Recursively-konstruerade kopplingar har tidigare använts för att blanda på träd. Vi visar hur man utvidgar denna teknik till icke-trädliknande grafer som t.ex. gitter. Med hjälp av denna metod får vi följande generella resultat. Antag att G är en triangelfri graf och att för vissa Δ ≥ 3 är den maximala G-graden högst Δ. Vi visar att spinnsystemet som består av q-färger av G har en stark rumslig blandning, förutsatt att q > αΔ − γ, där α  på 1,76322 är lösningen till α = e, och γ =  på 0.47031. Observera att vi inte har någon ytterligare nedre gräns på q eller Δ. Detta är viktigt för oss eftersom vårt huvudsakliga mål är att ha resultat som är tillämpliga på gitter som studeras i statistisk fysik såsom heltal lattice Z d och triangulär lattice. För dessa grafer (i själva verket för alla grafer där avståndet-k grannskapet av en vertex växer sub-exponentiellt i k), innebär stark rumslig blandning att det finns en unik oändlig volym Gibbs åtgärd. Det vill säga, det finns en makroskopisk jämvikt snarare än många. Vårt allmänna resultat ger till exempel en "handproof" av stark rumslig blandning för 7-färger av triangelfria 4-regelbundna grafer. (Datorstödda bevis på detta resultat tillhandahölls av Salas och Sokal (för rektangulär lattice) och av Bubley, Dyer, Greenhill och Jerrum.) Det ger också ett hand bevis på stark rumslig blandning för 5-färger av triangelfria 3-regelbundna grafer. (Ett datorstödd bevis för det speciella fallet med det hexagonala gallret tillhandahölls tidigare av Salas och Sokal.) Mot slutet av pappret visar vi hur vi kan förbättra vår allmänna teknik genom att ta hänsyn till lattisens geometri. Tanken är att konstruera rekursiv koppling från ett system av upprepningar snarare än från en enda upprepning. Vi använder geometrin av lattice för att härleda systemet av upprepningar. Detta ger oss en analys med en horisont av mer än en induktionsnivå, vilket leder till förbättrade resultat. Vi illustrerar denna idé genom att bevisa stark rumslig blandning för q = 10 på lattice Z 3. Slutligen tillämpar vi idén på den triangulära latticen och lägger till beräkningsstöd. Detta ger oss ett (maskinstödd) bevis på stark rumslig blandning för 10-färger av den triangulära lattice. (Ett sådant bevis för 11 färger gavs av Salas och Sokal.) För fullständighet, visar vi också att vår starka rumsliga blandning bevis innebär snabb blandning av Glauber dynamik för provtagning ordentliga färger av grannskap-amenable grafer. (Det är känt att stark rumslig blandning ofta innebär snabb blandning, men befintliga bevis verkar skrivas för Z d.) Således våra starka rumsliga blandningsresultat ger snabb blandning korollärer för grannskap-amenable grafer såsom lattices.
Resultaten av 9-färger av den triangulära lattice som vi presenterar i detta dokument bygger på det 10-färg bevis som ges av Goldberg, Martin och Paterson i REF.
Strong spatial mixing with fewer colours for lattice graphs
{'venue': 'Proc. 45th IEEE Symp. on Foundations of Computer Science', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}