Det finns växande belägg för att flera grundläggande processer i naturen i sig är beräkningsmässiga och bäst sedda ur beräkningssynpunkt. Begrunda fallet med Physarum polycefalum (slime mögel), en enda cellad organism som har varit källan till mycket spänning bland biologer och dataforskare på grund av dess förmåga att lösa komplexa optimeringsproblem. Detta började med ett experiment (Nakagaki et al. i Natur 2000) som visade slem mögel kunde lösa den kortaste vägen problemet på en labyrint. Därefter fångades Physarums tidsutveckling av matematiska biologer med hjälp av de dynamiska systemens språk, vilket gav upphov till en bred klass av dynamik för grundläggande beräkningsproblem såsom kortaste vägar, överföringsproblem och linjära program (Tero et al. År 2007, Ito et al. 2011, Johannson och Zou 2012. Physarumdynamiken är i hög grad icke-linjär och decentraliserad, och därför finns det ingen föregående anledning för dem att konvergera någonstans, för att inte tala om lösningar på problem, såsom de som nämns ovan, där man söker en global optima. Men experiment och simuleringar tyder på att lösningen inte bara konvergerar, den konvergerar snabbt. Två uppsättningar av frågor uppstår naturligt ur en beräkningssynpunkt: 1) Medan det dynamiska systemet ger en mekanistisk insikt i hur ett Physarum fungerar, misslyckas det med att förklara vad som pågår globalt. Kan vi förklara fysikdynamiken ur ett optimeringsperspektiv? (2) Kan vi noggrant förklara vilka experiment, simuleringar och partiella resultat om Physarum dynamiken antyder, nämligen a) existensen av en lösning, b) konvergens till en optimal lösning och c) tid till konvergens av (kontinuerlig och diskretiserad) dynamik? Vi studerar dessa frågor för Physarum dynamik för linjär programmering föreslås av (Johannson och Zou i 2012) som generaliserar tidigare modeller för kortaste vägen och övergången problem. För fråga (1) finns det inga kända svar ens i den enklaste inställningen av kortaste vägen: å ena sidan liknar Pysarumdynamiken gra-dient nedstigningsmetoden; men man kan visa att det inte är det. Å andra sidan, dynamiken påminner om inre punkt metoder; men vad som gör Physarum dynamik anmärkningsvärt är att man kan börja från utanför den genomförbara regionen av det linjära programmet och ändå konvergera till den optimala punkten. När det gäller fråga 2 är situationen något bättre. För olika specialfall såsom kortaste vägen (Bonifaci et al. Europaparlamentets och rådets förordning (EU) nr 182/2011 av den 16 februari 2011 om fastställande av allmänna regler och principer för medlemsstaternas kontroll av kommissionens utövande av sina genomförandebefogenheter (EUT L 55, 28.2.2011, s. År 2013 och omlastningsproblemet (Ito et al. Under 2011 har ett tidigare verk av de nuvarande författarna i SODA 2016) (a)-c) besvarats. Dessa resultat är dock i hög grad beroende av problemets särskilda struktur. För LP:er visar de tidigare resultaten konvergens under förutsättning att i) lösningen finns ii) att den möjliga regionen för LP avgränsas och iii) att optimizern är unik. Som vi senare argumenterar, rättfärdiga eller ta bort dessa slutar med att det blir ganska svårt. De nuvarande resultaten begränsar inte konvergenstiden. Vi ger svar på alla dessa frågor: Vi visar att Physarum dynamik kan ses som en brantaste-descent algoritm, dock, inte i Euclidean utrymme, snarare i ett utrymme utrustade med en Riemannian metrisk erhålls från en entropy-liknande funktion. Som en följd av detta visar vi att Physarums dynamik för linjär programmering uppnås genom att balansera två krafter i detta Riemannska grenrör: behovet av att minska kostnaderna och behovet av att vara genomförbar. Dessutom visar vi att de kontinuerliga banorna i Physarum i själva verket är vägar av optimerare till en parametriserad familj av konvexa program, där målet är en linjär kostnadsfunktion som regleras av entropibarriär. Därefter etablerar vi den globala existensen av lösningar av Physarum dynamik och visar att de har gränser, är optimala lösningar av den underliggande LP. Slutligen presenterar vi en tidsbunden på en diskretization av dynamiken för att ge en algoritm som är bevisligen effektiv för en klass av linjära program, som inkluderar unimodular restriktion matriser. Våra proofs syntetiserar koncept och verktyg från flera olika områden såsom Riemannian grenrör, konvex optimering och dynamiska system och bör vara av oberoende intresse. Dokumentet finns här: http://arxiv.org/abs/1511.07020. 291 Ordförande
Mest relevant för det aktuella dokumentet är arbetet av Straszak och Vishnoi REF, som initierade den rigorösa studien av Physarum dynamik för LP problem i formen (1).