Spridningen av idéer över ett socialt nätverk kan studeras med hjälp av komplexa spridningsmodeller, där agenter aktiveras genom kontakt med flera aktiverade grannar. Utredningen av komplexa smittämnen kan ge avgörande insikter i socialt inflytande och beteende-adoption kaskader på nätverk. I detta dokument presenterar vi en modell för en flerstegs komplex smitta på nätverken. Agenter i olika skeden -som till exempel kan representera olika nivåer av stöd för en social rörelse eller olika nivåer av engagemang för en viss produkt eller idé - öka olika mängder av inflytande på sina grannar. Vi visar att närvaron av även ett ytterligare steg introducerar nytt dynamiskt beteende, inklusive samspelet mellan flera kaskader, som inte kan förekomma i enstegs smitta modeller. Vi finner till exempel att kaskader - och därmed kollektiva aktioner - kan drivas inte bara av influencers i högre led, utan också av influencers i lägre led. Sociala rörelser och andra former av kollektiv handling, som ofta uppstår spontant, kräver en ensemble av anhängare med olika nivåer av engagemang. Social påverkan och dess potential att ge en kritisk massa av anhängare kan göra en avgörande skillnad när det gäller huruvida rörelser lyckas [1] [2] [3] [4]. Mer allmänt är effekten som andra människors åsikter och handlingar har på de beslut som vi fattar en avgörande sociologisk hänsyn [1, 5, 6], och den inverkan som individuellt inflytande kan ha på den storskaliga spridningen av rykten, modeflugor, övertygelser och normer via sociala nätverk är av särskilt intresse. Ett närbesläktat samhällsintresse är att de mekanismer som är rotade i socialt samspel kan ge upphov till finansiella sammanbrott [31], politiska revolutioner [32], framgångsrika tekniker [33] och kulturella marknadsförnimmelser [34]. De plötsliga förändringar i tillståndet som visas i dessa exempel är kända som kaskader: Inledningsvis lokalt beteende blir utbredd genom kollektiv handling. Den uppfattade likheten mellan sociala och biologiska epidemier [9, 35] har lett till att termen smittspridning använts för att sprida socialt inflytande [36]. I synnerhet, smitta avser fall där - ungefär som med ett virus eller en sjukdom - exponering till någon källa är tillräckligt för att initiera förökning. Det är viktigt att sociologiska smittämnen inte bara sprids från en specifik källa till en annan. I många situationer är chansen att en nod blir aktiv (t.ex. att anta en ny teknik eller gå med i en politisk revolution) beroende av flera andra personer som är aktiva - och detta gäller särskilt människor som är "nära" eller som uppfattas som nära i ett socialt nätverk. Dessa typer av smitta har kallats komplex smitta [10] [11] [12]. Viktiga undersökningar av komplexa smitta har undersökt spridningen av applikationer på sociala nätverk webbplats Facebook [37], memes (korta textfraser) på nyhetswebbplatser [38] och andra sociala medier [39], information på bloggar [40] och på micro-bloggning tjänsten Twitter [41]. Även om stora datamängder har potential att bidra till att ge en bättre bild av social smitta, analysera dem utan att följa med dynamiska modeller erbjuder föga hopp om att skilja mellan underliggande orsaker till individuellt beteende (social påverkan kontra homofily kontra kovariater) [42]. Statistiska metoder har utvecklats för att närma sig datasidan av detta problem [43], men matematisk modellering är en underskattad och avgörande komponent i dessa ansträngningar. I synnerhet gör enkla modeller det möjligt att isolera effekter (t.ex. social smitta) och utveckla och testa kvantitativ diagnostik som kännetecknar makroskopisk dynamik. Tidiga studier i sociologi av beteende kaskader anses tröskel modeller av binära beslut [21]. I dessa modeller kan agenser byta från ett initialt inaktivt tillstånd till ett aktivt tillstånd om en tillräcklig andel av andra agenser är aktiva. Dessa modeller fångar upp två viktiga funktioner [1]: ömsesidigt beroende (en agents beteende beror på andra agenters beteende) och heterogenitet (skillnader i beteende återspeglas i fördelningen av tröskelvärden). I nyligen genomförda studier [7, [44] [45] [46], tröskelmodeller för socialt inflytande har undersökts på nätverk där noderna motsvarar agenter och kanterna mellan noderna indikerar vem som påverkar vem. I en nätverksmiljö fångar modeller med enkel tröskeldynamik också fundamentala mekanismer som kan relateras (åtminstone analogt) till ett stort antal fenomen som inkluderar fel i kraftnät och överföring av smittsamma sjukdomar [47, 48]. Tractable modeller av tröskeldynamik har också väckt en hel del intresse i fysik och tillämpad matematik samhällen, eftersom många resultat från grafteori, statistisk fysik och dynamiska system kan tillämpas direkt i denna miljö. Till exempel, sådana tekniker gör det möjligt att identifiera kritiska kaskadtrösklar [7], genomsnittliga kaskadstorlekar [49], och effekterna av utsäde storlek [44] och nätverk topologi [48]. Motiverade av iakttagelsen att inte alla åsikter har lika stor vikt, introducerar vi i detta dokument en modell för komplex smitta i flera steg där agenter kan anta flera olika tillstånd med varierande nivåer av in-2 fluence. Nästan alla befintliga modeller antar att aktiva medel utövar lika inflytande över sina kamrater. (Ett anmärkningsvärt undantag är Ref. [15], som nyligen betraktade nätverksagenter med varierande nivåer av socialt inflytande men som använde ett helt annat ramverk än vårt och som också fokuserade på olika dynamiker.) Men en sådan binär beskrivning av agenternas stater kan vara bedrövligt otillräcklig. Det har till exempel varit väldokumenterat att anhängare med varierande engagemang är avgörande i sociala rörelser [1, 2]; vanliga användare av en produkt är mer entusiastiska rekommenderare än tillfälliga användare; anhängare av ett politiskt parti kan variera avsevärt i sin önskan och förmåga att rekrytera nya medlemmar; det finns betydande beteendeskillnader mellan fans och fanatiker av idrottslag; och erfarenhet med gratis testversioner av programvara kan i hög grad påverka en användares beslut att köpa en dyr kommersiell version. Vi visar scheman över enstegs- och tvåstegs komplexa spridningsmodeller i Bild. 1................................................................ För att fokusera vår diskussion anser vi att det är den enklaste flerstegsprogressionen, där det finns tre möjliga tillstånd [se bild. 1 b) ]: inaktiv (inget inflytande; omedveten om en innovation eller likgiltig för en social rörelse), aktiv (låg grad av inflytande; testa en innovation eller stödja en social rörelse) och hyperaktiv (hög nivå av inflytande; fullt antagande av en innovation eller aktivister i en social rörelse). Resten av detta dokument är uppbyggt på följande sätt. I de två följande avsnitten definierar vi vår modell och illustrerar en del av dess nya dynamik. Vi visar att det är möjligt för den ena kaskaden att köra den andra även i situationer där det inte skulle finnas någon förökning (eller endast liten förökning) i den tillhörande enstegs kaskademodellen. Vi använder sedan syntetiska nätverk och analytiska approximationer för att ytterligare utforska modellens dynamik, och härleda förutsättningar för uppkomsten av kaskader. Ytterligare uppgifter finns i tilläggen. Vi betraktar situationer där det finns ett underliggande socialt nätverk, som vi representerar med hjälp av en oviktad, oriktad graf med N noder. Vid varje given tidpunkt, det finns tre möjliga influenssnivåer för varje nod: Inaktiva noder utövar inget inflytande på sina grannar och sägs vara i tillstånd S 0, aktiva noder utövar något inflytande och sägs vara i tillstånd S 1, och hyperaktiva noder utövar en högre nivå av inflytande och sägs vara i tillstånd S 2 [se bild. 1 b )............................................................................................................ Viktigt, noder i tillstånd S 2 är en undergrupp av noder i tillstånd S 1, eftersom noder som är S 2 -aktiva är nödvändigtvis S 1 -aktiva (dvs, vi anser att fanatiker är en specifik typ av fläkt), men S 1 -aktiva noder behöver inte vara S 2 -aktiva. En naturlig generalisering av tvåstegsmodellen inkluderar ytterligare påverkansnivåer så att en S n - aktiv agent är S i - aktiv för alla 1 ≤ i ≤ n. För att specificera modellen måste vi också ange exakt hur noder påverkar sina grannar och hur grannarna reagerar på detta inflytande. Följaktligen definierar vi påverkan respons funktion F i (m 1, m 2, k) som sannolikheten att en grad-k node (dvs en nod med k grannar) blir S i -aktiv med tanke på att det har m 1 grannar i staten S 1 och m 2 grannar i staten S 2. Denna makroskopiska beskrivning kan härledas direkt från en mikroskopisk beskrivning av responsfunktionerna hos enskilda noder [47]. Formulera vår modell i dessa allmänna termer gör att vi kan fånga ett brett utbud av typer av lokala interaktioner mellan noder via den detaljerade formen av responsfunktioner F i [48]. I följande avsnitt använder vi en tröskelmodell för att illustrera dynamiken i flerstegsmodeller. Alla noder kan vara antingen inaktiva (S0) eller aktiva (S1). Noder som ligger knappt över S1-tröskeln har samma inflytande som noder som är starkt över tröskeln. (b) Flerstegs komplex smitta. En undergrupp av aktiva noder (som kallas "S1-aktiva") kan bli hyperaktiv (som kallas "S2-aktiva") och ha ytterligare inflytande. Observera att S2-aktiva noder är nödvändigtvis också S1-aktiva. Vi definierar "peer tryck" P = (m 1 + βm 2 ) / k att vara den totala påverkan som tas emot av en grad-k nod från dess m 1 grannar i staten S 1 och m 2 grannar i staten S 2, skalas av nod grad k. Observera att vår definition av stater innebär att en granne i staten S 2 bidrar 1 + β till inflytandet, så β mäter bonus inflytande utövas av S 2 - aktiva noder. Det är förekomsten av sådan bonuspåverkan som skiljer vår flerstegsmodell från enstegsmodeller. För tröskelmodeller för komplex spridning blir en nod S i -aktiv om P är lika med eller överstiger en viss tröskel R i (som kan vara olika för varje nod). Därför är svarsfunktionen F i (m 1, m 2, k) = C i (P ), där C i är den kumulativa fördelningen av tröskelvärden för tillstånd S i över nätverk noder. I detta dokument fokuserar vi främst på uniformströskelfall där S iactivation trösklar R i är samma för alla noder. I de enhetliga-tröskelfallen är responsfunktionerna stegfunktioner: Observera att responsfunktionerna F i (m 1, m 2, 1) kan användas för att modellera fall där den mottagna påverkan 3 inte skalas av en nod grad k, så en aktiv nod påverkar alla sina grannar lika (oavsett deras grader). Vi kräver att R 2 ≥ R 1 för att tillfredsställa, Därmed garanterar att alla S 2 - aktiva noder är också S 1 -aktiva. När β = 0, minskar S 1-tillståndsdynamiken till ett enda steg eftersom S 2-aktiva noder är oskiljbara från S 1 noder. Som ett initialt tillstånd väljer vi ett litet bråk i) av noder som initialt ska vara S i -aktiva, och dessa får inte bli mindre aktiva. Vid varje efterföljande steg (av storlek  skat = 1/N ), uppdaterar vi en slumpmässigt vald nod enligt tröskelreglerna (1). Detta innebär monoton dynamik-dvs., noder kan aldrig bli mindre aktiva än de är för närvarande. I en steg tröskel modeller, Det är oftast fallet att om en nod behöver ett antal m av aktiva grannar för att bli aktiv, då någon delmängd av sina grannar med minst m aktiva noder är tillräckligt för att göra den aktiv. I vår flerstegsmodell finns det dock en heterogenitet i undergruppen av en nod grannar som behövs för aktivering. Till exempel, delmängd kan bestå av 4 aktiva grannar, 2 aktiva och 1 hyperaktiv granne, eller bara 2 hyperaktiva grannar. Beroende på nodens tröskelvärden kan dessutom olika möjliga undergrupper av grannar göra den aktiv eller till och med hyperaktiv. Vi jämför nu enstegs- och flerstegskaskadedynamiken och belyser kaskader som förekommer i de flerstegsmodeller som inte förekommer i motsvarande enstegsmodeller. Eftersom denna dynamik inte kan uppstå om det bara finns två typer av noder (inaktiv och aktiv), ser vi att närvaron av hyperaktiva noder spelar en avgörande roll för att driva kaskader på nätverk. Vi börjar med att simulera dessa dynamiker på Facebook nätverket av studenter vid University of Oklahoma (inspelade i september 2005 som en engångs ögonblicksbild) [50, 51]. Detta exempel visar att en liten mängd extra inflytande kan utlösa kaskader. Detta kan till exempel vara en modell för rollen som en karismatisk ledare i en social rörelse, eller den potentiella effekten av kund produktrecensioner på detaljhandelswebbplatser som Amazon. I samband med vår modell utlöser närvaron av S 2-aktiva noder en kaskad av S 1-aktiva noder som annars inte skulle ha inträffat. I synnerhet uppstår denna effekt särskilt på grund av den extra påverkan som tillskrivs S 2-aktiva noder, som ligger betydligt över S 1-aktiveringströskeln. I (1) med följande parametervärden: R 1 = 0,15 och R 2 = 0,3. I båda fallen visar vi ett genomsnitt över 100 realisationer med samma initiala aktiva noder [52]. På bild. 2 a, S 2 - aktiva noder har ingen inverkan på aktiveringen av S 1 - aktiva noder (eftersom β = 0) och det finns ingen kaskad: fraktionen av S 1 noder förblir liten. Observera dock att vissa noder är långt över aktiveringströskeln (lila regionen). Specifikt överskrider dessa noder tröskeln R 2 = 0,3 men har ingen ytterligare påverkan. På bild. 2 b, S 2 - aktiva noder som överskrider den högre tröskeln R 2 = 0,3 har 1,5 gånger så mycket inflytande som S 1 -aktiva noder. Detta ytterligare inflytande är tillräckligt för att utlösa en global (systemomfattande) kaskad. Detta exempel visar att ett litet antal andra lågnivåinfluencers som är S 1-aktiva också kan utlösa en kaskad. Detta kan vara situationer där ett företag ger ut gratis försök av en produkt till potentiella kunder i syfte att öka full produktförsäljning. Återigen använder vi Facebook-nätverket för att jämföra två simuleringar. I den första ställer vi in R 1 = R 2 = 0,2; i den andra sätter vi R 1 = 0,15 och R 2 = 0,2. Det första fallet är i huvudsak en enstegsprocess eftersom S 1-dynamiken är slav under S 2-dynamiken. De övriga parametrarna är desamma i båda simuleringarna: β = 0,3 och  på (1) =  på (2)  på 0,02, och responsfunktionen ges återigen av Eq. 1 )............................................................................................................... Vi i genomsnitt igen över 100 realisationer med samma initiala aktiva noder i båda fallen [53]. Det finns ingen kaskad i Fig. 3 a, där aktiveringströsklarna är lika. På bild. 3 b) Men S 1-aktiveringströskeln är något lägre. Detta resulterar i ett litet antal ytterligare S 1-aktiva noder, vilket är tillräckligt för att utlösa en kaskad. Bilda. 2, tiden t är på den horisontella axeln, och fraktioner av noder i varje tillstånd anges på den vertikala axeln. Ljusblå, blå och röda regioner representerar S0-, S1- respektive S2-aktiva noder. Vi använder 348 S2-aktiva frönoder (motsvarande 2 = 0) och β = 0,3. I panel (a) är R1 = R2 = 0,2, så S1-dynamiken är slav under S2-dynamiken. En liten förändring i tröskelparametern (R1 = 0,15) i panelen (b) ger ett litet antal ytterligare S1-aktiva noder, som dock är tillräckligt för att utlösa en kaskad. För att bättre förstå kaskaddynamiken är det lärorikt att överväga väl valda syntetiska nätverk som gör att vi kan kontrollera ökningen av den slutliga kaskadstorleken. Vi utformar syntetiska scenarier där vissa noder inte blir aktiva i enstegsfallet, men kaskaden i flerstegsfallet upptar hela systemet. I detta syfte konstruerar vi slumpmässiga nätverk bestående av noder av grader 4 och 24 i proportion 1:1 med positiva grad-grad korrelationer. (Vi dubbar sådana nätverk "(4,24)-korrelerade slumpmässiga nätverk; grad assortativitet är positiv när grad-grad korrelationer är positiva.) Vi använder sedan den svarsfunktion som definieras i Eq. (1) som skalar tröskeln med nodgrad. Det är därför svårare för höggradiga noder att bli aktiva eftersom de behöver ett större antal aktiva grannar (de flesta av dem är också av hög grad). Vi konstruerar nätverket med den metod som beskrivs i Ref. [54], där sortativitet fångas av den gemensamma fördelningen P (k, k ′ ), vilket ger sannolikheten att en slumpmässigt vald kant ansluter noder av grader k och k ′. Till exempel väljer vi P (k, k ′ ) att vara en (symmetrisk) matris vars icke-noll poster uppfyller P (4, 4)/P (4, 24) = 3 och P (24, 24)/P (24, 4) = 23. Detta ger ett nätverk med en specificerad mängd (positiv) sortativitet. En ytterligare konsekvens av flerstegsdynamiken på sådana nätverk är att banor tillbringar en betydande mängd tid runt ett värde som inte är det slutliga steady state. I det första exemplet, illustrerat på bild. 4, den extra påverkan som utövas av S 2 - aktiva noder behövs för att driva en systemomfattande kaskad. För att visa denna effekt jämför vi dynamiken till följd av ett enstegsfall, som fångas upp av S 1-dynamiken i flerstegsfallet med den övre tröskeln R 2 = ∞, med de som är resultatet av ett (sanna) flerstegsfall med R 2 = 0,7. (Se bildtexten.) 4 för värdena för de andra parametrarna.) På bild. 4, Vi visar numeriska resultat med hjälp av symboler och analysresultat ges av EKG. (2)-(3) med hjälp av kurvor. De analytiska resultaten reproducerar kvalitativt det numeriska beteendet; i vissa fall observerar vi också en god kvantitativ överenskommelse. Såsom diskuteras i bilaga B fångas dock vissa nya effekter som uppstår i flerstegsmodellen inte upp av den analytiska approximationen och kan potentiellt leda till felaktiga uppskattningar. Vi visar de sammanlagda fraktionerna av S 1 - och S 2 - aktiva noder för enstegs fallet i Bild. 4 a) och för flerstegsväskan i bild. 4 b)................................................. Vi visar de olika temporala evolutionerna för de två graderna i Figs. 4 c, d) och tidsutvecklingen för noder i varje gradklass som är S 1 - men inte S 2 - aktiva i bild. 4 e.................................................................................................. I enstegsfallet blir endast låggradiga noder slutligen S 1-aktiva, vilket resulterar i den sammanlagda aktiva fraktionen på 0,5 illustrerad i Bild. 4 a).............................................................. Observera att ingen av de höggradiga noderna blir S 1 - aktiv [se bild. 4 (c) och att inga noder blir S 2 - aktiva eftersom R 2 = ∞. I flerstegsväskan, som vi visar i bild. 4 b), de låga grad noder som i ett steg fallet var betydligt över S 1 -aktiveringströskeln så småningom bli S 2 -aktiva och därmed utöva mer inflytande på sina grannar. Som vi visar i bild. 4 d), Detta initierar en gradvis ökning av antalet S 1 -aktiva höggradiga noder (som börjar runt t = 10) tills det finns tillräckligt många för att utlösa en fördröjd snabb övergång eller en sekundär kaskad (runt t = 13) där alla noder blir S 2 aktiva. På bild. 4 (e), visar vi för varje gradklass den tidsmässiga utvecklingen av fraktionen av S 1-aktiva noder som inte är S 2-aktiva. Antalet sådana noder anges av skillnaden mellan S 1 - aktiva och S 2 - aktiva noder. Topparna i Bild. 4 e) innebär att noder i varje gradklass först blir S 1 aktiva och att det finns en viss fördröjning för deras S 2 -aktivering. Föreställ dig nu att endast S 1 -dynamiken i Bild. 4 b) kan observeras. Till exempel, anta att en utgivare vet vilka noder köpt en viss bok men har ingen aning om graden av spänning av någon av noderna. I detta fall, vid tidpunkten t = 8, kan förlaget felaktigt dra slutsatsen att produkten inte kommer att säljas längre och kan kanske avbryta den. Men den heterogena spänningen och inflytandet bland bokköparna tyder i stället på att förlaget bör fortsätta att trycka fler exemplar av boken. I detta leksaksexempel skulle försäljningen vid tidpunkten t = 13 öka kraftigt till följd av S 2-aktiva agenter (som t.ex. skulle kunna representera kunder som skriver bokrecensioner på Amazon). Vi begrundar nu ett annat exempel, som illustreras i bild. 5, där tillägget av ett S 1 -aktivt tillstånd ökar spridningen av en S 2 - kaskad, som (i detta fall) slutligen når hela nätet. På bild. 5 a, vi illustrerar (b) visar de aggregerade fraktionerna av S1-och S2-aktiva noder, paneler (c) och (d) visar dessa fraktioner för varje gradklass separat, och panel (e) visar fraktioner av noder i varje gradklass som är S1-men inte S2-aktiva. Vi visar de numeriska resultaten (i genomsnitt över 100 realiseringar) med hjälp av symboler och de analysresultat som ges av EKG. (2)- (3) det fall då R 1 = R 2 = 0,35. Detta är i själva verket ett enstegsscenario eftersom S 2-aktiva noder också är S 1 aktiva. (Se bildtexten.) 5 för värdena för alla parametrar.) Likt tidigare exempel, alla av låggradiga noder blir aktiva, men nu är de också alla S 2 aktiva. Ingen av de höggradiga noderna blir aktiv [se bild. 5 c )........................................................................................................... För att uppnå ett (sann) flerstegsscenario sänker vi R1-tröskeln till 0,22 och visar den resulterande aggregerade dynamiken i bild. 5 b............................................................... Dynamiken är till en början kvalitativt jämförbar med enstegsfallet Fig. 5 a............................................................... Men efter en tid är det en våg av höggradiga noder som blir S 1-aktiva på grund av den lägre S 1-tröskeln. De kör sedan en kaskad av S 2-aktiva noder [se bild. 5 d) ]........................................................................................................... I panel (e) av Bild. 5, Vi visar den tidsmässiga utvecklingen av fraktionen av S 1-aktiva noder som inte är S 2 -aktiva. Denna kvantitet uppvisar en topp för höggradiga noder men förblir på noll för låggradiga noder, vilket indikerar att höggradiga noder blir S 2 aktiva någon gång efter att ha blivit S 1 aktiva, medan låggradiga noder blir S 2 och S 1 aktiva samtidigt. (b) visa de sammanlagda fraktionerna av S1- och S2-aktiva noder, paneler (c) och (d) visa dessa fraktioner för varje gradklass separat, och panel (e) visar fraktioner av noder i varje gradklass som är S1- men inte S2-aktiva. Vi visar de numeriska resultaten (i genomsnitt över 100 realiseringar) med hjälp av symboler och de analysresultat som ges av EKG. (2)- (3) (där vi väljer utsädet jämnt på måfå). Vi presenterar nu en analytisk approximation för den tidsmässiga utvecklingen av fraktionen av aktiva noder i vår flerstegsmodell. Metoden som vi använder är baserad på parvisa interaktioner mellan noder [44, 48] och innebär två krav: (i) för varje fast k, responsfunktionerna F i måste vara icke-decreasing funktioner av både m 1 och m 2, och (ii) F i (m 1, m 2, k) ≥ F i+1 (m 1, m 2, k). Villkor (i) återspeglar effekten av positiva externa effekter - dvs., de mer aktiva grannar en nod har, desto mer sannolikt att det blir S i - aktiva. Villkor ii) följer av det faktum att antalet hyperaktiva noder inte bör överstiga antalet aktiva noder i systemet. De situationer som vi illustrerar i denna rapport uppfyller dessa villkor, som är förnuftiga allmänna antaganden när det gäller att studera socialt inflytande. En beräknar densiteten ρ där Q (i) är en vektor av hjälpvariabler. Vi presenterar funktionerna H (i) k och G (i) (var och en beror på F i och nätverket topologi) och härledning av Eqs. (2)- (3) I tillägg A. Fraktionen i (i) av noder som initialt är S i-active anger de ursprungliga villkoren ρ Den aggregerade fraktionen av noder som är S i-active vid tiden t är, där P k är graden distribution av nätverket och k max är den maximala nodgraden i nätverket. På bild. 6, Vi jämför analytiska förutsägelser av EKG. (2)- (3) med numeriska simuleringar av både de slutliga värdena och den tidsmässiga utvecklingen av aktiva fraktioner av noder. Denna siffra använder två exempel nätverk ensembler: (i) Erdős-Rényi slumpmässiga grafer (dvs. diagram där varje par av noder är ansluten med en kant med lika, oberoende sannolikhet) med genomsnittlig grad z = 5; och (ii) okorrelerade slumpmässiga grafer (dvs. slumpmässiga grafer vars gemensamma grad fördelning kan uttryckas i termer av graden fördelning som 2 ) bestående av grad-4 och grad-5 noder i proportion 1:2. Vi dubbar de senare graferna "(4,5)-okorrelerade slumpmässiga nätverk". Vi ritar inte den sista fraktionen av S 1-aktiva noder, eftersom det är lika med 1 i vart och ett av de exempel som illustreras i Bild. 6............................................................. Som man kan se i Fig. 6, Ekar. (2)- (3) korrekt förutsäga de slutliga fraktionerna av aktiva noder i alla fall och är i god överensstämmelse med den numeriskt beräknade tidsutvecklingen. På bild. 6(a), den blå streck-doted kurva som motsvarar (4,5)-okorrelerade slumpmässiga nätverket har steg vid β = 1/4 och β = 1/3. Anledningen till dessa steg är följande: När β < 1/4, grad-4 noder aldrig kan få tillräckligt inflytande från sina grannar för att övervinna tröskeln R 2 = 5 för att bli S 2 -aktiva (se Eq. (1) med k  på 1). Därför, den slutliga fraktionen av S 2-aktiva noder ρ (2) (∞) ges av fraktionen av grad-5 noder i nätverket (som är lika med 2/3 i detta exempel). När β 1/4, 1/3), grad-4 noder blir S 2 - aktiva endast när alla deras grannar är S 2 - aktiva. Följaktligen blir en ändlig fraktion (ca 0,26) av grad-4 noder S 2 -aktiva, vilket ger det sammanlagda värdet av ρ (2) (∞)  och 0,75. Vi visar den tidsmässiga utvecklingen av den aktiva fraktionen av noder för varje gradklass för detta fall i Bild. 6(b)........................................................................................................... Slutligen, för β ≥ 1/3, grad-4 noder blir S 2 -aktiva om alla deras grannar är S 1 -aktiva och alla tre av dem är S 2 -aktiva. I denna situation, alla grad-4 noder blir S 2 -aktiva i slutet av kaskaden. (2)-(3) (kurvor) för a) de sista fraktionerna av S2-aktiva noder som funktioner av bonuspåverkan β för ensembler av (4,5)-okorrelaterade slumpmässiga nätverk (blå streck-dotted kurva) och Erdős-Rényi slumpmässiga grafer med medelgrad z = 5 och (b,c) temporal utveckling av aktiv fraktion av noder i varje gradklass i (4,5)-okorrelaterade slumpmässiga nätverk för β = 0,25. I panel (a) använder vi Eqs responsfunktioner. (1) med k 1 och enhetliga tröskelvärden R1 = 1 och R2 = 5 för (4,5)-okorrelerade slumpmässiga nätverk (blå streck-doted kurva) och Erdős-Rényi slumpmässiga grafer med medelgrad z = 5 (svart streckad kurva). För den senare visar vi med hjälp av en fast röd kurva i vilket fall R2-trösklarna är Gaussian-distribuerade med medelvärdet μ = 5 och standardavvikelsen σ = 0,1. Det totala antalet noder i varje nätverk är N = 10 4. I samtliga fall aktiverar vi initialt S1-aktiverar ett bråk (1) = 10 −3 noder som väljs jämnt på måfå, och vi i genomsnitt över 100 numeriska realiseringar av nätverk och initiala förhållanden. På bild. 7, Vi illustrerar förhållandet mellan den slutliga fraktionen av S 1 -aktiva noder ρ (1) ∞, bonus inflytande β och medelgrad z för Erdős-Rényi slumpmässiga grafer. Mörkare färger indikerar större slutliga aktiveringsfraktioner. Den slutliga fraktionen av S 2-aktiva noder är kvalitativt likartad. Observera att när β = 0 (dvs. enstegsdynamik), finns det ingen kaskad. En bifurkationsanalys ger en analytisk uppskattning av gränsen för den region där kaskader förekommer. I analogi med de metoder som utvecklats för enstegsmodeller [44, 48], vi härled en kaskad tillstånd från EKG. (-) – (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-). (Vi presenterar fullständiga uppgifter i bilaga C.) Kortfattat beräknar vi noll eigenvärden för den jakobiska matrisen G som utvärderats vid Q (1) = Q (2) = 0. Detta ger en sluten 7 form uttryck som approximerar gränsen av kaskade regionen. Denna approximation, som är rå men som ges genom ett slutet uttryck (se tillägg C), ger den streckade kurvan i bild. 7............................................................ För låga z-värden (mot vänster om Fig. 7 ), Vi hittar en kontinuerlig övergång från låga till höga värden av ρ (1) ∞. Däremot, för högre värden av z, finner vi en diskontinuerlig övergång. Detta hopp uppstår från en sadel-node bifurcation som inträffar som z ökas medan β hålls fast. Denna bifurcation kan följas numeriskt genom att lösa G = 0 och hitta noll eigenvärden för den Jacobian som utvärderats vid motsvarande jämvikt (se den fasta kurvan i bild. 7)................................................................. Vi ger fullständiga detaljer i bilaga C. ❌ (vars värde anges med färg) räknat från EKG. (2)- (3) för slumpmässiga diagram över Erdős-Rényi. Den genomsnittliga graden z är på den horisontella axeln, och bonuspåverkan β är på den vertikala axeln. Den första tröskeln är R1 = 0,3 och den andra tröskeln R2 är Gaussian-distribuerad med medelvärdet μ = 0,8 och standardavvikelsen σ = 0,2. De ursprungliga utsädesfraktionerna är 1 = 2 × 10 −3 och 2 = 0. Den streckade kurvan ger gränsen för kaskadetillståndet, och den fasta kurvan är en numerisk fortsättning av sadel-node-bifurcation. Precis som i Watts single-stage cascade modell [7] är numeriska simuleringar med hjälp av parametervärden nära en sadel-node bifurcation mycket känsliga för valet av frönoder. En nyligen genomförd empirisk undersökning [55] har visat att verkliga kaskader är ytterst sällsynta händelser. Detta är förenligt med dynamiken som förekommer nära sadel-node bifurcation: några specifika val av ursprungliga frön producerar storskaliga kaskader men de flesta val inte. Sociala rörelser och andra former av kollektiv handling kräver en ensemble av anhängare med olika nivåer av engagemang, och socialt inflytande kan göra en avgörande skillnad om de lyckas eller inte. Detta motiverar utvecklingen av analytiskt dragbara komplexa spridningsmodeller med flera stadier där olika agenser har olika påverkansnivåer. I den nuvarande tidningen introducerade och analyserade vi en sådan modell, i vilken vi definierar graden av inflytande på en nod från dess grannar med hjälp av en allmän funktion av nodens grad och tillståndet hos dess närmaste grannar. Vi illustrerade att denna modell kan uppvisa intressant dynamik som inte är möjlig med enstegs kaskadmodeller. Detta inbegriper i synnerhet samspelet mellan kaskader av fläktar (aktiva noder) och fanatiker (hyperaktiva noder), där den ena kaskaden kan driva den andra och vice versa. Vår modell och våra analysresultat kan generaliseras till flerstegs fall med vilket (fint) antal aktiva tillstånd som helst. Modellen kan utvecklas vidare så att man kan urskilja nivån på en nods engagemang och det inflytande den har på sina grannar. Olika nivåer av engagemang och inflytande har dokumenterat betydelsen av sociala rörelser, produktreklam och andra sociologiska, politiska och ekonomiska situationer. Men enbart observation och dataanalys av komplex social dynamik gör det svårt att urskilja den relativa betydelsen av socialt inflytande, homofilt och kovariater på observationerna [42]. Det är därför absolut nödvändigt att utveckla nya matematiska modeller för att ta itu med denna svåra situation, och vi hoppas att den modell som vi har infört i detta dokument kommer att vara till nytta för sådana ansträngningar. TILLÄMPNINGEN AV KONKURRENSREGLERNA I EUROPEISKA UNIONEN
Melnik m.fl. I Ref föreslogs en modell för komplex spridning i flera steg, där agenter i olika skeden utövar olika mycket inflytande på sina grannar.
Multi-Stage Complex Contagions
{'venue': 'Chaos 23, 013124 (2013)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science', 'Physics', 'Medicine']}