Vi återbesöker den resande säljare problem med stadsdelar (TSPN) och föreslår flera nya approximation algoritmer. Dessa utgör antingen första approximationer (för hyperplan, linjer och bollar i R d, för d ≥ 3) eller förbättringar jämfört med tidigare approximationer som kan uppnås i jämförbara tider (för enhet diskar i planet). (I) Med tanke på en uppsättning n hyperplanes i R d, en resande säljare problem (TSP) tur vars längd är som mest O(1) gånger den optimala kan beräknas i O (n) tid när d är konstant. (II) Med tanke på en uppsättning n linjer i R d, en TSP tur vars längd är som mest O(log 3 n) gånger den optimala kan beräknas i polynom tid för alla d. (III) Med tanke på en uppsättning n enhet bollar i R d, en TSP tur vars längd är som mest O(1) gånger den optimala kan beräknas i polynom tid när d är konstant. Adrian Dumitrescu och Csaba D. Tóth. Vad är det som händer? Resande säljare problem för linjer, bollar och flygplan. Relaterat arbete. Det är känt att ETSP medger ett polynom-tids approximationssystem i R d, där d = O 1, på grund av Arora Mitchell [1999]. Efterföljande förbättringar av drifttiden erhölls av Rao och Smith [1998]. Framför allt är drifttiden för deras PTAS O( f (ε) n log n), där f (ε) växer exponentiellt i 1/ε. TSPN är däremot i allmänhet svårare att uppskatta. Vissa fall är kända för att vara APX-hårda. Forskningsinsatserna inriktades på approximationer för familjer i bostadsområden med "fina" geometriska egenskaper. Vanligtvis är förbättrade approximeringsmetoder tillgängliga när kvarteren är parvis isär, eller fett, eller har jämförbara storlekar. Vi går kort igenom tidigare arbete som är närmast relaterat till våra resultat. Arkin och Hassin [1994] gav konstanta approximationer för att översätta en konvex region, översätter en ansluten region och, mer allmänt, för regioner med diametrar parallellt med en gemensam riktning och med jämförbar längd (inom en konstant faktor). Dumitrescu och Mitchell [2003] utvidgade det föregående resultatet till godtyckligt anslutna bostadsområden med jämförbara diametrar. För n anslutna (möjligen överlappande) bostadsområden i planet kan TSPN approximeras med förhållandet O(log n) av algoritmen Mata och Mitchell [1995]. Se även Berns och Eppsteins undersökning [1997] för en kort beskrivning av denna algoritm. Efterföljande förbättringar av körtiden erbjöds av Elbassioni et al. [2006] och av Gudmundsson och Levcopooulos [1999]. I sin kärna, O(log n)-uppskattning bygger på följande tidiga resultat av Levcopolos och Lingas [1984] : varje (enkel) rektilinear polygon P med n hörn, r av vilka är reflex, kan delas i O (n log n) tid i rektanglar vars totala omkrets är log r gånger omkretsen av P. Bodlaender et al. [2009] gav ett PTAS för TSPN för separata fettregioner av ungefär samma storlek (detta inkluderar fallet med separata enheter diskar) i R d, där d är konstant. Tidigare föreslog Dumitrescu och Mitchell [2003] ett PTAS för TSPN för fettregioner av ungefär samma storlek och avgränsade djup i planet, där Spirkl [2014] nyligen fann och fyllde en lucka. Använda en approximationsalgoritm på grund av Slavik [1997] för Euclidean grupp TSP (se nedan), de Berg et al. [2005] har erhållits approximationer med konstant faktor för olika fettkonvexa regioner i planet, inte nödvändigtvis av jämförbar storlek. Elbassioni m.fl. [2005] förbättrade körtiden för approximationsalgoritmen. Därefter Elbassioni et al. [2006, 2009] gav konstanta approximationer för (eventuellt skärande) konvexa regioner av jämförbar storlek. Preliminärt arbete av Mitchell [2007, 2010] gav (1) en PTAS för avgränsade djup fett regioner med godtyckliga storlekar i planet, särskilt för separerade fettregioner i planet, och (2) konstant-faktor approximationer för parvis-söndrade anslutna områden oavsett storlek eller form. Nyligen gav Chan och Jiang [2016] en PTAS för fett svagt åtskilda regioner i metriska utrymmen med konstant dubbleringsdimension genom att kombinera en QPTAS av Chan och Elbassioni [2011] med en PTAS för TSP i dubbleringsmått av Bartal et al. [2012]................................................................. (Till exempel, separata enhet bollar i R d, d ≥ 2, är fett svagt åtskilda regioner enligt definitionen i Chan och Jiang [2016], men separata bollar av godtycklig radi behöver inte vara). En approximation med konstant faktor för diskar i Euclidean-planet (med godtyckliga radier och överlappningar) erhölls av Dumitrescu och Tóth [2015a]. Slutligen är intressanta varianter sådana som har gränslösa områden, till exempel linjer eller flygplan. För TSPN för n linjer i planet, en exakt lösning kan hittas i O(n 5 ) tid [Carlsson et al. 1999; Dror m.fl. 2003; Tan m.fl. 1999; Tan 2001] (se även Jonsson [2002] ), och en 1,28-approximation kan beräknas i O(n) tid [Dumitrescu 2012]. TSPN för linjer i R 3 är däremot NP-hård. Statusen för TSPN för plan i R 3 verkar vara okänd. När det gäller graden av tillnärmning som kan uppnås, är TSPN för godtyckliga bostadsområden i allmänhet APX-hård [de Berg et al. 2005; Safra och Schwartz 2005], och det förblir så även för segment av nästan samma längd [Elbassioni et al. 2006 ]............................................................................................................
approximationen förbättrades i REF för fall av separata enhet diskar, och en ny konstant faktor approximation algoritm presenterades för eventuellt skär enhet bollar i R 3.
The Traveling Salesman Problem for Lines, Balls, and Planes
{'venue': 'TALG', 'journal': None, 'mag_field_of_study': ['Mathematics', 'Computer Science']}