Ik ben het absoluut niet eens met de oplossing van het "notatieprobleem" op 19'13". Het probleem wordt goed benadrukt, maar slecht opgelost, als een kat een kat genoemd zou moeten worden! Er loopt inderdaad een kleine "rommel" rond, in de notatie van de lezing, en de verwarring neemt toe met paradoxen door een heel andere oorzaak dan die benadrukt, als RIGOUR RIGOUR genoemd moet worden! De kleine "rommel" die de kern vormt van deze verwarringen is simpelweg dat, door de verandering van variabelen, hoewel f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), die NUMERIEKE GELIJKHEDEN zijn en die NUMERIEK waar zijn, desondanks de functies f en g NIET hetzelfde ZIJN, aangezien f : (x,y) --> f(x,y)=x+y, en g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, WAT equivalent geschreven is (aangezien variabelen "DUMMY VARIABELEN" zijn) g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. Vanuit deze rigoureuze functionele (of algoritmische) manier om ernaar te kijken, is het duidelijk dat f en g VERSCHILLENDE algoritmen zijn, dat wil zeggen VERSCHILLENDE functies! Met de zaken op deze manier verduidelijkt, verdwijnen alle verwarringen, gevaren, paradoxen... eenvoudigweg: (df/dx)y = 1, en (dg/du)v=2 Geen pb meer!... Bovendien, wees je er nu duidelijk van bewust dat we met absolute rigoureus kunnen schrijven: (dg/du)v = (dg/dx)y, MAAR ALLEEN ALS JE DEZE IDENTITEIT OP DE JUISTE MANIER LEEST, DAT IS VIA "FUNCTIES GEEST", EN NIET "getallengeest". Waarom dat? Omdat variabelen in deze uitdrukkingen, WORDEN EN MOETEN WORDEN GEZIEN ALS "DUMMY VARIABELEN"! Preciezer gezegd, wat beide uitdrukkingen (dg/du)v of (dg/dx)y werkelijk betekenen, is eenvoudig en ondubbelzinnig: DIRIVE MET BETREKKING TOT DE EERSTE VARIABELE (VAN HET GEORDENDE PAAR, VAN HET KRUISPRODUCT VAN VERZAMELINGEN), DE TWEEDE "VARIABELE" CONSTANT HOUDEND. Daarom hadden we gelijkwaardig (dg/dk)@ (of andere gekke "namen" van variabelen) kunnen schrijven, als we de functie "in zo'n GRAFIEK" hadden gedefinieerd, gelabeld (k,@), door :g : (k , @) --> 2k+@DIT is de enige manier om zaken werkelijk duidelijk en rigoureus te stellen, zonder ooit aanleiding te geven tot enige notatieverwarring of paradox! Gewoon door een functie een functie te noemen, en NIET "een kat een hond", door te rommelen met woorden en concepten, door middel van eerder "fysische" trage notaties die soms "slechte" gewoonten blijken te zijn. Het is in feite een KETTINGREGELFOUT die ontstaat wanneer men f misleidend identificeert met g. Als men echt wil differentiëren met betrekking tot dezelfde variabele, bijvoorbeeld x, en y constant wil houden, is dat mogelijk! Maar om dat zonder rommel en fouten te doen, MOET men NIET naïef (df/dx)y=1 vergelijken met (dg/du)/v=2, die duidelijk VERSCHILLEND zijn (en daar is niets mis mee!). Maar in plaats daarvan MOET men "functioneel" denken in plaats van "numeriek"! Dat betekent dat men de "KETENFUNCTIE" G duidelijk moet berekenen, die verschilt van g, maar die gerelateerd is aan g door de verandering van variabele. We drukken dus eerst de verandering van variabele op de JUISTE MANIER uit! Dat wil zeggen, als de volgende FUNCTIE: C: (x, y) --> C(x, y) = (u, v) = (x, y - x)We herinneren ons dus dat de FUNCTIE g is gedefinieerd als het volgende algoritme: g: (@, #) --> 2@ + #, of gelijkwaardig (aangezien wat elke functie werkelijk IS, IS het definiërende ALGORITME!), maar handiger (voor ons DOEL VAN HET KETTEN VAN FUNCTIES): g: (u, v) --> g(u, v) = 2u+vDeze twee FUNCTIES worden nu verstandig GEKETEN om de FUNCTIE G te bouwen die als volgt is gedefinieerd: G(x, y) = g(u, v) = g( (u, v) ) = g(C(x, y)) = (goC)( (x, y) ) = (goC)(x, y)We zien nu duidelijk wat deze FUNCTIE G is: DE GEKOPPELDE FUNCTIE VAN g en C :G = goCDe centrale "o" betekent de KETENBEWERKING (SAMENSTELLING) OP DE FUNCTIONELE RUIMTE, in het algemeen gedefinieerd voor twee functies A : E--> F, en B : F --> G, heel eenvoudig als :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))Wat dus ook "DE BOA-REGEL" genoemd zou kunnen worden in plaats van de gebruikelijke "mist" en "gof" van "FUNCTIEKETEN"... (grapje!)In ons voorbeeld krijgen we dan uiteindelijk, omdat u=x en v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +yZO "ONTDEKKEN" WE DAT voor alle x en alle y, hebben we :G(x,y) = f(x,y)Dat betekent FUNCTIONELE GELIJKHEID :G=fDus wat hebben we gedaan? Omkeren? Ja, in zekere zin, omdat we erop hebben GEÏNSPIREERD om g te differentiëren met betrekking tot x, IN EEN NUMERIEKE GEVOEL, in plaats van het op een FUNCTIONELE ECHTE MANIER te doen, dat wil zeggen, differentiëren met betrekking tot zijn EERSTE variabele in het ALGORITME g : (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #Dus, in deze NUMERIEKE GEVOEL, is x niet langer een DUMMY VARIABELE, maar een "GETAL GEKOPPELD AAN f"! De natuurkundige zou het een "fysisch waarneembare" noemen. Deze manier van kijken naar de zaken maakt het ingewikkeld en kan leiden tot verwarring als men de SLEUTEL VAN DE KETTINGFUNCTIE EN DE IN FEITE DE KAARTVERDELING VAN DE VEELVULDIGE GRAFIEKEN (ALS DUS VERANDERING VAN DE TRANSFORMATIES VAN GRAFIEKEN, vaak differentieerbaar voor een regelmatige veelvoud) die hieraan ten grondslag ligt, niet goed begrijpt... We zijn dus in zekere zin "omgedraaid", wat leidt tot G=f! Maar door dit te doen HEBBEN WE DESALNIET DUIDELIJK GESCHREVEN DINGEN IN DE JUISTE MANIER VAN DE KETTINGFUNCTIE, die EXTREEM NUTTIG blijken te zijn in hogere en meer abstracte DIFFERENTIAALMEETKUNDE, waar cruciale concepten van BEKLEDING en UNIVERSELE BEKLEDING, RAAKTRUIMTE, GROEP, LIE-ALGEBRA, LIE-AFGELEIDE, COVARIANT-AFGELEIDE, VERBINDINGEN, DIFFERENTIAALVORMEN,..bijvoorbeeld, nuttig opduiken, waarbij het KETTINGFUNCTIEPROCES duidelijk moet worden begrepen en beheerst! Ten slotte zal dit misbruik van notatie, dat misleidend f=g instelt, vaak zonder schade worden afgehandeld door de "menselijke computer", met enige gewoontes en behendigheid. MAAR alleen op vrij eenvoudig gebied. In tegendeel, het zal leiden tot catastrofale verwarringen, misverstanden, darmatisch valse resultaten en chear non-sens interpretaties, in meer subtiele gebieden... gelijk, niet om ze te benoemen, algemene relativiteit, Riemanische differentiële meetkunde, gecondenseerde materie, plasma, etc... KETTINGFUNCTIEBEWERKING is een van de meest eenvoudige, maar belangrijkste in alle wiskunde! Het is de bouwsteen van geneste structuren, een in de andere gelijk Pandora-doos, MAAR "DOZEN" DIE FASCINERENDE STRUCTUREN ONTHULLEN ZOALS GROEP, ALGEBRA, CLIFFORD,...TOPOS... : PuntenFuncties, van punten naar puntenFunctioneel (of Operator), van functies naar functies, etc...Alles inbegrepen IN...CATEGORIE Groetendick SPIRIT...deap!####[]