Časové pečiatky a zhrnutie pre prednášku 3: Kvocientové priestory, Baireova veta o kategórii a veta o rovnomernej ohraničenosti0:00 - Zhrnutie prednášky 2Posledná prednáška: Lineárne operátory medzi normovanými vektorovými priestormi sú spojité vtedy a len vtedy, ak sú ohraničené. Samotný priestor ohraničených operátorov medzi dvoma takýmito NVS tvorí NVS podľa normy operátora. Keď je cieľom Banachov priestor, tento priestor ohraničených operátorov sa tiež stane Banachom: toto je spôsob, ako identifikovať nové Banachove priestory od existujúcich, tým, že sa do nich započítajú všetky ohraničené operátory. 0:59 - Podpriestor Podpriestor daného vektorového priestoru je vnútorne uzavretý pri pridávaní a škálovaní (lineárne kombinácie). Veta: podpriestor W Banachovho priestoru V je sám Banachov práve vtedy, ak je uzavretým podpriestorom V vzhľadom na metriku indukovanú normou. Uzavretie znamená, že W obsahuje všetky svoje limitné body (každá konvergentná postupnosť vo W má svoju limitu vo W). Môžeme vziať akúkoľvek postupnosť vo W; podľa hypotézy (úplnosti) je Cauchy a konverguje vo W. Naopak, ak je podpriestor uzavretý, môžeme vziať Cauchyho postupnosť vo W -- ak ju považujeme za postupnosť v okolitom Banachovom priestore V, konverguje k prvku vo W uzavretím. To ukazuje, že každá Cauchyho postupnosť vo W konverguje vo W, takže W je Banach. 5:14 - Kvocientové priestory Ďalší zásadný spôsob, ako vytvoriť nové priestory zo starých prechodom na podštruktúry, zahŕňa proces prevzatia kvocientov. Vzhľadom na podpriestor W z V zaveďte (a overte) vzťah ekvivalencie na vektoroch vo V identifikáciou dvoch vektorov spolu, ak ich rozdiel leží vo W. To nám umožňuje vytvoriť množinu kvocientov V/W podľa tohto vzťahu ekvivalencie; okrem toho prirodzene preberá operácie z V a stáva sa vektorovým priestorom ako taký. 11:31 - Od seminoriem k normám Pripomeňme, že seminorma spĺňa homogenitu a trojuholníkovú nerovnosť, ale nie nevyhnutne definitívnosť - zvážte normu derivácie funkcie; vykazuje prvé dve vlastnosti, ale pri konštantných funkciách sa rovná nule. Veta: polonorma o vektorovom priestore klesá k norme svojho kvocientu s podpriestorom všetkých vektorov, na ktorých je polonorma nula. Intuitívne: prítomnosť vektorov s nulovou seminormou predstavuje „prekážku“ tomu, aby sa seminorma stala normou. Zrútením prekážky v kvociente získame skutočnú normu. 23:11 - Baireova teória o kategórii Základný kameň všeobecnej topológie s dôležitými aplikáciami v analýze. Tu uvedená verzia uvádza, že ak úplný metrický priestor možno vyjadriť ako spočítateľný zväzok uzavretých množín, potom aspoň jedna z uzavretých množín obsahuje otvorenú guľu (ekvivalent má vnútorný bod/neprázdne vnútro). Dá sa preformulovať tak, že spočítateľný priesečník otvorených, hustých množín v úplnom metrickom priestore zostáva hustý. (Poznámka: druhý výsledok, ktorý nie je taký relevantný pre funkčnú analýzu, uvádza, že to isté platí pre lokálne kompaktné regulárne priestory. Toto je obzvlášť dôležité pri štúdiu lokálne kompaktných Hausdorffových priestorov. Tu overená verzia vyžaduje určitú formu axiómy Voľba oproti ZF je ekvivalentná slabšej forme voľby, ktorá je dostatočná na vytvorenie väčšiny reálnej analýzy). 50:39 - The Uniform Boundedness Theorem Náš prvý veľký výsledok funkčnej analýzy: uvádza, že postupnosť bodovo ohraničených operátorov v Banachovom priestore je tiež ohraničená rovnomerne. Presnejšie, postupnosť lineárnych operátorov z Banachovho priestoru do normovaného vektorového priestoru je ohraničená jednotne v operátorovej norme hneď, ako je ohraničený každý jednotlivý operátor. Tým, že ukazuje, že každý z týchto operátorov má hranice, ktoré sa môžu meniť s každým bodom, táto veta tvrdí, že hranica môže byť zvolená pre všetky operátory v postupnosti, ktorá je nezávislá od bodu a môže byť aplikovaná globálne.####[]