Vi etablerar metoder för kvanttillståndstomografi baserat på komprimerad avkänning. Dessa metoder är specialiserade för kvanttillstånd som är ganska rena, och de erbjuder en betydande prestandaförbättring på stora kvantsystem. I synnerhet kan de rekonstruera en okänd densitetsmatris av dimension d och rank r med hjälp av O(rd log 2 d) mätinställningar, jämfört med standardmetoder som kräver d 2 inställningar. Våra metoder har flera funktioner som gör dem tillgängliga för experimentell implementering: de kräver endast enkla Pauli mätningar, använder snabb konvex optimering, är stabila mot buller, och kan tillämpas på tillstånd som bara är ungefär låg-rank. De förvärvade uppgifterna kan användas för att intyga att staten verkligen är nära ren, så inga förhandsantaganden behövs. Vi presenterar både teoretiska gränser och numeriska simuleringar. Uppgiften att rekonstruera de kvanttillstånd och processer som produceras av fysiska system – som kallas kvanttillstånd och processtomografi [1] – blir allt viktigare inom fysiken och särskilt inom kvantinformationsvetenskapen. Tomografi har använts för att karakterisera kvanttillståndet hos instängda joner [2] och en optisk insnärjningsgrind [3] bland många andra implementationer. Men en grundläggande svårighet att utföra tomografi på många kroppssystem är den exponentiella tillväxten i tillståndets rymddimension. Till exempel, för att få en maximal-likelihood uppskattning av ett kvanttillstånd av 8 joner, Ref. [2] krävde hundratusentals mätningar och veckor av efterbehandling. Men man kan ändå hoppas kunna övervinna detta hinder, eftersom det stora flertalet kvanttillstånd inte är av fysiskt intresse. Snarare är man ofta intresserad av stater med speciella egenskaper: rena stater, stater med särskilda symmetrier, marktillstånd av lokala Hamiltonianer, etc., och tomografi kan vara effektivare i sådana specialfall [4]. Betrakta i synnerhet rena eller nästan rena kvanttillstånd, dvs. tillstånd med låg entropi. Mer exakt, överväga ett kvanttillstånd som i huvudsak stöds på ett r-dimensionellt utrymme, vilket innebär att densitetsmatrisen är nära (i en given norm) till en matris av rank r, där r är liten. Sådana tillstånd uppstår i mycket vanliga fysiska miljöer, t.ex. En ren stat som är föremål för en lokal bullerprocess [20]. En standardimplementering av tomografi [5, 6] skulle använda d 2 eller fler mätinställningar, där d = 2 n för ett nqubit-system. Men en enkel parameter räkna argument tyder på att O (rd) inställningar kan möjligen räcka - en betydande förbättring. Det är dock inte klart hur man uppnår denna prestanda i praktiken, dvs. hur man väljer dessa mätningar, eller hur man effektivt rekonstruerar densitetsmatrisen. Till exempel är problemet med att hitta en minimi-rank matris som omfattas av linjära begränsningar NP-hård i allmänhet [7]. Förutom en minskning av experimentell komplexitet, kan man hoppas att en efterbehandlingsalgoritm som tar som ingång endast O(rd)  på d 2 tal kan ställas in för att köra betydligt snabbare än standardmetoder. Eftersom resultatet av förfarandet är en låg-ranking approximation till den densitet operatör och endast kräver O (rd) siffror anges, blir det möjligt att köra tid skalor bättre än O(d 2 ), klart omöjligt för naiva metoder med hjälp av täta matriser. I denna skrivelse introducerar vi en metod för att uppnå en sådan drastisk minskning av mätkomplexiteten, tillsammans med effektiva algoritmer för efterbehandling. Metoden utvecklar vidare idéer som nyligen har studerats under beteckningen "komprimerad sensation". Komprimerad avkänning [8] ger tekniker för att återvinna en gles vektor från ett litet antal mätningar [9]. Här betyder sparhet att denna vektor endast innehåller ett fåtal icke-noll poster i en viss bas, och mätningarna är linjära funktioner av dess poster. När mätningarna väljs slumpmässigt (i viss exakt mening), då med stor sannolikhet två överraskande saker händer: vektorn bestäms unikt av ett litet antal mätningar, och det kan återvinnas genom en effektiv konvex optimering algoritm [8]. Matrixkomplettering [10] [11] [12] är en generalisering av komprimerad avkänning från vektorer till matriser. Här återvinner man vissa "osammanhängande" lågrankade matriser X från ett litet antal matriselement X i,j. Problemet med quantum state tomografi har en stark likhet med matriskomplettering. Det finns dock stora skillnader. Vi vill använda mätningar som lättare kan implementeras i ett experiment än att erhålla element ρ i, j av densitet matriser. Tidigare resultat [10] [11] [12] kan inte tillämpas på denna mer allmänna situation. Vi vill också undvika onaturliga inkonsekventa antaganden som är avgörande i tidigare arbete [10]. Vårt första resultat är ett protokoll för tomografi som övervinner båda dessa svårigheter: det använder Pauli mätningar bara, och det fungerar för godtycklig densitet matriser. Vi bevisar att endast O(rd log 2 d) mätinställningar räcker. Dessutom introducerar vårt bevis några nya tekniker, som både generaliserar och förenklar det tidigare arbetet med matriskomplettering. Vi skissar beviset här; en mer fullständig version visas i [25]. Detta ger den grundläggande teoretiska motiveringen för vår metod att göra tomografi. Sedan tar vi upp ett antal praktiska frågor. I ett riktigt experiment är mätningarna bullriga och det verkliga tillståndet är bara ungefär lågt. Vi visar att vår metod är robust mot dessa felkällor. Vi beskriver också sätt att intyga att en stat är nästan ren utan några förhandsantaganden. Slutligen presenterar vi snabba algoritmer för att rekonstruera densitetsmatrisen från mätstatistik baserad på semidefinit programmering - en funktion som inte finns i tidigare metoder för ren-state tomografi [4] [5] [6]. Dessa är anpassade från algoritmer för matriskomplettering [14], och de är mycket snabbare än standard inre-punkt lösare. Att bygga om en lågvärdig densitetsmatris för 8 qubits tar ungefär en minut på en vanlig bärbar dator. Även om våra metoder inte övervinner den exponentiella ökningen av mätkomplexiteten (vilket är bevisligen omöjligt för något protokoll som kan hantera generiska rena tillstånd), driver de avsevärt gränsen för vad som kan göras i en realistisk miljö. Våra tekniker gäller även för processtomografi: att karakterisera en okänd kvantprocess E, förbereda Jamiołkowski tillstånd ρ E, och utföra stat tomografi på ρ E. Våra metoder fungerar när E ungefär kan skrivas som en summa av bara ett fåtal Kraus operatörer, eftersom detta innebär att ρ E har liten rang. Matrix återhämtning med hjälp av Pauli mätningar. Vi anser att fallet med n spin-1/2 system i ett okänt tillstånd ρ [16]. En n-qubit Pauli matris är av formen w = n i=1 w i, där protokollet fortsätter enligt följande: välj 2 ] slumpmässigt och mäta förväntade värden t ρw(A i ). Man löser sedan ett konvext optimeringsproblem: minimera σ tr [17] under förutsättning att Theorem 1 (Low-rank tomografi) Låt ρ vara ett godtyckligt tillstånd av rank r. Om m = cdr log 2 d slumpmässigt utvalda Pauli förväntningar är kända, då ρ kan unikt rekonstrueras genom att lösa konvex optimering problem (1) med sannolikhet för misslyckande exponentiellt liten i c. Beviset är inspirerad av, men tekniskt mycket annorlunda från, tidigare arbete på matrisen slutföra [10]. Våra metoder är mer generella, kan ställas in för att ge snävare gränser, och är mycket mer kompakta, så att vi kan lägga fram ett ganska komplett argument i detta brev. En mer detaljerad presentation av denna teknik -som täcker rekonstruktionen av lågvärdiga matriser från få expansionskoefficienter w.r.t. allmänna operatörsbaser (inte bara Pauli matriser eller matriselement) - kommer att publiceras på annat håll [25]. Bevis: Här skissar vi argumentet och förklarar de viktigaste idéerna; detaljerade beräkningar finns i EPAPS tillägg. Observera att de linjära begränsningar (1) beror endast på projektionen av ρ på spännvidden av de uppmätta observerbara w(A 1 ),. ..., w(A m )............................................................ Detta är exakt intervallet för "sampling operatör" Indeed, konvexa programmet kan skrivas som min σ σ tr s.t. Rσ = Rρ. Uppenbarligen är lösningen unik om den för alla avvikelser är:= σ − ρ bort från ρ antingen R till = 0 eller ρ +  på st > ρ tr. Vi kommer att fastställa detta genom att använda en grundläggande idé från konvex optimering: bygga en strikt subgradient Y för normen. En matris Y är en strikt subgradient om ρ +  på st > ρ st + st Y. Det huvudsakliga bidraget nedan är en metod för att bygga ett sådant Y som också är i intervallet R. För då R påvisar R = 0 att  på så sätt är ortogonal till R-området, alltså st Y 0 och subgradientkonditionen avläser ρ +  på st > ρ tr. Detta innebär en unikhet. (I själva verket är det tillräckligt att approxima det subgradiva tillståndet i en viss mening). Låt E vara projektionen på intervallet ρ, låt T vara det utrymme som spänns av de operatörer vars rad eller kolumn utrymme finns i området ρ. Låt P T vara projektionen på T, P  på ortogonal komplement. Förruttnelse. =  på T + på T, de delar av. som ligger i subrymderna T och T. Vi skiljer två fall:. Fall i är lättare. I detta fall, är väl-tillnärmelsevis av T och i huvudsak behöver vi bara visa att begränsningen A := P T RP T av R till T är inverterbar. Använda en icke-kommutativ stor avvikelse bunden (se EPAPS-tillägg), där δ = m/(dr) [17]. Därav sannolikheten att A - Först, anta att ett sådant Y finns. Sedan visar en enkel beräkning (se EPAPS) med hjälp av villkoret (ii) att R ska = 0 verkligen innebär ρ +  på st > ρ tr som antyds ovan. Detta visar sig vara unikt i fall ii. Den svåra delen består i att visa att en nästan subgradient existerar. I detta syfte utformar vi en rekursiv process (Golfering Scheme [25]) som konvergerar till en subgradient exponentiellt snabb. Antag att vi drar l satser av δ 0 rd Pauli observerbara oberoende slumpmässigt (σ 0 kommer att väljas senare). Definiera rekursivt X 0 = E, Y = Y l. Låt R i vara provtagning operatör associerad med ith parti, och A i dess begränsning till T. Antag att i varje körning Ange sannolikheten för denna händelse inte inträffar med p 2. Därefter den första delen av (3), så snart l ≥ log 2 (2d 2 ε r). Vi går över till den andra delen. Återigen med hjälp av stor-avvikelse tekniker (EPAPS) hittar vi P  för T R i X i-1 ≤ 1/(4 ε r) X i-1 2 med några (hög) sannolikhet (1 − p 3 ). Därför: vilken är den andra delen av (3). Slutligen måste vi binda den totala sannolikheten för misslyckande p f ≤ p 1 + p 2 + p 3. Ange 0 = 64μ(1 + ln(8dl)), vilket innebär att m = dr(ln d) 2 O(1) koefficienter kommer att provtas totalt. En enkel beräkning ger p f ≤ e −μ. Detta kompletterar beviset på vårt huvudsakliga resultat. I det återstående utrymmet tar vi upp de viktiga aspekterna av motståndskraft mot buller, certifierad tomografi och numerisk prestanda. På grund av rymdbegränsningar kommer presentationen att fokusera på begreppsfrågor, med detaljerna i [24]. Robusthet mot buller. Realistiska situationer kommer att skilja sig från det tidigare fallet i två avseenden. För det första, det verkliga tillståndet ρ t får inte vara låg, men endast väl approximerad av ett tillstånd ρ av rank r: ρ t − ρ 2 ≤ ε 1. För det andra, på grund av det systematiska och statistiska bullret, är de tillgängliga uppskattningarna för Paulis förväntningar inte exakt tr ρ t w(a), utan för vissa matriser. Antag att det rör sig om ett fel som beror på de enskilda Pauli-förväntningsvärdena [21] – Rρ t 2 ≤ ε 2 (i praktiska situationer kan ε 2 beräknas från felstängerna i samband med de enskilda Pauli-förväntningsvärdena [21]. För att få en uppskattning för ρ t, välj några λ ≥ 1 och ε ≥ λ( d 2 /m)ε 1 + ε 2, och lösa konvexa programmet min σ tr, med förbehåll för Rσ − R på 2 ≤ ε. Observation 1 (Robustness till buller) Låt ρ t vara en ungefärlig låg-rank tillstånd som beskrivs ovan. Antag att m = cdr log 2 d slumpmässigt valda Pauli förväntningar är kända upp till ett fel av ε som i (6), och låt σ  ska vara lösningen på (6). Då är skillnaden σ  ska − ρ t st mindre än O(ε ε rd). Detta håller med sannolikheten för misslyckande högst 1/λ 2 plus sannolikheten för misslyckande i Theorem 1. Beviset kombinerar idéer från Ref. [12] med vårt argument ovan [19]. Den största skillnaden från det bullerfria fallet är att i stället för att använda st Y  till = 0, måste vi nu arbeta med  till st Y  på ≤ 2 Y 2 δ. Med denna uppskattning följer observation 1 av det bullerfria beviset, tillsammans med några grundläggande beräkningar (se EPAPS). Vi noterar att ovanstående bundna sannolikt kommer att vara ganska löst; baserat på relaterat arbete som omfattar "begränsad isometry egenskap", antar vi att robustheten till buller faktiskt är betydligt starkare än vad som visas här [13]. Certifierad tomografi av nästan rena tillstånd. De föregående resultaten kräver ett förhandslöfte: att det verkliga tillståndet ρ t är δ 1 - nära en rank-r stat. När tomografi av ett okänt tillstånd utförs är dock varken r eller δ 1 kända i förväg. Det finns några lösningar på detta dilemma. För det första kan r och δ 1 beräknas från andra fysiska parametrar i systemet, t.ex. hållfastheten hos det lokala bullret [20]. En annan metod är att uppskatta r och δ 1 från samma data som används för att rekonstruera staten. När r = 1 är detta tillvägagångssätt särskilt effektivt, i helt antagande-fri tomografi: man kan uppskatta δ 1, med endast O(d) Pauli förväntan värden. Detta beror på att δ 1 är relaterad till renheten Tr ρ 2, som har en enkel sluten form uttryck i termer av Pauli förväntningar värden. Se EPAPS för närmare information. Vi får: Observation 2 (Certifierad tomografi) Antag att det okända fysiska tillståndet är nära att vara rent. Då kan man hitta ett certifikat för detta antagande, och rekonstruera staten med uttryckliga garantier om återuppbyggnad fel, från O(cd log 2 d) Pauli förväntningar värden. Sannolikheten för misslyckande är exponentiellt liten i c. Slutligen, när staten är ungefär låg-rank men inte nästan ren (r > 1), kan man utföra tomografi med olika antal slumpmässiga Pauli förväntan värden m. När m är större än nödvändigt (motsvarande en överskattning av r), är vi garanterade att hitta rätt densitetsmatris. När m är för liten, finner vi empiriskt att algoritmerna för att rekonstruera densitetsmatrisen (dvs. lösa konvexa programmet (1)) helt enkelt misslyckas med att konvergera. En hybrid metod för matrisåterhämtning. Här beskriver vi en variant av vår tomografimetod som gör det klassiska efterbehandlingssteget (dvs. att lösa konvexprogrammet (1) för att rekonstruera densitetsmatrisen) snabbare. Denna metod använder också slumpmässiga Pauli mätningar, men de väljs på ett strukturerat sätt. Alla Pauli matris är av formen w(u, v) = n. Vi väljer en slumpmässig delmängd S  till {0, 1} n i storlek O (r polylog(d)), och sedan för alla u  på S och v 0, 1} n, mäta Pauli matrisen w(u, v). Vi kallar detta för "hybridmetoden" eftersom den är likvärdig med en viss strukturerad matriskompletteringsproblem. Detta faktum innebär att vissa viktiga beräkningar för att lösa konvexa program (1) kan genomföras i tid. Hybridmetoden omfattas dock inte av de starka teoretiska garantier som visats tidigare, även om den ger korrekta resultat i praktiken. För en mer fullständig diskussion, se EPAPS tillägg. Numeriska resultat. Vi simulerade numeriskt både slumpmässiga Pauli och hybrid tillvägagångssätt som diskuteras ovan. För båda metoderna använde vi singular value thinding (SVT) [14]. Istället för att direkt lösa Eq. (6), SVT minimerar τ σ tr + σ 2 / 2 under förutsättning att tr(σ −  ska) w(A i ) ska ≤ σ, vilket är en bra proxy för Eq. (6) när τ dominerar den andra termen; programmen är likvärdiga i gränsen τ → ❌ (förutsatt ekv. (6) har en unik lösning) [14]. Uppskattning av den andra termen för typiska stater tyder på att välja 2τ r 1; vi använder τ = 5. För att simulera tomografin valde vi ett slumpmässigt tillstånd från Haar-måttet på ett d × r-dimensionellt system och spårade ut den r-dimensionella ancillan och tillämpade sedan depolariserande hållfasthetsbuller γ. Vi provade förväntade värden i samband med slumpvis utvalda operatörer enligt ovan, och lade till ytterligare statistiskt buller (respektive Hermiticity) som var i.i.d. Gaussian med varians σ 2 och medelvärde noll. Vi använde SVT och kvantifierade kvaliteten på återuppbyggnaden genom troheten och spåravståndet för olika värden av m, varje genomsnitt över 5 simuleringar. Detta beroende visas i bild. 1................................................................ Återuppbyggnaden är anmärkningsvärt hög trohet, trots allvarlig undersampling och korruption genom både depolarisering och statistiskt buller [26]. Med hjälp av hybridmetoden med 8 qubits på en rank 3 tillstånd plus γ = 5% depolarisering, och statistisk bullerstyrka σd = 0,1, vi vanligtvis uppnå 95% trohet rekonstruktioner på under 10 sekunder på en blygsam laptop med 2 GB RAM och en 2,2 GHz dubbelkärnig processor med hjälp av MATLAB - även om 90% av matriselementen förblir oprovtagna. Att öka antalet prover förbättrar bara vår noggrannhet och hastighet, så länge sparsamhet upprätthålls. Använda verkligen slumpmässigt utvalda Pauli observerbara (istället för hybridmetoden) ökar bearbetningstiden något på grund av de täta matris multiplikationer som är inblandade: i vår installation ungefär en minut. Denna metod ger dock ännu bättre resultat när det gäller fel, vilket framgår av bild. 1................................................................ Simuleringarna ovan visar att vår metod fungerar för generiska låggradiga tillstånd. Slutligen visar vi hur tillvägagångssättet fungerar i den experimentella kontexten av staten ρ som finns i 8 jon experiment av Ref. [2]............................................................... För att exemplifiera ovanstående resultat simulerade vi fysiska mätningar genom provtagning från den sannolikhetsfördelning som beräknas med hjälp av Bornregeln som tillämpas på det rekonstruerade tillståndet ρ. Detta tillstånd är ungefär lågt, med 99% av vikten koncentrerad till de första 11 eigenvectors. Standardavvikelsen per observerbar var 3/d. Färre än 30% av alla Pauli matriser valdes slumpmässigt. Från denna information, en rank = 3 approximation σ med trohet på 90,5% med avseende på ρ hittades i ca 3 minuter på ovan nämnda laptop. Diskussion. Vi har presenterat nya metoder för quantum state tomografi, som kräver endast O(rd log 2 (d)) mätningar, där r är rangen av den okända densitetsmatrisen och d är Hilbert rymddimensionen. Våra metoder bygger på och vidareutvecklar det nya paradigmet för komprimerad avkänning, och i synnerhet matriskomplettering [10, 11]. Vi använder mätningar som är experimentellt genomförbara, tillsammans med mycket snabb klassisk efterbehandling. Metoderna fungerar bra i praktiken och stöds också av teoretiska garantier. Det skulle vara intressant att ytterligare finslipa handeln mellan behovet av mätningar som lätt kan utföras i ett experiment och behovet av glesa matriser under det klassiska efterbehandlingssteget. Det är förhoppningen att detta arbete skall stimulera sådana ytterligare undersökningar. Erkännanden. Vi tackar E. Candès och Y. Planera för användbara diskussioner.
REF Även användningen av reparameterisering ρ 1⁄4 AA y är inte ny; se verken.
Quantum state tomography via compressed sensing
{'venue': 'Phys. Rev. Lett. 105, 150401 (2010)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Medicine']}