Vi anser att problemet med att begränsa komplexiteten i den femte nivån i en arran^ment av n curvra eller surfM«s, ett problem som är dubbelt till, och «rtending, den iirell-kända k-aet pmblem. (a) Vi granskar och förenklar några gamla proofe i ny förklädnad och ger nya proofis av bonnd 0(n%/k +1) för komplexiteten i fc-th nivå i en arran^ment av n linjer, (b) Vi härleder en förbättrad version av LovAsz Lcnuna i alla dimensioner, aad använda det för att bevisa en ny gräns, 0 (n*it'^*), på komplext av ft-th nivå i jui arrangemang av n plan i ]tf, eller på antalet fc-uppsättningar i en uppsättning n-pointe i tre dimensioner, c) Vi visar att komplexiteten i någon enskild nivå i ett arrangemang av n linje segment i plaoie är 0{w?'^), och att komplexiteten hos varje enskild nivå i ett arrangemang av n trianglar i 3-rymd är 0(n*^/*), genom ett par punkter av S och har exakt h punkter av S i ett av de öppna halvplan som de definierar? I en dubbel inställning är vi pven en uppsättning £ av n linjer i planet i ^neral läge, och vill boimd det maximala p <»sible antalet hörn v av arrangemanget AiC), sndi som ^actly k linjer passerar nedan ». Vi betecknar denna uppsättning hörn av F». (Strictly q>^ldng,  påfrestande är en något diffierent kvantitet än den som definieras ovan, eftersom det motsvarar den mmiber lin« passerar genom två av pven punkter och har exakt fc av de återstående punkterna hdom dem.) En något annorlunda variant av den dnal problemet är att definiera fe-tt fåel av arrangemanget, som cl <Kure av den uppsättning punkter som ligger på raderna och haw exakt k lin« under dem, och söka en gräns på antalet verticra av denna lewl. (Varje vertex av denna stängning kan ha antingen kotk-l linjer under den.) Se figur I för en illustration.
Till exempel Agarwal et al. REF ger gränser på antalet kanter och hörn som kan finnas i en kedja (såsom C k ) genom ett arrangemang.
On Levels in Arrangements of Lines, Segments, Planes, and Triangles%
{'venue': None, 'journal': 'Discrete & Computational Geometry', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}