Ví dụ về một nhóm con là gì?
Để hiểu các nhóm vượt ra ngoài mức độ thao tác tượng trưng như trên, cần phải sử dụng nhiều khái niệm cấu trúc hơn. Có một nguyên tắc khái niệm ẩn dưới tất cả các khái niệm sau: để tận dụng cấu trúc được cung cấp bởi các nhóm (tập hợp, "không có cấu trúc", không có), các công trình liên quan đến các nhóm phải tương thích với phép toán nhóm. Sự tương thích này thể hiện trong các khái niệm sau theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, các nhóm có thể liên quan đến nhau thông qua các hàm được gọi là đồng cấu nhóm. Theo nguyên tắc đã đề cập, chúng được yêu cầu tôn trọng các cấu trúc nhóm theo nghĩa chính xác. Cấu trúc của các nhóm cũng có thể được hiểu bằng cách chia chúng thành các phần gọi là nhóm con và nhóm thương. Nguyên tắc "bảo tồn các cấu trúc" - một chủ đề lặp đi lặp lại trong toán học xuyên suốt - là một trường hợp làm việc trong một phạm trù, trong trường hợp này là phạm trù các nhóm.