Điều gì có thể được sử dụng để phân loại các nhóm nhỏ mặc dù không có phân loại của tất cả các nhóm hữu hạn?
Các nhà toán học thường cố gắng tìm kiếm một sự phân loại (hay danh sách) hoàn chỉnh của một khái niệm toán học. Trong bối cảnh của các nhóm hữu hạn, mục đích này dẫn đến toán học khó khăn. Theo định lý Lagrange, các nhóm hữu hạn bậc p, một số nguyên tố, nhất thiết phải là các nhóm cyclic (abelian) Zp. Các nhóm bậc p2 cũng có thể được chứng minh là abelian, một tuyên bố không khái quát hoá thành bậc p3, như nhóm không phải abelian D4 bậc 8 = 23 ở trên cho thấy. Các hệ thống đại số máy tính có thể được sử dụng để liệt kê các nhóm nhỏ, nhưng không có phân loại nào cho tất cả các nhóm hữu hạn.q[›] Một bước trung gian là phân loại các nhóm đơn giản hữu hạn.r[›] Một nhóm không tầm thường được gọi là đơn giản nếu nhóm con bình thường duy nhất của nó là nhóm tầm thường và chính nhóm đó.s[›] Định lý Jordan-Hölder thể hiện các nhóm đơn giản hữu hạn như các khối xây dựng cho tất cả các nhóm hữu hạn. Liệt kê tất cả các nhóm đơn giản hữu hạn là một thành tựu lớn trong lý thuyết nhóm đương đại. Người chiến thắng Huy chương Fields năm 1998 Richard Borcherds đã thành công trong việc chứng minh các phỏng đoán moonshine quái dị, một mối quan hệ đáng ngạc nhiên và sâu sắc giữa nhóm lẻ đơn giản hữu hạn lớn nhất - "nhóm quái vật" - và các hàm mô đun nhất định, một phần của giải tích phức cổ điển và lý thuyết dây, một lý thuyết được cho là thống nhất việc mô tả nhiều hiện tượng vật lý.
Hệ thống đại số máy tính