Många komplexa system är organiserade i form av ett nätverk inbäddat i rymden. Viktiga exempel är fysisk Internetinfrastruktur, vägnät, flygförbindelser, hjärnfunktionella nätverk och sociala nätverk. Rymdens inverkan på nätverkstopologin har nyligen kommit i fokus på grund av uppkomsten av genomträngande teknologier baserade på geolokalisering, som ständigt fyller databaser med människors rörelser och därmed avslöjar deras banor och rumsliga beteende. Utvinning av mönster och regulariteter från den resulterande stora mängden mänskliga mobilitetsdata kräver utveckling av lämpliga verktyg för att avslöja information i rumsligt inbäddade nätverk. I motsats till de flesta arbeten som tenderar att tillämpa standard nätmått för alla typer av nätverk, argumenterar vi i detta dokument för en noggrann behandling av de begränsningar som åläggs av utrymme på nätet topologi. I synnerhet fokuserar vi på problemet med att upptäcka samhället och föreslår en modulär funktion som är anpassad till rumsliga nätverk. Vi visar att det är möjligt att faktor ut effekten av rymden för att avslöja tydligare dolda strukturella likheter mellan noderna. Metoder testas på ett stort mobilnät och datorgenererade riktmärken där rymdeffekten har införlivats. * Publicerad som PNAS, 2011, 108, 7663-7668. arXiv:1012. Ursprunglig titel: "Bortom rymden för rumsliga nätverk". Att förstå de principer som driver organisationen av komplexa nätverk är avgörande för ett brett spektrum av områden som informations- och samhällsvetenskap, ekonomi, biologi och neurovetenskap [1]. I nätverk där noder intar positioner i ett euklidiskt utrymme kan rumsliga begränsningar ha en stark inverkan på deras konnektivitetsmönster [2]. Kanter kan antingen vara rumsligt inbäddade, såsom i vägar eller järnvägslinjer i transportnät eller kablar i ett elnät, eller abstrakta enheter, såsom vänskapsrelationer i sociala nät online och offline eller funktionell konnektivitet i hjärnnät. I båda fallen spelar rymden en avgörande roll genom att direkt eller indirekt påverka nätverksanslutningen och göra dess arkitektur radikalt annorlunda än slumpmässiga nätverk [3]. En avgörande skillnad beror på kostnaden för långdistansförbindelser [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] som begränsar förekomsten av nav, dvs. Höggradiga noder, och därmed observation av fett-tailed grad fördelningar i rumsliga nätverk. Ur ett modellerande perspektiv, gravitationsmodeller [13, 14, 15] [19, 20] att volymen av interaktion mellan avlägsna platser framgångsrikt modelleras av där N i mäter betydelsen av plats i, t.ex. Dess befolkning och avskräckningsfunktionen f beskriver rymdens inflytande. Equation (1) betonar att antalet interaktioner mellan två platser är proportionellt mot antalet möjliga kontakter N i N j och att det varierar med geografiskt avstånd, på grund av finansiella eller tidsmässiga kostnader. I många socioekonomiska system är f väl rustad av en maktlag som påminner om Newtons gravitationslag, där befolkningen spelar rollen som en massa. Medan ett brett utbud av modeller har utvecklats särskilt för rumsliga nätverk [21, 22, 23, 24, 25], är dedikerade verktyg för att avslöja användbar information från deras topologi dåligt utvecklade. När man analyserar rumsliga nätverk, författare tenderar att använda nätverksmått där den rumsliga arrangemang av noderna ignoreras, vilket bortser från att användbara åtgärder för icke-spatiala nätverk kan ge irrelevanta eller triviala resultat för rumsliga. Viktiga exempel är klusterkoefficienten, eftersom rumsliga nätverk ofta är rumsligt grupperade av naturen, och gradfördelning, där höggradiga noder dämpas av långdistanskostnader. Denna observation understryker behovet av lämpliga mått för analys och modellering av nätverk där rumsliga begränsningar spelar en viktig roll [26, 27, 28]. Detta behov är särskilt tydligt när det gäller att upptäcka människor i samhället. Upptäckten av samhällen (moduler eller kluster) är en svår uppgift som är viktig för många områden, och den har rönt stor uppmärksamhet under de senaste åren [29, 30, 31, 32, 33, 34, 35]. I ett nötskal definieras moduler som delnätverk som är lokalt täta trots att nätverket som helhet är glest. Gemenskapens upptäckt är ett centralt verktyg för nätverksteori eftersom avslöjandet av mellanliggande skalor av nätverksorganisation ger möjlighet att rita läsbara kartor över nätverket och att avslöja dolda funktionella förbindelser mellan noder [32]. När det gäller rumsliga nätverk omfattar viktiga praktiska tillämpningar: i) utformning av effektiva nationella, ekonomiska eller administrativa gränser baserade på mänsklig rörlighet 2 eller ekonomiska interaktioner i stället för historiska eller ad hoc-skäl [36, 37, 38, 39], ii) modellering av historiska eller förhistoriska interaktioner baserade på begränsade arkeologiska belägg [40, 41], iii) identifiering av funktionellt relaterade hjärnregioner och principer som leder till global integration och funktionell segregation [42, 43]. I praktiken är den nuvarande tekniken för att hitta moduler i rumsliga nätverk [44, 45] att optimera standard Newman-Girvan modularitet som, som vi hävdar nedan, förbiser den rumsliga naturen i systemet. I de flesta fall producerar detta system samhällen som är starkt beroende av geografiska faktorer och ger dålig information om de underliggande krafter som formar nätverket. Sociala nätverk och transportnät domineras till exempel av kortdistansinteraktioner till låga kostnader som leder till moduler som är kompakta i fysiskt utrymme. Som ett resultat, modularitet optimering är blind för rumsliga anomalier och misslyckas med att avslöja moduler som bestäms av andra faktorer än bara fysisk närhet. Denna punkt för oss till den centrala frågan om vårt arbete: I rumsliga nätverk, hur kan man upptäcka mönster som inte beror på rymden? Med andra ord, är observerade mönster endast på grund av effekten av rumsligt avstånd, på grund av gravitationsliknande krafter, eller kommer andra krafter in i bilden? Om så är fallet, kan man gå längre än en standardnätverksmetod för att upptäcka viktig information från rumsliga nätverk? För att illustrera dessa begrepp och klargöra syftet med detta dokument, låt oss utveckla sociala nätverk, där dikotomi mellan nätverk och rum har studerats i årtionden. Å ena sidan har forskningen försökt förklara organisationen av sociala nätverk enbart när det gäller nodernas strukturella ställning. Strukturella mekanismer som stöder förekomsten av sociala interaktioner inkluderar triadisk stängning [46], länk ömsesidighet [47] och förstärkning [48]. Å andra sidan har forskningen identifierat beställa principer som förklarar kantskapande i termer av icke-strukturella attribut, främst homofily [49] och fokus restriktion [50]. Homophily säger att likhet, t.ex. När det gäller status eller intressen, främjar anslutning [49], eftersom liknande människor tenderar att välja varandra, kommunicera oftare och utveckla starkare sociala interaktioner [51]. Den andra beställa princip är fokus restriktion [50], som hänvisar till tanken att sociala relationer är beroende av möjligheter till social kontakt. En dominerande faktor för fokusrestriktion är geografisk närhet, som erbjuder möjligheter till personlig interaktion och möten mellan individer [52, 53]. Fokusrestriktion beror alltså indirekt på avstånd genom sitt beroende av transportnät som själva vanligtvis uppvisar en gravitationslag. Även om homofilt och fokusrestriktion är olika mekanismer, de är ofta inbördes relaterade, eftersom täta kontakter driver grupper mot enhetlighet, genom socialt inflytande, och att lika individer tenderar att leva i samma stadsdelar [54]. Dessutom kan båda aspekterna ses som härrörande från närhet i ett högdimensionellt socialt rum, som sammanfattar människors intressen och egenskaper, d.v.s. noder har en tendens att ansluta till angränsande noder i socialt utrymme [55]. När man avtäcker moduler av starkt anslutna noder i komplexa nätverk, behandlar man en extremt invecklad situation där strukturella och icke-strukturella effekter, inklusive homofili och fokus con-3 stunt, blandas. Moduler som avslöjas genom detektering av samhället stöds således av en okontrollerad blandning av eventuellt antagonistiska krafter, från vilka få slutsatser kan dras [56]. Vårt mål är följande: när nodernas rumsliga positioner är kända, som allt oftare är fallet, är det möjligt att ta ut effekten av rymden för att tydligare identifiera homofila effekter och därmed dolda strukturella eller kulturella likheter. Låt oss nu presentera notationerna och formalisera problemet med att upptäcka samhället. I det följande fokuserar vi på viktade, oriktade nätverk som kännetecknas av deras adjacensmatris A. Definitionsmässigt är A symmetriskt och A ij vikten av kopplingen mellan i och j. Styrkan hos node i definieras som k i = j A ij ; m = i,j A ij /2 är den totala vikten i nätverket. Avståndet mellan noderna i och j betecknas av d ij. Från och med nu, med avstånd, menar vi Euklidiskt avstånd mellan noder när det mäts på inbäddningsutrymmet, och inte nätverksavstånd, vilket är antalet kanter som korsas längs den kortaste vägen från en vertex till en annan. Som nämnts ovan kan rymdens natur och tillhörande avstånd vara abstrakta, dvs. affinitet i ett socialt nätverk, eller fysisk, dvs. Geografiskt avstånd mellan städer. Den grundläggande idén bakom de flesta community detektion metoder är att dela upp noderna i nätverket i moduler. Tvärtemot standard graf partitionering algoritmer, detektion av samhällen utförs utan en priori specificera antalet moduler eller deras storlek, och syftar till att avslöja på ett automatiserat sätt meso-skalan organisation av nätverket [31]. Bakom de flesta community detektionsmetoder finns en matematisk definition som mäter kvaliteten på en partition. Den allmänt använda modularitet [57] av en partition P åtgärder om länkar är mer överflödande inom samhällen än vad som skulle förväntas på grundval av slumpen, nämligen Q = (fraktion av länkar inom samhällen) − (förväntad bråkdel av sådana länkar) I ett matematiskt uttryck, modularitet läser där i, j  på C är en summering över par av noder i och j tillhör samma gemenskap C av P och därför räknar länkar mellan noder inom samma gemenskap. Vad som menas med slump, d.v.s. nollhypotesen, är en extra ingrediens i definitionen [58] och förkroppsligas av matrisen P ij. P ij är den förväntade vikten av en länk mellan noder i och j över en ensemble av slumpmässiga nätverk med vissa begränsningar. Dessa begränsningar motsvarar känd information om nätverksorganisationen, dvs. dess totala antal länkar och noder, som måste beaktas vid bedömningen av relevansen av en observerad topologisk egenskap. I allmänhet, om A ij är symmetrisk, P ij är 4 också valt att vara symmetrisk och man kräver också att den totala vikten bevaras 1, dvs.. ij A ij = ij P ij = 2m. Utöver dessa grundläggande överväganden kan olika nullmodeller konstrueras beroende på det berörda nätet [59, 60, 61]. Det mest populära valet, som föreslås av Newman och Girvan (NG) [57] är där randomiserade nätverk bevarar styrkan i varje nod. Förstärka nod styrkor går med på att nätverket är väl blandad, i den meningen att någon nod kan anslutas till någon nod och att endast anslutning spelar roll. I så fall, nod styrka är en bra proxy för sannolikheten för en länk för att komma fram till en viss nod. Olika typer av heuristik kan utvecklas för att approximera det optimala värdet av motsvarande NG modularitet [58, 62, 63, 64]. Dessa metoder har visat sig producera användbara och relevanta partitioner i en bred klass av system [31], även om modularitet lider av begränsningar såsom upplösningsgräns [65] och en möjlig hög degeneracy av sitt landskap [66, 67]. NG:s nullmodell använder endast den grundläggande strukturinformation som kodats i adjacensmatrisen. Det är därför lämpligt när det inte finns någon ytterligare information om noderna, men inte när ytterligare begränsningar är kända. I nätverk där avståndet starkt påverkar sannolikheten för att två noder ska anslutas, är ett naturligt val för nullmodellen inspirerat av de ovan nämnda gravitationsmodellerna där N i är, som i (1), ett begrepp av betydelse för node i och där avskräckningsfunktionen är det viktade medelvärdet av sannolikheten A ij / (N i N j ) för en länk för att avsluta på avstånd d. Det mäts alltså direkt från data 2 och inte monteras av ett bestämt funktionellt beroende, som ofta är fallet [15]. Genom konstruktion bevaras nätets totala vikt vid behov. Beroende på det system som granskas, kan N i vara antalet invånare i en stad eller graden av en nod när det motsvarar en enda person i ett socialt nätverk. Det är värt att nämna att i det senare fallet och om inbäddningen i rymden inte spelar någon roll, dvs. där f (d) är platt återvinns standard-NG-modellen exakt (se SI). Från och med nu, låt oss beteckna med Q Spa den version av modularitet (3) vars null modell P Spa ij ges av (5). Q Spa innehåller icke-strukturell information om noderna, dvs. Deras position i den fysiska rymden. Per definition gynnar det samhällen gjorda av noder i och j så att A ij − P Spa ij är stor, dvs.. par av noder som är mer anslutna än förväntat för detta avstånd. Jämfört med Q NG, Q Spa tenderar att ge större bidrag till avlägsna noder och dess optimering förväntas avslöja moduler drivs av icke-spatiala faktorer. 1 Denna begränsning kan mildras för att ändra nätverkets karaktäristiska storlek och på så sätt anpassa den resolution vid vilken samhällen avslöjas [68] (se SI) 2 I praktiken, när man analyserar empiriska data, är avståndet mellan två städer binned som att släta ut f (d). Beroendet av våra resultat på bin storlek undersöks i SI. För att jämföra de partitioner som erhålls genom att optimera Q NG och Q Spa, låt oss först fokusera på ett belgiskt mobiltelefonnät som består av dess 571 kommuner (de 19 kommuner som bildar Bryssel slås samman till en) och på det symmetriska antalet samtal {A ij } 571 i,j=1 mellan dem under en tidsperiod på 6 månader (se [38] för en mer detaljerad beskrivning av uppgifterna). Detta nätverk är aggregerat från kund-kund kommunikationsnätet för en stor mobiltelefonleverantör genom att använda faktureringsadressen som är kopplad till varje kund. Antalet kunder i varje kommun anges av N i. Detta nätverk är ett idealiskt test för vår metod på grund av vikten av icke-spatiala faktorer som driver mobiltelefonkommunikation, nämligen förekomsten av två språkgemenskaper i Belgien 3: en flamländsk gemenskap och en fransk gemenskap som huvudsakligen är koncentrerad till norra respektive södra delen av landet. Som rapporterades i [38], när vikterna mellan kommuner anges av den genomsnittliga varaktigheten av kommunikationen mellan människor i i och j, en standard NG modularitet optimering återhämtar en bi-partition som nära följer den språkliga gränsen. Båda versionerna av modularitet är optimerade med hjälp av den spektral metod som beskrivs i [64]. Visualisering av resultaten visas i bild 1. NG modularitet avslöjar 18 rumsligt kompakta moduler, liknande dem som observerats i andra rumsligt utvidgade nätverk och främst bestäms av kortdistansinteraktioner mellan kommuner. Även om denna uppdelning sammanfaller med den språkliga uppdelningen av landet [38], skulle de omedvetna inte upptäcka förekomsten av två språkgemenskaper endast från bild 1. Den rumsliga modulariteten avslöjar en slående annorlunda typ av struktur: en nästan perfekt uppdelning av landet där de två största samhällena står för cirka 75 % av alla kommuner (se SI för mer detaljer) och på ett fint sätt reproducerar den språkliga uppdelningen av landet. Dessutom har Bryssel tilldelats den franska gemenskapen, i samförstånd med det faktum att 80 procent av dess befolkning är fransktalande och trots att den är geografiskt belägen i Flandern. De återstående mindre samhällena (inte större än tio kommuner vardera) har sitt ursprung i de begränsningar som följer av en hård uppdelning, som är blind för överlappande samhällen och därmed kan missklassificera flamländska kommuner som har ett starkt samspel med Bryssel och kommuner som har blandade språkpopulationer. En liknande bidelning hittas genom att endast beakta tecken på den dominerande eigenvector av modularitetsmatrisen (se SI). Värdena för de optimala moduläriteterna finns i tabell 1. Det är viktigt att betona att en direkt jämförelse av Q NG och Q Spa är meningslös, eftersom moduläritet är ett sätt att jämföra olika partitioner av samma graf och så dess absoluta värde är inkonsekvent. Dessutom förväntas värdet av modularitet vara lägre när dess null modell är närmare den verkliga strukturen av data, som det är fallet för Q Spa. För att bedöma betydelsen av tabell 1 : z-poäng för modulariteten mätt på den ursprungliga datauppsättningen jämfört med modularitetsvärdena uppmätta på randomiserade data. av de avtäckta partitioner, måste man istället ta till statistiska tester genom att jämföra moduläritet med en ensemble av slumpmässiga nätverk [62]. Två typer av slumpmässiga nätverk är konstruerade: i) Nätverk där vikter randomiseras. Med utgångspunkt från den empiriska f (d), genererade vi vikter mellan två kommuner i och j enligt en binomial av medel ρN i N j f (d ij ). I det följande valde vi ρ = 1, vilket bevarar (upp till vissa fluktuationer) det totala antalet samtal i systemet och det rumsliga beroendet mellan noder. Låt oss komma ihåg att ρ gör det möjligt att justera betydelsen av finita storlek fluktuationer och att ii) Nätverk där den geografiska positionen för noderna randomiserades samtidigt lämnar vikterna oförändrade. Denna andra ensemble av slumpmässiga nätverk skiljer sig radikalt från den första eftersom den håller nätets topologi opåverkad och bara slumpar nodattribut. Eftersom naturgas inte använder sig av geografisk information påverkas den inte av denna omstörtning. Genom konstruktion, effekten på Spa är att göra utrymme mindre viktigt genom att ändra funktionen f (d), vilket leder till ett uttryck närmare NG (se SI). För varje typ av randomisering producerar vi N = 100 nätverk och optimerar deras modulära Q NG och Q Spa. Betydelsen av de partitioner som finns i de ursprungliga data utvärderas först genom att jämföra deras modularitet med den av de randomiserade data genom en z-score [62], definieras som där σ är standardavvikelsen över 100 realisationer. Resultaten sammanfattas i tabell 1 och visar tydligt att de ursprungliga uppgifterna är betydligt mer modulära än nätverk där vikterna randomiseras. Z-poängen är en storleksordning som är större för den rumsliga modulariteten. För den rumsliga randomiseringen, däremot, är z-poängen negativ, vilket återspeglar det faktum att användbar information går förlorad genom att randomisera nodpositioner och att den resulterande randomiserade null-modellen är längre bort från verkligheten än den ursprungliga. Som ett nästa steg fokuserar vi på variabiliteten mellan de avtäckta partitionerna. Detta görs genom att använda normaliserad variation av information (VI) [69], vilket är ett mått på avståndet mellan partitionerna. VI är lika med 0 endast när två partitioner är identiska och är mellan 0 och 1 annars. Resultaten sammanfattas i tabell 2 där vi observerar att partitioner som erhållits från NG och Spatial är genuint annorlunda. I fallet med vikt randomisering, är den viktiga punkten att VI mellan partitioner som avslöjas i slumpmässiga nätverk är mycket mindre för NG (0,09) än för Spa (0,58), vilket indikerar att mycket liknande partitioner hittas av NG över slumpmässiga nätverk, dvs.. Endast på grund av rumsliga interaktioner mellan kommuner. En annan intressant punkt är den höga likheten mellan de partitioner som NG fann i de ursprungliga uppgifterna och av Spa i den rumsligt randomiserade tabell 2: Genomsnittligt VI mätt mellan partitionen som fanns på den ursprungliga datauppsättningen och de randomiserade (Orig-Rand) och genomsnittet VI bland de randomiserade datauppsättningarna (Rand-Rand) för både null-modeller och randomiseringsförfaranden. nätverk, eftersom deras VI anses vara lika med 0,16 i överens stämmelse med det faktum att Spa blir lik NG när utrymmet är irrelevant 4. Denna observation bekräftas av liknande värden för VI mellan de partitioner som finns av NG och Spa i de ursprungliga data, som visas i bild 1, dvs. 0.38 och mellan partitioner som Spa hittat i de ursprungliga data och i rumsligt randomiserade data (0,35 i tabell 2 ). För att testa giltigheten av vår metod i en kontrollerad miljö, låt oss nu fokusera på datorgenererade riktmärken för rumsliga, modulära nätverk. Den underliggande idén är att bygga rumsligt inbäddade slumpmässiga nätverk där sannolikheten för att två noder ska anslutas beror på deras avstånd, som observerats i verkliga exempel, och på den gemenskap som de tilldelas. Vi implementerar riktmärken på det enklaste sättet genom att kasta 100 noder slumpmässigt i en tvådimensionell kvadrat dimension 100×100 och genom att slumpmässigt tilldela dem i två samhällen av 50 noder. Tvärtemot föregående exempel, där noder (kommuner) kan ha olika storlekar, antar vi att alla noder har samma storlek. Sannolikheten för att en länk finns mellan noder i och j har formen där c i är gemenskap av node i. Funktionen λ(c i, c j ) bestämmer den gemensamma kopplingen. Definitionsmässigt är det lika med 1 om c i = c j och λ annorlunda i övrigt. När λ skiljer sig = 0, endast noder i samma gemenskap är anslutna, medan inga distinkta samhällen är närvarande när λ skiljer sig = 1. En normaliseringskonstant, Z, säkerställer att i>j p ij = 1. Dessa nätverk, direkt inspirerade av gravitationsmodeller, byggs genom att placera L = ρN(N −1)/2 länkar med sannolikhet p ij, där ρ ≥ 0 bestämmer densiteten av länkar i nätverket. Flera länkar är tillåtna och tolkas som vikter. Parametern ρ kontrollerar finita storlek fluktuationer runt det förväntade antalet kanter Lp ij. För att jämföra effektiviteten av Q Spa och Q NG, genererade vi ett förverkligande av den slumpmässiga modellen för olika värden av λ olika  till [0, 1] och ρ  på [0.01, 100], och optimerade deras modularitet. Som ett mått på kvaliteten på de avtäckta partitionerna jämförde vi dem med den kända bidelningen av nätverket genom att använda normaliserad VI. Våra simuleringar visar att Q Spa överträffar Q NG och att förbättringen blir 4 Det är viktigt att betona att den rumsliga randomiseringen inte helt tar bort rymdens effekt på nätverksanslutningen eftersom självloopar, dvs.. intra-commune länkar, bevaras. Figur 2: Variation av information över parameterutrymmet (λ different, ρ) för Spa (top figur) och NG (bottom figur) när det provas på det rumsliga riktmärket. Spa kan återställa rätt samhällen över ett brett spektrum av parametrar' värden, medan NG misslyckas med att hitta rätt communites nästan så snart interaktionen λ olika är påslagen. Större och större eftersom tätheten av länkar ökar (se bild 2 ). I gränsen ρ → ❌, där fluktuationer blir försumbara, visar våra simuleringar att Spa perfekt identifierar rätt samhällen för alla λ olika < 1 medan NG misslyckas även för små värden av λ olika. Det är också intressant att notera att resultat som presenteras i figur 2 erhålls för enstaka förverkliganden av de slumpmässiga nätverken, dvs.. som när man arbetar med empiriska datamängder man inte analyserar en ensemble av nätverk, och ändå precisionen av Spa är betydligt bättre än den av NG (resultat jämnas med i genomsnitt över flera insikter presenteras i SI). Trots den ökande tillgången till prisvärda långdistansresor och nya kommunikationsmedier har "distansdöden" [70] varit mycket överdriven [11, 71]. Dessutom har framväxten av ny teknik insnärjning av fysiska och virtuella världar 10 stimulerat ny forskning och producerat nya tillämpningar för sociala och mänskliga rörlighetsnätverk inbäddade i rymden [72]. Denna rymd betydelse är inte begränsad till sociala nätverk eftersom ett brett spektrum av ekonomiska och biologiska också är rumsligt inbäddade, med starka konsekvenser för deras topologiska organisation. Huvudsyftet med detta dokument har varit att hitta nya sätt att upptäcka betydande mönster i rumsliga nätverk. För att göra det har vi utnyttjat flexibiliteten i en kvantitet som kallas moduläritet definierad för att upptäcka samhället. Modularitet innehåller en null modell som representerar vad som förväntas av slumpen, nämligen den förväntade sannolikheten att två noder är anslutna. Till skillnad från standardnullmodellen införlivar vi icke-strukturella attribut i vår nullmodell och använder detta som en jämförelse med empiriska data. Genom att göra det konstruerar vi nullmodeller som beskriver nätverket närmare och ger möjlighet att utnyttja kända attribut, t.ex. rumslig plats, för att avslöja okända, t.ex. homofila relationer. Vi anser att vår allmänna ram är lämplig för ett brett spektrum av nätverk och att den öppnar vägar för kvantitativ undersökning av rumsligt distribuerade system. Intressanta forskningslinjer inkluderar utveckling av mer allmänna nullmodeller, till exempel genom sammanflätning av strukturell och icke-strukturell information, och upptäckt av hierarkier i rumsliga nätverk antingen genom att justera upplösningen av modularitet [68] eller genom att leta efter lokal maxima av modularitetslandskapet [66] (se SI för mer information). Dessutom är vår metod inte begränsad till situationer där avstånd mäts i fysiskt utrymme eftersom det kan tillämpas när man kan använda nodattribut för att definiera en separation mellan noder. Till exempel i många sociala nätverk ålder kan vara en dominerande faktor, men genom att bygga en null modell på åldersskillnaden mellan aktörer, andra typer av relationer kan avslöjas för lite extra beräkningsansträngning. En ytterligare fördel är att genom att införliva relevant information kan en partitioneringsmetod tillämpas även om modulerna i stort sett överlappar [73, 74].
I REF används gravitationsmodellen när modularitetsfunktionen definieras.
Uncovering space-independent communities in spatial networks
{'venue': 'PNAS 2011 108 (19) 7663-7668', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Medicine', 'Physics']}