Square-InfinitelyQuartered.jpg
Tdadamemd
en
Square InfinitelyQuartered, A unit square that is infinitely quartered with one corner highlighted from each quartering is a geometric representation of the infinite series:
:\frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \frac{1}{256} \,+\, \cdots \;=\; \frac{1}{3}.

The area summation of all highlighted regions adds up to exactly 1/3. While not necessarily an intuitive result, this can be easily verified as the 'L' shape made by the largest three squares (the three untouched after the first quartering) has exactly 1/3 of its area highlighted, and this shape and proportion repeats infinitely unchanged throughout subsequent quarterings.

This square serves as a verification that the numbers 0.999... and 1.000... are exactly equal.  While the one-third of the square that is highlighted has the decimal notation of 0.333..., filling in the other two-thirds of the 'L' shape results in 3 x 0.333... = 0.999... which results in the entire unit square being filled in, so 0.999... = 1 exactly.

An alternative way to view this image is in Base 4, in which the comparable equality becomes 0.333...4 = 1.  (Note that in Base 4, the simple summation:  3 + 1 = 104)  The infinite series representing the area of the highlighted squares becomes:

0.14 + 0.014 + 0.0014 + 0.00014 + ...

And the summation of this series equals 1/3:

0.1111...4 = 1/3

Filling in the other two-thirds of the 'L' shape gives:

3 x 0.1111...4 = 0.3333...4

This results in the entire unit square being filled in, so 0.3333...4 = 1 exactly.


_______________________________

See also GeometricSquares.png, similar image uploaded in 2008.
commons
en
Square InfinitelyQuartered, Square (geometry), Infinity, Vector version available
commons
ja
四角形 単位正方形 四角形の各四角形が無限に四角形に並んでいる単位正方形は、無限級数の幾何学的表現である:\frac{1}{4} \,+\,\frac{1}{16} \,+\,\frac{1}{64} \,\,\frac{1}{256} \,+\,\cdots \;\;\frac{1}{3}。強調表示された領域の面積の合計は、1/3まで増える。直感的な結果とは限らないが、これは最大の3つの正方形(第1四半期の後3つが強調された面積のちょうど1/3の「L」字形として簡単に検証でき、この形状と比率はその後の四半期を通じて不変に繰り返される。この平方根は0.999...と1.000...がちょうど等しいという検証に役立つ。強調表示されている3分の1は10進表記0.333...で、残りの3分の2はL字形に埋めると3×0.333...=0.999...で単位正方形全体が埋め込まれるため、0.999...=1となる。この画像を別の見方として、次の4番目の基底状態に入れると、0.333...4 = 1となる。。この式では、底4の平方和が3 + 1 = 104) である。強調された平方数の面積を表す無限級数は、次のようになります: 0.14 + 0.014 + 0.0014 + 0.00014 + ...そして、この級数の和は1/3: 0.1111...4 = 1/3となる。Lの残りの3分の2は、次のようになる。3 x 0.1111...4 = 0.3333...4 。これにより、単位正方形全体が満たされる。つまり、0.333...4 = 1 となる。の画像も同様である。
commons_translated
ja
スクウェア インフィニティ ベクター版
commons_translated