I detta inledande dokument granskas de aktuella moderna vetenskapliga metoder som används för att modellera, analysera och kontrollera dynamiken i fordonstrafiken. Möjliga mekanismer för att skapa och sprida trafikstockningar presenteras ur ett dynamiskt perspektiv. Stabila och instabila rörelser beskrivs som kan ge skelettet av trafikdynamik, och effekterna av förarens beteende betonas när det gäller att bestämma det framväxande tillståndet i ett fordonssystem. Vid lämpliga tidpunkter hänvisas till de dokument som publiceras i motsvarande temanummer. Nyckelord: fordonstrafik; trängsel; stop-and-go vågor; Hopf bifurcation; förare reaktionstid; instabila vågor frågade jag Fermi om han inte var imponerad av överenskommelsen mellan våra beräknade tal och hans uppmätta tal. Han svarade: "Hur många godtyckliga parametrar använde ni för era beräkningar?" Jag tänkte för ett ögonblick på våra avstängningsförfaranden och sa "fyra". Han sa: "Jag minns att min vän Johnny von Neumann brukade säga, med fyra parametrar kan jag passa en elefant, och med fem kan jag få honom att vicka på stammen." (Dyson 2004, s. 297) Införandet av monteringslinjen inom bilindustrin för omkring hundra år sedan tillät massproduktion av bilar, vilket i sin tur revolutionerade landtransporterna. Samtidigt uppstod också ett problem som ännu inte lösts: trafikstockningar. Sedan dess har forskare från många olika discipliner (matematik, fysik och teknik) riktat in sig på detta problem, *Författare för korrespondens (gabor@engineering.ucsb.edu). Ett bidrag av 10 till en temafråga "Traffic jams: dynamics and control". Denna tidskrift är © 2010 Royal Society 4455 4456 G. Orosz et al. ofta med hjälp av sofistikerade matematiska verktyg som hämtats från deras eget kompetensområde. Dessutom fastställdes analogier mellan trafikflödet och andra flöden (vätskeflöde, gasflöde och granulärt flöde). Även om sådana analogier kan hjälpa vetenskapsmän att få förståelse för vehikulära system, blir det allt tydligare att trafiken flyter likt inget annat flöde i det Newtonska universumet. Hittills har ett stort antal olika modeller konstruerats, men ännu har inga första principer fastställts för att vägleda modelleringsförfarandet (om sådana principer över huvud taget finns). I många fall hävdade författarna att den utvecklade modellen beskrev trafiken bättre än modellerna före den punkten, och sådana påståenden motiverades ofta genom att modellerna anpassades till empiriska data. Citatet i början av denna rapport försöker, utan att ifrågasätta vikten av någon särskild modell, visa att ovanstående tillvägagångssätt lätt kan leda till forskning fånga, men också saknas, vissa väsentliga egenskaper. Vi tror att ett annat sätt att bedriva forskning i trafiken kan vara genom att studera generella klasser av modeller och klassificera deras kvalitativa dynamiska egenskaper (inklusive "dolda" instabila rörelser) när olika modellparametrar. För att sätta en sådan dynamisk synvinkel i trafikgemenskapen krävs ett enhetligt matematiskt språk som gör det möjligt för forskare, som arbetar inom olika discipliner från matematik till fysik, att kommunicera. Som ett första steg i denna strävan bjöd vi in en grupp världsledande experter som arbetar med trafikproblem inom olika områden för att lämna in dokument för denna temafråga. Förutom att presentera nya resultat betonar de de grundläggande dynamiska egenskaperna hos trafiken ur deras perspektiv. De artiklar som publiceras i detta temanummer representerar den senaste tekniken inom trafikvetenskap, och de syftar också till att vara tillgängliga för en bredare publik. I den här introduktionen (som också fungerar som en introduktion till temafrågan) ger vi läsarna en kort översikt över trafikdata, modellering, dynamik och styrning. Presentationen här är baserad på den enklaste möjliga inställningen, dvs.. fordon som följer varandra på en enda körfält, men vi ger referenser till artiklar där ett sådant koncept har utökats för multilantrafik, korsningar, trafiksignaler och stadstrafik. Många av dessa tillägg är också särskilt inriktade på ett eller flera dokument som publiceras i temanumret. På 1930-talet hade fordonstrafiken i USA redan nått den nivå som krävde ledning. Det första steget mot detta var att samla in trafikdata. Empiriska data samlades in med hjälp av fotografiska mätningar vid tvärsnitt, och data sammanfattades av den så kallade flux-densitet eller grundläggande diagram (FD) där flödet (antal fordon som passerar tvärsnittet i enhetstid) ritades som en funktion av trafiktätheten (Greenshields 1935). Dessutom registrerades förarparametrar, såsom reaktionstid, redan vid den tidpunkten (Greenshields 1936). Sedan dess har FD använts för att karakterisera trafikbeteendet. FD i figur 1a, som återges från Kerner (2004), representerar uppgifter som samlats in från tyska A5 autobahn nära Frankfurt. Det är uppenbart att när man konstruerar en FD "projekterar" beteendet hos ett mycket högdimensionellt system till ett mycket lågdimensionellt diagram. Det är dock inte klart om en tillståndsvariabel är ritad som en funktion av en parameter eller ett tillståndsutrymme diagram skapas; båda tolkningarna används i litteraturen. Under de senaste årtiondena har informationstekniken utvecklats avsevärt, och nu gör den det möjligt för oss att samla in "högre dimensionella" trafikdata. Det finns två olika metoder som används i praktiken. Så kallade makroskopiska data samlas in genom att installera sensorer (vanligen dubbla induktionsslingor) längs vägen som mäter flöde och hastighet på en viss plats, och densitet kan beräknas som förhållandet mellan de två mängderna. Vanligtvis aggregeras uppgifterna i tid (t.ex. i 1 min enheter) och används för att generera spatiotemporala ytor där densiteten och hastigheten är färgkodade. Figur 1b visar ett sådant diagram som genereras av data som samlats in längs den brittiska motorvägen M25, som omger London (Highways Agency, UK). När man studerar ett sådant diagram, kan man observera några distinkta spatio-temporala mönster. I vissa regioner är hastigheten nästan homogen, det vill säga att ett enhetligt flöde observeras. När motsvarande hastighet också är hög, kallas det ofta fritt flöde. I andra regioner ändras hastigheten i rum och tid; särskilt vågor av trängsel färdas uppströms med en karakteristisk hastighet på 15-20 km h −1. Ett viktigt mål inom trafikforskningen är att förstå mekanismerna för bildning och spridning av dessa så kallade stop-and-go-vågor (även kallade vidrörande sylter ibland). För varje detektor kan en separat FD konstrueras och analyseras (Kerner 2004). På senare tid har så kallade mikroskopiska data (som beskriver enskilda fordon) blivit tillgängliga. Sådana uppgifter samlas in genom att en kamera monteras på en plats med högre höjd eller på en helikopter från vilken enskilda fordon kan spåras och på så sätt kan fordonsbanor rekonstrueras. I figur Macroskopiska modeller som beskriver trafik i termer av densitet och hastighetsfördelningar (eulerisk beskrivning) kan monteras på makroskopiska data, och modellparametrar kan uppskattas på detta sätt. På samma sätt kan mikroskopiska modeller som beskriver enskilda förares beteende (lagrangisk beskrivning) monteras på mikroskopiska data, och motsvarande förarparametrar kan fastställas. Det är också möjligt att passa mikroskopiska modeller till makroskopiska data och vice versa, men detta är mindre enkelt. Data-montering för trafiksystem är långt ifrån trivial, orsakas delvis av det möjligen stora antalet modellparametrar och delvis av det faktum att det studerade systemet med hög grad av frihet förändras i tiden; det är inte så lätt att passa en elefant i rörelse (se citatet i början av detta papper). I Wagner (2010) används makroskopiska data för att uppskatta modellparametrar för både makroskopiska och mikroskopiska modeller, medan mikroskopiska modeller är monterade på mikroskopiska data i Hoogendoorn & Hoogendoorn (2010). I Laval & Leclercq (2010) används mikroskopiska data för att bygga mikroskopiska modeller, och det har visat sig nödvändigt att lägga till dynamik i kinematiska modeller för att kunna reproducera trafikstockningsbildning som observerats i data. I detta avsnitt ger vi en kort genomgång av matematik- och fysiklitteraturen om förenklade trafikmodeller; för mer diskussion, se Helbing (2001) och Nagel et al. (2003).................................................................. Vi försöker inte ge en komplett lista över modeller som genererats sedan 1950-talet, utan betonar snarare de dynamiska antagandena bakom de modeller som har format trafikforskningen under de senaste decennierna. Vi fokuserar på modeller som är kontinuerliga i tid och rum, men nämner även modeller där dessa mängder är diskretiserade. Observera att diskretisering av tid och/eller rum i ett flerskaligt system kan "tvätta bort" en del intressant dynamik och, följaktligen, kan leda till begränsade eller till och med felaktiga gissningar. - Phil, vad gör du här? Överför. R. Soc. A (2010) Inledning. Trafikstockningar Beroende på de rumsliga skalor som representeras finns det två olika klasser av modeller. Macroskopiska (eller kontinuum) modeller tar inte hänsyn till enskilda fordon utan beskriver snarare trafiken i termer av kontinuerlig densitet och hastighetsfördelning som funktioner av rum och tid. Dynamiken, d.v.s. Tidsutvecklingen för dessa fördelningar ges genom partiella differentialekvationer (PDE). Å andra sidan beskriver mikroskopiska (eller bilföljande) modeller beteendet hos enskilda fordon: diskreta enheter som rör sig i kontinuerligt utrymme. Här ges fordonens rörelse genom vanliga och fördröjda differentialekvationer. Trots sex decenniers forskning har kopplingen mellan de två kategorierna av modeller ännu inte klargjorts av två huvudskäl. Å ena sidan är, som nämnts ovan, synpunkterna på de två modellerna olika. Den eulerska synen på kontinuummodeller handlar om förändringar av densitet och hastighet i tid på en fast plats, medan avstånd och hastigheter övervakas när man " reser tillsammans med enskilda fordon" i den lagrangerska synen på bilar som följer modeller. Dessutom är förhållandet mellan avstånd och densitet långt ifrån trivialt i dynamiska situationer (Berg et al. År 2000............................................................................................................ Å andra sidan gör förarnas psykologiska åtgärder att trafiken skiljer sig från alla andra flöden. I denna "fluid" interagerar "partiklar" (av ändlig storlek) genom att bryta mot Newtons tredje axiom eftersom ledarens rörelse påverkar följarens rörelse men inte tvärtom-utom när kollisioner inträffar. I kontinuummodeller beskrivs trafiken via en densitetsfördelning r(x, t) och en hastighetsfördelning v(x, t), som är kontinuerliga funktioner av plats x och tid t. I sådana modeller har vi bevarande av fordon, så att i avsaknad av källor och sänkor (på och utanför ramper) där v står för partiell differentiering. Mängden q(x, t) := r(x, t)v(x, t) beskriver det momentana flödet (även kallat genomströmning eller flöde) på plats x och tid t. Ytterligare förbättringar är möjliga med tanke på flera arter modeller, multi-lane konfigurationer och korsningar (daganzo 2002a,b; Benzoni-Gavage & Colombo 2003). För att slutföra modellen måste man definiera förhållandet mellan densitet och hastighet (eller alternativt mellan densitet och flöde). En möjlighet är att tilldela hastigheten direkt som en funktion av densitet (och dess rumsliga derivat) Formel (3.1), (3.2) kallas ofta kinematiska eller första ordningen modeller. I den enklaste miljön, introducerad i Lighthill & Whitham (1955), har vi där V(r) är en minskande funktion, modellerar att tät trafik bör färdas långsammare än sparsam trafik av säkerhetsskäl. Likvärdigt kan flödet tilldelas som q = rv = rV(r) := Q(r). Om man initierar denna modell så att snabb trafik placeras bakom långsam trafik, slipar lösningsprofilen och en okontinuerlig chock utvecklas i ändlig tid där hastigheten hoppar nedåt, vilket kräver oändlig retardation. För att representera fordonets tröghet kan dynamiska eller andra ordningens modeller konstrueras där formel (3.1) kompletteras med en ekvation för accelerationen (dvs. Den totala derivatan av hastigheten) Faktum är att de flesta modeller i litteraturen kan skrivas i den specifika formen Den första termen på höger sida motsvarar avslappning till en densitetsberoende optimal hastighet som ges av den minskande funktionen V (r) med en avslappningstid T. Gränsen T → 0 tyder på en koppling med ekvation (3.3). Observera att denna idé också förekommer i mikroskopiska modeller som förklaras mer nedan. Den andra termen är sådan att N = 0 för konstant densitet och hastighet, i vilket fall ekvation (3.3) fortfarande håller. Denna term kan konstrueras med hjälp av vätskedynamiska analogier och vanligtvis innehåller en "tryckterm" som är proportionell mot −v x r/r och representerar förväntan av förare till händelser framöver, och en "diffusionsterm" som är proportionell mot v xx och representerar de genomsnittliga effekterna av buller (Payne 1979; Kerner & Konhäuser 1994). Trots att tryck och diffusion är abstraktioner som är svåra att tolka i trafiken, kan dessa modeller reproducera ett enhetligt flöde samt stopand-go-vågor (utan diskontinuiteter). De har dock kritiserats för att förutsäga icke-fysiska flödesrörelser (negativt flöde och negativa hastigheter) under vissa förhållanden (daganzo 1995). Som svar på denna kritik N = rP (r)v x v har föreslagits av Aw & Rascle (2000), där funktionen P (r) representerar förväntan. Flytta N till vänster sida och använda ekvation (3.1), modell (3.5) kan skrivas om som Här v + P (r) representerar en Lagrangian kvantitet och modellen påstås korrekt beskriva anisotropi trafikflödet: partiklar svarar på stimuli framifrån men inte bakifrån. Lägg märke till att modellen (3.1), (3.6) är en hyperbolisk PDE med en källterm på höger sida. Kontinuummodeller kan också utvecklas från mikroskopiska modeller, vilket ger formen (3.5) där de rumsliga derivata visas på grund av den diskreta-till-kontinuerliga omvandlingen (Berg et al. År 2000............................................................................................................ Tidsförseningar kan också ingå i kontinuummodeller (Siebel & Mauser 2006) för att härma förarens reaktionstid. Som kommer att visas nedan, reaktionstiden är en viktig del av bilföljande modeller, men det är inte klart hur den ska införlivas i kontinuum modeller. Buller kan också uttryckligen läggas till någon av ovanstående modeller, men det har sällan gjorts i litteraturen. Fördelarna med kontinuummodeller är att resultaten kan jämföras direkt med makroskopiska data, såsom FD i figur 1a och mellanslagsdiagram i figur 2b (Kerner 2004), och att det också är relativt lätt att ge gränsförhållandena för hastighet och flöde. Deras nackdel är dock att det är svårt att relatera modellparametrarna till mikroskopiska förarparametrar. Dessutom är det inte klart vilka begränsningar som införs av det faktum att i grunden diskreta system modelleras som continua. Inledning. Trafikstockningar Slutligen konstaterar vi att det finns gaskinetiska modeller av Boltzman-typ, som bygger på partikelkollisioner och innehåller buller uttryckligen (Prigogine & Herman 1971; Helbing 1995), men dessa kan inte presenteras i form av (3.1), (3.2) eller (3.1), (3.4). I bilföljande modeller rör sig diskreta enheter i kontinuerlig tid och kontinuerligt utrymme, som visas figur 2, där fordon av samma längd ritas i en specifik miljö. Vid tiden t, positionen för den främre stötfångaren i den n:te bilen betecknas med x n (t), dess hastighet är v n (t) och stötfångaren-till-stötfångaren avståndet till fordonet framför (kallas huvudet) är h n (t). Differentiering h n (t) = x n+1 (t) − x n (t) − med avseende på tid t och med hjälp av en n (t) = v n (t), en få för att slutföra modellen denna ekvation måste kompletteras med en bil-följeregel, det vill säga hastigheten eller accelerationen måste anges som funktionen av stimuli som vanligtvis är avståndet h n, hastighetsskillnaden på n och fordonets egen hastighet v n. Observera att vissa modeller också innehåller hastigheten v n + 1 och/eller accelerationen v n + 1 av ledaren, som inte uttryckligen kommer att representeras av den notation som används nedan. För att ytterligare förenkla frågan beaktas ofta förare med identiska egenskaper. När hastigheter tilldelas kan motsvarande kinematiska modeller skrivas i form 8) som ibland kallas kollisionsundvikande modeller (Kometani & Sasaki 1958). Åtminstone en av förseningarna t, s, k måste vara positiv för att få en genomförbar modell, men det är inte alltid uppenbart vad dessa mängder fysiskt betyder. Till exempel i modellen v n (t) = v n+1 (t − s) står fördröjningen s för ett tidsgap (ett tidsavstånd som föraren håller från ledaren; Newell 2002), medan fördröjningen t i modellen kan representera en reaktionstid (en död tid som krävs för att bearbeta information och initiera åtgärder) och/eller en avkopplingstid (som motsvarar förarens reaktions tröghet; Newell 1961 Newell, 2002 Igarashi et al. 2001)................................................................................................... Här är V (h) en ökande funktion som representerar att ju större huvudvägarna är, desto snabbare tänker förarna gå. För att upprätta en koppling mellan modellerna (3.3) och (3.9) kan man definiera V(r) := V (1/r − ). I mer komplicerade kinematiska modeller, som i Gipps (1981), brukar uppsättningen t = s = k användas och fördröjningen står för förarens reaktionstid. Observera att den kinematiska regeln (3.8) kan kräva oändliga accelerationer. I dynamiska modeller förskrivs accelerationerna a och många andra uppsättningar är också möjliga; man kan till exempel redogöra för mänskliga minneseffekter genom att använda distribuerade fördröjningar, som i Sipahi & Niculescu (2010). Tidiga dynamiska bilföljande modeller, t.ex. modellerna i Gazis et al. (1961), tog formen 11) och använde den mänskliga föraren set-up; se Holland (1998) för en översyn. En brist hos dessa modeller är att de inte kräver någon acceleration för noll relativ hastighet (- = 0) oberoende av avståndet h. Det vill säga extremt små huvudvägar är tillåtna även vid resor med extremt hög hastighet. En klass av modeller som lyckades eliminera detta problem kallas den optimala hastighetsmodellen (OVM), Den första termen motsvarar avkoppling till en densitetsberoende optimal hastighet ges av den ökande funktionen V (h) med en avkopplingstid T. Tydligt, för den mänskliga föraren uppsättning, T = 0 leder till modell (3.9). Den ökande funktionen W ( ska) visar beroendet av den relativa hastigheten. Observera att man kan utveckla en kontinuummodell som (3.5) från (3.12), men även för W = 0 får man N = 0 eftersom r = 1/(h + ) inte kan användas i dynamiska situationer (Berg et al. År 2000............................................................................................................ För W = 0 har modellen studerats i stor utsträckning utan reaktionstid (Bando et al. 1995; Gasser m.fl. 2004), med hjälp av mänskliga förare set-up Bando et al. 1998; Orosz m.fl. 2010)................................................................. I detta fall, modellen innehåller bara några parametrar: avkopplingstiden T, önskad maximal hastighet v max = max V (h) (ansatta för stora h), den önskade stoppsträckan h stopp (under vilken V (h) 0) och en ytterligare parameter som motsvarar en önskad tid gap (som är inbäddad i V ). Trots sin enkelhet kan modellen (3.12) reproducera nästan alla typer av trafikbeteenden kvalitativt och även övergångar mellan olika beteenden. En brist i modellen är att vissa parametrar (som den önskade tidsgap) inte visas explicit, medan andra (som avkopplingstiden T ) kan vara mindre än förväntat vid montering av modellen till data (Wagner 2010). En annan bil-följer modell som vunnit popularitet under det senaste årtiondet introducerades i Treiber et al. (2000) och kallas intelligent förarmodell (IDM), (3.13) I denna modell har alla parametrar en tydlig fysisk betydelse: a är maximal acceleration, b är bekväm retardation, v max är önskad maximal hastighet, h stopp är önskad stoppsträcka och T gap är önskad tid gap, och deras värden är som förväntat vid montering av modellen till data (Hoogendoorn & Hoogendoorn 2010). I vissa situationer producerar IDM orimligt hårt bromsbeteende som nyligen har eliminerats genom ytterligare justeringar (Kesting et al. 2010)................................................................. Många andra dynamiska modeller har utvecklats under de senaste två decennierna som inte listas här. Vi presenterar bara de som är enkla till formen och som vi tror hade en stark inverkan på trafikmodellering. Observera att mycket mer komplicerade modeller kan implementeras i simuleringspaket (MITSIM). Det finns ett par förlängningar av bilföljarmodellerna (3.8) och (3.10). I multi-look-ahead modeller (Herman et al. 1959; Wilson m.fl. 2004 ) svarar förarna på förslaget om fler än ett fordon framåt. Följaktligen, när övervakning M fordon framför, mängderna.., M, också visas i de styrande ekvationer (involverande reaktionstider som vanligtvis är större än t och s). Observera att med hjälp av variablerna h n, v n i system (3.7), (3.8) och (3.10) kan fordonets längd elimineras; detta är inte möjligt i multi-lookahead fallet. Sådana nästa-glänsande granninteraktioner kan öka (linjära) stabiliteten i ett enhetligt flöde. Det finns också flera arter modeller (Mason & Woods 1997; Nagatani 2000) där förare med olika egenskaper beaktas, det vill säga g, f,, t, s, k → g n, f n, n, t n, s n, k n antas, vilket kan vara olika för varje n. Emellertid brukar endast två olika arter blandas, vilket motsvarar bilar och lastbilar. Man kan också förlänga bilföljande modeller för att göra dem kapabla att modellera multi-lane trafik eller korsningar, i vilket fall körfält förändringar måste hanteras (Davis 2004; Kesting et al. 2007)................................................................................................... När en körfältsändring inträffar ändras den högra sidan av modellen (3.8) eller (3.10), dvs. man måste ta itu med ett "okontinuerligt dynamiskt system". Det är också möjligt att införliva stokastiska effekter för att modellera inkonsekvenser i förarens beteende och yttre störningar (t.ex. väder eller ojämnheter på väg). Men i den nuvarande litteraturen är detta inte typiskt, utom i de fall då modellen diskretiseras i tid. Det har särskild betydelse när utrymme och hastigheter också diskretiseras (utom tid), i vilket fall vi talar om cellulära automata modeller (Nagel & Schreckenberg 1992). Dessa modeller brukade vara mycket populära eftersom snabba förverkliganden av numeriska simuleringar var möjliga, men diskretiseringen kan "spola bort" många dynamiska effekter som är viktiga för att förstå trafikdynamiken. Innan vi avslutar detta avsnitt, samlar vi in de karakteristiska tider som förekommer i trafiken. Vi vill betona att även om dessa är nära varandra i storlek, kan deras fysiska betydelse och deras effekter på dynamiken vara helt olika. - Reaktionstid. t, s, k, 0.5-1.5 s är en död tid som krävs för att bearbeta information om stimuli och för att initiera åtgärder. Det kan vara annorlunda för olika typer av stimuli; se modell (3.10). -Slappna av. T 1-10 s visas på grund av det faktum att fordon endast klarar ändlig acceleration; se modell (3.12). -Övrigt tidsgap (även kallat tidsförlopp). T gap  på 1-2 s är den tid distansförare vill behålla när du följer en ledare; se modell (3.13). Vi noterar att dessa tider också bör skiljas från den numeriska uppdateringstiden som helt enkelt är en artefakt av tid diskretisering. Beroende på diskretiseringsschemat, kan dess effekter vara liknande de av multiplerna av reaktionstiden (Kesting & Treiber 2008). I följande avsnitt presenteras alla resultat på den dynamiska bilföljarmodellen (3.7), (3.10), men de flesta metoder är också tillämpliga på (3.7), (3.8) och (3.1), (3.4). Som nämnts ovan bör en trafikmodell kunna reproducera ett enhetligt flöde där både hastigheterna och huvudvägarna är tidsoberoende, dvs. för identiska fordon har vi h n (t) h *, till n (t) 0 och v (t) v *. (4.1) (För icke-identiska fordon skulle den första formeln bli h n (t) h * n, där h * n kan vara olika för varje fordon.) Vi antar också att det finns ett funktionellt samband mellan jämviktsriktningen h * och jämviktshastigheten v *, det vill säga 2) där V antas ha följande egenskaper: -V är kontinuerlig och monotont ökande (Ju mer sparsam trafik är, desto snabbare förare vill resa). -V (h) 0 för h ≤ h stopp (i mycket tät trafik avser förare att stanna). -V (h) v max för stora h (i mycket sparsam trafik, förare har för avsikt att köra med maximal hastighet-ofta kallas fritt flöde). Två exempel visas i figur 3a,b. Funktionen i figur 3a representerar att mellan stopp och fri-flöde förhållanden-drivrutiner har för avsikt att hålla en konstant tidsgap T gap. Denna funktion är dock icke-smooth, vilket kan komplicera introduktionen. Trafikstockningar matematisk analys av motsvarande modeller, så i många fall utjämnade funktioner som den i figur 3b används (som vanligtvis inte innehåller T gap uttryckligen). En sådan jämvikts-hastighetsfunktion har uttryckligen byggts in i modellerna (3.9) och (3.10), (3.12), där den ofta kallas den optimala hastighetsfunktionen. För (3.10), (3.13), finner man att 4 och motsvarande V liknar figur 3b-förutom att V (h) < 0 för h ≤ h stopp, dvs. Bilar har för avsikt att vända i detta system. Men det enhetliga flödet är vanligtvis instabilt här, och en sådan icke-fysisk rörelse observeras sällan i simuleringar. Notera också att V (h stopp ) = 1/T gap. Slutligen noterar vi att modellen (3.10), (3.11) inte medger en sådan enhetlig flödesjämvikt: förutsatt att v n (t) v *, alla h n (t) h * n är möjligt (där h * n kan vara olika för varje fordon, även för identiska förare). I jämvikt kan man definiera jämviktstätheten och flödet som där V(r * ) = V (1/r * − ). På detta sätt kan jämvikten hastighet-vägdiagram i figur 3a,b omvandlas till jämviktsflöde-densitet (grundläggande) diagram i figur 3c,d. Funktionen V är uttryckligen inbyggd i figuren 3c som används i litteraturen på grund av dess enkelhet. I synnerhet när den infogas i den kinematiska modellen (3.3) förökar sig fronterna mellan regioner med olika hastigheter (ofta kallade egenskaper) uppströms med konstant hastighet c-vågen = −(h stop + )/T gap < 0. Balans FDs fint matchar "kurvan" på vänster sida av den experimentella diagrammet i figur 1a, men definitivt inte göra ett bra jobb som beskriver "patch" på höger sida och regionen där kurvan och lappen överlappar. För att åtgärda denna brist på jämvikt FDs, non-equilibrium FDs i figur 3e,f föreslås i litteraturen (Kerner 2004)-in figur 3f, hela skuggad domän är en del av diagrammet. Det är uppenbart att dynamiska effekter måste beaktas för att förklara dessa, särskilt om man vill förklara övergången mellan olika stater i den överlappande regionen. Vissa författare hävdar att sådana diagram är effekten av en ny "fas" som förekommer i multi-lane trafik (Kerner 2009)-en förklaring som har kritiserats av andra (Schönhof & Helbing 2009 ). I de två följande avsnitten, utan att försöka förena denna konflikt, kommer vi att visa att för tillräckligt stora reaktionstider kan modellens dynamik (3.10) reproducera figur 1a när man bara överväger enfilig trafik. Dessutom kommer vi att betona att det är användbart att studera "dolda" instabila lösningar (som inte är observerbara i mätningar) för att karakterisera mekanismerna för syltbildning. Det kan finnas två uppenbara skäl till varför den högra sidan av jämvikten FD i figur 3c,d inte är observerbar i empiriska data. Ekvilibria existerar antingen inte eller är de inte stabila (lösningar avviker och närmar sig något annat tillstånd). Det senare fallet kan studeras genom linjärisering modell (3.10) om jämvikten (ekvation (4.1) ). Definiera perturbationsh n (t) = h n (t) − h * n (t) = v n (t) − v *, kan man få den linjäriserade ekvationen där derivaterna antas vara positiva för att erhålla fysiskt realistiska förarens beteende, dvs. Förarna har för avsikt att minska störningarna. Faktum är att vi harh n (t) =x n+1 (t) − Det finns (åtminstone) tre olika metoder för att studera den linjära stabiliteten i det enhetliga flödet (även kallade strängstabilitet) som används i litteraturen och leder till samma resultat. Vi namngav dessa metoder efter de samhällen som använder dem mest. - "Fysikerns sätt att närma sig." En oändlig väg beaktas och (utan att ange gränsförhållandena) den resande vågen ansatzx n (t) = Re(A e lt+iqn ), l  på C, q  på (0, 2p), antas. I själva verket är denna ansatz lika med att utföra en Laplace transformation i tid och en (diskret) Fourier transformation i rymden, och det leder till en andra ordningen ekvation för l. För att få stabilitet, måste man säkerställa Re(l) < 0 för alla lösningar (Bando et al. 1995; Wilson 2008 )........................................................................................................... - "Dynamiska system närmar sig". En cirkulär vägkonfiguration (dvs. Periodiska gränsförhållanden) anses vara sådana att N-fordon placeras på en ring av längd L + N (avkastande h * = L/N och x N +1 (t) x 1 (t)). Vanligtvis tas den stora N-gränsen: N → ❌ så att L/N hålls konstant. Försökslösningen x n (t) = A n e lt, l, A n  på C, antas vara likvärdig med att utföra en Laplace transformation i tid. Detta leder till en 2N th-order karakteristisk ekvation för l och igen Re(l) < 0 säkerställer stabilitet (Gasser et al. 2004; Orosz m.fl. Europaparlamentets och rådets förordning (EU, Euratom) nr 966/2012 av den 25 oktober 2012 om finansiella regler för unionens allmänna budget och om upphävande av rådets förordning (EG, Euratom) nr 1605/2002 (EUT L 298, 26.10.2012, s. 1). - "Kontrollingenjörens inflygning". En pluton konfiguration anses sådan att ledarens rörelse kan tilldelas-i jämvikt, det reser med v *. Därefter betraktas (n + 1)st och Nth fordon som en ingång (x n+1 ) utgång (x n ) system, och en överföring funktion bestäms genom en Laplace omvandling. Villkoret för strängstabilitet kräver att storleken på motsvarande överföringsfunktion är mindre än 1 för varje spänningsfrekvens (utflöde måste vara mindre än ingång) längs plutonen (Ioannou & Xu 1994; Swaroop et al. 1994; Zhou & Peng 2005).............................................................. Lägg märke till att i det andra tillvägagångssättet, nyckelparametern är jämvikten väg h *, Medan, i det tredje tillvägagångssättet, det är jämvikt hastighet v *. Dessa mängder är dock kopplade till ekvationen (4.2). Stabilitetsförlusten inträffar för l = ±iu, och vandringsvågor med frekvens u  på R + visas. I det dynamiska systemet terminologi, denna typ av stabilitetsförlust kallas en Hopf bifurcation. Man kan beräkna att A n = A e i(2kp/N )n, k = 1,.., N − 1, och så små amplitud vågor kan skrivas i form där v amp = Au. Detta rättfärdigar fysikern s ansatz om de rumsliga mönster och ger q = 2kp/N, k = 1,..., N − 1. Observera att k spelar rollen som ett diskret vågnummer. I bilaga A beaktas det enkla fallet med nollförseningar. I detta fall har den karakteristiska ekvationen ändligt många lösningar för l, och det är lätt att bevisa att alla tillvägagångssätt ger samma stabilitetstillstånd och att stabiliteten går förlorad till lågfrekvent, långvågig (k = 1) svängningar. För icke-nollförseningar har dock den karakteristiska ekvationen oändligt många lösningar för l på grund av termerna e-lt, e-ls, e-lk. Om förseningarna är tillräckligt stora, kan flödet förlora sin stabilitet till högfrekvens, kortvågslängd (k 1) svängningar (Kesting & Treiber 2008; Orosz et al. 2010)................................................................. Att välja ännu större förseningar kan leda till situationer där även förarnas intentioner att minska transienter (uttryckt av F, G, H > 0 i ekvation (5.1)) misslyckas att fungera och så styrenheten blir instabil (Sipahi & Niculescu 2010). Slutligen påpekar vi att kontrollingenjörens tillvägagångssätt kan tillåta en att studera konvektiva instabiliteter (Pipes 1953, Ward & Wilson 2010), medan den dynamiska systemmetoden är användbar om man vill analysera effekterna av icke-linjäritet. I nästa avsnitt visar vi att icke-linjäritet spelar en viktig roll när det gäller att fastställa trafiksystemens framväxande tillstånd.  Det mest populära sättet att studera beteendet hos ickelinjära trafikmodeller är att använda numeriska simuleringar. Den stora fördelen med detta tillvägagångssätt är att nästan alla utvidgningar av modellen (3.10) kan genomföras (icke-identiska förare, multilantrafik, korsningar). I vissa fall är det svårare att skriva systemet i sluten matematisk form än att implementera algoritmen för numeriska simuleringar. Men detta tillvägagångssätt har ändå nackdelar. Det är kanske inte lätt att fastställa orsakerna till vissa beteenden som förekommer i simuleringar (särskilt i regioner med multistabilitet). Detta beror på svårigheten att upptäcka instabila lösningar genom numeriska simuleringar i ett sådant system med hög grad av frihet utan att ha några förkunskaper om dem. Som kommer att förklaras nedan är det viktigt att undersöka sådana lösningar om man vill förstå de underliggande mekanismerna för syltbildning. I det här avsnittet överväger vi ett enda körfält med periodiska gränsförhållanden som bygger på analysen av det dynamiska tillvägagångssätt som beskrivs i föregående avsnitt. Vi visar att de kvalitativa egenskaperna hos den empiriska FD i figur 1a kan reproduceras av en dynamisk modell (3.10) när man överväger ändliga reaktionstider. För mer information om de tekniker som används och de resultat som presenteras, kan man konsultera Gasser et al. (2004), Orosz & Stépán (2006) och Orosz et al. (2009).................................................................. Vissa påståenden om multistabilitet ges också i Krauss et al. (1997).............................................................................................................................. (1998), Igarashi et al........................................................................................................................ (2001), Safonov m.fl. (2002) och Helbing & Moussaid (2009) med hjälp av olika verktyg. Här betraktar vi OVM (3.10), (3.12), men man kan reproducera analysen och erhålla kvalitativt liknande beteende-för alla dynamiska modeller som medger en enhetlig flödesjämvikt (4.1), (4.2) med en jämviktsfunktion som ser ut som figur 3b; till exempel, se IDM (3.10), (3.13) utom för små jämviktshuvuden. Vi anser att den mänskliga föraren set-up t = s > 0, k = 0 för reaktionstiderna och antar optimala och relativa hastighetsfunktioner Funktionen V visas i figur 3b. För att minska antalet parametrar, vi skala om avstånden med önskad stoppsträcka h stopp och skala hastigheter med önskad hastighet v max. För att behålla tydligheten i presentationen representerar vi emellertid inte denna omskalning i illustrationerna nedan. Motsvarande dimensionslösa parametrar är fasta som s/h stop = 2, /h stop = 1, bh stop /v max = 0,1, T v max /h stop = 2, tv max /h stop = 2. Således är den enda fria parametern som finns kvar i modellen (3.10), (3.12), (6.1) jämviktshuvudet h * = L/N, och vi visar de kvalitativa förändringarna i dynamiken när denna parameter varierar. Resultaten ges för N = 33, som är tillräckligt liten för att avslöja den detaljerade mikroskopiska dynamiken men tillräckligt stor för att approximera N → ∞ fallet väl. För det första visas resultaten av de linjära stabilitetsundersökningarna. Med tanke på linjäriseringen (5.1) får man F = V (h * )/T, G = b, H = 1/T. De algebraiska uttrycken för stabilitetsgränserna är ganska komplicerade för t > 0, och de visas inte här. Stabilitetskriteriet är emellertid kvalitativt liknande Phil. Överför. R. Soc. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning.
Temafrågan om "Traffic jams: dynamics and control" REF belyser det växande intresset för en dynamisk systemsyn på transportnät.
Traffic jams: dynamics and control
{'venue': 'Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences', 'journal': 'Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences', 'mag_field_of_study': ['Medicine', 'Physics']}