الرد على سؤال أدناه حول سبب اهتمامنا بالأربعة الفضاءات الأساسية الفرعية في دراسة Ax = b: بكلمات الأستاذ سترانج (غير موجودة في هذه المحاضرة) "فهم الأربعة الفضاءات الأساسية الفرعية يرفع فهم Ax = b إلى وجهة نظر الفضاء المتجه، على وجه التحديد، إلى مستوى فهم الفضاء المتجه الفرعي" سوف يؤتي ثماره عند تعلم أنواع مختلفة من تحليل العوامل المصفوفة، على سبيل المثال، تحلل القيمة الفردية، SVD، حيث A = U∑V ^ T. حيث يتكون U من متجهات متعامدة عمودية في فضاء الصف، وV من متجهات متعامدة عمودية في فضاء العمود، و∑ بواسطة المصفوفة القطرية لمربعات القيم المفردة. وبالمثل، فإن جميع عوامل تحليل المصفوفات الأخرى QR وQ(LAMBDA)Q^T وما إلى ذلك تستفيد من وصفها من حيث الفضاءات الفرعية. هذا الفهم/البصيرة قوي للغاية، وحتى بالغ الأهمية، في التحسين، والتعلم الآلي، والمشكلات التي يتم طرحها بشكل سيئ، وما إلى ذلك. من فضلك لا تتجاهل نهج الفضاء الفرعي للمتجه هذا، يبدو فقط أنه لا يبدو لامعًا عند تعلمه لأول مرة، ولكن صدقني، إنه ذهب خالص، والوضوح الذي يشرح به البروفيسور سترانج لا يقدر بثمن... لقد قال ذلك بنفسه، إنه يحني عقلك عندما يمتد إلى مجموعات من المصفوفات، ومجموعات من الوظائف (مثال المعادلة التفاضلية، مقدمة لتحويل فورييه السريع) ولكن الأرباح التي تحصل عليها ضخمة####[['الفضاءات الأساسية الفرعية', 'Mathematical_Related_Concept', 'POS']]