
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
    \item[1)] $|\chi(\varpi)|=1 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(s)=0$, (car $\chi(\varpi)=|\varpi|^s=e^{-s \log q}$).
    \item[2)] $\OO^{\times}$ est compact donc $\widehat{\OO^{\times}}$ est discret.\\
    De $F^*=\OO^{\times} \times \mathbb{Z}$, on tire $\widehat{F^*}=\widehat{\OO^{\times}} \times \underbrace{i \mathbb{R} / 2 i \pi \log q}_{\text{Compact, à voir comme $\hat{\mathbb{Z}}=\mathbb{U}$}}$.
\end{enumerate}

Ainsi, l'ensemble des caractères de $F^*$ (avec aussi ceux qui ne sont pas unitaires (ramifiés ?) ) est une réunion disjointe indexée par $\OO^{\times}$ de $\mathbb{C} / 2 i \pi \log q$. \\

On a une action de $\mathbb{C}$ sur les caractères donnée par:
$$
s \in \mathbb{C}: \chi \mapsto \chi | \cdot |^s
$$
\end{rmk}



RQ $|X(\omega)|=1 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(s)=0 \quad X(m)=|\omega|^s=e^{-s \log q}$.
$\mathcal{O}^x$ est compact, donc $\hat{\mathcal{O}^x}$ est discret.
T compact, à voir comme $\hat{\mathbb{Z}}=\mathbb{U}$.

L'ensemble des caractères de $F^x$ (avec aussi ceux qui ne sont pas unitaires) est une réunion disjointe indexée par $\mathcal{O}^*$ de $\mathbb{C} / 2 i \pi \log 9$.
On a une action de $\mathbb{C}$ sur les caractères donnée par :
$$
s \in \mathbb{C} : X \mapsto x \cdot 1 \cdot 1^s
$$
