Systemet kommer mellan dessa två. input går in i systemet, sedan ändras och sedan går ut som önskad utgång. Ett system är byggt för att skapa en sådan önskad förändring för utmatningen. Inmatning går in i den som en pil och utmatning kommer ut ur den som en pil.   Vad systemet än gör med inmatningen kallas systemfunktionen.    Innan du utför den funktionen ett system gör alltid en av de tre sakerna till sin ingång, Denna Root Locus kallas 180° Root Locus. Det minskar helt enkelt den inputen. I detta fall säger vi att förstärkningskoefficienten är mindre än en (0 < K < 1). Det är bara att hålla det till samma värde. I detta fall säger vi att förstärkningskoefficienten är lika med en (K = 1). Bara öka det. I detta fall säger vi att förstärkningskoefficienten är större än en (K > 1).   Innan du utför den funktionen ett system kan göra inmatningen inverterad, upp-och-ner, och efter att det alltid gör en av de tre sakerna till sin ingång, Denna Root Locus kallas 0° Root Locus. Minskar helt enkelt den inverterade inmatningen. I detta fall säger vi att förstärkningskoefficienten är större än minus en ( – 1 < K < 0). Det är bara att hålla det till samma värde. I detta fall säger vi att förstärkningskoefficienten är lika med minus ett (K = – 1). Det ökar helt enkelt. I detta fall säger vi att förstärkningskoefficienten är mindre än minus en (K < – 1).   K kallas vinst av systemet. Ett system med feedback har en väg från utdata till indata och delta och dela något från utdata till indata.    Förhållandet mellan utdata och indata beskrivs som multiplikationen av indata X(s) av systemfunktionen G(s) för att resultera i utdata Y(s). Det vill säga, Y(s) = G(s)X(s).  Observera att inuti korset (X) finns ett plus (+) tecken för inmatningen och ett minus (–) tecken för feedback.Utmatning kommer och genom en feedback väg går att ändra inmatningen. När utdata Y(s) kommer ut ur återkopplingen blir det Y(s) gånger H(s) (dvs. Y(s)H(s)) och subtraheras från indata X(s). Därför, faktiskt X(s) –Y(s)H(s) går in i systemet. X(s) –Y(s)H(s) går in i systemet och multipliceras med systemfunktionen och kommer ut som (X(s) –Y(s)H(s))G(s). Därför är utdata Y(s) faktiskt, Y(s) = (X(s) –Y(s)H(s))G(s) Överföringsfunktion som i ekvation 2 är känd som den slutna Loop överföringsfunktionen.  Produkt G(s)H(s) i ekvation 2 är känd som Open Loop Transfer-funktionen. Denna ekvation kallas den karakteristiska ekvationen i systemet. Till exempel H(s) = n(s) / d(s).       Ofta i återkopplingsloopen är feedbackfunktionen enhet; det vill säga H(s) = 1.  Det är bättre att separera vinsten av systemet som ett självständigt block. Det är riktigt att nu är detta G (s) inte samma som tidigare G (s) som dess vinst K har tagits bort från det, men det är praktiskt fortfarande att använda samma notation för det, som om vi hade ett K block och ett G (s) block från början.  Du vill veta när den här nämnaren blir noll, eller närmar sig noll när systemet vinner, K, när en parameter ändras. Du är intresserad av att inspektera 1 + KG = 0. Eller G(s) = – 1 / K. Antag K > 0 och sedan räkna ut med symmetri vad som händer om K < 0. För en omfattande förståelse bör även det triviala fallet K = 0 också diskuteras. Lägg därför märke till att  på G(s) ska = 1 / K och /G(s) = 180°q; där, q är ett udda heltal. Denna symbol /____ visar vinkeln för en komplex funktion. Därför är detta ett hinder för att rita Root Locus. Hur som helst, för nu, antas det att en sådan faktorisering är känd. Således, för en polynom av grad n vi har n komplexa rötter ri Den karakteristiska ekvationen vänder sig till s + K = 0. Byta K från 0 uppåt förändringar s från 0 till – ❌ nedåt. Från gymnasiet hade du frågor som att bestämma en parameter β sådan att en kvadratisk ekvation x2 + x + β = 0 har två lika rötter; sådana eller liknande frågor. Det var ett grundläggande Root Locus problem parametriserat med β. Du visste att du skulle beräkna diskriminant och sätta det lika med noll för att uppfylla det föreskrivna villkoret : Δ = 1 - 4β = 0 och därmed β = 1 / 4. I stället för diskriminerande kommer den karakteristiska funktionen att undersökas; det vill säga 1 + K (1 / s + 1) = 0. En manipulering av denna ekvation avslutar till s2 + s + K = 0.  Du har två riktiga rötter s = 0 och s = – 1, eftersom den karakteristiska ekvationen är s2 + s = 0. Du har fortfarande två riktiga rötter, tills K = 1 / 4, där två rötter kommer att vara lika; det är s1 = s2 = – 1 / 2. Diskriminant blir negativt. Ni har två imaginära rötter som konjugerar till varandra. Men det verkliga värdet av båda rötterna förblir detsamma och lika med – 1 / 2. Att öka K har ingen som helst effekt på detta; endast imaginära delar kommer att bli större. Root Locus är ritad i tunga linjer.   Det finns två rötter för detta kvadratiska polynom och definitivt de förenas i en punkt på den verkliga linjen för vissa värdet av parameter K som gör diskriminerande lika med noll och skapar en upprepad rot. Den del av den verkliga linjen mellan dessa två rötter är en del av Root Locus Denna punkt kallas σ-punkt eller förgrening punkt av asymptotes av Root Locus. Upp till det här värdet av K-systemspjäll utan översöka-undersöka (skakar inte innan du slutar). Vid K = 1 / 4 systemfuktar kritiskt. Efter det ökar ökningen av K bara den imaginära delen av de skapade konjugatrötterna. Det gör förgreningen av rotlokus vinkelrät mot den verkliga linjen. Teoretiskt, hela denna linje systemet fuktas men med skakningar. Praktiskt taget kan en ökad vinst göra systemet instabilt. Tremors kan bli så ihållande att utlösa oönskade frekvenser i systemet som i sin tur upprycka systemet bortom dess materiella styrka. Små sprickor når till exempel till katastrofala punkter eller dynamisk trötthet löser det. Alltid designers utforma för att förhindra obegränsad ökning av K. Varje godtycklig punkt i det komplexa planet kan visas av en vektor, som har en längd och en vinkel med avseende på den verkliga linjen.   – r är roten till s + r = 0 s sägs vara testpunkten för utvärdering – r. Alla val av s över den verkliga linjen kallas en real-line utvärdering av – r. På den verkliga linjen är du begränsad i intervallerna. En integral har bara två slutpunkter som ska utvärderas. På det komplexa planet kan man inte ströva omkring överallt. Däremot måste du välja en region för att begränsa dina utvärderingar. Även det är för mycket. Du begränsar dina utvärderingar endast för att göras på en viss kurva eller vissa (vanligtvis enkla) vägar. Det är en vektor från spetsen av s1 till spetsen av r. Fråga vilken del av den verkliga linjen faller på roten locus när vinsten k varierar från noll till plus oändlighet.   Välj någon punkt på den verkliga linjen om antalet riktiga rötter (nollor och poler) på höger sida av roten är ett udda tal (1, 3, 5,...) då den delen av den verkliga linjen är också på Root Locus.     I den enkla Integrator alla punkter på den negativa delen av den verkliga linjen har bara en rot på höger sida. Därför är alla negativa verkliga linjen på Root Locus. I motorstyrsystemet har endast de punkter på den verkliga linjen mellan s = 0 och s = – 1 udda antal rötter på höger sida. Därför är endast delen mellan s = 0 och s = – 1 på Root Locus. Ta bort vinst K var det än är, som en separat parameter och skriv den karakteristiska ekvationen som 1 + K F(s) = 0, där F(s) är en rationell funktion; det vill säga F(s) = N(s) / D(s). Både N(s) och D(s) är polynom.    Rötter av N(s), dvs. nollor av F(s) är polynom av grad m. Rötter av D(s), dvs. poler av F(s) är polynom av grad n. Karakteristisk funktion för den enkla Integrator är 1 + K / s = 0.  F(s) = 1 / s. Karakteristisk funktion för motorstyrsystemet är 1 + K / s (1 + s) = 0.  F(s) = 1 / s (1 + s). I ett lämpligt system m < n. antalet nollor är strikt mindre än antalet poler. Det vill säga, systemet sparkar inte tillbaka eller tolererar oändliga övergångar. Filialer är stigar som rötterna till den karakteristiska funktionen skapar när värdet på vinsten K varierar från noll till oändligheten. Varje värde av K ger en ny karakteristisk funktion med olika rötter.  Om du vill sätta olika K-värden i den karakteristiska ekvationen och lösa polynom för att få rötterna antingen måste du använda en dator eller använda grafiska metoder som Root Locus för att skissa lösningarna.
Vet att det enklaste systemet har en ingång och en utgång. Visa ett system genom en ruta. Kom ihåg att ett system utan återkoppling i teknisk notation är som det som visas i bilden. Manipulera det sista resultatet för att få (se bilden ovan) Visa, sedan, med samma formella noteringar vidare. Manipulera det sista resultatet för att få (se bilden ovan) Observera att förhållandet Y(s) / X(s), oavsett vad det är, kallas överföringsfunktionen. Tänk på att du kan ha en ekvation, 1 + H(s)G(s) = 0. Kom också ihåg att en komplex rationell funktion är förhållandet mellan två komplexa polynom. Jämför förhållandet Y(s) / X(s) i två system utan återkoppling och med feedback för att se vad som är effekten av feedback i ett system. Gör en enkel beräkning för att övertyga dig om att feedback-funktionen kan klumpas in i inmatningen innan jämförelsepunkten. Lägg märke till den enkla feedbacken. Skriv ekvation 2, sedan som (se bilden ovan) Separat vinst K. Skriv sedan ekvation 3 som (se bilden ovan) Observera att nämnaren bestämmer stabiliteten i systemet. Beräkna storlek (modul) och vinkel (argument) av G(s). Kom ihåg att G (s) är en rationell funktion; det vill säga, lika med ett polynom dividerat med ett polynom båda i samma variabel s. Observera att det i allmänhet är inte lätt att hitta rötter av ett polynom av grad större än tre eller fyra och skriva ut det i dess rötter faktorer, som det görs i ekvation 5. Börja från det enklaste systemet. Kom ihåg. Lös en liknande Root Locus för styrsystemet som visas i återkopplingsloopen här. Ställ frågor om K. Börja från K = 0. Öka K > 1 / 4. Vet innebörden av saker som händer i komplexa plan. Observera att det komplexa planet inte är som den verkliga linjen. Utvärdera godtyckliga testpunkter s1 med avseende på roten av polynom s + 2 = 0. Anta att du har ett visst antal av de verkliga rötterna på den verkliga linjen. Kom ihåg att den karakteristiska funktionen för den allmänna återkopplingsslingan var 1 + G(s)H(s) = 0. Känner igen ett lämpligt system. Vet vad grenar betyder.