강의 3: 몫 공간, 바이어 범주 정리, 균일한 유계성 정리에 대한 타임스탬프와 요약 0:00 - 강의 2 요약 마지막 강의: 노름된 벡터 공간 사이의 선형 연산자가 연속인 것은 오직 그것들이 유계인 경우에만 해당합니다. 두 개의 그러한 NVS 사이의 유계 연산자 공간 자체가 연산자 노름 하에서 NVS를 형성합니다. 대상이 바나흐 공간인 경우, 이 유계 연산자 공간도 바나흐 공간이 됩니다. 이것은 모든 유계 연산자를 고려하여 기존 바나흐 공간에서 새로운 바나흐 공간을 식별하는 방법입니다. 0:59 - 부분 공간 주어진 벡터 공간의 부분 공간은 덧셈과 스케일링(선형 조합)에 대해 내부적으로 닫혀 있습니다. 정리: 바나흐 공간 V의 부분 공간 W가 바나흐 공간인 것은 오직 그것이 노름에 의해 유도된 계량에 대해 V의 닫힌 부분 공간인 경우에만 해당합니다. 폐쇄는 W가 모든 한계점을 포함한다는 것을 보여주는 것과 같습니다(W의 모든 수렴 시퀀스는 W에서 한계를 가짐). 우리는 W의 모든 수열을 취할 수 있습니다.가설(완전성)에 의해 그것은 코시이고 W에서 수렴합니다.반대로, 부분 공간이 닫혀 있다면, 우리는 W에서 코시 수열을 취할 수 있습니다 -- 그것을 주변 바나흐 공간 V의 수열로 간주하면, 그것은 폐포에 의해 W의 원소로 수렴합니다.이것은 W의 모든 코시 수열이 W에서 수렴하므로 W는 바나흐입니다.5:14 - 몫 공간구체로 전달하여 기존 공간에서 새 공간을 형성하는 또 다른 중요한 방법은 몫을 취하는 과정을 포함합니다.V의 부분 공간 W가 주어지면, 두 벡터의 차이가 W에 있는지 여부를 식별하여 V의 벡터에 대한 동치 관계를 도입(및 검증)합니다.이를 통해 해당 동치 관계 하에서 몫 집합 V/W를 형성할 수 있습니다.게다가 자연스럽게 V의 연산을 상속하고 그 자체로 벡터 공간이 됩니다. 11:31 - 세미노름에서 노름으로세미노름은 동차성과 삼각형 부등식을 만족하지만 반드시 확정성은 만족하지 않는다는 점을 기억하세요.함수의 미분의 노름을 생각해 보세요.이것은 앞의 두 속성을 나타내지만 상수 함수에서는 0으로 분해됩니다.정리: 벡터 공간의 세미노름은 세미노름이 0인 모든 벡터의 부분 공간으로 취한 몫의 노름으로 내려갑니다.직관적으로: 세미노름이 0인 벡터의 존재는 세미노름이 노름이 되는 것을 "방해"하는 것을 나타냅니다.몫에서 방해를 축소함으로써 진정한 노름을 얻습니다.23:11 - 바이어 범주 정리일반 위상수학의 초석이며 해석에 필수적인 응용 프로그램입니다.여기에 제공된 버전은 완전한 계량 공간이 닫힌 집합의 가산 합집합으로 표현될 수 있다면 닫힌 집합 중 적어도 하나에 열린 공이 포함된다는 것을 나타냅니다(방정식은 내부 점/비어 있지 않은 내부를 가짐). 완전한 계량 공간에서 열린 밀집 집합의 가산 교집합은 밀집 상태로 유지된다고 공식화할 수 있습니다. (참고: 함수 분석과는 관련이 없지만 두 번째 결과는 국소적으로 콤팩트한 정규 공간에도 동일하게 적용된다는 것입니다. 이는 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간을 연구할 때 특히 중요합니다. 여기에서 증명된 버전은 선택 공리의 어떤 형태가 필요합니다. ZF에 대해 이는 실수 분석의 대부분을 구성하기에 충분한 선택의 약한 형태와 동일한 것으로 밝혀졌습니다.) 50:39 - 균일한 유계 정리 첫 번째 주요 함수 분석 결과: 바나흐 공간에서 점별로 유계가 있는 연산자의 시퀀스도 균일하게 유계가 있다고 합니다. 더 정확하게 말해서, 바나흐 공간에서 노름된 벡터 공간으로 가는 선형 연산자의 시퀀스는 각 개별 연산자가 유계가 되자마자 연산자 노름에서 균일하게 유계가 됩니다. 이러한 각 연산자가 각 지점마다 달라질 수 있는 경계를 가지고 있음을 보여줌으로써, 이 정리는 지점과 독립적인 시퀀스의 모든 연산자에 대해 경계를 선택할 수 있으며 전역적으로 적용할 수 있다고 주장합니다.####[]