Abstrakt. Vi studerar aritmetiska och geometriska egenskaper hos maximala kurvor, det vill säga kurvor som definieras över det finita fältet F q 2 vars antal F q 2 -rationella punkter når Hasse-Weil övre gräns. Under en hypotes om icke-gaps på en rationell punkt, visar vi att maximal kurvor är F q 2 -isomorphic till y q + y = x m, för vissa m  på Z +. Som en följd av detta visar vi att en maximal kurva av släktet g = (q − 1) 2 /4 är F q 2 - ismorphic till kurvan y q + y = x (q+1)/2. Intresset för kurvor över ändliga fält förnyades efter att Goppa [Go] visat sina tillämpningar till Kodningsteorin. En av huvuddragen i linjära koder som uppstår från kurvor är det faktum att man kan ange en lägre gräns för deras minsta avstånd. Denna nedre gräns är meningsfull endast om kurvan har många rationella punkter. Ämnet för detta dokument är studiet av maximala kurvor. Låt X vara en projektiv, geometriskt oreducerbar och icke-singulär algebraisk kurva definierad över det finita fältet F l med l element. En firad teorem av Weil anger att: där X(Fl ) betecknar uppsättningen F l -rationella punkter av X och g är släktet av kurvan. Denna gräns bevisades för elliptiska kurvor av Hasse. Kurvan X kallas maximal över F l (i detta fall måste l vara en kvadrat; säga l = q 2 ) om den når Hasse-Weil övre gräns; det vill säga # X(F q 2 ) = q 2 + 1 + 2gq. Ihara [Ih] visar att släktet av en maximal kurva över F q 2 uppfyller: Rück och Stichtenoth [R-Sti] visar att Hermitian kurva (dvs. den kurva som ges av y q + y = x q+1 ) är den unika (upp till F q 2 -ismorphisms) maximal kurva över F q 2 med genus g = (q − 1)q/2. Det är också känt att släktet av maximal kurvor över F q 2 uppfyller (se [F-T] och anmärkningen efter Theorem 1.4 här): Hermitian kurvan är ett särskilt fall av följande maximala kurvor över F q 2 : y q + y = x m, med m är en divisor av (q + 1). Observera att släktet av ovanstående kurva anges med g = (q − 1)(m − 1)/2.
Fuhrmann, Garcia och Torres REF visade att det finns en unik maximal kurva av släktet (q-1) 2 /4 definieras över F q 2.
On maximal curves
{'venue': None, 'journal': 'arXiv: Algebraic Geometry', 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}