Vi visar varianter av spektral sparifiering rutiner kan bevara den totala spännvidd träd antal grafer, som genom Kirchhoffs matris-tree teorem, är likvärdig med determinant av en graf Laplacian mindre, eller motsvarande, av någon SDDM matris. Våra analyser använder denna combinatorial koppling till bro mellan statistiska hävstångspoäng / effektiva motstånd och analys av slumpmässiga grafer av [Janson, Combinatorics, Sannolikhet och Computing '94]. Detta leder till en rutin som i quadratic tid, sparifierar en graf ner till ca n 1.5 kanter på sätt som bevarar både determinant och fördelningen av spannträd (förutsatt att den sparsifierade grafen ses som ett slumpmässigt objekt). Att utöka denna algoritm till att fungera med Schur kompletterar och ungefärliga Cholesky factorizations leder till algoritmer för att räkna och provtagning spänner träd som är nästan optimala för täta grafer. Vi ger en algoritm som beräknar en (1±δ) approximation till bestämningsfaktorn för någon SDM-matris med konstant sannolikhet i cirka n 2 δ −2 tid. Detta är den första rutinen för grafer som överträffar allmänna rutiner för beräkning av bestämningsfaktorer för godtyckliga matriser. Vi ger också en algoritm som genererar i ungefär n 2 δ −2 tid en spänner träd av en viktad oriktad graf från en fördelning med total variation avstånd av δ från w -uniform distribution.
Vi noterar också att REF gav en algoritm som beräknar bestämningsfaktorn för en SDM-matris till en (1 ± )-terror i O(n 2 −2 ) tid.
Determinant-Preserving Sparsification of SDDM Matrices with Applications to Counting and Sampling Spanning Trees
{'venue': '2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS)', 'journal': '2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS)', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}