Detta papper handlar om approximationen av tensorer med hjälp av trädbaserade tensorer format, som är tensorer nätverk vars grafer är dimension partition träd. Vi anser att Hilbert tensor utrymmen av multivariata funktioner definieras på en produkt som är utrustad med en sannolikhetsmått. Detta inkluderar fallet med flerdimensionella matriser som motsvarar ändliga produktuppsättningar. Vi föreslår och analyserar en algoritm för konstruktion av en approximation med endast punktutvärderingar av en multivariat funktion, eller utvärderingar av vissa poster i en multidimensionell array. Algoritmen är en variant av den högre ordningens singularvärdesnedbrytning som konstruerar en hierarki av subrymder associerade med trädens olika noder och en motsvarande hierarki av interpoleringsoperatörer. Optimala subrymder uppskattas med hjälp av empirisk huvudkomponentanalys av interpoleringar av partiella slumpmässiga utvärderingar av funktionen. Algoritmen kan ge en approximation i alla trädbaserade format med antingen en föreskriven rang eller ett förskrivet relativt fel, med ett antal utvärderingar av ordningen för lagring komplexiteten i approximationsformatet. Enligt vissa antaganden om uppskattningen av huvudkomponenter, visar vi att algoritmen ger antingen en kvasioptimal approximation med en given rang, eller en approximation som uppfyller de föreskrivna relativa fel, upp till konstanter beroende på trädet och egenskaperna hos interpoleringsoperatörer. Analysen tar hänsyn till diskretiseringsfel för approximationen av oändliga-dimensionella tensorer. För en tensor med ändlig och känd rang i ett träd-baserat format, algoritmen kan återställa tensorn på ett stabilt sätt med hjälp av ett antal utvärderingar som motsvarar lagring komplexiteten i representationen av tensorn i detta format. Flera numeriska exempel illustrerar de viktigaste resultaten och beteendet hos algoritmen för approximation av högdimensionella funktioner med hjälp av hierarkiska Tucker eller tensor tåg tensor format, och approximationen av univariata funktioner med tensorisering.
Det senaste arbetet av Nouy REF utvecklar en relaterad algoritm för att rekonstruera en funktion med hjälp av ett träd tensor nätverk.
Higher-order principal component analysis for the approximation of tensors in tree-based low-rank formats
{'venue': 'Numer. Math., Volume 141, Issue 3, pp 743-789 (2019)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}