Tijdstempels en samenvatting voor college 3: Quotiëntruimten, de Baire-categoriestelling en de uniforme begrensdheidsstelling0:00 - Samenvatting van college 2Laatste college: lineaire operatoren tussen genormeerde vectorruimten zijn continu als en alleen als ze begrensd zijn. De ruimte van begrensde operatoren tussen twee dergelijke NVS's vormt zelf een NVS, onder de operatornorm. Wanneer het doel een Banachruimte is, wordt deze ruimte van begrensde operatoren ook Banach: dit is een manier om nieuwe Banachruimten te identificeren uit bestaande, door alle begrensde operatoren erin te beschouwen. 0:59 - DeelruimtenEen deelruimte van een gegeven vectorruimte is intern gesloten onder optelling en schaling (lineaire combinaties). Stelling: een deelruimte W van een Banachruimte V is zelf Banach als en alleen als het een gesloten deelruimte van V is met betrekking tot de metriek die door de norm wordt geïnduceerd. Afsluiting komt erop neer dat W al zijn limietpunten bevat (elke convergente reeks in W heeft zijn limiet in W). We kunnen elke sequentie in W nemen; door hypothese (volledigheid) is het Cauchy en convergeert in W. Omgekeerd, als de deelruimte gesloten is, kunnen we een Cauchy-sequentie in W nemen -- door het te beschouwen als een sequentie in de omringende Banach-ruimte V, convergeert het naar een element in W door afsluiting. Dit laat zien dat elke Cauchy-sequentie in W convergeert in W, dus W is Banach. 5:14 - QuotiëntruimtenEen andere cruciale manier om nieuwe ruimtes te vormen uit oude door over te gaan naar substructuren, omvat het proces van het nemen van quotiënten. Gegeven een deelruimte W van V, introduceer (en verifieer) een equivalentierelatie op vectoren in V door twee vectoren samen te identificeren als hun verschil in W ligt. Dit stelt ons in staat om de quotiëntset V/W te vormen onder die equivalentierelatie; bovendien erft het op natuurlijke wijze de bewerkingen van V en wordt het een vectorruimte op zichzelf. 11:31 - Van seminormen naar normen Herinner je dat een seminorm voldoet aan homogeniteit en de driehoeksongelijkheid, maar niet noodzakelijkerwijs aan bepaaldheid -- beschouw de norm van de afgeleide van een functie; deze vertoont de eerste twee eigenschappen, maar lost op tot nul op constante functies. Stelling: een seminorm op een vectorruimte daalt af naar een norm op zijn quotiënt genomen met de deelruimte van alle vectoren waarop de seminorm nul is. Intuïtief: de aanwezigheid van vectoren met seminorm nul vertegenwoordigt een "obstructie" van de seminorm om een norm te worden. Door de obstructie in het quotiënt te laten instorten, verkrijgen we een ware norm. 23:11 - Baire-categoriestelling Een hoeksteen van de algemene topologie met essentiële toepassingen in analyse. De hier gegeven versie stelt dat als een volledige metrische ruimte kan worden uitgedrukt als de aftelbare vereniging van gesloten verzamelingen, dan bevat ten minste één van de gesloten verzamelingen een open bal (eq. heeft een inwendig punt/niet-lege inwendige ruimte). Het kan worden geherformuleerd om te stellen dat de aftelbare doorsnede van open, dichte verzamelingen in een complete metrische ruimte dicht blijft. (Opmerking: een tweede resultaat, niet zo relevant voor functionele analyse, stelt dat hetzelfde geldt voor lokaal compacte reguliere ruimten. Dit is vooral belangrijk bij de studie van lokaal compacte Hausdorff-ruimten. De hier bewezen versie vereist een vorm van het Axioma van Keuze; over ZF blijkt het equivalent te zijn aan een zwakkere vorm van Keuze die voldoende is om het grootste deel van de reële analyse op te bouwen). 50:39 - De Uniforme Begrensdheidsstelling Ons eerste belangrijke resultaat van functionele analyse: het stelt dat een reeks puntsgewijs begrensde operatoren op een Banach-ruimte ook uniform begrensd is. Preciezer gezegd, een reeks lineaire operatoren van een Banach-ruimte naar een genormeerde vectorruimte wordt uniform begrensd in de operatornorm zodra elke individuele operator begrensd is. Door te laten zien dat elk van deze operatoren grenzen heeft die met elk punt kunnen variëren, beweert deze stelling dat een grens kan worden gekozen voor alle operatoren in de reeks die onafhankelijk is van het punt, en globaal kan worden toegepast.####[]