Vi studerar realiserbarheten av skalan fria nätverk med en given examen sekvens, visar att fraktionen av realiserbara sekvenser genomgår två första ordningen övergångar vid värdena 0 och 2 av power-law exponenten. Vi underbygger detta genom ett analytiskt resonemang och med en numerisk metod, som föreslås här, baserad på argument för extremvärde, som kan tillämpas på varje given gradfördelning. Våra resultat avslöjar en grundläggande orsak till att storskaliga nätverk utan begränsningar av minimi- och maximigrad måste vara glesa. Många komplexa system kan modelleras som nätverk, dvs. som en uppsättning anslutningar (kanter) som kopplar samman diskreta element (noder) [1] [2] [3]. En egenskap hos ett nätverk som påverkar många fysiska egenskaper är dess gradfördelning P (k), sannolikheten för att hitta en nod med k kanter. Stor uppmärksamhet har ägnats åt skalfria nät, där gradfördelningen följer en kraftlag [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]. Särskilt skalans frihet har visat sig få viktiga konsekvenser för den termodynamiska gränsen. För att studera egenskaperna hos skalfria nätverk har flera generativa modeller föreslagits [1] [2] [3] [4]. Men inga modeller som skapar nätverk med γ < 2 har hittats [11, 12], och γ < 2 observeras endast i nätverk som är relativt små eller där power-law beteende har någon cutoff [9]. I denna skrivelse förklarar vi frånvaron av stora nätverk som uppvisar en makt-lag med 0 < γ < 2 i slutet av distributionen. I synnerhet visar vi att det finns grundläggande begränsningar som hindrar förverkligandet av ett sådant nätverk. Det är välkänt att den genomsnittliga graden av skalfria distributioner med exponenter γ mindre än 2 avviker i den termodynamiska gränsen, dvs. när antalet noder N → ❌ [2]. Skalafria nät med γ < 2 skulle därför kallas täta nät, medan nät γ > 2 är glesa. Även om sparsamhet är en gemensam egenskap, som regelbundet utnyttjas i datalagring och algoritmer, är också många exempel på täta nätverk kända [13] [14] [15]. Det är därför rimligt att fråga sig varför det inte finns några exempel på täta skalfria nät. Vi besvarar denna fråga genom att visa att täta nät med en powerlaw grad distribution måste ha γ < 0. Att kalla sådana nätverk skalfria är i bästa fall tveksamt eftersom de inte skulle visa de karakteristiska egenskaper som vanligtvis förknippas med skalfrihet för N → ∞. Avsaknaden av täta, skalfria nät förklaras av en icke-kontinuerlig övergång i realiserbarheten av sådana nät. Nedan visar vi numeriskt, analytiskt, och med en hybridmetod som föreslås här, att sannolikheten för att hitta ett skalfritt nätverk med en given γ är 0 för 0 < γ < 2. Vi betonar att dessa resultat inte är beroende av en specifik generativ modell, utan härrör direkt från grundläggande matematiska begränsningar. Skapandet av skalfria nät med en viss gradfördelning kan betraktas som ett tvåstegsförfarande. Först skapar man ett antal noder och tilldelar varje nod ett antal anslutningar "stubs" som dras från examensfördelningen. Förverkligandet av den gradfördelning som sålunda skapas kallas gradsekvens. För det andra förbinder man stubbarna så att varje stubb på en given nod länkar till en stubb på en annan nod, utan att bilda självslingor eller dubbla länkar. Men inte alla examenssekvenser kan realiseras i ett nätverk. Sekvenser som medger insikter som enkla grafer kallas grafisk, och deras realizability egenskap kallas vanligen grafiskhet [18]. Grafikalitet misslyckas trivialt om antalet stubs är udda, eftersom man behöver två stubs för att bilda varje länk, eller om graden av någon nod är lika med eller större än antalet noder, eftersom det skulle vara omöjligt att ansluta alla sina stubs till olika noder. Nedan tar vi inte hänsyn till sekvenser för vilka grafiken är så trivialt kränkt, men observera att ytterligare villkor måste uppfyllas för att en sekvens ska vara grafisk [16, 17]. Det huvudsakliga resultat som används för att testa en gradsekvenss grafiska egenskaper är Erdős-Gallai-teoremet, som här anges som omformulerat i [17] med hjälp av recidivrelationer: där L k och R k ges genom recidivrelationerna och R 0 = N − 1 (4)
I allmänhet är sociala nätverk online glesa REF, vilket innebär att den totala mängden potentiella länkar som ska skapas är mycket större än de länkar som faktiskt skapas.
All scale-free networks are sparse
{'venue': 'Phys. Rev. Lett. 107, 178701 (2011)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Medicine', 'Physics', 'Computer Science']}