För komposit n, Vi bevisar att räkna antalet punkter på elliptiska kurvor över ringen Z~ är slumpmässigt beräkningsmässigt motsvarar factoring n. Det vill säga, Vi bevisar att om vi kan räkna det, Vi kan enkelt faktor n. Dessutom, Vi bevisar också att om vi kan lösa den elliptiska kurvan diskret logaritm problem modulo n, Vi kan enkelt faktor n. Elliptiska kurvor kan tillämpas på public-key kryptosystem, och som sådana flera system har föreslagits [3, 4, 5, 6, 9, 11]. Det finns två typiska elliptiska kurvkryptosystem: E1Gamal-system [4, 11] och RSA-system [3, 5, 6]. Säkerheten hos EIGamal-type elliptic curve cryptosystem är baserad på svårigheten att lösa en diskret logaritm över elliptic curve Modulo en prime. Säkerheten för en RSA-typ elliptisk kurva kryptosystem är dock baserad på svårigheten att faktorisera en stor komposit. Det har förmodats att helt bryta den ursprungliga RSA är beräkningsmässigt motsvarar factoring den använda kompositen, även om detta inte har bevisats ännu. I en viss elliptisk kurva av RSA-typ (eller kubisk kurva) som föreslogs i [6] visades emellertid denna likvärdighet mellan de två problemen. I allmänhet RSA-type elliptic curve cryptosystems, inklusive RSA-typcubic curve cryptosystems, har ekvivalensen inte bevisats. Eftersom ordningen r av Z* för en komposit n har spelat en betydande roll för att analysera säkerheten i den ursprungliga RSA-systemet, är det viktigt att utvärdera komplexiteten i att räkna antalet punkter på en elliptisk kurva över ringen Z,~ för RSA-typ elliptiska kurva kryptosystem. Vi är intresserade av minskningar av factoring till andra problem i elliptiska kurvteori över Z~. I detta dokument kommer vi att ta upp följande problem. FCT(n) : Eftersom komposit n, hitta den fullständiga prime factorization av n. COMP(r : Given komposit n, beräkna Euler phi funktion r --IZ*I, som är antalet heltal i intervallet [1, n], som var och en är relativt prime till n. COMP (~E,.,(a,b)) : Given sammansatta n och heltal a och b, beräkna #En (a, b), vilket är antalet punkter över en elliptisk kurva E,~ : y2 _-x 3 + ax + b (mod n).
Kunihiro och Koyama har nyligen presenterat minskningen (säg "KK minskning") av factoring problem att beräkna ordningen för en elliptisk kurva, En, över Z/nZ REF.
Equivalence of counting the number of points on elliptic curve over the ring Zn and factoring n
{'venue': 'EUROCRYPT', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}