Abstrakt. Vi presenterar lyftplanen, en enkel konstruktion av andra generationens vågetter; dessa är vågetter som inte nödvändigtvis översätter och vidgar en fast funktion. Sådana vågetter kan anpassas till intervaller, domäner, ytor, vikter och oregelbundna prover. Vi visar hur lyftplanen leder till en snabbare, på plats beräkning av våget transform. Flera exempel ingår. Nyckelord. wavelet, multiupplösning, andra generationens wavelet, lyftsystem AMS ämnesklassificering. 42C15 PII. S0036141095289051 1. Inledning. Wavelets utgör ett mångsidigt verktyg för att representera allmänna funktioner eller datamängder. I grund och botten kan vi se dem som databyggstenar. Deras grundläggande egendom är att de möjliggör representationer som är effektiva och som kan beräknas snabbt. Med andra ord, vågetter är kapabla att snabbt fånga kärnan i en datamängd med endast en liten uppsättning koefficienter. Detta baseras på det faktum att de flesta datamängder har korrelation både i tid (eller rum) och frekvens. På grund av tid-frekvens lokalisering av wavelets, effektiva representationer kan erhållas. Byggstenar som redan återspeglar den korrelation som finns i uppgifterna leder till mer kompakta representationer. Detta är nyckeln till tillämpningar. Under det senaste årtiondet har wavelets hittat tillämpningar inom många områden inom matematik, ingenjörsvetenskap, datavetenskap, statistik, fysik, etc. Wavelet funktioner J,m traditionellt definieras som dyadiska översättar och dilates av en viss L 2 (R) funktion, moder wavelet  på:... j,m (x) =...(2 j x-m). Vi talar om sådana vågskålar som första generationens vågskålar. I detta dokument introducerar vi en mer allmän miljö där vågskålarna inte nödvändigtvis översätts och vidgas av varandra utan fortfarande åtnjuter alla de kraftfulla egenskaperna hos första generationens vågetter. Dessa vågetter kallas andra generationens vågetter. Vi presenterar lyftplanen, ett enkelt, men ganska kraftfullt verktyg för att konstruera andra generationens vågetter. Innan vi överväger generaliseringen till andra generationens fall, låt oss granska egenskaperna hos första generationens vågetter som vi skulle vilja bevara. P1: Vågletar utgör en Riesz-bas för L 2 (R) och en ovillkorlig grund för en mängd olika funktionsutrymmen F, såsom Lebesgue, Lipschitz, Sobolev och Besov utrymmen. Om vi betecknar wavelet bas med { på j,m j, m}, kan vi representera en allmän funktion f i F som f = j,m γ j,m j,m,m, med ovillkorlig konvergens i normen F. Enkla karakteriseringar av F-normen av f i termer av det absoluta värdet av dess wavelet koefficienter γ j,m existerar. * Mottagna av redaktörerna den 14 juli 1995; accepterade för publicering (i reviderad form) den 15 januari 1997. När författaren skrev denna uppsats var han anställd vid Katholieke Universiteit Leuven, Belgien och University of South Carolina, där han delvis fick stöd av NSF EPSCoR-bidraget EHR 9108772 och DARPA-bidraget AFOSR F49620-93-1-0083. Han är också tjänstledig som Senior P2: Man har explicit information om koordinatfunktionerna, j,m där γ j,m =  på j,m (f ). Vågarna är antingen ortogonala eller dubbla (biorthogonala) vågetter är kända. P3: Vågarna och deras dualer är lokala i rum och frekvens. Vissa vågetter stöds till och med kompakt. Frekvensen lokalisering följer av jämnheten i vågen (falla mot höga frekvenser) och det faktum att de har försvunnit polynom ögonblick (fall mot låga frekvenser). P4: Vågor passar in i ramen för multiupplösningsanalys. Detta leder till den snabba våget transform, vilket gör att vi kan passera mellan funktionen f och dess våget koefficienter γ j,m i linjär tid. Dessa egenskaper resulterar i det faktum att, citeras från Donoho i [58], " vågor är optimala baser för komprimera, uppskatta, och återhämta funktioner i F." Grovt sagt, för en allmän klass av funktioner, den väsentliga informationen som ingår i en funktion fångas av en liten bråkdel av våget koefficienter. Återigen är detta nyckeln till tillämpningar. Wavelets har visat sig vara användbara inom olika tillämpningsområden såsom signal- och bildbehandling, datakomprimering, dataöverföring, den numeriska lösningen av differential- och integralekvationer och bullerminskning. Många första generationens vågformade familjer har byggts under de senaste tio åren. Vi hänvisar till arbetet i (i alfabetisk ordning) Aldroubi och Unser [2, 3, 108, 107] [87], och många fler. Förutom Donoho, de alla förlitar sig på Fourier transform som ett grundläggande byggverktyg. Anledningen är att översättning och dilatation blir algebraiska operationer inom Fourier-domänen. I början av 1980-talet, flera år före den ovan nämnda utvecklingen, upptäckte Strömberg de första ortogonala vågformarna med en teknik baserad på splineinterpolation som inte är beroende av Fouriertransform [103]. Konstruktionen som initierats av Daubechies och medarbetare består huvudsakligen av tre steg. Det algebraiska stadiet innebär att bygga de filter som används i den snabba vågen transform; närmare bestämt består det av att hitta vissa polynom och försäkra att ovanstående egenskap P4 är nöjd. I det analytiska skedet visar man att det finns spolar i samband med dessa filter, att de är lokaliserade (fastighet P3) och att de utgör en grund för det korrekta funktionsutrymmet (fastighet P1). I det geometriska skedet kontrollerar man att basfunktionerna är smidiga (fastighet P3). I detta sammanhang nämner vi Collelas och Heils arbete [37, 38] Låt oss nu begrunda tillämpningar som illustrerar behovet av generaliseringar av första generationens vågbrytare. G1: Medan första generationens wavelets tillhandahålls baser för funktioner som definieras på R n, applikationer såsom datasegmentering och lösningen av partiell differential och integral ekvationer på allmänna domäner kräver wavelets som definieras på godtyckliga, möjligen nonsmooth, domäner av R n, samt wavelets anpassade till "liv" på kurvor, ytor, eller grenrör. G2: Diagonalisering av differentialformer, analys på kurvor och ytor, och viktad approximation kräver en grund anpassad till viktade mått; dock, första generationens vågetter ger vanligtvis endast baser för utrymmen med översättning invariant (Haar-Lebesgue) åtgärder.
Teoretiskt föreslås lyftsystemet för konstruktion av vågbrytare som kan anpassas till oregelbundna grafer i REF.
The Lifting Scheme: A Construction Of Second Generation Wavelets
{'venue': 'SIAM J. Math. Anal', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}