Vremenske oznake i sažetak za predavanje 3: Kvocijentni prostori, teorem Baireove kategorije i teorem uniformne ograničenosti 0:00 - Ponavljanje predavanja 2. Posljednje predavanje: linearni operatori između normiranih vektorskih prostora su kontinuirani ako i samo ako su ograničeni. Prostor omeđenih operatora između dva takva NVS-a sam tvori NVS, pod operatorskom normom. Kada je cilj Banachov prostor, ovaj prostor ograničenih operatora također postaje Banachov: ovo je način da se identificiraju novi Banachovi prostori od postojećih, uzimajući u obzir sve ograničene operatore u njih. 0:59 - Potprostori Potprostor danog vektorskog prostora interno je zatvoren u odnosu na zbrajanje i skaliranje (linearne kombinacije). Teorem: potprostor W Banachovog prostora V je i sam Banachov ako i samo ako je zatvoren podprostor od V u odnosu na metriku induciranu normom. Zatvaranje se svodi na pokazivanje da W sadrži sve svoje granične točke (svaki konvergentni niz u W ima svoju granicu u W). Možemo uzeti bilo koji niz u W; po hipotezi (potpunosti) on je Cauchyjev i konvergira u W. Obrnuto, ako je podprostor zatvoren, možemo uzeti Cauchyjev niz u W -- smatrajući ga nizom u ambijentalnom Banachovu prostoru V, on konvergira elementu u W zatvaranjem. Ovo pokazuje da svaki Cauchyjev niz u W konvergira u W, tako da je W Banach. 5:14 - Kvocijentni prostori Još jedan ključni način formiranja novih prostora od starih prelaskom na podstrukture uključuje proces uzimanja kvocijenata. S obzirom na podprostor W od V, uvedite (i provjerite) odnos ekvivalencije na vektorima u V identificirajući dva vektora zajedno ako njihova razlika leži u W. To nam omogućuje da formiramo kvocijentni skup V/W pod tim odnosom ekvivalencije; nadalje, on prirodno nasljeđuje operacije iz V i sam po sebi postaje vektorski prostor. 11:31 - Od polunormi do norme Podsjetimo se da polunorma zadovoljava homogenost i nejednakost trokuta, ali ne nužno i određenost -- razmotrite normu derivacije funkcije; pokazuje prva dva svojstva, ali se rješava na nulu na konstantnim funkcijama. Teorem: polunorma na vektorskom prostoru spušta se do norme na svom kvocijentu uzetom s potprostorom svih vektora na kojima je polunorma nula. Intuitivno: prisutnost vektora s nultom polunormom predstavlja "prepreku" polunormi da postane norma. Urušavanjem zapreke u kvocijent dobivamo pravu normu. 23:11 - Teorem Baireove kategorije Kamen temeljac opće topologije s vitalnim primjenama u analizi. Ovdje dana verzija navodi da ako se potpuni metrički prostor može izraziti kao prebrojiva unija zatvorenih skupova, tada barem jedan od zatvorenih skupova sadrži otvorenu kuglu (npr. ima unutarnju točku/nepraznu unutrašnjost). Može se preformulirati tako da se kaže da prebrojivo sjecište otvorenih, gustih skupova u potpunom metričkom prostoru ostaje gusto. (Napomena: drugi rezultat, koji nije toliko relevantan za funkcionalnu analizu, navodi da isto vrijedi i za lokalno kompaktne regularne prostore. Ovo je posebno važno u proučavanju lokalno kompaktnih Hausdorffovih prostora. Ovdje dokazana verzija zahtijeva neki oblik aksioma Izbor; ispada da je u odnosu na ZF ekvivalentan slabijem obliku izbora koji je dovoljan za izgradnju većine stvarne analize). 50:39 - Teorem o uniformnoj ograničenosti. Naš prvi veliki rezultat funkcionalne analize: navodi da je slijed točkasto ograničenih operatora na Banachovu prostoru također uniformno ograničen. Preciznije, niz linearnih operatora od Banachova prostora do normiranog vektorskog prostora omeđen je jednoliko u operatorskoj normi čim je svaki pojedinačni operator omeđen. Pokazujući da svaki od ovih operatora ima granice koje mogu varirati sa svakom točkom, ovaj teorem tvrdi da se granica može odabrati za sve operatore u nizu koja je neovisna o točki i može se primijeniti globalno.####[]