Subset Sum-problemet frågar om en given uppsättning av n positiva heltal innehåller en delmängd av element som summerar upp till ett givet mål t. Det är en enastående öppen fråga om O * (2 n/2 )-tids algoritm för Subset Sum av Horowitz och Sahni [J. ACM 1974] kan besegras i värsta fall inställning av en "truly snabbare", O * (2 (0.5−δ)n )-tid algoritm, med några konstant δ > 0. Fortsätta ett tidigare arbete [STACS 2015], studerar vi Subset Summa parameteriseras av den maximala bin storlek β, definieras som det största antalet undergrupper av n ingång heltal som ger samma summa. För varje " > 0" ger vi en verkligt snabbare algoritm för fall med β ≤ 2 (0.5")n, liksom fall med β ≥ 2 0.661n. Följaktligen får vi också en karakterisering i termer av den populära densitet parameter n/ log 2 t: om alla fall av densitet minst 1.003 erkänna en verkligt snabbare algoritm, så gör varje instans det. Detta går emot den nuvarande intuitionen att fall av densitet 1 är de svåraste, och därför är ett steg mot att besvara den öppna frågan jakande. Våra resultat härrör från nya kombinationer av tidigare algoritmer för Subset Sum och en studie av en extrem fråga i additiv kombinatorik kopplad till problemet med Uniquely Decodable Code Pairs i informationsteori.
Därefter, Austrin m.fl. REF visade att man kan få en snabbare algoritm för Subset-Sum än meet-in-the-middle om β ≤ 2 (0,5-ε)n eller β ≥ 2 0,661n.
Dense Subset Sum may be the hardest
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}