Điều gì đã gây ra một thất bại trong lý thuyết tập hợp ngây thơ vào đầu thế kỷ 20?
Việc tiên đề hoá toán học, trên mô hình các yếu tố của Euclid, đã đạt đến mức độ nghiêm ngặt và rộng mới vào cuối thế kỷ 19, đặc biệt là trong số học, nhờ lược đồ tiên đề của Richard Dedekind và Charles Sanders Peirce, và hình học, nhờ David Hilbert. Vào đầu thế kỷ 20, những nỗ lực để cơ sở toán học trên lý thuyết tập hợp ngây thơ đã phải chịu một thất bại do nghịch lý Russell (trên tập hợp tất cả các tập hợp không thuộc về chính chúng). Vấn đề về một tiên đề đầy đủ của lý thuyết tập hợp đã được Ernst Zermelo và Abraham Fraenkel giải quyết ngầm khoảng hai mươi năm sau đó. Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel cung cấp một loạt các nguyên tắc cho phép xây dựng các tập hợp được sử dụng trong thực hành toán học hàng ngày. Nhưng họ không loại trừ một cách rõ ràng khả năng tồn tại của một tập hợp thuộc về chính nó. Trong luận án tiến sĩ năm 1925, von Neumann đã chứng minh hai kỹ thuật để loại trừ các tập hợp như vậy - tiên đề về nền tảng và khái niệm về lớp.
Nghịch lý Russell