Ett utmärkande drag för många stora empiriska nätverk är deras inneboende komplexitet. Många nätverk innehåller dock också en hög grad av strukturell upprepning. Då uppstår en omedelbar fråga: kan vi karakterisera grundläggande nätkomplexitet samtidigt som vi utesluter strukturell redundans? I denna artikel använder vi inneboende nätverkssymmetri för att kollapsa all överflödig information från ett nätverk, vilket resulterar i en grovkornig som vi visar att bära den väsentliga strukturella informationen i "moder"-nätverket. I samband med algebraiska kombinatoriska, denna grovkornig är känd som kvoten. Vi undersöker systematiskt de teoretiska egenskaperna hos nätverkskvoter och sammanfattar nyckelstatistik över en mängd "verkliga" kvoter med avseende på deras föräldranätverk. I synnerhet finner vi att kvoter kan vara betydligt mindre än deras modernätverk men vanligtvis bevara olika viktiga funktionella egenskaper såsom komplexitet (heterogenitet och nav hörn) och kommunikation (diameter och medel geodesiska avstånd), vilket tyder på att kvoter utgör det väsentliga strukturella skelettet i deras modernätverk. Vi sammanfattar med en diskussion om potentiella användningsområden för quotients i analys av biologiska regulatoriska nätverk och sätt på vilka användning av quotients kan minska komplexiteten hos nätverksalgoritmer.  Många fysiska system - från det globala nätet till vetenskapliga samarbeten och biokemiska reaktioner inuti celler - kan modelleras som nätverk. De empiriska nätverkens allestädes närvarande har skapat ett ökat intresse för deras studier under det senaste årtiondet, då stora framsteg har gjorts mot att klargöra allmänna principer för nätverkens organisation utöver de specifika detaljerna i enskilda system [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Strukturella egenskaper som ofta finns i många olika nätverk inkluderar: "småvärldens" egenskap [5]; skalfri fördelning av vertexgrader[6]; hierarkisk modularitet [7]; nätverkskonstruktion från motiv[8]; diverse blandning [9]; och självlikhet[10] bland annat. Tillsammans kan man tänka sig att undersöka generiska strukturella egenskaper som dessa som ett försök att förstå nätverkets komplexitet [11]. För att finna enkelhet i denna komplexitet har vissa författare försökt att extrahera nätverk "skaletoner": relaterade nätverk som fångar viktiga strukturella funktioner i det system som de härrör från, men är enklare på något kvantitativt sätt. Befintliga nätverksskelett inkluderar till exempel fraktalskelettet [12], som ansvarar för fraktalskalning; och kommunikationsskelettet [13], som ansvarar för majoriteten av kommunikationsflödet genom nätverket. Sådana skelett bildas i allmänhet med avseende på en given egenskap, till exempel bräcklighet eller kommunikation, och representerar således inte ett strukturellt skelett i den starkaste bemärkelsen. I denna artikel föreslår vi ett alternativt skelett som formellt fångar all väsentlig strukturell information, och som kan vara betydligt mindre än det ursprungliga nätverk som den härrör från. Metoden vi använder är baserad på att använda inneboende nätverkssymmetri. Även om nästan alla stora slumpmässiga nätverk är asymmetrisk [14], många empiriska verkliga nätverk är förvånansvärt rikt symmetriska [15, 16, 17, 18]. Denna symmetri är vanligtvis ett resultat av förekomsten av lokalt trädliknande eller bicliqueliknande strukturer [16, 18] som finns i många empiriska nätverk och som naturligt härrör från elementära tillväxtprocesser såsom tillväxt med företrädesfäste [16] och tillväxt med liknande kopplingsmönster [18]. Men trots en rik abstrakt teori om grafsymmetri [19, 20, 21, 22], symmetristrukturen i komplexa verkliga nätverk har ännu inte utforskats i stor utsträckning. Intuitivt är ett nätverk symmetriskt om två eller flera av dess hörn kan permuteras utan att ändra vertex adjacency. Symmetrisk nätverk innehåller därför nödvändigtvis en viss grad strukturell redundans genom att de har flera hörn som spelar samma strukturella roll. Således är nätverkssymmetri starkt relaterad till nätet redundans.I detta papper använder vi denna relation till 2 visar hur symmetri också ger ett naturligt sätt att formellt utesluta redundans samtidigt bevara viktiga nätverksstruktur, genom att faktorisera ut strukturellt identiska element. Strukturen i resten av detta dokument är följande: först introducerar vi grundläggande bakgrundsmaterial om nätverk automorfism grupper, och visa hur ett nätverk automorfism grupp kan användas för att producera en grovkornig skelett av nätverket som kallas kvoten. Vi introducerar också en variation på den klassiska kvoten som vi kallar s-quotient. Sedan visar vi att kvoter kan vara betydligt mindre än det nätverk från vilket de härrör och utforska sätt på vilket viktiga strukturella egenskaper ärvs av kvoten och s-kvoten från det "föräldra"-nätverket. Vi ska särskilt undersöka hur heterogenitet, gradfördelning och kommunikationsegenskaper överförs från föräldern till dess kvoter. BAKGRUND OCH DEFINITIONER
Om vi kollapsar alla strukturella redundans kännetecknas av nätverkssymmetri, kan vi få ett strukturellt skelett av modernätverket - nätkvot, som bevarar olika viktiga funktionella egenskaper hos modernätverket REF.
Network Quotients: Structural Skeletons of Complex Systems
{'venue': 'Physical Review E, Vol 78,Page: 046102, 2008', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Medicine', 'Mathematics', 'Physics']}