title: Warane

text: Beute wird üblicherweise mit dem Kopf voran und ganz verschluckt. Die dünne Zunge der Warane ist nicht in der Lage, ein im Maul befindliches Beuteobjekt Richtung Speiseröhre zu bewegen. Anfänglich wird unter Ausnutzung der Schwerkraft der Kopf hochgestreckt, um das Beutetier in den geweiteten Schlund zu befördern. Reicht dies nicht aus, so wird das Beutetier mithilfe von Felsen oder der Erdoberfläche als Widerstand weiter in den Rachen gedrückt oder der Waran setzt den Zungenbeinapparat zur weiteren Manipulation der Beute ein. Dabei wird zuerst der Mundboden mithilfe des Zungenbeinapparats gehoben. Anschließend wird der Zungenbeinapparat zurückgezogen und wieder entspannt. Das Beuteobjekt wird auf diese Weise in Richtung Kehlregion und Speiseröhre gezogen. Sobald das Beuteobjekt noch tiefer im Schlund ist, verändert sich das Bewegungsmuster: Der Zungenbeinapparat wird vor das Beuteobjekt bewegt. Dann wird der Zungenbeinapparat angehoben, um die Kehlregion zu komprimieren. Anschließend wird der Zungenbeinapparat nach hinten gezogen und das Beuteobjekt Richtung Speiseröhre geschoben. Größere Beute wird teilweise mit den Vorderbeinen fixiert, um dann mit den Kiefern einzelne Stücke aus ihr herauszureißen. Beim Trinken spielen die Muskeln des Zungenbeinapparats offenbar keine Rolle.


title: Warane

text: Die Paarung findet üblicherweise nur während eines kurzen Zeitfensters des Jahres statt; Arten aus besonders äquatornahen Gebieten haben jedoch recht ausgedehnte Paarungszeiten. Bei den meisten Arten sondern die Weibchen offenbar Pheromone ab, welche die Männchen anlocken. Diese Duftstoffe werden aller Wahrscheinlichkeit nach in sogenannten Präanaldrüsen produziert, welche vor der Kloake in die Haut eingelagert sind. Von anderen Arten ist wiederum bekannt, dass sich die Geschlechter oft an Aas treffen. Zur Paarungszeit sind die Männchen besonders aktiv und legen ungewöhnlich große Distanzen auf der Suche nach Weibchen zurück. Wenn sie ein Weibchen finden, so umwerben die Männchen der meisten Arten die potenzielle Partnerin durch Bezüngeln, Kratzen und Anstupsen mit der Schnauze. Die Paarung verläuft wie bei den meisten Echsen: Das Männchen besteigt das Weibchen, legt seine Vorderbeine um ihre Schultern und führt von der Seite einen Hemipenis in die Kloake des Weibchens. Bei einigen Arten wehren sich die Weibchen gegen die ersten Paarungsversuche, indem sie nach den Männchen schlagen oder sie beißen; die Männchen dieser Arten fixieren die Weibchen mit ihren Vorderbeinen besonders stark. Auch ist bekannt, dass sich einige Arten nicht unmittelbar paaren, sondern erst 1–2 Tage nach dem Aufeinandertreffen. Treffen sich mehrere Männchen bei einem Weibchen, so kommt es zum Kommentkampf um das Recht zur Paarung.


title: Warane

text: Die Trächtigkeit dauert bei den meisten Arten in Gefangenschaft um die 4–6 Wochen. Die Gelege umfassen bei freilebenden Tieren je nach Art im Schnitt 2,5–24,5 Eier. Besonders fruchtbar sind die afrikanischen Arten. Die Eier von Waranen haben eine lederartige Schale und wiegen im Schnitt artabhängig 3,1–131,9 g. Größe und Anzahl der Eier eines Geleges nehmen mit der Größe des Weibchens und dem Nahrungsangebot zu. Das gesamte Gelege kann bei hochträchtigen Weibchen um die 50 % des Körpergewichts ausmachen. Der Zeitpunkt der Eiablage variiert stark von Art zu Art und mit dem Klima in ihrem Verbreitungsgebiet. Meist werden die Eier so gelegt, dass die Jungtiere zum Höhepunkt der Regenzeit schlüpfen; so haben sie nach der Geburt das höchstmögliche Nahrungsangebot. Die Weibchen bodenbewohnender Arten legen ihre Eier meist in selbstgegrabene und anschließend wieder zugeschüttete Nisthöhlen (oft in Böschungen gegraben), baumbewohnende Arten oft in Baumhöhlen. Eine ganze Reihe von Arten legt ihre Eier in Termitenhügel, baumbewohnende Warane auch in die Nester von baumbewohnenden Termiten. Dazu wird ein Tunnel in den Hügel gegraben und am Ende eine Kammer zur Eiablage ausgehöhlt. Die Weibchen füllen das Loch nur teilweise auf; die Termiten bauen den Rest wieder zu. In den Termitenbauten sind Luftfeuchtigkeit und Temperatur weit stabiler als außerhalb des Baus, und die Eier sind vor Beutegreifern weitgehend in Sicherheit.


title: Warane

text: Die durchschnittliche Brutdauer (Inkubationszeit) bei 30 °C beträgt von Art zu Art 91,7–226 Tage (Thompson & Pianka 2001, 33 Arten). In der Natur kommen bei einigen Arten auch Inkubationszeiten von bis zu 300 Tagen vor, die Eier überdauern also die Trockenzeit und die Jungtiere schlüpfen zur nächsten Regenzeit. Die Geschlechtsdetermination erfolgt bei Waranen genetisch: Die Weibchen sind hemizygot mit einem WZ-Paar von Geschlechtschromosomen, die Männchen sind mit ZZ homozygot (ZW/ZZ-System). In Termitenbauten geschlüpfte Jungtiere graben sich bei einigen Arten selber frei, von anderen in Termitenbauten nistenden Arten ist hingegen bekannt, dass die Weibchen die geschlüpften Jungtiere aus dem harten Bau freigraben. Offenbar erinnern sich die Weibchen an ihren Eiablageplatz und kehren regelmäßig dorthin zurück. Genaueres ist über diese mütterliche Fürsorge nicht bekannt. Jungtiere können in einem Termitenhügel 2–3 Wochen überleben, indem sie von ihrem Dotter zehren. Ansonsten zeigen Warane keine Fürsorge für ihre Jungtiere.


title: Warane

text: Über das Wachstum von Waranen in der Natur liegen kaum Daten vor. In Gefangenschaft erreichen kleine Arten oft nach rund einem Jahr ihre nahezu endgültige Größe und wachsen dann nur noch sehr langsam. Große Arten hingegen wachsen oft noch im Alter von über 5 Jahren. Die Geschlechtsreife tritt je nach Art früher oder später ein, beim Komodowaran ("V. komodoensis") zum Beispiel nach 5 Jahren und beim Kurzschwanzwaran ("V. brevicauda") teilweise schon nach 10 Monaten.


title: Warane

text: Bisher wurde bei drei Arten der Warane von Parthenogenese berichtet, wahrscheinlich verfügen also alle Arten über diese Fähigkeit. Fälle von Parthenogenese sind sehr selten, und die Berichte stammen ausschließlich von in Gefangenschaft lebenden Weibchen, die keinen Kontakt zu männlichen Tieren hatten. Die Parthenogenese erfolgt bei Waranen automiktisch mit terminaler Fusion, das heißt, dass anfänglich eine ganz normale Meiose stattfindet. Es liegen also haploide Keimzellen vor. Durch besondere Polkörperchen verschmelzen anschließend haploide Keimzellen mit dem gleichen Erbgut wieder zu diploiden Zygoten (also Selbstbefruchtung). In der Konsequenz bestehen alle Chromosomenpaare aus gleichen Chromosomen, auch die Geschlechtschromosomen. Bei Waranen liegt das ZW-System zur Geschlechtsdetermination vor; Weibchen haben das Geschlechtschromosomenpaar ZW, Männchen ZZ. Ein Jungtier mit zwei W-Geschlechtschromosomen stirbt bereits im Ei ab. Daher schlüpfen nur Männchen, diese haben von ihrer Mutter zwei Z-Chromosomen erhalten. Da gewissermaßen nur „eine Hälfte“ des mütterlichen Erbguts ausgeprägt ist, sind zahlreiche Gene homozygot. Die Auswirkungen durch ansonsten rezessive, schädliche Mutationen kann mit 10 bis 15 Generationen Inzucht zwischen Geschwistern verglichen werden. So sterben auch männliche Tiere oft schon im Ei ab und nur in seltenen Fällen sind parthenogenetisch gezeugte Warane lebensfähig. Der Nutzen von Parthenogenese bleibt höchst spekulativ.


title: Warane

text: Den meisten Waranen stellen Schlangen, andere Waranarten, Greifvögel und Raubsäuger nach. Wasserlebende Arten werden auch von großen Raubfischen gejagt. Ausgewachsene Exemplare großer Arten haben hingegen nur wenige Feinde. Daneben werden Warane von diversen Ekto- und Endoparasiten befallen; am häufigsten sind Zecken aus den Gattungen "Aponomma" und "Amblyomma" sowie Fadenwürmer aus der Gattung "Abbreviata".


title: Warane

text: Meistens fliehen Warane vor Feinden in ein Versteck, speziell größere Arten können aber auch aggressiv auf Feinde reagieren. Sie zeigen ein ähnliches Drohverhalten wie gegenüber Artgenossen und zischen laut. Warane wehren sich gegen Feinde durch Bisse und durch Schläge mit ihrem Schwanz. Nach einzelnen Berichten können Schwanzschläge von großen Exemplaren die Beine von Hunden brechen. Menschen gegenüber fliehen die allermeisten Arten sofort, und auch der große Komodowaran ("V. komodoensis") beißt nur, wenn er in die Enge getrieben wird. Nur von wenigen Waranen ist bekannt, dass sie sich tot stellen.


title: Warane

text: Daten zur Mortalität und Lebenserwartung sind rar. Speziell junge Warane dürften in der Natur eine außerordentlich hohe Mortalität haben. Daten zur Lebenserwartung sind praktisch nur aus Gefangenschaft bekannt, wo sich Warane als vergleichsweise langlebig erweisen. Für mehrere Arten sind Lebensalter um die 10 Jahre belegt. Der Komodowaran ("V. komodoensis") kann wahrscheinlich über 30 Jahre alt werden, und auch Exemplare von kleinen Waranarten wurden in Ausnahmefällen bis zu 20 Jahre in Gefangenschaft gehalten.


title: Warane

text: Die Gattung der Warane ("Varanus") bildet mit einigen ausgestorbenen Gattungen die Familie Varanidae. Der nächste rezente Verwandte ist der Borneo-Taubwaran ("Lanthanotus borneensis"), der in eine eigenständige, monotypische Familie (Lanthanotidae) eingeordnet wird. Varanidae und Lanthanotidae bilden die Schwestergruppe der Shinisauridae mit nur einer rezenten Art, der Krokodilschwanzechse ("Shinisaurus crocodilurus"). Die Klade aus diesen drei Familien bildet zusammen mit den Krustenechsen (Helodermatidae), den Höckerechsen (Xenosauridae), Schleichen (Anguidae) und Ringelschleichen (Anniellidae) die Gruppe der Schleichenartigen (Anguimorpha), die zusammen mit den Leguanartigen (Iguania) und den Schlangen (Serpentes) die Gruppe der Toxicofera innerhalb der Schuppenkriechtiere (Squamata) bilden.


title: Warane

text: Ungelöst ist das Verhältnis der Warane zu den kretazischen Aigialo- und Mosasauriern, auch wenn diese früher oft in die Nähe der Warane gestellt wurden.


title: Warane

text: Als Begründer der Waransystematik gilt der deutsche Herpetologe Robert Mertens (1894–1975). 1942 wurden drei wegweisende Arbeiten von Mertens über Warane in den "Abhandlungen der senckenbergischen naturforschenden Gesellschaft" veröffentlicht. Mertens’ Systematik gilt heute zwar als überholt, seine Arbeiten ebneten jedoch den Weg für moderne Systematiker.


title: Warane

text: Aktuell werden innerhalb der Warane etwa 80 rezente Arten als gültig anerkannt. Momentan werden diese auf 9 Untergattungen verteilt. Diese Unterteilung wurde mit Untersuchungen der Hemipenismorphologie durch die deutschen Herpetologen Wolfgang Böhme und Thomas Ziegler im Jahr 1997 etabliert, zuvor erschienen bereits einige Arbeiten von Böhme. Sie begründeten die Untergattung "Soterosaurus" (Ziegler & Böhme, 1997) und verwendeten alte Untergattungen oder definierten diese neu, nämlich "Empagusia" (Gray, 1838), "Euprepiosaurus" (Fitzinger, 1843), "Odatria" (Gray, 1838), "Papusaurus" (Mertens, 1958), "Philippinosaurus" (Mertens, 1959), "Polydaedalus" (Wagler, 1830), "Psammosaurus" (Mertens, 1942) und "Varanus" (Merrem, 1820). Innerhalb vom "Empagusia" wird eine "V. bengalensis"-Gruppe separiert, in "Euprepiosaurus" zwischen "V. prasinus"- und "V- indicus"-Gruppe unterschieden, "Odatria" in "V.-acanthurus"-Gruppe und "V.-timorensis"-Gruppe aufgeteilt, "Polydaedalus" setzt sich aus einer "V. niloticus"-Gruppe und einer "V. exanthematicus"-Gruppe zusammen und in "Varanus" wird eine "V. gouldii"-Gruppe abgesondert. Diese Einteilung stimmt bis auf wenige Punkte mit später durchgeführten molekularbiologischen Untersuchungen überein. Dennoch hat sich die Unterteilung anhand des Hemipenisbaus etabliert, und die Gattungsnamen werden in molekularbiologischen Untersuchungen wieder aufgegriffen. Da noch nicht alle Warane genetisch untersucht wurden, ist noch keine rein molekularbiologisch begründete Systematik in Verwendung.


title: Warane

text: Eine komplette Liste aller Arten ist unter Systematik der Warane verfügbar. Die Liste ist nach Untergattungen sortierbar, ebenso können die Waranarten nach Ergebnissen aus der Molekularbiologie angeordnet werden.


title: Warane

text: Während der Fossilbeleg der Warane recht spärlich ist, so kann anhand molekularbiologischer Studien (z. B. Ast 2001, Fitch et al. 2006, Ziegler et al. 2007, Amer & Kumazawa 2008) und einiger wichtiger Fossilien (Hocknull et al. 2009) die Entwicklungsgeschichte der Warane rekonstruiert werden. Begünstigt wurde die Ausbreitung der Warane wahrscheinlich durch ihre guten Fähigkeiten zur Fortbewegung. Einen großen Einfluss auf die Ausbreitung der Warane hatten sicherlich die sinkenden und steigenden Meeresspiegel während des Pleistozäns. Während der Eiszeiten banden Gletscher große Mengen Meerwasser in sich, und in der Folge sanken die Meeresspiegel um bis zu 100 m. Durch das tendenziell eher flache Meer in der indoaustralischen Inselwelt wurde die Ausbreitung auf den Archipeln begünstigt.


title: Warane

text: Höchstwahrscheinlich entstanden die Warane in Zentralasien. Ein aus dem Eozän stammendes, etwa 53 Millionen Jahre altes, relativ gut erhaltenes Skelett mit fast vollständigem Schädel wurde in der chinesischen Provinz Hubei gefunden und unter der Bezeichnung "Archaeovaranus" beschrieben. Auch andere primitive Schleichenartige wurden überwiegend in Zentralasien gefunden. Die zu den Waranen führende Entwicklungslinie spaltete sich laut molekularer Uhr von Amer & Kumazawa (2008) vor etwa 60 Millionen Jahren ab. Die ältesten bekannten Fossilien von der Gattung "Varanus" sind 37 Millionen Jahre alte Wirbel aus Ägypten. Nach den mtDNA-Analysen von Ast (2001) bilden alle 6 afrikanischen Arten die Schwestergruppe zu den übrigen Waranen. Also wanderten basale "Varanus" wahrscheinlich aus Zentralasien nach Südasien und Afrika. Nach Ast (2001) teilen sich die nicht-afrikanischen Warane in 2 große Kladen auf: Den Indo-Asien-Kladus und den Indo-Australien-Kladus. Der Indo-Asien-Kladus teilt sich in 2 große Gruppen auf: Indo-Asien A und Indo-Asien B. Diese beiden Entwicklungslinien trennten sich vor etwa 51 Millionen Jahren. Indo-Asien A enthält einerseits die bereits von Ziegler & Böhme (1997) postulierte Untergattung "Empagusia", welche bis auf den Raunackenwaran ("V.rudicollis") monophyletisch ist. Dieser ist stattdessen das Schwestertaxon zum sogenannten "V.-salvator"-Komplex (bei Ziegler & Böhme "Soterosaurus"), welcher zusammen mit "V. rudicollis" das Schwestertaxon zu "Empagusia" excl. "V. rudicollis" ist. Einerseits entwickelte sich in Südostasien und im Sunda-Archipel also "Empagusia", andererseits eine "rudicollis"-ähnliche Art. Das Ausmaß genetischer Variabilität innerhalb verschiedener "V. salvator"-Arten und Ast's (2001) Analysen lassen vermuten, dass eine "rudicollis"-ähnliche Art während einer Periode von global niedrigem Meeresspiegel während des Pleistozäns in die Philippinen einwanderte. Dort entstanden der heutige "V. rudicollis" sowie "V. nuchalis" mit ebenfalls rauen Nackenschuppen, während eine "V.-cumingi"-ähnliche Form der Ursprung für eine Radiation Richtung Süden und Westen war. Aus dieser Radiation gingen zahlreiche Arten des "V. salvator"-Komplexes hervor (z. B. "V. salvator", "V. togianus").


title: Warane

text: In Indo-Asien B fand die erste Aufspaltung vor etwa 34 Millionen Jahren statt. Daraus ging die philippinische Untergattung "Philippinosaurus" und die Untergattung "Euprepiosaurus" hervor. "Euprepiosaurus" entwickelte sich aller Wahrscheinlichkeit nach auf den Molukken; durch den schlechten Fossilbeleg ist dies jedoch nur eine von mehreren Möglichkeiten. Die Untergattung "Euprepiosaurus" unterteilt man in die zierlich gebaute, baumbewohnende "V.-prasinus"-Gruppe und die oft ans Wasser gebundene "V.-indicus"-Gruppe, welche kräftiger gebaut ist und seitlich zusammengedrückte Schwänze aufweist. Von den Molukken wanderte diese höchst diverse Gruppe nach Neuguinea und auf die Salomonen aus, einzelne Arten auch bis nach Australien. Die genauen Speziationsprozesse bleiben ungeklärt, einzig die Monophylie der beiden Gruppen ist bestätigt. Wahrscheinlich spielte allopatrische Artbildung auf den zahlreichen kleinen Inseln eine entscheidende Rolle und begründete die Vielfalt sowie den hohen Grad an Endemismus.


title: Warane

text: Der Indo-Australische Kladus erreichte vor etwa 15 Millionen Jahren Australien; als Ausbreitungskorridor kommen die Kleinen Sunda-Inseln in Frage. Anfangs bildeten sich in sehr schneller Speziation drei Gruppen aus: Einerseits die Zwergwarane der Untergattung "Odatria", andererseits die zwei Schwestergruppen "V. gouldii" und "V. varius"-Gruppe. Der Split zwischen geringer und enormer Körpergröße ist innerhalb der australischen Warane basal. Die Artbildungsrate nahm zwar bis heute wieder ab, erfolgte jedoch nach der Kolonisation sehr schnell. Bis heute leben die meisten Arten der Warane in Australien. "Odatria" wird in die eher baumbewohnende "V. tristis"-Gruppe und die bodenbewohnende "V. acanthurus"-Gruppe gespalten. Die "V. gouldii"-Gruppe enthält alle typischen großen australischen Warane bis auf den Buntwaran ("V. varius"). Dieser ist näher mit dem Papuawaran ("V. salvadorii") auf Neuguinea und dem Komodowaran ("V. komodoensis") verwandt. Diese sehr großwüchsige Gruppe (Buntwaran 2 m, Papua-Waran und Komodowaran > 2,5 m) entwickelte sich in Australien. Während der niedrigen Meeresspiegel während des Pleistozäns wanderten einige Vertreter dieser Gruppe wieder aus Australien aus. Am Fossilbeleg kann die schrittweise Ausbreitung gen Nordwesten über Timor und die kleinen Sunda-Inseln bis nach Java belegt werden. Erst in jüngerer Zeit starben Vertreter der "V. varius"-Gruppe in großen Teilen ihrer Verbreitung aus, so dass heute nur noch "V. varius" in Australien und "V. salvadorii" sowie "V. komodoensis" außerhalb von Australien bleiben. Einige Warane der "V. gouldii"-Gruppe erreichten später wieder Neuguinea; dazu gehört z. B. eine Unterart des Arguswarans ("V. panoptes horni").


title: Warane

text: Die Evolution der Warane wurde maßgeblich von der Wallace-Linie beeinflusst. Östlich dieser biogeographischen Grenze existieren keine Raubtiere (Carnivora). Westlich der Wallace-Linie leben vor allem große Waranarten und nur sehr wenige kleine Arten. Östlich der Wallace-Linie hingegen nimmt die Anzahl kleiner Waranarten (z. B. "V. prasinus"-Gruppe und "Odatria") enorm zu, während die Anzahl kleiner Raubsäuger (z. B. Marder) stark abnimmt. Westlich der Wallace-Linie können große Waranarten existieren, da sie viele Jungtiere haben und diese schnell wachsen. Somit sind diese Arten gegen Bejagungsdruck von kleinen bis mittelgroßen Raubsäugern resistent. Kleine Arten sind in jedem Alter diesem Druck ausgesetzt. In Wallacea hingegen konnten sie entstehen und existieren bis heute. Gleichzeitig nehmen sie die ökologische Nische von kleinen Raubsäugern ein.


title: Warane

text: Von Waranen liegen als Fossilien meist Wirbel vor, insgesamt ist der Fossilbeleg eher spärlich. Ein relativ gut erhaltenes Skelett mit fast vollständigem Schädel wurde in der chinesischen Provinz Hubei gefunden und unter der Bezeichnung "Archaeovaranus" beschrieben. Es ist etwa 53 Millionen Jahre alt und stammt somit aus dem frühen Eozän. In Afrika kennt man mit "V. rusingensis" nur eine benannte fossile Waranart, welche gleichzeitig die älteste mit einem binominalen Namen beschriebene "Varanus"-Art überhaupt ist. Das kenianische Fossil stammt aus dem frühen Miozän. Auch in Europa lebten Warane, besonders weit verbreitet war der pliozäne "V. marathonensis". In Deutschlands und Frankreichs Miozän fand man "V. hofmanni". In Europa starben die Warane wahrscheinlich im Zuge einer Klimaabkühlung etwa während der Eiszeiten aus. In Asien und Australien fanden Paläontologen ebenfalls einige Fossilien von ausgestorbenen und heute noch lebenden Arten, insbesondere auch einige sehr große Arten. Der wohl bekannteste fossile Waran ist "V. priscus", der im Pleistozän von Australien lebte und eine Länge von etwa 6 m erreichte.


title: Warane

text: Warane sind bedeutend für den internationalen Lederhandel; Waranleder ist neben der oft attraktiven Musterung auch lange haltbar und wird zu Uhrarmbändern, Schuhen, Geldbeuteln, Handtaschen und anderen Gütern verarbeitet. Daneben ist das Fleisch von Waranen für die lokale Bevölkerung ein wichtiges Nahrungsmittel: bevorzugt gegessen werden Leber und Schwanzansatz sowie die Eier der Tiere. In Asien werden insbesondere Bindenwaran ("V. salvator"), Gelbwaran ("V. flavescens") und Bengalenwaran ("V. bengalensis") bejagt, in Afrika vor allem der Nilwaran ("V. niloticus"), der Steppenwaran ("V. exanthematicus") und der Weißkehlwaran ("V. albigularis"). Wichtige Exporteure in Asien sind Indonesien, die Philippinen, Thailand, Bangladesch, Indien und Pakistan, in Afrika Nigeria, Sudan, Mali und Kamerun. In Australien sind Warane keiner Verfolgung durch den Menschen ausgesetzt. Die Anzahl der getöteten Exemplare pro Jahr geht bei einigen Arten wahrscheinlich in die Millionen. Von einigen Arten werden jährlich auch mehrere Tausend Exemplare für den Heimtierhandel gefangen, insbesondere der Steppenwaran ("V. exanthematicus") und der Nilwaran ("V. niloticus") sind in dieser Hinsicht bedeutend. Gewerbliche Zucht von Waranen wäre gegenüber der Jagd auf freilebende Exemplare sehr unrentabel, daher stammen alle Waranhäute von Wildfängen. Gelegentlich werden auch die Praktiken der Lederindustrie kritisiert; in Südostasien werden Bindenwarane aufgrund unzureichender Tötungsmethoden (Hammerschläge auf den Kopf) oft lebendig gehäutet. Zuvor werden die Tiere tagelang mit zusammengebundenen Beinen gelagert. Daneben stellen eine Reihe von Ethnien aus Waranen traditionelle Medizin her. Warane machen sich als Vertilger von Schädlingen wie Nagern und Insekten nützlich. Andererseits sind sie oft wegen Angriffen auf kleine Haustiere wie Hühner unbeliebt.


title: Warane

text: Daneben existieren in zahlreichen Ethnien kulturelle Bezüge zu Waranen, sowohl positive als auch negative. Aus Höhlen in der Nähe von Bhopal (Indien) sind 10.000 Jahre alte Zeichnungen von Waranen bekannt. Ein besonders ungewöhnliches Verhältnis zu Waranen haben die Bugis und Makassaren auf Sulawesi: Sie sehen Warane als Zwillinge ihrer Kinder und schreiben ihnen eine menschliche Seele zu. Die Echsen werden in den Familienalltag eingebunden.


title: Warane

text: Einige Arten der Warane sind beliebt in der Terraristik. Dies ist jedoch auch mit massenhaften Lebendimporten von Wildfängen sowie teils auch unverantwortlicher oder nicht artgerechter Haltung verbunden, etwa wegen falscher Ernährung oder zu kleiner Unterkünfte.


title: Warane

text: Die Rote Liste gefährdeter Arten der IUCN hat Einträge für 20 Arten von Waranen. Von diesen 20 Arten bezeichnet die IUCN 13 als ungefährdet ("least concern"), 1 als gering gefährdet ("near threatened") und 3 als nicht ausreichend bekannt ("data deficient"). Als gefährdet ("vulnerable") werden der Komodowaran ("V. komodoensis") und der Grays Waran ("V. olivaceus") geführt, und der Panay-Waran ("V. mabitang") wird als stark gefährdet eingestuft. Das Washingtoner Artenschutzabkommen (CITES) legt Handelsbeschränkungen auf alle Waranarten und aus ihnen hergestellte Produkte, diese werden jedoch teilweise nicht beachtet. 5 Arten sind in Anhang I gelistet, alle restlichen Arten in Anhang II.


title: Warane

text: Eine Reihe von Waranarten ist durch Habitatzerstörung, Habitatfragmentierung und Jagd bedroht, einige besonders stark bejagte Arten scheinen jedoch dem Verfolgungsdruck durch hohe Fortpflanzungsraten standzuhalten und gelten daher auch als nicht gefährdet (z. B. Nilwaran, "V. niloticus" & Bindenwaran, "V. salvator"). Ebenso sind viele Arten sehr anpassungsfähig und daher durch Habitatzerstörung nur wenig bedroht, während andere starke Bestandseinbußen erleiden. Kleine Waranarten, etwa Vertreter der Untergattung "Odatria" in Australien, können von räuberischen Neozoen wie etwa Hauskatzen dezimiert werden. In Australien erleiden größere, Amphibien jagende Warane starke Rückgänge durch die Einbürgerung der Aga-Kröte ("Bufo marinus"). Die Echsen kennen diese giftige Kröte nicht und sterben an deren Hautgift. Hierzu genügt es, die Kröte beim Beutefang ins Maul zu nehmen. Populationen von großen Waranarten nehmen oft um etwa 90 % ab, wenn Agakröten in ihren Lebensraum einwandern.


title: Customer-Relationship-Management

text: Customer-Relationship-Management, kurz CRM ( für Kundenbeziehungsmanagement oder Kundenpflege), bezeichnet die konsequente Ausrichtung eines Unternehmens auf seine Kunden und die systematische Gestaltung der Kundenbeziehungsprozesse. Die dazugehörende Dokumentation und Verwaltung von Kundenbeziehungen ist ein wichtiger Baustein und ermöglicht ein vertieftes Beziehungsmarketing. In vielen Branchen (z. B. Telekommunikation, Versandhandel, Dienstleistungsunternehmen) sind Beziehungen zwischen Unternehmen und Kunden langfristig ausgerichtet. Mittels CRM werden diese Kundenbeziehungen gepflegt, was sich maßgeblich auf den Unternehmenserfolg auswirken soll.


title: Customer-Relationship-Management

text: Kundenansprachen und Kundenbindungen nehmen einen wichtigen Stellenwert ein, da die Gewinnung von Neukunden bis zu fünf Mal teurer sein kann als die Kundenbindungen. Daher werden bei vielen Unternehmen sämtliche Daten von Kunden und alle mit ihnen abgewickelten Transaktionen in Datenbanken gespeichert. Diese Daten können integriert und aufbereitet werden, um im Unternehmen an jeder Stelle in der passenden Zusammenstellung zur Verfügung zu stehen. Die Daten und Transaktionen werden immer im Kontext zu Prozessen eines Unternehmens gesehen.


title: Customer-Relationship-Management

text: CRM unterstützt die Kommunikation im Kundenprozess mit Zahlen, Daten, Fakten, um die Aufmerksamkeit in Beziehungen mit einem hohen Kundenwert zu konzentrieren (siehe hierzu: Key-Account-Management) und Schwachstellen im Dialog mit dem Kunden zu identifizieren. So gibt CRM-Software z. B. eine Struktur vor, um einen standardisierten Arbeitsvorgang zu gewährleisten.


title: Customer-Relationship-Management

text: Im Gegensatz zum CRM beschäftigt sich das Stakeholder-Relationship-Management (SRM) mit allen Geschäftspartnern eines Unternehmens inklusive Teilhabern und Aktionären.


title: Customer-Relationship-Management

text: CRM ist teils auch ein ganzheitlicher Ansatz zur Unternehmensführung. Er integriert und optimiert dann abteilungsübergreifend alle kundenbezogenen Prozesse in Marketing, Vertrieb, Kundendienst sowie Forschung und Entwicklung. Dies geschieht auf der Grundlage einer Datenbank mit einer entsprechenden Software zur Marktbearbeitung und ggf. anhand eines vorher definierten Verkaufsprozesses. Zielsetzung von CRM ist dabei die Schaffung von Mehrwerten auf Kunden- und Lieferantenseite im Rahmen von Geschäftsbeziehungen.


title: Customer-Relationship-Management

text: Da das CRM im Zusammenspiel mit dem Marketing operiert, werden seine Ziele häufig aus den Marketingzielen abgeleitet. Im Allgemeinen geht es darum, durch Analyse des Kaufverhaltens und entsprechenden Einsatz der Instrumente des Marketing-Mix die Kundenzufriedenheit und die Kauffrequenz durch Up- und Cross-Selling zu steigern, die Bindung der Bestandskunden mit maßgeschneiderten Aktionen zu erhalten und aus Interessenten Kunden zu machen, die sogenannte Konversion.


title: Customer-Relationship-Management

text: Ziel eines Customer-Relationship-Management-Systems ist es, dokumentierte Informationen, die einem Kunden eindeutig zuzuordnen sind, durch Zusammenführung, Generalisierung, Kombination und Abstrahierung visuell darzustellen, um auf eine maximal erreichbare Anzahl von möglichen Fragestellungen des Marketings aussagekräftige Antworten bieten zu können. Gleichzeitig werden dabei durch zentrale Datenerfassung die Kosten gesenkt, die Reaktions- und Liefergeschwindigkeit gesteigert und die Kundenorientierung verbessert, indem Kunden individualisierte, ihren Bedürfnissen entsprechende Leistungen angeboten werden können. Durch die einfache Auswertbarkeit von Datenbanken innerhalb des CRMs kann z. B. ein verändertes Kundenverhalten im großen Stil für veränderte Bedürfnisse oder neue Wettbewerber sprechen.


title: Customer-Relationship-Management

text: Ausgehend von der Annahme, dass CRM ein Mittel für die Kommunikation im Kundenprozess ist, können drei Bereiche identifiziert werden, für die CRM besonders relevant ist: Marketing, Verkauf und Service. Diese drei Bereiche legen zugleich die unternehmensinternen und -externen Organisationseinheiten (z. B. Mitarbeiter, Kunden, Geschäftspartner, Unternehmensbereiche) fest, die vom CRM betroffen sind. Die Unterteilung dient auch der Strukturierung funktionaler Fragestellungen, z. B. wenn es darum geht, welche Funktionen insbesondere im operativen und analytischen CRM zur Verfügung stehen sollen.


title: Customer-Relationship-Management

text: Beispiele: Die Marketingabteilung selektiert die Kundendaten für eine gezielte Kundenansprache im Rahmen von Kampagnen. Der Vertrieb und der Service nutzen sowohl bei der Neukundengewinnung als auch bei der Bestandskundenpflege eine zentrale Datenbasis, um allen Beteiligten im Unternehmen eine einheitliche Sicht auf den Kunden und dessen Historie zu ermöglichen.


title: Customer-Relationship-Management

text: Die Rolle des CRM bei der Neukundengewinnung besteht darin, in der Datenbank gespeicherte Interessenten mit Mitteln des Direktmarketings beziehungsweise des persönlichen Verkaufs anzusprechen und so als Kunden zu gewinnen. Durch Fortführung des Dialogs (direkte Kontakte, Einladungen, Gewinnspiele, Befragungen etc.) wird das Bild des potenziellen Kunden differenziert. Hieraus kann auf das generelle Potenzial des Kunden, seine genauen Produktanforderungen und etwa auf einen geplanten Produktkaufzeitpunkt geschlossen werden.


title: Customer-Relationship-Management

text: Ein Unternehmen nimmt in regelmäßigen Abständen Kontakt zu seinen Kunden auf (outbound). Die Mitarbeiter erkundigen sich im After-Sales-Management, ob das Unternehmen etwas für seine Kunden tun kann. Hierbei bietet es ggf. einen neuen Mehrwert an. Gleichzeitig werden im Rahmen des Beschwerde- und Service-Managements eine Reihe von Serviceleistungen in Form von Beratungs- und Servicehotlines bereitgestellt (inbound).


title: Customer-Relationship-Management

text: Für das Marketing werden die Daten des CRM dazu genutzt, sowohl Neukunden als auch Bestandskunden mit Produktinformationen oder Imagekampagnen zu informieren. Dies geschieht über Kundenzeitschriften, elektronische Newsletter, Anschreiben, den persönlichen Kontakt, geschlossene Angebote im Internet, Sonderkonditionen oder offensive Öffentlichkeits- und Pressearbeit, so dass der Kunde sieht, dass er für das Unternehmen einen wichtigen Stellenwert hat. Gleichzeitig wird so versucht, weitere Informationen für die CRM-Datenbank über die Kunden zu erhalten, aber auch direkte Kundenumfragen kommen zum Einsatz.


title: Customer-Relationship-Management

text: Customer-Relationship-Management wird üblicherweise eingeteilt in das analytische, das operative, das kommunikative und das kollaborative CRM.


title: Customer-Relationship-Management

text: Das analytische CRM führt Analysen auf den im Data-Warehouse-System zusammengeführten Kunden- und Transaktionsdaten mittels multivariater Methoden und Methoden der Business-Intelligence wie Data-Mining aus. Im analytischen CRM kommt es darauf an, wichtige Informationen aus den Kundendaten zu gewinnen. So lassen sich Abwanderungstendenzen und Betrugstatbestände, aber auch neue Zielgruppenmerkmale aus den Daten ablesen. Durch das analytische CRM kann man Eigenschaften, Verhaltensweisen und Wertschöpfungspotenziale von Kunden besser erkennen und einschätzen.


title: Customer-Relationship-Management

text: Die Schnittstelle zwischen dem analytischen und dem operativen CRM wird durch das Kampagnenmanagement gebildet.


title: Customer-Relationship-Management

text: Im operativen CRM werden durch das analytische CRM gewonnene Informationen einer Verwendung zugeführt. Dies können Kundenbewertungen, wie z. B. ABC-Analyse, Marktsegmentierung oder Cross-Selling, d. h. Erhöhung des Umsatzes pro Kunde durch Verkauf zusätzlicher Produkte sein. Hinzu kommen das Nachfassen im Vertrieb, zum Beispiel durch Newsletter, Mailings oder Nachtelefonieren. Umgekehrt werden im operativen CRM die meisten Daten für die Auswertung im analytischen CRM gewonnen. Der Ablauf ist dabei folgender: Gewinnung erster Daten im operativen CRM (Henne-Ei-Problem),


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text: Weiterverarbeitung und Auswertung der (operativen) Daten im analytischen CRM und Anstoß weiterer operativer Kampagnen in deren Folge neue operative Daten gewonnen werden und ein Kreislauf entsteht.


title: Customer-Relationship-Management

text: Das kommunikative CRM spricht die direkte Schnittstelle zum Kunden an, z. B. die Kundenkontaktpunkte. Durch das kommunikative CRM werden die verschiedenen Kommunikationskanäle für den Kundenkontakt bereitgestellt. Hierbei spricht man mittlerweile auch von Multichannel-Management. Dieses soll die Verwaltung der Kommunikationskanäle und deren effiziente Nutzung sicherstellen. Wesentliche Kanäle der Kommunikation sind dabei das Telefon, sowohl eingehend ("inbound") als auch ausgehend ("outbound"), das Web mit E-Commerce und sozialen Netzwerken, sowie E-Mails und der klassische Brief/Fax in der sogenannten Face-to-Face-Kommunikation.


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text: Kollaborativ oder "Collaborative" CRM bezieht sich darauf, dass CRM nicht nur innerhalb einer Organisationseinheit oder einer Unternehmung umgesetzt wird, sondern über Organisations- und Unternehmensgrenzen hinaus. In der Praxis kann dies z. B. bedeuten, dass CRM nicht nur in der Außendienstvertriebsorganisation umgesetzt wird, sondern im gesamten Vertrieb. Hier müssen dann für Pricing, Rabatte und Zielgruppenfokus integrative Konzepte gefunden werden, um die Kräfte zu bündeln und den Kunden gezielt und mit einheitlichen Zielsetzungen und klar abgegrenzten Verantwortlichkeiten anzusprechen. Hierzu gehört z. B. auch die Abgrenzung zwischen Neugeschäft und Servicegeschäft speziell bei Investitionsgütern.


title: Customer-Relationship-Management

text: Kollaboratives CRM kann auch über die Unternehmensgrenzen hinausgehen und z. B. externe Lieferanten, externe Vertriebskanäle, externe Dienstleister, externe Logistikunternehmen in ein einheitliches CRM-Konzept miteinbeziehen. Durch die Optimierung entlang der gesamten Wertschöpfungskette können die Prozesskosten, der Medieneinsatz sowie die Prozessgeschwindigkeit noch weitreichender optimiert werden. Im Collaborative CRM wird – ausgehend von Autoren an der Harvard Business School (Kracklauer/Mills/Seifert) – auch eine mögliche Weiterentwicklung für das Category-Management (Warengruppenmanagement) gesehen. So eröffnet das Collaborative CRM neue Wege für Industrie und Handel, gemeinsam entlang der Wertschöpfungskette Kundengewinnung, Kundenbindung und Kundenentwicklung über das reine Warengruppenmanagement hinaus zu betreiben.


title: Customer-Relationship-Management

text: Eine speziell auf das Kundenbeziehungsmanagement zugeschnittene Software wird CRM-System genannt. Das ist eine Datenbankanwendung, die eine strukturierte und gegebenenfalls automatisierte Erfassung sämtlicher Kundenkontakte und -daten ermöglicht. Diese Daten unterstützen durch ihre permanente und umfassende Verfügbarkeit die Arbeit von Vertriebsmitarbeitern in vielen Hinsichten. In größeren Unternehmen werden die Daten des CRM-Systems häufig in einem Data Warehouse für eine weitergehende manuelle oder automatische Auswertung mittels Data-Mining oder OLAP zur Verfügung gestellt.


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text: CRM-Systeme basieren überwiegend auf Standardsoftware-Produkten. Solche Programme sind für typische Anforderungen in großer Vielfalt und in allen Preisklassen auf dem Markt verfügbar. CRM-Lösungen für besondere Anforderungen werden hingegen meist als Individuallösung erstellt. Es gibt eine Vielzahl von Angeboten im kommerziellen Bereich, nicht nur für Großunternehmen, sondern auch für den KMU-Bereich.


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text: Ideal ist die Integration der CRM-Software in das ERP-Programm des Unternehmens, um Redundanzen in der Datenhaltung zu vermeiden. Auch die Datenqualität wird durch eine solche Integration besser, da das CRM auf die „Echt-Daten“ zurückgreift: Kunden-Stammdaten, Bewegungsdaten aus dem Angebotswesen und der Auftragsabwicklung etc. Ein Problem von CRM ist die riesige Datenmenge, die entsteht. Die Qualität der Daten wird schlechter. Ausweg ist ein "Dirty-CRM"-Ansatz, bei dem die Qualität der Daten nicht erste Priorität hat, beispielsweise wenn nur Mail-Adressen ohne weitere Informationen bekannt sind und die Kundenbeziehung erst später entsteht. Viele Systeme versagen hier, weil Pflichtangaben oder analytische Aufgaben nicht durchführbar sind.


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text: Meist kommen bei der Kundenpflege vor allem proprietäre Softwarelösungen in Frage. Es existieren aber auch Software-on-Demand-, SaaS- und Open-Source-Lösungen. On-Demand-Lösungen sind sofort verfügbar. Nutzer bezahlen in den meisten Fällen nur für die Nutzung und ersparen sich eine mitunter aufwendige technische Infrastruktur. Open-Source-Lösungen sind weitestgehend frei verfügbar und damit preiswert in der Beschaffung. Wichtig bei der Auswahl sind aber vor allem die Anpassungsmöglichkeiten der Software an die konkrete Aufgabenstellung im Unternehmen und die verfügbaren Schnittstellen in die schon vorhandene Software-Landschaft. Der Hauptteil der Kosten des Kundenbeziehungsmanagements entsteht nicht bei der Beschaffung der Software, sondern als Personalkosten bei der Planung und Durchführung von Aktionen sowie bei der Pflege der Daten.


title: Customer-Relationship-Management

text: Welche Daten gespeichert werden, ist u. a. abhängig von den konkreten Zielsetzungen des CRM und der Branche des Unternehmens. Die Bandbreite reicht dabei von einfachen Kontaktdaten über Daten zum Kundenkonto bis hin zu teilweise sehr persönlichen Daten, wie beispielsweise Kreditinformation, Personalinformation, Vorstrafen oder Beitreibungen. Die Wahrung des Datenschutzes ist deswegen bei der Speicherung und Verarbeitung der Daten sowie bei der Gewährung von Zugriffsrechten unbedingt zu beachten. Das gilt uneingeschränkt auch dann, wenn im Geltungsbereich eines Datenschutzgesetzes erhobene Daten außerhalb des Geltungsbereichs dieses Datenschutzgesetzes verarbeitet werden. Wenn in der Beziehung zwischen Kunden und Mitarbeitern eine Leistungs- und Verhaltenskontrolle der Mitarbeiter möglich ist, sind auch arbeitsrechtliche Bestimmungen zu berücksichtigen. Angesichts der Rechtslage ist häufig ein Verzicht auf die Speicherung und Verarbeitung sensibler Daten (z. B. personenbezogene Daten) der praktikabelste Weg, die Rechte der Menschen, denen diese Daten zugeordnet sind, zu respektieren.


title: Customer-Relationship-Management

text: Moderne CRM-Systeme unterstützen Mitarbeiter im täglichen Kundendialog. Bei eingehenden Anrufen (CTI) oder E-Mails usw. können anhand der Absenderkennung direkt die passenden Kundendaten angezeigt werden. Eine übersichtliche Kontakthistorie zeigt alle Interaktionspunkte mit dem Kunden inkl. Notizen. E-Mails und andere Dateien sind direkt verlinkt. Über eine integrierte Workflow-Engine mit Ticketingsystem erhält man direkten Zugriff auf Verkaufschancen oder Servicetickets.


title: Customer-Relationship-Management

text: Unter "Retention-Marketing" versteht man einen Ansatz des strategischen Marketings, mit dem Ziel, bereits bestehende Kundenbeziehungen oder allgemein die Kundenbindung zu intensivieren, das heißt die sogenannte "customer retention" erhöhen. Hintergrund ist die Tatsache, dass die Akquisition von Neukunden zunehmend schwieriger und teurer wird. Siehe auch Paretoprinzip welches hier angewandt bedeutet: mit 20 % seiner Kunden generiert man 80 % seines Umsatzes.


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text: Beim Retention-Marketing werden wichtige Kundengruppen identifiziert, um diese mit gezielten Maßnahmen der Kundenbindung (Beispiele sind hier Kunden- oder auch Paybackkarten) langfristig an das Unternehmen zu binden. Grundvoraussetzung hierfür ist eine systematisch angelegte Marktforschung zur Gewinnung der Kundendaten. Diese werden dann in Datenbanken erfasst und zur Grundlage eines Database-Marketings.


title: Customer-Relationship-Management

text: Nieschlag, Dichtl und Hörschgen zufolge lässt sich Kundenbindung definieren als „Bemühen eines Unternehmens, Abnehmer mit ökonomischen, sozialen, technischen oder juristischen Mitteln an sich zu binden“; Peter zufolge bezieht sich der Begriff auf „den Aufbau und die Aufrechterhaltung einer Geschäftsbeziehung als einer nicht zufälligen Folge von Markttransaktionen zwischen Lieferant und Kunde“, wobei sie „Kundenbindung als Realisierung oder Planung wiederholter Transaktionen zwischen einem Anbieter und einem Abnehmer innerhalb eines in Abhängigkeit von der Art der Transaktion bestimmten Zeitraums“ interpretiert.


title: Customer-Relationship-Management

text: Social CRM (SCRM) wird als neuer Trend für das CRM gesehen. Dabei handelt es sich um eine Unternehmensstrategie, die bestehende und potenzielle Kunden über das Internet, vor allem über Social-Media-Plattformen und andere digitale Kanäle, in einen gemeinschaftlichen Dialog einbindet. Während das traditionelle CRM eher auf einem operativen Ansatz beruht, der die Kundenbeziehungen effektiv verwalten soll, zielt Social CRM darauf ab, die Kundenwünsche zu erfüllen und gleichzeitig die Unternehmensziele zu erreichen. Dabei ist Social CRM als Erweiterung des traditionellen CRM zu sehen.


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text: Der Begriff Mobile-Customer-Relationship-Management (mCRM) bezeichnet alle Maßnahmen des Kundenbeziehungsmanagements (CRM) unter Zuhilfenahme von Technologien des mobilen Internets.


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text: Die kommunikativen, operativen und analytischen Maßnahmen der unterschiedlichen Unternehmensfunktionen zur Erreichung der Unternehmensziele müssen jedoch an das mobile Internet angepasst werden. Aufgrund der technischen Ausgestaltung und stetigen Verbreitung des mobilen Internets stehen Unternehmen besonders bei der Umsetzung der CRM-Ziele Integration und Individualisierung vor neuen Herausforderungen. Mobile CRM findet besonders bei Vor-Ort-Terminen Verwendung – es ermöglicht den Außendienstmitarbeitern, von überall auf die Kundendaten zuzugreifen. Mobile CRM wird aufgrund nicht zu garantierender Datensicherheit und nicht garantierter Verfügbarkeit kritisch gesehen.


title: Customer-Relationship-Management

text: xRM steht für "Extended-Relationship-Management" oder auch "any Relationship Management" und unterstreicht die Fähigkeit eines CRM-Systems, nicht nur Kundenbeziehungen verwalten zu können, sondern alle Arten von Beziehungen zwischen verschiedenen Entitäten. Das x in xRM kann hierbei stellvertretend für Kunden, Mitarbeiter, Zulieferer, Partner, Mitbewerber aber auch abstrakter für Maschinen, Regionen oder Dienstleistungen stehen. Ein xRM-System verwaltet hierbei in der Regel nicht nur eine Entität, sondern mehrere Entitäten gleichzeitig.


title: Customer-Relationship-Management

text: Vendor Relationship Management (VRM) ist eine Bezeichnung für die Praxis des kundenseitigen Managements von Beziehungen zu Unternehmen sowie weiterer Institutionen und Organisationen. Es wird mittels Software-Applikationen gestaltet, welche unter der Kontrolle des Kunden stehen und ihm die Integration und Nutzbarmachung seiner Daten erlauben mit dem Ziel sie auf Basis eigenen Bedingungen zu verwenden. Konzeptionell betrachtet bildet VRM das Gegenstück zu CRM, bei dem Kunden von einem passiven Teilnehmer des Beziehungsmanagement-Prozesses zu einem aktiven Teilhaber werden.


title: Customer-Relationship-Management

text: Der Begriff "Business Relationship Management", kurz BRM (dt. = Pflege oder Verwaltung von Geschäftskundenbeziehungen) wird vermehrt als Pendant zum klassischen CRM genutzt, um die besondere Beziehung zu Geschäftskunden zu betonen. BRM ist besonders in zweiseitigen Märkten (Two-Sided Markets) von Bedeutung, wo eine Dreiecksbeziehung zwischen Kunden, Unternehmen und Sub- oder Partnerunternehmen besteht.


title: Customer-Relationship-Management

text: Kontaktcenter-CRM-Anbieter sind für kleine und mittelständische Unternehmen interessant. Diese Systeme systematisieren die Interaktionen zwischen dem Unternehmen und seinen Kunden mithilfe von Analysen und Leistungskennzahlen, anhand derer die Benutzer bestimmen, worauf sie ihr Marketing und ihren Kundendienst konzentrieren sollten. Dadurch erhalten die Agenten Zugriff auf die Historie eines Anrufers und können die Kundenkommunikation individualisieren. Das Ziel ist die Maximierung des durchschnittlichen Erlöses pro Kunde, das Verringern der Abwanderungsquote sowie das Reduzieren von nutzlosem und unproduktivem Kundenkontakt.


title: Customer-Relationship-Management

text: Das Konzept von Gamification, das heißt der Einsatz von Spielprinzipien und Elementen des Spieldesigns außerhalb des Kontexts von Spielen, z. B. in einer Kundendienstumgebung, erfreut sich zunehmender Beliebtheit. Die Gamification von Kundendienstumgebungen umfasst den Einsatz von Elementen, die in Spielen verwendet werden, z. B. Belohnungen und Bonuspunkte für Kundenberater als Feedback für gute Arbeit. Gamification-Instrumente nutzen das Bedürfnis der Agenten nach Belohnung, Anerkennung, Erfolgen und Wettkampf und können sie auf diese Weise motivieren.


title: Customer-Relationship-Management

text: Die Automatisierung des Kontaktzentrums, d. h. die Koordinierung der Kontakte zwischen einem Unternehmen und der Öffentlichkeit durch ein integriertes System, soll den Anteil der monotonen und eintönigen Aufgaben der Agenten verringern. Dies geschieht durch vorab aufgezeichnete Audionachrichten, die Kunden bei der Problemlösung helfen. Beispielsweise kann ein Kunde in einem automatisierten Kontaktcenter mittels einer Reihe von Befehlen aufgefordert werden, eine bestimmte Ziffer zu drücken, um mit einem bestimmten Kontaktcenter-Agenten zu sprechen, der auf das Gebiet spezialisiert ist, zu dem der Kunde eine Frage hat. Außerdem können Fragen und Wünsche von Kunden durch Softwareprogramme behandelt werden, die in die Desktop-Werkzeuge des Agenten integriert sind. Hierdurch sparen auch die Mitarbeiter Zeit.


title: Customer-Relationship-Management

text: Zwar wird von CRM-Systemen im Allgemeinen angenommen, dass sie für kundenzentrierte Unternehmen entwickelt wurden, sie können jedoch in B2B-Umgebungen (Business-to-Business) zum Rationalisieren und Verbessern des Kundenmanagements eingesetzt werden. Für den optimalen Einsatz von CRM in einer B2B-Umgebung muss die Software individualisiert und für einzelne Personen bereitgestellt werden.


title: Customer-Relationship-Management

text: Die Hauptunterschiede zwischen CRM-Systemen in einer Business-to-Consumer-Umgebung (B2C) und CRM-Systemen in einer Business-to-Business-Umgebung betreffen Aspekte wie die Größe der Kontaktdatenbanken und die Dauer der Beziehungen. Business-to-Business-Unternehmen haben i. d. R. kleinere Datenbanken als Business-to-Consumer-Unternehmen, und in Business-to-Business-Umgebungen liegen relativ geringe Umsätze vor. Die Anzahl der Angebote ist in Business-to-Business-Umgebungen geringer, in manchen Fällen sind ihre Kosten jedoch weitaus höher als für Business-to-Consumer-Artikel, und in einer Business-to-Business-Umgebung werden Beziehungen über einen längeren Zeitraum aufgebaut. Außerdem muss sich ein CRM-System für eine Business-to-Business-Umgebung einfach in Produkte von anderen Unternehmen integrieren lassen. Diese Integration ermöglicht das Erstellen von Prognosen des Kundenverhaltens auf der Grundlage der Kaufhistorie, der Rechnungen, des Geschäftserfolgs usw. Eine Anwendung für ein Business-to-Business-Unternehmen muss über eine Funktion verfügen, die es ermöglicht, alle Kontakte, Prozesse und Verkaufsabschlüsse im Kundensegment zu verknüpfen und auf dieser Grundlage einen Bericht zu erstellen. Die Automatisierung des Verkaufsprozesses ist eine wichtige Anforderung für Business-to-Business-Produkte. Dabei sollte der Verkauf in allen Phasen bis zum Abschluss effektiv verwaltet werden. Ein wesentlicher Punkt ist schließlich die Individualisierung. Sie hilft dem Business-to-Business-Unternehmen, eine stabile und dauerhafte Beziehung zu dem Kunden aufzubauen und zu pflegen.


title: Customer-Relationship-Management

text: Kritisiert wird an CRM u. a. die Diskrepanz zwischen Wunsch und Wirklichkeit. So planen je nach Quelle zwischen 70 und 80 Prozent der Unternehmen die Einführung eines CRM; umgesetzt haben dies bis jetzt aber noch nicht einmal 20 Prozent. (vgl. Kundenorientierung)


title: Customer-Relationship-Management

text: Da sich CRM vorrangig aus der Unternehmensperspektive heraus über den Umgang mit Kundendaten wie etwa Alter, Wohnort oder Vorlieben definiert, wird außerdem eine Diskrepanz zwischen der Sichtweise des Unternehmens auf vermutete Kundenerwartungen und deren tatsächliche Vorstellungen kritisiert. Im Vergleich dazu hat das sogenannte Kundenerfahrungsmanagement (Customer-Experience-Management, CEM) den Anspruch, durch die Schaffung positiver Kundenerfahrungen eine emotionale Bindung zwischen Anwender und Produkt oder Anbieter aufzubauen. Vorrangiges Ziel von CEM ist es, aus zufriedenen Kunden loyale Kunden und aus loyalen Kunden „begeisterte Botschafter“ der Marke oder des Produkts zu machen („satisfied – loyal – advocate“).


title: Customer-Relationship-Management

text: Einige Datenschutzfachleute sehen das Interesse der Kunden, dass ihre Daten vertraulich behandelt werden, als gefährdet oder sogar verletzt an.


title: Ellipse

text: Ellipsen sind in der Geometrie spezielle geschlossene ovale Kurven. Sie zählen neben den Parabeln und den Hyperbeln zu den Kegelschnitten. Eine anschauliche Definition verwendet die Eigenschaft, dass die Summe der Abstände eines Ellipsenpunktes von zwei vorgegebenen Punkten, den Brennpunkten, für alle Punkte gleich ist. Sind die Brennpunkte identisch, erhält man einen Kreis.


title: Ellipse

text: beschreiben. Hieran erkennt man, dass man eine Ellipse als einen an der x-Achse um formula_4 und an der y-Achse um formula_5 gestreckten Einheitskreis auffassen kann.


title: Ellipse

text: Die Ellipse (von ‚Mangel‘) wurde von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.) eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die Exzentrizität formula_6.


title: Ellipse

text: Ellipsen treten nicht nur als ebene Schnitte eines Kegels auf. Auch auf Zylindern, Ellipsoiden, Hyperboloiden und elliptischen Paraboloiden gibt es Ellipsen.


title: Ellipse

text: In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten keplerschen Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (siehe Ellipse (Darstellende Geometrie)).


title: Ellipse

text: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu definieren. Neben der üblichen Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich, eine Ellipse als Schnittkurve zwischen einer entsprechend geneigten Ebene und einem Kegel zu bezeichnen (siehe 1. Bild) oder als affines Bild des Einheitskreises.


title: Ellipse

text: Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte formula_7 der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten formula_8 und formula_9 gleich einer gegebenen Konstante ist. Diese Konstante wird üblicherweise mit formula_10 bezeichnet. Die Punkte formula_8 und formula_9 heißen "Brennpunkte:"


title: Ellipse

text: Um eine Strecke auszuschließen, setzt man voraus, dass formula_10 größer als der Abstand formula_15 der Brennpunkte ist.


title: Ellipse

text: Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist formula_16 ein "Kreis" mit Radius formula_4. Dieser einfache Fall wird in den folgenden Überlegungen oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.


title: Ellipse

text: Der Mittelpunkt formula_18 der Strecke formula_19 heißt "Mittelpunkt" der Ellipse. Die Gerade durch die Brennpunkte ist die "Hauptachse" und die dazu orthogonale Gerade durch formula_18 die "Nebenachse." Die beiden Ellipsenpunkte formula_21 auf der Hauptachse sind die "Hauptscheitel." Der Abstand der Hauptscheitel zum Mittelpunkt ist formula_4 und heißt die "große Halbachse." Die beiden Ellipsenpunkte formula_23 auf der Nebenachse sind die "Nebenscheitel", und ihr Abstand zum Mittelpunkt ist jeweils die "kleine Halbachse" formula_5. Den Abstand formula_25 der Brennpunkte zum Mittelpunkt nennt man die "lineare Exzentrizität" und formula_26 die "numerische Exzentrizität." Mit dem Satz des Pythagoras gilt formula_27 (siehe Zeichnung).


title: Ellipse

text: Wenn formula_29 der Kreis um formula_9 mit Radius formula_10 ist, dann ist der Abstand des Punktes formula_7 zum Kreis formula_29 gleich dem Abstand des Punktes zum Brennpunkt formula_8:


title: Ellipse

text: Diese Eigenschaft sollte man nicht verwechseln mit der "Leitlinieneigenschaft" einer Ellipse (s. unten).


title: Ellipse

text: Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist eine Ellipse die Äquidistanz-Kurve zu jedem ihrer Brennpunkte und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.


title: Ellipse

text: A. Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, die formula_38-Achse die Hauptachse ist, und


title: Ellipse

text: so ergibt sich für einen beliebigen Punkt formula_41 der Abstand zum Brennpunkt formula_42 als formula_43 und zum zweiten Brennpunkt formula_44. Also liegt der Punkt formula_41 genau dann auf der Ellipse, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:


title: Ellipse

text: Nach Beseitigung der Wurzeln durch geeignetes Quadrieren und Verwenden der Beziehung formula_47 (s. o.) erhält man die Gleichung


title: Ellipse

text: Ist formula_59, so ist formula_60, und man nennt die Ellipse eine "gleichseitige Ellipse" oder "Ellipse schönster Form." Diese entsteht z. B., wenn man einen Drehzylinder mit einer gegen die Zylinderachse um 45° geneigten Ebene schneidet: Die Länge der kleinen Halbachse der Ellipse ist dabei gleich dem Radius des Zylinders.


title: Ellipse

text: B. Die Ellipse in A. lässt sich auch mithilfe einer Bilinearform als Lösungsmenge der Gleichung formula_61 auffassen. Hierbei werden die Vektoren formula_38 und formula_63 mit dem gleichen Punkt formula_64 identifiziert. Bei Einführung kartesischer Koordinaten ist formula_18 die Matrix


title: Ellipse

text: C. Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Brennpunkten auf der formula_38-Achse heißt auch "in 1. Hauptlage." Wenn hier die obige Ellipsengleichung erwähnt wird, wird immer angenommen, dass formula_70 und damit die Ellipse in 1. Hauptlage ist, was im „realen Leben“ aber nicht sein muss. Da kann durchaus auch <math>a vorkommen, was bedeutet, dass die Ellipse sich in 2. Hauptlage befindet (die Brennpunkte liegen auf der formula_49-Achse).


title: Ellipse

text: Die halbe Länge formula_72 einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur "Parameter formula_72" oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des "latus rectum" = formula_74) der Ellipse. Mit Hilfe der Gleichung einer Ellipse rechnet man leicht nach, dass


title: Ellipse

text: gilt. Der Halbparameter hat noch die zusätzliche Bedeutung (s. unten): Der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln ist formula_72.


title: Ellipse

text: A. Für den Hauptscheitel formula_77 bzw. formula_78 hat die Tangente die Gleichung formula_79 bzw. formula_80. Die einfachste Weise, die Gleichung der Tangente in einem Ellipsenpunkt formula_81 zu bestimmen, ist, die Gleichung formula_82 der Ellipse implizit zu differenzieren. Hiermit ergibt sich für die Ableitung


title: Ellipse

text: Diese Form schließt auch die Tangenten durch die Hauptscheitel ein. Letzteres gilt auch für die Vektorform


title: Ellipse

text: B. Die in A. eingeführte Tangentengleichung formula_90 lässt sich auch ohne Differentialrechnung als Spezialfall einer Polarengleichung einführen (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.). Sie entspricht einer Normalenform mit dem Normalenvektor formula_91. Von diesem lässt sich ein dazu rechtwinkeliger Richtungsvektor formula_92 von formula_93 ablesen. Da formula_92 nur bis auf einen Skalar eindeutig ist, hat er die Formen


title: Ellipse

text: dies liefert den Richtungsvektor der in A. angegebenen Vektorform und auch die Steigung der dort angegebenen Punktsteigungsform.


title: Ellipse

text: Eine "zeichnerische" Bestimmung von Ellipsentangenten findet man im Artikel Ellipse (Darstellende Geometrie).


title: Ellipse

text: Verschiebt man die obige Ellipse so, dass der Mittelpunkt der Punkt formula_98 ist, ergibt sich die Mittelpunktsform einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind:


title: Ellipse

text: Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinus-Funktion. Wegen formula_100 beschreibt


title: Ellipse

text: Rationale Parameterdarstellungen der Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) spielen im CAD-Bereich bei "quadratischen rationalen Bezierkurven" eine wichtige Rolle.


title: Ellipse

text: Eine Parameterdarstellung, die die "Tangentensteigung" formula_117 in dem jeweiligen Ellipsenpunkt verwendet, erhält man durch Differentiation der Parameterdarstellung formula_118:


title: Ellipse

text: Dabei ist formula_117 die Tangentensteigung im jeweiligen Ellipsenpunkt, formula_125 die obere und formula_126 die untere Hälfte der Ellipse. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel formula_127) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst.


title: Ellipse

text: Die Gleichung der Tangente im Punkt formula_128 hat die Form formula_129. Der formula_49-Abschnitt formula_131 ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten des zugehörigen Ellipsenpunktes formula_128:


title: Ellipse

text: Diese Hauptform der Tangentengleichung ist ein wesentliches Hilfsmittel bei der Bestimmung der orthoptischen Kurve einer Ellipse.


title: Ellipse

text: "Bemerkung:" Die Hauptform der Tangentengleichung und die Koordinaten von formula_128 lassen sich auch ohne Differentialrechnung und ohne trigonometrische Formeln herleiten, indem die Tangente als Spezialfall einer Polare aufgefasst wird (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.)


title: Ellipse

text: Eine Parameterdarstellung einer beliebigen Ellipse ist in dem Abschnitt Ellipse als affines Bild des Einheitskreises enthalten.


title: Ellipse

text: Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt "Brennlinie, Leitstrahl" oder "Brennstrahl." Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der folgenden Eigenschaft:


title: Ellipse

text: Zwei Ellipsen mit denselben Brennpunkten formula_137 nennt man "konfokal." Durch jeden Punkt, der nicht zwischen den Brennpunkten liegt, gibt es genau eine Ellipse mit den Brennpunkten formula_137. Zwei konfokale Ellipsen haben "keinen Schnittpunkt" (s. Definition einer Ellipse).


title: Ellipse

text: Da die Tangente senkrecht zur Normalen verläuft, ist die obige Behauptung bewiesen, wenn die analoge Aussage für die Tangente gilt:


title: Ellipse

text: Es sei formula_141 der Punkt auf der Geraden formula_142 mit dem Abstand formula_10 zum Brennpunkt formula_9 (formula_4 ist die große Halbachse der Ellipse). Die Gerade formula_146 sei die Winkelhalbierende der Außenwinkel der Brennstrahlen formula_139. Um nachzuweisen, dass formula_146 die Tangente ist, zeigt man, dass auf formula_146 kein weiterer Ellipsenpunkt liegen kann. Anhand der Zeichnung und der Dreiecksungleichung erkennt man, dass


title: Ellipse

text: gilt. Dies bedeutet, dass formula_151 ist. Wenn formula_152 ein Punkt der Ellipse wäre, müsste die Summe aber gleich formula_10 sein.


title: Ellipse

text: Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich – mit den Ohren – in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der Pariser Métro sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig.


title: Ellipse

text: Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet.


title: Ellipse

text: Auch im lampengepumpten wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle – entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe – wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.


title: Ellipse

text: Für eine echte Ellipse, d. h. formula_154, bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand formula_155 als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt formula_7 der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix formula_157 auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:


title: Ellipse

text: Die Wahl formula_174, also die Exzentrizität eines Kreises, ist in diesem Zusammenhang nicht erlaubt. Man kann als Leitlinie eines Kreises die unendlich entfernte Gerade auffassen.


title: Ellipse

text: Die Leitlinie formula_157 hat die Gleichung formula_178. Mit formula_179 und der Beziehung formula_180 ergibt sich


title: Ellipse

text: Dies ist die Gleichung einer "Ellipse" (formula_185) oder einer "Parabel" (formula_186) oder einer "Hyperbel" (formula_187). All diese nicht-ausgearteten Kegelschnitte haben den Ursprung als Scheitel gemeinsam (s. Bild).


title: Ellipse

text: Für formula_185 führt man neue Parameter formula_189 und formula_190 ein; die obige Gleichung wird dann zu


title: Ellipse

text: was die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt formula_77, der formula_38-Achse als Hauptachse und den Halbachsen formula_194 ist.


title: Ellipse

text: Die rechte Seite der Gleichung benutzt die Hessesche Normalform einer Geraden, um den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu berechnen.


title: Ellipse

text: Wegen formula_198 sind der Punkt formula_199 der Leitlinie (siehe Bild) und der Brennpunkt formula_8 bezüglich der Spiegelung am großen Scheitelkreis (im Bild grün) invers. Damit kann formula_199 wie im Bild gezeigt aus formula_8 mit Hilfe des großen Scheitelkreises konstruiert werden. Eine weitere Begründung für die Konstruktion liefert die Tatsache, dass der Brennpunkt formula_8 und die Leitlinie formula_204 sowohl bezüglich der Ellipse als auch bezüglich des großen Scheitelkreises ein "Pol-Polare"-Paar (siehe unten) bilden.


title: Ellipse

text: Konjugierte Durchmesser (erstrangig von Ellipsen) werden auch auf einer eigenen Wikipedia-Seite behandelt, ebenso der Satz des Apollonius (samt Beweis). Ein analytischer Gesamt-Beweis sämtlicher hier aufgeführter Aussagen, der von der gemeinsamen Bilinearform zweier Ursprungsgeraden ausgeht, findet sich im Beweisarchiv. Dieser Beweis benötigt weder trigonometrische Funktionen noch Parameterdarstellungen noch eine affine Abbildung.


title: Ellipse

text: Eine Anwendungsmöglichkeit im Bereich des technischen Zeichnens besteht in der Möglichkeit, den höchsten Punkt einer Ellipse oder eines Ellipsenbogens beliebiger Lage über einer Linie zu finden – nützlich z. B. für korrekte 2D-Darstellungen nicht-orthogonaler Ansichten zylindrischer Körper oder abgerundeter Kanten ohne Verwendung von 3D-Programmen. Wichtig ist dies für den sauberen Anschluss tangential von der Ellipse weg laufender Linien. Hierzu sind in die Ellipse oder den Ellipsenbogen zwei Sehnen parallel zur gewünschten Tangentenrichtung und die durch die Mittelpunkte der beiden Sehnen definierte Linie des zugehörigen konjugierten Durchmessers einzuzeichnen. Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Ellipse oder dem Ellipsenbogen definiert den Anschlusspunkt der Tangente (und normalerweise den Endpunkt des Ellipsenbogens).


title: Ellipse

text: Für die Ellipse formula_217 liegen die Schnittpunkte "orthogonaler" Tangenten auf dem Kreis formula_224.


title: Ellipse

text: Diesen Kreis nennt man die "orthoptische Kurve" der gegebenen Ellipse, es ist der Umkreis des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt.


title: Ellipse

text: Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, so kann eine beliebige Ellipse mit der Gleichung formula_225 beschrieben werden (s. o. Abschnitt Gleichung). Weiter ordnet für eine vorgegebene Ellipse eine Funktion formula_226 je einem Punkt formula_227 die Gerade formula_228 zu. Bezüglich formula_226 heißt formula_230 Pol, die zugeordnete Gerade Polare.


title: Ellipse

text: formula_226 ist eine Bijektion; die inverse Funktion bildet je eine Polare auf einen Pol ab. Der Ellipsenmittelpunkt formula_176 ist in keiner so definierten Polare enthalten, entsprechend existiert zu formula_176 keine Polare. Die angegebene Gleichung der Polare lässt sich als Normalenform mit dem zugehörigen Normalenvektor formula_234 auffassen.


title: Ellipse

text: Eine solche Beziehung zwischen Punkten und Geraden, die durch einen Kegelschnitt vermittelt wird, nennt man "Pol-Polare-Beziehung" oder einfach "Polarität". Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Hyperbeln und Parabeln, siehe auch Pol und Polare.


title: Ellipse

text: A. Ist eine Polare parallel zur formula_49-Achse, so hat sie auch die Form formula_244. Mit dem zugehörigen Normalenvektor formula_245 ist der zugehörige Pol formula_246 Insbesondere folgt für formula_247 die Polarität (1) von Brennpunkt und Direktrix.


title: Ellipse

text: Einsetzen der betrachteten Polare in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Ordinate formula_49 eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung formula_249; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in formula_49 hat bis auf einen positiven Faktor die Form


title: Ellipse

text: B. Ist eine Polare nicht parallel zur formula_49-Achse, so hat sie die Hauptform formula_253. Wegen formula_254 lässt sich diese in die Normalenform formula_255 umformen. Vergleich mit der Normalenform ergibt als Darstellung Koordinaten des Pols mit den Parametern der Hauptform:


title: Ellipse

text: Einsetzen der Hauptform formula_257 in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Abszisse formula_38 eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung formula_259; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in formula_38 hat bis auf einen positiven Faktor die Form


title: Ellipse

text: C. Insgesamt erlaubt der Term formula_262 bzw. formula_263 für eine beliebige Polare folgende Unterscheidung paarweise disjunkter Fälle:


title: Ellipse

text: D. Ist eine Tangente nicht senkrecht, so ergibt Auflösung der Gleichung formula_268 nach formula_131 und Einsetzen von formula_131 die Hauptform der Tangente:


title: Ellipse

text: Einsetzen von formula_131 in die Koordinaten formula_273 des Berührpunkts ergibt die Koordinaten der Parameterdarstellung einer Ellipse mit der Steigung formula_117 als Parameter:


title: Ellipse

text: E. Ausgehend von der im Abschnitt „Gleichung“, B. aufgeführten Bilinearform der Ellipse hat die Polare zum Punkt formula_7 die Normalenformen


title: Ellipse

text: Diese koordinatenfreie rechnerische Darstellung der Polare eignet sich für Beweise. Mit den Koordinatendarstellungen formula_282 und formula_283 sowie den im Abschnitt „Gleichung“ angegebenen Matrizenkoordinaten für formula_18 entsteht durch Auswertung der Matrizenprodukte wieder die im Abschnitt "Pol-Polare-Beziehung" angegebene Gleichung formula_90.


title: Ellipse

text: Beweis von (5) („Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol formula_7 an die Ellipse.“):


title: Ellipse

text: Da die Ellipsenpunkte formula_287 auf der Polare zu formula_7 liegen, gilt formula_289 und formula_290. Fasst man in diesen Gleichungen nicht formula_291, sondern formula_292 bzw. formula_293 als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass die Tangenten in den Ellipsenpunkten formula_287 den Punkt formula_7 gemeinsam haben.


title: Ellipse

text: Für einen Schnittpunkt formula_296 zweier Polaren zu formula_297 und formula_298 gilt formula_299 und formula_300. Fasst man in diesen Gleichungen nicht formula_301 bzw. formula_302, sondern formula_303 als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass auf der Polare zu formula_296 die Punkte formula_297, formula_298 liegen. Weiter zeigt die Betrachtung der Parameterform formula_307 mit


title: Ellipse

text: Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Ellipse als "affines Bild des Einheitskreises" definiert.


title: Ellipse

text: Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form formula_311, wobei formula_312 eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und formula_313 ein beliebiger Vektor ist. Sind formula_314 die Spaltenvektoren der Matrix formula_312, so wird der Einheitskreis formula_316 auf die Ellipse


title: Ellipse

text: abgebildet. formula_313 ist der Mittelpunkt und formula_314 sind zwei konjugierte Halbmesser (s. u.) der Ellipse. formula_314 stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h., formula_321 und formula_322 sind i. A. "nicht" die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s. u.) einer beliebigen Ellipse.


title: Ellipse

text: Da in einem "Scheitel" die Tangente zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt formula_323 ist, ergibt sich der Parameter formula_324 eines Scheitels aus der Gleichung


title: Ellipse

text: Löst man die Parameterdarstellung mit Hilfe der Cramerschen Regel nach formula_354 auf und verwendet formula_355, erhält man die implizite Darstellung


title: Ellipse

text: Dreht man die Ellipse mit der Gleichung formula_217 um den Nullpunkt (Mittelpunkt), hat ihre Gleichung die Form


title: Ellipse

text: Liegt umgekehrt die Gleichung einer gedrehten Ellipse vor und man möchte die Vorteile der hier beschriebenen Parameterdarstellung nutzen, bestimmt man die Ortsvektoren zweier konjugierter Punkte. Wählt man als ersten Punkt formula_42, ergibt sich:


title: Ellipse

text: Sind die Vektoren formula_365 aus dem formula_366, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.


title: Ellipse

text: Ein Kreis mit der Gleichung formula_367 ist durch drei Punkte formula_368 nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt. Eine einfache Methode, die Parameter formula_369 zu bestimmen, benutzt den Peripheriewinkelsatz für Kreise:


title: Ellipse

text: Üblicherweise misst man einen einbeschriebenen Winkel in Grad oder Radiant. Um die Gleichung eines Kreises durch 3 Punkte zu bestimmen, ist das folgende "Winkelmaß" geeigneter:


title: Ellipse

text: Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur formula_49-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.


title: Ellipse

text: Diese Formel lässt sich durch Verwenden der Ortsvektoren, des Skalarproduktes und der Determinante übersichtlicher schreiben:


title: Ellipse

text: Die Achsen solcher Ellipsen sind parallel zu den Koordinatenachsen und ihre "Exzentrizität" (s. oben) ist fest.


title: Ellipse

text: Die Hauptachse ist parallel zur formula_38-Achse, falls formula_392 ist, und parallel zur formula_49-Achse, falls formula_394 ist.


title: Ellipse

text: Der Beweis ergibt sich durch einfaches Nachrechnen. Dabei kann man im Fall „Punkte auf einer Ellipse …“ annehmen, dass der Mittelpunkt der Ellipse der Ursprung ist.


title: Ellipse

text: Die Gleichung der Ellipse durch die 3 Punkte formula_380 nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):


title: Ellipse

text: Es ist also wichtig, geeignete Werkzeuge zur Verfügung zu haben, mit denen man Ellipsen zeichnen kann. Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Verfahren, mit denen Ellipsen gezeichnet werden:


title: Ellipse

text: Den meisten Ellipsenzirkeln liegen die unten beschriebenen zwei "Papierstreifenmethoden" zugrunde. Diese waren schon den Griechen (Archimedes und Proklos) bekannt, wie man auch und vieles andere mehr in dem eigenständigen Artikel Ellipsograph des Archimedes nachlesen kann. Wenn kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, ist die Approximation mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise die schnellste und beste Methode, eine Ellipse zu zeichnen.


title: Ellipse

text: Für jede hier beschriebene Methode ist die Kenntnis der beiden (Symmetrie-)Achsen und der Halbachsen formula_194 erforderlich.


title: Ellipse

text: Ist dies nicht der Fall, was in der darstellenden Geometrie oft vorkommt, so muss man wenigstens den Mittelpunkt und zwei konjugierte Halbmesser kennen. Mit Hilfe der Rytz-Konstruktion lassen sich dann die Scheitel und damit die Achsen und Halbachsen ermitteln. Nur die Parallelogramm-Methode (s. unten) bietet die Möglichkeit, zu zwei konjugierten Halbmessern direkt (ohne Rytz) einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren.


title: Ellipse

text: Die definierende Eigenschaft einer Ellipse – die Summe der Abstände zu zwei Punkten ist konstant – nutzt die Gärtnerkonstruktion als einfache Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen. Hierzu benötigt man einen Faden der Länge formula_10 und zwei Reißbrettstifte (oder Nägel, Stifte, …), um die beiden Enden des Fadens in den Brennpunkten der zu zeichnenden Ellipse zu befestigen. Führt man einen Stift mit Hilfe des gespannten Fadens (s. Bild) über die Zeichenfläche, so entsteht die durch die Länge des Fadens und die Lage der Brennpunkte definierte Ellipse. Diese einfache Methode gibt Gärtnern die Möglichkeit, ellipsenförmige Beete anzulegen, was der Methode den Namen gab.


title: Ellipse

text: Eine Variation der Gärtnerkonstruktion zur Konstruktion geht auf den irischen Bischof Charles Graves () zurück.


title: Ellipse

text: Beim Abrollen eines Antiparallelogramms zeichnet der Schnittpunkt der beiden langen Stäbe eine Ellipse (blau im Bild). Die Enden des kurzen statischen Stabs definieren die Brennpunkte der Ellipse. Durch die symmetrische Geometrie ergibt sich theoretisch auch um den kurzen umlaufende Stab eine Ellipse (im Bild grün). Diese Konstruktionsvariante ist mit der Gärtnerkonstruktion verwandt. Betrachtet man nur den Anteil innerhalb der statischen Ellipse und ersetzt die beiden inneren Teilstücke der Stäbe mit einer Schur, ergibt sich die äquivalente Gärtnerkonstruktion. Die Mechanik des bewegten Antiparallelogramms ist ein Koppelgetriebe. Die innere Ellipse entspricht der Rastpolbahn, die äußere Ellipse ist die Gangpolbahn des umlaufenden kurzen Stabs.


title: Ellipse

text: Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk "EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE" in "LIBER IV" die Methode "Gärtnerkonstruktion" und ein paar Seiten weiter einen Ellipsenzirkel. Basis für den Ellipsenzirkel ist die "Gärtnerkonstruktion."


title: Ellipse

text: Die Hauptelemente des rautenförmigen Ellipsenzirkels sind die fünf gleich langen Stäbe mit ihren Gelenkpunkt-Abständen formula_421, formula_422, formula_423, formula_424 und formula_415 als Führungsschiene sowie der deutlich längere Diagonalstab ab formula_426 durch formula_7 mit dem Klemmelement formula_152 für den Spielausgleich. Die Führungsschiene mit dem Gelenkpunkt-Abstand formula_415 und der Diagonalstab überkreuzen sich im Punkt formula_16 und sind über Führungsnuten mithilfe eines sogenannten Gleitsteins dreh- und schiebbar verbunden. In diesem Gleitstein ist auch der Zeichenstift und ggf. der Handgriff montiert. Der zweite Gleitstein befindet sich im Gelenkpunkt formula_7. In den Gelenkpunkten formula_419 und formula_416 des Ellipsenzirkels sind die Zirkelnadeln befestigt.


title: Ellipse

text: Die Länge z. B. des Stabes formula_434 ist gleich der Länge der Hauptachse formula_435. Der Abstand der Gelenkpunkte formula_419 und formula_416 bestimmt die Länge der Nebenachse. Je kleiner dieser Abstand ist, umso mehr ähnelt die Ellipse einem Kreis.


title: Ellipse

text: Betrachtet man eine Hälfte der Raute formula_438, d. h. das gleichschenklige Dreieck formula_439, so ist der Diagonalstab ab formula_426 durch formula_7 als Mittelsenkrechte formula_442 des Gelenkpunkt-Abstandes formula_443 erkennbar, die den Stab mit Gelenkpunkt-Abstand formula_415 in formula_16 schneidet. Dadurch entsteht das zweite gleichschenklige Dreieck formula_446 mit den Schenkeln formula_447 und formula_448. Wird nun der Ellipsenzirkel von Hand bewegt, durchläuft der Punkt formula_449 den Kreis formula_450 um den Punkt formula_419 mit dem Radius formula_415 (gleich formula_435), dabei wirkt der Diagonalstab mit seinem Gelenkpunkt-Abstand formula_454 konstant als Mittelsenkrechte der sich kontinuierlich verändernden gleichschenkligen Dreiecke formula_439 und formula_446. Daraus folgt: In jeder gedrehten Stellung des Ellipsenzirkels gilt


title: Ellipse

text: Werden in die weiter oben beschriebene "Definition einer Ellipse als geometrischer Ort" die Bezeichnungen der betreffenden Punkte, u. a. die Brennpunkte formula_419 und formula_416, aus der Darstellung des Ellipsenzirkels eingesetzt, ergibt sich


title: Ellipse

text: Um eine Ellipse zu zeichnen, sticht man zuerst zur Lagefixierung des Ellipsenzirkels die Zirkelnadeln der Gelenkpunkte formula_419 und formula_416 in die Brennpunkte der Ellipse und zieht anschließend mithilfe des Handgriffs oder ggf. nur mit dem Zeichenstift die Ellipsenlinie.


title: Ellipse

text: Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinusfunktion. Wegen formula_463 beschreibt


title: Ellipse

text: Die nach Philippe de La Hire (1640–1718) benannte Punktkonstruktion benutzt die beiden Scheitelkreise, das sind die Kreise um den Mittelpunkt der Ellipse mit den Halbachsen formula_466 als Radien. Der Parameter formula_93 wird hier als der Steigungswinkel eines von formula_18 ausgehenden Strahls interpretiert. Mit der in der Zeichnung angegebenen Methode wird ein Punkt mit den Koordinaten formula_469, also ein Ellipsenpunkt, konstruiert. Dieses Konstruktionsverfahren war allerdings auch schon in der Spätantike bekannt und ging damals auf Proklos Diadochos (412–485) zurück.


title: Ellipse

text: Die beiden Papierstreifenmethoden verwenden zwei weitere Möglichkeiten der geometrischen Interpretation des Parameters formula_93 der obigen Parameterdarstellung einer Ellipse. Sie liefern die Grundlagen der meisten Ellipsenzirkel.


title: Ellipse

text: Die erste Methode verwendet einen Papierstreifen der Länge formula_471. Der Punkt, in dem sich die Halbachsen treffen, wird mit formula_7 markiert. Wenn der Streifen nun so bewegt wird, dass die beiden Enden jeweils auf einer Achse gleiten, überstreicht der Punkt formula_7 die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Parameterdarstellung formula_474 und der Interpretation des Parameters als Winkel des Papierstreifens mit der formula_38-Achse (s. Bild).


title: Ellipse

text: Eine weitere technische Realisierung des gleitenden Streifens kann man auch mit Hilfe eines Paares cardanischer Kreise erreichen (s. Animation). Der große Kreis hat den Radius formula_471.


title: Ellipse

text: Eine "Variation der 1. Papierstreifenmethode" geht von der Beobachtung aus, dass der Mittelpunkt formula_477 des Papierstreifens sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt formula_18 und Radius formula_479 bewegt. Man kann also den Papierstreifen in der Mitte (Punkt formula_477) trennen und an dieser Stelle ein Gelenk einfügen und den zuvor auf der formula_49-Achse gleitenden Punkt in den Mittelpunkt der Ellipse verlegen. Nach dieser Operation bleibt das abgeknickte Ende des Papierstreifens fest (im Punkt formula_18) und der unveränderte Teil des Streifens samt dem Punkt formula_7 bewegt sich wie zuvor. Der Vorteil dieser Variation ist: Man benötigt nur "einen" technisch anspruchsvollen Gleitschuh. Auch gegenüber der cardanischen Realisierung der 1. Papierstreifenmethode ist diese Variation technisch einfacher.


title: Ellipse

text: Man beachte, dass immer dasjenige Ende des Streifens, das auf der "Nebenachse" gleitet, in den Mittelpunkt verlegt wird!


title: Ellipse

text: Die zweite Papierstreifenmethode geht von einem Papierstreifen der Länge formula_4 aus. Man markiert den Punkt, der den Streifen in zwei Teile der Längen formula_5 und formula_486 zerlegt. Der Streifen wird so auf den Achsen positioniert, wie im Bild zu sehen ist. Der Teil, der die Länge formula_486 besitzt, liegt zwischen den Achsen. Das freie Ende formula_7 beschreibt dann die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Zeichnung: Der Punkt formula_7 kann durch die Parameterdarstellung formula_474 beschrieben werden. Dabei ist formula_93 der Steigungswinkel des Papierstreifens.


title: Ellipse

text: Diese Methode benötigt zu ihrer technischen Realisierung auch zwei Gleitschuhe, ist aber flexibler als die erste Papierstreifenmethode. Sie ist die Grundlage für viele Ellipsenzirkel (s. Weblink Ellipsenzirkel).


title: Ellipse

text: "Bemerkung:" Auch hier ist eine Variation durch Abknicken des Streifenteils zwischen den Achsen möglich. Es ist dann, wie bei der ersten Methode, nur "ein" Gleitschuh nötig.


title: Ellipse

text: Die Zeichnung zeigt eine einfache Methode, die Krümmungsmittelpunkte formula_496 des Scheitels formula_497 und des Nebenscheitels formula_498 zeichnerisch zu bestimmen:


title: Ellipse

text: Die Krümmungsmittelpunkte der restlichen Scheitel ergeben sich aus Symmetrie. Man zeichnet die beiden restlichen Scheitelkrümmungskreise. Mit Hilfe eines Kurvenlineals lässt sich dann eine gute Näherung der Ellipse zeichnen.


title: Ellipse

text: Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):


title: Ellipse

text: Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse formula_217 gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln formula_21 aus. Sei nun formula_510 der obere Nebenscheitel der Ellipse und formula_511. Dann ist formula_7 der Mittelpunkt des Rechtecks formula_513. Wir unterteilen die Rechteckseite formula_514 in formula_131 gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen formula_516 auf die Strecke formula_517 (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in formula_497 und formula_506. Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden formula_520 und formula_521 liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte formula_522 lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.


title: Ellipse

text: a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für formula_7 einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name "Parallelogramm-Methode."


title: Ellipse

text: b) Den "Beweis" dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)


title: Ellipse

text: Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht oder gedehnt, mit anderen Worten: anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus. Die Punkte werden also numerisch berechnet und gezeichnet.


title: Ellipse

text: Die letzte Form ist praktisch, um eine Ellipse mit Hilfe der beiden Bahnelemente, numerische Exzentrizität und große Halbachse, darzustellen.


title: Ellipse

text: Dabei bezeichnet formula_93 den Parameter dieser Darstellung. Dieser entspricht "nicht" dem Polarwinkel formula_344 zwischen der formula_38-Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den jeweiligen Ellipsenpunkt führt, sondern z. B. dem Polarwinkel formula_93 zwischen der formula_38-Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den Punkt mit gleicher formula_49-Koordinate wie der Ellipsenpunkt jedoch auf dem Kreis mit Radius formula_5 führt (vgl. Konstruktion nach de la Hire). In der Astronomie heißt dieser Parameter bei Keplerellipsen die exzentrische Anomalie, bei Meridianellipsen in der Geodäsie heißt er parametrische oder reduzierte Breite, vgl. Referenzellipsoid.


title: Ellipse

text: Für nicht rotierte Ellipsen, also formula_548, hängt der Polarwinkel formula_344, der durch formula_550 definiert ist, mit dem Parameter formula_93 zusammen über:


title: Ellipse

text: Diese Beziehung erlaubt eine anschauliche Interpretation des Parameters formula_93: Streckt man die formula_49-Koordinate eines Ellipsenpunktes formula_179 um den Faktor formula_556, so liegt dieser neue Punkt formula_557 auf einem Kreis mit Radius formula_4 und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse. Der Parameter formula_93 ist nun der Winkel zwischen der formula_38-Achse und der Verbindungslinie formula_561:


title: Ellipse

text: In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel der Polarkoordinaten, wobei der Mittelpunkt der Ellipse bei formula_524 und ihre Hauptachse entlang der formula_38-Achse liegt:


title: Ellipse

text: Aus der Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten formula_567 und der Parametrisierung der kartesischen in Polarkoordinaten formula_568 und formula_569 folgt:


title: Ellipse

text: Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts (Halbparameter formula_571):


title: Ellipse

text: Der Wertebereich der Radien erstreckt sich von der Periapsisdistanz formula_574 bis zur Apoapsisdistanz formula_575, die folgende Werte haben:


title: Ellipse

text: In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel formula_577 bzw. formula_578 der Polarkoordinaten, wobei der rechte Brennpunkt der Ellipse bei formula_579, der linke Brennpunkt bei formula_580 liegt:


title: Ellipse

text: Der Winkel formula_583 bzw. formula_584, je nachdem, welcher Pol Bezugspunkt ist, heißt in der Astronomie die wahre Anomalie.


title: Ellipse

text: Man betrachtet ein Dreieck, das von den beiden Fixpunkten formula_585, formula_586 und einem beliebigen Punkt formula_7 auf der Ellipse aufgespannt wird.


title: Ellipse

text: Die Abstände zwischen diesen Punkten betragen: formula_588 sowie formula_589 und nach der Definition der Ellipse formula_590. Der Winkel bei formula_585 sei formula_592. Mit dem Kosinussatz gilt nun:


title: Ellipse

text: Analog verläuft die Herleitung für den rechten Pol. Die Abstände lauten formula_588 und formula_595 und formula_596. Der Winkel bei formula_586 sei formula_598, da formula_599 definiert ist, wobei formula_600 den rechten Hauptscheitel markiert.


title: Ellipse

text: Die Tangentengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei formula_524, Hauptachse als formula_38-Achse und Berührpunkt bei formula_612:


title: Ellipse

text: Zwischen Polarwinkel formula_344 und Normalenwinkel formula_624 und Ellipsenparameter formula_93 besteht folgender Zusammenhang (siehe nebenstehende Grafik)


title: Ellipse

text: Der Zusammenhang des Polarwinkels formula_344 und dem Steigungswinkel der Normalen formula_624 (siehe Grafik rechts) lässt sich z. B. so finden:


title: Ellipse

text: Die Normalengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei formula_524, Hauptachse als formula_38-Achse und Berührpunkt bei formula_612:


title: Ellipse

text: Für eine Ellipse mit den Halbachsen formula_4 und formula_5 und einen Sektor, der mit der großen Halbachse den Winkel formula_662 einschließt, gilt:


title: Ellipse

text: Beschreibt man den Ellipsensektor statt durch den Polarwinkel durch den Parameter formula_93 aus der Parameterdarstellung formula_665, so erhält man die Formel


title: Ellipse

text: Der Umfang formula_667 einer Ellipse mit großer Halbachse formula_4 und kleiner Halbachse formula_5 berechnet sich zu


title: Ellipse

text: wobei formula_671 für das vollständige elliptische Integral zweiter Art steht. Die numerische Exzentrizität formula_168 berechnet sich bei Ellipsen als


title: Ellipse

text: Man beachte, dass bei der numerischen Berechnung elliptischer Integrale mittels Funktionsbibliotheken verschiedene Parameterkonventionen Verwendung finden.


title: Ellipse

text: Der Umfang formula_667 einer Ellipse kann nicht exakt durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Er kann aber mithilfe eines Integrals dargestellt werden, das daher elliptisches Integral genannt wird.


title: Ellipse

text: Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung formula_678 ergibt sich unter Berücksichtigung der Symmetrie für den Umfang formula_667


title: Ellipse

text: Der Umfang formula_667 hängt also von der numerischen Exzentrizität formula_168 und der großen Halbachse formula_4 ab. Mithilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität formula_168 der Wert des Faktors formula_694 für den Umfang formula_695 abgelesen werden. formula_696 liegt für jede Ellipse zwischen den Extremfällen formula_697 (formula_698, entartete Ellipse als Linie) und formula_699 (formula_58, Ellipse wird zum Kreis).


title: Ellipse

text: Aus dieser Formel resultiert jene zusätzliche Formel für den Umfang, die sowohl für den Fall a > b als auch für den Fall a < b reell ist:


title: Ellipse

text: Für formula_168 nahe 1 konvergiert diese Reihenentwicklung extrem langsam. Es empfiehlt sich daher eine numerische Integration, z. B. nach dem Romberg-Verfahren.


title: Ellipse

text: Eine Reihe, die schneller konvergiert, beruht auf der Gauß-Kummer-Reihe. Für eine Ellipse mit den Halbachsen formula_4 und formula_5 (mit formula_706) wird formula_707 definiert. Dann ergibt sich:


title: Ellipse

text: Diese Näherung ist in einem weiten formula_168-Bereich von formula_716 sehr genau und ergibt im gesamten Bereich stets einen etwas zu kleinen Wert, der monoton mit formula_168 zunimmt.


title: Ellipse

text: Unicode enthält im Block Verschiedene Symbole und Pfeile vier Ellipsensymbole, die als Grafikzeichen oder Schmuckzeichen in beliebigem Text (auch Fließtext) verwendet werden können:


title: BMW B58

text: Der BMW B58 ist ein Reihensechszylinder-Ottomotor des Automobilherstellers BMW. Gemeinsam mit dem B38 (Reihendreizylindermotor), B48 (Reihenvierzylindermotor) und den drei Dieselmotoren B37 (Dreizylinder), B47 (Vierzylinder) und B57 (Sechszylinder) gehört der B58 zu den neuesten Baukastenmotoren von BMW. Er erschien 2015.


title: BMW B58

text: Der BMW-B58-Reihensechszylindermotor hat wie sein direkter Vorgänger N55 (und im Gegensatz zum N54) nur einen Turbolader; dieser ist (auch wie beim N55) in Twin-Scroll-Bauweise ausgeführt. Das Volumen von 500 cm³ des einzelnen Zylinders ergab sich aus thermodynamischen Überlegungen.


title: BMW B58

text: Der B58 ist auch mit Direkteinspritzung, vollvariabler Ventilhubsteuerung VALVETRONIC der neuesten Generation und variabler Nockenwellensteuerung VANOS ausgestattet. Der Einspritzdruck beträgt 200 bar.


title: BMW B58

text: Durch die bei BMW traditionell übliche Reihensechszylinderbauweise sind keine freien Massenmomente und -kräfte der ersten, zweiten und dritten Ordnung vorhanden. Dadurch ist, anders als bei B47, B48 und B38, keine Ausgleichswelle erforderlich. Wegen des gesteigerten Drehmoments sind sowohl die Pleuel, als auch die Kurbelwelle geschmiedet.


title: BMW B58

text: Kurbelgehäuse (Motorblock), Zylinderkopf und Ölwanne bestehen aus Aluminium. Der Motorblock ist in Closed-Deck Bauweise gegossen, mit lichtbogendrahtgespritzten Stahlzylinderlaufbahnen (LDS) direkt auf das Aluminium. Das ergibt den Vorteil der direkteren Wärmeübertragung, einfacher Herstellung und hoher Resistenz gegen Verschleiß als auch gegen schwefelhaltige Kraftstoffe, wie sie in Amerika vorkommen. Aus demselben Grund werden auch nicht Piezo-Einspritzdüsen, sondern die robusteren Spulen-Injektoren verwendet.


title: BMW B58

text: Der B58-Motor hat wieder eine mechanisch angetriebene Wasserpumpe statt der in den vergangenen Jahren üblichen elektrisch angetriebenen Wasserpumpe im Kühlkreislauf: die Pumpe ist Teil der Wärmemanagementkomponente, die den Wasserstrom gezielt regeln kann. Zusätzlich gibt es noch eine elektrische Wasserpumpe, die hauptsächlich die Lager des Turboladers vor Überhitzung schützen soll, wie es bei heißem Abstellen vorkommen kann.


title: BMW B58

text: Inzwischen gibt es für fast alle Modelle, in denen der Motor eingebaut wurde, eine optionale M-Performance Sound + Power Abgasanlage mit Klappenauspuff, die bei Automatikgetriebe-Fahrzeugen das Drehmoment von üblicherweise 450 Nm auf 500 Nm hebt, bei handgeschalteten Getrieben aus Haltbarkeitsgründen auf 480 Nm.


title: BMW B58

text: Im Oktober 2018 stellte BMW einige Verbesserungen vor: Der Motor ist sechs Kilogramm leichter geworden (zwei beim Motorblock, zwei beim Zylinderkopf und weitere zwei durch einen einteiligen Kettentrieb), durch neue Einspritzdüsen konnte der Einspritzdruck auf 350 bar gesteigert werden, das Geräusch wurde durch eine neue Position der Gegengewichte der Kurbelwelle verringert. Dabei flossen Erkenntnisse der Mehrkörpersimulation ein, und die weiterhin geschmiedete Kurbelwelle wurde zwei Kilogramm leichter.


title: BMW B58

text: Durch den einteiligen Kettentrieb kann ein Stützpunktrad entfallen, was gemeinsam mit verbesserter Gleitschienen-Gestaltung zu 30 Prozent weniger Reibung im Kettentrieb führt.


title: BMW B58

text: Die leistungsschwächere Version, die „Mittlere Leistungsstufe“, hat einen neuen Zylinderkopf mit integriertem Krümmer, was Vorteile beim Wärmemanagement hat und unter anderem eine effizientere Verteilung der Wärme an wichtigen Stellen erlaubt. Auch der Abgasturbolader der Mittleren Leistungsstufe wurde an die neue Position des Krümmers angepasst. Generell haben nun Zylinderkopf und Kurbelgehäuse einen eigenen Kühlkreislauf ("Split-Cooling-Ansatz"). Dadurch kann die Zylinderwandtemperatur hoch bleiben, was Vorteile bei der Verbrennung und bei einem Lastsprung weniger Rußpartikel bewirkt.


title: BMW B58

text: Im Jahr 2019 kam mit dem BMW X3 M/BMW X4 M eine vom B58 abgeleitete Sportversion BMW S58 auf den Markt, die aber mit dem B58 nur wenige Teile (zehn Prozent) gemeinsam hat.


title: BMW B58

text: Im April 2022 stellt BMW mit der Einführung der Modellpflege des BMW X7 (B58TÜ2) einige Verbesserungen vor: Durch die Verwendung des Miller-Brennverfahren können die Emissionen über den gesamten Lastbereich reduziert werden. Die vollvariable Ventilhubsteuerung VALVETRONIC erhält auf der Auslassnockenwelle einen Schlepphebel, der bei Bedarf den Ladungswechsel vollständig unterbinden kann. Des Weiteren ist die Ventilsteuerung nicht mehr mechanisch, sondern elektrisch betrieben. Neuartige Einspritzdüsen verwenden nun sowohl das Hochdruck- als auch das Niederdruck-Kraftstoffsystem, was die Strömungsverhältnisse beeinflusst, wodurch Partikelausstoß und Leerlaufverhalten verbessert werden. Eine weitere Verbesserung ist, wie bereits im B48 (Vierzylinder), die Integration des Abgaskrümmer in den Zylinderkopf.


title: BMW B58

text: Technische Daten des BMW 7er G11. Gegenüber dem N55 konnte das Plateau der maximalen Leistung weiter verbreitert werden.


title: Bernhard Schlink

text: Bernhard Schlink (* 6. Juli 1944 in Großdornberg, heute Bielefeld) ist ein deutscher Jurist, ehemaliger Hochschullehrer und Schriftsteller. Sein Roman "Der Vorleser" wurde zu einem internationalen Bestseller.


title: Bernhard Schlink

text: Bernhard Schlinks Vater Edmund Schlink war Theologieprofessor in Heidelberg, seine Mutter Irmgard Oswald, gebürtige Schweizerin, war ebenfalls Theologin. Sein Onkel mütterlicherseits war der Manager Heinrich Oswald, seine Tante väterlicherseits die evangelische Ordensgründerin Basilea Schlink, sein Großvater Wilhelm Schlink war Professor für Mechanik. Bernhard Schlinks Bruder Wilhelm Schlink war Professor für Kunstgeschichte an der Universität Freiburg. Seine Schwester Dorothea (1935–2019) war mit Klaus Engelhardt verheiratet, dem ehemaligen Landesbischof von Baden.


title: Bernhard Schlink

text: Kurz nach seiner Geburt zog Schlinks Familie nach Heidelberg; dort verbrachte er seine Kindheit und besuchte das Kurfürst-Friedrich-Gymnasium. Er hat einen Sohn, der Zahnarzt ist. Heute lebt Schlink in New York und Berlin.


title: Bernhard Schlink

text: Schlink studierte Jura an der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg und an der Freien Universität Berlin. Er war wissenschaftlicher Assistent an den Universitäten Heidelberg, Darmstadt, Bielefeld und Freiburg, in Heidelberg in der von seinem Doktorvater Adalbert Podlech geleiteten Arbeitsgruppe Recht und Mathematik. Hier und bei einem Forschungsaufenthalt in den USA arbeitete er mit Walter Popp über künstliche Intelligenz im Recht, u. a. mit Stationen an der Stanford University und am MIT. Im Jahr 1975 wurde Schlink in Heidelberg zum Dr. jur. promoviert (Titel der Dissertation: "Abwägung im Verfassungsrecht", erschienen 1976), und er habilitierte sich im Jahr 1981 bei Ernst-Wolfgang Böckenförde in Freiburg im Breisgau (mit einer Arbeit über "Die Amtshilfe. Ein Beitrag zu einer Lehre von der Gewaltenteilung in der Verwaltung", erschienen 1982). Vor der Vereinigung der Deutschen Staatsrechtslehrer berichtete Schlink auf der Tagung 1989 in Hannover über "Die Bewältigung der wissenschaftlichen und technischen Entwicklungen durch das Verwaltungsrecht".


title: Bernhard Schlink

text: Von 1982 bis 1991 war Schlink Professor für Öffentliches Recht an der Universität Bonn und von 1991 bis 1992 Professor für Öffentliches Recht, Sozialrecht und Rechtsphilosophie an der Universität Frankfurt am Main. 1990 kam er als Gastprofessor und 1992 als Professor für Öffentliches Recht und Rechtsphilosophie an die Humboldt-Universität zu Berlin. Von 1994 bis 2013 lehrte er außerdem an der Benjamin N. Cardozo School of Law in New York vergleichendes Verfassungsrecht, europäisches Recht und Recht und Literatur. Sein Nachfolger bei seiner Emeritierung 2009 wurde Christoph Möllers. Zu Schlinks Schülern zählen Stefan Korioth und Ralf Poscher.


title: Bernhard Schlink

text: Zusammen mit Prof. Dr. Bodo Pieroth hat Schlink das Lehrbuch "Grundrechte" (30. Aufl. 2014) und mit zusätzlich Rechtsanwalt Michael Kniesel das Lehrbuch "Polizei- und Ordnungsrecht" (7. Aufl. 2012) geschrieben; beide Lehrbücher werden seither von Thorsten Kingreen und Ralf Poscher fortgeführt. Seine Monografien und Aufsätze beschäftigen sich außer mit rechtsdogmatischen und -philosophischen besonders mit wissenschaftsgeschichtlichen und -theoretischen Fragen.