Överväg att uppskatta en okänd, men strukturerad (t.ex. gles, låg rank, etc.), signal x 0  till R n från en vektor y  på R m av mätningar av formen y i = g i (a i T x 0 ), där a i är raderna i en känd mätmatris A, och g (· ) är en (potentiellt okänd) icke-linjär och slumpmässig länk-funktion. Sådana mätfunktioner kan uppstå i tillämpningar där mätanordningen har icke-linjäritet och osäkerhet. Det kan också uppstå genom design, t.ex. g i (x) = tecken(x + z i ), motsvarar bullriga 1-bitars kvantiserade mätningar. Motiverad av Brillingers klassiska arbete, och senare arbete av Plan och Vershynin, uppskattar vi x 0 genom att lösa Generalized-LASSO, d.v.s. := arg min x y − Ax 0 2 + λf (x) för vissa regularisering parameter λ > 0 och vissa (vanligtvis icke-smooth) konvex regularizer f (·) som främjar strukturen av x 0, t.ex. l 1 -norm, kärnnorm, etc. Även om detta tillvägagångssätt verkar naivt ignorera den ickelinjära funktionen g(·), både Brillinger (i det icke-konstruerade fallet) och Plan och Vershynin har visat att när posterna i A är iid standard normala, är detta en bra uppskattning av x 0 upp till en konstant av proportionalitet μ, som bara beror på g(·). I detta arbete stärker vi avsevärt dessa resultat genom att få uttryckliga uttryck för x − μx 0 2, för den legaliserade Generalized-LASSO, som är asymptotiskt exakt när m och n blir stora. Ett huvudresultat är att skattningsprestandan för den Generaliserade LASSO med icke-linjära mätningar är asymptotiskt densamma som för den vars mätningar är linjära y i = μa i T x 0 + σz i, med μ = Eγg (γ) och σ 2 = E (g(γ) − μγ) 2, och γ standard normal. Såvitt vi vet är de härledda uttrycken för skattningsprestanda de första kända exakta resultaten i detta sammanhang. En intressant konsekvens av vårt resultat är att den optimala kvantifieringen av mätningarna som minimerar skattningsfelet hos Generalized LASSO är den berömda Lloyd-Max kvantizern.
Såvitt vi vet presenteras de enda befintliga skarpa resultaten i REF för Gaussiska mätvektorer, som studerar den asymmetriska prestandan hos legaliserade LS.
The LASSO with Non-linear Measurements is Equivalent to One With Linear Measurements
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}