Avvikelse från det vanliga paradigmet av lokala operationer och klassisk kommunikation som antagits i insnärjningsteori, här studerar vi interkonversion av kvanttillstånd med hjälp av lokala operationer och delad slumpmässighet. En uppsättning nödvändiga och tillräckliga villkor för att en sådan omvandling skall kunna ske mellan två givna kvanttillstånd anges i termer av den avkastning de ger i en lämplig klass av icke-lokala spel. Det visas att, som en följd av vårt resultat, en sådan klass av icke-lokala spel kan bevittna kvant insnärjning, hur svag, och avslöja icke-lokalitet i alla insnärjda kvanttillstånd. Ett exempel på detta ges. Det är ett faktum att resultaten av mätningar som utförs på rumsligt åtskilda (dvs. kvantsystem som inte kommunicerar) uppvisar ibland korrelationer, som inte kan förklaras klassiskt, när det gäller information som delas på förhand. Sådana korrelationer, som kallas ickelokala, avslöjas av kränkningen av en lämplig Bell ojämlikhet [1, 2]. En annan egendomligt icke-klassisk egenskap hos kvantteorin är förekomsten av kvantinsnärjning, d.v.s. Egenskapen hos sammansatta kvantsystem vars gemensamma tillstånd inte kan skrivas i produktform (eller, mer allmänt, som en blandning av tillstånd i produktform). Även om icke-lokalitet och insnärjning verkligen är intimt relaterade, är det numera allmänt accepterat att de i själva verket är två väl avgränsade begrepp: för det första, eftersom det finns insnärjda kvanttillstånd som beter sig "lokalt" i många aspekter [3, 4]; för det andra, eftersom kvanttillstånd som verkar vara "maximalt icke-lokala" i allmänhet inte är de "maximalt insnärjda" [5]. En sådan kvantitativ åtskillnad klargörs genom att man betraktar icke-lokalitet och insnärjning som två oekvivalenta resurser. I resursteorin för kvantinsnärjning är det operativa paradigmet allmänt känt som lokal verksamhet och klassisk kommunikation (LOCC) [6]: separerade parter får endast utbyta klassiska meddelanden, medan kvantoperationer (dvs. Förberedelse av kvanttillstånd, kvantmätningar etc.) Det kan bara ske lokalt. I synnerhet kan kvanttillstånd inte sändas direkt över skilda platser. LOCC-paradigmet, ursprungligen formulerat för att beskriva den "distanta laboratoriemodellen", är numera allmänt accepterat som det naturliga operativa paradigmet för att studera kvantinsnärjning som en resurs [7]: faktiskt, klassisk kommunikation kan inte generera insnärjning, som därmed blir en fysisk resurs som kan bearbetas, men inte skapas. I en resursteori om icke-lokalitet förefaller å andra sidan LOCC-paradigmet omotiverat: till och med enbart klassisk kommunikation utgör i själva verket en icke-lokal resurs och kan som sådan inte beviljas fritt. Av denna anledning anser vissa författare att det naturliga operativa paradigmet för icke-lokalitet är det för lokala operationer och delad slumpmässighet (LOSR) [8]. (Ett anmärkningsvärt undantag från detta argument uppstår om icke-lokalitet mäts i form av privata korrelationer: i detta fall kan offentlig klassisk kommunikation tillåtas fritt [9].) Inom ramen för LOSR är separerade parter förbjudna alla typer av kommunikation, men tillåts att "synkronisera" sin lokala verksamhet med avseende på en gemensam klassisk slumpmässig variabel som delas i förväg. Icke-lokala korrelationer definieras därför som de korrelationer som inte kan simuleras genom delad slumpmässighet [10], och icke-lokalitet blir naturligt en resurs i LOSR-paradigmet. Resursteorin om kvantinsnärjning, med avseende på resursteorin om icke-lokalitet, har hittills fått mycket mer uppmärksamhet i litteraturen: på motsvarande sätt är många resultat kända om interkonversion av kvanttillstånd genom LOCC-omvandlingar [7], medan mycket mindre är känt om LOSR-fallet [8]. Syftet med denna skrivelse är att bidra till att överbrygga denna klyfta genom att tillhandahålla en uppsättning nödvändiga och tillräckliga villkor för existensen av ett LOSR-protokoll som omvandlar ett distribuerat kvanttillstånd till ett annat. Sådana villkor, snarare än algebraiska, är operativa, i den meningen att de uttrycks i termer av utdelningar som ett kvanttillstånd ger i icke-lokala spel. Mer exakt, det huvudsakliga resultatet av denna bokstav är att visa att ett kvanttillstånd kan omvandlas till ett annat med hjälp av ett LOSR-protokoll, om och endast om det förra ger en högre vinst än det senare för en hel klass av icke-lokala spel, som vi kallar semi-quantum icke-lokala spel. En anmärkningsvärd förtjänst med vår analys är att ge ett enkelt och insiktsfullt bevis på att alla insnärjda kvanttillstånd är icke-lokala [11]: en följd av vårt huvudresultat är att alla insnärjda kvanttillstånd ger en strikt högre vinst än varje separat stat, i minst ett semiquantum icke-lokalt spel. Detta allmänna faktum kommer också att illustreras i ett uttryckligt exempel, som klargör hur semiquantum icke-lokala spel troget kan bevittna intriger. Icke-lokal beställning.-För att rigoröst ange huvudresultatet (Prop. 1 nedan) måste vi först införa några anmärkningar och få definitioner. I det följande är alla kvantsystem finita-dimensionella (dvs. deras Hilbert utrymmen, betecknade av H, är finita-dimensionella) och arXiv:1106.6095v6 [kvant-f] 17 Maj 2012 2 index uppsättningar (betecknas av S, T, X och Y) innehåller endast ett ändligt antal element. Den konvexa uppsättningen sannolikhetsfördelningar som definieras på en indexuppsättning X betecknas med P(X). Den uppsättning linjära operatörer som verkar på ett Hilbert utrymme H betecknas med L(H). Uppsättningen av densitetsmatriser (dvs. positiv semidefinit, spår-en operatörer) betecknas med S(H)  på L(H). En slumpmässig källa av tillstånd av ett kvantsystem A representeras av en ensemble τ = ({p(s), τ s }; s  till S), där p  på P(S) och τ s  och S (H A ), för alla s. Med tanke på ett utfall som X = {x} och ett kvantsystem A med Hilbert utrymme H A, en X-sannolikhet operatör värderad mått (X-POVM, för kort) på A är en familj P = (P x ; x X) av positiva semi-definit operatörer P x  på L(H A ), sådan att, en linjär funktion P : → P från S(H A ) till P(X ). POVM i M (A; X) används för att modellera mätningar som utförs på ett kvantsystem A med resultat i X. Begreppet icke-lokala spel är av central betydelse i vår diskussion (vi börjar här med att överväga tvåpartsfallet; flerpartsfallet följer direkt och kommer att diskuteras kortfattat i slutet av tidningen): Definition 1. Reglerna för ett icke-lokalt spel G nl består av följande: fyra indexuppsättningar S = {s}, T = {t}, X = {x} och Y = {y}; två sannolikhetsfördelningar p  på P(S) och q på P(T); en payoff-funktion på S × T × X × Y → R. En referee plockar index s  på måfå med sannolikheter p(s) och q(t), och skickar dem separat till två spelare, säger Alice och Bob, respektive. De två spelarna, utan att kommunicera med varandra, måste beräkna svar x X och y Y, respektive, och skicka dem till domaren, som sedan kommer att betala dem båda (dvs. spelet är samarbetsvilligt) ett belopp som är lika med (s, t, x, y). (Det är underförstått att en negativ vinst innebär en förlust, d.v.s. spelarna måste betala domaren.) Först får spelarna veta spelreglerna. Genom att känna till reglerna får spelarna komma överens om vilken strategi som helst och dela med sig av eventuella (statiska) resurser. Senare, spelarna och domaren går med på att börja spelet, och från det ögonblicket, en implicit regel för alla icke-lokala spel förbjuder spelarna att kommunicera. Enligt kvantteorin då, något de två spelarna kan göra är att dela en bipartite quantum state AB  på S(H A  på H B ) och, beroende på frågorna s och t de presenteras, utföra oberoende mätningar på A och B med värden i X respektive Y. Föreställ dig nu att staten AB delas mellan Alice och Bob är fixad. Det är en väldefinierad fråga att ställa "hur bra" är staten AB för att spela ett givet icke-lokalt spel G nl. För att besvara denna fråga, är det praktiskt att använda en matematisk modell där domaren kommunicerar sina frågor till Alice och Bob med hjälp av en kvantkanal. Detta innebär att domaren, beroende på vilka frågor S och t hon valde, förbereder två extra kvantsystem A 0 och B 0, med dimensionerna dim H A0 och dim H B0 T, i de ortonormala tillstånden π s :=... och π t :=..., och skickar dem till Alice och Bob, respektive. Vi antar att staterna överförs utan buller. Eftersom Alice och Bob exakt vet vilket spel de spelar och vilket tillstånd de delar, den payoff de förväntar sig att vinna (i genomsnitt) kan uttryckas med följande formel: där μ(x, y tills, t) är den gemensamma villkorliga sannolikhetsfördelning beräknas som, och maximeringen utförs över alla POVMs P  på M (A 0 A; X) och Q  på M (BB 0 ; Y). Funktionen * ( AB ; G nl ) i (1) mäter "icke-lokal nytta" av AB i att spela ett icke-lokalt spel G nl. Följaktligen, om en annan stat Lokal verksamhet och delad slumpmässighet.-Låt oss nu vända oss till LOSR paradigm inom kvantteori (igen, vi börjar med bipartit fall): en helt positiv spår-bevarande (CPTP) karta E : :, för vissa sannolikhetsfördelning vs(i) och vissa lokala stater γ i) S(H A ) och χ i  till S(H B ). Sedan finns det alltid en "discard-and- Dessa två fakta tillsammans gör det enkelt att kontrollera att, i alla icke-lokala spel G nl, alla separerade stater ger exakt samma payoff  och sep (G nl ). Denna anmärkning kommer att vara till nytta i det följande. Semi-quantum ickelokala spel.-Vid denna punkt, frågan om huruvida konsekvenserna kan vändas, dvs.. Om förhållandet nl antyder eller inte, uppstår naturligtvis, och dess svar är "nej". Låt oss i själva verket tänka på de insnärjda kvanttillstånd (som kallas LHVPOV-tillstånd [4] ) för vilka det finns en lokalt dold och varierande modell, som beskriver resultatstatistiken för varje lokal POVM-mätning som utförs på dem. Detta innebär att, för alla icke-lokala spel G nl, den förväntade payoff som kan erhållas från sådana insnärjda stater aldrig överstiger som kan erhållas från separerade stater. Det är dock omöjligt att skapa ett insnärjat tillstånd (även om LHVPOV) genom att agera med LOSR-omvandlingar på separerade tillstånd. Detta bevisar påståendet att nl inte innebär. Förhållandet nl är för svagt för att antyda. Vi introducerar därför en starkare version av nl, genom att lämpligt utvidga uppsättningen av icke-lokala spel vi anser. Det utvidgade begreppet icke-lokala spel vi behöver är följande: Definition 4. Reglerna för ett semi-quantum icke-lokalt spel G sq består av: fyra indexuppsättningar S = {s}, T = {t}, X = {x} och Y = {y}; två kvantsystem A 0 och B 0; två slumpmässiga källor τ = ( {p(s), τ }; s  ska S) och  ska = ({q(t),  ska t }; t  ska T) på A 0 och B 0, respektive; en payoff funktion : S × T × X × Y → R. En referee plockar index s  på måfå med sannolikhet p(s) och q(t), och skickar motsvarande stater τ s och  ska t till Alice och Bob, respektive (utan att avslöja de faktiska index s och t dock). De två spelarna, utan att kommunicera med varandra, måste beräkna svar x X och y Y, respektive, och skicka dem till domaren, som sedan kommer att betala dem båda ett belopp som är lika med (s, t, x, y). Med andra ord, medan i konventionella icke-lokala spel domaren frågar spelarna "klassiska" frågor, i semiquantum icke-lokala spel domaren får ställa dem "quantum" frågor. Uppenbarligen, semi-quantum icke-lokala spel innehåller, som specialfall, konventionella icke-lokala spel (Def. 1), när som helst de stater som domaren skickar till Alice och Bob är helt särskiljande, dvs.. "Klassiskt". Situationen beskrivs i figur 1. I ett semi-quantum icke-lokalt spel (Def. 4), medan spelare fortfarande svarar med "klassiska" svar, domaren får ställa "quantum" frågor. Närhelst signalerna τ s och  på t är helt urskiljbara, d.v.s. klassiskt, fallet med konventionella icke-lokala spel (Def. 1) återvinns. Med hjälp av semi-quantum icke-lokala spel är det möjligt att visa att alla insnärjda kvanttillstånd är icke-lokala (Cor. Första stycket ska ersättas med följande: Som i fallet med konventionella icke-lokala spel, de två spelarna får dela en bipartite kvanttillstånd, säger AB, så att den förväntade payoff * ( AB ; G sq ) ges av samma formel (1), den enda skillnaden är att den gemensamma villkorliga sannolikhetsfördelningen μ( x, y tills, t) nu beräknas som analogt med vad som gjordes tidigare, kan vi jämföra icke-lokal nytta av två kvanttillstånd för alla semiquantum icke-lokala spel och införa följande relation: Definition 5. Eftersom två bipartite states AB (H A H B) och σ A B S (H A H B ), definierar vi förhållandet AB sq σ A B, vilket innebär att * ( AB ; G sq ) * (σ A B ; G sq ), för alla semi-quantum icke-lokala spel G sq. Eftersom semi-quantum icke-lokala spel innehåller konventionella icke-lokala spel som ett specialfall, relationen sq innebär förhållandet nl. Dessutom, längs samma linje av tankar som används ovan för att visa att innebär nl, Det är enkelt att bevisa att också innebär sq. En grundläggande likvärdighet.-Vi är nu redo att ange huvudresultatet av detta brev: Förslag 1. Eftersom två bipartite states AB och σ A B, AB sq σ A B om och endast om AB σ A B. Beviset på Prop. 1 bygger på argument som är mycket lika dem som används i Ref. [15], och använder avgörande Separation Theorem mellan konvexa uppsättningar [16]. Eftersom vi är ganska tekniska till sin natur utelämnar vi det här och riktar den intresserade läsaren mot det kompletterande material som åtföljer detta brev [17]. Här diskuterar vi bara en viktig konsekvens av vårt huvudsakliga resultat, det vill säga Prop. 1 innebär att varje insnärjd stat är strikt mer icke-lokal än varje separat stat, som anges i följande följd: Corollary 1. I alla semi-quantum icke-lokalt spel G sq, alla separerade kvanttillstånd ger exakt samma vinst / sep (G sq ). Dessutom är en kvantstat AB insnärjd om och endast om det finns ett semi-quantum icke-lokalt spel Med andra ord, alla insnärjda kvanttillstånd har en form av icke-lokalitet, som är "dold" [11] för konventionella icke-lokala spel (och därmed Bell ojämlikhet), men blir uppenbart när man spelar semi-quantum icke-lokala spel. Beviset för ovanstående följdriktig är en direkt konsekvens av det faktum att separerbara tillstånd, som är endpoints i förhållandet, är också endpoints i förhållandet sq, på grund av likvärdigheten som fastställts av Prop. 1. Vad är det för fel på dig? Ett exempel.-För att illustrera överlägsenheten av semi-quantum icke-lokala spel, med avseende på konventionella sådana, i att bevittna insnärjning, beskriver vi nu exemplet med ett semi-quantum icke-lokala spel, där varje insnärjd stat ger upphov till gemensamma frågeställare sannolikhetsfördelningar som inte kan förklaras som kommer från någon separat stat, även om det kompletteras med en obegränsad mängd delad slumpmässighet. Detta gäller även insnärjda LHVPOV-stater, som i stället är helt oskiljbara från separata stater, om bara konventionella icke-lokala spel (Def. 1) beaktas. Exemplet, som direkt härrör från beviset på Proposition 1 (se [17]), beskrivs här endast i fallet med två-kvadrattillstånd; vi konstaterar dock att samma konstruktion lätt kan överföras till något ändligt dimensionsfall. I vårt exempel, S = T = X = Y = {1, 2, 3, 4}, de extra kvantsystem som används av domaren för att koda hennes frågor representeras av två qubits, dvs.. H A0 + = H B0 = C 2, och "fråga stater" är de fyra tetrahedral stater  på 1, 2, 3 och 4 definieras av Davies [18]. Lägg märke till att valet av fråga är något godtyckligt: den viktiga punkten är att deras densitetsmatriser utgör en grund för det linjära utrymmet L(C2). (Definitionen av sannolikhetsfördelningen på S och T, liksom av payoff-funktionen, är inte nödvändig för vårt argument och kan utelämnas.) Med tanke på en två-qubit state AB, Låt oss överväga den gemensamma villkorade fråge-svar sannolikhetsfördelning μ(x, y tills, t ) beräknas som där B 1, B 2, B 3, B 4 är respektive de fyra ortogonala Bell mätningar på 0 +, 0 –, +,. I processen för att bevisa Prop. 1 (se [17]), det visas också att i synnerhet två-qubit state AB är insnärjd om och endast om, för något (eventuellt högre-dimensionellt) separat tillstånd σ A B och för alla möjliga POVMs P  på M (A 0 A ; X) och Q på M (B B 0 ; Y), μ(x, y tills, t ) = I själva verket kan man enkelt kontrollera, efter bevis för Prop. 1, att en likhet i ovanstående ekvation, för vissa separat tillstånd σ A B och vissa POVMs P och Q, skulle innebära förekomsten av en LOSR transformation kartläggning σ A B till AB, vilket leder till en motsägelse, på grund av det faktum att LOSR transformationer inte kan skapa insnärjda stater från separerade. Med andra ord är staten AB insnärjd om och endast om den gemensamma villkorliga sannolikhetsfördelningenμ(x, y tills, t ), beräknas i Eq. (2) är utom räckhåll för varje möjligt separat tillstånd, även med hjälp av obegränsad delad slumpmässighet (representeras här av möjligheten att σ A B är på en högre-dimensionell Hilbert utrymme). Multipartite stater.-Innan vi avslutar, Vi noterar här att vår strategi kan enkelt utvidgas till att överväga multipartite LOSR transformationer, och så vidare, är alla CPTP kartor, för alla i. Detta kan göras genom att överväga multipartite semiquantum icke-lokala spel, där alla spelare självständigt får sina "quantum frågor" från domaren, och genom att följa samma argument som används för att bevisa bipartite fallet. Slutsatser.-Vi visade att ett kvanttillstånd kan omvandlas till ett annat med hjälp av ett LOSR-protokoll, om och endast om det förra är "mer icke-lokalt" än det senare, där icke-lokalitet kvantifieras med hjälp av semiquantum icke-lokala spel (Def. 5) När det gäller läkemedel som inte är avsedda att användas tillsammans med andra läkemedel (se avsnitt 4. 5, 4. 5 och 4. Som en biprodukt fick vi ett tydligt bevis för att alla insnärjda kvanttillstånd alltid är icke-lokala, ett faktum som bör beaktas mot bakgrund av tidigare arbeten som nått samma slutsats, även om från mycket olika rutter [11]. För att stödja vår analys och visa att semiquantum icke-lokala spel är överlägsna, när det gäller konventionella spel, när vi bevittnar insnärjning, gav vi också ett explicit exempel på ett semiquantum icke-lokalt spel, där varje insnärjd stat ger upphov till gemensamma frågeställare sannolikhetsfördelningar som inte kan förklaras klassiskt, även om en obegränsad mängd delad slumpmässighet beviljas. Erkännanden.-Författaren är tacksam till Denis Rosset och Mark M. Wilde för att peka ut misstag i
Nyligen Buscemi REF anses vara en modell han kallar "semi-quantum spel", där spelarna skickas godtyckliga kvanttillstånd som frågor, och deras svar är godtyckliga klassiska strängar (därav semi-quantum spel innehåller kvant XOR spel som en subklass).
All Entangled Quantum States Are Nonlocal
{'venue': 'Phys. Rev. Lett. 108, 200401 (2012)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Medicine', 'Physics']}