
\begin{EX}
  \begin{enumerate}
    \item Les caractères multiplicatifs sont localement constants, mais pas à support compact (par exemple, $x \mapsto |x|$).
    \item Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f|_{F^*}$ est localement constante.\\
    ~- Si $f(0) = 0$, alors $\exists U$ voisinage de $0$ avec $f(U) = 0$. \\
    Dans ce cas, $\operatorname{supp}(f) \subseteq F \setminus U \subseteq F^*$, d'où $\operatorname{supp}(f|_{F^*}) = \operatorname{supp}(f)$ est compact.\\
    ~- Réciproquement, si $\operatorname{supp}(f|_{F^*})$ est compact, $x \mapsto |x|$ est bornée et atteint ses bornes sur le compact $\operatorname{supp}(f) \cap F^* = \operatorname{supp}(f|_{F^*})$ :
  $$\exists m, M > 0 \quad \forall x \in \operatorname{supp}(f|_{F^*}) \quad m \leq |x| \leq M.$$
  Ainsi, $f|_{B(0, m) \setminus \{0\}} = 0$, et $f(0) = 0$ donc $f$ est localement constante. \\
  
  Ainsi, pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, on a :
  $$f_{C^*} \in C_{F^*}^{\infty}(F^*) \Leftrightarrow f(0) = 0.$$
  Par exemple, $\1_{\mathbb{Z}_{p}} \in C_c^{\infty}(\mathbb{Q}_{p})$ mais n'appartient pas à $C_c^{\infty}(\Q_{p}^*)$.
\end{enumerate}
\end{EX}


EX :
(1) Les caractères multiplicatifs sont localement constants, mais pas à support compact (par exemple $x \mapsto |x|$).
(2) Pour $f \in C_C^*(F)$, $\left.f\right|_{F^*}$ est localement constante.
$\rightarrow S_i f(0)=0$, alors $\exists u$ voisinage ouvert de 0 avec $f(u)=0$.
Dans ce cas, $\sup (f) \subseteq F \mid u \subseteq F^x$, donc $\sup \left(\left.f\right|_{F^*}\right)=\sup (f)$ est compact.
$\rightarrow$ Réciproquement, si $\sup \left(\left.f\right|_{F^x}\right)$ est compact, $x \mapsto |x|$ est bornée et atteint ses bornes sur le compact $\sup (f) \cap F^*=\sup \left(\left.f\right|_{F^*}\right)$ :
$\exists m, M>0 \quad \forall x \in \sup \left(\left.f\right|_{F^*}\right) \quad m \leq |x| \leq M$.
Ainsi $\left.f\right|_{B(0, m) \mid\{0)}=0$ et $f(0)=0$, donc $f$ est localement constante.
Ainsi, pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, on a $\left.f\right|_{F^*} \in C_c^{\infty}\left(F^x\right) \Leftrightarrow f(0)=0$.
Par exemple, $\mathbb{1}_{\mathbb{Z}_{\uparrow}} \in C_c^{\infty}\left(\mathbb{Q}_{\uparrow}\right)$ mais $\notin C_c^{\infty}\left(Q_{\uparrow}^*\right)$.
