
\begin{prop}
  $C_c^{\infty}(F^*)$ est l'espace vectoriel engendré par les fonctions $\1_{a(1+\varpi^m \OO)}$, $n \geqslant 1$, $a \in F^*$.
\end{prop}

\begin{proof}
  Les fonctions $1+\varpi^m \OO$, $n \geqslant 1$, forment une base de voisinages de $1$ dans $F^*$, et sont compacts. La fin de la preuve est laissée en exercice.
\end{proof}

\begin{defi}
On définit les fonctions zêta locales par :
$$
\mathcal{Z}(f, \chi) = \int_{F^*} f(x) \chi(x) \, dx^{\times}
$$
où $f \in C_c^{\infty}(F)$ et $\chi$ est un caractère multiplicatif de $F^*$, égal à $\eta |.|^s$.
\end{defi}



PROP : $C_c^{\infty}\left(F^x\right)$ est l'espace vectoriel engendré par les $1_{a(1+\omega^* 0)}, n \geqslant 1, a \in F^x$.

Preuve : Les $1+\pi^m O, n \geqslant 1$, forment une base de voisinages de 1 dans $F^x$, et sont compacts et couverts. À faire en exercice.

DEF : On définit les fonctions zêta locales par :
\[
Z(f, X) = \int_{F^x} f(x) X(x) \, dx^x
\]
où \( f \in C_0^*(F) \) et \( X \) est un caractère multiplicatif de \( F^x \), égal à \( \eta^{1.1^5} \).

