محاضرات رائعة (19/20) ولكن نفس الملاحظة الموجودة في المحاضرة 5، هناك ارتباك كبير بين الفضاء المتجه والفضاء الأفيني، وعلى وجه الخصوص بين الأصل الأفيني (0,0,0) والمتجه 0. المتجه 0 ليس في أي مكان. إنه لا يعيش في الفضاء الأفيني. في الواقع، لا يمكن التغلب على هذه المفارقات الظاهرة إلا من خلال الحفر في قلب التعريف الحقيقي للفضاء المتجه. بالنسبة للفضاء المتجه ذو البعد الواحد، فهو بحكم التعريف الجاد فئة مكافئة لعدد لا نهائي من الخطوط الأفينية المتوازية التي تملأ المستوى بأكمله. وبالمثل، فإن الفضاء الفيستوري ذو البعدين هو فئة مكافئة لعدد لا نهائي من المستويات الأفينية المتوازية التي تملأ الفضاء ثلاثي الأبعاد R^3 بالكامل. الكلمة الأساسية هي، التمثيل (Vorstellung باللغة الألمانية). الخط الأفيني هو تمثيل خاص، "وزير" لـ "ملك" والذي يعطي الاتجاه: فضاء متجه ذو بعد واحد. وبالمثل، فإن المستوى الأفيني هو تمثيل خاص، وزير لـ "ملك وملكة" والذي يحدد الاتجاهين: فضاء متجه ذو بعدين####[]