Những loại số dưới phép cộng tạo thành một monoid?
Trong đại số trừu tượng, các cấu trúc tổng quát hơn được xác định bằng cách nới lỏng một số tiên đề xác định một nhóm. Ví dụ, nếu yêu cầu mọi phần tử đều có nghịch đảo bị loại bỏ, cấu trúc đại số thu được được gọi là monoid. Các số tự nhiên N (bao gồm 0) dưới phép cộng tạo thành một monoid, cũng như các số nguyên khác không dưới phép nhân (Z  {0}, ·), xem ở trên. Có một phương pháp chung để chính thức thêm nghịch đảo vào các phần tử vào bất kỳ monoid (abelian), giống như (Q  {0}, ·) có nguồn gốc từ (Z  {0}, ·), được gọi là nhóm Grothendieck. Groupoid tương tự như các nhóm ngoại trừ thành phần a • b không cần phải được xác định cho tất cả a và b. Chúng phát sinh trong nghiên cứu các dạng đối xứng phức tạp hơn, thường là trong các cấu trúc tôpô và phân tích, chẳng hạn như groupoid cơ bản hoặc ngăn xếp. Cuối cùng, có thể khái quát hoá bất kỳ khái niệm nào trong số này bằng cách thay thế phép toán nhị phân bằng một n-ary tuỳ ý (tức là một phép toán lấy n đối số). Với việc khái quát hoá thích hợp các tiên đề nhóm, điều này dẫn đến một nhóm n-ary. Bảng cung cấp một danh sách một số cấu trúc khái quát hoá các nhóm.
số tự nhiên N (bao gồm 0)