
\subsubsection*{Construction des caractères de $F$, extension finie de $\mathbb{Q}_p$.}

  L'idée est de prendre une forme $\Q_{p}$-linéaire $l: F \rightarrow \Q_p$, puis de considérer $\psi \circ l$ pour $\psi$ un caractère de $\mathbb{Q}_{p}$. \\
  On identifie $F$ à $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_p}\left(F, \Q_p\right)$ via la forme trace $\operatorname{Tr}_{F / \Q_p}: F \rightarrow \mathbb{Q}_{p}$.

\begin{defi}
      
   La différente inverse de $F / \mathbb{Q}_{p}$ est définie comme
  $$
  \mathcal{D}_{F / \mathbb{Q}_{p}}^{-1}:=\left\{x \in F \mid \forall y \in \OO \quad \operatorname{Tr}_{F / \mathbb{Q}_p}(x y) \in \mathbb{Z}_{p}\right\}.
  $$

  C'est un idéal fractionnaire de $F$ qui contient $\OO$. La différente de $F / \mathbb{Q}_p$ est définie comme $\mathcal{D}_{F / \mathbb{Q}_p}=\left(\mathcal{D}_{F / \mathbb{Q}_{p}}^{-1}\right)^{-1}$ au sens des inverses d'idéaux.
C'est un idéal de $\OO$.
\end{defi}


Construction des caractères de $F$, extension finie de $Q_p$ :
L'idée est de prendre une forme $Q_{\Gamma}$-linéaire $l: F \rightarrow \mathbb{Q}_\mu$, puis de considérer $\psi_0 l$ pour $\psi$ un caractère de $\mathbb{Q}_p$.
On identifie $F$ à $\operatorname{Hom}_{Q_p}\left(F, Q_p\right)$ via la forme trace $\tau_F: F \rightarrow \mathbb{Q}_{\uparrow}$.

DEFINITION : La différente inverse de $F / Q_{\uparrow}$ est définie comme
$$
D_{F / Q_{\uparrow}}^{-1}:=\left\{x \in F \mid \forall y \in O_T^{F / Q_\mu}, (x y) \in \mathbb{Z}_{\uparrow}\right\}
$$
C'est un idéal fractionnaire de $F$ qui contient 0.
La différente de $F / Q$ est définie comme $D_{F / Q}=\left(D_{F / Q}^{-1}\right)^{-1}$ au sens des inverses d'idéaux.
(1) C'est un idéal de $O_F$.
