Den allmänt kända linjära tid algoritmen för att beräkna den maximala area triangeln i en konvex polygon hittades felaktig av Keikha et. Detta beslut träder i kraft dagen efter det att det har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Vi presenterar en alternativ algoritm i den här tidningen. Jämfört med den enda tidigare kända rätta lösningen är vår mycket enklare och effektivare. Dessutom kan det enkelt utvidgas för att beräkna den minsta area triangeln som omger en konvex polygon. Vår nya strategi verkar också vara kraftfull när det gäller att lösa andra relaterade problem. Dessutom, i den andra delen av detta papper (avsnitt 4), utökar vi vår algoritm för att beräkna alla generellt tre stabila trianglar, dvs.. de trianglar vars hörn ligger i P: s gräns och vars område inte kan förbättras genom att justera ett hörn. Detta leder vidare till en ny linjär tidslösning för beräkning av minsta omslutningstriangeln. Vi presenterar nu kortfattat Chandrans och Mounts metod. De definierar först de P-stabila trianglar (utanför P ). Alla sidor av en P-stabil triangel måste vidröras av P. I synnerhet, två av dem måste ha sina midpoints vidrörda av P ; dessa två kallas benen medan den återstående kallas basen. Dessutom gäller något av följande. (1) Basen är spola med P (nämligen, innehåller det en kant av P ). (2) Ett av benen är spolning med en kant av P och har som mittpunkt en vertex av denna kant. Observera att om (1) håller, det sägs P-anchored. De P-anchored trianglar införs i själva verket i [17], där det bevisas att de innehåller alla lokala minimum av omslutande trianglar av P. Det bevisas sedan i [22] att alla P-anchored trianglar är "intersperding" -om vi flyttar basen till nästa kant, de midpoints av två ben kommer båda flytta i medurs. Genom att använda den roterande caliper tekniken ([26]) tillsammans med några smarta algoritmiska tricks, [22] räknar alla P-anchored trianglar i linjär tid och på så sätt hitta den minsta omslutande trianglar. Algoritmen är något involverad och beskrivning markeras och så detaljer om genomförandet ges i [23]. Senare, genom att använda några "mer involverade" (som sägs i tidningen) observationer och tekniker, [7] lyckades räkna upp alla P-stabila trianglar i linjär tid. Deras algoritm är faktiskt ett fantastiskt exempel på den roterande caliper tekniken. Dessutom har det bevisats att genom att räkna upp alla P-stabila trianglar, kan man enkelt få alla lokala maximum av trianglar inneslutna i P. För att sammanfatta, beräknar den kända algoritmen i [7] faktiskt alla de maximala area trianglar som omges i P och alla minsta area trianglar som omsluter P samtidigt. Som jämförelse, vår algoritm för att beräkna den maximala area trianglar är mer direktit behöver inte överväga alla dessa trianglar som omsluter P alls. En annan stor skillnad är att vi inte tillämpar den roterande caliper-tekniken. I den roterande caliper metoden, brukar vi först bestämma ett objekt (som ett hörn) och sedan upprätthålla de andra objekten på motsvarande sätt. I vår strategi, kort vi först bestämma ett par objekt (som två hörn) och sedan upprätthålla den andra på motsvarande sätt. Svårigheten att utforma algoritmer baserade på roterande kaliper teknik ligger i att upprätthålla motsvarande hörn effektivt, medan vår svårighet ligger i att bestämma det första paret av objekt effektivt. Se mer i underavsnitt 1.3. Problemen med att söka efter extrem figurer med speciella egenskaper inuti eller utanför en polygon initierades i [10, 5, 8], och har sedan dess studerats i stor utsträckning. Den minsta areatriangeln som omger en konvex polygon finns i O(n log 2 n) time [17] eller till och med i O(n) time [22]. Den minsta omkrets triangeln som omsluter en konvex polygon är löst i O(n) tid [4]. Den maximala omkrets triangeln som omges av en konvex polygon kan lösas i O(n log n) tid [5]. Det är intressant att veta om detta kan optimeras till linjär tid. Som utökad forskning av att hitta extrem trianglar, [5, 2, 3, 8, 1, 21] studerade extrem k-gon (när det gäller område eller omkrets) inuti eller utanför en konvex polygon. I synnerhet kan den maximala k- gon beräknas i O (n log n) tid när k är en konstant. Det är intressant att veta om detta kan optimeras till linjär tid (genom vår strategi). En annan riktning är att hitta maximal area trianglar inuti en enkel polygon [19]. Dessutom kan vi fråga denna typ av problem i tredimensionella rymden; pionjärforskning i denna riktning är [28, 27]. Istället för k-gon, människor bryr sig om extrem figurer som medger mer geometriska egenskaper, såsom liksidig triangel och kvadrater, rektanglar och parallellogram, diskar och ellipser.
Senare föreslog Jin Ref en annan linjär tid algoritm för problemet med att hitta den största triangeln inuti en konvex polygon.
Maximal Area Triangles in a Convex Polygon
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}