Analisi komplessa L-Analisi komplessa (jew iżjed preċiż, it-teorija tal-funzjonijiet ta' varjabbli komplessi) hi dik il-fergħa ta' l-analisi matematika li tapplika l-idejat tal-kalkulu infiniteżmali għall-funzjonijiet komplessi, jiġifieri għal funzjonijiet li għandhom bħala dominju u kodominju settijiet ta' numri komplessi. Il-kunċett ewlieni tal-analisi komplessa hi l-funzjoni olomorfa: din hi funzjoni komplessa mgħammra b'nozzjoni ta' derivata, fl-istess mod kif isir fil-każ tal-funzjonijiet reali tas-soltu. Il-funzjoni meromorfa hi estensjoni ta' dan il-kunċett. L-analisi komplessa hi utli ħafna f'bosta friegħi tal-matematika, bħal pereżempju, it-Teorija tan-numri u l-ġometrija alġebrija; għandha applikazzjonijiet importanti anki fil-fiżika. L-analisi komplessa tapplika l-metodi tal-kalkulu infiniteżmali għan-numri komplessi. Biex nagħmlu dan, hemm bżonn li nimudellaw in-numri komplessi fil-pjan kompless, mgħammar bit-topoloġija ewklideja tas-soltu. It-topoloġija tippermettielna li nitkellmu fuq suċċessjonijiet, fuq limiti, fuq settijiet miftuħin u magħluqin fil-pjan. L-analisi komplessa tistudja funzjonijiet definiti fuq sett miftuħ formula_2 tal-pjan kompless formula_3, b'valuri komplessi. B'mod analogu għal kollox ma' dak li jsir fil-każ reali, funzjoni hi "derivabbli f'sens kompless" f'punt jekk ir-rapport inkrementali għandu limitu fil-punt. Jekk il-funzjoni hi derivabbli f'sens kompless f'kull punt ta' formula_2, ngħidulha funzjoni olomorfa. Bl-użu tal-identifikazzjoni ta' formula_5 ma' formula_6, il-funzjoni formula_7 nistgħu ninterpretawha bħala funzjoni minn sett miftuħ ta' formula_6 għal formula_6. Funzjoni derivabbli f'sens kompless hi neċessarjament differenzjabbli jekk ninterpretawha b'dal-mod. Però l-oppost mhux veru; il-kundizzjoni ta' derivabbiltà f'sens kompless għal funzjoni differenzjabbli hi miġbura fl-ekwazzjonijiet ta' Cauchy-Riemann. Funzjoni olomorfa li għandha derivata kullimkien differenti minn zero, ngħidulha mappa konformi: hi mappa li tippreżerva jew iżżomm l-angoli, imma mhux neċessarjament id-distanzi. Dil-proprjetà ġejja mill-fatt li funzjoni olomorfa hi (bħal fil-każ reali) approssimabbli lokalment minn funzjoni linjari, u mill-fatt li l-funzjonijiet linjari fuq il-pjan kompless huma kompożizzjoni ta' omotetji u rotazzjonijiet, it-tnejn operazzjonijiet konformi. Min-naħa l-oħra, il-parti reali u l-parti immaġinarja ta' funzjoni olomorfa huma t-tnejn funzjonijiet armoniċi: xi proprijetajiet tal-funzjonijiet armoniċi, bħal dik ta' li ma tħallix massimi u minimi lokali, jintirtu mill-funzjonijiet olomorfi. L-ingredjent ewlieni tal-analisi komplessa, li m'għandux analogu fl-analisi reali , hu il-formula ta' Cauchy. Dil-formola tagħti relazzjoni bejn il-valur formula_10 ta' funzjoni olomorfa fil-punt formula_11 ma' l-integral ta' funzjoni mibnija minn formula_12 matul kurva sempliċi magħluqa formula_13 li "iddur" mal-punt formula_11: Mill-formola ta' Cauchy joħorġu ħafna proprijetajiet tal-funzjonijiet olomorfi, li m'għandhomx analogi fl-ambitu ta' l-analisi reali . Niddeskrivu xi wħud minn dawn il-proprijetajiet hawn taħt. Funzjoni olomorfa hi dejjem analitika. Dan ifisser li lokalment nistgħu nesprimuha bħala serje ta' potenzi. Fi kliem ieħor, fl-ambitu kompless l-eżistenza tal-ewwel derivata hi biżżejjed biex tiggarantixxi mhux biss l-eżistenza tad-derivati ta' kull ordni, imma wkoll l-analitiċità tal-funzjoni. Dan ma jiġrix fl-ambitu reali . Funzjoni olomorfa hi intera jekk hi definita fuq il-pjan kompless kollu. Il-funzjonijiet interi huma dawk il-funzjonijiet li f'kull punt għandhom rappreżentazzjoni bħala serje ta' potenzi b'raġġ ta' konvergenza infinit. Il-funzjonijiet interi għandhom ħafna restrizzjonijiet. Fosthom, it-Teorema ta' Liouville li tgħid li funzjoni intera li mhijiex kostanti ma jistax ikollha modulu limitat fil-pjan. Għalhekk fl-ambitu kompless ma jeżistux funzjonijiet bħal l-arktanġent reali , li huma definiti fuq formula_5 kollha imma b'modulu uniformement limitat. It-Teorema tal-modulu massimu, tgħid li l-modulu formula_17 ta' funzjoni olomorfa formula_18 definita fuq sett miftuħ formula_2 ma jistax jilħaq il-massimu. Jekk id-dominju formula_2 hu limitat u l-funzjoni formula_12 nistgħu nestenduha bil-kontinwità għall-għeluq ta' formula_2, il-modulu jilħaq il-massimu fuq wieħed mill-punti tat-xifer. Kull funzjoni definita mill-bidu bl-erba' operazzjonijiet aritmetiċi hi olomorfa fis-sett miftuħ li fih hi definita sewwa. Jekk formula_23 u formula_24 huma żewġ polinomi, il-funzjoni hi olomorfa fuq is-sett miftuħ formula_2 miksub billi nnaħħu minn formula_3 il-punti li jikkorrispondu mar-radiċi ta' formula_28. Kull funzjoni analitika reali testendi b'mod uniku għal funzjoni olomorfa. Il-proċedura li biha l-funzjonijiet olomorfi jiġu estiżi b'mod uniku ngħidulha prolungament analitiku. In partikulari, il-funzjonijiet esponenzjali, tas-senu, u l-funzjonijiet trigonometriċi huma funzjonijiet olomorfi. L-imġiba tal-funzjonijiet esponenzjali u s-senu fl-ambitu kompless hi iżjed għanja milli nsibu fl-ambitu reali. Per eżempju, minħabba t-Teorema ta' Liouville il-funzjoni tas-senu mhijiex limitata fil-pjan kompless (kontra li jiġri fir-reali, fejn tvarja bejn -1 u 1). Anzi, il-funzjoni tas-senu hija surġettiva fuq il-komplessi. Kunċett ieħor ċentrali fl-analisi komplessa hu dak tas-singularitajiet iżolati. Funzjoni olomorfa definita fuq sett miftuħ formula_2, bil-punt intern formula_31 imneħħi, għandha singularità iżolata f' formula_31. Dan differenti milli jiġri fil-każ ta' funzjonijiet reali għax l-imġiba tal-funzjoni qrib formula_31 nistgħu naqsmuha fi tliet tipi, determinati mill-imġiba tal-modulu formula_17 qrib il-punt: Jekk il-funzjoni għandha singularità eliminabbli f'formula_31, din testendi għal funzjoni olomorfa fuq formula_2. Jekk għandha pol, possibbli wkoll nestendu l-funzjoni billi nqegħdu formula_45. Ir-riżultat ta' din operazzjoni hi funzjoni ta' tip ġdid, li ngħidula meromorfa. Il-funzjonijiet meromorfi iġibu ruħhom lokalment bħall-funzjonijiet olomorfi: biżżejjed inżidu mal-pjan kompless, il-punt formula_46, permezz tal-projezzjoni sterjografika. L-ispazju li niksbu hu topoloġikament ekwivalenti għal l-isfera, u jgħidulu l-isfera ta' Riemann. Spiss hu identifikat mall-linja dritta projettiva komplessa formula_47. Funzjoni meromorfa hi għalhekk funzjoni partikulari B'din il-kostruzzjoni, il-punt fl-infinit nittrattawh bħal l-oħrajn kollha, u nistgħu naqilbu ħafna riżultati fuq il-funzjonijiet olomorfi għall-kuntest tal-funzjonijiet meromorfi. Estensjoni analoga tista' ssir jekk id-dominju, formula_2, jkun sett miftuħ ta' formula_47. Per eżempju (trasformazzjoni ta' Möbius): fejn formula_52 huma komplessi u hi funzjoni meromorfa