Vi introducerar ett nytt begrepp av graf sparsification baserat på spektral likhet av graf Laplacians: spektral sparification kräver att Laplacian quadratic form av sparfier ungefär det av originalet. Detta är detsamma som att säga att den Laplacian av sparfirare är en bra förkonditionerare för Laplacian av originalet. Vi bevisar att varje graf har en spektral sparifierare av nästan linjär storlek. Dessutom presenterar vi en algoritm som producerar spektral sparifierare i tid O (m log c m), där m är antalet kanter i den ursprungliga grafen och c är någon absolut konstant. Denna konstruktion är en nyckelkomponent i en nästan linjär tidsalgoritm för att lösa linjära ekvationer i diagonalt dominerande matriser. Vår sparifieringsalgoritm använder sig av en nästan linjär tidsalgoritm för grafpartitionering som uppfyller en stark garanti: om partitionen den ger ut är mycket obalanserad, då ingår den större delen i en subgraf av hög ledningsförmåga. * Detta papper är det andra i en sekvens av tre papper expanderar på material som dök först under titeln "Nära-linjära tid algoritmer för graf partitionering, graf sparifiering, och lösa linjära system" [ST04]. Den första tidningen, "A local Clustering Algorithm for Massive Graphs and its Application to Nearly-Linear Time Graph Partitioning" [ST08a] innehåller grafpartitionerande algoritmer som används för att konstruera sparifierarna i detta papper. Den tredje tidningen, "Nearly-Linear Time Algorithms for Preconditioning and Solving Symmetric, Diagonally Dominant Linear Systems" [ST08b] innehåller resultaten på att lösa linjära ekvationer och att approximera eigen values och eigenvectors.
Spielman och Teng introducerade graf sparsifiering med hjälp av spektral likhet av graf Laplacians REF.
Spectral Sparsification of Graphs
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}