講義 3 のタイムスタンプと要約: 商空間、ベールのカテゴリ定理、一様有界性定理0:00 - 講義 2 の要約前回の講義: ノルム付きベクトル空間間の線型作用素が連続するのは、それらが有界である場合に限ります。2 つのそのような NVS 間の有界作用素の空間自体が、作用素ノルムの下で NVS を形成します。ターゲットがバナッハ空間の場合、この有界作用素の空間もバナッハになります。これは、すべての有界作用素をそれらに入れることによって、既存のバナッハ空間から新しいバナッハ空間を識別する方法です。0:59 - 部分空間与えられたベクトル空間の部分空間は、加算とスケーリング (線型結合) の下で内部的に閉じています。定理: バナッハ空間 V の部分空間 W は、ノルムによって誘導される計量に関して V の閉じた部分空間である場合に限り、それ自体がバナッハです。閉包とは、W にすべての極限点が含まれていることを示すことです (W のすべての収束シーケンスには、W 内での極限があります)。 W 内の任意のシーケンスを取ることができます。仮定 (完全性) により、それはコーシーであり、W に収束します。逆に、部分空間が閉じている場合は、W 内のコーシー シーケンスを取ることができます。これを周囲のバナッハ空間 V 内のシーケンスと見なすと、閉包により W の要素に収束します。これは、W 内のすべてのコーシー シーケンスが W に収束することを示しているため、W はバナッハです。 5:14 - 商空間サブ構造に移行して古い空間から新しい空間を形成するもう 1 つの重要な方法は、商を取るプロセスです。V の部分空間 W が与えられた場合、2 つのベクトルの差が W にあるかどうかを一緒に識別することにより、V 内のベクトルに同値関係を導入 (および検証) します。これにより、その同値関係の下で商セット V/W を形成できます。さらに、これは自然に V から演算を継承し、それ自体がベクトル空間になります。 11:31 - 半ノルムからノルムへ半ノルムは同次性と三角不等式を満たしますが、必ずしも定性を満たしているわけではないことを思い出してください。関数の導関数のノルムを考えてみましょう。これは前者の 2 つの特性を示しますが、定数関数では 0 に解決されます。定理: ベクトル空間上の半ノルムは、半ノルムが 0 であるすべてのベクトルの部分空間で取った商のノルムに降下します。直感的に: 半ノルムが 0 であるベクトルの存在は、半ノルムがノルムになるのを妨げる「障害」を表します。商の障害を解消することで、真のノルムが得られます。23:11 - ベールのカテゴリ定理解析に不可欠な応用を持つ一般位相幾何学の基礎。ここで示されているバージョンは、完全な距離空間が閉集合の可算な和集合として表現できる場合、少なくとも 1 つの閉集合に開球が含まれる (式には内部点/空でない内部がある) と述べています。これを再定式化すると、完全な計量空間内の稠密な開集合の可算な共通部分は稠密なままであると述べることができます。(注: 2 番目の結果は、関数解析とはそれほど関係ありませんが、同じことが局所コンパクトな正則空間にも当てはまると述べています。これは、局所コンパクトなハウスドルフ空間の研究では特に重要です。ここで証明されたバージョンでは、何らかの形式の選択公理が必要です。ZF 上では、実解析のほとんどを構築するのに十分な、より弱い形式の選択と同等であることがわかります)。50:39 - 一様有界性定理関数解析の最初の主要な結果: バナッハ空間上の点ごとに有界な演算子のシーケンスも一様有界であると述べています。より正確には、バナッハ空間からノルム付きベクトル空間への線型演算子のシーケンスは、個々の演算子が有界になるとすぐに、演算子ノルムで一様有界になります。この定理は、これらの演算子のそれぞれが各ポイントによって異なる可能性のある境界を持つことを示すことにより、ポイントから独立したシーケンス内のすべての演算子に対して境界を選択でき、グローバルに適用できると主張しています。####[]