Att bedöma farbarheten hos sammankopplade nät (transport av information, människor eller varor) vid eventuella slumpmässiga fel är av yttersta vikt för att utforma och skydda kritisk infrastruktur. Slumpmässiga promenader är en bra proxy för att avgöra denna farbarhet, särskilt täckningstiden för slumpmässiga promenader, vilket är ett mått på nätverkets dynamiska funktionalitet. Här introducerar vi de teoretiska verktyg som krävs för att beskriva slumpmässiga promenader i sammankopplade nätverk som svarar för struktur och dynamik som är inneboende i verkliga system. Vi utvecklar en analytisk metod för att täcka tiden för slumpmässiga promenader i sammankopplade nätverk och jämför den med omfattande Monte Carlo-simuleringar. Generellt sett är sammankopplade nätverk mer motståndskraftiga mot slumpmässiga fel än deras enskilda lager i sig, och vi kan kvantifiera denna effekt. Som en tillämpning-som vi illustrerar genom att överväga kollektivtrafiken i London-vi visar hur effektiviteten i att utforska multiplex kritiskt beror på lager topologi, sammankoppling styrkor, och gå strategi. Våra resultat bekräftas av datadrivna simuleringar, där den empiriska fördelningen av incheckningar och utcheckningar beaktas och passagerare färdas längs snabbast möjliga vägar i ett nätverk som påverkas av verkliga störningar. Dessa resultat är grundläggande för vidareutveckling av sök- och farbarhetsstrategier i verkliga sammankopplade system. N etwork-teorin har visat sig vara ett perfekt instrument för att modellera strukturen hos komplexa system och den dynamiska process som de är involverade i. Den klassiska metoden tar dock inte hänsyn till möjligheten att agenter kan nätverkas på olika sätt, och med olika intensitet, på flera lager samtidigt. Som exempel kan nämnas att när det gäller samhällsvetenskap kan samma användare välja att prenumerera på två eller flera sociala nätverk online och att bygga olika sociala relationer med olika användare på varje social plattform (t.ex. LinkedIn för nätverket av professionella kontakter, Facebook för nätverket av vänner, etc.). Ett annat exempel representeras av transportnät i en stad: nätverket av busshållplatser, det första skiktet, skiljer sig från rörnätet, det andra skiktet, men människor använder sig av båda genom att kombinera vägar för att flytta från en plats till en annan inom staden. De fall där en vertex inte förekommer i den fullständiga multiplexen kan redovisas genom att inkludera den som en isolerad vertex i de lager där den saknas, utan att ändra vare sig topologiska eller dynamiska egenskaper hos det sammankopplade nätet. Förekomsten av sådana flera anslutningar på olika lager inbjuder en generalisering av teorin om komplexa nätverk för att klara av flerlagers sammankopplade nätverkssystem. Mer specifikt, mycket färska studier fokuserade på en viss typ av multilager nätverk, multiplex, där varje agent deltar i olika lager samtidigt, som vårt tidigare exempel i fallet med online sociala nätverk. Aktörerna (vertikerna) i varje lager är samma och är verkligen vektorer för multiplextillstånd som kan självinteragera, i motsats till beroende nätverk som uppfattas som sammankopplade samhällen inom ett enda, större nätverk (1, 2). Den framväxande fysiken av dynamiska processer på toppen av multiplex nätverk har fortfarande att upptäckas och formaliseras. Nyligen har det visat sig att diffusionsprocesser i multiplex kan ha ett förbättrat-diffusivt beteende (3) vilket innebär att de tidsskalor som förknippas med diffusion i hela multiplexen kan vara kortare än de som är förknippade med de enskilda skikten. Detta fenomen är strikt relaterat till den särskilda installationen av multiplex, och har ingen motsvarighet i klassiska "monoplex" nätverk. Dessutom har det nyligen visat sig att ett sammankopplat system i verkligheten potentiellt riskerar att ändras i sin struktur, vilket kan ge upphov till nya dynamiska egenskaper (4). Spridningsprocesser beskriver dock tillstånd av hörn i termer av kontinuerliga variabler som kan differentieras, medan verkliga diffusa processer i nätverk bättre representeras av ett begränsat antal diskreta besök (t.ex. kommunikation i sociala nät på nätet, personer som pendlar i transportnät osv.). Ett naturligt sätt att representera dessa processer i fysik, och i synnerhet i nätverk, är genom att överväga slumpmässiga vandrare (5-10), vars utforskning av hela nätverkssystemet liknar en diffusionsprocess (11) och kan till exempel hjälpa till att avslöja samhällsstrukturer på flera lager (12), att inferera genreglerande vägar (13), att identifiera gener associerade med ärftliga sjukdomar i protein-protein interaktionsnätverk (14), eller att modellera första-passage tid i komplexa oordnade medier (15). Implikationerna av studien av slumpmässiga promenader går dock utanför fysikens räckvidd, och är användbara inom andra discipliner såsom finansiell tidsserieanalys (16), genetik (17, 18), evolution (19), samhällsvetenskap (20), spridningsprocesser (21-23) och att ranka webbplatser i hela världen av betydelse och kvalitet (24), för att nämna några. Här fokuserar vi på denna specifika typ av dynamisk process på sammankopplade nätverk, dvs. slumpmässiga promenader. Vi beräknar analytiskt täckningen av flerskikts sammankopplade nätverk för flera typer av slumpmässiga promenader. Denna uppskattning gör det möjligt för oss att kvantifiera skillnaderna i farbarhet, och dess motståndskraft mot Significance Network-teori har utnyttjats under de senaste decennierna för att fördjupa vår förståelse av komplexa system. Realworld komplexa system uppvisar dock flera nivåer av relationer och kräver modellering av sammankopplade nätverk, karaktäriserande interaktioner på flera nivåer samtidigt. Frågor som "hur effektiv är utforskningen av en stad med hjälp av flera transportlager, som tunnelbana och buss?" och "vad är dess motståndskraft mot misslyckanden?" måste besvaras med hjälp av multiplexramverket. Här introducerar vi grundläggande mekanismer för att utföra sådan utforskning, med hjälp av slumpmässiga promenader på flerlagersnätverk, och vi visar hur topologisk struktur, tillsammans med navigeringsstrategin, påverkar effektiviteten i att utforska hela strukturen. Slumpmässiga fel i flerskiktsnät med avseende på de enskilda skiktens farbarhet. I motsats till andra navigationsproblem inom vetenskap och teknik krävs endast lokal information om nätverket, d.v.s. någon källa vertex inte har kunskap om hela topologin. Det har visat sig att utformning och utveckling av optimal navigering kan uppnås genom att utnyttja kortaste möjliga vägar, antingen med lokal kunskap och närvaro av långdistansförbindelser i ett nät (25) eller genom att införa kostnadsbegränsningar, oavsett tillgänglig (global eller lokal) information (26). I händelse av slumpmässiga fel är det dock inte möjligt att få information i realtid om den efterföljande överbelastningen. Dessutom kommer den katastrofala kaskaden av misslyckanden, som kan följa på grund av det ömsesidiga beroendet mellan transportsystem (27), sannolikt att sprida sig längs kortaste vägar som påverkar hörnen med högsta mellanhet (28). Slumpmässiga promenader representerar ett bra val för att övervinna detta problem, och en bra proxy till det verkliga scenariot. Täckningen av slumpmässiga promenader är ett rikt begrepp av intresse för många fenomen, från ekologi till fysik (29, 30), eftersom det ger ett kvantitativt mått på det territorium som utforskas av en diffus partikel. Till exempel, dess generalisering av antalet olika platser som besökts av flera agenter slumpmässigt promenader samtidigt gjorde det möjligt att lösa en rad viktiga problem, som i matematisk ekologi (31). Vi illustrerar en tillämpning på det verkliga problemet med att resa effektivt i ett transportnät. I synnerhet anser vi att kollektivtrafiken i London, där varje skikt motsvarar en annan typ av järnvägsnät, och vi visar hur försummande att ta hänsyn till kostnaden för byte mellan lager av en multiplex kan leda till en underskattning eller en överskattning av farbarhet och utforskande prestanda, samt till dess motståndskraft. Vi bekräftar våra resultat genom att utföra datadrivna simuleringar, med tanke på den empiriska fördelningen av incheckningar och utcheckningar i transportsystemet och antagande passagerare som färdas längs snabbaste vägar som förbinder två stationer. Dessutom simulerar vi verkliga störningar, enligt "no service"-status som rapporterats av Transport for London-systemet. Vi visar att motståndskraften hos hela den sammankopplade strukturen under slumpmässiga misslyckanden, kvantifierat genom att anta en slumpmässig strategi, framgångsrikt fångar den motståndskraft som beräknats med hjälp av empiriska data och snabbast möjliga strategier, vilket ger en god approximation till den verkliga motståndskraften. De övergripande resultaten visar på kvantifierbara beroenden mellan den dynamiska processen och den underliggande topologin som är av yttersta vikt för utformningen av strategier för att söka-routing-exploring i verkliga sammankopplade nätverk. Modellering av flerskiktsrelationer i nätverkssystem. Ett multiplexnätverk är en flerskiktsgraf där hörnen tillhör flera olika skikt (dvs. monoplexa nätverk) samtidigt, och de är anslutna med hjälp av en specifik uppsättning kanter i varje lager. Den viktade intralager anslutningen mellan två hörn i och j i skiktet α av multiplex anges av W ðα till ij, där vi använder latinska bokstäver för att ange hörn ði; j = 1; 2;. ... ; N på och grekiska bokstäver för index som anger lager ðα = 1; 2...................................................................................................... ............................................................. På grund av den säregna sammankopplade strukturen är det möjligt att förflytta sig från ett lager till ett annat, förutsatt att sådana lager är förbundna med varandra. Vi visar i bild. 1 ett representativt exempel på en multiplex topologi, där varje lager är ansluten dubbelriktat till de andra skikten. Mellanskiktsanslutningarna bland de lager som finns i multiplexen definierar ett nätverkat system på en makroskopisk nivå. För att ta hänsyn till detta nätverk av lager, som representerar en grundläggande egenskap hos multiplexen, introducerar vi här matrisen D αβ ði på att kvantifiera kostnaden för att byta från lager α till lager β för en gångare placerad i en vertex i. Därför är det lämpligt att skilja mellan styrkan hos en vertex i med avseende på dess samband med andra hörn j ð j = 1; 2;. ... ; N på samma lager α, och styrkan S i;α = P β D αβ ði på samma vertex när det gäller anslutningar till sina motsvarigheter i olika lager. För enkelhetens skull anser vi i det följande att kostnaden för att växla mellan ett par lager är D αβ ði och D X för alla hörn. Navigation på ett sammankopplat nätverk. På mikroskopisk nivå kan vi minska problemet med att beskriva gångdynamiken mellan hörn och lager per tidsenhet till definitionen av fyra grundläggande övergångsregler som svarar för alla möjligheter. I själva verket har vi (i) P αα ii, sannolikheten för att stanna under en tid steg i samma vertex i och i samma lager α; (ii) P αα ij, sannolikheten för att stanna i samma lager α medan du flyttar från vertex i till en vertex j  och i dess grannskap; (iii) P αβ ii, sannolikheten för att stanna i samma vertex medan du byter till dess motsvarighet från lager α till lager β  och α; (iv) P αβ ij, sannolikheten för att flytta från vertex i till vertex j  och samtidigt byta från lager α till lager β α, i samma steg. I sådana recept anges huvudekvationen som beskriver sannolikheten för att hitta gångaren i vertex j och i lager β vid tidpunkten t + Δt genom att termerna förklarar övergångarna (i)–iv) som beskrivs ovan. Vi anger med p α raden vektor med N komponenter p i;α med avseende på lager α, och vi introducerar supravektorn P  till ðp 1 ; p 2 ;. ....................................................................................................... Dessutom, i specialfallet med Δt = 1 har vi _ Pðt till = Pðt + 1 till − Pðt. Därför, Eq. 1 kan skrivas i en mer kompakt form som _ Pðt.= −Pðt.L, nedan kallad slumpmässig-walker-ekvationen. I denna ekvation är L NL × NL normaliserad supra-Laplacian matris, vars struktur är liknande, om än inte identisk, till supra-Laplacian matris nyligen föreslås i ref. 3 för att modellera diffusionsprocessen i ett multiplexnätverk (SI-bilaga). Strukturen för ekvationen slumpmässig gång är densamma oavsett de övergångsregler som antagits för att beskriva varje enskilt fall av intresse. Se SI-bilagan för ytterligare information om de navigeringsstrategier som beaktas i denna studie, övergångsreglerna och sannolikheten för yrket. Undersökningseffektivitet för ett sammankopplat nätverk. I det följande kommer vi endast att överväga multiplexnätverk med oriktad bild. 1................................................................ Exempel på navigering på ett sammankopplat nätverk. Sökväg (doterad röd linje) för en slumpmässig gångare som utnyttjar multiplex topologin för att hitta en väg runt för att hoppa mellan frånkopplade komponenter. I detta exempel är det inte tillåtet att växla mellan lager 1 och lager 3 i ett steg. 2 av 6 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Anslutningar inom och mellan lager. För att kvantifiera effektiviteten i den slumpmässiga promenad i utforska multiplex nätverk, fokuserar vi på täckningen ρðt på, definieras som den genomsnittliga fraktionen av distinkta hörn besökte minst en gång i tiden mindre än eller lika med t, oavsett lager, förutsatt att promenader började från någon annan vertex i nätverket. Vi finner att en bra approximation till täckningen (Material och Metoder) ges av där P j ð0) indikerar överdrivaren av sannolikheter vid tiden t = 0 (förutsatt att vandraren började i vertex j), matrisen P står för sannolikheten att nå varje vertex genom någon väg av längd 1; 2;. . eller t + 1, och E † i är en suprakanonisk vektor som tillåter en att komprimera notationen. Eq. Vad är det? 2 kan lösas numeriskt för att få rätt täckning vid varje steg. Det är värt att notera att Eq. 2 visar hur utforskandet av ett multiplexnätverk påverkas av olika faktorer som kodas i matrisen P, dvs. den topologiska strukturen i varje skikt, styrkan i mellanskiktsanslutningar, och den prospekteringsstrategi som definieras av slumpmässiga övergångsregler. Alla dessa faktorer bestämmer kritiskt tidsskalan för att täcka nätverket. Från supra-Laplacians eigendecomposition kan den alternativa representationen erhållas (Material och Metoder). För att validera våra teoretiska förutsägelser överväger vi olika multiplextopologier i två lager, där varje lager kan vara ett Barabási-Albert-nätverk (32), en Erd} os-Rényi (33) eller en Watt-Strogatz-graf (34). För varje multiplex topologi slumpmässiga gång regler och mellanlager vikter är fasta, och från varje vertex simulerar vi spridningen av 100 slumpmässiga vandrare för 10 4 tidssteg. Därför uppskattar vi den genomsnittliga andelen besökande hörn från slumpmässiga ensemblen som en funktion av tiden. På bild. 2 visar vi jämförelsen mellan täckningen från detaljerade Monte Carlo simuleringar och de förutsägelser som ges av Eqs. 2 och 3, för tre olika sammankopplade topologier. De teoretiska kurvorna approximerar simuleringarna ganska bra, med små skillnader endast för BA + BA topologi, multiplexen med högsta heterogenitet bland de visade scenarierna. I SI-bilagan visar vi ytterligare representativa exempel som visar att multiplextopologin och navigationsstrategin har en tydlig inverkan på gångprocessen, försenar eller påskyndar utforskandet av nätverket med avseende på en navigering i ett monoplext slumpmässigt nätverk. Detta är en verklig effekt av flerskiktsstrukturen vars kontroll kan bidra till att bygga flerskiktsstrukturer eller strategier som förbättrar eller minskar nätets farbarhet. Tillämpning på kollektivtrafiken i London. Studiet av farbarhetsprestandan på städer är ett stort studieområde; se till exempel refs. 35 och 36 och hänvisningar där. I synnerhet en nyligen genomförd studie (37) presenterar en anmärkningsvärd analys av vägoptimeringsprocesserna bakom transportanläggningarna i en stor stad som London. Med mer än 10 miljoner invånare kräver London faktiskt ett effektivt transportnät som gör det möjligt för människor att röra sig lätt och snabbt genom staden. Här utgår vi ifrån ett mer abstrakt scenario för att få insikt i de grundläggande sambanden mellan den dynamiska processen och den underliggande topologin för transportnätverket i London. Vi betraktar tre olika skikt av ett sådant nätverk, nämligen röret, överjorden, och hamnens lätta järnväg (se Material och metoder för ytterligare detaljer om datasetet). Varje station representerar en vertex, medan verkliga förbindelser mellan stationer betraktas som viktade länkar (se bild. 3I för en schematisk illustration). Vi visar också motsvarande aggregerade nät, som erhålls genom den viktade projektionen av multiplexen till en enskiktskurva, där informationen om typen av transport går förlorad (Fig. 3II).................................................................. Endast ett fåtal stationer finns samtidigt på mer än ett transportlager. Vi drar nytta av den framlagda teoretiska ramen för att undersöka farbarheten hos sammankopplade nät till slumpmässiga misslyckanden, med fokus på det speciella fallet med kollektivtrafiken i London. Ett fel här anses vara obrukbarheten hos en station i ett visst transportskikt (t.ex. på grund av en olycka, en trafikstockning eller katastrof). En sådan händelse kan ske slumpmässigt på systemet och kan påverka en eller flera stationer samtidigt. Ett mått på hur fullt system fungerar som svar på oväntade fel kan härledas från täckningen av respektive nätverk efter sådana händelser. Detta är vad vi kallar farbarhetens motståndskraft. Systemets motståndskraft mot en bråkdel av de slumpmässiga felen definieras av rð på följande sätt: 2. Utgångspunkten är följande: Teoretisk beskrivning av farbarheten hos en multiplex mot simulering. Täckning kontra tid som erhålls från Monte Carlo simuleringar och våra teoretiska förutsägelser som ges av Eqs. 2 och 3. En tvålagers multiplex med D X = D 11 = D 22 = 1 beaktas. Bilda. 3. Vad är det som händer? Flerskiktsnät av kollektivtrafik i London. (I) Tube, overground och DLR definierar tre skikt av multiplextransportnätet. Varje station, bebodd av en geografisk position, representerar en vertex, medan förekomsten av en verklig förbindelse mellan två stationer definierar närvaron av en kant. (II) Aggregatnät som motsvarar den viktade projektionen av multiplexen till en graf i ett lager, där informationen om typen av transport går förlorad. De Domenico m.fl. PNAS Early Edition 3 av 6 TILLÄMPADE FYSISKA VETENSKAPER som utsätts för misslyckanden och medelvärdena beräknas över flera slumpmässiga insikter om misslyckandena. Normaliseringen garanterar en rättvis jämförelse mellan multiplexens motståndskraft och de monoplexa nätverken. När en vertex misslyckas i ett enda transportlager, kan den inte passeras av någon väg. Men om vertex är en del av ett sammankopplat nätverk kan det fortfarande nås på andra lager. Denna inneboende egenskap hos multiplexer ökar systemets motståndskraft med avseende på monoplexer, som visas i bild. 4, Jag för kollektivtrafiken i London. Ekar. 2 och 3 används för att förutsäga motståndskraften som erhålls genom omfattande simuleringar, och resultaten reproduceras med stor noggrannhet. För att utvärdera systemets motståndskraft i ett mer realistiskt scenario överväger vi den empiriska fördelningen av incheckningar och utcheckningar i kollektivtrafiken i London och vi simulerar passagerare som reser längs de kortaste vägarna som förbinder två stationer. Vi betraktar adjacencymatriserna i varje transportsystem och vi konstruerar ett vägt sammankopplat nätverk där vikter representerar kostnaden för att flytta mellan två anslutna stationer. Här motsvarar kostnaden den tid som en person behöver för att resa längs en förbindelse, förutsatt att de berörda transportsätten färdas med en genomsnittlig hastighet av 33 km/h (38). Eftersom pendlingstiden inte är tillgänglig antar vi att den i genomsnitt motsvarar den tid en individ behöver för att gå 500 m med en genomsnittlig hastighet på 5 km/h. För varje "kortaste gångväg" provtas start- och slutstationerna enligt data. När en destination nås anser vi att det är en ny startstation och ett nytt mål provtas, itererar detta förfarande för 1 mo. När det gäller strategin för slumpmässiga promenader ges täckningen av den andel stationer som besöks med tiden. Vid slumpmässiga fel räknas kostnadsmatrisen om "i farten" för att simulera beteendet hos individer mer realistiskt. Vi visar i bild. 4, II den motståndskraft som erhållits i detta fall, i överensstämmelse med den uppskattning som erhållits med antagande av slumpmässiga walk-baserade strategier. Våra resultat visar att motståndskraft baserad på slumpmässig navigering ger en approximation till den empiriska. För fullständighetens skull, se SI-bilagan för den topologiska resiliens som motsvarar samma multiplex, definierad av den genomsnittliga fraktionen av hörn som överlever i den gigantiska anslutna komponenten efter slumpmässiga fel. Farbarheten, dvs. den dynamiska resiliensen, är till sin natur mindre än den topologiska resiliensen hos detta multiplexnätverk. Vi rapporterar också den numeriska resiliensen och dess teoretiska förväntningar vid verkliga störningar som påverkar Londons transportnät (tabell 1 och SI-bilagan). Våra förutsägelser stämmer utmärkt överens med numeriska simuleringar och när det gäller mer realistiska simuleringar ger de alltid en god approximation av empirisk motståndskraft. Vår värld är till sin natur nätverkad och aktörer samexisterar i flera olika nivåer av relationer. Människor som interagerar under finansiella transaktioner och i verkliga (eller virtuella) sociala system, varor som förflyttar sig från en plats till en annan med hjälp av olika transportsätt (t.ex. luft, järnväg och väg) och information som flödar genom olika medier (t.ex. radio, satellit och internet) representerar viktiga flerskiktssystem. På senare tid har framsteg gjorts för att inkludera sådana nivåer i nätverksanalysen inom den mer allmänna ramen för sammankopplade nät (12, 39), med beaktande av hur deras topologier och deras sammanlänkningar påverkar dynamiska processer som äger rum i det nätverksanslutna systemet (3, 4). Bristen på en systematisk teori om slumpmässiga gångjärn på flerlagersystem och deras avgörande roll i beskrivningen av en mängd olika verkliga system, som motståndskraft mot slumpmässiga fel, har motiverat vår studie. Mer specifikt har vi undersökt beteendet hos olika promenader på sammankopplade nätverk och karakteriserat deras viktigaste statistiska egenskaper. I täckningen har vi identifierat en lämplig proxy för utforskningseffektiviteten i nätverket, vilket ger en korrekt teoretisk och analytisk beskrivning. Våra resultat har visat hur utforskningen av en multiplex påverkas av olika faktorer. Å ena sidan avgör den topologiska strukturen i varje lager och styrkan i mellanlagerkopplingar den "topologiska tillgängligheten" hos hörn, där mer perifera ämnen är svårare att besöka på grund av deras dåligt inflytelserika position i nätverket. Å andra sidan, prospekteringsstrategin Bild. 4. Vad är det som händer? Motståndskraft mot slumpmässiga misslyckanden i Londons kollektivtrafiknät. (I) Teoretiska förväntningar (fasta linjer) reproducerar med stor noggrannhet den motståndskraft (punkter) som erhålls från simuleringar för varje transportskikt och hela det sammanlänkade systemet ðD X = 10 −1  och antar slumpmässig gångbaserad navigering. (II) Samma som jag men antar kortaste vägen-baserad navigering och empiriska data. Genomsnittligt försäljningspris per enhet till icke-närstående kunder i unionen till icke-närstående kunder i unionen (i euro) Reala störningar i Londons transportnät Linje Från Freq., % Berörda, % Teori, % RW, % SP, % DLR Beckton Canningtown 2.56 2.44 94.41 93.10 94.85 Piccadilly Actontown Arnosgrove 0.04 6.77 88.49 86.51 90.85 Northern Highbarnet Stockwell 0,08 5.96 86.11 82.55 84.49 Northern Charingcross Highbarnet 0,25 4.61 90.67 87.99 91.32 Representativa partiella störningar "Från"-" till" stationer beaktas. Frekvensen av förekomst "Freq." rapporteras tillsammans med andelen indirekt "Affekterade stationer". Den motståndskraft som erhålls från Monte Carlo simuleringar (random walk, RW, och kortaste vägen, SP) rapporteras tillsammans med våra teoretiska förväntningar. Se hela tabellen i bilaga SI. 4 av 6 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Definieras genom slumpmässiga övergångsregler avgör "dynamisk räckvidd" för hörn, där agenter är svårare att besöka eftersom deras position i nätverket inte är privilegierad med avseende på informationsflödet. Alla sådana faktorer avgör kritiskt tidsskalan för att täcka nätverket. För att visa potentialen i det utvecklade ramverket har vi övervägt en tillämpning på kollektivtrafiken i London, med fokus på tre olika transportskikt, t.ex. rör, överjordisk och kajlandslätt järnväg. Vi har undersökt motståndskraften hos detta sammanlänkade transportnät mot slumpmässiga misslyckanden, en studie av vikten av att utforma och skydda kritisk infrastruktur. Vi har teoretiskt och med hjälp av omfattande simuleringar visat hur hela systemet är mer motståndskraftigt mot slumpmässiga fel än sina enskilda lager separat. De sammankopplade nätverken inför ytterligare dimensioner som kan bidra till att hitta vägar från till synes isolerade delar av enskilda lager, förbättra motståndskraften mot slumpmässiga fel, och vi ger ett sätt att kvantifiera detta. Resultaten kan användas för att utforma optimala sökstrategier (i linje med resultaten i ref. 40), till exempel för att karakterisera multiplexens cykliska struktur (41), för att inferera genreglerande vägar (13), för grovkorn nätverksstruktur (42), för att bedöma PageRank i dessa topologier (43), eller för att identifiera gener associerade med ärftliga störningar i protein-protein interaktionsnätverk (14), vilket utgör ett steg för vidare utveckling av sök- och navigeringsstrategier i verkliga sammankopplade system. Härledning av täckning: Transition Matrix. För att kvantifiera effektiviteten i den slumpmässiga promenad i utforska multiplex nätverk, fokuserar vi på täckningen ρðt på, definieras som den genomsnittliga fraktionen av distinkta hörn besökte minst en gång i tiden mindre än eller lika med t, oavsett lager, förutsatt att promenader började från någon annan vertex i nätverket. Låt p i ðt ska = P α p i,α ðt ska vara sannolikheten att hitta gångaren i vertex i vid tidpunkten t oberoende av lagret. Vi introducerar överdrivaren E i  och ðe i, e i,. .., d.v.s. den ith kanoniska vektorn, för att erhålla p i ðt + 1 till = Pðt påpe † i. Sannolikheten för att inte hitta vandraren i vertex i efter t-tid steg, antas att det började i vertex j, ges av δ i,j ðt på =  ska t τ=1 1⁄21 − p i ðt − τ till 1⁄21 − p j ð0). Dessutom leder den rekursiva ekvationen δ i ðt + 1 ska = δ i ðt och 1⁄21 – p i ðt + 1 ska leda till _ δ i,j ðt på = −σ i,j ðt.Pðt påpe † i : [4] Lösningen på Eq. 4 anges av var P j ð0 ska  till ðe j,0,...,0 till anger uttryckligen att vid tiden t = 0 gångaren startade i vertex j och i det första skiktet, utan förlust av generalitet. Matrisen P har en tydlig betydelse: det står för sannolikheten att nå varje vertex genom varje gång av längd 1,2,.. eller t + 1. Dessutom måste den slumpmässiga gångaren börja i vertex i och sannolikheten för att inte hitta den i samma vertex vara noll) och 1 annars. Därför ges en god approximation till täckningen genom dubbla medelvärden över alla hörn sannolikheten 1 − δ i,j ðt på att erhålla Eq. 2, som kan lösas numeriskt för att få rätt täckning vid varje steg. Härledning av täckning: Eigendecomposition. Tidsutvecklingen av överdrivaren av sannolikheter P för en gångare med början från vertex j ges också av Pðt på P j ð0 på -Lt, L är den normaliserade supra-Laplacian matrisen. Från eigendecomposition av den normaliserade supra-Laplacian, får vi där varje supramatrix V l erhålls från produkter av eigenvectors. Genom att ersätta detta uttryck till Eq. 4 för den dynamiska utvecklingen av δ i,j ðt., får vi _ δ i,j ðt. δ i,j ðt. = − X NL l=1 e −λl t C i,j ðl., där C i,j ðl. = P j ð0 skaV l PE † i är konstanter beroende på vertex, övergångsmatrisen, eigendecomposition och de ursprungliga villkoren. Låt oss komma ihåg att täckningen definieras av dubbla medelvärden av sannolikheten 1 − δ i,j ðt på alla hörn. Därför ett annat uttryck för täckning kontra tid, alternativ till Eq. 2, ges av Efter tillräckligt med tid, dvs. λ 2 t 1, summan i ovanstående exponentiella domineras av termen med l = 2 och, dessutom, e −λ2 t 1, som leder till Eq. 3. Vad är det som händer? Observera att för normaliserade supra-Laplaciska matriser med mer än ett null eigenvärde, den mer allmänna versionen av Eq. 3 anges genom att ange uppsättningarna av alla null- och positiva eigenvärden för den normaliserade supra-Laplacien, respektive.
REF har undersökt effekten av att utföra en slumpmässig promenad på ett multiplexnätverk.
Navigability of interconnected networks under random failures
{'venue': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'journal': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Medicine']}