Vår nuvarande värld är sammankopplad med ett komplext nätverk där information, människor och varor flödar. Dessa nätverk är beroende av varandra och har strukturella och dynamiska egenskaper som skiljer sig från dem som observerats i isolerade nät. Även om exempel på sådana "olika" egenskaper blir allt vanligare, till exempel spridning, robusthet och konkurrens, är det ännu inte klart var dessa skillnader är rotade. Här visar vi att sammansättningen av oberoende nät i ett sammankopplat nät av nät genomgår en strukturellt skarp övergång allteftersom sammankopplingarna bildas. Beroende på den relativa betydelsen av förbindelser mellan och inom lager finner vi att hela det inbördes beroende systemet kan ställas in mellan två system: i en regim är de olika skikten strukturellt frikopplade och fungerar som oberoende enheter; i den andra ordningen är nätskikten oskiljaktiga och hela systemet beter sig som ett nätverk på en nivå. Vi visar analytiskt att övergången mellan de två regimerna är okontinuerlig även för finita storleksnät. Därför riskerar alla sammankopplade system i verkligheten att plötsligt förändras i sin struktur, vilket kan avspeglas i nya dynamiska egenskaper. Interaktiva, beroende eller multiplexnätverk är olika sätt att namnge samma klass av komplexa system där nätverk inte betraktas som isolerade enheter utan interagerar med varandra. I multiplex, noderna vid varje nätverk är fall av samma enhet, alltså nätverken representerar helt enkelt olika kategoriska relationer mellan enheter, och oftast kategorier representeras av lager. Interberoende nätverk är en mer allmän ram där noder kan vara olika i varje nätverk. Många, om inte alla, verkliga nätverk är "kopplade" med andra verkliga nätverk. Exempel finns inom flera områden: sociala nätverk (t.ex. Facebook, Twitter osv.) är kopplade till varandra eftersom de har samma aktörer [10]; multimodala transportnät består av olika skikt (t.ex. buss, tunnelbana osv.). som delar samma platser [11]; driften av kommunikations- och kraftnätssystem är beroende av varandra [1]. Hittills har alla fenomen som har studerats på sammankopplade nätverk, inklusive perkolering [1, 3], epidemier [4], och linjära dynamiska system [5], gett resultat som skiljer sig mycket från dem som gäller i fallet med isolerade komplexa nätverk. Ibland skillnaden är radikal: till exempel, medan isolerade skalfria nätverk är robusta mot fel i sina noder eller kanter [12], skalfri beroende nätverk är i stället mycket bräcklig [1, 3]. Med tanke på sådana observationer är två fundamentalt viktiga teoretiska frågor i sin ordning: i) Varför skiljer sig dynamiska och kritiska fenomen som drivs på sammankopplade nätverksmodeller så mycket från deras analoga i isolerade nätverk?; ii) Vilka system för tillämplighet av teorin gäller för isolerade nätverk för nätverk som är beroende av varandra? I detta dokument ger vi ett analytiskt svar på båda dessa frågor per karaktäriz- * Elektronisk adress: f.radicchi@gmail.com de strukturella egenskaperna hos hela det sammankopplade nätet när det gäller de nätverk som utgör det. För enkelhetens skull anser vi här att det rör sig om två nätverk som är beroende av varandra. Följande metod kan dock generaliseras till ett godtyckligt antal sammankopplade nätverk och dess lösning redovisas i den kompletterande informationen. Vi antar att de två ömsesidigt beroende nätverken A och B är oriktade och viktade, och att de har samma antal noder N. De vägda adjacency matriser av de två graferna anges som A och B, respektive, och de har båda dimensionerna N × N. Med denna notation, elementet A ij = A ji är lika med vikten av kopplingen mellan noderna i och j i nätverk A. Definitionen av B är likartad. Vi betraktar fallet med ett till ett symmetriskt inbördes beroende [1] mellan noder i nätverken A och B (se bild. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. I det mer allmänna fallet av flera ömsesidiga beroenden, lösningen är analog och rapporteras i arXiv:1307.4544v1 [physics.soc-ph] 17 jul 2013 2 Kompletterande information. Anslutningarna mellan de två nätverkens beroende knutpunkter vägs med en faktor p (se bild). 1B ), någon annan viktad faktor för nätverken A och B absorberas implicit i deras vikter. Den supra-adjacency matris G av hela nätverket ges därför av var 1 är identitetsmatrisen av dimensioner N × N. Med hjälp av denna notation kan vi definiera supra-laplacian av det sammankopplade nätet som blocken som finns i L är kvadrat symmetriska matriser av dimensioner N × N, I synnerhet L A och L B är laplacians av nätverken A och B, respektive. Vår undersökning fokuserar på analysen av spektrat av supra-Laplacien för att fastställa ursprunget till de strukturella förändringarna av sammanslagningen av nät i ett sammanlänkat system. Spektrumet för en grafs laplacian är ett grundläggande matematiskt objekt för studiet av grafens strukturella egenskaper. Det finns många tillämpningar och resultat på graf Laplacian eigenpares och deras förhållande till många grafinvarianter (inklusive konnektivitet, expanderande egenskaper, släkte, diameter, medelavstånd och kromatiskt tal) samt till separationsproblem (grafbisektion, konnektivitet och separation, isoperimetriska tal, maximal skärning, klusterbildning, grafpartition) och approximationer för optimeringsproblem på grafer (bredd, bandbredd, minp-sum problem, rankning, skalning, quadratic uppdragsproblem) [13] [14] [15] [16]. Observera att för alla grafer är alla eigenvärden av dess laplacian inte negativa tal. Det minsta eigenvärdet är alltid lika med noll och den eigenvektor som är associerad med det är trivialt en vektor vars poster alla är identiska. Det näst minsta eigenvärdet λ 2 som också kallas algebraisk konnektivitet [17] är ett av Laplacians viktigaste eigenvärden. Den är strikt större än noll endast om grafen är ansluten. Ännu viktigare, eigenvektorn som är associerad med λ 2, som kallas den karakteristiska värderingen eller Fiedler vektor av en graf, ger ännu djupare om sin struktur [18] [19] [20]. Till exempel, de komponenter i denna vektor som är associerade till de olika noderna i nätverket används i spektral kluster algoritmer för bisektion av grafer [21]. Vårt tillvägagångssätt består i att studera beteendet hos det näst minsta eigenvärdet av supra-laplacian matris L och dess karakteristiska värdering som en funktion av p, med tanke på den enskikts nätverk laplacians L A och L B. Enligt teorem av Courant och Fisher (dvs. den så kallade min-max-principen) [22, 23], det näst minsta eigenvärdet av L ges av var  på V är sådan att v.1 = 0, v.v = 1. Vektorn 1 har 2N-poster som alla är lika med 1. Eq. Vad är det? (3) innebär att λ 2 (L) är lika med det minsta av funktionen v på L v, över alla möjliga vektorer  på v som är ortogonala till vektorn  på 1 och som har norm lika med en. Vektorn för vilken ett sådant minimum uppnås är således den karakteristiska värderingen av supra-laplacian (dvs. L  på v = λ 2  på v ). Vi skiljer två block av storlek N i vektorn  på v genom att skriva det som  på v =  på A, v B. I denna notation är "v A" den del av eigenvektorn vars komponenter motsvarar noderna i nätverk A, medan "v B" är den del av eigenvektorn vars komponenter motsvarar noderna i nätverk B. Vi kan nu skriva och den tidigare uppsättningen av begränsningar som v A  på 1 + v B på 1 = 0 och v på A + v B på B = 1, där nu alla vektorer har dimension N. Redovisning för sådana begränsningar, kan vi äntligen skriva om minimering problem som Detta minimering problem kan lösas med hjälp av Lagrange multiplikatorer (se Kompletterande information för tekniska detaljer). På detta sätt kan vi finna att det näst minsta eigenvärdet av den supralaplaciska matrisen L ges genom att sålunda indikera att den algebraiska anslutningen av det sammankopplade systemet följer två skilda regimer, en där dess värde är oberoende av strukturen av de två skikten, och den andra där dess övre gräns begränsas av den algebraiska anslutningen av den viktade superpositionen av de två skikten vars lampacian ges av. Ännu viktigare, diskontinuiteten i den första derivatan av λ 2 återspeglas i en radikal förändring av de strukturella egenskaperna hos systemet som sker på p * (se Kompletterande information). En sådan dramatisk förändring syns i koordinaterna för den karakteristiska värderingen av noderna i de två nätskikten. I regimen p ≤ p *, komponenterna i eigenvector är Detta innebär att de två nätverksskikten är strukturellt frånkopplad och oberoende. För p ≥ p *, Vi har vilket innebär att de komponenter i vektorn som motsvarar ömsesidigt beroende noder i nätverk A och B har samma tecken, medan noder i samma lager har alternerande tecken. I detta andra system domineras systemets konnektivitet av mellanlageranslutningar, och de två nätskikten är strukturellt oskiljbara. Det kritiska värdet p * där övergången inträffar är den punkt där vi observerar korsningen mellan de två olika beteenden av λ 2, vilket innebär att denna övre gräns blir exakt i fallet med identiska nätverkslager (se Kompletterande information). Eftersom mellanskiktsanslutningar har vikter som växer med p, sker övergången vid den punkt där vikten av mellanskiktsanslutningarna överstiger den halva delen av inversen för algebraisk anslutning av den viktade superpositionen för båda nätverksskikten (se bild). 2 )............................................................................................................... När det gäller nätskikt är resultatet likvärdigt med alla nätskikts superposition (se Kompletterande information). Det är viktigt att notera att diskontinuiteten i den första derivatan av λ 2 (L) kan tolkas som en följd av korsningen av två olika populationer av eigenvärden (se fallet med identiska skikt i den kompletterande informationen). Samma korsning kommer också att ske för de andra eigenpar av grafen laplacian (utom för de minsta och de största), och därmed kommer att återspegla i diskontinuiteter i de första derivata av motsvarande eigenvärden. En fysisk tolkning av den algebraiska fasövergången som vi analytiskt kan förutsäga kan ges genom att betrakta funktionen v på L som en energiliknande funktion. Ur den synvinkeln, Eq. (3) blir likvärdigt med en sökning efter marktillståndsenergin, och den karakteristiska värderingen kan betraktas som marktillståndskonfigurationen. En sådan analogi är enkel om man inser att Eq. (3) motsvarar minimeringen av den viktade nedskärningen av hela det nätverksanslutna systemet [vars adjakensmatris G definieras i Eq. (1)] och att det minsta av denna funktion motsvarar marktillståndet för en bred klass av energifunktioner [24] och fitness landskap [25]. Dessa inkluderar bland annat den energi som är förknippad med Ising spin modeller [26] och kostnader funktioner combinatorial optimering problem, såsom den resande säljare problem [27]. Sammanfattningsvis innebär den strukturella övergången av sammankopplade nätverk ett avbrott i den första derivatan av en energiliknande funktion, och därmed, enligt Ehrenfest klassificering av fasövergångar, är det en okontinuerlig övergång [28]. Sedan övergången på algebraisk nivå har samma karaktär som den konnektivitetsövergång som har studerats av Buldyrev et al. I samma klass av nätverksanslutna system [1] är det värt att diskutera förhållandet mellan de två fasskiftena. Vi kan reducera vår modell till den glödgade versionen av modellen anses 4 av Buldyrev et al. genom att ställa in A = t 2 A, B = t 2 B och p = t, som är 1 – t sannolikheten att en nod i ett av nätverken misslyckas. Alla de resultat som hittills redovisats håller, med bara två olika tolkningar. Först den övre gränsen av Eq. (8) blir en lägre gräns för den kritiska tröskeln för algebraisk övergång som avläser i termer av yrkessannolikhet som. För det andra måste sättet att titta på övergången vändas: nätverksskikten är strukturellt oberoende (dvs. den analoga av den icke perkolerande fasen) för värden av t ≤ t c, medan blir algebraiskt anslutna (dvs., analog av perkoleringsfasen) när t ≥ t c. Som det är välkänt, den algebraiska anslutningen representerar en lägre gräns för både kantanslutning och nod anslutning av grafen (dvs., respektive det minsta antalet kanter eller noder som bör tas bort för att koppla bort grafen) [17]. Den algebraiska konnektiviteten hos en graf används ofta som en kontrollparameter för att göra grafen mer motståndskraftig mot slumpmässiga fel i dess noder eller kanter [29]. Alltså, den nedre gränsen av Eq. (9) representerar också en lägre gräns för den kritiska perkoleringströskeln mätt med Buldyrev et al. Det är intressant att lägga märke till att vår förutsägelse visar sig vara en skarp uppskattning av den nedre gränsen. För Erdős-Rényi-modellen har vi i själva verket t c ≥ 2/k, om de två nätverken har samma genomsnittliga gradk, och detta värde måste jämföras med 2.455 k enligt prognoserna från Buldyrev et al. [1].............................................................. På samma sätt kan vi förutsäga att t c växer när graden distribution av nätverket blir mer bred [14], på samma sätt som det har observerats numeriskt av Buldyrev et al. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Även om vi inte direkt kan kartlägga den algebraiska övergången till perkoleringen, anser vi att förekomsten av en första ordningens övergång på algebraisk nivå utgör ett indirekt stöd för perkoleringsövergångens upphörande. Sammanfattningsvis har vi tillhandahållit den exakta analytiska behandlingen av de sammankopplade nätens strukturella egenskaper. Vi har presenterat den exakta lösningen för den algebraiska anslutningen av dessa nätverksmodeller. För enkelhetens skull har vi övervägt det enklaste fallet av ett till ett ömsesidigt beroende, men vår formalism kan enkelt utvidgas för att studera mer komplicerade beroenderelationer mellan noderna i de olika skikten. Våra bevis är inte beroende av någon approximation utan av ett mycket intuitivt matematiskt tillvägagångssätt. De strukturella övergångarna i nätverk som är beroende av varandra är av första ordningens art. Detta skiljer nätverk på flera och en nivå på ett radikalt sätt. Vi noterar att diskontinuiteten i den första derivatan av algebraisk konnektivitet direkt påverkar en stor klass av system vars dynamik drivs av minimeringen av energiliknande funktioner associerade till strukturen i systemet, men samma slutsatser kan också utvidgas till andra kritiska fenomen vars egenskaper beror på den tredje, fjärde, etc. minsta eigenpar av grafen laplacian. Dessutom definierar den punkt där vi observerar diskontinuiteten i den första derivatan av algebraiska anslutningar (men också på andra eigenvärden av grafen laplacien) en tydlig skala för tillämpligheten av de resultat som gäller för isolerade nätverk. I ett fall kan nätskikt betraktas som oberoende, i det andra fallet kan hela systemet betraktas som ett enda nät. Det faktum att övergången mellan de två regimerna är så skarp utelämnar bara ett mycket litet intervall av interaktionsvärden där det är vettigt att betrakta systemet som sammansatt av många interagerande nätverkslager. Våra resultat har också djupgående praktiska konsekvenser. Den abrupta karaktären hos den strukturella övergången syns inte bara i gränsdragningen för oändligt stora system, utan även för nät av alla storlekar. Således kan även verkliga nätverksanslutna system som består av få element utsättas för plötsliga strukturella förändringar, inklusive misslyckanden. Vår teori ger dock grundläggande hjälpmedel för att förebygga sådana kollapser. Det tillåter i själva verket inte bara förutsägelsen om den kritiska punkten i övergången, utan, vilket är ännu viktigare, att noggrant utforma strukturen för sådana system för att göra dem mer robusta. Exempelvis kan perkoleringströskeln för sammankopplade system helt enkelt minskas genom att öka den algebraiska anslutningen av nätskiktens superposition. Detta innebär att en effektiv strategi för att göra ett ömsesidigt beroende system mer robust är att undvika upprepning av kanter mellan lager, och därmed få superposition av lagren så nära en all-till-alla topologi som möjligt.
En liknande modell som vår nätverksmodell studeras i REF för sammankopplade nätverk.
Abrupt transition in the structural formation of interconnected networks
{'venue': 'Nature Physics 9, 717-720 (2013)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics']}