Estoy en total desacuerdo con la resolución del "problema de notación" en 19'13". El problema está bien enfatizado, pero mal resuelto, ¡si a un gato se le debe llamar gato! De hecho, hay un pequeño "lío" por ahí, en la notación de la conferencia, y está surgiendo una confusión con una paradoja por una causa bastante diferente a la enfatizada, ¡si se debe llamar RIGOR al RIGOR! El pequeño "lío" que está en el centro de estas confusiones es simplemente que, a través del cambio de variables, aunque f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), que son IGUALDADES NUMÉRICAS y que son NUMÉRICAMENTE verdaderas, sin embargo las funciones f y g NO SON las mismas ya que f : (x,y) --> f(x,y)=x+y, y g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, QUE se escribe de manera equivalente (ya que las variables son "VARIABLES FIcticias") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y. De esta manera funcional (o algorítmica) rigurosa de verlo, es obvio que f y g son algoritmos DIFERENTES, es decir, funciones DIFERENTES. Con las cosas aclaradas de esta manera, todas las confusiones, peligros, paradojas... simplemente desaparecen: (df/dx)y = 1, y (dg/du)v = 2 ¡No más pb!... Además, ahora tengan claro que podemos escribir, con absoluto rigor: (dg/du)v = (dg/dx)y, PERO SOLO SI LEEMOS ESTA IDENTIDAD DE LA MANERA CORRECTA EN QUE SE DEBE LEER, ES DECIR A TRAVÉS DEL "ESPÍRITU DE LAS FUNCIONES", Y NO DEL "ESPÍRITU DE LOS NÚMEROS". ¿Por qué? ¡Porque las variables en estas expresiones, SON Y DEBEN SER CONSIDERADAS COMO "VARIABLES FIcticias"! Más precisamente, lo que ambas expresiones (dg/du)v o (dg/dx)y, realmente significan, es simple e inequívocamente: CONDUCIR CON RESPECTO A LA PRIMERA VARIABLE (DEL PAR ORDENADO, DEL PRODUCTO CRUZADO DE CONJUNTOS), MANTENER CONSTANTE LA SEGUNDA "VARIABLE". Por lo tanto, podríamos haber escrito de manera equivalente (dg/dk)@ (o cualquier otro "nombre" loco de variables), si hubiéramos definido la función "en tal GRÁFICO", etiquetado (k,@), por :g : (k , @) --> 2k+@ ¡ÉSTA es la única manera de poner las cosas verdaderamente claras y rigurosamente, sin dar lugar nunca a ninguna confusión o paradoja de notación! Simplemente llamando a una función una función, y NO "un gato un perro", jugando con palabras y conceptos, a través de notaciones bastante "físicas" que a veces resultan ser "malos" hábitos. De hecho, se trata de un ERROR DE REGLA DE CADENA que surge cuando uno identifica erróneamente f con g. Si uno realmente quiere diferenciar con respecto a la misma variable, x por ejemplo, manteniendo y constante, ¡es posible! Pero para realizar eso sin ningún lío ni error, uno NO DEBERÍA comparar ingenuamente (df/dx)y=1 con (dg/du)/v=2, que son claramente DIFERENTES (¡y no hay nada de malo en ello!). En cambio, ¡uno DEBERÍA pensar "funcionalmente" en lugar de "numéricamente"! Eso significa que uno tiene que calcular claramente la "FUNCIÓN ENCADENADA" G, que es diferente de g, pero que está relacionada con g por el Cambio de Variable. Así, primero expresamos el cambio de variable de la FORMA CORRECTA. Es decir, como la siguiente FUNCIÓN: C: (x, y) --> C(x, y) = (u, v) = (x, y - x) Recordamos entonces que la FUNCIÓN g se define como el siguiente algoritmo: g: (@, #) --> 2 @ + #, o equivalentemente (ya que lo que cualquier función ES verdaderamente, ¡ES su ALGORITMO definitorio!), pero más convenientemente (para nuestro OBJETIVO DE ENCADENAR FUNCIONES): g: (u, v) --> g(u, v) = 2u+v Estas dos FUNCIONES ahora están sabiamente ENCADENADAS para construir la FUNCIÓN G definida como sigue: G(x, y) = g(u, v) = g( (u, v) ) = g(C(x, y)) = (goC)( (x, y) ) = (goC)(x, y) Ahora vemos claramente qué es esta FUNCIÓN G: LA FUNCIÓN ENCADENADA DE g y C :G = goCLa "o" central significa la OPERACIÓN DE ENCADENAMIENTO (COMPOSICIÓN) EN EL ESPACIO FUNCIONAL, definida, en general, para cualesquiera dos funciones A : E--> F, y B : F --> G, muy simplemente como :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))La cual podría entonces, alternativamente ser llamada "LA REGLA DE BOA" en lugar de la "niebla" y "gof" usuales de "ENCADENAMIENTO DE FUNCIONES"... (¡broma!)En nuestro ejemplo entonces obtenemos, finalmente, ya que u=x y v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +yASÍ QUE "DESCUBRIMOS" QUE para todo x y todo y, tenemos :G(x,y) = f(x,y)Eso significa IGUALDAD FUNCIONAL :G=fEntonces, ¿qué hemos hecho? ¿Dar la vuelta? Sí, en cierto sentido, porque hemos INSISTIDO en diferenciar g respecto de x, EN SENTIDO NUMÉRICO, en lugar de hacerlo de FORMA FUNCIONAL CORRECTA, es decir, diferenciando respecto de su PRIMERA variable en el ALGORITMO g : (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #Por lo tanto, en este SENTIDO NUMÉRICO, x ya no es una VARIABLE FICTÍNICA, sino un "NÚMERO ADJUNTO A f". El físico lo llamaría un "observable físico". Esta manera de ver las cosas complica y puede llevar a confusiones si uno no entiende claramente la FUNCIÓN CLAVE DE LA CADENA Y DE HECHO EL ASIGNAMIENTO DE GRÁFICOS DE VARIEDAD (ASÍ, EL CAMBIO DE TRANSFORMACIONES DE GRÁFICOS, a menudo diferenciables para una variedad regular) que subyacen a todo esto... Así que, en cierto sentido, hemos "dado la vuelta", lo que nos lleva a G=f! Pero al hacerlo, HEMOS ESCRITO CLARAMENTE LAS COSAS EN LA FORMA CORRECTA DE FUNCIÓN DE CADENA, que se revelan como EXTREMADAMENTE ÚTILES en la GEOMETRÍA DIFERENCIAL más abstracta y superior, donde los conceptos cruciales de COBERTURA y COBERTURA UNIVERSAL, ESPACIO TANGENTE, GRUPO, ÁLGEBRA DE LIE, DERIVADA DE LIE, DERIVADA COVARIANTE, CONEXIONES, FORMAS DIFERENCIALES, por ejemplo, surgen de manera útil, y es necesario que el PROCESO DE FUNCIÓN DE ENCADENAMIENTO se comprenda y domine claramente. Finalmente, a menudo, este abuso de la notación que establece de manera engañosa f = g, será manejado sin daño por la "computadora humana", con algunos hábitos y agilidad. PERO solo en un área bastante fácil. Por el contrario, conducirá a confusiones catastróficas, conceptos erróneos, resultados dramáticamente falsos e interpretaciones absurdas, en áreas más sutiles... como, sin nombrarlas, la relatividad general, la geometría diferencial de Riemann, la materia condensada, el plasma, etc... ¡LA OPERACIÓN DE ENCADENAMIENTO DE FUNCIONES es una de las más simples, pero importantes, en todas las matemáticas! Es el bloque de construcción de estructuras anidadas, una dentro de otras como la caja de Pandora, PERO "CAJAS" QUE REVELAN ESTRUCTURAS FASCINANTES COMO GRUPO, ÁLGEBRA, CLIFFORD,... TOPOS... : PuntosFunciones, de puntos a puntosFuncional (u Operador), de funciones a funciones, etc... Todo incluido EN... CATEGORÍA ESPÍRITU Groetendick... ¡deap!####[]