Vi introducerar heterogen-k-kärnan, som generaliserar k-kärnan, och kontrasterar den med bootstrap percolation. Vertices har en tröskel ki som kan vara olika vid varje vertex. Om en vertex har mindre än ki grannar det beskärs från nätverket. Den heterogena-k-kärnan är den delgraf som återstår efter att inga ytterligare hörn kan beskäras. Om tröskelvärdena ki är 1 med sannolikhet f eller k ≥ 3 med sannolikhet (1 − f ), bildar processen en gren av en aktiveringsbeskärningsprocess som visar hysteres. Den andra grenen bildas av vanlig bootstrap percolation. Vi visar att det finns två typer av övergångar i denna heterogena-k-kärna: den jättelika heterogena-kärnan kan uppstå med en kontinuerlig övergång och det kan bli en andra, okontinuerlig, hybridövergång. Vi jämför kritiska fenomen, kritiska kluster och laviner vid de heterogena-kcore och bootstrap percolation övergångar. Vi visar också att nätverksstrukturen har en avgörande effekt på dessa processer, med den jättelika heterogena-k-kärnan som visas omedelbart vid ett ändligt värde för alla f > 0 när gradfördelningen tenderar till en maktlag P (q)  på q −γ med γ < 3. PACS nummer: 64.60.aq, 64.60.ah, 05.70.Fh Bootstrap percolation och k-core är nära besläktade begrepp, och i själva verket är det lätt att förvirra de två. Båda tillhör en ny klass av system med hybridfasövergångar, men det kan tydligt visas att de två processerna inte kartlägger varandra. Här klargör vi förhållandet och skillnaderna mellan dessa två begrepp genom att införa en generalisering av k-kärnan, den heterogena k-kärnan. K-kärnan är den maximala subgraf vars hörn alla har intern grad minst k [1]. Det har visat sig vara ett användbart verktyg som ger insikt i den djupa strukturen av komplexa nätverk [2] [3] [4] [5] [6], och har funnit tillämpningar i olika områden, från stelhet [7] och störning [8] övergångar till verkliga neurala nätverk [9, 10] och utveckling [11]. Kcore har studerats utförligt på trädliknande nätverk, med början i Betes galler [12, 13] och slumpmässiga grafer [14] [15] [16], innan den slutligen utvidgas till godtyckliga fördelningar [5, [17] [18] [19]. Hyperboliska gitter har också beaktats [20]. Andra studier, mestadels numeriska, har övervägt storleken på gallring laviner [21] [22] [23]. Resultat på icke trädliknande grafer har i stort sett varit numeriska [24, 25], även om vissa analytiska resultat som innehåller kluster nyligen har erhållits [26, 27]. Samtidigt har bootstrap percolation uppstått som en användbar modell för en mängd olika tillämpningar såsom neuronal aktivitet [28] [29] [30], störning och stelhet övergångar och glasiga dynamik [31, 32], och magnetiska system [33]. I bootstrap percolation, en uppsättning frö hörn aktiveras initialt, och andra hörn blir aktiva om de har k aktiva grannar. Denna process har undersökts på två och tredimensionella gitter (se [34] [35] [36] [37] och hänvisningar där). Bootstrap percolation har studerats * gjbaxter@ua.pt på slumpmässig regelbunden graf [38, 39], på oändliga träd [40], och senast allmänna komplexa nätverk [41]. Finita slumpmässiga grafer har också studerats [42]. En intressant alternativ formulering är Watts modell av åsikter, där tröskeln definieras som en viss bråkdel av grannarna snarare än ett absolut antal [43]. Dessa processer kan också generaliseras så att tröskelvärdena kan vara olika vid varje vertex [41, 44]. Här introducerar vi en generalisering av k-kärnan, den heterogena k-kärnan. I heterogen-k-kärnan, varje vertex i i ett nätverk har en dold variabel, dess tröskelvärde k i. Den heterogena-k-kärnan är den största subgrafen vars medlemmar har minst lika många grannar som deras tröskelvärde k i. Detta kan omfatta finita kluster såväl som vilken jättekomponent som helst. Om k i är alla lika vi återställa standard k-core. Vi definierar ett enkelt representativt exempel på den heterogena-k-kärnan (HKC) där hörnen har en tröskel på antingen 1 eller k ≥ 3, som fördelas slumpmässigt genom nätverket med sannolikheterna f respektive (1 − f ). Detta kan direkt kontrasteras med bootstrap percolation (BPC), där hörn kan vara av två typer: med sannolikhet f de är 'frö' hörn som alltid är aktiva, medan med sannolikhet (1 - f ) hörn blir aktiva endast om deras antal aktiva grannar når en tröskel k. Skillnaden mellan dessa två processer uppstår eftersom bootstrap percolation är en aktiveringsprocess, från ett glest aktiverat nätverk, medan heterogenik-kärna är en beskärningsprocess [14, 15], med början från en fullständig graf. Det är därför möjligt att tänka på dessa två processer som två grenar av en hysteres loop i en aktiverings-beskärning process. Vi observerar två övergångar i storleken av den gigantiska heterogene-k-core (giant-HKC): en kontinuerlig övergång liknande den som finns i vanlig perkolering, och en diskontinuerlig, hybrid, övergång, liknande den som fanns 2 för den vanliga k-core. Vi finner ett komplext fasdiagram för denna jätte-HKC med avseende på andelen av varje tröskel och mängden skador på nätet, där, beroende på parameterregionen, antingen övergången kan ske först. Två liknande övergångar observeras i fasdiagrammet för den gigantiska komponenten av aktiva hörn i bootstrap perkolering (giant-BPC). Slutligen visar vi att nätverks heterogenitet spelar en viktig roll. När det andra ögonblicket av gradfördelningen är ändligt men det tredje ögonblicket skiljer sig, framträder jätte-HKC (eller jätte-BPC) vid en ändlig tröskel, men inte linjärt, istället som en högre ordningsövergång. När examensfördelningens andra ögonblick avviker -som i skalfria nätverk - kan tröskelvärdena helt försvinna, så att jätte-HKC (eller jätte-BPC) visas diskontinuöst vid ett ändligt värde för alla f > 0 eller p > 0. Betrakta ett godtyckligt, okorrelerat, glest komplext nätverk, definierat av dess gradfördelning P (q). I oändlig storlek gräns, sådana nätverk är lokalt träd-liknande, en egenskap som möjliggör den analys vi kommer att använda. Nätet kan i viss mån skadas genom att hörnen avlägsnas jämnt på måfå. Den fraktion av överlevande hörn är p. I heterogen-k-core, varje vertex i ett nätverk tilldelas en variabel k i  med {0, 1, 2,...}. K i- värdena antas vara okorrelerade, valda från en distribution Q k (r). Den heterogena-k-kärnan är då den största subgrafen i nätverket där varje vertex i har minst k i grannar inom heterogen-k-kärnan. För att hitta heterogen-k-kärnan i ett givet nätverk, börjar vi med hela nätverket, och beskär alla hörn vars grad är mindre än dess värde av k i. Som ett resultat av denna beskärning, andra hörn kommer att förlora grannar, och kan därmed sjunka under deras tröskel, så vi upprepar beskärningen tills en stationär tillstånd nås. Den återstående delgrafen är heterogen-k-kärnan. Om det upptar en icke-förbrukande del av det ursprungliga nätet i den gräns som storleken på nätverket går till oändlighet, säger vi att det är en gigantisk heterogen-k-kärna (giant-HKC). Om alla k i = 1, då HKC är helt enkelt den anslutna komponenten i nätverket, och jätten-HKC är den gigantiska anslutna komponenten, precis som i vanlig perkolering. Som bekant [6, 45, 46] uppträder detta med en kontinuerlig övergång vid den kritiska punkten p c = q /[ q 2 − q ], där q n = i q n P (q). Om k = 2, har vi återigen en kontinuerlig övergång, liknande den vanliga perkoleringen. Om alla k i är lika med k ≥ 3, då har vi den vanliga k-core. I detta fall framträder den jättelika k-kärnan med en okontinuerlig hybridövergång [5, 8, 17, 47]. Låt oss helt kort diskutera hybridfasövergångens karaktär. Dessa övergångar bildar en särskild ny typ av fasövergång som kombinerar ett avbrott likt en första ordningens fasövergång med en kritisk singularitet som en kontinuerlig fasövergång. I termodynamiken, där förändringarna av en kontrollparameter (t.ex. minskande/ökande temperatur) antas vara oändligt långsamma, har en första ordningsövergång ingen hysteres. I verkligheten sker förändringarna alltid med en liten men ändlig takt, och de "värmande" och "kylande" grenarna av en första ordningsövergång sammanfaller inte, vilket indikerar förekomsten av ett metastabilt tillstånd och hysteres. Bredden på hysteresen ökar med denna hastighet till 3 någon gräns, vilket motsvarar den begränsande metastabiltillståndet. Den resulterande begränsande kurvan för orderparametern har en fyrkantig singularitet vid uppdelningspunkten. Till exempel, om vi värmer en ferromagnet med en första ordning fas övergång tillräckligt snabbt, kurvan'magnetisering M kontra temperatur T' har en singularitet Efter nedbrytningen, det finns ingen singularitet. Känsligheten visar också en singularitet χ(T < T b ) 1 / T b − T och har ingen singularitet över T b. I detta avseende är hybriden (blandad) övergång ett begränsande metastabilt tillstånd för en första ordningsfas övergång. Den viktiga egenskapen är att övergången är asymmetrisk. Det finns kritiska fluktuationer och en divergerande korrelationslängd på endast en sida av den kritiska punkten. Kontinuerliga fasövergångar visar på kritiska fluktuationer och divergerande korrelationslängd på båda sidor om övergången. I första ordningen fas övergångar det finns inga kritiska fluktuationer och korrelationslängd är ändlig överallt, inklusive vid den kritiska punkten. I allmänhet kan vi förvänta oss en kombination av kontinuerliga och hybrida övergångar. För detta ändamål anser vi först det enkla fallet där k i fördelas mellan två värden, kontrolleras av en parameter f. Specifikt: för vissa heltal k ≥ 3. Denna parameteriserade HKC har som sina två gränser vanlig perkolering (f = 1) och den ursprungliga k-kärnan (f = 0). Vi jämför nu denna modell med bootstrap percolation. I bootstrap percolation, med sannolikhet f, en vertex är en "frö" och är initialt aktiv, och förblir aktiv. De återstående hörnen (en fraktion 1 - f ) blir aktiva om deras antal aktiva grannar når eller överskrider ett tröskelvärde k. När en vertex aktiverats, förblir en vertex aktiv. Aktiveringen av hörn kan innebära att nya hörn nu uppfyller tröskelkriteriet och därmed blir aktiva. Denna aktiveringsprocess fortsätter iterativt tills ett stationärt tillstånd nås. Utsäde och aktiverade hörn i bootstrap percolation är jämförbara med tröskel 1 och tröskel k-grupper i heterogen k-kärnan. Vi kan förvänta oss då att den subgraf som bildas av de aktiva hörnen i stationärt tillstånd av bootstrap percolation kan vara relaterad till heterogen-k-kärna. I själva verket är de två subgraferna nödvändigtvis olika, som vi kommer att beskriva i detalj i Sec. Andra stycket ska ersättas med följande: Icke desto mindre har de två processerna några liknande eller liknande kritiska beteenden. Observera att vi använder en lägre tröskel på 1 för den generaliserade k-kärnan, vilket innebär att isolerade hörn inte räknas som en del av HKC. Vi skulle också kunna använda en lägre tröskel på 0, som skulle inkludera fler hörn i HKC, men skulle ge en identisk jätte-HKC. Av denna anledning kan vi jämföra med bootstrap percolation, där frö hörnen har effektivt en tröskel på 0. Eftersom bootstrap percolation är en aktiveringsprocess, medan heterogen-k-kärnan hittas genom beskärning, kan vi karakterisera dem som två grenar av samma process, med skillnaden mellan kurvorna som visas i Bild. 1 indikerar hysteres. Överväg att börja från ett helt inaktivt nätverk (som kan skadas så att vissa fraktion p hörn kvar). När vi gradvis ökar f från noll, under bootstrap percolation processen, fler och fler hörn blir aktiva (alltid nå jämvikt innan ytterligare ökningar av f ) tills vid ett visst tröskelvärde, f c1‐b en gigantisk aktiv komponent visas. När vi ökar f ytterligare, storleken på jätte-BPC spårar de streckade kurvorna som visas i Bild. 1................................................................ Se även [41]. Riktningen för denna process indikeras av pilarna på dessa kurvor. Slutligen vid f = 1 alla oskadade hörn är aktiva. Nu vänder vi processen, börjar med ett fullt aktivt nätverk, och gradvis minska f, avaktivera (motsvarande beskärning) hörn som faller under deras tröskel k i under heterogen-k-kärna processen. Som f minskar, de fasta kurvorna i Bild. 1 kommer att följas, i den riktning som visas av pilarna. Lägg märke till att storleken på jätten-HKC för givna värden av f och p alltid är större än jätten-BPC. Förklaringen till denna skillnad kommer att undersökas i följande avsnitt. Låt S k vara fraktionen av hörn som är i heterogen-k-core. Det vill säga, summan av alla komponenter, vare sig de är finita eller oändliga, som uppfyller tröskelvillkoren. Detta är lika med sannolikheten att en godtyckligt vald vertex i det ursprungliga nätverket är i heterogen-k-kärnan. Låt S gc-k vara den relativa storleken på den jättelika heterogene-k-kärnan (det vill säga den delmängd av den heterogene-k-kärnan som utgör en jättekomponent) - också sannolikheten att en godtyckligt vald vertex är i den jätte heterogene-k-kärnan. Den fraktion av hörn som bildar finita kluster är därför S k − S gc-k. Observera att i standard k-kärnan är den obetydligt liten. På samma sätt, låt S b vara fraktionen av aktiva hörn i bootstrap percolation modell, och S gc-b vara storleken på den gigantiska komponenten av aktiva hörn. Vi konstruerar självkonsistensekvationer för S k och S gc-k i bilaga A. I nätverk utan tunga gradfördelningar, det vill säga vars andra ögonblick inte skiljer sig åt i den oändliga storleksgränsen, hittar vi två olika övergångar för varje process. Vi beskriver först kortfattat de övergångar som observerats i bootstrap percolation, innan vi jämför dessa med dem som finns i den nya heterogena-k-core processen. För bootstrap percolation, över ett visst värde av p, den gigantiska aktiva komponenten (giant-BPC) kan visas kontinuerligt från noll vid ett ändligt värde av f, f c1‐b, och växa smidigt med f, se de streckade linjerna 1 och 2 i den övre panelen underifrån, skillnaden av S gc-b från det kritiska värdet går som kvadratroten av avståndet från den kritiska punkten: Se [41] för en fullständig beskrivning av bootstrap percolation resultat. För heterogen-k-kärnan ser vi ett annat men analogt par av övergångar. Återigen, för en given p, den jätte heterogene-k-core (giant-HKC) visas kontinuerligt från noll över något kritiskt värde f, f c1‐k. Det kan också finnas en andra övergång, på fc2−k, där vi återigen ser en diskontinuitet i storleken på jätten-HKC. Nu sker dock skalningen av kvadratroten när den kritiska punkten närmar sig ovanifrån: Se solid linje 2 i bild. 1................................................................ En annan viktig skillnad är att, medan för bootstrap percolation den okontinuerliga övergången är alltid över det första framträdandet av jätten-BPC -f c2‐b > f c1‐b, men för heterogen-kcore, f c2‐k kan vara större än f c1‐k -så att det första utseendet av jätten-HKC liknar den som finns i vanlig perkolering -eller mindre än f c1‐k, med jätten-HKC visas diskontinuöst från noll, som i den vanliga k-core [8, 17, 47] (se bild. 1 )............................................................................................................... Det övergripande beteendet med avseende på parametrarna p och f i varje modell sammanfattas av fasdiagrammen i bild. 2............................................................... Diagrammen är kvalitativt samma för varje gradfördelning med ändligt andra moment. Med tanke på den heterogena-k-kärnan saknas en jätte-HKC i den region som är märkt I. För p under perkoleringströskeln p c, den jätte-HKC aldrig visas för någon f. Ovan p c, den jätten-HKC visas med en kontinuerlig övergång, växer linjärt med f (eller p för den delen) nära den kritiska punkten. Tröskelvärdet anges av den tunna svarta linjen i figuren, som delar regionerna I och II. Jämför linje 1 i Bild. 1................................................................ Från p s-k en sekund, okontinuerlig, hybrid övergång visas. Detta markeras av den tunga svarta kurvan i Bild. 2............................................................... Som redan nämnts i Eq. (3) storleken på jätten-HKC växer som kvadratroten av avståndet ovanför denna andra kritiska punkt. Vid den speciella punkten p s-k, Men storleken på diskontinuiteten minskar till noll, och skalningen nära den kritiska punkten är kubrot: I början hybriden övergång sker efter det kontinuerliga utseendet av jätten-HKC (se linje 2 av Bild. 1 ), men på p t-k de två övergångarna korsa, och jätten-HKC börjar visas omedelbart med ett hopp. Slutligen vid p f −k, börjar jätten-HKC framträda diskontinuöst omedelbart 5 från f = 0 (linje 3 av Bild. 1).................................................................. Således, det första utseendet av jätten-HKC har en klassisk perkolering som övergång under p t-k, medan ovanför p t-k utseendet liknar den som finns i den vanliga k-core. Inom den heterogena-k-kärnan kan hörnen med tröskel k bilda en jättekomponent själva. Detta sker i den region som är märkt III. Denna gigantiska komponent framträder med en kontinuerlig övergång. För bootstrap percolation, den jätte aktiva komponenten igen visas endast över perkoleringströskeln p c. Det visas också först med en linjär, kontinuerlig övergång (när graden fördelningen har ändlig tredje stund), men med ett större värde f. Utseendet markeras av den tunna kurvan i bild. 2 som skiljer regionerna I och II. Återigen, en andra övergång visas för större p, med början vid den speciella kritiska punkten p s‐b. Denna övergång markeras av den tunga fasta kurvan i figuren. Se även linje 3 i bild. 1................................................................ Skalningen nära hybridövergången är återigen kvadratrot, men den här gången bara när man närmar sig övergången underifrån. Vid den speciella kritiska punkten p s‐b, skalningen blir kubrot: Observera skillnaden mellan Eqs. (2) och (3) och mellan (5) och (4). I bootstrap percolation sker hybridövergången alltid ovanför den kontinuerliga, och varken når f = 0. Återigen utgör den aktiva tröskeln k hörn en jättekomponent i region III. Observera också att den speciella kritiska punkten p-b > p f-k, så att för en given p vi kan ha en hybrid övergång för HKC eller för BPC, men inte för båda. Det visar sig att den speciella kritiska punkten p s-b för bootstrap percolation vars värde av k är en mindre sammanfaller med den speciella kritiska punkten för heterogen-k-kärnan. Dessutom sammanfaller placeringen av det kontinuerliga utseendet av jätten heterogene-k-core för en given k också med utseendet av den gigantiska komponenten av bootstrap percolation för k − 1. Detsamma gäller för utseendet av de jättelika komponenterna i hörn med tröskel k. Detta framgår tydligt av ekvationerna i bilaga A. Om k-värdet ökas, rör sig hybridövergångarnas lägen mot större värden på p, och det finns ett begränsande värde på k, varefter dessa övergångar försvinner helt och hållet. För både heterogen-k-kärna och bootstrap perkolering är denna gräns proportionell till medelgraden. Observera också att den kontinuerliga övergången också rör sig något med ökande k, och i gränsen k → ∞, tenderar till linjen pf = p c för båda processerna. Det framgår tydligt av Figs. 1 och 2 att även om bootstrap percolation och heterogene-k-core som beskrivs ovan har samma trösklar och proportioner av varje typ av vertex, är jämviktsstorleken för respektive jättekomponenter mycket olika. Skillnaden är resultatet av de uppifrån-och-ner-upp-sätt som de är konstruerade på. För att hitta den heterogena-k-kärnan, börjar vi med hela nätverket, och plommon hörn som inte uppfyller kriterierna, tills vi når jämvikt. Däremot börjar bootstrap percolation med ett till stor del inaktivt nätverk, och aktiverar successivt hörn tills jämvikt uppnås. För att se effekten av denna skillnad beskriver vi nu ett viktigt begrepp: de subkritiska klustren av bootstrap percolation. Vänster: Eftersom de ingår om inte beskurna, två anslutna hörn (vars tröskel är k) utgör en del av heterogen-k-kärnan om var och en har k - 1 andra grannar i kärnan, som var och en är "assisterad" av den andra. I allmänhet (höger) består en koronakluster av hörn (med tröskel k) som var och en har exakt k aktiva grannar, antingen inuti eller utanför klustret. Om en granne till någon av kluster hörn tas bort från kärnan (till exempel den som indikeras av pilen), orsakas en lavin som hela kluster beskärs. Ett subkritiskt kluster i bootstrap percolation är ett kluster av aktiva hörn (dvs. inte frö hörn) som 6 vardera har exakt k - 1 aktiva grannar utanför klustret. Enligt reglerna för bootstrap percolation kan sådana kluster inte aktiveras. Vertikerna i klustret hindrar varandra från att bli aktiva - se bild. 3............................................................... Jämför nu situationen för heterogenk-kärnan. Varje kluster av tröskel k hörn som var och en har k - 1 grannar i kärnan utanför klustret, ingår alltid i heterogen-k-kärnan. för heterogena k-kärnor, hörn i kluster som de i Fig. 4 hjälpa varandra. Uteslutningen av subkritiska kluster från aktivering i bootstrap percolation står för skillnaden i storlek på bootstrap percolation kärna och heterogen-k-core. Subkritiska kluster har en annan viktig egenskap, som hjälper oss att förstå diskontinuiteten vid den andra övergången. En vertex i en subkritisk kluster blir aktiv om det får en extra aktiv granne (till exempel genom en oändligt liten förändring i p eller f ). Detta i sin tur gör det möjligt för var och en av sina grannar i klustret att aktivera. En dominoliknande effekt uppstår, vilket leder till en lavin av aktiveringar - en extra aktiv granne till någon vertex i den subkritiska klustret leder till att hela klustret blir aktiv. Förändringstakten för S b är således relaterad till storleken på de subkritiska klusteren. Nästan överallt, om vi väljer en subkritisk vertex på måfå, är den genomsnittliga storleken på den subkritiska kluster som den tillhör ändlig. Men exakt vid den andra tröskeln, den genomsnittliga storleken på den subkritiska kluster som en slumpmässigt vald vertex tillhör skiljer sig när vi närmar oss underifrån. Detta visades i [41]. Således närmar sig denna punkt, en oändligt liten minskning i f (eller p) leder till en ändlig bråkdel av nätverket aktiveras, därav en diskontinuitet i S b (och även i S gc-b ). Fördelningen av lavinstorlekar nära övergången bestäms av storleksfördelningen G(s) av subkritiska kluster, som vid den kritiska punkten kan visas följa G(s) -3/2. Detta kan visas med hjälp av en genererande funktion metod, som visas i [41]. En liknande metod finns i [17, [47] [48] [49]. Vi kan då förstå hybridövergången i heterogen-k-kärnan, genom att överväga relevanta kluster med liknande egenskaper, koronaklustren. Corona kluster är kluster av hörn med tröskel k som har exakt k grannar i HKC. Dessa kluster är en del av den heterogena k-kärnan, men om någon medlem i ett kluster förlorar en granne, leder en dominoliknande effekt till en lavin då hela klustret avlägsnas från HKC. Koronaklustren är ändliga överallt utom vid den okontinuerliga övergången, där den genomsnittliga storleken av koronaklustret till vilken en slumpmässigt vald vertex hör skiljer sig när vi närmar oss från ovan [6, 17, 47]. Således leder en oändligt liten förändring i f (eller p) till att en ändlig bråkdel av nätverket tas bort från heterogen-kcore, därav en diskontinuitet i S k (och även i S gc-k ). Storleksfördelningen av coronakluster, och därmed laviner vid denna övergång, går också som en maktlag med exponent -3/2. Resultaten ovan, i Sec. Jag och i Figs. 1 och 2, är kvalitativt samma för nätverk med någon gradfördelning som har ändliga andra och tredje moment. När bara det andra ögonblicket är ändligt förblir fasdiagrammet kvalitativt detsamma, men det kritiska beteendet förändras. I stället för en andra ordningskontinuerlig övergång har vi en övergång av högre ordning. När det andra ögonblicket skiljer sig åt, har vi ett helt annat beteende. För att undersöka beteendet när andra och tredje stunderna skiljer sig, anser vi skalan fria nätverk, med grad distributioner tenderar att formen för stora q. För närvarande betraktar vi endast värden på γ > 2. För att hitta beteendet nära de kritiska punkterna börjar vi med en självkonsistensekvation för X, vilket är sannolikheten att en godtyckligt vald kant leder till ett oändligt (k i − 1)-är träd (se bilaga A) Ekvationen ges i tillägget, som Eq. (A4)............................................................................................................ Sannolikheten S gc-k kan skrivas i termer av X, och i själva verket både X och S gc-k växer med samma exponent nära utseendet på den gigantiska aktiva komponenten. Vi utökar höger sida av Eq. (A4) nära uppkomsten av jätten-HKC (dvs. nära X = 0). När γ < 4, det tredje och möjligen andra momentet i examensfördelningen skiljer sig. Detta innebär att koefficienter av integral befogenheter av X divergera, och vi måste i stället hitta ledande icke-integrerade befogenheter av X. När γ > 4, den andra och tredje ögonblicken av distributionen är ändliga, så beteendet är samma som redan beskrivs i Sec. Jag. Eq. (A4) leder till X = c 1 X + c 2 X 2 + högre ordertermer, vilket ger det kritiska beteendet X (f − f c2-k) β med β = 1. När 3 < γ ≤ 4, den linjära termen i expansionen av ekv. (A4) överlever, men den andra ledande kraften är γ − 2: där koefficienterna c 1 och c 2 beror på gradens fördelning, parametrarna p och f, och (non-noll) värdet av Z. Närvaron av den linjära termen betyder att jätten-HKC uppträder vid en ändlig tröskel, men eftersom den andra ledande kraften inte är 2, växer jätten-HKC inte linjärt utan med exponenten β = 1/(γ − 3). Detta innebär att fasdiagrammet förblir kvalitativt detsamma som Fig. 2, men storleken på jätte-HKC växer som (f - f c1 ) β med β = 1/(γ − 3). Detta är samma skalning som för vanlig perkolering [50]. För värden av γ under 3, förändringen i beteende är mer dramatiskt. När 2 < γ ≤ 3, det andra momentet av P (q) också avviker, vilket innebär att den ledande ordningen i ekvationen för X inte längre är linjär utan γ − 2: 7 Från denna ekvation följer att det inte finns någon tröskel för uppkomsten av jätte-HKC (eller jätte-BPC). Jätte-HKC visas omedelbart och diskontinutivt för alla f > 0 (eller p > 0), och det finns inte heller någon övre gräns för tröskeln k. Detta beteende är samma för bootstrap percolation, så (featureless) fasdiagram är samma för båda processerna, även om storlekarna på jätte-HKC och jätte-BPC är olika. Vi har infört ett nytt koncept, heterogenk-kärnan, en utvidgning av den välkända k-kärnan av komplexa nätverk. Ett enkelt representativt exempel på heterogen-k-kärna (HKC) har hörn med slumpmässigt tilldelade tröskelvärden på antingen 1 (med sannolikhet f ) eller k ≥ 3 (med sannolikhet 1 - f ). Denna heterogena-kcore har ett komplext fasdiagram, inklusive två typer av fasövergång: en kontinuerlig övergång vid uppkomsten av den gigantiska heterogena-k-kärnan, liknande den vanliga perkoleringsövergången, och en andra, okontinuerlig, hybridfasövergång. Denna andra övergång liknar den som finns för den vanliga k-kärnan, men den kan inträffa efter den första kontinuerliga uppkomsten av jätten-HKC eller tidigare. Den första övergången sker när hörnen av båda slagen når sin tröskel bildar en gigantisk perkoleringskluster. Den andra övergången inträffar när medelstorleken av laviner av beskurna hörn skiljer sig. Detta kan förstås genom att överväga corona kluster (kluster av hörn som exakt uppfyller den övre tröskeln). Den genomsnittliga storleken på koronaklustret som en godtyckligt vald vertex hör till skiljer sig när vi närmar oss den andra övergången från ovan. Storleken av beskärning laviner bestäms av dessa korona kluster, och så övergången är diskontinuerlig. Vi har jämfört heterogen-k-kärnan med bootstrap percolation, där det också finns två typer av hörn, men kärnan definieras av en aktiveringsprocess, snarare än en beskärningsprocess. Fasdiagrammet för bootstrap percolation sammanfaller därför inte med det för heterogen-k-core. Dessutom kan de två processerna betraktas som två grenar av en aktiveringsbeskärningsprocess, som bildar en hysteresslinga. Skillnaden mellan den jättelika heterogena kärnan och den jättelika bootstrap percolation komponenten är resultatet av de subkritiska kluster av bootstrap percolation. Dessa kluster kan inte aktiveras eftersom alla medlemmar har k − 1 aktiva grannar utanför klustret. Motsvarande kluster skulle dock ingå i den jättelika heterogena k-kärnan. Alla dessa resultat är starkt beroende av nätverksstruktur. Om det tredje momentet i gradfördelningen är ändligt, får vi de resultat som just beskrivits, med jätten-HKC som växer linjärt över den kontinuerliga tröskeln. Detta är fallet om gradfördelningen bryts ned snabbare än en power-law q −γ med γ > 4 för hög grad q. Om istället gradfördelningen tenderar till en makt-lag med 3 < γ ≤ 4, så att det andra momentet är ändligt medan det tredje momentet skiljer sig, fasdiagrammet är kvalitativt samma, men den kontinuerliga övergången är av högre ordning. Om 2 < γ ≤ 3, det andra momentet i examensfördelningen skiljer sig, och situationen är mer extrem. Jätten-HKC visas omedelbart på en ändlig storlek för alla f > 0 eller p > 0, visar att, i likhet med beteende som finns i andra system, sådana skalfria nätverk är extremt motståndskraftiga mot skador.
På senare tid har en " heterogen" version av nedbrytning införts i REF – där varje nod beskärs enligt en viss parameter – och processen studeras i detta arbete baserat på en sannolikhetsfördelning av noder med vissa värden för denna parameter.
Heterogeneous-k-core versus Bootstrap Percolation on Complex Networks
{'venue': 'Physical Review E 83, 051134 (2011)', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Medicine', 'Physics', 'Mathematics']}