I detta dokument presenterar vi en metod för tidsserieanalys baserad på empirisk inneboende geometri (EIG). EIG gör det möjligt för en att avslöja det lågdimensionella parametriska grenröret samt att dra slutsatser om den underliggande dynamiken i högdimensionella tidsserier. Genom att integrera begreppen informationsgeometri, utvidgar denna metod befintliga geometriska analysverktyg för att stödja stokastiska inställningar och parametriserar geometrin för empiriska distributioner. De statistiska modellerna krävs dock inte som tidigare, och därför kan EIG tillämpas på ett brett spektrum av verkliga signaler utan befintliga slutgiltiga modeller. Vi visar att den här modellen är bullertålig och invariant under olika observationer och instrumentella former. Dessutom visar vi att den effektivt kan utvidgas till nyförvärvade mätningar på ett sekventiellt sätt. Dessa två fördelar gör det möjligt för oss att se över Bayesian-metoden och införliva empirisk dynamik och inneboende geometri i en icke-linjär filtreringsram. Vi visar applikationer för icke-linjära och icke-gaussiska spårningsproblem samt för akustisk signallokalisering. Anisotrop diffusion  med många olika inlärnings- och signalbehandling I n de senaste åren har det gjorts stora framsteg i utvecklingen av nya metoder för parameterisering och inbäddning av högdimensionella data i ett lågdimensionellt utrymme (1-4). Den metod som föreslås av Singer och Coifman (5) är av särskilt intresse eftersom data antas vara otillgängliga och endast kan observeras via okända ickelinjära funktioner. Genom att integrera lokala huvudkomponenter med diffusionskartor tillhandahåller Singers och Coifmans tillvägagångssätt (5) modellering av det underliggande parametriska grenröret, medan klassiska inlärningsmetoder ger en parameterisering av det observerbara grenröret. Men geometriska metoder lider vanligtvis av två betydande nackdelar. För det första, i många naturliga system, kartläggningen av de lågdimensionella data i en delmängd av högdimensionella observationer är stokastisk. Dessutom, en slumpmässig mätning buller vanligtvis korrumperar observationer. Därför kan det hända att observationernas geometri inte förmedlar lämplig information om det underliggande parametriska grenröret. För det andra ger dessa metoder modellering till en given datauppsättning och modellerar inte en ström av nya inkommande mätningar väl. I detta dokument föreslår vi en ram för sekventiell behandling av tidsserier baserade på empiriska inneboende geometriska modeller. Vi antar den icke-linjära filtreringsformalismen och föreslår en metod som består av två steg: ny datadriven modellering av stokastiska data, som är motståndskraftig mot buller samt invariant till mätsättet, och Bayesian filtrering av nya inkommande mätningar baserat på den lärda modellen. Högdimensionella tidsserier uppvisar ofta mycket överflödiga representationer och kan på ett kompakt sätt representeras av en dynamisk process på ett lågdimensionellt grenrör. I det första steget avslöjar vi alltså det lågdimensionella grenröret och härleder den underliggande processen med anisotrop diffusion. Det föreslagna tillvägagångssättet bygger på konstaterandet att den lokala statistiken över mätningarna förmedlar geometrisk information om de underliggande faktorerna snarare än den specifika insikt som finns (6, 7). Således lär vi oss empiriskt det underliggande mångfaldiga av lokala sannolikhetstätheter och återfår deras dynamik. I det andra steget definierar vi ett Bayesianskt ramverk där sannolikhetsfunktionen definieras utifrån den lärda modellen och dynamiken erhålls empiriskt från tidigare mätningar. I synnerhet utökar vi den lärda modellen till en ström av inkommande nya mätningar och spårar den underliggande processen på det lågdimensionella grenröret. Det framlagda ramverket kan övervinna en betydande begränsning av klassiska ickelinjära filtreringsmetoder (8, 9). Vi beskriver en icke-parametrisk metod som implicit härleder de dynamiska modellerna och mätmodellerna, medan befintliga metoder kräver dynamiska modeller och mätmodeller samt bullerstatistiken som tidigare. Denna förmåga är kritisk för bearbetning av verkliga signaler där den underliggande processen är okänd (t.ex. finansiella tidsserier, biomedicinska signaler), och därför finns inga prover av den underliggande processen tillgängliga för att träna en fördefinierad modell. Låt y t beteckna en n-dimensionell observationsprocess i tidsindex t, hämtad från en villkorlig tidsvarierande sannolikhetsdensitetsfunktion (pdf). Betrakta en modell i vilken pdf, betecknad av f ðy, är styrd av en d-dimensionell process som består av underliggande faktorer. Dynamiken i den underliggande processen beskrivs av normaliserade stokastiska differentialekvationer där en i är okända drift koefficienter och _ w i t är oberoende vita ljud. I detta dokument representerar subskript märkning och superskript tillgång till element i vektorer eller matriser. Observationsprocessen y t är tillgänglig endast via en n-dimensionell bullrig mätprocess z t, ges av var g är en godtycklig (eventuellt icke-linjär) mätfunktion och v t är en n-dimensionell stationär mätbuller dras från en okänd pdf qðv på och är oberoende av y t. Vårt mål är tvåfaldigt: (1) återhämta sig och bygga en dynamisk modell på det underliggande grenröret. Baserat på en ändlig uppsättning bullriga mätningar, drar vi slutsatsen en empirisk inneboende geometrisk modell, (2) förlänga den erhållna modellen när nya mätningar z t blir tillgängliga och spåra den underliggande processen  på t. Vi noterar att denna allmänna tillstånd-rymd formalism av problemet, som antagits från icke-linjära filtreringsstudier (10), kan gälla för många realworld applikationer. Konstruktionen av modellen kommer att utföras i tre tidsskalor. Mikrotidsskalan är mätområdet z t, där vi antar att provtagningshastigheten är tillräckligt hög för att vi ska kunna uppskatta den tidsvarierande densiteten hos mätningarna i korta fönster. Mezzoskalan är domänen för den villkorliga densiteten pðz;  på. På detta område antas tätheten vara
Detta kräver observerade data i form av tidsserier, t.ex. banor för rörliga partiklar REF.
Empirical intrinsic geometry for nonlinear modeling and time series filtering
{'venue': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'journal': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Medicine']}