Ekwazzjoni differenzjali Fl-analisi matematika, ekwazzjoni differenzjali hi relazzjoni bejn funzjoni formula_1 mhux magħrufa u xi derivati tagħha. Fil-każ li formula_2 tkun funzjoni definita f' intervall formula_4 ta' formula_5 ngħidu li hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (imqassra ODE, akronimu ta' "ordinary differential equation"). Din ir-relazzjoni hi eżempju ta' ODE Il-forma l-iżjed ġenerali ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta' ordni formula_7 hija: Insejħu ordni jew grad tal-ekwazzjoni, il-grad tal-ogħla derivata preżenti; pereżempju: hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa formula_2 hi funzjoni ta' formula_11 biss) tat-tieni ordni. Funzjoni formula_12 (derivabbli għal ċertu numru ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali. Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġiba tagħha kwalitativa jew ninqdew b' computer biex insibu approssimazzjoni permezz ta' metodi numeriċi. Matul is-sekli, mindu Leibniz u Newton ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri formula_13, u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma li tista' tinbidel f'forma espliċita biss jekk formula_15 hi invertibbli, u f'dal-każ ikollna L-"ekwazzjonijiet differenziali" huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-analisi matematika għall-istudju ta' mudelli matematiċi fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-fiżika għall-bijoloġija għall-ekonomija. Eżempju elementari ħafna ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta' batteri komposta fil-bidu formula_17 minn formula_18 individwi u nsejħu formula_19 il-popolazzjoni fil-ħin formula_20. Wieħed jistenna li, fil-medja, f'kull waqt formula_20, wara ħin relativament żgħir formula_22 titwieled kwantità ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda formula_22, jiġifieri daqs formula_24 fejn formula_25 hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu formula_26 individwi fl-istess intervall ta' ħin, fejn formula_27 hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin formula_28, għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin formula_20 li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri Għalhekk għandna Nistgħu nagħrfu f'din l-espressjoni ir-rapport inkrementali tal-funzjoni formula_32; jekk formula_22 hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwuh bid-derivata formula_34 u niktbu: Din hi "ekwazzjoni differenzjali ordinarja tal-ewwel ordni". Ir-"riżolużzjoni" ta' din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġiba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni formula_19 li tissodisfa. F'dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni: funzjoni esponenzjali li tiżdied mal-ħin (b'mod "esplużiv") jekk formula_38, jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk formula_39. Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, pereżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal pereżempju predi u predaturi fil-mudell ta' Volterra - Lotka. Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta' ekwazzjonijiet differenzjali b'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom numerikament, jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta' kalkulatur fl-inħawi ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ tal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment "kundizjonijiet inizjali" jew "tax-xifer". Il-problema ta' Cauchy assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet u tal-kundizzjoni inizjali. Bil-formuli: L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni formula_41, mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja formula_42 b'potenza rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta' formula_43 waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti. Pereżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali formula_44, nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja formula_42 skont ir-regola indikata fuq u niksbu formula_46. Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi "partial differential equation") hi ekwazzjoni li tinvolvi d-derivati parzjali ta' funzjoni mhux magħrufa. Fil-każ li formula_12 tkun funzjoni ta' formula_48 varjabbli reali indipendenti formula_49, jiġifieri formula_50, ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta' ordni formula_7, jkollha l-forma ġenerali: jekk formula_15 tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta' ordni formula_7 ta' formula_12 . L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni tal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.