Jag håller inte med om lösningen av "notationsproblemet" vid 19'13". Problemet är väl stressat, men dåligt löst, om en katt ska kallas en katt! En liten "röra" springer verkligen runt där, i föreläsningsnotationen, och förvirringen stiger med paradox från en ganska annan orsak än den som betonas, om RIGOR ska kallas RIGOUR! Den lilla "röran" som är kärnan av dessa förväxlingar är helt enkelt att, genom ändringen av variabler, även om f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), som är NUMERISKA LIKNANDEN och som är NUMERISKT sanna, ändå funktionerna f och g ÄR INTE samma eftersomf : (x,y) --> f(x,y)=x+y, och g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, SOM ÄR likvärdigt skrivet (eftersom variabler är "DUMMY VARIABLES") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. Från detta rigorösa funktionella (eller algoritmiska) sätt att se på det är uppenbart att f och g är OLIKA algoritmer, det vill säga OLIKA funktioner! Med saker förtydligade på detta sätt, alla förvirringar, fara, paradox... helt enkelt försvinna : (df/dx)y = 1, och (dg/du)v=2 Inga fler pb!...Mer över, var nu tydligt medveten om att vi kan skriva, med absolut noggrannhet : (dg /du)v = (dg/dx)y, MEN BARA OM DU LÄSER DENNA IDENTITET PÅ RÄTT SÄTT SKA MAN LÄSA DEN, DET ÄR TILL GENOM "FUNCTIONS SPIRIT", OCH INTE "nummeranda". Varför det? Eftersom variabler i dessa uttryck ÄR OCH MÅSTE SE PÅ SOM "DUMMY VARIABLER"! Närmare bestämt, vad båda dessa uttryck (dg/du)v eller (dg/dx)y verkligen betyder, är enkelt och otvetydigt: DIRIVE MED RESPEKTION TILL DEN FÖRSTA VARIABLEN (AV DET BESTÄLLDA PARET, AV KORSPRODUKTEN AV SET) , ATT HÅLLA DEN ANDRA "VARIABELN" KONSTANT. Därför kunde vi på motsvarande sätt ha skrivit (dg/dk)@ (eller andra galna "namn" på variabler), om vi hade definierat funktionen "i ett sådant CHART", märkt (k,@), med :g : (k , @) --> 2k+@DETTA är det enda sättet att uttrycka saker riktigt tydligt och noggrant, utan att någonsin ge upphov till notationsförvirring eller paradox! Helt enkelt genom att kalla en funktion för en funktion, och INTE "en katt för en hund", stöka med ord och begrepp, genom ganska "fysiker" lata notationer som någon gång visar sig vara "dåliga" vanor. Det är i själva verket ett KEDJEREGEMSFEL som uppstår när man på ett missvisande sätt identifierar f med g. Om man verkligen vill differentiera med avseende på samma variabel, till exempel x, och hålla y konstant, är det möjligt! Men för att utföra det utan stök och misstag, SKA man INTE naivt jämföra (df/dx)y=1 med (dg/du)/v=2, som helt klart är OLIKA (och inget fel med det!). Men istället SKA man tänka "funktionellt" istället för "numeriskt"! Det betyder att man tydligt måste beräkna den "KÄDDA FUNKTIONEN" G, som skiljer sig från g, men som är relaterad till g genom ändringen av variabel. Vi uttrycker alltså först förändringen av variabeln på RIKTIGT SÄTT! Det vill säga som följande FUNKTION :C : (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x)Vi minns därför att FUNKTIONEN g definieras som följande algoritm :g : (@,#) --> 2@ +#, eller motsvarande (eftersom vilken funktion som helst ÄR, ÄR den definierar ALGORITM!), men mer bekvämt (för vår KEDJNINGSFUNKTIONER MÅL) :g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+vDessa två FUNKTIONER är nu klokt kedjade för att bygga FUNKTIONEN G definierad enligt följande :G(x,y) = g(u) ,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)((x,y)) = (goC)(x,y)Vi ser nu tydligt vad som är denna FUNKTION G : DEN KJÄDDA FUNKTIONEN AV g och C :G = goC Det centrala "o" som betyder KEDJNING (KOMPOSITION) OPERATIONEN PÅ FUNKTIONELLT RYMD, definierad, i allmänhet, för två valfria funktioner A : E--> F, och B : F --> G, mycket enkelt som :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))Som alltså alternativt skulle kunna kallas "THE BOA RULE" istället för de vanliga "dimma" och "gof" för "FUNCTION CHAINING"... (skämt!)I vårt exempel vi får då, slutligen, eftersom u=x och v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +ySÅ VI "UPTÄTTER" ATT för alla x och alla y har vi :G(x,y ) = f(x,y)Det betyder FUNKTIONELL JÄMMALIGHET :G=fSå vad har vi gjort? Vända om? Ja, på ett visst sätt, för vi har INSISTERAT på att differentiera g med avseende på x, I EN NUMERISK BETYDNING, istället för att göra det på ett FUNKTIONELLT RIKTIGT SÄTT, det vill säga att differentiera med avseende på dess FÖRSTA variabel i ALGORITMEN g : (@, #) --> g(@,#) = 2@ + #I denna NUMERISKA SENS är alltså x inte längre en DUMMY VARIABEL, men ett "NUMMER BILDAD TILL f"! Fysikern skulle kalla det en "fysisk observerbar". Det här sättet att se på saker gör det komplicerat och kan leda till förvirring om man inte tydligt förstår KEDJEFUNKTIONSNYCKLEN OCH DEN FAKTISKA MAPPNING AV MANIFOLDEN (SÅDÄRFÖR ÄNDRING AV KARTONFORMATIONER, ofta differentierbar för ett vanligt grenrör) som ligger under alla detta... Vi har alltså på ett sätt "väntat om", vilket leder till G=f! Men när vi gör det HAR vi ändå TYDLIGT SKRIVT SAKER I KEDJEFUNKTIONER PÅ RIKTIGT SÄTT, som visar sig vara EXTREMT ANVÄNDbara i högre och mer abstrakt DIFFERENTIALGEOMETRI, där avgörande begrepp om TÄCKNING och UNIVERSELL TÄCKNING, TANGENTRUMME, GRUPPER, LIGNALGEBRA, LÖGDERIVANT. DERIVAT, KONNEXIONER, DIFFERENTIALFORMER,...till exempel, är användbara, och kräver att KEDJNINGSFUNKTIONSPROCESSEN tydligt förstås och bemästras! Slutligen, ofta, kommer detta missbruk av notation som vilseledande sätter f=g att hanteras utan skada av "mänsklig dator", med vissa vanor och smidighet. MEN bara i ganska lätt område. Tvärtom kommer det att leda till katastrofala förvirringar, missuppfattningar, dramatiskt falska resultat och chear non sens tolkningar, i mer suttle område...lika, inte för att namnge dem, generell relativitetsteori, Riemansk differentialgeometri, kondenserad materia, plasma, etc. .KÄDNINGSFUNKTIONENS ANVÄNDNING är en av de enklaste, men viktiga i all matematik! Det är byggstenen för kapslade strukturer, en inuti den andra likadan Pandora-lådan, MEN "LÅDOR" SOM AVSÖR FASCINERANDE STRUKTURER SOM GRUPP, ALGEBRA, CLIFFORD,...TOPOS... : PointsFunctions, från punkter till pointsFunctional (eller Operator), från funktioner till funktioner, etc...Allt ingår I...KATEGORI Groetendick SPIRIT...deap!####[]