Statiska trådlösa nätverk är vid det här laget ganska välförstådda matematiskt genom den slumpmässiga geometriska grafmodellen. Däremot finns det relativt få rigorösa resultat när det gäller det praktiskt taget viktiga fallet med mobila nät. I detta papper anser vi en naturlig förlängning av den slumpmässiga geometriska grafmodellen till den mobila inställningen genom att tillåta noder att röra sig i rymden enligt Brownian rörelse. Vi studerar tre grundläggande frågor i denna modell: detektion (tiden tills en given målpunkt-som kan vara antingen fast eller flytta- upptäcks av nätverket), täckning (tiden tills alla punkter i en ändlig låda upptäcks av nätverket), och perkolering (tiden tills en given nod kan kommunicera med den gigantiska komponenten i nätverket). Vi tar fram exakt asymptotik för dessa problem genom att kombinera idéer från stokastisk geometri, koppling och flerskalig analys. Vi ger också en tillämpning av våra resultat för att analysera tiden att sända ett meddelande i ett mobilt nätverk. Påvisande. Överväg en "mål" partikel u som ursprungligen placeras vid ursprung, och vars position vid tiden s ges av g (s), som är en kontinuerlig process i R d. Vi är intresserade av den tid det tar för u att upptäckas av den mobila geometriska grafen, nämligen hur lång tid det tar tills en nod av Π 0 har kommit inom avstånd högst r 412 Copyright © av SIAM. Otillåten reproduktion av denna artikel är förbjuden. från u. Mer formellt definierar vi var unionen tas över alla noder {X i} av Π 0 och B(x, r) betecknar bollen av radien r centrerad på x. Följande teorem, som vi bevisar i Avsnitt 3, beskriver det asymptotiska beteendet hos T det ganska exakt. Teorin 1.1. I två dimensioner, för alla fasta λ och g oberoende av rörelserna i de andra noderna, har vi att ( 1 + o(1) ). Dessutom, om g är en oberoende Brownian rörelse då den ovan bundna är tight, dvs. ( 1 + o(1) ). Anmärkning 1.1. I högre dimensioner d ≥ 3, samma argument som används för att bevisa Theorem 1.1 ger den rena exponentiella svansen P [T det > t] ≤ exp(‐ct) för vissa konstant c = c(d). Detta bundet är också tätt upp till värdet av konstanten, vilket ger resultatet P [T det > t] = exp(- till (t))) (se [32, Theorem 1.1]). Observera att beteendet i två dimensioner är kvalitativt annorlunda, ett fenomen som är relaterat till det faktum att slumpmässig gång är återkommande i d = 2 och inte i dimensioner d ≥ 3. Detta gäller när u är icke-mobil eller rör sig enligt en oberoende Brownian rörelse. Anmärkning 1.3. Kraften 3 + 6/d i logaritmen är förmodligen inte tight; i ljuset av de nedre gränserna från upptäckten ligger det sanna värdet mellan 1 och 6 för d = 2 och mellan 0 och 3 + 6/d för d ≥ 3. Theorem 1.3 är det viktigaste tekniska bidraget i dokumentet; vi nämner kortfattat några av de idéer som används i beviset. Den viktigaste tekniska utmaningen är G: s beroende över tid. För att övervinna detta, bevis. Låta 0 vara den uppsättning punkter i D 0 som har detekterats u vid tiden t, det vill säga 0 = {X i  på D 0 :  tills ≤ t s.t. g/s) B(X i +  till i (s), r)}. Detta beslut träder i kraft den tjugonde dagen efter det att det har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning.
I REF studeras olika aspekter av kommunikationsgrafen, t.ex. hur lång tid det tar att bli en del av den gigantiska komponenten.
Mobile geometric graphs: detection, coverage and percolation
{'venue': "SODA '11", 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}