Den väg som tas av en bil med en given minsta svängradie har en lägre gräns på dess krökningsradie vid varje punkt, men stigen har kurvor om bilen växlar in i eller ut ur backväxeln. Vad är den kortaste sådan väg en bil kan resa mellan två punkter om dess start och slut riktningar anges? Man behöver bara överväga vägar med högst 2 cusps eller vändningar. Vi ger en uppsättning vägar som är tillräcklig i den meningen att den alltid innehåller en kortaste väg och liten i den meningen att det finns högst 68, men oftast många färre vägar i uppsättningen för varje par av slutpunkter och riktningar. Vi ger dessa vägar en uttrycklig formel. Beräkna längden på var och en av dessa sökvägar och välja (inte nödvändigtvis unik) sökväg med minsta längd ger en enkel algoritm för en kortaste sökväg i varje fall. Dessa optimala banor eller geodesier kan beskrivas på följande sätt: Om C är en båge av en cirkel av den minsta svängradien och S är ett linjesegment, då är det tillräckligt att endast beakta vissa banor av formen CCSCC där bågar och segment passar smidigt, en eller flera av bågarna eller segmenten kan försvinna, och där reverseringar, eller motsvarande cusps, mellan bågar eller segment är tillåtna. Detta kontrasterar mot fallet när cusps inte är tillåtna, där Dubins (1957) har visat att vägar av blanketten CCC och CSC räcker. Vi vill hitta en kortaste väg i planet med angivna initiala och slutliga punkter och riktningar och med den ytterligare begränsningen att vid varje punkt ska krökningsradien vara > 1. Detta problem uppstod i en enkel modell för en robotvagn som rör sig under datorkontroll. Vagnen kan skifta i omvänd riktning så att stigen får lov att ha cusps. I ett elegant papper löste Lester Dubins (1957) problemet när bilen inte kan vända och cusps inte är tillåtna. Även i detta fall är det uppenbarligen omöjligt att ge en uttrycklig formel för den kortaste vägen. Istället ger Dubins en tillräcklig uppsättning vägar, d.v.s. en uppsättning som alltid innehåller vad han kallade en geodesisk, eller optimal väg. Hans tillräckliga uppsättning är så liten att det finns högst 6 utmanare i uppsättningen för varje fall av specificerade endpoint villkor, och det är en enkel fråga att hitta den kortaste av dessa 6, vilket ger en algoritm för lösningen. Han visade att varje geodesisk kan beskrivas med ett av sex ord:
För Reeds-Shepp-bilen visas det i REF att för varje par konfigurationer kan den kortaste banan väljas från 48 möjliga uppsättningar av stigar, av vilka var och en består av högst fem cirkulära eller raka segment och har högst två cusps.
Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards
{'venue': 'Pacific Journal of Mathematics', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}