Vi bevisar att varje graf har en spektral glesare med ett antal kanter linjära i sitt antal hörn. Eftersom linjära spektrala sparifierare av kompletta grafer är expanderare, kan våra sparifierare av godtyckliga grafer ses som generaliseringar av expander grafer. I synnerhet bevisar vi att för varje d > 1 och varje oriktad, viktad graf G = (V, E, w) på n hörn, finns det en viktad graf H = (V, F,w) med högst d(n − 1) kanter sådana att för varje x R V, LGx där LG och LH är Laplacian matriser av G respektive H, respektive. Således, H approximerar G spektral minst samt en Ramanujan expander med dn/2 kanter approximerar den kompletta grafen. Vi ger en elementär deterministisk polynomalgoritm för att konstruera H.
I en vacker bit av arbete, REF visade att en  till-spektral sparifierare med ett linjärt antal O (n/ på 2 ) kanter finns och kan beräknas i polynom tid.
Twice-ramanujan sparsifiers
{'venue': "STOC '09", 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}