متى  نشأت نظرية الزمر في الرياضيات؟
نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها.1[›] قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983.2[›] أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.
زمر التماثل هي زمر تتكون من تناظرات كائنات هندسية معينة ذات طبيعة هندسية (كزمرة التماثل للمربع المشروحة سابقًا) أو جبرية (مثل المعادلات كثيرة الحدود وحلولها).[47] ومن الناحية النظرية، يمكن أن تعَد نظرية الزمر دراسةً للتناظر.20[›] تبسط التناظرات في الرياضيات دراسةَ الكائنات الهندسية والتحليلية تبسيطًا بالغًا. يُقال عن زمرة ما أنها تؤثر على كائن رياضي آخر X {\displaystyle X\!} إذا كان كل عنصر للزمرة يؤدي عملية ما على X {\displaystyle X\!} بالانسجام مع قانون الزمرة. وكما في المثال أدناه، فإن عنصرًا من الرتبة 7 من زمرة المثلث (2,3,7) يؤثر على التبليط بتبديل المثلثات الملتوية المظللة (والمثلثات الأخرى أيضًا). يرتبط نمط الزمرة المؤثرة ببنية الكائن المتأثر من خلال تأثير الزمرة.