Kvantstatustomografi är uppgiften att härleda tillståndet för ett kvantsystem genom lämpliga mätningar. Eftersom frekvensfördelningen av resultaten av ett begränsat antal mätningar i allmänhet avviker från deras asymptotiska gränser, sammanfaller de skattningar som beräknas med standardmetoder i allmänhet inte med det verkliga tillståndet och har därför ingen operativ betydelse om inte deras noggrannhet definieras i termer av felgränser. Här visar vi att kvanttillståndstomografi, tillsammans med ett lämpligt dataanalysförfarande, ger tillförlitliga och snäva felgränser, specificerade i termer av förtroenderegioner-ett begrepp som härrör från klassisk statistik. Förtroenderegioner är undergrupper av det tillståndsutrymme där det verkliga tillståndet ligger med hög sannolikhet, oberoende av eventuella förutfattade meningar om fördelningen av de möjliga tillstånden. Vår metod för beräkning av förtroenderegioner kan tillämpas på godtyckliga mätningar inklusive helt sammanhängande sådana; den är praktisk och särskilt väl lämpad för tomografi på system som består av ett litet antal qubits, som för närvarande är i fokus för intresset för experimentell kvantinformationsvetenskap. PAC-nummer: 03.65. Wj, Tillståndet i ett klassiskt system kan i princip bestämmas till godtycklig precision genom att tillämpa en enda mätning på det. Alla imprecisions beror enbart på felaktigheter i mättekniken, men inte av grundläggande natur. Detta är annorlunda i kvantteorin. Det följer av Heisenbergs osäkerhetsprincip att mätningarna i allmänhet har en slumpmässig komponent och att enskilda mätresultat endast ger begränsad information om systemets tillstånd – även om en idealisk mätanordning används. För att illustrera denna skillnad är det bra att ta ett informationsteoretiskt perspektiv. Anta till exempel att vi presenteras med ett system på två nivåer som vi inte har någon tidigare information om förutom att det har förberetts i ett rent tillstånd, och vår uppgift är att fastställa detta tillstånd. Om systemet var klassiskt finns det bara två möjliga rena tillstånd, och en enda bit information räcker därför för en fullständig beskrivning. Dessutom räcker en enda mätning av systemet för att hämta denna bit. Men om systemet var kvantum blir situationen mer intressant. Ett kvantsystem på två nivåer (en qubit) medger ett kontinuum av rena tillstånd som till exempel kan parameteriseras av en punkt på Bloch-sfären. För att fastställa denna punkt till en given exakthet krävs minst log 2 (4/ på 2 ) bitar av information [45]. Omvänt, enligt Holevo's bundet [1] kommer varje mätning som tillämpas på en enda qubit att ge oss högst en bit information. Och även om n identiskt förberedda kopior av qubit mättes, kan högst log 2 (n + 1) bitar av information om deras tillstånd erhållas [46]. Därav exaktheten,  på vilket tillståndet kan bestämmas förblir alltid ändlig ( till ≥ 2 ε n+1 ), vilket kräver specifikationen av felstänger. Den inverkan som slumpmässigheten i mätdata har på skattningarnas exakthet har studerats ingående i statistik och särskilt i skattningsteori [2]. Det senare handlar om det allmänna problemet med att uppskatta parametrarnas värden från data som probabilistiskt beror på dem. Data kan erhållas från mätningar på ett kvantsystem med parameterberoende tillstånd enligt kvantuppskattningsteori [3]. Kvantstatustomografi kan ses som ett speciellt fall av kvantuppskattning, där man strävar efter att uppskatta en uppsättning parametrar som är tillräckligt stora för att fullständigt bestämma systemets tillstånd [4][5][6][7][8][9][10]. Ett uppenbart val av parametrar är matriselementen hos en täthetsoperatör som representerar staten. På grund av den finita noggrannheten motsvarar de enskilda uppskattningarna för matriselementen i allmänhet inte en giltig täthetsoperatör (t.ex. kan matrisen ha negativa eigenvärden). Detta problem undviks med andra tekniker, såsom uppskattning av maximal sannolikhet (MLE) [8, 11, 12], som i stor utsträckning har använts i försök [13][14][15] [16] [17] [18] [19], eller bayesisk uppskattning [3, [20] [21] [21] [23] [24] [25]. I MLE kan en uppskattning för felstängerna erhållas från bredden på sannolikhetsfunktionen, som ungefär motsvarar Fisher-informationsmatrisen [10, 11, [26] [27] [28] [29]. I nuvarande experiment använder man också numerisk rimlighetstest som kallas "bootstrapping" eller, mer allmänt, "resampling" [18, 30] för att erhålla gränser på felen. Trots att dessa gränser är rimliga i många praktiska situationer är det dock inte känt att de har en väldefinierad operativ tolkning och kan, när det gäller omprovtagningsmetoden, leda till en underskattning av felen [31]. Däremot kan Bayesian metoder användas för att beräkna "trovärdighet regioner", dvs delmängder av det tillstånd utrymme där staten finns med hög sannolikhet. Denna sannolikhet beror dock på valet av "prior", vilket motsvarar ett antagande om fördelningen av staterna före mätningarna (i synnerhet kan antagandet inte motiveras av experimentella data). Dessutom påpekar vi att de flesta kända tekniker bygger på antagandet av oberoende och identiska mätningar (ett anmärkningsvärt undantag är en-qubit adaptive tomografi analys av [32] ). Vi hänvisar till [24] för en ytterligare diskussion om för närvarande använda metoder för kvanttillstånd tomografi, inklusive pedagogiska exempel som illustrerar deras begränsningar. I detta brev introducerar vi en metod för att erhålla förtroende arXiv:1108.5329v2 [quant-ph] 7 Nov 2012 2 regioner, det vill säga regioner i tillståndsutrymme som innehåller det sanna tillståndet med hög sannolikhet. En punkt i regionen kan då tjäna som uppskattning och det maximala avståndet mellan punkten och gränsen i regionen som felrad. Vår metod gör det möjligt att analysera data som erhållits från godtyckliga kvantmätningar, inklusive helt sammanhängande sådana. Metoden bygger inte på några antaganden om den tidigare fördelningen av de stater som ska mätas. Detta gör den mycket robust så att den till exempel kan tillämpas i samband med kvantkryptografi, där de tillstånd som ska uppskattas väljs motsträvigt. Resten av detta brev är organiserat enligt följande. Vi beskriver först en mycket allmän uppställning för tomografi av kvanttillstånd förberedda i en sekvens av experiment, där vi inte gör det typiska antagandet att staterna är oberoende och identiskt fördelade (i.i.d.). Vi visar sedan att staternas egenskaper kan härledas på ett tillförlitligt sätt med hjälp av ett lämpligt tomografiskt dataanalysförfarande (Theorem 1). I motivation och anda relaterar detta resultat till den senaste tidens forskning om kvant de Finetti-representationer. Vi specialiserar sedan vår installation på fallet där, i princip, experimenten kan köras ett godtyckligt antal gånger (även om fortfarande endast ändligt många körningar används för att generera data). Detta specialfall är (av quantum de Finetti theorem) motsvarande en i.i.d. Förberedelse av staterna, vilket motiverar den gemensamma i.d. Antagande i dataanalys. Teorem, som tillämpas på detta specialfall, resulterar sedan i en konstruktion för förtroende regioner för kvanttillstånd tomografi (Kollari 1). General Scenario.-Konsidera en samling S 1,. ., S n+k av finita-dimensionella kvantsystem med tillhörande Hilbert rymd H, enligt bild. 1 (se även [33] och [34], där en liknande inställning beaktas). Vi betecknar med d dimensionen av H. Till exempel kan man tänka på n + k partiklar som beretts i en serie experiment, där H kan motsvara spinn graden av frihet. Från denna samling väljs ett prov som består av n-system slumpmässigt och mäts enligt en (arbiträr) positiv operator värderad åtgärd (POVM) {B n }, en familj av positiva semi-definita operatörer B n på H  på sådan att B n B n = 1  på H. Det vill säga, varje POVM element B n motsvarar en möjlig sekvens av utfall som följer av (inte nödvändigtvis oberoende) mätningar på n-system. Målet med kvanttillståndstomografi är att härleda tillståndet för de återstående k-systemen med hjälp av resultaten av dessa mätningar. Observera att de extra k-systemen inte mäts under datainsamlingen. De spelar dock en roll i det ovannämnda scenariot, eftersom de används för att operativt definiera vilket tillstånd vi drar slutsatser om. (I det särskilda fallet med i.i.d. de extra systemen är helt enkelt kopior av de uppmätta systemen-se nedan.) Vi noterar också att i stället för att mäta ett urval av n system som valts slumpmässigt, kan man motsvarande permutera den ursprungliga samlingen av n + k system slumpmässigt och sedan mäta den första n av dem, dvs, S 1,. .., S n. Vi kommer att använda denna alternativa beskrivning för vår teoretiska analys. För att beskriva våra huvudsakliga resultat, föreställer vi oss att mätresultat B n behandlas av en dataanalys rutin som ger en sannolikhetsfördelning μ B n på uppsättningen Mätningar tillämpas på ett prov S1,. .., Sn bestående av n-system, slumpmässigt utvalda från en samling av n + k-system. Resultaten av mätningarna samlas in och ges som indata, B n, till ett dataanalysförfarande (orange). Målet med kvanttillståndstomografi är att göra tillförlitliga förutsägelser om tillståndet för de återstående k (icke-mätta) systemen Sn+1,. ..., S n+k. För att modellera sådana förutsägelser, vi anser hypotetiska tester, som utdata "framgång" när deras inmatning har en önskad egenskap (blå). Eftersom endast utgången av dataanalysförfarandet, μBn, är det möjligt att karakterisera de tester Tμ B n som passerar med hög sannolikhet-oberoende av det ursprungliga tillståndet för n + k-system (Theorem 1). av blandade tillstånd, definierade enligt bild. 2 för en illustration). Här betecknar dσ HilbertSchmidt-måttet med dσ = 1. Dessutom är en normaliseringskonstant, där K = H  på = C d och där 1 Sym n (H på K) är projektorn på den symmetriska subrymden (H på K). Observera att i Bayesian statistik, μ B n (σ)dσ motsvarar en posteriori distribution vid uppdatering av en Hilbert-Schmidt tidigare dσ. Dessutom är i MLE, σ → tr[σ  på B n ] känd som sannolikhetsfunktionen. Eftersom vårt arbete inte bygger på någon av dessa metoder, dock, vi kommer inte att använda denna terminologi och bara hänvisa till μ B n. Tillförlitliga förutsägelser.-Vi visar nu att μ B n innehåller all information som är nödvändig för att göra tillförlitliga förutsägelser om tillståndet för de återstående systemen S n+1,. ..., S n+k. För att specificera dessa förutsägelser anser vi hypotetiska tester, en kvantversion av ett liknande begrepp som används i klassisk statistik. Alla sådana tester verkar på det gemensamma systemet som består av S n+1,. .., S n+k (se bild 1 )............................................................................................................... Matematiskt, en 3 FIG. 2: Illustration av μBn. Graferna visar μBn för mätningar som utförs på n = 20 och n = 240 qubits (för illustrationsändamål visar vi bara densiteten μBn på ytan av Bloch bollen). Hälften av qubits har uppmätts i z-riktningen och hälften i y-riktningen med relativa frekvenser på 0,2, 0,8 respektive 0,7, 0,3. Man observerar en snabb minskning av storleken på de ljusa regioner (som är anslutna med ett ljust rör inuti Bloch bollen), som motsvarar stora värden av μBn.
Utöver dess användning som punktuppskattare används den maximala liknande estimatorn som grund för slutsatser kring punktuppskattningen, via konfidensintervallen REF och trovärdiga regioner.
Reliable Quantum State Tomography
{'venue': 'Physical Review Letters 109, 120403 (2012)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Mathematics', 'Medicine']}