Vi studerar ett system som består av två beroende nätverk A och B, där en bråkdel av noderna i nätverk A beror på noderna i nätverk B och en bråkdel av noderna i nätverk B beror på noderna i nätverk A. På grund av kopplingen mellan nätverken när noder i ett nätverk misslyckas de orsakar beroende noder i det andra nätverket att också misslyckas. Detta framkallar en iterativ kaskad av misslyckanden i båda nätverken. När en kritisk bråkdel av noder misslyckas den iterativa processen resulterar i en perkoleringsfas övergång som helt fragmenterar båda nätverken. Vi visar både analytiskt och numeriskt att en minskning av kopplingen mellan näten leder till en övergång från en första ordningsperkoleringsfas till en andra ordningsperkoleringsövergång vid en kritisk punkt. Skalan av perkolationsparametern nära den kritiska punkten kännetecknas av den kritiska exponenten β = 1. Merparten av forskningen om nät har koncentrerats på det begränsade fallet med ett enda nät [1] [2] [3] [4] [5] medan verkliga system består av många sammankopplade nätverk som interagerar med varandra [6] [7] [8]. Som ett verkligt exempel, överväga ett kraftnät och ett Internet kommunikationsnät som är sammankopplade. Internet noderna är beroende av kraftverken för el medan kraftverken är beroende av Internet för kontroll [9]. Vi visar att införandet av interaktioner mellan nätverk är jämförbart med införandet av interaktioner mellan molekyler i den idealiska gasmodellen. Växelverkan mellan molekyler leder till att den ideala gaslagen ersätts med Van der Waals ekvation som förutsäger en vätskegas första ordningen fas övergångar linje slutar vid en kritisk punkt som kännetecknas av en andra ordning övergång ( Bild 1 (a) ). På samma sätt ger samverkan mellan nätverk upphov till en första ordning perkoleringsfas övergångslinje som ändras till en andra ordning övergång, eftersom kopplingsstyrkan mellan nätverken minskas (Fig.1 b ). Vid den kritiska punkten går den första orderlinjen samman med den andra orderlinjen, nära vilken orderparametern (storleken på jättekomponenten) skalar linjärt med avståndet till den kritiska punkten, vilket leder till den kritiska exponenten β = 1. I sammankopplade nätverk är noder från ett nätverk beroende av noder från ett annat nätverk. Följaktligen, när noder från ett nätverk misslyckas de orsakar noder från ett annat nätverk att också misslyckas. Om anslutningarna inom varje nätverk är olika, kan detta utlösa en rekursiv process av en kaskad av fel som helt kan fragmentera båda nätverken. Nyligen studerade Buldyrev et al [10] kopplingen mellan två N-nodnät A och B med följande begränsningar: (i) Varje nod i nätverk A beror på en nod från nätverk B och vice versa.  Fasdiagrammet van der Waals. Utmed jämviktslinjen mellan flytande gaser ändras orderparametern (densitet) abrupt från ett lågt värde i gasfasen till ett högt värde i vätskefasen. Vid den kritiska punkten (Pc, Tc) ändras orderparametern kontinuerligt som funktion av temperaturen om trycket hålls konstant vid det kritiska värdet, men dess derivat (kompressibilitet) avviker. Detta är ett kännetecken för övergången till andra ordningens fas. b) Perkoleringsfasens övergång för två beroende nätverk som erhålls från systemets numeriska lösning (7) för qB = 1 och a = b = 3. Här 1 - p, fraktionen av borttagna noder från nätverk A, spelar rollen av temperatur. (Som 1 – p ökar, sjukdomen ökar.) Fraktionen 1 – qA av oberoende noder i nätverk A spelar rollen av tryck. (Som 1 – qA ökar stabiliteten i nätverk A ökar.) Under den kritiska punkten genomgår systemet en övergång i första ordningen vid vilken, β∞, fraktionen av noder i den gigantiska komponenten i nätverk B plötsligt ändras från ett ändligt värde till noll. När vi närmar oss den kritiska punkten, β∞ → 0. Ovanför den kritiska punkten genomgår systemet en andra ordningsövergång där jättekomponenten ständigt närmar sig noll. fel, systemet genomgår en första ordningsfas övergång på grund av den rekursiva processen av kaskadfel. Men när vi undersöker egenskaperna hos verkligt beroende nät, såsom elnätet och det kommunikationsnät som presenteras ovan, konstaterar vi att i praktiken inte alla noder av nätverk A är beroende av nätverk B och vice versa. Vi inför därför en allmän modell
Parshani m.fl. REF studerade fallet där endast en bråkdel av noderna i båda nätverken är beroende av varandra, dvs. vissa noder i varje nätverk är inte anslutna till det andra nätverket.
Interdependent networks: Reducing the coupling strength leads to a change from a first to second order percolation transition
{'venue': 'Physical review letters', 'journal': 'Physical review letters', 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Medicine']}