Vi visar att för alla positiva heltal d, det finns familjer av växlade linjära system i fast dimension och definieras av två matriser endast-som är stabila under godtyckliga byte men inte erkänna (i) en polynomial Lyapunov funktion av grad ≤ d, eller (ii) en polytopisk Lyapunov funktion med ≤ d fasetter, eller (iii) en bitvis kvadratisk Lyapunov funktion med ≤ d bitar. Detta innebär att det inte kan finnas en övre gräns för storleken på de linjära och semidefinita program som söker efter sådana stabilitetscertifikat. Flera konstruktiva och icke-konstruktiva argument presenteras som kopplar vårt problem till kända (och ganska klassiska) resultat i litteraturen om ändlighet hypoteser, obeslutbarhet, och icke-algebraicity av den gemensamma spektralradien. I synnerhet visar vi att existensen av en extrem bitvis algebraisk Lyapunov funktion innebär den finita egenskapen hos den optimala produkten, generaliserande ett resultat av Lagarias och Wang. Som en följd av detta bevisar vi att den ändliga egenskapen håller för uppsättningar av matriser med en extrem Lyapunov funktion som tillhör några av de mest populära funktionsklasser i kontroller. Indextermer: stabilitet i växlade system, linjära skillnader, ändlighet antagande av den gemensamma spektralradien, konvex optimering för Lyapunov analys.
Det är känt att det finns familjer av n × n matriser M = {A 1,. ., A m } för vilken det växlade linjära systemet (1.3) är asymptotiskt stabil under godtyckliga byten, men sådan att den minsta graden av en gemensam polynomfunktion Lyapunov är godtyckligt stor REF.
Lower Bounds on Complexity of Lyapunov Functions for Switched Linear Systems
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science', 'Physics']}