ماذا تسمى المسافة من مركز الدائرة إلى أية نقطة من محيطها ؟
الدَّائرَة هي شكلٌ مُغلقٌ بسيطٌ مُستوٍ في الهَندسِةِ الإقليدية. تُعرّف الدّائرة على أنّها المحل الهندسي لنقاط غير منتهية واقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدائرة.[ملاحظة 1][1][2][3] وبشكل مكافئ هي مُنحنىً ترسمه النّقطة المتحرّكة ذات مسافة ثّابتة مع نقطة ثابتة أخرى. تُسمّى المسافة من أي نقطة من على المحيط إلى المركز نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، وينتج عن قسمة محيط الدّائرة على قطرها عدداً حقيقيّاً يُعرف بالثّابت الرّياضي π {\displaystyle \pi } (ط).
في الهندسة الرياضية يطلق على مجموعة ما من النقاط اسم "نقاط مشتركة بدائرة" إذا كانت هذه النقاط تقع على محيط دائرة مشتركة، أي أن البعد بين كل منها وبين نقطة ما متساو، وتلك النقطة هي مركز الدائرة.
لكي تكون النقاط مشتركة بدائرة، يجب أن تكون المنصفات العمودية لكل نقطتين منها تلتقي في نقطة واحدة هي مركز الدائرة المحيطة بالنقاط.
 كل نقطة متساوية البعد عن طرفي قطعة مستقيمة تكون واقعة على منصفها العمودي.
البرهان: إذا كانت النقطة O متساوية البعد عن طرفي PQ أي OP = OQ، نرسم OM حيث M منتصف PQ، عندئذٍ:
MP = MQ
OP = OQ
OM ضلع مشتركة
وبالتالي المثلثان OMP وOMQ متطابقان بحسب حالة (ضلع.ضلع.ضلع)، ومنه formula_1، لكن formula_2 تشكل مع formula_3 زاوية مستقيمة، وبالتالي formula_4، ومنه OM منصف عمودي لـ PQ، وO واقعة عليه.
البرهان: بفرض PQ قطعة مستقيمة محورها OM، فإن :
MP=MQ
OM ضلع مشتركة
formula_5 ومنه المثلثان OMP وOMQ مثلثان متطابقان بحسب حالة (ضلع.زاوية.ضلع)، ومن التطابق ينتج أن OP = OQ.
رؤوس أي مثلث تشترك بدائرة، الدائرة المشتركة تسمى الدائرة المحيطة بالمثلث، ويحسب نصف قطرها، بأطوال أضلاع المثلث a، b، c:
formula_6
يحاط المضلع ABCD بدائرة إذا وفقط إذا كانت formula_7 ويحسب نصف قطر الدائرة المحيطة بدلالة أطوال الأضلاع a، b، c، d، ونصف المحيط S حيث formula_8 ، بالقانون: formula_9 وقد استنتج هذا القانون لأول مرة من قبل العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا في القرن الخامس عشر.
وبفرض ABCD شكل رباعي، وبحسب مبرهنة بطليموس فإنه دائري إذا وفقط إذا كان جداء القطرين يساوي مجموع جداءي كل ضلعين متقابلين أي أن:
formula_10.
وإذا كانت النقطة X هي نقطة تلاقي القطرين ACو BD فإن ABCD شكل دائري إذا وفقط إذا كان:
formula_11.
تعرف هذه النظرية باسم قوة نقطة.
بشكل عام، تكون المضلعات دائرية إذا كانت منصفاتها العمودية تلتقي في نقطة واحدة، وتلك النقطة هي مركز الدائرة.