожна з яких містить кратне число сторін. Сторони $P$ також називаються добрими. Нехай $P$ розбивається на трикутники діагоналями, жодні дві з яких не мають спільних точок усередині $P$. Яку найбільшу кількість рівнобедрених трикутників, кожний з яких має дві добрі сторони, може містити таке розбиття?

Cho $P$ là một đa giác đều 2006 cạnh. Một đường chéo của $P$ được gọi là đoạn tốt nếu các đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó chia chu vi của $P$ thành hai phần, phần nào cũng có số lẻ cạnh. Các cạnh của $P$ cũng được coi là đoạn tốt. Giả sử ta chia $P$ thành các tam giác bởi 2003 đường chéo đôi một không có điểm chung thuộc miền trong của $P$. Hãy tính số lớn nhất các tam giác cân có hai cạnh là đoạn tốt có thể xuất hiện trong cách chia $P$ như trên.

2006

\frac{9}{32}\sqrt{2}

Bepaal die kleinste reële getal $M$ waarvoor die ongelykheid\n\[\left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \]vir alle reële getalle $a$, $b$ en $c$ geld.

Gjeni numrin real më të vogël $M$ të tillë që mosbarazimi \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] të plotësohet për të gjithë numrat realë $a$, $b$ dhe $c$.

أوجد اصغر عدد حقيقي \( M \) يحقق المتباينة \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \le M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] لكل الاعداد الحقيقية \( a, b, c \). الوقت المتاح للإجابة: أربع ساعات ونصف الساعة لكل مسالة \( 7 \) درجات فقط.

Да се намери най-малкото реално число $M$, за което неравенството \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] е изпълнено за произволни реални числа $a, b$ и $c$.

求最小的实数 M ，使得对于所有的实数 a,b 和 c ，有 |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2.

試求最小的實數 \( M, \) 使得不等式 \[ |ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2 \] 對所有實數 \( a, b, c \) 都成立。

Zadatak 3. Odredite najmanji realni broj $M$ takav da nejednakost\\ $$\left | ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right | \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2$$\\ vrijedi za sve realne brojeve $a$, $b$ i $c$.

Určete nejmenší reálné číslo $M$ takové, že nerovnost \[ ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] platí pro všechna reálná čísla $a, b, c$.

Bestem det mindste reelle tal $M$ sådan at uligheden $$|ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2$$ gælder for alle reelle tal $a$, $b$ og $c$.

Bepaal het kleinste reële getal $M$ zodanig dat voor alle reële getallen $a$, $b$ en $c$ de volgende ongelijkheid geldt: \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2. \]

Determine the least real number $M$ such that the inequality \[ \left| ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2) \right| \le M(a^2+b^2+c^2)^2 \] holds for all real numbers $a$, $b$ and $c$.

Leia vähim selline reaalarv $M$, et võrratus \[ | ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) | \leq M(a^2+b^2+c^2)^2 \] kehtib kõigi reaalarvude $a, b$ ja $c$ korral.

Määritä pienin reaaliluku $M$, jolle epäyhtälö \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] toteutuu kaikilla reaaliluvuilla $a$, $b$ ja $c$.

Trouver le plus petit réel $M$ tel que l’inégalité \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] soit vérifiée pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$.

Man bestimme die kleinste reelle Zahl $M$, so dass für alle reellen Zahlen $a$, $b$ und $c$ die folgende Ungleichung gilt: \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \]

מצא את המספר המרבי \displaystyle M הקטן ביותר, כך שאי השוויון \\ |\ ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)\ | \leq M\ (a^2 + b^2 + c^2)^2 \\ מתקיים עבור כל שלושה מספרים ממשיים \displaystyle a,\ b,\ c.\\\n

Határozzuk meg a legkisebb olyan $M$ valós számot, amire az $$\left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \le M\left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^2$$ egyenlőtlenség teljesül minden $a, b, c$ valós számra.

Determinare il più piccolo numero reale $M$ tale che la disuguaglianza \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] sia soddisfatta per tutti i numeri reali $a, b, c$.

任意の実数 \(a, b, c\) に対して不等式 \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] が成り立つような最小の実数 \(M\) を求めよ。

모든 실수 \( a, b, c \)에 대하여 다음의 부등식을 만족하는 실수 \( M \)의 최소값을 구하여라.\\ \[ \left| ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2. \]

3. uzdevums. Noskaidrojiet, kāds ir vismazākais reālais skaitlis $M$, ar kuru nevienādība $$|ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \le M(a^2 + b^2 + c^2)^2$$ ir spēkā visiem reāliem skaitļiem $a$, $b$ un $c$.

3 uždavinys. Raskite mažiausią realųjį skaičių $M$ tokį, kad nelygybė \[ ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \le M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] būtų teisinga su visais realiais skaičiais $a, b, c$.

Задача 3. Најди го најмалиот реален број $M$, таков да неравенството \[ ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2}) \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} \] важи за сите реални броеви $a, b$ и $c$.

Bestem \ det \ minste \ reelle \ tallet \ M \ slik \ at \ ulikheten \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 holder \ for \ alle \ reelle \ tall \ a, \ b \ og \ c.

Zadanie 3. Wyznaczyć najmniejszą liczbę rzeczywistą $M$ taką, że nierówność \[ |ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| \leq M\left(a^2+b^2+c^2\right)^2 \] jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$, $b$ oraz $c$.

Determine o menor número real $M$ tal que a desigualdade \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M \left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^2 \] é verdadeira para todos os números reais $a$, $b$, $c$.

Determinați cel mai mic număr real $M$ pentru care inegalitatea $\left| ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) \right| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2$ este adevărată oricare ar fi numerele reale $a$, $b$ și $c$.

Определите наименьшее действительное число $M$ такое, что неравенство \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \le M (a^2 + b^2 + c^2)^2 \] выполняется для любых действительных чисел $a, b, c$.

Určte najmenšie reálne číslo $M$ tak, aby nerovnosť \[ ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) \leq M(a^2+b^2+c^2)^2 \] platila pre všetky reálne čísla $a, b, c$.

Določi najmanjše realno število $M$, za katerega velja neenakost $$|ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2$$ za vsa realna števila $a$, $b$ in $c$.

Determine el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M \left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^2 \] se cumple para todos los números reales $a$, $b$, $c$.

Bestäm det minsta reela talet $M$ för vilket olikheten \[\left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2\] gäller för alla reella tal $a, b$ och $c$.

โจทย์ข้อที่ \enspace 3 \enspace จงหาจำนวนจริง \enspace M \enspace จำน้อยสุดที่ทำให้สมการ \enspace |ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2 \enspace เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง \enspace a, \enspace b \enspace และ \enspace c

Tüm \( a, b, c \) reel sayıları için\\ \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \]\\ eşitsizliğini geçerli kılan en küçük \( M \) reel sayısını bulunuz.

Задача 3. Визначте найменше дійсне число $M$ таке, що нерівність $|ab \left(a^2 - b^2 \right) + bc \left(b^2 - c^2 \right) + ca \left(c^2 - a^2 \right)| \le M \left(a^2 + b^2 + c^2 \right)^2$ виконується для будь-яких дійсних чисел $a, b, c$.

Xác định số thực nhỏ nhất $M$ sao cho bất đẳng thức \[ | ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) | \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] được thỏa mãn cho tất cả các số thực $a, b$ và $c$.

2006

(0, 2), (0, -2), (4, 23), (4, -23)

Bepaal alle pare heelgetalle $(x, y)$ sodat\n\[1 + 2x + 2^{2x+1} = y^2.\]

Gjeni të gjitha çiftet e numrave të plotë $(x, y)$ të tillë që \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2. \]

حدد جميع الأزواج المرتبة \((x, y)\) حيث \( x, y \) أعداد صحيحة، وتحقق المعادلة: \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 \]

Да се намерят всички двойки $(x, y)$ от цели числа, за които \( 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \)

求所有的整数对 (x, y)，使得 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.

試確定所有的整數對 \( (x, y), \) 使得 \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Zadatak 4. Nadite sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva takvih da vrijedi\\ $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

Určete všechny dvojice $(x, y)$ celých čísel, pro něž platí \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2. \]

Bestem alle par af heltal $(x, y)$ sådan at: $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2$$

Bepaal alle paren gehele getallen $(x, y)$ zodanig dat \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2. \]

Determine all pairs $(x, y)$ of integers such that \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Leia kõik sellised täisarvupaarid $(x, y)$, et \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Määritä kaikki kokonaislukuparit $(x, y)$, jotka toteuttavat yhtälön \[ 1 + 2^x + 22^{x+1} = y^2. \]

Trouver tous les couples $(x, y)$ d’entiers vérifiant \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Man bestimme alle Paare $(x, y)$ ganzer Zahlen, welche die folgende Gleichung erfüllen: \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 \]

מצא את כל הזוגות \displaystyle (x,y) של מספרים שלמים כך ש \\\n1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2\\\n

Határozzuk meg az összes olyan, egész számokból álló $(x,y)$ számpárt, amire teljesül $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

Determinare tutte le coppie $(x, y)$ di interi tali che \[ 1 + 2x + 2^{2x+1} = y^2. \]

以下の等式をみたす整数の組 \((x, y)\) をすべて求めよ。 \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 \]

다음의 방정식을 만족하는 정수쌍 \((x, y)\)를 모두 구하여라.\\ \[ 1 + 2x + 22^{x+1} = y^2. \]

4. uzdevums. Noskaidrojiet, kuriem veselu skaitļu pāriem $(x,y)$ ir spēkā vienādība $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

4 uždavinys. Raskite visas tokias sveikųjų skaičių poras $(x, y)$, kad \[ 1 + 2^x + \lambda^{2x+1} = y^2 \]

Задача 4. Најди ги сите парови $(x, y)$ од цели броеви, такви да важи \[ 1+2^{x}+2^{2x+1} = y^{2}. \]

Bestem \ alle \ par \ av \ heltall \ (x,y) \ slik \ at 1 + 2x + 2^{2x+1} = y^2.

Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie pary $(x, y)$ liczb całkowitych, dla których \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Determine todos os pares de inteiros $(x, y)$ tais que \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Determinați toate perechile $(x,y)$ de numere întregi astfel încât $1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2$.

Найдите все пары $(x, y)$ целых чисел такие, что \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2. \]

Určte všetky dvojice $(x, y)$ celých čísel takých, že \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2 \].

Določi vse pare celih števil $(x, y)$, za katere velja $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

Determine todas las parejas de enteros $(x, y)$ tales que \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Bestäm alla heltalspar $(x, y)$ sådana att $$1 + 2x + 2x^{+1} = y^2.$$

โจทย์ข้อที่ \enspace 4 \enspace จงหาคู่ลำดับจำนวนเต็ม \enspace (x, y) \enspace ทั้งหมดซึ่ง \enspace 1+2^x+2^{x+1}=y^2

\( 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 \) eşitliğini sağlayan tüm \((x, y)\) tam sayı ikililerini belirleyiniz.

Задача 4. Знайдіть усі пари $(x,y)$ цілих чисел такі, що $1 + x^2 + 2^{x+1} = y^2$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ sao cho \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

2007

3n

ليكن \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا . لنعتبر . \(S = \{(x,y,z) : x,y,z \in \{0,1,\ldots,n\} , x + y + z > 0\}\) كجموعة من \(n+1)^3 - 1\) نقطة من الفراغ (الفضاء الثلاثي) . حدد أصغر عدد ممكن من المستويات بحيث يكون اتحادها يتضمن \(z\) و لا يحتوي على النقطة \((0,0,0)\) .

Задача 6. Нека $n$ е естествено число. Да разгледаме множеството \[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \} \] от $(n+1)^3 - 1$ точки в тримерното пространство. Да се намери най-малкият възможен брой равнини, чието обединение съдържа $S$, но не съдържа точката $(0, 0, 0)$.

设 $n$ 是一个正整数。考虑 \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \} \] 这样一个三维空间中具有 $(n+1)^3 - 1$ 个点的集合。问：最少要多少个平面，它们的并集才能包含 $S$，但不含 $(0, 0, 0)$。

設 $n$ 是一個正整數。考慮\[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0\} \] 這樣一個三維空間中具有 $(n+1)^3 - 1$ 個點的集合。問: 最少要多少個平面, 它們的聯集才能包含 $S$, 但不含 $(0, 0, 0)$.

Neka je $n$ pozitivan cijeli broj. Promatraj $$ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0\} $$ kao skup od $(n + 1)^3 - 1$ točaka u trodimenzionalnom prostoru. Odredi najmanji mogući broj ravnina, čija unija sadrži sve točke skupa $S$, ali ne sadrži točku $(0, 0, 0)$.

Nechť $n$ je kladné celé číslo. Uvažujme množinu \[ S = \left\{(x, y, z) \colon \ x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x+y+z>0\right\} \] složenou z $(n+1)^3-1$ bodů třírozměrného prostoru. Určete nejmenší možný počet rovin, jejichž sjednocení obsahuje všechny body z $S$, neobsahuje však bod $(0, 0, 0)$.

Lad $n$ være et positivt heltal. Betragt $$S = \{(x,y,z) : x,y,z \in \{0,1,\ldots ,n\}, \ x+y+z>0\}$$ som en mængde af $(n+1)^3 - 1$ punkter i det tre-dimensionelle rum. Bestem det mindst mulige antal planer der tilsammen dækker $S$ uden at dække $(0,0,0)$.

Laat \(n\) een geheel getal zijn, \(n > 0\). Beschouw \[ S = \{ \,(x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \; x + y + z > 0\, \} \] als een verzameling van \((n + 1)^3 - 1\) punten in de driedimensionale ruimte. Bepaal het kleinst mogelijke aantal vlakken zodanig dat deze vlakken samen wel alle punten van \(S\) bevatten, maar niet het punt \((0, 0, 0)\).

Let $n$ be a positive integer. Consider \[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0\} \] as a set of $(n+1)^3 - 1$ points in three-dimensional space. Determine the smallest possible number of planes, the union of which contains $S$ but does not include $(0, 0, 0)$.

Soit n un entier strictement positif. Dans l’espace on considère l’ensemble\\\nS = \left\{ (x, y, z) \ : \ x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \right\},\\\nconstitué de (n + 1)^3 - 1 points. Trouver le plus petit nombre de plans dont la réunion contient S mais ne contient pas (0, 0, 0).

Es sei $n$ eine positive ganze Zahl. Gegeben sei \[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0\}, \] eine Menge von $(n + 1)^3 - 1$ Punkten des drei-dimensionalen Raumes. Man bestimme die kleinstmögliche Anzahl von Ebenen, deren Vereinigung die Menge $S$ umfasst, aber nicht den Punkt $(0, 0, 0)$.

יהי \(n\) מספר שלם חיובי. נגדיר את \[S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \} \] בקבוצה של \(n+1)^3-1\) נקודות במרחב התחלת גמיל. מצא את המספר הקטן ביותר האפשרי של מישרירים, כך שהאריות שלהם מכיל את \(S\) אבל אינו מכיל את \((0, 0, 0)\).

Sia $n$ un intero positivo. Si consideri $S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \}$ come un insieme di $(n + 1)^3 - 1$ punti nello spazio tridimensionale. Determinare il minor numero possibile di piani la cui unione contiene tutti i punti di $S$ ma non contiene $(0, 0, 0)$.

양의 정수 \(n\)에 대하여, 3차원 공간에 있는 \((n+1)^3 - 1\)개의 점들의 집합 \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, x + y + z > 0 \} \]을 생각하자. 원점 \((0, 0, 0)\)을 포함하지 않는 유한 개의 평면들의 합집합이 점집합 \(S\)를 포함하도록 하려고 한다. 이를 위해 필요한 평면들의 최소 개수를 구하여라.

6 uždavinys. Tegul $n$ yra natūralusis skaičius. Nagrinėkime aibę \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, \; x+y+z > 0 \} \] kaip trimatės erdvės taškų aibę, sudarytą iš $(n+1)^3 - 1$ taškų. Kiek mažiausiai reikia paimti plokštumų, kad jų visų sąjungai priklausytų visi aibės $S$ taškai, bet nepriklausytų taškas $(0,0,0)$?

Нека $n$ е природен број. Нека \[ S = \{(x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\} , x+y+z > 0\} \] е множеството кое се состои од $(n+1)^3 - 1$ точки во тридимензионалниот простор. Одреди го најмалиот можен број на рамнини, чија унија ги содржи сите точки од множеството $S$, а не ја содржи точката $(0, 0, 0)$.

La \( n \) være et positivt heltall. Betrakt \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, \ x+y+z > 0 \} \] som en mengde av \( (n+1)^3 - 1 \) punkter i det tredimensjonale rommet. Bestem minste mulige antall planær hvis union inneholder \( S \), men ikke inkluderer \( (0, 0, 0) \).

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozpatrujemy $$S = \{(x,y,z) : x,y,z \in \{0,1,\ldots,n\}, \ x+y+z > 0\}$$ jako zbiór $(n+1)^3-1$ punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Wyznaczyć najmniejszą możliwą liczbę płaszczyzn, których suma zawiera zbiór $S$, ale nie zawiera punktu $(0,0,0)$.

Fie $n$ un număr natural nenul. Considerăm mulțimea \[S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0\}\] ce conține $(n+1)^3 - 1$ puncte din spațiul tridimensional. Determinați numărul minim de plane a căror reuniune conține mulțimea $S$, dar nu conține punctul $(0, 0, 0)$.

Nech $n$ je kladné celé číslo. Uvažujme množinu \[ S = \left\{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, \ x + y + z > 0 \right\} \] pozostávajúcu z $(n + 1)^3 - 1$ bodov trojrozmerného priestoru. Určte najmenší možný počet rovín, ktorých zjednotenie obsahuje všetky body z $S$, ale neobsahuje bod $(0, 0, 0)$.

Naj bo $n$ naravno število. Dana je množica \[S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0\},\] to je množica $(n + 1)^3 - 1$ točk v tridimenzionalnem prostoru. Določi najmanjše možno število ravnin, katerih unija vsebuje množico $S$, ne vsebuje pa točke $(0, 0, 0)$.

Sea $n$ un entero positivo. Se considera \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, \ x+y+z > 0 \} \] como un conjunto de $(n+1)^3 - 1$ puntos en el espacio tridimensional. Determinar el menor número posible de planos cuya unión contiene todos los puntos de $S$ pero no incluye a $(0,0,0)$.

ให้ \( n \) เป็นจำนวนเต็มบวก พิจารณา \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \dots , n\}, x + y + z > 0 \} \] เป็นเซตของจุด \((n + 1)^3 - 1 \) จุดในปริภูมิสามมิติ จงหาจำนวนระนาบที่น้อยที่สุดที่แบ่งไปได้ซึ่ง เมื่ออยู่เน้นกันทั้งหมดแล้วจะบรรจุ \( S \) แต่ไม่รวมจุด \(0,0,0\)

Soru 6. \ n \ \text{pozitif bir tam sayı olsun. Üç boyutlu uzayda} \ (n+1)^3 - 1 \ \text{noktad} \a \c \text{oluşan} \\\ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \} \\\ \text{kümesi veriliyor. Birleşimleri} \ S \ \text{kümesini kapsayan, ama} \ (0,0,0) \ \text{noktasını içermeyen} \ \c \text{düzlemlerin sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.}

Нехай $n$ — натуральне число. Розглянемо множину $$S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \},$$ яка складається з $(n + 1)^3 - 1$ точок тривимірного простору. Знайдіть найменшу можливу кількість площин, об’єднання яких містить всі точки з $S$, проте не містить точку $(0, 0, 0)$.

Bài 6. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xét \[S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \; x + y + z > 0\}\] như là một tập hợp gồm $(n+1)^3 - 1$ điểm trong không gian 3-chiều. Hãy xác định số nhỏ nhất có thể các mặt phẳng mà họp của chúng chứa tất cả các điểm của $S$ nhưng không chứa điểm $(0, 0, 0)$.

Misalkan $n$ suatu bilangan asli. Pandang \[ S = \{ (x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots , n\}, \; x + y + z > 0 \} \] \text{sebagai himpunan } (n + 1)^3 - 1$ titik di ruang dimensi-tiga. Tentukan banyak minimal bidang yang gabungannya memuat $S$, tetapi tidak memuat $(0, 0, 0)$.

2008

f(x)=x, f(x)=\frac{1}{x}

Gjgeni \te \gjitha \functionet \(f: ~(0, \infty) \to (0, \infty) \)~ \pra, \(f \eshte \i \percakturar \ne \bashkesine \e \numrave \reale \pozitive) \t \marr \vlera \ne \bashkesine \e \numrave \reale \pozitive \) \t \til \qe \[(f(w))^2 +(f(x))^2 \over f(y)^2 + f(z)^2 \geq \left( \frac{w^2 +x^2}{y^2 + z^2} \] \per \te \gjithe \numrat \reale \pozitive \( w, x, y, z \) \qe \plotesojne \kushtin \(wx = yz \).

السؤال الرابع: أوجد جميع الدوال $f$ حيث $f$ دالة من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية الموجبة $$f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$$ لكل الأعداد الحقيقية الموجبة $w, x, y, z$ حيث $wx = yz$ التي تحقق $$\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$$

Да се намерят всички функции $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (т.е. $f$ е функция от реалните положителни числа към реалните положителни числа), такива, че \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] за всички реални положителни $w$, $x$, у и $z$, удовлетворяващи равенството $wx = yz$.

求所有的函数 $f : (0, +\infty) \rightarrow (0, +\infty)$，满足对所有的正实数 $w, x, y, z$, $wx = yz$, 都有 \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}. \]

找出所有滿足以下條件的函數 $f: (0,\infty) \to (0,\infty)$ （即 $f$ 為一從正實數映至正實數的函數），且對所有滿足 $wx = yz$ 的正實數 $w,\ x,\ y,\ z$, $$\frac{\left(f(w)\right)^2 + \left(f(x)\right)^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$$ 都成立。

Nađi sve funkcije $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ ($f$ je funkcija sa skupa pozitivnih realnih brojeva u skup pozitivnih realnih brojeva) takvih da vrijedi \[ \frac{f(w^2)}{f(y^2) + f(z^2)} + \frac{f(x)}{f(y^2) + f(z^2)} = \left( \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \right)^2 \] za sve pozitivne realne brojeve $w, x, y, z$, koji zadovoljavaju uvjet $wx = yz$.

Najděte všechny funkce $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ takové, že $$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} $$ pro všechna kladná reálná čísla $w, x, y, z$ splňující rovnost $wx = yz$.

Find alle funktioner $f : ]0, \infty] \rightarrow ]0, \infty[$ (dvs. at $f$ er en funktion fra de positive reelle tal til de positive reelle tal) således at \[ \frac{\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] for alle reelle $w, x, y, z > 0$ som opfylder $wx = yz$.

Zij $(0, \infty)$ de verzameling $\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \}$. Vind alle functies $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ die voldoen aan $$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} $$ voor alle $w, x, y, z \in (0, \infty)$ met $wx = yz$.

Find all functions $f : (0,\infty) \to (0,\infty)$ (so, $f$ is a function from the positive real numbers to the positive real numbers) such that \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] for all positive real numbers $w$, $x$, $y$, $z$, satisfying $wx = yz$.

Leia kõik sellised funktsioonid \( f : (0, \infty) \to (0, \infty) \) (st funktsioonid \( f \) positiivsetest reaalarvudest positiivsetesse reaalarvudesse), et kõigi tingimust \( wx = yz \) rahuldavate positiivsete reaalarvude \( w, x, y, z \) korral \[ \frac{\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}. \]

4. tehtävä. Määritä kaikki funktiot $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ ($f$ on siis positiivisten reaalilukujen joukossa määritelty funktio, jonka arvot ovat positiivisia reaalilukuja), joille pätee \[\left(\frac{f(w)^2 + f(x)^2}{f(y)^2 + f(z)^2}\right)^2 = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}\] kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla $w$, $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttavat ehdon $wx = yz$.

Trouver toutes les fonctions $f$ de $]0, +\infty[ \rightarrow ]0, +\infty[$ telles que \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] pour tous nombres réels strictement positifs $w, x, y, z$, vérifiant $wx = yz$.

Aufgabe 4. Man bestimme alle Funktionen $f: ]0, \infty[ \to ]0, \infty[$ (d.h. $f$ ist auf der Menge der positiven reellen Zahlen definiert und nimmt nur positive reelle Zahlen als Werte an), die $$\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$$ für alle positiven reellen Zahlen $w, x, y, z$ mit $wx = yz$ erfüllen.

הוכיח כי כל הפונקציות $f : (0, \infty) \to (0, \infty) $ (כלומר היא פונקציה המקבלת מספרים הממשיים החיוביים וקולטת רק המספרים הממשיים והחיוביים) כך ש \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] עבור כל המספרים הממשיים החיוביים $w, x, y, z$ המתקיים $w = wx$.

Határozzuk meg az összes olyan $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ függvényt ($f$ tehát a pozitív valós számok halmazából a pozitív valós számok halmazába képez), amelyre \[ \left(\frac{f(w^2) + f(x^2)}{f(y^2) + f(z^2)}\right)^2 = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] teljesül, valahányszor $w, x, y, z$ olyan pozitív valós számok, amelyekre fennáll $wx = yz$.

Determinare tutte le funzioni $f : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ (cioè le funzioni $f$ definite nell'insieme dei numeri reali positivi e a valori nell'insieme dei numeri reali positivi) tali che \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] per tutti i numeri reali positivi $w$, $x$, $y$, $z$ che soddisfano $wx = yz$.

関数 f : (0, \infty) \to (0, \infty) \\ (正の実数に対して定義され、正の実数値をとる関数 f) であって、次の条件をみたすものをすべて求めよ。\\ 条件 : \ wx = yz をみたす任意の正の実数 w, x, y, z に対して、\\ \frac{f(wx)}{f(y^2)} + \frac{f(x)}{f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \\ が成立する。

다음의 조건을 만족시키는 함수 $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$을 모두 구하여라 ($f$ 는 정의의 양의 실수에 양의 실수를 대응시키는 함수): $uv = xy$인 모든 양의 실수 $u, v, x, y, z$에 대하여 \[ \frac{f(u^2) + f(x^2)}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{u^2 + x^2}{y^2 + z^2}. \]

Noskaidrojiet, kādām funkcijām $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ (tātad $f$ ir funkcijas, kuras definētas visiem pozitīviem reāliem skaitļiem un pieņem tikai pozitīvas reālas vērtības) piemīt īpašība: ja pozitīvi reāli skaitļi $w, x, y, z$ apmierina nosacījumu $wx = yz$, tad $$\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}.$$

Raskite visas tokias funkcijas $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (t.y., $f$ yra funkcija, kuri kiekvienam teigiamam realiajam skaičiui priskiria teigiamą realųjį skaičių), kad \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] su visais teigiamais realiaisiais skaičiais $w, x, y, z$, tenkinančiais sąlygą $wx = yz$.

Најди ги сите функции \( f : (0, \infty) \to (0, \infty) \) (т.е. \( f \) е функција од множеството на позитивни реални броеви во множеството на позитивни реални броеви) такви да \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] важи за сите позитивни реални броеви \( w, x, y, z \), кои ја задоволуваат еднаквоста \( wx = yz \).

Finn alle funksjoner \( f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty) \) (dvs. at \( f \) er en funksjon fra de positive reelle tallene til de positive reelle tallene) slik at \[ \left( \frac{f(w)}{f(y^2) + f(z^2)} \right)^2 + \left( \frac{f(x)}{f(z^2) + f(w^2)} \right)^2 = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] for alle reelle \( w, x, y, z > 0 \) som tilfredsstiller \( wx = yz \).

Znaleźć wszystkie takie funkcje $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ (czyli funkcje określone na zbiorze wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych, których wartościami są wyłącznie dodatnie liczby rzeczywiste), że równość \[ \frac{f(w)^2 + f(x)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych $w, x, y, z$ spełniających warunek $wx = yz$.

Determine todas as funções $f : ]0, \infty [ \to ]0, \infty [$ (ou seja, $f$ é uma função dos reais positivos para os reais positivos) tais que \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos os números reais positivos $w, x, y, z$ com $wx = yz$.

Găsiți toate funcțiile $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ pentru care \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] pentru orice numere reale strict pozitive $w$, $x$, $y$, $z$, având proprietatea $wx = yz$.

Найдите все функции $f : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ (то есть, функции, определенные на множестве всех положительных действительных чисел и принимающие положительные значения) такие, что \[ \frac{f(w)^2 + f(x)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] для любых положительных $w$, $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих равенству $wx = yz$.

Dokážte, že existuje nekonečne veľa kladných celých čísel $n$ takých, že $n^2 + 1$ má prvočíselného deliteľa väčšieho ako $2n + \sqrt{2n}$.

Poišči vse take funkcije $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ (torej, $f$ je funkcija, ki slika iz pozitivnih realnih števil v pozitivna realna števila), za katere velja \[ \frac{(f(w))^2+(f(x))^2}{f(y)^2+f(z)^2}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \] za vsa pozitivna realna števila $w$, $x$, $y$, $z$ z lastnostjo $wx=yz$.

Hallar todas las funciones $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ (es decir, las funciones $f$ de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $w$, $x$, $y$, $z$, que satisfacen $wx = yz$.

Bestäm alla funktioner $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ ($f$ är alltså en funktion från de positiva reella talen till de positiva reella talen), sådana att\\\[\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}\] \ \ \ \ för alla positiva reella talen $w, x, y, z$ som uppfyller $wx = yz$.

จงหาฟังก์ชัน $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ (นั้นคือ $f$ เป็นฟังก์ชันจากเขตของจำนวนจริงบวกไปยังเขตของจำนวนจริงบวก) ทั้งหมดที่ทำให้ \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $w, x, y, z$ ซึ่ง $wx = yz$

$wx = yz$ olmak üzere, tüm $w, x, y, z$ pozitif gerçek sayıları için $$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2+z^2} $$ koşulunu sağlayan tüm $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (diğer deyişle $f$, pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlı ve pozitif değerler alan bir fonksiyondur) fonksiyonlarını bulunuz.

Задача 4. \text{ Знайдіть усі функції } f : (0, +\infty) \to (0, +\infty) \text{ (тобто функції, що визначені на множині усіх додатних дійсних чисел та приймають додатні значення) такі, що } \frac{ \left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2 }{ f(y)^2 + f(z)^2 } = \frac{ w^2 + x^2 }{ y^2 + z^2 } \text{ для довільних додатних } w, x, y, z, \text{ які задовольняють рівність } wx = yz.

Tìm tất cả các hàm $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (tức là, $f$ là hàm từ tập hợp các số thực dương vào tập hợp các số thực dương) sao cho $$ \frac{\left(f(w)\right)^2 + \left(f(x)\right)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} $$ với mọi số thực dương $w, x, y, z$ mà $wx = yz$.

Cari semua fungsi $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ (yaitu, $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan real positif ke himpunan bilangan real positif) sehingga \[\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] untuk semua bilangan real positif $w, x, y, z$, dengan $wx = yz$.

Πρόβλημα 4. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις \( f : (0,+\infty) \rightarrow (0,+\infty) \) (δηλαδή, η \( f \) είναι συνάρτηση από το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών) για τις οποίες ισχύει: \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}, \] για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς w, x, y, z, που ικανοποιούν την ισότητα wx = yz.

2008

2^{k-n}

Le \te \jene \(n \dhe \k \qundra \e \plota \pozitive \ku \( k \leq \n \dhe \k-n \eshte \nje \numur \cift. \Given \te \(2n \)llampa, \te \etiketuara \me \numrat \ilimta 1,2 \ldots,2n, \cdonera \prej \te \c edge \etale \se \jete \nji \navbar \prej \ly \gjenilde, \e \uzer ose \shuar \fillimish \te \gith \llampa \jante \te \shura. \Marrir \ne \shtyrim \uarget \e \operatione \ku \operation \do \te \qued \mendryshime \e \gjendjes \e \vetim \nje \llampe ~nqa \e \ndgezur \shue ose \nga \e \shuar \ndezet). \Le~te~jatë~\( N ~numri~i~varînesë \të \përbëerë \\ nga \të \operatione \ne \fund \të \c \features \ve \gita \llampat \ng \1 \icon \t \ndezuar \dur \gat \ubl \llampas \ng \n \widet \2n \en \t \shara. \Le \te \jet\ ime \operation \ne \fund \features \t \n \claves \t \ll \llampat \nga \(\n \widet \1 \der \t \ndezuara, \te \githa \llampat \nga \n \widet \1 \deri \t \jan \te \shara \por \web \dj \nteresve \nga \t \1 \deri + \widet 2n \nuk \eshte \ndezuar \kura \percjetoni \raportin \nuders\N.

السؤال الخامس: ليكن $n$ و $k$ عددين صحيحين موجبين حيث $k \geq n$ ، $k - n$ عدد زوجي. لدينا $2n$ مصباحا مرقمة $1 ، 2 ، \ldots ، 2n$. كل مصباح من هذه المصابيح يمكن أن يكون في وضع $ON$ (مضاء) أو وضع $OFF$ (مطفأ). في البداية جميع المصابيح في وضع $OFF$. الخطوة : هي تغير وضع المصباح (من $OFF$ إلى $ON$ أو من $ON$ إلى $OFF$) السلسلة : هي عدد من الخطوات المتتالية. ليكن $M$ عدد السلاسل المكونة من $k$ خطوة و التي تنتهي إلى الحالة التي تكون فيها المصابيح من $1$ إلى $n$ جميعها في الوضع $ON$ و المصابيح من $n + 1$ إلى $2n$ جميعها في الوضع $OFF$. ليكن $N$ عدد السلاسل المكونة من $k$ خطوة و التي تنتهي إلى الحالة التي تكون فيها المصابيح من $1$ إلى $n$ جميعها في الوضع $ON$ و المصابيح من $n + 1$ إلى $2n$ جميعها في الوضع $OFF$ بحيث أن المصابيح من $n + 1$ إلى $2n$ لم يغير وضعها البدائي) أوجد النسبة : $\frac{N}{M}$

Нека $n$ и $k$ са естествени числа, за които $k \geq n$ и $k - n$ е четно число. Дадени са $2n$ лампи, означени съответно с $1$, $2$, $\ldots$, $2n$. Всяка от лампите може да бъде включена или изключена. В началото всички лампи са изключени. Разглеждаме редици от стъпки: на всяка стъпка една от лампите се превключва (от включена на изключена или от изключена на включена). Нека $N$ е броят на редиците от $k$ стъпки, които водят до следното състояние: лампите от $1$ до $n$ са включени, а лампите от $n+1$ до $2n$ са изключени. Нека $M$ е броят на редиците от $k$ стъпки, които водят до същото състояние: лампите от $1$ до $n$ са включени, а лампите от $n+1$ до $2n$ са изключени, като никоя от лампите от $n+1$ до $2n$ не е включвана нито веднъж. Да се намери отношението $N/M$.

设 $n$ 和 $k$ 是正整数，$k \geq n$, 且 $k - n$ 是一个偶数。$2n$ 盏灯依次编号为 $1, 2, \cdots, 2n$, 每一盏灯可以 "开" 和 "关"。开始时，所有的灯都是 "关" 的。对这些灯可进行操作，每一次操作仅改变其中一盏灯的开关状态（即 "开" 变成 "关"，"关" 变成 "开"）。我们将考虑为 $k$ 的操作序列。序列中的第 $i$ 项就第 $i$ 次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号。

設固定的正整數 $n$ 和 $k$ 滿足 $k \geq 2n - 1$ 其中 $k - n$ 為一偶數。給定 $2n$ 個分別編號為 $1,\ldots,2n$ 的燈泡，它們各有「開」與「關」兩種狀態。假設一開始時所有燈泡皆為「關」的狀態。現在將開著各燈泡的狀態：每次需選取恰某一個燈泡的狀態（由「開」變成「關」或由「關」變成「開」）。假設經過 $k$ 次調整後，編號 $1,\ldots,n+1,\ldots,2n$ 的燈泡皆在「開」的狀態。而編號 $n+1,\ldots,2n$ 的燈泡皆在「關」的狀態。令 $N$ 為所有可以達到上述狀態的調整方法個數。另設 $M$ 為所有可以達到上述狀態，但從未調整編號 $n+1,\ldots,2n$ 的燈泡的調整方法個數。試求 $N/M$ 的值。

Neka su $n$ i $k$ prirodni brojevi takvi da je $k \geq n$ i $k - n$ paran broj. Dano je $2n$ žarulja označenih s $1, 2, \ldots, 2n$ i svaka od njih može biti ili \textit{upaljena} ili \textit{ugašena}. Na početku su sve žarulje ugašene. Promatraj nizove koraka: u svakom koraku točno jedna žarulja promijeni svoje stanje (ako je bila upaljena, ugasi se, a ako je bila ugašena, upali se). Neka je $N$ broj takvih nizova od kojih svaki ima $k$ koraka i na kraju su sve žarulje od $1$ do $n$ upaljene, dok su sve žarulje od $n + 1$ do $2n$ ugašene. Neka je $M$ broj nizova od kojih svaki ima $k$ koraka, i na kraju su sve žarulje od $1$ do $n$ upaljene, dok su sve žarulje od $n + 1$ do $2n$ ugašene, i nijedna od žarulja $n + 1$ do $2n$ nije se niti palila niti gasila. Odredi omjer $N/M$.

Necht' $n$ a $k$ jsou kladná celá čísla, kde $k \ge n$ a $k - n$ je sudé číslo. Je dáno $2n$ lamp označených čísly $1, 2, \ldots, 2n$, přičemž každá z nich může být zapnutá či vypnutá. Na počátku jsou všechny lampy vypnuté. Uvažujme posloupnost kroků: v každém kroku jednu z lamp přepneme (vypnutou zapneme či zapnutou vypneme). \newline Označme $N$ počet všech takových posloupností $k$ kroků, jež vedou do stavu, kdy všechny lampy $1$ až $n$ jsou zapnuté a všechny lampy $n + 1$ až $2n$ jsou vypnuté. \newline Označme $M$ počet všech takových posloupností $k$ kroků, jež vedou do stavu, kdy všechny lampy $1$ až $n$ jsou zapnuté a všechny lampy $n + 1$ až $2n$ jsou vypnuté, přičemž žádná z lamp $n + 1$ až $2n$ nebyla nikdy zapnutá. \newline Určete podíl $M/N$.

Lad $n$ og $k$ være positive heltal således at $k \geq n$ og $k - n$ er lige. Lad der være givet $2n$ lamper (nummereret $1, 2, \ldots, 2n$), som hver kan være tændt eller slukket. Til at begynde med er alle lamper slukket. Vi betragter nu følger af træk: i hvert træk enten tænder vi én lampe der var slukket eller vi slukker én der var tændt. Lad $N$ være antallet af sådanne følger bestående af $k$ træk og som resulterer i at lamperne 1 til $n$ alle er tændt, mens alle lamperne $n+1$ til $2n$ er slukket. Lad $M$ være antallet af sådanne følger bestående af $k$ træk og som resulterer i at lamperne 1 til $n$ alle er tændt, mens lamperne $n+1$ til $2n$ alle er slukket, men hvor ingen af lamperne $n+1$ til $2n$ har været tændt undervejs. Bestem forholdet $N/M$.

Laat gehele getallen $n > 0$ en $k > 0$ gegeven zijn met $k \geq n$ en $k - n$ even. We hebben $2n$ lampen genummerd van $1$ tot en met $2n$. Elke lamp kan aan of uit zijn. In het begin zijn alle lampen uit. We bekijken rijtjes van handelingen:: bij elke handeling wordt ofwel een lamp die aan is uit gedaan, ofwel een lamp die uit is aan gedaan. Zij $N$ het aantal van zulke rijtjes die uit $k$ handelingen bestaan en die eindigen in de toestand waarin de lampen $1, \ldots, n$ aan zijn en de lampen $n + 1, \ldots, 2n$ uit zijn. Zij $M$ het aantal van zulke rijtjes die uit $k$ handelingen bestaan en die eindigen in de toestand waarin de lampen $1, \ldots, n$ aan zijn en de lampen $n + 1, \ldots, 2n$ uit zijn, maar waarbij geen van de lampen $n + 1, \ldots, 2n$ ooit werd aan gedaan. Bepaal de verhouding $N/M$.

Let $n$ and $k$ be positive integers with $k \ge n$ and $k - n$ an even number. Let $2n$ lamps labelled $1$, $2$, $\ldots$, $2n$ be given, each of which can be either on or off. Initially all the lamps are off. We consider sequences of steps: at each step one of the lamps is switched (from on to off or from off to on). Let $N$ be the number of such sequences consisting of $k$ steps and resulting in the state where lamps $1$ through $n$ are all on, and lamps $n + 1$ through $2n$ are all off. Let $M$ be the number of such sequences consisting of $k$ steps, resulting in the state where lamps $1$ through $n$ are all on, and lamps $n + 1$ through $2n$ are all off, but where none of the lamps $n + 1$ through $2n$ is ever switched on. Determine the ratio $N/M$.

Olgü \( n \) ja \( k \) sellised positiivsed täisarvud, et \( k \geq n \) ja \( k-n \) on paaris. On antud \( 2n \) lampi, mis on tähistatud arvudega \( 1, 2, \ldots, 2n \). Iga lamp saab kas põleda või mitte põleda. Algul ükski lamp ei põle. Ühe sammuga saab täpselt ühe lambi olekut muuta (põleva lambi kustutada või mitte põleva lambi põlema panna). Olgü \( N \) selliste \( k \)-sammuliste lülitusprotsesside arv, mille tulemusena lambid 1 kuni \( n \) kõik põlevad ja lambid \( n + 1 \) kuni \( 2n \) ükski ei põle. Olgü \( M \) selliste \( k \)-sammuliste lülitusprotsesside arv, mille tulemusena lambid 1 kuni \( n \) kõik põlevad ja lambid \( n + 1 \) kuni \( 2n \) ükski ei põle ning mille käigus ühtki lampidest \( n + 1 \) kuni \( 2n \) pole kordagi põlema pandudki. Leia suhe \( \frac{M}{N} \).

5. tehtävä. Olkoon $n$ ja $k$, $k \geq n$, positiivisia kokonaislukuja, ja olkoon $k-n$ parillinen. Olkoon annettuna $2n$ lamppua, jotka on varustettu numeroin $1, 2, \ldots, 2n$ ja joista jokainen voi palata tilaan olla pimeänä. Aluksi kaikki lamput ovat pimeinä. Tarkastellaan askelista koostuvaa jonoja. Jokaisella askeleella jonkin lampun tila vaihdetaan päinvastaiseksi (lamppu sytytetään tai sammutetaan). Olkoon $N$ kaikkien sellaisten $k$:sta askeleesta muodostuvien jonojen lukumäärä, jotka johtavat tilaan, jossa lamput $1, \ldots, n$ palavat ja lamput $n + 1, \ldots, 2n$ ovat pimeinä. Olkoon $M$ kaikkien sellaisten $k$:sta askeleesta muodostuvien jonojen lukumäärä, jotka johtavat tilaan, jossa lamput $1, \ldots, n$ palavat ja lamput $n + 1, \ldots, 2n$ ovat pimeinä, mutta lamppuja $n + 1, \ldots, 2n$ ei ole kertaakaan sytytetty. Määritä suhde $N/M$.

Soient $n$ et $k$ des entiers strictement positifs tels que $k \geq n$ et $k-n$ est pair. On suppose données $2n$ lampes numérotées de $1$ à $2n$ ; chacune peut être allumée ou éteinte. Au début, toutes les lampes sont éteintes. Une opération consiste à allumer une lampe éteinte ou bien à éteindre une lampe allumée. On considère des séquences constituées d'opérations successives. Soit $N$ le nombre de séquences constituées de $k$ opérations et aboutissant à l'état où les lampes de $1$ à $n$ sont allumées et les lampes de $n+1$ à $2n$ sont éteintes. Soit $M$ le nombre de séquences constituées de $k$ opérations et aboutissant à l'état où les lampes de $1$ à $n$ sont allumées et les lampes de $n+1$ à $2n$ sont éteintes, mais où les lampes de $n+1$ à $2n$ n'ont jamais été allumées. Déterminer le rapport $N/M$.

Aufgabe 5. Seien $n$ und $k$ positive ganze Zahlen mit $k \geq n$ und $k - n$ gerade. Gegeben seien $2n$ Lampen, die von 1 bis $2n$ nummeriert sind. Jede Lampe ist entweder an oder aus, wobei anfangs alle Lampen aus sind. Man betrachte Folgen von Schritten: in jedem Schritt werde genau eine der Lampen umgeschaltet (von aus nach an oder von nach aus). Sei $N$ die Anzahl solcher Folgen, die aus $k$ Schritten bestehen und in dem Zustand enden, in dem die Lampen 1 bis $n$ alle an und die Lampen $n+1$ bis $2n$ alle aus sind. Sei $M$ die Anzahl solcher Folgen, die aus $k$ Schritten bestehen und in dem Zustand enden, in dem die Lampen 1 bis $n$ alle an und die Lampen $n+1$ bis $2n$ alle aus sind, bei denen aber keine der Lampen $n+1$ bis $2n$ jemals umgeschaltet worden ist. Man bestimme das Verhältnis $N/M$.

יהיו $k$ מספרים שלמים וחיוביים כך ש $k \ge 2n + n$ הוא מספר זוגי. נניחות $2n חנויות ממוספרות $2n, 1, 1, 2, ...$ ומצב בינען עבורם מובктан נע בתור סדרה של $2n$ יציבים; קבל עבור הדירה כך שאין צרך התזוח מזבב הנובע בכך נעבור הריש מלא דירותיו עד $n$ תפ המתינות בסתר סדרים בגודל מסויימות במזהה בתוך תנאי נילתקו איבנאת קרקעוכ לוקרוביים מתעם דיורים לנקור .

Legyenek $n$ és $k$ pozitív egészek, amelyekre $k \ge n$ és $k-n$ páros szám. Adott $2n$ lámpa, amelyek $1$-től $2n$-ig vannak számozva, és amelyek mindegyike be(kapcsolt) vagy ki(kapcsolt) állapotban lehet. Kezdetben mindegyik lámpa ki állapotban van. Lépések egy sorozatát tekintjük: egy lépés abból áll, hogy valamelyik lámpa állapotát megváltoztatjuk (be-ről ki-re vagy ki-ről be-re). Legyen $N$ az olyan, k lépésből álló sorozatok száma, amelyek eredményeképpen az $1$-től $n$-ig számozott lámpák bekapcsolt, az $(n+1)$-től $2n$-ig számozott lámpák pedig kikapcsolt állapotban lesznek. Legyen $M$ az olyan, k lépésből álló sorozatok száma, amelyek eredményeképpen az $1$-től $n$-ig számozott lámpák bekapcsolt, az $(n+1)$-től $2n$-ig számozott lámpák pedig kikapcsolt állapotban lesznek, és a sorozatban az $(n+1)$-től $2n$-ig számozott lámpák semelyikét sem kapcsoljuk be semmikor. Határozzuk meg az $N/M$ hányados értékét.

Siano $n$ e $k$ interi positivi tali che $k \geq n$ e $k - n$ è pari. Siano date $2n$ lampade, etichettate con i numeri $1$, $2$, $\ldots$, $2n$, ciascuna delle quali può essere accesa o spenta. Inizialmente tutte le lampade sono spente. Consideriamo successioni di operazioni, dove un'operazione consiste nel cambiare lo stato di esattamente una lampada (da accesa a spenta o da spenta ad accesa). Sia $N$ il numero di successioni consistenti di $k$ operazioni al termine delle quali tutte le lampade da $1$ a $n$ sono accese e tutte le lampade da $n + 1$ a $2n$ sono spente. Sia $M$ il numero di successioni consistenti di $k$ operazioni al termine delle quali tutte le lampade da $1$ a $n$ sono accese, tutte le lampade da $n + 1$ a $2n$ sono spente, ma in cui nessuna delle lampade da $n + 1$ a $2n$ è mai stata accesa. Determinare il rapporto $N/M$.

正の整数 n, k は n \geq 2 をみたし、k - n は偶数である。1, 2, \ldots, 2n の番号がついた 2n 個の電球があり、各々は on または off の状態をとる。最初はすべての電球が off になっている。1 つの電球の状態を入れ替える (on ならば off に、off ならば on にする) ことを操作という。\ k 回の操作の後、電球 1, \ldots, n がすべて on, 電球 n+1, \ldots, 2n がすべて off となるような k 回の操作のやり方は N 通りあるとする。\\ n 回の操作の後、電球 1, \ldots, n がすべて on, 電球 n +1, \ldots, 2n がすべて off となるような n 回の操作のやり方であって、電球 n+1, \ldots, 2n が一度も on にならな いことのないものは M 通りあるとする。このとき、\frac{N}{M} を求めよ。

주어진 두 양의 정수 $n$과 $k$에 대하여 $k \geq n \geq 1$이고, $k - n$은 짝수라고 하자. 이제 1번부터 $2n$번째 벽까지 번호가 붙은 $2n$개의 벽돌을 생각하자. 각각의 벽돌에는 정지/정진 스위치가 부착되어 있고, 초기에는 모든 벽돌이 꺼진 상태이다. 하나의 명령을 행하면 스위치가 설치된 (정지에서 정진으로 있는 점엽에 거꾸로) 바꾸는 것을 자동으로 정의하고, 3회의 연속된 작용을 k-작용이라 부른다. 임의의 상태에서 시작하여, 1번부터 n번째의 벽돌은 모두 켜지고 (n + 1)번째부터 2n번째까지의 벽돌은 모두 꺼져 있도록 하는 소수치의 개수를 $N$이라고 하고, 결과는 $초기 상태에서 1번부터 n번째까지 벽돌은 한번도 켜진 차례는 k-작용의 개수를 M이라고 하자. 이때, $N/M$의 값을 구하여라.

Doti veseli pozitīvi skaitļi $n$ un $k$, kur $k \geq n$ un $k-n$ ir pāra skaitlis. Apskatīsim $2n$ spuldzes, kurām piešķirti numuri $1, 2, \ldots, 2n$. Katra spuldze var atrasties jebkurā no diviem stāvokļiem: ieslēgta vai izslēgta. Sākotnēji visas spuldzes ir izslēgtas. Apskatīsim soļu virknes: katrā solī tieši viena spuldze maina savu stāvokli (no ieslēgtas kļūst par izslēgtu vai arī no izslēgtas – par ieslēgtu). Ar $M$ apzīmējam tādu virkņu skaitu, kurām piemīt īpašība: virkne sastāv no $k$ soļiem, pēc kuru izpildes visas spuldzes ar numuriem no $1$ līdz $n$ ieskaitot ir ieslēgtas, bet visas spuldzes ar numuriem no $n+1$ līdz $2n$ ieskaitot ir izslēgtas. Ar $N$ apzīmējam tādu virkņu skaitu, kurām piemīt īpašība: virkne sastāv no $k$ soļiem, pēc kuru izpildes visas spuldzes ar numuriem no $1$ līdz $n$ ieskaitot ir izslēgtas, bet visas spuldzes ar numuriem no $n+1$ līdz $2n$ ieskaitot ir ieslēgtas, turklāt šo soļu izpildes gaitā neviena spuldze ar numuru no $n+1$ līdz $2n$ ieskaitot_ne_reizi nebija ieslēgta. Aprēķiniet attiecību $N/M$.

Tegul $n$ ir $k$ yra tokie natūralieji skaičiai, kad $k - n$ yra lyginis skaičius ir $k \geq n$. Yra $2n$ lempučių sunumeruotų skaičiais $1, 2, \ldots, 2n$. Kiekviena iš lempučių yra įjungta arba išjungta. Pradžioje visos lemputės yra įjungtos. Nagrinėsime seką, susidedančią iš keleto žingsnių: kiekvienu žingsniu viena iš lempučių yra perjungiama (arba išjungta lemputė yra įjungiama, arba įjungta lemputė yra išjungiama). Sakykime, kad yra $N$ seku, sudarytų iš $k$ žingsnių, kurios baigiasi tokioje padėtyje, kai lemputės $1, \ldots, n$ yra įjungtos, o lemputės $n+1, \ldots, 2n$ - išjungtos. Analogiškai, sakykime, kad yra $M$ sekų, sudarytų iš $k$ žingsnių, kurios baigiasi tokioje pačioje padėtyje, t.y., kai lemputės $1, \ldots, n$ yra įjungtos, o lemputės $n+1, \ldots, 2n$ - išjungtos, tačiau nei viename žingsnyje nei viena iš lempučių $n+1, \ldots, 2n$ nebuvo įjungta. Raskite santykį $N/M$.

Нека \( n \) и \( k \) се природни броеви такви да \( k \geq n \) и \( k - n \) е парен број. Дадени се \( 2n \) лампи, означени со броевите \( 1, 2, \ldots, 2n \). Секоја од лампите може да се наоѓа во една од следните две состојби: вклучена или исклучена. На почетокот сите лампи се исклучени. Разгледуваме низи од чекори: во секој чекор точно една од лампите ја менува својата состојба (ако била вклучена се исклучува или ако била исклучена се вклучува). Нека \( N \) е бројот на такви низи од \( k \) чекори така да се добива следната ситуација: сите лампи означени со броевите од \( 1 \) до \( n \) се вклучени, а сите лампи означени со броевите од \( n + 1 \) до \( 2n \) се исклучени. Нека \( M \) е бројот на такви низи од \( k \) чекори така да се добива следната ситуација: сите лампи означени со броевите од \( 1 \) до \( n \) се вклучени, а сите лампи означени со броевите од \( n + 1 \) до \( 2n \) се исклучени, но притоа ниту една од лампите означени со броевите од \( n + 1 \) до \( 2n \) не ја менувала својата состојба. Одреди ја вредноста на односот \( N/M \).

La \( n \) og \( k \) være positive heltall slik at \( k \geq n \) og \( k - n \) er jevn. La det være gitt \( 2n \) lamper (nummerert \( 1, 2, \ldots, 2n \) ) med to mulige stillinger hver: tent eller slukket. Til å begynne med er alle lampene slukket. Vi betrakter følger av trekk: i hvert trekk tenner vi enten én lampe som var slukket, eller slukker én lampe som var tent. La \( N \) være antall slike følger bestående av \( k \) trekk og som resulterer i at lampene \( 1 \) til \( n \) er tent, mens lampene \( n + 1 \) til \( 2n \) er slukket. La \( M \) være antall slike følger bestående av \( k \) trekk og som resulterer i at lampene \( 1 \) til \( n \) er slukket, men der ingen av lampene \( n + 1 \) til \( 2n \) tennes underveis. Bestem forholdet \( N/M \).

Niech $n$ i $k$ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $k \geq n$ oraz $k-n$ jest liczbą parzystą. Danych jest $2n$ lamp oznaczonych liczbami $1, 2, \ldots, 2n$. Każda z nich może być włączona lub wyłączona. W chwili początkowej wszystkie są wyłączone. Rozpatrujemy ciągi przełączeń: za każdym razem dokładnie jedna lampa jest przełączana, tzn. włączona jest wyłączana, a wyłączona włączana. Niech $N$ będzie liczbą ciągów złożonych z $k$ przełączeń takich, że po tych $k$ przełączeniach wszystkie lampy oznaczone liczbami od $1$ do $n$ są włączone, a wszystkie lampy oznaczone liczbami od $n+1$ do $2n$ --- wyłączone. Niech $M$ będzie liczbą takich ciągów złożonych z $k$ przełączeń, że po tych $k$ przełączeniach wszystkie lampy oznaczone liczbami od $1$ do $n$ są włączone, a wszystkie lampy oznaczone liczbami od $n+1$ do $2n$ --- wyłączone przy czym ani jedna z lamp oznaczonych liczbami od $n+1$ do $2n$ nie była przełączana. Znaleźć stosunek $N/M$.

Sejam $n$ e $k$ números inteiros positivos tais que $k \geq n$ e $k - n$ é um número par. São dadas $2n$ lâmpadas numeradas de $1$ a $2n$, cada uma das quais pode estar acesa ou apagada. Inicialmente todas as lâmpadas estão apagadas. Uma operação consiste em alterar o estado de exatamente uma das lâmpadas (de acesa para apagada ou de apagada para acesa). Consideremos sequências de operações. Seja $N$ o número de sequências com $k$ operações após as quais as lâmpadas de $1$ a $n$ estão todas acesas e as lâmpadas de $n + 1$ a $2n$ estão todas apagadas. Seja $M$ o número de sequências com $k$ operações após as quais as lâmpadas de $1$ a $n$ estão todas acesas e as lâmpadas de $n + 1$ a $2n$ estão todas apagadas, e durante as quais todas as lâmpadas de $n + 1$ a $2n$ permanecem sempre apagadas. Determine a razão $\frac{N}{M}$.

Fie $n$ și $k$ numere naturale nenule astfel încât $k \geq n$ și $k-n$ număr par. Considerăm $2n$ becuri notate $1, 2, \ldots ,2n$ ce se pot afla în stările aprins sau stins. La început toate becurile sunt în starea stins. Considerăm secvențe de pași: la fiecare pas unul și numai un bec este aprins dacă era stins, sau stins dacă era aprins. Fie $N$ numărul de astfel de secvențe, formate din $k$ pași, ce duc la starea în care becurile de la $1$ la $n$ sunt toate aprinse, iar becurile de la $n + 1$ la $2n$ sunt toate stinse. Fie $M$ numărul de astfel de secvențe, formate din $k$ pași, ce duc la starea în care becurile de la $1$ la $n$ sunt toate aprinse, iar becurile de la $n + 1$ la $2n$ sunt toate stinse, dar nici unul dintre becurile de la $n + 1$ la $2n$ nu a fost aprins pe parcursul secvenței. Aflați numărul $N/M$.

Пусть $n$ и $k$ — натуральные числа такие, что $k \geq n$, а число $k-n$ четное. Имеются $2n$ лампочек, занумерованных числами 1, 2, \ldots, $2n$, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний: вкл. (включена) или выкл. (выключена). Изначально все лампочки были выключены. Рассматривают упорядоченные последовательности шагов: на каждом шаге ровно одна из лампочек меняет свое состояние на противоположное (с вкл. на выкл., либо с выкл. на вкл.). Обозначим через $N$ количество последовательностей из $k$ шагов, приводящих к ситуации, в которой все лампочки с 1-й по n-ю включены, а все лампочки с $(n+1)$-й по $(2n)$-ю выключены. Обозначим через $M$ количество последовательностей из $k$ шагов, приводящих к ситуации, в которой также все лампочки с 1-й по n-ю включены, все лампочки с $(n+1)$-й по $(2n)$-ю выключены, но при этом ни одна из лампочек с $(n+1)$-й по $(2n)$-ю ни разу не меняла своего состояния. Найдите значение отношения $N/M$.

Nájdite všetky funkcie $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (t. j. funkcie z kladných reálnych čísel do kladných reálnych čísel) také, že $$\frac{\left( f(w) \right) ^2 + \left( f(x) \right) ^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$$ pre všetky kladné reálne čísla $w$, $x$, $y$, $z$ spĺňajúce $wx = yz$.

Naj bosta $n$ in $k$ naravni števili z lastnostjo $k\geq n$ in $k-n$ je sodo število. Dano je $2n$ luči, ki so oštevilčene z $1, 2, \ldots, 2n$. Vsaka izmed luči je lahko bodisi prižgana bodisi ugasnjena. Obravnavamo zaporedja korakov: v vsakem koraku pritisnemo na stikalo natanko ene izmed luči (če je luč prižgana, se ugasne, če je luč ugasnjena, se prižge). Na začetku so vse luči ugasnjene. Naj bo $N$ število takih zaporedij s $k$ koraki, pri katerih so na koncu vse luči od $1$ do $n$ prižgane, vse luči od $n+1$ do $2n$ pa ugasnjene. Naj bo $M$ število takih zaporedij s $k$ koraki, pri katerih so na koncu vse luči od $1$ do $n$ prižgane, vse luči od $n+1$ do $2n$ ugasnjene in nobena izmed luči od $n+1$ do $2n$ ni bila nikoli prižgana. Določi razmerje $N/M$.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $k \geq n$ y $k - n$ es par. Se tienen $2n$ lámparas numeradas $1, 2, \ldots , 2n$, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga). \newline Sea $N$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1, 2, \ldots , n$ quedan todas encendidas, y las lámparas $n + 1, \ldots , 2n$ quedan todas apagadas. \newline Sea $M$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1, 2, \ldots , n$ quedan todas encendidas, y las lámparas $n + 1, \ldots , 2n$ quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas. \newline Calcular la razón $N/M$.

Låt $n$ och $k$ vara två positiva heltal sådana att $k \geq n$ och $k-n$ är ett jämnt tal.\ Anta att $2n$ lampor är märkta med heltalen från $1$ till $2n$. Var och en av lamporna kan antingen vara på eller av. Från början är alla lamporna av. Vi betraktar följder av $k$ steg, där i varje steg en av lamporna kopplas om (från att vara på till att vara av, eller från att vara av till att vara på).\ Låt nu $N$ vara antalet sådana följder av $k$ steg som resulterar i att lamporna från $1$ till $n$ är alla på, medan lamporna från $n+1$ till $2n$ är alla av.\ Låt $M$ vara antalet sådana följder av $k$ steg som resulterar i att lamporna från $1$ till $n$ är alla på, lamporna från $n+1$ till $2n$ är alla av, men där lamporna från $n+1$ till $2n$ aldrig kopplas på.\ Bestäm kvoten $N/M$.

ให้ $n$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $k \geq n$ และ $k - n$ เป็นจำนวนคู่ มีหลอดไฟ $k$ หลอดไฟหมายเลข $1, 2, \ldots, 2n$ ถ้า $n$ หลอดไฟในแต่ละหลอดไฟคือการปิด หรือ การดับหลอดไฟในอันใด ๆ ซึ่งในสภาวะดับเดิม จะทำมีสายพันที่เปลี่ยนแปลงได้ตลอดที่ตรงกัน 1 และในกรณีที่มีการเปลี่ยนไฟวางตรงหนึ่ง เลี้ยวไฟกลับวางใหม่จากที่หนึ่งไปหนึ่งโดยไม่เปลี่ยนแปลงเลย โดยที่หลอดไฟวางจาก 1 ถึงตรงที่ $n - 1$ ไม่เอียงแบบโดยไม่เขียนแปะนี้แจงโดย bulbs

$n$ ve $k$ pozitif tam sayı olmak üzere, $k \ge n$ ve $k-n$ çift sayıdır. 1, 2, \ldots, $2n$ sayılarıyla numaralandırılmış $2n$ tane lambanın herbiri açık veya kapalı durumda olabiliyor. Başlangıçta lambaların hepsi kapalı durumdadır. Her hamlesinde bir lamba seçilerek, seçilen lambanın durumunu değiştirnen (açıktan kapalıya veya kapalıdan açığa) hamleler dizileri tanımlayalım. Sonucunda 1 den n ye kadar olan lambaları açık ve $n+1$ den $2n$ ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve $k$ hamle içeren tüm hamleler dizilerinin sayısı $N$ olsun. Sonucunda yine 1 den n ye kadar olan lambaları açık ve $n+1$ den $2n$ ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve $k$ hamle içeren, fakat $n+1$ den $2n$ ye kadar olan lambalara hiç hamle yapmayan tüm hamleler dizilerinin sayısı $M$ olsun. $N/M$ oranının değerini bulunuz.

Задача 5. Нехай $n$ та $k$ \text{— такі натуральні числа, що } k \ge n, \text{ а число } k-n \text{ парне. Є } 2n \text{ ламп, які занумеровані числами } 1, 2, \ldots, 2n, \text{ кожна з яких може знаходитися у одному з двох станів: увімкн. (ввімкнена) або вимкн. (вимкнена). Спочатку всі лампи були вимкнені. Розглядаються впорядковані послідовності кроків: на кожному кроці рівно одна лампа змінює свій стан на протилежний (з вимк. на ввімк. або з ввімк. на вимк.). \text{ Позначимо через } N \text{ число таких послідовностей з } k \text{ кроків, що приводять до стану: усі лампи з } 1-ї по } n-ту \text{ увімкнені, а усі лампи з } (n+1)-ї по } (2n)-у \text{ вимкнені. \text{ Позначимо через } M \text{ число таких послідовностей з } k \text{ кроків, що приводять до стану: усі лампи з } 1-ї по } n-ту \text{ увімкнені, усі лампи з } (n+1)-ї по } (2n)-у \text{ вимкнені, але при цьому жодна з ламп з } (n+1)-ї по } (2n)-у \text{ ні разу не змінювала свого стану. \text{ Знайдіть значення відношення } N/M.

Giả sử $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k \geq n$ và $k - n$ là số chẵn. Cho $2n$ bóng đèn được đánh số từ $1$ đến $2n$; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng). Giả sử $N$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt. Giả sử $M$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ $n+1$ đến $2n$ được bật. Tính tỉ số $N/M$.

Misalkan $n$ dan $k$ bilangan bulat positif dengan $k \geq n$ dan $k-n$ suatu bilangan genap. Misalkan $2n$ lampu dilabeli $1, 2, \ldots, 2n$, masing-masing bisa hidup or mati. Mula-mula semua lampu mati. Diberikan barisan langkah: pada masing-masing langkah salah satu lampu diubah (dari hidup ke mati atau dari mati ke hidup).\newline\newline Misalkan $N$ adalah cacah dari barisan yang terdiri dari $k$ langkah dan menghasilkan keadaan dimana lampu-lampu $1$ sampai $n$ semuanya hidup, dan lampu-lampu $n+1$ sampai $2n$ semuanya mati.\newline\newline Misalkan $M$ adalah cacah dari barisan yang terdiri dari $k$ langkah, menghasilkan keadaan dimana lampu-lampu $1$ sampai $n$ semuanya hidup, dan lampu-lampu $n+1$ sampai $2n$ semuanya mati, tetapi tidak ada lampu $n+1$ sampai $2n$ yang pernah dihidupkan.\newline\newline Tentukan ratio $N/M$.

Πρόβλημα 5. Έστω n και k θετικοί ακέραιοι με k \ge n και k - n άρτιος. Δίνονται 2n λαμπτήρες αριθμημένοι με τους αριθμούς 1, 2, \ldots , 2n, ο καθένας από τους οποίους μπορεί να είναι στην κατάσταση αναμμένος ή στην κατάσταση σβηστός. Αρχικά όλοι οι λαμπτήρες είναι σβηστοί. Θεωρούμε ακολουθίες βημάτων, στις οποίες σε κάθε βήμα ένας μόνο από τους λαμπτήρες αλλάζει κατάσταση (από αναμμένος σε σβηστός ή από σβηστός σε αναμμένος).\ Έστω N ο αριθμός εκείνων των ακολουθιών που αποτελούνται από k βήματα και έχουν ως αποτέλεσμα την κατάσταση κατά την οποία οι λαμπτήρες με αριθμό από 1 μέχρι n είναι όλοι αναμμένοι και οι λαμπτήρες από n + 1 μέχρι 2n είναι όλοι σβηστοί.\ Έστω M ο αριθμός εκείνων των ακολουθιών που αποτελούνται από k βήματα και έχουν ως αποτέλεσμα την κατάσταση κατά την οποία οι λαμπτήρες με αριθμό από 1 μέχρι n είναι όλοι αναμμένοι και οι λαμπτήρες με αριθμό από n + 1 μέχρι 2n είναι όλοι σβηστοί, αλλά κανένας από τους λαμπτήρες με αριθμό από n + 1 μέχρι 2n ποτέ δεν βρέθηκε στη κατάσταση αναμμένος.\ Να προσδιορίσετε το λόγο \( \frac{N}{M} \).

2009

60, 90

Laat $ABC$ 'n driehoek wees met $AB = AC$. Die halverlyne van $\angle CAB$ en $\angle ABC$ sny die sye $BC$ en $CA$ op $D$ en $E$, onderskeidelik. Laat $K$ die middelpunt van die ingeskrewe sirkel van driehoek $ADC$ wees. Veronderstel dat $\angle BEK = 45^\circ$. Vind alle moontlike waardes van $\angle CAB$.

Le të jetë ABC një trekëndësh me AB = AC. Përgjysmoret e këndeve \angle CAB dhe \angle ABC takojnë brinjët BC dhe CA, përkatësisht, në pikat D dhe E. Le të jetë K qendra e rrethit brendashkruar trekëndëshit ADC. Supozojmë që këndi \angle BEK = 45^\circ. Gjeni të gjitha vlerat e mundshme të këndit \angle CAB.

ليكن \( ABC \) مثلثاً فيه \( AB = AC \). المنصف الداخلي للزاوية \( CAB \) يقطع الضلع \( BC \) في النقطة \( D \) المنصف الداخلي للزاوية \( ABC \) يقطع الضلع \( AC \) في النقطة \( E \). ليكن \( K \) مركز الدائرة الماسة لأضلاع المثلث \( ADC \) من الداخل. يفرض أن \( \angle BEK = 45^{\circ} \). أوجد جميع القيم الممكنة لقياس الزاوية \( CAB \).

Даден е триъгълник $ABC$, за който $AB = AC$. Ъглополовящите на $\angle{CAB}$ и $\angle{ABC}$ пресичат страните $BC$ и $CA$ съответно в точки $D$ и $E$. Нека $K$ е центърът на вписаната окръжност в триъгълник $ADC$. Да се намерят всички стойности на $\angle{CAB}$, за които $\angle{BEK} = 45^\circ$.

在三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle CAB$ 和 $\angle ABC$ 的内角平分线分别与边 $BC$ 和 $CA$ 相交于点 $D$ 和 $E$。设 $K$ 是三角形 $ADC$ 的内心。若 $\angle BEK = 45^\circ$，求 $\angle CAB$ 所有可能的值。

令三角形 \( ABC \) 有 \(|AB| = |AC|\), 且 \( \angle CAB \) 與 \( \angle ABC \) 的角平分線分別交 \( BC, CA \) 於 \( D, E \). 令 \( K \) 為三角形 \( ADC \) 的內切圓心。假設 \( \angle BEK = 45^\circ \), 試求出 \( \angle CAB \) 之所有可能的值。

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$. Simetrale kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ sijeku stranice $BC$ i $CA$ u točkama $D$ i $E$ redom. Neka je $K$ središte kružnice upisane trokutu $ADC$. Neka mjera kuta $\angle BEK$ iznosi $45^\circ$. Odredi sve moguće vrijednosti mjere kuta $\angle CAB$.

Je dán trojúhelník \(ABC\), v němž \(|AB| = |AC|\). Osy jeho vnitřních úhlů při vrcholech \(A\ a \ B\) protínají strany \(BC\ a \ CA\) po řadě v bodech \(D\ a \ E\). Označme \(K\) střed kružnice vepsané trojúhelníku \(ADC\). Předpokládejme, že \(|\angle BEK| = 45^\circ\). Nadejte všechny možné velikosti úhlu \(CAB\).

Lad \( ABC \) være en trekant med \(|AB| = |AC|\). Vinkelhalveringslinjerne for \( \angle CAB \) og \( \angle ABC \) rammer siderne \( BC \) og \( CA \) i henholdsvis \( D \) og \( E \). Lad \( K \) være centrum for den indskrevne cirkel i trekant \( ADC \). Antag at \( \angle BEK = 45^\circ \). Bestem alle mulige gradtal for \( \angle CAB \).

Zij \( ABC \) een driehoek met \( |AB| = |AC| \). De binnenbissectrices van \( \angle CAB \) en \( \angle ABC \) snijden de zijden \( BC \) en \( CA \) respectievelijk in \( D \) en \( E \). Zij \( K \) het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek \( ADC \). Veronderstel dat \( \angle BEK = 45^{\circ} \). \text{Bepaal alle mogelijke waarden van } \angle CAB.

Let ABC be a triangle with AB = AC. The angle bisectors of \angle CAB and \angle ABC meet the sides BC and CA at D and E, respectively. Let K be the incentre of triangle ADC. Suppose that \angle BEK = 45^\circ. Find all possible values of \angle CAB.

Olgu $ABC$ kolmnurk, kus $|AB| = |AC|$. Nurkade $CAB$ ja $ABC$ poolitajad lõikavad külgi $BC$ ja $CA$ vastavalt punktides $D$ ja $E$. Olgu $K$ kolmnurga $ADC$ siseringjoone keskpunkt. Oletame, et $\angle BEK = 45^\circ$. Leia kõik võimalikud, milline saab olla $\angle CAB$.

Olkoon $ABC$ kolmio, jossa $AB = AC$. Kulmien $CAB$ ja $ABC$ puolittajat leikkaavat sivut $BC$ ja $CA$ pisteissä $D$ ja $E$, tässä järjestyksessä. Olkoon $K$ kolmion $ADC$ sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Oletetaan, että $\angle BEK = 45^\circ$. Määritä $\angle CAB$:n kaikki mahdolliset arvot.

Soit \( ABC \) un triangle tel que \( AB = AC \). Les bissectrices de \( \widehat{CAB} \) et \( \widehat{ABC} \) rencontrent respectivement les côtés \( BC \) et \( CA \) en \( D \) et \( E \). Soit \( K \) le centre du cercle inscrit dans le triangle \( ADC \). On suppose que \( \widehat{BEK} = 45^\circ \). Trouver toutes les valeurs possibles de \( \widehat{CAB} \).

Es sei \( ABC \) ein Dreieck mit \(|AB| = |AC|\). Die Innenwinkelsymmetralen der Winkel \( BAC \) und \( CBA \) schneiden die Seiten \( BC \) und \( AC \) in den Punkten \( D \) bzw. \( E \). Es sei \( K \) der Inkreismittelpunkt des Dreiecks \( ADC \). Ferner sei \( \angle BEK = 45^\circ \). Man bestimme alle möglichen Werte von \( \angle BAC \).

יהי \( \triangle ABC \) משולש שבו \( AB = AC \). חצי הזוית של הזווית \( \angle CAB \) פוגשים את הצלילות \( BC \) בנקודות \( D \) ו- \( E \) בהתאמה. יהי \( K \) מרכז המעגל החסום במשולש \( ADC \). גז \( \angle BEK = 45^\circ \). נמצא כל הערכים האפשריים \(

Legyen az \( ABC \) háromszögben \( AB = AC \). A \( CAB \angle \) ill. \( ABC \angle \) szögek szögfelezői a \( BC \) ill. \( CA \) oldalakat rendre a \( D \) ill. \( E \) pontokban metszik. Legyen \( K \) az \( ADC \) háromszög beírt körének a középpontja. Tegyük fel, hogy \( BEK \angle = 45^\circ \). Határozzuk meg a \( CAB \triangle \) összes lehetséges értékét.

Sia $ABC$ un triangolo con $AB = AC$. Le bisettrici di $\angle CAB$ e $\angle ABC$ intersecano i lati $BC$ e $CA$ in $D$ ed $E$ rispettivamente. Sia $K$ l'incentro del triangolo $ADC$. Supponiamo che $\angle BEK = 45^\circ$. Determinare tutti i possibili valori di $\angle CAB$.

三角形 \ ABC は \ AB = AC をみたす。角 \ CAB, \ 角 \ ABC の二等分線が，辺 \ BC, \ 辺 \ CA とそれぞれ \ D, \ E で交わっている。三角形 \ ADC の外心を \ K とする。 \angle BEC = 45^\circ であるとする。このとき，\angle CAB してありうる値をすべて求めよ。

삼각형 \( ABC \)에서 \( AB = AC \)이다. 각 \( CAB \)의 이등분선과 변 \( BC \)의 교점을 \( D \), 각 \( ABC \)의 이등분선과 변 \( CA \)의 교점을 \( E \)라 하자. 삼각형 \( ADC \)의 내심을 \( K \)라 하고, \( \angle BEK = 45^\circ \)라 가정 하자. 이때, \( \angle CAB \)의 가능한 값들을 모두 구하여라.

Trijstūrī $ABC$ pastāv vienādība $AB = AC$. Leņķu $\angle CAB$ un $\angle ABC$ bisektrises krusto malas $BC$ un $CA$ atbilstoši punktos $D$ un $E$. Punkts $K$ ir trijstūrī $ADC$ ievilktās riņķa līnijas centrs. Dots, ka $\angle BEK = 45^\circ$. Noskaidrojiet visas iespējamās $\angle CAB$ vērtības.

Tegul \(ABC\) yra lygiašonis trikampis, kuriame \(AB = AC\). Kampo \(CAB\) pusiaukampinė kerta kraštinę \(BC\) taške \(D\), o kampo \(ABC\) pusiaukampinė kerta kraštinę \(CA\) taške \(E\). Taškas \(K\) yra įbrėžto į trikampį \(ADC\) apskritimo centras, o \(\angle BEK = 45^\circ\). Raskite visas įmanomas \(\angle CAB\) reikšmes.

Во триаголникот $ABC$ важи $\overline{AB} = \overline{AC}$. Симетралите на аглите $\angle CAB$ и $\angle ABC$ ги сечат страните $BC$ и $CA$ во точките $D$ и $E$, соодветно. Нека $K$ е центар на впишаната кружница во триаголникот $ADC$. Нека важи $\angle BEK = 45^\circ$. Одреди ги сите можни вредности на аголот $\angle CAB$.

La \( ABC \) være en trekant med \( AB = AC \). Halveringslinjen til \( \angle CAB \) skjærer siden \( BC \) i \( D \), mens halveringslinjen til \( \angle ABC \) skjærer siden \( CA \) i \( E \). La \( K \) være \( ADC's \) innsenter. Anta at \( \angle BEK = 45^\circ \). Finn alle mulige verdier til \( \angle CAB \).

W trójkącie $ABC$ zachodzi równość $AB = AC$. Dwusieczne kątów $CAB$ oraz $ABC$ przecinają jego boki $BC$ oraz $AC$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Punkt $K$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$. Załóżmy ponadto, że $\angle BEK = 45^\circ$. Wyznaczyć możliwe wartości $\angle CAB$.

Seja $ABC$ um triângulo com $AB = AC$. As bissectrizes dos ângulos $\angle CAB$ e $\angle ABC$ intersectam os lados $BC$ e $CA$ em $D$ e $E$, respectivamente. Seja $K$ o incentro do triângulo $ADC$. Suponha que $\angle BEK = 45^\circ$. Determine todos os possíveis valores de $\angle CAB$.

Fie \( ABC \) un triunghi cu \( AB = AC \). Bisectoarele unghiurilor \( \angle CAB \) și \( \angle ABC \) taie laturile \( BC \), respectiv \( CA \) în punctele \( D \), respectiv \( E \). Fie \( K \) centrul cercului înscris în triunghiul \( ADC \). Se știe că \( \angle BEK = 45^\circ \). Determinați toate valorile posibile pentru \( \angle CAB \).

Задача 4. Треугольник $ABC$ таков, что $AB = AC$. Биссектрисы углов $CAB$ и $ABC$ пересекают стороны $BC$ и $CA$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Обозначим через $K$ центр окружности, вписанной в треугольник $ADC$. Оказалось, что $\angle DBE K = 45^\circ$. Найдите все возможные значения угла $CAB$.

Daný je trojuholník $ABC$, pričom $|AB| = |AC|$. Osi uhlov $CAB$ a $ABC$ pretínajú strany $BC$ a $CA$ postupne v bodoch $D$ a $E$. Nech $K$ je stred kružnice vpísanej do trojuholníka $ADC$. Predpokladajme, že $| \angle BEK| = 45^\circ$. Nájdi všetky možné veľkosti uhla $CAB$.

V trikotniku $ABC$ velja $|AB| = |AC|$. Simetrala kota $\angle CAB$ seka stranico $BC$ v točki $D$, simetrala kota $\angle ABC$ seka stranico $CA$ v točki $E$. Naj bo $K$ središče trikotniku $ADC$ včrtane krožnice. Denimo, da je $\angle BEK = 45^\circ$. Določi vse možne velikosti kota $\angle CAB$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ cortan a los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que el ángulo $\angle BEK = 45^\circ$. Determinar todos los posibles valores de $\angle CAB$.

Låt \( ABC \) vara en triangel med \(|AB| = |AC|\). Bisektrisserna till \( \angle CAB \) och \( \angle ABC \) skär sidorna \( BC \) och \( CA \) i punkterna \( D \) och \( E \), respektive. Låt \( K \) vara centrum för den i triangeln \( ADC \) inskrivna cirkeln. Anta att \( \angle BEK = 45^\circ \). Bestäm alla möjliga värden på \( \angle CAB \).

โจทย์ข้อที่ 4: ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมสมธัตถ์ที่มี $AB = AC$ เส้นแกนมุมรวม $\angle CAB$ และเส้นแบ่งมุม $\triangle ABC$ ตัดด้าน $BC$ และด้าน $CA$ ที่จุด $D$ และจุด $E$ ตามลำดับ ให้จุด $K$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม $\triangle ADC$ สมมติว่า $\angle BEK = 45^\circ$ จงหามากที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม $\angle CAB$

|AB| = |AC| \text{ olan bir } ABC \text{ üçgeninde, } CAB \text{ ve } \widehat{ABC} \text{ açılatının açıortayları } [BC] \text{ ve } [CA] \text{ kenarlarını sırasıyla } D \text{ ve } E \text{ noktalarında kesiyor. } K, \ ADC \text{ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olmak üzere; } m(BEK) = 45^\circ \text{ ise, } m(CAB) \text{ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.}

Задача 4. Трикутник $ABC$ такий, що $AB = AC$. Бісектриси кутів $CAB$ та $ABC$ перетинають сторони $BC$ та $CA$ в точках $D$ та $E$ відповідно. Позначимо через $K$ центр кола, що вписане в трикутник $ADC$. Виявилось, що $\angle BEK = 45^\circ$. Знайдіть усі можливі значення кута $CAB$.

Giả sử $ABC$ là tam giác với $AB = AC$. Các đường phân giác của các góc $CAB$ và $ABC$ gặp các cạnh $BC$ và $CA$ tại $D$ và $E$, tương ứng. Giả sử $K$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ADC$. Giả thiết rằng góc $BEK = 45^\circ$. Tìm mọi giá trị có thể của góc $CAB$.

Misalkan $ABC$ suatu segitiga dengan $AB = AC$. Garis-garis bagi sudut $\angle CAB$ dan $\angle ABC$ memotong sisi-sisi $BC$ dan $CA$ berturut-turut di $D$ dan $E$. Misalkan $K$ adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga $ADC$. Dinisalkan bahwa $\angle BEK = 45^\circ$. Cari semua kemungkinan ukuran $\angle CAB$.

Έστω \( ABC \) ένα τρίγωνο με \( AB = AC \). Οι διχοτόμοι των γωνιών του \( \angle CAB \) και \( \angle ABC \) τέμνουν τις πλευρές \( BC \) και \( AC \) στα σημεία \( D \) και \( E \), αντίστοιχα. Έστω \( K \) το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου \( ADC \). Υποθέτουμε ότι \( \angle BEK = 45^\circ \). Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της γωνίας \( \angle CAB \).

2009

f(x)=x

Bepaal alle funksies $f$ van die versameling van positiewe heelgetalle na die versameling van positiewe heelgetalle sodat, vir alle positiewe heelgetalle $a$ en $b$, daar 'n egte driehoek bestaan met sye \[ a, \quad f(b) \quad \text{en} \quad f(b + f(a) - 1). \] ('n Egte driehoek se hoekpunte is nie samelynig nie.)

Gjeni të gjitha funksionet f të përcaktuara në bashkësinë e numrave të plotë pozitivë me vlera po në bashkësinë e numrave të plotë pozitivë, të tilla që, për çdo dy numra të plotë pozitivë a dhe b, ekziston një trekëndësh i padegjeneruar që i ka brinjët me gjatësi \begin{align*} a, \quad f(b) \quad \text{dhe} \quad f(b + f(a) - 1). \end{align*} (Një trekëndësh është i padegjeneruar kur kulmet e tij nuk ndodhen në një drejtëz.)

أوجد جميع الدوال \( f : \mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*} \) والتي تحقق الخاصية: لأجل \( b \) و \( a \) من \( \mathbb{N^*} \) يوجد مثلث تكون أطوال أضلاعه هي: \[ f(b + f(a - 1)) \]\[ g \ f(b) \]\[ a \ f \] حيث أن \( \mathbb{N^*} \) هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.

Нека $\mathbb{N}$ е множеството на естествените числа. Да се намерят всички функции $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такива, че за произволни $a, b \in \mathbb{N}$ съществува неизроден триъгълник с дължини на страните $a, \ f(b) \ \text{и} \ f(b+f(a)-1)$. (Един триъгълник е неизроден, ако върховете му не са колинеарни.)

求所有从正整数集到正整数集上的满足如下条件的函数 $f$，对所有正整数 $a$ 和 $b$，都存在一个以 $a, f(b)$ 和 $f(b + f(a) - 1)$ 为三边长的非退化三角形。\\(*称一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶点不共线。*)

假設函數 \( f \) 是由正整數對應到正整數, 使得對於任意正整數 \( a \) 與 \( b \) 都存在邊長為 \\[ a, \quad f(b) \quad 與 \quad f(b + f(a) - 1) \\ \\]的非退化三角形。求滿足此條件的所有 \( f \). （三個頂點不共線的三角形稱為非退化。）

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (tj. funkcije definirane na skupu prirodnih brojeva koje poprimaju vrijednosti u skupu prirodnih brojeva) takve da, za sve prirodne brojeve $a$ i $b$, postoji nedegenerirani trokut sa stranicama duljina \[ a, \quad f(b) \quad \text{i} \quad f(b + f(a) - 1). \] (Trokut je \textit{nedegeneriran} ako njegovi vrhovi nisu kolinearni.)

Určete všechny takové funkce \(f\) z množiny kladných celých čísel do množiny kladných celých čísel, že pro všechna kladná celá čísla \(a, b\) existuje nedegenerovaný trojúhelník, jehož strany mají délky \[a, \quad f(b), \quad f(b + f(a) - 1).\] (Trojúhelník je \textit{nedegenerovaný}, neleží-li všechny jeho vrcholy na téže přímce.)

Bestem alle funktioner \( f \) fra mængden af positive hele tal til mængden af positive hele tal sådan at der, for alle positive hele tal \( a \) og \( b \), eksisterer en ikke-degenereret trekant med sidelængder \[ a, f(b) \quad \text{og} \quad f(b + f(a) - 1). \] (En trekant er \textit{ikke-degenereret} hvis dets hjørner ikke ligger på linje.)

Bepaal alle functies \( f : \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0} \) van de verzameling van positieve gehele getallen naar de verzameling van positieve gehele getallen, zodanig dat er voor alle positieve gehele getallen \( a \) en \( b \) een niet-ontaarde driehoek bestaat met zijden lengten \( a, f(b) \ \text{en}\ f(b + f(a) - 1) \). (\text{Een driehoek heet } niet\text{-ontaard als zijn hoekpunten niet-collineair zijn.})

Determine all functions f from the set of positive integers to the set of positive integers such that, for all positive integers a and b, there exists a non-degenerate triangle with sides of lengths \, a, \, \ f(b) \, and \ f(b + f(a) - 1). \, \ (A \ triangle \ is \ non-degenerate \ if \ its \ vertices \ are \ not \ collinear.)

Leia kõik sellised funktsioonid $f$ positiivsete täisarvude hulgast positiivsete täisarvude hulka, et mistahes positiivsete täisarvude $a$ ja $b$ korral leidub kolmnurk küljepikkustega $a$, $f(b)$ ja $f(b + f(a) - 1)$.

Määritä kaikki sellaiset positiivisten kokonaislukujen joukossa määritellyt funktiot $f$, joiden arvot ovat positiivisia kokonaislukuja ja joilla on seuraava ominaisuus: kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $a$ ja $b$ on olemassa (ei-surkastunut) kolmio, jonka sivujen pituudet ovat \[ a, \quad f(b) ja \quad f(b + f(a) - 1). \]

Déterminer toutes les fonctions \( f \) de l'ensemble des entiers strictement positifs dans l'ensemble des entiers strictement positifs telles que, pour tous entiers strictement positifs \( a \) et \( b \), il existe un triangle non aplati dont les longueurs des côtés sont \( a, f(b) \) et \( f(b + f(a) - 1) \).

Man bestimme alle Funktionen \( f \), die auf der Menge der positiven ganzen Zahlen definiert sind und nur positive ganze Zahlen als Werte annehmen, so dass es für alle positiven ganzen Zahlen \( a \) und \( b \) ein nicht entartetes Dreieck mit Seitenlängen \[ a, \quad f(b) \quad \text{und} \quad f(b + f(a) - 1) \]gibt. (Ein Dreieck heißt nicht entartet, wenn seine Eckpunkte nicht kollinear sind.)

נמצא את כל התפקוץ \( f \) מקבצות המספרים השלמים החיוביים לקבוצת המספרים השלמים החיוביים, כך שעבור כל שני מספרים שלמים חיוביים \( a, b \), אם המשולש לא מנון שלםיוןם - כל שלםיון חל אנלחים \( (b + f(a) - 1) \) אזי אי קוקרים אלא ממונחם.

Határozzuk meg az összes olyan \( f \) függvényt, ami a pozitív egész számok halmazát a pozitív egész számok halmazába képezi, és amire teljesül az, hogy tetszőleges pozitív egész \( a \) és \( b \) értékekre van olyan nem-elfajuló háromszög, amelynek oldahosszaai \[ a, f(b) \text{ és } f(b + f(a) - 1). \] (Egy háromszög nem-elfajuló, ha csúcsai nincsenek egy egyenesen.)

Determinare tutte le funzioni $f$ dall'insieme degli interi positivi all'insieme degli interi positivi tali che, per tutti gli interi positivi $a$ e $b$, esiste un triangolo non degenere i cui lati hanno lunghezze \[ a, \quad f(b) \quad \text{e} \quad f(b + f(a) - 1). \] (Un triangolo è \textit{non degenere} se i suoi vertici non sono allineati.)

正の整数に対して定義され，正の整数値をとる関数 f であって，任意の正の整数 a,b に対して \ a, \ f(b), \ (f(b + f(a) - 1)\ が非退化な三角形の 3 辺の長さとなるようなものをすべて決定せよ。ただし，三角形が非退化であるとは，3 つの頂点が同一直線上に並んでいないことを指す。

다음의 조건을 만족시키는, 양의 정수 전체의 집합에서 정의되고 양의 정수들을 함수값 으로 갖는 함수 \( f \)를 모두 구하여라: [조건] 모든 양의 정수 \( a, b \)에 대하여 \( a f(b), f(b + f(a) - 1) \)을 세 변의 길이로 갖는 삼각형이 존재 한다. (세 꼭짓점이 일직선 상에 있는 퇴화삼각형은 삼각형이 아닌 것으로 본다.)

Noskaidrojiet, kurām funkcijām $f$, kas definētas visiem veseliem pozitīviem skaitļiem un kas pieņem veselas pozitīvas vērtības, piemīt īpašība: katriem veseliem pozitīviem skaitļiem $a$ un $b$ eksistē nedegenerēts trijstūris ar malu garumiem \[a, \ f(b) \ \text{un} \ f(b + f(a) - 1)\]. \ \text{(Trijstūri sauc par nedegenerētu, ja tā visas virsotnes neatrodas uz vienas taisnes.)}

Raskite visas tokias funkcijas \(f\), atvaizduojančias natūraliųjų skaičių aibę į natūraliųjų skaičių aibę, kad su visais natūraliaisiais \(a\ ir \(b\) egzistuoja neišsigimęs trikampis, kurio kraštinės yra \(a, f(b) ir f(b + f(a) - 1)\). (Trikampis yra neišsigimęs, jei jo viršūnės nepriklauso vienai tiesei.)

Одреди ги сите функции $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ \[\text{(т.е. функции определени на множеството на природни броеви и кои примаат вредности во множеството на природни броеви)}\] такви да, за сите природни броеви $a$ и $b$, постои недегенериран триаголник чиј страни имаат должини $a$, $f(b)$ и $f(b + f(a) - 1)$.\[\text{(Триаголникот е } \textit{недегенериран } \text{ако неговите темиња не се колинеарни точки.)}\]

Bestem alle funksjoner \( f : \mathbb{N}^+ \to \mathbb{N}^+ \) (der \( \mathbb{N}^+ \) betegner mengden av positive heltall) slik at det for alle positive heltall \( a \) og \( b \) finnes en ikke-degenerert trekant med sidelenger \[ a, \quad f(b) \quad \text{og} \quad f(b + f(a) - 1)\]. (En trekant er ikke-degenerert dersom hjørnene ikke ligger på en linje)

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ przekształcające zbiór dodatnich liczb całkowitych w zbiór dodatnich liczb całkowitych takie, że dla każdych dwóch dodatnich liczb całkowitych $a$ oraz $b$ istnieje niezdenerowany trójkąt, którego boki mają długości \[ a, \quad f(b) \quad \text{oraz} \quad f(b + f(a) - 1). \] (Trójkąt iedzenerowany to taki, którego wierzchołki nie leżą na jednej prostej.)

Determine todas as funções $f$ do conjunto dos inteiros positivos no conjunto dos inteiros positivos tais que, para todos os inteiros positivos $a$ e $b$, existe um triângulo não degenerado cujos lados medem \begin{align*} a, \quad f(b), \quad \text{e} \quad f(b + f(a) - 1). \end{align*} (Um triângulo é não degenerado se os seus vértices não são colineares).

Determinați funcțiile \( f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* \), astfel încât, pentru orice \( a, b \in \mathbb{N}^* \), numerele \( a, \ f(b) \) și \( f(b + f(a) - 1) \) pot fi lungimile laturilor unui triunghi nedegenerat.

Задача 5. Найдите все функции $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (то есть функции, определенные на множестве всех целых положительных чисел и принимающие целые положительные значения) такие, что для любых целых положительных $a$ и $b$ существует невырожденный треугольник, длины сторон которого равны трем числам $$a, \ f(b) \ \text{и} \ f(b + f(a) - 1).$$ (Треугольник называется невырожденным, если его вершины не лежат на одной прямой.)

Určte všetky také funkcie $f$ z množiny kladných celých čísel do množiny kladných celých čísel, že pre všetky kladné celé čísla $a$, $b$ existuje nedegenerovaný trojuholník so stranami dĺžok $a$, $f(b)$, $f(b + f(a) - 1)$. (Trojuholník je \emph{nedegenerovaný}, ak jeho vrcholy neležia na jednej priamke.)

Določi vse funkcije $f$, ki slikajo iz množice naravnih števil v množico naravnih števil, za katere velja, da za vsaki naravni števili $a$ in $b$ obstaja neizrojeni trikotnik s stranicami dolžin \[a, \quad f(b) \quad \text{in} \quad f(b + f(a) - 1).\] (Trikotnik je neizrojeni, če njegova oglišča niso kolinearna.)

Determinar todas las funciones $f$ del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden $a$, $f(b)$ y $f(b + f(a) - 1)$. \newline (Un triángulo no degenerado si sus vértices no están alineados).

Bestäm alla funktioner \( f \) från mängden av de positiva heltalen till mängden av de positiva heltalen och som är sådana att, för alla positiva heltalen \( a \) och \( b \), det finns en icke-degenererad triangel med sidorna vars längder är \\ \[ a, \quad f(b) \quad \text{och} \quad f(b + f(a) - 1) \]. (En triangel är \textit{icke-degenererad} om dess hörn inte är kolinjära.)

โจทย์ข้อที่ 5: จงหาฟังก์ชัน $f$ ทั้งหมดจากเซตของจำนวนเต็มบวกไปยังเซตของจำนวนเต็มบวก ซึ่งสำหรับจำนวนเต็มบวก $a$ และ $b$ ใด ๆ จะมีรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ลำธิบส์มีมวามยาวของด้านเป็น \\ $a$, $f(b)$ และ $f(b + f(a) - 1)$ (รูปสามเหลี่ยมที่ไม่ลำธิบส์รูป เป็นรูปสามเหลี่ยมที่จุดของด้านสามจุดไม่อยู่รวมถึงเส้นตรงเดียวกัน)

Pozitif tam sayılar kümesinden pozitif tam sayılar kümesine tanımlı olan ve tüm a \text{ ve } b \text{ pozitif tam sayıları için, } a, \ f(b)\ \text{ ve } f(b + f(a) - 1) ol\text{ olan bir üçgenin bulunmasını sağlayan bütün }f \text{ fonksiyonlarını belirleyiniz.} ( \text{Yoz üçgen, köşeleri doğrudaş olan üçgendir.})

Задача 5. Знайдіть усі функції $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (тобто функції, які визначені на множині усіх натуральних чисел та приймають натуральні значення) такі, що для будь-яких натуральних чисел $a$ та $b$ існує невироджений трикутник, довжини сторін якого дорівнюють трьом числам $a, \ f(b) \ \ f(b + f(a) - 1).$ (Трикутник називається невиродженим, якщо його вершини не лежать на одній прямій.)

Tìm tất cả các hàm $f$ từ tập hợp các số nguyên dương đến tập hợp các số nguyên dương sao cho, với mọi số nguyên dương $a$ và $b$, tồn tại tam giác không suy biến với độ dài các cạnh là các số $$a, \ f(b) \ và \ f(b + f(a) - 1).$$ (Tam giác gọi là không suy biến nếu ba đỉnh của nó không cùng nằm trên một đường thẳng.)

Tentukan semua fungsi $f$ dari himpunan bilangan bulat positif ke himpunan bilangan bulat positif sehingga, untuk semua bilangan bulat positif $a$ dan $b$, terdapat segitiga \textit{non-degenerate} dengan panjang sisi-sisinya $a$, $f(b)$ dan $f(b + f(a) - 1)$.\\(Suatu segitiga adalah \textit{non-degenerate} jika titik-titik sudutnya tidak segaris.)

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις \( f \), με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακεραίων και με τιμές στο σύνολο των θετικών ακεραίων, που είναι τέτοιες ώστε για όλους τους θετικούς ακεραίους \( a \) και \( b \) να υπάρχει (μη εκφυλισμένο) τρίγωνο με μήκη πλευρών \[ a, \ f(b), \ \text{και} \ f(b + f(a) - 1) \]. (Ένα τρίγωνο είναι μη εκφυλισμένο, αν οι κορυφές του δεν βρίσκονται σε μία ευθεία).

2010

c \geq 0, g(n) = n + c

Le të jetë $\mathbb{N}$ bashkësia e numrave të plotë pozitivë. Gjeni të gjitha funksionet $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ të tilla që numri $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ të jetë katror i plotë për të gjitha $m,n \in \mathbb{N}$.

المسألة 3 : \text{لتكن } N \text{ مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة . أوجد جميع الدوال } g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \text{ التي تجعل العدد } (g(m) + n)(m + g(n)) \text{ مربعاً كاملاً لكل } n, m \in \mathbb{N} .

Да се намерят всички функции $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такива, че \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] е точен квадрат за произволни $m,n \in \mathbb{N}$. (\(\mathbb{N}\) е множеството на естествените числа.)

设 ${\mathbb{N}}$ 是所有正整数构成的集合。求所有的函数 $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，使得对所有 $m,n \in \mathbb{N}$， \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] 是一个完全平方数。

令 \( \mathbb{N} \) 為正整數的集合。找出所有的函數 \( g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)，對於所有的 \( m, n \in \mathbb{N} \)，使得 \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] 是一個完全平方數。

Neka je $\mathbb{N}$ skup svih pozitivnih cijelih brojeva (tj. skup prirodnih brojeva). Odredite sve funkcije $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da je \[ (g(m) + n) (m + g(n)) \] kvadrat prirodnog broja za sve $m, n \in \mathbb{N}$.

Nechť $\mathbb{N}$ je množina všech celých kladných čísel. Určete všechny funkce $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takové, že pro libovolná celá kladná $m, n$ je číslo $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ druhou mocninou celého kladného čísla.

Lad \( \mathbb{N} \) være mængen af positive hele tal. Bestem alle funktioner \( g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) sådan at \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] er et kvadrattal for alle \( m, n \in \mathbb{N} \).

Zij $\mathbb{N}_{>0}$ de verzameling van alle positieve gehele getallen (verschillend van nul). Bepaal alle functies $g : \mathbb{N}_{>0} \rightarrow \mathbb{N}_{>0}$ zo dat \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] een kwadraat van een geheel getal is voor alle $m, n \in \mathbb{N}_{>0}$.

Let $\mathbb{N}$ be the set of positive integers. Determine all functions $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ such that $(g(m) + n)(m + g(n))$ is a perfect square for all $m,n \in \mathbb{N}$.

Olgu $\mathbb{N}$ kõigi positiivsete täisarvude hulk. Leia kõik sellised funktsioonid $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, mille korral arv \[(g(m) + n)(m + g(n))\] on täissruut mistahes $m, n \in \mathbb{N}$ jaoks.

Olkoon $\mathbb{N}$ positiivisten kokonaislukujen joukko. Määritä kaikki funktiot $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, joille \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] on neliöluku kaikilla $m, n \in \mathbb{N}$.

$\mathbb{N}^*$ désigne l'ensemble des entiers strictement positifs. Déterminer toutes les fonctions $g : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ telles que, pour tous $m, n \in \mathbb{N}^*$, $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ soit un carré parfait.

Aufgabe 3. Es sei \( \mathbb{N} \) die Menge der positiven ganzen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen \( g : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \), so dass die Zahl \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] für alle \( m, n \in \mathbb{N} \) eine Quadratzahl ist.

בְּעִיָּה 3. תהי \( N \) קבוצת כל המספרים השלמים והחיוביים. מצא את כל הפונקציות \( g \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) כך ש \[ (g(m) + n) \mid (m + g(n)) \] הוא ריבוע שלם עבור כל \( m, n \in \mathbb{N} \).

Legyen $\mathbb{N}$ a pozitív egész számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ függvényt, amelyre \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] teljes négyzet minden $m, n \in \mathbb{N}$-re.

Sia $\mathbb{N}$ l'insieme degli interi positivi. Determinare tutte le funzioni $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tali che \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] è un quadrato perfetto per tutti gli $m, n \in \mathbb{N}$.

問題 3. 正の整数に対して定義され正の整数を値にとる関数 $g$ であって、任意の正の整数 $m,n$ に対して、 \[(g(m) + n)(m + g(n))\] が平方数となるようなものをすべて求めよ。

문제 3. 다음 조건을 만족하는 함수 \( g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)을 모두 구하여라: 모든 \( m,n \in \mathbb{N} \)에 대하여 \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] 이 완전제곱수이다. 단, \( \mathbb{N} \)은 양의 정수 전체의 집합이다.

Ar $\mathbb{N}$ apzīmē visu veselo pozitīvo skaitļu kopu. Atrast visas funkcijas $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, tādas, ka visiem $m, n \in \mathbb{N}$ \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] ir naturāla skaitļa kvadrāts.

Tegul $\mathbb{N}$ yra visų natūraliųjų skaičių aibė. Raskite visas tokias funkcijas $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, su kuriomis skaičiai \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] yra natūraliųjų skaičių kvadratai su visais $m, n \in \mathbb{N}$.

Задача 3. Нека $\mathbb{N}$ е множеството од сите природни броеви. Одреди ги сите функции $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такви да\\\[ (g(m) + n)(m + g(n)) \]е квадрат на природен број за сите $m, n \in \mathbb{N}$.

La \( \mathbb{N}^+ \) betegne mengden av positive heltall. Bestem alle funksjoner \( g : \mathbb{N}^+ \to \mathbb{N}^+ \) for hvilke \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] er et kvadrattall for alle \( m, n \in \mathbb{N}^+ \).

Zadanie 3. Niech $\mathbb{N}$ oznacza zbiór dodatnich liczb całkowitych. Wyznaczyć wszystkie funkcje $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takie, że dla wszystkich $m, n \in \mathbb{N}$ liczba \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] jest kwadratem liczby całkowitej.

Seja \( \mathbb{N}^* \) o conjunto dos inteiros positivos. Determine todas as funções \( g : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* \) tais que \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] é um quadrado perfeito para todos \( m, n \in \mathbb{N}^* \).

Determinați toate funcțiile $g : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ pentru care numărul $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ este pătrat perfect oricare ar fi $m, n \in \mathbb{N}^*$.

Обозначим через $\mathbb{N}$ множество всех целых положительных чисел. Найдите все функции $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такие, что число \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] является точным квадратом при любых $m, n \in \mathbb{N}$.

Nech $\mathbb{N}$ je množina všetkých kladných celých čísel. Určte všetky funkcie $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ také, že \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] je štvorecom celého čísla pre všetky $m, n \in \mathbb{N}$.

Naj bo $\mathbb{N}$ množica naravnih števil. Določi vse funkcije $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, za katere velja, da je \[(g(m) + n)(m + g(n))\] popolni kvadrat za vse $m,n \in \mathbb{N}$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que $$ (g(m) + n)(m + g(n)) $$ es un cuadrado perfecto para todo $m, n \in \mathbb{N}$.

Låt \( \mathbb{N} \) beteckna mängden av alla positiva heltal. Bestäm alla funktioner \( g : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) sådana att \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] är ett kvadrattal för alla \( m, n \in \mathbb{N} \).

โจทย์ข้อ 3 ให้ \( \mathbb{N} \) เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก จงหาฟังก์ชัน \( g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) ทั้งหมด ซึ่ง \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] เป็นกำลังสองสมบูรณ์ สำหรับทุก \( m, n \in \mathbb{N} \)

Soru 3. \( \mathbb{Z}^+ \) ile pozitif tam sayılar kümesini gösterelim. Her \( m, n \in \mathbb{Z}^+ \) için, \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] sayısının tam kare olmasını sağlayan tüm \( g : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ \) fonksiyonlarını belirleyiniz.

Задача 3. Позначимо через $\mathbb{N}$ множину натуральних чисел. Знайти всі функції $g \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такі, що число \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] є квадратом натурального числа для довільних $m, n \in \mathbb{N}$.

Bài 3. Giả sử \( \mathbb{N} \) là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm \( g : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) sao cho \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \]là số chính phương với mọi \( m, n \in \mathbb{N} \).

Misalkan $\mathbb{N}$ himpunan bilangan bulat positif. Tentukan semua fungsi $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ sehingga $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ suatu kuadrat sempurna untuk semua $m,n \in \mathbb{N}$.

Έστω $\mathbb{N}^*$ το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $g : \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός \[ \left( g\left( m \right) + n \right) \left( m + g\left( n \right) \right) \] είναι τέλειο τετράγωνο, για κάθε $m, n \in \mathbb{N}^*$.

2011

{x, 5x, 7x, 11x}, {x, 11x, 19x, 29x}

Vir enige versameling $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ van vier verskillende positiewe heelgetalle dui ons die som $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ met $s_A$ aan. Laat $n_A$ die aantal pare $(i,j)$ met $1 \leq i < j \leq 4$ wees waarvoor $a_i + a_j$ 'n deler van $s_A$ is. Bepaal alle sulke versamelings $A$ waarvoor $n_A$ sy grootste moontlike waarde bereik.

Për çdo bashkësi $A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \}$ me katër numra të plotë pozitivë të ndryshëm, shënojmë me $S_A$ shumën $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ dhe me $n_A$ numrin e çifteve $(i, j)$, ku $1 \leq i < j \leq 4$, për të cilat $a_i + a_j$ plotpjesëton $S_A$. Gjeni të gjitha bashkësitë e tilla $A$ për të cilat $n_A$ merr vlerën më të madhe të mundshme.

لكل مجموعة $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ مكونة من أربعة أعداد صحيحة موجبـة و مختلفة يُحتملجا\n$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = S$ . ليكن $n_A$ عدد الأزواج $(i, j)$ حيث $4 \leq j < i \leq 1$ بحيث $a_i + a_j$ يقسم $S$ . جد جميع المجموعات $A$ المكونة من أربعة أعداد صحيحة مختلفة و التي يُحتمل $n_A$ أكثر ما يمكن.

Задача 1. За всяко множество $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ от четири различни естествени числа полагаме $s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Нека $\lambda$ е броят на двойките $(i,j)$, за които $1 \leq i < j \leq 4$ и $a_i + a_j$ дели $s_A$. Да се намерят всички множества $A$ от четири различни естествени числа такива, че числото $\lambda$ е максимално.

对任意由 4 个不同正整数组成的集合 $A=\{a_1, a_2, a_3, a_4\}$，记 $s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$，设 $n_A$ 是满足 $a_i + a_j (1 \leq i < j \leq 4)$ 为整数 $s_A$ 的数对 $(i, j)$ 的个数。求所有由 4 个不同正整数组成的集合 $A$，使得 $n_A$ 达到最大值。

對任意由 4 個不同正整數所成的集合 $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$，記 $s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$，設 $n_A$ 是滿足 $a_i + a_j \ (1 \leq i < j \leq 4)$ 整除 $s_A$ 的數對 $(i, j)$ 的個數。求所有由 4 個不同正整數所成的集合 $A$，使得 $n_A$ 達到最大值。

Za skup $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ koji se sastoji od četiri međusobno različita prirodna broja, neka $s_A$ označava sumu $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Neka $n_A$ označava broj parova $(i, j)$, $1 \leq i < j \leq 4$, za koje broj $a_i + a_j$ dijeli sumu $s_A$. \n Odredi sve takve skupove $A$, koji se sastoje od četiri međusobno različita prirodna broja, za koje $n_A$ postiže maksimalnu moguću vrijednost.

Pro libovolnou množinu $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ čtyř (po dvou různých) přirozených čísel označme $s_A$ součet $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Dále nechť $n_A$ značí počet dvojic $(i,j)$, kde $1 \leq i < j \leq 4$ a $a_i + a_j$ dělí $s_A$. Určete všechny čtyřprvkové množiny $A$ přirozených čísel, pro které je hodnota $n_A$ největší možná.

For enhver mængde $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ af fire forskellige positive hele tal betegner vi summen $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ med $s_A$. Lad $n_A$ betegne antallet af de par $(i,j)$ med $1 \leq i < j \leq 4$ hvor $a_i + a_j$ går op i $s_A$. Find alle de mængder $A$ af fire forskellige positive hele tal som opnår den størst mulige værdi af $n_A$.

Voor een verzameling $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ van vier verschillende positieve gehele getallen (verschillend van nul) noteren we de som $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ als $s_A$. We schrijven $n_A$ voor het aantal paren $(i, j)$ met $1 \le i < j \le 4$ waarvoor $a_i + a_j$ een deler is van $s_A$. Bepaal alle verzamelingen $A$ van vier verschillende positieve gehele getallen (verschillend van nul) met de grootst mogelijke waarde van $n_A$.

Given any set $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ of four distinct positive integers, we denote the sum $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ by $s_A$. Let $n_A$ denote the number of pairs $(i,j)$ with $1 \leq i < j \leq 4$ for which $a_i + a_j$ divides $s_A$. Find all sets $A$ of four distinct positive integers which achieve the largest possible value of $n_A$.

Olgu $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ neljast erinevast positiivsest täisarvust koosnev hulk.Tähistame summa $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ tähega $s_A$. Olgu $n_A$ selliste paaride $(i, j)$, kus $1 \leq i < j \leq 4$, hulk, mille puhul $a_i + a_j$ jagab arvu $s_A$. Leida kõik neljast erinevast positiivsest täisarvust koosnevad hulgad $A$, mille korral $n_A$ on maksimaalne võimalik.

Olkoon $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ neljästä erisuurta positiivisesta kokonaisluvusta koostuva joukko, jonka alkioiden summasta $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ käytetään merkintää $s_A$. Olkoon $n_A$ niiden parien $(i,j)$ lukumäärä, joilla $1 \le i < j \le 4$ ja $a_i + a_j$ jakaa luvun $s_A$. Etsi kaikki sellaiset neljän erisuurten positiivisen kokonaisluvun joukot $A$, jotka saavuttavat suurimman mahdollisen arvon $n_A$.

Pour tout ensemble $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de quatre entiers strictement positifs deux à deux distincts, on note $s_A$ la somme $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ et on note $n_A$ le nombre de couples $(i, j)$, avec $1 \leq i < j \leq 4$, tels que $a_i + a_j$ divise $s_A$. Déterminer les ensembles $A$ pour lesquels $n_A$ est maximal.

Für jede Menge \( A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\} \) von vier paarweise verschiedenen positiven ganzen Zahlen, deren Summe \( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \) mit \( s_A \) bezeichnet werde, sei \( n_A \) die Anzahl der Paare \((i,j)\) mit \( 1 \leq i < j \leq 4 \), für die \( a_i + a_j \) die Zahl \( s_A \) teilt. Bestimme unter all diesen Mengen \( A \) diejenigen, für die \( n_A \) maximal ist.

שאלה 1. לכל קבוצה $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ של ארבעה מספרים חיוביים שונים בגודלם, נסמן את הסכום $a_1 - a_2 + a_3 - a_4$ ב-$S_A$, ואת כמות זוגות האינדקסים $(i,j)$, $1 \leq i < j \leq 4$, עבורם $a_i + a_j$ מחלק את $S_A$, נסמן ב-$n_A$. מצא את כל הקבוצות $A$ מסוג זה, עבורן $n_A$ מקבל את הערך המכסימלי האפשרי.

Az $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ halmaz négy, páronként különböző pozitív egész számból áll. Az $a_i + a_j + a_k$ összeget jelöljük $s_A$-val, és jelöljük $n_A$ az olyan $(i,j)$ párok $(1 \leq i < j \leq 4)$ számát, amelyekre $a_i + a_j$ osztója $s_A$-nak. Határozzuk meg az összes olyan $A$ halmazt, amelyre $n_A$ a lehetséges maximális értékét veszi fel.

Per ogni insieme $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ di quattro interi positivi distinti, sia $s_A$ la somma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$, e sia $n_A$ il numero delle coppie di indici $(i,j)$, con $1 \leq i < j \leq 4$, tali che $a_i + a_j$ divide $s_A$. Tra tutti gli insiemi di quattro interi positivi distinti, determinare gli insiemi $A$ per cui $n_A$ è il più grande possibile.

相異なる 4 つの正の整数の組 $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ に対し、$s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ とおく。$1 \leq i < j \leq 4$ なる組 $(i, j)$ であって、$a_i + a_j$ が $s_A$ を割りきるようなものの個数を $n_A$ とおく。このとき、$n_A$ が最大となるような $A$ をすべて求めよ。

네 개의 서로 다른 양의 정수들의 집합 \( A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \} \) 에 대하여 \( s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \) 라 하고, \( n_A \) 를 \( a_i + a_j \) 의 약수 가 되는 쌍 \( (i, j) \) \( (단, 1 \leq i < j \leq 4) \) 의 개수라 하자. 네 개의 서로 다른 양의 정수로 이루어진 집합들 중에서 어떠한 집합들 \( A \) 에 대하여 \( n_A \) 가 최대가 되는가?

Katrai četru dažādu naturālu skaitļu kopai $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ ar $s_A$ apzīmēsim tās elementu summu $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Ar $n_A$ apzīmēsim tādu pāru $(i, j)$ skaitu, kuriem $1 \leq i < j \leq 4$ un $s_A$ dalās ar $a_i + a_j$. Atrodiet visas četru dažādu naturālu skaitļu kopas $A$, kam $n_A$ vērtība ir lielāka iespējām.

Kiekvienos keturių skirtingų natūraliųjų skaičių aibės $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ elementų suma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ pažymėkime $s_A$.Tegul $n_A$ yra porų $(i, j)$, kur $1 \leq i < j \leq 4 ir\; a_i + a_j$ dalija $s_A$ skaičius. Nurodykite visas tokias keturių skirtingų natūraliųjų skaičių aibes $A$, su kuriomis skaicius $n_A$ įgys didžiausią reikšmę.

За множеството $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ кое се состои од четири различни природни броеви, збирот $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ е означен со $s_A$. Нека $n_A$ го означува бројот на парови $(i, j), 1 \leq i < j \leq 4$, за кои $a_i + a_j$ е делител на $s_A$. Најди ги сите множества $A$, кои се состојат од четири различни природни броеви, за кои $n_A$ прима најголема можна вредност.

For en vilkårlig mengde $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ bestående av fire forskjellige positive heltall betegner $s_A$ summen $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ og $n_A$ antallet par $(i,j)$ med $1 \leq i < j \leq 4$ der $a_i + a_j$ deler $s_A$. Finn alle slike mengder $A$ for hvilke $n_A$ er maksimal.

Dla każdego zbioru $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ zawierającego cztery różne dodatnie liczby całkowite, symbolem $s_A$ oznaczmy sumę $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Niech $n_A$ oznacza liczbę par $(i, j)$ takich, że $1 \leq i < j \leq 4$ oraz $a_i + a_j$ jest dzielnikiem liczby $s_A$. Wyznaczyć wszystkie zbiory $A$ zawierające cztery różne dodatnie liczby całkowite, dla których $n_A$ przyjmuje największą wartość.

Para qualquer conjunto $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de quatro inteiros positivos distintos, a soma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ é denotada por $s_A$. Seja $n_A$ o número de pares de índices $(i, j)$, com $1 \leq i < j \leq 4$, para os quais $a_i + a_j$ divide $s_A$. \nEncontre todos os conjuntos $A$ de quatro inteiros positivos distintos para os quais $n_A$ alcança o seu valor máximo.

Pentru orice mulțime formată din patru numere naturale nenule distincte $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ notăm cu $s_A$ suma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Fie $n_A$ numărul de perechi $(i, j)$ cu $1 \leq i < j \leq 4$, pentru care $a_i + a_j$ divide $s_A$. Determinați mulțimea $A$ pentru care $n_A$ ia valoarea maximă.

Задача 1. Для множества $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$, состоящего из четырех попарно различных целых положительных чисел, обозначим через $s_A$ сумму $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Через $n_A$ обозначим количество пар индексов $(i, j)$, $1 \le i < j \le 4$, для которых $s_A$ делится на $a_i + a_j$. Найдите все множества $A$, состоящие из четырех попарно различных целых положительных чисел, для которых $n_A$ принимает наибольшее возможное значение.

Pre ľubovoľnú množinu $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ obsahujúcu štyri rôzne kladné celé čísla položme $s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Označme $n_A$ počet takých dvojíc $(i, j)$ spĺňajúcich $1 \leq i < j \leq 4$, pre ktoré je číslo $a_i + a_j$ deliteľom čísla $s_A$. Určte všetky množiny $A$ obsahujúce štyri rôzne kladné celé čísla, pre ktoré je hodnota $n_A$ najväčšia možná.

Za vsako množico $A \equiv \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ štirih različnih naravnih števil označimo s $s_A$ vsoto $a_1+a_2+a_3+a_4$. Naj bo $n_A$ število tistih parov $(i, j)$, kjer je $1 \leq i < j \leq 4$, za katere $a_i + a_j$ deli $s_A$. Določite vse množice $A$ štirih različnih naravnih števil, za katere je vrednost $n_A$ največja možna.

Para cualquier conjunto $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ por $s_A$. Sea $n_A$ el número de parejas $(i, j)$ con $1 \leq i < j \leq 4$ para las cuales $a_i + a_j$ divide a $s_A$. Encontrar todos los conjuntos $A$ de cuatro enteros positivos distintos para los cuales se alcanza el mayor valor posible de $n_A$.

För varje mängd $A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \}$ bestående av fyra olika positiva heltal betecknas summan $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ med $s_A$. Låt $n_A$ beteckna antalet par $(i,j)$, där $1 \leq i < j \leq 4$, för vilka $a_i + a_j$ är en delare till $s_A$. Finn alla mängder $A$ bestående av fyra olika positiva heltal för vilka $n_A$ är det största möjliga.

โจทย์ข้อ 1 สำหรับเซต $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ ของจำนวนนับที่แตกต่างกันสี่จำนวน จะแทนผลบวก $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ ด้วย $S_A$ ให้ $n_{A}$ แทนจำนวนของคู่ย่อย $(i, j)$ ซึ่ง $1 \le i < j \le 4$ ทั้งหมดซึ่ง $a_i + a_j$ หาร $S_A$ ลงตัว จงหาเซต $A$ ของจำนวนนับแตกต่างกันสี่จำนวนทั้งหมด ซึ่งให้ค่า $n_{A}$ ที่มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้

Dört farklı pozitif tam sayıdan oluşan bir $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ kümesi için, $a_i + a_j + a_3 + a_4$ toplamını $s_4$ ile gösteriyoruz. $1 \le i < j \le 4$ olmak üzere, $a_i + a_j$ nin $s_4$ ya bölüğü $(i,j)$ ikililerinin sayısını da $n_4$ ile gösterelim. Dört farklı pozitif tam sayıdan oluşan ve $n_4$ nın alabileceği en büyük değeri almasını sağlayan tüm $A$ kümelerini bulunuz.

Для множини $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \}$, що складається з чотирьох попарно різних натуральних чисел, позначимо через $s_{4}$ суму $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$. Через $n_{4}$ позначимо кількість пар індексів $(i, j), 1 \leq i < j \leq 4$, для яких $s_{4}$ ділиться на $a_{i} + a_{j}$. Знайдіть усі множини $A$, що складаються з чотирьох попарно різних цілих додатних чисел, для яких $n_{4}$ набуває найбільшого можливого значення.

Cho tập hợp $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ gồm bốn số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu tổng $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ bởi $s_A$. Giả sử $n_A$ là số các cặp $(i, j)$ với $1 \leq i < j \leq 4$ sao cho $a_i + a_j$ chia hết $s_A$. Tìm tất cả các tập hợp $A$ gồm bốn số nguyên dương phân biệt mà với chúng $n_A$ đạt được giá trị lớn nhất có thể.

Diberikan sebarang himpunan $A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \}$ dari empat bilangan bulat positif berbeda, jumlah $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ didefinisikan dengan $s_A$. Misalkan $n_A$ menyatakan banyaknya pasangan $(i,j)$ dengan $1 \leq i < j \leq 4$ sehingga $a_i + a_j$ membagi $s_A$. Cari semua himpunan $A$ dari empat bilangan bulat positif berbeda yang merealisasikan nilai $n_A$ terbesar yang mungkin.

Για κάθε δεδομένο σύνολο $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ με στοιχεία τέσσερις διαφορετικούς θετικούς ακέραιους, συμβολίζουμε με $a$ το άθροισμα $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Έστω $n_4$ ο αριθμός των ζευγαριών $(i,j)$, με $1 \leq i < j \leq 4$, για τα οποία ο αριθμός $a_i + a_j$ διαιρεί τον $a$. Βρείτε όλα τα σύνολα $A$ με στοιχεία τέσσερις διαφορετικούς θετικούς ακέραιους, για τα οποία επιτυγχάνεται η μεγαλύτερη δυνατή τιμή για το $n_4$.

2011

(2n − 1)!!

Laat $n > 0$ 'n heelgetal wees. Ons het 'n weegskaal en $n$ gewigte met massa $2^{0}, 2^{1}, \ldots, 2^{n-1}$. Ons wil elk van die $n$ gewigte op die weegskaal plaas, een by een, op só 'n manier dat die regter skaal nooit swaarder as die linker skaal is nie. In elke stap kies ons een van die gewigte wat nog nie geplaas is nie, en ons plaas dit óf op die linker skaal óf op die regter skaal, totdat al die gewigte geplaas is. Bepaal die aantal maniere om dit uit te voer.

Le të jetë $n > 0$ një numër i plotë. Kemi një peshore me dy anë dhe $n$ pesha me masa, përkatësisht, $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vendosim në peshore, një nga një, të gjitha $n$ peshat, në mënyrë të tillë që ana e djathtë të mos jetë asnjëherë më e rëndë së ana e majtë e peshores. Në çdo hap, zgjedhim njërën nga peshat që nuk është vendosur ende në peshore dhe e vendosim atë ose në anën e majtë ose në anën e djathtë, derisa të gjitha peshat të jenë vendosur në peshore. Përcaktoni numrin e mënyrave me të cilat mund të bëhet kjo.

لكن $n > 0$ عدد صحيحًا, لدينا مزاين يتكون و $n$ من الأقايل ن فيها $2^{n-1}, 2^n, \, ... \, 2^1 , 2^0$ . نضع هذه الأقايل\nعلى الميزان واحدًا تلو الآخر من خلال $n$ من الأكار المزايلة, بحيث لا توجد الكتلة النجعى\nعلى المزاين في أي حالٍ من الأحوال. في كل مرة تُختار واحدا من الأقايل أقل لنتمها على الميزان\nبعد نم نضعها بها على الكتلة النجعى أو اليسرى و تستمر أن لا تنقطع عنده امراكات المراعية.\nجد عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها أن تتم تنفيذ هذه المراكات المرواية.

Задача 4. Нека $n \in \mathbb{N}$. Дадени са везна и $n$ тежести с тегла $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Всичките $n$ тежести се поставят на везната последователно за $n$ хода, т.е. на всеки от ходовете се избира едина от тежестите, която още не е поставена на везната, и тази тежест се слага на лявото или на дясното блюдо. При това тежестите се поставят така, че в нито един момент дясното блюдо не е по-тежко от лявото. Да се намери броят на начините, по които можем да изпълним тези n хода.

给定整数 $n > 0$。有一个秤和 $n$ 个重量分别为 $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$ 的砝码。实现通过一步操作逐个将所有砝码都放上天平，使得在操作过程中，右边的重量总不超过左边的重量。每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至所有砝码都放上天平。求整个操作过程的不同方法个数。

給定整數 $n > 0$。有一個不異 \(n\) 個重量分別為 $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$ 的砝碼。 現通過 \(n\) 步操作依次將所有砝碼都放上秤天，使得在操作過程中，右邊的重量從未超過左邊的重量。每一步操作是從尚未放上天平的砝碼中選擇一個砝碼，將其放到天平的左邊或右邊，直到所有砝碼都被放上天平。 求該個操作過程的不同方法個數。

Neka je $n$ prirodni broj. Imamo običnu ravnotežnu vagu i $n$ utega čije su težine $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Na vagu trebamo postaviti sve utege, jednog po jednog, tako da desna strana vage ni u kojem trenutku ne bude teža od lijeve strane. U svakom koraku biramo jedan od utega koji još nisu na vagi i stavljamo ga ili na lijevu, ili na desnu stranu vage, poštujući navedeni uvjet. To ponavljamo dok sve utege ne postavimo na vagu. \n Odredi na koliko načina to možemo napraviti.

Nechť $n$ je celé kladné číslo. Máme dány rovnoramenné váhy a n závaží o hmotnostech $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. V n krocích máme na váhy postupně po jednom umístit všechna závaží. Každý z kroků spočívá ve výběru jednoho ze závaží, které ještě není na vahách, a jeho umístění buď na levou, nebo na pravou misku vah ale vždy tak, aby obsah pravé misky nebyl nikdy těžší než obsah levé. Kolik různých posloupností takovýchto n kroků existuje?

Lad $n > 0$ være et helt tal. Vi har fået en skålvægt og $n$ lodder med vægtene $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vi skal lægge alle n lodder på vægten ét efter ét på en sådan måde at den højre vægtskål aldrig er tungere end den venstre. I hvert skridt vælger vi ét af de lodder som endnu ikke er blevet lagt på vægten, og lægger det på enten den venstre eller den højre vægtskål. Sådan fortsætter vi indtil alle lodderne er lagt på vægten. Bestem antallet af måder dette kan gøres.

Zij $n > 0$ een geheel getal. We hebben een balans en $n$ gewichten met massa $2^0, 2^1, \ldots , 2^{n-1}$. We moeten de $n$ gewichten, één voor één, op één van de twee schalen van de balans plaatsen zo dat de rechterschaal nooit zwaarder is dan de linkerschaal. In elke stap kiezen we een gewicht dat nog niet op de balans staat en plaatsen het op de linker- of op de rechterschaal, totdat alle gewichten op de balans geplaatst zijn. Bepaal het aantal manieren waarop we dit kunnen doen.

Let $n > 0$ be an integer. We are given a balance and $n$ weights of weight $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. We are to place each of the $n$ weights on the balance, one after another, in such a way that the right pan is never heavier than the left pan. At each step we choose one of the weights that has not yet been placed on the balance, and place it on either the left pan or the right pan, until all of the weights have been placed. Determine the number of ways in which this can be done.

Olgu $n > 0$ täisarv. Meil on kahe kaalukausiga kaal ja n kaaluvihit massidega $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Me peame asetama kõik n kaaluvihit ükshaaval kaalukausisid ie niin, et parem kaalukass ei kaaluks kunagi vasakut üles. Igal sammul valime ühe kaaluvihidest, mis pole veel kaalul ning asetame selle kas vasakule või paremale kaalukausile, kuni kõik kaaluvihid on kaalul. Mmitmel erineval viisil on võimalik seda teha?

Olkoon $n > 0$ kokonaisluku. Käytössämme on orsi vaaka ja $n$ painoa, joiden painot ovat $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Meidän tulee asettaa painot yksitellen vaa'alle siten, että oikea vaakakuppi ei ole koskaan painavampi kuin vasen vaakakuppi. Joka vaiheessa valitaan yksi jäljellä olevista painoista ja asetetaan se joko vasempaan tai oikeaan vaakakuppiin, kunnes kaikki painot ovat vaa'alla. Määritä kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä.

Soit $n$ un entier strictement positif. On dispose d’une balance à deux plateaux et de $n$ poids, de masses respectives $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. On doit placer, l’un après l’autre, chacun des $n$ poids sur la balance de telle sorte que le plateau de droite ne soit jamais plus lourd que le plateau de gauche ; dans ce but, à chaque étape, on doit choisir un poids qui n’est pas déjà sur la balance et le placer soit sur le plateau de gauche, soit sur le plateau de droite ; on continue ainsi jusqu’à ce que tous les poids soient placés. Déterminer le nombre de façons de procéder.

Sei \( n > 0 \) eine ganze Zahl. Gegeben seien eine Balkenwaage und \( n \) Gewichtsstücke mit den Gewichten \( 2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1} \). Wir sollen jedes der \( n \) Gewichtsstücke, eines nach dem anderen, so auf die Waage legen, dass die rechte Schale zu keinem Zeitpunkt schwerer als die linke ist. In jedem Zug wählen wir ein Gewichtsstück aus, das zu diesem Zeitpunkt noch nicht auf die Waage gelegt wurde und legen es entweder auf die linke oder die rechte Schale bis alle Gewichtsstücke verwendet worden sind. Man bestimme die Anzahl derartiger Folgen mit \( n \) Zügen.

שאלה 4. יהא $n$ שלם חיובי. נתונים מאונכי $a, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$.

Legyen $n > 0$ egy egész szám. Van egy kétkarú mérlegünk és $n$ súlyunk, amelyek súlya $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Ezt az $n$ súlyt egymás után a mérlegre akarjuk helyezni oly módon, hogy a jobboldali serpenyő soha ne legyen nehezebb a baloldali serpenyőnél. Mindegyik lépésben kiválasztjuk az eddig a mérlegre nem tett súlyok valamelyikét, és a mérlegnek vagy a baloldali vagy a jobboldali serpenyőjébe helyezzük, egészen addig, amíg az összes súly fel nem kerül a mérlegre. Határozzuk meg, hogy hányféleképpen lehet ezt megtenni.

Sia $n > 0$ un numero intero. Si dispone di una bilancia a due piatti e di $n$ pesi i cui pesi sono $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Si devono piazzare tutti gli $n$ pesi sulla bilancia, l’uno dopo l’altro, in maniera tale che il piatto destro non contenga mai un peso complessivo maggiore del piatto sinistro. A tal fine, ad ogni passo si sceglie uno dei pesi che non è stato ancora piazzato sulla bilancia e lo si aggiunge o sul piatto sinistro o sul piatto destro, fino a quando non sono stati piazzati tutti i pesi. Determinare il numero dei modi in cui questo si può fare.

n を正の整数とする。てんびんと、重さが $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n - 1}$ の n 個のおもりがある。これらのおもりを、1 つずつ、各皿のおもりを取り除くことが一度もないようにてんびんにのせていき、皿にのっていないおもりがなくなるまでこれを続ける。 このようにおもりをのせる方法は何通りあるか。

양의 정수 \( n \) 이 주어져 있다. 질점 저 을 하나와 무게가 각각 \( 2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1} \)인 \( n \) 개입 분통이 있다. n 번의 시행을 통해 모든 분들을 젖은 위에 얹음 준농에 올려 놓는다. 첫째 제 시행에서는 한 분통을 고르고 후 원쪽 절점위에 올려 놓는다. 그 다음 시행부하는 각 시행마다 하나입 분통을 고르고 후 절점 절시에 놓을 시 오르쪽 절점 제놓을 시 선택한다. 오르쪽 절시의 무게가 원좌 씹 절시보다 더 무겁지 않도록 하는 번의 시행을 하는 방법의 총 개수를 구하여라.

Dots naturāls skaitlis $n$. Doti arī sviras svari un $n$ atsvari, kuru svars ir attiecīgi $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n−1}$. Visi atsvari n soļos ir jāuzliek uz sviru kausiem, tas ir, ir katrā solī var izvēlēties vienu no atsvariem, kas vēl nav uzlikti uz svariem, un uzlikt to vai nu uz labā vai kreisā sviru kausa; pie tam, nevienā brīdī labais sviru kauss nedrīkst būt smagāks par kreiso. Noskaidrojiet, cik dažādos veidos iespējams izpildīt šādu darbību virkni.

Tegul $n$ yra natūralusis skaičius. Turime svarstykles, kurias sudaro dvi lėkštutės, kairioji ir dešinioji, ir $n$ svereliu, kurių svoriai yra $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Mums reikia kokiu nors būdu sudėti visus $n$ sverelių ant svarstyklių viena po kito taip, kad po kiekvieno ėjimo dešinioji svarstyklių lėkštutė niekada nebūtų sunkesnė už kairiąją. Kiekvienu ėjimu mes pasirenkame kurį nors dar nepadėtą ant svarstyklių svereli ir padedame jį arba ant kairiosios, arba ant dešiniosios svarstyklių lėkštutės ir t.t. iki tol, kol ant svarstyklių bus padėti visi $n$ sverelių. Nustatykite, keliais skirtingais būdais tai galima padaryti.

Нека $n$ е природен број. Дадена е терезија (урамнотежена вага со два таса) и $n$ тегови со тежини $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Сите $n$ тегови треба да се постават, еден по друг, на тасовите на терезијата, односно во секој од $n$-те чекори се избира еден од теговите кој сѐ уште не е поставен на тасовите и се става или на левиот или на десниот тас од терезијата, и при тоа теговите се поставуваат така да во ниту еден момент десниот тас не е потежок од левиот тас. Одреди го бројот на начини на кои ова поставување може да се изврши.

La $n > 0$ være et heltall. Vi har $n$ lodd med massene $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vi ønsker å plassere alle loddene ett og ett på skålvekten slik at høyre skål aldri blir tyngre enn venstre skål. I hvert trekk velger vi ett av loddene som ikke ennå er på vekten, og legger den enten i den høyre eller den venstre skålen, inntil alle loddene er blitt plassert. Bestem antallet mulige måter dette kan utføres på.

Dana jest liczba całkowita $n > 0$. Mamy do dyspozycji wagę szalkową i n odważników o masach $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Chcemy kolejno, jeden po drugim, położyć wszystkie odważniki na szalkach wagi w taki sposób, by prawa szalka nigdy nie była cięższa, niż lewa szalka. W pojedynczym kroku wybieramy jeden z odważników, które nie zostały jeszcze użyte i dokładamy go albo na lewą, albo na prawą szalkę. Postępujemy w ten sposób do momentu, w którym wszystkie odważniki znajdą się na wadze. Wyznaczyć liczbę sposobów wykonania opisanych wyżej czynności.

Seja $n$ um inteiro positivo. Temos uma balança de dois pratos e $n$ pesos cujas massas são $2^0$, $2^1$, $\ldots$, $2^{n-1}$. Devemos colocar os pesos na balança, um por um, de tal forma que o prato direito nunca seja mais pesado do que o prato esquerdo. A cada passo, devemos escolher um dos pesos que ainda não estejam na balança e colocá-lo sobre o prato esquerdo ou sobre o prato direito, procedendo assim até que todos os pesos tenham sido colocados nela. \nDetermine o número de maneiras em que isso pode ser feito.

Fie $n$ un număr natural strict pozitiv. Considerăm o balanță cu două talere și $n$ greutăți având valorile $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$, respectiv. Cele $n$ greutăți sunt puse pe rând pe unul dintre talerele balanței, într-o secvență de $n$ mutări. Prima mutare constă în alegerea unei greutăți și plasarea ei pe talerul stâng. Fiecare dintre următoarele mutări constă în plasarea uneia dintre greutățile rămase pe unul dintre talere în așa fel încât în fiecare moment talerul din dreapta nu este mai greu decât talerul din stânga. Determinați numărul de astfel de secvențe de $n$ mutări.

Задача 4. Дано целое число $n > 0$. Имеются чашечные весы и $n$ гирь, веса которых равны $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Все $n$ гирь выкладываются одна за другой на чаши весов, то есть на каждом из $n$ шагов выбирается гиря, которая еще не выложена на весы, и добавляется либо на левую, либо на правую чашу весов; при этом гири выкладываются так, чтобы ни в какой момент правая чаша не была тяжелее левой. Найдите количество способов выполнить такую последовательность шагов.

Nech $n > 0$ je celé číslo. K dispozícii máme rovnomerné váhy a $n$ závaží s hmotnosťami $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Jednotlivé závažia máme v nejakom poradí ukladať na misky váh tak, aby obsah pravej misky nebol v žiadnom okamihu ťažší ako obsah ľavej misky. V každom kroku vyberieme jedno zo závaží, ktoré ešte nie je na váhach, a položíme ho buď na ľavú alebo na pravú misku váh. Tak postupujeme, kým neminieme všetky závažia. Určte, koľkými spôsobmi to celé môžeme urobiť.

Naj bo $n$ naravno število. Na voljo imamo primerjalno tehtnico in $n$ uteži, ki tehtajo $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vseh $n$ uteži želimo položiti na primerjalno tehtnico v $n$ zaporednih korakih na tak način, da v vsakem izmed korakov izberemo eno izmed uteži, ki še ni na primerjalni tehtnici, in jo položimo bodisi v levo bodisi v desno posodo primerjalne tehtnice, pri čemer uteži v desni posodi po nobenem izmed $n$ korakov niso težje od uteži v levo posodi. Določite, na koliko načinov lahko to storimo.

Sea $n > 0$ un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos y de $n$ pesas cuyos pesos son $2^0, 2^1, \ldots , 2^{n-1}$. Debemos colocar cada una de las $n$ pesas en la balanza, una tras otra, de manera tal que el platillo de la derecha nunca sea más pesado que el platillo de la izquierda. En cada paso, elegimos una de las pesas que no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos ya sea en el platillo de la izquierda o en el platillo de la derecha, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas. Determinar el número de formas en las que esto se puede hacer.

Låt $n > 0$ vara ett heltal. Vi har en balansvåg med två skålar och $n$ vikter som väger $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vikterna ska placeras på vågen, en efter en, på sådant sätt att den högra vågskålen aldrig väger mer än den vänstra. I varje steg väljs en av de vikterna som inte har placerats än och läggs i den vänstra eller den högra skålen. Proceduren avslutas när alla vikter ligger på vågen. På hur många olika sätt kan detta göras?

โจทย์ข้อ a ให้ $n > 0$ เป็นจำนวนนับ มีการชั่งสองข้างและก้อนหินที่ทั้งหมด $n$ ก้อนที่มีน้ำหนัก $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$ หน่วย จะวางก้อนหินหนักที่สุดลงบนตาชั่ง โดยที่ก้อนหินข้างขวาไม่น้อยหนักมากกว่าข้างซ้าย ในแต่ละครั้งจะเลือกนำหินหนักที่สุดที่ยังไม่ถูกวางบนตาชั่ง และวางลงบนตราชั่งข้างซ้ายหรือขวาจนจบการทุกก้อน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการกระทำดังกล่าว

$n > 0$ bir tam sayı olsun. İki kefeli bir terazimiz ve ağırlıkları $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$ olan $n$ tane ağırlığımız var. Bu ağırlıkları n hamlede birer birer ve hiçbir aşamada sağ kefe sol kefeden daha ağır olmayacak biçimde teraziye yerleştirmemiz gerekiyor. Tüm ağırlıklar teraziye konulana kadar her hamlede, teraziye henüz konulmamış ağırlıklardan birini seçerek bunu sol veya sağ kefeye yerleştiriyoruz. Bu hamleler dizisini kaç farklı biçimde yapabileceğimizi belirleyiniz.

Задане ціле число $n > 0$. Є шалькові терези та n гир з вагами $2^{0}, 2^{1}, \, \ldots \, , 2^{n-1}$. Усі n гир розміщуються послідовно одна за одною на шальки терезів, тобто на кожному з n кроків вибирається гиря, яка ще не покладена на терези, і розміщується або на ліву, або на праву шальку терезів; при цьому гири розміщуються так, щоб у жоден момент права шалька не була важчою за ліву. Знайдіть кількість способів виконати таку послідовність кроків.

Giả sử $n > 0$ là một số nguyên. Cho một cái cân hai đĩa và $n$ quả cân với trọng lượng là $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Ta muốn đặt lên cái cân mỗi một trong $n$ quả cân, lần lượt từng quả một, theo cách để bảo đảm đĩa cân bên phải không bao giờ nặng hơn đĩa cân bên trái. Ở mỗi bước ta chọn một trong các quả cân chưa được đặt lên cân, rồi đặt nó hoặc vào đĩa bên trái, hoặc vào đĩa bên phải, cho đến khi tất cả các quả cân đều đã được đặt lên cân. Xác định xem có bao nhiêu cách để thực hiện được mục đích đề ra.

Misalkan $n > 0$ adalah suatu bilangan bulat. Kita diberi suatu neraca dan $n$ pemberat dengan berat $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Kita letakkan masing-masing dari $n$ pemberat pada neraca, satu demi satu, sedemikian cara sehingga baki kanan tidak pernah lebih berat dari baki kiri. Pada masing-masing langkah kita memilih satu dari pemberat yang belum diletakkan pada neraca, dan meletakkannya pada baki kiri atau kanan, sampai semua pemberat terletakkan. Tentukan banyak cara yang seperti ini dapat dilakukan.

Έστω $n$ ακέραιος, με $n > 0$. Έχουμε μία ζυγαριά και n βάρη με τιμές $2^0, 2^1, \ldots , 2^{n-1}$. Πρόκειται να τοποθετήσουμε καθένα από τα n βάρη πάνω στη ζυγαριά, το ένα μετά το άλλο, με τέτοιο τρόπο, ώστε ο δεξιός δίσκος να μην είναι ποτέ βαρύτερος από τον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς. Σε κάθε βήμα επιλέγουμε ένα από τα βάρη, το οποίο δεν έχει μέχρι τότε τοποθετηθεί πάνω στη ζυγαριά, και το τοποθετούμε είτε στον αριστερό είτε στον δεξιό δίσκο, μέχρις όπου τοποθετηθούν όλα τα βάρη. Να προσδιορίσετε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει αυτή η τοποθέτηση.

2012

1, 2 mod 4

Vind alle positiewe heelgetalle $n$ waarvoor daar nie-negatiewe heelgetalle $a_1, a_2, \ldots, a_n$ bestaan sodating dat $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Gjeni të gjithë numrat e plotë pozitivë $n$ për të cilët ekzistojnë numrat e plotë jonegativë $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ashtu që$$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

المسألة 6. حدد جميع الأعداد الصحيحة الموجبة \( n \) التي لأجلها توجد أعداد صحيحة غير سالبة \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) تتحقق: \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{a_1}{3^{a_1}} + \frac{a_2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{a_n}{3^{a_n}} = 1 . \]

Да се намерят всички естествени числа $n$, за които съществуват неотрицателни цели числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ така, че\\ \[{\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1}.\]

求所有的正整数 \( n \)，使得存在非负整数 \( a_1, a_2, \ldots , a_n \)，满足 \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \ldots + \frac{1}{2^{a_n}} = 1. \]

求所有的正整數 $n$, 使得存在非負整數 $a_1, a_2, \ldots, a_n$, 滿足 \( \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} + \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\ \)

Odredi sve prirodne brojeve \( n \) za koje postoje nenegativni cijeli brojevi \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) takvi da vrijedi\[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Úloha\ 6.\ Nalezněte\ všechna\ celá\ kladná\ čísla\ n,\ pro\ která\ existují\ nezáporná\ celá\ čísla\ a_1,\ a_2,\ldots,\ a_n\ taková,\ že\ platí\ rovnost\\ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} + \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.

Bestem alle positive heltal $n$ for hvilke der findes ikke-negative heltal $a_1, a_2, \ldots, a_n$ så \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Bepaal alle gehele getallen n > 0 waarvoor er gehele getallen a_1, a_2, \ldots , a_n > 0 bestaan zodanig dat\\ \\ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.

Find all positive integers $n$ for which there exist non-negative integers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ such that \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Leia kõik positiivsed täisarvud \( n \), mille jaoks leiduvad sellised mitte-negatiivsed täisarvud \( a_1, a_2, \ldots, a_n \), et\n\n\[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\]

Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut $n$, joille on olemassa sellaiset ei-negatiiviset kokonaisluvut $a_1, a_2, \ldots, a_n$, että \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Trouver tous les entiers strictement positifs $n$ pour lesquels il existe des entiers positifs ou nuls $a_1, a_2, \ldots, a_n$, tels que :\$ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$

Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen $n$ für die es nicht-negative ganze Zahlen $a_1, a_2, \ldots, a_n$ gibt, so dass gilt: \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

מצוא את כל השלמים החיוביים $n$ שעבורם קיימים שלמים אי-שליליים $a_1, a_2, \ldots, a_n$ המקיימים: $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Határozzuk \ meg \ az \ összes \ olyan \ n \ pozitív \ egész \ számot, \ amelyhez \ találhatók \ olyan \ a_1, \ a_2, \ldots, a_n \ nemnegatív \ egészek, \ amelyekre \ teljesül \newline \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.

Determinare tutti gli interi positivi $\ n $ per i quali esistono interi non negativi $\ a_1, a_2, \ldots, a_n $ tali che \\ \[\frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \cdots + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{2}{3a_2} + \cdots + \frac{n}{3a_n} = 1.\]

以下をみたす非負整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n,$ が存在するような正の整数 $n$ をすべて求めよ：\[ \frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \,\cdots\, + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{2}{3a_2} + \,\cdots\, + \frac{n}{3a_n} = 1.\]

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\)을 모두 구하여라: 등식 \\ \[ \frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \cdots + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{1}{3a_2} + \frac{1}{3a_n} = 1 \] 을 만족하는 음이 아닌 정수 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)이 존재한다.

6. uzdevums. Atrodiet visus naturālos skaitļus $n$, kuriem pastāv tādi nenegatīvi veseli skaitļi $a_1, a_2, \ldots , a_n$, ka\ $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

6 uždavinys. Raskite visus natūraliuosius skaičius \( n \), su kuriais egzistuoja tokie sveikieji neneigiami skaičiai \( a_1, a_2, \ldots , a_n \), kad \( \frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \cdots + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{2}{3a_2} + \cdots + \frac{n}{3a_n} = 1 \).

Најди ги сите природни броеви $n$ за кои постојат негативни цели броеви $a_1, a_2, \ldots, a_n$ така да важи \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\]

Finn alle positive heltall $n$ for hvilke det finnes ikke-negative heltall $a_1, a_2, \ldots, a_n$ slik at \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$, dla których istnieją nieujemne liczby całkowite $a_1, a_2, \ldots, a_n$, spełniające $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Determine todos os inteiros positivos $n$ para os quais existem inteiros não negativos $a_1, a_2, \ldots , a_n$ tais que $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Determinați toate numerele naturale nenule $n$ pentru care există numerele naturale $a_1, a_2, \ldots, a_n$ astfel încât \\ $\frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \cdots + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{2}{3a_2} + \cdots + \frac{n}{3a_n} = 1.$

Найдите все целые положительные числа $n$, для которых существуют целые неот- рицательные числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ такие, что \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\]

Určte všetky kladné celé čísla $n$, pre ktoré existujú nezáporné celé čísla $a_1, a_2, \ldots, a_n$ také, že \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = 1 + \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}}. \]

Poiščite vsa naravna števila \( n \), za katera obstajajo taka nenegativna cela števila \( a_1, a_2, \ldots, a_n \), da velja: \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que\$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$

Best\u00e4m alla positiva heltal $n$ f\u00f6r vilka det finns icke-negativa heltal $a_1, a_2, \ldots, a_n$ s\u00e5dana att $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

โจทย์ข้อที่ 3: จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้มีจำนวนเต็มไม่ลบ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ซึ่ง \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} + \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1\]

Hangi $n$ pozitif tam sayıları için, $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1$$ eşitliklerini sağlayan $a_1, a_2, \ldots, a_n$ negatif olmayan tam sayılarının bulunduğunu belirleyiniz.

Знайдіть всі натуральні числа $n$, для яких існують такі невід’ємні цілі числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$, що $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1, a_2, \ldots , a_n$ thỏa mãn $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Cari semua bilangan bulat positif $n$ yang mana terdapat bilangan bulat non-negatif $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sehingga\\$$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $n$, για τους οποίους υπάρχουν μη αρνητικοί ακέραιοι $a_1, a_2, \ldots, a_n$, έτσι ώστε: \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

2013

2013

’n Konfigurasie van 4027 punte in die vlak word Colombiaans genoem indien dit uit 2013 rooi punte en 2014 blou punte bestaan sodat geen drie van die punte in die konfigurasie saamlynig is nie. Deur reguit lyne te teken, word die vlak in ’n aantal gebiede opgedeel. ’n Rangskikking van lyne is goed vir ’n Colombiaanse konfigurasie indien die volgende twee voorwaardes geld: Geen lyn bevat ’n punt van die konfigurasie nie; Geen gebied bevat punte van beide kleure nie. Bepaal die kleinste waarde van $k$ sodat daar, vir enige Colombiaanse konfigurasie van 4027 punte, ’n goeie rangskikking van $k$ lyne bestaan.

Një konfiguracion prej 4027 pikash në rrafsh quhet kolumbien nëse ai përmban 2013 pika të kuqe dhe 2014 pika të kaltërta, ashtu që asnjë treshe prej tyre nuk është kolineare. Duke tërhequr disa drejtezë, rrafshi ndahet në disa regione. Një bashkësi e tillë e drejtëzave quhet e mirë për një konfiguracion kolumbien, nëse plotësohen kushtet në vijim: • çdo treshe e pikave përbën një koloni; • asnjë nga drejtëzat nuk kalon nëpër ndonjë pikë të konfiguracionit; • asnjë nga regionet nuk përmban pika të dy ngjyrave. Gjeni vlerën më të vogël të $k$ ashtu që për një konfiguracion kolumbien prej 4027 pikash, ekziston një bashkësi e mirë prej $k$ drejtëzash.

المسألة 2. لدينا تشكيلة مكونة من 4027 نقطة في المستوى. تسمى هذه التشكيلة كولومية إذا كانت 2013 من نقاطها حمراء، و 2014 من نقاطها زرقاء، ولا يكون أي ثلاث نقاط من التشكيلة على استقامة واحدة. يمكن تقسيم المستوى إلى مناطق بواسطة خطوط مستقيمة. يوصف هذا التقسيم بالخطوط المستقيمة للتشكيلة الكولومية بأنه جيد إذا تحقق فيه ما يلي: \begin{itemize} \item لا يمر أي من الخطوط المستقيمة بأي نقطة من التشكيلة. \item لا يحتوي أي من المناطق على نقطتين بلونين مختلفين. \end{itemize} جد أصغر قيمة للعدد \( k \) بحيث يمكن يوجد لأي تشكيلة كولومية من 4027 نقطة تقسيم جيد بواسطة \( k \) من الخطوط المستقيمة.

\text{Задача 2. Конфигурация от 4027 точки в равнината се нарича } \textit{колумбийска}, \text{ ако тя се състои от 2013 червени точки и 2014 сини точки, като никои три точки от конфигурацията не лежат на една права. Чрез прекарване на прави равнината се разделя на части. Съвкупност от прави се нарича } \textit{добра } \text{ за колумбийска конфигурация, ако са изпълнени следните две условия:} \begin{itemize} \item \text{никоя права не минава през точка от конфигурацията;} \item \text{никоя част не съдържа точки от двата цвята.} \end{itemize} \text{Да се намери най-малката възможна стойност на } k \text{ така, че за всяка колумбийска конфигурация от 4027 точки съществува добра съвкупност от } k \text{ прави.}

平面上的 $4027$ 个点称为是一个哥伦比亚形式点集, 如果其中任意三点不共线, 且有 $2013$ 个点是红色的, $2014$ 点是蓝色的, 在平面上由出一组直线, 可以将平面分成若干区域, 如果一组直线的每个哥伦比亚点集满足下述两个条件, 我们称这是一个好直线组: * 这些直线不会经过该哥伦比亚点集中的任何一个点; * 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点. 求 $k$ 的最小值, 使得对于任意的哥伦比亚点集, 都存在由 $k$ 条直线构成的好直线组.

對於平面上的 $4027$ 個點的配置方式，如果其中的 $2013$ 點塗紅色、剩下的 $2014$ 個點塗藍色，且任三點不共線，則稱此配置方式為哥倫比亞式配置。在平面上畫出若干條直線，可以將平面分割成若干個區域。如果這些直線的排法滿足下列兩個條件，我們就稱這是一個好直線組： \begin{itemize} \item 任一條線不通過哥倫比亞式配置中的任何一點。 \item 任一區域中不會同時出現兩種顏色的點。 \end{itemize} 求具有下列性質的最小的 $k$: 對任何 $4027$ 個點的哥倫比亞式配置，存在由 $k$ 條直線構成的好直線組。

Konfiguraciju od 4027 točaka u ravnini zovemo kolumbijskom ako se sastoji od 2013 crvenih i 2014 plavih točaka, pri čemu nikoje tri točke iz konfiguracije nisu kolinearne. Povlačenjem pravaca ravnina se dijeli na nekoliko dijelova. Kažemo da je raspored pravaca dobar za kolumbijsku konfiguraciju ako su zadovoljena sljedeća dva uvjeta: - nijedan od pravaca ne prolazi nijednom točkom konfiguracije; - nijedan od dijelova ne sadrži točke obje boja. Nađi najmanji broj $k$ takav da za svaku kolumbijsku konfiguraciju od 4027 točaka postoji dobar raspored $k$ pravaca.

Rozmístění 4027 bodů v rovině nazýváme kolumbijským, jestliže je z nich 2013 červených, 2014 modrých a žádné tři neleží v přímce. O skupině přímek v rovině řekneme, že je dobrá pro dané rozmístění, jestliže\n\n- žádná z přímek neprochází žádným bodem rozmístění,\n- žádná z částí, na které je rovina přímkami rozdělena, neobsahuje body různých barev.\n\nNajděte nejmenší $k$ takové, že pro libovolné kolumbijské rozmístění 4027 bodů v rovině v ní existuje skupina $k$ dobrých přímek.

En konfiguration af 4027 punkter i planen kaldes colombiansk hvis den består af 2013 røde punkter og 2014 blå punkter, og der ikke er tre punkter i konfigurationen som ligger på linje. Ved at tegne linjer inddeles planen i flere områder. Et arrangement af linjer kaldes godt for en colombiansk konfiguration hvis følgende to betingelser er opfyldt: \begin{itemize} \item ingen linje går gennem noget punkt i konfigurationen, \item intet område dannet af linjerne indeholder punkter af begge farver. \end{itemize} Find den mindste værdi af $k$ så der for hver colombianske konfiguration med 4027 punkter findes et godt arrangement af $k$ linjer.

Een configuratie van 4027 punten in het vlak noemen we \emph{Colombiaans} als deze uit 2013 rode en 2014 blauwe punten bestaat, waarbij geen drie van de punten uit de configuratie collineair zijn. Door het tekenen van een aantal lijnen (rechten) wordt het vlak in verschillende gebieden verdeeld. Voor een gegeven Colombiaanse configuratie noemen we een verzameling lijnen \emph{goed} als aan de volgende twee voorwaarden wordt voldaan: \begin{itemize} \item geen enkele lijn gaat door een punt van de configuratie; \item geen enkel gebied bevat punten van beide kleuren. \end{itemize} Bepaal de kleinste waarde van $k$ zodanig dat voor elke Colombiaanse configuratie van 4027 punten er een goede verzameling van $k$ lijnen bestaat.

A configuration of 4027 points in the plane is called Colombian if it consists of 2013 red points and 2014 blue points, and no three of the points of the configuration are collinear. By drawing some lines, the plane is divided into several regions. An arrangement of lines is good for a Colombian configuration if the following two conditions are satisfied: - no line passes through any point of the configuration; - no region contains points of both colours. Find the least value of $k$ such that for any Colombian configuration of 4027 points, there is a good arrangement of $k$ lines.

Nimetame 4027 punkti paigutust tasandil Kolumbia paigutuseks, kui ta koosneb 2013 punasest ja 2014 sinisest punktist, nii et mitte mingid kolm punkti ei asu ühel sirgel. Vaatleme sirgete hulki, mis jagavad tasandi osadeks. Sirgete hulka nimetame keaks mingi Kolumbia paigutuse jaoks, kui järgmised kaks tingimust on täidetud: \begin{itemize} \item mitte ükski sirge ei läbi ühtki selle paigutuse punkti; \item mitte ükski tasandi osa ei sisalda mõlemat värvi punkte. \end{itemize} Leida vähim selline k väärtus, et iga 4027 punkti Kolumbia paigutuse korral leidub hea sirgete hulk, mis sisaldab k sirget.

4027 tason pisteen asetelmaa kutsutaan kolumbialaiseksi, jos se koostuu 2013 punaisesta ja 2014 sinisestä pisteestä, joista mitkään kolme eivät ole samalla suoralla. Taso jaetaan piirtämällä muutama suora useisiin alueisiin. Tällainen suorien joukko on suopea kolumbialaiselle asetelmalle, jos seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät: • mikään suora ei kulje minkään asetelman pisteen kautta; • mikään alue ei sisällä kummankinvärisiä pisteitä. Etsin pienin sellainen $k$, että jokaista 4027 pisteen kolumbialaista asetelmaa kohtaan on olemassa tälle asetelmalle suopea $k$ suoran sijoittelu.

Une configuration de 4027 points du plan est appelée colombienne si elle est constituée de 2013 points de couleur rouge et de 2014 points de couleur bleue, et si trois quelconques de ces points ne sont pas alignés. En traçant des droites, le plan est divisé en régions. Un tracé de droites est appelé bon pour une configuration colombienne si les deux conditions suivantes sont vérifiées : - aucune droite tracée ne passe par un point de la configuration ; - aucune région ne contient des points de couleurs différentes. Trouver la plus petite valeur de $k$ telle que, pour chaque configuration colombienne de 4027 points, il existe un bon tracé de $k$ droites.

Eine Konfiguration aus 4027 Punkten in der Ebene heißt \emph{kolumbianisch}, wenn sie aus 2013 roten und 2014 blauen Punkten besteht, von denen keine drei Punkte auf einer Geraden liegen. Durch das Einzeichnen einiger Geraden wird die Ebene in mehrere Regionen unterteilt. Eine Menge von Geraden heißt gut für eine kolumbianische Konfiguration, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: - Keine Gerade geht durch einen Punkt der Konfiguration. - Keine Region enthält Punkte beider Farben. Man bestimme den minimalen Wert von $k$, so dass es für jede kolumbianische Konfiguration von 4027 Punkten eine gute Menge von $k$ Geraden gibt.

שאלה 2. קומבינציה של 4027 נקודות במישור נקראת קולומביאנית אם היא מורכבת מ-2013 \\ נקודות אדומות ו-2014 נקודות כחולות, ואינו שלישיה בנקודת קומבינציה אינן על ישר אחד. \\ מעבירים מספר ישרים, אשר מחלקים את המישור למספר איזורים. אומרים כי "אישרים בקיאים" טוב עבור קומבינציה קולומביאנית \\ נקראית הקומבינציה קולומביאנית אם מתקיים בו או בתנאים הבאים: \\ • כל ישר לא עובר יותר מכל נקודה בקומבינציה; \\ • אף אחד מהישרים לא עובר ביותר מצבע אחד מהנקודות.

A sík 4027 pontjából álló alakzatot kolumbiainak nevezzük, ha 2013 pontja pirosra, a többi 2014 kékre van színezve, és az alakzat semelyik három pontja sincs egy egyenesen. Néhány egyenes meghúzásával a síkot tartományokra bontjuk. Az egyeneseknek ezt az elrendezését a kolumbiai alakzatra nézve jónak nevezzük, ha a következő két feltétel teljesül: - semelyik egyenes sem megy át az alakzat semelyik pontján sem; - nincs olyan tartomány, amelyik mindkét színű pontot tartalmaz. Határozzuk meg a legkisebb olyan $k$ értéket, amire igaz az, hogy 4027 pontból álló bármely kolumbiai alakzatra van $k$ egyenesből álló jó elrendezés.

Una configurazione di 4027 punti nel piano si dice colombiana se è costituita da 2013 punti rossi e 2014 punti blu, ed i punti della configurazione sono a 3 a 3 non allineati. Il piano viene suddiviso in varie regioni tracciando delle rette. Un insieme di rette si dice buono per una configurazione colombiana se le seguenti due condizioni sono soddisfatte: * nessuna delle rette passa per punti della configurazione; * nessuna regione contiene punti di entrambi i colori. Determinare il minimo valore di $k$ tale che, per ogni configurazione colombiana di punti, esista un insieme buono di $k$ rette.

4027個の点が平面上にある。この点の配置がコロッピア風であるとは、それらが2013個の赤い点と2014個の青い点からなり、どの3点も同一直線上にならないことを指す。平面にはk本の直線を引くと、平面はいくつかの領域に分かれる。あるコロッピア風の点の配置に対し、以下の2つの条件をみたす直線の集合は良いと定義する： ・どの直線も配置中の点を通らない。 ・直線によって分けられたどの領域も、両方の色の点を含むことはない。 どのようなコロッピア風の配置に対しても、k本の直線からなる良い集合が存在するようなkの最小値を求めよ。

평면 위에 배치된 4027개의 점을 생각하자. 그 중 어떤 세 점도 한 직선 위에 있지 않고, 전체가 2013개의 빨간성과 2014개의 파란점으로 이루어진 경우, 이러한 배치를 ‘콜럼비아식 배치’라고 하자. 평면 위에 직선들은 그어서 전체 평면을 여러 개의 영역으로 분할할 수 있다. 주어진 콜럼비아식 배치에 대하여 다음의 두 조건을 만족하는 직선들의 배열을 ‘좋은 배열’이라고 하자: - 각 직선은 배치된 어떤 점도 지나가지 않는다. - 각 영역은 빨간점과 파란점을 함께 포함할 수 없다. 다음을 만족하는 \(k\)의 최솟값을 구하여라: 매번 (4027개의 점으로 이루어진) 콜럼비아식 배치에 대하여도 \(k\)개의 직선으로 이루어진 좋은 배열이 존재한다.

Par kolumbisku sauksim tādu 4027 punktu konfigurāciju plaknē, kas sastāv no 2013 sarkaniem un 2014 ziliem punktiem un nekādi tā trīs punkti neatrodas uz vienas taisnes. Uzzīmējot dažās taisnes, plakne tiek sadalīta apgabalos. Taisņu saimi sauksim par labu kolumbiskai konfigurācijai, ja tā apmierina sekojošus divus nosacījumus: \begin{itemize} \item neviena taisne neiet caur punktu, kas pieder konfigurācijai; \item neviens apgabals nesatur abu krāsu punktus. \end{itemize} Atrast mazako $k$ vērtību, tādu, ka katrai kolumbiskai 4027 punktu konfigurācijai var atrast labu taisņu saimi, kas sastāv no $k$ taisnēm.

4027 taškų rinkinį plokštumoje vadinsime kolumbietišku, jei tarp jų yra 2013 raudonų taškų, 2014 mėlynų ir, be to, jokie trys taškai nepriklauso vienai tiesei. Nubrėžus keletą tiesių, jos visada padalija plokštumą į nesikertančias sritis. Duotam kolumbietiškam taškų rinkiniui tiesių kolekciją vadinsime gera, jei ji tenkina tokias sąlygas: - joks iš to rinkinio taškų nepriklauso jokiai tiesei; - jokiai iš sričių, į kurias plokštumą padalijo tos tiesės , nepriklauso abiejų spalvų taškai. Raskite mažiausią $k$ reikšmę, su kuria bet kokiam kolumbietiškam 4027 taškų rinkiniui visada atsiras kokia nors gera $k$ tiesių kolekcija.

Задача 2. Конфигурација од 4027 точки во рамнината ја нарекуваме колумбиска ако се состои од 2013 црвени и 2014 плави точки, при што ниту три точки од конфигурацијата не се колинеарни. Со повлекување на прави, рамнината се дели на области. Велиме дека распоредот од правите е добар за колумбиската конфигурација ако се задоволени следните два услови: \begin{itemize} \item Ниту една од правите не минува низ некоја точка од конфигурацијата; \item Ниту една област не содржи точки со различна боја. \end{itemize} Најди го најмалиот број $k$ таков да за секоја колумбиска конфигурација од 4027 точки постои добар распоред од $k$ прави.

En konfigurasjon av 4027 punkter i planet kalles colombiansk hvis den består av 2013 røde og 2014 blå punkter, og ingen tre av punktene i konfigurasjonen er kollineære. Planet deles opp i regioner ved å trekke inn noen linjer. Et utvalg av linjer er godt for en colombiansk konfigurasjon hvis følgende to betingelser er oppfylt: - ingen av linjene går gjennom noen av konfigurasjonens punkter; - ingen region dannet av linjene inneholder punkter av begge farger. Finn den minste verdien av \( k \) slik at det for enhver colombiansk konfigurasjon av 4027 punkter finnes et godt utvalg bestående av \( k \) linjer.

Konfigurację 4027 punktów na płaszczyźnie nazywamy kolumbijską, jeśli składa się ona z 2013 czerwonych punktów i 2014 niebieskich punktów, oraz żadne trzy punkty należące do konfiguracji nie leżą na jednej prostej. Zbiór prostych na płaszczyźnie dzieli płaszczyznę na pewną liczbę obszarów. Powiemy, że zbiór prostych jest dobry dla pewnej kolumbijskiej konfiguracji, jeśli następujące dwa warunki są spełnione: * żaden prost nie przechodzi przez żaden punkt należący do konfiguracji; * żaden obszar nie zawiera punktów obu kolorów. Wyznaczyć najmniejszą liczbę całkowitą \( k \) taką, że dla każdej kolumbijskiej konfiguracji 4027 punktów istnieje dobry zbiór \( k \) prostych.

Uma configuração de 4027 pontos do plano dos quais 2013 são vermelhos e 2014 azuis, e não há três pontos colineares, diz-se colombiana. Traçando algumas retas, o plano fica dividido em várias regiões. Um conjunto de retas é bom para uma configuração colombiana se satisfaz as duas seguintes condições: - nenhuma reta passa por algum ponto da configuração; - nenhuma região contém pontos de ambas as cores. Encontrar o menor valor de $k$ tal que, para qualquer configuração colombiana de 4027 pontos, há um conjunto bom de $k$ retas.

O configurație de 4027 de puncte se numește columbiană dacă are 2013 puncte colorate cu roșu și 2014 puncte colorate cu albastru, și nu conține trei puncte coliniare. O mulțime finitǎ de drepte din plan împarte planul în regiuni. O mulțime de drepte se numește bunǎ pentru o configurație columbianǎ dacǎ urmǎtoarele douǎ condiții sunt îndeplinite: • Nicio dreaptǎ nu trece printr-un punct al configurației, • Nicio regiune nu conține puncte de culori diferite. Determinați cel mai mic numǎr natural $k$ astfel încât pentru orice configurație columbianǎ de 4027 de puncte sǎ existe o mulțime bunǎ de $k$ drepte.

Будем называть колумбийской конфигурацией точек набор из 4027 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, при этом 2013 из них покрашены в красный цвет, а остальные 2014 — в синий. Рассмотрим набор прямых, делящих плоскость на несколько областей. Назовем этот набор хорошим для данной колумбийской конфигурации точек, если выполнены следующие два условия: - никакая прямая не проходит ни через одну из точек конфигурации; - никакая область разбиения не содержит точек обоих цветов. Найдите наименьшее $k$ такое, что для любой колумбийской конфигурации из 4027 точек найдется хороший набор из $k$ прямых.

Konfigurácia 4027 bodov v rovine sa nazýva kolumbijská, ak pozostáva z 2013 červených a 2014 modrých bodov a žiadne tri body tejto konfigurácie neležia na jednej priamke. Ak nakreslíme niekoľko priamok, rovina sa rozdelí na niekoľko oblastí. Rozloženie priamok je dobré pre kolumbijskú konfiguráciu, ak sú splnené dve nasledovné podmienky: - žiadna priamka neprechádza žiadnym bodom konfigurácie; - žiadna oblasť neobsahuje body oboch farieb. Nájdite najmenšiu hodnotu $k$ takú, že pre každú kolumbijskú konfiguráciu 4027 bodov existuje dobré rozloženie $k$ priamok.

Postavite 4027 točk v ravnini je kolumbijska, če je 2013 točk postavitve rdečih in 2014 točk postavitve modrih in če nobene tri točke postavitve niso kolinearne. Če narišemo nekaj premic v ravnini, razdelimo ravnino na več območij. Razporeditev narišanih premic za kolumbijsko postavitev točk je dobra, če sta izpolnjena naslednja dva pogoja: \begin{itemize} \item na nobeni premici ni nobene izmed točk postavitve; \item v nobenem območju niso točke obeh barv. \end{itemize} Poišči najmanjše število $k,$ tako da za vsako kolumbijsko postavitev 4027 točk obstaja dobra razporeditev $k$ premic.

Una configuración de 4027 puntos del plano, de los cuales 2013 son rojos y 2014 azules, y no hay tres de ellos que sean colineales, se llama colombiana. Trazando algunas rectas, el plano queda dividido en varias regiones. Una colección de rectas es buena para una configuración colombiana si se cumplen las dos siguientes condiciones: \begin{itemize} \item ninguna recta pasa por ninguno de los puntos de la configuración; \item ninguna región contiene puntos de ambos colores. \end{itemize} Hallar el menor valor de $k$ tal que para cualquier configuración colombiana de 4027 puntos hay una colección buena de $k$ rectas.

En konfiguration av 4027 punkter i planet kallas colombiansk om den består av 2013 röda och 2014 blå punkter, och om det inte finns tre av punkter i konfigurationen som ligger på en rät linje. Genom att dra några räta linjer delas planet i flera regioner. En uppsättning av linjer kallas bra för en colombiansk konfiguration om följande två villkor är uppfyllda: - ingen linje går genom någon punkt i konfigurationen; - ingen region innehåller punkter av båda färgerna. Bestäm det minsta värdet på $k$, sådant att det för varje colombiansk konfiguration av 4027 punkter existerar en bra uppsättning av $k$ linjer.

โครงแบบของจุด 4027 จุดในระนาบเรียกว่า โครงเงเบียน ถ้าโครงแบบประกอบด้วยจุดตั้งแต่ปี 2013 จุด และจุดที่แต้มเงิน 2014 จุด โดยไม่ซ้ำสุดสามจุดใด ๆ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เมื่อจัดแทนด้วยจำนวนหนึ่งแบบระนาบจุดนั้นจงออกเป็นบริเวณหลาย ๆ บริเวณโดยในแต่ละบริเวณไม่มีสามเส้นตรงที่โครงแบบโคลมเงเบียน เรียกว่าการจัดวาง ถ้าการจัดวางของเส้นตรงบางเส้นแบบโมเลโคสเป็นบรรจุดเรียกว่า การจัดวางตรงข้ามให้คณิจการโครงเงเบียนเรียกว่า การจัดวางตรงข้าม

Düzlem üzerindeki 4027 noktanın herhangi üçü doğrusal olmayıp, 2013 tanesi kırmızı ve 2014 tanesi mavi ise, bu 4027 noktaya bir Kolombiya konfigürasyonu diyelim. Düzlemde çizilen birkaç doğru düzlemi bölgelere ayırır. Bir doğrular kümesi, bir Kolombiya konfigürasyonu için aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa, bu küme bu konfigürasyon için iyi kabul ediliyor. - doğrulardan her biri, konfigürasyonun hiçbir noktasından geçmemektedir; - her iki rengi birden içeren bölge bulunmamaktadır. 4027 noktaları herhangi bir Kolombiya konfigürasyonu verildiğinde, bu konfigürasyon için iyi olan ve \( k \) doğrudan oluşan bir küme bulunuyorsa, \( k \) nın alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Колумбійською конфігурацією будемо називати такий набір з $4027$ точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій, при цьому $2013$ з них пофарбовано в червоний колір, а решта $2014$ — у блакитний. Розглянемо набір прямих, що розділяють площину на декілька областей. Назвемо цей набір гарним для даної колумбійської конфігурації точок, якщо виконуються такі умови: \begin{itemize} \item жодна пряма не проходить через жодну точку конфігурації; \item жодна область розбиття не містить точок обох кольорів. \end{itemize} Знайдіть найменше можливе значення $k$ таке, що для довільної колумбійської конфігурації з $4027$ точок існує гарний набір з $k$ прямих.

Một tập hợp gồm đúng $4027$ điểm trên mặt phẳng được gọi là tập Colombia nếu không có ba điểm nào trong các điểm đó thẳng hàng, đồng thời có $2013$ điểm được tô màu đỏ và $2014$ điểm còn lại được tô màu xanh. Mặt phẳng được phân chia thành các miền thì ta kẻ một số đường thẳng. Một cách kẻ một số đường thẳng được gọi là cách kẻ tốt đối với tập Colombia cho trước nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: 1. không có đường thẳng nào đi qua dù chỉ một điểm thuộc tập hợp đó; 2. không miền nào chứa cả điểm màu đỏ và điểm màu xanh. Tìm số k nhỏ nhất sao cho với tập Colombia tuỳ ý gồm đúng 4027 điểm, tồn tại một cách kẻ k đường thẳng là cách kẻ tốt.

Suatu konfigurasi dari 4027 titik pada bidang disebut Kolombia jika konfigurasi itu memuat 2013 titik merah dan 2014 titik biru, dan tidak ada tiga titik dari konfigurasi yang segaris. Dengan menggambar beberapa garis, bidang terbagi menjadi beberapa area. Suatu penataan garis-garis adalah bagus untuk suatu konfigurasi Kolombia jika kondisi berikut dipenuhi: - tidak ada garis yang melalui sebarang titik dari konfigurasi itu; - tidak ada area yang memuat kedua warna sekaligus. Carilah nilai $k$ terkecil sehingga untuk sebarang konfigurasi Kolombia dari 4027 titik, terdapat suatu penataan bagus dari $k$ garis.

Ένας σχηματισμός που δημιουργείται με την τοποθέτηση 4027 σημείων στο επίπεδο λέγεται Κολομβιανός, αν αποτελείται από 2013 κόκκινα σημεία και 2014 μπλε σημεία και δεν υπάρχουν τρία σημεία του σχηματισμού που να είναι συνευθειακά. Με χάραξη κάποιων ευθειών το επίπεδο διαμερίζεται σε διάφορα χρώματα. Μια χάραξη ευθειών είναι καλή για έναν Κολομβιανό σχηματισμό, αν ισχύουν οι επόμενες δύο συνθήκες: - δεν υπάρχει ευθεία που περνάει από κάποιο σημείο του σχηματισμού, - δεν υπάρχει χωρίο που περιέχει σημεία και των δύο χρωμάτων. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του \( k \) έτσι ώστε για κάθε Κολομβιανό σχηματισμό 4027 σημείων, να υπάρχει μια καλή χάραξη \( k \) ευθειών.

2014

\lfloor \sqrt{n - 1} \rfloor

Laat \(n \geq 2\) 'n heelgetal wees. Beskou 'n \(n \times n\) skaakbord wat uit \(n^2\) eenheidsblokkies bestaan. 'n Rangskikking van \(n\) torings op hierdie bord is vreesaam as elke ry en elke kolom presies één toring bevat. Vind die grootste positiewe heelgetal \(k\) só dat daar vir elke vreesame rangskikking van \(n\) torings 'n \(k \times k\) vierkant bestaan wat nie 'n toring op enige van sy \(k^2\) eenheidsblokkies bevat nie.

Le të jetë n \ge 2 një numër i plotë. Një kuti shahu n \times n përbëhet prej n^2 katrorë njësí. Një konfigurim prej n kalash në këtë kuti quhet i qetë në qoftë se çdo rresht dhe çdo kolonë përmban ekzaktësisht një kala. Gjeni numrin e plotë më të madh pozitiv k të tillë që, për çdo konfigurim të qetë prej n kalash, gjendet një katror k \times k i cili nuk përmban kala në asnjë prej k^2 katrorëve njësí të tij.

لكن \( n \geq 2 \) عددًا صحيحًا. لدينا طاولة مطرّح من القياس \( n \times n \) متمثلة على \( n^2 \) من الخانات. يقال عن تشكيلة مكوّنة من \( n \) حرا على خانات هذه الطاولة إنها مسألة إذا كان كل صفّة وكل عمود يحوي جرا واحدا فقط. جد أكبر عدد صحيح \( k \) بحيث, لكل تشكيلة مسألة من \( n \) جرا يوجد مربع من القياس \( k \times k \) لا يحوي على جري أي من خاناته التي عددها \( k^2 \).

Шахматна дъска $n \times n$, където $n \ge 2$ е естествено число, е разделена на $n^2$ единични квадратчета. Конфигурация от $n$ шахматни топа се нарича мирна, ако всеки ред и всеки стълб на дъската съдържа точно по един топ. Да се намери най-голямото естествено число $k$, за което за всяка мирна конфигурация от топове съществува $k \times k$ квадрат, такъв, че на нито едно от неговите $k^2$ единични квадратчета няма топ.

设 \(n \geq 2\) 是一个整数. 考虑由 \(n^2\) 个单位正方形组成的一个 \(n \times n\) 棋盘. 一种放置 \(n\) 个棋子“车”的方案被称为是 和平的, 如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”. 求最大的正整数 \(k\), 使得对于任何一种和平放置 \(n\) 个“车”的方案, 都存在一个 \(k \times k\) 的正方形, 它的 \(k^2\) 个单位正方形里都没有“车”.

設 \( n \geq 2 \) 為整數。考慮一個由 \( n^2 \) 個單位方格所組成的 \( n \times n \) 棋盤。將 \( n \) 只城堡擺在棋盤的方格中，使得每一列及每一行都恰有一只城堡，如此稱為和平擺法。試找出最大的正整數 \( k \) ，使得對每一種 \( n \) 只城堡的和平擺法，都能找到 \( k \times k \) 的正方形，它的 \( k^2 \) 個單位方格中都沒有城堡。

Neka je \( n \ge 2 \) prirodni broj. Dana je šahovska ploča \( n \times n \) koja se sastoji od \( n^2 \) polja. Raspored \( n \) topova na toj ploči je miroljubiv ako se u svakom retku i u svakom stupcu nalazi točno jedan top. Odredi najveći prirodni broj \( k \) sa svojstvom da, za svaki miroljubivi raspored \( n \) topova, postoji kvadrat \( k \times k \) na čijih se \( k^2 \) polja ne nalazi niti jedan top.

Nechť $n \geq 2$ je celé číslo. Uvažujme šachovnici o rozměrech $n \times n$ složenou z $n^2$ jednotkových čtvercových políček. Konfiguraci $n$ věží na této šachovnici nazýváme šťastnou, pokud každý řádek a každý sloupec obsahuje právě jednu věž. Najděte největší kladné celé číslo $k$ takové, že pro každou šťastnou konfiguraci $n$ věží existuje čtverec o rozměrech $k \times k$, který neobsahuje věž na žádném ze svých $k^2$ políček.

Lad \( n \ge 2 \) være et helt tal. Et \( n \times n \) skakbræt er inddelt i \( n^2 \) enhedskvadrater. En konfiguration af \( n \) tårne på dette skakbræt kaldes fredelig hvis hver række og hver søjle indeholder netop ét tårn. Bestem det størst mulige positive hele tal \( k \) så der i hver eneste fredelige konfiguration af \( n \) tårne findes et \( k \times k \) kvadrat uden tårne på nogen af dets \( k^2 \) enhedskvadrater.

Zij \( n \geq 2 \) een geheel getal. Beschouw een \( n \times n \)-schaakbord bestaande uit \( n^2 \) eenheidsvierkantjes. Een opstelling van \( n \) torens op dit bord heet vredzaam als er in elke rij en in elke kolom precies één toren staat. Bepaal het grootste positieve gehele getal \( k \) zodanig dat er, voor elke vredzame opstelling van \( n \) torens, een \( k \times k \)-vierkant bestaat waarbij op geen van zijn \( k^2 \) eenheidsvierkantjes een toren staat.

Let $n \ge 2$ be an integer. Consider an $n \times n$ chessboard consisting of $n^2$ unit squares. A configuration of $n$ rooks on this board is \emph{peaceful} if every row and every column contains exactly one rook. Find the greatest positive integer $k$ such that, for each peaceful configuration of $n$ rooks, there is a $k \times k$ square which does not contain a rook on any of its $k^2$ unit squares.

Olgu \( n \geq 2 \) täisarv. Vaatleme \( n \times n \) malelauda, mis koosneb \( n^2 \) ühikruudust. Seis \( n \) vankriga malelaual on rahulik, kui igas reas ja igas veerus asub täpselt üks vanker. Leia suurim niisugune positiivne täisarv \( k \), et iga rahuliku \( n \) vankriga seisu korral leidub \( k \times k \) ruut, mille \( k^2 \) ühikruudust ühelgi pole vankrit.

Olkoon $n \geq 2$ kokonaisluku. Tarkastellaan $n \times n$ -shakkilautaa, jonka $n^2$ yksikköneliötä muodostavat. Kutsutaan $n$:n laudalla olevan tornin asetelmaa \emph{rauhalliseksi}, jos laudan jokaisella vaaka- ja pystyrivillä on tasan yksi torni. Määritä suurin sellainen positiivinen kokonaisluku $k$, jolle jokaista rauhallista $n$:n tornin asetelmaa kohden on olemassa $k \times k$ -neliö, jonka yhdessäkään sen $k^2$:sta yksikköneliöistä ei ole tornia.

Soit n \geq 2 un entier. On considère un échiquier n \times n divisé en n^2 cases. Une configuration de n jetons répartis dans ces cases est dite paisible si chaque ligne et chaque colonne de l'échiquier contient exactement un jeton. Déterminer le plus grand entier strictement positif k tel que, pour toute configuration paisible de n jetons, il existe un carré k \times k qui ne contient aucun jeton dans ses k^2 cases.

Es sei $n \geq 2$ eine ganze Zahl. Gegeben sei ein $n \times n$ Schachbrett bestehend aus $n^2$ Einheitsquadraten. Eine Konfiguration von $n$ Türmen auf diesem Brett heiße friedlich, falls jede Zeile und jede Spalte genau einen Turm enthält. Man bestimme die größte positive ganze Zahl $k$, sodass man für jede friedliche Konfiguration von $n$ Türmen ein $k \times k$ Quadrat ohne einen Turm auf einem seiner $k^2$ Einheitsquadrate finden kann.

תהא $n \ge 2$ מספר שלם. נתבונן בלוח זה שחא \times n^2$ שמורכב מ-$n^2$ משבצות. קומבינטוריקה של n זריחות על הלוח נקראשליחה אם כל שורה וכל עמודה מכילה לפחות אחד בברוק. מצא את השלם החיובי הגדול ביותר $k$, עבורו לכל קומבינטוריקה שליחה של $n$ זריחות, קיים ריבוע $k \times k$ שמורכב מ-$k^2$ משבצות ולא מכיל אף זריחה.

2. Feladat\ Legyen\ n \geq 2\ egész\ szám.\ Tekintsünk\ egy\ n^2\ egységnégyzetbõl\ álló\ n \times n-es\ sakktáblát.\ n\ bástyának\ az\ elhelyezését\ ezen\ a\ sakktáblán\ békésnek\ nevezzük,\ ha\ minden\ sorban\ és\ minden\ oszlopban\ pontosan\ egy\ bástya\ áll.\ Határozzuk\ meg\ a\ legnagyobb\ olyan\ k\ pozitív\ egész\ számot,\ amire\ igaz\ az,\ hogy\ n\ bástya\ minden\ békés\ elhelyezéséhez\ található\ egy\ olyan\ k \times k-as\ négyzet,\ amelynek\ a\ k^2\ egységnégyzete\ egyikén\ sem\ áll\ bástya.

Sia $n \geq 2$ un intero. Consideriamo una scacchiera $n \times n$ formata da $n^2$ quadratini unitari. Una configurazione di $n$ torri su questa scacchiera si dice pacifica se ogni riga ed ogni colonna contiene esattamente una torre. Determinare il più grande intero positivo $k$ tale che, per ogni configurazione pacifica di $n$ torri, esiste un quadrato $k \times k$ che non contiene torri in nessuno dei suoi $k^2$ quadratini unitari.

n を 2 以上の整数とする。n \times n のマス目における平和な配置とは，どの行と列にもおうど 1 個の駒があるように n 個の駒が配置されているものをいう。次の条件をみたす正の整数 k の最大値を求めよ： \ 条件： n \times n のマス目における任意の平和な配置に対し，駒を一つも含まない k \times k のマス目が存在する。

정수 $n \ge 2$에 대하여, $n^2$개의 단위정사각형으로 이루어진 $n \times n$ 체스판 위에 $n$개의 체스말이 놓여 있고 각각의 체스말은 단위정사각형 안에 놓여 있다. 체스판의 각 행과 각 열에 체스말이 정확히 하나씩 포함되어 있을 때, $n$개의 체스말이 놓인 형태를 '좋은' 형태라고 부르자. 다음의 조건을 만족하는 양의 정수 $k$의 최댓값을 구하여라: (조건) 모든 좋은 형태에 대하여, 어떠한 체스말도 포함하지 않는 $(k^2$의 단위정사각형으로 이루어진$) k \times k$ 정사각형 블록이 존재한다.

2. uzdevums. Dots vesels skaitlis $n \geq 2$. Aplūkojam $n \times n$ šaha galdiņu, kas sastāv no $n^2$ vienības rūtiņām. Konfigurāciju no $n$ torņiem sauksim par miermīlīgu, ja katrā rindā un katrā kolonnā atrodas tieši viens tornis. Atrast lielāko pozitīvu veselu skaitli $k$ tādu, ka katrai miermīlīgai konfigurācijai no $n$ torņiem eksistē $k \times k$ kvadrāts, kas nesatur torni nevienā no savām $k^2$ vienības rūtiņām.

2 uždavinys. Duotas sveikasis skaičius n \geq 2 ir šachmatų lenta n \times n, sudaryta iš n^2 vienetinių kvadratėlių. Ant tų vienetinių kvadratėlių išdėliotą n bokštų rinkinį vadinsime taikiu, jei kiekviename lentos stulpelyje ir kiekvienoje eilutėje stovės lygiai vienas bokštas. Raskite didžiausią natūralųjį skaičių k, su kuriuo lentoje, kad ir kaip joje be išdėliotume taikų n bokštų rinkinį, visada bus galima atrasti tokį kvadratą k \times k, kad jokiamę iš k^2 jo vienetinių kvadratėlių nebus to rinkinio bokštų.

Задача 2. Нека $n \geq 2$ е природен број. Да разгледаме шаховска табла $n \times n$ која се состои од $n^2$ единични квадрати. Распоред од $n$ топови на таблата го нарекуваме 'миролубив' ако во секој ред и во секоја колона се наоѓа точно еден топ. Најди го најголемиот природен број $k$ таков да, за секој миролубив распоред од $n$ топови, постои квадрат $k \times k$ кој не содржи топ на ниту еден од своите $k^2$ единични квадрати.

La \(n \ge 2\) være et heltall. Betrakt et \(n \times n\) sjakkbrett bestående av \(n^2\) felter. En konfigurasjon av \(n\) tårn på dette brettet kalles fredelig hvis det i hver rad og i hver kolonne står ett tårn. Finn det største positive heltallet \(k\) slik at det for enhver fredelig konfigurasjon av \(n\) tårn finnes et \(k \times k\) kvadrat uten tårn på noen av sine \(k^2\) felter.

Niech $n \geq 2$ będzie liczbą całkowitą. Rozważamy szachownicę o wymiarach $n \times n$ składającą się z $n^2$ kwadratów jednostkowych. Konfigurację $n$ wież na tej szachownicy nazwiemy _spokojną_, jeśli każdy wiersz i każda kolumna szachownicy zawiera dokładnie jedną wieżę. Wyznaczyć największą dodatnią liczbę całkowitą $k$ taką, że dla każdej spokojnej konfiguracji $n$ wież istnieje kwadrat o wymiarach $k \times k$ składający się z $k^2$ kwadratów jednostkowych nie zawierających żadnej wieży.

Seja $n \ge 2$ um inteiro. Considere um tabuleiro de xadrez $n \times n$ dividido em $n^2$ quadrados unitários. Uma configuração de $n$ torres neste tabuleiro é dita pacífica se cada linha e cada coluna contém exatamente uma torre. Encontre o maior inteiro positivo $k$ tal que, para qualquer configuração pacífica de $n$ torres, podemos encontrar um quadrado $k \times k$ sem torres em qualquer um dos seus $k^2$ quadrados unitários.

Fie \( n \geq 2 \) un număr întreg. Considerăm o tablă de șah \( n \times n \), alcătuită din \( n^2 \) pătrate unitate. O configurație de \( n \) turnuri de pe această tablă se numește pașnică dacă fiecare linie și fiecare coloană a tablei conține exact un turn. Aflați cel mai mare număr întreg \( k \) care are proprietatea: pentru orice configurație pașnică de \( n \) turnuri există un pătrat \( k \times k \), alcătuit din \( k^2 \) pătrate unitate ale tablei, care nu conține niciun turn al configurației.

Пусть $n \geq 2$ — целое число. Дана шахматная доска $n \times n$, состоящая из $n^2$ единичных клеток. Расстановка $n$ ладей в клетках этой доски называется мирной, если в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду находится ровно по одной ладье. Найдите наибольшее целое положительное $k$ такое, что для каждой мирной расстановки $n$ ладей найдется клетчатый квадрат $k \times k$, ни в одной из $k^2$ клеток которого нет ладьи.

Nech $n \ge 2$ je celé číslo. Uvažujme šachovnicu s rozmermi $n \times n$ pozostávajúcu z $n^2$ jednotkových štvorcových políčok. Konfiguráciu n veží na tejto šachovnici nazývame šťastná, ak každý riadok a každý stĺpec obsahuje práve jednu vežu. Nájdite najväčšie kladné celé číslo $k$ také, že pre každú šťastnú konfiguráciu n veží existuje štvorec s rozmermi $k \times k$, ktorý neobsahuje vežu na žiadnom zo svojich $k^2$ políčok.

Naj bo $n \geq 2$ naravno število. Dana je šahovnica velikosti $n \times n$, ki jo sestavlja $n^2$ enotskih kvadratov. Postavitev $n$ trdnjav na tej šahovnici je \emph{miroljubna}, če je v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu natančno ena trdnjava. Poišči največje naravno število $k$, tako da za vsako miroljubno postavitev $n$ trdnjav obstaja tak kvadrat velikosti $k \times k$, da na nobenem od njegovih $k^2$ enotskih kvadratov ni nobene trdnjave.

Sea $n \geq 2$ un entero. Consideremos un tablero de tamaño $n \times n$ formado por $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ fichas en este tablero se dice que es pacífica si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Hallar el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ fichas, existe un cuadro de tamaño $k \times k$ sin fichas en sus $k^2$ cuadrados unitarios.

Låt n \geq 2 vara ett heltal. Betrakta ett n \times n schackbräde indelat i n^2 enhetskvadrater. En utplacering av n torn på detta bräde är fredlig om varje rad och varje kolonn innehåller exakt ett torn. Bestäm det största positiva heltal k sådant att det för varje fredlig utplacering av n torn finns en k \times k kvadrat som inte innehåller torn i någon av sina k^2 enhetskvadrater.

ให้ $n \geq 2$ เป็นจำนวนเต็ม พิจารณากระดานหมากรุกขนาด $n \times n$ ที่ประกอบด้วยช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีหน่วยจำนวน $n^2$ ช่อง รูปแบบการวางหมากรุก $n$ ตัวบนกระดานนี้จะเรียกว่า \emph{สับติ} ถ้าในแต่ละแถวและแต่ละหลักของกระดานมีหมากรุกที่มีหัวพอดี จงหาจำนวนเต็มบวก $k$ ที่มากที่สุดซึ่งสำหรับรูปแบบการวางหมากรุก $n$ ตัวบนแผ่นตัดใด ๆ ก็ตาม จะมีการวางคู่ในรูป $k \times k$ ซึ่งไม่มีหมากรุกอยู่ในช่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่หน่วยทั้ง $k^2$ ช่อง

n \geq 2 \text{ bir tam sayı olmak üzere, } n^2 \text{ birim kareden oluşan } n \times n \text{ satranç tahtası verilmiştir.} \\\text{n kalenin; her satırda ve her sütunda tam olarak bir kale olmak üzere,} \\\text{bu satranç tahtasına yerleşimine } \\ \text{barışçıl konfigürasyon diyelim.}\text{ k nın en büyük hangi pozitif tam sayı değeri için; n kalenin her barışçıl konfigürasyonunda, üzerinde kale olmayan bir } k \times k \text{ karesi bulunur (yani bu } k \times k \text{ karesinin toplam sayısı } k^2 \text{ olan birim karelerinin hiçbirinde kale yoktur)?}

Нехай $n \geq 2$ — ціле число. Задана шахівниця $n \times n$, яка складається з $n^2$ одиничних клітинок. Розстановка $n$ тур в клітинках шахівниці називається мирною, якщо в кожному горизонтальному і в кожному вертикальному ряду знаходиться рівно по одній турі. Знайдіть найбільше ціле додатне $k$ таке, що для кожної мирної розстановки $n$ тур знайдеться клітчастий квадрат $k \times k$, у жодній із $k^2$ клітинок якого немає тури.

Cho số nguyên \( n \geq 2 \). Cho bảng ô vuông \( n \times n \) gồm \( n^2 \) ô vuông đơn vị. Một cách sắp xếp của \( n \) quân xe trong bảng đó được gọi là bình yên nếu mỗi hàng và mỗi cột chứa đúng một quân xe. Hãy tìm số nguyên dương \( k \) lớn nhất sao cho với mỗi cách sắp xếp bình yên của \( n \) quân xe đều tồn tại một hình vuông \( k \times k \) mà mỗi ô vuông đơn vị trong số \( k^2 \) ô vuông đơn vị của nó đều không chứa quân xe.

Diberikan $n \geq 2$ suatu bilangan bulat. Pandang suatu papan catur berukuran $n \times n$ yang terdiri atas persegi satuan sebanyak $n^2$. Suatu konfigurasi $n$ benteng pada papan ini dikatakan damai jika setiap baris dan setiap kolom hanya memuat tepat satu benteng. Tentukan bilangan bulat positif terbesar $k$ sehingga untuk setiap konfigurasi damai dari $n$ benteng, terdapat suatu persegi berukuran $k \times k$ yang tidak memuat benteng pada semua $k^2$ buah persegi satuan di dalamnya.

Έστω \( n \geq 2 \) ακέραιος. Θεωρούμε έναν \( n \times n \) σκακιστικό πίνακα που αποτελείται από \( n^2 \) μοναδιαία τετράγωνα. Ένας σχηματισμός από \( n \) πύργους σε αυτόν τον πίνακα είναι ειρηνικός, αν κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πίνακα περιέχει ακριβώς ένα πύργο. Βρείτε το μέγιστο ακέραιο \( k \) που είναι τέτοιος ώστε, για κάθε ειρηνικό σχηματισμό από \( n \) πύργους, υπάρχει ένα \( k \times k \) τετράγωνο το οποίο δεν περιέχει πύργο σε κανένα από τα \( k^2 \) μοναδιαία τετράγωνα του.

2015

(2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 6, 11), (3, 5, 7)

Bepaal alle drietal positive heelgetalle $(a, b, c)$ só dat elkeen van die getalle \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] 'n mag van twee is. ('n Mag van twee is 'n getal van die vorm $2^n$, waar $n$ 'n heelgetal is en $n > 0$.)

Përcaktoni të gjitha treshet e numrave të plotë pozitivë $(a, b, c)$ të tillë që secili prej numrave \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] është fuqi e $2$ -it. (Fuqia e $2$ -it është një numër i plotë i formës $2^n$, ku $n$ është një numër i plotë jonegativ.)

المسألة 3. ليكن \( \triangle ABC \) مثلث حاد الزوايا فيه \( AB > AC \)، و\( \Gamma_1 \) دائرته المجملة، و\( H \) ملتقى ارتفاعاته، و\( F \) قدم ارتفاعه المنطلق من الرأس \( A \). النقطة \( M \) هي منتصف القطع \( BC \). لكن النقطة \( Q \) للنقطة من الدائرة \( \Gamma_2 \) التي تحقق \( \angle HQA = 90^\circ \). لكن النقطة من الدائرة \( \Gamma_3 \) التي تحقق \( \angle HKQ = 90^\circ \). لنفرض أن النقطة \( C, B, A, K \) نقطة خلفية وهي وقف هذا الترتيب على الدائرة \( \Gamma_3 \) و\( Q \) تحقبه وهي وفك الترتيب على الدائرة \( \Gamma_3 \). أثبت أن الدائرتين المحيطتين بالثلاثتين \( KQH \) و\( FKM \) متماستان.

Да се намерят всички тройки $(a, b, c)$ от естествени числа, такива, че всяко от числата \[ ab - c, \ bc - a, \ ca - b \] е степен на 2. \(\text{(Степен на } 2 \text{ е цяло число от вида } 2^n, \text{ където } n \text{ е цяло неотрицателно число.)}\)

确定所有三元正整数组 $(a, b, c)$, 使得\\ $\frac{ab - c}{bc - a} = \frac{bc - a}{ca - b}$\\中的每个数都是 2 的分量.(2 的分量是指为 2 但不为 0 的整数, 其中 $n$ 是一个非负整数.)

找出所有的三元正整數組 $(a,b,c)$ 使得 \newline \[ ab-c, \quad bc-a, \quad ca-b \] \newline 三數中的每一個數都是 $2^n$ 的乘幣。 \newline (2 的乘幣指的是形如 $2^n$ 的整數，其中 $n$ 為非負整數。)

Zadatak 2. Odredi sve trojke $(a,b,c)$ prirodnih brojeva takve da je svaki od brojeva\[ab-c, \ bc-a, \ ca-b\] potencija broja 2.\[(Potencija \ broja \ 2 \ je \ cijeli \ broj \ oblika \ 2^n, \ gdje \ je \ n \ nenegativni \ cijeli \ broj.)\]

Určete všechny trojice $(a, b, c)$ kladných celých čísel, pro něž každé z čísel $$ab - c, \ bc - a, \ ca - b$$ je mocninou 2. (Mocnina 2 je celé číslo tvaru $2^n$, kde $n$ je nezáporné celé číslo.)

Bestem alle tripler $(a, b, c)$ af positive hele tal så hvert af tallene \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] er potenser af 2. (En potens af 2 er et helt tal på formen $2^n$, hvor $n$ er et ikke-negativt helt tal.)

Bepaal alle drietallen (strikt) positieve gehele getallen $(a, b, c)$ zodanig dat elk van de getallen \[ ab - c, \ bc - a, \ ca - b \] een tweemacht is.\(Een tweemacht is een getal van de vorm $2^n$, waarbij $n$ een geheel getal is en $n > 0$.)

Determine all triples $(a, b, c)$ of positive integers such that each of the numbers \[ ab-c, \quad bc-a, \quad ca-b \] is a power of 2. (A power of $2$ is an integer of the form $2^n$, where $n$ is a non-negative integer.)

Ülesanne 2. Leida kõik positiivsete täisarvude kolmikud $(a, b, c)$, mille korral arvud \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] on kahe astmed. (Kahe aste on täisarv kujul $2^n$, kus $n$ on mitte negatiivne täisarv.)

Määritä kaikki sellaiset positiivisten kokonaislukujen kolmikot $(a, b, c)$, joille jokainen luvuista \[ \ ab - c, \ bc - a, \ ca - b \] on luvun $2$ potenssi. (Luvun $2$ potenssi on muotoa $2^n$ oleva kokonaisluku, missä $n$ on ei-negatiivinen kokonaisluku.)

Déterminer tous les triplets $(a, b, c)$ d’entiers strictement positifs pour lesquels chacun des nombres \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] est une puissance de $2$. (Une puissance de $2$ est un entier de la forme $2^n$, où $n$ est un entier positif ou nul.)

Man bestimme alle Tripel $(a, b, c)$ positiver ganzer Zahlen, sodass jede der Zahlen \[ab-c, \quad bc-a, \quad ca-b\] eine Zweierpotenz ist. (Eine Zweierpotenz ist eine ganze Zahl der Form $2^n$, wobei $n$ eine nichtnegative ganze Zahl ist.)

שאלה 2. מצאו את כל השלשות $(a, b, c)$ של מספרים שלמים חיוביים כך שכל הספרים $ab - c$, $bc - a$, $ca - b$ הם חזקות של 2. (מספר נקרא חזקת של 2 אם הוא מהצורה $2^n$, באשר $n$ היא שלם אי-שלילי).

Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokból álló $(a, b, c)$ számhármasokat, amelyekre az \[ ab-c, \ bc-a, \ ca-b \] számok mindegyike 2-hatvány.\ (2-hatvány egy $2^n$ alakú egész szám, ahol n egy nemnegatív egész szám.)

Determinare tutte le terne $(a, b, c)$ di numeri interi positivi per cui ciascuno dei numeri $ab - c$, $bc - a$, $ca - b$ è una potenza di 2.\ (Una potenza di 2 è un intero della forma $2^n$, dove $n$ è un intero non negativo.)

正の整数の組 $(a, b, c)$ であり、 \[ \frac{ab - c}{bc - a}, \frac{bc - a}{ca - b} \] がいずれも 2 のべき乗であるものをすべて求めよ。ただし、2 のべき乗とは、非負整数 $n$ を用いて $2^n$ と表すことができる整数のことをいう。

다음 조건을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(a, b, c)$를 모두 구하여라: \newline $ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b$가 모두 2의 제곱수이다. \newline (2의 제곱수가 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $2^n$ 꼴인 양의 정수를 말한다.)

2. uzdevums. Noteikt visus veselu pozitīvu skaitļu trijniekus $(a,b,c)$ tādus, ka katrs no skaitļiem \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] ir divnieka pakāpe. \ (Divnieka pakāpe ir vesels skaitlis formā $2^n$, kur $n$ ir vesels nenegatīvs skaitlis.)

Raskite visus natūraliųjų skaičių trejetus $(a, b, c)$, su kuriais kiekvienas iš skaičių $$ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b$$ yra dvejeto laipsnis. (Dvejeto laipsniais yra vadinami natūralieji skaičiai $2^n$, kur $n$ yra sveikasis neneigiamas skaičius.)

Најди ги сите тројки од природни броеви $(a,b,c)$ такви да секој од броевите $$ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b $$ е степен на бројот 2. \[(\text{Степен на бројот } 2 \text{ e број од обликот } 2^n, \text{ каде } n \text{ е ненегативен цел број.})\]

Bestem alle tripler $(a, b, c)$ av positive heltall for hvilke hvert av tallene \[ ab-c, \quad bc-a, \quad ca-b \] er en potens av 2. (En potens av 2 er et heltall på formen $2^n$, der $n$ er et ikke-negativt heltall.)

Wyznaczyc wszystkie trojki \((a, b, c)\) dodatnich liczb calkowitych, dla ktorych kazda z liczb \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] jest potega dwojki. (Potega dwojki nazywamy liczbe calkowita postaci \(2^n\), gdzie \(n\) jest nieujemna liczba calkowita.)

Determine todos os ternos $(a, b, c)$ de inteiros positivos tais que cada um dos números\ \[ ab - c, \ bc - a, \ ca - b \] \ é uma potência de $2$.\\ \textit{(Uma potência de $2$ é um inteiro da forma $2^n$, em que $n$ é um inteiro não negativo.)}

Problema 2. Determinați toate tripletele de întregi strict pozitivi $(a,b,c)$, astfel încât fiecare dintre numerele \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] să fie o putere a lui 2. (O putere a lui 2 este un întreg de forma $2^n$, unde $n$ este un întreg nenegativ.)

Задача 2. Найдите все тройки $(a, b, c)$ целых положительных чисел такие, что каждое из чисел $$ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b$$ является степенью двойки. (Степенью двойки называется число вида $2^n$, где $n$ — целое неотрицательное число.)

Určte všetky trojice $(a, b, c)$ kladných celých čísel, pre ktoré je každé z čísel\ \[ ab - c, \ bc - a, \ ca - b \]\ mocninou čísla $2$.\ \ (Mocnina čísla $2$ je celé číslo tvaru $2^n$, pričom $n$ je nezáporné celé číslo.)

Določi vse trojke $(a, b, c)$ naravnih števil, za katere je vsako izmed števil \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] potenca števila $2$. (Potenca števila $2$ je naravno število oblike $2^n$, pri čemer je $n$ nenegativno celo število.)

Determinar todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que cada uno de los números $$ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b$$ es una potencia de 2. (Una potencia de 2 es un entero de la forma $2^n$, donde $n$ es un entero no negativo.)

Bestäm alla triplar $(a, b, c)$ av positiva heltal sådana att vart och ett av talen \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] är en potens av $2$. (Potens av $2$ är ett heltal på formen $2^n$, där $n$ är ett icke-negativt heltal.)

จงหาสามลำดับขั้น $(a, b, c)$ ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ซึ่งแต่ละจำนวนต่อไปนี้ \newline \[ ab - c, \ bc - a, \ ca - b \] เป็นกำลังของ $2$ \newline (กำลังของ $2$ คือจำนวนเต็มที่อยู่ในรูป $2^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นจำนวนลบ)

$a, b, c$ pozitif tam sayılar olmak üzere, \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] sayılarını her birinin 2 nin tam kuvveti olmaması sağlayan tüm $(a, b, c)$ üçlülerini bulunuz. $(n$ negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere, $2^n$ şeklindeki sayılara 2 nin tam kuvveti deniyor.)

Знайдіть усі трійки натуральних чисел $(a, b, c)$, для яких кожне з чисел \[ ab - c, \ bc - a, \ ca - b \] є степенем двійки. \ (Степенем двійки називається число вигляду $2^n$, де $n$ — ціле невід’ємне число.)

Bài 2. Hãy tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(a, b, c)$ sao cho mỗi số trong các số \[ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b \] là lũy thừa của 2. (\textit{Lũy thừa của 2 là một số nguyên có dạng $2^k$, với $n$ là số nguyên không âm.})

Tentukan semua tripel bilangan bulat positif $(a,b,c)$ sehingga masing-masing dari\n\n$$ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b$$\nmerupakan bilangan 2-berpangkat.\n\n(Bilangan 2-berpangkat adalah bilangan bulat berbentuk $2^n$, dengan $n$ bilangan bulat tak-negatif.)

Πρόβλημα 2. Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες $(a, b, c)$ θετικών ακεραίων, που είναι τέτοιες ώστε κάθε ένας από τους αριθμούς $ab - c$, $bc - a$, $ca - b$ είναι δύναμη του $2$. \(Δύναμη του 2 είναι ένας ακέραιος της μορφής $2^n$, όπου $n$ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος.\)

2015

f(x)=x, f(x)=2-x

Laat $\mathbb{R}$ die versameling reële getalle wees. Bepaal alle funksies $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ wat die vergelyking $$f(x + f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x) $$ vir alle reële getalle $x$ en $y$ bevredig.

Le të jetë $\mathbb{R}$ bashkësia e numrave realë. Përcaktoni të gjithë funksionet $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ që kënaqin ekuacionin \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] për të gjithë numrat realë $x$ dhe $y$.

المسألة 6. سلسلة الأعداد الصحيحة \( a_1, a_2, \ldots \) تحقق الشرطين: 1. \( a_j \geq 1 \) لكل \( j \geq 1 \). 2. \( 1 \leq k < \ell \) لكل \( k + a_k \neq \ell + a_\ell \). أثبت وجود عددين صحيحين موجبين \( b \) و\( N_9 \) بحيث \[\left| \sum_{j = m+1}^n (a_j - b) \right|\ \leq 1007^2\] لكل عددين صحيحين \( m \) و\( n \) يحققان \( N \leq m < n \).

Нека $\mathbb{R}$ е множеството от реалните числа. Да се намерят всички функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяващи \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] за всички реални числа $x$ и $y$.

设 $\mathbb{R}$ 是全体实数的集合, 求所有的函数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, 满足对任意实数 $x, y$ 均有\\ $f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x).$

今 $\mathbb{R}$ 代表所有實數所成的集合。找出所有函數 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 使得對任意實數 $x$ 與 $y$，\[ f(x + f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x) \] 均成立。

Zadatak 5. Neka je $\mathbb{R}$ skup realnih brojeva. Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ za koje vrijedi jednakost\[f(x+f(x+y)) + f(xy) = x+f(x+y)+yf(x)\] za sve realne brojeve $x i y$.

Nechť $\mathbb{R}$ označuje množinu všech reálných čísel. Určete všechny funkce $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, jež splňují rovnici $$f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)$$ pro všechna reálná čísla $x$ a $y$.

Lad $\mathbb{R}$ være mængden af de reelle tal. Bestem alle funktioner $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som opfylder ligningen \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] for alle reelle tal $x$ og $y$.

Zij $\mathbb{R}$ de verzameling reële getallen. Bepaal alle functies $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ die voldoen aan de vergelijking $$f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)$$ voor alle reële getallen $x$ en $y$.

Let $\mathbb{R}$ be the set of real numbers. Determine all functions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfying the equation \[ f \left( x + f(x + y) \right) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] for all real numbers $x$ and $y$.

Ülesanne 5. Olgu $\mathbb{R}$ kõigi reaalarvude hulk. Leida kõik funktsioonid $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, mis rahuldavad võrrandit \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] kõigi reaalarvude $x$ ja $y$ korral.

Olkoon $\mathbb{R}$ reaalilukujen joukko. Määritä kaikki sellaiset funktiot $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, jotka toteuttavat yhtälön \[ f ( x + f ( x + y) ) + f ( xy) = x + f ( x + y ) + y f ( x) \] kaikilla reaaliluvuilla $x$ ja $y$.

Soit $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels. Déterminer toutes les fonctions $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ qui vérifient l’équation \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] pour tous réels $x$ et $y$.

Es sei $\mathbb{R}$ die Menge der reellen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, die die Gleichung \[f(x+f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x)\] für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ erfüllen.

שאלה 5. לטפן $R^{\Rightarrow R}$ קורס הקבוע לאגטמודים שנמסילים. קורצים את כל הפוקושטות אממותר שלהם: $f(x) + f(x+y) + f(xy) = x + f(x+y)+yf(x)$ לכל זוג מספרים ממשיים כל $x, y$.

Jelölje $\mathbb{R}$ a valós számok halmazát. Határozzuk meg az összes olyan $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ függvényt, amelyre teljesül \[ f(x+f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x) \] minden $x, y$ valós számra.

Sia $\mathbb{R}$ l'insieme dei numeri reali. Determinare tutte le funzioni $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ che soddisfano l'equazione \ $$f(x + f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x)$$ \ per tutti i numeri reali $x$ e $y$.

$\mathbb{R}$ を実数全体からなる集合とする。関数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ であって、任意の実数 $x, y$ に対して \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] が成り立つものをすべて求めよ。

실수 전체의 집합을 $\mathbb{R}$이라 하자. 다음 조건을 만족하는 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$을 모두 구하여라: \newline 임의의 실수 $x, y$에 대하여 \newline $f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)$ \newline 이 성립한다.

5. uzdevums. Ar $\mathbb{R}$ apzīmēsim visu reālo skaitļu kopu. Noteikt visas funkcijas $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, kas apmierina vienādību \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] visiem reāliem skaitļiem $x$ un $y$.

Tegul $\mathbb{R}$ žymi visų realiųjų skaičių aibę. Raskite visas funkcijas $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, tenkinančias lygybę $$ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) $$ su visais realiaisiais skaičiais $x ir y$.

Со $\mathbb{R}$ е означено множеството на сите реални броеви. Одреди ги сите функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ кои го задоволуваат равенството $$ f(x + f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x) $$ за сите реални броеви $x$ и $y$.

La $\mathbb{R}$ betegne mengden av reelle tall. Bestem alle funksjoner $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som tilfredsstiller \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] for alle reelle tall $x$ og $y$.

Niech \( \mathbb{R} \) oznacza zbior wszystkich liczb rzeczywistych. Wyznaczyc wszystkie funkcje \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) spelniajace rownanie \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] dla wszystkich liczb rzeczywistych \( x \) i \( y \).

Seja $\mathbb{R}$ o conjunto dos números reais. Determine todas as funções $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfazendo a equação\\ \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] \ para todos os números reais $x$ e $y$.

Problema 5. Fie $\mathbb{R}$ mulțimea numerelor reale. Determinați toate funcțiile $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ care verifică relația \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Задача 5. Пусть $\mathbb{R}$ — множество всех действительных чисел. Найдите все функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющие равенству $$ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) $$ для всех действительных чисел $x$ и $y$.

Označme $ R$ množinu všetkých reálnych čísel. Určte všetky funkcie $f: R \to R$ také, že rovnvosť\ \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \]\ platí pre všetky reálne čísla $x, y$.

Naj bo $\mathbb{R}$ množica realnih števil. Določi vse funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, ki zadoščajo enakosti \[ f(x + f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x) \] za vsa realna števila $x$ in $y$.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)$$ para todos los números reales $x, y$.

Låt $\mathbb{R}$ vara mängden av alla reella tal. Bestäm alla funktioner $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ som uppfyller ekvationen \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x), \] för alla reella $x$ och $y$.

ให้ $ riangle$ เป็นเซตของจำนวนจริง $R$ จากฟังก์ชันที่กำหนด $f : R \rightarrow R$ ทั้งหมดที่สมดคล้องกับสมการ \newline \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] \newline สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $y$

Gerçel sayılar kümesini $ R $ ile gösterelim. Tüm $x$ ve $y$ gerçel sayıları için \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] koşulunu sağlayan tüm $f : R \to R $ fonksiyonlarını bulunuz.

Нехай $\mathbb{R}$ — множина всіх дійсних чисел. Знайдіть усі функції $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, що задовольняють рівність \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] для довільних дійсних чисел $x \ і \ y$.

Bài 5. Gọi $\mathbb{R}$ là tập hợp số thực. Hãy tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình \[ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) \] \với mọi số thực $x$ và $y$.

Misalkan $\mathbb{R}$ adalah himpunan semua bilangan real. Tentukan semua fungsi $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang memenuhi persamaan\n\n$$f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)$$\nuntuk semua bilangan real $x$ dan $y$.

Πρόβλημα 5. Έστω $\mathbb{R}$ το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $$f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x)$$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x$ και $y$.

2016

6

Probleem 4. ’n Versameling positiewe heelgetalle word {\em welriekkend} genoem as dit ten minste twee elemente bevat en elkeen van sy elemente ’n priemfaktor in gemeen het met ten minste een van die ander elemente. Laat $P(n) = n^2 + n + 1$. Wat is die kleinste moontlike waarde van die positiewe heelgetal $b$ só dat daar ’n nie-negatiewe heelgetal $a$ bestaan waarvoor die versameling \[\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots , P(a + b)\}\] welriekkend is?

Një bashkësi numrash të plotë pozitivë quhet \textit{aromatike} në qoftë se ajo përmban të paktën dy elementë dhe secili prej elementëve të saj ka një faktor të thjeshtë të përbashkët me të paktën një nga elementët e tjërë të saj. Jepet \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Cila është vlera më e vogël e mundshme e numrit të plotë pozitiv \( b \) të tillë që gjendet një numër i plotë jo-negativ \( a \) për të cilin bashkësia \[ \{ P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b) \} \] është aromatike?

المُعلَمة 4. نقولُ عن مجموعة أعداد صحيحة موجبة إنها مُعطرةْ إذا كانت تحوي عنصريْن أو أَكثرُ وكان كلّ عنصر فيها يتشارك مع عنصر آخر على الأقل في عامل أو أكثر. لكن \( P(n) = n^2 + n + 1 \). أوجد أصغر عدد صحيح موجب \( b \) بحيث يُوجد عدد صحيح غير سالب \( a \) والذي يجعل المجموعة التالية \[ \{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\} \] معطرة .

Множество от естествени числа се нарича ароматно, ако съдържа поне два елемента и всеки от неговите елементи има общ прост делител с поне един от останалите елементи. Нека $P(n) = n^2 + n + 1$. Да се намери минималното възможно естествено число $b$, за което съществува цяло неотрицателно число $a$, такова, че множеството $\{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\}$ е ароматно.

一个由正整数构成的集合称为劳香集, 若它至少有两个元素, 且其中每个元素都与其它元素中的至少一个元素有公共的素因子. 设 $P(n) = n^2 + n + 1$. 试问: 正整数最小为何值时能够存在一个非负整数 $a$, 使得集合 \[ \{P(a+1), P(a+2), \cdots, P(a+b)\} \] 是一个劳香集?

對一個由正整數所組成的集合而言，如果它至少包含兩個元素，且每一個元素至少與另一個元素有共同的質因數，則稱此集合為一個芳香集。設 $P(n) = n^2 + n + 1$。請找出最小的正整數 $b$ , 使得我們可以找到非負整數 $a$ , 讓集合 $\{ P(a+1), P(a+2), \ldots , P(a+b) \}$ 成為一個芳香集。

Skup prirodnih brojeva se naziva mirisnim ako sadrži barem dva elementa i ako svaki njegov element ima barem jedan zajednički prosti djelitelj s barem jednim od preostalih elemenata. Neka je \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Koja je najmanja moguća vrijednost prirodnog broja \( b \) takva da postoji nenegativni cijeli broj \( a \) za koji je skup \[ \{ P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b) \} \] mirisan?

Množinu kladných celých čísel nazveme voňavou, jestliže obsahuje alespoň dva prvky a libovolný její prvek má nějakého (i více) společného prvočíselného dělitele s alespoň jedním jiným jejím prvkem. Uvažme polynom $P(n) = n^{2} + n + 1$. Určete nejmenší celé kladné $b$, pro které existuje celé nezáporné $a$ tak, že množina $\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots , P(a + b)\}$ je voňavá.

En mængde af positive heltal kaldes velduftende hvis den består af mindst to elementer, og hvert af dens elementer har en primfaktor tilfælles med mindst et andet element i mængden. Lad \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Hvad er den mindst mulige værdi af det positive heltal \( b \) så der findes et ikke-negativt heltal \( a \) så mængden \[ \{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\} \] er velduftende?

Een verzameling positieve gehele getallen noemen we welrijkend als die uit minstens twee elementen bestaat en elk van de elementen een priemdeler gemeen heeft met een van de andere elementen. Definieer P(n) = n^2 + n + 1. \text{Wat is het kleinst mogelijke gehele getal } b \geq 1 \text{ zodanig dat er een geheel getal } a \geq 0 \text{ bestaat waarvoor de verzameling } \{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\} \text{ welrijkend is?}

A set of positive integers is called fragrant if it contains at least two elements and each of its elements has a prime factor in common with at least one of the other elements. Let $P(n) = n^2 + n + 1$. What is the least possible value of the positive integer $b$ such that there exists a non-negative integer $a$ for which the set \[ \{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\} \] is fragrant?

Positiivsete täisarvude hulka kutsutakse \textit{aromaatsed}, kui ta koosneb vähemalt kahest elemendist ning igal tema elemendil leidub ühine algarvuline tegur vähemalt ühe teise elemendiga. Olgu $P(n) = n^2 + n + 1$. Mis on positiivse täisarvu $b$ vähim võimalik väärtus, mille korral leidub mitte-negatiivne täisarv $a$ nii, et hulk \[ \{ P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b) \} \] on aromaatsed?

Positiivisista kokonaisluvuista koostuva joukko on sulutuksinen, jos se sisältää ainakin kaksi alkiota ja jokaisella sen alkiosta on yhteinen alkutekijä ainakin yhden toisen alkion kanssa. Olkoon \(P(n) = n^2 + n + 1\). Mikä on pienin mahdollinen positiivisen kokonaisluvun \(b\) arvo, jolla on olemassa ei-negatiivinen kokonaisluku \(a\) siten, että joukko \(\{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\}\) on sulutuksinen?

Un ensemble d'entiers naturels est dit parfumé s'il contient au moins deux éléments et si chacun de ses éléments possède un facteur premier en commun avec au moins l'un des autres éléments. Soit $P(n) = n^2 + n + 1$. Déterminer le plus petit entier strictement positif $b$ pour lequel il existe un entier positif $a$ tel que l'ensemble \[\{ P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b) \} \] soit parfumé.

Eine Menge von positiven ganzen Zahlen heiße duftend, wenn sie mindestens zwei Elemente enthält und jedes ihrer Elemente mit wenigstens einem anderen ihrer Elemente mindestens einen Primfaktor gemeinsam hat. Es sei $P(n) = n^2 + n + 1$. Man bestimme die kleinstmögliche positive ganze Zahl $b$, für die eine nicht-negative ganze Zahl $a$ existiert, sodass die Menge $\{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\}$\n\nduftend ist.

קבוצת שלמים חזקים בזכרת $r$ תיענת אם היא מצבעל עניי עברים לפחות, וכלל עבר יש מוחלק שני שותפים עם לפחות עובר העשרים האחרונים. יהא $n^2 + n + 1$ $=: (n), P$. מיור הלחויב ${a inom {a + 1}, P(a + 2), \dots, P(a + b)}$. לחויביום קיימים שלם א-שילי בכל תכולות — . היא יתכת??

4. Feladat Pozitív \ egészek \ egy \ halmazát \ illatosnak \ nevezzük, \ ha \ legalább \ 2 \ eleme \ van, \ és \ minden \\eleméhez \ található \ legalább \ egy \ olyan \ másik \ eleme, \ hogy \ a \ két \ elemnek \ van \ közös \ prímosztója. \ Legyen \\P(n) = n^2 + n + 1. \ Mi \ a \ legkisebb \ olyan \ pozitív \ egész \ b \ érték, \ amihez \ található \ egy \ nemnegatív \\a \ egész \ szám \ úgy, \ hogy \ a \\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\} \\halmaz \ illatos?

Un insieme di interi positivi si dice \'profumato\' se contiene almeno due elementi e ogni suo elemento ha un fattore primo in comune con almeno uno degli altri elementi. Sia $P(n) = n^2 + n + 1$. Determinare il più piccolo intero positivo $b$ per cui esiste un intero non-negativo $a$ tale che l’insieme $\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\}$ è profumato.

正の整数の集合が香り高いとは、少なくとも 2 つの元をもち、かつ任意の元について同じ素因数をもつ別の元が存在することをいう。$P(n) = n^2 + n + 1$ とする。このとき、正の整数 $b$ であって、集合 $\{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\}$ が香り高いような非負整数 $a$ が存在するもののうち、最小の値を求めよ。

양의 정수들로 이루어진 집합이 \(2\)개 이상의 원소를 가지며, 각 원소가 나머지 원소들 중 적어도 하나와 공통소인수를 가질 때, 이 집합을 향기로운 집합이라고 하자. \(P(n) = n^2 + n + 1\)이라 할 때, 다음 조건을 만족하는 양의 정수 중 가장 작은 것은 무엇인가? 다음 집합이 향기로운 집합이 되도록 하는 움이 아닌 정수 \(a\)가 존재한다. \(\{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\}\)

Par aromātisku sauksim tādu naturālu skaitļu kopu, kas sastāv no vismaz diviem elementiem un katram no tās elementiem ir vismaz viens kopīgs pirmreizinātājs ar vismaz vienu no pārējiem elementiem. Apzīmēsim \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Kāda ir mazākā iespējamā naturālā skaitļa \( b \) vērtība, pie nosacījuma, ka eksistē tāds nenegatīvs vesels skaitlis \( a \), kuram kopa \[ \{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\} \] ir aromātiska?

Natūraliųjų skaičių aibė yra vadinama kvapia, jei ji turi bent du elementus ir kiekvienas jos elementas turi bendrą pirminį daliklį su kokiu nors kitu tos aibės elementu. Tegul $P(n) = n^2 + n + 1$. Raskite mažiausią natūralųjį skaičių $b$, su kuriuo egzistuoja toks neneigiamas sveikasis skaičius $a$, kad aibė \[ \{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\} \] yra kvapi.

Едно множество составено од позитивни цели броеви го нарекуваме миризливо ако тоа содржи најмалку два елементи, и ако секој негов елемент има заеднички прост делител со најмалку еден од преостанатите негови елементи. Нека $P(n)=n^2+n+1$. Која е најмалата можна вредност на позитивниот цел број $b$ така што постои негативен цел број $a$ за кој множеството \[ \{P(a), P(a+1), \ldots, P(a+b) \} \] е миризливо?

En mengde positive heltall kalles duftende hvis den består av minst to elementer og hvert av elementene har en primtallsfaktor til felles med minst ett av de andre elementene. La \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Hva er det minste positive heltallet \( b \) slik at det finnes et ikke-negativt heltall \( a \) for hvilket \\{P(a+1), P(a+2), \ldots , P(a+b)\\}\\ er duftende?

Zbiór dodatnich liczb całkowitych nazwiemy aromatycznym, jeśli zawiera on co najmniej dwa elementy oraz każdy jego element ma wspólny dzielnik pierwszy z co najmniej jednym spośród pozostałych elementów tego zbioru. Niech \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Wyznaczyć najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą \( b \), dla której istnieje taka nieujemna liczba całkowita \( a \), że zbiór \( \{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\} \) jest aromatyczny.

Problema 4. Um conjunto de números inteiros positivos é chamado fragante se contém pelo menos dois elementos e cada um de seus elementos tem algum fator primo em comum com pelo menos um dos elementos restantes. Seja \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Determine o menor número inteiro positivo \( b \) para o qual exista algum número inteiro não negativo \( a \) tal que o conjunto \[ \{ P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b) \} \] seja fragante.

O mulțime de numere naturale nenule se numește _plăcută_ dacă ea este alcătuită din cel puțin două elemente și fiecare dintre elementele sale are cel puțin un factor prim comun cu un alt element al mulțimii. Fie \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Care este cea mai mică valoare posibilă a întregului strict pozitiv \( b \) pentru care există un număr natural \( a \) astfel încât mulțimea \[ \{ P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b) \} \] să fie plăcută?

Задача 4. Назовём множество, состоящее из положительных целых чисел, хрукикм, если оно состоит не менее, чем из двух элементов, и каждый его элемент имеет общий простой делитель хотя бы с одним из остальных элементов этого множества. Пусть $P(n) = n^2 + n + 1$. Найдите наименьшее положительное целое $b$, для которого найдётся неположительное целое $a$ такое, что множество \[ \{ P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b) \} \] является хрукикм.

Množinu kladných celých čísel nazveme voňavá, ak obsahuje aspoň dva prvky a každý jej prvok má s nejakým iným jej prvkom aspoň jedného spoločného prvočíselného deliteľa. Nech $P(n) = n^2 + n + 1$. Nájdite najmenšie kladné celé číslo $b$ také, že existuje nezáporné celé číslo $a$ také, že množina \[ \{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\} \] je voňavá.

Naloga 4. Množica naravnih števil se imenuje dišeča, če vsebuje vsaj dva elementa in ima vsak izmed njenih elementov skupen praštevilski delitelj z vsaj enim od njenih preostalih elementov. Naj bo \(P(n) = n^2 + n + 1\). Koliko je lahko najmanjša vrednost naravnega števila \(b\), da obstaja nenegativno celo število \(a\), tako da je množica \\ \(\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\}\) dišeča?

Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si contiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de los elementos restantes. Sea $P(n) = n^2 + n + 1$. Determinar el menor número entero positivo $b$ para el cual existe algún número entero no negativo $a$ tal que el conjunto $\{P(a+1), P(a+2), \ldots , P(a+b)\}$ es fragante.

En mängd av positiva heltal kallas ljulvig om den innehåller minst två element, och varje element i mängden har en primtalsfaktor gemensam med minst ett annat element i mängden. Låt \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Vilket är det minsta positiva heltal \( b \), sådant att det finns ett icke-negativt heltal \( a \) för vilket mängden \[ \{ P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b) \} \] är ljulvig?

โจทย์ข้อ 4. เศษของจำนวนเต็มบวกเรียกว่า ห่อม ถ้าหากมีสมาชิกอย่างน้อยสองตัว และสมาชิกแต่ละตัวมีการประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะกับสมาชิกตัวอื่นในเศษเดียวกันน้อยที่สุดเท่าผลกับให้ \( P(n) = n^2 + n + 1 \) จงหารจำนวนเต็มบวก \( a \) ที่ย่อที่สุดที่เป็นไปได้ที่ทำให้มีจำนวนเต็มที่ไม่เป็นไปตาม \( a \) ซึ่ง \[{\{P(a+1), P(a+2), \ldots, P(a+b)\}}] \text{ เป็นข้อสอบทมอบ }\}

Pozitif tam sayılardan oluşan en az iki elemanlı bir kümede her eleman en az bir diğer elemanla ortak asal bölene sahipse, bu kümeye mis gibi diyelim. \( P(n) = n^2 + n + 1 \) olsun. \( b \) bir pozitif tam sayı olmak üzere \[\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots , P(a + b)\}\] kümesi mis gibi olacak şekilde bir \( a \) negatif olmayan tam sayısı bulunuyorsa, \( b \) nin alabileceği en küçük değer nedir?

Задача 4. Множина натуральних чисел називається тенденційною, якщо вона містить не менше двох елементів, і кожний елемент цієї множини має спільний простий дільник з принаймні одним іншим елементом цієї множини. Нехай $P(n) = n^2 + n + 1$. Для якого найменшого натурального числа $b$ існує ціле невід'ємне число $a$ таке, що множина $\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\}$ є тенденційною?

Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập đó có ít nhất hai phần tử và mỗi phần tử của nó có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại. Đặt $P(n) = n^2 + n + 1$. Hãy tìm số nguyên dương $b$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm $a$ để tập hợp $\{P(a + 1), P(a + 2), \ldots , P(a + b)\}$ là một tập hương.

Suatu himpunan bilangan asli dikatakan harum jika memiliki setidaknya dua anggota dan masing-masing anggota mempunyai faktor prima persekutuan dengan setidaknya satu anggota lainnya. Misalkan \( P(n) = n^2 + n + 1 \). Berapakah bilangan asli terkecil \( b \) yang mungkin agar terdapat suatu bilangan bulat non-negatif \( a \) sehingga himpunan \( \{ P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b) \} \) harum?

Ένα σύνολο θετικών ακεραίων αριθμών ονομάζεται εύσυμο, αν αυτό περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία και κανένα από τα στοιχεία του έχει έναν κοινό πρώτο παράγοντα με ένα τουλάχιστον από τα υπόλοιπα στοιχεία του. Έστω \(P(n) = n^2 + n + 1\). Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του θετικού ακεραίου \(b\) έτσι ώστε να υπάρχει ένας μη αρνητικός ακέραιος \(a\) για τον οποίο το σύνολο \( \{P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b)\}\) είναι εύσυμο;

2016

2016

Probleem 5. Die vergelyking \[(x - 1)(x - 2)\cdots(x - 2016) = (x - 1)(x - 2)\cdots(x - 2016)\] word op die bord geskryf, met 2016 lineêre faktore aan elke kant. Wat is die kleinste waarde van $k$ waarvoor dit moontlik is om presies $k$ van die 4032 lineêre faktore uit te vee só dat ten minste een faktor aan elke kant oorbly en die nuwe vergelyking geen reële oplossings het nie.

Në dërrasën e zezë, shkruhet ekuacioni \[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)\] i cili ka 2016 faktorë linearë në secilën nga të dyja anët e tij. Cila është vlera më e vogël e mundshme e \( k \) për të cilën është e mundur të fshihen ekzaktësisht \( k \) prej këtyre \( 4032 \) faktorëve linearë në mënyrë të tillë që të neglct et paktën një faktor në secilën nga dy anët e tij dhe ekuacioni që rezulton nuk ka rrënjë reale?

المُعلَمة 5. تمّ كتابة الُمُعادَلة \[(x-1)(x-2)\ldots(x-2016)=(x-1)(x-2)\ldots(x-2016)\] على السُّطُورة، والّتي تحوي في كل طرف مِن طَرَفَيها على \( 2016 \) عاملًا حقيقيًا. ما هي أصغر قيمة مُمكنة للعَدد \( k \) الّتي تُجعلها مُمكنة؟ بما أنها مَن هذه العوامل الحقيقية الّتي عددها \( 4032 \) بحيث يَكْتَب على الأقل على كل طرف وَتكون المُعادلة الجديدة بدون جذور حقيقية؟

На дъската е написано уравнението $(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)$ с по 2016 линейни множителя от всяка страна. Да се намери минималната възможна стойност на $k$, за която е възможно да се изтрият точно $k$ от всичките 4032 линейни множителя така, че да остане поне по един множител от всяка страна и полученото уравнение да няма реални корени.

在黑板上写有方程 \[ (x-1)(x-2)\cdots (x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots (x-2016), \] 其中等号两边各有 $2016$ 个一次因式. 试问: 正整数最小为何值时, 可以在等号两边擦去这 $4032$ 个一次因式中的恰好 $k$ 个, 使得等号每一边都至少留下一次因式, 且所得列的方程没有穷数根?

黑板上寫著方程式 \[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016),\] 其中等號兩邊各有 $2016$ 個一次因式。請找出最小的正整數 $k$ , 使得：在這 $4032$ 個一次因式中，我們能夠給每一括號上面的方係數 $\pm 1$ ，讓等號兩邊至少各留下一個一次因式，且所得到的方程式沒有實數解。

Jednadžba \[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)\] je napisana na ploči, pri čemu se sa svake strane nalazi 2016 linearnih faktora. Koja je najmanja moguća vrijednost broja \( k \) za koju je moguće izbrisati točno \( k \) od ova 4032 linearna faktora tako da sa svake strane ostane barem jedan faktor i da dobivena jednadžba nema realnih rješenja?

Na tabuli je napsána rovnice\\ \[\begin{align*} (x - 1)(x - 2)\cdots(x - 2016) &= (x - 1)(x - 2)\cdots(x - 2016) \end{align*}\] sestávající z 2016 lineárních členů na každé straně. Určete minimální přirozené $k$, pro které je možné smazat právě $k$ z těchto 4032 lineárních členů tak, že na každé straně zůstane alespoň jeden člen a výsledná rovnice nebude mít reálné řešení.

Ligningen \[(x-1)(x-2)\cdots (x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots (x-2016),\] som står skrevet på en tavle, har 2016 lineære faktorer på hver sin side. Hvad er den mindste positive værdi af \( k \) for hvilken det er muligt at slette præcis \( k \) af disse 4032 lineære faktorer så der er mindst en faktor tilbage på hver side, og så den ligning som står tilbage, ikke har en reel løsning?

Op een krijtbord staat de vergelijking (x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016) \text{ met aan beide kanten van het gelijkheidsteken 2016 factoren van graad 1. Wat is de kleinst mogelijke waarde van } k \text{ waarvoor het mogelijk is om precies } k \text{ van deze 4032 factoren van graad 1 uit te vegen zodanig dat aan beide kanten minstens een factor overblijft en de nieuwe vergelijking geen reële oplossingen heeft?}

The equation \[(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)\] is written on the board, with 2016 linear factors on each side. What is the least possible value of $k$ for which it is possible to erase exactly $k$ of these 4032 linear factors so that at least one factor remains on each side and the resulting equation has no real solutions?

Tahvlile on kirjutatud võrrand $$(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016),$$ mille kummalgi pool on 2016 lineaarset tegurit. Mis on vähim võimalik $k$ väärtus, mille korral saab neist 4032 lineaarsetest teguritest kustutada täpselt $k$ nii, et kummalegi poolele jääb alles vähemalt üks tegur ning tekkival võrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid?

Liitutaululle kirjoitetaan yhtälö \[(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016),\] missä kummallakin puolella on 2016 lineaarista tekijää. Mikä on pienin mahdollinen \(k\), jolla on mahdollista pyyhkiä pois täsmälleen \(k\) kappaletta näistä 4032 lineaarisesta tekijästä siten, että yhtälön kummallekin puolelle jää jäljelle ainakin yksi tekijä ja että lopputuloksena syntyvällä yhtälöllä ei ole reaalilukuratkaisuja?

L'équation \[(x-1)(x-2) \cdots (x-2016) = (x-1)(x-2) \cdots (x-2016)\] est écrite sur un tableau, avec 2016 facteurs linéaires dans chaque membre. Déterminer le plus petit entier positif $k$ pour lequel il est possible d'effacer exactement $k$ de ces 4032 facteurs de sorte que l'équation obtenue ait au moins un facteur dans chaque membre, mais n'ait aucune solution réelle.

Die Gleichung\n\n$$(x - 1)(x - 2)\cdots(x - 2016) = (x - 1)(x - 2)\cdots(x - 2016),$$\n\nmit 2016 Linearfaktoren auf jeder Seite, steht auf einer Tafel. Man bestimme das kleinstmögliche $k$, für das genau $k$ dieser 4032 Linearfaktoren gelöscht werden können, sodass auf jeder Seite mindestens ein Linearfaktor verbleibt und die entstehende Gleichung keine reelle Lösung besitzt.

על הלוח כתובה המשוואה \[ P(a + 1) , P(a + 2) , \dots , P(a + b) \to \P(a+1), P(a+2), \dots , P(a+b) , \{a^2}{n} \to \P(a^2)(x-1)(x-2) \cdots (x-2016)= (x-1)(x-2) \cdots (x-2016) \] בתה $2016$ נוערים מבחקרים בכל אופן, מהזו ערך גנרמלית האשפיר של $k$ עובר ועליון ניתן ללהות מורך $4032$ הוגבלוים והלקריארים הללו, כך שבכל אופן צריך לפחות גורים אחד, ולמעשואה המקבלפת לא יז מי הרבורה התהורף?

5. Feladat Felírjuk \ a \ táblára \ az \\ (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) \\egyenletet, \ ahol \ mindkét \ oldalon \ 2016 \ lineáris \ faktor \ szerepel. \ Mi \ az \ a \ legkisebb \ pozitív \ k \ érték, \\amelyre \ teljesül \ az, \ hogy \ elhagyhatunk \ e \ közül \ a \ 4032 \ lineáris \ faktor \ közül \ pontosan \ k \ darabot \ úgy, \\hogy \ mindkét \ oldalon \ maradjon \ legalább \ egy \ lineáris \ faktor, \ és \ az \ adódó \ egyenletnek \ ne \ legyen \ valós \\gyöke?

Sulla lavagna è scritta l’equazione \[(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)\] che ha 2016 fattori lineari in ogni lato. Determinare il più piccolo valore di $k$ per cui è possibile cancellare esattamente $k$ di questi 4032 fattori lineari in maniera tale che resti almeno un fattore per lato e l’equazione risultante non abbia soluzioni reali.

両辺にそれぞれ 2016 個の 1 次の因数を持つ方程式 $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$$が黒板に書かれている。これらの 4032 個の 1 次の因数のうちいくつかをうまく選んで消すことで、次の 2 条件をみたすようにしたい: - 両辺にそれぞれ少なくとも 1 つずつ因数が残る。 - できあがった方程式は、実数解をもたない。 このようなことが可能な正の整数 $k$ のうち、最小の値を求めよ。

양변이 각각 \(2016\)개의 일차식으로 이루어진 다음 방정식이 칠판에 쓰여져 있다. \((x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)\)

Uz tāfeles uzrakstīts vienādojums \[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016),\] ar 2016 lineāriem reizinātājiem katrā pusē. Kāda ir mazākā iespējamā skaitļa \( k \) vērtība, ja zināms, ka ir iespējams nodzēst tieši \( k \) no šiem 4032 lineāriem reizinātājiem tā, lai katrā pusē paliktu vismaz viens reizinātājs un gala vienādojumam nebūtu atrisinājumu reālos skaitļos?

Lentoje užrašyta lygtis \[(x-1)(x-2) \cdots (x-2016) = (x-1)(x-2) \cdots (x-2016),\] turinti po $2016$ tiesinių dauginiklių kiekvienoje pusėje. Raskite mažiausią skaičių $k$, kad būtų įmanoma nutrinti lygiai $k$ iš visų $4032$ tiesinių dauginiklių taip, jog abiejose pusėse liktų bent po vieną dauginiklį ir gautoji lygtis neturėtų realiųjų sprendinių.

Равенката $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$$ е запишана на табла, и има 2016 линеарни множители на секоја страна од равенството. Која е најмалата можна вредност за $k$ за која е можно да се избришат точно $k$ од овие 4032 нејзини линеарни множители, при што на секоја страна на равенството мора да остане најмалку еден линеарен множител, а притоа новодобиената равенка да нема реални решенија?

Ligningen \[ (x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016) \] skrives på en tavle, med 2016 lineære faktorer på hver side. Hva er den minste mulige verdien av \( k \) for hvilken det er mulig å viske ut nøyaktig \( k \) av disse 4032 lineære faktorene slik at det minst én faktor står igjen på hver side, men den resulterende ligningen ikke har noen reelle løsninger?

Na tablicy napisano równanie \((x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016),\) gdzie każda ze stron zawiera 2016 czynników liniowych. Wyznaczyć najmniejszą liczbę \( k \), dla której z tablicy można zetrzeć dokładnie \( k \) spośród wszystkich 4032 czynników liniowych tak, aby po każdej ze stron pozostał co najmniej jeden czynnik oraz uzyskane równanie nie miało rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Problema 5. No quadro está escrita a equação \[ (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) \] que tem 2016 fatores lineares de cada lado. Determine o menor valor possível de \( k \) para o qual é possível apagar exatamente \( k \) destes 4032 fatores lineares, de modo que fique pelo menos um fator de cada lado e que a equação resultante não admita nenhuma solução real.

Pe tablă este scrisă ecuația \[ (x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016), \] cu 2016 factori liniari în fiecare membru. Care este cea mai mică valoare a lui \( k \) pentru care este posibil să ștergem exact \( k \) dintre acești 4032 de factori liniari, astfel încât să rămână cel puțin un factor în fiecare membru și ecuația rezultată să nu aibă nicio soluție reală?

Задача 5. На доске записано уравнение: $$(x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016).$$ Таким образом, в каждой его части записано по 2016 линейных сомножителей. Найдите наименьшее возможное значение $k$, при котором можно стереть ровно $k$ из этих 4032 линейных сомножителей так, чтобы в каждой части осталось хотя бы по одному из сомножителей и получившееся уравнение не имело вещественных корней.

Na tabuli je napísaná rovnica \[(x-1)(x-2) \cdots (x-2016) = (x-1)(x-2) \cdots (x-2016)\] s $2016$ lineárnymi dvojčlenmi na každej strane. Nájdite najmenšiu hodnotu $k$, pre ktorú je možné vymazať práve $k$ z týchto $4032$ dvojčlenov tak, že na každej strane ostane aspoň jeden dvojčlen a výsledná rovnica nebude mať žiaden reálny koreň.

Naloga 5. Na tabli je napisana enačba \[(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)\] z \(2016\) linearnimi členi na vsaki strani. Koliko je najmanjša možna vrednost števila \(k\), tako da lahko izbrišemo natanko \(k\) od teh \(4032\) linearnih členov in na vsaki strani ostane vsaj en člen, dobljena enačba pa nima nobene realne rešitve?

En la pizarra está escrita la ecuación $(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)$ que tiene $2016$ factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

Ekvationen \[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)\] är skriven på en tavla, med 2016 linjära faktorer på varje sida om likhetstecken. Vilket är det minsta tal \( k \), för vilket det är möjligt att radera exakt \( k \) av de 4032 linjära faktorerna, på ett sådant sätt att det är kvar minst en faktor på varje sida, och att den nya ekvationen inte har några reella rötter?

โจทย์ข้อ 5. สมการ \[ (x-1)(x-2) \cdots (x-2016) = (x-1)(x-2) \cdots (x-2016) \] ถูกเขียนอยู่บนกระดาน สมการนี้มีตัวประกอบยาวเส้นหนึ่งขาดหนึ่งคู่ครึ่งข้างตรงของสมการจนจากแห่ง \( k \) ที่น้อยที่สุดที่ให้สมการตอบถูกอยู่บนกระดาน และสมการไม่เป็นจำนวนจนจริง หมายเหตุ พิสูจน์ว่ามีค่าเช่นเดียวกับหลังกรณีที่เป็นค่าแบบปกราย สมการที่เฟ(()}

Tahtaya \[(x - 1)(x - 2)\cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2)\cdots (x - 2016)\] denklemi yazılmıştır (denklemin her iki tarafında 2016 şar lineer çarpan bulunuyor). Bu 4032 lineer çarpandan tam olarak \( k \) tanesi, her iki tarafta en az birer çarpan kalacak ve geriye kalan denklemin hiç reel çözümü olmayacak şekilde, silinebiliyorsa \( k \) nin alabileceği en küçük değer nedir?

Задача 5. Рівняння \[(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)\] записане на дошці, ліва і права частини якого містять по $2016$ лінійних множників. Знайдіть найменше можливе значення $k$, для якого можна витерти з дошки рівно $k$ з цих $4032$ лінійних множників так, що хоча б один множник залишиться у кожній частині рівняння, і рівняння, що залишилось, ще має дійсних коренів?

Người ta viết lên bảng phương trình $$(x - 1)(x - 2)\cdots(x - 2016) = (x - 1)(x - 2)\cdots(x - 2016),$$ với 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để có thể xóa đi đúng $k$ nhân tử trong số 4032 nhân tử bậc nhất nếu trên sao cho ở mỗi vế còn lại ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.

Persamaan \[(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)\] ditulis di papan, dengan 2016 faktor linear pada masing-masing sisi. Berapakah bilangan asli terkecil \( k \) supaya dimungkinkan untuk menghapus tepat \( k \) dari 4032 faktor linear tersebut sedemikian sehingga masing-masing sisi memiliki setidaknya satu faktor dan persamaan yang tersisa tidak mempunyai solusi real?

Η εξίσωση \[ (x-1)(x-2) \cdots (x-2016) = (x-1)(x-2) \cdots (x-2016) \] γράφεται στον πίνακα, με 2016 γραμμικούς παράγοντες σε κάθε μέλος της. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του \(k\) για την οποία είναι δυνατόν να σβήσουμε ακριβώς \(k\) από τους 4032 γραμμικούς παράγοντες των δύο μελών της εξίσωσης έτσι ώστε ένας τουλάχιστον παράγοντας να μείνει σε κάθε μέλος και η εξίσωση που προκύπτει να μην έχει πραγματικές λύσεις;

2017

f(x)=0, f(x)=x-1, f(x)=1-x

Laat $\mathbb{R}$ die versameling van re\"ele getalle wees. Bepaal alle funksies $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sodat, vir alle re\"ele getalle $x$ en $y$, \[f(f(x)f(y)) + f(x + y) = f(xy).\]

Le të jetë $\mathbb{R}$ bashkësia e numrave realë. Të gjenden të gjitha funksionet $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ të tilla që, për çdo dy numra realë $x$ dhe $y$, \[f \left( f(x) f(y) \right) + f(x + y) = f(xy).\]

\text{المسألة 2. } \text{لكن } f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ مجموعة الأعداد الحقيقية، أوجد جميع الدوال } f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ بحيث} \\ f(f(x)/g(y)) + f(x + y) = f(xy) \\ \text{لكل الأعداد الحقيقية } x, y. \\

Нека $\mathbb{R}$ е множеството на реалните числа. Да се намерят всички функции $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, такива, че за всеки две реални числа $x$ и $y$ е изпълнено равенството \[ f ( f(x) f(y) ) + f(x + y) = f(xy). \]

设只是全体实数构成的集合. 求所有的函数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, 使得对于任意实数 $x$ 和 $y$, 都有 \[ f \left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). \]

令 $\mathbb{R}$ 表示所有實數所成的集合。試求所有函數 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 滿足對於所有實數 $x$ 和 $y$ $$ f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy) $$ 皆成立。

Neka je \(\mathbb{R}\) skup svih realnih brojeva. Odredi sve funkcije \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) takve da za sve realne brojeve \(x\) i \(y\) vrijedi \[ f\big(f(x)f(y)\big) + f(x + y) = f(xy). \]

Nechť $\mathbb{R}$ značí množinu reálných čísel. Nalezněte všechny funkce $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takové, že pro všechna reálná čísla $x$ a $y$ platí $$f\left(f(x)f(y)\right) + f(x + y) = f(xy).$$

Lad $\mathbb{R}$ være mængden af reelle tal. Bestem alle funktioner $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ så \[ f \left(f(x)f(y)\right) + f(x + y) = f(xy) \] for alle reelle tal $x$ og $y$.

Zij $\mathbb{R}$ de verzameling reële getallen. Bepaal alle functies $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ zodanig dat, voor alle reële getallen $x$ en $y$, \[ f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). \]

Let $\mathbb{R}$ be the set of real numbers. Determine all functions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ such that, for all real numbers $x$ and $y$, $$ f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). $$

Olgu $\mathbb{R}$ kõigi reaalarvude hulk. Leidke kõik sellised funktsioonid $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, et kõigi reaalarvude $x$ ja $y$ korral \[ f \left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). \]

Olkoon \( \mathbb{R} \) reaalilukujen joukko. Määritä kaikki sellaiset funktiot \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) että kaikille reaaliluvuille \( x \) ja \( y \) pätee\[ f \left( f(x)f(y) \right) + f(x + y) = f(xy). \]

Soit $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. Déterminer toutes les fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que, pour tous réels $x$ et $y$ : \[ f \left( f(x) f(y) \right) + f(x + y) = f(xy). \]

Es sei $\mathbb{R}$ die Menge der reellen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, so dass für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt \[ f \left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). \]

תהא $R$ קבוצת המספרים הממשיים. נמצאו את כל הפונקציות $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ המקיימות לכל $x, y$ ממשיים: $$f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy).$$

Legyen \( \mathbb{R} \) a valós számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) függvényt, amire minden valós \( x, y \) szám esetén teljesül \[ f\left(f(x)f(y)\right) + f(x+y) = f(xy). \]

Sia $\mathbb{R}$ l’insieme dei numeri reali. Determinare tutte le funzioni $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tali che, per tutti i numeri reali $x$ e $y$,\\ $$f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy).$$

\mathbb{R} を実数全体からなる集合とする. 関数 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} であって, 任意の実数 x, y に対して \[ f \left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy) \] が成り立つものをすべて求めよ.

\(\mathbb{R}\)은 실수 전체의 집합이다. 다음 조건을 만족하는 함수 \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)을 모두 구하여라. 임의의 실수 \(x, y\)에 대하여, \[f\left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy)\]

Ir reālo skaitļu kopa. Atrodiet visas funkcijas $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ kurām, visiem reāliem $x$ un $y$, ir spēkā: \[f\left(f(x)f(y)\right) + f(x+y) = f(xy).\]

2 uždavinys. Tegul \mathbb{R} žymi visų realiųjų skaičių aibę. Raskite visas funkcijas \; f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, tenkinančias lygybę \[ f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy) \] su visais realiaisiais skaičiais x ir y.

Нека $\mathbb{R}$ е множеството на реални броеви. Определи ги сите функции $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, такви што за секои реални броеви $x$ и $y$ е исполнето $$f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy).$$

La $\mathbb{R}$ betegne mengden av reelle tall. Bestem alle funksjoner $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at $$f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy)$$ for alle reelle tall $x$ og $y$.

Przez $\mathbb{R}$ oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi równość \[f ( f(x) f(y) ) + f ( x + y ) = f(xy).\]

Seja $\mathbb{R}$ o conjunto dos números reais. Determine todas as funções $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tais que, para quaisquer números reais $x$ e $y$, \[ f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). \]

Fie $\mathbb{R}$ mulțimea numerelor reale. Determinați toate funcțiile $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ astfel încât, pentru orice numere reale $x$ și $y$, \[f\left(f(x)f(y)\right) + f(x + y) = f(xy).\]

\textbf{Задача 2.} \; \text{Пусть } \mathbb{R} \text{ – множество всех вещественных чисел. Найдите все функции } f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \text{такие, что для всех вещественных } x \text{ и } y \text{ выполнено равенство} \\ f \left( f(x)^{f(y)} \right) + f(x+y) = f(xy).

Úloha 2. Označme $\mathbb{R}$ množinu reálnych čísel. Určte všetky funkcie $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ také, že pre všetky reálne čísla $x$ a $y$ platí \[f \left( f(x) f(y) \right) + f(x + y) = f(xy).\]

Naj bo $\mathbb{R}$ množica realnih števil. Določi vse funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, za katere za vsa realna števila $x$ in $y$ velja \[ f\left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). \]

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$, \[ f \left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). \]

Låt $\mathbb{R}$ vara mängden av de reella talen. Bestäm alla funktioner $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sådana att \[ f \left( f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy) \] för alla reella tal $x$ och $y$.

โจทย์ข้อ 2. \text{ ให้ } \mathbb{R} \text{ เป็นเซตของจำนวนจริง จงหาฟังก์ชัน } f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ ทั้งหมดที่ทำให้} \[ f(f(x)f(y)) + f(x + y) = f(xy) \] \text{สำหรับทุกจำนวนจริง } x \text{ และ } y

Gerçel sayılar kümesi $\mathbb{R}$ ile gösterilsin. Tüm $x, y$ gerçel sayıları için $$ f \left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy)$$ eşitliğini sağlayan tüm $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını bulunuz.

Задача 2. Нехай $\mathbb{R}$ – множина всіх дійсних чисел. Знайдіть усі функції $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такі, що для всіх дійсних $x$ і $y$ справджується рівність $$ f\Big( f(x) f(y) \Big) + f(x+y) = f(xy). $$

\text{Bài 2. Kí hiệu } \mathbb{R} \text{ là tập số thực. Hãy tìm tất cả các hàm số } f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ sao cho với mọi số thực } x \text{ và } y,} \[ f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). \]

Misalkan $\mathbb{R}$ menyatakan himpunan bilangan real. Tentukan semua fungsi $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sehingga untuk semua bilangan real $x$ dan $y$, \[f\left (f(x)f(y) \right) + f(x+y) = f(xy).\]

Έστω \( \mathbb{R} \) το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) που είναι τέτοιες, ώστε για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \( x \) και \( y \), να ισχύει: \( f \left(f(x) f(y)\right) + f(x+y) = f(xy) \).

2018

100

’n Roosterpunt is enige punt \( (x,y) \) in die koördinaatvlak sodat \( x \) en \( y \) beide positiewe heelgetalle is wat nie groter is as 20 nie. Aanvanklik is elkeen van die 400 roosterpunte onbeset. Amy en Ben maak beurte om klippe op roosterpunte te plaas, en Amy gaan eerste. Op haar beurt plaas Amy ’n nuwe rooi klip op ’n onbesette roosterpunt sodat die afstand tussen enige twee roosterpunte wat deur rooi klippe beset is nie gelyk is aan \( \sqrt{5} \) nie. Op sy beurt plaas Ben ’n nuwe blou klip op enige onbesette roosterpunt. (’n Roosterpunt wat deur ’n blou klip beset is, mag op enige afstand van enige ander besette roosterpunt wees.) Hulle stop so gou as ’n speler nie ’n klip kan plaas nie. Vind die grootste \( K \) sodat Amy kan verseker dat sy ten minste \( K \) rooi klippe plaas, maak nie saak hoe Ben sy blou klippe plaas nie.

Një vendndodhje është çdo pikë \( (x, y) \) në plan e tillë që \( x \) dhe \( y \) janë që të dy numra të plotë pozitivë më të vegjël ose të barabartë me 20. Fillimisht, secila nga 400 vendndodhjet është e lirë. Ana dhe Beni luajnë njëri pas tjetrit sipas radhës duke vendosur gurë dhe lëvizja e parë kryhet nga Ana. Kur ka radhën e saj, Ana vendos një gur të ri me ngjyrë të kuqe në një vendndodhje të lirë në mënyrë të tillë që distanca ndërmjet çdo dy vendndodhjeve jo të lira që përmbajnë gurë me ngjyrë të kuqe nuk është e barabartë me \( \sqrt{5} \). Kur ka radhën e tij, Beni vendos një gur të ri me ngjyrë blu në një vendodhje të lirë të çfarëdoshme. (Një vendndodhje jo e lirë në të cilën është vendosur një gur me ngjyrë blu është e lejuar të jetë në distancë të çfarëdoshme nga çdo vendndodhje tjetër jo e lirë). Ata ndalojnë të kryejnë lëvizje në momentin kur një prej lojtarëve nuk mund të vendosë më gurë. Gjeni vlerën më të madhe të \( K \) të tillë që Ana mund të garantojë që ajo vendos të paktën \( K \) gurë me ngjyrë të kuqe, sido që të vendos Beni gurët e tij me ngjyrë blu.

نعرف الموقع بأنّه نقطة $(x, y)$ في المستوي بحيث $x, y$ عددان صحيحان موجبان أقل من أو يساوي 20. بداية كل الموقع 400 حالة. أحلام و بدر يتبادلان الأدوار في اللعب حيث البداية لأحلام. عندها يأتي الدور على أحلام إذا قامت بوضع حجر جديد لونه أبيض على موقع خالٍ بحيث أن السّالمة بين أي موقعين يحتويان حجراً آخرًا تساوي $\sqrt{5}$. عندما يأتي الدور على بدر فإنه يضع حجراً جديداً لونه أزرق في أي موقع خالٍ (لا توجد قيود على المسافة من موقع الحجر الأزرق الجديد، أو أي موقع آخر فيه أحجار مهما كان اللون). اللعبة تنتهي عندما لا يستطيع أي من اللاعبين أن يضيف حجراً جديداً. أوجد قيمة العدد $K$ حيث تُضمن أحلام أنها تستطيع أن تضع على الأقل $K$ من الأحجار البيضاء بغضّ النظر عن الأماكن التي يضع فيها بدر الأحجار الزرقاء.

Задача 4. Точка \( (x, y) \) в равнината, където \( x \) и \( y \) са естествени числа, ненадминаващи 20, се нарича възел. Първоначално всичките 400 възела са незаети. Мария и Иван последователно правят ходове, поставяйки камъни във възлите, като Мария започва първа. Когато Мария е на ход, тя поставя нов червен камък в незает възел така, че разстоянието между кои да е два възела, заети от червени камъни, да не е равно на \( \sqrt{5} \). Когато Иван е на ход, той поставя нов син камък в незает възел. (Възел, зает от син камък, може да е на всякакво разстояние от зает възел.) Играта свършва, когато някой от играчите не може да направи ход. Да се намери максималното число \( K \), за което Мария може да постави поне \( K \) червени камъка, какт

我们所谓一个位置是指直角坐标平面上的一个点\((x, y)\)，其中\(x, y\)都是不超过20的正整数。最初时，所有400个位置都是空的。甲乙两人轮流摆放石子，由甲先进行。每次轮到甲时，他在一个空的位置上摆上一个新的红色石子，要求任意两个红色石子所在位置之间的距离都不等于5。每次轮到乙时，他在任意一个空的位置上摆上一个新的蓝色石子。（蓝色石子所在位置与其它石子所在位置之间距离可以是任意值。）如此这般进行下去直至某个人无法再摆放石子。试确定最大的整数\(K\)，使得无论乙如何摆放蓝色石子，甲总能保证至少摆放\(K\)个红色石子。

平面上的一個點 \( (x, y) \)，若 \( x, y \) 都是小於或等於 20 的正整數，被稱作網格。一開始，全部 400 個網格都是空的。甲和乙兩人輪流放石頭。先由甲開始。在甲的回合，甲將一個新的紅石頭放到一個空的網格上，使得任意兩個紅石頭的網格距離都不是 \( \sqrt{5} \)。而輪到乙時，乙將一個新的藍石頭放到任何一個空的網格上（放藍石頭的網格與其他放石頭的網格之間的距離，不管是多少都可以）。直到其中一個人不能再放石頭時，他們就停止。求出最大的 \( K \) 使得不論乙怎麼放藍石頭，甲都保證至少可放 \( K \) 個紅石頭。

Pozicija je bilo koja točka \((x, y)\) u ravnini takva da su \(x\) i \(y\) prirodni brojevi manji ili jednaki od 20. Na početku, svaka od 400 pozicija je slobodna. Ana i Borna igraju igru u kojoj naizmjenično povlače poteze, pri čemu Ana igra prva. U svakom svom potezu Ana postavlja novi crveni kamenčić na slobodnu poziciju tako da je udaljenost bilo koje dvije pozicije na kojima se nalaze crveni kamenčići različita od \(\sqrt{5}\). U svakom svom potezu Borna postavlja novi plavi kamenčić na neku slobodnu poziciju. (Pozicija na kojoj se nalazi plavi kamenčić može biti na bilo kojoj udaljenosti od drugih pozicija na kojima se nalazi neki kamenčić.) Igra se završava kad neki igrač više ne može povući potez. Odredi najveći broj \(K\) takav da Ana sigurno može postaviti barem \(K\) crvenih kamenčića, bez obzira na to kako Borna postavlja svoje plave kamenčiće.

Úloha 4. Značka je bod $(x, y)$ v rovině takový, že $x$ a $y$ jsou kladná celá čísla nepřevyšující 20. Na začátku je všech 400 značek prázdných. Amálka a Budulínek na ně střídavě pokládají kamínky, přičemž Amálka začíná. Amálka ve svém tahu položí nový červený kamínek na prázdnou značku tak, aby vzdálenost každých dvou značek s červenými kamínky byla různá od $\sqrt{5}$. Budulínek ve svém tahu položí nový modrý kamínek na jakoukoli prázdnou značku. (Značka s modrým kamínkem může mít jakékoli vzdálenosti od ostatních značek.) Hra skončí, jakmile jeden z hráčů nemůže táhnout. Najděte největší $K$ takové, že Amálka může vždy položit alespoň $K$ červených kamínků, ať už hraje Budulínek jakkoliv.

En plads er et punkt \( (x, y) \) i planen så \( x \) og \( y \) begge er positive hele tal mindre end eller lig med 20. Til at starte med er hver af de 400 pladser tomme. Alma og Bertha skiftes til at placere en sten, og Alma starter. Når det er Almas tur, placerer hun en ny rød sten på en tom plads så afstanden mellem to vilkårlige pladser med røde sten ikke er lig med \( \sqrt{5} \). Når det er Berthas tur, placerer hun en ny blå sten på en tom plads. (En plads med en blå sten kan være i en vilkårlig afstand til alle andre optagede pladser.) De stopper så snart en af dem ikke kan placere en sten. Bestem det største tal \( K \) så Alma med sikkerhed kan placere \( K \) røde sten ligegyldigt hvordan Bertha lægger sine blå sten.

Een \emph{plek} is een punt \((x, y)\) in het vlak zodat \(x\) en \(y\) beide gehele getallen zijn met \(1 \leq x, y \leq 20\). Bij aanvang zijn alle 400 plekken leeg. Albert en Beatrix plaatsen om de beurt een steen, waarbij Albert begint. Als Albert aan de beurt is, plaatst hij een nieuwe rode steen op een lege plek zodanig dat de afstand tussen elke twee plekken met een rode steen niet gelijk is aan \( \sqrt{5} \). Als Beatrix aan de beurt is, plaatst zij een nieuwe blauwe steen op een lege plek. (Een plek met een blauwe steen mag op willekeurige afstand van een andere niet-lege plek liggen.) Ze stoppen zodra een speler geen steen meer kan plaatsen. Bepaal de grootste \( K \) zodanig dat Albert gegarandeerd minstens \( K \) rode stenen kan plaatsen, hoe Beatrix haar blauwe stenen ook plaatst.

A site is any point \( (x,y) \) in the plane such that \( x \) and \( y \) are both positive integers less than or equal to 20.\nInitially, each of the 400 sites is unoccupied. Amy and Ben take turns placing stones with Amy going first. On her turn, Amy places a new red stone on an unoccupied site such that the distance between any two sites occupied by red stones is not equal to \( \sqrt{5} \). On his turn, Ben places a new blue stone on any unoccupied site. (A site occupied by a blue stone is allowed to be at any distance from any other occupied site.) They stop as soon as a player cannot place a stone.\nFind the greatest \( K \) such that Amy can ensure that she places at least \( K \) red stones, no matter how Ben places his blue stones.

\textbf{Ülesanne 4.} \textit{Lahtrik} nimetame igat tasandi punkti (x, y), kus x ja y on mõlemad positiivsed täisarvud, mis on väiksemad või võrdsed kui 20.

Tontti on mikä tahansa tason piste \((x, y)\), missä \(x\) ja \(y\) ovat molemmat positiivisia kokonaislukuja, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 20.\newline Aluksi kukin 400 tontista on vapaa. Amy ja Ben laittavat tonteilla vuorotellen kiviä ja Amy aloittaa. Omalla vuorollaan Amy laittaa uuden punaisen kiven sellaiselle vapaalle tontille, jonka etäisyys mistä tahansa varatusta tontista, missä on punainen kivi, ei ole \( \sqrt{5} \). Omalla vuorollaan Ben laittaa uuden sinisen kiven vapaalle tontille. (Tontti, jossa on sininen kivi, voi olla millä tahansa etäisyydellä mistä tahansa muusta tontista.) Peli loppuu, kun jompikumpi pelaajista ei voi enää lisätä kiveä.\newline Etsi suurin \( K \), jolla Amy voi varmasti laittaa ainakin \( K \) punaista kiveä riippumatta siitä, miten Ben laittaa siniset kivensä.

Un \emph{site} est un point \((x, y)\) du plan tel que \( x \) et \( y \) soient des entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 20. Initialement, chacun des 400 sites est inoccupé. Alice et Bernard placent chacun leur tour des pierres, en commençant par Alice. \`A son tour, Alice place une nouvelle pierre rouge sur un site inoccupé de sorte que la distance entre deux sites occupés par des pierres rouges soit différente de \( \sqrt{5} \). \`A son tour, Bernard place une nouvelle pierre bleue sur un site inoccupé. (Un site occupé par une pierre bleue peut se trouver à une distance quelconque d'un site occupé.) Ils s'arrêtent dès qu'un joueur ne peut plus placer de pierre. Déterminer le plus grand nombre \( K \) tel qu'Alice puisse s'assurer de placer au moins \( K \) pierres rouges, quelle que soit la manière de laquelle Bernard place ses pierres bleues.

Ein \textit{Knoten} ist ein Punkt \( (x, y) \) in der Ebene, für den sowohl \( x \) als auch \( y \) positive ganze Zahlen kleiner oder gleich \( 20 \) sind. \newline Zunächst ist jeder der \( 400 \) Knoten unbesetzt. Amy und Ben legen abwechselnd Steine auf die Knoten, wobei Amy beginnt. In jedem Zug von Amy legt sie einen neuen roten Stein so auf einen unbesetzten Knoten, dass der Abstand zwischen je zwei von roten Steinen besetzten Knoten ungleich \( \sqrt{5} \) ist. In jedem Zug von Ben legt er einen neuen blauen Stein auf einen unbesetzten Knoten. (Ein Knoten, der von einem blauen Stein besetzt ist, darf einen beliebigen Abstand von jedem anderen besetzten Knoten haben.) Sie hören auf, sobald ein Spieler keinen Stein mehr legen kann. \newline Man bestimme das größte \( K \), so dass Amy sicher mindestens \( K \) rote Steine legen kann, unabhängig davon, wie Ben seine blauen Steine legt.

בנקודה \( (x, y) \) במישור קיימת \( x - y \) שערים שלמים הזורמים שמטים או שאינם ל - 20 קרק לבינה. התחלה, כל 400 הארים פנימים. אלה ומראות בחזותו אבנים מותחות, היאה, השוואה. מוטרה, היאר קנוהה בתחורו. בחייה מניה אבנה מלולה חדשה על אתר פנוי כפוח. כ רחוקם בין כל שני שערים אלהים מוצרים אבנים מאדמות שונות מ - 5. כך המתקים בחול, אלה ומחוקים בחזי ספוק. לקרשו לא סומול תהזה לגריה אין מרה. נידר כ נהלה מיהל וקירה. עלה מראה אבנה מלולה חדשה על אתר פנוי קלשור לא סומול גריביה גוריב אנח בבית קנוהה לגרור להפיח קטירון באתר עופצה זאת, הם בבחוק מתאולים בשבי שקשו כ מתכל לא סומיל להבנה אבנה מגינה בתחור. מצאו כמה את השלם גדול ביותר \( K \) עבורו תיתכן להבינה שהיא תתנו לפחות \( K \) אבנים אדומות, לא משנה איך בניר יענה את האבנם המוכלות שלו.

4. feladat. Helynek nevezzük a sík minden olyan \( (x, y) \) pontját, amelyre \( x \) és \( y \) olyan pozitív egészek, melyek mindegyike kisebb vagy egyenlő, mint 20. Kezdetben a 400 hely mindegyike szabad. Anna és Balázs felváltva zsetonokat raknak a helyekre, Anna kezd. Anna minden lépésekor egy új piros zsetont helyez egy még szabad helyre olymódon, hogy semelyik két piros zseton helyének távolsága se legyen \( \sqrt{5} \)-tel egyenlő. Balázs minden lépésekor egy új kék zsetont helyez egy még szabad helyre. (Egy kék zseton által elfoglalt hely távolsága bármely másik foglalt helytől tetszőleges lehet.) A játék akkor ér véget, ha valamelyik játékos nem tud lépni. Határozzuk meg a legnagyobb \( K \) értéket, amelyre igaz az, hogy Anna biztosan el tud helyezni \( K \) darab piros zsetont, bárhogyan is játszik Balázs.

Una \emph{posizione} è un qualunque punto $(x, y)$ nel piano tale che $x$ e $y$ sono entrambi interi positivi minori o uguali a 20. All’inizio, ognuna delle 400 posizioni è libera. Alessandra e Bobo a turno piazzano delle pietre, iniziando da Alessandra. Quando tocca a lei, Alessandra piazza una nuova pietra rossa in una posizione libera, in modo che la distanza tra le posizioni occupate da due qualunque pietre rosse sia sempre diversa da $\sqrt{5}$. Quando tocca a lui, Bobo piazza una nuova pietra blu in una qualunque posizione libera. (Una posizione occupata da una pietra blu può essere a qualunque distanza da qualunque altra posizione occupata). Essi smettono non appena uno dei due non può più piazzare una pietra. Determinare il più grande $K$ tale che Alessandra è certa di piazzare almeno $K$ pietre rosse, indipendentemente da come Bobo piazza le sue pietre blu.

サイトとは、$x, y$ 座標がともに 20 以下の正の整数であるような平面上の点を指す。最初、400 個すべてのサイトは空である。エイミーとベンは、エイミーから始めて交互に石を置いていく。エイミーのターンには、エイミーは空のサイトをひとつ選び、新しい赤い石を置く。このとき、赤い石の置かれたどの 2 つのサイト間の距離も、ちょうど $d$ にすなわち...にすることはない。ベンのターンには、ベンは空のサイトをひとつ選び、新しい青い石を置く。青い石の置かれたサイトと他の空でないサイト間の距離は任意である。エイミーとベンのどちらかがそれ以上石を置けなくなったら、2 人は即座に石を置くのをやめる。 ベンの行動によらずエイミーが少なくとも $K$ 個の赤い石を置けるような $K$ の最大値を求めよ。

좌표평면 위의 점 $(x, y)$에 대하여, $x$와 $y$가 모두 20 이하의 양의 정수일 때, 이 점을 지점이라 하자. 400개의 지점이 처음에 모두 비어 있다. 수영과 상일이 번갈아 빈 지점에 돌을 놓고, 수영이 먼저 시작한다. 수영은 자기 차례에 빈 지점에 새로운 빨간 돌 하나를 놓되, 빨간 돌이 놓인 어떤 두 지점 사이의 거리가 $\sqrt{5}$가 되지 않도록 놓는다. 상일은 자기 차례에 빈 지점에 새로운 파란 돌 하나를 놓는다. (파란 돌은, 돌이 놓여 있는 지점과의 거리에 상관없이, 빈 지점 어디에나 놓을 수 있다.) 이 게임은 한 사람이 더 이상 돌을 놓을 수 없을 때까지 진행한다. 상일의 어떤 전략으로 파란 돌들을 놓든지 상관없어, 수영이 항상 최소한 $K$개의 빨간 돌을 놓을 수 있는 $K$ 값 중 가장 큰 값을 구하여라.

Laucinš ir tāds plaknes punkts $(x, y)$, ka $x$ un $y$ ir naturāli skaitļi mazāki vai vienādi par 20. Sākumā visi 400 lauciņi ir tukši. Anete un Benjaminṣ pēc kārtas liek uz lauciňiem akmentiņus, Anete sāk. Savā gajienā Anete novieto sarkanu akmentiņu uz tukša lauciņa tā, ka neviens attālums starp diviem sarkaniem akmentiņiem nav $\sqrt{5}$. Benjamins savā gajienā novieto zilu akmentiņu jebkurā tukšā lauciņā. (Lauciņis ar zilu akmentiņu drīkst atrasties jebkurā attālumā no jebkura cita lauciņa.) Spēle beidzas, kad kāds spēlētājs nevar novietot akmentiņu. Kāds ir lielākais $K$, kuram Anete var garantēti novietot $K$ akmentiņus, neatkarīgi no Benjamina gajieniem?

Vieta vadinsime bet kurį plokštumos tašką $(x, y)$, kurio koordinatės $x$ ir $y$ yra natūralieji skaičiai ne didesni už 20. Pradžioje nei viena iš 400 vietų nėra užimta. Aistė ir Benas paeiliui deda akmenis ant neužimtų vietų. Pirmoji pradeda Aistė. Kiekvienu savo ėjimu Aistė padeda vis naują raudoną akmenį ant bet kurios dar neužimtos vietos, tačiau gali jį dėti tik taip, kad joks atstumas tarp bet kurių dvejų vietų, kurias užima raudonieji akmenys, netaptų lygus \( \sqrt{5} \). Kiekvienu savu ėjimu Benas deda vis naują mėlyną akmenį ant bet kurios dar neužimtos vietos. (Atstumas nuo vietos, kurią užima mėlynas akmuo, iki bet kurios kitos raudonu arba mėlynu akmeniu jau užimtos vietos gali būti bet koks.) Žaidimas baigiasi, kai kuris nors žaidėjas nebegali padėti savo akmens. Raskite didžiausią natūralųjį skaičių $K$, tokį kad Aistė visada galės padėti bent $K$ raudonų akmenų, kad ir kaip Benas bedėliotų savo mėlynuosius akmenis.

Позиција е било која точка \((x,y)\) од рамнината така што \(x\) и \(y\) се природни броеви кои што се помали или еднакви на 20. На почеток секоја од 400 позиции е слободна. Ања и Борјан играат игра во која наизменично повлекуваат потези, при што Ања игра прва. Во секој свој потег Ања поставува ново црвено каменче на слободна позиција така што растојанието на било кои две позиции на кои се наоѓаат црвените камчиња е различна од \( \sqrt{5} \). Во секој свој потег Борјан поставува ново плаво каменче на некоја слободна позиција. (Позиција на која се наоѓа плаво каменче може да биде на било кое растојание од другите позиции на кои се наоѓа некое каменче). Играта завршува тогаш кога некој од нив повеќе не може да повлече потег. Одреди го најголемиот број \( K \) таков што Ања може да постави барем \( K \) црвени камчиња, без оглед на тоа како Борјан ги поставува своите плави камчиња.

En \textit{plett} er et punkt \((x, y)\) i planet slik at \( x \) og \( y \) begge er positive heltall mindre enn eller lik 20. Til å begynne med er alle 400 pletter ledige. Anna og Bjørnar plasserer steiner vekselvis, og Anna starter. På sin tur plasserer Anna én ny rød stein på en ledig plett slik at avstanden mellom ethvert par av pletter med røde steiner på er forskjellig fra \( \sqrt{5} \). På sin tur plasserer Bjørnar én ny blå stein på en vilkårlig ledig plett (en plett med blå stein på kan ha vilkårlig avstand fra enhver annen opptatt plett). De stopper idet en av dem ikke kan plassere en ny stein. Finn det største tallet \( K \) slik at Anna kan sikre seg å kunne plassere minst \( K \) røde steiner, uansett hvordan Bjørnar plasserer sine blå steiner.

Pozycją nazwiemy każdy taki punkt \( (x, y) \) na płaszczyźnie, że \( x \) i \( y \) są dodatnimi liczbami całkowitymi nie większymi od \( 20 \). Początkowo wszystkie 400 pozycji jest niezajętych. Ania i Bartek naprzemian kładą kamienie na pozycjach, przy czym zaczyna Ania. W każdym swoim ruchu Ania kładzie nowy czerwony kamień na niezajętej pozycji tak, aby odległość pomiędzy każdymi dwoma pozycjami zajętymi przez czerwone kamienie była różna od \( \sqrt{5} \). W każdym swoim ruchu Bartek kładzie nowy niebieski kamień na dowolnej niezajętej pozycji. (Pozycja zajęta przez niebieski kamień może być w dowolnej odległości od innych zajętych pozycji.) Gra kończy się, gdy któryś z graczy nie może wykonać ruchu. Wyznaczyć największą taką liczbę \( K \), że Ania może zawsze tak dobierać swoje ruchy, by niezależnie od ruchów Bartka położyć co najmniej \( K \) czerwonych kamieni.

Um \emph{local} é um ponto \((x, y)\) no plano tal que \(x\) e \(y\) são ambos inteiros positivos menores ou iguais a 20. Inicialmente, cada um dos 400 locais está vazio. Ana e Beto colocam pedras alternadamente com Ana a iniciar. Na sua vez, Ana coloca uma nova pedra vermelha num local vazio tal que a distância entre quaisquer dois locais ocupados por pedras vermelhas seja diferente de \(\sqrt{5}\). Na sua vez, Beto coloca uma nova pedra azul em qualquer local vazio. (Um local ocupado por uma pedra azul pode estar a qualquer distância de outro local ocupado.) Eles param quando um dos jogadores não pode colocar uma pedra. Determine o maior \(K\) tal que Ana pode garantir que ela coloca pelo menos \(K\) pedras vermelhas, não importando como Beto coloca suas pedras azuis.

Problema 4. Numim \emph{poziție} orice punct \((x, y)\) din plan astfel încât \(x\) și \(y\) sunt numere naturale, ambele nenule și mai mici sau egale decât 20. La început, fiecare din cele 400 de poziții este neocupată. Ana și Radu pun pe rând jetoane, cu Ana mutând prima. Când îi vine rândul, Ana pune un nou jeton roșu pe o poziție neocupată, astfel încât distanța dintre orice două poziții ocupate de jetoane roșii nu este egală cu \(\sqrt{5}\). Când îi vine rândul, Radu pune un nou jeton albastru pe orice poziție neocupată (O poziție ocupată de un jeton albastru poate fi la orice distanță față de orice altă poziție ocupată). Ei se opresc atunci când un jucător nu mai poate pune un jeton. Găsiți cel mai mare număr \( K \) astfel încât Ana poate pune sigur cel puțin \( K \) jetoane roșii, indiferent de cum pune Radu jetoanele lui albastre.

На координатной плоскости отмечены точки \( (x, y) \) с целыми положительными координатами \( x \) и \( y \), не превосходящими 20. Вначале все 400 отмеченных точек не заняты. Аня и Ваня делают ходы по очереди, Аня ходит первой. Своим ходом Аня кладёт в ещё не занятую отмеченную точку новый красный камень, причём расстояние между любыми двумя точками с красными камнями не должно равняться \( \sqrt{5} \). Ваня своим ходом кладёт в ещё не занятую отмеченную точку новый синий камень. (Точка с синим камнем может находиться на произвольном расстоянии от других занятых точек.) Игра останавливается, когда кто-то из игроков не может сделать ход. Найдите наибольшее \( K \), при котором Аня сможет разместить не менее чем \( K \) красных камней независимо от действий Вани.

Úloha 4. Nazývajme pozíciu každý bod roviny so súradnicami $(x, y)$ takými, že $x$ aj $y$ sú kladné celé čísla menšie alebo rovné 20. Na začiatku je každá zo 400 pozícií voľná. Anna a Boris sa striedajú v ukladaní kameňov, pričom začína Anna. Anna vo svojom ťahu položí nový červený kameň na voľnú pozíciu vždy tak, aby vzdialenosť medzi každými dvoma pozíciami obsadenými červenými kameňmi bola rôzna od $ ext{\vphantom{0} extrm{\sqrt{5}}}$. Boris vo svojom ťahu položí nový modrý kameň na ľubovol’nú voľnú pozíciu. (Pozícía obsadená modrým kameňom môže mat’ ľubovol’nú vzdialenosť od ostatnýčh obsadených pozícií.) Skončia vtedy, ked’ niektorý z nich už nemôže položitt d’alší kameň. Nájdite najväčšie $K$ také, že Anna dokáže položitt aspoň $K$ červenýčh kameňov bez ohl’adu na to, ako ukladá kamene Boris.

Položaj je vsaka točka \( (x, y) \) v ravnini, za katero sta \( x \) in \( y \) naravni števili manjši ali enaki \( 20 \). Na začetku je vseh \( 400 \) položajev nezasedenih. Ana in Bor izmenično polagata kamne na položaje, pri čemer prvi kamen položi Ana. Ana, ko je na vrsti, položi nov rdeč kamen na nezasedeni položaj, tako da je razdalja med katerimakoli položeajema zasedenima z rdečima kamnoma različna od \( \sqrt{5} \). Bor, ko je na vrsti, položi nov moder kamen na katerikoli nezasedeni položaj. (Položaj, na katerem je moder kamen, je lahko na katerikoli razdalji od katerega koli zasedenega položaja.) Ana in Bor prenehata polagati kamne takoj, ko katerikoli od njiju ne more položiti kamna. Poišči največje število \( K \), tako da lahko Ana zagotovo položi vsaj \( K \) rdečih kamnov, ne glede na to, kako polaga kamne Bor.

Un \textit{lugar} es un punto \((x,y)\) en el plano tal que \(x, y\) son ambos enteros positivos menores o iguales que 20. Al comienzo, cada uno de los 400 lugares está vacío. Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando con Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que la distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por piedras rojas es distinto de \(\sqrt{5}\). En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío. (Un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado.) Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra. Hallar el mayor \(K\) tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos \(K\) piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.

En ort är varje punkt \((x, y)\) i planet sådan att \(x\) och \(y\) är båda positiva heltal mindre än eller lika med 20. Från början är var och en av de 400 orterna tom. Amy och Ben placerar i tur och ordning stenar på orter, med Amy som lägger den första stenen. När det är Amys tur, placerar hon en ny röd sten på vilken som helst tom ort, sådan att avståndet mellan två orter med röda stenar inte är lika med \(\sqrt{5}\). När det är Bens tur, placerar han en ny blå sten på vilken som helst tom ort. (En ort med en blå sten får ligga på vilket som helst avstånd från andra upptagna orter.) Amy och Ben avslutar så fort någon av de inte kan placera en ny sten. Bestäm det största talet \(K\), sådant att Amy med säkerhet kan lägga \(K\) röda stenar, oberoende av hur Ben lägger sina blå stenar.

โจทย์ข้อ 4. ฐาน คือจุด \((x, y)\) ใด ๆ บนระนาบซึ่ง \( x \) และ \( y \) เป็นจำนวนเต็มมากกว่าหรือเท่ากับ 20 ในตอนเริ่มต้น ฐานทั้ง 400 ฐานว่างอยู่ เธอ เสี่ยงแถวแค่ภายในเท่านั้นที่จะทาสี เธอจะวางฐานสีแดงโดยที่ฐานที่จะวางอยู่ โดยมีระยะระหว่างสองฐานใด ๆ ที่มีสีแดงไม่มากกว่า \( \sqrt{5} \) ในบางจุดฐาน ซึ่งในขณะเริ่มการทาสี ทาสีฐานสีแดงหนดั้งเดิมที่ได้แถวสามารถอ้างมีระยที่น้อยกว่าเครื่องมาโดยทั่วไปได้อย่างไร พระลิงค์ ใช้ร่วมกัน ที่พอที่จะอยู่เหนือกอนคไม่มีสิทธิ์สาคารารจากฐานสีได้อย่างไรก่อน ดังนั้น \( K \) ที่มากทีสดทั้งสิ้นมั่นใจได้ว่าเธอลสอการจากแถวสีแดงได้อย่างน้อย \( K \) ถ่อน ไม่ว่าจงานจะจากที่สีเข้าของเขาอย่างไรร

Koordinat düzleminde, $x$ ve $y$ nin 20 den küçük veya eşit pozitif tam sayılar olduğu her $(x, y)$ noktasına yuva diyelim. Başlangıçta, 400 yuvanın hiç biri taş içermiyor. İlk hamleyi Aslı yapmak üzere Aslı ve Burcu sırayla hamle yapıyorlar. Aslı her hamlesinde, taş içermeyen bir yuvaya yeni bir kırmızı taşı, kırmızı taş içeren herhangi iki yuvanın arasındaki uzaklık $\sqrt{5}$ ten farklı olmak koşuluyla yerleştiriyor. Burcu her hamlesinde, taş içermeyen bir yuvaya yeni bir mavi taş yerleştiriyor. (Mavi taş içeren bir yuva ile diğer herhangi bir yuvanın arasındaki uzaklık ile ilgili herhangi bir koşul yoktur.) Sırası gelen kişi hamle yapamıyorsa, ilk kişi de taş yerleştirmeyi bırakıyor. Burcu mavi taşlarını nasıl yerleştirirse yerleştirsin, Aslı en az $K$ adet kırmızı taş yerleştirmeyi garantileyebiliyorsa, $K$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

На координатній площині відмічені всі точки \((x, y)\) з натуральними координатами \( x \) і \( y \), що не перевищують 20. Спочатку кожна з 400 відмічених точок не зайнята. Аліна і Богдан грають у таку гру: вони по черзі кладуть камінці у ще не зайняті відмічені точки, Аліна розпочинає першою. Своїм ходом Аліна має покласти новий червоний камінець у відмічену не зайняту точку таким чином, щоб відстань між довільними двома точками з червоними камінцями не дорівнювала \( \sqrt{5} \). Своїм ходом Богдан кладе новий синій камінець у довільну відмічену не зайняту точку. (Точка з синім камінцем може знаходитись на будь-якій відстані від довільної іншої зайнятої точки.) Гра припиняється, коли один з гравців не може покласти камінець. Знайдіть найбільше значення \( K \), для якого Аліна гарантовано зможе покласти принаймні \( K \) червоних камінців, не зважаючи на ходи Богдана.

Một vị trí là một điểm \((x, y)\) trên mặt phẳng sao cho \(x\) và \(y\) là các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 20. \newline Lúc đầu, tất cả 400 vị trí đều trống. Ánh và Bảo lần lượt đặt các viên đá với Ánh là người đi trước. Trong mỗi lượt đi của mình, Ánh đặt một viên đá màu đỏ vào một vị trí trống sao cho khoảng cách giữa hai vị trí bất kì được đặt đá màu đỏ sẽ khác \( \sqrt{5} \). Trong mỗi lượt đi của mình, Bảo đặt một viên đá màu xanh vào một vị trí trống bất kì. (Vị trí được đặt viên đá màu xanh có thể ở bất kì khoảng cách nào đến các vị trí đã được đặt đá.) Hai bạn sẽ dừng lại khi một trong hai người không thể tiếp tục đặt được các viên đá. \newline Tìm giá trị lớn nhất của \( K \) sao cho Ánh luôn có thể đặt được ít nhất \( K \) viên đá mà không phụ thuộc vào cách đặt đá của Bảo.

Suatu situs adalah sebarang titik \((x, y)\) di bidang dengan \( x \) dan \( y \) bilangan bulat positif tidak lebih dari 20.\ Mula-mula, masing-masing dari 400 situs tidak ditempati. Amy dan Ben bergiliran menempatkan batu dengan Amy pada giliran pertama. Pada gilirannya, Amy menempatkan sebuah batu merah baru pada suatu situs yang kosong sedemikian sehingga jarak setiap dua situs yang berisi dua batu merah tidak sama dengan \( \sqrt{5} \). Pada gilirannya, Ben menempatkan sebuah batu biru baru pada suatu situs yang kosong. (Sebuah situs yang ditempati oleh batu biru boleh berjarak berapapun dari situs lain yang sudah ditempati.) Mereka berhenti bermain setelah ada pemain yang tidak bisa menempatkan batu. \ Tentukan \( K \) terbesar sehingga Amy dapat menjamin bahwa dia dapat menempatkan sedikitnya \( K \) buah batu merah, tidak peduli bagaimana Ben menempatkan batu-batu birunya.

Μια θέση είναι οποιοδήποτε σημείο \( (x, y) \) στο επίπεδο έτσι ώστε οι αριθμοί \( x \) και \( y \) είναι και οι δύο θετικοί ακέραιοι μικρότεροι ή ίσοι του 20. Αρχικά, κάθε μία από τις 400 θέσεις είναι μη καταλημμένη. Η Άμυ και ο Μπεν με τη σειρά τοποθετούν πέτρες, με την Άμυ να αρχίζει πρώτη. Όταν είναι η σειρά της, η Άμυ τοποθετεί μια νέα κόκκινη πέτρα σε μια μη καταλημμένη θέση έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ δύο οποιοδήποτε θέσεων που είναι καταλημμένες με κόκκινη πέτρα να μην ισούται με \( \sqrt{5} \). Στην σειρά του, ο Μπεν τοποθετεί μια νέα μπλε πέτρα σε οποιοδήποτε μη καταλημμένη θέση. (Μια θέση καταλημμένη με μια μπλε πέτρα μπορεί να είναι σε οποιοδήποτε απόσταση από οποιοδήποτε άλλη καταλημμένη θέση.) Σταματούν όταν ένας από τους δύο δεν μπορεί να τοποθετήσει μια πέτρα. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του \( K \) έτσι ώστε η Άμυ να είναι βέβαιη ότι μπορεί να τοποθετήσει τουλάχιστον \( K \) κόκκινες πέτρες, ανεξάρτητα από τον τρόπο που τοποθετεί ο Μπεν τις μπλε πέτρες του.

2019

f(x)=0, f(x)=2x+k

Laat $ABC$ ’n akute driehoek wees wat $AB \neq AC$ voldoen, en laat $I$ die middelpunt van die ingeskrewe sirkel $\omega$ van $ABC$ wees. Die sirkel $\omega$ raak die lyne $AB, BC,$ en $CA$ op punte $D, E,$ en $F$ respektiewelik. Die loodlyn op lyn $EF$ deur punt $D$ sny $\omega$ weer op punt $R$, en die lyn $AR$ sny $\omega$ weer op punt $P$. Die omgeskrewe sirkel van $PCE$ en $PBF$ sny mekaar weer op punt $Q$. Bewys dat die lyne $DI$ en $PQ$ mekaar sny op die loodlyn op lyn $AI$ deur punt $A$.

Le të jetë \( I \) qendra e rrethit të brendashkruar trekëndëshit këndngushtë \( ABC \) ku \( AB \neq AC \). Rrethi \( \omega \) që i brendashkruhet trekëndëshit \( ABC \) është tangent me brinjët \( BC, CA, \) dhe \( AB \) në pikat \( D, E, \) dhe \( F, \) respektivisht. Drejtëza që kalon në pikën \( D \) dhe është pingule me \( EF \) pret përsëri rrethin \( \omega \) në pikën \( R \). Drejtëza \( AR \) pret përsëri rrethin \( \omega \) në pikën \( P \). Rrathët e jashtëshkruar trekëndëshave \( PCE \) dhe \( PBF \) priten përsëri në pikën \( Q \). Vëretoni që drejtëzat \( DI \) dhe \( PQ \) takohen në drejtëzën që kalon në pikën \( A \) dhe është pingule me \( AI \).

الدائرة \( \omega \) هي الدائرة الداخلية للمثلث المعد المقابة \( ABC \) التي فيه \( AB \neq AC \). الدائرة \( \omega \) تمس أضلاع المثلث \( BC,CA,AB \) في النقاط \( D,E,F \) على الترتيب. المستقيم \( DI \) المستقيم المار بالنقطة \( D \) عمودي على \( EF \) يقطع الدائرة في مرة أخرى في \( R \). المستقيم \( AR \) يلاقي الدائرة في مرة أخرى في النقطة \( P \). الدائرتان المخيليتان للمثلثين \( TCE,PBF \) يتقاطعان في نقطة أخرى \( Q \). يثبت أن المستقيمين \( DI,PQ \) يتقاطعان و نقطة على المستقيم المار بالرأس \( A \) وعمودي على \( AI \).

Нека $I$ е центърът на вписаната окръжност $\omega$ за остроъгълния триъгълник $ABC$, за който $AB \not\equiv AC$. Окръжността $\omega$ се допира до страните $BC$, $CA$ и $AB$, съответно в точките $D, E$ и $F$. Правата през $D$, перпендикулярна на $EF$ пресича $\omega$ за втори път в точката $R$. Правата $AR$ пресича $\omega$ за втори път в точката $P$. Описаните окръжности около триъгълниците $PCE$ и $PBF$ се пресичат за втори път в точката $Q$. Да се докаже, че правите $DI$ и $PQ$ се пресичат върху правата през $A$, перпендикулярна на $AI$.

在锐角三角形 $ABC$ 中，$I$ 是内心，$AB \neq AC$。三角形 $ABC$ 的内切圆 $\omega$ 与边 $BC$, $CA$ 和 $AB$ 分别相切于点 $D$, $E$ 和 $F$。过点 $D$ 且垂直于 $EF$ 的直线与 $\omega$ 的另一点交点为 $R$。直线 $AR$ 与 $\omega$ 的另一交点为 $P$。三角形 $PCE$ 和三角形 $PBF$ 的外接圆交于另一点 $Q$。 证明：直线 $DI$ 和 $PQ$ 的交点在过点 $A$ 且垂直于 $AI$ 的直线上。

設點 \( I \) 為銳角三角形 \( ABC \) 的內心，其中 \( AB \neq AC \) 。三角形 \( ABC \) 的內切圓 \( \omega \) 與三邊 \( BC, CA, AB \) 分別相切於點 \( D, E, F \) 。過 \( D \) 並與 \( EF \) 垂直的直線與 \( \omega \) 再交於另一點 \( R \) ，而直線 \( AR \) 與 \( \omega \) 再交於另一點 \( P \) 。設三角形 \( PCE \) 的外接圓與三角形 \( PBF \) 的外接圓再交於另一點 \( Q \) 。 證明：直線 \( DI \) 與 \( PQ \) 相交於 \( A \) 且與 \( AI \) 垂直的直線上。

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut takav da je $|AB| \neq |AC|$ te neka je $I$ središte njegove upisane kružnice $\omega$. Kružnica $\omega$ dodiruje stranice $BC$, $CA$ i $AB$ u točkama $D$, $E$ i $F$, redom. Pravac kroz točku $D$ okomit na pravac $EF$ siječe kružnicu $\omega$ ponovno u točki $R$. Pravac $AR$ siječe kružnicu $\omega$ ponovno u točki $P$. Kružnice opisane trokutima $PCE$ i $PBF$ siječu se ponovno u točki $Q$.\ Dokaži da se pravci $DI$ i $PQ$ sijeku na pravcu kroz točku $A$ okomitom na pravac $AI$.

Nechť \( I \) je střed kružnice vepsané ostroúhlého trojúhelníka \( ABC \), v němž \( |AB| \neq |AC| \). Kružnici vepsanou tomuto trojúhelníku dále označíme \( \omega \) a její body dotyku se stranami \( BC, CA \) a \( AB \) postupně jako \( D, E \) a \( F \). Kolmice na přímku \( EF \) vedená bodem \( D \) protne kružnici \( \omega \) podruhé v bodě \( R \). Dále pak \( P \) je druhý průsečík \( AR \) s kružnicí \( \omega \). Konečně označme \( Q \) druhý průsečík kružnic opsaných trojúhelníkům \( PCE \) a \( PBF \). Dokažte, že průsečík přímek \( DI \) a \( PQ \) leží na kolmici vedné bodem \( A \) k přímce \( AI \).

Lad \( I \) være centrum for den indskrevne cirkel til den spidsvinklede trekant \( ABC \) hvor \( AB \neq AC \). Den indskrevne cirkel \( \omega \) til trekant \( ABC \) tangerer siderne \( BC, CA \) og \( AB \) i henholdsvis \( D, E \) og \( F \). Linjen gennem \( D \) vinkelret på \( EF \) skærer \( \omega \) igen i \( R \). Linjen \( AR \) skærer \( \omega \) igen i \( P \). De omskrevne cirkler til henholdsvis trekant \( PCE \) og trekant \( PBF \) skærer hinanden igen i \( Q \). Vis at linjerne \( DI \) og \( PQ \) skærer hinanden i et punkt på linjen gennem \( A \) vinkelret på \( AI \).

De ingeschreven cirkel $\omega$ van scherphoekige driehoek $ABC$ met $|AB| \neq |AC|$ raakt de zijden $BC$, $CA$ en $AB$ in respectievelijk $D$, $E$ en $F$, en heeft middelpunt $I$. De loodlijn op $EF$ door $D$ snijdt $\omega$ opnieuw in $R$. Lijn $AR$ snijdt $\omega$ opnieuw in $P$. De omgeschreven cirkels van driehoeken $PCE$ en $PBF$ snijden elkaar opnieuw in $Q$. Bewijs dat lijnen $DI$ en $PQ$ elkaar snijden op de loodlijn op $AI$ door $A$.

Let $I$ be the incentre of acute triangle $ABC$ with $AB \neq AC$. The incircle $\omega$ of $ABC$ is tangent to sides $BC$, $CA$, and $AB$ at $D$, $E$, and $F$, respectively. The line through $D$ perpendicular to $EF$ meets $\omega$ again at $R$. Line $AR$ meets $\omega$ again at $P$. The circumcircles of triangles $PCE$ and $PBF$ meet again at $Q$. Prove that lines $DI$ and $PQ$ meet on the line through $A$ perpendicular to $AI$.

Olgu I teravnurkse kolmnurga $ABC$ siseringjoone keskpunkt, kusjuures $|AB| \neq |AC|$. Kolmnurga $ABC$ siseringjoon $\omega$ puutub külgi $BC$, $CA$ ja $AB$ vastavalt punktides $D$, $E$ ja $F$. Ristsirge sirgele $EF$ läbi punkti $D$ lõikab ringjoont $\omega$ uuesti punktis $R$. Sirge $AR$ lõikab ringjoont $\omega$ uuesti punktis $P$. Kolmnurkade $PCE$ ja $PBF$ ümberringjooned lõikuvad uuesti punktis $Q$.\nToesta, et sirged $DI$ ja $PQ$ lõikuvad $AI$ ristsirgel läbi punkti $A$.

Olkoon \( I \) sellaisen teräväkulmaisen kolmion \( ABC \) sisään piirretyn ympyrän keskipiste, jossa \( AB \neq AC \). Kolmion \( ABC \) sivut \( BC, CA \) ja \( AB \) sivuavat sen sisään piirrettyä ympyrää \( \omega \) pisteissä \( D, E \) ja \( F \) (samassa järjestyksessä). Suora, joka kulkee pisteen \( D \) kautta ja on kohtisuorassa \( EF \):n kanssa, leikkaa ympyrän \( \omega \) jälleen pisteessä \( R \). Suora \( AR \) leikkaa ympyrän \( \omega \) jälleen pisteessä \( P \). Kolmioiden \( PCE \) ja \( PBF \) ympäri piirretyt ympyrät leikkaavat jälleen pisteessä \( Q \). Osoita, että suorat \( DI \) ja \( PQ \) leikkaavat suoralla, joka kulkee pisteen \( A \) kautta ja on kohtisuorassa \( AI \):n kanssa.

Soit $ABC$ un triangle dont tous les angles sont aigus et tel que $AB \neq AC$. On note $\omega$ le cercle inscrit dans $ABC$, $I$ le centre de $\omega$, et $D$, $E$ et $F$ les points de tangence respectifs de $\omega$ avec les côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. Soit $R$ le point de $\omega$, autre que $D$, tel que la droite $(DR)$ soit perpendiculaire à $(EF)$. Soit $P$ le point d’intersection, autre que $R$, entre la droite $(AR)$ et le cercle $\omega$. Enfin, soit $Q$ le point d’intersection, autre que $P$, entre les cercles circonscrits à $PCE$ et à $PBF$. Démontrer que les droites $(DI)$ et $(PQ)$ sont sécantes en un point appartenant à la perpendiculaire à $(AI)$ passant par $A$.

Aufgabe 6. \ \text{Es sei} \ I \ \text{der Inkreismittelpunkt des spitzwinkligen Dreiecks} \ ABC \ \text{mit} \ AB \neq AC. \\ \text{Der Inkreis} \ \omega \ \text{von} \ ABC \ \text{berühre die Seiten} \ BC, \ CA \ \text{und} \ AB \ \text{in} \ D, \ E \ \text{bzw.} \ F. \ \text{Die Gerade durch} \ D \ \text{senkrecht zu} \ EF \ \text{schneide} \ \omega \ \text{außerdem in} \ R. \ \text{Die Gerade} \ AR \ \text{schneide} \ \omega \ \text{außerdem in} \ P. \ \text{Die Umkreise der Dreiecke} \ PCE \ \text{und} \ PBF \ \text{schneiden sich außerdem in} \ Q. \\ \text{Man beweise, dass sich die Geraden} \ DI \ \text{und} \ PQ \ \text{auf derjenigen Geraden durch} \ A \ \text{schneiden, die senkrecht zu} \ AI \ \text{ist.}

שאלה 6. יהא \( O \) מרכז המעגל החסום במשולש זה-זויות \( \triangle ABC \) בה \( AB \neq AC \). המעגל \( \omega \) החסום במשולש \( \triangle ABC \) משיק לצלעות \( BC \), \( CA \) בקטורות \( D \), \( E \), \( F \), בהתאמה. החזר כי ב-\( F \) פוגש את \( \omega \) שוב בנקודה \( R \). הישר \( AR \) פוגש את \( \omega \) שוב בנקודה \( P \). המגעלים החסומים של המשולשים \( \triangle PBF \)-\( \triangle PCE \) נפגשים שנית ב-\( Q \). הוכיחו כי הישרים \( PQ \) ו-\( DI \) נפגשים על הישר דרך \( A \) המאוכז ל-\( AI \).

A hegyesszögű \( ABC \) háromszög, amiben \( AB \neq AC \), beírt körének a középpontja \( I \). Az \( ABC \) háromszög ω beírt köre a \( BC, CA, AB \) oldalakat rendre a \( D, E, F \) pontokban érinti. A \( D \)-ből \( EF \)-re bocsátott merőleges egyenes és az ω kör második metszéspontja \( R \). Az \( AR \) egyenes és az ω kör második metszéspontja \( P \). A \( PCE \) és a \( PBF \) háromszögek körülírt köreinek második metszéspontja \( Q \). Bizonyítsuk be, hogy a \( DI \) és \( PQ \) egyenesek az \( AI \)-ra \( A \)-ban állított merőleges egyenesen metszik egymást.

Sia \( I \) l’incentro di un triangolo acutangolo \( ABC \) con \( AB \ne AC \). La circonferenza inscritta \( \omega \) di \( ABC \) è tangente ai lati \( BC, CA, \) e \( AB \) in \( D, E, \) ed \( F \), rispettivamente. La retta passante per \( D \) e perpendicolare a \( EF \) interseca nuovamente \( \omega \) in \( R \). La retta \( AR \) interseca nuovamente \( \omega \) in \( P \). Le circonferenze circoscritte ai triangoli \( PCE \) e \( PBF \) si intersecano nuovamente in \( Q \). Dimostrare che le rette \( DI \) e \( PQ \) si intersecano in un punto che appartiene alla retta passante per \( A \) e perpendicolare ad \( AI \).

AB \neq AC \text{をみたす鋭角三角形} ABC \text{の内心を} I \text{とする。三角形} ABC \text{の内接円} \omega \text{は、辺} BC, CA, AB \text{とそれぞれ点} D, E, F \text{で接している。} D \text{を通り} E F \text{に垂直な直線を} \omega \text{が} D \text{でない点} R \text{で交わるとする。直線} A R \text{と} \omega \text{が} R \text{でない点} P \text{で交わるとする。さらに三角形} P C E \text{と} P B F \text{の外接円が} P \text{でない点} Q \text{で交わるとする。このとき、直線} D I \text{と} P Q \text{は、} A \text{を通り} A I \text{に垂直な直線上で交わることを示せ。}

예각삼각형 $ABC$의 내심은 $I$이고 $AB \ne AC$이다. 삼각형 $ABC$의 내접원 $\omega$는 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 점 $D$를 지나고 $EF$에 수직인 직선이 $\omega$와 또 다시 만나는 점을 $R$이라 하자. 직선 $AR$이 $\omega$와 또 다시 만나는 점을 $P$라 하자. 삼각형 $PCE$의 외접원과 삼각형 $PBF$의 외접원이 만나는 점을 $Q (Q \ne P)$라 할 때, 두 직선 $DI$와 $PQ$의 교점이 $A$를 지나고 $AI$와 수직인 직선 위에 있음을 보여라.

Dots šaurlenķa trijstūris $ABC$, kuru $AB \neq AC$. Tā ievilktā riņķa līnijas \omega centrs ir $I$, un $\omega$ pieskāras malām $BC$, $CA$ un $AB$ punktos $D$, $E$ un $F$, attiecīgi. Taisne, kas iet caur $D$ un ir perpendikulāra $EF$, krusto $\omega$ vēlreiz punktā $R$. Taisne $AR$ krusto $\omega$ vēlreiz punktā $P$. Trijstūru $PCE$ un $PBF$ apvilktās riņķa līnijas krustojas vēlreiz punktā $Q$. Pierādīt, ka taisņu $DI$ un $PQ$ krustpunkts atrodas uz taisnes, kas iet caur $A$ un ir perpendikulāra taisnei $AI$.

6 uždavinys. Duotas smailusis trikampis \( ABC \), kuriame \( AB \neq AC \). Jo įbrėžtinis apskritimas \( \omega \), kurio centras \( I \), liečia kraštines \( BC, CA \) ir \( AB \) atitinkamai taškuose \( D, E \) ir \( F \). Tiesė, einanti per tašką \( D \) ir statmena \( EF \), vėl kerta \( \omega \) taške \( R \). Tiesė \( AR \) vėl kerta \( \omega \) taške \( P \). Apie trikampius \( PCE \) ir \( PBF \) apibrėžti apskritimai darkart kertasi taške \( Q \). Įrodykite, kas tiesių \( DI \) ir \( PQ \) susikirtimo taškas priklauso tiesei, einančiai per tašką \( A \) ir statmenai \( AI \).

Нека $I$ е центарот на впишаната кружница во остроаголниот триаголник $ABC$, за кој $AB \neq AC$. Вписаната кружница во триаголникот $ABC$ ги допира страните $BC$, $CA$ и $AB$ во $D$, $E$ и $F$, соодветно. Правата која минува низ $D$ и е нормална на $EF$ ја сече кружницата повторно во точка $R$. Правата $AR$ ја сече кружницата повторно во $P$. Описаните кружници околу триаголниците $PCE$ и $PBF$ се сечат повторно во $Q$. Докажи дека правите $DI$ и $PQ$ се сечат на правата која минува низ $A$ и е нормална на $AI$.

La \( I \) være innsenteret i den spissvinklede trekanten \( ABC \) med \( AB \neq AC \). Innsirkelen \( \omega \) til \( ABC \) tangerer sidene \( BC, CA \) og \( AB \) i henholdsvis \( D, E \) og \( F \). Linjen gjennom \( D \) som står normalt på \( EF \) skjærer \( \omega \) igjen i \( R \). Linjen \( AR \) skjærer \( \omega \) igjen i \( P \). Omsirklene til trekantene \( PCE \) og \( PBF \) skjærer hverandre igjen i \( Q \). Vis at linjene \( DI \) og \( PQ \) skjærer hverandre på linjen gjennom \( A \) som står normalt på \( AI \).

Dany jest trójkąt ostrokątny \( ABC \), w którym \( AB \neq AC \). Punkt \( I \) jest środkiem okręgu \( \omega \) wpisanego w trójkąt \( ABC \). Okrąg \( \omega \) jest styczny do boków \( BC, CA \) i \( AB \) odpowiednio w punktach \( D, E \) i \( F \). Prosta przechodząca przez \( D \) i prostopadła do \( EF \) przecina \( \omega \) ponownie w punkcie \( R \). Prosta \( AR \) przecina \( \omega \) ponownie w punkcie \( P \). Okręgi opisane na trójkątach \( PCE \) i \( PBF \) przecinają się ponownie w punkcie \( Q \). Udowodnić, że proste \( DI \) i \( PQ \) przecinają się w punkcie leżącym na prostej prostopadłej do \( AI \) i przechodzącej przez \( A \).

Seja \( I \) o incentro do triângulo acutângulo \( ABC \) com \( AB \neq AC \). A circunferência inscrita (incírculo) \( \omega \) de \( ABC \) é tangente aos lados \( BC, CA \) e \( AB \) nos pontos \( D, E \) e \( F \), respectivamente. A reta que passa por \( D \) perpendicular a \( EF \) intersecta \( \omega \) novamente em \( R \). A reta \( AR \) intersecta \( \omega \) novamente em \( P \). As circunferências circunscritas (circunfículos) dos triângulos \( PCE \) e \( PBF \) se intersectam novamente no ponto \( Q \).\\ \\ Prove que as retas \( DI \) e \( PQ \) se intersectam sobre a reta que passa por \( A \) perpendicular a \( AI \).

Fie $I$ centrul cercului înscris în triunghiul ascuțitunghic $ABC$ pentru care $AB \neq AC$. Cercul $\omega$ înscris în triunghiul $ABC$ este tangent la laturile $BC, CA, și AB$ în punctele $D, E, și F$. Dreapta care trece prin $D$ și este perpendiculară pe dreapta $EF$ intersectează din nou cercul $\omega$ în punctul $R$. Dreapta $AR$ intersectează din nou cercul $\omega$ în punctul $P$. Cercurile circumscrise triunghiurilor $PCE$ și $PBF$ se intersectează din nou în punctul $Q$. Demonstrați că dreptele $DI$ și $PQ$ se intersectează pe dreapta care trece prin $A$ și este perpendiculară pe $AI$.

Пусть $I$ — центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB \neq AC$. Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Прямая, проходящая через $D$ и перпендикулярная $EF$, пересекает $\omega$ вторично в точке $R$. Прямая $AR$ пересекает $\omega$ вторично в точке $P$. Окружности, описанные около треугольников $PCE$ и $PBF$, пересекаются вторично в точке $Q$. Докажите, что прямые $DI$ и $PQ$ пересекаются на прямой, проходящей через $A$ и перпендикулярной $AI$.

Nech v ostroúhlom trojuholníku $ABC$ platí $|AB| \ne |AC|$. Kružnica $\omega$ vpísaná do $ABC$ má stred $I$ a dotýka sa jeho strán $BC$, $CA$, $AB$ postupne v bodoch $D$, $E$, $F$. Priamka kolm á na $EF$ prechádzajúca bodom $D$ pretína $\omega$ v bode $R$ rôznom od $D$. Priamka $AR$ pretína $\omega$ v bode $P$ rôznom od $R$. Kružnice opísané trojuholníkom $PCE$ a $PBF$ sa pretínajú v bode $Q$ rôznom od $P$. Dokážte, že priesečník priamok $DI$ a $PQ$ leží na priamke prechádzajúcej bodom $A$ a kolmej na $AI$.

Naj bo \( I \) središče včrtane krožnice ostrokotnega trikotnika \( ABC \), za katerega velja, da je \( |AB| \neq |AC| \). Trikotniku \( ABC \) včrtana krožnica \( \omega \) se dotika stranic \( BC, CA \) in \( AB \) po vrsti v točkah \( D, E \) in \( F \). Premica skozi točko \( D \), ki je pravokotna na \( EF \), ponovno seka krožnico \( \omega \) v točki \( R \). Premica \( AR \) ponovno seka krožnico \( \omega \) v točki \( P \). Trikotnikoma \( PCE \) in \( PBF \) očrtani krožnici se ponovno sekata v točki \( Q \). Dokaži, da se premici \( DI \) in \( PQ \) sekata na premici, ki gre skozi točko \( A \) in je pravokotna na \( AI \).

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB \neq AC$. La circunferencia inscrita (o incírculo) $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $EF$ corta a $\omega$ nuevamente en $R$. La recta $AR$ corta a $\omega$ nuevamente en $P$. Las circunferencias circunscritas (o circuncírculos) de los triángulos $PCE$ y $PBF$ se cortan nuevamente en $Q$. Demostrar que las rectas $DI$ y $PQ$ se cortan en la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AI$.

Låt \( ABC \) vara en spetsvinklig triangel med \( AB \neq AC \) och låt \( I \) vara medelpunkten för den i triangel \( ABC \) inskrivna cirkeln \( \omega \). Cirkeln \( \omega \) tangerar sidorna \( BC, CA, \) och \( AB \) i \( D, E, \) och \( F, \) respektive. Linjen genom \( D \) som är vinkelrät mot \( EF \) skär \( \omega \) igen i \( R \). Linjen \( AR \) skär \( \omega \) igen i \( P \). Cirklarnas omskrivna kring trianglarna \( PCE \) och \( PBF \) skär varandra igen i \( Q \). Visa att linjerna \( DI \) och \( PQ \) skär varandra på linjen genom \( A \) som är vinkelrät mot \( AI \).

โจทย์ข้อ 6. ให้ \( I \) เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม \( \triangle ABC \) ซึ่ง \( AB \ne AC \) วงกลมแนบใน \( \omega \) ของ \( \triangle ABC \) สัมผัสด้าน \( BC, CA \) และ \( AB \) ที่จุด \( D, E \) และ \( F \) ตามลำดับ เส้นตรงที่ผ่าน \( D \) และขนานกับ \( EF \) ตัดกับ \( \omega \) อีกครั้งที่จุด \( R \) เส้นตรง \( AR \) ตัดกับ \( \omega \) อีกครั้งที่จุด \( P \) วงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยม \( \triangle PCE \) และ \( \triangle PBF \) ตัดกันอีกครั้งที่จุด \( Q \) จงพิสูจน์ว่าเส้นตรง \( DI \) และ \( PQ \) ตัดกันบนเส้นตรงที่ผ่าน \( A \) และตั้งฉากกับ \( AI \)

$|AB| = |AC|$ koşulunu sağlayan dar açılı bir $ABC$ üçgeni ile teğet çember merkezi $I$'dir. $ABC$′nin iç teğet çemberi $\omega$; $[BC]$, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarlarına sırasıyla $D$, $E$ ve $F$ noktalarında teğettir. $D$’den geçip $EF$ ve dik olan doğru $\omega$ ile ikinci kez $R$ noktasında kesişiyor. $AR$ doğrusu $\omega$ ile ikinci kez $P$ noktasında kesişiyor. $PCE$ ve $PBF$ üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez $Q$ noktasında kesişiyor. $DI$ ve $PQ$ doğrularının, $A$’dan geçip $AI$’ye dik olan doğru üzerinde kesiştiğini gösteriniz.

Нехай $I$ – центр вписаного кола гострокутного трикутника $ABC$, та $AB \neq AC$. Вписане коло ω трикутника $ABC$ дотикається сторін $BC$, $CA$ і $AB$ у точках $D$, $E$ та $F$ відповідно. Пряма, що проходить через $D$ перпендикулярно до $EF$, вдруге перетинає коло ω у точці $R$. Пряма $AR$ вдруге перетинає коло ω у точці $P$. Описані кола трикутників $PCE$ та $PBF$ вдруге перетинаються в точці $Q$. Доведіть, що прямі $DI$ та $PQ$ перетинаються на прямій, що проходить через $A$ перпендикулярно до $AI$.

Gọi $ \omega_1 $ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ \triangle ABC $ với $ AB \neq AC $. Đường tròn nội tiếp $ \omega $ của tam giác $ \triangle ABC $ tiếp xúc với các cạnh $ BC, CA $ và $ AB $ tương ứng tại các điểm $ D, E $ và $ F $. Đường thẳng qua $ D $ vuông góc với $ EF $ cắt lại $ \omega $ tại $ R $. Đường thẳng $ AR $ cắt lại $ \omega $ tại $ P $. Đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ \triangle PCE $ cắt lại đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ \triangle PBF $ tại $ Q $. Chứng minh rằng các đường thẳng $ DI $ và $ PQ $ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng qua $ A $ và vuông góc với $ AI $.

Misalkan l adalah pusat lingkaran dalam segitiga lancip $ABC$ dengan $AB \neq AC$. Lingkaran dalam $\omega$ dari $\triangle ABC$ menyinggung sisi-sisi $BC$, $CA$, dan $AB$ berturut-turut di $D$, $E$, dan $F$. Garis yang melalui $D$ dan tegak lurus $EF$ memotong $\omega$ lagi di $R$. Garis $AR$ memotong $\omega$ lagi di $P$. Lingkaran luar segitiga $PCE$ dan $PBF$ berpotongan lagi di $Q$. Buktikan bahwa garis-garis $DI$ dan $PQ$ berpotongan pada garis yang sekaligus melalui $A$ dan tegak lurus $AI$.

Έστω \( I \) το ίκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου \( ABC \) με \( AB \neq AC \). Ο εγγεγραμμένος κύκλος \( \omega \) του \( ABC \) εφάπτεται των πλευρών \( BC, CA, \) και \( AB \) στα σημεία \( D, E, \) και \( F, \) αντίστοιχα. Η ευθεία που περνά από το σημείο \( D \) και είναι κάθετη στο \( EF \) τέμνει τον κύκλο \( \omega \) ξανά στο σημείο \( R \). Η ευθεία \( AR \) τέμνει ξανά τον κύκλο \( \omega \) στο σημείο \( P \). Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων \( PCE \) και \( PBF \) τέμνονται ξανά στο σημείο \( Q \).\n\nΝα αποδείξετε ότι οι ευθείες \( DI \) και \( PQ \) τέμνονται πάνω στην ευθεία που περνά από το \( A \) και είναι κάθετη στο \( AI \).

2019

(1, 1), (2, 3)

Bepaal alle pare positiewe heelgetalle $(k, n)$ sodat \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Gjeni të gjitha çiftet e numrave të plotë \( (k, n) \) të tillë që \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

أوجد جميع الأزواج الصحيحة الموجبة \((k, n)\) التي تحقق المعادلة: \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \ldots (2^n - 2^{n-1}) \]

Да се намерят всички двойки естествени числа $(k, n)$, за които $$k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}).$$

一个社交网络上有 2019 个用户，某些用户之间是朋友关系。只要用户 $A$ 是用户 $B$ 的朋友，则用户 $B$ 也是用户 $A$ 的朋友。如下形式的操作可以反复进行，每一时刻只能进行一个操作： 三个用户 $A$, $B$ 和 $C$，满足 $A$ 与 $B$, $C$ 都是朋友，但 $B$ 和 $C$ 不是朋友，则同时改变他们之间的朋友关系，即 $B$ 和 $C$ 变为朋友，但 $A$ 与 $B$ 不再是朋友，$A$ 与 $C$ 也不再是朋友。所有其他的朋友关系不改变。 已知最初时有 1010 个用户每人拥有 1009 个朋友，有 1009 个用户每人拥有 1010 个朋友。证明：存在一个操作序列，使得操作结束后，每个用户至多只有一个朋友。

試找出所有的正整數數對 \( (k, n) \) 讓下列等式成立： \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Odredi sve parove $(k, n)$ prirodnih brojeva takve da je \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}).\]

Nalezněte všechny dvojice kladných celých čísel \((k, n)\) splňujících \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Bestem alle par \( (k, n) \) af positive hele tal så \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Bepaal alle paren $(k, n)$ van positieve gehele getallen zodanig dat \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Find all pairs $(k,n)$ of positive integers such that \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Leia kõik positiivsete täisarvude paarid $(k, n)$, mille korral\[k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\cdots (2^n - 2^{n-1}).\]

Etsi kaikki positiivisten kokonaislukujen parit \( (k,n) \), joille \[k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}).\]

Trouver tous les couples d’entiers naturels non nuls $(k,n)$ tels que \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Aufgabe 4. \ \text{Man bestimme alle Paare} \ (k, n) \ \text{positiver ganzer Zahlen, so dass} \\ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}).

שאלה 4. מצאו את כל הזוגות של מספרים שלמים חיוביים \((k, n)\) עבורם מתקיים\. \[ (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\ldots (2^n - 2^{n-1}) = k! \]

Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló \( (k, n) \) számpárt, amire \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Determinare tutte le coppie \((k, n)\) di interi positivi tali che \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

\text{以下をみたす正の整数の組 } (k, n) \text{ をすべて求めよ：} \\ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n - 1}).

다음 조건을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(k,n)$을 모두 구하여라.\\ $$k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1})$$

Atrast visus naturālo skaitļu $(k, n)$ pārus, kuriem izpildās \[k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdot \ldots \cdot (2^n - 2^{n - 1}).\]

4 uždavinys. Raskite visas natūraliųjų skaičių poras \((k, n)\), su kuriomis \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Најди ги сите парови $(k, n)$ од позитивни цели броеви такви што \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Finn alle par \((k, n)\) av positive heltall slik at \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Znaleźć wszystkie pary \((k,n)\) dodatnich liczb całkowitych, takich że \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \ldots (2^n - 2^{n-1}). \]

Encontre todos os pares \((k, n)\) de inteiros positivos tais que\\ \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Găsiți toate perechile $(k,n)$ de numere naturale nenule astfel încât \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Найдите все пары $(k,n)$ целых положительных чисел такие, что $k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1})$.

Nájdite všetky dvojice $(k, n)$ kladných celých čísel takých, že $k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4)\cdots (2^n - 2^{n-1})$.

Poišči vse pare \((k, n)\) naravnih števil, tako da je \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Encontrar todos los pares $(k, n)$ de enteros positivos tales que $$ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). $$

Bestäm alla par \( (k,n) \) av positiva heltal sådana att \[ k! = (2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \]

โจทย์ข้อ 4. จงหาอันดับของจำนวนเต็มบวก \((k, n)\) ทั้งหมดซึ่ง \[k! = \left(2^n - 1\right)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots \left(2^n - 2^{n-1}\right)\]

$k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1})$ denklemini sağlayan tüm $(k,n)$ pozitif tam sayı ikillerini bulunuz.

Знайдіть усі пари натуральних чисел $(k, n)$ такі, що \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(k, n)$ sao cho \[ k! = (2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\ldots(2^n-2^{n-1}) \]

Cari semua pasangan bilangan bulat positif $(k, n)$ sehingga \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

Να βρείτε όλα τα ζεύγη \((k, n)\) θετικών ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση \[ k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}). \]

2020

n^2-n+1

Jepet numri i plotë $n > 1$. Në shpatin e një mali ka $n^2$ stacione, ku të gjithë kanë lartësi të ndryshme nga niveli i detit. Secila prej dy kompanive të teleferikëve, $A$ dhe $B$, menaxhon $k$ teleferik; secili teleferik siguron një zhvendosje nga një prej stacioneve tek një tjetër që ndodhet në lartësi më të madhe (pa ndalesa të ndërmjetme). $k$ teleferikët e $A$ kanë $k$ pika të ndryshme nisjeje dhe $k$ pika të ndryshme mbërritjeje, dhe një teleferik që fillon nisjen më lartë mbërrin gjithashtu më lartë. Të njëjtat kushte vlejnë edhe për kompaninë $B$. Thuhet se dy stacione janë të lidhura nga një kompani kur mund të nisët nga një stacion me lartësi më të vogël dhe të mbërrijë në një stacion me lartësi më të madhe duke përdorur një ose më shumë kabina të vetë kompanisë (nuk janë të lejuara lëvizje të tjera ndërmjet stacioneve). Gjeni numrin më të vogël të plotë pozitiv $k$ për të cilin garantohet që gjenden dy stacione të cilat janë të lidhura nga të dy kompanitë.

لدينا عدد صحيح \( n > 1 \). هنالك \( n^2 \) محطة على سفح جبل بارتفاعات مختلفة. كل من شركتي التلفريك \( A \) و \( B \) تشمل: \\ أ. في الجبال، وكل عرب يتنقل الركاب من إحدى المحطات إلى محطة أعلى منها دون توقف عند محطةٍ بواسطة. \( 2n \) عربة إماهب \) \\ ب. تتطلب أن تكون الشركة هناك نقطة نهاية بداية مختلفة، والنقطة التي تأتي أعلى من أي نقطة تصل أعلى من عربة \( 4 \) الخاصة بالشركة. \\ أيضًا، نفس الشروط تنطبق على الشركة \( B \). تقل الطاقتين بأوامر متطابقة من طلب أية من الشركتين إذا استعمل \( \gimel \ يراكب بتحذيرهم باستخدام بلاط أو بلا \) في ذهاب عن إزالة أخرى.) " أعداد\) أطائر عدد نفس التورك المفاوض. (من المحطات بين المطاهرات.\)

Дадено е цяло число $n > 1$. Върху склона на планина се намират $n^2$ станции, всички на различна надморска височина. Всяка от две лифтени компании, $A$ и $B$, обслужва по $k$ въжени линии; като всяка въжена линия осигурява директен превоз от една от станциите до по-висока такава (без междинни спирки). Всички $k$ въжени линии на $A$ тръгват от $k$ различни начални станции и стигат до $k$ различни крайни станции, при това всяка въжена линия, която тръгва от по-висока начална станция стига до по-висока крайна станция. Същите условия са в сила и за $B$. Ще казваме, че две станции са свързани чрез лифтена компания, ако човек може да тръгне от по-ниската и да стигне до по-високата, използвайки една или повече въжени линии на компанията (други придвижвания между станциите не са позволени). Да се определи най-малкото естествено число $k$, за което винаги има две станции, свързани и от двете компании.

给定整数 $n > 1$。在一座山上有 $n^2$ 个高度互不相同的缆车车站。有两家公司 $A$ 和 $B$, 各运营 $k$ 部缆车，每辆从一个车站运行到某个更高的车站（中间不留停在他车站）。$A$ 公司的 $k$ 部缆车的两个起点互不相同、大小杂志也互不相同，并且起点较高的缆车，它的终点也较高。$B$ 公司的缆车也满足相同的条件。我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一个缆车到另一个较高的车站（中间不允许在车站之间再步行移动）。 确定最小的正整数 $k$, 使得一定有两辆车分别被两个公司同时连接。

令 $n > 1$ 為一正整數。有 $n^2$ 個車站坐落於一座山坡上，每個車站的高度皆不同。兩個顯要公司，A 與 B，各營運一些纜車，每台纜車使其中一站間有另一個高度更高的站（中途各站皆不同）。A 公司擁有共有 $n$ 個不同起始點且終點不同的纜車，且起點較高的纜車終點亦較高。B 公司符合相同條件。我們採用兩個獨立法——每公司可擇某一距離中的兩個點站可以透過一台或更多合該公司的纜車駛至較高的車站（不允許其他在車站間的移動方式）。 試求最小的正整數 $k$ 使得只需有兩個車站同時被兩個公司連接。

Dan je prirodni broj $n > 1$. Na planini postoji $n^2$ postaja koje su sve na međusobno različitim visinama. Svaka od dvije kompanije koje upravljaju žičarama, $A$ i $B$, posjeduje $k$ žičara; svaka žičara omogućuje prijevoz od jedne postaje do druge koja je na većoj visini (bez međupostaja). Svih $k$ žičara kompanije $A$ imaju $k$ različitih početnih postaja i $k$ različitih završnih postaja, pri čemu žičara koja počinje na većoj visini i završava na većoj visini. Isti uvjet vrijedi za kompaniju $B$. Kažemo da kompanija povezuje dvije postaje ako je moguće iz niže doseći višu koristeći jednu ili više žičara te kompanije (druga kretanja između postaja nisu dozvoljena). Odredi najmanji prirodni broj $k$ za koji sigurno postoje dvije postaje koje povezuju obje kompanije.

Buď $n > 1$ celé číslo. Na sklonu hory je $n^2$ stanic lanovky v různých výškách. Každá ze dvou lanovkových společností, $A$ a $B$, provozuje $k$ lanovek; každá lanovka umožňuje cestu z jedné ze stanic do některé z vyšších stanic (bez dalších zastávek). $k$ lanovek společnosti $A$ má $k$ různých startovních stanic a $k$ různých cílových stanic, navíc platí, že výše začínající lanovka také končí výše. Stejné podmínky platí i pro $B$. O dvou stanicích řekneme, že jsou propojené společností, pokud se můžeme dostat z nižší stanice do vyšší pomocí jedné či více lanovek této společnosti (žádné jiné přesuny mezi stanicemi nejsou povoleny). Určete nejmenší kladné celé číslo $k$, pro které musí vždy existovat dvojice stanic propojená oběma společnostmi.

Der er et helt tal $n > 1$. Der er $n^2$ stationer på en bjergside alle beliggende i forskellige højder. To svævebaneselskaber $A$ og $B$ har hver $k$ svævebaner, og hver svævebane kører fra en station til en højere beliggende station (uden mellemliggende stop). De $k$ svævebaner fra selskab $A$ har $k$ forskellige startstationer og $k$ forskellige slutstationer, og en svævebane der starter højere end en anden, ender også højere end denne. De samme betingelser er opfyldt af $B$. Vi siger at to stationer er forbundet af et selskab hvis man kan starte på den lavere beliggende station og nå til den højere beliggende station ved at benytte én eller flere svævebaner fra dette selskab (ingen andre rejseformer mellem stationer er tilladt). Bestem det mindste positive heltal $k$ for hvilket der med sikkerhed findes to stationer der er forbundet af begge selskaber.

Gegeven is een geheel getal $n > 1$. Er zijn $n^2$ stations op een berghelling, allemaal op verschillende hoogtes. Er zijn twee firma’s, $A$ en $B$, die elk $k$ kabelbanen beheren. Met elke kabelbaan kun je van een van de stations naar een hoger gelegen station gaan (zonder tussenstops). De $k$ kabelbanen van $A$ hebben $k$ verschillende beginpunten en $k$ verschillende eindpunten, en een kabelbaan die hoger begint dan een andere, eindigt ook hoger. Hetzelfde geldt voor firma $B$. We zeggen dat twee stations door een firma verbonden zijn als je van het lagere naar het hogere station kunt gaan door alleen gebruik te maken van een of meer kabelbanen van die firma (geen andere bewegingen tussen de stations zijn toegestaan). Bepaal het kleinste (strikt) positieve gehele getal $k$ zodat je zeker weet dat er twee stations zijn die door de beide firma’s verbonden zijn.

There is an integer $n > 1$. There are $n^2$ stations on a slope of a mountain, all at different altitudes. Each of two cable car companies, $A$ and $B$, operates $k$ cable cars; each cable car provides a transfer from one of the stations to a higher one (with no intermediate stops). The $k$ cable cars of $A$ have $k$ different starting points and $k$ different finishing points, and a cable car which starts higher also finishes higher. The same conditions hold for $B$. We say that two stations are \textit{linked} by a company if one can start from the lower station and reach the higher one by using one or more cars of that company (no other movements between stations are allowed). Determine the smallest positive integer $k$ for which one can guarantee that there are two stations that are linked by both companies.

Antud on täisarv $n > 1$. Mäenõlval on $n^2$ jaama, igaüks erineval kõrgusel. Kaks köisraudteefirmat, $A$ ja $B$, opereerivad kumbki $k$ gondliga; iga gondliga saab sõita mingist kindlast jaamast mingisse kindlasse kõrgemal asuvasse jaama (ilma vahepeatusteta). Firma $A$ kõigil $k$ gondlil on kokku $k$ erinevat algus- ja $k$ erinevat lõppjaama ning gondel, mis alustab kõrgemalt, ka lõpetab kõrgemal. Samad tingimused kehtivad firma $B$ jaoks. Me ütleme, et kaks jaama on firma poolt \textit{ühendatud}, kui on võimalik alustada madalamast jaamast ja jõuda kõrgemasse, kasutades ühte või rohkemat selle firma gondlit (muud liikumised jaamade vahel pole lubatud). Leia vähim positiivne täisarv $k$, mille jaoks on garanteeritud, et leiduvad kaks jaama, mis on ühendatud mõlema firma poolt.

On annettu kokonaisluku $n > 1$. Vuoren rinteellä on $n^2$ asemaa, joista kaikki ovat eri korkeuksilla. Kumpikin kahdesta köysiratayhtiöstä, $A$ ja $B$, operoi $k$:ta gondolia; jokainen gondoli mahdollistaa siirtymisen yhdeltä asemalta korkeammalla olevalle asemalle (ilman väli pysähdyksiä). Yhtiön $A$:lla gondolilla on eri aloituspistettä ja k eri päätepistettä, ja gondoli, joka aloittaa korkeammalta, myös päätyy korkeammalle. Yhtiön $B$ gondoleille pätee sama ehto. Sanomme, että kaksi asemaa ovat yhdistettyjä yhtiön toimesta, jos henkilö voi aloittaa alemmalta asemalta ja päätyä ylemmälle käyttämällä yhtä tai useampaa yhtiön gondolia (muita siirtoja asemien välillä ei ole sallittu). Määritä pienin mahdollinen positiivinen kokonaisluku $k$, jolle voidaan taata, että on olemassa kaksi asemaa, jotka ovat yhdistettyjä kummankin yhtiön toimesta.

Soit $n > 1$ un entier. Il y a $n^2$ stations sur le versant d'une montagne, toutes à des altitudes différentes. Chacune des deux compagnies de téléphériques, $A$ et $B$, gère $k$ téléphériques ; chaque téléphérique permet de se déplacer d'une des stations vers une station plus élevée (sans arrêt intermédiaire). Les $k$ téléphériques de $A$ ont $k$ points de départ différents et $k$ points d'arrivée différents, et un téléphérique qui a un point de départ plus élevé a aussi un point d'arrivée plus élevé. Les mêmes conditions sont satisfaites pour $B$. On dit que deux stations sont reliées par une compagnie s'il est possible de partir de la station la plus basse et d'atteindre la plus élevée en utilisant un ou plusieurs téléphériques de cette compagnie (aucun autre mouvement entre les stations n'est autorisé). Déterminer le plus petit entier strictement positif $k$ qui garantisse qu'il existe deux stations reliées par chacune des deux compagnies.

Es sei $n > 1$ eine ganze Zahl. An einem Berghang befinden sich $n^2$ Stationen, alle auf unterschiedlichen Höhen. Zwei Seilbahngesellschaften $A$ und $B$ betreiben jeweils $k$ Seilbahnen; jede Seilbahn führt von einer der Stationen zu einer höhergelegenen (ohne Zwischenhalt). Die $k$ Seilbahnen von $A$ beginnen an $k$ verschiedenen Punkten und enden an $k$ verschiedenen Punkten, und wenn eine Seilbahn an einem höheren Punkt beginnt als eine andere, dann endet sie auch an einem höheren Punkt. Dieselben Bedingungen gelten auch für $B$. Wir sagen, dass zwei Stationen von einer Gesellschaft verbunden werden, wenn man von der niedrigeren Station ausgehend die höhere Station durch Fahrten mit einer oder mehreren Seilbahnen dieser Gesellschaft erreichen kann (keine anderen Bewegungen zwischen Stationen sind erlaubt.).\\ Man bestimme die kleinste positive ganze Zahl $k$, für die man garantieren kann, dass es zwei Stationen gibt, die von beiden Gesellschaften verbunden werden.

יהיה $n > 1$ שלם. על לוח הר בגובהים שונים, יישום על פרחים בכבלים $A, B$, שכל אחת מורכבת מ $n$ כבלים. כל הכבל מייצר כבל נוסף לאחר התרדמה הקודמת, בגובה גבוה יותר (לא בהכרח בדיוק ביניהם). $k$ הכבלים של $A$ יהיו מאוחז תולדה $n = A_x$ נקודת מה שוסת, וכולל שינויים מומים, והטיבול מתוחמשיך דולýnם יותר ליולי נקודת כבל יותר. אנו מווצים שהרכיבים יהיו אחד או יותר של תצבור נמוכה או גבוהת אחוז. נמצא את הצלם הדוברי בהרבה יותר של הכבלים אשר בערימה בקקונית דוקה $\leq A_x \leq 2$ של הכבלים.

4. Feladat: Adott egy $n > 1$ egész szám. Egy hegynek egy lejtőjén $n^2$ állomás van, csupa különböző magasságon. Két felvonótársaság, $A$ és $B$ mindegyike $k$ felvonót üzemeltet; mindegyik felvonóval egy állomásról egy magasabban fekvő állomásra lehet eljutni (közbülső megállás nélkül). Az $A$ társaság $j$ felvonójának $k$ különböző kezdőpontja és $k$ különböző végpontja van, és magasabbról induló felvonó magasabbra is érkezik. Ugyanezek a feltételek teljesülnek $B$-re. Azt mondjuk, hogy egy felvonótársaság összeköt két állomást, ha a legjebb állomásról indulva el lehet jutni a feljebbire az adott társaság egy vagy több felvonóját használva (nincs megengedve semmilyen más mozgás az állomások között). Határozzuk meg a legkisebb olyan pozitív egész $k$ számot, amelyre biztosak lehetünk abban, hogy van két olyan állomás, amelyet mindkét felvonótársaság összeköt.

問題 4． \(n \geq 1\) を整数とする。山の斜面に \(n^2\) 個の駅があり、どの 2 つの駅も標高が異なる。ケーブルカー会社 \(A\) と \(B\) は、それぞれ \(n\) 個のケーブルカーを運行しており、各ケーブルカーはある駅からより標高の高い駅へ一方向に運行している（途中に停車する駅はない）。会社 \(A\) の \(k\) 個のケーブルカーについて、k 個の出発駅はすべて異なり、k 個の終着駅もすべて異なる。 また、会社 \(A\) の任意の 2 つのケーブルカーについて、出発駅の標高が高い方のケーブルカーは、終着駅の標高ももう一方のケーブルカーより高い。 会社 \(B\) についても同様である。2 つの駅が会社 \(A\) または会社 \(B\) によって結ばれているとは、その会社のケーブルカーのみを 1 つ以上用いて標高の低い方の駅から高い方の駅へ移動できることをいう（それ以外の手段で駅を移動してはならない）。 このとき、どちらの会社によっても結ばれている 2 つの駅が必ず存在するような最大の正の整数 \(k\) を求めよ。

정수 $n > 1$ 이 있다. 한 산의 외로 팍에 $n$ 개의 역이 있었고, 역들은 서로 다른 곳에 있었다. 두 개의 역에 기불가회사는 $4$와 $8$은 각각 몇 개의 글물을 향한다. 각각의 역에 설명을 는 발로를 향한다. $B$ 회사가 공행하는 게이틀 소던 곳으로움을 행한다.

Dots naturāls $n > 1$. Uz kalna nogāzes ir $n^2$ stacijas, visas dažādos augstumos. Divi gaisa tramvaja uzņēmumi $A$ un $B$ apkalpo $k$ funikulierus, katrs no kuriem savieno kādu staciju ar kādu augstāk esošu staciju (bez starppieturām). Uzņēmuma $A$ $k$ funikulieriem ir $k$ dažādi sākuma punkti un $k$ dažādi beigu punkti, un funikulierim, kuram sākuma punkts ir augstāk, arī beigu punkts ir augstāk. Tādi pat nosacījumi izpildās arī uzņēmumam $B$. Teiksim, ka uzņēmums savieno divas stacijas, ja ir iespējams sākt ceļu no zemākās stacijas un pabeigt augstākajā, izmantojot vienu vai vairākus šo uzņēmuma funikulierus (un cita pārvietošanās starp stacijām nav atļauta). Atriodiet mazāko naturālo $k$, kuram var garantēt, ka ir divas stacijas, kuras savieno abi uzņēmumi.

Duotas sveikasis skaičius $n > 1$. Kalno šlaite yra $n^2$ stotelijų, visos skirtinguose aukščiuose. Kiekviena iš dviejų ketuvų kompanijų, $A$ ir $B$, valdo po $k$ keltuvų; kiekvienas keltuvas kelia iš kažkurios stotelės į aukštesnę stotelę (be tarpinių sustojimų). Visi $k$ kompanijos $A$ keltuvai startuoja iš $k$ skirtingų stotelių ir kelia į $k$ skirtingų stotelių, be to, keltuvas, kuris pradeda kelti iš aukščiau esančios stotelės, ir pakelia į aukščiau esančią stotelę. Tas pats galioja ir kompanijos $B$ keltuvams. Sakome, kad dvi stotelės yra sujungtos kompanijos keltuvais, jei iš žemiau esančios stotelės į aukščiau esančią galima pakilti naudojant vieną arba keletą būtent tos kompanijos keltuvų (jokie kiti judėjimai tarp stotelių nėra leidžiami). Raskite mažiausią natūralųjį skaičių $k$, su kuriuo visada galima tvirtinti, kad egzistuoja dvi stotelės, kurias sujungia abiejų kompanijų keltuvai.

Даден е цел број $n > 1$. На падините на една планина има $n^2$ постојки, сите на различни височини. Секоја од две компании, $A$ и $B$, работи со $k$ жичници; секоја жичница овозможува пренос од една постојка до повисока постојка (без попатни застанувања). Сите $k$ жичници на $A$ имаат $k$ различни стартни постојки и имаат $k$ различни завршни постојки, при што жичница која стартува повисоко завршува повисоко. Истите услови важат и за $B$. Велиме дека две постојки се сврзани од компанија доколку може да се стигне од пониската до повисоката користејќи една или неколку жичници од таа компанија (никакви други движења помеѓу постојките не се дозволени). Одредете го најмалиот позитивен цел број $k$, за кој со сигурност може да се тврди дека постојат две постојки кои се сврзани и од двете компании.

La $n > 1$ være et heltall. Det er $n^2$ stasjoner langs en fjellside, alle i forskjellige høyder over bakken. To taubaneselskap $A$ og $B$ har begge $k$ tauvogner. Hver tauvogn går fra en av stasjonene til en annen stasjon høyere opp (uten å stoppe underveis). De $k$ tauvognene til $A$ har $k$ ulike startstasjoner og $k$ ulike sluttstasjoner, og en tauvogn som starter høyere opp enn en annen tauvogn vil også slutte høyere opp. De samme betingelsene gjelder for $B$. Vi sier at to stasjoner er \textit{sammenkoplet} av et selskap dersom man kan starte fra den laveste av de to stasjonene og komme seg til den høyeste ved å bruke en eller flere tauvogner fra det selskapet (ingen annen bevegelse mellom stasjoner tillates).\text{Bestem det minste positive heltallet $k$ slik at man kan garantere at det finnes to stasjoner som er sammenkoplet av begge selskap.}

Dana jest liczba całkowita $n > 1$. Na zboczu góry znajdują się $n^2$ stacji kolejki linowej, każda na innej wysokości. Każda z dwóch firm obsługujących kolejkę, $A$ i $B$, posiada dokładnie $k$ wyciągów; każdy z nich umożliwia bezpośredni przejazd z jednej ze stacji na pewną stację położoną wyżej (bez zatrzymywania się po drodze). Wszystkie $k$ wyciągów firmy $A$ mają $k$ różnych stacji początkowych oraz $k$ różnych stacji końcowych, a ponadto jeśli jeden wyciąg rozpoczyna trasę wyżej od pewnego innego, to również kończy trasę wyżej od niego. Te same warunki są spełnione przez połączenia obsługiwane przez firmę $B$. Powiemy, że dwie stacje są połączone przez firmę, jeśli rozpoczynając ze stacji położonej niżej można dojechać do stacji położonej wyżej używając wyłącznie połączeń (jednego lub więcej) obsługiwanych przez tę firmę (żadne inne sposoby przemieszczania się pomiędzy stacjami kolejki nie są dozwolone). Wyznaczyć najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą $k$, dla której z całą pewnością (niezależnie od układu połączeń) istnieje para stacji połączonych przez obydwie firmy.

Seja $n > 1$ um inteiro. Na encosta de uma montanha existem $n^2$ estações, todas com diferentes altitudes. Duas companhias de teleféricos, $A$ e $B$, operam $k$ teleféricos cada uma. Cada teleférico faz a viagem de uma estação para uma de maior altitude (sem paragens intermédias). Os $k$ teleféricos de $A$ partem de $k$ estações diferentes e terminam em $k$ estações diferentes; além disso, se um teleférico parte de uma estação de maior altitude do que a de partida de outro, também termina numa estação de maior altitude do que a de chegada desse outro. A companhia $B$ satisfaz as mesmas condições. Dizemos que duas estações estão ligadas por uma companhia se podemos começar na estação com menor altitude e chegar à de maior altitude usando um ou mais teleféricos dessa companhia (não são permitidos quaisquer outros movimentos entre estações). Determine o menor inteiro positivo $k$ que garante que existam duas estações ligadas por ambas as companhias.

Fie \(n > 1\) un număr natural. Pe panta unui munte se află \(n^2\) stații, fiecare la altitudini diferite. Două companii \(A\) și \(B\) operează fiecare câte \(k\) telecabine; fiecare telecabină asigură un transfer de la o stație la o altă stație aflată la o altitudine mai mare (fără opriri intermediare). Cele \(k\) telecabine ale lui \(A\) au \(k\) puncte de pornire diferite și \(k\) puncte de sosire diferite, și o telecabină care pornește de la o altitudine mai mare va ajunge de asemenea la o altitudine mai mare. Aceleași condiții sunt îndeplinite și pentru \(B\). Spunem că două stații sunt unite de o companie dacă, pornind de la stația aflată la o altitudine mai mică, putem ajunge la stația aflată la o altitudine mai mare folosind una sau mai multe telecabine ale acelei companii (nu sunt permise alte deplasări între stații). Determinați cel mai mic număr natural nenul \(k\) pentru care există cu siguranță două stații care sunt unite de ambele companii.

Задача 4. Дано целое число $n > 1$. На горном склоне расположено $n^2$ фунikulёрных станций на разных высотах. Каждая из двух фунукулёрных компаний $A$ и $B$ владеет $k$ подъемниками. Каждый подъёмник осуществляет регулярный беспересадочный трансфер с одной из станций на другую, более высоко расположенную станцию. $k$ трансферов компании $A$ начинаются на $k$ различных станциях; также они заканчиваются на $k$ различных станциях; при этом трансфер, который начинается выше, и заканчивается выше. Те же условия выполнены для компании $B$. Будем говорить, что две станции связаны фунукулёрной компанией, если можно добраться из нижней станции в верхнюю, используя один или несколько трансферов данной компании (другие перемещения между станциями запрещены). Найдите наименьшее $k$, при котором заведомо найдутся две станции, связанные обеими компаниями.

Dané je celé číslo $n > 1$. Na zjazdovke je $n^2$ staníc, všetky v rôznych výškach. Každá z dvoch firiem prevádzkujúcich lanovky, $A$ a $B$, prevádzkuje $k$ lanoviek. Každá lanovka umožňuje presun z jednej stanice do vyššej stanice (bez medzizastávok). $k$ lanoviek firmy $A$ má $k$ rôznych začiatočných staníc a $k$ rôznych konečných staníc; navyše lanovka, ktorá má začiatočnú stanicu vyššie, má aj konečnú stanicu vyššie. Rovnaké podmienky spĺňa aj $B$. Povieme, že dve stanice sú spojené firmou, ak sa dá dostať z nižšej stanice do vyššej použitím jednej alebo viacerých lanoviek tejto firmy (žiadne iné pohyby medzi stanicami nie sú povolené). Určite najmenšie kladné číslo $k$, pre ktoré sa dá zaručiť, že nejaké dve stanice sú spojené oboma firmami.

Dano je naravno število $n > 1$. Na pobočju gore je $n^2$ postaj, vse na različnih nadmorskih višinah. Vsako od dveh žičničarskih podjetij $A$ in $B$ upravlja s $k$ žičnicami; vsaka žičnica vozi potnike iz ene od postaj na drugo višjo postajo (brez vmesnih postankov). Vseh $k$ žičnic podjetja $A$ ima $k$ različnih začetnih postaj in $k$ različnih končnih postaj, pri čemer žičnica, ki se začne višje, tudi konča više. Enaki pogoji veljajo tudi za žičnice podjetja $B$. Pravimo, da podjetje povezuje dve postaji, če lahko potnik pride z nižje postaje na višjo postajo z uporabo ene ali več žičnic tega podjetja (med postajami niso dovoljeni nobeni drugi premiki). Določi najmanjše naravno število $k$, za katero zagotovo obstajata dve postaji, ki ju povezujejo obe podjetji.

Sea $n > 1$ un entero. A lo largo de la pendiente de una montaña hay $n^2$ estaciones, todas a diferentes altitudes. Dos compañías de teleférico, $A$ y $B$, operan $k$ teleféricos cada una. Cada teleférico realiza el servicio desde una estación a otra de mayor altitud (sin paradas intermedias). Los teleféricos de la compañía $A$ parten de $k$ estaciones diferentes y acaban en $k$ estaciones diferentes; igualmente, si un teleférico parte de una estación más alta que la de otro, también acaba en una estación más alta que la del otro. La compañía $B$ satisface las mismas condiciones. Decimos que dos estaciones están unidas por una compañía si uno puede comenzar por la más baja y llegar a la más alta con uno o más teleféricos de esa compañía (no se permite otro tipo de movimientos entre estaciones). Determine el menor entero positivo $k$ para el cual se puede garantizar que hay dos estaciones unidas por ambas compañías.

Låt $n > 1$ vara ett heltal. Det finns $n^2$ hållplatser på en bergssluttning, alla på olika höjd. Två linbanebolag, $A$ och $B$, har vardera $k$ vagnar. Varje vagn går från en hållplats till en annan hållplats som är högre belägen (utan några mellanliggande stopp). De $k$ vagnarna som tillhör bolag $A$ startar vid $k$ olika hållplatser och stannar vid $k$ olika hållplatser. En vagn som startar högre upp än en annan vagn, stannar också högre upp. Samma villkor gäller för bolag $B$. Två hållplatser kallas **sammanlänkade** av ett bolag om det går att starta vid den lägre belägna hållplatsen och ta sig till den högre belägna hållplatsen genom att använda en eller flera vagnar som tillhör det bolaget (det är inte tillåtet att ta sig mellan hållplatser på något annat sätt). Bestäm det minsta positiva heltalet $k$ som garanterar att det finns två hållplatser som är sammanlänkade av båda bolagen.

มีจำนวนเต็ม \(n > 1\) มีสถานี้อยู่ \(n^2\) สถานี้บนทางขึ้นเขา ณ ระดับความสูงที่แตกต่างกัน มับริษัทกระเช้าไฟฟ้าสองบริษัท \(A\) และ \(B\) ซึ่งแต่ละบริษัทให้บริการกระเช้า \(k\) กระเช้า \(n\) แต่ละกระเช้าขึ้นจากสถานี้หนึ่งไปยังอีกสถานีหนึ่งที่สูงกว่า (โดยไม่มีกระเหตุระหว่างทาง) กระเช้า \(k\) กระเช้า ของบริษัท \(A\) เริ่มต้นการให้บริการที่สถานี \(a\) สถานีแตกต่างกัน และสิ้งสู่ติที่สูงกว่า สถานีที่แตกต่างกัน และกระเช้าที่บริษัทนี้มีสิ้นสุดที่สถานีที่สูงกว่า จะสิ้นสุดที่สถานีสูงสุดด้วย เมื่อเปดียวกันนี้เปิบงวลิตรสำหรับบริษัท \(B\) เช่นกัน กล่าวว่าสตานีสองสถานี้ \(คู่เชื่อกัน\) โดยบริษัทนี้ห้ารถารเดินทางจากสถานีต่ำสุดไปยัสต์สูงสุดทะ \(k\) กระเช้าได้โดยใช้กระเช้าหนึ่งกระเช้าในข้อย่างน้อยของบริษัทนี้เพียงบริษัทเดียว (โดยไม่มีการเดินทางระหว่างสถานีที่ไม่รูปแบบอื่น) จงหาจำนวนเต็มบวก \(k\) เล็กสุดที่การเดินนี้จากสถานีนี้ถึงสถานีที่เชื่อมต่อกันโดยทั้งสองบริษัท

Bir \(n > 1\) tam sayısı verilmiştir. Bir dağın yamacında farklı yüksekliklerde \(n^2\) istasyon bulunmaktadır. \(A\) ve \(B\) teleferik şirketlerinin her biri \(k\) teleferik seferi düzenlemektedir. Her teleferik seferi bir istasyondan başlayıp daha yüksekte bulunan başka bir istasyona aradaki hiçbir istasyonda durmadan yapılmaktadır. \(A\) şirketinin \(k\) seferinin başlangıç istasyonları birbirinden farklıdır. \(A\) şirketinin \(k\) seferinin bitiş istasyonları birbirinden farklıdır. \(A\) şirketinin iki teleferik seferinden başlangıç istasyonu daha yüksekte olanın bitiş istasyonu da daha yüksektir. Aynı koşullar \(B\) şirketi için de sağlanmaktadır. İki istasyonun alçakta olandan yüksekte olana, aynı şirketin bir veya birden fazla seferi kullanılarak ulaşılabiliyorsa, bu iki istasyona \(o\) şirketle bağlı diyelim. Hem \(A\) şirketiyle bağlı hem de \(B\) şirketiyle bağlı olan iki istasyonun bulunmasını garanti eden en küçük \(k\) pozitif tam sayısını belirleyiniz.

\text{Задача 4. Задано ціле число } n > 1. \text{ На гірському схилі на попарно різних висотах розташовано } n^2 \text{ станцій фунікулеру. Кожна з двох компаній } A \text{ та } B \text{ володіє } k \text{ підйомниками. Кожний підйомник виконує регулярний трансфер (без пересадок) з однієї зі станцій на іншу, що розташована вище. } \\ k \text{ трансферів компанії } A \text{ починаються на } k \text{ різних станціях; також вони закінчуються на } k \text{ різних станціях; при цьому трансфер, який починається вище, закінчується теж вище. Ті самі умови виконано для компанії } B. \text{ Будем казати, що дві станції } \\ \text{пов'язані компанією, якщо можна дістатися з нижньої станції до верхньої, використовуючи один чи декілька трансферів цієї компанії (інші пересування між станціями заборонено). Знайдіть найменше } k, \text{ при якому гарантовано знайдуться дві станції, що пов'язані обома компаніями.}

Cho số nguyên $n > 1$. Có $n^2$ ga cáp treo trên một sườn núi tại các độ cao khác nhau. Có hai công ty cáp treo $A$ và $B$, mỗi công ty vận hành $k$ xe cáp treo. Mỗi xe vận chuyển khách từ một ga này đến một ga khác ở vị trí cao hơn và không dừng ở các ga trung gian. Biết rằng, $k$ xe của công ty $A$ có k ga đi khác nhau và k ga đến khác nhau, đồng thời xe nào xuất phát ở ga cao hơn cũng sẽ kết thúc ở ga cao hơn. Điều này cũng đúng với các xe của công ty $B$. Ta nói rằng hai ga được nối bởi một công ty nếu có thể xuất phát từ ga thấp hơn đi đến ga cao hơn mà chỉ sử dụng một hoặc nhiều xe của công ty đó (không có cách di chuyển nào khác giữa các ga cáp treo). Xác định số nguyên dương nhỏ nhất $k$ cho sao cho có thể đảm bảo rằng luôn có hai ga được nối bởi cả hai công ty.

Terdapat sebuah bilangan $n > 1$. Terdapat $n^2$ stasiun pada sebuah lereng gunung, semuanya pada ketinggian yang berbeda. Masing-masing dari dua perusahaan kereta gantung, $A$ dan $B$, mengoperasikan $k$ kereta gantung; setiap kereta gantung melakukan transfer dari satu stasiun ke stasiun yang lebih tinggi (tanpa berhenti di tengah-tengahnya). Semua $k$ kereta gantung dari $A$ mempunyai $k$ titik awal yang berbeda dan $k$ titik akhir yang berbeda, dan sebuah kereta gantung yang titik awalnya lebih tinggi juga memiliki titik akhir lebih tinggi. Kondisi yang sama juga berlaku untuk $B$. Kita katakan bahwa dua stasiun terhubung oleh suatu perusahaan, jika seseorang dapat mulai dari stasiun yang lebih rendah dan mencapai stasiun yang lebih tinggi dengan menggunakan satu atau lebih kereta gantung yang dimiliki perusahaan tersebut (pergerakan antar stasiun lain tidak diperkenankan). \newline Tentukan bilangan bulat positif $k$ terkecil agar kita dapat menjamin ada dua stasiun yang terhubung oleh kedua perusahaan.

Έστω ακέραιος $n > 1$. Υπάρχουν $n^2$ σταθμοί στην πλαγιά ενός βουνού, όλοι σε διαφορετικά υψή. Καθεμία από δύο εταιρείες τελεφερίκ, $A$ και $B$, λειτουργεί $k$ τελεφερίκ. Κάθε τελεφερίκ εκτελεί μεταφορά από έναν σταθμό σε έναν άλλον που βρίσκεται υψηλότερα (χωρίς ενδιαμέσες στάσεις). Τα $k$ τελεφερίκ της εταιρείας $A$ έχουν $k$ διαφορετικά σημεία εκκίνησης και $k$ διαφορετικά σημεία τερματισμού και ένα τελεφερίκ το οποίο ξεκινά υψηλότερα από κάποιο άλλο, επίσης τερματίζει σε σταθμό που βρίσκεται υψηλότερα. Οι ίδιες συνθήκες ισχύουν και για την εταιρεία $B$. Λέμε ότι δύο σταθμοί συνδέονται από μία εταιρεία, αν κάποιος μπορεί να ξεκινήσει από τον σταθμό που βρίσκεται χαμηλότερα και να φτάσει στο σταθμό που βρίσκεται υψηλότερα χρησιμοποιώντας ένα ή περισσότερα τελεφερίκ της εταιρείας αυτής (δεν επιτρέπονται άλλες μετακινήσεις μεταξύ σταθμών). \\ Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο $k$ για τον οποίο μπορεί κάποιος να εγγυηθεί ότι υπάρχουν δύο σταθμοί οι οποίοι συνδέονται και από τις δύο εταιρείες.

2022

\frac{1}{x}

Laat \( \mathbb{R}^+ \) die versameling van alle positiewe reële getalle aandui. Vind alle funksies \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) sodat daar vir elke \( x \in \mathbb{R}^+ \) 'n unieke \( y \in \mathbb{R}^+ \) bestaan wat die volgende ongelykheid bevredig: \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Le të jetë $\mathbb{R}^+$ bashkësia e numrave realë pozitivë. Gjeni të gjithë funksionet $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ të tilla që për çdo element $x \in \mathbb{R}^+$, gjendet saktësisht vetëm një element $y \in \mathbb{R}^+$ që kënaq kushtin $$xf(y) + yf(x) < 2.$$

لكن \(R^+ \) هي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. أوجد كل الدوال \( f : R^+ \to R^+ \) بحيث: لكل \( x \in R^+ \) يوجد عدد واحد بالضبط \( y \in R^+ \) لا تحقق أن: \[ xf(y) + yf(x) \leq 2. \]

Да означим с \(\mathbb{R}^+\) множеството на положителните реални числа. Да се намерят всички функции \( f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ \), при които за всяко \( x \in \mathbb{R}^+ \), съществува точно едно \( y \in \mathbb{R}^+ \) удовлетворяващо \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

令 \(\mathbb{R}^+\) 代表所有正实数组成的集。找出所有函数 \(f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\)，使得对于任意 \(x \in \mathbb{R}^+\)，都存在一个 \(y \in \mathbb{R}^+\) 符合 \[ x f(y) + y f(x) < 2. \]

令 $\mathbb{R}^+$ 代表所有正實數所形成的集合。找出所有函數 $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$，使得對於任意 $x \in \mathbb{R}^+$，都存在一個 $y \in \mathbb{R}^+$ 讓不等式 \[x f(y) + y f(x) \le 2\] 成立。

Zadatak 2. Neka \mathbb{R}^+ označava skup pozitivnih realnih brojeva. Odredi sve funkcije f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ takve da za svaki x \in \mathbb{R}^+ postoji točno jedan y \in \mathbb{R}^+ za koji vrijedi x f(y) + y f(x) \leq 2.

Úloha 2. Označme $\mathbb{R}^+$ množinu kladných reálných čísel. Nalezněte všechny funkce $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ takové, že pro každé $x \in \mathbb{R}^+$ existuje právě jedno $y \in \mathbb{R}^+$ splňující $$xf(y) + yf(x) \leq 2.$$

Lad \( \mathbb{R}_+ \) være mængden af positive reelle tal. Bestem alle funktioner \( f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \) så der for hvert \( x \in \mathbb{R}_+ \) eksisterer præcis et \( y \in \mathbb{R}_+ \) som opfylder \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Opgave 2. Zij $\mathbb{R}_{> 0}$ de verzameling van (strikt) positieve reële getallen. Bepaal alle functies $f : \mathbb{R}_{> 0} \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ zodanig dat er voor alle $x \in \mathbb{R}_{> 0}$ precies één $y \in \mathbb{R}_{> 0}$ is met $x f(y) + y f(x) \leq 2.$

Let \mathbb{R}^+ denote the set of positive real numbers. Find all functions f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ such that for each x \in \mathbb{R}^+, there is exactly one y \in \mathbb{R}^+ satisfying \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Olgu \(\mathbb{R}^+\) positiivsete reaalarvude hulk. Leia kõik funktsioonid \(f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\), nii et iga \(x \in \mathbb{R}^+\) jaoks leidub täpselt üks selline \(y \in \mathbb{R}^+\), et\[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Olkoon $\mathbb{R}^+$ positiivisten reaalilukujen joukko. Etsi kaikki funktiot $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$, joille jokaista $x \in \mathbb{R}^+$ kohti on olemassa täsmälleen yksi $y \in \mathbb{R}^+$, joka toteuttaa ehdon $$xf(y) + yf(x) \leq 2.$$

On note \( \mathbb{R}_{>0} \) l’ensemble des réels strictement positifs. Trouver toutes les fonctions \[ f : \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0} \] telles que, pour tout réel \( x \in \mathbb{R}_{>0} \), il existe exactement un réel \( y \in \mathbb{R}_{>0} \) tel que \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Es sei $\mathbb{R}^+$ die Menge der positiven reellen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen $f \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$, für die es zu jedem $x \in \mathbb{R}^+$ genau ein $y \in \mathbb{R}^+$ gibt mit \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

מצא את כל הגוגות 1 < k \leq 2n עם (n, k) והמקיימים שכל סדרו התחילו של סבטעות, ביגל כישוה בחליי, כל ה מוצבעות היגשויין בוחר (על מאחור סוע). .AABBABA \rightarrow BBBAAABA \rightarrow AAABBBBA \rightarrow BBBBAAAA \rightarrow BBBBAAAA \rightarrow \cdots באב

Jelölje $\mathbb{R}^+$ a pozitív valós számok halmazát. Határozzuk meg mindazon $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ függvényeket, amelyekre minden $x \in \mathbb{R}^+$ esetén pontosan egy olyan $y \in \mathbb{R}^+$ létezik, hogy $$x f(y) + y f(x) \leq 2.$$

Sia $\mathbb{R}_{>0}$ l’insieme dei numeri reali positivi. Determinare tutte le funzioni $f : \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ tali che, per ogni $x \in \mathbb{R}_{>0}$, esiste esattamente un $y \in \mathbb{R}_{>0}$ tale che \[ xf(y) + yf(x) \leq 2. \]

問題2. \mathbb{R}^+ を正の実数全体からなる集合とする。関数 f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ であって、任意の c \in \mathbb{R}^+ に対して, uf(y) + uf(x) \leq 2 をみたす g \in \mathbb{R} がちょうど 1 つ存在するようなものをすべて求めよ。

\( \mathbb{R}^+ \) 는 양의 실수 전체의 집합이다. 각\(x\) 에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 \(f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\) 를 모두 구하여라. \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Ar $\mathbb{R}^+$ apzīmēsim visu pozitīvo reālo skaitļu kopu. Atrodiet visas funkcijas $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$, kurām katram $x \in \mathbb{R}^+$ eksistē tieši viens $y \in \mathbb{R}^+$, kuram izpildās $$ xf(y) + yf(x) \leq 2. $$

Tegu $\mathbb{R}^+$ žymi teigiamų realiųjų skaičių aibę. Raskite visas tokias funkcijas $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$, kad kiekvienam $x \in \mathbb{R}^+$ egzistuoja lygiai vienas $y \in \mathbb{R}^+$, su kuriuo galioja lygybė $$ x f(y) + y f(x) \leq 2 . $$

Нека $\mathbb{R}^+$ го означува множеството на позитивни реални броеви. Најди ги сите функции $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ такви што за секој $x \in \mathbb{R}^+$, постои точно еден $y \in \mathbb{R}^+$ за кој важи $$x f(y) + y f(x) \leq 2.$$

La \( \mathbb{R}^+ \) betegne mengden av positive reelle tall. Finn alle funksjoner \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) slik at for hver \( x \in \mathbb{R}^+ \) er det nøyaktig én \( y \in \mathbb{R}^+ \) som tilfredsstiller \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Niech $\mathbb{R}^+$ oznacza zbiór dodatnich liczb rzeczywistych. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $ f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$, że dla każdej liczby $x \in \mathbb{R}^+$ istnieje dokładnie jedna liczba $y \in \mathbb{R}^+$ spełniająca nierówność \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Seja $\mathbb{R}^{+}$ o conjunto dos números reais positivos. Encontre todas as funções $f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tais que para cada $x \in \mathbb{R}^{+}$, existe exatamente um $y \in \mathbb{R}^{+}$ satisfazendo \[ xf(y) + yf(x) \leq 2. \]

Determinați toate funcțiile $f : (0, +\infty) \rightarrow (0, +\infty)$ astfel încât pentru orice $x \in (0, +\infty)$, există exact un singur $y \in (0, +\infty)$ care verifică \[ xf(y) + yf(x) \leq 2. \]

Через $\mathbb{R}^+$ обозначим множество всех положительных вещественных чисел. Найдите все функции $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ такие, что для каждого $x \in \mathbb{R}^+$ существует ровно одно число $y \in \mathbb{R}^+$, удовлетворяющее неравенству $xf(y) + yf(x) \leq 2$.

Úloha 2. Nájdite všetky funkcie f, kde f : \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}, také, že pre každé x z množiny \mathbb{R^+} existuje práve jedno y z množiny \mathbb{R^+} také, že \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \] (\mathbb{R^+} je množina všetkých kladných reálnych čísel.)

Označimo z $\mathbb{R}^+$ množico pozitivnih realnih števil. Poišči vse take funkcije $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$, za katere za vsak $x \in \mathbb{R}^+$ obstaja natanko en $y \in \mathbb{R}^+$, tako da velja $$xf(y) + yf(x) \leq 2.$$

Sea \( \mathbb{R}^+ \) el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) tales que para cada \( x \in \mathbb{R}^+ \), existe exactamente un \( y \in \mathbb{R}^+ \) que satisface \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

Låt \( \mathbb{R}^+ \) vara mängden av alla reella positiva tal. Bestäm alla funktioner \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) sådana att det för varje \( x \in \mathbb{R}^+ \) finns exakt ett \( y \in \mathbb{R}^+ \) för vilket \[ x f(y) + y f(x) \leq 2. \]

โจทย์ข้อ 2. ให้ R^+ แทนเซตของจำนวจริงบวกทั้งหมด จงหาฟังก์ชัน f : R^+ \to R^+ ที่ทำสมบัติว่า สำหรับแต่ละ x \in R^+ จะมี y \in R^+ หนึ่งตัวพอที่เดียวคล้องกับ x \cdot f(y) + y \dot f(x) \leq 2

\(\mathbb{R}^+\) ile pozitif gerçek sayıların kümesi gösterilmektedir. Aşağıdaki şartı sağlayan tüm \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) fonksiyonlarını bulunuz: Her \(x \in \mathbb{R}^+ \) için \[ x f(y) + y f(x) < 2 \] koşulunu sağlayan tam olarak bir tane \(y \in \mathbb{R}^+\) vardır.

Задача 2. Через \( \mathbb{R}^+ \) позначимо множину додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) такі, що для всіх чисел \( x \in \mathbb{R}^+ \) існує єдине число \( y \in \mathbb{R}^+ \), для якого справджується нерівність \[ xf(y) + yf(x) \leq 2. \]

Gọi \( \mathbb{R}^+ \) là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số \( f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ \) sao cho với mọi \( x \in \mathbb{R}^+ \) có đúng một giá trị \( y \in \mathbb{R}^+ \) thỏa mãn \[ xf(y) + yf(x) \leq 2. \]

Misalkan \( \mathbb{R}^+ \) menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Carilah semua fungsi \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) sehingga untuk setiap \( x \in \mathbb{R}^+ \), terdapat tepat satu bilangan \( y \in \mathbb{R}^+ \) yang memenuhi\\\[ xf(y) + yf(x) \leq 2. \]

Έστω \( \mathbb{R}^+ \) το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) που είναι τέτοιες ώστε για κάθε \( x \in \mathbb{R}^+ \), υπάρχει ακριβώς ένα \( y \in \mathbb{R}^+ \), που ικανοποιεί τη σχέση \[ x f (y) + y f (x) \leq 2 . \]

2022

(2, 2, 2), (3, 4, 3)

Vind alle drietal \((a,b,p)\) van positiewe heelgetalle sodat \( p \) 'n priemgetal is en \[ a^p = b! + p. \]

Gjeni të gjitha treshet e numrave të plotë pozitivë $(a, b, p)$ ku $p$ është numër i thjeshtë i thjeshtë dhe $$a^p = b! + p.$$

أوجد جميع الثلاثيات المرتبة \((a, b, p)\) من الأعداد الصحيحة الموجبة و \( p \) عدد أولي والتي تحقق أن: \[ a^p = b! + p\]

Да се намерят всички тройки \((a, b, p)\) от естествени числа, за които \( p \) е просто и \[ a^p = b! + p. \]

找出所有三元正整数组 \((a,b,p)\)，满足 \(p\) 是素数且 \[a^p = b! + p.\]

找出所有三元正整數組 \((a, b, p)\)，滿足 $p$ 是質數且 \[a^p = b! + p.\]

Zadatak 5. Odredi sve trojke (a, b, p) prirodnih brojeva takvih da je p prost broj i vrijedi a^p = b! + p.

Úloha 5. Najděte všechny trojice $(a, b, p)$ kladných celých čísel takových, že $p$ je prvočíslo a platí $$a^p = b! + p.$$

Bestem alle tripler \( (a, b, p) \) af positive heltal hvor \( p \) er et primtal og\[ a^p = b! + p. \]

Opgave 5. Bepaal alle drietallen $(a, b, p)$ van (strikt) positieve gehele getallen met $p$ priem en a^p = b! + p.

Find all triples (a, b, p) of positive integers with p prime and \[ a^p = b! + p. \]

Leia kõik positiivsete täisarvude kolmikud \((a, b, p)\), kus \(p\) on algarv ning\[ a^p = b! + p. \]

Etsi kaikki sellaiset positiivisten kokonaislukujen kolmikot $(a, b, p)$, joissa $p$ on alkuluku ja $$a^p = b! + p.$$

Trouver tous les triplets \((a, b, p)\) d’entiers naturels non nuls tels que \( p \) soit premier et \[ a^p = b! + p. \]

Man bestimme alle Tripel $(a, b, p)$ positiver ganzer Zahlen mit Primzahl $p$ und \[ a^p = b! + p. \]

היא ABCDE סוגי הוא זה תיקי ליקים ב-BC. ניתן שקימימבע בקדרת D תוך TBעם בינא B, C. היא A_1A_2 \angle LDA = LETA \angle \triangle-ABC \rightarrow TC

Határozzuk meg mindazon, pozitív egészekből álló $(a, b, p)$ számhármasokat, amelyekre $p$ prím és $$a^p = b! + p.$$

Determinare tutte le terne $(a, b, p)$ di interi positivi con $p$ primo tali che \[ a^p = b! + p. \]

問題5. p が素数であるような正の整数の組 (a,b,p) であって, a^p = b! + p をみたすものをすべて求めよ.

다음 등식을 만족하는 양의 정수들의 쌍 \((a, b, p)\) (단, \(p\)는 소수) 를 모두 구하여라. \[ a^p = b! + p. \]

Atrodiet visus naturālu skaitļu trijniekus $(a, b, p)$, kuros $p$ ir pirmskaitlis un izpildās $$a^p = b! + p. $$

Raskite visus natūraliųjų skaičių trejetus $(a, b, p)$ su pirminiais $p$, kuriems galioja lygybė $$a^p = b! + p.$$

Најди ги сите тројки $(a, b, p)$ од позитивни цели броеви, каде $p$ е прост број и важи $$a^p = b! + p.$$

Finn alle tripler \( (a, b, p) \) av positive heltall der \( p \) er primtall og \[ a^p = b! + p. \]

Wyznaczyć wszystkie takie trójki $(a, b, p)$ dodatnich liczb całkowitych, że $p$ jest liczbą pierwszą oraz \[ a^p = b! + p. \]

Encontre todas as triplas $(a, b, p)$ de inteiros positivos tais que $p$ é primo e \[ a^p = b! + p. \]

Determinați toate tripletele de numere naturale nenule $(a, b, p)$ cu $p$ număr prim, astfel încât \[ a^p = b! + p. \]

Найдите все тройки $(a, b, p)$ целых положительных чисел, такие что число $p$ простое и $a^p = b! + p$.

Úloha 5. Nájdite všetky trojice (a, b, p) kladných celých čísel takých, že p je prvočíslo a \[ a^p = b! + p. \]

Poišči vse trojice $(a, b, p)$ naravnih števil, tako da je $p$ praštevilo in $$a^p = b! + p.$$

Hallar todas las ternas \((a, b, p)\) de números enteros positivos con \( p \) primo que satisfacen \[ a^p = b! + p. \]

Finn alla tripplar \( (a, b, p) \) av positiva heltal där \( p \) är ett primtal och sådana att \[ a^p = b! + p. \]

โจทย์ข้อ 5. จงหาสามสิ่งอันดับทั้งหมดของจำนวนเต็มบวก (a, b, p) ที่มี p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a^p = b! + p

\(a, b\) pozitif tam sayılar ve \(p\) asal sayı olmak üzere \[ a^p = b! + p \] eşitliğini sağlayan tüm \((a, b, p)\) üçlülerini bulunuz.

Задача 5. Знайдіть усі трійки \( (a,b,p) \) натуральних чисел, де \( p \) є простим числом і виконується рівність \[ a^p = b! + p. \]

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương \((a, b, p)\) với \( p \) nguyên tố và \[ a^p = b! + p. \]

Carilah semua tripel bilangan bulat positif \( (a, b, p) \) yang memenuhi \( p \) prima dan\\\[ a^p = b! + p. \]

Βρείτε όλες τις τριάδες \((a, b, p)\) θετικών ακέραιων με \( p \) πρώτο αριθμό και \[ a^p = b! + p. \]

2022

2n^2-2n+1

Laat \( n \) 'n positiewe heelgetal wees. 'n Nordiese vierkant is 'n \( n \times n \) bord wat al die heelgetalle van 1 tot \( n^2 \) insluit sodat elke sel presies een heelgetal insluit. Ons beskou twee selle as aangrensend as hulle 'n gemeenskaplike kant deel. Elke sel wat net aan selle wat hoër getalle insluit aangrensend is word 'n \textit{vallei} genoem. 'n \textit{Opdraande pad} is 'n volgorde van een of meer selle sodat: - die eerste sel in die volgorde 'n vallei is, - elke daaropvolgende sel in die volgorde aangrensend is aan die vorige sel, en - die getalle wat deur die selle ingesluit is in toenemende orde verskyn. Vind, as 'n funksie van \( n \), die kleinste moontlike aantal opdraande paaie in 'n Nordiese vierkant.

Jepet numri i plotë pozitiv $n$. Një katror Nordik është një tabelë katrore me përmasa $n \times n$ që përmban të gjithë numrat e plotë nga $1$ tek $n^2$ e tillë që secili katror njësi përmban saktësisht vetëm një numër. Dy katrorë njësi të ndryshëm quhen fqinj në qoftë se ata kanë një brinjë të përbashkët. Secili katror njësi që është fqinj vetëm me katrorë njësi që kanë numër më të madh quhet lugjinë. Një shteg i përpjetë është një varg i përbërë nga një ose më shumë katrorë njësi i tillë që: (i) katrori i parë në varg është lugjinë, (ii) secili katror njësi pasardhës në varg është fqinj me katrorin njësi paraardhës, dhe (iii) numrat e shkruar në katrorët njësi në varg janë në rendin rritës. Gjeni, në varësi të $n$, numrin e përgjithshëm më të vogël të mundur të shtigjeve të përpjeta në një katror Nordik.

لكن، \( n \) عدداً صحيحاً موجياً. "المربع الشمالي" هو جدول \( n \times n \) يحتوي على جميع الأعداد الصحيحة من \( 1 \) إلى \( n^2 \) بحيث يحتوي كل خلية عدد واحد بالضبط. تعتبر الخليتين المختلفتين متجاورتين إذا كان لهما جانب مشترك. يقال خلية بأنها "وادي" إذا كانت مجاورة لخلايا تحتوي على أعداد أكبر من العدد الذي تحتويه. يطلق "المسار الساقط" على أنه سلسلة تكون من خلية واحدة أو أكثر تحقق: \[ (\rm{i})\ \text{الخلية الاولى في المسار هي "وادي".} (\rm{ii})\ \text{أي خلية تالية في السلسلة تكون مجاورة لخلية سابقة،} (\rm{iii})\ \text{الأعداد المكتوبة في الخلايا التابعة في السلسلة تكون في ترتيب تصاعدي.} \] أوجد، كدالة في \(n\) أصغر عدد ممكن من "المسارات الحادة" في "المربع الشمالي".

Дадено е естествено число \( n \). Таблица \( n \times n \), чиито клетки са номерирани по произволен начин с числата от \( 1 \) до \( n^2 \) ще наричаме Северен квадрат. Две клетки са съседни, ако имат обща страна. Ако всичките съседи на една клетка са с номера, по-големи от нейния, тя се нарича долина. Изкачване е последователност от една или повече клетки, такава че: (\text{i}) първата клетка е долина, (\text{ii}) всяка следваща клетка в изкачването е съседна на предходната, (\text{iii}) номерата на клетките в последователността нарастват. Да се намери, като функция на \( n \), най-малкият брой на всички възможни изкачвания в Северен квадрат.

令 \(n\) 为一正整数。一个「北欧方阵」是一个包含 \(1\) 至 \(n^2\) 所有整数的 \(n \times n\) 方格表，使得每个方格内恰有一个数字。两个相异方格是相邻的如果他们有公共边。一个方格被称为「山谷」，若其中的数字比所有相邻方格内的数字都小。一条「上坡路线」是一个包含一或多个方格的序列，满足： (i) 序列的第一个方格是山谷。 (ii) 序列中随后的每个方格都和其前一个方格相邻，且 (iii) 序列中方格内所写的数字递增。 试求一个北欧方阵中上坡路径数量的最小可能值，以 \(n\) 的函数表示之。

令 $n$ 為一正整數。一個「北歐方陣」為包含 $1$ 至 $n^2$ 所有整數的 $n \times n$ 方格表，使得每個方格內恰有一個數字。兩個相異方格是相鄰的如果他們有公共邊。一個方格被稱為「山谷」：若其內的數字比所有相鄰方格內的數字都小。一條「上坡路徑」是一個包含一或多個方格的序列，滿足： (i) 序列的第一個方格是山谷， (ii) 序列中隨後的每個方格都和其前一個方格相鄰，且 (iii) 序列中方格內所寫的數字遞增。 試求一個北歐方陣中，上坡路徑數量的最小可能值，以 $n$ 的函數表示之。

Zadatak 6. Neka je n prirodni broj. Nordijski kvadrat je tablica n \times n u čija polja su upisani svi prirodni brojevi od 1 do n^2 tako da svako polje sadrži točno jedan broj. Dva polja smatramo susjednima ako imaju zajedničku stranicu. Svako polje susjedno samo poljima koja sadrže veće brojeve nazivamo dol. Uspon je niz od jednog ili više polja takav da vrijedi: (i) prvo polje u nizu je dol, (ii) svaka dva uzastopna polja u nizu su susjedna, i (iii) brojevi upisani u polja u nizu su u rastućem poretku. Odredi, u ovisnosti o n, najmanju moguću vrijednost ukupnog broja uspona u nordijskom kvadratu.

Úloha 6. Nechť $n$ je kladné celé číslo. Nordický čtverec je tabulka $n \times n$ vyplněná navzájem různými celými čísly od 1 po $n^2$. Dvě různá políčka považujeme za sousední, pokud sdílejí stranu. Řekneme, že políčko je dolík, pokud je v něm menší číslo než ve všech sousedních políčkách. Řekneme, že posloupnost jednoho či více políček je stoupák, pokud současně platí: (i) první políčko posloupnosti je dolík, (ii) každé další políčko posloupnosti sousedí s předchozím políčkem, (iii) čísla v políčkách posloupnosti jsou v rostoucím pořadí. V závislosti na $n$ určete nejmenší možný celkový počet stoupáků v nordickém čtverci.

Lad \( n \) være et positivt helt tal. Et Nordisk kvadrat er et \( n \times n \)-bræt som indeholder alle hele tal fra \( 1 \) til \( n^2 \) så hvert felt indeholder præcis et tal. To forskellige felter er naboer hvis de har en fælles side. Ethvert felt som kun har nabofelter med større tal, kaldes en dal. En opadgående sti er en følge af et eller flere felter så: (i) det første felt i følgen er en dal, (ii) ethvert af de følgende felter i rækken er nabo til det foregående felt, og (iii) tallene i felterne i følgen er i voksende rækkefølge. Bestem det mindst mulige antal af opadgående stier i et nordisk kvadrat som funktion af \( n \).

Opgave 6. Zij $n > 0$ een geheel getal. Een \textit{Scandinavisch vierkant} is een $n \times n$-rooster dat alle gehele getallen 1 tot en met $n^2$ bevat zodanig dat elk vakje precies één getal bevat. Twee verschillende vakjes grenzen aan elkaar als ze een gemeenschappelijke zijde hebben. Elk vakje dat alleen grenst aan vakjes die een groter getal bevatten, heet een \textit{vallei}. Een \text{bergpad} is een rij van een of meer vakjes zodanig dat het volgende geldt: (i) het eerste vakje in de rij is een vallei, (ii) elk volgend vakje in de rij grenst aan het vorige vakje, en (iii) de getallen in de opeenvolgende vakjes van de rij staan in oplopende volgorde. Bepaal, als functie van $n$, het kleinst mogelijke totale aantal bergpaden in een Scandinavisch vierkant.

Let n be a positive integer. A Nordic square is an n \times n board containing all the integers from 1 to n^2 so that each cell contains exactly one number. Two different cells are considered adjacent if they share a common side. Every cell that is adjacent only to cells containing larger numbers is called a valley. An uphill path is a sequence of one or more cells such that: (i) the first cell in the sequence is a valley, (ii) each subsequent cell in the sequence is adjacent to the previous cell, and (iii) the numbers written in the cells in the sequence are in increasing order. Find, as a function of n, the smallest possible total number of uphill paths in a Nordic square.

Olgu \(n\) positiivne täisarv. \textit{Põhjaruuduks} nimetame \(n \times n\) ruudustikku, mis sisaldab kõiki täisarve 1 kuni \(n^2\), kusjuures igas ruudus paikneb täpselt üks arv. Kaks erinevat ruutu on naabrid, kui neil on ühine serv. Ruutu, mille kõigis naabrustes paikneb temast suurem arv, nimetame oruks. Mägirada on ühest või enamast ruudust koosnev jada, mille korral: \begin{itemize} \item [(i)] jada esimene liige on org, \item [(ii)] jada iga järgne liige on eelmise liikme naaber ning \item [(iii)] jada ruutudesse kirjutatud arvud on kasvavas järjestuses. \end{itemize} Iga \(n\) jaoks leia vähim võimalik mägiradade arv põhjaruudus.

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku. Pohjoismainen neliö on $n \times n$-ruudukko, joka sisältää kaikki kokonaisluvut luvusta $1$ lukuun $n^2$ siten, että jokainen ruutu sisältää tasan yhden luvun. Kaksi eri ruutua ovat naapureita, jos niillä on yhteinen sivu. Jokainen ruutu, jonka jokaisessa naapurissa sijaitsee sitä suurempi luku, on laakso. Kiipeävä polku on yhdestä tai useammasta ruudusta koostuva sarja ruutuja, joka toteuttaa seuraavat ehdot: \begin{itemize} \item[(i)] Sarjan ensimmäinen ruutu on laakso, \item[(ii)] jokainen sarjassa seuraavana esiintyvä ruutu on edellisen ruudun naapuri, ja \item[(iii)] luvut sarjan ruuduissa ovat kasvavassa järjestyksessä. \end{itemize} Etsi pienin mahdollinen kokonaislukumäärä kiipeäviä polkuja Pohjoismaisessa neliössä luvun $n$ funktiona.

Soit \( n \) un entier naturel non nul. Un carré nordique est une grille \( n \times n \) dont les cases ont été numérotées de \( 1 \) à \( n^2 \) dans un ordre arbitraire, chaque numéro étant utilisé une seule fois. Deux cases distinctes sont considérées comme adjacentes si elles ont un côté commun. Toute case dont le numéro est inférieur aux numéros des cases qui lui sont adjacentes est appelée vallée. Un chemin de randonnée est une suite formée d’au moins une case, telle que : (i) la première case de la suite est une vallée ; (ii) deux cases consécutives de la suite sont toujours adjacentes ; (iii) les cases de la suite sont numérotées dans l’ordre strictement croissant. Trouver, en fonction de \( n \), le plus petit nombre possible de chemins de randonnée que peut contenir un carré nordique.

Es sei $n$ eine positive ganze Zahl. Ein Nordisches Quadrat ist ein Spielbrett der Größe $n \times n$, in dessen Feldern alle Zahlen von 1 bis $n^2$ stehen, wobei jedes Feld genau eine Zahl enthält. Zwei verschiedene Felder heißen benachbart, wenn sie eine gemeinsame Seite besitzen. Jedes Feld, das nur benachbarte Felder mit größeren Zahlen hat, heißt Talfeld. Ein ansteigender Pfad ist eine Folge von einem oder mehreren Feldern mit den folgenden Eigenschaften: \[(i) \text{Das erste Feld in der Folge ist ein Talfeld.}\] \[(ii) \text{Jedes weitere Feld der Folge ist benachbart zum vorigen Feld.}\] \[(iii) \text{Die Zahlen in den Feldern der Folge sind in ansteigender Reihenfolge.}\] Man bestimme in Abhängigkeit von $n$ die kleinstmögliche Gesamtzahl ansteigender Pfade in einem Nordischen Quadrat.

**שאלה 6.** יהא \( n \) שלם חיובי. ריבוע נורדי הוא לוח משבצות בגודל \( n \times n \) אשר מכיל את כל השלמים מ-1 עד \( n^2 \), כך שכל משבצת מכילה מספר אחד בדיוק. נאמר ששתי משבצות הן סמוכות אם הן חולקות צלע משותפת. כל משבצת אשר סמוכה רק למשבצות המכילות מספרים גדולים יותר נקרא עמוק. מסלול עולה הוא סדרה של משבצת אחת או יותר המקיימת: 1. המשבצת הראשונה בסדרה היא עמוק, 2. כל משבצת בסדרה, מלבד הראשונה, סמוכה למשבצת הקודמת לה, 3. המספרים שנמצאים במשבצות הסדרה מופיעים בסדר עולה. מצאו את המספר הקטן ביותר האפשרי של מסלולים נורדיים, כפונקציה של \( n \).

Legyen $n$ pozitív egész. Skandináv négyzet egy $n \times n$ méretű tábla, amely $1$-től $n^2$-ig az összes egész számot tartalmazza úgy, hogy minden mezőben pontosan egy szám áll. Két különböző mezőt szomszédosnak tekintünk, ha van közös oldaluk. Ha egy mezőnek minden szomszédjában nagyobb szám áll, mint őbenne, akkor völgynek nevezzük. Kaptató egy sorozat, amely egy vagy több mezőből áll úgy, hogy $(i)$ a sorozat első mezője egy völgy, $(ii)$ a sorozat minden további mezője szomszédos az őt közvetlenül megelőző mezővel, és $(iii)$ a sorozat mezőiben álló számok növekvő sorrendben vannak. Adott $n$ esetén határozzuk meg egy skandináv négyzetben lévő kaptatók számának legkisebb lehetséges értékét.

Sia $n$ un intero positivo. Un \emph{quadrato nordico} è una tabella $n \times n$ che contiene tutti gli interi da $1$ a $n^2$ in modo che in ogni casella ci sia esattamente un numero. Due caselle distinte sono considerate adiacenti se hanno un lato in comune. Ogni casella che è adiacente solo a caselle che contengono numeri più grandi è chiamata una valle. Un \emph{cammino ascendente} è una sequenza di una o più caselle tali che: \begin{itemize} \item[(i)] la prima casella della sequenza è una valle, \item[(ii)] due caselle consecutive della sequenza sono sempre adiacenti, \item[(iii)] i numeri contenuti nelle caselle della sequenza sono in ordine crescente. \end{itemize} Determinare, in funzione di $n$, il minimo numero possibile di cammini ascendenti presenti in un quadrato nordico.

問題6. n を正の整数とする。「北欧風の地形」とは、各マスに整数が1 つずつ書き込まれているような n \times n のマス目であって、1 以上 n^2 以下の整数が 1 つずつ書き込まれているようなものを指す。2 つの相異なるマスが隣接するとは, それらのマスがある辺を共有することをいう。そして、おるマスが「谷」であるとは、隣接するどのマスに書き込まれている数より、そのマスに書き込まれている数より小さいことをいう。さらに、次の3 つの条件をみたす 1 つ以上のマスからなるマスの列を「登山道」とよぶ。 (i) 列の最初のマスは谷である。 (ii) 列において連続する 2 つのマスは隣接している。 (iii) 列の各マスに書き込まれている数は狭義単調増加である。 各 n に対して, 北欧風の地形における登山道の個数としてありうる最小の値を求めよ。

양의 정수 \( n \)에 대하여, 복구형 스퀘어진 \( n \times n \) 칸으로 이루어진 정사각형 보드로서 \(1 \) 부터 \( n^2 \)까지의 각 정수가 각 칸에 정확히 하나씩 쓰여져 있다. 서로 다른 두 칸이 인접한다는 말은 이 칸들이 하나의 변을 공유한다는 말이다. 어느 한 칸의 숫자가 그 칸에 인접한 모든 칸들의 숫자보다 더 작을 때 그 칸을 계곡이라고 부르자. 오르막길이란 칸들로 이루어진 수열로서 다음 조건을 모두 만족한다. (i) 수열의 첫번째 칸은 계곡이다. (ii) 수열 안의 연속한 두 칸은 인접한다. (iii) 수열의 칸에 쓰여져 있는 숫자들은 증가한다. 한 복구형 스퀘어 안에 있는 오르막길의 총 개수의 가능한 가장 작은 값을 \( n \)의 식으로 나타내어라.

Dots naturāls skaitlis $n$. Norvēģu kvadrāts ir $n \times n$ rūtiņu laukums, kurš satur visus naturālos skaitļus no 1 līdz $n^2$ tā, ka katrā rūtiņā ierakstīts tieši viens skaitlis. Rūtiņas ir blakusstāvošas, ja tām ir viena kopēja mala. Rūtiņu, kuras skaitlis ir mazāks par visu blakusstāvošo rūtiņu skaitļiem, sauc par $ extit{ieleju}$. $ extit{Kalnupeceļu}$ ir viena vai vairāk rūtiņu virkne ar sekojošām īpašībām: (i) virknes pirmā rūtiņa ir ieleja, (ii) katras virknes kaimiņu rūtiņas ir blakusstāvošas uz laukuma, (iii) virknes rūtiņās ierakstītie skaitļi ir augošā secībā. Atrodiet, izsakot kā funkciju no $n$, mazāko iespējamo kalnupeču skaitu patvaļīgā Norvēģu kvadrātā.

Duotas natūralusis skaičius $n$. Šiaurės kvadratu yra vadinama $n \times n$ lentelė, kurios langeliuose įrašyti visi natūralieji skaičiai nuo $1$ iki $n^2$ po vieną skaičių kiekviename langelyje. Du langeliai vadinami gretimais, jei jie turi bendrą kraštinę. Kiekvienas langelis, kurio visuose gretimuose langeliuose įrašyti skaičiai yra didesni negu jame esantis skaičius, yra vadinamas slėniu. Įkalnės keliu yra vadinama seka, sudaryta iš vieno arba kelių langelių, kurioje: (i) pirmasis langelis yra slėnis, (ii) kiekvienas sekantis langelis yra gretimas prieš jį einančiam langeliui, (iii) iš eilės einančiuose sekos langeliuose įrašyti skaičiai didėja. Su kiekvienu natūraliuoju $n$ nustatykite kiek mažiausiai gali būti įkalnės kelių Šiaurės kvadrate.

Нека $n$ е позитивен цел број. Нордиски квадрат е $n \times n$ табла на која се напишани сите цели броеви од $1$ до $n^2$ така што на секое поле е напишан точно еден број. Две полиња се соседни ако имаат заедничка страна. Секое поле кое е соседно само со полиња на кои се напишани поголеми броеви го нарекуваме котлина. Нагорница е низа од едно или повеќе полиња таква што: (i) првото поле во низата е котлина, (ii) секое следно поле во низата е соседно со претходното поле, и (iii) броевите кои се напишани во полињата од низата се во растечки редослед. Најди го, како функција од $n$, најмалиот можен вкупен број на нагорници во Нордиски квадрат.

La \( n \) være et positivt heltall. Et nordisk kvadrat er en \( n \times n \)-tabell som inneholder alle heltall fra 1 til \( n^2 \), der hver rute i tabellen inneholder nøyaktig ett tall. Vi sier at to forskjellige ruter er naboer dersom de deler en kant. En rute som kun har nabortuer med større tall kalles en dal. En tursti er en sekvens av ruter slik at: (i) sekvensens første rute er en dal, (ii) påfølgende ruter i sekvensen er naboer, og (iii) tallene i rutene i sekvensen er i stigende rekkefølge. Finn, som en funksjon av \( n \), det minste mulige antallet turstier i et nordisk kvadrat.

Dana jest dodatnia liczba całkowita $n$. \textit{Kwadratem nordyckim} nazywamy tablicę $n \times n$ wypełnioną wszystkimi liczbami całkowitymi od $1$ do $n^2$ w taki sposób, że w każde pole wpisana jest dokładnie jedna liczba. Dwa różne pola \textit{sąsiadują}, jeśli mają wspólny bok. Każde pole sąsiadujące wyłącznie z polami zawierającymi większe liczby nazywamy \textit{doliną}. Ciąg jednego lub więcej pól tablicy nazywamy \textit{ścieżką pod górkę}, jeśli spełnia następujące warunki: (i) pierwsze pole w tym ciągu jest doliną; (ii) każde kolejne pole w tym ciągu sąsiaduje z poprzednim; (iii) liczby wpisane w pola tego ciągu są uporządkowane rosnąco. Wyznaczyć, w zależności od $n$, najmniejszą możliwą łączną liczbę ścieżek pod górkę w kwadracie nordyckim.

Seja $n$ um inteiro positivo. Um \emph{quadrado Nórdico} é um tabuleiro $n \times n$ contendo todos os inteiros de 1 até $n^2$ de modo que cada quadradinho contém exatamente um número. Dois quadradinhos diferentes são considerados adjacentes se eles têm um lado em comum. Um quadradinho que é adjacente apenas a quadradinhos com números maiores é chamado de um vale. Um \emph{caminho crescente} é uma sequência de um ou mais quadradinhos tais que: \begin{itemize} \item O primeiro quadradinho da sequência é um vale, \item Cada quadradinho a partir do segundo é adjacente ao quadradinho anterior, \item Os números contidos nos quadradinhos da sequência estão em ordem crescente. \end{itemize} Encontre, em função de $n$, a menor quantidade possível de caminhos crescentes de um quadrado Nórdico.

Fie $n$ un număr natural nenul. Un pătrat Nordic este un tablou de tipul $n \times n$ care conține toate numerele naturale de la $1$ la $n^2$ într-o ordine arbitrară, astfel încât fiecare celulă (pătrat unitate) conține exact un număr. Două celule diferite sunt adiacente dacă au o latură comună. Se numește vale orice celulă care este adiacentă doar cu celule care conțin numere mai mari decât ea. Se numește drum ascendent orice secvență de una sau mai multe celule astfel încât: (i) prima celulă a secvenței este o vale, (ii) orice două celule consecutive din secvență sunt adiacente, și (iii) numerele scrise în celulele secvenței sunt în ordine crescătoare. Determinați, ca funcție de $n$, cel mai mic număr posibil de drumuri ascendente dintr-un pătrat Nordic.

Пусть $n$ — целое положительное число. Нордическим квадратом будем называть любую таблицу $n \times n$, клетки которой заполнены числами от $1$ до $n^2$ так, что каждое число использовано по одному разу и в каждой клетке записано ровно одно число. Две клетки назовём соседними, если у них есть общая сторона. Долиной назовём любую клетку, такую что во всех соседних с ней клетках записаны числа, большие чем в ней. Подъёмом назовём последовательность, состоящую из не менее чем одной клетки, такую что 1. первая клетка в последовательности — долина; 2. каждая следующая клетка последовательности является соседней с предыдущей; 3. числа, записанные в клетках последовательности, расположены в порядке возрастания. Для каждого заданного $n$ найдите наименьшее возможное количество всех подъёмов в нордическом квадрате.

Úloha 6. Nech n je kladné celé číslo. Nordickým štvorcom rozmeru n budeme nazývať tabuľku n \times n obsahujúcu všetky celé čísla od 1 do n^2 tak, že každé políčko obsahuje práve jedno číslo. Dve políčka považujeme za susedné práve vtedy, keď majú spoločnú stranu. Políčko susediace len s políčkami s väčším číslom nazveme dolina. Pod stupákom rozumieme postupnosť jedného alebo viacerých políčok tabuľky takú, že platí: (i) Prvé políčko tejto postupnosti je dolina. (ii) Každé ďalšie políčko tejto postupnosti susedí s predchádzajúcim políčkom. (iii) Čísla napísané v políčkach postupnosti sú v rastúcom poradí. Nájdite najmenší možný počet stupákov v nordickom štvorci rozmeru n.

Naj bo $n$ naravno število. Nordijski kvadrat je preglednica velikosti $n \times n$, v kateri so razporejena vsa števila od $1$ do $n^2$, tako da je v vsakem polju preglednice natanko eno število. Polji sta sosednji, če imata skupno stranico. Vsako tako polje, ki je sosednje samo s polji, v katerih so števila, ki so večja od števila v tem polju, se imenuje dolina. Vzpon je zaporedje enega ali več polj, tako da velja: (i) prvo polje v zaporedju je dolina, (ii) vsako naslednje polje v zaporedju je sosednje predhodnemu polju in (iii) števila v poljih zaporedja si sledijo v naraščajočem vrstnem redu. V odvisnosti od števila $n$ poišči najmanjše možno število vseh vzponov v nordijskem kvadratu.

Sea \( n \) un número entero positivo. Un \emph{cuadrado nórdico} es un tablero \( n \times n \) que contiene todos los números enteros del \( 1 \) al \( n^2 \) de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes son adyacentes si comparten un mismo lado. Una celda que solamente es adyacente a celdas que contienen números mayores se llama un \emph{valle}. Un \emph{camino ascendente} es una sucesión de una o más celdas tales que: \begin{enumerate} \item la primera celda de las sucesión es un valle, \item cada celda subsiguiente de la sucesión es adyacente a la celda anterior, y \item los números escritos en las celdas de la sucesión están en orden creciente. \end{enumerate} Hallar, como función de \( n \), el menor número total de caminos ascendentes en un cuadrado nórdico.

Låt \( n \) vara ett positivt heltal. En \emph{nordisk kvadrat} är ett \( n \times n \) bräde som innehåller alla heltal från 1 till \( n^2 \) så att varje ruta innehåller exakt ett tal. Två olika rutor anses gränsa till varandra om de har en gemensam sida. En ruta kallas dal om den gränsar enbart till rutor som innehåller större tal. En \emph{väg upp} är en följd av en eller flera rutor sådana att: \((i)\) den första rutan i följden är en dal, \((ii)\) varje ruta i följden efter den första gränsar till föregående ruta, och \((iii)\) talen i rutorna i följden är i växande ordning. Bestäm, som en funktion av \( n \), det minsta möjliga antalet vägar upp i en nordisk kvadrat.

โจทย์ข้อ 6. ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จตุรัสเวอร์วิค คือกระดาพขนาด n \times n ที่บรรจุจำนวณเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n^2 โดยแต่ละช่องบรรจุจำนวณหนึ่งตัวพอดี ช่องสองช่องที่ต่างกันจะถือว่า อยู่ติดกันถ้าสองช่องนี้มีด้านร่วมกัน ช่องทุกช่องที่อยู่ติดกับเฉพาะช่องที่บรรจุจำนวณมากกว่านั้น จะถูกเรียกว่า หมุนเขา หมุนเขา หมุนเขา หมุนเวียนทั้งหมดในโจทย์คือคำข้ามทุกช่องหนึ่งช่องหรือยาธีทั้งสามข้อที่ทำให้ (i) ช่องแรกของลำดับเป็นหมุนเขา (ii) แต่ละช่องที่ติดมาในลำดังอยู่ติดกับช่องก่อนหน้า และ (iii) จำนวณที่อยู่ในช่องในลำดัง เรียงจากน้อยไปมาก

\(n\) bir pozitif tam sayı olsun. \(n \times n\) boyutunda, \(1\)’den \(n^2\)’ye kadar olan tüm sayıları içeren ve her birim karede tam olarak bir tane sayının yazıldığı satranç tahtasına İskandinav kare diyelim. Ortak kenar paylaşan iki birim kareye komşu diyelim. Bir birim karede yazılan sayı, bu karenin tüm komşularında yazılan sayılardan küçükse bu birim kareye vadi diyelim. Aşağıdaki şartları sağlayan, bir veya birkaç kareden oluşan birim kare dizisine yokuş yukarı yol diyelim: (i) Bu dizideki ilk birim kare bir vadidir, (ii) Bu dizideki her birim kare, kendinden önce gelen birim kare ile komşudur, (iii) Bu dizinin birim karelerinde yazılan sayılar artan sıradadır. Bir İskandinav karedeki tüm yokuş yukarı yolların toplam sayısının alabileceği en küçük değeri \(n\) cinsinden bulunuz.

Задача 6. Дано натуральне число \( n \). Дошку \( n \times n \), в клітинках якої записано по одному числу, назвемо Нордунічним Квадратом, якщо вона містить усі натуральні числа від \( 1 \) до \( n^2 \). Дві різні клітинки вважаються сусідніми, якщо у них є спільна сторона. Назвемо клітинку долинною, якщо число в кожній сусідній до неї клітинці більше за число в цій клітинці. Назвемо підіймом послідовність з однієї чи більше клітинок таку, що: (i) перша клітинка в послідовності є долиною, (ii) кожна наступна клітинка послідовності є сусідньою до попередньої, (iii) числа в клітинках послідовності йдуть в зростаючому порядку. Знайдіть, як функцію від \( n \), мінімальну можливу кількість підіймів в Нордунічному квадраті.

Cho số nguyên dương \( n \). Một cao nguyên Nordic là một bảng \( n \times n \) chứa tất cả các số nguyên từ 1 đến \( n^2 \) sao cho mỗi ô vuông chứa đúng một số. Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có một cạnh chung. Ô vuông chỉ kề với các ô vuông chứa số lớn hơn số nằm trong nó được gọi là một thung lũng. Một con đường dốc là một dãy các ô vuông (có thể chỉ gồm một ô) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: (i) Ô vuông đầu tiên trong dãy là một thung lũng, (ii) mỗi ô vuông tiếp theo trong dãy kề với ô vuông đứng trước nó, (iii) các số được viết trên các ô vuông trong dãy có giá trị tăng dần. Như là một hàm số của \( n \), xác định giá trị nhỏ nhất có thể của số con đường dốc trong một cao nguyên Nordic.

Diberikan bilangan bulat positif \( n \). Sebuah persegi Nordik adalah sebuah papan \( n \times n \) yang mengandung semua bilangan bulat dari 1 sampai dengan \( n^2 \), sehingga setiap kotak mengandung tepat satu bilangan. Dua kotak berbeda disebut bertetangga jika mereka mengandung sebuah sisi yang sama. Sebuah kotak yang bertetangga hanya dengan kotak-kotak yang mengandung bilangan yang lebih besar disebut lembah. Sebuah lintasan menanjak adalah sebuah barisan yang terdiri dari satu atau lebih kotak, sehingga: (i) kotak pertama di barisan tersebut adalah sebuah lembah, (ii) kotak-kotak berikutnya dalam barisan tersebut bertetangga dengan kotak sebelumnya, dan (iii) bilangan-bilangan yang ditulis dalam kotak-kotak di barisan tersebut membentuk barisan naik. Carilah, sebagai fungsi dalam \( n \), banyaknya lintasan menanjak paling sedikit dalam sebuah persegi Nordik.

Έστω \( n \) ένας θετικός ακέραιος. Ένα Σκανδιναβικό τετράγωνο είναι ένας \( n \times n \) πίνακας που περιέχει όλους τους ακέραιους απο το \( 1 \) μέχρι το \( n^2 \) έτσι ώστε κάθε κελί να περιέχει ακριβώς ένα αριθμό. Δύο διαφορετικά κελιά θεωρούνται γειτονικά, αν έχουν μία κοινή πλευρά. Κάθε κελί το οποίο είναι γειτονικό μόνο με κελιά που περιέχουν μεγαλύτερους αριθμούς ονομάζεται κοιλάδα. Ένα ανηφορικό μονοπάτι είναι μία ακολουθία απο ένα ή περισσότερα κελιά έτσι ώστε: (i) το πρώτο κελί της ακολουθίας είναι μία κοιλάδα, (ii) κάθε επόμενο κελί της ακολουθίας είναι γειτονικό με το προηγούμενο κελί, και (iii) οι αριθμοί που είναι γραμμένοι στα κελιά της ακολουθίας είναι σε αύξουσα σειρά. Βρείτε, συναρτήσει του \( n \), τον ελάχιστο δυνατό αριθμό ανηφορικών μονοπατιών σε ένα Σκανδιναβικό τετράγωνο.

2024

(1, 1)

Bepaal alle pare positiewe heelgetalle \( (a, b) \) waarvoor daar positiewe heelgetalle \( g \) en \( N \) bestaan sodanig dat \\[ ggd(a^n + b, b^n + a) = g \\] vir alle heelgetalle \( n \geq N \). (Let op dat \( ggd(x,y) \) die grootste gemene deler van die heelgetalle \( x \) en \( y \) aandui.)

Gjeni të gjithë çiftet e numrave të plotë pozitivë \( (a, b) \) për të cilët ekzistojnë numrat e plotë pozitivë \( g \) dhe \( N \) të tillë që \[ pmp(a^n + b, b^n + a) = g\] vlen për të gjithë numrat e plotë pozitivë \( n \ge N \). (Shënim: \( pmp(x, y) \) paraqet pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave të plotë pozitivë \( x \) dhe \( y \).)

حدد جميع أزواج الأعداد الصحيحة الموجبة \((a,b)\) بحيث يوجد عددان صحيحان موجبان \(g\) و \(N\) يتحققان: \[ \gcd(a^n+b,b^n+a)=g \] لكل الأعداد الصحيحة \( n \geq N \). (لاحظ أن \( \gcd(x,y)\) يرمز للقاسم المشترك الأكبر للعددين الصحيحين \(x\) و \(y\)).

Да се намерят всички двойки цели положителни числа $(a,b)$, за които съществуват цели положителни числа $g$ и $N$ такива, че равенството \[\gcd(a^n + b, b^n + a) = g\] е изпълнено за всички цели числа $n \geq N$. (Забележка: с $\gcd(x, y)$ е означен най-големия общ делител на целите числа $x$ и $y$.)

求所有正整数对 \((a, b)\) 满足: 存在正整数 \(g\) 和 \(N\) 使得 \[ \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \] 对所有整数 \(n > N\) 均成立。 (注: \(\gcd(x, y)\) 表示整数 \(x\) 与 \(y\) 的最大公约数。)

試求所有正整數對 \((a, b)\) 使得存在正整數 \( g \) 與 \( N \) 滿足 \[ gcd(a^n + b, b^n + a) = g \] 對於所有整數 \( n \geq N \) 皆成立。（此處 \( \gcd(x, y) \) 表示 \( x \) 和 \( y \) 的最大公因數。）

Odredi sve parove \( (a, b) \) prirodnih brojeva za koje postoje prirodni brojevi \( g \) i \( N \) takvi da vrijedi \[ \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \] za sve cijele brojeve \( n \geq N \). (Sa \( \gcd(x, y) \) označavamo najveći zajednički djelitelj cijelih brojeva \( x \) i \( y \).)

Určete všechny dvojice kladných celých čísel $(a,b)$, pro něž existují kladná celá $g$ a $N$ taková, že rovnost \[ \mathrm{NSD}(a^n + b, b^n + a) = g \] platí pro všechna celá čísla $n \geq N$. (Zápisem $\mathrm{NSD}(x,y)$ rozumíme nejlepší společného dělitele celých čísel $x,y$.)

Bestem alle par $(a,b)$ af positive hele tal for hvilke der findes positive hele tal $g$ og $N$ så \[ \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \] for alle hele tal $n \geq N$. (Bemærk at $\gcd(x,y)$ betegner den største fælles divisor af de hele tal $x$ og $y$.)

Bepaal alle paren \( (a,b) \) van (strikt) positieve gehelen getallen waarvoor er gehele getallen \( g > 0 \) en \( N > 0 \) bestaan zodanig dat \[ \text{ggd}(a^n + b, b^n + a) = g \] geldd voor alle gehele getallen \( n \ge N \). (Hierbij staat \( \text{ggd}(x,y) \) voor de grootste gemene deler van de gehele getallen \( x \) en \( y \).)

Determine all pairs \( (a, b) \) of positive integers for which there exist positive integers \( g \) and \( N \) such that \[ gcd(a^n + b, b^n + a) = g \] holds for all integers \( n > N \). (Note that \( \gcd(x, y) \) denotes the greatest common divisor of integers \( x \) and \( y \).)

Leia kõik positiivsete täisarvude paarid $(a, b)$, mille jaoks leiduvad sellised positiivsed täisarvud $g$ ja $N$, et kõigi täisarvude $n \ge N$ korral kehtib võrdus \[\gcd(a^n + b, b^n + a) = g.\] (Kirjutis $\gcd(x, y)$ tähistab täisarvude $x$ ja $y$ suurimat ühistegurit.)

Määritä kaikki positiivisten kokonaislukujen parit $(a, b)$, joilla on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut $g$ ja $N$, että yhtälö \[ \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \] pätee kaikilla kokonaisluvuilla $n \ge N$. (Huomaa, että $\gcd(x, y)$ tarkoittaa lukujen $x$ ja $y$ suurinta yhteistä tekijää.)

Déterminer tous les couples \( (a, b) \) d'entiers strictement positifs pour lesquels il existe des entiers strictement positifs \( g \) et \( N \) tels que l'égalité \[ \text{PGCD}(a^n + b, b^n + a) = g \] soit vérifiée pour tout entier \( n \geq N \). (On rappelle que \( \text{PGCD}(x, y) \) désigne le plus grand commun diviseur des entiers \( x \) et \( y \).)

Man bestimme alle Paare \( (a, b) \) positiver ganzer Zahlen, für die es positive ganze Zahlen \( g \) und \( N \) gibt, sodass \[ \mathrm{ggT}(a^n + b, b^n + a) = g \] für alle ganzen Zahlen \( n \geq N \) gilt. (Dabei bezeichnet \( \mathrm{ggT}(x, y) \) den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen \( x \) und \( y \).)

מצא את כל הזוגות של שלמים חזקים \((a, b)\) עבורם קיימים שלמים חזקים \(g, N > 1\) המקיימים \(gcd(a^n + b, b^n + a) = g\) לכל \(n\) שלם. (כאשר \(\gcd(x, y)\) מסמן את המחלק המשותף המרבי של השלמים \(x-y\).)

2. feladat Határozzuk meg az összes, pozitív egészekből álló $(a, b)$ számpárt, melyre léteznek $g$ és $N$ pozitív egészek úgy, hogy \[ \text{lnko}(a^n + b, b^n + a) = g \] teljesül minden $n \geq N$ egészre. (Az $x$ és $y$ egész számok legnagyobb közös osztóját $\text{lnko}(x, y)$ jelöli.)

Determinare tutte le coppie $(a,b)$ di interi positivi per cui esistono interi positivi $g$ ed $N$ tali che\\ \[\text{MCD}(a^n + b,\ b^n + a) = g\]\\ è soddisfatta per tutti i numeri interi $n \geq N$. (Si noti che $\text{MCD}(x,y)$ indica il massimo comun divisore degli interi $x$ e $y$.)

正の整数の組 \( (a, b) \) であって，次をみたす正の整数 \( g \) と \( N \) が存在するようなものをすべて求めよ． 任意の整数 \( n \geq N \) について \( \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \) が成り立つ． (ただし，正の整数 \( x, y \) に対し，\( x \) と \( y \) の最大公約数を \( \gcd(x, y) \) で表す．)

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \( g \) 와 \( N \) 이 존재하는 양의 정수의 순서쌍 \( (a,b) \) 를 모두 찾아라. (조건) 모든 정수 \( n \ge N \) 에 대하여 \( \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \) 이다. (단, \( \gcd(x,y) \) 는 두 정수 \( x, y \) 의 최대공약수이다.)

Atrast visus naturālu skaitļu pārus \( (a, b) \), kuriem eksistē naturāli skaitļi \( g \) un \( N \) ar īpašību, ka\\\ \[\gcd(a^n + b, b^n + a) = g\]\\\nizpildās visiem naturāliem skaitļiem \( n \geq N \). (Ar \( \gcd(x, y) \) apzīmē skaitļu \( x \) un \( y \) lielāko kopīgo dalītāju.)

Raskite visas natūraliųjų skaičių poras \( (a, b) \), su kuriomis egzistuoja tokie natūralieji skaičiai \( g \) ir \( N \), kad lygybė \[ DBD(a^n + b, b^n + a) = g \] galioja su visais sveikaisiais \( n \geq N \). (Čia \( DBD(x, y) \) žymi sveikųjų skaičių \( x \) ir \( y \) didžiausiąjį bendrą daliklį.)

Одредете ги сите парови \( (a, b) \) од позитивни цели броеви за кои постојат позитивни цели броеви \( g \) и \( N \) такви што \[ \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \] важи за секој цел број \( n \geq N. \) (Со \( \gcd(x, y) \) е означен најголемиот заеднички делител на целите броеви \( x \) и \( y. \))

Bestem alle par \( (a, b) \) av positive heltall for hvilke det finnes positive heltall \( g \) og \( N \) slik at \[ \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \] holder for alle heltall \( n \geq N \). (Merk at \( \gcd(x, y) \) betegner den største felles faktoren til \( x \) og \( y \).)

Wyznaczyć wszystkie pary \((a, b)\) dodatnich liczb całkowitych, dla których istnieją takie dodatnie liczby całkowite \( g \) i \( N \), że \[ \text{NWD}(a^n + b, b^n + a) = g \] dla wszystkich liczb całkowitych \( n \geq N \). (Napis \( \text{NWD}(x, y) \) oznacza największy wspólny dzielnik liczb całkowitych \( x \) i \( y \).)

Determine todos os pares \( (a, b) \) de inteiros positivos para os quais existem inteiros positivos \( g \) e \( N \) tais que \[ \text{mdc}(a^n + b, \, b^n + a) = g \] Cumpre-se para todos os inteiros \( n \geq N \) (note que \( \text{mdc}(x,y) \) representa o máximo divisor comum dos inteiros \( x \) e \( y \)).

Determinați toate perechile $(a, b)$ de numere naturale nenule pentru care există numerele naturale nenule $g$ și $N$ astfel încât egalitatea \[\text{cmmdc}(a^n + b, b^n + a) = g\] este satisfăcută pentru orice număr natural $n \geq N$. (Notăm cu \text{cmmdc}$(x, y)$ cel mai mare divizor comun al numerelor întregi $x$ și $y$.)

Задача 2. Найдите все пары $(a, b)$ положительных целых чисел, для которых существуют такие положительные целые $g$ и $N$, что $$\text{НОД}(a^n + b, b^n + a) = g$$ для всех целых чисел $n \geq N$. (Здесь $\text{НОД}(x, y)$ обозначает наибольший общий делитель целых чисел $x$ и $y$.)

Určte všetky dvojice kladných celých čísel $(a, b)$, pre ktoré existujú kladné celé čísla $g$ a $N$ také, že $$ \text{NSD}(a^n + b, b^n + a) = g $$ platí pre všetky celé čísla $n \geq N$. (Zápisom $\text{NSD}(x, y)$ označujeme najväčšieho spoločného deliteľa celých čísel $x$ a $y$.)

Določi vse pare \( (a, b) \) naravnih števil, za katere obstajata naravni števili \( g \) in \( N \), tako da velja \[ D(a^n + b, b^n + a) = g \] za vsa naravna števila \( n \geq N \). (Opomba: izraz \( D(x, y) \) označuje največji skupni delitelj celih števil \( x \) in \( y \).)

Determinar todas las parejas $(a, b)$ de enteros positivos para las que existen enteros positivos $g$ y $N$ tales que $$\text{mcd}(a^n + b, b^n + a) = g$$ se cumple para todo $n \geq N$. (Nota: mcd$(x, y)$ denota el máximo común divisor de $x$ e $y$.)

Bestäm alla par \( (a, b) \) av positiva heltal för vilka det existerar positiva heltal \( g \) och \( N \) sådana att\\ \\ \( \gcd(a^n + b, b^n + a) = g \)\\ \\ för alla heltal \( n \geq N \). (Notera att \( \gcd(x, y) \) betecknar den största gemensamma delaren av heltalen \( x \) och \( y \).)

จงหาคู่จำนวณจำนวนเต็มบวก $(a, b)$ ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า มีจำนวนเต็มบวก $g$ และ $N$ ที่ทำให้ \\ $\gcd(a^n + b, b^n + a) = g$ \\ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม $n \geq N$ (ในนี้่ที่ $\gcd(x, y)$ หมายถึงตัวหารร่วมมากของจำนวณเต็ม $x$ และ $y$)

Aşağıdaki koşulu sağlayan tüm \((a,b)\) pozitif tam sayı ikililerini bulunuz: \((a,b)\) ikilisi için, öyle \( g \) ve \( N \) pozitif tam sayıları vardır ki, tüm \( n \geq N \) tam sayıları için \[ \text{ebob}(a^n + b, b^n + a) = g \] eşitliği sağlanır. (\( \text{ebob}(x,y) \) ifadesi, \( x \) ve \( y \) tam sayılarının en büyük ortak bölenini göstermektedir.)

Задача 4. Нехай $ ABC $ — трикутник, у якого $ AB < AC < BC $. Точка $ I $ — центр вписаного кола $ \omega $ трикутника $ ABC $. Нехай $ X, X \neq C $, — така точка на прямій $ BC $, що пряма, яка проходить через точку $ X $ паралельно прямій $ AC $, дотикається кола $ \omega $. Аналогічно, нехай $ Y, Y \neq B $, — така точка на прямій $ BC $, що пряма, яка проходить через точку $ Y $ паралельно $ AB $, дотикається кола $ \omega $. Нехай пряма $ AI $ вдруге перетинає описане коло трикутника $ ABC $ в точці $ P $. А точки $ K $ та $ L $ — середини відрізків $ AC $ та $ AB $ відповідно. Доведіть, що $ \angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ} $. Задача 5. Равлик Богдан грає на дошці, що має 2024 рядки та 2023 стовпці. У клітинках дошки ховаються 2022 монстри, кожний з яких займає рівно одну клітинку. Спочатку Богдан не знає розташування жодного монстра, але він знає, що в кожному рядку, крім першого і останнього, ховається рівно один монстр. Богдан також знає, що в кожному стовпчику ховається не більше, ніж один монстр. Богдан у кілька спроб намагається перейти з першого рядка в останній. Кожна спроба починається з того, що Богдан обирає будь-яку початкову клітинку в першому рядку. Далі він рухається клітинками, послідовно переходячи з однієї клітинки на сусідню, що має спільну сторону з попередньою. Під час однієї спроби Богдан може повертатись до клітинок, на яких він вже бував раніше. Якщо Богдан потрапляє на клітинку з монстром, спроба завершується і він переноситься в перший рядок для нової спроби. Монстри не рухаються дошкою, і Богдан пам’ятає, чи є монстри в клітинках, в яких він бував раніше. Якщо Богдан потрапляє в будь-яку клітинку останнього рядка, спроба та гра завершуються. Знайдіть найменше натуральне число $ n $, для якого Богдан має стратегію, щоб гарантовано потрапити в останній рядок на $ n $-ій спробі або раніше незалежно від розташування монстрів. Задача 6. Нехай $ \mathbb{Q} $ — множина раціональних чисел. Функцію $ f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ називають чарівною, якщо виконується така властивість: для будь-яких $ x, y \in \mathbb{Q} $ $ f(x + f(y)) = f(x) + y $ або $ f(f(x) + y) = x + f(y) $. Доведіть, що існує таке ціле число $ c $, що для будь-якої чарівної функції $ f $ існують не більше ніж $ c $ різних раціональних чисел виду $ f(r) + f(-r) $, де $ r \in \mathbb{Q} $, та знайдіть найменше значення числа $ c $. Language: Ukrainian. Час виконання: 4 години 30 хвилин. Кожна задача оцінюється в 7 балів.

Xác định tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $g$ và $N$ thỏa mãn \[ \operatorname{gcd}(a^n + b, b^n + a) = g \] với mọi số nguyên $n \geq N$. (Trong đó, $\operatorname{gcd}(x, y)$ ký hiệu ước chung lớn nhất của các số nguyên $x$ và $y$.)

Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif \( (a, b) \) sehingga terdapat bilangan bulat positif \( g \) dan \( N \) yang memenuhi \[ \mathrm{FPB}(a^n + b, b^n + a) = g \] untuk semua bilangan bulat \( n \ge N \). (Perhatikan bahwa $\mathrm{FPB}(x, y)$ menyatakan faktor persekutuan terbesar dari bilangan bulat \( x \) dan \( y \). )

Πρόβλημα 2. Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $(a,b)$, για τα οποία υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $g$ και $N$ τέτοιοι, ώστε η ισότητα $$\text{ΜΚΔ}(a^n + b, b^n + a) = g$$ να ισχύει για κάθε ακέραιο $n \geq N$. (Με ΜΚΔ$(x,y)$ συμβολίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των ακεραίων $x$ και $y$.)