Alla tidigare kända algoritmer för att lösa multicommodity flödesproblem med kapaciteter är baserade på linjär programmering. Den bästa av dessa algoritmer [14] använder en snabb matris multiplikationsalgoritm och tar O(k25n2m5 log(nDU)) tid att hitta en ungefärlig lösning, där k är antalet varor, n och m betecknar antalet noder och kanter i nätverket, D är den största efterfrågan, och U är den största kanten kapacitet. Betydligt mer tid behövs för att hitta en exakt lösning. Som en följd av detta, även multicommodit y flödesproblem med jnst några varor tros vara mycket svårare än en enda vara maximal-flöde eller minimal kostnad flödesproblem. I thk papper, beskriver vi den första polynom-tid kombinatoriska algoritmer för ungefär lösa multicommodity flödesproblem. Löptiden för vår randomiserade algoritm är (upp till,log factors) samma som den tid som behövs för att lösa k single-commodity flödesproblem, vilket ger det överraskande resultatet att ungefär computing en k-commodity maximum-flow är inte mycket svårare än att beräkna om k single-commodity maximum-flows i isolering. I själva verket bevisar vi att ett (enkelt) k-varuflödesproblem kan lösas ungefär genom att ungefär lösa O(k log2 n) problem med minimala kostnader. Vår k-varualgoritm körs i O (knm log4 n) tid med hög sannolikhet. Vi beskriver också en deterministisk algoritm som använder en O(k)-faktor mer tid. Med tanke på eventuella problem med multicommodit y-flöde som indata garanteras båda rdgoritmerna att ge en genomförbar lösning på ett modifierat fIOW-problem där all kapacitet ökas med en (1 + c)-faktor, eller att tillhandahålla ett bevis på att det inte finns någon genomförbar lösning på det ursprungliga problemet. Vi beskriver också snabbare approximationsalgoritmer för multicommodity flow problem med en speciell struktur, såsom de som uppstår i'sparsest cutn problem studeras i [8, 10, 9], och de enhetliga samtidiga flödesproblem studeras i [13, 9] om k < fi.
Detta arbete fokuserade initialt på fallet med små k, och algoritmerna bygger på att lösa flera minimala kostnadsflöde problem REF.
Fast approximation algorithms for multicommodity flow problems
{'venue': "STOC '91", 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}