Carimbos de data e hora e resumo da aula 3: Espaços quocientes, o teorema da categoria de Baire e o teorema da limitação uniforme0:00 - Recapitulação da aula 2Última aula: operadores lineares entre espaços vetoriais normados são contínuos se e somente se forem limitados. O espaço de operadores limitados entre dois desses NVSs forma um NVS, sob a norma do operador. Quando o alvo é um espaço de Banach, esse espaço de operadores limitados também se torna Banach: essa é uma maneira de identificar novos espaços de Banach a partir dos existentes, considerando todos os operadores limitados neles. 0:59 - SubespaçosUm subespaço de um dado espaço vetorial é fechado internamente sob adição e escala (combinações lineares). Teorema: um subespaço W de um espaço de Banach V é ele próprio Banach se e somente se for um subespaço fechado de V com relação à métrica induzida pela norma. O fechamento equivale a mostrar que W contém todos os seus pontos limites (cada sequência convergente em W tem seu limite em W). Podemos tomar qualquer sequência em W; por hipótese (completude) é Cauchy e converge em W. Por outro lado, se o subespaço for fechado, podemos tomar uma sequência de Cauchy em W — considerando-a como uma sequência no espaço de Banach ambiente V, ela converge para um elemento em W por fechamento. Isso mostra que toda sequência de Cauchy em W converge em W, então W é Banach. 5:14 - Espaços QuocientesOutra maneira crucial de formar novos espaços a partir dos antigos passando para subestruturas envolve o processo de tomar quocientes. Dado um subespaço W de V, introduza (e verifique) uma relação de equivalência em vetores em V identificando dois vetores juntos se sua diferença estiver em W. Isso nos permite formar o conjunto quociente V/W sob essa relação de equivalência; além disso, ele naturalmente herda as operações de V e se torna um espaço vetorial por direito próprio. 11:31 - De Seminormas para NormasLembre-se de que uma seminorma satisfaz a homogeneidade e a desigualdade triangular, mas não necessariamente a definição -- considere a norma da derivada de uma função; ela exibe as duas propriedades anteriores, mas resolve para zero em funções constantes. Teorema: uma seminorma em um espaço vetorial desce para uma norma em seu quociente tomado com o subespaço de todos os vetores nos quais a seminorma é zero. Intuitivamente: a presença de vetores com seminorma zero representa uma "obstrução" da seminorma de se tornar uma norma. Ao colapsar a obstrução no quociente, obtemos uma norma verdadeira. 23:11 - Teorema da Categoria de BaireUma pedra angular da topologia geral com aplicações vitais em análise. A versão dada aqui afirma que se um espaço métrico completo pode ser expresso como a união contável de conjuntos fechados, então pelo menos um dos conjuntos fechados contém uma bola aberta (eq. tem um ponto interior/interior não vazio). Pode ser reformulado para afirmar que a intersecção contável de conjuntos abertos e densos em um espaço métrico completo permanece densa. (Nota: um segundo resultado, não tão relevante para a análise funcional, afirma que o mesmo é verdadeiro para espaços regulares localmente compactos. Isso é especialmente importante no estudo de espaços de Hausdorff localmente compactos. A versão provada aqui requer alguma forma do Axioma da Escolha; sobre ZF, ele se torna equivalente a uma forma mais fraca de Escolha que é suficiente para construir a maior parte da análise real). 50:39 - O Teorema da Limitação Uniforme Nosso primeiro grande resultado de análise funcional: ele afirma que uma sequência de operadores limitados por ponto em um espaço de Banach também é limitada uniformemente. Mais precisamente, uma sequência de operadores lineares de um espaço de Banach para um espaço vetorial normado é limitada uniformemente na norma do operador assim que cada operador individual é limitado. Ao mostrar que cada um desses operadores tem limites que podem variar com cada ponto, este teorema afirma que um limite pode ser escolhido para todos os operadores na sequência que seja independente do ponto e pode ser aplicado globalmente.####[]