
Pour $\chi=\eta |.|^s$, on a $n_\chi=n_\eta$. Considérons $g \in C_c^\infty(F)$ définie par :
$$
g(x)= \begin{cases}
\psi(x) & \text{ si } x \in \varpi^{n_\psi-n_\chi} \ . \\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$
$\rightarrow$ Si  $n_\chi>0$ :
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{Z}(g, \chi)=\int_{F^{\times}} g(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\int_{F^{\times} \cap \varpi^{n_\psi-n_\chi} \OO} \psi(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n \geqslant n_\psi-n_\chi} \chi ( \varpi )^n \int_{\OO^{\times}} \psi(\varpi^n x) \overbrace{\chi(x)}^{\eta(x)} \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n \geqslant n_\psi-n_\chi} \chi(\varpi)^n G\left(\chi, \psi_{\varpi^n}\right)
\end{aligned}
$$
Or $ G\left(\chi, \psi_{\varpi^n}\right)=0$ si $n_\chi>n_\psi-n$ c'est-à-dire si $n>n_\psi-n_\chi$. \\

Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)=q^{\left(n_\chi-n_\psi\right) s} \underbrace{G\left(\chi, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}}\right)}_{| \cdot |^2 \neq 0}$ d'où :


Pour $\chi=\eta |.|^s$, on a $n_\chi=n_\eta$. Considérons $g \in C_c^\infty(F)$ définie par :
$$
g(x)= \begin{cases}
\psi(x) & \text{ si } x \in \varpi^{n_\psi-n_\chi} \ . \\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$

$\rightarrow$ Si $n_X > 0: \quad Z(g, X)=\int_{F^x} g(x) X(x) \, dx^x$
$$
\begin{aligned}
& =\int_{F^x \cap \bar{\omega}^{m_y-m_x} 0} \psi(x) X(x) \, dx^x \\
& =\sum_{n \geqslant n_{\Psi}-n_X} \int_{\sigma^n \sigma^x} \psi(x) X(x) \, dx^x \\
& =\sum_{n \geq n_\psi^{-n_X}} X\left(\omega^n \int_{O^x} \psi\left(\pi^m x\right) \stackrel{=\eta(x)}{X(x) \, dx^x}\right) \\
& =\sum_{n \geqslant n_X} X(\varpi)^n G\left(X, \psi_{\omega^n}\right) \\
&
\end{aligned}
$$

Or $G\left(X, \psi_{\omega^m}\right)=0$ si $n_X > n_\psi-n$ c'est-à-dire si $n > n_\psi-n_X$. Ainsi $z(g, x)=9^{\left(m_x-m_\psi\right) S} \frac{G\left(x, \psi_{\bar{\omega}}^{m_\psi-m_x}\right)}{1.1^2 \neq 0}$ donc :
