I många fall av val verkar väljarkåren vara en blandning av partiväljare och oberoende väljare. Med tanke på att partisaner inte sannolikt att konvertera till ett annat parti, ett huvudmål för ett parti kan vara att mobilisera oberoende väljare mot partiet med hjälp av starkt ledarskap, massmedia, partisaner, och effekter av peer-to-peer inflytande. Baserat på den exakta lösningen av den klassiska röstmodelldynamiken i närvaro av perfekt partisan väljare (dvs. fanatiker), föreslår vi en beräkningsmetod för att maximera partiets andel i ett socialt nätverk av oberoende väljare genom att fästa kontroll strategi. Partiet, som motsvarar den controller eller fanatiker, optimerar noderna som ska kontrolleras med tanke på informationen om anslutning av oberoende väljare och uppsättningen av noder som motståndaren parti kontrollerar. Vi visar att kontrollnav i allmänhet är en bra strategi, medan den optimerade strategin är ännu bättre. Den optimerade strategins överlägsenhet är särskilt framträdande när de oberoende väljarna är anslutna som riktade snarare än oriktade nätverk. Vi vänder ofta våra åsikter som svar på vad andra gör. I olika situationer, från röstning till antagande av nya vanor, är det allmänt erkänt att opinionsbildning i stor skala i hög grad påverkas av samverkan mellan personer som är inbäddade i sociala nätverk [1] [2] [3] [4]. Å andra sidan tycks sådana smittoeffekter vara irrelevanta för vissa individer som är beslutsamma i frågan och inte känner pressen från kamrater. I valet är väljarkåren till exempel vanligtvis en sammansättning av partiväljare till förmån för specifika partier och oberoende väljare [5, 6]. Eftersom partisaner är ovilliga att ändra sig, skulle huvudmålet för ett parti vara att mobilisera oberoende väljare mot sin kandidat. Syftet med denna studie är att undersöka effektiva strategier för att attrahera oberoende väljare när oberoende väljare är anslutna som ett socialt nätverk och olika partier tillåts påverka några oberoende väljare. Pinning kontroll av nätverk, där en styrenhet enkelriktat påverkar vissa utvalda noder, är en effektiv metod för att styra tillståndet för noder i ett kopplat dynamiskt system till ett önskat tillstånd såsom synkroniserat tillstånd. Idén har utforskats i linjära och icke-linjära dynamiska system kopplade i nätverk [7] [8] [9]. Vi tillämpar denna idé på opinionskontroll i komplexa nätverk. Teoretiska studier av opinionskontroll i kollektiv åsiktsdynamik går tillbaka åtminstone till studier av fanatiker i röstmodellen. Röstarmodellen är en paradigmisk modell för kollektiv åsiktsbildning, i vilken individer skulle vända sina åsikter i en takt som står i proportion till antalet grannar som väljer den motsatta åsikten [1, 3, [10] [11] [12]. Mobilia visade först att dynamiken förändrades dramatiskt vid införandet av fanatiker, dvs. envisa väljare, för vanliga väljare [13]. Zeloter motsvarar perfekta partisaner, ledare i en gemenskap, eller massmedia och är matematiskt samma som pinning kontroller (se [14, 15] för fall av fel-bene fanatiker). Med röstmodellen och andra modeller för opinionsbildning har det också visats att förekomsten av fanatiker till förmån för motsatta åsikter, liksom konkurrerande parter, leder till samexistens mellan de olika åsikterna i jämvikten [16] [17] [18] [19] [20] [21]. Detta tre fenomen står i kontrast till det för röstmodellen utan fanatiker [1, 3, 10] och med en enda typ av fanatiker [13]; i dessa fall uppnås alltid samförstånd i finita nätverk och lågdimensionella oändliga gitter. Att kontrollera åsiktsdynamiken innebär att det finns ett kontrollmål såsom önskat sluttillstånd eller kostnadsminimering. Befintlig litteratur om rösträttsmodeller i närvaro av fanatiker har beskrivit fenomen som framkallats av fanatiker men har inte behandlat opinionskontroll i proaktiv bemärkelse. Bland de studier som uttryckligen behandlade opinionsundersökningar antog vissa studier att det bara fanns en enda typ av fanatiker [22] [23] [24] [25]. Såvitt vi vet har två studier betraktat opinionskontroll i nätverk genom konkurrerande fanatiker, på samma sätt som den nuvarande studien. I Ref. [26], författarna ansåg en kontroll strategi där de högsta gradens noder kontrolleras. De löste ett optimeringsproblem numeriskt genom att omvandla problemet till en slumpmässig gång i nätverket och numeriskt köra slumpmässig gång. Deras objektiva funktion var kontrollkostnaden under förutsättning att andelen röster till förmån för den personuppgiftsansvariges åsikt måste vara åtminstone den föreskrivna tröskeln. I Ref. [21], författarna behandlade optimalt urval av nyligen kontrollerade noder under förutsättning att de två undergrupper av noder som fokal fanatiker och den motsatta typen av fanatiker kontrolleras för närvarande var kända. De föreslog en girig algoritm som utnyttjade submodulaliteten i den objektiva funktionen. Artikelns huvudsakliga fokus låg dock på teoretisk utvärdering av algoritmen, och den föreslagna algoritmen testades inte numeriskt på nätverk. I motsats till dessa studier [21, 26], i den nuvarande studien fastställer vi förfarandet för att maximera antalet röster av oberoende väljare genom fanatiker kontroll med linjär algebra. På grundval av den exakta lösningen på det genomsnittliga antalet röster till förmån för varje yttrande i närvaro av fanatiker, fastställer vi en metod för att beräkna lösningen och heuritiskt optimera det genomsnittliga antalet röster med hjälp av makt iteration. Sedan tillämpar vi den föreslagna metoden på flera komplexa nätverk. I synnerhet undersöker vi om kontrollen av höggradiga noder (dvs. nav) 4 är effektiv eller inte beroende på nätverk. Vi antar ett riktat och viktat nätverk med N noder, som kan ha själv loopar. Vikten av länken från node i till j betecknas av w ij ≥ 0 och representerar styrkan av påverkan av node i på node j i opinionsbildning dynamik. Vi antar också att nätverket är starkt ansluten så att det inte finns någon rotnod eller rotkomponent, som skickar ut riktade länkar till resten av nätverket och inte tar emot riktade länkar utifrån. En sådan rot skulle effektivt fungera som fanatiker eftersom uppfattningen om roten inte påverkas av resten av nätverket; vi kommer att införa fanatiker i följande. För oriktade nät reduceras den starka uppkopplingen till den vanliga uppkopplingen. N noderna växlar dynamiskt sina åsikter mellan två alternativ A och B, som vi kommer att specificera i följande. Vi hänvisar också till noder som oberoende väljare. Bortsett från N oberoende väljare, antar vi fanatiker (d.v.s. perfekta partisaner) som alla föredrar en åsikt. Det är definitionsmässigt så att fanatiker aldrig ändrar åsikt. Teoretiskt sett räcker det att betrakta en enda fanatiker till förmån för åsikt A och att till förmån för B sådana att de påverkar några oberoende väljare, kanske med olika vikter. Vi betecknar med p A,i (≥ 0) och p B,i (≥ 0) styrkan av inflytandet som identifieras med länken vikt, med vilken A och B fanatikern påverkar node i, respektive. Vi kallar p A,i och p B,i för kontrollvinsten. Varje "part" kan vara intresserad av att klokt välja p A,i och p B,i (1 ≤ i ≤ N) under givna begränsningar (t.ex., summan av länken vikt är övre gräns, eller fanatiker kan styra ett visst antal noder varje med enhetsvinsten). I varje uppdateringshändelse väljs en av noderna i nätverket exklusive fanatiker med lika stor sannolikhet 1/N. Sedan, den valda noden kopierar åsikten hos en av sina uppströms grannar (vanliga grannar i fallet med oriktade nätverk) med sannolikheten proportionell mot länken vikt. Figur 1 är ett schematiskt exempel på ett oriktat och o-5 vägt nät. Antag att node i, som har grad fyra och kontrolleras av A fanatiker (med enhetsvinst antas), väljs för uppdatering. Bland de fem grannarna inklusive A fanatiker, finns det tre andra i yttrande A (fyllda cirklar och kvadrat) och två i yttrande B (öppna cirklar). Därför antar jag yttrande A och B med sannolikhet 3/5 respektive 2/5. Generellt sett, en vald nod i kopierar åsikten av oberoende väljare j med sannolikhet w ji / N l=1 w li + p A,i + p B,i, åsikt A från A fanatiker med sannolikhet p A,i / N l=1 w li + p A,i + p B,i, och åsikt B från B fanatiker med sannolikhet Uppdateringsregeln är samma som VM (voter modell) regel bland de tre huvudsakliga uppdateringsregler som föreslås i Refs. [27, 28]................................................... Övriga uppdateringsregler diskuteras kortfattat i avsnitt 3. Varje nod uppdateras en gång per tidsenhet i genomsnitt. På grund av förekomsten av fanatiker i motsatta åsikter förekommer aldrig konsensus (även kallad fixering) i något av yttrandena [16] [17] [18] [19] [20] [21]. Vi är intresserade av fraktionen av noder till förmån för varje åsikt i jämvikt. Resultat Vi börjar med en medelfältsanalys som utgår från en väl blandad oändlig befolkning som motsvarar ett oriktat och oviktat nätverk av oändlig storlek. I detta fall finns det mer detaljerade teoretiska resultat när det gäller fördelningen av antalet oberoende väljare i något av yttrandena [16, 18, 19]. Redovisa med x (0 ≤ x ≤ 1) andelen oberoende väljare som har åsikt A. Den del av oberoende väljare som har åsikt B är lika med 1 - x. Vi antar att det finns en bråkdel av a och b fanatiker till förmån för A respektive B, som påverkar varje oberoende väljare med en enhetsvinst. Vi antar a, b > 0. Även om den ursprungliga modellen har en enda fanatiker i varje yttrande, i detta avsnitt översatte vi det till fraktionen av fanatiker 6 eftersom en enda fanatiker inte har ett inflytande i en oändlig befolkning om inte antalet oberoende väljare som fanatiker påverkar eller länken vikt i samband med fanatiker är oändlighet. I denna situation ges den dynamiska åsiktsbildningen av var t är tid. Steady state ges av Detta steady state är stabilt med eigen value − (a + b) < 0; om fraktionen av fanatiker är stor, konvergensen till den jämvikt som ges av Eq. (2) är snabb. Ekvation (2) innebär att andelen av de oberoende väljarnas åsikter i jämvikten är lika stor som fanatikers. Anteckna av u A,i (1 ≤ i ≤ N) sannolikheten för att oberoende väljare i yttrar sig A. Sannolikheten att jag anser att B ges av u B,i = 1 − u A,i. Huvudekvationen av åsiktsdynamiken ges av I det stabila tillståndet, vi ställer den vänstra sidan av Eq. (3) till noll för att erhålla Matrix L = (L ij ) är N × N Laplacian i det nätverk som definieras av 7 där δ ij är Kronecker delta. I Eq. (4) motsvarar diag diagonalmatrisen N × N vars diagonala element specificeras av argumenten. I själva verket är u A,i motsvarande det ith elementet av u 3 1 i Ref. [29] härleds från Laplacian matris för det utvidgade nätverket inklusive fanatiker, där vi tolkar m = 2, b = 3, och A fanatiker, B fanatiker, och det starkt anslutna nätverket av oberoende väljare motsvarar den första, andra och tredje block, respektive av den irreducibla normala form som ges av Eq. (9) i Ref. [29]................................................................. Det bör också noteras att Eq. (4) ovan motsvarar Eq. (3) i Ref. [20], som författarna härledde genom att anta att varje oberoende väljare kontrollerades av en fanatiker (dvs. p A,i + p B,i > 0 för alla i). Den andel av åsikt A i det stabila tillståndet, betecknad av S A, ges av det stabila tillståndet, u B,i (1 ≤ i ≤ N), och andelen av åsikt B i det stabila tillståndet, S B, ges av EKG. (4) och (6) med A ersatt med B. Det bör noteras att u A,i + u B,i = 1 (1 ≤ i ≤ N) och därmed S A + S B = 1 (tillägg A). Ekvation (3) kan skrivas om eftersom detta är den kontinuerliga DeGroot-modellen [30, 31], om vi tolkar u A,i som den kontinuerligt värderade åsikten, med en och noll som motsvarar den rena åsikten A respektive ren åsikt B. Det bör noteras att Eq. (7) innebär att de oberoende väljarna attraherar varandra och också dras till A (dvs. 1) och B (dvs. 0) med vinst p A,i respektive p B,i. Betrakta den oriktade och oviktade fullständiga grafen med kontrollvinster p A,i = a och p B,i = b Detta resultat överensstämmer med det som erhålls från medelfältsanalysen i avsnitt 2.1. Betrakta en oriktad och oviktad stjärna med N noder (Fig. 2).................................................................. Node 1 är den unika nav i anslutning till alla andra noder, som var och en endast gränsar till navet. Anta att B fanatikern kontrollerar nod 2 med vinst b (dvs. p B,i = bδ i,2) och att A fanatikern kontrollerar antingen navet eller en icke-hub med vinst a. Ekvation (4) Beteendet hos den del av åsikt A (dvs, S A ) när vi sätter b = 1, N → ∞, och varierar a visas i bild. 3............................................................... Som förväntat ökar S A med en i samtliga fall. När A fanatikern styr navet (svart linje), är S A större än när A fanatikern kontrollerar en icke-hub (röda och blå linjer). När en fanatiker kontrollerar en icke-hub nod är S A lika med 0,5 vid a = 1 eftersom den andra fanatikern också kontrollerar en icke-hub med samma vinst. Men när a = 1, S A beror på om de icke-hub noder som de två fanatiker kontroll är samma (röd linje) eller olika (blå linje). I detta avsnitt utvärderar vi numeriskt effekten av kontrollprotokoll på ett modellnätverk och tre verkliga nätverk. Vi tar inte självanslutning i följande. Vi beräknar S A och S B numeriskt enligt följande. Eftersom L+diag (p A,1 + p B,1,. .., p A, N + p B, N ) är diagonalt dominerande, vi kan få sin lösning genom iteration metoder som Jacobi och Gauss-Seidel iteration [32]. Från några inledande villkor, som vi sätter till där ← innebär att vi ersätter höger sida till vänster. Vi utför Eq. (8) samtidigt för alla i när det gäller Jacobi iterationen, som vi använder i följande numeriska simuleringar. Äntligen använder vi Eq. (6) för att beräkna S A (och S B = 1 − S A ). Vi börjar med Barabási-Albert (BA) modell med N = 200 noder. Modellen producerar skalfria nätverk med power-law exponenten av graden distribution lika med tre när För att generera ett nätverk, antar vi att det finns initialt två noder som är anslutna med en länk och att varje ankommande nod för in två länkar. Det genererade nätverket har 397 oriktade och oviktade länkar. För det första undersöker vi det fall där båda fanatiker kontrollerar en enda nod med samma vinst. i hög grad. Andelen av A är större när B fanatiker styr noden med den minsta graden (cirklar) än den med den största graden (kvartor). Dessa resultat tyder på att det är effektivt att styra nav snarare än små noder, vilket är förenligt med de tidigare resultaten [16, 26]. Graden är emellertid dominerande men inte den enda avgörande faktorn för A:s andel, i enlighet med en tidigare uttalad anmärkning [21]. Styrande noder med samma grad leder i allmänhet till olika S A-värden. Dessutom, i bild. 4 b), S A är något större 10 för noden med grad 22 än den största-grad noden (dvs grad 34) när B fanatiker styr noden med den minsta grad (cirklar). Som en separat observation, för en större kontrollvinst (Fig. 4 b) ), andelen A är mer känslig för graden än för en mindre kontrollvinst (Fig. 4 a)............................................................................................................... Detta är intuitivt eftersom en stor kontrollvinst innebär att fanatikers inflytande är relativt viktigt i opinionsbildning dynamik jämfört med peer-to-peer interaktion mellan oberoende väljare. Därefter antar vi att varje fanatiker kontrollerar tio noder med samma vinst och undersöker fallet där A fanatiker optimerar uppsättningen av noder som ska kontrolleras. Den B fanatiker antas styra tio slumpmässigt utvalda noder. En fanatiker får använda denna information. Först börjar A fanatiker med att styra slumpmässigt utvalda tio noder. För det andra beräknar vi andelen av åsikt A, S A. För det tredje byter vi preliminärt en slumpmässigt vald kontrollerad nod med en slumpmässigt utvald okontrollerad nod. För det fjärde räknar vi om S A. Om det nya S A-värdet är större än det gamla värdet, så antar vi bytet. Annars gör vi oss av med bytet. Vi upprepar bytesförsök 2 × 10 4 gånger om inte annat anges. S A-värdena efter optimeringen visas i tabell 1 för kontrollvinsten som är lika med 1, 10 och 100. I tabellen visar vi också resultaten för det examensbaserade protokollet [26], som definieras av A fanatikern som kontrollerar de tio noderna med de största graderna. Vi bryter band genom att slumpmässigt välja det antal noder som krävs med tröskeln grad. Till exempel, om nätverket är oriktad och oviktad, det finns nio noder vars grad är minst 20, och det finns tre noder med grad 19, vi kontrollerar en av de tre noder med grad 19 och de nio noder med större grader. För varje vinst värde, de tio noder som B fanatikern kontrollerar är samma mellan den optimerade och grad-baserade A fanatiker. Tabell 1 tyder på att S A efter optimering är något större än den som erhålls från det gradbaserade protokollet. Graden av de tio kontrollerade noderna av den optimerade A fanatiker, gradbaserad A fanatiker, och B fanatiker visas i Figs. 4 a och 4 b för vinsten lika med 1 respektive 10. Den 11 B fanatiker kontrollerar oftast noder med små grader på grund av skalan-fri egendom av BA-modellen. Den optimerade En fanatiker tenderar att styra nav. Vissa noder som den kontrollerar hör dock inte till de tio största noderna. Som ett andra exempel undersöker vi ett gemensamt nätverk av nätverksforskare [34]. Nätverket är oriktat och oviktat och har 1589 noder och 2742 länkar. Vi använder den största anslutna komponenten i detta nätverk som innehåller N = 379 noder och 914 länkar. Det numeriska förfarandet är detsamma som för BA-modellen. De numeriska resultaten visas i bild. 5 och tabell 1. Den allmänna tendensen är densamma som för resultaten för BA-modellen. Nivån på den kontrollerade noden påverkar dock resultaten mindre starkt än när det gäller BA-modellen. I själva verket, kontrollera olika enskilda noder, inklusive de med små grader, ger en större andel av åsikt A än kontrollera den största graden nav (Fig. 5).................................................................. Skillnaden mellan andelen A som uppnås genom optimeringen och den som uppnås genom det gradbaserade protokollet är också större för coauthorship-nätverket än för BA-modellen (tabell 1). Som ett tredje exempel undersöker vi den största anslutna komponenten i e-postutbyte mellan medlemmar av universitetet Rovira i Virgili, Tarragona, Spanien [35]. Detta nätverk är oriktat och oviktat och har N = 1133 noder och 5451 länkar. De numeriska resultaten för detta nätverk visas i bild. 6 och tabell 1. Sambandet mellan graden av den kontrollerade noden och åsiktsandelen A är mycket stort för detta nätverk (Fig. 6).................................................................. Som ett resultat, andelen A som erhållits efter optimeringen och som bygger på den grad-baserade protokollet är bara något annorlunda (Tabell 1 ). Alla nätverk som hittills granskats är oriktade nätverk. I röstmodellen utan fanatiker, effekten av node i mätt med fixeringssannolikheten, dvs sannolikheten för att yttrandet enbart från node i slutligen antas av alla noder i nätverket, är lika med graden av nod i [27, 28]. Detta kan vara anledningen till att det examensbaserade protokollet är nära 12 till optimal för vissa oriktade nätverk, dvs. BA-modellen och e-postkommunikationsnätet. Däremot avviker fixeringssannolikheten för en nod från ut-graden (dvs. antalet andra noder som den fokala noden direkt påverkar) i riktade nätverk [36]. Därför postulerar vi att de optimala noder som ska kontrolleras avsevärt kan avvika från höga ut-grader noder i riktade nätverk. För att undersöka denna möjlighet använder vi ett socialt nätverk online bland studenter vid University of California, Irvine [37]. Nätverket har N = 1899 noder och 20296 riktade och viktade länkar. Vi fokuserar på den största starkt anslutna komponenten i detta nätverk som innehåller 1294 noder och 19026 viktade länkar. De numeriska resultaten visas i bild. 7 och tabell 1. Vi ökade antalet iterationer i optimeringsförfarandet till 5 × 10 4 eftersom S A-värdet fortfarande ökade i viss utsträckning vid 2 × 10 4 th iterat. Resultaten visar att ut-graden inte är en bra prediktor av påverkan av noden när den kontrolleras. Vi studerade ett problem med att maximera antalet röster i opinionsbildningsdynamiken i komplexa nätverk när två motsatta parter påverkar undergrupper av noder. Vi föreslog en heuristisk algoritm baserad på exakt beräkning av medelrösten och tillämpade den på artificiella och verkliga komplexa nätverk. Vi visade att graden av den kontrollerade noden var en avgörande faktor för effektiviteten i kontrollen i oriktade nät, vilket är förenligt med tidigare resultat [26]. Att kontrollera nav är i allmänhet en bra strategi. Dock optimerade valet av de kontrollerade noderna insåg en större andel av den önskade åsikten än den grad-baserade protokollet gjorde. Skillnaden mellan de två metodernas prestanda var särskilt stor i de riktade nätverken. Vi använde VM-regeln för att uppdatera åsikter. I icke-regelbundna nätverk (dvs. nätverk där vissa noder har olika grader), olika uppdateringsregler, nämligen invasionsprocessen (IP) och länkdynamiken (LD), väsentligt ändra resultatet av opinionsbildning dynamik 13 i avsaknad av fanatiker [27, 28, 36, 38]. Att utvidga den nuvarande ramen till dessa fall är enkelt eftersom användningen av en annan uppdateringsregel motsvarar att tilldela varje länk en omskalad vikt [36]. Det finns flera möjliga förlängningar av det nuvarande arbetet. För det första var den föreslagna algoritmen inte snabb, särskilt när kontrollvinsten var liten. Det var därför våra exempel var relativt små nätverk (dvs. upp till N  på 1300 noder). Flaskhalsen verkar vara jakobineringen. Dessutom använde vi en girig metod för optimering, som också kan vara ineffektiv. Perturberingsmetoder med vilka man kan bedöma förändringen i eigenvektorn vid en extern förändring (dvs. en något förändrad uppsättning kontrollerade noder i vårt fall) [39] [40] [41] [42] [43] och genetiska algoritmer [24, 25] kan vara användbara för att utforma bättre optimeringsalgoritmer. För det andra antog vi under optimering att motståndaren fanatiker (dvs, B) inte ändrade uppsättningen av kontrollerade noder. Endast fokal fanatiker (dvs., A) tilläts att strategiskt bete sig för att uppdatera uppsättningen kontrollerade noder. I själva verket beror det optimala valet av kontrollerade noder på vad motståndaren gör. Att låta båda fanatiker uppföra sig strategiskt kan vara en intressant fråga. En uppnådd jämvikt kan formuleras som en spelteoretisk jämvikt. För det tredje antog vi att den fullständiga kunskapen om nätverket av oberoende väljare var tillgänglig för kontrollanterna. I praktiska situationer som verklig röstning och social mobilisering skulle detta antagande brytas. Metoder som är tillämpliga när endast partiell kunskap om nätverket är tillgänglig önskas. För det fjärde, vår analys handlade om den genomsnittliga rösträkningen i det stabila tillståndet. I själva verket varierar åsikterna mellan de två yttrandena till och med i jämvikten. Tidigare studier kvantifierade sådana fluktuationer för medelfältspopulationer [16, 18, 19] och visade matematiskt förekomsten av fluktuationer under vissa förhållanden för nätverk [20, 21]. Kvantifiering av fluktuationerna för allmänna nät kan vara möjlig. Dessutom kan faktiska val äga rum innan jämvikten uppnås. Analys av övergående dynamik tycks därför vara av praktisk 14 betydelse. När det gäller denna fråga undersöktes konvergensen i åsiktsdynamiken beroende på var fanatiker befinner sig i den senaste litteraturen [44]. För det femte har vi övervägt två yttranden för enkelhetens skull. Det är enkelt att utvidga antalet yttranden till mer än två. En teori om nod betydelse i riktade nätverk när det finns ett allmänt antal rot nod [29] kan visa sig användbar i detta syfte. För det sjätte utforskade vi inte effekterna av självslingor, även om vår formulering tillät dem. En ökning av vikten av en självslinga gör motsvarande oberoende väljare relativt döv för andras åsikter när yttrandet uppdateras. Med en stor tyngd av en självslinga spelar den oberoende väljaren en roll nära en fanatikers. Att undersöka denna aspekt kan vara intressant. Sjunde, kontrollera en enda nod med en stor vinst (t.ex., 10) och kontrollera många noder med en liten vinst (t.ex., 10 noder med en enhetsvinst) kan göra skillnad. Vi utforskade inte denna punkt. Det bör noteras att även om den totala vinsten som utövas av controllern är densamma, kan kontrollera många noder med små vinster vara praktiskt taget dyrare än att kontrollera en nod med en stor vinst [9]. Slutligen, effekter av fanatiker har också undersökts för andra kollektiva dynamik såsom en lokal majoritet röst modell [45], namngivning spelet [46] [47] [48], Axelrod modell för kulturell spridning [49], en modell med agenter i en neutral position [50], och fångens dilemma spel [51] [52] [53]. Maximering av rösten genom fixeringskontroll kan också vara relevant i dessa sammanhang.
Ett liknande mål för noder som har binärt värderade åsikter beaktas i REF.
Opinion control in complex networks
{'venue': 'New Journal of Physics 17, 033031 (2015)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Computer Science']}