
\begin{lemme}
    L'intégrale converge absolument pour $\Re(s)>0$, et est holomorphe sur ce domaine.
\end{lemme}

\begin{theorem}
Soit $\chi = \eta | \cdot |^s$. Alors, pour toute fonction $f \in \mathcal{S}(F)$, la fonction $\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}$ est holomorphe sur $\Re(s) > 0$ et admet un prolongement holomorphe à $\mathbb{C}$ tout entier. \\
De plus, elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante :
\[
\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}{L\left(\chi^\vee\right)} = \varepsilon(\chi, \psi) \frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)} \quad \text{ où } \varepsilon(\chi, \psi) = \left\{\begin{array}{ll}
    i^\varepsilon & \text{si } \eta = (\operatorname{sign})^\varepsilon \; F=\R \\
    i^{|n|} & \text{si } \eta = \U \rightarrow \U , \,z \mapsto z^n \; F=\C
\end{array}\right.
\]
\end{theorem}


    \textbf{LEM:} L'intégrale converge absolument pour $\operatorname{Re}(s)>0$ et est holomorphe sur ce domaine.

\textbf{THM:} Soit $x=\eta 11^5$. On a pour toute $f \in \mathscr{H}(F)$ :
$$
\frac{Z(f, x)}{L(x)} \text{ est holomorphe sur } \operatorname{Re}(s)>0, \text{ et admet un prolongement holomorphe à }\mathbb{C}\text{ tout entier.}
$$

On a l'équation fonctionnelle :
$$
\frac{z\left(\hat{f}, x^2\right)}{L\left(x^2\right)}=\varepsilon(x, \psi) \frac{z(f, x)}{L(x)}
$$

$F=\mathbb{C}$.
