Vi introducerar och diskuterar generaliseringar av problemet med oberoende transversaler. Med tanke på en graf egenskap R, undersöker vi om någon graf av maximal grad som mest d med en vertex partition i klasser av storlek åtminstone p medger en transversal har egenskap R. I detta papper studerar vi detta problem för följande egenskaper R: "acyklisk", "H-fri", och "har anslutna komponenter av ordning som mest r". Vi stärker ett resultat av [13]. Vi bevisar att om vertex uppsättning av en d-regelbunden graf är indelad i klasser av storlek d+ d/r, Då är det möjligt att välja en transversell inducera vertex disheat träd på de flesta r hörn. Vårt tillvägagångssätt tillämpar lämpliga trianguleringar av simplex och Sperners Lemma. Vi fastställer också vissa begränsningar av kraften i denna topologiska metod. Vi ger konstruktioner av vertex-partitionerade grafer som medger inga oberoende transversaler som delvis löser en gammal fråga om Bollobás, Erdős och Szemerédi. En förlängning av denna konstruktion ger vertex-partitionerade grafer med liten grad så att varje transversal innehåller en fast graf H som en subgraf. Slutligen ställer vi flera öppna frågor.
Generaliseringar av problemet med oberoende tvärgående ämnen införs och diskuteras i REF.