Quels sont les concepts principaux en géométrie?
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En géométrie plane, les concepts de base sont les points et les droites. Sur une surface plus générale, les points gardent leur sens usuel ; par contre, les équivalents des droites sont définies comme les lignes matérialisant le chemin le plus court entre les points, qu'on appelle des géodésiques. Sur la sphère, les géodésiques sont les grands cercles, et les autres concepts géométriques sont définis comme dans le plan euclidien, mais avec les grands cercles remplaçant les droites.
Géométrie sphérique
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Des géométries différentes permettent de poser des notions différentes de contraintes géométriques. Par exemple, un cercle est un concept qui a du sens en géométrie euclidienne, mais pas en géométrie linéaire affine ou géométrie projective, où les cercles ne peuvent être distingués des ellipses, car on peut déformer un cercle ellipse. De façon similaire, une parabole est un concept en géométrie affine mais pas en géométrie projective, où une parabole est simplement un type de conique. La géométrie qui est massivement utilisé en géométrie algébrique est la géométrie projective, avec la géométrie affine qui a du sens mais de façon moindre.
Position générale
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La géométrie synthétique ou géométrie pure est fondée sur une approche axiomatique (donc, « purement logique ») de la géométrie. Elle constitue une branche de la géométrie étudiant diverses propriétés et divers théorèmes uniquement par des méthodes d'intersections, de transformations et de constructions. Elle s'oppose à la géométrie analytique et refuse systématiquement l'utilisation des propriétés analytiques des figures ou l'appel aux coordonnées. Ses concepts principaux sont l'intersection, les transformations y compris par polaires réciproques, la logique. Un outil très puissant qu'elle utilise est la théorie des ensembles, par le biais des propriétés structurelles (groupe, groupe commutatif, etc.) de tel ou tel ensemble de transformations.
Géométrie synthétique
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Lorsqu'il y a des classifications explicites des groupes de Lie ou algébriques ou des leurs espaces homogènes vérifiant certaines hypothèses (groupes de Lie ou algébriques simples, espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, espaces de courbure constante, par exemple), les principaux éléments de ces classifications sont parfois issus de la géométrie classique, et les groupes auxquels sont associés ces géométries classiques sont liés aux groupes dits classiques (groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques, par exemple).
Géométrie
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La géométrie algébrique étudie principalement les variétés algébriques, c'est-à-dire les hypersurfaces d'un espace vectoriel de dimension "n" sur un corps "K" définies comme les racines d'un idéal de l'anneau des polynômes à "n" indéterminées. Ainsi la sphère de "R" est définie comme les racines des polynômes à coefficients réels multiple de "X" + "Y" + "Z" – 1. Or l'anneau des polynômes à plusieurs variables n'est pas un anneau principal.
Anneau principal
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Le principe de la démarche consiste à étudier dans un premier temps les groupes orthogonaux admettant une représentation irréductible, puis ceux ayant une représentation de degré 2, enfin ceux n'ayant que des représentations de degré 1. Pour plus de simplicité, on recherche d'abord uniquement le groupe spécial orthogonal et l'on se limite aux groupes n'ayant pas d'éléments d'ordre 6. Cette démarche met en évidence le groupe du cube. On pourrait utiliser uniquement les outils de l'algèbre linéaire, mais, pour autant d'effort, on ne trouverait que des résultats plus partiels.
Réseau (géométrie)
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Plusieurs systèmes d’axiomes ont été énoncés pour fonder la géométrie projective, notamment par Enriques, Coxeter et Rossier, qui ne présentent que de légères différences. Les éléments fondamentaux sont les points. Les droites et les plans sont certains ensembles de points. Il existe une relation ternaire, dite d’ordre cyclique, entre les points appartenant à une même droite ou entre les plans passant par une même droite ou entre les droites appartenant à une même plan et passant par un même point.
Géométrie projective
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Les concepts les plus notables de la géométrie riemannienne sont la courbure de l'espace étudié et les géodésiques, courbes résolvant un problème de plus court chemin sur cet espace.
Géométrie riemannienne
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ont une signification géométrique : ils déterminent un "système de coordonnées orthonormées" sur formula_17 . En d'autres termes, ils sont obtenus à partir des coordonnées d'origine par l'application d'une rotation (et éventuellement d'une réflexion). Par conséquent, les grandeurs formula_18 et formula_19 nous renseignent à propos de "longueurs" (majoritairement) et "d'angles", tâche qui seraient autrement difficiles dans un choix coordonnées différent (en les redimensionnant, par exemple). Par exemple, la distance maximale entre l'origine et l'ellipse formula_20 se produit lorsque formula_21, c'est-à-dire aux points formula_22. De même, la distance minimale est où formula_23.
Théorème de l'axe principal
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« On énoncera explicitement les concepts primitifs au moyen desquels on se propose de définir logiquement les autres. On énoncera explicitement les propositions fondamentales (postulats) grâce auxquelles on se propose de démontrer logiquement les autres propositions (théorèmes). Ces propositions fondamentales doivent apparaître comme de pures relations logiques entre les concepts primitifs, et cela indépendamment de la signification que l’on donne à ces concepts primitifs. »
Géométrie euclidienne