Cap Waktu dan Ringkasan untuk Kuliah 3: Ruang Hasil Bagi, Teorema Kategori Baire, dan Teorema Keterbatasan Seragam0:00 - Rekap Kuliah 2Kuliah terakhir: operator linear antara ruang vektor bernorma adalah kontinu jika dan hanya jika keduanya dibatasi. Ruang operator terbatas antara dua NVS tersebut sendiri membentuk NVS, di bawah norma operator. Ketika targetnya adalah ruang Banach, ruang operator terbatas ini juga menjadi Banach: ini adalah cara untuk mengidentifikasi ruang Banach baru dari yang sudah ada, dengan mempertimbangkan semua operator terbatas ke dalamnya.0:59 - SubruangSubruang dari ruang vektor tertentu tertutup secara internal di bawah penjumlahan dan penskalaan (kombinasi linear). Teorema: subruang W dari ruang Banach V sendiri adalah Banach jika dan hanya jika itu adalah subruang tertutup dari V sehubungan dengan metrik yang diinduksi oleh norma. Penutupan berarti menunjukkan bahwa W memuat semua titik limitnya (setiap deret konvergen di W memiliki limitnya di W). Kita dapat mengambil deret apa pun di W; berdasarkan hipotesis (kelengkapan) deret tersebut adalah Cauchy dan konvergen di W. Sebaliknya, jika subruang tertutup, kita dapat mengambil deret Cauchy di W -- menganggapnya sebagai deret di ruang Banach ambient V, deret tersebut konvergen ke elemen di W melalui penutupan. Ini menunjukkan setiap deret Cauchy di W konvergen di W, jadi W adalah Banach. 5:14 - Ruang Hasil BagiCara penting lainnya untuk membentuk ruang baru dari ruang lama dengan meneruskan ke substruktur melibatkan proses mengambil hasil bagi. Diberikan subruang W dari V, perkenalkan (dan verifikasi) relasi ekuivalensi pada vektor di V dengan mengidentifikasi dua vektor bersama-sama jika selisihnya terletak di W. Ini memungkinkan kita untuk membentuk himpunan hasil bagi V/W di bawah relasi ekuivalensi itu; lebih jauh, ia secara alami mewarisi operasi dari V dan menjadi ruang vektor dengan sendirinya. 11:31 - Dari Seminorm ke NormIngatlah bahwa seminorm memenuhi homogenitas dan ketidaksetaraan segitiga, tetapi tidak selalu pasti -- pertimbangkan norma turunan suatu fungsi; ia memperlihatkan dua sifat sebelumnya tetapi berubah menjadi nol pada fungsi konstan. Teorema: seminorm pada ruang vektor turun ke norma pada hasil baginya yang diambil dengan subruang semua vektor yang seminormnya sama dengan nol. Secara intuitif: keberadaan vektor dengan seminorm nol merupakan "halangan" bagi seminorm untuk menjadi norma. Dengan meruntuhkan halangan dalam hasil bagi, kita memperoleh norma sejati. 23:11 - Teorema Kategori BaireLandasan topologi umum dengan aplikasi penting dalam analisis. Versi yang diberikan di sini menyatakan bahwa jika ruang metrik lengkap dapat dinyatakan sebagai gabungan terhitung dari himpunan tertutup, maka setidaknya satu dari himpunan tertutup tersebut memuat bola terbuka (persamaan memiliki titik interior/interior tak kosong). Bahasa Indonesia: Hal ini dapat dirumuskan ulang untuk menyatakan bahwa irisan terhitung dari himpunan terbuka dan padat dalam ruang metrik lengkap tetap padat. (Catatan: hasil kedua, yang tidak relevan dengan analisis fungsional, menyatakan bahwa hal yang sama berlaku untuk ruang reguler kompak lokal. Hal ini terutama penting dalam studi ruang Hausdorff kompak lokal. Versi yang dibuktikan di sini memerlukan beberapa bentuk Aksioma Pilihan; melalui ZF ternyata setara dengan bentuk Pilihan yang lebih lemah yang cukup untuk membangun sebagian besar analisis nyata). 50:39 - Teorema Keterbatasan Seragam Hasil analisis fungsional utama pertama kami: menyatakan bahwa urutan operator yang dibatasi titik demi titik pada ruang Banach juga dibatasi secara seragam. Lebih tepatnya, urutan operator linear dari ruang Banach ke ruang vektor bernorma dibatasi secara seragam dalam norma operator segera setelah setiap operator individu dibatasi. Dengan menunjukkan bahwa masing-masing operator ini memiliki batas yang mungkin bervariasi dengan setiap titik, teorema ini mengklaim bahwa batas dapat dipilih untuk semua operator dalam urutan yang independen dari titik tersebut, dan dapat diterapkan secara global.####[]