Abstrakt. Vi betraktar förhållandet mellan geometrin hos kompakta Riemannska grenrör och gränsen till det första icke-noll eigenvärde σ 1 i Dirichlet-to-Neumann-kartan (Steklov eigenvärde). För ytor med genus γ och k-gränskomponenter får vi den övre gränsen σ 1 L(för) ≤ 2 γ + k)π. För γ = 0 och k = 1 erhöll Weinstock detta resultat 1954, och är skarp. Vi försöker hitta den bästa konstanten i denna ojämlikhet för ringformade ytor (γ = 0 och k = 2). För rotationssymmetriska mätvärden visar vi att den bästa konstanten uppnås genom det inducerade mätvärdet på den del av katanoiden som centreras vid ursprunget och som möter en sfär ortogonalt och därmed är en lösning på det fria gränsproblemet för det område som fungerar i kulan. För en allmän klass av (inte nödvändigtvis rotationsmässigt symmetriska) mätvärden på ringformade, som vi kallar superkritiska, bevisar vi att σ 1 (-)L (-) (-)L) domineras av den kritiska katanoiden med jämlikhet om och endast om ringsatsen är i överensstämmelse med den kritiska katanoiden genom en konform transformation som är en isometri på gränsen. Motiverade av det ringformade fallet visar vi att en riktig undermanifold av bollen är nedsänkt av Steklov eigenfunktions om och endast om det är en fri gränslösning. Vi bevisar sedan allmänna övre gränser för konforma mått på grenrör av alla dimensioner som på ett korrekt sätt kan nedsänkas i enheten bollen i termer av vissa konforma volymmängder. Vi visar att dessa gränser endast uppnås när grenröret är minimalt nedsänkt av första Steklov eigenfunktions. Vi använder också dessa idéer för att visa att alla fria gränslösningar i två dimensioner har en yta åtminstone π, och vi konstaterar att detta innebär en skarp isoperimetrisk ojämlikhet för fria gränslösningar i det tvådimensionella fallet.
Se REF för en bättre övre gräns på ringformade ytor.
The first Steklov eigenvalue, conformal geometry, and minimal surfaces
{'venue': None, 'journal': 'arXiv: Differential Geometry', 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}