Vi undersöker egenskaper hos permutationstest i samband med syntetisk kontroll. Permutationstester används ofta inferensmetoder för syntetisk kontroll när antalet potentiella kontrollenheter är litet. Vi analyserar permutationstesterna ur ett upprepat provtagningsperspektiv och visar att permutationstestens storlek kan förvrängas. Flera alternativa metoder diskuteras. Econometrics 2017, 4, 52 2 av 12 vi dokumenterar storleken förvrängning av permutation tester. Vi diskuterar också några alternativa metoder för slutledning. Alberto Abadie påpekade vänligt att placebotestet i syntetisk kontroll ofta baseras på randomiseringsinferensidé, enligt vilken symmetrirestriktionen är inbyggd, medan vår analys bygger på det vanliga slumpmässiga urvalsperspektivet, vilket leder till brott mot symmetri. Detta perspektiv delas med en anonym domare, som konstaterar att i) den syntetiska kontrolllitteraturen använder permutationstester i samband med konstruktionsbaserade slutsatser, och som sådan, permutationstester har exakt storlek, ii) den här artikeln visar att permutationstester inte kan ha rätt storlek under ett annat inferenssätt baserat på upprepad provtagning, även om tolkning av permutationsproven i den tidigare litteraturen som tester baserade på upprepad provtagning skulle vara felaktig, och iii) den här artikeln föreslår också några alternativ som är giltiga i en upprepad provtagningsinställning. Det skulle vara lämpligt att förstå den exakta mekanism genom vilken skillnaden mellan de två perspektiven manifesterar sig. Samma domare påpekar att detta dokument antar en inställning där T 0 → ∞, medan den ursprungliga litteraturen antar fast T 0. I detta avsnitt ger vi en kort diskussion om placebotestet inom ramen för den syntetiska kontrollmetoden. Vi börjar med en översikt av den syntetiska kontrollen, lånar tungt från diskussioner i Abadie et al. (2010) och Doudchenko och Imbens (2016). Vi går sedan vidare för att beskriva placebotestet, och påpekar vikten av symmetri antagandet. Vi hävdar att symmetri antagandet överträds i allmänhet för placebo tester med linjära kombinationer av utfall, såsom syntetisk kontroll. Vi drar slutsatsen att en sådan överträdelse bör förväntas i allmänhet även när en normaliserad version av teststatistiken antas. Vi börjar med översikten över den syntetiska kontrollmetoden. Överväga en panel data med J + 1 tvärsnitt enheter observeras under tidsperioderna t = 1,..., T. Enheter j = 1,...., J är de kontrollenheter som får behandlingen i ingen av tidsperioderna. Enheten j = 0 får ingen behandling i perioder 1,..., T 0, och får aktiv behandling i tidsperioder t = T 0 + 1,....., T. För enkelhetens skull kommer vi ofta att anta att T = T 0 + 1. Resultatet variabeln Y j,t är sådan att Y j,t = Y j,t (1) om den jth enheten får behandling i tid t, och Y j,t = Y j,t (0) annars. Självklart, Y j,t = Y j,t (0), j = 1,.., J; t = 1,..., T, Tanken bakom den syntetiska kontrollen är att om det fanns några vikter 1 till 1,. .,  och J sådan att under pre-interventions perioderna (t = 1,..., T 0 ). Därefter kan J j=11 j Y j,t användas som en (syntetisk) kontroll för Y 0,t under perioden efter ingripandet (t = T 0 + 1,.., T). Abadie m.fl. (2010) och Doudchenko och Imbens (2016) diskuterar olika metoder för att hitta de så att kravet i ekvation (1) är uppfyllt. Vi analyserar vikterna och typen av approximation från den asymptotiska 1 Doudchenko och Imbens (2016) också överväga en något mer allmänt krav Y 0,t. Detta är ett förnuftigt sätt att öka noggrannheten hos syntetisk kontroll som betraktas som en punktuppskattning. Det ger också en koppling till kalkylatorn för skillnader i skillnader. Eftersom vårt fokus ligger på inferentiella aspekter av problemet, förenklar vi notation och analys genom att abstrahera bort från avlyssnartermen. 7 Abadie m.fl. (2010) införa även positivitetsbegränsningen, dvs. j ≥ 0 för alla J. 8 Det är enkelt att bevisa att under stationaritet antagande, den enda modell som gör det möjligt för de syntetiska kontrollerna att spåra banan för resultatet för den behandlade (dvs., Y 0,t =  till J j=1  och j Y j,t för vissa) är en linjär faktor modell med Var( j,t ) = 0. 9 Se Ferman och Pinto (2017) för relaterade diskussioner om fördomarna hos den syntetiske kontrollskattaren. J j=1  på * j Y j,T 0 +1 (0), förutsatt att de första och andra termerna i faktormodellen i ekvation (3) inte är närvarande: 11 11 Detta kan göras genom att anta att α 0 =  på j=1 j α j och  på t = 0. Econometrics 2017, 4, 52 9 av 12 Y 0,T 0 +1 (0) − J  på j=1. * j Y j,T 0 +1 (0) = γ 0 − J  på j=1. * j γ j δ T 0 +1 + 0,T 0 +1 − J  till j=1. * j j,T 0 +1. Detta innebär att variansen av Y 0,T 0 +1 (0) − J j=1  på * j Y j,T 0 +1 (0) kan skrivas som
Alternativt bedömer REF samma förfarande utifrån ett placebotest och hävdar att metoden inte klarar av att kontrollera fel av typ I.
Synthetic Control and Inference
{'venue': None, 'journal': 'Econometrics', 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}