
\begin{lemme}
Si $n_\chi>0$, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ admet un prolongement holomorphe qui ne s'annule jamais.
\end{lemme}
\begin{proof}~
En effet, on a pour $\Re(s) > 0$ :
$$
\mathcal{Z}(g, \chi) = q^{-\left(n_\psi-n_\chi\right) s} G\left(\eta, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}}\right) .
$$
\end{proof}

\begin{lemme}
Si $n_\chi=0$, c'est-à-dire si $\eta \equiv 1$, on a :
$$
\mathcal{Z}(g, \chi) = \frac{\operatorname{vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right)}{1-\chi(\varpi)} = \frac{\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right)}{1-q^{-s}}
$$
\end{lemme}


LEM = si $m_x > 0$, $z(g, X)$ admet un prolongement holomorphe qui ne s'annule jamais. En effet, on a pour $\operatorname{Re}(s) > 0$ :
$$
z(g, x)=q^{-\left(m_\psi-n_X\right) s} G\left(\eta, \psi_{\omega^{m_\psi-n_X}}\right)
$$

LEM: si $n_X=0$, c'est-à-dire si $\eta \equiv 1$, on a $z(g, x)=\frac{V_0\left(O^x, d x^x\right)}{1-x(\omega)}=\frac{v_0\left(O^x d x^x\right)}{1-q^{-s}}$
