Horodatages et résumé de la leçon 3 : Espaces quotients, théorème de catégorie de Baire et théorème de bornage uniforme0:00 - Récapitulatif de la leçon 2Dernière leçon : les opérateurs linéaires entre espaces vectoriels normés sont continus si et seulement s'ils sont bornés. L'espace des opérateurs bornés entre deux de ces NVS forme lui-même un NVS, sous la norme de l'opérateur. Lorsque la cible est un espace de Banach, cet espace d'opérateurs bornés devient également Banach : c'est une façon d'identifier les nouveaux espaces de Banach à partir des espaces existants, en considérant tous les opérateurs bornés dans ceux-ci. 0:59 - Sous-espacesUn sous-espace d'un espace vectoriel donné est fermé intérieurement sous l'effet de l'addition et de la mise à l'échelle (combinaisons linéaires). Théorème : un sous-espace W d'un espace de Banach V est lui-même Banach si et seulement s'il est un sous-espace fermé de V par rapport à la métrique induite par la norme. La fermeture revient à montrer que W contient tous ses points limites (toute suite convergente dans W a sa limite dans W). On peut prendre n'importe quelle suite dans W ; par hypothèse (complétude) elle est Cauchy et converge dans W. Inversement, si le sous-espace est fermé, on peut prendre une suite de Cauchy dans W -- en la considérant comme une suite dans l'espace de Banach ambiant V, elle converge vers un élément de W par fermeture. Cela montre que toute suite de Cauchy dans W converge dans W, donc W est Banach. 5:14 - Espaces quotientsUne autre façon cruciale de former de nouveaux espaces à partir d'anciens en passant aux sous-structures implique le processus de prise de quotients. Étant donné un sous-espace W de V, introduisez (et vérifiez) une relation d'équivalence sur les vecteurs dans V en identifiant deux vecteurs ensemble si leur différence se situe dans W. Cela nous permet de former l'ensemble quotient V/W sous cette relation d'équivalence ; de plus, il hérite naturellement des opérations de V et devient un espace vectoriel à part entière. 11:31 - Des semi-normes aux normesRappelons qu'une semi-norme satisfait l'homogénéité et l'inégalité triangulaire, mais pas nécessairement la définition - considérons la norme de la dérivée d'une fonction ; elle présente les deux premières propriétés mais se résout à zéro sur des fonctions constantes. Théorème : une semi-norme sur un espace vectoriel descend à une norme sur son quotient pris avec le sous-espace de tous les vecteurs sur lesquels la semi-norme est nulle. Intuitivement : la présence de vecteurs avec une semi-norme nulle représente une "obstruction" à la semi-norme de devenir une norme. En réduisant l'obstruction dans le quotient, nous obtenons une vraie norme. 23:11 - Théorème de la catégorie de BaireUne pierre angulaire de la topologie générale avec des applications vitales en analyse. La version donnée ici stipule que si un espace métrique complet peut être exprimé comme l'union dénombrable d'ensembles fermés, alors au moins un des ensembles fermés contient une boule ouverte (l'équation a un point intérieur/intérieur non vide). On peut reformuler cela pour dire que l'intersection dénombrable d'ensembles ouverts denses dans un espace métrique complet reste dense. (Remarque : un deuxième résultat, moins pertinent pour l'analyse fonctionnelle, indique que la même chose est vraie pour les espaces réguliers localement compacts. Ceci est particulièrement important dans l'étude des espaces de Hausdorff localement compacts. La version prouvée ici nécessite une certaine forme de l'axiome du choix ; sur ZF, il s'avère équivalent à une forme plus faible de choix qui suffit à construire la plupart des analyses réelles). 50:39 - Le théorème de la délimitation uniformeNotre premier résultat majeur de l'analyse fonctionnelle : il stipule qu'une séquence d'opérateurs bornés ponctuellement sur un espace de Banach est également bornée uniformément. Plus précisément, une séquence d'opérateurs linéaires d'un espace de Banach à un espace vectoriel normé est bornée uniformément dans la norme de l'opérateur dès que chaque opérateur individuel est borné. En montrant que chacun de ces opérateurs a des bornes qui peuvent varier avec chaque point, ce théorème affirme qu'une borne peut être choisie pour tous les opérateurs de la séquence qui est indépendante du point, et peut être appliquée globalement.####[]