Oförutsägbarhet, eller slumpmässighet, av resultaten av mätningar gjorda på en insnärjd stat kan certifieras under förutsättning att statistiken bryter en Bell ojämlikhet. I standardscenariot där varje part utför en enda mätning på sin del av systemet, kan endast en ändlig mängd slumpmässighet, av högst 4 log 2 d bitar, certifieras från ett par insnärjda partiklar av dimension d. Vårt arbete visar att denna grundläggande begränsning kan övervinnas med hjälp av sekvenser av (icke-projektiva) mätningar på samma system. Mer exakt, vi bevisar att man kan intyga någon mängd slumpmässiga bitar från ett par qubits i ett rent tillstånd som resursen, även om det godtyckligt svagt insnärjd. Dessutom uppnås denna certifiering genom nära-maximal överträdelse av en viss Bell ojämlikhet för varje mätning i sekvensen. Inledning.-Bell's teorem [1] har visat att förutsägelserna av kvantmekanik visar icke-lokalitet. Det vill säga, de kan inte beskrivas med en teori där det finns objektiva egenskaper hos ett system före mätning som uppfyller nollsignalprincipen (som ibland kallas "lokal realism"). Om man därför kräver att principen om att inga tecken ska anges ska uppfyllas på operativ nivå måste resultaten av mätningar som visar att det inte finns någon lokalisering vara oförutsägbara [1] [2] [3]. Denna oförutsägbarhet, eller slumpmässighet, är inte resultatet av okunnighet om systemberedningen utan är inneboende i teorin. Även om sambandet mellan kvant icke-lokalitet (via Bells sats) och förekomsten av inneboende slumpmässighet är välkänt [1] [2] [3] [4] analyserades det på ett kvantitativt sätt först nyligen [5, 6]. Det visades hur man använder nonlocality (sannolikhet fördelningar som kränker en Bell ojämlikhet) för att intyga oförutsägbarheten av resultaten av vissa fysiska processer. Detta benämndes enhet-oberoende slumpmässighet certifiering, eftersom certifieringen endast bygger på de statistiska egenskaperna hos resultaten och inte på hur de producerades. Utvecklingen av information protokoll som utnyttjar denna certifierade form av slumpmässighet, såsom enhetoberoende slumpmässighet expansion [5] [6] [7] och förstärkning protokoll [8, 9], följt. Intrång är en nödvändig resurs för kvant icke-lokalitet, som i sin tur krävs för slumpmässig certifiering. Det är därför mycket viktigt att kvalitativt och kvantitativt förstå hur dessa tre grundläggande kvantiteter förhåller sig till varandra. I vårt arbete fokuserar vi på att fråga hur mycket certifierbar slumpmässighet som kan erhållas från en enda insnärjd stat som resurs. Framsteg har gjorts i denna riktning för insnärjda stater som delas mellan två parter, Alice (A) och Bob (B), i standardscenariot där varje part gör en enda mätning på sin del av systemet och sedan kastar den. Ett argument anpassat från Ref. [10] visar att någon av de två parterna, A eller B kan certifiera högst 2log 2 d bitar av slumpmässighet [11], där d är dimensionen av den lokala Hilbert utrymme staten lever i, vilket i sin tur innebär en gräns på 4log 2 d bitar * Florian.Curchod@icfo.es † Markus.Johansson@icfo.es när de två utgångarna kombineras. Detta visar på en grundläggande begränsning för produktoberoende slumpmässighetscertifiering i standardscenariot. Huvudsyftet med vårt arbete är att visa att denna begränsning av mängden certifierbara slumpmässiga bitar från ett kvanttillstånd kan hävas. För att göra detta kommer vi att överväga det sekventiella scenariot, där sekvenser av mätningar kan tillämpas på varje lokalt system. Vårt huvudsakliga resultat är att bevisa att en obegränsad mängd slumpmässiga bitar kan certifieras i detta scenario. För att få intuition, överväga följande uppsättning där, i motsats till den enhet-oberoende strategi som följs här, funktionen av en enhet kan helt lita på. Anordningen består av ett kvanttillstånd som beretts i Pauli-Z, eller σ z eigenstate.0 följt av en mätning i Pauli-X, eller σ x-bas { och ± = ( ska0 ±  på 1 )/ ε 2}. Resultatet av denna mätning är slumpmässigt och om apparaten sedan gör en annan mätning på utgångstillståndet, denna gång i Pauli-Z-basen, ger det ytterligare ett slumpmässigt utfall. På detta sätt att växla mellan de två ortogonala baserna, kan man potentiellt få ett obegränsat antal slumpmässiga bitar från en qubit. Begränsningen av detta förfarande för att producera slumpmässiga tal är att man inte kan skilja denna anordning från en klassisk enhet med förprogrammerade utfall – en lokal modell för resultaten – om man inte helt litar på apparatens funktion. Det är uppenbart att vi inte kan intyga någon slumpmässighet från ett enda system (på ett enhetsoberoende sätt) som i exemplet ovan, eftersom man behöver icke-lokalitet för detta ändamål. Men är det möjligt att bygga upp ett system, som utnyttjar icke-lokalitet och använder sig av denna idé om att mäta staten upprepade gånger, för att övervinna den gräns som finns på den mängd av certifierbar slumpmässighet som man kan få från ett enda invecklat kvantsystem? För att göra det kommer det största hindret från det faktum att de lokala mätningar som krävs för att generera slumpmässiga utfall förstör snärjningen närvarande i staten (och icke-lokalitet i korrelationerna). Därför är en av utmaningarna att komma med icke-förstörande mätningar som fortfarande producerar icke-lokalitet men behåller en viss insnärjning i eftermätningstillståndet. På så sätt kan tillståndet fortfarande användas som resurs för efterföljande mätningar. Bell tester med sekvenser av mätningar har fått mindre uppmärksamhet än standard de med en enda mått Xiv:1510.03394v2 [kvant-f] 23 Feb 2017 2 ment runt i litteraturen trots de nya inslagen i detta scenario [12], som till exempel fenomenet känd som dold icke-lokalitet [13]. I vårt arbete visar vi att de visar sig användbara i uppgiften med slumpmässig certifiering, vilket också ger ett annat exempel [11] där allmänna mätningar kan övervinna begränsningar av projektiva. Mer exakt beskriver vi ett schema där ett antal m slumpmässiga bitar certifieras med en sekvens av n > m på varandra följande mätningar på samma system. Detta arbete visar alltså att gränsen för 4log 2 d slumpmässiga bitar i standardscenariot kan övervinnas i det sekventiella scenariot, där det är omöjligt att fastställa någon gräns. Den obundna slumpmässighet är certifierad av en nära-maximal överträdelse av en viss Bell ojämlikhet för varje mätning i sekvensen. Dessutom, för varje ändlig mängd certifierad slumpmässighet, vårt protokoll har en ändlig (ännu mycket liten) buller robusthet. Sekventiella mätningar scenariot.-Innan vi presenterar våra resultat, låt oss presentera scenariot vi arbetar i. Vi för över många av funktionerna från standardscenariot utom nu tillåter vi parti B att göra flera mätningar i en sekvens på hans del av staten. Man kan visualisera detta som i Bild. 1 där B delas upp i flera Bs, var och en motsvarar en mätning som gjorts på tillståndet och märkts av B i, i  till {1, 2,.., n}, där n är det totala antalet mätningar som gjorts i sekvensen. Varje B i gör en mätning och eftermätningstillståndet skickas till B i+1. Vi organiserar Bobs så att B i gör sin mätning innan B j för i < j. Således kan i princip B j få information om in- och utgångar från tidigare mätningar B i för alla i < j. För att kvantifiera slumpmässigheten som produceras i installationen, sätter vi ovanstående scenario i inställningen av icke-lokala gissningsspel (t.ex. Ref. [11, [14] [15] [16].......................................................................................................... Låt oss begrunda en ytterligare motståndare Eva (E) som är i besittning av ett kvantsystem som potentiellt korreleras till A och B. Den globala staten betecknas ρ ABE. Vi antar att vid varje omgång av försöket, E är den som förbereder staten ρ ABE och distribuerar ρ AB = Tr E ρ ABE till A och B. Detta tillstånd kommer att användas för att göra mätningar i sekvensen och syftet med E är att försöka gissa B resultat genom att använda mätningar på hennes andel av staten ρ ABE. Partierna A och B i s, som inte har någon kunskap om tillståndet eller de verkliga mätningar som gjorts på det, ser sina respektive enheter som svarta lådor som får några klassiska indata x  till {0, 1} och y i  till {0, 1}, y 1, y 2,.., y n y, respektive, och som genererar en klassisk utdata a  till {±1} och b i  till {±1}, (b 1, b 2,.., b n ) b, respektive (se bild. 1 )............................................................................................................... De genererar statistik från flera körningar av experimentet för att få den observerade sannolikhetsfördelningen P obs med element p obs (a, b-x, y). Denna fördelning P obs lever inne i uppsättningen av kvant korrelationer Q som erhålls från mätningar på kvanttillstånd i en sekvens som vi beskrev. Denna uppsättning är konvex och kan därför beskrivas i termer av dess extrema punkter, betecknade P ext, och alla P obs kan skrivas som P obs = Från att studera slutstatistiken bara vi kan binda E: s prediktiva kraft genom att låta henne ha fullständig kunskap om hur P obs bryts ned i extrema punkter, dvs, hon vet sannolikhetsfördelningen q ext över extrema punkter P ext. Denna prediktiva effekt kvantifieras via den enhetsoberoende gissningsannolikheten (DIGP) [14] där vi fixerar den specifika inmatningssträngen y för att gissa utgångarna b. DIGP, betecknad som G( y 0, P obs ), beräknas sedan som den optimala lösningen på följande optimeringsproblem [15, 16] : under förutsättning att: Den operativa innebörden av denna kvantitet är tydlig: Eve har en fullständig beskrivning av observerade korrelationer i termer av extrema punkter. Hon gissar sedan det mest sannolika resultatet för varje extrem punkt. Standardscenariot med en enda mätrunda kan också representeras i denna formalism genom att helt enkelt överväga att b = b och y (0) = y (0). För att kvantifiera mängden bitar av slumpmässighet som är certifierad, använder vi min entropy H( y 0, P obs ) = − log 2 G( y 0, P obs ) som returnerar m bitar av slumpmässighet om G( y 0, P obs ) = 2 −m. Mängden bitar av slumpmässighet som kvantifieras på detta sätt är värdet av meriter i detta arbete och vårt mål är att få så många bitar som möjligt från ett enda system. I vad som följer, problem (2) är avslappnad till en optimering där istället för att insistera på P obs = ext q ext P ext (2), vi endast kräver att den observerade statistiken P obs ger en särskild Bell ojämlikhet överträdelse [5]. Den optimala lösningen på detta nya problem är en övre gräns för den optimala lösningen på (2). Avgörande är att denna avkoppling fortfarande ger goda gränser som visas nedan. Innan vi presenterar våra resultat, är det värt att förklara varför de kausala begränsningar som införs av det sekventiella scenariot gör det starkare än standard Bell tester. Vid första anblicken, kunde man frestas att gruppera alla mätningar i sekvensen i en enda låda som tar emot en ingång sträng y n för att mata ut en annan sträng 3 b n, som i en standard Bell test. I allmänhet kan dock en sekvens av mätningar inte representeras som en enda mätning. För att förstå detta, notera att i det sekventiella scenariot resultatet b i kan endast bero på variabler som producerats i sitt förflutna, nämligen input val y 1, y 2,..., y i och resultaten b 1, b 2,..., b i1 som tidigare erhållits. I det enskilda mätscenariot får dock mätboxen alla ingångar och producerar alla utgångar samtidigt. I synnerhet kan resultat b i nu vara en funktion av input val y j>i och utfall b j>i som produceras i framtiden. Det vill säga, en sådan stor låda kan bryta de fysiska begränsningar som kommer från den sekventiella arrangemanget och antagandet att signalering från framtiden till det förflutna är omöjligt. Dessa ytterligare begränsningar av orsakssambandet begränsar ytterligare Evas förutsägbarhet med avseende på ett standardtest av bjällror och ansvarar för den obundna mängden certifierad slumpmässighet. Ingredienserna.-Alice och Bob delar den rena två-kvadraten tillstånd att för alla...0, π/2[ är insnärjd. I Ref. [14], en familj av Bell ojämlikhet infördes:. Denna familj av ojämlikheter har följande två användbara egenskaper: för det första, dess maximala kvantkvantöverträdelse, I max 2 1 + β 2 /4, erhålls genom att mäta tillståndet (3) med mätningar: där tan μ = sin(2 )). För det andra, när maximalt kränkt, den ojämlikhet certifierar en bit av lokal slumpmässighet på Bobs sida för hans andra mätning val y 0 = 1: G(y 0 = 1, P max obs ) = 1/2 [14]. Dessa observationer är möjliga eftersom den maximala överträdelsen är unikt uppnås genom sannolikhetsfördelningen P max obs som uppstår från den tidigare beskrivna tillstånd och mätningar (3) och (5). Därför, för maximal överträdelse, P max obs = P ext in (2) och gissningsannolikheten för inmatning val y 0 = 1 är lika med 1/2. Men i allmänhet kanske vi inte får korrelationer som maximalt kränker vår Bell ojämlikhet men ge en överträdelse som bara är nära maximal. I bilaga A, B och C visar vi hur man kan dra slutsatser om sannolikheten för gissningar för icke-maximala överträdelser. I synnerhet visar vi att för varje Bell ojämlikhet med en unik punkt av maximal överträdelse, gissningsannolikheten är en kontinuerlig funktion av värdet av ojämlikhet nära maximal överträdelse. Detta innebär i det särskilda fallet vi studerar att: I bilaga F, vi ger också en numerisk övre gräns på gissningsannolikheten G(y 0 = 1, P obs ) av en konkava funktion av värdet av I. Bell ojämlikhet (4) är den första huvudingrediensen i vår sekventiella konstruktion nedan. Den andra är användningen av allmänna, icke-projektiva mätningar. I själva verket, om B 1 utför en projektiv mätning på den delade insnärjda tillstånd, den resulterande post-mätning staten, som nu delas mellan Alice och B 2, är separat och därmed värdelös för slumpmässig produktion. Följaktligen måste man överväga icke-projektiva mätningar för att behålla en viss insnärjning i systemet för de efterföljande mätningarna. För detta ändamål, låt oss införa följande två-outcome kvantmätning (skriven i formalism Kraus operatörer): motsvarande de två resultaten {±1}. Denna mätning } kan förstås som en generalisering av den projektiva mätningen σ x. Det varierar från att vara projektiv (för  på = 0) till att vara icke-interaktion (för  till = π/4). Man kan kontrollera att mätningen av ett insnärjat tillstånd (3) för  på-]0, π/4] (icke-projektiv mätning) att eftermätningstillståndet fortfarande håller kvar en viss insnärjning, oberoende av resultatet. Genom att justera parametern kan vi därför variera förstörelsen av insnärjningen av staten på vinning av att extrahera information från den (jfr. Ref. [17]: ju närmare en projektiv mätning, desto lägre insnärjning i eftermätningstillståndet, men desto större överträdelse av den ursprungliga Bell ojämlikhet. Scheme for unbounded randomness certification.-Vi kombinerar nu tidigare observationer för att visa vårt huvudsakliga resultat. För det första, låt oss komma ihåg att, som visas i [14], kan man få en bit av slumpmässighet från någon ren insnärjd två qubit tillstånd, oavsett mängden insnärjning i det. Dessutom kan man kontrollera att ungefär en slumpmässig bit kan certifieras om mätningarna är nära de i Eq. (5) [i den meningen att σ x ( ska) är nära ett mått på σ x för B 1 i ekv. (5)] eftersom jag är sedan nära I max  på Eq. 6 )................................................................................................................ För det andra, mätningen i Eq. (7) är endast nära projektiv för  på nära noll och lämnar insnärjning i postmätningstillståndet mellan Alice och Bob som därför fortfarande är användbart för slumpmässig certifiering. Genom upprepad användning av dessa två egenskaper kan vi certifiera produktionen av en obegränsad mängd slumpmässiga bitar från ett enda par insnärjda qubits. Vi beskriver nu formellt denna process där Alice gör en enda mätning på hennes del av staten, medan Bob gör en sekvens av n mätningar på hans. Varje B i väljer mellan mätningar av σ z ochσ x ( ska i ) för ingångar y i = 0 och y i = 1, respektive, med utfall b i  på {±1}. Parametern i är fast före försökets början. Det ursprungliga insnärjda tillstånd som delas mellan Alice och Bob, före B 1s mätning, är där c = cos( ska b1 ( ska 1, ska 1 )) och s = sin( ska b1 ( ska 1, ska 1 )) och de två enhetsmedlemmarna, U
I tabell 1 jämför vi vårt arbete med det av REF, visar hur, genom att lita på en parts mätningar, vi exponentiellt minska antalet mätningar som krävs.
Unbounded randomness certification using sequences of measurements
{'venue': 'Phys. Rev. A 95, 020102 (2017)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Physics']}