Komplexa nätverk kan modellera strukturen och dynamiken hos olika typer av system. Det har visat sig att de kännetecknas av en uppsättning åtgärder. I detta arbete utvärderar vi variabiliteten i komplexa nätverk åtgärder står inför perturbationer och, för detta ändamål, vi införa kontrollerade perturbationer och kvantifiera deras effekt. Vi analyserar teoretiska modeller (random, small-world och skal-free) och verkliga nätverk (ett samarbetsnätverk och ett metaboliskt nätverk) tillsammans med den kortaste vägen längd, vertex grad, lokala kluster koefficient och mellanhet centralitet åtgärder. I en sådan analys föreslår vi att man använder tre stokastiska kvantifierare: Kullback-Leibler divergensen och Jensen-Shannon- och Hellinger-avstånden. Känsligheten av dessa åtgärder analyserades med avseende på följande perturbationer: kanttillägg, kantborttagning, kantomkoppling och nodborttagning, alla tillämpade vid olika intensiteter. Resultaten visar att evalu- * Korresponderande författare. Tfn:+55 8232141882 E-postadresser: raquelcabral@gmail.com (Raquel S. Cabral), acferry@gmail.com (Alejandro C. Frery), jramirez@ufmg.br (Jaime A. Ramírez) Preprint inlämnad till Physica A: Statistisk mekanik och dess tillämpningar juli 31, 2014 arXiv:1407.7890v1 [physics.soc-ph] 29 jul 2014 ated åtgärder påverkas av dessa perturbations. Dessutom, hypoteser tester utfördes för att verifiera beteendet hos graden fördelningen för att identifiera intensiteten av de störningar som leder till att bryta denna egenskap. Nyckelord: komplexa nätverk, åtgärder, stokastiskt avstånd, variabilitet Komplexa nätverk är system vars struktur är oregelbunden, komplex och dynamiskt utvecklas i tiden [1]. Under de senaste åren, ett antal åtgärder har utvecklats för att kvantifiera strukturen och beteendet hos sådana system, som ger en ram som tillåter dess karakterisering, analys och modellering, återspeglar olika funktioner i nätverket såsom, konnektivitet, centralitet, cykler, avstånd, bland annat. Valet av en lämplig åtgärd för karakterisering av ett nätverk utförs genom att utvärdera dess beteende, och beror främst på tre faktorer: (i) datatillgänglighet, (ii) lagringskapacitet och bearbetning och (iii) intresse för att karakterisera beteendet hos åtgärderna. I detta förfarande kartläggs nätverket in i en funktionsvektor [2] ; i många fall är dock kartläggningen inte komplett och beskriver inte exakt nätverkets verkliga struktur. I sådana fall är det viktigt att utvärdera åtgärdernas resultat när oväntade förändringar sker i näten. Till exempel, vad är beteendet hos åtgärderna om nätverket förlorar länkar eller noder? eller, bryter dessa förändringar de egenskaper som används för att beskriva nätverksstrukturen? För att ta itu med sådana problem är det nödvändigt att jämföra olika tillstånd i nätverket. I detta arbete undersöker vi användningen av metoder från informationsteorin, särskilt konceptet Stochastic Quantifiers, som ett sätt att kvantifiera de 2 förändringarna. Det finns några verk som utforskar användningen av stokastiska åtgärder för att analysera beteendet hos komplexa nätverk. Wang m.fl. [3] använde begreppet Entropy of the grade distribution för att ge en mängd av nätets heterogenitet, eftersom denna åtgärd kvantifierar mångfalden i länkdistributionen. De studerade också robustheten i skalfria nätverk med hjälp av Entropy. En vanlig metod för att ta itu med de frågor som ställdes tidigare är att använda prover från nätverket, i stället för att helt överväga det. Detta sparar minne och bearbetningstid. Boas m.fl. [4] använde Kullback-Leibler-differentieringen för att jämföra olika tillstånd i nätet och bedömde lämpligheten av att använda nätprover. Denna skillnad kan dock inte betraktas som ett avstånd eftersom den inte är pendlande. Vi utökar dessa resultat på två sätt, nämligen (i) vi analyserar beteendet hos fyra åtgärder som tillämpas på olika teoretiska nätverksmodeller och verkliga nätverk, och (ii) vi jämför känsligheten hos tre stokastiska kvantifiers med avseende på flera perturbations av nätverken, inklusive nod borttagning. Studiet av utvecklingen av komplexa nätverk är en viktig fråga på grund av deras dynamiska karaktär. Bland de förändringar ett nätverk kan utsättas för, kommer vi att överväga nod borttagning, kant addition, kant avlägsnande, och kant omkoppling. Sådana störningar beskriver vanliga förändringar i praktiska situationer som t.ex. en nods död, skapandet och borttagandet av en koppling och båda operationerna på en gång. Carpi m.fl. [5] föreslog en ny kvantifier baserad på informationsteori för analys av utvecklingen av små globala dynamiska nätverk. Den 3 kvantifiern, en statistisk komplexitetsmätare, används för att beräkna förändringar i den topologiska slumpmässigheten för gradfördelning av nätverket. Den erhålls genom produkten av den normaliserade Shannon-entropin och den normaliserade Jensen-Shannon-sträckan. Denna kvantifier kräver att en sannolikhetsfördelning används som referens för att beräkna avståndet Jensen-Shannon. Författarna använde sig av tre referensdistributioner: Poisson, uniform och den distribution som motsvarar den vanliga lattice. Analysen av störningar i nätverk har också studerats med två praktiska syften i åtanke: deras sårbarhet för attacker och identifiering av element vars misslyckande leder till ett sammanbrott. sårbarheten är associerad med minskningen av nätverksprestanda när strukturella förändringar inträffar; dessa kan orsakas av slumpmässig eller riktad borttagning av hörn, kallas fel respektive attack, respektive. Åtgärder relaterade till denna egenskap är ofta definierade i termer av den kortaste sökvägen längd och storleken på de anslutna komponenterna i grafen. Huvudidén är att avsiktligt tillämpa en sekvens av misslyckanden (eller attacker) på nätverket, och att observera dess beteende [6] [7] [8] [9] [10]. I detta sammanhang har många verkliga nätverk undersökts. P.O. et al. [11] studerade beteendet hos nätverksstyrning under sårbarhet för nät- Uppdelningen fenomen i nätverk avser en typ av kaskadprocess, där misslyckandet av en enda eller några noder kan resultera i kollaps av deras funktionalitet. I nät med eldistribution, till exempel, fel på en nod kräver att dess belastning omfördelas till andra noder, orsakar ett nätverk överbelastning och eventuellt andra fel [14, 15]. Cabral m.fl. [16] presenterade analysen av kommunikationsstrategier i trådlösa sensornätverk genom att analysera variationen i det kortaste längdmåttet vid översvämningar, slumpmässiga, småvärlds- och skalfria nätverk. Variationen av denna åtgärd analyserades med avseende på införande och avlägsnande av noder vid översvämningar, och med avseende på införande, avlägsnande och omkoppling av länkar i strategin baserad på komplexa nätverk. Stochastic kvantifiers, nämligen den normaliserade Kullback-Leibler divergens och Hellinger avstånd användes för att kvantifiera variationen av de kortaste vägarna. Målet med detta arbete är att analysera beteendet hos åtgärder ansikte mot nätverk störningar. Vi föreslår användning av kvantifiers baserat på information teoretiska verktyg för att utföra denna analys. De komplexa nätverksåtgärder som utvärderades var kortaste vägar längd, vertex grad, lokala kluster koefficient och mellanhet centralitet. Den första beräknas för varje par av noder och de andra beräknas för varje nätverk nod. Vi jämför resultaten, som är vektorvärderade mått, med hjälp av stokastiska skillnader mellan diskreta sannolikhetsfördelningar. Dessutom föreslår vi användningen av ett komplext nätverk kan beskrivas som en oriktad graf G = (V, E), där V = {v 1, v 2,. .., v N } är uppsättningen hörn (eller noder), och E = {e 1, e 2,. På detta sätt kan det problem som tas upp i detta arbete anges enligt följande: Problem 1. Låt G vara en klass av komplexa nätverk, F = {f 1, f 2,. .., f F } en vektor av egenskaper hos G, och Π = {π 1, π 2,. .., π P } en uppsättning diagram perturbationer. Vi är intresserade av F:s beteende som tillämpas på G innan D. Med andra ord, vi vill veta hur perturbations under bedömning ändra de inneboende egenskaperna hos den berörda klassen av grafer För att göra denna analys tar vi delar av G, säger g 1, g 2,. .., g Z, och underkasta varje till en serie av störningar. Till exempel, g j omvandlas till η 1,j = På detta sätt har vi Π : G = (V, E) → 6 G = (V, E ), där V och E är de nya uppsättningar av hörn och kanter, definieras enligt typen av perturbation Π tillämpas på G. I komplexa nätverk, fyra typer av perturbationer är mycket vanliga och tillämpades i denna metod: • Kant tillägg π ae : en kant (v i, v j ) E läggs till på G, inställning E = E  och (v i, v j ), dvs π 1 : E = {e 1, e 2,. .., e M } → E = {e 1, e 2,. .., e m, e M +1 }. • Kantborttagning □ re : en kant., e m, e m, e m +1,.................................................................................................. .., e M } → E = {e 1, e m1, e m+1,............................................................. → E = {e 1............................... .., e M −1 }....................................................................................... I detta fall kan grafen kopplas bort. • Kantomkoppling □ vi : två kanter d.v.s. π 3 : E = {e 1, e 2,. ., e M } → E = {e 1, e i-1,.................................................... .................................................................. • Node borttagning π rv : a vertex v j V tas bort från G, sedan V = V \ v j och E = E \ (v j, v i ), där v i är hörnen kopplade till v j, dvs π 4 : och π 4 : E = {e 1, e 2,. .., e M } → E = {e 1, e 2,. ., e M −x }, där x är antalet kanter som var kopplade till v j före avlägsnandet. Vi studerar sedan provmängder (mått) av de perturbed proverna och använder de stokastiska kvantifieringarna för att jämföra dem. I detta avsnitt fokuserar vi på beskrivningen av de komplexa nätverksåtgärder, modeller och stokastiska åtgärder som används för att utvärdera effekterna av pertur-7 bations på nätverk. Figur 1 visar stegen för att utföra analysen. Med tanke på det ursprungliga nätverket g j, först vi beräkna åtgärderna F och få, till exempel f k (g j ). Vi tillämpar sedan perturbation π i till g j, producera nätverket η ij = π i (g j ) och beräkna åtgärderna F för η ij och få, till exempel, och H[f k (η ij )) för att jämföra dem med de stokastiska kvantifiers D. Stochastic kvantifiers har visat sig uppvisa goda diskriminerande egenskaper i ett antal problem [4, 5].  Den strukturella analysen eller karakteriseringen av ett nätverk kan göras med de åtgärder som valts för analysen är bland de mest använda för att karakterisera ett stort antal nätverk. De används också som grund för att definiera andra åtgärder, och de återspeglar dessutom viktiga nätverksfunktioner. De definieras enligt följande: Kortaste vägen (i,j), eller geodesiska vägen, är någon väg som förbinder hörnen i och j med minimalt avstånd. Detta är ett mått på effektiviteten hos information eller masstransport på ett nät. Vertex grad i av en nod i i ett nätverk är antalet kanter incident till det, och definieras i termer av adjacency matris A N × N som: Gradfördelningen p(σ) av en graf G är förmodligen den mest utbredda topologiska karakteriseringen av grafer. Det definieras som sannolikheten att en nod som väljs jämnt på måfå har grad σ, dvs. fraktionen av noder i grafen med grad σ [1]. Lokal klusterkoefficient C i, eller transitivitet, är en åtgärd som kännetecknar gruppering i komplexa nätverk. Först introduceras till oviktade grafer av Newman och Watts [18], kan denna åtgärd definieras som antalet kanter (betecknas av ne i ) som förbinder grannar av node i: där i (σ i − 1)/2 är det maximala antalet kanter i sub-grafen av grannar av i. Mellanhet centralitet B u är ett mått på en vertex centralitet i ett nätverk. Det är lika med antalet kortaste vägar i nätverket som passerar genom att vertex v u, definieras som: där σ(i, u, j) är antalet kortaste vägar mellan v i och v j som passerar genom v u, σ(i, j) är det totala antalet kortaste vägar mellan v i och v j. De tre första åtgärderna används för att karakterisera de teoretiska nätverksmodellerna och de senare identifierar viktiga komponenter i nätet. Vi använder både teoretiska modeller och verkliga nätverk för att studera effekten av störningar i komplexa nätverk. De teoretiska modellerna används i stor utsträckning för att beskriva verkliga nätverk, särskilt Erdős Rényis slumpmässiga modell, Watts-Strogatz småvärldsmodell, Barabási-Alberts skalfria modell. De verkliga nätverken är de metaboliska nätverken och samarbetsnätverken. De viktigaste egenskaperna hos dessa nät är följande: Slumpmässig modell G ER, i denna modell sannolikheten att ansluta varje par av noder är densamma. Gradfördelningen av denna modell är en Poisson distribution: där c är den genomsnittliga graden av nätverk. Det finns två sätt att bygga en slumpmässig graf [19]: N noder och exakt M länkar, och N noder och sannolikheten 0 < p c < 1 att ansluta varje par av noder. I den första beskrivningen är M-länkarna jämnt fördelade mellan N (N − 1)/2 möjligheter. I den andra beskrivningen, som är den vi antog här, vi börjar med en helt frånkopplad graf och sedan ansluta varje par av noder med sannolikhet p c, så sannolikheten för att observera 0 ≤ ε ≤ N − 1 anslutningar i varje nod följer en Binomial fördelning med N −1 prövningar och sannolikheten för framgång p c, vilket leder till c = (N −1)p c. Small-world modell G W S, presenterar en hög kluster koefficient och en liten kortaste spårlängd, så det är en modell mellan regelbundna och slumpmässiga nätverk. Gradfördelningen av denna modell är: där δ ≥ c/2, c är den genomsnittliga graden av nätverk och p r är en sannolikhet för omkoppling kanter. Om ί < c/2 sedan p(σ) = 0. Det finns flera sätt att bygga ett sådant nätverk; i detta arbete använder vi Watts-Strogatz-modellen. Denna modell börjar med en cirkulär regelbunden topologi med N noder, var och en ansluten till c/2 närmaste grannar i varje riktning (höger eller vänster i cirkulär topologi). Därefter är varje länk slumpmässigt "rewired" med sannolikhet p r [20]. Skala-fri modell G BA, det visar en makt lag examen distribution Huvud draget i denna topologi är förekomsten av några noder med hög grad, ofta kallad "hubs". För att generera denna topologi använder vi Barabási-Albert skala-fri modell som börjar med ett litet antal noder n 0 ≥ 2 med m 0 länkar, och i nästa steg läggs en ny nod med m länkar till nätverket (med m ≤ n 0 ). Sannolikheten anslutningen är linjärt proportionell till nodgrad [21]. Metabola nätverk Metabola och fysiska processer som bestämmer de fysiologiska och biokemiska egenskaperna hos en cell kan beskrivas av Next avsnitt undersöker de stokastiska åtgärder som används i detta arbete, det vill säga användningen av verktyg som härrör från informationsteori, särskilt Kullback-Leibler divergens, och Jensen-Shannon och Hellinger avstånd. I sannolikhetsteori och statistik är mått, skillnader och avstånd populära mått för att jämföra olika sannolikhetsfördelningar. Om fyra minuter. D(p, q) D(p, r)+D(r, q), triangelojämlikhet för alla andra sannolikhetsfunktion r definieras på samma sannolikhetsutrymme. Ett avstånd krävs inte för att uppfylla egendom 4 och en avvikelse krävs endast för att uppfylla fastigheterna 1 och 2 [25]. Om man antar att skillnaden mellan Kullback och Leibler är större än 0 för varje händelse, definieras den som: Shannon Entropy S(p) för distributionen p enligt överenskommelsen 0 ln 0 = 0. Jensen-Shannon avstånd definieras som Hellinger avstånd inte tvingar positivitet på sannolikheterna; det definieras som För att göra Kullback-Leibler divergens (en obegränsad positiv kvantitet) och Hellinger avstånd (som är begränsad till [0, 1] intervallet) jämförbara, i resten av detta arbete kommer vi att använda den normaliserade Detta avsnitt presenterar en simulering studie som utvärderar beteendet hos åtgärder från komplexa nätverk med avseende på störningar, dvs, vi är intresserade av beteendet hos F tillämpas på G i samband med Π. Vi tar element av G och underkastar var och en av dem en serie perturbationer som jämför olika tillstånd i nätverken med olika kvantifiers. Den studie som presenteras här visar tillämpningen av den metod som beskrivs i figur 1, begränsad till följande omfattning: de teoretiska modeller som undersökts är slumpmässiga, smallworld och skalfria, och verkliga nätverk som undersökts är samarbetsnätverk och metaboliska nätverk. De åtgärder som beaktas är den kortaste banor längd ( (i,j) ), vertex grad (σ i ), lokala kluster koefficient (C i ) och mellanhet centralitet (B i ), så F = { (i,j), δ i, C i, B i }. De perturbationer tillämpas är kant addition (π ae ), kant avlägsnande (π re ), kant rewiring (π vi ) och nod avlägsnande (π rv ), så Π = { □ ae, π re, π vi, π rv }. Dessutom, för att utvärdera beteendet hos F, använder vi som kvantifiers Kullback-Leibler divergens (D KL ) och två avstånd: Jensen-Shannon (D JS ) och Hellinger (D H ). De simuleringsantaganden och parametrar var: Teoretiska modellparametrar: nätverk med N = {1000, 5000, 10000} hörn och genomsnittsgrad lika med c = 6 för de tre modellerna. Sannolikheten för anslutning (p c ) i den slumpmässiga modellen var 0,06, 0,012 och 0,0006 till 1000, 5000 och 10000 noder, respektive. Den närmaste grannar och sannolikhet rewiring i small-world modeller var tre och p r = 0,3, respektive. Antalet länkar som lades till i varje steg i den skalfria modellen var m = 1. Real Network data: två verkliga data utvärderades, nämligen: • WIT databasen [26] ger beskrivningar för metaboliska nätverk av 43 olika organismer baserat på data för sex arkea, trettiotvå bakterier och fem eukaryoter organismer. Vi analyserade det metaboliska nätverket av Escherichia coli, som har 778 noder. Data laddades ner från Center for Complex Networks Research 1, graferna var de som presenterades i Jeong et al. [22]............................................................................................................. • I de vetenskapliga samarbetsnätverken undersökte vi collabo- och noder (node borttagning). Histogram: för varje nätverk (teoretiska och verkliga), normaliserade hans- Simulering parametrar: för varje modell nätverk (teoretiska och verkliga) vi genererade 10 olika nätverk och för varje nätverk 20 olika perturbationer gjordes. Varje replikering avser ett tillstånd av nätet g j efter en perturbation π i, betecknad som η ij = π i (g j ). På så sätt kan vi presentera de genomsnittliga resultaten med symmetriska asymptotiska konfidensintervall på 95% signifikansnivå. Beräkningsresurser: Vi utförde vår utvärdering med hjälp av R plat-Fyra åtgärder analyserades med stokastiska kvantifiers. Resultaten sammanfattas i tabell 1 (klusterfaktor C i ), tabell 2 och figur 3 (kortaste längd (i, j) ), tabell 3 och figur 4 (vertex grad σ i ), tabell 4 och figur 5 (mellanhet centralitet B i ). Tabellerna visar maximivärdena för kvantifierarna för N = 10000 nivån perturbation på 10%. Resultaten för klusterkoefficienten C i visas inte här för korthet. Denna åtgärd uppvisade inga förändringar i fråga om kantförskjutningar och borttagande av nod i skalfri modell, vilket innebär att den kan anses vara robust eller okänslig i dessa fall. Denna åtgärd, när den tillämpas på slumpmässiga och små-världsmodeller, är något känslig för nod avlägsnande, är Hellinger avstånd den som varierar mest: i genomsnitt 0,052 i den lilla världen för den mest intensiva avlägsnande av noder, som vi kan se i tabell 1. Som presenteras i figur 3, de kortaste vägar (i, j) ) uppvisar samma beteende i alla modeller. Alla perturbations öka alla kvantifiers, dvs, de render progres- Vertex grad (σ i ), som presenteras i Figur 4, uppvisar samma beteende i alla modeller. Kanttillägg, kantborttagning och nodborttagning ökar alla kvantifierare, d.v.s. de gör gradvis olika grafer från den ursprungliga som graden av perturbation ökar. Kantomkoppling medför ingen märkbar skillnad, se. Den sista kolumnen i de tre blocken. Observera att konfidensintervallen är större för nodborttagning i små världar (1000 hörn) och skalfria (1000 och 5000 hörn) modeller, men man kan kontrollera ett asymptotiskt beteende. Bland de stokastiska kvantifieringarna, de mest känsliga för de två typer av perturbation som framkallar förändringar är Hellinger-avståndet När det gäller den skalfria modellen, varierar båda måtten kraftigt när små perturbationer tillämpas, men förändringen tenderar att stabiliseras, dvs den mättar, strax därefter, som vi ser i figur 5 med N = {5000, 10000} hörn; som vi ser i Fig. 3 a), Den maximala D JS är 0,002 för den mest intensiva tillägg av kanter ( Tabell 2 ). Gradfördelningen är känd för de modeller som behandlas här, se ekvationerna (4), (5) och (6) för de slumpmässiga, småskaliga respektive skalfria modellerna. Det är därför möjligt att tillämpa hypotestester för att kontrollera om den har ändrats eller inte och, om den har ändrats, om distributionen har ändrats. För att utföra testerna använder vi nätverk med N = 1000. Två hypoteser verifierades: 1. graden av distributionen av nätverken bevarades, dvs. H 0 : p g j (σ) = 23 p η ij (σ) för varje δ, och 2. graden bevarades, även om distributionen ändrades (första ordningens egendom). Vi använde Kolmogorov-Smirnov-testet för det förra och Studentens t-test för det senare. Den första hypotesen H 0 förkastades i både slumpmässiga och skalfria modeller efter det att perturbationer tillämpats. I den första modellen, när graden av perturbationer ökar, är p-värdena nära noll, så H 0 förkastades när perturbationen är större än 4%, se tabell 5. I den skalfria modellen är alla p-värden mindre än 0,05 för alla perturbationer. I synnerhet leder inte kantomkoppling till avvisande av H 0 i den slumpmässiga modellen, som vi observerar i figur 6 (a) (första linjen från ned till toppen och tredje kolumnen från vänster till höger). H 0 förkastades inte i de tre typer av kantskärvor som tillämpas på den lilla världen modellen, eftersom alla p-värden är större än 0,05 men annars är hypotesen förkastad för nod borttagning. Vi kan säga att när H 0 förkastas har störningarna lett till en uppdelning av graden av distribution av nätet. Studentens t test kontrollerar om examen bevarats efter perturbationer. Eftersom Kolmogorov-Smirnov-testet visade att examensfördelningen 24 G BA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G W S 100 100 100 100 100 100 100 0 0 G ER 100 30 0 100 25 0 100 100 100 100 35 0 bevarades endast för småvärlds- och slumpmässig modell, tillämpar vi Studentens t endast på dessa modeller och på kantförändringar (där antalet noder är detsamma). Figur 6 (b) visar resultaten i de små och slumpmässiga nätverken (uppifrån och ned) och de tre typerna av perturbation: kanttillägg, kantborttagning och kantomkoppling (vänster till höger kolumner), medan tabell 6 visar procentandelen avslagna situationer. I den lilla världen och slumpmässiga modeller, som nivån av kant addition och avlägsnande ökar p-värdena är nära noll, var graderna inte bevarade i perturbationer större än 3% för den första och 4% för den sista. Som förväntat ändrade inte kantomkopplingen graden (alla p-värden var större än 0,05). Två riktiga nätverk analyserades med stokastiska kvantifieringar: ett metaboliskt nätverk och ett samarbetsnätverk. Det metaboliska nätverket utvärderades med avseende på kanttillägg, kantborttagning och nodborttagning. För korthet visar vi bara resultaten för 10% π π π π vi 1% 4% 1% 1% 1% 1% 4% 10% G W S 100 0 0 100 0 0 100 100 G ER 100 0% 0 100 0 100 100 100 100 perturbationsnivå i tabell 7. Dessa resultat visar att variationen av kvantifiers är mycket liten, är Hellinger och Jensen-Shannon avstånd de som varierar mest respektive minst. Mått (i,j) och C i uppvisar samma beteende: perturbationer gradvis öka värdena på kvantifierarna, och är mer känsliga för kant addition; C i presenterar det högsta värdet till kant addition. Åtgärderna i och B i beter sig på samma sätt. Edge addition ökar kvantifiers på låga nivåer av perturbation (1%) och sedan tenderar att bli konstant när nivån av perturbation ökar; denna perturbation, vilket leder till ett slags mättnad i åtgärderna. Kantborttagning och nodborttagning ökar gradvis men något värdet på kvantifierarna. Samarbetsnätverket utvärderades med avseende på kanttillägg, kantborttagning och nodborttagning. Vi observerade att intensiteten perturbations påverkade inte beteendet av åtgärderna grad (σ), mellanhet (b) och kortaste vägar ( ), värdena på kvantifieringarna är mycket små som kan ses i tabell 8. Klustret koefficient varierar när nätverket utsattes för kant perturbations, värdena av kvantifiers ökar gradvis med ökande nivåer av perturbationer. Detta beteende beror på det faktum att 26 0,003 0,055 0,020 0,058 dessa nätverk är mycket kluster.  Analysen av variabiliteten i åtgärder i komplexa nätverk ger viktig information. Det ger en inblick i nätverkets beteende när det är stört, och det hjälper oss i utformningen av lämpliga lösningar för många applikationer. I denna tidning använde vi Hellinger och Jensen-Shannon avstånd, och den normaliserade Kullback-Leibler divergens för att jämföra olika tillstånd av nätverk: prover från slumpmässiga, små-världen, skala-fri, metabolic och samarbetsnätverk. Vi utförde fyra typer av perturbationer: addition, borttagning, omkoppling av kanter och borttagning noder. Vi analyserade hur bana längd, vertex grad, kluster koefficient och mellanhet centralitet förändring med avseende på olika nivåer av varje perturbation. Resultaten visade att klusterkoefficienten inte är känslig för dessa perturbationer i teoretiska modeller, men är mycket känslig i mycket klustererade nätverk. De övriga åtgärderna är känsliga för dessa förändringar och ändrar i de flesta fall sina värden i enlighet med intensiteten i störningen. Vår analys främjar identifieringen av förhållandet mellan styrkan i perturbations och förändringen av den kortaste vägen längd. Vi tillämpade hypotestester som gjorde det möjligt att identifiera vilka störningar som ledde till uppdelningar i graden av distribution av näten. Användningen av kvantifieringar som innefattar logaritmer eller nyckeltal kanske inte är ett bra val för denna typ av karakterisering, eftersom förekomsten av nollor leder till numeriska problem och möjligen till felaktig tolkning av nätverksförändringar. Bekräftande
Cabral m.fl. REF mätte inverkan av slumpmässiga fel på verkliga nätverk och genererade grafer med hjälp av stokastiska kvantifieringar.
Variability Analysis of Complex Networks Measures based on Stochastic Distances
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science', 'Physics']}