
\subsection{Facteurs $L$, $\gamma $ et $\varepsilon$}
\begin{defi}
    $g$ étant fixée comme avant, on définit le facteur gamma par:
    $$
    \gamma(\chi, \psi)=\frac{\mathcal{Z}(\hat{g}, \chi^\vee)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}
    $$
    \(\gamma\) est une fonction méromorphe de $s$.
\end{defi}
    
\begin{Théorème}~
\begin{enumerate}
    \item[(i)] $\gamma(\chi, \psi)$ est une fonction méromorphe de $s$, égale à: \\
    $\begin{aligned}[t]
        & \rightarrow | \OO / \mathcal{D} |^{-1} q^{-n_\psi} \frac{1-q^{-s}}{1-q^{s-1}} \quad &\text { si } n_\chi=0 \\
        & \rightarrow | \OO / \mathcal{D} |^{-1} \frac{q^{-n_\psi}}{1-q^{-1}} \eta(-1) q^{\left(n_\psi-n_\chi\right) s} G(\eta, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}})^{-1} &\text { si } n_\chi > 0
        \end{aligned}$\\
        Pour $\psi = \psi_p \circ \operatorname{Tr}_{F/\Q_p}$ pour lequel $dx$ est autoduale, son conducteur est $\mathcal{D}^{-1} = \varpi^d \OO$ et cette formule vaut 1.
        \item[(ii)] On a l'équation fonctionnelle:
        $$
        \mathcal{Z}(\hat{f}, \chi^\vee)=\gamma(\chi, \psi) \mathcal{Z}(f, \chi) 
        $$
\end{enumerate}
\end{Théorème}



5) Facteurs $L, \gamma$ et $\varepsilon$ :
- DEF: Étant donné $g$ fixé comme avant, on définit le facteur gamma par :
$$
\gamma(x, \psi)=\frac{Z\left(\hat{g}, x^2\right)}{Z(g, x)}
$$

C'est une fonction méromorphe de $s$.

THM: $(i)$ $Y(X, \psi)$ est une fonction méromorphe de $s$, égale à :
$$
\begin{aligned}
& \rightarrow \left\lvert\, \frac{1}{D^{-1} q^{-n_\psi} \frac{1-q^{-s}}{1-q^{s-1}}} \quad\right. \text { si } m_x=0 \\
& \rightarrow \left\lvert\, \frac{1}{D^{-1} \frac{q^{-n_\psi}}{1-q^{-1}} \eta(-1) q^{\left(n_\psi-n_x\right) s} G\left(\eta, \psi_{w^{-n_\psi-n_x}}\right)^{-1}\right. \text { si }
\end{aligned}
$$
(ii) On a l'équation fonctionnelle :
$$
Z\left(\hat{f}, x^v\right)=\gamma(x, \psi) Z(f, x) \quad \text { si } m_x>0
$$
