19'13 の「表記法の問題」の解決に私は強く反対します。問題はよく強調されていますが、猫を猫と呼ぶべきかどうかは、よく解決されていません。講義の表記法では確かにちょっとした「混乱」が起こっており、強調されている原因とはかなり異なる原因から逆説的な混乱が生じています。厳密さを厳密さと呼ぶべきかどうかは、この混乱の核心にあるちょっとした「混乱」は、変数の変更によって、f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v) となり、数値的な等式であり数値的に正しいにもかかわらず、関数 f と g が同じではないという点です。f : (x,y) --> f(x,y)=x+y、g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v となり、これは等式として記述されます (変数は「ダミー」であるため)。変数") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y。この厳密な機能的 (またはアルゴリズム的) な見方から、f と g が異なるアルゴリズム、つまり異なる関数であることは明らかです。このように物事が明確になると、すべての混乱、危険、パラドックス... は単に消えます : (df/dx)y = 1、および (dg/du)v=2 これ以上 pb はありません!...さらに、絶対的な厳密さで次のように記述できることがはっきりとわかります : (dg/du)v = (dg/dx)y。ただし、この恒等式を「関数の精神」を通してではなく「数の精神」を通して読む適切な方法で読む場合に限ります。なぜでしょうか?これらの式内の変数は「ダミー変数」であり、そう見なされなければならないからです。より正確には、これらの式 (dg/du)v または (dg/dx)y が実際に意味することは、単純かつ明確に、2 番目の「変数」を一定に保ちながら、最初の変数 (順序付きペア、集合のクロス積) に関して導出することです。したがって、関数を「そのようなチャート」で (k,@) とラベル付けして定義した場合、(dg/dk)@ (または変数のその他の奇妙な「名前」) と同等に記述できます。:g : (k , @) --> 2k+@ これは、表記の混乱やパラドックスを一切引き起こさずに、物事を真に明確かつ厳密に表現する唯一の方法です。関数を関数と呼び、「猫を犬」と呼ばないだけで、言葉や概念をいじりまわし、かなり「物理学者」的ないい加減な表記法を使って、それが「悪い」習慣であることが時々判明します。実際、f を g と誤って同一視すると、連鎖規則の誤りが生じます。同じ変数、たとえば x に関して、y を一定に保ちながら微分化したい場合、それは可能です。しかし、混乱や間違いを起こさずにそれを実行するには、(df/dx)y=1 と (dg/du)/v=2 を単純に比較すべきではありません。これらは明らかに異なります (そして、それについては何も間違っていません)。その代わりに、「数値的に」ではなく「機能的に」考える必要があります。つまり、g とは異なるが、変数の変更によって g と関連している「連鎖関数」G を明確に計算する必要があります。したがって、まず変数の変更を適切な方法で表現します。つまり、次の関数:C:(x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x)したがって、関数gは次のアルゴリズムとして定義されます:g:(@,#) --> 2@ +#、または同等です(関数の本質は、それを定義するアルゴリズムであるため)が、より便利なのは(関数の連鎖の目標に対して):g:(u,v) --> g(u,v) = 2u+vです。これらの2つの関数は、次のように定義される関数Gを構築するために賢明に連鎖されます:G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y)これで、これが何であるかがはっきりとわかります。関数 G: g と C の連鎖関数 :G = goC 中央の "o" は関数空間での連鎖 (合成) 操作を意味し、一般に任意の 2 つの関数 A: E--> F と B: F --> G に対して次のように非常に簡単に定義されます :BoA: E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x)) したがって、これは「関数連鎖」の通常の「霧」と「gof」の代わりに「BOA ルール」と名付けることもできます... (冗談です!) この例では、最終的に、u=x および v=y-x であるため、次の式が得られます :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +yしたがって、すべてのxとすべてのyについて、次式が成り立つことを「発見」します。 :G(x,y) = f(x,y)これは、関数の等式 :G=fを意味します。では、何をしたのでしょうか。方向転換ですか。はい、ある意味ではそうです。なぜなら、数値的な意味で、gをxに関して微分することを「主張」したからです。関数的に適切な方法、つまりアルゴリズムgの最初の変数に関して微分するのではなく: (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #したがって、この数値的な意味では、xはもはやダミー変数ではなく、「fに付随する数値」です。物理学者はこれを「物理的観測可能量」と呼ぶでしょう。この見方は物事を複雑にし、チェーン関数キーと、実際にはこれらすべての背後にある多様体チャート マッピング (したがって、チャート変換の変更、通常の多様体では微分可能な場合が多い) を明確に理解していない場合は混乱を招く可能性があります... つまり、ある意味で「方向転換」し、G=f に至ったのです。しかし、そうすることで、連鎖関数の正しい方法で物事を明確に記述することができ、それがより高度で抽象的な微分幾何学で非常に役立つことが明らかになります。そこでは、被覆と普遍被覆、接空間、群、リー代数、リー微分、共変微分、接続、微分形式などの重要な概念が役に立ち、連鎖関数プロセスを明確に理解して習得する必要があります。最後に、多くの場合、誤解を招くような f=g を設定するこの表記法の乱用は、ある程度の習慣と機敏さを持つ「人間のコンピューター」によって損傷なく処理されます。ただし、かなり簡単な領域に限られます。それどころか、より微妙な領域で、破滅的な混乱、誤解、劇的に誤った結果、そして意味のない解釈につながります...名前を挙げるわけではありませんが、一般相対性理論、リーマン微分幾何学、凝縮物質、プラズマなど...関数操作の連鎖は、すべての数学の中で最も単純ですが重要なものの 1 つです。これは、パンドラの箱のように 1 つが他の箱の中にある入れ子構造の構成要素ですが、グループ、代数、クリフォード、...トポス... のような魅力的な構造を明らかにする「箱」です。ポイント関数、ポイントからポイントへ関数 (または演算子)、関数から関数へなど...すべて、カテゴリ Groetendick SPIRIT に含まれています...深い!####[]