Vi studerar vertex decremental Single-Source Shortest Paths (SSSP) problem: givet en oriktad graf G = (V, E) med längder l (e) ≥ 1 på dess kanter som genomgår vertex raderingar, och en källa vertex s, vi måste stödja (ungefär) kortaste-sökvägar frågor i G: givet en vertex v, returnera en väg som ansluter s till v, vars längd är som mest (1 + ε ) gånger längden på den kortaste sådan väg, där ε är en given noggrannhet parameter. Problemet har många tillämpningar, till exempel för att strömma och skära problem i vertex kapaciterade grafer. Decremental SSSP är ett grundläggande problem i dynamiska algoritmer som har studerats i stor utsträckning, särskilt i mer standard edge-decremental inställning, där indatagraf G genomgår kantradering. Den klassiska algoritmen av Even och Shiloach stöder exakt kortaste-pat frågor i O (mn) total uppdateringstid. En serie av senaste resultaten har förbättrat denna gräns till O (m 1+o (1) log L), där L är den största längden av någon kant. Men dessa förbättrade resultat är randomiserade algoritmer som antar en glömsk motståndare. Att gå bortom den omedvetna motståndare begränsningen, nyligen, Bernstein, Bernstein och Chechik utformade deterministiska algoritmer för problemet, med total uppdateringstid Õ (n 2 log L), som per definition arbetar mot en adaptiv motståndare. Tyvärr, deras algoritmer införa en ny begränsning, nämligen, de kan bara returnera den ungefärliga längden på en kortaste vägen, och inte själva vägen. Många tillämpningar av det minskande SSSP-problemet, inklusive de som beaktas i detta dokument, kräver avgörande både att algoritmen returnerar de ungefärliga kortaste vägarna själva och inte bara deras längder, och att det fungerar mot en adaptiv motståndare. Vårt huvudresultat är en randomiserad algoritm för vertex decremental SSSP med total förväntad uppdateringstid O (n 2+o (1) log L), som svarar på varje kortaste sökväg i Õ (n log L) tid i förväntan, returnerar en (1 + ε ) ungefär kortaste vägen. Algoritmen arbetar mot en adaptiv motståndare. av vår algoritm är en Õ (-E (G)- + n 1+o (1) )-tidsalgoritm för att beräkna en kärndekomposition av en given tät graf G, vilket gör att vi kan beräkna korta vägar mellan par av frågevertiker i G effektivt. Vi använder vårt resultat för vertex-decremental SSSP för att erhålla (1 + ε ) approximationsalgoritmer för maximalt s-t flöde och minsta s-t skär i vertex-kapaccessed grafer, i förväntad tid n 2+o (1), och en O (log 4 n)-approximation algoritm för vertex-versionen av det glesaste skär problemet med förväntad körtid n 2+o (1). Dessa resultat förbättras på de tidigare mest kända algoritmerna för dessa problem i regimen där m =... (n 1.5+o (1) ).
Nyligen visade Chuzhoy och Khanna i REF att algoritmen för viktade täta grafer av Bernstein kan utökas för att erhålla en algoritm med O(n 2+o(1) log W ) total uppdateringstid där ungefärliga kortaste-sökvägar kan hämtas i O(n log W ) tid.
A new algorithm for decremental single-source shortest paths with applications to vertex-capacitated flow and cut problems
{'venue': 'STOC 2019', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Computer Science', 'Mathematics']}