Vi definierar begreppet transitiv stängning av en riktad graf. Med tanke på en riktad graf G = (V, E) och ett heltal k ≥ 1, en k-transitiv-closure-panner (k-TC-spanner) av G är en riktad graf H = (V, E H ) som har (1) samma transitive-closure som G och (2) diameter som mest k. Dessa spannare studerades implicit i åtkomstkontroll, egendom testning och datastrukturer, och egenskaper hos dessa spannare har återupptäckts under loppet av 20 år. Vi tar dessa områden inom ramen för TC-spanners enande. Vi sammanfattar den gemensamma uppgift som implicit hanteras i dessa olika tillämpningar som problemet med att bygga glesa TC-spanners. Vi studerar ungefärligheten av storleken på den glesaste k-TC-spannern för en given digraf. Våra tekniska bidrag kan delas in i tre kategorier: algoritmer för allmänna digrafer, oåtkomliga resultat och strukturella gränser för en specifik graffamilj som innebär en effektiv algoritm med ett bra approximationsförhållande för den familjen. Algoritmer. Vi presenterar två effektiva deterministiska algoritmer som finner k-TC-spanners av storlek som approximerar den optimala. Den första algoritmen ger en Õ(n 1−1/k )-uppskattning för k > 2. Vår metod, baserad på en kombination av konvex programmering och provtagning, ger de första sublinjära approximationsgraderna för (1) DIREKT K-SPANNER, en välstuderad generalisering av k-TC-SPANNER, och (2) dess varianter CLIENT/SERVER DIREKTed k-SPANNER, och k-DIAMETER SPANNING SUBGRAPH. Detta löser den viktigaste öppna frågan om Elkin och Peleg (IPCO, 2001). Den andra algoritmen, som är specifik för k-TC-spannerproblemet, ger en Õ(n/k 2 )-uppskattning. Det visar att vårt problem har ett bevisligen bättre approximationsförhållande än DIREKTed k-SPANNER och dess varianter. Denna algoritm löser också en öppen fråga om Hesse (SODA, 2003). Osannolikhet. Vårt huvudsakliga tekniska bidrag är ett par starka, omisskännliga resultat. Vi löser approximabiliteten av 2-TC-spanners, visar att det är  och (log n) om inte P = N P. För konstant k ≥ 3, visar vi att storleken på den glesaste k-TC-spanner är svårt att approximera inom 2 log 1− n, för alla > 0, om inte NP  till DTIME(n polylog n ). Vårt hårdhetsresultat hjälper till att förklara svårigheten att utforma generella effektiva lösningar för applikationerna ovan, och det kan inte förbättras utan att lösa en långvarig öppen fråga i komplexitetsteori. Den använder en involverad tillämpning av generaliserade fjäril och kvast grafer, liksom buller-avvisande omvandlingar av hårda problem, som kan vara av oberoende intresse. Strukturella gränser. Slutligen studerar vi storleken på det glesaste TC-spanner för H-minorfria digrafer, som inkluderar planar, avgränsat släkte, och avgränsade trädbreddsdiagram, uttryckligen undersökt i tillämpningar ovan. Vi visar att varje H-minorfri digraf har en effektivt konstruerabar k-TC-spanner av storlek Õ(n), vilket innebär en Õ(1)-tillnärmningsalgoritm för denna familj. Dessutom, med hjälp av vår insikt att 2-TC-spanners ger egendom testare, vi få en monotonitet tester med O(log 2 n/ ) frågor för alla poset vars transitiv minskning är en H-minor fri digraf. Detta förbättrar och generaliserar den tidigare testaren av Fischer et al (STOC, 2002).
Bhattacharyya m.fl. I REF föreslogs en konstruktion av h-TC-spanner av storlek O(n log nλ h (n)) för H-minorfria grafer (där λ h betecknar hth-row inverse Ackermann-funktionen, cf.
Transitive-Closure Spanners
{'venue': 'ArXiv', 'journal': 'ArXiv', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}