Bevis: Låt S vara antalet kompletta (m?1)-simplexes i K m (färgad med f0; : :; m? 1g), där (m? 1)-simplexes i varje m-simplex beaktas separat, och räknas som +1 eller?1, av deras inducerade orienteringar. Vi hävdar att S = I och S = C. För att bevisa att S = I, överväga följande fall. Om en (m? 1)-ansiktet är internt, sedan bidrar det 0 till S, eftersom bidragen från de två m-simplex som innehåller det annullerar varandra. Självklart, en inre (m? 1)-ansikte bidrar 0 till I. En extern (m? 1)-face i gränsen av K m räknas samma, +1 eller?1 enligt orientering, i både S och I. Därför S = I. För att bevisa att C = S, överväga en m-simplex m, och titta på följande fall. Bevis: Anta hörnen av M( m ) är f0; 1; : :; mg. Låt mig vara den simplex i M( m ) märkt med f0; 1; : :; ig, och för i > 0, låt jag i, C i, vara index och innehållet i ( i ). Vi bevisar genom induktion på i att C i är udda; basen, i = 1, är trivial. Anta att fordran håller för m? 1. Vad är det för fel på dig? Således är innehållet C m?1 av (m?1 ) udda. Men C m?1 är lika med index I m av ( m ). Genom Index Lemma (Lemma 6.2), Jag m = C m. Det följer att det finns ett udda antal simplexer 2 ( m ) med ( ) = m, vid behov. 41 motsatta riktningar i ansiktet. Det vill säga, kedjan @( 1 + 2 ) har noll coe cient i ansiktet som 1 och 2 dela. En sådan orientering kallas sammanhängande, och delar m-simplexes i två klasser, så att simplexes som delar en (m? 1)-ansikte är i olika klasser. Lägg märke till att inriktningen på andra dimensioner än m kan vara godtycklig. Dessutom, om K m är orientalisk, då det har exakt till sammanhängande inriktningar. Nästa förslag följer direkt av en definition av pseudomanifold och av orienteringsförmåga. Proposition B.1 Låt K m vara en m-pseudomanifold med en sammanhängande orientering, och c den kedja som är summan av alla dess m-simplexes. Då @(c) är en kedja av (m? 1)-simplexes, som som en uppsättning är lika med bound(K m ). Låt E n vara ISE komplexet på inmatning n, där varje process utför ett xed antal steg. Teorem 5.14 Det finns en algebraisk spännvidd från M( n ) till E n. Bevis: Ge en godtycklig orientering till simplexes av M( n ) för att erhålla en kedja komplex C( M( n ) ). Av Theorem 5.9 vi vet att E n är en kromatisk uppdelad bild av M( n ) under. Genom Theorem 5.13 kan vi ge varje pseudomanifold ( ) en sammanhängande orientering, och få kedjekomplexet C(E n ). Låta _ vara den kedja karta som associerar till i 2 M ( n ), den kedja som är summan av de isimplexes som visas i ( ), med skylt de ned enligt följande: _ ( n ) är summan av n-simplexes i ( n ). Om _ ( i) har de ned, då _ (face j ( i)) är summan av (i? 1)-simplexes i (face j (i ))) med tecken (?1) j. Vi fortsätter att bevisa att _ är en kedja karta. Först, _ q är en välde ned homomorfism, eftersom det är de ned på simplexer (generatorerna i gruppen C q (M( n ))), och utökad linjärt. Nu, _ q ( q ) = c satis es hypotesen om Proposition B.1, och därmed @ 0 q (c) är lika med bundet ( q )), som en uppsättning. Eftersom @ q ( q ) är lika P q i=0 (?1) i ansikte i ( q ), och lika med bound( q ) som en uppsättning, och med det sista kravet på avgränsning av en uppdelad bild, har vi att @ 0 q q = q?1 @ q, eftersom orienteringarna motsvarar. Observera att med q = 0 använder vi Villkor 3 av De nition 4.1. Fix a coloring c av K m with f0; : :; mg. Låt oss komma ihåg att av Lemma 5.12, en kromatisk pseudomanifold K m är orientalisk om och endast om dess m-simplexes kan delas in i två olika klasser, sådan att om två m-simplexes delar en (m? 1)-ansikte då de tillhör olika klasser. En q-kedja av K är en formell summa av orienterade q-simplexes: P`i =0 i q i, Där jag är ett heltal. När vi skriver kedjor, vi vanligtvis utelämna q-simplexes med noll coe cients, om de inte alla är noll, när vi helt enkelt skriver 0. Vi skriver 1 q som q och 1 q som? q........................................................... - Har vi identifierat honom? q med q med motsatt inriktning. K:s q-kedjor (med komponentvis tillägg) bildar en fri Abeliansk grupp C q (K), kallad K:s q-th-kedjegrupp. För dimension 1, gränsar vi till den nite cykliska gruppen Z i dimension -1, C?1 (K) = Z. Gränsen @ q : C q (K)! C q?1 (K) är en homomorfism sådan att, för en q-kedja, @ q?1 @ q = 0 ; och förstärkning @ 0 : C 0 (K)! C?1 (K) är en epimorfism (dvs. en surjektiv homomorfism). För en orienterad simplex q = (v 0 ; : : :v q ), låt ansikte i ( q ), i th ansikte q, att vara (q? 1)-simplex (v 0 ; : : :; v i ; : :; v q ), där circum ex betecknar utelämnande. Gränsoperatören @ q : C q (K)! C q?1 (K), q > 0, är de ned på simplexes: Kedjekomplexet C(K) är sekvensen av grupper och homomorphisms fC q (K); @ qg. Låt C(K) = fC q (K); @ qg och C(L) = fC q (L); @ 0 q g vara kedja komplexes för simplial komplexes K och L. En förstärkning-bevarande kedja karta (eller kedja karta) är en familj av homomorphisms. q : C q (K)! C q (L) ; sådan att @ 0 q q = q? 1 @ q. Låt S'= M( ` ), för en simplex. En algebraisk spännvidd är en kedjekarta: C(S')! C(P n ), där P n är ett protokollkomplex. En m-pseudomanifold K m är orientalisk om dess simplexer kan vara orienterade på ett sådant sätt att om två m-simplexes delar ett ansikte, då kedjan @( 1 + 2 ) har noll coe cient i ansiktet som 1 och 2 dela. När K m är rätt färgad motsvarar detta att säga att m-simplexes kan vara orienterade på ett sådant sätt att om två m-simplexes delar en (m? 1)-ansikte, sedan ger de 6 Munkres 25] användningsområden för @0. Bevis: Antag i?1 2~ (bound( i ) Innan du bevisar den andra riktningen av påståendet, observera att bound(~ ( i ))) bound( ( i )). Annars, om i?1 2 bound(~ ( i )), då finns det en unik i 2~ ( i) innehåller i?1. Om det finns en annan i-simplex 2 (i ) innehåller i?1, skulle också vara in~ ( i ), genom avgränsning av, Eftersom och jag är anslutna av en (ett steg) i-sökväg. Antag att i?1 2 bound(~ ( i)), och låt mig vara den unika i-simplex in~ ( i) innehåller i?1. Sedan i?1 2 bound( ( i )), eftersom vi bara har bevisat att bound(~ ( i ))) bound( ( i )). Därför i?1 2 (bound( i)), och därmed i?1 2 ( i?1 ), för vissa ansikte i?1 av i. Eftersom i 2~ ( i ), det finns en i-väg från i till en i-simplex som innehåller några i?1 För att slutföra beviset för lemma, visar vi, genom induktion på i, att~ ( i ) är i-ansluten, och att, för i > 1, ~ (bound( i )) är (i? 1)-ansluten. För att visa att ~ (bound ( 2 )) är 1-ansluten, observera att ~ ( 1 ) är 1-ansluten eftersom eftersom det är nite, är det en graf som består av en enkel väg. Lemman följer sedan Denition 4.1(4) håller. För induktionssteget, vi rst visar att ~ ( i ) är i-ansluten. Genom induktionshypotesen, gränsen av ~ ( i ) är (i? 1)-ansluten. Ta bort en i-simplex med ett yttre ansikte från ( i ). Det komplex som erhålls är en pseudomanifold, och dess gräns är fortfarande (i? 1)-ansluten. Vi upprepar denna process tills inga fler sådana i-simplexes existerar. Eftersom varje i-simplex är ansluten av en i-simplex till en i-simplex med ett ansikte i gränsen, denna process tar bort varje i-simplex. Beviset att ~ (bound( i+1 )) är i-connected följer av det faktum att ~ ( i ) är i-connected: it suces att bevisa att för varje 1 ; 2 2 bound( i+1 ), ~ ( 1 )\~ ( 2) innehåller en (i? 1)-simplex. Detta följer av De nition 4.1.4, eftersom ~ ( 1 ) \~ ( 2) = ~ ( 1 \ 2 ), och från De nition 4.1.5, eftersom ~ ( 1 \ 2 ) är en ( i? 1)-pseudomanifold. Vi börjar med några algebraiska preliminärer; se 25, Avsnitt 1.13] och 20]. Låt K vara en n-dimensionell simplial komplex, och = (v 0 ; : :; v q ) en q-simplex av K. En orientering för är en likvärdighet klass av beställningar på v 0 ; : :; v q, som består av en särskild beställning och alla även permutationer av det. Till exempel, en orientering av en 1-simplex (v 0 Assume~ ( j ) har de ner för j < i, uppfyller de nödvändiga egenskaperna. Let~ ( i ) vara komplexet som innehåller varje ansikte av varje i 2 ( i ), så att det finns en i-väg från i till några simplex med en (i? 1)-face in~ (bound( i )). Första notera att ~ ( i ) är en i-pseudomanifold, sedan~ ( i ) ( i ), och det är full till dimension i. Det är också enkelt att se att den har egenskaper (1), (2) Denna gräns är snäv, genom protokollet av 10]. Denna uppsats presenterar en studie av vänta-fri löslighet baserad på combinatorial topologi. Informellt har vi definierat begreppet kromatisk uppdelad bild, och bevisat att ett nödvändigt villkor för vänta-fri löslighet är existensen av en simpliciell kromatisk kartläggning från en uppdelad bild av ingångarna till de utgångar som överensstämmer med problemet specification. Vi får också ett nytt nödvändigt och tillräckligt tillstånd, baserat på en specific c, välstrukturerad kromatisk uppdelad bild, ISE-komplexet. ISE-komplexet har också visat sig vara orientabelt och uppkopplat, vilket gjorde det möjligt för oss att bevisa teorem om dess kombinatoriska egenskaper. Dessa egenskaper användes sedan för att härleda snäva nedre gränser för namnbyte och k-set samförstånd. Våra resultat använder inte homologigrupper, vars beräkning kan vara komplicerad. I en nyligen publicerad tidning presenterar Borowsky och Gafni 8] en ny modell för beräkning, baserad på en itererad version av omedelbara ögonblicksbilder, och bevisar att den är likvärdig med den väntande modellen, när bara beslutsuppgifter berörs. I den här modellen finns det en sekvens av omedelbara ögonblicksbilder. En process kommer åt det i-th objektet i dess i-steg, skriver hela dess tillstånd. Således används varje objekt högst en gång av varje process. Det är lätt att kontrollera att den itererade omedelbar ögonblicksbild utföranden komplexet är en delad bild av inmatningskomplexet; beviset är helt jämförbar med beviset för att den omedelbara ögonblicksbild utföranden komplex är en delad bild av inmatningskomplexet. Därför, karakteriseringen och omöjligheten resultaten av detta papper håller för denna modell också. Detta exemplifierar hur vårt kombinatoriska ramverk kan vara användbart för andra modeller av beräkning. Många frågor är fortfarande öppna. För det första är det av intresse att andra tillämpningar görs på det nödvändiga och tillräckliga villkor som presenteras här; i synnerhet, kan vi härleda intressanta protokoll från det aktuella tillståndet? För det andra finns det flera sätt att utvidga vårt ramverk, t.ex. att tillåta färre än n misslyckanden (som gjordes för ett misslyckande på 5]), att hantera andra primitiva objekt förutom att läsa/skriva register (jfr. 19, 9]) och att införliva pågående uppgifter. Erkännanden: Vi vill tacka Javier Bracho, Eli Gafni, John Havlicek, Maurice Herlihy, Guy Ray, Nir Shavit och Mark Tuttle för kommentarer på papperet och mycket användbara diskussioner. Bevara kartläggningen mellan två undergrupper av process-ids, av samma storlek; dvs. den kartläggning som kartlägger den minsta id i en uppsättning till den minsta id i den andra uppsättningen, etc. Det är uppenbart att S har strukturell symmetri under, Eftersom vi anser endast utföranden där alla processer tar samma antal steg. Låt P vara beslut karta underförstått av P, och de ne 0 att vara den binära färg som färger varje vertex i S med paritet av det värde som tilldelats det av P. Fixa en ingång simplex n. Eftersom protokollet är jämförelse-baserad och anonym, 0 är en symmetrisk färgning av S ( n ) (med avseende på ). Därför är antagandena i Theorem 6.4 satis ed och därför, minst en m-simplex av S ( n ) är monokroma under 0. Å andra sidan, notera att domänen 0; 2n? 1] innehåller inte n + 1 olika udda namn; på liknande sätt, domänen 0; 2n? 1] omfattar inte n + 1 olika namn. Detta innebär att 0 inte kan färga någon simplex av S med alla nollor eller med alla; d.v.s. ingen simplex av S är monokromatisk. En motsägelse. Intuitivt, i k-uppsättningen konsensus uppgift 10], processer börjar med indatavärden från någon domän och är skyldiga att producera som mest k olika utdatavärden. För att säkerställa icke-trivialitet kräver vi att alla utgångsvärden är ingångsvärden för vissa processer. Fångad i vårt kombinatoriska topologispråk, K-set konsensus uppgift är trippel hD n ; D n ; i. D n är P(D), för vissa domän D, och kartor varje n 2 D n till delmängd av n-simplexes i D n som innehåller som mest k olika värden från värdena i n. Vi använder nu Theorem 5.9 och Sperners Lemma för att bevisa: Theorem 7.2 Om k n då inte finns ett vänta-fritt protokoll som löser k-set konsensus uppgift. Bevis: Anta, som en motsägelse, att P är en vänta-fri protokoll för k-set konsensus uppgift, k n. Vi visar att P måste ha minst en körning där k + 1 olika värden är utdata, vilket innebär att P inte löser k-set konsensus uppgift korrekt. Detta görs genom att tillämpa Theorem 6.3 på ISE-komplexet, som är en kromatisk uppdelad bild av ingångskomplexet, genom Theorem 5.9. Låt P vara beslutskartan underförstått av P. Observera att P också kan ses som en simplial karta in i I n. Betrakta indata simplex av dimension k + 1, där processer p 0 ; : :; p k har olika indatavärden v 0 ; : :; v k, respektive. Helt klart finns det några bundna N på antalet steg en process tar i alla utföranden på inmatning. Genom Theorem 5.9, E n ( ) är en uppdelad bild av. Låt v vara värdet P tilldelar vissa vertex i E( ), och låt 0 vara dess bärare i M( ). Den icke-trivialitet villkor innebär att v är input av någon process i 0, och därför: 33 orientering. Således alla kompletta (m? 1)-simplexes i bundet(K m ) räknas med samma tecken av I (oavsett om på samma ansikte eller inte), vilket antyder att jag 6 = 0. I detta avsnitt tillämpar vi villkoret för vänta-fri löslighet presenteras tidigare (Theorem 5.9) för att härleda två nedre gränser, för namnbyte och för k-set samförstånd. Den rst nedre gränsen bygger också på Theorem 6.4, och därför, på det faktum att den kromatiska delade bilden som induceras av omedelbara ögonblicksbilder exekveringar är orienteringsbar och ansluten. I namnbytesuppgiften 2] börjar processerna med ett inmatningsvärde (ursprungligt namn) från en stor domän och är skyldiga att besluta om olika utdatavärden (nya namn) från en domän som bör vara så liten som möjligt. Det är uppenbart att uppgiften är trivial om processerna kan komma åt deras id; i detta fall, process p i bestämmer om i, som ger minsta möjliga domän. För att undvika triviala lösningar krävs att processerna och protokollet är anonyma 2]. Det vill säga, process p i med ursprungligt namn x utför samma protokoll som process p j med ursprungligt namn x. Fångad i vårt kombinatoriska topologispråk, M-renaming uppgiften är trippel hD n ; M n ; i. D n innehåller alla undergrupper av vissa domän D (av ursprungliga namn) med olika värden, M n innehåller alla undergrupper av 0::M] (av nya namn) med olika värden, och kartor varje n 2 D n till alla n-simplexes av M n. Vi använder Theorem 5.9 och Theorem 6.4 för att bevisa att det inte finns någon vänta-fri anonym protokoll för M-renaming uppgift, om M 2n? 1. Vad är det för fel på dig? Gränsen är snäv, eftersom det finns ett anonymt väntefritt protokoll för 2n-renaming problem 2. Teorem 7.1 Om M < 2n, då finns det inget anonymt väntetidsfritt protokoll som löser Mrenaming-uppgiften. Bevis: Anta, genom motsägelse, att P är en vänta-fri protokoll för M-renaming uppgift, M 2n? 1. Vad är det för fel på dig? Anta att D = 0::2n], dvs. anta att de ursprungliga namnen endast är mellan 0 och 2n. Eftersom vi betraktar en begränsad uppsättning ingångar, kan vi anta, utan förlust av generalitet, att varje process utför samma antal steg. Dessutom antar vi att P är jämförelsebaserad, dvs. protokollet producerar samma utdata på indata som är orderekvivalenta. (Se Herlihy 18, som tillskriver Eli Gafni denna iakttagelse). Genom Theorem 5.9, ISE-komplexet, S, är en kromatisk uppdelad bild av ingångskomplexet D n. Genom Theorem 5.13, S är orienteringsbar, och genom Theorem 5.11, S är ansluten. Låta vara. Sedan 2 är föreningen av (m) och vertex av ~ med id m. Nästa, 3 är föreningen av (m? 1) 2 och vertex av ~ med id m? 1. Vad är det för fel på dig? Således har 3 två hörn gemensamt med ~, och vi kan fortsätta på detta sätt tills vi kommer till k = ~. På samma sätt kan vi bygga en väg från ~ till 0. Genom symmetrin av m, Vi kan ta båda sub vägar av lika längd, så stigen har jämn längd, och därför och 0 har samma 31 position, måste längden på denna väg vara udda. (Genom att överväga hyperkub av binära färg vektorer, som gjorts för fallet med två kompletta simplexer på bilden av samma ansikte.) Eftersom orienteringar på denna väg växlar, följer att 3 och 2 har olika orienteringar. Färgen 2 = f (1; 1); (2; 2); : :; (m; 0)g c, roteras i förhållande till dess IDs, och därav beställningar av 3 och 2 enas (på tecknet på permutation) om och endast om m är udda. T.ex., om m = 2, de är oense med f (1; 1); (2; 0)g, och om m = 3, de samtycker till f (1; 1); (2; 2); (3; 0)g. För att slutföra beviset för påståendet, kommer vi att bevisa att inriktningen av 1 är (?1) m gånger orienteringen 3. Detta bygger på det faktum att de är symmetriska simplexer under i ( ) och ( ). Det vill säga, orienteringarna i 1 och 3 är överens när m är jämn, och är oense om annat. Därför instämmer riktlinjerna i 1 och 2 och de räknas med samma tecken av I, och beviset kommer att följa. Intuitionen för beviset att orienteringen av 1 är (?1) m gånger orienteringen av 3 illustreras i Figur 6. I detta exempel är m = 3, och ( (3) ) högst upp och ( (0) ) längst ner. Siffrorna i guren representerar id:er. De två enkelxes markerade är i hörn, och symmetriska. Orienteringen av den på toppen, kalla det 1, är 0; 1; 2. Orienteringen av den nedre en, kalla det 3, är 1; 3; 2.  ); där v ij är vertex med id i j av (i), och därmed v i0 ; : :; v im?1 är några permutation av hörn av (i). Lägg märke till att det för varje permutation finns en unik simplex i detta hörn. Låt 1 vara simplex i hörnet 0; 1; : :; m? 1 av (m), och låt 3 vara den symmetriska simplex i ( (0) ), som måste vara i hörnet 1; 2; : :; m. Nu är den rst observation att två hörn av (m) ) har samma orientering. Till exempel, överväga två hörn i ( (3) ) i figur 6, 1 (den översta markerade simplex), som är 0; 1; 2 hörn, och den 1; 2; 3 hörn, 0 3, som är den simplex i ( ) intill 3 (den nedre markerade simplex). Båda är orienterade 0; 1; 2. När vi bevisar detta, påståendet kommer att följa genom att observera att 3 är i anslutning till en unik simplex i ( ). Observera att de färger som tilldelas av c är samma i 1 och 2 Och därmed både 1 och 2 kommer att räknas av I. Dessutom, eftersom 2 har samma ID som 1 och är komplett, då måste det ha samma binära färg som 1, dvs alla 0's. Det återstår att visa att 1 och 2 har samma inriktning och därför räknas med samma tecken av I. Eftersom ( ) är (m? 1)-ansluten, det finns en (m? 1)-väg mellan 1 och 2. Observera att denna väg består av en sekvens av (m? 1)-simplexes, varje dela en (m? 2)-ansikte med föregående simplex. Dessutom, eftersom den binära färg är irreducible, den binära färgningen av varje simplex i sökvägen diers från den binära färgningen av den föregående i exakt en vertex. Således den binära färgningen av simplexes i sökvägen framkallar en sekvens av binära vektorer, börjar med alla 0: s vektor och slutar med alla 0: s vektor, varje diering från föregående en i exakt en binär färg. Det vill säga, sökvägen motsvarar en cykel i ett hyperkubdiagram. Eftersom hyperkubgrafen är bipartit är längden på varje cykel i den jämn; därför är längden på stigen jämn. Helt klart, eftersom K m är orienterad, på varandra följande simplexer på stigen har olika riktningar. Eftersom stigens längd är jämn, har 1 och 2 samma orientering. Därför räknas 1 och 2 med samma tecken av I. Vi visar nu att någon fullständig (m? 1)-simplex 2 i ( ), för i 6 = m, kommer att räknas med samma tecken av I. Utan förlust av allmängiltighet, anta att i = 0. Observera att 2 är komplett, med process-ID f1; 2; : : :; mg. Således måste den binära färgen på vertex med process id m vara 1, så att dess c färg kommer att vara 0. Detta innebär att 2 = f (1; 1); (2; 2); : :; (m; 0)g c. Därför ), som är isomorfisk till 1, och låt vara bijecting av från id's av (m) och id's av (0). Eftersom b är symmetrisk, den binära färgningen av 3 är alla 0's, som den binära färgningen av 1 ; det vill säga 3 = f (1; 0); (2; 0); : :; (m; 0)g b. Observera att 3 inte är komplett, eftersom 3 = f(1; 1); (2; 2); :; (m; m)g c. Eftersom ( (0)) är ansluten, det finns en (m? 1)-väg mellan 3 och 2 i ( (0) ). Eftersom den binära färg vektorn 2 di ers från den binära färg vektorn 3 i exakt en 29 Låt K m vara en delad bild av M( m ). Den välkända Sperner's Lemma säger att ett udda antal m-simplexes av K m måste gå till m (och i synnerhet, minst en simplex). För orientaliska delade bilder följer Sperners Lemma från Index Lemma; detta bevis visas i bilaga C. Vi betonar att Sperners Lemma även innehåller icke-orienterbara delade bilder (se t.ex. 3]). Denna lemma används i avsnitt 7.2 för den fastställda konsensusomöjligheten, och därför är denna omöjlighet inte beroende av orientaliskhet. För induktion steg, anta att m > 1, och att vi har bevisat kravet på m? 1. Vad är det för fel på dig? Låta vara den förenklade kartan från m till sig själv som kartlägger vertex v vars id är i till vertex vars id är (i + 1) mod (m + 1) (det vill säga, mappningen roterar id's). I resten av beviset utgår vi från att delindexen tas bort modulo m + 1. Detta bevisas genom att visa att alla fullständiga (m? 1)-simplexes i gräns (K m ) räknas med samma tecken av I; vi rst anser fullständig (m? 1)-simplexes i samma ansikte. Bevis: Vi klämma bundna (K m ) genom att använda sammandragningar; en sammandragning av bundna (K m ) erhålls genom att identifiera en av dess hörn, v 0, med en annan vertex, v, med samma färg, och ta bort alla simplex som innehåller både v och v 0. Vi tillämpar symmetriska sammandragningar, där vi väljer en intern (m? 2)-simplex, m?2 2 ( ), sådan att dess två länk hörn har samma binära färg; därför kan en sammandragning tillämpas på m?2. Vi kontrakt m?2 och simplexes isomorphic till den i ( (i) ), för alla i. (Detta är en sekvens av m + 1 sammandragningar.) Notera att de simplexes som är isomorphic till m?2 är också interna, dessutom, eftersom b är symmetrisk, deras länk hörn har samma binära färg. Vi visar att om en symmetrisk sammandragning tillämpas på bundet (K m) för att erhålla bundet 0, sedan bundet 0 är en gräns för en symmetrisk, orienterad kromatisk uppdelad bild av m under 0, med 0 (bound( m )) = bundet 0, och #mono( 0 ( m )) = #mono( m ) ). Om v 1 och v 2 är länken hörn av m?2 2 ( ), sedan id( v 1 ) = id( v 2 ). Därför är bundet 0 kromatiskt. Dessutom är det lätt att se att orienteringen på bunden 0 är fortfarande väl de ned: två (m?1)-simplexes som inte hade ett (m?2)-ansikte gemensamt innan sammandragningen kommer att ha det efter sammandragningen, bara om de di er i exakt en vertex, förutom v 1 och v 2. Således har två sådana simplexer motsatta inriktningar (eftersom orienteringar växlar på simplexer som delar ett (m?2)-ansikte). Genom den symmetriska sammandragningen förblir bunden 0 symmetrisk. Eftersom en sammandragning tar bort simplexer med motsatta riktningar och samma binära färg, #mono( m ) = #mono( 0 ( m ) ). Beviset för huvudteoremet bygger på Index Lemma och ett klassiskt resultat av kombinatorisk topologi, som generaliserar Sperners Lemma (jfr. 16, s. 201). För fullständighet, vi anger denna lemma här, och inkludera ett bevis på det i vårt ramverk i bilaga C. Teorem 5.14 Det finns en algebraisk spännvidd från M( n ) till E n. I detta avsnitt visar vi en kombinatorisk teorem om antalet monokromatiska simplexer i varje binär färgning av en orientalisk uppdelad bild; detta teorem används i nästa avsnitt för att visa en lägre gräns vid namnbyte. Låt K m vara en orienteringsbar, kromatisk uppdelad bild av m under. Fixa en orientering av K m, och en inducerad orientering på dess gräns. Låt #mono(K m ) vara antalet monokroma m-simplexes av K m, räknas enligt orientering, dvs en m-simplex räknas som +1 om den är positivt orienterad, annars räknas den som?1. Till exempel, överväga en komplex K m med två m-simplexes, som i Figur 5, med alla vertexes färgade 1, då båda simplexes är monokromatiska I detta fall är räkningen 0, eftersom simplexes har motsatta orienteringar, och därmed en räknas +1 och den andra räknas?1. Huvudteoremet i detta avsnitt gäller för delade bilder som har strukturell symmetri, dvs. varje par av delade bilder av ansikten (av samma dimension) är isomorfa, under en bijection som kartlägger processen IDs konsekvent. En kartläggning, f : L m! K m är id konsekvent om för några två hörn Formellt, en delad bild K m har strukturell symmetri om för några två i-faces, i 1 och i 2, av, Det finns en id konsekvent simplicial bijecty (one-to-one kartläggning),, mellan hörn av (i 1 ) och hörn av ( i 2 ). Till exempel har ISE-komplexet strukturell symmetri, om vi ser på alla omedelbara ögonblicksbilder där alla processer tar samma antal steg. En binär färg, b, av K m med strukturell symmetri, är symmetrisk om isomorphic hörn har samma färg; det vill säga b (v) = b (v), för varje vertex v 2 K m. Bevisa att en färg är symmetrisk är inte trivialt, och kommer att göras när binär färg teorem tillämpas i Avsnitt 7.1. Lägg märke till att om K m har en symmetrisk binär färg, då har den strukturell symmetri, genom de nition. Betrakta en intern (m?2)-simplex, m?2 2 bound(K m), som ingår i två (m?1)-simplexes, 1 och 2. Dess länk hörn är v 1, som är vertex av 1 inte i m?2, och v 2, som är vertex av 2 inte i m?2. En binär färgning är irreducerbar om länken hörn av någon intern (m? 2)-simplex simplex av (i) ) har olika binära färger. Vi argumenterar nu varför vi kan begränsa vår uppmärksamhet till oreducerbara binära färger, genom att bevisa att limit (K m ) kan \squeezed" för att se till att dess färg är oreducerbar, samtidigt som alla dess intressanta egenskaper.  Negativa inriktningar. Överväga två m-simplexes 1 och 2 som delar en (m? 1)-ansikte, sedan eftersom K m är orienteringsbar, det delade ansiktet får motsatt inducerade orienteringar. Därför, eftersom K m är kromatisk, 1 och 2 måste vara i olika klasser. För att bevisa den motsatta riktningen, anta att vi kan dela upp simplexer av en kromatisk pseudomanifold K m i två olika klasser, så att om två m-simplexes delar ett (m?1)-ansikte då de tillhör olika klasser. Orientera alla simplexes av den första klassen i positiv riktning, och simplexes av den andra klassen i negativ riktning. Överväga två m-simplexes 1 och 2 som delar en (m? 1)-ansikte,. Anmärkning. Det tidigare teoremet kan stärkas, för att ta bort antagandet att processer alltid tar samma antal steg, om vi antar att varje process alltid tar ett jämnt antal steg. Bevisen ändras inte. Eftersom alla protokoll kan ändras så att varje process alltid tar ett jämnt antal steg, gör detta antagande orsakar ingen förlust av allmängiltighet. Således, denna starkare version av teorem gör det möjligt att arbeta med i nite inmatningskomplex, och är inte begränsad till avgränsade vänta-fria protokoll. Herlihy och Rajsbaum introducerade algebraiska spännvidder som en struktur som är användbar för att uppnå omöjligheter för att byta namn och set-consensus med algebraiska tekniker 20]. I bilaga B visar vi att en orientalisk kromatisk uppdelad bild framkallar en algebraisk spännvidd; beviset kräver de nition av algebraisk spännvidd, ett begrepp av en annan avsmak från resten av detta papper. Nästa enkla lemma (t.ex. 4]) visar att om vi begränsar uppmärksamheten till kromatiska pseudomanifolder, är den tidigare (vanliga) bestämningen av orienteringsbarheten likvärdig med en enklare kombinatoriell definition. Lemma 5.12 En kromatisk pseudomanifold K m är orientalisk om och endast om m-simplexerna kan delas upp i två olika klasser, så att om två m-simplexer delar ett (m?1)-ansikte så tillhör de olika klasser. Bevis: Antag K m är orientalisk, och dela upp dess simplexer i två klasser, en bestående av simplexer med positiva orienteringar, och den andra består av simplexer med 24 Theorem 5.10 Låt hI n ; O n ; I vara en uppgift. Det finns en vänta-fri protokoll som löser denna uppgift om och endast om det finns en fullständig uppdelad bild E n av I n och en färg-bevarande (på IDs), anonym simplicial karta från E n till O n som överensstämmer med. Bevis: Anta att det finns en vänta-fri protokoll P som löser. I synnerhet, P löser i omedelbar ögonblicksbild utföranden. Av Theorem 5.9, ISE-komplexet, E n, är en kromatisk uppdelad bild av I n. Eftersom protokollet kan simuleras av en full-information protokoll, den motsvarande fullständiga delade bilden är också en kromatisk delad bild av I n. Uppenbarligen är P en färgbevarande (på ids), anonym simplicial karta från E n till O n som överensstämmer med. Antag att det finns en fullständig uppdelad bild E n av I n och en färgbevarande (på IDs), anonym simplicial karta från E n till O n som överensstämmer med. Med beslutsregeln får vi ett väntansfritt protokoll som löser de omedelbara ögonblicksbildsutförandena. Genom Lemma 3.1, innebär detta att det finns en vänta-fri protokoll för. Observera att en riktning av beviset, det nödvändiga villkoret, gäller även protokoll som inte är fullständig information. Anmärkning. Ovanstående teorem bortser från frågan om beräkningsbarhet. Det är uppenbart att det tillräckliga villkoret kräver att varje process kan beräkna sin motsvarande del av. Dessutom, om en uppgift är lösbar då innebär det ett sätt att beräkna. Därför kan vi lägga till det krav som kan beräknas till det nödvändiga och tillräckliga villkoret för vänta-fri löslighet. Vi fortsätter inte denna linje ytterligare, eftersom vi är intresserade av att isolera de distribuerade samordningsaspekterna av problemet från de sekventiella; därför kan vi tillåta varje statsmaskin att beräkna godtyckliga (även icke-komputerbara) funktioner. Den föregående teorem ger en karakterisering av vänta-fria lösbara uppgifter som endast beror på topologiska egenskaper hos hI n ; O n ; i. Enligt 15, 21] är det oavgjort om en uppgift är löslig. Men om protokoll är avgränsade vänta-fri, dvs, måste besluta inom ett förutbestämt antal steg, och inmatningskomplexet är nite 4, sedan producera alla ISE delade bilder av inmatningskomplexet (en nite antal med tanke på antalet steg) är rekursiv. I detta fall kan vi kontrollera om en simplial karta som krävs finns. Som tidigare nämnts innehåller en delad bild av en simplex en delad bild som är ansluten (bilaga A). Eftersom ISE komplexet för en indata simplex är en delad bild av indata simplex, innehåller det också en ansluten delad bild av indata simplex. Att översätta Theorem 3.7 till kombinatorisk topologi innebär dock en starkare egenskap hos ISE-komplexet för en indata simplex och den är ansluten till sig själv: 4 Det finns uppgifter som kan lösas av väntefria algoritmer, men inte av avgränsade väntefria algoritmer 1, 17]. För att bevisa den andra riktningen av påståendet, överväga några 2 bundna ( ( i )), och vi visar 2 (bound( i )). Eftersom bunden ( i ) är full till dimension i? 1, är ett ansikte av några i?1 2 bound ( i )). Eftersom i?1 är extern i ( i ), är det ett ansikte av en enda i 2 ( i ). Därför, om IDs ( i)?ids ( i?1 ) = fp j g, då p j är osedd i utförandet som motsvarar i, av Lemma 5.5. Således p j 6 2 observerad( i?1 ), och därför observerad( i?1 ) = ids( i?1 ). Genom avgränsningen, i?1 2 ( i?1 ), och därmed, i?1 2 (bound( i )). Detta innebär att 2 (bound( i )). Vi har i Lemma 3.3 visat att osäkerheten kring en annan process är begränsad till dess sista runda, om man ser den. Således, när vi x vyer av alla processer utom en, den återstående processen kan ha bara en av två vyer, vilket översätter till: Lemma 5.7 Överväg en omedelbar ögonblicksbild utförande komplex E n. Låta mig 1 vara en i-simplex av E n, motsvarande en utförande, sådan att ids ( ) = ids( i 1 ), och j 2 ids( i 1 ). Om p j ses i, Då det finns exakt en annan i-simplex av E n, i 2, att di ers endast i p j's vyn. Vi vet redan att om p j ses i en avrättning, då motsvarar en intern simplex. Vi visar nu att en intern (i?1)-simplex finns i exakt två i-simplexes, vilket innebär att ISE-komplexet är en pseudomanifold. Lemma 5.8 För varje simplex i 2 I n, ( i) är en i-pseudomanifold. Bevis: Som nämnts tidigare, ( i) är full till dimension i. Vi visar att någon simplex i?1 2 ( i ), finns i högst två i-simplexes. Låt mig 2 ( i) vara sådan att jag?1 är ett ansikte av i. Eftersom jag?1 och jag är rätt färgade av IDs, IDs ( i)? IDs ( i?1 ) = fjg, för vissa process p j. Dessutom har någon i-simplex av (i) innehåller i?1 har en vertex färgat med p j. Låta vara pre x av en körning med steg av processer i IDs ( i ), motsvarande i. Vi kan ta en sådan pre x eftersom observerade ( i ) = ids ( i ). Det finns två fall: Fall 1: p j är osedd i. Sedan observeras( i?1 ) = ids( i?1 ). Eftersom p j inte ser ett id inte i ids ( i ), dess uppfattning bestäms. Därför är jag unik. Fall 2: p j ses i. Låt k vara den sista sedd omgång p j i. Lemma 5.7 innebär att det bara finns två möjliga åsikter för p j som är förenliga med åsikterna i i?1. Lemma 5.6 och Lemma 5.8 innebär villkor (5) i Denition 4.1. Därför har vi: Theorem 5.9 E n är en kromatisk uppdelad bild av I n under. Komplexet framkallas av omedelbara ögonblicksbild utföranden av full-information protokoll för vissa inmatningskomplex I n kallas den fullständiga delade bilden av I n. Vi har följande nödvändiga och tillräckligt villkor för vänta-fri löslighet. Lemma 5.2 Skick (2) håller. Bevis: Överväg en simplex 2 E n. Låt n 2 E n vara sådan att n. Sedan finns det en simplex n 2 I n med ingångar( n ) = ingångar( n ). Sedan ids( n ) observerat( n ), sedan observerat( n ) = ids( n ), och n 2 ( n ). Eftersom är ett ansikte n, 2 ( n ). Eftersom protokollet är deterministiskt, vi har: Kom ihåg, att en process p j är osedd i en avrättning om och endast om det inte finns någon annan avrättning som des endast i p j: s vy (Lemma 3.2). Detta innebär: Lemma 5.5 Överväg en omedelbar ögonblicksbild utförande komplex E n. Låta i 1 vara en i-simplex av ( i ) som motsvarar en utförande, och j 2 ids ( i 1 Eftersom gränsen motsvarar utföranden där vissa processer är osynliga, kan ovanstående lemma användas för att bevisa att bevarar gränsen. Lemma 5.6 För varje simplex i 2 I n, (bound( i )) = bound( ( i )). Bevis: För att bevisa en riktning, överväga 2 (bound( i )); vi måste visa att 2 bound( i )). Detta innebär att 2 ( i?1 ), för vissa ansikte i?1 av i. Eftersom ( i?1 ) är full till dimension i? 1, det finns några i?1 2 ( i?1 ) sådan att i?1 ; vi ska visa att i?1 2 bound ( i ). Det framgår av definitionen av att i?1 2 ( i ). Eftersom ( i) är full till dimension i, det finns några i 2 (i) sådan att i?1 i. Eftersom i?1 2 ( i?1 ), följer det att observerade( i?1 ) = ids( i?1 ). Låt p j vara processen id id ( i)? Ids( i?1 ). Observera att j 6 2 observeras( i?1 ), det vill säga, ingen process ser ett steg för p j i?1. Dessutom, i i, p j ser endast steg av processer i IDs ( i ). Därför, eftersom protokollet är deterministisk, det finns bara en möjlig vy för p j. Nämligen, i?1 ingår i en enda i-simplex i, och därmed, i?1 2 bound( ( i )). Eftersom är ett ansikte av i?1 och är stängd under inkludering, 2 bound( ( i )). För det första behöver vi några enkla förklaringar. För en simplex av I n, O n, eller E n, låt ids ( ) vara den uppsättning ids som visas som rst komponent av hörn i. För en simplex av I n Låt ingångar ( ) vara lika med. För en simplex av E n Låt ingångar ( ) vara den uppsättning par av ids med ingångar visas (med inmatningskomponenten från staten) i hörn av. För en simplex av E n Låt vyer ( ) vara den uppsättning vyer som visas i hörn av och låt observeras( ) vara den uppsättning ids av processer vars operationer visas i vyer( ). Intuitivt, om p i inte observeras( ), då åsikterna i är samma som i en avrättning där p i inte tar ett steg. Lägg märke till att genom denition av observerade, ids ( ) observerade ( ), eftersom en process alltid \observes sig själv." Vi kan nu de ne. Intuitivt, ( ) är en underkomplex av protokollet komplex, innehåller till utföranden börjar i inmatning simplex, och där endast processer som visas i observeras vidta åtgärder. Denition 5.1 För 2 I n Låt ( ) vara komplexet som innehåller alla simplexer 2 E n sådan att ingångar( ) = ingångar( ), och observerade( ) = ids( ), och alla deras ansikten. Lemma 5.1 För alla 2 E n och 2 I n, 2 ( ) om och endast om ingångar ( ) ingångar ( ), och observerade ( ) ids ( ). Den motsatta riktningen är intressantare. Antag ingångar( ) ingångar( ), och observerade( ) ids( ). Eftersom protokollet är vänta-fri, processerna i IDs ( )? IDs ( ) (om det finns några) bör kunna köras på egen hand, efter alla processer i IDs ( ) har fått synpunkter i Och besluta. Detta innebär att det finns en utförande där alla processer i IDs ( )? ids ( ) (om någon) observera endast processer i ids ( ), och processer i ids ( ) har samma åsikter som i. Låta vara den simplex i E n som motsvarar denna körning. Observera att ingångar ( ) = ingångar ( ), och observerade ( ) = ids ( ). Därför, 2 ( ). Eftersom är ett ansikte av, Påståendet följer. Protokollkomplexet som visas i figur 3 omfattar varje utförande, inte bara omedelbara ögonblicksbilder, och är inte en delad bild av indatakomplexet, eftersom underkomplexet i protokollkomplexet för indata simplex f(p; 0); (q; 0)g inte är en pseudomanifold. Men ISE-komplexet är en delad bild av inmatningskomplexet, som vi nu visar. Det är uppenbart att process-IDs är en riktig Sperner färgning av E n. Vi fortsätter att bevisa att villkoren i Denition 4.1 hålla. Villkor (1) Figur 4: De omedelbara ögonblicksbildsutförandena är komplexa, där varje process tar högst ett steg. Vi startar detta avsnitt genom att bevisa att det subkomplex som induceras av omedelbara ögonblicksbilder är en kromatisk uppdelad bild av ingångskomplexet. Detta innebär ett nödvändigt villkor för uppgifter som kan lösas genom ett vänta-fritt protokoll; detta villkor är också tillräckligt eftersom omedelbara ögonblicksbilder utföranden kan emuleras i varje utförande. Senare bevisar vi ytterligare egenskaper hos underkomplexet som induceras av omedelbara ögonblicksbilder: konnektivitet och orienteringsförmåga; dessa egenskaper gör vårt tillstånd starkare, och gör det möjligt att bevisa den lägre gränsen för namnbyte. Betrakta underkomplexet av protokollet komplexet som innehåller alla omedelbara ögonblicksbild utföranden av E n. För en ingång simplex n 2 I n, E n ( n ) är underkomplexet av alla omedelbara ögonblicksbild utföranden som börjar med n. Figur 4 innehåller ett exempel på en omedelbar ögonblicksbild utföranden (ISE) komplex för en enda ingång simplex (den till vänster), där varje 2-simplex motsvarar en utförande där varje process tar exakt ett steg. Det finns simplexer som motsvarar avrättningar 1 och 2 från figur 1. De hörn som motsvarar p 1 och p 2 är desamma i dessa simplexer, dvs. p 1 och p 2 har samma åsikter. Notera också att 1-simplexes på gränsen motsvarar utföranden där motsvarande två processer tar ett steg vardera och inte ser den tredje processen. De 0-simplexes på hörnen motsvarar \solo" avrättningar där processen bara ser sig själv. Vi visar nu att om protokollet är vänta-fri och använder endast läsa / skriva operationer, då ISE-komplexet är en kromatisk uppdelad bild av ingångskomplexet. Detta görs genom att de ning en funktion som tilldelar en underkomplex av E n till varje simplex av I n. unik. Men om två avrättningar, och 0, uppfyller ovanstående villkor för en simplex dimension n, då och 0 måste vara oskiljaktiga för alla processer. Dessutom, om innehåller en vertex med id p i, och är ett ansikte av två n-simplexes 1 och 2, motsvarande avrättningar 1 och 2, Sedan 1 pi 2. Protokollet komplex, P n, är föreningen av komplexen P n ( ), över alla indata n-simplexes. Om ett protokoll är deterministiskt och väntefritt är P n ( ) nite, eftersom en process måste skriva ett utgångsvärde efter ett antal steg. Observera att protokollkomplexet inte bara beror på eventuella mellanled av steg (scheman), utan också på övergångarna av processer och deras lokala stater. Man kan betrakta P n som färgad med fyra färger på id, ett ingångsvärde, en vy och ett utgångsvärde. Observera att id:erna färgar på rätt sätt. Protokollet innebär en beslutskarta P : P n! O n, som anger utdatavärdet för varje nal vy av en process. När P löser det håller att om 2 P n då P ( ) motsvarar en utgång simplex. Därför är P simplial och bevarar ids färg. Dessutom, för alla indata n-simplex, P (P n ( )) är ett komplex. Figur 3 visar till exempel ett inmatningskomplex och ett utdatakomplex för två processer, p och q. Varje vertex av indatakomplexet innehåller ett id-värde och ett indatavärde (utdatavärde). En uppgift avgörs genom att ange : för indata f(p; 1); (q; 0)g utdata kan f(p; 1); (q; 0)g eller f(p; 1); (q; 1)g; för indata f(p; 0); (q; 1)g utdata kan vara f(p; 0); (q; 0)g; för indata f(p; 0,); (q; 0)g utdata kan f(p; 0,); (q; 1)g, f(p; 2); (q; 1)g, f(p; 2); (q; 2)g, f(p; 2)g, f(p; 0,); (q; 2)g eller f(p; 0); (q; 1)g. Guren innehåller också ett protokollkomplex (med alla utföranden, inte bara omedelbara ögonblicksutföranden) som löser uppgiften. Här är en vertex märkt med en id, sedan ett ingångsvärde, och sedan utdatavärdet. För inmatning f(p; 1); (q; 0)g utför varje process en avläsning (av alla variabler) och en skrivoperation. För inmatning f(p; 0); (q; 0)g, utför p en skriva sedan en läsa och sedan en skriva, medan q utför en skriva och en läsa. För inmatning f(p; 0); (q; 1)g, utför p en skriva sedan en läsa och sedan en skriva, medan q inte utför några steg. Det finns olika sätt att tilldela utdatavärden till processerna så att protokollet löser uppgiften. Ovanstående definitioner innebär: Förslag 4.3 P löser hI n ; O n ; i om och endast om P (P n ( ) ) (M( ) ), för varje nsimplex 2 I n. Vi säger att P håller med. Detta är den topologiska tolkningen av den operativa avgränsningen av ett protokoll som löser en uppgift (redovisas i slutet av avsnitt 2). Eftersom protokollet beror endast på indatavärden (se avsnitt 2), om två indata n-simplexes, 0, har samma indatavärden, dvs., di er endast genom en permutation av ids, då P n ( ) kan erhållas från P n ( 0 ) genom att tillämpa samma permutation till ids. Beslutskartan måste därför vara anonym, dvs. P (P n ( )) bestämmer P (P n ( 0 )).  Här kastar vi begreppet uppgift (inledd i Avsnitt 2) i termer av kombinatorisk topologi. Ange id = f0; : :; ng. För vissa domän av värden V Låt P(V ) vara den uppsättning av alla par som består av en id från IDs och ett värde från V. För en domän av ingångar I, en ingång komplex, I n, är ett komplex som innehåller n-simplexes (dvs, undergrupper av n + 1 element) av P(I) och alla deras ansikten, så att hörnen i en n-simplex har di erent id elds. För en domän av utgångar O, ett utdatakomplex, O n, är de ned på liknande sätt över O. Det vill säga om (i; val) är en vertex av I n då val betecknar ett ingångsvärde för process p i, Medan (i; val) är en vertex av O n då val är ett utgångsvärde för process p i. Observera att I n och O n är korrekt färgade av id-äldarna, och är fulla till dimension n. Dessutom är varje komplex färgat (inte nödvändigtvis korrekt) av motsvarande värdedomän. Med hjälp av combinatorial topologi begrepp, en uppgift identifieras med en trippel hI n ; O n ; i; I n är en ingång komplex, O n är ett utdatakomplex, och kartor varje n-simplex av I n till en icke-tom uppsättning n-simplexes i O n. Vi nämner ibland bara när jag n och O n är tydliga från sammanhanget. De enklaxes i ( n ) är tillåtna utdata simplexes för n. Intuitivt, om n är en indata simplex och n 2 ( n ) är en tillåten simplex, då n är en tillåten utgång conduration när systemet börjar med input n. Vi utvidgar till indata simplexes av dimension mindre än n på det naturliga sättet. Kom ihåg att det måste vara möjligt att slutföra utdata från vissa processer i ett utförande till utdata för alla processer som är tillåtna för indata från utförandet. Därför kartlägger en indata simplex av dimension mindre än n till ansikte n-simplexes i ( n ) med samma dimension och IDs, för alla indata simplexes n som innehåller. Utökat på detta sätt, (M( n )) är ett underkomplex av O n. Anmärkning. Det finns en annan variant av vänta-fri solvability, som gör det möjligt att uttryckligen de ne för inmatning simplexes av dimension mindre än n. Detta kan fångas i vår modell genom att lägga som en del av inmatningen lite som talar om för processen om att delta eller inte. Icke-deltagande processer krävs för att ge ut något standardvärde. För en körning, den uppsättning f(0; j0); ::; (n; jn)g är betecknad vyer( ). Med tanke på ett protokoll P, protokollet komplexet, P n, är de ned över minimala nal vyer nås i utföranden av P, enligt följande. De n-simplexes av P n är uppsättningar av minimala nal vyer( ), för varje utförande av P, och alla deras ansikten. Protokollkomplexet för en ingång n-simplex, P n ( ), är underkomplexet P n som innehåller alla n-simplexes som motsvarar utföranden av P där processer börjar med ingångar, och alla deras ansikten. Bäraren av en simplex 2 K m, betecknad carr ( ), är den simplex 2 L m av minsta dimension sådan att 2 ( ). Intuitivt, bärare av en simplex är den \småste" simplex i L m som är kartlagd till. Genom Denition 4.1(2), varje simplex 2 K m är i ( ), för ca 2 L m. Genom Lemma 4.1(ii) är transportören unik. Transportören är därför väldefinierad. Till exempel, i Figur 2, Bäraren av 1 är 1, Medan transportören av 2 är 2.  Uppkoppling Men delade bilder skiljer sig från underavdelningar, även om kravet på anslutning läggs till. Till exempel, en 2-dimensionell torus med en triangel bort från sin yta är en delad bild av en 2-simplex, eftersom dess gräns är en 1-dimensionell triangel. Det är dock varken en acyklisk bärare eller en uppdelad simplex eftersom den har \hål" (icke-triviala homologigrupper). Anmärkning. Begreppet delad bild påminner om begreppet acyklisk bärare 3 av 25], eftersom den associerar underkomplex av en komplex till simplexes av en annan. Munkres använder acykliska bärare för att studera underavdelningar, ett grundläggande begrepp för algebraisk topologi (jfr. Detta anslag är avsett att täcka utgifter för studier, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter, möten med experter och experter på politikområdet. Får inte förväxlas med begreppet transportör de Ned senare. Dimensionen av en simplex, dim ( ), är antalet av dess element minus en. En enkel dimension m (med m + 1 element) kallas en m-simplex. Dimensionen av ett komplex K är den maximala dimensionen av dess simplexes; vi betraktar bara komplex av nite dimension. Ett komplex av dimension m kallas en m-komplex. Vi använder ibland en överskriftsnotation för att beteckna dimensionen av simplexer och komplex, t.ex., m är en m-simplex och K m är en m-komplex. Vertex uppsättning av K är föreningen av 0-simplexes av K. Vi identifierar 0-simplex fvg med v. Betrakta två komplex K och L. Låt f vara en funktion från hörnen av K till hörnen av L. f är simplial om för varje simplex fv 0; ::; v k g av K, ff(v 0); :; f (v k)g är en simplix av L, där ff(v 0); :; f (v k)g behandlas som en uppsättning (eftersom f behöver inte vara en-till-en och det kan bli upprepningar). En simplicial karta f kan utvidgas till alla simplexes av K: en simplicial karta f kartor varje simplex av K till en simplex f( ) (kanske av mindre dimension) av L. Vi utvidgar f till en uppsättning S av simplexes av K, genom att de ning f( S) att vara uppsättningen av simplexes f( ) i L, där intervall över alla simplexes av S. Uppenbarligen, om S är en subkomplex av K då f (S) är en subkomplex av L. I topologi, pseudomanifolds antas ha ytterligare egenskaper, som vi inte behöver för våra applikationer. 12 på samma sätt, vi får en utförande k 2, Där alla processer har samma ingångsvärden som i 0 Och 2 k 2. Därför förutsätter resten av beviset att alla processer har samma ingångsvärden i och i 0. Tillämpa Corollary 3.5 och Corollary 3.6 på alla concurrency klasser av 2 för att erhålla en ISE med endast singleton uppsättningar, flat ( 2 ), där processerna visas i enlighet med index; det vill säga, flat( 2 ) = fp 1 g fp 2 g ; ; fp n g. Nästa, tillämpa Corollary 3.5 och Corollary 3.6 för alla concurrency klasser av 0 2 för att få flat( 0 2 Vi har att platt( 2 ) och platt ( 0 2 ) är utföranden av protokollet, med minimala nal vyer. Eftersom protokollet är deterministiskt beslutar varje process inom samma antal steg; eftersom åsikterna är minimala nal, innebär detta att varje process visas i samma antal (singleton) concurrency klasser i flat( 2 ) och i platt( 0 2 ). Därför, flat( 2 ) och flat( 0 2 ) är lika, och därmed, 0. Observera att teorem är helt bevisat inom området distribuerad dator. Vi anser att bevistekniken är intressant i sig själv; den liknar lägre gränser, visade i den synkrona modellen, på det antal rundor som krävs för att lösa samförstånd, t.ex. 13, 24] eller k-set samförstånd 11]. I detta avsnitt modellerar vi distribuerade uppgifter med hjälp av kombinatorial topologi; detta är en anpassning av 22, 23] till vårt ramverk. Vi börjar med de grundläggande topologiska begrepp som används i denna uppsats. Tidigare uppsatser inom detta område, t.ex., 11, 19, 22, 23, 26] använde geometriska eller algebraiska tolkningar av topologiska strukturer; däremot är vårt tillvägagångssätt rent kombinatoriska, abstrakta idéer från 16, 25, 27]. Grunden för vår uppfattning är idén om ett komplext system. En komplex K är en samling av nite nontomty uppsättningar stängda under inneslutning; det vill säga, om är ett element av K, då varje nontomty delmängd av är ett element av K. En nontomty delmängd av är ett ansikte av. Ett ansikte av är korrekt om det inte är lika med. Varje element i ett komplex kallas en simplex. En komplex K 0 är ett underkomplex till ett komplex K om K 0 K. Eftersom en konvergensklass inte anger i vilken ordning processerna visas, tillåter korollaryt oss att omordna enkeltonskonvergensklasser. Det vill säga, vi kan ta ett par enkeltonskonvergens klasser, fp i g; fp j g, (i 6 = j), gå med i den genom en del (1) av Lemma 3.4 för att få fp j ; p i g, och sedan använda del (2) Bevis på Lemma 3.4: Vi bevisar lemma genom induktion på j 2 j. Basfallet är när j 2 j = 0, dvs. 2 är tomt. Således är s k den sista konvergensklassen, och påståendet följer omedelbart från Lemma 3.3. För induktionssteg, anta att lemma håller för någon 2, av längd < ", och bevisa det för 2 av längd ". Anmärkning 2 = s k+1; : :; s k+". Vi beskriver fall (2); fall (1) är liknande. Tanken är att förvandla k till den sista sedd omgången p i, och sedan tillämpa Lemma 3.3. Genom induktionshypotesen, kan vi upprepade gånger tillämpa Corollary 3.5 för att förstärka alla senare konvergensklasser, s k+1 ; s k+ `, en efter en från k + ` ner till k + 1. Betrakta den resulterande IS utförande med 0 = 1 s k 00 2, och notera att 00 2 innehåller endast singleton concurrency klasser. Dessutom 00 1. Genom induktionshypotesen, kan vi också tillämpa Corollary 3.6 på singleton uppsättningar i 00 2 och flytta alla steg genom p i till slutet av 00 2. Ange med 000 den resulterande IS-utförandet. Observera att 000 1 00, och därför, 000 K är den sista sedd rundan av p i i 000, och därför kan vi tillämpa Lemma 3.3 för att flytta p i innan resten av processerna i s k. Detta innebär lemma för Case (2). Vi kan nu ange och bevisa huvudresultatet av detta avsnitt: Theorem 3.7 Om och 0 är två ISE av samma protokoll med en gemensam pre x sedan 0. Bevis: Anteckning = 2 och 0 = 0 2. För det första visar vi att vi kan anta, utan förlust av generalitet, att alla processer har samma ingångsvärden i och i 0. Annars, anta vissa processer, p i1 : : :; p ik, har inte samma ingångsvärden i och i 0 ; eftersom processer skriver sitt tillstånd i sin första steg, det följer att p i1 ; : : ; p ik inte har steg i. Vi ändrar, för varje j = 1; : :; k, input av p ij från dess värde i till dess värde i 0. Applicera Corollary 3.5 och Corollary 3.6 till 2 för att få flat( 2 ) med p i1 visas i svansen. Eftersom p i1 inte har steg i, Vi kan ändra dess input att vara dess ingångsvärde i 0, Utan någon process som skiljer mellan utföranden. Således finns det en avrättning Vi visar nu att 0 är den enda omedelbara ögonblicksbild körning där p j: s vy är minimal nal, som har denna egenskap. Om s k 6 = fp j g (ärende 2), då klart, det finns en annan process p i 2 s k. Om s k = fp j g (ärende 1), då det finns en annan process p i 2 s k+1: s k+1 är inte tom och inkluderar inte p j. Dessutom, om några s r, r > k, inkluderar p j, då s r 0 = fp j g för varje icke-tomma runda, med r 0 r (annars, k? 1 är den sista sedd omgång p j ). I båda fallen, för varje omedelbar ögonblicksbild utförande 00, som inte är eller 0, 6 pi 00, som bevisar unikheten av 0. I liknande utförande, 0, Vi antingen lägga p j till nästa konvergens klass, eller ta p j in i en tidigare singleton konvergens klass (av sig själv). Genomföranden 1 och 2 i figur 1 ger ett enkelt exempel, där p 0's första steget är antingen i en singeltonsklass (den första konvergensklassen i 2 ) eller den slås samman med nästa klass, med p 2 (den första konvergensklassen i 2 ). Observera att varje annan process än p j tar samma antal steg i båda utförandena. Process p j skiljer mellan avrättningarna och kan ta ett antal olika steg tills den beslutar. Men p j skiljer inte mellan avrättningarna innan den senast setts runt, och därför kan den ta ett antal olika steg endast i svansen, det vill säga, efter sin sista sedd runda. Således kan endast längden på svansen förändras. Huvudteoremet i detta avsnitt är att varje par av IS avrättningar med en gemensam pre x är \transitivt oskiljaktiga". Speci caley, två IS avrättningar och 0 är -liknande, betecknar 0, Om det finns IS avrättningar 0 ; : :; r, och processer, p i1 ; : :; p ir, sådan att Innan du bevisar lemma, vi anger två corollaries av det. Den första corollary säger att vi kan \ atten "en concurrency klass, ersätta den med en sekvens av singleton uppsättningar med dess processer. Den följdriktiga följer genom att upprepade gånger tillämpa del (2) 9 Vi säger att processen p j är osynlig i ett utförande, om det finns en runda k, sådan att p j = 2 s r för varje runda r < k och s r = fp j g för varje icke-tomma runda r k. Intuitivt, Detta innebär att ingen annan process någonsin ser ett steg av p j. Om p j är osynlig i en avrättning, då dess steg vidtas när alla processer inte längre vidta åtgärder. Lemma 3.2 Låta vara en omedelbar ögonblicksbild körning. Om en process p j är osynlig i då det inte finns en omedelbar ögonblicksbild utförande 0 6 =, sådan att :pj 0. Bevis: Låt = s 1. Antag process p j är osynlig i, Men det finns en omedelbar ögonblicksbild utförande 0 = s 0 1 6 =, sådan att :pj 0. Låt k vara rund så att s r = fp j g för varje r k och p j = 2 s r för varje runda r < k. Låt l vara rst rund där och 0 di er, det vill säga s l 6 = s 0 l. Om l k sedan s l = fp j g i, Medan i 0, s 0 l måste innehålla någon annan process, p i ; dock p i skiljer mellan och 0, en motsägelse. Om l < k sedan p j 6 2 s l. Eftersom ingen process i s l skiljer mellan och 0, Då samma processer måste vara i s 0 l, Åter motsäger antagandet att s l 6 = s 0 l. Om p j inte är osynlig i, Då det ses i någon runda. Formellt sett, en process p j ses i runda k, om p j 2 s k, och för vissa r k, det finns någon process p i 6 = p j som är i s r. Om p j ses, då den sista sedd runda av p j dened till den största k för vilken p j ses i k-th round. Vi betecknar med fp j g en nite (eventuellt tom) sekvens av singleton concurrency klasser, var och en är fp j g; om det finns `klasser, då skriver vi fp j g`. Antag att = s 1 ; : :; s l är en omedelbar ögonblicksbild körning där en process p j ses, och låt s k vara p j s senast sett runt i. Detta innebär att vi kan skriva = s 1 ; : :; s r ; fp j g. Slutpositionen för p j i är det minsta värdet av r som kan skrivas som s 1 ; : :; s r ; fp j g ; fp j g är svansen. Observera att om t är svansen position p j i sedan s t 6 = fp j g och s r 0 = fp j g för varje r 0, t < r 0 l. Lemma 3.3 Let = 1 s k ; : :; s l vara en omedelbar ögonblicksbild utförande där en process p j ses, och låt s k vara den sista sedd v av p j i med svans-position t. De bevis: Helt klart, 0:pj, i båda fallen. Lägg märke till att p j skiljer mellan båda avrättningarna, men ingen annan process gör det, eftersom p j inte kan kommunicera med andra processer (dess steg efteråt syns inte). Med tanke på ett protokoll, och givet inledande tillstånd för processerna (inmatningsvärden), en omedelbar ögonblicksbild utförande,, är helt kännetecknas av sekvensen av konvergens klasser. Därför kan vi missbruka notation och skriva = s 1 ; s 2 ; : :; s l. Ibland kommer det att vara användbart att se en omedelbar ögonblicksbild körning som en konkatetering av två sekvenser av konvergens klasser, och vi skriver = 1 2 om 1 = s 1 ; s 2 ; : :; s r och 2 = s r+1 ; s r+2 ; : : :; s l. Antalet steg av p i är antalet rundor där den är aktiv. Omedelbara ögonblicksbilder är av intresse eftersom de fångar modellens beräkningskraft. Lemma 3.1 Låt hI n ; O n ; i vara en uppgift. Det finns ett vänta-fri protokoll som löser denna uppgift om och endast om det finns ett vänta-fri protokoll som löser denna uppgift endast i omedelbara ögonblicksbilder exekveringar. Skiss av bevis: Antag att det finns ett protokoll P som löser. Utan förlust av allmängiltighet antar vi att varje process i P är ett protokoll med fullständig information. Eftersom P löser, Det måste lösa i omedelbar ögonblicksbild utföranden, som är en delmängd av alla utföranden. Den motsatta riktningen bevisas genom att använda ett protokoll för deltagande uppsättning problem 7]. Detta innebär att de omedelbara ögonblicksbildsutförandena kan simuleras i full information. Även om de är mycket välstrukturerade, innehåller omedelbara ögonblicksbilder fortfarande osäkerhet, eftersom en process inte vet exakt vilka processer som är aktiva i den sista omgången. Det vill säga, om p i är aktiv i runda k och observerar någon annan process p j att vara aktiv (dvs utföra en skriva), p i vet inte om p j är aktiv i runda k? 1 eller i omgång k. Tänk till exempel på avrättningarna i figur 1. Endast p 0 skiljer mellan avrättningar 1 och 2; p 1 och p 2 har samma åsikter i båda avrättningarna och kan inte skilja mellan dem. (Observera att p 0 skiljer mellan 1 och 2, Eftersom i 2, p 0 läser det ursprungliga värdet i p 2 "s register, medan i 1, p 0 läser den första skriva av p 2.) Emellertid, som vi bevisar nedan (Lemma 3.3), är detta den enda osäkerhetsprocesser har i omedelbar ögonblicksbild utföranden av full-information protokoll. 7 komponent till det ingångsvärde och utgångsvärde som beskrivs ovan. Historien komponenten p i består av sekvensen av operationer som utförts hittills av p i, och deras resultat. Inledningsvis är sekvensen tom; efter p i utför en skriva i operation, skriva bifogas sekvensen; efter det utför en läsa i (R j ), returnera värdet v, läsa j; v] bifogas. Observera att i en fullständig information protokoll, synen på p i i en nite exekvering, ji, är likvärdig med p i s tillstånd vid den sista konvergensen av. Dessutom antar vi protokoll är i en standard form, enligt följande: Varje process p i cykler genom faser; i varje fas, det rst skriver hela sitt tillstånd till R i, och sedan läser R 0 ; : :; R n (i någon ordning). Eftersom vi endast betraktar deterministiska protokoll, är tillståndet i en process unikt bestäms av dess historia komponent. I själva verket, beteendet hos alla full-information protokoll är mycket lik; protokoll er endast i vilket värde en process beslutar om, och när processen fattar beslutet. Beslutsvärdet är alltså en funktion av den ingående komponenten och historikkomponenten, och olika protokoll finns endast i denna funktion. Det är uppenbart att en uppgift kan lösas om och endast om den kan lösas genom ett protokoll med fullständig information. Vi begränsar vår uppmärksamhet till denna klass eftersom vi bara är intresserade av att studera uppgiften löslighet, och bortse från efficiency frågor. I uppföljaren, alla avrättningar vi anser är av full information protokoll. Nedan förlitar vi oss på begreppet avrättningar som inte kan särskiljas genom en process; för fullständiga informationsprotokoll sker detta exakt när processen har samma uppfattning i både Som nämns i avsnitt 2, i detta dokument, vi bara anser full information protokoll som är i standardform; vi begränsar nu vår uppmärksamhet till en specific c delmängd av utförandet av ett sådant protokoll, kallas omedelbara ögonblicksbilder utföranden. En omedelbar ögonblicksbild körning (i korthet, ISE) av ett protokoll är en sekvens av rundor; k-th round är specificerad av en konvergens klass (kallas ett block i 26]) av process-ids, s k. Processerna i s k kallas aktiva i rund k. I rund k, rst varje aktiv process utför en skrivoperation (i ökande ordning av ids), och sedan varje aktiv process läser alla register, dvs. utför n + 1 läsoperationer (i ökande ordning av ids). Varje konvergensklass kan tänkas som en samtidig skriva av varje aktiv process, följt av en samtidig atomisk ögonblicksbild av varje aktiv process. Vi utgår från att samstämmighetsklasser alltid inte är tomma. Ett protokoll är en samling P av lokala protokoll P 0 ; : :; P n. En händelse av p i betecknas nedan helt enkelt av p i's index, i. En exekvering av ett system är en nite eller i nite alternerande sekvens av konverger och händelser C 0 ; j 1 ; C 1 ; : : :; C k? 1 ; j k ; : : : :, där C 0 är en första konduration och C k är resultatet av att tillämpa händelsen j k till C k? 1, för alla k 1. Schemat för denna avrättning är j 1 ; : :; j k ; : : :. Eftersom en utförande = C 0 ; j 1 ; C 1 ; : :, och en process p i, vyn av p i, betecknad ji är sekvensen tillstånd i (C 0 ); tillstånd i (C 1 ); : :. För att modellera beslutsuppgifter identifierar vi två speciella komponenter i varje processs tillstånd: ett ingångsvärde och ett utgångsvärde. Det antas att de initiala tillstånden endast beror på indatavärdena; dessutom ändras inte indatavärdets komponent. Om vi vill ha ett lokalt protokoll som beror på processens id måste id uttryckligen tillhandahållas som en del av inputen. Utdatavärdekomponenten är oåterkallelig, dvs. protokollet kan inte skriva över utdatavärdet. Ett protokoll är vänta-fri om i något utförande av protokollet, varje process antingen har ett nite antal händelser (dvs. tar ett nite antal steg) eller det skriver ett utdatavärde. Detta innebär att om en process tar ett antal steg måste den så småningom (efter ett antal steg) skriva ett utgångsvärde. Vår denition kräver inte processer för att stoppa de bestämmer och slutföra beräkningen av beslutsuppgiften genom att skriva till utdatavärdekomponenten. Processer kan antingen fortsätta att vidta åtgärder (som är irrelevanta) eller stoppa. Vi betraktar vanligtvis stegen i en process tills den beslutar, och därför, ovanstående distinktion inte mater. För resten av tidningen begränsar vi vår uppmärksamhet till full-information protokoll, där en process minns allt och skriver allt den vet. Formellt lägger vi till en historik 5 Avsnitt 2) med combinatorial topologi begrepp (avsnitt 4.2 och 4.3). Den nödvändiga och tillräckliga förutsättningen för vänta-fri solvability utvecklas i Avsnitt 5. Ytterligare matematik utvecklas i Avsnitt 6, och används senare i Avsnitt 7, för att bevisa omöjligt att vänta-fria lösningar för att namnge och sätta konsensus, under särskilda c omständigheter. Diskussionen behandlas i 8 §. Ett system består av tillstånden i processerna och registren. Formellt är en sammansättning C en vektor hs 0 ; : : :; s n ; v 0 ; : :; v n i där är det lokala tillståndet i processen p i och v j är värdet av den delade variabeln R j. Beteckna tillstånd i (C) = s i. Varje delad variabel kan uppnå värden från någon domän som innehåller en speciell \unde Ned" värde,?. En inledande sammansättning är en konvergens där varje lokalt tillstånd är ett initialt tillstånd och alla delade variabler är inställda på?. Vi betraktar en tvärgående modell av samstämmighet, där avrättningar modelleras som sekvenser av steg. Varje steg utförs genom en enda process. I varje steg, en process p i utför antingen en write i operation eller en read i (R j ) operation, men inte båda, utför vissa lokala beräkningar, och förändringar i dess nästa lokala tillstånd. Nästa behandling är resultatet av dessa förändringar. Tillståndsmaskinen för varje process p i modellerar ett lokalt protokoll, P i, som bestämmer p i: s nästa steg och P i bestämmer om p i är att skriva eller läsa, och (vid en läsning) vilken variabel R j att läsa som en funktion av p i: s lokala stat. Om p i läser R j, sedan P i bestämmer p i's nästa tillstånd som en funktion av p i's nuvarande tillstånd och värdet v avläst från R j. Om p i skriver till R i, sedan P i bestämmer p i s nästa tillstånd som en funktion av p i s nuvarande tillstånd. Vi antar att alla lokala protokoll är identiska, dvs. processer har samma tillståndsmaskin, som inte är beroende av process-id. Om det lokala protokollet måste vara beroende av id, måste id kodas i inmatningen (se diskussion nedan i detta avsnitt och i avsnitt 4.3). 4 topologi, vårt ramverk destillerar de egenskaper som krävs för studien av vänta-fri löslighet. Det kräver ingen tidigare topologi bakgrund från läsaren. Den combinatorial topologi ram vi utvecklar för vänta-fri löslighet är relaterad till 1-misslyckande modell av Biran, Moran och Zaks 5; medan de använder grafer och kanter (uppsättningar av två hörn), använder vi komplex och simplexer (uppsättningar av en eller flera hörn). Herlihy och Shavit använder också simplexes 22, 23], men ofta ges en geometrisk tolkning och betraktas som undergrupper av Euclidean utrymme; i vårt arbete, vi alltid överväga kombinatoriska strukturer. Utdelade bilder spelar en roll som liknar spännvidder (både den geometriska version som används i 22, 23, 19] och den algebraiska versionen som infördes 20]). Som diskuterats senare (efter Denition 4.1) delade bilder har svagare matematiska egenskaper än geometriska spännvidder, i synnerhet kan de ha \hål". Vi visar att en orientalisk uppdelad bild på ett naturligt sätt motsvarar en algebraisk spännvidd. I 22] visades att geometriska spännvidder existerar, men beviset kräver en kombination av algebraiska (homologiteori) och geometriska (subdelad simplexes) argument. Begreppet omedelbara avrättningar av ögonblicksbilder infördes samtidigt av Borowsky och Gafni 6] och av Saks och Zahalowou 26]. Många av de idéer som behövs för att visa att omedelbara ögonblicksbilder framkallar en delad bild som redan framträdde i dessa verk; av särskild betydelse för oss är det mer kombinatoriska synsättet av 6]. Målet med dessa dokument var dock att bevisa omöjligheten att nå samförstånd, och därför centrerade de sig på egenskaper hos omedelbara ögonblicksbilder som behövdes för att bevisa detta resultat. För detta resultat är det inte nödvändigt att visa att de är anslutna och orientaliska (egenskaper som används här för att döpa om omöjligheten) eller att de framkallar en algebraisk spännvidd (eller vår enklare kombinatoriska uppfattning om en delad bild). Inga allmänna villkor för vänta-fri löslighet härleddes från dem, och ingen allmän modell, som den som utvecklats här, har dykt upp tidigare. Den nödvändiga och tillräckliga förutsättningen för vänta-fri löslighet som vi härleder är inte exakt samma som den som bevisas av Herlihy och Shavit i 23]. Å ena sidan konstruerar vi uttryckligen en specific c välstrukturerad uppdelad bild (framkallad av omedelbara ögonblicksbilder), medan Herlihy och Shavit visar att en godtycklig spännvidd finns 22]. Å andra sidan, Herlihy och Shavit bevisa att förekomsten av en spännvidd (som är en naturlig topologisk struktur) innebär vänta-fri solvability 23], medan vårt tillstånd kräver exitence av en specific c uppdelad bild, framkallad av omedelbara ögonblicksbilder exekveringar. Resten av detta dokument är organiserat enligt följande. I Avsnitt 2 beskriver vi den distribuerade datormodellen. I Avsnitt 3 vi de ne omedelbar ögonblicksbild avrättningar och studera deras egenskaper. Avsnitt 4 börjar med de topologibegrepp som används i resten av pappret, (avsnitt 4.1) och sedan visar vi hur man modellerar en uppgift och ett distribuerat datorsystem (beskrivs i 3 För att ge en känsla för den matematiska ram vi utvecklar, presenterar vi följande grov beskrivning av nyckelbegrepp från kombinatorisk topologi. En färgad simplex är en uppsättning, där var och en av elementen, som kallas hörn, är färgad med ett process-ID. Ett färgat komplex är en samling färgade simplexer som är slutna under inneslutning. En kartläggning från hörn av en färgad komplex till hörn av en annan är simplial om det kartor en simplex till en simplex; det är färgbevarande om en vertex med id p i är kartlagd till vertex med id p i. Slutligen, ett komplex vars största simplex innehåller m hörn är en pseudomanifold om varje simplex med m?1 hörn finns i antingen en eller två simplex med m hörn. De är inte beroende av algebraiska eller geometriska tolkningar. Det nya kombinationskoncept vi använder är att en pseudomanifold är en delad bild av en simplex. Mycket grovt är en pseudomanifold en delad bild av en simplex om den har samma gräns som simplexen. Den delade bilden bevarar en del av (men inte alla) den topologiska strukturen i simplexen. Vi bevisar ett nytt nödvändigt villkor för vänta-fri löslighet (Theorem 5.9): om en uppgift är vänta-fri lösbar, då finns det en delad bild av komplexet av möjliga ingångar; det är enkelt att se att de beslut som fattas av protokollet måste framkalla en förenklad karta från denna delade bild till komplexet av möjliga utgångar som måste överensstämma med uppgiften specification. Vi presenterar sedan ett nödvändigt och tillräckligt villkor för vänta-fri solvability, d.v.s. en karakterisering av vänta-fria solvable uppgifter. Överväg en uppgift, och en vänta-fri protokoll som löser det. Vi visar uttryckligen att en delmängd av protokollets avrättningar, som kallas omedelbar ögonblicksbildsutföranden 6, 26], framkallar en delad bild av komplexet av möjliga ingångar. Vi använder en lösning för deltagande set problem 7] för att visa att ovanstående egendom är också tillräckligt. Nämligen, om det finns en simplicial karta från en delad bild som induceras av omedelbara ögonblicksbilder exekveringar till utdatakomplexet som överensstämmer med uppgiften, då problemet är vänta-fri lösbar. Vi bevisar att den delade bilden som induceras av omedelbara ögonblicksbildsutföranden är orientalisk och ansluten. Vi bevisar sedan en kombinatorisk teorem om antalet monokroma simplexer i varje binär färgning av en orientalisk och ansluten delad bild. Detta teorem är nyckeln till en helt combinatorial bevis på att M-renaming är vänta-fri lösning endast om M 2n. Med hjälp av standard Sperner's Lemma, visar vi också att k-set samförstånd är vänta-fri lösning endast om k > n. (Båda gränserna är kända för att vara tight, se 2] och 10], respektive.) Det viktigaste bidraget från detta dokument är enligt vår mening att tillhandahålla en alternativ, kombinatorisk ram inom vilken ytterligare forskning med anknytning till distribuerad löslighet kan bedrivas. 1 Vi tror att vårt arbete är det första att ge en helt fristående och elementär, men ändå rigorös, behandling av detta ämne. Från idéer som utvecklades i stor generalitet i algebraic 1 I hans handledning, Herlihy 18, Remark 4.1] säger: \: : Ingen tvekan man kunde bevisa dessa resultat på ett rent kombinatoriskt sätt, men ingen vet hur. Även om vi visste hur, helt kombinatoriska bevis skulle förmodligen inte vara så kortfattad och intuitivt tilltalande :: "Våra resultat visar att kombinatoriska bevis för dessa resultat kan vara ganska tillgängliga. I detta dokument studeras de uppgifter som kan lösas genom ett väntetidsfritt protokoll i delade asynkrona system. Ett delat minnessystem består av n + 1 processer som kommunicerar genom att läsa och skriva delade variabler; här antar vi endast atomläs- och skrivregister. Vi antar också att processerna är helt asynkrona, d.v.s. att varje process körs med en helt godtycklig hastighet. Processer börjar med ingångar och, efter att utföra vissa protokoll, måste besluta om vissa utgångar. En uppgift anger vilka uppsättningar utgångar som är tillåtna för varje tilldelning av indata till processer. Ett protokoll är vänta-fri om varje process stannar med en utgång inom ett nite antal av sina egna steg, oavsett beteendet hos andra processer. En uppgift är vänta-fri lösning om det finns ett vänta-fri protokoll som löser det. Studiet av vänta-fria lösa uppgifter har varit central för teorin om distribuerad dator. Tidig forskning studerade specifika uppgifter och visade att de kunde lösas (t.ex. ungefärligt avtal 12], 2n-renaming 2], k-set samförstånd med högst k?1 misslyckanden 10]) eller olösligt (t.ex. konsensus 14], n + 1-renaming 2]). År 1988 presenterades ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att lösa en uppgift i närvaro av ett enda processfel 5. 1993 gjordes en betydande avancemang i förståelsen av väntefri löslighet 6, 22, 26]. Detta framsteg gav nya omöjlighetsresultat för k-set samförstånd (6, 22, 26] och senare 9, 19, 20]) och namnändring 22, 20] samt ett nödvändigt och tillräckligt villkor för vänta-fri löslighet 22, 23]. Av särskilt intresse var användningen av topologiska begrepp för att undersöka problemet, vilket föreslogs i 22, 26] (och implicit i 6]). Men en stor del av denna utveckling förblev otillgänglig för många forskare, eftersom den förlitade sig på algebraiska och geometriska verktyg för topologi. Dessutom användes olika topologitekniker i vart och ett av dessa verk: Till exempel en direkt, kombinatorisk tillämpning av Sperners Lemma i 6], en mer involverad form av Brouwer xed point theorem i 26], och en kombination av kontinuerliga och algebraiska verktyg för simplial approximation och Mayer-Vietoris sekvenser i 22]. I detta dokument presenterar vi en fristående studie av vänta-fria lösa uppgifter som utgår från de första principerna. Vi inför ett nytt nödvändigt och tillräckligt villkor för vänta-fri löslighet. Detta villkor används för att bevisa att det är omöjligt att lösa problemen med namnbytet och k-set konsensus under särskilda omständigheter. Det används också för att härleda en förlängning av det nödvändiga villkoret på 5]. Vårt tillvägagångssätt lånar kritiska idéer från tidigare arbeten inom detta område, särskilt 6, 7, 22, 23, 26] och integrerar dem i en uni ed ram. Vårt mål var att fördjupa förståelsen av problemet med vänta-fri löslighet; i synnerhet, att lära sig vilka verktyg för topologi behövs för att undersöka detta problem. Vi utvecklar den första detaljerade formella modellen som fångar vänta-fri löslighet i termer av kombinatorisk matematik, inspirerad av topologi.  I detta dokument presenteras en fristående studie av väntetidsfria uppgifter. Ett nytt nödvändigt och tillräckligt villkor för vänta-fri löslighet bevisas, vilket ger en karakterisering av de vänta-fria lösa uppgifter. Villkoret är baserat på en begränsad uppsättning avrättningar, som framkallar en mycket enkel att förstå struktur. Det nödvändiga villkoret används för att bevisa snäva gränser för namnbyte och k-fast samförstånd. Ramverket är baserat på topologi, men använder endast elementär kombinatorik, och i motsats till tidigare verk, inte förlitar sig på algebraiska eller geometriska argument.
Multi-round (enkelt delat minne array) IS protokoll komplex är svårare att analysera, combinatorially det kan visas vara en pseudomanifold REF.