Abstrakt. Det har funnits fortsatt intresse för att söka ett teorem som beskriver optimala lågvärdiga approximationer till tensorer av klass 3 eller högre, som parallellerar Eckart-Young theorem för matriser. I detta dokument hävdar vi att den naiva inställningen till detta problem är dömd att misslyckas eftersom tensorer av klass 3 eller högre, till skillnad från matriser, kan misslyckas med att ha bästa rang-r approximationer. Fenomenet är mycket mer utbrett än man kan misstänka: exempel på detta misslyckande kan konstrueras över ett brett spektrum av dimensioner, klasser och led, oavsett val av norm (eller till och med Brègman divergens). Dessutom visar vi att dessa motexempel i många fall har en positiv volym: de kan inte betraktas som isolerade fenomen. I ett extremt fall, uppvisar vi en tensor utrymme där ingen rank-3 tensor har en optimal rank-2 approximation. De anmärkningsvärda undantagen till detta missuppfostran är rank-1 tensorer och ordning-2 tensorer (dvs. matriser). I en mer positiv anda föreslår vi ett naturligt sätt att övervinna problemet med låggradig tillnärmning, genom att använda svaga lösningar när det inte finns några verkliga lösningar. För att detta ska fungera är det nödvändigt att karakterisera uppsättningen av svaga lösningar, och vi gör detta i fallet med rang 2, ordning 3 (i godtyckliga dimensioner). I vårt arbete betonar vi vikten av att noggrant studera konkreta lågdimensionella exempel som ett första steg mot mer allmänna resultat. I detta syfte presenterar vi en detaljerad analys av ekvivalensklasser på 2 × 2 × 2 tensorer, och vi utvecklar metoder för att utvidga resultaten uppåt till högre klasser och dimensioner. Slutligen kopplar vi vårt arbete till befintliga studier av tensorer ur ett algebraiskt geometriskt perspektiv. Graden av en tensor kan i teorin ges en semialgebraisk beskrivning; med andra ord, kan bestämmas av ett system av polynomell ojämlikhet. Vi studerar några av dessa polynomials i fall av intresse för oss; i synnerhet vi gör omfattande användning av hyperdeterminant på R 2×2×2.
För CP nedbrytning, att hitta den bästa låg rank approximation är ett dåligt placerade problem, och den bästa rank-K approximation kanske inte finns i det allmänna fallet, oavsett valet av norm REF.
Tensor rank and the ill-posedness of the best low-rank approximation problem
{'venue': 'SIAM J. Matrix Analysis Applications', 'journal': 'SIAM J. Matrix Analysis Applications', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}