Zeitstempel und Zusammenfassung für Vorlesung 3: Quotientenräume, der Baire-Kategoriesatz und der Satz der gleichmäßigen Beschränktheit0:00 – Zusammenfassung von Vorlesung 2Letzte Vorlesung: Lineare Operatoren zwischen normierten Vektorräumen sind genau dann stetig, wenn sie beschränkt sind. Der Raum beschränkter Operatoren zwischen zwei solchen NVS bildet selbst einen NVS unter der Operatornorm. Wenn das Ziel ein Banachraum ist, wird dieser Raum beschränkter Operatoren ebenfalls zu Banach: Dies ist eine Möglichkeit, neue Banachräume von bestehenden zu unterscheiden, indem alle beschränkten Operatoren in sie einbezogen werden. 0:59 – UnterräumeEin Unterraum eines gegebenen Vektorraums ist unter Addition und Skalierung (lineare Kombinationen) intern abgeschlossen. Satz: Ein Unterraum W eines Banachraums V ist selbst Banach, genau dann, wenn er ein abgeschlossener Unterraum von V in Bezug auf die durch die Norm induzierte Metrik ist. Abgeschlossenheit bedeutet, zu zeigen, dass W alle seine Grenzpunkte enthält (jede konvergente Folge in W hat ihren Grenzwert in W). Wir können jede beliebige Folge in W nehmen; der Hypothese (Vollständigkeit) zufolge ist sie Cauchy und konvergiert in W. Umgekehrt können wir, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, eine Cauchy-Folge in W nehmen – wenn wir sie als Folge im umgebenden Banach-Raum V betrachten, konvergiert sie durch Abschluss zu einem Element in W. Dies zeigt, dass jede Cauchy-Folge in W in W konvergiert, also ist W Banach. 5:14 – QuotientenräumeEine weitere wichtige Möglichkeit, durch Übergehen zu Unterstrukturen neue Räume aus alten zu bilden, umfasst den Prozess der Quotientenbildung. Gegeben sei ein Unterraum W von V. Führen Sie eine Äquivalenzrelation für Vektoren in V ein (und überprüfen Sie diese), indem Sie zwei Vektoren gemeinsam identifizieren, wenn ihre Differenz in W liegt. Dies ermöglicht uns, die Quotientenmenge V/W unter dieser Äquivalenzrelation zu bilden; außerdem erbt sie natürlich die Operationen von V und wird zu einem eigenständigen Vektorraum. 11:31 – Von Seminormen zu Normen. Denken Sie daran, dass eine Seminorm Homogenität und die Dreiecksungleichung erfüllt, aber nicht notwendigerweise Definitheit – betrachten Sie die Norm der Ableitung einer Funktion; sie weist die beiden erstgenannten Eigenschaften auf, löst sich aber bei konstanten Funktionen auf Null auf. Theorem: Eine Seminorm auf einem Vektorraum wird zu einer Norm auf ihrem Quotienten, der mit dem Unterraum aller Vektoren genommen wird, auf denen die Seminorm Null ist. Intuitiv: Das Vorhandensein von Vektoren mit der Seminorm Null stellt ein „Hindernis“ der Seminorm dar, eine Norm zu werden. Indem wir das Hindernis im Quotienten kollabieren lassen, erhalten wir eine wahre Norm. 23:11 – Baire-Kategoriensatz. Ein Eckpfeiler der allgemeinen Topologie mit wichtigen Anwendungen in der Analyse. Die hier gegebene Version besagt, dass, wenn ein vollständiger metrischer Raum als zählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ausgedrückt werden kann, mindestens eine der abgeschlossenen Mengen eine offene Kugel enthält (Gleichung: hat einen inneren Punkt/nicht leeren Innenraum). Es kann umformuliert werden, um zu sagen, dass der zählbare Schnitt offener, dichter Mengen in einem vollständigen metrischen Raum dicht bleibt. (Hinweis: Ein zweites Ergebnis, das für die Funktionalanalyse nicht so relevant ist, besagt, dass dasselbe für lokal kompakte reguläre Räume gilt. Dies ist besonders wichtig bei der Untersuchung lokal kompakter Hausdorff-Räume. Die hier bewiesene Version erfordert eine Form des Auswahlaxioms; über ZF erweist es sich als gleichwertig mit einer schwächeren Form von Auswahl, die ausreicht, um den Großteil der reellen Analyse aufzubauen.) 50:39 – Der Satz der gleichmäßigen Beschränktheit Unser erstes wichtiges Ergebnis der Funktionalanalyse: Es besagt, dass eine Folge punktweise beschränkter Operatoren auf einem Banachraum ebenfalls gleichmäßig beschränkt ist. Genauer gesagt ist eine Folge linearer Operatoren von einem Banachraum zu einem normierten Vektorraum in der Operatornorm gleichmäßig beschränkt, sobald jeder einzelne Operator beschränkt ist. Indem gezeigt wird, dass jeder dieser Operatoren Beschränkungen hat, die mit jedem Punkt variieren können, behauptet dieser Satz, dass für alle Operatoren in der Folge eine vom Punkt unabhängige und global anwendbare Beschränktheit gewählt werden kann.####[]