Я крайне не согласен с решением "проблемы обозначений" в 19'13". Проблема хорошо подчеркнута, но плохо решена, если кошку следует называть кошкой! Небольшая "неразбериха" действительно бродит там, в лекционной нотации, и путаница возникает с парадоксом по совершенно другой причине, нежели та, которая подчеркивается, если СТРОГОСТЬ должна называться СТРОГОСТЬЮ! Небольшая "неразбериха", которая лежит в основе этих путаниц, заключается просто в том, что посредством замены переменных, хотя f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), которые являются ЧИСЛОВЫМИ РАВЕНСТВАМИ и которые ЧИСЛОВО истинны, тем не менее функции f и g НЕ ЯВЛЯЮТСЯ одним и тем же, поскольку f : (x,y) -> f(x,y)=x+y, и g : (u,v) -> g(u,v) = 2u+v, ЧТО эквивалентно записано (поскольку переменные являются "ФИКСАТОРНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y.С этого строгого функционального (или алгоритмического) взгляда на это, очевидно, что f и g - это РАЗНЫЕ алгоритмы, то есть РАЗНЫЕ функции!С таким прояснением вещей все путаницы, опасности, парадоксы... просто исчезают: (df/dx)y = 1, и (dg/du)v=2 Больше никаких pb!...Более того, теперь ясно осознайте, что мы можем записать с абсолютной строгостью: (dg/du)v = (dg/dx)y, НО ТОЛЬКО ЕСЛИ ВЫ ЧИТАЕТЕ ЭТО ТОЖДЕСТВО ПРАВИЛЬНЫМ ОБРАЗОМ, ЕГО СЛЕДУЕТ ЧИТАТЬ, А ЧЕРЕЗ "ДУХ ФУНКЦИЙ", А НЕ "дух чисел". Почему? Потому что переменные в этих выражениях ЯВЛЯЮТСЯ И ДОЛЖНЫ РАССМАТРИВАТЬСЯ КАК "ФИКСАТОРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ"! Точнее, то, что оба эти выражения (dg/du)v или (dg/dx)y, на самом деле означают, просто и недвусмысленно: НАПРАВЛЯТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЕРВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (УПОРЯДОЧЕННОЙ ПАРЫ, ПЕРЕКРЕСТНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ МНОЖЕСТВ), СОХРАНЯЯ ВТОРУЮ "ПЕРЕНОСНУЮ" ПОСТОЯННОЙ. Поэтому мы могли бы эквивалентно написать (dg/dk)@ (или любые другие безумные "имена" переменных), если бы мы определили функцию "в такой ДИАГРАММЕ", помеченную (k,@), как :g : (k , @) --> 2k+@ЭТО единственный способ выразить вещи по-настоящему ясно и строго, не вызывая никакой путаницы в обозначениях или парадокса! Просто называя функцию функцией, а НЕ "кошку собакой", возясь со словами и концепциями, посредством довольно "физических" ленивых обозначений, которые иногда оказываются "плохими" привычками. На самом деле это ОШИБКА ПРАВИЛА ЦЕПИ, которая возникает, когда кто-то ошибочно отождествляет f с g. Если кто-то действительно хочет дифференцировать по той же переменной, например x, сохраняя y постоянным, это возможно! Но чтобы сделать это без какой-либо путаницы и ошибки, НЕ СЛЕДУЕТ наивно сравнивать (df/dx)y=1 с (dg/du)/v=2, которые явно РАЗЛИЧАЮТСЯ (и в этом нет ничего плохого!). Вместо этого СЛЕДУЕТ думать «функционально», а не «численно»! Это означает, что нужно четко вычислить «ЦЕПНУЮ ФУНКЦИЮ» G, которая отличается от g, но которая связана с g посредством замены переменной. Таким образом, мы выражаем, во-первых, замену переменной ПРАВИЛЬНЫМ ОБРАЗОМ! То есть, как следующая ФУНКЦИЯ: C : (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x)Таким образом, мы вспоминаем, что ФУНКЦИЯ g определяется следующим алгоритмом: g : (@,#) --> 2@ +#, или эквивалентно (поскольку то, чем на самом деле является любая функция, - это ее определяющий АЛГОРИТМ!), но более удобно (для нашей ЦЕЛИ ЦЕПОЧКИ ФУНКЦИЙ): g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+vЭти две ФУНКЦИИ теперь разумно ОБЪЕДИНЕНЫ в ЦЕПОЧКУ, чтобы построить ФУНКЦИЮ G, определенную следующим образом: G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y)Теперь мы ясно видим, что представляет собой эта ФУНКЦИЯ G : ЦЕПОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОТ g и C :G = goCЦентральная "o" означает ЦЕПОЧНУЮ (КОМПОЗИЦИОННУЮ) ОПЕРАЦИЮ НА ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ, определенную, в общем, для любых двух функций A : E--> F и B : F --> G, очень просто как :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))Которую можно было бы, таким образом, альтернативно назвать "ПРАВИЛОМ BOA" вместо обычных "тумана" и "gof" в "ЦЕПОЧКЕ ФУНКЦИЙ"... (шутка!)В нашем примере мы тогда получаем, наконец, поскольку u=x и v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +ySO МЫ "ОБНАРУЖИВАЕМ", ЧТО для всех x и всех y, мы имеем :G(x,y) = f(x,y)Это означает ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ РАВЕНСТВО :G=fИтак, что мы сделали? Разворачиваемся? Да, в некотором смысле, потому что мы НАСТОЯЛИ на дифференцировании g относительно x, В ЧИСЛОВОМ СМЫСЛЕ, вместо того, чтобы сделать это ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ПРАВИЛЬНЫМ СПОСОБОМ, то есть дифференцируя относительно его ПЕРВОЙ переменной в АЛГОРИТМЕ g : (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #Таким образом, в этом ЧИСЛОВОМ СМЫСЛЕ, x больше не ФИКТИВНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ, а "ЧИСЛО, ПРИКРЕПЛЕННОЕ К f"! Физик назвал бы это "физической наблюдаемой". Такой взгляд на вещи усложняет их и может привести к путанице, если четко не понимать КЛЮЧЕВУЮ ФУНКЦИЮ ЦЕПИ И, ПО СУТИ, ОТОБРАЖЕНИЕ КАРТ МНОГООБРАЗИЯ (ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ КАРТ, часто дифференцируемые для регулярного многообразия), лежащее в основе всего этого... Таким образом, в некотором смысле, мы «развернулись», что привело к G=f! Но делая это, мы тем не менее ЯСНО ЗАПИСАЛИ ВЕЩИ В ЦЕПОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПРАВИЛЬНЫМ ОБРАЗОМ, которые оказываются КРАЙНЕ ПОЛЕЗНЫМИ в высшей и более абстрактной ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ, где важнейшие концепции ПОКРЫТИЯ и УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОКРЫТИЯ, КАСАТЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА, ГРУППЫ, АЛГЕБРЫ ЛИ, ПРОИЗВОДНОЙ ЛИ, КОВАРИАНТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ, СВЯЗЕЙ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ, например, полезно возникают, требуя ясного понимания и освоения ПРОЦЕССА ЦЕПОЧНОЙ ФУНКЦИИ! Наконец, часто это злоупотребление обозначениями, которое ошибочно устанавливает f=g, будет обработано без ущерба "человеческим компьютером", с некоторыми привычками и ловкостью. НО только в довольно легкой области. Напротив, это приведет к катастрофическим путаницам, заблуждениям, драматически ложным результатам и грубым бессмысленным интерпретациям в более узких областях... таких как, не называя их, общая теория относительности, риманова дифференциальная геометрия, конденсированное вещество, плазма и т. д. ОПЕРАЦИЯ ЦЕПОЧКИ ФУНКЦИЙ является одной из самых простых, но важных во всей математике! Это строительный блок вложенных структур, одна внутри другой, как ящик Пандоры, НО "КОРОБКИ", КОТОРЫЕ ОТКРЫВАЮТ УДИВИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ, ТАКИЕ КАК ГРУППА, АЛГЕБРА, КЛИФФОРД,... ТОПОС... : ТочкиФункции, от точек к точкамФункционал (или Оператор), от функций к функциям и т. д. Все включено В... КАТЕГОРИЮ Groetendick SPIRIT... глубок!####[]