Jeg er meget uenig i løsningen af "notationsproblemet" kl. 19'13". Problemet er godt understreget, men dårligt løst, hvis en kat skal kaldes en kat! Der løber faktisk lidt "rod" rundt der, i forelæsningsnotationen, og forvirringen stiger med paradoks fra en noget anden årsag end den understregede, hvis RIGOR skal hedde RIGOUR! Det lille "rod", der er kernen af disse forvekslinger er simpelthen, at gennem ændringen af variabler, selvom f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), som er NUMERISKE LIGHEDER, og som er NUMERISK sande, ikke desto mindre funktionerne f og g ER IKKE det samme, da f : (x,y) --> f(x,y)=x+y, og g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, SOM ER ækvivalent skrevet (da variabler er "DUMMY VARIABLER") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. Fra denne strenge funktionelle (eller algoritmiske) måde at se på det er indlysende, at f og g er FORSKELLIGE algoritmer, det vil sige FORSKELLIGE funktioner! Med tingene afklaret på denne måde, er alle forvirringer, fare, paradoks... simpelthen forsvind : (df/dx)y = 1, og (dg/du)v=2 Ikke mere pb!...Mere over, vær nu tydeligt klar over, at vi kan skrive med absolut strenghed: (dg /du)v = (dg/dx)y, MEN KUN HVIS DU LÆSER DENNE IDENTITET PÅ DEN KORREKT MÅDE, SKAL MAN LÆSE DEN, DET ER GJENNEM "FUNCTIONS SPIRIT", OG IKKE "nummerånd". Hvorfor det? Fordi variabler i disse udtryk ER OG SKAL SER PÅ SOM "DUMMY VARIABLER"! Mere præcist, hvad begge disse udtryk (dg/du)v eller (dg/dx)y virkelig betyder, er simpelt og utvetydigt: DIRIVE MED HENSYN TIL DEN FØRSTE VARIABEL (AF DET BESTILLEDE PAR, AF KVARDSPRODUKTET AF SÆT) , HOLDER DEN ANDEN "VARIABEL" KONSTANT. Derfor kunne vi tilsvarende have skrevet (dg/dk)@ (eller andre skøre "navne" på variabler), hvis vi havde defineret funktionen "i et sådant CHART", mærket (k,@), med :g : (k , @) --> 2k+@DETTE er den eneste måde at sætte tingene rigtigt klart og stringent på, uden nogensinde at give anledning til notationsforvirring eller paradoks! Simpelthen ved at kalde en funktion for en funktion, og IKKE "en kat en hund", rode rundt med ord og begreber, gennem temmelig "fysiker" lazy notationer, som engang viser sig at være "dårlige" vaner. Det er faktisk en KÆDEREGELFEJL, der opstår, når man vildledende identificerer f med g. Hvis man virkelig ønsker at differentiere med hensyn til den samme variabel, for eksempel x, ved at holde y konstant, er det muligt! Men for at udføre det uden noget rod og fejltagelse, SKAL man IKKE naivt sammenligne (df/dx)y=1 med (dg/du)/v=2, som klart er FORSKELLIGE (og der er ikke noget galt med det!). Men i stedet SKAL man tænke "funktionelt" i stedet for "numerisk"! Det betyder, at man klart skal beregne den "KÆDEDE FUNKTION" G, som er forskellig fra g, men som er relateret til g ved ændringen af variabel. Vi udtrykker således først ændringen af variabel på den ORDENTLIGE MÅDE! Det vil sige som følgende FUNKTION :C : (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x)Vi husker således, at FUNKTIONEN g er defineret som følgende algoritme :g : (@,#) --> 2@ +#, eller tilsvarende (da hvad enhver funktion virkelig ER, ER den definerer ALGORITHME!), men mere bekvemt (for vores KÆDEFUNKTIONER MÅL) :g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+vDisse to FUNKTIONER er nu klogt kædet til at bygge FUNKTIONEN G defineret som følger:G(x,y) = g(u) ,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)((x,y)) = (goC)(x,y)Vi ser nu tydeligt, hvad denne FUNKTION G er: DEN KÆREDE FUNKTION AF g og C :G = goCDet centrale "o", der betyder KÆRING (KOMPOSITION) OPERATIONEN PÅ FUNKTIONELLT RUM, defineret generelt for to vilkårlige funktioner A : E--> F, og B : F --> G, meget enkelt som :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))Som alternativt kunne hedde "THE BOA RULE" i stedet for de sædvanlige "tåge" og "gof" af "FUNCTION CHAINING"... (joke!)I vores eksempel vi får så endelig, da u=x og v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +ySÅ VI "OPDAGER" AT for alle x og alle y har vi :G(x,y ) = f(x,y)Det betyder FUNKTIONEL LIGHED :G=fSå hvad har vi gjort? vende sig om? Ja, på en måde, fordi vi har INSISTERET i at differentiere g med hensyn til x, I EN NUMERISK FORSTAND, i stedet for at gøre det på en FUNKTIONEL GODT MÅDE, dvs. #) --> g(@,#) = 2@ + #Så, i denne NUMERISKE SENS, er x ikke længere en DUMMY VARIABEL, men et "NUMMER KNYTTET TIL f"! Fysikeren ville kalde det en "fysisk observerbar". Denne måde at anskue tingene på gør det kompliceret og kan føre til forvirring, hvis man ikke tydeligt forstår KÆDEFUNKTIONSTØGLEN OG DEN FAKTISKE KORTLÆGNING AF MANIFOLDEN KORT (SÅDAN ÆNDRINGER AF KARTOMFORMATIONER, der ofte kan differentieres for en almindelig manifold), der ligger under alle dette... Vi har altså i en vis forstand "vendt om", hvilket fører til G=f! Men gør vi det, HAR vi ikke desto mindre TYDELIGT SKRIVET TING I KÆDEFUNKTIONER PÅ DEN ORDENTLIGE MÅDE, der viser sig at være EKSTREMT NYTTIGE i højere og mere abstrakt DIFFERENTIALGEOMETRI, hvor afgørende begreber DÆKNING og UNIVERSEL DÆKNING, TANGENTRUM, GRUPPE, LØGNALGEBRA, LØGNEDERIVANT. DERIVAT, FORBINDELSER, FORSKELLIGE FORMER, .. for eksempel, er nyttigt udspringende og kræver, at KÆDEFUNKTIONSPROCESSEN klart forstås og mestres! Endelig vil ofte dette misbrug af notation, som vildledende sætter f=g, blive håndteret uden skade af den "menneskelige computer", med nogle vaner og smidighed. MEN kun i ret let område. Tværtimod vil det føre til katastrofale forvirringer, misforståelser, dybt falske resultater og chear non sens fortolkninger, i mere sludder områder ... ens, ikke for at navngive dem, generel relativitetsteori, riemansk differentialgeometri, kondenseret stof, plasma osv. BETJENING AF .KÆDEFUNKTION er en af de mest enkle, men vigtige i al matematik! Det er byggestenen af indlejrede strukturer, den ene inde i den anden Pandora-kasse, MEN "BOXES", DER AFSLÅR FASCINERENDE STRUKTURER SOM GRUPPE, ALGEBRA, CLIFFORD,...TOPOS... : PointsFunctions, fra point til pointsFunctional (eller Operator), fra funktioner til funktioner osv...Alt inkluderet I...KATEGORI Groetendick SPIRIT...deap!####[]