I detta arbete studerar vi problemet med att testa egenskaper hos spektrumet av ett blandat kvanttillstånd. Här ges n kopior av en blandad tillstånd ρ  på C d×d och målet är att skilja (med hög sannolikhet) om ρ spektrum uppfyller någon egenskap P eller om det är minst - långt i 1-avstånd från tillfredsställande P. Detta problem främjas i undersökningen av Montanaro och de Wolf [MdW13] under namnet testning unitally invariant egenskaper bland stater. Det är den naturliga kvantanalogen till det klassiska problemet med att testa symmetriska egenskaper hos sannolikhetsfördelningar. Till skillnad från egenskapstestning sannolikhetsfördelningar-där man i allmänhet hoppas på algoritmer med prov komplexitet som är sublinear i domänstorlek-här förhoppningen är för algoritmer med subkvadratisk kopia komplexitet i dimensionen d. Detta beror på att (ofta återupptäckt) "empirical Young diagram (EYD) algoritm" [ARS88, KW01, HM02, CM06] kan uppskatta spektrumet av alla blandade tillstånd upp till -noggrannhet med endast O(d 2 / 2 ) kopior. I detta arbete, Vi visar att med tanke på ett blandat tillstånd ρ  på C d×d : •  på (d/ 2 ) kopior är nödvändiga och tillräckliga för att testa om ρ är det maximalt blandade tillståndet, dvs, har spektrum ( 1 d,. .,, 1 d.............................................................. Detta kan ses som kvantanalogen till ett resultat av Paninski [Pan08]. • (r 2 / ) kopior är nödvändiga och tillräckliga för att testa med ensidigt fel om ρ har rank r, d.v.s., har högst r nonzero eigen values. För tvåsidigt fel finns det en nedre gräns av kopior (r/ ). • Kopior (r 2 ) är nödvändiga och tillräckliga för att skilja mellan om ρ är maximalt blandat på en r-dimensionell eller en (r + 1)-dimensionell subrymd. Mer allmänt, för. r vs. r +  på (med 1 ≤  på ≤ r),  på (r 2 / på) kopior är nödvändiga och tillräckliga. • EYD-algoritmen kräver 2 / 2 kopior för att uppskatta spektrumet av ρ upp till - noggrannhet, nästan matcha den kända övre gränsen. Våra tekniker innefattar den asymptotiska representationsteorin för den symmetriska gruppen; i synnerhet Kerovs algebra av polynomfunktioner på Unga diagram.
Testning av huruvida ρ har en viss entligt invariant egenskap av intresse studerades i REF för ett antal egenskaper.
Quantum Spectrum Testing
{'venue': "STOC '15", 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Physics', 'Computer Science']}