Det sedvanliga perspektivet på att resonera om epidemisk begränsning i tidsbundna nätverk är beroende av identifiering av noder med specifika funktioner eller nätverksroller. De individuella kontrollstrategier som följer är dock svåra att genomföra i praktiken och bortser från viktiga samband mellan topologiska och tidsmässiga mönster. Här antar vi ett mesoskopiskt perspektiv och presenterar en principiell ram för att identifiera kollektiva drag på flera skalor och rangordna deras betydelse för epidemispridning. Vi använder tensor nedbrytning tekniker för att bygga en additiv representation av ett temporalt nätverk i termer av mesostrukturer, såsom sammanhållna kluster och tidsmässigt lokaliserade blandningsmönster. Denna representation gör det möjligt att fastställa effekterna av enskilda mesostrukturer på spridningen av epidemier och att bedöma effekten av riktade insatser som avlägsnar valda strukturer. Vi illustrerar detta tillvägagångssätt med hjälp av högupplösta sociala nätverksdata om personliga interaktioner i en skola och visar att vår metod erbjuder utformning av effektiva mesoscale interventioner. Nyckelord: komplexa nätverk, temporal nätverk, tensor nedbrytning, epidemispridning, högupplösta sociala nätverk, mänskliga kontaktnätverk, riktade insatser Många naturliga och artificiella system är tillräckligt representerade i termer av interaktion nätverk mellan sina komponenter 1. Nätverksrepresentationerna har lett till viktiga insikter om förhållandet mellan dessa systems struktur och dynamiken i de olika processer som äger rum över nätverket, såsom informationsspridning, epidemispridning och mycket mer 2;3. Under de senaste åren har tillgången till tidsupplösta nätverksdata drivit nätverksvetenskapen bortom den statiska grafrepresentationen och lett till ny forskning om förståelse och modellering av tidsvariationsdiagram, vanligen kallade tidsbundna nätverk 4. Detta har sporrat till en intensiv aktivitet när det gäller att studera hur dynamiska processer påverkas av den tidsmässiga utvecklingen av det nätverk på vilket de utvecklas, med fokus på heterogena distributioner av intereventuella tider ("burstiness"), heterogena aktivitetsdistributioner, kausalitetsbegränsningar osv. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Högupplösta sociala nätverksuppgifter [17] [18] [19] [20], särskilt har öppnat vägen för rikare individbaserade modeller för epidemispridning 18;21-23 och har väckt nya frågor om utformningen av kontrollstrategier för epidemiprocesser i tidsbundna nätverk 22;24-26. Mikrointerventioner som verkar på enskilda noder, t.ex. riktad vaccinering, är dock svåra att genomföra, både på grund av brist på data med hög upplösning i allmänhet och på grund av att åtgärder på individnivå utsätts för många informations- och driftsmässiga begränsningar. Därför är det naturligt att överväga åtgärder som riktar sig till viktiga kollektiva mönster och strukturella enheter 32 för att representera ett tidsnätverk som en additiv superposition av mesostrukturer, som var och en kan koda komplexa strukturella och tidsmässiga korrelationer. För att bedöma betydelsen av enskilda mesostrukturer, drar vi nytta av additionaliteten hos tensorns nedbrytning, vilket gör att vi kan dissekera det ursprungliga nätet och återmontera ändrade tidsnät där valda mesostrukturer selektivt tas bort. Genom att jämföra dynamiken i en viss process på det ursprungliga nätverket och på de förändrade kan vi sedan bestämma den specifika rollen för enskilda mesostrukturer och vi kan rangordna effektiviteten av interventioner som riktar sig till dessa strukturer för avlägsnande. Vi illustrerar vårt tillvägagångssätt med hjälp av högupplösta sociala nätverksdata om personliga interaktioner i en skolmiljö och undersöker vikten av enskilda mesostrukturer för enkla epidemiprocesser. Skolorna är faktiskt ett intressant sammanhang för modeller för epidemispridning, eftersom de anses spela en viktig roll i samhället för spridning av infektionssjukdomar [33] [34] [35] [36] [37]. Makrokala insatser såsom nedläggning av skolor anses vara en genomförbar strategi för att minska epidemier 38, men kommer med höga socioekonomiska kostnader 39,40, vilket kräver mer målinriktade strategier. Vi visar att vår strategi identifierar effektiva strategier för att minska epidemier som innebär ett riktat avlägsnande av enskilda mesostrukturer. Anmärkningsvärt nog anser vi att de viktigaste mesostrukturerna för epidemispridning varken motsvarar de starkaste strukturerna eller sammanhållna strukturer som lätt kan upptäckas med hjälp av gemenskapsmetoder för upptäckt. Mesoscale struktur av tidsbundna nätverk Vi sammanfattar först en allmän ram som vi introducerade i ref. 31 för att avslöja mesoscale strukturen i ett temporalt nätverk. Metoden kombinerar en tensor representation av ett temporalt nätverk 41 och en dimensionalitet reduktion teknik baserad på tensor nedbrytning 32. Vi anser att ett oriktat och oviktat temporalt nätverk, därav tillståndet för nätverket vid tiden t kan representeras av en binärt värderad adjacency matris M(t) R N ×N, där matrisen posten M ij (t) anger statusen för länk i-j vid tidpunkten t, och N är antalet noder i nätverket. De matriser som beskriver nätets tillstånd vid olika tidpunkter kan kombineras till en 3-stegs tensor, T  till R N ×N ×L, där de två första dimensionerna är de sedvanliga nodindexen för adjacensmatrisen och den tredje dimensionen är ett tidsindex. L är antalet nätverksögonblicksbilder, var och en för en annan tidpunkt. För att upptäcka strukturer, d.v.s. korrelerade aktivitets-/anslutningsmönster i tidsnätet, har vi satt upp en latent faktoranalys baserad på icke-negativ tensor factorization 31 : Den centrala idén är att approximera tensor T med en summa T av rank-1 icke-negativa tensorer (se Metoder): med R < min {N, S}. Denna nedbrytning gör det möjligt att beskriva det ursprungliga tidsnätet som en rent additiv superposition av ett valt antal aktivitets-/anslutningsmönster, kodade av de enskilda tensorkomponenterna. Varje komponent S r betraktas som en mesoscale struktur av det timliga nätverket och kan koda sammanhållande klus-2 ters (dvs., samhällen), tidsmässigt lokaliserade blandningsmönster, med mera. En sådan delbaserad representation är en allmän och kraftfull egenskap hos tensor sönderdelningar med icke-negativitet begränsningar och avsevärt förbättrar tolkningen av enskilda komponenter. Ett liknande tillvägagångssätt baserat på icke-negativ matris factorization har föreslagits för att upptäcka överlappande samhällen i statiska nätverk 43. Tillsatsens nedbrytning av Eq. 1 föreslår också ett naturligt sätt att undersöka den roll som enskilda mesoscale strukturer spelar, både på den övergripande nätverksarkitekturen och på dynamiken i processer som sker över nätverket, t.ex. epidemispridning. I synnerhet kan vi bedöma betydelsen av enskilda mesostrukturer för dynamiska processer som utvecklas över tidsnätet genom att selektivt ta bort dessa strukturer: Vi kan börja från nedbrytningen av Eq. 1, ta bort en vald term (dvs. en vald struktur), och summera alla andra termer, få ett modifierat temporalt nätverk där den valda strukturen har selektivt raderats. Vi kan sedan simulera en given dynamisk process över det ursprungliga tidsnätet och över det modifierade tidsnätet, och jämföra dynamiken eller resultatet av processen, och därmed lära sig om effekterna av den borttagna strukturen. Som en fallstudie anser vi en empirisk temporal nätverk av mänskliga ansikte mot ansikte interaktioner i en grundskola 44, mätt genom att använda bärbara sensorer 19. Datauppsättningen beskriver interaktioner (eller "kontakter") mellan 231 barn i åldern 6–12 år och 10 lärare, organiserade i 10 klasser. Den omfattar de kontakter som uppstod i skolans lokaler under två på varandra följande dagar i oktober 2009, från 8:30 till 17:15 varje dag. Vi valde detta dataset eftersom det är allmänt tillgängligt 23;44 och tillhandahåller inte bara ett högupplöst tidsnätverk, utan också grundläggande sanningsinformation om samhällen, nämligen klassattribut för alla noder. Dessutom är skolschemat känt och kan användas för att förstå de aktivitetsmönster som blandar flera klasser, som görs i Ref. 31. Hur är det fatt? I det följande kommer detta att göra det möjligt för oss att relatera effekten av att ta bort en enskild komponent till specifik kunskap om det sociala beteende som förknippas med den komponenten. Skoldatan är naturligt representerad som ett temporalt nätverk, där noder är individer och länkar är interaktioner mellan par av noder. Nätverkens ögonblicksbilder av vår datauppsättning registreras var 20:e sekund, men skolans aktivitet är schemalagd på en grövre temporal skala. Därför aggregerar vi data över på varandra följande tidsintervall på 15 minuter för att få oviktade nätverksögonblicksbilder: för varje 15-minutersintervall ritas en länk mellan två noder om motsvarande individer hade minst en kontakt under det intervallet. Detta ger ett temporalt nätverk representerat av binärt värderad tensor T med N = 241 och L = 70. Följer domaren. 31, vi utför den icke-negativa tensor factorizationen av Eq. 1 och approximation av tensor T med summanT av R = 14 komponenter (se Metoder och Kompletterande Information): resultaten av nedbrytningen redovisas i bild. 1................................................................ Komponenterna S 1 till S 9 och komponent S 11 motsvarar skolans 10 skolklasser. De kan valideras med hjälp av know class attribut för studenter och lärare, och de kan också upptäckas i viss utsträckning med hjälp av gemenskapens detektionsalgoritmer på det tidsmässigt aggregerade nätverket 31. Komponenterna S 10, S 12, S 13 och S 14, Men blanda individer från olika klasser och - i motsats till ovan klass komponenter - de är bara aktiva under lunchraster. Sådana komponenter kan inte hittas genom att gemenskapen upptäcker de tidsfördelade nätverken, eftersom de motsvarar tidsmässigt lokaliserade blandningsmönster i tidsnätet, på grund av att eleverna blandas vid lunchtid. Tungor nedbrytning, dock, kan naturligt upptäcka dessa mönster såväl som de sedvanliga sammanhållna nätverk gemenskaper. Vi noterar att medan det ursprungliga tidsnätet T är oviktat, är det approximerande nätverketT i allmänhet viktat (se Metoder). För varje given nätverksögonblicksbild, motsvarande ett 15-minuters tidsintervall, kommer vi att tolka vikten av kanten mellan två noder som den kumulerade tid som noderna tillbringade i kontakt under det 15-minuters intervallet. I tabell 1 rapporterar vi fraktionen av total tensor vikt motsvarande var och en av R = 14 komponenter, S r / T. Vänster-hand färgkodad matris: Nod vikter för varje komponent. Varje rad motsvarar en vektor a r av nedbrytningen, normaliserad till enhet i Euclidean norm för tydlighet visualisering. Noder beordras att exponera blockstrukturen i matrisen på grund av skolklasser. Högerytor: Komponentaktivitet som funktion av tiden över datasetets 2-dagars spännvidd. Varje rad motsvarar en vektor c r, normaliserad till enhet i Euclidean norm. Komponenter S 1 till S 9 och komponent S 11 är skolklasser, medan komponenter S 10, S 12, S 13 och S 14 blanda individer från olika klasser och är aktiva under lunchraster. Mesoscale riktade insatser för epidemispridning Genom nedbrytningen av ett tidsbaserat nätverk till en superposition av komponenter, tolkad som mesostrukturer, blir det möjligt att identifiera och bedöma enskilda mesoskopiska egenskapers bidrag till det tidsbundna nätets övergripande strukturella och funktionella egenskaper. Tillsatsens nedbrytning av Eq. 1 gör det möjligt att selektivt ta bort en vald komponent s genom att utesluta motsvarande term, vilket ger ett förändrat temporalt nät- som kan jämföras med det ursprungliga nätverket för att belysa komponentens specifika roll s. När komponent s kan tolkas i termer av ett specifikt beteendemönster (t.ex. lunch pauser av Bild. 1 ) dess avlägsnande kan betraktas som effekten av en interventionsstrategi som selektivt riktar sig till detta beteende (t.ex., ta bort lunch pauser från skolans schema). Som ett första steg i att utforska mesoscale-interventioner fokuserar vi här på fallstudiet av föregående avsnitt och undersöker effekten av att ta bort enskilda mesostrukturer på dynamiken i enkla epidemiprocesser som utvecklas över skolans temporalnätverk. Vi studerar hur tidpunkten för och storleken på epidemin påverkas av avlägsnandet av enskilda nätverkskomponenter, det vill säga av olika riktade insatser som syftar till att avlägsna dem. Vi börjar med det enkla fallet av en mottaglig infekterad (SI) process. Varje nätverksnod kan vara i något av två tillstånd: mottaglig (S) eller infekterad (I). En mottaglig nod som kommer i kontakt med en infekterad blir smittad med en fast sannolikhet λ per tidsenhet. När en nod väl har smittats, stannar den i det tillståndet i all oändlighet. Systemet initieras med alla 4 r 1 2 3 4 5 6 7 viktfraktion 11,3% 8,6% 8,8% 7,1% 8,3% 6,9% 5,7% r 8 9 10 11 12 13 14 viktfraktion 6,8% 7,5% 7,5% 4,8% 6,8% 5,7% 6% Tabell 1 : Komponentvikt. Fraktion av total tensor vikt motsvarande varje term S r av nedbrytningT. noder i S-tillståndet, med undantag för en enda infekterad nod (seed node). Tidpunkten och varaktigheten av kontakter mellan noder beskrivs av temporal networkT, som är en sekvens av vägda nätverk: för varje nätverk ögonblicksbild, vikten av en kant mellan två noder ger den totala varaktigheten av kontakter mellan dessa noder under motsvarande tidsintervall. Även om SI-processen inte beskriver någon realistisk infektionssjukdom, utgör den en paradigmatisk dynamisk process och används ofta för att undersöka de strukturella egenskaperna hos tidsbundna nätverk. För att undersöka effekten på epidemispridningen av att ta bort en utvald mesostruktur S r, simulerar vi epidemiprocessen på det förändrade nätverketT r, och jämför dess dynamik med den som observerats på hela tidsnätetT. Vi kvantifierar effekten av att ta bort komponent r genom att mäta det epidemiska fördröjningsförhållandet där t j är halvinfektionstiden på T när utsädet är nod j, och t r j är samma mängd för det förändrade tidsnätetT r. Halvinfektionstiden mäts från första gången frönoden infekterar en annan nod, och medelvärdet · beräknas över alla möjliga frönoder j och olika starttider för SI-processen (se Kompletterande information för detaljer). Vi studerar också effekterna av mesoscale-funktioner på dynamiken i en mer realistisk epidemisk process, modellen Susceptible-Infected-Recovered (SIR). I denna modell, S → I övergångar sker som i SI fallet när en mottaglig nod är i kontakt med en infekterad, med sannolikhet λ per enhet tid. Infekterade noder återhämtar sig med en konstant hastighet μ, och Recovered (R) noder inte längre delta i epidemiprocessen. För att bedöma effekten av att ta bort en viss mesostruktur r jämför vi storleken på epidemierna i slutet av processen, mätt som det slutliga antalet noder som finns i tillstånden I eller R. Vi beräknar förhållandet ρ mellan den genomsnittliga storleken  och r av epidemin på det förändrade nätverketT r och den genomsnittliga storleken på epidemin på hela nätverketT: Genomsnittet beräknas över alla möjliga frönoder och under olika såddtider i början av datamängden (se SI för närmare information). Observera att, på grund av den ändliga tidsmässiga spännvidden av våra nätverksdata, epidemiprocessen kanske inte är över vid slutet av simuleringen (d.v.s., vissa noder kan fortfarande vara i I-tillståndet). I detta fall Eq. 4 ger bara en uppskattning av hur mycket epidemin har lindrats under det tidsintervall som datan omfattar. Vi börjar från upplösningen av skolans tidsnätverk som beskrivs i Bild. 1 och studera effekten av att avlägsna enskilda mesostrukturer på dynamiken i en SI-process. Vi betraktar flera värden av överföringshastigheten λ: här presenterar vi resultat för λ = 0,7 och i den kompletterande informationen visar vi att kvalitativt liknande resultat håller för andra värden av parametern. Figur 2 visar fördröjningsförhållandet τ r för Eq. 3 erhålls genom selektivt ta bort var och en av komponenterna S r, med r = 1,.., 14: det vill säga att jämföra dynamiken i SI processen över var och en av de förändrade nätverken T r med dynamiken som observerats för hela temporal networkT. Eftersom de förändrade näten per definition har en mindre totalvikt T r än hela nätet, förväntar vi oss att epidemispridningen ska mildras för de förändrade näten. För att bedöma om en viss komponent r spelar en strukturell roll för epidemispridning som går utöver dess vikt, är det därför viktigt att jämföra det fördröjningsförhållande τ r observerade 5 om att ta bort denna komponent med en lämplig nullmodell. En sådan null modell erhålls genom att mäta fördröjningsförhållandet för flera stokastiska realiseringar av förändrade tidsbundna nätverk som erhållits från T genom att slumpmässigt ta bort en del av vikten som är lika med den för komponent r (som anges i tabell 1 ). Fördelningen av τ r för nullmodellerna visas av boxplot av Fig. 2............................................................... Figur 2: Epidemiskt fördröjningsförhållande som funktion av borttagen komponent. Den epidemiska fördröjningskvoten τ r för Eq. 3 ritas (fasta cirklar) som en funktion av den borttagna nätverkskomponenten och jämförs med den nullmodell som beskrivs i huvudtexten (boxplots). I varje boxplot är det centrala bandet medianen, botten och toppen av lådan är de första och tredje kvartilerna. Whiskers omfattning till den mest extrema datapunkten inom 1,5 IQR av de inre kvartilerna. Poäng bortom morrhår är outliers. Vi observerar att delay ratio som erhålls genom selektivt ta bort en komponent (fasta cirklar) är nästan alltid större än den som erhålls genom att ta bort länkar på måfå (boxplots): Sådana riktade åtgärder har en starkare effekt än slumpmässiga borttagningar av länkar. För de första 9 strukturerna är fördröjningsförhållandet positivt korrelerat med komponentvikten i tabell 1, som vi naivt kan förvänta oss. Förvärrande nog har avlägsnandet av komponenter 12 eller 14 saktat ner epidemin avsevärt. Dessa två mesostrukturer, trots att de har en mindre totalvikt än de flesta andra komponenter (se tabell 1 ), verkar därför spela en viktigare roll för SI-spridningen. Som visas i bild. 1 både komponenter 12 och 14 blanda noder från olika klasser och har aktivitet koncentrerad under lunchrasten den första dagen. De övriga komponenterna motsvarar antingen enskilda klasser (komponenterna 1–9 och 11) eller komponenter, såsom 10 och 13, med liten aktivitet den första dagen. Totalt sett bromsas SI-processen mest genom att man avlägsnar jämförelsevis svaga strukturer (i fråga om vikt) som blandar klasser och inträffar tidigt i data. Vi noterar att det mest effektiva ingripandet för att minska spridningen av epidemier innebär att man avlägsnar till synes mindre mesostrukturer som motsvarar komplexa samband mellan länkaktivitet och nätverksstruktur, och som inte kan upptäckas med hjälp av vanliga metoder för att upptäcka befolkningsgrupper. Vi vänder oss nu till fallet med en SIR-process och undersöker effekten av avlägsnandet av mesostruktur på dynamiken i en SIR-epidemi över tidsnätet. Vi beräknar den epidemiska storleksförhållandet ρ λ,μ (r) av Eq. 4 för ett brett intervall av värden för parametrarna λ och μ, och för alla komponenter r. Resultaten visas i bild 3 för utvalda komponenter och i den kompletterande informationen för alla övriga komponenter. Vi märker att för stora λ värden och små μ-värden (nederst till höger om värmekartorna) epidemiska storleksförhållandet ρ λ,μ (r) 1: i denna region epidemier sprider och slutar snabbt, därför mesostruktur avlägsnande inte kan minska sin storlek. Parametern region där mesostruktur avlägsnande kan ha en stark effekt, därför, är den ljusbågsformade regionen synlig, t.ex., i värmekartan för r = 1 (ljusblå/grön). Avlägsnandet av klasskomponenterna r = 1 och r = 2 lindrar epidemin något för ett stort antal parametrar inom den regionen (nästan ingen effekt erhålls för de övriga klasskomponenterna, som visas i figuren. S4 i tilläggsinformationen). Att ta bort klasskomponent 1 har en jämförelsevis högre effekt på grund av den högre totalvikten för den komponenten (tabell 1). På att ta en närmare titt på Fig. 3 Vi noterar att, beroende på den borttagna komponenten, betydande epidemisk begränsning kan uppnås i två huvudparameter regioner inom bågen. Den första regionen faller inom den svarta konturen (höga värden på λ och μ) och motsvarar parametervärden som ger epidemier som slutar vid slutet av den andra dagen. I denna region kan epidemin mildras kraftigt (ρ λ,μ 0,5) genom att man avlägsnar mesostrukturer som innebär blandning av klasser den första skoldagen, nämligen r = 12 och r = 14. Detta är con-6 Figur 3: Epidemiskt storleksförhållande som en funktion av SIR modellparametrar. Varje värmekarta motsvarar en riktad åtgärd som selektivt tar bort en komponent. För varje borttagen komponent r visar värmekartan det epidemiska storleksförhållandet ρ λ,μ (r) som en funktion av SIR-parametrarna λ och μ. ρ λ,μ (r) = 1 indikerar att interventionen inte påverkar epidemins storlek. Det vita området är den region där epidemin dör ut, dvs. det inte påverkar mer än 1 % av nätverk noderna. Regionen innanför den svarta konturlinjen motsvarar parametervärden så att SIR-epidemin slutar inom skoldatasetets ändliga spännvidd (2 dagar), både för hela och ändrade tidsnätverk. Det vill säga, för dessa parametervärden påverkas inte det epidemiska storleksförhållandet av datasetets finita tidsmässiga spännvidd. i överensstämmelse med resultaten av bild. 2 för SI-fallet. Omvänt, ta bort klass-mixing komponenter r = 10 och r = 13, som är mest aktiva på andra dagen (Fig. 1) har en försumbar effekt i samma parameterområde. För en provparameter val inom denna region, i bild. 4 Vi illustrerar epidemiernas tidsmässiga utveckling och effekten av att avlägsna enskilda komponenter: epidemin på de omodifierade nätverkstopparna den första dagen och, i enlighet med ovanstående anmärkningar, avlägsnar r = 12 eller r = 14 kraftigt minskar andelen drabbade noder, medan avlägsnandet av r = 10 och r = 13 har en försumbar effekt. Vi konstaterar att avlägsnandet av de tidiga klass-mixing mesostrukturerna också lindrar SIR epidemin för ett brett spektrum av parametervärden utanför den svarta konturen, som syns i Bild. 3, och att ta bort dessa mesostrukturer är mer effektivt i allmänhet än att ta bort klasskomponenter, även om den senare står för en större nätverksvikt. Den andra parametern är den nedre delen av bågen (låga värden på λ och μ) och syns i bild. 3 för r = 10 och r = 13. Denna region motsvarar parametervärden för vilka SIR-processen är långsammare och epidemin inte slutar under datans två dagar långa tidsrymd. I detta fall, ta bort någon av de klass-mixing mesostructures r = 10, 12, 13, 14 som en liknande och begränsad effekt på den epidemiska storlek som uppnås i slutet av den andra dagen. Vi har lagt fram en metod för att systematiskt bedöma mesostrukturernas relevans för dynamiska processer som epidemispridning i tidsbundna nätverk. Den föreslagna metoden använder endast tidsupplöst konnektivitetsinformation utan metadata och gör det möjligt att avslöja komplexa mönster av korrelerad länkaktivitet vars avlägsnande har en stark inverkan på simulerad epidemispridning för Fraction av infekterade noder som en funktion av tiden för ett urval parameterval. Temporär utveckling av den genomsnittliga fraktionen av infekterade noder (överst) och av den kumulativa fraktionen av infekterade noder (underst) som en funktion av tiden för en provparameter val av λ = 0,11 och μ = 0,16. Kurvan markerad som ingen motsvarar spridningen på den omodifierade temporal networkT. De övriga kurvorna visar effekten av selektivt avlägsnande av komponenter r = 1, 10, 11, 12, 14. För de valda parametervärdena sker epidemispridning den första dagen, vilket innebär att de tidiga klassblandningskomponenterna r = 12 eller r = 14 har en stark begränsningseffekt. Ett brett spektrum av modellparametrar. Avlägsnande av en enskild mesostruktur kan betraktas som en riktad insats på mesoskalan, såsom avlägsnande av en viss grupp av noder eller undertryckande av ett specifikt aktivitetsmönster (t.ex. en lunchrast). Dessa riktade insatser har en potentiellt hög relevans, eftersom de inte omfattar systemet som helhet, och inte heller behöver de åtgärder på mikroskopisk nivå av enskilda noder. Därför kan de hitta en balans mellan kostnad och effektivitet som kan göra dem genomförbara i en mängd olika tillämpningar. Som en illustration av metoden har vi övervägt en fallstudie där enkla men paradigmatiska spridningsprocesser förekommer ovanpå ett empiriskt temporalt nätverk som beskriver personliga interaktioner i en skola. I detta fall är de viktigaste mesostrukturerna för epidemispridning inte de som omfattar merparten av länkaktiviteten, utan består i stället av svagare, tidsmässigt lokaliserade blandningsmönster som motsvarar schemalagda sociala aktiviteter. Det är viktigt att påpeka att dessa mesostrukturer inte kan hittas med hjälp av samhällsdetektionsteknik på statiska nätverk, och att våra metoder avslöjar dem på ett oövervakat sätt. Vi lägger också märke till att ett ingripande som undertrycker en viss mesostruktur är beroende av att denna mesostruktur är igenkännbar i termer av relevant kontextuell information, såsom en känd eller förståelig gruppering av noder, timlig aktivitet lokaliserad vid specifika tider av ett känt schema, eller ett specifikt förhållande till andra metadata för sammanhanget i fråga. Till exempel selektiv borttagning av komponent S 12 i Bild. 1 blir endast ett målinriktat ingripande när dess tidsmässiga aktivitetsprofil identifieras som ett blandningsmönster i samband med lunchrasten den första skoldagen. Vårt arbete är ett första steg mot en systematisk utformning av mesoscale-interventioner i tidsbundna nätverk. Naturliga framtida steg inkluderar användningen av vår metodologi på olika tidsbundna nätverk, både empiriska och syntetiska, undersökningen av effekten av ofullständiga eller bullriga data, och studien av andra dynamiska processer. 8 En 3-steg tensor T, med poster T ijk, kan approximeras med en summaT av R rank-1 tensors 32;45;46, där varje komponent tensor S r är de yttre produkterna av tre vektorer, S r = a r • b r • c r. Frobenius normen av skillnaden mellan T och T, = T −T, kvantifierar felet i approximeringen av den ursprungliga tensor med summan T. Antalet komponenter R tolkas som antalet eftersökta mesostrukturer i sönderdelningen av tidsnätet. Dess värde måste fastställas genom att balansera motstridiga mål för minimering, dvs återhämta så mycket som möjligt av den ursprungliga tensor, och undvika övermontering 31;32;47. De uppsättningar vektorer a {1,2,...,R}, b {1,2,...,R}, c {1,2,...,R} kan kombineras till matriser A  med R N ×R, B med R ×R och C med R S×R. Dessa matriser har alla R-kolumner, en för varje komponent i nedbrytningen, d.v.s. en för varje sökt mesoscale struktur. För ett oriktat temporalt nätverk (t.ex. en av våra fallstudie) är adjacensmatrisen på varje tensorskiva symmetrisk och nedbrytningen ger A B. I praktiken är det möjligt att direkt söka en nedbrytning med A B, dvs., med komponent tensorer av formen S r = a r •a r •c r. Därför hänvisar vi i huvudtexten endast till matriserna A och C: matriselementen a ir av A associera varje komponent r = 1,..., R med enskilda noder i nätverket, medan matriselementen c kr av C koda temporal aktivitetsmönster för varje komponent, med tiden indexerad av k. Dekomposition av Eq. 5 kan skrivas som en ir a jr c kr. Matriselementen en ir indikerar begreppet medlemskap i node i till komponent r, så denna representation är lämplig för att beskriva överlappande mesostrukturer och komplexa korrelationer mellan konnektivitetsmönster och aktivitetsmönster över tiden. Lägg märke till att även när det ursprungliga tidsnätet är oviktat, dvs. tensoren T är binärt värderad, motsvarar komponenttensorerna S r i allmänhet viktade nät, och den approximerande tensoren T är i allmänhet realvärderad. För att beräkna nedbrytningen av Eq. 5 vi behöver för att lösa ett optimeringsproblem som minimerar restvärdet. Ett standard sätt att göra det är att konvertera 3-stegsproblem som Eq ger. 5 i tre kopplade 2-stegs underproblem: Detta görs genom att utveckla den ursprungliga tensor T längs sina tre lägen, en teknik som också kallas studentricization 45. Med hjälp av denna representation, den ursprungliga tensor approximation problem kastas i 3 kopplade matris approximation problem som involverar faktorn matriser A, B och C. Eftersom motsvarande optimeringsproblem är konvexa med avseende på någon av matriserna - men inte med avseende på dem allit är möjligt att lösa optimeringen genom en metod som kallas Alternativa icke-negativa Least Squares 48. Minimeringen av utförs vanligtvis med icke-negativitet och / eller sparhet begränsningar på faktorn matriser 32;45, Som detta är känt för att ge nedbrytningar som kan tolkas som delar-baserade representationer av de ursprungliga uppgifterna 42. Här utför vi nedbrytningen med icke-negativitetsbegränsningar, med hjälp av Alternating Nonnegative Least Squares och en block-koordinata nedstigningsmetod för att förbättra konvergenshastighet 49;50. Vårt genomförande bygger på MATLAB-koden för ref. - Vad är det för fel på dig? - 51. Antalet komponenter R sätts genom att använda kärnkonsistens diagnostik 31;47 optimerad över 5 stokastiska realiseringar av nedbrytningen som skiljer sig åt för slumpmässiga ursprungliga förhållanden av faktorn matriser. Komponenterna S r beställs så att Euclidean norm av S r minskar för att öka r. Det vill säga den första kolumnen av matriser A, B och C motsvarar komponenten med högsta Euclidean norm, och på varandra följande kolumner koda svagare och svagare komponenter.
På grundval av tidsbetonade nätverk identifierar och rankar arbetet inom Ref kollektiva funktioner för spridning av epidemier.
Revealing latent factors of temporal networks for mesoscale intervention in epidemic spread
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Physics', 'Computer Science']}