Låt P vara en Poisson process av intensitet en i en kvadrat S n område n. Vi konstruerar en slumpmässig geometrisk graf G n,k genom att ansluta varje punkt av P till dess k = k(n) närmaste grannar. Nyligen, Xue och Kumar visade att om k ≤ 0,074 log n då sannolikheten för att G n,k är ansluten tenderar att noll som n → ∞, medan om k ≥ 5.1774 log n då sannolikheten att G n,k är ansluten tenderar att en som n → ∞. De antog att tröskeln för anslutning är k = (1 + o(1)) log n. I detta papper förbättrar vi dessa nedre och övre gränser till 0.3043 log n respektive 0,5139 log n, vilket motbevisar denna gissning. Vi etablerar också lägre och övre gränser av 0.7209 log n och 0.967 log n för den riktade versionen av detta problem. En relaterad fråga gäller täckning. Med G n,k som ovan, omger varje vertex med den minsta (stängda) skivan som innehåller dess k närmaste grannar. Vi bevisar att om k ≤ 0,7209 log n då sannolikheten för att dessa skivor täcker S n tenderar att noll som n → ∞, medan k ≥ 0,9967 log n då sannolikheten för att skivorna täcker S n tenderar att en som n → ❌.
Referens REF finner att om ≤ 0,3043 log, nätverket inte är ansluten med hög sannolikhet och om ≥ 0,5139 log, då nätverket är ansluten med hög sannolikhet som → ❌. Men för det riktade nätverket de övre och nedre gränserna är 0.7209 log och 0.967 log, Respektive.
Connectivity of random k-nearest-neighbour graphs
{'venue': None, 'journal': 'Advances in Applied Probability', 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}