) †De två första författarna bör betraktas som gemensamma först författare Den mänskliga hjärnan visar en komplex nätverk topologi, vars struktur organisation är allmänt studeras med hjälp av diffusion tensor avbildning. Den ursprungliga geometrin, ur vilken nätverkets topologi framträder, är känd, liksom lokaliseringen av nätverksnoder i förhållande till hjärnans morfologi och anatomi. Ett av de mest utmanande problemen med dagens nätverk vetenskap är att dra den latenta geometrin från bara topologin av ett komplext nätverk. Den mänskliga hjärnans strukturella förbindelse utgör det perfekta riktmärket för att testa algoritmer som syftar till att lösa detta problem. Att studera hjärnan som ett nätverk av sammankopplade noder och den senaste utvecklingen av nätverksteorin, bidrog till att avslöja de viktigaste strukturella principerna bakom topologin för den friska mänskliga hjärnan 1,2. En av de säregna regler som hjärnans topologi bygger på är tendensen hos nätverksnoder att samlas i moduler med hög effektivitet och kort längd, vilket återspeglar en inneboende småskalig arkitektur, funktionellt segregerad (lokal klusterbildning) och integrerad (global effektivitet) [3][4][5]. Faktum är att strukturella magnetisk resonans (MR) studier baserade på diffusion tensor avbildning (DTI, en bildteknik som gör det möjligt att utföra traktografi och Connectome rekonstruktion) har visat att den mänskliga hjärnan visar en modulär struktur, som består av runt fem till sex moduler, vilket motsvarar kända funktionella delsystem 3,6. Förutom förekomsten av en strukturell kärna 3, hjärnan verkar att uppvisa en rik-klubb organisation, med högt anslutna och centrala noder (hubbar) med en stark tendens att vara ömsesidigt sammankopplade, vilket utgör en brännpunkt för hela hjärnan Sådana topologiska mönster av anslutning är ofta invecklat relaterade med de fysiska avstånden mellan element i hjärnnätverk. Å ena sidan, hjärnregioner som är geografiskt nära har en relativt hög sannolikhet för att vara sammankopplade, å andra sidan, längre vit materia prognoser är dyrare när det gäller deras material- och energikostnader, vilket gör kopplingar mellan rumsligt långt hjärnstrukturer mindre troligt 8. Intressant, topologin av många verkliga nätverk verkar kännetecknas av en latent hyperbolisk geometri och den hyperboliska rymden är ett lovande universellt utrymme för representation för verkliga nätverk, bevara många av sina grundläggande topologiska egenskaper 9. Att kartlägga ett givet verkligt nätverk till dess hyperboliska utrymme är dock fortfarande en öppen utmaning. Popularity Likhet Optimization (PSO) modell föreslog att avvägningen mellan nod popularitet och likhet bidrar till att etablera nya förbindelser och den hyperboliska utrymmet erbjuder en sammanfallande geometrisk representation för denna mekanism för självorganisering 9. Enligt PSO-modellen representerar de radiella koordinaterna och vinkelavstånden för noderna i den hyperboliska disken respektive nodens popularitet och likhet. Såvitt vi vet misslyckades de få försök som har gjorts för att avslöja hjärnans inneboende geometri i Euclideans rymd 10, och inbäddningen av hjärnanslutningar är fortfarande ett outforskat fält. I detta avseende, genom att använda spelteori och tredimensionella Euclidean inbäddning, Gulyás et al. 11 visade att hjärnan har ett mycket farbart skelett, vilket återspeglar att hjärnans rumsliga organisation nästan är optimal för informationsöverföring. - Ja, det är jag. (2015), med hjälp av dimensionalitet reduktion tekniker, en linjär (multidimensionell skalning) och en icke-linjär (Isomap), införde en ny matematisk ram som, som förväntat ovan, misslyckades med att representera den tredimensionella inneboende geometrin i den mänskliga hjärnan connectome 10, slutsats att sådan "inrinsic geometri endast minimalt relaterar till neuroanatomi" 10. Men det faktum att den inneboende geometri som de härledde inte hänförde sig till neuroanatomi kunde tillskrivas inbäddande begränsningar av de använda algoritmerna. I själva verket, hjärnnätverken är fysiskt dyra system och det är troligt att flera funktioner i verkliga hjärnan anatomi har strukturerats för att styra sådana ledningar kostnader 8. Det är välkänt att mänskliga hjärnnätverk visar både anatomiskt kortdistansförbindelser och långdistansvägar mellan flera rumsligt avlägsna moduler och anatomiska områden. Nätverksgeometri är ett lovande fält och har potential att främja en betydande förbättring när det gäller att avslöja och förstå den dolda geometrin från vilken en komplex nätverksstruktur uppstår under friska och patologiska förhållanden. Men som vi nämnde ovan är kartläggningen av verkliga nätverk in i det hyperboliska utrymmet fortfarande ett öppet problem. Nyligen, Thomas et al. 12 och Muscoloni m.fl. (artikel under översyn) 13 föreslagna kolescerande inbäddning, en klass av topologisk-baserad oövervakad ickelinjär dimension reduktion maskin lärande kan utföra effektiv kartläggning av komplexa nätverk i 2D hyperbolic disk, 3D hyperbolic sfären, och potentiellt också i högre dimensioner. Genom att tillämpa denna nya klass av algoritmer undersökte vi om vi kunde visa oövervakat - och bara utforska hjärnnätverkens topologi - att det är möjligt att i det hyperboliska rummet avslöja de grundläggande egenskaperna hos den dolda hjärngeometrin, som i vårt fall kan härledas från MR-DTI:s strukturella konnektivitet. Vi ansåg tre olika hjärnviktade nätverk, varje nätverk erhölls från en annan datauppsättning (Tabell 1) som medelvärdet eller medianen för alla de viktade nätverk som kännetecknade de friska individer som ingår i datasetet. Nätverksvikterna för de första och andra dataseten visar ett värde som relaterar till antalet strömlinjeformningar (NOS) mellan hjärnregioner, medan i den tredje datasetet strömlinjeformar avståndet (SD) rapporteras. I allmänhet har vi valt dataset som skiljer sig åt för typologi av vikter och de tekniska detaljerna anges i Metoder och Suppl. Information. Kolescerande inbäddning i 2D hyperbolic disk perfekt separerar de strukturella nätverken i två skilda sektioner, som motsvarar vänster och höger halvklot (Tabell 1), men för enkelheten i berättandet nedan kommer vi att visa siffrorna i datasetet som erbjöd de bästa resultaten. I detta fall valde vi Dataset I (Nigro et al. och mediannätverket är representerat i bild. 1................................................................ Det verkar som om den första regeln i organiseringen av hjärnnätverk som uppstår i det geometriska rummet är deras strukturella segregation på två halvklot, vilket är ett enkelt begrepp som ännu helt försummats i tidigare studier om hjärnkonnektivitet. Dessutom observerade vi att även främre, centrala och bakre delen av hjärnan var korrekt fördelade och segregerade i den 2D-hyperboliska disken (Fig. 2).................................................................. Circularseparation-scores -utvärderar matchningen mellan vinkelorganisationen av noderna i 2D inbäddning utrymme och deras verkliga anatomiska arrangemang (enligt node etiketter främre-central-bakre) - visas i tabell 1 för de tre datauppsättningar som analyserats. Intressant nog, för Dataset I, ncMCE erbjuds också i detta fall en perfekt vinkelnod justering (Fig. 2).................................................................. Därför kan vi dra slutsatsen att både vänster-höger och frontal-central-back node arrangemang som erbjuds av kolescerande inbäddning i 2D-hyperbolisk disk - respekterade hjärnan morfologi med en imponerande nivå av noggrannhet, vilket ger det första viktiga resultatet av denna studie. Vid denna punkt var vi redo att undersöka en mer komplicerad hypotes: om de strukturella hjärnnätverken döljer en latent men tydlig anatomi-relaterad geometri, resultatet av kolescerande inbäddning i 2D-hyperbolisk disk bör respektera också den traditionella och välkända hjärnlobs organisation. En tidigare studie misslyckades med att bevisa denna viktiga korrespondens 10. Bilda. 3 istället överraskande bekräftar sådan hypotes, och visar att hjärnan median-nätverk av Dataset I inbäddad av ncMCE segregerar i rumsligt och anatomiskt distinkta undernätverk som motsvarar hjärnan lober med nästan perfekt matchning. Tabell 1 visar de cirkulära separationspoängen för var och en av de tre dataseten, med beaktande av både medel- och mediannätverken för varje dataset, och med användning av alla kolescerande inbäddningsalgoritmer. Intressant nog är graden av matchning mellan inbäddning och anatomi alltid hög (noggrannhet>0.7) för minst en av kolescerande inbäddningsalgoritmer i alla de tre datauppsättningarna. I synnerhet märker vi att ncMCE, som är en hierarkisk inbäddningsteknik, erbjuder högsta prestanda i den första datasetet, medan många olika tekniker som ISO och ncISO fungerar bättre i de andra två dataseten. Vi spekulerar om att dessa resultat kan relateras till de olika strategier och länkviktsvariabler som används för att bygga connectomes av de tre olika dataset, och vi lämnar detta tekniska ämne öppet för framtida studier. Som förklarades i 12,13, bland de oövervakade maskininlärning tekniker som antagits för kolescens inbäddning, var de mångfacetterade (ISO, ncISO och LE) de enda som kunde utvidgas för att kartlägga till de tredimensionella (3D) Dessutom, i Dataset III (van den Heuvel), fann vi att mänskliga strukturella hjärnnätverk uppvisade en betydande annorlunda geometri i två åldersintervall specifika grupper (22-25 respektive 31-35 år gamla). Denna latenta geometri variation tydligt uppstod med kolescerande inbäddning och med tanke på som markörer för diskriminering den genomsnittliga hyperboliska avståndet (HD) och hyperbolic kortaste vägen (HSP) mellan noderna 12,13. Tvärtom kunde genomsnittet av de ursprungliga vikterna inte avslöja någon betydande förändring mellan de två grupperna (tabell 2). Vi undersökte också möjligheten att upptäcka åldersrelaterade geometriska förändringar i hjärnnätverken med hjälp av den 3D-hyperboliska sfären. Suppl. Tabell 1 bekräftar att alla metoder och hyperboliska markörer, bortsett från LE-3D-HSP, gör det möjligt att skilja mellan de två villkoren med hjälp av de tre dimensionerna. Det finns dock ingen betydande förbättring när det gäller 2D-inbäddningen, som verkar vara tillräcklig för att upptäcka åldersrelaterade variationer mellan grupper i den latenta geometrin hos hjärnnätverk som ingår i denna datauppsättning. Om åldern ändrar den latenta geometrin för friska connectomes, patologiska tillstånd relaterade till hjärnan degeneration bör försämra latenta geometrin av patienternas connectomes. Därför var det naturligt att undersöka om hyperbola markörer såsom de som beskrivs ovan, kunde vara användbara verktyg också för att upptäcka patologiska-relaterade mellan grupper variationer hos de novo läkemedelsnaiva Parkinson's Disease (PD) patienter med avseende på friska kontroller. Det sista intressanta konstaterandet av vårt arbete är att våra algoritmer gör det möjligt att upptäcka geometriska patologiska skillnader i hjärnans nätverk i det hyperboliska rummet. Vi visar faktiskt att både HD- och HSP-markörer gör det möjligt att avslöja den förändrade latenta geometrin i PD-patienternas strukturella hjärnnätverk. Tvärtom, även i denna jämförelse kunde medelvärdet av vikterna i den ursprungliga topologin inte ge några betydande skillnader mellan kontrollerna och PD-grupperna (tabell 3). Sedan breddade vi ramen från 2D till 3D hyperbolic utrymme. Analysen av den 3D-hyperboliska inbäddningen visade att alla kolescerande inbäddningsmetoder och alla hyperboliska markörer signifikant kunde identifiera förändringen i den inneboende hjärngeometrin hos de novo läkemedelsnaiva PD-patienter som visades i Suppl. Tabell 2............................................................................................... Emellertid, igen 3D inbäddning inte erbjuda något mer i jämförelse med 2D. Innan vi avslutade tog vi också hänsyn till möjligheten att anta HyperKarta 15 och HyperKarta-CN 16 (två alternativa metoder för kartläggning i den hyperboliska disken) för gruppjämförelserna. Det var inte möjligt att köra dem på Dataset III (van den Heuvel) eftersom antalet nätverk var för stort. Med tanke på att dessa metoder är så komplexa kan vi endast tillämpa dem på Dataset IV (Cacciola). Suppl. Tabell 3 visar att bara HyperMap-HD gör det möjligt att signifikant upptäcka latent geometri variationer, men inte de andra HyperMap-baserade metoder. På ena sidan tyder detta på att HyperMap tillvägagångssätt generellt erbjuder en lägre diskriminativ kraft, men på den andra sidan bekräftar latenta geometrin nätverksförändringar som sker i 2D hyperbolic utrymme på grund av det patologiska tillståndet. Sammantaget våra resultat tyder på att, även om de mänskliga strukturella hjärnnätverken är svagt hyperboliska (Tabell 4), kolescerande inbäddning algoritmer fortfarande erbjuder ett kraftfullt verktyg för att avslöja latent hjärngeometri. Vi hoppas att dessa resultat kommer att utgöra en övertygande utgångspunkt för att överbrygga klyftan mellan hjärnnätverkens topologi och latent geometri. Slutligen tror vi att den nya metoden för connectomic undersökning kommer att öppna ett nytt scenario för analys av hjärnsjukdomar. Det geometriska 2D-utrymmet för strukturell hjärnanslutningsrepresentation kan användas för diagnostiskt och prognostiskt syfte och för terapeutisk behandlingsutvärdering, med möjlig påverkan inom många områden av neurologi och psykiatri. Metoder Kolescerande inbäddningsmetoder har testats på 4 strukturella mänskliga hjärnnätverk dataset. Den första friska kontrolldatauppsättningen togs från en studie om strukturell nätverksanslutning hos Parkinson's Diseasepatienter 14, från vilken vi inkluderade traktografibaserade nätverk av 30 friska kontroller. För beskrivning och detaljer om konstruktionen av de strukturella konnektivitetsmatriser hänvisar vi till tidigare arbete av 14. I 14 har ett tröskelförfarande tillämpats för att behålla endast parvisa anslutningar med mer än 3 strömningar. Varje kant av de slutliga matriserna representerade produkten av det tröskelerade antalet strömningar (NOS) och medelfraktionsanisotropi (FA) normaliseras genom att dividera varje element med det maximala värdet av matrisen (NOS x FA / max värdet av matrisen). Tabell 4 sammanfattar vissa egenskaper hos de hjärnanslutningar som används i detta papper. För att utvärdera den latenta geometrin av hjärnnätverk, varje nätverk nod tilldelades olika anatomiska klasser enligt tre anatomiska arrangemang. För varje datauppsättning och varje anatomiskt arrangemang har utvärderingen utförts enligt följande förfarande: 1. Med tanke på en uppsättning konnektivitetsmatriser genereras en genomsnittlig konnektivitetsmatris antingen med hjälp av medelvärdet eller medianoperatören. 2. Utgångspunkten är följande: Noggrannheten av kolescerande inbäddning tekniker kan förbättras om nätverkslänkarna viktas med hjälp av värden som tyder på anslutning geometri 12,13. Eftersom vikterna i de givna konnektivitetsmatriserna kan indikera antingen anslutningsstyrka (dvs. i I och II) eller avstånd mellan angränsande noder (dvs. Datauppsättning III), i det första fallet måste värdena vändas. Antagandet är att ju högre styrkan desto högre likhet mellan de angränsande noderna, därför desto lägre deras avstånd. För varje kant (, ) vikten är omvänd enligt följande formel: Var är den genomsnittliga konnektivitetsmatris beräknas vid föregående punkt, ′ är den omvända genomsnittliga konnektivitetsmatris, x och x är respektive den maximala och minsta kant vikter i. Den genomsnittliga konnektivitetsmatrisen (reverserad eller inte enligt föregående punkt) är inbäddad i det tvådimensionella hyperbola utrymmet med hjälp av kolescerande inbäddning tekniker (MCE, ncMCE, ISO, ncISO och LE), som ger som utgång polära koordinater (, ) av noderna i den hyperboliska disken (för detaljer om metoderna se den ursprungliga publikationen 12,13 ). 3. Vad är det som händer? Arrangemanget av noderna över vinkelkoordinatutrymmet jämförs med det annoterade anatomiska arrangemanget för att utvärdera i vilken utsträckning noder som tillhör samma anatomiska klass är nära varandra i vinkelkoordinaten För att utvärdera de geometriska modifieringarna av hjärnnätverken som motsvarar individer i två olika betingelser (dvs. Två åldersintervall i Dataset III och friska kontra patologiska i Dataset IV), vi tilldelade en geometrisk markör till varje nätverk i datasetet och sedan utförde vi tester för att bedöma diskrimineringen mellan de två grupperna. För varje konnektivitetsmatris i datasetet har den geometriska markören tilldelats enligt olika metoder. 1. Vad är det för fel på dig? Matrisen är inbäddad i det 2-dimensionella hyperboliska utrymmet med hjälp av kolskimrande inbäddningsmetoder (MCE, ncMCE, ISO, ncISO och LE som dimensionsreduktionsmetoder, med och utan likformig justering). Observera att om anslutningsmatrisernas vikter anger anslutningshållfasthet och inte avstånd, måste de vändas enligt beskrivningen i föregående avsnitt. Markören beräknas med två olika alternativ: a. Medel bland alla parvisa hyperboliska avstånd av noderna i den hyperboliska disken. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Mean bland alla pairwise hyperbolic kortaste vägar av noderna i den hyperboliska disken, där den hyperboliska kortaste vägen definieras som summan av de hyperboliska avstånden över den kortaste vägen. 2. Utgångspunkten är följande: Matrisen är inbäddad i det 3-dimensionella hyperboliska utrymmet med hjälp av kolskimrande inbäddningsmetoder (ISO, ncISO och LE som dimensionsreduktionsmetoder). Observera att om anslutningsmatrisernas vikter anger anslutningshållfasthet och inte avstånd, måste de vändas enligt beskrivningen i föregående avsnitt. Markören beräknas med samma två olika alternativ som beskrivs i 1.a och 1.b, men med tanke på avstånd i den hyperboliska sfären snarare än i den hyperboliska disken. 3. Vad är det som händer? Matrisen är inbäddad i det 2-dimensionella hyperboliska utrymmet med hjälp av HyperMap 15 och HyperMap-CN 16 tekniker. Observera att i detta fall behandlas matrisen som oviktad (för detaljer om metoderna hänvisas till originalpublikationerna). Markören beräknas med samma två olika alternativ som beskrivs i 1.a och 1.b. 4. Vad är det som händer? Markören beräknas som medelvärdet av alla kantvikter i den ursprungliga matrisen. När det för varje metod tilldelats en geometrisk markör till varje konnektivitetsmatris, tre olika tester tillämpas på de två populationer av markörer associerade till de två grupperna för att bedöma förmågan hos varje metod att diskriminera hjärnnätverk under de två betingelserna. Det första testet är Wilkoxon ranksum test, motsvarande Mann-Whitney Utest, som är ett icke-parametriskt test för lika population medianvärden för två oberoende prover X och Y 23. De övriga åtgärder som rapporteras är arean under mottagarens karakteristiska kurv (AUROC eller AUC för korthet) 24 och arean under precisionsåterkallelsekurvan (AUPR) 25, två prestandapoäng som vanligtvis används i klassificeringsuppgifter. MATLAB-koden användes för alla metoder och simuleringar, utom för HyperMap-CN vars C-kod har släppts av författarna på https://bitbucket.org/dk-lab/2015_code_hypermap. Simuleringarna utfördes på en arbetsstation under Windows 8.1 Pro med 512 GB RAM och 2 Intel(R) Xenon(R) CPU E5-2687W v3 processorer med 3,10 GHz.
REF visar att den inneboende geometrin hos en strukturell hjärnanslutning relaterar till dess intrinsiska geometri: den mycket högdimensionella icke-linjära geometriska rymden som ursprungligen induceras av hjärnans sammankoppling som kodad av förbindelsen, antingen strukturellt eller funktionellt, i stället för den neuroanatomiska rymden.
Coalescent embedding in the hyperbolic space unsupervisedly discloses the hidden geometry of the brain
{'venue': None, 'journal': 'arXiv: Neurons and Cognition', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Biology', 'Physics']}