Denna metod använder ett tals faktorer för att hitta ett tals kvadratrot (beroende på antalet, kan detta vara ett exakt numeriskt svar eller en nära uppskattning). Ett antal faktorer är alla uppsättningar av andra tal som multipliceras tillsammans för att göra det. Till exempel kan man säga att faktorerna 8 är 2 och 4 eftersom 2 × 4 = 8. Perfekta rutor, å andra sidan, är heltal som är produkten av andra heltal. Till exempel 25, 36 och 49 är perfekta kvadrater eftersom de är 52, 62 och 72, respektive. Perfekt kvadratfaktorer är, som du kan ha gissat, faktorer som också är perfekta kvadrater. För att börja hitta en kvadratrot via prime factorization, först, försök att minska ditt antal till dess perfekta kvadratfaktorer.  Låt oss använda ett exempel. Vi vill hitta kvadratroten av 400 för hand. Till att börja med skulle vi dela upp antalet i perfekta kvadratfaktorer. Eftersom 400 är en multipel av 100, vet vi att det är jämnt delbart med 25 - en perfekt kvadrat. Snabb mental söndring låter oss veta att 25 går in i 400 16 gånger. 16, av en slump, är också en perfekt kvadrat. De perfekta kvadratfaktorerna för 400 är alltså 25 och 16 eftersom 25 × 16 = 400. Vi skulle skriva detta som: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16) Produkten egenskap kvadratrötter anger att för varje givet nummer a och b, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). På grund av denna egenskap kan vi nu ta kvadratrötterna av våra perfekta kvadratfaktorer och multiplicera dem tillsammans för att få vårt svar. I vårt exempel skulle vi ta kvadratrötterna 25 och 16. Se nedan: Sqrt(25 × 16) Sqrt(25) × Sqrt(16) 5 × 4 = 20 I verkligheten, oftare än inte, kommer siffrorna du behöver hitta kvadratrötter för inte vara fina runda tal med uppenbara perfekta kvadratfaktorer som 400. I dessa fall kan det inte vara möjligt att hitta det exakta svaret som ett heltal. Istället, genom att hitta några perfekta kvadratfaktorer som du kan, kan du hitta svaret i termer av en mindre, enklare, enklare att hantera kvadratrot. För att göra detta, minska ditt antal till en kombination av perfekta kvadratfaktorer och icke-perfekta kvadratfaktorer, sedan förenkla. Låt oss använda kvadratroten från 147 som exempel. 147 är inte produkten av två perfekta kvadrater, så vi kan inte få ett exakt heltal värde som ovan. Men det är produkten av en perfekt kvadrat och en annan nummer - 49 och 3. Vi kan använda denna information för att skriva vårt svar i enklaste termer enligt följande: Sqrt(147) = Sqrt(49 × 3) = Sqrt(49) × Sqrt(3) = 7 × Sqrt(3) Med din kvadratrot i enklaste termer är det oftast ganska lätt att få en grov uppskattning av ett numeriskt svar genom att gissa värdet av eventuella återstående kvadratrötter och multiplicera genom. Ett sätt att vägleda dina uppskattningar är att hitta de perfekta rutorna på vardera sidan av antalet i din kvadratrot. Du vet att decimalvärdet av talet i din kvadratrot är någonstans mellan dessa två tal, så du kommer att kunna gissa mellan dem. Låt oss återgå till vårt exempel. Eftersom 22 = 4 och 12 = 1, vet vi att Sqrt(3) är mellan 1 och 2 - troligen närmare 2 än 1. Vi beräknar 1,7. 7 × 1,7 = 11,9 Om vi kontrollerar vårt arbete i en miniräknare, kan vi se att vi är ganska nära det faktiska svaret på 12.13. Detta fungerar också för större tal. Till exempel kan Sqrt(35) uppskattas till mellan 5 och 6 (troligen mycket nära 6). 52 = 25 och 62 = 36. 35 är mellan 25 och 36, så dess kvadratrot måste vara mellan 5 och 6. Eftersom 35 är bara en från 36, kan vi med tillförsikt säga att dess kvadratrot är bara lägre än 6. Att kolla med en miniräknare ger oss ett svar på ca 5.92 - vi hade rätt. Att hitta perfekta kvadratfaktorer är inte nödvändigt om du enkelt kan bestämma ett tals främsta faktorer (faktorer som också är primtal). Skriv ut ditt nummer i termer av dess lägsta gemensamma faktorer. Leta sedan efter matchande par av primtal bland dina faktorer. När du hittar två primtal som matchar, ta bort båda dessa tal från kvadratroten och placera en av dessa nummer utanför kvadratroten.  Som ett exempel, låt oss hitta kvadratroten av 45 med hjälp av denna metod. Vi vet att 45 = 9 × 5 och vi vet att 9 = 3 × 3. Således kan vi skriva vår kvadratrot i termer av dess faktorer som denna: Sqrt (3 × 3 × 5). Helt enkelt ta bort 3 s och lägga en 3 utanför kvadratroten för att få din kvadratrot i enklaste termer: (3)Sqrt(5). Härifrån är det enkelt att uppskatta. Som ett sista exempel på problem, låt oss försöka hitta kvadratroten från 88: Sqrt(88) = Sqrt(2 × 44) = Sqrt(2 × 4 × 11) = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). Vi har flera tvåor i vår kvadratrot. Eftersom 2 är ett primtal, kan vi ta bort ett par och sätta en utanför kvadratroten. = Vår kvadratrot i enklaste termer är (2) Sqrt(2 × 11) eller (2) Sqrt(2) Sqrt(11). Härifrån kan vi uppskatta Sqrt(2) och Sqrt(11) och hitta ett ungefärligt svar om vi vill.
Dela upp ditt antal i perfekta kvadratfaktorer. Ta kvadratrötterna av dina perfekta kvadratfaktorer. Minska ditt svar på enklaste termer, om ditt nummer inte faktor perfekt. Uppskattning, om nödvändigt. Reducera ditt antal till dess lägsta gemensamma faktorer som ett första steg.