Ett systems dimension är en av de mest grundläggande storheterna för att karakterisera dess struktur och grundläggande fysiska egenskaper. Diffusion 1 och vibrationsexcitationer 2, till exempel, liksom de universella funktionerna i ett system nära en kritisk punkt beror avgörande på dess dimension 3, 4. Men i teorin om komplexa nätverk har begreppet dimension sällan diskuterats. Här studerar vi modeller för rumsligt inbäddade nätverk och visar hur deras dimension kan bestämmas. Våra resultat visar att nätverk som kännetecknas av en bred fördelning av länklängder har en dimension som är högre än den i inbäddningsutrymmet. Vi illustrerar våra resultat med hjälp av det globala flygbolagsnätet och Internet och hävdar att även om dessa nätverk är inbäddade i tvådimensionella utrymmen bör de betraktas som system med dimension nära 3 respektive 4.5. Vi visar att nätverksdimensionen är ett nyckelbegrepp för att förstå inte bara nätverkens topologi, utan även dynamiska processer på nätverk, såsom spridning och kritiska fenomen inklusive perkolering. Nätverken består av enheter (nodes) och deras anslutningar (länkar) 5. Vanligtvis är nätverk inbäddade antingen i två- eller tredimensionellt utrymme. Till exempel, flygbolag och Internet-nätverk, liksom vänskapsnätverk där noderna är hem för vänner, är inbäddade i den tvådimensionella ytan av jorden, medan det neuronala nätverket i hjärnan är inbäddad i en komplex tredimensionell struktur. Om i en d-dimensionell lattice, länkarna ansluter endast angränsande noder (i rymden), då dimensionen av nätverket är trivialt identisk med dimensionen av inbäddningsutrymmet. I de flesta fall är länkarna dock inte kort räckvidd, deras längdfördelning är bred, ansluter också avlägsna noder. Frågan vi ställer oss här är: Finns det en ändlig dimension som kännetecknar ett sådant rumsligt inbäddat nätverk och hur kan vi avgöra det? Kunskapen om dimension 6,7 är inte bara viktig för en strukturell karakterisering av nätverket, utan är också avgörande för att förstå nätverkets funktion, eftersom dimensionen styr de dynamiska processerna i nätverket. I nätverksteorin har ett näts dimension sällan beaktats. Forskning 8-13 har fokuserat på två typer av nätverk där länkarna mellan noderna är antingen kort räckvidd, ansluta endast närliggande noder (som en lattice), eller lång räckvidd, ansluta två noder med samma sannolikhet. I det korta fallet är nätverkets dimension d identisk med inbäddningsutrymmets dimension, medan inbäddningsutrymmet i det långa loppet är irrelevant och nätverket kan anses ha en oändlig dimension. Som en följd av detta, det genomsnittliga avståndet mellan två noder skalor med antalet noder N som N Många verkliga nätverk, dock inte faller i dessa kategorier, och längden på deras länkar kännetecknas av en bred makt lag fördelning. Till exempel, i ett mobiltelefonkommunikationsnätverk, sannolikheten P(r) att ha en vän på distans r sönderfaller som P(r)  och r −2 (ref. 20), och i det globala flygbolaget nätet, sannolikheten för att en flygplats har en länk (direktflygning) till en flygplats på avstånd r, förfaller som P(r)  och r −3 (ref. 21) (se figur 21) Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Kortdistans- och långdistansnät motsvarar per definition P(r). En grundläggande öppen fråga är om även rumsligt inbäddade nätverk med 0 < δ < ∞ kan karakteriseras av en dimension. Här visar vi hur dimensionen av dessa nätverk kan bestämmas och att den spelar en grundläggande roll, inte bara för att karakterisera strukturen, utan också för att bestämma de dynamiska egenskaperna på nätverket och dess beteende nära en kritisk punkt.
Begreppet dimension för ett nätverk har sedan varit föremål för ytterligare studier (se t.ex. REF ).
Dimension of spatially embedded networks
{'venue': None, 'journal': 'Nature Physics', 'mag_field_of_study': ['Physics']}