Den senaste tidens arbete av Kilmer och Martin [10] och Braman [2] ger en miljö där de välbekanta verktygen för linjär algebra kan utökas för att bättre förstå tredje ordningens tensorer. Detta dokument fortsätter längs denna ven och undersöker ytterligare konsekvenser: 1) en bilinjär operatör på matriser som nästan är en inre produkt och som leder till definitioner av matrisers längd, vinkel mellan två matriser och ortogonalitet av matriser och 2) användningen av t-linjära kombinationer för att karakterisera intervallet och kärnan av en kartläggning som definieras av en tredje klassens tensor och t-produkten och kvantifieringen av dimensionerna av dessa satser. Dessa teoretiska resultat leder till studier av ortogonala projektioner samt en effektiv gram-Schmidt process för att producera en ortogonal bas av matriser. Den teoretiska ramen leder oss också att överväga begreppet tensor polynomials och deras förhållande till tensor eigentuples definieras i [2]. Implications för att utöka grundläggande algoritmer såsom kraftmetoden, QR iteration, och Krylov subrymdsmetoder diskuteras. Vi avslutar med två exempel i bildbehandling: att använda de ortogonala element som genereras via en Golub-Kahan iterative bidiagonalization system för ansiktsigenkänning och lösa en regulariserad bild deblurring problem. Nyckelord. Eigendecomposition, tensor decomposition, singular value decomposition, flerdimensionella matriser AMS ämnesklassificeringar. 15A69, 65F30 1. Inledning. Termen tensor, som används i samband med detta papper, avser en flerdimensionell uppsättning nummer, ibland kallade n-way eller n-mode array. Om, till exempel, A R n1×n2×n3 då vi säger A är en tredje-order tensor där ordning är antalet sätt eller lägen av tensor. Således matriser och vektorer är secondorder och första-order tensors, respektive. Tredje ordningen (och högre) tensorer uppstår i en mängd olika tillämpningsområden, inklusive, men inte begränsat till, kemometri [24], psykometri [13] och bild- och signalbehandling [5, 15, 23, 17, 8, 20, 29, 28, 30]. Olika tensorer som CADECOMP/PARAFAC (CP) [4, 7], TUCKER [26] och Higher-Order SVD [14] har utvecklats för att underlätta utbyggnaden av linjära algebraverktyg till detta multilinjära sammanhang. För en grundlig genomgång av tensor nedbrytningar och deras tillämpningar, se [11]. Den senaste tidens arbete av Kilmer, Martin [10] och Braman [2] ger en alternativ miljö där de välbekanta verktygen för linjär algebra kan utökas för att bättre förstå tredje ordningens tensorer. Särskilt under [9] och [10] definierar författarna en multiplikationsoperation som är stängd på uppsättningen tredje ordningens tensorer. Denna multiplikation tillåter tensor factorizations som är analoges av matris factorizations liksom SVD, QR och eigendecompostions. Dessutom [2] definierar en fri modul av matriser (eller n × 1 × n tensorer) över en pendlande ring där elementen är vektorer (eller 1 × 1 × n tensorer) och visar att varje linjär omvandling på det utrymmet kan representeras av multiplikation med en tredje ordningens tensorer. Det betydande bidraget från dessa dokument är således utvecklingen av en ram som möjliggör nya utvidgningar av den välbekanta matrisen.
Kilmer m.fl. REF generalisera den inre produkten av två vektorer, föreslå en uppfattning om vinkeln mellan två vektorer med element i R och definiera en uppfattning om ortogonalitet för två vektorer.
THIRD ORDER TENSORS AS OPERATORS ON MATRICES: A THEORETICAL AND COMPUTATIONAL FRAMEWORK WITH APPLICATIONS IN IMAGING ∗
{'venue': 'SIAM J. Matrix Analysis Applications', 'journal': 'SIAM J. Matrix Analysis Applications', 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}