title: Calcul des variations

text: Pour la formulation de la notion de minimum fort, d'autres espaces fonctionnels que formula_31 sont possibles : on peut notamment le remplacer par formula_39, l'espace des fonctions absolument continues de formula_13 dans (on a formula_41) ; dans certains cas, admet un minimum sur formula_39 mais non sur formula_31 comme l'a montré Leonida Tonelli en 1915. Néanmoins, nous nous limiterons dans ce qui suit à la définition donnée plus haut qui permet d'éviter quelques difficultés.


title: Calcul des variations

text: Notons qu'une fonction continûment dérivable qui fournit un minimum local fort fournit nécessairement un minimum local faible. Par suite, "pour une fonction continûment dérivable", une condition nécessaire de minimum local faible (voir, ci-dessous, la partie (A) du théorème de Jacobi-Weierstrass) est également une condition nécessaire de minimum local fort. Au contraire, une condition suffisante de minimum local fort (voir, ci-dessous, la condition suffisante de minimum fort de Weierstrass) est également une condition suffisante de minimum local faible, compte tenu du schéma logique, valide pour une fonction de classe formula_25 :


title: Calcul des variations

text: Considérons le problème de Lagrange à extrémités fixes (le problème à extrémités variables conduit à ajouter les conditions de transversalité : voir, "infra", le § Pseudo-hamiltonien et principe du maximum ; conditions de transversalité). Soit un accroissement de , où est une fonction continûment dérivable telle que (on notera ci-dessous formula_55 l'espace vectoriel formé des vérifiant ces conditions) et est un nombre réel. Il en résulte un accroissement de , en négligeant les termes du second ordre en pour tendant vers 0. En effet, un développement limité au premier ordre donne


title: Calcul des variations

text: Toute fonction , définie dans un voisinage de , et pour laquelle un tel développement limité existe est dite « dérivable au sens de Gateaux dans la direction de », et par définition


title: Calcul des variations

text: est la « dérivée de Gateaux » de au point dans la direction de . L'application formula_58 est homogène ( pour tout réel ) mais n'est pas linéaire en général.


title: Calcul des variations

text: Applications : voir #Géodésiques d'une variété riemannienne. L'équation d'Euler-Lagrange permet aussi de déterminer la courbe brachistochrone.


title: Calcul des variations

text: On introduit des multiplicateurs de Lagrange formula_64 où formula_65, et on forme la quantité (appelée Lagrangien, mais dans un sens qui n'est pas à confondre avec le précédent, d'où la majuscule employée)


title: Calcul des variations

text: Une condition nécessaire pour que soit solution du problème isométrique est qu'il existe des multiplicateurs de Lagrange comme ci-dessus, non tous nuls, tels que rende stationnaire . Cette stationnarité équivaut à la satisfaction de la même équation d'Euler-Lagrange que plus haut.


title: Calcul des variations

text: Si les différentielles sont linéairement indépendantes, on a nécessairement : c'est alors la formulation classique du théorème des multiplicateurs de Lagrange.


title: Calcul des variations

text: Avec les notations introduites lors de la position du problème (§ Problèmes à intégrale multiple), une condition nécessaire de stationnarité, si l'on se restreint aux extrémales de classe formula_68 (pour les extrémales de classe formula_69, on utilisera le lemme de Haar) est donnée par l'équation d'Ostrogradski (généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange) :


title: Calcul des variations

text: où formula_50 désigne la différentielle de "u" ; on peut également noter cette différentielle formula_72, où formula_73 est l'espace des applications linéaires de formula_74 dans . Lorsque formula_75, l'équation d'Ostrogradski peut s'expliciter comme suit :


title: Calcul des variations

text: D'après le théorème de la divergence (ou d'Ostrogradski), dans sa version à "n" variables, la seconde intégrale est égale à l'intégrale de surface


title: Calcul des variations

text: où formula_80 est le vecteur unitaire sortant de de la normale à et est la mesure superficielle. Cette seconde intégrale est nulle si l'on prend s'annulant sur , et il reste alors


title: Calcul des variations

text: La condition de stationnarité entraîne que pour toute fonction formula_82 s'annulant sur , et le théorème énoncé est maintenant une conséquence du lemme fondamental du calcul des variations.


title: Calcul des variations

text: Désormais nous considérons le problème de Lagrange et nous supposons formula_14 de classe formula_52, ainsi que ses différentielles partielles formula_85 et formula_86, et . On recherche dans ce paragraphe une des conditions du second ordre de minimum local "faible".


title: Calcul des variations

text: Soit une extrémale, pour laquelle on a donc, par définition, , et faisons un développement limité au second ordre de . Sous l'hypothèse ci-dessus, la différentielle seconde formula_87 de existe au point (où formula_88 est l'espace des formes bilinéaires continues sur formula_89) et


title: Calcul des variations

text: où pour abréger on a écrit formula_92 pour formula_93, etc. En intégrant les second terme par parties on obtient


title: Calcul des variations

text: La quantité doit être non négative pour tout accroissement de classe formula_25 tel que . On montre qu'une condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi est que la forme bilinéaire symétrique (définissant le premier terme de l'intégrale ci-dessus) soit semi-définie positive, ce qu'on écrira sous la forme formula_99 : c'est la condition faible de Legendre (ou de Legendre-Clebsch). En effet, dans l'intégrale , le terme


title: Calcul des variations

text: « prédomine », dans le sens où l'on peut construire des fonctions réelles, définies dans , nulles en et , de petite amplitude et dont la dérivée est de grande amplitude (alors qu'une fonction nulle en et , dont la dérivée est de petite amplitude sur , est nécessairement de petite amplitude).


title: Calcul des variations

text: (Voir les §§ Problèmes à intégrale multiple et Cas des problèmes à intégrale multiple). La condition faible de Legendre, qui porte alors le nom de "condition de Legendre-Hadamard", s'écrit formula_101 où


title: Calcul des variations

text: Reste que les deux termes de l'intégrale formula_103 doivent être considérés simultanément. Si "h" est la fonction nulle, il est clair que . Par conséquent, cette fonction nulle doit minimiser , avec les conditions aux limites , dans un voisinage de 0 dans formula_29 (« problème de minimisation secondaire »). Ceci conduit à étudier l'équation d'Euler-Lagrange (EL) associée à ce problème secondaire. Il s'agit de l'équation de Jacobi


title: Calcul des variations

text: Dans le cas usuel (et seulement envisagé par Jacobi), où , cette dernière condition équivaut à formula_106.


title: Calcul des variations

text: S'il existe un point conjugué à dans l'intervalle , il existe une solution non nulle rendant stationnaire . Alors pour tout , rend stationnaire .


title: Calcul des variations

text: L'accroissement nul donne un minimum local faible strict pour parmi les accroissements de classe formula_25 tels que , si et seulement si la condition forte de Jacobi est satisfaite : il n'existe pas de point conjugué à dans l'intervalle .


title: Calcul des variations

text: Supposons que formula_108. La condition forte de Jacobi devient alors triviale si la condition forte de Legendre est vérifiée. Par suite, une condition suffisante pour que donne un minimum local faible strict est que la condition d'Euler-Lagrange et la condition forte de Legendre soient toutes deux satisfaites.


title: Calcul des variations

text: Ce résultat est encore valable dans le cas des problèmes à intégrale multiple (§§ Problèmes à intégrale multiple et Cas des problèmes à intégrale multiple) lorsque formula_109. Comme application, voir le § Problème de Dirichlet.


title: Calcul des variations

text: Supposons que la condition forte de Legendre soit satisfaite () et que de plus , ceci pour tout . Alors il est clair que pour tout de classe formula_25 tel que . Par suite, il n'y a pas de point conjugué à dans l'intervalle , et un minimum local faible strict de est atteint au point . Ceci généralise la remarque précédente.


title: Calcul des variations

text: avec les notations déjà introduites dans ce cas (i.e. formula_112). Supposons cette forme définie positive pour tout formula_113. Alors la variation seconde de est strictement positive pour tout accroissement non nul et suffisamment petit "h" de dans formula_114, s'annulant sur la frontière de "D", et par conséquent un minimum local faible strict est obtenu pour .


title: Calcul des variations

text: Considérons de nouveau le problème de Lagrange à extrémités fixes, en supposant formula_14 de classe formula_68, mais cherchons cette fois un minimum local "fort". Définissons en fonction du lagrangien formula_117 la "fonction de Weierstrass" ou « excessus »


title: Calcul des variations

text: La "condition nécessaire de Weierstrass" peut s'obtenir soit directement, grâce aux « variations en aiguille » introduites par Weierstrass, soit, comme on va le voir plus loin, comme une conséquence du principe du maximum de la commande optimale.


title: Calcul des variations

text: La "condition suffisante de Weierstrass" est une conséquence directe sa formule intégrale, explicitée et démontrée plus bas en utilisant les apports de Hilbert, de Poincaré et de E. Cartan. Cette relation fondamentale conduit au résultat suivant :


title: Calcul des variations

text: On considère à présent le problème à extrémités variables. Il suffit, comme on l'a vu, de considérer le problème de Lagrange, puisque celui de Bolza s'y ramène (cela simplifie les conditions de transversalité ci-dessous). Les fonctions formula_14 et formula_124 sont supposées continûment différentiables et est supposé de dimension finie.


title: Calcul des variations

text: Le dual de formula_128 est identifié avec formula_129. Soit les deux équations canoniques de Hamilton


title: Calcul des variations

text: Notons formula_132 l'espace tangent à la variété formula_133 au point formula_134 et formula_135 l'orthogonal de formula_132 dans formula_129, c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues formula_138 telles que formula_139. On définit de même formula_140 et formula_141


title: Calcul des variations

text: La première d'entre elles est justifiée plus loin. Le résultat suivant est une conséquence du principe du maximum de la commande optimale :


title: Calcul des variations

text: Nous supposons maintenant que la variété formula_133 soit de la forme formula_145 où formula_146 et formula_147sont des sous-variétés de formula_148 et de , respectivement. L'équation de transversalité s'écrit donc


title: Calcul des variations

text: alors que dans le cas d'un instant final fixé, formula_154 et formula_155, donc (a) est trivialement vérifiée. Dans les deux cas on a "une" équation: (a') dans le premier, dans le second.


title: Calcul des variations

text: Dans le cas d'un état final fixé, formula_159 et formula_160, donc (b) est trivialement vérifiée. Dans les deux cas on a "n" "équations", si est de dimension "n" : (b') dans le premier, dans le second.


title: Calcul des variations

text: Montrons que les conditions nécessaires de minimum local fort données plus haut, à l'exception de la condition de Jacobi, sont des conséquences du principe du maximum du calcul des variations, et ceci bien qu'on se place ici dans le contexte plus général d'extrémités éventuellement variables (la condition de Jacobi classique n'est valide que dans le cas d'extrémités fixes envisagé plus haut ; néanmoins une condition analogue, faisant intervenir la notion de "point focal", due à Kneser, a été obtenue dans le cas d'une extrémité finale libre).


title: Calcul des variations

text: La seconde équation canonique implique donc maintenant l'équation d'Euler-Lagrange (EL) en chaque point auquel est continûment dérivable. D'autre part, on a


title: Calcul des variations

text: Par conséquent, en utilisant l'expression de qui vient d'être obtenue, on voit que le principe du maximum implique la condition faible de Weierstrass. Celle-ci à son tour implique la condition faible de Legendre.


title: Calcul des variations

text: Hilbert a montré le résultat suivant en utilisant le théorème des fonctions implicites : si formula_14 de classe formula_173 et le lagrangien est régulier, alors une extrémale de classe formula_25 sur un intervalle est de classe formula_175 sur cet intervalle. Par conséquent, dans les conditions du corollaire ci-dessus, est de classe formula_175.


title: Calcul des variations

text: Supposons de nouveau le lagrangien régulier. La maximisation du pseudo-hamiltonien implique la condition d'Euler


title: Calcul des variations

text: Puisque le lagrangien est régulier, le théorème des fonctions implicites implique que "u" est (localement) une fonction de classe formula_25 de "z", qu'on peut écrire formula_182.


title: Calcul des variations

text: Le passage des variables formula_187 aux « variables canoniques » est la "transformation de Legendre".


title: Calcul des variations

text: Puisque formula_188, l'égalité (E) du principe du maximum implique, en tout point auquel et sont continûment dérivables (donc sauf en un nombre fini de points)


title: Calcul des variations

text: Considérons de nouveau le problème de Lagrange, mais à condition initiale fixée : formula_190. Le lagrangien est supposé régulier.


title: Calcul des variations

text: D'après le principe général de la programmation dynamique de Bellman, généralisation du principe d'Huyghens-Fresnel, une fonction minimise , si, et seulement si pour tout , minimise le critère


title: Calcul des variations

text: Désignons par la valeur optimale de ce critère et considérons de nouveau le pseudo-hamiltonien formula_193. L'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman du calcul des variations est l'équation aux dérivées partielles


title: Calcul des variations

text: Introduisons comme plus haut la fonction , découlant de la maximisation du pseudo-hamiltonien (dans (HJB)) et du théorème des fonctions implicites et posons, pour alléger les écritures, formula_196. On a le résultat suivant :


title: Calcul des variations

text: & =\min\limits_{u\in \mathbf X}\left\{ \mathcal L( \tau ,\xi ,u) \Delta\tau -S (\tau +\Delta \tau ,\xi +\Delta \xi )+o\left(


title: Calcul des variations

text: & =\min\limits_{u\in \mathbf X}\left\{ \mathcal L(\tau ,\xi ,u) \Delta\tau-S (\tau ,\xi)-\frac{\partial S }{\partial t}(\tau,\xi) \Delta t-\frac{\partial S }{\partial \xi }(\tau ,\xi)\Delta \xi+o( \Delta \tau) \right\}


title: Calcul des variations

text: avec formula_197. Par conséquent, en ajoutant aux deux membres, en divisant par et en faisant tendre vers 0, on obtient


title: Calcul des variations

text: ce qui équivaut à l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. La condition aux limites et la valeur optimale du critère découlent de la définition de .


title: Calcul des variations

text: Soit la fonction déterminée par l'équation différentielle formula_202 et la condition initiale . On a alors


title: Calcul des variations

text: compte tenu de la condition aux limites. Puisque formula_205 et formula_206 sont fixés, formula_207 l'est aussi, et formula_208 est minimal pour formula_209.


title: Calcul des variations

text: La formulation de Carathéodory est équivalente au théorème de Bellman dans le contexte du Calcul des variations. Elle peut s'exprimer sous la forme suivante : supposons qu'il existe une fonction continûment différentiable formula_210 telle que, en posant, comme on l'a déjà fait plus haut,


title: Calcul des variations

text: (à supposer que le maximum existe et soit strict), soit solution de l'équation aux dérivées partielles « de Carathéodory »


title: Calcul des variations

text: En récrivant l'équation de Carathéodory à l'aide de l'hamiltonien formula_214, on obtient l'équation d'Hamilton-Jacobi


title: Calcul des variations

text: Soit , de sorte que, par identification, formula_216 et que ses éléments sont représentés par des vecteurs colonne. La fonction dépend d'un vecteur de "n" paramètres. Supposons donc que l'équation de Hamilton-Jacobi admette une solution , de classe formula_52. Posons


title: Calcul des variations

text: d'après le théorème des fonctions implicites, cette équation détermine (localement) "x" en fonction de "t", et formula_220 :


title: Calcul des variations

text: qu'on peut vérifier en développant les deux membres dans la base canonique de formula_74 et sa base duale. La raison de ceci est donnée au § Justification du théorème de Pontryagin-Boltyanskii de l'article Commande optimale.)


title: Calcul des variations

text: On notera que puisque formula_236 est indépendant de formula_237, il en va de même de formula_238 d'après la première équation canonique ; on peut donc supprimer formula_237 de ses arguments et écrire


title: Calcul des variations

text: Il s'ensuit que les composantes formula_242 du vecteur ligne (ou covecteur) formula_237 sont des constantes d'intégration de la variable "x" telle que formula_240. Par suite, en notant formula_245 le vecteur colonne de composantes formula_242, on peut écrire


title: Calcul des variations

text: L'équation de Hamilton-Jacobi s'intègre avec la condition formula_250 pour formula_251. Pour tout accroissement admissible infiniment petit formula_252 on a donc nécessairement


title: Calcul des variations

text: Or, d'après l'équation de Hamilton-Jacobi, formula_254, et d'après (Dp), formula_255, d'où la condition de transversalité sur la variété formula_11.


title: Calcul des variations

text: Revenons au problème de Lagrange à instants initial et final fixés. Le théorème de Jacobi a permis d'obtenir la solution générale des équations canoniques (donc toutes les extrémales formula_257, de pente ) à partir de la fonction .


title: Calcul des variations

text: Alors formula_260 est appelé un "champ d'extrémales" autour de si par tout point formula_261 passe une extrémale et une seule formula_262, étant fixé, pour laquelle formula_263. Cette notion est due à Weierstrass. Si un tel champ existe, on peut résoudre en l'équation formula_264, et on obtient donc une fonction . En conséquence, la pente de l'extrémale formula_265 s'exprime elle aussi comme une fonction formula_266 qu'on supposera de classe formula_52.


title: Calcul des variations

text: On montre que si les conditions (II') et (III') sont satisfaites, l'extrémale formula_268, où formula_269 est fixé, peut être entourée d'un champ d'extrémales ayant une fonction de pente formula_270 de classe formula_52.


title: Calcul des variations

text: Supposons que l'extrémale formula_272 soit entourée d'un champ d'éxtrémales de pente formula_273 et posons


title: Calcul des variations

text: est donc une différentielle exacte formula_283 avec formula_284 et formula_285 (équation de Hamilton-Jacobi).


title: Calcul des variations

text: Soit maintenant formula_286 une courbe admissible quelconque (ne vérifiant donc pas "a priori" la première équation canonique) et formula_287 une extrémale admissible (qui, sous certaines conditions, sera unique). On a d'après ce qui précède


title: Calcul des variations

text: Cette quantité est appelée l"'intégrale de Hilbert" ; elle est invariante, c'est-à-dire indépendante de la courbe admissible considérée formula_289. On peut mettre l'intégrale de gauche sous la forme


title: Calcul des variations

text: L'ensemble des familles de transformation laissant invariante "J" forme un groupe de Lie formula_311, le groupe des symétries de "J". Chaque formula_312 forme un sous-groupe de Lie à un paramètre de formula_311, dont le champ de vecteurs est un générateur infinitésimal, donc un élément de l'algèbre de Lie formula_314 de formula_311.


title: Calcul des variations

text: Supposons que formula_14 ne dépende pas explicitement de . Alors est invariante par la famille de transformations formula_319, formula_320, d'où , . Par suite, formula_321 et le théorème de Noether se traduit par


title: Calcul des variations

text: En mécanique, est l'action, dont le lagrangien est formula_323 où formula_324 (la « masse généralisée » est une matrice symétrique réelle définie positive) est l'énergie cinétique et formula_325 est l'énergie potentielle. La « variable adjointe », à savoir le covecteur


title: Calcul des variations

text: s'identifie dans l'espace euclidien au transposé du vecteur colonne formula_327 qui est la quantité de mouvement. Alors


title: Calcul des variations

text: est l'énergie totale. Le théorème de Noether fournit donc le théorème usuel de conservation de l'énergie totale.


title: Calcul des variations

text: Supposons que le lagrangien de dépende pas explicitement de la variable . Alors "J" est invariante par la famille de transformations formula_329, formula_330, formula_331 donc , , , et par suite .


title: Calcul des variations

text: On a vu que dans le cadre de la mécanique, s'interprète comme la quantité de mouvement suivant la direction (s'il y a "m" particules, formula_332 se conserve).


title: Calcul des variations

text: Supposons le lagrangien invariant par rotation de autour, par exemple, de l'axe dans l'espace usuel à 3 dimensions. Alors est invariant relativement à la famille de transformations


title: Calcul des variations

text: Dans le cadre de la mécanique, cette quantité s'interprète comme le moment cinétique (s'il y a "m" particules, formula_340 se conserve).


title: Calcul des variations

text: Soit "X" une variété différentielle. Une courbe formula_341 de classe formula_25 tracée sur "X" (où "I" est un intervalle de formula_343) a pour dérivée au point formula_344 le vecteur tangent formula_345, et formula_346 où est le fibré tangent de "X". Soit alors formula_347 une fonction de classe formula_25 (on suppose ici, pour simplifier, que ce lagrangien ne dépend pas explicitement du temps ; sinon on devra remplacer "X" par ). La fonctionnelle considérée dans le problème de Lagrange est de nouveau


title: Calcul des variations

text: La variable adjointe , ou plus exactement le couple , appartient au fibré cotangent . La transformation de Legendre est


title: Calcul des variations

text: en supposant qu'il s'agisse d'un difféomorphisme, dont l'application inverse est formula_351. L'hamiltonien est


title: Calcul des variations

text: L'équation d'Euler-Lagrange est inchangée, et formula_353 est solution de cette équation si, et seulement si et formula_354 sont solutions des deux équations canoniques de Hamilton.


title: Calcul des variations

text: On a rapidement évoqué plus haut quelques applications du théorème de Noether à la Mécanique. Voyons maintenant d'autres applications.


title: Calcul des variations

text: Soit un système conservatif (c'est-à-dire soumis à des forces qui dérivent toutes d'un potentiel) à "n" degrés de libertés et formula_355 le vecteur de ses coordonnées généralisées (noté "x" dans ce qui précède). L'action entre les instants formula_206 et formula_357 est la quantité


title: Calcul des variations

text: où le lagrangien formula_14 est défini par l'expression formula_360, formula_361 étant l'énergie cinétique et formula_362 l'énergie potentielle.


title: Calcul des variations

text: Le principe de moindre action, tel qu'énoncé par Pierre Louis Moreau de Maupertuis, postule que le mouvement entre les instants formula_206 et formula_357 s'effectue de manière à rendre cette action minimale.


title: Calcul des variations

text: Considérons le cas très simple d'un point matériel se déplaçant sur l'axe des "x" et soumis à une force de rappel formula_365, formula_366. Cette force dérive du potentiel formula_367. Le lagrangien est donc formula_368 avec formula_369. L'équation d'Euler-Lagrange donne l'équation de Newton habituelle du mouvement de l'extrémité d'un ressort à laquelle est accrochée une masse "m", l'autre extrémité étant fixe (et le ressort lui-même étant supposé de masse négligeable) :


title: Calcul des variations

text: On a formula_371, et la condition forte de Legendre est donc vérifiée. Un calcul élémentaire montre que l'équation de Jacobi est également


title: Calcul des variations

text: dont les solutions sont de la forme formula_373 où formula_374. La condition faible de Jacobi n'est donc pas vérifiée sur un intervalle d'amplitude plus grande que formula_375, et par suite l'action sur un tel intervalle intervalle n'est pas minimisée.


title: Calcul des variations

text: Le mouvement d'un ressort vibrant dont les extrémités sont fixes peut être approché par celui d'une infinité de points matériels tels que ci-dessus, ayant des pulsations formula_376 multiples d'une pulsation fondamentale. Il n'existe alors aucun intervalle de temps, aussi petit soit-il, sur laquelle l'action correspondante puisse être minimale.


title: Calcul des variations

text: Le principe de moindre action de Maupertuis doit donc être corrigé, et l'énoncé correct est principe d'action stationnaire de Hamilton : le mouvement s'effectue non pas, en général, de manière à minimiser l'action, mais la rendre stationnaire, c'est-à-dire à annuler sa première variation, ce qu'on écrit traditionnellement sous la forme formula_377.


title: Calcul des variations

text: La métrique d'une variété pseudo-riemannienne de dimension "n" munie de sa connexion de Levi-Civita est donnée par la forme différentielle formula_378 définie par


title: Calcul des variations

text: où les formula_380 sont des fonctions continûment différentiables des coordonnées formula_381 ; les indices "i" et "j" varient entre 1 et "n". La forme quadratique ci-dessus est supposée non dégénérée, autrement dit, si "G" désigne la matrice dont les éléments sont les formula_380, cette matrice est symétrique réelle inversible (le cas d'un espace de Riemann correspond à celui où toutes ces valeurs propres restent strictement positives). La longueur d'une courbe paramétrée de classe formula_52, formula_384, d'extrémités fixes formula_385 et formula_386, est donc


title: Calcul des variations

text: Puisque la géodésique est parcourue à vitesse constante (c'est-à-dire formula_390), le paramétrage est affine (formula_391) en fonction de l'abscisse curviligne "s". On a donc formula_392 et l'équation d'Euler-Lagrange s'explicite comme suit :


title: Calcul des variations

text: Il s'agit également de l'équation d'Euler-Lagrange pour les courbes rendant stationnaire l'« énergie »


title: Calcul des variations

text: En introduisant les symboles de Christoffel de première espèce formula_395, cette expression se met sous la forme


title: Calcul des variations

text: Soit maintenant formula_397 les éléments de la matrice formula_398 et soit les symboles de Christoffel de deuxième espèce formula_399 ; on obtient finalement l'équation géodésique


title: Calcul des variations

text: Soit formula_401. La dérivée covariante du champ de vecteurs "u" le long de la courbe "x" est donnée par


title: Calcul des variations

text: par conséquent les géodésiques sont les courbes de classe formula_52, formula_404 telles que, avec formula_405,


title: Calcul des variations

text: C'est également de cette façon qu'on définit une courbe géodésique sur une variété munie d'une connexion affine quelconque. Une géodésique reste telle par reparamétrage si, et seulement si celui-ci est affine.


title: Calcul des variations

text: La condition faible de Legendre n'est satisfaite que dans le cas riemannien (et dans ce cas la condition forte de Legendre est satisfaite). C'est donc dans ce cas seulement qu'on peut avoir des géodésiques "minimales".


title: Calcul des variations

text: (en considérant le produit scalaire dans formula_409 de la fonction formula_410 avec formula_411) avec égalité si, et seulement si formula_412, c'est-à-dire si "t" dépend de manière affine de l'abscisse curviligne.


title: Calcul des variations

text: L'étude des géodésiques minimales peut s'effectuer grâce au théorème de Jacobi-Weierstrass et on obtient ce qui suit :


title: Calcul des variations

text: Considérons une famille de courbes formula_415 où la fonction formula_416 est de classe formula_417, "I" est un intervalle ouvert contenant l'intervalle formula_418 et "J" est un intervalle ouvert contenant 0. On suppose de plus que pour tout formula_419, formula_420, formula_421, et formula_422 n'est pas identiquement nul dans formula_418. Supposons que formula_424 soit une géodésique formula_311 (ce qui implique que la variable "t" dépend de l'abscisse curviligne de formula_311 de manière affine). On a alors le résultat suivant :


title: Calcul des variations

text: La notion de point conjugué se laisse bien appréhender dans le cas de la sphère, qui est une variété riemannienne particulière. Les géodésiques de la sphère sont les grands cercles. Soit "A" un point d'une sphère de centre "O" ; son point conjugué est son antipode "B". Soit "C" un point d'un grand cercle passant par "A", orienté dans le sens trigonométrique. La distance entre "A" et "C" est minimale (resp. strictement minimale) à la surface de la sphère si, et seulement si l'angle formula_427 est inférieur ou égal (resp. strictement inférieur) à 180°. Ceci illustre la partie (2) du théorème énoncé plus haut.


title: Calcul des variations

text: Considérons un cylindre à base circulaire, d'axe vertical. Il s'agit de nouveau d'une variété riemannienne qui est paramétrée par formula_428 où


title: Calcul des variations

text: Soit une courbe formula_430 à la surface de ce cylindre. Un calcul très simple montre que cette courbe est une géodésique si, et seulement si elle est un cercle (situé dans un plan horizontal) ou une droite verticale ou une hélice circulaire. Soit alors "A" un point du cylindre et "H" une hélice circulaire passant par "A". Un calcul de nouveau très simple montre que "A" n'a pas de point conjugué sur "H". Mais il existe une infinité d'hélices circulaires passant par deux points "A" et "B" du cylindre. De plus, si "B" est un point situé au-dessus de "A", le chemin le plus court reliant "A" et "B" n'est pas une hélice circulaire, mais la droite verticale passant par "A" et "B". Ceci illustre bien le caractère « local » de la partie (1) du théorème énoncé plus haut.


title: Calcul des variations

text: D'après l'équation d'Ostrogradski (§ Cas des problèmes à intégrale multiple) et la , les fonctions de classe formula_52 minimisant cette fonctionnelle sont les solutions de l'équation de Laplace


title: Calcul des variations

text: autrement dit ce sont les fonctions harmoniques. Le Principe de Dirichlet (établi de manière rigoureuse par Hilbert et Henri Lebesgue peu avant 1900, puis réexaminé par Hadamard en 1906) énonce qu'il existe une unique fonction de classe formula_25 sur "D", minimisant l'intégrale de Dirichlet, continue sur l'adhérence de "D" et prenant des valeurs fixées sur sa frontière, et cette fonction est harmonique sur "D".


title: Calcul des variations

text: Le problème de la reine Didon consiste à déterminer, parmi toutes les courbes de classe formula_25 et de longueur "l", celle qui délimite avec un segment "AB" l'aire maximale. Il peut donc se formaliser de la manière suivante : minimiser


title: Calcul des variations

text: Introduisons les multiplicateurs de Lagrange formula_65 et formula_441. D'après la remarque faite à propos des problèmes isopérimétriques, on a nécessairement formula_442. Il vient donc, avec formula_443,


title: Calcul des variations

text: Les courbes extrémales sont donc des arcs de cercle. Pour qu'une telle courbe soit solution du problème, il faut bien entendu que la longueur "l" soit supérieure ou égale à la longueur de "AB".


title: Hans Memling

text: Hans Memling ou Hans Memlinc est un peintre allemand de style flamand, né à Seligenstadt en électorat de Mayence vers 1435-1440, devenu citoyen de Bruges en 1465, où il meurt en 1494. Il est l'un des plus grands représentants de la peinture brugeoise du , aux côtés de Jan van Eyck, de Petrus Christus et de Gérard David, et de l'école des peintres primitifs flamands.


title: Hans Memling

text: Avant de s'installer à Bruges, Memling travaille dans l'atelier bruxellois de Rogier van der Weyden, et il n'ouvre son propre atelier qu'après la mort de Rogier van der Weyden en 1464. D'évidentes similitudes stylistiques étayent une relation étroite entre les deux artistes. Memling développe ensuite un style personnel, empreint de sérénité et de douceur, qui à son tour prend valeur d'exemple pour ses contemporains et notamment le Maître de la Légende de sainte Ursule.


title: Hans Memling

text: Environ cent pièces de Memling sont connues, qui sont attribuées à lui ou à son atelier. Elles comportent des retables, des représentations de la Vierge, et une importante galerie de portraits.


title: Hans Memling

text: "Seligenstadt". Hans Memling naît à Seligenstadt, situé à environ au sud-est de Francfort-sur-le-Main. Selon les auteurs, il est né vers 1433 ou vers 1435-1440. Au sud de Seligenstadt se trouve le village de Mömlingen dont dérive peut-être le patronyme de la famille Memling.


title: Hans Memling

text: Hans Memling quitte sa région natale probablement peu avant, ou vers 1450. Ses parents décèdent en 1450 ou 1451, probablement victimes d'une épidémie de peste. Il est possible que Memling ait reçu une formation intellectuelle et artisanale dans l'abbaye bénédictine voisine, où il a pu voir les tableaux, manuscrits et autres objets artistiques du patrimoine de l'abbaye. Dans la région, il y avait un peintre actif dont Memling aurait pu voir les œuvres. Ce peintre, dont on ne connaît pas le nom, est appelé le Maître de la Passion de Darmstadt.


title: Hans Memling

text: "Cologne". Il est vraisemblable qu'avant de venir aux Pays-Bas, Hans Memling ait séjourné à Cologne. Il y a étudié les œuvres de Stefan Lochner, le plus célèbre peintre dont certains thèmes se retrouvent, en les transposant dans les formes flamandes de la Renaissance, dans ses propres créations. Il n'est pas certain qu'il ait travaillé dans son atelier, car Lochner est mort en 1451. La connaissance que Memling a du paysage urbain de la ville de Cologne que l'on retrouve dans la "Châsse de sainte Ursule" proviennent plus probablement d'un voyage fait expressément à Cologne, à la demande des commanditaires, au moment de la préparation de l'œuvre.


title: Hans Memling

text: "Bruxelles". Memling travaille, avant de s'installer à Bruges, dans l'atelier bruxellois de Rogier van der Weyden. Rogier est le véritable maître de Memling, comme le prouvent l'affirmation de Vasari qui le cite comme l'« élève de Rogier » et une série d'œuvres de jeunesse qui dérivent, souvent étroitement, du grand maître de Bruxelles. Friedländer indique que Memling a collaboré au « Triptyque Sforza » de Bruxelles - sorti de l'atelier de Rogier - en peignant les deux figures de saintes représentées sur le volet droit (Sainte-Catherine et Sainte-Barbe, catalogue Faggin ). Quant au statut exact de Memling (apprenti ou compagnon), il est plus probable que Memling ait travaillé comme assistant, tout en se perfectionnant; on ne trouve que rarement la trace des compagnons qui font partie de la population anonyme, alors qu'un maître bruxellois ne pouvait à l'époque avoir qu'un seul élève à la fois. On retrouve des influences de van der Weyden dans la manière de dessiner des ébauches, d'abord au pinceau, puis au fusain ou à la craie. Une telle technique ne peut se transmettre que par enseignement, et non par l'observation de tableaux achevés.


title: Hans Memling

text: "Bruges". Memling n'ouvre son propre atelier qu'après la mort de Rogier van der Weyden en . D'évidentes similitudes stylistiques étayent une relation étroite entre les deux artistes. Progressivement, il s'inspire de modèles que lui fournissent ses précurseurs à Bruges, Jan van Eyck et Petrus Christus.


title: Hans Memling

text: De curieuses légendes ont circulé sur la vie de Memling, qui font de lui un soldat qui aurait pris part au siège de Nancy en 1477 où meurt Charles le Téméraire; il serait venu, blessé et épuisé, demander asile à l'hôpital Saint-Jean. Guéri après avoir reçu des soins dévoués, il aurait peint les fameuses compositions qu'on admire toujours.


title: Hans Memling

text: Le choix de Bruges n'est pas très étonnant. Au , la ville est sous le règne des grands ducs de Bourgogne. C'est une plaque tournante du commerce et de la finance où s'établissent de nombreux négociants et artisans de toutes nationalités. Le caractère cosmopolite de la ville et sa prospérité la rendent particulièrement attrayante pour les métiers liés à la fabrication de produits de luxe, donc également pour les peintres. Memling n'est donc pas un cas isolé, bien au contraire. Presque tous les représentants considérés comme typiques de la peinture brugeoise sont d'origine extérieure. Les peintres étrangers représentent plus de la moitié des artistes enregistrés dans le registre de la corporation à Bruges.


title: Hans Memling

text: Le plus ancien document où figure le nom de Hans Memling date de 1465. Le de cette année-là, le peintre acquiert le droit de bourgeoisie de Bruges, contre le paiement de 24 sous de gros - montant qui correspondait plus ou moins à un mois de salaire d'un artisan. Tout étranger désirant exercer un métier à Bruges devait détenir le droit de bourgeoisie qui pouvait s'acquérir par mariage, après un séjour d'une année à Bruges ou en payant une certaine somme. C'est cette dernière solution qu'adopte Memling, mais ne fut pas inscrit dans le registre de la guilde des peintres bourgeois et ne remplit aucune fonction administrative. Cela indique qu'il jouissait d'une position privilégiée.


title: Hans Memling

text: L'année suivante, en 1466, Memling loue une grande maison de pierre dans la Sint-Jorisstraat qu'il achètera en 1480. C'est un quartier qui abrite, jusqu'à la fin du , peintres et miniaturistes. Il épousa Anna de Valkenaere dont il eut trois enfants.


title: Hans Memling

text: Memling reçoit des commandes dès son arrivée à Bruges. Il était donc probablement déjà connu par sa collaboration avec Rogier. Peu après son installation, Memling reçoit commande d'un triptyque, le « Triptyque de Jan Crabbe » aujourd'hui dispersé. Le panneau central montre le Christ en croix. Le personnage en adoration est Jan Crabbe, abbé de la puissante abbaye de Dunes, commanditaire de l’œuvre, représenté en habit de cistercien. Sur les panneaux latéraux, il y a sa mère sous la protection de sainte Anne, et son neveu protégé par Guillaume de Malavalle. L'abbé Jan Crabbe qui prend la direction de l'abbaye aux environs de 1467 après une période de mauvaise gestion et établit des relations étroites avec la banque des Médicis. L'abbaye devient la plaque tournante du transfert d'argent entre abbayes cisterciennes. C'est aux deux milieux de banquiers et d'abbés que Memling doit ses premières commandes.


title: Hans Memling

text: Dès 1467, le banquier florentin Angelo di Jacopo Tani commande au peintre le triptyque intitulé "Le Jugement dernier". Ce triptyque eut une vie mouvementée : après sa confection, il doit rejoindre Florence, mais le bateau transportant le tableau est intercepté, le , au large de Gravelines, par le corsaire de Dantzig Paul Beneke, travaillant alors pour la Hanse. Le triptyque, destiné à Florence, est installé à la cathédrale de Dantzig. Il est maintenant , à Gdańsk. Le tableau a été commandé en 1467, ce qui montre que deux ans après son installation à Bruges, Memling recevait déjà des commandes importantes.


title: Hans Memling

text: Ce tableau est probablement en cours d'achèvement au moment des fêtes somptueuses où on célèbre, en , le mariage de Charles le Téméraire avec sa troisième épouse, Marguerite d'York, sœur du roi d'Angleterre, Édouard IV. Les noces sont célébrées à Damme, l'avant-port de Bruges, par l'évêque de Salisbury. Puis suivent pendant dix jours, à Bruges même, des fêtes fastueuses qui constituent une promotion éclatante de l'État bourguignon. La commande particulièrement prestigieuse du "Jugement dernier" a suscité l'intérêt et l'engouement des hommes d'affaires italiens résidant ou séjournant à Bruges. De nombreux membres de la colonie florentine ou vénitienne commandent leur portrait à Memling, alors qu'il travaillait encore au retable. Même Tommaso Portinari, devenu entre-temps conseiller et familier de Charles le Téméraire, se fait portraiturer avec sa récente épouse Maria Bandini Baroncelli, probablement à l'occasion de leur mariage en 1470. À peu près à la même époque, Portinari commande en outre à Memling une "Scènes de la Passion du Christ", qui était peut-être dans la chapelle privée des Portinari dans l'église Saint-Jacques de Bruges. De taille relativement modeste, il représente, sur le principe de la narration simultanée, plus d'une vingtaine de miniatures représentant des épisodes de la Passion.


title: Hans Memling

text: Au début des années 1470, la réputation du peintre est solidement établie. Il semble occupé simultanément par toute une série de contrats, dont la "Vierge à l'Enfant avec saint Antoine et un donateur" qui met en évidence l'influence grandissante de la peinture brugeoise par l'incorporation de motifs empruntés à Jan van Eyck.


title: Hans Memling

text: Au milieu des années 1470, Memling devient membre de la Confrérie de la Vierge de la Neige. Cette association avait une chapelle dans la cathédrale de Bruges. En faisaient partie des bourgeois flamands importants, et également l'évêque de Tournai, Charles le Téméraire lui-même et Marguerite d'York. Memling est alors un citoyen pleinement intégré de Bruges.


title: Hans Memling

text: Le triptyque "Le Mariage mystique de sainte Catherine", aussi appelé le « retable des deux saints Jean » plus tardif, illustre la synthèse entre Rogier van der Weyden, Jan van Eyck, et ses moyens expressifs propres à laquelle aboutit Memling.


title: Hans Memling

text: Le retable est terminé en 1479. Il est commandé en 1475 par deux frères et deux sœurs converses qui président alors l'Hôpital Saint-Jean de Bruges (aujourd'hui reconverti en musée, il abrite le Musée Memling). Ce triptyque est la première œuvre réalisée par Memling pour une institution brugeoise, et revêt une importance particulière.


title: Hans Memling

text: Comme pour le retable du "Jugement dernier" d'Angelo Tani, qui valut à Memling des commandes d'autres émigrés italiens, le « retable des deux saints Jean » semble avoir entraîné toute une série de contrats, d'abord de commanditaires locaux, notamment de guildes pour la réalisation de tableaux d'autels, ensuite le "Triptyque Donne", une commande du diplomate gallois John Donne of Kidwelly, résident à Calais dans les années 1470, lors de l'un de ses voyages à Bruges.


title: Hans Memling

text: Jan Floreins, qui rejoint la communauté hospitalière au début des années 1470, commande une "Adoration des mages", connue sous le nom de « », dont une inscription sur le cadre d'origine indique qu'il est achevé en 1479 . Jan Floreins, issu d'une famille noble, demande pour son autel personnel des scènes de l'enfance du Christ. Le panneau central le représente, à l'âge de 36 ans (le nombre « 36 » est inscrit le poteau devant le donateur) en témoin de l'Épiphanie.


title: Hans Memling

text: Au revers des volets on voit saint Jean-Baptiste et sainte Véronique devant un vaste paysage. Les deux saints apparaissent derrière un portail en trompe-l'œil, dont le splendide remplage est en style gothique tardif. Les portails sont eux-mêmes enchâssés dans des encadrements en faux marbre sur lesquelles figurent les initiales du donateur -IF- ainsi que deux écussons. La qualité technique et la thématique du « Triptyque de Jan Floreins » en font l'une des œuvres les plus abouties de Memling. Le triptyque de la "Déploration", ou « Triptyque d'Adriaan Reins », commandé par Adriaan Reins à l'occasion de son admission au sein de la communauté hospitalière en 1479, date d'un an plus tard. S'il ressemble au « Triptyque de Jan Floreins », il donne une impression d'ensemble plus modeste.


title: Hans Memling

text: Le « Triptyque Moreel » est une commande de Willem Moreel, homme politique, banquier et négociant brugeois influent et de son épouse. La commande s'inscrit dans le cadre de la fondation d'un autel, par le couple, en 1484-1485, autel consacré à saint Maur et saint Gilles dans l'église Saint-Jacques de Bruges. La date inscrite dans le tableau et probablement celle de la fondation.


title: Hans Memling

text: Au début des années 1480, sa fortune range Memling parmi les artisans les plus aisés, et les plus imposés, de Bruges. En ou peu avant, le peintre achète une grande maison en pierre et deux maisons avoisinantes, dans un quartier où vivaient surtout des artisans. La maison abritait sans doute son atelier, proche du monastère des frères noirs de l'Ordre de saint-Augustin dans lequel de nombreux marchands étrangers vivant à Bruges établissent des autels et autres fondations. Memling embauche son premier apprenti en 1480, son deuxième en 1483.


title: Hans Memling

text: En 1480, Memling est financièrement au sommet de sa carrière, mais la situation générale se dégrade sous l'effet des événements politiques. En fait, la carrière de Memling est étroitement liée aux événements historiques. Ses quinze premières années, de 1465 à 1480, coïncident avec une phase de stabilité économique et politique exceptionnelle. La mort de Charles le Téméraire en ébranle la situation politique dans les Pays-Bas bourguignons. Les couches favorisées de la population ne ressentent pas encore tout de suite les effets de la crise. Bruges profite encore de sa loyauté envers son héritière, Marie de Bourgogne. Mais les grandes banques italiennes et notamment la banque Médicis se retirent de l'Europe du Nord et de l'Angleterre.


title: Hans Memling

text: Les clients étrangers, notamment italiens, ne sont plus sur place ; ils ont quitté Bruges. La situation se dégrade avec la mort soudaine de la duchesse en 1482. Bruges rejoint le parti des opposants à l'archiduc Maximilien ce qui affaiblit considérablement la ville pendant une dizaine d'années. Durant cette période, les principaux clients de Memling sont les vieilles familles brugeoises qui lui commandent des tableaux d'autel pour leurs chapelles privées. Tanne, l'épouse de Memling, meurt le . Il a alors trois enfants mineurs, Hannekin, Neelkin et Claykin, qui le sont encore en 1494, à la mort de leur père.


title: Hans Memling

text: Le « Triptyque de la Passion » aussi appelé « Triptyque Greverade » de Lübeck, daté de 1491, est sans doute la dernière grande commande de Memling. Ici aussi, la date est probablement celle de la fondation, et non de l'achèvement de l'œuvre, car les marchands de la Hanse, qui avaient quitté la ville en 1488, ne reviennent qu'en 1491. Le triptyque est commandé par un membre d'une famille patricienne de Lübeck, les Greverade, et était destiné à la chapelle familiale dans la cathédrale de Lübeck.


title: Hans Memling

text: Lorsque Memling reçoit cette commande, cela fait longtemps qu'il n'est plus considéré comme l'unique peintre de Bruges. Ce n'est pas à Memling en tout cas, mais à un contemporain plus jeune, que les Têtes noires - une association de marchands de Reval (maintenant Tallinn) - commandent, à peu près à la même époque, un portrait de groupe entouré de doubles volets dédiés à leurs saints patrons.


title: Hans Memling

text: Memling est sans conteste le portraitiste le plus éminent de sa génération aux Pays-Bas bourguignons, et aucun de ses contemporains n'a légué autant de portraits. Plus de trente tableaux, soit près du tiers de l'œuvre de Memling, sont des portraits au sens moderne du terme. Si l'on ajoute à cela les quelque vingt tableaux de donateurs en pied, on peut dire que la moitié de ses œuvres sont des portraits.


title: Hans Memling

text: Divers facteurs peuvent expliquer le succès du portraitiste Memling. Il y a d'abord le rôle essentiel joué par la mode. Les nombreux étrangers vivant ou séjournant temporairement à Bruges connaissent déjà van Eyck et avaient largement contribué à la renommée de l'art flamand dans le sud de l'Europe. Et ils sont grands amateurs de tableaux. Les portraits sont déjà très demandés quand Memling arrive à Bruges, et il s'empresse manifestement de satisfaire cette clientèle potentielle. Là aussi, la production est inégale et les commanditaires italiens se font logiquement plus rares lorsqu'ils se retirent de Bruges. Les grandes familles brugeoises, si elles apprécient les grands tableaux, ne manifestent pas autant d'intérêt pour les portraits.


title: Hans Memling

text: Le succès de Memling comme portraitiste s'explique aussi par son art. Il fut élève ou collaborateur de Rogier van der Weyden, et est donc familier de la technique et de la composition de son maître dans le domaine du portrait autonome à mi-corps. Il a toujours appliqué, dans sa propre peinture de portrait, la typologie de Rogier van der Weyden, enrichie de divers traitements de l'espace. Ensuite, l'influence de van Eyck se retrouve dans l'illusionnisme parfois ostentatoire de certains portraits, avec leurs différents niveaux de réalité, leurs tablettes de balustrade, leur cadre en trompe-l’œil et en faux marbre. L'éclairage rappelle Petrus Christus, mais la douceur des traits est le propre du style de Memling.


title: Hans Memling

text: Les écrivains, philosophes et critiques d'art n'ont pas toujours été du même avis quant aux œuvres de Memling:


title: Hans Memling

text: Allez au Musée un dimanche, vous trouverez, à un certain point de la galerie, le passage intercepté par la foule rassemblée devant un tableau, et tous les dimanches devant le même. Vous croyez que c'est un chef-d'œuvre; pas du tout: c'est une croûte de l'école allemande, représentant le Jugement dernier[Le Triptyque de Dantzig]. Le peuple aime à voir la grimace des damnés


title: Hans Memling

text: Ses œuvres les plus fascinantes sont les portraits [...] qui unissent la manière de van Eyck à celle de Rogier, mais simplifient le naturalisme pictural du premier et relâchent la tension linéaire du second : des figures simples et pâles, souvent sur un fond de paysage vert et brunâtre, dans lesquelles le naturalisme de l'observation et la caractérisation spirituelle apparaissent comme de légères allusions qui n'altèrent en rien le recueillement silencieux et la douceur apparente du personnage.


title: Jack Bruce

text: John Symon Asher Bruce dit Jack Bruce, né le à Glasgow et mort le , est un musicien britannique (bassiste, harmoniciste, violoncelliste et aussi pianiste), chanteur et compositeur, célèbre pour avoir été le chanteur et le bassiste du groupe "Cream".


title: Jack Bruce

text: Jack Bruce naît dans le comté de Lanarkshire en Écosse mais ses parents musiciens voyagent beaucoup au Canada et aux États-Unis. Après avoir étudié dans 14 écoles différentes il obtient un prix de violoncelle et de composition à la Royal Scottish Academy of Music.


title: Jack Bruce

text: Il acquiert ses premières lettres de noblesse au sein des Blues Incorporated d'Alexis Korner en 1962, où figurent, entre autres, Cyril Davies, Charlie Watts, Ginger Baker, Mick Jagger. Il rejoint ensuite en 1963 le groupe de l'organiste Graham Bond - le Graham Bond Quartet qui devient le Graham Bond Organisation - comme bassiste avec Ginger Baker, le saxophoniste Dick Heckstall-Smith et le guitariste John McLaughlin. Ce groupe joue des styles variés allant du be-bop au blues en passant par le rhythm and blues.


title: Jack Bruce

text: Après un bref passage dans la formation de John Mayall (The Bluesbreakers) il devient bassiste et chanteur principal au sein de Cream, premier power trio de l'histoire du rock, qui le rend célèbre, avec le batteur Ginger Baker et le guitariste Eric Clapton. Jack Bruce signe la plupart des chansons originales du groupe avec le poète Pete Brown. On peut citer notamment "Sunshine of Your Love", "White Room", "Politician" et "I Feel Free".


title: Jack Bruce

text: Après Cream, Jack Bruce travailla avec de célèbres musiciens de rock, dont Lou Reed en 1973 pour l'album "Berlin", Frank Zappa en 1974 pour l'album "Apostrophe", et collabore aussi avec des grands du jazz comme Tony Williams, John McLaughlin, et Carla Bley, sur son opéra "".


title: Jack Bruce

text: Parmi ses albums solo après Cream : "Songs For a Tailor" (1969) (avec des musiciens comme Chris Spedding, Jon Hiseman, Dick Heckstall-Smith, Art Themen et George Harrison), "Harmony Row" (1971) ou "Out Of The Storm" (1974). Il se partage ensuite entre projets rock (West, Bruce and Laing, BLT avec Robin Trower...) et jazz (avec Michael Mantler, Kip Hanrahan, Carla Bley, etc.). Sa discographie solo des années 1960/70, y compris son album inédit de 1978 "Jet Set Jewel", a été rééditée, remastérisée et agrémentée de nombreux bonus. Également au programme, un double-live inédit de 1975 témoignant de son éphémère groupe en compagnie de Carla Bley et Mick Taylor, fraîchement débarqué des Rolling Stones.


title: Jack Bruce

text: Dans les années 1990, il continue à enregistrer et à tourner jusqu'au début des années 2000. On lui diagnostique un cancer du foie en 2003, ce qui ralentit quelque peu ses activités au cours des années suivantes.


title: Jack Bruce

text: On peut citer la pseudo reformation de Cream avec un autre guitariste britannique grand amateur de blues, Gary Moore : Bruce-Baker-Moore, pour l'album "Around the Next Dream" en 1994 ; mais également des collaborations, tournées, projets, avec Ringo Starr dans son All-Starr Band, Uli Jon Roth, Glenn Hughes and Michael Schenker, John Cage, John McLaughlin… Il rejoue avec Eric Clapton et Ginger Baker pour une série de concerts, qui donnent lieu à un DVD, au Royal Albert Hall de Londres en 2005.


title: Jack Bruce

text: Le style de Jack Bruce, en tant que bassiste, est basé sur sa formation technique classique (il dit d'ailleurs que Jean-Sébastien Bach a écrit les meilleures lignes de basse jamais composées). Son jeu de basse est également marqué par l'influence de James Jamerson et de Charlie Mingus. En tant que chanteur, il combine puissance et suavité, une caractéristique qui a particulièrement été exploitée par Kip Hanrahan avec qui il a collaboré régulièrement durant les années 1980 et 1990.


title: Swordsman (comics)

text: Jacques Duquesne, alias Swordsman (le « Spadassin » ou le « Sabreur » en VF) est un super-héros évoluant dans l’univers Marvel de la maison d’édition Marvel Comics. Créé par le scénariste Stan Lee et le dessinateur Don Heck, le personnage de fiction apparaît pour la première fois dans le comic book "The Avengers" () #19 en août 1965.


title: Swordsman (comics)

text: Bien qu'il ait été présenté pour la première fois en tant qu'ennemi de Œil-de-faucon (Hawkeye) et des Vengeurs, le personnage est depuis apparu à la fois en tant que super-villain et super-héros.


title: Swordsman (comics)

text: Par la suite, plusieurs autres personnages ont utilisé l’identité et le costume du Swordsman, dont Andreas von Strucker (Fenris) quand il a fait partie de l’équipe des Thunderbolts.


title: Swordsman (comics)

text: Le premier Swordsman, Jacques Duquesne, est une vedette de cirque grâce à son extrême habileté à manier l'épée. Alors que Clint Barton (le futur Œil-de-faucon) est apprenti dans le même cirque, Duquesne lui enseigne à l’art de bien viser à l'arc. Barton le surprend plus tard en train de voler de l’argent et, après un combat, les deux se perdent de vue.


title: Swordsman (comics)

text: Après avoir été téléporté au cours d'un combat par le Mandarin, ce dernier essaye de l’utiliser comme taupe au sein des Vengeurs. Après un subterfuge du Mandarin, Swordsman est effectivement admis comme membre de l’équipe. Mais, refusant de faire sauter une bombe qui aurait tué ses coéquipiers, Swordsman abandonne le Mandarin et s’enfuit.


title: Swordsman (comics)

text: Malgré quelques apparitions par la suite, le personnage du Swordsman connaît véritablement une ampleur avec la saga de la « Madonne céleste ». Après avoir rencontré au Vietnam une tenancière de bar aux étranges pouvoirs, nommée Mantis, il se laisse convaincre de rejoindre les Vengeurs pour devenir réellement un héros. Jaloux de la Vision, que Mantis semble courtiser, il perd un peu le nord et, finalement, se sacrifie pour l’équipe.


title: Swordsman (comics)

text: Il est alors fusionné avec une race extra-terrestre, les , qui recherche la « Madonne céleste » et la trouve finalement en la personne de Mantis. Le corps réanimé du Swordsman s’unit ensuite avec Mantis et les deux disparaîssent dans un éclair d’énergie. On apprend par la suite dans une aventure du Surfer d'argent que Mantis et le doyen des Cotatis (incarné dans Swordsman) ont conçu un enfant. Celui-ci, nommé Sequoia (dit également « Quoi ») sera le « Messie céleste ».


title: Swordsman (comics)

text: Considérés comme des alliés par les Vengeurs, le père et le fils vont pourtant les trahir lorsque les Cotatis vont envahir la Terre, bien décidés à y éradiquer toute vie animale. L’entité Swordsman/Cotati sera tuée par la Panthère noire lorsque cette invasion échouera.


title: Swordsman (comics)

text: Bien qu'il ne disposait d'aucun super-pouvoir, Jacques Duquesne était un athlète de niveau olympique, possédant la force normale d’un homme de son âge et de sa constitution qui pratiquait régulièrement des exercices physiques soutenus.


title: Swordsman (comics)

text: Maître escrimeur et maître d’armes en ce qui concerne toutes les armes blanches, et plus particulièrement les différentes types d’épées, durant toute sa vie Swordsman a été peut-être sans égal dans ce domaine. Il possédait également des dons exceptionnels dans diverses formes de combat à mains nues.


title: Swordsman (comics)

text: Dès sa première rencontre avec le Mandarin, ce dernier l'équipa d’accessoires particuliers adaptés de la technologie makluenne. Ces gadgets se déclenchaient en appuyant sur plusieurs boutons installés sur la garde de l’épée du Swordsman. Cela lui permettaient notamment de projeter un rayon d’énergie de force de concussion (force de choc), un rayon désintégrant, un large jet de flamme, une décharge d’énergie électrique similaire à la foudre, et même un jet de gaz rendant un ennemi temporairement inconscient.


title: Swordsman (comics)

text: Andreas von Strucker et sa sœur Andrea pouvaient déclencher leurs pouvoirs par simple contact physique, généralement en se tenant la main.


title: Swordsman (comics)

text: À la mort d’Andrea, son jumeau enveloppe la garde de son épée avec la peau de sa sœur et ses pouvoirs (à base d’énergie) peuvent alors se manifester par l’intermédiaire de la lame. Il devient alors le nouveau Swordsman et rejoint les Thunderbolts.


title: Swordsman (comics)

text: Après la séparation des principaux membres de cette équipe, de nouveaux membres sont engagés. Norman Osborn le convainc de rejoindre cette nouvelle équipe, en lui promettant de créer un clone adulte de sa sœur en échange.


title: Volkswagen Fox

text: La Fox est un véhicule automobile 4 places commercialisé par le constructeur allemand Volkswagen de 2003 à 2021. L'appellation Fox avait été utilisée pour désigner la Volkswagen Gol de 1987 à 1993 sur marché nord-américain. Elle a été dessinée, conçue et est assemblée au Brésil, étant à l'origine réservée au marché sud-américain.


title: Volkswagen Fox

text: En Europe, elle reprend mi-2005 le rôle d'accession à la gamme Volkswagen de la Lupo, qui n'a jamais connu de succès commercial, essentiellement à cause de son prix de vente trop élevé. La Fox est cependant bien plus grande que l'ancienne Lupo (30 centimètres de plus en longueur environ), sachant que son empattement est le même que celui de la Polo IV, dont elle reprend la plate-forme. Son prix lui permet néanmoins de concurrencer les petites citadines, telles que les triplées 107/C1/Aygo de l'alliance PSA-Toyota ainsi que la Twingo de Renault.


title: Volkswagen Fox

text: Elle n'est en Europe disponible qu'en 3 portes mais elle existe également en 5 portes et en version monospace ("SpaceFox"), notamment sur son marché principal, l'Amérique du Sud. Elle bénéficie également d'une version surélevée nommée "CrossFox (puis Fox Xtreme)".


title: Volkswagen Fox

text: En 2011, elle est remplacée par la Volkswagen up! sur le marché européen. Elle poursuit sa carrière sud-américaine jusqu'en 2021.


title: Volkswagen Fox

text: Contrairement à ses principales concurrentes, la Fox ne mise pas sur son design pour séduire en adoptant une ligne très classique sans réelle audace et se démarquant nettement du nouveau design de Volkswagen. L'habitacle suit la même politique : sans fioriture. La qualité des plastiques rappelle sa vocation économique mais ceux-ci se révèlent bien assemblés.


title: Volkswagen Fox

text: Pour éviter de commettre la même erreur que sa devancière, elle avance un argument de poids : un prix de vente inférieur à mais dans sa finition la plus simple et la plus légèrement motorisée ce qui la place au même niveau que les 107/C1/Aygo, moins habitables, et même devant la Twingo. Elle bénéficie tout comme la Twingo d'une banquette arrière coulissante ce qui permet d'augmenter la capacité du coffre ou de pouvoir accueillir des adultes à l'arrière. C'est une 4 places.


title: Volkswagen Fox

text: En outre, elle comble le vide qu'a laissé la Polo en grandissant et affichant une taille plus proche d'une citadine polyvalente que d'une petite citadine.


title: Volkswagen Fox

text: Afin de serrer au maximum ses tarifs, la Fox ne se déclinait dans ses premières années de commercialisation qu'en une seule finition associable avec les trois moteurs disponibles à laquelle venait se greffer deux packs qui pouvaient être considérés comme finitions :


title: Volkswagen Fox

text: Dans la liste des options (plutôt mince contrairement aux habitudes de Volkswagen) on peut citer les airbags latéraux avant, l'ESP ou le toit ouvrant.


title: Volkswagen Fox

text: Trois séries limitées sont apparues courant 2006/2007 : "Fox Oxbow" associable avec la finition "Trend" et "Pack Confort" dont le principal intérêt était de recevoir des décorations adhésives extérieures spécifiques. Elle a été précédée par "Fox MP3" (sur "Trend") qui ajoutait un autoradio CD-MP3 et "Fox Bluetooth" (sur "Trend" et "Pack Confort") un autoradio CD-MP3 Parrot "Rhythm n'blue" avec système de téléphonie mains libres Bluetooth.


title: Volkswagen Fox

text: Courant 2007, la gamme a été remaniée en abandonnant la finition unique et les packs pour se décliner en deux finitions mais ressemblant tout de même globalement à l'ancienne gamme :


title: Volkswagen Fox

text: À ces deux finitions peut être associé le pack "Design" qui comprend des jantes alliage de 15 pouces, un volant, un pommeau de levier de vitesses et une poignée de frein à main gainés de cuir pour un surcoût de .


title: Volkswagen Fox

text: La radio CD-MP3, l'ESP, le toit ouvrant, les airbags latéraux et les antibrouillards sont eux en option.


title: Volkswagen Fox

text: Les équipements apportés auparavant par le "Pack Sport" sont désormais à piocher à l'unité dans la liste d'options.


title: Volkswagen Fox

text: Ces "nouvelles" Fox sont identifiables à leur nouveau volant trois branches et à leur antenne arrière de pavillon.


title: Volkswagen Fox

text: En 2015, la Fox bénéficie d'un nouveau restylage intégral aussi bien à l'extérieur et intérieur. Elle arbore le nouveau style de la Volkswagen Golf VII avec de nouveaux optiques, une nouvelle carrosserie et de nouveaux boucliers. Côté habitacle, elle se rapproche massivement de sa grande sœur la Polo V en intégrant l'écran Discover Media, la palette de boutons ainsi que les commandes de climatisations tous directement empruntés à la Polo. Son nom fut alors changé en "Fox Connect".


title: Volkswagen Fox

text: En 2021 elle quitte les chaînes de montage brésiliennes de l'usine de São José dos Pinhais afin de permettre au Volkswagen T-Cross de monter en cadence.


title: Volkswagen Fox

text: Les moteurs de la Fox sont à l'image de son gabarit : petits mais largement suffisants pour répondre à son utilisation citadine.


title: Volkswagen Fox

text: Trois blocs sont proposés : deux essence de 55 et 75 ch et un Diesel TDI de 70 ch déjà rodés sur d'autres voitures du groupe.


title: Volkswagen Fox

text: À son évolution en 2010 pour le marché sud-américain uniquement, la Fox propose trois motorisations essence en 1.2 54 et 60 ch ainsi que le 1.4 75 ch.


title: Volkswagen Fox

text: Enfin, entre 2006 et 2010, un seul moteur bicarburant fut proposé, le 1.4 BiFuel G essence/GPL de 75 ch.


title: Gouvernement Mikhaïl Michoustine

text: Mikhaïl Michoustine est proposé comme président du gouvernement le à la Douma par Vladimir Poutine après la démission de Dmitri Medvedev pour siéger au Conseil de sécurité de Russie.


title: Seizième circonscription de Paris

text: La seizième circonscription de Paris est l'une des 18 circonscriptions électorales françaises que compte le département de Paris (75) situé en région Île-de-France depuis le redécoupage des circonscriptions électorales réalisé en 2010 et applicable à partir des élections législatives de juin 2012.


title: Seizième circonscription de Paris

text: La loi du ratifie l'ordonnance du , laquelle détermine la répartition des sièges et la délimitation des circonscriptions pour l'élection des députés.


title: Seizième circonscription de Paris

text: La circonscription est délimitée ainsi : une partie du , comprenant les quartiers d'Amérique et du Pont-de-Flandre, et la majeure partie du quartier du Combat située à l'est de l'avenue Secrétan, de l'avenue Simon-Bolivar et de la rue Henri-Turot.


title: Seizième circonscription de Paris

text: Cette seizième circonscription de Paris correspond presque exactement à la précédente vingtième circonscription à l'exclusion d'une petite partie du quartier du Combat qui a été rattachée à la nouvelle dix-septième circonscription.


title: Zakaria Bakkali

text: Zakaria Bakkali, né le à Liège en Belgique, est un footballeur international belge qui évolue au poste d'ailier au RKC Waalwijk.


title: Zakaria Bakkali

text: Zakaria Bakkali commence très tôt à jouer au football dans son pays natal, la Belgique dans les équipes jeunes du RFC Liège puis du Standard de Liège. Il se fait rapidement remarquer aux Pays-Bas, et est recruté par le PSV Eindhoven.


title: Zakaria Bakkali

text: Le , à l'âge de 17 ans il joue son premier match professionnel en étant contre toute attente titulaire lors du match aller du troisième tour de qualification de la Ligue des champions 2013-2014 face au SV Zulte Waregem. Il inscrit son premier but la semaine suivante lors du match retour en Belgique. Le , il réalise un triplé en championnat lors de la victoire 5-0 du PSV à domicile contre NEC Nimègue, lui permettant ainsi de devenir le plus jeune joueur de Eredivisie à s'offrir un hat-trick.


title: Zakaria Bakkali

text: Alors que Eric Gerets sélectionneur de l'équipe du Maroc l'appelle, il hésite longtemps avant de choisir la sélection belge.


title: Zakaria Bakkali

text: Le , Marc Wilmots le sélectionneur des Diables rouges, sélectionne le jeune espoir belge en vue du match amical face à la France du . Le , lors du dernier match qualificatif comptant pour la coupe du monde 2014, il dispute ses premières minutes en montant au jeu pour le dernier quart d'heure lors du partage (1-1) face au pays de Galles.


title: Mon voisin le tueur

text: Mon voisin le tueur ("The Whole Nine Yards") , ou Le Nouveau Voisin au Québec et au Nouveau-Brunswick, est un film américain réalisé par Jonathan Lynn, sorti en 2000.


title: Mon voisin le tueur

text: Nicholas « Oz » Oseransky est un paisible dentiste de Montréal, dont la vie tourne au cauchemar. Endetté, coincé entre une épouse acariâtre, Sophie, et une belle-mère guère plus avenante, il est prêt à tout pour retrouver sa liberté. Il n'a guère que son assistante au cabinet qui semble l'apprécier. Il manque de s'évanouir en découvrant que son nouveau voisin n'est autre que Jimmy Tudeski, dit Jimmy la Tulipe, l'ancien exécuteur du gang Gogolack, libéré pour avoir balancé son chef à la police. Sophie oblige son mari à aller dénoncer Tudeski à Janni Gogolack. Celui-ci tient en otage la femme du tueur, dont Oz tombe amoureux. Janni, découvrant le lieu de résidence de son ancien homme de main, vient pour le tuer. Mais Tudeski, allié à l'assistante d'Oz fascinée par le tueur, l'attend de pied ferme. Oz, terrorisé, va devoir les aider.


title: Mon voisin le tueur

text: Le film a connu un succès commercial modeste, rapportant aux États-Unis et dans le reste du monde, soit un total de pour un budget de .


title: 9 décembre

text: Le 9 décembre est le jour de l'année du calendrier grégorien, lorsqu'elle est bissextile (il en reste ensuite 22).


title: 9 décembre

text: C'était généralement l'équivalent du 19 frimaire du calendrier républicain français, officiellement dénommé "jour de la sabine" (plante).


title: 9 décembre

text: Bonne fête aux et ses variantes féminines : "Leocadia, Léocadia, Leokadia, Léokadia" et "Leokadja, Léokadja" ; et masculine "Léocade".


title: Forum

text: Il désignait aussi le centre géométrique commercial, social, administratif, religieux et politique : dans chaque ville, il était le centre géométrique. Autour du forum, étaient placés des bâtiments administratifs et religieux entourés de colonnades et portiques. Ce lieu, décoré par un grand nombre de statues de personnalités remarquables, connaissait une vive affluence, car les habitants venaient y tenir des cérémonies, assister aux sacrifices ainsi que discuter, flâner et acheter diverses choses dans les boutiques présentes.


title: Forum

text: On connaît aussi à Paris, le forum de Lutèce, monument disparu dont l'état originel a été reconstitué par les archéologues à partir de vestiges sous la rue Soufflot.


title: Rationnement

text: Le rationnement est le fait de limiter la distribution et l'approvisionnement des ressources, des biens et des services, en contrôlant les quantités de façon autoritaire, sur une période de temps généralement limitée.


title: Rationnement

text: Le terme « rationnement » ou « ticket validés » semble n'apparaître en français qu'en 1846 chez Pierre-Joseph Proudhon dans son essai intitulé "Système des contradictions économiques". Il n'y apparaît qu'une seule fois dans l'ouvrage et n'y est point défini. Victor Hugo l'utilise en 1870 dans ses "Carnets intimes" en parlant de la viande, au moment de la Guerre franco-prussienne ; dans leur "Journal", les frères Goncourt parlent au cours de cette même période, à Paris, de tickets de rationnement.


title: Rationnement

text: Le rationnement étant le fait de rationner est cependant une pratique ancienne qui découle de la bonne gestion par une autorité des individus, des animaux ou d'une collectivité. Dans une famille, ce sont les parents qui décident de la portion de pitance à octroyer aux enfants et aux animaux. Dans l'armée et la marine, l'administration doit déterminer les quantités d'aliments à fournir aux hommes et aux animaux ("ration de biscuit", "ration d'eau-de-vie", "ration de fourrage").


title: Rationnement

text: Selon la quantité octroyée et la perception de l'utilisateur, la ration peut être considérée comme abondante, normale ou réduite ; elle est souvent ressentie comme restrictive dans le cadre d'un régime diététique.


title: Rationnement

text: La pénurie, due aux circonstances climatiques ou économiques, aux guerres ou aux catastrophes, a imposé de tous temps la nécessité de rationner les vivres. La ration est alors une quantité d'aliments ou de boisson déterminée distribuée par intervalles et qu'il n'est pas permis de dépasser. Ce rationnement est établi dans la sphère privée ou collective ; dans ce dernier cas, il constitue une mesure prise par les autorités pour répartir à la population des biens ou des denrées qui ne sont disponibles qu'en quantité limitée.


title: Rationnement

text: En comptabilité et finance, le rationnement est l'ensemble des contraintes portant sur les sommes à effectuer à l'acquisition d'immobilisations, imposées par la direction lors de l'établissement du budget des investissements.


title: Rationnement

text: En période de rationnement, la population reçoit des cartes ou des coupons appelés « tickets de rationnement », qui peuvent être échangés, soit dans les services administratifs, dispensaires, ou dans les magasins, contre certaines denrées de base : lait, œufs, viande, sucre, mais aussi, essence, savon, etc.


title: Rationnement

text: Durant la période révolutionnaire, la Première République française connaît une période de rationnement : une série de lois et de décrets sont votés dans l'urgence par l'Assemblée nationale pour limiter la quantité de pain par personne et en fixer le prix (loi du Maximum général). L'initiative essentielle est celle des municipalités ou des sections des grandes villes qui adoptent progressivement les « cartes de pain », donnant droit à l'acquisition à prix contrôlé d'une certaine quantité de pain, en échange de coupons détachables, que les boulangers utilisent à leur tour pour se fournir en farine. Il ne faut pas confondre ces coupons avec les billets de confiance imprimés dès 1790 par des municipalités et des entrepreneurs pour créer une sorte de monnaie de nécessité pour à la fois suppléer au manque de numéraire et permettre à chaque citoyen d'avoir accès à des denrées alimentaires.


title: Rationnement

text: La pénurie alimentaire se développant après le début de la guerre, le rationnement du pain a été mis en place dès dans certaines parties de la zone occupée. Il est ensuite étendu à l'ensemble du pays et à un grand nombre de denrées (farine, viande, lait, pétrole, sucre), et perdure après la guerre (jusqu'en 1921 pour le sucre).


title: Rationnement

text: Un système de rationnement similaire à celui établi pendant la guerre précédente a été mis en place dès dont le à Paris et fut prolongé, pour certains produits, comme le pain, jusqu'au .


title: Rationnement

text: À partir du à Paris, les restaurants parisiens ne pouvaient plus servir deux assiettes consécutives à un client. Le repas moyen coûtait et le client avait droit à de pain.


title: Rationnement

text: Conformément à sa politique de "Business as Usual", le gouvernement britannique renâclait initialement à contrôler le marché de l'alimentation. Il s'opposa à l'institution d'un prix minimum sur les céréales, tout en s'abstenant de contrôler les importations essentielles (sucre, viande et grains). Lorsque enfin il mit en place ces mesures, elles n'eurent que peu d'effet. En 1916, il devint illégal de manger plus de deux rations dans un lieu public, ou d’en manger plus de trois pour le dîner ; on infligeait des amendes aux personnes nourrissant les pigeons ou les animaux errants.


title: Rationnement

text: En , l'Allemagne entreprit une politique de guerre sous-marine à outrance, et lança ses sous-marins à la chasse des navires faisant route vers la Grande-Bretagne pour affamer le pays et obtenir sa reddition. En réponse, le gouvernement britannique mit en place le rationnement volontaire en . À partir du mois de septembre, le pain était rationné ; lorsque les réserves de céréales du pays tombèrent à moins de six mois, les autorités locales prirent le relais du ravitaillement et appliquèrent des mesures de rationnement progressives entre et . Beckett considère que cette a été bénéfique à la santé publique. Pour faciliter la mise en place de ces mesures, on remit des carnets de rationnement le 1918 pour le beurre, la margarine, le lard, la viande et le sucre. Durant la guerre, l'apport calorique moyen a diminué de 3 %, et l'apport en protéines de 6 %.


title: Rationnement

text: En prévision de la grève générale de 1926, le gouvernement avait mis en place des mesures de rationnement en 1925, et prévu de nommer des délégués au contrôle de l'alimentation pour chaque région. Lors de cette grève, les syndicats des docks de Londres organisèrent un blocus, mais les convois de camions, encadrés par des unités de l'armée, parvinrent à maintenir les approvisionnements, et ces préparatifs s'avérèrent inutiles.


title: Rationnement

text: Lorsqu’éclata la Seconde guerre mondiale, au début du mois de , la première ressource que le gouvernement se mit à surveiller était le pétrole ; puis à partir du , on rationna le bacon, le beurre et le sucre et enfin, petit à petit, la viande, le thé, les confitures, les biscuits, les Céréales de petit-déjeuner, le fromage, les œufs, le lard, le lait et les fruits secs ou en conserve.


title: Rationnement

text: Au mois de , le gouvernement nomma un "Combined Food Board", commission chargée de coordonner les approvisionnements des Alliés, en particulier les importations venues des États-Unis et du Canada. Au mois d', presque toutes les vivres étaient rationnées (au poids, sauf la viande, qui était rationnée par le prix), hormis les légumes et le pain. Ces mesures suscitèrent inévitablement un marché noir.


title: Rationnement

text: On ne rationna ni le gibier (lapin et pigeon), ni les légumes frais, ni les fruits car il était de toute façon difficile d'en trouver. Certains fruits exotiques avaient totalement disparu : pendant presque toute la guerre, il fut impossible de se procurer des citrons et des bananes ; on continuait de vendre des oranges mais les maraîchers les mettaient souvent de côté pour les enfants et les femmes enceintes, qui avaient un carnet de rationnement. Les fruits produits localement, comme les pommes, apparaissaient de temps en temps sur les étals, mais les marchands imposaient là encore leurs propres restrictions si bien que les clients ne pouvaient souvent pas acheter plus d'une pomme à la fois. Plusieurs citoyens se mirent à faire pousser leurs propres légumes, encouragés en cela par le programme des « jardins de la victoire ». À partir de 1942, beaucoup d'enfants de moins de sept ans s'étaient habitués aux restrictions et, n'ayant jamais vu de bananes, pensaient que c'était une invention.


title: Rationnement

text: Pour le pain, il y eut les plus grandes difficultés : on ne le rationna qu'après l'armistice, mais le pain blanc avait été remplacé par le "national loaf" de pain bis, au grand dépit des maîtresses de maison qui le trouvaient trop mou, se défiaient de sa couleur grise et lui imputaient les problèmes digestifs. Un règlement interdit de vendre du pain moins de 24 heures après sa cuisson, car avec du pain qui vient d'être cuit il est difficile de couper des tranches fines, et son goût porte le consommateur à en manger inconsidérément.


title: Rationnement

text: Au mois de , un nouveau règlement interdit aux hôtels et restaurants de servir des plats de plus de 5 shillings par client, et de leur servir plus de trois plats ; un seul de ces plats devait comporter de la viande (ou du poisson). Cette mesure était une réponse à la gronde contre ceux qui, dînant régulièrement au restaurant, pouvaient bénéficier de denrée non-rationnées « de luxe ».


title: Rationnement

text: Quoique le poisson ne fût pas rationné, son prix s'accrut énormément tout au long de la guerre. Au départ, le gouvernement laissa faire, conscient que les pêcheurs devaient bénéficier d'une prime compte tenu des risques d'attaque ennemie en mer ; mais dès 1941, les prix étaient encadrés. Comme les autres denrées non rationnées, le poisson se faisait rare (les prises étaient à 30 % de celles d'avant-guerre), et il se formait de longues queues chez les poissonniers et les "Fish and chips". La qualité des frites était elle-même médiocre à cause de la mauvaise qualité de l'huile.


title: Rationnement

text: Puis le rationnement en vint à concerner les vêtements, évalués sur la base d'un système de points. Lors de l’introduction de cette mesure, le , il n'y avait pas de coupons pour ces articles, et dans les carnets de rationnement, l'on découpa d'abord les coupons de margarine inutilisés. Dans un premier temps on accorda le droit d'acheter un costume par an, puis la valeur du point baissa au point qu’il fallait tous les points d'une année pour s’acheter un manteau.


title: Rationnement

text: Le , suivant un avertissement du , les rations d'essence domestique furent supprimées (le chansonnier Ivor Novello fut arrêté et condamné à quatre semaines de prison pour avoir trafiqué des coupons d'essence). Désormais, l'essence était réservée aux véhicules « officiels », comme les services d’urgence, les compagnies de bus et les agriculteurs ; mais ils passaient, bien sûr, après l’armée. L’essence fournie aux civils autorisés était colorée, et l'emploi de ce carburant pour des usages privés était un délit.


title: Rationnement

text: Certaines denrées exotiques, comme la viande de baleine ou le snoek en conserve, importé d'Afrique du Sud, n'étaient pas rationnées, mais elles étaient à vrai dire impopulaires.


title: Rationnement

text: Par delà les mesures de rationnement, le gouvernement britannique harmonisa la consommation de nourriture en subventionnant les denrées de base, en faveur des pauvres et de la classe ouvrière. En 1942–43, il investit dans ces subventions, dont pour le pain, la farine et l'avoine, pour la viande et autant pour les pommes de terre, pour le lait, enfin pour les œufs.


title: Rationnement

text: La période après la guerre civile espagnole a été marquée par la pénurie. Un décret ministériel en date du , a établi un système de rationnement pour les produits et les aliments de base. Ce rationnement ne couvrait pas les besoins alimentaires de base de la population, qui a connu la misère et la famine pendant des années. Il existait deux cartes de rationnement, l’une pour la viande et l’autre pour les autres aliments. La population était divisée en plusieurs groupes : hommes adultes, femmes adultes (80 % de la ration adulte de sexe masculin), enfants jusqu’à quatorze ans (60 % de la ration des hommes adultes) et adultes de plus de soixante ans (80 % de la ration des hommes adultes). L’attribution de quotas pourrait également différer selon le type de travail du chef de ménage. Au départ les cartes de rationnement étaient familiales, avant d’être remplacées en 1943 par des cartes individuelles, ce qui a permis de contrôler plus strictement la population. Dès l’entrée en vigueur de la carte individuelle, en , le nombre de rationnés espagnols s’élevait à . La distribution des rations alimentaires était caractérisée par la mauvaise qualité des produits et a révélé une corruption généralisée et le marché noir. Le rationnement a duré officiellement jusqu’en , pour les produits alimentaires. Entre 1950 et 1960, la consommation par habitant de viande et de papier a doublé tandis que celle de sucre ou d’électricité triplait.


title: Rationnement

text: La crise du canal de Suez en 1956 conduit à sa fermeture du jusqu'en mi-1957. La France et le Royaume-Uni doivent effectuer un rationnement du carburant. Londres le met en place de au .


title: Rationnement

text: Après le premier choc pétrolier de 1973, plusieurs pays occidentaux mettent en place une politique de rationnement de l’essence : l'historien Jean-Baptiste Fressoz souligne que .


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Saint-Cyr-sur-Loire ( ) est une commune française située dans le département d'Indre-et-Loire en région Centre-Val de Loire. Elle borde la ville de Tours et se place sur la rive droite de la Loire.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Saint-Cyr-sur-Loire fait partie de la communauté Tours Métropole Val de Loire qui regroupe 22 communes et près de .


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Située en plein cœur de la France, dans la région centre, Saint-Cyr-sur-Loire se trouve sur les hauteurs de Tours et s'étend au nord de la Loire.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Le territoire communal s'étend sur une superficie d'environ . Au sud, la commune est bordée par la rive droite de la Loire. Saint-Cyr-sur-Loire, qui trouve son emplacement dans la partie centre-nord du département d'Indre-et-Loire, est située au cœur de l'agglomération de Tours. La ville fait partie des rattachées au bassin de vie de Tours. Elle fait également partie des rattachées au bassin d'emploi de la préfecture tourangelle.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Par rapport aux principales villes d'Indre-et-Loire, la commune est distante, « à vol d'oiseau », de en axe nord-ouest de Tours, de de Joué-lès-Tours, de de Chambray-lès-Tours, de en axe ouest d'Amboise et enfin de en direction nord-est de Chinon. Par ailleurs, à l'échelle régionale, la cité tourangelle s’établit à au sud-ouest d'Orléans, capitale du Centre-Val de Loire.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Saint-Cyr est limitrophe de cinq autres communes, la Loire constituant une frontière naturelle avec deux d'entre elles, La Riche et Tours.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: La partie centre-ouest du territoire est dominée par la présence de sables et de graviers continentaux (). Il s'agit de dépôts post-helvétiens, formés au Mio-Pliocène, présentant une dominante argileuse et qui résultent d'un remaniement de silex daté du Sénonien. Cette couche de sables associée à du gravier évolue à une profondeur d'un mètre. Les marges méridionales, septentrionales et nord-occidentales de la commune sont marquées par la présence de calcaire lacustre de Touraine (). Cette couche géologique, à faciès Sannoisien, s'est formée entre Ludien supérieur et le Stampien inférieur. Elle présente une dominante de roches calcaires de couleur blanche ou brun très clair associées à de l'argile, de la marne et des strates de meulière. Le calcaire lacustre de Touraine de Saint-Cyr est observé à des profondeurs de .


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Les parties centrales et orientales du territoire communal sont occupées par des couches sédimentaires constituées de limons des plateaux (LP) se trouvant à de profondeur. La majeure partie des particules composant les limons des plateaux de Saint-Cyr, comme tous ceux des environs de Tours, ont une taille inférieure à . La base de la couche de lœss résulte essentiellement des « épandages » détritiques des sables et graviers continentaux (), mélangés à du calcaire lacustre () altéré. Une coupe stratigraphique opérée à la clinique de l'Alliance, située dans le nord-est du territoire communal, montre que l'assise de la couche LP, d'une épaisseur de , présente la séquence suivante : entre , de l'argile limoneuse de couleur orange contenant des sables à grains épais, associés à des glosses de couleur grise et des blocs de silex mesurant de ; entre , des argiles limoneuses plus fortement oxydées que celles de l'étage précédent ; entre , des dépôts argileux très clairs associés à des nodules d'oxydes ferro-manganésique ; entre , des sédiments quasiment décolorés à texture limoneuse, voire grumeleuse associés des nodules. Les dépôts sablo-argileux LP, formés au cours de la glaciation de Würm, au Quaternaire, reposent sur un plateau daté du Tertiaire et composé de calcaire lacustre. Des affleurements de silex concrétionnés recouvre le plateau au lieu-dit du "Clos-Bénard".


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Aux extrémités ouest, sud-ouest et sud-est le sous-sol de Saint-Cyr est dominé par de la « craie de Villedieu » () alternée de dépôts siliceux (), deux formations datées de l'époque du Crétacé supérieur, étage du Sénonien. La craie de Villedieu, affleurante au niveau de la vallée de la Loire et celle de la Choisille est constituée de calcaire quartzifère. Ce type de roche calcaire, qui présente quelquefois une granulométrie noduleuse ou sableuse, est fréquemment associée à des gisements de chaille. Sur le territoire communal, la craie de Villedieu s'échelonne à des profondeurs comprises entre . Les dépôts siliceux, à dominante d'argiles de couleur blanche ou verdâtre, sont riches de silex jaunes ou gris. L'argile contenue dans cette formation géologique est composée de kaolinite et de la montmorillonite. La formation siliceuse de Saint-Cyr est observée à une profondeur de . Par endroits, la « craie de Blois » (), également formée au Sénonien et mise en évidence à de profondeur, succède de manière progressive aux dépôts siliceux. Les trois formations géologiques du Sénonien sont ceinturées à l'ouest et au sud-ouest, dans les vallées de la Choisille et de la Loire, par des « alluvions modernes » (Fz). Ces dépôts sédimentaires du Quaternaire sont observés à des profondeurs de .


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Le relief de Saint-Cyr, marqué par le lit de la Loire, au sud et celui de la Choisille, à l'ouest, s'élève à une altitude entre un minimum de , à l'ouest, et un maximum de , point culminant établit à "La Ménardière", dans le centre de la commune. Au niveau de "La Grenardière", dans la partie sud du territoire communal, le coteau se présente sous la forme d'un escarpement constitué de craie blanche siliceuse et s'étageant sur une hauteur de .


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Le climat à Saint-Cyr-sur-Loire est celui de l'ensemble du Val de Loire : un climat tempéré et doux à influence océanique. Saint-Cyr-sur-Loire étant distante d'environ du littoral Atlantique , et donc située à l'intérieur des terres, ses conditions climatiques sont dites « dégradées ». La Loire, dont le cours baigne l'extrémité méridionale de la commune, constitue une limite météorologique entre les parties nord et sud de la France. Le territoire communal, qui s'inscrit dans la micro-région naturelle de la « Gâtine nord-tourangelle », connaît, par rapport à l'ensemble départemental, un régime pluviométrique relativement faible oscillant entre et . Saint-Cyr-sur-Loire, comme l'ensemble de la Gâtine nord-tourangelle, observe une température moyenne annuelle de . La micro-région est soumise à une moyenne de de gelée par an, survenant entre les mois d'octobre et d'avril. Elle peut être exposée à des épisodes de sécheresses estivales, ainsi qu'à des vents violents lors de tempêtes hivernales.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: La commune est bordée sur son flanc sud par la Loire (). Le réseau hydrographique communal, d'une longueur totale de , comprend un autre cours d'eau notable, la Choisille (), et quatre petits cours d'eau pour certains temporaires : le ruisseau de la Perrée, d'une longueur totale de , coule au nord du territoire de Saint-Cyr, en limite de la commune de Mettray ; la Petite Gironde, également appelée "ruisseau de Mié", d'une longueur totale de , alimente la partie nord-est de la commune sur ; le ruisseau Saint-Roch, qui se développe sur de long, coule dans la partie nord-ouest de la commune ; enfin, la Petite Choisille, de de long, traverse l'extrémité sud-ouest de Saint-Cyr-sur-Loire.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Le cours de la Loire s’insère dans une large vallée qu’elle a façonnée peu à peu depuis des milliers d’années. Elle traverse d'est en ouest le département d'Indre-et-Loire depuis Mosnes jusqu'à Candes-Saint-Martin, avec un cours large et lent. La Loire présente des fluctuations saisonnières de débit assez marquées. Sur le plan de la prévision des crues, la commune est située dans le tronçon de la Loire tourangelle, qui court entre la sortie de Nazelles-Négron et la confluence de la Vienne, dont la station hydrométrique de référence la plus proche est située à Tours [aval pont Mirabeau]. Le débit mensuel moyen (calculé sur pour cette station) varie de au mois d'août à au mois de février. Le débit instantané maximal observé sur cette station est de et s'est produit le , la hauteur maximale relevée a été de ce même jour. La hauteur maximale historique a été atteinte le avec une hauteur inconnue mais supérieure à .


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Sur le plan piscicole, la Loire est classée en deuxième catégorie piscicole. Le groupe biologique dominant est constitué essentiellement de poissons blancs (cyprinidés) et de carnassiers (brochet, sandre et perche).


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: La Choisille, d'une longueur totale de , prend sa source à sur le territoire de la commune de Nouzilly et se jette dans la Loire à l'extrémité sud-ouest du territoire communal, à , après avoir traversé . Ce cours d'eau est classé dans les listes 1 et 2 au titre de l'article L. 214-17 du code de l'environnement sur le Bassin Loire-Bretagne. Au titre de la liste 1, aucune autorisation ou concession ne peut être accordée pour la construction de nouveaux ouvrages s'ils constituent un obstacle à la continuité écologique et le renouvellement de la concession ou de l'autorisation des ouvrages existants est subordonné à des prescriptions permettant de maintenir le très bon état écologique des eaux. Au titre de la liste 2, tout ouvrage doit être géré, entretenu et équipé selon des règles définies par l'autorité administrative, en concertation avec le propriétaire ou, à défaut, l'exploitant.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Sur le plan piscicole, la Choisille est également classée en deuxième catégorie piscicole. Les mesures hydrométriques de la Choisille ont été réalisées à la station de jaugeage de Mettray, actuellement hors-service. L'affluent ligérien, au nombre de Strahler de 1, présente un réseau de type . Les analyses hydrométriques effectuées entre 1977 et 1980 montrent qu'en saison estivale l'écoulement de la Choisille, régulièrement bas, observe un débit spécifique (ou QSP) de , tandis qu'en saison hivernale, période marquée par de plus fortes précipitations et durant laquelle la rivière, débordant de son lit mineur, est soumise à de fréquentes crues, son débit spécifique accuse une forte hausse pour atteindre . À l'étiage, d'après des mesures prises en 1976, le débit de la Choisille est de . En outre, les estimations réalisées entre à la station de Mettray, mettent en évidence que le module de la rivière est d'approximativement . Sur cette même période, l'écoulement moyen mensuel de la Choisille s'échelonne entre un minimum de en août et un maximum de en février. Un jaugeage ponctuel opéré à Saint-Cyr dans les années 2010 a permis de mesurer un DCR (débit de crise) de et un DAR de .


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Deux zones humides ont été répertoriées sur la commune par la direction départementale des territoires (DDT) et le conseil départemental d'Indre-et-Loire : « la vallée de la Choisille de Graffin au Moulin de Garot » et « la vallée de la Loire de Mosnes à Candes-Saint-Martin ».


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Saint-Cyr-sur-Loire est une commune urbaine, car elle fait partie des communes denses ou de densité intermédiaire, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Elle appartient à l'unité urbaine de Tours, une agglomération intra-départementale regroupant et en 2017, dont elle est la banlieue.


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Par ailleurs la commune fait partie de l'aire d'attraction de Tours, dont elle est une commune du pôle principal. Cette aire, qui regroupe , est catégorisée dans les aires de à moins de .


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires artificialisés (64,7 % en 2018), en augmentation par rapport à 1990 (46,2 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :


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text: zones urbanisées (50,5 %), terres arables (12,3 %), zones industrielles ou commerciales et réseaux de communication (11,9 %), zones agricoles hétérogènes (10,7 %), forêts (7,9 %), prairies (2,5 %), espaces verts artificialisés, non agricoles (2,3 %), eaux continentales (1,8 %).


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: Le tableau qui suit donne quelques indices chiffrés établis en 2016 permettant de comparer l'état du domaine du logement de Saint-Cyr-sur-Loire à celui de l'ensemble de l'Indre-et-Loire :


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text: Par rapport au contexte général de l'immobilier en Indre-et-Loire, la part, plus importante, des résidences principales et des logements vacants laisse moins de place aux résidences secondaires dont le taux s'élève à 1,5 % du parc d'habitations à Saint-Cyr-sur-Loire contre 4,5 % au niveau départemental. Par ailleurs, 62,7 % des occupants de résidences principales de la commune en sont propriétaires, contre 59,2 % au niveau départemental


title: Saint-Cyr-sur-Loire

text: La commune de Saint-Cyr-sur-Loire a connu un développement important après la Seconde Guerre mondiale, profitant de l'impulsion de la ville voisine de Tours et plus spécifiquement du développement de Tours-Nord. Alors que les communes de Saint-Symphorien et Sainte-Radegonde-en-Touraine voisines à l'est fusionnent avec Tours, Saint-Cyr refuse de suivre ce mouvement malgré les tentatives d'influence de Tours, qui présente en 1964 une liste pro-fusion lors des élections municipales anticipées. Dans les années 1990, la ville développe quelques logements sociaux, avec le quartier de la Ménardière de en 1990 puis aux « Maisons blanches » en 1996.


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text: Le développement démographique de la ville est ininterrompu jusqu'en 2006, la population étant multipliée par presque quatre en l'espace de soixante ans. Depuis, la ville est cependant légèrement en déclin démographique alors que les constructions de nouveaux logements ralentissent. La situation pourrait cependant de nouveau s'inverser avec le lancement du projet « Central Parc » en 2016 qui prévoit au nord de la commune l'installation de collectifs et d'une centaine de maisons pour espérés. Le nouveau quartier prend la forme d'immeubles de deux à quatre étages orientés vers un parc central longitudinal. L'ensemble devrait intégrer 25 % de logements sociaux, alors que la commune n'en comptait que 15 % en 2012, et ceux-ci devraient être intégrés dans les résidences de sorte « qu’aucune différence ne puisse se faire entre les statuts des résidents ».


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text: Le réseau routier de Saint-Cyr-sur-Loire est comprend la . Cette voie traverse le territoire communal sur un axe nord-ouest/sud-est et passe successivement par les ronds-points de la Croix de Pierre, de Katrineholm, du Maréchal Leclerc et Charles De Gaulle.


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text: La liste ci-dessous, non exhaustive, a pour objectif de récapituler les principaux lieux-dits, écarts et hameaux attestés sur le territoire de Saint-Cyr-sur-Loire :


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text: Le territoire de la commune de Saint-Cyr-sur-Loire est vulnérable à différents aléas naturels : météorologiques (tempête, orage, neige, grand froid, canicule ou sécheresse), inondations, mouvements de terrains et séisme (sismicité faible). Un site publié par le BRGM permet d'évaluer simplement et rapidement les risques d'un bien localisé soit par son adresse soit par le numéro de sa parcelle.