
\begin{rmk}
    Dans un cadre global, pour un corps de nombres $K / \mathbb{Q}$, on a donc, pour presque tout $p$ : $\forall v \mid p$, la forme $\alpha=\operatorname{Tr}_{K_v / \Q_p} p$ est à déterminant (dans une $\mathbb{Z}_{p}$-base de $\OO_{K_v}$) dans $\OO_{K_v}^*$. Dans ce cas, $\mathcal{D}_{K_v / \mathbb{Q}_p}=\OO_{K_v}^*$.
\end{rmk}

\begin{prop}
Tout caractère additif $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme
$$
\psi:
\left\{
  \begin{array}{l}
    F \rightarrow \mathbb{C}^* \\
    x \mapsto \psi_{p}\left(\operatorname{Tr}_{F/Q_{p}}(a x)\right)
  \end{array}
\right.
\text{pour un unique $a \in F$.}
$$
$\psi$ est trivial ssi $a=0$. Si $a \neq 0$, alors on a $ \operatorname{Cond}(\psi)=a^{-1} \mathcal{D}_{F/\Q_p}^{-1}$.
\end{prop}


- REMARQUE : Dans un cadre global, pour un corps de nombres $K / \mathbb{Q}$, on a donc une paire presque partout $p: \forall v \mid p$, la forme $\alpha=\tau_{K_v / Q_p}$ est à

PROP : Tout caractère additif $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme
$$
\psi: \left\{
\begin{array}{l}
F \rightarrow \mathbb{C}^* \\
x \mapsto \psi_{\uparrow}\left(\pi_{F/Q_{\uparrow}}(a x)\right)
\end{array}
\right.
$$
pour un unique $a \in F$. $\psi$ est trivial si $a=0$. Si $a \neq 0$, alors $\operatorname{Cond}(\psi)=a^{-1} D_{F/Q_{\uparrow}}^{-1}$.
