Låt A vara ett arrangemang av n linjer i Euclidean planet. K-nivån av A består av alla skärningspunkter v av linjer i A som har exakt k linjer av A passerar under v. Komplexiteten av k-nivån i ett linjearrangemang har studerats vida. 1998 visade Dey en övre gräns för O(n · (k + 1) 1/3 ). Vi undersöker komplexiteten hos k-nivåer i slumpmässiga linje- och hyperplanearrangemang. När arrangemanget erhålls från någon fast projektiv linje arrangemang av n linjer genom att välja en slumpmässig cell för att innehålla den södra-polen, visar vi en övre gräns av O (k + 1) 2 ) på den förväntade komplexiteten av k-nivån. Som en biprodukt visar vi att komplexiteten hos någon (≤ j)-zon i ett d-dimensionellt enkelt arrangemang av n-hyperplan är av ordning  och ordning ((j + 1)n d‐1 ). Den klassiska zonsatsen är fallet j = 0. Vi anser också arrangemang av stora (d − 1)-sfärer på sfären S d som är ortogonala till en uppsättning slumpmässiga punkter på S d. I denna modell visar vi att den förväntade komplexiteten av k-nivån är av ordning ((k + 1) d‐1 ).
Chiu et al:s senaste arbete. REF kommer närmare, eftersom de har tittat på den genomsnittliga storleken på jth nivå i en slumpmässig planar arrangemang av n linjer, valt genom att fastställa en projektiv linje arrangemang av storlek n och equiprobly välja en slumpmässig cell för att innehålla den södra-polen.
On the Average Complexity of the $k$-Level
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}