title: Décret de l'Alhambra

text: Les Juifs espagnols emportent avec eux leur culture et leur langue. Si le ladino ou judéo-espagnol ne perdure que jusqu'au , principalement en Turquie et en Grèce et aussi au Maroc, la culture séfarade se transmet de nos jours dans la plupart des communautés juives issues du bassin méditerranéen, particulièrement en Israël et en France.


title: Décret de l'Alhambra

text: En 1797, don Pedro Varela, ministre du commerce, présente au roi Charles IV un mémoire où sont exposés les conséquences de l'expulsion et tous les avantages qu’il y aurait pour le royaume d’accueillir à nouveau les Juifs. Mais il n'est pas entendu, et le roi par une ordonnance du 22 juillet 1800, maintient et renouvelle dans toute leur rigueur les prescriptions de l’édit de 1492.


title: Décret de l'Alhambra

text: Le décret de l'Alhambra est resté officiellement en vigueur jusqu'au , date de son abrogation à l'initiative du ministre du Tourisme Manuel Fraga Iribarne.


title: Décret de l'Alhambra

text: Le est inaugurée la nouvelle synagogue de Madrid, première synagogue construite en Espagne depuis 1492.


title: Décret de l'Alhambra

text: Le cycle inauguré par le décret de l'Alhambra est clos exactement après la promulgation de ce décret, le lorsque le roi Juan Carlos et la reine Sophie sont reçus officiellement à la synagogue de Madrid, en présence du président israélien Chaim Herzog. Le roi évoque à cette occasion « la réconciliation historique entre le peuple juif et le peuple d'Espagne ».


title: Décret de l'Alhambra

text: Le décret est, selon les ordres royaux, reproduit en plusieurs exemplaires dont plusieurs ont été conservés dans les archives royales.


title: Décret de l'Alhambra

text: Les sources juives contemporaines des événements font état de textes légèrement différents : reproduit un texte plus sévère envers les Juifs (la pitié des souverains envers les Juifs serait le bannissement des Juifs car « ils méritent une punition plus sévère pour ce qu’ils ont fait »). Ce texte ne mentionne pas les quartiers de résidence ni les mesures financières qui seraient selon l’auteur une mesure ultérieure. Il comporte en outre un paragraphe absent du texte officiel encourageant activement les Juifs à la conversion.


title: Décret de l'Alhambra

text: En , le Congrès espagnol adopte à l’unanimité une loi incitée par le conservateur Mariano Rajoy permettant aux descendants des Juifs expulsés d’Espagne par les rois catholiques en 1492 d’obtenir facilement la nationalité espagnole, afin de réparer « une erreur historique », cinq siècles plus tard.


title: Décret de l'Alhambra

text: La précédente législation de 1924 permettait d’accorder la nationalité espagnole aux descendants d’expulsés espagnols mais exigeait qu’ils renoncent à leur autre nationalité et résident en Espagne. La nouvelle loi abandonne ces contraintes et envisage qu'ils deviennent binationaux et vivent ailleurs. Pour cela, ils doivent faire montre de leur attachement historique ou mémoriel à l'Espagne, ce qui n'est pas toujours aisé.


title: Géométrie symplectique

text: La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d'une formulation mathématique naturelle de la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la géométrie différentielle et des systèmes dynamiques. En mathématiques, elle trouve des applications en géométrie algébrique, en géométrie riemannienne et en géométrie de contact. Formellement, elle est définie comme l'étude des 2-formes différentielles fermées non dégénérées — appelées formes symplectiques — sur les variétés différentielles.


title: Géométrie symplectique

text: L'adjectif symplectique fut introduit par le mathématicien Hermann Weyl pour désigner le groupe symplectique formula_1, le groupe des automorphismes linéaires réels de formula_2 conjuguant la multiplication par "i" à elle-même. Ce groupe était appelé « groupe du linéaire complexe » et une confusion était possible avec le groupe des automorphismes linéaires complexes. Hermann Weyl justifie son choix :


title: Géométrie symplectique

text: Plus exactement, l'adjectif « symplectique » est fondé sur la racine grecque , traduction de la racine latine de "complexus". La racine latine a donné le nom de complexité d'où dérive « nombre complexe », ce nom latin traduit l'idée d'entrelacement. En histoire naturelle, l'adjectif symplectique désigne « être entrelacé avec un autre corps ».


title: Géométrie symplectique

text: Par extension, l'adjectif symplectique a été utilisé dans l'appellation de forme symplectique et de variété symplectique (voir définitions ci-dessous).


title: Géométrie symplectique

text: Le concept de structure symplectique est bien antérieur à l'introduction de la terminologie actuelle. Il émerge dans les années 1808 à 1810 dans les travaux de Joseph-Louis Lagrange et de son élève Siméon Denis Poisson sur la trajectoire des planètes. Ils entreprennent d'expliquer la variation lente des paramètres orbitaux des planètes du système solaire en tenant compte des interactions mutuelles de ces corps. En utilisant la terminologie actuelle, ils introduisent à cette occasion la forme symplectique associée à la variété décrivant les états du système et une opération fondamentale sur les fonctions : le crochet de Poisson.


title: Géométrie symplectique

text: Le cadre de la géométrie symplectique a permis de donner un nouveau regard sur la mécanique classique. Elle permet l'étude du comportement global d'un système mécanique, en traitant les symétries et les conséquences, et aborde des questions qualitatives associées comme l'existence de trajectoires périodiques ou le caractère chaotique ou stable d'une évolution.


title: Géométrie symplectique

text: En mécanique, la position d'un ensemble de points matériels ou plus généralement d'un objet en mouvement est traditionnellement repérée par un certain nombre de coordonnées curvilignes formula_3. Le nombre formula_4 est appelé "nombre de degrés de liberté" du système. Par exemple, un pendule astreint à rester dans un plan est repéré par un seul paramètre formula_5, à savoir l'angle que fait sa tige avec la verticale définie par le champ de gravité. Les positions occupées par deux masses ponctuelles en interaction (par exemple une planète et une étoile) sont repérées par six paramètres, trois pour chaque masse. L'ensemble des différentes valeurs formula_6 que les coordonnées peuvent prendre dans toutes les positions possibles du système est appelé "espace de configuration". Les lois de Newton de la mécanique affirment (entre autres choses) qu'un système mécanique évolue d'une façon déterministe qui peut être prévue si on connait la position et la vitesse d'un point à l'instant initial.


title: Géométrie symplectique

text: Pour prendre en compte les vitesses, il est nécessaire d'ajouter aux coordonnées de position formula_4 de nouvelles variables formula_8. Dans le premier exemple, formula_9 serait la vitesse angulaire du pendule et dans le deuxième, on aurait les composantes de la vitesse des deux planètes. L'ensemble des valeurs formula_10 que peuvent prendre les différents paramètres est appelé "espace des phases" du système. Les trajectoires du système se tracent dans cet espace.


title: Géométrie symplectique

text: Bien sûr, il n'est en général pas possible de calculer explicitement toutes les trajectoires possibles et même un tel calcul ne donne pas forcément une bonne idée globale du comportement du système étudié. Pour comprendre ce comportement, on peut essayer de suivre le déplacement d'un sous-ensemble de l'espace des phases ; on a alors accès à des informations globales et qualitatives.


title: Géométrie symplectique

text: Dans toute la suite, on suppose que le système évolue en suivant les lois de la mécanique de Newton pour des forces dérivant d'un potentiel (ce qui signifie en simplifiant qu'il n'y a pas de frottements).


title: Géométrie symplectique

text: On peut se demander quel type de géométrie est adapté à cette étude des trajectoires dans l'espace des phases. La géométrie euclidienne est la plus familière mais elle n'est pas adaptée car les droites ne sont pas conservées lors de l'évolution d'un système mécanique. Ainsi, dans l'exemple du pendule simple, on constate que si l'on part de configurations alignées, cette propriété se perd en route. Il y a pire : un segment de droite n'est même pas envoyé sur une courbe de même longueur. Dans la suite, on verra que la géométrie pertinente est la géométrie symplectique.


title: Géométrie symplectique

text: Le théorème de Liouville affirme que lorsqu'un système mécanique évolue, le volume de toute partie de l'espace des phases est préservé. Voici comment on définit le volume d'une partie de l'espace des phases qui est de dimension formula_11. Si la partie est définie par les conditions :


title: Géométrie symplectique

text: Dans le cas où formula_14 on retrouve la définition de l'aire d'un rectangle. Si la partie dont on veut calculer le volume est plus compliquée, on la découpe en un très grand nombre de parties telles que plus haut et on fait la somme des volumes. Lorsque le nombre de rectangle tend vers l'infini et que leur réunion tend vers la partie initiale on trouve le volume.


title: Géométrie symplectique

text: Ainsi dans le cas du pendule simple, on a conservation de l'aire de toute partie de l'espace des phases que l'on suit lors de l'évolution du système.


title: Géométrie symplectique

text: Le théorème de Liouville affirme que l'évolution d'un système mécanique préserve le volume dans l'espace des phases.


title: Géométrie symplectique

text: On peut donc penser que la structure géométrique de l'espace des phases est celle du volume des objets mais on va voir dans le paragraphe suivant qu'il existe une géométrie plus subtile.


title: Géométrie symplectique

text: Le théorème de Poincaré est un raffinement du théorème de Liouville. Pour l'énoncer il faut introduire quelques notations.


title: Géométrie symplectique

text: Pour tout formula_15 compris entre 1 et formula_4, on note formula_17 la projection de l'espace des phases sur le plan des formula_18. C'est donc la fonction qui à formula_10 associe formula_18.


title: Géométrie symplectique

text: Le théorème de Poincaré affirme que pour toute surface formula_21 dans l'espace des phases, la somme des aires des projections formula_22 est conservée par l'évolution du système.


title: Géométrie symplectique

text: Une structure symplectique sur un ensemble est un mécanisme d'attribution d'un nombre à toute surface dans l'ensemble et qui vérifie certaines conditions sur lesquelles on reviendra plus loin. Le fait d'associer à chaque surface formula_21 de l'espace des phases la somme des aires de ses projections formula_22 est un exemple de telle structure qu'on appelle structure symplectique canonique de l'espace des phases.


title: Géométrie symplectique

text: Le théorème de Poincaré affirme donc que l'évolution d'un système mécanique préserve la structure symplectique canonique de l'espace des phases.


title: Géométrie symplectique

text: Pendant très longtemps, personne n'a su si le théorème de Poincaré permettait d'avoir vraiment plus d'information sur l'évolution des formes dans l'espace des phases que le théorème de Liouville. Enfin, en 1985, Mikhaïl Gromov a démontré le théorème suivant : pour tout système mécanique à formula_4 degrés de liberté, la boule : formula_26 ne peut jamais évoluer en un ensemble dont tous les points vérifient : formula_27 pour un formula_28 strictement plus petit que 1.


title: Géométrie symplectique

text: Or une telle évolution serait possible si seul le théorème de Liouville était vrai et pas le théorème de Poincaré. Ce théorème de Gromov est un théorème difficile et qui a de nombreuses conséquences, il a révolutionné le domaine de la géométrie symplectique.


title: Géométrie symplectique

text: Le deuxième argument confortant l'idée que la géométrie symplectique est la géométrie naturelle des espaces de phases est la facilité avec laquelle elle permet d'intégrer les questions de symétrie et leurs conséquences dans la théorie.


title: Géométrie symplectique

text: La présence de symétries dans un système mécanique a toujours pour conséquence la conservation de certaines quantités calculées à partir des positions et vitesses des objets étudiés. Ainsi lorsqu'un système est invariant par translation dans une direction, la quantité de mouvement dans cette direction est conservée. Lorsque le système est invariant par rotation autour d'un axe, le moment cinétique par rapport à cet axe est conservé.


title: Géométrie symplectique

text: Dans la formulation newtonienne de la mécanique classique, il semble impossible d'énoncer un théorème général qui engloberait les exemples cités ainsi que des situations possédant des symétries plus compliquées.


title: Géométrie symplectique

text: Le théorème de Noether affirme que dès que l'on a un groupe à un paramètre de transformations qui préserve un système mécanique il existe une quantité conservée lors de l'évolution de ce système.


title: Géométrie symplectique

text: En fait l'énoncé complet donne une formule pour cette quantité en fonction des transformations et du système considérés.


title: Géométrie symplectique

text: Dans la formulation lagrangienne de la mécanique on peut démontrer ce théorème en une dizaine de lignes. Dans la formulation hamiltonienne en termes de géométrie symplectique la démonstration ne fait qu'une ligne et l'énoncé se généralise au cas de groupe de transformations à un nombre quelconque de paramètres qui ne commutent pas nécessairement entre elles. Le nombre de quantités conservées est alors égal au nombre de paramètres du groupe de transformations.


title: Géométrie symplectique

text: Une des conséquences de l'existence de quantités conservées est qu'elle contraint le système mécanique étudié à rester dans certaines régions de l'espace des phases définies par les conditions initiales.


title: Géométrie symplectique

text: Lorsqu'on a autant de quantités conservées que de degrés de liberté on dit que le système mécanique est intégrable et la situation devient très simple, c'est ce qu'affirme le théorème d'Arnold-Liouville : pour presque toute énergie de départ il existe des coordonnées formula_29 et des nombres formula_30 tels que


title: Géométrie symplectique

text: Bien sûr la plupart des systèmes mécaniques ne sont pas intégrables mais certains sont proches d'être intégrables, on peut alors essayer de comprendre dans quelle mesure leur comportement s'éloigne de celui d'un système intégrable, c'est l'objet de la théorie des perturbations qui fait elle aussi un grand usage de la structure symplectique des espaces de phases.


title: Géométrie symplectique

text: Des connaissances élémentaires en géométrie différentielle sont nécessaires pour aborder les aspects techniques de la géométrie symplectique. L'introduction ici présentée donne un entr'aperçu des résultats fondamentaux qui se veut abordable.


title: Géométrie symplectique

text: La géométrie symplectique partage de nombreux points communs avec la géométrie de Riemann, qui étudie les variétés différentielles dotées de tenseurs bilinéaires non dégénérés symétriques. Par contre, les variétés symplectiques n'ont pas d'invariants locaux telle que la courbure. C'est une conséquence du théorème de Darboux qui établit que deux variétés symplectiques de même dimension sont localement isomorphes. La question de savoir quelles variétés admettent des structures symplectiques n'est pas encore complètement résolue.


title: Géométrie symplectique

text: Chaque variété de Kähler est également une variété symplectique. Au cours des années 1970, les experts du domaine étaient incertains quant à la question de savoir si des variétés symplectiques compactes autres que celles de Kähler existaient, mais depuis plusieurs exemples ont pu être construits (le premier est dû à William Thurston).


title: Géométrie symplectique

text: La plupart des variétés symplectiques ne sont pas de Kähler et n'ont donc pas de structure complexe intégrable compatible avec la forme symplectique. Mikhaïl Gromov a remarqué cependant que les variétés symplectiques possèdent de nombreuses structures quasi-complexes qui vérifient tous les axiomes d'une variété complexe "à l'exception" du fait que les fonctions de transition n'y sont pas holomorphes.


title: Géométrie symplectique

text: Gromov développa le fait qu'il existe de telles structures pour fonder une théorie des courbes pseudoholomorphes, qui permit de grandes avancées dans la recherche géométrique symplectique, et notamment la découverte d'une classe d'invariants connus sous le nom d'invariants de Gromov-Witten, en coopération avec Edward Witten, qui jouent un rôle clé dans la théorie des cordes.


title: Géométrie symplectique

text: La géométrie euclidienne concerne les espaces affines euclidiens "E" : à ces derniers sont associées une distance naturelle, appelée distance euclidienne, unique invariant pour l'action diagonale du groupe des isométries affines de "E" sur "E", et une notion d'angle. Les distances et angles définis par un ensemble de points de "E" sont préservés sous l'action d'une isométrie.


title: Géométrie symplectique

text: En oubliant la notion de distance, il est loisible de s'intéresser uniquement au volume euclidien. Un isomorphisme linéaire affine préservant le volume est de déterminant +1 ou -1. Malheureusement, en dimension "n", on perd ainsi toute information sur les configurations d'au plus "n"-1 points.


title: Géométrie symplectique

text: La géométrie symplectique linéaire apparaît comme une géométrie intermédiaire, dans laquelle on perd la notion de distance, tout en conservant une "notion d'aire orientée", et donc un invariant associé à 3 points. À trois points "A", "B" et "C" d'un espace vectoriel réel "E" doit être associée une aire "a"("ABC"). Pour des raisons d'additivité et de monotonicité des aires, cette quantité doit s'écrire :


title: Géométrie symplectique

text: où formula_33 est une forme bilinéaire. Comme une transposition sur les points "A", "B", "C" change l'orientation du triangle "ABC", la forme formula_34 doit être antisymétrique au sens où, pour tous vecteurs "u" et "v" :


title: Géométrie symplectique

text: Cette forme est dite non dégénérée lorsque, pour tout vecteur formula_36, il existe un vecteur "v" vérifiant : formula_37. Par définition, une forme symplectique sur "E" désigne une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée. Une telle forme est unique à isomorphisme linéaire près ; et son existence implique que la dimension de "E" soit paire, disons 2"n". Le modèle standard est l'espace C regardé comme espace vectoriel réel, avec comme forme symplectique la partie imaginaire de la métrique hermitienne standard.


title: Géométrie symplectique

text: Un isomorphisme linéaire ou affine de "E" est dit symplectique lorsqu'il préserve la forme symplectique formula_34. L'ensemble des isomorphismes linéaires symplectiques de C forme un groupe, appelé le groupe symplectique, noté Sp("n") ou Sp(2"n") suivant les auteurs. C'est un groupe de Lie classique connexe non compact de dimension "n"("n"-1)/2. Il contient le groupe unitaire U("n") comme rétract fort par déformation : ces deux groupes ont donc le même type d'homotopie.


title: Géométrie symplectique

text: La classification des ellipsoïdes dans un espace euclidien de dimension 2"n" modulo les isométries est donnée par 2"n" invariants, qui sont leurs diamètres respectifs. Par opposition, comme observé par Hofer et Zehnder, la classification des ellipsoïdes d'un espace symplectique modulo les applications affines symplectiques est donné par "n" invariants.


title: Géométrie symplectique

text: Les variétés différentielles s'obtiennent par des recollements d'ouverts d'espaces vectoriels réels de dimension finie suivant des difféomorphismes. Un intérêt porté sur des structures particulières peut conduire à imposer des restrictions sur la nature de ces recollements.


title: Géométrie symplectique

text: L'objet d'étude de la géométrie symplectique est les 2-formes différentielles fermées non dégénérées. Une telle forme différentielle est appelée "forme symplectique". Sur une variété différentielle "M", on se donne une forme antilinéaire non dégénérée formula_39, et on demande que la collection formula_40 ait une certaine régularité en "x". L'application formula_41 est un exemple de 2-forme différentielle, qu'on exige fermée : tous champs de vecteurs "X", "Y", et "Z" vérifient :


title: Géométrie symplectique

text: Une variété munie d'une forme symplectique est appelée variété symplectique. Une fois les objets d'étude définis, on a coutume de s'intéresser aux relations qu'ils peuvent entretenir entre eux. Un difféomorphisme formula_43 s'appelle difféomorphisme symplectique lorsque "f" préserve les formes symplectiques formula_34. De manière plus explicite, la différentielle formula_45 est un isomorphisme linéaire symplectique. Le lecteur mal à l'aise avec la géométrie différentielle comprendra les choses ainsi : au premier ordre, "f" est un isomorphisme symplectique linéaire.


title: Géométrie symplectique

text: L'ensemble des difféomorphismes symplectiques de formula_46 forme un groupe, appelé groupe des symplectomorphismes, et noté formula_47. Son étude a un intérêt de premier plan.


title: Géométrie symplectique

text: L'un des principaux résultats élémentaires de la géométrie symplectique est le théorème de Darboux : localement, deux variétés symplectiques de même dimension sont isomorphes. Dit autrement, aucun invariant local n'existe. Sur ce point, et pas le moindre, la géométrie symplectique s'oppose complètement à la géométrie riemannienne :


title: Géométrie symplectique

text: Cette dichotomie résume bien l'opposition entre la souplesse de la géométrie riemannienne contre la rigidité de la géométrie symplectique. Cette rigidité se retrouve à bien d'autres niveaux (rigidité des symplectomorphismes, théorème de rigidité de Gromov…).


title: Géométrie symplectique

text: Les espaces de phases étudiés jusqu'à maintenant étaient assez simples car nous étions partis d'espaces de configurations assez simples. Cependant, dans l'exemple du pendule simple, il eut été plus logique de considérer que la variable formula_5 vivait dans un cercle et pas dans une droite. Plus généralement, on peut imaginer des espaces de configuration arbitrairement compliqués, par exemple si un point est astreint à se déplacer sur une surface ayant une forme sophistiquée.


title: Géométrie symplectique

text: Quelle que soit la complexité de l'espace de configuration on peut toujours lui associer un espace des phases appelé fibré cotangent de l'espace de configuration et qui est toujours muni d'une structure symplectique canonique. Les théorèmes de Liouville, Poincaré, Noether et Liouville-Arnold restent vrais et on peut donner des analogues du théorème de Gromov dans ce cadre plus général.


title: Géométrie symplectique

text: On peut vouloir aller plus loin dans la généralisation et étudier tous les espaces munis d'une structure symplectique. Pour cela il faut revenir un peu plus en détail sur la définition d'une structure symplectique. À partir de maintenant on considère une variété formula_49 de dimension formula_11, c'est-à-dire un ensemble qui peut localement être paramétré par formula_11 nombres. Comme expliqué plus


title: Géométrie symplectique

text: haut, une structure symplectique sur formula_49 est une application qui, à toute surface dans formula_49, associe un nombre et qui vérifie en


title: Géométrie symplectique

text: plus deux propriétés. La première est que cette structure doit permettre d'associer un volume à toute partie de dimension formula_11


title: Géométrie symplectique

text: de formula_49 en procédant comme expliqué dans le paragraphe sur le théorème de Poincaré. La deuxième condition est que le nombre associé à toute surface sans bord est nul.


title: Géométrie symplectique

text: Le passage des espaces de phases aux variétés symplectiques générales est une grande généralisation mais on peut montrer qu'une variété symplectique ressemble toujours localement à un espace de phases. C'est le théorème de Darboux : au voisinage de n'importe quel point, toute variété symplectique peut être paramétré par un espace de phase de sorte que toute surface assez petite se voit attribuer le même nombre par la structure symplectique donnée et par la structure symplectique de l'espace des phases.


title: Géométrie symplectique

text: La question de savoir quels ensembles admettent au moins une structure symplectique est difficile. On connaît de nombreux exemples, des conditions nécessaires, d'autres qui sont suffisantes mais aucune caractérisation complète.


title: Géométrie symplectique

text: De même, une fois l'existence acquise on ne sait que très rarement combien de structures symplectiques réellement différentes cohabitent sur un même ensemble.


title: Géométrie symplectique

text: L'étude de la géométrie symplectique est née du constat que l'évolution d'un système mécanique préserve la structure symplectique canonique de l'espace des phases. Plus généralement on peut chercher à comprendre l'ensemble des transformations qui préservent une structure symplectique donnée. De telles transformations sont appelées symplectomorphismes et sont toujours très nombreuses, elles forment un ensemble de dimension infinie appelé groupe des symplectomorphismes. Pour comprendre la forme de cet ensemble, on cherche à le comparer à des ensembles plus petits que l'on comprend mieux. Les premiers résultats significatifs dans ce domaine sont dus à Gromov dans la foulée de son théorème de non tassement.


title: Géométrie symplectique

text: La géométrie symplectique est née de la formalisation hamiltonienne des lois de la mécanique classique. Cette formulation est née par la somme successive des travaux de Newton, de Lagrange, et de Hamilton, du au . Mais ce n'est que dans les années 1960 que les outils de la géométrie symplectique ont pu être formalisés, sous l'impulsion de Vladimir Arnold, et avec la participation active de Mikhaïl Gromov et Jean-Marie Souriau.


title: Géométrie symplectique

text: En 1687, Newton énonce la loi de l'attraction universelle. Cette loi permet de déduire le mouvement relatif d'une planète autour de son étoile, Kepler ayant décrit le mouvement elliptique des planètes dès 1611.


title: Géométrie symplectique

text: Encore aujourd'hui, malgré l'avènement de la relativité générale, cette loi de la gravitation universelle est toujours utilisée dans la détection des exoplanètes. Une planète, à l'instar de la Terre, subit la force attractive du Soleil, et son évolution est décrite par l'équation différentielle :


title: Géométrie symplectique

text: Le problème du mouvement relatif de deux corps en interaction mutuelle est devenu un exercice classique incontournable du premier cycle universitaire. Newton lui-même en a donné une solution correcte dans les propositions 57 à 65 de ses "Principia". La planète décrit par rapport à l'étoile un mouvement elliptique dont l'étoile est l'un des foyers. Six constantes sont nécessaires pour décrire ce mouvement :


title: Géométrie symplectique

text: Toutefois, cette description oublie la présence d'autres planètes. Le problème à corps () est autrement plus ardu. Il résiste encore aujourd'hui à trois siècles d'histoire. Aucune solution analytique n'est connue, excepté pour le problème à trois corps, pour lequel on sait déterminer certaines solutions dites « homographiques ».


title: Géométrie symplectique

text: De 1808 à 1811, Joseph-Louis Lagrange, alors professeur de mathématiques à l'École polytechnique, s'intéresse au problème de la stabilité des planètes du système solaire. Compte tenu du nombre de corps considérés, le problème est de taille ; il s'est depuis complexifié au fur et à mesure des avancées dans les observations astronomiques.


title: Géométrie symplectique

text: Grossièrement, la méthode de Lagrange consiste à effectuer des petites perturbations sur le mouvement d'une planète, autrement dit, sur les six constantes d'intégration. Cette perturbation varie dans le temps suivant une loi moyennant les forces subies :


title: Géométrie symplectique

text: Les calculs n'étaient pas justifiés. Poincaré montre la divergence des séries utilisées par les astronomes dans "Méthodes nouvelles de la mécanique céleste". Il faudra attendre la seconde moitié du pour que les outils nécessaires soient introduits. La véritable révolution apportée par Lagrange est d'avoir introduit une fonctionnelle d'énergie, aujourd'hui notée "L" et appelée Lagrangien, dont les points critiques sont les trajectoires du mouvement.


title: Géométrie symplectique

text: L'intérêt croissant vis-a-vis des structures symplectiques durant les dernières décennies s'explique par les besoins de la physique du . Le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique est à ce jour encore mal compris. La question de fonder de sérieuses bases mathématiques est un défi qui a conduit les mathématiciens à s'interroger à nouveau sur la dynamique hamiltonienne (la mécanique classique, des systèmes dynamiques de points matériels à l'optique géométrique). Le regard porté à la lumière de la géométrie différentielle ne pouvait être que nouveau.


title: Géométrie symplectique

text: Dans la continuation des travaux de Lagrange et de Hamilton, pour établir l'existence d'orbites périodiques dans le problème des trois corps, Henri Poincaré se ramène à l'étude d'une application préservant l'aire sur un anneau formula_58. Cette application s'est avérée par la suite d'une grande utilité dans l'étude des flots de champs de vecteurs. Elle est aujourd'hui connue sous le nom d'application de retour de Poincaré.


title: Géométrie symplectique

text: Les résultats énoncés par Poincaré furent démontrés ; ils sont aujourd'hui considérés comme les premiers travaux sur la géométrie symplectique - s'ils peuvent être considérés comme tels. Le théorème de Poincaré-Birkhoff affirme l'existence de points fixes pour un difféomorphisme de l'anneau formula_58, qui préserve la mesure de Lebesgue, et qui fait tourner formula_60 dans le sens positif et formula_61 dans le sens négatif. En réalité, ces résultats portaient davantage sur la préservation du volume. Mais en dimension 2, une mesure est essentiellement une forme d'aire, donc une forme symplectique. La dimension 2 reflète mal les particularités propres à la géométrie symplectique.


title: Géométrie symplectique

text: Le théorème de Poincaré-Birkhoff préfigure la conjecture d'Arnold, énoncée au début des années 1960. Cette conjecture s'efforce de trouver un minorant du nombre d'orbites périodiques pour un difféomorphisme symplectique sur une variété symplectique compacte. En 1983 Conley et Zehnder démontrent la conjecture pour le tore par une étude variationnelle. Inspiré de ces travaux, Andreas Floer démontre en partie la conjecture pour une large classe de variétés symplectiques compactes, étendue par la suite par Alan Weinstein. Les méthodes utilisées ont contribué à la mise en place de l'homologie de Floer. La formulation de cette homologie représente un des aspects les plus puissants mis en place ces dernières décennies.


title: Géométrie symplectique

text: Brièvement, et du moins sous certaines hypothèses, l'homologie de Floer consiste à compter des orbites périodiques d'une isotopie hamiltonienne et, modulo translation, des cylindres reliant ces orbites répondant à une EDP elliptique. L'ellipticité joue un rôle central.


title: Géométrie symplectique

text: Le théorème KAM figure parmi les résultats les plus cités en dynamique hamiltonienne. Il étudie la stabilité des systèmes mécaniques complètement intégrables. Le nom du théorème est l'abréviation des trois mathématiciens qui ont contribué à sa démonstration : Kolmogorov, Arnold et Moser. Il justifie dans le langage actuel des mathématiques les résultats de Lagrange.


title: Géométrie symplectique

text: Une autre investigation importante concerne l'introduction des capacités symplectiques. Ce sont des invariants symplectiques vérifiant de bonnes conditions de normalisation et d'homogénéité. Leur classification reste totalement incomprise à ce jour. Il existe un grand nombre de capacités introduites : le rayon de Gromov, lié au théorème de non-plongement de Gromov ; les capacités d'Ekeland-Hofer et de Hofer-Zehnder, utilisant des études variationnelles sur la dynamique hamiltonienne ; ou encore un grand nombre de capacités dites spectrales dont l'introduction a été initiée par Claude Viterbo. L'utilisation de ces capacités a permis une preuve partielle de la conjecture de Weinstein (évoquée plus haut), et une preuve du théorème de rigidité de Gromov.


title: Géométrie symplectique

text: L'usage d'une généralisation des courbes holomorphes a porté de forts développements en géométrie symplectique.


title: Géométrie symplectique

text: La géométrie symplectique s'est constituée comme domaine d'étude à part entière dès la fin des années 1960. Ce nouveau souffle dans la recherche mathématique a introduit "parallèlement" d'autres disciplines, la quantification géométrique et la . Récemment, des avancées significatives ont été réalisées par Jean-Claude Sikorav et Claude Viterbo : il a été montré que si formula_62 est une variété fermée, alors toute sous-variété lagrangienne de formula_63 isotope à la section nulle formula_64 admet une fonction génératrice quadratique à l'infini, et que de plus, toutes les fonctions génératrices quadratiques à l'infini d’une telle sous-variété sont équivalentes. Ce théorème a par la suite été étendu par Yu Chenakov, qui a montré que l'existence de cette classe de fonctions génératrices s'étendait aux variétés non compactes, pour les sous-variétés legendriennes.


title: Craonne

text: L'ancien village de Craonne a été complètement détruit au cours de la Première Guerre mondiale lors des différentes batailles du Chemin des Dames. Le nom de Craonne est rendu célèbre par la "Chanson" "de Craonne""," chanson contestataire entonnée par des soldats français durant la guerre en 1917 et, notamment, par des soldats qui se sont mutinés après l'offensive meurtrière du général Nivelle au Chemin des Dames en 1917.


title: Craonne

text: Craonne se prononce "/krɑn/", et non "/Krɑon/" ». La prononciation fautive "/krɑon/" s'est développée avec la "Chanson de Craonne," où deux syllabes sont nécessaires.


title: Craonne

text: Craonne est à mi-chemin entre Laon et Reims (à environ une trentaine de kilomètres par la route de chacune de ces villes).


title: Craonne

text: Le village avant 1914 avait une forme triangulaire correspondant aux trois rues principales et il s'étendait sur les pentes du plateau du Chemin des Dames, prenant à cet endroit le nom de « "plateau de Craonne" ». Le nouveau village a été installé dans la vallée, au sud-ouest de l'ancien village.


title: Craonne

text: La commune se trouve à au sud-est de la ville préfecture, Laon, à au sud-est d’Amiens, à au nord-ouest de Reims, et à au nord-est de la capitale, Paris.


title: Craonne

text: La gare la plus proche est celle de Guignicourt située à à l'est de Craonne. Cette gare est desservie par les trains du réseau régional TER Picardie et permet d'accéder aux gares de Laon ou de Reims en 20 minutes environ.


title: Craonne

text: Le climat qui caractérise la commune est qualifié, en 2010, de « climat océanique dégradé des plaines du Centre et du Nord », selon la typologie des climats de la France qui compte alors huit grands types de climats en métropole. En 2020, la commune ressort du type « climat océanique altéré » dans la classification établie par Météo-France, qui ne compte désormais, en première approche, que cinq grands types de climats en métropole. Il s’agit d’une zone de transition entre le climat océanique, le climat de montagne et le climat semi-continental. Les écarts de température entre hiver et été augmentent avec l'éloignement de la mer. La pluviométrie est plus faible qu'en bord de mer, sauf aux abords des reliefs.


title: Craonne

text: Les paramètres climatiques qui ont permis d’établir la typologie de 2010 comportent six variables pour les températures et huit pour les précipitations, dont les valeurs correspondent à la normale 1971-2000. Les sept principales variables caractérisant la commune sont présentées dans l'encadré ci-après.


title: Craonne

text: Avec le changement climatique, ces variables ont évolué. Une étude réalisée en 2014 par la Direction générale de l'Énergie et du Climat complétée par des études régionales prévoit en effet que la température moyenne devrait croître et la pluviométrie moyenne baisser, avec toutefois de fortes variations régionales. Ces changements peuvent être constatés sur la station météorologique de Météo-France la plus proche, « Martigny-Courpierre », sur la commune de Martigny-Courpierre, mise en service en 1987 et qui se trouve à à vol d'oiseau, où la température moyenne annuelle est de et la hauteur de précipitations de pour la période 1981-2010.


title: Craonne

text: Sur la station météorologique historique la plus proche, « Saint-Quentin », sur la commune de Fontaine-lès-Clercs, mise en service en 1933 et à , la température moyenne annuelle évolue de pour la période 1971-2000 à pour 1981-2010, puis à pour 1991-2020.


title: Craonne

text: Craonne est une commune rurale. Elle fait en effet partie des communes peu ou très peu denses, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: Craonne

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Reims, dont elle est une commune de la couronne. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de à moins de .


title: Craonne

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des forêts et milieux semi-naturels (62 % en 2018), une proportion identique à celle de 1990 (62,1 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :


title: Craonne

text: forêts (61,4 %), terres arables (23,5 %), zones agricoles hétérogènes (14,4 %), milieux à végétation arbustive et/ou herbacée (0,6 %).


title: Craonne

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: Craonne

text: Craonne, selon le "Dictionnaire historique, généalogique et géographique du département de l'Aisne" de Maximilien Melleville, serait Craubenna au ; Craonna en 907 ; Cranna, Credona, Corona, Creona.


title: Craonne

text: Établissement à Craonne d'une foire franche annuelle de trois jours en 1482, à commencer du 2 novembre.


title: Craonne

text: La culture du raisin et du vin est très ancienne à Craonne. Les habitants payaient au prieur de Saint-Marcoul la dime du vin qui était un vingtième de leur récolte.


title: Craonne

text: Le village de Craonne entre dans l'histoire nationale en 1814. C'est là que Napoléon I remporte une de ses dernières victoires : il parvient à repousser les troupes russes et prussiennes lors de la campagne de France. Cette bataille, lors de laquelle ont été engagées les Marie-Louise, fut particulièrement meurtrière : on compta morts ou blessés.


title: Craonne

text: Au , le village situé sur les pentes du plateau du Chemin des Dames se consacre à l'agriculture et à la viticulture. Avec l'arrivée du train, les villageois délaissent la vigne pour se consacrer au maraîchage.


title: Craonne

text: Sur le haut plateau surplombant la colline se trouvait un "saloon américain" appelé la Californie créé par Henry Vasnier associé des champagnes Pommery. En sus d'un service d'hôtellerie, d'un zoo, et d'un jardin exotique de plantes amérindiennes, l'endroit était connu pour être une "maison de plaisir" fréquentée par la bourgeoisie rémoise. Par la suite, le plateau prendra le nom de plateau de Californie. Il est encore possible de découvrir des plantes exotiques ayant survécu à la Première Guerre mondiale.


title: Craonne

text: Le , la française installe son quartier général juste à côté de la commune de Craonne, au château d'Hédouville, à Pontavert.


title: Craonne

text: Le château de Craonne appartenait également à la famille de Hédouville, qui y installa un hôpital pour les blessés de guerre, avec des annexes dans certaines de ses autres propriétés de Craonne et de Corbeny.


title: Craonne

text: Craonne acquiert une tragique notoriété lors de la Première Guerre mondiale. En 1914, après la première bataille de l'Aisne, le village, situé sur la ligne de front, est occupé et sa population est déplacée.


title: Craonne

text: Avec l'offensive Nivelle, le village fut entièrement rasé au printemps 1917 par les bombardements massifs : cinq millions d'obus sont tombés sur le Chemin des Dames entre le et . Les combats y sont terribles lors de cette offensive : la d'infanterie qui monte à l'assaut se trouve bloquée au niveau des caves de Craonne. Puis le , une seconde offensive est lancée par la d'infanterie qui aboutit à la reprise de Craonne et à la progression sur le plateau de Californie. Après l'échec de cette offensive et les pertes graves subies, des pertes de plus de hommes en dix jours, l'armée française doit faire face à de nombreux actes d'insoumission concernant plus de 150 unités : on parle alors de mutineries. "La Chanson de Craonne" associe le village à ces insoumissions et au pacifisme.


title: Craonne

text: François Flameng, peintre officiel des armées françaises, a réalisé de nombreux croquis et dessins des événements sanglants qui s'y déroulèrent, et qui ont été publiés dans la revue "L'Illustration".


title: Craonne

text: Après la guerre, la reconstruction du nouveau village se fit en contrebas du plateau de Californie, dans la plaine, sur un espace plus propice à une agriculture moderne. L'ancien village était situé en zone rouge, le village devait donc disparaître. En 1931, il a été recouvert par l'arborétum offert par la Suède ainsi que par des jardins de la paix. C'est la ténacité de quelques villageois revenus à Craonne qui oblige les responsables politiques à reconstruire un village.


title: Craonne

text: Aujourd'hui, le village accueille colloques et manifestations autour de la Première Guerre mondiale. C'est là que se réunit en particulier le Collectif de recherche international et de débat sur la guerre de 1914-1918.


title: Craonne

text: Le nombre d'habitants de la commune étant inférieur à 100, le nombre de membres du conseil municipal est de sept.


title: Craonne

text: La commune est rattachée administrativement à l'arrondissement de Laon et politiquement au canton de Villeneuve-sur-Aisne et à la première circonscription de l'Aisne représentée par le député René Dosière (PS).


title: Craonne

text: Avant la disparition du canton de Craonne en mars 2015, Craonne a été le chef-lieu de canton le moins peuplé de France avec ses 76 habitants.


title: Craonne

text: La commune est membre de la communauté de communes du Chemin des Dames, dont elle est le siège, qui regroupe trente communes.


title: Craonne

text: Le territoire de la commune de Craonne fait partie de la paroisse catholique « Saint-Rémi de l'Ailette » au sein du diocèse de Soissons, Laon et Saint-Quentin. Le lieu de culte est l'église Saint-Martin.


title: Craonne

text: Yves Gibeau, auteur d"'Allons z'enfants", est enterré dans l'ancien cimetière de Craonne depuis 1994.


title: Craonne

text: Dans son discours du à Craonne, le Premier ministre de l'époque Lionel Jospin a souhaité que les soldats « fusillés pour l’exemple », « épuisés par des attaques condamnées à l'avance, glissant dans une boue trempée de sang, plongés dans un désespoir sans fond », qui « refusèrent d’être des sacrifiés », victimes « d’une discipline dont la rigueur n’avait d’égale que la dureté des combats, réintègrent aujourd'hui, pleinement, notre mémoire collective nationale ». .


title: Trio pour piano et cordes no 2 de Schubert

text: Le Trio de Schubert ou Trio en mi bémol majeur pour piano et cordes (D. 929 op. 100) est un trio de musique de chambre lyrique romantique en quatre mouvements, pour violon, violoncelle, et piano, composé par le compositeur autrichien Franz Schubert (1797-1828) en (un de ses plus célèbres chefs-d'œuvre, parmi plus de mille compositions de son catalogue Deutsch, avant sa disparition précoce à l'age de 31 ans).


text: Alors qu'il est gravement malade, âgé de 30 ans, et en fin de vie à Vienne, Franz Schubert continue à composer son œuvre prolifique « tardive » avec un indestructible enthousiasme et vitalité, avec un « lyrisme schubertien musical romantique allemand » dont il est maître, avec entre autres ce trio en mi bémol majeur en quatre mouvements pour violon, violoncelle, et piano, composé à la suite de son trio pour piano et cordes.


text: Dédié par Schubert « à ceux qui y prendront du plaisir », il est joué pour la première fois au Musikverein (Vienne) (« Maison de l’Union Musicale de Vienne ») le , interprété par Ignaz Schuppanzigh au violon, Carl Maria von Bocklet au piano et Josef Linke au violoncelle. Il est également joué lors de Schubertiades privées à Vienne en 1828 (année de sa disparition à l'age de 31 ans).


text: Le mouvement joué par le Trio tchèque devient (entre autres, avec la célèbre Sarabande de Haendel) une des plus célèbres musiques de film de l'histoire du cinéma, avec le succès du film "Barry Lyndon" de Stanley Kubrick en 1975, avec un Oscar de la meilleure musique de film 1976.


text: Ce mouvement est de forme sonate. Il débute immédiatement avec un premier thème énergique, joué forte, déclamé par les trois instruments à l’unisson :


text: Il s'ensuit un second thème de caractère tout à fait différent, à la puissance hypnotique, orchestré en choral :


text: d,4-. d8-.[ d-. e-. fis-.] | g4 \appoggiatura g16 e'8-.[ d-. c-. b-.] | a2\trill \grace { g16[ a8] } b-.[ a-.] | g4-.


text: Le second thème est en si mineur, ton éloigné qui démontre la complexité du plan tonal de l'œuvre. En effet, celui-ci neutralise la tension dominante-tonique, moteur du plan « dialectique » beethovénien, au profit d'un tissu de relations harmoniques délicates, généralement en tierces.


text: Il s'agit d'un mouvement lent (malgré l'indication « con moto ») écrit dans la tonalité relative de do mineur, ayant une forme double ternaire asymétrique. Son thème principal, élégiaque et très long, débute comme suit :


text: Il est probable que ce thème soit inspiré d'une chanson populaire suédoise "" ( « le soleil se couche ») que Schubert aurait entendu chanter par le tenor chez la sœur de . L'accompagnement monotone et un peu sévère du piano rappelle celui de « Gute Nacht », le premier lied du "Voyage d'hiver."


text: Cette œuvre est intégrée dans de nombreuses musiques de film au cinéma, dont en particulier "Barry Lyndon" de Stanley Kubrick en 1975, et également :


title: HubSpot

text: HubSpot est une société B2B américaine qui développe et commercialise des logiciels pour l'inbound marketing, les ventes et le service à la clientèle. HubSpot a été fondée par et Dharmesh Shah en 2006.


title: HubSpot

text: Ses produits et services sont des outils pour la gestion de la relation client, le marketing par médias sociaux, les systèmes de gestion de contenu, la génération de pistes, la mesure de l'audience d'un site Web, l'optimisation des moteurs de recherche, le clavardage et le service à la clientèle.


title: HubSpot

text: Son siège social est à Cambridge dans le Massachusetts aux États-Unis. En , la société a ouvert son neuvième bureau mondial et premier bureau français à Paris.


title: HubSpot

text: Les fondateurs de HubSpot sont notamment connus pour avoir créé et développé la méthodologie Inbound Marketing et publié un ouvrage sous ce nom en 2010.


title: HubSpot

text: La société est passée d'un chiffre d'affaires de en 2007 à de dollars en 2010. En 2012, HubSpot a acquis Oneforty, la boutique d'applications Twitter fondée par .


title: HubSpot

text: À la même époque, la société a lancé un logiciel permettant de personnaliser les sites Web pour chaque visiteur. Selon "Forbes", HubSpot a commencé par cibler les petites entreprises, puis « est montée en gamme de manière régulière pour servir les grandes entreprises comptant jusqu'à ».


title: HubSpot

text: HubSpot a déposé une demande d'introduction en bourse auprès de la "Securities and Exchange Commission" le 25 août 2014, demandant à être cotée à la bourse de New York sous le symbole HUBS. La compagnie a levé plus de de dollars en vendant des actions à 25 dollars pièce. L'action a explosé depuis, atteignant un sommet de le 12 novembre 2021.


title: HubSpot

text: En juillet 2017, HubSpot a acquis Kemvi, qui utilise l'intelligence artificielle et l'apprentissage automatique pour aider les équipes de vente.


title: HubSpot

text: En février 2021, Axios a rapporté qu'HubSpot allait acquérir "The Hustle", une société de contenu et de bulletin d'information par courrier électronique axée sur les propriétaires de petites entreprises et les entrepreneurs.


title: HubSpot

text: En septembre 2021, HubSpot a annoncé la nomination d'Yamini Rangan au poste de président-directeur général, tandis que Brian Halligan a quitté son poste et est devenu président exécutif de la société.


title: HubSpot

text: Les activités d'HubSpot en France ont commencé dès 2015 et la société a ouvert un bureau à Paris en mai 2019.


title: HubSpot

text: HubSpot fournit des outils pour la gestion de la relation client, le marketing par médias sociaux, les systèmes de gestion de contenu, la génération de pistes, la mesure de l'audience d'un site Web, l'optimisation des moteurs de recherche, le clavardage et le service à la clientèle.


title: HubSpot

text: HubSpot dispose de fonctions d'intégration pour Google Apps, Salesforce, SurveyMonkey, LinkedIn, SugarCRM, , Microsoft Dynamics CRM et pour d'autres systèmes. La compagnie offre également des services tiers tels que des modèles et des extensions. En outre, HubSpot propose des services de conseil et une académie en ligne qui enseigne les tactiques de l'inbound marketing. Elle organise également des conférences de groupes d'utilisateurs et des programmes d'inbound marketing et de certification.


title: HubSpot

text: HubSpot fait la promotion de ses concepts d'inbound marketing par le biais de son propre marketing, et a été qualifié de « créateur prolifique de contenu » tel que des blogues, des médias sociaux, des webinaires et des livres blancs.


title: HubSpot

text: En 2010, un article de la "Harvard Business Review" a déclaré que la fonction d'inbound marketing la plus efficace d'HubSpot était ses outils en ligne gratuits. L'un de ces outils, le "Marketing Grader", évalue et note les performances des sites web. La société a introduit une fonction de suivi de Twitter en 2011.


title: HubSpot

text: En novembre 2016, HubSpot a lancé l'académie HubSpot, une plateforme de formation en ligne qui propose divers programmes de formation en marketing numérique.


title: HubSpot

text: En 2018, Hubspot a intégré Taboola sur le tableau de bord, un réseau publicitaire natif mondial de paiement au clic.


title: HubSpot

text: La société a lancé "HubSpot CRM Free" en 2014. Le produit suit et gère les interactions entre une entreprise et ses clients et prospects. Il permet aux entreprises de prévoir les revenus, de mesurer la productivité de l'équipe de vente et d'établir des rapports sur les sources de revenus. Le produit sous forme de logiciel en tant que service est gratuit et s'intègre à Gmail, G Suite, Microsoft Office pour Windows et à d'autres logiciels.


title: HubSpot

text: HubSpot organise une conférence annuelle sur le marketing pour ses utilisateurs et ses partenaires. L'événement, appelé "INBOUND", se déroule généralement à Boston. La première conférence "INBOUND" a eu lieu en 2012. Depuis, des intervenants tels que Michelle Obama, Tig Notaro et Issa Rae se sont exprimés lors de ces événements. En 2019, Hubspot a organisé la plus grande conférence de l'histoire de l'événement, avec un record de plus de 26 000 participants provenant de 110 pays.


title: HubSpot

text: En juillet 2015, le directeur marketing d'Hubspot, Mike Volpe, a été licencié pour avoir violé le code de conduite des affaires d'HubSpot. Il avait essayé d'obtenir une ébauche avant publication du livre "" (traduction littérale, "Perturbé : Ma mésaventure dans la bulle des start-ups"), écrit par son ancien employé Daniel Lyons. Selon un article du "Boston Globe", des documents obtenus dans le cadre de la loi sur la liberté de l'information indiquent que les dirigeants d'HubSpot considéraient le livre comme « une menace financière pour HubSpot » et que Volpe a utilisé « des tactiques telles que le piratage de courriels et l'extorsion » pour tenter d'empêcher la publication du livre.


title: HubSpot

text: En avril 2016, après la publication de son livre, Lyons a écrit dans le "New York Times" que HubSpot avait une atmosphère de fraternité. Il a également qualifié l'entreprise d' « atelier de misère numérique » dans lequel les travailleurs avaient peu de sécurité d'emploi. Plus tard ce mois-là, les fondateurs d'HubSpot ont répondu officiellement au livre en abordant plusieurs, mais pas toutes, les affirmations de Lyons.


title: HubSpot

text: Le "" a désigné HubSpot comme l'un des meilleurs endroits où travailler en 2012. En 2015, l'entreprise a été nommée meilleure grande entreprise où travailler dans le Massachusetts par le "Boston Globe". En 2017, HubSpot a été classée septième par CNBC parmi les meilleurs endroits où travailler. "Glassdoor" a désigné HubSpot comme le meilleur endroit où travailler en 2020.


title: Freyming-Merlebach

text: Freyming-Merlebach est une commune française, située dans le département de la Moselle, en région Grand Est. Elle est localisée dans la région naturelle du Warndt et le bassin de vie de la Moselle-Est.


title: Freyming-Merlebach

text: La commune se trouve à proximité de Sarrebruck en Allemagne (25 min), de Metz (40 min), de Nancy (1 h) et de Strasbourg (1 h), le tout par l’autoroute.


title: Freyming-Merlebach

text: Les communes limitrophes françaises sont : Cocheren, Saint-Avold, Betting, Hombourg-Haut, Béning-lès-Saint-Avold et L'Hôpital.


title: Freyming-Merlebach

text: Le sol de la commune est sablonneux, résultant de l’altération de grès bigarrés d'épaisseur variable (grès du Trias inférieur) qui recouvrent de profondes couches charbonneuses autrefois exploitées. D'anciens terrils de schistes et de roches carbonifères altérées en témoignent. Anciennes carrières de sable et de grès (carrière Barrois). Les vallées sont formées d'alluvions anciens et récents. On y observe de petits dépôts tourbeux.


title: Freyming-Merlebach

text: Les grès se présentent sous forme de grès siliceux friables, de teinte jaunâtre à rouge, formés de grains de quartz roulés, autrefois utilisés pour les travaux de construction ou l'industrie verrière locale. Ils renferment une importante proportion d'oxydes de fer, parfois réunis sous forme de plaquettes de limonite. On y observe aussi des nodules d'oxyde de manganèse. Ces grès renferment parfois de petits galets de quartz et quartzites et de petites lentilles d'argile rouge. Sur les hauteurs de Freyming-Merlebach se dresse un mégalithe de grès appelé le "Wieselstein".


title: Freyming-Merlebach

text: Trois cours d'eau passent à Freyming-Merlebach : la Rosselle, la Merle (ruisseau) qui a donné son nom à la bourgade de Merlebach et l'un de ses affluents, le Doerrenbach (ruisseau).


title: Freyming-Merlebach

text: La Rosselle est une rivière française et allemande qui coule dans le département de la Moselle en France et dans le land de Sarre en Allemagne. C'est un affluent de la Sarre, donc un sous-affluent du Rhin par la Moselle. Elle passe par "Freyming-Merlebach".


title: Freyming-Merlebach

text: "La" Merle parfois appelée "le" Merle, est un ruisseau français qui coule dans le département de la Moselle en France. C'est un affluent gauche de la Rosselle, donc un sous-affluent du Rhin par la Sarre et la Moselle. Le ruisseau Merle ("Merlenbach") a donné son nom à la localité de Merlebach, aujourd'hui réunie à Freyming sous le nom de Freyming-Merlebach. La vallée de la Merle est également appelée la "vallée du charbon" en raison de l'empreinte de l'exploitation du charbon lorrain sur la vallée.


title: Freyming-Merlebach

text: À l'ouest de Freyming-Merlebach, le petit ruisseau du Doerrenbach ou Dörrbach prend ses sources en Allemagne, dans la forêt de Karlsbrunn (une des forêts du Warndt) en contrebas de la L277, à l’est de la bourgade de Lauterbach (commune de Völklingen), et en France, dans la forêt située sous la cité "La Colline" de L'Hôpital (Moselle) à hauteur de la carrière Barrois. On signale sur le cours du Doerrenbach un ancien étang disparu qui alimentait les forges de Sainte-Fontaine. Le Doerrenbach s'écoule par intermittence dans les plans d'eau de la carrière Barrois. La confluence en rive gauche de la Merle (ruisseau) s'effectue sur la commune de Freyming-Merlebach, à au sortir de la carrière Barrois.


title: Freyming-Merlebach

text: La gare régionale la plus proche est celle de Béning-lès-Saint-Avold (pour les trajets en TER surtout vers Metz, Sarreguemines ou Sarrebruck).


title: Freyming-Merlebach

text: La gare TGV la plus proche est celle de Forbach à moins de 10 minutes pour rejoindre Paris ou Francfort en 1 h 50 avec l’ICE 3 ou avec le TGV.


title: Freyming-Merlebach

text: La commune est située dans le bassin versant du Rhin au sein du bassin Rhin-Meuse. Elle est drainée par la Rosselle et le ruisseau le Merle.


title: Freyming-Merlebach

text: La Rosselle, d'une longueur totale de , prend sa source dans la commune de Boucheporn traverse treize communes françaises puis, au-delà de Petite-Rosselle, poursuit son cours en Allemagne où elle se jette dans la Sarre.


title: Freyming-Merlebach

text: Le territoire communal est couvert par le schéma d'aménagement et de gestion des eaux (SAGE) « Bassin Houiller ». Ce document de planification, dont le territoire est approximativement délimité par un triangle formé par les villes de Creutzwald, Faulquemont et Forbach, d'une superficie de , a été approuvé le . La structure porteuse de l'élaboration et de la mise en œuvre est la région Grand Est. Il définit sur son territoire les objectifs généraux d’utilisation, de mise en valeur et de protection quantitative et qualitative des ressources en eau superficielle et souterraine, en respect des objectifs de qualité définis dans le SDAGE du Bassin Rhin-Meuse.


title: Freyming-Merlebach

text: La qualité des eaux des principaux cours d’eau de la commune, notamment du ruisseau la Rosselle, peut être consultée sur un site dédié géré par les agences de l’eau et l’Agence française pour la biodiversité.


title: Freyming-Merlebach

text: Freyming-Merlebach est une commune urbaine, car elle fait partie des communes denses ou de densité intermédiaire, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: Freyming-Merlebach

text: Elle appartient à l'unité urbaine de Sarrebruck (ALL)-Forbach (partie française), une agglomération internationale dont la partie française regroupe et en 2017, dont elle est ville-centre.


title: Freyming-Merlebach

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Freyming-Merlebach (partie française), dont elle est la commune-centre. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de moins de .


title: Freyming-Merlebach

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires artificialisés (83,2 % en 2018), en augmentation par rapport à 1990 (80,9 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :


title: Freyming-Merlebach

text: zones urbanisées (47,5 %), mines, décharges et chantiers (22,9 %), forêts (16,3 %), zones industrielles ou commerciales et réseaux de communication (12,8 %), terres arables (0,4 %).


title: Freyming-Merlebach

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: Freyming-Merlebach

text: Outre le chef-lieu, la commune comprend la cité de Sainte-Fontaine, cité minière — également site archéologique, ancien lieu de culte de la déesse Sirona et du dieu Mercure — située près d'une source sacrée de la vallée de la Merle (ruisseau).


title: Freyming-Merlebach

text: On y trouve également la "Villa-Louise" (), ancienne résidence de la famille Magay (Philippe-Louis Mangay, 1782-1842) était avocat à la cour royale de Metz. Il est inhumé dans une tombe de forme pyramidale, square Saint-Maurice à Freyming-Merlebach) ainsi qu'un chevalement d'un ancien puits d'exploitation de charbon, le puits Sainte-Fontaine, classé à l'inventaire des monuments historiques.


title: Freyming-Merlebach

text: Le puits de Sainte-Fontaine, proche de Freyming-Merlebach, se trouve en fait située sur le ban de la commune de Saint-Avold. La cité de Sainte-Fontaine avait été rattachée à L'Hôpital (Moselle) durant la Seconde Guerre mondiale par un arrêté de l'administration allemande du approuvé par la loi du . Elle avait été confiée à l'administration du Stadtkommissar de "Spittel" (L'Hôpital). La cité et le siège minier de Sainte-Fontaine retourneront définitivement à Freyming-Merlebach et à Saint-Avold de 1948 à 1949.


title: Freyming-Merlebach

text: Le futur plateau unique hospitalier, le « méga hôpital », devait ouvrir en 2015 sur les anciens terrains de la mine, derrière la piscine Aquagliss. Faute de financement, l'ARS a annoncé en 2012 que ce projet était abandonné.


title: Freyming-Merlebach

text: Afin de créer un espace propice à la re-dynamisation du commerce au centre-ville, la commune lance en mai 2013 un vaste programme de rénovation des rues du Maréchal Foch et du 5-Décembre, ainsi que de la place du kiosque. La fin des travaux était prévue en novembre 2013.


title: Freyming-Merlebach

text: La future salle de spectacles intercommunale dont les travaux débuteront en 2014, sera située derrière l'hôtel de ville, à l'emplacement de l'ancienne place du marché.


title: Freyming-Merlebach

text: Le nom de la commune est "Ménge-Merleboch" en francique lorrain et "Freimingen-Merlenbach" en allemand.


title: Freyming-Merlebach

text: La ville de Freyming-Merlebach tire son origine de la fusion intervenue en 1971 de deux communes limitrophes situées dans le Warndt : Freyming et Merlebach.


title: Freyming-Merlebach

text: Le "rocher du Wieselstein" atteste la présence antique d'une population d'origine celtique. Il s'agit d'un mégalithe assimilé à un menhir, entouré d'un halo de légendes, de six mètres de haut et de quatre mètres de large. Ce rocher druidique a également servi de borne dès l'époque gallo-romaine.


title: Freyming-Merlebach

text: De nombreux vestiges de l’époque gallo-romaine ont été trouvés, parmi lesquels les vestiges d'un temple, un bas-relief de Vénus ainsi que des pièces de monnaie à l’effigie de différents empereurs.


title: Freyming-Merlebach

text: Les deux villages, nés à l’aube du , ont participé de l’économie de subsistance propre à une région boisée, au sol pauvre et de peuplement ténu. On relève l’existence de verriers à Merlebach (Merlebourg), seigneurie de Faulquemont, vers 1590 puis à Freyming (Freimengen au moment de sa fondation par Pierre Ernest de Créhange en 1602). Le nom Freimengen comporte un préfixe "frei" signifiant libre ou franc en langage local. En effet, en septembre 1602, Freimengen, situé dans la forêt de Mengen, obtient son statut de village franc (exemption de diverses taxes dont celle sur le sel), ce qui lui permet d'attirer de nouveaux habitants.


title: Freyming-Merlebach

text: Cette terre, souvent livrée au passage des belligérants, n’a pas été épargnée par les fléaux de la guerre : c’est ainsi que le hameau de Freyming, mis à feu et à sang par les Suédois en 1637, ne comptait plus que 80 habitants à la fin du « tragique ». En 1781, le comte von der Leyen, comte de Blieskastel, cède Freyming à la France.


title: Freyming-Merlebach

text: Lorsqu’interviennent, après 1815, les premières prospections minières dans la partie orientale du Bassin Houiller, les communautés de Freyming et de Merlebach tirent depuis longtemps une partie non négligeable de leur revenu de l’industrie artisanale : fabrication d’objets en bois, façonnage de tuiles, mouture des grains ; une forge, sise à Sainte-Fontaine, annexe de Freyming, ainsi qu’une quinzaine de clouteries occupent, vers 1844, une centaine de personnes.


title: Freyming-Merlebach

text: Comme les autres communes de l'actuel département de la Moselle, Freyming et Merlebach sont annexés à l’Empire allemand de 1871 à 1918. Vers 1905, Freyming et Merlebach sont au cœur même de l’activité minière, avec de nouveaux arrivants installés dans des quartiers miniers spécialement conçus pour cette industrie. Après deux générations de paix et de prospérité, la germanisation des esprits est telle que les Mosellans se battent naturellement pour l’Empire allemand en 1914. Beaucoup tombèrent au champ d'honneur sous l’uniforme allemand, sur le Front de l’Est, mais aussi à l’Ouest, en particulier en France et dans les Flandres. Loyaux sujets du Kaiser, très peu de Mosellans trahirent le Reich pour rejoindre les troupes françaises. La victoire française en 1918 fut toutefois bien accueillie par la majorité des habitants de Freyming-Merlebach, heureux de retrouver la paix.


title: Freyming-Merlebach

text: À nouveau annexées par l'Allemagne en 1940 les deux communes furent regroupées sous le nom de « "Merlenbach-Freymengen" » et durent subir la loi du III Reich. Libérées en décembre 1944, Freyming et Merlebach retrouvèrent leur autonomie administrative. Mais les communes fusionnèrent à nouveau le , sous le nom actuel de « Freyming-Merlebach ». Un odonyme local rappelle cet événement : la «  ».


title: Freyming-Merlebach

text: Pendant les Trente glorieuses (1945-1975), de nombreux travailleurs étrangers principalement originaires d'Italie, du Maghreb et d'Europe de l'Est viennent travailler dans cette commune du Bassin houiller lorrain.


title: Freyming-Merlebach

text: En 1973, le premier choc pétrolier donne un espoir de nouveau développement aux activités minières de la ville. On y trouve en effet, à cette date, plusieurs générations de mines de houille de plus en plus profondes ; en particulier le "Puits V" et le "puits de Cuvelette" ramènent trois tonnes de charbon par jour et par mineur, extraits à sous terre (dans un contexte de "dressants", exploité à la dynamite). Un tract des mineurs rassure donc les Français, expliquant que ces puits et celui de Faulquemont peuvent les « chauffer jusqu'en l'an 2000 ».


title: Freyming-Merlebach

text: "Le chiffre pour 2006 correspond à la population légale issue du recensement INSEE." "Les chiffres antérieurs à la fusion des deux communes en 1971 correspondent à la population de Freyming".


title: Freyming-Merlebach

text: La commune administre plusieurs établissements scolaires. Il y a dix écoles primaires dont une privée, un collège et quatre lycées dont un privé.


title: Freyming-Merlebach

text: Jusqu'au , le département y administrait deux collèges : le collège Alain-Fournier (classé ZEP) dans le quartier de Freyming, et le collège Albert-Camus dans le quartier de Merlebach. Depuis le , ces deux établissements ont fusionné et forment le collège Claudie-Haigneré inauguré le en sa présence.


title: Freyming-Merlebach

text: Il existe sur la commune un institut pour enfants polyhandicapés ainsi qu'une maison d'accueil spécialisée pour adultes polyhandicapés, une maison de retraite et deux foyers logements. Une deuxième maison de retraite devrait être construite en 2016 ainsi qu'un foyer d'accueil médicalisé pour personnes handicapées vieillissantes. Ces équipements sont gérés par l'AOFPAH.


title: Freyming-Merlebach

text: L'Espace Théodore Gouvy de Freyming-Merlebach, ouvert depuis avril 2017 se situe derrière la Mairie au 1 Place des Alliés.


title: Freyming-Merlebach

text: La Maison des cultures et des frontières (bibliothèque prochainement transformée en médiathèque, espace arts plastiques, espace scénique…) propose des spectacles de théâtre et des animations.


title: Freyming-Merlebach

text: Appelée aussi carrière de Freyming-Merlebach, elle est située entre les communes de Freyming-Merlebach, de L'Hôpital, de Saint-Avold et la forêt de Karlsbrunn le long de la frontière allemande. L'ancienne carrière de grès et de sable longe l'espace naturel de la forêt du Warndt classé "Natura 2000" côté allemand. Elle est la plus grande de tout le bassin houiller lorrain. Elle est bordée côté sud de l'ancien terril de la mine de charbon de Sainte-Fontaine. Exploitée de 1920 à 2001 pour remblayer les vides laissés par l'exploitation charbonnière, elle se présente comme un profond canyon, long de et large de . Le fond est occupé par divers plans d'eau dus aux remontées de la nappe phréatique. La roche se présente comme un grès bigarré triasique friable. Après la fin de l'exploitation charbonnière dans le bassin houiller de Lorraine, le site a été mis en sécurité, renaturé par la société des Charbonnages de France de 2001 à 2004 et ouvert au public le . La nature y reprend lentement ses droits.


title: Freyming-Merlebach

text: La carrière permet la découverte de paysages surprenants le long de parcours aménagés. Plusieurs chemins, pistes cyclables, deux belvédères, 23 panneaux d'information permettent de découvrir la richesse de cet espace renaturé. La Directive Territoriale des Bassins Miniers Nord Lorrains précise que soit conservé un corridor écologique entre les forêts allemandes et françaises.


title: Freyming-Merlebach

text: Le GECNAL (Groupement d'étude et de conservation de la nature en Lorraine) du Warndt y observe une faune et une flore protégée. Des espèces rares y trouvent refuge (sérotine de Nilsson, pélobate brun, crapaud vert, grand-duc d'Europe, blongios nain, butor étoilé…) dans les espaces humides, les falaises et les landes de sable à nu. On y observe des insectes rares (œdipode aigue-marine, agrion nain, sympétrum noir…). Des visites guidées y sont organisées par les associations locales et l'office du tourisme de Freyming-Merlebach.


title: Freyming-Merlebach

text: L'accès est interdit à tout véhicule à moteur, les espaces sont protégés. La carrière est ouverte au public, des visites guidées et des balades y sont organisées régulièrement avec l'office de tourisme.


title: Iris Bry

text: Alors qu'elle prépare un BP de libraire, Iris Bry est repérée par hasard dans la rue par Karen Hottois, une directrice de casting qui lui fait faire des essais. Le réalisateur Xavier Beauvois décide alors de lui confier l'un des rôles principaux de son film "Les Gardiennes". À l'occasion de la sortie du film, plusieurs médias saluent le talent d'Iris Bry auprès de ses partenaires Laura Smet et Nathalie Baye. Sa prestation lui vaut d'être nommée au Lumière de la révélation féminine et au César du meilleur espoir féminin.


title: Mahamadou Bonkoungou

text: Mahamadou Bonkoungou, né le à Dédougou (Burkina Faso), est une entrepreneur burkinabè. Il a été actif dans le commerce, dans l'électroménager, dans l'or, puis, depuis 1988, avec EBOMAF (entreprise Bonkoungou Mahamadou et fils). Cette entreprise se tourne 10 ans plus tard vers le BTP. Il devient peu à peu entrepreneur du bâtiment dans plusieurs pays dAfrique de l'ouest (Burkina, Bénin, Guinée, Togo et Côte d'Ivoire). Il est aussi le PDG du groupe EBOMAF (spécialiste dans le BTP en Afrique).


title: Mahamadou Bonkoungou

text: Mahamadou Bonkoungou effectue l'essentiel de ses cycles scolaires entre Dédougou, Bobo-Dioulasso et Ouagadougou. Après l'obtention d'un Baccalauréat B, il se lance dans le commerce, entre Lomé, Monrovia, Lagos et Ouagadougou, où il avait une boutique. Il a vendu des cassettes, des groupes électrogènes, des appareils de musique et autres produits.


title: Mahamadou Bonkoungou

text: Mahamadou Bonkoungo s’est ensuite lancé dans le commerce de l’or avec la mine de Kalsaka dans la province du Yatenga. Il rachetait aux orpailleurs le métal précieux à l’état brut, qu’il emportait ensuite vers Cotonou pour les vendre. Il revenait ensuite avec des pièces détachées de motos et des appareils électroménagers. Il s’est donc fait connu dans sa ville de Yako à l’époque pour ces différentes activités qu’il a exercé pendant plusieurs années.


title: Mahamadou Bonkoungou

text: Vers la fin des années 1990, il se lance dans le BTP, puis gagne des marchés croissants dans plusieurs pays francophones d'Afrique de l'ouest.


title: Mahamadou Bonkoungou

text: Bien qu’il s’en défende, Mahamadou Bonkoungou est proche de Faure Gnassingbé, Patrice Talon, George Weah, Alassane Ouattara ou encore Umaro Sissoco Embaló.


title: Mahamadou Bonkoungou

text: Sur l'année 2019, EBOMAF a réalisé un chiffre d’affaires global de plus de 1 milliard d’euros. Et, à la fin de 2019, son carnet de commandes affichait près de 1.000 milliards de F CFA (1,5 Mds euros) de projets routiers et aéroportuaires. Si l’entrepreneur se défend d’entretenir des relations directes avec les chefs d’État de la zone, son agenda prouve le contraire.


title: Mahamadou Bonkoungou

text: Il possède une compagnie aérienne privée, LTA, pour Lisa Transport International. Il possède aussi un Falcon X7, qu'il a prêté à Faure Gnassingbé.


title: Mahamadou Bonkoungou

text: En Aout 2021, il prend le contrôle de la Banque Togolaise pour le Commerce et l'Industrie (BTCI) avec une vingtaine d'agences et 70.000 clients, à travers sa IB Holding. La IB Holding est un instrument doté de 30 milliards de FCFA (45 millions d'€). Elle est dirigée par le banquier marocain Nabil Tahari. Elle a aussi des participations dans la banque à Djibouti.


title: Mahamadou Bonkoungou

text: En septembre 2021, MB réclame 20 millions d'€ à l'état de Guinée dans le cadre d'un projet de construction de routes.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: L'histoire du calcul infinitésimal remonte à l'Antiquité. Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Archimède, Thābit ibn Qurra, Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: La notion de nombre dérivé a vu le jour au dans les écrits de Leibniz et de Newton qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Le domaine mathématique de l'analyse numérique connut dans la seconde moitié du une avancée prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral, traitant notamment de la notion d"'infiniment petit" et de son rapport avec les sommes dites "intégrales".


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du , a le premier mené des études sur la notion de "tangente à une courbe" – lui-même les appelait « touchantes ». Le marquis de l'Hospital contribue à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: John Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui portent son nom), contribue également à l'essor de l'analyse différentielle.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d"'infiniment petit" introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement – sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose un problème : formula_1 n'est pas encore construit formellement (voir Construction des nombres réels). C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: C'est à Lagrange (fin du ) qu'est due la notation formula_2, dès lors usuelle, pour désigner le nombre dérivé de formula_3 en formula_4. C'est aussi lui qui définit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: La méthode d'exhaustion est connue d'Archimède ; à la suite de la découverte d'un palimpseste contenant le traité appelé "La Méthode", on sait qu'il possédait également une forme rudimentaire d'intégration, reposant sur une variante du principe de Cavalieri.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Bien que sa conception du calcul infinitésimal soit naïve, les idées de Thābit ibn Qurra ont été la clé du développement du calcul différentiel et intégral à la Renaissance européenne.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: En Europe, au , deux problèmes passionnent les mathématiciens : celui de la tangente et celui des quadratures. Le premier consiste à retrouver, à partir d’une courbe quelconque, les différentes tangentes à la courbe. Le second réside dans le calcul de l'aire engendrée par une courbe. Plusieurs méthodes furent mises au point : la méthode des indivisibles, la méthode de la normale de Descartes, la méthode d'adégalisation de Fermat. C'est cette dernière méthode qui fut systématisée par le langage du calcul infinitésimal.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: En Italie, dès 1620, Cavalieri développe la méthode des indivisibles, poursuivie par Torricelli (1643), puis l'école de Padoue.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: À la mort de Cavalieri en 1647, Pietro Mengoli prend sa succession pour 39 ans. Avec Stefano degli Angeli, il développe l'essentiel du calcul pour les séries (en particulier celle de formula_5). Toute l'Europe accourt. En particulier, Gregory, élève de 1664 à 1668, ramènera en Angleterre la formule de Gregory-Leibniz.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Pascal de son côté, mène une réflexion approfondie, d'un point de vue philosophique, sur le concept d'infini ; son ouvrage, le "Traité de la roulette", paraît en 1659. Wallis produit l" Arithmetica Infinitorum" (Oxford, 1655) et popularise le symbole formula_6, ainsi que l'infinitésimal formula_7. Barrow enseigne Newton à Cambridge en 1661. En 1634, Roberval donne la quadrature de la cycloïde, et la tangente.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: En 1636, Fermat livre une méthode générale de détermination des tangentes, utilisant à cette fin la méthode d'adégalisation (mot emprunté à Diophante).


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Celle-ci consiste à considérer l'équation formula_8, à ôter formula_9 aux deux membres, à simplifier par e l'équation obtenue, puis à poser e = 0 dans l'équation simplifiée.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Fermat affirma « il est impossible de donner une méthode plus générale » et « cette méthode ne trompe jamais, et peut s’étendre à nombre de questions très belles ». Il donne plusieurs exemples d'applications (parabole, cycloïde, etc.).


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Une importante controverse eut lieu avec Descartes qui avait lui-même publié ses propres méthodes de détermination des tangentes.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Le raisonnement de Fermat n’étant pas encore bien compris au milieu du , Huygens présenta à l’Académie des sciences, en 1667, une communication dans laquelle il expliquait la méthode du savant toulousain ; il y mentionnait que e est une « quantité infiniment petite », en utilisant pour la première fois, d’ailleurs, l'expression « infiniment petit ».


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Newton est considéré comme l’un des fondateurs du calcul infinitésimal. S’inspirant de Descartes et Wallis dont il avait lu les écrits, il se pose en effet le problème des tangentes qu’il relie rapidement à celui de la quadrature. Cependant, il écrit assez peu sur ce sujet (seulement trois écrits) et publie très tard par peur des critiques.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Dès 1669, Newton, s’inspirant de Wallis et Barrow, relie le problème de la quadrature à celui des tangentes : la dérivée est la procédure inverse de l'intégration. Il s’intéresse aux variations infinitésimales des quantités mathématiques et l’aire "engendrée" par ces "mouvements". Sa méthode la plus célèbre reste celle des fluxions. Très influencé par son travail de physicien, il considère les quantités mathématiques comme engendrées « par une augmentation continuelle » et les compare à l’espace engendré par les « corps en mouvement ». Dans le même esprit, il introduit le temps en tant que variable universelle et définit les fluxions et les fluentes. Les fluentes (x, y, z…) sont des quantités « augmentées graduellement et indéfiniment », et les fluxions (formula_11) « les vitesses dont les fluentes sont augmentées ». Il se pose le problème « Étant donné les relations entre les quantités fluentes, retrouver la relation entre leurs fluxions. ».


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: L’intuition est correcte, mais manque de conviction. Newton voudrait se débarrasser des quantités infinitésimales qu’il n’arrive pas à baser sur des principes rigoureux. Dans sa méthode « des premières et dernières raisons », il se contentera des rapports entre fluxions, ce qui lui permettra d’éviter de « négliger » des termes, laissant le terme formula_13 « s’évanouir » dans le rapport. Il se rapproche alors de notre notion actuelle de limite, comparant cela à l’idée de « vitesse instantanée » d’un corps. Non pas celle qu’il a avant d’arriver, ni celle qu’il a après, mais celle qu’il a au moment où il arrive. Dans "Principia", il exprime ainsi sa pensée :


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: « Les rapports ultimes dans lesquels les quantités disparaissent ne sont pas réellement des rapports de quantités ultimes, mais les limites vers lesquels les rapports de quantités, décroissant sans limite, s’en approchent toujours : et vers lesquels ils peuvent s’en approcher aussi près que l’on veut. » Il est surprenant de voir à quel point cette conception se rapproche de la définition même de la limite moderne : f(x) tend vers f(a) si étant donné ε positif quelconque, il existe α tel que :formula_28. Cependant, Newton ne généralise pas cette définition et sa notion de limite reste réservée aux rapports de fluxions, à ce qui se rapproche du calcul moderne de dérivées. Et même ainsi, il se trouve dans l’incapacité de fonder son calcul différentiel sur des bases rigoureuses. La notion de valeur infinitésimale est encore trop nouvelle et se trouve vivement critiquée, n’étant pour certains qu’un « fantôme de quantités disparues ».


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Leibniz est considéré comme le deuxième créateur du calcul ; il va en améliorer la notation et l'exposé. Leibniz est au départ un philosophe et ne découvre les mathématiques qu’en 1672, lorsqu’il rencontre Christian Huygens lors d’un voyage à Paris. Il s’inspire alors des œuvres de Descartes, de Pascal, de Wallis et d’autres. Très vite, il fait le lien entre le problème des tangentes et celui de la quadrature en remarquant que le problème de la tangente dépend du rapport des « différences » des ordonnées et des abscisses et celui de la quadrature, de la « somme » des ordonnées. Lors de son travail sur les combinatoires, il observe en effet ceci :


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Son travail en philosophie le pousse à considérer les différences infiniment petites et il tire bientôt la conclusion :


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: En effet, Leibniz émet à la même époque l’hypothèse philosophique de l’existence de composants infiniment petits de l’univers. Tout ce que nous percevons n’étant que la somme de ces éléments. Le rapport avec ces recherches mathématiques est direct. Il explique parfois aussi ces éléments infinitésimaux en faisant une analogie avec la géométrie : le "dx" est au "x", ce que le point est à la droite. Ce qui le pousse dans l’hypothèse de l’impossibilité de comparer des valeurs différentielles à de « vraies » valeurs. Tout comme Newton, il privilégiera les comparaisons entre rapports.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: La notation claire et pratique qu’il met en place permet des calculs rapides et simples. S’intéressant au rapport formula_29, il l’identifie au coefficient directeur de la tangente, se justifiant par l’étude du triangle formé par une portion infiniment petite de la tangente et deux portions infiniment petites des parallèles aux axes de l'abscisse et de l'ordonnée. Ainsi, il exprime par exemple le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de formula_30 :


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Il résout aussi les problèmes formula_34, formula_35, formula_36 et formula_37 dans l’optique de créer une véritable algèbre des infiniment petits. Mais il subit de nombreuses critiques, semblables à celle que l’on fit à Newton et que Descartes fit à Fermat : pour quelle raison négliger les infinitésimaux dans le résultat final ? Et s’ils sont égaux à 0, comment peut-on calculer leur rapport ? Lui-même a du mal à baser sa théorie sur des concepts solides et a tendance à considérer les valeurs infinitésimales comme des outils, au même titre que les nombres imaginaires, qui « n’existeraient » pas vraiment. Mais même ainsi, ses détracteurs restent nombreux.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Dans les "Acta Eruditorum", Leibniz pourra efficacement promouvoir son calcul (1684). Les Bernoulli puis Euler sauront faire bon usage de sa notation, prouvant l'efficacité opérationnelle du langage différentiel.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: En France, avec Huygens, Rolle et Varignon, l'analyse gagne prudemment ses galons, mais ne se développera fortement que lorsque le cercle autour de Malebranche entrera à l'Académie des sciences (1699).


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Qui de Newton et Leibniz a l'antériorité ? La question n'a pas de sens posée ainsi : la recherche est œuvre collective. L'invention du calcul infinitésimal intègre différentes innovations d'auteurs variés. On peut ainsi distinguer :


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: En 1700, le calcul est encore loin d'être accepté : Michel Rolle et George Berkeley le critiquent. Ce que critique Rolle est le manque de nouveauté de la chose :


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: En fait, Newton et Leibniz introduisent dans les mondes anglo-saxon et germanique les règles de détermination des tangentes déjà connues en France grâce à Fermat, mais selon une forme différente. Le calcul a été refondé sur des bases solides au , avec l'introduction de la notion de limite. Avec Euler, les mathématiques et la physique mathématique vont exploser. Le calcul est vrai « expérimentalement ». Mais le va fourmiller d'ouvrages critiques, visant à le « justifier » (on citera l'étude de Lazare Carnot et surtout les avertissements de Lagrange).


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: En 1711, la Royal Society accusera Leibniz d’avoir copié l’œuvre de Newton, jusqu'à proclamer Newton inventeur de la méthode. S’ensuivront de nombreuses disputes et des attaques personnelles entre les deux hommes. Il y a aussi peut-être quelques considérations de prestige national qui entrèrent alors en ligne de compte.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Ce n’est qu’au que le concept de limite sera véritablement explicité. Et c’est seulement ainsi que le calcul différentiel pourra vraiment se développer. Car ce ne sont pas sur des rapports que travaillent Newton et Leibniz, mais bien sur des limites de rapport, et c’est ce concept qui est la base de tout le reste. C’est à cette époque que le nombre réel comme nous le connaissons de façon moderne est introduit chez les mathématiciens.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Avant le , cette conception n'est pas totalement clarifiée, ce qui empêche de fonder la limite sur des bases rigoureuses, même si l'intuition est là. Leibniz, par exemple, l'exprime sous forme d'analogie , ce qui permet de saisir l'idée; comme l'opération de passage à la limite est notée grâce à la préfixation en "d" qu'il introduit, cela permet de ne pas mélanger les ordres de grandeur, et la mise en rapport fonctionne parce que la limite d'un rapport de deux fonctions est équivalente au rapport des limites de ces deux fonctions. Mais la conception du nombre est encore très inspirée de la vision euclidienne, d'où certaines difficultés de compréhension formelle.


title: Histoire du calcul infinitésimal

text: Sans la caractérisation de la densité et du caractère intrinsèquement infini des réels, le concept de limite ne pouvait voir le jour. Il reviendra à Cauchy et Weierstrass de préciser la notion de limite et continuité. L'analyse classique peut enfin débuter avec un formalisme adéquat.


title: Tandem

text: Les deux cyclistes pédalent à la même cadence car, sur la plupart des modèles, leurs pédaliers respectifs sont reliés par une chaîne montée sur des plateaux de taille identique, situés du côté opposé à la chaîne de transmission de leurs efforts vers la roue arrière. Il existe quelques modèles qui possèdent une roue libre au niveau des pédaliers, permettant de désynchroniser le pédalage. Le cycliste situé à l'arrière dispose de plus d'un guidon fixe monté directement sur le cadre ou sur le tube de selle du pilote. L'efficacité du "tandem" est plus grande que celle d'un vélo : les efforts combinés des deux cyclistes ne sont freinés que par la résistance à l'air d'un seul d'entre eux, et par la résistance au roulement des deux roues de l'engin. Cette efficacité est surtout sensible sur des terrains roulants. En côte, le tandem est moins performant que le vélo classique du fait des contraintes liées à la synchronisation des cyclistes, les forces aérodynamiques et de frottement mécanique étant faibles devant le poids du couple tandem-cyclistes dans ces conditions.


title: Tandem

text: En raison de la possibilité pour le cycliste situé à l'arrière de ne pas avoir à se préoccuper du guidage de l'engin, il est fréquemment utilisé par les aveugles, qui peuvent ainsi pratiquer le cyclisme en binôme.


title: Tandem

text: Le tandem a connu son heure de gloire dans les années 1930, lorsque les congés payés furent instaurés : il permettait aux couples d'ouvriers ne pouvant pas s'offrir le luxe d'une automobile de se promener ensemble sur les routes.


title: Tandem

text: L'expression « travailler en tandem » tire son origine du nom de l'engin, en faisant référence à l'efficacité du duo de cyclistes.


title: Tandem

text: De même que le vélo, le tandem a évolué et s'est diversifié en fonction des usages qu'on lui réserve. Ainsi, il existe des tandems de VTT et des tandems couchés. Par ailleurs, il en existe des versions sur lesquelles les cyclistes sont côte à côte, ainsi que des versions à trois ou quatre places (triplette, quadruplette), voire plus. Il existe également des tandems courts de la longueur d'une bicyclette classique et dont la deuxième personne est assise à la place du porte bagage . Il a également figuré parmi les épreuves de cyclisme aux Jeux olympiques, de 1908 à 1972.


title: Tandem

text: D'origine anglaise, le nom est un emprunt au latin "tandem", qui signifie « enfin ». Le mot "tandem" était utilisé dans l'argot étudiant anglais pour exprimer l'idée de longueur.


title: Tandem

text: Les étudiants raillaient les carrosses des personnes huppées, attelés d'une double colonne de chevaux, l'une à l'avant, et l'autre à l'arrière. Ces hippomobiles devenaient irraisonnablement longues. Le jeu des étudiants aurait été alors de crier « Tandem ! », soit « Enfin ! », quand la dernière rangée de chevaux était passée devant eux. Le propriétaire était ridiculisé et les chevaux effrayés. « Tandem » désigna alors argotiquement ces attelages, puis au fur et à mesure a désigné un cabriolet à deux chevaux attelés en flèche. Toutefois, on peut trouver une autre explication dans des traités sur les attelages hippomobiles : l'attelage de deux chevaux en flèche (« à la Tandem ») aurait été popularisé par un écuyer anglais du , Lord Tandem. Mais l'existence de Lord Tandem ne semble pas avérée. Le sens actuel est attesté en 1884. Le double attelage a laissé place à un double pédalier...


title: Tandem

text: La puissance développée par les deux cyclistes impose aux tandems des contraintes mécaniques différentes de celles des vélos simples.


title: Tandem

text: Pour apporter la force de pédalage du pilote (capitaine) vers la roue arrière, plusieurs solutions ont été apportées : la plus populaire est de relier le pédalier du pilote au pédalier du stoker par une chaîne tendue sur le côté gauche du vélo. Cette technique peu onéreuse exige une parfaite synchronisation entre la fréquence de pédalage du premier et du deuxième cycliste. Cette méthode est très exigeante sur la solidité de l'axe de pédalier du stoker. Le système comprend donc deux chaînes : l'une reliant les deux pédaliers et l'autre reliant le pédalier du stoker à la roue arrière. À cause des tensions qu'elle provoquait sur le deuxième axe de pédalier, on a déplacé cette chaîne du côté droit en ajoutant un plateau supplémentaire au pédalier du stoker.


title: Tandem

text: Une solution plus marginale consiste à relier le premier pédalier à la roue arrière puis une deuxième chaîne reliant cette même roue arrière au deuxième pédalier. Pour éviter l'effet de synchronisation de pédalage, certains incorporent une roue libre au niveau des axes de pédaliers ce qui autorise un cycliste à pédaler pendant que l'autre reste au repos.


title: Tandem

text: Le pédalier avant possède le même nombre de dents que le pédalier gauche du stoker. Ceci est tout à fait indispensable pour maintenir une fréquence de pédalage identique. La chaîne qui relie les deux pédaliers est tendue grâce à un système appelé excentrique placé sur le pédalier avant. Une autre méthode est d'employer un système similaire au système anti-déraillement utilisé en freeride.


title: Tandem

text: Le pédalier « droit » du stoker est traditionnel, mis à part le grand plateau qui est souvent plus grand que sur les vélo classiques car sur le plat et en descente le tandem roule plus rapidement.


title: Tandem

text: Le poids supporté par les roues étant deux fois plus important, il est nécessaire d'utiliser des roues solides et rigides. En utilisation tout terrain la jante sera choisie parmi celles destinées à la descente et au freeride tandis que les rayons seront montés de façon asymétrique pour permettre de centrer le gros moyeux robuste spécial tandem.


title: Tandem

text: En utilisation de route ou tout chemin, la fourche avant ne diffère du modèle standard que par sa solidité supplémentaire.


title: Tandem

text: En utilisation tout terrain, la fourche subit beaucoup plus de contraintes car non seulement elle doit supporter le poids de deux personnes au lieu d'une, mais en plus elle subit de plein fouet les chocs puisque le pilote ne peut pas soulever l'avant du tandem.


title: Tandem

text: Dès lors les fourches à amortisseur pour tandem tout terrain ont des plongeurs de ou sont de format « double T ». Le débattement est souvent plus important (un minimum de est à prévoir) et l'axe central de la roue est de pour les mêmes raison de rigidité.


title: École polytechnique de Milan

text: Le Politecnico di Milano, dont la traduction littérale française est École polytechnique de Milan, est une école d'ingénieurs italienne, située à Milan, consacrée aux sciences, à la technologie et au design.


title: École polytechnique de Milan

text: L'école "Politecnico di Milano" a été fondée le à l'initiative du professeur Francesco Brioschi, alors secrétaire d'état à l’instruction publique. La première promotion comptait . Elle a pour but de former des ingénieurs, des architectes et des dessinateurs industriels. Elle délivre des diplômes académiques. Son siège actuel se trouve place Léonard-de-Vinci (dans la zone Città studi), mais il existe d'autres sites à Milan, Lecco, Mantoue et Plaisance. Son siège historique était rue del Vecchio Politecnico.


title: Evergrande Group

text: Evergrande Group ( en chinois, auparavant Hengda Real Estate Group) est le deuxième promoteur immobilier chinois. Ses activités se sont étendues à d'autres secteurs, dont les centres commerciaux qui ont été affectés par la pandémie de Covid-19.


title: Evergrande Group

text: Au printemps 2020, les autorités chinoises ont durci les réglementations et l'accès au crédit afin de lutter contre la spéculation immobilière. Mis en difficulté, le groupe s'est lancé dans des baisses de prix importantes et la vente d'actions. Cela n'a pas suffi à résoudre son problème d'endettement et le ralentissement des ventes immobilières de 2021 a mis le groupe en difficulté. En 2021, le groupe est lourdement endetté, avec un peu moins de 40 milliards de dollars de dette à court terme. Il annonce plusieurs ventes d'actifs pour améliorer ses finances.


title: Evergrande Group

text: Le géant de la construction a en chantier plus d’un million de logements qui ont déjà été payés par des personnes généralement issues de la classe moyenne chinoise, aussi ces clients et investisseurs craignent-ils d’être spoliés.


title: Evergrande Group

text: Les difficultés d'Evergrande soulèvent des inquiétudes relatives à d'autres entreprises de l'immobilier, comme et Fantasia Holdings, elles aussi en difficultés.


title: Evergrande Group

text: Depuis le , deux agences de notation, Standard & Poor’s et , ont dégradé sa note d'emprunteur sur les marchés financiers, faisant passer Evergrande dans la catégorie des emprunteurs à risque élevé, ce qui . Les agences Moody's et Fitch ont fait de même en septembre 2021.