L-Integral Fl-analisi matematika, l-integral ta' funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa. L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta' Riemann"). Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta' funzjonijiet sempliċi, pereżempju: Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni. Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue. Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-sinjal) tal-figura li għandha bħala truf, intervall formula_3 fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija formula_4 (il-funzjoni integrata) definita fuq formula_3 u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall formula_3 għall-grafiku tal-funzjoni formula_4. In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni formula_4 fuq l-intervall formula_3. Jekk il-grafiku tal-funzjoni formula_4 hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta' dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex. Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni formula_4 hi integrabbli fuq l-intervall formula_3. Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni formula_4 m'hijiex integrabbli fuq l-intervall formula_3. F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall formula_15 f'formula_16 sottointervalli tat-tip formula_17 fejn formula_18 u formula_19. Għal kull sottointervall nagħżlu punt formula_20, li l-immaġni tiegħu hi formula_21, u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall formula_17 u għoli formula_21; l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta' Cauchy-Riemann) formula_24 . Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli formula_25, il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru formula_26, il-funzjoni formula_4 hi integrabbli fuq l-intervall formula_15, u formula_26 hu l-integral tagħha. L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu "jispiċċaw irrilevanti", inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli. Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan. Ejjew naqsmu l-intervall kompatt formula_15 permezz ta' partizzjoni formula_31 f'formula_32 sottointervalli : Ħalli jkunu Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni formula_31): Jekk nammettu li formula_38 tieħu valuri pożittivi fl-intervall, formula_39 hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan formula_40, taħt il-grafiku ta' formula_41. Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni formula_31): Analogament, formula_44 hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun formula_45. Jidher ċar li jekk formula_46 imbagħad għal kull partizzjoni formula_31 ta' formula_48: Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment: Ħalli jkunu formula_54 ngħidulu l-integral inferjuri u formula_55 l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw In-numri formula_57, formula_58 ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u formula_59 l-integrand (formula_57 l-ewwel tarf, formula_58 it-tieni tarf). Il-varjabbli ta' integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri formula_62 tfisser l-istess bħal formula_63. Id-formula_64 definita hekk formula_65 Għal kull partizzjoni tal-intervall formula_66, f'kull sottointervall formula_67 hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela formula_68 u formula_69. Għalhekk Mela formula_72 u formula_73. La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni formula_74 mhux integrabbli. La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni. Prova : Nissoponu li formula_75 hi integrabbli u hekk formula_76. Għall kull formula_77 mogħtija, teżisti partizzjoni formula_78 ta' formula_79 li tissodisfa (Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni formula_81 ta' formula_79 li tissodisfa Ħalli formula_84. Imbagħad minn Lemma 1, għandna Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull formula_77 mogħtija, teżisti partizzjoni formula_31 ta' formula_79 li tissodisfa formula_89. Allura La formula_91 hi arbitrarja, bilfors li formula_92 u allura formula_76 u formula_75 hi integrabbli. Prova: Nissoponu li l-funzjoni formula_95 tiżdied fuq formula_15. Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw formula_97, nistgħu nagħzlu formula_98 li tissodisfa formula_99 Ħalli formula_100 tkun partizzjoni tal-intervall formula_15 f'sottointervalli formula_102 ta' wisa' inqas minn formula_103. Mill-monontonija għandna li formula_104 u formula_105. Mela formula_106 hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw formula_97, teżisti formula_98 li għaliha formula_109 kull meta formula_110. Jekk formula_100 hi partizzjoni tal-intervall formula_15 f'sottointervalli formula_102 ta' wisa' inqas minn formula_103, imbagħad ikollna formula_115 u mela formula_116 jidher ċar li formula_117 u formula_118. Mela la formula_119 għandna formula_120 B'mod simili jekk formula_121 għandna formula_122 u formula_123 u allura formula_124 Mela issa biżżejjed li nipprovaw li formula_125 Niftakru li formula_126 u għalhekk għal kull partizzjoni formula_31 ta' formula_128 formula_129 Mit-Teorema 1 nafu li għall kull formula_77 mogħtija, jeżistu partizzjonijiet formula_78 u formula_81 ta' formula_128 li jissodisfaw Ħalli formula_84. Imbagħad minn Lemma 1, għandna Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu u allura l-funzjoni formula_138 hi integrabbli. Nin-naħa l-oħra, la formula_139 nikkonkludu li formula_140 Prova: Mit-Teorema 1 nafu li għall kull formula_77 mogħtija, jeżistu partizzjonijiet formula_78 ta' formula_143 u formula_81 ta' formula_145 li jissodisfaw Ħalli formula_84. Din partizzjoni ta' formula_128 u għandna Mela formula_75 hi integrabbli fuq formula_128. Nin-naħa l-oħra, la formula_152 nikkonkludu li formula_153 kif nixiequ. Prova : Jekk formula_154 għal kull formula_155, għal kull partizzjoni formula_31 ta' formula_128 ikollna formula_158 Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral. Prova: Ħalli formula_31 tkun partizzjoni ta' formula_128 f'formula_32 sottointervalli u Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni formula_164 valida għal kull formula_165. Prova: La formula_166 hi kontinwa f'formula_167, bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu formula_168 u minimu formula_169 f'formula_167: formula_171 Mela formula_172 Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li formula_173 u allura formula_174 Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li formula_166 f' formula_167 trid tieħu il-valuri "kollha" f'formula_177. Allura, in partikulari teżisti formula_178 li tissodisfa formula_179. F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-"sissien" tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali. Prova: Nieħdu formula_180. Imbagħad għal kull formula_77 mogħtija, teżisti formula_182 li għaliha formula_183 jekk formula_184 Jidher ċar li formula_185 u li formula_186 Allura għandna formula_187 u għalhekk formula_188 Mela formula_189 tikkonverġi lejn formula_190 meta formula_191 tersaq lejn 0, u allura formula_192 Nota: Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva: Funzjoni formula_193 derivabbli f'intervall formula_15 ngħidulha l-primittiva ta' formula_95 f' formula_15 jekk: formula_197 għal kull formula_198. Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta' primittiva. Prova: Ħalli formula_31 tkun partizzjoni ta' formula_128 f'formula_32 sottointervalli formula_202 u formula_203 Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall formula_67, niksbu punti formula_205, li għalihom formula_206 Mela għandna La <math>\displaystyle