Under de senaste åren har det funnits ett stort intresse för robusthetsfrågor Under de senaste åren har intresset för vad som kallas robusta metoder för statistisk signalbehandling ökat. Sådana metoder är tillämpliga när system används för att utföra funktioner som signaldetektering, uppskattning, filtrering och kodning, vanliga exempel inom radar- och sonarsignalbehandling, kommunikationssystem, mönsterigenkänning samt tal- och bildbehandling. I början av utvecklingen av de idéer vi nu besitter för statistisk signalbehandling låg tonvikten på att härleda optimala system för användning i specifika signal- och bullermiljöer. Ett klassiskt exempel på detta är det matchade filtret som är optimalt för en viss signal- och bullermodell. Eftersom signaler och buller i signalbehandlingstillämpningar vanligen modelleras som slumpmässiga processer och prestandamått innebär därför vanligtvis probabilistiska storheter (t.ex. genomsnittlig kvadratfel eller sannolikhet för fel), har statistikteorin spelat en grundläggande roll i utvecklingen av optimala signalbehandlingstekniker. Antag att ett signalbehandlingssystem, säger en detektor för en signal med känd vågform i additivt buller, är utformat för att ge optimal prestanda för buller som har en specifik statistisk beskrivning. Till exempel, en utbredd modell för buller är att det är en Gaussian process. En viktig fråga som uppstår är, hur känslig är prestandan hos ett sådant optimalt system för avvikelser i signal- och bulleregenskaper från de för vilka systemet är utformat? Detta är en viktig fråga eftersom man i praktiken sällan har perfekt kunskap om t.ex. bulleregenskaperna; Gaussian eller någon annan specifik modell är vanligtvis ett nominellt antagande som i bästa fall kan vara ungefär giltigt för det mesta. Tyvärr visar det sig att i många fall kan nominellt optimala signalbehandlingssystem drabbas av en drastisk försämring av prestandan även för till synes små avvikelser från nominella antaganden. Det är denna grundläggande observation som motiverar sökandet efter robusta signalbehandlingsmetoder, dvs. tekniker med god prestanda under alla nominella förhållanden och godtagbara prestanda för andra signal- och bullerförhållanden än de nominella som kan spänna över hela tillåtna klasser av möjliga egenskaper. I sökandet efter robusta metoder erkänns det alltså redan från början att en enda, exakt karakterisering av signal- och bullerförhållanden är orealistisk, och därför konstrueras och beaktas klasser av möjliga signal- och bullerkarakteriseringar i utformningen av sådana metoder. För att illustrera ovanstående observation med ett konkret exempel, se närmare på det upptäcktsproblem som nämnts ovan i diskret tid. Så anta att vi har skalar observationer X,, X, ;., X,, bildar en vektor X, som är 0018-9219/85/0300-0433901.00 4 9 8 5 IEEE Ett test baserat på jämförelsen av A(X) med en tröskel är likvärdig med en baserad på en jämförelse av logaritmen av A(X) med logaritmen av den ursprungliga tröskeln. Tar logaritmen på båda sidor av (1.2), Vi har där Om I L ( x ; s,B)I är obunden som en funktion av x, Värdet av logA(X) kan påverkas kraftigt av en enda observation komponent X i som I L ( X, ; s,, e)l är stor. En sådan komponent kan därför helt åsidosätta vikten av ett eventuellt stort antal andra komponenter i valet mellan H och HI. Även om denna effekt säkerligen är godtagbar om modellen för bullerdensitetsfunktionen är korrekt, kan den också observeras på grund av en enstaka helt felaktig mätning som pdf-modellen f inte tar hänsyn till. I allmänhet beskriver den antagna pdf f endast en ungefärlig eller nominell modell. Således medan det faktiska värdet av lL (X,;s,,O)l vid någon observerad värde X, = x, kan inte vara stor i förhållande till det som erhållits vid andra observationskomponenter, för den förmodade modellen kan detta hända. För att illustrera detta, anta att f antas vara Gaussian, i vilket fall [( x ; s,e) är linjär i x och därmed är obunden. Om den sanna densiteten f har exponentiellt, snarare än Gaussian, svansar, då den sanna L ( x ; s,@) är en konstant för x i svansen, och så är begränsad. För en modell som anger exponentiella svansar indikerar ett ökande absolut värde för en observationskomponent en ökande sannolikhet för en hypotes över en annan endast upp till ett "mättnads"-värde; utöver det indikerar större absoluta värden inte större relativ sannolikhet. Om bullertätheten verkligen var exponentiell (eller någon annan långstjärtad pdf), då resultatet av testet som är optimal för Gaussian buller kan vara mycket dålig på grund av det oväntade antalet stora bullervärden. Det är ofta en klass av tillåtna egenskaper, till exempel för en ljud pdf, konstrueras genom att börja med en nominell egenskap och sedan inkludera i klassen alla andra egenskaper som är "nära", i någon väldefinierad betydelse, till denna nominella. Därefter kan ett system för signalbehandling som är robust ha prestanda vid nominellt värde som inte är helt lika bra som det system som är optimalt för det nominella fallet, men dess övergripande prestanda med avseende på den definierade egenskapsklassen kommer att vara bra eller godtagbart. Denna lösa definition av robusthet är helt rimlig, men den ger inte ett systematiskt tillvägagångssätt för att få till stånd robusta system. För att uppnå detta måste vi först specificera ett mått på ett systems "totala" prestanda när det gäller en klass av tillåtna villkor vid inmatningen. En sådan åtgärd som har använts i stor utsträckning och som leder till intressanta och användbara resultat i många situationer är det sämsta resultatet av ett system under en klass av inmatningsförhållanden. Det är uppenbart att om dess sämsta resultat är bra kan vi säga att ett visst system är robust. Å andra sidan, för att hitta ett så robust system kan vi leta efter det system som optimerar värsta fallet Prestanda. Detta tillvägagångssätt leder till så kallade minimax robusta system. Implicit i vår sammanslutning av minimax system med robusta system är förväntan att det sämsta fallet prestanda för ett minimax system kommer att vara acceptabelt bra, är det bästa som kan uppnås. En annan förväntan man har när man definierar robusta system på detta sätt är att prestandan för minimax-systemet vid varje nominell driftpunkt inte kommer att ligga särskilt långt under prestandan för det nominellt optimala systemet, som å andra sidan kommer att ha mycket sämre prestanda bort från den nominella punkten. Lyckligtvis visar det sig att minimax system för signalbehandling applikationer av intresse vanligtvis har ovanstående "Ett system som minimerar det maximala möjliga värdet av en förlustfunktion är minimax; om prestanda mäts med en vinst funktion då ett maximin system skulle sökas. Vi kommer att använda termen minimax som en allmän beskrivning för sådana system i alla fall. FÖRFARANDEN FÖR IEEE, V O L 73. Nej, det gör jag inte. 3, MARS 1985 karakteristika. De kan därför sägas ha en mer "stabil" prestanda än system som saknar dessa egenskaper (i litteraturen används ibland robusta och stabila termer för att betyda samma sak). Vi bör betona att de klasser av tillåtna egenskaper som man behandlar vid robust signalbehandling i allmänhet är icke-parametriska funktionsklasser, såsom klassen av alla effektspektrala densitetsfunktioner med specificerad total effekt (område under funktionen) och som ligger mellan specificerade övre och nedre gränsfunktioner. För osäkerheter uttryckta av parameterklasser av tillåtna värden för finita-dimensionella parametrar (såsom medelvärdet och variansen för en Gaussian pdf) kan man naturligtvis också använda minimax-konstruktioner, även om alternativa parametriska metoder för statistisk teori också kan tillämpas i sådana situationer. I detta dokument kommer vi att koncentrera oss på robusta minimax-system. Det finns andra användbara formuleringar av robusthet än minimax, framför allt de stabilitets- eller kvalitativa robusthetsidéer som Root [2] introducerade i samband med signaldetektering och Hampel [3] i samband med parameteruppskattning. Dessa formuleringar utnyttjar idén om robusthet som en kontinuitet egenskap hos vissa prestandamått som en funktion av den underliggande modellen, och några korta diskussioner om dessa idéer ingår här. Ur konstruktionssynpunkt har dock minimax-metoden haft störst inverkan på robusta signalbehandlingssystem. ~l s o vi kommer inte att undersöka adaptiva förfaranden, som kan användas som robusta system när inmatningsförhållandena inte är exakt kända och kan vara tidsvarierande. Adaptive procedurer, som försöker lära sig om indataförhållanden och justera sin specifika signalbehandlingsstruktur i enlighet med detta för att upprätthålla god prestanda, är i allmänhet mer komplexa än fasta minimax-system. Anpassningssystem är mer önskvärda när osäkerheten på förhand är så stor att den garanterade prestandanivån för ett minimax-system skulle vara för dålig för att vara acceptabel och när det finns tillräckligt med tid och data för anpassning. Omvänt skulle minimax-förfaranden vara mer önskvärda under mer begränsade osäkerhetsklasser, och särskilt som robusta förfaranden för att skydda mot överdriven prestandanedbrytning av nominellt optimala system för avvikelser från nominella antaganden. Minimax-system kan användas tillsammans med ett adaptivt tillvägagångssätt, eftersom inlärningsmekanismen i adaptiva system aldrig kan förväntas fungera perfekt med tanke på en begränsad tid för anpassning. Tillämpning av minimax-koncept för att få robusta versioner av optimala adaptiva förfaranden har också övervägts [4]. Medan vårt främsta bekymmer här är med minimax robusta system kommer vi att nämna andra specifika tekniker när det är lämpligt. De flesta pre-I964 undersökningar av minimax signalbehandling system tenderar att kännetecknas av två attribut. En är att de i allmänhet inte handlade direkt om pdf-variationer utan snarare om effektspektral densitetsfunktion eller relaterade variationer. För det andra förespråkades minimax-system helt enkelt som rimliga tillvägagångssätt vid utformning av system för drift under förhållanden vid indata som inte kunde fastställas på förhand. Den eventuella nonrobustnessen hos optimala system för nominella antaganden om indata erkändes således inte uttryckligen som en fråga. Termen "robust" användes först i fält 1953 [17] för att beskriva önskvärda statistiska förfaranden. Som vi har påpekat övervägde Huber i [6] och [7] minimax robusthet i skattnings- och hypotestestsystem, och sedan dess har ett stort antal resultat om minimax och alternativa formuleringar av robusthet genererats i statistiklitteraturen. I en färsk rapport [I81 Huber har gett en mycket intressant redogörelse för några tidiga farhågor om robustheten i statistiska förfaranden och särskilda system, varav några går tillbaka till förra århundradet. Denna undersökning kommer särskilt att inriktas på minimax robusta signalbehandlingssystem, så att endast en liten del av den stora delen av statistiklitteraturen uttryckligen kommer att nämnas. Största delen av den senaste utvecklingen inom robust signalbehandling har naturligtvis påverkats direkt av utvecklingen av robust statistik. Problem med signalbehandling ställer dock sina egna tydliga krav som inte alltid är standard i statistikproblemen. Därför visar det sig att en del av den senaste tidens utveckling inom robust signalbehandling har gett nya resultat i robust statistik. De flesta av de resultat vi undersöker här är från perioden efter 1965. Två av de tidigaste dokumenten inom signalbehandlingsområdet från denna period är de från Wolff och Gastwirth [29] och Martin och Schwartz [30], och de har varit ansvariga för att driva en stor del av det efterföljande arbetet med robust signalbehandling. På så sätt har det uppstått en avsevärd litteratur om robust signalbehandling just under de senaste tio till femton åren. De statistiska beskrivningarna av indataförhållanden vid signalbehandling anges vanligen i termer av effektspektraldensitet eller korrelationsfunktioner och pdf:er. Vi ska diskutera resultat som har erhållits på minimax robust filtrering för signaluppskattning (t.ex. Wienerfiltrering) i avsnitt I 1 och för signaldetektering (t.ex. matchad filtrering) i avsnitt Ill. Här är osäkerhetsklasserna för spektral densitet eller korrelationsfunktioner. I avsnitt IV undersöks resultaten på minimax robusta ickelinjära signaldetekteringssystem för fördelningsosäkerheter. Ickelinjära parame fer estimeringssystem undersöks mer kortfattat i avsnitt V, eftersom det i detta ämne finns mycket redan tillgängligt i granskningsformuläret i statistiklitteraturen. I avsnitt V ingår även en kort undersökning av ickelinjära modifieringar av Kalman-filtret för robusthet mot icke-gaussiska pdf-filer för observations- och processbullerkomponenter. Avsnitt Vi behandlar problemet med robust kvantifiering av data med okänd statistik, och vi avslutar med några avslutande anmärkningar i avsnitt VII. Även om vår undersökning börjar med robust linjär filtrering, studier om detta ämne är av mer senaste årgång än de på icke-linjär signal detektion och uppskattning. Vi anser dock att den mycket utbredda användningen av system som Wiener och matchade filter i signalbehandling motiverar vår början med robusta versioner av sådana linjära processsystem. Innan vi börjar kan vi lägga märke till några andra recensioner, handledningar och enkätartiklar som finns i litteraturen. En handledning i detta ämne av författarna har publicerats nyligen [31]. VandeLinde har gjort en kort undersökning [32]. Ershov [25] och Krasnenker [33] har undersökt icke-linjära skattnings- och detektionssystem. Dålig [34] har nyligen gett en mer matematiskt detaljerad undersökning av robusta detektionssystem. Kleiner, Martin och Thomson [35] och Martin och Thomson [36] behandlar den robusta uppskattningen av effektspektrala densitetsfunktioner. Robusta metoder för tidsserieanalys har beaktats av Martin i [37] och robusta metoder för systemidentifiering har beskrivits av Poljak och Tsypkin i [38]. Som en sista inledande kommentar bör vi notera att litteraturen inom området robusta statistiska metoder är omfattande och bred. Även om denna undersökning berör vad vi anser vara de viktigaste bidragen i robust signalbehandling är den på intet sätt uttömmande. De många resultat och metoder som inte diskuteras här är dock tillgängliga för läsaren genom de referenser som ges. En av de vanligaste signalbehandlingsuppgifter som uppstår i tillämpningar är att uppskatta (t.ex. filtrering, förutsägelse eller utjämning) en signalvågform från en bullrig mätning. Denna uppgift uppstår till exempel i radar- och sonarspårningssystem, i observatörer för automatiska styrsystem, i demodulatorer för analoga kommunikationssystem och i medicinska bildsystem. Konventionella konstruktionsförfaranden för optimala signaluppskattningsalgoritmer kräver ofta en exakt kunskap om det statistiska beteendet både om den intressanta signalen och om det buller som korrumperar mätningen. Vid utformningen av optimala linjära skattningsalgoritmer måste vi till exempel känna till signalens och bullrets spektral- eller autokorrektionsegenskaper för att specificera optimala förfaranden, och (som vi ska se nedan) förfaranden som är utformade för att vara optimala för en viss modell kan vara oönskat känsliga för felaktigheter i modellen. Som påpekades i inledningen, robusta förfaranden kan övervinna problem som uppstår på grund av modellering inkorrekt genom att integrera modellering osäkerhet i konstruktionen redan från början. I detta avsnitt kommer vi att diskutera utformningen av robusta skattningsförfaranden främst inom ramen för den stationära linjära (dvs. Wiener-Kolmogorov) estimeringsproblem. Flera andra problem med signaluppskattning har behandlats i samband med robust design, inklusive rekursiv ickelinjär filtrering och identifiering. Resultaten av dessa problem kommer att diskuteras kortfattat i avsnitt V. Betrakta observationsmodell Y( t) = S( t) + N( t), - CO < t < 00 (2.1) där { S( t); -00 < t < oo} och { N( t); -oo < t < 00) är verkliga, noll- medel, ortogonala, bred- sense- stationära (wss) slumpmässiga processer som representerar signal respektive buller. Vi antar att {S( t); -03 t < GO} och { N( t); -w < t < oo} har effektspektrala densiteter som respektive a. (De flesta av dessa antaganden kan mildras, som diskuteras nedan.) Med tanke på observationsprocessen { Y( t); -03 < t < oo} önskar vi att t o bildar en uppskattning av S( t) av den form där h är impulsresponsen hos ett tidsinvariant linjärt filter. Ett gemensamt prestandakriterium för signaluppskattningar är det genomsnittliga kvadratfelet (MSE), som för skattningar av formen (2.2) enkelt anges av var H är överföringsfunktionen i samband med h (dvs. H är Fouriertransform av h). Om som och @, är kända, då M S E av (2.3) kan minimeras över H för att hitta den optimala filteröverföringsfunktionen för linjär minimi-MSE uppskattning. Det är enkelt att visa (se t.ex. Thomas [39]) att den minimerande lösningen ges av och att motsvarande minimivärde för MSE ges av ew(@s,@,.,). (2.5) Antag att vi designar ett filter H, via (2.4) för att vara optimalt för vissa nominella signal- och brusspektralpar
En undersökning av resultaten på detta område finns i REF.
Robust techniques for signal processing: A survey
{'venue': 'Proceedings of the IEEE', 'journal': 'Proceedings of the IEEE', 'mag_field_of_study': ['Computer Science']}