Je suis en total désaccord avec la résolution du "problème de notation" à 19'13". Le problème est bien souligné, mais mal résolu, si un chat doit être appelé un chat ! Un petit "désordre" court en effet là, dans la notation de cours, et la confusion monte avec le paradoxe pour une cause assez différente de celle soulignée, si la RIGUEUR doit être appelée RIGUEUR ! Le petit "désordre" qui est au cœur de ces confusions est simplement que, par le changement de variables, bien que f(x,y) = x+y = 2u+v = g(u,v), qui sont des ÉGALITÉS NUMÉRIQUES et qui sont NUMÉRIQUEMENT vraies, néanmoins les fonctions f et g NE SONT PAS les mêmes puisque f : (x,y) --> f(x,y)=x+y, et g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+v, CE QUI S'écrit de manière équivalente (puisque les variables sont des "VARIABLES FACTICES") g : (x,y) --> g(x,y) = 2x+y.De cette façon rigoureusement fonctionnelle (ou algorithmique) de voir les choses, il est évident que f et g sont des algorithmes DIFFÉRENTS, c'est-à-dire des fonctions DIFFÉRENTES !Les choses étant clarifiées de cette façon, toutes les confusions, dangers, paradoxes... disparaissent tout simplement : (df/dx)y = 1, et (dg/du)v=2 Plus de pb !...De plus, sachez maintenant clairement que nous pouvons écrire, avec une rigueur absolue : (dg/du)v = (dg/dx)y, MAIS SEULEMENT SI VOUS LISEZ CETTE IDENTITÉ DE LA BONNE FAÇON, ON DEVRAIT LA LIRE, C'EST-À-DIRE À TRAVERS "L'ESPRIT DES FONCTIONS", ET NON "L'ESPRIT DES NOMBRE". Pourquoi cela ? Parce que les variables dans ces expressions SONT ET DOIVENT ÊTRE CONSIDÉRÉES COMME DES "VARIABLES FACTICES" ! Plus précisément, ce que ces deux expressions (dg/du)v ou (dg/dx)y, signifient vraiment, c'est simplement et sans ambiguïté : DIRIVE PAR RAPPORT À LA PREMIÈRE VARIABLE (DU PAIRE ORDINAIRE, DU PRODUIT CRÉÉ D'ENSEMBLES), EN GARDER LA DEUXIÈME "VARIABLE" CONSTANTE. On aurait donc pu écrire de manière équivalente (dg/dk)@ (ou tout autre "nom" de variable farfelu), si on avait défini la fonction "dans tel GRAPHIQUE", étiquetée (k,@), par :g : (k , @) --> 2k+@C'est la seule façon de poser les choses vraiment clairement et rigoureusement, sans jamais donner lieu à aucune confusion de notation ou paradoxe ! Tout simplement en appelant une fonction une fonction, et NON "un chat un chien", en jouant avec les mots et les concepts, au moyen de notations un peu "physiciennes" qui s'avèrent parfois être de "mauvaises" habitudes. C'est en fait une ERREUR DE RÈGLE DE CHAÎNE qui survient lorsqu'on identifie à tort f avec g. Si l'on veut vraiment différencier par rapport à la même variable, x par exemple, en gardant y constant, c'est possible ! Mais pour effectuer cela sans aucun désordre et sans erreur, on NE DEVRAIT PAS comparer naïvement (df/dx)y=1 avec (dg/du)/v=2, qui sont clairement DIFFÉRENTS (et il n'y a rien de mal à cela !). Mais au lieu de cela, on DEVRAIT penser "fonctionnellement" au lieu de "numériquement" ! Cela signifie qu'il faut calculer clairement la "FONCTION CHAÎNÉE" G, qui est différente de g, mais qui est liée à g par le changement de variable. Nous exprimons donc, d'abord, le changement de variable de la BONNE FAÇON ! C'est-à-dire, comme la FONCTION suivante :C : (x,y) --> C(x,y) = (u,v) = (x, y - x)Nous rappelons donc que la FONCTION g est définie comme l'algorithme suivant :g : (@,#) --> 2@ +#,ou de manière équivalente (puisque ce qu'EST vraiment toute fonction, EST son ALGORITHME de définition !), mais de manière plus pratique (pour notre OBJECTIF DE CHAÎNAGE DE FONCTIONS) :g : (u,v) --> g(u,v) = 2u+vCes deux FONCTIONS sont maintenant judicieusement CHAÎNÉES pour construire la FONCTION G définie comme suit :G(x,y) = g(u,v) = g( (u,v) ) = g(C(x,y)) = (goC)( (x,y) ) = (goC)(x,y)Nous voyons maintenant clairement quelle est cette FONCTION G : LA FONCTION CHAÎNÉE DE g et C :G = goCLe "o" central signifiant l'OPÉRATION DE CHAÎNAGE (COMPOSITION) SUR L'ESPACE FONCTIONNEL, définie, en général, pour deux fonctions quelconques A : E--> F, et B : F --> G, très simplement comme :BoA : E --> G , x --> BoA(x) = B(A(x))Qui pourrait donc, alternativement, être nommée "LA RÈGLE DE BOA" au lieu des habituels "fog" et "gof" de "CHAÎNAGE DE FONCTIONS"... (blague !)Dans notre exemple, nous obtenons alors, finalement, puisque u=x et v=y-x :G(x,y) = (goC)(x,y) = g(C(x,y)) = g( (u,v) ) = g(u,v) = g(x, y-x) = 2x + (y-x) = x +yDONC NOUS "DÉCOUVRONS" QUE pour tout x et tout y, nous avons :G(x,y) = f(x,y)Cela signifie ÉGALITÉ FONCTIONNELLE : G=fAlors qu'avons-nous fait ? Un retournement de situation ? Oui, en un sens, car nous avons INSISTÉ à différencier g par rapport à x, DANS UN SENS NUMÉRIQUE, au lieu de le faire de MANIÈRE FONCTIONNELLE PROPRE, c'est-à-dire en différenciant par rapport à sa PREMIÈRE variable dans l'ALGORITHME g : (@,#) --> g(@,#) = 2@ + #Ainsi, dans ce SENS NUMÉRIQUE, x n'est plus une VARIABLE FICTIVE, mais un "NOMBRE ATTACHÉ À f" ! Le physicien l'appellerait un "observable physique". Cette façon de voir les choses complique les choses et peut conduire à des confusions si l'on ne comprend pas clairement la CLÉ DE FONCTION DE CHAÎNE ET EN FAIT LA CORRESPONDANCE DES CARTES DE VARIÉTÉS (DONC LES TRANSFORMATIONS DE CHANGEMENT DE CARTES, souvent différentiables pour une variété régulière) qui se cache derrière tout cela... Nous avons donc, en quelque sorte, "fait demi-tour", conduisant à G=f ! Mais ce faisant, nous avons néanmoins ÉCRIT CLAIREMENT DES CHOSES DANS LA FONCTION DE CHAÎNE APPROPRIÉE, qui se révèlent EXTRÊMEMENT UTILES en GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE supérieure et plus abstraite, où les concepts cruciaux de COUVERTURE et de COUVERTURE UNIVERSELLE, ESPACE TANGENT, GROUPE, ALGÈBRE DE MENTIS, DÉRIVÉE DE MENTIS, DÉRIVÉE COVARIANTE, CONNEXIONS, FORMES DIFFÉRENTIELLES,..par exemple, surgissent utilement, nécessitant que le PROCESSUS DE FONCTION DE CHAÎNE soit clairement compris et maîtrisé ! Finalement, souvent, cet abus de notation qui pose de manière trompeuse f=g, sera traité sans dommage par "l'ordinateur humain", avec un peu d'habitude et d'agilité. MAIS seulement dans des domaines assez faciles. Au contraire, cela conduira à des confusions catastrophiques, des idées fausses, des résultats systématiquement faux et des interprétations absurdes, dans des domaines plus subtils... comme, pour ne pas les nommer, la relativité générale, la géométrie différentielle riemanienne, la matière condensée, le plasma, etc... L'OPÉRATION DE FONCTIONS DE CHAÎNAGE est l'une des plus simples, mais des plus importantes de toutes les mathématiques ! C'est la brique de construction des structures imbriquées, les unes dans les autres comme la boîte de Pandore, MAIS DES "BOÎTES" QUI RÉVÈLENT DES STRUCTURES FASCINANTES COMME GROUPE, ALGÈBRE, CLIFFORD,...TOPOS... : PointsFonctions, de points en pointsFonctionnelle (ou Opérateur), de fonctions en fonctions, etc...Toutes incluses DANS...CATEGORIE Groetendick SPIRIT...deap !####[]