Henri Poincaré đã giới thiệu điều gì khi ông thiết lập tô pô đại số?
Nhóm cũng được áp dụng trong nhiều lĩnh vực toán học khác. Các đối tượng toán học thường được kiểm tra bằng cách liên kết các nhóm với chúng và nghiên cứu các tính chất của các nhóm tương ứng. Ví dụ, Henri Poincaré thành lập cái mà ngày nay gọi là tô pô đại số bằng cách giới thiệu nhóm cơ bản. Bằng cách kết nối này, các tính chất tô pô như độ gần và tính liên tục chuyển thành các tính chất của nhóm. Ví dụ, các phần tử của nhóm cơ bản được biểu diễn bằng các vòng lặp. Hình ảnh thứ hai ở bên phải cho thấy một số vòng lặp trong một mặt phẳng trừ một điểm. Vòng lặp màu xanh được coi là đồng vị rỗng (và do đó không liên quan), bởi vì nó có thể bị co lại liên tục đến một điểm. Sự hiện diện của lỗ ngăn không cho vòng lặp màu cam bị co lại đến một điểm. Nhóm cơ bản của mặt phẳng có một điểm bị xoá hoá ra là vòng tuần hoàn vô hạn, được tạo ra bởi vòng lặp màu cam (hoặc bất kỳ vòng lặp nào khác quanh co một lần xung quanh lỗ). Bằng cách này, nhóm cơ bản phát hiện lỗ.
Nhóm cơ bản