Vi presenterar en randomiserad algoritm som vid inmatning en symmetrisk, svagt diagonalt dominant n-by-n matris A med m icke-noll poster och en n-vektor b, producerar anx sådan att algoritmen tillämpar subgraph förkonditionatorer på ett rekursivt sätt. Dessa förkonditionärer förbättras på de undermåliga förkonditioneringsapparater som först infördes av Vaidya (1990). För alla symmetriska, svagt diagonal-dominerande matris A med icke-positiva icke-diagonala poster och k ≥ 1, konstruerar vi i tid m log O(1) n en förkonditionerare av A med högst icke-noll off-diagonala poster så att det finita generaliserade tillståndsnumret δ f (A, B) är som mest k. Om matrisens icke-nollstruktur är planar, då är tillståndsnumret som mest O (n/k) log n log 2 n, och motsvarande linjära systemlösare körs i förväntad tid O(n log 2 n + n log n (log log n) 2 log(1/)). Liknande gränser erhålls på körtiden för algoritmer som beräknar ungefärliga Fiedler vektorer. * Detta papper är den sista i en sekvens av tre papper expanderar på material som dök först under titeln "Nära-linjära tid algoritmer för graf partitionering, graf sparifiering, och lösa linjära system" [ST04]. Den andra tidningen, "Spectral Sparsification of Graphs" [ST08c] innehåller algoritmer för att konstruera sparifierar av grafer, som vi använder i detta papper för att bygga förkonditionatorer. Den första tidningen, "A local Clustering Algorithm for Massive Graphs and dess Application to Nearly-Linear Time Graph Partitioning" [ST08b] innehåller grafpartitionalgoritmer som används för att konstruera sparfiers i den andra tidningen.
Spielman och Teng presenterar en nästan linjär tid algoritm för konditionering och lösning symmetriskt diagonalt dominerande matriser, inklusive de av graf Laplacians REF.
Nearly-Linear Time Algorithms for Preconditioning and Solving Symmetric, Diagonally Dominant Linear Systems
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}