I det stokastiska knapsack problemet, får vi en uppsättning objekt som var och en förknippas med en sannolikhetsfördelning på storlekar och en vinst, och en knapsack av enhetskapacitet. Storleken på ett objekt avslöjas så snart det infogas i ryggsäcken, och målet är att utforma en policy som maximerar den förväntade vinsten för objekt som framgångsrikt infogas i ryggsäcken. Det stokastiska knapsack problemet är en naturlig generalisering av den klassiska knapsack problemet, och uppstår i många tillämpningar, inklusive bandbredd allokering, budgeterat lärande, och schemaläggning. En adaptiv policy för stokastisk knapsack anger nästa punkt som ska införas baserat på observerade storlekar av de objekt som hittills införts. Adaptiv policy kan ha en exponentiellt stor explicit beskrivning och är känd för att vara PSPACE-hård att beräkna. Den mest kända approximationen för detta problem är en (3 + ) - approximation för alla > 0. Vårt första huvudsakliga resultat är en avslappnad PTAS (Polynomial Time Catimation Scheme) för adaptiv politik, det vill säga, för alla > 0, presenterar vi en poly-time beräkningsbar (1 + )-ungefärlig adaptiv politik när knapsack kapacitet är avslappnad till 1 +. På en hög nivå är beviset baserat på att omvandla en godtycklig samling av objektstorleksfördelningar till kanoniska objektstorleksfördelningar som medger en kompakt beskrivning. Vi etablerar sedan en koppling som visar en (1 + ) - approximation kan uppnås för det ursprungliga problemet genom en kanonisk politik som fattar beslut i varje steg genom att observera händelser som dras från urvalet utrymme av kanoniska storleksfördelningar. Slutligen ger vi en mekanism för att tillnärma den optimala kanoniska politiken. Vårt andra huvudsakliga resultat är en (8/3 + )-ungefärlig adaptiv policy för alla > 0 utan att slappna av knapsack kapacitet, förbättra tidigare (3 + )-uppskattning resultat. Intressant nog får vi detta resultat genom att använda de PTAS som beskrivs ovan. Vi etablerar ett existentiellt resultat att den optimala policyn för knapsack med kapacitet 1 kan vikas för att få en policy med förväntad vinst 3OPT/8 för en knapsack med kapacitet (1 − ), med kapacitet avslappnad till 1 endast för den första posten infogas. Vi använder sedan vårt PTAS resultat för att beräkna (1 + ) - approximation till sådan politik. Våra tekniker ger också en avslappnad PTAS för icke-adaptiv politik. Slutligen visar vi också att våra idéer kan utvidgas för att ge bättre tillnärmningsgarantier för
Bhalgat, Goel och Khanna Ref gav också en förbättring (
Improved approximation results for stochastic knapsack problems
{'venue': "SODA '11", 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}