Jako se ne slažem s rješenjem "problema notacije" na 19'13". Problem je dobro naglašen, ali loše riješen, ako bi se mačka trebala zvati mačkom! Mali "nered" doista vlada tamo, u zapis predavanja, a zabuna se povećava s paradoksom iz prilično različitog uzroka od onog koji je naglašen, ako se STROGOST zove STROGOST! Mali "nered" koji je na Srž ovih zabuna je jednostavno da, kroz promjenu varijabli, iako je f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), koje su NUMERIČKE JEDNAKOSTI i koje su NUMERIČKI istinite, unatoč tome funkcije f i g NISU isti jerf : (x,y) --> f(x,y)=x+y, i g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, ŠTO JE ekvivalentno zapisano (budući da su varijable "LAŽNE VARIJABLE") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. Iz ovog strogog funkcionala ( ili algoritamski) način gledanja na to, očito je da su f i g RAZLIČITI algoritmi, to jest RAZLIČITE funkcije! Sa stvarima razjašnjeno na ovaj način, sve zabune, opasnosti, paradoksi... jednostavno nestaju: (df/dx)y = 1, i (dg/du)v=2 Nema više pb!...Štoviše, budite sada jasno svjesni da mi može napisati, s apsolutnom strogošću: (dg/du)v = (dg/dx)y, ALI SAMO AKO PROČITAŠ OVAJ IDENTITET NA PRAVI NAČIN TREBA GA PROČITATI, TO JE KROZ "DUH FUNKCIJA", A NE "duh broja". Zašto to? Jer varijable u ovim izrazima JESU I MORAJU SE GLEDATI KAO "LAŽNE VARIJABLE"! Preciznije, ono što oba ova izraza (dg/du)v ili (dg/dx)y, uistinu znače, je jednostavno i nedvosmisleno: DIRIVE S OBZIROM NA PRVU VARIJABLU (UREĐENOG PARA, UNAPREČNOG PROIZVODA SKUPOVA) , ODRŽAVANJE DRUGE "VARIJABLE" KONSTANTNOM. Stoga bismo mogli ekvivalentno napisati (dg/dk)@ (ili bilo koja druga luda "imena" varijabli), da smo definirali funkciju "u takvom GRAFIKONU", označenu (k,@), sa :g : (k , @) --> 2k+@OVO je jedini način da se stvari postave doista jasno i strogo, a da se ne izazove zabuna ili paradoks! Jednostavno nazivajući funkciju funkcijom, a NE "mačka pas", petljajući se s riječima i konceptima, kroz prilično "fizičarske" lijene notacije koje se ponekad pokažu kao "loše" navike. To je zapravo POGREŠKA PRAVILA LANCA koja nastaje kada netko krivo identificira f s g. Ako se doista želi razlikovati s obzirom na istu varijablu, x na primjer, zadržavajući y konstantnim, to je moguće! Ali da bi se to izvelo bez ikakvog nereda i greške, NE SMIJE se naivno uspoređivati (df/dx)y=1 s (dg/du)/v=2, koji su očito RAZLIČITI (i tu nema ništa loše!). Ali umjesto toga, TREBA misliti "funkcionalno" umjesto "numerički"! To znači da se mora jasno izračunati "LANČANA FUNKCIJA" G, koja je različita od g, ali koja je povezana s g promjenom varijable. Time izražavamo, prvo promjenu varijable na PRAVILAN NAČIN! To jest, kao sljedeća FUNKCIJA :C : (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x) Stoga se sjećamo da je FUNKCIJA g definirana kao sljedeće algoritam :g : (@,#) --> 2@ +#, ili ekvivalentno (budući da ono što svaka funkcija uistinu JEST, JEST definira ALGORITAM!), ali praktičnije (za naš CILJ LANČANJA FUNKCIJA) :g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v Ove dvije FUNKCIJE sada su mudro LANČANE za izgradnju FUNKCIJE G definirane na sljedeći način:G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y) Sada jasno vidimo što je ova FUNKCIJA G : LANČANA FUNKCIJA OD g i C :G = goC Središnje "o" znači OPERACIJA LANČANJA (KOMPOZICIJE) NA FUNKCIONALNOM PROSTORU, definirana, općenito, za bilo koje dvije funkcije A : E--> F i B : F --> G, vrlo jednostavno kao :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x)) Što bi se alternativno moglo nazvati "BOA PRAVILO" umjesto uobičajenih "magla" i "gof" za "LANČANJE FUNKCIJA"... (šala!) U našem primjeru tada dobivamo, konačno, budući da je u=x i v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +y PA MI "OTKRIVAMO" DA za sve x i sve y imamo :G(x ,y) = f(x,y) To znači FUNKCIONALNA JEDNAKOST :G=f Dakle, što smo učinili? Okrenuti se? Da, u sensu, zato što smo INZISTIRALI na diferenciranju g s obzirom na x, U NUMERIČKOM SENSU, umjesto da to radimo na FUNKCIONALNO ISPRAVAN NAČIN, tj. diferenciranje s obzirom na njegovu PRVU varijablu u ALGORITMU g : (@, #) --> g(@,#) = 2@ + #Dakle, u ovom NUMERIČKOM SENSU, x više nije LAŽNA VARIJABLA, ali "BROJ PRIPOJEN ZA f"! Fizičar bi to nazvao "fizičkom vidljivošću". Ovakav način gledanja na stvari komplicira i može dovesti do zabune ako netko ne razumije jasno FUNKCIJSKI KLJUČ LANCA I ZAPRAVO MAPIRANJE GRAFIKONA RAZVODNIKA (DAME PROMJENA TRANSFORMACIJA GRAFIKONA, često diferencijalno za regularni razvodnik) koji se nalaze ispod svega ovo... Time smo se, u nekom smislu, "okrenuli", dovodeći do G=f! Ali čineći to, unatoč tome SMO JASNO NAPISALI STVARI U LANČANOM FUNKCIONIRANJU NA PRAVILAN NAČIN, koje otkrivaju da su IZUZETNO KORISNE u višoj i apstraktnijoj DIFERENCIJALNOJ GEOMETRIJI, gdje su ključni koncepti POKRIVANJA i UNIVERZALNOG POKRIVANJA, TANGENTNOG PROSTORA, GRUPE, LIEJEVE ALGEBRE, LIEJEVE DERIVACIJE, KOVARIANTA DERIVACIJE, VEZE, DIFERENCIJALNI OBLICI,..na primjer, korisno izviru, potrebno je jasno razumjeti i savladati PROCES FUNKCIJE LANČANJA! Konačno, često, ovu zlouporabu notacije koja pogrešno postavlja f=g, bez štete će riješiti " ljudsko računalo", s nekim navikama i agilnošću. ALI samo u prilično lakom području. Naprotiv, to će dovesti do katastrofalnih zabuna, pogrešnih predodžbi, darmatički pogrešnih rezultata i lažnih neosjetljivih tumačenja, u malom području... podjednako, bez imena, općoj teoriji relativnosti, Riemanovoj diferencijalnoj geomedriji, kondenziranoj tvari, plazmi itd. OPERACIJA LANČANE FUNKCIJE jedna je od najjednostavnijih, ali najvažnijih u cijeloj matematici! To je gradivni blok ugniježđenih struktura, jedna unutar druge nalik Pandorinoj kutiji, ALI "KUTIJE" KOJE OTKRIVAJU FASCINANTNE STRUKTURE POLIČNE GRUPE, ALGEBRE, CLIFFORDA,...TOPOSA... : Funkcije točaka, od točaka do točaka Funkcional (ili Operator), od funkcija do funkcija, itd...Sve uključeno U...KATEGORIJI Groetendick DUH...deap!####[]