Matematika Il-kelma Matematika ġejja mill-Grieg μάθημα ("máthema"), li tfisser "tgħalim", jew "xjenza"; μαθηματικός ("mathematikós") tfisser "wieħed li jrid jitgħallem". Fid-dixxiplina tal-Matematika nistudjaw problemi dwar il-kwantità, estensjoni u figuri spazjali, moviment tal-korpi, u l-istrutturi kollha fejn nistgħu neżaminaw dawn l-aspetti b'mod ġenerali. Il-Matematika għandha tradizzjoni qadima fil-ġnus kollha; kienet l-ewwel dixxiplina li adottat metodi rigorużi ħafna, u b'hekk laħqet l-istatus ta' xjenza; progressivament il-metodi tagħha żviluppaw u nfirxu ma ħafna oqsma fejn jistgħu ikunu ta' għajnuna fil-komputazzjoni u l-immudellar. L-<nowiki></nowiki>analisi matematika bdiet mill-formulazzjoni rigoruża tal-kalkulu infiniteżmali. Hija fergħa tal-matematika li tikkonċentra fuq l-ideja tal-limitu: il-limitu ta' suċċessjoni jew il-limitu ta' funzjoni. Tinkludi wkoll it-teoriji tad-differenzazzjoni, integrazzjoni u meżura, serji infiniti, u funzjonijiet analitiċi. L-istudju ta' dawn it-teoriji ħafna drabi jsir fil-kuntest tan-numri reali, numri komplessi, u funzjonijiet reali u komplessi. Madankollu, nistgħu niddefinixxu u nistudjaw dawn it-teoriji f'kull spazju ta' oġġetti matematiċi li fih hu possibbli li nagħtu definizzjoni ta' "distanza" (spazju metriku) jew iżjed ġenerali ta' "qrubija" (spazju topoloġiku). Għandna nistudjaw l-analisi matematika fil-kuntest iżjed wiesa' ta' l-ispazji topologiċi jew spazji metriċi għal żewġ raġunijiet: Il-matematiċi Griegi bħal Ewdossu u Arkimede meta applikaw il-metodu ta' l-eżawriment biex jikkalkulaw l-arja u l-volum ta' xi reġjuni u solidi użaw il-kunċetti tal-limiti u l-konvergenza b'mod informali. Fl-Indja, il-matematiku tas-seklu 12, Bhaskara ġa kellu l-ideja tal-kalkulu differenzjali u ta eżempji tad-derivata, flimkien mal-propożizzjoni ta' dik li nsejħulu llum it-Teorema ta' Rolle. Fis-seklu 14, l-analisi matematika bdiha Madhava ta' Sangamagrama, meqjus bħala l-"fundatur ta'l-analisi matematika". Hu żviluppa idejat fundamentali: l-iżvilupp ta' funzjoni f'serje infinita, serje ta' potenzi, is-serje ta' Taylor, u l-approssimazzjoni razzjonali ta' serje infinita. Żviluppa wkoll is-serje ta' Taylor għall-funzjonijiet trigonometriċi tas-senu, kosenu, tanġenti u arktanġenti, u stima l-iżbal li nagħmlu meta naqtgħu is-serje. Żviluppa l-frazzjonijiet kontinwati infiniti, l-integrazzjoni b'termini wara termini, l-approssimazzjoni b'serje ta' Taylor tas-senu u kosenu, u s-serje f'potenzi tar-raġġ, diametru, ċirkonferenza, π, π/4 u l-anglu θ. Id-dixxipli tiegħu fl-iSkola ta' Kerala baqgħu ikkabru x-xogħol tiegħu sas-seklu 16. Fl-Ewropa, fit-tieni nofs tas-seklu 17, Newton u Leibniz independement minn xulxien żviluppaw il-kalkulu, li bl-istimulu ta' l-applikazzjonijiet matul is-seklu 18 rabba ħafna friegħi bħall-kalkulu tal-varjazzjonijiet, l-ekwazzjonijiet differenzjali ordinarji u parzjali u l-analisi ta' Fourier . F'dal-perijodu, il-metodi tal-kalkulu ġew applikati biex japprossimaw problemi diskreti b'oħrajn kontinwi. Fis-seklu18, Euler introduċa il-kunċett ta' funzjoni matematika. Fis-seklu19, Cauchy kien l-ewwel li stabbilixa l-kalkulu fuq pedament loġiku sod bl-introduzzjoni ta' l-ideja tas-suċċessjoni ta' Cauchy. Beda wkoll it-teorija formali ta' l-analisi komplessa. Poisson, Liouville, Fourier u oħrajn studjaw l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali u l-analisi armonika. F'nofs is-seklu Riemann introduċa t-teorija tiegħu tal-integrazzjoni. F'l-aħħar terz tas-seklu 19, Weierstrass li l-fehma tiegħu kienet li l-argumenti ġometriċi jistgħu iqarqu bina, daħħal l-aritmetizzazzjoni ta' l-analisi u introduċa id-definizzjoni "epsilon-delta" tal-limitu. Wara, il-matematiċi bdew jinkwietaw li kienu qegħdin jassumu l-eżistenza tal-kontinwu tan-numri reali mingħajr prova. Dedekind imbagħad ta kostruzzjoni tan-numri reali bil-methodu tal-qtugħ ta' Dedekind, li bih il-matematiċi jikkrejaw numri rrazzjonali li jimlew il-"vojt" bejn in-numri razzjonali, u hekk joħolqu sett komplet: il-kontinwu tan-numri reali. Madwar dak iż-żmien l-isforzi għar-raffinar tat-teoremi ta' l-integrazzjoni ta' Riemann wasslu għall-istudju tal-"qies" tas-sett tad-diskontinwitajiet tal-funzjonijiet reali. Fl-istess ħin, bdew jinħolqu "mostri" (funzjonijiet mkien kontinwi, funzjonijiet kontinwi imma mkien differenzjabbli, kurvi li jimlew l-ispazju). F'dal-kuntest, Jordan żviluppa t-teorija tiegħu tal-meżura, Cantor żviluppa dik li daż-żmien insejħulha it-teorija sempliċi tas-settijiet, u Baire ipprova it-teorema tal-kategoriji ta' Baire. Fil-bidu tas-seklu 20, il-kalkulu ġie formalizzat b'l-użu tat-teorija assjomatika tas-settijiet. Lebesgue irriżolva l-problema tal-miżura, u Hilbert introduċa l-ispazji ta' Hilbert biex jirriżolvi l-ekwazzjonijiet integrali. L-ideja ta' l-ispazji vettorjali normati kienet infirxet, u f'l-20ijiet tas-seklu Banach ħoloq l-analisi funzjonali. L-Analsi Matematika tinkludi dawn l-oqsma: Il-kelma Analisi Klassika s-soltu tfisser analisi mingħajr l-użu tal-metodi tal-analisi funzjonali. L-istudju tal-ekwazzjonijiet differenzjali issa huwa mferrex ma friegħi oħra bħas-sistemi dinamiċi, imma ġħadu mportanti ħafna fl-analisi konvenzjonali. L-alġebra hi waħda mill-friegħi prinċipali tal-matematika u titratta l-istudju ta' strutturi alġebrin, relazzjonijiet u kwantità. Il-kelma alġebra (mill-Għarbi الجبر, "al-ġabr" li tfisser "ġabra") ġejja mill-isem tal-ktieb tal-matematiku Persjan Għarbi Muħammad ibn Musa al-Khwariżmi, intitolat "Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala" ("Il-Ktieb tal-Ġabra u t-Tqabbil"), li jittratta ir-riżoluzzjoni tal-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi. L-alġebra elementari li normalment tifforma parti mill-kurrikulu ta' l-iskejjel sekondarji, tintroduċi l-ideja ta' simboli jew varjabbli li jirrepreżentaw kwantitajiet mhux magħrufa. Nitgħalmu wkoll kif ngħoddu u nimmoltiplikaw dawn il varjabbli, fuq il-polinomji mibnija minnhom u l-fattorizzazzjoni u l-kalkulazzjoni tar-radiċi. Però, l-alġebra hi ħafn' usa' minn hekk. L-għadd u l-moltiplikazzjoni nistgħu nqisuhom bħala operazzjoniet ġenerali u d-definizzjoni eżatta tagħhom twassalna għal strutturi ġodda bħal gruppi, ċrieki u kampi. L-Alġebra elementari hija l-forma l-iżjed bażika ta' l-alġebra. Jitgħalmuha l-istudenti li m'għandhomx tgħalim tal-mathematika iżjed avvanzat mill-prinċipji bażiċi ta' l-aritmetika. Fl-aritmetika, nsibu biss in-numri u l-operazzjonijiet aritmetiċi fuqhom (bħal +, −, ×, ÷). Fl-alġebra, in-numri spiss nirripreżentawhom bis-simboli (bħal "a", "x", "y"). Din ir-repreżentazzjoni għandha dawn il-vantaġġi: L-"'alġebra astratta'" testendi il-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali. Settijiet: Minnflok nikkunsidraw biss it-tipi ta' numri differenti, fl-alġebra astratta nqisu il-kunċett iżjed ġenerali ta' "sett" li hu ġabra ta' oġġetti (li jgħidulhom elementi) li għandhom ċerta propjetà speċifika għas-sett. Pereżempju in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri komplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta' settijiet jinkludu is-sett tal-matriċi ta' tnejn-bi-tnejn, is-sett tal-polinomji tat-tieni ordni ("ax" + "bx" + "c"), is-sett tal-vetturi bi-dimensjonali, u gruppi finiti varji bħall-gruppi ċikliċi, jiġifieri l-gruppi tan-numri interi modulo "n". It-Teorija tas-settijiet hija fergħa tal-loġika u teknikament mhux fergħa ta' l-alġebra. Operazzjonijiet binarji: L-ideja ta' l-għadd (+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittina "operazzjoni binarja", * ngħidu aħna. Il-kunċett ta' operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementi "a" u "b" f'sett "S" "a"*"b" ittina element ieħor fis-sett, (dil-kundizzjoni ngħidulha għeluq taħt l-operazzjoni). L-Għad (+), it-Tnaqqis (-), il-moltiplikazzjoni (×), u d-diviżjoni (÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-moltiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji. Elementi ta' l-identità: Il-kunċett ta' l-"element ta' l-identità" huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element ta' l-identità għall-għadd and u wieħed l-element ta' l-identità għall-moltiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali * l-element ta' l-identità "e" irid jissodisfa "a" * "e" = "a" u "e" * "a" = "a". Għall-għadd din hi sodisfatta billi "a" + 0 = "a" u 0 + "a" = "a" u għall-moltiplikazzjini wkoll għax "a" × 1 = "a" u 1 × "a" = "a". Imma, jekk nieħdu in-numri naturali pożitivi u l-operazzjoni ta' l-għadd, m'hemmx element ta' l-identità. Elementi inversi: Minn-numri negattivi noħolqu l-kunċett ta' "element invers" jew sempliċiment l-"invers". Għall-għadd, l-invers ta' "a" huwa "-a", u għall-moltiplikazzjoni l-invers hu 1/"a". L-element invers ġenerali "a" jrid jissodifa r-relazzjoni "a" * "a" = "e" u "a" * "a" = "e". Assoċjattività: L-għadd tan-numri interi għandu propjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, l-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed nogħdu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest generali, din issir ("a" * "b") * "c" = "a" * ("b" * "c"). Il-biċċa kbira ta' l-operazzjonijiet binarji għandhom din il-propjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le. Kommutattività: L-għadd tan-numri interi għandu wkoll propjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qed nogħdu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest generali, din issir "a" * "b" = "b" * "a". Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-propjetà. L-għadd u l-moltiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-propjetà imma l-moltiplikazzjoni tal-matriċi le. Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi mportanti fil-matematika: il- grupp. Grupp jikkonsisti f'sett "S" u operazzjoni waħda li rridu, li niktbuha '*', imma li jrid ikolla dawn il-propjetajiet: Jekk grupp hu anki kommutattiv - jiġifieri, għal kull żewg membri "a" u "b" ta' "S", "a" * "b" hija ugwali għal "b" * "a" – il-grupp ngħidu li hu Abeljan. Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni ta' l-għadd huwa grupp. F'dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta' kull element "a" huwa n-negativ tiegħu, -"a". Il-kundizzjoni ta' assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interi "a", "b" u "c", ("a" + "b") + "c" = "a" + ("b" + "c"). Imma l-interi bl-operazzjoni tal-moltiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers moltiplikattiv ta' numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers moltiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu. L-istudju tal-gruppi jsir fit-teorija tal-gruppi. Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f'din it-teorija kien il-klassifikazzjoni tal-gruppi finiti sempliċi li l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il-gruppi sempliċi finiti f'xi 30 tip bażiku. Semigruppi, kważigruppi, u monoidi huma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f'sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament. Semigrupp għandu operazzjoni binarja "assoċjattiva", imma jista' jkun li m'għandux element ta' l-identità. Monoid huwa semigrupp li għandu identità imma jista' jkun li m'għandux invers għal kull element. Kważigrupp għandu l-propjetà li kull element jista' jinbidel f'kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista' jkun li mhux assoċjattiva. Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi. Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta' numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b'żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-Ċrieki, u l-Kampi. Id-Distributtività tiġġeneralizza l-"liġi distributtiva" tan-numri u tiffissa f'liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-preċedenza). Għall-interi ("a" + "b") × c = "a"×"c"+ "b"×"c" u "c" × ("a" + "b") = "c"×"a" + "c"×"b", u ngħidu li × hija " distributtiva " fuq +. Ċirku għandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifforma "grupp Abeljan". Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m'hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element ta' l-identità ta' l-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse ta' l-għadd ta' "a" jinkiteb -"a". In-numri interi huma eżempju ta' ċirku. Kamp hu "ċirku" b'propjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmaw "grupp Abeljan" taħt ×. L-identità moltiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers moltiplikattiv ta' "a" jinkiteb "a". In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta' kampi. Il-kelma alġebra nużawha wkoll għal xi strutturi alġebrin: L-alġebra nistgħu nsibu l-oriġini tagħha fil-Babilonja antika. Il-Babilonjani żviluppaw sistema aritmetiku avvanzat li bih setgħu jagħmlu kalkulazzjonijiet b'metodu alġebri. Permezz ta' dan is-sistema, setgħu japplikaw formoli u jikkalkulaw valuri mhux magħrufa għal klassi ta' problemi li daż-żmien nirriżolvuhom bl-użu ta' ekwazzjonijiet linjari, ekwazzjonijiet kwadratiċi u ekwazzjonijiet linjari indeterminati. Għall-kontrarju, il-biċċa kbira tal-matematiċi Eġizzjani ta' dak iż-żmien, u l-biċċa kbira tal-matematiċi Indjani, Griegi u Ċiniżi f'l-ewwel millennju QK, is-soltu kienu jirriżolvu dawn il-problemi b'metodi ġometriċi, bħal dawk imfissra fil-"Papiru Matematiku ta' Rhind", "Sulba Sutras", "L-Elementi ta' Ewklidi", u "Id-Disgħa Kapitli fuq' l-Arti Matematika". Ix-xogħol ġometriku tal-Griegi, li l-Elementi huwa eżempju tajjeb ħafna tiegħu, ipprovda s-sisien għall-ġeneralizzazzjoni tal-formuli mis-soluzzjoni ta' problemi partikulari għal sistemi iżjed ġenerali li jistgħu jintużaw għall-formulazzjoni u s-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet. Il-kelma ""alġebra"" ġejja mill-Għarbi ""al-ġabr"" fit-titlu tal-ktieb ""al-Kitab al-muhtasar fi ħisab al-ġabr wa-l-muqabala"", li jfisser "Il-ktieb fil-qosor fi ħsib il-ġbir u tqassim". Dan kitbu il-matematiku Persjan Muħammad ibn Musa al-Khwariżmi (Għarbi: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ) fit-820. Il-matematiku Grieg Diofantu (Grieg: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς t. bejn 200 u 214, m. bejn 284 u 298 AD) hu tradizzjonalment magħruf bħala "missier l-alġebra" imma hemm argument jekk Al-Khwariżmi għandux joħodlu dan it-titlu. Dawk li jżommu ma Al-Khwariżmi jsossnu li ħafna mix-xogħol tiegħu fuq "il-ġbir" jew riduzzjoni għadu użat sa llum u li hu ta spjegazzjoni kompleta fuq is-soluzzjoni ta' l-ekwazzjonijiet kwadratiċi. Dawk li jżommu ma Diofantu jgħidu li l-alġebra li nsibu f'"Al-Ġabr" hi iżjed elementari mill-alġebra fl- "Aritmetika" ta' Diofantu u li l-"Aritmetika" hi miktuba fi stil sinkopat waqt li "Al-Ġabr" hi kollha fi stil retoriku. Matematiku Persjan ieħor, Omar Khajjam (Persjan: غیاث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابوری t. 18 ta' Mejju, 1048, m. 4 ta' Diċembru, 1131), żviluppa l-ġometrija alġebrija u sab soluzzjoni ġenerali ġometrika ta' l-ekwazzjonijiet kubiċi. Il-matematiċi Indjani Maħavira u Baskara II, u l-matematiku Ċiniż Żu Xiġje, irriżolvew xi każi ta' ekwazzjonijiet kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u polinomjali ta' ordni ogħla. F'nofs is-seklu 16 kien hemm żvilupp importanti ieħor ta' l-alġebra. Dan kien is-soluzzjoni alġebrija ġenerali tal-ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi. L-ideja ta' determinant żviluppha l-matematiku Ġappuniż Kowa Seki fis-seklu 17, u għaxar snin wara Gottfried Leibniz uża d-determinanti biex jirriżolvi sistemi ta' ekwazzjonijiet linjari simultanji premezz tal-matriċi. Fis-seklu 18, Gabriel Cramer ukoll ħadem fuq il-matriċi u d-determinanti. L-iżvilupp ta' l-Alġebra astratta sar fis-seklu 19. Fil-bidu dan ix-xogħol ikkonċentra fuq li daż-żmien insejħulha it-teorija ta' Galois u fuq kwistjonijiet tal-kostruttibbiltà. L-istadji ta' l-iżvilupp ta' l-alġebra simbolika kienu bejn wieħed u ieħor dawn: Kronoloġija ta' żviluppi kritiċi fl-alġebra: