मैं 19'13" पर "संकेतन समस्या" के समाधान से बहुत असहमत हूँ। समस्या पर अच्छी तरह से जोर दिया गया है, लेकिन ठीक से हल नहीं किया गया है, अगर एक बिल्ली को बिल्ली कहा जाना चाहिए! व्याख्यान संकेतन में वास्तव में थोड़ी "गड़बड़ी" चल रही है, और यदि कठोरता को कठोरता कहा जाना है, तो तनावग्रस्त कारण की तुलना में एक अलग कारण से विरोधाभास के साथ भ्रम बढ़ रहा है! इन भ्रमों के मूल में जो थोड़ी "गड़बड़ी" है, वह बस यह है कि, चर के परिवर्तन के माध्यम से, हालांकि f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), जो संख्यात्मक समानताएं हैं और जो संख्यात्मक रूप से सत्य हैं, फिर भी फ़ंक्शन f और g समान नहीं हैं क्योंकि f: (x,y) --> f(x,y) = x+y, और g: (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, जिसे समान रूप से लिखा जाता है (क्योंकि चर "डमी" हैं चर") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. इसे देखने के इस कठोर कार्यात्मक (या एल्गोरिथम) तरीके से, यह स्पष्ट है कि f और g अलग-अलग एल्गोरिथम हैं, अर्थात अलग-अलग कार्य हैं! इस तरह से चीजों को स्पष्ट करने के साथ, सभी भ्रम, खतरे, विरोधाभास... बस गायब हो जाते हैं : (df/dx)y = 1, और (dg/du)v=2 कोई और pb नहीं!...इसके अलावा, अब स्पष्ट रूप से अवगत रहें कि हम पूर्ण कठोरता के साथ लिख सकते हैं : (dg/du)v = (dg/dx)y, लेकिन केवल तभी जब आप इस पहचान को उचित तरीके से पढ़ें जिस तरह से इसे पढ़ना चाहिए, वह है "कार्य भावना" के माध्यम से, न कि "संख्या भावना" के माध्यम से। ऐसा क्यों? क्योंकि इन अभिव्यक्तियों में चर, "डमी चर" के रूप में देखे जाने चाहिए! अधिक सटीक रूप से, इन दोनों अभिव्यक्तियों (dg/du)v या (dg/dx)y का वास्तव में मतलब है, सरल और स्पष्ट रूप से: पहले चर (क्रमबद्ध जोड़ी के, सेटों के क्रॉस उत्पाद के) के संबंध में, दूसरे "चर" को स्थिर रखते हुए। इसलिए हम समान रूप से (dg/dk)@ (या चर के किसी भी अन्य "नाम") को लिख सकते थे, अगर हमने फ़ंक्शन को "ऐसे चार्ट में" परिभाषित किया होता, लेबल किया हुआ (k,@), इस प्रकार: g : (k, @) --> 2k+@यह चीजों को वास्तव में स्पष्ट और कठोर तरीके से रखने का एकमात्र तरीका है, बिना किसी संकेतन भ्रम या विरोधाभास को जन्म दिए! बस एक फ़ंक्शन को फ़ंक्शन कहकर, और "बिल्ली को कुत्ता" न कहकर, शब्दों और अवधारणाओं के साथ खिलवाड़ करना, बल्कि "भौतिक विज्ञानी" आलसी संकेतन के माध्यम से जो कभी-कभी "बुरी" आदतें साबित हो जाती हैं। यह वास्तव में एक चेन रूल गलती है जो तब उत्पन्न होती है जब कोई व्यक्ति भ्रामक रूप से f को g से पहचानता है। यदि कोई वास्तव में एक ही चर के संबंध में अंतर करना चाहता है, उदाहरण के लिए x, y को स्थिर रखते हुए, यह संभव है! लेकिन बिना किसी गड़बड़ी और गलती के ऐसा करने के लिए, किसी को (df/dx)y=1 की तुलना (dg/du)/v=2 से नहीं करनी चाहिए, जो स्पष्ट रूप से भिन्न हैं (और इसमें कुछ भी गलत नहीं है!)। लेकिन इसके बजाय, किसी को "संख्यात्मक रूप से" के बजाय "कार्यात्मक रूप से" सोचना चाहिए! इसका मतलब है कि किसी को स्पष्ट रूप से "चेन फ़ंक्शन" G की गणना करनी होगी, जो g से अलग है, लेकिन जो चर के परिवर्तन द्वारा g से संबंधित है। इस प्रकार हम पहले चर के परिवर्तन को उचित तरीके से व्यक्त करते हैं! अर्थात्, निम्नलिखित फ़ंक्शन के रूप में: C: (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x) इस प्रकार हमें याद आता है कि फ़ंक्शन g को निम्नलिखित एल्गोरिथ्म के रूप में परिभाषित किया गया है: g: (@,#) --> 2@ +#, या समतुल्य रूप से (चूंकि कोई भी फ़ंक्शन वास्तव में क्या है, वह उसका परिभाषित एल्गोरिथ्म है!), लेकिन अधिक सुविधाजनक रूप से (हमारे चेनिंग फ़ंक्शन लक्ष्य के लिए): g: (u,v) --> g(u,v) = 2u+v इन दो फ़ंक्शन को अब बुद्धिमानी से चेन किया गया है, ताकि फ़ंक्शन G का निर्माण हो सके, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y) अब हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि यह फ़ंक्शन G क्या है: g और C का जंजीर वाला फ़ंक्शन: G = goC केंद्रीय "o" का अर्थ है कार्यात्मक स्थान पर जंजीर (संरचना) संचालन, जिसे सामान्य रूप से किसी भी दो फ़ंक्शन A: E--> F, और B: F --> G के लिए बहुत सरल रूप से परिभाषित किया गया है: BoA: E --> G, x --> BoA(x) = B(A(x)) जिसे वैकल्पिक रूप से "फ़ंक्शन जंजीर" के सामान्य "फ़ॉग" और "gof" के बजाय "BOA नियम" नाम दिया जा सकता है... (मज़ाक!) हमारे उदाहरण में हम अंततः प्राप्त करते हैं, क्योंकि u=x और v=y-x: G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +yइसलिए हम "खोजें" कि सभी x और सभी y के लिए, हमारे पास है: G(x,y) = f(x,y)इसका मतलब है कि कार्यात्मक समानता: G=fतो हमने क्या किया है? पलटना? हाँ, एक अर्थ में, क्योंकि हमने g को x के सापेक्ष, एक संख्यात्मक अर्थ में, एक कार्यात्मक उचित तरीके से करने के बजाय, अर्थात, एल्गोरिथ्म में इसके पहले चर के संबंध में अंतर करने पर जोर दिया है g: (@,#) --> g (@,#) = 2@ + #इस प्रकार, इस संख्यात्मक अर्थ में, x अब एक डमी चर नहीं है, बल्कि एक "f से जुड़ी संख्या" है! भौतिक विज्ञानी इसे "भौतिक अवलोकनीय" कहेंगे। चीजों को देखने का यह तरीका इसे जटिल बनाता है और भ्रम की स्थिति पैदा कर सकता है यदि कोई स्पष्ट रूप से चेन फ़ंक्शन कुंजी और वास्तव में मैनिफोल्ड चार्ट मैपिंग (इस प्रकार चार्ट परिवर्तनों में परिवर्तन, जो अक्सर एक नियमित मैनिफोल्ड के लिए विभेदक होता है) को नहीं समझता है ... इस प्रकार, हम एक तरह से "घूम गए" हैं, जो G = f की ओर ले जाता है! लेकिन ऐसा करने से हमने चेन फ़ंक्शन में स्पष्ट रूप से उचित तरीके से चीजें लिखी हैं, जो उच्च और अधिक अमूर्त अंतर ज्यामिति में अत्यधिक उपयोगी साबित होती हैं, जहाँ कवरिंग और यूनिवर्सल कवरिंग, स्पर्शरेखा स्थान, समूह, झूठ बीजगणित, झूठ व्युत्पन्न, सहसंयोजक व्युत्पन्न, संबंध, अंतर रूप, आदि की महत्वपूर्ण अवधारणाएँ उपयोगी रूप से उभर रही हैं, चेनिंग फ़ंक्शन प्रक्रिया को स्पष्ट रूप से समझने और उसमें महारत हासिल करने की आवश्यकता है! अंत में, अक्सर, संकेतन का यह दुरुपयोग जो भ्रामक रूप से f=g सेट करता है, कुछ आदतों और चपलता के साथ "मानव कंप्यूटर" द्वारा बिना किसी नुकसान के संभाला जाएगा। लेकिन केवल आसान क्षेत्र में। इसके विपरीत यह अधिक सूक्ष्म क्षेत्र में भयावह भ्रम, गलत धारणाएं, बेहद गलत परिणाम और अनावश्यक व्याख्याओं को जन्म देगा... जैसे, नाम न बताने के लिए, सामान्य सापेक्षता, रीमानियन अंतर ज्यामिति, संघनित पदार्थ, प्लाज्मा, आदि... चेनिंग फंक्शन ऑपरेशन सभी गणित में सबसे सरल, लेकिन महत्वपूर्ण है! यह नेस्टेड संरचनाओं का निर्माण खंड है, एक दूसरे के अंदर एक जैसे पेंडोरा बॉक्स, लेकिन "बॉक्स" जो आकर्षक संरचनाओं को प्रकट करते हैं जैसे समूह, बीजगणित, क्लिफोर्ड,... टोपोस... : पॉइंट्सफ़ंक्शन, पॉइंट्स से पॉइंट्सफ़ंक्शनल (या ऑपरेटर), फ़ंक्शन से फ़ंक्शन तक, आदि... सभी शामिल हैं... श्रेणी ग्रोटेंडिक स्पिरिट... डीप!####[]