Induktiv logik medger en mängd olika semantik (Haenni et al., 2011, del 1). Denna uppsats utvecklar semantik baserad på normerna för Bayesisk epistemologi (Williamson, 2010, kapitel 7). §1 introducerar semantiken och sedan, i §2, undersöker tidningen metoder för att dra slutsatser i den resulterande logiken och jämför metoderna i detta papper med metoderna i Barnett och Paris (2008). §3 utvärderar sedan denna Bayesianska induktiva logik mot bakgrund av fyra traditionella kritiker av induktiv logik, argumenterar (i) att det är språkoberoende i nyckelbetydelse, (ii) att det medger kopplingar till principen om likgiltighet men dessa samband leder inte till paradox, (iii) att det kan fånga fenomenet lärande av erfarenhet, och (iv) att logiken förespråkar skepsis med avseende på vissa universella hypoteser, sådan skepticism är inte problematisk ur vetenskaplig teoretiseringssynpunkt. Detta avsnitt introducerar användningen av Bayesiansk epistemologi som semantik för induktiv logik. Materialet som presenteras här är baserat på Williamson (2010), som läsaren hänvisas till för mer detaljer. ¶ Bayesisk epistemologi: En primer. Vid roten, Bayesian epistemology handlar om frågan om hur starkt man bör tro de olika satser som man kan uttrycka. Bayesian teorin som besvarar denna fråga kan utvecklas på ett antal sätt, men det är vanligt att basera teorin på vadslagning tolkningen av grader av tro. Enligt vadslagning tolkningen, tror man att proposition  på grad x iff, var en att erbjuda en vadslagning quotient för  på-ett tal q sådan att man skulle betala qS för att ta emot S i gengäld skulle vara sant, där okänd insats S  på R kan bero på q-då q = x. Denna tolkning av grad av tro går naturligtvis hand i hand med påståendet att, var en att satsa enligt ens grad av tro via ovanstående betting-up, då bör man inte utsätta sig för undvikande förluster. Framför allt bör utan tvekan ens grad av tro minimera den värsta förväntade förlusten. Denna utgångspunkt-vadslagningstolkning tillsammans med förlust-undvikande anspråk-kan sedan användas för att motivera olika rationella normer som besvarar huvudfrågan mot Bayesian epistemology, d.v.s. att specificera hur starkt man ska tro på de olika förslag som man kan uttrycka. Eftersom sammanhanget för detta dokument är induktiv logik, kommer vi särskilt att ägna oss åt förslag som uttrycks på ett logiskt språk. Antag då att L n är ett propositionsspråk på elementära förslag A 1,. ., A n, med SL n uppsättningen av förslag som bildas av rekursivt tillämpa de vanliga logiska bindväv till elementära förslag. Låt n vara uppsättningen av atomtillstånd av L n, d.v.s., propositioner n av formen ±A 1  till · · ·  till ±A n, där ±A i är antingen A i eller dess negation. En norm av rationell tro, som vi kommer att kalla Sannolikhetsnormen, säger att ens grad av tro bör tillfredsställa sannolikhetens axioms, för annars, i värsta fall, insatser väljs som säkerställer positiv förväntad förlust-likvärdigt, insatser väljs som säkerställer positiv förlust oavsett atomtillstånd visar sig vara sant (en så kallad nederländsk bok). Således grad av tro bör vara sannolikheter för att minimera värsta-fall förväntade förlust: Theorem 1. Definiera funktion P : SL n −→ R by P( ska) = en given agents vadslagningskvot för. Agentens satsningar på förslag som uttrycks i L n undviker möjligheten till en nederländsk bok om och endast om de uppfyller sannolikhetens axiom: P1. P( ska n ) och 0 för var och en av dessa, P2. P(τ) = 1 för viss tautologi τ  på SL, P3. P( ska) =... n... =... P( ska n) för varje...... SL. Se Williamson (2010, Theorem 3.2) för bevis. Detta är känt som den holländska boken Theorem, eller Ramsey-de-Finetti Theorem. P1-3 erbjuder ett sätt att uttrycka sannolikhetens axiom över propositionsspråket L n : denna axiomatisering gör det tydligt att en sannolikhetsfunktion bestäms av dess värden på atomtillstånden i L n. En andra norm, Kalibreringsnormen eller Principal Princip, säger att ens grad av tro bör kalibreras till kända fysiska sannolikheter. I synnerhet, om man bara vet den fysiska sannolikheten P * ( på) av  på så sätt bör man ställa in ens vadslagning quotient för  på denna fysiska sannolikhet, P ( på) = P * ( på), annars i värsta fall insatser kommer att väljas som gör den förväntade förlusten positiv. 1 Även om i fallet med Sannolikhet Norm, minimera värsta-fall förväntade förlust är detsamma som att undvika säker förlust (en nederländsk bok), i detta fall visas länken i en lång rad av satsningar snarare än i den enda satsningen på själva: Om man upprepade gånger skulle satsa på  på liknande händelser med samma vadslagning kvot för varje insats, då skulle man vara mottaglig för säker förlust i det långa loppet (Williamson, 2010, pp. (se avsnitt 4. 3 och 4. 4 i bilagan till genomförandeförordning (EU) nr 540/2011). Naturligtvis kan man i allmänhet bara känna till vissa begränsningar av den fysiska sannolikheten, snarare än individuella fysiska sannolikheter som P * (.). I ett sådant fall skulle Kalibreringsnormen säga att om man vet att den fysiska sannolikhetsfunktionen P * ligger inom någon uppsättning P * sannolikhetsfunktioner, då skulle ens trosfunktion P ligga inom konvexa skrovet  och P *  på denna uppsättning sannolikhetsfunktioner. Anledningen är att om man förblir i konvexa skrovet en satsning inte har bevisligen större än minsta värsta-fall förväntade förlust (liksom, man kan inte tvingas att förlora pengar i det långa loppet), men utanför konvexa skrovet kan man vara 1 För enkelheten i exposition vi tar fysisk sannolikhet P * att vara enstaka fall här, definieras över förslagen i agentens språk L. Men vi skulle istället kunna ta fysisk sannolikhet att vara generisk, definieras över upprepade momentana utfall, och sedan överväga i stället för P * den enskilda fall konsekvenserna av fysisk sannolikhet, dvs. de begränsningar som kända generiska fysiska sannolikheter ålägger agentens grad av tro. Se Williamson (2011c) på denna punkt. säker på en suboptimal förväntad förlust (motsvarande, man kan tvingas att förlora pengar i det långa loppet). En tredje norm, Equicture Norm, säger att man inte bör anta extrema grader av tro om man inte tvingas till av Sannolikhetsnormen eller Kalibreringsnormen: ens grad av tro bör vara jämbördig tillräckligt mellan de grundläggande möjligheter som man kan uttrycka (dvs mellan atomtillstånden i L n ). Likvärdigt bör ens tro funktion P uppfylla de begränsningar som åläggs av de andra normerna och annars bör vara tillräckligt nära likvocatorfunktionen som ger samma sannolikhet för var och en av de 2 n atomtillstånden, P = ( och n ) = 1/2 n för var och en av. (Avstånd mellan sannolikhetsfunktioner mäts med Kullback-Leibler divergens, d(P,Q) =  och n P( ska n ) log P( ska n )/Q( ska n ).) Återigen kan denna norm motiveras genom att man minimerar den värsta förväntade förlusten. Argumentet lyder som följer (Williamson, 2010, s. 63-65). I avsaknad av kunskap om ens förluster, bör man ta förlustfunktionen för att vara logaritmisk som standard, d.v.s., man bör anta att man kommer att förlora - log P( ska n ) där n är atomtillståndet som visar sig vara sant, för en sådan förlustfunktion är den enda som uppfyller olika desiderata som är naturliga att införa på en standard förlust funktion. Men sedan, under vissa ganska allmänna villkor, P som uppfyller begränsningar som åläggs av andra normer men minimerar värsta-fall förväntade förlust (den robusta Bayes val av P) är P som är närmast likvocator. Observera att vi behöver kvalificeringen att trosgrader ska vara "tillräckligt" nära likvocatorn för att hantera fallet där det inte finns någon funktion närmast likvocatorn. Man kan till exempel veta att ett mynt är partiskt till förmån för huvuden, så att P * (H) > 1/2 där H betecknar huvuden vid nästa kast. Berättigatvis då av Kalibreringsnormen bör man tro H till grad större än 1/2, P(H) > 1/2. Men det finns ingen grad av tro större än 1/2 som är närmast P = (H) = 1/2. Därför kan man mest förvänta sig av en agent är att P(H) är tillräckligt nära 1/2, där vad som räknas som tillräckligt nära beror på pragmatiska överväganden såsom den erforderliga noggrannheten i beräkningar. Sammanfattningsvis leder speltolkningen tillsammans med kravet på förlustundvikande till tre normer: Sannolikhet, Kalibration och Equicture. Bayesianska epistemologer är oense om de skall stödja alla dessa normer. Alla accepterar Sannolikhetsnormen, de flesta accepterar någon version av Kalibreringsnormen, men få accepterar Equicture Norm. Sannolikhetsnormen på egen hand leder till vad som ibland kallas strikt subjektivism, sannolikhet tillsammans med kalibrering leder till empiriskt baserad subjektivism och alla tre normer tillsammans leder till objektivism. Lägg märke till att strikt subjektivism inte innebär att beslut om lämpliga grader av tro helt och hållet är en fråga om subjektivt val, i den mån sannolikhetsnormen medför väsentliga begränsningar för vilka grader av tro som räknas som rationell. Inte heller innebär objektivism att rationella grader av tro är helt objektiva i betydelsen att vara unikt bestämd-det kan förbli ett element av subjektivt val, som i den partiska mynt exempel införs ovan, där agenten är fri att välja mellan någon tillräckligt tvetydig sannolikhetsfunktion. Mot bakgrund av att de tre normerna i huvudsak har samma motivation är det svårt att hävda att denna motivation motiverar en norm men inte en annan. Följaktligen kommer vi att acceptera alla tre normerna i det följande och undersöka konsekvenserna av objektiv Bayesiansk epistemologi för induktiv logik. ¶ Predicera språk. Hittills har vi introducerat Bayesiansk epistemologi i samband med ett propositionsspråk. Men ramen sträcker sig helt naturligt till ett predikat språk, som vi nu skall se. Antag då att L är en första ordningen predikat språk utan jämlikhet, med ändligt många predikat symboler och med räkna många konstanta symboler t 1, t 2,... ., en för varje del av domänen. För n på 1, låt L n vara den ändliga predikat språk som endast konstanter t 1,. .., t n. Låt A 1, A 2,. .. köra igenom atomförslag av L, d.v.s. förslag av formen U t där U är en predikat symbol och t är en tuple av konstanta symboler för motsvarande arity. Beställ A 1, A 2,. .. enligt följande: alla atomiska förslag uttrycks i L n men inte uttrycks i L m för m < n bör inträffa senare i beställningen än de atomiska förslag uttrycks i L m. Låt A 1,. .., A r n vara de atomiska förslag uttrycks i L n. En atomär n-state N är ett atomiskt tillstånd ±A 1  på · · ·  till ±A r n av L n. Låta N vara uppsättningen av atomiska n-stater. Kalibreringsnormen förblir densamma som i propositionsfallet, men Sannolikhetsnormen behöver ändras eftersom predikatspråket kräver en extra sannolikhetsaxiom: Theorem 2. Definiera funktion P : SL −→ R by P( ska) = agentens vadslagningskvot för  ska. Agentens satsningar på förslag som uttrycks i L undviker möjligheten till en nederländsk bok om och endast om P är en sannolikhetsfunktion: PP1. P( ska n ) och 0 för var och en av dessa n, PP2. P(τ) = 1 för viss tautologi τ  på SL, PP3. För varje kvantifierfri proposition, för varje n tillräckligt stor att L n innehåller alla atomiska propositioner som förekommer i  och Se Williamson (2010, Theorem 5.1) för ett bevis. PP4, den extra sannolikhet axiom, kallas Gaifmans tillstånd. PP1-4 innebär att P( och x) = lim m→ņ P m i=1  på (t i) och P på x på (x)) = lim m→ņ P m i=1 på (t i). Liksom i det propositionella fallet bestäms en sannolikhetsfunktion av dess värden på atom-n-tillstånden, men i detta fall varierar n över de naturliga talen. Ekvationsnormen förs över från propositionsfallet enligt följande. Definiera n-divergensen mellan P och Q som ska vara d n (P,Q) =  ska n n  på alla n och N. Definiera n-divergensen mellan P och Q som ska vara d n (P,Q) =. Säg att P är närmare R än Q om det finns någon N sådan att för alla n ≥ N, d n (P, R) < d n (Q, R). Equicture Norm säger att P bör vara, från alla funktioner som uppfyller de begränsningar som införs av Sannolikhets- och kalibreringsnormen, en som är tillräckligt nära likvocatorn. Liksom i det propositionella fallet är det en pragmatisk fråga om vad som räknas som "tillräckligt" nära likvocatorn. ¶ Induktiv Logik. Följer Haenni et al. (2011) kommer vi att ägna oss åt induktiva logiker som avkastning innebär relationer av formen: Här 1,. .., K,  till är förslag på några givna logiska språk, och superskripten X 1,. ., X k, Y betecknar induktiva egenskaper som fäster vid dessa förslagkarakterisering, t.ex. deras säkerhet, rimlighet, pålitlighet, vikt bevis, eller sannolikhet. Ett sådant samband kan läsas: om X 1 fäster vid 1,..................................................... ., och X k fäster till K k sedan Y fäster till  med. Vad som innebär relationer innehar beror i hög grad på semantiken för implikationsförhållandet  på. I vanliga fall kommer vissa semantiker att säga något i stil med, "betydelsens förhållande håller om alla tolkningar som tillfredsställer premisserna också tillfredsställer slutsatsen "Y", och kommer att säga vad en tolkning är och vad det är för att tillfredsställa premisserna och tillfredställa slutsatsen. I en probabilistisk logik, eller progic för kort, X 1,. .., X k, Y är uppsättningar av sannolikheter och tolkningar är sannolikhetsfunktioner. Ändå finns det ett brett utbud av semantik man kan ge för en progic: standard semantiken säger att P uppfyller  på Z om och endast om P( ska) Z, men andra semantik tillhandahålls av teorier om probabilistisk argumentation (som är nära relaterat till Dempster-Shafer teori), Kyburgs uppenbara sannolikhet, klassisk statistisk inference, Bayesian statistiska inference och Bayesian epistemology (Haenni et al., 2011, Del I). Bayesiansk epistemologi ger semantik på följande sätt. För det första tolkar man det logiska språk som 1,. .., K,  ska uttryckas som språket för en agent. Då kan man uppfatta premisserna som att utgöra agentens bevis för fysiska sannolikheter: de säger att P * (en) X 1,. Slutligen är tolkningar trosfunktioner, som genom sannolikhetsnormen är sannolikhetsfunktioner. Genom Kalibrering Norm en tro funktion P uppfyller premisserna iff det ligger i konvexa skrovet av alla sannolikhetsfunktioner som uppfyller de relevanta bevismässiga begränsningar, dvs., iff P  till P *  på. Nu om premisserna är konsekvent kan vi helt enkelt ta P * = {P : Men om premisserna är inkonsekventa kan vi inte identifiera P * = : inkonsekventa premisser säger oss inte att det inte finns någon chans funktion utan snarare att det är något fel med premisserna. I det här fallet måste man alltså använda en viss metod för konsekvent underhåll. Det enklaste sådana förfarande är att ta P * att inkludera någon funktion som ligger i en maximal konsekvent delmängd av {P : P( på 1 ) X 1,. ..................................................................................................... Naturligtvis, om en uppsättning begränsningar är konsekvent då den maximala konsekvent delmängd av den uppsättningen är som satt sig själv, så oavsett om premisserna är konsekvent eller inte, kan vi ta P * = { och Y tolkas som ett påstående om rationella graden av tro snarare än fysisk sannolikhet: P( på) Y. Normerna dikterar att en tro funktion som uppfyller premisserna också uppfyller slutsatsen iff P (en) Y för alla dessa P  på ett sätt som {en Let E betecknar uppsättningen av sannolikhetsfunktioner som uppfyller begränsningar som åläggs av agentens bevis. I ovanstående framställning av Kalibreringsnormen, E = P *. 2 Låta ↓E betecknar uppsättningen funktioner i E som är maximalt tvetydiga (denna uppsättning kan vara 2 Denna version av Kalibreringsnormen förutsätter att alla begränsningar i grader av tro förmedlas av bevis på fysiska sannolikheter. Även om detta är ett lämpligt antagande i samband med vår semantik för induktiv logik, där premisser tolkas uteslutande i termer av fysiska sannolikheter, kan detta antagande brytas i andra sammanhang (Williamson, 2010, §3.3). tom, som i den partiska mynt exempel ovan) och låt  och E betecknar uppsättningen funktioner i E som är tillräckligt tvetydiga. Berättigatvis, E1 : E =. En agent har alltid rätt att ha vissa övertygelser. E2: E. Sannolikhet funktioner kalibreras med bevis som är tillräckligt tvetydiga kalibreras med bevis. E3: Om Q  på E och R på E inte är mindre tvetydig än Q då R på E. Dvs., om Q är tillräckligt tvetydigt då så är alla funktioner i E som inte är mindre tvetydiga. Om ↓E = då ska E = ↓E. Om det är möjligt att vara maximalt tvetydig då ens tro funktion bör vara maximalt tvetydig. E5 : E = E. Alla funktioner, från dem som kalibreras med bevis, som är tillräckligt tvetydiga, är en funktion, från dem som kalibreras med bevis och är tillräckligt tvetydiga, som är tillräckligt tvetydig. I fallet med ett propositionsspråk, till exempel, dessa villkor innebär att: för vissa, där {P} = ↓ på E, d.v.s., där P är den unika funktionen som är maximalt ekvivokal från alla de i konvex stängning  på E. I allmänhet, om det inte finns några kontextuella faktorer tillgängliga för att bestämma parametrar som avgränsar mellan tillräckligt och otillräckligt ekvivokal, är det enda alternativet att ställa in: Vi ska ta detta som standardalternativ i fallet Bayesian semantics för induktiv logik. Vi kommer att använda symbolen  till • för att beteckna denna Bayesian conduration relation, som därmed kan karakteriseras enligt följande:  och  på, om det finns några maximalt tvetydiga medlemmar, eller för varje medlem P av  på  och kanske det bästa sättet att få en intuitiv känsla för ovanstående induktiva logik är via en rad exempel. I detta avsnitt kommer vi att använda exempel för att visa hur slutsatser kan göras i Bayesisk induktiv logik, och för att jämföra denna logik med en nära besläktade logik. ¶ Kategoriska premisser i Propositional Inductive Logic. Betrakta följande ogiltiga argument i propositionslogiken: Vi vet att argumentet är ogiltigt genom att betrakta dess sanningstabell: De två vänstra kolumnerna går igenom alla sanningsuppdrag till atomförslagen, medan de följande två kolumnerna ger motsvarande sanningsvärden i premisserna och den högra kolumnen ger motsvarande sanningsvärde i slutsatsen. Argumentet är ogiltigt därför att det tredje sanningsförordnandet gör premisserna sanna men slutsatsen felaktig. Antag nu att vi står inför följande fråga: i vilken utsträckning innebär de förutfattade meningarna i ovanstående argument slutsatsen? Detta kan skrivas: Observera att premisserna är kategoriska i den meningen att de inte på något sätt är kvalificerade av någon induktiv kvalitet. När det gäller de Bayesianska semantiker som beskrivs ovan, innebär ett okvalificerade premissförslag att P * ( på engelska) = 1, där, som tidigare P * betecknar slump eller fysisk sannolikhet. I vanliga fall är detta allt som det innebär. 3 Så ur synvinkel Bayesian induktiva logik, frågan kan skrivas, Detta frågar, med tanke på att en → b och b har fysisk sannolikhet 1, vilka grader av tro skulle det vara rationellt att fästa till slutsatsen a? Sannolikheten Norm säger att grad av tro över det propositionella språket {a, b} bättre vara sannolikheter. Kom ihåg att sannolikheten för någon proposition är summan av sannolikheten för atomtillstånd som logiskt antyder den propositionen. I synnerhet, Detta innebär att vi kan öka en sanningstabell med sannolikheterna x i av atomstaterna  på n för att beräkna sannolikheten för något förslag: Det finns dock undantag, som vi ska se i §3. Till exempel kan man säga att de första hundra korpar som provtas slumpmässigt har visat sig vara svarta, i vilket fall inte bara innebär att det finns sannolikhet 1 men, kan man hävda, att den fysiska sannolikheten för att nästa korp som provtas är svart är nära 1.  påkallas enkelt med avseende på P * om det bara innebär begränsningen P * ( ska) = 1. Kalibreringsnormen säger att en viss grad av tro bör tillfredsställa de begränsningar som följer av bevis på fysisk sannolikhet. I Bayesian semantiken för induktiv logik, den vänstra sidan av implementationsförhållandet tolkas som att fånga den tillgängliga informationen om fysisk sannolikhet. Eftersom premissförslagen har fysisk sannolikhet 1, P(a → b) b) = x 1 + x 3 = 1, så blir vår utökade sanningstabell: Slutligen säger Equicture Norm, som tillämpas på induktiv logik, att trosgrader annars bör likställa, om möjligt, mellan atomtillstånden. Därför x 1 = x 3 = 1/2. Sannolikheten som fäster vid slutsatsen a är alltså x 1 + x 2 = 1/2: Observera att detta talar om för oss vilken sannolikhet eller sannolikhet som hänger ihop med slutsatsen, med tanke på premisserna; det kan skrivas P {a→b,b} (a) = 1/2. Den talar inte om för oss i vilken utsträckning premisserna ökar sannolikheten för slutsatsen. Detta senare begrepp, graden av stöd snarare än graden av partiell inblandning, kan expliceras som P {a→b,b} (a) − P (a). Nu är sannolikhetstabellen för P (a): Klart då P (a) = 1/4 + 1/4 = 1/2 och stödnivån är 1/2 − 1/2 = 0. På så sätt är premisserna irrelevanta för slutsatsen i detta exempel. 4 Överväg ett annat ogiltigt argument: antingen Miliband kommer att bli nästa premiärminister eller Cameron kommer; 5 därför, Miliband kommer att bli nästa premiärminister. Till 4 Observera att, som a → b och b är enkla med avseende på P *, P {a→b,b} (a) = P (a till (a → b) b). Se Williamson (2011b) på denna punkt. 5 Vi kommer att behandla detta "eller" som allomfattande avvisning, under antagandet att det är möjligt att ha två premiärministrar i en koalitionsregering. I vilken utsträckning innebär premissen slutsatsen? •.................................................................................................... Här P(m  på c) = 1 så P(¬m  på c) = 0 och vi har följande sannolikhetstabell: Därav P {m på c} (m) = 1/3 + 1/3 = 2/3. Observera att P (m) = 1/2 så premissen stöder slutsatsen, till grad 2/3 − 1/2 = 1/6. ¶ Kvalificerade premisser i Propositional Inductive Logic. Vi skall gå vidare till några exempel på den situation där premisserna inte är kategoriska utan har en viss induktiv kvalitet knuten till dem. Överväg först frågan, Här en  och ¬b 0.1 förkortar en  och ¬b {0.1}. Antag till exempel att a är påståendet att det regnar i dag och b är förslaget att det kommer att regna i morgon. Då tolkas en 0,1 ¬b 0,1 som att säga att chansen att det regnar idag men inte i morgon är 0,1. Frågan är, hur starkt bör man tro att det kommer att regna i morgon, med tanke på denna information? Sannolikhetstabellen är som följer: Sannolikheten P(a  och ¬b) = 0,1 följd av Kalibreringsnormen, medan de övriga beror på ekvisionsnormen. Därefter P {a ¬b 0,1 } (b) = 0,3 + 0,1 = 0,4. Men man kan också fråga sig om det, med tanke på den slumpartade informationen, ger stöd åt en prognos om regn i morgon. Man måste vara lite försiktig här: man kan helt enkelt inte lägga till en till premisserna eftersom om en vore fallet då skulle chansen för en  på ¬b vara annorlunda. (Detta är mer uppenbart i det fall där slumpen informationen är P * (a) = 0,1: sedan lägga till en som en premiss framkallar begränsningen P * (a) = 1 som tydligt ersätter den ursprungliga informationen.) Men man kan fråga: Här en slutsats av blanketten b på Y tolkas som ett påstående om villkorlig sannolikhet, nämligen P (b till a) Y. Nu P {a- ¬b 0,1 } (b- 0.3) = 0.3/0.4 = 0,75 > 0,4, så att få regn idag verkligen stöder prognosen för regn i morgon. Observera, däremot, att lägga till en till premisserna skulle ge P {a¬b, 0,1 a} (b) = 0,9, som kan härledas från sannolikhetstabellen: Så användningen av villkorlig sannolikhet kan ge olika resultat till dem som härleds genom att öka premisserna (Williamson, 2011a). Vi kan ta ett annat exempel. En boskapsskötare tog slumpmässigt prover på hundra getter i sin hjord och fann att 80 av dem var tetchy. Han lade märke till att 5 av de icke-tättiga getterna var Angora och att 2 av dessa hade horn. I vilken utsträckning bör han tro att nästa behornade angoraget kommer att vara tetchy? Om vi beviljar fakta i berättelsen och att de givna proportionerna av de provtagna getterna korrekt återspeglar proportionerna i hjorden som helhet, då står vi inför följande fråga: Här introducerar vi villkorliga premisser: en premiss för blanketten X tolkas som att säga att P * (på engelska) X, medan, som tidigare, en slutsats av blanketten Y tolkas som att säga att P (på engelska) Y. Vi ska fylla i följande sannolikhetstabell: För att räkna ut sannolikheten för atomstater, först formulerar vi premisserna som begränsningar för atomstater. Den första begränsningen kan tillfredsställas genom att sätta eftersom denna begränsning behandlar atomtillstånden som förekommer i den symmetriskt, och dessa atomstater begränsas inte av de andra begränsningarna (c.f., Theorem 5). Den andra begränsningen kräver att 4x 2 + 4x 6 = x 2 + x 4 + x 6 + x 8. Dvs. 3 x 2 + 3 x 6 = x 4 + x 8. Den tredje begränsningen kräver att 5x 2 = 2x 2 + 2x 6. Dvs., 3x 2 = 2x 6. Substitution den tredje begränsningen i den andra, 5x 6 = x 4 + x 8. Vi kan ställa in x 4 = x 8 = x säga. Därefter x 6 = (2/5)x och x 2 = (2/3 × 2/5)x = (4/15)x. Vi har sannolikheten 1/5 att dela mellan h  och en ¬t, h  och ¬a ¬t, ¬h  på ett, ¬t, ¬h  och ¬t. Så (4/15)x + (2/5)x + x + x = 1/5, dvs. (40/15)x = 1/5 och x = 3/40. Så vi har: F F F Nu kan vi räkna ut i vilken grad premisserna delvis innebär slutsatsen: P(t och h) = Observera att i alla dessa exempel, de begränsningar som påtvingas av premisserna är linjära begränsningar för atomstaterna. Detta innebär att uppsättningen sannolikhetsfunktioner som uppfyller dessa begränsningar är konvexa, och därför finns det inget ytterligare behov av att ta konvexa skrov för att uppfylla Kalibreringsnormen. I allmänhet, att uppfylla Kalibreringsnormen är ett linjärt programmeringsproblem, och sedan uppfylla Equicture Norm är ett optimeringsproblem (minimering av Kullback-Leibler avvikelse från ekvivocator P =, eller motsvarande, maximering av entropi). Som föreslås i Haenni et al. (2011) Det finns utrymme för att använda probabilistiska nätverk (särskilt credalnätverk) som inferensmaskineri för probabilistisk logik: ett credalnätverk kan vara ett effektivt sätt att representera en konvex uppsättning sannolikhetsfunktioner-i vårt fall den uppsättning rationella trosfunktioner som är lämpliga med tanke på premisserna-och det finns effektiva metoder för att beräkna den uppsättning Y sannolikheter som dessa funktioner ger till en slutsats förslag. Observera att i ovanstående exempel, kalibrering med premisser ger en uppsättning sannolikhetsfunktioner som är stängd samt konvex. Följaktligen finns det bara en funktion i denna uppsättning som är närmast likvocatorn och en enda sannolikhet som fäster vid slutsatsen förslaget (se t.ex. Paris, 1994). ¶ Kvantifierade premisser i Predicate Inductive Logic. Tänk på ett predikativt språk. Låt oss fråga: "x" (x) c " • "(t 1 )"? För vissa kvantifier-fria proposition  på och en del antal c i enhetsintervall. Om till exempel chansen att alla korpar är svarta är 0,7, hur starkt bör du då tro att korpen t 1 är svart? Låt oss använda notationen (t 1 ) (t 1 ) · · ·  på (t n ). Sedan genom Sannolikhetsnormen innebär premissen begränsningar P( ska n ) ska c för alla n, och P( ska n ) −→ c som n −→ ∞. Så låt oss skriva P( ska n ) = c + x n, där x n ≥ 0 och x n −→ 0 som n −→ ∞ (så P(¬) n ) = Eftersom premissen är symmetrisk med avseende på  ska n [ på n ] n, kommer Equicture Norm att ge dem samma sannolikhet: Man kan tro att den mest liksidiga sannolikhetsfunktion som uppfyller dessa begränsningar kommer att ställa x n = 0 för alla n tillräckligt stor (dvs. för alla n sådana att c/ på n n ≥ P = ( ska n ) = 1/2 r n ), eftersom denna funktion kommer att vara närmast likvocatorn. Om c < 1 sedan inställning x n = 0 skulle ge en funktion som inte är en sannolikhetsfunktion, i strid med sannolikhetsnormen. Betrakta till exempel ett språk med en enda unary predikat U, och låt  på (x) vara U x: sedan  för att n n = 1 så om x n = 0 för tillräckligt stor n vi skulle ha för sådan n, i strid mot axiom PP3 §1. Liknande resonemang kan användas för att visa att om c < 1 sedan x n > 0 för alla n. Observera att om  ska vara tautologa då för premissen att vara konsekvent, c måste vara 1 och så x n = 0 för alla n. För att beräkna x k för vissa fasta k, överväga n på k och: är U x för unary predicate U då 2 r n / till n -→ ņ och att överväga en annan leksak exempel, anta att chansen för alla människor att vara dödliga är 2 3; i vilken utsträckning bör man tro att Sokrates är dödlig med tanke på att han är människa? Dvs., där H står för Human, M för Mortal och S för Sokrates. Vi har då att P(Hs → Ms) = 11/12, så P(Hs) = P(¬Hs  och Ms) = P(¬Hs) = 11/36, och P(Hs → Ms) = P(Hs¬Ms) = 1/12. Därför är P(Ms-Hs) = P(Hs-Ms)/(P(Hs-Ms) + P(Hs-TMs) = 11/14: Låt oss se på ett relaterat exempel. Antag att 80 % av individerna i urvalet är män (dvs. människa). I vilken utsträckning innebär påståendet att alla människor är dödliga slutsatsen att Sokrates, en slumpmässigt utvald individ, är dödlig? Förutsatt att frekvensinformationen motiverar uppskattningen P * (Ht i ) = 4/5 för varje provtagen individ-i synnerhet, P * (Hs) = 4/5-en kan formulera detta som frågan: Men denna fråga kan inte besvaras direkt eftersom P {Hs 4/5 } ( skax(Hx → Mx)) = 0 och den villkorliga sannolikheten för slutsatsen är odefinierad. I det här fallet skulle dock inte  på egen hand ändra möjligheten P * (Hs) = 4/5, så man kan använda den alternativa formuleringen: Den första premissen innebär att P(Hs) + P(Hs  på Ms) = 4/5 medan den andra premissen innebär att P(Hs) + P(¬Hs) + P(¬Hs  på Ms) = 1. P(Hs  och ¬Ms) = 0 så P(Hs på ms) = 4/5 och, ekvivocering, P(¬Hs på ms) = P(¬Hs på ms) = 1/10. Därför P {Hs 4/5, skax(Hx→Mx)} (Ms) = 4/5 + 1/10 = 9/10, som svar på vår fråga. ¶ En jämförelse med Barnett-Paris-metoden. Vi avslutar detta avsnitt genom att nämna några exempel i Rad (2009), ett arbete som erbjuder en trevlig jämförelse av den metod som presenteras här med den ledande alternativa metoden för predikatspråk, Barnett-Paris metoden i Barnett och Paris (2008). Med tanke på ett predikerat språk L, denna alternativa metod (i) tolkar premisserna för ett induktivt argument som begränsningar för rationell tro över ett ändligt predikerat språk L n, sedan (ii) beräknar den rationella tro funktion P n på detta ändliga språk genom att välja från de funktioner som uppfyller de begränsningar, P n som maximerar entropi (motsvarande, som är närmast likvocator i termer av n-divergens), och slutligen (iii) anser P ∞, definieras av P ∞ (på m ) = lim n-→∞ P n ( på m ), att vara den rationella tron fungerar över L själv. Observera att Barnett-Paris-metoden förutsätter premisser för begränsningar som avgränsar en sluten, konvex uppsättning funktioner, för att P n alltid ska definieras; därför är deras metod inte tillämplig på det partiska myntexemplet som nämns i §1, där uppsättningen begränsade funktioner inte är stängd och där det inte finns någon P n med maximal entropi. Men om begränsningen är stängd och konvex, och om språket i fråga endast innehåller unary predikat, de två tillvägagångssätten kommer att ge samma svar på frågor i induktiv logik (Rad, 2009, Theorem 29). Rad (2009, §4.1) anser följande icke-unary fråga, formulerad i ett predikerat språk förstärkt med en jämställdhetssymbol som uppfyller axioms av jämlikhet: 6  på x ¬ Rxx,  på x y( x = y) → (Rx y  till R yx)), 6 som Rad noterar, denna typ av exempel kan också formuleras på ett språk utan jämlikhet genom att behandla någon relation i det språket som en surrogat för jämlikhet. Här premisserna ange att den binära relationen R är en strikt linjär ordning som sträcker sig på obestämd tid i minst en riktning. Som Rad visar kommer det tillvägagångssätt som förespråkas i detta dokument att ge ett svar på 1/r! eller 0 beroende på om r i, j=1 överensstämmer med någon sådan linjär ordning eller inte (eftersom den likställer mellan alla stränga linjära order). Å andra sidan kommer Barnett-Paris-metoden inte att kunna besvara denna fråga alls, eftersom varje försök att behandla premisserna som begränsningar på ett ändligt underspråk L n leder till svårigheten att premisserna inte har någon ändlig modell, dvs. premisserna är inkonsekventa om domänen är ändlig. 7 (Detta finita modellproblem ansätter också slumpmässiga världar metod av Grove et al. (1994); Bacchus et al. (1996), som ger semantik för induktiv logik genom att betrakta gränsen som n −→ ∞ av andelen av alla L n - modeller av premisser som uppfyller slutsatsen.) Det finita modellproblemet är bara ett hinder för metoden Barnett-Paris det finns andra. Rad (2009, §3.2) visar att även om premisserna är begränsade till kategori Π 2 meningar-premisser av blanketten  och x, y) där. är kvantifier-fri-, kanske Barnett-Paris gränsen inte existerar. Å andra sidan kan Barnett-Paris-metoden användas för att besvara alla frågor med okvalificerade premisser från klassen kvantifierfria meningar, eller klassen av 1 meningar (förslag till blanketten  och x)), eller klassen av Π 1 meningar ( och x)), och det är känt att åtminstone i de två första fallen kommer Barnett-Paris-metoden att instämma i den metod som presenteras här. I mer komplexa fall finns det ingen garanti för att metoden i detta dokument kommer att leda till en unik maximal tvetydig funktion. Till exempel, Rad (2009, §4.3) visar att för frågan: för varje funktion som uppfyller premissen finns det alltid en mer tvetydig funktion som tillfredsställer den premissen. I den meningen är en sådan fråga som den fördomsfulla myntfrågan i § 1 och vår policy är att betrakta alla funktioner som uppfyller premissen som tillräckligt tvetydiga (i avsaknad av kontextuell information som kan ge mer vägledning). Även om det tillvägagångssätt som presenteras här kan besvara sådana frågor, kommer det inte alltid att fästa ett exakt sannolikhetsvärde vid en slutsats av intresse. Till exempel, eftersom premissen kan vara nöjd om t 1 och t 2 står i relation till R. Därför slutsatserna i sådana fall kan vara ganska svaga-de instämmer med de slutsatser som skulle genereras av en empiriskt baserad subjektiv Bayesian semantik ( §1), som inte vädjar till Equication Norm över huvud taget. Men, som varje subjektiv Bayesian kommer att hålla med, svaga innebär inte fel: i en viss situation kan det helt enkelt inte finnas några överväganden (antingen uppenbara eller pragmatiska) som ytterligare begränsar hur starkt en given slutsats bör tros. 7 Kom ihåg att det förutsätts att varje del av domänen plockas ut av en konstant av språket; följaktligen om språket är ändlig, så är domänen. I detta avsnitt kommer vi att undersöka några av de viktigaste kritikerna av induktiv logik och undersöka i vilken utsträckning den induktiva logiken i detta papper-d.v.s. mål Bayesian induktiva logik-överlever denna kritik. Det föreslogs på 1940- och 50-talen att en livskraftig induktiv logik skulle kunna främja vår förståelse av det sätt på vilket vetenskapliga hypoteser bekräftas av bevis och att den också skulle kunna utgöra en normativ grund för resonemang under osäkerhet, med tillämpning på artificiell intelligens. Rudolf Carnap var huvudarkitekt för programmet för att utveckla induktiv logik (Carnap, 1945), och på 1980-talet hade en omfattande forskning byggts upp inom detta område (se t.ex. Carnap och Jeffrey, 1971; Jeffrey, 1980). Men uppfattningen bland filosofer på den tiden var att programmet hade misslyckats. Detta är av flera skäl. Carnap isolerade inte en enda induktiv logik, utan en familj av induktiva logiker, och ett element av val krävdes för att välja ut en lämplig logik, vilket gjorde induktiva resonemang i förhållande till subjektiva och pragmatiska bekymmer. Detta var problematiskt ur Carnaps perspektiv eftersom han tolkade sannolikhet i induktiv logik som ett logiskt samband mellan satser, i linje med Keynes (1921)-en tolkning som inte har någon självklar roll för en agent eller subjektivt val. Men som vi har diskuterat i slutet av den sista delen, är ett element av subjektivt val inte i sig problematiskt ur Bayesian semantikens perspektiv, eftersom Bayesian sannolikhet definieras i förhållande till en agent, och Bayesian sannolikhet behöver inte helt begränsas av agentens bevis och språk. Även om frågan om subjektivitet är mindre problematisk i vårt sammanhang förtjänar fyra andra kritiker av det induktiva logiska programmet mer diskussion. För det första trodde man att slutledningarna till en induktiv logik är problematiskt beroende av det underliggande logiska språket. För det andra är induktiva logiker normalt baserade på varierande principer, som kan betraktas som tillämpningar av principen om likgiltighet-en princip som är känd för att leda till paradoxer. För det tredje erkändes det att Carnaps induktiva logik inte samtidigt kunde fånga induktiva relationer mellan logiskt överlappande påståenden (t.ex. mellan fågeln är svart eller fågeln är vit, och, fågeln är svart) och induktiva relationer mellan logiskt osammanhängande påståenden (t.ex., mellan alla korpar som hittills observerats är svarta, och, nästa observerade korp är svart) (Salmon, 1967). För det fjärde, försök att utveckla induktiva logiker där universella hypoteser (t.ex. alla korpar är svarta) får induktivt stöd betraktades som komplexa och endast delvis tillfredsställande. Vi kommer i tur och ordning att diskutera dessa invändningar. Medan vi kommer att fokusera på predikatspråk, kommer de flesta av oss som kommer att ha att säga att gälla lika för propositionsspråk. ¶ Språkberoende. Eftersom induktiva logiker som presenteras här definieras med avseende på förslag av ett logiskt språk L, uppstår frågan om i vilken utsträckning slutsatser i en induktiv logik beror på det underliggande språket. För de semantik som presenteras här finns det en tydlig mening i vilken slutsatser inte är beroende av det underliggande språket: om man kan formulera en slutledning på mer än ett språk så kommer de två formuleringarna att vara överens om huruvida premisserna medför slutsatsen. Detta resultat, som bevisas i bilaga 1 punkt 1, är viktigt eftersom det visar att det normalt inte finns något behov av att stava ut det underliggande språket för någon särskild slutsats, och det rättfärdigar användningen av notation  för att • i stället för  på detta sätt verkar ge två olika nivåer av rimlighet på vad som i själva verket är samma slutsats. Vilken är den rätta slutsatsen? Bayesians svar på denna fråga är att båda är korrekta. Bevilja ingenting alls, om ditt språk var L 1 då bör du tro att t 1 är Grön eller Blå till grad 3/4, men om ditt språk var L 2 bör du tro att t 1 är Grue till grad 1/2. Bayesian kan motivera denna inställning genom att påpeka att, precis som graden av tro bör vara beroende av explicita bevis (eftersom sådana bevis ger oss information om världen), så bör också grad av tro bero på språk (eftersom språket också ger information om världen). Bevisen talar om för oss fakta om världen, och en faktabas kan föredras framför en annan om den berättar mer för oss, eller om det den säger oss är mer exakt; språket talar om för oss hur världen kan snidas upp, och ett språk kan föredras framför ett annat om det snider upp världen mer effektivt. 8 Men Bayesian skulle också säga att båda slutsatserna saknas: det finns en viktig information, nämligen att Grue är synonymt med Green eller Blue, som inte har beaktats i de två slutsatser som anges ovan. För att ta hänsyn till denna information krävs att man använder ett språk L 3 på vilket man kan uttrycka förslaget.x, Grue(x)  och Grue(x) (Gröna(x) ellerBlue(x)). Då kan man formulera en slutledning, Grue(x) (Gröna (x)  på blå (x))) eller •3 Grue(t 1 ) 3/4. Men vi finner också att  skax, Grue(x)  och Grue (x) (Gröna (x)  på Blue(x))) på •3 Grön(t 1 )  på Blue(t 1 ) 3/4, så det finns ingen inkonsekvens. Observera att denna slutsats validerar det av L 1, den rikare av de två ursprungliga språken. Allt beroende av det underliggande språket har vanligtvis ansetts vara mycket problematiskt i litteraturen om induktiv logik och objektiva Bayesianska metoder (se t.ex. Seidenfeld, 1986). Men är ett sådant beroende som det finns under 8 Observera att Bayesian epistemology ger normer som kopplar samman bevis och språk å ena sidan, och rationella grader av tro å den andra. Det säger lite eller ingenting om normer för bevis (t.ex. bör man samla bevis) och normer för språk (t.ex. bör man kunna uttrycka vad man vill resonera om). Är Bayesian semantik verkligen problematiskt? Kanske inte, med tanke på följande trivialitet resultat. Definiera en synonym karta mellan predikatspråken L och L för att vara en konsekvent, räknande uppsättning förslag på blanketten  och i de fall där de är förslag av L och de jag är förslag av L. 9 Sedan kräver invariance under alla möjliga synonymkartor är helt enkelt för hög en ordning, eftersom den enda induration relationer som uppfyller att efterfrågan är triviala relationer:
I REF tillhandahåller Williamson ett slutledningssystem baserat på Bayesisk epistemologi.
From Bayesian Epistemology to Inductive Logic
{'venue': 'J. Appl. Log.', 'journal': 'J. Appl. Log.', 'mag_field_of_study': ['Computer Science']}