यदि A^T A V = V S, S विकर्ण और V लम्बवत के साथ A^T A का वर्णक्रमीय अपघटन है, तो हमारे पास यह है कि (A V)^T (A V)= S. इसलिए, AV के शून्येतर स्तंभ, जो A के शून्येतर स्तंभों से संबद्ध है, AV के अन्य सभी शून्येतर स्तंभों के साथ लम्बवत है। इसलिए, एक लम्बवत मैट्रिक्स U ढूँढना संभव है जैसे कि A V = U sqrt(S) -- ध्यान दें कि S का विकर्ण हमें AV के प्रत्येक स्तंभ का वर्ग मानक देता है, जिसका अर्थ है कि यह पूरी तरह से ठीक है। अब, इसका अर्थ है A=U sqrt(S) V^T. यदि आवश्यक हो, तो U को पूरा करने पर, हमारे पास SVD अपघटन है। व्यवहार में, A^T A के वर्णक्रमीय अपघटन की गणना के बाद, हम (AV)^T के कर्न की गणना करेंगे -- Im(AV) के लम्बवत -- और इसके लिए एक लम्बवत आधार ढूँढेंगे, और निश्चित रूप से, इस प्रक्रिया से संबद्ध सभी एकवचन मान शून्य होंगे।####[]