
\subsection{Théorie de Fourier sur les corps $p$-adiques}

On se donne $p$ premier et $F$ une extension finie de $\mathbb{Q}_{p}$. On note $\OO$ son anneau de valuation et $\varpi \in \OO$ une uniformisante. $q$ est le cardinal du corps résiduel.

\begin{defi}
  Un caractère additif de $F$ est un morphisme continu
  $$
  \chi: (F,+) \rightarrow (\mathbb{C}^*, \times).
  $$

  On a donc pour tous $x, y \in F$,
  $$
  \chi(x+y) = \chi(x) \chi(y).
  $$
\end{defi}



2) Théorie de Fourier sur les corps $p$-adiques:
- On se donne $p$ premier et $F$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$. On note $O$ son anneau de valuation et $\omega \in \mathcal{O}$ une uniformisante. Soit $q$ le cardinal du corps résiduel.

DEF : Un caractère additif de $F$ est un morphisme continu
$$
\psi: (F,+) \rightarrow (\mathbb{C}^*, \times).
$$
On a donc
$$
\forall x, y \in F \quad \psi(x+y) = \psi(x) \psi(y).
$$
