I den här artikeln konstruerar vi en ny familj av linjära maximala rankavstånd (MRD) koder för alla parametrar. Denna familj innehåller den enda kända familjen, Gabidulin-koderna, och koderna är inte likvärdiga med Gabidulin-koderna. Vi beräknar också automorfism gruppen av dessa koder, inklusive automorfism gruppen av Gabidulin koderna. Preliminärer Delsarte införde rang metriska koder i [8]. En rang metriska kod C är en delmängd av ett matrisutrymme M = M m×n (F), F ett fält, utrustad med avståndsfunktion d(X, Y ) := rank(X − Y ). En rang metriska kod kallas F 0 -linjär om den bildar en F 0 -subrymd av M för vissa delfält F 0 ≤ F. En maximal rankavståndskod (MRD-kod) är en rang metriska kod över ett ändligt fält F q som uppfyller Singleton-liknande bundet  och ≤ q n(m‐d+1), där d är det minsta avståndet för C. Om C är en F q0 -linjär MRD-kod i M m×n (F q ) med d = m − k + 1 för ett delfält F q0 av F q, säger vi att C har parametrar [nm, nk, m − k + 1] q0, med underskriften utelämnad när det inte finns någon tvetydighet. Delsarte [8] och Gabidulin [11] konstruerade linjära MRD-koder över det finita fältet F q för varje k, m och n. I litteraturen brukar dessa kallas (generaliserade) Gabidulinkoder, även om den första konstruktionen var av Delsarte. När n = m och k = 1, motsvarar MRD-koderna algebraiska strukturer som kallas kvasifält, se underavsnitt 1.2. Cossidente-Marino-Pavese [6] nybyggda icke-linjära MRD-koder för n = m = 3, k = 2. När n = m och 1 < k < n − 1, var inga andra linjära MRD-koder kända. I detta dokument kommer vi att bygga en ny familj av linjära MRD-koder för varje k, och vi kommer att visa att de innehåller koder som är likvärdiga med de allmänna Gabidulin-koderna. En bra översikt över MRD-koder finns i [28]. Liknande problem för symmetriska, alternerande och hermitiska matriser har studerats i t.ex. [12] Ett finit presemifield är en division algebra där multiplikation inte nödvändigtvis är associativ; om det finns ett multiplikativt identitetselement kallas det semifält. Vi hänvisar till [20] för bakgrund, definitioner och terminologi. Presemifield studeras i ekvivalensklasser som kallas isotopiklasser. Presemifält av ordningen q n med centrum som innehåller F q0 ≤ F q och vänster kärna som innehåller F q är i en-till-en korrespondens [n 2, n, n] q0 MRD-koder i M n (F q ) (dvs. F q0 -linjära MRD-koder med k = 1). I teorin om semifält kallas sådana utrymmen semifältsspridningsset. Många konstruktioner för ändliga halvfält är kända, se till exempel [18] och [20]. Det finns två viktiga operationer som definieras på presemifält; den dubbla, som är den motsatta algebran, och införlivandet. Dessa bildar tillsammans en kedja av sex (isotopiska klasser av) semifält, kända som Knuthbanan.
2016: En annan generalisering av Gabidulin-koder, så kallade vridna Gabidulin-koder, upptäcktes i REF.
A new family of linear maximum rank distance codes
{'venue': None, 'journal': 'arXiv: Combinatorics', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}