Theo định lý Wilson, giai thừa nào phải chia hết cho p nếu một số nguyên p > 1 được coi là số nguyên tố?
Giả thuyết của Giuga nói rằng phương trình này cũng là một điều kiện đủ để p là số nguyên tố.Một hệ quả khác của định lý Fermat nhỏ là: nếu p là một số nguyên tố khác 2 và 5, 1/p luôn là một số thập phân định kỳ, có chu kỳ là p − 1 hoặc một ước số của p − 1.Phân số 1/p được biểu diễn tương tự trong cơ số q (chứ không phải cơ số 10) có tác dụng tương tự, miễn là p không phải là một thừa số nguyên tố của q.Định lý Wilson nói rằng một số nguyên p > 1 là số nguyên tố nếu và chỉ khi giai thừa (p − 1)! + 1 chia hết cho p.Hơn nữa, một số nguyên n > 4 là hỗn hợp nếu và chỉ khi (n − 1)! chia hết cho n.
(p − 1)! + 1