Lösningen av stora, glesa linjära system är ofta en dominerande fas av beräkning för simuleringar baserade på partiella differentialekvationer, som är allmänt förekommande i vetenskapliga och tekniska tillämpningar. Medan preparerade Krylov metoder används allmänt och erbjuder många fördelar för att lösa glesa linjära system som inte har mycket konvergerande, geometriska multigrid lösare eller specialiserade snabba lösare, Krylov metoder möter välkända skalningssvårigheter för över 10.000 processorkärnor eftersom varje iteration kräver minst en vektor inre produkt, vilket i sin tur kräver en global synkronisering som fjällar dåligt på grund av internode latens. För att hjälpa till att övervinna dessa svårigheter har vi utvecklat hierarkiska Krylov-metoder och inbäddade Krylov-metoder i PETSc-biblioteket som minskar antalet globala inre produkter som krävs över hela systemet (där de är dyra), men fritt tillåter vektorinterna produkter över mindre undergrupper av hela systemet (där de är billiga) eller använder inre iterationer som inte alls åberopar vektorinterna produkter. Nested Krylov metoder är en generalisering av inre-yttre iterativa metoder med två eller flera lager. Hierarkiska Krylov metoder är en generalisering av block Jacobi och överlappande additiv Schwarz metoder, där varje block själv löses med Krylov metoder på mindre block. Uppfattningsvis kan hierarkin fortsätta rekursivt till ett godtyckligt antal nivåer av mindre och mindre block. Som ett specifikt fall introducerar vi den hierarkiska FGMRES-metoden, eller h-FGMRES, och vi demonstrerar effekten av två-nivå h-FGMRES med en variabel förkonditionerare på PFLOTRAN subsurface flow application. Vi visar också effekten av häckade FGMRES, BiCGStab och Chebysjev metoder. Dessa hierarkiska Krylov-metoder och inhägnade Krylov-metoder minskade signifikant den totala PFLOTRAN-simuleringstiden på Cray XK6 vid användning av 10000 till 224.000 kärnor genom de kombinerade effekterna av minskad global synkronisering på grund av färre globala inre produkter och starkare inre hierarkiska eller inhägnade förkonditionärer.
Dessutom föreslogs nyligen hierarkiska och bosatta Krylov-metoder som begränsar globala minskningar i mindre undergrupper av processorer där de är billigare REF.
Hierarchical Krylov and nested Krylov methods for extreme-scale computing
{'venue': 'Parallel Comput.', 'journal': 'Parallel Comput.', 'mag_field_of_study': ['Computer Science']}