Begreppet relevans mellan klassiska förslagsformler, definierat i termer av brevdelning, har funnits länge. Men det började ta ett nytt liv i slutet av 1990-talet när det omprövades i samband med logiken i trosförändring. Två nya idéer framträdde i oberoende arbete av Odinaldo Rodrigues och Rohit Parikh: relationen av relevans ansågs Modulo valet av en bakgrund tro uppsättning, och tron uppsättningen sattes i en kanonisk form, kallas dess finaste splittring. I den första delen av detta dokument erinrar vi om Rodrigues och Parikhs idéer och visar att de ger likvärdiga definitioner av vad som kan kallas kanonisk cell/patrelevans. I den andra delen presenteras det viktigaste nya resultatet av dokumentet: Även om förhållandet mellan kanonisk relevans är syntaxoberoende i den vanliga betydelsen av termen, förblir det dock språkberoende i djupare bemärkelse, vilket visas med ett exempel. Den sista delen av dokumentet vänder sig till frågor om tillämpning, där vi presenterar ett nytt koncept av parameterkänslig relevans som befriar Rodrigues/Parikh definitionen, vilket gör det möjligt att ta hänsyn till både extra-logiska källor och rent logiska. Nyckelord: relevans, brevdelning, trosförändring, splittring, språkberoende. Från syntaktisk till Canonical Cell/Path Relevans Försök att ge formella uttryck för begreppet relevans mellan propositionella formler går tillbaka åtminstone till Belnap (1960), som föreslog att ett nödvändigt, men inte tillräckligt, villkor för att en formel ska vara relevant för en annan är att de delar några elementära bokstav. Vi kallar detta syntaktisk relevans. Denna förordning träder i kraft den tjugonde dagen efter det att den har offentliggjorts i Europeiska unionens officiella tidning. Låt a,b vara formler av en given suggestiv logik. De är syntakt relevanta för varandra if de delar med sig av något elementärt brev. I samma tidning fortsatte Belnap med att föreslå att relevansen av föregångare till följd av detta bör fungera som ett villkor för varje godtagbart samband i propositionslogiken. Även om den klassiska logiken misslyckas med syntaktisk relevans, uppfyller hans subklassiska logik E (för "anmärkning") detta formella villkor, liksom ett antal andra delsystem av klassisk logik som kom att kallas "relevanslogik". Det här dokumentet handlar inte alls om sådana relevanslogik, och vi har ingen önskan att försvaga den klassiska. Vi är intresserade av begreppet relevans i sig. Vårt syfte är att se hur långt den enkla idén om brevdelning kan utvecklas till en väluppfostrad formell redogörelse för relevans i klassiska propositionssammanhang, och undersöka dess tillämpning på teorin om trosförändring. Dåligt beteende av syntaktisk relevans. (1) Förhållandet är syntaxberoende. Med andra ord, formler a,b kan vara klassiskt likvärdiga med a och b respektive en relevant för b men inte relevant för b. Dessutom (2), för alla a, b det finns a och b, som de är klassiskt likvärdiga, med a och syntaktiskt relevant för b. Exempel 1.1. För (1) är formeln  och p för q syntaktiskt relevant för q, men den förra är klassiskt likvärdig med  påp som inte är relevant för q när dessa bokstäver väljs som distinkta. För (2), ange t.ex. a-a-a-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r.r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r-r. Anmärkning. Vi använder p,q,... för elementära bokstäver, a,b,..,x,y,... för godtyckliga formler, A,B,..,K,... för uppsättningar av formler, och O, för relationer av klassisk proposition och likvärdighet. Klassisk följd som en operation är skriven Cn, med Cn(A)  på {x: A till x} som vanligt. En formel kallas kontingent iff det är varken en tautologi eller en motsägelse. För att övervinna bristerna i det syntaktiska begreppet är ett självklart första steg att uttrycka varje formel i sin minsta bokstavsuppsättning, med hjälp av den välkända minsta bokstavsuppsättningen teorem: Theorem 1.1. För varje uppsättning A-formler finns det en unik minsta uppsättning elementära bokstäver så att A på motsvarande sätt kan uttryckas med enbart bokstäver från den uppsättningen. Exempel 1.2. Den unika minsta bokstavsuppsättningen av "p" (-p-q) är {p} eftersom "p-(-p-q) är likvärdig med "p". Å andra sidan är den unika minsta bokstavsuppsättningen av  påsar( påsar) {p,q,r}, eftersom formeln inte är likvärdig med någon annan formel som saknar någon av dessa bokstäver. Kommentarer till minst bokstavsbestämda teorem. Detta teorem bör figurera i varje lärobok av elementär logik, men i själva verket sällan så mycket som nämns. Vi minns:  på ett strikt sätt, det håller i denna enkla form endast när språket har en primitiv noll-är operatör (propositionell konstant) såsom falsum  på. På ett sådant språk är den minsta bokstavsuppsättningen av någon tautologi eller motsättning. Utan en noll-är bindväv, låt oss säga med bara -,-,-,-, tautologier och motsägelser har många minimala bokstäver-uppsättningar (i själva verket alla singleton bokstavsuppsättningar), men inte minst en (eftersom ingen formel är berövad bokstäver). För enkelhetens skull arbetar vi med falsumen i det här dokumentet. Intuitivt, det minsta bokstavsuppsättning teorem är precis vad vem som helst skulle förvänta sig, men det behöver bevis. Att få minimala bokstavsuppsättningar är trivialt eftersom varje formel endast innehåller ändligt många bokstäver. Men att få en minst en (som, genom antisymmetrin av set-integration, kommer att vara unik) kräver lite mer arbete - se t.ex. tillägget till Makinson (2007). på minst bokstavsuppsättning A anses vara väsentliga (till A) eller irrevidanta (i A), de utanför kallas oväsentliga eller överflödiga (i A). till Med denna terminologi, Theorem kan anges på ett annat sätt: uppsättningen av alla bokstäver separat överflödig i A, är gemensamt överflödig i A, i den meningen att A kan motsvarande uttryckas utan någon av dem. När en formel a inte har några överflödiga bokstäver, d.v.s. När alla bokstäver som förekommer i en är i sin minsta bokstavsuppsättning, säger vi att det är i minst bokstavsuppsättning form. Det är praktiskt att använda en valfunktion, skriva a* för en godtyckligt vald formel i minst bokstavsuppsättning form som är likvärdig med a. Formeln a* kallas för en minst bokstavsuppsättning av a. På samma sätt för uppsättningar A av formler. I denna bilaga gäller följande definitioner: Låt a,b vara formler av klassisk propositionslogik. De sägs i huvudsak vara relevanta för varandra iff a*,b* dela med sig av några elementära bokstäver. Likvärdigt: iff varje formel som motsvarar en aktie en bokstav med varje formel som motsvarar b. Exempel 1.3. Även om det är syntaktiskt relevant för q, är det inte i huvudsak så, eftersom (--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Det är syntax-oberoende i vanlig mening: när a, b är tautologiskt ekvivalent med a och b, då a är i huvudsak relevant för b iff a. är i huvudsak relevant för b. (omedelbart från definitionen). Inga två skilda elementära bokstäver är relevanta för varandra (omedelbart från definitionen). Omständlig? Nästan: varje kontingent formel är relevant för sig själv. Icke-kontingent formler är inte relevanta för något (med tanke på närvaron av falsum på vårt språk). Inte transitiv. Exempel: p är i huvudsak relevant för p påq vilket är så för q, men p är inte att q. Det går inte att "genomföra": dess transitiva stängning gör att två villkorade formler är relevanta för varandra. Verifiering: Ta kontingent a, c. Eftersom de är kontingent, a* och c* innehåller bokstäver p och q. Stryk det som inte är tillämpligt. Då a är i huvudsak relevant för b, även b till c, så transitiv stängning skulle göra en relevant för c. Detta är allt en del av folklore och väl dokumenterad i litteraturen (se bilaga A). Men saker och ting började ta en ny vändning i slutet av 1990-talet, då ett fåtal människor började tänka på relevans i ljuset av formella berättelser om trosförändring. Två grundläggande insikter uppstod. Den första var att i detta sammanhang kan relevansen eller orelevansen av en formel för en annan anses bero inte bara på formlerna själva utan också på valet av en bakgrundssyn. Den andra var att denna tro kan ges en kanonisk form känd som dess finaste splittring. Eftersom denna utveckling inte är särskilt känd, förklarar och kommenterar vi dem i de följande två avsnitten. För att hjälpa läsaren att hålla reda på på varandra följande definitioner innehåller bilaga B en tabell över alla de olika slag av relevans som undersökts i texten. 4 Betrakta tre distinkta elementära bokstäver p, q, r. De är i huvudsak inte relevanta för varandra. Betrakta nu trosuppsättningen K = {p-q, q-r}. Sedan är det naturligt att säga att ur K synvinkel är bokstaven p relevant för q, q är relevant för r, och p är indirekt relevant för r. Detta tyder på följande definition. I avsnitt 2.1 ska punkt 2.1 ersättas med följande: (Rodrigues). - (EN) Herr ordförande! Låt a,b vara formler för klassisk propositionslogik, och låt K vara en uppsättning formler som tjänar som en tro uppsättning. Vi säger att a är sökväg relevant för b (mod K) iff det finns en ändlig sekvens x 0,...x n+1 (n  på 0) av formler med x 0 = a*, x n+1 = b*, x 1,...,x n K, och varje x i delar minst en bokstav med x i+1. Anmärkningar. Observera att x 1,...,x n krävs för att vara delar av K. Därför tittar vi på ändliga vägar genom K. Å andra sidan krävs det inte att någon av x 0 = a*, x n+1 = b* är i K (även om de naturligtvis kan vara). Vi kräver inte att K stängs under följd (även om det kan vara): en uppfattning som uppfattas som en godtycklig uppsättning formler av propositionslogik. Tillägg A, definition 8.14. Den användes också av Renata Wassermann i hennes avhandling (1999) och i efterföljande uppsatser t.ex. Riana och Wassermann (2004). I själva verket tog dessa författare a,b istället för a*,b* i definitionen, men vi har förfinat den för att se till att den är syntaxoberoende i dessa två argument. Vägrelevans generaliserar väsentlig relevans på ett naturligt sätt: det senare är fallet n = 0 i definition 2.1. Liksom väsentlig relevans, vägrelevans är:  till Syntax-oberoende i a,b, symmetrisk, nästan reflexiv (i samma mening), inte transitiv (även när n 0). Men med K som parameter uppstår nya funktioner. Det ena är ganska positivt: "Särskilda elementära bokstäver kan vara relevanta för varandra (mod K). Exempel: Modulo K = {p-q, q-r, -s}, p är sökväg relevant för r men inte för s. Men vissa andra funktioner är ganska oönskade: - Förhållandet är syntax-beroende i K. Exempel: Lägg till i ovanstående K formeln (r-s-s-r). Eftersom detta är en tautologi, det ändrar inte styrkan i K. Men p är nu path-relevant för s.  en relation trivialiserar när tron uppsättningen är stängd under klassiska konsekvenser. Det vill säga när K = Cn(K), två kontingenta formler a,b är väg-relevant för varandra modulo K. Anledning: Eftersom a,b är kontingent, var och en av a*, b* har minst en bokstav. Ta någon bokstav p i a*, någon bokstav q i b* och notera att Cn(K) innehåller någon tautologi i dessa bokstäver, t.ex. (b)(b)(b))(b))(b)(b))(b))(b)(b))(b))(b)(b))(b))(b)(b))(b))(b))(b)(b))(b))(b)(b))(b))(b))(b)(b))(b))(b))(b))(b))(b)))(b))(b))(b))(b)(b))(b))(b)))(b)))(b))(b))(b))(b))(b))(b))(b)))(b)))(b)))(b))(b))(b))(b)))(b)))(b)))(b))(b)))(b))))(b)))(b))))(b)))(b))))(b)))(b))))/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Kan vi komma runt dessa obehagliga funktioner? Man kan försöka tweaking Definition 2.1 genom att ersätta K med dess minst bokstavsuppsättning version K*. Detta gör dock ingenting för att eliminera syntax-beroendet i K. Exempel: Både K = {p-q} och motsvarande J = 5 {p,q} är redan i minst bokstavsuppsättning form, men under definition 2.1 har vi p-sökvägrelevant för q-modulo K, men inte så modulo J. En bättre idé behövs, och en gavs av Rohit Parikh 1999. Förutom att minimera uppsättningen elementära bokstäver måste vi reda ut dem. Formlerna i bakgrundsbegreppet K måste "kompletteras" så att deras bokstäver inte blandas ihop med varandra mer än nödvändigt. Med andra ord måste vi göra K så modulärt som möjligt. Parikh gjorde denna idé exakt med sin uppfattning om den finaste splittringen av en tro uppsättning. Vi börjar med definitionen av en splittring av en tro som K, och sedan gå över till den av en finaste splittring. Anmärkning: Vi skriver E(K) för uppsättningen av alla elementära bokstäver som förekommer i formler av K, och E 0 (K) för att vara den minsta bokstavsuppsättningen av Definition 3.1. (Parikh) Låt K vara en kontingent tro uppsättning, uttryckt i språket av klassisk proposition logik (med en noll-är bindväv). Låt E = {E i} i till exempel jag vara en partition av dess minsta bokstavsuppsättning E 0 (K), som genom en oförutsedd händelse inte kommer att vara tom. Vi säger att E är en uppdelning av K iff det finns en familj {B i } I av uppsättningar av formler sådan att varje E(B i ). Med andra ord, if K kan representeras som föreningen av tro sätter var och en av vilka endast använder bokstäver från en av cellerna i partitionen. (1) Kom ihåg att en partition av en icke-tom uppsättning är en familj av separata icke-tomma undergrupper av den uppsättningen, vars union uttömmer uppsättningen. (2) Partitioner av en uppsättning kan placeras i en korrespondens med ekvivalensrelationerna över uppsättningen. (3) En partition sägs vara finare än en annan iff den ekvivalenssamband som är associerad med den förra ingår (et-teoretiskt) i ekvivalenssambandet som är associerat med den senare; motsvarande, iff varje cell i den första partitionen är en delmängd av en cell av den andra. (4) Med tanke på varje icke-tom familj av partitioner av en uppsättning är skärningspunkten mellan alla ekvivalensrelationer som är associerade med partitioner i familjen själv en ekvivalensrelation över uppsättningen, och motsvarar därför en partition av uppsättningen. När det gäller finessförhållandet är det partitionsfamiljens infimum (alias den största nedre gränsen eller glib).
För att avhjälpa denna defekt föreslog REF en ny definition av vägrelevans via språkdelning och beroende variabler, och visade att det verkligen är likvärdigt med begreppet kanonisk cellrelevans.
Propositional relevance through letter-sharing
{'venue': 'J. Appl. Log.', 'journal': 'J. Appl. Log.', 'mag_field_of_study': ['Computer Science']}