Histoire.

Antiquité.

La démographie est ou a été présente dans de nombreuses cultures et civilisations, dont celles qui se sont succédé en Chine et en Inde, de la Grèce antique et en occident dans la Rome antique et les civilisations.
On la trouve dans la Grèce antique dans les écrits d'Hérodote, mais aussi chez Thucidide, Hippocrate, Épicure, Protagoras, Polos, Platon et Aristote.
Chez les Romains elle est retrouvée chez des politiciens, écrivains et philosophes tels que Cicéron, Sénèque, Pline l'Ancien, Marc Aurèle, Épictète, Caton l'Ancien ; Columelle a aussi exprimé des idées importantes à ce sujet.

Moyen Âge.

Divers penseurs chrétiens médiévaux consacrent beaucoup de temps à réfuter les idées classiques sur la démographie. C'est par exemple le cas de Guillaume de Conches, Barthélemy de Lucques (dit Ptolémée de Lucques), Guillaume d'Auvergne, Guillaume de Pagula et Ibn Khaldun. Robert Wallace au (en l'an douze cent trente-trois), évalue que le nombre des hommes existant sur le globe à son époque est de, toutes provenant d'un couple commun

De la Renaissance au siècle des Lumières.

"Les Observations naturelles et politique... relatives aux Lois de la mortalité" ("Natural and Political Observations... upon the Bills of Mortality", 1662) de John Graunt contiennent une forme primitive de table de mortalité. Des mathématiciens, tels que Edmond Halley développent des tables de mortalité comme bases mathématiques pour les premières formes de calcul d'assurance-vie, voire de sécurité sociale comme le font Henry de Boulainvilliers, Faiguet de Villeneuve, du Beissier de Pizany d'Eden.
L'étude de la démographie est renforcée ensuite par les progrès importants dans l'espérance de vie et son estimation qui se produisent au milieu du, grâce aux Table de mortalité successivement publiées par Antoine Deparcieux (1746, Théodore Tronchin (1748), Pehr Wilhelm Wargentin (1749), Thomas Simpson (1752), Johann Peter Süssmilch (1761), ou encore Daniel Bernoulli (1763). L'un d'eux, Pehr Wilhelm Wargentin a créé en 1749 le Tabellverket, appelé "Bureau des Tables", premier institut de statistique au monde, issu des premiers recensements que le Royaume de Suède avait ordonné à l'Église de Suède d'effectuer en 1686.
Richard Price est crédité du premier manuel sur les contingences de la vie publié en 1771, suivi plus tard par Augustus de Morgan « "Sur l'application des probabilités aux aléas de la vie" » (1838).
En 1778, Jean-Baptiste Moheau publie les "Recherches et considérations sur la population de la France", qui compare la force et la taille de l'homme selon les pays, mais qui s'intéresse aussi au nombre relatif des naissances d'hommes et de femmes (il constate qu'il y a 16 naissances d'hommes pour 15 femmes. Moreau s'intéresse aussi aux métiers destructeurs de la santé, etc. Citons également le démographe vénitien Giammaria Ortes, considéré comme "démographe pré-malthusien", ainsi que le Chinois Hong Liang Ki.
À la fin du, Thomas Malthus conclut que, si rien n'était fait pour réduire puis stabiliser la démographie humaine, la croissance démographique serait de type exponentielle, avec le risque que la croissance de la population ne vienne à dépasser la croissance de la production alimentaire, conduisant à des famines et une pauvreté croissante (voir malthusianisme). Malthus est souvent considéré comme le créateur du concept de surpopulation et des limites de la "« croissance »".

Révolution industrielle.

En Occident, alors qu'avec l'industrie et l'accès à de nouvelles ressources (charbon, puis pétrole), on s'inquiète moins de la surpopulation, des modèles plus sophistiqués et jugés réalistes sont mis au point et diffusés par les mathématiciens Benjamin Gompertz et Verhulst.
La seconde moitié du, ou plutôt la période 1860-1910, est une période de transition où la démographie émerge du domaine des statistiques comme un domaine d'intérêt à part entière.
Cette période a connu de grands démographes tels qu'Adolphe Quételet (1796-1874), William Farr (1807-1883), Louis-Adolphe Bertillon (1821-1883) et son fils Jacques (1851-1922), Joseph Körösi (1844-1906), Anders Nicolas Kaier (1838-1919), Richard Böckh (1824 - 1907), Wilhelm Lexis (1837-1914) et Luigi Bodio (1840-1920) qui ont contribué au développement de la démographie, et de nombreux outils statistiques et de prospective pour l'analyse et la prévision démographique.

Après-Seconde guerre mondiale.

Dans le contexte de la guerre froide, les États-Unis développent plusieurs stratégies visant tantôt a endiguer tantôt à combattre l'avancée du communisme. Une de ces stratégies vise à éradiquer l'extrême pauvreté, considérée comme facteur de développement du communisme. Une population trop importante est alors considérée comme un facteur de pauvreté. Un contrôle des populations va donc être activement financé et soutenu notamment dans les pays asiatiques de l'Inde à la Corée. Ce contrôle passe par le financement d'organisations privées et de fondations, comme le Conseil de la population (mais aussi les fondations Ford et Rockefeller), ayant pour objectif la baisse de la fécondité par la propagation des techniques de planning familial et la promotion de l'avortement dans le but d'améliorer les conditions de vie des populations les plus pauvres. Le catalyseur de leurs idées est le best-seller international paru en 1967 "The population bomb (La bombe P)" de Paul R. Ehrlich qui considère la croissance démographique comme un « cancer » et indique que « le contrôle de la population est la seul réponse possible. ». Le Président Lyndon B. Johnson va suivre le mouvement en imposant comme condition à l'aide au développement, notamment à l'Inde d'Indira Gandhi, la baisse de la natalité. Les gouvernements des pays concernés acceptent cette nouvelle forme d'impérialisme afin de limiter la croissance des classes sociales les plus défavorisées. À partir de 1956 des cliniques mobiles fournies par l'IPPF () sillonent l'Inde jusque dans les régions les plus reculées pour distribuer des préservatifs, des stérilets et pratiquer des avortements tandis que des recherches, comme celles du docteur, envoyé à l'université de Delhi, sont financées pour mettre au point de molécules contraceptives. Une certaine méfiance émerge dans les populations après que des morts due à des stérilets non-stériles soient enregistrées. Les archives de la fondation Ford indiquent que les tenants du contrôle des naissances envisagent alors des méthodes plus radicales comme « asperger des produits de stérilisation par avion ou les mélanger à l'eau potable, la promotion de l'homosexualité et l'instauration d'un impôt sur les enfants ». Des camps de stérilisation sont mis en place. En 1975, l'Inde force huit millions de femmes et de d'hommes à se faire stériliser.

Au.

Notre planète voit sa population croître de plus de d'individus tous les cinq ans. Selon les prévisions de l'ONU, nous serons ainsi plus de onze milliards en 2100. Une situation qui, désormais, constitue un axe majeur de toute analyse géopolitique. C'est notamment vrai pour les pays de l'Union européenne (UE), qui a entamé une décroissance démographique en 2015, année où, pour la première fois depuis sa création, l'UE a enregistré une « variation naturelle négative de sa population ». Cependant, celle-ci a été plus que compensée par un apport migratoire de plus de 1,9 million de personnes, l'année précédente.  Au-delà, le vieillissement généralisé de la population européenne et la charge économique grandissante des seniors pourraient nourrir d'importantes tensions intergénérationnelles. Car au-delà du seul coût des retraites (qui, en France, repose pour l'essentiel sur les cotisations des actifs), le financement social et médical des personnes âgées représente un poids financier considérable, qui ne cessera de croître dans les années à venir. En France "(2019)", la seule prise en charge des seniors en perte d'autonomie coûte déjà d'euros par an, soit 1,4 point de PIB.  En 2060, elle devrait presque doubler selon le ministère de la santé. Il n'est pas sûr que les jeunes générations, déjà directement impactées par un marché du travail de plus en plus contraint et un niveau de vie de moins en moins élevé, ne consentent sans sourciller à de tels efforts. Des confrontations entre classes d'âges, à l'intérieur de chaque pays concerné, se superposant aux tensions démographiques de migrants aux frontières, le tout dans un contexte d'appauvrissement des ressources naturelles et de crises climatiques (favorisant les phénomènes migratoires massifs et incontrôlés) : on le voit, la question démographique est désormais – et pour longtemps encore – au cœur des grandes problématiques sociales et géopolitiques contemporaines.

Méthodes.

Les démographes ont recours à diverses méthodes pour expliquer les phénomènes démographiques. Ils puisent notamment dans les connaissances de disciplines connexes, comme la sociologie, l'économie, la géographie, la sociologie, la santé reproductive et bien sûr l'histoire pour que leur interprétation soit la plus juste possible. La démographie dépasse donc largement le cadre de l'analyse statistique et permet d'étudier les phénomènes affectant les populations dans une perspective globale.

La démographie est l'étude quantitative et qualitative des caractéristiques des populations et de leurs dynamiques, à partir de thèmes tels que la natalité, la fécondité, la mortalité, la nuptialité (ou conjugalité) et la migration.

Demografie ("démos" - lid "graféin" - psát, popisovat) je věda, která studuje proces reprodukce lidských populací. Objektem studia demografie tedy jsou lidské populace, předmětem jejího studia je proces demografické reprodukce, tedy přirozený proces obnovy obyvatelstva důsledkem rození a vymírání. Procesy demografické reprodukce jsou úmrtnost (též mortalita), nemocnost, porodnost (též natalita), potratovost, sňatečnost a rozvodovost. Tyto procesy jsou také v centru demografického zájmu.


Sens européen historique.

Elle marque la transition entre le Moyen Âge et l’Époque moderne dans le monde. Le terme « renaissance » est en fait un terme moderne qui devint courant au dans les travaux d’historiens comme Jacob Burckhardt. Bien que l’on date les origines d’un mouvement de mécénat et d’effort intellectuel cantonné au milieu instruit à la première moitié du, beaucoup d’aspects de la culture et de la société italienne restent largement médiévaux ; la Renaissance ne prend son essor qu’à la fin du siècle. L’époque est surtout connue pour son retour à la culture classique antique après ce que les humanistes de la Renaissance nomment l’Âge sombre. Ces changements, bien qu’importants, ne se produisent que dans les plus hautes couches de la société, et pour la grande majorité de la population la vie quotidienne reste peu différente de celle au Moyen Âge, même si l'essor de la bourgeoisie marchande a permis d'élargir l'accès à la prospérité, ce qui contraste avec la plus triste condition de l'Europe dans le Haut Moyen Âge.  La Renaissance italienne est, en effet, d'abord un phénomène économique qui s'amorce, selon certains historiens, dès le à la suite de la première croisade. Les routes commerciales de l'Orient s'ouvrent aux marchands européens, et l'Italie, au centre de la Méditerranée, devient la plaque tournante du commerce entre l'Europe et l'Asie. Les cités marchandes italiennes s'enrichissent grâce au commerce de la soie et des épices. Un système bancaire moderne se crée et une nouvelle classe sociale voit le jour : la bourgeoisie. Le Florin (devise de Florence) devient la monnaie internationale du bas Moyen Âge. Cette richesse amène les cités italiennes (indépendantes et fières) à rivaliser entre elles dans le domaine de la culture des arts et des sciences. Chaque prince, pour apparaître plus puissant que son voisin, est prêt à dépenser des fortunes pour avoir les meilleurs artistes et les plus beaux monuments.  La Renaissance italienne prend racine en Toscane (Italie Centrale), concentrée autour de Florence et Sienne. Le mouvement a ensuite des répercussions importantes à Venise. Les restes de la culture de la Grèce antique y sont rassemblés, abreuvant les érudits humanistes de nouveaux textes. Plus tard, la Renaissance s’installe à Rome, où fleurit une architecture à la mode antique. Rome sera en grande partie reconstruite par les papes des. La Renaissance italienne culmine au. Pendant les invasions étrangères qui meurtrissent la région (voir guerres d'Italie) les idées et idéologies de la Renaissance se répandent dans toute l’Europe, déclenchant la Renaissance au nord à Fontainebleau et Anvers et la Renaissance anglaise.  On connaît de la Renaissance les œuvres littéraires, entre autres, de Pétrarque, Castiglione et Machiavel (voir littérature française du) ; les travaux d’artistes comme Michel-Ange, Léonard de Vinci ou encore Raphaël (voir art de la Renaissance), et les grands travaux architecturaux, comme le Dôme de Florence et la basilique Saint-Pierre à Rome (voir architecture Renaissance). D’autre part, les historiens d’aujourd’hui considèrent que la fin du en Italie s’est accompagnée d’une régression économique et de très peu de progrès en science, ce qui a permis le grand bond en avant de la culture protestante au.  Les raisons de la fin de l'hégémonie italienne dans le commerce et les sciences sont principalement dues au changement des routes commerciales après la découverte de l'Amérique. Le rôle de la mer Méditerranée se marginalise de plus en plus, les nations de l'océan Atlantique profitent mieux des nouveaux équilibres géopolitiques, d'abord l'Espagne et le Portugal, mais ensuite surtout la France, l'Angleterre, les Pays-Bas, et en général les nations du nord de l'Europe. La réforme protestante a, certainement, aussi joué un rôle dans le renouveau politique et économique des nations du nord.

Origines.

L'Italie du Nord et la Toscane à la fin du Moyen Âge.

À la fin du Moyen Âge, le sud de l'Italie et Rome par deux fois centre de l’Empire romain, sont bien plus pauvres que le reste de l'Italie. Rome est presque en ruines, et la région des États pontificaux est administrée avec laxisme, peu réglementée et ordonnée. En effet, la résidence du pape a été déplacée à Avignon sous la pression du roi de France Philippe le Bel.  Toutefois Rome, dès le, atteint la même splendeur des autres cités d'Italie centrale (Pérouse, Assise, Spolète, Orvieto, Urbino). Rome deviendra, après Florence, un des hauts lieux de la Renaissance italienne.  Par contre le sud, passé par plusieurs dominations étrangères, ne connaît pas, à cette époque, le même renouveau économique et artistique, avec quelques exceptions comme la cité marchande d'Amalfi. On peut aussi considérer comme précurseur des idéaux de la Renaissance le grand raffinement de la cour de Palerme au sous Frédéric II surnommé "stupor mundi". Un certain renouveau artistique a eu lieu par la suite aussi à Naples sous Alphonse d'Aragon au, mais en général le sud de l'Italie reste à l'écart des bouleversements économiques et sociaux de la Renaissance.  Les États du centre et du nord de l'Italie, bien plus prospères, comptent parmi les plus riches d’Europe. Les croisades ont tissé des liens commerciaux durables avec le Levant, et la quatrième croisade a éliminé l’Empire byzantin, rival commercial des Vénitiens et des Génois. Les principales routes de commerce venant de l’est traversent l’Empire byzantin ou les pays arabes et vont jusqu’aux ports de Gênes, Pise et Venise. Les marchandises de luxe comme les épices, les colorants et la soie sont achetées en Orient, importées en Italie puis revendues à travers l’Europe. De plus, les cités-États à l’intérieur des terres profitent de la riche région agricole de la vallée du Pô. Les routes terrestres et maritimes apportent de la laine, de la farine et des métaux précieux de France, d’Allemagne et des Pays-Bas par le biais des foires de Champagne. Le vaste commerce qui s’étend de l’Égypte jusqu’à la mer Baltique génère des excédents qui rendent possibles de considérables investissements dans les exploitations minières et l’agriculture. Ainsi, bien que l'Italie ne détienne pas plus de ressources que beaucoup d’autres parties de l’Europe, le niveau de développement, stimulé par le commerce, lui permet de prospérer. Florence devient l’une des plus riches villes de l’Italie, en grande partie grâce à sa production de laine textile sous la surveillance de la guilde commerciale dominante, la corporation "Arte della Lana". La laine est importée d’Europe du nord (et d’Espagne à partir du ) et les colorants venant d’Orient sont utilisés pour fabriquer des textiles de grande qualité.  Ces routes commerciales italiennes, qui se déploient sur toute la Méditerranée et au-delà, véhiculent aussi la culture et la connaissance. Durant la période médiévale, les travaux incarnant l’éducation classique des Grecs se sont répandus peu à peu en Europe occidentale, à travers les traductions et les traités arabes, depuis Tolède et Palerme. C’est par les croisades que se fait le premier contact de l’Europe avec l’éducation classique, préservée par les Arabes, mais l'événement le plus marquant est la "Reconquista" espagnole au, dont résultent les traductions de textes arabes par les spécialistes de l’école de Salamanque. La pensée scientifique, philosophique et mathématique entre en Italie par l’Égypte et le Levant. Éléments déclencheurs des nouvelles études linguistiques de la Renaissance, des textes grecs et les érudits capables d’apprendre aux Italiens à les lire arrivent de Constantinople après sa conquête par les forces ottomanes en 1453 dans les académies de Florence et Venise, qui renaissent de leurs cendres. Les érudits humanistes cherchent dans les bibliothèques monastiques d’anciens manuscrits et retrouvent Tacite et d’autres auteurs latins ; avec la redécouverte de Vitruve, les principes architecturaux de l’Antiquité peuvent à nouveau être observés, et les artistes de la Renaissance sont encouragés, dans l’optique de l’optimisme humaniste, à surpasser les Anciens, parmi lesquels Apelle.

Le, période de prospérité.

L’Europe connaît un bond économique global au. Les routes commerciales des états italiens s’allient aux ports de la Méditerranée et finissent par créer un réseau économique en Europe avec la Hanse, pour la première fois depuis le. Les cités États d’Italie croissent énormément durant cette période et gagnent en puissance, devenant de ce fait entièrement indépendantes du Saint-Empire romain germanique. Dans le même temps, les infrastructures commerciales modernes voient le jour : sociétés par actions, système bancaire international, marché des changes systématisé, assurance et dette publique. Florence devient le centre de cette industrie financière, propulsant le florin au statut de devise principale du commerce international.  Une nouvelle classe dominante émerge, constituée de marchands qui gagnent leur situation par leurs compétences financières, adaptant à leur profit le modèle aristocratique féodal qui a dominé l’Europe au Moyen Âge. La montée en puissance des communes en Italie est une particularité du Moyen Âge tardif, celles-ci accaparant le pouvoir des évêques et des seigneurs locaux. Dans une grande partie de la région, la noblesse terrienne est beaucoup plus pauvre que les patriarches des villes : la croissance inflationniste de l’économie médiévale laisse les propriétaires sur la paille. Le développement du commerce au début de la Renaissance accentue cet aspect. Le déclin du féodalisme et la croissance urbaine influent l’un sur l’autre ; par exemple, la demande de produits de luxe engendre une croissance du marché, enrichissant de nombreux négociants qui, à leur tour, demandent plus de produits de luxe. Ces changements donnent aussi aux marchands un contrôle presque total des gouvernements des cités-États, mettant encore en avant le commerce. Un des effets les plus importants de ce contrôle politique est la sécurité : dans un système féodal, ceux qui deviennent extrêmement riches courent constamment le risque de se brouiller avec la monarchie et de voir leurs terres confisquées (c’est le cas de Jacques Cœur en France). Les états du nord gardent aussi beaucoup de lois médiévales qui entravent le commerce, dont les lois contre l’usure et l’interdiction de négocier avec des non-chrétiens. Dans les cités-États d’Italie, ces lois sont abrogées ou réécrites.

L’effondrement du.

Le voit une série de catastrophes précipiter l’Europe vers une récession économique. La « période médiévale chaude » se termine, et commence le petit âge glaciaire. Ces changements climatiques provoquent une baisse significative du rendement agricole, conduisant à des famines répétées, accentuées par la croissance rapide de la population au début du siècle. La Guerre de Cent Ans entre la France et l’Angleterre perturbe le commerce de l’Europe au nord-ouest ; quand, en 1345, le roi Édouard III d'Angleterre nie ses dettes, il contribue à la faillite des banques de Bardi et Peruzzi, les deux plus importantes de Florence. Le commerce est également perturbé à l’est par l’expansion de l’Empire ottoman. La peste noire est cependant la catastrophe la plus dévastatrice. Décimant la population dans les villes densément peuplées d’Italie, elle frappe plusieurs fois, par intermittence. Florence, par exemple, dont la population avant l’arrivée du fléau était de habitants, se voit réduite de 25 à 50 % en 47 ans. Un trouble général s’ensuit, incluant une révolte des ouvriers du textile florentins, les ciompi, en 1378.  C’est pendant cette période d’instabilité qu’apparaissent les premières figures de la Renaissance, comme Dante et Pétrarque, et les premières inspirations artistiques de la Renaissance se manifestent durant la première moitié du, notamment dans le réalisme de Giotto. Paradoxalement, certains de ces désastres ont participé à édifier le courant de la Renaissance. En décimant plus d’un tiers de la population européenne, la peste noire laisse derrière elle une population plus riche, mieux nourrie, et qui a incontestablement plus d’argent à dépenser en produits de luxe comme l’art et l’architecture. Tandis que les effets du fléau commencent à décliner au début du, la population anéantie connaît une nouvelle croissance démographique, renouvelant la demande de produits et de services. Le nombre de personnes capables de les fournir étant réduit, les classes les plus basses sont remises en valeur. De plus, cette demande crée également une classe florissante de banquiers, marchands et artisans qualifiés. Les horreurs de la Peste Noire et l’incapacité de l’Église à apporter du réconfort lui font perdre son emprise. En outre, l’effondrement des banques de Bardi et Peruzzi permet aux Médicis de gagner de l'influence à Florence. Le médiéviste américain Roberto Sabatino Lopez affirme que la dépression économique est un facteur essentiel de la naissance du courant de la Renaissance. Selon lui, si l’époque avait été plus prospère, les hommes d’affaires auraient rapidement réinvesti leurs gains afin de gagner encore plus d’argent dans un climat favorable à l’investissement. À l’inverse, durant les années les plus difficiles du, les plus riches ont peu de perspectives d’investissement pour leur capital et préfèrent en dépenser en culture et en art.  L'hypothèse avancée par l’historien Hans Baron est une autre explication répandue de l’avènement de la Renaissance italienne : la première cause de la Renaissance serait la longue série de guerres entre Florence et Milan (voir Guerres d'Italie). À la fin du, Milan est devenue une monarchie centralisée sous le contrôle de la famille Visconti. Jean Galéas Visconti, qui dirige la ville de 1378 à 1402, est connu à la fois pour sa cruauté et son habileté à gouverner. Projetant de bâtir un empire en Italie du Nord, il lance une série de guerres. Milan conquiert ses États voisins et défait les diverses coalitions menées par Florence qui cherche en vain à stopper son avancée. Le point culminant est le siège de Florence en 1402, au moment où la ville semble sur le point de tomber, avant que Jean Galéas ne meure, laissant son empire s’effondrer derrière lui.  D’après la thèse d’Hans Baron, durant ces guerres interminables, les personnalités politiques de Florence ont rallié le peuple en présentant la guerre comme un conflit entre la république libre et la monarchie despotique, entre les idéaux des Grecs et des Républiques romaines et ceux de l’Empire Romain et des royaumes du Moyen Âge. Leonardo Bruni est, selon Baron, la personnalité la plus impliquée dans la diffusion de cette idéologie. Baron affirme que la plupart des figures du début de la Renaissance sont apparues durant cette période de crise à Florence, comme Ghiberti, Donatello, Masolino et Brunelleschi, marqués par cette idéologie républicaine. Plus tard, ces derniers défendront avec d’autres les idées républicaines qui auront un énorme impact sur la Renaissance.

Développement.

Relations internationales.

L’Italie centrale et septentrionale est divisée en beaucoup de cités-États, parmi lesquelles Milan, Florence, Pise, Sienne, Gênes, Ferrare, Mantoue et Venise, qui sont les plus puissantes. Au Moyen Âge l’Italie du Nord est divisée par la longue bataille pour la suprématie entre les forces de la Papauté et le Saint-Empire romain germanique : chaque ville se prononce pour une des factions, mais des disputes internes éclatent entre les guelfes et les gibelins. Les guerres entre états sont monnaie courante et les invasions de l’étranger restreignent les sorties des empereurs romains germaniques. La politique de la Renaissance se développe sur cet arrière-plan. Depuis le, les armées étant constituées principalement de mercenaires, les cités prospères peuvent rassembler des forces considérables malgré leur faible population. Au cours du, les cités les plus puissantes annexent les cités voisines plus faibles. Florence prend Pise en 1406, Venise s’approprie Padoue et Vérone, tandis que le Duché de Milan annexe un certain nombre de territoires alentour, dont Pavie et Parme.  Durant la première partie de la Renaissance se déroule une guerre quasi permanente sur terre comme sur mer entre les cités-États qui luttent pour la suprématie. Sur terre, ces guerres sont livrées principalement par des armées de mercenaires appelés condottières : ce sont des troupes de soldats en provenance de toute l’Europe, mais plus particulièrement d’Allemagne et de Suisse, bien souvent menées par des capitaines italiens. Ces mercenaires ne sont pas disposés à risquer leur vie outre mesure, et la guerre devient ainsi une guerre de sièges et de manœuvres, occasionnant peu de batailles rangées. Il est aussi dans l’intérêt des mercenaires des deux camps de prolonger les conflits pour assurer la pérennité de leur contrat. D’un autre côté, les mercenaires sont une menace constante pour leurs employeurs : s’ils ne sont pas payés, ils se retournent souvent contre leur patron. Lorsqu’il devient évident qu’un état est entièrement dépendant de ses mercenaires, ceux-ci sont tentés d’en prendre le contrôle et d'en assurer le fonctionnement eux-mêmes ; cela se produit d’ailleurs de nombreuses fois.  En mer, les cités italiennes investissent beaucoup de flottes dans les batailles. Les principaux antagonistes sont Pise, Gênes et Venise ; cependant, après une longue lutte, les Génois parviennent à soumettre Pise. Venise se montre un adversaire plus puissant, et bien que les deux villes soient de forces à peu près égales, la flotte génoise est éliminée durant la bataille de Chioggia à l’entrée de la lagune de Venise en 1380 ; Venise domine ainsi les mers. Tandis que ses domaines sur les rives de la mer Égée sont perdus au profit des Turcs et que le commerce sur la mer Noire lui est fermé, l’attention de Venise se tourne vers le continent et la Renaissance vénitienne commence.  Des décennies de combats sur le continent affirment Florence et Milan en tant que villes dominantes, et ces deux puissances mettent finalement de côté leurs différences et signent la Paix de Lodi en 1454, ramenant la région à un calme relatif pour la première fois depuis des siècles. Cet accord persistera durant les quarante années suivantes, et l’hégémonie incontestée de Venise sur les mers amène également à une paix sans précédent presque jusqu’à la fin du.  Au début de ce siècle, les aventuriers et les négociants, tels Nicolò de' Conti (1395-1469), voyagent jusqu’en Asie du sud-est et en reviennent avec des nouvelles fraîches sur la situation mondiale, présageant des voyages plus lointains des Européens dans les années à venir.

Florence sous les Médicis.

Jusqu’à la fin du, la famille Albizzi a été à la tête de Florence. Leurs principaux opposants sont les Médicis, d’abord sous Jean de Médicis, puis sous son fils Cosme. Les Médicis contrôlent la Banque des Médicis, qui est alors la plus importante banque européenne, et plusieurs autres entreprises à Florence et ailleurs. En 1433, la famille Albizzi parvient à faire exiler Cosme. Cependant, une Seigneurie pro-Médicis est élue l’année suivante et Cosme revient à Florence. Les Médicis prennent la tête de la ville, qu’ils garderont pendant trois siècles. Florence reste une république jusqu’en 1537, qui marque traditionnellement la fin de Renaissance à Florence, mais les Médicis et leurs alliés gardent une main de fer sur les instruments des institutions républicaines, excepté pendant de courtes périodes après 1494 et 1527. Cosme et Laurent n’occupent que rarement des postes officiels, mais sont les dirigeants incontestés de la ville.  Cosme de Médicis est très populaire parmi les citoyens, principalement pour avoir apporté une ère de prospérité et de stabilité à la ville. Une de ses réalisations les plus importantes est la négociation de la Paix de Lodi avec François Sforza, mettant fin à des décennies d’une guerre contre Milan et apportant une stabilité à une grande partie de l’Italie du Nord. Cosme est aussi un important mécène, que ce soit directement ou indirectement, par l’exemple qu’il donne.  Lui succède son fils malade Pierre de Médicis, qui meurt cinq ans plus tard. En 1469 les rênes de la ville passent à Laurent, le petit-fils de Cosme, alors âgé de vingt-et-un ans, qui deviendra « Laurent le Magnifique ». Laurent est le premier membre de la famille à être instruit dès son plus jeune âge dans la tradition humaniste et est considéré comme l’un des plus grands mécènes de la Renaissance. Sous Laurent, les Médicis prennent officiellement le pouvoir à Florence avec la création d’un nouveau Conseil des Sept, que Laurent préside. Les institutions républicaines existent toujours, mais ont perdu toute autorité. Laurent est moins brillant en commerce que ses illustres prédécesseurs, ainsi l’empire commercial des Médicis s’érode lentement. Laurent perpétue l’alliance avec Milan, mais les relations avec la papauté se dégradent ; en 1478, des agents du Pape s’allient avec la famille Pazzi dans une tentative pour l’assassiner. Bien que la conjuration échoue, Julien, le jeune frère de Laurent, est tué. Cet assassinat raté déclenche une guerre avec la papauté et Laurent s’en sert pour se justifier de centraliser plus encore le pouvoir entre ses mains.

L’expansion de la Renaissance.

Les idéaux de la Renaissance se répandent d’abord de Florence aux états voisins de Toscane, tels Sienne et Lucques. La culture toscane devient bientôt un modèle pour tous les États de l’Italie, et les Italiens de Toscane prédominent dans toute la région, notamment en littérature. En 1447, François Sforza arrive au pouvoir à Milan et métamorphose rapidement cette ville encore médiévale en un centre majeur d’art et d’apprentissage. Venise, qui est une des villes les plus riches de par sa domination de la mer Méditerranée, devient également un centre culturel, surtout en architecture. L'apparition de petites cours implante le mécénat dans des villes de moindre importance, qui développent leurs propres arts : Ferrare, Mantoue sous les Gonzague, Urbino sous Frédéric III de Montefeltro. À Naples, la Renaissance démarre par le mécénat d’Alphonse V d'Aragon qui a conquis Naples en 1443. Il soutient des artistes comme Francesco Laurana et Antonello de Messine, et des écrivains tels le poète Jacopo Sannazaro et l’érudit humaniste Ange Politien.  En 1417, la papauté est de retour à Rome, mais l'ancienne cité impériale demeure pauvre et en grande partie en ruines après les premières années de la Renaissance. La grande transformation commence sous le pontificat de Nicolas V, qui devient pape en 1447. Il lance un effort de reconstruction spectaculaire qui aboutira finalement au renouveau d'une grande partie de la cité. L'érudit humaniste Aeneas Silvius Piccolomini devient pape sous le nom de Pie II en 1458. À mesure que la papauté s'allie ou tombe sous le contrôle des riches familles, telles que les Sforza du duché de Milan, les Médicis à Florence, les Este à Ferrare et Modène, les Doria à Gênes, les Montefeltro à Urbin et les Borgia à Rome, l'esprit de la renaissance artistique et philosophique en vient à dominer la papauté. Aux les plus grands artistes tels que Botticelli, Michel-Ange et Raphaël viennent s'installer à Rome. Ce dernier artiste fut missionné par le pape Jules II pour effectuer la décoration de plusieurs chambres du palais du Vatican. Cela va sans dire qu'il s'agit là d'une commande audacieuse puisque jusqu'à présent Raphaël n'avait réalisé que de petites fresques. Cela montre le pouvoir prédominant de la papauté sur les commandes artistiques au point de pousser les artistes à innover et à diversifier leurs techniques. Le pape Sixte IV poursuit l'œuvre de Nicolas, son ordre le plus connu concernant la construction de la Chapelle Sixtine. Les papes deviennent également de plus en plus des gouvernants séculiers à mesure que les États Pontificaux sont forgés au sein d'un pouvoir centralisé par une série de « papes de guerre ».  La nature de la Renaissance change également à la fin du. L'idéal de la Renaissance a été pleinement adopté par les classes dirigeantes et l'aristocratie. Au départ, les artistes de la Renaissance étaient vus comme des artisans avec peu de reconnaissance et de prestige. À la fin de la Renaissance, les grandes figures exercent une grande influence et peuvent exiger des honoraires importants. Un commerce florissant autour de l'art de la Renaissance se développe. Tandis qu'aux débuts de la Renaissance, de nombreux grands artistes étaient issus de basses ou petites classes sociales, ils devinrent au fur et à mesure membres d'une classe à part entière.

L'influence sur la population.

En tant que courant culturel, la Renaissance italienne n’affecte qu’une petite partie de la population. Le nord et le centre de l'Italie sont les régions les plus urbaines d’Europe, et pourtant la population est encore constituée aux trois-quarts de paysans vivant dans les campagnes. Pour ces gens-là, la vie ne diffère que très peu de celle du Moyen Âge. Mais les conditions de vie en Italie s'améliorent en général. Dans le nord de l'Italie, la société n’a jamais vraiment été féodale, et la plupart des paysans travaillent dans des fermes privées ou comme métayers. Selon certains spécialistes, la transformation des élites citadines en propriétaires terriens entraîne une tendance à la re-féodalisation.  La situation est très différente dans les villes, qui sont dominées par une élite commerciale, aussi sélecte que l’aristocratie des royaumes médiévaux. Ce groupe constitue le principal mécène et le premier destinataire de la culture de la Renaissance. En deçà se trouve une importante classe d’artisans et de membres de guildes qui vivent confortablement et ont un pouvoir non négligeable sur les gouvernements républicains, au contraire du reste de l’Europe, où les artisans font véritablement partie des classes les plus basses. Lettré et instruit, ce groupe participe activement au développement de la culture de la Renaissance. Cependant, la population citadine est constituée en majorité de travailleurs semi-qualifiés ou sans emploi, sur lesquels la Renaissance n’a pas plus d’effet que sur les paysans. On trouve quelques exemples d’individus qui, partant d’un humble niveau, ont escaladé l’échelle sociale, mais Burke remarque deux études importantes dans cette région qui montrent que les données ne peuvent clairement attester d’une augmentation de la mobilité sociale. La plupart des historiens pensent que cette mobilité sociale était assez importante au début de la Renaissance, puis qu’elle a diminué durant le. Les inégalités dans la société sont très marquées.

Repères pour les arts.

Suivant les historiens de l'art, elle commence au Duecento () ou au Trecento () par une période dite de "Pré-Renaissance" (Selon l'historien de l'art Jacob Burckhardt, cette Renaissance avant l'heure commence dès le en Toscane et se diffuse le siècle suivant jusqu'en Provence et en Italie médiane) et se poursuit pleinement par la "Première Renaissance" au Quattrocento.  Elle se transforme en "Haute Renaissance" au début du Cinquecento (entre 1500 et 1530), suivie du maniérisme ou "Renaissance tardive" qui va de 1520 (mort de Raphaël) pour se finir rapidement en 1580.  Le baroque, qui débute à la charnière des, naît également en Italie, se poursuit ensuite en baroque tardif, nommé plus précisément période "rococo" (qui est suivi par le néoclassicisme).

La Renaissance italienne amorce la Renaissance, une période de grands changements culturels en Europe qui couvre plus d’un siècle (de la fin du, dit "Trecento", jusqu’au début du, dit "Cinquecento"). Elle est implicitement italienne ('), puisque ce pays fut son foyer de rayonnement pour l'Europe entière, dans une perspective d'universalité.

Italská renesance (či "vlašská renesance") se zformovala ve 14. století jako životní styl a kultura vyjadřující názory podnikavého severoitalského měšťanstva, které stály ve výrazném protikladu k dosud panujícím středověkým poměrům. Tento pojem označuje také období uměleckého rozkvětu, jímž prošla severoitalská města od konce 13. století do 16. století. V 1. polovině 16. století vyústila renesance v myšlenkově ne tak převratný manýrismus.


Études et recherches.

Les moyens techniques permettant d’étudier le microbiote ont longtemps été limités, seule une minorité d'espèces bactériennes pouvant être cultivée "in vitro". La mise au point des techniques de séquençage haut débit du matériel génétique à partir de 2005 ont donné un nouvel élan à cette recherche, avec la construction de banques de clones métagénomiques contenant de grands fragments du métagénome intestinal. Cette technique a notamment remis en cause le nombre de micro-organismes qui était estimé dans les années 1970 à dix ou cent fois le nombre moyen de cellules de l'organisme humain.  Une étude en 2016 évalue le microbiome (constitué essentiellement du microbiote intestinal humain) à environ de bactéries et celui des cellules du corps humain moyen à environ, le rapport se rapprochant ainsi de 1:1 plutôt que de 10:1 ou 100:1. Chaque humain abriterait différentes de bactéries. Ces caractéristiques justifient que le microbiote intestinal, couramment appelé « flore intestinale », soit considéré comme un organe spécifique, et que l'homme symbiotique soit surnommé. Au même titre que le microbiote intestinal (et plus généralement du microbiote de l'organisme humain), il existe également un microbiote des plantes, et par extension un microbiote du sol (de la rhizosphère notamment) et de la surface des fruits et de l’océan, mais le mot « microbiote » est le plus souvent utilisé pour les animaux.  Un autre pan de la recherche "in vivo" porte sur les animaux ou les végétaux dont le microbiote est contrôlé puisqu'ils sont étudiés dans un environnement sans bactéries dit "gnotobiotique" ("gnotos",, "biota", ). La science qui les étudie est la "gnotobiologie".  La postule que les forces évolutives agissent sur l'holobionte (animal ou plante associé à leurs micro-organismes) et que le devenir évolutif des symbiotes est lié à celui de l'hôte.  Les recherches n'ont pas dépassé le stade exploratoire et les connaissances dans ce domaines sont encore limitées. Ces hypothèses scientifiques prometteuses donnent lieu à des spéculations sur le microbiote intestinal humain, parfois qualifié par les vulgarisateurs de « deuxième cerveau ».

Dans le monde animal.

On a notamment montré l'importance de plusieurs types de microbiotes :

Microbiote intestinal.

Le microbiote intestinal est l'ensemble des micro-organismes (archées, bactéries, eucaryotes) qui se trouvent dans le tube digestif des animaux. Il ne s'agit pas uniquement de bactéries intestinales, mais également de celles de l'estomac.

Microbiote cutané.

Le microbiote cutané est l'ensemble des micro-organismes situés sur la peau d'un humain.

Microbiote vaginal.

Le microbiote vaginal, ou flore vaginale, est l'ensemble des micro-organismes qui se trouvent dans le vagin. Ils permettent de limiter les infections en créant une compétition avec les germes pathogènes. Il est constitué en majorité de bactéries appartenant au genre "Lactobacillus". Le microbiote vaginal est normalement très stable, essentiellement composée de 4 genres de bactéries de types lactobacilles. Les relations sexuelles sont l'occasion d'échanges (de bonnes bactéries ou parfois de pathogènes bactériens ou viraux) entre les microbiotes des partenaires  Le bacille de Döderlein en est l'un des principaux constituants.  La réduction du pH par la production d'acide lactique assure un rôle anti-pathogène (barrière physique, production de substances microbicides). On retrouve aussi une minorité de bactérie anaérobies telles que "Gardnerella vaginalis" ou "Candida albicans" qui, lorsqu’elles prolifèrent de façon anormale, sont responsables d'infections vaginales : un changement de la composition du microbiote vaginal peut être associé à une vaginose.

Microbiote placentaire.

Une étude récente montre que de petites quantités d’ADN issu de diverses espèces bactériennes sont présentes dans le placenta même lors de grossesses normales. Ces espèces ressemblent plus à celles présentes dans la bouche qu’à celles présentes dans d’autres tissus comme l’intestin, la peau ou le vagin. La présence de taxa tels que Burkholderia a été observée dans les placentas des enfants nés prématurés, tandis que Paenibacillus est abondant dans les spécimens placentaires de bébés nés à des termes compris dans les limites de la normale.

Microbiote des organes sexuels masculins.

Chez l'homme et les autres mammifères mâles, le pénis, le gland du pénis, le prépuce, l'urètre, le sperme et la prostate, et l'ensemble du tractus génital et des organes sexuels masculins abritent aussi un microbiote spécifique, qui peut notamment être modifié par la circoncision. R Mändar décrivant en 2013 les liens entre les équilibres microbiens du tractus génital masculin et la santé, parle d'écologie du tractus génital. Au début des années 2010, malgré un nombre exponentiel de publication sur le microbiote humain, le microbiome génital masculin reste peu exploré : en, la base de données PubMed contenait environ relatives au microbiome humain, mais seulement sept portaient sur la caractérisation des communautés microbienne du pénis, quatre sur celles de l’urètre, deux sur la couronne du gland, et une seule sur l'ensemble du tractus génital masculin.

Microbiote des plantes (et du sol notamment).

On a longtemps cru que le microbiote des plantes était « externe » et principalement rhizosphérique, c'est-à-dire souterrain, puis des symbioses fongiques et bactériennes ont été mises en évidence chez de nombreuses plantes et plus récemment des symbioses microbiennes ont été identifiées à l'intérieur des parties aériennes d'arbres d'essences pionnières (endosymbiose qui leur permet de mieux capter l'azote atmosphérique et de pousser sur des substrats ultra-pauvres (« "oligotrophes" »). Le « microbiote du sol » contribue aussi à la détoxication naturelle de certains sols.  Le microbiote du sol intimement associé au système racinaire des plantes leur permet à la fois de mieux exploiter et de mieux enrichir leur environnement, au profit d'une communauté microbienne qui peut être modifiée par le contexte environnemental, et notamment par la teneur en éléments nutritifs du sol. Certains des microbes associés aux plantes peuvent aussi entrer en rivalité avec la plante ou d'autres organismes symbiotes pour obtenir des nutriments, tout en ayant des propriétés utiles à la productivité de la plante et du milieu. On ignore encore comment le système immunitaire des plantes régule et coordonne la reconnaissance microbienne en fonction ou non de repères nutritionnels lors de l'assemblage de son microbiome. Une étude récente a montré chez la plante modèle "Arabidopsis thaliana" qu'un réseau de gènes contrôle la réponse au "stress phosphate" en modifiant la structure de la communauté du microbiome racinaire, même dans des conditions non stressantes pour le phosphate. Un mécanisme moléculaire semble réguler l'équilibre entre besoins nutritionnels et de défense en faisant passer le besoin de nourriture avant le besoin de défense. Mieux comprendre ces processus permettrait d'augmenter la performance des plantes en les aidant à renforcer leur microbiome.  Parmi les enjeux de la recherche figurent le besoin de mesurer l'activité de ce microbiote, de comprendre les conséquences écologiques, agronomiques et sanitaires des changements de microbiotes par exemple induits par la manipulation ou le stockage de terre arable, le dérèglement climatique, l'augmentation générale du taux de dans l'environnement, la salinisation, l'acidification de l'air, des pluies et acidification des eaux douces et des sols, les rotations sylvicoles, la pollution (par les hydrocarbures par exemple), les biocides et les pesticides (dont le glyphosate devenu le désherbant le plus utilisé au monde et dont une étude de 1982 concluait qu'il a '. On a aussi montré que l'introduction de plantes exotiques et le développement de plantes invasives altéraient la structure et le fonctionnement du microbiote naturel présent dans le sol.

Microbiote des aliments.

Microbiote des produits laitiers.

Les chercheurs ont démontré que le microbiote natif du lait cru servant à élaborer les fromages au lait cru est le régulateur efficace des pathogènes à cœur et en surface de ce type de transformation alimentaire. Cette protection naturelle s'exerce notamment à l'encontre de "Listeria monocytogenes", une bactérie pathogène responsable de la listériose

Le microbiote est l'ensemble des micro-organismes vivant dans un environnement spécifique (appelé microbiome) chez un hôte (animal : zoobiote ; végétal : phytobiote ; aérien : aérobiote) ou une matière (d'origine animale ou végétale).

Mikroflóra je společenství různých druhů mikroskopických rostlin, příp. jednotlivé druhy. O mikroflóře se hovoří zpravidla v souvislosti s určitým ekosystémem, např. půdou (tzv. fytoedafon), vodami (jezero, rybník, řeka, vodní nádrž, oceán...), vnitřními orgány člověka a živočichů atp.


Domaine du droit public.

Une partie de la doctrine considère comme appartenant au droit public certaines catégories classées dans le droit privé dans les autres systèmes de droits de type romano-germanique : Une autre partie la considère comme étant plutôt un droit transversal (cf. droit pénal)

Le droit public par pays.

La notion de droit public est, en 2009, acceptée par la des systèmes juridiques. Pourtant elle n'est pas la même partout. En France, elle vient surtout de la séparation des autorités judiciaires et administratives (loi des 16 et 24 août 1790), au motif non pas juridique mais politique (méfiance du pouvoir des juges, depuis le Moyen Âge déjà) ; cette conception est ensuite rattachée à la conception française de séparation des pouvoirs. Dans les pays de droit anglo-saxon, cette théorie est très fortement limitée par des différences de conception juridiques.

En France.

La séparation entre l'ordre administratif et ordre judiciaire naît en France de la loi des 16 et 24 août 1790, confirmée par le décret-loi du 16 fructidor An III, qui interdit aux tribunaux judiciaires de « troubler, de quelque manière que ce soit, les opérations des corps administratifs ». En l'absence de juge compétent pour les affaires administratives contentieuses, ce sont les ministres qui sont devenus compétents pour juger leur propre administration. C'est ce qu'on appelle le système du ministre-juge.  À partir de la Constitution de l'An VIII et la création du Conseil d'État, celui-ci a eu notamment pour fonction d'aider les ministres dans leurs fonctions contentieuses en leur donnant un avis sur la solution juridique des conflits dont ils étaient saisis. Ces fonctions consultatives sont qualifiées de pouvoir de justice retenue.  Le Conseil d'Etat a acquis son indépendance par la loi du. Il peut désormais rendre des décisions de justice en son propre nom. Il a acquis un pouvoir de justice délégué.  Toutefois, le Conseil d'Etat lui-même estimait qu'il n'était encore qu'un juge d'attribution dont les compétences sont définies par la loi, le juge de droit commun de l'administration demeurant le ministre. Mais la doctrine considère que le Conseil d'État a lui-même mis fin à cette interprétation avec l'arrêt Cadot du, s'estimant compétent par défaut pour tous les litiges opposant l'administration à des particuliers.  Le Conseil d'État est redevenu juge d'attribution depuis la création, par le décret du, des tribunaux administratifs mais il s'est ainsi imposé en tant que cour suprême de l'ordre juridictionnel administratif en France.

Dans le droit anglo-saxon.

Dans les pays de "common law," comme l'Angleterre ou les Etats-Unis, la distinction droit public/droit privé n'existe pas.

Dans les systèmes romano-germaniques.

Ces systèmes se sont construits sur la base juridique du droit romain. Le système juridique romain, de droit latin, est mis en place dans les pays tels que la France, l'Espagne, le Portugal, l'Italie... Le système juridique de droit germanique est mis en place dans les pays tels que l'Allemagne, l'Autriche, la Suisse, la Suède, la Norvège, la Finlande. Il se caractérise par des règles de droit émises par le corps législatif (parlement) ; contrairement au système anglo-saxon dans lequel les règles de droit sont déterminées par la jurisprudence (décisions des juges). La source principale de droit reste la loi.

Dans les autres systèmes juridiques.

Le droit des pays socialistes : ces systèmes se trouvaient principalement au cœur de l'ex URSS, et de ses pays satellites. La doctrine marxiste-léniniste est celle mise en application. Mais petit à petit ces pays dits de système socialiste se transforment et adoptent le système de droit romano-germanique.

Le droit public est l'ensemble des règles juridiques qui régissent l'organisation et le fonctionnement politique, administratif et financier des personnes morales de droit public entre elles, ainsi que des relations entre les États, entre les organismes internationaux, ainsi que les relations entre les personnes morales de droit public et les personnes privées. Le droit public défend l'intérêt général avec des prérogatives liées à la puissance publique. Il concerne les rapports entre personnes publiques mais également personnes publiques et personnes privées.

Veřejné právo ("ius publicum") je souhrn právních norem, které vytvářejí určitý protipól vůči právu soukromému. Toto dělení pochází již z římského práva a je dodnes uznáváno. Netýká se ovšem jen práva objektivního, ale i subjektivních práv, lze proto také hovořit o „subjektivním veřejném právu“. Hranice mezi veřejným a soukromým právem však není zcela zřetelná a často mohou vznikat spory o to, je-li určitý právní vztah veřejnoprávní, nebo soukromoprávní.


Un exemple préliminaire : les permutations.

Commençons par un exemple tiré du "Bourgeois gentilhomme" de Molière. Le héros, Monsieur Jourdain, veut connaître toutes les manières « galantes » d'écrire un billet. De la phrase "Belle Marquise, vos beaux yeux, me font mourir d'amour", il pourrait tirer "Vos beaux yeux, belle Marquise, d'amour me font mourir", puis "Vos beaux yeux, me font mourir, belle Marquise, d'amour", puis "Vos beaux yeux, me font mourir d'amour, belle Marquise" et ainsi de suite.  Comment Monsieur Jourdain devrait-il procéder pour engendrer toutes ces permutations? Le mieux pour lui pour être sûr d'y arriver est d'utiliser un procédé récursif. L'un de ceux-ci est le suivant, mais le lecteur peut en imaginer d'autres. Tout d'abord on construit toutes les permutations de la phrase "vos beaux yeux -- me font mourir -- d'amour"; puis, dans ces permutations, on insère en première position, puis en deuxième position, puis en troisième position, puis en quatrième position le morceau de phrase "belle Marquise". L'algorithme est récursif parce qu'il s'invoque lui-même. En effet, pour construire toutes les permutations de "belle Marquise -- vos beaux yeux -- me font mourir -- d'amour", il faut construire toutes les permutations de "vos beaux yeux -- me font mourir -- d'amour". De plus, l'algorithme est bien un algorithme général, car si Monsieur Jourdain veut améliorer son côté poétique et veut construire, comme le lui dit son maître de philosophie, toutes les permutations de la phrase "belle Marquise -- vos beaux yeux -- me font -- mourir -- d'amour", qui a maintenant cinq constituants il procédera de la même façon et encore de la même façon pour la phrase "belle Marquise -- vos beaux yeux -- me font -- mourir -- d'amour -- pour vous", qui a six constituants.

Les permutations courtes.

Pour construire les permutations de "Belle marquise -- vos beaux yeux -- me font mourir -- d'amour", il faut auparavant construire toutes les permutations de la phrase "vos beaux yeux -- me font mourir -- d'amour". Ces permutations sont au nombre de six et sont construites en insérant le morceau de phrase "vos beaux yeux" en première, deuxième et troisième position dans les deux permutations de la phrase "me font mourir -- d'amour" (à savoir "me font mourir -- d'amour" et "d'amour -- me font mourir"). Comment sont construites ces deux permutations? En insérant en première position et en deuxième position le segment "me font mourir" dans les permutations de la phrase "d'amour". L'aspect récursif de l'algorithme apparaît clairement.

Bien démarrer.

Combien y a-t-il de permutations de la phrase "d'amour"? Il n'y en a qu'une seule et c'est le point de départ de l'algorithme récursif. Avoir un cas de base est nécessaire, parce qu'il faut toujours qu'un algorithme récursif ait un point (ou des points) de départ, car sinon, il ne se terminerait pas.

Un exemple liminaire : la factorielle.

Prenons l'exemple de la factorielle. Celle-ci se définit pour des entiers naturels de la fonction suivante :  autrement dit :  Donc pour définir la fonction qui calcule la factorielle de n, il suffit d'appeler cette même fonction mais en lui demandant de calculer la factorielle de (n-1), et multiplier le résultat par n. La factorielle de (n-1) sera calculée en calculant la factorielle de (n-2) et ainsi de suite. Il suffit juste de définir que la factorielle de 1 est 1 pour "arrêter la récursion" et ne plus appeler la fonction qui calcule la factorielle.  On voit avec cet exemple deux points majeurs de la récursion :

Présentation plus mathématique.

L'idée de la récursivité est d'utiliser une définition équivalente, à savoir une définition par récurrence sur la valeur de l'argument :  Autrement dit, la factorielle d'un nombre qui n'est pas 0 est obtenue en multipliant par "n" la factorielle de "n" – 1. Cette définition de la "factorielle" peut se traduire par le programme suivant en pseudo-code :  Préciser que "factorielle"(0) = 1 est fondamental : sans cela la fonction ne serait pas définie et l'algorithme s'invoquerait indéfiniment. Le cas "n" = 0 est appelé "cas de base". Sans sa présence, l'algorithme ne peut pas se terminer. L'autre cas est appelé "cas de propagation", c'est lui qui contient l'appel récursif. On peut programmer ainsi d'autres suites telles que la suite de Fibonacci, tandis que la fonction suivante :  définit la fonction identiquement égale à 1 si la conjecture de Syracuse est vraie.  Mais, comme nous l'avons vu dans l'exemple préliminaire, les algorithmes récursifs ne se limitent évidemment pas au calcul de suites récurrentes et de fonctions sur les entiers naturels. Ils permettent de travailler sur des structures de données définies récursivement comme les chaînes de caractères, les listes ou les arbres, ou plus généralement sur des ensembles munis d'une relation bien fondée. Parmi les relations bien fondées les plus connues, il y a l'ordre sur la structure des objets qui donne lieu à la récurrence structurelle et l'ordre naturel sur les entiers positifs qui donne lieu à la récursivité numérique (ou récursivité sur les entiers). Le tri, le problème des tours de Hanoï et la génération des permutations (c'est-à-dire la généralisation de l'exemple de Monsieur Jourdain) sont des exemples paradigmatiques d'application d'algorithmes récursifs.

Un autre exemple : le nombre de partitions d'un entier naturel en au plus q parties.

Nous allons considérer un cas tiré des mathématiques où l'approche récursive s'impose (voir l'article Partition d'un entier) :  Un exemple : Une "partie" est un naturel positif qui entre dans une somme quand on décompose un nombre en somme de naturels décroissants. Ainsi, les partitions de 5 en au plus 3 parties sont 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1. Si on écrit formula_7 le nombre de partitions de 5 en "au plus" 3 parties, on a formula_8 et si on écrit formula_9 le nombre de partitions de 5 en "exactement" 3 parties, on a formula_10, ces partitions sont 3+1+1 et 2+2+1.  Les cas aux limites :  Le cas général : On voit facilement que le nombre de partitions de p en "au plus" q parties est le nombre de partitions de p en "exactement" q parties plus le nombre de partitions de p en "au plus" q-1 parties. Donc Or si p a exactement q parties cela veut dire que toutes ces parties sont strictement positives, on peut donc leur retirer 1. Or si on retire 1 à chacune de ces parties on obtient une partition de p - q en au plus q parties, d'où : et finalement  Autrement dit, "si formula_18, le nombre de partitions de p en au plus q parties est le nombre de partitions de p-q en au plus q parties plus le nombre de partitions de p en au plus q-1 parties".  On a bien un énoncé récursif.  Retour à l'exemple : on a donc (le lecteur est invité à faire tous les calculs intermédiaires)  Voici la forme complète de la fonction récursive :

D'autres fonctions récursives à plusieurs arguments.

Parmi les fonctions récursives à deux arguments on trouve la fonction d'Ackermann-Péter. Le pgcd peut aussi être présenté récursivement,  de même que les coefficients binomiaux quand ils sont définis par la formule de Pascal.  La fonction de Sudan est une fonction à trois arguments (l'indice "n" est le troisième argument).

Algorithmes récursifs non numériques.

Nous avons vu dans l'introduction, une présentation informelle d'un algorithme récursif engendrant les permutations, puis nous avons vu des algorithmes récursifs sur les entiers naturels. Nous allons maintenant présenter des algorithmes récursifs sur d'autres structures de données que les entiers naturels.

Algorithmes récursifs sur les listes.

L'opérateur ++ concatène deux listes, autrement dit, prolonge la première liste par la seconde liste. Le cas de base est "[ ]" ++ l2 = l2.

map.

Étant données une fonction et une liste, considérons un algorithme qui produit la liste obtenue en appliquant ladite fonction à tous les éléments de la liste donnée. Traditionnellement cette fonction s'appelle map (en français « applique »). Si la liste donnée est vide, le résultat est la liste vide (qui se note "[ ]") ; c'est le cas de base. Si la fonction s'appelle "f" et si la liste donnée est constituée de "x" suivi d'une liste "l" alors le résultat est la liste constituée de " f x" suivi de la liste map "f l".

ins.

La fonction ins insère un élément dans une liste à toutes les positions, produisant une liste de listes.

concat.

La fonction concat prend une liste de listes et concatène ces listes en une seule liste.

permutations.

permutations est l'algorithme présenté dans le premier exemple. Il prend une liste et retourne la liste de toutes les permutations de cette liste.

Algorithmes récursifs sur les arbres binaires.

taille.

La taille d'un arbre binaire est le nombre de ses nœuds internes

motDesFeuilles.

Étant donné un arbre binaire, on peut construire son "mot des feuilles". Ainsi le mot des feuilles de l'arbre de la figure ci-contre est "BRAVO" ou, plus précisément, la liste "[`B`,`R`,`A`,`V`,`O`]". L'algorithme récursif motDesFeuilles prend un arbre binaire et retourne une liste.

Prouver la correction d'un algorithme récursif.

Prouver le bon fonctionnement d'un algorithme récursif nécessite de vérifier deux propriétés : premièrement "l'algorithme se termine" et deuxièmement "si l'algorithme se termine, il fait bien ce qu'on attend de lui" (correction partielle). Dans le cas des algorithmes récursifs, ces méthodes sont spécifiques.

Problème de la terminaison.

Pour prouver la terminaison d'un algorithme récursif, la méthode la plus usuelle est la suivante: chacun des ensembles dans lesquels les paramètres prennent leurs valeurs sont équipés d'une relation d'ordre. Cet ordre ne doit avoir que des "chaînes descendantes finies" (on dit qu'il est bien fondé) et être tel que les invocations internes de l'algorithme se font avec des valeurs plus petites des paramètres, pour l'ordre en question.

Théorème de terminaison.

Soient formula_20 un algorithme récursif défini sur un ensemble formula_21 et formula_22 un ordre bien fondé sur formula_23.  formula_24 étant donné, on note, formula_25 l'ensemble des formula_26 tels que formula_27 appelle formula_28.  Soit formula_24, si, formula_30, alors formula_27 se termine.

Terminaison de la fonction d qui calcule le nombre de décompositions de p en au plus q sommants.

L'ordre que l'on prend est l'ordre lexicographique sur formula_32. On a Cet ordre est bien fondé.

Terminaison de la fonction Syracuse.

La terminaison d'un algorithme récursif peut être un problème extrêmement difficile. Ainsi personne n'a jusqu'à présent été capable de démontrer que la fonction Syracuse présentée plus haut se termine pour toute valeur de "n". Si c'était le cas, elle définirait effectivement la fonction identiquement égale à 1.

Problème de la correction partielle.

Il faut montrer que si les appels internes à l'algorithme font ce qu'on attend d'eux, alors l'algorithme entier fait ce qu'on attend de lui. Dans le cas de Monsieur Jourdain, il faut montrer que si on part d'une suite de toutes les permutations de "n-1" éléments, on aboutira à une suite de toutes les permutations de "n" éléments.

Correction partielle sur l'exemple du pgcd.

Prenons l'exemple du formula_37, il s'agit de montrer que si formula_38 et formula_39 sont positifs alors ce qui est la caractérisation du plus grand diviseur commun de deux nombres où formula_41 signifie que formula_42 divise formula_43 (on a, en particulier, formula_44 pour tout formula_38). Notons formula_46 cette propriété.  Pour montrer la correction de l'algorithme ci-dessus, on suppose formula_47 et on essaie de montrer formula_48 où formula_49 est la fonction formula_50.  De la démonstration ci-dessus, on déduit que si l'algorithme de formula_37 se termine alors il satisfait :

Efficacité.

Simplicité de description versus efficacité.

La mise en œuvre des algorithmes récursifs nécessite le plus souvent une pile. C'est la difficulté d'implanter cette pile ou d'éviter son emploi qui a fait dire pendant longtemps que les programmes récursifs étaient moins efficaces que les programmes itératifs, mais la situation a changé. En fait, le débat sur le choix entre codage récursif ou itératif est aussi vieux que l'informatique et les progrès de la compilation des langages de programmation réduit encore la différence d'efficacité. Voici quelques arguments en faveur de la présentation récursive :

Contributions.

La puissance de la récursivité réside évidemment dans la possibilité de définir des ensembles infinis d'objets par une instruction finie. De façon similaire, un nombre infini d'étapes de calcul peut être décrit par un programme récursif fini, même si ce programme ne contient aucune répétition explicite.

Récursion terminale.

Dans la définition d'une fonction récursive formula_76, l'appel récursif est en "position terminale" si elle est de la forme : Dans cette écriture, formula_78 et formula_79 sont des fonctions indépendantes de formula_76. La fonction formula_81 est la condition d'arrêt. L'important, dans cette définition, est que l'appel de formula_76 n'est pas englobé dans une autre expression. Un telle récursion est une récursion terminale. En programme, cela peut s'écrire La définition récursive terminale se transcrit automatiquement en une définition itérative. C'est la fonction définie par La définition récursive de la factorielle donnée plus haut n'est pas terminale, mais on peut la transformer en récursion terminale par l'adjonction d'un argument additionnel appelé accumulateur.

Autres situations et corécursivité.

La récursivité (et sa duale la ) se retrouvent dans d'autres situations, où elle prend parfois d'autres noms.  fibs :: [Integer]

Voir aussi.

Bibliographie.

De très nombreux livres et articles traitant des algorithmes récursifs ont été publiés. Nous n'en donnons ici qu'une liste non exhaustive.

Un algorithme récursif est un algorithme qui résout un problème en calculant des solutions d'instances plus petites du même problème. L'approche récursive est un des concepts de base en informatique.

Rekurze je programovací technika, při níž je určitá procedura nebo funkce znovu volána dříve, než je dokončeno její předchozí volání.


Définition thermodynamique.

En thermodynamique classique, l'entropie est une fonction d'état extensive (c'est-à-dire dépendante de la masse ou du volume de matière), introduite en 1865 par Rudolf Clausius dans le cadre du deuxième principe de la thermodynamique, d'après les travaux de Sadi Carnot. Clausius a montré que le rapport formula_1 (où formula_2 est la quantité de chaleur reçue par un système thermodynamique et formula_3 sa température thermodynamique) est inférieur ou égal à la variation d'une fonction d’état qu'il a appelée "entropie", notée formula_4, et dont l'unité est le joule par kelvin ().  La thermodynamique statistique a ensuite fourni un nouvel éclairage à cette grandeur physique abstraite : elle peut être interprétée comme la mesure du degré de désordre d'un système au niveau microscopique. Plus l'entropie du système est élevée, moins ses éléments sont ordonnés, liés entre eux, capables de produire des effets mécaniques, et plus grande est la part de l'énergie inutilisable pour l'obtention d'un travail ; c'est-à-dire libérée de façon incohérente. Ludwig Boltzmann a exprimé l'entropie statistique en fonction du nombre formula_5 d’états microscopiques, ou nombre de complexions (également nombre de configurations), définissant l’état d'équilibre d'un système donné au niveau macroscopique : formula_6 (formule de Boltzmann, où formula_7 est la constante de Boltzmann).  Cette nouvelle définition de l'entropie n'est pas contradictoire avec celle de Clausius. Les deux expressions résultent simplement de deux points de vue différents, selon que l'on considère le système thermodynamique au niveau macroscopique ou au niveau microscopique.  Plus récemment, le concept d'entropie a été généralisé et étendu à de nombreux domaines, tels que par exemple :

En thermodynamique classique.

Deuxième principe de la thermodynamique.

Le premier principe de la thermodynamique est un "principe de conservation" : il impose qu'une transformation thermodynamique doit se faire de telle sorte que la variation d'énergie du système thermodynamique soit égale à celle échangée avec le milieu extérieur, le bilan énergétique étant nul.  Premier principe de la thermodynamique : formula_8  avec :  Cependant, ce principe n'impose aucune contrainte sur le "sens" de l'échange énergétique entre le système et le milieu extérieur. Pourtant, l'expérience montre que cette évolution se fait toujours "spontanément", selon un sens précis. Par exemple :  Rien dans le premier principe n'empêche pourtant que le corps froid se refroidisse et que le corps chaud se réchauffe, que l'eau liquide puisse geler au-dessus de zéro degré Celsius, ou que le ballon se regonfle, mais ces transformations nous sembleraient choquantes car nous sommes habitués à ce qu'elles ne se déroulent spontanément que dans un seul sens. Ce sens est précisé par le second principe de la thermodynamique qui est un "principe d'évolution" : il introduit la notion d’irréversibilité des phénomènes physiques. Cette irréversibilité est formalisée par la fonction entropie formula_4, fonction d'état extensive "non conservative". En effet, toute transformation réelle d'un système doit s'effectuer dans le sens d'un bilan entropique global sur le système et son milieu extérieur positif, autrement dit d'une "création d'entropie" :  Deuxième principe de la thermodynamique : formula_12  avec :  La thermodynamique classique définit l’entropie comme une grandeur extensive, ce qui signifie que l'on obtient l'entropie d'un système en faisant la somme des entropies de ses parties constituantes.  Selon ce principe, l’entropie d’un système isolé (qui n'échange ni matière ni énergie sous quelque forme que ce soit avec l'extérieur) ne peut pas diminuer. Elle augmente lors d’une transformation irréversible, ou reste constante si la transformation est réversible :  La diminution d'entropie d'un système "non isolé" est possible si l’augmentation de l’entropie du milieu extérieur fait plus que compenser la diminution d’entropie de ce système. Autrement dit, si formula_17 pour un système non isolé alors formula_18, la valeur absolue de formula_19. Le bilan entropique reste ainsi conforme au deuxième principe.

Transformations réversibles et irréversibles.

Une transformation affectant un système thermodynamique est dite "réversible" si elle est quasistatique et s’effectue sans frottement entraînant un phénomène dissipatif de chaleur. Dans ces conditions, la transformation peut être considérée comme étant constituée d’une succession d’états d’équilibre. Si on inverse le sens de la contrainte responsable de la transformation, on repasse par les mêmes états d’équilibre puisqu’il n’y a pas eu de phénomènes dissipatifs. On peut en conséquence modéliser la transformation et décrire parfaitement, à chaque instant, l’état d’équilibre du système. Une transformation réversible est donc un modèle idéal dont on peut se rapprocher, dans les transformations réelles, en s’assurant que la transformation soit très lente, le déséquilibre des variables d'état très faible et en minimisant les frottements. Une transformation réversible qui serait filmée pourrait être projetée à l'envers (c'est-à-dire de la fin au début) sans que la séquence paraisse anormale. C'est par exemple le cas, en première approximation, pour une balle en caoutchouc qui rebondit une fois sur un sol dur, il serait difficile de distinguer si le film est projeté à l'endroit ou à l'envers. Une transformation réversible se traduit par l'égalité :  Pour une transformation réversible : formula_20  À l'inverse, les transformations réelles (ou transformations naturelles) sont "irréversibles" à cause de phénomènes dissipatifs. En toute rigueur, le rebond d'une balle de caoutchouc est accompagné de frottements lors du choc au sol et de frottements lors du déplacement dans l'air, aussi faibles soient-ils ; ces frottements dissipent de l'énergie et, après plusieurs rebonds, la balle finit par s'arrêter. Le film à l'envers serait choquant puisque la balle rebondirait de plus en plus haut. De même dans le cas d'un œuf s'écrasant sur le sol, le film projeté à l'envers montrerait l'œuf brisé se reconstituer puis monter en l'air. On trouve dans cette irréversibilité une manifestation de la flèche du temps. Un système irréversible ne peut jamais spontanément revenir en arrière. L’énergie perdue par le système sous forme de chaleur contribue à l’augmentation du désordre global mesuré par l'entropie. Une transformation irréversible se traduit par l'inégalité :  Pour une transformation irréversible : formula_21

Inégalité de Clausius.

Considérons un système siège d'une transformation quelconque (par exemple d'une réaction chimique ou d'un changement d'état), posons :  On peut donc écrire pour le système :  Étant donné le premier principe, on a le bilan énergétique global sur le système et le milieu extérieur :  d'où l'on tire pour le milieu extérieur :  Le système et le milieu extérieur étant supposés former un système global isolé, nous avons la relation sur les volumes :  d'où la variation élémentaire de travail :  Le travail reçu par le milieu extérieur est donc l'opposé du travail reçu par le système ; de même, la chaleur reçue par le milieu extérieur est l'opposée de la chaleur reçue par le système (règle des signes).  L’entropie est une fonction d’état. Cela veut dire que sa valeur est déterminée dès que l’état d’équilibre du système est établi. Il peut être écrit pour le milieu extérieur, qui n'est le siège d'aucune transformation (pas de réaction chimique, pas de changement d'état...) :  Pour le milieu extérieur, puisque formula_34, nous avons par conséquent la relation formula_35, d'où l'on tire :  Pour une "transformation réversible", la création d'entropie étant nulle nous avons :  Pour une transformation réversible : formula_39  Pour une "transformation irréversible" il y a création d'entropie, le bilan entropique est positif :  On obtient l'inégalité de Clausius pour les transformations irréversibles :  Pour une transformation irréversible : formula_42  Du point de vue du système, la variation d'énergie interne vaut :  avec formula_44 on peut écrire :  Dans le cas d'une transformation réversible :  Pour une transformation réversible : formula_47  Dans le cas d'une transformation irréversible :  Pour une transformation irréversible : formula_50  Le terme formula_51 a été appelé chaleur non compensée par Clausius.

Conséquence de l’inégalité de Clausius sur le travail fourni par un système.

Considérons une transformation effectuée à la température formula_3, qui fait passer un système thermodynamique d’un état initial formula_53 à un état final formula_54 d’équilibre. La variation d’entropie du système, associée à cette transformation, peut s'écrire :  La transformation peut être réversible ou irréversible. Si la variation de la fonction d'état entropie est la même quel que soit le chemin emprunté, il n’en est pas de même pour la chaleur formula_2 et le travail formula_57 qui dépendent du chemin suivi et seront donc différents : formula_58 et formula_59.  Appliquons le deuxième principe :  nous obtenons : formula_62.  Appliquons le premier principe de conservation de l’énergie interne formula_63 :  On déduit que formula_65.  Comme vu plus haut, le travail reçu par le milieu extérieur est l'opposé du travail reçu par le système (formula_34) ; aussi pour l'extérieur :  On en déduit que le travail utile reçu par le milieu extérieur est plus important lorsque la transformation est réversible que lorsqu'elle est irréversible. La différence est dissipée sous forme de chaleur.  Remarques :

Définition de l'entropie selon la physique statistique.

La matière est formée de particules (molécules, atomes, électrons...) en perpétuel mouvement (agitation thermique) exerçant les unes sur les autres une force attractive (interactions) dont l'intensité décroit lorsque leur distance mutuelle augmente. Dans un gaz cette distance est relativement grande, les interactions sont donc faibles, de sorte que les particules sont libres de se déplacer dans tout le volume qui leur est offert, mais subissent de nombreuses collisions au cours desquelles leur énergie varie. Dans un liquide les distances mutuelles sont plus petites et les molécules sont moins libres : elles peuvent se déplacer dans tout le volume du liquide mais ne peuvent pas en sortir. Dans un solide chaque molécule est liée élastiquement à ses voisines et vibre autour d'une position moyenne fixe. Il en résulte que, dans tous les cas, la position et l'énergie de chaque particule sont aléatoires.  La somme des énergies de toutes les particules d'un système thermodynamique donné s'appelle l'énergie interne formula_63 du système. Lorsque le système est isolé, c'est-à-dire qu'il n'échange ni matière ni énergie avec l'extérieur, on dit que ce système se trouve dans l'ensemble microcanonique. Son état macroscopique est caractérisé par son volume formula_69 et son énergie interne formula_63. Cependant les particules peuvent être disposées dans le volume d'un très grand nombre de façons différentes. De même l'énergie interne peut être répartie sur les particules d'un très grand nombre de façons différentes. Chaque façon de placer les molécules dans le volume et de leur distribuer l'énergie interne s'appelle une configuration microscopique de l'état macroscopique caractérisé par le volume formula_69 et l'énergie interne formula_63. Le nombre de particules étant, dans un système macroscopique, immensément grand (de l'ordre de formula_73) le nombre formula_74 de ces configurations microscopiques est lui-même immensément grand. On définit alors l'entropie formula_4 (fonction de formula_63 et formula_69) par :  où formula_79 s'appelle la constante de Boltzmann.  Cette relation a été proposée par Ludwig Boltzmann vers les années 1870 alors que la notion d’états microscopiques était encore très spéculative (les atomes étaient encore mal connus). Il a été en butte à la moquerie des scientifiques de son époque ce qui l'a vraisemblablement conduit au suicide. Aujourd'hui il est considéré comme le père fondateur de la thermodynamique statistique. Sur sa tombe à Vienne est gravée sa formule à l'origine du concept de l'entropie.  Un système évolue en permanence d'une configuration microscopique à une autre, jusqu'à ce qu'il atteigne l'équilibre. On admet alors le principe fondamental suivant : Cet axiome est l'énoncé le plus profond du deuxième principe de la thermodynamique.  L'entropie jouit de la propriété d'additivité (on dit que c'est une grandeur extensive) : l'entropie d'un système à l'équilibre est égale à la somme des entropies de chacune de ses parties. Par exemple si l'on sépare le système en deux parties, d'entropies respectives formula_80 et formula_81 et ayant pour chacune des parties formula_82 et formula_83 configurations, l'entropie globale formula_4 est égale à formula_85. D'où :  Il s'ensuit que le nombre de configurations du système est formula_87.

Équilibre et maximum d'entropie.

L'axiome précédent peut être formulé d'une autre manière : Ces deux manières de formuler le principe fondamental de la physique statistique sont équivalentes. La notion d'équilibre est liée à celle de système soumis à des contraintes extérieures. La définition du système est très importante, et on considère ici, que le système se trouve dans l'ensemble microcanonique.

Exemples de compréhension.

Entropie et désordre.

Il est courant de dire que l'entropie est une mesure du désordre. En effet, considérons par exemple un jeu de 52 cartes et posons-les toutes du même côté (ordre parfait) ; cet état macroscopique ne peut être réalisé que d'une seule façon : formula_88. Retournons une carte, ce qui est le début du désordre ; mais il y a formula_89 façons de réaliser l'état "macroscopique" « une seule carte retournée ». Le désordre est maximal quand 26 cartes sont d'un côté et 26 cartes de l'autre côté ; le nombre de configurations microscopiques de cet état de désordre maximal est alors formula_90. Dans cet exemple, le nombre de configurations microscopiques (donc l'entropie) est bien une mesure du désordre. Mais il faut être prudent dans l'utilisation de cette notion de désordre, qui est souvent subjective, et lui préférer le nombre formula_5 de configurations qui est objectif (c'est un nombre).

Équilibre et maximum d'entropie.

Reprenons le jeu de 52 cartes et supposons qu'on les jette en l'air de telle sorte que chaque carte retombe d'un côté ou de l'autre avec la même probabilité. Si l'on recommence l'opération un grand nombre de fois, les valeurs numériques précédentes montrent que le désordre maximal apparaîtra beaucoup plus souvent que toute autre situation.  Considérons maintenant un gaz dans un récipient de volume formula_69. Il comporte non pas 52 molécules mais de l'ordre de formula_73. Parmi toutes les façons possibles de ranger ces molécules, il y en a un certain nombre qui laissent la moitié du volume vide (ce qui correspond à toutes les cartes du même côté) mais un nombre immensément plus grand pour lesquelles elles sont uniformément réparties dans tout le volume. Comme toutes ces configurations microscopiques sont équiprobables, la répartition uniforme est réalisée immensément plus souvent que toute autre situation, au point qu'elle apparaît macroscopiquement comme un équilibre stationnaire; et ceci simplement parce que le nombre de configurations microscopiques, et donc l'entropie, qui lui correspondent ont leur valeur maximale. L'équilibre d'un système thermodynamique se produit quand son entropie a la valeur maximale compatible avec les contraintes auxquelles il est soumis (ici la contrainte est le volume).

Évolution inéluctable vers le désordre.

Considérons toujours le jeu de 52 cartes. On les ordonne en les rangeant par ordre décroissant de valeur, de l’as au 2 dans chaque couleur ; les couleurs étant rangées dans l’ordre suivant : trèfle, carreau, cœur et pique. Avec cette contrainte définissant l'ordre parfait, il n'existe qu'une seule configuration ordonnée : Ω = 1. L'entropie définie selon Boltzmann serait alors égale à :  Combien y a-t-il d'arrangements possibles des cartes dans le jeu, c'est-à-dire de configurations?  On constate alors que les configurations désordonnées sont extrêmement majoritaires par rapport à la configuration ordonnée.  Supposons maintenant que l'on fasse évoluer le système ordonné en battant le jeu toutes les secondes. Existe-t-il une chance de revenir à l'état initial ordonné?  En supposant que toutes les configurations (il y en a ) ont la même probabilité et que chaque configuration n'apparaisse qu'une fois (contrainte arbitraire pour évaluer le temps), pendant 1 seconde. Il faudrait battre le jeu pendant, soit milliards d’années pour décrire toutes ces configurations et ainsi revenir à l’état ordonné. Ce que l'on peut dire, c'est que si cette contrainte arbitraire n'est pas posée, le temps d'attente moyen avant le retour de la configuration initiale possède une valeur bien définie (une espérance) et que ce temps devrait être de l'ordre du nombre de configurations, multiplié par le temps entre deux tirages ("cf." Loi de Poisson). On peut donc conclure avec certitude, que la probabilité de revenir à l'état ordonné sera quasi nulle.  Réfléchissons maintenant sur une mole de gaz parfait dans les conditions normales de température et de pression. Le nombre de particules "N" = est énorme. À l'inverse du jeu précédent où chaque carte est unique et définie par un seul paramètre, chaque particule de gaz est définie par trois paramètres de position spatiale et un paramètre d'énergie (agitation thermique). Le nombre de configurations ou complexions est faramineux. Néanmoins, grâce à la thermodynamique statistique, il a été possible de le calculer dans le cas d'un gaz parfait pris dans les conditions normales (volume molaire de ) :  formula_96  De plus, il faut remarquer qu’avec l'agitation thermique, le système est en perpétuel changement. Bien évidemment les configurations désordonnées sont les plus nombreuses. Ce sont ces configurations désordonnées qui occupent la majorité du temps et définissent l’état d’équilibre du système à l’échelle macroscopique.  On pourrait faire la comparaison avec un tableau postimpressionniste de la période pointilliste (voir Georges Seurat ou Paul Signac). Quand on s'approche du tableau, on devine tous les différents points de couleur mais quand on s'éloigne suffisamment on a une vision d'ensemble qui est largement influencée par les points de couleur les plus nombreux.  L’application de la formule de Boltzmann permet de ramener la valeur de l'entropie à notre échelle :  formula_97  Constante de Boltzmann : "k" = "R/N" =  formula_4 =. C’est l’entropie d’une mole de gaz parfait dans les conditions normales.  À zéro kelvin, l'agitation thermique s'arrête, le gaz se trouve alors dans l'état fondamental de plus basse énergie. Deux cas sont possibles :

Énergie et entropie.

Cet exemple est directement issu de la théorie cinétique des gaz développée par Ludwig Boltzmann. Simplement, au lieu d'associer une vitesse à chaque particule, on associe une énergie.  Considérons un système de "N" particules. On suppose que chaque particule "i" possède une énergie "ε" ≥ 0 multiple de "δ" et que les particules peuvent échanger deux à deux de l'énergie de façon conservative. Par exemple : Les échanges étant conservatifs, l'énergie totale du système est constante :  L'état microscopique du système est constitué des quantités d'énergie de chaque particule. L'état macroscopique du système ne dépend que du nombre de particules dans chaque niveau d'énergie. En effet, au niveau macroscopique peu importe que ce soit la particule "i" qui ait un niveau d'énergie "k" et la particule "j" un niveau 1, ou l'inverse, "i" au niveau l et "j" au niveau "k". Soit "N" le nombre de particules d'énergie "ε" = "k δ". La multiplicité du système est définie par le nombre de permutations de particules entre les niveaux d'énergie préservant le nombre de particules dans chaque niveau :  L'entropie du système formula_4 est définie comme proportionnelle au logarithme de la multiplicité Ω. En utilisant la formule de Stirling d'approximation des factorielles pour les grands nombres où "p = N"/"N" est la probabilité qu'une particule appartienne au niveau d'énergie "k" et où "k" est la constante de Boltzman.  La distribution de probabilités qui maximisent l'entropie suit une loi exponentielle, dite distribution de Boltzmann : avec la température proportionnelle à l'énergie moyenne formula_106 et "c" une constante normalisatrice.  En partant d'une distribution quelconque d'énergie initiale, par exemple toutes les particules avec la même énergie "ε" = 1000 "δ", et en laissant évoluer le système tel qu'aléatoirement les particules échangent de l'énergie de façon conservative, la distribution des particules dans les niveaux d'énergie converge vers la loi exponentielle "P" qui maximise l'entropie. Un système isolé qui suit la loi maximisant l'entropie est dit à l'équilibre.  Ces équations modélisent aussi bien la distribution d'énergie entre les molécules d'un gaz échangeant de l'énergie cinétique lors de chocs que la distribution de monnaie entre des agents échangeant de la monnaie contre des biens et des services dans un système économique (voir éconophysique).

Remarques d’ordre général.

L'intuition commune comprend déjà difficilement le concept d'énergie, cette grandeur qui, pour un système isolé, a la propriété de se conserver indéfiniment. Autrement surprenant est le concept d'entropie. Pour le même système isolé, l'entropie, dans le meilleur des cas, restera constante, mais en dehors de ce cas très théorique des transformations réversibles, elle ne fera que croître indéfiniment.  Une "diminution" d'entropie pour un système est néanmoins possible, si l’augmentation de l’entropie du milieu extérieur fait plus que compenser la diminution d’entropie du système. Le bilan reste conforme à la deuxième loi de la thermodynamique : une augmentation globale de l'entropie assimilée à une création d'entropie. Démontrons-le dans le cas d'un système composé d'un vase contenant de l'eau liquide que l'on place à l'air libre à soit 263 K. L'eau gèle à (273 K) à la pression atmosphérique, et tant qu'il y a coexistence de glace et d'eau liquide cette température de changement d'état reste constante et égale à 273 K. La chaleur de solidification de l'eau : "L" est négative (c'est l'opposé de la chaleur de fusion qui est positive), ainsi que l'entropie de solidification formula_107. En revanche, la chaleur est reçue par le milieu extérieur et change de signe (formula_108) ; milieu extérieur dont la température n'est pas affectée par l'échange avec le système beaucoup plus petit (notion de source de chaleur). Elle reste constante et égale à 263 K. La variation d'entropie du milieu extérieur est alors égale à :  Calculons alors le bilan entropique : Δ"S" + Δ"S" = ("L" / 273) + (–"L" / 263) = "L" (1/273 – 1/263).  Comme "L" < 0, il s'ensuit que le bilan est positif, et l'entropie créée sera d'autant plus grande que l'écart des températures sera grand, ainsi que l'irréversibilité qui va de pair. Si la température du milieu extérieur était très proche de 273 K, on se rapprocherait d'une transformation réversible et le bilan entropique serait proche de zéro. En toute rigueur, le changement de température entre le système et le milieu extérieur n'est pas brutal. Au voisinage de la paroi séparant le système du milieu extérieur, la température varie de façon continue entre 273 K et 263 K. On dit qu'il y a un gradient de température ; phénomène intimement associé à la notion d'irréversibilité.

Étymologie.

Le mot "entropie" a été inventé par Clausius qui justifie son choix dans "Sur diverses formes des équations fondamentales de la théorie mécanique de la chaleur" (1865) :  (cité dans "Dictionnaire d'histoire et de philosophie des sciences" de Dominique Lecourt, chez PUF, 1999).

Pour en savoir plus.

Approche thermodynamique de Carathéodory (1908).

Dès la fin du, la thermodynamique développée initialement pour les machines thermiques fut appliquée avec succès aux phénomènes électriques et magnétiques, aux changements d'états, et aux réactions chimiques. C'est pourquoi l'introduction traditionnelle de l'entropie fondée sur l'étude des machines thermiques cycliques fut critiquée au début du pour son manque de généralité, notamment par Born. Stimulé par cette critique, Carathéodory a remplacé en 1908 cette approche par un traitement purement axiomatique fondé sur les propriétés d'intégrabilité des formes différentielles de Pfaff.  En prenant comme postulat de sa thermodynamique d'équilibre qu"il existe des états inaccessibles par voie adiabatique dans le voisinage de tout état d'équilibre donné", Constantin Carathéodory démontre l'existence (locale) d'une fonction entropie. En termes techniques, Carathéodory démontre que la forme différentielle « transfert thermique élémentaire » δ"Q" admet un facteur intégrant 1/"T", c'est-à-dire que : est une différentielle exacte, propriété des fonctions d'état.  Pour voir le lien avec le postulat initial, on remarque que tous les états accessibles par voie adiabatique (δ"Q" = 0) à partir d'un état initial "E" sont alors nécessairement situés sur la surface isentropique "S" = "S" ("E") = cste. Il existe donc des états inaccessibles par voie adiabatique, à savoir tous ceux qui ne sont pas situés sur cette surface. Le théorème de Carathéodory établit la réciproque non-triviale : "s'il existe des états inaccessibles par voie adiabatique, alors il existe un facteur intégrant, et donc une fonction d'état entropie" ("cf." le livre de Rocard).  Cette présentation axiomatique reçut à l'époque un accueil enthousiaste de Born, Landé, Chandrasekhar, et Buchdahl, mais son orientation mathématique a rebuté nombre de physiciens, et elle est restée relativement confidentielle jusqu'à ce qu'elle soit simplifiée à la fin des années 1950 par L. A. Turner, Francis Sears, et Peter T. Landsberg.

Approche thermodynamique de Lieb-Yngvason (1997).

En 1997, Lieb et Yngvason ont proposé une nouvelle démonstration de l'existence de l'entropie en thermodynamique d'équilibre qui ne fait appel ni aux machines thermiques, ni à la température, ni aux concepts plus quotidiens de « chaud » et de « froid » (et encore moins à la physique statistique). Leur approche est fondée sur la notion d'états d'équilibres « accessibles par voie adiabatique » (i.e. dans l'esprit de Carathéodory), mais où leur notion d'accessibilité adiabatique est définie - dans l'esprit de Planck (1926) - de façon "purement mécanique" à travers le déplacement d'un poids, "sans référence au concept de transfert thermique". Dans cette approche, la température apparait à la fin comme une dérivée partielle de l'entropie, une fois que la différentiabilité de cette fonction a été démontrée.

Le terme entropie a été introduit en 1865 par Rudolf Clausius à partir d'un mot grec signifiant « transformation ». Il caractérise le degré de désorganisation, ou d'imprédictibilité, du contenu en information d'un système.

Entropie je jedním ze základních a nejdůležitějších pojmů ve fyzice, teorii pravděpodobnosti a teorii informace, matematice a mnoha dalších oblastech vědy teoretické i aplikované. Vyskytuje se všude tam, kde se pracuje s pravděpodobností možných stavů daného systému.


Histoire.

Les débuts de la brasserie sont en relation avec l’ancien monastère de Brno, construit par la Polonaise Élizabeth Ryksa. Elle est située dans le quartier de la vieille ville de Brno. La brasserie ne dépendait pas du conseil municipal, mais était gérée par un bourgeois nommé Mořic. Cependant, la qualité de la bière était contrôlée par les conseillers municipaux.  Pendant les croisades contre les hussites durant la première moitié du, les bâtiments de la brasserie et le couvent ont été brûlés à plusieurs reprises, mais ont toujours été restaurés dans leur style d’origine.  En 1782, le couvent a été fermé par décision de l'empereur Joseph II, et la propriété passa aux mains de l'abbaye de Saint-Thomas également située à Brno. Il n'y a aucune preuve de l'existence de la brasserie entre 1782 et 1825 car les archives ont été détruites.  La seconde moitié du en République tchèque a été marquée par l'expansion de l'industrie brassicole. L'équipement obsolète et la faible capacité de la brasserie étaient insuffisants pour la demande croissante de la ville en pleine expansion. Les derniers propriétaires de la brasserie d’origine, Josef Mandel et son fils-frère Herrmann Hayek ont donc décidé d’en construire une nouvelle avec des bâtiments de brassage modernes.  Dans la dernière décennie du, la brasserie a fusionné avec une autre société de brasserie, située dans Brněnské Ivanovice. À la fin du, la production annuelle de la brasserie était de 236 490 hectolitres.  Jusqu'au début de la Première Guerre mondiale, l'entreprise était leader sur le marché de la bière à Brno, et la production atteignit par an. La bière de Brno était exportée vers la Pologne, l'Autriche et la Hongrie ; la brasserie fournit également la ville de Vienne. Les propriétaires de l'entreprise à ce moment-là étaient des Allemands ; les premiers actionnaires tchèques sont apparus à la brasserie en 1911.  En 1918, après la création du nouvel État tchécoslovaque, la brasserie passa entre les mains de la Banque de Moravie. L'importation de la bière davantage axée sur le marché slovaque. Les activités commerciales de la société ont atteint leur plus haut niveau autour de 1927.  Pendant la Seconde Guerre mondiale, la société était dirigée par des Allemands. La brasserie subit des dégâts lors du bombardement de Brno en, et fut ensuite gravement endommagée par les combats.  Au cours de la seconde moitié du, la brasserie a été modernisée à plusieurs reprises. Son histoire récente est marquée par sa privatisation et son passage au statut de société anonyme en 1992. La fusion avec Heineken en 2003 lui a permis de s’implanter de l'Europe de l'Est.

Production.

En 2009, Starobrno produit plus d'un million d'hectolitres de bière, pour la première fois de son histoire.  Starobrno produit six marques différentes de bière dans la production régulière: « Ležák », « Medium » et « Tradiční » (bières blondes pâles à 5 %, 4,5 % et 4 %), « Rezak» (une bière brune aromatisé au caramel) « Černé » (une bière brune) et « Frii » (une bière sans alcool).  Mis à part sa production standard, la brasserie produit un lot spécial de bière verte, qui n'est produit qu'une seule fois par année et distribué le jeudi saint. Le terme tchèque pour cette fête chrétienne est "vert jeudi" ("zelený Čtvrtek") et la couleur inhabituelle de la bière est inspiré par cette fête.

Starobrno (en ) est une brasserie située dans la ville de Brno, en République tchèque. Elle a été fondée en 1325 par l'ancien monastère de Brno.

Pivovar Starobrno je brněnský pivovar na Starém Brně, jenž je součástí nizozemské pivovarské společnosti Heineken. Výstav Starobrna (společně se znojemskou filiálkou Hostan) je 914 000 hl ročně. Ve starobrněnském pivovaru se vaří pivo od roku 1325.