
Il reste à traiter le cas $f=\1_{\OO}$ :
$$
\begin{aligned}
\int_{F^{\times}}|f|_{\infty}|\chi|_{\infty} & =\int_{F^{\times} \cap \OO }|x|^{\sigma} \, dx^{\times} \quad(\sigma=\operatorname{Re}(s)) \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\varpi^n \OO^{\times}}|x|^{\sigma} \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty} q^{-n \sigma} \operatorname{Vol}\left(\varpi^n \OO^{\times}, dx^{\times}\right) \\
& =\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \sum_{n=0}^{+\infty} q^{-n \sigma}
\end{aligned}
$$

Soit $\sigma_0>0$. L'intégrale $\mathcal{Z}(f, \chi)$ converge absolument et uniformément sur $\Re(s) \geqslant \sigma_0$, elle définit donc une fonction holomorphe sur $\Re(s)>0$.

Soit $\chi=\eta |.|^s$ avec $\Re(s)>0$.
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(f, \chi)=\int_{F^{\times}} \1_{\OO}(x) \chi(x) \, dx^{\times} & =\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\varpi^n \OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\left(\sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\chi(\varpi)^n}_{q^{-n \sigma}}\right) \int_{\OO^{\times}} \underbrace{\chi(x)}_{= \eta (x)} \, dx^{\times}.
\end{aligned}
$$

~- Supposons $\eta$ non ramifié, c'est-à-dire $\exists a \in \OO^{\times} , \; \chi(a)=\eta(a) \neq 1$.
$$
\begin{aligned}
& \int_{\OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times}=\int_{\OO^{\times}} \chi(a x) \, dx^{\times}=\chi(a) \int_{\OO^{\times}} \chi(x) \, dx^{\times} . \\
& \text{D'où } (1-\chi(a)) \int_{\OO^{\times}} \chi=0 \text{ et } \int_{\OO^{\times}} \chi=0 \text{, donc } \mathcal{Z}(f, \chi)=0
\end{aligned}
$$
Ce qui est prolongeable holomorphiquement à tout $\C$. \\

~- Supposons $\eta$ ramifié et $\left.\chi\right|_{\OO^{\times}} \equiv 1$.
$$
\text{Alors } \mathcal{Z}(f, \chi)=\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \frac{1}{1-\chi(\varpi)}=\operatorname{Vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right) \frac{1}{1-q^{-s}}
$$

Ceci donne un prolongement méromorphe (pôles en $s \in \frac{2 i \pi \mathbb{Z}}{\log q}$).
\end{proof}


Il reste à traiter le cas \(f = \mathbb{1}_0\) :
\[
\begin{aligned}
\int_{F^x} |f|_{\infty} |x|_{\infty} & = \int_{F^x \cap 0} |x|^{\sigma} \, dx^x \quad (\sigma = \operatorname{Re}(s)) \\
& = \sum_{m=0}^{+\infty} \int_{\omega^m O^x} |x|^{\sigma} \, dx^x \\
& = \sum_{n=0}^{+\infty} 9^{-m \sigma} \operatorname{Vol}(\pi^m O^x, dx^x) \\
& = \operatorname{Vol}(O^x, dx^x) \sum_{n=0}^{+\infty} 9^{-m \sigma}
\end{aligned}
\]

Soit \( \sigma_0 > 0 \). L'intégrale \(Z(f, x)\) converge absolument et uniformément sur \(\operatorname{Re}(s) \geqslant \sigma_0\), elle définit donc une fonction holomorphe sur \(\operatorname{Re}(s) > 0\).

Soit \(X = \eta \mid .1^s\) avec \(\operatorname{Re}(s) > 0\).
\[
\begin{aligned}
z(f, X) = \int_{F^x} \mathbb{1}_0(x) X(x) \, dx^x & = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\pi^n 0^x} X(x) \, dx^x \\
& = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{X(\omega)^n}{-9^{-n s}}\right) \int_{0^x} X(x) \, dx^x
\end{aligned}
\]

$\rightarrow$ Supposons que \(\eta\) n'est pas non ramifié, c'est-à-dire \(\exists a \in O^* \quad X(a) = \eta(a) \neq 1\)$.
\[
\begin{aligned}
& \int_{O^x} X(x) \, dx^x = \int_{O^x} X(ax) \, dx^x = X(a) \int_{O^x} X(x) \, dx^x \\
& D^\prime \text{ car } (1 - X(a)) \int_{O^x} X = 0 \text{ et } \int_{O^x} X = 0 \text{ et } Z(f, X) = 0 \\
& \text{Ce qui est prolongeable holomorphiquement à tout } \mathbb{C}.
\end{aligned}
\]

$\rightarrow$ Supposons que \(\eta\) est non ramifié et \(\left.x\right|_{O^x} \equiv 1\)$.
\[
\text{Alors } z(f, x) = \operatorname{val}(O^x, dx^x) \frac{1}{1 - x(\sigma^2)} = \operatorname{Val}(O^x, dx^x) \frac{1}{1 - q^{-5}}
\]

Cela donne un prolongement méromorphe (pôles en \(s \in \frac{2 i \pi \mathbb{Z}}{\log 9}\)).
