Liġi tan-numri kbar Il-liġi tan-numri kbar, imsejħa wkoll it-teorema ta' Bernoulli (għaliex l-ewwel formulazzjoni taha Jacob Bernoulli), tħares lejn l-imġiba tal-medja ta' sekwenza ta' formula_1 varjabbli każwali indipendenti u distribwiti identikament (bħal formula_1 qisien tal-istess kobor, formula_1 tefgħat tal-istess munita eċċ.) meta formula_1 tersaq lejn l-infinit. Każ partikulari tal-applikazzjoni tal-liġi tan-numri kbar hu t-tbassir probabbilistiku tal-proporzjon ta' suċċessi minn formula_1 realizzazzjonijiet indipendenti ta' ġrajja formula_6: meta formula_1 tersaq lejn l-infinit, il-proporzjon ta' suċċessi jikkonverġi għall-probabbiltà ta' formula_8 (ara l-eżempju). Għal suċċessjoni ta' varjabbli każwali formula_9 indipendenti u distribwiti identikament b'medja formula_10, il-medja kampjunarja hi Il-liġi (qawwija) tan-numri kbar tgħid li jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi kważi ċertament għall-medja komuni tal-formula_13. Il-liġi (dgħajfa) tan-numri kbar tgħid li jekk formula_14 tkun suċċessjoni ta' varjabbli każwali li għandhom l-istess medja formula_10, l-istess varjanza finita u indipendenti, imbagħad għal kull formula_16: jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi fil-probabbiltà għall-medja komuni tal-formula_13. Il-liġi tan-numri kbar tiggarantixxi li l-medja kampjunarja tagħtina stima konsistenti tal-medja ta' popolazzjoni; biżżejjed ngħidu li mħabba l-liġi tan-numri kbar "nistgħu ikkolna fiduċja" li l-medja li nikkalkulaw minn "numru kbir biżżejjed" ta' kampjuni hi "qrib biżżejjed" tal-medja vera. Nissoponu li għandna ġrajja (bħall-fatt li t-tfigħ ta' damma jagħtina s-sitta) b'probabbiltà li ma nafuhiex formula_19 (ma nafuhiex għax id-damma tista' tkun imbabsa, jew sempliċement difettuża: ma nistgħux inkunu nafu minn qabel). Jekk nitfgħu id-damma formula_1 darba wara xulxin niksbu stima tal-probabbiltà li nġibu s-sitta b'dik id-damma, formula_19, li hi mogħtija minn fejn kull formula_23 fis-somma tirrappreżenta tefgħa u tiswa wieħed jekk it-tefgħa tagħtina s-sitta u żero jekk jiġi numru ieħor. Il-liġi tan-numri kbar tafferma sempliċement li, iżjed ma nużaw provi biex nikkalkulaw l-istima, iżjed din tkun qrib, "probabbilment", għall-probabbiltà vera tal-ġrajja, formula_19. Jekk l-istima formula_25 li nikkalkulaw tkun qrib ħafna ta' wieħed f'sitta, li hi l-probabbiltà teorika li nġibu s-sitta għall-damma perfetta, nistgħu inkun ċerti mhux ħażin li d-damma m'hijiex imxaqilba lejn is-sitta (biex inkunu żguri li d-damma ma xxaqlibx lejn l-ebda numru irridu nirrepetu l-provi għall-ħames numri l-oħra). Xi tfisser "żguri mhux ħażin" jiddipendi minn kemm irridu nkunu preċiżi fil-provi tagħna: b'għaxar tefgħat ikollna stima raffa, b'mija jkollna waħda iżjed preċiża, b'elf iżjed u nibqgħu sejjrin hekk: il-valur ta' formula_1 li lesti li naċċettaw bħala biżżejjed jiddependi mill-grad ta' każwalità li naħsbu li hu neċessarju għad-damma li qegħdin nużaw. Ħalli formula_27 tkun suċċessjoni ta' spazji ta' probabbiltà. Inħarsu lejn l-ispazju prodott formula_28 u fih suċċessjoni Bernoulljana ta' ġrajjiet (stokastikament indipendenti u b'probabbiltà kostanti formula_19), formula_30. Għal kull element formula_31 niddefinixxu l-frekwenza ta' suċċess f'formula_1 provi, formula_33, fejn formula_34 turi n-numru ta' suċċessi miksuba f' formula_1 provi. B'din in-notazzjoni il-liġi nistgħu niktbuha: formula_36, formula_37. Prova: Nota: Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar ma tiżgurax li, nagħżlu kif nagħżlu formula_50, kważi ċertament jekk nibdew minn ċertu formula_51 il-valur ta' formula_52 ħa jibqa inqas jew daqs formula_53, jiġifieri li s-sett formula_54 ħa jkun formula_55-traskurabbli. Infatti, jekk nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu iżjed espliċita, insibu li: formula_56 imma m'hemm xejn li jiżgura li formula_57 ma tiddiverġiex meta formula_58. Minn naħa l-oħra l-liġi qawwija tan-numri kbar: :formula_59 timplika li formula_60, u din l-asserzjoni tal-aħħar timplika l-liġi dagħjfa tan-numri kbar. Prova taż-żewġ implikazzjonijiet: 1. 2. Prova tal-liġi qawwija: