Funzjonijiet (matematika) Fil-matematika, funzjoni formula_1 minn formula_2 għal formula_3 hi magħmula minn: 1) sett formula_2 imsejjaħ id-dominju ta' formula_1 2) sett formula_3 imsejjaħ il-kodominju ta' formula_1 3) liġi li ma' kull element formula_8 f' formula_2 tassoċja element wieħed u wieħed biss formula_10 f' formula_3. formula_8 jissejjaħ l-argument tal-funzjoni, jew inkella il-varjabbli indipendenti, waqt li formula_10 huwa l-valur tal-funzjoni, jew inkella l-varjabbli dipendenti. Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma' "funzjoni": "applikazzjoni", "operatur", "mappa", "relazzjoni binarja univoka", "trasformazzjoni". Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika. L-iżjed eżempji sempliċi ta' funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Pereżempju, jekk ma' kull numru nassoċjaw id-doppju ta' dak in-numru, ikollna funzjoni. Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta' numri. Pereżempju, jekk ma' kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih. Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b'iżjed argumenti, jew b'iżjed valuri, pereżempju, funzjoni li l-koordinati formula_14 ta' punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura formula_15 u l-pressjoni formula_16 ta' l-arja. F'dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna formula_17 , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja formula_18 . Mogħtija s-settijiet formula_2 u formula_3, sottosett formula_1 tal-prodott Carteżjan formula_22 insejħulu funzjoni minn formula_2 għal formula_3, jekk għal kull formula_25, jeżisti element wieħed u wieħed biss formula_26 tali formula_27. Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b' formula_10: fi kliem ieħor, minflok niktbu formula_27 nistgħu nużaw il-"kitba tradizzjonali" formula_30. Il-fatt li formula_1 hija funzjoni minn formula_2 għal formula_3 li tassoċja ma' formula_8 l-element formula_10 nistgħu nuruh billi niktbu: Is-sett formula_2 (li minnu l-funzjoni formula_1 "tieħu" il-valuri) hu id-dominju tal-funzjoni formula_1, waqt li s-sett formula_3 (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni formula_1) hu l-kodomiju tal-funzjoni formula_1. Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, "tittrasformah" fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu "trasformazzjoni". Is-sett mogħti mill-elementi formula_44 tal-kodominju li għalihom jeżisti formula_45 fid-dominju li tittrasfoma f' formula_44 ngħidulu l-immaġini ta' formula_1 u niddenotawh b' Imformula_48 jew b'abbuż żgħir tal-lingwa b' formula_49. Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, pereżempju lenti; f'dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma' ġħejun ta' raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma' fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini. Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta' funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża: Jekk ikollna żewġ funzjonijiet formula_1 : formula_2 → formula_3 u formula_58 : formula_3 → formula_60 nistgħu niddefinixxu l-kompożizzjoni tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta' formula_1 fuq formula_8 u mbagħad l-applikazzjoni ta' formula_58 fuq ir-riżultat formula_10. Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b' formula_65. Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk: Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta' funzjoni formula_67 li jikkorrispondi ma' element formula_8, iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b'formula_69: F'dik li nsejħulha notazzjoni b'funzjoni prefissa niktbu: F'dik li nsejħulha notazzjoni b'funzjoni suffissa niktbu: B'dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta' żewġ funzjonijiet formula_67 u formula_73 jistgħu jinkitbu f'4 modi: Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri: B'dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta' l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f'xi programmi ta' kalkulu simboliku. Meta d-dominju ta' funzjoni formula_79 ikun il-prodott karteżjan ta' żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta' elementi ta' settijiet l-immaġini tal-koppja formula_80 nuruha bin-notazzjoni allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu formula_82. F'dal-kaz il-funzjoni formula_79 tissejjaħ funzjoni ta' żewġ varjabbli. Pereżempju, il-funzjoni ta' multiplikazzjoni tassoċja żewġ numri naturali mal-prodott tagħhom: formula_84. Din il-funzjoni nistgħu niddefinuha formalment bid-dominju formula_85, is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha. L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed. Jekk il-kodominju ta' funzjoni formula_79 hu l-prodott Carteżjan ta' żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f'vettur u nistgħu ngħidulha funzjoni vettorjali. Eżempju tipiku hu t-trasformazzjoni linjari tal-pjan, pereżempju: Funzjoni ngħidulha polidroma fil-każ li r-riżultat ta' l-operazzjoni hu definit univokament: pereżempju, ir-radiċi kwadrata ta' numru reali posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-sett taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-logaritmu definit fuq is-sett tan-numri komplessi. Ħafna operazzjonijiet binarji ta' l-aritmetika, bħal l-addizzjoni u l-multiplikazzjoni, huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan formula_89 għal formula_90, u niddeskrivuhomu bin-notazzjoni infissa: jiġifieri niktbu formula_91 (u mhux formula_92) biex niddeskrivu l-immagini tal-koppja formula_80 bl-operazzjoni formula_94. Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-alġebra moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti strutturi alġebrin bħal pereżempju dik ta' grupp, bħala sett formula_95 mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati. Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma' ħafna tipi ta' funzjonijiet b'karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.