Trong 13 phút (21:00-34:30), Giáo sư Jerison cố gắng chứng minh (1-cos x)/x tiến tới 0, mà không, tôi nghĩ, đưa ra lập luận. Trong khi ông thuyết phục tôi rằng "khoảng cách 1-cosx" tiến tới 0 nhanh hơn độ dài cung, ông không chứng minh rằng nó tiến tới 0 đủ nhanh. Ví dụ, nếu nó tiến tới 0 nhanh hơn 10 lần so với độ dài cung, thì giới hạn sẽ tiến tới 1/10, không phải 0. Tôi thoải mái với lập luận của ông về (sinx)/x tiến tới 1 và thực tế đã sử dụng lập luận đó để bảo vệ phép tính gần đúng "góc nhỏ" trong Vật lý. (Larson ấn bản lần thứ 3, trang 81 tuy nhiên đưa ra lời giải thích chặt chẽ bằng cách sử dụng các trường hợp giới hạn của diện tích tam giác bao quanh phần diện tích hình tròn bị góc quét ra, sau đó áp dụng định lý kẹp, (1-cosx)/x được để lại như một bài tập. Nhưng một khi bạn có giới hạn của (sinx)/x tiến tới 1, chỉ cần nhân đỉnh và đáy của (1-cosx)/x với (1+cos), tử số trở thành (sinx)^2 và biểu thức trở thành: [(sinx)/x] [(sinx)/(1+cosx)], thừa số đầu tiên tiến tới 1 và thừa số thứ hai tiến tới 0. Thật tốt khi xem lại các tính chất của giới hạn cho việc này. Khi có thể tìm thấy lỗi, thì lỗi tốt thường bị bỏ qua. MIT và các giáo sư liên quan đang thực hiện một dịch vụ công cộng TUYỆT VỜI bằng cách xây dựng các khóa học trực tuyến này. Tôi rất ngạc nhiên về phạm vi và sự phức tạp của các khóa học được cung cấp. Tôi thực sự cảm ơn tất cả những người MIT đã tham gia vào việc này. Các ví dụ và bài toán được thực hiện trong lớp học rất tuyệt vời. Tôi thấy nhiều bằng chứng dễ hiểu hơn so với một số văn bản. Cảm ơn Giáo sư Jerison!.####[]