Den berömda Cheeger's Ojämlikhet (Alon och Milman 1985; Alon 1986) etablerar en gräns på kanten expansion av en graf via dess spektrum. Denna ojämlikhet är central för en rik spektral teori av grafer, baserat på att studera eigenvärden och eigenvectors av adjacency matrisen (och andra relaterade matriser) av grafer. Det har förblivit öppet för att definiera en lämplig spektral modell för hypergrafer vars spektra kan användas för att uppskatta olika kombinatoriska egenskaper hos hypergrafen. I den här artikeln introducerar vi en ny hypergraf Laplacian operatör generalisera Laplacian matris av grafer. I synnerhet framkallas operatören av en diffusionsprocess på hypergrafen, så att inom varje hyperkant, mäter flöden från hörn med maximalt viktat mått till dem som har minimum. Eftersom operatören är icke-linjär, måste vi utnyttja andra egenskaper i diffusionsprocessen för att återställa Cheeger's Ojämlikhet som relaterar hyperedge expansion med "andra eigen value" av den resulterande Laplacian. Vi visar dock att högre spektralegenskaper inte kan hålla i allmänhet med hjälp av det nuvarande ramverket. Eftersom högre-order spektral egenskaper inte håller för den Laplacian operatören, använder vi istället konceptet av procedurminimatorer för att överväga högre-order Cheeger-liknande ojämlikheter. För alla k  på N, ger vi en polynom-tid algoritm för att beräkna en O (log r )-tillnärmning till kth procedurminimering, där r är den maximala kardinaliteten av en hyperedge. Vi visar att denna approximationsfaktor är optimal under SSE-hypotesen (inledd av Raghavendra och Steurer (2010)) för konstanta värden av k. Dessutom, med hjälp av faktorbevarande minskning från vertex expansion i grafer till hypergraph expansion, visar vi att alla våra resultat för hypergrafer sträcker sig till vertex expansion i grafer. Spektrala egenskaper hos hypergraf Laplacian och tillnärmning Algoritmer Denna tensorform och dess mindre varianter har utforskats i litteraturen (se avsnitt 1.1 för en kort undersökning) men har inte förståtts särskilt väl. Optimering över tensorer är NP-hard (Hillar och Lim 2013); även få bra approximationer kan vara intractable (Brubaker och Vempala 2009). Dessutom verkar tensorers spektralegenskaper inte ha något samband med hypergrafers kombinatoriska egenskaper (se Chan et al. (2016, tillägg A)). Ett annat sätt att studera en hypergraf, låt oss säga, H = (V, E), är att ersätta varje hyperged e E med en komplett 2-graf eller en låg grad expander på hörn av e för att erhålla en 2-graf G = (V, E ). Om vi låter r betecknar storleken på den största hyperedge i E, då är det lätt att se att de kombinatoriska egenskaperna hos G och H, som min-cut och glesaste-cut, bland annat, kunde separeras med en faktor av  och r. Därför kommer detta tillvägagångssätt inte att vara användbart när r är stort. I allmänhet kan man inte hoppas på att ha en linjär operatör för hypergrafer vars spektra fångar hypergrafexpansion på ett Cheeger-liknande sätt. Detta beror på att förekomsten av en sådan operatör kommer att innebära att det finns en polynom-tidsalgoritm för att erhålla en O( ε OPT) som är bunden till hypergrafexpansion, men vi utesluter detta genom att ge en lägre gräns för OPT log r ) för dator hypergrafexpansion, där r är storleken på den största hyperkanten (Theorem 3.10). Vårt huvudsakliga bidrag är definitionen av en ny Laplacian operatör för hypergrafer, som erhålls genom att generalisera slumpmässiga-walk operatör på grafer. Vår operatör kräver inte att hypergrafen är enhetlig (dvs. kräver inte att alla hyperkanter har samma storlek). Vi beskriver denna operatör i avsnitt 4 (se även figur 1 ). Vi presenterar våra huvudsakliga resultat om denna hypergraf operatör i Avsnitt 4 och Avsnitt 5. De flesta av våra resultat är oberoende av r (storleken på hyperkanter), några av våra gränser har en logaritmiskt beroende av r, och ingen av våra gränser har ett polynom beroende på r. Alla våra gränser är generaliseringar av motsvarande gränser för 2-grafer. Friedman och Wigderson (1995) studerade hypergrafernas kanoniska tensorer. De avgränsade det andra eigenvärdet av sådana tensorer för hypergrafer tagna slumpmässigt från olika distributioner och visade sina kopplingar till slumpmässiga dispergerare. Rodriguez (2009) studerade eigenvärden för en graf som erhållits genom att ersätta varje hyperkant med en klick (observera att detta steg medför en förlust av O(r 2 ), där r är storleken på hyperkanten). Cooper och Dutle (2012) studerade rötterna till det karakteristiska polynomet för hypergrafer och relaterade det till dess kromatiska tal. Qi (2014, 2015) studerade också hypergrafens kanoniska tensorform och relaterade dess eigenvektorer till vissa konfigurerade komponenter i den hypergrafen. Lenz och Mubayi (2012, 2015 relaterade eigenvector motsvarande det näst största eigenvärdet av kanoniska tensor till hypergraf kvasi-randomness. Chung (1993) definierade en uppfattning om Laplacian för hypergrafer och studerade förhållandet mellan dess eigenvärden och en mycket annorlunda uppfattning om hypergrafskärningar och homologier. ,, Parzanchevski (2013), Kaufman m.fl. (2014) och Steenbergen m.fl. (2014) studerade relationen mellan simplialkomplex med ganska olika föreställningar om laplaciska former och betraktade isoperimetriska ojämlikheter, homologier och blandningstider. Ene och Nguyen (2014) studerade hypergraph multiway partition problem (generaliserar graf multiway partition problem) och gav en 4 3 - approximation algoritm för 3-uniform hypergraphs. Dessutom gav Louis och Makarychev (2014b) approximationsalgoritmer för hypergrafexpansion och, mer allmänt, hypergraph small-set-expansion; de gav en Õ(k log n)-approximationsalgoritm och anÕ(k OPT log r ) approximation bundet för problemet med att beräkna uppsättningen hörn av storlek som mest  en V / k i en hypergraf H = (V, E), med minst expansion. Bobkov m.fl. (2000) definierade en funktionell grafparameter av Poincairé-typ som kallas λ ∞ och visade att den relaterar till vertex-expansion av en graf på ett Cheeger-liknande sätt; d.v.s. uppfyller den 1 2 f = x, vi har R w ( f ) = R (x ). Med tanke på en uppsättning S vektorer i det normaliserade utrymmet är Π S den ortogonala projektionsoperatören på subrymden som spänns av S. Den ortogonala projektionens operatör Π w S kan också definieras för det viktade utrymmet. Ett viktigt bidrag av denna artikel är att definiera en hypergraf Laplacian operatör L vars spektral egenskaper är relaterade till expansionsegenskaperna hos den underliggande hypergrafen.
De använder den hypergraf Laplacian föreslås i REF för att omvandla en hypergraf till en enkel graf där varje hyperkant representeras av en enkel kant och kanten vikt är propor-rational till det maximala avståndet mellan varje par noder i hypergrafen.
Spectral Properties of Hypergraph Laplacian and Approximation Algorithms
{'venue': 'JACM', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}