Abstrakt. Många relationer av vetenskapligt intresse är icke-linjära, och även i linjära systemdistributioner är ofta icke--gaussiska, till exempel i fMRI BOLD data. En klass av sökprocedurer för orsakssamband i högdimensionella data bygger på urvalsbaserade villkorade självständighetsbeslut. De vanligaste applikationerna förlitar sig på Gaussiska tester som kan vara systematiskt felaktiga i icke-linjära icke--gaussiska fall. Senaste arbetet ), Tillman m.fl. (2009), Zhang m.fl. (2011 ) har föreslagit villkorade oberoende tester med hjälp av Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS). Bland dessa har kanske den mest effektiva varit KCI (Kernel Conditional Independence, Zhang et al. (2011), med beräkningskrav som växer effektivt åtminstone som O(N 3 ), placera det utanför intervallet för stora urval storleksanalys, och begränsa dess tillämplighet till högdimensionella datauppsättningar. Vi föreslår en klass av O(N 2 ) tester med villkorlig korrelation oberoende (CCI) som kräver några sekunder på en standardarbetsplats för tester som kräver tiotals minuter till timmar för KCI-metoden, beroende på graden av parallellisering, med liknande noggrannhet. För noggrannhet på svåra icke-linjära, icke--gaussiska datauppsättningar, jämför vi också en nyligen genomförd test på grund av Harris & Drton (2013), tillämpligt på icke-linjära, icke--gaussiska distributioner i Gaussian copula, samt partiell korrelation, en linjär Gaussian test. Två, två, två, tre, tre, tre, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fem, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, fyra, Inledning. Tester av villkorlig självständighet för icke-linjära eller icke--gaussiska data har använt en reproducerande kärna Hilbert utrymme (RKHS). En utmärkt representant för dessa tester, Zhang, et al.'s KCI ("Kernel villkorlig självständighet"), visades ha god noggrannhet för linjär Gaussian data som används med den välkända PC-sökalgoritm (Spirtes et al., 2000). Vi finner att testet är korrekt för icke-linjära, icke--gaussiska data också. Men trots det faktum att testet skalar bättre än tidigare sådana tester ( Gretton et al. (2009), Tillman m.fl. (2009 ), det inte skala tillräckligt bra för allmänt bruk. I allmänhet skalar den kubiskt med provstorlek, för provstorlek 1000 kan kräva flera sekunder per test, 1 och i högdimensionella problem PC och andra begränsningar baserade sökalgoritmer kan kräva tusentals till tiotusentals sådana tester. En ny metod, CCI ("Conditional Correlation Independence"), föreslås för det ickelinjära, icke--gaussiska fallet som är minst lika exakt som KCI på små datamängder men skalar upp till mycket större problem. (Begreppet "villkorlig korrelation" är som i Baba et al., 2004. och Lawrance, 1976.) Ramverket för RKHS ersätts av en enklare uppsättning matematiska idéer: Den första är att X _ till_ Y bara i fall cov(f(X), g(Y) = 0 för alla funktioner f och g, där X och Y är godtyckligt fördelade. Den andra är att man bara behöver testa f och g i en funktionell grund för ett lämpligt utrymme av funktioner. Den tredje är att noll kovarians av godtyckligt distribuerade X och Y kan testas med hjälp av en generaliserad Fisher Z test av noll korrelation om X och Y har ändliga fjärde ögonblick. Den fjärde idén är att X _ och Y Z bara ifall (upp till ett trohetstillstånd) de icke-parametriska resterna av X regresserade på Z är oberoende av de icke-parametriska resterna av Y regresserade på Z, för modeller där fel är additiv. Med hjälp av dessa idéer kan en relativt enkel algoritm utformas som matchar KCI-testet i små provprestanda och skalor till ett stort antal variabler med provstorlekar i tusental. Hoyer m.fl. (2009) och även rikta icke-linjära, icke--gaussiska fall, och syftar till att lära sig både struktur och orientering i samma rutin, även om deras metoder inte skala upp väl. Under antagande av additivt buller, Hoyer et al. föreslå två metoder, en för par av variabler, en för större modeller, med ett exempel ges av 4 variabler. Under samma antagande av additivt buller föreslår Mooij en mer strömlinjeformad metod för större modeller, med ett exempel som ges med hjälp av 7 variabler. Den parvisa metoden av Hoyer et al. Överväger en adjacency X-----Y där, säg, Y = f(X) + e, där e _ ska_ X. I allmänhet, som de visar, med undantag för några specialfall, när f är icke-linjär finns det ingen baklänges modell X = g(Y) + e', där e' _ till_ Y. På så sätt räcker det med ett enkelt prov. Beräkna resterna rX av regressions X nonlinearly på Y och resterna rY regressions rY nonlinearly på X. Om rX är oberoende av Y men rY inte är oberoende av X, orient Y-----X; om det omvända är sant, orient X-----Y; om båda rX är oberoende av Y och rY är oberoende av X, orientera inte kanten. Om rX är beroende av rY och rY är beroende av rX är grafen, som de säger, mer komplicerad. Metoden för större antal variabler (de antyder upp till 7) är att beakta alla möjliga DAG-värden över variablerna, beräkna för varje DAG restvärdet av varje variabel beroende på sina föräldrar, och acceptera modeller för vilka alla dessa restprodukter är oberoende. DAG för vilka det finns en godkänd undermodell returneras inte. Eftersom denna algoritm inte skalas väl till många variabler, är det inte vidare betraktas som en metod för lärande struktur. Mooij m.fl. approach först sorterar variablerna hög till låg genom sina restprodukter regresserade icke linjärt
Som en direkt utvidgning av partiell korrelation, REF, till exempel, föreslår att regressera X på Z och Y på Z och sedan testa för oberoende mellan resterna.
A Scalable Conditional Independence Test for Nonlinear, Non-Gaussian Data
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}