Analisi armonika L-analisi armonika hi l-fergħa tal-matematika li tistudja r-rappreżentazzjoni tal-funzjonijiet u tas-sinjali bħala sovrappożizzjoni ta' mewġ fundamentali. Il-mewġ fundamentali jgħidulhom "armoniċi", minn fejn ġej l-isem "analisi armonika". Fl-analisi armonika ninvestigaw u niġġeneralizzaw l-idejat tas-serje ta' Fourier u t-trasformata ta' Fourier. Fl-aħħar żewġ sekli l-analisi armonika saret suġġett vast ħafna b'applikazzjonijiet f'bosta oqsma bħall-elaborazzjoni numerika tas-sinjali, il-mekkanika kwantistika u n-newroxjenzi. It-trasformata ta' Fourier klassika fuq R għadha l-oġġett ta' riċerka, in partikulari t-trasformazzjoni ta' Fourier ta' oġġetti iżjed ġenerali bħad-distribuzzjonijiet temperati. Pereżempju jekk nimponu ċerti ħtiġijiet fuq distribuzzjoni "f", nistgħu nittraduċuhom f'termini tat-trasformata ta' Fourier ta' "f". It-teorema ta' Paley-Wiener hu eżempju ta' dan. Dan it-teorema jgħid li jekk "f" tkun distribuzzjoni mhux nulla b'support kompatt (din id-definizzjoni tinkludi wkoll il-funzjonijiet b'support kompatt), imbagħad it-trasformata ta' Fourier tagħha ma jistgħax ikollha support kompatt. Din hi forma elementari ħafna tal-prinċipju ta' indeterminazzjoni fl-ambitu ta' l-analisi armonika. Is-serji ta' Fourier nistgħu nistudjawhom ukoll fil-kuntest ta' l-ispazji ta' Hilbert, u hekk nagħmlu rabta bejn l-analisi armonika u l-analisi funzjonali. Waħda mill-friegħi l-iżjed moderni ta' l-analisi armonika, li bdiet fit-tieni nofs tas-seklu 20, hi l-analisi matematika fuq il-gruppi topologiċi. Il- motivazzjoni ewlenija hi l-fatt li nistgħu niġġeneralizzaw bosta trasformati ta' Fourier għal trasformata ta' funzjonijiet definiti fuq gruppi lokalment kompatti. It-teorija għall-gruppi abeljani lokalment kompatti jgħidulha d-dwalità ta' Pontryagin. L-analisi armonika tistudja il-proprijetajiet ta' din id-dwalità u tat-trasformata ta' Fourier u l-estensjoni ta' dawn il-karatteristiċi f'ambiti differenti, pereżempju għall-gruppi ta' Lie mhux abeljani. Fil-każ ta' gruppi generiċi mhux abeljani u lokalment kompatti, l-analisi armonika għandha rabta qawwija mat-teorija tar-rappreżentazzjonijiet tal-gruppi unitarji. Fil-każ tal-gruppi kompatti, it-teorema ta' Peter-Weyl jgħidilna kif nistgħu niksbu l-armoniċi billi nagħżlu rappreżentazzjoni irriduċibbli minn kull klassi ta' ekwivalenza ta' rappreżentazzjonijiet. Din l-għażla ta' armoniċi tiret xi proprijetajiet utli tat-trasformata ta' Fourier klassika, bħat-trasformazzjoni tal-konvoluzzjoni f'prodott punt b'punt jew il-fatt li turi ċertu komprensjoni tal-istruttura sottostanti tal-grupp. Jekk il-grupp ma jkunx la abeljan u lanqas kompatt, m'hemm l-ebda teorija soddisfaċenti. B' "soddisfaċenti" nfissru li "mill-inqas" ikollna l-ekwivalenti tat-teorema ta' Plancherel. Ma dan kollu ġew analizzati ħafna każi partikulari, pereżempju SL. F'dal-każ insibu li r-rappreżentazzjonijiet f'dimensjonijiet infiniti għandhom post kruċjali.