Vi anser att en klass av slumpmässiga kvantkretsar där vid varje steg en grind från en universell uppsättning tillämpas på ett slumpmässigt par av qubits, och avgöra hur snabbt medelvärden av godtyckliga finita-grader polynomials i matriselementen i den resulterande enhetliga konvergera till Haar mäta medelvärden. Detta uppnås genom att upprätta en exakt kartläggning mellan superoperatorn som beskriver t-ordning ögonblick på n qubits och en flernivå SU (4 t ) Lipkin-Meshkov-Glick Hamiltonian. För godtyckligt fast t, finner vi att spektralgapet skalar som 1/n i den termodynamiska gränsen. Våra resultat innebär att slumpmässiga kvantkretsar ger ett effektivt genomförande av ungefärliga enhetliga t-designer. [6]............................................... Det vill säga, en enhetlig t-design simulerar troget Haar-åtgärden med avseende på varje test som använder högst t kopior av en vald n-qubit unitary. Fördämningar av teorin om t-konstruktioner [8] avslöjas i problem så olika som svart hål avdunstning och snabb "skrapning" av information [9], effektiv kvanttomografi och randomiserad grind benchmarking [10], kvantkanal kapacitet [11], och grunderna för kvantstatistik mekanik [12]. Med anledning av ovanstående framsteg har betydande ansträngningar gjorts på senare tid för att identifiera effektiva konstruktioner av t-konstruktioner och för att karakterisera deras konvergensegenskaper [2, 6, [13] [14] [15] [16]. Harrow och Low etablerade i synnerhet likvärdigheten mellan ungefärliga 2-designer och slumpmässiga kvantkretsar som infördes i [4], och antog att en slumpmässig krets som består av k=poly (n, t) grindar från en två-qubit universella grinduppsättning ger en ungefärlig t-design [16]. Medan stödjande numeriska bevis samlades in [17] för lågklassiga ögonblick, och effektiva konstruktioner av t- konstruktioner rapporterades [16] för alla t = O(n/ log n), förblev den utsträckning i vilken slumpmässiga kvantkretsar kunde användas för att genomföra en ungefärlig t- design för godtycklig, fast t öppen. I denna skrivelse tar vi upp denna fråga genom att fastställa i vilken takt statistiska ögonblick av godtycklig ordning, för tillräckligt stort kretsdjup, konvergerar till sina begränsande haarvärden. Vår strategi omfattar två steg: först, för givet t, visar vi att den asymptotiska konvergensen bestäms av spektralgapet hos en viss superoperator, som kapslar in ögonblick upp till ordningen t; sedan beräknar vi detta gap genom att kartlägga t-momentet superoperatorn till en flernivåversion av Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) modellen, som är känd för att vara exakt lösbar, och vars lågenergispektrum är väl förstådd i den termodynamiska gränsen n → ❌ [18]. Vårt tillvägagångssätt knyter samman t-designteorin med etablerade medelfältstekniker från mångkroppsfysiken och utökar tidigare resultat av Znidaric [14] för t = 2. Dessutom gör asymptotiska konvergensgrader att vi kan övre gräns konvergenstiden (minimum kretslängd, k c ) som behövs för en önskad noggrannhet  med avseende på Haar-måttet som ska uppnås. För alla fasta t, finner vi att skalningen k c  på n log(1/  på) håller för tillräckligt stora n och små  på. Moment superoperator.— Låt en slumpmässig kvantkrets av längd k vara en sekvens U k... U 1 av k unitary operatörer på en n-qubit Hilbert utrymme H =  till n j H qj, där varje U i väljs från en ensemble {μ(U ), U }, för en sannolikhetsfördelning μ med stöd på en universell grind uppsättning. För att analysera godtyckliga t-ordning ögonblick, introducerar vi en Hilbert utrymme H Mt = H 2t, som består av 2t kopior av H och vi hänvisar till som moment utrymme, med dim (H Mt ) D = N 2t, och en lokal moment utrymme H lt, som är resultatet av grupperingsfaktorer som motsvarar samma qubit i H Mt. Det vill säga, t. Moments of order t kan beskrivas i termer av följande linjära operatör på H Mt : Fysiskt, M t [μ] kan ses som den superoperator som induceras av verkan av t kopior av den slumpmässiga kretsen på nt-qubit densitetsoperatörer definieras på H  skat (se bild.  1 )............................................................................................................... I linje med standard praxis i öppen systemteori [19], ska vi införa "operator kets" i H Mt, betecknade A A, och, på motsvarande sätt, A till = A †. Således, en D 2-dimensionell operatör ket transformeras enligt U.t,t  och U AU †, under U U (N ). När en grund för H Mt har valts anger matrisrepresentationen av Mt [μ] en komplett uppsättning av t-ordningsmoment.
Nyligen föreslog Brown och Viola REF ett intressant sätt att närma sig problemet med slumpmässiga kvantkretsar som enhetliga t-designer, baserat på kartläggningen av konvergenstiden för ögonblicken i den slumpmässiga kretsen till spektralgapet hos en medelfältsquantum Hamiltonian.
Convergence rates for arbitrary statistical moments of random quantum circuits
{'venue': None, 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Medicine', 'Physics']}