Vi föreslår användning av 1 legalisering i en våget bas för lösningen av linjäriserad seismisk tomografi problem Am = d, vilket möjliggör möjligheten av skarpa diskontinuiteter överlag på en smidigt varierande bakgrund. En iterativ metod används för att hitta en gles lösning m som inte innehåller mer finskalad struktur än vad som krävs för att anpassa data d till dess tilldelade fel. Nyckelord: omvänt problem, en norm, gleshet, tomografi, wavelets. Liksom de flesta geofysiska inversa problem är det linjäriserade problemet Am = d i seismisk tomografi underdefinierat, eller i bästa fall erbjuder en blandning av över- och underbestämda parametrar. Man har därför länge insett att det är viktigt att undertrycka artefakter som felaktigt kan tolkas som "struktur" i jordens inre. Inte förvånande, strategier som ger den smidigaste lösningen m har varit dominerande i de flesta globala eller regionala tomografiska tillämpningar; dessa strategier inkluderar söker globala modeller representerade som en låggradig sfärisk harmonisk expansion (Dziewonski et al. 1975; Dziewonski & Woodhouse 1987; Masters et al. 1996) samt legalisering via minimering av lutningen ( på m) eller andraderivata ( på 2 m) normen av en tät lokal parametrisering (Constable et al. 1987; Nolet 1987; Spakman & Nolet 1988; VanDecar & Snieder 1994; Trampert & Snieder 1996). Smidiga lösningar, men utan att införa småskaliga artefakter, producerar en förvrängd bild av jorden genom det starka genomsnitt över stora områden, vilket gör småskaliga detaljer svåra att se, eller ens dölja det. Väsentliga diskontinuiteter suddas ut i gradvisa övergångar. Till exempel, oförmågan hos globala, sfäriskaharmoniska, tomografiska modeller att ge en lika tydlig bild av övre manteln subduction zoner som produceras av mer lokaliserade studier har länge hållits emot dem. och optimera bilder av övre mantlar för att passa fysiska modeller av värmespridning, i ett försök att undertrycka småskaliga avbildningsartefakter samtidigt som skarpa gränser bibehålls. Portniaguine & Zhdanov (1999) använder en konjugerad-gradient metod för att söka den minsta möjliga anomalous domänen genom att minimera en norm baserad på en omnormaliserad gradient  på m/( skam ·  tillm + γ 2 ) 1 2, där γ är en liten konstant. I likhet med alla metoder som avviker från en typ av lösning som är minst fyrkantig är båda dessa metoder icke-linjära och utgör sina egna problem med det praktiska genomförandet. Ur en matematisk synvinkel, det linjära inversa problemet Am = d kräver legalisering när A har antingen mycket små singular värden eller ett noll utrymme. Även små variationer i d kan då orsaka stora skillnader i m; legalisering återställer stabiliteten i problemet (Bertero & Boccacci 1998). Valet bland de många olika legaliseringstekniker beror på problemet, och kan i viss mån styras av önskan att bevara eller betona särskilda egenskaper hos (okänd) m som förväntas. Till exempel, om de små singular värden av A är mestadels förknippade med mycket oscillatoriska singular funktioner (som ofta är fallet), och om man är mest intresserad av storskaliga funktioner i m, då är det naturligt att införa en regulariserande begränsning eller straffbegrepp som involverar  på m eller 2 m. Eller, om man försöker hitta lösningar m som är "sparse" med avseende på en given grund {på; = 1,..., L}, det vill säga lösningar av formen m = L = 1 c  och där endast en liten del av koefficienterna c 1, c 2,. .., c L är icke-noll, då kan detta uppnås genom en begränsning eller ett straffbegrepp som omfattar c 1 = L = 1  på m,  på. Detta regulariseringsförfarande väljer lösningar som är särskilt "enkel" när de uttrycks i termer av basen { och ; = 1,..., L}. Uppfattningen att vi bör söka efter den "impleta" modellen m som passar en uppmätt datamängd d inom de tilldelade felen är intuitivt likvärdig med uppfattningen att modellen bör kunna beskrivas med ett litet antal parametrar. Det är dock uppenbart att en begränsning av modellen till några få sfärisk-harmoniska eller Fourier-koefficienter, eller några större block eller tetrahedra, inte nödvändigtvis leder till en geofysiskt rimlig lösning. I detta dokument undersöker vi om en flerskalig representation baserad på wavelets (Daubechies 1992) har tillräcklig flexibilitet för att representera den modellklass vi söker. Vi föreslår en 1-norm legaliseringsmetod som ger en modell m som har en stark tendens att vara sparsam i en wavelet bas, vilket innebär att den troget kan representeras av ett relativt litet antal icke-noll wavelet koefficienter. Detta möjliggör modeller som varierar smidigt i regioner med begränsad täckning utan att offra några skarpa eller småskaliga funktioner i väl täckta regioner som krävs för att passa uppgifterna. Vårt tillvägagångssätt skiljer sig från ett tillvägagångssätt som kort föreslås av de Hoop & van der Hilst (2005), där kartläggningen mellan data och modell bryts ned i
Till exempel, REF regulariserade modellen i wavelet domänen med 1 -norm begränsningar, vilket gör att skarp hastighet diskontinuities (modell perturbations) att vara ovanpå en jämn bakgrundsmodell.
Tomographic inversion using 1-norm regularization of wavelet coefficients
{'venue': 'Geophysical Journal International 170 (2007) 359-370', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Mathematics']}