我非常不同意 19'13" 处对“符号问题”的解决。如果一只猫应该被称为一只猫的话，这个问题强调得很好，但解决得不好！在讲座符号中确实存在一些“混乱”，如果要将严谨性称为严谨性，那么混乱和悖论的起因与强调的原因完全不同！这些混乱的核心在于，通过变量的变化，虽然 f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v) 是数值等式并且从数值上讲是真的，但函数 f 和 g 并不相同，因为 f : (x,y) --> f(x,y)=x+y，并且 g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v，这是等效的写法（因为变量是“虚拟变量”）g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y。从这种严格的函数（或算法）角度来看，很明显 f 和 g 是不同的算法，即不同的函数！通过这种方式澄清问题，所有混乱、危险、悖论……都消失了：(df/dx)y = 1，并且 (dg/du)v=2 不再有 pb！……此外，现在清楚地意识到我们可以绝对严格地写出：(dg/du)v = (dg/dx)y，但只有当您以正确的方式阅读此恒等式时，才应该阅读它，即通过“函数精神”，而不是“数字精神”。为什么呢？因为这些表达式中的变量是并且必须被视为“虚拟变量”！更准确地说，这两个表达式 (dg/du)v 或 (dg/dx)y 的真正含义是简单而明确的：相对于第一个变量（有序对的集合的交叉积）进行驱动，保持第二个“变量”不变。因此，如果我们在“这样的图表”中定义了标记为 (k,@) 的函数，我们可以等效地写出 (dg/dk)@（或任何其他疯狂的变量“名称”），即 :g : (k , @) --> 2k+@ 这是唯一真正清晰而严格地表达事物的方式，而不会引起任何符号混淆或悖论！只需将函数称为函数，而不是“猫狗”，通过“物理学家”的懒散符号来混淆词语和概念，而这些符号有时会被证明是“坏”习惯。事实上，这是链式法则错误，当人们错误地将 f 等同于 g 时就会出现这种错误。如果人们真的想对同一个变量（例如 x）求导，同时保持 y 不变，这是可能的！但为了不弄乱和出错地执行此操作，人们不应该天真地比较 (df/dx)y=1 和 (dg/du)/v=2，它们显然是不同的（这没什么错！）。相反，人们应该“从功能上”而不是“从数字上”思考！这意味着人们必须清楚地计算“链式函数”G，它与 g 不同，但通过变量变化与 g 相关。因此，我们首先以正确的方式表达变量变化！也就是说，如以下函数：C：（x，y）--> C（x，y）=（u，v）=（x，y - x）因此我们回想一下，函数g定义为以下算法：g：（@，#）--> 2@ +#，或等效地（因为任何函数的真正本质都是它的定义算法！），但更方便（对于我们的链接函数目标）：g：（u，v）--> g（u，v）= 2u + v这两个函数现在明智地链接起来以构建函数G，定义如下：G（x，y）= g（u，v）= g（（u，v））= g（C（x，y））=（goC）（（x，y））=（goC）（x，y）我们现在清楚地看到这个函数G是什么：链式g 和 C 的函数：G = goC，中心的“o”表示函数空间上的链接（组合）操作，一般定义为任意两个函数 A : E--> F 和 B : F --> G，非常简单地定义为：BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))因此，也可以将其命名为“BOA 规则”，而不是通常的“函数链接”的“迷雾”和“gof”...（开玩笑！）在我们的例子中，我们最终得到，因为 u=x 和 v=y-x：G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +y所以我们“发现”对于所有 x 和所有 y，我们有：G(x,y) = f(x,y)这意味着函数相等：G=f那么我们做了什么？转过身来？是的，在某种意义上，因为我们坚持以数值方式对 g 相对于 x 进行区分，而不是以函数正确方式进行区分，即在算法 g 中对其第一个变量进行区分：(@,#) --> g(@,#) = 2@ + #因此，在这个数值意义上，x 不再是虚拟变量，而是“附加到 f 的数字”！物理学家将其称为“物理可观测量”。如果人们不能清楚地理解链函数的关键以及事实上的流形图映射（因此图表变换的变化，对于常规流形通常是可微的），这种看待事物的方式会使事情变得复杂并导致混乱......因此，从某种意义上说，我们“转了一圈”，导致 G=f！但这样做了之后，我们仍然清楚地以链函数的正确方式写下了一些东西，这些东西在更高级、更抽象的微分几何中非常有用，其中覆盖和通用覆盖、切空间、群、李代数、李导数、协变导数、连接、微分形式等关键概念非常有用，需要清楚地理解和掌握链函数过程！最后，通常，这种误导性地设置 f=g 的符号滥用，可以通过“人类计算机”以一定的习惯和敏捷性处理而不会造成损害。但仅限于相当容易的领域。相反，它将导致灾难性的混乱、误解、荒谬的错误结果和无意义的解释，在更微妙的领域……类似，不是为了命名它们，广义相对论、黎曼微分几何、凝聚态物质、等离子体等……链式函数操作是所有数学中最简单但最重要的操作之一！它是嵌套结构的构建块，一个在另一个里面，就像潘多拉魔盒，但“盒子”揭示了令人着迷的结构，如群、代数、克利福德……拓扑斯……：点函数，从点到点函数（或运算符），从函数到函数等……全部包含在……Groetendick SPIRIT 类别中……深！####[]