Med tanke på en kvantfelkorrigering kod, en viktig uppgift är att hitta kodade operationer som kan genomföras effektivt och feltolerant. I detta brev fokuserar vi på topologiska stabilisatorkoder och kodade enhetsportar som kan implementeras av en konstant djup kvantkrets. Sådana portar har en viss grad av skydd eftersom spridningen av fel i en konstant djup krets begränsas av en konstant storlek ljus kon. För 2D-geometrin visar vi att konstant djupa kretsar endast kan implementera en ändlig grupp av kodade grindar som kallas Clifford-gruppen. Detta innebär att topologiskt skydd måste "stängas av" för åtminstone några steg i beräkningen för att uppnå universalitet. För 3D geometri visar vi att en kodad grind U är genomförbar av en konstant djup krets endast om U P U † är i Clifford gruppen för någon Pauli operatör P. Denna klass av portar innehåller några icke-Clifford portar såsom π/8 rotation. Vår klassificering gäller alla stabilisatorer med geometriskt lokala stabilisatorer och tillräckligt stort kodavstånd. Kvantfelkorrigerande koder spelar en central roll i alla föreslagna system för feltolerant kvantifiering. Genom att upprepade gånger mäta felsyndrom och tillämpa motsvarande korrigeringsåtgärder kan kodade tillstånd lagras tillförlitligt under längre tidsperioder. Dessutom tillåter vissa koder ett feltolerant genomförande av en beräkningsmässigt universell uppsättning operationer på kodade tillstånd [1]. Topologiska koder som ytkodsfamiljen [2-5] är utan tvekan närmast det som för närvarande kan uppnås i experiment [6]. Det enande draget i alla topologiska koder är den geometriska platsen för deras kontrolloperatörer. De fysiska qubits av en D-dimensionell topologisk kod kan anges på en regelbunden lattice inbäddad i R D så att stödet av någon kontroll operatör har diametern O(1). Lokaliteten ser till att syndromet avläsning kräver endast kortdistans kvantportar och att varje qubit deltar endast i några grindar. Dessutom har någon topologisk kod ett makroskopiskt avstånd: en icke-trivial operation på kodade tillstånd kan inte genomföras genom att agera på färre än d qubits, där d kan göras godtyckligt stor genom att öka lattice storlek. Underklassen av topologiska stabilisatorkoder (TSC) har en ytterligare bekväm funktion: paritetskontroll operatörer är tensor produkter av en-qubit Pauli operatörer. Denna enkla struktur gör att man kan förstå egenskaperna hos stabilisatorkoder på mycket mer djup [7]. Underklassen av TSC omfattar Toric och ytkoder [2, 3], färgkoder [8], samt ytkoder med vridningar [9] eller punkterade hål [5]. Exempel på topologiska koder som inte är TSC är kvantdubbelmodellerna [2] och Turaev-Viro-koderna [10]. I detta brev visar vi att den enkla strukturen av TSCs kommer till ett pris: den uppsättning grindar som kan implementeras på ett feltolerant sätt är ganska begränsad för någon sådan kod. För att formulera detta mer exakt, låt oss säga att en kodad grind är topologiskt skyddad om den kan förverkligas genom att tillämpa en konstant djup kvantkrets på de fysiska qubits. Här betraktar vi bara kretsar med geometriskt lokala portar. Denna definition motiveras av det faktum att konstant djupa kretsar i sig är feltoleranta: ett fel i en enda grind kan påverka högst O(1) qubits och ett tidigare fel kan spridas till högst O(1) qubits. Topologiskt skyddade portar kan därför köras med bullriga hårdvara utan att införa för många fel [11]. För att ange vårt huvudsakliga resultat låt oss fixa antalet logiska qubits k. För alla j ≥ 1 definiera en uppsättning kodade grindar P j, j ≥ 1, så att P 1 är gruppen av k-qubit Pauli operatörer, och P j är en uppsättning av alla k-qubit enhetliga operatörer U sådan att U P 1 U †  och P j-1, där j ≥ 2. I synnerhet är P 2 den så kallade Clifford-gruppen, dvs. den grupp som genererats av Hadamard-porten H = (X + Z)/ ε 2, CNOT-porten och π/4-rotation K = exp (iπZ/4). Setet P 3 innehåller några icke-Clifford grindar såsom π/8 rotationen K. Observera att P j inte är en grupp om inte j = 1, 2. Ignorera övergripande fas faktorer, P j är en ändlig uppsättning [12]. De uppsättningar P j introducerades ursprungligen av Gottesman och Chuang [13] som föreslog ett feltolerant genomförande av någon grind i P j genom en rekursiv tillämpning av portteleporteringsmetoden [14]. Förvånansvärt nog uppstår också uppsättningarna P j naturligt i samband med topologiska koder. Vårt huvudsakliga resultat är följande. Teorin 1. Antag att en enhetsoperatör U som kan implementeras med en konstant djup kvantkrets bevarar kodrymd C för en topologisk stabilisatorkod på en Ddimensionell lattice, D ≥ 2. Sedan begränsar U till C implementerar en kodad grind från den inställda PD. Observera att begränsningen av U på kodrymd C kan ses som en k-qubit operatör endast med avseende på någon grund av C. Varje stabilisator kod har en grund så att alla kodade Pauli operatörer är produkter av fysiska Pauli operatörer [7]. Vi kommer alltid underförstått att anta att en sådan grund väljs. Teorem 1 håller också för alla djup-h kvantkrets U med grindar av räckvidd r sådan att  till, hr d 1/D, där d är kodavståndet och  till är det maximala intervallet för paritetskontroll operatörer.
På senare tid har REF infört restriktioner för den mer allmänna klassen av topologiskt skyddade logiska grindar i topologiska stabilisatorkoder, som inkluderar tvärgående grindar som en optimal delmängd.
Classification of topologically protected gates for local stabilizer codes
{'venue': 'Phys. Rev. Lett. 110, 170503 (2013)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Medicine']}