Vi genererar blockerade förpackningar av monodisperse cirkulära hårddiskar i två dimensioner med hjälp av Torquato-Jiao sekventiell linjär programmeringsalgoritm. Förpackningarna uppvisar en stor variation av förpackningsfraktioner, genomsnittliga koordinationsnummer och ordning mätt enligt standardmått för skalära. Denna geometriska struktur metod gör det möjligt för oss att visa förekomsten av relativt stora maximalt slumpmässiga låsta (MRJ) packningar med exakt isostatiska jamlade ryggrader och en förpackningsfraktion (inklusive skallerrar) av 0:826. Däremot, begreppet slumpmässig nära förpackning (RCP) som identifierar de mest sannolika förpackningar som de mest oordnade missledande identifierar högt beställda disk förpackningar som RCP i 2D. Grundläggande strukturella deskriptorer såsom par korrelationsfunktion, strukturfaktor, och Voronoi statistik visar en stark kontrast mellan MRJ-tillståndet och de typiska hyperstatiska, polykristallina förpackningar med 0:88 som är mer allmänt erhållna med hjälp av standard förpackning protokoll. Att fastställa att MRJ-tillståndet för monodisperse hårddiskar är isostatiskt och kvalitativt skilt från vanliga polykristallina förpackningar motsäger konventionell visdom att en sådan oordnad, isostatisk förpackning inte existerar på grund av brist på geometrisk frustration och kastar ljus över sjukdomens natur. Detta väcker frågan om huruvida en algoritm kan utformas som är starkt partisk mot att generera den monodisperse disk MRJ-tillstånd. packning  med störning av slumpmässighet En packning i d-dimensionellt euklideanskt utrymme R d definieras som en samling partiklar som inte överlappar varandra. I tre dimensioner (3D) har hårda partikelpackningar fungerat som enkla men ändå kraftfulla modeller för en mängd olika kondenserade materiasystem, inklusive vätskor, glas, kolloider, partikelkompositer och biologiska system, för att nämna några (1) (2) (3) (4) (5). I två dimensioner (2D), har de använts för att modellera system som den molekylära strukturen av enskiktsfilmer (6, 7), adsorption av molekyler på substrat (8, 9), och organisationen av epitelceller (10, 11). Dessutom har särskilt intresse ägnats åt förpackningar som är blockerade (i stort sett, förpackningar som är mekaniskt stabila) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18). Uppblandade packningar av monodisperse-sfärer i 3D existerar över ett brett spektrum av packningsfraktioner från 1 = π= ffffffffffiffifi 18 p 0:74048........ = π ffffi ffi 2 p =9 0:49365.................................................................................. ., där den förra motsvarar fcc lattice, och den senare motsvarar de "tunneled kristaller" (19). Dessutom finns blockerade förpackningar med mellanliggande förpackningsfraktioner och en mängd olika ordningar, inklusive förpackningar som är helt icke-kristallina. Av särskilt intresse är den "maximalt slumpmässiga blockerad" (MRJ) tillstånd, definieras som packning som minimerar vissa skalära ordning metrisk  på grund av jamming begränsning, ersätta den välkända begreppet slumpmässig nära förpackning (RCP) (20), ursprungligen definieras som den tätaste konfiguration som en "random" förpackning skulle kunna uppnå utan att någonsin definiera "randomness". Begreppet MRJ-tillstånd är ett naturligt resultat av den geometriska strukturen, där förpackningar analyseras främst på individuell basis. Situationen för oordnade monodisperse skivpackningar i 2D skiljer sig mycket från 3D-motsvarigheten eftersom den förra saknar geometrisk frustration, dvs. det tätaste lokala förpackningsarrangemanget är kompatibelt med det globalt tätaste förpackningsarrangemanget (den triangulära lattice). Som ett resultat, packning protokoll har kämpat för att generera oordnade, blockerade förpackningar av monodisperse diskar, vilket tyder på att den mest oordnade packning är en polykristallin arrangemang-ett tvivelaktigt förslag för MRJ staten. Icke desto mindre har en verkligt störd, blockerad skivpackning förblivit svårfångad. Här visar vi genom konstruktion, med hjälp av den geometriska strukturen, att MRJ-tillståndet för monodisperse diskar inte är polykristallin; snarare är det isostatisk och betydligt mer oordnad som mäts med bond-orienterande och translationell ordningsmått, liksom dess levande visuella intryck. För att formalisera begreppet störning har Torquato och Stillinger gett strikta definitioner för lokal, kollektiv och strikt störning (12). Eftersom kollektivt blockerade förpackningar är stabila till enhetlig kompression, och strikt blockerade förpackningar är dessutom stabila mot skjuvning deformationer, kommer vi att begränsa oss till att överväga endast dessa två kategorier av störning för vårt nuvarande arbete. Det är inte ovanligt att upptäcka att vissa undergrupper av partiklar är blockerade (stommen) medan resten inte är blockerade men är lokalt fängslade av sina grannar (skalver). Om det inte finns någon blockerad ryggrad, då packningen är unjammed. Observera att, om inte annat anges, packningar är typiskt kännetecknas (t.ex., i ordning kartor) samtidigt som skallerormar ingår. Familjen av blockerade förpackningar beskrivs bekvämt via "orderkartor" som klassificerar förpackningar efter deras förpackningsfraktion, ordermått, och oavsett om de är blockerade eller inte. Bilda. 1 ger en schematisk orderkarta för 3D friktionsfria monodisperse sfär förpackningar. Vi jämför först en schematisk orderkarta för 2D-fallet i Bild. 2 som har några viktiga distinktioner. I 3D är den tätaste förpackningen den fcc lattice eller dess staplingsvarianter (linje B-B′ i bild. 1 )............................................................................................................... Däremot, i 2D, är den tätaste packningen, den triangulära latticen, unik; därför är det Significance Disorderd partikel packningar är allestädes närvarande inom alla områden av vetenskapen. Även om oordnade blockerade förpackningar av hårda sfärer lätt observeras i 3D, är historien ganska annorlunda för diskar. De flesta 2D packningsprotokoll tenderar att producera välbeställda disk arrangemang, vilket tyder på att verkligt störda blockerade disk packningar kanske inte finns i 2D. De maximal slumpmässigt blockerade (MRJ) konfigurationer vi observerar har en fullständig brist på kristallinitet och skiljer sig från den typiska blockerade konfiguration som är mest sannolik vid snabb kompression. Ett protokolloberoende geometriskt strukturtänkande gör det möjligt för oss att skapa, identifiera och analysera dessa tidigare svårfångade förpackningar. Våra resultat kastar nytt ljus över slumpmässighetens natur, vilket är en fråga som uppstår över de fysiska, matematiska och biologiska vetenskaperna. Upphovsmannens bidrag: S.T. Designad forskning; S.A., F.H.S. och S.T. Utförd forskning; S.A., F.H.S. och S.T. bidrog med nya reagens/analytiska verktyg; S.A., F.H.S. och S.T. analyserade data; och S.A., F.H.S. och S.T. skrev tidningen. företrätt av en enda punkt B i figuren. 2............................................................... På liknande sätt är den minst täta blockerade 3D-sfärpackningen, som förmodas vara den tunnelformade kristallen (19), inte unik och har staplingsvarianter; dessa fyller linjen A-A′ i bild. 1................................................................ På samma sätt i 2D, motsvarande förstärkt kagomé lattice förpackningar [förmodas vara de minst täta blockerade disk förpackningar (21)] fylla linjen A-A′ i bild. 2, och genereras genom att ändra det sätt på vilket lediga platser väljs från den triangulära lattice. I både 2D och 3D kan mellanförpackningar genereras genom att man fyller i lediga platser i dessa förpackningar (kurvorna A-B och A′-B′ i 3D, och A-B och A′-B i 2D). Det är viktigt att notera att orderkartans paradigm är protokolloberoende och inte förkortar existensen med frekvensen av observation. Precis som den förstärkta kagomélattice är en intressant struktur som är svåråtkomlig för typiska förpackningsprotokoll, är MRJ-staten intressant i sig, oavsett hur (ofta) den observeras. En karakterisering av MRJ-staten genom konstruktion är således av allmänt intresse. På samma sätt är MRJ-tillståndet protokolloberoende och kvantifierar ordningen för en enskild förpackning, oavsett förekomstfrekvens, dvs. med hjälp av en geometrisk strukturmetod (16). Detta ska jämföras med den nuvarande definitionen av RCP, där ett entropiskt mått används för att definiera slumpmässighet, dvs. att RCP-förpackningar är en ensemble av blockerade konfigurationer som är det mest sannolika resultatet vid enhetlig förtätning av en slumpmässig inledande konfiguration till den punkt där störning (13-15, 22, 23). En sådan ensemblebaserad definition innebär att de mest sannolika konfigurationerna representerar det mest oordnade tillståndet. Detta är en rimlig postulat eftersom entropi är det vanliga sättet att tänka på slumpmässighet i termodynamiska system, och skillnaden är faktiskt subtil för sfärer i 3D eftersom förpackningsdelen av MRJ-staten verkar sammanfalla med en sådan plats i fasrymden baserat på information som samlats in från många standardprotokoll (13, 20, (24) (25) (26) (27). Men, många andra egenskaper, såsom graden av ordning (mätt enligt standard skalärordningsmått) och skarvar attribut har visat sig variera i oordnade förpackningar vid MRJ förpackningsfraktion beroende på det protokoll som används för att generera dem. Med andra ord räcker det inte med enbart förpackningsfraktion för att karakterisera en oordnad syltad förpackning (27) (28) (29). Skillnaden mellan den geometriska strukturen och ensemblebaserade metoder är ännu mer kritisk i 2D, särskilt för monodisperse disk packningar. Särskilt bristen på "frustrering" (30, 31) i 2D analoger av 3D beräknings- och experimentella protokoll som leder till putativa RCP-tillstånd resulterar i mycket kristallina förpackningar, bildar ganska stora triangulära samordning domäner (korn) (21, 26, 32). Eftersom sådana högt beställda förpackningar är de mest sannolika resultaten för dessa typiska protokoll, "entropiska åtgärder" av oordning vilseledande identifiera dessa som de mest oordnade. Detta har till och med fått vissa att anta att RCP inte existerar alls för monodisperse diskar (33). En lämplig ordning metrisk, å andra sidan, kan identifiera en viss konfiguration (inte en ensemble av konfigurationer) som överensstämmer med ens intuitiva uppfattning om maximal störning. Men typiska packning protokoll genererar inte så stora oordnade disk konfigurationer på grund av deras inneboende implicita fördomar mot outspädd kristallisering. Det har föreslagits att det finns blockerade förpackningar med en betydligt lägre nivå (16, 34); den geometriska struktur som ingår i definitionen av MRJ-tillståndet är nödvändig för att identifiera sådana förpackningar, även om de är sällsynta med avseende på de flesta protokoll, som mycket oordnade. Innan dessa ovan nämnda stränga definitioner av störning och MRJ-staten infördes gjordes ett stort antal försök att generera RCP-förpackningar av monodispersediskar (6, 25, (35) (36) (37) (38). När man utarbetade ett rigoröst störtest (39) återbesöktes dessa resultat, och man fann att dessa förpackningar inte ens var kollektivt blockerade (21). Torquato-Jiao (TJ) linjär programmeringsalgoritm (40) kan användas för att generera klotpackningar i en godtycklig dimension som garanteras a priori för att strikt blockeras. Dessutom är de klotpackningar som den producerar i d ≥ 3 exakt isostatiska med hög sannolikhet. [En isostatisk förpackning är en som är blockerad och har det minsta antal kontakter som krävs för mekanisk stabilitet. I 2D är detta z = 4 − 2=N B för kollektiv störning och z = 4 + 2=N B för strikt störning, där N B är antalet ryggskivor (41).] Den har nyligen använts för att ge nya detaljer om MRJ-statens karaktär i 3D (27). Vit och blå regioner innehåller de uppnåeliga packningar, den blå regionen representerar den blockerade delmängd av packningar, och den mörka skuggade regionen innehåller inga packningar. Platserna för punkterna A-A' motsvarar de nedsänkta packningarna med lägsta densitet, som förmodas vara insänkta kristaller med ί = π ffiffifi 2 p = 9 (19). Placeringen i punkterna B-B' motsvarar de tätaste syltade förpackningarna (stacking varianter av fcc lattice). Packningar längs kurvorna som förbinder dessa extremer kan genereras genom att slumpmässigt infoga sfärer i lediga platser i den tunnelformade kristallen tills motsvarande fcc variant erhålls. Punkten MRJ representerar det maximalt slumpmässiga blockerade tillstånd, d.v.s. det mest oordnade tillstånd som omfattas av störningsrestriktionen.. Schematisk ordning karta i densitets-ordning ( och) plan för 2D strikt blockerad, friktionsfri, monodisperse hårddisk packningar i den oändliga systemgränsen. Vita, blå och mörkskuggade områden är desamma som i Bild. 1................................................................ Punkterna A-A' motsvarar packningarna med den lägsta densiteten, förmodas vara den förstärkta kagomélatticeen, den förstärkta rektangulära kagomélatticeen och de andra kombinationerna, alla med  och alla med ί = π ffffiffi 3 p =8 (12). Punkt B motsvarar den triangulära latticen. Packningar längs kurvorna som ansluter dessa extremer kan genereras genom att slumpmässigt infoga sfärer i lediga platser i förpackningarna som finns längs A-A′ lattice tills den triangulära lattice erhålls. Punkten MRJ representerar det maximalt slumpmässiga blockerade tillståndet. Den entropiskt definierade platsen för RCP är märkt för att betona skillnaden mellan att använda ensemblebaserade och geometriska strukturer.  Med tanke på dess lovande förmåga att generera oordnade, blockerade sfär förpackningar i 3D, vänder vi nu vår uppmärksamhet mot 2D-problemet för att se om det kan ge nya insikter. Vi använder TJ algoritmen för att producera kollektivt och strikt blockerade förpackningar av monodisperse diskar som är exakt isostatiska och saknar sexfaldigt samordnade diskar. Dessa förpackningar karakteriseras enligt deras förpackningsfraktion och ordning med hjälp av bond-orienterande och translational ordermått för att bestämma kandidaterna för MRJ-staten. Vi presenterar även parkorrelationsfunktion och Voronoi-statistik. De förpackningar som vi har genererat visar att det finns ett isostatiskt MRJ-tillstånd i 2D som i grunden skiljer sig från de polykristallina förpackningar som produceras av typiska protokoll. Här använder vi TJ algoritmen för att generera friktionsfria blockerade förpackningar av monodisperse diskar inom en grundläggande cell (FC) med periodiska gränsförhållanden. Processen kan brytas i två steg: generera initiala konfigurationer och förtäta nämnda konfigurationer till störningspunkten. Eftersom TJ är mycket känslig för den ursprungliga konfigurationen, utforskade vi en mängd olika initiala konfigurationer. Den första av dessa var det vanliga slumpmässiga sekventiella tillägget (RSA), som utfördes med en låg förpackningsfraktion (vanligtvis 0,10) för att approximera en Poisson-process. Vi utforskade också flera FC-former inklusive den vanliga fyrkantiga FC samt något förvrängda FCs för att hjälpa till att orsaka geometrisk frustration. Vi försökte också en rhombic FC med inre vinkel π=3, som är kompatibel med den triangulära lattice om antalet diskar är ett fyrkantigt heltal. För att utforska oordnade packningar vid högre initiala packningsfraktioner använde vi den seriealgoritmen för att generera packningar med kontrollerad orienteringsordning som introducerades i ref. 42 och den version i vilken ingen orienteringsinställning anges [dvs. Edenmodellen (43) anpassad till hårddiskar]. Den slutliga initiala konditionsensemblen som vi övervägde skapades genom att generera bidisperse-diskpackningar med talförhållande 0,5 och diameterförhållande 1,4. Ursprungliga villkor för bidisperse-packningen skapades via RSA vid låg packningsfraktion; packningen blockerades därefter med hjälp av TJ. De stora diskarna i de resulterande blockerade konfigurationerna krympte sedan så att packningarna blev monodisperse; dessa packningar matades sedan tillbaka till TJ för att ge jammade monodisperse disk packningar. TJ-algoritmen (40) använder en iterativ process för att förtäta förpackningar av hårda sfärer i en godtycklig dimension med hjälp av ett linjärt optimeringssystem för att maximera till första ordningen genom att krympa FC. Optimeringsvariabler är N deplacement vecors för sfärerna i systemet (Nd variabler) samt den symmetriska stam tensor som deformerar och krymper FC (dðd + 1 till = 2 variabler). Begränsningarna är att inga sfärer får överlappa (till en lokalt linjär approximation). Genom att iterativt lösa detta linjära program (LP), får man en lokal förpackningsfraktion maximalt av den ursprungliga konfigurationen. Om LP inte kan hitta någon ytterligare förtätning upp till någon numerisk tröskel, garanteras dessutom förpackningen att vara strikt blockerad till en motsvarande tolerans, och är därför en lokal förpackningsfraktion som är maximal. Om FC inte tillåts att deformeras (dvs. dess form bevaras), är packningen i stället garanterad att vara kollektivt blockerad. För matematiska detaljer, se Material och Metoder. Vi genererade minst 10 4 förpackningar per systemstorlek ð10 ≤ N ≤ 200 på grundvillkor för både kollektiv och strikt störning. Följande underavsnitt beskriver olika statistiska och geometriska uppgifter om förpackningarna. Beställ kartor. Vi börjar med att presentera orderkartor över de förpackningar som vi har genererat. Bilda. 3 A och B visar scatter tomter av kollektivt och strikt blockerade förpackningar, respektive. Packningarna genererades med (Fig. 3A) N = 150 och (Fig. 3B ) N = 110 från RSA initiala förhållanden i en rhombic FC med inre vinkel 2π=5. Isostatiska packningar visas som gröna rutor. Den ordning som används här är den parkorrelationsfunktionsbaserade ordningen T p (44), definierad som var D är diskdiametern,  till = rρ 1=d är ett dimensionslöst avstånd, g 2 ð till är den isotropiska parkorrelationsfunktionen, ρ = N=V är taltätheten, och c är ett dimensionslöst cutoff-värde, som valts här för att vara 3. För de flesta monodisperse skivpackningar motsvarar detta ett paravstånd som är något mindre än tre diametrar. Mängden T p kan betraktas som ett "oordningsmått" genom att den kvantifierar den mängd med vilken en förpackning skiljer sig från en Poisson punktprocess, för vilken g 2 = 1 överallt. Det är intressant att notera att MRJ-tillståndet för monodisperse diskar är nästan lika oordnat (som kvantifieras av T p ) som typiska oordnade förpackningar av bidisperse diskar med diameter förhållandet mellan enhet och 1=1:4, som mer lätt uppvisar oordnade, isostatiskt blockerade tillstånd; se SI-bilagan för ytterligare detaljer. Man kan också överväga andra ordermått förutom T p; vi diskuterar detta också i SI-bilagan. Vi utökar den traditionella ordningskartans paradigm här genom att lägga till en tredje axel: det genomsnittliga ryggradssamordningsnumret, z (16). Projiceringar av denna treaxlade ( och z) ordningskarta över flygplanen i Z- och Z-planen visas i figurer. 4 och 5, respektive; igen, vi valde att använda T p som vår order metrisk. Denna utvidgade bild visar att, när graden av ordning minskar och MRJ-staten närmar sig, intervallet z smalnar mot isostatiskitet, vilket innebär att MRJ-staten för monodisperse diskar har en isostatisk ryggrad, precis som är fallet för MRJ packningar av hårda sfärer i 3D (27). För kollektiv störning har MRJ-tillståndet en förpackningsfraktion på 0:826 ± 0:001 och en skallerrfraktion av N R = N = 0:035 ± 0:002; för strikt störning är dessa värden 0:826 ± 0:002 och 5. Projiceringen av den treaxlade orderkartan för 1000 (A) kollektivt blockerade och (B) strikt blockerade förpackningar genererade från RSA med init = 0:10; ordermåttet som används här är g 2 -baserade ordermåttet T*. Isostatiska packningar visas som gröna rutor. När T * minskar, minskar fördelningen av förpackningar i termer av samordning nummer mot isostatiskitet. 18438) www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.140837112 Atkinson et al. N R = N = 0,034 ± 0,004. Skallerfraktionen är betydligt högre än för MRJ-tillståndet för 3D (27) och följer den allmänna trenden att skallerfraktionen tenderar att minska när d ökar (45). Vi upprepar att våra förpackningar i grunden skiljer sig från tidigare erhållna oordnade skivförpackningar genom att våra förpackningar är kollektivt eller strikt blockerade, medan tidigare försök misslyckades med att producera förpackningar som ens var kollektivt blockerade (och i vissa fall lokalt blockerade; en lokalt blockerad förpackning är en där ingen partikel får flyttas samtidigt som alla andra partiklar hålls fast. Denna störningskategori är otillräcklig för att garantera mekanisk stabilitet av något slag.). Således visar vi förekomsten av mekaniskt stabila förpackningar som är avsevärt störda jämfört med de vanliga polykristallina förpackningar som genereras av de flesta protokoll. Det är viktigt att notera att dessa förpackningar uppvisar ett isostatiskt MRJ-tillstånd för 2D som skiljer sig från det polykristallina tillstånd som standard jamming protokoll tenderar att producera. Exempel på isostatiska MRJ-förpackningar ges i bild. 6............................................................. Flera isostatiska, kollektivt blockerade packningar hittades med relativt hög  påslagningsgrad (se bild). 3A ), som enligt vår kunskap också är resultat som är unika för TJ-algoritmen. Närmare granskning visar att dessa förpackningar har stora förvrängda kärnor som liknar dem som observerats i ref. 26. Vad är det för fel på dig? Detta kan förklaras genom att notera att FC formen var oförenlig med den triangulära lattice, införa frustration i nära-kristallina domäner. Att tillåta cellen att deformera (som är gjort för strikt störning) eliminerar dessa isostatiska hög- på, hög- på-packningar genom att låta dem kollapsa i hyperstatiska konfigurationer. Framgångsfrekvens. Med hjälp av TJ, har vi funnit att sannolikheten för att producera en förpackning med en isostatisk ryggrad minskar på ett ungefär exponentiellt sätt när N ökar; även om valet av initial konfiguration och FC-form inte kan förbises, i allmänhet är sannolikheten för N = 100 ungefär 3 × 10 −3 för kollektiv störning och 2 × 10 −4 för strikt störning; denna sannolikhet minskar med en faktor på 10 för varje 40 ytterligare diskar. Närmare uppgifter finns i SI-bilagan. Även om detta exponentiella förfall kan vara fallet för den nuvarande algoritmen, finns det ingen uppenbar anledning till varför isostatiska, MRJ förpackningar inte skulle existera för godtyckligt stora systemstorlekar; det är av intresse att utforma ett protokoll som ökar deras frekvens av förekomst. Parkorrelationsfunktion. Vi har producerat 16 förpackningar med N = 150 och 177 förpackningar med N = 100 som är exakt isostatiska och representativa för MRJ-staten för kollektiv störning; för strikt störning hittade vi 28 förpackningar med N = 110. För att kontrastera dessa förpackningar med de typiska resultaten ("ensemblemedelvärdet") som genereras av TJ-protokollet, valde vi slumpmässigt 1000 kollektivt blockerade förpackningar med N = 150 och 1000 strikt blockerade förpackningar med N = 110. Bilda. 7 A och B visar par korrelationsfunktionen g 2 ðr för kollektivt och strikt blockerade förpackningar, respektive. De toppar som motsvarar den triangulära latticegeometrin dämpas avsevärt bland MRJ-packningarna jämfört med ensemblemedelvärdena. Detta understryker de betydande kvalitativa skillnaderna mellan MRJ-staten och de vanligaste staterna. Motsvarande strukturfaktorer anges i SI-bilagan. Hyperuniformitet. Vi har funnit att antalet densitetsfluktuationer i våra MRJ-packningar växer långsammare än området för ett (slumpmässigt placerat) observationsfönster, vilket antyder att MRJ-tillståndet är hyperuniform (infinita-våglängdsdensitetsfluktuationer försvinner; ref. 46) i 2D (SI-bilaga). Detta ska kontrasteras med typiska 2D oordnade system där variansen växer i proportion till fönsterområdet. 3D MRJ-packningarna har också visat sig vara hyperuniforma med kvasilång intervallordning (47). Voronoistatistik. Voronoi diagram skapades med hjälp av punktmönster diskcentra. Bilda. 8 visar sannolikheten för fördelning av antalet sidor per Voronoi cell för isostatisk förpackning samt för ett fullt ensemble genomsnitt. Även om de flesta celler är hexagoner i båda fallen, är det tydligt att de isostatiska förpackningar uppvisar en mycket större variation. Dessutom, även om de flesta hexagoner i polykristallina förpackningar är regelbundna, vilket motsvarar en lokalt sluten konfiguration, är detta långt ifrån fallet för de isostatiska förpackningar. Distributioner av den lokala förpackningstätheten för Voronoicellerna visas i SI-bilagan. Vi har använt TJ algoritmen för att producera kollektivt och strikt blockerade förpackningar av monodisperse diskar som är exakt isostatiska med systemstorlekar upp till N = 150 respektive 100. Dessa isostatiska förpackningar är hyperuniform, har en genomsnittlig förpackningsfraktion på 0:826, och är betydligt mer oordnade än de polykristallina förpackningar som genereras av typiska protokoll. I själva verket är dessa packningar kandidater till MRJ-staten enligt bond-orienterande och translational ordermått. Den par korrelation funktion inkluderar spikar motsvarande några av de lokala geometrier som finns i den triangulära lattice, men de är starkt undertryckt i jämförelse med ensemble genomsnittet. På liknande sätt är närvaron av sexsidiga Voronoi celler motsvarande hexagonal nära förpackning starkt hämmad, och en mängd andra geometrier har uppstått, inklusive den ökade närvaron av icke-hexagonala Voronoi celler. Det är välkänt att MRJ-tillståndet för monodisperse-sfärer i 3D är isostatiskt. Dessutom har polydisperse skivpackningar i 2D varit ett populärt sätt att framkalla oordnade packningar, som ofta är isostatiska (13, 14, 17, 40). Emellertid har en isostatisk förpackning av monodisperse diskar visat sig vara svårfångad fram tills nu. Även om de fortfarande är svåra att få tag på har vi visat att de faktiskt existerar, och att vissa av dem har egenskaper som överensstämmer med vad man bör förvänta sig från MRJ-staten.  Det är viktigt att påpeka att de 2D MRJ-packningar som vi har visat inte är entropiskt gynnade. Detta är problematiskt för en bild av RCP som bygger på ens val av protokoll samt en ensemble-baserad, entropisk definition. Om man antar att man väljer en algoritm som är kapabel att producera oordnade, isostatiska förpackningar, riskerar man fortfarande att vilseledas av sannolikheten för att de flesta förpackningar kommer att vara högt beställda, hyperstatiska polykristallina förpackningar, dra slutsatsen att RCP är ett ganska otillfredsställande koncept i 2D. Snarare måste man använda en geometrisk struktur tillvägagångssätt och tillämpa någon ordning metrisk som är väl definierad för varje enskild förpackning. Denna metod tillåter inte bara en att otvetydigt identifiera oordning i förpackningar utan att förlita sig på en viss förpackning protokoll, men kan också identifiera oordning på ett sätt som är mer överensstämmande med ens intuition. Våra resultat i detta arbete ifrågasätter fördelarna med att studera RCP med hjälp av en entropisk, ensemblebaserad metodik på grund av den vilseledande bild den presenterar för 2D monodisperse diskar. I 3D är den minst täta blockerade förpackningen känd, den tunnelformade kristallen, hyperstatisk: varje sfär är sjufaldigt koordinerad, d.v.s. z = 7. Den förstärkta kagoméen (den minst täta förpackningen i 2D) är däremot isostatisk i den oändliga systemgränsen med det genomsnittliga koordinationsnumret z = 4. Vad händer mellan dessa extrempunkter och MRJ-punkterna i det blockerade underavsnittet i orderkartan? Även om en viss övergång från z = 6 till 7 förväntas i 3D, är det oklart om det finns en isostatisk kontinuum av förpackningar som förbinder MRJ-staten och förstärkt kagomé lattice i 2D. En möjlig bild är att den triangulära lattice och förstärkt kagomé lattice båda representerar tillstånd med en oändligt stor kristall; genom att minska kornstorleken, oordning ökar tills MRJ-punkten nås. Sedan, som kontinuum från MRJ-punkten till triangulär lattice kan spännas genom långsamt växande kristallina korn i förpackningen, kontinuum från MRJ till förstärkt kagomé kan spännas genom växande utspädda kristaller. Att demonstrera MRJ-tillståndet för monodisperse diskar genom konstruktion är viktigt begreppsmässigt på ett liknande sätt som upptäckten av den förstärkta kagomé lattice på så sätt att båda är extrem packningar som är mycket intressanta men svåra att observera via traditionella förpackningsprotokoll. Detta återspeglar en ihållande grundläggande brist på kunskap som vi fortfarande har när det gäller att utforma förpackningsprotokoll. Icke desto mindre är MRJ-tillståndet för diskar ett intressant tillstånd eftersom det representerar ett extremt tillstånd inom gränserna för störningsbegränsningen. Detta föranleder en algoritmisk fråga: kan man utforma ett förpackningsprotokoll som gynnar MRJ-liknande tillstånd för hårddiskar? Anmärkningsvärda exempel på biologiska processer som hämmar kristallisering har redan hittats i naturen såsom termisk hysteres antifrysningsproteiner, som finns i både övervintrande insekter och polara marina fiskar (48, 49), och kan användas för att inspirera utformningen av specialiserade förpackningsprotokoll och, i sin tur, materialsyntestekniker. Frågan: "Vad är slumpmässighet?" är en ytterst grundläggande och allestädes närvarande fråga som inte bara uppstår inom fysik och kemi, utan även inom matematik och biologi. Genom att avslöja MRJ-tillståndet för hårddiskar, identifierar vi en allvarlig utmaning för den traditionella uppfattningen om oordning – att den mest sannolika fördelningen är korrelerad med slumpmässighet. Vi har visat här en sådan distribution som inte är korrelerad med sjukdom över huvud taget; den mest oordnade blockerade konfiguration är inte den som dyker upp oftast i något känt protokoll. Å andra sidan bekräftar vi att vissa ordermått exakt kan karakterisera packningen på individuell basis även i detta utmanande fall. Dessutom är dessa avslöjanden om slumpmässighet inte begränsade till hårda partikelpackningar: hur ser MRJ-staten ut för verkliga system som vattenmolekyler eller polymerer? Den geometriska strukturen tycks utgöra en lämplig grund för att överväga sådana frågor. Den förtätningsprocess som TJ-algoritmen utför är en iterativ procedur som drivs av att lösa linjära program (LPs). Protokollets mål är att maximera (eller, i energilandskapet bild (40), minimera − och], och så kan vi utgöra en objektiv funktion i termer av en stam tensor e agerar på den grundläggande cellen generera π. En linearisering ger följande objektiva funktion för LP: min Trðe ska = e 11 + e 22 + e 33 +. .. + e dd : [1] Detta innebär att komponenterna i stam tensor e är konstruktionsvariabler; de andra variablerna är förskjutningarna för varje sfär (i lattice koordinatsystemet), Δx där G = ρ T · ι är Gram-matrisen för lattice ι och R innehåller alla de högre termerna; i praktiken är det godtagbart att låta R = 0. En påverkanssfär av radien γ definieras så att en begränsning kommer att ingå i LP för varje par av sfärer vars centroider separeras med mindre än ðD m + D n  på = 2 + γ. För att Eq. 2 är en lokal linearization av en quadratic restriktion, vi inför en konstgjord gräns på omfattningen av designvariabler i varje iteration för att bevara noggrannheten av linearizationen. Om vi ersätter stam tensor e med en skalar, vi tvingar formen av den grundläggande cellen att förbli konstant. På ett sådant sätt kan TJ algoritmen snabbt modifieras för att producera kollektivt blockerade förpackningar istället för strikt blockerade förpackningar. Denna LP är löst för att bestämma hur förpackningen kommer att omorganiseras och förtätas. Efter tillämpning av sfärförskjutningar och lattice deformation, omformuleras LP med hjälp av de nya sfärpositionerna och den grundläggande cellens genereringsmatris. Processen itereras tills lösningen konvergerar och förpackningen inte förändras med mer än någon termineringströskel. Vi har funnit att den mest effektiva tröskeln är den grundläggande cellvolymen; när cellvolymen inte minskar med en märkbar mängd, är förpackningen blockerad till en motsvarande precision. Packningar komprimeras med hjälp av TJ-algoritmen med en influenssfär av diametern γ = D=40 (40), där D är diametern på en sfär. För en enda LP iteration, box deformationer (både normala och skjuvrörelser) är begränsade i storlek till mindre än D=200 och sfär översättningar är begränsade till kΔr i k ≤ D=200. Algoritmen avslutas när två på varandra följande kompressioner misslyckas med att minska latticevolymen med V k − V k−2 < 2:0 × 10 −12, där V k är volymen av den grundläggande cellen på iteration k. ACKNOWLEDGMENTS.
1. Vad är det för fel på dig? Är exemplet Figur 3.2 det enda fallet för n ≥ 2 diskar på en fast rektangulär torus, där det isostatiska tillståndet inte håller? Man bör komma ihåg att resultaten i REF visar att icke-isostatiska (strikt) blockerade förpackningar verkar vara ganska frekventa för större nummer när det finns en storlek av radien.
Existence of isostatic, maximally random jammed monodisperse hard-disk packings
{'venue': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'journal': 'Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America', 'mag_field_of_study': ['Engineering', 'Medicine']}