
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] Si $G$ est discret, $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est muni de la topologie induite par la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$. Or, ce dernier est compact. Il suffit donc de montrer que $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.

    Soit $\phi \in \mathbb{U}^G$ qui est dans l'adhérence de $\hat{G}$. Soit $\varepsilon > 0$, pour $\forall x \in G$, définissons \\
    $B_x := \left\{\psi \in \mathbb{U}^G \mid |\psi(x)-\phi(x)| < \varepsilon\right\}$ est un ouvert de $\U^G$ qui contient $\phi$. 

    Pour $(x, y) \in G^2$, soit $\chi \in B_x \cap B_y \cap B_{xy} \cap \hat{G}$ qui est un ouvert non vide ($\phi$ est dans l'adhérence de $\hat{G}$). On a :
    \begin{align*}
        |\phi(x)\phi(y)-\phi(xy)| &\leqslant |\phi(x)-\chi(x)|\cdot|\phi(y)| + |\chi(x)|\cdot|\phi(y)-\chi(y)| + |\chi(xy)-\phi(xy)| \\
        &< 3\varepsilon.
    \end{align*}
    Puisque $\varepsilon$ est arbitraire, on conclut que $\phi(xy) = \phi(x)\phi(y)$. Ainsi, $\phi \in \hat{G}$ (et $\phi$ est bien continue car $G$ est discret) et donc $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.

    \item[(ii)] Si $G$ est compact, $W(G, N(1))$ est un voisinage compact de $\1$. Pour tout $\chi \in W(G, N(1))$, $\chi(G)$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$, donc trivial. Ainsi, $\{\1\} = W(G, N(1))$ est ouvert, et $\hat{G}$ est discret.

    \item[(iii)] Il suffit de voir que les $W(K, \overline{N(1 / 4)})$, où $K$ est un voisinage compact de $e$, sont compacts dans $\hat{G}$ (ils forment une base de voisinage de $\1$).
    
    On note $G_0$ le groupe topologique discret ayant le même groupe sous-jacent que $G$ et on fixe un voisinage compact $K$ de $e$ dans $G$.



Preuve $= \left({}_i\right)$ Si $G$ est discret, $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est muni de la topologie induite par la topologie produit sur $U^G$. Or ce dernier est compact. Il suffit donc de voir que $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.
Soit $\phi \in U^G$ qui est dans l'adhérence de $\hat{G}$. Soit $\varepsilon > 0$. Pour $\forall x \in G$, $B_x := \left\{\psi \in \mathbb{U}^G \mid \|\psi(x) - \phi(x)\| < \varepsilon\right\}$ est un voisinage de $U^G$ qui contient $\phi$, admet de $\mathbb{U}^G$ contenant $\phi$.
Pour $(x, y) \in G^2$, $\widehat{B_x \cap B_y \cap B_{x y}} \cap \hat{G}$ est non vide, soit $X$ dedans. $\tau^{\prime}$ car $\phi$ dans l'adhérence de $\hat{G}$.
On a $|\phi(x) \phi(y) - \phi(x y)| \leqslant |\phi(x) - X(x)| \cdot |\phi(y)| + |X(x)| \cdot |\phi(y) - X(y)| + |X(x y) - \phi(x y)| < 3 \varepsilon$.
$\varepsilon$ étant arbitraire, on conclut que $\phi(x y) = \phi(x) \phi(y)$, d'où $\phi \in \hat{G}$ ($\phi$ est bien sûr continu car $G$ est discret). Ainsi, $\hat{G} \subseteq U^G$ est fermé $\Rightarrow$
(ii) Si $G$ est compact, $W(G, N(1))$ est un voisinage contenant $1_G$. $\forall X \in W(G, N(1))$, $X(G)$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$, donc trivial.
Ainsi, $\{1_G\} = W(G, N(1))$ est fermé, et $\hat{G}$ est discret.
(iii) Il suffit de voir que les $W(K, \overline{N(1 / 4)})$, pour $K$ voisinage compact de $1_G$, sont compacts dans $\hat{G}$. En effet, on vérifie qu'ils forment une base de voisinages de $1_G$.
On note $G_0$ le groupe topologique discret de même groupe isomorphe que $G$. On fixe un voisinage compact $K$ de $1_G$ dans $\hat{G}$.

