
On considère $W_0 = \{\chi \in \hat{G}_0 \mid \chi(K) \subseteq \overline{N(1 / 4)}\}$ et $W = W(K, \overline{N(1 / 4)})$ et on veut montrer que $W$ est compact.

$W_0$ l'est, car il est fermé dans $\hat{G}_0$ qui est compact par (i).\\
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Bien sûr, $W \subseteq W_0$.
Mais on a aussi $W_0 \subseteq W$, car si $K \subseteq \chi^{-1}(\overline{N(1 / 4)}) \subseteq \chi^{-1}(N(1))$, cela montre que $\chi^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $e \in G$, le lemme dit que $\chi$ est continue, donc $\chi \in \widehat{G}$. \\
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Ainsi ensemblistement $W=W_0$. On a deux topologies sur $W$, issues de $\hat{G}$ et $\hat{G}_0$. Montrons qu'elles sont identiques:
\begin{itemize}
    \item La topologie sur $\hat{G}$ est engendrée par les ensembles :
    $$
    \mathcal{W}(K, U) := \{\chi \in \hat{G} \mid \chi(K) \subseteq U\}, \quad K \subseteq G \text{ compact, } U \subseteq \mathbb{U} \text{ ouvert}
    $$
    \item La topologie sur $\hat{G}_0$ est engendrée par les ensembles :
    $$
    W_0(K_0, U_0) = \{\chi \in \hat{G}_0 \mid \chi(K_0) \subseteq U_0\}, \quad K_0 \subseteq G_0 \text{ compact (ie fini) }, U_0 \subseteq \U \text{ ouvert}
    $$
\end{itemize}


On considère $W_0 = \left\{X \in \hat{G}_0 \mid X(K) \leq \overline{N(1 / 4)}\right\}$ et $W = W(K, \overline{N(1 / 4)})$. On veut montrer que $W$ est compact. $W_0$ l'est, car il est fermé dans $\hat{G}_0$ qui est compact par (i).
De plus, $W \subset W_0$.
Mais on a aussi $W_0 \subseteq W$, car si $K \subseteq X^{-1}(\overline{N(1 / 4)}) \subseteq X^{-1}(N(1))$.
Puisque $X^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $e \in G$, le LEM dit que $X$ est continu, donc $X \in \widehat{G}$.

Ainsi, on constate que $W = W_0$. On a deux topologies sur $W$, issues de $\hat{G}$ et $\hat{G}_0$. Montrons qu'elles sont identiques:
- La topologie sur $\hat{G}$ est engendrée par les $\mathcal{W}(K, U) = \{X \in \hat{G} \mid X(K) \leq U\}, K \in G$ compact, $U \in \mathbb{U}$ ouvert.
- La topologie sur $\hat{G}_0$ est engendrée par les:
  $$
  W_0(K_0, U_0) = \left\{X \in \hat{G}_0 \mid X(K_0) \leq U_0\right\}, K_0 \leq G_0 \text{ compact (ie fini)}, U_0 \leq \mathbb{U} \text{ ouvert}.
  $$
