Moviment Brownjan Il- moviment Brownjan hu deskrizzjoni matematika ta' moviment każwali ta' partiċella "tqila" mgħaddsa fi fluwidu u li m'għandhiex fuqha interazzjonijiet oħra ħlief il-ħbit fuqha tal-molekuli "ħfief" tal-fluwidu ta' madwarha. Minn dan jirriżulta li l-partiċella t-tqila timxi b'moviment irregolari ħafna, li ġie deskritt għall-ewwel darba fl-1827 mill-botanista Robert Brown waqt li kien qiegħed josserva ċ-ċaqlieq ta' partiċelli fil-fluwidu fil-ġewwieni ta' trab tal-pollin. Id-deskrizzjoni fiżika l-iżjed elementari ta' dan il-fenomenu hi din: Permezz ta' dan il-moviment nistgħu niddeskrivu l-imġiba termodinamika tal-gasijiet (teorija ċinetika tal-gasijiet), kif ukoll il-fenomenu tad-diffużjoni. Huwa użat ħafna wkoll fil-mudelli tal-matematika finanzjarja. Brown ra fil-fluwidu li kien fil-ġewwieni tat-trab tal-pollin (il-moviment Brownjan ma ġiex osservat fuq it-trab tal-pollin stess kif jingħad sikwit), xi partiċelli żgħar ħafna jiċċaqilqu b'movimenti li kienu jidhru kaotiċi. Dan ma setax jiġi spjegat permezz ta' kurrenti u lanqas permezz ta' xi fenomenu fiżiku ieħor magħruf. Għall-ewwel Brown għalhekk attribwieh għal xi attività ħajja. L-ispjegazzjoni korretta tal-fenomenu ġiet wara. Brown ma kienx eżattament l-ewwel wieħed li għamel din l-osservazzjoni. Qal hu stess li bosta oħrajn kienu ssuġġerew l-eżistenza ta' dan il-moviment (f'konnessjoni mat-teoriji vitalisti ta' żmienu). Nistgħu insemmu lill-qasis kattoliku John Turberville Needham (1713-1781), famus f'ħajtu għas-sengħa li kellu fuq il-mikroskopju, u lill-Olandiż Jan Ingenhousz (1730 -1799) li fl-1785 iddeskriva l-moviment irregolari tat-trab tal-faħam fuq wiċċ l-alkoħol. Matul is-seklu 20 kien hemm ħafna diskussjonijiet dwar x'kien osserva sewwa Brown. Minħabba l-kwalità medjokra tal-apparat li seta' jinqeda bih, xi wħud iddubitaw jekk kienx veru li ra l-moviment Brownjan, li kien jinvolvi partiċelli ta' xi mikrometri mill-iżjed. L-Ingliż Brian Ford reġa' għamel l-esperiment fil-bidu tas-snin 1990, bil-materjal użat minn Brown u f'kondizzjonijietet li kienu l-istess kemm jista' jkun. Il-moviment kien veru osservat f'dawn il-kondizzjonijiet u hekk ġew ikkonfermati l-osservazzjonijiet ta' Brown. Insibuh diffiċli li nimmudellaw il-moviment Brownjan minnħabba l-fatt li dan il-moviment hu każwali u li statistikament kull partiċella ma timxix: mhuwiex moviment tal-partiċelli kollha f'daqqa bħar-riħ jew kurrent. Iżjed preċiż: Hu diffiċli f'dawn il-kondizzjonijiet li nikkaratterizzaw il-moviment. Is-soluzzjoni sabha Louis Bachelier, u ppreżentaha fit-teżi tiegħu li ddefenda fid-29 ta' Marzu 1900. Wera li dak li jikkaratterizza l-moviment, m'hijiex il-medja aritmetika tal-pożizzjonijiet formula_1 imma l-medja kwadrata formula_2 : jekk formula_3 hi d-distanza tal-partiċella fil-ħin formula_4 wara li telqet minn fejn telqet, allura : formula_5 Nistgħu nuru li hawn l-ispostament kwadrat medju hu "proporzjonali għall-ħin" : fejn formula_6 hi d-dimensjoni tal-moviment (linjari, pjan, spazjali), formula_7 il-koeffiċjent tad-diffużjoni u formula_4 il-ħin li jkun għadda. Nistgħu nagħtu din id-definizzjoni formali: Il-moviment Brownjan hu proċess stokastiku formula_9 fejn l-inkrementi disġunti huma indipendenti u l-inkrement formula_10 jobdi l-liġi normali b'medja żero u varjanza formula_11. Permezz ta' din id-definizzjoni nistgħu nippruvaw xi proprjetajiet tal-moviment Brownjan, bħal pereżempju il-kontinwità tiegħu (kważi żgura), il-fatt li kważi żgurament, il-mogħdija tiegħu m'hi mkien differenzjabbli, u bosta proprjetajiet oħra. Nistgħu ukoll niddefinixxu l-moviment Brownjan permezz tal-varjanza. Din id-definizzjoni, imsejħa t-teorema ta' Lévy, tagħti din il-karatterizzazzjoni: Proċess stokastiku li hu martingala lokali u għandu varjanza formula_4 hu moviment Brownjan. Permezz tal-formola li tajna hawn fuq nistgħu nikkalkulaw il-koeffiċjent tad-diffużjoni ta' par partiċella-fluwidu. Ġaladarba nkunu nafu l-karatteristiċi tal-partiċella li qiegħda tiddifuża, nistgħu niddeduċu l-karatteristiċi tal-ieħor. Jekk inkunu nafu l-karatteristiċi tat-tnejn, inkunu nistgħu nikkalkulaw in-numru ta' Avogadro bl-għajnuna tal-formola ta' Einstein (1905) : formula_13 fejn formula_14 hi l-kostanti tal-gasijiet perfetti, formula_15 it-temperatura, formula_16 il- viskożità tal-fluwidu, formula_17 ir-raġġ tal-partiċella u formula_18 in-numru ta' Avogadro. Il-fiżiku Jean Perrin ikkalkula dan in-numru fl-1908 permezz ta' din il-formola. Fil-metodu ta' Langevin, il-partiċella Brownjana l-kbira ta' massa formula_19 għandha fil-waqt formula_4, veloċità formula_21 u jaħkmu fuqha żewġ forzi: Meta napplikaw il-prinċipju fundamentali tad-dinamika ta' Newton b'dawn il-forzi niksbu l-ekwazzjoni stokastika ta' Langevin: Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck hu proċess stokastiku li jiddeskrivi l-veloċita ta' partiċella fi fluwidu, f'dimensjoni 1. Niddefinuh bħala s-soluzzjoni formula_25 ta' din l-ekwazzjoni differenzjali stokastika: formula_26, fejn formula_27 hu moviment Brownjan standard, u formula_28 hi varjabbli każwali mogħtija. It-terminu formula_29 jirrappreżenta l-għadd kbir ta' ħabtiet stokastiċi mal-partiċella, waqt li t-terminu formula_30 jirrappreżenta l-forza tal-frizzjoni fuq il-partiċella. Il-formola ta' Itô applikata għall-proċess formula_31 tagħtina: formula_32, li fil-forma integrali ssir: formula_33. Pereżempju, jekk formula_28 tieħu kważi żgur il-valur formula_35, Il-liġi ta' formula_25 hi liġi Gaussjana b'medja formula_37 u varjanza formula_38, li tikkonverġi fil-liġi meta formula_4 tersaq lejn l-infinit għal liġi Gaussjana standard. Nistgħu nużaw mudell ta' mixja każwali, fejn il-moviment isir b'qabziet "diskreti" bejn pożizzjonijiet fissi (b'movimenti f'linja dritta bejn żewġ pożizzjonijiet), bħal pereżempju fil-każ tad-diffużjoni fis-solidi. Jekk ix-formula_40 huma l-pożizzjonijiet wara xulxin ta' partiċella, wara formula_41 qabżiet ikollna: Ejjew inħarsu lejn mixja ta' partiċella fuq l-assi "Ox". Nissoponu li din il-partiċella tagħmel qabżiet ta' tul formula_42 bejn pożizzjonijiet ġirien ta' xulxin sitwati fuq l-għoqod tax-xibka: formula_43 ta' ħadma formula_42 u kull qabża ddum żmien formula_45. Irridu nagħtu wkoll numru formula_46 li jissodisfa: formula_47. L-interpretazzjoni fiżika ta dan il-parametru hi din: Il-każ tal-moviment Brownjan jikkorrispondi ma' li nagħmlu l-ipoteżi ta' "iżotropija spazjali". Id-direzzjonijiet fl-ispazju fiżiku huma "a priori" ekwivalenti u l-probabbiltajiet ta' qbiż lejn iż-żewġ direzzjonijiet huma l-istess: Ix-xbieha hawn taħt turi eżempju tipiku tar-riżultat: il-partiċella titlaq minn formula_50, formula_51, u l-linja timxi mal-pożizzjonijiet suċċessivi formula_52 tal-partiċella fil-ħinijiet formula_23. Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali niddefinuha hekk: bħala l-probabbiltà li nsibu l-partiċella fuq is-sit (għoqda) formula_54 fil-ħin formula_55 meta nkunu nafu li kienet fuq is-sit formula_56 fil-ħin tal-bidu formula_50. L-ipoteżi ta' iżotropija twassalna biex niktbu l-liġi tal-evoluzzjoni ta' din il-pobabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali b'dan il-mod : Minnha niddeduċu din ir-relazzjoni: Ejjew nieħdu l-limitu kontinwu tal-aħħar ekwazzjoni, jiġifieri nieħdu l-limitu bil-parametri: Meta nagħmlu l-kalkulu tal-limitu kontinwu naraw li l-kumbinazzjoni formula_60 trid tibqa' kostanti f'dan il-limitu. Meta niżviluppaw formula_61 f'poteri ta' formula_45 insibu: Meta niżviluppawha f'poteri ta' formula_42 ikollna: u jekk nagħqduhom dawn tal-aħħar flimkien inġibu: Minn dawn nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck : jew li nistgħu nerġgħu niktbuha: meta nintroduċu l-koeffiċjent tad-diffużjoni: Barra mill-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck, id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali formula_64 trid tissosdisfa iż-żewġ kondizzjonijiet supplementari li ġejjin: fejn formula_65 hi d-distribuzzjoi ta' Dirac. Id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali formula_64 hi mela essenzjalment funzjoni ta' Green tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck. Nistgħu nuru li din tinkiteb espliċament: Il-mumenti ta' din id-distribuzzjoni nistgħu nikkalkulawhom faċilment. Insejħu moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana formula_67 il-proċess każwali kontinwu Markovjan li s-semigrupp tiegħu tat-tranżizzjoni b'parametru wieħed hu mnissel minn formula_68, fejn formula_69 hu l-operatur ta' Laplace-Beltrami fuq il-varjetà formula_67.