Högdimensionella PDE har länge varit en utmaning för beräkning. Vi föreslår att man löser högdimensionella PDE:er genom att tillnärma lösningen med ett djupt neuralt nätverk som är tränat för att tillfredsställa differentialoperatören, initialt tillstånd och gränsförhållanden. Vår algoritm är meshfree, vilket är viktigt eftersom maskor blir ogenomförbara i högre dimensioner. I stället för att bilda ett nät tränas det neurala nätverket på partier av slumpmässigt utvalda tids- och rymdpunkter. Algoritmen testas på en klass av högdimensionella fria gräns PDE, som vi kan exakt lösa i upp till 200 dimensioner. Algoritmen testas också på en högdimensionell Hamilton-Jacobi-Bellman PDE och Burgers ekvation. Den djupt lärande algoritmen approximerar den allmänna lösningen till Burgers ekvation för en kontinuum av olika gränsförhållanden och fysiska förhållanden (som kan ses som ett högdimensionellt utrymme). Vi kallar algoritmen en "Deep Galerkin Method (DGM)" eftersom den i andemening liknar Galerkins metoder, med lösningen ungefärlig av ett neuralt nätverk istället för en linjär kombination av basfunktioner. Dessutom bevisar vi ett teorem om den approximativa kraften i neurala nätverk för en klass av kvasilinjära paraboliska PDE:er. Högdimensionella partiella differentialekvationer (PDE) används inom fysik, teknik och ekonomi. Deras numeriska lösning har varit en långvarig utmaning. Finita differensmetoder blir ogenomförbara i högre dimensioner på grund av explosionen i antalet rutnätspunkter och efterfrågan på minskad tidsstegstorlek. Om det finns d rymdmått och 1 tidsmått, maskan är av storlek O d+1. Detta blir snabbt beräkningsbart när dimensionen d blir även måttligt stor. Vi föreslår att man löser högdimensionella PDE med hjälp av en meshfree djupinlärningsalgoritm. Metoden liknar i andemeningen Galerkinmetoden, men med flera viktiga förändringar med hjälp av idéer från maskininlärning. Galerkinmetoden är en allmänt använd beräkningsmetod som söker en reducerad formlösning till en PDE som en linjär kombination av basfunktioner. Den djupa inlärningsalgoritmen, eller "Deep Galerkin Method" (DGM), använder ett djupt neuralt nätverk istället för en linjär kombination av basfunktioner. Det djupa neurala nätverket utbildas för att tillfredsställa differentialoperatören, initialt tillstånd, och gränsförhållanden med hjälp av stokastisk lutning nedstigning vid slumpmässigt prov på rumsliga punkter. Genom slumpmässigt urval av rumsliga punkter undviker vi behovet av att bilda ett nät (som är ogenomförbart i högre dimensioner) och istället omvandla PDE-problemet till ett maskininlärningsproblem. I resten av introduktionen ger vi en översikt över våra resultat, vår teori om den approximativa kraften i neurala nätverk för kvasilinjära paraboliska PDE (avsnitt 1.1) och relevant litteratur (avsnitt 1.2).
I REF, neurala nätverket utbildas för att uppfylla differential operatör, initialt tillstånd och gränsförhållanden för den partiella differentialekvationen (PDE).
DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations
{'venue': None, 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Economics']}