
\begin{EX}
\begin{enumerate}
    \item[1)] La $v.a$ normalisée  sur $f$ n'est pas à support compact.
    \item[2)] $x \mapsto |x| \cdot \1_{\mathbb{Z}_p}(x)$ n'est pas localement constante en $0$.
    \item[3)] Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, alors $|f|_{\infty} \in C_c^{\infty}(F)$. $f$ est donc continue, à support compact, et on a $f \in L^1(F, dx)$ .
\end{enumerate}
\end{EX}

\begin{defi}
Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, on définit sa transformée de Fourier $\hat{f} : F \rightarrow \mathbb{C}$ par:
$$
\forall y \in F \quad \hat{f}(y) = \int_F f(x) \psi(x y) \,dx
$$
\end{defi}



EX : (1) La fonction normale $1_{[1, 1+\omega^n \mathcal{O}]}$ sur $F$ n'est pas à support compact.
(2) La fonction $x \mapsto|x| \cdot \mathbb{1}_{\mathbb{Z}_r}(x)$ n'est pas localement constante en 0 !
(3) Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, alors $\left\|f\right\|_{\infty}\in C^m C_c^{\infty}(F)$. Elle est donc continue, a un support compact, et on a $f \in L^1(F, dx)$.

DEF: Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, on définit sa transformée de Fourier $\hat{f}: F \rightarrow \mathbb{C}$ par:
\[
\forall y \in F \quad \hat{f}(y)=\int_F f(x) \psi(x y) \,dx
\]

