أختلف بشدة مع حل "مشكلة التدوين" عند 19'13". المشكلة مؤكدة جيدًا، ولكن لم يتم حلها بشكل جيد، إذا كان يجب تسمية القطة قطة! هناك بالفعل "فوضى" صغيرة تجري هناك، في تدوين المحاضرة، وينشأ الارتباك مع المفارقة من سبب مختلف تمامًا عن السبب الذي تم التأكيد عليه، إذا كان من المفترض أن تسمى الدقة دقة! "الفوضى" الصغيرة التي تكمن في قلب هذه الارتباكات هي ببساطة أنه من خلال تغيير المتغيرات، على الرغم من أن f (x، y) = x + y = 2u + v = g (u، v)، وهي معادلات عددية وهي صحيحة عدديًا، إلا أن الدالتين f و g ليستا متماثلتين لأن f : (x، y) --> f (x، y) = x + y، و g : (u، v) --> g (u، v) = 2u + v، والتي تتم كتابتها بشكل مكافئ (نظرًا لأن المتغيرات هي "متغيرات وهمية") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. من هذه الطريقة الوظيفية (أو الخوارزمية) الصارمة للنظر إليها، من الواضح أن f و g خوارزميتان مختلفتان، أي دالتان مختلفتان! مع توضيح الأمور بهذه الطريقة، تختفي كل الالتباسات والخطر والمفارقات ببساطة: (df/dx)y = 1، و (dg/du)v=2 لا مزيد من pb!... علاوة على ذلك، كن الآن مدركًا بوضوح أنه يمكننا الكتابة بدقة مطلقة: (dg/du)v = (dg/dx)y، ولكن فقط إذا قرأت هذه الهوية بالطريقة الصحيحة التي يجب قراءتها، أي من خلال "روح الدوال"، وليس "روح الأرقام". لماذا هذا؟ لأن المتغيرات في هذه التعبيرات، يجب النظر إليها على أنها "متغيرات وهمية"! بتعبير أدق، ما تعنيه كل من هذه التعبيرات (dg/du)v أو (dg/dx)y حقًا، هو ببساطة وبشكل لا لبس فيه: DIRIVE فيما يتعلق بالمتغير الأول (للزوج المرتب، للضرب المتجهي للمجموعات)، مع الاحتفاظ بالثابت "المتغير" الثاني. لذلك يمكننا أن نكتب بشكل مكافئ (dg/dk)@ (أو أي "أسماء" مجنونة أخرى للمتغيرات)، إذا كنا قد عرفنا الدالة "في مثل هذا الرسم البياني"، المسمى (k،@)، بواسطة :g : (k، @) --> 2k+@هذه هي الطريقة الوحيدة لوضع الأشياء بوضوح ودقة حقًا، دون التسبب في أي ارتباك أو مفارقة في التدوين! ببساطة عن طريق تسمية الدالة دالة، وليس "قطة كلبًا"، والتلاعب بالكلمات والمفاهيم، من خلال تدوينات "فيزيائية" إلى حد ما والتي يتبين في بعض الأحيان أنها عادات "سيئة". إنه في الواقع خطأ في قاعدة السلسلة ينشأ عندما يحدد المرء بشكل مضلل f مع g. إذا أراد المرء حقًا التمييز فيما يتعلق بنفس المتغير، على سبيل المثال x، مع الحفاظ على ثبات y، فهذا ممكن! ولكن للقيام بذلك دون أي فوضى أو خطأ، لا ينبغي للمرء أن يقارن بشكل ساذج (df/dx)y=1 مع (dg/du)/v=2، وهما مختلفان بوضوح (ولا يوجد خطأ في ذلك!). ولكن بدلاً من ذلك، يجب على المرء أن يفكر "وظيفيًا" بدلاً من "عدديًا"! وهذا يعني أنه يجب على المرء حساب "الدالة المتسلسلة" G بوضوح، والتي تختلف عن g، ولكنها مرتبطة بـ g من خلال تغيير المتغير. وبالتالي، فإننا نعبر أولاً عن تغيير المتغير بالطريقة الصحيحة! وهذا يعني، كما في الدالة التالية: C: (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x) نتذكر بذلك أن الدالة g تُعرَّف على أنها الخوارزمية التالية: g: (@,#) --> 2@ +#، أو على نحو مكافئ (نظرًا لأن أي دالة هي في الحقيقة، فهي خوارزمية تعريفية!)، ولكن بشكل أكثر ملاءمة (لهدفنا في تسلسل الدوال) :g: (u,v) --> g(u,v) = 2u+v تم الآن تسلسل هاتين الدالتين بحكمة لبناء الدالة G المحددة على النحو التالي: G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y) نرى الآن بوضوح ما هي هذه الدالة G: الدالة المتسلسلة لـ g و C: G = goCالحرف المركزي "o" الذي يعني عملية التسلسل (التركيب) على الفضاء الوظيفي، والمحددة، بشكل عام، لأي دالتين A: E--> F، وB: F --> G، ببساطة شديدة على النحو التالي: BoA: E --> G، x --> BoA(x) = B(A(x))، والتي يمكن بالتالي تسميتها، بدلاً من ذلك، "قاعدة BOA" بدلاً من "الضباب" و"gof" المعتادين لـ "تسلسل الوظائف"... (نكتة!) في مثالنا نحصل بعد ذلك، أخيرًا، بما أن u=x وv=y-x: G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +yلذا فإننا "نكتشف" أنه بالنسبة لجميع x وجميع y، لدينا :G(x,y) = f(x,y)هذا يعني المساواة الوظيفية :G=fإذن ماذا فعلنا؟ هل استدرنا؟ نعم، بمعنى ما، لأننا أصررنا على التفاضل بين g بالنسبة إلى x، بالمعنى العددي، بدلاً من القيام بذلك بطريقة وظيفية صحيحة، أي التفاضل بالنسبة إلى متغيرها الأول في الخوارزمية g: (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #وبالتالي، في هذا المعنى العددي، لم يعد x متغيرًا وهميًا، بل "رقمًا مرتبطًا بـ f"! سيطلق عليه الفيزيائي "مُلاحظًا فيزيائيًا". هذه الطريقة في النظر إلى الأشياء تجعلها معقدة ويمكن أن تؤدي إلى ارتباك إذا لم يفهم المرء بوضوح مفتاح دالة السلسلة وتعيين مخططات متعددة الشعب (وبالتالي تغيير تحويلات المخططات، والتي غالبًا ما تكون قابلة للاشتقاق لمتعدد شعب منتظم) التي تكمن تحت كل هذا ... وبالتالي، لدينا، بمعنى ما، "استدرنا"، مما أدى إلى G = f! ولكن بالقيام بذلك، فإننا مع ذلك نمتلك أشياء مكتوبة بوضوح بطريقة صحيحة لوظيفة السلسلة، والتي تكشف عن أنها مفيدة للغاية في الهندسة التفاضلية الأعلى والأكثر تجريدًا، حيث تظهر المفاهيم الحاسمة للتغطية والتغطية الشاملة، والفضاء المماس، والمجموعة، والجبر الكاذب، والمشتق الكاذب، والمشتق المتغير، والارتباطات، والأشكال التفاضلية، على سبيل المثال، بشكل مفيد، وتحتاج إلى عملية وظيفة السلسلة لفهمها وإتقانها بوضوح! أخيرًا، غالبًا ما يتم التعامل مع هذا الإساءة في استخدام التدوين الذي يضع f = g بشكل مضلل دون حدوث أي ضرر بواسطة "الكمبيوتر البشري"، ببعض العادات والمرونة. ولكن فقط في منطقة سهلة إلى حد ما. على العكس من ذلك، سيؤدي ذلك إلى ارتباكات كارثية، ومفاهيم خاطئة، ونتائج خاطئة بشكل جذري وتفسيرات سخيفة لا معنى لها، في مجال أكثر دقة... على حد سواء، ليس لتسميتها، النسبية العامة، الهندسة التفاضلية الريمانية، المادة المكثفة، البلازما، إلخ... عملية الدالة التسلسلية هي واحدة من أبسط العمليات، ولكنها مهمة في جميع الرياضيات! إنها اللبنة الأساسية للهياكل المتداخلة، واحدة داخل الأخرى على حد سواء صندوق باندورا، ولكن "الصناديق" التي تكشف عن هياكل رائعة على حد سواء المجموعة، الجبر، كليفورد،... الطوبوس... : نقاط الوظائف، من نقاط إلى نقاط وظيفي (أو عامل)، من وظائف إلى وظائف، إلخ... كلها مضمنة في... فئة جروتينديك الروح... عميق!####[]