Derivata Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali. Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni formula_1 f' punt formula_2 hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt formula_3, jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali. Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' formula_4. Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-"derivata ta' funzjoni", għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura). Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu. Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali formula_1 fil-punt formula_6 hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement formula_7 jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit. Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni formula_1 definita f'inħawija ta' formula_2 ngħidu li hi derivabbli fil-punt formula_2 jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu: Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b'formula_12, ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt formula_6. Jekk il-funzjoni formula_14 hi derivabbli f'kull punt tal-intervall formula_15, ngħidu li hi derivabbli f'formula_15, u l- funzjoni formula_17 li tassoċja ma' kull punt formula_4 id-derivata ta' formula_1 f' formula_4, insejħulha l-funzjoni derivata ta' formula_1. Id-derivata fil-punt formula_22 nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli: Jissejjaħ derivata mill-lemin ta' formula_1 f'formula_2 il-limitu: formula_30 Jissejjaħ derivata mix-xellug ta' formula_1 f'formula_2 il-limitu: formula_33 Funzjoni hi derivabbli f'formula_4 jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur. Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk formula_1 hi definita f'l-intervall magħluq formula_36, ngħidu li formula_1 hi derivabbli f'formula_36 jekk hi derivabbli f'kull punt intern formula_4 ta' formula_40, u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf formula_41 u formula_42. Il-valur tad-derivata ta' formula_43 ikkalkulat f'formula_22 għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' formula_43, fil-punt bil-koordinati formula_46. Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt formula_46 tifforma mal-assi tal-axissi. L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f'formula_22 hija: formula_49 Iżjed preċiż, jekk formula_43 hi derivabbli fil-punt formula_22, teżisti funzjoni formula_52 definita f'inħawija ta' formula_22 tali li: formula_54 fejn formula_55 Ngħidu li formula_56 hu "infiniteżmu ta' ordni ogħla" mill-funzjoni formula_57. B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini formula_52 jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn formula_22. Niddefinixxu formula_60 b'l-istess dominju ta' formula_43, bħala: u nivverifikaw li: Niftakru li għal :formula_64 għandna :formula_65 mela :formula_66 Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna: u nikkonfermaw it-teżi. Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni formula_68 hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt formula_69, għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug. Prova tat-Teorema: Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel: minn fejn niksbu: Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'formula_22. Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu 'l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin: Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor. L-"formula_74 -il derivata", formula_75, ta' funzjoni formula_1 hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni formula_74 darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni: Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli formula_74-il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni: Infatti id-derivata ta' formula_43 hi formula_84, li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli. Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti. Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt formula_85 fejn formula_86 hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji. Osservazzjonijiet: Prova: Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li formula_2 hu punt ta' massimu u għalhekk formula_90 hu valur massimu tal-funzjoni f' formula_40; il-prova hija l-istess fil-każ li formula_2 jkun punt ta' minimu għal formula_1. Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali: formula_94 In-numeratur formula_95 għaliex, bl-ipoteżi, formula_2 hu punt ta' massimu u għalhekk formula_97. Mela nistgħu ngħidu li : Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-sinjal li: Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni formula_1 hi derivabbli f' formula_2 u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f'formula_2 jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin formula_107 u formula_108, u mela hu null, kif ridna nuru. Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, formula_109, fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti formula_110 u formula_111. Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn formula_112 hi differenti minn formula_113; jekk formula_112 hi daqs formula_113 nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle. Jekk inpoġġu formula_116, niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange. Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) "strettament". It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange. Għandna wkoll:. Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless). Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt formula_122 jekk jeżisti u hu finit il-limitu Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' formula_124 hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha: Funzjoni formula_127 ngħidulha derivabbli f'formula_126 jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha. Ħalli formula_129 tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni formula_124 hi: Bis-simboli: formula_135 Bis-simboli: formula_140 Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi formula_141 b' raġġ ta' konvergenza formula_142, hi derivabbli fuq l-intervall formula_143 kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod: Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin. Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur formula_145 li jissodisfa: Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.