व्याख्यान 3 के लिए टाइमस्टैम्प और सारांश: भागफल स्थान, बेयर श्रेणी प्रमेय और एकसमान सीमा प्रमेय0:00 - व्याख्यान 2 का पुनरावलोकनअंतिम व्याख्यान: मानक सदिश स्थानों के बीच रैखिक ऑपरेटर निरंतर होते हैं यदि और केवल यदि वे सीमित हैं। दो ऐसे NVS के बीच सीमित ऑपरेटरों का स्थान स्वयं ऑपरेटर मानक के तहत एक NVS बनाता है। जब लक्ष्य एक बैनच स्थान होता है, तो सीमित ऑपरेटरों का यह स्थान भी बैनच बन जाता है: यह सभी सीमित ऑपरेटरों पर विचार करके मौजूदा बैनच स्थानों से नए बैनच स्थानों की पहचान करने का एक तरीका है। 0:59 - उपस्थान किसी दिए गए सदिश स्थान का उपस्थान योग और स्केलिंग (रैखिक संयोजन) के तहत आंतरिक रूप से बंद होता है। प्रमेय: बैनच स्थान V का उपस्थान W स्वयं बैनच होता है यदि और केवल यदि यह मानक द्वारा प्रेरित मीट्रिक के संबंध में V का बंद उपस्थान है। बंद होने का अर्थ यह दिखाना है कि W में इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं (W में प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम की W में अपनी सीमा होती है)। हम W में कोई भी अनुक्रम ले सकते हैं; परिकल्पना (पूर्णता) के अनुसार यह कॉची है और W में अभिसरित होता है। इसके विपरीत, यदि उप-स्थान बंद है, तो हम W में एक कॉची अनुक्रम ले सकते हैं - इसे परिवेशी बानाच स्थान V में एक अनुक्रम के रूप में मानते हुए, यह बंद होने से W में एक तत्व में अभिसरित होता है। यह दर्शाता है कि W में प्रत्येक कॉची अनुक्रम W में अभिसरित होता है, इसलिए W बानाच है। 5:14 - भागफल स्थान उप-संरचनाओं में जाकर पुराने से नए स्थान बनाने का एक अन्य महत्वपूर्ण तरीका भागफल लेने की प्रक्रिया को शामिल करता है। V का एक उप-स्थान W दिया गया है, दो सदिशों को एक साथ पहचान कर V में सदिशों पर एक तुल्यता संबंध प्रस्तुत करें (और सत्यापित करें) यदि उनका अंतर W में है। यह हमें उस तुल्यता संबंध के अंतर्गत भागफल सेट V/W बनाने की अनुमति देता है; 11:31 - सेमीनॉर्म से नॉर्म तकयाद रखें कि सेमीनॉर्म समरूपता और त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है, लेकिन जरूरी नहीं कि निश्चितता को संतुष्ट करे - किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के नॉर्म पर विचार करें; यह पहले दो गुणों को प्रदर्शित करता है लेकिन स्थिर फ़ंक्शन पर शून्य पर हल हो जाता है। प्रमेय: एक वेक्टर स्पेस पर एक सेमीनॉर्म अपने भागफल पर एक नॉर्म पर उतरता है, जिसमें सभी वेक्टर के उप-स्पेस के साथ लिया जाता है, जिस पर सेमीनॉर्म शून्य होता है। सहज रूप से: सेमीनॉर्म शून्य वाले वेक्टर की उपस्थिति सेमीनॉर्म को नॉर्म बनने से "बाधा" का प्रतिनिधित्व करती है। भागफल में बाधा को कम करके, हम एक सच्चा नॉर्म प्राप्त करते हैं। 23:11 - बेयर श्रेणी प्रमेयविश्लेषण में महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों के साथ सामान्य टोपोलॉजी की आधारशिला। यहाँ दिया गया संस्करण बताता है कि यदि एक पूर्ण मीट्रिक स्पेस को बंद सेटों के गणनीय संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो बंद सेटों में से कम से कम एक में एक खुली गेंद होती है (समीकरण में एक आंतरिक बिंदु/खाली आंतरिक भाग होता है)। इसे यह बताने के लिए सुधारा जा सकता है कि एक पूर्ण मीट्रिक स्पेस में खुले, सघन सेटों का गणनीय प्रतिच्छेद सघन रहता है। (नोट: एक दूसरा परिणाम, जो कार्यात्मक विश्लेषण के लिए उतना प्रासंगिक नहीं है, बताता है कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित स्पेस के लिए भी यही सच है। यह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस के अध्ययन में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। यहाँ सिद्ध किए गए संस्करण के लिए चयन के स्वयंसिद्ध के कुछ रूप की आवश्यकता होती है; ZF पर यह चयन के एक कमज़ोर रूप के बराबर हो जाता है जो वास्तविक विश्लेषण के अधिकांश भाग को बनाने के लिए पर्याप्त है)। 50:39 - एकसमान सीमा प्रमेय हमारा पहला प्रमुख कार्यात्मक विश्लेषण परिणाम: यह बताता है कि बैनच स्पेस पर बिंदुवार-सीमाबद्ध ऑपरेटरों का एक क्रम भी समान रूप से सीमाबद्ध है। अधिक सटीक रूप से, बैनच स्पेस से एक मानक सदिश स्पेस तक रैखिक ऑपरेटरों का एक क्रम ऑपरेटर मानक में समान रूप से सीमाबद्ध होता है जैसे ही प्रत्येक व्यक्तिगत ऑपरेटर सीमाबद्ध होता है। यह दिखाते हुए कि इनमें से प्रत्येक ऑपरेटर की सीमाएँ हैं जो प्रत्येक बिंदु के साथ भिन्न हो सकती हैं, यह प्रमेय दावा करता है कि अनुक्रम में सभी ऑपरेटरों के लिए एक सीमा चुनी जा सकती है जो बिंदु से स्वतंत्र है, और वैश्विक रूप से लागू की जा सकती है।####[]