Abstrakt. En q-query Lokalt Decodable Code (LDC) kodar ett n-bit meddelande x som ett N-bit kodord C(x), så att man kan probabilistically återställa någon bit x i av meddelandet genom att fråga bara q bitar av kodordet C(x), även efter att vissa konstant bråkdel av kodord bitar har korrumperats. Vi ger nya konstruktioner av tre frågor LDC av mycket kortare längd än tidigare konstruktioner. Specifikt, med tanke på någon Mersenne prime p = 2 t − 1, vi utforma tre fråga LDCs av längd N = exp(O(n 1/t )), för varje n. Baserat på den största kända Mersenne prime, detta översätter till en längd av mindre än exp(O(n 10 −7 )), jämfört med exp(O(n 1/2 )) i de tidigare konstruktionerna. Det har ofta trotts att det finns oändligt många Mersenne primes. Under denna gissning, våra konstruktioner ger tre frågor lokalt decodable koder längd N = exp(n O( 1 log log n ) ) för oändligt många n. Vi får också liknande förbättringar för Privat Information Retrieval (PIR) system. Vi ger 3-servers PIR-system med kommunikations komplexitet av O(n 10 −7 ) för att få tillgång till en n-bit databas, jämfört med den tidigare bästa systemet med komplexitet O(n 1/5,25 ). Förutsatt att det finns oändligt många Mersenne primes, vi får 3-server PIR system av kommunikations komplexitet n O( 1 log log n ) för oändligt många n. Tidigare familjer av LDCs och PIR system baserades på egenskaperna hos låggradiga multivariat polynomials över ändliga fält. Våra konstruktioner är helt olika och erhålls genom att konstruera ett stort antal vektorer i ett litet dimensionellt vektorutrymme vars inre produkter är begränsade till att ligga i ett algebraiskt fint set.
Genom att anta förekomsten av oändligt många Mersenne primes, Yekhanin REF konstruerade en 3-server PIR system med kommunikations komplexitet n O(1/ logg n).
Towards 3-query locally decodable codes of subexponential length
{'venue': 'JACM', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}