Abstrakt. Överväg att approximera funktioner baserade på ett begränsat antal av deras prover. Vi visar att adaptiva algoritmer är mycket kraftfullare än icke adaptiva algoritmer när det gäller bitvis smidiga funktioner. Mer specifikt, låt F 1 r vara klassen av skalär funktioner f : [0, T ] → R vars derivat av ordning upp till r är kontinuerliga vid någon punkt utom för en okänd singular punkt. Vi tillhandahåller en adaptiv algoritm En annons n som använder som mest n prover av f och vars värsta fall L p fel (1 ≤ p < ❌) med avseende på "rimlig" funktion klasser F 1 r  på F 1 r är proportionell till n −r. Å andra sidan är det värsta fall felet i någon icke adaptiv algoritm som använder n prover som bäst proportionellt till n −1/p. Begränsningen till endast en singularitet är nödvändig för överlägsen anpassning i värsta fall. Lyckligtvis återfår anpassning sin kraft i den asymptotiska inställningen även för en mycket allmän klass F ❌ r som består av styckvis C r -smooth funktioner, var och en har ett begränsat antal singular poäng. För alla f  på F П r vår adaptiva algoritm ungefärlig f med fel som konvergerar till noll minst lika snabbt som n −r. Vi bevisar också att konvergensgraden för icke adaptiva metoder inte kan vara bättre än n −1/p, d.v.s., är mycket långsammare. De resultat som nämns ovan håller inte om felen mäts i L-normen, eftersom ingen algoritm producerar små L-fel för funktioner med okända diskontinuiteter. Vi anser dock starkt att L-normen är olämplig när det gäller singularfunktioner och att Skorohod-måttet bör användas i stället. Vi visar att vår adaptiva algoritm behåller sina positiva egenskaper när approximationsfelet mäts i Skorohod-måttet. Det vill säga, det värsta fall felet med avseende på F 1 r är lika med  och konvergensen i den asymptotiska inställningen för F ∞ r är n −r. Numeriska resultat bekräftar de teoretiska egenskaperna hos våra algoritmer.
Plaskota m.fl. REF har utvecklat adaptiva algoritmer för funktioner med singularitet.
The power of adaption for approximating functions with singularities
{'venue': 'Math. Comput.', 'journal': 'Math. Comput.', 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}