Detta papper tillämpar topologiska metoder för att studera komplexa högdimensionella datauppsättningar genom att extrahera former (mönster) och få insikter om dem. Vår metod kombinerar de bästa egenskaperna hos befintliga standardmetoder såsom huvudkomponent- och klusteranalyser för att ge en geometrisk representation av komplexa datamängder. Genom denna hybridmetod hittar vi ofta undergrupper i datauppsättningar som traditionella metoder inte hittar. Vår metod möjliggör även analys av enskilda datamängder samt analys av samband mellan relaterade datamängder. Vi illustrerar användningen av vår metod genom att tillämpa den på tre mycket olika typer av data, nämligen genuttryck från brösttumörer, röstningsdata från Förenta staternas representanthus och spelarprestandadata från NBA, i varje fall att hitta stratifieringar av data som är mer förfinade än de som produceras med standardmetoder. G Insamling och lagring av data av olika slag är aktiviteter som är av grundläggande betydelse inom alla områden inom vetenskap och teknik, samhällsvetenskap och handel. Mängden data som samlas in och lagras växer i en fenomenal takt, på grund av uppfattningen att data kan användas effektivt för att bota sjukdomar, känna igen och lindra social dysfunktion, och göra företag mer effektiva och lönsamma. För att förverkliga detta löfte måste man dock utveckla metoder för att förstå stora och komplexa datamängder för att omvandla data till användbar kunskap. Många av de metoder som för närvarande används fungerar som mekanismer för att verifiera (eller motbevisa) hypoteser som genereras av en utredare, och därför lita på att prövaren formulerar bra modeller eller hypoteser. För många komplexa datamängder är dock antalet möjliga hypoteser mycket stort, och uppgiften att generera användbara sådana blir mycket svår. I detta dokument kommer vi att diskutera en metod som möjliggör undersökning av data, utan att först behöva formulera en fråga eller hypotes. Medan de flesta tillvägagångssätt för gruvdrift big data fokuserar på parvisa relationer som den grundläggande byggsten 1, Här visar vi vikten av att förstå "'forma'' av data för att extrahera meningsfulla insikter. Att vi försöker förstå datans form leder oss till en gren av matematiken som kallas topologi. Topologi är det fält inom matematik som behandlar studier av former. Det har sitt ursprung i 18-talet, med arbete av den schweiziska matematikern Leonhard Euler 2. Fram till nyligen användes topologi bara för att studera abstrakt definierade former och ytor. Under de senaste 15 åren har det dock gjorts en samlad ansträngning för att anpassa topologiska metoder till olika tillämpade problem, varav en är studien av stora och högdimensionella datamängder 3. Vi kallar detta studieområde Topological Data Analysis, eller TDA. Den grundläggande tanken är att topologiska metoder fungerar som ett geometriskt förhållningssätt till mönster eller formigenkänning inom data. Att känna igen former (mönster) i data är avgörande för att upptäcka insikter i data och identifiera meningsfulla undergrupper. Typiska former som förekommer i dessa nät är ''loops'' (kontinuerliga cirkulära segment) och 'flare' (långa linjära segment). Vi brukar använda dessa mallmönster på ett informellt sätt och sedan identifiera intressanta grupper med hjälp av dessa former. Till exempel kan vi välja grupper för att vara datapunkter i noderna koncentrerade vid slutet av en flare. Dessa grupper kan sedan studeras med hjälp av statistisk standardteknik. Ibland är det bra att göra en mer formell definition av bloss, när vi skulle vilja visa genom simuleringar att bloss inte visas från slumpmässiga data. Vi ger ett exempel på detta begrepp senare i tidningen. Vi tycker att det är bra att tillåta både informella och formella tillvägagångssätt i vår undersökande metod. Det finns tre nyckelidéer inom topologi som gör det möjligt att extrahera mönster via form. Topologin tar som utgångspunkt ett metriska utrymme, med vilket vi menar ett set utrustat med en numerisk uppfattning om avståndet mellan varje par av punkter. Den första nyckelidén är att topologi studerar former på ett koordinatfritt sätt. Detta innebär att våra topologiska konstruktioner inte är beroende av det valda koordinatsystemet, utan endast av den avståndsfunktion som
Jämfört med mer traditionella tekniker som huvudkomponentanalys, flerdimensionell skalning, mångfaldig inlärning och klusteranalys, är topologiska metoder kända för att vara mer känsliga för både stora och småskaliga mönster REF.
Extracting insights from the shape of complex data using topology
{'venue': 'Scientific Reports', 'journal': 'Scientific Reports', 'mag_field_of_study': ['Medicine', 'Computer Science']}