Hur lång tid tar det för en slumpmässig sökare att besöka alla webbplatser i en viss domän? Denna gång, känd som skyddstiden [1], är en viktig observerbar för att kvantifiera effektiviteten av uttömmande sökningar, som kräver en fullständig undersökning av ett område och inte bara upptäckten av ett enda mål; exempel sträcker sig från immunsystemceller jagar patogener [2] till djur skördar resurser [3, 4], robotiserad prospektering med t.ex. Automatiserade rengörings- eller minröjningsapparater eller algoritmer [5]. Trots sin breda relevans har täckningstiden förblivit svårfångad och hittills har tydliga resultat varit knappa och mestadels begränsade till regelbundna slumpmässiga vandringar [6] [7] [8] [9]. Här bestämmer vi den fullständiga fördelningen av täckningstiden för ett brett spektrum av slumpmässiga sökprocesser, vilket inkluderar de framträdande exemplen på Lévy strategier [10] [11] [12] [13] [14], intermittenta strategier [4, 15, 16], ihållande slumpmässiga promenader [17] och slumpmässiga promenader på komplexa nätverk [18], och avslöjar dess universella egenskaper. Vi visar att för alla dessa exempel kan medeltäckningstiden minimeras, och att motsvarande optimala strategier också minimerar medelsöktiden för ett enda mål, vilket entydigt pekar mot deras robusthet. * benichou@lptmc.jussieu.fr † voiturie@lptmc. Slumpmässiga sökprocesser har under de senaste åren visat sig vara involverade i ett brett spektrum av sammanhang på olika skalor, från sökande av specifika sekvenser på DNA av proteiner till djur födosök [3, 4]. Hittills kan de viktigaste verktygen för att kvantifiera effektiviteten i sådana sökprocesser uttryckas i termer av den tid som krävs för att sökaren ska nå ett enda mål, den så kallade första gången [18] [19] [20] [21] [22]. Så snart flera mål måste hittas, vilket är en återkommande situation inom kemi, ekologi eller robotik, är den relevanta observerbara tiden snarare den tid som behövs för att nå en bråkdel av domänerna (se bild). 1 )............................................................................................................... Det extrema fallet med sådana uttömmande sökningar där alla domäner behöver besökas definierar den så kallade täckningstiden, som är av särskilt intresse eftersom den ger den tid som behövs för att hitta alla mål för en domän med säkerhet; dess bestämning är ett långvarigt problem med slumpmässig gångteori [1, 23] (se [24, 25] för relaterade observerbara. Det är dock ont om analytiska resultat när det gäller täckningstiderna. Viktiga steg uppnåddes i [26], där den genomsnittliga täckningstiden för ett intervall var analytiskt beräknad för endimensionell symmetrisk närmaste granne slumpmässiga promenader, både för periodiska och reflekterande gränsförhållanden. I dimensioner som är större än eller lika med tre har Aldous [23] fastställt det ledande beteendet hos medeltäckningstiden i gränsen för stor domänstorlek, som reproducerades genom numeriska simuleringar i [27]. I fysiklitteraturen har dessa resultat utvidgats till det tvådimensionella fallet [6], som sedan dess har förfinats i matematiklitteraturen [7] [8] [9]. I synnerhet var alla dessa resultat hittills i huvudsak begränsade till vanliga slumpmässiga promenader, d.v.s. symmetriskt närmaste granne slumpmässiga promenader i euklideiska geometrier. På senare tid har emellertid flera klasser av mer komplexa slumpmässiga sökstrategier, inklusive Lévystrategier [10] [11] [12] [13] [14], intermittenta strategier [4, 15, 16] och ihållande slumpmässiga promenader [17] framträtt och visat sig teoretiskt vara effektiva (se bild). 1 )............................................................................................................... I detta sammanhang har befintliga teoretiska studier hittills främst fokuserat på den första passagetiden till ett enda mål, och täckningstiden för dessa slumpmässiga sökprocesser, som krävs för att kvantifiera effektiviteten av uttömmande sökningar, har utelämnats. Den analytiska bestämningen av hela fördelningen av täckningstidstyp som kan observeras för allmänna klasser av slumpmässiga promenader, inklusive ovanstående, är kärnan i detta papper. Vi anser att en slumpmässig gångare rör sig på ett nätverk av N platser. Den slumpmässiga vandringen antas vara markoviansk och icke kompakt (dvs. övergående: i oändligt utrymme, sannolikheten för att rullaren någonsin nå en viss plats är strikt mindre än en [28] ). Detta täcker en 2 stor klass av processer som är relevanta för sökproblem. Vi betecknar med τ (M, N ) den partiella täckningstiden, definierad som den tid som behövs för att besöka alla M olika platser i nätverket. Det alternativa problemet med att bestämma den tid som krävs för att besöka M givna platser (valt på måfå), som kallas den slumpmässiga täckningstiden [27], kommer att behandlas nedan. Observera att om man tar M = N (för både den partiella och den slumpmässiga täcktiden) ger det hela den täckande tiden, som det mesta av litteraturen hittills har ägnats åt. I praktiken kommer vi att fokusera på stora värden av M, N. Den exakta bestämningen av de statistiska egenskaperna hos denna slumpmässiga variabel kan verka utom räckhåll eftersom en priori (k, N ) beror på hela slumpmässiga banan fram till tiden τ (N − k, N ). Nyckelhypotesen är då att anta att de slumpmässiga variablerna (k, N ) i själva verket är oberoende asymptotiskt i den stora N-gränsen. Denna hypotes kommer att verifieras numeriskt för alla testade icke kompakta slumpmässiga promenader, och kommer dessutom att göra det möjligt att hämta exakta resultat kända hittills för regelbundna slumpmässiga promenader. I detta system av N stor fördelningen av  på k, N ) kan erhållas explicit och gör det möjligt att bestämma den fullständiga fördelningen av den partiella täckningstiden, som, som vi visar i Kompletterande Information (SI), slutligen tar den universella formen Här den omskalade variabeln x / T - ln N innebär medelvärdet T av den globala första-passagetiden, definieras som den genomsnittliga första-passage tid till en given mål plats medelvärdes på alla startplatser. Detta är det centrala resultatet av detta dokument. Dess härledning bygger på det faktum att fördelningen av den globala första-passage tiden T till en given målplats är asymptotiskt en exponentiell av medel T för icke kompakta slumpmässiga promenader [29, 30]. Dessutom antog vi att T är oberoende av målet platsen, vilket är exakt för domäner med periodiska gränsförhållanden, och i praktiken väl nöjd för alla domänform i fallet med icke kompakta slumpmässiga promenader, som kontrollerades numeriskt. (2) fångar otvetydigt medelvärdet, variansen och hela fördelningen av partiella och fullständiga skyddstider (Fig. (2) och (3)), samt slumpmässiga täckningstider och täckningstider för n-sökare (Fig. (3) ), vilket visas av datakollapsen av de numeriska simuleringarna. Vi betonar att dessa exempels mycket olika karaktär visar att räckvidden för vårt tillvägagångssätt, som huvudsakligen bygger på den icke kompakta egenskapen hos den slumpmässiga banan hos sökaren, är bred. Observera att även för 2D persistent slumpmässiga promenader, som i själva verket är marginellt kompakta, både medelvärdet och variansen av cover times är kvantitativt förutses av vår strategi i den stora domän storleksbegränsningen, förutsatt att persistens längd minimerar det globala medelvärdet första-passage tid för ett mål T, som analyserats i [17]. I praktiken är frågan om att minimera täckningstiden för att optimera effektiviteten i sökprocessen avgörande. Vår analys visar att den genomsnittliga täckningstiden (antingen slumpmässig eller partiell) minimeras exakt när den globala genomsnittliga första-passagetiden T för ett enda mål minimeras (se bild. (4)............................................................................................................................ I synnerhet, när det gäller ihållande slumpmässiga promenader och intermittenta slumpmässiga promenader, som har visat sig minimera T (antingen genom att justera varaktigheten av den ihållande slumpmässiga vandringen eller varaktigheten av avsökningsfasen av den intermittenta slumpmässiga vandringen), finner vi att medeltäckningstider också kan minimeras. För Lévy promenader, den berömda optimeringen av målet stötfrekvensen för en Lévy index α 1 (definierad genom hoppa längdfördelning p(l) l −α-1 för l large) har erhållits och diskuterats endast för en fördelning av oändligt många så kallade återbesökbara mål (som återkommer på samma position efter att ha hittats) [12]. Däremot har den globala genomsnittliga tiden för förstapassage till ett enda mål i fångenskap, som per definition omfattar ett icke återbesökbart mål, utelämnats. I själva verket finner vi att T (se även [17] ), och därmed den genomsnittliga täckningstiden, kan minimeras genom att justera persistenslängden för alla α > 1 (se bild.   (4)............................................................................................................................ Denna optimala strategi, som inte kräver återbesökbara mål, skiljer sig därför mycket från den ovan nämnda optimala strategin för oändligt många återbesökbara mål. Sammantaget kastar dessa resultat nytt ljus över betydelsen av ihållande, intermittenta och Lévy-strategier i optimeringen av sökprocesser, och pekar tydligt mot deras robusthet. 5 Definitionen av slumpmässiga sökprocesser som analyseras i texten är följande (se SI för detaljer): i) Brunska slumpmässiga promenader utgör det mest slående exemplet på slumpmässig sökning process, som är känd för att vara icke kompakt i dimension D = 3, och marginellt kompakt för D = 2. Här anser vi att närmaste granne slumpmässiga promenader på ett periodiskt galler av N platser. ii) Lévyflygningar har visat sig spela en viktig roll i slumpmässiga sökproblem [13]. Vi anser här diskret Lévy flygningar index α på 1D, 2D och 3D periodiska galler av storlek N, kännetecknas av en sannolikhetsfördelning för att utföra ett hopp av storlek l som lyder (iii) komplexa nätverk. Bortom klassiska Euclidean utrymmen, många exempel på slumpmässiga promenader på komplexa nätverk, vars relevans för extremt olika fält nu enhälligt erkänns, är icke kompakt. Här betraktar vi de symboliska näten Erdős-Rényi [31]. iv) Persistenta slumpmässiga promenader ger ett minimalt exempel på en sökningsprocess med minne, som kodas i varaktighetens längd, definierad som det genomsnittliga antalet på varandra följande steg som utförs i en given riktning. De har visat sig leda till en minimering av den genomsnittliga söktiden för ett enda mål, och spelar därför en framträdande roll i optimeringen av sökprocesser [17]. Vi anser här 2D och 3D diskreta persistenta slumpmässiga promenader på ett periodiskt galler av N platser. v) Lévy promenader. Till skillnad från Lévy-flygningar, som kan ha godtyckliga stora hastigheter, har Lévy-promenader [10] en konstant hastighet och kan ses som en förlängning av ihållande slumpmässiga promenader, för vilka fördelningen av antalet på varandra följande steg inte är exponentiell, utan maktlagen distribueras. De har visat sig vara optimala och har i stor utsträckning åberopats i samband med djurens beteende [12]. Vi anser här 2D och 3D diskreta Lévy promenader på ett periodiskt galler av N platser. Vi) Intermittentstrategier. Slutligen anser vi att fallet med väl dolda mål, för vilka man kan anta att flytt och sökande är oförenliga. I detta fall är sökstrategin intermittent [4]. Tekniskt sett fokuserar vi här på en kontinuerlig tid två-stats sökare som rör sig på en 1D, 2D eller 3D periodiska lattice av N platser [32]. I det långsamma reaktiva tillstånd 1, gör sökaren en regelbunden närmaste granne slumpmässig promenad med hopphastighet ρ, och faktiskt besöker motsvarande platser. Med hastigheten λ 1  på 1/τ 1 växlar sökaren till ett snabbt och icke 6 reaktivt tillstånd 2, vilket möjliggör en enhetlig omlokalisering i domänen, men under vilken inga platser besöks. Sökaren byter sedan till tillstånd 1 med hastigheten λ 2  och 1/τ 2.
Mycket nyligen, Chupeau et al. REF-anslutna Lévy-flygningar till optimala sökstrategier och minimering av täckningstider.
Cover times of random searches
{'venue': 'Nature Physics 11, 844-847 (2015)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Physics']}