I detta dokument anser vi att "foreach" sparse återhämtningsproblem med felsannolikhet p. Målet är att utforma en fördelning över m × N matriser 0 och en avkodningsalgoritm A sådan att för varje x  på R N, Vi har följande felgaranti med sannolikhet minst 1 - p där C är en konstant (idealt godtyckligt nära 1) och x k är den bästa k-sparse approximationen av x. En stor del av den sparsamma återvinnings- eller kompressiva avkänningslitteraturen har fokuserat på antingen p = 0 eller p =.(1). Vi inleder en studie av detta problem för hela skalan av felsannolikhet. Våra två huvudsakliga resultat är följande: 1. Vi bevisar en lägre gräns på m, antalet mätningar, av (k log(n/k) + log(1/p) för 2 Cohen, Dahmen och DeVore [5] visar att denna gräns är snäv. 2. Utgångspunkten är följande: Vi visar oss nästan matcha övre gränser för sublinjär tidsavkodning. Tidigare sådana resultat togs endast upp p =...(1). Våra resultat och tekniker leder till följande korollar: (i) den första sublinjära tidsavkodningen 1 / 1 "forall" sparsamt återvinningssystem som kräver en log γ N extra faktor (för vissa γ < 1) över det optimala O(k log(N/k)) antalet mätningar, och (ii) förlängningar av Gilbert et al. [7] Resultat för informationsteoretiskt avgränsade motståndare. Cohen, Dahmen och DeVore [6] visar en lägre gräns för "forall"-fallet (dvs. p = 0). Vår lägre bundna teknik är inspirerad av deras geometriska tillvägagångssätt, och skiljer sig därmed mycket från tidigare lägre bundna bevis med hjälp av kommunikation komplexitet. Vår teknik ger ett starkare resultat som håller för hela sortimentet av felsannolikhet p, samt ger ett enklare, mer intuitivt bevis på det ursprungliga resultatet av Cohen et al. För de övre gränserna tillhandahåller vi flera algoritmer som spänner över avvägningarna mellan antal mätningar och felsannolikhet. Dessa algoritmer inkluderar flera innovationer som kan vara till nytta i liknande tillämpningar. De omfattar en ny kombination av den rekursiva konstruktiva sparse återvinningstekniken för Porat och Strauss [22] och den effektivt decodable listan återvinningskoder. Dessa lista återvinningskoder fokuserar på ett annat spektrum av parametrar än de som beaktas i traditionell kodning teori. Våra bästa parametrar erhålls genom att överväga en kod som definieras av den algoritmiska versionen av Loomis-Whitney ojämlikhet på grund av Ngo, Porat, Ré och Rudra [20].
Nyligen, några av författarna till denna artikel har använt vår algoritmiska version av LW ojämlikhet för att utforma en ny sub-linjär tid decodable komprimerad sensing matriser REF.
L2/L2-foreach sparse recovery with low risk
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}