Vi bevisar en struktur teorem för de genomförbara lösningarna av Arora-Rao-Vazirani SDP avkoppling på låg tröskel rank grafer och på små-set expanders. Vi visar att om G är en graf av avgränsad tröskel rank eller en liten uppsättning expander, då en optimal lösning av Arora-Rao-Vazirani avkoppling (eller av någon starkare version av det) kan nästan helt täckas av ett litet antal bollar med avgränsad radie. Sedan visar vi att, om k är antalet bollar, en lösning av denna form kan avrundas med en approximationsfaktor av O ( ε log k) i fallet med Arora-Rao-Vazirani avkoppling, och med en konstant-faktor approximation i fallet med k-th runda i Sherali-Adams hierarkin börjar vid Arora-Rao-Vazirani avkoppling. Strukturteoremet och avrundningsschemat kombinerar för att bevisa följande resultat, där G = (V, E) är en graf av expansion ∂(G), λ k är det k-te minsta eigenvärdet av den normaliserade Laplacianen av G, och ί k (G) = min dishead S1,...,S k max 1≤i≤k (S i ) är den största expansionen av någon k dishead undergrupper av Arora-Rao-Vazirani relaxation kan avrundas i polynom tid med en approximation förhållande O ( ε log k). Starkare approximationsgarantier kan uppnås i tid exponentiellt i k via avkopplingar i Lasserre hierarkin. Guruswami och Sinop [GS13] och Arora, Ge och Sinop [AGS13] visar att det är möjligt att uppnå en approximation i tid 2 O(k) poly(n) om antingen λ k > ∂(G)/ poly( en), eller om SSE n/ k > ε log k log n · ∂(G)/ poly( en), där SSE är den minsta expansionen av uppsättningar av storlek som mest s.
Oveis Gharan och Trevisan REF ger också en avrundningsalgoritm för den grundläggande SDP-avslappning på grafer med låg tröskel, men kräver en strängare pre-villkor på eigenvärden (λ r  på log 2.5 r · 0(G)), och utnyttja den för att ge en starkare O ( ε log r)-tillnärmning garanti.
Improved ARV Rounding in Small-set Expanders and Graphs of Bounded Threshold Rank
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}