I detta dokument introduceras News Impact Curve för att mäta hur ny information införlivas i volatilitetsberäkningar. En mängd nya och befintliga ARCH modeller jämförs och uppskattas med dagliga japanska lager returdata för att bestämma formen av News Impact Curve. Nya diagnostiska tester presenteras som betonar asymmetrin i volatilitet svar på nyheter. En delvis icke-parametrisk ARCH-modell införs för att göra det möjligt för data att uppskatta denna form. En jämförelse av denna modell med de befintliga modellerna tyder på att de bästa modellerna är en av Glosten Jaganathan och Runkle (GJR) och Nelsons EGARCE. Liknande resultat håller på en pre--krasch provperiod men är mindre starka. Det är nu väl fastställt att volatiliteten är förutsägbar på de flesta finansmarknader. I en nyligen gjord undersökning av Bollerslev et al (1990) citerades över 200 artiklar som uppskattade eller undersökte ARCH eller alternativa modeller av tid varierande heterokedasticity. Med denna ökning i intresse och tillämpningar har det också vuxit en litteratur om alternativa modeller som är utformade för att låta olika egenskaper hos data återspeglas i modellen. Vissa av dessa är tätt parameteriska modeller medan andra är icke-parametriska i anden. I detta dokument föreslår vi ett nytt mått med vilket dessa volatilitetsmodeller kan jämföras. Vi diskuterar några av de alternativa modeller som provas och introducerar flera egna modeller som bör ligga till grund för många av de befintliga modellerna. Vi kommer också att föreslå flera nya diagnostiska tester för volatilitetsmodeller. I nästa avsnitt diskuterar vi flera modeller av förutsägbar volatilitet och introducerar idén om en News Impact Curve som kännetecknar effekterna av innovationer på volatilitet implicit i en volatilitetsmodell. I avsnitt III föreslår vi flera nya diagnostiska tester baserade på News Impact Curve. I avsnitt IV införs en delvis icke-parametrisk ARCH-modell. I avsnitt V presenteras och jämförs empiriska uppskattningar av flera volatilitetsmodeller med hjälp av en japansk aktieavkastningsserie. De nya diagnostiska testerna används för att kontrollera modellernas lämplighet. I avsnitt VI uppskattas den delvis icke-parametriska modellen och jämförs med de övriga, och i avsnitt VII omskattas de bästa modellerna på en provperiod före krasch. Avsnitt VIII avslutar dokumentet. Tydligen GARCH modellen är en oändlig ordning ARCH modell och ofta ger en mycket parsimonisk lag form. Empiriskt har dessa modeller varit mycket framgångsrika med GARCH(1.1) den allmänna favoriten i de allra flesta fall. Dessutom visar dessa tillämpningar vanligtvis att det finns en långsiktig varaktighet i effekterna av chocker i period t på den villkorliga volatiliteten i period t + s för stora s. Det vill säga, det verkar vanligtvis finnas en enhet rot i den autoregressiva polynom som är associerad med (2) eller (3). Trots den uppenbara framgången med dessa enkla parametriseringar finns det vissa egenskaper hos de data som dessa modeller inte kan plocka ut. Den mest intressanta av dessa är den "leverage" effekt betonas av Nelson (1990) (1987) och Geweke (1986) och Pantula (1986) relaterar stocken av h till stocken av släpade kvadratrester. Således ges effektkurvan för nyheter av: där A är en konstant som därför har samma form som i (7) även om den automatiskt går igenom ursprunget som verkar vara en nackdel för denna modell som diskuteras av Engle och Bollerslev (1986a). På samma sätt inför Higgins och Bera (1990) en icke-linjär ARCH-modell som har en konstant elasticitet i utbyte mellan termer i en vanlig ARCH-modell eller C ARCH-modell. Agaln detta innebär en effektfunktion som i (7) och (9). Slutligen inför Friedman och Kuttner (1990) en modifierad ARCH-modell som ger mindre koefficienter till stora restprodukter för att visa att stora stötar har lägre varaktighet än små stötar. En liknande slutsats illustrerades av alternativens prissättningsresultat i Engle och Mustafa (1989) och Schwert (1990). I varje fall reduceras de extrema delarna av News Impact Curve i denna specifikation. För att möjliggöra en asymmetrisk effekt svarskurva centrerad vid en icke-noll andra förlängningar behövs. Möjligen den enklaste föreslås av Engle (1990) där w = u + u-y och 7 = 27. Med den svarta eller hävstångseffekten förväntar vi oss och finner * den och 7 är negativa så att rmmmum of the News Impact Curve ligger till höger om ursprunget vid tii=y. Observera att även om t kan vara stor, kan det inte köra den villkorliga variansen negativ så länge torget är i specifikationen också. I Schwert-specifikationen (1990) ges även denna formulering. En närbesläktad modell som gör det möjligt för minimalpunkten i News Impact Curve att bero på standardavvikelsen, kallas den icke-linjära asymmetriska GARCH eller NGARCH. Det är formulerat som: (11) ht = a' + flht 1 + + Det minsta av Nyheter Impact Curve av NGARCH modellen är där också till höger om ursprunget när 7 är negativ. Efter Nelsons ledning kan även en VGARCH-modell formuleras som: där namnet VGARCH kommer från representationen av c/hh/2=v. Intressant nog är minimum av News Impact Curve av VGA itch modellen också på Men lutningen av denna News Impact Curve skiljer sig från den av NGARCH modell. Ett annat viktigt förslag som ursprungligen föreslogs av Glosten, Jaganathan och Runkle (1989) och mer nyligen analyseras av Zakoian (1990), tillåter båda sidor av GARCH News Impact Curve att ha olika sluttningar. Modellen är: I figur 2 ritas News Impact Curve för GJR-modellen och den icke-centrerade AGARCH-modellen. (1990)............................................................................................................................ I varje enskilt fall tvingar det icke-parameteriska förfarandet en kort eftersläpstruktur att användas, och i de flesta fall är heterokasticiteten i resterna av den fyrkantiga felregressionen inte erkänd i det skattningsförfarande som leder till ineffektiv uppskattning inom klassen. Som vi har diskuterat i avsnitt II, implicit i alla val av volatilitetsmodell är en viss News Impact Curve. Standarden GARCH modell har en News Impact Curve som är symmetrisk och centrerad på c=0. Det vill säga, positiva och negativa överraskningar av samma storlek skulle ge samma volatilitet. Större innovationer skulle också skapa större volatilitet i en takt som står i proportion till kvadraten på innovationens storlek. Om en negativ innovation faktiskt leder till större volatilitet än en positiv 8-innovation av samma storlek, kommer GARCII-modellen att undervärdera volatiliteten efter dåliga nyheter och överskatta volatiliteten efter goda nyheter. Dessutom, om stora innovationer orsakar större volatilitet än vad som skulle vara tillåtet av en kvadratisk funktion, kommer den vanliga GARCH-modellen också underförutsedd volatilitet efter en stor chock och överpredikterad volatilitet efter en liten chock. Dessa observationer tyder på minst tre nya diagnostiska tester för volatilitetsmodeller som vi kommer att kalla Sign-Bias Test, Negative-Size-Bias Test, och Positiv-Size-Bias Test. En rad nära relaterade tester kan också skapas med samma metod och dessa tester kan utföras individuellt eller gemensamt. Alla dessa tester kan också tillämpas på andra volatilitetsmodeller. Var och en av dessa teststatistiker undersöker om de fyrkantiga standardiserade resterna verkligen är oberoende och identiskt fördelade. Om det finns information i vilken kan förutsäga dessa restprodukter, då variansprocessen felspecificerad. Definiera v= et/fc, för y=y+e, h= beräknad villkorlig varians och låta z_1 vara en vektor av mätbara funktioner av den tidigare informationen uppsättningen inklusive e_1 i synnerhet, då föreslås att köra regression: (14) v2 a + ztib + Ut. Intuitivt, om modellen är korrekt angiven, då b=O och är iid. Således kan t-statistik och denna diagnostiska teststatistik också användas som sammanfattande statistik över rådata för att undersöka arten av villkorlig heteroscedasticitet i dataserien utan att först införa en volatilitetsmodell. I detta fall skulle c och v helt enkelt definieras enligt följande: Vt a ft/c där p och u är den ovillkorliga medelvärdet och standardavvikelsen för respektive. Med hjälp av dessa t'5 och Vt's kan den fem sammanfattande statistiken beräknas utifrån de regressionsanalyser som beskrivs ovan. Slutligen kan modellen utsättas för alla dessa tester samtidigt genom att köra regression: = a + b1S + b2Sct + b3St ct-i + b4Sc2t_i + + + b6D0 + b7Dt9° +v och testa att alla b är lika med noll. Detta kan vara helt enkelt TB.2 eller F-statistiken för regression. Eftersom det finns kollinjäritet bland dessa regressorer, kommer det mest kraftfulla testet mot något alternativ inte att vara det gemensamma testet. I praktiken förefaller användningen av de tre första termerna lämplig för att avslöja fördomarna i en bred klass av heterokedastiska funktioner för de data som anges i denna studie. I detta dokument kommer fyra teststatistiker att rapporteras för varje modell. Regressionen ii (18) v2 = en b1S + b2St_l + b3St_i + beräknas och t-förhållandet för b1, b2 och b3 kallas för teckenfördel, negativ storlek respektive sidotest av postitiv storlek. Det gemensamma testet är F-statistiken från denna regression som presenteras tillsammans med dess p-värde. Slutligen, tre andra version8 beräknas men bara rapporteras när de avslöjar ett annat beteende. För att testa storleksförskjutningens ytterligheter skrivs D10 och D9° in (18); alternativt D5 och D95 läggs till (18); slutligen läggs S_1 och S1 till i stället för orderstatistiken (18). Var och en av dessa regressioner har 5 koefficienter. Om p-värdet är mindre än ledvärdet för (18) noteras detta faktum. Den exakta asymptotiska fördelningen av testerna kan härledas genom att man överväger LM-testet enligt Godfrey (1979) eller Engle(1984). Antag att ht= h(xt i + z1) och vi vill testa att =O. Låta y vara MLE för y när =O och ht vara den uppskattade variansen för observation t, och e den uppskattade restvärdet, då LM testet är (19) LM = TR2 för regression e/ h = a + xti[h/ htJc + z1[h/ htjb + där är skalarderivat av ht. När nollhypotesen är sann, poäng uppfyller en central gräns teorem, och informationsmatrisen konvergerar med sannolikhet till en konstant, sedan: LM Xk där k är antalet variabler i z_1. Skillnaden mellan regressionerna i (19) och (14) är främst i utelämnandet av termen i x_1. Eftersom R2 endast kan minskas genom att utelämna en uppsättning variabler kommer fördelningen av teststatistiken från (14) att vara mindre än eller lika med LM:s teststatistik och kommer därför att ha en storlek som är mindre än eller lika med den 12 nominella storleken. Det vill säga, TR2 från (14) kommer att ha en begränsande fördelning som är mindre än eller lika med en chi kvadrat med grad av frihet lika med antalet variabler i ztr Även om det skulle vara lätt att konstruera ett test som har rätt asymptotisk storlek, testet skulle ha olika variabler beroende på vilken modell togs som noll. Om målet är att vara säker på att modellen kan härma de observerade rörelserna i villkorlig heterokastiskitet är de tester som beskrivs ovan naturliga. Den andra konsekvensen av LM härledning är valet av variabler att använda för att hitta ett optimalt test mot ett alternativ, en bör använda Motsvarar alla test z, det underförstådda alternativet är z = z/[h/ ht]. Det kan mycket väl vara så att ingen helt enkelt parameteriserad modell kommer att klara alla dessa diagnostiska tester. Det är därför lämpligt att söka icke-parametriska modeller som gör det möjligt att direkt fastställa alla dessa egenskaper med hjälp av uppgifterna. I synnerhet, om News Impact Curve är föremål för analysen, då är det naturligt att uppskatta det icke-parametriskt. I detta avsnitt föreslås en enkel version av denna modell. På grund av det långa minne som kännetecknar de flesta variansprocesser anges sönderfallsparametern parametriskt. Denna blandning av parametriska och icke-parametriska delar märks delvis parametrisk för att skilja den från Engle och Gonzalez(1990). Låt intervallet {ct} delas i m intervall med brytpunkter ri. Låt m vara antalet intervall mindre än noll och m+ vara antalet positiva intervall så att m = m++ m. Beteckna dessa gränser med talen {rm'ri'ro' ri,...,rm+}. Dessa intervall behöver inte vara lika stora och det behöver inte finnas samma antal på varje sida av r0. För bekvämlighet och förmågan att testa symmetri, r0 = 0 är ett naturligt urval. Denna funktionella form är garanterad att vara kontinuerlig och är verkligen en linjär spline med knutar vid r. Mellan 0 och lutningen kommer att vara 00 medan mellan och det kommer att vara 00+ 01, och så vidare. Ovanför Tm+J kommer lutningen att vara summan av alla 0-tal. Det är uppenbart att formen kommer att vara monoton om de partiella summorna vid varje punkt är av samma tecken. När provet blir större är det möjligt och önskvärt att öka m för att erhålla mer upplösning. Detta är ett exempel på metoden med siktar som närmar sig icke-parametrisk uppskattning. Ett större värde på m kan tolkas som en mindre bandbredd som ger. (20) är korrekt specificerad. I sådana fall kommer standardfelen att anges i sin vanliga form. Det bör naturligtvis påpekas att även om specifikationen i (20) kan generera ett brett spektrum av nyheter Impact Curves, är det mycket enkelt med avseende på effekterna av äldre information. All information antas förfalla på ett exponentiellt sätt med sönderfallsfrekvens fi. Nyheter påverkar volatiliteten på samma sätt på lång sikt som på kort sikt. Naturligtvis andra termer skulle kunna läggas till, men detta skulle avsevärt öka computaionai komplexiteten. 14 Två enkla tillvägagångssätt för att välja den kunde användas. De kan vara ojämnt fördelade baserat på t.ex. orderstatistiken, eller så kan de vara jämnt fördelade. I exemplet här användes lika mellanslagsbehållare med brytpunkter vid ci för i = 0,±1,2,±3,*4 där är den ovillkorliga standardavvikelsen för den beroende variabeln. Således: (21) ht = w + flht i + OjPt 1hi) + m+= m= 4 så att det finns 10 koefficienter i News Impact Curve. : 1980-1988 För att jämföra och demonstrera de empiriska egenskaperna hos några av de ovan nämnda volatilitetsmodellerna tillämpar vi dessa modeller på de dagliga avkastningsserierna i det japanska TOPIX-indexet. Uppgifterna hämtades från PACAP-databaserna som tillhandahölls av Pacific Basin Capital Market Research Center vid University of Rhode Island. I detta avsnitt kommer vi att rapportera våra skattnings- och testresultat för de parametriska modellerna för hela urvalsperioden från 1 januari 1980 till 31 december 1988. I nästa avsnitt, uppskattar vi villkorlig volatilitet och News Impact Curve med hjälp av en icke-parametrisk metod, och jämför News Impact Curve som erhållits från icke-parametrisk metod med de som erhållits från de olika parametrisk volatilitet modeller. I avsnitt sju kontrollerar vi robustheten i våra resultat genom att omvärdera några av våra modeller med hjälp av en kortare provperiod från 1 januari 1980 till 30 september 1987. Eftersom vårt fokus ligger på den villkorliga variationen snarare än det villkorliga medelvärdet, koncentrerar vi oss på den oförutsägbara delen av aktieavkastningen som erhålls genom ett förfarande som liknar det i Pagan och Schwert (1990). Förfarandet innebär en vecka-på-veckan effektjustering och en autoregressiv regression ta bort den förutsägbara delen av returserien. Låt oss vara den dagliga återkomsten av TOPIX index för dag t. Vi gick först tillbaka på en konstant och fem dagar-av-veckan dummies (för Tue, Wed, Thur, Fri, och Sat) för att få rest, Ut. U var sedan regressed mot en konstant och u_1,.. för att få rest, t" som är våra oförutsägbara lager returdata. Resultaten för ovanstående justeringsregressioner och viss sammanfattande statistik för våra oförutsägbara aktieavkastningsserier redovisas nedan: 16
REF undersökte nyheternas effekter på volatiliteten och visade att dåliga nyheter medför större volatilitet än goda nyheter.
Measuring and testing the impact of news on volatility
{'venue': 'Journal of Finance', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Economics']}