Det senaste arbetet med högre-dimensionell typteori har utforskat kopplingar mellan Martin-Löf typteori, högre-dimensionell kategoriteori och homotopyteori. Dessa kopplingar tyder på en generalisering av beroende typteori för att ta hänsyn till beräkningsrelevanta bevis på propositionell jämlikhet-till exempel, med Id Set A B som isomorfism mellan A och B. Den avgörande iakttagelsen är att alla välbekanta typ och term konstruktörer kan utrustas med en funktoriell åtgärd som beskriver hur de bevarar sådana bevis. Den viktigaste fördelen med högre-dimensionell typteori är att programmerare och matematiker kan arbeta upp till isomorfism och högre likvärdighet, såsom likvärdighet av kategorier. I denna uppsats överväger vi ytterligare en generalisering av högre-dimensionell typteori, som associerar varje typ med en riktad uppfattning om omvandling mellan dess element. Riktad typteori står för fenomen som inte kan uttryckas i symmetrisk högre-dimensionell typteori, såsom en universumuppsättning av uppsättningar av uppsättningar och funktioner, och en typ Ctx som används i funktoriell abstrakt syntax. Vår formulering kräver två huvudingredienser: För det första måste själva typerna omtolkas för att ta hänsyn till varians; till exempel, en Π typ är contravariant i sitt område, men covariant i sitt sortiment. För det andra, medan i symmetriska typteorier bevis på likvärdighet kan internaliseras med Martin-Löf identitetstyp, i riktad typteori den tvådimensionella strukturen måste göras explicit på dömande nivå. Vi beskriver en 2-dimensionell riktad typteori, eller 2DTT, som valideras genom en tolkning i strikt 2-kategori Katt av kategorier, functors, och naturliga omvandlingar. Vi diskuterar också tillämpningar av 2DTT för programmering med abstrakt syntax, generalisera functorial förhållningssätt till syntax till beroendet typed och mix-variance fall.
Vår presentation här bygger på vårt tidigare arbete med 2DTT REF, en 2-dimensionell riktad typteori, som generaliserar likvärdighet till en asymmetrisk uppfattning om transformation.
2-Dimensional Directed Type Theory
{'venue': 'MFPS', 'journal': 'Electr. Notes Theor. Comput. Sci.', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}