Framväxten av autonoma fordon förväntas revolutionera vägtransporterna inom en snar framtid. Även om storskaliga numeriska simuleringar och småskaliga experiment har visat lovande resultat saknas en omfattande teoretisk förståelse för ett smidigt trafikflöde via autonoma fordon. Här, ur ett kontrollteoretiskt perspektiv, fastställer vi analytiska resultat om kontrollbarhet, stabilitet och räckvidd för ett blandat trafiksystem bestående av människodrivna fordon och autonoma fordon i en ringväg. Vi visar att det blandade trafiksystemet inte är helt kontrollerbart, utan stabilt, vilket tyder på att autonoma fordon inte bara kan undertrycka instabila trafikvågor utan också styra trafikflödet till en högre hastighet. Därför fastställer vi den maximala trafikhastighet som kan uppnås genom att kontrollera autonoma fordon. Vi utformar också en optimal kontrollstrategi för autonoma fordon för att aktivt dämpa oönskade störningar. Dessa teoretiska rön validerar den höga potentialen hos autonoma fordon för att jämna ut trafikflödet. Moderna samhällen förlitar sig i allt högre grad på komplexa vägtransportsystem för att stödja våra dagliga rörlighetsbehov. I synnerhet stora städer lägger trafikefterfrågan en tung börda på de befintliga transportinfrastrukturerna, vilket ibland leder till kraftigt överbelastade vägnät [1]. Trafikstockningar leder inte bara till förlust av bränsleekonomi och reseeffektivitet, utan ökar också den potentiella risken för trafikolyckor och folkhälsa [2]. Att förstå trafikdynamiken är viktigt om vi ska kunna omforma infrastrukturer, eller styra/kontrollera transporter, för att minska trafikstockningar och ett smidigt trafikflöde [3, 4]. Ämnet trafikdynamik har väckt forskningsintresse från många discipliner, bland annat matematik, fysik och ingenjörsvetenskap. Sedan 1930-talet har ett brett utbud av modeller på både makroskopiska och mikroskopiska nivåer föreslagits för att beskriva trafikbeteende [3]. På grundval av dessa trafikmodeller har många kontrollmetoder införts och genomförts för att förbättra vägtransportsystemens prestanda [4]. För närvarande är de flesta kontrollstrategier beroende av ställdon på fasta platser. Till exempel, variabla hastighets rådgivande eller variabla hastighetsbegränsningar [5] genomförs vanligen genom trafikskyltar på väginfrastruktur, och rampmätning [6] är vanligtvis beroende av trafiksignaler som finns vid motorvägsingångarna. Dessa strategier är i huvudsak externa regleringsmetoder som påtvingas trafikflödet. Som en viktig beståndsdel i trafikflödet spelar fordonens rörelse en grundläggande roll i vägtransportsystemen. Under de senaste årtiondena har stora biltillverkare och teknikföretag investerat i att utveckla fordon med hög automatiseringsnivå, och vissa prototyper av autonoma självkörande bilar har testats i verkliga trafikmiljöer [7]. Framväxten av autonoma fordon förväntas revolutionera vägtransporterna. I synnerhet, * Figur 1 : Svarsprofiler till en impuls perturbation i trafiksystem på en ringväg. Fordon nr 2 har en initial perturbation, och parametrarna för människodrivna fordon väljs för att likna vågbeteendet i det verkliga experimentet [23]. (a) Alla fordon är människodrivna, där perturbationen förstärks och stopp-och go vågor kommer att visas i enlighet därmed. (b) Fordon nr 1 är ett CACC-utrustat fordon som passivt justerar sitt beteende i enlighet med sitt direkta föregående fordon. I detta fall är störningen inte förstärkt, men små trafikvågor kvarstår fortfarande under en lång period. (c) Fordon nr 1 antar en optimal kontrollstrategi med beaktande av det globala beteendet hos hela det blandade trafikflödet för att minska oönskade störningar aktivt. I detta fall dämpas störningen, och trafikflödet blir smidigt snabbt. Avancering av autonoma fordon erbjuder nya möjligheter för trafikstyrning, där autonoma fordon kan fungera som rörliga manöverdon för att påverka trafikflödet internt. De flesta undersökningar om kontroll av trafikflödet via autonoma fordon har fokuserat på platuering av en serie intilliggande fordon eller kooperativ adaptiv farthållare (CACC) [8, 9]. Inom ramen för plutonens kontroll, antas alla inblandade fordon vara autonoma och kan styras för att upprätthålla en sträng stabil pluton, så att störningar längs plutonen försvinner. Betydande teoretiska och praktiska framsteg har gjorts när det gäller att utforma sofistikerade styrenheter på plutonnivå [10] [11] [12]. Även om trafiksystem med helt autonoma fordon kan vara av stort intresse inom en lång framtid, kommer den närmaste framtiden att behöva möta en blandad trafik där det finns både autonoma och människodrivna fordon. I själva verket måste de tidiga autonoma fordonen samarbeta i trafiksystem där de flesta fordon är människodrivna. Denna situation är mer utmanande när det gäller teoretisk modellering och stabilitetsanalys, och många befintliga studier bygger på numeriska simuleringar [13] [14] [15]. Ett nytt koncept är den anslutna kryssningskontrollen som tar hänsyn till scenarier för blandad trafik där autonoma fordon kan använda informationen från flera fordon framåt för att fatta kontrollbeslut [16, 17]. Mer nyligen, Cui et al. Först påpekade potentialen i ett enda autonomt fordon för att stabilisera blandat trafikflöde [18], och de genomförde också enkla kontrollstrategier för att demonstrera upplösningen av stop-and-go vågor via ett enda autonomt fordon i verkliga experiment [19]. Kontrollprincipen är i huvudsak en slow-in snabb-out metod, som är en intuitiv metod för att dämpa trafikstockningar [20]. Mer sofistikerade strategier, såsom djupt förstärkande lärande, har också nyligen undersökts för att förbättra trafikflödet i blandade trafikscenarier genom numeriska simuleringar [21, 22]. Medan potentialen för autonoma fordon har erkänts och demonstrerats [18, 19, 21, 22], saknas en omfattande teoretisk förståelse. I detta dokument ger vi en teoretisk analys av de autonoma fordonens potential att jämna ut det blandade trafikflödet ur ett komplext systemperspektiv. I princip uppstår trafikflödets beteende ur den kollektiva dynamiken hos många enskilda människodrivna och/eller autonoma fordon [3], där autonoma fordon kan fungera som kontrollerbara noder. När det gäller komplexa system har kontroll av det kollektiva beteendet hos dynamiska agens som interagerar över nätverk en lång historia, fånga fenomen från flockning av fåglar eller fisk till synkronisering av kopplade oscillatorer [24] [25] [26]. Ur ett komplext systemperspektiv undersöker vi först analytiska 3 stabilitetsresultat för trafiksystem med endast människodrivna fordon. Efter att ha infört ett autonomt fordon som en kontrollerbar nod, etablerar vi sedan grundläggande begrepp om kontrollbarhet och stabilitet i ett sådant blandat trafikflöde. Dessa teoretiska resultat avslöjar den höga potentialen hos autonoma fordon att styra den kollektiva dynamiken i blandade trafikflöden till önskat tillstånd (t.ex. en högre trafikhastighet). Därför utformar vi en optimal kontrollstrategi för autonoma fordon för att jämna ut det blandade trafikflödet. I stället för att reagera passivt på trafikstörningar tar den föreslagna optimala kontrollstrategin hänsyn till det globala beteendet hos hela det blandade trafikflödet för att minska oönskade störningar aktivt (se figur 1 för illustration). Omfattande numeriska experiment validerar vår teoretiska analys och visar tydligt den höga potentialen hos autonoma fordon att styra och jämna ut trafikflödet. Teoretisk ram för blandade trafiksystem. Vi anser att en enkel-filig ringväg av längd L och med n fordon. Som diskuteras i Cui et al. [18] ringvägsinställningen har flera teoretiska fördelar när det gäller att modellera ett trafiksystem, bland annat 1) förekomsten av försöksresultat som kan användas för att kalibrera modellparametrar [23], 2) perfekt kontroll av genomsnittlig trafiktäthet och 3) korrelation med en oändlig rak väg med periodisk trafikdynamik. Vi betecknar positionen för det i-th fordonet som p i (t) längs ringvägen, och dess hastighet betecknas som v i (t) = till i (t). Avståndet mellan fordonet, dvs. avståndet mellan två intilliggande fordon, definieras som s i (t) = p i‐1 (t) − p i (t). Observera att vi ignorerar fordonets längd utan förlust av allmängiltighet. För enkelhetens skull antar vi att det finns ett autonomt fordon och att resten är människodrivna fordon. Det autonoma fordonet är indexerat som nr. 1. Vad är det för fel på dig? Scenariot med flera autonoma fordon kommer att diskuteras i slutet av detta avsnitt. Verkliga mänskliga bilföljande beteenden är typiskt modellerade av ickelinjära processer [3, 4], men stabilitetsanalys runt en jämviktspunkt kan utföras via en linjärisering [27]. Från ett globalt komplext system synvinkel, kommer vi fram till följande kanoniska linjära dynamik (se Metoder) där u(t) R betecknar kontrollen inmatningen av det autonoma fordonet på trafiksystemet dynamik; vektorn fångar feltillståndet hos n fordon vid tiden t; feltillståndet för fordonet i definieras som med s *, v * är jämviktsavstånd och hastighet för varje mänskligt fordon, i = 2,..., n, och betecknar feltillståndet för det autonoma fordonet med s * c är ett mellanslag. Observera att för motorfordon uppfyller jämviktstrafiktillståndet (s *, v * ), vilket innebär ett visst samband mellan jämviktsavståndet och jämviktshastigheten (se kompletterande anmärkning 1). Med tanke på ringvägen inställning av blandade trafiksystem, matriserna A och B i (1) är där varje block matris ges av med parametrar Med tanke på den verkliga förarens beteende, bör vi ha α 1 > 0, α 2 > 0 och α 3 > 0. Det kan visas att ringtrafik med vanlig bilföljardynamik kan linjäriseras till formen (1)-(3) (se kompletterande anmärkning 1). Under 1 bestäms utvecklingen av varje fordons tillstånd av dess eget tillstånd och tillståndet för dess direkta föregående fordon, se figur 2 för en schematisk modell. I det följande ger vi en teoretisk analys av potentialen hos det autonoma fordonet för utjämning av det blandade trafikflödet och designar en optimal kontrollinmatning u(t) för det autonoma fordonet. Stabila trafiksystem med enbart motordrivna fordon. Om alla fordon körs av människa, trafiksystemet dynamik (1) kan förenklas in i eftersom Circulant block, kan det diagonaliseras till ett block diagonal matris [28, 29] där varje block är av storlek två. Då kan vi visa att det alltid finns ett noll eigenvärde som motsvarar ringvägens struktur, vilket indikerar ett konstant värde i systemutvecklingen (se Metoder). Dessutom, från block diagonaliseringen, kan vi härleda följande analyskriterium för de andra eigenvärdena att ha negativa reella delar, vilket garanterar stabiliteten i trafiksystemet (4) med någon ändlig n (dvs, små perturbationer kommer att försvagas i systemutvecklingen) Detta resultat är förenligt med resultatet i [18] där frekvensanalys användes. Den optimala hastighetsmodellen (OVM) används i stor utsträckning för att beskriva människans fordonsföljande dynamik (se kompletterande anmärkning 1), och ges av, där α och β representerar förarens känslighet för hastighetsfel och V (s) betecknar en optimal hastighetsfunktion enligt avståndet s i (t) [30]. För denna bilföljande modell minskas stabilitetskriteriet (5) till α + 2β ≥V (s * ). För att garantera stabilitet indikerar denna ojämlikhet att mänskliga förare bör reagera snabbare på hastighetsavvikelser än känsligheten hos den optimala hastighetsfunktionen med avseende på avstånd i jämvikten; annars kan trafiksystemet bli instabilt och små störningar skulle orsaka stop-and-go-vågor; se figur 3 för en illustration av stabila och instabila trafiksystem. Kontrollerbarhet och stabilibilitet för blandade trafiksystem. Det avslöjas att ett trafiksystem med människodrivna fordon kan vara instabilt och att stopp-och-go-vågor uppstår i enlighet därmed. Här tar vi itu med de autonoma fordonens potential att dämpa instabiliteten i det blandade trafikflödet. I synnerhet tar vi hänsyn till två grundläggande begrepp, kontrollbarhet och stabilitet, i det blandade trafiksystemet (1). Enligt kontrollteorin fångar styrbarheten hos ett dynamiskt system förmågan att styra systemets beteende mot ett önskat tillstånd med hjälp av lämpliga styringångar, och systemet är stabil om alla okontrollerbara lägen är stabila [31]. Just det linjäriserade blandade trafiksystemet (1) kan styras om och endast om kontrollmatrisen Q c = B AB A 2 B... A 2n‐1 B har full rang. Som förklaras i Metoderna bevisar vi att det blandade trafiksystemet inte är helt kontrollerbart och att det alltid finns minst ett okontrollerbart läge. Exakt, vi bevisar dessutom, oberoende av värdena för α 1, α 2, α 3, visar vi att en okontrollerbar komponent exakt motsvarar summan av varje fordons avstånd, som förblir ett konstant värde under systemets utveckling och bestäms av ringväg omkrets (se Kompletterande anmärkning 3). Med andra ord motsvarar detta okontrollerbara läge ett nollvärde. När α 1 − α 2 α 3 + α 2 3 = 0 är alla övriga lägen kontrollerbara, och om α 1 − α 2 α 3 + α 2 3 = 0 är de övriga lägena stabila med hänsyn till stabilitetsprovningen (5). Därför är det blandade trafiksystemet (1) alltid stabilt när det finns ett enda autonomt fordon i systemet. Genom att välja en lämplig kontrollingång kan följaktligen det autonoma fordonet inte bara stabilisera det globala trafikflödet, utan också styra systemet till en högre jämviktstrafikhastighet (en detaljerad analys presenteras i nästa avsnitt). Numeriska simuleringar i figur 4 bekräftar vår analys, där det tidigare instabila trafiksystemet med enbart motordrivna fordon (figur 3 e) blir stabilt (figur 4 a) ), och trafikhastigheten kan ökas från 15 m/s till 16 m/s (figur 4 b ). Nåbarhet och systemets slutliga tillstånd. Vi har visat att det blandade trafiksystemet (1) alltid är stabilt när det finns ett autonomt fordon. I själva verket kan vi ytterligare förutsäga systemets slutliga tillstånd, som kastar viss insikt om tillgängligheten av jämvikten trafiktillstånd (s *, v * ). Det visas också uttryckligen att det autonoma fordonet verkligen kan öka trafikjämviktshastigheten v *. Kom ihåg att vi kan designa det önskade avståndet s * c för det autonoma fordonet. Vi antar en linjär stat återkoppling controller u(t) = −Kx(t), där K = k 1,1, k 1,2, k 2,1, k 2,2,,. .., k n,1, k n,2 R 1×2n är återkopplingsvinsten. Som förklaras i Metoderna, bevisar vi att oberoende av det ursprungliga tillståndet x(0), måste det stabila blandade trafiksystemets sluttillstånd vara i följande form: där s e och v e är lösningen på (7). där α 1, α 2, α 3 är parametrarna i fordonsföljande dynamik (3) och k i, 1, k i, 2 är fasta återkopplingsvinster för det autonoma fordonet. I själva verket, ekvation (7b) Eftersom det blandade trafiksystemet (1) är stabil, kan det styras för att nå alla jämviktstillstånd med trafikhastighet v * genom att styra det autonoma fordonet korrekt. I praktiken kan dock avståndet mellan det autonoma fordonet inte vara negativt, dvs. s * c > 0, vilket är likvärdigt med Detta ställer upp en maximal jämviktstrafikhastighet v * enligt F (s *, 0, v * ) = 0 (se Kompletterande figur S1 för ett typiskt samband mellan s * och v * ), som är högre än jämviktstrafikhastigheten med endast människodrivna fordon. En fysisk tolkning är att det autonoma fordonet kan följa sitt föregående fordon på kortare avstånd och lämna mer utrymme för sina följande människodrivna fordon, som i sin tur utlöser de människodrivna fordonen för att färdas i en högre hastighet i jämvikten; se kompletterande figur S2 för illustration. Utforma en optimal kontrollstrategi. Vi har visat att ett blandat trafiksystem med ett enda autonomt fordon är stabilt. Efter standardkontrollteorin [31] kan vi utforma en optimal kontrollstrategi för att avvisa störningar i det blandade trafiksystemet. Detta scenario modelleras genom antagandet att det finns en störningssignal 8 w i (t) i varje fordons accelerationssignal. Med andra ord, den linjäriserade dynamiken hos mänskligt drivna fordon (1) becomė Därefter utformar vi en optimal styringång u(t) = −Kx(t) för att minimera påverkan av störningar på trafiksystemet. Matematiskt siktar vi på att lösa ett optimeringsproblem min K G wz, där G wz betecknar överföringsfunktionen från störningssignalen w(t) = w 1 (t),. ., w n (t) T till trafikresultatet z(t) = γ ss1 (t), γ v på 1 (t),. .., γ ssn (t), γ v en (t), γ u (t) Här anser vi ett scenario med förekomsten av flaskhalsar infrastruktur eller körfält förändras [19], där ett fordon har en snabb retardation som representerar en stark störning. I början är trafikflödet i jämviktstillståndet med hastigheten 15m/s. Och vid t = 20s avtar det i:te fordonet till 5m/s på två sekunder. Som visas i figur 5, Vi observerar att om alla fordon är människor-drivna, kan perturbationen växa starkare under spridningsprocessen, medan den autonoma fordonet med en optimal kontroll strategi kan reagera aktivt för att dämpa perturbering och stabilisera trafikflödet. I kompletterande not 5 presenterar vi de numeriska resultaten för scenarierna med olika positioner av perturbation, dvs., den perturbation visas på fordon 2, 3,...., n, respektive. Vi jämför också den optimala kontrollstrategin och två andra heuristiska strategier (följerstoppare och PI med mättnad [19]. Numeriska experiment bekräftar att den optimala kontrollmetoden har bäst prestanda när det gäller kontrollenergi och regleringstid (se kompletterande anmärkning 5). Trafiksystem med flera autonoma fordon. Det blandade trafiksystemet med ett enda autonomt fordon är stabil, vilket är oberoende av antalet fordon n. Dessutom kan en optimal kontroll strategi u(t) uppnås genom att lösa ett optimeringsproblem. Det kan dock inte vara praktiskt att kontrollera ett blandat trafiksystem som består av många fordon som drivs av människor och ett enda autonomt fordon. Under dessa omständigheter kan den energi och tid som krävs 9 för att dämpa störningar vara stor, även när det autonoma fordonet antar den optimala kontrollstrategin. Vår tidigare analys kan i själva verket utvidgas till att omfatta ett blandat trafiksystem med flera autonoma fordon. Specifikt antar vi att det finns n fordon i trafikflödet med k autonoma fordon (k < n). Som förklaras i kompletterande anmärkning 6 finns det, på samma sätt som i system 1, ett okontrollerbart läge i det blandade trafiksystemet med k autonoma fordon. Som väntat är det blandade trafiksystemet med k autonoma fordon stabilt. Dessutom kan vi visa att den nåbara slutliga trafiktillstånd är var s * j,c, j = 1,...., k betecknar önskat avstånd för j-th autonoma fordonet. I detta fall kan det maximala avståndet för varje fordon i jämvikt ökas till och detta motsvarar en högre jämviktstrafikhastighet v *. Vi utför numeriska experiment för scenariot där trafiksystemet har två autonoma fordon, och resultaten visas i figur 6. Det är uppenbart att både avvecklingstiden och kontrollenergin för varje autonomt fordon minskar med en faktor på två ungefär, när det finns två autonoma fordon i trafiksystemet på ett enhetligt sätt. Baserat på resultaten kan vi uppskatta marknadspenetrationen för autonoma fordon för att effektivt kontrollera trafikflödet när vi antar den optimala kontrollstrategin. I scenariot 10 Som visats i de banbrytande experimenten i [19], till skillnad från de traditionella kontrollmetoder som reglerar trafikflödet externt på fasta positioner, kan autonoma fordon användas som rörliga ställdon för att styra trafikflödet internt. I detta dokument har vi infört en omfattande teoretisk analys för att ta itu med de autonoma fordonens potential att jämna ut det blandade trafikflödet. I synnerhet har vi härlett stabilitetskriteriet för trafiksystem endast med fordon som drivs av människor, och analyserat möjligheten att styra, stabilisera och nå fram till kombinerade trafiksystem. Dessutom har en optimal kontrollstrategi införts för att aktivt jämna ut det blandade trafikflödet. Av vår analys påpekade vi att det blandade trafiksystemet är stabilt och inte helt kontrollerbart. Genom att styra det autonoma fordonet på rätt sätt kan hela trafiksystemet styras till ett önskat trafiktillstånd. I synnerhet, den önskade jämviktstillstånd (s *, v * ) kan utformas för att variera inom ett visst intervall. Inställningen liknar konstruktionen av fordonsplutoner, där alla autonoma fordon kan styras för att nå önskat avstånd och önskad hastighet [10] [11] [12]. I ett blandat trafiksystem bör det önskade tillståndet (s *, v * ) för motorfordon uppfylla de bilföljande modellerna (se Kompletterande figur 1 ), medan önskat tillstånd (s * c, v * ) för det autonoma fordonet kan utformas separat. Detta leder till nåbarhetsresultatet, där vi har visat ett enda autonomt fordon kan inte bara smidigt trafikflöde utan också öka trafikhastigheten. Inom vår ram har vi föreslagit att det autonoma fordonet aktivt kan reagera på yttre störningar för ett smidigt trafikflöde. För detta mål beräknade vi en optimal kontrollstrategi genom att lösa ett optimeringsproblem som beaktar hela trafiktillståndet. Den resulterande styrenheten kan jämna ut trafikflödet snabbare än traditionella passiva kontrollstrategier [18, 19] (se figur 1). Observera att i utformningen av optimala kontrollstrategier, kan vi välja tre parametrar, som motsvarar avståndsavvikelsen γ s, hastighetsavvikelse γ v och kontrollen energipåföljd γ u. Dessa tre parametrar kan justeras beroende på olika preferenser. Dessutom har vi visat att kontrollen av flera autonoma fordon har bättre prestanda för storskaliga blandade trafiksystem. Autonoma fordon kan samarbeta med varandra för att minska tid och energi för att dämpa störningar och jämna ut trafikflödet. Inom vår ram är det möjligt att fastställa en lämplig marknadspenetrationsgrad för autonoma fordon när det gäller avvecklingstiden. Baserat på våra simuleringar har autonoma fordon praktisk förmåga att jämna ut trafikflödet med låg penetrationshastighet (ett självkörande fordon per cirka 20 persondrivna fordon) när den optimala kontrollstrategin antas. Förmågan hos autonoma fordon med en låg penetrationsgrad har bekräftats experimentellt i [19]. Några andra ämnen är värda ytterligare utredning. I vår nuvarande analys har vi antagit att autonoma fordon har tillgång till den globala trafikstaten, dvs. informationen om alla andra människodrivna fordon. På grund av kommunikationsområdets gräns kan autonoma fordon endast få information om sina angränsande fordon. Det är intressant att designa en lokaliserad optimal controller, och detta leder till begreppet strukturerad controller syntes [32, 33]. När det gäller den teoretiska frågan har vi antagit en homogen dynamik för fordon som drivs av människor, och potentiella tidsfördröjningar ignoreras. En intressant riktning är att överväga heterogenitet och tidsfördröjning i kontrollen av blandade trafiksystem. Vi noterar att vissa arbeten nyligen har övervägt effekten av heterogenitet och tidsfördröjningar på plutonstyrningsnivå [34] [35] [36], som kan ge vissa insikter för den controller designen i blandade trafiksystem också. Slutligen, vår nuvarande analys fokuserade på singel-lane ringväg inställning, och det skulle vara intressant att utvidga vår analys till scenarier med flera körfält och körfältsförändrande beteende. Metoder Att härleda den matematiska modellen av blandade trafiksystem. Med hjälp av den första ordningen Taylor expansion, den allmänna bil-följande modellen av mänskliga-drivna fordon, dvs.,v i (t) = F (s i (t), och i (t), v i (t)), i = 2,..., n, kan linjäriseras till Combining (9) med (10) leder till den globala linjära dynamiken (1). I kompletterande anmärkning 1 ger vi en detaljerad härledning av (1) samt linjäriseringsprocessen för två typiska bilföljande modeller (dvs. OVM och IDM). För att analysera stabiliteten hos matrisen är det nödvändigt och tillräckligt för att studera dess eigenvärdens fördelning. Eftersom В är en block cirkulant matris, kan det diagonaliseras för att förenkla eigen value beräkning. Genom definitionen av Fourier matris, vi vet att F n och F * n är symmetriska, dvs, F * n = (F * n ) T, F n = F T n, och att F n är en enhetlig matris, dvs F n F * n = I n, där I n betecknar n × n identitetsmatris. Sedan, kan diagonaliserade intô där  till betecknar Kronecker produkten,..., D n på dess diagonala block. Sedan eigenvärdet λ uppfyller Substitution uttrycket av  på (11) leder till där e i‐1 n ·2πj, i = 1,...., n är de komplexa rötterna av z n = 1. Det betyder att värdena för H(λ) för alla 2n-värden för λ utgör n-enhetsrötter. När n eller i ändras motsvarar H(λ) olika enhetsrötter. Därefter är villkoret att rötterna av  och H (λ), = 1 har negativa reella delar tillräcklig för att garantera att nollorna (11) ligger i vänster halvplan, dvs systemmatrisen Â är stabil. Efter strategin i [18], Vi kommer fram till stabilitet villkor (5). Den intresserade läsaren hänvisas till kompletterande anmärkning 2 för närmare information. Kontrollerbarhetsanalys via blockcirkulantmatris diagonalisering. För notationell enkelhet använder vi ett par matriser (A, B) för att representera ett linjärt system i kanonisk form (1). Först konverterar vi (A, B) till (Â, B) genom att använda en virtuell kontrollinmatningû(t), definierad somû(t) = u(t) − (α 1s1 (t) − α 2 och 1 (t) + α 3 skan (t)). Denna virtuella styringång kan betraktas som skillnaden mellan det faktiska kontrollvärdet och accelerationsvärdet när fordonet är människodrivet. Observera att kontrollen av ett linjärt system förblir oförändrad under återkoppling och linjära omvandlingar (se kompletterande anmärkning 3), vilket innebär att kontrollmöjligheten för (A, B) är densamma som för (Â, B). I state-space formulering, det nya systemet (A, B) är av följande för att där B 1 = 0, 1 T. När beteckna nya tillstånd variabelx(t) som x 11,x 12,x 21,x 22,. ..,x n1,x n2 T, Detta system kan frikopplas till n oberoende delsystem (i = 1, 2,..., n) Vi betecknar kontrollbarhetsmatrisen för varje delsystem som Q c,i. Det är lätt att se att rank (Q c,1 ) = 1, vilket indikerar att det första undersystemet har en okontrollerbar komponent. Därför är systemet (A, B) inte helt kontrollerbart och 13 har åtminstone en okontrollerbar komponent. Framför allt är det första undersystemet konstant under den dynamiska utvecklingen. Sammanfattningsvis är det blandade trafiksystemet (A, B) inte helt kontrollerbart och har åtminstone ett okontrollerbart läge (13) som motsvarar noll eigenvärde. I synnerhet motsvarar detta läge (13) summan av varje fordons avstånd Därför har vi (6) eftersom kontrollbarheten är invariant under återkoppling och linjär omvandling. Observera att villkoret α 1 − α 2 α 3 + α 2 3 = 0 har en sannolikhet när man överväger α 1, α 2, α 3 slumpmässigt. Förutsäga det slutliga tillståndet för blandade trafiksystem. För ett stabilt system kommer staten att närma sig sin jämviktspunkt. I vårt blandade trafiksystem analyserar vi dynamiken hos varje fordon (9) och (10) var för sig, vilket leder tõs 1 (t f ) = s e, och i (t f ) = v e,s i (t f ) = α 2 − α 3 α 1 v e, i = 2, 3,...., n, där s e, v e är konstanta värden, och t f är den tid då systemet når sin jämviktspunkt. Vi nästa härled att (s e, v e ) bör uppfylla (7), från vilken vi kan beräkna det exakta värdet av s e och v e. I det slutliga tillståndet, alla fordon har noll acceleration, vilket indikerar att kontrollingången u(t) måste vara noll, dvs u(t) = −Kx(t) = 0, vilket leder till (7a). Dessutom, enligt kontrollbarhetsanalysen, vet vi att (s 1 (t) − s * c ) + n i=2 (s i (t) − s * ) förblir konstant; se (13). Tillsammans med systemets initialtillstånd och sluttillstånd kan vi uppnå (7b). Numeriska experiment. Detaljer om våra numeriska experiment och ytterligare jämförelse med två heuristiska kontrollmetoder finns i kompletterande not 5. I våra experiment användes den vanliga OVM-modellen för att representera den mänskliga bilföljande dynamiken. Alla experiment utfördes i MATLAB, och den optimala kontrollstrategin beräknades med hjälp av koniska lösaren Moesk [37]. 14 Tack Vi tackar A. Papachristodoulou, J. Wang, Q. Xu, L. Romao, S. Yan och C. Chen för kommentarer och diskussioner. Vi vill också tacka R. Drummond för en konstruktiv återkoppling. Kopiering tillåten med angivande av källan.
Ref. REF visade att ett ringsystem är stabil genom att endast styra ett enda fordon.
Smoothing traffic flow via control of autonomous vehicles
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}