Abstrakt. Vi beskriver den singular locus av komprimeringen av moduli utrymme R g,l av kurvor av släktet G pared med en l-torsion punkt i deras Jacobian. Generalisera tidigare arbete för l ≤ 2, vi beskriver också sublocus av icke-kanoniska singulariteter för alla positiva heltal l. För l ≤ 6 och l = 5 gör detta att vi kan ge ett lyftresultat på pluriconical former spelar en viktig roll i beräkningen av Kodaira dimension R g,l : varje pluriconical form på den släta locus av modulen utrymme sträcker sig till en desingularisering av den kompakterade modulen utrymme. Den modulära kurvan X 1 (l) := H/Γ 1 (l) som klassificerar elliptiska kurvor tillsammans med en l-torsionspunkt i deras Jacobian är bland de mest studerade objekten i aritmetisk geometri. Den birationella geometrin i de högre generaliseringarna av släktet och deras varianter (t.ex. theta egenskaper) har systematiskt studerats och visat sig vara, i många fall såsom l = 2, bättre förståelig än den underliggande moduli utrymme kurvor M g. Som ett exempel, hänvisar vi till den fullständiga beräkningen av Kodaira dimension av alla komponenter i moduli av theta egenskaper (L  på 2  på =...), se [21, 12, 14, 15]. I detta dokument, för g ≥ 2 och för alla positiva nivåer l, anser vi att modulen utrymme R g, l parametrizing level-l kurvor, dvs.. tripletter (C, L, L) där C är en slät kurva utrustad med ett linjepaket L och en trivialisering Eftersom Kodaira dimension av R g,l definieras som Kodaira dimension av en godtycklig upplösning av singulariteter av dess slutförande R g,l, det första steget mot den birationella klassificeringen av R g,l är studien av singular locus Sing(R g,l ) av sådan slutförande. Mer exakt måste man bestämma sublocus Sing nc (R g,l ) Sing(R g,l ) av icke-kanoniska singulariteter. För l = 2 har denna analys utförts av den andra författaren och Ludwig [13] med hjälp av Cornalbas kompaktering i form av kvasistabila kurvor [6] av R g,2. Självklart kan vi utelämna fallet l = 1, som sammanfaller med Deligne och Mumfords functor av stabila kurvor M g = R g,1. Övergången till alla högre nivåer presenterar en ny egenskap från Abramovitjs och Vistolis teori om stabila kartor till staplar: punkterna i kompakteringen kan inte tolkas i termer av l-torsionslinjepaket på en schema-teoretisk kurva, utan snarare på en stack-teoretisk kurva. I stället för ovanstående tripletter (C, L  på bilden (C): där C är en endimensionell stack, vars noder kan ha icke-triviala stabilisatorer μ μr μ μ μ l, och där L → C är en linje bunt vars fibrer är trogna representationer, se definition 1.5. Detta ger en kompaktering som representeras av en smidig Deligne-Mumford stack. Forskning av den första författaren som delvis stöds av ANR-bidraget ThéorieGW. Forskning av den andra författaren delvis stöds av Sonderforschungsbereich 647 Raum-Zeit-Materie. I analogi med moduli utrymme för stabila kurvor M g, gräns locus R g, l \ R g, l kan beskrivas i termer av kombinatorik standard dual graf Ε vars hörn motsvarar irreducerbara komponenter i kurvan och vars kanter motsvarar noder av kurvan. I §1.4-4 återkommer vi till denna välkända beskrivning genom att betona den naturliga rollen av ett extra multiplicitetsdatum som berikar grafen. Den stackteoretiska strukturen i den underliggande kurvan C och linjepaketet L → C bestäms, lokalt vid en nod, genom att tilldela varje orienterad kant e ett tecken χ e  och Hom(μ μ μ r, G m ) = Z/r  och Z/l av stabilisatorn. Till varje gränspunkt bifogar vi därför en dubbel graf och en Z/l-värderad 1-kochain M : e → χ e i C 1 (Γ; Z/l) som vi hänvisar till som multiplicitet i nivåkurvan. (Proposition 1.10 erinrar om att en multiplicity co-chain uppstår vid gränsen om och endast om den ligger i kärnan av ∂ : För att beskriva den singular locus av R g,l, lyfter vi till moduli av nivåkurvor ett resultat av Harris och Mumford [16] visar att, för g ≥ 4, den lokala strukturen Def(C) / Aut(C) av M g är singular om och endast om C är utrustad med en automorfism som inte är produkten av "elliptiska svans involutioner" (ETI kort sagt): per definition, ett ETI fungerar nontrivially på kurvan C endast vid en genus-1 komponent E som uppfyller resten av kurvan på exakt en nod n; dess begränsning till "tail" (E, n) är den kanoniska involution. Dessa automorfismer är de enda icke-triviala automorfismerna av kurvor (och även av nivåkurvor) som inte ger singularitet: deras verkan på moduli är helt enkelt en kvasireflexion. Ett exempel på en punkt i N 1 ges genom att välja en svans (E, n) med Aut(E, n)  till = μ μ 6. Denna typ av kurvor fyller upp en codimension-2 locus inom en codimension-2 locus inom M g och en sublocus T 1  på N 1 som spelar en anmärkningsvärd roll i detta papper. Ordning 6 automorfism α spänner över Aut (E, n) och fixering C \ E är helt klart inte en produkt av ETI och, viktigast, ger en icke-kanonisk singularitet. Detta kan kontrolleras med Reid- Shepherd- Barron- Tai- kriteriet: α fungerar på det reguljära utrymmet Def( C)/ ETI som (visar att dessa speciella svanskurvor är de enda möjliga kurvor som bär på en junior (dvs. som är yngre än 1) automorfism; detta motsvarar följande uttalande. Generaliseringen av detta uttalande till nivå-l kurvor är subtil på grund av ett nytt fenomen: stack-teoretiska kurvor C kan utrustas med spöka automorfismer a. Aut C (C) som fixerar alla geometriska punkter av C och ändå fungera nontrivially på stacken C. Gruppen Aut C (C) har helt bestämts av Abramovich, Corti, och Vistoli [1]; här beskriver vi spöken av nivåstrukturer (C, L, ) Loci N 1 och T 1 naturligt lyft till N l och T l inom R g,l. För definitionen av N l, ingen ändring behövs (begreppet ETI naturligt generaliserar till stack-teoretiska kurvor, definition 2.12). Locus T l ges genom att införa det extra villkoret att linjen bunten är trivial på släktet-1 svansen (se definition 2.12). För allmänna värden av l, vi har ordentliga inkluderingar N l Sing(R g,l ) och T l Sing(R g,l ). För att få Sing (R g,l ) måste man också inkludera hela locus av nivå kurvor med en icke-trivial spöken (hemsökta nivå kurvor) Likaså, för att få Sing nc (R g,l ) måste man ta unionen av T l och av locus av nivå kurvor hemsökta av en junior spöke där, som ovan, ålder hänvisar till åtgärden på den vanliga utrymme Def(C) / ETI. Sammanfatta ovanstående diskussion och dra nytta av den studie av H l och J l som genomfördes i Theorems 2.28, 2.42 och 2.45, ger vi den önskade utvidgningen av plurikanoniska former för l ≤ 6 och l = 5. Teorem. Låt g ≥ 4. Vi har dessutom locus J l är tom om och endast om 5 = l ≤ 6; därför, för g ≥ 4 och 5 = l ≤ 6, vi har för alla desingularisering R g,l → R g,l och för alla heltal q ≥ 0. Fallet l = 1 bevisas av Harris och Mumford i [16]. Fallet l = 2 bevisas av den andra författaren i samarbete med Ludwig [13] (efter Ludwigs arbete, [21]). Ovanstående formulering presenterar isomorfismen (1) som en följd av J l = ∅ (och Harris och Mumfords arbete på locus T 1 ). Frågan om huruvida (1) i de återstående fallen (för l = 5 eller l > 6) fortfarande är öppen. I denna riktning kan man utnyttja den fullständiga beräkningen av gruppen Aut C (C, L, ) som utförs i §2.4.
Denna idé verkar ha framträtt självständigt även i andra verk: Chiodo och Farkas REF studerar gränsen för modulutrymmet för nivåkurvor, vilket motsvarar en komponent i modulutrymmet för G-godtagbara omslag för en cyklisk grupp G, och titta på cykliska omslag i en godtycklig graf.
Singularities of the moduli space of level curves
{'venue': None, 'journal': 'arXiv: Algebraic Geometry', 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}