ැසියෝ මෙම ජනපදවලට නම් යොදනු ලැබීය. මෙම එක් එක් ජනපදවල වැසියන්ගේ බල පරාක්‍රමය මත පසු කාලීනව මහා ජනපදවල සමහර ජනපද තමන්ගේ දේශ සීමා පුළුල් කොට ප්‍රබලත්වයට පත් වූහ.මෙම ලිපිය සඳහා තවත්  ප්‍රවර්ග අවශ්‍ය වේ. කරුණාකර ප්‍රවර්ග එක්කිරීමෙන් සහායවන්න. එවිට මෙය, මීට සමාන තවත් ලිපි සමග ලයිස්තුගත වනු ඇත. (2011 දෙසැම්බර්)දික් සිදුරු දෙකක විවර්තන ගැටලුවක රූප සටහනක්. එහි දී තරංග ආයාමයෙන් අර්ධයකට සමාන වන පටි අන්තරයක් විනාශකාරී නිරෝධනයට හේතු‍ වේ.ග්‍රේටිමක් මඟින් ගවුසීය කදම්භයක විවර්තනය, තනි, ද්විත්ව, ත්‍රිත්ව, දික් සිදුරු නිරූපණය කරවන අන්වීක්ෂීය ග්‍රේටිම් සඳහා තියුණු විවර්තන උපරිම ලබා ගැනීමට අභිසාරී කදම්භයක් අවශ්‍ය වේ.බහු දික් සිදුරු සැකැස්මක් සිදුරු අවශ්‍ය තරම් පටු නම්, සරල තරංග ප්‍රභව රාශියක් ලෙස විස්තර කළ හැක. ආලෝකයේ දී දික් සිදුරු යනු එක් දිශාවකට අපරිමිතව විහිදෙන විවරයකි. එයට ත්‍රිමාන අවකාශීය ගැටලුවක් ද්විමාන අවකාශීය ගැටලුවක් බවට සරල කර ගත හැක.සරලම අවස්ථාව වන්නේ එකිනෙකට a  දුරකින් පිහිටි පටු දික් සිදුරු දෙකකි. විස්තාරයේ උපරිම හා අවම නිර්ණය කිරීමට අප විසින් ප්‍රථම දික් සිදුරට හා දෙවන දික් 