Tôi rất không đồng ý với cách giải quyết "vấn đề ký hiệu" ở 19'13". Vấn đề được nhấn mạnh rất nhiều, nhưng giải quyết không tốt, nếu một con mèo được gọi là một con mèo! Thực sự có một chút "mớ hỗn độn" đang chạy quanh đó, trong ký hiệu bài giảng, và sự nhầm lẫn đang gia tăng với nghịch lý từ một nguyên nhân khá khác so với nguyên nhân được nhấn mạnh, nếu gọi là RIGOUR! "Mớ hỗn độn" nhỏ nằm ở cốt lõi của những sự nhầm lẫn này chỉ đơn giản là, thông qua việc thay đổi các biến, mặc dù f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), là các BẰNG ĐỘ SỐ và đúng VỀ SỐ, tuy nhiên các hàm f và g KHÔNG giống nhau vì f : (x,y) --> f(x,y)=x+y, và g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, ĐƯỢC viết tương đương (vì các biến là "BIẾN GIẢ") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. Từ cách nhìn hàm số (hoặc thuật toán) nghiêm ngặt này, rõ ràng là f và g là các thuật toán KHÁC NHAU, nghĩa là các hàm KHÁC NHAU! Khi mọi thứ được làm sáng tỏ theo cách này, mọi sự nhầm lẫn, nguy hiểm, nghịch lý... đều biến mất: (df/dx)y = 1, và (dg/du)v=2 Không còn pb nữa!... Hơn nữa, giờ hãy nhận thức rõ ràng rằng chúng ta có thể viết, với sự nghiêm ngặt tuyệt đối: (dg/du)v = (dg/dx)y, NHƯNG CHỈ KHI BẠN ĐỌC BẢN SẮC NÀY THEO CÁCH ĐÚNG, NGƯỜI TA NÊN ĐỌC NÓ, ĐÓ LÀ THÔNG QUA "THẦN SỐ HÀM", CHỨ KHÔNG PHẢI "THẦN SỐ". Tại sao vậy? Bởi vì các biến trong các biểu thức này, LÀ VÀ PHẢI ĐƯỢC XEM NHƯ "BIẾN GIẢ"! Chính xác hơn, cả hai biểu thức này (dg/du)v hoặc (dg/dx)y, thực sự có nghĩa là, đơn giản và rõ ràng: DIRIVE ĐỐI VỚI BIẾN ĐẦU TIÊN (CẶP CÓ THỂ, CỦA TÍCH CHÉO CỦA CÁC TẬP HỢP), GIỮ "BIẾN" THỨ HAI HẰNG SỐ. Do đó, chúng ta có thể viết tương đương (dg/dk)@ (hoặc bất kỳ "tên" biến điên rồ nào khác), nếu chúng ta định nghĩa hàm "trong BIỂU ĐỒ như vậy", được gắn nhãn (k,@), bằng :g : (k, @) --> 2k+@ ĐÂY là cách duy nhất để diễn đạt mọi thứ thực sự rõ ràng và chặt chẽ, mà không bao giờ gây ra bất kỳ sự nhầm lẫn hoặc nghịch lý nào về ký hiệu! Chỉ cần gọi một hàm là một hàm, và KHÔNG phải "mèo thành chó", loay hoay với các từ ngữ và khái niệm, thông qua các ký hiệu khá "vật lý" đôi khi lại trở thành thói quen "xấu". Trên thực tế, đây là SAI LẦM QUY TẮC CHUỖI phát sinh khi một người nhầm lẫn xác định f với g. Nếu một người thực sự muốn phân biệt đối với cùng một biến, ví dụ như x, giữ y không đổi, thì điều đó là có thể! Nhưng để thực hiện điều đó mà không có bất kỳ sự lộn xộn và sai lầm nào, người ta KHÔNG NÊN ngây thơ so sánh (df/dx)y=1 với (dg/du)/v=2, rõ ràng là KHÁC NHAU (và không có gì sai về điều đó!). Nhưng thay vào đó, người ta NÊN nghĩ "về mặt chức năng" thay vì "về mặt số"! Điều đó có nghĩa là người ta phải tính toán rõ ràng "HÀM CHUỖI" G, khác với g, nhưng có liên quan đến g thông qua Biến đổi biến. Do đó, trước tiên chúng ta biểu thị biến đổi theo CÁCH THỰC TẾ! Tức là, như sau HÀM :C : (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x)Do đó, chúng ta nhớ lại rằng HÀM g được định nghĩa là thuật toán sau :g : (@,#) --> 2@ +#,hoặc tương đương (vì bất kỳ hàm nào thực sự LÀ, LÀ THUẬT TOÁN định nghĩa của nó!), nhưng thuận tiện hơn (cho MỤC TIÊU HÀM XÍCH ĐỒNG của chúng ta):g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+vHai HÀM này hiện được XÍCH ĐỒNG một cách khôn ngoan để xây dựng HÀM G được định nghĩa như sau:G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y)Bây giờ chúng ta thấy rõ HÀM G này là gì: HÀM XÍCH ĐỒNG CỦA g và C :G = goCChữ "o" ở giữa có nghĩa là XÍCH ĐỒNG (THÀNH PHÁP) TRÊN KHÔNG GIAN CHỨC NĂNG, được định nghĩa, nói chung, cho bất kỳ hai hàm nào A: E--> F, và B: F --> G, rất đơn giản là: BoA: E --> G, x --> BoA(x) = B(A(x)) Do đó, có thể được đặt tên thay thế là "QUY TẮC BOA" thay vì "fog" và "gof" thông thường của "CHUỖI CHỨC NĂNG"... (đùa thôi!) Trong ví dụ của chúng ta, cuối cùng, vì u=x và v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +y VẬY CHÚNG TA "PHÁT HIỆN" RẰNG đối với mọi x và mọi y, chúng ta có :G(x,y) = f(x,y)Điều đó có nghĩa là BẰNG ĐẲNG CHỨC NĂNG :G=fVậy chúng ta đã làm gì? Quay lại sao? Đúng vậy, theo nghĩa đen, vì chúng ta đã KHẲNG ĐỊNH phải phân biệt g theo x, THEO MỘT GIÁC QUAN SỐ, thay vì thực hiện theo MỘT CÁCH CHỨC NĂNG THÍCH HỢP, tức là phân biệt theo biến ĐẦU TIÊN của nó trong THUẬT TOÁN g : (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #Do đó, trong GIÁC QUAN SỐ này, x không còn là BIẾN GIẢ nữa, mà là "SỐ ĐƯỢC GẮN VÀO f"! Nhà vật lý sẽ gọi nó là "một biến vật lý có thể quan sát được". Cách nhìn nhận sự vật theo cách này làm cho mọi thứ trở nên phức tạp và có thể dẫn đến nhầm lẫn nếu người ta không hiểu rõ KHÓA CHỨC NĂNG CHUỖI VÀ THỰC TẾ LÀ BẢN ĐỒ BIỂU ĐỒ ĐA PHÂN (DO ĐÓ LÀ SỰ THAY ĐỔI BIỂU ĐỒ, thường có thể phân biệt được đối với một đa tạp thông thường) nằm bên dưới tất cả những điều này... Do đó, theo một nghĩa nào đó, chúng ta đã "quay lại", dẫn đến G=f! Nhưng khi làm như vậy, chúng ta vẫn CÓ NHỮNG ĐIỀU ĐƯỢC VIẾT RÕ RÀNG THEO CÁCH CHÍNH XÍCH CHỨC NĂNG, cho thấy CỰC KỲ HỮU ÍCH trong HÌNH HỌC VI PHẠM cao hơn và trừu tượng hơn, trong đó các khái niệm quan trọng về PHỦ và PHỦ PHỔ QUÁT, KHÔNG GIAN TIẾP XÚC, NHÓM, ĐẠI SỐ LIE, ĐẠO HÀM LIE, ĐẠO HÀM PHỤ BIỆN, CÁC KẾT NỐI, CÁC DẠNG VI PHẠM,..ví dụ, đang nảy sinh một cách hữu ích, cần phải hiểu rõ và nắm vững QUY TRÌNH HÀM XÍCH CHUỖI! Cuối cùng, thường thì việc lạm dụng ký hiệu này gây hiểu lầm khi đặt f = g, sẽ được "máy tính con người" xử lý mà không gây hại, với một số thói quen và sự nhanh nhẹn. NHƯNG chỉ trong một lĩnh vực khá dễ dàng. Ngược lại, nó sẽ dẫn đến những sự nhầm lẫn thảm khốc, những hiểu lầm, những kết quả sai lệch về mặt toán học và những diễn giải vô nghĩa, trong một lĩnh vực tinh tế hơn... tương tự, không phải để đặt tên, thuyết tương đối rộng, địa lý vi phân Rieman, vật chất ngưng tụ, plasma, v.v... HOẠT ĐỘNG HÀM XÍCH CHUỖI là một trong những hoạt động đơn giản nhất nhưng quan trọng nhất trong toàn bộ toán học! Đó là khối xây dựng của các cấu trúc lồng nhau, một bên trong các cấu trúc khác giống như hộp Pandora, NHƯNG "CÁC HỘP" TIẾT LỘ CÁC CẤU TRÚC HẤP DẪN NHƯ NHÓM, ĐẠI SỐ, CLIFFORD,... TOPOS... : ĐiểmHàm, từ điểm đến điểmHàm (hoặc Toán tử), từ hàm đến hàm, v.v... Tất cả đều được bao gồm TRONG... THỂ LOẠI Groetendick LINH HỒN... chết!####[]