Om du börjar med ett initialt belopp A0 {\displaystyle A_ {0}} som växer exponentiellt, beskrivs det slutliga beloppet Af{\displaystyle A_ {f} med formeln Af=A0(1+r)t {\displaystyle A_{f}=A_{0}(1+r)^{t}}. Variabeln r representerar tillväxthastigheten per tidsperiod (som decimal), och t är antalet tidsperioder.  För att förstå denna formel kan du föreställa dig en investering på 100 dollar med en årlig ränta på 0,02 euro. Varje gång du beräknar tillväxten multiplicerar du mängden du har med 1,02. Efter ett år, det är ($100(1,02), efter två år som är ($100(1,02)) (1,02), och så vidare. Detta förenklar till (1,02) t\\displaystyle (1,02)^{t}}, där t är antalet tidsperioder. Anmärkning: Om r och t inte använder samma tidsenhet, använd formeln Af=A0(1+rn)nt {\displaystyle A_{f}=A_{0}(1+{\frac {r}})^{nt}}, där n är antalet gånger tillväxten beräknas per tidsperiod. Om t.ex. r = 0,05 per månad och t = 4 år, använd n = 12, eftersom det är tolv månader per år. I de flesta verkliga situationer växer en kvantitet "kontinuerligt" i stället för att bara öka med jämna mellanrum. I detta fall är tillväxtformeln Af=A0(e)rt{\displaystyle A_{f}=A_{0}(e)^{rt}, med hjälp av den matematiska konstanten e. Denna formel används ofta för att approximera befolkningstillväxten, och alltid vid beräkning av kontinuerligt sammansatt ränta. I situationer där tillväxten beräknas med jämna mellanrum, t.ex. årligen sammansatt ränta, är formeln ovan mer exakt. Du kan härleda detta från formeln från ovan med hjälp av kalkylkoncept. När populationen fördubblas kommer det slutliga beloppet Af{\displaystyle A_ {f}} att vara dubbelt så stort som det ursprungliga beloppet, eller 2A0 {\displaystyle 2A_ {0}}. Lägg in detta i formeln och ta bort alla A-termer med algebra: 2A0=A0(e)rt{\displaystyle 2A_{0}=A_{0}(e)^{rt} Dela båda sidor med A0{\displaystyle A_{0} 2=ert{\displaystyle 2=e^{rt}} Om du inte har lärt dig om logaritmer ännu, kanske du inte vet hur man får ut t ur exponenten. Termen logm(n) {\displaystyle log_ {m} (n)} betyder "exponenten m höjs genom att få n." Eftersom konstant e kommer upp så ofta i verkliga situationer, finns det en speciell term "naturlig logg", förkortad "ln", som betyder loge {\displaystyle log_{e}}. Använd detta för att isolera t på ena sidan av ekvationen: 2=ert{\displaystyle 2=e^{rt}} ln(2)=ln(ert) {\displaystyle ln(2)=ln(e^{rt}}} ln(2)=rt{\displaystyle ln(2)=rt} ln(2)r=t{\displaystyle [infrac {ln(2)}}}=t} Nu kan du lösa för t genom att ange decimaltillväxthastigheten r i denna formel. Observera att ln(2) är ungefär lika med 0,69. När du konverterar tillväxthastigheten från decimal till procentform, kan du runda detta värde för att få "regeln 70" formel. Nu när du känner till denna formel, kan du justera den för att lösa liknande problem. Till exempel, hitta "tripling time" med formeln ttriple=ln(3)r\displaystyle t_{triple}={\frac {ln(3)} {r}}.
Förstå den exponentiella tillväxthastighetsformeln. Skriv om denna formel för kontinuerlig tillväxt. Plugga i värden för en fördubblad population. Omarbeta för att lösa för t. Plug i tillväxthastighet och lösa.