Vi ger två olika karakteriseringar av den typ av dimensionalitet-reducerande karta Π som kan användas för spektral fel ungefärlig matris multiplikation (AMM). Båda innebär en slumpmässig data-oblivious Π med m = O(r/ε 2 ) rader räcker, varr är den högsta stabila rank, dvs. Squared ratio av Frobenius och operatör normer, av matriserna multipliceras. Detta besvarar den huvudsakliga öppna frågan om [MZ11, KVZ14], och är optimal för alla slumpmässiga oöverträffade karta. Båda karakteriseringarna gäller för en allmän klass av slumpmässig Π, och en till och med för deterministisk Π. där kolumnerna i U utgör en ortonormal grund för E. I en karakterisering, visar vi om denna svans bundnas genom momentmetoden, då för att erhålla AMM räcker det att D vara en (ε, ε, 2r)-OSE. Det vill säga, vi visar att vi är en OSE för dimension (dvs. k innebär svart ruta AMM för matriser av stabil rang k. När detta visas, vårt huvudresultat är då bara en enkel följd av det faktum att subgaussiska kartor med m =  och (d + log(1/δ)) /ε 2 ) rader är (ε, δ, d)-OSE. Dessutom, för alla kända OSE: s, är de bästa analyserna verkligen via momentmetoden (eller verktyg som matris Chernoff, som själva också innebär moment gränser). Således våra teorem kan tillämpas på en mycket mer allmän klass av skiss matriser än bara subgaussiska skisser i [MZ11, KVZ14], förutom att uppnå bättre gränser. Detta inkluderar snabba subrymdsinbäddningar såsom Subsampled Randomized Hadamard Transform [Sar06, LWM + 07] eller glesa subrymdsinbäddningar [CW13, MM13, NN13, Coh16], eller till och med konstruktioner som kan utvecklas i framtiden, för att visa att rankgränser i sina analyser i tidigare arbete automatiskt kan ersättas med stabil rang. Vår andra karakterisering identifierar vissa deterministiska villkor som om de uppfylls innebär AMM-garantin. Vi visar att dessa villkor är tillräckligt exakta för att ge optimala resultat för subgaussiska kartor och till och med ett deterministiskt Π som trunkerade SVD. Vårt huvudteorem, via anslutningar med spektral felmatris multiplikation visat i tidigare arbete, innebär kvantitativa förbättringar för ungefärlig minsta kvadrat regression och låg rang approximation [Sar06], och innebär snabbare låg rang approximation för populära kärnor i maskininlärning såsom gaussian och Sobolev kärnor. Vårt huvudsakliga resultat har också redan tillämpats för att förbättra dimensionalitetsreduktionsgarantier för k-medelvärden klustring [CEM + 15], och innebär också nya resultat för icke-parametrisk regression när de kombineras med resultat i [YPW15]. Slutligen påpekar vi en mindre men intressant iakttagelse att beviset på "BSS" deterministiska radprovtagningsresultat av [BSS12] kan modifieras för att visa att för alla matriser A, B av stabil rang som mest, kan man uppnå spektral norm garanti för ungefärlig matris multiplikation av A T B med hjälp av en deterministisk provtagningsmatris med O (r/ε 2 ) icke-noll poster som kan hittas i polynom tid. Det ursprungliga resultatet av [BSS12] var för rankning i stället för stabil rankning. Vår observation leder till en starkare version av en huvudteori av [KMST10]. - Vad är det för fel på dig? Micohen@mit.edu.
Nyligen, Cohen et al. REF ytterligare förbättra beroendet av  på och ge en gräns för O (r/ på 2 ), varr är den högsta stabila rank.
Optimal approximate matrix product in terms of stable rank
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}