Många typer av data och information kan beskrivas med koncisa modeller som tyder på att varje datavektor (eller signal) faktiskt har "få grader av frihet" i förhållande till sin storlek N. Detta är motivationen för en mängd olika dimensionalitet reduktion tekniker för databehandling som försöker minska eller eliminera inverkan av den omgivande dimensionen N på beräknings- eller lagringskrav. Som exempel kan många signaler uttryckas som en gles linjär kombination av element från någon ordbok. Representationens gleshet återspeglar direkt modellens koncishet och möjliggör effektiva tekniker som Compressed Sensing (CS), en framväxande teori för gles signalåterhämtning som endast kräver ett litet antal icke adaptiva, slumpmässiga linjära mätningar. I andra fall, koncisheten av signalmodellen kan diktera att signalklassen bildar ett lågdimensionellt grenrör som en delmängd av den högdimensionella omgivande rymden R N. Denna typ av geometrisk struktur får inte prydligt återspeglas i en gles representation. I stället innebär dimensionsreduktionstekniker för multiplikatormodellerade data vanligtvis "lärande" den mångfaldiga strukturen från en insamling av datapunkter, ofta genom att konstruera icke-linjära kartläggningar från R N till R M för vissa M < N som är anpassade till utbildningsdata och som är avsedda att bevara vissa karakteristiska egenskaper hos grenröret. I detta dokument föreslår vi ett nytt tillvägagångssätt för icke-adaptiv dimensionalitetsminskning av multiplikatormodellerade data, vilket visar att ett litet antal slumpmässiga linjära projektioner kan bevara viktig information om en multiplikatormodellad signal. Vi centrerar vår analys på effekten av en slumpmässig linjär projektion operatör 0 : R N → R M på en jämn K-dimensionell submanifold M  på R N. Som vårt huvudsakliga teoretiska bidrag, fastställer vi ett tillräckligt antal M slumpmässiga projektioner för att garantera att, med hög sannolikhet, alla parvis Euclidean och geodesiska avstånd mellan punkter på M är välbevarade under kartläggningen 0. Våra resultat har en stark likhet med CS. Som i CS, de slumpmässiga mätningar vi föreslår kan användas för att återställa de ursprungliga data i R N. Dessutom, liksom den grundläggande bundna i CS, är vår erforderliga M linjär i "informationsnivån" K och logaritmisk i den omgivande dimensionen N; vi identifierar också ett logaritmiskt beroende av volymen och krökning av grenröret. Förutom att återvinna trogna approximationer till flerdimensionella signaler, kan dock de slumpmässiga projektioner vi föreslår också användas för att urskilja nyckelegenskaper om grenröret. Vi diskuterar kopplingar till befintliga tekniker i mångfacetterat lärande.
I REF visas det att parvisa avstånd mellan punkter på ett grenrör bevaras genom en slumpmässig projektion; de härleder ett tillräckligt villkor på dimensionen av denna projektion som innebär volymen av grenröret, dess omgivande och inneboende dimensioner, och dess krökning.
Random projections of smooth manifolds
{'venue': 'Foundations of Computational Mathematics', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}