Discordo fortemente da resolução do "problema de notação" em 19'13". O problema é bem enfatizado, mas mal resolvido, se um gato deve ser chamado de gato! Uma pequena "bagunça" de fato está circulando por aí, na notação da aula, e a confusão está surgindo com o paradoxo de uma causa bem diferente daquela enfatizada, se RIGOR deve ser chamado de RIGOR! A pequena "bagunça" que está no cerne dessas confusões é simplesmente que, por meio da mudança de variáveis, embora f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), que são IGUALDADES NUMÉRICAS e que são NUMERICAMENTE verdadeiras, no entanto as funções f e g NÃO SÃO as mesmas, pois f : (x,y) --> f(x,y)=x+y, e g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, QUE É escrito de forma equivalente (já que as variáveis são "VARIÁVEIS DUPLAS") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. A partir desta rigorosa maneira funcional (ou algorítmica) de olhar para isso, é óbvio que f e g são algoritmos DIFERENTES, ou seja, funções DIFERENTES! Com as coisas esclarecidas desta forma, todas as confusões, perigos, paradoxos... simplesmente desaparecem: (df/dx)y = 1, e (dg/du)v=2 Chega de pb!... Além disso, esteja agora claramente ciente de que podemos escrever, com rigor absoluto: (dg/du)v = (dg/dx)y, MAS SOMENTE SE VOCÊ LER ESTA IDENTIDADE DA FORMA ADEQUADA QUE SE DEVE LER, QUE É ATRAVÉS DE "ESPÍRITO DAS FUNÇÕES", E NÃO "espírito numérico". Por que isso? Porque as variáveis nestas expressões SÃO E DEVEM SER OLHADAS COMO "VARIÁVEIS DUPLAS"! Mais precisamente, o que ambas as expressões (dg/du)v ou (dg/dx)y, realmente significam, é simples e inequivocamente: DIRIGIR COM RESPEITO À PRIMEIRA VARIÁVEL (DO PAR ORDENADO, DO PRODUTO CRUZADO DE CONJUNTOS), MANTENDO A SEGUNDA "VARIÁVEL" CONSTANTE. Portanto, poderíamos ter escrito equivalentemente (dg/dk)@ (ou quaisquer outros "nomes" loucos de variáveis), se tivéssemos definido a função "em tal QUADRO", rotulada (k,@), por :g : (k , @) --> 2k+@ESTA é a única maneira de colocar as coisas verdadeiramente claras e rigorosamente, sem nunca dar origem a qualquer confusão de notação ou paradoxo! Simplesmente chamando uma função de função, e NÃO "um gato de cachorro", mexendo com palavras e conceitos, por meio de notações "físicas" que às vezes se revelam hábitos "ruins". Na verdade, é um ERRO DE REGRA DA CADEIA que surge quando alguém identifica enganosamente f com g. Se alguém realmente quiser diferenciar em relação à mesma variável, x por exemplo, mantendo y constante, é possível! Mas para fazer isso sem nenhuma bagunça e erro, NÃO SE DEVE comparar ingenuamente (df/dx)y=1 com (dg/du)/v=2, que são claramente DIFERENTES (e não há nada de errado nisso!). Mas, em vez disso, DEVE-SE pensar "funcionalmente" em vez de "numericamente"! Isso significa que se deve calcular claramente a "FUNÇÃO ENCADERNADA" G, que é diferente de g, mas que está relacionada a g pela Mudança de Variável. Assim, expressamos, primeiro a mudança de variável da MANEIRA CORRETA! Isto é, como a seguinte FUNÇÃO: C: (x, y) --> C(x, y) = (u, v) = (x, y - x) Assim, lembramos que a FUNÇÃO g é definida como o seguinte algoritmo: g: (@, #) --> 2@ + #, ou equivalentemente (já que o que qualquer função realmente É, É seu ALGORITMO definidor!), mas mais convenientemente (para nosso OBJETIVO DE FUNÇÕES DE ENCADEAMENTO): g: (u, v) --> g(u, v) = 2u + v Essas duas FUNÇÕES agora são sabiamente ENCADERNADAS para construir a FUNÇÃO G definida como segue: G(x, y) = g(u, v) = g( (u, v) ) = g(C(x, y)) = (goC)( (x, y) ) = (goC)(x, y) Agora vemos claramente o que é esta FUNÇÃO G: A FUNÇÃO ENCADEADA DE g e C :G = goCO "o" central significa a OPERAÇÃO DE ENCADEAMENTO (COMPOSIÇÃO) NO ESPAÇO FUNCIONAL, definida, em geral, para quaisquer duas funções A : E--> F, e B : F --> G, muito simplesmente como :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))Que poderia, portanto, alternativamente ser chamada de "REGRA BOA" em vez do usual "fog" e "gof" de "ENCADEAMENTO DE FUNÇÕES"... (brincadeira!)Em nosso exemplo, obtemos, finalmente, uma vez que u=x e v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +yENTÃO NÓS "DESCUBRA" QUE para todo x e todo y, temos :G(x,y) = f(x,y)Isso significa IGUALDADE FUNCIONAL :G=fEntão o que fizemos? Virando? Sim, em um sentido, porque INSISTIMOS em diferenciar g com relação a x, EM UM SENTIDO NUMÉRICO, em vez de fazê-lo de uma FORMA FUNCIONALMENTE ADEQUADA, ou seja, diferenciando com relação à sua PRIMEIRA variável no ALGORITMO g : (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #Assim, neste SENTIDO NUMÉRICO, x não é mais uma VARIÁVEL DUPLA, mas um "NÚMERO ANEXO A f"! O físico o chamaria de "observável físico". Essa maneira de ver as coisas complica e pode levar a confusões se não entendermos claramente a CHAVE DE FUNÇÃO DA CADEIA E, DE FATO, O MAPEAMENTO DOS GRÁFICOS DE VÁRIOS (DESSE MODO, AS TRANSFORMAÇÕES DE GRÁFICOS, muitas vezes diferenciáveis para uma variedade regular) subjacente a tudo isso... Então, em certo sentido, "viramos", levando a G=f! Mas fazendo isso, nós, no entanto, ESCREVEMOS COISAS CLARAMENTE NA FUNÇÃO DE CADEIA DE MANEIRA ADEQUADA, que se revelam EXTREMAMENTE ÚTEIS em GEOMETRIA DIFERENCIAL mais alta e abstrata, onde conceitos cruciais de COBERTURA e COBERTURA UNIVERSAL, ESPAÇO TANGENTE, GRUPO, ÁLGEBRA DE LIE, DERIVATIVA DE LIE, DERIVATIVA COVARIANTE, CONEXÕES, FORMAS DIFERENCIAIS,... por exemplo, estão surgindo utilmente, precisando que o PROCESSO DE FUNÇÃO DE ENCADEAMENTO seja claramente compreendido e dominado! Finalmente, frequentemente, esse abuso de notação que define enganosamente f=g, será tratado sem danos pelo "computador humano", com alguns hábitos e agilidade. MAS apenas em áreas bastante fáceis. Pelo contrário, levará a confusões catastróficas, equívocos, resultados falsamente dramáticos e interpretações absurdas, em áreas mais sutis... semelhantes, não para nomeá-los, relatividade geral, geometria diferencial riemaniana, matéria condensada, plasma, etc... A OPERAÇÃO DE FUNÇÃO DE ENCADEAMENTO é uma das mais simples, mas importante em toda a matemática! É o bloco de construção de estruturas aninhadas, uma dentro das outras, como a caixa de Pandora, MAS "CAIXAS" QUE REVELAM ESTRUTURAS FASCINANTES COMO GRUPO, ÁLGEBRA, CLIFFORD,... TOPOS... : PontosFunções, de pontos para pontosFuncional (ou Operador), de funções para funções, etc... Tudo incluído NA... CATEGORIA Groetendick ESPÍRITO... profundo!####[]