Anslutningar i komplexa nätverk är till sin natur fluktuerande över tid och uppvisar mer dimensionalitet än analys baserad på standard statiska graf åtgärder kan fånga. Här introducerar vi begreppen temporal banor och avstånd i tidsvarierande grafer. Vi definierar som timlig liten värld en tidsvarierande graf där länkarna är mycket kluster i tiden, men noderna är på små genomsnittliga temporala avstånd. Vi utforskar småvärldens beteende i syntetiska tidsvarierande nätverk av mobila agenter, och i verkliga sociala och biologiska tidsvarierande system. PACS nummer: 89.75.Hc, 89.75.Fb, 87.19.lj Under det senaste årtiondet har studien av komplexa nätverk rönt stor uppmärksamhet i forskarsamhället eftersom olika sociala, biologiska och tekniska system kan representeras och analyseras som grafer [1]. Vanligtvis är sådana system inneboende dynamiska, med länkarna förändras och fluktuerande över tiden. Mänskliga kontakter eller relationer förändras över tiden eftersom individer förlorar gamla bekanta, förvärvar nya eller flyttar över geografiskt utrymme [2, 3]. Kommunikation i konstgjorda nätverk, såsom maskinanslutningar och sociala interaktioner över Internet, sker vid särskilda tidpunkter [4] [5] [6]. Nya länkar visas medan vissa andra försvinner i World-Wide-Web [7], i mönster av interaktioner mellan gen från microarray tid experiment [8, 9] eller i funktionella hjärnnätverk [10, 11]. Tidsutvecklingen av ett nätverk genom tillägg, liksom radering, av noder och länkar har i stor utsträckning modellerats med det huvudsakliga syftet att reproducera, asymptotiskt, statistiska egenskaper såsom skal-fri grad fördelningar [1, 12]. Med endast några få anmärkningsvärda undantag [13] [14] [15], har mindre fokus lagts på karakteriseringen av dynamiken i komplexa nät under stationära förhållanden. I synnerhet fenomenet småvärlden, dvs. det faktum att verkliga nätverk har hög klustringskoefficient, medan det typiska avståndet mellan deras noder är litet som i slumpmässiga grafer, har undersökts i statiska grafer, vilket försummar den tidsmässiga dimensionen [16] [17] [18]. Tidsutvecklingen av ett verkligt system, när det övervägs, studeras vanligtvis genom att utvärdera standard statiska åtgärder (avstånd och kluster koefficient) på ögonblicksbilder av nätverket som tagits vid olika tidpunkter [19, 20]. Som vi kommer att visa nedan fångar detta tillvägagångssätt inte helt och hållet de dynamiska korrelationerna i ett tidsförändrande nätverk. I detta brev introducerar vi ett mått på tidsavståndet mellan noderna för tidsvarierande grafer, d.v.s. Grafer med tidsväxlingslänkar. Ett sådant tidsavstånd tar hänsyn till den faktiska tidsföljden, varaktigheten och korrelationerna mellan länkar som uppstår vid olika tidpunkter. Detta metriska, tillsammans med ett mått på tid-persistensen av länkarna, gör det möjligt att definiera och undersöka temporal små-värld beteende i sociala och biologiska nätverk som förändras över tid. Överväg ett nätverk med N noder, där länkarna kan variera i tid. Det typiska exemplet är ett socialt system, utan födslar eller dödsfall, där interaktionsmönstren förändras i tiden på grund av individernas rumsliga rörelse, eller på grund av att individerna förlorar gamla bekantskaper och får nya. Systemet kan vid sin maximala upplösning beskrivas som ett tidsvarierande diagram, dvs. en diskret sekvens (beställd uppsättning) G 1, G 2,. .., G T av T oriktade eller riktade grafer, där T är längden på sekvensen. I kompakt notation betecknar vi hela sekvensen som G = {G t } t=1,2,...,T. En tidsvarierande graf G kan representeras med hjälp av en N × N tidsberoende adjakensmatris A(t), t = 1,..., T, där en ij (t) är elementen i adjakensmatrisen i den t-th grafen. Vi anger som K(t) antalet länkar i den t-: e grafen i sekvensen. En sekvens av grafer är praktiskt att beskriva system där varje anslutning startar vid en viss tidpunkt, och har också en temporal varaktighet. I denna mening skiljer sig tidsvarierande grafer från tidigare tidsbaserade metoder [4, 5, 21, 22] utformade för att karakterisera system som e-postutbyten, där länkarna istället inte har någon tidsmässig varaktighet, eftersom utbytet är ögonblickligt. Dessutom är en tidsvarierande graf en annan ensemble än den som vanligtvis studeras i litteraturen [23, 24]. I själva verket, i en tidsvarierande graf, är det viktiga inte bara probabiltydistributionen P (G) över graferna i ensemblen, utan också hur graferna ordnas i tid. Genom att räkna antalet gånger en given graf G visas i tidssekvensen kan vi konstruera P (G). För att helt beskriva tidsvarierande grafer behöver vi också veta hur grafer korreleras i tiden. Till exempel behöver vi känna till de villkorliga sannolikheterna P (G t  och G t1 ) för att observera graf G t efter graf G t1 (mer i allmänhet, sannolikheterna P (G t) G 1, G 2,. .., G t-1 ) observera graf G t efter sekvensen G 1, G 2,. .., G t........................................................................................................ I de flesta fall tenderar kontakterna mellan samma nodpar i tidsvarierande system att samlas i tid, dvs. de visar uthållighet över tid [4]. Människor har till exempel en tendens att ägna sig åt relationer under kontinuerliga tidsperioder. Därför har en given länk en högre sannolikhet att visas i diagram G t om den redan var närvarande i diagram G t-1. För kvantifiering
I REF analyserades småvärldens beteende i tidsbundna nätverk med hjälp av tidsvägar.
Small-world behavior in time-varying graphs
{'venue': 'Phys. Rev. E 81, 055101(R) (2010)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Medicine', 'Physics']}