Abstrakt. Vi visar att varje verklig icke-negativ polynom f kan approximeras så nära som önskas (i l 1 -norm av dess koefficient vektor) av en sekvens av polynomials {f } som är summor av kvadrater. Nyheten är att varje f har en enkel och explicit form i termer av f och. Nyckelord. Verklig algebraisk geometri; positiva polynom; summan av kvadrater; semidefinit programmering. AMS-ämnesklassificeringar. 12E05, 12Y05, 90C22 1. Inledning. Studiet av samband mellan icke-negativa och summor av kvadrater (s.o.s.) polynom, initierade av Hilbert, är av verklig praktisk betydelse med tanke på många potentiella tillämpningar, särskilt i polynomprogrammering. Att kontrollera om ett visst polynom är icke-negativt är faktiskt ett NP-hårdt problem, medan man kontrollerar om det är s.o.s. minskar till att lösa ett (konvex) semidefinit programmeringsproblem (SDP) för vilka effektiva algoritmer nu finns tillgängliga. (Till exempel är det känt att upp till en apriori fast precision, en SDP kan lösas i tid polynom i inmatningsstorleken på problemet.) Till exempel, senaste resultaten i verkliga algebraic geometri, främst av Schmüdgen So, tillbaka till en jämförelse mellan nonnegative och s.o.s. polynom, på den negativa sidan, Blekherman [4] har visat att om en grad > 2 är fast (och för ett stort fast antal variabler), då konen av icke-negativa polynom är mycket större än s.o.s. Men på den positiva sidan, ett täthet resultat [2] anger att konen i s.o.s. polynomer är täta i utrymmet för polynom som är icke-negativa på [−1, 1] n (för l 1 -norm f 1 = α  och f  och när f skrivs α f α x α i den vanliga kanoniska basen), se t.ex. Berg m.fl. [2, Theorem 9.1, s. 273]).
I REF anger Lasserre att en given icke-negativ polynom f kan approximeras med en sekvens (fε)ε av SOS polynom som ges av fε:
A sum of squares approximation of nonnegative polynomials
{'venue': 'SIAM J. Optim', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}