Ekwazzjoni ta' Schrödinger L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Awstijak/Irlandiż Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni fundamentali fil-Mekkanika kwantistika mhux relativistika. Tiddeskrivi l-evoluzzjoni mal-ħin ta' partiċella massiva mhux relativistika, u tieħu l-post li għandha t-tieni liġi ta' Newton fil-Mekkanika klassika. Fil-bidu tas-seklu XX, kien jidher ċar li d-dawl juri d-dwalità mewġa-partiċella, jiġifieri jista' jidher, skond iċ-ċirkostanzi, kemm bħala partiċella, il-foton, u kemm bħala mewġa elettromanjetika. Louis de Broglie imbagħad ippropona li għandna niġġeneralizzaw id-dwalità għall-partiċelli magħrufa kollha allavolja l-ipoteżi kienet ħa toħloq paradoss għall-elettroni li kien ikkollhom ikun jistgħu jagħmlu interferenza bħad-dawl, ħaġa li ġiet verifikata wara mill-esperiment ta' Davisson-Germer. Bl-istess mod bħal għall-foton, Louis de Broglie assoċja ma' kull partiċella ħielsa ta' enerġija formula_1 u momentu formula_2 frekwenza formula_3 u tul tal-mewġa formula_4 : L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni tal-mewġa li tiġġeneralizza l-approċċ ta' de Broglie li rajna hawn fuq għall-partiċelli massivi mhux relativistiċi li hemm fuqhom forza mnissla minn potenzjal u li l-enerġija mekkanika totali tagħhom hi klassikament: L-ekwazzjoni, imnissla minn din l-estensjoni permezz tal-prinċipju tal-korrispondenza, kellha suċċess minnufih billi biha setgħu jikkalkulaw il-livelli kwantifikati tal-enerġija tal-elettron fl-atomu tal-idroġenu u jispjegaw l-ispettru tal-idroġenu : is-serji ta' Lyman, Balmer, Brackett, Paschen, etċ. L-interpretazzjoni fiżika korretta tal-funzjoni ta' Schrödinger ingħatat fl-1926 minn Max Born. Minħabba l-karattru probabilistiku li daħħlet, il-mekkanika ondulatorja ta' Schrödinger fil-bidu intlaqgħet bis-suspett minn ċerti fiżiċi magħrufin bħal Albert Einstein, li għalih "Alla ma jilgħabx bid-dammi". Id-derivazzjoni tiegħu Schrödinger ibbażaha fuq analoġija formali bejn l-ottika u l-mekkanika: Din l-analoġija induna biha Hamilton fl-1843, imma dan ma kellux għalfejn jiddubita l-validità tal-mekkanika klassika. Wara li De Broglie ħareġ bl-ipoteżi tiegħu fl-1923, Schrödinger qal lilu nnifsu : la l-ekwazzjoni eikonali hija approssimazzjoni tal-ekwazzjoni tal-mewġa fl-ottika ondulatorja, għaliex ma nfittxux l-ekwazzjoni tal-mewġa fil-"mekkanika ondulatorja" li l-approssimazzjoni tagħha tkun l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. U hekk għamel, l-ewwel għal mewġa stazzjonarja ("E" = kostanti), u mbagħad għal liema mewġa tkun kif tkun. Rimarka : Schrödinger kien beda jittratta l-każ ta' partiċella relativistika – kif kien għamel de Broglie qablu. Kien kiseb l-ekwazzjoni li llum tissejjaħ bl-isem l-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, imma meta sab li l-applikazzjoni tiegħu għall-każ tal-potenzjal Coulombjan tagħt livelli tal-enerġija li ma' jaqblux mar-riżultati tal-esperimenti għall-atomu tal-idroġenu, reġa' ntefa' fuq il-każ mhux relativistiku, bis-suċċess li jaf kulħadd. Fil-mekkanika kwantistika, l-istat fil-mument "t" ta' sistema niddeskrivuha b'element formula_7 tal-ispazju ta' Hilbert kompless — nużaw in-notazzjoni bra-ket ta' Paul Dirac. formula_7 tirrappreżenta l-probabbilità tar-riżultati ta' kul kejl possibbli fuq is-sistema. L-evoluzzjoni temporali ta' formula_7 niddeskrivuha bl-ekwazzjoni ta' Schrödinger : fejn Bil-kontra għall-ekwazzjonijiet ta' Maxwell li jagħtu l-evoluzzjoni tal-mewġ elettromanjetiċi, l-ekwazzjoni ta' Schrödinger mhijiex relativistika. Din l-ekwazzjoni kienet postulat. Ġiet aċċettata bħala korretta wara li Davisson u Germer bl-esperimenti tagħhom kienu kkonfirmaw l-ipoteżi ta' Louis ta' Broglie. Billi l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni vettorjali, nistgħu niktbuha b'mod ekwivalenti f'bażi partikulari tal-ispazju tal-istati. Jekk pereżempju nagħżlu l-bażi formula_17 li tikkorrispondi mar-rappreżentazzjoni tal-pożizzjoni ddefinita hekk formula_18 imbagħad il-funzjoni tal-mewġa formula_19 tissodisfa l-ekwazzjoni li ġejja formula_20 fejn formula_21 hi l-Laplacjana. F'din il-forma nistgħu naraw li l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni linjari bid- derivati parzjali u allura nistgħu niktbu s-soluzzjoni ġenerali tagħha bħala s-somma ta' soluzzjonijiet partikulari. L-ekwazzjoni fil parti l-kbira tal-każi hi kkomplikata wisq biex ikollha soluzzjoni analitika u għalhekk ikollna nfittxu soluzzjoni approssima jew numerika. Bill l-operaturi li jidhru fl-ekwazzjoni ta' Schrödinger huma operaturi linjari, kull kumbinazzjoni linjari ta' soluzzjonijiet hi soluzzjoni tal-ekwazzjoni. Għalhekk nikkonċentraw fuq it-tfittxija għal soluzzjoniet li hemm interess kbir fihom għar-raġunijiet teoretiċi u prattiċi, l-istati li huma awtostati tal-operatur Hamiltonjan: L-awtostat formula_23 hu assoċjat ma' l-awtovalur skalari reali formula_24 , l-enerġija tal-partiċella li għandha formula_25 bħala stat. Din l-ekwazzjoni xi minn daqqiet tissejjaħ l-ekwazzjoni ta' Schrödinger indipendenti mill-ħin. Il-valuri tal-enerġija jistgħu jkunu diskreti bħas-soluzzjonijiet fil-każ ta' bir ta' potenzjal (pereż. l-livelli tal-atomu tal-idroġenu); dawn jirriżultaw fil-kwantifikazzjoni tal-livelli tal-enerġija. Jistgħu ukoll jagħtu spettru kontinwu bħal meta l-partiċella jkollha biżżejjed enerġija biex titbiegħed għall-infinit (pereż. Elettron li għandu biżżejjed enerġija biex jaħrab min-nukleju tal-idroġenu). Spiss jiġri li bosta stati formula_23 jikkorispondu ma' l-istess valur tal-enerġija: f'dan il-każ ngħidu li l-livell tal-enerġija hu deġenerat. B'mod ġenerali awtostat tal-Hamiltonjan, formula_23, u l-enerġija assoċjata miegħu, jagħti soluzzjoni stazzjonarju ta' l-ekwazzjoni ta' Schrödinger (li tiddependi mill-ħin) : Mela s-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger nistgħu niktbuha bħala kumbinazzjoni linjari ta' stati bħal dawn: Skond il-postulati tal-Mekkanika kwantistika, It-tfittixija għall-awtostati tal-Hamiltonjan hi, in ġenerali, komplessa ħafna. Anki l-każ ta' l-atomu tal-idroġenu li nistgħu nirriżolvuh analitikament, ma nistgħux niktbuh f'forma sempliċi jekk ma nħallux barra r-rabta mal-kamp elettromanjettiku li tippermetti l-istati eċċitati, is-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni de Schrödinger tal-atomu, li jgħaddu għall-istat fundamentali. Nistgħu insibu soluzzjonijiet analitiċi għal xi mudelli sempliċi li għalkemm ma jaqblux mar-realtà instabu utli ħafna: Fil-każi l-oħra ikollna nirrikorru għal diversi metodi ta' approssimazzjoni: Il-ġeneralizzazzjoni għall-qasam relativistiku twassal għall-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, u mbagħad għall-ekwazzjoni ta' Dirac; din tal-aħħar tistabilixxi b'mod naturali l-eżistenza tal-ispin u tal-antipartiċelli. Madan kollu ma teżistix interpretazzjoni koerenti għal kollox ta' dawn l-ekwazzjonijiet relativistiċi tal-mewġa fil-forma ta' teorija li tiddeskrivi partiċella waħda u għalhekk it-teorija kwantistika relativistika irridu nqegħduha fit-teorija kwantistika tal-kampi.