
\underline{Caractères multiplicatifs de $F^*$:}

Pour $F=\R: $ Comme $\R^*=\{ \pm 1\} \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi = \left(\operatorname{sgn}\right)^{\varepsilon}\left|\cdot\right|^{s},$ avec $ \in \C, \, \varepsilon \in\{0,1\}$ et $|\cdot|$ est la valeur absolue usuelle. \\

Pour $F=\C: $ Comme $\C^*=\U \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi(z)=\left(\frac{z}{|z|^{1 / 2}}\right)^n|z|_{\C}^s$, avec $ n \in \Z$ et $|z|_C=z \bar{z}$ est la valeur absolue normalisée sur $\C$.\\
\underline{Facteurs $L$}

La fonction $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} t^s e^{-t} \frac{dt}{t}$ admet un prolongement méromorphe à $\C$ holomorphe sur $\C \setminus (-\N)$ (pôles simples sur cet ensemble).

\[
\Gamma_{\R}(s):=\pi^{-s / 2} \Gamma(s / 2) \qquad \Gamma_{\C}(s):=2 \cdot (2 \pi)^{-s} \Gamma(s)
\]

On a:
\begin{aligned}[t]
&L\left(\left(\frac{x}{|x|}\right)^{\varepsilon} |.|^s\right)=\Gamma_{\R}(s+\varepsilon) \\&L\left(\left(\frac{z}{|z|^{1 / 2}}\right)^n|\cdot|_{\C}^s\right)=\Gamma_{\C}\left(s+\frac{|n|}{2}\right).
\end{aligned}

Pour un caractère multiplicatif $\chi$ de $F^*$ et $f \in \mathcal{S}(F)$, on considère :
\[
\mathcal{Z}(f, \chi)=\int_{F^*} f(x) \chi(x) \, dx^\times \quad \text{où } dx^\times=\frac{dx}{|x|}.
\]


\textbf{Caractères multiplicatifs de $F^*$:}
    $$
    \begin{aligned}
    & \text{Pour } F=\mathbb{R}: \quad \mathbb{R}^*=\{ \pm 1\} \times \mathbb{R}_{+}^* \\
    & \text{Un caractère s'écrit } X=(\operatorname{sgn})^{\varepsilon}|.|^s=x \mapsto\left(\frac{x}{|x|}\right)^{\varepsilon}|x|^s \text{ où } s \in \mathbb{C}, \varepsilon \in\{0,1\} \text{ et } 1 \text{ est la valeur absolue usuelle.}
    \end{aligned}
    $$

    $$
    \text{Pour } F=\mathbb{C}: \quad \mathbb{C}^*=U \times \mathbb{R}_{+}^*
    $$

    $|\vec{f}|_C=z \bar{z}$ est la variable aléatoire normalisée sur $\mathbb{C}$.

\textbf{Facteurs $L$:}
    La fonction $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} t^s e^{-t} \frac{d t}{t}$ admet un prolongement méromorphe.
    $$
    \Gamma_{\mathbb{R}}(s)=\pi^{-s / 2} \Gamma(s / 2) \quad \Gamma_{\mathbb{C}}(s)=2 \cdot(2 \pi)^{-s} \Gamma(s)
    $$

    On a: $L\left(\left(\frac{x}{|x|}\right)^{\varepsilon} 1.1^s\right)=\Gamma_{\mathbb{R}}(s+\varepsilon)$

    $$
    L\left(\left(\frac{z}{|g|^{1 / 2}}\right)^n|\cdot|_{\mathbb{C}}^s\right)=\Gamma_{\mathbb{C}}\left(s+\frac{\ln \mid}{2}\right)
    $$

\textbf{Pour un caractère multiplicatif $X$ de $F^*$ et $f \in \mathscr{Y}(F)$, on considère:}
    $$
    Z(f, X)=\int_{F^X} f(x) X(x) d x^x \quad \text { où } d x^x=\frac{d x}{|x|}
    $$
