الطوابع الزمنية وملخص المحاضرة 3: فضاءات القسمة ونظرية فئة باير ونظرية الحدود المنتظمة0:00 - ملخص المحاضرة 2المحاضرة الأخيرة: تكون العوامل الخطية بين فضاءات المتجهات المعيارية متصلة إذا وفقط إذا كانت محدودة. تشكل مساحة العوامل المحدودة بين اثنين من فضاءات القيمة الصافية نفسها فضاء قيمة صافية، وفقًا لمعيار العامل. عندما يكون الهدف هو فضاء باناخ، تصبح مساحة العوامل المحدودة هذه أيضًا باناخ: هذه طريقة لتحديد فضاءات باناخ الجديدة من الفضاءات الموجودة، من خلال النظر في جميع العوامل المحدودة فيها. 0:59 - الفضاءات الجزئية تكون مساحة فرعية لفضاء متجه معين مغلقة داخليًا تحت الجمع والقياس (التركيبات الخطية). النظرية: تكون مساحة فرعية W لفضاء باناخ V هي نفسها باناخ إذا وفقط إذا كانت مساحة فرعية مغلقة لـ V فيما يتعلق بالمقياس الناتج عن المعيار. إن الإغلاق يعادل إظهار أن W تحتوي على جميع نقاط حدها (كل متوالية متقاربة في W لها حدها في W). يمكننا أن نأخذ أي متوالية في W؛ من خلال الفرضية (الاكتمال) تكون كوشي وتتقارب في W. وعلى العكس من ذلك، إذا كانت المساحة الفرعية مغلقة، فيمكننا أن نأخذ متوالية كوشي في W - مع اعتبارها متوالية في فضاء باناخ المحيط V، فإنها تتقارب إلى عنصر في W عن طريق الإغلاق. يُظهر هذا أن كل متوالية كوشي في W تتقارب في W، لذا فإن W هي باناخ. 5:14 - مساحات القسمة هناك طريقة أخرى حاسمة لتشكيل مساحات جديدة من القديمة عن طريق المرور إلى البنى الفرعية تتضمن عملية أخذ الحصص. بالنظر إلى مساحة فرعية W من V، قدم (وتحقق من) علاقة تكافؤ على المتجهات في V من خلال تحديد متجهين معًا إذا كان اختلافهما يكمن في W. يسمح لنا هذا بتكوين مجموعة القسمة V/W بموجب علاقة التكافؤ هذه؛ علاوة على ذلك، فإنها ترث العمليات بشكل طبيعي من V وتصبح مساحة متجهة في حد ذاتها. 11:31 - من شبه القاعدة إلى القاعدةتذكر أن شبه القاعدة تلبي التجانس وعدم مساواة المثلث، ولكن ليس بالضرورة التحديد - فكر في معيار المشتقة لدالة؛ إنها تظهر الخاصيتين السابقتين ولكنها تحل إلى الصفر في الدوال الثابتة. النظرية: شبه القاعدة في فضاء متجه تنحدر إلى معيار على حاصل قسمتها المأخوذ مع الفضاء الفرعي لجميع المتجهات التي يكون شبه القاعدة عليها صفرًا. حدسيًا: يمثل وجود متجهات ذات شبه قاعدة صفرية "عائقًا" أمام شبه القاعدة من أن تصبح معيارًا. من خلال انهيار العائق في الحاصل، نحصل على معيار حقيقي. 23:11 - نظرية فئة باير حجر الزاوية في الطوبولوجيا العامة مع تطبيقات حيوية في التحليل. تنص النسخة المقدمة هنا على أنه إذا كان من الممكن التعبير عن فضاء متري كامل على أنه اتحاد قابل للعد للمجموعات المغلقة، فإن واحدة على الأقل من المجموعات المغلقة تحتوي على كرة مفتوحة (المعادلة لها نقطة داخلية/داخل غير فارغ). يمكن إعادة صياغتها للنص على أن التقاطع القابل للعد للمجموعات المفتوحة الكثيفة في فضاء متري كامل يظل كثيفًا. (ملاحظة: تنص نتيجة ثانية، ليست ذات صلة بالتحليل الوظيفي، على أن الشيء نفسه ينطبق على المساحات المنتظمة المدمجة محليًا. وهذا مهم بشكل خاص في دراسة مساحات هاوسدورف المدمجة محليًا. تتطلب النسخة التي تم إثباتها هنا شكلًا من أشكال بديهية الاختيار؛ فبالنسبة لـ ZF، يتبين أنها تعادل شكلًا أضعف من الاختيار يكفي لبناء معظم التحليل الحقيقي). 50:39 - نظرية الحدود المنتظمة أول نتيجة رئيسية لدينا في التحليل الوظيفي: تنص على أن تسلسل المشغلات المحدودة بنقطة على فضاء باناخ محدودة أيضًا بشكل موحد. وبتعبير أدق، فإن تسلسل المشغلات الخطية من فضاء باناخ إلى فضاء متجه معياري يكون محدودًا بشكل موحد في معيار المشغل بمجرد أن يكون كل مشغل فردي محدودًا. من خلال إظهار أن كل من هذه المشغلات لها حدود قد تختلف مع كل نقطة، تدعي هذه النظرية أنه يمكن اختيار حد لجميع المشغلات في التسلسل بشكل مستقل عن النقطة، ويمكن تطبيقه عالميًا.####[]