Lokala gräns teorem härleds för antalet ockuperade urnor i allmänhet ändliga och oändliga urn modeller under det minsta villkoret att variansen tenderar till oändlighet. Våra resultat är en optimal förbättring jämfört med tidigare för normal approximering. Ett klassiskt teorem av Rényi [29] för antalet tomma lådor, betecknat med μ 0 (n, M), i en sekvens av n slumpmässiga tilldelningar av oskiljbara bollar till M-boxar med samma sannolikhet 1/M, kan anges enligt följande: Om variansen μ 0 (n, M) tenderar att oändlighet med n, då μ 0 (n, M) är asymptotiskt normalt distribueras. Detta resultat, som sällan anges i denna form i litteraturen, bevisades av Rényi [29] genom att man dissekerade intervallet n och M i tre olika intervall, i vilka en annan bevismetod användes. Lokala gränsteoretiker studerades senare av Sevast'yanov och Chistyakov [30] i ett ganska begränsat intervall när båda proportionerna n/M och M/n förblir begränsade. Kolchin [22] gav en mycket detaljerad studie av olika approximativa teorem. För en ganska fullständig redogörelse för denna teori, se Kolchin, Sevast'yanov och Chistyakov [23]. Englund [9] härledde senare en explicit Berry-Esseen bunden. Många författare har studerat problemets multinomiska utbredning. I detta schema kastas bollar successivt i M lådor, sannolikheten för att varje boll faller i j th boxen är p j = p j (M), 0≤j < M p j = 1. Quine och Robinson [27] visade att om p j M begränsas till j = 0, 1,.., M − 1 och om variansen μ 0 (n, M) tenderar till oändlighet med n (n är antalet tilldelningar), då fördelningen av μ 0 (n, M) är asymptotiskt normal. De härledde verkligen en Berry-Esseen bunden för normal approximation av distributionen. Deras resultat är fortfarande det starkaste i sitt slag i litteraturen. Observera att villkoret p j M = O(1) för alla j är ett av de grundläggande villkor som krävs för att bevisa den asymmetriska normaliteten av μ 0 (n, M) i många tidigare uppsatser om multinomiska scheman (se Holst [15], Kolchin, Sevast'yanov och Chistyakov [23]); det innebär att det allmänna multinomiska schemat som studeras i litteraturen verkligen inte är särskilt långt från det equiprobable. Vårt viktigaste bidrag i detta dokument är att visa att detta villkor kan tas bort helt och hållet. Dessutom, under förutsättning att
Till exempel ger arbetet med REF (effektivt) en lokal gränssats för K n under förutsättning att variansen tenderar till oändlighet.
Local limit theorems for finite and infinite urn models
{'venue': 'Ann. Probab', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}