讲座 3 的时间戳和摘要：商空间、贝尔范畴定理和一致有界定理 0:00 - 讲座 2 回顾上一讲：有范向量空间之间的线性算子当且仅当它们有界时才是连续的。两个这样的 NVS 之间的有界算子空间本身在算子范数下形成一个 NVS。当目标是 Banach 空间时，这个有界算子空间也变成 Banach：这是一种通过考虑所有有界算子来从现有 Banach 空间中识别新 Banach 空间的方法。 0:59 - 子空间给定向量空间的子空间在加法和缩放（线性组合）下内部封闭。定理：Banach 空间 V 的子空间 W 本身当且仅当它是 V 的关于范数诱导的度量的封闭子空间时才是 Banach。闭包相当于证明 W 包含其所有极限点（W 中的每个收敛序列在 W 中都有其极限）。我们可以取 W 中的任何序列；假设（完整性）它是柯西并且收敛于 W。相反，如果子空间是封闭的，我们可以在 W 中取一个柯西序列——将其视为环境巴拿赫空间 V 中的序列，它通过闭包收敛到 W 中的一个元素。这表明 W 中的每个柯西序列都收敛于 W，所以 W 是巴拿赫空间。5:14 - 商空间通过传递到子结构从旧空间形成新空间的另一种关键方法涉及取商的过程。给定 V 的子空间 W，通过确定两个向量的差在 W 中，引入（并验证）V 中向量的等价关系。这使我们能够在该等价关系下形成商集 V/W；此外，它自然地继承了 V 的运算，并成为一个独立的向量空间。 11:31 - 从半范数到范数回想一下，半范数满足同质性和三角不等式，但不一定满足确定性——考虑函数导数的范数；它表现出前两个性质，但在常数函数上解析为零。定理：向量空间上的半范数下降为其与半范数为零的所有向量的子空间取的商的范数。直观地说：半范数为零的向量的存在代表了半范数成为范数的“障碍”。通过消除商中的障碍，我们得到了一个真正的范数。23:11 - 贝尔范畴定理一般拓扑学的基石，在分析中具有重要应用。这里给出的版本指出，如果一个完整的度量空间可以表示为可数闭集的并集，则至少一个闭集包含一个开球（等式具有内部点/非空内部）。可以将其重新表述为，在完全度量空间中，开放稠密集的可数交集保持稠密。（注意：第二个结果与函数分析无关，指出局部紧致正则空间也是如此。这在局部紧致豪斯多夫空间的研究中尤其重要。这里证明的版本需要某种形式的选择公理；在 ZF 上，它等同于选择的一种较弱形式，足以构建大部分实分析）。50:39 - 一致有界定理我们的第一个主要函数分析结果：它指出 Banach 空间上的逐点有界算子序列也是一致有界的。更准确地说，从 Banach 空间到范数向量空间的线性算子序列在算子范数上是一致有界的，只要每个单独的算子都有界。通过表明这些算子中的每一个都有可能随每个点而变化的界限，该定理声称可以为序列中的所有算子选择一个与点无关的界限，并且可以全局应用。####[]