För att börja hitta inversen måste du börja med ekvationen i formatet f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Vid behov kan du behöva kombinera liknande termer för att få ekvationen i detta format. Med ekvationen skriven på detta sätt, kan du börja berätta lite information om det. Det första att lägga märke till är värdet på koefficienten a. Om a>0, definierar ekvationen en parabel vars ändar pekar uppåt. Om en < 0 definierar ekvationen en parabel vars slutpunkt pekar nedåt. Lägg märke till det. Om det gjorde det, då skulle detta vara en linjär funktion och inte kvadratisk. Innan du kan hitta den omvända funktionen måste du skriva om din ekvation till standardformatet. Standardformatet för alla kvadratiska funktioner är f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}. De numeriska termerna a, h och k kommer att utvecklas när du omvandlar ekvationen genom en process som kallas slutföra kvadraten. Observera att det här standardformatet består av en perfekt fyrkantig term, (x−h)2{\displaystyle (x-h)^{2}}, som sedan justeras av de andra två elementen a och k. För att komma till denna perfekta fyrkantiga form, måste du skapa vissa villkor i din fyrkantiga ekvation. Kom ihåg att en kvadratisk funktion som är en perfekt kvadrat har sitt ursprung i två binomialer (x+b)(x+b) {\displaystyle (x+b)(x+b)} eller (x+b)2 {\displaystyle (x+b)^{2}}. När du utför denna multiplikation, får du ett resultat av x2+2bx+b2 {\displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}}. Således, den första termen av kvadratiska är den första termen av binomial, kvadrat, och den sista termen av kvadratiska är kvadraten av den andra termen av binomial. Den medellånga perioden består av 2 gånger produkten av de två termerna, i detta fall 2 till x till b {\ displaystyle 2 * x * b}. För att slutföra torget, kommer du att arbeta i omvänd. Du börjar med x2\\displaystyle x^{2}} och några andra x-term. Från koefficienten för den termen, som du kan definiera som 2b, måste du hitta b2 {\displaystyle b^{2}}. Detta kommer att kräva en kombination av att dividera med två och sedan mosa detta resultat. Kom ihåg den ursprungliga formen av den kvadratiska funktionen ax2+bx+c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}. Om den första koefficienten är något annat än 1, då måste du dividera alla termer med det värdet, att ställa in en=1.  Betrakta t.ex. den kvadratiska funktionen f(x)=2x2+6x−4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x-4}. Du måste förenkla detta genom att dividera alla termer med 2, för att ge den resulterande funktionen f(x)=2(x2+3x−2) {\displaystyle f(x)=2(x^{2}+3x-2)}. Koefficient 2 kommer att förbli utanför parenteserna och kommer att vara en del av din slutliga lösning. Om alla termer inte är multiplar av en, kommer du att hamna med fraktionerade koefficienter. Till exempel kommer funktionen f(x)=3x2-2x+6 {\displaystyle f(x)=3x^{2}-2x+6} att förenkla till f(x)=3(x2-2x3+2) {\displaystyle f(x)=3(x^{2}- {\frac {2x}}}+2}. Arbeta noggrant med bråken vid behov. Du har redan de två första termerna av den perfekta fyrkantiga kvadratiska. Dessa är termen x2{\displaystyle x^{2}} och vilken koefficient som än visas framför x-termen. Genom att ta den koefficienten för att vara vilket värde det än är, kommer du att lägga till eller subtrahera det tal som är nödvändigt för att skapa en perfekt fyrkantig kvadratisk. Kom ihåg från ovan att den nödvändiga tredje termen av kvadratiska är denna andra koefficient, dividerad med två, och sedan kvadrat.  Till exempel, om de två första termerna i din kvadratiska funktion är x2+3x {\displaystyle x^{2}+3x}, hittar du den nödvändiga tredje termen genom att dividera 3 med 2, vilket ger resultatet 3/2, och sedan squaring det, för att få 9/4. Den fyrkantiga x2+3x+9/4 {\displaystil x^{2}+3x+9/4} är en perfekt kvadrat. Som ett annat exempel, anta att dina första två termer är x2‐4x {\displaystyle x^{2}-4x}. Hälften av medellång sikt är -2, och sedan du fyrkant det för att få 4. Den resulterande perfekta kvadrat-quadratic är x2−4x+4{\displaystyle x^{2}-4x+4}. Detta är ett knepigt koncept, men det fungerar. Genom att både lägga till och subtrahera samma tal på olika platser av din funktion, gör du verkligen ingen förändring av värdet på funktionen. Men att göra detta gör att du kan få din funktion i rätt format. Antag att du har funktionen f(x)=x2-4x+9\displaystil f(x)=x^{2}-4x+9}. Som nämnts ovan kommer du att använda de två första termerna för att arbeta på att slutföra torget. Med hjälp av mittterminen -4x kommer du att generera en tredje termin på +4. Lägg till och subtrahera 4 till ekvationen, i formen f(x)=(x2−4x+4)+9−4{\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+9-4}. De parenteser placeras bara för att definiera den perfekta fyrkantiga kvadratiska som du skapar. Lägg märke till +4 inuti parentesen och -4 på utsidan. Förenkla talen för att ge resultatet av f(x)=(x2−4x+4)+5{\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}. Polynomet inuti parenteserna bör vara en perfekt fyrkantig kvadratisk, som du kan skriva om i form (x+b)2 {\displaystyle (x+b)^{2}}. I exemplet från föregående steg, f(x)=(x2-4x+4)+5 {\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}, de kvadratiska faktorerna in i (x−2)2{\displaystyle (x-2)^{2}}. Bär längs resten av ekvationen, så att din lösning blir f(x)=(x−2)2+5{\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}. Detta är samma funktion som din ursprungliga fyrhörning, f(x)=x2−4x+9{\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}, helt enkelt ändrad till standard f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} form. Lägg märke till att för denna funktion, a=1, h=2, och k=5. Värdet av att skriva ekvationen i denna form är att a, att vara positiv, berättar att parabolen pekar uppåt. Värdena på (h,k) berättar apexpunkten längst ner i parabolen, om du ville rita den. Domänen är den uppsättning x-värden som kan användas som inmatning i funktionen. Räckvidden är den uppsättning y-värden som kan bli resultatet. Kom ihåg att en parabol inte är en funktion med ett definerbart omvänt, eftersom det inte finns en en-till-en kartläggning av x-värden till y-värden, som ett resultat av symmetrin av parabolen. För att lösa detta problem, måste du definiera domänen som alla värden av x som är större än x=h, apex punkten i parabolen. Fortsätt att arbeta med provfunktionen f(x)=(x−2)2+5{\displaystil f(x)=(x-2)^{2}+5}. Eftersom detta är i standardformat, kan du identifiera apexpunkten som x=2, y=5. Således, för att undvika symmetrin, du kommer bara att arbeta med höger sida av grafen, och ställa in domänen som alla värden x och 2. Att infoga värdet x=2 i funktionen ger resultatet av y=5. Du kan se att värdena för y kommer att öka när x ökar. Därför intervallet för denna ekvation är y-5. Detta är steget där du börjar hitta den inverterade formen av ekvationen. Lämna ekvationen i sin helhet, förutom att byta dessa variabler. Fortsätt att arbeta med funktionen f(x)=(x−2)2+5{\displaystil f(x)=(x-2)^{2}+5}. Sätt x i stället för f(x), och infoga y (eller f(x), om du föredrar) i stället för x. Detta ger den nya funktionen x=(y-2)2+5 {\displaystyle x=(y-2)^ {2}+5}. Med hjälp av en kombination av algebraiska steg, och att vara noga med att utföra samma operation jämnt på båda sidor av ekvationen, måste du isolera y variabeln. För arbetsekvationen x=(y−2)2+5 {\displaystyle x=(y-2)^{2}+5}, kommer denna ändring att se ut som följande: x=(y−2)2+5 {\displaystyle x=(y-2)^{2}+5} (ursprunglig utgångspunkt) x−5=(y−2)2 {\displaystyle x-5=(y-2)^{2}} (subrakt 5 från båda sidor) ±x−5=y−2{\displaystyle [osqrt {x-5}}=y-2} (kvadratroten från båda sidor; kom ihåg att kvadratroten resulterar i både positiva och negativa möjliga svar) ±x−5+2=y{\displaystyle [squrt {x-5}}+2=y} (lägg till 2 till båda sidor) (lägg till 2 till båda sidor) Som du gjorde i början, granska den omvända ekvationen för att definiera dess domän och räckvidd. Med två möjliga lösningar väljer du den som har en domän och räckvidd som är inverser av den ursprungliga domänen och intervallet.  Undersök provekvationslösningen av ±x−5+2=y{\displaystilen (\qrt {x-5}}+2=y}. Eftersom kvadratrotsfunktionen inte definieras för några negativa värden, måste termen x−5{\displaystyle {x-5}} alltid vara positiv. Därför måste tillåtna värden för x (domänen) vara x och 5. Med hjälp av det som domän, de resulterande värdena för y (området) är antingen alla värden y och 2, om du tar den positiva lösningen av kvadratroten, eller y≤2 om du väljer den negativa lösningen av kvadratroten. Kom ihåg att du ursprungligen definierade domänen som x på 2, för att kunna hitta den inversa funktionen. Därför är den rätta lösningen för den omvända funktionen det positiva alternativet. Jämför inversens domän och räckvidd med originalets domän och räckvidd. Kom ihåg att för den ursprungliga funktionen definierades domänen som alla värden av x- 2 och intervallet definierades som alla värden y- 5. För den inversa funktionen, nu, dessa värden växla, och domänen är alla värden x och 5, och intervallet är alla värden av y och 2. För att se till att ditt arbete är korrekt och ditt omvänt är rätt ekvation, välj vilket värde som helst för x och placera det i den ursprungliga ekvationen för att hitta y. Sedan, sätta det värdet av y i stället för x i din omvänd ekvation, och se om du genererar det nummer som du började med. I så fall är din inversa funktion korrekt.  Som ett prov, välj värdet x=3 som ska placeras i den ursprungliga ekvationen f(x)=x2−4x+9{\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}. Detta ger resultatet y=6. Därefter placerar du värdet 6 i inversfunktionen x−5+2=y{\displaystyle (\qrt {x-5}}+2=y}. Detta ger resultatet av y=3, vilket är numret du började med. Du kan dra slutsatsen att din inversa funktion är korrekt.
Ställ in den kvadratiska ekvationen i rätt form. Känna igen standardformatet för kvadratiska. Påminn dig formen av en perfekt fyrkantig kvadratisk funktion. Se till att koefficienten på x2\\displaystyle x^{2} är 1. Hitta hälften av den mellersta koefficienten och fyrkant den. Lägg till OCH subtrahera den behövliga tredje termen, samtidigt. Faktor den perfekta fyrkantiga kvadratiska. Definiera funktionens domän och räckvidd. Byt x- och y-värden. Skriv om den inverterade ekvationen i termer av y. Bestäm den inversa funktionens domän och räckvidd. Kontrollera att din inversa funktion fungerar.