Tidsstempler og resumé for forelæsning 3: Quotientrum, Baire-kategorisætningen og Uniform Boundedness-sætningen0:00 - Recap af forelæsning 2Sidste forelæsning: lineære operatorer mellem normerede vektorrum er kontinuerte, hvis og kun hvis de er afgrænset. Rummet af afgrænsede operatorer mellem to sådanne NVS'er danner selv en NVS under operatørnormen. Når målet er et Banach-rum, bliver dette rum af afgrænsede operatorer også til Banach: dette er en måde at identificere nye Banach-rum fra eksisterende ved at overveje alle afgrænsede operatorer i dem. 0:59 - UnderrumEt underrum af et givet vektorrum er internt lukket under addition og skalering (lineære kombinationer). Sætning: et underrum W af et Banach-rum V er i sig selv Banach, hvis og kun hvis det er et lukket underrum af V med hensyn til metrikken induceret af normen. Lukning svarer til at vise, at W indeholder alle dets grænsepunkter (hver konvergent sekvens i W har sin grænse i W). Vi kan tage en hvilken som helst sekvens i W; ved hypotese (fuldstændighed) er det Cauchy og konvergerer i W. Omvendt, hvis underrummet er lukket, kan vi tage en Cauchy-sekvens i W -- betragter det som en sekvens i det omgivende Banach-rum V, det konvergerer til et element i W ved lukning. Dette viser hver Cauchy-sekvens i W konvergerer i W, så W er Banach. 5:14 - Quotient SpacesEn anden afgørende måde at danne nye rum fra gamle ved at gå over til understrukturer involverer processen med at tage kvotienter. Givet et underrum W af V, indfør (og verificere) en ækvivalensrelation på vektorer i V ved at identificere to vektorer sammen, hvis deres forskel ligger i W. Dette giver os mulighed for at danne kvotientmængden V/W under denne ækvivalensrelation; desuden arver det naturligvis operationerne fra V og bliver et vektorrum i sig selv. 11:31 - Fra seminormer til normerHusk på, at en seminorm opfylder homogenitet og trekantens ulighed, men ikke nødvendigvis bestemthed - overvej normen for den afledede af en funktion; det udviser de to førstnævnte egenskaber, men opløses til nul på konstante funktioner. Sætning: en seminorm på et vektorrum falder til en norm på dens kvotient taget med underrummet af alle vektorer, hvor seminormen er nul. Intuitivt: tilstedeværelsen af vektorer med seminorm nul repræsenterer en "obstruktion" af seminormen fra at blive en norm. Ved at kollapse obstruktionen i kvotienten opnår vi en sand norm. 23:11 - Baire Category TheoremEn hjørnesten i generel topologi med vitale anvendelser i analyse. Den her angivne version siger, at hvis et komplet metrisk rum kan udtrykkes som den tællelige forening af lukkede sæt, så indeholder mindst et af de lukkede sæt en åben kugle (eq. har et indre punkt/ikke-tomt indre). Det kan omformuleres til at angive, at det tællelige skæringspunkt mellem åbne, tætte sæt i et komplet metrisk rum forbliver tæt. (Bemærk: et andet resultat, der ikke er så relevant for funktionel analyse, angiver, at det samme gælder for lokalt kompakte regulære rum. Dette er især vigtigt i studiet af lokalt kompakte Hausdorff-rum. Den version, der er bevist her, kræver en form for aksiomet for Valg; over ZF viser det sig at svare til en svagere form for valg, der er tilstrækkelig til at opbygge det meste af reel analyse). 50:39 - The Uniform Boundedness TheoremVores første større funktionelle analyseresultat: den siger, at en sekvens af punktvis afgrænsede operatorer på et Banach-rum også er afgrænset ensartet. Mere præcist afgrænses en sekvens af lineære operatorer fra et Banach-rum til et normeret vektorrum ensartet i operatornormen, så snart hver enkelt operator er afgrænset. Ved at vise, at hver af disse operatorer har grænser, der kan variere med hvert punkt, hævder denne teorem, at en grænse kan vælges for alle operatorer i sekvensen, der er uafhængig af punktet, og kan anvendes globalt.####[]