Saya sangat tidak setuju dengan penyelesaian "masalah notasi" pada 19'13". Masalah tersebut ditekankan dengan baik, tetapi tidak terpecahkan dengan baik, jika seekor kucing seharusnya disebut kucing! Sedikit "kekacauan" memang terjadi di sana, dalam notasi kuliah, dan kebingungan meningkat dengan paradoks dari penyebab yang agak berbeda dari yang ditekankan, jika KETEGALAN harus disebut KETEGALAN! "Kekacauan" kecil yang menjadi inti dari kebingungan ini hanyalah bahwa, melalui perubahan variabel, meskipun f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), yang merupakan PERSAMAAN NUMERIK dan yang secara NUMERIK benar, namun fungsi f dan g TIDAK SAMA karena f : (x,y) --> f(x,y)=x+y, dan g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, YANG ditulis secara ekuivalen (karena variabel adalah "VARIABEL DUMMY") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y.Dari cara pandang fungsional (atau algoritmik) yang ketat ini, jelaslah bahwa f dan g adalah algoritma yang BERBEDA, yaitu fungsi yang BERBEDA!Dengan hal-hal yang diklarifikasi dengan cara ini, semua kebingungan, bahaya, paradoks... lenyap begitu saja: (df/dx)y = 1, dan (dg/du)v=2 Tidak ada lagi pb!...Lebih dari itu, sekarang ketahuilah dengan jelas bahwa kita dapat menulis, dengan ketelitian absolut: (dg/du)v = (dg/dx)y, TETAPI HANYA JIKA ANDA MEMBACA IDENTITAS INI DENGAN CARA YANG TEPAT, SESEORANG HARUS MEMBACANYA, YAITU MELALUI "ROH FUNGSI", DAN BUKAN "roh angka". Mengapa demikian? Karena variabel dalam ekspresi ini, ADALAH DAN HARUS DILIHAT, SEBAGAI "VARIABEL DUMMY"! Lebih tepatnya, apa yang dimaksud kedua ekspresi ini (dg/du)v atau (dg/dx)y, secara harfiah, adalah: DIRIVE DENGAN MENGENAI VARIABEL PERTAMA (DARI PASANGAN YANG DIURUTKAN, DARI HASIL PERSALIAN SET), DENGAN MENJAGA "VARIABEL" KEDUA TETAP KONSTAN. Oleh karena itu, kita dapat secara ekuivalen menuliskan (dg/dk)@ (atau "nama" variabel lain yang aneh), jika kita telah mendefinisikan fungsi "dalam BAGAN seperti itu", diberi label (k,@), dengan :g : (k , @) --> 2k+@INI adalah satu-satunya cara untuk menyatakan sesuatu dengan benar-benar jelas dan ketat, tanpa pernah menimbulkan kebingungan atau paradoks notasi! Cukup dengan menyebut suatu fungsi sebagai fungsi, dan BUKAN "kucing anjing", bermain-main dengan kata-kata dan konsep, melalui notasi "fisikawan" yang kadang-kadang terbukti menjadi kebiasaan "buruk". Ini sebenarnya adalah KESALAHAN ATURAN RANTAI yang muncul ketika seseorang secara keliru mengidentifikasi f dengan g. Jika seseorang benar-benar ingin mendiferensiasikan sehubungan dengan variabel yang sama, misalnya x, dengan tetap menjaga y tetap konstan, itu mungkin! Namun untuk melakukannya tanpa kekacauan dan kesalahan, seseorang TIDAK HARUS secara naif membandingkan (df/dx)y=1 dengan (dg/du)/v=2, yang jelas BERBEDA (dan tidak ada yang salah tentang itu!). Namun sebaliknya, seseorang HARUS berpikir "secara fungsional" alih-alih "secara numerik"! Itu berarti seseorang harus menghitung dengan jelas "FUNGSI BERRANCANG" G, yang berbeda dari g, tetapi yang terkait dengan g melalui Perubahan Variabel. Dengan demikian, kita menyatakan, pertama-tama perubahan variabel dengan CARA YANG TEPAT! Yaitu, sebagai FUNGSI berikut :C : (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x)Jadi kita ingat bahwa FUNGSI g didefinisikan sebagai algoritma berikut :g : (@,#) --> 2@ +#,atau setara (karena apa pun fungsi yang benar-benar ADALAH, ADALAH yang mendefinisikan ALGORITMA!), tetapi lebih mudah (untuk TUJUAN FUNGSI PERANTARAAN kita) :g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+vKedua FUNGSI ini sekarang dengan bijak DIRANGKAIAN untuk membangun FUNGSI G yang didefinisikan sebagai berikut :G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y)Sekarang kita melihat dengan jelas apa FUNGSI G ini : FUNGSI PERANTARAAN g dan C :G = goC Huruf "o" di tengah berarti OPERASI PERANTIAN (KOMPOSISI) PADA RUANG FUNGSIONAL, yang didefinisikan, secara umum, untuk dua fungsi apa pun A : E--> F, dan B : F --> G, secara sederhana sebagai :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))Yang dengan demikian, secara alternatif dapat dinamakan "ATURAN BOA" alih-alih "kabut" dan "gof" yang biasa dalam "PERANTIAN FUNGSI"... (bercanda!)Dalam contoh kita, kita kemudian memperoleh, akhirnya, karena u=x dan v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +yJADI KITA "MENEMUKAN" BAHWA untuk semua x dan semua y, kita memiliki :G(x,y) = f(x,y)Itu berarti KESETARAAN FUNGSIONAL :G=fJadi apa yang telah kita lakukan? Berbalik arah? Ya, dalam suatu pengertian, karena kita telah BERTEKAD dalam mendiferensiasikan g terhadap x, DALAM PENGERTIAN NUMERIK, alih-alih melakukannya dengan CARA FUNGSIONAL YANG TEPAT yaitu, mendiferensiasikan terhadap variabel PERTAMA dalam ALGORITMA g : (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #Jadi, dalam PENGERTIAN NUMERIK ini, x bukan lagi VARIABEL DUMMY, tetapi "BILANGAN YANG DITEMPELKAN PADA f"! Fisikawan akan menyebutnya "observabel fisik". Cara pandang seperti ini akan memperumit dan dapat menyebabkan kebingungan jika seseorang tidak memahami dengan jelas KUNCI FUNGSI RANTAI DAN PEMETAAN BAGAN MANIFOLD (DENGAN DEMIKIAN PERUBAHAN TRANSFORMASI BAGAN, yang sering kali dapat dibedakan untuk manifold reguler) yang mendasari semua ini... Jadi, dalam arti tertentu, kita telah "berbalik", yang mengarah ke G=f! Namun, dengan melakukan hal itu, kita TELAH MENULISKAN HAL-HAL DENGAN JELAS DENGAN CARA FUNGSI RANTAI YANG TEPAT, yang terbukti SANGAT BERMANFAAT dalam GEOMETRI DIFERENSIAL yang lebih tinggi dan lebih abstrak, di mana konsep-konsep penting dari PENUTUPAN dan PENUTUPAN UNIVERSAL, RUANG SINGGEN, GRUP, ALJABAR LIE, TURUNAN LIE, TURUNAN KOVARIAN, KONEKSI, BENTUK-BENTUK DIFERENSIAL,..misalnya, muncul dengan bermanfaat, yang membutuhkan PROSES FUNGSI RANTAI untuk dipahami dan dikuasai dengan jelas! Akhirnya, sering kali, penyalahgunaan notasi ini yang secara menyesatkan menetapkan f=g, akan ditangani tanpa kerusakan oleh "komputer manusia", dengan beberapa kebiasaan dan ketangkasan. TETAPI hanya di area yang agak mudah. Sebaliknya, hal itu akan mengarah pada kebingungan yang dahsyat, kesalahpahaman, hasil yang salah secara dramatis, dan interpretasi yang tidak masuk akal, di area yang lebih halus...seperti, bukan untuk menamainya, relativitas umum, geometri diferensial Riemanian, materi terkondensasi, plasma, dll...OPERASI FUNGSI BERRANGKAIAN adalah salah satu yang paling sederhana, tetapi penting dalam semua matematika! Ini adalah blok bangunan dari struktur bersarang, satu di dalam yang lain seperti kotak Pandora, TETAPI "KOTAK" YANG MENGUNGKAPKAN STRUKTUR YANG MENARIK SEPERTI GRUP, ALJABAR, CLIFFORD,...TOPOS... : TitikFungsi, dari titik ke titikFungsional (atau Operator), dari fungsi ke fungsi, dll...Semua termasuk DALAM...KATEGORI Groetendick SPIRIT...dalam!####[]