Abstrakt. Detta papper studerar geometrin av en-parameter specialiseringar av subvarianter av Grassmannians och två-stegs flagga sorter. Som en följd av detta får vi en positiv, geometrisk regel för att uttrycka strukturkonstanterna i kohomologin för tvåstegsflaggsorter när det gäller deras Schubert-bas. En korollary är en positiv, geometrisk regel för att beräkna strukturkonstanterna i den lilla kvantkohomologi av Grassmannians. Vi får också en positiv, geometrisk regel för att beräkna de klasser av subvarianter av Grassmannians som uppstår som projektion av skärningspunkten mellan två Schubert sorter i en partiell flagga sort. Dessa regler har många tillämpningar för geometri, representationsteori och teorin om symmetriska funktioner. Detta papper studerar geometrin av en-parameter specialiseringar av subvarianter av Grassmannians och tvåstegsflagg sorter. Den första konsekvensen av vår studie är en ny positiv, geometrisk regel för att uttrycka strukturkonstanterna av kohomologiringen av Grassmannians i termer av deras Schubert bas (Theorem 3.21). Sådana regler är kända som Littlewood-Richardson regler. I själva verket, mycket mer allmänt, Algorithm 3.12 ger en positiv, geometrisk algoritm för att beräkna de klasser av subvarianter av Grassmannian som uppstår som projektion av skärningspunkten mellan två Schubert sorter i en partiell flagga sort. Den andra huvudtillämpningen av vår studie är en positiv geometrisk regel för beräkning av strukturkonstanterna hos tvåstegsflaggsorter i form av deras Schubert-bas (Theorem 4.21). Eftersom de treuddiga Gromov-Witteninvarianterna av en Grassmannian kan beräknas som vanliga korsningar av Schubert cyklar i tvåstegsflagg sorter [BKT], får vi också en kvant Littlewood-Richardson regel för Grassmannians (Theorem 5.1). 2000 Ämnesklassificering i matematik. Primär 14M15, 14N35, 32M10. Under utarbetandet av denna artikel fick författaren delvis stöd av en Clay Mathematics Institute Liftoff Fellowship. Fixa en beställd grund e 1,. .., e n av en vektor utrymme V. Låt W 1,. .., W k k distinkta delområden av V spänns av på varandra följande delar av den beställda basen. Betrakta subvarietyen av G(k, n) parameterizing k-plan som skär varje W i i i en specificerad dimension (med förbehåll för de nödvändiga kompatibilitetsvillkoren). Det första problemet vi tar itu med i detta dokument är problem 1.1. Ge en positiv, geometrisk regel för beräkning av kohomologin klass av  på. Observera att när vektorrymderna W i är helt beställda med avseende på inklusion, subvariety  på är en Schubert sort. Om vektorrymderna W i inte har några inklusionsrelationer mellan dem, då  på är skärningspunkten mellan två Schubert sorter i G(k, n). Mer allmänt, projektion av skärningspunkten mellan två Schubert sorter i F (k 1,. ..., k r ; n) till G( k i, n) kan beskrivas som en mängd olika formulär. Vårt första huvudresultat är en positiv, geometrisk regel för att uttrycka klassen av  och i termer av Schubert cykler. Det andra huvudsakliga resultatet av detta dokument är en positiv geometrisk regel för beräkning av strukturkonstanterna för tvåstegsflaggsorter när det gäller deras Schubert-bas. Den strategi som leder till regeln fungerar för att beräkna klasser av subvarianter av andra partiella flagga sorter. Men för att hålla detta dokument på en rimlig nivå begränsar vi vår diskussion till tvåstegsflaggsorter. Läsaren kan konsultera [CV] för exempel på trestegsflaggsorter. Förutom att vara ett steg i att förstå geometrin av godtyckliga partiella flagga sorter, studien av två steg flagga sorter är intressant i sin egen rätt. Till exempel har arbetet av Buch, Kresch och Tamvakis ([BKT]) lyft fram ett vackert samband mellan den lilla kvantkohomologin av Grassmannians och kohomologin av tvåstegsflaggsorter. Det slutliga resultatet av detta papper är en kvant Littlewood-Richardson regel för Grassmannians.
Coskun REF gav en positiv geometrisk regel för att beräkna strukturkonstanterna i kohomologiringen av tvåstegsflaggsorter i form av mondrian tablåer.
A Littlewood–Richardson rule for two-step flag varieties
{'venue': None, 'journal': 'Inventiones mathematicae', 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}