Tidsstämplar och sammanfattning för föreläsning 3: Quotient Spaces, the Baire Category Theorem and the Uniform Boundedness Theorem0:00 - Sammanfattning av föreläsning 2Sista föreläsning: linjära operatorer mellan normerade vektorrum är kontinuerliga om och endast om de är avgränsade. Utrymmet för avgränsade operatorer mellan två sådana NVS bildar själv ett NVS, under operatörsnormen. När målet är ett Banach-utrymme, blir detta utrymme av avgränsade operatorer också Banach: detta är ett sätt att identifiera nya Banach-utrymmen från befintliga, genom att beakta alla avgränsade operatorer i dem. 0:59 - DelrumEtt delrum i ett givet vektorrum stängs internt under addition och skalning (linjära kombinationer). Sats: ett delrum W av ett Banach-rum V är i sig självt Banach om och endast om det är ett slutet delrum av V med avseende på metriken som induceras av normen. Stängning motsvarar att visa att W innehåller alla dess gränspunkter (varje konvergent sekvens i W har sin gräns i W). Vi kan ta vilken sekvens som helst i W; genom hypotes (fullständighet) är det Cauchy och konvergerar i W. Omvänt, om delrummet är stängt, kan vi ta en Cauchy-sekvens i W -- betraktar det som en sekvens i det omgivande Banach-utrymmet V, det konvergerar till ett element i W genom stängning. Detta visar att varje Cauchy-sekvens i W konvergerar i W, så W är Banach. 5:14 - Quotient Spaces Ett annat avgörande sätt att forma nya rum från gamla genom att övergå till substrukturer involverar processen att ta kvoter. Givet ett delrum W av V, inför (och verifiera) en ekvivalensrelation på vektorer i V genom att identifiera två vektorer tillsammans om deras skillnad ligger i W. Detta tillåter oss att bilda kvotmängden V/W under den ekvivalensrelationen; dessutom ärver det naturligtvis operationerna från V och blir ett vektorrum i sig. 11:31 - Från seminormer till normer Kom ihåg att en seminorm uppfyller homogenitet och triangelolikhet, men inte nödvändigtvis definititet -- betrakta normen för derivatan av en funktion; den uppvisar de två förstnämnda egenskaperna men löser sig till noll på konstanta funktioner. Sats: en seminorm på ett vektorrum sjunker till en norm på dess kvot tagen med delrummet för alla vektorer där seminormen är noll. Intuitivt: förekomsten av vektorer med seminorm noll representerar ett "hinder" av seminormen från att bli en norm. Genom att kollapsa hindret i kvoten får vi en sann norm. 23:11 - Baire Category TheoremEn hörnsten i allmän topologi med viktiga tillämpningar inom analys. Den version som ges här anger att om ett fullständigt metriskt utrymme kan uttryckas som den räknebara föreningen av slutna uppsättningar, så innehåller åtminstone en av de slutna uppsättningarna en öppen kula (eq. har en inre punkt/icke-tom inre). Det kan omformuleras för att konstatera att den räknebara skärningspunkten mellan öppna, täta mängder i ett komplett metriskt utrymme förblir tät. (Notera: ett andra resultat, som inte är lika relevant för funktionell analys, anger att detsamma gäller för lokalt kompakta reguljära utrymmen. Detta är särskilt viktigt i studien av lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen. Den version som bevisas här kräver någon form av Axiom av Val; över ZF visar det sig att det motsvarar en svagare form av val som är tillräckligt för att bygga upp det mesta av verklig analys). 50:39 - The Uniform Boundedness TheoremVårt första stora funktionella analysresultat: det anger att en sekvens av punktvis avgränsade operatorer på ett Banach-utrymme också är enhetligt avgränsat. Närmare bestämt avgränsas en sekvens av linjära operatorer från ett Banach-rum till ett normerat vektorrum enhetligt i operatornormen så snart varje enskild operator är begränsad. Genom att visa att var och en av dessa operatorer har gränser som kan variera med varje punkt, hävdar denna sats att en gräns kan väljas för alla operatorer i sekvensen som är oberoende av punkten och kan tillämpas globalt.####[]