

\begin{defi}
        On définit aussi le facteur \(L\) par: \(L(\chi):=\left\{\begin{array}{lc}1  &\text {si $\chi$ non ramifié, ie si } n_\chi > 0 \\ 
        \frac{1}{1-\chi(\varpi)}=\frac{1}{1-q^{-s}} &\text{sinon}\end{array}\right.\) 
        Et le facteur epsilon : \(\varepsilon(\chi, \psi)=\gamma(\chi, \psi) \frac{L(\chi)}{L(\chi^\vee)}\).
\end{defi}
    
\begin{prop}
    La fonction \(\varepsilon\) est holomorphe en $s$ et à valeurs dans \(\mathbb{C}^*\).
\end{prop}
    
\begin{EX}
    \begin{enumerate}
        \item Calcul non ramifié : \(\OO=\mathcal{D}, n_\chi=n_\psi=0\) :
            $$
            \varepsilon(\chi, \psi)=|\OO / \mathcal{D}|^{-1} q^{-n_\psi}=1
            $$
            
        \item Pour \(s=1 / 2\) (le centre de la symétrie \(s \leftrightarrow 1-s\)) et \(\psi\) quelconque de conducteur \(\OO\) (et \(dx\) la mesure autoduale par rapport à \(\psi\)), on a:
            $$
            \left|\varepsilon(\eta |.|^{1 / 2}, \psi)\right|=1
            $$
    \end{enumerate}
\end{EX}
\begin{Théorème} Soient \(\eta\) un caractère de \(\OO^\times, \chi=\eta |.|^s\) et \(f \in C_c^{\infty}(F)\). 

\(\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}\) est holomorphe en $s$. \\
Mieux: c'est un polynôme en \(q^{ \pm s}\) vérifiant l'équation fonctionnelle: \(\frac{\mathcal{Z}(\hat{f}, \chi^\vee)}{L(\chi^\vee)}=\varepsilon(\chi, \psi)
            \frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}\).
\end{Théorème}



- DEF: On définit aussi le facteur $L$ par : $L(X):=\left\{\begin{array}{l}1 \text { si } X \text { ramifié } \\ \frac{1}{1-X(x)}=\frac{1}{1-q^{-5}}\end{array}\right.$ sinon et le facteur epsilon $=\quad \varepsilon(X, \psi)=\gamma(X, \psi) \frac{L(X)}{L\left(X^v\right)}$.

PROP: La fonction $\varepsilon$ est holomorphe en $s$ et prend des valeurs dans $\mathbb{C}^*$.

EX: (1) Calcul non ramifié $=0=D, n_x=n_\psi=0$ :
$$
\varepsilon(x, \psi)=|0 / \phi|^{-1} q^{-m_\psi}=1 \text {.}
$$

(2) Pour $s=1 / 2$ (le centre de la symétrie $s \leftrightarrow 1-s$) et $\psi$ quelconque de conducteur $O$ (et $dx$ la mesure autoduale pean ce $\psi$), on a :
$$
\left|\varepsilon\left(\eta \mid 1^{1 / 2}, \psi\right)\right|=1
$$

$\therefore$ THM: Soient $\eta$ un caractère de $O^x, x=\eta 1.1^s$ et $f \in C_c^{\infty}(F)$. $\frac{Z(f, x)}{L(x)}$ est holomorphe en $s$. Mieux : c'est un polynôme en $q^{\pm s}$ vérifiant l'équation fonctionnelle : $\frac{Z\left(\hat{f}, x^v\right)}{L\left(x^v\right)}=\varepsilon(x, \psi) \frac{Z(f, x)}{L(x)}$.
