Den numeriska lösningen av partiella differentialekvationer (PDE) är utmanande på grund av behovet av att lösa spatiotemporala funktioner över breda längd- och tidsskalaer. Ofta är det beräkningsbart intractable att lösa de finaste funktionerna i lösningen. Den enda utvägen är att använda ungefärliga grovkorniga representationer, som syftar till att korrekt representera långvågig dynamik samtidigt som korrekt redovisning för olösta småskalig fysik. Att härleda sådana grovkorniga ekvationer är notoriskt svårt och ofta ad hoc. Här introducerar vi datadriven diskretisering, en metod för att lära sig optimerade approximationer till PDEs baserat på faktiska lösningar till de kända underliggande ekvationerna. Vårt tillvägagångssätt använder neurala nätverk för att uppskatta rumsliga derivat, som är optimerade ända till slut för att bäst uppfylla ekvationerna på en låg-upplösnings rutnät. De resulterande numeriska metoder är anmärkningsvärt exakt, så att vi kan integrera i tid en samling av icke-linjära ekvationer i 1 rumslig dimension vid upplösning 4× till 8× grövre än är möjligt med standard finita-skillnad metoder. grov kornning  på maskininlärning  på beräkningsfysik S olutioner av ickelinjära partiella differentialekvationer kan ha enorm komplexitet, med icke-trivial struktur över ett stort utbud av längd-och tidsskala. Att utveckla effektiva teorier som integrerar korta längder och snabba tidsramar är ett långvarigt mål. Som exempel, geometrisk optik är en effektiv teori av Maxwell ekvationer på skalor mycket längre än våglängden av ljus (1); densitet funktionell teori modellerar den fulla många-kropps kvantvågfunktion med en lägre-dimensionell objekt-elektrondensitet fält (2); och den effektiva viskositeten av en turbulent vätska parameteriserar hur småskaliga funktioner påverkar storskaligt beteende (3). Dessa modeller härleder sin grovkorniga dynamik genom mer eller mindre systematisk integration av de underliggande styrande ekvationerna (genom att använda, respektive, WKB teori, lokal densitet approximation, och en stängningsrelation för Reynolds stress). Vinsterna av grov kornning är naturligtvis enorma. Konceptuellt möjliggör det en djup förståelse av framväxande fenomen som annars skulle döljas av irrelevanta detaljer. Praktiskt taget möjliggör det beräkning av mycket större system. Genom att räkna ut olösta grader av frihet ersätts de alltid av effektiva parametrar som efterliknar typiskt beteende. Med andra ord identifierar vi de framträdande dragen i dynamiken på korta och snabba skalor och ersätter dem med termer som har en liknande genomsnittlig effekt på de långa och långsamma skalorna. Att härleda tillförlitliga, effektiva ekvationer är ofta en utmaning (4). Här tar vi oss an denna utmaning ur ett statistiskt perspektiv. Den grovkorniga representationen av funktionen innehåller endast partiell information om den, eftersom korta skalor inte är modellerade. För att härleda grovkornig dynamik krävs att man först härleder den småskaliga strukturen med hjälp av partiell information (rekonstruktion) och sedan införlivar dess effekt på grovkornigt fält. Vi föreslår att utföra rekonstruktion med hjälp av maskininlärningsalgoritmer, som har blivit utomordentligt effektiva för att identifiera och rekonstruera återkommande mönster i data. Efter att ha rekonstruerat de fina egenskaperna, kan modellera deras effekt med hjälp av vår fysiska kunskap om systemet. Vi kallar vår metod för datadriven diskretisering. Det skiljer sig kvalitativt från grovkorniga tekniker som för närvarande används: Istället för att analysera ekvationer i rörelse för att härleda ett effektivt beteende, lär vi oss direkt från lösningar med hög upplösning till dessa ekvationer. Flera relaterade metoder för beräkningsextraktion av effektiv dynamik har tidigare införts. Klassiska verk används neurala nätverk för diskretizing dynamiska system (5, 6). På samma sätt, ekvationsfri modellering approximerar grovskaliga derivat genom att omforma grova ursprungliga förhållanden till finskalor som är integrerade exakt (7). Metoden har en liknande anda som vårt tillvägagångssätt, men den lär sig inte av finskalig dynamik och använder den memorerade statistiken i efterföljande tider för att minska beräkningsbelastningen. Nya arbeten har tillämpat maskininlärning till partiella differentialekvationer (PDE), antingen fokusera på hastighet (8-10) eller återhämta okända dynamik (11, 12). Modeller som fokuserar på hastighet ersätter ofta den långsammaste komponenten i en fysisk modell med maskininlärning, t.ex. lösningen på Poissons ekvation i okomprimerbara vätskesimuleringar (9), subgridmolnsmodeller i klimatsimuleringar (10), eller att bygga reducerade ordningsmodeller som ungefärlig dynamik i ett lägre dimensionerat utrymme (8, 13, 14). Dessa tillvägagångssätt är lovande, men lär dig komponenter på högre nivå än vår föreslagna metod. En viktig utveckling är förmågan att tillfredsställa vissa fysiska begränsningar exakt genom att koppla in lärda modeller i en fast ekvation av rörelse. Till exempel kan giltig vätskedynamik vara signifikans I många fysiska system är de styrande ekvationerna kända med stort förtroende, men direkt numerisk lösning är oöverkomligt dyr. Ofta lindras denna situation genom att skriva effektiva ekvationer till ungefärlig dynamik under rutnätsskalan. Denna process är ofta omöjlig att utföra analytiskt och är ofta ad hoc. Här föreslår vi datadriven diskretisering, en metod som använder maskininlärning för att systematiskt härleda diskretiseringar för kontinuerliga fysiska system. På en serie modellproblem ger datadriven diskretisering korrekta lösningar med en dramatisk nedgång i önskad upplösning.
Idén om att inbädda maskininlärning modeller i rumsliga diskretiseringsmetoder i syfte att grov-graining infördes genom REF.
Learning data-driven discretizations for partial differential equations
{'venue': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'journal': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'mag_field_of_study': ['Physics', 'Mathematics', 'Medicine']}