Ders 3 için Zaman Damgaları ve Özet: Bölüm Uzayları, Baire Kategori Teoremi ve Tekdüze Sınırlılık Teoremi0:00 - Ders 2'nin ÖzetiSon ders: normlu vektör uzayları arasındaki doğrusal operatörler ancak ve ancak sınırlıysa süreklidir. İki böyle NVS arasındaki sınırlı operatörlerin uzayı, operatör normu altında bir NVS oluşturur. Hedef bir Banach uzayı olduğunda, bu sınırlı operatörlerin uzayı da Banach olur: bu, tüm sınırlı operatörleri bunlara dahil ederek, var olan Banach uzaylarından yenilerini belirlemenin bir yoludur. 0:59 - Alt uzaylarVerilen bir vektör uzayının bir alt uzayı toplama ve ölçekleme (doğrusal kombinasyonlar) altında dahili olarak kapalıdır. Teorem: Bir Banach uzayı V'nin bir alt uzayı W, ancak ve ancak norm tarafından oluşturulan metriğe göre V'nin kapalı bir alt uzayı ise kendisi Banach'tır. Kapanış, W'nin tüm limit noktalarını içerdiğini göstermek anlamına gelir (W'deki her yakınsak dizinin W'de limiti vardır). W'deki herhangi bir diziyi alabiliriz; hipoteze (tamlık) göre Cauchy'dir ve W'de yakınsar. Tersine, eğer alt uzay kapalıysa, W'de bir Cauchy dizisi alabiliriz -- bunu ortam Banach uzayı V'de bir dizi olarak düşünürsek, kapanışla W'de bir elemana yakınsar. Bu, W'deki her Cauchy dizisinin W'de yakınsadığını gösterir, dolayısıyla W Banach'tır. 5:14 - Bölüm UzaylarıEski uzaylardan alt yapılara geçerek yeni uzaylar oluşturmanın bir diğer önemli yolu da bölüm alma sürecini içerir. V'nin bir alt uzayı W verildiğinde, farkları W'deyse iki vektörü birlikte belirleyerek V'deki vektörler üzerinde bir eşdeğerlik ilişkisi tanıtın (ve doğrulayın). Bu, o eşdeğerlik ilişkisi altında bölüm kümesi V/W'yi oluşturmamızı sağlar; ayrıca, doğal olarak V'den işlemleri devralır ve kendi başına bir vektör uzayı haline gelir. 11:31 - Seminormlardan NormlaraBir seminormun homojenliği ve üçgen eşitsizliğini sağladığını, ancak kesinliği sağlamadığını hatırlayın -- bir fonksiyonun türevinin normunu düşünün; ilk iki özelliği gösterir ancak sabit fonksiyonlarda sıfıra çözülür. Teorem: bir vektör uzayındaki bir seminorm, seminormun sıfır olduğu tüm vektörlerin alt uzayıyla alınan bölümünde bir norma iner. Sezgisel olarak: seminormu sıfır olan vektörlerin varlığı, seminormun norm olmasını engelleyen bir "engel"i temsil eder. Bölümdeki engeli çökerterek gerçek bir norm elde ederiz. 23:11 - Baire Kategori TeoremiAnalizde hayati uygulamaları olan genel topolojinin temel taşı. Burada verilen versiyon, tam bir metrik uzayın kapalı kümelerin sayılabilir birleşimi olarak ifade edilebilmesi durumunda, kapalı kümelerden en az birinin açık bir küre içerdiğini (denklemin bir iç noktası/boş olmayan bir iç kısmı vardır) belirtir. Açık, yoğun kümelerin tam bir metrik uzaydaki sayılabilir kesişiminin yoğun kaldığını ifade etmek için yeniden formüle edilebilir. (Not: Fonksiyonel analizle pek de alakalı olmayan ikinci bir sonuç, aynı şeyin yerel olarak kompakt düzenli uzaylar için de geçerli olduğunu belirtir. Bu, yerel olarak kompakt Hausdorff uzaylarının incelenmesinde özellikle önemlidir. Burada ispatlanan versiyon Seçim Aksiyomunun bir biçimini gerektirir; ZF üzerinde, gerçek analizin çoğunu oluşturmaya yetecek kadar zayıf bir Seçim biçimine eşdeğer olduğu ortaya çıkar.) 50:39 - Tekdüze Sınırlılık Teoremi İlk önemli fonksiyonel analiz sonucumuz: Banach uzayında noktasal sınırlı operatörlerin dizisinin de tekdüze sınırlı olduğunu belirtir. Daha kesin bir ifadeyle, Banach uzayından normlu bir vektör uzayına giden doğrusal operatörlerin dizisi, her bir bireysel operatör sınırlandığı anda operatör normunda tekdüze sınırlıdır. Bu teorem, bu operatörlerin her birinin her bir noktada değişebilen sınırlara sahip olduğunu göstererek, dizideki tüm operatörler için noktadan bağımsız bir sınır seçilebileceğini ve küresel olarak uygulanabileceğini iddia eder.####[]