Ich bin mit der Lösung des „Notationsproblems“ bei 19'13 überhaupt nicht einverstanden. Das Problem ist gut betont, aber schlecht gelöst, wenn eine Katze eine Katze genannt werden sollte! In der Tat herrscht dort ein kleines „Durcheinander“ in der Vorlesungsnotation, und es entsteht Verwirrung mit Paradoxon aus einer ganz anderen Ursache als der, die betont wurde, wenn RIGOUR RIGOUR genannt werden soll! Das kleine „Durcheinander“, das den Kern dieser Verwirrungen bildet, besteht einfach darin, dass durch die Änderung der Variablen, obwohl f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), was NUMERISCHE GLEICHHEITEN sind und NUMERISCH wahr sind, die Funktionen f und g dennoch NICHT gleich sind, da f : (x,y) --> f(x,y)=x+y und g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, WAS äquivalent geschrieben wird (da Variablen „DUMMY-VARIABLEN“ sind) g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y.Aus dieser strengen funktionalen (oder algorithmischen) Betrachtungsweise ist es offensichtlich, dass f und g VERSCHIEDENE Algorithmen sind, das heißt VERSCHIEDENE Funktionen!Nachdem die Dinge auf diese Weise geklärt sind, verschwinden alle Verwirrungen, Gefahren, Paradoxien... einfach: (df/dx)y = 1 und (dg/du)v=2. Keine pb mehr!...Außerdem seien Sie sich jetzt darüber im Klaren, dass wir mit absoluter Strenge schreiben können: (dg/du)v = (dg/dx)y, ABER NUR, WENN SIE DIESE IDENTITÄT SO LESEN, WIE MAN SIE LESEN SOLLTE, DAS HEISST MIT DEM „FUNKTIONSGEIST“ UND NICHT MIT DEM „Zahlengeist“. Warum das? Weil Variablen in diesen Ausdrücken „DUMMY-VARIABLEN“ SIND UND ALS DIESE BETRACHTET WERDEN MÜSSEN! Genauer gesagt bedeuten diese beiden Ausdrücke (dg/du)v oder (dg/dx)y einfach und eindeutig: DIRIVIEREN IN BEZUG AUF DIE ERSTE VARIABLE (DES GEORDNETEN PAARES, DES KREUZPRODUKTS VON MENGEN), UNTER KONSTANTER BEHALTUNG DER ZWEITEN „VARIABLEN“. Daher hätten wir äquivalent (dg/dk)@ (oder beliebige andere verrückte „Namen“ von Variablen) schreiben können, wenn wir die Funktion „in einem solchen DIAGRAMM“, beschriftet (k,@), durch :g : (k , @) --> 2k+@ definiert hätten. DIES ist die einzige Möglichkeit, Dinge wirklich klar und streng auszudrücken, ohne jemals zu einer Verwirrung oder einem Paradoxon in der Notation zu führen! Einfach indem man eine Funktion eine Funktion nennt und NICHT „eine Katze einen Hund“, indem man mit Wörtern und Konzepten herumspielt, durch ziemlich „physiktypische“, nachlässige Notationen, die sich manchmal als „schlechte“ Angewohnheiten herausstellen. Es handelt sich tatsächlich um einen KETTENREGELFEHLER, der entsteht, wenn man f fälschlicherweise mit g gleichsetzt. Wenn man wirklich in Bezug auf dieselbe Variable, beispielsweise x, differenzieren möchte und dabei y konstant hält, ist das möglich! Aber um das ohne Probleme und Fehler durchzuführen, SOLLTE man NICHT naiv (df/dx)y=1 mit (dg/du)/v=2 vergleichen, die eindeutig UNTERSCHIEDLICH sind (und daran ist nichts falsch!). Stattdessen SOLLTE man „funktional“ statt „numerisch“ denken! Das bedeutet, dass man die „KETTENFUNKTION“ G eindeutig berechnen muss, die sich von g unterscheidet, aber durch die Variablenänderung mit g in Beziehung steht. Wir drücken also zuerst die Variablenänderung auf RICHTIGE WEISE aus! Das heißt, als folgende FUNKTION: C: (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x). Wir erinnern uns also, dass die FUNKTION g als folgender Algorithmus definiert ist: g: (@,#) --> 2@ +# oder gleichwertig (denn was jede Funktion wirklich IST, IST ihr definierender ALGORITHMUS!), aber bequemer (für unser ZIEL DER KETTENFUNKTIONEN): g: (u,v) --> g(u,v) = 2u+v. Diese beiden FUNKTIONEN werden jetzt sinnvoll VERKETTET, um die FUNKTION G zu bilden, die wie folgt definiert ist: G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y). Wir sehen jetzt deutlich, was diese FUNKTION G ist : DIE VERKETTETE FUNKTION VON g und C :G = goCDas zentrale "o" steht für die VERKETTUNGSOPERATION (ZUSAMMENSETZUNG) IM FUNKTIONSRAUM, die im Allgemeinen für zwei beliebige Funktionen A : E --> F und B : F --> G ganz einfach wie folgt definiert wird:BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))Dies könnte also alternativ auch "DIE BOA-REGEL" genannt werden, statt des üblichen "fog" und "gof" der "FUNKTIONSVERKETTUNG"... (Scherz!)In unserem Beispiel erhalten wir dann schließlich, da u=x und v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +ySO WIR „ENTDECKEN“, DASS für alle x und alle y gilt: G(x,y) = f(x,y). Das bedeutet FUNKTIONALE GLEICHHEIT: G=f. Was haben wir also getan? Umgekehrt? Ja, in gewissem Sinne, denn wir haben darauf BESTANDEN, g in Bezug auf x zu differenzieren, IN EINEM NUMERISCHEN SINNE, anstatt es auf FUNKTIONAL RICHTIGE WEISE zu tun, d. h., wir differenzieren in Bezug auf seine ERSTE Variable im ALGORITHMUS g: (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #. Somit ist x in diesem NUMERISCHEN SINNE keine DUMMY-VARIABLE mehr, sondern eine „AN f ANGEHÄNGTE ZAHL“! Der Physiker würde es eine „physikalische Observable“ nennen. Diese Sichtweise macht die Dinge kompliziert und kann zu Verwirrungen führen, wenn man den Schlüssel der Kettenfunktion und die tatsächliche Abbildung der Mannigfaltigkeitsdiagramme (also die Transformationen von Diagrammänderungen, die für eine reguläre Mannigfaltigkeit oft differenzierbar sind), die dem allen zugrunde liegen, nicht klar versteht... Wir haben uns also in gewissem Sinne „umgedreht“, was zu G=f führt! Aber wenn wir das tun, haben wir trotzdem DEUTLICH DINGE IN KETTENFUNKTIONSRICHTIGER WEISE GESCHRIEBEN, die sich als EXTREM NÜTZLICH in der höheren und abstrakteren DIFFERENTIALGEOMETRIE erweisen, wo entscheidende Konzepte von COVERING und UNIVERSAL COVERING, TANGENT SPACE, GROUP, LIE ALGEBRA, LIE DERIVATIVE, KOVARIANT DERIVATIVE, CONNEXIONS, DIFFERENTIAL FORMS, … beispielsweise nützlich sind und den KETTENFUNKTIONSPROZESS klar verstehen und beherrschen müssen! Schließlich kann dieser Notationsmissbrauch, der f=g fälschlicherweise setzt, oft vom „menschlichen Computer“ mit etwas Übung und Beweglichkeit ohne Schaden gehandhabt werden. ABER nur in eher einfachen Bereichen. Im Gegenteil, es wird zu katastrophalen Verwirrungen, Missverständnissen, dramatisch falschen Ergebnissen und sinnlosen Interpretationen in subtileren Bereichen führen ... wie, nicht um sie zu benennen, allgemeine Relativitätstheorie, Riemansche Differentialgeometrie, kondensierte Materie, Plasma usw. ... Die Kettenfunktionsoperation ist eine der einfachsten, aber wichtigsten in der gesamten Mathematik! Es ist der Baustein verschachtelter Strukturen, eine in der anderen wie eine Pandora-Box, ABER „BOXEN“, DIE FASZINIERENDE STRUKTUREN WIE GRUPPE, ALGEBRA, CLIFFORD, ... TOPOS ... ENTDECKEN: Punktfunktionen, von Punkten zu Punktfunktionen (oder Operatoren), von Funktionen zu Funktionen usw. ... Alles enthalten IN ... KATEGORIE Groetendick SPIRIT ... tief!####[]