
\subsection{Fonctions zêtas locales (p-adiques)}
  \begin{defi}
       Un caractère multiplicatif de $F^{*}$ est un morphisme continu $\chi:(F^{*}, \times) \rightarrow(\mathbb{C}^*, \times)$.
  \end{defi}

\begin{prop}
\label{prop1}
    Tout caractère multiplicatif $\chi:F^{*} \rightarrow \mathbb{C}^*$ s'écrit $\chi=\eta \cdot |.|^s$ où $\eta : \OO^{\times} \rightarrow \mathbb{C}^*$ est un caractère étendu à $F^{*}$ par $\eta(\varpi)=1$ et $s \in \mathbb{C}$.
\end{prop}

\begin{proof}~
  
Cela résulte immédiatement de la décomposition topologique $F^{*} \simeq \OO^{\times} \times \mathbb{Z}$.
\end{proof}



3) Fonctions zêtas locales (p-adiques):
- DEF : Un caractère multiplicatif de $F^*$ est un morphisme continu $X : (F^*, \times) \rightarrow (\mathbb{C}^*, \times)$.

PROP : Tout caractère multiplicatif $X : F^* \rightarrow \mathbb{C}^*$ s'écrit $X = \eta \cdot 1 \cdot 1^s$ où $\eta : \mathbb{Q}_p^* \rightarrow \mathbb{C}^*$ est un caractère étendu à $F^x$ par $\eta(\tau) = 1$ et $s \in \mathbb{C}$.

Preuve : Cela résulte immédiatement de la décomposition topologique $F^x \simeq \mathcal{O}^x \times \mathbb{Z}$.

