Dấu thời gian và Tóm tắt cho Bài giảng 3: Không gian thương, Định lý phạm trù Baire và Định lý giới hạn đều0:00 - Tóm tắt Bài giảng 2Bài giảng cuối cùng: các toán tử tuyến tính giữa các không gian vectơ chuẩn hóa là liên tục nếu và chỉ nếu chúng bị giới hạn. Không gian các toán tử bị giới hạn giữa hai NVS như vậy tự nó tạo thành một NVS, theo chuẩn toán tử. Khi mục tiêu là một không gian Banach, không gian các toán tử bị giới hạn này cũng trở thành Banach: đây là một cách để xác định các không gian Banach mới từ các không gian hiện có, bằng cách xét tất cả các toán tử bị giới hạn vào trong chúng. 0:59 - Không gian conMột không gian con của một không gian vectơ cho trước là đóng nội bộ theo phép cộng và phép chia tỷ lệ (tổ hợp tuyến tính). Định lý: một không gian con W của một không gian Banach V tự nó là Banach nếu và chỉ nếu nó là một không gian con đóng của V đối với metric được tạo ra bởi chuẩn. Đóng có nghĩa là chỉ ra rằng W chứa tất cả các điểm giới hạn của nó (mọi dãy hội tụ trong W đều có giới hạn trong W). Ta có thể lấy bất kỳ dãy nào trong W; theo giả thiết (tính đầy đủ) thì nó là Cauchy và hội tụ trong W. Ngược lại, nếu không gian con đóng, ta có thể lấy một dãy Cauchy trong W -- coi nó như một dãy trong không gian Banach xung quanh V, nó hội tụ đến một phần tử trong W theo phép đóng. Điều này cho thấy mọi dãy Cauchy trong W đều hội tụ trong W, do đó W là Banach. 5:14 - Không gian thương Một cách quan trọng khác để hình thành không gian mới từ không gian cũ bằng cách chuyển sang các cấu trúc con liên quan đến quá trình lấy thương. Cho một không gian con W của V, giới thiệu (và xác minh) một quan hệ tương đương trên các vectơ trong V bằng cách xác định hai vectơ cùng nhau nếu hiệu của chúng nằm trong W. Điều này cho phép ta hình thành tập thương V/W theo quan hệ tương đương đó; hơn nữa, nó tự nhiên kế thừa các phép toán từ V và trở thành một không gian vectơ theo đúng nghĩa của nó. 11:31 - Từ bán chuẩn đến chuẩnNhớ lại rằng một bán chuẩn thỏa mãn tính đồng nhất và bất đẳng thức tam giác, nhưng không nhất thiết là tính xác định -- xét chuẩn của đạo hàm của một hàm; nó thể hiện hai tính chất trước nhưng giải quyết bằng không trên các hàm hằng số. Định lý: một bán chuẩn trên một không gian vectơ hạ xuống một chuẩn trên thương của nó được lấy theo không gian con của tất cả các vectơ mà bán chuẩn bằng không. Theo trực giác: sự hiện diện của các vectơ có bán chuẩn bằng không biểu thị một "sự cản trở" của bán chuẩn trở thành một chuẩn. Bằng cách thu gọn sự cản trở trong thương, chúng ta thu được một chuẩn thực sự. 23:11 - Định lý Baire Category Một nền tảng của tôpô học tổng quát với các ứng dụng quan trọng trong giải tích. Phiên bản đưa ra ở đây nêu rằng nếu một không gian metric đầy đủ có thể được biểu thị dưới dạng hợp đếm được của các tập đóng, thì ít nhất một trong các tập đóng chứa một quả cầu mở (phương trình có một điểm trong/phần trong không rỗng). Có thể xây dựng lại để nêu rằng giao đếm được của các tập mở, dày đặc trong một không gian metric đầy đủ vẫn dày đặc. (Lưu ý: kết quả thứ hai, không liên quan nhiều đến phân tích hàm, nêu rằng điều tương tự cũng đúng đối với các không gian chính quy compact cục bộ. Điều này đặc biệt quan trọng khi nghiên cứu các không gian Hausdorff compact cục bộ. Phiên bản được chứng minh ở đây yêu cầu một số dạng của Tiên đề Lựa chọn; trên ZF, nó tương đương với một dạng Lựa chọn yếu hơn đủ để xây dựng hầu hết các phân tích thực). 50:39 - Định lý giới hạn đồng đều Kết quả phân tích hàm chính đầu tiên của chúng ta: nó nêu rằng một chuỗi các toán tử bị chặn từng điểm trên một không gian Banach cũng bị chặn đồng đều. Chính xác hơn, một chuỗi các toán tử tuyến tính từ một không gian Banach đến một không gian vectơ chuẩn bị bị chặn đồng đều trong chuẩn toán tử ngay khi mỗi toán tử riêng lẻ bị chặn. Bằng cách chỉ ra rằng mỗi toán tử trong số này có các giới hạn có thể thay đổi theo từng điểm, định lý này khẳng định rằng có thể chọn một giới hạn cho tất cả các toán tử trong chuỗi không phụ thuộc vào điểm và có thể được áp dụng trên toàn cục.####[]