ไทม์สแตมป์และบทสรุปสำหรับการบรรยายครั้งที่ 3: ปริภูมิผลหาร ทฤษฎีบทหมวดหมู่ Baire และทฤษฎีบทขอบเขตสม่ำเสมอ 0:00 - สรุปการบรรยายครั้งที่ 2 การบรรยายครั้งที่แล้ว: ตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดบรรทัดฐานจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อถูกจำกัด ปริภูมิของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตระหว่าง NVS สองตัวนั้นเองจะก่อให้เกิด NVS ภายใต้บรรทัดฐานของตัวดำเนินการ เมื่อเป้าหมายเป็นปริภูมิ Banach ปริภูมิของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตนี้จะกลายเป็น Banach เช่นกัน นี่คือวิธีระบุปริภูมิ Banach ใหม่จากปริภูมิที่มีอยู่ โดยพิจารณาตัวดำเนินการที่มีขอบเขตทั้งหมดในปริภูมินั้น 0:59 - ปริภูมิย่อย ปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นปิดภายในภายใต้การบวกและการปรับขนาด (การรวมเชิงเส้น) ทฤษฎีบท: ปริภูมิย่อย W ของปริภูมิ Banach V จะเป็น Banach เองก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิย่อยปิดของ V เมื่อเทียบกับเมตริกที่เกิดจากบรรทัดฐาน การปิดเท่ากับเป็นการแสดงให้เห็นว่า W มีจุดจำกัดทั้งหมด (ลำดับที่บรรจบกันทุกลำดับใน W มีขีดจำกัดใน W) เราสามารถใช้ลำดับใดๆ ใน W ได้ โดยสมมติฐาน (ความสมบูรณ์) มันคือ Cauchy และบรรจบกันใน W ในทางกลับกัน ถ้าซับสเปซปิด เราสามารถใช้ลำดับ Cauchy ใน W ได้ โดยถือว่ามันเป็นลำดับในสเปซ Banach โดยรอบ V มันจะบรรจบกันเป็นองค์ประกอบใน W โดยการปิด ซึ่งแสดงให้เห็นว่าลำดับ Cauchy ทุกลำดับใน W บรรจบกันใน W ดังนั้น W จึงเป็น Banach 5:14 - สเปซผลหาร อีกวิธีสำคัญในการสร้างสเปซใหม่จากเดิมโดยส่งต่อไปยังโครงสร้างย่อยเกี่ยวข้องกับกระบวนการของการหาผลหาร กำหนดซับสเปซ W ของ V แนะนำ (และตรวจสอบ) ความสัมพันธ์สมมูลบนเวกเตอร์ใน V โดยระบุเวกเตอร์สองตัวร่วมกันหากความแตกต่างของเวกเตอร์เหล่านั้นอยู่ใน W วิธีนี้ช่วยให้เราสร้างชุดผลหาร V/W ภายใต้ความสัมพันธ์สมมูลนั้นได้ นอกจากนี้ ยังสืบทอดการดำเนินการจาก V ตามธรรมชาติ และกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ในสิทธิของตัวเอง 11:31 - จาก Seminorms สู่ Norms จำไว้ว่า Seminorm ตอบสนองความเป็นเนื้อเดียวกันและความไม่เท่าเทียมของสามเหลี่ยม แต่ไม่จำเป็นต้องมีความแน่นอนเสมอไป ลองพิจารณา Norm ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งแสดงคุณสมบัติสองประการแรก แต่จะกลายเป็นศูนย์ในฟังก์ชันคงที่ ทฤษฎีบท: Seminorm ในปริภูมิเวกเตอร์จะลดระดับลงเป็น Norm บนผลหารที่นำมาจากปริภูมิย่อยของเวกเตอร์ทั้งหมดที่ Seminorm เป็นศูนย์ โดยสัญชาตญาณ: การมีเวกเตอร์ที่มี Seminorm เป็นศูนย์แสดงถึง "สิ่งกีดขวาง" ที่ทำให้ Seminorm กลายเป็น Norm โดยการยุบสิ่งกีดขวางในผลหาร เราจะได้ Norm ที่แท้จริง 23:11 - Baire ทฤษฎีหมวด A รากฐานของโทโพโลยีทั่วไปที่มีการใช้งานที่สำคัญในการวิเคราะห์ เวอร์ชันที่ให้ไว้ที่นี่ระบุว่าหากสามารถแสดงปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์เป็นสหภาพนับได้ของเซตปิด เซตปิดอย่างน้อยหนึ่งเซตจะมีลูกบอลเปิด (สมการมีจุดภายใน/ภายในที่ไม่ว่าง) สามารถสร้างรูปแบบใหม่เพื่อระบุว่าจุดตัดที่นับได้ของเซตเปิดที่หนาแน่นในพื้นที่เมตริกที่สมบูรณ์นั้นยังคงหนาแน่นอยู่ (หมายเหตุ: ผลลัพธ์ที่สอง ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันมากนัก ระบุว่าสิ่งเดียวกันนี้ใช้ได้กับพื้นที่ปกติที่กระชับในท้องถิ่น ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาพื้นที่ Hausdorff ที่กระชับในท้องถิ่น เวอร์ชันที่พิสูจน์แล้วที่นี่ต้องการรูปแบบบางส่วนของสัจพจน์แห่งการเลือก เหนือ ZF พบว่าเทียบเท่ากับรูปแบบการเลือกที่อ่อนแอกว่า ซึ่งเพียงพอที่จะสร้างการวิเคราะห์เชิงจริงส่วนใหญ่ได้) 50:39 - ทฤษฎีบทขอบเขตสม่ำเสมอ ผลการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันหลักครั้งแรกของเรา: ระบุว่าลำดับของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตตามจุดบนพื้นที่ Banach ก็มีขอบเขตสม่ำเสมอเช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของตัวดำเนินการเชิงเส้นจากพื้นที่ Banach ไปยังพื้นที่เวกเตอร์ที่มีการกำหนดมาตรฐานก็มีขอบเขตสม่ำเสมอในบรรทัดฐานของตัวดำเนินการทันทีที่มีการกำหนดขอบเขตตัวดำเนินการแต่ละตัว โดยการแสดงให้เห็นว่าตัวดำเนินการเหล่านี้แต่ละตัวมีขอบเขตที่อาจแตกต่างกันไปในแต่ละจุด ทฤษฎีบทนี้อ้างว่าสามารถเลือกขอบเขตสำหรับตัวดำเนินการทั้งหมดในลำดับที่เป็นอิสระจากจุด และสามารถนำไปใช้ได้ทั่วโลก####[]