
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
    \item Si $\chi=\chi^\vee$ on a $1-s=s$ c'est-à-dire $s=1/2$
et $\eta=\bar{\eta}$, c'est-à-dire $\eta$ est réel. \\
Ainsi $\chi(-1)= \pm 1$ et $\varepsilon(\chi, \psi)^2=\chi(-1)$ donc $\varepsilon(\chi, \psi) \in \mathbb{U}_4$.
\item Plus généralement:
$$
\begin{aligned}
&\varepsilon\left(\eta|\cdot|^{1 / 2}, \psi\right) \varepsilon \left(\bar{\eta}|\cdot|^{1 / 2}, \psi\right)=\eta(-1), \\
& \text { Et } \overline{\mathcal{Z}(f, \chi)}=\mathcal{Z}(\bar{f}, \bar{\chi})  , \, \overline{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}=\mathcal{Z}\left(\bar{\hat{f}}, \overline{\chi^\vee}\right), \, \overline{\hat{f}}(y)=\hat{\overline{f}}(-y), \\
& \text { Et } \mathcal{Z}\left(\hat{\overline{f}}, \bar{\chi}^\vee\right) \overline{\chi}^\vee(-1)=\gamma(\bar{\chi}, \psi) \mathcal{Z}(\bar{f}, \bar{\chi}) \bar{\chi}^\vee(-1).
\end{aligned}
$$
D'où $\overline{\gamma(\chi, \psi)}=\gamma(\bar{\chi}, \psi) \bar{\chi}^\vee(-1)$. \\
Ainsi $\overline{\varepsilon(\eta \mid \cdot \mid^{1 / 2}, \psi)}=\varepsilon(\bar{\eta}\mid \cdot \mid^{1 / 2}, \psi) \eta(-1)$, et on retrouve donc $\left|\varepsilon\left(\eta|\cdot|^{-1 / 2}, \psi\right)\right|=1$.
\item Hormis les énoncés qui utilisent l'inversion de Fourier, les résultats tiennent $\forall \psi \not \equiv 1$.
Si on veut être plus précis, on note le facteur epsilon $\varepsilon(\chi, \psi, dx)$. \\
On a:
$
\begin{aligned}[t]
& \rightarrow \forall t>0 \quad \varepsilon(\chi, \psi, t d x)=t \varepsilon(\chi, \psi, d x) \\
& \rightarrow \forall a \in F^* \quad \varepsilon\left(\chi, \psi_a, d x\right)=\chi(a)|a|^{-1} \varepsilon(\chi, \psi, d x) \\
& \rightarrow \varepsilon\left(\chi |\cdot|^{s}, \psi, d x\right)=|\varpi|^{(-n_\psi+n_\chi) s} \varepsilon(\chi, \psi, d x).
\end{aligned}
$
\end{enumerate}
\end{rmk}


\textbf{RQ:}
    \begin{enumerate}
        \item Si $X=X^2$ alors $1-S=S$ c'est-à-dire $S=1/2$ et $\eta=\bar{\eta}$, donc $\eta$ est réel. De plus, $x(-1)=\pm 1$ et $\varepsilon(x, \psi)^2=x(-1)$, donc $\varepsilon(x, \psi) \in \mathbb{U}_4$.
        \item Plus généralement:
        $$
        \begin{aligned}
        & \varepsilon\left(\eta|\cdot|^{1/2}, \psi\right) \in \left(\bar{\eta}|.|^{1/2}, \psi\right)=\eta(-1) \\
        & \text { Et } \bar{z}(f, x)=z(\bar{f}, \bar{x}), \overline{z\left(\hat{f}, x^v\right)}=z\left(\overline{\hat{f}}, \overline{x^v}\right), \overline{\hat{f}}(y)=\hat{f}(-y) \\
        & \text { Et } z\left(\hat{f}, \bar{x}^v\right) \bar{x}^v(-1)=\gamma(\bar{x}, \psi) z(\bar{f}, \bar{x}) \bar{x}^v(-1)
        \end{aligned}
        $$
        $D'$ et $\overline{\gamma(x, \psi)}=\gamma(\bar{x}, \psi) \bar{x}^v(-1)$. Ainsi $\overline{\varepsilon\left(\eta \mid 1^{1/2}, \psi\right)}=\varepsilon\left(\bar{\eta} 1.1^{1/2}, \psi\right) \eta(-1)$, et on en déduit $\left|\varepsilon\left(\left.\eta\right|\mid^{.1/2}, \psi\right)\right|=1$.
        \item Hormis les énoncés qui utilisent l'immersion de Fourier, les résultats principaux sont vrais pour $\forall \curlyvee \neq 1$. Si on veut être plus précis, on note le facteur explicite $\varepsilon(x, \psi, dx)$.
        \begin{itemize}
            \item $\forall t>0 \quad \varepsilon(x, \psi, t dx)=t \varepsilon(x, \psi, dx)$,
            \item $\forall a \in F^x \quad \varepsilon\left(X, \psi_a, dx\right)=X(a)|a|^{-1} \quad \varepsilon(X, \psi, dx)$,
            \item $\varepsilon\left(x \mid .1^5, \psi, dx\right)=||^{\left(-n_\psi+n_x\right) s} \varepsilon(x, \psi, dx)$.
        \end{itemize}
    \end{enumerate}
