I tillämpningar inom vetenskap och teknik står man ofta inför utmaningen att lösa ett illaplacerat inverst problem, där antalet tillgängliga mätningar är mindre än storleken på den modell som ska uppskattas. Men i många praktiska situationer av intresse begränsas modellerna strukturellt så att de bara har ett fåtal grader av frihet i förhållande till sin omgivningsdimension. Detta dokument ger en allmän ram för att omvandla begrepp om enkelhet till konvexa strafffunktioner, vilket resulterar i konvexa optimeringslösningar till linjära, underbestämda inversa problem. Den klass av enkla modeller som beaktas är de som bildas som summan av några atomer från vissa (eventuellt oändliga) elementära atomer; exempel inkluderar välstuderade fall såsom glesa vektorer (t.ex. signalbehandling, statistik) och lågrankade matriser (t.ex. kontroll, statistik), samt flera andra inklusive summor av några permutationer matriser (t.ex. rangordnade val, multiobject tracking), lågrankade tensorer (t.ex. datorseende, neurovetenskap), ortogonala matriser (t.ex. maskininlärning) och atomära åtgärder (t.ex. systemidentifiering). Konvex programmeringsformuleringen är baserad på att minimera normen som induceras av konvexa skrov av atomuppsättningen; denna norm kallas atomnormen. Ansiktsstrukturen av atomnormkulan bär ett antal gynnsamma egenskaper som är användbara för att återvinna enkla modeller, och en analys av den underliggande konvex geometri ger skarpa uppskattningar av antalet generiska mätningar som krävs för exakt och robust återvinning av modeller från partiell information. Dessa uppskattningar bygger på att beräkna Gaussian bredder av tangentkottar till atomnorm bollen. När atomuppsättningen har algebraisk struktur kan de resulterande optimeringsproblemen lösas eller approximeras via semidefinit programmering. Kvaliteten på dessa approximationer påverkar antalet mätningar som krävs för återhämtning, och denna avvägning kännetecknas av några exempel. Detta arbete utökar katalogen av enkla modeller (bortom glesa vektorer och lågrankade matriser) som kan återvinnas från begränsad linjär information via dragbar konvex programmering.
al REF gav en allmän behandling av = 1 fallet med hjälp av Gaussian bredd analys.
The Convex Geometry of Linear Inverse Problems
{'venue': 'Foundations of Computational Mathematics, Vol. 12, No. 6, pp. 805-849, 2012', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}