జ్యామితీయ మూలాలు |-Nipuna Educational Magazine
జ్యామితీయ మూలాలు
Wed,January 10, 2018 12:10 AM
-జ్యామితీయ లేదా రేఖాగణితాన్ని ఆంగ్లంలో జామెట్రీ అంటారు. జామెట్రీ అనే ఆంగ్ల పదం జియో, మెట్రాన్ అనే రెండు గ్రీకు పదాలనుంచి సంగ్రహించబడినది.
-జియో అంటే భూమి, మెట్రాన్ అంటే కొలవడం.
-జామెట్రీ అంటే భూమిని కొలిచే శాస్త్రం. మానవుడు భూమి ని కొలిచే అవసరాన్ని బట్టి జ్యామితీయ శాస్త్రం అభివృద్ధిచెందినట్లు అర్థం అవుతుంది.
-అనిర్వచనీయ పదాలు, నిర్వచనీయ పదాలు, స్వీకృతాలు, సిద్ధాంతాలతో కూడిన గణితశాస్త్ర విభాగాన్నే రేఖాగణితం అంటారు.
-ప్రాచీన జ్యామితీయ అవశేషాలను సింధు నాగరికత, బాబిలోనియా నాగరికత ప్రజాజీవనంలో గుర్తించవచ్చు. ఎందుకంటే వీరికి అధికకోణ త్రిభుజాల గురించి తెలుసు.
-క్రీస్తుపూర్వం 2500 ప్రాంతంలో సింధు నాగరికత ప్రజలకు రేఖాగణితం గురించి తెలుసు అనడానికి సాక్ష్యంగా హరప్పా, మొహంజోదారో తవ్వకాల్లో వృత్తాన్ని నిర్మించే సాధనం ఒకటి లభించింది.
-భక్ష్యాలి అనే రాత ప్రతిలో అనేక జ్యామితీయ సమస్యల ప్రస్తావనతోపాటు అక్రమాకార వస్తువుల ఘనపరిమాణాలకు సంబంధించిన సమస్యలు ఉన్నాయి.
-ఈజిప్టులోని పిరమిడ్‌లు, ఈఫిల్ టవర్, చైనావాల్, భారతదేశంలోని ప్రసిద్ధపురాతన దేవాలయాలు రేఖాగణిత అనువర్తనాలుగా చెప్పవచ్చు.
-క్రీ.పూ. 8వ శతాబ్దంనాటి బౌద్ధయానుడు సంకలనం చేసిన అత్యంత ప్రసిద్ధమైన బౌద్ధయాన సులభ సూత్రాలలో పైథాగరస్ త్రికములైన (3, 4, 5), (5, 12, 13) మొదలైన వాటిని, దీర్ఘచతురస్ర భుజాలు కర్ణాలను పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఆపాదించడాన్ని గమనించవచ్చు. పైథాగరస్‌ను థేల్స్ శిష్యునిగా భావిస్తారు.
-గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త అయిన థేల్స్‌ను నిగమన నిరూపణ పద్ధతికి అధ్యక్షుడిగా భావిస్తారు.
-క్రీ.పూ. 325-265 కాలంలో ఈజిప్టులోని అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన యూక్లిడ్ ది ఎలిమెంట్స్ అనే గ్రంథాన్ని రాశారు. ఈ గ్రంథం 13 పుస్తకాల సంకలనం. ఇందులో ఉన్న విషయాలన్నింటి కృషి యూక్లిడ్‌తో పాటు థేల్స్, పైథాగరస్ మొదలైనవారికి కూడా చెందుతుంది.
-యూక్లిడ్‌ను రేఖాగణిత పితామహుడు అని పిలుస్తారు.
-ది ఎలిమెంట్స్ గ్రంథంలోని 1వ పుస్తకంలో యూక్లిడ్ 23 నిర్వచనాల జాబితాను పొందుపరిచాడు. అందులో కొన్ని
1. బిందువు అంటే ఎటువంటి భాగాలు లేనిది.
2. రేఖ అంటే వెడల్పులేని పొడవు.
3. ఒక రేఖ అంత్యాలు బిందువులు.
4. ఒక సరళరేఖ అంటే బిందువులను తుల్యంగా లేదా సమంగా కలిగి ఉన్న రేఖ.
5. ఒక తలం అంటే పొడవు, వెడల్పులను మాత్రమే కలిగి ఉన్నది. తలం అంచులు రేఖలు.
6. ఒక తలం అంటే హెచ్చు, తగ్గులు లేకుండా తుల్యంగా దానిపై సరళరేఖను కలిగి ఉన్నది.
-చైనాకు చెందిన మోహీ తత్వవేత్త బిందువును ఒక రేఖను విభజించుకుంటూపోతే చివరకు మిగిలిన అవిభాజ్య భాగాన్ని బిందువు అంటారు.
-ప్రకృతిలో అనిర్వచిత, నిర్వచిత అనే రెండు రకాల వస్తువులు ఉన్నాయి. అవి..
అనిర్వచిత వస్తువులు
-ఎలాంటి నిర్వచనం అవసరంలేకుండా అర్థమయ్యే భావనలు.
ఉదా: పూవు, రాయి, సూర్యుడు, బిందువు మొదలైనవి.
నిర్వచిత వస్తువులు
-అనిర్వచిత వస్తువుల అధారంగా నిర్వచింపబడేవి.
ఉదా: దండ, కొండ, రేఖాఖండం, కోణం, కిరణం, త్రిభుజం, చతుర్భుజం మొదలైనవి.
స్వీకృతాలు
-స్వయంసిద్ధ సత్యవాక్యాలను స్వీకృతాలు అంటారు. స్వీకృతాలకు నిరూపణలు ఉండవు.
-స్వీకృతాలు రేఖాగణిత నిర్మాణానికి పునాదిరాళ్లు.
సామాన్య భావన
-ఒక నిర్దేశిత గణిత వ్యవస్థలో సందర్భానుసారం స్వయంనిర్దేశిత సత్యప్రవచనాలను సామాన్య భావనలు అంటారు.
ఉదా: మొత్తం అందులోని భాగం కన్నా ఎల్లప్పుడూ పెద్దదే.
-సామాన్య భావన అనే పదాన్ని యూక్లిడ్ జ్యామితీయలోనే కాక మొత్తం గణితంలో ఉపయోగించాడు. కానీ స్వీకృతం అనే పదాన్ని జ్యామితీయకి మాత్రమే పరిచయం చేశాడు.
-ప్రస్తుతం ఈ భావనలను స్వీకృతాలుగానే స్వీకరిస్తున్నారు.
యూక్లిడ్ సామాన్య భావనలు
-ఒకే రాశి సమానమైన రాశులు ఒకదానికొకటి సమానాలు.
-ఒక దానితో ఒకటి ఏకీభవించే వస్తువులు పరస్పరం సమానం.
-సమాన రాశుల్లో సగాలు సమానం.
యూక్లిడ్ మొదటి ఐదు స్వీకృతాలు
1. ఒక బిందువు నుంచి మరొక బిందువుకు ఒక సరళరేఖ గీయవచ్చు.
2. సరళరేఖను అవిచ్ఛిన్నంగా పొడిగించవచ్చు.
3. ఒక బిందువు కేంద్రంగా స్థిర వ్యాసార్థంతో ఒకే ఒక వృత్తం గీయవచ్చు.
4. అన్ని లంబకోణాలు సమానం.
5. దత్త సరళరేఖలో లేనట్టి ఒక బిందువుగుండా ఆ సరళరేఖకు ఒకే ఒక సమాంతర రేఖ గీయవచ్చు.
యూక్లిడ్ సమాంతర స్వీకృతం
-దత్త సరళరేఖపై లేనటువంటి ఒక బిందువుగుండా దానికి ఒకే ఒక సమాంతర రేఖను గీయవచ్చు.
-యూక్లిడ్ సమాంతర స్వీకృతాన్ని జాన్ ప్లే ఫెయిర్ కూడా తెలిపాడు. కాబట్టి ప్లే ఫెయిర్ స్వీకృతం అనికూడా అంటారు.
త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇది రెండు లంబకోణాలకు సమానం - లెజెండర్
రెండు రేఖల మధ్య దూరం సమానంగా ఉండేటట్లు అవి తలం అంతటా విస్తరిస్తాయి - ప్లాసిడోమినస్
ఒక జత సమాంతర రేఖలలో ఒకదానిని ఏదైనా సరళరేఖ ఖండించిన, అది సమాంతర రేఖలలో రెండవదానిని కూడా ఖండిస్తుంది - ప్రోక్లస్
నాలుగు లేదా అంతకన్న పెద్దదైన ప్రతి సరిసంఖ్యను కూడా రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చు - గోల్డ్‌బ్యాక్
యూక్లిడ్ సిద్ధాంతాల్లో కొన్ని
1. A, B, Cలు ఒకే సరళరేఖపై గల బిందువులు.
B A, Cల మధ్య ఉంటే AC-AB=BC అవుతుంది.
2. ఇచ్చిన ఏ రేఖాఖండంపై అయిన సమబాహు త్రిభుజాన్ని నిర్మించవచ్చు.
3. రెండు వేర్వేరు రేఖలు ఒకటి కన్నా ఎక్కువ సంఖ్యలో ఉమ్మడి బిందువులను కలిగి ఉండవు. ఈ ధర్మం సరళరేఖలకు మాత్రమే.
-యూక్లిడ్ ఐదవ స్వీకృతం బదులు వేరే స్వీకృతాలు ప్రతిక్షేపిస్తే అది యూక్లిడేతర జ్యామితీయ. ఈ భావనను గ్రహించిన వారు కార్ల్ ఫెడ్రిక్ గాస్, బాల.
-నిరూపణలను కలిగినది.
-స్వీకృతానికి నిరూపణ రాస్తే అది సిద్ధాంతంగా రూపాంతరం చెందుతుంది.
-సిద్ధాంతంలోని ముఖ్యమైన ఘట్టాలు.
1. సామాన్య వివరణ
2. పటం
-దత్తాంశ సమాచారాన్ని ఉపయోగించి నిర్మించిన పటాన్ని చిత్తు పటం అంటారు.
3. దత్తాంశం
సిద్ధాంత నిరూపణకు ఇవ్వబడిన సమాచారాన్ని దత్తాంశం అంటారు.
4. సారాంశం
5. నిర్మాణం
-చిత్తు పటంలోని అంశాలు సిద్ధాంత నిరూపణకు సరిపోక పోయిన అవసరార్థం రేఖలను, కోణాలను అదనంగా చేయడాన్నే నిర్మాణం అంటారు.
6. ఉపపత్తి
-నిరూపించాల్సిన విషయాన్ని ఉపపత్తి అంటారు.
-సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఎన్నో పద్ధతులు ఉన్నప్పటికీ అందరూ అనుసరిస్తున్న పద్ధతులు..
ప్రత్యక్ష నిరూపణ పద్ధతి
-ఇచ్చిన దత్తాంశ సమాచారాన్ని వినియోగించుకుని ఉపపత్తిలోని అంశాన్ని నిరూపించడాన్ని ప్రత్యక్ష నిరూపణ పద్ధ తి అంటారు. దత్తాంశం నుంచి సారాంశాన్ని నిరూపిస్తాం.
ఉదా: ఒక బేసి సంఖ్య వర్గం కూడా బేసిసంఖ్య అవుతుంది.
దత్తాంశం: బేసి సంఖ్య సాధారణ రూపం 2n+1
ఉపపత్తి: (2n+1)2 కూడా బేసి సంఖ్య.
నిరూపణ:	(2n+1)2 =4n2+4n+1
=2(2n2+2n)+1 = 2k+1
2k+1 కూడా బేసి సంఖ్య అవుతుంది.
పరోక్ష నిరూపణ పద్ధతి
-సారాంశాన్ని తప్పు అనుకోవడం ద్వారా ఉపపత్తిలో దత్తాంశానికి విరుద్ధమైన అంశం వస్తుంది. తద్వారా సారాంశమే నిజమని నిరూపిస్తాం.
ఉదా: ఒక జత ఏకాంతర కోణాలు సమానమైతే ఆ సరళరేఖలు సమాంతరాలు.
ప్రత్యుదాహరణ పద్ధతి
-ఇచ్చిన అసత్య ప్రవచనం అసత్యం అని చెప్పి ఒక ఉదాహరణతో సమర్థించడం.
ఉదా-1:
-3తో భాగించబడే సంఖ్యలన్ని 9 చే భాగించబడతాయి.
-అసత్యం ఎందుకంటే 12, 3తో భాగించబడుతుంది. కానీ 9తో భాగించబడదు.
-ప్రధాన సంఖ్యలన్ని బేసి సంఖ్యలే.
-2 ప్రధాన సంఖ్య, కాని బేసి సంఖ్యకాదు.
లంబదూర సిద్ధాంతం
-దత్త సరళరేఖపై లేనట్టి ఒక బిందువుగుండా దానికి గీయబడే రేఖలన్నింటిలో లంబదూరం మిక్కిలి చిన్నది.
జ్యామితీయ పెట్టె
-జ్యామితీయ పెట్టెలోని వివిధ పరికరాలు వాటి ఉపయోగాలు.
స్కేలు
-రేఖాఖండాలను కొలువడానికి, నిర్మించడానికి
-కోణమానిని: కోణాలను కొలువడానికి, నిర్మించడానికి
-కోణమానిపై 180 సమభాగాలు గుర్తించి ఉంటాయి. ఒక్కొక్క భాగం ఒక్కొక్క డిగ్రీకి సమానం. మనం కొలిచే కోణాలు కుడి లేదా ఎడముఖం కలిగి ఉంటాయి. అందువల్ల కోణమానినిపై కుడి నుంచి ఎడమకు 0-180 డిగ్రీలు ఎడమ నుంచి కుడికి 0-180 డిగ్రీలు గుర్తించి ఉంటాయి.
-మూలమట్టాలు: సమాంతర, లంబరేఖలు నిర్మించడం.
-విభాగిణి: రేఖాఖండాలను కొలువడానికి, నిర్మించడానికి, విభాగిణి ఉపయోగించడం వల్ల స్కేలుతో వచ్చే పారలాక్స్ దోషాన్ని నివారించవచ్చు.
-వృత్తలేఖిని: వృత్తాలు, వృత్తఖండాలు నిర్మించడం.
-అంతరాళం: భూమి, ఆకాశాల మధ్యభాగం, అంతరాళంలోని వస్తువులకు పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తు ఉంటాయి.
రేఖాగణితం-భారతీయ శాస్త్రవేత్తల కృషి
-వేద కాలంలో భారతదేశంలో రేఖాగణితం యజ్ఞయాగాదులకు ఉపయోగించారు. క్రీ.పూ. 3000 నుంచి అధ్యయన యోగ్యమైన శాస్త్రంగా రేఖాగణితం పరిగణను పొందింది.
-వేదాంగాలలో ఒక భాగం కల్పం. ఈ సూత్రాలను కల్ప సూత్రాలు అంటారు.
-బౌద్ధయాన, అపస్తంభ, కాత్యాయన మొదలైన ప్రాచీన భారతీయ శాస్త్రవేత్తలు సులభసూత్రాల కర్తలుగా ప్రసిద్ధిచెందారు. సులభసూత్రాలు అంటే యజ్ఞవాటికలు, దేవాలయాలు నిర్మించడానికి అవసరమైన రేఖాగణిత శ్లోకాలు.
-బౌద్ధయానుడు తన బౌద్ధయాన సులభసూత్రాల్లో పైథాగరస్ త్రికముల గురించి చర్చించారు.
-పైథాగరస్ కంటే ముందే బౌద్ధయానుడు పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని చెప్పినప్పటికీ దానికి లాక్షణికమైన ఉపపత్తి ఇవ్వకపోవడంతో ఆ కీర్తి పైథాగరస్‌కు దక్కింది. పైథాగరస్ సిద్ధాంతానికి క్రీ.శ. 1150లో భాస్కరాచార్య-2 లాక్షణిక ఉపపత్తి ఇచ్చాడు. ఈయన భారతదేశంలో లంబకోణ సిద్ధాంతానికి కూడా లాక్షణిక ఉపపత్తి ఇచ్చాడు.
-ఆర్యభట్టు, బ్రహ్మగుప్తుడు, మహావీర, శ్రీధరాచార్యుడు, నారాయణ పండితుడు, మునీశ్వరుడు, భాస్కరాచార్య-2 మొదలైన భారతీయులు రేఖాగణిత అభివృద్ధికి కృషిచేశారు.
jyaamiteeya moolaalu |-Nipuna Educational Magazine
jyaamiteeya moolaalu
Wed,January 10, 2018 12:10 AM
-jyaamiteeya leda rekhaaganitaanni aanglamlo jametry antaaru. jametry ane aangla padam jio, metran ane rendu greeku padaalanunchi sangrahinchabadinadi.
-jio ante bhoomi, metran ante kolavadam.
-jametry ante bhoomini koliche saastram. manavudu bhoomi ni koliche avasaraanni batti jyaamiteeya saastram abhivruddhichendinatlu artham avutundi.
-anirvachaneeya padaalu, nirvachaneeya padaalu, sweekrutaalu, siddhaantaalatoe kuudina ganitasastra vibhaganne rekhaganitam antaaru.
-praacheena jyaamiteeya avasheshaalanu sindhu naagarikata, babilonia naagarikata prajaajeevanamlo gurtinchavacchu. endukante veeriki adhikakona tribhujaala gurinchi telusu.
-kristupurvam 2500 praantamlo sindhu naagarikata prajalaku rekhaganitam gurinchi telusu anadaaniki saakshyamgaa harappa, mohanjodaro tavvakaallo vruttaanni nirminche saadhanam okati labhinchindi.
-bhakshyali ane raata pratilo aneka jyaamiteeya samasyala prastaavanatopaatu akramakara vastuvula ghanaparimaanaalaku sambandhinchina samasyalu unnaayi.
-eejiptulooni piramidlu, eefil tower, chainaval, bhaaratadesamlooni prasiddhapuraatana devalayalu rekhaganita anuvartanaalugaa cheppavachhu.
-cree.poo. 8va sataabdamnaati bouddhayaanudu sankalanam chesina atyanta prasiddhamaina bouddhayaana sulabha suutraalaloo paithagaras trikamulaina (3, 4, 5), (5, 12, 13) modalaina vaatini, deerghachaturasra bhujalu karnaalanu paithagaras siddhaantaanni aapaadinchadaanni gamaninchavachhu. paithaagarasnu thales shishyunigaa bhaavistaaru.
-greeku ganita saastravetta ayina thalesnu nigamana niruupana paddhatiki adhyakshudigaa bhaavistaaru.
-cree.poo. 325-265 kaalamlo eejiptulooni alegjandriaku chendina ucklid dhi eliments ane grandhaanni raasaaru. ee grandham 13 pustakaala sankalanam. indulo unna vishayaalanninti krushi uclidentho paatu thales, paithagaras modalainavaariki kuudaa chendutundi.
-uclidenu rekhaganita pitamahudu ani pilustaaru.
-dhi eliments grandhamlooni 1va pustakamlo ucklid 23 nirvachanaala jaabitaanu ponduparichaadu. andulo konni
1. binduvu ante etuvanti bhaagaalu lenidi.
2. rekha ante vedalpuleni podavu.
3. oka rekha antyaalu binduvulu.
4. oka saralarekha ante binduvulanu tulyamgaa leda samangaa kaligi unna rekha.
5. oka talam ante podavu, vedalpulanu matrame kaligi unnadi. talam anchulu rekhalu.
6. oka talam ante hechu, taggulu lekunda tulyamgaa daanipai saralarekhanu kaligi unnadi.
-chainaaku chendina mohi tatvavetta binduvunu oka rekhanu vibhajinchukuntupothe chivaraku migilina avibhajya bhaagaanni binduvu antaaru.
-prakrutilo anirvachita, nirvachita ane rendu rakala vastuvulu unnaayi. avi..
anirvachita vastuvulu
-elanti nirvachanam avasaramlekunda arthamayye bhaavanalu.
udaa: poovu, raayi, suuryudu, binduvu modalainavi.
nirvachita vastuvulu
-anirvachita vastuvula adhaaramgaa nirvachimpabadevi.
udaa: danda, konda, rekhakhandam, konam, kiranam, tribhujam, chaturbhujam modalainavi.
sweekrutaalu
-swayamsiddha satyavaakyaalanu sweekrutaalu antaaru. sweekrutaalaku niroopanalu undavu.
-sweekrutaalu rekhaganita nirmaanaaniki punaadiraallu.
saamaanya bhavana
-oka nirdesita ganita vyavasthalo sandarbhaanusaaram swayamnirdesita satyapravachanaalanu saamaanya bhaavanalu antaaru.
udaa: mottam andulooni bhagam kanna ellappuduu peddade.
-saamaanya bhavana ane padaanni ucklid jyaamiteeyaloone kaaka mottam ganitamlo upayoginchaadu. cony sweekrutam ane padaanni jyaamiteeyaki matrame parichayam cheshaadu.
-prastutam ee bhaavanalanu sweekrutaalugaane sweekaristunnaaru.
ucklid saamaanya bhaavanalu
-oke raasi samaanamaina raasulu okadaanikokati samaanaalu.
-oka daanitho okati ekibhavinche vastuvulu parasparam samanam.
-samaana raasullo sagaalu samanam.
ucklid modati aidu sweekrutaalu
1. oka binduvu nunchi maroka binduvuku oka saralarekha geeyavachhu.
2. saralarekhanu avichchinnamgaa podiginchavacchu.
3. oka binduvu kendramgaa sthira vyaasaarthamtho oke oka vruttam geeyavachhu.
4. anni lambakonalu samanam.
5. datta saralarekhalo lenatti oka binduvugunda aa saralarekhaku oke oka samantara rekha geeyavachhu.
ucklid samantara sweekrutam
-datta saralarekhapai lenatuvanti oka binduvugunda daaniki oke oka samantara rekhanu geeyavachhu.
-ucklid samantara sweekrutaanni jan play fair kuudaa telipaadu. kabatti play fair sweekrutam anikuda antaaru.
tribhujamloni moodu konaala mottam ellappuduu sthiramgaa untundi. idhi rendu lambakonalaku samanam - legender
rendu rekhala madhya dooram samaanamgaa undetatlu avi talam antataa vistaristaayi - plasidominas
oka jatha samantara rekhalalo okadaanini edaina saralarekha khandinchina, adhi samantara rekhalalo rendavadaanini kuudaa khandistundi - proclus
naalugu leda antakanna peddadaina prati sarisankhyanu kuudaa rendu pradhaana sankhyala mottamgaa rayavachu - goldemback
ucklid siddhaantaallo konni
1. A, B, Clu oke saralarekhapai gala binduvulu.
B A, Cla madhya unte AC-AB=BC avutundi.
2. ichina e rekhakhandampai ayina samabahu tribhujaanni nirminchavacchu.
3. rendu ververu rekhalu okati kanna ekkuva sankhyalo ummadi binduvulanu kaligi undavu. ee dharmam saralarekhalaku matrame.
-ucklid aidava sweekrutam badulu vere sweekrutaalu pratikshepiste adhi yooklidetara jyaamiteeya. ee bhavananu grahinchina vaaru carle fedrick gas, baala.
-niroopanalanu kaliginadi.
-sweekrutaaniki niruupana raste adhi siddhaantamgaa roopaantaram chendutundi.
-siddhaantamlooni mukhyamaina ghattalu.
1. saamaanya vivarana
2. patam
-dattaamsa samaachaaraanni upayoginchi nirminchina pataanni chittu patam antaaru.
3. dattaamsam
siddhaanta niroopanaku ivvabadina samaachaaraanni dattaamsam antaaru.
4. saaraamsam
5. nirmaanam
-chittu patamlooni amsaalu siddhaanta niroopanaku saripoka poyina avasaraartham rekhalanu, konaalanu adanamgaa cheyadaanne nirmaanam antaaru.
6. upapatti
-niroopinchaalsina vishayaanni upapatti antaaru.
-siddhaantaanni niroopinchadaaniki prapanchavyaaptamgaa enno paddhatulu unnappatikii andaruu anusaristunna paddhatulu..
pratyaksha niruupana paddhati
-ichina dattaamsa samaachaaraanni viniyoginchukuni upapattilooni amsaanni niroopinchadaanni pratyaksha niruupana paddha thi antaaru. dattaamsam nunchi saaraamsaanni niroopistaam.
udaa: oka besi sankhya vargam kuudaa besisankhya avutundi.
dattaamsam: besi sankhya saadhaarana roopam 2n+1
upapatti: (2n+1)2 kuudaa besi sankhya.
niruupana:u(2n+1)2 =4n2+4n+1
=2(2n2+2n)+1 = 2k+1
2k+1 kuudaa besi sankhya avutundi.
paroksha niruupana paddhati
-saaraamsaanni tappu anukovadam dwara upapattilo dattaamsaaniki viruddhamaina amsam vastundi. tadwara saaraamsamae nijamani niroopistaam.
udaa: oka jatha ekantara konaalu samaanamaithe aa saralarekhalu samaantaraalu.
pratyudaaharana paddhati
-ichina asatya pravachanam asatyam ani cheppi oka udaaharanato samarthinchadam.
udaa-1:
-3thoo bhaginchabade sankhyalanni 9 chee bhaaginchabadataayi.
-asatyam endukante 12, 3thoo bhaaginchabadutundi. cony 9thoo bhaginchabadadu.
-pradhaana sankhyalanni besi sankhyale.
-2 pradhaana sankhya, kaani besi sankhyakaadu.
lambadura siddhaantam
-datta saralarekhapai lenatti oka binduvugunda daaniki geeyabade rekhalannintilo lambaduram mikkili chinnadi.
jyaamiteeya pette
-jyaamiteeya petteloni vividha parikaraalu vaati upayogaalu.
skelu
-rekhaakhandaalanu koluvadaaniki, nirminchadaaniki
-konamaanini: konaalanu koluvadaaniki, nirminchadaaniki
-konamanipai 180 samabhaagaalu gurtinchi untaayi. okkokka bhagam okkokka digreeki samanam. manam koliche konaalu kudi leda edamukham kaligi untaayi. anduvalla konamaaninipai kudi nunchi edamaku 0-180 degreelu edama nunchi kudiki 0-180 degreelu gurtinchi untaayi.
-moolamattaalu: samantara, lambarekhalu nirminchadam.
-vibhagini: rekhaakhandaalanu koluvadaaniki, nirminchadaaniki, vibhagini upayoginchadam valla skelutho vache paralax doshanni nivaarinchavacchu.
-vruttalekhini: vruttaalu, vruttakhandaalu nirminchadam.
-antaraalam: bhoomi, aakaasaala madhyabhaagam, antaraalamlooni vastuvulaku podavu, vedalpu, ettu untaayi.
rekhaganitam-bhaarateeya saastravettala krushi
-vedha kaalamlo bhaaratadesamlo rekhaganitam yagnayaagaadulaku upayoginchaaru. cree.poo. 3000 nunchi adhyayana yogyamaina saastramgaa rekhaganitam parigananu pondindi.
-vedaamgaalalo oka bhagam kalpam. ee suutraalanu kalpa suutraalu antaaru.
-bouddhayaana, apastambha, kaatyaayana modalaina praacheena bhaarateeya saastravettalu sulabhasuutraala kartalugaa prasiddhichendaaru. sulabhasuutraalu ante yagnavaatikalu, devalayalu nirminchadaaniki avasaramaina rekhaganita shlokaalu.
-bouddhayaanudu tana bouddhayaana sulabhasuutraallo paithagaras trikamula gurinchi charchinchaaru.
-paithagaras kante munde bouddhayaanudu paithagaras siddhaantaanni cheppinappatiki daaniki laakshanikamaina upapatti ivvakapovadamto aa keerti paithaagaraseku dakkindi. paithagaras siddhaantaaniki cree.sha. 1150loo bhaskaracharya-2 laakshanika upapatti ichadu. eeyana bhaaratadesamlo lambakona siddhaantaaniki kuudaa laakshanika upapatti ichadu.
-aaryabhattu, brahmaguptudu, mahavira, sridharaachaaryudu, narayana panditudu, muneeshwarudu, bhaskaracharya-2 modalaina bhaaratheeyulu rekhaganita abhivruddhiki krushichaesaaru.