Ett centralt påstående i modern nätverk vetenskap är att verkliga nätverk är typiskt "skala fri", vilket innebär att fraktionen av noder med grad k följer en makt lag, ruttnar som k −α, ofta med 2 < α < 3. Men empiriska bevis för denna uppfattning härrör från ett relativt litet antal verkliga nätverk. Vi testar den skalfria strukturens universalitet genom att tillämpa toppmoderna statistiska verktyg på ett stort antal av nästan 1000 nätdatamängder som hämtats från sociala, biologiska, tekniska och informationsmässiga källor. Vi passar power-law modellen till varje grad fördelning, testa dess statistiska rimlighet, och jämföra den med en sannolikhet förhållande test till alternativa, icke-skalefria modeller, t.ex., log-normal. Över domäner finner vi att skalfria nätverk är sällsynta, där endast 4 % uppvisar de starkaste möjliga bevisen för skalfri struktur och 52 % uppvisar de svagaste möjliga bevisen. Dessutom är bevisen på en skalfri struktur inte jämnt fördelade över olika källor: sociala nätverk är i bästa fall i svag skala fria, medan en handfull tekniska och biologiska nätverk kan kallas starkt skalfria. Dessa resultat undergräver de skalfria nätens universalitet och avslöjar att verkliga nätverk uppvisar en rik strukturell mångfald som sannolikt kommer att kräva nya idéer och mekanismer för att förklara. Nätverk är ett kraftfullt sätt att både representera och studera strukturen av komplexa system av alla slag. Exempel idag är rikliga och inkluderar sociala interaktioner mellan individer, både offline och online, protein eller gen växelverkan i biologiska organismer, kommunikation mellan digitala datorer, och olika typer av transportnätverk. Över vetenskapliga domäner och olika typer av nätverk är det vanligt att möta påståendet att de flesta eller alla verkliga nätverk är skalfria. De exakta detaljerna i detta påstående varierar mellan litteraturen [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7], men håller i allmänhet med om att ett nätverk är skalat fritt om andelen noder med grad k följer en powerlawdistribution k −α, där α > 1. Vissa versioner av denna "skala-fria hypotes" gör kraven starkare, t.ex., kräver att α... [2, 3] eller att nod grader utvecklas genom den förmånliga fastsättningsmekanismen [8, 9]. Andra versioner gör dem svagare, t.ex. kräver att kraftlagen endast håller i den övre svansen [10] eller är bara mer rimlig än en tunn-tailed fördelning som en exponentiell eller normal [11]. Trots frekvensen av dessa påståenden har det inte gjorts någon bred utvärdering av den empiriska prevalensen av skalfria mönster i verkliga nätverk. Om nätverk i själva verket är universellt skalan fria, då många teoretiska resultat om skalan fria nätverk har bred vetenskaplig relevans. Till exempel skulle de flera mekanismer som är kända för att bygga skalfria nät [3, 8, 9, [12] [13] [14] [15] [16] utgöra en gemensam grund för att förstå nätmontering. Och sådana mekanismer skulle kunna användas för att skapa realistiska syntetiska nätverk för numeriska simuleringar och experiment. Dessutom har många studier undersökt hur skala-fri struktur formar dynamiken i processer run- * anna.broido@colorado.edu † aaron.clauset@colorado.edu ning över nätverket. Till exempel är skalan fria slumpmässiga grafer nästan alltid mottagliga för epidemier [17], ett resultat med djupgående konsekvenser för socialt inflytande och folkhälsotillämpningar. Skalfria näts universalitet är därför en mycket viktig fråga, och att lösa dess empiriska status skulle göra det möjligt att tillämpa resultat från nätverksteorin på många vetenskapliga frågor. Om verkliga nätverk inte är universellt eller ens normalt skalan fria, skulle statusen för ett förenande tema inom nätverksvetenskapen under nästan 20 år [1, 9, [18] [19] minska avsevärt [20]. Ett sådant resultat skulle kräva en noggrann omprövning av den stora litteratur som vuxit upp kring idén. Även om skalfria nätverk inte är universella, kan deras utbredning vara icke-uniform inom olika nätområden, t.ex. kan det vara vanligt att sociala nätverk men sällan att biologiska nätverk skalas fritt. En viktig följdfråga skulle därför vara att bedöma dessa skillnader per domän och att karakterisera hur verkliga strukturer avviker från det skalfria mönstret. För områden där det finns föga empiriskt stöd eller där skalfria nätverk är relativt ovanliga kan nya strukturmodeller och nya sammansättningsmekanismer behövas. Giltigheten och omfattningen av den skalfria hypotesen är inte okontroversiell. En del forskning har argumenterat mot dess universalitet, antingen av statistiska eller teoretiska skäl [2, 3, 10, [21] [22] [23] [24]. Det har också funnits passionerade och personliga försvar av dess status [25], tillsammans med många fynd som hävdar att bekräfta eller stödja dess universalitet [4, 5, [26] [27] [28]. Denna kontrovers har fortsatt på grund av att studier vanligtvis har förlitat sig på små, ofta domänspecifika datamängder, mindre strikta statistiska metoder och olika definitioner "skale free" [4-7, 26, 27, 29, 30]. Dessutom har relativt få studier utförts statistiskt rigorösa jämförelser av en installerad power-law distribution till alternativa, icke-skalfria distributioner, t.ex., arXiv:1801.03400v1 [physics.soc-ph] 9 Jan 2018 2 log-normal eller sträckt exponentiell, som kan imitera en power-law form i realistiska provstorlekar [31]. Eikmeier och Gleick [32] undersökte till exempel nyligen ett antal verkliga nätverk med hjälp av rigorösa metoder för montering och testning av maktlagarnas rimlighet [31] i adjacensens unika värden, Laplacians eigenvärden och gradfördelningen. Även om de hävdar att de finner breda bevis för en skalfri struktur i dessa nätverk är bevisen fortfarande tvetydiga på två avgörande sätt. För det första är den statistiska rimligheten hos skalfri struktur starkast i de singulära och eigen value analyserna snarare än i grad fördelningarna, som är en annan typ av skalfri struktur än hypotesen typiskt posits. För det andra omfattade deras analyser inte kontroller för falska slutsatser på grund av små provstorlekar eller jämförelser mot alternativa distributioner, vilka båda är nödvändiga för att minska sannolikheten för falska fynd av skalfri struktur [31]. Utöver statistiska problem uppvisar litteraturen om skalfria nätverk också motstridiga tolkningar av den teoretiska betydelsen av att observera en makträttslig examensdistribution. Många studier tolkar detta mönster som ett direkt bevis på att ett nätverk var monterat av den förmånsbehandling som fastsättningsmekanismen, eller av en av dess variationer. Som ett resultat av detta kan termen "skalfritt nät" förvirrande hänvisa till antingen ett nät med en el-law-grad distribution eller ett nät byggt av preferensfäste. Denna tvetydighet har inte bidragit till att lösa kontroversen om de skalfria nätens universalitet, eftersom ett antal alternativa mekanismer också producerar distribution av maktlagsexamen utan att förlita sig på förmånsfästning [18] [19] [20]. Denna tvetydighet belyser ett enkelt faktum: gradens fördelning återspeglar blygsamma begränsningar av den övergripande nätstrukturen [33] och är därmed svaga åtgärder för att identifiera produktionsmekanismer [34]. Här genomför vi ett brett test av universaliteten i skalfria nätverk genom att tillämpa toppmoderna statistiska metoder på en stor och mångfaldig krets av verkliga nätverk. För att ta hänsyn till variationen i hur skalfria nätverk har definierats i litteraturen formaliserar vi en uppsättning kvantitativa kriterier som representerar olika styrkor och typer av bevis för skalfri struktur i ett visst nätverk. Dessa kriterier gör det möjligt för oss att utvidga den skalfria hypotesen utanför området för enkla (oviktade, oriktade, statiska) grafer och därmed göra en mer fullständig utvärdering av dess universalitet. För var och en av 927 nätverksdatamängder som hämtats från alla vetenskapsområden, uppskattar vi den bäst lämpade power-law-modellen, testar dess statistiska rimlighet, och sedan jämför den med ett sannolikhetsförhållande test till alternativa icke-skalefria distributioner. Vi analyserar dessa resultat kollektivt, och sedan överväga hur bevisen för skalfri struktur varierar mellan olika domäner. Vi avslutar med en framåtblickande diskussion om den empiriska statusen för den skalfria hypotesen och ger förslag till framtida forskning om nätverkens struktur.  En viktig del i vår utvärdering av den skalfria hypotesen är uppbyggnaden av en strukturellt och vetenskapligt diversifierad corpus av verkliga nätverk. Vi ritade 927 nätverksdataset från Index of Complex Networks (ICON), ett omfattande online-index av forskningskvalitet nätverksdataset, som spänner över alla vetenskapsområden [35]. Denna corpus omfattar nätverk från biologiska, informativa, sociala, tekniska, och transport domäner, och som varierar i storlek från hundratals till miljontals noder. På grund av den naturliga obalansen i ICON-indexet är distributionen av nätverk inom våra områden inte enhetlig (tabell I): ungefär hälften är biologiska nätverk, en tredjedel är sociala eller tekniska nätverk, och resten är informations- eller transportnätverk. Dessa nätverk spänner över fem storleksordningar i storlek, är i allmänhet glesa, med en typisk genomsnittlig grad av k 3 (Fig. 1), och i allmänhet uppvisar tung-tailed grad fördelningar. Den skalfria egenskapen kan tydligt definieras för enkla grafer, det vill säga för nätverk som är statiska, unipar-3 FIG. 2. Utgångspunkten är följande: En graf förenkling funktion, som tar som inmatning ett nätverk G. I detta fall, om G är riktad, funktionen returnerar tre grader sekvenser: in-grader, ut-grader och oriktade grader, medan om G är oriktad, det returnerar grad sekvensen. Bilaga A innehåller fullständiga uppgifter. tite, oviktad och oriktad. För sådana nätverk kan examensfördelningen erhållas otvetydigt. Men många verkliga nätverk är inte enkla, vilket komplicerar utvinningen av en examen distribution. Våra ICON corpus innehåller många nätverk som har olika kombinationer av riktade, viktade, bipartite, multigraph, temporal, och multiplex egenskaper. För varje egenskap kan det finnas flera sätt att extrahera en gradfördelning och därmed flera sätt att potentiellt testa den skalfria hypotesen. Vi löser dessa tvetydigheter genom att flytta perspektiv och tillämpa ett konsekvent förfarande. Först definierar vi ett nätverksdata som är ett visst nätverk i vår corpus, t.ex. ett riktat, viktat, multiplex-nätverk. Sedan, för varje nätverksdatamängd, extraherar vi en uppsättning enkla grafer och deras motsvarande gradsekvenser, som var och en kan testas för den skalfria egenskapen. Enligt detta förfarande skulle ett riktat nätverk producera tre enkla grafer och därmed tre grader sekvenser (Fig. 2), en för var och en av in-gradsekvensen, ut-gradsekvensen, och den oriktade gradsekvensen. Bilaga A ger fullständiga uppgifter om förfarandet för att extrahera en uppsättning enkla grafer från en nätverksdatauppsättning med godtyckliga egenskaper. Genom att tillämpa detta förfarande på våra 927 nätverksdatamängder får vi 4477 enkla grafer som fungerar som underlag för vår statistiska utvärdering. Vi utesluter från denna uppsättning någon graf med antingen mycket liten medelgrad k < 2 eller mycket stor medelgrad k > ε n. Detta filter tar bort 7376 extremt gles och 12,146 extremt täta grafer, som båda är högst osannolikt att skala fri. Vissa nätverksdatauppsättningar producerar enklare grafer än andra. Till exempel, ett oviktat, riktat temporalt nätverk med T ögonblicksbilder kommer att producera 3 T + 1) enkla grafer: 3 grafer för var och en av T ögonblicksbilder, och 3 grafer för tid-aggregation av alla ögonblicksbilder. Komplicerade nätverksdatamängder kan på så sätt producera ett kombinatoriskt antal enkla grafer. Därför kan behandling av varje graf oberoende i vår utvärdering av den skalfria hypotesen leda till skeva resultat, t.ex., om några icke-skalfria datauppsättningar står för en stor del av den totala extraherade enkla grafer. Vi kontrollerar för denna möjlighet genom att rapportera våra resultat i termer av nätverksdata, snarare än för enskilda grafer. Alla versioner av den skalan fria hypotesen inkluderar någon form av uttalande om ett nätverk examen struktur efter en power-law distribution. Ett första metodkrav för en bred utvärdering av de empiriska bevisen för eller emot universaliteten i skalfria nätverk är förmågan att testa om en viss examenssekvens är förenlig med en makträttslig fördelning. För denna fråga använder vi toppmoderna statistiska metoder [31], som gör det möjligt för oss att välja den bäst lämpade maktlagen, testa dess statistiska rimlighet och jämföra kvaliteten på dess passform med alternativa icke-skalfria distributioner. Ett andra metodiskt krav härrör från vår expansion av den skalfria hypotesen till icke-enkla nätverk. Eftersom en given nätverksdatauppsättning kan producera en hel uppsättning gradsekvenser, definierar vi fem uppsättningar kriterier, som representerar olika grader av bevis för att en viss nätverksdatauppsättning uppvisar skalfri struktur. Datauppsättningar som inte uppfyller något av dessa kriterier anses ej Skalafria. Fyra uppsättningar av dessa kriterier är inbäddade, och representerar det iterativa tillägget av olika egenskaper, alla som finns i nätverksvetenskaplig litteratur, om egenskaperna hos makt-lag examen distributioner. Den femte uppsättningen representerar den svagaste möjliga versionen av den skalfria hypotesen, där det bara krävs att de icke-skalfria distributionerna är relativt sämre modeller av de observerade graderna än maktlagen. Att uppfylla detta kriterium ger inte några direkta bevis för förekomsten av skalfri struktur, eftersom nätverk som enbart uppfyller dessa kriterier fortfarande skulle kunna förkasta maktlagen som en direkt modell för sin examenssekvens. För varje grad sekvens k 1, k 2,. .., k n, vi uppskattar den bäst lämpade makt-lag distribution modell, där innebär att makt-lag form håller över något minimivärde k min. I denna form är α den skalande exponenten och C är normaliseringskonstanten. Gradfördelningarna är heltalsvärderade och därför låter vi k vara diskret. I litteraturen antas det ofta att makt-lag formen inte får hålla för den minsta grad hörn. För att möjliggöra denna möjlighet, uppskattar vi gemensamt parametern α för en power-law modell av den övre svansen av grad fördelningen, och det lägsta värdet k min för vilken den modellen passar [31]. Tekniska detaljer för detta skattningsförfarande anges i bilaga B. Att anpassa kraftförsörjningsfördelningen kommer alltid att returnera vissa värden gaffelmin och α, men dessa ger ingen indikation om huruvida den monterade modellen är en statistiskt rimlig förklaring av uppgifterna. För att bedöma denna egenskap hos den monterade 4 modellen, använder vi en good-of-fit test (se bilaga B) för att få ett standard p-värde. Efter standard praxis i denna inställning [31], om p ≥ 0,1, då anser vi att gradsekvensen att vara rimligt skala fri, medan om p < 0,1, vi förkastar skalfri hypotes. När väl power-law-modellen har monterats i gradsekvensen, och dess rimlighet har utvärderats, överväger vi om den passar bättre för data än flera alternativa, icke-skalfria distributioner. Detta steg är avgörande eftersom oförmågan att förkasta makt-lag hypotesen inte garanterar att makt-lagen är den bästa beskrivningen av en examen sekvens. För att avgöra om en skalfri distribution är bättre än alternativa heavytailed fördelningar, jämförde vi den monterade kraftlagen med (i) exponentiellt, (ii) log-normal, (iii) effekt-lag med exponentiell cutoff, och (iv) sträckt exponentiell eller Weibull fördelningar (Tabell II), som alla tidigare har använts som modeller av grad fördelningar [36] [37] [38] [39] [40]. Varje alternativ modell är utrustad med maximal sannolikhet till empiriska grader k ≥k min, med min ges av power-law passform, vilket säkerställer att jämförelsen med power-law modellen inte är orättvis [31]. Den effekträttsliga passformen jämförs med alternativ som använder en sannolikhetskvotprovning (se tillägg D), som använder skillnaden i log-likelihoods mellan effekt-lag och alternativa modeller som en teststatistik: där L PL är log-likelihood för effekt-law-modellen och L Alt är log-likelihood för en viss alternativ modell. Tecknet på R anger således vilken av de två modellerna som är gynnad, maktlag (R > 0) eller alternativ (R < 0). En viktig egenskap hos sannolikhetsförhållandet test, dock, är ett tredje resultat: R = 0, vilket indikerar att uppgifterna inte tillåter en åtskillnad mellan modellerna, dvs. inte heller gynnas jämfört med den andra. Eftersom R härleds från data, är det i sig en slumpmässig variabel och därmed föremål för statistiska variationer [31, 41]. Som ett resultat, tecknet på R är bara meningsfullt om vi kan avgöra att  på R är tillräckligt långt från 0 för att ge en tydlig slutsats. Standardlösningen för att bestämma hur R ska tolkas är en annan hypotes, där vi beräknar ett p-värde mot en nullmodell av R = 0. Om p ≥ 0,1 är tecknet på R inte informativt och uppgifterna kan inte tala om för oss vilken modell, makt lag eller alternativ, är en bättre passform. Om p < 0,1, då data ger en tydlig slutsats till förmån för en modell eller en annan. För att rapportera resultat på nivån för en hel nätverksdatamängd, tillämpar vi sannolikhetskvoten tester på alla tillhörande enkla grafer och sedan aggregera resultaten. Specifikt, för varje alternativ distribution, räknar vi antalet enkla diagram i samband med en viss nätverksdata som resultatet gynnade alternativet, gynnade kraftlagen, eller hade ett ofullständigt resultat. Normalisering av dessa värden över utfallskategorier ger ett kontinuerligt mått på de relativa bevisen för att datamängden ingår i var och en av kategorierna. De metoder som beskrivs ovan kan användas för att avgöra om graden sekvens av en viss enkel graf är övertygande skala fri. Eftersom nätverksdatamängder kan ge upphov till många enskilda grafer till följd av förenklingar, är resultatet för någon av flera grafer inte tillräckligt bevis för att hela nätverksdatamängden är eller inte är övertygande skala fri. I stället bör statusen för en datamängd för nätverket bero på de resultat som härletts från alla dess motsvarande enkla diagram. För att fånga de olika nivåer och typer av bevis på skalfri struktur som vårt batteri av tester kan producera, definierar vi fem uppsättningar kriterier för en nätverksdatauppsättning (Fig. 3)............................................................... Den svagaste möjliga definitionen av ett skalfritt nät, som vi kallar Super-Weak, är ett nät där maktlagens form bara är en bättre beskrivning av examensfördelningen än alternativ, oavsett om maktlagen i sig är en övertygande modell för examina. En nätverksdatauppsättning klassad som Super-Weak är inte nödvändigtvis skalan fri över huvud taget, och medlemskap i denna kategori visar helt enkelt att graden av strukturen för nätverksdatauppsättningen inte är uppenbart inte skalan-fri. Formellt definierar vi denna kategori som ett indirekt bevis på skalfri struktur enligt följande. • Super- Svag: För minst 50% av grafer, ingen av de alternativa distributioner gynnas framför maktlagen. De fyra återstående definitionerna är inhägnade och representerar ökande nivåer av direkta bevis för att nätdatamängdens gradstruktur är skalfri: • Svagast: För minst 50 % av graferna kan powerlaw-hypotesen inte förkastas (p ≥ 0,1). • Svag: Kraven för den svagaste uppsättningen, och det finns minst 50 noder i fördelningens svans (n svans > 50). • Stark: Kraven i Svag uppsättning, och att både 2 <α < 3, och för minst 50% av grafer ingen av de alternativa fördelningarna gynnas jämfört med makt-lagen. • Starkast: Kraven i den starka uppsättningen för minst 90% av grafer, snarare än 50%, och för minst 95% av grafer ingen av de alternativa fördelningarna gynnas jämfört med makt-lagen. Progressionen från Svagaste till Starkaste kategorier representerar tillägget av mer specifika egenskaper av power-law examen distribution, alla finns i litteraturen på skalfria nätverk eller distributioner. I stort sett, dessa egenskaper spänner kräver att ett tillräckligt antal noder vara i skalning systemet, att skalningsparametern α faller inom ett visst intervall, och att power-law modellen gynnas framför alternativ. Kräver minst 50 poäng i svansen av fördelningen är en ganska 5 FIG. 3............................................................... Taxonomi för skalfria nätverksdefinitioner, i syfte att öka de statistiska bevis som krävs: i) Super- Svag skala-fri hypotes, vilket innebär att den makt-lag form är inte själv statistiskt rimlig men är mindre osannolika än alternativ; ii) Svagaste, vilket innebär rimlig makt-lag distribueras; iii) Svag, lägga till minst 50 observationer i svansen; iv) Stark, också kräver 2 <α < 3; och v) Starkaste, öka den andel av grafer som måste uppfylla kraven. Super-svagheten överlappar de svaga definitionerna och innehåller de starka definitionerna som specialfall. Nätverk som inte uppfyller något av dessa kriterier anses inte vara skalfria. Svagt krav på att utesluta fall där vi uppenbarligen passar för buller. I den starkaste kategorin bestäms tröskeln på 90 % av graferna av vårt val av felfrekvensen typ I för hypotestestet "good-of-fit". Om alla diagram för en datamängd för ett nätverk verkligen är skalan fria, kommer godhet-of-fit testet förväntas felaktigt avvisa power-law modellen p = 0,1 av tiden. Valet av 95 % för jämförelsen med de alternativa distributionerna följer en liknande logik. För att utvärdera riktigheten av dessa metoder testade vi dem på tre klasser av syntetiska nätverk med matematiskt välförstådda gradfördelningar. Två mekanismer producerar skalfria nätverk (en riktad version av förmånsbilaga [42] och en riktad vertex-kopiamodell [43] ), och en gör inte det (enkel Erdős-Rényi slumpmässiga diagram). Tillämpad på syntetiska nätverk som genereras av dessa mekanismer placerade vår metodik korrekt de syntetiska datamängderna i skalfria kategorier som lämpar sig för deras genereringsparametrar, dvs. datauppsättningar med preferensfäste och vertex-kopiering kategoriserades som skalfria nätverk, medan Erdős-Rényi slumpmässiga diagram inte var det (se bilaga E).  Vi börjar undersöka de empiriska bevisen för universaliteten av skalfria nätverk genom att överväga fördelningen av uppskattade effekt-law skalningsparametrar Pr(α), både för corpus övergripande och för varje grupp av datamängder som sträcker sig från Super- Svag till Starkaste evidenskategorier. Vi överväger sedan hur den monterade powerlaw-distributionen går i förhållande till alternativa distributioner över datamängder. Slutligen kombinerar vi dessa resultat för att bilda en kvantitativ bedömning av de relativa bevisnivåerna för skalfri struktur för alla datauppsättningar i corpus och av datauppsättningar som hämtats från olika domäner. En enkel sammanfattning av varje datamängd i nätverket är den medianskalningsparameternα bland dess motsvarande enkla grafer. Över corpus, den totala fördelningen av medianparametrar är koncentrerad runt ett värde av α = 2, men också uppvisar en lång höger-tail, med 32% av datamängder har α ≥ 3 (Fig. 4)................................................................. Räckvidden 2 < α < 4 identifieras ibland som den mest emblematiska av skalfria nätverk [9], och vi finner att 43 % av nätverksdatamängderna har uppskattat parametrar i detta område. Men vi finner också att nästan 31% av nätverksdatamängderna uppvisar en medianparameter i intervalletα < 2, vilket är ett relativt ovanligt värde i den skalfria nätverkslitteraturen. De maktfördelningar som representeras av dessa små parametrar är dock inte nödvändigtvis statistiskt rimliga. Därför är formen eller koncentrationen av denna övergripande distribution inte bevis för eller emot universaliteten i skalfria nät. En enkel kontroll av våra resultat är om det finns ett tydligt samband mellan storleken på ett nätverk n och den medianeffekt-lag parameterα-en stark korrelation, i antingen positiva eller negativa riktningar, kan tyda på en systematisk skevhet i vår 6 FIG. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Medianα parameter som funktion av nätverksdatamängd storlek n. Ett horisontellt band belyser kanoniska 2 ≤ α ≤ 3 intervallet och illustrerar den breda mångfalden av uppskattade powerlaw parametrar över empiriska nätverk. Metod. Istället finner vi knappt någon korrelation mellan n ochα, med r 2 = 0,06 (p = 4×10 −13 ), vilket tyder på små tecken på systematiska fördomar (Fig. 5).................................................................. Fördelningen av medianα-parametrar varierar avsevärt mellan de fem kategorierna av belägg för skalfri struktur (Fig. Fyra infällningar). För dataset som faller in i Super- Svag kategori, hittar vi en distribution med bredd liknande den för den totala fördelningen, med en lång höger-tail och många dataset medα > 3. Endast en handfull dataset med α < 2 uppvisar även SuperWeak eller Svagaste bevis för skalfri struktur. I vår corpus, dessa särskilda datamängder motsvarar planar nätverk, som representerar mycel svamp eller slem mögel tillväxtmönster [44]. Även bland de svagaste och svagaste kategorierna är fördelningen av medianα-parametrar fortfarande bred, med en betydande fraktion som uppvisar α > 3. De starkaste och starkaste kategorierna kräver att α  till [2, 3] och vi finner att de få nätverksdatamängderna i dessa kategorier är något mer utbredda nära α = 2. Oberoende av om power-law-modellen är en statistiskt rimlig förklaring av en viss gradsekvens kan en modelljämförelse mellan den installerade kraftlagen och alternativa fördelningar vara lärorik. I synnerhet kan sannolikhetskvotens test avslöja om någon annan fördelning är en lika bra eller till och med bättre anpassad till uppgifterna. Och, ett resultat där en makt lag är både en statistiskt rimlig modell av data och en bättre modell än alternativ ger starka bevis för skalfri struktur. Tvärs över våra corpus av nätverksdata uppsättningar, sannolikhet förhållande tester finner endast blygsamt stöd för el-lag distribution över alternativ (Tabell II). Till exempel, den exponentiella fördelningen, som uppvisar en tunn svans och relativt låg varians, gynnas över maktlagen (36%) nästan lika ofta som maktlagen gynnas över exponentiellt (37%). Detta resultat överensstämmer med den breda fördelningen av skalningsparametrar, som när α > 3 (Fig. 4, 32% av datamängder), grad fördelningen måste ha en relativt tunn svans. Log-normalen är en bred fördelning som kan uppvisa mycket tunga svansar, men som ändå inte är skalan fri. I datamängderna ser vi att log-normalen är gynnad mer än tre gånger så ofta (45%) över maktlagen, än vice versa (12%), och testerna är ofullständiga i resten av fallen (43%). I 88 % av fallen var alltså log-normalen minst lika bra som maktlagen för examensfördelningen. Detta beteende återspeglar det välkända faktum att log-normaler och makt lagar är i allmänhet mycket svårt att skilja med finita-stora prover [31]. Weibull eller sträckt exponentiell fördelning kan producera både tunna eller tunga svansar, och är en generalisering av den exponentiella fördelningen. Precis som det lognormala finner vi att Weibull oftare är en bättre statistisk modell för examensfördelningen (42 %) än maktlagen (33 %). Slutligen kräver maktdelningen med en exponentiell avstängning särskild hänsyn, eftersom den innehåller den rena maktlagsmodellen som ett specialfall. Som ett resultat av detta kan sannolikheten för maktlagen aldrig överstiga den för cutoff modellen, och det intressanta resultatet är i vilken grad testet är ofullständigt mellan de två. Vi finner att drygt hälften av datauppsättningarna gynnar cutoff-modellen framför den rena power-law-modellen, vilket tyder på att i den utsträckning som skalfria nätverk är universella, ändliga storlekseffekter i den extrema övre svansen är ganska vanligt. Med tanke på resultaten av monteringen och testningen av ellagens distribution över nätdatamängder, och resultaten av jämförelsen av den modellen med alternativa modeller, kan vi nu klassificera var och en efter graden av bevis det ex- Hibits för skalfri struktur. Följaktligen tilldelas varje datamängd i nätverket en av de fem kategorier som beskrivs i avsnitt II B, eller klassificeras som Ej Skalafri. Över våra corpus, helt 43% av nätverksdata som faller in i denna senare kategori, medger inga bevis alls för skalfri struktur (Fig. 6 ) och 6 )............................................................................................................... Något mer än hälften (52 %) faller inom kategorin Super- Svag, där ett skalfritt mönster bland graderna inte i sig är statistiskt rimligt, men fortfarande marginellt mer rimligt än alternativa fördelningar. De svagaste och svagaste kategorierna representerar nätdataset där själva elmarknadsdistributionen är en statistiskt rimlig modell för näts gradfördelning. I det svaga fallet omfattar denna kraftlagsskalning minst 50 noder, vilket är ett relativt blygsamt krav. Dessa två kategorier står för 33 % respektive 24 % av datamängderna, vilket tyder på att direkta statistiska belägg för en skäligt skalfri gradfördelning i själva verket är relativt ovanliga. Slutligen kan endast 11 % och 4 % av nätverksdatamängderna klassificeras i de starka respektive starkaste kategorierna, där maktdelningen inte bara är en statistiskt rimlig modell av gradstrukturen, utan exponenten faller inom det speciella α-området [2, 3] och maktlagen är en bättre modell av graderna än alternativ. Sammantaget tyder dessa resultat på att verkligt skalfria nätverk är anmärkningsvärt sällsynta, och skalfri struktur är inte ett universellt mönster. Balansen mellan bevis för eller mot skalfri struktur i vår corpus varierar också beroende på nätverksdomän (Fig. 7)................................................................. I vilken utsträckning olika områden uppvisar bevis för en skalfri struktur bör klargöra det förflutna och utforma framtida insatser för att utveckla nya strukturella mekanismer. Här fokuserar vi vår analys på nätverksdatauppsättningar från tre områden: biologiska, sociala och tekniska, som utgör 91% av vår corpus. Bland biologiska nätverk saknar en stor majoritet några direkta eller indirekta tecken på skalfri struktur (61% Not Scale Free; Bild. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. De ovan nämnda svampnätverken utgör en stor del av dessa Not Scale Free-nätverk, men denna grupp innehåller också vissa proteininteraktionsnätverk och vissa matvävar. Bland de återstående nätverken uppvisar ungefär en tredjedel endast indirekta bevis (35 % Super-Weak), och en blygsam fraktion uppvisar den svagaste formen av direkta bevis (22 % Svagast). Denna senare grupp omfattar katt- och råtthjärnan connectomes. Jämfört med corpus som helhet, biologiska nätverk är något mer benägna att uppvisa den starkaste nivån av direkta bevis för skal-fri struktur (6% Starkaste), och dessa är främst metaboliska nätverk. De sociala nätverken ger däremot en annan bild, på två specifika sätt. För det första saknar en minoritet av de sociala nätverken direkta eller indirekta bevis för en skalfri struktur (19 % inte skalan fri; bild. 7b), och en stor majoritet uppvisar indirekta bevis (71% Super- Svag). Den tidigare gruppen inkluderar 2006 års snapshot av samarbeten inom nätverksvetenskap, och ett antal både Facebook online sociala nätverk, och styrelsenätverk. Super-Vak gruppen innehåller ett stort antal både Facebook vänskapsnätverk och styrelse av ledningsnätverk. Och för det andra, bland de kategorier som representerar direkta bevis på skalfri struktur, faller inte en enda nätverksdatamängd in i de starkaste eller starkaste kategorierna. Därför är de sociala nätverken i bästa fall endast i svag skala fria, där 70 % respektive 55 % uppvisar de svagaste eller svagaste direkta bevisen för skalfri struktur. De sociala nätverk som uppvisar svaga bevis inkluderar ungefär en tredjedel av Facebooks sociala nätverk på nätet och hälften av styrelsen för ledningsnätverk. Tekniska nätverk uppvisar den minsta andelen nätdatamängder för vilka det inte finns några direkta eller indirekta tecken på skalfri struktur (7 % inte skalan fri; bild. 7c ), och den största andelen uppvisar indirekta bevis (92% Super- Svag). Den tidigare gruppen omfattar vissa digitala kretsnät och vattendistributionsnät. Bland de kategorier som representerar direkta bevis uppvisar mindre än hälften den svagaste formen av direkta bevis (43 % svagast). Denna grupp omfattar ungefär hälften av de autonoma nätverken i CAIDA, flera peerto peer-nätverk och några digitala nätverk. I motsats till biologiska eller sociala nätverk uppvisar dock tekniska nätverk en blygsam del av nätverken med starka direkta bevis på skalfri struktur (28 % stark). Nätverken i denna kategori omfattar den andra halvan av CAIDA-diagrammen. Men knappast något av de teknologiska nätverken uppvisar den starkaste nivån av direkta bevis (1% Starkast). Genom att utvidga den skalfria nätverkshypotesen till att omfatta nätverk som inte var enkla kunde vi dra nytta av ett mycket större utbud av empiriska nätverksdatamängder. Det är därför möjligt att de många icke enkla nätverksdatamängder som vi analyserade har distinkta strukturella mönster från enkla nätverk, och därmed är mindre benägna att uppvisa ett skalfritt mönster. Vi testar för denna möjlighet genom att undersöka klassificeringarna av 187 enkla nätverk inom corpus. Bland dessa nätverk uppvisar en minoritet varken direkta eller indirekta bevis för skal-fri struktur (24% Not Scale Free), och en blygsam majoritet uppvisar åtminstone indirekta bevis (66% Super-Weak; Jämfört med den totala corpus, ungefär dubbelt så många enkla nätverk uppvisar svaga direkta bevis, och ungefär samma andel uppvisar starka direkta bevis. Dessa skillnader kan delvis förklaras av fördelningen av enkla grafer efter domän, eftersom 73 % av enkla grafer i corpus är sociala, som uppvisar liknande proportioner över evidenskategorierna. Därför håller den allmänna sällsyntheten i skalfria nätverk även när vi begränsar vår analys till enkla grafer, och vårt införande av icke-enkla grafer har inte skurit våra resultat. För att utesluta potentiella fördomar i våra starkare skalfria definitioner mot hypotesen undersöker vi också resultaten när vi tar bort kraftlagen med exponentiell avstängning från vår lista över alternativa distributioner. Eftersom maktlagen är ett specialfall av maktlagen med cutoff, kan vår sannolikhetskvot test bara vara ofullständig eller resultera till förmån för maktlagen med cutoff. I det fall där kraftlagen med cutoff är den bästa modellen, kan detta fall inte placeras i de starkaste eller starkaste skalfria kategorierna per definition. Vi fann inledningsvis att 10,6 % av datamängderna tillhör den starka kategorin. När vi inkluderar datauppsättningar för vilka kraftlagen med exponentiell avstängning gynnades av kraftlagen, ökar detta obetydligt till 11,4 % av datauppsättningarna. Dessutom, om vi också tar bort begränsningen av intervallet för α, den procentuella andelen datamängder i denna starka kategori ökar till 23%. Detta ligger mycket nära resultaten för den svaga kategorin (24 %), vilket tyder på att majoriteten av minskningen från den svaga till den starka beror på införandet av gränserna för α snarare än kravet mot att gynna alternativa distributioner. Det finns en liknande försumbar ökning av antalet dataset i den starkaste kategorin, från 3,8% till 4,4% när vi tillåter dataset för vilka kraftlagen med exponentiell cutoff gynnas. Allt detta är förenligt med det faktum att byggandet av våra sannolikhet-förhållande tester gynnar makt-lag distributionen eftersom vi använder k min som maximerar sannolikheten för makt-lag passform. För att sammanfatta: över en stor och varierad corpus, vi finner att det är anmärkningsvärt sällsynt för ett nätverk data som visar den starkaste formen av direkta bevis på skalan fri struktur, och detta faktum gäller över olika domäner. Kom ihåg att den starkaste bevisnivån kräver att den bäst lämpade maktdelningen (i) i sig själv är statistiskt rimlig och har en uppskattad parameter i intervallet α  på [2, 3] och (ii) är minst lika bra en modell som alla alternativ. Därför innebär bristen på nät som uppfyller dessa kriterier att en storfri distribution i allmänhet sällan är den bästa modellen för ett näts examina. Eller, med andra ord, vi finner i grund och botten inga empiriska bevis för att stödja den speciella status som maktlagen har haft inom nätverksvetenskapen som utgångspunkt för modellering och analys av strukturen i verkliga nätverk. Istället är det ett empiriskt faktum att verkliga nätverk uppvisar en rik variation av grader strukturer, av vilka relativt få är övertygande skala fritt. Genom att utvärdera nästan 1000 olika verkliga nätverksdatamängder från ett brett spektrum av vetenskapliga domäner, finner vi att äkta skalfria nätverk är sällsynta. Faktum är att mindre än 45 nätverksdatamängder (4 %) uppvisade den starkaste nivån av direkta bevis för skalfri struktur, och endast 33 % av nätverksdatamängderna uppvisade den svagaste formen av direkta bevis, där en maktlag åtminstone är en statistiskt rimlig modell av någon del av den övre delen av examensfördelningen. Avslappning av kriterierna ännu mer, för att endast tillåta indirekta bevis på skalfri struktur i examensfördelningen, medger endast 52 % av nätverksdatamängderna, och nästan hälften (43 %) av datamängderna kan anses vara Inte Skalafria, vilket innebär att de inte visade några direkta eller indirekta bevis för skalfri struktur. Dessa resultat klargör den empiriska statusen för det gemensamma påståendet att skalfria nät är universella och tyder på att sådana påståenden i allmänhet inte är empiriskt grundade. På olika vetenskapliga områden är bevisen för skalfri struktur i allmänhet svaga, men varierar något på intressanta sätt. Dessa skillnader ger vissa antydningar om var äkta skalfri struktur kan existera. Vi finner t.ex. något starkare bevis för att skalfri struktur förekommer i vissa biologiska och tekniska nätverk. Detta bevismönster stämmer överens med vissa teoretiska arbeten om domänspecifika mekanismer för att generera skalfri struktur, t.ex. i biologiska nätverk via den väletablerade dupliceringsmodellen för molekylära nätverk [3, 14, 45] eller i vissa typer av tekniska nätverk via högt optimerad tolerans [18, 46]. Däremot finner vi att de sociala nätverken i bästa fall är svagt skalfria, vilket tyder på att om mekanismer som preferensbindning [1, 12, 13] eller dess många varianter [15, 16] fungerar i dessa sammanhang, är de starkt förbryllade av andra mekanismer som orsakar statistiskt signifikanta avvikelser från den förväntade maktlagens form. Klassobalansen i corpus hindrar oss från att dra breda slutsatser om förekomsten av skalfri struktur i informationsnätverk eller den teoretiska relevansen av skalfria mekanismer inom detta område. De få informationsnätverk vi analyserade gav dock föga indikationer på att de skulle uppvisa starkt olika strukturella mönster som domänerna med bättre representation i vår corpus. Generellt sett ser de blygsamma skillnaderna i bevisbalansen mellan de tre områden för vilka vi fick tillräckligt stora urvals-sociala, biologiska och teknologiska nätverk-seem för att stödja en allmän slutsats att det sannolikt inte finns någon enda universell mekanism, eller ens en handfull mekanismer, som kan förklara den stora mångfalden av grader strukturer som finns i verkliga nätverk. Misslyckandet att hitta universella mönster i graden av nätverksstruktur tyder på att en hel del fortfarande är okänt om hur nätverk från olika domäner skiljer sig åt och vilken typ av strukturella mönster som är vanliga inom dem. Vi ser fram emot nya undersökningar som beskriver dessa skillnader och likheter. Den empiriska sällsyntheten i skalfria nätverk ger både ett pussel och en möjlighet. Det starka fokuset på skalfria mönster under nästan 20 år har inneburit relativt mindre är känt om alternativa mekanismer som producerar icke-skalfria strukturmönster. Därför kommer en viktig riktning för framtida arbete inom nätverksteorin att vara utveckling och validering av nya mekanismer för att generera mer realistiska gradstrukturer i nätverk. Likaså kan teoretiska resultat om beteendet hos dynamiska processer som körs ovanpå nätverk, inklusive spridningsprocesser som epidemiologiska modeller eller påverkansmodeller, behöva omprövas mot bakgrund av den genuina strukturella mångfalden i verkliga nätverk. De statistiska metoder och beviskategorier som utvecklas och används i vår undersökning ger ett kvantitativt rigoröst sätt att bedöma om vissa nätverk uppvisar skalfri struktur eller inte. Deras tillämpning på en ny uppsättning nätverksdata bör göra det möjligt för framtida forskare att avgöra om skalfria modelleringsantaganden är empiriskt motiverade. Dessutom utgör stora corpora av verkliga nätverk, liksom den som används här, en kraftfull, datadriven resurs genom vilken man undersöker den strukturella variabiliteten i verkliga nätverk. Sådana corpora skulle kunna användas för att utvärdera den empiriska statusen hos många andra breda påståenden i nätverk litteratur, inklusive tendensen av sociala nätverk att uppvisa höga kluster koefficienter och positiv grad assortativitet [47], prevalensen av småvärlden fenomen [48], prevalensen av "rika klubbar" i nätverk [49], allmänheten i samhället [50] eller hierarkisk struktur [51], och förekomsten av "super-familjer" av nätverk [52]. Vi ser fram emot dessa undersökningar och de nya insikter som de med säkerhet kommer att föra till vår förståelse av nätverkens struktur och funktion. ERKÄNNANDEN
Att upprätthålla elmarknadsdistributionen är dock varken nödvändigt eller tillräckligt, eftersom det i en nyligen genomförd studie REF har konstaterats att verkliga nät med elmarknadsdistribution är mycket sällsynta.
Scale-free networks are rare
{'venue': 'Nature Communications 10, 1017 (2019)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Biology', 'Medicine', 'Physics', 'Computer Science', 'Mathematics']}