Att överföra data tillförlitligt över bullriga kommunikationskanaler är en av de viktigaste tillämpningarna av informationsteori, och väl förstådd när kanalen är korrekt modellerad av klassisk fysik. Men när kvanteffekter är inblandade vet vi inte hur man beräknar kanalkapacitet. Kapaciteten att överföra kvantinformation är nödvändig för kvantkryptografi och beräkning, men formeln innebär att man maximerar den sammanhållna informationen över godtyckligt många kanalanvändningar [1][2][3]. Detta beror på att insnärjning över kanalanvändning kan öka den sammanhållna informationen [7], även från noll till icke-noll [8]! I alla kända exempel, åtminstone för att upptäcka om kapaciteten är icke-noll, räcker det dock redan med två kanaler [8, 24]. Kanske är ett begränsat antal kanalanvändningar alltid tillräckligt? Här visar vi med eftertryck att detta inte är fallet: för alla n finns det kanaler för vilka den sammanhållna informationen är noll för n-användning, men som ändå har kapacitet. Detta kan vara en första indikation på att kvantkapaciteten inte kan beräknas. I det klassiska fallet kan vi inte bara exakt karakterisera den maximala kommunikationshastigheten över alla kanaler - dess kapacitet - vi har också praktiska felkorrigerande koder som når denna teoretiska gräns. Det är lärorikt att se över varför de klassiska kanalernas kapacitet är ett löst problem. Även om optimal kommunikation över en diskret, minneslös klassisk kanal innebär kodning av informationen över många användningar av kanalen, Shannon visade att en kanals kapacitet ges matematiskt genom att optimera en entropisk kvantitet (den ömsesidiga informationen) över en enda användning av kanalen. Detta följer omedelbart av det faktum att ömsesidig information är additiv. Tack vare detta kan kapaciteten hos alla klassiska kanaler beräknas effektivt. Det är av denna anledning som additionalitetsfrågorna för kvantkanalkapaciteten fick så stor betydelse, och varför de stora genombrott som nyligen visade att additionaliteten kränks [5, 8] fick en sådan inverkan. Det har varit känt under en tid [1][2][3] att kvantkapaciteten ges genom ett legaliserat uttryck-optimering av en entropisk kvantitet (sammanhängande information) i gränsen för godtyckligt många användningar av kanalen: (Här, Q (n) (N ) är den sammanhållna information I coh maximerad över en gemensam ingång ρ (n) för n användning av kanalen N.) Regulariseringen gör dock beräkning kvantkapacitet omöjlig; det innebär en optimering över ett oändligt parameterutrymme. Var den sammanhållna informationstillsatsen (dvs. Q (n) (N ) = Q (1) (N )), legaliseringen kunde tas bort och kvantkapaciteten kunde beräknas lika enkelt som kapaciteten hos klassiska kanaler. Men så är inte fallet. De första explicita exemplen på detta superadditionsfenomen gavs av Di Vincenzo et al. [7] och förlängd av Smith et al. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. För dessa exempel (där N är en särskild depolariserande kanal) visades (numeriskt) att 0 ≤ Q (1) (N ) < Q (n) (N ) för små värden på n ≤ 33. Även om kvantkanalernas klassiska kapacitet också innefattar en legaliserad formel [5], vet vi åtminstone exakt i vilka fall den är noll: helt enkelt för de kanaler vars utgång är helt oberoende av inmatningen. Den uppsättning av noll-kvantum-kapacitet kanaler är mycket rikare. Vi har faktiskt inte ens en fullständig karakterisering av vilka kanaler som har noll kvantkapacitet. Hittills känner vi bara till två typer av kanaler med noll kvantkapacitet: antidat graderbara kanaler [10, 11] och insnärjningsbindande kanaler [12]. Den förra har den egenskap som miljön kan reproducera produktionen, alltså Q = 0 genom no-cloning teorem [13]. Den senare kan endast distribuera PPT trassling, som inte kan destilleras genom lokal verksamhet och klassisk kommunikation [14], vilket återigen innebär Q = 0. Detta får dramatiska konsekvenser. Det är möjligt att ta två kvantkanaler ovan, N 1 antidedgradable och N 2 trassling-bindning, som individuellt inte har någon kapacitet som helst, men när används tillsammans kan överföra kvantinformation tillförlitligt (Q(N 1  till N 2 ) > 0). Detta superaktiveringsfenomen upptäcktes nyligen av Smith och Yard [8]. De använde också sina exempel för att konstruera en enda kanal N som uppvisar en extrem form av superadditionalitet av den sammanhängande informationen, där (I sin konstruktion, med två användningar av N effektivt möjliggör en användning av N 1 och en av N 2.) Ännu starkare superaktiveringsfenomen har visat 2 i samband med noll-terrorkommunikation över kvantkanaler [15][16][17][18][19]. Å ena sidan innebär additionalitetsintrång att regularisering krävs i formler för datorkapacitet. Å andra sidan innebär det också att insnärjning kan skydda information från buller (sammanhängande information är en tillsats för osammanhängande inmatningstillstånd). Men hur illa kan det egentligen vara att bryta mot additionalitetsprincipen? Man kan hoppas att man, åtminstone för att avgöra om kvantkapaciteten är icke-noll, bara behöver överväga ett begränsat antal användningar av en kanal. Eftersom konstruktionen av Smith och Yard bygger på att kombinera de enda två kända kanalerna med nollkapacitet, kan man faktiskt våga hoppas att även två användningsområden räcker. (På samma sätt kan för kvantkanalernas klassiska kapacitet den enda kända metoden för att konstruera exempel på additionsbrott [4, 5] inte ge en överträdelse för mer än två användningar av en kanal, och det finns vissa belägg för att detta kan vara mer än bara en begränsning av bevisteknikerna [6].) Var detta verkligen fallet, skulle additionalitetsintrång reduceras till något relativt godartad: insnärjning av indata över mer än två användningar av kanalen skulle inte ge någon fördel. Och man skulle kunna beräkna kvantkapaciteten genom att optimera den sammanhängande informationen över två användningar av kanalen, vilket inte är betydligt svårare än optimeringen över en enda kanal användning. I detta dokument visar vi för första gången att så inte är fallet: Additionalitetsöverträdelser är så allvarliga som möjligt. Vi bevisar att man för varje n kan konstruera en kanal N för vilken den sammanhängande informationen om n-användningar är noll (Q (n) (N ) = 0), men för ett större antal användningar är den sammanhängande informationen strikt positiv, vilket innebär att kanalen har icke-noll kvantkapacitet (Q(N ) > 0). Detta är också det första beviset på att det kan finnas ett gap mellan Q (n) (N ) och kvantkapaciteten för ett godtyckligt stort antal n användningar av kanalen. Vårt resultat innebär att man i allmänhet måste överväga ett godtyckligt stort antal användningar av kanalen bara för att avgöra om kanalen har någon kvantkapacitet alls! Kanske den tidigaste indikationen att bestämma kvantkapaciteten kan vara ett svårt problem kommer från arbetet i Watruus [20], som visade att ett godtyckligt stort antal kopior av ett bipartit kvanttillstånd kan krävas för insnärjning destillation med hjälp av tvåvägs klassisk kommunikation. Vårt resultat kan betraktas som motsvarigheten till [20] för kvantkapaciteten (som matematiskt är likvärdig med trasslingsdestillation med hjälp av enkelriktad kommunikation). De bevisbaserade idéerna och teknikerna i [20] kräver dock tvåvägskommunikation, vilket innebär att de inte gäller för den vanliga kapacitetsinställningen. Vårt resultat är istället baserat på Smiths och Yards idéer, särskilt intuitionen i Oppenheims kommentar till dem [25]. Denna intuition kommer från en klass av bipartit kvanttillstånd som kallas pbits (privata bitar) [21]:, tillsammans med standard ekvivalenser mellan kvantkapacitet (send trassling över en kanal) och destillering trassling från Choi-Jamio lkowsky-staten associerad med kanalen. Här är Bjällra stater ±, och σ ± gömmer stater [22]. De senare är ortogonala (globalt perfekt urskiljbara), men kan inte urskiljas med hjälp av lokala operationer och klassisk kommunikation (LOCC). Om ρ abB delas mellan Alice (som innehar aA) och Bob (som innehar bB), då de delar minst en bit av insnärjning på grund av Bell stater. Men denna insnärjning är otillgänglig för dem om de inte kan avgöra vilken av de två Bell som de delar. Detta kan de göra om de bara kunde avgöra vilket gömställe de har. Men σ ± kan inte särskiljas genom LOCC, hindrar dem från att extrahera trassling från ρ aAbB. Ab-delen av systemet brukar kallas "nyckeln", och AB "skärmen" (eftersom det kopplar ur systemet ab från alla externa system). Föreställ dig nu att de har tillgång till en kvantradering kanal E 1 2, som med sannolikhet 1/2 överför sin ingång perfekt, och med sannolikhet 1/2 helt raderar det. Det är välkänt att en sådan kanal inte kan användas för att överföra någon snärjning. Men om de också delar ρ abB, Alice kan använda radering kanalen för att skicka hennes del A av skölden till Bob. Om radering kanalen sänder, Bob nu håller hela AB-systemet och kan nu skilja σ ±. Således, med sannolikhet 1/2, Alice och Bob kan nu extrahera snärjningen från ρ abB. Istället för att förse Alice och Bob med staten ρ abB och en radering kanal, vi istället förse dem med en switchad kanal. Detta har en extra klassisk ingång som styr om kanalen fungerar som E 1 2 eller Ε, där är kanalen med Choi-Jamio lkowsky state ρ aAbB. Ovanstående argument innebär då att ingen kvantinformation kan skickas över en enda användning av kanalen, men den kan skickas med två användningar, genom att byta till E 1 2 och den andra till Ε. Detta är intuitionen bakom Smiths och Yards konstruktion [25]. Men eftersom den är uppbyggd av två mycket speciella typer av kvantkanaler, verkar denna idé inte omfatta ett större antal användningsområden. Intuitionen bakom vårt resultat bygger dock på en förfining av dessa idéer, som vi nu skisserar. Vi vill uppnå två till synes motstridiga mål: (1) För att förhindra Alice från att skicka någon kvantinformation till Bob över n användning av kanalen. (2) För att tillåta detta när Alice har tillgång till ett större antal användningar N > n. Vi kan uppnå (1) genom att öka raderingsannolikheten för raderingskanalen till något mycket närmare 1, och även lägga buller till â kanalen; buller då träsk någon trassling. Problemet är att detta också tycks omöjliggöra (2). Om kanalen är så bullrig att den förstör all trassling som skickas genom den, då (per definition) ingen mängd kodning över flera användningar av kanalen kan lyckas överföra kvantinformation. Observera dock att den information som Alice måste skicka till Bob för att extrahera trassling från pbit ρ abB är i huvudsak klassisk. Bob behöver bara veta 3 en klassisk bit information för att skilja de två gömställe staterna. Detta tyder på att klassisk felkorrigering kan hjälpa Alice skicka denna information till Bob, även när kanalen är mycket bullriga. Intuitionen bakom vårt bevis är att det räcker med en enkel klassisk upprepningskod. Istället för pbit ρ aAbB använder vi en pbit AN BN) som innehåller N kopior av skölden. För att Bob ska kunna skilja på de gömda staterna räcker det med en kopia för att ta sig genom raderingskanalen. Alice försöker nu att skicka alla kopior av skölden genom många användningsområden av radering kanalen. Hur hög raderingsannolikheten än är, kan sannolikheten att åtminstone en kommer igenom bli godtyckligt hög för tillräckligt många försök. Vi ger nu en mer exakt beskrivning av vår konstruktion. Radering kanal med radering sannolikhet p är E, där jag A→B är identitetskanalen från A till B, och F är radering flagga. Kanalen ρÃ →B tillhör klassen av PPT trassling-bindande kanaler vars Choi tillstånd är en ungefärlig pbit [21]. Vi visar att kan konstrueras med A := A 1.... A N och B := B 1.... B N består av N delar, så att även om Bob bara får del A i Alice sköld för någon i, de får ungefär en ebit av enkelriktad destillerbar insnärjning. Låt â →B vara en bullrig version av kanalen. Vår konstruktion använder kanaler av formen Här P S→S i projekt på i-th beräkningsbaserad vektor av qubit system S som därmed fungerar som en klassisk omkopplare så att Alice kan välja om kanalen fungerar som E p eller ε på huvudinputÃ. S behålls i utmatningen som låter Bob lära sig vilket val som gjordes. Att göra ovanstående intuition rigorös för denna kanal är icke-trivial: För det första måste vi bevisa att den sammanhållna informationen om n användning av kanalen är strikt noll, för varje inmatning till kanalen (inte bara inmatningstillstånd från ovanstående intuition). I detta syfte kan vi inte bara direkt använda en pbit med N - kopieringssköld av den form som ges ovan, eftersom den skulle ha destillerbar insnärjning. Lyckligtvis finner vi att en ungefärlig pbit konstruktion från [21] kan anpassas för rollen. Men då måste vi ta hänsyn till denna approximation i beviset för att kanalen har kapacitet. Detta kräver en noggrann analys av de olika parametrarna i vår kanal för att visa att båda de önskade egenskaperna kan hålla samtidigt, vilket kräver ett något känsligt argument. De tekniska argumenten beskrivs i avsnittet Metoder. En naturlig fråga (som vi lämnar öppen) är om vi kan få en starkare form av vårt resultat med en konstant övre gräns på kanaldimensionen. Det skulle också vara intressant att se om man kan få ett resultat som är jämförbart med vårt för den privata kapaciteten hos kvantkanaler. Slutligen ger vårt resultat en första indikation på att en kanals kvantkapacitet mycket väl kan vara en oförutsebar kvantitet; om kvantkapaciteten inte kan beräknas skulle det nödvändigtvis innebära det beteende som vi har visat här. Vi anger och beskriver beviset på vårt huvudsakliga resultat - för alla användningsområden kan vi visa att det finns en kanal med positiv kapacitet men noll sammanhängande information. Formellt bevisar vi följande: Theorem. Låt M vara den kanal som definieras i Eq. 1 )............................................................................................................... För alla positiva heltal n, om ș  på (0, 1/2) och p  på [(1 + δ n ) −1/n, 1] då kan vi välja N och Ε sådan att: Beviset är uppdelad i två delar. Vi bevisar först att, med tanke på n och ί, för alla ο med noll kapacitet finns det en rad p som gör den sammanhållna informationen om M-n-noll. I den andra delen visar vi att det finns en nollkapacitet som gör att M har positiv kapacitet. För den första delen kan vi förenkla analysen av M  på genom att visa att det är optimalt att göra ett bestämt val (dvs. En beräkningsgrund för indata) för vart och ett av n-omkopplarregistren. För varje möjlig inställning av n-omkopplaren är den sammanhållna informationen en konvex kombination av den sammanhållna informationen i tre fall, viktad med deras sannolikheter: a) varje kanal raderar, b) alla E p raderar, men inte alla, c) minst en av E p raderar inte (och fungerar därför som identitetskanalen). Den sammanhållna informationen för fall (b) och (c) kan vara övre gräns för noll respektive H (R), där R är ett system som renar inmatningen. För a) begränsas den ovan av −H(R). Viktning av sannolikheterna, finner vi att den totala sammanhållna informationen är övre gränsen med 1 − (1 + ε n )p n H(R). Detta gör att vi kan dra slutsatsen att för alla n och δ kan vi hitta p sådan att den sammanhållna informationen om n användning av kanalen är noll. För att bevisa den andra delen, visar vi att för fast δ, p kan vi hitta en Ε med en N-kopia sköld så att den sammanhängande informationen om N + 1 användning av kanalen M är positiv för vissa N + 1 > n. Vi numrerar kanalen använder 0,..., N och märka de system som är involverade i i-th användning av kanalen med superscript i. Begrunda följande input. Växlingsregistren är inställda på att välja till användning 0 och E p för de återstående användningarna 1,.......... Vi maximalt trassla in delsystem A 0 i avÃ 0 (som påverkas av ε ) med delsystem A i 1 av i (spelas på av en radering kanal). Vi också maximalt trassla in delsystem en 0 avÃ 0 med en renande referenssystem en som behålls av Alice. De återstående delsystemen är inställda på ett godtyckligt rent tillstånd. Den resulterande sammanhållna informationen är en konvex kombination av fall där a) δ raderar, b) σ raderar inte, men alla E p raderar, och c) σ och minst en E p raderar inte. Ärende a) bidrar med sammanhållen information –1 viktad med dess sannolikhet. Fall b) bidrar med ungefär noll sammanhängande information (på grund av en standard egenskap av pbits). ).............................................................................................. Detta bidrag viktas av sannolikheten (1 − ε)(1 − p N ). Vi visar att vi kan hitta ett tillräckligt stort N där den övergripande sammanhållna informationen är positiv, vilket visar att Q(M) > 0. Ytterligare matematiska detaljer ges i den kompletterande informationen.
Vi noterar att det naturligtvis krävs en fullblåst kvantdator för att uppnå kapacitet, och det är faktiskt känt att även godtyckligt stora blockstorlekar (och därmed kvantdatorer och minnen) krävs för att uppnå vissa kapaciteter för kvantkanaler REF.
Unbounded number of channel uses are required to see quantum capacity
{'venue': 'Nat. Commun. 6, 7739 (2015)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Biology', 'Medicine']}