Marcas de tiempo y resumen de la lección 3: Espacios cocientes, el teorema de la categoría de Baire y el teorema de acotación uniforme0:00 - Resumen de la lección 2Última lección: los operadores lineales entre espacios vectoriales normados son continuos si y solo si están acotados. El espacio de operadores acotados entre dos de estos NVS forma en sí mismo un NVS, bajo la norma del operador. Cuando el objetivo es un espacio de Banach, este espacio de operadores acotados también se convierte en Banach: esta es una forma de identificar nuevos espacios de Banach a partir de los existentes, al considerar todos los operadores acotados en ellos. 0:59 - SubespaciosUn subespacio de un espacio vectorial dado está cerrado internamente bajo adición y escalamiento (combinaciones lineales). Teorema: un subespacio W de un espacio de Banach V es en sí mismo Banach si y solo si es un subespacio cerrado de V con respecto a la métrica inducida por la norma. El cierre equivale a mostrar que W contiene todos sus puntos límite (cada secuencia convergente en W tiene su límite en W). Podemos tomar cualquier secuencia en W; por hipótesis (completitud) es Cauchy y converge en W. A la inversa, si el subespacio es cerrado, podemos tomar una secuencia de Cauchy en W - considerándola como una secuencia en el espacio de Banach ambiental V, converge a un elemento en W por clausura. Esto muestra que cada secuencia de Cauchy en W converge en W, por lo que W es Banach. 5:14 - Espacios cocientesOtra forma crucial de formar nuevos espacios a partir de los antiguos pasando a subestructuras implica el proceso de tomar cocientes. Dado un subespacio W de V, introduzca (y verifique) una relación de equivalencia en vectores en V identificando dos vectores juntos si su diferencia se encuentra en W. Esto nos permite formar el conjunto cociente V/W bajo esa relación de equivalencia; además, hereda naturalmente las operaciones de V y se convierte en un espacio vectorial por derecho propio. 11:31 - De las seminormas a las normasRecordemos que una seminorma satisface la homogeneidad y la desigualdad triangular, pero no necesariamente la definibilidad: consideremos la norma de la derivada de una función; exhibe las dos propiedades anteriores pero se resuelve en cero en funciones constantes. Teorema: una seminorma en un espacio vectorial desciende a una norma en su cociente tomado con el subespacio de todos los vectores en los que la seminorma es cero. Intuitivamente: la presencia de vectores con seminorma cero representa una "obstrucción" de la seminorma para convertirse en una norma. Al colapsar la obstrucción en el cociente, obtenemos una norma verdadera. 23:11 - Teorema de la categoría de BaireUna piedra angular de la topología general con aplicaciones vitales en el análisis. La versión que se da aquí establece que si un espacio métrico completo puede expresarse como la unión contable de conjuntos cerrados, entonces al menos uno de los conjuntos cerrados contiene una bola abierta (la ecuación tiene un punto interior/interior no vacío). Puede reformularse para afirmar que la intersección numerable de conjuntos abiertos y densos en un espacio métrico completo sigue siendo densa. (Nota: un segundo resultado, no tan relevante para el análisis funcional, afirma que lo mismo es válido para espacios regulares localmente compactos. Esto es especialmente importante en el estudio de espacios de Hausdorff localmente compactos. La versión demostrada aquí requiere alguna forma del axioma de elección; sobre ZF resulta equivalente a una forma más débil de elección que es suficiente para construir la mayor parte del análisis real). 50:39 - El teorema de acotación uniforme Nuestro primer resultado importante del análisis funcional: afirma que una secuencia de operadores puntualmente acotados en un espacio de Banach también está acotada uniformemente. Más precisamente, una secuencia de operadores lineales desde un espacio de Banach hasta un espacio vectorial normado está acotada uniformemente en la norma del operador tan pronto como cada operador individual está acotado. Al mostrar que cada uno de estos operadores tiene límites que pueden variar con cada punto, este teorema afirma que se puede elegir un límite para todos los operadores en la secuencia que sea independiente del punto, y que se pueda aplicar globalmente.####[]