Временные метки и резюме для лекции 3: Факторные пространства, теорема Бэра о категории и теорема о равномерной ограниченности0:00 - Повтор лекции 2Последняя лекция: линейные операторы между нормированными векторными пространствами непрерывны тогда и только тогда, когда они ограничены. Пространство ограниченных операторов между двумя такими NVS само по себе образует NVS относительно операторной нормы. Когда целью является банахово пространство, это пространство ограниченных операторов также становится банаховым: это способ идентифицировать новые банаховы пространства из существующих, рассматривая все ограниченные операторы в них. 0:59 - ПодпространстваПодпространство данного векторного пространства внутренне замкнуто относительно сложения и масштабирования (линейных комбинаций). Теорема: подпространство W банахова пространства V само является банаховым тогда и только тогда, когда оно является замкнутым подпространством V относительно метрики, индуцированной нормой. Замкнутость означает показ того, что W содержит все свои предельные точки (каждая сходящаяся последовательность в W имеет свой предел в W). Мы можем взять любую последовательность в W; по гипотезе (полнота) она является последовательностью Коши и сходится в W. Наоборот, если подпространство замкнуто, мы можем взять последовательность Коши в W — рассматривая ее как последовательность в окружающем банаховом пространстве V, она сходится к элементу в W по замыканию. Это показывает, что каждая последовательность Коши в W сходится в W, поэтому W является банаховым. 5:14 — Факторные пространстваДругой важный способ формирования новых пространств из старых путем перехода к подструктурам включает процесс взятия частных. Дано подпространство W из V, введите (и проверьте) отношение эквивалентности для векторов в V, отождествив два вектора вместе, если их разность лежит в W. Это позволяет нам сформировать факторное множество V/W по этому отношению эквивалентности; более того, оно естественным образом наследует операции от V и становится векторным пространством само по себе. 11:31 - От полунорм к нормамНапомним, что полунорма удовлетворяет однородности и неравенству треугольника, но не обязательно определенности — рассмотрим норму производной функции; она демонстрирует первые два свойства, но разрешается в ноль на постоянных функциях. Теорема: полунорма на векторном пространстве спускается до нормы на своем факторе, взятом с подпространством всех векторов, на которых полунорма равна нулю. Интуитивно: наличие векторов с нулевой полунормой представляет собой «препятствие» полунормы стать нормой. Коллапсируя препятствие в факторе, мы получаем истинную норму. 23:11 - Теорема Бэра о категорииКраеугольный камень общей топологии с важными приложениями в анализе. Приведенная здесь версия утверждает, что если полное метрическое пространство можно выразить как счетное объединение замкнутых множеств, то по крайней мере одно из замкнутых множеств содержит открытый шар (упр. имеет внутреннюю точку/непустую внутренность). Его можно переформулировать так, чтобы утверждать, что счетное пересечение открытых плотных множеств в полном метрическом пространстве остается плотным. (Примечание: второй результат, не столь релевантный для функционального анализа, утверждает, что то же самое справедливо для локально компактных регулярных пространств. Это особенно важно при изучении локально компактных хаусдорфовых пространств. Доказанная здесь версия требует некоторой формы аксиомы выбора; над ZF она оказывается эквивалентной более слабой форме выбора, достаточной для построения большей части вещественного анализа). 50:39 - Теорема о равномерной ограниченности Наш первый важный результат функционального анализа: он утверждает, что последовательность точечно-ограниченных операторов в банаховом пространстве также ограничена равномерно. Точнее, последовательность линейных операторов из банахова пространства в нормированное векторное пространство ограничена равномерно по норме оператора, как только каждый отдельный оператор ограничен. Показывая, что каждый из этих операторов имеет границы, которые могут меняться с каждой точкой, эта теорема утверждает, что границу можно выбрать для всех операторов в последовательности, которая не зависит от точки и может применяться глобально.####[]