Abstrakt. Vi undersöker ytterligare egenskaper hos Gaussian free field (GFF) på den metriska graf som är associerad med en diskret viktad graf (där kanterna på den senare ersätts av kontinuerliga linje-segment av lämplig längd) som har införts av den första författaren. På en sådan metriska graf är GFF en slumpmässig kontinuerlig funktion som generaliserar endimensionella Brownska broar så att endimensionella tekniker kan användas. I detta papper definierar och studerar vi den pseudometriska definitionen på den metriska grafen (och därmed också på själva den diskreta grafen), där längden på en väg på den metriska grafen definieras som den lokala tiden på nivå noll som ackumuleras av Gaussiska fria fältet längs denna väg. Vi härleder först en vägvis omvandling som relaterar GFF på den metriska grafen med den reflekterade GFF på den metriska grafen via pseudo-distans definieras av den senare. Detta är en generalisering av Paul Lévys resultat som relaterar lokal tid vid noll av Brownian rörelse till supremum av en annan Brownian rörelse. Vi beräknar också uttryckligen fördelningen av vissa funktioner i denna pseudometriska och GFF. I synnerhet påpekar vi att när gränsen består av bara två punkter, beror lagen om pseudo-avståndet mellan dem enbart på motståndet i nätet mellan dem. Vi diskuterar sedan frågor relaterade till skalningsgränsen för denna pseudo-metriska i det tvådimensionella fallet, vilket bör vara det konsekvent invarianta sättet att mäta avstånd mellan CLE(4) slingor som införs och studeras av den andra författaren med Wu, och av Sheffield, Watson och Wu. Våra uttryckliga lagar om metriska grafer leder också till nya gissningar för relaterade funktioner i kontinuum GFF på ganska allmänna Riemann ytor.
Slutligen noterar vi att författarna i ett nytt verk REF studerade en slumpmässig pseudo-metrisk på en graf definierad via nolluppsättningen av Gaussiska frifältet på dess metriska graf.
The random pseudo-metric on a graph defined via the zero-set of the Gaussian free field on its metric graph
{'venue': 'Probability Theory and Related Fields 171 (2018) 775-818', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}