Hallmarks of criticality, såsom power-laws och skala invariance, har hittats empiriskt i kortikala nätverk och det har hävdats att verksamhet vid criticality medför funktionella fördelar, såsom optimal beräkningsförmåga, minne, och stora dynamiska intervall. En uppenbar paradox är att kritik kräver en hög grad av finjustering för att komma fram och därför måste självorganiserande mekanismer åberopas. Här visar vi att, med hänsyn till den komplexa hierarkisk-modulära arkitekturen i kortikala nätverk, ersätts den standardkritiska punktbilden av en utvidgad kritisk region som - i den statistiska mekanikens jargong - motsvarar en Griffiths-fas. Med hjälp av beräknings- och analysmetoder finner vi Griffiths faser i syntetiska hierarkiska nätverk och även i empiriska neurala nätverk som C. elegans och människans connectome. Utsträckta kritiska regioner, som härrör från strukturella störningar, ger optimal funktionalitet på ett generiskt sätt, underlättar uppgiften att självorganisera, adaptiva och evolutionära mekanismer välja för kritiskhet. Empiriska bevis för att levande system kan fungera nära kritiska punkter blommar i sammanhang som sträcker sig från genuttryck mönster [1], till optimal celltillväxt [2], bakteriell kluster [3], eller flockar av fåglar [4]. I samband med neurovetenskap har synkroniseringsmönster visat sig uppvisa bredbandskritiskitet [5] och kritiska laviner av spontan neural aktivitet har konsekvent hittats både in vitro [6] [7] [8] och in vivo [9] vilket tyder på att kritiskitet – med dess samtidiga kraftlagar och skala invariant – kan spela en relevant roll i intakt hjärndynamik [8, 10]. I strid med inanimat materia - för vilken uppkomsten av generisk eller självorganiserad kritiskitet i sandpile modeller, typ II supraledare, eller soleruptioner är relativt väl förstådd, [11] [12] [13] - kan kritikalitet i levande system antas vara resultatet av evolutionära eller adaptiva processer, som av skäl som ska förstås välja för det. Kriticitetshypotesen [8, 10, 14] anger att biologiska system kan utföra de komplexa beräkningar som de behöver för att överleva endast genom att arbeta vid "kaoskanten" (eller kritiska) dvs. Vid gränsen mellan den kaotiska fas i vilken buller sprider sig obundet genom att korrumpera all informationsbehandling eller lagring-och en ordnad fas där störningar lätt bleknar bort, vilket hindrar förmågan att reagera och anpassa sig [15, 16]. Kritisk dynamik ger en känslig kompromiss mellan dessa två opraktiska tendenser, och har hävdats innebära optimal överföring och lagring av information [7, 8, 17], optimal beräkningskapacitet [18], stor nätverksstabilitet [16], maximal variation av minnesrepertoarer [19], och maximal känslighet för stimuli [20]. En sådan "delikat" balans uppstår just vid en singular eller kritisk punkt, kräver en exakt finjustering. En mycket ny funktionell magnetisk resonanstomografi (fMRI) analys av hjärnan vid dess vilotillstånd, avslöjar att hjärnan tillbringar större delen av tiden vandrande runt en bred region nära en kritisk punkt, snarare än att bara sitta på den [21]. Detta tyder på att den region där kortikala nät fungerar inte bara är en kritisk punkt, utan en hel utvidgad region runt omkring. Det har ännu inte föreslagits någon tillfredsställande förklaring av detta konstaterande. Här, inspirerad av denna empiriska observation samt av några färska rön inom nätverksteori och neurovetenskap [22] [23] [24], granskar vi dynamiken hos enkla modeller av neural aktivitetsförökning när den strukturella arkitekturen i hjärnnätverk uttryckligen beaktas. Med hjälp av en kombination av analytiska och beräkningsverktyg visar vi att den inre oordnade (hierarkiska och modulära) organisationen av sådana nätverk dramatiskt förändrar dynamiken genom att framkalla uppkomsten - i jargongen av statistisk mekanik - av en Griffiths fas (GP) [22, 25]. Denna fas, som härrör från förekomsten av störning (strukturell heterogenitet här) kännetecknas 2 av generiska makt-lagar som sträcker sig över breda regioner. Dessutom, funktionella fördelar som vanligtvis tillskrivs kritiskhet, såsom en enorm känslighet för stimuli, rapporteras framträda generiskt längs hela GP. Anmärkningsvärt nog finner vi inte bara GPs i stiliserade modeller av hjärnan arkitektur, men också i verkliga neurala nätverk som C. Elegans och den mänskliga connectome. Vår slutsats är att, som en följd av den i sig oordnade arkitekturen i hjärnnätverken, utsträcks kritiska regioner från en singularitetspunkt (en vass "kaoskant") till en bred eller sträckt region ("kaosets förkämpe"), vilket framgår av de senaste fMRI-experimenten. Förekomsten av Griffiths faser underlättar allvarligt uppgiften att själv-organisera, adaptiv, eller evolutive mekanismer söker efter kritiska-liknande attribut med alla dess påstådda funktionella fördelar. Vi hävdar att den oundvikliga strukturella heterogeniteten i kortikala nätverk kräver en förändring av paradigm från kritiska/nybörjare till en ny, beroende på utvidgade kritiska regioner som Griffiths. Vårt arbete väcker också en rad frågor som förtjänar framtida strävanden. Till exempel, finns det något samband mellan GPs och empiriskt rapporterade generiska makt-law förfall av korta minnen? Utsträcker sig våra resultat till andra hierarkiska arkitekturer som de som förekommer i metaboliska eller teknologiska nätverk? Jag. RESULTAT Cortex nätverket har varit fokus för uppmärksamhet i neuroanatomi under en lång tid, men först nyligen, utvecklingen av hög-genomströmning metoder har gjort det möjligt att avslöja sin invecklade arkitektur eller connectome [26, 27]. Hjärnnätverk har visat sig vara strukturerade på ett hierarkiskt sätt över många skalor [28] [29] [30]. Moduli finns på varje hierarkisk nivå: "kortikala kolumner" uppstår på lägsta nivå, "kortikala områden" på mellannivå och "hjärnregioner" uppstår på systemnivå [28] [29] [30] [31]. Varje modul kännetecknas av att ha en mycket tätare anslutning inom den än med element i andra moduler på samma lager. För att kunna utföra systematiska analyser designar vi syntetiska hierarkiska och modulära nätverk (HMN:er) med hierarkiska nivåer, N-noder/neuroner och L-länkar/synapser, vars struktur kan ställas in för att efterlikna verkliga nätverk. Olika metoder kan användas för att göra detta. Vi använder två olika modeller baserade på en "bottom-top" approach; i den första, lokala fullt anslutna moduli konstrueras och sedan rekursivt grupperas genom att etablera nya inter-moduli länkar mellan dem på antingen ett stokastiskt sätt med en nivåberoende sannolikhet p som skisseras i figur 1 (HMN-1) eller på ett deterministiskt sätt med ett nivåberoende antal anslutningar (HMN-2). På samma sätt kan "uppifrån-och-ned"-modeller också utformas [32]. Ett sätt att koda nyckelnätverk strukturell information är den topologiska dimensionen, D, som mäter hur antalet grannar i en given nod växer när flytta 1, 2, 3,..., r steg Störning är välkänt för att radikalt påverka beteendet hos fasövergångar (se [25] och refs. där). I oordnade system, det finns regioner som kännetecknas av parametervärden som skiljer sig avsevärt från deras motsvarande systemmedelvärden. Sådana sällsynta regioner kan till exempel få systemet att beställas lokalt, även om det globalt befinner sig i den oordnade fasen. På så sätt kan man i modeller för aktivitetsutbredning dröja länge i sällsynta regioner, även om systemet befinner sig i en tystare fas. I det särskilda fall där det finns i stort sett olika sällsynta regioner - med i stort sett skilda storlekar och tidsskalor - blir det övergripande systembeteendet, som bestäms av konvolutionen av dessa olika bidrag, mycket långsamt (se MM). I motsats till standardkritiska punkter, system med sällsynta-region effekter har en mellanliggande bred fas, skilja ordning från oordning: en Griffiths fas (GP) med generiskt power-law beteende och andra avvikande egenskaper (t.ex. [25] och MM. Anmärkningsvärt nog har det nyligen visat sig att strukturell heterogenitet i nätverkssystem kan spela en roll som liknar den för standardsläckt sjukdom [22]. I synnerhet, enkla dynamiska modeller uppvisar GPs när de kör på nätverk med en ändlig D; istället, i små världar, D = ❌, lokala stadsdelar är för stora - snabbt täcker hela nätverket - som att vara kompatibel med själva begreppet sällsynta (isolerade) regioner [22]. Därför, förekomsten av ändliga en topologisk dimension D är en utmärkt indikator på eventuella sällsynta-region effekter och Griffiths faser. För att modellera spridningen av neuronal aktivitet, anser vi mycket förenklade dynamiska modeller som körs på HMNs. Mer realistiska modeller av neural dynamik med ytterligare relevanta lager av information kan övervägas, men vi förväntar oss inte att de i någon större utsträckning påverkar våra slutsatser här. Vår strategi här består i att modellera aktivitetsutbredning på ett minimalt sätt. Det är också värt att notera att i några av de fall vi studerar nätverksnoder är inte neuroner utan grova neurala regioner, för vilka effektiva modeller för aktivitetsutbredning förväntas fungera bra. 1 Vår dynamik är följande: varje nod (eller "neuron") är utrustad med en binär tillståndsvariabel, σ, som representerar antingen aktivitet (σ = 1) eller quiescence (σ = 0). Varje aktiv neuron avaktiveras spontant med en viss hastighet μ (vi fixerar μ = 1), medan den sprider sin aktivitet till andra direkt anslutna 1 Nyttan av dessa minimalistiska modeller i neurovetenskap har fastställts innan t.ex. [34]............................................................... 6 neuroner i hastighet λ. Vi har övervägt två olika dynamiker: i den första, (Modell A) en synaps mellan en aktiv en quiescent nod väljs slumpmässigt varje gång och bevisas för aktivering, medan i den andra varianten (Modell B) en neuron väljs och alla dess grannar bevisas för aktivering. Närmare uppgifter om den beräkningsmässiga implementeringen finns i SI. I allmänhet, beroende på parametrar dessa modeller kan vara antingen i en aktiv fas - för vilken densiteten ρ av aktiva noder når ett steady-state värde ρ s > 0 i den stora system-storlek och stor-tidsgräns - eller i den inaktiva fasen där ρ faller obönhörligt i quiscent konfiguration (ρ s = 0). Separation dessa två regimer, till något värde, λ c, Det finns en standard kritisk punkt där systemet uppvisar power-law beteende för mängder av intresse, såsom tiden förfall av en homogen inledande aktivitet densitet, ρ(t). Och τ är kritiska exponenter. Detta standard kritisk punkt scenario (se figur 2, vänster panel) innehar för regelbundna gitter, Erdős-Renyi nätverk, och många andra typer av nätverk (utan störningar eller med störningar men med en oändlig topologisk dimension). Å andra sidan, datorsimuleringar av de olika dynamiska modeller som körs på våra komplexa HMN topologier med ändlig D avslöjar ett radikalt annorlunda beteende (se bild. 2 och MM). Den kraftlagliga nedbrytningen av den genomsnittliga densiteten ρ(t) - som är specifik för den kritiska punkten i rena system sträcker sig till ett brett spektrum av λ-värden. Förekomsten av ett brett intervall med makt-law sönderfallande aktivitet stöds av finita storlek skalningsanalyser som rapporteras i SI. På samma sätt, som visas i bild. 2, laviner av aktivitet som genereras från en lokaliserad utsäde har powerlaw fördelade storlekar, med ständigt varierande exponenter, i samma breda region. Dessa egenskaper är fingeravtryck av en GP och har bekräftats vara robust mot ökande systemstorlek (upp till N = 2 20 ), med hjälp av olika typer av HMN (HMN-1 med olika värden av α och p, HMN-2 modeller, alla med ändlig D) och dynamiska modeller, och utföra mätningar av olika dynamiska mängder (se SI). En av de främsta påstådda fördelarna med att arbeta vid kanten av-kaos är den starka förbättringen av systemets förmåga att tydligt reagera på mycket olika stimuli. I den statistiska mekaniken härrör jargongen detta från skillnaden i känslighet vid kritiskhet [35]. Hur svarar system med breda allmänläkare på stimuli? För att besvara denna fråga mäter vi följande två olika storheter: Den dynamiska känsligheten, mäter det övergripande svaret på en kontinuerlig lokal stimulans. Det definieras som  och (λ) = N (ρ f (λ) − ρ s (λ)), där ρ s (λ) är den stationära densiteten i avsaknad av stimuli och ρ f (λ) är den konstanta densitet som uppnås när en enda nod begränsas till att förbli aktiv. Som visas i bild. 3 Blir extremt stor i GP och, viktigast av allt, det växer som en makt-lag av system-size,  på grund av att det finns en utökad divergens (med λ-beroende kontinuerligt varierande exponenter) av systemets svar över GP. ii) Det dynamiska intervall som infördes i detta sammanhang [20] (se SI) mäter omfattningen av perturberingsintensiteter/frekvenser för vilka systemet reagerar på olika sätt och därmed kan diskriminera dem. Vi har gjort beräkningar i HMN-2-modellen (se bild). 3 ) som tydligt illustrerar förekomsten av en bred region med enorma dynamiska intervall (snarare än den standardsituation för vilken stora reaktioner är kraftigt lokaliserade kring kritiskhet). Därför, om kritisk-liknande dynamik är viktig för att få tillgång till ett brett dynamiskt spektrum och för att öka systemets känslighet, då blir det mycket bekvämare att arbeta med hierarkiska modulära system, där utkanten av kaos -med extremt stora svar och enorm känslighet blir en region snarare än en singular punkt. För att ytterligare bekräfta förekomsten av Griffiths faser (bortom direkta beräkningssimuleringar), här presenterar vi några analytiska resultat. Ett viktigt verktyg i analysen av nätverksdynamiken tillhandahålls av spektralkurvateorin där nätverksstrukturen kodas i vissa matriser och linjär algebrateknik utnyttjas [36]. Till exempel dynamiken hos enkla modeller som de i tidigare avsnitt (t.ex. Modell B) styrs av det största (eller huvudsakliga) eigenvärdet, ρ max, av adjakensmatrisen, A i,j (med 1's som poster för befintliga anslutningar och 0's annorstädes) som enkelt visas i en standard linjär stabilitetsanalys (se [37] och SI). Det är lätt att visa att (med mycket milda antaganden) den kritiska punkten är sådan att λ c ι max = 1, signalerar gränsen för linjär stabilitet av störningar på det quiscent tillstånd. Det har dock nyligen visat sig att detta resultat kanske inte håller för vissa nätverk, för vilka det största eigenvärdet har en associerad lokal egenvector (d.v.s. med endast några få icke-förbrukande komponenter) 2 [37]. I ett sådant fall leder linjär instabilitet för λ något större än 1/π max till aktivitet lokaliserad runt endast få noder (där motsvarande eigenvector är lokaliserad), inte genomträngande nätverket och inte leder till aktiv) den totala responsen ökar (resp. minskar) för större system som markeras av det röda (sp. blå) pilar. I GP, växer  på samma sätt som en λ-beroende kraft-lag av N. Höger axlar: dynamiskt område (gröna rutor) för samma fall som ovan, N = 2 14 (dynamiskt protokoll iv; se MM). Istället för den vanliga symmetriska cusp-singularity vid den kritiska punkten, det finns en hel region av extremt stor  med en stark asymmetri runt övergångspunkten, som motsvarar existensen av en GP. Ett verkligt aktivt tillstånd, vilket innebär att den kritiska punkten flyttas till ett större värde av λ. Istället dessa regioner av lokaliserad aktivitet liknar mycket sällsynta regioner i GPs: aktiviteten dröjer runt dem tills så småningom en stor fluktuation dödar dem. Inspirerade av denna nya idé utförde vi en spektralanalys av våra HMNs (t.ex. HMN-2-nät med α = 1), vilket innebär att - för finita D-nät - inte bara det största eigenvärdet ι max motsvarar en lokaliserad eigenvektor, utan en hel rad eigenvärden under Α max (även hundratals av dem) delar denna egenskap, vilket kan bekräftas kvantitativt (se SI). I synnerhet är den viktigaste eigenvector kraftigt toppad runt en kluster av angränsande noder. Vi har gissat och verifierat numeriskt att de kluster där de största eigenvärdena är lokaliserade motsvarar de sällsynta regionerna, med över genomsnittet konnektivitet och där lokaliserad aktivitet dröjer länge. Dessutom fann vi numeriskt λ c  på 0.41 > 1/π max  på 0,33, vilket bekräftar förutsägelsen ovan. Intervallet mellan dessa två värden definierar GP. Dessutom betraktade vi också stora nätensembler och beräknade sannolikhetsfördelningen av eigenvärden. Vi hittade en typ av singularitet, vanligen kallad Lifshitz svans, typisk för oordnade system (se SI). Lifshitz svansar är kända för att vara en 9 spektral fingeravtryck av Griffiths faser [38]. Därför, närvaron av både (i) lokaliserade eigenvectors och (ii) Lifshitz svansar, bekräftar existensen av GPs i nätverk med komplexa heterogena arkitekturer. Analyser av olika natur har avslöjat att organismer från de primitiva C. eleganerna [29, 30, 39, 40] (för vilka en fullständig detaljerad karta över dess cirka 300 neuroner har konstruerats) till katter, macaqueapor eller människor (för vilka storskaliga konnektivitetskartor är kända [26] ) har ett hierarkiskt organiserat neuralt nätverk. En sådan struktur delas också av funktionella hjärnnätverk (t.ex. från funktionsdata för magnetisk resonanstomografi [26, 27, [41][42][43]. Gör enkla dynamiska modeller (som de i tidigare avsnitt) kör på C. Elegans neurala nätverk uppvisar GPs? Ett varningens ord behövs innan man gräver sig in i denna fråga. GPs (samt standardfas övergångar och kritiska punkter) gör strikt talande existerar endast i (termodynamiska) N → ∞ gräns, medan för små storlekar de blir suddig. Med tanke på att C. Elegans-nätverket endast består av N < 300 noder, är den maximala storleken på möjliga sällsynta regioner och tillhörande kraftlagar nödvändigtvis avskurna vid små storlekar och korta tider. Icke desto mindre, som illustreras i (se bild). 4, övre infällning), simuleringar av de dynamiska modellerna ovan (Modell B) visar en betydande avvikelse från den typiska standard kritiska-punkt scenario, som belyser ett intervall av värden för λ, där lavinstorlek fördelningarna rör sig från subkritiska till superkritiska beteende på ett ganska kontinuerligt sätt, uppvisar en sträckt (makt-lag liknande) förfall i en hel rad av λ värden, även om för ett mycket begränsat intervall av lavinstorlekar. För att mildra finita storlek effekter, har vi också övervägt den mänskliga connectome nätverk, som erhållits av Sporns och samarbetspartners med hjälp av diffusion avbildning tekniker [26, 27]. Det är en mycket grovkornig kartläggning (i motsats till den tidigare detaljerade kartan) av anatomiska anslutningar i den mänskliga hjärnan, bestående av N = 998 hjärnområden och fiberkanaltätheterna mellan dem, med en hierarkisk organisation [29, 30] (se SI). I detta fall finner vi att laviner är tydligt fördelade som maktlagar, med mindre ändliga effekter, i ett brett spektrum av λ-värden (se bild. Fyra )............................................................................................................ I själva verket, trunkerade effekt-lagar av formen P (S) S −τ e −S/ på -med λ-beroende värden av τ - ger mycket tillförlitliga passformer av storleksfördelningar, P (S), enligt Kolmogorov-Smirnoff kriterium (se SI). Här blir det uppenbart att dynamiken inte leder till ett traditionellt kritiskt scenario utan i stället stöder bilden av en bred kritisk region. Detta tyder starkt på att om det var möjligt att köra dynamiska modeller på det faktiska mänskliga hjärnnätverket (med cirka 10 Mer anmärkningsvärt, har vi också lagt fram bevis för att GPs visas i verkliga verkliga nätverk såsom de av den mänskliga connectome och C. Elegans, även om på grund av de begränsade tillgängliga nätverken de associerade kraft-lagar är nödvändigtvis avstängning. Ändå, de bästa passar till data tillhandahålls av ständigt varierande makt-lagar, trunkerad av finita-storlek effekter. Det är värt att notera att oordning behöver vara närvarande på mycket olika skalor för GPs att uppstå (annars sällsynta regioner kan inte vara godtyckligt stora); det är därför en hierarki av nivåer krävs. Enkelt modulära nätverk - utan den breda fördelningen av klusterstorlekar, karakteristiska för hierarkiska strukturer - kan inte stödja GPs. Vi betonar att GPs i våra HMNs framkallas endast av förekomsten av strukturella störningar: ingen ytterligare form av neuronal eller synaps heterogenitet har beaktats här; lägga ytterligare heterogenitet skulle bara öka sällsynta-region effekter och därmed GPs. Till exempel har vi också hittat GPs för den mänskliga connectome, när man tar hänsyn till den relativa vikten av strukturella anslutningar. Det bör också noteras att alla nätverk i vår studie är oriktade i den meningen att länkar är symmetriska, medan synapser i kortikala nätverk inte är det. Återigen, detta äventyrar inte våra slutsatser: direktion i sambanden bara stärker isolering och därmed sällsynta regionala effekter och GPs. Förekomsten av en GP med dess samtidiga generiska power-law skalning - inte kräver en känslig parameter finjustering - ger en mer robust och solid grund för att motivera den allmänt förekommande närvaron av skalfritt beteende i neurala data, från EEG eller MEG register till neural laviner. Mer specifikt, det ger nyckeln till att förstå varför breda regioner runt kritiskitet observeras i fMRI experiment av hjärnan vilande tillstånd [21]. Som vi har visat är systemets respons extremt stor (och skiljer sig åt när 12 nätverksstorlekar ökar) i en bred region av parameterutrymme. Detta underlättar i hög grad uppgiften för mekanismer att välja för de påstådda fördelarna med skalinvarians och tyder starkt på att det behövs ett nytt paradigm: en teori om självorganisering/evolution/anpassning till den breda regionen som skiljer ordning från kaos. I synnerhet förväntas allmänläkare i kombination med standardmekanismer för självorganisering [46][47][48] redogöra för den empiriskt funna spridningen kring kritiskhet [21]. Detta ger också upphov till frågan om huruvida HMN:er med egen störning verkligen generellt optimerar överföring och lagring av information, förbättrar beräkningskapaciteten [18] eller avsevärt förbättrar den stora nätstabiliteten [16], utan att man behöver åberopa exakt kritiskhet. Vanligtvis, hjärnnätverk påstås vara små världar; istället har vi visat att stora världen arkitekturer är nödvändiga för GPs att växa fram. En lösning på detta problem tillhandahölls av Gallos et al. [42] som fann att (funktionella) hjärnnätverk består av en myriad av tätt sammankopplade lokala moduler som helt och hållet bildar en stor världsstruktur och därför är långt ifrån småvärld; men att införliva "svaga band" till nätverket omvandlar det till en liten värld som bevarar en underliggande bakben av väldefinierade moduler (för detta är det viktigt att nätverken har en ändlig Hausdorff- eller fraktaldimension (se [42] och MM), vilket bekräftar att finit dimensionalitet är en avgörande egenskap). På så sätt uppnår kortikala nätverk en optimal balans mellan lokal specialiserad bearbetning och global integration genom sin hierarkiska organisation. Å andra sidan förväntas svaga länkar inte signifikant påverka förekomsten av GPs. Därför kan ur detta perspektiv (i) uppnå en sådan optimal balans och (ii) fungera med kritiska egenskaper, ses som de två sidorna av samma mynt. Detta understryker behovet av att utveckla nya modeller för co-evolution av struktur och funktion i neurala nätverk. Det är värt att notera att en mekanism för robust arbetsminne utan synapsplasticitet har lagts fram mycket nyligen [49]. Den är starkt beroende av förekomsten av heterogena lokala kluster av tätt sammankopplade neuroner där aktivitet (minnen) genljuder. Det är inte förvånande att det leder till att maktlagen sprids bort tider, vilket har hävdats vara korrelerandet av "makt-lag glömma" [50]. Detta är en fin illustration av Griffiths faser på jobbet. Med tanke på att störning är en inneboende och oundviklig egenskap hos neurala system och att neurala nätverksarkitekturer är hierarkiska, förväntas Griffiths faser spela en relevant roll i många dynamiska aspekter och därför bör de bli ett relevant begrepp inom neurovetenskap samt inom andra områden såsom systembiologi där HMNs spelar en nyckelroll [51]. Vi hoppas att vårt arbete bidrar till detta och främjar ytterligare forskning. 13 Topologisk dimension: Strängt taget HMN-1 och HMN-2 nätverk är finita dimensionella endast för p = 1/4 i vilket fall antalet inter-moduli anslutning är stabilt över hierarkiska nivåer. För p > 1/4 (p < 1/4) nätverk blir mer en tätare (sällsynt) ansluten som hierarkins djup (dvs. nätstorleken) ökas. Avvikelser från p = 1/4 skapar fraktalliknande nätverk upp till viss skala, vilket är bra approximationer för finita-dimensionella nätverk i ändlig storlek. I vissa arbeten (t.ex. [42]) beräknas Hausdorff-dimensionen (fractal) D f för komplexa nätverk. Vi har numeriskt verifierat att D f  och D i samtliga fall. Dynamiska protokoll: Vi använder fyra olika dynamiska protokoll: (i) Förfall av ett homogent tillstånd: alla noder är initialt aktiva och systemet låter utvecklas, övervaka densiteten av aktiva platser ρ(t) som en funktion av tiden. ii) Spridning från ett lokaliserat ursprungligt frö: en enskild nod aktiveras i ett i övrigt tystnat nätverk. Den frambringar en lavin av aktivitet, som varar tills systemet så småningom faller tillbaka till det lugna tillståndet. Lavinstorleken S definieras som antalet aktiveringshändelser som inträffar under själva lavinens varaktighet. Processen itereras och lavinstorleksfördelningen P (S) övervakas. iii) Identisk till ii, med undantag för att utsädet hålls aktivt under hela simuleringen (kontinuerlig stimulans). iv) Identisk till ii, med undantag för att frönoden därefter återaktiveras med sannolikhet p-stimulans = 1 − exp(-r) för t > 0 (Poissonisk stimulans av hastigheten r). Sällsynta regioner och Griffiths faser: Släckt sjukdom påverkar fysiken av fasövergångar [25]. För illustration, betrakta vår modell A kör på en regelbunden lattice men med en nod-beroende släckt spridningshastighet, λ(x) (med genomsnittsvärdeλ). Om vi betraktar ett värde av λ mellan, λ c (ren)>λ c (beställd) då det oordnade systemet är i sin inaktiva eller quiscent fas, men förekomsten av oordning kan (och gör!) generera sällsynta aktiva regioner som kännetecknas av betydligt över genomsnittet (i själva verket värden på λ över den kritiska punkten i den rena modellen). I dessa regioner kan den inledande aktiviteten dröja mycket länge, men ändå, eftersom sådana sällsynta regioner har en ändlig storlek, hamnar de oundvikligen i det inaktiva tillståndet. Med tanke på en sällsynt aktiv region av storlek s sönderfaller den till det lugna tillståndet efter en typisk tid τ (s) som växer exponentiellt med klusterstorlek, dvs.. τ t 0 exp(A(λ)s), där t 0 och A(λ) inte är beroende av s (Arrhenius-lagen). Å andra sidan är fördelningen av s- värden också exponentiell (mycket stora 14 regioner är exponentiellt sällsynta). Därför, den totala aktivitetstätheten, ρ(t), sönderfaller som följande konvolution integral ρ(t)  på dsP (s) s exp [-t/(t 0 e A(λ)s )], som utvärderades i sadel-punkt approximation leder till ρ(t) -t-.-. med  till varierande kontinuerligt med störningens medelvärde,λ). Dessa allmänna maktlagar är karakteristiska för Griffiths faser. Detta är bara ett exempel på ett generiskt fenomen, grundligt studerat i klassiska, kvant och icke-equilibrium oordnade system [25].
Meretti m.fl. använde PEV lokalisering för att analysera hjärnans nätverk dynamik REF.
Griffiths phases and the stretching of criticality in brain networks
{'venue': 'Nature Communications 4, 2521 (2013)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Biology', 'Medicine']}