(1) presenterade en algoritm, Isomap, för beräkning av en kvasi-isometrisk, lågdimensionell inbäddning av en uppsättning högdimensionella datapunkter. Två frågor måste tas upp i samband med detta arbete. För det första, den grundläggande strategi som presenterats av Tenenbaum et al. är inte ny, har beskrivits i samband med platta kortikala ytor med hjälp av geodesiska avstånd och multidimensionell skalning (2, 3) och i senare arbete som använde Dijkstra algoritm för att approximera geodesiska avstånd (4, 5). Dessa idéer generaliseras till godtycklig dimensionalitet om den konnektivitet och metrisk information av grenröret är korrekt levereras. För det andra, och ännu viktigare, är detta tillvägagångssätt topologiskt instabilt och kan endast användas efter noggrann förbehandling av data (6). I applikationsdomänen kortikal tillplatta, är det nödvändigt att kontrollera manuellt för anslutning fel, så att punkter i närheten i 3-rymd (t.ex. på motsatta banker av en kortikal sulcus) inte antas vara i närheten i kortikal yta. Om sådan försiktighet iakttas, representerar denna metod den metod som föredras för kvasi-isometrisk kortikal tillplattande. Vad som är nytt med Isomap algoritmen är hur den definierar anslutningen av varje datapunkt via sina närmaste Euclidean grannar i det högdimensionella utrymmet. Detta steg är sårbart för kortslutningsfel om grannskapet är för stort med avseende på veck i det grenrör på vilket datapunkterna ligger eller om buller i data flyttar punkterna något från grenröret. Även ett enda kortslutningsfel kan ändra många poster i den geodesiska distansmatrisen, vilket i sin tur kan leda till en drastiskt annorlunda (och felaktig) lågdimensionell inbäddning. Vi illustrerar detta misslyckande på bild. 1, med hjälp av MATLAB kod publicerad av Tenenbaum et al. Tillsammans med deras "Swiss roll"-data, som vi har lagt till en liten mängd buller (7). Det är tydligt att algoritmen är topologiskt instabil: Små fel i dataanslutningen (topologi) kan leda till stora fel i lösningen. Att välja ett mycket litet område är inte en tillfredsställande lösning, eftersom detta kan fragmentera grenröret i ett stort antal frånkopplade regioner. Att välja grannskapet "rätt" kräver en förhandsinformation om den globala geometrin för det högdimensionella datagrenröret (8), men förmodligen är det exakt i avsaknad av sådan information som man skulle behöva använda en algoritm för att finna "betydande lågdimensionella strukturer gömda i högdimensionella observationer" (1). Sammanfattningsvis har den grundläggande idén med Isomap länge varit känd, och den nya komponenten infördes av Tenenbaum et al. ger en otillförlitlig uppskattning av ytanslutning, vilket kan leda till fel på algoritmen för att utföra som påstås.
Det har länge varit känt att många olika inlärningsalgoritmer har svårigheter när lokala grannskapet anslutningar kortslutning (eller genväg) över grenen REF Schwartz 2002, Varini et al. 2006)..................................................................
The Isomap Algorithm and Topological Stability
{'venue': None, 'journal': 'Science', 'mag_field_of_study': ['Computer Science']}