Övergående förstärkning av en viss uppsättning av gynnsamt konfigurerade drivande funktioner i de stokastiskt drivna Navier-Stokes ekvationer linjäriserade om en genomsnittlig skjuvning flöde visas att producera höga nivåer av varians koncentrerade i en tydlig uppsättning svarsfunktioner. De dominerande tvångsfunktionerna hittas som lösningar på en Lyapunovekvation och responsfunktionerna hittas som de distinkta lösningarna i en relaterad Lyapunovekvation. Varken kraften eller responsfunktionerna kan identifieras med den linjäriserade dynamiska operatörens normala lägen. Höga variansnivåer upprätthålls i dessa system under stokastisk drivande, till stor del genom överföring av energi från medelflödet till perturberingsfältet, trots exponentiell stabilitet av alla normala lägen i systemet. Ur modalanalysens perspektiv kan förklaringen till denna förstärkning av variansen spåras till den linjäriserade dynamiska operatörens icke-normalitet. Den stora förstärkningen av perturbation variansen som finns för Couette och Poiseuille flöde innebär en mekanism för att producera och upprätthålla höga nivåer av varians i skjuvflöden från relativt små inneboende eller extrinsiska forcering störningar. Övergång till turbulens sker vanligtvis i kanalflödesexperiment vid R = O( lOOO), där R är flödet Reynolds tal baserat på den genomsnittliga centerlinehastigheten och halva bredden av kanalen. Noggrann kontroll av intensiteten av störningar resulterar i persistens av laminar flöde till mycket högre Reynolds nummer, som för rör Poiseuille flo~'~' kan nå så högt som Rz50 000. Dynamiken av så små perturbationer som är associerade med hög R övergång kan, åtminstone initialt, beskrivas med noggrannhet t av Navier-Stokes ekvationer linjäriserade om bakgrundsflödet. Om man antar att störningar av vilket ursprung som helst kan modelleras som buller, är det av intresse att ta itu med, med användning av linjäriserad perturberingsteori, den variationsnivå som upprätthålls i medelvärdet genom stokastisk kraft. Dessutom är det välkänt3 att även i fullt turbulenta flöden är den linjära tillväxtmekanismen ensam ansvarig för överföringen av energi från medelflödet till störningar, så att en fullständig karakterisering av denna linjära mekanism är ett nödvändigt steg mot att förstå turbulenta flöden. Det välbekanta problemet med den dämpade harmoniska oscillatorn exemplifierar slumpmässiga och okorrelerade impulser de fysiska processer som fungerar i de mest bekanta dynamiska systemen. Det kan visas att ensemblens genomsnittliga varians av förskjutningen, x, av oscillatorn ges av (IxI')=gp där 1 är variansen av den slumpmässiga drivande, w är den naturliga frekvensen av oscillatorn, och y är dämpningskoefficienten.4 När o=O det inte finns någon återställa kraft, och vi får Brownian rörelse, som inte är stationär. När y=O det inte finns någon dämpning, och slumpmässig körning återigen leder till icke-stationär statistik, medan för nonvanishing återställa kraft och nonvanishing dämpning variansen når en tinit statistiskt stationära nivå, så att input av energi från körning balanserar dissipation, och variansnivån är omvänt proportionell mot dämpningskoefficienten. Detta beteende är karakteristiskt för alla dynamiska system med normala dynamiska operatörer. Den totala variansen i sådana system är summan av variansen för var och en av de normala lägen som tas separat, samma som om varje läge var oberoende upphetsad av stokastisk forcering. Betrakta nu en vätska med ett bakgrundsflöde fält som har nonvanishing hastighet av belastning, men med tillräcklig dissipation så att alla små störningar imponerade på tlow så småningom förfall. Linjärisering av detta dynamiska system om dess bakgrundsflöde resulterar i en icke-normal dynamisk operatör och en tillhörande uppsättning lägen som inte är ömsesidigt ortogonala, antingen i den inre produkt som är associerad med L, eller energinormen. Denna brist på ortogonalitet motsvarar potentialen för energiutvinning genom perturbationer från bakgrundsflödet, oberoende av förekomsten av exponentiella instabiliteter, ett resultat som är väl känt sedan Orr.5 Energibalansen i ett sådant system är mellan den stokastiska kraften, tillsammans med den inducerade utvinningen av energi från bakgrundsflödet, å ena sidan, och upplösningen å den andra. Utan stokastiska krafter skulle perturbation tleld försvinna. Med stokastisk tvinga en förbättrad nivå av varians kan upprätthållas av den stokastiskt inducerade överföringen av bakgrundsflöde energi till perturbation fält, och denna nivå av varians kan överstiga det som uppstår helt enkelt genom ansamling av energi från tvingar. I detta avseende skiljer sig stokastiskt påtvingade icke-normala dynamiska system i grunden från det klassiska problemet med stokastiskt påtvingade harmoniska oscillatorer.
För att undersöka detta ytterligare, de fullständiga Navier-Stokes ekvationer kan skrivas om som linjäriserade ekvationer tvingas av icke-linjära termer, och sedan dessa icke-linjära termer kan modelleras som statistiskt stationära stokastiska tvingar REF, så att amplituden av fluktuationerna förblir tidoberoende.
Stochastic forcing of the linearized Navier-Stokes equations
{'venue': None, 'journal': 'Physics of Fluids', 'mag_field_of_study': ['Physics']}