Ett klassiskt teorem från konvexitet är att varje polytop P kan uttryckas som konvex skrov av dess n extrema punkter (eller hörn) V. Dessa beskrivningar av P kommer att kallas halvrymd respektive vertex beskrivningar, respektive. Storleken på en polytop, betecknad storlek (P) = (nz+n)d, är det utrymme som krävs för att lagra båda beskrivningarna av en polytop. Varje vertex av P ligger på d affinely oberoende hyperplane var och en av dem begränsar en halvrymd i %. Den uppsättning index av en sådan uppsättning av halvrymder kallas en bas. En polytop är enkel om var och en av dess hörn har en unik grund. Det finns tre nära relaterade beräkningsproblem när det gäller de två beskrivningarna av en polytop: q Vertex räkna problemet är att beräkna V från W, q Konvex skrov problem det att beräkna %! från V. q Polyfope verijlcation problem är att avgöra om en given vertex beskrivning och halvrymd beskrivning definierar samma polytop. Det är ett öppet problem om något av dessa problem kan lösas i tid polynom i storlek (P). Eftersom de två första problemen i huvudsak är likvärdiga under punkt/hyperplanets dualitet kommer vi i huvudsak att begränsa oss till vertex-räkningsproblemet, även om alla resultat gäller båda problemen. Det finns två huvudklasser av algoritmer för att lösa dessa problem: pivoting algoritmer och införande algoritmer. En pivoting algoritm för vertex räkning problem börjar med att hitta en bas av några vertex av P. Två baser av P är intilliggande om de skiljer sig i ett index endast. Denna adjacensförhållande definierar en graf på baserna av P, där varje kant motsvarar en pivot, ersätta exakt ett index i en bas. Alla hörn i denna graf genereras, från vilka de extrema punkterna av P är lätt beräknas. Representanter brenmer@cs.mcgill.ca Tillstånd att utan avgift kopiera hela eller delar av detta material beviljas under förutsättning att kopiorna inte görs eller distribueras för direkt kommersiell fördel, ACM copyright meddelande och titeln på publikationen och dess datum visas, och meddelande ges att kopiering är med tillstånd av Association of Computing Machinery, att kopiera på annat sätt, eller att återpublicera, kräver en avgift och / eller specifik tillstånd. och polytopverifieringsproblem (och genom dualitet konvexa skrovproblem för simplial polytoper) i tid polynom i storlek (P). För icke-enkla polytoper antalet baser kanske exponentiellt i storleken av P. För sådana polytoper pivoting algoritmer förlitar sig på perturbation, antingen symbolisk eller numerisk, för att minska beräkningstiden. I Avsnitt 3 ger vi en ganska allmän modell för pivoting algoritmer och giltiga perturbation system för polytoper. Vi ger sedan exempel på polytoper för vilka ingen giltig perturbation system kan ge polynom tid pivoting algoritmer i denna modell. Det är dock välkänt att storlek (P) E Q (rnd) och denna gräns också uppnås. En effektiv vertex-räkningsalgoritm för sådana polytoper bör tydligt vara polynom i md. Det är inte känt om en sådan algoritm existerar. Exempel som har uppstått i praktiken (se t.ex. [5]) tyder på att storleken på polytoper av intresse ligger närmare den nedre gränsen än den övre. Eftersom det finns en så stor variation i utdatastorlekarna på vertex-räkningsproblem, föreslår vi storlek (P) som ett lämpligt mått på problemstorleken. Framgången av införandet algoritmer är allmänt tros bero på att hålla vertex komplexiteten av de mellanliggande polytoper som genereras liten genom omdömesgillt val av den ordning i vilken halvrymderna infogas. Även om detta är nödvändigt för framgång för sådana algoritmer, är det inte tillräckligt. Exemplen i Avsnitt 3 visar att implementationsalgoritmer som är beroende av triangulering (såsom de randomiserade och derandomiserade algoritmerna) kan prestera mycket dåligt, även när de mellanliggande polytoperna har liten storlek och oberoende av ordningen för insättning av halvrymderna. För införande algoritmer som inte förlitar sig på triangulation, valet av insättningsordning är verkligen en kritisk faktor. Dyer [10] använder ett resultat av Klee [14] för att ge en familj av polytoper för vilka det finns en ordning av halvrymdsinsättning som gör att varje insättningsalgoritm bygger exponentiellt stora intermediära polytoper. Dyers 1:e beräkningsgeometri, Vancouver, f.Kr. Försäkringstekniska avsättningar för försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet – försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet – försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet – försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet – försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet – försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet – försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet – försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet – försäkringstekniska avsättningar beräknade som helhet (efter återförsäkring/specialföretag)
Icke desto mindre kan komplexiteten hos metoden med dubbel beskrivning vara exponentiell i storleken på indata och utdata (se REF som visar hur man bygger "dåliga" kandidater).
How good are convex hull algorithms?
{'venue': "SCG '95", 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Computer Science']}