
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
  \item[(i)] Soit $f = \underbrace{\left(f - f(0) \1_{\OO}\right)}_{=: g \in C_c^{\infty}(F^*)} + f(0) \1_{\OO}$. \\
  Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ est défini par une intégrale sur un compact :
$$
\int_{F^*} |g(x) \chi(x)|_{\infty} \, dx^{\times} = \int_{F^*} |g(x)|_{\infty} |x|^{\Re(s)} \, dx^{\times} \quad (\eta \text{ est à valeur dans } \U_{\infty})
$$
On voit que cette intégrale converge absolument, et même uniformément convergente pour $\Re(s)$ dans un compact de $\mathbb{R}$. Ainsi, l'intégrale qui définit $\mathcal{Z}\left(g, \eta |.|^s \right)$ a un sens pour tout $s \in \mathbb{C}$ et définit une fonction holomorphe en $s$.

  \item[(ii)] On sait que $\eta$, donc $\chi$, est trivial sur $1+\varpi^m \OO$ pour un $m \geqslant 1$. \\
  Il suffit de traiter le cas de $g = \1_{a\left(1+\varpi^n \OO \right)}$, $n \geqslant m$ :
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(g, \chi) & = \int_{F^*} \1_{a\left(1+\varpi^n \OO\right)}(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& = \int_{F^*} \1_{a\left(1+\varpi^n \OO \right)}(ax) \chi(ax) \, dx^{\times} \\
& = \chi(a) \int_{F^*} \1_{1+\varpi^n \OO}(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& = \chi(a) \operatorname{Vol}\left(1+\varpi^n \OO, dx^{\times}\right) \\
& = \eta(a) |a|^s \operatorname{Vol}\left(1+\varpi^m \OO, dx^{\times}\right) .
\end{aligned}
$$
\end{enumerate}


Preuve :
\begin{enumerate}
  \item \( f = \left(f - f(0) \cdot \mathbb{1}_0\right) + f(0) \cdot \mathbb{1}_0 \). On a \( g \in C_c^{\infty}(F^x) \) défini par :
\[
g =
\begin{cases}
  f - f(0) \cdot \mathbb{1}_0 & \text{si } g \neq 0 \\
  f(0) \cdot \mathbb{1}_0 & \text{si } g = 0
\end{cases}
\]
On voit que cette intégrale est absolument convergente, et même uniformément convergente pour \(\operatorname{Re}(s)\) dans un compact de \(\mathbb{R}\). Ainsi, l'intégrale qui définit \(Z(g, \eta^{1.1^5})\) a un sens pour tout \(s \in \mathbb{C}\) et définit une fonction holomorphe en \(s\).
  \item On sait que \( \eta \), donc \( X \), est trivial sur \(1 + \infty^m 0\) pour un \(m \geqslant 1\). Il suffit de traiter le cas de \( g = \mathbb{1}_{a(1+w^n 0)}, n \geqslant m \) :
\[
\begin{aligned}
  Z(g, X) & = \int_{F^x} \mathbb{1}_{a(1+\varpi^m 0)}(x) X(x) \, dx^x \\
  & = \int_{F^x} \mathbb{1}_{a(1+\varpi^m 0)}(ax) X(ax) \, dx^x \\
  & = X(a) \int_{F^x} \mathbb{1}_{1+\varpi^m 0}(x) X(x) \, dx^x \\
  & = X(a) \operatorname{Vol}(1+\varpi^m 0, dx^x) \\
  & = \eta(a) |a|^s \operatorname{Vol}(1+\varpi^m 0, dx^x) .
\end{aligned}
\]
\end{enumerate}
