Abstrakt. Vi anser här den linjära minst kvadrater problem min y tillR n Ay − b 2 där b  på R m och A på R m×n är en matris av full kolumn rank n och vi betecknar x dess lösning. Vi antar att både A och b kan vara perturbed och att dessa perturbations mäts med hjälp av Frobenius eller spektral norm för A och Euclidean norm för b. I detta dokument är vi bekymrade över tillståndsnumret för en linjär funktion av x (L T x där L  på R n×k ) för vilken vi ger en skarp uppskattning som ligger inom en faktor 3 av det verkliga tillståndsnumret. Förutsatt att den triangulära R-faktorn A från A T A = R T R är tillgänglig, kan denna uppskattning beräknas i 2 kn 2 floppar. Vi föreslår också en statistisk metod som uppskattar det partiella tillståndsnumret genom att använda de exakta tillståndsnumren i slumpmässiga ortogonala riktningar. Om R finns tillgängligt gör detta statistiska tillvägagångssätt det möjligt att få en tillståndsuppskattning till en lägre beräkningskostnad. I fallet med Frobenius norm, vi härled en sluten formel för den partiella tillståndsnummer som är baserad på de singular värden och rätt singular vektorer av matrisen A. Nyckelord: Linjär minst kvadrater, normalt tillstånd nummer, statistisk tillståndsuppskattning, parameteruppskattning 1. Inledning. Perturbationsteorin har tillämpats på många problem med linjär algebra såsom linjära system, linjära minst kvadrater eller eigenvärdesproblem [1, 4, 11, 18]. I detta papper anser vi att problemet med att beräkna mängden L T x, där x är lösningen på det linjära minsta kvadratproblemet (LLSP) min x på R n Ax − b 2 där b  på R m och A på R m×n är en matris med full kolumn rank n. Denna uppskattning är ett grundläggande problem för parameteruppskattning inom ramen för p. 137]. Mer exakt, vi fokuserar här på utvärderingen av känsligheten för L T x till små störningar av matrisen A och / eller höger sida b, där L  på R n×k och x är lösningen på LLSP. Intresset för denna fråga härrör till exempel från parameteruppskattning där modellens parametrar ofta kan delas in i två delar: variablerna fysisk signifikans och en uppsättning kompletterande variabler som ingår i modellerna. Till exempel uppstår denna situation vid fastställandet av positioner med hjälp av GPS-systemet, där 3D-koordinaterna är de mängder av intresse men den statistiska modellen omfattar andra parametrar som klockdrift och GPS-mångfald [12] som i allmänhet uppskattas under lösningsprocessen. Det är då viktigt att se till att lösningskomponenterna av intresse kan beräknas med tillfredsställande noggrannhet. Huvudsyftet med detta dokument är att formalisera detta problem i form av ett tillståndsnummer och att beskriva praktiska metoder för att beräkna eller uppskatta denna mängd. Observera att när det gäller känsligheten hos en delmängd av lösningskomponenterna är matrisen L en projektion vars kolumner består av vektorer av den kanoniska basen av R n.
REF beaktade perturbationer som mäts i olika normer (Frobenius eller spektralnormen för A och Euclidean norm för b ), och härledde tillståndsnumret för x uttryckt i viktade produktnormer.
A partial condition number for linear least squares problems
{'venue': 'SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}