Vi presenterar ett bibliotek för grafteori i Coq/Ssreflect. Detta bibliotek täcker olika föreställningar om enkla grafer, riktade grafer och multigrafer. Vi använder den för att formalisera flera resultat från litteraturen: Mengers teorem, den utestängda-mindre karakteriseringen av trädbredd-två grafer, och en korrespondens mellan multigrafer av trädbredd högst två och termer av vissa algebras. Graph Theory in Coq: Minors, Treewidth, and Isomorphisms Ytterligare, ogiltiga bevis för relaterade påståenden har redan publicerats i litteraturen (se [23] ). Vår ursprungliga motivering till detta arbete [10] var att formalisera †: inte bara kommer detta att ge oss en försäkran om bevisets giltighet i [23], det kommer också att möjliggöra utvecklingen av automationstaktik för vissa algebraiska teorier (t.ex., 2p-algebra, allegorier [16, 29] ). Vi presenterar tre viktiga steg mot formalisering av detta resultat: 1. grafer bildar en 2p-algebra; 2. grafer av trädbredd som mest två bildar en subalgebra; 3. varje graf exklusive K 4 som en minderårig kan representeras av en term. Dessa tre steg täcker olika situationer som ofta uppstår när man resonerar om grafer. Den första punkten kräver att vi definierar flera konstruktioner på grafer (t.ex. osammanhängande föreningar och kvoter), och att vi fastställer ett antal isomorfismer. Den andra punkten kräver att vi visar att dessa konstruktioner bevarar trädbredden. Den tredje punkten kräver att vi analyserar strukturen av K 4-fria grafer för att bryta sönder dem rekursivt; för detta använder vi återigen Mengers teorem. Det sista steget för † består i att bevisa att termer som betecknar isomorfa grafer är ekvivalenta modulo axiomen av 2p-algebras. Vi formaliserade detta steg under granskningsprocessen av denna artikel; formaliseringen är baserad på beviset i [11] snarare än den i [23] som vi hade föresatt oss att formalisera i [10]. Proving † krävde att vi skulle införa nya tekniker som vi beskriver i [12]. Vi beskriver inte detta arbete i den här artikeln. Outline Vi diskuterar våra representationsval för riktade grafer, enkla grafer och sökvägar i Sect. 3. Vad är det som händer? Sedan fortsätter vi att bevisa Mengers teorem (Sekt. 4) och av följande skäl: Vi definierar trädförruttnelser och minderåriga i Sects. 5 och 6, så att vi kan bevisa mindre-exklusions sats för trädbredd två i Sect. 7. Vad är det som händer? Vi avslutar presentationen av den allmänna syftet delen av biblioteket genom att definiera märkta multigrafer i Sect. 8, tillsammans med den associerade uppfattningen om isomorfism. I de återstående avsnitten använder vi vårt bibliotek till 2p-algebra: Vi definierar en 2p-algebra av grafer och visar att trädbredd högst två grafer bildar en subalgebra (Sect. 9) och förordning (EEG) nr 4064/89. Vi bevisar sedan ett antal lemmas för att analysera strukturen av K 4 - fria grafer (Sect. 10), vilket gör det möjligt att rekursivt extrahera termer från anslutna K 4 - fria grafer (Sect. 11) Förstainstansrätten har beslutat följande dom: Vi utökar slutligen denna extraktionsfunktion till godtyckliga K 4-fria grafer i Sect. Hur länge har du varit borta? Det Coq-bibliotek som åtföljer detta papper [9] utvecklades avsevärt sedan [10] och fortsätter att utvecklas, därav den olika strukturen i detta papper: det viktigaste bidraget är själva grafbiblioteket, snarare än tillämpningen på 2p-algebras. Den mest märkbara förbättringen är att vi bevisar Menger's Theorem och använder det både för att ge ett direkt bevis på minor-exklusion teorem för trädbredd två, och för att förenkla rekursiv analys av K 4-fria grafer. (Lemma 10.8 följer lätt med Menger's Theorem, medan det krävde en lång serie ad-hoc lemmas i [10].) Vi bevisar också att grafer uppfyller lagarna i 2p-algebra (Lemmas 9.2 och 9.3). Detta krävde att vi utvecklade tekniker för att hantera de komplicerade isomorfismer som uppstår med inhägnade kvoter och osammanhängande föreningar på ett kompositionellt sätt (Lemma 8,7).
Doczkal och Pous REF utvecklar en mekanisering av grafteorin i Coq, inklusive enkla grafer, digrafer och deras egenskaper.
Graph Theory in Coq: Minors, Treewidth, and Isomorphisms
{'venue': 'Journal of Automated Reasoning', 'journal': 'Journal of Automated Reasoning', 'mag_field_of_study': ['Mathematics']}