Abstrakt. Vi betraktar en asymptotisk regim för tvådimensionella ferromagnetiska filmer som överensstämmer med bildandet av övergångsskikt, så kallade Néelväggar. Vi etablerar först kompaktitet av S 2-värderade magnetiseringar i den energiska regimen av Néel väggar och karakteriserar uppsättningen av ackumulationspunkter. Vi bevisar sedan att Néel väggar är asymptotiskt den unika energi minimering konfigurationer. Vi studerar slutligen motsvarande dynamiska frågor, nämligen magnetiseringarnas kompaktitetsegenskaper under flödet av ekvationen Landau-Lifshitz-Gilbert. Syftet med detta dokument är att studera en asymptotisk regim för tvådimensionella ferromagnetiska tunna filmer som möjliggör förekomsten och varaktigheten av speciella övergångslager som kallas Néel väggar. Vi kommer att bevisa kompaktitet, optimalitet och energikoncentration av Néel väggar, tillsammans med dynamiska egenskaper drivs av Landau-Lifschitz-Gilbert ekvationen. 1.1. De åtgärder som föreskrivs i denna förordning är förenliga med yttrandet från ständiga kommittén för växter, djur, livsmedel och foder. En tvådimensionell modell för tunnfilmsmikromagneter. Vi kommer att fokusera på följande 2D-modell för tunna ferromagnetiska filmer. För det, låt L = R × T med T = R/Z, vara en tvådimensionell horisontell del av ett magnetiskt prov som är oändligt i x 1 -riktning och periodisk i x 2 -riktning. De tillåtna magnetiseringarna är vektorfält som är periodiska i x 2 - riktning (detta villkor införs för att utesluta laterala ytladdningar) och ansluta två makroskopiska riktningar bildar en vinkel, dvs., för en fast Vi kommer att överväga följande mikromagnetisk energi approximation i en tunnfilm regim som skrivs i frånvaro av kristallina anisotropi och externa magnetfält (se t.ex. [5], [14] ): (2) kallas utbytesenergin, medan de andra två termerna står för den herrelösa fältenergi som skapas av ytladdningarna m 3 i toppen och botten av provet och av volymladdningarna  till · m ′ i provets inre. Mer exakt, det herrelösa fältet h(m ′ ) :  ska × R → R 3 genereras endast av volymladdningar definieras som den unika som är x 2 -periodiska och bestäms av statisk Maxwell ekvation i svag betydelse 1 : För explicit lösning (3) genom användning 2 av Fourier transform F (·), kan den herrelösa fältet energi uttryckas på motsvarande sätt i termer av homogena, där så att lutningen av energi E δ (m) ges av Här och i följande, betecknar vi planar koordinater med x = (x 1, x 2 ), (x 1, x 2 )  och = (‐x 2, x 1 ), den vertikala koordinaten av z och dessutom, vi skriver (, I denna modell, förväntar vi oss två typer av singular mönster: Néel väggar och Vortices (så kallade Bloch linjer i mikromagnetisk jargon). Dessa mönster är ett resultat av konkurrensen mellan de olika bidragen i den totala energi E δ (m) och den icke konvexa begränsningen  på m på = 1. Vi förklarar dessa strukturer i följande och jämför deras respektive energier (för mer information, se DeSimone, Kohn, Müller och Otto [6]). Néel väggar. Néelväggen är ett dominerande övergångsskikt i tunna ferromagnetiska filmer. Den kännetecknas av en endimensionell rotation i planet som förbinder två riktningar (1) av magnetiseringen. Mer exakt, det är en endimensionell övergång m = (m 1, m 2 ) : R → S 1 som minimerar energin under gränsen begränsningen (1): 1 Med andra ord, h (m ′ ) är Helmholtz projektion av vektormått 2 Med tanke på en funktion  ska du veta → R som är 1-periodisk i x2, vi introducerar kombinationen av Fourier transformation i x1 och Fourier-serien i x2 av F( skala)(a)) = e − på grund av att den har en liten kärna med snabb varierande rotation och två logaritmiskt sönderfallande svansar. 4 Som δ → 0 ges skalan av Néel-kärnan av  på x 1  och w-kärnan = O(δ) (upp till en logaritmisk skala i δ) medan de två logaritmiska sönderfallande svansarna skalan som w-kärnan  på 1  och w-svansen = O(1). Den energikrävande kostnaden (per längdenhet) för en Néelvägg ges av mikromagnetisk virvel. En virvelpunkt motsvarar i vår modell en topologisk singularitet på mikroskopisk nivå där magnetiseringen pekar ut utanför planet. Prototypen för en vortex konfiguration ges av en vektor fält m : B 2 → S 2 definieras i en enhet disk  och = B 2 av en tunn film som uppfyller: och minimerar energin (2): Eftersom magnetiseringen vänder i planet vid gränsen till disk B 2 (så, deg(m ′,  på) = 1), en lokal region skapas, som är kärnan i vortex storlek ε, där magnetiseringen blir verkligen vinkelrät mot det horisontella planet. Observera att energi E δ kontrollerar energi från Ginzburg-Landau, dvs. Regime. Vi kommer att inrikta oss på en energisk regim som möjliggör Néelmurar, men inte vortices. Mer exakt, vi kommer att anta att δ → 0 och ε = ε(ε) → 0 sådana att och vi kommer att överväga familjer av magnetisering {m δ } 0 < δ < 1/2 uppfyller den energi bundna (7) sup δ→0 δ på Logg δ på (m δ ) < +∞. I synnerhet (6) innebär att storleken ε på virvelkärnan är exponentiellt mindre än storleken på Néel väggkärnan δ, dvs. ε = O(e − 1 δ ska loggen δ ska ). Kompaktitet av Néel väggar. Vi visar först att den energiska regimen (7) verkligen är gynnsam för bildandet av Néelmurar. Vi börjar med att visa ett kompakt resultat för 4 I vår modell, är svansarna inneslutna av systemet tack vare den steriska interaktionsmekanismen med provkanterna placerade i x1 = ±1. 5 I vår modell är parametern ε = ε(ε) > 0 relaterad till δ enligt systemet (6).
Uppskattningar fram till gränsen för en rektangel erhölls i REF-bilagan] i systemet M ε, N ε  på log ε.
A thin-film limit in the Landau-Lifshitz-Gilbert equation relevant for the formation of N\'eel walls
{'venue': None, 'journal': 'Journal of Fixed Point Theory and Applications', 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}