Långa blad i landväxter och deras ubåtar, algblad, har en typisk, sadelliknande mittyta och krusade kanter. För att förstå ursprunget till dessa morfologier, dissekerar vi blad och differentialt stretch skumband för att visa att dessa former uppstår från en enkel orsak, den elastiska avslappning via böjning som följer antingen differential tillväxt (i blad) eller differential sträcker sig förbi avkastningspunkten (i band). Vi kvantifierar dessa olika modaliteter i termer av en matematisk modell för formen av en initialt plan elastisk plåt med sidogradienter i längdtillväxt. Genom att använda en kombination av skalningskoncept, stabilitetsanalys och numeriska simuleringar kartlägger vi formytan för dessa växande band och finner att en lång platt lamina deformeras till en sadelform och/eller utvecklar böjningar som kan leda till starkt lokaliserade krusningar då tillväxtstammen är lokaliserad till bladkanten. Vår teori avgränsar de geometriska och tillväxtkontrollparametrar som bestämmer formen utrymme finita laminae och därmed möjliggör en jämförande studie av långsträckta blad morfologi. Växande ytor  på kantens actuation  eller bladliknande strukturer är tunna, d.v.s., de har en dimension som är mycket mindre än de andra två. De uppstår i biologi i en mängd olika situationer, allt från den graciöst böljande ubåten avaskulära algblad (1) till sadelformade, ringlande eller kanträfflade blad av många jordväxter (2). Mångfalden av deras planformer och tredimensionella former återspeglar både deras tillväxthistoria och deras mekaniska egenskaper och ställer många fysikalisk-kemiska frågor som i stort kan klassificeras i två typer: (i) Hur leder ohomogen tillväxt på molekylär och cellulär nivå till de observerade komplexa formerna på mesoskopisk/makroskopisk nivå? och ii) hur påverkar den resulterande mesoskopiska formen de underliggande molekylära tillväxtprocesserna? På molekylär nivå leder mutanter som ansvarar för differentialcellsproliferation (3) till en rad bladformer. På makroskopisk nivå leder påfrestningar som orsakas av yttre belastningar till fenotypisk plasticitet i algblad som växlar mellan långa, smala, bladliknande former i snabbt flöde till bredare böljande former i långsamt flöde (1). För att förstå ursprunget till dessa morfologiska varianter krävs en matematisk teori som förklarar den process genom vilken form genereras av ohomogen tillväxt i en vävnad. Den senaste tidens arbete har fokuserat på några av dessa frågor genom att lyfta fram de självliknande strukturer som bildas nära kanten på grund av variationer i ett förskrivet inre mått på en yta (4, 5), och även på fallet med en cirkulär skiva med kantlokaliserad tillväxt (6-8), men tar inte hänsyn till den subtila roll gränsförhållandena vid den fria kanten, effekten av den finita bredden på ett blad, eller fasrymden av olika former som kvantifierar mångfalden i bladmorfologi. Motiverade av våra experimentella observationer av långa blad och artificiella härmar därav, här tar vi upp frågan om morfologin av ett långt blad eller lamina av finita dimensioner (längd 2L, bredd 2W, tjocklek H, med H W < L). I synnerhet utgör vi matematiskt ett ickelinjärt gränsvärdesproblem som står för kopplingen av tillväxt till formen av en lamina. Vi analyserar de resulterande ekvationerna genom att använda en kombination av skalningskoncept, asymptotik och stabilitetsanalys för att härleda de olika morfologier som uppstår och visa att den ändliga bredden på ett långt blad leder till en kvalitativt ny klass av former, såsom sadlar och krusade ytor. Vi bekräftar dessa genom att använda numeriska simuleringar för att konstruera ett enkelt fasdiagram för klassificeringen av den långa bladmorfologin. Form av en plantain Lily Leaf. På bild. 1A, Vi visar en typisk lång blad av plantain lily Hosta langifolia. Vi ser att midvein krökning är störst nära distal ände och monotont minskar mot basen, medan laminan fäst vid midvein är böjd tvärt så att bladen är ungefär som en sadel, med negativ Gaussian krökning. Men bladens kanter visar ett lokalt, ovulatoriskt porlande mönster som sitter på den globala sadelform som är mest framträdande där laminan är den bredaste. Denna morfologi är relativt vanlig i blad och kronblad av kärl- och avaskulära växter som växer i luft och vatten, d.v.s. är den relativt oberoende av gravitationens effekter. För att fokusera på den relativa rollen av inhomogen tillväxt och den inneboende elastiska naturen av det tunna blad, skär vi laminan i tunna remsor parallellt med midvein. Vi ser att den relativt stela midvein oböjda från sitt naturligt böjda tillstånd (när laminan är fäst vid den) till ett rakt tillstånd, utom nära dess spets, medan den avslappnade längden av remsorna efter att de har rätats är annorlunda än när de är en del av hela lövet. Banden längre från midvein sträcker sig mer, d.v.s. den icke-uniforma fördelningen av tillväxt-inducerad stam är sådan att den genererar tryckspänningar längs bladkanterna, vilket kan leda till buckling instabilitet. Dessa observationer överensstämmer med tidigare mätningar i kärl- och avaskulära blad (1, 2), som visar liknande trender. Form av ett sträckt band. För att efterlikna tillväxten differentialt i en tunn lamina, sträcker vi ett naturligt plant tunt skumband (2 mm × 4 cm × 11 cm) ojämlikt förbi sin elastiska gräns och sedan lossa den. De inhomogena kvarvarande plaststammar som återstår gör att arket slappnar av till ett böjt tillstånd. Måttliga stretching stammar (5 %) leder till en sadelliknande form, och stora stretching stammar (-20 %) leder till krusningar längs kanten, visas i Bild. 1B, tillsammans med de laterala stamfördelningarna som visas i bild. Detta beslut träder i kraft den tjugonde dagen efter det att det har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Denna lutning i plaststam introduceras enkelt genom att dra kanterna på skummet med fingrarna och det leder till en plaststam som toppar längs kanten och minskar mot mittlinjen. Vi ser att effekten av den inhomogena reststammen är likvärdig med effekten av inhomogen, tillväxtinducerad stam *. Analoga fenomen uppstår på andra håll och kanske har råd med enklare sätt att förstå den grundläggande mekanismen för att forma en lamina. När man till exempel stickar eller virkar en halsduk, om antalet stygn eller knutar per längdenhet ökas när man rör sig bort från mittlinjen, bildar halsduken först en sadelform eftersom en sådan form lätt rymmer den lilla överskjutande längden på kanterna i förhållande till mitten. Så småningom blir kantlängden så stor att kanten själv börjar krusa. Ett liknande fenomen ses i potatischips som görs genom att steka cirkulära skivor av mjuk, våt
I REF, en form utrymme för att växa elastiska blad är utformad genom att använda en kombination av skalning begrepp, stabilitetsanalys och numeriska simuleringar.
The shape of a long leaf
{'venue': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'journal': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'mag_field_of_study': ['Materials Science', 'Medicine']}