Det affina rankminimeringsproblemet består i att hitta en matris av minsta rang som uppfyller ett givet system av linjära jämlikhetsbegränsningar. Sådana problem har dykt upp i litteraturen av en mängd olika fält, inklusive systemidentifiering och kontroll, Euclidean inbäddning, och samarbetsfiltrering. Även om specifika fall ofta kan lösas med specialiserade algoritmer, den allmänna affine rank minimization problem är NP-hård, eftersom den innehåller vektor kardinality minimization som ett specialfall. I detta dokument visar vi att om en viss begränsad isometry egenskap innehar för den linjära omvandling som definierar begränsningarna, kan den minimala ranglösningen återvinnas genom att lösa ett konvext optimeringsproblem, nämligen minimeringen av atomnormen över det givna afffinutrymmet. Vi presenterar flera slumpmässiga ensembler av ekvationer där den begränsade isometry egenskapen innehar med överväldigande sannolikhet, förutsatt att codimensionionen av subrymden är  och r (r(m + n) log mn), där m, n är dimensionerna av matrisen, och r är dess rang. De tekniker som används i vår analys har starka paralleller i den komprimerade avkänningsramen. Vi diskuterar hur affin rank minimering generaliserar detta redan existerande koncept och skisserar en ordbok som relaterar begrepp från kardinality minimization till de av rank minimization. Vi diskuterar också flera algoritmiska tillvägagångssätt för att lösa normminimeringsavkopplingar, och illustrerar våra resultat med numeriska exempel.
I REF visar de att om en viss begränsad isometrisk egenskap innehar för den linjära omvandling som definierar begränsningarna, kan den lägsta ranklösningen återvinnas genom avslappning av den nukleära normen.
Guaranteed Minimum-Rank Solutions of Linear Matrix Equations via Nuclear Norm Minimization
{'venue': 'SIAM Review, Volume 52, Issue 3, pp. 471-501 (2010)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}