title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Si, parmi les centaines de théorèmes de point fixe, celui de Brouwer est particulièrement célèbre, c'est en partie parce qu'il est utilisé dans de nombreuses branches mathématiques. Dans sa branche d'origine, ce résultat est l'un des théorèmes clés caractérisant la topologie d'un espace euclidien, comme le théorème de Jordan, celui de la boule chevelue ou de Borsuk-Ulam. À ce titre, il est un des théorèmes fondamentaux de la topologie. Ce théorème intervient aussi pour établir des résultats fins sur les équations différentielles ; il est présent dans les cours élémentaires de géométrie différentielle. Il apparaît dans des branches plus inattendues, comme la théorie des jeux, où John Nash l'utilise pour montrer l'existence d'un équilibre pour un jeu de "n" personnes avec stratégies mixtes.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Historiquement, le théorème est étudié à la suite de travaux sur les équations différentielles de mathématiciens français comme Poincaré et Picard. Démontrer des résultats comme le théorème de Poincaré-Bendixson demande l'usage d'outils de topologie. Ces études de la fin du débouchent sur plusieurs versions successives du théorème ; en 1912, Luitzen Egbertus Jan Brouwer en propose une démonstration générale, établissant à nouveau un résultat déjà prouvé par Hadamard en 1910.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Il existe plusieurs formes du théorème, selon le contexte d'utilisation. La plus simple est parfois donnée sous la forme suivante :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: L'origine de ce théorème proviendrait de l'observation d'une tasse de café par Brouwer. Quand on mélange son sucre, il semble qu'il y ait toujours un point immobile. Il en déduit que : . Le point fixe n'est pas nécessairement celui qui semble immobile car le centre du tourbillon bouge un petit peu. Le résultat n'est pas intuitif, car le point initialement fixe aura peut-être bougé, mais un autre point fixe apparaîtra.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Brouwer aurait ajouté : . Quand Brouwer "aplatit" sa feuille froissée, il ne la déplie pas, il l'écrase, comme à l'aide d'un fer à repasser.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: En dimension un, le résultat est à la fois intuitif et aisé à démontrer. On note ["a", "b"] le domaine de définition de "f". La fonction "f" est continue et à valeurs dans le même segment. Dire que cette fonction "f" admet un point fixe, revient à dire que son graphe (en bleu-gris sur la figure de droite et choisi dans ce cas égal à celui de la fonction cosinus sur l'intervalle [0, 1]) croise celui de la fonction définie sur ["a", "b"], qui à "x" associe "x" (en vert sur la figure de droite).


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Intuitivement, une ligne (en noir) qui part d'un côté d'un carré (en bleu) pour rejoindre le côté opposé (en rouge) croise nécessairement les diagonales et en particulier la verte sur la figure.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Une démonstration n'est pas difficile à établir. Considérons la fonction continue "x" ↦ "f"("x") – "x". Elle est positive en "a", négative en "b". Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'elle possède un zéro dans ["a", "b"]. Ce zéro est un point fixe de "f".


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: En dimension deux, si "K", le domaine de définition de "f" est d'intérieur vide, c'est un segment. Sinon, "K" est « semblable » à une boule unité fermée de R, pour une norme arbitraire. Le terme « semblable » signifie qu'il existe un homéomorphisme φ de la boule unité vers "K". En notant "h" l'application continue φ∘"f"∘φ de la boule unité dans elle-même, les points fixes de "f" sont exactement les images par φ des points fixes de "h". Autrement dit, on peut sans perte de généralité supposer que "K" est la boule unité fermée, pour la norme qui associe à tout vecteur du plan la plus grande valeur absolue de ses deux coordonnées, c'est-à-dire que "K" est l'ensemble [–1, 1]×[–1, 1].


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Si l'on définit la fonction "g" comme celle qui à "x" associe "h"("x") – "x", un point fixe de "h" est un point de [–1, 1]×[–1, 1] en lequel la fonction "g" atteint le vecteur nul, c'est-à-dire en lequel les deux composantes "g" et "g" de "g" s'annulent simultanément.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Un « raisonnement » intuitif incite à penser que l'existence d'un tel point est plausible : la fonction "g" est une fonction de [–1, 1]×[–1, 1] dans R. Elle peut s'interpréter comme une carte d'une région, qui en chaque point donne l'altitude (illustrée sur la première figure à droite). Sur la zone {–1}×[–1, 1], cette altitude est positive (en rouge sur la figure), en revanche sur {1}×[–1, 1], elle est négative (en bleu sur la figure). Ceci « laisse penser que » la « courbe » de niveau 0 est une ligne (en vert sur la figure) qui part d'un point [–1, 1]×{1} pour finir sur un point de [–1, 1]×{–1}, mais cette intuition est fausse : la zone verte n'est pas nécessairement une ligne ni même une partie connexe. Le même « raisonnement » appliqué à "g" « laisse penser que » la courbe de niveau 0 serait cette fois-ci une ligne partant d'un point de {–1}×[–1, 1] pour terminer sur un point de {1}×[–1, 1] (illustré sur la deuxième figure, la ligne est en jaune).


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: L'« évidence » intuitive que ces deux hypothétiques « lignes » de niveaux (en vert et en jaune) doivent nécessairement se croiser (ce point de croisement étant alors un point fixe de "h") est donc une fausse piste.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Le paragraphe précédent se généralise à toute dimension finie, autant dans son raisonnement rigoureux du début que dans ses fausses intuitions de la suite.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Illustrons ces dernières en dimension 3. L'objectif est toujours de tenter de se persuader à peu de frais de la véracité du théorème de Poincaré-Miranda, c'est-à-dire de l'existence d'un zéro de la fonction "g", qui maintenant possède trois coordonnées.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: La première coordonnée est positive sur la face gauche du cube et négative sur la face droite. « Il y a tout lieu de penser que » la zone des zéros contient une « nappe », illustrée en bleu sur la figure de droite. Cette « nappe » couperait le cube en au moins deux composantes connexes, l'une contenant une portion de la face de droite l'autre celle de gauche. Si l'axe des "y" décrit la direction « devant-derrière » le même « raisonnement » « laisse penser à » l'existence d'une « nappe », en vert sur la figure, qui couperait encore en au moins deux composantes connexes le cube. L'intersection des deux « nappes » contiendrait « probablement » une « ligne », en jaune sur la figure, partant de la face du haut pour rejoindre celle du bas. La troisième composante de "g" décrirait, cette fois-ci, une « nappe » en rouge sur la figure. Cette « nappe » « semble » croiser « nécessairement » la ligne jaune. Ce point d'intersection serait un point fixe recherché.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Comprendre la préhistoire du théorème du point fixe de Brouwer impose un passage par une équation différentielle. À la fin du , une vieille question focalise à nouveau l'attention de la communauté mathématique, celle de la stabilité du système solaire. La résoudre suppose la mise au point de nouvelles méthodes. Comme le fait remarquer Henri Poincaré, qui étudie le problème des trois corps, la recherche d'une solution exacte est vaine : . Ce mathématicien remarque aussi que la recherche d'une solution approchée n'est pas plus efficace : .


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Il étudie une question analogue à celle du mouvement de la surface d'une tasse de café. Que peut-on dire, en général, des trajectoires d'une surface animée par un courant constant ? Poincaré découvre que la réponse réside dans ce que l'on appelle maintenant les propriétés topologiques de la zone contenant la trajectoire. Si cette zone est compacte, c'est-à-dire à la fois fermée et bornée, soit la trajectoire s'immobilise, soit elle s'approche de plus en plus d'une boucle qu'elle parcourt indéfiniment. Poincaré va plus loin, si la zone est de même nature que celle d'un disque, comme c'est le cas pour la tasse de café, il existe nécessairement un point fixe. Ce point fixe est invariant par toutes les fonctions qui, à chaque point de la surface initiale, associent sa position au bout d'une période "t". Si cette zone correspond à une bande circulaire ou si elle n'est pas fermée, ce n'est pas nécessairement le cas.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Pour mieux comprendre l'équation différentielle, une nouvelle branche des mathématiques voit le jour. Poincaré l'appelle l"'analysis situs", l"Encyclopædia Universalis "la définit comme celle qui . Dès 1886, Poincaré établit un résultat dont on sait aujourd'hui qu'il équivaut au théorème du point fixe de Brouwer. Un peu plus tard, il développe l'un des outils de base pour mieux comprendre l'analysis situs, que l'on appelle maintenant le groupe fondamental ou le groupe de Poincaré. Cette méthode est utilisée dans une des démonstrations du théorème présentées dans l'article.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Par certains côtés, l'approche de Poincaré est analogue à celle d'Émile Picard, un mathématicien contemporain qui généralise le théorème de Cauchy-Lipschitz. La démarche de Picard s'appuie sur un résultat qui sera formalisé plus tard par un autre théorème du point fixe, dit de Banach. Ce théorème ne s'appuie pas sur les propriétés topologiques du domaine de définition, mais sur le fait que la fonction étudiée est contractante.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: À l'aube du , l'intérêt de l'analysis situs n'est pas passé inaperçu. En revanche, la nécessité d'un théorème équivalent à celui de l'article n'est pas encore évidente. Piers Bohl, un mathématicien live, applique des méthodes topologiques pour étudier des équations différentielles. Il démontre en 1904 le résultat de l'article pour la dimension trois ; son texte passe inaperçu.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: C'est finalement Brouwer, qui donne à ce théorème ses premières lettres de noblesse. Ses objectifs sont différents de ceux de Poincaré. Ce mathématicien est passionné par les fondements des mathématiques, essentiellement la logique et la topologie. Son intérêt initial réside dans une tentative de résolution du cinquième problème de Hilbert. En 1909, lors d'un voyage à Paris, il rencontre Poincaré, Hadamard et Borel. Les discussions qui s'ensuivent convainquent Brouwer de l'importance de mieux comprendre la topologie des espaces euclidiens et est l'origine d'une fructueuse relation épistolaire avec Hadamard. Durant les quatre années à venir, il se concentre pour établir certains grands théorèmes sur cette question. Cette année-là, Brouwer démontre le théorème de la boule chevelue pour la sphère de dimension deux, ainsi que le fait que toute application continue de la boule de dimension deux dans elle-même possède un point fixe. Ces deux résultats en eux-mêmes ne sont pas véritablement des nouveautés. Comme lui fait remarquer Hadamard, un équivalent du théorème de la boule chevelue est déjà démontré par Poincaré. L'aspect révolutionnaire de l'approche de Brouwer consiste en l'usage systématique d'outils développés récemment comme l'homotopie, le concept de base du groupe de Poincaré. L'année suivante, Hadamard généralise le théorème de l'article à toute dimension finie, mais à l'aide de méthodes différentes. Hans Freudenthal commente ainsi les rôles respectifs : .


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: L'approche de Brouwer porte ses fruits ; en 1912, il trouve aussi une démonstration valable pour toute dimension finie, ainsi que d'autres théorèmes clé comme l'invariance de la dimension. Dans le contexte de ces travaux, Brouwer généralise aussi le théorème de Jordan à une dimension quelconque et établit les propriétés associées au degré d'une application. Cette branche des mathématiques, initialement imaginée par Poincaré et développée par Brouwer, change de nom. Dans les années 1930, l'analysis situs devient la topologie algébrique.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: La célébrité de Brouwer n'est pas uniquement la conséquence de ses travaux en topologie. Il est aussi auteur et ardent défenseur d'une manière de formaliser les mathématiques, appelée intuitionnisme, qui, à l'époque se voulait opposée au formalisme de la théorie des ensembles. Si Brouwer préfère des preuves fondées sur une démonstration constructive, paradoxalement, celles qui sont à l'origine de ses grands théorèmes de topologie ne le sont pas (l'algorithme publié par Herbert Scarf en 1967, basé sur le lemme de Sperner, ne fournit qu'un « point fixe approché »).


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Le théorème du point fixe de Brouwer s'avère fondamental, au moins à deux titres. Le développe de nombreux théorèmes de point fixe, et même une théorie sur cette question. Celui de Brouwer est probablement le plus important. Il est aussi l'un des théorèmes fondateurs de la topologie des variétés topologiques et est souvent utilisé pour la démonstration des autres résultats importants, comme le théorème de Jordan.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Par delà les théorèmes de point fixe exploitant le caractère contractant d'une fonction, ceux directement ou indirectement issus de celui de Brouwer sont nombreux. Il n'existe pas d'application continue d'une boule fermée d'un espace euclidien dans sa frontière, laissant invariante sa frontière. Dans le même ordre d'idées, le théorème de Borsuk-Ulam indique qu'une application continue de la sphère de dimension "n" dans R possède au moins deux points antipodaux de même image. Dans le cas de la dimension finie, le théorème du point fixe de Lefschetz établit en 1926 une méthode pour compter les points fixes. Le théorème du point fixe de Brouwer est généralisé en 1930 aux espaces de Banach. Cette généralisation porte le nom de théorème du point fixe de Schauder, résultat encore généralisé par Shizuo Kakutani aux fonctions multivoques.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: On ne rencontre pas uniquement le théorème ou ses avatars en topologie. Le théorème de Hartman-Grobman, qui établit la nature qualitative du comportement de certaines équations différentielles au voisinages de certains points d'équilibre, se démontre avec le théorème du point fixe de Brouwer. Sur le même sujet, le utilise aussi ce théorème de Brouwer pour sa démonstration. On trouve encore le théorème pour démontrer des existences de solutions à certaines équations aux dérivées partielles.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: D'autres domaines sont touchés. En théorie des jeux, le théorème de John Nash sur le jeu de Hex (dont la démonstration est astucieuse mais élémentaire) est en fait équivalent à celui de Brouwer. En économie, P. Bich précise que certaines généralisations du théorème montrent que son usage est utile pour .


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Les méthodes de démonstrations sont nombreuses. L'une particulièrement simple est l'œuvre de David Gale. Elle provient d'une analyse différente des résultats de Nash sur le jeu de Hex. La preuve présentée ici s'applique à la dimension 2, mais l'article original ne contient pas cette limitation.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: La topologie combinatoire est une autre méthode permettant de démontrer le théorème. Pendant les années 1920, les mathématiciens ont commencé à dégager des principes combinatoires liés au théorème de Brouwer (lemme de Sperner, lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz). Ces travaux offrirent à la fois de nouvelles démonstrations élégantes de ce théorème et l'amorce d'une théorie en combinatoire pour l'avenir.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: D'autres utilisent la géométrie différentielle. . L'usage de théorèmes puissants rend la démonstration plus facile. En géométrie différentielle, le théorème de Stokes implique directement celui du point fixe de Brouwer, pour les fonctions de classe "C". Une autre méthode consiste à faire appel à des théorèmes plus forts, comme celui de la boule chevelue ou de Borsuk-Ulam.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Néanmoins, pour Daniel Leborgne, les théorèmes comme celui du point fixe de Brouwer . En dimension 2, une preuve présentée ici utilise le groupe de Poincaré, qui se fonde sur la notion d'homotopie. Pour une dimension quelconque, la preuve se généralise ; la notion clé n'est plus l'homotopie mais l'homologie.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: En 1949, Nash réinvente le jeu de Hex et montre que la partie nulle y est impossible. Sa démonstration est équivalente au théorème de l'article. Une trentaine d'années plus tard, D. Gale s'en rend compte et montre que le jeu peut servir de démonstration élémentaire au résultat de Brouwer.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Le jeu a lieu sur un plateau composé d'hexagones. À la fin du jeu, certains hexagones sont recouverts par des jetons (rouges ou bleus sur la figure de gauche). Le camp des bleus est formé par les deux côtés du plateau signalés par une ligne bleue, les deux autres côtés (signalés par une ligne rouge) constituent le camp adverse. S'il est possible de tracer une ligne blanche qui ne quitte jamais la zone des hexagones bleus et qui relie les deux côtés bleus, les bleus ont gagné, comme illustré sur la figure de gauche. De même, s'il est possible de tracer une ligne blanche qui ne quitte jamais la zone des hexagones rouges et qui relie les deux côtés rouges, les rouges ont gagné. L'article Hex montre que si le plateau est rempli de jetons, le match nul est impossible, c'est-à-dire que, soit les hexagones rouges, soit les bleus, sont support d'une ligne blanche reliant les deux côtés d'un même camp. Cette propriété permet de démontrer le théorème de Brouwer.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Trouver un point fixe d'une fonction "f" de "K" dans "K" revient à trouver un zéro de la fonction "g", de "K" dans R, qui à "x" associe "f"("x") – "x". L'existence d'un tel zéro se prouve à l'aide du lemme suivant :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Ce lemme prouve que la borne inférieure sur "K" de la fonction ║"g"║ est nulle. Puisque cette fonction est continue et que "K" est compact, cette borne est atteinte, c'est-à-dire qu'il existe un point "m" de "K" tel que ║"g"("m")║ = 0, autrement dit tel que "g"("m") = 0, ce qui démontre le théorème.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Comme annoncé en préambule de cette section, la preuve présentée ici est spécifique à la dimension 2.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Ici, il est plus simple d'identifier le cercle avec les points du plan complexe de module 1 et le disque avec les points de modules inférieurs ou égaux à 1. Il existe une différence topologique entre le disque et le cercle. Soit un point "A" du disque et un lacet d'extrémités "A", c'est-à-dire un chemin continu qui part de "A", sans jamais quitter le disque, pour retourner au point "A". Si le lacet est matérialisé par un fil élastique, on peut tirer sur chacune des extrémités du chemin pour finir par un chemin composé d'un point unique : "A". Autrement dit, on peut déformer continument le lacet jusqu'à n'obtenir qu'un point. Cette propriété est illustrée sur la figure de gauche, le lacet bleu est "continument" déformé pour obtenir un chemin de plus en plus proche du lacet constant égal à "A". On dit que tout lacet est homotope à un point. Sur le cercle, cette propriété n'est pas vraie. On peut imaginer un chemin qui part du point "B", fait le tour du cercle et revient en "B". On obtient un lacet d'extrémités "B" et qui parcourt le cercle. Cette fois-ci, on aura beau "tirer" sur le chemin ou le fil élastique, qui ne peut par définition pas quitter le cercle, il n'y aura pas moyen de le "ramener" au point "B" sans le rompre. En termes mathématiques, on dit que le groupe fondamental du disque est trivial, alors que celui du cercle ne l'est pas.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Si une exception au théorème de Brouwer existait, il serait possible de créer un lacet qui ferait le tour du cercle en allant toujours dans la même direction, et qui serait pourtant homotope à un point. Cette impossibilité est la clé de la démonstration proposée ici. Dans un premier temps, on démontre la propriété suivante :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Ce qui se dit encore : il n'existe pas de rétraction forte par déformation du disque sur sa frontière. En effet, s'il y en avait une que l'on note "F", on définirait la fonction "H" par :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Si "x" est égal à 1, on obtient un lacet d'extrémités le point 1 et qui fait le tour du disque, si "t" varie. Si "x" est égal à 0, on obtient un lacet constant de valeur "F"(0). Le lacet initial serait homotope à un point, comme cette propriété est fausse dans le cercle, la proposition est démontrée. L'article détaillé propose une démarche plus rapide, elle suppose néanmoins l'acquisition de concepts plus lourds à mettre en œuvre.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: On considère le segment passant par "x" et "f"("x") et d'extrémités "f"("x") et un point du cercle. Cette construction est illustrée sur la figure de droite. Comme "x" et "f"("x") ne sont jamais confondus, la fonction "F" est parfaitement définie. Si "x" est sur la frontière, les points "x" et "F"("x") sont confondus. Il est relativement simple de montrer que "F" est continue.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Le lacet α est celui qui à , élément de [0, 1], associe . Il n'est pas homotope au lacet "c" constant toujours égal à 1. Cette vérité est en général démontrée dans un résultat plus large, établissant la structure du groupe fondamental du cercle. On peut néanmoins procéder plus directement. Intuitivement, si le lacet s'imagine comme un fil qui tourne autour du cercle, tirer suffisamment fort sur les deux brins que l'on trouve au point 1 pour ramener l'intégralité du fil en 1, va casser le fil. Trouver le point de cassure est une méthode pour exhiber une discontinuité. Cette propriété permet d'établir le résultat suivant.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: On raisonne par l'absurde et l'on suppose qu'il existe une telle rétraction "F". On considère la fonction "H"("t", "x") de [0, 1] dans le cercle, définie par :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Si "x" est égal à 1, comme la rétraction est la fonction identité sur le cercle, le lacet qui à "t" associe "H"("t", 1) est bien égal à α. Si "x" est égal à 0, la fonction qui à "t" associe "H"("t", 0) est constante. Comme la fonction "H" est continue, on aurait montré que le lacet α est homotope à un point. La rétraction ne peut donc exister, d'après la première proposition.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: La fonction "F" est définie comme indiqué précédemment. Il faut encore montrer qu'elle est continue. On cherche le point appartenant au cercle unité et à la demi-droite d'origine "x" et dirigée par le vecteur "x" – "f"("x"). Ce point est l'image d'une valeur positive (ou nulle) de "t" par la fonction qui, à "t", associe "x" + "t"("x" – "f"("x")). Plus exactement, "t" est l'unique racine positive du polynôme "P"("t"), défini par (║∙║ désigne la norme euclidienne) :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Ce polynôme est du second degré et s'écrit encore "a"("x")"t" + "b"("x")"t" + "c"("x"), ici "a"("x"), "b"("x") et "c"("x") désignent trois fonctions continues définies sur le disque et à valeurs dans R. On remarque que le coefficient du monôme dominant "a"("x") est toujours strictement positif (car "x" est différent de "f"("x") d'après les hypothèses retenues) et les images du polynôme en 0 et en –1 sont négatives. Un tel polynôme admet toujours une unique racine positive et elle s'écrit comme une fonction, notée λ, continue des trois coefficients "a"("x"), "b"("x") et "c"("x"). On en déduit que λ est une fonction continue de "x" et la rétraction "F"("x"), qui s'écrit :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Pour montrer qu'une application a au moins un point fixe, on peut supposer qu'elle est lisse. En effet, si une application qui n'a pas de point fixe est convolée avec une fonction lisse ayant un support suffisamment petit, alors la fonction lisse obtenue est aussi sans point fixe.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: On note "B" et "S" la boule unité fermée et la sphère unité d'un espace euclidien. Soit formula_5 une application lisse sans point fixe. Soit, comme plus haut, formula_6 définie par : formula_7 et formula_8. Comme n'a pas de point fixe, est bien définie et lisse, et c'est une rétraction de "B" sur "S" : formula_9, où formula_10 est l'inclusion.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: La même démonstration prouve également qu'il n'y a pas de rétraction lisse d'une variété lisse orientable compacte sur son bord.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Le théorème de la boule chevelue énonce que sur une sphère unité de dimension paire (c'est-à-dire la sphère de rayon 1 et de centre le vecteur nul, dans un espace euclidien de dimension impaire), il n'existe pas de champ de vecteurs α qui soit continu, tangent à la sphère en tout point "x" de cette sphère (c'est-à-dire vérifiant ("x"|α("x")) = 0), et qui ne s'annule jamais. On l'exprime parfois en disant qu'il existe toujours un point de la Terre où le vent est inexistant.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: S'il existe une fonction "f" de la boule unité fermée "B" sans point fixe, on construit deux champs de vecteurs, sur la sphère unité de dimension "n" et celle de dimension "n" +1, dont l'un des deux contredit le théorème de la boule chevelue. L'avantage de cette méthode est qu'elle n'utilise que des techniques élémentaires, sa faiblesse réside dans une démarche moins universelle que celle de la topologie algébrique, qui permet de démontrer des résultats plus forts, comme le théorème de Borsuk-Ulam.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Notons "S" la sphère unité de R (c'est la frontière de "B"). La démonstration est par l'absurde et en trois étapes :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: En utilisant que "B" est homéomorphe à [–1, 1] (pour "m = n" et pour "m = n" + 1), on se ramène à démontrer que s'il existe une application continue "F" sans point fixe de [–1, 1] dans lui-même, il en existe aussi une "G" de [–1, 1] dans lui-même.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: L'assertion devient ainsi immédiate : il suffit de poser "G"("x", "t") = ("F"("x"), "t"), pour tout "x" de [–1, 1] et tout "t" de [–1, 1].


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Du fait que "h" est sans point fixe on déduit que pour "x" intérieur à la boule, "H"("x") est non nul, et que pour "x" sur la sphère on a même ("x"|"H"("x")) = 1 – ("x"|h("x")) > 0.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Posons ensuite, en désignant par "x" les "m" premières coordonnées d'un vecteur "X" de R et par "t" sa dernière coordonnée :


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Manifestement, la fonction α est continue et vérifie ("X"|α("X")) = 0. Enfin, α("X") n'est jamais nul (car si "x" est de norme 1, ("x"|"H"("x")) est non nul, et si "x" est de norme strictement inférieure à 1, "t" et "H"("x") sont non nuls).


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Au lieu de montrer le théorème pour la boule formula_15 de dimension formula_16, on le montre pour le simplexe formula_17 qui lui est homéomorphe.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Si formula_19 n'est pas un point fixe, on définit sa couleur formula_20, de sorte que formula_21 (formula_22 est non vide, sinon on aurait formula_23 et donc formula_24).


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Soit formula_25 un entier strictement positif. On subdivise formula_26 en formula_27 simplexes de la forme formula_28 pour formula_29 tels que formula_30.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Si l'un des points formula_31 de cette subdivision est un point fixe, l'existence du point fixe est prouvée, sinon, on colorie formula_32 par formula_33.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Cette coloration vérfie les hypothèses du lemme de Sperner: chaque sommet de formula_26 est d'une couleur différente (formula_35), si un des sommets formula_32 de la subdivision est dans l'enveloppe convexe de formula_37 sommets de formula_38 alors formula_39.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Il existe donc un simplexe de la subdivision tel que chacun de ses sommets soit de couleur différente. Soient formula_40 les sommets de ce simplexe, ordonnés de telle sorte que formula_41. On a de plus formula_42.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Comme formula_26 est compact, formula_44 admet une sous-suite convergente formula_45, vers une limite formula_46. C'est aussi la limite de formula_47 pour formula_48.


title: Théorème du point fixe de Brouwer

text: Comme formula_49, on en déduit par passage à la limite formula_50. Comme formula_51, on en déduit formula_52, ce qui prouve l'existence du point fixe.


title: Kimbra

text: Kimbra, de son nom complet Kimbra Lee Johnson, née le à Hamilton, est une chanteuse et auteure-compositrice-interprète néo-zélandaise.


title: Kimbra

text: Kimbra Johnson est née et a grandi en Nouvelle-Zélande. Elle a étudié à la Hillcrest High School. Elle a concouru trois années consécutives au national schools' competition Rockquest où elle a obtenu la seconde place en 2004, à l'âge de 14 ans. Kimbra n'a pas évolué dans un milieu familial musical, cependant elle a commencé à écrire des chansons dès ses dix ans. Son père travaillait au centre universitaire de Waikato's et sa mère est infirmière. Ses parents lui offrent sa première guitare pour ses 12 ans et après quelques leçons de musique, elle se retrouve déjà sur scène. Elle n'a jamais pris de cours de chant.


title: Kimbra

text: Kimbra possède une certaine connaissance de la langue française, et selon ses dires, aimerait davantage l'apprendre.


title: Kimbra

text: Kimbra a réalisé sa première performance avec le single "Smile" sur une chaîne néo-zélandaise pour enfants. Après sa victoire au "Juice TV" avec son second single "Simply on My Lips" en 2007, elle est repérée par Mark Richardson qui devient son agent et la fait signer sous son label "Forum 5". Elle part pour l'Australie et commence une carrière professionnelle. Elle sort son premier single "Settle down" issu de l'album "Vows" en 2010. La vidéo est réalisée par Guy Franklin.


title: Kimbra

text: En , Kimbra signe un contrat chez Warner Bros. Son premier album arrive en cinquième et troisième position des classements australiens et néo-zélandais, dès sa sortie. La couverture de l'album est illustrée par des peintures corporelles réalisées par Rhys Mitchell et Raphael Rizzo.


title: Kimbra

text: En , elle reçoit le prix de la meilleure interprète féminine de l'ARIA pour son titre "Cameo lover" de l'album "Vows".


title: Kimbra

text: En 2011, également, elle chante en duo avec Gotye la chanson "Somebody That I Used to Know". Le succès mondial du titre lui permet d'accompagner Gotye dans une tournée internationale où elle apparaît en première partie.


title: Kimbra

text: En , elle participe au projet "Converse" avec Mark Foster, le leader de "Foster the People", et DJ A-Trak en enregistrant le tube "Warrior" et le clip qui l'accompagne.


title: Kimbra

text: Kimbra a également écrit et interprété "With My Hands", pour la bande originale du film "Frankenweenie" de Tim Burton, 2012.


title: Kimbra

text: En 2013, sa chanson "Come into my head" est choisie comme musique de générique à la fin du film de Sandra Bullock, "Les Flingueuses" ("The Heat"), réalisé par Paul Feig.


title: Samia Orosemane

text: Samia Orosemane (née Samia Tamansourt le à Paris) est une humoriste et comédienne française d'origine tunisienne.


title: Samia Orosemane

text: Elle s'est fait connaitre en 2009 avec son spectacle "Samia et les 40 comiques", avec la participation d'autres artistes.


title: Samia Orosemane

text: Samia Tamansourt naît à Paris et grandit à Clichy-sous-Bois, en région parisienne. Elle tombe amoureuse du théâtre au collège, avec l'étude d’œuvres de Molière, ce qui l'incite à devenir comédienne. Elle étudie le théâtre à l'école puis après l’obtention de son bac, elle intègre le Conservatoire d'art dramatique de Paris, qu'elle préfère à ses études de sociologie et de sciences politiques.


title: Samia Orosemane

text: Elle y reste deux ans, avant d'être recalée par manque d'assiduité car elle travaille à l'usine en même temps pour payer ses études. Elle épouse un Martiniquais converti à l'islam rencontré dans un atelier théâtral. Elle renonce à la scène, supposant que le voile, qu’elle décide de porter à l'âge de 21 ans, la privera d’opportunités artistiques, et elle commence à travailler comme nourrice. Néanmoins, la passion du théâtre la pousse à reprendre la recherche de nouveaux talents pour le spectacle "Samia et les 40 comiques" qu'elle monte en 2009. Depuis, elle se produit seule sur scène avec son spectacle "Femmes de couleurs". Elle y porte un turban et un col roulé, ainsi que des costumes hauts en couleur.


title: Samia Orosemane

text: Samia Orosemane est une des révélations du gala "Les Impertinentes 2014" organisé par Le Grand Point Virgule et Aufeminin.


title: Samia Orosemane

text: Elle fait partie du classement des 50 Français les plus influents au monde par "Vanity Fair" en décembre 2017.


title: Samia Orosemane

text: Dans son premier spectacle, "Samia et les 40 comiques", Samia Orosemane fait découvrir de nouveaux artistes talentueux ainsi que d'autres humoristes confirmés comme Booder, Charlotte Gabris, Les Lascars gays, Candiie, Malik Bentalha, Shirley, Mamane, Kamel le Magicien et Kyan Khojandi, l'acteur principal de la série "Bref", et aussi Baptiste Lecaplain et Vérino.


title: Samia Orosemane

text: Elle fait ensuite la première partie du spectacle de l'humoriste Phil Darwin, en 2012, avec des sketchs repris par la suite dans son spectacle "Femmes de couleurs" qu'elle écrit, met en scène et produit seule. Elle y raconte sa vie, traite de sujets variés et polémiques avec humour en allant au-delà des stéréotypes. En effet, elle utilise une multitude d'accents, traite de la question du voile, du communautarisme, des mariages mixtes... qui lui permet de le donner à travers la France, mais aussi à Bruxelles, Genève, Montréal, Abidjan, Alger, Tunis où elle adapte quelque peu son spectacle pour continuer de partager cet échange avec son public.


title: Samia Orosemane

text: Elle crée sa chaîne YouTube où l'on peut retrouver des extraits des sketchs de son spectacle. L'une de ses vidéos a particulièrement fait le buzz. À la suite des attentats d'Ottawa, elle demande aux « islamistes, intégristes, djihadistes, pianistes, cyclistes » d’arrêter de se cacher derrière l’islam pour commettre leurs méfaits et de « choisir une autre religion ». Cette vidéo est partagée au moment des attentats de Charlie Hebdo et de l'Hyper Cacher de et reprise par plusieurs médias comme BFM TV. La vidéo est vue des millions de fois.


title: Samia Orosemane

text: D'autre part, elle poste tous les vendredis une vidéo "Télé Aïcha" où elle joue le rôle d’une maman arabe qui vend des produits magiques qui n’existent pas. Elle fait aussi une série de vidéos "Geneviève et Aïcha" dans laquelle une maman maghrébine et une maman catholique pratiquante débattent à propos de l'actualité.


title: Samia Orosemane

text: Elle décide d’organiser en , le premier festival du rire à Djerba, île dont sont originaires ses parents. Il vise un public composé à la fois de Tunisiens et de touristes français.


title: Samia Orosemane

text: Cette première connaît un grand succès mais la deuxième édition doit être annulée à cause de l'état d'urgence décrété en Tunisie après l'attaque du musée du Bardo.


title: Reliques Sacrées

text: Les Reliques sacrées de l'Islam (), dites aussi Reliques Saintes, sont un ensemble d'objets religieux envoyés au Sultan ottoman entre le .


title: Reliques Sacrées

text: Avec la conquête du monde arabe par le sultan Selim Ier (1517), le Califat passa des Abbassides, vaincus, aux sultans Ottomans. Le manteau du prophète Mahomet, que conservait le dernier calife abbasside du Caire, Al-Mutawakkil III, fut donné à Selim I.


title: Reliques Sacrées

text: Les diverses reliques de Mahomet, ses successeurs, et d'autres objets associés au prophète furent emportés au Palais de Topkapı, à Istanbul, où ils sont encore aujourd'hui.


title: Reliques Sacrées

text: Les reliques sont entreposées dans l'ancienne Chambre Privée du sultan (autrefois ses bureaux), dans la Troisième Cour du palais.


title: Reliques Sacrées

text: Le Saint Manteau, ou Manteau Béni, a été, selon la tradition, donnée par Mahomet au poète Kâab bin Züheyr. Son poème "Kasida-ı Burda", qui prie Mahomet, décore la pièce . Il fait environ . Il est fait de laine noire souligné d'un galon de couleur crème


title: Reliques Sacrées

text: La tradition voulait que le sultan, sa famille et la cour rendent visite au Manteau durant une cérémonie spéciale le du mois de Ramadan. Durant cette cérémonie, les participants embrassaient le manteau à travers une pièce de mousseline. Ce mouchoir décoré, le "Noble Mouchoir" ("destimal-ı şerif"), était fourni à chaque participant par l'agha de la mousseline ("Tülbent Ağası").


title: Reliques Sacrées

text: Le Manteau est conservé dans un coffre d'or, dont seul le sultan possédait la clé. Ce coffre était ouvert lorsqu'il entonnait le "basmala". Le manteau était protégé par des morceaux de tissu carré dénommés "bohças". Ces tissus entouraient un autre coffret d'or dans lequel quarante "bohças" enveloppaient le manteau lui-même. Le nombre quarante était considéré comme de bon augure.


title: Reliques Sacrées

text: L'agha de la mousseline plaçait le premier mouchoir sur le manteau, puis le sultan l'embrassait, suivi par les princes impériaux, les vizirs, les officiels, les invités et les eunuques. Des chants coraniques emplissaient la pièce pendant ce temps.


title: Reliques Sacrées

text: Les femmes suivaient, dirigées par la sultane validé, puis les conjointes, les concubines et les filles du sultan, de même que toutes les femmes des officiels présent où assistant à la cérémonie. La princesse impériale Ayşe Osmanoğlu, fille du sultan Abdulhamid II, en donna un rare témoignage dans son livre "" (Avec mon père le sultan Abdulhamid).


title: Reliques Sacrées

text: Nous avons commencé à nous préparer trois jours avant la visite au Saint Manteau, le quinzième jour du Ramazan. Nous nous sommes levées tôt pour revêtir nos plus belles robes de cérémonies, mettre nos joyaux et nous rendre à Topkapı. Ma grand-mère voyagea dans un carrosse du sultanat; les conducteurs portaient les uniformes brodés des étables royales, comme les chauffeurs du padishah. Halim Efendi, l'officier responsable des sorties du harem, était devant avec les gardes; Les "ağas" du harem, portant des uniformes brodés, suivaient le carrosse de ma grand-mère, qui était en tête. Nous avons quitté ainsi Yıldız pour Topkapı. Là, nous avons été rejoints par des femmes âgées qui venaient de Dolmabahçe, et nous nous sommes rendues dans les pièces affectées à chacune d'entre nous à Topkapı. Tous ceux, extérieurs au palais, qui avaient reçu une invitation, les "sultanes" mariées [les filles du sultan étaient appelées "sultanes"] et les femmes des ministres étaient là. Nous avions invités les personnes que nous connaissions personnellement.


title: Reliques Sacrées

text: Dans la chambre du fauteuil ma grand-mère s'installa sous un dais dans son costume royal, et nous allâmes toutes lui baiser la main. Nous attendions l'ouverture du pavillon du Saint Manteau. Les femmes du sultan Abülmecit [qui était décédé], Serfiraz et Şayeste, virent s'asseoir près de ma grand-mère. Usuellement, la "valide paşa" [mère du khédive d'égypte] assistait à la cérémonie.


title: Reliques Sacrées

text: Les "baş musahip" [Les eunuques du harem proches du sultan] vinrent au harem quand le pavillon fut ouvert et, avec un salut oriental, en informèrent ma grand-mère, la "sultane valide". Elle se leva et derrière elle se rangèrent les femmes d'Abdülmecit, puis les "sultanes", puis les "kadın efendis", tous par ordre de précédence, et nous nous dirigeâmes vers le Pavillon du Saint Manteau. Tout le monde portait un mouchoir de mousseline sur la tête. Nous sentions des odeurs, car de l'encens brûlait partout, et, de derrière un rideau, provenait le son du Coran lu avec une voix d'une extrême beauté par le muezzin. Nos cœurs se remplirent d'un sentiment profond et humble de respect ; a petits pas, nos jupes balayant le sol, nous nous approchèrent en rang jusqu'au padishah qui se tenait devant le trône [c'est la seule mention d'un trône dans un récit d'une visite au Saint Manteau]. Avec un salut Oriental... nous prîmes le Noble Mouchoir qui nous était donné, l'embrassâmes, et, après l'avoir remis sur notre tête, revinrent nous placer en rang par ordre de précédence...


title: Reliques Sacrées

text: Après nous, les "valide paşa", les femmes des grands vizirs, les autres ministres et les "şeyhülislâm" sont entrés. La femme trésorière et les autres serviteurs du palais ont aussi participé à la cérémonie. À la fin de celle-ci, le "baş musahip" apparu, donna un salut oriental, et nous sortîmes en rang comme nous étions entrées, la "valide sultan" en tête.


title: Reliques Sacrées

text: Nos carrosses se rangèrent à la porte du Harem [ Porte des Carrosses ] de Topkapı par ordre de précédence, et nous sommes retournées au Palais Yıldız dans la même formation que nous avions utilisée à l'aller. Ces carrosses qui roulaient lentement du fait des chevaux, nous faisaient usuellement arriver au palais au moment du canon "iftar" [le canon qui annonçait la fin du jeûne durant le ramazan].


title: Reliques Sacrées

text: Un bouton du manteau était trempé dans l'eau de rose. Des gouttes de cette eau de rose étaient versées dans des cruches, qui étaient confiées à des personnes importantes. Cette eau était appelée l'eau du Saint Manteau ("Hırka-ı Saadet Suyu") et on lui prêtait des qualités miraculeuses. Après la cérémonie, le sultan faisait remballer le manteau dans ses quarante "bohças", la petite boite en or, les autres "bohças" et enfin le grand coffre d'or qui était replacé sous le dais d'argent jusqu'à l'année suivante.


title: Reliques Sacrées

text: La seconde plus importante relique est la Sainte Bannière, dite aussi Étendard Sacré de Mahomet ("Sancağ-ı Şerif" signifie littéralement "Noble bannière"). Elle serait la bannière de Mahomet lui-même, où au moins daterait de la même époque. L'acquisition de cet étendard par les Ottomans est disputée. La bannière a été utilisée pour la première fois lors d'une bataille contre les Habsbourgs en 1593 et de nouveau pour une guerre en Hongrie en 1594. La bannière était à Topkapı dès 1595. Après que Mehmed III a utilisé la bannière lors du siège victorieux d'Eger en 1596, la bannière est devenue un symbole de victoire pour les forces Ottomanes.


title: Reliques Sacrées

text: La bannière était parfois emportée en guerre pour encourager les troupes et garantir la victoire. Elle était sortie de son coffre par le Sultan et fixée à un bâton. Il la transportait de la "Chambre des saintes reliques" à la Salle du Trône tandis que les officiels criaient "Allah Akbar !" (Dieu est grand). Après cela, la bannière était transportée de la salle du trône à la porte de la félicité et placée là. Le grand vizir recevait la bannière des mains du sultan lors d'une cérémonie en Salle du Trône. Pendant que le vizir et les "şeyhülislâm" assistaient à remise, le sultan embrassait la bannière et la confiait à son grand vizir avec ces mots : . Après la bataille, la bannière était rangée de la même manière, le sultan la remettant dans son coffre tandis que des chants coraniques résonnaient et que de l'encens brûlait.


title: Reliques Sacrées

text: La bannière a aussi été utilisée lors de mutineries des janissaires en 1651 et pour la dernière fois en 1826.


title: Reliques Sacrées

text: Un bol de d'âge, utilisé par Mahomet, a été conservé par sa fille Fatima et son mari Ali, le quatrième caliphe et cousin de Mahomet. Après leur mort, le bol a été conservé par leurs enfants Hassan et Hussein. Le bol a été transmis de génération en génération par les descendants de Mahomet, jusqu'à ce qu'il atteigne la Grande Bretagne. Le , le bol a été transmis en Tchétchénie, et est désormais conservé dans la mosquée "Cœur de Tchétchénie" à Grozny.


title: Reliques Sacrées

text: À propos du bol, Ibn Kathir, lettré islamique et exégète du Coran, écrit dans son texte "Les femmes du prophète Mahomet" :


title: Reliques Sacrées

text: Il a été rapporté par Abu Huraira qu'en une occasion, quand Khadija était encore en vie, Jibril est venu au Prophète (paix et prières sur lui) et dit, "O Messager d'Allah, Khadijah approche avec un bol de soupe (ou de nourriture ou de boisson) pour toi. Quand elle viendra, accueille là avec la paix de son Seigneur et la mienne, et donne lui la bonne nouvelle d'un palais de joyaux dans le Jardin, où il n'y aura ni bruit ni fatigue."


title: Le Monde sans fin

text: Le monde sans fin est un album de bande dessinée français de Christophe Blain et Jean-Marc Jancovici paru en 2021 chez Dargaud.


title: Le Monde sans fin

text: L'album illustre la rencontre et le long dialogue entre ses deux auteurs – Jancovici jouant le rôle du guide, Blain du candide – sur les sujets de l'énergie : usage à travers l'Histoire, essor des énergies fossiles, et de l'impact de l'humanité sur son environnement et en particulier sur le climat.


title: Le Monde sans fin

text: Les nombreuses explications sur ces sujet sont accompagnées de métaphores diverses (Iron Man, Mère Nature, etc.) pour en éclairer la lecture.


title: Le Monde sans fin

text: Pour le journal "Le Monde", « Avec rigueur et humour, l’urgence climatique y est détaillée, ses origines et les moyens d’y répondre, résumant les thèses que défend l’auteur depuis vingt ans ». "La Croix" fait état d'un « cours dense et magistral, dans tous les sens du terme », même si par la suite le même journal publie une tribune d'un consultant en énergies renouvelables qui considère que "la bande dessinée à succès de Jean-Marc Jancovici, Le Monde sans fin, contient des erreurs importantes et un biais pronucléaire évident".


La Coupe du monde de ski acrobatique 2021-2022 est la de la Coupe du monde de ski acrobatique organisé par la Fédération internationale de ski. Elle débute le à Coire en Suisse et se termine le à Silvaplana en Suisse.


title: Coupe du monde de ski acrobatique 2021-2022

text: Cette saison, la FIS décerne 4 gros globes individuels pour récompenser les vainqueurs des spécialités :


text: La fédération décerne également 5 petits globes individuels pour les vainqueurs des épreuves des bosses simples, de bosses parallèles, de half-pipe, de slopestyle et de big air; Il y a aussi 2 petits globes pour les vainqueurs des épreuves par équipe de saut et de skicross.


text: La FIS recompense également une Coupe des Nations générale (en comptabilisant les résultats des 2 meilleurs skieurs et skieuses dans chaque épreuve de chaque discipline), ainsi que 4 Coupes des nations pour les 4 spécialités concernées par les gros globes (en comptant tous les résultats des skieurs et skieuses dans chaque épreuve) : skicross, saut, bosses, Freeski Park & Pipe.


text: 50 épreuves sont prévues en individuel à la fois chez les hommes et chez les femmes, plus 3 épreuves de saut et une épreuve de skicross par équipe. Elles ont lieu sur 30 sites répartis dans 13 pays de 3 continents:


text: Pour une bonne lisibilité, les gros globes sont catégorisés de couleur jaune tandis que les petits globes sont catégorisés de couleur verte.


text: La saison de Big Air ne comporte que deux épreuves. La Française Tess Ledeux, avec une victoire et une seconde place, et le néo-Autrichien Matěj Švancer qui gagne les deux épreuves remportent les classements de la spécialité.


title: Gaël (groupe)

text: Gaël, aussi connu sous le nom Groupe Adorons l'Éternel, est un groupe de gospel évangélique fondé en 1998 à Kinshasa, au Congo-Kinshasa. Leurs chansons sont en français et lingala.


title: Gaël (groupe)

text: Le groupe évangélique est fondé en 1998 avec Alain Moloto et Franck Mulaja ainsi que des artistes de l'I.N.A. (Institut National des Arts) à Kinshasa au Congo-Kinshasa, soit Bibiche Mulaja, Anna Muyansi, Hugo Mbunga, Rachel Mpaka, Henry-Papa Mulaja, Willy Kabamba, Douceur Mulongo, Athoms Mbuma, Nadège Mbuma Impote, Junior Biantuadi, Tempo Bilongo, Faustin Ngono, Blaise Mikanda, Francis Nsemi, Trésor Biantuadi, Mireille Basirwa, Lydie Lusamba, John Mwaka, Korino Sandjomb, Anne Keps, Marthe Bulay, Christian Mvuanda, Israël Longo, Hugo Mbunga, Serge Cibuyi, Serge Tabu, Krystel Nsaraza, Clovis Santu et Robert Ngoy.


title: Gaël (groupe)

text: De nombreuses chansons de Gaël ont eu des résonances internationales, telle les célèbres "Shilo" interprétée par Nadège Impote et "Alléluia Amen" par Athom's . Le groupe est nommé dans la catégorie au Kora Awards 2012.


title: Gaël (groupe)

text: Le , Marthe Bulay, décède, suivi de Christian Mvuanda, le de cette même année et finalement d'Alain Moloto le . Alain Moloto avait combattu de longs mois, à la suite d'une maladie due à un empoisonnement. Toutefois le groupe se relève de ses pertes, et Athom's Mbuma reprend la direction du groupe. Quelques mois plus tard, l'album "Je suis - Vol. 2" sort avec la voix des défunts membres. C'est en , un an après les drames, que le groupe renouvelé, organise un concert à Kinshasa et enregistre un nouvel album "live", "Sanjola". Athoms Mbuma, qui repris la direction du groupe, a affirmé au quotidien "Les Dépêches de Brazzaville", quelques mois après ces deuils, qu'il voulait conserver la vision originale de Gaël, soit la vulgarisation de l'adoration, et sa restauration dans l'Église, tout en développant de nouvelles stratégies au regard des réalités de l'heure.


title: Treyarch

text: Treyarch est une société de développement de jeux vidéo créée en 1996 par Peter Akemann et Doğan Köslü (né Don Likeness), et acquise par Activision en 2001. Elle est localisée à Santa Monica en Californie.


title: Treyarch

text: Dans le cadre de la Games Convention, Activision annonçait que Treyarch serait l'un des trois développeurs avec Beenox (PC) et Vicarious Visions (consoles portables) à être derrière leur premier James Bond : "". En 2010, elle bat le record du nombre de vente d'un jeu vidéo lors de son premier jour de sortie avec plus 310 millions de dollars de vente grâce au jeu "". En 2011, elle est chargée du développement du jeu "" sur Wii. En 2012, Treyarch sort "" qui bat tous les records de vente avec 500 millions de dollars en 24h et 1 milliard de dollars en exactement 15 jours, devenant l’œuvre de divertissement le plus rentable de tous les temps jusqu'à la sortie de "Grand Theft Auto V".


title: Marche (escalier)

text: Le degré est un escalier au développement limité (généralement réduit à quelques marches), rachetant la hauteur d'une terrasse, d'un soubassement. Par métonymie, les degrés désignent les marches de ce type d'escalier.


title: Marche (escalier)

text: Le devant de la marche est la contremarche, dont la dimension verticale donne la « hauteur de marche ». La profondeur de la marche, mesurée horizontalement entre deux nez de marche, se nomme le « giron ». La largeur (plus grande dimension) de la marche et/ou de sa contremarche est appelée « emmarchement ».


title: Marche (escalier)

text: Pour exprimer la longueur (mesurée horizontalement) d'une ou plusieurs volées de marches, on parle d'«  ».


title: Marche (escalier)

text: Sur le "Niesen", sommet des Alpes bernoises en Suisse, culminant à d'altitude, se trouve le plus long escalier du monde avec .


title: Marche (escalier)

text: En 1675, François Blondel se penche sur la question du calcul d'un escalier dans son "Cours d'architecture enseigné à l'Académie royale d'architecture". Il mesure le pas (au sens de distance franchie par le pied lors d'une marche normale sur un plan horizontal) et constate qu'« à chaque fois qu'on s'élève d'un pouce, la valeur de la partie horizontale se trouve réduite de deux pouces et que la somme de la hauteur doublée de la marche et de son giron doit demeurer constante et être de deux pieds ».


title: Marche (escalier)

text: Autrement dit, la formule de Blondel s'exprime ainsi : formula_1, où formula_2 est le module (ou le pas) et vaut (), formula_3 la hauteur de la marche, et formula_4 son giron (distance entre deux nez de marche consécutifs mesurée sur la ligne de foulée).


title: Marche (escalier)

text: L'idée directrice est que l'effort fait par la personne qui monte soit constant, malgré les variations de la hauteur montée effectivement par rapport au déplacement horizontal selon l'endroit où on se situe dans l'escalier, montée plus forte dans les coudes (cette personne est positionnée avec la main sur la rampe).


title: Marche (escalier)

text: La réglementation française dispose que les marches courantes ont de hauteur, mais ne doivent plus excéder pour les lieux accueillant du public et de giron minimum (France : décrets 2006-1657 et 1658 arrêté du ) : le pas usuel est de (la place et par suite l'importance accordée à l'escalier est moindre qu'au ), la pente de ces marches est de 30° environ. Cette valeur standard est à considérer comme base de calcul, tout est question de l'effet final donné à l'escalier : escarpé, ou au contraire « agréable » ou encore à accessibilité maximum pour le public.


title: Mer des Wadden

text: La mer des Wadden ( en néerlandais, en allemand, en danois, c'est à dire « mer des ouates » dans le sens de « mer des brumes ») est la zone côtière de la baie germanique en mer du Nord. Aujourd'hui "Wadden" ou "Watten" désigne en néerlandais et en allemand l'estran, aussi appelé batture. Délimitée par les îles de la Frise, la mer des Wadden s'étend sur du Helder aux Pays-Bas à Esbjerg au Danemark, en couvrant une superficie d'environ carrés.


title: Mer des Wadden

text: Depuis le , certains sites de la mer des Wadden en Allemagne, aux Pays-Bas et au Danemark sont inscrits sur la liste du patrimoine mondial de l'UNESCO. De plus, la mer des Wadden est reconnue au titre de réserve de biosphère par l'UNESCO depuis 1990.


title: Mer des Wadden

text: La mer des Wadden s'est formée dans l'Antiquité tardive lorsque la subsidence des zones côtières a permis l'inondation définitive des vasières et des zones humides ("schorres") situées entre la terre ferme et le cordon dunaire littoral devenu dès lors l'archipel de la Frise. Un réseau de chenaux de marée, de barres sableuses, de lagunes et d’îles crée une zone de transition entre la terre et la mer caractérisée par les changements journaliers de la marée, et une forte dynamique de salinité, lumière, oxygène et température. Il en résulte un système complexe qui fournit un habitat exceptionnel à une faune et à une flore très diversifiées : entre autres, de très nombreux oiseaux hivernent, s'alimentent ou se reproduisent sur la zone.


title: Mer des Wadden

text: Une coopération trilatérale (Pays-Bas, Allemagne et Danemark) pour la protection de la mer des Wadden a été établie en 1982.


title: Mer des Wadden

text: Parmi les espèces patrimoniales ou remarquables liées à ces habitats et écosystèmes particuliers, on trouve de nombreux oiseaux, poissons, crustacés et organismes marins, et surtout de grands mammifères tels le phoque commun, le phoque gris et le marsouin commun. On compte d'oiseaux : ce site accueille plus de 10 % de la population migratrice mondiale. Il s'agit d'un des derniers écosystèmes intertidaux où les processus naturels se déroulent encore à grande échelle de manière peu perturbée, abritant de nombreux habitats rares, dont de transition (écotones) : chenaux à marée, bancs de sable, prairies d'herbe marines, mollières (marais salés), barres de sable, vasières, estuaires, plages, dunes.


title: Mer des Wadden

text: Après les deux guerres mondiales, des stocks allemands de munitions récupérés par les Alliés ont été jetés en mer près de plusieurs des îles de la Frise.


title: Mer des Wadden

text: Le , le Comité du patrimoine mondial a inscrit la mer des Wadden sur la liste du patrimoine mondial de l'Unesco, en tant que site naturel transfrontalier de l'Allemagne, des Pays-Bas et du Danemark. De ce fait, la partie protégée de la mer des Wadden est gérée comme une réserve naturelle internationale, de manière coordonnée et transfrontalière entre les trois pays. C'est le premier site naturel inscrit au patrimoine mondial de l'Unesco en Allemagne. 66 % de toute la mer des Wadden est classée.


title: Mer des Wadden

text: en tant qu'écosystème tempéré remarquable de zones humides côtières, résultant d'interactions écologiques complexes (facteurs physiques, météorologiques, biologiques…).


title: Mer des Wadden

text: Ce classement devrait attirer les touristes, en les encourageant à mieux protéger cet environnement perturbé par des forages de gaz et de pétrole proches, et les panaches pollués des estuaires de l'Ems, de la Weser et de l'Elbe ainsi que par un trafic maritime important.


title: Mer des Wadden

text: La commission Ospar a aussi attiré l'attention sur le fait que des munitions ont été immergées en grandes quantités à proximité de certaines îles après les guerres mondiales, contenant peut-être des munitions chimiques, ces dernières, comme les premières étant susceptibles de commencer à fuir et poser des problèmes d'environnement.


title: Repentance

text: Le terme repentance (de l'italien : "pentimento") désigne une volonté personnelle et sincère d'assumer de manière responsable les conséquences d'actes considérés comme moralement condamnables commis le passé et de s'engager à ne pas les perpétuer. Il peut également désigner la manifestation publique du sentiment personnel qu'est le "repentir" pour une faute que l'on affirme avoir commise et dont on demande le pardon.


title: Repentance

text: Les mots repentir et repentance sont parfois employés de manière synonyme, le mot « repentance » permettant de faire la différence avec le verbe « se repentir ». Cependant, en langue anglaise, ce mot ("repentance") ne fait pas la différence entre repentir et repentance. Le terme anglais a aussi le sens de « rechercher le pardon de quelqu'un ». Cela peut être alors un faux-ami.


title: Repentance

text: La repentance est reconnue par le judaïsme et l'islam. La repentance est vue de manière négative notamment parce qu'elle peut être précédée d'une punition. En effet, dans certaines sociétés du passé et d'aujourd'hui, on commence par châtier le désigné fautif, puis on ne le réhabilite que s'il se repent sans égard pour la souffrance physique et morale endurée par l'innocent injustement châtié.


title: Repentance

text: En 1994, la lettre du pape Jean-Paul II faisant état d'un regret relatif à des actes commis dans le passé par des membres de l'Église et reconnus publiquement comme des fautes (voir l'article Péché) avec le recul de l'Histoire a donné au concept de repentance un sens nouveau. L'Église parle de la repentance bien que d'un point de vue théologique seul le "repentir" puisse être "stricto sensu" nécessaire; la repentance, par son côté public, peut cependant être vue comme une demande de réconciliation avec les hommes en plus de Dieu.


title: Repentance

text: Dans certains cas, la repentance peut être imposée comme pénitence comme l'imposa l'évêque de Soissons au roi Louis XV de France à Metz en 1744.


title: Repentance

text: Cependant, d'un point de vue politique, une repentance publique peut ne pas être une repentance sincère (c'est-à-dire accompagné d'un "repentir") mais une manœuvre ou une simple recherche de paix en mettant fin à un conflit. Cela peut être d'autant plus compréhensible s'il n'y a pas de quoi se repentir.


title: Repentance

text: Les « Asseret Yemei Techouva » (hébreu : עשרת ימי תשובה dix jours de repentance) désignent dans le judaïsme la période entre Roch Hachana et Yom Kippour. Ces dix jours de pénitence perpétuent et accentuent l'esprit de repentance du mois de Eloul.


title: Repentance

text: Dans le christianisme, la repentance est la reconnaissance, la confession et le renoncement au péché.


title: Repentance

text: Dans l'Église catholique, la Commission théologique internationale distingue trois modèles de gestes de contrition :


title: Repentance

text: La repentance fait suite à un renouvellement de la théologie catholique intervenu lors du concile Vatican II, notamment sur les questions d'œcuménisme et de dialogue interreligieux. Le dialogue interreligieux a notamment fait l'objet d'une déclaration de Paul VI lors du concile en 1965, Nostra Ætate, qui fixe les principes en matière de relations entre le christianisme et les autres religions.


title: Repentance

text: Quelques-uns, autour du théologien Hans Küng, considèrent la repentance de l'an 2000 comme un geste médiatique qui n'a pas été suivi d'actes majeurs tendant à la concrétiser, à l'exception de l'abandon de la théologie du "Vetus Israel" / "Verus Israel" déjà initiée par Marcel Simon, et portée à la connaissance du grand public par la déclaration conciliaire "Nostra Ætate" ().


title: Repentance

text: Dans le christianisme évangélique, la repentance est nécessaire au salut et à la nouvelle naissance. Elle fait l’objet d’invitation spéciale lors des prédications et des cultes. Elle fait aussi partie de la vie chrétienne et du processus de sanctification.


title: Repentance

text: Le terme de repentance est utilisé aussi dans le vocabulaire laïque, pour désigner des excuses nationales officielles exprimées par des représentants d'un Etat à la suite de violences de masse.


title: Repentance

text: La génuflexion de Willy Brandt à Varsovie en 1970 est le premier acte d'une série «de gestes et de discours de repentance effectués surtout par les chanceliers et les présidents ouest-allemands», qui ont favorisé l'élucidation publique des crimes et des responsabilités de l'Allemagne nazie.


title: Repentance

text: EN 2000 la Belgique demande pardon au Rwanda. Guy Verhofstadt, le premier ministre belge, déclare : « Au nom de mon pays, au nom de mon peuple, je vous demande pardon. La communauté internationale tout entière porte une immense et lourde responsabilité. Un dramatique cortège de négligences, d’insouciances, d’incompétences, d’hésitations et d’erreurs a créé les conditions d’une tragédie sans nom. J’assume ici les responsabilités de mon pays, des autorités politiques et militaires belges. »


title: Repentance

text: En 2008 Kevin Rudd présente des excuses officielles aux Autochtones d'Australie pour «deux siècles d'atteinte à la dignité» et particulièrement pour les enlèvements forcés d'enfants autochtones australiens à leurs familles. Ces enfants victimes des agences gouvernementales fédérales et étatiques australiennes sont souvent désignés comme «les générations volées».


title: Repentance

text: En 2010 le Japon présente des excuses pour les exactions commises en Corée du Sud à l'époque de colonisation nippone, de la fin du XIXe siècle à la première moitié du 20e


title: Repentance

text: Le terme apparaît dans le débat sur la colonisation française en quand "Le Livre noir du colonialisme" est publié sous la direction de l'historien Marc Ferro, qui signe lui-même trois chapitres sur une quarantaine, dans le sillage du du "Livre noir du communisme" (1997), suivi par "Le Livre noir de la guerre d'Algérie", publié par Philippe Bourdrel. Selon Marc Ferro, ce livre noir, travail de synthèse, incluant la dimension colonisatrice de la domination arabe en Afrique, ne prétend rien révéler car il s'écrit au grand jour depuis le premier mémoire de Bartolomé de Las Casas remontant à 1540. Le livre souligne qu'à


title: Repentance

text: Une vingtaine d'historiens, spécialistes des différentes époques coloniales, y écrivent, chacun sur ses recherches. Le sous-titre du livre ne suscite aucune contestation particulière, lors de sa publication, car son sens chronologique est explicité par l'épilogue du livre, titré « Qui demande des réparations et pour quels crimes ? » et rédigé, par Nadia Vuckovic.


title: Repentance

text: Cet épilogue évoque une actualité alors récente, la troisième conférence mondiale contre le racisme, après celles de 1978 et 1981, tenue du 2 au à Durban, où la délégation française a présenté la loi française du tendant à la reconnaissance de la traite et de l’esclavage en tant que crimes contre l’humanité, tandis que de nombreux États africains y ont réclamé des réparations matérielles et morales aux États pour l’esclavage et la traite des Noirs, en général, pas seulement transatlantique, et demandé de mettre un terme au trafic d’êtres humains.


title: Repentance

text: La conférence a été marquée par le retrait, au bout de trois jours, des États-Unis et d’Israël et par les critiques contre les ONG les plus radicales, soupçonnées d'avoir conspués des participants israélien. Dans son épilogue, Nadia Vuckovic développe , selon l'historien Guy Pervillé.


title: Repentance

text: C'est en 2005 qu'émerge dans les médias l'expression de « repentance », dans un climat mémoriel qui venait d'être durci par les débats sur la loi du 23 février 2005, avec son article 4 demandant d'enseigner les aspects positifs de la colonisation, finalement abandonné début 2006, et par l'affaire Olivier Grenouilleau, qui éclate au même moment.


title: Repentance

text: Trois ans et demi après le livre de Marc Ferro, le terme de « repentance » émerge à nouveau mais dans un sens complètement différent, celui d'un et contesté par l'historienne Catherine Coquery-Vidrovitch, car désignant , donc différent de celui maladroitement choisi en 2003 pour évoquer dans l'épilogue du livre dirigé par Marc Ferro, les réparations d’État à État demandées lors de la Conférence de Durban.


title: Repentance

text: La polémique sur l'usage du mot « repentance » reprend aussi avec le pamphlet "Pour en finir avec la repentance coloniale" de Daniel Lefeuvre, en dans lequel l'historien prend fait et cause pour Olivier Pétré-Grenouilleau et dénonce une , comme le reconnaîtra ce dernier dans un article du "Monde" présentant le livre sous un jour flatteur.


title: Repentance

text: L'auteur ne cite nommément aucun historien associé à ce qu'il appelle mais accuse cette nébuleuse mise en avant d'absence de recul critique dans la reprise de citations isolées, d'anachronisme, de généralisation abusive, d'absence de comparaison et de censure.


title: Repentance

text: Dans un compte rendu de cet ouvrage, Catherine Coquery-Vidrovitch indique que contrairement à ce que laisse pense Daniel Lefeuvre, la notion de « repentance » n’a « été utilisée par aucun historien », et que les critiques de Lefeuvre dirigées contre certains historiens de la colonisation obéissent en réalité à des motivations «essentiellement politiques».


title: Repentance

text: La spécialiste de géographie sociale Sarah Mekdjian considère que le livre, dans lequel elle identifie des «provocations», ainsi que des erreurs dans les propos sur l'islam, est un «pamphlet politique réactionnaire» plutôt qu'un livre d'histoire.


title: Repentance

text: Le rédacteur en chef du "Figaro" Yves Thréard reprend le terme de repentance mais pour dénoncer la responsabilité des politiques comme Jacques Chirac et Christiane Taubira, sans donner beaucoup de précisions.


title: Repentance

text: Dans les pays communistes , ceux qui étaient condamnés pour leur opinion politique étaient obligés de faire une repentance publique dans laquelle ils développaient ce dont on les accusait, montrant que ces fautes étaient inexcusables et que leur condamnation était méritée : sabotage, "déviationnisme", "complot", "trahison", "trotskisme", "jdanovisme", etc.


title: Repentance

text: Au Viêt Nam, dans les camps de prisonniers communistes, en particulier celui où était Georges Boudarel, le programme de rééducation idéologique comportait l'obligation pour les prisonniers français de faire repentance pour les crimes commis par leur pays.


title: Håkon Sigurdsson

text: Le jarl de Lade ("Hlaðir") Haakon Sigurdsson (vieux norrois "Hákon Sigurðarson", norvégien "Håkon Sigurdsson"), surnommé "le Puissant", est né vers 937 à Lade et mort en 995 à "Romol", aujourd'hui Melhus en Norvège. Il exerça le pouvoir dans ce pays avec le titre de "jarl" jusqu’en 995. Sa vie nous est connue principalement grâce à la "Heimskringla", œuvre de l'Islandais Snorri Sturluson.


title: Håkon Sigurdsson

text: Haakon est le fils de Bergljot ("Bergljót"), une petite-fille de Harald aux beaux cheveux ("Haraldr hárfagri"), et du jarl de Hlaðir, Sigurd ("Sigurðr"), dont il reçut le nom ("Sigurðar-son" « fils de Sigurd »). D'après la Heimskringla, son prénom de Haakon ("Hákon") lui est donné par le roi Haakon le Bon ("Hákon Góði"), qui assiste à un banquet donné par son père lors de sa naissance.


title: Håkon Sigurdsson

text: Allié de Haakon le Bon, son père dominait le Þróndheimr, au nord de la Norvège, quand il fut assassiné en 962 par les hommes de Harald Pelisse grise ("Haraldr gráfeldr"), qui avait pris la place de Haakon le Bon.


title: Håkon Sigurdsson

text: Haakon lui succède et doit lutter pendant trois ans contre Harald Pelisse grise avant de traiter avec lui. Après trois ans de paix, la lutte reprend et le jarl doit s’enfuir au Danemark. Allié à Harald le Doré ("Gull-Haraldr" ou "Haraldr Knutsson"), prétendant au trône du Danemark, et secrètement à Harald à la dent bleue roi en titre du Danemark, il manœuvre pour faire tuer Harald Pelisse grise par Harald le Doré, puis élimine lui-même ce dernier pour le compte de Harald à la dent bleue ("Haraldr *blátǫnn"). Au nom de ce dernier et avec son aide, Hákon reprend le pouvoir en Norvège en 970, obtenant autorité sur sept "fylki" (ou districts) et se partageant le pays avec Harald Grenske ("Haraldr inn grenski"), petit-fils de Harald aux beaux cheveux. Les deux années qui suivent, Haakon lutte contre les ultimes tentatives d’un frère de Pelisse grise, Ragnfrödr, pour reprendre le trône.


title: Håkon Sigurdsson

text: Haakon prend pour épouse Thora ("Þora"), qui lui donne deux fils, Svein ("Sveinn") et Heming ("Hemingr"). Selon la Heimskringla, la jarl Haakon a une vive inclination pour les femmes et il a de nombreux enfants. Parmi eux, on peut citer Éric, fils d'une femme qu'il a connue lors d'un séjour en Uppland et qui règne plus tard sur la Norvège avec son frère Svein.


title: Håkon Sigurdsson

text: En 974, le jarl Haakon vient renforcer son souverain au Jutland lorsque Harald à la Dent bleue se trouve menacé par une expédition menée par . La bataille a lieu autour du Danevirke et Haakon et Harald sont vaincus. Harald est converti au christianisme par Otton et Haakon, resté païen, va être à son tour forcé d’accepter le baptême et de renoncer aux idoles. Cependant Haakon, après avoir quitté la cour du roi et mis les voiles avec toute sa flotte pour retourner en Norvège, en profite pour chasser les prêtres qui lui avaient été alloués pour entamer la christianisation de son pays. Il rend même un sacrifice à Odin et se débarrasse de la suzeraineté danoise, tout en pillant au cours de son périple les terres du roi de Danemark. Cela relança le conflit entre les deux pays.


title: Håkon Sigurdsson

text: En 977, il accorde son aide à de Kiev pour lui permettre de recouvrer son trône en lui fournissant autant de forces vikings qu'il lui est possible.


title: Håkon Sigurdsson

text: Après avoir vainement tenté de reprendre la Norvège en personne, le roi danois envoya contre Haakon les Vikings de Jomsborg, mais ils furent massacrés par le jarl à la bataille du détroit de Hjörung (ou de "Hjörungavágr"). Une saga précise qu’il avait sacrifié un de ses fils à une déesse pour s’assurer de la victoire.


title: Håkon Sigurdsson

text: Haakon fut un bon gestionnaire mais ses abus d’autorité finirent par provoquer la révolte des Norvégiens en 995, à la suite du viol d’une femme de la noblesse. Cela facilita la prise du pouvoir par Olaf Tryggvason. Il est finalement tué dans une soue à cochons par un esclave avec qui il se cache. Ses fils Éric Haakonsson ("Eiríkr Hákonsson") et Svein Haakonsson ("Sveinn Hákonsson") reprennent alors la lutte contre . Sa fille "Bergljót Hákonsdóttir" (vers. 990–vers. 1050/55) est l'épouse de Einar Eindridesson Tambarskjelve (vers. 980–vers. 1050).


title: Traité de Saragosse

text: le traité de Saragosse, signé le , est un accord entre le royaume de Portugal et le royaume de Castille, conclu sous l'égide du pape Clément VII, afin de compléter le traité de Tordesillas de 1494.


title: Traité de Saragosse

text: Le traité de Saragosse est une suite du voyage de Magellan (1519-1521) vers les Moluques, au nom de la Couronne de Castille, alors que les Portugais, ayant atteint les Indes en 1498 en passant par le cap de Bonne-Espérance (Vasco de Gama), étaient déjà installés aux Moluques. Le voyage de Magellan est un désastre humain et un échec sur le plan commercial, même s'il est à l'origine de la première circumnavigation de l'Histoire.


title: Traité de Saragosse

text: Le roi de Castille et d'Aragon, Charles Quint, décide alors de négocier avec le Portugal (1524) dans le cadre d'une commission scientifique, la commission de Badajoz-Elvas, qui ne parvient à aucun résultat. Deux autres expéditions vers les Moluques sont tentées par les Espagnols, en 1525 et en 1527 : deux nouveaux échecs.


title: Traité de Saragosse

text: Des négociations diplomatiques sont alors engagées, aboutissant au traité de Saragosse, qui fixe de façon explicite le méridien de partage dans l'océan Pacifique à l'est des Moluques, mais donne aux Espagnols le droit de s'installer dans les îles Philippines, bien qu'elles se trouvent à l'ouest de ce méridien.


title: Traité de Saragosse

text: Dans les années 1410, les Portugais se lancent dans l'exploration des côtes d'Afrique. En 1488, Bartolomeu Dias découvre le cap de Bonne-Espérance et en 1498, Vasco de Gama atteint Calicut. Les Portugais s'installent ensuite en différents lieux des Indes, notamment aux Moluques.


title: Traité de Saragosse

text: Dès les années 1450, le pape accorde aux Portugais l'exclusivité de la navigation au sud des Canaries, possession de la Couronne de Castille. La reine de Castille, Isabelle, et son époux le roi Ferdinand d'Aragon, reconnaissent cette situation par le traité d’Alcáçovas (1479).


title: Traité de Saragosse

text: Mais après avoir achevé la Reconquista (3 janvier 1492), les Rois catholiques chargent Christophe Colomb d'atteindre les Indes en traversant l'océan Atlantique. En octobre 1492, Colomb découvre plusieurs îles des Caraïbes, notamment Hispaniola et Cuba, qu'il identifie à des territoires inconnus d'Asie.


title: Traité de Saragosse

text: Ces découvertes étant revendiquées par le roi de Portugal, un compromis est signé en 1493 sous l'égide du pape : le traité de Tordesillas, qui établit un méridien traversant l'océan Atlantique et séparant une zone d'exclusivité portugaise et une zone d'exclusivité castillane. Ce méridien est situé à 370 lieues à l'ouest des îles du Cap Vert.


title: Traité de Saragosse

text: En 1511 Afonso de Albuquerque conquiert Malacca, ville importante dans le commerce entre pays d'Asie. Il entend alors parler des Moluques, un archipel situé entre les Célèbes et la Nouvelle-Guinée.


title: Traité de Saragosse

text: Les Moluques sont considérées comme les « îles aux épices », étant productrices exclusives de certains d'entre eux (notamment le clou de girofle et la noix de muscade). En 1512, Albuquerque envoie une expédition commandée par Antonio de Abreu aux Moluques, précisément aux îles Banda.


title: Traité de Saragosse

text: Francisco Serrão, second de l'amiral Abreu, obtient du sultan de Ternate le droit de construire une forteresse : le fort de São João Baptista de Ternate, dont il devient commandant. Or Serrão est un ami du navigateur Fernão de Magalhães (Magellan), qui est alors en poste à Malacca.


title: Traité de Saragosse

text: Magellan met alors au point un projet qui reprend celui de Christophe Colomb : atteindre les Indes, notamment les Moluques, en traversant l'Atlantique, puis le Pacifique (moyennant la découverte d'un passage maritime). Il est aussi persuadé que les Moluques devraient appartenir à la Couronne de Castille. Rentré en Europe, il quitte le Portugal pour la Castille (comme Colomb en 1485) et s'installe à Séville, le centre du monde colonial espagnol. Il réussit à convaincre plusieurs hauts personnages du royaume, et en 1518, obtient l'accord du roi, Charles 1er de Castille (et d'Aragon), qui va être élu empereur en 1520 sous le nom de Charles Quint.


title: Traité de Saragosse

text: L'escadre quitte Séville en août 1519, atteint l'Amérique du Sud et découvre le passage espéré : le détroit de Magellan. Il atteint les Philippines en 1521, mais y est tué en avril en prenant part à un conflit entre chefs indigènes. Les deux navires rescapés, commandés par Juan Sebastián Elcano atteignent les Moluques (Tidore) en novembre, chargent une cargaison d'épices. Elcano part avec un navire vers l'ouest (dans les mers portugaises) et atteint Séville en 1522, réalisant la première circumnavigation, qui n'était pas prévue dans le projet de Magellan. Le second navire repart vers l'Amérique, mais est intercepté par la marine portugaise.


title: Traité de Saragosse

text: Dès 1524, une commission scientifique, dite "Junta de Badajoz-Elvas" est mise en place afin de préciser la situation des Moluques. Mais à cette époque, le calcul de la longitude n'est pas du tout au point, contrairement au calcul de la latitude.


title: Traité de Saragosse

text: La commission comprend, pour chaque partie, trois astronomes, trois pilotes et trois géographes. Ils se réunissent à Badajoz et Elvas, mais ne parviennent pas à un accord.


title: Traité de Saragosse

text: Charles Quint envoie une seconde expédition en 1525, dirigée par García Jofre de Loaísa pour coloniser les Moluques, persuadé lui aussi qu'elles se trouvent dans la zone castillane selon le traité de Tordesillas.


title: Traité de Saragosse

text: L'expédition est un échec, de même que celle organisée par Hernán Cortés à partir de la Nouvelle-Espagne (actuel Mexique) en 1527, avec Álvaro de Saavedra, qui atteint les Moluques (Tidore), mais ne réussit pas à trouver les vents de retour et est capturé lui aussi par les Portugais.


title: Traité de Saragosse

text: Dans ces conditions défavorables pour les Espagnols, un compromis doit être trouvé. Les choses sont facilitées par le fait qu'en 1526, Charles Quint est devenu l'époux de l'infante Isabelle de Portugal.


title: Traité de Saragosse

text: Les plénipotentiaires signataires sont António Azevedo Coutinho pour le Portugal et pour l'Espagne, le comte Mercurio de Gatinara, Garcia de Loyosa, évêque d'Osma, et Garcia de Padilla, commandeur de Calatrava.


title: Traité de Saragosse

text: Le traité de Saragosse définit la continuation du méridien de Tordesillas dans le Pacifique comme passant à 297 lieues à l'est des Moluques (c'est-à-dire, selon notre système de coordonnées, à la longitude 133° Est), qui sont donc reconnues comme portugaises.


title: Traité de Saragosse

text: En contrepartie, le Portugal doit payer ducats d'or à la Couronne de Castille (en l'occurrence, les mesures faites ultérieurement montrent que, en prolongeant le méridien défini par le traité de Tordesillas, les Moluques se trouvaient en zone portugaise).


title: Traité de Saragosse

text: Un point important est que les Philippines, où les Portugais ne sont pas présents et qui ont été découvertes par Magellan en 1521, sont reconnues comme relevant de la Castille, bien que situées à l'ouest du méridien défini à Saragosse.


title: Traité de Saragosse

text: Les deux parties s'accordent pour estimer que toute incursion non autorisée de marins d'autres origines dans leurs zones respectives serait un acte de piraterie.


title: Téléfilms du Caméléon

text: Il était initialement prévu quatre téléfilms, mais par suite d'une mauvaise audience, seulement deux furent produits.


title: Abracadabrantesque

text: Abracadabrantesque est un adjectif dérivé d'abracadabra utilisé pour qualifier une chose incroyable. La création de ce néologisme est attribuée à Arthur Rimbaud en 1871, mais on en trouve une occurrence antérieure dans "Les Vagabonds" de Mario Proth publié en 1865. Il est popularisé en 2000 par Jacques Chirac.


title: Abracadabrantesque

text: Reprenant un sobriquet attribué par Théophile Gautier à la duchesse d'Abrantès (la duchesse d'Abracadabrantès, information rapportée par Jean Tulard en 1971 dans sa "Bibliographie critique des Mémoires sur le Consulat et l'Empire"), Rimbaud utilise ainsi l'adjectif en 1871, dans le poème "Le Cœur supplicié" (« Mon triste cœur bave à la poupe […] »), inclus dans une lettre à son professeur de rhétorique Georges Izambard.


title: Abracadabrantesque

text: Le , au cours d'un entretien télévisé avec Élise Lucet au "19/20" de France 3, le président de la République française Jacques Chirac qualifie d' les accusations posthumes de Jean-Claude Méry sur les financements occultes du RPR. Selon la presse, l’usage de cet adjectif rare aurait été suggéré par Dominique de Villepin, amateur de mots précieux et de poésie. C’est Jacques Chirac qui aurait popularisé l’expression qui, depuis, est parfois reprise dans les médias.


title: Sheikh Hasina

text: Sheikh Hasina (bengali : শেখ হাসিনা), née le , également connue sous son nom de mariée Sheikh Hasina Wazed (bengali : শেখ হাসিনা ওয়াজেদ), est une femme politique bangladaise qui occupe le poste de Première ministre du Bangladesh depuis . Ayant précédemment occupé le poste pendant cinq ans, elle est la Première ministre ayant occupé le poste le plus longtemps dans l'histoire du Bangladesh.


title: Sheikh Hasina

text: Sheikh Hasina est la fille du premier président du Bangladesh, Sheikh Mujibur Rahman, l'aînée de ses cinq enfants. Sa carrière politique s'étend sur plus de quatre décennies. Elle a été chef de l'opposition de 1986 à 1990 et de 1991 à 1995, puis Premier ministre de 1996 à 2001. Elle dirige la Ligue Awami (AL) depuis 1981. En 2008, elle redevient Premier ministre avec une victoire écrasante. En , elle est reconduite comme Premier ministre pour un troisième mandat, à la suite d'une élection sans opposition, car celle-ci a été boycottée par l'opposition et critiquée par les observateurs internationaux. Elle remporte un quatrième mandat en , à la suite d'une élection marquée par la violence et critiquée par l'opposition comme truquée.


title: Sheikh Hasina

text: Sheikh Hasina est considérée comme l'une des femmes les plus puissantes du monde, puisqu'elle figure au rang de la liste "Forbes" des 100 femmes les plus puissantes du monde en 2019. Elle a également fait partie d'une liste des « mondiaux les plus influents » de la décennie 2010. Sheikh Hasina est membre du , un réseau international de femmes présidentes et Premières ministres, actuelles et anciennes. Elle figure dans la liste des 100 personnes les plus influentes dans le monde de 2018 du magazine "Time".


title: Sheikh Hasina

text: Sheikh Hasina est née à Tungipara, au Pakistan oriental, le . Son père était Sheikh Mujibur Rahman, le « père de la nation » et le premier président du Bangladesh. Sa mère était Sheikh Fazilatunnesa Mujib. Elle est l'ainée de leurs cinq enfants et grandit avec ses frères et sœurs dans un petit village rural du district de Gopalganj, ce qui la conduit à appréhender les problèmes de la population rurale. Plus tard, sa famille déménage à Dacca. Elle baigne dans le milieu politique depuis l'enfance, en raison des activités de son père, et bien que celui-ci soit souvent absent, à cause de ses fréquents séjours en prison, il prend le temps de discuter politique avec sa fille, notamment de sa lutte contre le général Ayub Kahn, le président du Pakistan de 1958 à 1959.


title: Sheikh Hasina

text: Lors d'une visite en prison, elle rencontre son futur mari, M. A. Wazed Miah, qui est le leader de la branche estudiantine de la Ligue Awami et grand admirateur de Sheikh Mujibur. Ils se marient en 1967, un mariage arrangé par son père, comme le veut la coutume locale. Un an plus tard, elle commence à étudier la littérature bengalie à l'université de Dacca. Elle y est présidente des étudiants de la Ligue Awami, un poste qu'elle obtient, selon ses propres dires, parce qu'elle est la fille de Bangabandhu.


title: Sheikh Hasina

text: Au matin du , des conspirateurs lancent une opération. Ils sont divisés en quatre groupes. L'un d'eux, composé de membres des Lanciers du Bengale de la 1 division blindée et de la 535 division d'infanterie, sous les ordres du major Huda, attaque la résidence de Mujib. Le correspondant d"', Sukharanjan Dasgupta, qui a décrit la guerre de libération du Bangladesh depuis Dacca jusqu'en 1974, écrit dans son livre que . Il ajoute toutefois que le peloton de l'armée qui protégeait la maison du président n'a opposé aucune résistance. Sheikh Kamal, fils de Mujib, est abattu au rez-de-chaussée ; Sultana Kamal, sa femme, est également tuée . Entre-temps, Mujib est prié de démissionner et a le temps de réfléchir à son choix. Il téléphone au colonel Jamil Uddin Ahmad, le nouveau chef du renseignement militaire. Lorsque Jamil arrive et ordonne le retour des troupes à la caserne, il est abattu à l'entrée de la résidence. Après avoir refusé de démissionner, Mujib est tué par balle.


title: Sheikh Hasina

text: D'autres personnes sont tuées dans l'attaque : Sheikh Fazilatunnesa Mujib, épouse de Mujib, assassinée à l'étage ; Sheikh Nasser, jeune frère de Mujib, tué dans des toilettes ; plusieurs domestiques de Mujib, qui sont également tués dans des toilettes ; Sheikh Jamal, le deuxième fils de Mujib et un officier militaire ; Sheikh Russel, le plus jeune fils de Mujib ; et deux belles filles de Mujib.


title: Sheikh Hasina

text: Au moment du massacre, deux filles de Mujib, Sheikh Hasina et Sheikh Rehana, étaient alors en Allemagne de l'Ouest, où le mari de la première travaillait comme physicien nucléaire. Après le coup d'État, elles reviennent en Inde, au lieu du Bangladesh, et se réfugient auprès du gouvernement indien. Sheikh Hasina vit à New Delhi dans un exil qu'elle s'impose, avant de retourner au Bangladesh le .


title: Sheikh Hasina

text: C'est ainsi qu'elle arrive à Delhi fin de 1975 avec son mari et ses deux enfants, et Saima Wazed. Elle fait un bref séjour au 56 Ring Road, à Lajpat Nagar-3, puis à Pandara Road, près du marché de Pandara. Elle est proche de Subhra, l'épouse du président Pranab Mukherjee. Lors de sa visite à Delhi en 2010, Sheikh Hasina enfreindra le protocole pour rendre visite à cette dernière, dont elle s'était liée d'amitié pendant son exil. Lorsque la Première dame meurt en , elle vient à Delhi avec sa fille pour présenter ses condoléances à la famille de l'ancien président.


title: Sheikh Hasina

text: En 1979, la Ligue Awami s'emploie à ramener Sheikh Hasina au Bangladesh, afin de la soutenir dans une future campagne électorale. Mais le président du Bangladesh de l'époque, Ziaur Rahman, refuse de laisser revenir tout membre survivant de la famille de Mujibur Rahman. Cependant, en 1981, elle est élue à l'unanimité présidente de la Ligue Awami, alors le plus grand parti d'opposition du Bangladesh, et Ziaur Rahman ne peut plus rien faire pour empêcher son retour, ni son ascension politique.


title: Sheikh Hasina

text: Alors qu'elle vit en exil en Inde, Sheikh Hasina est élue présidente de la Ligue Awami du Bangladesh en 1981. Le parti politique est décrit comme un parti de centre-gauche.


title: Sheikh Hasina

text: Sous la loi martiale, Sheikh Hasina est régulièrement emprisonnée puis libérée, tout au long des années 1980. En , elle est assignée à résidence et de nouveau en novembre. En , elle est assignée à résidence pour trois mois supplémentaires. Son parti, ainsi que le Parti nationaliste du Bangladesh (BNP) dirigé par Khaleda Zia, continuent à travailler pour restaurer un gouvernement démocratiquement élu, ce qu'ils réussissent à faire à la suite des élections démocratiques de 1991, remportées par le BNP.


title: Sheikh Hasina

text: Sheikh Hasina et la Ligue Awami participent aux élections législatives bangladaises de 1986 sous le mandat du président Hossain Mohammad Ershad. Elle est chef de l'opposition parlementaire en 1986-1987. Elle dirige une alliance de huit partis qui affronte Ershad. La décision de Sheikh Hasina de participer à l'élection est critiquée par certains de ses adversaires, puisque le scrutin se tient sous la loi martiale ; l'autre principal groupe d'opposition boycotte en effet le scrutin. Cependant, ses partisans soutiennent qu'elle a utilisé cette plateforme de manière efficace pour contester le régime d'Ershad. Ershad dissout le Parlement en , en réaction à une campagne d'opposition continue qui demande sa démission. Le président déclare qu'il va et ajoute qu'il va libérer rapidement les deux principaux leaders de l'opposition, Sheikh Hasina et Khaleda Zia, toutes deux assignés à résidence le , un jour après le début de la campagne anti-gouvernementale. En novembre et , un soulèvement de masse a lieu à Dacca et plusieurs personnes sont tuées, dont Noor Hossain, un partisan de Sheikh Hasina.


title: Sheikh Hasina

text: Depuis son entrée sur la scène politique du Bangladesh, Sheikh Hasina milite pour mettre fin au régime militaire, comme l'avait fait son père contre les dictateurs militaires du Pakistan. Elle doit ainsi se battre contre deux régimes militaires (Zia et Ershad) pendant quinze ans afin d'établir des élections, la démocratie et l'État de droit. C'est en 1996 qu'elle est élue au poste de Premier ministre. Elle est le leader qui permet le rétablissement de la démocratie au Bangladesh, comme son père avait introduit la démocratie parlementaire en 1973.


title: Sheikh Hasina

text: Après plusieurs années de régime autocratique, des protestations et des grèves généralisées paralysent l'économie. Les fonctionnaires du gouvernement refusent de suivre les ordres et démissionnent. Les membres des déposent leurs armes au lieu de tirer sur les manifestants et le couvre-feu est ouvertement violé. Les journalistes ferment les journaux. Les tribunaux cessent leurs activités. Tous les professeurs d'université et les vice-chanceliers quittent leur postes et les médecins arrêtent de travailler. Sheikh Hasina travaille alors avec Khaleda Zia pour organiser l'opposition à Ershad. En , une manifestation de masse évince Ershad du pouvoir : il démissionne en faveur de son vice-président, le juge Shahabuddin Ahmed, également président de la Cour suprême du Bangladesh. Le gouvernement intérimaire, dirigé par Ahmed, organise des élections législatives pour le Jatiya Sangsad, le parlement bangladais. Le Parti nationaliste du Bangladesh, dirigé par Khaleda Zia, obtient une majorité, et la Ligue Awami de Sheikh Hasina devient le plus grand parti d'opposition. Elle se présente dans trois circonsciptions électorales mais en perd deux. Acceptant sa défaite électorale, elle offre sa démission en tant que présidente du parti puis la conserve finalement, à la demande des autres dirigeants du mouvement.


title: Sheikh Hasina

text: La politique au Bangladesh prend un tournant décisif en 1994, après une élection partielle à Magura, tenue après le décès du député de cette circonscription, membre du parti de Sheikh Hasina. La Ligue Awami s'attend à récupérer le siège, mais le candidat du BNP l'emporte grâce à des manipulations, selon un observateur impartial venu observer le scrutin. Hasina mène la Ligue Awami du Bangladesh à boycotter le parlement à partir de 1994.


title: Sheikh Hasina

text: La Ligue Awami (AL), avec d'autres partis d'opposition, demande que les élections générales suivantes soient organisées sous un gouvernement intérimaire neutre, et que des dispositions permettant aux gouvernements intérimaires de gérer les élections soient intégrées dans la Constitution. Le Parti nationaliste du Bangladesh (BNP), au pouvoir, refuse de donner suite à ces demandes.


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text: Les partis d'opposition lancent une campagne sans précédent, appelant à des grèves pendant plusieurs semaines. Le gouvernement les accuse de détruire l'économie, tandis que l'opposition rétorque que le BNP pourrait résoudre ce problème en accédant à leurs demandes. Fin 1995, les députés de la Ligue Awami et d'autres partis démissionnent du Parlement, dont la fin de la législature est proche, et de nouvelles élections se tiennent le . Elles sont boycottées par tous les grands partis, à l'exception du BNP au pouvoir, qui remporte en conséquence tous les sièges du parlement. Sheikh Hasina qualifie l'élection de farce.


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text: Le nouveau Parlement, composé en majorité de membres du BNP, modifie la Constitution afin de créer des dispositions visant à créer un gouvernement intérimaire (CTG). De nouvelles élections se tiennent donc le , sous un gouvernement intérimaire neutre dirigé par le juge en chef à la retraite Muhammad Habibur Rahman. L'AL remporte le plus grand nombre de sièges, 146, mais n'obtient pas la majorité. Khaleda Zia, leader du BNP, qui remporte , critique les résultats et les allégations de fraude électorale. Plusieurs observateurs neutres affirment cependant que le scrutin était libre et équitable.


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text: Sheikh Hasina est Premier ministre de 1996 à 2001. Elle devient la première chef de gouvernement du pays depuis l'indépendance à terminer son mandat. Elle signe le traité de partage des eaux du Gange avec l'Inde, valable pour trente ans. Son administration abroge la loi d'immunité, qui protégeait les assassins de Sheikh Muijib, son père et premier président du Bangladesh. Son gouvernement ouvre au secteur privé l'industrie des télécommunications, jusqu'alors limitée aux entreprises publiques. En 1999, le gouvernement lance une initiative industrielle visant à renforcer l'industrie privée et à encourager la croissance.


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text: Sous sa mandature, le Bangladesh rejoint deux organismes multilatéraux, l'Initiative de la baie du Bengale pour la coopération technique et économique multisectorielle (" - BIMSTEC) et l'organisation de coopération économique D-8.


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text: Lors des élections générales bangladaises de 2001, bien qu'elle obtienne 40 % des voix (un peu moins que les 41 % du BNP), l'AL ne remporte que au Parlement, tandis que l'Alliance des quatre partis dirigée par le BNP en obtient 234, ce qui lui donne une majorité des deux tiers au Parlement. Sheikh Hasina elle-même se présente dans trois circonscriptions, et est battue dans celle de Rangpur, qui comprend la ville natale de son mari, mais remporte les deux autres sièges. Sheikh Hasina et l'AL rejettent les résultats, affirmant que l'élection a été truquée avec l'aide du président et du gouvernement intérimaire. La communauté internationale est largement satisfaite de ces élections et l'Alliance des quatre partis forme le nouveau gouvernement.


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text: Les députés de la Ligue Awami sont irréguliers dans leur présence au Parlement pendant la période qui suit. Fin 2003, le parti lance son premier grand mouvement anti-gouvernemental, qui culmine avec la déclaration du secrétaire général du parti, Abdul Jalil, selon laquelle le gouvernement tomberait avant le . Cela n'a pas lieu et est considéré comme un coup dur pour le parti et Sheikh Hasina, qui a implicitement soutenu Jalil.


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text: Au cours de son deuxième mandat à la tête de l'opposition, les troubles politiques et la violence s'intensifient. Le député meurt, abattu en . Le , un attentat à la grenade perpétré contre un rassemblement de la Ligue Awami à Dacca fait plus de et entraîne la mort de , dont , secrétaire des femmes du parti. L'attaque est menée à 17 h 22, après que Sheikh Hasina a fini de s'adresser à une foule de 20 000 personnes à l'arrière d'un camion. L'attentat vise la présidente de l'AL, qui est blessée lors de l'attaque.


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text: Le , un tribunal spécial rend des verdicts dans deux affaires liées à cet incident ; il juge qu'il s'agit d'un plan bien orchestré, exécuté grâce à un abus de pouvoir de l'État, et tous les accusés, y compris le premier vice-président du BNP, Tarique Rahman (par contumace), et d'anciens hauts responsables des services de renseignement, sont reconnus coupables. Le tribunal prononce diverses sanctions. , l'ancien ministre des Finances de Sheikh Hasina, est également tué cette année-là (2004) dans un attentat à la grenade à Sylhet.


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text: En , , un membre de la Ligue Awami remporte l'importante élection municipale de Chittagong, la ville portuaire du Bangladesh et la deuxième plus grande ville du pays. Cette élection est considérée comme une épreuve de force entre l'opposition et le parti au pouvoir.


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text: Les mois précédant les élections prévues pour le sont marqués par des troubles et des controverses politiques. Après la fin du gouvernement de Khaleda Zia, fin , se tiennent des manifestations et des grèves, au cours desquelles quarante personnes sont tuées, en raison de l'incertitude quant à la personne qui dirigerait le gouvernement intérimaire. Ce dernier a du mal à réunir toutes les parties autour de la table. AL et ses alliés protestent et allèguent que le gouvernement intérimaire favorise le BNP.


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text: La période intérimaire est marquée par la violence et les grèves. Le conseiller présidentiel négocie avec Sheikh Hasina et Khaleda Zia et amène toutes les parties aux élections parlementaires de . Par la suite, la nomination de Hossain Mohammad Ershad est annulée et, en conséquence, la Grande Alliance retire ses candidats en masse le dernier jour possible avant le scrutin.


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text: Plus tard dans le mois, le président Iajuddin Ahmed est contraint d'imposer l'état d'urgence et le général de corps d'armée prend la tête du gouvernement. Les activités politiques sont interdites. Fakhruddin Ahmed devient conseiller principal, avec le soutien de l'armée du Bangladesh.


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text: En , Sheikh Hasina est accusée de corruption et d'extorsion par le gouvernement intérimaire soutenu par l'armée pendant la . Elle est accusée d'avoir forcé l'homme d'affaires Tajul Islam Farooq à verser des pots-de-vin en 1998 pour que son entreprise puisse construire une centrale électrique. Farooq a déclaré qu'il avait payé Sheikh Hasina pour l'approbation de son projet.